matriks nophe
DESCRIPTION
matriks nopheTRANSCRIPT
![Page 1: matriks nophe](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042603/55cf9063550346703ba56ed2/html5/thumbnails/1.jpg)
MATRIK &
VEKTOR
![Page 2: matriks nophe](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042603/55cf9063550346703ba56ed2/html5/thumbnails/2.jpg)
Matrik adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan
MATRIK
mnmm
n
n
aaa
aaaaaa
A
21
22221
11211
.....
.........
)( ijnxmaA
Baris=m
Kolom=n
![Page 3: matriks nophe](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042603/55cf9063550346703ba56ed2/html5/thumbnails/3.jpg)
MACAM-MACAM MATRIKS
• Matriks Nol – Adalah matriks dengan semua
elemennya bernilai nol.
– O=(0) • Matriks Bujur Sangkar
– Adalah suatu matriks dimana cacah baris dan cacah kolomnya sama
– A = ( aij ) dengan i = 1, 2, 3, . . . n j = 1, 2, 3, . . . n
000..........0..000..00
A
231030421
A
![Page 4: matriks nophe](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042603/55cf9063550346703ba56ed2/html5/thumbnails/4.jpg)
MACAM-MACAM MATRIKS
• Matriks Persegi Panjang – Adalah matriks dengan cacah baris dan cacah kolom
tidak sama. – A = (aij) dengan i = 1, 2, . . n j = 1, 2, . . m
• Matriks Diagonal – Adalah matriks bujur sangkar dengan elemen-elemen
pada diagonal utama bernilai real dan elemen-elemen lainnya bernilai nol
– A = ( aij ) dengan aij = 0 untuk i j aij = real untuk i = j
321403123201
A
5000030000800001
A
![Page 5: matriks nophe](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042603/55cf9063550346703ba56ed2/html5/thumbnails/5.jpg)
MACAM-MACAM MATRIKS
Matriks Satuan (identitas) – Adalah matriks bujursangkar dengan elemen-
elemen pada diagonal utama bernilai 1 dan elemen lainnya bernilai nol
– A = ( aij ) dengan aij = 1 untuk i = j aij = 0 untuk i j
Matriks Segitiga Atas – Adalah matriks bujur sangkar dengan elemen-
elemen dibawah diagonal utama nol dan elemen-elemen lainnya bernilai real
100010001
A
4300618052101
A
![Page 6: matriks nophe](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042603/55cf9063550346703ba56ed2/html5/thumbnails/6.jpg)
MACAM-MACAM MATRIKS
• Matriks Transpose – Adalah matriks dimana susunan
elemen-elemen berkebalikan antara posisi baris dan kolom
– A=(aij); AT =(aji)
• Matriks Simetris – Adalah matriks dimana susunan
elemen-elemen antara matrik dengan transpose nya sama
– A=AT; maka A adalah matriks simetris
8103656301
A
10974986376504301
A
8631050361
TA
10974986376504301
tA
![Page 7: matriks nophe](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042603/55cf9063550346703ba56ed2/html5/thumbnails/7.jpg)
![Page 8: matriks nophe](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042603/55cf9063550346703ba56ed2/html5/thumbnails/8.jpg)
OPERASI ALJABAR ATAS MATRIKS
• Operasi Perkalian Skalar • Operasi Penjumlahan • Operasi Pengurangan • Operasi Perkalian
![Page 9: matriks nophe](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042603/55cf9063550346703ba56ed2/html5/thumbnails/9.jpg)
9
PERKALIAN DENGAN SKALAR
K = 2
6321
A
k A 6321
2 = 12642
![Page 10: matriks nophe](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042603/55cf9063550346703ba56ed2/html5/thumbnails/10.jpg)
10
PENJUMLAHAN MATRIKS
A + B 1 2
6 3
2 4
6 3 A = B =
+ = 3 6
+ = 6 12
![Page 11: matriks nophe](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042603/55cf9063550346703ba56ed2/html5/thumbnails/11.jpg)
PENGURANGAN MATRIKS
A - B 1 2
6 3
2 4
6 3 A = B =
- = -1 -2
- = 0 0
![Page 12: matriks nophe](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042603/55cf9063550346703ba56ed2/html5/thumbnails/12.jpg)
e
f
g
![Page 13: matriks nophe](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042603/55cf9063550346703ba56ed2/html5/thumbnails/13.jpg)
314211316
423101251
52
14
31
2014
120
11
3
E
D
C
B
AHitunglah : a. 3CD b. (AB)C c. (4B)C d. (3E)D e. A(BC) f. D + E²
![Page 14: matriks nophe](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042603/55cf9063550346703ba56ed2/html5/thumbnails/14.jpg)
![Page 15: matriks nophe](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042603/55cf9063550346703ba56ed2/html5/thumbnails/15.jpg)
812026
214
5813
2y
x
812026
5281143
2y
x
![Page 16: matriks nophe](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042603/55cf9063550346703ba56ed2/html5/thumbnails/16.jpg)
812026
56043
2y
x
812026
21012086
yx
Scalar Multiplication:
![Page 17: matriks nophe](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042603/55cf9063550346703ba56ed2/html5/thumbnails/17.jpg)
6x+8=26
6x=18
x=3
10-2y=8
-2y=-2
y=1
![Page 18: matriks nophe](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042603/55cf9063550346703ba56ed2/html5/thumbnails/18.jpg)
INVERS MATRIKS
Misalkan A matriks bujur sangkar, matriks B yang memenuhi
AB = BA = I , B disebut sebagai invers dari A.
Matriks A yang mempunyai invers disebut sebagai matriks taksingular atau invertible, sedangkan yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular.
