mecanismos ficus.pntic.mec.es

Equipo de T3 España Mecanismos con Cabri II1

PROYECTO T3 ESPAÑA Societat d�Educació Matemàtica Al-khwarizmi

José Antonio Mora

T3 España

La Geometría de losmecanismos con

T3 EUROPE



T3 EUROPE es una marca registrada de Texas Instruments

Colaboradores:

Ignacio Baeza ArnauFrancisco Jesús García García

y el equipo T3 España que está compuesto por Salvador Caballero,Floreal Gracia, Fernando Juan, Alfred Mollà, Onofre Monzó, José AntonioMora, Pascual Pérez, Tomás Queralt y Julio Rodrigo.

NOTA

El archivo mecanismos.zip incluye nueve subcarpetas con los diseños de losmecanismos incluidos en cada capítulo. El contenido de estas subcarpetas se mues-tra en la siguiente imagen:



Índice.

0. Presentación 4

Propósito y objetivosAntecedentes

Las matemáticasLos mecanismos

El programa Cabri-GeomètreIIUtilización en clase.

Características de la versión del programa

1. El gato elevador 92. La máquina de vapor 133. El mecanismo de brazo oscilatorio 184. El cilindro hidráulico 215. La palanca 256. Combinar dos triángulos 297. El paralelogramo articulado 318. El cuadrilátero articulado 359. Engranajes y correas de transmisión 39

Bibliografía 45



0. Presentación.

Propósito y objetivos.

El objetivo de este material es presentar una colección de diseños demecanismos realizados con el programa informático Cabri Geomètre II, queestán preparados para ser manipulados, y facilitar su estudio.

Con las construcciones realizadas se ha simulado el funcionamientode objetos, la mayoría pertenecen al ámbito de la geometría que se utilizaen objetos de la vida cotidiana: el gato elevador, el funcionamiento del mo-tor de la máquina de vapor, el mecanismo de brazo oscilatorio o el cilindrohidráulico, han servido de base para estudiar distintas formas de construirel triángulo que tiene un lado de longitud variable, y aplicarlo a nuevas si-tuaciones, como la puerta levadiza de los garajes, la aguja en la máquinade coser, la limadora o las máquinas utilizadas en la construcción que utili-zan brazos articulados.

Para cada polígono, se relata la secuencia de dibujo en Cabri II deforma que se resaltan sus propie-dades. Más adelante se analiza laforma en que esta construccióngeométrica se utiliza en mecanis-mos de la tecnología o para anali-zar situaciones de la vida cotidia-na: la grúa, la excavadora, la ba-lanza de dos platillos, el limpiapa-rabrisas del autobús, el movimien-to de la pierna del ciclista al peda-lear, el mecanismo de cierre auto-mático de las puertas, etc.



Visto de esta manera, los mecanismos se convierten en un contextopara hacer geometría y para comprender, a través de las construccionesrealizadas, el funcionamiento de muchos de los objetos que nos rodean. Esmuy importante poder trabajar estos temas, no sólo desde la óptica del pro-fesor de matemáticas, y aportar también la visión de otras áreas como lafísica, la tecnología, la educación física, la plástica o la informática.

Antecedentes.

Mi interés sobre estos temas proviene de la primera vez que llegó amis manos el libro de Bolt y Hiscocks “Machines, mechanims andmathematics”, en el que ya se planteaban en contextos matemáticos situa-ciones con barras articuladas y correas de transmisión que más adelanteBrian Bolt trata con mayor profundidad en “Matemáquinas. La matemáticaque hay en la tecnología”.

El programa Cabri-Geomètre II resulta ser una herramienta adecuadapara diseñar con el ordenador estos mecanismos por la inclusión de nue-vas posibilidades, de las que no disponíamos en anteriores recursos para elaprendizaje de la geometría:

*Incluye el movimiento: podemos cons-truir el diseño de forma que, cuando seaccione el pedal con la herramientaanimación, todo el sistema -los puntosque hayamos asociado al que actúacomo pedal-, se mueva con él simu-lando el funcionamiento de la máqui-na.*Permite la inclusión de algunos elementos variables que podemos mo-dificar. En este caso, con un simple movimiento del ratón podemos variarel radio del plato, el del piñón y también el tamaño de la rueda.*Posibilita que el programa aprenda con nosotros mediante la construc-ción y ejecución de procedimientos o macros que, una vez construidas,podremos utilizar en cualquier momento.*Introduce el color: hace que los diseños sean más atractivos y realistas.

Los diseños que aquí se presentan en formato de libro y en archivosde Cabri-Geomètre II, han sido presentados anteriormente en Congresos yJornadas de Profesores de Matemáticas:



*Comunicación en el 8º I.C.M.E. celebrado en Sevilla. 1996.*Ponencia en las III Jornadas de la S.E.M.C.V. Al Khwarizmi , celebradasen Burjassot. 1997.*Taller en las 8as J.A.E.M. celebradas en Salamanca en 1997.*Taller en las III Jornades de Didàctica de les Matemàtiques a lesComarques Meridionals celebradas en Reus. 1997.

La construcción de mecanismos también ha formado parte de los cur-sos de formación del profesorado, que T3 España ha organizado e imparti-do en ciudades como Alicante, Valencia, Pamplona, Madrid, Úbeda, Murcia,León y Almería durante los cursos 1996-97 y 1997-98.

La comprensión de un mecanismo no suele ser una tarea fácil, nor-malmente se encuentran ocultos entre otros objetos y no se llegan a verbien hasta que se intenta su construcción. Aquí es donde el programa CabriII es de gran ayuda ya que proporciona una herramienta que, en ciertomodo, es más asequible para muchos que el montaje real.

Los mecanismos se han distribuido en 9 capítulos, cada uno se dedi-ca a un dispositivo utilizado en tecnología. El proceso que ha seguido inten-ta extraer de él la estructura geométrica que subyace: el polígono opolígonos básicos que intervienen en su construcción. Posteriormente serealiza una exposición de las dificultades iniciales que surgen cuando inten-tamos trasladar el modelo al lenguaje Cabri-Geométre II y se dan ideas decómo aprovechar el conjunto de herramientas del programa para realizar lasimulación del movimiento del mecanismo. Después de esta exposiciónilustrada con imágenes del proceso de construcción, se incluye una relaciónde los mecanismos que utilizan esa misma figura geométrica de la mismaforma que la que se ha planteado inicialmente.

El programa Cabri-Geomètre II

Una de las características de los mecanismos es que en la mayoríaexiste una pieza con la que iniciamos el movimiento, y otra encargada deejecutar el trabajo marcado. Entre ellas tenemos un conjunto de elementos,que se van a encargar de la transmisión de los movimientos desde el impul-sor hasta el seguidor. Este esquema de trabajo se adapta a la perfección ala filosofía de Cabri II, con él es relativamente sencillo situar un punto sobrela pantalla de dibujo, que se mueva libremente o sujeto a ciertas condicio-



nes, y crear otros a partir de él, nuevas fi-guras a partir de estos puntos, y así sucesi-vamente. Cuando desplacemos los objetosiniciales, todo el sistema se moverá conellos. En el ejemplo del freno hidráulico, elmovimiento del punto P en el arco XY, haceque la barra roja contacte con la negra en el punto Q y presione sobre elémbolo que se desplaza por el interior del cilindro.

