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Metodi Quanti – Qualitativi per

le scienze sociali

Analisi fattoriale e dintorni. (2 Incontro)

Alessandro Pepe. Ph.D.

Alessandro.pepe1@unimib.it

Metodi di ricerca: programma per Ph.D.

Definizione di Analisi Fattoriale

� “Tecnica di riduzione dei dati disegnata per rappresentare

un alto numero di attributi osservati in un numero inferiore

di dimensioni”.

� “Metodo per isolare le componenti sottostanti un certo

paniere di dati multidimensionali”.

� The prime use of factor analysis has been in the

development of both the operational constructs for an

area and the operational representatives for the

theoretical constructs (Gorsuch,1983)*

* Gorsuch, R. L. (1983). Factor analysis (2nd ed.). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum.

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Definizione operativaFactor analysis can be broadly characterized as a set of

multivariate statistical methods for data reduction and for reaching a more parsimonious understanding of measured variables by determining the number and nature of common

factors needed to account for the patterns of observed correlations (Fabrigar, Wegener, MacCallum,&

Strahan,1999)*.

� Introdotta da Spearman (1904), perfezionata da Thurston (1930) e completata da Kaiser (1960) e Cattel (1966)

� 20.000 occorrenze in Psychinfo (Pruzek, 2005)

*Hayton, J. C., Allen, D. G., & Scarpello, V. (2004). Factor retention decisions in exploratory factor analysis: a tutorial on parallel analysis. Organizational Research Methods, 7(2), 191-205.

Funzioni principali� La funzione di base è identificare gruppi di variabili che

presentano qualche forma di relazione tra loro (= base correlazionale).

� Funzione principale nelle scienze sociali:

� Misurare costrutti a partire dai fattori costituenti e sottostanti un certo paniere di osservazioni (analisi fattoriale - AF)

� Ridurre il numero di variabili a disposizione per ottenere un subset più gestibile di informazioni (analisi delle componentiprincipali – ACP)

� Scomporre la varianza.

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Quando scegliere AF e ACP

• Tutte le volte che si studiano fenomeni non direttamenteosservabili:– Personalità (5BFI vs. 16PF), abilità cognitive

generali, stress-lavoro correlato, soddisfazione, esitipercorsi di formazione

• Quando si vogliono identificare e lavorare con fattoricostitutivi dei costrutti sotto indagine.

• Quando si vogliono scoprire ed esplorare pattern “nascosti” che governano il funzionamento delle variabilie ne disvelano i nessi.

AF e ACP non sono

� L’analisi fattoriale e l’analisi delle componentiprincipali non sono metodi di predizione dellevariabili (regressione multipla, modellamentocurve previsionali)

� Sono “soltanto” metodi per isolare relazionitra le variabili che non emergonodirettamente e per valutarne la forzaesplicativa.

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Critiche

Trova variabili artificiali, aleatorie, è possibile rintracciarne un numero infinito.

Elementi di soggettività legati alle scelte del decisore

Validazione di questionari e riduzione del numero di variabili in studio, non correlate tra loro

Riduzione delle variabili ma non dell’informazione utile.

Creazione di fattori che rappresentano la stessa realtà ma che sono indipendenti fra loro.

Non vengono considerate le differenze fra le diverse variabili.

Ruolo indiscusso:

Vantaggi:

Altre ragioni sensate per usare AF o ACP

In presenza di troppe “osservazioni” (item, variabili o parole):

• Per ragionare sulla struttura dei dati o scoprire pattern stabili• Per visualizzare in modo più immediato la variabilità• Per ridurre il rumore (permutazioni casuali)• Per una migliore rappresentazioni dei dati senza eccessiva

perdita di informazione• Per costruire percorsi più robusti ed efficaci di analisi dei dati

riducendo lo spazio n dimensionale osservato in uno spazio (n-x) dimensionale sul quale costruire nuove analisi: alberi di classificazione, creazione di cluster

La razionale � una combinazione ragionata delle variabili osservate aumenta il potere esplicativo dai dati raccolti e di comprensione dei fenomeni oggetto di studio

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Cosa c’è prima dell’AF (analisi del problema)

• Processo standard di ricerca:• Identificazione del dominio di interesse � selezione

della gamma di fenomeni di interesse (atteggiamenti, tratti di personalità, abilità verbali)

• Identificazione della popolazione di interesse �selezione della gamma di soggetti di interesse

• Dati dominio e popolazione, si selezionano le variabili di interesse (attributi di superficie) � attributi che possono essere misurati/osservati

• Le misurazioni sono relative ad ogni individuo all’interno del campione selezionato.

