[

MECANICA Y ONDAS

Tema 5

II

Indice general

5. Sistemas con ligaduras 15.1. El principio de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45.2. Ecuaciones de Lagrange de tipo I para ligaduras no holonomas . . . . . . . . . . 75.3. Una interpretacion de los multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . 85.4. Leyes de conservacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95.5. multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5.5.1. Deslizamiento sin rozamiento en un plano inclinado . . . . . . . . . . . . 125.5.2. Deslizamiento sin rozamiento en una parabola . . . . . . . . . . . . . . . . 135.5.3. Movimiento sobre una esfera S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.5.4. Curva de persecucion en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.6. El principio (de coercion mınima) de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.7. El principio de Jourdain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.8. Formas diferenciales y ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

III

IV

Capıtulo 5

Sistemas con ligaduras

Las ecuaciones de Newton, pese a su generalidad, no pueden dar respuesta a todos los sistemasmecanicos concebibles. No es infrecuente constatar que, en problemas aparentemente sencillos,las ecuaciones del movimiento de Newton no son directamente aplicables. Esto ocurre siempreque una partıcula (o un sistema) este sujeto a ciertas condiciones o restricciones relativas alas posiciones o las velocidades. Ejemplos de tales restricciones son el movimiento sobre unasuperficie (p.e. una esfera moviendose sobre la superficie de un paraboloide), una relacion linealentre las componentes del vector velocidad o una distancia fija entre las partıculas del sistema.1

El pendulo es un caso tıpico de esta ultima propiedad, ya que esta sujeto tanto a la ley degravitacion como a la fuerza ejercida por el hilo. Incluso suponiendo que el hilo es estatico, elsistema esta restringido de la forma siguiente: la distancia entre la masa y el extremo opuestodel hilo es constante. Tales restricciones o condiciones suplementarias en sistemas mecanicosse conocen como ligaduras del sistema.2 Esencialmente, su existencia lleva a una de las dossiguientes situaciones conflictivas con las ecuaciones de Newton:

1. Las ecuaciones del movimiento de Newton no incorporan las ligaduras, que deben incluirsecomo condiciones adicionales que deben resolverse simultaneamente a las ecuaciones delmovimiento.

2. Las ecuaciones del movimiento incluyen las ligaduras,

mir = Fi + FLi , (5.0.1)

pero las fuerzas de ligadura FLi no son conocidas.

Las ligaduras afectan generalmente a las coordenadas de posicion y el tiempo, ası como a lasvelocidades.

El objetivo de este capıtulo es obtener un procedimiento general para la obtencion de las ecua-ciones de un sistema mecanico con ligaduras, ası como analizar sus caracterısticas mas desta-cadas. Para ello, es conveniente introducir una primera distincion de los tipos de ligaduras,debida a Hertz, conforme a las propiedades de las mismas.Consideremos un sistema de N partıculas y sean r1, · · · , rN los vectores de posicion. Unaligadura del sistema se clasifica generalmente en los siguientes tipos:

1El solido rıgido es uno de estos sistemas, que estudiaremos mas adelante con detalle.2Este hecho tambien justifica la terminologıa de partıcula libre, dado que la trayectoria de esta puede acceder a

puntos arbitrarios del espacio A3.

1

2

1. holonoma:ϕ (t, r1, · · · , rN ) = 0. (5.0.2)

La ligadura puede expresarse como una identidad dependiente del tiempo y la posicion delas N partıculas.

2. no holonoma: las restantes. Encuadra en particular todas las ligaduras que pueden expre-sarse como desigualdades, y pueden ser dependientes de las velocidades.

ϕ (t, r1, · · · , rN , r1, · · · , rN ) ≥ 0. (5.0.3)

Dentro de las ligaduras no holonomas, merecen mencion especial las llamadas semi-holono-mas, que son aquellas ligaduras descritas por identidades del tipo

ψ (t, r1, · · · , rN , r1, · · · , rN ) = 0,

pero donde esta condicion no es integrable, es decir, que no existe ξ (t, r1, · · · , rN ) de modoque3

ψ (t, r1, · · · , rN , r1, · · · , rN ) =d

d tξ (t, r1, · · · , rN ) . (5.0.4)

3. reonoma: si la ligadura depende explıcitamente del tiempo.

4. escleronoma: si la ligadura es independiente del tiempo.

En ocasiones, una ligadura holonoma puede aparecer camuflada como una identidad dependientede las velocidades

ϕ (t, r1, · · · , rN , r1, · · · , rN ) = 0.

No obstante, al ser holonoma, siempre puede reducirse la identidad anterior a una expresion deltipo de una diferencial total

ϕ (t, r1, · · · , rN , r1, · · · , rN ) =d

d tg (t, r1, · · · , rN ) , (5.0.5)

por lo que la ligadura puede escribirse de forma equivalente mediante la condicion

g (t, r1, · · · , rN ) = cons.

Por este motivo, las ligaduras holonomas tambien reciben el nombre de integrables.4

Una propiedad importante de las ligaduras holonomas es la posibilidad de reducir el numero decoordenadas independientes. Si el numero de ligaduras holonomas independientes es r, el sistematiene exactamente f = 3N−r grados de libertad, es decir, puede hallarse una referencia adaptadaal sistema con coordenadas {q1, · · · , qf}. En una seccion posterior veremos como introducir

3La no integrabilidad de esta ecuacion esta de hecho relacionada con la inexistencia de factores integrantes para laligadura de partida.

4Desde una perspectiva geometrica, las ligaduras (holonomas) estan estrechamente relacionadas con la propiedadde una distribucion (en el sentido de Frobenius) de ser involutiva. En este contexto, la nocion de holonomıa de unaligadura mecanica no debe confundirse con la nocion de holonomıa en geometrıa diferencial. Para un estudio de lasligaduras mecanicas desde el punto de vista de las formas diferenciales o de Pfaff, recomendamos al lector los textos[4] y [7].

3

dichas referencias (coordenadas generalizadas) para simplificar las ecuaciones del movimiento ysu analisis.Por el contrario, las ligaduras no holonomas no permiten reducir el numero de coordenadas, porlo que el numero de grados de libertad del sistema no puede expresarse de forma sencilla comoen el caso holonomo. A esto ha de anadirse el hecho de que el tratamiento es formalmente masdifıcil para el caso no holonomo. Para ciertos tipos de ligaduras no holonomas pueden hallarsesistemas holonomos equivalentes, o bien el sistema puede analizarse directamente (utilizandoel metodo de los multiplicadores de Lagrange, por ejemplo). No obstante, como se vera masadelante, no existe una estrategia totalmente general para el analisis de sistemas con ligadurasno holonomas.5

En la siguiente tabla presentamos algunos sistemas tıpicos y su clasificacion, conforme al tipode ligaduras al que estan sometidos.

