MEC2345

Mecânica dos Fluidos II

2017-2 Departamento de Engenharia Mecânica

Angela Ourivio Nieckelesala 163- L – ramal 1182 – e-mail: nieckele@puc-rio.br

O que é um Fluido? É um material em

um estado tal que se deforma continuamente quando

sujeito a ação de cargas anisotrópicas (tensões

cisalhantes), por menor que seja a carga.

2

g = deformação = taxa de deformaçãog

Tensão cisalhante: t = F/ A = G g

G = módulo de elasticidadeg

Fluidos Newtonianos:

Lei de Newton: t = m = m d u / dy

m = viscosidade (propriedade do fluido)

Sólidos oferecem resistência a deformação. Apresentam

deformação finita quando submetidos a esforços cisalhantes

Sólido: equilíbrio estático Líquido: equilíbrio dinâmico

3

Previsões metereológicas:

Furacão Tornado

Estruturas e prédios

Aplicações

Geração de eletricidade

(barragens)

4

Carros

Aviões Barcos

Aplicações

5

Esportes:

bioengenharia :

6

Resfriamento de componentes eletrônicos:

Poluição

(atmosférica/hídrica)

Quais são os Fenômenos de

Transporte?

Dinâmica dos fluidos: transporte de quantidade de

movimento

Transferência de calor: transporte de energia

Transferência de massa: transporte de massa de

espécies químicas

Observação:

1. Freqüentemente ocorrem simultaneamente

2. As equações básicas são muito semelhantes e as

ferramentas matemáticas para resolver problemas são

similares, porque os mecanismos moleculares são

diretamente relacionados.

7

Equações de Conservação da

Mecânica

Conservação de massa

Conservação de quantidade movimento linear

(2ª. Lei de Newton)

Conservação de quantidade de movimento angular

Conservação de energia (1ª. Lei da termodinâmica)

8

Mecânica dos Fluidos utiliza experiências

juntamente com técnicas analíticas e computacionais na

resolução dos problemas. Resolver um problema

normalmente implica na determinação de campos de

velocidade. Daí obtém-se campos de pressão, forças, etc.

Experimentos são normalmente caros e demorados. Por

esta razão devem ser minimizados usando-se, sempre que

possível, soluções analíticas ou computacionais.

Soluções analíticas nem sempre são possíveis. Daí a

necessidade de simplificações. É necessário ter um “bom

senso educado” para cortar termos, fazer hipótese, etc.

9

10

Propriedades dos Fluidos Matéria é formada por moléculas em movimento, colidindo. As

propriedades de matérias estão relacionadas com o

comportamento molecular

Pressão (P): resultante da colisão das moléculas com as

paredes do recipiente

Densidade (r): relaciona-se com a ocupação da

matéria

Volume específico (n): relaciona-se com a

ocupação da matéria

Densidade relativa (d): razão entre a densidade

da substância e a densidade da água

(adimensional)

Pa

m

N

área

ForçaP

2

r

3m

kgm

r

n

kg

m1

m

3

O2H

dr

r

11

Temperatura (T): é uma medida da energia cinética das

moléculas. Medida relativa T (oC, oF) ou absoluta T (K, R)

Igualdade de temperatura equilíbrio térmico

Viscosidade absoluta(m): razão entre a tensão cisalhante(t)

e a taxa de deformação ( )

Viscosidade cinemática (u)

g

tm

g

r

mu

Fluidos

Líquidos: força coesiva entre moléculas é forte.

Possui superfície livre

Gases: força coesiva entre moléculas é fraca.

Ocupa todo recipiente.

12

Para entender o comportamento da matéria seria

necessário considerar cada molécula, conhecendo a

história de cada uma, velocidade, aceleração e modos de

iteração. Isto é inviável sem um tratamento estatístico,

devido ao elevado número de moléculas.

m/

d d*

Molecular Continuo

Na maioria das aplicações da engenharia, desejamos estudar

uma quantidade de volume de fluido contendo um grande

número de moléculas hipótese do contínuo: admite-se que os

fluidos são meios contínuos, esquecendo-se da sua estrutura

molecular.

Para demonstrar o conceito do contínuo, considere a

propriedade densidade:

ex: densidade: r(x,y,z,t) = lim m/

dd*

13

A hipótese do contínuo falha quando as dimensões

envolvidas forem da ordem do caminho médio livre entre

colisões moleculares:

Distância média entre colisões de moléculas do ar nas CNTP:

1, 6 x 10-5 cm

ex. arraste em satélites. A Teoria cinética dos gases trata desta área.

zyx ezeyexr

r

zr ezerr

)(r

),(r rerr

Não importa qual a partícula que está no ponto

em um determinado instante de tempo, mas sim

em que condições a partícula que passar pelo

ponto naquele instante possui.

