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Estadística Administrativa IPeríodo 2014-2Medidas de tendencia centralMedia Aritmética

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Medidas de Tendencia Central

También llamadas medidas de ubicación.

Son las medidas que nos proporcionan los datos estandarizados de la muestra o población en estudio.

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Medidas de tendencia central

›Media aritmética›Mediana›Moda›Media geométrica

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Media aritméticaLlamada también “Promedio”, es la medida de ubicación que devuelve el valor más típico que representa a todos los miembros de la población o muestra.

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Tipos de media aritmética

› Solamente hay una media aritmética, el tipo del que se habla en el título se refiere a que podemos calcular la media aritmética para la población o para la muestra.

› La diferencia está en el símbolo que la representa:–Media poblacional–Media muestral

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Fórmula de la media aritmética poblacional

𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙=𝑆𝑢𝑚𝑎𝑑𝑒𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠𝑙𝑜𝑠𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙𝑎𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑁 ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛

𝜇=∑ 𝑋𝑁

Sumar todos los datos de la población y el resultado dividirlo por el total de miembros de la población

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› Una ama de casa va al supermercado semanalmente y desea saber cuál es el gasto promedio que ha tenido en lo últimos 2 meses. Busca las facturas del supermercado de las últimas 8 semanas y lo que se gastó fue lo siguiente:

› El primer paso de la fórmula es sumar todos los valores de las facturas y el resultado dividirlo entre 8 semanas que tuvieron los últimos 2 meses.

Ejemplo

502 521 322 605410 325 394 657

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› El ama de casa utiliza una calculadora para sumar todas las facturas que tiene.

502 + 521 + 322 + 605 + 410 + 325 + 394 + 657 = 3736

› Y el resultado se divide entre 8, porque son 8facturas de las últimas 8 semanas.

µ = = 467

. . .Ejemplo

En promedio, se gastaron L.467.00 semanales en el supermercado

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. . . Ejemplo

› El ama de casa estaba interesada únicamente en esas 10 semanas, así que su población son las 10 facturas que utilizó; por lo tanto, la media aritmética se obtuvo de la población objetivo.

› En la mayoría de los libros, el desarrollo de este problema se verá de la siguiente manera:

𝜇=502+521+322+605+410+425+394+657

8

𝜇=37368

=467.00

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Media poblacional

donde

› = Media poblacional

› N = Total de datos

› X = El valor de cualquier dato de la variable

› = Símbolo de suma en las matemáticas

› = Sumar todos los datos de la población

𝜇=∑ 𝑋𝑁

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Fórmula de la media aritmética muestral

𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙=𝑆𝑢𝑚𝑎𝑑𝑒𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠𝑙𝑜𝑠𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙𝑎𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎

𝑁 ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎

¿𝑋

=∑ 𝑋𝑛

Sumar todos los datos de la muestra y el resultado dividirlo por el total de miembros de la muestra

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Ejemplo› Claro estudia la cantidad de minutos que emplean sus

clientes en los planes de “Doble Saldo” de cierto teléfono celular. Una muestra aleatoria de 12 clientes arroja la siguiente cantidad de minutos empleados el mes pasado.

›

› Se hace el mismo proceso, se suman todos los minutos

› El resultado se divide en 12 clientes que es la muestra elegida

90 77 94 89 119 112

91 110 92 100 113 83

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. . .Ejemplo

𝑋=90+77+94+89+119+112+91+110+92+100+113+83  

12

= 97.50’

Los clientes de doble saldo de ese tipo de celular emplean un promedio de 97.5 minutos en sus llamadas

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Propiedades de la media aritmética

La media aritmética es la medida de ubicación que más se utiliza en las variables numéricas. Cuenta con 4 propiedades fundamentales que son:

1.Todo conjunto de datos de un intervalo (o de nivel de razón) posee una media.

2.Todos los valores se encuentran incluidos en el cálculo de la media.

3.La media aritmética es única.

4.La suma de las desviaciones de cada valor de la media es cero.

