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Métodos Numéricos Resolução de Sistemas de Equações Lineares Renato S. Silva, Regina C. Almeida

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Métodos NuméricosResolução de Sistemas de Equações

LinearesRenato S. Silva, Regina C. Almeida

Sistemas de Equações Lineares

Os sistemas lineares de equações (SELAS) aparecemem muitos - quase todos - problemas de modelagemcomputacional em engenharia e ciências!

O que é um sistema de equações lineares?

Resolução de várias equações “lineares”simultâneamente

Geoma/03 – p.1/52

Exemplo

3 equações e 3 incógnitas: � � � � � e � �

� � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � �

Definindo:

� � � � � � � � � � � equações

� � � � � � � � � � � � coeficientes que multiplicam uma

incógnita específica em cada linha

linha/coluna

� � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � �

Geoma/03 – p.2/52

Definições

Coeficientes � � � :

� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

onde

� � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � �

não dependem de � � � sistema linear de equações

Definindo

�� �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

onde

� � � �

� � � �

� � � �

Geoma/03 – p.3/52

Notação Matrix �Vetor

� � � � ou

� � �� �� ��

ou

� � � � ou

onde

vetor deincógnitas:

� ���

� � �� �

��� �

vetor do ladodireito:

� ���

� � �� �

���

ematriz decoeficientes:

� ���

� � � � �

� � � � � � � �

� � � � � � � ����

Geoma/03 – p.4/52

SELAS

Sistema com � equações e � incógnitas:

vetor de

incógnitas:

vetor do

lado direito:

matriz de

coeficientes:

� ���������

� �� �

...

� ���������

� ���������

� �� �

...

� ���������

� ���������

� � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � �

......

. . ....

� � � � � � � � � � � ���������

Geoma/03 – p.5/52

SELAS

Reescrevendo o sistema

� � � �

�����

� � � � �

� � � � � � � �

...... . . . ...

�� � � � � � �

������

�����

� � �

...��

������

������

� � �

...

��

������

Geoma/03 – p.6/52

SELAS

Até aqui

é uma matriz com � linhas e � colunas(matriz quadrada).

Se � � � �� � � � � � � �

Se � � � �� � � � � � � �

Se

é uma matriz com � linhas e � colunas (matrizretangular).

Geoma/03 – p.7/52

SELAS

Três situações podem ocorrer na resolução de� � � �:

existe uma única solução;existem infinitas soluções;não existe solução.

Geoma/03 – p.8/52

SELAS

Exemplo 1:

� ��

� �

� ��

� ����

� � � � � � � �

� � � � � � � �

� � � � �

� � � �

é não-singular e existe um único vetor solução � dadopor

� ��� � �

Geoma/03 – p.9/52

SELAS

Exemplo 2:

� ��

� �

� ��

� ����

� � � � � � � �

� � � � � � � �

� � � � �

� � � �

é singular e existem infinitos vetores-solução � dadospor

� ��� � �

Geoma/03 – p.10/52

SELAS

Exemplo 3:

� ��

� �

� ��

� ����

� � � � � � � �

� � � � � � � �

� �

Não existe solução � pois a segunda equação não podeser satisfeita!

Geoma/03 – p.11/52

SELAS Triangulares

Exemplo:

������ �

� � � � � � � � � � � � �

� � � � � � �

� � � � �

ou

����

� � �

� � �

� � �

����

����

� �� �� �

����

�����

� �

����

uma equação pode ser trivialmente resolvida: a última � � � ��

agora que � � é conhecida, podemos resolver a segunda equação:

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

finalmente, � � pode ser determinado de modo análogo:

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

Geoma/03 – p.12/52

SELAS Triangulares

Princípio básico: retrossubstituição (back-substitution)

precisamos que � � �� � � (denominados pivots)

o mesmo acontece quando

é triangular superior:substituição

Geoma/03 – p.13/52

Método de Eliminação de Gauss

Objetivo: desenvolver um procedimento automático, umalgorítmo, para a obtenção da solução do conjunto deequações.

Princípio do Método: Como os sistemas triangularessão fáceis de resolver, transformaremos o sistema linearem um outro triangular equivalente.

Geoma/03 – p.14/52

Exemplo 1

Considere o sistema 1

������ �

� � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � �

� � � � � � � � � �

que equivale ao sistema 2

������ �

� � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � �

troca entre a primeira e segunda linhas

vetor solução não se altera

Geoma/03 – p.15/52

Exemplo 1

Matrizes e vetores associados são diferentes

para o sistema 1 tem-se

��

� � �

� � �

� � �

���

��

� � �� �

��� �

��

��� �

���

e para o sistema 2

��

� � �

� � �

� � ����

��

� � �� �

��� �

��

��� �

���

Geoma/03 – p.16/52

Exemplo 2

Seja o sistema 1

������ �

� � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � �

� � � � � � � � � �

Substituindo a segunda equação pela soma da primeira equação com a segundaequação obtém-se o seguinte sistema equivalente

������ �

� � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � �

Geoma/03 – p.17/52

Exemplo 2

Eles são equivalentes pois somando a primeira equação que é satisfeita

� � � � � � � � � � � � � � � com a segunda

� � � � � � � � � � � � que também é satisfeitaobtém-se uma outra em substituição, que também é verificada automaticamente, isto é

� � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � ��

O sistema modificado passa a ser

����

� � �

� �

����

����

� �� �� �

����

�����

���

���� �

com nenhum efeito sobre a solução.

