mechanika i wytrzymaŁoŚĆ materiaŁÓw

MECHANIKA I WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW

Wykład 3

Podstawy i zasady dynamiki

Wprowadzenie

DYNAMIKA jest działem mechaniki opisującym ruch układu materialnego pod wpływem sił działających na ten układ.

Oparta jest na zasadach sformułowanych przez Newtona w traktacie: Philosophiae naturalia principia mathematica (1687) .

Zasady dynamiki klasycznej Newtona

Zasada pierwsza Punkt materialny, na który nie działają żadne siły lub działają siły wzajemnie równoważące się, pozostaje względem układu odniesienia w spoczynku lub ruchu jednostajnego prostoliniowego.

Zasada druga Zmiana ilości ruchu (pędu) jest proporcjonalna względem siły działającej i ma kierunek prostej, wzdłuż której ta siła działa.

Dla m = const


Zasada trzecia (akcji i reakcji) Każdemu działaniu towarzyszy równe, lecz przeciwnie zwrócone oddziaływanie.


Zasada czwarta (prawo superpozycji) Jeśli na punkt materialny o masie m działa jednocześnie kilka sił, to punkt uzyskuje przyspieszenie równe sumie geometrycznej przyspieszeń, jakie uzyskałby w wyniku niezależnego działania każdej z sił.


Zasada piąta (prawo grawitacji) Każde dwa punkty materialne przyciągają się wzajemnie z siłą wprost proporcjonalną do iloczynu mas (m1, m2) i odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległości r między nimi. Kierunek siły leży na prostej łączącej te punkty.

- stała grawitacji k


Rozpędzamy wózek z przyspieszeniem . Musimy więc działać siłą równą , . Zgodnie z zasadą akcji i reakcji na nasze ręce działa taka sama siła pochodząca od wózka, lecz zwrócona przeciwnie. Jest to siła bezwładności ( d’Alemberta )

Siła bezwładności a

amF

D

Ciężarek o masie m obracany na nici wokół punktu 0 poddany jest działaniu siłyskierowanej do środka 0.

Nić jest rozciągana siłą bezwładności nazywamy ją czasem siłą odśrodkową

namF

D

Siła bezwładności

Niech po dowolnym torze porusza się punkt materialny o masie m. Na punkt ten działa siła nadając, mu przyspieszenia całkowitego . Siłę F oraz przyspieszenie a rozłożymy na kierunek styczny i normalny do toru, otrzymamy:

F

a

siłę styczną do toru

siłę normalną do toru

tF

nF


Poruszającemu się punktowi przypiszemy siłę bezwładności , równą co do modułu sile , lecz zwróconą przeciwnie. Siłę tę możemy również rozłożyć na kierunek styczny i normalny do toru.

amD

F

Styczna siła bezwładności

Normalna siła bezwładności

tD

nD


Siła bezwładności ma wartość równą iloczynowi masy przez przyspieszenie ruchu. Jej kierunek jest taki jak kierunek przyspieszenia ruchu, zaś zwrot jest zawsze przeciwny niż zwrot przyspieszenia.

Siła bezwładności jest równa zeru wtedy, gdy w ruchu nie występuje przyspieszenie. W szczególności, styczna siła bezwładności nie występuje w ruchu jednostajnym punktu, normalna siła bezwładności jest równa zeru w ruchu prostoliniowym.


W ruchu swobodnego punktu materialnego układ sił czynnych równoważy się z siłą bezwładności.

Zasada D’Alemberta

W ruchu punktu nieswobodnego siły czynne i reakcje więzów równoważą się z siłą bezwładności.

Tak więc wprowadzając do zagadnień dynamiki siłę bezwładności sprowadzamy je do zagadnień statyki. Metodę tę nazywamy metodą kinetostatyki.

Zasada D’Alemberta

Rozpatrzmy ruch masy m zawieszonej na końcu liny rozwijającej się z bębna. Załóżmy, że przyspieszenie opadającej masy wynosi .

