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Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis

Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES

Aula 02

continuação



Cap. I: Conceitos Preliminares

I.1. O que é a Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis

I.2. Elementos Básicos

I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas

I.2.2. Esforços nas Estruturas

I.2.3. Características Mecânicas dos Materiais

I.3. Problemas e Métodos





Translação e Rotação de Eixos

Rotação:

x1x1 dx

dyy1

dydxdA .

x2

y2

x2

y2

y1

sencos 112 yxx sencos 112 xyy

Ax dAyS 22

Ax dAxyS sencos 112

sencos112 yxx SSS






Rotação:

x1x1 dx

dyy1

dydxdA .

x2

y2

x2

y2

y1


sencos112 yxx SSS

sencos112 xyy SSS






Rotação:

x1x1 dx

dyy1

dydxdA .

x2

y2

x2

y2

y1

Ax dAyI 2

22

Ax dAxyI 2

11 sencos2

cos.sen2

sencos

11

112

22

yx

yxx

I

III







Rotação:

x1x1 dx

dyy1

dydxdA .

x2

y2

x2

y2

y1

cossen2sencos11112

22yxyxx IIII

cossen2sencos11112

22yxxyy IIII

cossensencos111122

22yxyxyx IIII







Rotação:

Ap dAI 2


22

22

21

21

2 yxyx

x1x1 dx

dyy1

dydxdA .

x2

y2

x2

y2

y1

2211 yxyxp IIIII






Rotação:

x1x1 dx

dyy1

dydxdA .

x2

y2

x2

y2

y1

cos.sen22sen 22 sencos2cos

1cossen 22

2

2cos1sen2

2

2cos1cos2






Rotação:

x1x1 dx

dyy1

dydxdA .

x2

y2

x2

y2

y1

2sen2cos22 11

1111

2 yxyxyx

x IIIII

I

2sen2

2cos 11

1122

yx

yxyx

IIII

2sen2cos22 11

1111

2 yxyxyx

y IIIII

I






Rotação:

x1x1 dx

dyy1

dydxdA .

x2

y2

x2

y2

y1

2211 yxyx IIII

Como os momentos de inércia são sempre positivos, haverá, para cada origem, uma posição dos eixos (x2,y2) tal que Ix2

=Imáx e

Iy2=Imin ou vice-versa.

Estes são os Eixos Principais de Inércia para esta origem.






Determinação de Imáx e Imin:

x1x1 dx

dyy1

dydxdA .

x2

y2

x2

y2

y1 02cos22sen1111

yxyx III

11

112

2tanyx

yx

II

I

02 d

dI x

direções dos eixos principais

11

112

arctan2

1

yx

yxp II

I







x1x1 dx

dyy1

dydxdA .

x2

y2

x2

y2

y1

e 2

2tan11

11

yx

yxp II

I

22

1111

11

4

22sen

yxyx

yxp

III

I

22

1111

11

42cos

yxyx

yxp

III

II

.12cos2sen 22 pp Logo:







x1x1 dx

dyy1

dydxdA .

x2

y2

x2

y2

y1

2

2

,,

11

1111

22

22 yxyxyx

minmáxyx

IIIII

II

022yxI

Substituindo sen2p e cos2p nas expressões dos momentos de inércia, tem-se:






Determinação de Ixy,máx e Ixy,min:

x1x1 dx

dyy1

dydxdA .

x2

y2

x2

y2

y1 02cos2sen21111

yxyx III

11

11

22tan

yx

yx

I

II

022 d

dI yx

11

11

2arctan

2

1

yx

yxc I

II







x1x1 dx

dyy1

dydxdA .

x2

y2

x2

y2

y1

e 2

2tan11

11

yx

yxc I

II

.12cos2sen 22 cc

22

1111

11

42sen

yxyx

yxc

III

II

22

1111

11

4

22cos

yxyx

yxc

III

I

Logo:







x1x1 dx

dyy1

dydxdA .

x2

y2

x2

y2

y1

médpyx

yx IIII

I

22

11

22 ,

Substituindo sen2c e cos2c nas expressões dos momentos de inércia, tem-se:

2

2

11

11

22 2 yxyx

xyyx III

IImáx,min






Círculo de Mohr:

2sen2cos22 11

1111

2 yxyxyx

x IIIII

I

2sen2

2cos 11

1122

yx

yxyx

IIII

2sen2cos22 11

1111

2 yxyxyx

y IIIII

I

Se (x1,y1) são os eixos principais, Ix1y1= 0 e = p

pminmáxminmáx

x

IIIII 2cos

22

pminmáxminmáx

y

IIIII 2cos

22

pminmáx

xy

III 2sen

2

onde (x,y) são eixos quaisquer






pminmáx

médyx

IIII 2cos

2,

2

22, 2

minmáxxymédyx

IIIII

pminmáx

xy

III 2sen

2

pminmáxminmáx

x

IIIII 2cos

22

pminmáxminmáx

y

IIIII 2cos

22

pminmáx

xy

III 2sen

2

Círculo de Mohr:






Equação de uma circunferência onde x = Ix,y e y = Ixy, de centro em (Iméd,0) e raio igual a (Imáx- Imin)/2 p

minmáxmédyx

IIII 2cos

2,

2

22, 2

minmáxxymédyx

IIIII

pminmáx

xy

III 2sen

2

yx II ,

xyI

médI

minI

máxI

máxxyI ,

minxyI ,

Círculo de Mohr:






2

2

, 22 xyyxyx

minmáx IIIII

I

2

2

2 xyyx

xy III

Imáx,min

yx

xyp II

I

2

2tan xy

yxc I

II

22tan

yx II ,

xyI

yI

xyIRxI

2yx II 2yx II

p2

c2

xyI

Círculo de Mohr:






RIméd

R

2

2

, 22 xyyxyx

minmáx IIIII

I

2

2

2 xyyx

xy III

Imáx,min

yx

xyp II

I

2

2tan xy

yxc I

II

22tan

yx II ,

xyI

yI

xyIRxI

2yx II 2yx II

p2

c2

xyI

Círculo de Mohr:






Eixos Centrais Principais: Se a origem dos eixos principais for o CG, estes eixos são ditos centrais principais.

0xyI

0 yx SS eixos centrais

eixos principais

x

y

CG





Momentos Principais de Inércia – Exemplos

Momentos Axiais em relação aos eixos centrais principais:

12

3bhI x

12

3hbI y

12

22 hbbhI p

x

y

2d 2d

64

4dII yx

32

4dI p

2b 2b

2h

2h

x

y







1212

3''3 hbbhI x

1212

3''3 bhhbI y

12

2'2'''22 hbhbhbbhI p

64

44ie

yx

ddII

32

44ie

p

ddI

2b 2b

2h

2h

x

y

2'h

2'h

2'b 2'b

x

y

2ed 2ed

2id 2id







seções compostas por retângulos

1x

2x

1y

2y

1

Rx

Ry

1y

2y

1x

2x

2

2211 AyAySRx

2211 AxAxSRy

21 AAA

(xR,yR): eixos arbitrários de referência








CGx

CGy

y

x

1 CG

Rx

Ry

2

A

Sx Ry

A

Sy Rx

(xR,yR): eixos arbitrários de referência

2211 AyAySRx

2211 AxAxSRy

21 AAA







11 e yx II :momentos de inércia em relação

aos eixos centrais principais do retângulo 1

22 e yx II :momentos de inércia em relação

aos eixos centrais principais do retângulo 2


1x

2x

1y

2y

1

Rx

Ry

1y

2y

1x

2x

2(xR,yR): eixos arbitrários de referência








1x

2x

1y

2y

1 1y

2y

1x

2x

2

CGx

CGy

CG

2221

21 21

AyIAyII xxxCG

2221

21 21

AxIAxII yyyCG

222111

222111

2211

AyxAyx

AyxIAyxII yxyxyx CGCG

Usando a translação de eixos:








1x

2x

1y

2y

1 1y

2y

1x

2x

2

CGx

CGy

CGxCG e yCG são eixos centrais, porém não

necessariamente principais

i

iixx AyIIiCG

2

i

iiyy AxIIiCG

2

i

iiiyx AyxICGCG







2

2

, 22 CGCG

CGCGCGCG

yxyxyx

yx IIIII

I

CGCG

CGCG

yx

yxp II

I2arctan

2

1

Ix e Iy são os momentos principais de inércia em relação aos eixos centrais


x

1

2

CGx

CGy

y

pCG

(x,y): eixos centrais principais



Fim da Aula 02

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