mÉtodos

MÉTODOS NUMÉRICOS I

PROF. RICARDO RODRÍGUEZ ARANA

REGLAS DEL JUEGO Respetar la clase.

Si llegan tarde, no hagan ruido. Poner el celular en vibración y salirse a hablar.

Tareas. Tareas prácticas (programas). Se deberán enviar a tiempo a [email protected]

Exámenes. 2 Parciales. Final. Se exenta con 8.5 en parciales y asistencia.

Participación en clase. Se tomará en cuenta en caso de que no les vaya bien en los

exámenes. Asistencia.

Voy a pasar lista, pero no es mandatorio asistir a clase para aprobar la materia.

Se tomará en cuenta en caso de que no les vaya bien en los exámenes.

OBJETIVO DE LA MATERIA EL ALUMNO CONOCERÁ LAS TÉCNICAS NUMÉRICAS MÁS

IMPORTANTES PARA LA SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES Y LAS APLICARÁ A PROBLEMAS PRÁCTICOS MEDIANTE LA ELABORACIÓN DE SISTEMAS COMPUTACIONALES.

UNIDAD 1. ANÁLISIS DEL ERROR Objetivo:

El alumno conocerá los errores típicos en la utilización de los métodos numéricos y las técnicas para minimizarlos.

Número de horas: 14

Temas: 1.1 Introducción. 1.2 Errores de redondeo: aritmética del punto flotante,

errores de truncamiento, absoluto y relativo. 1.3 Propagación del error en distintas operaciones

aritméticas. 1.4 Orden de convergencia. 1.5 Herramientas disponibles para el análisis numérico.

(Matlab, Maple, Matemática, etc.)

1.1 INTRODUCCIÓN

¿Qué son los métodos numéricos? ¿Qué es el análisis numérico? ¿Porqué existen los métodos

numéricos?

1.1 INTRODUCCIÓN Definición de Métodos Numéricos:

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas de tal forma que sean resueltas con operaciones aritméticas. Aunque hay muchos tipos de métodos numéricos todos comparten una característica común, llevan cabo un buen número de tediosos cálculos aritméticos. (Chapra).

¿Cuándo acudimos a los métodos numéricos?

Si un problema de cálculo (científico) tiene una solución analítica que es :

imposible (p. ej. despejar tan x = x + 2), o impracticable (p. ej. sistema lineal de orden 80)

El método numérico aporta una solución numérica estimada, de cierta precisión limitada, que, por lo tanto, lleva un error asociado, que es importante analizar

1.1 INTRODUCCIÓN

Definición de Análisis Numérico:Si los métodos numéricos son los algoritmos (conjuntos detallados y secuenciados de operaciones) que nos llevan hasta las soluciones estimadas de los problemas, el estudio de éstos y del análisis de errores que pueden llevar asociados constituye el Análisis Numérico.

1.1 INTRODUCCIÓNUna de las escrituras matemáticas más antiguas es la tableta babilónica YBC 7289, la cual da una aproximación numérica en base sexagesimal, la longitud de la diagonal en un cuadrado de la unidad, es decir, la raíz de 2.

El poder computar los lados de un triángulo (y por lo tanto, pudiendo computar raíces cuadradas) es extremadamente importante, por ejemplo, en carpintería y construcción. El análisis numérico moderno no busca respuestas exactas, porque las respuestas exactas son a menudo imposibles de obtener en la práctica. En su lugar, mucho del análisis numérico se refiere a obtener soluciones aproximadas manteniendo límites razonables de error.

1.1 INTRODUCCIÓNEl análisis numérico precede la invención de computadoras modernas por muchos siglos. La interpolación linear era utilizada ya hace más de 2000 años.

Grandes matemáticos se preocuparon por el análisis numérico, como es evidente por los nombres de algunos algoritmos importantes como el método de Newton, eliminación Gausiana, interpolación polinómica de Lagrange, o el método de Euler.