Como ya se ha señalado, podemos imprimir movimiento a estos sis-temas para ver el mecanismo en acción y así analizar las partes que locomponen, la región del plano por la que podrán desplazarse ciertos ele-mentos o las distintas velocidades de las piezas que lo componen.

Para facilitar el estudio de los sistemas, en algunos de los diseños seha cuidado de dejar algunos parámetros para que puedan ser manipuladospor el usuario, con el fin de que pueda captar mejor el funcionamiento delmecanismo. Por ejemplo, en el diseño de la transmisión de la bicicleta, po-demos modificar el radio del plato yel del piñón, así como el tamaño de larueda. Una vez establecidas las di-mensiones podemos observar el mo-vimiento del sistema y obtener algu-nos cálculos como el desplazamientode la bicicleta cada vez que damosuna vuelta completa de pedal.

Como ya se ha señalado anteriormente, Cabri II incluye la posibilidadde realizar macroconstrucciones o procedimientos con los que podemos“enseñar” al programa a realizar ciertas construcciones que, una vez dise-ñadas, podemos utilizar en el momento en que las necesitemos. Dadas doscircunferencias, podemos realizar el proceso de construcción de las tangen-tes a esas circunferencias. Si ya hemos realizado una vez la construcción,podemos pedir al programa que lo almacenecomo un archivo, para poder utilizarlo comouna herramienta más: dadas dos circunferen-cias, dibujará los dos segmentos situados so-bre las rectas tangentes, y que tienen por ex-tremos los puntos de tangencia, con lo que te-nemos el diseño que servirá de base a las co-rreas de transmisión.



Utilización en clase

Podemos señalar dos posibilidades para la utilización didáctica de losmecanismos realizados en Cabri II, dependiendo del tipo de trabajo que seproponga a los estudiantes:

· Diseño de mecanismos sencillos: los estudiantes de secundaria se fa-miliarizan rápidamente con las herramientas y la filosofía del programa, yen poco tiempo muchos se encuentran en disposición de elaborar algu-nos diseños sencillos (el gato, la puerta levadiza, la máquina de vapor,etc.). En la introducción a cada capítulo se incluyen las posibles ayudas,que el profesorado puede suministrar a los estudiantes, en el proceso deconstrucción de los mecanismos más sencillos que se presentan en él.

· Manipulación de máquinas complejas: La preparación por parte delprofesor de matemáticas, cuando sea posible junto con el de tecnología,de algunos diseños que incidan en los temas del currículo. En matemáti-cas puede ser especialmente interesante para el estudio de los polígonosdesde una perspectiva dinámica, para el análisis de las transformacionesgeométricas en el plano y para el trazado de curvas.

Características de la versión demo de Cabri II

Se puede obtener una versión Demo para DOS, Windows yMacintosh del programa Cabri Géomètre II en la dirección de internet:

http://www-cabri.imag.fr/produits/cabripc.html.

Limitaciones . Es una versión incompleta del programa, que no inclu-ye las opciones de archivo, imprimir ni cortar-copiar-pegar. Además, pre-senta el inconveniente de la limitación de tiempo: únicamente permite tra-bajar de forma continuada durante quince minutos, al cabo de los cuales, elprograma se cierra automáticamente con lo que perdemos las modificacio-nes realizadas desde la última vez que hemos grabado. Para continuar tra-bajando debemos iniciar de nuevo el programa.

Si no disponemos de la versión comercial, esta versión permite el análisisde los archivos ya elaborados que se presentan en el directorio mecanis-mos del disco que acompaña a este libro. Ahora bien, si se realizan modifi-caciones, no podremos almacenarlas para que estén disponibles en la si-guiente sesión.



1. El gato elevador.

El gato elevador está formado por tres barras articuladas que formanun triángulo, en el que la base es de longitud variable y los otros dos ladostienen longitud fija. Cuando alargamos o acortamos la base, hacemos queel tercer vértice se sitúe a distintas alturas:

Las construcciones geométricas admiten multitud de enfoques y gra-dos de aproximación y profundización.Lo que vamos a construir es un triángu-lo articulado con dos varillas de longitudfija y una tercera que se pueda alargar oacortar. Si hacemos la construcción contiras de cartulina, nuestra preocupaciónserá estudiar la forma de hacer las unio-nes o la forma de conseguir una varillaextensible.

Cuando la herramienta es un programa de ordenador que utiliza pun-tos, segmentos, polígonos, etc., hay que revisar las relaciones entre los ob-jetos que se relacionan en el sistema para captar los elementos básicosque lo hacen funcionar. El triángulo puede ser visto desde los vértices: unode ellos será fijo, otro desplazarse por un segmento y el tercero vendrá de-terminado por los dos segmentos de longitud marcada de antemano y quecada uno de ellos tiene un extremo sobreuno de los puntos dibujados.Para esta pri-mera construcción es conveniente que di-bujemos previamente las dos varillas delongitud fija AB y BC , un punto A que seráfijo y otro C que se puede desplazar –enprincipio–, sobre una recta que pasa por A.



Para obtener la posición del tercer vértice, Cabri II dispone de la he-rramienta Compás: dado un segmento AB y un punto A, permite dibujar lacircunferencia de centro en A y radio AB, e igualmente, se traza la circunfe-rencia de radio CB con centro en C. El punto B será cualquiera de los dospuntos de intersección de estas circunferencias. Podemos desplazar C a lolargo de la semirrecta para obtener los posibles triángulos

Para investigar la construcción: modificamos las longitudes de lossegmentos o la posición de algunos de los puntos que le han servido debase. Aquí empiezan los problemas, porque nos encontraremos con situa-ciones en las que el triángulo no existe, el motivo es que las circunferenciasno tienen intersección.

Nos replantearnos la situa-ción para estudiar el conjunto deposiciones sobre las que se puedemover C, para que el triángulopueda ser construido, es decir,cuando AC está entre AB-BC yAB+BC. Medimos los segmentos ycalculamos la suma y la diferenciade esas longitudes para despuéstransferir esas medidas a la



semirrecta a partir del punto A. Esto nos da dos puntos: X e Y que serán losextremos del segmento sobre el que queremos que se desplace librementeC. Ahora no tenemos más que redefinir el punto C para que, en lugar depertenecer a la semirecta, esté situado en el segmento XY.

