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Mecánica de Materiales I

______________________________________________________________________________Universidad de los Andes

Facultad de IngenieríaEscuela de Ingeniería Mecánica

Tema 6 - Columnas

Tema 6

Columnas

Consideraciones iniciales

Tema 6 - ColumnasSección 1 - Consideraciones iniciales

Una columna es un elemento sometido a compresión, el cual es losuficientemente delgado respecto a su longitud para que bajo la acción deuna carga gradualmente creciente se rompa por flexión lateral o pandeoante una carga mucho menor que la necesaria para romperlo poraplastamiento. En esto se diferencia de un elemento corto sometido acompresión, el cual, aunque este cargado excéntricamente, experimentauna flexión lateral despreciable.

Aunque no existe un límite perfectamente definido entre elementocorto y columna, se suele considerar que un elemento a compresión es unacolumna si su longitud es igual o mayor a diez veces la dimensión menor dela sección transversal.

Las columnas se suelen dividir en dos grupos: largas e intermedias.En algunos casos, los elementos cortos sometidos a compresión seconsideran en un tercer grupo: el de las columnas cortas.




Estabilidad de estructurasConsideremos el montaje que se muestra en la figura. El mismo

esta integrado por dos barras de longitud ‘L/2’, apoyadas por articulacionesque le permiten rotar en sus extremos, siendo solidarias entre sí medianteun pasador.



Luego, si se mueve dicho pasadorun poco hacia un lado, provocando unapequeña inclinación “” en las barras yluego se aplica una carga axial “P” quemantenga dicha deformación, tenemos quela fuerza perturbadora en la direcciónhorizontal puede plantearse de la forma::

tan2 PF raperturbado

La fuerza restauradora, que sería en este caso la reacción delresorte, sería:

Como el ángulo “” es muy pequeño, es válida la aproximación‘tg≈sin≈’. Entonces, si la fuerza restauradora fuese mayor que laperturbadora, tendríamos:

En esta situación, las barras volverían a su posición inicial; a estose denomina equilibro estable. Si sucediese lo contrario:

De modo que el mecanismo se deformaría hasta una posición deequilibrio entre las fuerzas. A esto se llama equilibrio inestable.




4LKP r

sin2

LKF rrarestaurado

4LKP r

Si ambas fuerzas fuesen iguales, entonces:

La carga axial crítica (“Pcri”) representa el estado del mecanismocon el cual éste se mantiene en equilibrio, pues de variar ligeramente dichacarga las barras del mecanismo no sufrirían nigún desplazamiento, es decir:el mecanismo no se movería.




4LKP rcri

Carga crítica en columnas articuladas

Tema 6 - ColumnasSección 2 - Carga crítica en columnas articuladas

Consideremos una viga articulada en sus extremos medianterótulas que permiten la flexión en todas las direcciones, tal como se muestraen la figura. Si aplicamos una fuerza horizontal “H” en un punto medio de laviga se producirá una deflexión, a la que denominaremos “”.



Supondremos que ladeflexión “” es lo suficientementepequeña como para que laproyección de la longitud de lacolumna sobre un eje vertical seaprácticamente la misma, estandoflexada la viga.

Puede observarse que enla sección transversal que sufre lamayor deflexión, el momento flectores:

La fuerza “Pcri” es la carganecesaria para mantener la vigaflexada sin empuje lateral alguno.Un incremento de esta carga,implica a su vez un aumento de ladeflexión “” y viceversa.


Supongamos ahora que añadimos una carga axial céntrica acompresión “P” y la hacemos aumentar desde cero, al mismo tiempo quedisminuimos la carga “H”, de modo que se mantenga constante la deflexión“” constante.



criPM (6.2.1)


Si para el caso anterior designamos como “x” al eje vertical (sobreel que se proyecta la longitud de la viga) e “y” al eje horizontal (sobre el cualse producen las deflexiones), puede plantearse el momento flector de laforma:



El signo (-) se debe a que la deflexiónproducida es negativa (según la orientación el eje “y”),y el momento flector es positivo.

