mecánica estadística y teoría de la información como base de la seguridad estadística

8 – 10 Julio 2013Aranjuez

Cursos de Verano de AranjuezEdición XIV

2

“Un análisis de riesgos es un proceso

metodológico por el que se obtiene

conocimiento fehaciente de la situación

del riesgo de cada elemento del sistema

de información y de las interrelaciones

existentes entre ellos”

3

Grafo de un sistema de información

Una red sencilla Enumerar

Magerit

CRAMM

Octave

4

Una red compleja

¿Cómo?

Información incompleta

5

“Un análisis de riesgos es un proceso

metodológico por el que se obtiene

conocimiento fehaciente de la situación

del riesgo de cada elemento del sistema

de información y de las interrelaciones

existentes entre ellos”

Motivación

6

� Mecánica Clásica

� Termodinámica

� Mecánica Estadística

� Teoría de la Información

� Redes Complejas

� Teoría del Caos

Palancas

7

Termodinámica

Mecánica EstadísticaMecánica

Estadística

Teoría de la InformaciónTeoría de la Información

ComplejasRedes

Complejas

Teoría de los Sistemas de Información

Mecánica

Grafos

Enumerado

8

“Definir magnitudes con

precisión y medirlas con

exactitud”

9

Galileo(1564 – 1642)

Copernico(1473 – 1543)

Newton(1642 – 1727)

Carnot(1796 – 1832)

Joule(1818 – 1889)

Kelvin(1824 – 1907)

Planck(1858 – 1947)

Boltzmann(1844 – 1906)

Einstein(1879 – 1955)

Fowler(1889 – 1944)

Kepler(1561 – 1630)

Otto(1602 – 1686)

Thompson(1753 – 1814)

Clausius(1822 – 1888)

Clapeyron(1799 – 1864)

Boyle(1627 – 1691)

Mariotte(1630 – 1684)

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Mecánica Clásica

� Ciencia experimental Se comienza a observar y a medir

� Estudio del movimiento de los cuerpos De un planeta a una manzana

� Intuye que deben existir leyes matemáticas que rijan el movimiento de los cuerpos

Galileo (1564 – 1642)

� Aportaciones

11

Mecánica Clásica

� Desarrolla las leyes matemáticas intuidas por Galileo Fija las leyes para explicar los fenómenos observados

� Centro de masas Un sistema de muchos elementos puede sustituirse por UNO que describe comportamiento

Newton (1642 – 1727)

� Aportaciones

� Corolario

� Aunque posteriormente Einstein demuestra que sus leyes no siempre se cumplen, sus ecuaciones siguen estando vigentes para resolver problemas simples

12

“Los fenómenos se miden”

“Simplificación => Centro de masas”

“Hay leyes que rigen los fenómenos

de la naturaleza”

13

Termodinámica (Principio 0 y 1er Principio)

� Experimentan mucho en relación entre presión, volumen y temperatura

� “ Fabrican muchos cacharros”

� Joule, en particular, trabaja mucho en el estudio de la transferencia de energíaentre un sistema y su entorno

Otto

Boyle, Mariotte

Thompson, Joule

� Aportaciones

(1844 – 1906)

14

Principio 0

Equilibrio Térmico

��

��

��= T

T = Temperatura

15

1er Principio

Sistema

Q

Q = ∆U + W

∆U

W

Sistema

W

∆U

Q

Q = Calor

W = Trabajo

∆U = Diferencial de Energía ddPotencial de Riesgo

16

Termodinámica (2do Principio, máquinastérmicas y entropía)

� Los primeros que se plantean obtener un rendimiento de la energía

� Incorporan el tiempo y la evolución en estados con el paso del tiempo

� Trabajan con diferenciales de un mismo sistema de dos momentos distintos

� Inventan la entropía como una medida del desorden de un sistema

� Aportaciones

CarnotKelvin y Planck

Clasius y Clapeyron

(1799 – 1947)

17

2do Principio

¿Por qué unos procesos ocurren en un sentido y no en el contrario?