Geoma/03 – p.18/52

Exemplo 3

Agora, se antes de somarmos as duas equações, asegunda equação for multiplicada por �

, isto é,

� � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � �

obtém-se o seguinte sistema equivalente

��

� � �

� � � �

� � �

���

��

� � �� �

��� �

��

��� �

���

Geoma/03 – p.19/52

Operações Matriciais Elementares

Operações elementares não alteram a solução dosistema.

permutações de linhas / colunas

combinações lineares de linhas / colunas

Método de Gauss: transformar o sistema original em umsistema triangular através de operações elementares.

Geoma/03 – p.20/52

Exemplo

�����

� � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � �

será denotado por

� � � �

� � � �

� � � � �

Geoma/03 – p.21/52

Exemplo

PASSO 1: substituir a

� � � � � � por

� � � � � � ��� �� � � � �

� � � �

� �

� � � �

� � �

isto é equivalente a

� �

� � � �

� �

� � � �

� � � �

� � � �

� � �

� � � �

� � �

Geoma/03 – p.22/52

Exemplo

A matriz que pré-multiplica o sistema,

, é

� � � � � �� com � �

��

�� � �

��� e � �

��

���

���

Geoma/03 – p.23/52

Exemplo

Assim, para transformar

� � � �

� � � �

� � � � �

em

� � � �

� � � �

� � � �

fazemos ...

Geoma/03 – p.24/52

Exemplo

PASSO 1:

� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �

� � � �

� � �

� � � �

� � �

� � � � �

equivalente a

� �

� � � �

� � � �

� � � �

��

� � � �

� � � �

� � �

� � � �

� � �

� � � � �

� � � �

��

� ��

Geoma/03 – p.25/52

Exemplo

� ��

� � � � � ��

� � � onde

� � � � �� � � �

com �� � �

��

�� � �

� � �

���

Geoma/03 – p.26/52

Exemplo

O novo sistema é

� � ��

� � � ou

� � � � Para transformar

� � � �

� � � � �

� � � � �

em� � � �

� � � �

� � � �

fazemos ...

Geoma/03 – p.27/52

Exemplo

PASSO 2:

� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �

� � � �

� � �

� � � � �equivalente a

� �

� �

� � �

� � � �

� � �

� � � � �

� � � �

� � �

� � � � �

� � �� � � � � � � � �

� � � � � onde

� � � � � �� � � � � � com �� � ��

����

���

����

Geoma/03 – p.28/52

Exemplo

PASSO 3: O sistema já é triangular

� � retrossubstituição

Eliminação de Gauss é equivalente a � ��

transformações gaussianas sucessivas, isto é,multiplicações com as matrizes da forma

�� � � � �

� � � � � �, onde as primeiras

componentesde �

� � �

são nulas.

Geoma/03 – p.29/52

Fatoração LU

Só considerando o lado direito do sistema:

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � �

� � � �� � � �� � � ��

� � última

� � � ��

é uma matriz triangular superior

Em cada passo obtém-se:

� � � ��� � �� � � � Assim, com

� � obtém-se

� � � � ��

� � � ��

� � ��

� � � ��

� � ��

� � ��

� � � �

� � � �� � � �� � � �� � � �

� � �� � �

� � � �

� � �

� � � �

Geoma/03 – p.30/52

Fatoração LU

Decomposição LU:

� � � � com

� � � ���

� � �� � � �� � � �

� � �� � �

note que

� � �� � � � � �� � � � � �� � � � � � � �� � � � � ��

considerando somente as primeiras duas matrizes

� � � � ���

� � �� �� � � �� � � � � �� � � � �� � � � � ��

� � � �� � � � � � � �� � � � � �

genericamente

� � � � � ��

� � �� � � �

� � �� � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

Geoma/03 – p.31/52

Uma dificuldade ...

Considere novamente a eliminação de Gauss para o sistema linear:

������ �

� � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � �

� � � � � � � � � � �

ou� � � �

� �

.

� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �

� � � �

� � � �

� �

� � � �

� � � �

� � � �

Geoma/03 – p.32/52

Uma dificuldade ...

� � termo � � � é zero!

� � � �

� � � � �

� � � � �

Solução: trocar (permutar) linhas 2 e 3:

� � � �

� � � � �

� � � � �

Geoma/03 – p.33/52

Caso mais geral

� � � � � � �

� � � � � � �

�����������������

� � � � � � � �

� � �

...

� � � � � � � �

� � ......

... � � � � � �

� � ...

�����������������

� � pivoteamento parcial: permutar

� � � � � � com

� � � � � � de modo que

� � � � � � � � �

� � � � � �� � � � �

� � algoritmo mais estável!