Recordemos la ecuación de la elástica paravigas de sección transversal constante:

yPxM cri )( (6.2.2)

IExM

dxyd

)(2

2(6.2.3)

Luego, sustituyendo “M(x)” de la ecuación 6.2.2 en la ecuación6.2.3, se obtiene:

La solución general de esta ecuación es:

Podemos obtener los valores de las constantes “C1” y “C2”aplicando las condiciones de frontera. Cuando ‘x=0’ → ‘y=0’, de modo que‘C2=0’. Al plantear la segunda condición (‘x=L’ → ‘y=0’) queda:




(6.2.4)IEyP

dxyd cri

2

2

(6.2.5)

x

IEPCx

IEPCy cricri cossin 21

(6.2.6)

L

IEPC crisin0 1

La solución de la ecuación anterior sirve para hallar el valor de“Pcri”, pues debe cumplirse:




(6.2.7)

nLIE

Pcri

Donde ‘n=1,2,3…’ .

En la figura puedenverse distintas formas en quepuede pandearse la columnautilizando distintos valores de“n”.

Para efectos de diseño, siempre trabajaremos con ‘n=1’. De modoque la carga crítica queda expresada de la forma:

A esta expresión se le conoce como la carga crítica de Euler paracolumnas articuladas.

2

2

LIEPcri




(6.2.8)

Relación de esbeltez, esfuerzo críticoEl momento de inercia (“I”) puede expresarse de la forma:

Donde “A” es el área de la sección transversal y “r” es unapropiedad de área denominada radio de giro. Si sutituimos esta ecuación enla expresión 6.2.8, obtenemos:

Donde la proporción “L/r” se conoce como relación de esbeltez dela columna. Mas adelante observaremos cómo este parámetro sirve paraclasificar un elemento cargado axialmente a compresión como una columnacorta, larga ó intermedia.




2rAI (6.2.9)

2

2

)/( rLAEPcri

(6.2.10)

Si en la expresión 6.2.10 enviamos el término “A” a dividir hacia ellado izquierdo, obtenemos:

Mediante esta ecuación se puede determinar el esfuerzo crítico(“cri”) en una columna, el cual indica el esfuerzo normal con el cual lamisma comienza a pandearse. Obsérvese que los términos variables enesta expresión son la relación de esbeltez (“L/r”) y el esfuerzo crítico encuestión. De modo que podemos construir una gráfica que nos indiquecómo varía dicho esfuerzo en función de la relación de esbeltez encolumnas. Como el módulo de elasticidad (“E”) varía para cada material,tendremos distintas curvas para diferentes materiales.




cricri

rLE

AP

2

2

)/((6.2.11)

Por ejemplo, en se presentan en la figura las curvas del aceroestructural y del aluminio. Es importante observar que para cada materialexiste una esbeltez que se corresponde con su esfuerzo de fluencia, comose señala en las curvas. A la derecha de estos puntos, puede observarseque el esfuerzo crítico disminuye a medida que aumenta la relación deesbeltez (en otras palabras, se requiere menor carga para que se produzcael pandeo en la columna). A la izquierda de estos puntos, la gráfica no tienesentido práctico.




Columnas con variostipos de soporte

Tema 6 - ColumnasSección 3 - Columnas con varios tipos de soporte

En la deducción de la ecuación de Euler, se utilizó como base parael desarrollo de las ecuaciones una columna soportada mediantearticulaciones en sus extremos, de manera que la deflexión fuese nula enlos mismos. Dependiendo de los apoyos a los que se sujete una columna,dichas condiciones de extremo pueden variar, alterando a su vez eldesarrollo de las ecuaciones. Con el objeto de compensar esto, se utiliza enla ecuación de Euler una longitud denominada Longitud efectiva (“Le”), lacual representa la distancia entre dos puntos de la columna en los cuales elmomento flector es nulo, y se puede determinar mediante la relación:

Donde “K” es el factor de corrección de longitud efectiva y estátabulado para distintas condiciones de apoyo de columnas.



LKLe (6.3.1)

De manera que la ecuación del esfuerzo crítico en una columnaquedaría planteada de la forma:

Los valores de “K” para las condiciones de apoyo más comunes seilustran en la figura.

Tema 6 - ColumnasSección 3 – Columnas con varios tipos de soporte



2

2

2

2

)/()/( rLKE

rLE

ecri

(6.3.2)

La ecuación de Euler se obtiene a partir de la hipótesis de que lacarga (“P”) siempre se aplica en el centroide de la sección transversal de lacolumna, y que ésta es perfectamente recta (antes de aplicar dicha carga).

Esta situación es ajena a la realidad, pues las columnas fabricadasno son perfectamente rectas, ni suele conocerse con exactitud el punto deaplicación de la carga.