![Page 19: matriks nophe](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042603/55cf9063550346703ba56ed2/html5/thumbnails/19.jpg)
Contoh :
4131
A1134
B
IAB
AB
1001
1134
.4131
IBA
BA
1001
4131
.1134
Matriks B merupakan invers dari matriks A sebab berlaku AB = I
2153
B
3152
A
Adalah invers dari
![Page 20: matriks nophe](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042603/55cf9063550346703ba56ed2/html5/thumbnails/20.jpg)
Simbol lain untuk menyatakan invers dari matriks A adalah A-1
IAA 1 IAA 1
Jika A dan B dua matriks tak singular, maka : (i). AB tak singular (ii).AB = BA
![Page 21: matriks nophe](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042603/55cf9063550346703ba56ed2/html5/thumbnails/21.jpg)
Jika :
dcba
A
a cbd
bcadA 11
dan ad – bc 0 , maka
![Page 22: matriks nophe](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042603/55cf9063550346703ba56ed2/html5/thumbnails/22.jpg)
• Jika A adalah sebuah matriks n x n yang dapat dibalik, maka untuk setiap matriks B yang berukuran n x 1 pada sistem persamaan AX = B mempunyai persis satu pemecahan yaitu X= A-1B
![Page 23: matriks nophe](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042603/55cf9063550346703ba56ed2/html5/thumbnails/23.jpg)
a
b
c
d
e
f
g
h
![Page 24: matriks nophe](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042603/55cf9063550346703ba56ed2/html5/thumbnails/24.jpg)
Setiap matriks persegi atau bujur sangkar memiliki nilai determinan Nilai determinan dari suatu matriks merupakan suatu skalar. Jika nilai determinan suatu matriks sama dengan nol, maka matriks tersebut disebut matriks singular.
DETERMINAN MATRIKS
Misalkan matriks A merupakan sebuah matriks bujur sangkar Fungsi determinan dinyatakan oleh det (A) Jumlah det(A) disebut determinan A det(A) sering dinotasikan |A|
![Page 25: matriks nophe](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042603/55cf9063550346703ba56ed2/html5/thumbnails/25.jpg)
NOTASI DETERMINAN
25 25
Pada matriks 2x2 cara menghitung nilai determinannya adalah : Contoh :
2221
1211
aaaa
A 21122211)det( aaaaA
3152
A 156)det( A
2221
1211)det(aaaa
A
3152
)det( A
![Page 26: matriks nophe](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042603/55cf9063550346703ba56ed2/html5/thumbnails/26.jpg)
METODE SARRUS
26 26
Pada matriks 3x3 cara menghitung nilai determinannya adalah menggunakan Metode Sarrus Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi 3x3
122133112332132231322113312312332211)det( aaaaaaaaaaaaaaaaaaA
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A
![Page 27: matriks nophe](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042603/55cf9063550346703ba56ed2/html5/thumbnails/27.jpg)
METODE SARRUS
27 27
Contoh : Nilai Determinan dicari menggunakan metode Sarrus
det(A) = (-2·1 ·-1) + (2 ·3 ·2) + (-3 ·-1 ·0) – (-3 ·1 ·2) –(-2 ·3 ·0)-(2 ·-1 ·-1)
= 2 +12+0+6-0-2 = 18
102311322
A
![Page 28: matriks nophe](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042603/55cf9063550346703ba56ed2/html5/thumbnails/28.jpg)
MINOR
28 28
Yang dimaksud dengan MINOR unsur aij adalah determinan yang berasal dari determinan orde ke-n tadi dikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j. Dinotasikan dengan Mij
Contoh Minor dari elemen a
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A3332
232211 aa
aaM
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaaaaaaaaaaaaaa
A444342
343332
242322
11
aaaaaaaaa
M
![Page 29: matriks nophe](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042603/55cf9063550346703ba56ed2/html5/thumbnails/29.jpg)
MINOR
29 29
Minor-minor dari Matrik A (ordo 3x3)
![Page 30: matriks nophe](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042603/55cf9063550346703ba56ed2/html5/thumbnails/30.jpg)
KOFAKTOR MATRIKS
30 30
Kofaktor dari baris ke-i dan kolom ke-j dituliskan dengan Contoh :
Kofaktor dari elemen a11
![Page 31: matriks nophe](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042603/55cf9063550346703ba56ed2/html5/thumbnails/31.jpg)
INVERS MATRIX
31 31
Langkah-langkah untuk mencari invers matriks M yang berordo 3x3 adalah :
- Cari determinan dari M - Transpose matriks M sehingga menjadi - Cari adjoin matriks - Gunakan rumus
TM
))(()det(
11 MadjoinM
M
![Page 32: matriks nophe](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042603/55cf9063550346703ba56ed2/html5/thumbnails/32.jpg)
INVERS MATRIX
32 32
Contoh Soal :
- Cari Determinannya : det(M) = (1.1.0)+(2.4.5)+(3.0.6)-(5.1.3)-(6.4.1)-(0.0.2) = 1 - Transpose matriks M
065410321
M
043612501
TM
![Page 33: matriks nophe](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042603/55cf9063550346703ba56ed2/html5/thumbnails/33.jpg)
INVERS MATRIX
33 33
- Temukan matriks kofaktor dengan menghitung minor-minor matriksnya
- Hasilnya : ==> ==>
1454152051824
14541520
51824
![Page 34: matriks nophe](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042603/55cf9063550346703ba56ed2/html5/thumbnails/34.jpg)
INVERS MATRIX
34 34
Hasil Adjoinnya : Hasil akhir
145
4152051824
14541520
51824
111M
14541520
51824
![Page 35: matriks nophe](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042603/55cf9063550346703ba56ed2/html5/thumbnails/35.jpg)
![Page 36: matriks nophe](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042603/55cf9063550346703ba56ed2/html5/thumbnails/36.jpg)