Meccanica 11 marzo 2011

Grandezze fisiche. Unita` di misuraGrandezze fondamentali e derivateDimensioni fisicheEquazioni dimensionali. Principio di omogeneita`Grandezze scalari e vettoriali. Proprieta` dei vettoriSistemi di riferimento in 2 e 3 dimensioniOperazioni coi vettori. Prodotto scalare, vettoriale, misto

Grandezze fisiche

• Nello studio della fisica si introducono concetti che permettono di descrivere i fenomeni naturali

• Tra questi concetti c’e` quello di grandezza fisica• Esempi: spazio, tempo, massa, forza, energia,

momento angolare, …

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Grandezze fisiche• Nell’insieme delle grandezze fisiche se ne individuano

alcune come fondamentali, e tutte le altre possono essere definite in termini di esse

• La scelta delle grandezze fondamentali e` in gran parte arbitraria: alcune vengono scelte come tali per ragioni di immediata intuizione, come lo spazio e il tempo

• Altre sono invece scelte per convenienza di definizione operativa, come la corrente elettrica, che e` preferita alla carica elettrica, benche’ questa sia concettualmente piu` fondamentale

• Cio` e` dovuto al fatto che e` piu` semplice costruire una unita` di misura riproducibile di corrente che di carica

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Unita` di misura

• Affinche’ un concetto possa essere considerato una grandezza fisica, e` necessario poter effettuare su di esso una misura quantitativa

• Per ogni grandezza fisica fondamentale si e` scelto un campione che funge da riferimento per le operazioni di misura

• Questi campioni sono le unita` di misura• Per le grandezze derivate le unita` di misura sono definite in

termini delle unita` delle grandezze fondamentali• Tutte le possibili quantita` di una grandezza fisica vengono

espresse come rapporto rispetto all’unita` scelta

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Sistemi di unita` di misura

• Non solo le unita`, ma anche il tipo di grandezze fondamentali puo` variare da sistema a sistema

• Esempi: – Sistema internazionale (SI, evoluzione dell’MKSA):

lunghezza, massa, tempo (corrente elettrica, …)– Sistema cgs: lunghezza, massa, tempo– Sistema pratico: lunghezza, forza , tempo

• Noi useremo, per ragioni didattiche, una variante del SI in cui la carica elettrica sostituisce la corrente come grandezza fondamentale

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Sistemi di unita` di misura

• Ci possono essere diverse ragioni per scegliere un sistema piuttosto che un altro, ma una volta fatta la scelta, tutte le equazioni vanno espresse in quel sistema in maniera coerente

Peso 72 kg

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Grandezze derivate• Partendo dalle grandezze fondamentali è possibile definire le

grandezze derivate. Alcuni esempi: – la velocità di un corpo è definita come rapporto tra spazio

percorso dal corpo e tempo impiegato a percorrerlo: v=s/t;

– l’angolo piano è definito come rapporto tra la lunghezza dell’arco di cerchio sotteso dall’angolo e la lunghezza del raggio: =l/R;

– l’energia cinetica di un corpo è un mezzo del prodotto della massa del corpo per la velocità (del suo centro di massa) elevata al quadrato: K = 1/2 m v2

– Il momento di una forza è definito come il prodotto (vettoriale) tra una distanza e una forza: = r x F

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Dimensione fisica• Ogni grandezza possiede una sua qualità intrinseca che la

distingue dalle altre• Questo fatto viene formalizzato introducendo il concetto

di dimensione fisica• Per le grandezze fondamentali essa viene indicata con il

simbolo L per lo spazio, T per il tempo, M per la massa (Q per la carica e per la temperatura)

• Per le grandezze derivate le dimensioni si ricavano dalla definizione di queste in termini delle grandezze fondamentali sostituendo al simbolo di ogni grandezza fondamentale il relativo simbolo dimensionale

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Dimensione fisica

• Esse si indicano racchiudendo il simbolo della grandezza derivata tra parentesi quadre:– Grandezza X– Dimensione di X: [X]

• E’ importante non confondere il concetto di dimensione con quello di unità di misura

• Ad esempio: – la densità può essere espressa sia in unità di kg/m3 che in

quelle di g/cm3

– entrambe le scelte sono consistenti con le dimensioni fisiche di M/L3

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Dimensione fisica• Esempi:

– [v]=L/T=L T-1=L T-1 M0

– []=L/L=L0 =L0 T0 M0

– [K]=M[v2]• Le espressioni precedenti sono esempi di equazioni

dimensionali• Dalla prima vediamo che è consentito usare sia il simbolo di

frazione che quello di esponente negativo e che alcuni esponenti possono essere nulli.