Por tanto, las columnas no se pandean repentinamente sino quecomienzan a flexionarse, si bien de modo ligero, inmediatamente despuésde la aplicación de la carga.

Tema 6 - ColumnasSección 4 - Columnas sometidas a carga excéntrica



Columnas sometidas a cargaexcéntrica

Consideremos entonces una columna sometida a una cargaejercida con una pequeña excentricidad “e” respecto al centroide de lasección transversal, como se muestra.

Podemos plantear una expresión para determinar el momentoflector en cualquier sección transversal:




)( yePM cri (6.4.1)

Al plantear la ecuación de la elástica de la viga, queda:

La solución general de esta ecuación es:

Al plantear los límites de frontera, se obtiene que cuando ‘x=0’ →‘y=e’, de modo que ‘C2=e’ . Luego, cuando ‘x=L’ → ‘y=e’, de modo que:




IEyeP

IExM

dxyd cri

)()(

2

2

(6.4.2)

exIE

PCxIE

PCy

cossin 21

(6.4.3)

2tan1

LIE

PeC (6.4.4)

Finalmente, la ecuación 6.4.3 queda de la forma:

La deflexión máxima en la viga ocurre cuando ‘x=0,5L. Siintroducimos este valor en la ecuación, obtenemos:

En esta ecuación puede observarse que ‘y=0’ cuando ‘e=0’. Sinembargo, si la excentricidad “e” es muy pequeña, y el término dentro de lafunción trigonométrica la hiciese tender a infinito, “y” tendría un valor nonulo.




1cossin

2tan x

IEPx

IEPL

IEPey (6.4.5)

2secmax

LIE

Pey (6.4.6)

Entonces, como ‘sec(x)→∞’ cuando ‘x→/2’, podemos plantear:

Finalmente, se puede determinar el valor de la carga crítica:

Nótese que éste es el mismo resultado arrojado para el caso decarga excéntrica (ec. 6.2.8). Es preciso recordar que en caso de trabajarcon condiciones de apoyo distintas, se debe trabajar con la longitud efectiva(“Le”) en vez de la longitud nominal (“L”) de la columna.




22

LIE

Pcri (6.4.7)

(6.4.8)2

2

LIEPcri

Podemos entonces plantear la ecuación del esfuerzo máximo en lasección de mayor deflexión de la viga:

Recordando que ‘I=Ar2’, podemos reescribir esta ecuación de laforma:

A esta ecuación se le conoce como la fórmula de la secante, y sirvepara determinar el valor del esfuerzo máximo producido tanto por flexióncomo por compresión que se produce en la viga. Debe cumplirse: ‘P≤Pcri’.




IcL

IEPeP

AP

IcyP

AP

2sec)( max

max (6.4.9)

rL

AEP

rce

AP

2sec1 2max (6.4.10)

Mediante ensayos mecánicos realizados en columnas se hademostrado que la carga crítica señalada por las ecuaciones de Euler y dela secante puede ser superior a la carga crítica real necesaria para pandearla columna, como muestra el gráfico.

Tema 6 - ColumnasSección 5 - Columnas largas, cortas e intermedias



Columnas largas, cortas e intermedias

De la gráfica anterior pueden verse con claridad tres zonas que, enfunción de la relación de esbeltez, permiten clasificar las columnas en tresgrupos:

Columnas Cortas. A este grupo pertenecen elementos cargadosaxialmente a compresión con relaciones de esbeltez muy pequeñas, en losque no se produce pandeo y la falla ocurre cuando ‘max ≈ y’.

Columnas Intermedias. Cuando en los elementos cargadoscomienza a presentarse el fenómeno de pandeo al éstos experimentaresfuerzos menores a “y”. La ecuación de Euler no se aproximasatisfactoriamente al comportamiento de la columna, requiriendo esta zonade ecuaciones experimentales complejas para predecir con cierta precisiónel valor del esfuerzo crítico (con el cual comienza el pandeo en la columna).

Columnas Largas. Referida a aquellos elementos con grandesrelaciones de esbeltez. La ecuación de Euler describe con precisiónaceptable el comportamiento de estas columnas.




En la figura que se muestran algunas tendencias que puedenusarse para determinar el esfuerzo crítico en columnas intermedias. Nóteseque la dificultad en el uso de estos criterios radica en determinar conexactitud los límites de la relación de esbeltez en los cuales son válidos.

