matrik perspektif dan sifat garis dalam ... abstrak pilipus neri agustima, 2015. matrik perspektif...
TRANSCRIPT
i
MATRIK PERSPEKTIF DAN SIFAT GARIS DALAM GAMBAR
PERSPEKTIF
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan
Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh:
PILIPUS NERI AGUSTIMA
NIM :111414042
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2015
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iv
I have always studied,
no matter what the
result is...
HALAMAN PERSEMBAHAN
I dedicated this thesis for
Agustinus Sarman as my father
Anastasia Sutinem as my mother
Veronika Kania Anindita as my sister
Putu Diah Pramita Dewi as my beloved friend
And every precious one in my life that I can not mention his or her name one by one
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
ABSTRAK
Pilipus Neri Agustima, 2015. Matrik Perspektif dan Sifat Garis Dalam Gambar
Perspektif. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan
Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan
dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma.
Dalam kehidupan sehari-hari, terutama di kalangan arsitek dan seniman,
dikenal teknik menggambar perspektif. Teknik menggambar perspektif merupakan
suatu teknik menggambar sehingga diperoleh gambar yang lebih realistik, sesuai
apa yang terlihat oleh mata. Gambar yang dihasilkan menggunakan teknik ini
disebut gambar perspektif. Dalam dunia matematika, dikenal transformasi untuk
menghasilkan gambar perspektif. Transformasi tersebut adalah proyeksi perspektif.
Hasil dari proyeksi perspektif dapat dipandang sebagai titik tembus antara garis
yang menghubungkan titik proyeksi dan titik yang terletak pada objek gambar
dengan bidang proyeksi. Penelitian ini membahas matrik perspektif dan sifat garis
dalam gambar perspektif.
Penelitian ini menggunakan metode studi pustaka. Buku acuan yang
digunakan adalah βMath and Art: An Introduction to Visual Geometryβ karangan
Sasho Kaldjevski. Penelitian ini juga menggunakan konsep koordinat homogen dan
transformasi sistem koordinat sehingga diperoleh matrik perspektif secara umum.
Sedangkan sifat garis dalam gambar perspektif ditulis lengkap dengan pembuktian
sifatnya.
Hasil dari penelitian ini adalah matrik perspektif yang dapat ditentukan jika
koordinat titik proyeksi dan persamaan bidang gambar diketahui. Sifat-sifat garis
dalam gambar perspektif meliputi gambar perspektif dari suatu garis lurus
merupakan garis lurus, gambar perspektif dari garis-garis lurus yang saling sejajar
dan sejajar dengan bidang proyeksi merupakan garis-garis lurus yang sejajar pula
pada bidang proyeksi, gambar perspektif dari garis-garis lurus yang sejajar namun
tidak sejajar dengan bidang proyeksi merupakan garis-garis lurus yang berpotongan
di satu titik, yang disebut dengan titik lenyap. Penelitian ini juga menghasilkan
koordinat titik lenyap jika koordinat titik proyeksi dan persamaan bidang
proyeksinya diketahui..
Kata Kunci: Proyeksi Perspektif, Matrik Perspektif, Titik Lenyap
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
ABSTRACT
Pilipus Neri Agustima, 2015. Perspective Matrix and Property of Line in
Perspective Drawing. Thesis. Mathematic Education Study Program,
Mathematic and Science Education Departement, Faculty of Teacher Training
and Education, Sanata Dharma University, Yogyakarta. In our life, especially for architect and artist, was known a term about
perspective drawing. Perspective drawing is a technique to produce a realistic
painting which appropriate to what was seen by eye. A painting which was produce
from this techique is called perspective painting. But in mathematic, perspective
drawing is known as perspective projection. Perspective projection is an intersect
point between projective plane and a line segment which connected point of
projection and any point in the object. This research is discussed about perspective
matrik and property of line in perspective drawing.
This research use study method with βMath and Art: An Introduction to
Visual Geometryβ of Sasho Kaldjevski as a main book. This research use
homogenous coordinate and transformation of coordinate system concept to get the
general perspective matrix. Beside that, property of line in perspective projection is
written with itβs verification.