Assunti dell’AF

• Esiste una normale variabilità nei valori degli individui in relazione ai punteggi assunti dagli attributi di superficie.

• La variabilità dei punteggi rispecchia la differenze individuali espresse attraverso gli attributi di superficie.

• Gli attributi di superficie possono correlare tra loro: alcuni presentano alte correlazioni altri basse/nulle correlazioni.

• Il sistema di correlazioni reciproche non è caotico, ma viene governato da un sistema di relazioni sottostanti gli attributi di superficie � attributi interni

• Gli attributi interni (=variabili latenti o costrutti) sono caratteristiche individuali non osservabili direttamente, ma derivabili dalla valutazione degli attributi di superficie (=comportamenti manifesti)

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Postulati teorici

• Al centro dell’AF vi è la relazione che esiste tra attributi di superficie e attributi interni� gli attributi interni influenzano gli attributi di superficie in un modo sistematico e ripetibile

• Ciò implica che quando si misura un attributo di superficie, almeno in parte si sta anche misurando l’influenza che l’attributo sottostante esercita (come il magnetismo e la gravità) .

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AF: esplorativa o confermativa?

Entrambi i metodi ricadono sotto l’ombrello dei modelli ad equazioni strutturali (SEM), però:

• Analisi fattoriale esplorativa � metodo non-condizionale, generazione di nuova struttura fattoriale non formulata a priori, induzione esplorativa, grado di affidabilità dei dati nell’indurre ipotesi su una struttura plausibile

• Analisi fattoriale confermativa � metodo condizionale, conferma di strutture fattoriali formulate a priori, logica deduttiva, grado di affidabilità dei dati nel riprodurre strutture plausibili.

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Cosa inficia i risultati dell’AF

� Alta % Valori mancanti (missing)

� Outlier (valori fuori scala)

� Rispondenti seriali

� Basse varianze (punteggi raggruppati, poca variabilità intrinseca)

� Livelli di misurazione non adeguati e intervalli troppi stretti

� Numerosità campione (50 very poor, 100 poor, 200 fair, 300 good, 500 very good and 1000+ excellent, Comrey and Lee, 1992)*

� Pochi casi per osservazione (n=20 x v)

� Effetto floor ed effetto ceiling

* Comrey, A. L. and Lee, H. B., (1992), A first course in factor analysis, Hillsdale, New Jersey: Erlbaum

Terminologia

� Fattore � variabile (costrutto) che non è direttamente osservabile ma deve essere inferito attraverso variabili osservate.

� Factor Loading (saturazione) � è il coefficiente di correlazione chemostra l’importanza (peso) di ogni variabile nel definire un fattore

� Eigenvalue (autovalore)� rappresenta la quota di varianza dellevariabili spiegata dal fattore

� Soluzione fattoriale � è il set di fattori e di relazioni tra variabili e fattoriche rappresenta la soluzione al problema fattoriale

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Come funziona FA

� Generazione matrice di correlazione

� Scelte da parte del decisore (Algoritmo di generazione dei fattori)

� Scelte da parte del decisore (rotazione fattori)

� Analisi delle relazioni tra variabili

� Presentazione tabelle di output

� Scelte da parte del decisore (scelta numero fattori)

� Scelte da parte del decisore (interpretazione della soluzione fattoriale)

Come funziona FA

� Generazione matrice di correlazione

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Matrice di correlazione

La logica dell’AF

Considerando tutti gli indicatori (item, parole, variabili) si spiega il 100% della

varianza dei dati osservati per studiare il fenomeno oggetto di indagine

La factor analysis consente di identificare n fattori , capaci di sintetizzare inmodo efficiente gli indicatori empirici e di ridurne la complessità; i fattori, però,spiegano una quantità di varianza inferiore al 100%

Quindi, con l’analisi fattoriale, si decide di “sacrificare” una parte della varianzaspiegata a favore di una maggiore semplicità intepretativa

È comunque auspicabile che i fattori spieghino , in termini cumulati, almeno il60-70% della varianza totale

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Logica dell’AF

Esempio: perché scegliere una banca?