Cuadro 5.1: Tipos de ligaduras en sistemas mecanicosSistema Ligaduras Tipo

Partıcula sobre una superficie esfericade radio R.

r · r−R2 = 0holonomaescleronoma

Movimiento de un solido rıgido (ri − rj)2 − α2

ij = 0holonomaescleronoma

Partıcula en un plano de inclinacionvariable ϕ (t)

y − tanϕ (t)x = 0holonomareonoma

ColumpioCorresponde a un pendulo cuyalongitud varıa dinamicamente.

holonomareonoma

Abaco tradicionalLas cuentas del abaco satisfacenuna desigualdad ai ≤ xi ≤ bi.

no holonomaescleronoma

Movimiento en el interior de unaesfera de radio R

R2 − r · r ≥ 0no holonomaescleronoma

Movimiento de una rueda en unasuperficie con rozamiento

dx−R cosϕ (t) d θ = 0,dy −R sinϕ (t) d θ = 0,

no holonomareonoma

Historicamente, los llamados principios de la mecanica surgen de la reformulacion de las leyescon el fin de incluir las restricciones anteriores y obtener expresiones de ambito aplicado masgeneral que las ecuaciones de Newton.6 Generalmente, estos principios se derivan de problemasextremales, estrechamente relacionados con el calculo de variaciones.7 Intuitivamente, la idea quesubyace a este enfoque es describir la evolucion de un sistema indicando una de las magnitudescaracterısticas que, en el proceso real, adopta un valor extremo entre todos los posibles valores.Esencialmente, hay dos tipos de principios (variacionales): los diferenciales y los integrales,llamados de esta forma dependiendo de su formulacion en terminos de formas diferencialeso integrales (de accion). Existe una multitud de tales principios, con rango de aplicabilidad

5Una vez introducida la funcion lagrangiana de un sistema, la distincion de ligaduras se simplifica considerablemente.6No debe confundirse un principio con una ley de conservacion, pese a que en ocasiones estas se describen como

principio. El ejemplo clasico de terminologıa inexacta viene dado por el “principio de conservacion de la energıa”.7Los fundamentos basicos del calculo de variaciones pueden encontrarse, por ejemplo, en [8] o [11].

4

variable, habiendo quedado algunos de ellos obsoletos al aparecer como casos especiales deprincipios mas generales.

5.1. El principio de D’Alembert

El principio de d’Alembert puede considerarse, en toda regla, una generalizacion de la segundaley de Newton valida para la derivacion de las ecuaciones del movimiento de sistemas sujetosa ligaduras, donde la caracterıstica mas importante del principio es que las fuerzas de ligadurano realizan trabajo (cuando se trata de un movimiento compatible). Por otra parte, a partir delprincipio de D’Alembert, con ayuda del llamado metodo de los multiplicadores de Lagrange,8 seobtiene de inmediato la equivalencia con las llamadas ecuaciones de Lagrange de tipo I.

Consideremos un sistema de N partıculas de masa mi sujeto a r ligaduras bien holonomas, bienno holonomas pero expresables como funciones lineales homogeneas en las velocidades. Sobre elsistema se ejerce una fuerza externa F. Sea M la matriz diagonal de masas mi. Dado que lasligaduras impiden que el sistema siga libremente esta fuerza, la diferencia M r− F no es nula,sino igual a la fuerza R generada por las ligaduras:9

M r = F + R (5.1.1)

Consideramos la referencia de coordenadas {x1, · · · , x3N}, donde para cada j = 0, · · · , N−1, lascoordenadas {x3j+1, x3j+2, x3j+3} describen el vector de posicion rj+1 de la partıcula de masamj+1. En esta referencia las ecuaciones (5.1.1) adoptan la forma

mi ri= Fi + Ri, 1 ≤ i ≤ N. (5.1.2)

Entendemos como desplazamiento virtual del sistema a todo cambio en la configuracion delsistema10 que se siga de un cambio infinitesimal δri de las posiciones que sea compatible conlas fuerzas externas y de ligadura en un tiempo dado (δt = 0). Es importante distinguir undesplazamiento virtual de uno real en un cierto intervalo d t, durante el cual tanto las fuerzasexternas como las ligaduras pueden cambiar (y realizar trabajo).

Si suponemos que el sistema esta en equilibrio, entonces las fuerzas (totales) Fi + Ri son nulaspara cada partıcula i. En consecuencia, el trabajo (virtual) δWi = (Fi + Ri) · δri tambien escero. Sumando sobre todas las partıculas del sistema se sigue que

δW =N∑i=1

(Fi + Ri) · δri = 0. (5.1.3)

Se conoce como principio de los trabajos virtuales a la ecuacion

N∑i=1

Fi · δri = 0, (5.1.4)

que postula que las fuerzas externas no realizan trabajo virtual. Esta condicion es evidente en elcaso de que las fuerzas de ligadura no realicen trabajo, es decir, cuando se satisfaga la condicion

8Veanse por ejemplo las referencias [5, 6] para los detalles sobre este metodo.9Por este motivo, llamaremos a estas las fuerzas de ligadura.

10En otras palabras, un desplazamiento infinitesimal de cada una de las partıculas del sistema.

5

∑Ni=1 Ri · δri = 0. Esta ultima se verifica para una amplia clase de ligaduras, tales como los

solidos rıgidos o aquellas fuerzas de ligadura que sean perpendiculares a superficies determinadaspor ligaduras (holonomas), donde el desplazamiento virtual es tangencial a dicha superficie. Noobstante, para fuerzas de rozamiento, el trabajo realizado por las fuerzas de ligadura no se anula.En la forma (5.1.4), el principio es valido para problemas de estatica, pero no para las ecuacionesdel movimiento. La generalizacion a estas a traves de (5.1.2) es lo que se conoce como11

Principio de D’Alembert: En un desplazamiento virtual, las fuerzas de ligadura de un sistemano realizan trabajo:

δW =N∑i=1

Ri · δri =N∑i=1

(miri − Fi) · δri = 0. (5.1.5)

Llegados a este punto, se plantea de forma natural la cuestion de como evaluar adecuadamente elprincipio de D’Alembert y llevarlo a una forma que permita obtener las ecuaciones del movimien-to para el sistema. Para ello es necesario considerar las ligaduras del sistema. Supongamos queel sistema esta sujeto a r ligaduras holonomas:

gk (t, ri) = 0, 1 ≤ k ≤ r. (5.1.6)

La diferencial total de estas ligaduras da lugar a la 1-forma12

dgk =∂gk∂t

d t+3N∑j=1

∂gk∂xj

dxj = 0. (5.1.7)

Posteriormente emplearemos la identidad

d gkd t

=∂gk∂t

+

3N∑j=1

∂gk∂xj

xj = 0, (5.1.8)

que se deduce de forma inmediata de (5.1.7). Para un desplazamiento virtual, teniendo en cuentaque δt = 0, se obtiene de forma inmediata la relacion

δ gk =3N∑j=1

∂gk∂xj

δxj =N∑i=1

gradi gk · δri = 0. (5.1.9)

Para cada k = 1, · · · , r introducimos una funcion λk llamada multiplicador de Lagrange y for-mamos la expresion

r∑k=1

N∑i=1

λk gradi gk · δri = 0. (5.1.10)

11Algunos autores emplean la terminologıa de principio de trabajo virtual y D’Alembert de forma equivalente.Aquı hemos preferido hacer una distincion, dado que el primero se refiere a la estatica, mientras que el segundoinvolucra las leyes de Newton.