Fórmula de Gordon-Rankine:

Aproximación lineal:

Aproximación parabólica:




)/(22 rLk ecri

)/(1 1

1

rLk ecri

233 )/( rLk ecri

Como se mencionó anteriormente, el uso de la fórmula de Eulerpara el diseño es completamente válido si la columna a tratar esperfectamente recta, hechas de un material completamente homogéneo, enlas que los puntos de aplicación de la carga son perfectamente conocidos.

En realidad, esto no ocurre así. Para compensar todasimperfecciones que tienen las columnas reales, se utilizan códigos dediseño, los cuales son productos de ensayos mecánicos que se llevan acabo simulando condiciones reales de construcción y trabajo de elementossometidos a cargas axiales de compresión.

A continuación mostraremos algunos ejemplos de códigos dediseño para columnas hechas de distintos materiales.

Tema 6 - ColumnasSección 6 - Diseño de columnas sometidas a carga axial céntrica



Diseño de columnas bajo cargaaxial céntrica

Columnas de aceroLas columnas de acero estructural se diseñan con base en

fórmulas propuestas por el Structural Stability Research Council (SSRC). Adichas formulas se le ha aplicado factores de seguridad convenientes, y elAmerican Institute of Steel Construction (AISC) las ha adoptado comoespecificaciones para la industria de construcción. Para columnas largas, seutiliza la ecuación de Euler con un factor de seguridad de 12/23:

para

Donde el valor mínimo de relación de esbeltez efectiva válido parala relación viene dado por:

Tema 6 - ColumnasSección 6 - Diseño de columnas bajo carga axial céntrica



)/(2312 2

rKLE

perm

200

rLK

rLK

c

yc

Er

LK

2

(6.6.1)

(6.6.2)

En columnas con relaciones de esbeltez menores se usa un ajusteparabólico, con un factor de seguridad dictado por una compleja relación:

para




3

3

2

2

)/()/(

81

)/()/(

83

35

)/()/(1

cc

cperm

rKLrKL

rKLrKL

rKLrKL

cr

LKr

LK

(6.6.3)

Columnas de aluminioLa Aluminium Association especifica el diseño de columnas de

aluminio por medio de tres ecuaciones. Par cada tipo de aluminio hay unjuego específico de ecuaciones. Por ejemplo, para el caso de la aleacióncomún de aluminio (2014-T6) se usa:




ksiperm 28 120

r

LK(6.6.4)para

ksirKLperm )/(23,07,30 5512

r

LK(6.6.5)para

2)/(54000

rKLksi

perm r

LK 55 (6.6.6)para

Columnas de maderaLas Aluminium Association especifica el diseño de columnas de

aluminio por medio de tres ecuaciones. Par cada tipo de aluminio hay unjuego específico de ecuaciones. Por ejemplo, para el caso de la aleacióncomún de aluminio (2014-T6) se usa:




ksiperm 20,1 110

d

LK(6.6.7)para

ksidKLperm

2

0,26/

31120,1 2611

dLK

(6.6.8)para

2)/(5400

dKLksi

perm 5026

d

LK (6.6.9)para

Tema 6 - ColumnasSección 7 - Diseño de columnas sometidas a carga axial excéntrica



Diseño de columnas bajo cargaaxial excéntrica

Existen varias formas de tratar casos donde la carga en la columnaes excéntrica. Trataremos en esta ocasión los métodos más comunes: elmétodo del esfuerzo admisible y el método de interacción.

Método del esfuerzo admisible. En este caso, se comparan delesfuerzo máximo producido en la viga y el esfuerzo admisible dictado por laecuación de Euler. El esfuerzo máximo vendría dado por:

IcM

AP max (6.7.1)




El esfuerzo admisible según la ecuación de Euler:

Y debe cumplirse:

Método de Interacción. Se llama así pues en él se observancómo interactúan las tensiones producidas por la carga de compresión y porel momento flector ejercidos en la viga.

2

2

)/( rLE

adm

(6.7.2)

adm max (6.7.3)




En este caso, la condición que debe cumplirse es:

Donde “[adm]axial” y “[adm]flexión” se calculan a partir de códigos dediseño estipulados para carga axial y carga excéntrica respectivamente.Note que a diferencia del caso anterior, los esfuerzos producidos por cargaaxial y flexión se comparan por separado con el esfuerzo crítico para cadacaso. Según el método anterior se comparan ambos esfuerzos respecto alesfuerzo admisible proporcionado por la ecuación de Euler.

1flexiónadmaxialadm

IcM

AP

(6.7.4)

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