metoda elementÓw elementÓw sko skoŃczonych · 2012. 9. 24. · numeryczna metoda przybliżonego...
TRANSCRIPT
MMETODAETODA
EELEMENTÓWLEMENTÓW
SSKOŃCZONYCHKOŃCZONYCH
Na podstawie:Na podstawie:J. J. ZielnicaZielnica „Wytrzymałość materiałów” „Wytrzymałość materiałów” Wyd. Pol. Poznańskiej, 1996Wyd. Pol. Poznańskiej, 1996
MMETODAETODA
EELEMENTÓWLEMENTÓW
SSKOŃCZONYCHKOŃCZONYCH
Na podstawie:Na podstawie:J. J. ZielnicaZielnica „Wytrzymałość materiałów” „Wytrzymałość materiałów” Wyd. Pol. Poznańskiej, 1996Wyd. Pol. Poznańskiej, 1996
ZadanieZadanie brzegowebrzegowe ((brzegowobrzegowo--początkowepoczątkowe))::
Problem opisany równaniem lub układem równań różniczkowych, zwykle o pochod-nychcząstkowych z warunkami jednoznaczności:
• warunki geometryczne
• warunki fizyczne
• warunki brzegowe
• warunki początkowe
Numeryczna metoda przybliżonego rozwiązywania zadań brzegowych
(brzegowo-początkowych)
• Podział (dyskretyzacja) układu na pewną ilość elementów skończonych.
• Zastąpienie układu równań różniczkowych układem równań algebraicznych (zmienne ciągłe wyraża się za pomocą wartości węzłowych oraz funkcji kształtu).
MES:MES:
Przykłady elementów skończonychPrzykłady elementów skończonych•Element skończony – prosta figura geomet-ryczna (płaska lub przestrzenna), dla której określone zostały wyróżnione punkty zwane węzłami,
•Liczba funkcji kształtu w pojedynczym elemencie skończonym jest równa liczbie jego węzłów.
• Węzły - w wierzchołkach elementu skończonego;- mogą być również na bokach i we wnętrzu.
• Węzły tylko w wierzchołkach - element liniowy.W innych przypadkach - elementy wyższych rzędów.
• Funkcje kształtu są zawsze tak zbudowane, aby w węzłach których dotyczą ich wartości wynosiły „1”, a pozostałych węzłach przyjmowały wartość „0”.
0)( =+∂∂ xqxN
F2=F1
L
F1
x dx
1 2
dx
N dxxNN∂∂+
q(x)
Element Element prętowyprętowy::
xε
∂∂= u σε
E1=
xEAN
∂∂= u
AN=σ
0)( =+∂∂ xqxN 0)(
2
2
=+∂∂ xqx
EA u
[ ]⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=2
121
uu
NNu2211 uNuN +=u
,1 21 LxN
LxN =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=funkcje kształtu
dla el. prętowego:
[ ] 0)(
2
1212
2
=+⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∂∂ xq
uu
NNx
EA
FFunkcjeunkcje kształtukształtu::
[ ] 0)(N
N
0 2
1
2
1212
2
0 2
1 =⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∂∂
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∫∫ dxxqN
dxuu
NNx
EAN LL
tw. Greena: dxxN
xNdx
xN
N jiji ∫∫ ∂
∂∂∂−=
∂∂
2
2
0N
)(
0 2
1
2
1
0 2212
2111
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∫∫⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
dxN
xquu
dxEALL
x
N
x
N
x
N
x
N
x
N
x
N
x
N
x
N
,1 21 LxN
LxN =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
Metoda Metoda GalerkinaGalerkina::
Po scałkowaniu:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=−⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−
−
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
00
)(
2
2
1 1
1 1
2
1
L
L
LL
LLxq
uu
EA
Uwzględniając siły skupione F1 i F2:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−
−
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
2
1
2
1
1 1
1 1
FF
uu
EA
LL
LLKeu=F
,1 21 LxN
LxN =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
KeU=FKe - globalna macierz sztywności układu
U - wektor przemieszczeń węzłowych
F - wektor sił węzłowych
Globalną macierz sztywności uzyskuje się poprzez „zszywanie” macierzy sztywności dla poszczególnych elementów (agregacja).
Dla układów liniowoDla układów liniowo--sprężystych:sprężystych:
...