Para facilitar cómputos a mano, fueron creados libros grandes con fórmulas y tablas de datos tales como puntos de la interpolación y coeficientes de función. Usando estas tablas, calculadas a menudo hasta con 16 lugares decimales o más para algunas funciones, una podía buscar valores para sustituir en fórmulas dadas y para lograr estimaciones numéricas muy buenas de algunas funciones.

La calculadora mecánica también fue desarrollada como herramienta para el cómputo manual. Estas calculadoras evolucionaron en las computadoras electrónicas en los años 40, y entonces se hizo evidente que estas computadoras eran también útiles para propósitos administrativos.

La invención de la computadora también influenció el campo del análisis numérico, dado que hizo posible que cálculos más largos y más complicados podrían ser hechos.

1.1 INTRODUCCIÓN

Ejemplo de Métodos directos vs. Métodos iterativos:

Método directo:3x3 + 4 = 283x3 = 24x3 = 8X = 2

Método iterativo (bisección):

f(x) = 3x3 -24; a = 0, b = 3a b midf(mid)

0 3 1.5 -13.875

1.5 3 2.2510.17...

1.5 2.25 1.875 -4.22...

1.875 2.25 2.06252.32...

1.1 INTRODUCCIÓN Usos prácticos del análisis numérico:

Interpolación, extrapolación y regresión. Solución de ecuaciones y sistemas de

ecuaciones. Solución de eigenvalores. Optimización. Cálculo de integrales. Solución de ecuaciones diferenciales. Etc.

1.2 Errores de redondeo: aritmética del punto flotante, errores de truncamiento, absoluto y relativo.

¿Porqué existe el error de redondeo en las computadoras?

Porque la aritmética de punto flotante, que es la que utilizan las computadoras, NO contiene todos los números reales.

Pero, ¿porqué no los contiene? Para contestar esta pregunta, veamos cómo se

representa un número en punto flotante: La representación en punto flotante está basada en la

notación científica. Ejemplo: +6.27 X 10-23

En la representación de punto flotante, el punto decimal NO se halla en una posición fija, sino que su posición se indica como una potencia de la base. Por esto se llama de punto flotante.

Un sistema de punto flotante se especifica por una base “β”, el largo de mantisa “t” y limites para los exponentes de “N” y “M”.


El sistema de punto flotante se representa por F(β,t,N,M). Esto es: Número de punto flotante tiene la forma

(normalizada): x= ± 0.d1…dt X βe

Donde: d1…dt es la mantisa, d1 ≠ 0 para x ≠ 0, 0 ≤ di ≤ β-1 para 2 ≤ i ≤ t, (β es la base) e es el exponente, el cual satisface -N ≤ e ≤ M.

NOTA:El cero se representa con mantisa cero y exponente cero.


Ejemplos: π = +0.31416 X 101

¿Qué sistema F(β,t,N,M) estamos usando?

Ahora bien, dado el sistema F(2,1,1,2), ¿cuántos números podemos representar?

Respuesta = 2 (signo) X 1 (posibles mantisas) X 4 (exponentes) + 1 = 9. (-10, -1, -0.1, -0.01, 0,

0.01, 0.1, 1, 10) Y con el sistema F(10,2,1,2), ¿cuántos números podemos representar? ¿cuál es el máximo?

Respuesta = 721;99; ¿Cuántas maneras hay de representar el cero?

Con esto nos damos cuenta que la cantidad de números a representar en forma de punto flotante es finita si t, N y M son finitos, es decir, no contiene todos los R.

También concluimos que si un número particular no se puede representar de manera exacta en punto flotante, debemos de utilizar el número más cercano para hacerlo.


La forma lógica de representar un número de punto flotante (simple precisión – palabra de 32 bits) en la computadora es, según el estándar IEEE 754:

F(2,23,127,128)* Se utilizan 32 bits. Es decir:

Signo: 1 bit, “+” o “–”Exponente: 8 bits -> 2

8 = 256 exponentes posibles

(-127 a 128)Mantisa: 23 bits -> 10000000000000000000000,…


La forma real de representar un número de punto flotante (simple precisión – palabra de 32 bits) en la computadora es, según el estándar IEEE 754:

F(2,23,126,127) Se utilizan 32 bits. Es decir:

Signo: 1 bit, “+” o “–”Exponente: 8 bits -> 2

8 = 256 exponentes posibles

(-126 a 127) (exponente sesgado, se utiliza el complemento a 2).

