MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Las medidas de tendencia central son medidas representativas que tienden a ubicarse hacia el centro del conjunto de datos, es decir, una medida de tendencia central identifica el valor del dato central alrededor de cual se centran los demás datos

MEDIA ARITMÉTICA

La medida aritmética, al igual que cualquier otra medida de datos estadísticos, cuando se calcula a nivel de toda la población, se denominan parámetro, como por ejemplo, la calificación promedio en el examen de admisión de todos los estudiantes que ingresan a la Universidad UTN al primer semestre del presente año lectivo. Pero si se calcula basada en muestras, se denomina estadígrafo o estadístico, como por ejemplo, la calificación promedio en el examen de admisión de estudiantes de colegios fiscales que ingresan a la Universidad UTN al primer semestre del presente año lectivo.

MEDIA ARITMÉTICA SIMPLE

a) Para Datos sin Agrupar

La media de una población es el parámetro (que se lee “miu”). Si hay N observaciones en el conjunto de datos de la población, la media se calcula así:

𝜇=𝑥1+𝑥2+𝑥3+…+𝑥𝑁

𝑁=∑ 𝑥 𝑖

𝑁

La media de una muestra es un estadístico (que se lee “x barra”). Con n observaciones en el conjunto de datos de la muestra , la media se determina así:

𝑥=𝑥1+𝑥2+𝑥3+…+𝑥𝑛

𝑛=∑ 𝑥 𝑖

𝑛

b) Para Datos Agrupados en Tablas de Frecuencias.- Cuando una serie se la agrupa en serie simple con frecuencias para obtener la media aritmética, se multiplica la variable por la frecuencia respectiva (f), luego se obtiene la suma de todos estos productos y luego a este valor se lo divide para el número de elementos (n). Todo esto puede representarse mediante una fórmula matemática, así:

MEDIA ARITMÉTICA SIMPLE

𝑥=𝑓 1 ∙ 𝑥1+ 𝑓 2 ∙𝑥2+ 𝑓 3 ∙𝑥3+…+ 𝑓 𝑛∙ 𝑥𝑛

𝑓 1+ 𝑓 2+ 𝑓 3+∙ ∙ ∙ 𝑓 𝑛=∑ 𝑓 𝑖 ∙𝑥 𝑖

∑ 𝑓=∑ 𝑓𝑥

𝑛

c) Para Datos Agrupados en Intervalos.- Cuando una serie se la agrupa en intervalos para obtener la media aritmética, se multiplica la marca de clase de intervalo () por la frecuencia respectiva (), luego se obtiene la suma de todos estos productos y luego a este valor se lo divide para el número de elementos. Todo esto se representa mediante la siguiente fórmula matemática:

𝑥=𝑓 1 ∙ 𝑥𝑚1+ 𝑓 2 ∙ 𝑥𝑚2+ 𝑓 3 ∙ 𝑥𝑚3+… 𝑓 𝑛 ∙ 𝑥𝑚𝑛

𝑓 1+ 𝑓 2+ 𝑓 3+∙ ∙∙ 𝑓 𝑛=∑ 𝑓 𝑖∙ 𝑥𝑚𝑖

∑ 𝑓=∑ 𝑓 ∙𝑥𝑚

𝑛

TAREA:Calcule la media aritmética de las siguientes calificaciones de Matemática tomadas de una muestra

10 8 9 7 6 3 7 10 65 4 8 8 3 4 8 9 58 3 8 9 10 5 9 8 48 10 10 9 8 6 10 7 3

a) Sin agrupar7,0833

b) Agrupando en frecuencias7,0833

c) Agrupando en intervalos de ancho 27

MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA

Cuando los números se les asocian ciertos factores peso (o pesos) , dependientes de la relevancia asignada a cada número, en tal caso se requiere calcular la media aritmética ponderada, la cual se calcula así:

𝑥=𝑝1 ∙𝑥1+𝑝2 ∙ 𝑥2+𝑝3 ∙𝑥3+…𝑝𝑘 ∙𝑥𝑘

𝑝1+𝑝2+𝑝3+…𝑝𝑘

=∑ 𝑝 ∙ 𝑥

∑ 𝑝TAREA:1) Si el examen final de Estadística cuenta tres veces más que una evaluación parcial, y un estudiante tiene 8 en el examen final, 7 y 9 en las dos parciales. Calcule la calificación media

82) En una encuesta sobre la aceptación de un producto, 80 de los encuestados manifestaron que el producto es Excelente, 120 indicaron que es Muy Bueno, 60 que es Bueno, 20 que es Regular. Para aplicar las encuestas se empleó el tamaño de la muestra con un nivel de confianza del 95% y un error de muestreo del 5%.a) ¿Cuál es la tamaño de la población?

1030b) ¿Cuál es la aceptación promedio del producto considerando Excelente = 4, Muy Bueno = 3, Bueno =2 y Regular =1?

2,9 = Muy Buenoc) Presente los resultados de la encuesta mediante un diagrama de pastel

LA MEDIANA

La mediana, llamada algunas veces media posicional, es el valor del término medio que divide una distribución de datos ordenados en dos partes iguales, es decir, el 50% de los datos se ubican sobre la mediana o hacia los puntajes altos y el 50% restante hacia los puntajes bajos.

a) Para Datos sin Agrupar

Calcular la mediana de las siguientes calificaciones del curso de Estadística evaluadas sobre diez: 10, 8, 6, 4, 9, 7, 10, 9 y 6

Se ordena los datos de menor a mayor:

4 6 6 7 8 9 9 10 10

La mediana es el valor de x5 (quinto dato), es decir, Md=8

Calcular la mediana de las siguientes calificaciones del curso de Matemática evaluadas sobre diez: 10, 8, 9, 6, 4, 8, 9, 7, 10 y 9

Se ordena los datos de menor a mayor:

4 6 7 8 8 9 9 9 10 10

𝑀𝑑=𝑥5+𝑥6

2=8+9

2=8,5 TAREA: Calcular con Excel los dos ejercicios

Para Datos Agrupados en Tablas de Frecuencia

Para calcular la posición de la mediana se aplica la siguiente ecuación: 𝑀𝑑=𝑛+1

2

TAREACalcular la mediana agrupando en tablas de frecuencia dados los siguientes 20 números: 1, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 2, 2, 2, 6, 6, 4, 4, 4 ,4, 5, 5, 5, 5

Md=4,5

Para Datos Agrupados en Intervalos

𝑀𝑑=𝐿𝑖𝑚𝑑+( 𝑛2 −𝐹𝑎

𝑓 𝑚𝑑)∙𝑐

En donde:

Límite inferior del intervalo de clase de la mediana

Número total de datosFrecuencia acumulada del intervalo de clase que antecede al intervalo de clase de la mediana. Frecuencia absoluta del intervalo de clase de la mediana Ancho del intervalo

TAREA:Calcular la mediana con los siguientes datos

Intervalos [45,55) 6[55,65) 10[65,75) 19[75,85) 11[85,95) 4

=69,737

Calcular la mediana empleando un histograma para fa

MEDIDAS DE POSICIÓN

CUARTILES.- Son cada uno de los 3 valores que dividen a la distribución de los datos en 4 partes iguales.

Para Datos No Agrupados𝑄𝑘=𝑋

[𝑛 ∙𝑘4

+12 ]¿ 𝑋

[𝑛 ∙𝑘+24 ]

TAREA: Calcule los cuartiles y elaborar un diagrama de caja y bigotes dada la siguiente distribución: 6, 9, 9, 12, 12, 12, 15 y 17

9; 12; 13,5

6 19 212 315 117 1

TAREA: Calcular el cuartil 2

Intervalos45- 55 655- 65 1065- 75 1975- 85 1185- 95 4

Para Datos Agrupados en IntervalosQ k=LiQ+( nk

4− Fa

f Q)∙𝑐

Calcular los cuartiles y con un histograma para fra% con los siguientes datos