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Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Aula 07
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Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
II.1. Introdução
II.2. Tração e Compressão de Barras
II.3. Flexão Pura de Barras
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
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Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
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II.3. Flexão Pura de Barras
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
xddz
ydzdw z com varia:
dwdzAA'
xx yddzdyAA'
xdydw dz
dθy
dz
dw xz
Supondo :0 e 0 yx MM
dz
dEyE x
z
zLogo,
dz
z
x
y
AxM
M M
dz
(variável) dw
eixo da barra
A A’dz
dx
y
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Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
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Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
0 0 A
x
A z dAdz
dEydAN
0 0 A
x
A zy dAdz
dExydAxM
O eixo de flexão x é central
Os eixos x e y são principais
eixo da barra
A A’dz
dx
y
dz
z
x
y
AxM
M M
dz
(variável) dw
0 0 xASydA
0 0 xyAIxydA
II.3. Flexão Pura de Barras
Supondo :0 e 0 yx MM
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Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
Flexão Reta:
eixo da barra
A A’dz
dx
y
dz
z
x
y
AxM
M M
dz
(variável) dw
O momento resultante M = Mx atua segundo um eixo principal
II.3. Flexão Pura de Barras
Supondo :0 e 0 yx MM
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Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
A
xxA zx dA
dz
dEyMdAyM
2
, Como z dz
dEy x
x
x
I
yMz
x
x
EI
yMz
eixo da barra
A A’dz
dx
y
dz
z
x
y
AxM
M M
dz
(variável) dw
x
xxx
xxA
xx EI
M
dz
dI
dz
dEMdAy
dz
dEM
2
II.3. Flexão Pura de Barras
Supondo :0 e 0 yx MM
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Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
dz
xM
zy
z
eixo da barra
A A’dz
dx
y
z
x
SN: Superfície Neutra
LN: Linha Neutra
dz
z
x
y
AxM
M M
dz
(variável) dw
x
x
I
yMz
x
x
EI
yMz
LN: lugar geométrico dos pontos de tensão e deformação nulas.
As tensões variam linearmente com y.
De um lado da LN, tração; do outro lado, compressão
II.3. Flexão Pura de Barras
Supondo :0 e 0 yx MM
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Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
x
x
I
yMz
Resumindo:
0 0 xA z SdAN
0y Equação da LN
0A zy dAxM
dAyMA zx
Flexão Reta (os eixos x e y são principais)
x
x
EI
yMz
dz
z
x
y
AxM
M M
dz
(variável) dw
0 xyI
II.3. Flexão Pura de Barras
Supondo :0 e 0 yx MM
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Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
xdzdw z com varia:
eixo da barra
A A’dz
dy
xdz
dθx
dz
dw yz
dz
dExE y
z
z
M M
dz
(variável) dwAnalogamente,
dz
z
x
y
A
yMII.3. Flexão Pura de Barras
Supondo :0 e 0 yx MM
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Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
dz
z
x
y
A
yM
M M
dz
(variável) dw
0 0 A
y
A z dAdz
dExdAN
0 0 A
y
A zx dAdz
dExydAyM
O eixo de flexão y é central
Os eixos x e y são principais
0 0 yASxdA
0 0 xyAIxydA eixo da barra
A A’dz
dy
x
II.3. Flexão Pura de Barras
Supondo :0 e 0 yx MM
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Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
dz
z
x
y
A
yM
M M
dz
(variável) dwFlexão Reta:
O momento resultante M = My atua segundo um eixo principal
dAxMA zy
y
y
I
xMz
y
y
EI
xMz
eixo da barra
A A’dz
dy
x
II.3. Flexão Pura de Barras
Supondo :0 e 0 yx MM
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Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
dz
z
x
y
A
yM
M M
dz
(variável) dw
eixo da barra
A A’dz
dy
x
y
y
I
xMz
y
y
EI
xMz
LN: lugar geométrico dos pontos de tensão e deformação nulas.
As tensões variam linearmente com x.