Mantisa: 23 bits -> 10000000000000000000000,…

¿Porqué son diferentes?


Casos especiales: e = 0 (00000000) e = 255 (11111111)

signo e m Represents

0 Todo ceros Todo ceros 0

1 Todo ceros Todo ceros -0

0 Todo unos Todo ceros ∞

1 Todo unos Todo ceros -∞

0 or 1 Todo unos No cero NaN


Ejemplo:1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Signo(s)

Exp (e) Mantisa (m)

Número = (-1)S X (1.m)2 X 2e-127

= -1 X (1.10100…)2 X 2(10100010)2-127

= -1 X 1.625 X 2162-127

= -1 X 1.625 X 235

= -5.5834 X 1010

TAREA 1:Hacer un programa que convierta números de base 10 a base 2 y de base 2 a base 10.


Definicion: Epsilon de la máquina.

Medida de exactitud de la máquina y se calcula por la diferencia entre 1 y el número siguiente que puede ser representado.


Ejemplo de Epsilon de la máquina (ЄM).

Supongamos una palabra de 10 bits (bit 1 = signo del número; bit 2 = signo del exponente; bits 3 al 6 = exponente; bits 7 al 10 = mantisa)

0000000000 = (1)10

0000000001 = (1.0001)2 = (1.0625)10

Є = 1.0625 – 1 = 2-4


Ahora bien, dado que NO es posible representar cualquier número de manera exacta en punto flotante, utilizamos el más cercano…

Si x es un numero real entonces fl(x) denota la representación de punto flotante de x en el sistema F(β,t,N,M).

Definimos: | x – fl(x) | como el error absoluto | x – fl(x) | / | x | como el error relativo, para x ≠ 0

Hay diferentes tipos de redondeo (es decir, error) en la representación de punto flotante:

Redondeo al más cercano Redondeo a mas infinito (por exceso) Redondeo a menos infinito (por defecto) Redondeo a cero (truncamiento)


Pero, ¿porqué necesitamos definir un error absoluto y un error relativo? El espacio entre 2 números de punto

flotante NO es constante. Esto es, la diferencia entre 0.10 X 21 y 0.11 X 21 es mucho menor que la diferencia entre 0.10 X 2127 y 0.11 X 2127

Si la diferencia entre los números es expresada como porcentaje del número, entonces las distancias son similares a través de todo el rango de valores y el error relativo debido al redondeo es comparable con números pequeños y números grandes.


Definición: Se dice que fl(x) aproxima a x, con t dígitos

significativos, si t es el entero positivo mas grande par el cual:

| x – fl(x) | < 5 x 10-t

|x|

Ejemplo:Para que fl(x) aproxime a 1000 con 4 dígitos significativos, debe satisfacer:

| 1000 – fl(1000) | < 5 x 10-4

|1000|


continuación…

| 1000 – fl(1000) | < 5 x 0.0001 = 0.0005

|1000|| 1000 – fl(1000) |

< 0.0005 X |1000| = 0.5

-0.5 < [1000 – fl(1000)] < 0.5

999.5 < fl(1000) < 1000.5

Ejercicios: Veamos esto para x=0.1, x=1, x=10, x=100, x= 10000x 0.1 1 10 100 1000 10000

máx fl(x) 0.10005 1.0005 10.005 100.05 1000.5 10005

Error absoluto 0.00005 0.00050 0.00500 0.05000 0.50000 5.00000

Error relativo 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000


Por lo que: |x| ≥ βe-1

Asi que:

| x – fl(x) | =

|σ(0.dt+1dt+2…)β X βe-t | ≤

|(0.dt+1dt+2…)β X βe-t |

|x| |σ(0.d1d2…)β X βe | | βe-1

|

|(0.dt+1dt+2…)β X βe-t | ≤

| βe-t | = β

1-t

| βe-1 | | βe-1

|


Por lo que concluimos el siguiente:TEOREMA: Sea x Є R y fl(x) su representación en punto

flotante en el sistema F(β,t,N,M). Si β-N ≤ |x| ≤ βM, entonces el error relativo en fl(x) como aproximación de x es a lo más cβ1-t, donde c = 1 para el caso de truncamiento y c = 0.5 para el caso de redondeo.