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Come funziona FA

� Generazione matrice di correlazione

� Scelte da parte del decisore (Algoritmo di generazione dei fattori)

� Scelte da parte del decisore (rotazione fattori)

Scelta dell’algoritmo

Per ridurre la complessità preservando la maggior parte della varianza ecercando relazioni uniche tra variabile e fattore � analisi delle componentiprincipali (ACP)

Per analisi di concetti di interesse teorico (costrutti) � massimaverosimiglianza (ML) � Lavora per approssimazioni successive e stimauna matrice di correlazione e un’insieme di varianza che rappresentanoi dati sperimentali, eliminando la ridondanza con la minima dispersioned’informazione.

Altri algoritmi � Fattorizzazione dell’asse principale

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La rotazione dei fattoriL’algoritmo di generazione dei fattori fa “interagire” le variabili con gli item,simulando la rete di correlazione che lega i fattori agli indicatori. Inoltrel’algoritmo simula anche la rete di relazione che esiste tra i fattori: fattoricorrelati o fattori non correlati? � si seleziona il tipo di rotazione + adatto.

E’ una fonte di soggettività � diverse strutture fattoriali possono spiegare lastessa porzione di varianza. Il termine utilizzato per descrivere il tentativo di “ri-definire” la struttura fattoriale è detto rotazione.

La rotazione dei fattori affonda nell’idea di muovere e far interagire gli item traloro sulla base dello spazio geometrico (=totale varianza) definito a partire dagliitem

La principale distinzione è tra metodi ortogonali (coseno tra vettori 0,correlazione 0) e obliqui (coseno ≠ 0, correlazione ≠ 0)

Logica dell’AF

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Soluzioni ortogonaliIpotizza che i fattori siano statisticamente indipendenti (quindi non correlati)

L’algoritmo di generazione fattoriale “mette a zero” tutte le correlazioni trafattori.

Diverse tecniche di rotazione (almeno 12).

Tre ortogonali:

Varimax � la più utilizzata, cerca di semplificare (=ridurre) il numero dellecolonne, cioè le variabili che generano la matrice di correlazione, semplificaal’interpretazione del fattore

Quartimax � cerca di semplificare il numero delle righe (=osservazioni),semplifica l’interpretazione delle variabili

Equimax � cerca di trovare un bilanciamento tra la semplificazione delle righee delle colonne.

Idea di fattore (spazio vettoriale)Coseno α = correlazione

Se α = 90 allora r = 0

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Dalla matrice di correlazione ai fattori

Soluzioni obliqueIpotizza che i fattori siano statisticamente dipendenti tra loro (quindi correlati)

L’algoritmo di generazione fattoriale “calcola” tutte le possibili correlazioni trafattori.

Diverse tecniche di rotazione (almeno 12)

Due oblique:

Oblimin � Rotazione obliqua che cerca di adattare i fattori agli item e li correla.

Promax� E’ un metodo più diretto che cerca la rotazione che meglio si adatta arappresentare i fattori con un singolo item e lo fa direttamente.

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Spazio vettoriale obliquo

Come funziona FA

� Generazione matrice di correlazione

� Scelte da parte del decisore (Algoritmo di generazione dei fattori)

� Scelte da parte del decisore (rotazione fattori)

� Analisi delle relazioni tra variabili

� Presentazione tabelle di output

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Tabelle di output

� KMO di Bartlett e Test di sfericità dei dati

� Tabella comunalità

� Tabella autovalori fattoriali (Eigenvalue) e varianza spiegata

Valutazione adeguatezza AF

� Kaiser-Meyer-Olkin’s measure (KMO=.83) [0 < KMO < 1]

� E’ una misura di adeguatezza dei dati raccolti, è un indice chesegnala la forza delle correlazioni osservate tra le variabil in relazionealle correlazioni parziali. Dovrebbe superare .70 (cioè il 70 % dellecorrelazioni totali non è spiegato dalle correlazioni parziali tra gli item ma dalle correlazioni con i fattori)

� Test di Sfericità di Bartlett (χ2 = 4235,01, df = 276 p < .000)

� Indica se sulla base dati a disposizione è effettivamente sensatoapplicare un’analisi fattoriale (verifica identità della matrice). Ovverotesta l’ipotesi nulla che le variabili nella popolazione NON sianocorrelate. Se il test è significativo rifiuto l’ipotesi nulla e concludo che la correlazione tra le variabili esiste.

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KMO and Bartlett's Test

,891

2166,885276

,000

Kaiser-Meyer-Olkin Measure of SamplingAdequacy.

Approx. Chi-SquaredfSig.

Bartlett's Test ofSphericity

Tabelle di comunalità� La comunalità esprime la proporzione della varianza di ogni variabile riprodotta da un certo numero di componenti. Essendo una proporzione, essa varia tra zero e uno. Quindi ci dice quanta varianza perdiamo di ciascuna variabile, tenendo conto le componenti che abbiamo deciso di utilizzare.

� Le comunalità indicano la parte di varianza spiegata di ogni indicatore, considerando il modello fattoriale stimato

� Notazione � h2

� Vanno tendenzialmente tenuti in considerazione item o variabili che abbiano un valore di comunalità di almeno .500

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Comunalità – Impact of Event Scale - 13

InizialeEstrazio

nedo you think of the event that shocked you without intention?

1,000 ,947

do you think of canceling the event that shocked you from your memory ?

1,000 ,937

do you have difficulties in concentration ? 1,000 ,532do you feel a special emotions concerning the event that shocked you?

1,000 ,958

are you easily disturbed or you feel more confused after the shocking event?

1,000 ,533

do you try to avoid the places and persons that reminedyou of the shocking event ?

1,000 ,947

do you try to avoid talking about the shocking event ? 1,000 ,543does your mind surprised with a special pictures about the shocking event

1,000 ,379

is there any thing else remind you of the shocking event? 1,000 ,549

do you try to avoid thinking of the shocking event? 1,000 ,947do you easily disturbed? 1,000 ,516do you feel that you are anticipated and motivited to un expectedevent?

1,000 ,549

do you face sleeping proplemes because of pictures or ideas that related to the shocking event?

1,000 ,562

Leggere la tabella degli autovalori fattoriali

� E’ la tabella che ci permette di selezionare il numero di fattori estratti più adatto per descrivere i dati empirici.

Parametri da considerare per la scelta del numero di fattori

� Autovalori (Eigenvalue)

� Varianza Cumulata

� Varianza Totale

Tecniche per la selezione dei fattori:

Kaiser � regola degli autovalori superiori a 1

Cattel � analisi visuale del grafico decrescente degli autovalori

Analisi parallela � confronto con dimensionalità casuali di numeri

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Varianza totale e pesi fattorialiComponente Autovalori iniziali Pesi dei fattori non ruotati Pesi dei fattori ruotati

Totale% di

varianza%

cumulata Totale% di

varianza%

cumulata Totale% di

varianza%

cumulata1 4,707 19,613 19,613 4,707 19,613 19,613 3,051 12,715 12,7152 3,848 16,032 35,645 3,848 16,032 35,645 2,795 11,645 24,3593 1,814 7,560 43,205 1,814 7,560 43,205 2,760 11,502 35,8614 1,219 5,080 48,284 1,219 5,080 48,284 2,333 9,719 45,5805 1,114 4,641 52,925 1,114 4,641 52,925 1,763 7,345 52,9256 ,996 4,150 57,0757 ,944 3,934 61,0098 ,881 3,672 64,6829 ,789 3,288 67,96910 ,745 3,103 71,07311 ,729 3,037 74,11012 ,652 2,716 76,82613 ,608 2,534 79,35914 ,583 2,428 81,78815 ,555 2,313 84,10016 ,533 2,222 86,32317 ,530 2,206 88,52918 ,493 2,052 90,58119 ,476 1,985 92,56620 ,427 1,780 94,34621 ,395 1,645 95,99122 ,370 1,540 97,53123 ,324 1,349 98,88024 ,269 1,120 100,000

Come funziona FA

� Generazione matrice di correlazione

� Scelte da parte del decisore (Algoritmo di generazione dei fattori)

� Scelte da parte del decisore (rotazione fattori)

� Analisi delle relazioni tra variabili

� Presentazione tabelle di output

� Scelte da parte del decisore (scelta numero fattori)

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Kaiser’s rule� mineigen greater than 1 criterion (K1)

Il numero di fattori m sottostanti ad un paniere di variabili n è uguale al numero di fattori m che presentano un autovalore superiore a 1 (Kaiser, 1974).