110triva. El triángulo de base variable.Triángulo articulado con dos lados de lon-gitud fija AB y BC y otro variable AC. Seacciona al mover C en el segmento XY.Podemos observar la altura del triánguloen B

Como se ha visto anteriormente, enel gato elevador los desplazamientos hori-zontales del punto C consiguen que B sesitúe a diferentes alturas. Es más, pode-mos alargar el segmento BC, y situar so-bre él diferentes puntos de apoyo para es-tudiar las distintas trayectorias que siguenesos puntos, cuando C se desplaza sobreel segmento. En el dibujo de la parte su-perior se ha dejado la traza activada delos cuatro puntos marcados sobre el seg-mento, para analizar los distintos caminosque seguirán. Otra forma de hacerlo seríacon la herramienta Lugar Geométrico –eldibujo inferior-, que es especialmente inte-resante porque los lugares geométricos setransforman automáticamente cuando mo-dificamos las longitudes iniciales de lossegmentos, algo que no ocurre con el ras-tro que deja la traza cuando está activada.



120gato. El gato elevador.

Cuando desplazamos el punto C de unlado a otro, es decir, modificamos la basedel triángulo, conseguimos que la alturavaríe, con lo que puede ser utilizado comoelevador.Mover P entre X e Y y dejar el trazo de Q,Q’, Q’’ y Q’’’

130 hamac. La hamaca.

El triángulo PQR con el lado PR de longi-tud variable hace que la hamaca se abrao se cierre.

Desplazar P sobre el segmento XY mar-cado.

140 hamac. La puerta levadiza.

Se basa en el triángulo PQS con el ladoPS de longitud variable.

Conseguimos que la puerta se eleve mo-dificando la altura del punto P y con ello lainclinación del segmento PQ.

El mecanismo de apertura de la puerta de acceso a muchos garajesutiliza una nueva visión del triángulo de base variable: ahora la base deltriángulo se coloca en posición vertical. La posición de C en el segmentoXY determinará la mayor o menor inclinación del segmento BC, que haráque la puerta se abra al quedar horizontal, o se cierre al alejarse C de A, yquedar la puerta vertical para que se cierre.



2. La máquina de vapor

Uno de los ejemplos tradicionales de la relación entre el movimientode rotación con el desplazamiento en vaivén lo constituye el funcionamientode la máquina de vapor. Aquí tenemos un triángulo de base variable: cuan-do B gira alrededor de A, la biela BC transfiere el movimiento a un émbolo,que se mueve por el interior de un cilin-dro. En la realidad, el punto impulsor esC y su movimiento de vaivén se traduceen un movimiento de rotación de B alre-dedor de A, pero esta construcción pre-senta algunos problemas en Cabri y seha optado por la contraria.

Para analizar el modelo de la máquina de vapor, en lugar de situar elpunto C sobre un segmento XY, como en la construcción del gato elevador,hacemos que el grado de libertad del sistema recaiga sobre el punto B. Lacondición que debemos imponer a estepunto es distinta a la construcción del gato.Como el segmento AB tiene longitud fija, Bha de ser un punto situado sobre la circun-ferencia de centro A y radio AB. Para si-tuar la otra varilla de longitud fija debemoshacer un nuevo compás de centro B y radioBC, de esta manera tendremos una circun-ferencia que corta a la semirrecta en elpunto C.

El triángulo de base variable tendrá ahora otra apariencia; un punto Bgira alrededor de A e impulsa una biela, uno de cuyos extremos es obligadoa moverse por una línea recta.



El punto C es el que debe arrastrarconsigo el rectángulo que simula el pis-tón. Uno de los lados del triángulo estarásituado sobre la recta perpendicular alsegmento AC que pasa por C, tomamosdos puntos de esa recta D y D’ que esténa la misma distancia de C, que serán dosvértices y trazamos dos rectas paralelas aAC que pasen por ellos.

Dibujamos después dos circunferencias del mismo radio DE con cen-tro en D y D’, y los puntos de corte con las últimas rectas dibujadas nos de-terminan los dos vértices E y E’ del rectángulo. Para acabar, trazamos elpolígono DEE’D’, ocultamos las líneas auxiliares e introducimos algunoselementos de presentación para que el resultado sea lo más realista posi-ble.

El diseño de la máquina de vapor es útil para profundizar en concep-tos matemáticos, como la medida de ángulos y las funcionestrigonométricas. Con un punto, que gira alrededor de una circunferencia deradio unidad, es sencillo dibujar la función seno como la medida de la dis-tancia del punto al eje de abscisas.

Podemos utilizar el sistema biela-manivela de la construcción del mo-tor de explosión con Cabri II para estudiar la altura que alcanza el émboloen el cilindro, y construir la gráfica que determina la posición de este puntocuando da una vuelta completa. Es interesante comparar esta gráfica conla función seno, veremos que hay pequeñas diferencias, algunas de ellasvienen marcadas por detalles que no son fáciles de detectar: la construc-



ción realizada hace que tarde más en ir de derecha a izquierda por la partede arriba que al revés, consecuencia de esto es que la gráfica que indica laposición del cilindro –en azul- esté por encima de la del seno, excepto endos puntos: /2 y 3 /2 que son los únicos en los que ambas coinciden.

210vapor. Máquina de vapor (1).

Un punto B gira alrededor de A mientrasla biela BC transfiere este movimiento alpunto C que está situado sobre una rectaque pasa por A, y arrastra consigo al pis-tón por el interior del cilindro.

220 vapor. Máquina de vapor (2).

Igual que el anterior situado en otra posi-ción

230sinex. La máquina de vapor y la fun-ción seno.

Esta construcción sirve para comparar lagráfica de la función seno con la que de-termina la posición del pistón dentro delcilindro.



240hinch. El hinchador.

El triángulo de base variable se accionacon una palanca desde el punto P. Conella conseguimos acortar la longitud delsegmento BC para que expulse el aire delinterior del cilindro.

250cilgi. Cilindro giratorio.

El triángulo ABC con BC de longitud va-riable se acciona mediante la manivelaAC.

Cuando C gira, obliga al pistón a despla-zarse por el interior del cilindro a la vezque gira.

260maqco. La aguja en la máquina decoser.

Con un funcionamiento muy parecido a lamáquina de vapor, conseguimos el movi-miento arriba-abajo de la aguja en la má-quina de coser

270cospe. Máquina de coser a pedal.

PQ hace de pedal que bascula alrededorde O. La biela transfiere este movimientoa la rotación de un punto alrededor deuna circunferencia.

En el diseño sólo podemos ver el movi-miento sobre media circunferencia. En larealidad la inercia se encargará de que Rdé la vuelta completa



280palco. La palanca acodada.

Tiene un funcionamiento muy parecido alhinchador. En este caso se aprovecha elhecho de que, cuando P está próximo aX, sus desplazamientos se convierten enmovimientos muy pequeños de B, con loque será más fácil conseguir que la barrase introduzca por el interior de un pasa-dor.

290cubas. El cubo de basura.

Al bajar P en el pequeño arco marcado,hacemos que B bascule con él alrededorde A. La barra BC está articulada de for-ma que pase por R. Cuando B se eleve,C presionará sobre la tapa para abrirla.