12Se obtiene la misma 1-forma para ligaduras holonomas del tipo

gk (t, ri) = cons.

6

Introduciendo esta suma en el principio de D’Alembert (5.1.5) con signo negativo, obtenemos

N∑i=1

(miri − Fi −

r∑k=1

λk gradi gk

)· δri = 0. (5.1.11)

En terminos de la referencia {x1, · · · , x3N} introducida anteriormente, una expresion equivalentea la anterior es13

3N∑j=1

(m[ j+2

3 ] xj − Fj −r∑

k=1

λk∂gk∂xj

)δxj = 0. (5.1.12)

Supuesto que tenemos r ligaduras (holonomas) independientes, el sistema posee f = 3N − rgrados de libertad, por lo que f entre los 3N desplazamientos virtuales δxj pueden elegirselibremente. La eleccion δx1 = · · · = δxf = 0 da lugar a la condicion

3N∑j=f+1

(m[ j+2

3 ] xj − Fj −r∑

k=1

λk∂gk∂xj

)δxj = 0, (5.1.13)

donde los r terminos δxf+1, · · · , δx3N ya no pueden anularse libremente. No obstante, sin perdidade generalidad, podemos elegir las funciones λ1, · · · , λr de modo que

m[ j+23 ] xj − Fj −

r∑k=1

λk∂gk∂xj

= 0, j = f + 1, · · · , 3N. (5.1.14)

Tomando ahora δx1 = · · · = δxa−1 = δxa+1 = · · · = δxf = 0, δxa = 1 para cada 1 ≤ a ≤ f ,resulta que deben anularse tambien los (3N − r)-terminos

m[ j+23 ] xj − Fj −

r∑k=1

λk∂gk∂xj

= 0, j = 1, · · · , f. (5.1.15)

En consecuencia, se obtienen las N ecuaciones

miri − Fi −r∑

k=1

λk gradi gk = 0, 1 ≤ i ≤ N (5.1.16)

correspondientes a las 3N ecuaciones de (5.1.14) y (5.1.15). Estas ecuaciones reciben el nombrede ecuaciones de Lagrange de primera especie del sistema. Anadiendo a estas las r ecuacionesde las ligaduras (5.1.6), pueden obtenerse, al menos formalmente, las (3N + r) funciones xj ylos multiplicadores de Lagrange λk. En la teorıa de ecuaciones diferenciales, este procedimientose conoce como el metodo de los multiplicadores de Lagrange.

Observamos que las ecuaciones de Lagrange de primera especie proporcionan a su vez infor-macion sobre las fuerzas de ligadura. Teniendo en cuenta la ecuacion (5.1.5), resulta de formainmediata que

Ri =r∑

k=1

λk gradigk, i = 1, · · · , N. (5.1.17)

13La funcion[j+23

]designa la parte entera de la fraccion.

7

5.2. Ecuaciones de Lagrange de tipo I para ligaduras no holonomas

Aunque, como se ha comentado anteriormente, el caso de ligaduras no holonomas no admiteun formalismo universal para tratar todos los casos posibles, para ligaduras de cierto tipo elmetodo de los multiplicadores de Lagrange sigue teniendo validez. Partamos de r ligaduras noholonomas descritas por la forma diferencial (o ecuacion diferencial de primer orden)

3N∑j=1

Akj dxj +Bkd t = 0, 1 ≤ k ≤ r. (5.2.1)

De forma equivalente, esta condicion puede escribirse como

3N∑j=1

Akj xj +Bk = 0, 1 ≤ k ≤ r. (5.2.2)

Dado que no es una condicion integrable, esta identidad no puede escribirse como la diferencialtotal de una funcion Ψ (t, x1, · · · , x3N ). Aun ası, podemos aplicar el principio de D’Alembert ensu forma (5.1.5). La diferencia fundamental con el caso holonomo es que las funciones Akj noprovienen de un operador gradiente. Para un desplazamiento virtual, la ligadura (5.2.1) implicaque

3N∑j=1

Akj δ xj = 0. (5.2.3)

Para cada k introducimos una funcion multiplicador de Lagrange λk de modo que se satisfacela igualdad

λk

3N∑j=1

Akj δ xj = 0.

Expresando el principio de D’Alembert en las coordenadas {x1, · · · , x3N} e introduciendo lasuma anterior, llegamos a la ecuacion

3N∑j=1

(m[ j+2

3 ] xj − Fj −r∑

k=1

λk Akj

)δxj = 0. (5.2.4)

Procediendo de la misma forma que en el caso holonomo con los desplazamientos infinitesimalesδxj , podemos igualar separadamente (3N − r) y r componentes de (5.2.4), respectivamente,para obtener finalmente las 3N ecuaciones de Lagrange de tipo I del sistema

m[ j+23 ] xj − Fj −

r∑k=1

λk Akj = 0, 1 ≤ j ≤ 3N. (5.2.5)

Estas 3N ecuaciones involucran 3N+r funciones, por lo que para resolverlas debemos anadir lasr ecuaciones de ligadura originales (5.2.1). Los multiplicadores de Lagrange ası obtenidos danlugar, tambien para este caso especial de ligaduras no holonomas, a las fuerzas de ligadura.14

14Formalmente el caso holonomo es un caso particular de este, sin mas que imponer la integrabilidad de la ecuacion(5.2.1). A efectos practicos, no obstante, es juicioso considerar la distincion que hemos realizado.

8

Nota: Segun se deduce de las consideraciones anteriores, el principio de D’Alembert solo esvalido para sistemas no holonomos cuyas ligaduras puedan expresarse de la forma (5.2.1). Siuna o mas ligaduras son funciones no lineales en las xi, el principio no puede aplicarse, y paradeterminar las correspondientes ecuaciones del movimiento deben desarrollarse principios masgenerales.

Observacion: Cuando se introduza la funcion lagrangiana, estudiaremos las llamadas ecuacionesde Maggi, ası como aquellos sistemas no holonomos que admiten una reduccion a un sistemaholonomo equivalente. Dada la importancia que cobran las ligaduras no holonomas en ramasaplicadas tales como la robotica, en los ultimos anos se han desarrollado diversos metodos para laresolucion de las ecuaciones de sistemas no holonomos de ciertos tipos especiales. Estos metodosestan fuertemente basados en tecnicas avanzadas de la geometrıa diferencial, por lo que no lostrataremos con detalle. Una excelente introduccion al tema puede encontrarse en la monografıade Bloch [1].

