UNITUNIT Prof.: Aluno(a): Curso: Perodo: Turma: No: Data: Nota:

MEDIDA DE EFICINCIA DE CLCULO I Parte II QUESTES: 1- Se

z2 = x 2 + y 2, dxdt = 2 e

dydt = 3,encontre

dzdt quando x = 5 e y=12.

R:

dzdt =

4613

2- Use a derivao implcita para encontrar a inclinao da reta que tangente curva

dada para o valor especificado de x.

xy3 = 8; x = 1

R: y(1) = -2/3 3- Encontre a derivada da funo:

a) R:

b)

f (x) = 3cos2(ex ) R:

c)

f (r) = r 1r +1R:

f '(r) = 1(r 1)1/ 2(z +1)3 / 2

4- Mostrar que a funo

y = 11+ x + ln x satisfaz a equao

xy'= y(y ln x 1)

5- Calcule a integral da funo abaixo:

!

f (x) = 3cos2(e"x )# f '(x) = "6e"x cos(e"x )sen(e"x )

a) xdxx 4 + 3 R :36 arctg

x 2 33 + c

b) cos x(1+ senx)5 dx0

2 R :

c) x ln xdx R : 23 x x ln x 49 x x + c

d) senx1 cos x dx R : ln1 cos x +C

6- Calcule a area da regio limitada pelas curvas

y = x 2 e y = x

7- A funo custo mensal de fabricao de um produto dada por

C(x) = x3

3 2x2 +10x +1

e a funo demanda mensal (p), do mesmo produto, dada por P(x) = 10 x. Qual o preo x que deve ser cobrado para maximizar o lucro? Sabendo que Lucro (L) = Receita (R) Custo (C) e a Receita = P. x

R: x = 2

8- Deseja-se confeccionar uma trave para um campo de futebol com uma viga de 18m de comprimento. Encontre as dimenses para que a rea do gol seja mxima. R: altura de 4,5m e largura de 9m

9-Um fabricante de caixas de papelo pretende fazer caixas sem tampas a partir de folhas quadradas de carto com rea igual a 576cm2, cortando quadrados iguais nos quatro cantos e dobrando os lados para cima. Determinar o lado do quadrado que deve ser cortado para se obter uma caixa com o maior volume possvel. R: l =16cm2; h = 4cm

10- Uma lata cilndrica feita para receber 1L de leo. Quais as dimenses da lata, de modo a minimizar o metal gasto na sua fabricao?

R: A rea mnima para um raio

r = 123 ;

altura = 1

12

3

11- O lucro semanal P, em dlares, de uma corporao determinado pelo numero x de rdios produzidos por semana, de acordo com a frmula

P = 75x 0,03x 2 15000 (a) Determine a taxa na qual o lucro muda quando o nvel de produo x 1000 rdios por

semana. R: 15 dlares por rdio. (b) Obtenha a taxa de variao no lucro semanal quando o nvel de produo aumenta para

1001 rdios por semana. R:

12- Sabendo que toda taxa de variao pode ser interpretada como uma derivada, suponha que

um leo derramado atravs da ruptura do tanque de um navio se espalhe em forma circular

cujo raio cresce a uma taxa de 2m/h. Com que velocidade a rea do derramamento est

crescendo no instante em que o raio atingir 60m?

R: Quando o raio atingir 60m a rea do derramamento estar crescendo a uma taxa de

4(60) = 240m2 /h . 13- Um tanque de armazenamento de petrleo sofre uma ruptura em t = 0 e o petrleo vaza do tanque a uma taxa de

r(t) =100e0,01t litros por minuto. Quanto petrleo vazou na primeira hora? R:

4512l

!

"P = P(1001) # P(1000) =14,97dolares por semana.