Error relativo y Є de la máquina.

Definición: El valor absoluto del error relativo real representado de un número será menor que el épsilon de la maquina.

Ejemplo: (Asumimos la palabra de 10 bits de la explicación del épsilon de la máquina)

(0.02832)10 ≈ (1.1100)2 X 2-5

= (1.1100)2 X 2-(0110)2 = 0.0274375

Єrel = | 0.02832 – 0.0274375 | / | 0.02832 | = 0.034472 < 2-4 = 0.0625

TAREA 2:Hacer un programa que calcule la suma ∑ 1/k para k=1,2,…; para el sistema F(10,3,9,9); ¿Cuánto vale la suma anterior para una aritmética exacta?; ¿Qué concluyen?


Definición: Un dígito significativo de un número aproximado es

cualquier dígito distinto de cero, o cualquier cero que se encuentre entre 2 dígitos significativos o que se utilice para indicar que se retiene una posición.

Ejemplos:

3.1415 ——> 5 dígitos significativos. 1.001 ——> 4 dígitos significativos. 1.5230 ——> 5 dígitos significativos. 1.523 ——> 4 dígitos significativos. 01.5230 ——> 6 dígitos significativos. 4000000 ——> 7 dígitos significativos. 4X106 ——> 1 dígito significativo.

TEMA 1.3

Propagación del error en distintas operaciones aritméticas.

1.3 Propagación del error en distintas operaciones aritméticas.

Propagación del error en la suma: Sean fl(x) y fl(y) la representación de “x” e “y” en el

sistema F(β,t,N,M). Definimos la suma como:

x + y = (fl(x)+Єx) + (fl(y)+ Єy)= (fl(x)+fl(y)) + (Єx+ Єy)

(x+y) – [fl(x)+fl(y)] = (Єx+ Єy)

Є(x+y) = Єx + Єy

Y el error relativo sería:

Єrel(x+y) = (Єx + Єy) / (x+y)


Propagación del error en la resta: Sean fl(x) y fl(y) la representación de “x” e

“y” en el sistema F(β,t,N,M). Definimos la resta como:

x - y = (fl(x)+Єx) - (fl(y)+ Єy)= (fl(x)-fl(y)) + (Єx- Єy)

(x-y) – [fl(x)-fl(y)] = (Єx- Єy)

Є(x-y) = Єx - Єy

Pero, ¿tiene sentido esto?


Propagación del error en la resta: Recordemos que Єi puede ser positivo o

negativo. Por lo que considerando el peor de los casos:

Є(x-y) = Єx – (-Єy) Є(x-y) = |Єx| + |Єy|

Y el error relativo:Єrel(x-y) = (|Єx| + |Єy|) / (x-y)

Y para la suma:Є(x+y) = |Єx| + |Єy|Єrel(x+y) = (|Єx| + |Єy|) / (x+y)


Propagación del error en la resta: ¿Qué pasaría con el error relativo si

queremos restar 2 números “x” e “y” que fueran casi idénticos?


Propagación del error en la multiplicación: Sean fl(x) y fl(y) la representación de “x” e “y” en el sistema F(β,t,N,M).

Definimos la multiplicación como:

(x * y) = (fl(x)+Єx) * (fl(y)+ Єy)= (fl(x)*fl(y)) + (fl(y)Єx) + (fl(x)Єy)+ Єx Єy

(x * y) – [fl(x) * fl(y)] = (fl(y)Єx) + (fl(x)Єy)+ Єx Єy

Suponiendo que Єx y Єy pequeños, entonces el producto será considerablemente más pequeño, y por ende, podemos olvidarnos de dicho producto.