Conceito do contínuo está associado com o conceito de

campo, i.e., todas as grandezas são definidas no espaço e

no tempo: Ex: V(r,t); P(r,t); etc.

O vetor posição r pode ser escrito em diferentes sistemas de

coordenadas:

Cartesiano:

Cilíndrico:

Esférico:

14

Sistemamassa constante

Sistema versus Volume de Controle

Volume de controleregião fixa do espaço

Fronteira

do sistema

Fronteira

do volume

de controle

15

Formulação Integral: equações de conservação são

aplicadas a um volume de controle finito

menor esforço; resultados globais.

ótima ferramenta quando se deseja valores médios e globais.

Não fornece detalhes do escoamento.

exemplo: força de arraste agindo sobre um objeto

Formulação Diferencial: equações de conservação são

aplicadas a um volume de controle infinitesimal

maior esforço; resultados pontuais.

soluções detalhadas, porém complicadas

exemplo: distribuição de pressão ao longo da superfície de um objeto

Técnicas Básicas de Análise

16

Método Lagrangeano versus Euleriano

Método Lagrangiano: As equações de conservação

são aplicadas a um sistema arbitrário, o qual pode ser

infinitesimal ou finito.

A variável física é descrita para um determinada partícula

A variável independente é um “rótulo” da partícula, como por

exemplo, a coordenada da partícula em um determinado

instante de tempo: é a posição da partícula P em t = 0

Esta função descreve como a função da

partícula P varia com o tempo

Ex: policial seguindo carro

Pr

),( trP

17

Método Lagrangeano versus Euleriano

Método Euleriano: As equações de conservação são

aplicadas a um volume de controle arbitrário, o qual

pode ser infinitesimal ou finito

A variável física é descrita em relação a um ponto do espaço

Para cada instante t, a partícula em é uma partícula

diferente

é a posição da partícula P em t

Esta função descreve a função na posição

da partícula P em função do tempo

Ex: controlador de tráfego

r

r

),( tr

Vamos utilizar a formulação

Euleriana, juntamente com o

conceito de campo, i.e., todas

as propriedades são definidas

em função de sua localização

no espaço e no tempo

Derivada total de uma grandeza (pressão, temperatura,

velocidade, etc) descreve como a grandeza varia segundo o movimento

(= como varia com o tempo para uma determinada partícula

),,,( tzyx Descrição Euleriana

wvu

particula td

zd

ztd

dy

ytd

dx

xtd

dt

ttd

d

)(.)(

convectivavariaçãopartículadamovaodevidotempoocomvariaçãodetaxa

fixaposiçãotempoocomvariaçãodetaxa

wz

vy

uxttD

D

18

ii

xe

xe

xe

xe

33

22

11grad

19

Vetor Velocidade:

Produto escalar entre vetores:

Operador gradiente:

iii

iizyx eueueueueueweveuV

332211

iiijjijijijjii BABAeeBAeBeABA

Operador Divergente:

i

iij

i

jji

i

jjj

ii

x

A

x

Aee

x

AAe

xeAA

div

20

V

ttD

D Derivada Material

21

Tipos de Campos:

Campo escalar:

massa específica: r(r ,t); temperatura: T(r ,t); pressão p(r ,t)

Campo vetorial:

velocidade: V(r ,t); aceleração: a(r ,t); força F(r ,t)

Campo Tensorial:

tensão: s(r ,t); gradiente de velocidade: V(r ,t);

taxa de deformação D(r ,t)

Fluidos em Movimento

O escoamento dos fluidos é determinado a partir do

conhecimento da velocidade em cada ponto do

escoamento, isto é, a partir do campo das diversas

grandezas relevantes.

22

Regime permanente:

V = V(r ); isto é ( ) / t = 0

Regime transiente:

V=V(r ,t) Caso geral: ( ) / t ≠ 0

Tipos de Escoamento

Escoamento uniforme: a velocidade é a

mesma em qualquer ponto do escoamento

Escoamento não uniforme: a velocidade

varia de ponto para ponto do escoamento

Dimensão

Uni-dimensional: v depende somente de uma

coordenada espacial

Bi-dimensional: v depende somente de duas

coordenadas espaciais

Tri-dimensional: v depende das três coordenadas

espaciais, caso geral.

