mécanique des fluides guy gauthier ing. ph.d. sys-823 - Été 2013
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Mécanique des fluides
Guy Gauthier ing. Ph.D.
SYS-823 - Été 2013
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LE BILAN MATIÈRE
Comme en comptabilité, il faut que ça balance.Rien ne se perd, rien ne se créé…
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Cours #1 - SYS-823 Page 3
Le bilan matière
Équation de ce bilan :
m asse d e liq u id e
d an s le rése rv o ir
à t t
m asse d e liq u id e
d an s le rése rv o ir
à t
m asse d e liq u id e
en tran t d an s le rése rv o ir
d e t à t t
m asse d e liq u id e
so rtan t d u réserv o ir
d e t à t t
V V F dt F d tt t t i
t
t t
t
t t
dV
dtF Fi
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Cours #3 - SYS-823 Page 4
Le bilan matière [2]
Or :
Si la densité est constante :
Bilan :
dV
dtV
d
d t
dV
dt
dV
dt
dV
dt
dV
dtF Fi
dV
dtF Fi
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Cours #1 - SYS-823 Page 5
Équation différentielle linéaire ordinaire
Pour résoudre cette équation différentielle:
Il suffit de connaître: Les entrées : Fi(t) et F(t); Le volume initial : V(0).
dV
dtF Fi
Variable d’état
Entrées
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Cours #1 - SYS-823 Page 6
Solution
La solution de cette équation différentielle est :
V F F d Vi
t
( ) ( ) ( ) 0
0
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Cours #1 - SYS-823 Page 7
Exemple avec réservoir cylindrique
Pour un réservoir cylindrique : V = Ah
Si le débit de sortie est proportionnel à la racine carrée de la hauteur de liquide:
dV
dtA
dh
d tF Fi
F h
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Cours #1 - SYS-823 Page 8
Équation différentielle non-linéaire
L’équation différentielle à résoudre pour la hauteur est :
dh
d t
F
A Ahi
Variable d’état
Entrée
Paramètres
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Cours #1 - SYS-823 Page 9
Solution – vidange d’un réservoir s’écoulant par gravité
La solution de cette équation est (en supposant que Fi = 0) :
dh
d t Ah
dh
h Adt
dh
h Adt
h
h
t
t
o o
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Cours #1 - SYS-823 Page 10
Solution (2)
Donc :
Si to = 0 :
2 2
2
h hA
t t
h hA
t t
o o
o o
h t hA
to( )
2
2
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Ballon-tampon de gaz(Gas surge drum)
Soit: V : volume du ballon-tampon (m3); n : quantité de gaz (moles); MW : poids moléculaire du gaz
(kg/mole); qi : débit molaire entrant (moles/s); q : débit molaire sortant (moles/s);
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Ballon-tampon de gaz
La masse s’accumulant dans le ballon est:
Si poids moléculaire constant:
Wi Wi W
d nMq M qM
dt
i
dnq q
dt
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Loi des gaz parfaits
La relation pression-volume est caractérisée par la loi des gaz parfaits:
Ainsi:
PV nRT
PVn
RT
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Loi des gaz parfaits
Donc:
La température T (en kelvins) et le volume V (en m3) sont assumés constants.
R est la constante des gaz parfaits (en J/(k.mole)).
8.314472 J/(k.mole).
i
d PV RTdn V dPq q
dt dt RT dt
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Bilan
Finalement:
Le stockage de gaz dans un réservoir change la pression.
i
dP RTq q
dt V
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Exemple:
Réservoir de 5 m3, Température de 300 kelvins, Pression initiale du réservoir de 101300 Pa.
Débit entrant de 10 moles/min; Pression en aval de 101300 Pa; coefficient d’écoulement de 0.35 mole/(Pa.min).
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Exemple:
n = 203.06 moles, quantité initiale de gaz – évalué à partir de la loi des gaz parfaits.
Puis:
i
i av
dP RTq q
dt VRT
q P PV
PVn
RT
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Exemple:
Avec les valeurs numériques:
7
498.87 0.35 101300
498.87 174.60 1.77 10
i
i
dPq P
dt
q P
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Exemple:
Simulation:
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Loi de Bernoulli
Équation correspondant à cette loi:
Fluide incompressible; Fluide parfait (viscosité négligeable et
pas de pertes de charges).
2
constante2
v pz
g g
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Exemple
Réservoir qui se vide par gravité:
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Exemple
Selon Bernoulli:2 21 1 2 2
1 22 2
v p v pz z
g g g g
v1 = 0 m/s
p1 = 1 atm. p2 = 1 atm.
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Exemple
Ce qui mène à:
Donc:
Et:
22
1 22
vz z h
g
2 2v gh
2 2 2 2 2Q A v A gh
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Exemple
Dans le réservoir:
Ce qui mène à:
Ressemble à:
2 1
dhQ A
dt
2
1
2A ghdh
dt A
dhh
dt A
Car le réservoir se vide
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Exemple
Dans le réservoir:
Ce qui mène à:
Ressemble à:
2 1
dhQ A
dt
2
1
2A ghdh
dt A
dhh
dt A
Car le réservoir se vide
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Bilan énergétique d’une ligne de fluide
Énergie cinétique:
Énergie potentielle:
Énergie élastique:
2 21 1 12 2c VE mv v
1z VE mgz gz
1p VE pV p
Corresp
ond à
chaque te
rme
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Loi de Bernoulli (fluide compressible)
Équation correspondant à cette loi:
Avec g le rapport des capacités calorifiques du fluide donné par:
2
constante2 1
v pz
g g
p
v
C
C
1.67 pour gaz monoatomique
1.40 pour gaz diatomique
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Tableau de Cp et Cv pour divers gaz
Cp J/kg/k Cv J/kg/k
Air 1005 718
O2 917 653
N2 1038 741
Vapeur d’eau 1867 1406
He 5234 3140
Ne 1030 618
Propane (C3H8) 1692 1507