Є(x*y) ≈ (fl(y)Єx) + (fl(x)Єy)

El error relativo sería:

Єrel(x * y) ≈ (fl(y)Єx) / (x * y) + (fl(x)Єy) / (x * y)

De donde aproximadamente:

Єrel(x * y) ≈ (Єx)/x + (Єy)/y

O lo que es lo mismo

Єrel(x * y) ≈ Єrel(x) + Єrel(y)


Otra forma de estimar el error del producto (usando otra notación):Error en el producto = Δxy = |XY – xy|LN(xy) = LN(x)+LN(y)ΔLN(xy) = ΔLN(x)+ ΔLN(y) (aplicando Є de la suma)

Si lo dividimos entre Δx y Δy y suponemos que ambas deltas tienden a cero…

ΔLN(x) / Δx ≈ δLN(x)/ δx = 1/x

ΔLN(y) / Δb ≈ δLN(y)/ δy = 1/y

ΔLN(xy) / Δxy ≈ δLN(xy)/ δxy = 1/xy


Despejando: ΔLN(x) = Δx / x ΔLN(y) = Δy / y ΔLN(xy) = Δxy / xy

Sustituyendo en ΔLN(xy) = ΔLN(x)+ ΔLN(y), tenemos que:

Δxy / xy = Δx / x + Δy / y

O en otras palabras,

Єrel(x * y) = Єrel(x) + Єrel(y)

TAREA 3: Demostrar el caso de la división.


Ejemplo de análisis del error: Analizar (cuantificar) el error cometido en la suma,

en punto flotante, de n números en F:

Una expresión que vincula el error relativo r, de un número exacto x (positivo), y su aproximación fl(x) es:

fl(x) = x + x r = x (1 + r )

Sea: Sn = ∑ xi donde i=1…n

sn = fl(x1 + x2 + · · · + xn)s2 = fl(x1 + x2)(1 + Є1) = x1(1 + Є1) +

x2(1 + Є1), | Є1 | ≤ ЄM.


s3 = fl(s2 + x3)(1 + Є2)

= x1(1 + Є1) (1 + Є2) +

x2(1 + Є1) (1 + Є2) +

x3(1 + Є2) ; | Є2 | ≤ ЄM.

sn = fl(sn-1 + xn) = (sn-1 + xn)(1 + Єn-1)

= x1(1 + Є1) (1 + Є2) … (1 + Єn-1) +

x2(1 + Є1) (1 + Є2) … (1 + Єn-1) +

x3(1 + Є2) … (1 + Єn-1) +

… + Xn-1(1 + Єn-2) (1 + Єn-1) +

Xn (1 + Єn-1) ; | Єi | ≤ ЄM.

¿Qué nos dice lo anterior?


Nos dice que la perturbación más grande se concentra en los dos primeros sumandos.

De aquí se deduce que para minimizar el error en la sumatoria se deben ordenar los números del más pequeño en valor absoluto al más grande.

TAREA 4: Modificar el programa de la tarea 2 y hacer la suma ∑ 1/k2 para k=1,2,…,100; Repetir la suma para k=100,99,…,1; ¿Qué observan?


La serie de Taylor: La forma general de la serie de Taylor es:

f(x+h) = f(x) + f’(x)h + f’’(x)h2/2! + f’’’(x)h3/3! + …

Suponiendo que todas las derivadas de f(x) existen y son continuas en el intervalo [x,x+h]

Pero, ¿qué significa esta expresión?

Nos dice que si tenemos el valor de una función y de todas sus derivadas en un punto dado, podemos obtener el valor de la función en cualquier otro punto.


Ejemplo: Encontrar el valor de f(6), dado f(4)=125, f’(4)=74, f’’(4)=30,

f’’’(4)=6, y el resto de las derivadas de la función f(x) en el punto x=4 son cero.