24

Fluido perfeito, sem viscosidade:

t ≈ 0 ( )

Fluido viscoso : t≠ 0

0g

Caracterização dos Fluidos quanto ao seu

comportamento sob esforços normais compressivos:

Compressíveis: quando há variação apreciável de volumes

devido à compressão. Gases em geral se comportam

assim. r ≠ constante (M>0,3), onde M= V/c é o número de

Mach; c = velocidade do som

Incompressíveis: quando a variação do volume é pequena

para grandes compressões. A maioria dos líquidos se

comporta desta forma. r≈ constante

25

Regime de Escoamento:

Escoamento laminar: movimento regular

Escoamento Turbulento: aparecem turbilhões no

escoamento, causando um movimento de mistura.

O turbilhamento provoca um regime não

permanente. Porém o tempo característico de

flutuação turbulenta < < escala de tempo que define

o regime permanente ou transiente

•Se o escoamento é laminar,

eventuais perturbações serão

amortecidas e desaparecerão

(Fig. a). Durante a transição,

picos esporádicos de turbulência

surgirão (Fig. b). Durante o

regime turbulento, o escoamento

flutuará continuamente (Fig. c).

26

Experiência de ReynoldsLaminar:

filamento de

corante não

se mistura

Turbulento: o

corante mistura

rapidamente

O escoamento turbulento

ocorre a altas velocidades. A

transição é caracterizada pelo

no. de Reynolds

m

r DVRe

Reynolds altos esc. turbulento

Reynolds baixo esc. laminar

27

Vetor tensão

A dependência de tn em n pode ser obtida através de um

balanço de forças em um tetraedro com a altura h 0.

Da 3ª. Lei de Newton

então

00 )e(nt)e(nt)e(ntt zzyyxxn dAdAdAdAF

O vetor tensão tn é a força de contato por

unidade de área que um material dentro

de (t) faz no material fora de (t).

Hipótese de Cauchy: tn = tn (n)

nt

zzyyxx tt;tt;tt

σnetetetn)e(nt)e(nt)e(ntt zzyyxxzzyyxxn

ex

ey

ez

28

Tensor tensão

Então substituindo as tensões nos planos perpendiculares

as direções x, y e z, tem-se

sé o tensor tensão:

Note que:

zzyyxx etetetσ

]t[ee]t[ee]t[eet

]t[ee]t[ee]t[eet

]t[ee]t[ee]t[eet

zzzzyyzxxz

yzzyyyyxxy

xzzxyyxxxx

]t[eee]t[eee]t[eee

]t[eee]t[eee]t[eee

]t[eee]t[eee]t[eeeσ

zzzzzyyzzxxz

yzzyyyyyyxxy

xzzxxyyxxxxx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

tetete

tetete

tetete

σ

tzt-x

t-z

ty

tx

t-y ey

ez

ex

ez tz

ey

ex

A matriz s

29

Tensor tensão

Substituindo as tensões nos planos perpendiculares as

direções x, y e z, tem-se

Definindo

o tensor tensão sé :

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

sss

sss

sss

σ

etc;te;te;te xzxzxyxyxxxx sss

1º subscrito indica a superfície

do cubo na qual a tensão atua,

enquanto que o 2º índice

indica a direção da tensão

xxs

yxs

yys

y

x

z

yzs

zzs

xzs

xys

zxs

zys

30

Fluido em repouso:

I é a matriz identidade,

que também pode ser

representada pelo

operador

delta de kronecker

Compressão isotrópica:

Iσ PP

P

P

P

100

010

001

00

00

00

Pxx sPxx s

Pzz s

Pyy s

Pyy sPzz s

y

x

z

jise

jiseij

0

1

31

Fluido em movimento:

Surge uma tensão adicional: s PI t,onde té o tensor extra-

tensão (tensão de tensões viscosas)

xxxx P ts

yxyx ts

yyyy P ts y

x

z

yzyz ts

zzzz P ts

xzxz ts

xyxy ts

zxzx ts

zyzy ts

zzzyzx

zyyyyx

xzxyxx

ttt

ttt

ttt

τ

32

Gradiente de Velocidade: vEm coordenadas cartesianas:

dr = ex dx + ey dy + ez dz e v = ex u + ey v + ez w

IV3

2VV T

div])grad(grad[ g

z

w

z

v

z

u

y

w

y

v

y

u

x

w

x

v

x

u

wvu

z

y

x

VV

grad

z

w

y

w

x

w

z

v

y

v

x

v

z

u

y

u

x

u

V T)(grad

;

