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Mini cours sur les mesures de Gibbs I

Eric OLIVIER : Porquerolles : septembre 2013

25 octobre 2013

Eric OLIVIER : Porquerolles : septembre 2013 Mini cours sur les mesures de Gibbs I

Documents de références

(1972) M. Keane, Strongly mixing g -measures, Invent. Math.

(1974) R. Bowen, Equilibrium states and the ergodic theory ofAnosov diffeomorphisms, Lecture Notes in Maths (ré-édité parJ. R. Chazottes - 2008).

(1974) F. Ledrappier, Principe variationnel et systèmesdynamiques symboliques, Z. Wahrscheinlichkeitstheorie.

(1978) D. Ruelle, Thermodynamic formalism, Addison-Wesley.

(1982) P. Walters, An introduction to ergodic theory, Springer.

(1991) W. Parry & M. Pollicott , Zeta functions and theperiodic orbit structure of hyperbolic dynamics, SMF.

(1996) M. Zinsmeiters, Formalisme thermodynamique etsystèmes dynamiques holomorphes, SMF.

(1998) G. Keller, Equilibrium States in Ergodic Theory, LMS.

(2000) V. Baladi, Positive Transfer Operators and Decay ofCorrelations, World. Sc. Pub.


CHAP 0

Transformations markoviennes conformes



X métrique compact et T : X → X continue ;T homéomorphisme local : il existe un horizon d’injectivitér0 > 0 : pour tout x ∈ X et pour tout 0 < r < r0

T : B◦(x , r/2)→ T(B◦(x , r/2)

)est un homéomorphisme.T est expansive lorsqu’il existe deux coefficients decontraction 0 < α ≤ α < 1 tels que

|A| < r0 =⇒ α ≤|A||T (A)|

≤ α. (1)

En particulier, (1) entrâıne que r0αn−1 est un horizon

d’injectivité de T n (n ≥ 1).



Définition

Une Partition de Markov de T : X → X est un recouvrement finiR0 : {R0, . . . ,Rp} de X (formé de rectangles) t.q.

(M1) : Ri = R◦i (Ri est fermé à frontière d’intérieur vide) ;

(M2) : R◦i ∩ R◦j = ∅, for i 6= j ;(M3) : chaque image directe T (Ri ) est réunion de Rj .

On dira que T est markovienne s’il existe une partition de MarkovR0 = {R1, . . . ,RM} avec |Ri | ≤ r0 et pour tout n ≥ 0

Rn =n∨

k=0

T−k(R0) ;

de plus Rn(x) est ”l’atome” de Rn contenant x .



Définition

Soit T : M → M une transformation régulière (C1+α) sur unesurface de Riemann et J un sous ensemble compact de M t.q.

(i) : T (J) = J

(ii) : ‖∂T n(x)(v)‖T n(x) ≥ Cαn‖v‖x (C > 0, α > 1).(iii) : T is topologiquement mélangeant sur J ;

La transformation expansive T : J → J est un répulseur (repeller),s’il existe un voisinage (ouvert = bassin) V de J t.q.

J ={x ∈ V ; x ,T (x),T 2(x), . . . ∈ V

},

Si de plus ∂T (x) = a(x)Dx , pour x 7→ a(x) ∈ R régulier etDx ∈ Isom

(Tx(M), TT (x)(M)

), alors T : J → J est appelé un

répulseur (expansif) conforme.


Répulseur expansif conforme : exemple 1



Théorème (Bowen)

Un répulseur expansif conforme est toujours une applicationmarkovienne.

Théorème (Bowen)

Soit T : J → J un répulseur expansif conforme etR = {R1, . . . ,RM} une partition de Markov. Alors pour toutefonction φ : J → R Hölder continue, il existe une unique mesure deprobabilité T -invariante µφ, pour laquelle il existe deux constantesP ∈ R et K > 0 telles que

1

K≤

µφ(Rn(x)

)exp

(− nP +

∑n−1k=0 φ(T

k(x))) ≤ K ;

de plus µφ est fortement mélangeante.


CHAP I

Mesures doublantes


Mesures doublantes

Définition

Soit (X , d) un espace métrique : une mesure de probabilité µ estdite doublante s’il existe K > 0 tel que pour tout r > 0(suffisamment petit si X n’est pas compact) et tout x ∈ X

µ(B(x , 2r) ≤ Kµ(B(x , r)). (D)

Soit D le disque unité du plan complexe ; l’homéomorphismeT : D→ D est dit quasi-conforme, si n’importe quel disque esttransformé en une ellipse dont le rapport grand axe sur petit axeest uniformément borné. Alors les homéomorphismes f : ∂D→ ∂Dinduits sur le bord du disque par un tel T quasi-conforme sontcaractérisés par le fait que l’image directe λ′ = λ ◦ f de la mesurede Lebesgue λ sur ∂D est doublante (Beurling & Ahlfors 1956).


