mecânica dos sólidos - unidade 01
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Mecânica dos Sólidos - Unidade 01 1 - Notação Indicial 2 - Tensores 3 - Cálculo TensorialTRANSCRIPT
Mecanica dos Solidos I – MAC-005
Unidade 01Luis Paulo S. BarraLeonardo Goliatt
Departamento de Mecanica Aplicada e ComputacionalUniversidade Federal de Juiz de Fora
v. 14.09
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.09 1 / 46
Livro Texto
Livro texto:I Introduction to Continuum MechanicsI W. Michael Lai , David Rubin , Erhard Krempl
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Programa
1 Notacao Indicial
2 Revisao de Calculo e Algebra Linear para Mecanica dos Solidos
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Programa
1 Notacao Indicial
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.09 4 / 46
Notacao indicial
Eixos CoordenadosOs eixos coordenados x, y e z, sao representados respectivamente por x1 ,x2 e x3 e temcomo unitarios e1,e2 e e3
Regra da Soma, Indices MudosA soma
s = a1x1 + a2x2 + a3x3 + +anxn =
n∑i=1
aixi
e representada pors = aixi = amxm
onde i e conhecido como ındice mudo.Em problemas tridimensionais e assumido n = 3.Um vetor n pode ser representado como:
n = niei
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Notacao indicial
Eixos CoordenadosOs eixos coordenados x, y e z, sao representados respectivamente por x1 ,x2 e x3 e temcomo unitarios e1,e2 e e3
Regra da Soma, Indices MudosA soma
s = a1x1 + a2x2 + a3x3 + +anxn =
n∑i=1
aixi
e representada pors = aixi = amxm
onde i e conhecido como ındice mudo.Em problemas tridimensionais e assumido n = 3.Um vetor n pode ser representado como:
n = niei
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Notacao indicial
Eixos CoordenadosOs eixos coordenados x, y e z, sao representados respectivamente por x1 ,x2 e x3 e temcomo unitarios e1,e2 e e3
Regra da Soma, Indices MudosA soma
s = a1x1 + a2x2 + a3x3 + +anxn =
n∑i=1
aixi
e representada pors = aixi = amxm
onde i e conhecido como ındice mudo.
Em problemas tridimensionais e assumido n = 3.Um vetor n pode ser representado como:
n = niei
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Notacao indicial
Eixos CoordenadosOs eixos coordenados x, y e z, sao representados respectivamente por x1 ,x2 e x3 e temcomo unitarios e1,e2 e e3
Regra da Soma, Indices MudosA soma
s = a1x1 + a2x2 + a3x3 + +anxn =
n∑i=1
aixi
e representada pors = aixi = amxm
onde i e conhecido como ındice mudo.Em problemas tridimensionais e assumido n = 3.Um vetor n pode ser representado como:
n = niei
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Notacao indicial
Indices Mudos (cont.)Somatorios duplos:
aijxixj =
3∑i=1
3∑j=1
aijxixj
= a11x1x1 + a12x1x2 + a13x1x3
a21x2x1 + a22x2x2 + a23x2x3
a31x3x1 + a32x3x2 + a33x3x3
O somatorio:
3∑i=1
aibixi
deve manter o sımbolo de somatorio, uma vez que:o produto aibixi nao e definido nesta notacao.
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Notacao indicial
Indices Mudos (cont.)Somatorios duplos:
aijxixj =
3∑i=1
3∑j=1
aijxixj
= a11x1x1 + a12x1x2 + a13x1x3
a21x2x1 + a22x2x2 + a23x2x3
a31x3x1 + a32x3x2 + a33x3x3
O somatorio:
3∑i=1
aibixi
deve manter o sımbolo de somatorio, uma vez que:o produto aibixi nao e definido nesta notacao.Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.09 5 / 46
Notacao indicial
Indices LivresConsidere o sistema de equacoes:
b1 = a11x1 + a12x2 + a13x3
b2 = a21x1 + a22x2 + a23x3
b3 = a31x1 + a32x2 + a33x3
Usando a regra da soma, podem ser escritas como:
b1 = a1mxm
b2 = a2mxm
b3 = a3mxm
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Notacao indicial
Indices LivresPodem ser ainda mais compactadas:
bi = aimxm, i = 1, 2, 3
Na notacao indicial sao escritas simplesmente como:
bi = aimxm
Um ındice livre aparece uma vez em cada termo de uma expressao.As expressoes abaixo nao sao definidas:
ai = bj
Tij = Tik
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Notacao indicial