Solución

f(x+h) = f(x) + f’(x)h + f’’(x)h2/2! + f’’’(x)h3/3! + …

x = 4 ; h = 6 - 4 = 2

Debido a que las derivadas de orden superior son cero, tenemos que:

f(4+2) = f(4) + f’(4)2 + f’’(4)22/2! + f’’’(4)23/3!= 125 + 74*2 + 30*(22/2!) + 6*(23/3!)= 125 +148 + 60 + 8= 341


La serie de McLaurin: La serie de McLaurin es:

ex = 1 + x + x2/2!+ x3/3! + …

Esto es, la serie de Taylor para el punto x = 0.

f(x+h) = f(x) + f’(x)h + f’’(x)h2/2! + f’’’(x)h3/3! + f’’’’(x)h4/4! + …

f(0+h) = f(0) + f’(0)h + f’’(0)h2/2! + f’’’(0)h3/3! + f’’’’(0)h4/4! + …

Si f(x) = ex, entonces f’(x)=ex, f’’(x)=ex, f’’’(x)=ex, f’’’’(x)=ex,… Y si además x=0, entonces el valor de la función y de todas sus derivadas es ex = e0 = 1.


Entonces, la serie de McLaurin queda:f(h) = e0 + e0h + e0h2/2!+ e0h3/3! + e0h4/4! + …f(h) = 1 + h + h2/2!+ h3/3! + h4/4! + …

O lo que es lo mismo:

f(x) = 1 + x + x2/2!+ x3/3! + x4/4! +…


Error en la serie de Taylor: Al ser una serie infinita, sabemos que el valor exacto de la

función estaría dado por:

f(x+h) = f(x) + f’(x)h + f’’(x)h2/2! + … + fn(x)hn/n! +Rn(x)

Donde

Rn(x) = (x – h)n+1 fn+1(c); Se conoce como residuo.

(n+1)!

Y “c” es un valor en el rango [x,x+h], es decir x < c < (x+h)


Ejemplo del error en la serie de Taylor: La serie de Taylor para f(x)= ex alrededor del punto

x=0, esta dada por:ex = 1 + x + x2/2!+ x3/3! + …

Se puede deducir que conforme aumenta el número de términos considerados, el error debe disminuir y, por lo tanto, podemos tener un mejor valor estimado de la función.

¿Cuántos términos se requieren para tener una aproximación de e1 con un error real máximo de 10-6?


Solución: Si habíamos definido el error de la serie de

Taylor como:Rn(x) = (x – h)n+1

fn+1(c)

(n+1)!

Tenemos que x=0, h=1 y f(x)=ex; entonces

Rn(0) = (0 – 1)n+1 fn+1(c)

(n+1)!

Rn(0) = ( – 1)n+1 ec

(n+1)!


Solución: Por otro lado tenemos que:

x < c < (x+h) O lo que es lo mismo:

0 < c < (0+1) 0 < c < 1

Entonces:

1 < |Rn(0)| < e

(n+1)! (n+1)!


Solución: Con lo anterior, podemos contestar la pregunta. Es

decir, obtener una aproximación de e con un error máximo de 10-6

e < 10-6

(n+1)!

Despejando,106 e < (n+1)!

Pero, ¿si no sé cuánto vale e? Usamos un número estimado…


Solución:

Entonces, si suponemos un estimado de e = 3, tenemos que:

106* 3 < (n+1)!Conclusión:

Si usamos 9 o más términos tenemos una aproximación al número e con un error máximo de 10-6

n factorial1 12 23 64 245 1206 7207 5,0408 40,3209 362,880

10 3,628,800


Ejercicios:1) Encuentre el polinomio de Taylor de

cuarto grado para f expandida alrededor de x0=0 si f(x)=excos(x). Use este polinomio para aproximar f(Π/16).

2) Use el polinomio de Taylor alrededor de Π/4 para aproximar el cos 42º con una precisión de 10-6.