• Dalla seconda relazione vediamo che una grandezza può avere dimensioni nulle, cioè tutti gli esponenti delle grandezze fondamentali nulli; grandezze adimensionali (non numeri puri)

• Dalla terza, che nel membro di destra si possono usare anche dimensioni di grandezze derivate.

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Principio di omogeneita`

• Due o piu` grandezze sono dette omogenee se sono dello stesso tipo

• Ogni equazione fisica deve rispettare il principio di omogeneità, che stabilisce che i due membri di un’equazione devono essere omogenei e quindi devono avere le stesse dimensioni fisiche

• Non vale il viceversa• Energia: [K]=[mv2]=L2 T-2 M1

• Momento di forza: []=[rF]=L2 T-2 M1

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Principio di omogeneita`

• Questo principio deriva dal fatto che un’uguaglianza o una somma non hanno senso se non tra grandezze della stessa specie: un’equazione che non rispetti questa regola è sicuramente errata

• Se un’equazione contiene più addendi, tutti quanti devono avere le stesse dimensioni fisiche

• L’analisi dimensionale di un’equazione, benché fornisca soltanto una condizione necessaria, ma non sufficiente, è uno strumento molto efficace per verificare la correttezza dei calcoli

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Esercizio

• Verificare la correttezza dimensionale della seguente equazione:

• Ove s, s0 sono lunghezze; v, v0 velocita`; t tempo, a accelerazione

3200 2

1attvatssv

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Tipi di grandezze• Le grandezze fisiche sono di diversa natura: possono

essere individuate da un solo numero oppure da piu` numeri

• Esempi: – la temperatura in un punto di una stanza e` definita da un solo

numero– La massa di un corpo e` definita da un solo numero– La velocita` di un corpo ha bisogno in generale di tre numeri che

ne indichino l’intensita`, la direzione e il verso• Nei primi due casi la grandezza e` detta scalare, nel

secondo vettoriale • Esistono anche grandezze piu` complesse, dette tensori,

che richiedono un numero maggiore di numeri

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Vettori

• In realta` una grandezza, per essere definita vettoriale, deve soddisfare a qualche richiesta uteriore:– Dev’essere definita un’operazione di somma (+) fra le

grandezze– L’insieme delle grandezze dev’essere chiuso rispetto alla

somma– La somma dev’essere associativa– Deve esistere l’elemento nullo (e` unico)– Ogni elemento deve possedere un elemento opposto– La somma dev’essere commutativa

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Vettori

• Matematicamente l’insieme deve cioe` avere la struttura di gruppo commutativo rispetto alla somma

• Inoltre dev’essere definita la moltiplicazione (*) per un numero appartenente al campo reale (o complesso) e devono valere le proprieta`:

• In tal caso l’insieme prende il nome di spazio vettoriale

uu****

uuu***

vuvu***

uu

*1

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Sistemi di riferimento

• I sistemi piu` usati in fisica per descrivere moti in 2-D sono:– Sistema cartesiano: x, y– Sistema polare: (distanza radiale, azimut)

• E per descrivere moti in 3-D sono:– Sistema cartesiano: x, y, z– Sistema cilindrico: , z (distanza radiale, azimut, z)– Sistema sferico: r,, (distanza radiale, angolo

polare, azimut)

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Sistemi di riferimento

• In ogni punto P del piano possiamo definire una coppia di assi coordinati mutuamente ortogonali

• Consideriamo un altro punto Q: gli assi relativi a Q saranno paralleli agli assi omonimi relativi al punto P solo per il sistema cartesiano

• Per il sistema polare questo in generale non accade

P

x

y

QP

Q

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Terne destrorse e sinistrorse

• Nello spazio costruiamo una terna di assi coordinati mutuamente ortogonali

• Esistono due tipi di terne siffatte: destrorse (mano destra) e sinistrorse (mano sinistra)

• Noi useremo quelle destrorse• Corrispondenza:

x

y

zx

y

z

pollice – xindice – y o permutazionimedio – z cicliche

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Sistemi di riferimento• In ogni punto P dello spazio possiamo definire una terna

di assi coordinati mutuamente ortogonali

• Anche ora gli assi relativi ad un diverso punto Q saranno paralleli agli assi omonimi relativi al punto P solo per il sistema cartesiano e, limitatamente all’asse z, per il sistema cilindrico

P

x

y

z

P

z

Pr

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Versori

• Modulo di un vettore• Tra i vettori ce ne sono di particolari,

detti versori o vettori unitari, in quanto hanno intensità unitaria (e dimensioni fisiche nulle)

P

x

y

z

P

z

Pr

zyx

kji

ˆ,ˆ,ˆ

ˆ,ˆ,ˆz,ˆ,ˆ

ˆ,ˆ,r

a

aaa

ˆ

a

a

321 ˆ,ˆ,ˆ eee

aaa ,

21

Esercizi

• Dato un sistema polare piano e un punto P diverso dall’origine. Trovare il luogo geometrico dei punti del piano per cui gli assi coordinati associati a ciascun punto sono paralleli agli assi relativi a P

• Idem per un sistema cilindrico e un sistema sferico

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Proiezioni e componenti di un vettore

• Etichettati genericamente gli assi coordinati con gli indici 1 e 2, troviamo le proiezioni del vettore lungo essi:

• Si procede in modo simile in 3 dimensioni, anche se e` un po’ piu` complicato

• Le componenti si trovano moltiplicando le proiezioni per l’opportuno vettore unitario (versore):

coscos1 aaa

P

P

x

y

sinsin2 aaa

1111 ˆcosˆ uauaa

2222 ˆsinˆ uauaa

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Esercizio: versori del sistema sferico• Esprimere il versore r in coordinate cartesiane

• Soluzione

cos

sinsin

cossin

r

Considero il meridianopassante per i punti P, N:la proiezione z del versore r e` cos

Considero il piano equatoriale xy:la proiezione del versore rsul piano e` sinLa proiezione x e` sincosLa proiezione y e` sinsin

Pr

O

Nr

x

z

yH

NP

O

z

O

x

yH

Operazioni sui vettori

• Somma di due vettori

• Sottrazione di due vettori

vu

u

v

vu

u

v

v

vu

u

v

vu

u

v

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Disuguaglianza triangolare

• Il modulo della somma (differenza) di due vettori non e`, in generale, uguale alla somma (differenza) dei moduli

• Questa non e` altro che la ben nota disuguaglianza triangolare

• L’uguaglianza si ottiene per vettori paralleli

vuvu

vu

u

v

vu

u

v

uvvu

26

Operazioni sui vettori

• Moltiplicazione di un vettore per un numero reale (o divisione, in tal caso il numero dev’essere diverso da zero)

• Se il numero e` negativo, il vettore risultante ha verso opposto a quello iniziale

u u

2.2 u

2.1 u

4.0

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Prodotto scalare

• E` definito per una qualunque coppia di vettori il simbolo dell’operazione e` un punto:

• E` uno scalare: dato dal prodotto dei moduli dei vettori per il coseno del minore degli angoli definiti dai vettori

• Si puo` interpretare come il prodotto del modulo di un vettore per la proiezione dell’altro vettore lungo la direzione del primo

vu,

vu

cosuvvu

u

v

u

v

cosu

u

v

cosv

cosuvvu

cosvuvu

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Prodotto scalare

• Il prodotto e` nullo quando uno dei due vettori e` nullo oppure quando i vettori sono perpendicolari

• Dalla definizione segue che il prodotto scalare e` commutativo:

• Gode della proprieta` distributiva:• e associativa: • Il prodotto scalare di un vettore con se stesso e`• Si puo` anche scrivere

02

coscos uvuvvu

uvvu

wvwuwvu

vuvuvu

220cos uuuuuu

2uuu

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Prodotto vettoriale

• E` definito per una qualunque coppia di vettori il simbolo dell’operazione e` una croce:

• E` un vettore il cui modulo e` dato dal prodotto dei moduli dei vettori per il seno del minore dei due angoli definiti dai vettori