5.3. Una interpretacion de los multiplicadores de Lagrange

Una de las propiedades fundamentales de los multiplicadores de Lagrange es su versatilidad parala descripcion de las ecuaciones del movimiento de sistemas sujetos a ligaduras tanto holono-mas como no holonomas. En ambos casos, las fuerzas de ligaduras adquieren una interpretacionclara en funcion de las ligaduras y los multiplicadores. Para el caso conservativo escleronomo,observamos que la energıa potencial y las ligaduras no dependen explıcitamente del tiempo. Enconsecuencia, el sistema ligado sigue siendo conservativo, hecho que no es inmediatamente evi-dente a partir de la expresion (5.1.17) para las fuerzas de ligadura, dado que los multiplicadoresλk son generalmente funciones dependientes de t. Esta aparente contradiccion nos permite de-ducir, en el caso conservativo, una interpretacion especıfica de los multiplicadores de Lagrange.Sin perdida de generalidad, supongamos que el sistema esta sujeto a una unica ligadura es-cleronoma y holonoma

g (x1, · · · , xn) = 0. (5.3.1)

Definimos un potencial “de ligadura” mediante U0 = −λ g(x), donde λ es un multiplicador deLagrange arbitario. Es inmediato comprobar que la fuerza de ligadura viene dada por

Ri = −∂U0

∂xi= λ

∂g

∂xi,

que depende (generalmente) de t. No obstante, es fundamental observar que conocemos el poten-cial de ligadura tan solo a lo largo de la trayectoria del sistema, por lo que el caracter conservativodel sistema no se altera. Con el fin de ilustrar este hecho, supongamos que el potencial U1 deligadura que mantiene la condicion (5.3.1) viene dado por un funcional

U1 = Ψ (g) . (5.3.2)

Desarrollando Ψ en serie en un entorno de g = 0,15 obtenemos

U1 = Ψ′ (0) g +1

2Ψ′′ (0) g2 +O

(g3). (5.3.3)

15Para el caso de multiples ligaduras, el argumento es analogo, desarrollando el funcional en serie. Vease [7], capıtuloIII.

9

La condicion (5.3.1) es un estado de equilibrio estable de las fuerzas de ligadura, lo que implicaque U1 debe tener un valor mınimo en g = 0, por lo que ha de verificarse Ψ′ (0) = 0. Sea

Ψ′′ (0) = ε−1, (5.3.4)

donde ε es una constante pequena positiva. La magnitud de ε expresa el hecho de que la ligadura(5.3.1) se mantiene por fuerzas fuertes. El hecho de que ε sea una constante implica, a su vez,que (5.3.1) no se mantiene exactamente durante el movimiento, por lo que se tendra una funcionρ (t) tal que

g (x1, · · · , xn) = ε ρ (t) . (5.3.5)

Es posible interpretar esta ecuacion como la validez macroscopica de la ligadura (5.3.1), y suinvalidez a nivel microscopico. Del potencial deducimos ademas, en combinacion con Ri =−λ ∂g

∂xi, la siguiente identidad:

Ri = −1

εg∂g

∂xi= −λ ∂g

∂xi=⇒ λ =

g

ε= ρ (t) . (5.3.6)

En este sentido, el multiplicador de Lagrange puede considerarse como una medida de la vul-neracion de la condicion (5.3.1) a nivel microscopico, hecho no observable macroscopicamente,por lo que el caracter conservativo del sistema no se altera.

5.4. Leyes de conservacion

En analogıa a la distincion de fuerzas introducida anteriormente para el estudio del momentoangular, es conveniente, desde el punto de vista practico, introducir una division similar paralas fuerzas de ligadura. De este modo, la ecuacion (5.1.2) adopta la forma

mi ri =∑j 6=i

Fij + F(e)i +

∑j 6=i

Rij + R(e)i , (5.4.1)

donde definimos:

Rij : fuerza de interaccion de ligaduras. Corresponde a las ligaduras que solo hacen refer-encia a la distancia de dos partıculas, i.e., condiciones del tipo g (‖ri − rj‖) = cons.

R(e)i : fuerza de ligadura “externa”. Corresponde a las ligaduras que se refieren a la posicion

absoluta de las partıculas. Si R(e)i = 0, se dice que el sistema es libre.16

Sin perdida de generalidad, suponemos que para todas las fuerzas de interaccion se verifica latercera ley de Newton:

Fij + Fji = 0, Rij + Rji = 0. (5.4.2)

Considerando el centro de masas del sistema

s =

∑Ni=1mi ri∑Ni=1mi

, (5.4.3)

16Si tanto F(e)i como las fuerzas de ligadura externas son nulas, se dice que el sistema es cerrado. Comparese con

secciones anteriores.

10

las ecuaciones del movimiento (5.4.1) dan lugar a

M s =N∑i=1

(F(e)i + R

(e)i

), (5.4.4)

donde M =∑N

i=1mi. Las fuerzas de interaccion desaparecen como consecuencia del principiode accion-reaccion, y el centro de masas se mueve bajo la accion de (todas) las fuerzas externas.

Con el fin de deducir el teorema del momento angular, se multiplican las ecuaciones del movimien-to del sistema por el vector de posicion, sumando sobre el numero de partıculas del sistema:

N∑i=1

ri ×mi ri =N∑i=1

ri ×

∑j 6=i

Fij + Rij

+N∑i=1

ri ×(F(e)i + R

(e)i

). (5.4.5)

Teniendo en cuenta las hipotesis, se tiene que

N∑i=1

ri ×

∑j 6=i

Fij + Rij

= 0. (5.4.6)

Para el caso de las fuerzas de interaccion Fij , la conclusion se sigue de la ecuacion (??), mientrasque para las fuerzas de interaccion de ligaduras se verifica siempre. En efecto, partiendo de unaligadura (holonoma) del tipo

g (‖ri − rj‖) = cons., (5.4.7)

y teniendo en cuenta que ri = x3i−2e1 + x3i−1e2 + x3ie3, rj = x3j−2e1 + x3j−1e2 + x3je3 (veasela referencia introducida antes de la ecuacion (5.1.2)), se tiene que

∂ g (‖ri − rj‖)∂x3i−a

=∂g (‖ri − rj‖)∂ ‖ri − rj‖

∂ ‖ri − rj‖∂x3i−a

=∂g (‖ri − rj‖)∂ ‖ri − rj‖

x3i−a‖ri − rj‖

, a = 0, 1, 2. (5.4.8)

De ello se deduce sin dificultad que

gradig (‖ri − rj‖) = −gradjg (‖ri − rj‖) , (5.4.9)

por lo que la ley de accion-reaccion se satisface automaticamente. Reescribimos (5.4.5) en laforma

d

d tL =

N∑i=1

ri ×(F(e)i + R

(e)i

), (5.4.10)

donde L =∑N

i=1 ri ×mi ri. De esta forma, la variacion temporal del momento angular total esigual a la suma de los momentos dinamicos de las fuerzas externas.17 En general, el termino ala derecha en la ultima identidad no es nulo, por lo que el momento angular no es una cantidadconservada.18

17Comparese con la ecuacion (??).18Pueden, no obstante, conservarse una o mas componentes.