Delta de KroneckerO delta de Kronecker, denotado por δij, e definido por
δij =
{1 se i = j0 se i , j
ou sejaδ11 = δ22 = δ33 = 1
δ12 = δ13 = δ21 = δ23 = δ31 = δ31 = 0
Ainda observamos que:δii = 1 + 1 + 1 = 3
δ1mam = δ11a1 + δ12a2 + δ13a3
δimTmj = Tij
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Notacao indicial
Sımbolo de Permutacao
O sımbolo de permutacao, denotado por εijk, e definido por εijk =
+1−10
se i, j, kformam um permutacao par
formam um permutacao ımparnao formam permutacao
de 1, 2, 3, ou seja
ε123 = ε231 = ε312 = 1
ε132 = ε321 = ε213 = −1
ε111 = ε112 = · · · = ε333 = 0
Observe queei × ej = εijkek
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Notacao indicial
ε123 = ε231 = ε312 = 1
ε132 = ε321 = ε213 = −1
ε111 = ε112 = · · · = ε333 = 0
ei × ej = εijkek
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Programa
2 Revisao de Calculo e Algebra Linear para Mecanica dos SolidosTensor: uma Transformacao LinearTransposta de um TensorProduto Diadico e Traco de um TensorTensor Identidade e Tensor InversoTensor OrtogonalTensores Simetricos e AntissimetricosVetor Dual de um Tensor AntissimetricoAutovalores e AutovetoresValores Principais, Direcoes Principais e Invariantes EscalaresDerivada da Funcao Tensorial de um EscalarGradiente de Campo EscalarGradiente de Campo VetorialDivergencia de um Campo VetorialDivergencia de um Campo Tensorial
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Programa
2 Revisao de Calculo e Algebra Linear para Mecanica dos SolidosTensor: uma Transformacao LinearTransposta de um TensorProduto Diadico e Traco de um TensorTensor Identidade e Tensor InversoTensor OrtogonalTensores Simetricos e AntissimetricosVetor Dual de um Tensor AntissimetricoAutovalores e AutovetoresValores Principais, Direcoes Principais e Invariantes EscalaresDerivada da Funcao Tensorial de um EscalarGradiente de Campo EscalarGradiente de Campo VetorialDivergencia de um Campo VetorialDivergencia de um Campo Tensorial
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Tensor: uma Transformacao Linear
Transformacao LinearSeja T uma transformacao que transfoma um vetor em outro vetor. Se T transformaa em b e c em d
Ta = bTc = d
Se T tem as seguintes propriedades de linearidade
T(a+b) = Ta + TbT(αa) = α(Ta)
onde a e b sao vetores arbitrarios e α e um escalar, entao T e chamado detransformacao linear ou tensor de segunda ordem ou simplesmente tensora b.Em particular:
T(αa + βb) = αTa + βTb
aUm tensor de ordem n em um espaco com tres dimensoes possui 3n componentes. Umtensor de ordem 2 possui nove componentes. Um vetor e um escalar sao casos particulares detensores, respectivamente de ordem um e zero.
bMais sobre tensores: http://goo.gl/EW0KwM e tambem http://goo.gl/XQ3lwa
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Tensor: uma Transformacao Linear
As componente sde um vetor dependem da base usada para descrever seuscomponentes. o mesmo vale para tensores.
Te1 = T11e1 + T21e2 + T31e3Te2 = T12e1 + T22e2 + T32e3Te3 = T13e1 + T23e2 + T33e3
ouTei = Tjiej
As componentes podem ser arranjadas em uma matriz da forma
[T] =
T11 T12 T13T21 T22 T23T31 T32 T33
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Tensor: uma Transformacao Linear
Tambem, considerando que e1 · e2 = e1 · e3 = e2 · e3 = 0, pode ser verificado que
T11 = e1 · Te1 T21 = e2 · Te1 T31 = e3 · Te1T21 = e2 · Te1 T22 = e2 · Te2 T23 = e2 · Te3T31 = e3 · Te1 T32 = e3 · Te2 T33 = e3 · Te3
ouTij = ei · Tej
Basta verificar que
e1 · Te1 = e1 · (T11e1 + T21e2 + T31e3)e1 · Te2 = e1 · (T12e1 + T22e2 + T32e3)
......
...e3 · Te3 = e3 · (T13e1 + T23e2 + T33e3)
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Tensor: uma Transformacao Linear
Se houver uma mudanca para a base {e′i}
T ′ij = e′i · Te′j
Dependencia entre componentes e a baseOs tensores e vetores sao independentes do sistema de coordenadas, mas suascomponentes sao dependentes do sistema usado.