Mesures doublantes

Exemple.– Soit Ω := {0, 1}N le full shift binaire :pour tout mot binaire w on note [w ] le cylindre des suites deΩ dont le préfixe est w) ;la topologie produit de Ω est donnée par la distance binaire

(ξ, ξ′) 7→ dbin(ξ, ξ′) := 2−min{k≥0 ; ξk 6=ξ′k}.

Soient 0 ≤ p0, p1 ≤ 1 avec p0 + p1 = 1 et ν la mesure deBernoulli (on Ω) de paramètre (p0, p1), i.e. pour toutξ0 · · · ξn−1 ∈ {0, 1}N,

ν[ξ0 · · · ξn−1] = pξ0 · · · pξn−1


Mesures doublantes

Proposition

Si 0 < p0, p1 < 1, alors ν est doublante sur Ω.

Preuve. – Si 1/2n+1 < r ≤ 1/2n, alorsB(ξ, r) = [ξ0 · · · ξn−1] et B(ξ, 2r) = [ξ0 · · · ξn−2]

et donc

µ(B(ξ, 2r)

)=

1

pξn−1µ(B(ξ, r)

)≤ max

{1

p0,

1

p1

}µ(B(ξ, r)

).


Mesures doublantes

Contre-exemple.– Soit T = R/Z = [0 ; 1[ ; tout mot binaire w estassocié à un intervalle dyadique I (w) (semi semi-ouvert à droite) :ainsi, I (◦/) = [0 ; 1[ avec l’induction

I (εw) = I (w)/2 + ε/2.

On considère maintenant que ν est le modèle euclidien de lamesure de Bernoulli (p0, p1) sur T, i.e.

ν(I (ξ0 · · · ξn−1)

)= pξ0 · · · pξn−1 .

Proposition

Si 0 < p0 < p1 alors ν n’est pas doublante sur T.


Mesures doublantes

10...0110...00

x = 10...001...11000...

01...11wn

0wn

10...01wn

01...111wn

wn

wn

10...00wn

wn+1 = 10...001...1wn

Preuve (sketch). – On définit une suite binaireξ = ξ0ξ1 · · · ∈ {0, 1}N par induction :

w0 = 0 ;

si wn = ξ0 · · · ξan−1 (an := |wn|) alors wn+1 = wn10an1an!Soit x ∈ T de développement binaire ξ : alors, pour

rn := 1/22an+1

on a

B(x , rn) ≈I (wn10an)I (wn01

an1) ∪ I (wn10an) ∪ I (wn10an−110) ≈ B(x , 2rn)


Mesures doublantes

10...0110...00

x = 10...001...11000...

01...11wn

0wn

10...01wn

01...111wn

wn

wn

10...00wn

wn+1 = 10...001...1wn

En notant simplement µ(m) = µ(I (m)), il vient :

ν(B(x , 2rn)

)ν(B(x , rn)

) ≈ µ(wn01an1) + µ(wn10an) + µ(wn10an−110)µ(wn10an)

=p0µ(wn1)p

an1 + µ(wn1)p

an0 + µ(wn1)p

an0 p1

µ(wn1)pan0

= p0

(p1p0

)an+ 1 + p1.

Si p1 > p0 > 0 alors ν n’est pas doublante.


CHAP II

Mesures self-conformes


Mesures self-conformes

Définition

Soit T : X → X une transformation expansive et r0 son horizond’injectivité : µ ∈ P(X ) est dite T -conforme (i.e. self-conformepour T ) s’il existe une fonction continue φ : X → R t.q.

|A| < r0 =⇒ µ(T (A)) =∫A

µ(dx)

exp(φ(x)). (2)

on dira aussi que µ est (T , exp(φ))-conforme.

Rq. Le cas typique de T : X → X est un répulseur conformeT : J → J, mais pas seulement : en particulier T n’est pasforcément conforme... (ambigüıté de dénomination).


Propriété d’échelle des mesures self-conformes

Maintenant on considère :

r0 l’horizon d’injectivité de T ;µ une mesure (T , exp(φ))-conforme ;R := {R1, . . . ,RM} (avec |Ri | ≤ r0) une partition de Markov ;la matrice d’incidence (i , j) 7→ A(i , j) ∈ {0, 1} t.q.