Il valore 1 fa riferimento alla “porzione” di varianza spiegata: superiore a 1 significa che è il fattore è in grado di spiegare più varianza di quanta ne spiegherebbe da solo � che senso ha quindi inserire fattori che spiegano meno varianza di quella contenuta in una singola variabile? Problema parsimonia della soluzione.

E’ come scrivere l’indice di un libro riportando il contenuto di ogni pagina.

E’ una regola empirica � metodi simulativi usati da Kaiser nel 1951

Problemi:

1) Tende a sovrastimare il numero di fattori (Hayton, Allen & Scarpello, 2004)

2) Soggettività in casi di fattori con autovalore di poco sopra o di poco sotto il valore 1 (Fabrigar et al., 1999).

Varianza totale e pesi fattorialiComponente Autovalori iniziali Pesi dei fattori non ruotati Pesi dei fattori ruotati

Totale% di

varianza%

cumulata Totale% di

varianza%

cumulata Totale% di

varianza%

cumulata1 4,707 19,613 19,613 4,707 19,613 19,613 3,051 12,715 12,7152 3,848 16,032 35,645 3,848 16,032 35,645 2,795 11,645 24,3593 1,814 7,560 43,205 1,814 7,560 43,205 2,760 11,502 35,8614 1,219 5,080 48,284 1,219 5,080 48,284 2,333 9,719 45,5805 1,161 4,641 52,925 1,161 4,641 52,925 1,763 7,345 52,9256 1,004 4,150 57,075

7 ,944 3,934 61,0098 ,881 3,672 64,6829 ,789 3,288 67,96910 ,745 3,103 71,07311 ,729 3,037 74,11012 ,652 2,716 76,82613 ,608 2,534 79,35914 ,583 2,428 81,78815 ,555 2,313 84,10016 ,533 2,222 86,32317 ,530 2,206 88,52918 ,493 2,052 90,58119 ,476 1,985 92,56620 ,427 1,780 94,34621 ,395 1,645 95,99122 ,370 1,540 97,53123 ,324 1,349 98,88024 ,269 1,120 100,000

CHE FARE CON F6 ?

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Cattel Scree Test (1966) Tecnica che si basa sull’ispezione visuale del grafico decrescente degli autovaloriin cerca di discontinuità : “ come i detriti di una frana che smettono di rotolare alla base del declivio” (Cattel, 1966, Raiche, Riopel & Blais, 2006, p. 6)

L’interpretazione funziona bene in caso di fattori empirici molto forti.

Problemi di soggettività quando non ci sono fattori molto forti oppure in presenza di due o più discontinuità.

Può essere fortemente incrementato da un punto di vista matematico applicando uno studio di regressione lineare agli autovalori residuali.

Il metodo funziona comunque meglio della regola di Kaiser (Zwick & Velice, 1986).

?????

23

Analisi Parallela (Horn, 1965)

La terza tecnica è conosciuta con il nome di “analisi parallela” ed è raccomandata dalla rivista Educational and Psychological Measurement per la “proven merit and accuracy among factor retention methods” (Thompson & Daniel, 1996).

Idea dei metodi simulativi Monte Carlo � nel caso dell’AF quanto la mia struttura fattoriale osservata nella matrice (n X v ) si differenzia da una ipotetica struttura fattoriale ottenuta a partire da dati casuali (nr X Vr)

Ogni database presenta una sua dimensionalità fattoriale: qual è la struttura fattoriale ipotetica ottenuta a partire dalle dimensioni della mia matrice dati?