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Propiedades de la media aritmética

En términos generales podemos decir que la media aritmética simboliza al punto de equilibrio, ya que todos los datos de la muestra al restarle el valor de la media aritmética, el resultado es 0.

∑ ( 𝑋−𝑋 )=0

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Ejemplo…

› Calcular la media aritmética de la edad 7 niños y comprobar que la media aritmética es el punto de equilibro de todos los datos. Las edades son: 8, 5, 3, 4, 5, 6, 5

= =

(8-5.1)+(5-5.1)+(3-5.1)+(4-5.1)+(5-5.1)+(6-5.1)+(5-5.1) = (2.86)+(-0.14)+(-2.14)+(-1.14)+(-0.14)+(0.86)+(-0.14) = 2.86 - 0.14 - 2.14 - 1.14 - 0.14 + 0.86 - 0.14 = 0

Comprobación

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Ejercicios

› Calcular la media aritmética de 8, 3, 2, 1, 1, 3

› Calcular la media aritmética de las notas parciales que se obtuvo en el período: 85, 65 y 76

› El director de relaciones humana de Heins inició un estudio de las horas de trabajo extra en el departamento de Supervisión. Una muestra de 15 trabajadores reveló que éstos laboraron las siguientes horas extras la semana pasada: 13, 13, 12, 15, 7, 15, 5, 12, 6, 7, 12, 10, 9, 13 y 12.

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Media ponderada

Es un caso especial de la media aritmética y es muy utilizada cuando los valores se repiten varias veces.

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Fórmula media aritmética ponderada

Donde

› = Es la media aritmética

› = Es cada dato de la población/muestra

› = Es el número de veces que se repite el dato

𝑋=∑ 𝑥 𝑖∗𝑤𝑖

∑𝑤𝑖

*** El índice académico de su carrera de obtiene a través de la media aritmética ponderada ***

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Ejemplo…Suponga que Wendys vende refrescos medianos, grandes y gigantes a L.18.30, L.25.00, 29.50. De las últimas 10 últimas bebidas vendidas 3 eran medianas, 4 grandes y 3 gigantes. Calcular el precio promedio de las últimas 10 bebidas vendidas.

Utilizando la fórmula tradicional, la fórmula se desarrolla de la siguiente manera:

𝑋=18.30+18.30+18.30+25+25+25+25+29.50+29.50+29.50

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𝑋=243.4010

=24.34𝐿𝑝𝑠 .

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. . . EjemploUtilizando la fórmula de la media ponderada, la fórmula de desarrolla de la siguiente manera:

=

Índice

Refrescos Vendidos

Índice TamañoPrecio

Refrescox1 3 w1 Pequeño 18.30 x2 4 w2 Mediano 25.00 x3 3 w3 Grande 29.50

= 24.34 Lps

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Investigación personal

Escriba el nombre de cada asignatura que ha cursado con su respectiva nota y junto a ella escriba el número de las unidades valorativas que vale la asignatura.• Cada nota, multiplíquela la unidad valorativa.• Sume todos los resultados de las multiplicaciones.• Sume todas las unidades valorativas• Divida ambos resultados y ya tiene su índice

académico.

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EJEMPLO

# Asignatura UV Nota Producto

1 Filosofía 3 75 225

2 Sociología 3 80 240

3 Matemática I 4 80 320

4 Historia 3 90 270

5 Español 3 77 231

6 Matemáticas II 4 79 316

7 Contabilidad 4 90 360

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María Salinas ha cursado 7 asignaturas y desea conocer cuál el índice académico.

1. Filosofía75

2. Sociología80

3. Matemática I 80

4. Historia90

5. Español77

6. Matemáticas II79

7. Contabilidad 90

𝑋𝑤=∑ 𝑢𝑣∗𝑛𝑜𝑡𝑎

∑ 𝑢𝑣=199224

=83

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TAREAResolver y subir al Google Drive en la carpeta tarea05.

Libro de texto

Pag. : 67

Ejercicios: 18, 19, 20

Pag. : 68

Ejercicios: 23, 24

Solo Media áritmética