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Tensor: uma Transformacao Linear
Em termos matriciais, consideranndo
a = aiei
a transformacao Ta = b fica b1b2b3
=
T11 T12 T13T21 T22 T23T31 T32 T33
a1a2a3
ou
[b] = [T][a ]
o que indicialmente ficabm = aiTmi = Tmiai
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2 Revisao de Calculo e Algebra Linear para Mecanica dos SolidosTensor: uma Transformacao LinearTransposta de um TensorProduto Diadico e Traco de um TensorTensor Identidade e Tensor InversoTensor OrtogonalTensores Simetricos e AntissimetricosVetor Dual de um Tensor AntissimetricoAutovalores e AutovetoresValores Principais, Direcoes Principais e Invariantes EscalaresDerivada da Funcao Tensorial de um EscalarGradiente de Campo EscalarGradiente de Campo VetorialDivergencia de um Campo VetorialDivergencia de um Campo Tensorial
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Transposta de um Tensor
Transposta de um TensorA transposta de um tensor T, denotada por TT , e definido como o tensor que satisfaz aseguinte identidade para quaisquer a e b
a · Tb = b · TTa
Da definicao anterior, com a = ei e b = ej, e tambem Tij = ei · Tej
ei · Tej = ej · TTei
lembrando que
[T] =
T11 T12 T13T21 T22 T23T31 T32 T33
e TT =
T11 T21 T31T12 T22 T32T13 T23 T33
temos portanto
Tji = TTij ou [T]T = [TT ]
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Produto Diadico de dois Vetores
Produto Diadico de dois VetoresO produto diadico ab de dois vetores a e b, denotado por ab, e definido pelatranformacao que tranforma c segundo a regra
(ab)c = a(b · c)
O produto diadico ab e uma transformacao linear.Seja W = ab, entao em termos de componentes
Wij = ei ·Wej = ei · (ab)ej = ei · a(b · ej) = aibj
ou sejaWij = aibj
ou
[W] =
a1b1 a1b2 a1b3a2b1 a2b2 a2b3a3b1 a3b2 a3b3
=
a1a2a3
[b1 b2 b3
]
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Traco de um Tensor
Definicao:trab = a · b
E satisfaz a condicao de linearidade:
tr(αab + βcd) = αtrab + βtrcd
Alem disso:trT = tr(Tijeiej) = Tijtr(eiej) = Tijei · ej = Tijδij = Tii
Isto e:trT = T11 + T22 + T33 (soma dos termos da diagonal)
Logo:trT = trTT
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Tensor Identidade
Definicao:Ia = a
Em particular:Ie1 = e1Ie2 = e2Ie3 = e3
Componentes:Iij = ei · Iej = ei · ej = δij
Isto e:
[I] =
1 0 00 1 00 0 1
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Tensor Inverso
Se existe S tal queST = I
entao S e o inverso de T, representado por S = T−1.Potencia de ordem zero e o tensor identidade:
T−1T = T−1+1 = T0 = I
Componentes da inversa determinados pela inversao da matriz [T] de T.Logo:
T−1T = TT−1 = I
Com isso,∃ T−1 ⇔ det [T] , 0
e pode-se provar que: (TT
)−1=
(T−1
)T
(ST)−1 =(T−1S−1
)Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.09 20 / 46
Tensor Inverso
Se nao existe T−1 :
Exemplo: T = ab
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Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.09 22 / 46
Tensor Ortogonal
Tensor OrtogonalUm tensor ortogonal, Q e uma transformacao que preserva os comprimentos e osangulos dos vetores, isto e, preserva o produto escalar:
Qa ·Qb = a · b
Logo, da definicao de transposta, onde a · Tb = b · TTa, temos:
Qa ·Qb = b ·QT (Qa) = b ·(QTQ
)a
Da definicao:b ·
(QTQ
)a = a · b = b · a = b · Ia
Portanto QTQ = I, o que significa que:
QT = Q−1 =⇒ QTQ = QQT = I
Em notacao indicial:QimQjm = QmiQmj = δij
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Tensores Simetricos e Antissimetricos
Um tensor e dito simetrico se T = TT . Logo
Tij = Tji ⇒ T12 = T21, T23 = T32, T13 = T31
Um tensor e dito antissimetrico se T = −TT . Entao
Tij = −Tji
Com isso, temos
T11 = T22 = T33 = 0, T12 = −T21, T23 = −T32, T13 = −T31
Qualquer tensor T pode ser decomposto unicamente na soma de um tensor simetricoTS e um tensor antissimetrico TA
T = TS + TA
onde
TS =T + TT
2, TA =
T − TT
2
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.09 23 / 46
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2 Revisao de Calculo e Algebra Linear para Mecanica dos SolidosTensor: uma Transformacao LinearTransposta de um TensorProduto Diadico e Traco de um TensorTensor Identidade e Tensor InversoTensor OrtogonalTensores Simetricos e AntissimetricosVetor Dual de um Tensor AntissimetricoAutovalores e AutovetoresValores Principais, Direcoes Principais e Invariantes EscalaresDerivada da Funcao Tensorial de um EscalarGradiente de Campo EscalarGradiente de Campo VetorialDivergencia de um Campo VetorialDivergencia de um Campo Tensorial