De um lado da LN, tração; do outro lado, compressão
dz
yM
zx
zz
y
SN: Superfície Neutra
LN: Linha Neutra
II.3. Flexão Pura de Barras
Supondo :0 e 0 yx MM
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Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
dz
z
x
y
A
yM
M M
dz
(variável) dw
y
y
I
xMz
Resumindo:
0 0 yA z SdAN
0x Equação da LN
0A zx dAyM
dAxMA zy
Flexão Reta (os eixos x e y são principais)
y
y
EI
xMz
0 xyI
II.3. Flexão Pura de Barras
Supondo :0 e 0 yx MM
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Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
Se o eixo de flexão não é um eixo principal, obtém-se, do PSE,
22yx MMM y
y
x
x
I
xM
I
yMz
As tensões e as deformações variam linearmente com x e com yy
y
x
x
EI
xM
EI
yMz
y
y
x
xy EI
xM
EI
yM x
M M
dz
(variável) dw
dz
z
x
y
A
M
II.3. Flexão Pura de Barras
Supondo :0 e 0 yx MM
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Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
22yx MMM
M M
dz
(variável) dw
dz
z
x
y
A
M
Flexão Oblíqua:
O momento resultante M não atua segundo um eixo principal
II.3. Flexão Pura de Barras
Supondo :0 e 0 yx MM
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Equação da LN:
22yx MMM
0zy
y
x
x
I
xM
I
yM xM
M
I
Iy
x
y
y
x
,sen e cos Se MMMM yx
x
y M
xI
Iy
y
x
tan ou xy tan
LN
A LN não coincide necessariamente com o eixo de flexão
M M
dz
(variável) dw
dz
z
x
y
A
M
II.3. Flexão Pura de Barras
Supondo :0 e 0 yx MM
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Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
Tensões Máximas:
22yx MMM
x
y M
LN
y
y
x
x
I
xM
I
yMz é a equação de um plano que
intercepta a seção na LN.
Logo, as máximas tensões na seção ocorrerão nos pontos mais afastados da LN: A e B A
B
xAyA
xB
yB
tA xx
tA yy cB xx
cB yy
M M
dz
(variável) dw
dz
z
x
y
A
M
II.3. Flexão Pura de Barras
Supondo :0 e 0 yx MM
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Tensões Máximas:
22yx MMM
yt
y
xt
x
y
ty
x
txTmáx W
M
W
M
I
xM
I
yM
LN
yc
y
xc
x
y
cy
x
cxCmáx W
M
W
M
I
xM
I
yM onde
t
xxt y
IW
t
yyt x
IW
c
yyc x
IW
c
xxc y
IW x
y M
LN
A
B
xAyA
xB
yB
M M
dz
(variável) dw
dz
z
x
y
A
M
II.3. Flexão Pura de Barras
Supondo :0 e 0 yx MM
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Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
22yx MMM
LN
yt
y
xt
xTmáx W
M
W
M
yc
y
xc
xCmáx W
M
W
M
y
y
x
x
EI
xM
EI
yMz
y
y
x
xy EI
xM
EI
yM x
W [cm3]: Módulos de Resistência à Flexão da Barra
EI [kN.cm2]: Módulos de Rigidez à Flexão da Barra
x
y M
LN
A
B
xAyA
xB
yB
M M
dz
(variável) dw
dz
z
x
y
A
M
II.3. Flexão Pura de Barras
Supondo :0 e 0 yx MM
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Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
22yx MMM
LNx
y M
LN
A
B
xAyA
xB
yB
M M
dz
(variável) dw
dz
z
x
y
A
M
,sen e cos Se MMMM yx
tytxtyt
y
xt
xTmáx W
M
WWM
W
M
W
M
sencos
cycxcyc
y
xc
xCmáx W
M
WWM
W
M
W
M
sencos
onde ctiWWW yixii , ,sencos1
II.3. Flexão Pura de Barras
Supondo :0 e 0 yx MM
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Cálculo dos Deslocamentos
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
xddz
eixo da barra
A A’dz
dx
y 23
21
1
v
v
Da Geometria Analítica, dz
z
x
y
AxM
M M
dz
(variável) dw
(equação da curvatura)
xM
S
v
vx
z
x
xx
EI
M
dz
d
1
II.3. Flexão Pura de Barras
:0 e 0 yx MM
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Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
xddz
23
21
1
v
v
Da Geometria Analítica, dz
z
x
y
AxM
M M
dz
(variável) dwx
xx
EI
M
dz
d
1
(equação da curvatura)
xM
S
vz
vx
Como 1x(hipótese das pequenas deformações),
x
x
EI
M
dz
vdv
12
2
Cálculo dos Deslocamentos
II.3. Flexão Pura de Barras
:0 e 0 yx MM
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Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
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Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
dz
z
x
y
AxM
M M
dz
(variável) dwx
x
EI
M
dz
vd
2
2
Equação Diferencial da Linha Elástica (LE)
Integrando esta equação,
1 CdzEI
M
dz
dv
x
xx (expressão da rotação)
21 CzCdzEI
Mv
x
x (expressão da flecha)
Cálculo dos Deslocamentos
II.3. Flexão Pura de Barras
:0 e 0 yx MM
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Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
dz
z
x
y
AxM
M M
dz
(variável) dw
1 CdzEI
M
x
xx
21 CzCdzEI
Mv
x
x As constantes de integração são determinadas a partir de:
a) condições de apoio;
b) condições de continuidade da LE
Observação importante:Não se deve utilizar condições relacionadas ao carregamento; não são gerais para a viga e sim particulares para aquele carregamento específico.
Cálculo dos Deslocamentos
II.3. Flexão Pura de Barras
:0 e 0 yx MM
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Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
dz
z
x
y
AxM
M M
dz
(variável) dw
1 CdzEI
M
x
xx
21 CzCdzEI
Mv
x
x
2
22z
qz
qLM x
Exemplos:q
L
S
za)
2qL2qL Condições de apoio:e 0 ,0 em vz. 0 , em vLz
Substituindo-se a expressão de Mx e as condições de apoio nas expressões da rotação e da flecha, determina-se C1 e C2.
Cálculo dos Deslocamentos
II.3. Flexão Pura de Barras
:0 e 0 yx MM
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Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
dz
z
x
y
AxM
M M
dz
(variável) dw
Exemplos:
20 ,21
LzzP
MSx
P
2L
1S
zb)
2P2P
2S
2Lz
LzLPL
zP
MSx 2 ,
222e
11
1 Cdz
EI
M
x
x
xS
S
211
1 CzCdz
EI
Mv
x
x
SS
32
2 Cdz
EI
M
x
x
xS
S
432
2 CzCdz
EI
Mv
x
x
SS
Cálculo dos Deslocamentos
II.3. Flexão Pura de Barras
:0 e 0 yx MM
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Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
dz
z
x
y
AxM
M M
dz
(variável) dw
Exemplos:P
2L
1S
zb)
2P2P
2S
2Lz
Condições de apoio:e 0 ,0 em vz. 0 , em vLz
Substituindo-se a expressão de Mx e as condições de apoio nas expressões da rotação e da flecha, determina-se C1, C2, C3 e C4.