De la misma forma, cuando deje-mos de presionar sobre P, la tapa caerásobre C y se producirá el movimiento alcontrario.

Este último triángulo situado en el

mecanismo a pedal de apertura de la tapadera del cubo de basura, es unode los más difíciles de ver, porque el triángulo se encuentra oculto dentrodel armazón. El diseño se ha realizado tomando como base el triánguloABC con un lado AC de longitud variable. El pedal se baja en P, punto quese mueve sobre un pequeño arco y hace balancear una barra con punto fijoen A para que B suba y eleve consigo una barra que es obligada a pasarpor el punto R. En C contacta con la tapa del cubo que gira alrededor delpunto fijo O y la levanta.



3. El mecanismo de brazo oscilatorio.

El mecanismo de brazo oscilatorio se utiliza cuando se desea un mo-vimiento de alimentación lenta y retroceso rápido. Ahora tenemos dos pun-tos fijos O y Q, mientras el puntoP se mueve alrededor de O convelocidad constante. La barra QRtiene una ranura en la que estáalojado P, de forma que el seg-mento adquiere un movimientode vaivén con la característica deque tarda mucho más en realizarel trayecto de ida que el de vuel-ta. Cuanto más cerca se encuen-tre el punto Q de la circunferen-cia, más acusada será esta dife-rencia.

El diseño se inicia con el punto O como centro de una circunferenciasobre la que situamos a P. Situamos el punto Q exterior a la circunferenciaaunque próximo a ella. Para dibujar la barra oscilante, trazamos lasemirrecta que tiene origen en Q y pasa por P. Con una circunferencia concentro en Q dibujamos el segmento QR –en verde–.

Si queremos marcar los límites en los que se mueve el segmento ylos tramos de ida y vuelta, debemos trazar las tangentes a la circunferenciaque pasan por Q. El trazado de las tangentes se explica más adelante en elcapítulo 9.



Podemos modificar los tramos de ida y vuelta sin más que mover el punto Q,cuando lo acercamos a la circunferencia los puntos de tangencia se encuentran máscerca uno de otro con lo que aumentamos el tiempo que tarda en ir de derecha a iz-quierda, mientras que si lo alejamos, lo que aumentará es la duración del trayecto devuelta.

Si hacemos que el punto sea interior ala circunferencia, el segmento ya no hace elmovimiento de vaivén, sino que da vueltascompletas, aunque el tiempo que el seg-mento pasa por la parte superior del puntoQ es mayor que el que pasa por debajo.

310brosc. El brazo oscilatorio.

El punto P gira alrededor de O y solidaria-mente lleva consigo a la barra QP queestá fija en Q. El movimiento giratorio setransforma en un movimiento de vaivén,con distinto tiempo para la ida que para lavuelta.

Se utiliza cuando se quiere una alimenta-ción lenta y un retorno rápido.

320movgi. Barra con movimiento gira-torio.

Aquí AB = AC y BC es la barra de longitudvariable. C gira alrededor de A y se desli-za por el interior de la barra para conse-guir que gire alrededor de B.

Para que la barra realice una vuelta com-pleta, la manivela ha de dar dos.



330giosc. Movimientos giratorio y osci-lante.

Se basan en las dos construc-ciones anteriores. A la izquierdaAC>AB y la barra dará vueltascompletas, mientras que en elde la derecha AC<AB con lo quese imprime a la barra un movi-miento de vaivén.

340perpe. Movimiento giratorio

D gira alrededor de A a la vez que se des-liza por el interior de la barra y B se desli-za por otra barra perpendicular a la ante-rior.

El triángulo es ABC y el lado de longitudvariable es BC

350limad. La limadora.

Utiliza el triángulo OPQ con un lado delongitud variable PQ para transformar unmovimiento de rotación (de P alrededorde O) en otro de vaivén del segmento ABa partir del punto S.

360corred. La corredera.

Sirve para transformar el movimientooscilatorio de B sobre un arco con centroen A, en un movimiento de vaivén en D.

Se ha utilizado el triángulo ABC con BCde longitud variable.



4. El cilindro hidráulico.

El cilindro hidráulico que se utilizaen volquetes y excavadoras nos sugiereuna nueva vía para abordar el triángulode base variable. Ahora los puntos A yC serán fijos y queremos que la mayor omenor longitud de CB determine la di-rección del segmento AB.

En Cabri-Geomètre II, para diseñar un cilindro hidráulico de longitudCB partimos de un segmento CX y llamamos Y al punto medio. El punto Bserá un punto cualquiera del segmento XY.La longitud del cilindro será CB, medidaque estará siempre entre CX y CY. Se se-ñala con trazo más grueso CY que es labase del cilindro, un trazo intermedio paraYB que es la longitud que se ha expandidoy más fina para BX, que indica la longitudmáxima que puede alcanzar y se utilizandistintos colores en la presentación. Por úl-timo, podemos crear una macro que cons-truya el cilindro completo cuando le demosdos extremos.

La construcción del triángulo que utiliza el cilindro se inicia con losdos segmentos de longitud fija: AB y AC. SiAC es el lado inmóvil, entonces B ha deser un punto de la circunferencia de centroen A y radio AB. La circunferencia de cen-tro en C y radio CB determina en cada mo-mento la longitud del cilindro hidráulico yuno de los puntos de intersección de estascircunferencias determina el punto B.



De esta forma ya tenemos el triángulo en el que el vértice B determi-na la dirección del tercer lado. El sistema se gobierna desde el punto B delsegmento CB que hay en la parte superior derecha del diseño, que extraeel cilindro hidráulico hacia el exterior y con ello abre el ángulo CAB o lo in-troduce en su interior para cerrarlo. Ahora no tenemos más que construir eltriángulo y estudiar la relación entre la longitud del cilindro y la medida delángulo.

La utilización del cilindro hidráulicocomo lado de longitud variable en un trián-gulo articulado es muy amplia en aquellasbarras o plataformas que han de modificarsu inclinación de acuerdo con nuestras ne-cesidades, es el caso del brazo de la grúa.

A veces puede ser conveniente combinar dos o más cilindros hidráuli-cos para conseguir el movimiento deseado como en el brazo articulado dela excavadora que está compuesta por dos barras articuladas, cada unacon un cilindro hidráulico - ABC y XYZ -, que modifica su inclinación. Ade-más, incorpora un tercer cilin-dro PQR para alterar el ángu-lo de la pala respecto de labarra a la que está sujeta.Con Cabri II podemos gober-nar cada uno de los cilindroshidráulicos de la excavadorapor separado, como lo haríael operador en la cabina.



410cilhi. El cilindro hidráulico.

En el triángulo OPQ, PQ es un cilindroque puede salir del interior de otro hastaalcanzar el doble de longitud.

El segmento OQ es fijo y la longitud dePQ determina la inclinación del segmentoOP

420grua. La grúa.

El brazo de esta grúa se eleva medianteun cilindro hidráulico OP que es el lado delongitud variable del triángulo OPQ.