Soluciones:1) f(x)=excos(x)

f(0) = e0cos(0) = 1*1 = 1f’(x)=-exsen(x)+ excos(x)

f’(0) = -1(0) + 1(1) = 1f’’(x)=-excos(x) - exsen(x) - exsen(x)+ excos(x)

f’’(0) = -1(1) – 1(0) -1(0) +1(1) = 0f’’’(x)= exsen(x) - excos(x) - excos(x) - exsen(x) - excos(x) - exsen(x) -exsen(x)+ excos(x)

f’’’(0) = 1(0) – 1(1) – 1(1) +1(0) – 1(1) – 1(0) – 1(0) +1(1) =0-1-1+0-1-0-0+1=-2f’’’’(x)= [excos(x) + exsen] – [-exsen(x)+ excos(x)] – [-exsen(x)+ excos(x)] – [excos(x) + exsen]

– [-exsen(x)+ excos(x)] – [excos(x) + exsen] – [excos(x) + exsen] + [-exsen(x)+ excos(x)]f’’’’(0) = [1(1)+1(0)] – [-1(0)+1(1)] – [-1(0)+1(1)] – [1(1)+1(0)] – [-1(0)+1(1)] –

[1(1)+1(0)] – [ 1(1)+1(0)] + [-1(0)+1(1)] =1 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1+1 = – 4

Entonces el polinomio de Taylor de cuarto grado es:

P4(x) = 1 + (1)x + (0)x2/2! -2x3/3! -4x4/4! = 1 + x – x3/3 – x4/6

Calcular el valor de P4(Π/16) = 1.19357852


Soluciones:1) Πrad = 180º, por lo tanto, 42º es 0.2333333 Πrad o 7/30 Πrad.

Si requerimos una precisión de 10-6, entonces:

|Rn(7Π/30)| ≤ (Π/4 – 7 Π/30)n+1 / (n+1)! = (0.52359878…) n+1 / (n+1)!

Ahora bien, tenemos que:

Entonces, es suficiente con tomar n=3 y tenemos:

P3(x) = cos(Π/4) – sen(Π/4)(x-Π/4) - cos(Π/4)*(x-Π/4)2/2

+ sen(Π/4)(x-Π/4)3/6 = 0.7431446

Para n Resultado1 0.0261799392 0.0004569263 0.0000059814 0.000000063


Soluciones:

El valor real del cos(42º) es 0.74314483. La diferencia o el error real es: 2.2549E-07

TEMA 1.4

Orden de convergencia.

1.4 Orden de convergencia.

¿Qué es el orden de convergencia?

En análisis numérico, la velocidad con la cual una sucesion converge a su límite es llamada orden de convergencia. Este concepto es, desde el punto de vista práctico, muy importante si necesitamos trabajar con secuencias de sucesivas aproximaciones de un método iterativo. Incluso puede hacer la diferencia entre necesitar diez o un millón de iteraciones.


Estabilidad y Convergencia

La estabilidad puede definirse comúnmente de 2 maneras. Todo problema requiere datos de entrada y nos origina por lo menos una salida. Sí cambios pequeños en los datos de entrada producen cambios pequeños en la salida, se dice que el algoritmo es estable (también se le denomina problema bien condicionado) y en caso contrario inestable (o problema mal condicionado).



Por otro lado sí es en un error en alguna etapa de un proceso y k es una constante independiente de n (número de etapa), entonces si el error después de n operaciones se puede representar por f(n)=knЄ , se dice que el crecimiento del error es lineal. Sí en cambio el error se representa por f(n)= knЄ para k>1, el crecimiento del error se dice que es exponencial.



El crecimiento del error lineal es por lo general inevitable, y cuando k y n son pequeños, los resultados son aceptables. El crecimiento del error exponencial debe ser evitado, ya que el término kn será grande, aun para valores relativamente pequeños de n. Por lo tanto sí el crecimiento del error es lineal el método es estable y sí es exponencial es inestable.



La convergencia se refiere al hecho de que los métodos numéricos obtienen n términos de una sucesión de valores. Comenzamos con un valor inicial que sea una aproximación de la solución de un problema x0. Aplicando un método numérico se obtiene otra aproximación x1. Se repite el procedimiento para obtener x2 y así sucesivamente, es decir, se genera la sucesión x0, x1,..., xn (todos los términos son aproximaciones a la solución del problema). Sí la sucesión obtenida al cabo de n iteraciones tiende a un límite se dice que el método es convergente o divergente en caso contrario.



En otras palabras, la convergencia es la propiedad que tienen algunas sucesiones de tender a un límite. En métodos iterativos como los numéricos, se construye una sucesión Sn de aproximaciones a la solución del problema. Sn se dice convergente si converge a la solución buscada.