Tre dimensioni:

Numero di casi (c)

Numero di variabili (v)

Metrica di misurazione

Procedura Analisi ParallelaProcedura su 4 passi:

1) Generare una matrice ottenuta a partire da dati casuali che sia dimensionalmente equivalente ai dati osservati. Dimensionalmente equivalentesignifica con lo stesso numero di variabili (v) e osservazioni (n) e con la stessa metrica della misurazione (n=966, v= 24 and values ranging from 0 to 4).

2) Eseguire l’analisi fattoriale con la stesse scelte procedurali dell’analisieffettuata su dati reali (scelta algoritmo di generazione, rotazione dei fattori). Per eliminare il problema dell’errore di campionamento (i numeri casuali non sono casuali davvero – stessa probabilità) le operazioni 1 e 2 vanno ripetutealmeno 50 volte (Hayton, Allen & Scarpiello, 2004).

3) Il risultato è avere a disposizione 50 strutture fattoriali, con 50 serie di autovalori corrispondenti al numero di fattori “ipotetici” di ogni matrice casuale. A questo punto si possono calcolare le medie degli autovalori di ogni fattori , in modo da ottenere una tabella riassuntiva.

4) Confrontare gli autovalori casuali e gli autovalori reali � vanno tenuti solo I fattori che presentano un autovalore superiore a quello ottenuto causalmente.

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Tab.4

Comparison between actual and generated eigenvalues.

Dimensions

Real Mean95th

percentile

eigenvaluesPA

eigenvaluesPA

eigenvalues

F1 4,707 1,3 1,34

F2 3,848 1,25 1,3

F3 1,814 1,22 1,24

F4 1,219 1,19 1,22

F5 1,161 1,16 1,18

F6 1.004 1,14 1,16

Note: Factors confirmed by using parallel analysis (PA) are in bold.

Quanti fattori tenere

� Controllare output autovalori

� Confrontare Kaiser e Cattel

� Se ci sono ancora dubbi applicare analisi parallela

� Controllare la % di varianza cumulata spiegata (sopra 60%)

� Decidere il numero di fattori.

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Come funziona FA

� Generazione matrice di correlazione

� Scelte da parte del decisore (Algoritmo di generazione dei fattori)

� Scelte da parte del decisore (rotazione fattori)

� Analisi delle relazioni tra variabili

� Presentazione tabelle di output

� Scelte da parte del decisore (scelta numero fattori)

� Scelte da parte del decisore (interpretazione della soluzione fattoriale)

Interpretare i fattori

� L’interpretazione dei fattori avviene a partire dai coefficienti di saturazione degli item sul fattore identificato

� Il coefficiente di saturazione è il coefficiente di correlazione che mostral’importanza (peso) di ogni variabile nel definire un fattore � definisce anchela quota di varianza di quell’indicatore spiegata dal fattore

� Ogni indicatore (item variabile) presenta una certa correlazione con ogni fattore � l’item ideale presenta correlazione 1 con il fattore che “misura” e correlazione 0 con tutti gli altri fattori

� Forza della correlazione

� 0 < r < .2 bassa

� .21 < r < .40 moderata

� .41 < r < .65 alta

� .66 < r < 1 altissima

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Componente

1 2 3 4 5

8)This parent is excessively concerned about the child. ,785

10)This parent never relinquishes control of the child and wants to protect him/her against all dangers.

,769

21) This parent is very concerned about the health of the child ,764

24)This parent is involved with the progress of the child to an excessive degree

,619

23) This parent is overly concerned about the child's education ,611

9)This parent expresses the intention to co-operate, but does not follow through

,801

13)This parent promises you as a teacher to help the child at home, but does not do it

,768

5) This parent failed to follow through with an agreement about supervising the child's homework

,680

2) This parent doesn't accept responsibility for the consequences of a particular decision

,468

14)This parent says he/she thinks you are a bad teacher ,720

15)This parent calls to tell you they are unhappy ,717

20)This parent threatens to go to higher authorities when he/she suspects an alleged misuse of professionalism

,674

17)You feel harassed by the parent of the child ,646

4) This parent uses his/her degree, knowledge or professional experience in attempt to change the approach of the teacher19) This parent avoids contact with you as a teacher ,672

3) This parent hardly ever comes to school ,559

22) The child of this parent looks tired and neglected ,553

11)This parent shows little initiative ,461 ,507

16)This parent takes little notice of the child ,471 ,501

1)As teacher you feel compelled to take sides with one of the parents. ,641

7)This parent complains about the other parent of the child ,558

6)This parent asks your opinion without having one him/herself ,466

12)This parent uses his/her degree of expertise as an excuse for becoming involved in the education of the child.