El segmento OQ se ha fijado al armazóndel remolque y el lado OP determina lainclinación del brazo de la grúa.

430volq. El volquete.

Para que la caja del camión pueda elevar-se ángulos grandes, es necesario que elcilindro hidráulico se pueda extender treso cuatro veces la longitud del cilindro.Para ello es preciso contar con mecanis-mos telescópicos.

440conte. El porta-contenedores.

El camión que deposita y recoge los con-tenedores de las obras en nuestras ciuda-des, podría estar compuesto por dos cilin-dros hidráulicos articulados para facilitarel movimiento del contenedor



450excav. La excavadora .

La composición de tres ciclindros hidráuli-cos permite el movimiento de la pala ex-cavadora.

Con ABC elevamos el primer brazo (enverde), con XYZ inclinamos el segundobrazo (en rojo) y con PQR giramos la pala

Con Cabri II podemos gobernar cada uno de los cilindros hidráulicosde la excavadora por separado, tal como el operador en la cabina manipulalos controles desde la cabina.Si lo que queremos es hacer-nos una idea de la región quepuede alcanzar la máquina,podemos dejar el trazo de lapunta de la pala y realizar unaanimación múltiple de los trescilindros al azar. Si lo dejamosactuar un par de minutos te-nemos un dibujo como el de laderecha.

Para ver el efecto de cada uno de los cilindros hidráulicos por separa-do, tenemos la posibilidad de construir ellugar geométrico de un objeto que depen-de de otro, en nuestro caso nos permiteestudiar qué posiciones ocuparía la palacuando el cilindro toma diez posicionesequidistantes a lo largo de su recorrido.Aquí tenemos las posiciones obtenidaspara cada uno de los tres cilindros:



5. La palanca.

Una barra AB que puedegirar alrededor de un punto fijoO es una palanca. Su utilidadse sustenta en que las distan-cias recorridas por A y por Bsobre los arcos, dependen úni-camente de las longitudes OAy OB, porque tratamos con ar-cos de circunferencia trazadoscon ángulos iguales.

La ley física de la palanca nos dice que las fuerzas aplicadas en losextremos de la barra, son inversamente proporcionales a las distancias res-pecto del centro de giro. Esto se debe a que el trabajo realizado en los dospuntos ha de ser igual o, lo que es lo mismo, han de ser iguales los produc-tos de las fuerzas aplicadas en cada punto por las distancias desde O acada punto.

FA x OA = FB x OB de donde FB / FA = OA / OB

La construcción de una palancase inicia, como en casos anteriores,con los dos segmentos que contienenlas longitudes de los brazos de la ba-rra OA y OB y marcamos el centro degiro O.

Si tomamos el punto A como el impulsor y B como seguidor, ambosestarán situados sobre arcos de cir-cunferencia con centro en O, que po-demos situar sobre las circunferen-cias dibujadas con el compás. Colo-camos primero A sobre el arco XY ytrazamos la recta que pasa por O y A,B será el punto de intersección deesta recta con la otra circunferencia.



El arco sobre el que se mueve B se puede marcar como el lugar geométrico delpunto B, cuando A toma posiciones distintas sobre el arco XY. Después de esto pode-mos modificar los brazos de la palanca, cuando sea necesario, con sólo desplazar A yB.

En la figura 520freno.fig se estu-dian tres tipos de palancas dependiendode la posición relativa que mantengan lospuntos P (impulsor), Q (seguidor) y O(punto de apoyo):

· 1ª especie: cuando impulsor yseguidor están a distintos lados del punto de apoyo. Tenemos ejemplosen la palanca del freno de mano, en las tijeras y el cascanueces.

· 2ª especie: cuando impulsor y segui-dor están del mismo lado, pero el impul-sor está más alejado del punto de apoyo.Ejemplos son el freno hidráulico, que seve en esta sección y el hinchador, queapareció en la figura 240hinch.fig.

3ª especie: también están impulsor y seguidor del mismo lado delpunto de apoyo, y el impulsor está más cerca que el seguidor. Se utilizacuando queremos que pequeños movimientos se amplifiquen, es másdifícil de ver en los mecanismos, pero tenemos ejemplos en las básculasde baño en las que pequeños movimientos de la plataforma han detraducirse en otros mucho mayores de la aguja que marca el peso.



510palan. La palanca .

Combinación de palancas en las que po-demos estudiar el factor de transmisión. Oy O’ son puntos fijos sobre los que el sis-tema puede bascular.

Podemos variar las longitudes de las ba-rras.

520freno. El freno.

Estudio de las tres clases de freno, de-pendiendo de la situación del punto deapoyo (O), el impulsor (P) y el seguidor(Q).

530tijer. Las tijeras.

La palanca se ha utilizado para producir elmovimiento de corte de las tijeras.

El sistema se acciona en el punto P, queestá situado sobre el arco XY con centroen O.

540cascan. El cascanueces.

Tiene un funcionamiento parecido a lastijeras.

Dos de los segmentos se han sustituidopor un rombo articulado.

554frbic. El freno de la bicicleta.

El cable de freno utiliza una palanca en lamaneta para producir tensión en un cable,que se traduce en dos palancas que obli-gan a las zapatas a desplazarse para pre-sionar la rueda.



560frhidr. El freno hidráulico.

Al accionar el pedal del freno se accionaun émbolo que hace circular el líquido porlos conductos hasta llegar a los discosque presionan la rueda para frenar.

570prens. La prensa hidráulica.

Las fuerzas ejercidas a un émbolo setransmiten al otro reduciendo el recorrido(se divide por 32), pero aumentando lafuerza que ejercemos multiplicando porese mismo factor.



6. Combinación de dos triángulos.

En esta sección se presentan algunos mecanismos que utilizan lacombinación de dos triángulos, cada uno con un lado de longitud variablepara transformar un movimiento en otro. En muchos casos se trata de con-vertir el movimiento de rotación de un punto (manivela), en el deslizamien-to de otro, que se traslada según unas guías. Esta transformación se reali-za con una barra articulada en sus extremos (biela).

También tenemos ejemplos de la transformación de un movimiento derotación en otro movimiento también de rotación en el mecanismo de discoacoplado de la combinación de dos mecanismos de brazo oscilatorio en elbanco de carpintero.

La mayoría de estos diseños están inspirados en el libro deArtobolevski que contiene una exhaustiva relación de miles de mecanismosy bastantes de ellos se pueden traducir a los diseños de Cabri-Geomètre.

610disco. Disco acoplado.

Combinamos dos triángulos, cada unocon un lado de longitud variable. La mani-vela AP impulsa la biela PQ, que hace gi-rar el disco con centro en B.

620dostr. Dos triángulos

El primero –ABC–, actúa como un meca-nismo de brazo oscilatorio y transfiere sumovimiento al triángulo BDE, que tiene unfuncionamiento parecido al analizado enla máquina de vapor

630covar. Corredera variable.