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.09 24 / 46
Vetor Dual de um Tensor Antissimetrico
Os elementos de um tensor antissimetrico W sao sempre nulos, e dos seis elementosfora da diagonal somente tres sao independentes, pois
W12 = −W21, W23 = −W32, W13 = −W31
Logo, W pode ser representado por somente tres componentes. Alem disso, ele secomporta como um vetor.Especificamente,
Vetor dualPara cada tensor antissimetrico W existe um vetor correspodente tA, tal que para cadavetor a, a aplicacao de W em a, Wa, pode ser obtid a pelo produto vetorial
Wa = tA × a
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.09 24 / 46
Vetor Dual de um Tensor Antissimetrico
Podemos verificar que
W12 = e1 ·We2 = e1 · tA × e2 = tA · e2 × e1 = −tA · e3 = −tA3
W31 = e3 ·We1 = e3 · tA × e1 = tA · e1 × e3 = −tA · e2 = −tA2
W23 = e2 ·We3 = e2 · tA × e3 = tA · e3 × e2 = −tA · e1 = −tA1
o que resulta em
W21 = tA3 , W23 = tA
1 , W13 = tA2 , W11 = W22 = W33 = 0
Usando a representacao matricial do tensor
[W] =
0 W12 W13W21 0 W23W31 W32 0
=
0 −W21 −W31W21 0 −W32W31 W32 0
=
0 −tA3 −tA
2tA3 0 −tA
1tA2 tA
1 0
7→t
A1
tA2
tA3
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Vetor Dual de um Tensor Antissimetrico
Assim
[W] =
0 W12 W13W21 0 W23W31 W32 0
=
0 −W21 −W31W21 0 −W32W31 W32 0
=
0 −tA3 −tA
2tA3 0 −tA
1tA2 tA
1 0
7→t
A1
tA2
tA3
que pode ser escrito como
tA = −(W23e1 + W31e2 + W12e3) = W32e1 + W13e2 + W21e3
ou em notacao indicial2tA = −εijkWjkei
O vetor dual possui varios usos:Permite determinar facilmente o eixo de rotacao de um tensor de rotacao finita.Em realidade, o eixo de rotacao e paralelo ao vetor dual da parte antissimetricado tensor de rotacao.Permite determinar os angulos infinitesimais de rotacao de elementos materiaisque sogrem uma deformacao infinitesimal.Permite obter a velocidade angular de elementos materiais em um movimento.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.09 26 / 46
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Autovalores e Autovetores
Autovalores e AutovetoresConsidere um tensor T. Se a e um vetor que e transformado por T em um vetorparalelo a ele mesmo, ou seja
Ta = λa
entao λ e autovalor e a e autovetor de T.
Indeterminacao do modulo:T(αa) = αTa
= αλa= λ (αa)
Seja n e um autovetor unitario:
Tn = λn = λIn
Logo:(T − λI) n = 0
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Autovalores e Autovetores
Solucao nao trivial:|T − λI| = 0
Explicitando a expressao anterior:∣∣∣∣∣∣∣∣T11 − λ T12 T13T21 T22 − λ T23T31 T32 T33 − λ
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0
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Autovalores de Tensores Simetricos
Seja λ o autovalor complexo de um tensor real simetrico T . Logo: [T] {n} = λ {n}E tomando os complexos cojugados de ambos os membros:
[T] {n} = λ {n}
Pode-se entao escrever:
{n}T [T] {n} = λ {n}T {n}{n}T [T] {n} = λ {n}T {n}
Uma vez que T e simetrico: {n}T [T] {n} = {n}T [T] {n}Logo:
(λ − λ) {n}T {n} = 0
Uma vez que n e nao nulo, λ = λ. Portanto:Os autovalores de um tensor simetrico sao reais.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.09 29 / 46
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Valores e Direcoes Principais
Sejam n1 e n2 dois autovetores correspondendo a dois autovalores distintos λ1 e λ2 deum tensor simetrico T:
Tn1 = λ1n1
Tn2 = λ2n2
Logo:
λ1n1 · n2 = n2 · Tn1
λ2n2 · n1 = n1 · Tn2
= n2 · TTn1
= n2 · Tn1 (pela simetria.)
Subtraindo membro a membro:
(λ1 − λ2) (n1 · n2) = 0
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Valores e Direcoes Principais
λ1 , λ2 , λ3
Se λ1 , λ2 entao: (n1 · n2) = 0 −→ n1⊥n2 .
λ1 = λ2 = λ , λ3
Se n1 , n2 com λ1 = λ2 = λ, entao:
T (αn1 + βn2) = αTn1 + βTn2
= αλn1 + βλn2
= λ (αn1 + βn2)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.09 31 / 46
Valores e Direcoes Principais
λ1 = λ2 = λ , λ3
Isto e αn1 + βn2 (um vetor qualquerdo plano) tambem e autovetor deT. Logo pode-se escolher n1⊥n2.
λ1 = λ2 = λ3 = λ
Se λ1 = λ2 = λ3 = λ qualquer vetor vetor e autovetor.
ConclusaoPara um tensor real e simetrico e sempre possıvel determinar tres direcoes principaismutuamente ortogonais.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.09 32 / 46
Valores e Direcoes Principais
λ1 = λ2 = λ , λ3
Isto e αn1 + βn2 (um vetor qualquerdo plano) tambem e autovetor deT. Logo pode-se escolher n1⊥n2.
λ1 = λ2 = λ3 = λ
Se λ1 = λ2 = λ3 = λ qualquer vetor vetor e autovetor.