100

010

001

I ij

d v = d r • v

VVV

2

1

2

1

33

Taxa de Deformação: D

Taxa de deformação

evorticidaddeformação

detaxa

2

1

2

1

TT VVVVV )()(

TVV )(D

2

1

z

w

y

w

z

v

x

w

z

u

z

v

y

w

y

v

x

v

y

u

z

u

x

w

y

u

x

v

x

u

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

D

Diagonal: taxa de

deformação linear do

elemento de fluido

Fora da diagonal: taxa

de deformação angular

do elemento de fluido

34

Taxa de deformação angular:

yxyx

tyx

yx

Dy

u

x

v

t

y

tdu

x

tdv

20

gg

g

lim

tantan

Taxa de deformação linear:

xxxx

txx

xx

Dx

u

t

x

tdu

gg

g

0lim

=dv t

=(v/x)xt

=du t

=(u/y)yt

v (x)

u (y)

u (x)

u (y)=dv t =(v/y)yt

=du t

=(u/x)xt

v (y)

Taxa de deformação volumétrica:

Vz

w

y

v

x

uzzyyxx

ggg

35

Vorticidade: W

Vorticidade

evorticidaddeformação

detaxa

2

1

2

1

TT VVVVV )()(

TVV )(W

2

1

0

0

0

02

1

2

1

2

10

2

1

2

1

2

10

xy

xz

yz

y

w

z

v

x

w

z

u

z

v

y

w

x

v

y

u

z

u

x

w

y

u

x

v

W

x, y e z são taxas de rotação médias (velocidades angulares)

= ex x+ ey y+ ez z vetor vorticidade

36

Taxa de rotação:

zyxyx

tyx

yx

Wx

v

y

u

t

y

tdu

x

tdv

2

1

2

1

2

1

0lim

tantan

=du t=(u/y)yt

v (x)

u (y)

=-dv t

=-(v/x)xt

37

VVat

V

tD

VD

z

v

y

v

x

v

t

v

t

v

tD

vDy wvuvVa

z

w

y

w

xw

t

w

t

w

tD

wDz wvuwVa

Aceleração:

aceleração aceleração

local temporal convectiva

i

kki

i

kkikt

ukk

kkj

ijikt

ukk

jjiit

eu

t

V

tD

VD

x

euu

x

ueueea

eux

ueeux

eeuVVa

k

kkk

)()(

kajaiaakwjviuV zyx

,Em coordenadas cartesianas:

z

u

y

u

x

u

t

u

t

u

tD

uDx wvuuVa

y ej

ej ei

ei

x

38

Coordenadas cilíndricas:

zzrr

zzrr

eaeaeaa

eueueuV

,

z

uzr

u

r

urt

uzt

u

tD

uDz

zzzzzz uuuuVa

VVat

V

tD

VD

Aceleração:

z

euu

r

euu

r

euu

z

ueu

r

ueu

r

ueueea k

kzk

kk

krk

kzk

kk

krkt

ukk

k

y er

e e er

r

x

jrirer

sincos jrire

cossin

ejrirer

cossin rejrire

sincos

i

kki

i

kkikt

ukk

x

euu

x

ueueea k

er

uu

z

uu

uu

r

uueea

r

euu

z

ueu

r

ueu

r

ueueea

rrz

rrrt

urrr

rr

rrz

rr

rrrrt

urr

r

r

rzrt

u

zrt

u

er

u

z

uu

uu

r

uueea

r

euu

z

ueu

r

ueu

r

ueueea

2

39

Exercício. Um corpo com rotação de corpo rígido, possui vetor

velocidade angular w = e. Determine o tensor taxa de

deformação angular e linear.

O vetor velocidade é v = r e ux = v • ex ; uy = v • ey ; uz = v • ez =0

sabe-se que

ex = er cos - e sin logo ux = - r sen = - y

ey = er sen + e cos logo uy = + r cos = x

002

1

yzxzxy

x

v

y

uggg ;

00

zzyyxx

z

w

y

v

x

uggg ;v

O resultado indica tensor extra-tensão é nulo para um fluido com

rotação de corpo rígido

40

Exercício: Considere o escoamento unidimensional, permanente,

incompressível, através do duto plano e convergente mostrado. O

campo de velocidade é dado por

Determine o componente x da aceleração de uma partícula movendo-se

no campo de escoamento.