ABD es un mecanismo de brazooscilatorio y la pieza C se desliza por unaguía, formando un segundo triángulo AECcon EC variable. Podemos modificar laposición de A para aumentar o reducir elrecorrido de C



640bacar. Banco de carpintero.

Combinación de dos mecanismos de bra-zo oscilatorio cuando se quiere una ali-mentación lenta y retorno muy rápido.

La barra QR se mueve con velocidad casiconstante de derecha a izquierda exceptocuando P está justo arriba de O, que escuando se realiza el retorno.

650bal1. Balancín 1.

La manivela CD y la biela BC imprimenmovimiento arriba y abajo al balancín AE,que con la biela EF transfiere el movi-miento al pistón, que se desplaza por elinterior del cilindro

660bal2. Balancín 2

Semejante al anterior, con los elementoscompuestos de otra manera. Ahora lasbielas BC y EF se comunican por la barraBE que bascula en A

670motba. Motor de balancín.

El mecanismo impulsor es la manivela ABque forma parte del triángulo ABC. La ba-rra CE actúa como balancín alrededor deD y el triángulo DEF transmite el movi-miento al pistón P.

680motdo. Motor de doble recorrido.

La manivela AB tiene recorrido sobre unarco e impulsa el punto C en un movi-miento de vaivén lateral.

El triángulo isósceles DCE, con DE varia-ble, consigue que el pistón haga dos ci-clos completos, cada vez que B recorre elarco en uno de los sentidos.



7. El paralelogramo articulado.

El paralelogramo es el cuadriláteroque tiene las varillas opuestas de la mis-ma longitud. Lo utilizamos cuando quere-mos que se mantenga el paralelismo endiversas partes del sistema. Tenemos unejemplo en la balanza, en la que es nece-sario que los platillos siempre se manten-gan horizontales, para que no caigan losobjetos que depositamos en ellos.

La construcción en Cabri II comienza pordos varillas de distinta longitud: OP y PQ. Si Oes un vértice del paralelogramo, el siguiente Ppuede ser cualquier punto de la circunferenciade centro en O y radio OP. El punto Q lo situa-mos sobre la circunferencia que se dibuja alhacer compás en P con radio PQ.

Este montaje tendrá dos grados de libertad; en P y en Q, aunque nor-malmente la barra OP se mantiene fija y es Q el que provoca el movimientoen el sistema. El punto R vendrá determinado por la intersección de dos cir-cunferencias o bien por el paralelismo de los lados.

A partir de aquí podemos utilizar uno de los lados para utilizarlo en otroparalelogramo articulado, lo que provocará un efecto multiplicador del movi-miento, como ocurre en el pantógrafo y en las pinzas extensibles, o bien co-locar dos paralelogramos formando un ángulo fijo, como en la barquilla dereparación del alumbrado.



710paral. El paralelogramo articulado.

O es un punto fijo mientras P y R puedenmoverse libremente.

El diseño permite modificar la longitud delos lados y la animación múltiple de lospuntos móviles.

715rutre. Las ruedas del tren.

Las bielas que interconectan las ruedasde la locomotora forman unparalelogramo articulado, con el fin deque todas lleven el mismo movimiento.

720venta. La ventana de hojas.

El paralelogramo articulado asegura quetodas las hojas de la ventana se mantie-nen paralelas para cerrar o abrir.

725balan. La balanza de platillos.

El paralelogramo articulado consigue quelas barras que soportan los platillos semantengan verticales y que no caigan losobjetos que depositamos en ellos.

730herra. La caja de herramientas.

Utiliza la combinación de paralelogramosarticulados para juntar y separar los distin-tos departamentos de la caja.



735pzext. Pinzas extensibles.

Utiliza la combinación de paralelogramospara extender el brazo y para cerrar oabrir la pinza.

740pant2. El pantógrafo.

Cuando el punto P se mueve por el con-torno de una figura, el punto Y realiza unacopia de tamaño doble.

745pant3. Pantógrafo 3 a 1.

Si P se desplaza sobre un arco, Y dibujaotro arco en una escala 3:1. Esto se debea que Y siempre se encuentra a una dis-tancia de X triple que P.

755divid. Máquina de dividir.

Es una aplicación del pantógrafo. Se utili-za para dividir un segmento OP1 en cua-tro partes iguales. Llevamos P1 al otro ex-tremo de la barra y P2, P3 y P4 marcanlas divisiones.

760parab. El limpiaparabrisas.

El punto P gira alrededor de O en el arcoXY. La articulación transfiere el movimien-to a la escobilla.

765pabus. Limpiaparabrisas autobús .

Cuando la escobilla ha de limpiar una su-perficie muy grande, es conveniente quese mantenga siempre vertical. Esto seconsigue con un paralelogramo articula-do, si OO’ es fijo y horizontal al suelo, PQtambién lo será y articulamos a él la esco-billa de forma que sea perpendicular.



765libro. El libro móvil.

Composición de paralelogramos articula-dos. Al accionar el punto P con una tira decartón hacia adelante y atrás, los perso-najes reman al mismo tiempo.

770flexo. Lámpara mesa de dibujo.

Utiliza la combinación de dosparalelogramos articulados para extendero recoger la lámpara.

775. Barquilla para reparar alumbrado.

Está compuesta por dos paralelogramosarticulados. El que está sujeto al sueloeleva mediante un cilindro hidráulico y elsegundo forma un ángulo STU fijo, paraque la barquilla no se incline y el suelo semantenga siempre en un plano horizontal.

Los limpiaparabrisas de los autobuses debenbarrer una superficie mucho mayor que la de los co-ches, es conveniente que la escobilla se mantengasiempre en posición vertical para que despida elagua de los cristales. En el diseño de Cabri II se hadibujado el lugar geométrico de la escobilla, es decir,las distintas posiciones que ocupará esta barra,cuando el punto P tome 20 posiciones equidistantessobre el arco sobre el que está situado.

Las barquillas de reparación del alumbrado necesitan trabajar a distin-tas alturas, mientras el operario se mantiene en una cabina que ha de man-tenerse en una posición siempre paralela al suelo, aunque se inclinen losbrazos que la sustentan. Esto se consigue con lacombinación de dos paralelogramos articuladosque se conectan en un ángulo fijo STU. Se ha di-bujado el lugar geométrico de las barquillas, 20 delas posiciones que ocuparía y que corresponde aotras tantas posiciones del cilindro hidráulico quele hace elevarse.



8. El cuadrilátero articulado.

El cuadrilátero articulado está formado por cuatro varillas de distintalongitud unidas por sus extremos. Suele tener un segmento fijo OP -basti-dor –, y el resto de las varillas son móviles. Se utiliza para transformar unmovimiento de rotación en otro de vaivén, y al contrario. El dibujo y el es-quema pertenecen al mecanismo de funcionamiento del trole, que vemosen las películas del oeste, para desplazarse por la vía. El punto A se muevesobre un arco arriba y abajo, acciona en Q el movimiento del cuadriláteroOPQR para que R –y la rueda –, giren alrededor de O y el trole avance.