Na rozważaną masę działa siła ciężkości , siła napięcia w linie i siła bezwładności , zwróconą przeciw przyspieszeniu. Warunek równowagi:

Przykład

a

G

S

D

Rys. 8

Przykład

ag

Po podstawieniu

stąd

W przypadku swobodnego spadku masy , siła napięcia liny będzie równa zeru. Przy jednostajnym ruchu masy siła w linie będzie równa sile ciężkości.

Punkt materialny o masie m porusza się pod wpływem układu sił

Drugą zasadę Newtona zapiszemy w postaci:

Pęd punktu materialnego

Wektor nazywany jest pędem lub ilością ruchu punktu materialnego.

n21 FFF

,....,,

vm p

Po wprowadzeniu pojęcia pędu, drugą zasadę Newtona możemy przedstawić w postaci

Pochodna pędu punktu materialnego względem czasu jest równa sumie sił działających na dany punkt.

Pęd punktu materialnego

W przypadku gdy na punkt materialny nie działają siły lub siły działające równoważą się, pęd punktu materialnego jest stały.

Zasada zachowania pędu punktu materialnego

Drugą zasadę Newtona przepiszemy w postaci

Zasada pędu masy i impulsu siły

Impuls elementarny siły działającej na punkt materialny jest równy przyrostowi elementarnego pędu tego punktu.

Po oznaczeniu

otrzymamy

Elementarny impuls siły

Całkując obustronnie poprzednie równanie otrzymamy

dt2

1

t

t

F

- jest impulsem całkowity siły F w przedziale czasu t2-t1,

otrzymamy

Przyrost pędu masy poruszającego się punktu jest równy impulsowi całkowitemu sił działających.

Zasada pędu masy i impulsu siły

Stwierdzamy więc, że dla zmiany pędu masy niezbędny jest określony czas działania siły. Siły działające nieskończenie krótko lub, praktycznie biorąc, mające bardzo krótki czas działania nazywamy siłami chwilowymi (działanie nogi gracza na piłkę, siły przy uderzeniu kul bilardowych) w odróżnieniu od sił ciągłych, do której zaliczamy np. siłę ciężkości.

Z równania tego wynika, że zmiana wektora pędu będzie tym intensywniejsza, im większa będzie siła oraz im mniejsza będzie masa m i pęd początkowy .

F

1p

PĘD MASY. IMPULS SIŁY

KRĘT PUNKTU MATERIALNEGOPo dowolnym torze porusza się punkt o masie m, z prędkością . Obierzmy dowolny punkt 0 jako początek układu stałego x, y, z i połączmy go z poruszającym się punktem promieniem-wektorem .

v

r

Krętem poruszającego się punktu materialnego względem obranego bieguna 0 nazywamy wektor równy iloczynowi wektorowemu promienia, przez pęd poruszającego się punktu.

Kręt jest więc momentem pędu względem obranego bieguna.

Po zróżniczkujemy wektora krętu względem czasu otrzymamy

czyli

Pochodna krętu względem czasu

Iloczyn wektorowy wektorów równoległych , natomiast iloczyn przedstawia moment sił działających na poruszający się punkt materialny względem obranego bieguna 0. Tak więc

0vmv

amr

Pochodna wektora krętu względem czasu jest równa momentowi głównemu wszystkich sił działających na dany punkt materialny.

Pochodna krętu względem czasu

Zasada zachowania krętu

Jeżeli moment sił działających na poruszający się punkt materialny jest względem jakiegoś bieguna jest równy zeru, to kręt poruszającego się punktu względem tego bieguna jest wektorem stałym.