• Se uno dei due vettori e` nullo o se i vettori sono paralleli, il prodotto e` il vettore nullo

• Altrimenti la direzione e` perpendicolare al piano definito dai vettori

• Il verso e` tale che la terna di vettori e` destrorsa

vu,

vu

sinuvvu

vuvu,,

u

v

vu 30

Prodotto vettoriale

• Il prodotto e` nullo quando uno dei due vettori e` nullo oppure quando i due vettori sono paralleli

• Il vettore prodotto e` perpendicolare ad entrambi i vettori• Dalla definizione segue che il prodotto vettoriale e`

anticommutativo• Interpretazione geometrica: rappresenta la superficie

orientata del parallelogramma che ha per lati i due vettori; il suo modulo ne rappresenta l’area

00sinsin uvuvvu

u

v

vu

uvvu

u

v

vu

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Prodotto vettoriale

• Gode della proprieta` distributiva:• e associativa: • Il prodotto vettoriale di due vettori uguali e` il vettore

nullo:

wvwuwvu

vuvuvu

0uu

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Esercizio

• Mostrare che in generale

• Quindi il prodotto vettoriale non e` associativo e non si puo` usare, perche’ equivoca, la scrittura

baabaa

bacbac

bac

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Prodotto scalare in coordinate cartesiane

• Esprimendo i due vettori secondo le componenti cartesiane, otteniamo per il prodotto scalare:

• Dei nove addendi che si ottengono applicando la proprieta` distributiva, solo quelli omonimi sopravvivono, poiche’ vale 1 se k=j, altrimenti vale 0, quindi

zzyyxxzzyyxx ubububuauauaba

jk uu

zzyyxx babababa

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Esercizio

• Dati due punti P, Q sulla sfera (di raggio R), trovarne la distanza lungo il circolo massimo passante per i punti

,,,,

RQ

RP

P

O

Q

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Prodotto vettoriale in coordinate cartesiane

• Similmente:• Dei nove addendi che si ottengono applicando la proprieta`

distributiva, quelli omonimi sono nulli, perche’ il prodotto vettoriale di due vettori uguali e` il vettore nullo:

• per gli altri

• Quindi• Formalmente questo si puo` scrivere come determinante

zzyyxxzzyyxx ubububuauauaba

zxyyx uuuuu

xyzzy uuuuu yzxxz uuuuu

zxyyxyzxxzxyzzy ubabaubabaubababa

zyx

zyx

zyx

bbb

aaa

uuu

ba

0uu

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Prodotto misto

• E` uno scalare, risultato di un prodotto vettoriale, seguito (o preceduto) da un prodotto scalare:

• Non ci si lasci ingannare dalla successione delle moltiplicazioni: il prodotto vettoriale e` quello che dev’essere effettuato per primo

• Se si tentasse di eseguire prima il prodotto scalare, la seconda operazione non avrebbe senso

vuw

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Interpretazione geometrica

• I tre vettori definiscono un parallelepipedo. Il prodotto misto si puo` scrivere

• L’espressione entro il segno di modulo rappresenta l’area della base (u,v), mentre w cos rappresenta l’altezza del parallelepipedo rispetto a tale base

• Il prodotto si puo` quindi interpretare come il volume del parallelepipedo

u

v

vuw

coswvuvuw

.ww cos

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Prodotto misto in coordinate cartesiane

• Formalmente si puo` scrivere come determinante

zxyyxyzxxzxyzzy cbabacbabacbabacba

zyx

zyx

zyx

ccc

bbb

aaa

cba

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Due proprieta` del prodotto misto

• 1) Si possono permutare ciclicamente i tre vettori

• E` dimostrabile ricordando l’interpretazione geometria oppure mettendosi in un sistema cartesiano e usando il formalismo del determinante

• 2) Si possono scambiare di posto i segni di prodotto

• E` dimostrabile con la precedente e tenendo conto della commutativita` del prodotto scalare

• Esercizio: trovare

uwvwvuvuw

vuwvuw

baa

40

Ulteriori operazioni

• Derivate di vettori• Integrali di vettori• Operazione che non useremo: rapporto fra

vettoriL

I

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Esercizi

• Trovare gli eventuali errori nelle seguenti equazioni

dbac

gdefdbaa

dcba

dcba

dbaba

efdbaa

dbebac

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