La construcción del cuadrilátero articulado con Cabri II parte de los cuatrosegmentos dibujados previamente, uno de los cuales OP será el bastidor. Qserá un punto cualquiera de la circunferencia de centro P y radio PQ, mien-tras que R será el punto de intersección de dos circunferencias: la de centroen O y radio OR y la de centro en Q y radio QR.

La construcción previa de las cuatro ba-rras que después se articularán, favorece elestudio posterior, al permitir que variemos lascondiciones iniciales desde el exterior del dibu-jo. Cuando alargamos o acortamos cualquierade los segmentos dibujados, modificamos todala construcción con las nuevas condiciones.



Al haber construido el cuadrilátero con varillas articuladas, pronto sur-gen figuras que no suelen aparecer sobre el papel, como los cuadriláteroscóncavos –a la izquierda –, y también otros cruzados –a la derecha –, quehacen surgir las dudas acerca de si serán o no polígonos. Hay un interesan-te articulo de D. Crawforth (1988) en el que expone el aprovechamiento di-dáctico de esta situación.

Además, encontramos situaciones enlas que el cuadrilátero deja de existir, esdecir, no se puede construir con las condi-ciones planteadas. El caso más evidentese produce cuando uno de los lados esmayor que la suma de los otros tres, perohay otros.

La herramienta Lugar Geométrico facilita el estudio para averiguar enqué condiciones podemos construir un cuadrilátero, y cuándo no será posi-ble hacerlo. Si obtenemos las posiciones de R cuando Q toma 50 posicio-nes equidistantes sobre la circunferenciaen la que se mueve, generalmente se di-bujan uno o dos arcos (marcados con tra-zo grueso en azul), que indican aproxima-damente las soluciones para el cuarto vér-tice del cuadrilátero.



810cuadr. El cuadrilátero articulado.

P puede girar alrededor de O y Q alrede-dor de P. En algunos casos el cuadriláterose cruza y en otros no se puede dibujar.

Podemos analizar las condiciones deexistencia dependiendo de las longitudesde los lados.

820antpa. Montaje antiparalelo.

Las articulaciones se realizan ahora deforma que tanto P como Q giran alrede-dor de O.

Aquí podemos estudiar en qué condicio-nes los puntos pueden girar de forma queel cuadrilátero exista siempre.

830trole. El trole ferroviario.

La barra se acciona en el punto P quehace balancín alrededor de A y mediantela biela QR se transmite el movimiento ala rueda para que gire y avance la plata-forma en la que va situado.

840agit. El agitador

Utiliza un mecanismo de manivela (PQ) ybiela (QR) para transmitir un movimientode rotación a otro de vaivén de la barraOS que tiene el segmento OP fijo.

850vaiv. Movimiento de vaivén.

El cuadrilátero articulado ABCD utiliza unsistema parecido al anterior para provo-car un movimiento de vaivén en P, queinduce al deslizamiento de la barra dibu-jada en azul. La velocidad de la barra esdistinta según esté en el centro o en losextremos.



860inter. Alimentación intermitente .

Mecanismo basado en el cuadrilátero arti-culado que se utilizaba antiguamente pararealizar el paso de la película fotograma afotograma. El movimiento circular unifor-me P alrededor de O se transforma en lacurva marcada en verde para A, lo queprovoca que enganche y suelte la películaa intervalos constantes.

870puert. Cierre de puerta.

El cuadrilátero OPQR tiene el lado OP so-bre el marco de la puerta y PQ sobre lamisma puerta. Cuando Q gira alrededorde P (lo que se puede conseguir con elmuelle marcado en color naranja), lapuerta se cerrará.

880grua. La grúa de pluma.

Para conseguir los desplazamientos hori-zontales de la pluma hay que inclinar elbrazo. Esto se consigue al acercar o ale-jar P a O. Esto hará que se deforme elcuadrilátero ABCD que tiene el segmentoAB fijo.

885picicl. Las piernas del ciclista.

Forman un cuadrilátero OPQR, en el queel muslo OP hace de manivela impulsora,mediante la articulación de la rodilla setransfiere a la pierna PQ que hace de bie-la y hace girar al pie alrededor de R. Elsegmento fijo es OR.

890sierra. La sierra.

Se utiliza una combinación de un cuadrilá-tero articulado OPQR, que hace que elparalelogramo ABCD bascule con dos la-dos siempre paralelos a la barra RR’. C yD describen pequeños arcos de circunfe-rencia.



9. Engranajes y correas detransmisión.

La utilización engranajes y ruedas denta-das tiene más de dos mil años. En el siglo XVLeonardo da Vinci realizó diseños de engrana-jes y un prototipode bicicleta.

Actualmente engranajes y correas detransmisión están presentes en muchas acti-vidades: poleas y polipastos para elevar car-gas pesadas, y en todo tipo de sistemaspara el cambio de marchas, que facilite latransmisión del movimiento.

El diseño de poleas con un programa de ordenador ha de estudiar laforma de trasladar a las imágenes el problema físico-matemático del factorde transmisión. En el caso más sencillo tene-mos dos ruedas conectadas por una correa.La cantidad de vueltas que da una respectode la otra depende únicamente de las longitu-des de esas circunferencias o, lo que es lomismo, de sus radios. En la figura, cuando larueda de la izquierda dé dos vueltas, la de laderecha habrá dado 3.

Cabri-Geomètre, como lenguaje de pro-gramación, pone a nuestro alcance una seriede herramientas, que facilitan ciertas cons-trucciones, por ejemplo, permite introducirelementos en la construcción que hagan que



el diseño pueda ser manipulado de forma interactiva. Para conseguir quelas circunferencias no sean estáticas, podemos dibujar dos segmentos a unlado que serán los que servirán como radio para la herramienta compás.Después no tendremos más que “estirar” de los extremos de los segmentospara que las circunferencias cambien de tamaño.

Construidas las ruedas, ahora tenemos que diseñar las correas quetransmiten el movimiento de una a otra. Las tangentes a dos circunferen-cias necesitan que resolvamos el pro-blema previo de las tangentes a unacircunferencia por un punto. La solu-ción viene al considerar la idea de arcocapaz en la circunferencia, que tienepor centro el punto medio entre el cen-tro de la circunferencia y el punto P. Siel ángulo es de 90º, la recta será per-pendicular al radio de la circunferencia.

Para el caso que nos ocupa con dos circunferencias, consideramos latangente desde el centro de la circunferencia más pequeña a la circunferen-cia que tiene por centro el de la grande, y por radio la diferencia de los ra-dios. Trazamos la tangente desdeel punto a la nueva circunferencia,y después dibujaremos las parale-las a estas, que sean tangentes alas dos circunferencias originales.Ahora podemos variar los radiosde las circunferencias o la posiciónde los centros para ver lo que ocu-rre.