18

Termodinámica (3er Principio)

� Eligen un punto de idealidad en el 0 teórico que sólo podría alcanzarse en el laboratorio

Planck (1858 – 1947)

� Aportación

� Corolario

� Permite identificar la cantidad de entropía como la distancia entre el “cero” y cada estado

Nota: Cuando nos aproximamos al cero absoluto la entropía del sistema se hace independiente de las variables que definen el estado del mismo. Planck define el calor para ser consecuente con la entropía del Boltzmann

19

3er Principio

20

Principio 0: “Cuando dos sistemas entran en

contacto alcanzan un estado de equilibrio”

Principio 1: “Lo que tocas lo cambias. A veces

con efectos caóticos”

Principio 2: “Aunque no toques algo se degrada.

A veces es irreversible”

Principio 3: “La perfección es imposible”

21

Mecánica Estadística

� Es posible llegar al “TODO” como la suma de la situación de cada una de las partesque lo componen Además con una pequeña selección de los componentespuedes llegar a conocer la situación del “TODO”

� Formula la entropía con una función de probabilidad y la conecta con latermodinámica ECUACIÓN PUENTE

Boltzmann

(1844 – 1906)

� Aportaciones

22

“Se puede pasar de lo

particular a lo general con

métodos probabilísticos”

23

“Los fenómenos se miden”

“Simplificación => Centro de masas”

“Hay leyes que rigen los fenómenos

de la naturaleza”

24

Principio 0: “Cuando dos sistemas entran en

contacto alcanzan un estado de equilibrio”

Principio 1: “Lo que tocas lo cambias. A veces

con efectos caóticos”

Principio 2: “Aunque no toques algo se degrada.

A veces es irreversible”

Principio 3: “La perfección es imposible”

25

“Se puede pasar de lo

particular a lo general con

métodos probabilísticos”

26

La necesidad de una base teórica para la optimización de la comunicación surgió del aumento de la complejidad y

de la masificación de las vías de comunicación.

Andrei A. Márkov(1910)

Ralph V. L. Hartley(1927)

Alan Turing(1936)

Shannon(1948)

Weaver(1949)

27

Andrei A. Márkov (1910)

Comienza la investigación de la manera óptima de enviar mensajes.

Su principal aportación fueron modelos centrados en la compresión de texto.

Teoría de la información

28

Ralph V. L. Hartley(1927)

Precursor del lenguaje binario para optimización de mensajes.


29

Alan Turing(1936)

Definió el esquema de una máquina capazde tratar información con emisión desímbolos, mundialmente conocida como laMaquina de Turing.


30

Shannon (1948)

Publica una teoría matemática de lacomunicación.

La demostración es a través de criptografíatrabajando en dos planos, el mensaje real yel mensaje recibido. Buscando cuánto separece este último al original define elconcepto de información/incertidumbre.

Posteriormente Von Neumann le sugiereque lo llame Entropía.


31

Shannon (1948)

Boltzmann(1875)

32

Weaver(1949)

Culminación y asentamiento de la Teoría de laInformación creando un modelo lineal y simple:


Fuente Destino

Transmisor Receptor

Señal

Fuente

Ruido

Fuente

de

Ruido

MensajeSeñal

Señal recibida

Mensaje

33

Trabajo sobre dos planos

Plano de lo que enviamos y el

plano de lo que recibimos.

A su distancia la llamó

entropía.

34

La teoría de grafos surgió para solucionar un problema concreto por parte de Euler. Posteriormente lograr establecer un método único para solucionar

problemas de diferentes ámbitos. Su evolución a redes complejas surgió porque con la teoría actual no eran capaces de modelar algunas leyes de la

naturaleza

Pólya(1887 – 1985)

Erdös - Renyi(1959)

Apple - Haken(1976)

Euler(1707 – 1783)

Cayley(1821 – 1895)

Derek de Solla Price(1965)

Barabási - Albert(Actualidad)

35

Euler(1707 – 1783)

Utiliza las matemáticas para modelar problemas de diferente naturaleza.

Demuestra la imposibilidad de resolver un problema.

De Grafos a Redes Complejas

36

Cayley(1821 – 1895)

Enuncia Teoría de Grafos Enumerativos (Árboles).

Este tipo de grafos se reutilizarán en ámbitos totalmente diferentes al investigado (Química).


37

Pólya(1887 – 1985)

Demuestra los resultados definitivos sobre Grafos enumerativos (Árboles).


38

Erdös - Renyi(1959)

Presentan un nuevo modelo llamado grafos aleatorios donde los grafos dejan de ser estáticos.

Con los grafos existentes no podían modelar determinados fenómenos.