Condições de continuidade da LE:e ,2 em
21Sx SxLz . ,2 em
21 SS vvLz
Cálculo dos Deslocamentos
II.3. Flexão Pura de Barras
:0 e 0 yx MM
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Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
M M
dz
(variável) dwy
y
EI
M
dz
ud
2
2
Equação Diferencial da Linha Elástica (LE)
Integrando esta equação,
1 CdzEI
M
dz
du
y
yy (expressão da rotação)
21 CzCdzEI
Mu
y
y (expressão da flecha)
dz
z
x
y
A
yMCálculo dos Deslocamentos
II.3. Flexão Pura de Barras
:0 e 0 yx MM
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Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
M M
dz
(variável) dwy
y
EI
M
dz
ud
2
2
dz
duy
22yx
dz
z
x
y
A
M
x
x
EI
M
dz
vd
2
2
dz
dvx
22 vu
(expressão da rotação)
(expressão da flecha)
Cálculo dos Deslocamentos
II.3. Flexão Pura de Barras
:0 e 0 yx MM
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Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
Convenção de Sinais: zq
zVy
zM x
zdVzV yy
zdMzM xx
dz
0v0x
Cálculo dos Deslocamentos
II.3. Flexão Pura de Barras
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Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
Analogia de Mohr:
2
2
dz
Mdq x
x
x
EI
M
dz
vd
2
2
equação diferencial da LE
equação fundamental da Estática
Viga Real: Viga Conjugada:
x
x
EI
M
dz
vd
2
2
qdz
Md x 2
2
viga real viga conjugada
v xM
xdzdv yx VdzMd
xx EIM q
II.3. Flexão Pura de Barras
Cálculo dos Deslocamentos
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Analogia de Mohr:
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
A viga conjugada é construída a partir das condições iniciais (condições de apoio e de continuidade da LE)
viga real: 0x 0x
0yVviga conjugada:
0xM
q
xx EIM
viga conjugadaviga real
v xM
xdzdv yx VdzMd
xx EIM qq
0x0v0v 0v
0xM0yV
0x0v
0yV0xM
0yV0xM
xx EIM
II.3. Flexão Pura de Barras
Cálculo dos Deslocamentos
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Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
viga real: 0x 0x
0yVviga conjugada:
0xM
q
viga conjugadaviga real
v xM
xdzdv yx VdzMd
xx EIM q
0v 0v
0xM
diry
esqy VV
dirx
esqx
0v
0yV0xM
xx EIM
Analogia de Mohr:A viga conjugada é construída a partir das condições iniciais (condições de apoio e de continuidade da LE)
II.3. Flexão Pura de Barras
Cálculo dos Deslocamentos
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Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
viga real: 0x 0x
0yVviga conjugada:
dirx
esqx MM
viga conjugadaviga real
v xM
xdzdv yx VdzMd
xx EIM q
0v 0v
0xM
diry
esqy VV
dirx
esqx
diresq vv
0yV0xM
xx EIM
q
Analogia de Mohr:A viga conjugada é construída a partir das condições iniciais (condições de apoio e de continuidade da LE)
II.3. Flexão Pura de Barras
Cálculo dos Deslocamentos
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Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
viga real: 0x 0x
0yVviga conjugada:
0xM
viga conjugadaviga real
v xM
xdzdv yx VdzMd
xx EIM q
0v 0v
0xM
diry
esqy VV
dirx
esqx
0v
0yV0xM
xx EIM
q
Analogia de Mohr:A viga conjugada é construída a partir das condições iniciais (condições de apoio e de continuidade da LE)
II.3. Flexão Pura de Barras
Cálculo dos Deslocamentos
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M M
dz
(variável) dw
dz
z
x
y
A
MProjeto de Barras Submetidas ao Momento Fletor
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
R
limd
Resistência e Estabilidade: onde
lim
R
d é a máxima tensão de cálculo
é a tensão limite (função do estado limite considerado) e
é o coeficiente de resistência
R
Tlim
t
dTmáxdd W
M
,
R
Clim
c
dCmáxdd W
M
,
RTlimtd WM
RClimcd WM
e
II.3. Flexão Pura de Barras
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limyx 22
limvu 22
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
Projeto de Barras Submetidas ao Momento Fletor
M M
dz
(variável) dw
dz
z
x
y
A
M
Rigidez: e/ou
onde
é a rotação limite elim
é a flecha limitelim
Ex:q
L 2qL2qL300384
5 4 L
EI
qLv
xmáx
máxv
3256,0
L
EIq x
II.3. Flexão Pura de Barras
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Fim da Aula 07