¿Qué es una sucesión?

De acuerdo al diccionario, una sucesión es:Conjunto ordenado de elementos que cumplen una ley.

En nuestro caso, una sucesión {Sn} es un conjunto ordenado de n aproximaciones a la solución de un problema, donde n=1,2,…

Ejemplos de sucesiones numéricas:{1, ½, 1/3, ¼, 1/5,…} ; {1, 2, 3, 4, …}


Criterio de convergencia de un método numérico.

Se dice que un método numérico es convergente

si

En la practica esto no es posible de conseguir. Por esta razón tenemos que definir algún criterio que nos permita decidir si existe o no la convergencia. Este criterio se denomina criterio de convergencia.



Estos criterios son:

¿Son prácticos estos criterios?



En la práctica, muchas veces no es posible tomar el límite, no conocemos el valor real de x o no es posible lograr el cero.

Por lo que, tomamos simplemente:

Єn=|x-xn| ≤ Tolerancia

ЄReln=|x-xn| ≤ Tolerancia

|x|



Para no tener que tomar él limite, el método numérico se aplica hasta que se cumpla alguno de los criterios anteriores. Como consecuencia, no se conoce de antemano el número de iteraciones a realizar.

Para dejar completamente determinado el criterio de convergencia para un problema dado, tenemos que fijar la tolerancia.

Pero, ¿y si la solución no es convergente?



En la práctica, también debemos de poner un límite al número de iteraciones a realizar.

Pero, ¿cuántas iteraciones es conveniente?

La respuesta depende de muchos factores… Pero no olvidemos en nuestros métodos (programas) siempre tener una forma de terminar.


Orden de convergencia.En la práctica, además de que un algoritmo sea convergente, nos interesa también saber que tan rápido es el algoritmo para llegar a la solución. Claramente mientras menor sea él numero de iteraciones requerido para alcanzar una precisión dada, mayor será la velocidad de convergencia y viceversa.

Un concepto que ayuda a visualizar esto es el de orden de convergencia. Se define como:

Lim |Є

n+1|

= λ n ∞ |Єn|α

donde: Єn+1=x-xn+1 : Error en la iteración n+1. Єn=x-xn : Error en la iteración n. λ : Constante de error asintótico. α : Orden de convergencia.


Orden de convergencia.λ es una constante que depende del método numérico y de la solución del problema. Se supone que es distinta de 0. El exponente α es una constante dependiente normalmente sólo del método numérico. Esta ecuación puede escribirse de otra manera, sí no tomamos él limite:

|Єn+1| ≈ λ|Єn|α

Esta ecuación nos dice que el error de una iteración es aproximadamente proporcional a una potencia del error de la iteración anterior.

Si suponemos que existe convergencia, entonces los errores deben de tender a 0. En esta ecuación es más importante el exponente α. Dado que los errores tienden a 0, mientras mayor sea el valor de α, menor será el numero de iteraciones que se requieren .


Orden de convergencia.El orden de convergencia normalmente es un valor constante. Un valor típico es 1, en cuyo caso se dice que el método numérico tiene convergencia lineal.

Otro valor frecuente es 2, en este caso se dice que el método tiene convergencia cuadrática. Existen métodos de convergencia cúbica, cuártica, etc., pero a medida que aumente el orden de convergencia también el método es mas complicado. El orden de convergencia no es necesariamente un entero.


Ejercicio:

Calcular la serie de Taylor para sen(x), con x alrededor de 0 para sen(0.5Πrad), sen(Πrad), sen(2.5Πrad), sen(3Πrad), sen(7Πrad) y sen(8.16Πrad). ¿Con qué velocidad llegamos a la solución? ¿Qué deducimos?


Solución:

sen x = x – x3/3! + x5/5! +x7/7! +… = ∑ (-1)n x2n+1/(2n+1)! Para n=1,2,3,…

TEMA 1.5

Herramientas disponibles para el análisis numérico. (Matlab, Maple, Matemática, etc.)

mÉtodos

Documents