DYNAMICZNE RÓWNANIA RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO

Po podstawieniu

oraz

Otrzymamy dynamiczne równaniami ruchu

Z drugiej zasady dynamiki

Przy analizie ruchu punktu stosuje się w mechanice oprócz układu kartezjańskiego również inne układy ortogonalne. Równania ruchu w tych układach otrzymamy uwzględniając znane z kinematyki wzory przedstawiające przyspieszenia w tych układach.Tak na przykład w biegunowym układzie współrzędnych dynamiczne równania ruchu maja postać:

,

W układzie współrzędnych walcowych, równania te będą wyglądały następująco:


W kinematyce podaliśmy składowe przyspieszenia w naturalnym układzie współrzędnych. Opierając się na tych składowych napiszemy dynamiczne równania ruchu w naturalnym układzie współrzędnych

Wreszcie podamy jeszcze dynamiczne równania ruchu we współrzędnych kulistych:


Rozwiązanie równań dynamicznych sprowadza się do dwóch zagadnień zwanych niekiedy dwoma zadaniami dynamiki.

1. Zadanie pierwsze polega na tym, że mamy parametryczne równania toru, po którym porusza się punkt materialny, czyli mamy określone równania

,

)(txx )(tyy )(tzz , Chcemy natomiast wyznaczyć siłę , pod której wpływem porusza się

punkt materialny Zadanie to rozwiązuje się w prosty sposób. Różniczkując dwukrotnie względem czasu równania parametryczne, określamy składowe przyspieszenia, podstawiając je do dynamicznych równań ruchu znajdujemy szukane składowe siły działającej, a więc i wektor siły.

F


2. Bardziej złożone jest drugie zadanie dynamiki. Polega ono na wyznaczeniu (przy danej masie i sile) przyspieszenia, prędkości i toru poruszającego się punktu.

W zadaniu tym musimy mieć określoną siłę działającą. Możemy tu rozróżnić następujące przypadki.

a) Siła jest wektorem stałym, np. siła ciężkości, tarcie, b) Siła jest funkcją czasu, np. siła odśrodkowa wahadła,c) Siła zależy od położenia, np. siła sprężystości, siła ciężkości przy

uwzględnieniu dużego obszaru, d) Siła zależy od prędkości poruszającego się punktu, np. opór

powietrza.W najogólniejszym przypadku równania ruchu w współrzędnych

kartezjańskich b miały postać


Całka ogólna tych równań (o ile istnieje) ma postać trzech równań zawierających sześć stałych całkowania. Różniczkując te równania i uwzględniając warunki początkowe dla t=0

, oxx oxx

, oyy oyy

ozz ozz ,

określimy parametryczne równania toru ),,,,,,(1 tzyxzyxfx oooooo ),,,,,,(2 tzyxzyxfy oooooo ),,,,,,(3 tzyxzyxfz oooooo

Ten układ równań określa ruch punktu, na który działają znane siły i który w chwili początkowej zajmował określone położenie i miał określoną prędkość początkową.


CAŁKOWANIE RÓWNAŃ RUCHU Określenie siły na podstawie parametrycznych równań toru. Masa m = 4 kg porusza się po torze określonym parametrycznymi równaniami

62t4t 2 3 x m, 4 t3y 2 , m.

Określić działająca siłę. Różniczkujemy dwukrotnie względem czasu i znajdujemy składowe przyspieszenia

Podstawiając je do równań ruchu znajdujemy szukaną siłę

lub w postaci wektorowej

F

Ruch pod wpływem siły . W tym przypadku równanie dynamiczne ma postać

0F

, czyli 0am

0r

Po scałkowaniu i przyjęciu, że w chwili t = 0 , otrzymamyoo vr

oo vr Całkując drugi raz i uwzględniając, że dla t = 0 , otrzymamyorr

Dochodzimy w ten sposób do znanych równań ruchu jednostajnego i prostoliniowego.