11

Analizamos a continuacion la energıa del sistema. Aplicando el metodo de los multiplicadoresde Lagrange, hemos reducido las ecuaciones del movimiento a la expresion19

m[ j+23 ] xj − Fj −

r∑k=1

λk∂gk∂xj

= 0, 1 ≤ j ≤ 3N. (5.4.11)

Multiplicando cada una de estas identidades por la xj correspondiente y sumando en j se deduce

3N∑j=1

(m[ j+2

3 ] xj xj − xjFj −r∑

k=1

λkxj∂gk∂xj

)= 0. (5.4.12)

Simplificando esta expresion obtenemos la formula equivalente

d

d t

1

2

3N∑j=1

m[ j+23 ]x

2j

=

3N∑j=1

(xjFj +

r∑k=1

λkxj∂gk∂xj

). (5.4.13)

El termino de la izquierda corresponde a la derivada temporal de la energıa cinetica T delsistema. Repitiendo el mismo argumento utilizado en el capıtulo precedente, suponemos que lasfuerzas Fi proceden de un potencial, lo que permite establecer que

3N∑j=1

xjFj = − d

d tU (x1, · · · , x3N ) . (5.4.14)

Utilizando la ecuacion (5.1.8), resulta que (5.4.13) puede escribirse como

d

d t(T + U) = −

r∑k=1

λk∂gk∂t

. (5.4.15)

En consecuencia, la variacion temporal de la energıa mecanica del sistema es igual a la potenciade las fuerzas de ligadura. En particular, para condiciones holonomas y escleronomas tenemosque la energıa del sistema es una cantidad conservada.

De forma similar, las leyes de conservacion pueden estudiarse para sistemas no holonomos cuyasligaduras sean lineales en las velocidades, conforme a la ecuacion (5.2.2).

5.5. Solucion de las ecuaciones del movimiento mediante el metodode multiplicadores de Lagrange

En los apartados anteriores se ha descrito el procedimiento formal para obtener las ecuacionesdel movimiento de un sistema sujeto a ligaduras. Exhibimos en este paragrafo algunos ejemplostıpicos de sistemas cuyas ecuaciones del movimiento pueden resolverse por aplicacion del metodode los multiplicadores de Lagrange.

19Veanse (5.1.14) y (5.1.15).

12

5.5.1. Deslizamiento sin rozamiento en un plano inclinado

Consideremos una masa m que se desliza por una plano inclinado de angulo α con el eje e1 demodo que el y = 0 durante el movimiento. Como unica fuerza actua la gravedad. Elegimos lareferencia de modo que F = −mg e3.

Figura 5.1: Deslizamiento en un plano inclinado sin rozamiento.

El sistema esta sujeto a las dos ligaduras

g1 = x sinα− z cosα = 0, g2 = y = 0.

Se trata de un sistema holonomo y escleronomo, al no depender del tiempo. Conforme a laecuacion (5.1.16), las ecuaciones del movimiento son

mx− λ1 sinα = 0,

m y − λ2 = 0,

m z + cosαλ1 +mg = 0.

Derivamos las ligaduras con respecto al tiempo dos veces, de lo que se sigue

x sinα− z cosα = 0, y = 0.

Sustituyendo en estas identidades las componentes de la aceleracion por las expresiones de lasecuaciones del movimiento, resultan las condiciones

λ1 +mg cosα = 0, λ2 = 0.

Esto determina los multiplicadores de Lagrange. Por tanto, las ecuaciones del movimiento, unavez eliminadas λ1 y λ2 y simplificando m, son

x+g

2sin (2α) = 0,

y = 0,

z + g sin2 α = 0.

El sistema es trivialmente integrable, siendo la solucion general

r (t) =(−g

2sin (2α) t2 + C1t+ C2, C3,−g sin2 α t2 + C4 + C5

).

13

Las condiciones iniciales deben ser compatibles con las ligaduras, por tanto se verifican

C3 = 0, C4 = −C1 tanα, C5 = −C2 tanα.

Metodo alternativo: Otra posibilidad de resolver el problema es utilizar las ligaduras con elfin de determinar una referencia adaptada a estas. En una seccion posterior sistematizaremoseste segunda vıa. Operando con la primera ligadura definimos la nueva coordenada

u =z

sinα=

x

cosα.

Esta coordenada hace referencia al trayecto recorrido. Es inmediato que

my = 0,

m u+mg sinα = 0.

La tercera ecuacion se repite y la omitimos. La solucion nuevamente es inmediata

u = −g2

sinα t2 + C1t+ C2, y = 0,

donde se comprueba facilmente su relacion con r (t).

5.5.2. Deslizamiento sin rozamiento en una parabola

Este sistema es analogo al anterior, con la salvedad que el movimiento de la partıcula se adaptaa la parabola definida por la ligadura

g1 = z − x2 = 0,

a la que anadimos la condicion g2 = y = 0. Nuevamente, la unica fuerza externa que actua sobrela partıcula es la gravedad.

Figura 5.2: Deslizamiento en parabola sin rozamiento.

Por el metodo de los multiplicadores de Lagrange, las ecuaciones del movimiento son

mx+ 2xλ1 = 0,

m y − λ2 = 0,

z − λ1 +mg = 0.

14

La primera ligadura proporciona la condicion

z = 2x2 + 2x x.

De la segunda se deduce trivialmente que λ2 = 0. Reemplazando la relacion anterior en la terceraecuacion del movimiento obtenemos

m(2x2 + 2x x+mg

)= λ1,

e introduciendo este valor en la primera de las ecuaciones del movimiento, resulta la ecuacionno lineal (

1 + 4x2)x+ 4xx2 + 2g x = 0.

Pese a la aparente complicacion de esta ecuacion, puede demostrarse que existe un factor inte-grante µ que convierte la ecuacion en exacta. Un posible factor integrante es

µ =x

(2x2 + g) (1 + 4x2).

Aplicando µ a la ecuacion del movimiento, se obtiene la integral primera

1

4

(ln(2x2 + g

)+ ln

(1 + 4x2

))+ C = 0.

5.5.3. Movimiento sobre una esfera S2

Supongamos que una partıcula de masa constante m se mueve de forma libre sobre la superficiede una esfera S2. En este caso, la ligadura es una condicion holonoma

g = x2 + y2 + z2 − 1 = 0.

El sistema tiene por tanto dos grados de libertad. Es inmediato comprobar que grad g = 2x e1 +2y e2 + 2z e3. De ello resulta, en particular, la identidad

r·grad g = 2,

por lo que la fuerza de ligadura R es proporcional al vector de posicion r de la masa. Empleandoel principio de D’Alembert (5.1.11), las ecuaciones del movimiento son

mx− 2λx = 0,

m y − 2λy = 0,

m z − 2λz = 0.

Con el fin de determinar el multiplicador de Lagrange, consideramos la derivada temporal se-gunda de la ligadura

d g

d t= 2 (xx+ yy + zz) = 0,

d2 g

d t2= 2

(x2 + y2 + z2 + xx+ yy + zz

)= 0.

15

Sustituyendo x, y, z en esta ultima ecuacion lleva a la identidad (ignorando el factor comun)

x2 + y2 + z2 +2λ

m

(x2 + y2 + z2

)= x2 + y2 + z2 +

2λ

m= 0.

En consecuencia, el multiplicador viene especificado por

λ = −m2

(x2 + y2 + z2

),

y las ecuaciones del movimiento adoptan la forma (simplificando por m)

x+(x2 + y2 + z2

)x = 0,

y +(x2 + y2 + z2

)y = 0,

z +(x2 + y2 + z2

)z = 0.

En esta forma, el sistema no es aun facilmente integrable, al no estar las variables convenien-temente separadas. Considerando coordenadas esfericas (vease el primer capıtulo), un calculorutinario muestra que las anteriores ecuaciones pueden reducirse a la forma20

θ − 1

2sin (2θ) ϕ2 = 0,

ϕ sin θ + 2θϕ cos θ = 0.