A(i , j) = 1 ⇐⇒ Rj ⊂ T (Ri ) ;ΣA est le sous-shift de {1, . . . ,M}N, associé à A, i.e.

ξ0ξ1 · · · ∈ ΣA ⇐⇒ A(ξk , ξk+1) = 1, ∀k ≥ 0.Pour tout i = 1, . . . ,M, Ui ⊃ Ri est un ouvert pour lequelTi : Ui → T (Ui ) réalise un difféomorphisme et

ti : T (Ui )→ Uidénote la branche contractive inverse de Ti



On peut toujours supposer Ui suffisamment petit t.q.

A(i , j) = 1 =⇒ Uj ⊂ T (Ui ) ; (3)si ξ = ξ0ξ1 · · · ∈ ΣA alors A(ξn−1, ξn) = 1 et Uξn ⊂ T (Uξn−1).

Proposition

Sous les conditions précédentes, on a les enchainements

· · · T (Uξn)tξn−→Uξn ⊂ T (Uξn−1)

tξn−1−→ Uξn−1 ⊂ T (Uξn−2)tξn−2−→ · · ·

· · ·tξ1−→Uξ1 ⊂ T (Uξ0)

tξ0−→Uξ0



Proposition

Pour tout ξ0ξ1 · · · ∈ ΣA et tout entier n ≥ 1

R[ξ0 · · · ξn−1] := tξ0 ◦ · · · ◦ tξn−1(T (Rξn−1)

)et

U[ξ0 · · · ξn−1] := tξ0 ◦ · · · ◦ tξn−1(T (Uξn−1)

)est un voisinage ouvert de R[ξ0 · · · ξn−1] et le difféomorphisme

tξ0 ◦ · · · ◦ tξn−1 : T (Uξn−1)→ U[ξ0 · · · ξn−1]

est la branche locale inverse de T n.



Proposition

Soit T : X → X une transformation expansive possédant unepartition de Markov R = {R1, . . . ,RM} (et |Ri | < r0) ; alors µ est(T , exp(φ))-conforme si et seulement si

∀i = 1, . . . ,M, A ⊂ Ri =⇒ µ(T (A)) =∫A

µ(dx)

exp(φ(x))(∗)

Preuve (sketch). – La (T , exp(φ))-conformité de µ implique (∗),car |Ri | < r0. Réciproquement, si (∗) est satisfaite alors,

|A| < r0 ⇒ µ(T (A)) =∑p

i=1µ(T (A ∩ Ri )

)=∑p

i=0

∫A∩Ri

µ(dt)

exp(t)=

∫A

µ(dt)

exp(φ(t)).

(Rq. Le fait que µ(∂Ri ) = 0 n’a rien d’évident !)



Définition

Soit R = {R1, . . . ,RM} (et |Ri | < r0) une partition de Markovpour T : X → X et pour i = 1, . . . ,M soit Ui un petit voisinageouvert de Ri et ti : T (Ui )→ Ui = U[i ] la branche inverse de Tcorrespondante ; alors pour f : X → R borelienne et ξ ∈ ΣA,

f (ξ0 · · · ξn−1 � x) =

{f(tξ0 ◦ · · · ◦ tξn−1(x)

)si x ∈ T (U[ξn−1])

0 si non.

Lemme

Étant donnés w et m deux mots tels que wm soit ΣA-admissible,

f (wm � x) = f (w � (m � x)).



Comme pour A ⊂ Ui on a 1T (A)(x) = 1A(i � x), la caractérisationde la conformité devient :

A ⊂ Ui =⇒∫

1A(i � x)µ(dx) =∫

1A(x)µ(dx)

exp(φ(x))

ce qu’on peut étendre aux fonctions f : X → R par

Supp(f ) ⊂ Ui =⇒∫

f (i � x)µ(dx) =∫

f (x)µ(dx)

exp(φ(x))

et en remplaçant x 7→ f (x) par x 7→ f (x) exp(φ(x)), il vient :

Supp(f ) ⊂ Ui =⇒∫

f (i � x) exp(φ(i � x)

)µ(dx) =

∫f (x)µ(dx).