ConclusaoPara um tensor real e simetrico e sempre possıvel determinar tres direcoes principaismutuamente ortogonais.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.09 32 / 46
[T] em relacao as Direcoes Principais
Usando os autovetores n1, n2 e n3 como base do sistema de coordenadas:
T11 = n1 · Tn1 = n1 · (λ1n1) = λ1
T22 = n2 · Tn2 = n2 · (λ2n2) = λ2
T33 = n3 · Tn3 = n3 · (λ3n3) = λ3
T12 = n1 · Tn2 = n1 · (λ2n2) = 0T13 = n1 · Tn3 = n1 · (λ3n3) = 0T23 = n2 · Tn3 = n2 · (λ3n3) = 0
Logo:
[T]n1,n2,n3 =
λ1 0 00 λ2 00 0 λ3
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[T] em relacao as Direcoes Principais
Usando os autovetores n1, n2 e n3 como base do sistema de coordenadas:
T11 = n1 · Tn1 = n1 · (λ1n1) = λ1
T22 = n2 · Tn2 = n2 · (λ2n2) = λ2
T33 = n3 · Tn3 = n3 · (λ3n3) = λ3
T12 = n1 · Tn2 = n1 · (λ2n2) = 0T13 = n1 · Tn3 = n1 · (λ3n3) = 0T23 = n2 · Tn3 = n2 · (λ3n3) = 0
Logo:
[T]n1,n2,n3 =
λ1 0 00 λ2 00 0 λ3
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[T] em relacao as Direcoes Principais
Valores Extremos dos Coeficientes da DiagonalSeja um vetor unitario e′1 = αn1 + βn2 + γn3Logo:
T ′11 = e′1 · Te′1 =[α, β, γ
] λ1 0 00 λ2 00 0 λ3
αβγ
Logo: T ′11 = λ1α
2 + λ2β2 + λ3γ
2
Seja λ1 > λ2 > λ3, notando que α2 + β2 + γ2 = 1 tem-se
λ1 = λ1(α2 + β2 + γ2) > λ1α2 + λ2β
2 + λ3γ2
Logo: λ1 > T ′11
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Invariantes Escalares
Equacao caracterıstica:λ3 − I1λ
2 + I2λ − I3 = 0
onde:I1 = T11 + T22 + T33
I2 =
∣∣∣∣∣∣ T11 T12T21 T22
∣∣∣∣∣∣ +
∣∣∣∣∣∣ T22 T23T32 T33
∣∣∣∣∣∣ +
∣∣∣∣∣∣ T11 T13T31 T33
∣∣∣∣∣∣ =TiiTjj − TijTij
2
I3 =
∣∣∣∣∣∣∣∣T11 T12 T13T21 T22 T23T31 T32 T33
∣∣∣∣∣∣∣∣
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.09 35 / 46
Invariantes Escalares
Em relacao aos autovalores
I1 = λ1 + λ2 + λ3
I2 = λ1λ2 + λ2λ3 + λ1λ3
I3 = λ1λ2λ3
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Programa
2 Revisao de Calculo e Algebra Linear para Mecanica dos SolidosTensor: uma Transformacao LinearTransposta de um TensorProduto Diadico e Traco de um TensorTensor Identidade e Tensor InversoTensor OrtogonalTensores Simetricos e AntissimetricosVetor Dual de um Tensor AntissimetricoAutovalores e AutovetoresValores Principais, Direcoes Principais e Invariantes EscalaresDerivada da Funcao Tensorial de um EscalarGradiente de Campo EscalarGradiente de Campo VetorialDivergencia de um Campo VetorialDivergencia de um Campo Tensorial
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Funcoes Tensoriais de um Escalar
Definicao de DerivadadTdt
= lim∆t→0
T(t + ∆t) − T(t)∆t
Propriedades
ddt
(T + S) =dTdt
+dSdt
ddt
(α(t)T) =dαdt
T + αdTdt
ddt
(TS) =dTdt
S + TdSdt
ddt
(Ta) =dTdt
a + Tdadt
ddt
(TT
)=
(dTdt
)T
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.09 37 / 46
Funcoes Tensoriais de um Escalar
Definicao de DerivadadTdt
= lim∆t→0
T(t + ∆t) − T(t)∆t
Propriedades
ddt
(T + S) =dTdt
+dSdt
ddt
(α(t)T) =dαdt
T + αdTdt
ddt
(TS) =dTdt
S + TdSdt
ddt
(Ta) =dTdt
a + Tdadt
ddt
(TT
)=
(dTdt
)T