CAŁKOWANIE RÓWNAŃ RUCHU

Po dwukrotnym scałkowaniu i przyjęciu warunków początkowych: dla t = 0 oraz dla będzie

Ruch pod wpływem siły stałej . Napiszemy równanie ruchu w postaci

constF

oo vr orr

r


Ruch pod wpływem siły, która jest funkcją położenia. Jako przykład rozpatrzmy ruch punktu materialnego o masie m wystrzelonego z planety o masie M (rys. 9). Równanie ruchu ma postać

ale

lub

Po całkowaniu otrzymujemy równanie

Rys. 9


Obliczymy, na jaką wysokość H wzniesie się punkt materialny wyrzucony z planety o promieniu R, jeżeli nadano mu prędkość początkową vo. Podstawimy więc v = 0, x = H, xo = R otrzymamy

po przekształceniu

Zastanówmy się, z jaką prędkością należy wyrzucić punkt materialny z planety, aby na nią nie wrócił, czyli aby stał się satelitą planety.

Prędkość tę, zwaną prędkością ucieczki v∞, otrzymamy, podstawiając do wzoru vo = v∞ oraz H = ∞. Na prędkość ucieczki otrzymamy wyrażenie


Na powierzchni Ziemi siła grawitacji ma wartość

Prędkość ucieczki dla Ziemi będzie

Przyjmując w szczególności R = 6340 km oraz g = 9,81 m/s2 otrzymamy

v∞ ≈ 11,8 km/s ≈ 42 500 km/h. Jest to prędkość, jaką należy nadać ciału, aby stało się ono satelitą Ziemi.


RUCH WZGLĘDNY PUNKTU MATERIALNEGO– układ ruchomy wykonuje ruch postępowy

Względem układu stałego ruch punktu jest określony równaniem

W układzie ruchomym ruch określony jest więc równaniem

oraz

uu maD

w którym nazywamy siłą bezwładności unoszenia. Jest ona równa iloczynowi masy punktu przez przyspieszenie unoszenia i jest zwrócona przeciwnie niż . ua

(17)

Równanie ruchu przyjmuje następującą postać:

Względem ruchomego układu odniesienia wykonującego ruch postępowy punkt materialny porusza się tak, jakby działała na niego,

oprócz sił danych, jeszcze pomyślana siła bezwładności unoszenia.

Zasada względności mechaniki klasycznej:

Za pomocą żadnych zjawisk mechanicznych nie możemy wykazaćistnienia prostoliniowego, jednostajnego ruchu postępowego układu

odniesienia.


Rys. 8

Ostatecznie:

Dla punkt materialny będzie poruszał się w dół. W przeciwnym przypadku punkt będzie poruszał się do góry.

Gdy , punkt pozostanie w spoczynku lub w ruchu jednostajnym prostoliniowym (względem ruchomej płaszczyzny).

tggau

tggau


RUCH WZGLĘDNY PUNKTU MATERIALNEGO– układ ruchomy wykonuje ruch obrotowy

W układzie stałym równanie ruchu będzie następujące:

oraz

Równanie ruchu w układzie ruchomym przyjmie postać:

– siła bezwładności unoszenia,

– siła bezwładności unoszenia Coriolisa.

uu maD

cc maD

(18)

Względem ruchomego układu odniesienia wykonującego ruch obrotowy punkt materialny porusza się tak jakby działała na niego, oprócz sil danych, jeszcze pomyślana siła bezwładności unoszenia i

pomyślana siła bezwładności Coriolisa.

W ruchu obrotowym przyspieszenie całkowite jest sumą geometryczną przyspieszenia obrotowego i doosiowego, czyli

w związku z tym

(19)

(20)


– obrotowa (styczna) siła bezwładności,

– poosiowa (normalna) siła bezwładności,

oo maD

dd maD

oD


dD cDprzy czym

Rys. 9

Ruch punktu wzdłuż prostej l opisuje równanie

Rozwiązaniem ogólnym będzie wyrażenie

mechanika i wytrzymaŁoŚĆ materiaŁÓw

Documents