,418 ,426

18)This parent is over involved in your classroom

Costruire i fattori

Un buon fattore:

1) ha senso,

2) è semplice da interpretare,

3) 3) ha una struttura semplice

Inserire nel fattore soltanto item che presentano valori di saturazione superiori a .40

Ogni fattore deve includere almento due variabili con valori di saturazionesuperiori a .60.

Per interpretare il fattore (=dare un nome) si parte dall’analisi delle dimensionicon valori superiori a .60. (Everaert, 2007)

27

Componente

1 2 3 4 5

8)This parent is excessively concerned about the child. ,785

10)This parent never relinquishes control of the child and wants to protect him/her against all dangers.

,769

21) This parent is very concerned about the health of the child ,764

24)This parent is involved with the progress of the child to an excessive degree

,619

23) This parent is overly concerned about the child's education ,611

9)This parent expresses the intention to co-operate, but does not follow through

,801

13)This parent promises you as a teacher to help the child at home, but does not do it

,768

5) This parent failed to follow through with an agreement about supervising the child's homework

,680

2) This parent doesn't accept responsibility for the consequences of a particular decision

,468

14)This parent says he/she thinks you are a bad teacher ,720

15)This parent calls to tell you they are unhappy ,717

20)This parent threatens to go to higher authorities when he/she suspects an alleged misuse of professionalism

,674

17)You feel harassed by the parent of the child ,646

4) This parent uses his/her degree, knowledge or professional experience in attempt to change the approach of the teacher19) This parent avoids contact with you as a teacher ,672

3) This parent hardly ever comes to school ,559

22) The child of this parent looks tired and neglected ,553

11)This parent shows little initiative ,461 ,507

16)This parent takes little notice of the child ,471 ,501

1)As teacher you feel compelled to take sides with one of the parents. ,641

7)This parent complains about the other parent of the child ,558

6)This parent asks your opinion without having one him/herself ,466

12)This parent uses his/her degree of expertise as an excuse for becoming involved in the education of the child.

,418 ,426

18)This parent is over involved in your classroom

F1

F2

F3

F4

F5

Come utilizzare i risultati

Costruire scale di misurazione (fattori) a partire da osservazioni empiriche

Analisi di affidabilità (Cronbach)

Trovare dimensioni che aggregano altre variabili

Costruzione di indici compositi

Analisi fattoriali di 2°ordine.

28

Analisi fattoriale confermativa

Metodologia basata sui modelli ad equazione strutturale (SEM)

Ottima definizione di modelli di misurazione (path model) e prove di invarianza fattoriale tra campioni con caratteristiche diverse.

L’analisi fattoriale confermativa riflette l’esistenza di un modello di misurazione in cui le variabili osservate definiscono un set di costrutti latenti(Hoyle, 2000) e fornisce evidenze circa la struttura fattoriale delle misure(Jöreskog, 1993).

Si basa sull’equivalenza tra la matrice reale di correlazione (o varianza/covarianza) e la matrice riprodotta a partire dalla struttura fattoriale specificata.

Minore è la distanza tra le due matrici, migliore è l’adattamento del modello teorico ai dati raccolti.

Si utilizzano software come: AMOS, LISREL, R

29

Differenze tra EFA e CFA

� Esplorativa� Trovare numero fattori� Determinare la

correlazione tra fattori� La variabili sono libere

di saturare su tutti i fattori.

Generazione di teorie

� Confermativa� Numero fattori stabilito a

priori� Le correlazioni tra fattori

sono impostate a priori� Le variabili saturano su

fattori decisi a priori

Test di teorie

Assunti CFA

Dimensione del campione : 15 casi per variabile osservata.

Adeguatezza del modello : le relazioni tra le variabili devono essere specificate a priori.

Variabili di output : Continue e normalmente distribuite.

Gestione missing : non ci devono essere missing.