X1=0

X2=L

y

x

V

iLxVV

)]/([ 11

VVat

V

tDVD

zzyyxx eaeaeaa

regime permanente: 0t

V

0 zyxx aaeaa ;

1-D:

x

uxz

u

y

u

x

u

tD

uDx uawvuuVa

L

V

L

xVax

11 1

41

Lei de Newton de viscosidade

O tensor extra é proporcional a taxa de deformação do

elemento de fluido (deformação linear, angular e taxa de

compressão ou expansão):

onde

Viscosidade:

m : primeiro coeficiente de viscosidade molecular, viscosidade

absoluta ou viscosidade dinâmica

l – 2/3 m : segundo coeficiente de viscosidade

l 0: para escoamento de fluido incompressível

: viscosidade global

em geral 0para escoamentos compressíveis, com

exceção de escoamento com ondas de choque e explosões

IDτ V

mm

3

22

TVV )(D

2

1

42

Viscosidade Absoluta é relacionada com a transferência de quantidade de

movimento a nível molecular

Unidades: Pa s = kg/(ms); P(poise)= g/(cm s)

gases: variação da viscosidade com a temperatura é

pequena

Para gases com baixa densidade, pode-se mostrar que

onde V é a velocidade característica das moléculas, e lé

o caminho médio livre entre colisões. A viscosidade

cresce com a temperatura

Líquidos: em geral viscosidade decresce com o aumento

da temperatura

lrm V

Tm

)/(exp TBAm

43

Validade da Lei de Newton para viscosidade

Materiais que obedecem a Lei de Newton da viscosidade

são chamados de “fluidos Newtonianos”

Gases, água, glicerina, querosene, óleo de cozinha, etc.

Líquidos com micro-estruturas complexas não obedecem a

Lei de Newton da viscosidade e são chamados de “fluidos

não-Newtonianos”

Soluções polimétricas, cristais líquidos, emulsões,

suspensões, etc.

44

Viscosidade de suspensões e emulsões

suspensão: um sistema com duas fases, onde a fase

contínua é líquida e a fase dispersa é sólida

emulsão: um sistema com duas fases, onde ambas as

fases contínua e dispersa são líquidas

Espuma: um sistema com duas fases, onde a fase

contínua é líquida e a fase dispersa é gasosa

Em alguns processos é possível considerar que emulsões

e suspensões são fluidos Newtonianos, com uma

viscosidade efetiva mef, a qual depende da fração de volume

da fase, definida como

totalvolume

dispersafase davolume

45

Fluidos Não-Newtonianos: Modelos

Newtonianos Generalizados

Fluido Power-Law:

Fluido de Carreau:

)(γ

)()()(

Tse

Tseγγ

o

oo

tt

ttt

g

0

Fluido de Bingham e Herschel-Bulkley : só existe

escoamento se a tensão for superior a tensão limite (to =yield stress).

Para o fluido de Bingham, n=1

D)(τ 2g Dτ 2mNewtoniano: Newtoniano Generalizado:

Tv)(vD

2

1D:D

2

1g

Taxa de

deformação: magnitude de D:

1 nm gg )(

1 nm gg )(

2121 /)(])([

n

o

gl

o: viscosidade para taxa de cisalhamento nula

∞: viscosidade para taxa de cisalhamento infinita

l: parâmetro com

unidade de tempo

46

Exercício. Considere o escoamento entre duas placas paralelas,

estacionárias, separadas pela distância 2 h. O escoamento ocorre devido a

diferença de pressão. A coordenada y é medida a partir da linha de centro do

espaço entre elas. O campo de velocidade é dado por u = umax [ 1- (y/h)2].

Avalie as taxas de deformação linear e angular. Determine a tensão

cisalhante na placa em y = h e y = - h. Obtenha uma expressão para a

vorticidade, . Determine o local onde a vorticidade é máxima.

02

1

2

yzxzxy

h

yu

x

v

y

uggg ;max

v = u ex u= umax [ 1- (y/h)2] ; v = w = 0

deformação angular:

00

zzyyxx

z

w

y

v

x

uggg ;vdeformação linear:

2h

yuxyxy maxmgmt tensão cisalhante

y

xh

uhy

h

uhy

xy

xy

max

max

)(

)(

mt

mt

n

y

x

n

47

Exercício. Considere o escoamento entre duas placas paralelas,

estacionárias, separadas pela distância 2 h. O escoamento ocorre devido a

diferença de pressão. A coordenada y é medida a partir da linha de centro do

espaço entre elas. O campo de velocidade é dado por u = umax [ 1- (y/h)2].

Avalie as taxas de deformação linear e angular. Determine a tensão

cisalhante na placa em y = h e y = - h. Obtenha uma expressão para a

vorticidade, . Determine o local onde a vorticidade é máxima.

02

1

2

yxz

h

yu

y

u

x

v ;max

= ex x+ ey y+ ez z

|| é máxima nas paredes: em y=h e y=-h

vorticidade