The result of this research is a perspective matrix if coordinate point of
projection and equation of plane projectian was given. Line has three property in
perspective drawing, there are perspective painting of a line is a line, perspective
painting a class of paralel lines which paralel to projection plane is a class of paralel
lines in projection plane, perspective painting a class of paralel lines which not
paralel to projection plane is a class of line which intersect in one point in projection
plane. That point also known as vanishing point. And coordinate of vanishing point
if coordinate of point of projection and equation of projection plane was given.
Key Word: Perspective Projection, Perspective Matrix, Vansihing Point.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena
atas berkat dan rahmat-Nya lah saya dapat menyelesaikan skripsi dengan judul
βMatrik Perspektif dan Sifat Garis Dalam Gambar Perspektifβ. Skripsi ini disusun
dalam rangka melengkapi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana
Pendidikan pada Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan
Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
Banyak hambatan dan rintangan yang dialami oleh penulis selama
penyusunan skripsi ini. Namun atas bantuan dan dukungan dari berbagai pihak,
maka penulis dapat mengatasi segala hambatan dan rintangan yang dialami. Oleh
karena itu, pada kesempatan kali ini penulis ingin mengucapkan terima kasih
kepada:
1. Keluargaku, Bapak Agustinus Sarman dan Ibu Anastasia Sutinem, serta
adikku Veronika Kania Anindita, yang selalu memberikan doa, dukungan
dan semangat kepada penulis.
2. Bapak Dominikus Arif Budi Prasetyo, S.Si., M.Si. sebagai dosen
pembimbing skripsi yang dengan sabar telah membimbing serta
memberikan kritik dan saran selama penulis menyelesaikan skripsi ini.
3. Bapak Dr. M. Andy Rudhito selaku Kaprodi Pendidikan Matematika
Universitas Sanata Dharma serta dosen penguji skripsi, terima kasih atas
bimbingannya selama ini.
4. Bapak Rohandi, Ph.D., selaku Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu
Pendidikan.
5. Ibu Veronika Fitri Rianasari, S.Pd., M.Sc., sebagai dosen pembimbing
akademis yang telah memberikan bimbingan akademis selama penulis
melaksanakan perkuliahan di Universitas Sanata Dharma.
6. Bapak Antonius Yudhi Anggoro selaku dosen penguji skripsi, terima kasih
atas bimbingan dan sarannya selama ini.
7. Bapak dan Ibu dosen di Program Studi Pendidikan Matematika Universitas
Sanata Dharma yang telah membimbing dan mendidik penulis selama
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
menuntut ilmu di Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata
Dharma sehingga penulis memperoleh ilmu yang berguna untuk
menyelesaikan tugas akhir ini.
8. Bapak dan ibu karyawan Universitas Sanata Dharma, khususnya sekretariat
JPMIPA dan perpustakaan Universitas Sanata Dharma atas segala jenis
bantuan dan fasilitas yang telah diberikan.
9. Putu Diah Pramita Dewi yang dengan setia selalu menemani dan
memberiku semangat selama penulisan tugas akhir ini.
10. Teman seperjuanganku, Singgih Satriyo Wicaksono, yang telah menemani
dan membantuku mengatasi hambatan yang dialami selama penulisan tugas
akhir ini.
11. Sahabat-sahabatku, Leonardus Igor Sidha Malelang, Chatarina Anjar Putri
L.D., Emilia Jevina Lintang Puspita, Thevea Yurike Redianawati, Veronika
Dyah Febriana, Yuliana Pebri Heriawati, Ana Karisma A.P., Regina
Wahyudyah Sonata Ayu,Theresia Veni Dwi Lestari, Margaretha Nobilio
Pasia Janu, Gregorius Andy Krismanto, dan Patricia Merdekawati yang
telah menemaniku selama proses pembelajaran di Universitas Sanata
Dharma.
12. Semua pihak yang telah membantu penulis menyelesaikan tugas akhir ini,
baik secara langsung maupun tidak langsung yang tidak dapat disebutkan
satu persatu.
Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penulisan tugas
akhir ini. Oleh karena itu, dengan rendah hati, penulis mengucapkan terima kasih
atas kritik dan saran yang dapat membangun tugas akhir ini. Semoga tulisan ini
dapat memberikan manfaat dan wawasan yang lebih kepada setiap pembacanya.
Yogyakarta, 21 April 2015
Penulis
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ................................................................................................ i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ..................................................... ii
HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iii
HALAMAN PERSEMBAHAN ............................................................................ iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................................. v
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH .. vi
ABSTRAK ............................................................................................................ vii
ABSTRACT ......................................................................................................... viii
KATA PENGANTAR ........................................................................................... ix
DAFTAR ISI .......................................................................................................... xi
DAFTAR SIMBOL .............................................................................................. xiii
DAFTAR GAMBAR ........................................................................................... xiv
BAB I PENDAHULUAN ................................................................................... 1
A. Latar Belakang ........................................................................................ 1
B. Batasan Masalah ..................................................................................... 2
C. Rumusan Masalah .................................................................................. 3
D. Tujuan Penelitian .................................................................................... 3
E. Manfaat Penelitian .................................................................................. 3
F. Metode Penulisan ................................................................................... 4
G. Sistematika Penulisan ............................................................................. 5
BAB II LANDASAN TEORI .............................................................................. 7
A. Titik, Garis dan Bidang dalam β3 .......................................................... 7
B. Sistem Koordinat .................................................................................. 17
C. Persamaan Garis dan Bidang Datar Dalam β3 .................................... 19
D. Transformasi Sistem Koordinat ............................................................ 30
E. Proyeksi ................................................................................................ 37
F. Matrik ................................................................................................... 39
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
BAB III MATRIK PERSPEKTIF DAN SIFAT GARIS DALAM GAMBAR
PERSPEKTIF ....................................................................................... 45
A. Koordinat Gambar Perspektif ............................................................... 45
B. Matrik Translasi Salib Sumbu .............................................................. 57
C. Matrik Rotasi Salib Sumbu .................................................................. 60
D. Matrik Perspektif .................................................................................. 64
E. Sifat Garis Dalam Gambar Perspektif ................................................ 100
BAB IV PENUTUP .......................................................................................... 110
A. Kesimpulan ......................................................................................... 110
B. Saran ................................................................................................... 113
DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................... 114
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
DAFTAR SIMBOL
π΄β² : Koordinat hasil proyeksi perspektif dari titik A
π΄β : Koordinat homogen dari titik A
π : Koordinat titik proyeksi
β2 : Ruang Dimensi Dua
β3 : Ruang Dimensi Tiga
(π΄ β π΅ β πΆ) : Keantaraan, π΅ diantara π΄ dan πΆ
π΄π΅Μ Μ Μ Μ : Segmen garis yang titik ujungnya berada di titik A dan titik B
π΄π΅ββ ββ ββ : Sinar garis yang titik pangkalnya adalah titik A dan melalui titik B
π΄π΅β‘β ββ β : Garis yang melalui titik A dan titik B
β₯ : Sejajar
π΄β~π΅β : koordinat homogen titik A dan koordinat homogen titik B
merepresantisakan titik yang sama
πππππ : Matrik Perspektif
ππ‘ππππ : Matrik Translasi Salib Sumbu
ππππ‘π : Matrik Rotasi Terhadap Sumbu Y
ππππ‘π : Matrik Rotasi Terhadap Sumbu Z
ππππ‘π‘ππ‘ : Matrik Rotasi Total
πππππ β²
: Matrik Perspektif Setelah Dilakukan Transformasi Salib Sumbu
β : Akhir dari pembuktian suatu teorema atau sifat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiv
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1: Pembuktian Teorema 2.1
Gambar 2.2: Pembuktian Teorema 2.2
Gambar 2.3: Pembuktian Teorema 2.3
Gambar 2.4: Pembuktian Teorema 2.4
Gambar 2.5: Pembuktian Teorema 2.5
Gambar 2.6: Koordinat Kartesius
Gambar 2.7: Sudut Arah Suatu Garis
Gambar 2.8: Sudut Arah Garis Sebarang
Gambar 2.9: Cosinus Arah Suatu Garis
Gambar 2.10: Translasi salib sumbu pada β2
Gambar 2.11: Translasi salib sumbu pada β3
Gambar 2.12: Rotasi salib sumbu pada β2
Gambar 2.13: Rotasi salib sumbu pada β3 dengan sumbu X sebagai poros
Gambar 2.14: Rotasi salib sumbu pada β3 dengan sumbu Y sebagai poros
Gambar 2.15: Rotasi salib sumbu pada β3 dengan sumbu Z sebagai poros
Gambar 2.16: Proyeksi Paralel
Gambar 2.17: Proyeksi Perspektif
Gambar 2.18: Contoh Lukisan Tanpa Menggunakan Prinsip Proyeksi Perspektif
Gambar 2.19: Contoh Lukisan Menggunakan Prinsip Proyeksi Perspektif
Gambar 3.1 Bidang proyeksi π₯ = π dan titik proyeksi π(π, 0,0)
Gambar 3.2 Gambar Perspektif salib-salib sumbu di bidang proyeksi x=k
Gambar 3.3 Bidang proyeksi π¦ = πdan titik proyeksi π(0, π, 0)
Gambar 3.4 Gambar Perspektif salib-salib sumbu di bidang proyeksi y=k
Gambar 3.5 Bidang Proyeksi z = k dan Titik Proyeksi P(0,0, p)
Gambar 3.6 Gambar Perspektif salib-salib sumbu di bidang proyeksi π§ = π
Gambar 3.7 Gambar Perspektif Segitiga π΄π΅πΆ di Bidang Proyeksi π₯ = 2
Gambar 3.8 Gambar Perspektif Segitiga π΄π΅πΆ di Bidang Proyeksi π¦ = 3
Gambar 3.9 Gambar Perspektif Segitiga π΄π΅πΆπ· di Bidang Proyeksi π§ = 1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xv
Gambar 3.10 Translasi Salib Sumbu Jika Bidang Proyeksi π₯ = π
Gambar 3.11 Gambar Perspektif Dari Segiempat π΄π΅πΆπ· di bidang proyeksi π₯ = 1
Gambar 3.12 Translasi Salib Sumbu Jika Bidang Proyeksi π¦ = π
Gambar 3.13 Gambar Perspektif Dari Piramidaπ. π΄π΅πΆπ· di bidang proyeksi π¦ = 4
Gambar 3.14 Translasi Salib Sumbu Jika Bidang Proyeksi π§ = π
Gambar 3.15 Gambar Perspektif Dari Prisma π΄π΅πΆ.π·πΈπΉ di bidang proyeksi π¦ = 4
Gambar 3.16 Bilangan Arah dan Sudut Arah dari Bidang Proyeksi
Gambar 3.17 Rotasi Terhadap Sumbu Z
Gambar 3.18 Rotasi Terhadap Sumbu Yβ
Gambar 3.19 Ilustrasi Titik Proyeksi Berada di Sumbu Zβ
Gambar 3.20 Ilustrasi Titik Proyeksi Tidak Berada di Sumbu Zβ
Gambar 3.21 Sifat Garis Pada Gambar Perspektif 1
Gambar 3.22 Ilustrasi Titik V
Gambar 3.23 Titik Lenyap dari Kumpulan Garis yang Sejajar dengan Garis l
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Kata βgeometriβ berasal dari bahasa Yunani yaitu βgeometreinβ (βgeoβ
artinya bumi dan βmetreinβ artinya pengukuran). Jadi secara harafiah, geometri
berarti ilmu pengukuran bumi. Ahli sejarah Yunani bernama Herodotus dan
Proculus (5 SM) mengatakan bahwa orang-orang yang memakai ilmu geometri
pertama kali adalah orang-orang Mesir. Mereka menggunakan geometri untuk
mengukur lahan mereka setelah banjir tahunan sungai Nil melanda daerah Mesir.
Aristoteles menyetujui bahwa bangsa Mesir lah yang pertama kali menggunakan
subjek geometri, tetapi dengan alasannya sendiri. Dalam bukunya yang berjudul
Metaphysics, Aristoteles berpendapat bahwa geometri di Mesir muncul
dikarenakan para pemuka agama di Mesir memiliki waktu yang sangat luang.