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.09 37 / 46
Funcoes Tensoriais de um Escalar
Definicao de DerivadadTdt
= lim∆t→0
T(t + ∆t) − T(t)∆t
Propriedades
ddt
(T + S) =dTdt
+dSdt
ddt
(α(t)T) =dαdt
T + αdTdt
ddt
(TS) =dTdt
S + TdSdt
ddt
(Ta) =dTdt
a + Tdadt
ddt
(TT
)=
(dTdt
)T
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.09 37 / 46
Funcoes Tensoriais de um Escalar
Definicao de DerivadadTdt
= lim∆t→0
T(t + ∆t) − T(t)∆t
Propriedades
ddt
(T + S) =dTdt
+dSdt
ddt
(α(t)T) =dαdt
T + αdTdt
ddt
(TS) =dTdt
S + TdSdt
ddt
(Ta) =dTdt
a + Tdadt
ddt
(TT
)=
(dTdt
)T
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.09 37 / 46
Funcoes Tensoriais de um Escalar
Definicao de DerivadadTdt
= lim∆t→0
T(t + ∆t) − T(t)∆t
Propriedades
ddt
(T + S) =dTdt
+dSdt
ddt
(α(t)T) =dαdt
T + αdTdt
ddt
(TS) =dTdt
S + TdSdt
ddt
(Ta) =dTdt
a + Tdadt
ddt
(TT
)=
(dTdt
)T
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.09 37 / 46
Funcoes Tensoriais de um Escalar
Definicao de DerivadadTdt
= lim∆t→0
T(t + ∆t) − T(t)∆t
Propriedades
ddt
(T + S) =dTdt
+dSdt
ddt
(α(t)T) =dαdt
T + αdTdt
ddt
(TS) =dTdt
S + TdSdt
ddt
(Ta) =dTdt
a + Tdadt
ddt
(TT
)=
(dTdt
)T
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.09 37 / 46
Derivada
Derivada de Ta
ddt
(Ta) = lim∆t→0
T(t + ∆t)a(t + ∆t) − T(t)a(t)∆t
= lim∆t→0
T(t + ∆t)a(t + ∆t) − T(t)a(t + ∆t)∆t
+ lim∆t→0
T(t)a(t + ∆t) − T(t)a(t)∆t
= lim∆t→0
T(t + ∆t) − T(t)∆t
a(t + ∆t)
+T(t) lim∆t→0
a(t + ∆t) − a(t)∆t
=dTdt
a + Tdadt
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.09 38 / 46
Derivada
Derivada de Ta
ddt
(Ta) = lim∆t→0
T(t + ∆t)a(t + ∆t) − T(t)a(t)∆t
= lim∆t→0
T(t + ∆t)a(t + ∆t) − T(t)a(t + ∆t)∆t
+ lim∆t→0
T(t)a(t + ∆t) − T(t)a(t)∆t
= lim∆t→0
T(t + ∆t) − T(t)∆t
a(t + ∆t)
+T(t) lim∆t→0
a(t + ∆t) − a(t)∆t
=dTdt
a + Tdadt
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.09 38 / 46
Derivada
Derivada de Ta
ddt
(Ta) = lim∆t→0
T(t + ∆t)a(t + ∆t) − T(t)a(t)∆t
= lim∆t→0
T(t + ∆t)a(t + ∆t) − T(t)a(t + ∆t)∆t
+ lim∆t→0
T(t)a(t + ∆t) − T(t)a(t)∆t
= lim∆t→0
T(t + ∆t) − T(t)∆t
a(t + ∆t)
+T(t) lim∆t→0
a(t + ∆t) − a(t)∆t
=dTdt
a + Tdadt
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.09 38 / 46
Derivada
Derivada de Ta
ddt
(Ta) = lim∆t→0
T(t + ∆t)a(t + ∆t) − T(t)a(t)∆t
= lim∆t→0
T(t + ∆t)a(t + ∆t) − T(t)a(t + ∆t)∆t
+ lim∆t→0
T(t)a(t + ∆t) − T(t)a(t)∆t
= lim∆t→0
T(t + ∆t) − T(t)∆t
a(t + ∆t)
+T(t) lim∆t→0
a(t + ∆t) − a(t)∆t
=dTdt
a + Tdadt
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.09 38 / 46
Componentes da Derivada
Partindo de:Tij = ei · Tej
Como os vetores base sao fixos:dei
dt.
Logo:
dTij
dt= ei ·
ddt
(Tej
)
= ei ·dTdt
ej
=
(dTdt
)ij
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Componentes da Derivada
Partindo de:Tij = ei · Tej
Como os vetores base sao fixos:dei
dt.
Logo:
dTij
dt= ei ·
ddt
(Tej
)= ei ·
dTdt
ej
=
(dTdt
)ij
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.09 39 / 46
Componentes da Derivada
Partindo de:Tij = ei · Tej
Como os vetores base sao fixos:dei
dt.