Por el procedimiento seguido para realizar la construcción, es precisotener en cuenta que será válida siempre y cuando la circunferencia grandesiga siendo mayor que la otra. Otro caso singular se da cuando una de lascircunferencias está en el interior de la otra.

Una vez realizadas estas construcciones, han de ser utilizadas en losdiseños para unir dos, tres o cuatro circunferencias, en lugar de repetir elprocedimiento, construimos una macro que tenga:



· Objetos iniciales: las dos circunferen-cias.

· Objetos finales: los dos segmentos si-tuados sobre las tangentes que tienenpor extremos los puntos de contactocon las circunferencias.

· Definir macro: escribir un nombre yguardarlo.

Aunque sólo sea una cuestión de presenta-ción para facilitar el análisis posterior de los es-tudiantes, ahora podemos dibujar los arcos to-mando los puntos de tangencia, para que los lu-gares por donde pasa la correa se vean del mis-mo color y lograr así un efecto más realista.

Ahora sólo nos queda realizar la simulación del movimiento de lasruedas con dos radios móviles que realicen el movimiento de rotación. Paraque el movimiento aparente de una respecto de la otra se parezca a la rea-lidad, podemos tomar un punto quegire en una de las circunferencias,y transferir ese movimiento a laotra, pero esto acarrea gran canti-dad de problemas. Una soluciónmejor consiste en tomar un puntoque se pueda mover sobre un seg-mento, y transferir la distancia en-tre ese punto y uno de los extremosa las dos circunferencias a partir delos puntos C y D.

Dos dificultades adicionales que han surgido en los di-seños de este capítulo son:

· El caso de las circunferencias concéntricas de diferentesradios, que se mueven solidariamente y cada una deellas está unida otras.

· El desplazamiento de las poleas móviles en los polipastoshace que la misma circunferencia se desplace hacia arribao abajo a la vez que gira.



Se han realizado cuatro diseños de transmisión con correas de com-plejidad creciente, la reconstrucción de una máquina de hilar para ver la uti-lidad de la transmisión inversa y la aplicación de las ruedas a un coche dejuguete. Más adelante se introduce el problema de la elevación de pesosmediante poleas y polipastos que facilitan el traslado de cargas pesadas y,por último, se muestran dos diseños de la transmisión en la bicicleta en lasque el cambio de marchas se hace de forma continua: mediante el alarga-miento de los radios del plato y del piñón.

910trandi. Transmisión directa.

Dos ruedas están conectadas por una co-rrea. El factor de transmisión se obtienecomo el cociente entre los radios. Cadavez que la rueda grande dé una vueltacompleta, la pequeña dará OA’/OA vuel-tas.

920trani. Inversión del movimiento.

Como el anterior, pero la posición de lascorreas invierte el sentido de giro.

930tran3. Composición 1

En este sistema hay dos ruedas que semueven de forma solidaria.

En el diseño podemos variar los radios detodas las circunferencias y estudiar losfactores de transmisión.

940tran4. Composición 2.

En este sistema podemos analizar el sen-tido de giro de cada rueda y, como en losanteriores, modificar los radios para estu-diar los factores de transmisión.



945hilar. Máquina de hilar.

Reproducción esquemática de una máqui-na de hilar del museo del cáñamo de Ca-llosa de Segura. Alicante.

Las tres ruedas de la izquierda van enro-llando hilos de cáñamo. Después estastres cuerdas se introducen en la de la de-recha para que los enrolle en sentido con-trario.

950jugue. Juguete móvil.

Compuesto por dos poleas fijas (con cen-tro en A y B) y dos que se mueven con elcochecito.

El sistema se acciona al mover el punto Pa izquierda y derecha.

960poli2. Polipasto 2 poleas.

Cuando bajamos el punto P dos metros,el peso que colgamos en el gancho Qsólo subira un metro (se recogerá un me-tro de cuerda por cada lado). Esto nospermitirá subir el doble de peso.


Está formado por dos poleas fijas (N y N’)y una móvil (M).

Ahora hace falta estirar tres metros decuerda en P para que el peso situado enQ suba uno.




Está formado por cuatro poleas, dos fijas(A y C) y dos móviles (B y D).

Tendremos que estirar cuatro metros parasubir uno, ya que se recogerá un metropor cada una de las cuerdas que bajan.

990bicic. La transmisión en la bicicleta

Para estudiar la transmisión podemosmodificar el radio del plato y el del piñón yver la relación entre el movimiento del pe-dal y el de la rueda.

995.bici2. Bicicleta 2.

Este sistema ya admite giros completosdel pedal.

Además de los radios del plato y el piñón,también se permite modificar el radio dela rueda. Para unos valores determina-dos, se realiza el cálculo de la longitudque avanzamos al dar una pedalada com-pleta.



Bibliografía.

ARTOBOLOEVSKY, I.I. (1979). Mecanismos en la técnica moderna. (6 vol.).Mir: MoscúBOLT, A. B. y HISCOCKS (1970). Machines, mechanims and mathematics.Mathematics for the Majority Project. Chatto & Windus. The School Council.London.BOLT, B. (1992). Matemáquinas. La matemática que hay en la teconología.Labor: Barcelona.CRAWFORTH, D. (1988). ¿Qué es un cuadrilátero?. ( En Walter M. ed.Geometry. M.E.C.: Madrid).CUNDY, H. M. et ROLLET, A. P. (1978). Modèles mathematiques.CEDIC:ParisKOZHEVNIKOV, S.N. Mecanismos. Gustavo Gili. Barcelona.MORA, J.A. (1996). Máquinas y matemáticas. Actas del 8º I.C.M.E. SevillaMORA, J.A. (1997). De la calle al ordenador. Revista Aula de InnovaciónEducativa, núm. 58. Enero de 1997 pp. 20-21.MORA, J.A. (1997). Las matemáticas en los mecanismos. Actas de las IIIJornadas de la SEMCV. Al Khwarizmi celebradas en Burjassot. 1997.MORA, J.A. (1997). La geometría de los mecanismos. Actas de las VIIJ.A.E.M. celebradas en Salamanca.MORA, J.A. (1998). Matemáticas con Cabri-Geomètre II. Proyecto Sur. Gra-nada.O’DAFFER P. Y CLEMENS S. (1977). Geometry: an investigative approach.Addyson-Wesley: California.

Otros materiales utilizados:

J.C.B. Maquinaria. Folletos de propaganda. ValenciaJOAL COMPACT. Juguetes y Herrajes. Folletos propaganda. Ibi. AlicanteAlbert Lucas, R. Museo del Cáñamo de Callosa de Segura. Alicante.

Direcciones de internet consultadas:

Leonardo da Vinci. La bicicleta e l’automobile. Studio del Professore Augus-to Marinoni. http://rcl.nemo.it/reteciv/cultura/arte/leon/indice.htmMuseo Leonardiano di Vinci. http://www.leonet.it/comuni/vincimus/invimus.html

mecanismos ficus.pntic.mec.es

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