Soient 1 ≤ i , j ≤ M t.q. A(i , j) = 1 et f : X → R continue desupport dans U[ij ] ; comme U[ij ] ⊂ U[i ]) la fonction x 7→ f (i � x) ason support dans U[j ] et



∫f (ij � x) exp

(φ(ij � x) + φ ◦ T (ij � x)

)µ(dx)

=

∫f (i � (j � x)) exp

(φ(i � (j � x))

)exp

(φ(j � x)

)µ(dx)

=

∫f (i � x) exp

(φ(i � x)

)µ(dx)

=

∫f (x)µ(dx) ;

par induction on obtient :



Proposition (propriété d’échelle des mesures self-conformes)

Soit T : X → X une transformation markovienne expansived’horizon d’injectivité r0 et dont le taux de contraction maximalest α ; alors les propositions suivantes sont équivalentes :

(i) : µ est (T , exp(φ))-conformal ;

(ii) : µ est (T n, exp(Snφ))-conforme, pour tout n ≥ 1, i.e.

|A| ≤ r0αn−1 =⇒ µ(T n(A)) =∫A

µ(dx)

exp(Snφ(x))

où par définition

Snφ(x) =n−1∑k=0

φ(T n(x)

).



Pour φ : X → R continue on pose :

Varn(φ) := max{|φ(x)− φ(y)| ; |x − y | ≤ r0αn

}Soient x , y t.q. |x − y | ≤ r0αn : alors,

0 ≤ ∀k ≤ n⇒ |T k(x)− T k(y)| ≤ r0αn−k

et par suite :

−Varn(φ) ≤ φ(x)− φ(y) ≤ Varn(φ)

−Varn−1(φ) ≤ φ(T (x))− φ(T (y)) ≤ Varn−1(φ)...

−Var1(φ) ≤ φ(T n−1(x))− φ(T n−1(y)) ≤ Var1(φ)



Pour φ : X → R continue on pose :

Varn(φ) := max{|φ(x)− φ(y)| ; |x − y | ≤ r0αn

}Soient x , y t.q. |x − y | ≤ r0αn : alors,

0 ≤ ∀k ≤ n⇒ |T k(x)− T k(y)| ≤ r0αn−k

et par suite :

1

exp(Varn(φ)

) ≤ exp (φ(x)exp

(φ(y)

) ≤ exp (Varn(φ))1

exp(Varn−1(φ)

) ≤ exp (φ(T (x)))exp

(φ(T (y))

) ≤ exp (Varn−1(φ))...

1

exp(Var1(φ)

) ≤ exp (φ(T n−1(x)))exp

(φ(T n−1(y))

) ≤ exp (Var1(φ))Eric OLIVIER : Porquerolles : septembre 2013 Mini cours sur les mesures de Gibbs I


d’où (en multipliant les inégalités) on déduit

1

Kφ≤ 1

Kφ(n)≤ exp(Snφ(x))

exp(Snφ(y))≤ Kφ(n) ≤ Kφ

avec

Kφ(n) = exp(∑n

k=1Vark(φ))≤ exp

(∑∞k=1Vark(φ)

)=: Kφ

La continuité de φ : X →]−∞ ; 0[ entrâıne que Varn(φ)→ 0,pour n→ +∞ et par suite (Lemme de Cesàro),

limn→+∞

1

nlogKφ(n) = 0

Définition

φ est à variations sommables ssi∑∞

k=1Vark(φ) < +∞.



Corollaire

Si φ est à variation sommable et µ est (T , exp(φ))-conforme, alors

(i) : pour |A| < r0αn−1 et x ∈ A

µ(T n(A)

)Kφ

≤ µ(A)exp(Snφ(x))

≤ µ(T n(A)

)Kφ

(ii) : Si R = {R1, . . . ,RM} est une partition de Markov (avec|Ri | < r0), alors µ est de support plein sur X et

min{µ(Ri )}Kφ

≤µ(Rn(x)

)exp

(Snφ(x)

) ≤ max{µ(Ri )}Kφ.


Opérateur de Ruelle

Soit P := {P1, . . . ,PM} une partition de l’unité continue, avecPi : X → [0 ; 1] et Supp(Pi ) ⊂ Ui .

Si µ est (T , exp(φ))-conforme, alors pour tout f ∈ C(X )∫Pi (i � x)f (i � x) exp

(φ(i � x)

)µ(dx)=

∫Pi (x)f (x)µ(dx) (∗∗)

Définition (opérateur de Ruelle)

L’opérateur de Ruelle Lφ : C(X )→ C(X ) (relativement à P) est

Lφ[f ](x) :=∑M

i=1Pi (i � x)f (i � x) exp

(φ(i � x)

).

En sommant (∗∗) pour i = 1, . . . ,M,∫Lφ[f ](x)µ(dx) =

∫ ∑Mi=1

Pi (x)f (x)µ(dx) =

∫f (x)µ(dx).