Geometricamente, la curva solucion de estas ecuaciones es un cırculo maximo de la esfera S2.

El hecho de que la trayectoria de la partıcula sea una de las llamadas curvas geodesicas de laesfera no es en modo alguno casual. Como variedad bidimensional, la esfera S2 admite el tensormetrico21

ds2 = dθ2 + sin2 θ dϕ2.

Para esta metrica, las ecuaciones geodesicas son

γi +

2∑j,k=1

Γijkγj γk = 0, 1 ≤ i ≤ 2,

siendo Γijk los llamados sımbolos de Christoffel de segunda especie [?]. Para la metrica dada, sesigue inmediatamente que los unicos sımbolos no nulos en esta referencia son

Γ122 = − sin θ cos θ, Γ2

12 = Γ221 = cot θ,

por lo que las ecuaciones geodesicas coinciden con las del movimiento. Veremos mas adelanteque esta propiedad es caracterıstica del movimiento libre en superficies de R3.

20Dado que el sistema tiene dos grados de libertad, las ecuaciones anteriores solo dan lugar a dos ecuacionesindependientes.

21Notese que esta no es sino la metrica inducida en la esfera por la metrica usual del espacio euclıdeo [2].

16

5.5.4. Curva de persecucion en el plano

A modo ilustrativo, consideramos un sistema puramente no holonomo y reonomo. Supongamosuna partıcula libre de fuerzas que se mueva en el plano y este sujeta a la ligadura

xy − (y − ct) x = 0, c ∈ R.

Es facil ver que esta ligadura no es integrable; la ecuacion diferencial no admite un factorintegrante. Se trata por tanto de un sistema no holonomo, y reonomo para cada constante c 6= 0.Conforme a la ecuacion (5.2.1), tenemos las funciones

A11 = (ct− y) , A12 = x.

Introducimos un multiplicador de Lagrange λ, con lo cual la igualdad (5.2.5) proporciona lasecuaciones

mx = λ (ct− y)

my = λx

Sin perdida de generalidad, podemos restringirnos al analisis del caso especial x > 0 y x < 0.Atacar el sistema directamente no resulta, en este caso, la vıa mas conveniente, dado que laderivada temporal de la ligadura es complicada. No obstante, este sistema puede resolverseexplıcitamente. Utilizando la condicion de ligadura expresamos y en funcion de x :

xd y

d t

d t

dx= x

d y

dx= y − ct.

Derivando esta relacion respecto de x se sigue que

xd2y

dx2− c d t

dx⇒ dx

d t= − c

x

(d2y

dx2

)−1.

Ahora multiplicamos la primera de las ecuaciones del movimiento por x, la segunda por y y lassumamos. El resultado es

m

2

d

d t

(x2 + y2

)= λ (xy + ctx− yx) = 0,

lo que demuestra que la funcion

x2 + y2 = α2

es una integral primera del sistema. Empleando la relacion

d y

d t=

d y

dx

dx

d t

y sustituyendo en la integral primera llegamos a la condicion

x2

(1 +

(d y

dx

)2)

= α2.

17

Dado que nos interesa el caso x < 0, tomamos la raız negativa de esta ecuacion y la comparamoscon la otra expresion de x obtenida

α√1 +

(d ydx

)2 =c

x

(d2y

dx2

)−1.

Transformando esta expresion se sigue que esta ecuacion puede reducirse considerando derivadasrespecto de x :

d

dx

ln

(d y

dx

)+

√1 +

(d y

dx

)2 =

d

dx

( cα

lnx).

En esta forma, podemos integrar explıcitamente la ecuacion, una vez establecidas las condicionesiniciales.

5.6. El principio (de coercion mınima) de Gauss

Como se ha observado, el principio de D’Alembert es inaplicable si una o mas ligaduras de unsistema son funciones no lineales en las velocidades. Dado que en la practica no es infrecuenteencontrarse con ligaduras cuadraticas en las xi, es necesario obtener principios mas generalesque permitan deducir las ecuaciones del movimiento. Uno de tales principios, debido a C. F.Gauss, se basa en la variacion del vector aceleracion, en lugar del vector de posicion consideradoen el principio de los desplazamientos virtuales.

Con el fin de ilustrar la idea fundamental de este principio, consideramos en primer lugar el casode una sola partıcula y una ligadura holonoma escleronoma. Supuesto que no hay ligaduras,partiendo de la segunda ley de Newton, dividimos por la masa m para despejar el vector deaceleracion:

rf =F

m, (5.6.1)

donde el subındice indica meramente que no hay ligaduras. En el caso de las haya, sabemos por(5.1.1) que la fuerza de ligadura impone determinadas restricciones en el movimiento de la masam, lo que implicara generalmente que rf 6= r. En este sentido, la ligadura implica una coerciondel movimiento. Para estimar dicha coercion, Gauss introdujo la medida Z definida por

Z = m (r− rf )2 = m

(r− F

m

)2

(5.6.2)

y postulo que la aceleracion r de la masa m sujeta a una ligadura es aquella para la cual lacoercion Z es mınima en comparacion con las demas aceleraciones compatibles con la ligadura.22

Si tratamos de determinar la aceleracion utilizando este principio, hemos de considerar la lig-adura holonoma ϕ (r) = 0. Derivando con respecto al tiempo obtenemos

dϕ

dt=∂ϕ

∂xx+

∂ϕ

∂yy +

∂ϕ

∂zz = r gradF = 0, (5.6.3)

22El principio de Gauss es por tanto un principio variacional diferencial.

18

Adoptando la notacion r = (x, y, z) = (x1, x2, x3) y derivando nuevamente obtenemos

ϕ∗(r) =d2ϕ

dt2=

3∑i,j=1

∂2F

∂xi∂xjxixj +

3∑i=1

∂F

∂xixi = 0. (5.6.4)

En particular, la unica variable que interviene en esta identidad es la aceleracion. Esto ponede manifiesto que el principio de Gauss solo es aplicable a las aceleraciones que satisfagan lacondicion (5.6.4).23 Observamos que tanto los vectores de posicion como de velocidad de lapartıcula se consideran fijos. La condicion para que la coercion sea mınima viene expresada por

∂

∂xj(Z + λϕ∗ (r)) = 0, 1 ≤ j ≤ 3, (5.6.5)

donde λ es un multiplicador de Lagrange. La formula explıcita viene dada por

∂

∂xj

3∑i=1

m(xi − Fim

)2

+ λ∂F

∂xixi + λ

3∑i,j=1

∂2F

∂xi∂xjxixj

= 0, 1 ≤ j ≤ 3. (5.6.6)

Desarrollando la parte derecha de esta ecuacion se obtiene finalmente

2mxj − 2Fj − λ∂F

∂xj= 0, (5.6.7)

o, en forma vectorial,

m r = F− λ

2gradϕ (r) . (5.6.8)

Salvo por un factor de escala y signo irrelevantes, la ecuacion del movimiento es la misma quese dedujo anteriormente utilizando el principio de D’Alembert.