39

Derek de Solla Price(1965)

Enuncia la ventaja acumulativa. Es el primero en proclamar que con grafos simples no es posible modelizar determinados problemas.


40

Apple - Haken(1976)

Teorema de los 4 colores. Primer problema relevante de matemáticas demostrado formalmente por computación.


41

Barabási - Albert(Actualidad)

Definen redes de escala libre.

Demuestran que con grafos simples es imposible modelar algunas de las leyes que rigen la naturaleza. Por eso fundan esta nueva disciplina.


42

Tratamiento de la Complejidad

Para resolver problemas simples las

herramientas simples son óptimas. Los

problemas complejos no siempre pueden

ser resueltos con herramientas simples.

Es necesario evolucionar las herramientas

clásicas.

43

Termodinámica

Mecánica EstadísticaMecánica

Estadística

Teoría de la InformaciónTeoría de la Información

ComplejasRedes

Complejas


Mecánica

Grafos

Enumerado

44

“Hemos encontrado una función

entrópica en la relación

existente entre un sistema de

información y el conocimiento

que tenemos de él”

Teoría de los dos planos

Reflexión

45

“Conocer la diferencia del riesgo

entre dos sistemas de información

o en un sistema de información en

dos momentos distintos como

función de la variación de sus

entropías”

Objetivo

46

“Si podemos hablar de ∆R en función de ∆S, encontraremos una manera

simple de modelar el riesgo en redes complejas”

&'

&

&(

)∆R

∆R ∆R = Diferencial de riesgo

∆S = Diferencial de entropía

47

� La tercera línea científica que hemos abierto cuando hemos llegado a estas conclusiones es el caos

� Por simplicidad vamos a definir 4 conceptos:

� Sistema lineal

� Sistema caótico

� Atractores

� Disparadores

El caos

48

“Los elementos y conexiones dentro de una red

compleja que representan un sistema de

información que existe y que no han sido diseñados”

∆S: Diferencial de entropía

Caminos NO diseñados

Caminos diseñados

Sistema de Información

49

“ La energía (potencial de riesgo) de un

sistema es el conjunto de nodos e

interrelaciones no diseñados y conocidos”

∆U: Diferencial de Energía Potencial de Riesgo

Sistema de Información

Caminos NO

diseñados

Caminos diseñados

Conocimiento de los Caminos No

diseñados

50

Errores, debilidades e impactos∆G(T, P)

(∆U + W)

∆G = (∆H + T∆S)

T

(T, P) = Coste, beneficio y riesgo para el atacante

Nombre Descripción Color

∆S Diferencial de Entropía

∆U Diferencial de Energía

∆H Incidentes

∆S =

51

“Con esta definición de la entropía

y de la energía potencial de riesgo

vamos a analizar su

comportamiento en los 4 principios

fundamentales de la

termodinámica”

52

Ley 0

Física


Conectamos dos sistemas

+∆1�

∆2�

∆1�∆2�

++

*

*Hay que definir que significa sumar estas magnitudes. El resultado finalimplica que la suma no es menor que el mayor de ellas

Analiza el comportamiento de dos sistemas cuando entran en contacto

53

Ley 1


Modifico el Sistema.

Cuando modifico un sistema se conserva su energía potencialde riesgo. La entropía puede quedar modificada.

� Añado nodos o relaciones

∆13 4 ∆1'

� Quito nodos o relaciones

∆13 5 ∆1'

FísicaAnaliza el comportamiento de un sistema

cuando introduces algún cambio.

54

Ley 2


No modifico el Sistema

Proceso irreversible

FísicaAnaliza el comportamiento de un sistema

con el paso del tiempo cuando NO introduces ningún cambio.

55

Ley 3


Intento llegar al cero absoluto de entropía� No se puede verificar

formalmente una redcompleja

� Se puede verificarformalmente un grafo

FísicaAnaliza la posibilidad de alcanzar un valor

cero de la entropía.

56

Seguridad Estadística

“Con métodos de análisis de riesgo

clásicos aplicados a elementos de la red

compleja extraídos de forma aleatoria

podemos inferir los mismos resultados

que los obtenidos bajo una visión Macro”

S = K log W S(X) = - ∑ :;<;=' >?@( :;

8 – 10 Julio 2013Aranjuez

Cursos de Verano de AranjuezEdición XIV

mecánica estadística y teoría de la información como base de la seguridad estadística

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