Opérateur de Ruelle

Grâce au Théorème de représentation de Riesz, l’adjoint de Lφ estl’opérateur L∗φ : F(X )→ F(X ) (agissant sur l’espace F(X ) desmesures boreliennes signées finies) et défini en posant :

∀f ∈ C(X ),∫

f (x)L∗φ[µ](dx) =∫Lφ[f ](x)µ(dx),

Proposition

µ est (T , exp(φ))-conforme ssi L∗φ[µ] = µ.


Retour sur les mesures doublantes

Théorème

Soit T : X → X un répulseur conforme, d’horizon d’injectivité r0 etde coefficient de contraction minimal α et µ une mesure(T , exp(φ))-conforme, pour φ : X → R continue ; si φ est àvariation sommable alors µ est doublante.

Nous adapterons la preuve de Pesin et Weiss donnée dans

[PW97] Y. Pesin & H. Weiss (1997), A multifractal analysis forequilibrium measures for conformal expanding maps and Moran-likegeometric construction, J. Stat. Phys.

en utilisant leur construction de partition de Markov spéciale.



Preuve (sketch). – Soit µ une mesure de probabilité sur X , t.q.

µ est (T , exp(φ))-conforme pour φ : T→ R continue ;φ est à variations sommable (=⇒ 0 < Kφ < +∞) ;

Nous utilisons [PW97 Theorem A2] assurant l’existence

de constantes C =C1C2≤ 1/2 avec

{0 < C2 < 1

0 < C1 ≤ C2/2d’un entier κ ≥ 1 ;

et pour lesquels ∀x0 ∈ X et 0 < ∀ρ ≤ C2r0 (≤ r0), il existe unepartition de Markov R0 = {R1, . . . ,RM} pour Tκ t.q.

(i) : ∀i = 1, . . . ,M, |Ri | ≤ ρ (ii) : B(x0,Cρ) ⊂ R0(x0)



Soient

x0 ∈ X ;0 < r ≤ C1r0/2 (< r0) ;R0, partition de Markov pour x0 et ρ = 2r/C (< C2r0 < r0) ;

alors on a |Ri | ≤ ρ (∀i = 1, · · · ,M) et x0 est approximativementcentré dans R0(x0), i.e.

B(x0,Cρ) = B(x0, 2r) ⊂ R0(x0)

Rappelons que Rn :=∨n

k=0 T−k(R0) ce qui permet d’écrire

|R0(x0)| ≤ ρ = 2r/C =⇒ |Rn(x0)| ≤ 2rαn/C

2rαn/C ≤ r ⇐⇒ n ≥ log(2C )logα

:= N0

Ainsi, il est toujours vrai que |RN0(x0)| ≤ r : finalement

RN0(x0) ⊂ B(x0, r) ⊂ B(x0, 2r) ⊂ R0(x0)



Par suite µ(B(x0, 2r)

)≤ µ

(R0(x0)

)entrâıne que

µ(B(x0, 2r)

)≤µ(R0(x0)

)eSκφ(x0)

· eSκφ(x0)

eSκ+N0φ(x0)· e

Sκ+N0φ(x0)

µ(RN0(x0)

) · µ(RN0(x0))soit encore (puisque µ

(RN0(x0)

)≤ µ

(B(x0, r)

))

µ(B(x0, 2r)

)≤µ(R0(x0)

)eSκφ(x0)

· 1eSN0φ(T

κ(x0))· e

Sκ+N0φ(x0)

µ(RN0(x0)

) · µ(B(x0, r)) (∗)Par self-conformité de µ, il vient d’une part

µ(Tκ(R0(x0))

)=

∫R0(x0)

µ(dx)

eSκφ(x)≥ 1

Kφ·µ(R0(x0)

)eSκφ(x0)

soitµ(R0(x0)

)eSκφ(x0)

≤ Kφ · µ(Tκ(R0(x0))

)(∗∗)



et d’autre part,

µ(Tκ(R0(x0))

)= µ

(Tκ+N0(RN0(x0))

)=

∫RN0 (x0)

µ(dx)

eSκ+N0φ(x)≤ Kφ ·

µ(RN0(x0)

)eSκ+N0φ(x0)

d’où

eSκ+N0φ(x0)

µ(RN0(x0)

) ≤ Kφ · 1µ(Tκ(R0(x0))

) (∗ ∗ ∗)et par (∗), (∗∗) et (∗ ∗ ∗) on conclut que

µ(B(x0, 2r)

)≤

K 2φ

exp(N0 inf(φ)

)µ(B(x0, r))(φ étant continue, 0 < eN0 inf(φ) ≤ eSN0φ(x0))