Giustificazione teorica del modello : le metodologie SEM devono avere un modello teorico ben definito a priori

30

EFA su 2 fattori

31

CFA a 2 fattori

Valutazione della bontà dell’adattamento

“no single topic in the field of Structural Equation Modelling has generated as much attention as the issue of how to properly assess the validity of a structural equation model” (Myerscough, 2002, p. 1109).

Un modello è definito appropriato quando la matrice di varianza-covarianza(Σ) riprodotta dal modello di misurazione ipotetico si adatta alla matricereale (S). Il grado di adattamento viene definito dai model fit criteria.

Per model fit criteria fuori parametro, il modello va rifiutato.

Chi Square : si cercano di ottenere valori di chi-quadro non significativi(=non c’è distanza tra la matrice riprodotta e la matrice reale). Il chi-quadroè una misura sensibile all’ampiezza campionaria e per N> 150 tende a diventare singificativo(Schumacker & Lomax, 2004).

QUINDI

Normed chi-square (X 2/DF): è il χ2 riscalato sulla base dellampiezza del campione (Jöreskog, 1969). NC indica buon adattamento per valori tra 1.0 e 3.0 (Carmines & McIver, 1981). Limiti più accettabili sono posti a 5.0 (Katou, 2008)

32

Altri indici di adattamento

Root-mean-square-residual error of approximation (RMSEA): Indice che“misura” la distanza tra le matrici a partire dalla radice quadrata del quadrato deiresidui di varianza tra gli elementi di Σ e S (Steiger & Lind, 1980). Il modello sirifiuta per valori a partire da .080 (Browne and Cudek, 1993). Valutazioni piùrobuste si effettuano a partire dall’intervallo di confidenza al 90% dell’RMSEA(Hu & Bentler, 1999).

Goodness of fit (GFI): il GFI misura la quantità di varianza e covarianza di S chepuò essere predetta da Σ (Schumacker & Lomax, 2004). Il criterio varia tra 0 (0%) e 1 (100%), un punto di cut-off è .90 (90%) (Schumacker & Lomax, 1996).

Adjusted goodness of fit (AGFI): simile al GFI e riscalato su parametri di complessità del modello (Gerbin & Andersen, 1993).

NFI, Model Akaike’s Information Criterion , ecc…

Esempio outputDegrees of Freedom = 63

Minimum Fit Function Chi-Square = 195.94 (P = 0.00)

Normal Theory Weighted Least Squares Chi-Square = 197.73

(P = 0.00)

Estimated Non-centrality Parameter (NCP) = 134.73

90 Percent Confidence Interval for NCP = (96.07 ; 181.01)

Minimum Fit Function Value = 0.52

Population Discrepancy Function Value (F0) = 0.36

90 Percent Confidence Interval for F0 = (0.26 ; 0.48)

Root Mean Square Error of Approximation (RMSEA) =

0.076

90 Percent Confidence Interval for RMSEA = (0.064 ;

0.088)

P-Value for Test of Close Fit (RMSEA < 0.05) = 0.00026

Expected Cross-Validation Index (ECVI) = 0.75

90 Percent Confidence Interval for ECVI = (0.65 ; 0.88)

ECVI for Saturated Model = 0.56

ECVI for Independence Model = 12.52

Chi-Square for Independence Model with 91 Degrees of

Freedom = 4655.09

Independence AIC = 4683.09

Model AIC = 281.73

Saturated AIC = 210.00

Independence CAIC = 4752.07

Model CAIC = 488.66

Saturated CAIC = 727.33

Normed Fit Index (NFI) = 0.96

Non-Normed Fit Index (NNFI) = 0.96

Parsimony Normed Fit Index (PNFI) = 0.66

Comparative Fit Index (CFI) = 0.97

Incremental Fit Index (IFI) = 0.97

Relative Fit Index (RFI) = 0.94

Critical N (CN) = 175.04

Root Mean Square Residual (RMR) = 0.036

Standardized RMR = .044

Goodness of Fit Index (GFI) = 0.93

Adjusted Goodness of Fit Index (AGFI) = 0.88

Parsimony Goodness of Fit Index (PGFI) = 0.56

33

Conclusioni

1)Scegliere se utilizzare EFA o CFA

2)Identificazione dei passi centrali per condurre EFA

3)Leggere ed interpretare EFA

4)Cenni di CFA