Logo:
dTij
dt= ei ·
ddt
(Tej
)= ei ·
dTdt
ej
=
(dTdt
)ij
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.09 39 / 46
Programa
2 Revisao de Calculo e Algebra Linear para Mecanica dos SolidosTensor: uma Transformacao LinearTransposta de um TensorProduto Diadico e Traco de um TensorTensor Identidade e Tensor InversoTensor OrtogonalTensores Simetricos e AntissimetricosVetor Dual de um Tensor AntissimetricoAutovalores e AutovetoresValores Principais, Direcoes Principais e Invariantes EscalaresDerivada da Funcao Tensorial de um EscalarGradiente de Campo EscalarGradiente de Campo VetorialDivergencia de um Campo VetorialDivergencia de um Campo Tensorial
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Gradiente de Campo Escalar
DefinicaoSeja o campo escalr φ(r), isto e, uma funcao escalar do vetor posicao, r.Define-se o gradiente de φ, representado por ∇φ pela relacao:
dφ = φ(r + dr) − φ(r) ≡ ∇φ · dr
ComponentesSeja e o unitario na direcao de dr, isto e: dr = edr, logo pode-se escrever a derivadana direcao de dr como:
dφdr
= ∇φ · e
Desta forma: (dφdr
)na direcao i
=∂φ
∂xi= ∇φ · ei = (∇φ)i
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.09 40 / 46
Gradiente de Campo Escalar
DefinicaoSeja o campo escalr φ(r), isto e, uma funcao escalar do vetor posicao, r.Define-se o gradiente de φ, representado por ∇φ pela relacao:
dφ = φ(r + dr) − φ(r) ≡ ∇φ · dr
ComponentesSeja e o unitario na direcao de dr, isto e: dr = edr, logo pode-se escrever a derivadana direcao de dr como:
dφdr
= ∇φ · e
Desta forma: (dφdr
)na direcao i
=∂φ
∂xi= ∇φ · ei = (∇φ)i
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.09 40 / 46
Gradiente de Campo Escalar
DefinicaoSeja o campo escalr φ(r), isto e, uma funcao escalar do vetor posicao, r.Define-se o gradiente de φ, representado por ∇φ pela relacao:
dφ = φ(r + dr) − φ(r) ≡ ∇φ · dr
ComponentesSeja e o unitario na direcao de dr, isto e: dr = edr, logo pode-se escrever a derivadana direcao de dr como:
dφdr
= ∇φ · e
Desta forma: (dφdr
)na direcao i
=∂φ
∂xi= ∇φ · ei = (∇φ)i
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.09 40 / 46
Gradiente de Campo Escalar
ComponentesE portanto:
∇φ =∂φ
∂x1e1 +
∂φ
∂x2e2 +
∂φ
∂x3e3 =
∂φ
∂xiei = φ,iei
Interpretacao GeometricaSejam r e r + dr vetores posicao em uma superfıcie com φ constante, logo:
dφ = ∇φ · dr = 0
Logo ∇φ e perpendicular a superfıcie de φ constante.
Por outro lado ∇φ · dr e maximo quando dr tem a mesma direcao de ∇φ, logo:A maxima derivada direcional em um ponto e o gradiente do campoescalar, sendo perpendicular a superfıcie de φ constante.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.09 41 / 46
Gradiente de Campo Escalar
ComponentesE portanto:
∇φ =∂φ
∂x1e1 +
∂φ
∂x2e2 +
∂φ
∂x3e3 =
∂φ
∂xiei = φ,iei
Interpretacao GeometricaSejam r e r + dr vetores posicao em uma superfıcie com φ constante, logo:
dφ = ∇φ · dr = 0
Logo ∇φ e perpendicular a superfıcie de φ constante.Por outro lado ∇φ · dr e maximo quando dr tem a mesma direcao de ∇φ, logo:
A maxima derivada direcional em um ponto e o gradiente do campoescalar, sendo perpendicular a superfıcie de φ constante.
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Programa
2 Revisao de Calculo e Algebra Linear para Mecanica dos SolidosTensor: uma Transformacao LinearTransposta de um TensorProduto Diadico e Traco de um TensorTensor Identidade e Tensor InversoTensor OrtogonalTensores Simetricos e AntissimetricosVetor Dual de um Tensor AntissimetricoAutovalores e AutovetoresValores Principais, Direcoes Principais e Invariantes EscalaresDerivada da Funcao Tensorial de um EscalarGradiente de Campo EscalarGradiente de Campo VetorialDivergencia de um Campo VetorialDivergencia de um Campo Tensorial
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.09 42 / 46
Gradiente de Campo Vetorial
Definicao
E o tensor de segunda ordem definido pela expressao:
dv = v(r + dr) − v(r) ≡ (∇v)dr
Novamente, seja dr = edr, logo:(dvdr
)na direcao de e
= (∇v)e
Logo o tensor de segunda ordem (∇v) transforma o vetor e na taxa de variacao de vnaquela direcao.