La generalizacion del principio de Gauss a un sistema de N partıculas sujeto a r ligadurassemi-holonomas

gk (t, x1, x1, . . . , x3N , x3N ) = 0, 1 ≤ k ≤ r (5.6.9)

es inmediata. Para un tal sistema, la coercion Z esta dada por24

Z =

3N∑j=1

mi

(xj −

Fjmj

)2

. (5.6.10)

De (5.6.9) obtenemos las condiciones que han de satisfacer las componentes de aceleracion xj :

3N∑j=1

xj∂gk∂xj

+

(∂gk∂t

+ xj∂gk∂xj

)= 0, 1 ≤ k ≤ r. (5.6.11)

23Comparese con el principio del desplazamiento virtual, aplicable solo a vectores de posicion que satisfagan laligadura ϕ (r) = 0.

24Adoptamos los mismos convenios notacionales que para el principio de D’Alembert.

19

El principio de Gauss permite obtener las ecuaciones del movimiento del sistema minimizando(5.6.10), siempre que la condicion (5.6.11) se satisfaga, es decir

∂

∂xl

3N∑j=1

mj

(xj −

Fimi

)2

+r∑

k=1

λk

3N∑j=1

xj∂gk∂xj

+

(∂gk∂t

+ xj∂gk∂xj

) = 0, 1 ≤ i ≤ 3N. (5.6.12)

Un calculo elemental muestra que esta identidad implica la igualdad

mj xj = Fj −r∑

k=1

λk2

∂gk∂xj

, 1 ≤ i ≤ 3N. (5.6.13)

Definiendo nuevos multiplicadores µk = −λk2 , la ecuacion anterior corresponde claramente a las

ecuaciones de Lagrange de tipo I del sistema.

En resumen, el principio de coercion de Gauss permite tratar sistemas que no son abordables me-diante el principio de D’Alembert, conteniendo ademas todo los casos cubiertos por este. Por otraparte, para sistemas de tipo mixto, es decir, que exhiban ligaduras holonomas y semi-holonomas,el principio de coercion de Gauss tambien permite obtener las ecuaciones del movimiento.

El ejemplo basico para ilustrar un sistema no tratable por el principio de D’Alembert es unapartıcula m sobre la que actua una fuerza F y con una ligadura semi-holonoma

g (r) = r · r− α2 = 0, α 6= 0. (5.6.14)

La ecuacion del movimiento de la partıcula es, aplicando (5.6.13):

m r = F− λr. (5.6.15)

El multiplicador λ se deduce de la ligadura: d gd t = 2 r · r = 0, y por tanto, se concluye de la

ecuacion que

r · F− λr · r = 0 =⇒ λ =r · Fα2

.

En consecuencia, la trayectoria esta determinada por la ecuacion diferencial

m r = F− r · Fα2

r. (5.6.16)

Siendo un sistema de ecuaciones no lineal, su resolucion puede ser, no obstante, extremadamentecomplicada, por lo que sistemas de este tipo suelen resolverse mediante metodos numericos.

5.7. El principio de Jourdain

Otro principio de la mecanica util para determinar las ecuaciones del movimiento para sistemasque combinen tanto ligaduras holonomas como no holonomas es el llamado principio de Jour-dain, que, a diferencia de los principios de D’Alembert y Gauss, se basa en la variacion de lasvelocidades. Esta variacion viene especificada por la condicion

3N∑i=1

(Fi −mi xi) δxi = 0, (5.7.1)

20

donde tenemos que

δt = 0, δxi = 0, 1 ≤ i ≤ 3N. (5.7.2)

De esta condicion pueden deducirse las ecuaciones del movimiento para sistemas de tipo mixto,es decir, que mezclen condiciones holonomas con otras que no lo son.

Supongamos que las ligaduras de un sistema son reonomas y vienen dadas por r condiciones noholonomas y p condiciones holonomas:

gj (t, xi, xi) = 0, 1 ≤ j ≤ r + p. (5.7.3)

Para las ligaduras holonomas existen funciones Gk (t, xi) tales que

gk (t, xi, xi) =∂Gk∂t

+3N∑l=1

xl∂Gk∂xl

= 0, r + 1 ≤ k ≤ r + p. (5.7.4)

Esto permite sustituir las funciones gk (t, xi, xj) por superficies de nivel Gk (t, xi) = ck, siendock la constante de integracion obtenida de (5.7.4). En virtud de la identidad (5.7.1), la variacionδxi de las velocidades debe satisfacer las condiciones

gj (t, xi, xi + δxi) = 0, 1 ≤ i ≤ r + p. (5.7.5)

En consecuencia, de (5.7.3) y las identidades

gj (t, xj , xj + δxi) = gk (t, xi, xi) +

3N∑i=1

∂gk∂xi

δxi (5.7.6)

deducimos que3N∑i=1

∂gk∂xi

δxi = 0 (5.7.7)

para cualesquiera ındices k. Introduciendo nuevamente multiplicadores de Lagrange λk, el mismorazonamiento utilizado para los principios de D’Alembert y Gauss nos permite deducir que

3N∑i=1

[Fi −mi xi +

r+p∑k=1

λk∂gk∂xi

]δxi = 0. (5.7.8)

Para cada ındice 1 ≤ i ≤ 3N ha de verificarse por tanto la condicion

Fi +

r+p∑k=1

λk∂gk∂xi

= mi xi. (5.7.9)

Teniendo en cuenta la simplificacion para aquellas ligaduras que sean holonomas, la identidadanterior puede reformularse como

mi xi = Fi +

r∑k=1

λk∂gk∂xi

+

r+p∑k=r+1

λk∂Gk∂xi

. (5.7.10)

21

En esta expresion, las fuerzas generalizadas debidas a las ligaduras holonomas y no holonomasestan separadas.

Debe observarse que la ecuacion (5.7.10) tambien puede deducirse aplicando el principio decoercion mınima de Gauss. Es importante insistir en el hecho de que el principio de D’Alembertes inaplicable si alguna de las condiciones no holonomas no es lineal en las velocidades.

En resumen, los principios de D’Alembert, Gauss y Jourdain contemplan las tres posibilidadesde variaciones infinitesimales en tiempo fijado δt = 0, aplicadas respectivamente a la posicion,aceleracion o velocidad. Al margen de los principios ya vistos, a los que se anadira el principiode Hamilton, existen multitud de otros principios variacionales en la mecanica, tales como losprincipios de Jacobi, Euler, Hertz, etc. Algunos de ellos, aunque historicamente importantes, hansido abandonados en la practica o pueden obtenerse como casos particulares de las ecuacionesfundamentales de las mecanicas lagrangiana y hamiltoniana [7, 10].25

5.8. Formas diferenciales y ligaduras

Hemos observado anteriormente la estrecha relacion que existe entre la clasificacion de las lig-aduras de un sistema mecanico y la teorıa de formas diferenciales. En este apartado, analizamosla cuestion con mas detalle, con el fin de obtener el teorema de Frobenius, que establece uncriterio de integrabilidad para las ligaduras.26

Supongamos que un sistema con f grados de libertad y coordenadas generalizadas q = {q1, · · · , qf}esta sujeto a m ligaduras del tipo

d′θj = A0j (t,q) dt+

f∑k=1

Akj (t,q) dqk, 1 ≤ j < m.27 (5.8.1)

La variacion δ′ de esta ligadura, admitiendo que δt = 0, adopta la forma

δ′θj =

f∑k=1

Akj (t,q) δqk, 1 ≤ j < m. (5.8.2)

En el caso holonomo, la diferencial d y la variacion δ son operaciones conmutativas, hecho quenos permitıa obtener las ecuaciones del movimiento segun el principio de D’Alembert. En el casogeneral, esta conmutatividad ya no se satisface, hecho que obliga a modificar el razonamientopara deducir las ecuaciones.28 En efecto, tomando la diferencia de las operaciones, llegamos a la

25El libro de Dugas [3], un excelente tratado sobre la historia de la mecanica, contiene una extensa e interesantedescripcion de la evolucion de los distintos principios variacionales tratados aquı, ası como de aquellos que solo se hanmencionado por su nombre, pero que historicamente jugaron un papel relevante para motivar la formulacion moderna.

