Método de Newton

Joel Torres Del valle Universidad de Cartagena

Facultad de ciencias exactas y naturales

Programa de matemáticas

Asignatura: Métodos numéricos

Recordemos: 1.1. Teorema del punto fijo: Sea 𝑔 una función continua y derivable en [𝑎, 𝑏] ademas que 𝑔 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 ; ∀𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 supongamos que |𝑔′ 𝑥 | ≤ 𝑘 para x en 𝑎, 𝑏 y 𝑘 ∈ 0,1 para 𝑃𝑂 un punto sobre (a,b) la sucesión definida por: 𝑃𝑛 ≔ 𝑔(𝑃𝑛−1) Converge al único punto fijo.

1.2. Teorema del valor medio: Sea 𝑓 una función continua y derivable 𝑎, 𝑏 en entonces existe un cierto 𝑐 tal que :

𝑓′ 𝑐 =𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎)

𝑏 − 𝑎

Cuando uno se ha movido de un punto to a un punto t del espacio, y su trayectoria fue “continua”, entonces, existe un T to tal que,

𝑇 < 𝑡 ≤ 𝑡0 ⟹ |𝑓 𝑡 − 𝑓 𝑡𝑜 | < 휀 La traducción de este enunciado es, Existe un T’ tal que

𝑡0 < 𝑇′ y 𝑡0 ≤ 𝑡 < 𝑇′ ⟹ |𝑓 𝑡 − 𝑓 𝑡0 | < 휀 Sea 𝛿 = min 𝑡0 − 𝑇, 𝑇′ − 𝑡0 . 𝑆𝑖 |𝑡 − 𝑡0| < 𝛿, entonces o bien

𝑇 < 𝑡 ≤ 𝑡0 ó 𝑡0 ≤ 𝑡 < 𝑇 En cualquiera de los casos 𝑓 𝑡 − 𝑓(𝑡0 | < 휀 como la trayectoria fue escogida arbitrariamente entonces se sigue que: (∀휀 > 0)(∃𝛿 > 0)(∀𝑡)(|𝑡 − 𝑡0| < 𝛿 ⟹ |𝑓 𝑡 − 𝑓 𝑡0 | < 휀

Analicemos Aquí queremos aproximaros a P un cero de la función F(x) para lo cual tomamos una aproximación inicial xi en el intervalo dado, y calculamos la recta tangente en ese punto y así de forma sucesiva, tal que en algún momento una tangente corta a el eje x en el cero de la función.

2. Método de Newton

De la ecuación Punto-pendiente de la recta se sigue que:

𝑦 − 𝑓 𝑥0 = 𝑓′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0) Si queremos hallar el valor x1 donde se corta a x se hace: y=0, y despejando se obtiene:

𝑥1 = 𝑥0 −𝑓(𝑥0)

𝑓′(𝑥0)

Resulta fácil deducir que de forma general si queremos hacer el n-esimo termino tenemos:

𝑥𝑛 = 𝑥𝑛−1 −𝑓(𝑥𝑛−1)

𝑓′(𝑥𝑛−1)

Antes de continuar acordemos lo siguiente, definamos una función T(x) por la “formula”:

𝑇 𝑥 = 𝑥 −𝑓(𝑥)

𝑓′(𝑥)

O por: 𝑥𝑛+1 = 𝑇𝑛(𝑥0)

luego:

𝑥𝑛 = 𝑇𝑛−1 𝑥0

donde 𝑇𝑛 denota el producto de la composición de T consigo misma n veces. Se dice que,

𝑥𝑛+1 = 𝑇𝑛 𝑥0

Es un n-esimo iterado de 𝑥0 bajo T.

2.1 Teorema: Sea 𝑓 una función tal que 𝑓 𝑝 = 0 y que 𝑓′(𝑝) ≠ 0 y que 𝑓′′ existe en [a,b] luego existe un entorno de P talque:

lim𝑛→∞

𝑇𝑛𝑥 = 𝑃 ∀𝑥 ∈ 𝛽

Antes de proceder a hacer la demostración es importante resaltar un enunciado equivalente del teorema anterior

“Sea 𝑓 ∈ 𝐶2[𝑎, 𝑏]. Si 𝑃 ∈ 𝑎, 𝑏 es tal que, 𝑓 𝑝 = 0 𝑦 𝑓′(𝑝) ≠ 0 entonces existe un 𝛿 > 0 tal

que el método de Newton genera una sucesión:{𝑃𝑛}𝑛=1

∞ que converge a P para cualquier aproximación inicial 𝑃0 en 𝑃 − 𝛿, 𝑝 + 𝛿 "

Demostracion: Bajo la hipótesis del teorema podemos señalar que P es un punto fijo de 𝑇(𝑥), ademas es claro que:

𝑇′ 𝑥 =[𝑓′ 𝑥 ]2−𝑓 𝑥 𝑓′′(𝑥)

[𝑓′ 𝑥 ]2=

𝑓 𝑥 𝑓′′(𝑥)

[𝑓′ 𝑥 ]2

Luego en particular 𝑇′ 𝑝 = 0 (¿Por qué?) De forma que la demostración del teorema se resume a la siguiente proposición:

2.2 Proposición: Si P es un punto fijo de una función 𝜑 con: |𝜑′ 𝑥 | < 1, entonces existe un entorno U de p tal que:

lim𝑛→∞

𝜑𝑛 𝑥 = 𝑃

Esto para todo 𝑥 ∈ 𝑈

Demostración: Podemos suponer que: 𝑃 = 0 sin

perder generalidad-¿Por qué?- Tomemos un k tal que: 𝜑′ 𝑜 = 𝜑′ 𝑥 < 𝑘 < 1

Observemos que:

lim𝑛→0

𝜑 𝑥 − 𝜑′ 0 𝑥

𝑥= 𝜑′ 0 − 𝜑′ 0 = 0

Luego existe un 𝛿 > 0 -¿Porqué?-tal que:

0 < 𝑥 < 𝛿 ⟹𝜑 𝑥 − 𝜑′ 0 𝑥

𝑥< 𝑘 − |𝜑′ 0 |

Ahora obtenemos que: 𝑥 < 𝛿 ⟹ 𝜑 𝑥 − 𝜑′ 0 𝑥 < 𝑘 − 𝜑′ 0 𝑥

⟹ 𝜑 𝑥 ≤ 𝜑 𝑥 − 𝜑′ 0 𝑥 + |𝜑′ 0 𝑥| ≤ 𝑘|𝑥|

Esto gracias a la desigualdad del triangulo.

Tomemos: 𝑈 = 𝑥/|𝑥| < 𝛿

entonces este es un entorno de 𝑃 = 0 y 𝑥 ∈ 𝑈 ⟹ |𝜑 𝑥 | ≤ 𝑘|𝑥|

Como: 0 < 𝑘 < 1 la anterior desigualdad implica que: 𝜑 𝑥 ∈ 𝑈. Por inducción deducimos que 𝑥 ∈ 𝑈, y la sucesión de iterados:

𝜑𝑛 𝑥 Esta toda contenida en U, y ademas para todo n en los naturales se sigue que:

𝜑𝑛 𝑥 ≤ 𝑘𝑛 𝑥 Ahora si 𝑛 → ∞, 𝑘𝑛 → 0 luego:

lim𝑛→∞

𝜑𝑛 𝑥 = 0 = 𝑃

Es decir que esta sucesión converge a P para cualquier valor de x en U.

Pero resulta que no solo podemos quedarnos con la anterior demostración, de hecho existe una forma mas sencilla de demostrar el teorema y se resume en el siguiente: Lema: Sea 0 < 𝑘 < 1 entonces existe 𝛿 > 0 tal que: 𝜑 𝑥 ∈ [𝑝 − 𝛿, 𝑝 + 𝛿] esto para cada valor de x en dicho intervalo, y ademas que:

|𝜑′ 𝑥 | ≤ 𝑘 < 1 Demostración: Como 𝑓′ es continua y 𝑓′(𝑝) ≠ 0, entonces existe un tal que:

𝑓′ 𝑥 ≠ 0, ∀𝑥 ∈ 𝑝 − 𝛾, 𝑝 + 𝛾 = 𝑈 ⊆ [𝑎, 𝑏] También,

𝑇′ 𝑥 =𝑓 𝑥 𝑓"(𝑥)

[𝑓′ 𝑥 ]2

Esto para cada x en el intervalo que hemos construido, como f es continua y dos veces derivables en el intervalo [a, b] se sigue que 𝜑 𝑥 lo es en el intervalo U, Ademas en particular:

𝜑′ 𝑝 = 0 Luego como es continua se sigue que existe un tal que:

0 < 𝛿 < 𝛾 Que satisface:

𝑥 − 𝑝 < 𝛿 ⟹ 𝜑′ 𝑥 − 𝜑′ 0 < 𝑘 Luego |𝜑′ 𝑥 | < 𝑘 para cada x en intervalo U se sigue que: 𝑦 ∈ 𝜑 𝑈 ⟹ 𝑦 = 𝜑(𝑥) para algún x en U Con lo cual: 𝑦 − 𝑝 = 𝜑 𝑥 − 𝜑 𝑝 = 𝜑′ 𝛼 |𝑦 − 𝑝| ≤ 𝑘|𝑦 − 𝑝|

< |𝑥 − 𝑝| < 𝛿 Para algún entre x y p por lo tanto: |𝑦 − 𝑝| < 𝛿 ⟹ 𝑦 ∈ 𝑈

Hemos visto en lema anterior que la función T(x) satisface las hipótesis del teorema del punto fijo, entonces se cumple que:

lim𝑛→∞

𝑇𝑛 𝑥 = 𝑃

O su equivalente:

{𝑃𝑛}𝑛=1∞ converge a P para cualquier

aproximación inicial de Po en U lo que demuestra el teorema.

Veamos que un resultado importante de este teorema es: “podemos decir que la velocidad de convergencia de los iterados es mas eficiente mientras mas cerca de P este nuestra aproximación inicial”.

Bibliografía:

• Calculo J. W. Kitchen primera edición en español 1992 editorial Mc Graw Hill.

• Análisis numérico Burden, Faires séptima Edición. Editorial Thomson. 2002

• Análisis numérico soluciones de ecuaciones de una variable, CNM425 universidad de Antioquia.