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Gradiente de Campo Vetorial
Definicao
E o tensor de segunda ordem definido pela expressao:
dv = v(r + dr) − v(r) ≡ (∇v)dr
Novamente, seja dr = edr, logo:(dvdr
)na direcao de e
= (∇v)e
Logo o tensor de segunda ordem (∇v) transforma o vetor e na taxa de variacao de vnaquela direcao.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.09 42 / 46
Gradiente de Campo Vetorial
ComponentesDa expressao acima: (
dvdr
)na direcao de e1
≡∂v∂x1
= (∇v)e1
Logo:
(∇v)11 = e1 · (∇v)e1
= e1 ·∂v∂x1
=∂
∂x1(e1 · v)
=∂v1
∂x1
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.09 43 / 46
Gradiente de Campo Vetorial
ComponentesDa expressao acima: (
dvdr
)na direcao de e1
≡∂v∂x1
= (∇v)e1
Logo:
(∇v)11 = e1 · (∇v)e1
= e1 ·∂v∂x1
=∂
∂x1(e1 · v)
=∂v1
∂x1
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.09 43 / 46
Gradiente de Campo Vetorial
ComponentesDa expressao acima: (
dvdr
)na direcao de e1
≡∂v∂x1
= (∇v)e1
Logo:
(∇v)11 = e1 · (∇v)e1
= e1 ·∂v∂x1
=∂
∂x1(e1 · v)
=∂v1
∂x1
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.09 43 / 46
Gradiente de Campo Vetorial
ComponentesDa expressao acima: (
dvdr
)na direcao de e1
≡∂v∂x1
= (∇v)e1
Logo:
(∇v)11 = e1 · (∇v)e1
= e1 ·∂v∂x1
=∂
∂x1(e1 · v)
=∂v1
∂x1
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.09 43 / 46
Gradiente de Campo Vetorial
ComponentesDe maneira geral:
(∇v)ij =∂vi
∂xj= vi,j
E desta forma:
[∇v] =
∂v1
∂x1
∂v1
∂x2
∂v1
∂x3
∂v2
∂x1
∂v2
∂x2
∂v2
∂x3
∂v3
∂x1
∂v3
∂x2
∂v3
∂x3
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Programa
2 Revisao de Calculo e Algebra Linear para Mecanica dos SolidosTensor: uma Transformacao LinearTransposta de um TensorProduto Diadico e Traco de um TensorTensor Identidade e Tensor InversoTensor OrtogonalTensores Simetricos e AntissimetricosVetor Dual de um Tensor AntissimetricoAutovalores e AutovetoresValores Principais, Direcoes Principais e Invariantes EscalaresDerivada da Funcao Tensorial de um EscalarGradiente de Campo EscalarGradiente de Campo VetorialDivergencia de um Campo VetorialDivergencia de um Campo Tensorial
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.09 45 / 46
Divergencia de um Campo Vetorial
DefinicaoA divergencia de um campo vetorial e definida como:
divv ≡ tr∇v
Em um sistema de coordenadas Cartesianas:
divv =∂v1
∂x1+∂v2
∂x2+∂v3
∂x3=∂vi
∂xi
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.09 45 / 46
Programa
2 Revisao de Calculo e Algebra Linear para Mecanica dos SolidosTensor: uma Transformacao LinearTransposta de um TensorProduto Diadico e Traco de um TensorTensor Identidade e Tensor InversoTensor OrtogonalTensores Simetricos e AntissimetricosVetor Dual de um Tensor AntissimetricoAutovalores e AutovetoresValores Principais, Direcoes Principais e Invariantes EscalaresDerivada da Funcao Tensorial de um EscalarGradiente de Campo EscalarGradiente de Campo VetorialDivergencia de um Campo VetorialDivergencia de um Campo Tensorial
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Divergencia de um Campo Tensorial
Definicao
divT · a ≡ div(TTa
)− tr
(TT (∇a)
)
Componentes
(divT)i = divT · ei
= div(TTei
)− tr
(TT (∇ei)
)= div (Timem) − 0
=∂Tim
∂xm
De outra forma:divT =
∂Tim
∂xmei
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Divergencia de um Campo Tensorial
Definicao
divT · a ≡ div(TTa
)− tr
(TT (∇a)
)Componentes
(divT)i = divT · ei
= div(TTei
)− tr
(TT (∇ei)
)= div (Timem) − 0
=∂Tim
∂xm
De outra forma:divT =
∂Tim
∂xmei
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.09 46 / 46
Divergencia de um Campo Tensorial
Definicao
divT · a ≡ div(TTa
)− tr
(TT (∇a)
)Componentes
(divT)i = divT · ei
= div(TTei
)− tr
(TT (∇ei)
)
= div (Timem) − 0
=∂Tim
∂xm
De outra forma:divT =
∂Tim
∂xmei
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.09 46 / 46
Divergencia de um Campo Tensorial
Definicao
divT · a ≡ div(TTa
)− tr
(TT (∇a)
)Componentes
(divT)i = divT · ei
= div(TTei
)− tr
(TT (∇ei)
)= div (Timem) − 0
=∂Tim
∂xm
De outra forma:divT =
∂Tim
∂xmei
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.09 46 / 46
Divergencia de um Campo Tensorial
Definicao
divT · a ≡ div(TTa
)− tr
(TT (∇a)
)Componentes
(divT)i = divT · ei
= div(TTei
)− tr
(TT (∇ei)
)= div (Timem) − 0
=∂Tim
∂xm
De outra forma:divT =
∂Tim
∂xmei
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.09 46 / 46
Divergencia de um Campo Tensorial
Definicao
divT · a ≡ div(TTa
)− tr
(TT (∇a)
)Componentes
(divT)i = divT · ei
= div(TTei
)− tr
(TT (∇ei)
)= div (Timem) − 0
=∂Tim
∂xm
De outra forma:divT =
∂Tim
∂xmei
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.09 46 / 46