Geoma/03 – p.34/52

Sistemas Tridiagonais

Suponha que é tridiagonal:

� ��������

� � � � � �

� � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � �

� � � � � � � � ���������

muitas operações podem ser evitadas

armazenamento também pode ser reduzido

Geoma/03 – p.35/52

Matrizes Esparsas

Frequentemente

é esparsa, � é grandeeirregularmente estruturada!

Matrizes esparsas: matrizes que permitem utilizartécnicas especiais para tirar vantagem de sua estrutura(quando existe) e do grande número de zeros.Tirar partido da esparsidade ...

computar economicamente sem armazenar os zeros.

Geoma/03 – p.36/52

Matrizes Esparsas

Geoma/03 – p.37/52

Matrizes Esparsas

Geoma/03 – p.38/52

Matrizes Esparsas

Geoma/03 – p.39/52

Matrizes Esparsas

Geoma/03 – p.40/52

Métodos Diretos

Variações do Método de Eliminação de Gauss

na ausência de erros de arredondamento fornecema solução exata de

� � � �

Geoma/03 – p.41/52

Métodos Iterativos

Computar uma seqüência de iterações que convergem para a solução desejada

Dada uma aproximação ��

, o método iterativo gera uma seqüência

� � � ��� � � �

que converge para a solução desejada � � � � , onde �� � �

é calculado facilmentede �

não reproduzem a solução exata após um número finito de passos

decrescem o erro em certa quantidade em cada passo (iteração)

processo para quando o erro atinge uma tolerância pré-estabelecida

erro final depende do número de iterações, das propriedades do método e daspropriedades do sistema linear

Geoma/03 – p.42/52

Méts. Diretos � Méts. Iterativos

Métodos Diretos

mais eficientes para matrizes de pequeno porte ( �

pequeno)

Métodos Iterativos

mais eficientes para sistemas esparsos de grandeporte ( � grande)

Geoma/03 – p.43/52

Métodos Iterativos Básicos

Jacobi

Gauss-Seidel

Sobre Relaxação Sucessiva - SOR

SSOR

Multigrid

...

� � Gradiente Conjugado

� � GRMES

Geoma/03 – p.44/52

Método de Jacobi

Considere o sistema

�����

� � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � com

� ���

� � � � �

� � � � � � � �

� � � � � � � ���� e

� ���

� � �� �

��� �

Geoma/03 – p.45/52

Método de Jacobi

Com � � � � � � � � � � � � � � � � � � e conhecida uma

aproximação inicial �� � ��� � ��� arbitrária, obtém-se

�����

� � � � � �� � � ��� � � � � �� � � ��� �� �� � �

� � � � �� � � � ��� � �

� � � � � � �� � � �� � � � � �� � � ��� �� �� � �

� � � � �� � � � � ��� � � �

� � � � � � �� � � �� � � � � �� � � ��� �� �� � �

� � � � � � � � � ��� � � �

classe de métodos que podem ser escritos na forma

� � � � � � � � �

Geoma/03 – p.46/52

Método de Jacobi

� � � � � � � � �, com

� ���

� � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � �

��� e � �

��

� � �

� � � � � �

� � � � � ���� �

linear: �� � � � � � ��

� � � � � ���

� �

estacionário:

é constante

primeira ordem (convergência)

alto grau de paralelismo: ��

pode ser calculadaindependentemente uma da outra

Geoma/03 – p.47/52

Método de Gauss-Seidel

No Método de Jacobi:

�����

� � � � ��� � � � ��� � �

� � � � � ��� � � � � ��� � � �

� � � � � �� � � � � ��� � � �

� �� obtido de� � �� e ���

� � � � � e ���

� � � � � e ���

Motivação: já que já temos uma aproximação para � �

melhor que �� � porque não usá-la para determinar � � ?

Geoma/03 – p.48/52

Método de Gauss-Seidel

Numa iteração de Gauss-Seidel:

� obtido de� � �� e ���

� �

� � � � e ���

� �

� � � � e � �

pode-se reescrever o método como

� � � � � � � � � � � � �

Geoma/03 – p.49/52

Esquemas de Relaxação

Baseados na decomposição

� � �

� � �

� � � � � � � �

� �����

� � �

� � � � � �

� � � � � � � � ����� �

� �����

� � � � � � � � �

� � � � � �

� � �

����

� �����

� � � � �

� � � � �

� � � � �����

Geoma/03 – p.50/52

Esquemas de Relaxação

Iteração de Jacobi:

� � � � � � � � � � � � � �Iteração de Gauss-Seidel

� � � � � � � � � � � � � �

Nomenclatura geral:

� � � � � � � � �

onde

Jacobi:

� � � � � � � � � � � � � � � �

Gauss-Seidel:�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

Geoma/03 – p.51/52

Convergência

Teorema: Uma condição necessária e suficiente para ométodo iterativo estacionário �

� � � � � � � � convergirde uma aproximação inicial arbitrária �

é que

� � � � � � � � � � � �� � � � � �� onde �� � �

é o raio espectral de

Geoma/03 – p.52/52