Agregacja macierzy:Agregacja macierzy:
• Układ nie może tworzyć mechanizmu.
• Obciążenia ciągłe zastępujemy obc. skupionymi;
• Podparcia ciągłe zastępujemy podparciami w węzłach;
• Odległości między węzłami przyjmujemy w miaręrównomierne;
• Różnica między numerami węzłów w elemenciepowinna być minimalna;
• Elementy mogą się łączyć tylko w węzłach;
• Siły i momenty można zadawać tylko w węzłach;
• Podpory można umieszczać tylko w węzłach;
Tworzenie modelu:Tworzenie modelu:
1
2L
y
x
v1
v2
u2
u1
1’
2’
L+∆L
x1 x2
y1
y2
212
212 )y(y)x(xL −+−= L
yysin ,L
xxcos 1212 −==−== αα sc
2 1 2 1L ( ) ( )u u c v v s∆ = − + −
Macierz sztywności dla Macierz sztywności dla elel. prętowego:. prętowego:
α1
2L
N
N V1
V2H2
H1
[ ]svvcuu )()(L
EANEANLL 1212 −+−=⇒=∆ Bu=ε
] [1 sc-scL−=B
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
2
2
1
1
vuvu
u
B - macierz geometryczna
CuBu=== EAEAN ε
scHsVcH NV ,N ,N ,N 2211 ==−=−=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
2
2
1
1
VHVH
F
C - macierz sił węzłowych
Zależność między siłą wewnętrzną Ni siłami węzłowymi Vi i Hi:
BuBBF == LEALN TT] [1 sc-sc
L−=B
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−−−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
22
22
22
22
44434241
34333231
24232221
14131211
LEA
scsscscsccscscsscscsccsc
aaaaaaaaaaaaaaaa
eK
1 111 12 13 14
1 121 22 23 24
31 32 33 342 2
41 42 43 442 2
LN LEA T T
H ua a a aV va a a a
a a a aH ua a a aV v
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= = = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
eF B B Bu K u
y
xl1 l2
l3
1
2 3
4
5
1
2
3
4
5
6
7
F1F2
(1,2)
(3,4) (9,10)
(7,8)
(5,6)
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
)3(66
)3(65
)3(62
)3(61
)3(56
)3(55
)3(52
)3(51
)3(26
)3(25
)3(22
)3(21
)3(16
)3(15
)3(12
)3(11
)3(
aaaaaaaaaaaaaaaa
eK
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
)5(88
)5(87
)5(86
)5(85
)5(78
)5(77
)5(76
)5(75
)5(68
)5(67
)5(66
)5(65
)5(58
)5(57
)5(56
)5(55
)5(
aaaaaaaaaaaaaaaa
eK
Globalna macierz sztywności:Globalna macierz sztywności:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++++
=
)5(88
)5(87
)5(86
)5(85
)5(78
)5(77
)5(76
)5(75
)5(68
)5(67
)5(58
)5(57
)5(66
)3(66
)5(65
)3(65
)3(62
)3(61
)5(56
)3(56
)5(55
)3(55
)3(52
)3(51
)3(26
)3(25
)3(22
)3(21
)3(16
)3(15
)3(12
)3(11
)1010(
......
......................
......
......
..........
..........
......
......
aaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaa
aaaaaaaa
xK
y
xl1 l2
l3
1
2 3
4
5
1
2
3
4
5
6
7
F1F2
(1,2)
(3,4) (9,10)
(7,8)
(5,6)
1
2
3
1
8
2
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 . . . . 0 . . . 00 0 0 . . . . 0 . . . 00 0 0 . . . . 0 . . .0 0 0 . . . . 0 . . . 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 . . . . 0 . . .0 0 0 . . . . 0 . . . 0
uuu
F
uF
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎦
08321 ==== uuuu
Wartości niezerowe
Uwzględniając warunki brzegowe:Uwzględniając warunki brzegowe:
w poszczególnych prętach układu
• naprężenia: AN=σ
• przemieszczenia: 1097654 , , , , , uuuuuu
• odkształcenia: Bu=ε
• siły wewnętrzne: CuBu=== EAEAN ε
Wyznacza się kolejno:Wyznacza się kolejno:
y
x
C
B
A uA
uB
uC
vA
vC
vB
VA
VC
VBHA
HC
HB
Element płaski trójkątny:Element płaski trójkątny: