mechanika...gruparectan.pl 3 wprowadzenie napisaliśmy „mechanika w pigułce” po to by stworzyć...

gruparectan.pl

Rectan

MECHANIKA

W PIGUŁCE

Mały przewodnik po podstawach z Mechaniki

Ogólnej

gruparectan.pl

2

Spis Treści Wprowadzenie ................................................................................................................................3

Rozdział 1. Rozwiązywanie belek i ram statycznie wyznaczalnych ........................................4

1. Podstawowe jednostki i zależności między nimi ....................................................................... 5

2. Zależności kątowe .......................................................................................................................... 7

3. Właściwości funkcji liniowej .......................................................................................................... 9

4. Funkcja kwadratowa i jej własności ........................................................................................... 13

5. Kontrukcje statycznie wyznaczalne i niewyznaczalne ............................................................ 17

6. Rodzaje podstawowych podpór i ich działanie ........................................................................ 20

7. Zasada działania sił w przegubie ............................................................................................... 22

8. Rozpatrywanie działania siły pod kątem i jej rzut na oś X i Y ............................................... 23

9. Obciążenie rozłożone .................................................................................................................. 25

10. Moment zginający .................................................................................................................... 27

11. Wykresy sił wewnętrzych i ich wzory dla układów prostych .............................................. 30

12. Przykład nr 1: Obliczyć reakcje podporowe i siły wewnętrzne w belce statycznie wyznaczalnej ......................................................................................................................................... 37

13. Przykład nr 2: Wyznaczyć reakcje i obliczyć MTN w ramie statycznie wyznaczalnej ... 48

Rozdział 2. Rozwiązywanie kratownic statycznie wyznaczalnych ........................................ 71

1. Identyfikacja prętów zerowych ................................................................................................... 72

2. Metoda równoważenia węzłów .................................................................................................. 74

3. Metoda Rittera .............................................................................................................................. 78

4. Przykład nr 1: Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą

równoważenia węzłów, Rittera i Cremony ........................................................................................ 79

Rozdział 3. Charakterystyki geometryczne figur płaskich .................................................... 100

1. Wprowadzenie do obliczeń charakterystyk figur płaskich. ................................................... 101

2. Momenty statyczne figur płaskich. ........................................................................................... 102

3. Momenty bezwładności figur płaskich ..................................................................................... 105

4. Momenty dewiacji oraz główne centralne momenty bezwładności .................................... 108

5. Twierdzenie Steinera ................................................................................................................. 110

6. Przykład nr 1: Wyznaczyć położenie głównych centralnych osi bezwładności i obliczyć główne centralne momenty bezwładności .......................................................................................... 112

7. Przykład nr 2: Wyznaczyć położenie głównych centralnych osi bezwładności i obliczyć główne centralne momenty bezwładności ...................................................................................... 120

Zakończenie........................................................................................................................................... 133

O Nas ....................................................................................................................................................... 134

gruparectan.pl

3

Wprowadzenie

Napisaliśmy „Mechanika w pigułce” po to by stworzyć darmowy poradnik dla ludzi

rozpoczynających swoją przygodę na studiach inżynierskich. Z doświadczenia

wiemy, że studia te nie należą do najłatwieszych. Poradnik ten pozwoli Ci

przyswoić podstawy przedmiotu jakim jest Mechanika Ogólna. Oprócz zagadnień

teoretycznych zawiera także przykłady pokazujące jak krok po kroku poradzić

sobie z obliczaniem zadań, które z pewnością spotkasz na swojej drodze studując

kierunki techniczne. Sam e-book możesz także traktować jako takie mini

kompendium z podstawowymi zagadnieniami, do którego zawsze możesz zajrzeć,

by odświeżyć swoją wiedzę zwłaszcza przed kolokwium lub egzaminem. Pamiętaj

jednak, że nie zastąpi Ci kompletnie wiedzy jaką możesz znaleźć w książkach

bądź w materiałach z wykładów.

Cały poradnik składa się z trzech części. W rozdziale pierwszym zebrano

materiały, które pozwolą lepiej zrozumieć zagadnienia związane z

rozwiązywaniem układów statycznie wyznaczalych takich jak: belki i ramy. W

drugiej części z kolei dowiemy się więcej o kratownicach. Ostatnia część jest

poświęcona charakterystykom geometrycznym figur płaskich.

Zapraszamy do lektury!

Zespół Rectan

gruparectan.pl

4

Rozdział 1. Rozwiązywanie belek i ram

statycznie wyznaczalnych

gruparectan.pl

5

1. Podstawowe jednostki i zależności między nimi

Jednostki używane w obliczeniach budowlanych zdecydowanie różnią się od tych

używanych na codzień. Warto znać ich nazwy oraz podstawowe zależności

między nimi.

Podstawową jednostką siły jest niuton. Jest on równy nastepującej wartości:

𝑁 = 𝑚 × 𝑔 = 1 𝑘𝑔 × 𝑚/𝑠2

Gdzie :

N – niuton

m – masa

g – grawitacja

Zazwyczaj siła ,,P’’ jest podawana w kN (kiloniutonach). Mamy zatem następujące

zależności :

10 𝑁 ≈ 1 𝑘𝑔

1 𝑘𝑁 = 1000 𝑁 = 100 𝑘𝑔

1 𝑀𝑁 = 1000000 𝑁 = 100000 𝑘𝑔

Często spotykamy się także z jednostkami powierzchni ,,A’’ :

1 𝑚𝑚2 = 1 𝑚𝑚 ∙ 1 𝑚𝑚

1 𝑐𝑚2 = 10 𝑚𝑚 ∙ 10 𝑚𝑚 = 100 𝑚𝑚2

1 𝑑𝑚2 = 10 𝑐𝑚 ∙ 10 𝑐𝑚 = 100 𝑚𝑚 ∙ 100𝑚𝑚 = 10 000 𝑚𝑚2

1 𝑚2 = 10 𝑑𝑚 ∙ 10 𝑑𝑚 = 100 𝑐𝑚 ∙ 100𝑐𝑚 = 1000 𝑚m ∙ 1000mm

= 1 000 000 𝑚𝑚2

Mamy także momenty statyczne ,,S’’ :

1 𝑚𝑚3 = 1 𝑚𝑚 ∙ 1 𝑚𝑚 ∙ 1 𝑚𝑚

1 𝑐𝑚3 = 10 𝑚𝑚 ∙ 10 𝑚𝑚 ∙ 10 𝑚𝑚 = 1000 𝑚𝑚3

1 𝑑𝑚3 = 10 𝑐𝑚 ∙ 10 𝑐𝑚 ∙ 10 𝑐𝑚 = 100 𝑚𝑚 ∙ 100𝑚𝑚 ∙ 100𝑚𝑚 = 1 000 000 𝑚𝑚3

1 𝑚3 = 10 𝑑𝑚 ∙ 10 𝑑𝑚 ∙ 10 𝑑𝑚 = 100 𝑐𝑚 ∙ 100𝑐𝑚 ∙ 100𝑐𝑚 = 1000 𝑚m ∙ 1000mm ∙

1000mm = 1 000 000 000𝑚𝑚3

gruparectan.pl

6

Ostatnią jednostką wartą wspomnienia są momenty bezwładności ,,J’’ :

1 𝑚𝑚4 = 1 𝑚𝑚 ∙ 1 𝑚𝑚 ∙ 1 𝑚𝑚 ∙ 1𝑚𝑚

1 𝑐𝑚4 = 10 𝑚𝑚 ∙ 10 𝑚𝑚 ∙ 10 𝑚𝑚 ∙ 10 𝑚𝑚 = 10000 𝑚𝑚4

1 𝑑𝑚4 = 10 𝑐𝑚 ∙ 10 𝑐𝑚 ∙ 10 𝑐𝑚 ∙ 10 𝑐𝑚 = 100 𝑚𝑚 ∙ 100𝑚𝑚 ∙ 100𝑚𝑚 ∙ 100𝑚𝑚 =

1 00 000 000 𝑚𝑚4

1 𝑚4 = 10 𝑑𝑚 ∙ 10 𝑑𝑚 ∙ 10 𝑑𝑚 ∙ 10 𝑑𝑚 = 100 𝑐𝑚 ∙ 100𝑐𝑚 ∙ 100𝑐𝑚 ∙ 100𝑐𝑚 =

1000 𝑚𝑚 ∙ 1000mm ∙ 1000mm ∙ 1000mm = 1 000 000 000 000 𝑚𝑚4

Z powodu bardzo długiego zapisu zazwyczaj stosuje się skróconą formę w postaci

wartości pomnożonej przez dziesięć do odpowiedniej potęgi, np.:

2 𝑚4 = 2 ∙ 1012𝑚𝑚4

400 𝑐𝑚3 = 400 ∙ 10𝑚𝑚 ∙ 10𝑚𝑚 ∙ 10𝑚𝑚 = 400 ∙ 103 𝑚𝑚4 𝑙𝑢𝑏 4 ∙ 105 𝑚𝑚4

Czasami nawet wartości bardzo małe potrzebujemy wyrazić w jednostkach

wiekszych. Wtedy stosujemy zapis z wykorzystaniem potegi ujemnej, który

informuje nas o tym, ile zer powinno być po przecinku przed naszą liczbą np.:

40 𝑚𝑚4 = 40 ∙ 0,1 𝑐𝑚 ∙ 0,1 𝑐𝑚 ∙ 0,1 𝑐𝑚 ∙ 0,1 𝑐𝑚 = 40 ∙ 10−4 𝑐𝑚4 𝑙𝑢𝑏 4 ∙ 10−3 𝑐𝑚4

Można powiedzieć, że jeżeli przesuwamy przecinek w lewo to odejmujemy liczbę

od wykładnika potęgi, a jeśli w prawo to dodajemy.

Czasami musimy wykonać bardziej złożone obliczenia, ale zasada jest ta sama,

np. :

2 𝑘𝑁

𝑚2= 2 ∙

1000 𝑁

100𝑐𝑚 ∙ 100𝑐𝑚= 2 ∙

1000 𝑁

10000𝑐𝑚2= 2 ∙

1 𝑁

10𝑐𝑚2= 2 ∙ 10−1

𝑁

𝑐𝑚2= 0,2

𝑁

𝑐𝑚2

Płynna zamiana jednostek wymaga wprawy, więc warto poświęcić trochę czasu

na rozpisanie wszystkiego, zrozumienie i nie śpieszyć się.

gruparectan.pl

7

2. Zależności kątowe

W czasie studiów budowlanych wiele razy spotykamy się z problemem, gdy jakaś

siła, obciążenie lub podpora występują pod kątem. W takiej sytuacji warto się

zapoznać z podstawowoymi zależnościami kątowymi oraz ich wartościami

najczęściej używanymi w obliczeniach.

Mamy cztery podstawowe zależności w trójkącie:

• sinus (sin)

• cosinus (cos)

• tangens ( tg)

• cotangens (ctg).

Zależności te można opisać następująco:

𝑠𝑖𝑛𝛼 =𝑏

𝑥

Sinus alfa jest równy stosunkowi przyprostokątnej znajdującej się naprzeciwko

kąta do przeciwprostokątnej trójkąta.

gruparectan.pl

8

𝑐𝑜𝑠𝛼 =𝑎

𝑥

Cosinus alfa jest równy stosunkowi przyprostokątnej leżącej przy kącie do

przeciwprostokątnej trójkąta.

𝑡𝑔𝛼 =𝑏

𝑎

Tangens alfa jest równy stosunkowi przyprostokątnej znajdującej się naprzeciwko

kąta do przyprostokątnej leżącej przy kącie.

𝑐𝑡𝑔𝛼 =𝑎

𝑏

Cotangens alfa jest równy stosunkowi przyprostokątnej leżącej przy kącie do

przyprostokątnej znajdującej się naprzeciwko kąta.

Warto znać i rozumieć powyższe zależności, ponieważ są one bardzo często

używane zarówno podczas obliczeń inżynierskich i prac wykonawczych.

Podstawowe wartości dla kątów 0 °, 30 °, 45 °, 60 ° oraz 90 °:

Kąt α 0 ° 30 ° 45 ° 60 ° 90 °

Sinα 𝟎 𝟏

𝟐

√𝟐

𝟐

√𝟑

𝟐 𝟏

Cosα 𝟏 √𝟑

𝟐

√𝟐

𝟐

𝟏

𝟐 𝟎

Tgα 𝟎 √𝟑

𝟑 𝟏 √𝟑 -

Ctgα - √𝟑 𝟏 √𝟑

𝟑 𝟎

gruparectan.pl

9

3. Właściwości funkcji liniowej

Funkcja liniowa ma postać:

𝑦 = 𝑎 ∙ 𝑥 + 𝑏

Gdzie:

y – wartość funkcji

a – współczynnik kierunkowy prostej

b – wyraz wolny

Wykresem funkcji liniowej jest prosta. W zależności od współczynnika ,,a’’ funkcja

może być rosnąca, stała lub malejąca.

A) 𝑎 > 0

Wykres funkcji będzie rosnący, czyli wraz ze wzrostem wartości ,,x’’ wzrastać

będzie wartość ,,y’’.

gruparectan.pl

10

B) 𝑎 = 0

Wykres funkcji będzie stały.

gruparectan.pl

11

C) 𝑎 < 0

Wykres funkcji będzie malejący, czyli wraz ze wzrostem wartości ,,x’’ wartość ,,y’’

będzie maleć.

gruparectan.pl

12

Miejsce zerowe funkcji możemy wyznaczyć ze wzoru:

x0 = −𝑏

𝑎

Gdzie :

x0 – miejsce zerowe funkcji

a – współczynnik kierunkowy prostej

b – wyraz wolny

gruparectan.pl

13

4. Funkcja kwadratowa i jej własności

Funkcja kwadratowa jest jedną z najczęściej spotykanych funkcji

matematycznych. Z tego powodu warto przyjrzeć się jej bliżej i zapoznać się z jej

formą oraz własnościami.

Funkcję kwadratową opisać można równaniem:

𝑦 = a𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Gdzie :

y – wartość funkcji

a,b,c – stałe funkcji

x – zmienna funkcji

Wykresem tejże funkcji jest parabola, której ramiona mogą być skierowane w góre

lub w dół w zależności od znaku przed stałą ,,a’’.

A) 𝑎 > 0

gruparectan.pl

14

B) 𝑎 < 0

Jeżeli ,,a’’ jest równe zero to funkcja kwadratowa staje się liniową.

Aby określić miejsca zerowe funkcji kwadratowej możemy użyć następujących

wzorów:

∆= 𝑏2 − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐

Gdzie :

∆ – współczynnik potrzebny do obliczenia miejsc zerowych zwany wyróżnikiem

funkcji kwadratowej

b,a,c – stałe funkcji kwadratowej

Kiedy obliczymy wyróżnik możemy określić ilu miejsc zerowych, czyli punktów

przecięcia funkcji z osią ,,x’’ możemy się spodziewać.

∆ < 0 – brak miejsc zerowych

∆ = 0 – jedno miejsce zerowe

∆ > 0 – dwa miejsca zerowe

gruparectan.pl

15

Aby kontynuować obliczenia musimy znać pierwiastek z wyróżnika funkcji - √∆.

Następnie korzystając ze wzorów możemy obliczyć warość zmiennej ,,x’’, dla

której y = 0.

𝑥1 =−𝑏 − √∆

2𝑎

𝑥2 =−𝑏 + √∆

2𝑎

Funkcja przyjmuje wartość ekstremalną dla argumentu:

x =−𝑏

2𝑎

Jeżeli:

a < 0 – ekstremum będzie wartością maksymalna

a > 0 – ekstremum będzie wartością minimalną

Wartość ekstremalną liczymy ze wzoru:

w =−∆

4𝑎

Postaram się to zobrazować na rysunkach poniżej.

gruparectan.pl

16

A) 𝑎 < 0

B) 𝑎 > 0

gruparectan.pl

17

5. Kontrukcje statycznie wyznaczalne i

niewyznaczalne

Konstrukcje statycznie wyznaczalne w uproszczeniu to takie, w których siły

wewnętrzne pochodzą tylko i wyłącznie od obciążenia. Stopień statycznej

niewyznaczalności w tego typu kontrukcjach wynosi zero.

SSN

𝑤 − 3 ∙ 𝑡 = 0

Gdzie :

t - liczba tarcz

w - liczba więzów

Najprostszym przykładem tego typu konstrykcji jest belka podparta z jednej strony

podporą przegubowo - przesuwną, a z drugiej strony podporą przegubowo -

nieprzesuwną.

Dzięki możliwości przesuwu na podporze z lewej strony belka może spokojnie

pracować. Oznacza to, że w przypadku działania czynników zewnętrzych, np.

temperatury, kiedy materiał ulega wydłużeniu lub skróceniu nie powoduje to

dodatkowych naprężeń w przekroju elementu. Równocześnie układ pozostaje w

równowadze i jest nieruchomy. Możemy zatem wyznaczyć reakcje podporowe i

siły zewnętrzne z warunków równowagi.

gruparectan.pl

18

Każdy element pozostający w równowadze musi spełniać trzy podstawowe

warunki:

A) Suma sił na oś X elementu równa się zero

∑𝑃𝑥 = 0

Oznacza to, że wartość wszystkich sił działających prostopadle do osi elementu

musi się równoważyć.

B) Suma sił na oś Y elementu równa się zero

∑𝑃𝑦 = 0

Oznacza to, że wartość wszystkich sił działających równolegle do osi elementu

musi się równoważyć.

C) Suma momentów równa się zero

∑𝑀𝑝 = 0

Oznacza to, że suma momentów względem każdego punktu ,,p’’ przyjętego do

obliczeń elementu musi się równoważyć.

........................................................................................................................................................................

Konstrukcje statycznie niewyznaczalne to takie, w których siły wewnętrzne

pochodzą od obciążenia oraz naprężeń spowodowanych odkształceniami

elementu . Stopień statycznej niewyznaczalności w tego typu przypadkach będzie

większy od zera.

SSN

𝑤 − 3 ∙ 𝑡 > 0

Gdzie :

t- liczba tarcz

w- liczba więzów

gruparectan.pl

19

Przykładem tego typu konstrukcji jest np. belka podparta z obu stron podporą

przegubowo – nieprzesuwną.

Konstrukcja ta nie ma możliwości ruchu. Z tego powodu w przekroju elementu

bedą powstawać dodatkowe naprężenia w przekroju spowodowane działaniem

czynnikami zewnętrznymi.

SSN

𝑤 − 3 ∙ 𝑡 = 0

4 − 3 ∙ 1 = 1

Widzimy zatem, że układ jest przesztywniony, posiada on jedną reakcję wiecej niż

potrzeba, aby zapewnić równowagę.

Układów takich nie policzymy korzystając tylko z podstawowych warunków

równowagi. Z reguły jest to proces nieco bardziej skomplikowany.

gruparectan.pl

20

6. Rodzaje podstawowych podpór i ich działanie

1) Podpora przegubowo – nieprzesuwna

Podpora ta odbiera konstrukcji dwie możliwości ruchu. Blokuje ruch w pionie i

poziomie oraz możliwy jest obrót elementu.

2) Podpora przegubowo – przesuwna

Podpora ta odbiera konstrukcji jedną możliwość ruchu. Blokuje ruch w pionie oraz

możliwy jest obrót elementu i ruch w poziomie.

gruparectan.pl

21

3) Wspornik

Podpora ta odbiera konstrukcji 3 stopnie swobody. Żaden ruch nie jest zatem

możliwy.

gruparectan.pl

22

7. Zasada działania sił w przegubie

Przegub to miejsce spotkania dwóch elementów (tarcz lub prętów głównie), w

którym przekazywane są siły pionowe i poziome. Siły te jak pokazano na rysunku

mają przeciwne zwroty i się równoważą.

Ponieważ możliwy jest obrót, suma momentów w przegubie jest zawsze równa

zero. Jest to bardzo ważny warunek, często wykorzystywany do obliczania sił

oddziałujących na dany element konstrukcyjny.

∑𝑀𝑖 = 0

gruparectan.pl

23

8. Rozpatrywanie działania siły pod kątem i jej rzut na

oś X i Y

Siłę pod kątem możemy rozłożyć na duże składowe.

Jedna składowa działa pionowo na oś „x”, czyli prostopadle do elementu, a druga

poziomo na oś „y”,czyli równolegle do elementu.

Do obliczenia wartości siły w danym kierunku zazwyczaj wykorzystuje się

zależności kątowe sin i cos:

gruparectan.pl

24

𝑠𝑖𝑛𝛼 =𝑏

𝑎 → 𝑏 = 𝑎 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼

𝑐𝑜𝑠𝛼 =𝑐

𝑎 → 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼

Stąd siły Px i Py będą wynosić następująco:

𝑠𝑖𝑛30° =𝑃

𝑃𝑋 → 𝑃 = 𝑃𝑋 ∙ 𝑠𝑖𝑛30

°

𝑐𝑜𝑠30° =𝑃

𝑃𝑌 → 𝑃 = 𝑃𝑌 ∙ 𝑐𝑜𝑠30

°

lub

𝑠𝑖𝑛60° =𝑃

𝑃𝑌 → 𝑃 = 𝑃𝑌 ∙ 𝑠𝑖𝑛60

°

𝑐𝑜𝑠60° =𝑃

𝑃𝑋 → 𝑃 = 𝑃𝑋 ∙ 𝑐𝑜𝑠60

°

gruparectan.pl

25

9. Obciążenie rozłożone

Zazwyczaj wyróżniamy dwa typy obciążenia rozłożonego:

A) Obciążenie rozłożone równomiernie

𝑞 = 20𝑘𝑁/𝑚

𝑄 = 𝑞 ∙ 𝑙 = 20 ∙ 2 = 40𝑘𝑁

Gdzie:

Q – siła wypadkowa

q – wartość obciążenia rozłożonego

l – całkowita długość, na której działa obciążenie rozłożone

Jest to obciążenie rozłożone wzdłuż całego elementu lub jego fragmentu.

Jednostką tego obiążenia bedzie siła przypadająca na ustaloną długość zazwyczaj

kN/m (kiloniuton na metr). Wypadkową ,,Q’’ tego obciążenia będzie siła równa

iloczynowi wartości obciążenia oraz długości, na której występuje przyłożona

równo w połowie tej długości.

gruparectan.pl

26

B) Obciążenie rozłożone po trójkącie,

𝑞 = 20𝑘𝑁/𝑚

𝑄 =1

2∙ 𝑞 ∙ 𝑙 =

1

2∙ 20 ∙ 3 = 30𝑘𝑁

Gdzie :

Q – siła wypadkowa

q – wartość obciążenia rozłożonego

l – całkowita długość, na której działa obciążenie rozłożone

Jest to obciążenie rozłożone wzdłuż całego elementu lub jego fragmentu.

Jednostką tego obciążenia będzie siła przypadająca na ustaloną długość

zazwyczaj kN/m (kiloniuton na metr). Wypadkową ,,Q’’ tego obciążenia będzie siła

równa iloczynowi połowy wartości obciążenia oraz długości, na której występuje

przyłożona w jednej trzeciej wysokości trójkąta od jego podstawy lub dwóch

trzecich od jego wierzchołka.

gruparectan.pl

27

10. Moment zginający

Momentem zginającym nazywamy parę sił, które powodują obrót elementu. Wzór

określający wartość momentu działajacego w danym punkcie to:

M = P ∙ h

Gdzie:

P – jest to siła działająca na dany element

h – jest to ramię, czyli odległość siły do punktu względem, którego liczymy moment

Znak wartości momentu zależy od kierunku działania momentu na dany punkt.

Zazwyczaj przyjmuje się, że jeżeli moment ,,kręci’’ w prawo to jego znak jest

dodatni. Jeżeli w lewo to jego znak jest ujemny.

Jak widać na powyższym obrazku para sił na ramieniu ,,h’’ powoduje obrót

elementu w prawo, czyli moment będzie miał znak dodatni.

Patrząc na rysunek poniżej widzimy, że mamy sytuację odwrotną i wartość

momentu będzie ujemna. Jeżeli siła przechodzi przez punkt względem, którego

liczymy wartość momentów dla danego punktu to nie powoduje ona obrotu danego

elementu i wartość momentów pochodzących od tej siły będzie wynosić zero.

gruparectan.pl

28

Popatrzmy teraz na sytuację przedstawioną na poniższym rysunku.

Mamy belkę, na która dzialają dwie sily P1 i P2. Powiedzmy, ze chcemy znać

calkowitą wartość momentów w punkcie podarcia na podporze W1 więc:

∑𝑀𝑊1 = 𝑃1 ∙ 0 + 𝑃2 ∙ 𝑋 = 𝑃2 ∙ 𝑋

Suma momentów będzie równa sile P1 dzialającej na ramieniu zerowym, bo

przechodzi ona przez punkt, względem którego liczymy i sile P2 na ramieniu x,

ponieważ znajduje się ona w odległości x od punktu podparcia belki na podporze

W1.

Jeżeli chcielibyśmy policzyć sumę momentów względem punktu podparcia belki

na podporze W2 to obliczenia prezentują się następujaco:

gruparectan.pl

29

∑𝑀𝑊2 = 𝑃1 ∙ 0 + 𝑃2 ∙ 0 = 0

Wynika to z faktu, że dwie siły przechodzą przez punkt podparcia belki na

podporze W2, zatem wartość ramion, na których działają owe siły wynosi zero.

Zakładamy oczywiście, że obie siły działają w osiach belki, czyli mamy sytuację

przedstawioną na poniższym obrazku.

Mimo, że do obliczeń zakładamy, że belka jest elementem bardzo cieńkim w

rzeczywistości ma ona przekrój o odpowiednich wymiarach. Punkt podparcia na

podporze W2 to ta czarna kropka. Zazwyczaj rozpatrując dany element

konstrukcyjny zakładamy, że siły działają w osiach przekroju elementu, czyli tak

jak powyżej. Pozwala nam to uprościć rysunek belki i sprowadzić go do linii prostej.

gruparectan.pl

30

11. Wykresy sił wewnętrzych i ich wzory dla

układów prostych

Dla niektórych prostych elementów konstrukcyjnych jesteśmy w stanie wyznaczyć

wykresy sił wewnętrzych i ich wartości korzystając z prostych wzorów. Jest to

niezykle użyteczne i pozwala nam z mniejszą lub wiekszą dokładnością

oszacować jak wykres powinien wyglądać nawet w bardziej skomplikowanych

elementach.

1. Na początek zajmiemy się belkami wspornikowymi.

A) Siła skupiona

Schemat ten jest bardzo prosty i w zasadzie wszystko sprowadza się do obliczenia

reakcji we wsporniku.

gruparectan.pl

31

B) Moment przyłożony

Na element działa tylko moment skupiony, więc moment we wsporniku będzie go

równoważył.

C) Siła równomiernie rozłożona

gruparectan.pl

32

Wartość momentu będzie równa wartości siły równomiernie rozłożonej

pomnożonej przez odległość, na której ona działa oraz połowę tej odległości.

Wypadkowa tej siły wypada idealnie w środku, zatem ramię, na którym działa

moment jest równe połowie długości, na której działa siła równomiernie rozłożona.

Innymi słowy:

M = 𝑞 ∙ 𝑎 ×1

2∙ a =

𝑞 × 𝑎2

2

Wartość siły tnącej jest równa wartości siły wypadkowej obciążenia.

.................................................................................................................................

2. Teraz omówimy belki swobodnie podparte.

A) Moment skupiony

Wartość reakcji podporowych jest równa wartości momentu podzielonej przez

dlugość całkowitą belki. Siły tnące równe są wartości reakcji podporowych.

Wartości momentów liczymy mnożąc wartość reakcji podporowej przez odległość

pomiędzy podporą, a punktem przyłożenia momentu.

gruparectan.pl

33

B) Siła skupiona

Na początek spróbujmy policzyć reakcje w tej belce i sprawdzmy czy wzory są

poprawne.

∑MB = 0

R1 ∙ (𝑎 + 𝑏) − 𝑃 ∙ 𝑏 = 0

gruparectan.pl

34

R1 ∙ (𝑎 + 𝑏) = 𝑃 ∙ 𝑏

R1 =𝑃 ∙ 𝑏

(𝑎 + 𝑏)

∑MA = 0

−R2 ∙ (𝑎 + 𝑏) + 𝑃 ∙ 𝑎 = 0

R2 ∙ (𝑎 + 𝑏) = 𝑃 ∙ 𝑎

R2 =𝑃 ∙ 𝑎

(𝑎 + 𝑏)

Widzimy zatem, że wzory na reakcje podporowe są poprawne.Spróbujmy policzyć

wartość maksymalną momentu.

∑Mx =𝑃 ∙ 𝑏

(𝑎 + 𝑏)∙ 𝑎

gruparectan.pl

35

∑Mx =𝑃 ∙ 𝑏 ∙ 𝑎

(𝑎 + 𝑏)

Zatem maksymalny moment jest równy iloczynowi wartości reakcji podporowej

oraz odległości od podpory. Wzór jest zgodny. Jako ostatnie zostały nam wartości

sił tnących. Są one równe wartości reakcji podporowych.

C) Obciążenie równomiernie rozłożone

Wartości reakcji podporowych są równe wartości siły wypadkowej podzielonej

przez dwa, ponieważ obciążenie jest przekazywane jednakowo na każdą z dwóch

podpór. Wartości sił tnących równe są reakcjom podporowym. Moment obliczymy

jako iloczyn siły wypadkowej obciążenia przyłożonej w połowie długości elementu

i jest odległości od podpory. Mamy zatem:

∑M =𝑞 ∙ 𝑎

2∙1

2∙ 𝑎

gruparectan.pl

36

Pierwsza wartość jest to reakcja podporowa, która jest stała. Druga natomiast to

połowa odległości na której rozpatrujemy działanie obciążenia. My chcemy znać

moment równo w środku przęsła, więc za drugie ,,a’’ musimy podstawić połowę tej

wartości. Zatem:

∑M =𝑞 ∙ 𝑎

2∙1

2∙1

2∙ 𝑎 =

𝑞 ∙ 𝑎2

8

Wszystko się zgadza. Warto znać te wzory oraz wiedzieć skąd się biorą. Z czasem

są one nieocenioną pomocą w trakcie obliczeń i pozwalają wyrobić sobie nawyk

przewidywania kształtu wykresów w skomplikowancyh elementach.

gruparectan.pl

37

12. Przykład nr 1: Obliczyć reakcje podporowe i

siły wewnętrzne w belce statycznie wyznaczalnej

1. Schemat statyczny

2. Stopień statycznej niewyznaczalności

Liczba tarcz = 3

Liczba więzi = 9

3t = w

3 x 3 = 9

9 = 9

Warunek spełniony. Układ jest statycznie wyznaczalny.

gruparectan.pl

38

3. Reakcje podporowe

Suma momentów w przegubie jest równa zero. Korzystając z tego faktu możemy

wyznaczyć reakcje podporowe rozkładając belkę na tarcze i układając

odpowiednie równania.

Najpierw policzymy reakcję pionową w węźle nr 5, obliczając sumę momentów

względem węzła nr 4 dla tarczy nr III

𝑀4 = 0

−𝑉5 ∙ 3 𝑚 + 15 ∙ sin(45°) ∙ 3 𝑚 = 0

𝑉5 = 10.61𝑘𝑁

gruparectan.pl

39

Następnie dodajemy drugą tarczę i liczymy reakcję w węźle nr 3 obliczając sumę

momentów względem węzła nr 2.

∑𝑀2 = 0

−𝑉3 ∙ 3 𝑚 + 10 𝑘𝑁𝑚 + 15 𝑘𝑁 ∙ sin(45°) ∙ 7 𝑚 − 𝑉5 ∙ 7 𝑚 = 0

−3𝑉3 + 10 𝑘𝑁𝑚 + 10.61 𝑘𝑁 ∙ 7 𝑚 − 10.61 𝑘𝑁 ∙ 7 𝑚 = 0

3𝑉3 = 10 𝑘𝑁

𝑉3 = 3.33𝑘𝑁

Ostatnim krokiem jest rozpatrzenie całej belki i wyznaczenie reakcji we wsporniku

korzystając z warunków równowagi.

gruparectan.pl

40

∑𝑃𝑌 = 0

−𝐻1 + 15 𝑘𝑁 ∙ cos (45°) = 0

𝐻1 = 10.61𝑘𝑁

∑𝑃𝑋 = 0

𝑉1 − 10 𝑘𝑁/𝑚 ∙ 2 𝑚 + 𝑉3 + 𝑉5 − 15 𝑘𝑁 ∙ sin (45°) = 0

𝑉1 − 20 𝑘𝑁 + 3.33 𝑘𝑁 + 10.61 𝑘𝑁 − 10.61 𝑘𝑁 = 0

𝑉1 = 16.67𝑘𝑁

∑𝑀4 = 0

−𝑀1 + 𝑉1 ∙ 6 𝑚 − 10 𝑘𝑁/𝑚 ∙ 2 𝑚 ∙ 5 𝑚 + 𝑉3 ∙ 1 𝑚 + 15 𝑘𝑁 ∙ sin(45°) ∙ 3 𝑚 − 𝑉5 ∙ 3 𝑚

= 0

−𝑀1 + 6 𝑚 ∙ 16.67 𝑘𝑁 − 100 𝑘𝑁𝑚 + 10 𝑘𝑁𝑚 + 3.33 𝑘𝑁𝑚 + 31.82 𝑘𝑁𝑚

− 31.82 𝑘𝑁𝑚 = 0

𝑀1 = 100 𝑘𝑁𝑚 − 100 𝑘𝑁𝑚 + 10 𝑘𝑁𝑚 + 3.33 𝑘𝑁𝑚

𝑀1 = 13.33 𝑘𝑁m

4. Siły wewnętrzne

Następnym krokiem jest obliczenie sił wewnętrznych w belce. W tym celu musimy

ciąć belkę w miejscach przyłożenia sił i układać równania do wyliczenia sił

wewnętrznych.

gruparectan.pl

41

4.1. Momenty

Do obliczania momentów potrzebne nam są tylko siły pionowe i momenty

skupione. Pomijamy wszelkie siły poziome, ponieważ przechodzą one przez oś

belki. Oznacza to, że ramię działania tych sił wynosi zero, a co za tym idzie,

moment działający na belkę od pochodzący od tych rownież wynosi zero.

Przedział 1-2 0

gruparectan.pl

42

Mamy zatem dwa miejsca zerowe. Jedno w odległości 1.33 metra od wspornika,

a drugie na przegubie.

Dla x = 0 wartość funkcji wynosi:

5 ∙ 02 − 16.67 ∙ 0 + 13.33 = 13.33 𝑘𝑁m

Jest to wartość momentu we wsporniku.

Przedział 4-5 0

gruparectan.pl

43

∑𝑃𝑋 = 0

𝑉1 − 2𝑚 ∙ 10 𝑘𝑁/𝑚 + 𝑉𝑃 = 0

16.67 𝑘𝑁 − 2 𝑚 ∙ 10 𝑘𝑁/𝑚 + 𝑉𝑃 = 0

𝑉𝑃 = 3.33 𝑘𝑁

∑𝑌 = 0

−𝐻1 + 𝐻𝑃 = 0

𝐻𝑝 = 10.61 kN

Znając reakcje w przegubie możemy obliczyć momenty w środkowej części belki.

Przedział 2-3 0

gruparectan.pl

44

Obliczmy wartość momentu na podporze:

𝑀3 = −3.33 ∙ 3 = −10𝑘𝑁m

Na podporze występuje moment skupiony, który redukuje wykres momentów do

zera, ponieważ jest przeciwnego znaku.

Zatem nasz wykres momentów będzie wyglądał następująco:

4.2. Siły tnące

Do obliczania sił tnących potrzebne nam są tylko siły pionowe.

Przedział 1-2 0

gruparectan.pl

45

−𝑉1 + 10 𝑘𝑁/𝑚 ∙ 𝑥 + 𝑇(𝑋) = 0

𝑇(𝑋) = +𝑉1 − 10𝑥

𝑇(𝑋) = −10𝑥 + 16.67

𝑇(0) = −10 ∙ 0 + 16.67

𝑇(0) = 16.67𝑘𝑁

𝑇(2) = −10 ∙ 2 + 16.67 = −3.33𝑘𝑁

Przedział 2-4 0

gruparectan.pl

46

𝑇𝑋 + 15 𝑘𝑁 ∙ sin(45°) − 𝑉5 = 0

−𝑉5 + 15 𝑘𝑁 ∙ sin(45°) = −𝑇𝑋

𝑇𝑋 = 0

W tym przekroju belki nie wystepują żadne siły tnące. Wykres sił tnących będzie

prezentował się następująco:

4.3. Siły normalne

Do obliczenia sił normalnych bedą nam potrzebne tylko siły poziome.

gruparectan.pl

47

Z rysunku możemy odczytać, że w układzie wystepują tylko dwie siły poziome na

obu końcach belki. Z tego wynika, że cały element będzie rozciągany, ponieważ

siły bedą przenoszone na każdą tarcze poprzez przeguby.

Nasz końcowy wykres sił normalnych będzie wygladał następująco:

gruparectan.pl

48

13. Przykład nr 2: Wyznaczyć reakcje i obliczyć

MTN w ramie statycznie wyznaczalnej

1. Układ statyczny

Rys. 1. Układ statyczny

gruparectan.pl

49

2. Stopień statycznej niewyznaczalności SSN

Rys. 2. Podział na tarcze

Liczba tarcz t=2

Liczba więzi n= 2+2+2=6

Wzór: 3t=n

3 * 2 = 6

6=6

Układ jest statycznie wyznaczalny.

gruparectan.pl

50

3. Reakcje podporowe

Rys. 3. Reakcje podporowe do obliczenia

Mamy cztery niewiadome do obliczenia: M2, V2, V4 i H4:

Tarcza nr I, część 1-2

∑𝑀𝑊1 = 0

−20𝑘𝑁 ∙ 2𝑚 +𝑀2 = 0

𝑴𝟐 = 𝟒𝟎𝒌𝑵𝒎

gruparectan.pl

51

Tarcza nr II, część 1-3-4

∑𝐹𝑌 = 0

20𝑘𝑁 + 𝐻4 = 0

𝑯𝟒 = −𝟐𝟎𝒌𝑵

∑𝑀𝑊1 = 0

10𝑘𝑁/𝑚 ∙ 2𝑚 ∙ 1

2 ∙ 2𝑚 + 30𝑘𝑁𝑚 − 𝑉4 ∙ 3𝑚 − 𝐻4 ∙ 2.5𝑚 = 0

50𝑘𝑁 − 𝑉4 ∙ 3𝑚 − 𝐻4 ∙ 2.5𝑚 = 0

50𝑘𝑁 − 3𝑉4 − (−20𝑘𝑁) ∙ 2.5𝑚 = 0

50𝑘𝑁 − 3𝑉4 + 50𝑘𝑁

3𝑉4 = 100𝑘𝑁

𝑽𝟒 = 𝟑𝟑. 𝟑𝟑𝒌𝑵

∑𝐹𝑥 = 0

𝑉2 − 2 × 10𝑘𝑁 + 𝑉4 = 0

𝑉2 − 20𝑘𝑁 + 33.33𝑘𝑁

𝑽𝟐 = −𝟏𝟑. 𝟑𝟑𝒌𝑵

Lub możemy wszystko obliczyć przy pomocy układu równań:

{

10𝑘𝑁/𝑚 ∙ 2𝑚 ∙

1

2 ∙ 2𝑚 + 30𝑘𝑁𝑚 − 𝑉4 ∙ 3𝑚 − 𝐻4 ∙ 2.5𝑚 = 0

20𝑘𝑁 + 𝐻4 = 0𝑉2 − 2 ∙ 10𝑘𝑁 + 𝑉4 = 0−20𝑘𝑁 ∙ 2𝑚 +𝑀2 = 0

Z kolei jeżeli napotkamy trudniejsze przypadki obliczeń możemy dokonać

przy pomocy macierzy.

Suma momentów dla całej ramy (sprawdzenie):

∑𝑀𝑊1 = 0

𝑀2 − 2𝑚 ∙ 20𝑘𝑁 + 10𝑘𝑁 ∙ 2𝑚 ∙ 1

2 ∙ 2𝑚 + 30𝑘𝑁𝑚 + 𝐻4 ∙ 2.5𝑚 − 𝑉4 ∙ 3𝑚 = 0

40𝑘𝑁𝑚 − 40𝑘𝑁𝑚 + 20𝑘𝑁𝑚 + 30𝑘𝑁𝑚 + 50𝑘𝑁𝑚 − 100𝑘𝑁𝑚 = 0

0 = 0

gruparectan.pl

52

Rys. 4. Reakcje podporowe obliczone

gruparectan.pl

53

4. Obliczanie składowych sił pod kątem na podporze w węźle W4

Rys. 5. Obliczenie składowych sił pod kątem na podporze w węźle W4

𝑉𝑝𝑦 = 33.33𝑘𝑁 ∙ cos 22° = 30.90𝑘𝑁

𝑉𝑝𝑥 = 33.33𝑘𝑁 ∙ sin 22° = 12.49𝑘𝑁

𝐻𝑝𝑦 = 20𝑘𝑁 ∙ cos 68° = 7.49𝑘𝑁

𝐻𝑝𝑥 = 20𝑘𝑁 ∙ sin 68° = 18.54𝑘𝑁

gruparectan.pl

54

5. Siły wewnętrzne

Rys. 6. Podział ramy

gruparectan.pl

55

5.1. Siły w przegubie

Rys. 7. Siły w przegubie

∑𝑃𝑌 = 0

−𝐻1 = 20𝑘𝑁 = 0

𝐻1 = 20𝑘𝑁

∑𝑃𝑋 = 0

13.33𝑘𝑁 + 𝑉1 = 0

𝑉1 = −13.33𝑘𝑁

gruparectan.pl

56

5.2. Siły tnące

Przedział 1-1

∑𝑃𝑌 = 0

𝑇𝑥 = 0

Siła tnąca w punkcie 1 będzie równa 0, ponieważ nie występuje reakcja

podporowa poprzeczna.

.................................................................................................................................

gruparectan.pl

57

Przedział 2-2

∑𝑃𝑌 = 0

−𝑇𝑋 + 20𝑘𝑁 = 0

𝑇𝑋 = 20𝑘𝑁

W punkcie nr 2 występuje skok o 20kN, więc 𝑇𝑋 = 20𝑘𝑁

.................................................................................................................................

gruparectan.pl

58

Przedział 3-3 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐

∑𝑃𝑥𝑤1 = 0

𝑇𝑋1 − 13.33 = 0

𝑇𝑋1 = 13.33𝑘𝑁

∑𝑃𝑥𝑤3 = 0

−𝑇𝑋3 + 13.33 + 10 ∙ 𝑥 ∙1

2𝑥

𝑇𝑋3 = 13.33 + 5𝑥2

𝑇𝑋3 = 13.33 + 5 ∙ 22 = 33.33𝑘𝑁

W węźle nr 1 wartość tnącej będzie równa równoległej reakcji podporowej

W węźle nr 3 wartość tnącej będzie równa sumie wartości z węzła nr 1 i

wypadkowej z obciążenia. Siły z tych samych zwrotów.

.................................................................................................................................

gruparectan.pl

59

Przedział 5-5

∑𝑃𝑦 = 0

𝑇𝑋 + 20𝑘𝑁 ∙ sin 68° − 33.33 ∙ sin 22° = 0

𝑇𝑋 = 6.05𝑘𝑁

W punkcie nr W4 wartość będzie równa rożnicy sumy rzutów na oś „x” reakcji

podporowych. Siły są równych zwrotów. Na pręcie 4-5 nie występuje żadna

zmiana wartości sił tnących.

𝑇𝑋 = 𝐻𝑃𝑋 − 𝑉𝑃𝑌 = 18.54𝑘𝑁 − 12.49𝑘𝑁 = 6.05𝑘𝑁

.................................................................................................................................

Przedział 4-4

gruparectan.pl

60

To samo co w przedziale 5-5. Żadna siła nie dochodzi.

.................................................................................................................................

Rys. 8 Wykres sił tnących

gruparectan.pl

61

5.3. Siły normalne

Siły normalne możemy liczyć analogicznie do sił tnących, ale uwzględniamy tylko

siły podłużne.

Przedział 1-1

Wzdłuż pręta 1-2 działa reakcja podporowa.

∑𝑃𝑥 = 0

−𝑁𝑋 + 13.33 = 0

𝑁𝑋 = 13.33𝑘𝑁

.................................................................................................................................

gruparectan.pl

62

Przedział 2-2

∑𝑃𝑥 = 0

−𝑁𝑋 + 13.33 = 0

𝑁𝑋 = 13.33𝑘𝑁

.................................................................................................................................

Przedział 3-3

Wzdłuż pręta 1-3 działa siła podłużna 20kN.

gruparectan.pl

63

∑𝑃𝑦 = 0

𝑁𝑋 + 20 = 0

𝑁𝑋 = −20𝑘𝑁

.................................................................................................................................

Przedział 5-5

∑𝑃𝑥 = 0

−20𝑘𝑁 ∙ cos 68° − 33.33 ∙ cos 22° − 𝑁𝑋 = 0

𝑁𝑋 = −38.39𝑘𝑁

.................................................................................................................................

gruparectan.pl

64

Przedział 4-4

Wzdłuż pręta 3-4 działają siły podłużne pochodzące od reakcji podporowych. Obie

siły ściskają pręt.

∑𝑃𝑦 = 0

−20𝑘𝑁 ∙ cos 68° − 33.33 ∙ cos 22° − 𝑁𝑋 = 0

𝑁𝑋 = −38.39𝑘𝑁

.................................................................................................................................

gruparectan.pl

65

Rys. 9. Wykres sił normalnych

gruparectan.pl

66

5.4. Momenty zginające

Wykresy momentów najprościej jest policzyć licząć wartości tych wykresów w

punktach przyłożenia siły. Uwzględniamy siły poprzeczne i momenty skupione.

Siły podłużne nie dają wartości momentów, ponieważ ich ramię wynosi 0.

Zaczynamy od podpór.

Przedział 1-1

Moment w tym przedziale będzie równy momentowi na podporze.

∑𝑀 = 0

−𝑀𝑋 + 40𝑘𝑁𝑚 = 0

𝑀𝑋 = 40𝑘𝑁𝑚

.................................................................................................................................

gruparectan.pl

67

Przedział 2-2 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐

∑𝑀 = 0

−𝑀𝑋 + 40𝑘𝑁𝑚 − 20𝑘𝑁 ∙ 𝑥 = 0

𝑀𝑋 = 40𝑘𝑁𝑚 − 20𝑘𝑁 ∙ 𝑥

𝑀2 = 40𝑘𝑁𝑚 − 20𝑘𝑁 ∙ 0 = 40𝑘𝑁𝑚

𝑀1 = 40𝑘𝑁 − 20𝑘𝑁 ∙ 2𝑚 = 0𝑘𝑁𝑚

Od punktu, w którym znajduje się siła 20kN moment będzie liniowo malał,

ponieważ skraca się długość ramienia na jakim działa siła.

.................................................................................................................................

gruparectan.pl

68

Przedział 3-3

Moment w przegubie jest zawsze równy 0 (węzeł nr 1).

∑𝑀 = 0

𝑀𝑋 − 13.33𝑘𝑁 ∙ 𝑥 −10𝑘𝑁

𝑚∙ 𝑥 ∙

1

2∙ 𝑥 = 0

𝑀𝑋 = 13.33𝑘𝑁 ∙ 𝑥 + 5𝑥2

𝑀𝑋 = 13.33𝑘𝑁 ∙ 2𝑚 + 5 ∙ 22 = 26.66𝑘𝑁𝑚 + 20𝑘𝑁𝑚 = 46.66𝑘𝑁𝑚

.................................................................................................................................

Przedział 5-5

Moment na podporze jest równy 0 (węzeł nr 4).

𝑀𝑋 = 0

gruparectan.pl

69

.................................................................................................................................

Przedział 4-4

Moment na środku pręta w3-4 będzie pochodził od składowych reakcji

podporowych.

∑𝑀 = 0

𝑀𝑋 = −𝑉𝑃𝑋 ∙ 1.35𝑚 + 𝐻𝑃𝑋 ∙ 1.35𝑚

𝑀𝑥 = −12.49𝑘𝑁 ∙ 1.35𝑚 + 18.54𝑘𝑁 ∙ 1.35𝑚 = 8.17𝑘𝑁𝑚

Występuje tutaj także skok momentu o 30kNm.

𝑀𝑋 + 30𝑘𝑁 = 38.17𝑘𝑁

Moment w węźle nr 3 będzie pochodził od składowych reakcji podporowych na

odpowiednim ramieniu oraz momentowi przyłożonemu.

∑𝑀1−1 = 0

𝑀𝑋 = 30𝑘𝑁 + 𝐻𝑃𝑋 ∙ 2.7𝑚 − 𝑉𝑃𝑋 × 1.35𝑚

𝑀𝑋 = 30𝑘𝑁 + 18.54𝑘𝑁 ∙ 2.7𝑚 − 12.49𝑘𝑁 ∙ 2.7𝑚 = 46.34𝑘𝑁

gruparectan.pl

70

Od węzła nr 3 momenty będą maleć do podpory, gdzie ich wartość będzie zerowa.

Wykres będzie malejącą funkcją kwadratową ze względu na rodzaj obciążenia.

.................................................................................................................................

Rys. 11. Wykres momentów zginających

gruparectan.pl

71

Rozdział 2. Rozwiązywanie kratownic

statycznie wyznaczalnych

gruparectan.pl

72

1. Identyfikacja prętów zerowych

Pręt zerowy to taki, w którym nie działąją żadne siły. Możemy spotkać trzy

przypadki.

Przypadek nr 1 Jeżeli mamy dwa pręty połączone węzłem (pod dowolnym kątem) i nie ma żadnej siły albo reakcji w węźle wtedy oba pręty są zerowe.

Przypadek nr 2 Jeżeli mamy trzy pręty połączone w węźle i jeżeli dwa pręty są ułożone w w tej samej linii oraz żadna siła albo reakcja nie działa w tym węźle wtedy pręt trzeci (nie będący w tej samej linii) jest prętem zerowym.

gruparectan.pl

73

Przypadek nr 3 Jeżeli mamy dwa pręty połączone węzłem (pod dowlnym kątem) i węzeł ten jest obciążony siłą, która jest w tej samej linii co pręt, wtedy drugi pręt jest zerowy.

gruparectan.pl

74

2. Metoda równoważenia węzłów

Metoda ta umożliwia obliczanie sił wewnętrzych w prętach kratownicy. Polega ona

na sprawdzeniu czy sumy rzutów na os ,,x’’ oraz ,,y’’ w danym węźle bedą wynosić

zero.

Powiedzmy, że chcemy policzyć pręty w powyższej kratownicy. Pierwszym

etapem jest policzenie reakcji podporowych.

gruparectan.pl

75

Policzmy najpierw sumę momentów względem punktu podparcia na podporze B.

∑𝑀𝐵 = 0

𝑉𝐴 ∙ 1𝑚 + 10 𝑘𝑁 ∙ 1𝑚 = 0

𝑉𝐴 = −10 𝑘𝑁

Znając wartość reakcji na podporze A możemy obliczyć VB korzystając z sumy

rzutów na oś ,,x’’.

∑𝑃𝑋 = 0

−𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 + 10 𝑘𝑁 = 0

−(−10kN) − 𝑉𝑏 + 10 𝑘𝑁 = 0

𝑉𝑏 = 0

Następnie możemy skorzystać z sumy rzutów na oś ,,y’’.

∑𝑃𝑦 = 0

10 𝑘𝑁 − 𝑉𝐵 = 0

𝑉𝐵 = 10 𝑘𝑁

Znamy zatem wszystkie reakcje podporowe. Możemy przejść do obliczania reakcji

w węzłach kratownicy. Jako pierwszy rozpatrzymy węzeł podporowy A.

∑𝑃𝑋 = 0

𝑉𝐴 − 𝑆1 = 0

𝑉𝐴 = 𝑆1

𝑆1 = 10 𝑘𝑁

gruparectan.pl

76

∑𝑃𝑦 = 0

𝑆2 = 0

Poznaliśmy wartości sił w dwóch pierwszych węzłach. Teraz pora na węzeł

podporowy B.

∑𝑃𝑋 = 0

−𝑆3 − 𝑉𝐵 = 0

𝑆3 = 0

∑𝑃𝑦 = 0

−𝑆2 − 𝐻𝐵 − 𝑆4 ∙ cos(45°) = 0

−0 − 10𝑘𝑁 − 𝑆4 ∙ 0.71 = 0

𝑆4 ∙ 0.71 = −10𝑘𝑁

𝑆4 = −14,08𝑘𝑁

Została nam jeszcze do policzenia siła w pręcie górnym.

gruparectan.pl

77

∑𝑃𝑦 = 0

10 𝑘𝑁 + 𝑆4 ∙ cos(45°) + 𝑆5 = 0

10𝑘𝑁 − 14,08 ∙ 0,71 + 𝑆5 = 0

𝑆5 = 0

Takim własnie sposobem policzyliśmy kratownicę metodą równoważenia węzłów.

Jest to podstawowa metoda analityczna do obliczania sił w prętach kratownic

statycznie wyznaczalnych.

gruparectan.pl

78

3. Metoda Rittera

Metoda Rittera to kolejny sposób oblicznia sił w prętach kratownic statycznie

wyznaczalnych.Często jest ona używana do sprawdzenia wyników liczonych

metodą równoważenia węzłów lub po prostu jako ułatwienie obliczeń. W wielu

przypadkach jest ona szybsza niż metoda równoważenia węzłów.

Na powyższym rysunku mamy przykład cięcia metodą Rittera przez trzy pręty

kratownicy. Spróbujmy obliczyć sumę momentów względem punktów P1 i P2.

∑𝑀𝑃1 = 0

−𝑆2 ∙ 1𝑚 = 0

𝑆2 = 0 𝑘𝑁

∑𝑀𝑃2 = 0

𝑆5 ∙ 1 𝑚 + −𝑉𝐴 ∙ 1 m + 10 kN ∙ 1 m = 0

𝑆5 = 0 𝑘𝑁

W tym konkretnym przypadku siły w prętach są zerowe, ale nie jest to istotne.

Ważne aby zauważyć i odpowiednio dobrać punkty, według których liczymy sumę

momentów i zredukować ilość prętów w obliczeniach do jednej niewiadomej.

Wówczas wyskorzystując tą metodę znacznie przyśpieszymy proces obliczeń.

gruparectan.pl

79

4. Przykład nr 1: Dla danej kratownicy wyznaczyć siły

we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów,

Rittera i Cremony

Wszystkie obliczenia i rysunki zostały wygenerowane w programie Kratos.

1. Szkic projektu

2. Ustalenie warunku statycznej niewyznaczalności układu

Warunek konieczny geometrycznej niezmienności i statycznej wyznaczalności

kratownicy o strukturze prostej:

p=2w-r

gdzie:

p= liczba prętów kratownicy

w= liczba węzłów kratownicy

r= liczba stopni swobody odbieranych przez podpory

Kratownica:

gruparectan.pl

80

warunek: 7=7, warunek jest spełniony

3. Obliczenie kątów nachylenia prętów do osi X wariant z sin i cos

Pręt Nr 2-5=45°

Pręt Nr 1-2=(-45)°

gruparectan.pl

81

4. Wyznaczenie Reakcji Podporowych

siły i reakcje będziemy przyjmować za dodatnie, gdy są skierowane zgodnie z

układem osi XY

siły i reakcje będziemy przyjmować za ujemne, gdy są skierowane niezgodnie z

układem osi XY

siły i reakcje będziemy rzutować na oś X i oś Y wyliczając odpowiednie składowe

rzutów

gdzie β to kąt zawarty pomiędzy siłą lub reakcją a osią X na podstawie tego kąta

można określić zwrot siły lub reakcji

.................................................................................................................................

Uwalniamy daną kratownicę od więzów i wyznaczamy reakcje podporowe.

Ogólne warunki równowagi

........................................................................................................................................................................

suma wszystkich momentów od składowych reakcji i obciążeń siłowych w punkcie,

w którym Moment = 0

przyjmujemy punkt, w którym znajduje się podpora przegubowa, w tym punkcie

Moment = 0

.................................................................................................................................................................

suma wszystkich składowych reakcji i obciążeń siłowych rzutowana na oś X

.................................................................................................................................................................

suma wszystkich składowych reakcji i obciążeń siłowych rzutowana na oś Y

gruparectan.pl

82

5. Szkic projektu

6. Sprawdzenie Reakcji Podporowych

Sprawdzenia poprawności wyznaczenia reakcji podporowych dokonamy w

punkcie [(-1);(-1)] w naszym układzie XY

(Punkt musi być tak dobrany, aby wszystkie siły i reakcje brały udział w

obliczaniu Sumy Momentów)

W punkcie tym Suma Momentów od wszystkich sił i reakcji powinna wynosić M=0

gruparectan.pl

83

suma wszystkich momentów od składowych reakcji i obciążeń siłowych w

punkcie, w którym Moment = 0

7. Sprawdzenie Reakcji Podporowych Rzut X

8. Sprawdzenie Reakcji Podporowych Rzut Y

9. Obliczenie kątów nachylenia prętów do osi X wariant z tan

Xb-Xa i Yb-Ya to różnica pomiędzy współrzędnymi końca pręta

Pręt Nr 0-2=0°

Pręt Nr 2-3=90°

Pręt Nr 1-3=0°

Pręt Nr 1-0=(-90)°

gruparectan.pl

84

Pręt Nr 3-5=0°

Pręt Nr 2-5=45°

Pręt Nr 1-2=(-45)°

10. Obliczenie sił w Prętach

Aby Węzeł był w równowadze to suma jego składowych sił i reakcji rzutowana na

oś X i oś Y musi być równa zero

To suma sił prętowych rzutowana na oś X w Węźle.

To suma reakcji podporowych rzutowana na oś X w Węźle - jeżeli jest istnieje.

To suma odziaływania zewnętrznego rzutowana na oś X w Węźle - jeżeli jest

przyłożona.

To suma sił prętowych rzutowana na oś Y w Węźle.

To suma reakcji podporowych rzutowana na oś Y w Węźle - jeżeli jest istnieje.

To suma odziaływania zewnętrznego rzutowana na oś Y w Węźle - jeżeli jest

przyłożona.

Obliczenia rozpoczynamy od Węzła, dla którego liczba niewiadomych sił w

Prętach jest najmniejsza i wynosi maksymalnie 2

.................................................................................................................................

gruparectan.pl

85

Wybrano Węzeł =0

Rzutowanie na oś X

Rzutowanie na oś Y

Układ równań

.................................................................................................................................

Wybrano Węzeł =5

gruparectan.pl

86

Rzutowanie na oś X

Rzutowanie na oś Y

Układ równań

.................................................................................................................................

................................

Wybrano Węzeł =1

Rzutowanie na oś X

Rzutowanie na oś Y

gruparectan.pl

87

Układ równań

.................................................................................................................................

Wybrano Węzeł =2

Rzutowanie na oś X

Rzutowanie na oś Y

równanie

lub równanie

gruparectan.pl

88

.................................................................................................................................................................

11. Szkic projektu

Tabela 1 Siły Prętowe

Pręt N [kN] kąt [ °] L [m] funkcja

0-2 -20.0000 0.0000 1.0000 ściskany

2-3 0.0000 90.0000 1.0000 jest zerowy

1-3 15.0000 0.0000 1.0000 rozciągany

0-1 0.0000 90.0000 1.0000 jest zerowy

3-5 15.0000 0.0000 1.0000 rozciągany

2-5 -21.2132 45.0000 1.4142 ściskany

1-2 7.0711 -45.0000 1.4142 rozciągany

gruparectan.pl

89

12. Obliczenie sił w Prętach Metodą Rittera

Punkt Rittera jest to punkt w którym przecinają się linie działania pozostałych

dwóch sił. W naszym przypadku oznaczono je żółtym prostokątem.

Wyliczając Moment Statyczny w Punkcie Rittera od sił i reakcji należących do

odciętej części Kratownicy redukujemy w równaniach te niewiadome siły które się

przecinają, ponieważ ramię działania momentu tych sił wynosi zero.

Odcięta Kratownica jest w równowadze kiedy suma jej składowych sił i reakcji

rzutowana na oś X i oś Y jest równa zero.

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

gdzie:

To suma sił odciętej kratownicy rzutowana na oś X.

To suma reakcji podporowych odciętej kratownicy rzutowana na oś X - jeżeli

reakcje należą do części.

To suma odziaływania zewnętrznego odciętej kratownicy rzutowana na oś X -

jeżeli siły są przyłożone do części.

To suma sił prętowych odciętej kratownicy rzutowana na oś Y.

To suma reakcji podporowych odciętej kratownicy rzutowana na oś Y - jeżeli

reakcje należą do części.

To suma odziaływania zewnętrznego odciętej kratownicy rzutowana na oś Y -

jeżeli siły są przyłożone do części.

.................................................................................................................................

gruparectan.pl

90

Wybrano Przecięcie =0

W tym przypadku są dwa punkty Rittera i do policzenia sił należy rozwiązać układ

równań:

1: Suma Momentu Statycznego względem punktu Rittera

2: Rzutując niewiadome siły oraz oddziaływania P na oś X

3: Rzutując niewiadome siły oddziaływania P na oś Y

Oczywiste jest że wyznaczenie siły w pręcie nie przecinającym się w punkcie

Rittera jest natychmiastowe ponieważ tylko ta siła tworzy równanie z jedną

niewiadomą

Moment względem Punktu Rittera [0;1]

gruparectan.pl

91



Rzutowanie na oś X

Rzutowanie na oś Y

.................................................................................................................................

gruparectan.pl

92

Wybrano Przecięcie =1

W tym przypadku są trzy punkty Rittera i do policzenia sił należy rozwiązać

pojedyncze równanie:

1: Suma Momentu Statycznego względem punktu Rittera nr.1



Oczywiste jest że wyznaczenie siły w pręcie nie przecinającym się w punkcie

Rittera jest natychmiastowe ponieważ tylko ta siła tworzy równanie z jedną

niewiadomą.

Wygodnie jest policzyć od razu ramię działania siły nieznanej ze wzoru na

przekątną trójkąta prostokątnego. Gdzie bokami trójkąta są różnice współrzędnych

X i Y pomiędzy Punktem Rittera a danym punktem siły szukanej. I jeżeli siła

prętowa nie działa pod kątem prostym to cosinus kąta działania siły jest pomiędzy

prętem a rzutem prostopadłym na kierunek prostej ramienia.

gruparectan.pl

93

Oczywiście można również obliczyć moment tej siły obliczając jej składowe

względem osi X i względem osi Y.


.................................................................................................................................


.................................................................................................................................


.................................................................................................................................

gruparectan.pl

94

13. Obliczenie sił w Prętach Metodą Cremony

Grot wektora jest oznaczony numerem pręta, pokazane są tylko pierwsze wektory

iteracji (wektor drugiej iteracji będzie miał oczywiście zwrot przeciwny do

pierwszego). Obliczamy reakcje podporowe kratownicy i rysujemy wielobok sił i

reakcji. Porządek rysowania przyjmujemy zgodnie z ruchem wskazówek zegara.

Rys. 1. Plan Maxwell

gruparectan.pl

95

Rys. 2. Wielobok sił i reakcji

........................................................................................................................................................................

gruparectan.pl

96

Wybrano Węzeł =0

gruparectan.pl

97

Wybrano Węzeł =5

gruparectan.pl

98

Wybrano Węzeł =1

.................................................................................................................................................................

gruparectan.pl

99

Rys. Wykres Cremony

.................................................................................................................................

Aby określić wartości sił należy porównać wykreślone wektory sił ze

skalownikiem

.................................................................................................................................

gruparectan.pl

100

Rozdział 3. Charakterystyki geometryczne

figur płaskich

gruparectan.pl

101

1. Wprowadzenie do obliczeń charakterystyk figur

płaskich.

Główne charakterystyki pojedyńczych figur płaskich zazwyczaj zawarte są w

tablicach (np. dwuteowniki, teowniki) lub obliczane są z gotowych wzorów.

Zupełnie inaczej przedstawia się sytuacja, w której mamy do policzenia

charakterystyki dla całego układu figur. Musimy wtedy skorzystać z wzorów i

wykonać cały szerego obliczeń. Dla ułatwienia zamieszczam poniżej podstawowy

tok obliczeń dla układu figur płaskich:

1. Obliczenie charakterystyk pojedyńczych figur względem osi

geometrycznego środka tych figur (momenty statyczne, pole przekroju,

momenty bezwładności, momenty dewiacji)

2. Przyjęcie osi początkowych układu

3. Obliczenie różnicy odległości pomiędzy osiami geometrycznego środka

figur oraz przyjętymi osiami początkowymi

4. Obliczenie momentu statycznego całego układu oraz wyznaczenie osi

głównych

5. Obliczenie momentów bezwładności oraz dewiacji względem osi głównych

6. Obliczenie kąta α

7. Wyznaczenie osi głównych centralnych układu oraz obliczenie wartości

ekstremalych momentów bezwładności względem tych osi.

Mając powyższy schemat oraz materiały pomocnicze zawarte w dalszej części

tego działu znacznie łatwiej jest zrozumieć cały proces oraz obliczenia zawarte w

projekcie, który możecie państwo kupić na naszej stronie.

gruparectan.pl

102

2. Momenty statyczne figur płaskich.

Momentem statycznym figury płaskiej nazywamy iloczyn pola powierzchni tej

figury oraz różnicy odległości jej środka geometrycnego i osi, względem której jest

liczony.

𝑆𝑥𝑖 = 𝐴𝑖 ∙ 𝑦𝑖

𝑆𝑦𝑖 = 𝐴𝑖 ∙ 𝑥𝑖

Moment statyczny może przyjmować wartość ujemną. Jest wyrażany w jednostach

długości do trzeciej potęgi (𝑚3, 𝑐𝑚3 𝑖𝑡𝑑.) Jeżeli suma cząstkowych momentów

statycznych jest równa zero to oś, względem której jest liczony, stanowi

geometryczny środek figury. Środek geometryczny możemy obliczyć korzystając

z poniższych wzorów:

𝑥𝑐 =∑𝑆𝑦𝑖∑𝐴𝑖

=∑𝐴𝑖𝑥𝑖∑𝐴𝑖

=𝐴1 ∙ 𝑥1 + 𝐴2 ∙ 𝑥2 + 𝐴3 ∙ 𝑥3 +⋯+ 𝐴𝑛 ∙ 𝑥𝑛

𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 +⋯+ 𝐴𝑛

𝑦𝑐 =∑𝑆𝑥𝑖∑𝐴𝑖

=∑𝐴𝑖𝑦𝑖∑𝐴𝑖

=𝐴1 ∙ 𝑦1 + 𝐴2 ∙ 𝑦2 + 𝐴3 ∙ 𝑦3 +⋯+ 𝐴𝑛 ∙ 𝑦𝑛

𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 +⋯+ 𝐴𝑛

Załóżmy zatem, że chcemy się dowiedzieć gdzie jest geometryczny środek

poniższego układu figur.

Najpierw musimy policzyć moment statyczny względem osi, które możemy dobrać

wedle upodobania oraz pole całkowite wszystkich figur.

gruparectan.pl

103

Zajmijmy się najpierw figurą po prawej stronie.

𝐴1 = 𝑎 ∙ 𝑏 = 2 𝑐𝑚 ∙ 3 𝑐𝑚 = 6 𝑐𝑚2

Sx1 = 𝐴1 ∙ 𝑦1 = 6 𝑐𝑚2 ∙ 3 𝑐𝑚 ∙

1

2= 9 𝑐𝑚3

Sy1 = 𝐴1 ∙ 𝑥1 = 6 𝑐𝑚2 ∙ (2 𝑐𝑚 + 2 𝑐𝑚 ∙

1

2) = 18 𝑐𝑚3

Teraz obliczmy niezbędne charakterystyki figury po lewej stronie.

𝐴2 = 𝑎 ∙ 𝑏 = 2 𝑐𝑚 ∙ 3 𝑐𝑚 = 6 𝑐𝑚2

Sx2 = 𝐴2 ∙ 𝑦2 = 6 𝑐𝑚2 ∙ 3 𝑐𝑚 ∙

1

2= 9 𝑐𝑚3

Sy2 = 𝐴2 ∙ 𝑥2 = 6 𝑐𝑚2 ∙ 2 𝑐𝑚 ∙

1

2= 6 𝑐𝑚3

Mając powyższe dane możemy obliczyć geometryczny środek układu figur

płaskich.


=Sy1 + Sy2𝐴1 + 𝐴2

=18 𝑐𝑚3 + 6 𝑐𝑚3

6 𝑐𝑚2 + 6 𝑐𝑚2=24 𝑐𝑚3

12 𝑐𝑚2= 2 𝑐𝑚


=Sx1 + Sx2𝐴1 + 𝐴2

=9 𝑐𝑚3 + 9 𝑐𝑚3

6 𝑐𝑚2 + 6 𝑐𝑚2=18 𝑐𝑚3

12 𝑐𝑚2= 1,5 𝑐𝑚

gruparectan.pl

104

Obliczyliśmy w końcu współrzędne środka geometrycznego układu. Pora nanieść

to na nasz rysunek.

gruparectan.pl

105

3. Momenty bezwładności figur płaskich

Momentem bezwładności figury płaskiej nazywamy iloczyn jej pola oraz kwadratu

odległości od osi, względem której jest on liczony.

Momenty bezwładności zazwyczaj jest wyrażany w jednostkach długości do

czwartej potęgi m4 (𝑚4, 𝑐𝑚4 𝑖𝑡𝑑.). Im większy moment bezwładności względem

danej osi, tym przekrój jest sztywniejszy, a co za tym idzie, ugięcie powstałe w

wyniku przyłozenia siły będzie mniejsze.

Spójrzmy na powyższy rysunek. Wyobraźmy sobie, że jest to przekrój poprzeczny

belki. Naszym zadaniem jest sprawdzić w jakiej pozycji ją ustawić, aby ugięcie po

obciążeniu było najmniejsze. Musimy zatem obliczyć momenty bezwładności tego

przekroju względem każdej z osi znajdujących się w centrum figury.

gruparectan.pl

106

W tabeli poniżej przedstawiono parametry geometryczne najczęściej spotykanych

figur płaskich.

Figura Jxi Jyi Dxyi

𝑏 ∙ ℎ3

12

𝑏3 ∙ ℎ

12 0

𝑏 ∙ ℎ3

36

𝑏3 ∙ ℎ

36 ±

𝑏2 ∙ ℎ2

72

𝜋 ∙ 𝑟4

4

𝜋 ∙ 𝑟4

4 0

0.0549𝑟4 0.0549𝑟4 𝑟4

8−4𝑟4

9𝜋=

= −0.0165𝑟4

gruparectan.pl

107

0.1098𝑟4 𝜋 ∙ 𝑟4

8 0

Jx =𝑏 ∙ ℎ3

12=2 cm ∙ 3 cm3

12= 4,5 𝑐𝑚4

Jy =ℎ ∙ 𝑏3

12=3 cm ∙ 2 cm3

12= 2 𝑐𝑚4

Wzory na pola figur płaskich możemy znaleźć w tablicach inżynierskich. W

przypadku kształtowników tablice często sporządza sam producent.

Jx = 4.5 cm4 > Jy = 2 cm

4

Wynika z tego, że belkę najlepiej ustawić w pozycji, w której siła jest prostopadła

do osi ,,x’’. Dokładnie jak na rysunku poniżej.

gruparectan.pl

108

4. Momenty dewiacji oraz główne centralne

momenty bezwładności

Moment dewiacji informuje nas o stopniu rozproszenia pola między osiami. Mogą

przyjmować zarówno wartości dodatnie jak i ujmne. Obliczamy go ze wzoru:

D𝑥𝑦 = ∑D𝑥𝑛𝑦𝑛 + ∑𝐴𝑛 ∙ x ∙ y

Gdzie :

Dxy – moment dewiacji układu figur płaskich

Dxnyn – moment dewiacji pojedyńczej figury

An – pole pojedynczej figury

x – różnica odległości pomiędzy osią ,,x’’ środka geometrycznego figury oraz osią,

względem której liczymy charakterystyki

y – różnica odległości pomiędzy osią ,,y’’ środka geometrycznego figury oraz osią,

względem której liczymy charakterystyki

O tym, czy moment dewiacji będzie dodatni czy ujemny decyduje przewaga pola

figury znajdującej się na dodatnich lub ujemnych ćwiartkach układu

współrzędnych. Poniższy rysunek ilustruje rozkład pola względem osi układu.

Zazwyczaj patrząc na rysunek możemy określić, czy większa część pola

znajduje się w ćwiartkach ujemnych lub dodatnich. Jeżeli mamy wątpliwości

gruparectan.pl

109

należy podzielić figurę na mniejsze części i obliczyć różnicę pól dodatnich i

ujemnych.

Główne centralne osie bezwładności to te, względem których suma momentów

dewiacji jest równa zero, a momenty bezwładności osiagają wartości ekstremalne.

Są to osie głowne obrócone o kąt alfa.

𝑡𝑔2𝛼 = 2D𝑥𝑦

J𝑦 − J𝑥

Gdzie :


Jy – moment bezwładności względem osi ,,y’’ układu figur płaskich

Jx – moment bezwładności względem osi ,,x’’ układu figur płaskich

Wartości ekstremalne momentów bezwładności w tym układzie przyjmą wartości:

𝐽𝑚𝑎𝑥 =𝐽𝑥 + 𝐽𝑦

2+ √(

𝐽𝑥 − 𝐽𝑦

2)2

+ 𝐷𝑥𝑦2

𝐽𝑚𝑖𝑛 =𝐽𝑥 + 𝐽𝑦

2− √(

𝐽𝑥 − 𝐽𝑦

2)2

+ 𝐷𝑥𝑦2

Gdzie:

Jmax – wartość maksymalna momentu bezwładności układu

Jmin – wartość minimalna momentu bezwładności układu


Jy – moment bezwładności względem osi ,,y’’ układu figur płaskich

Jx – moment bezwładności względem osi ,,x’’ układu figur płaskich

gruparectan.pl

110

5. Twierdzenie Steinera

Twierdzenie Steinera wykorzystywane jest do obliczania momentów bezwładności

układów figur płaskich lub pojedyńczych figur względem osi nie będącej

geometrycznym środkiem. Aby obliczyć momenty bezwładności względem takiej

osi możemy wykorzystać poniższe wzory.

𝐽𝑥 = 𝐽𝑥𝑛 + 𝐴 ∙ 𝑦2

𝐽𝑦 = 𝐽𝑦𝑛 + 𝐴 ∙ 𝑥2

Gdzie:

Jx, Jy – całkowity moment bezwładności względem osi ,,x’’ lub ,,y’’

Jxn, Jyn – moment bezwładności pojedyńczej figury względem osi jej

geometrycznego środka

A – pole figury płaskiej

x, y – różnica odległości pomiędzy osiami znajdującymi się w geometrycznym

środku figury oraz osiami, względem których obliczamy moment bezwładności.

Postarajmy się obliczyć moment bezwładności kwadratu względem dowolnej osi.

Najpierw policzmy moment bezwładności kwadratu względem jego

geometrycznego środka. Dla większości figur płaskich wzory można znaleźć w

tablicach inżynierskich.

𝐽𝑥1 =ℎ4

12=14

12= 0.083 𝑚4

gruparectan.pl

111

𝐽𝑦1 =ℎ4

12=14

12= 0.083 𝑚4

Gdzie :

h – długość boku kwadratu

Teraz musimy policzyć pole kwadratu:

𝐴 = ℎ2

𝐴 = 1 𝑚2

oraz odległości Δx2, Δy2 będace różnicą odległości między osiami x1 i X oraz y1 i Y:

𝛥𝑥2 = 1,5 m + 0,5 ∙ 1 m = 1.75 m

𝛥𝑦2 = 1,5 m + 0,5 ∙ 1 m = 1.75 m

Mając wszystkie potrzebne dane możemy zatem obliczyć potrzebne nam

momenty bezwładności.

𝐽𝑥 = 𝐽𝑥𝑛 + 𝐴 ∙ 𝑦2 = 0.083 𝑚4 + 1 𝑚2 ∙ (1.75 𝑚)2 = 3,146 𝑚4

𝐽𝑦 = 𝐽𝑦𝑛 + 𝐴 ∙ 𝑥2 = 0.083 𝑚4 + 1 𝑚2 ∙ (1.75 𝑚)2 = 3,146 𝑚4

gruparectan.pl

112

6. Przykład nr 1: Wyznaczyć położenie głównych

centralnych osi bezwładności i obliczyć główne

centralne momenty bezwładności

1. Schemat zadania

Rys. 3.1.1. Schemat zadania dla przykładu nr 1

Oznaczenia:

i – nr figury, gdzie i = (1,2,3,...,n)

𝐴𝑖[𝑐𝑚4] - pole powierzchni figury „i”

𝑥𝑖[𝑐𝑚] - współrzędna X środka ciężkości figury „i” w układzie globalnym

𝑦𝑖[𝑐𝑚] - współrzędna Y środka ciężkości figury „i” w układzie globalnym

𝑆𝑖 = (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖) – współrzędne środka ciężkości figury „i”

𝑆𝑦𝑖 = 𝐴𝑖 ∙ 𝑥𝑖 [𝑐𝑚3] - moment statyczny względem osi Y w układzie globalnym

𝑆𝑥𝑖 = 𝐴𝑖 ∙ 𝑦𝑖 [𝑐𝑚3] - moment statyczny względem osi X w układzie globalnym

𝑥𝑐[𝑐𝑚] - współrzędna X środka ciężkości układu figur (figury całkowitej) w

układzie globalnym

𝑦𝑐[𝑐𝑚] - współrzędna Y środka ciężkości układu figur (figury całkowitej) w

układzie globalnym

𝑥𝑐𝑖[𝑐𝑚] - odległość X pomiędzy środkiem ciężkości figury „i” a środkiem

ciężkości całego układu

gruparectan.pl

113

𝑦𝑐𝑖[𝑐𝑚] - odległość Y pomiędzy środkiem ciężkości figury „i” a środkiem


𝐽𝑥𝑖[𝑐𝑚4] - moment bezwładności figury „i” względem osi X

𝐽𝑦𝑖[𝑐𝑚4] - moment bezwładności figury „i” względem osi Y

𝐷𝑥𝑦𝑖[𝑐𝑚4] - dewiacyjny moment bezwładności figury „i”

𝐴𝑖 ∙ 𝑥𝑐𝑖2 [𝑐𝑚4] - element do wzoru Steinera

𝐴𝑖 ∙ 𝑦𝑐𝑖2 [𝑐𝑚4] - element do wzoru Steinera

𝐴𝑖 ∙ 𝑥𝑐𝑖 ∙ 𝑦𝑐𝑖 [𝑐𝑚4] - element do wzoru Steinera

[... tablice] lub Red Book - wartość odczytana z Tablic Inżynierskich

.................................................................................................................................

Transformacja Kątowa : współrzędne X i Y obliczamy ze wzorów na obrót układu:

gdzie X i Y to punkt po transformacji kątowej a X' i Y' punkt przed transformacją

kątową

gdzie φ to kąt obrotu figury układ X'Y' względem układu XY - jeżeli jest on zgodny

z ruchem wskazówek zegara to jest on ujemny

.................................................................................................................................

Transformacja Liniowa : współrzędne xi i yi obliczamy ze wzorów na przesunięcie

układu:

gdzie dX i dY to współrzędne początku figury w nowym położeniu

𝑥𝑖 = 𝑑𝑋 + 𝑥′

𝑦𝑖 = 𝑑𝑌 + 𝑦′

.................................................................................................................................

2. Charakterystyki geometryczne poszczególnych figur układu

2.1. Figura nr 1 – prostokąt b=2[cm] h=3[cm]

Figura wejściowa Figura po transformacji

𝑆′1 = (𝑥′1, 𝑦′1) 𝑥′1 = 1[𝑐𝑚] 𝑦′1 = 1.5[𝑐𝑚]

𝑆1 = (𝑥1, 𝑦1) 𝑥1 = 1[𝑐𝑚] 𝑦2 = 1.5[𝑐𝑚]

kąt OX: 0 [stopnie]

transformacja liniowa figury do punktu docelowego o wektor dX i dY

𝑑𝑋 = 0[𝑐𝑚]

𝑑𝑌 = 0[𝑐𝑚]

gruparectan.pl

114

x1 = 0 +𝑏

2= 0 +

2 𝑐𝑚

2= 1 [𝑐𝑚]

y1 = 0 +ℎ

2= 0 +

3 𝑐𝑚

2= 1.5 [𝑐𝑚]

𝐴1 = 𝑏 ∙ ℎ = 2 𝑐𝑚 ∙ 3 𝑐𝑚 = 6 [𝑐𝑚]2

S1 = (𝑥1; 𝑦1) Sx1 = 𝐴1 ∙ 𝑦1 = 6 𝑐𝑚

2 ∙ 1.5 𝑐𝑚 = 9 [𝑐𝑚]3

Sy1 = 𝐴1 ∙ 𝑥1 = 6 𝑐𝑚2 ∙ 1 𝑐𝑚 = 6 [𝑐𝑚]3

Jx1 =𝑏 ∙ ℎ3

12=2 ∙ 33

12=54 𝑐𝑚4

12= 4.5 [𝑐𝑚]4

Jy1 =𝑏3 ∙ ℎ

12=23 ∙ 3

12=24 𝑐𝑚4

12= 2 [𝑐𝑚]4

Dxy1 = 0

2.2. Figura nr 2 – trójkąt b=3[cm] h=3[cm]

Figura wejściowa Figura po transformacji

𝑆′2 = (𝑥′2, 𝑦′2) 𝑥′2 = 1[𝑐𝑚] 𝑦′2 = 1[𝑐𝑚]

𝑆2 = (𝑥2, 𝑦2) 𝑥2 = 3[𝑐𝑚] 𝑦2 = 1[𝑐𝑚]

kąt OX: 0 [stopnie]

transformacja liniowa figury do punktu docelowego o wektor dX i dY

𝑑𝑋 = 2[𝑐𝑚]

𝑑𝑌 = 0[𝑐𝑚]

x2 = 2cm +𝑏

3= 2𝑐𝑚 +

3 𝑐𝑚

3= 3 [𝑐𝑚]

y2 = 0 +ℎ

3= 0 +

3 𝑐𝑚

3= 1 [𝑐𝑚]

𝐴2 =1

2∙ 𝑏 ∙ ℎ =

1

2∙ 3 𝑐𝑚 ∙ 3 𝑐𝑚 = 4.5 [𝑐𝑚]2

S2 = (𝑥2; 𝑦2) Sx2 = 𝐴2 ∙ 𝑦2 = 4.5 𝑐𝑚

2 ∙ 1 𝑐𝑚 = 4.5 [𝑐𝑚]3

Sy2 = 𝐴2 ∙ 𝑥2 = 4.5 𝑐𝑚2 ∙ 3 𝑐𝑚 = 13.5 [𝑐𝑚]3

Jx2 =𝑏 ∙ ℎ3

36=3 ∙ 33

36=81 𝑐𝑚4

36= 2.25 [𝑐𝑚]4

Jy2 =𝑏3 ∙ ℎ

36=33 ∙ 3

36=81 𝑐𝑚4

36= 2.25 [𝑐𝑚]4

gruparectan.pl

115

Dxy2 = −𝑏2 ∙ ℎ2

72= −

32 ∙ 32

72= −

81 𝑐𝑚4

72= −1,125 [𝑐𝑚]4

Rys. 3.1.2.Środki ciężkości poszczególnych figur

3. Położenie głównych centralnych osi bezwładności (xc, yc) względem

układu XY

Dla ułatwienia obliczeń zestwiamy wszystkie dane w formie tabelarycznej:

Fig. „i” Ai [cm2] xi [cm] yi [cm] Syi=Ai*xi [cm3] Sxi=Ai*yi [cm3]

1 6 1 1.5 6 9

2 4.5 3 1 13.5 4.5

∑ 10.5 - - 19.5 13.5

Mając powyższe dane możemy obliczyć geometryczny środek układu figur

płaskich.


=Sy1 + Sy2𝐴1 + 𝐴2

=6 𝑐𝑚3 + 13.5 𝑐𝑚3

6 𝑐𝑚2 + 4.5 𝑐𝑚2=19.5 𝑐𝑚3

10.5 𝑐𝑚2≈ 1.8571 [𝑐𝑚]


=Sx1 + Sx2𝐴1 + 𝐴2

=9 𝑐𝑚3 + 4.5 𝑐𝑚3

6 𝑐𝑚2 + 4.5 𝑐𝑚2=13.5 𝑐𝑚3

10.5 𝑐𝑚2≈ 1,2857 [𝑐𝑚]

gruparectan.pl

116

Rys. 3.1.3.Główne centralne osie bezwładności

4. Odległości od środka ciężkości figury do środka ciężkości układu

𝑥𝑐𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑐

𝑦𝑐𝑖 = 𝑦𝑖 − 𝑦𝑐

4.1. Figura prostokąt b=2[cm] h=3[cm]

𝑥𝑐1 = 𝑥1 − 𝑥𝑐 = 1 𝑐𝑚 − 1.8571 𝑐𝑚 = −0,8571 𝑐𝑚

𝑦𝑐1 = 𝑦1 − 𝑦𝑐 = 1.5 𝑐𝑚 − 1.2857 𝑐𝑚 = 0.2143 𝑐𝑚

4.2. Figura trójkąt b=3[cm] h=3[cm]

𝑥𝑐2 = 𝑥2 − 𝑥𝑐 = 3 𝑐𝑚 − 1.8571 𝑐𝑚 = 1.1429 𝑐𝑚

𝑦𝑐2 = 𝑦2 − 𝑦𝑐 = 1 𝑐𝑚 − 1.2857 𝑐𝑚 = −0.2857 𝑐𝑚

Rys. 3.1.4.Odległości środków ciężkości poszczególnych figur do środka ciężkości układu

gruparectan.pl

117

5. Centralne momenty bezwładności dla układu XcYc względem

ciężkości osi centralnych

Ponownie dla ułatwienia obliczeń zestwiamy wszystkie dane w formie

tabelarycznej:

Fig „i”

Ai [cm2]

xci [cm]

yci [cm]

Jxi [cm4]

Jyi [cm4]

Dxyi [cm4]

Aixci2 [cm4]

Aiyci2 [cm4]

Aixciyci[cm4]

1 6 -0.8571 0.2143 4.5 2 0 4.4077 0.2755 -1.1020

2 4.5 1.1429 -0.2857 2.25 2.25 -1.125 5.8780 0.3673 -1.4694

∑ 10.5 - - 6.75 4.25 -1.125 10.2857 0.6429 -2.5714

Sumy częściowe Jxi, Jyi, Dxyi

∑𝐽𝑥𝑖 = 6.75 [𝑐𝑚4]

∑𝐽𝑦𝑖 = 4.25 [𝑐𝑚4]

∑𝐷𝑥𝑦𝑖 = −1.125 [𝑐𝑚4]

Elementy do wzoru Steinera:

∑𝐴𝑖𝑥𝑐𝑖2 = 10.2857 [𝑐𝑚4]

∑𝐴𝑖𝑦𝑐𝑖2 = 0.6429 [𝑐𝑚4]

∑𝐴𝑖𝑥𝑐𝑖𝑦𝑐𝑖 = −2.5714 [𝑐𝑚4]

6. Jxc, Jyc, Dxyc całego układu zgodnie z twierdzeniem Steinera

𝐽𝑥𝑐 = ∑𝐽𝑥𝑖 + ∑𝐴𝑖𝑦𝑐𝑖2 = 6.75 + 0.6429 = 7.3929 [𝑐𝑚4]

𝐽𝑦𝑐 = ∑𝐽𝑦𝑖 + ∑𝐴𝑖𝑥𝑐𝑖2 = 4.25 + 10.2857 = 14.5357 [𝑐𝑚4]

𝐷𝑥𝑦𝑐 = ∑𝐷𝑥𝑦𝑖 + ∑𝐴𝑖𝑥𝑐𝑖𝑦𝑐𝑖 = −1.125 − 2.5714 = −3.6964 [𝑐𝑚4]

to są Centralne Momenty Bezwładności układu figur

7. Kąt alfa głównych centralnych osi bezwładności

𝑡𝑎𝑛2𝛼𝑔ł =2𝐷𝑥𝑦𝑐𝐽𝑦𝑐 − 𝐽𝑥𝑐

=2 ∙ (−3.6964)

14.5357 − 7.3929=−7.3929

7.1429= −1.0350

2𝛼𝑔ł = arctan(𝑡𝑎𝑛2𝛼𝑔ł) = arctan(−1.035) = −45.9853°

𝛼𝑔ł = 22.9927°

gruparectan.pl

118

Rys. 3.1.5.Kąt alfa I rysunek końcowy

8. Główne centralne momenty bezwładności

8.1. Jmax

𝐽𝑚𝑎𝑥 =𝐽𝑦𝑐 + 𝐽𝑥𝑐

2+ √(

𝐽𝑦𝑐 − 𝐽𝑥𝑐2

)2

+ 𝐷𝑥𝑦𝑐2 =

=14.5357 + 7.3929

2+ √(

14.5357 − 7.3929

2)2

+ (−3.6964)2 =

= 10.9643 + √12.7551 + 13.6636 =

= 10.9643 + 5.1399 =

𝐽𝑚𝑎𝑥 = 16.1042 [𝑐𝑚4] (𝐽𝐼)[𝑐𝑚

4]

8.2. Jmin

𝐽𝑚𝑎𝑥 =𝐽𝑦𝑐 + 𝐽𝑥𝑐

2− √(

𝐽𝑦𝑐 − 𝐽𝑥𝑐2

)2

+ 𝐷𝑥𝑦𝑐2 =

=14.5357 + 7.3929

2− √(

14.5357 − 7.3929

2)2

+ (−3,6964)2 =

= 10.9643 − √12.7551 + 13.6636 =

= 10.9643 − 5.1399 =

gruparectan.pl

119

𝐽𝑚𝑎𝑥 = 5.8244 [𝑐𝑚4] (𝐽𝐼𝐼)[𝑐𝑚

4]

9. Sprawdzenie

9.1. Niezmiennik J1

𝛿𝐽1 = (𝐽𝑦𝑐 + 𝐽𝑥𝑐) − (𝐽𝑚𝑎𝑥 + 𝐽𝑚𝑖𝑛) = 0 (𝐽𝑦𝑐 + 𝐽𝑥𝑐) = 14.5357 + 7.3929 = 21.9286 (𝐽𝑚𝑎𝑥 + 𝐽𝑚𝑖𝑛) = 5.8244 + 16.1042 = 21.9286

𝛿𝐽1 = 21.9286 − 21.9286 = 0

9.2. Niezmiennik J2

𝛿𝐽2 = (𝐽𝑦𝑐 ∙ 𝐽𝑥𝑐 − 𝐷𝑥𝑦𝑐2) − (𝐽𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝐽𝑚𝑖𝑛) = 0

(𝐽𝑦𝑐 ∙ 𝐽𝑥𝑐 − 𝐷𝑥𝑦𝑐2) = 14.5357 ∙ 7.3929 − 13.6636 = 93.7969

(𝐽𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝐽𝑚𝑖𝑛) = 16.1042 ∙ 5.8244 = 93.7969

𝛿𝐽2 = 93.7969 − 93.7969 = 0

10. Momenty bezwładności dla naszego układu XY w punkcie [0,0]

𝐽𝑥[0,0] = 𝐽𝑥𝑐 + ∑𝐴𝑖 ∙ 𝑦𝑐2 = 7.3929 + 17.3571 = 24.75 [𝑐𝑚4]

𝐽𝑦[0,0] = 𝐽𝑦𝑐 + ∑𝐴𝑖 ∙ 𝑥𝑐2 = 14.5357 + 36.2143 = 50.75 [𝑐𝑚4]

𝐷𝑥𝑦[0,0] = 𝐷𝑥𝑦𝑐 + ∑𝐴𝑖 ∙ 𝑥𝑐 ∙ 𝑦𝑐 = −3.6964 + 10.5 ∙ 1.8571 ∙ 1.2857

𝐷𝑥𝑦[0,0] = −3.6964 − 25.0714 = −28.7679 [𝑐𝑚4]

gruparectan.pl

120

7. Przykład nr 2: Wyznaczyć położenie głównych

centralnych osi bezwładności i obliczyć główne

centralne momenty bezwładności

1. Schemat układu

Rys. 3.2.1. Schemat układu dla przykładu nr 2

.................................................................................................................................

Oznaczenia:

i – nr figury, gdzie i = (1,2,3,...,n)

𝐴𝑖[𝑐𝑚4] - pole powierzchni figury „i”

𝑥𝑖[𝑐𝑚] - współrzędna X środka ciężkości figury „i” w układzie globalnym

𝑦𝑖[𝑐𝑚] - współrzędna Y środka ciężkości figury „i” w układzie globalnym

𝑆𝑖 = (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖) – współrzędne środka ciężkości figury „i”

𝑆𝑦𝑖 = 𝐴𝑖 ∙ 𝑥𝑖 [𝑐𝑚3] - moment statyczny względem osi Y w układzie globalnym

𝑆𝑥𝑖 = 𝐴𝑖 ∙ 𝑦𝑖 [𝑐𝑚3] - moment statyczny względem osi X w układzie globalnym

𝑥𝑐[𝑐𝑚] - współrzędna X środka ciężkości układu figur (figury całkowitej) w

układzie globalnym

𝑦𝑐[𝑐𝑚] - współrzędna Y środka ciężkości układu figur (figury całkowitej) w

układzie globalnym

gruparectan.pl

121

𝑥𝑐𝑖[𝑐𝑚] - odległość X pomiędzy środkiem ciężkości figury „i” a środkiem


𝑦𝑐𝑖[𝑐𝑚] - odległość Y pomiędzy środkiem ciężkości figury „i” a środkiem


𝐽𝑥𝑖[𝑐𝑚4] - moment bezwładności figury „i” względem osi X

𝐽𝑦𝑖[𝑐𝑚4] - moment bezwładności figury „i” względem osi Y

𝐷𝑥𝑦𝑖[𝑐𝑚4] - dewiacyjny moment bezwładności figury „i”

𝐴𝑖 ∙ 𝑥𝑐𝑖2 [𝑐𝑚4] - element do wzoru Steinera

𝐴𝑖 ∙ 𝑦𝑐𝑖2 [𝑐𝑚4] - element do wzoru Steinera

𝐴𝑖 ∙ 𝑥𝑐𝑖 ∙ 𝑦𝑐𝑖 [𝑐𝑚4] - element do wzoru Steinera

[... tablice] lub Red Book - wartość odczytana z Tablic Inżynierskich

.................................................................................................................................

Transformacja Kątowa : współrzędne X i Y obliczamy ze wzorów na obrót układu:

gdzie X i Y to punkt po transformacji kątowej a X' i Y' punkt przed transformacją

kątową

gdzie φ to kąt obrotu figury układ X'Y' względem układu XY - jeżeli jest on zgodny

z ruchem wskazówek zegara to jest on ujemny

.................................................................................................................................

Transformacja Liniowa : współrzędne xi i yi obliczamy ze wzorów na przesunięcie

układu:

gdzie dX i dY to współrzędne początku figury w nowym położeniu

𝑥𝑖 = 𝑑𝑋 + 𝑥′

𝑦𝑖 = 𝑑𝑌 + 𝑦′

.................................................................................................................................

2. Charakterystyki geometryczne poszczególnych figur układu

Obliczenie nowych wartości środka ciężkości figury po obrocie o kąt i przesunięciu

do punktu docelowego. Figura znajduje się teraz w takim położeniu jak wzory

podane na obliczanie momentów. Układ taki nazywamy układem lokalnym figury.

2.1.Figura Prostokąt b=

mechanika...gruparectan.pl 3 wprowadzenie napisaliśmy „mechanika w pigułce” po to by stworzyć...

Documents