26Para aplicaciones de este resultado a la teorıa de ecuaciones diferenciales y los grupos de transformaciones, vease,por ejemplo, la monografıa [4].

27El sımbolo d′ introducido aquı es meramente formal, para poner de manifiesto que la ligadura no es necesariamenteholonoma, por lo que la identidad no describe una diferencial total.

28El principio de Hamilton, que se estudiara mas adelante, debe asimismo modificarse para que sea valido en el marcode ligaduras no holonomas.

22

identidad

d′(δ′θj

)− δ′

(d′θj

)=

f∑k=1

Akj (t,q) {d (δqk)− δ (dqk)}+A0j {d (δt)− δ (dt)}

+∑k,l

{(∂Akj∂ql

−∂Alj∂qk

)dql +

(∂Akj∂t− ∂A0j

∂qk

)dt

}δqk (5.8.3)

Puesto que δt = 0, se sigue que d (δt) = 0, ası como δ (dt) = 0 al mantener el tiempo fijo. Portanto, (5.8.3) reduce a

d′(δ′θj

)− δ′

(d′θj

)=

f∑k=1

Akj (t,q) {d (δqk)− δ (dqk)}+∑k,s=0

{(∂Akj∂qs

− ∂Asj∂qk

)dqs

}δqk,

(5.8.4)donde q0 = t. Para cada ındice α = 1, · · · ,m se define el coeficiente

Cαkl =

(∂Akα∂ql

− ∂Aαl∂qk

)= −Cαlk

y la 2-forma covariante

Fα =∑k,l

Cαkl dqkδql. (5.8.5)

Con la notacion suplementaria D (·) = d′ (δ′ (·))− δ′ (d′ (·)), la expresion (5.8.4) se resume en

D (θj) =

f∑k=1

Akj (t,q) D (qk) + Fj . (5.8.6)

Si Cαkl = 0 para todos los posibles ındices, entonces Fα = 0 para cada α, y siendo las qkcoordenadas holonomas, resulta para las ligaduras la identidad

D (θj) = 0, (5.8.7)

lo que demuestra que las θj son a su vez coordenadas holonomas, y las ligaduras pueden ree-scribirse de forma equivalente mediante una diferencial total. Si por el contrario se tiene Cαkl 6= 0para ciertos ındices, entonces Fα 6= 0 y no puede suponerse que las identidades29

d (δqk)− δ (dqk) = 0, d′(δ′θj

)− δ′

(d′θj

)= 0 (5.8.8)

se verifican simultaneamente, y por tanto, las expresiones dθj no corresponden a la diferencialtotal de una coordenada. En este caso, es frecuente referirse a las dθj como cuasi-coordenadas.30

Con el fin de formular una caracterizacion de las ligaduras holonomas, es conveniente recurrir atecnicas avanzadas de la geometrıa diferencial. Para el caso que nos ocupa, el resultado clave esel llamado teorema de Frobenius (local), que proporciona un criterio para decidir si una ligaduraes holonoma o no.31

29Observamos que Fα = 0 para cada α no implica necesariamente Cαjk = 0 para ındices j, k. Esto se debe a que,generalmente, las diferenciales dqk no son independientes de las variaciones δqk.

30Otros autores utilizan asimismo la terminologıa de coordenadas no holonomas. Veanse por ejemplo [1] o [12].31Veanse los apendices para las definiciones y propiedades basicas de las mismas.

23

Teorema [Frobenius]: La condicion necesaria y suficiente para que las ligaduras

ζj =

f∑k=1

Ajk (t,q) dqk = 0, 1 ≤ j ≤ m, m < f (5.8.9)

sean holonomas es que se satisfagan las identidades

Fα =∑k,l

Cαkl dqkδql = 0 (5.8.10)

para todos los ındices k, l y toda δql solucion de las ligaduras32

f+1∑j=0

Ajl (t,q) dqj = 0,

f+1∑j=1

Ajl (t,q) δqj = 0. (5.8.11)

El uso de las cuasi-coordenadas constituye hoy en dıa una importante herramienta para elestudio de sistemas no holonomos, y permite establecer las ecuaciones del movimiento de talessistemas, considerando previamente la separacion de las coordenadas holonomas de las cuasi-coordenadas. En este sentido, observamos que la formulacion del teorema de Frobenius anteriorpuede modificarse para simplificar su aplicacion, mediante los llamados coeficientes de Hamel.De ello pueden deducirse las llamadas ecuaciones de Boltzmann-Hamel, correspondientes a lasecuaciones del movimiento de sistemas sujetos a ligaduras no holonomas. El lector interesado enesta cuestion avanzada de la dinamica puede consultar, por ejemplo, las monografıas [1, 9].

Referencias complemenarias

[1] A. M. Bloch. Nonholonomic Mechanics and Control, Springer Verlag, New York, 2003.

[2] M. P. Do Carmo. Geometrıa diferencial de curvas y superficies, Alianza Universidad, Madrid,1990.

[3] R. Dugas. A History of Mechanics, Dover Publications, New York, 1988.

[4] H. Flanders. Differential Forms with Applications to the Physical Sciences, Dover Publica-tions, New York, 1989.

[5] E. Kamke. Differentialgleichungen: Losungsmethoden und Losungen, Band 1: GewohnlicheDifferentialgleichungen, Chelsea Publishing, New York, 1974.

[6] A. I. Kiselev, M. L. Krasnov, G. I. Makarenko. Problemas de ecuaciones diferenciales ordi-narias, Editorial Mir, Moscu, 1984.

[7] C. Lanczos. The Variational Principles in Mechanics (5th. Ed.), University of Toronto Press,Toronto, 1970.

[8] M. Levi. Classical Mechanics with Calculus of Variations and Optimal Control, Amer. Math.Society, Rhode Island, 2014.

32Comparese con las ecuaciones (5.8.1) y (5.8.2).

24

[9] A. I. Lur’e. Analytical Mechanics, Springer, New York, 2002.

[10] M. Pasler. Prinzipe der Mechanik, Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1968.

[11] R. Weinstock. Calculus of Variations with Applications to Physics and Engineering, DoverPubl., New York, 1974.

[12] E. T. Whittaker. A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies,Dover Publ., New York, 1944.