(Owen Byer, 2010)
Selama lebih dari 2000 tahun pengetahuan geometri identik dengan ilmu
geometri yang berasal dari buku The Elements karangan Euclides yang ditulis
sekitar 300 Sebelum Masehi. Selanjutnya, pengetahuan geometri yang berasal dari
buku The Elements dikenal sebagai Geometri Euclides. Sampai saat ini,
pengetahuan geometri yang diajarkan di sekolah-sekolah adalah Geometri Euclides
(John Stillwell, 2005). Pada zaman Renaissance, muncul suatu permasalahan di
kalangan para seniman dan arsitek. Ketika mereka menggambar objek-objek di
bidang gambar menggunakan prinsip-prinsip Geometri Euclides,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
gambar yang dihasilkan tidak sesuai dengan apa yang mereka lihat. Kemudian
muncullah keinginan dari para seniman untuk menghasilkan gambar pada bidang
gambar sesuai dengan apa yang mereka lihat. Kemudian, pada tahun 1435, seorang
seniman dari Florence, Italia bernama Leon Battista Alberti mengemukakan idenya
mengenai salah satu metode menggambar yaitu costruzione legittima untuk
menghasilkan gambar agar terlihat lebih nyata pada bidang gambar (David A.
Thomas, 1998). Kemudian sekitar awal abad ke-19, berkembang sistem geometri
yang lebih umum dari Geometri Euclides, yaitu geometri proyeksi. Proyeksi terbagi
menjadi dua bagian yaitu proyeksi paralel dan proyeksi perspektif.
Selama perkuliahan di Universitas Sanata Dharma penulis memperoleh
perkuliahan mengenai geometri ruang, geometri analitik ruang, geometri analitik
bidang, dan aljabar linear elementer. Berdasarkan ide mengenai proyeksi perspektif
dan apa yang telah diperoleh penulis pelajari pada perkuliahan-perkuliahan
tersebut, penulis mencoba mengkaji proyeksi perspektif tersebut menggunakan
pengetahuan-pengetahuan yang diperoleh pada saat perkuliahan geometri ruang,
geometri analitik ruang, geometri analitik bidang dan aljabar linear elementer
sehingga menghasilkan matrik perspektif dari suatu titik dan sifat-sifat garis dalam
gambar perspektif.
B. Batasan Masalah
Pembahasan mengenai Proyeksi Perspektif dan Sifat-Sifat Garis Dalam
Gambar Perspektif ini dibatasi pada:
1. Bidang gambar yang digunakan adalah sebarang bidang datar di β3.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
2. Objek gambar berupa bangun datar dan bangun ruang sisi datar dalam β3.
C. Rumusan Masalah
Rumusan masalah dalam penelitian ini yaitu:
1. Bagaimana bentuk matrik perspektif jika koordinat titik proyeksi dan
persamaan bidang proyeksinya diketahui?
2. Bagaimana sifat - sifat garis dalam gambar perspektif?
D. Tujuan Penelitian
Tujuan dalam penelitian ini adalah:
1. Untuk mengetahui bentuk matrik perspektif jika titik proyeksi dan
persamaan bidang proyeksinya diketahui.
2. Untuk mengetahui sifat-sifat garis dalam gambar perspektif.
3. Untuk menentukan koordinat titik lenyap dari kumpulan garis-garis yang
sejajar.
E. Manfaat Penelitian
Manfaat yang dapat diambil dari penelitian ini adalah:
1. Bagi Pembaca
Pembaca dapat mengetahui bagaimana matrik perspektif dari suatu titik
dan bagaimana sifat-sifat garis dalam gambar perspektif jika dikaji
menggunakan geometri ruang, geometri analitik ruang, geometri analitik
bidang, dan aljabar linear elementer.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
2. Bagi Penulis
Penulis dapat menambah pengetahuan mengenai matrik perspektif dari
suatu titik dan dapat menerapkan apa yang telah dipelajari selama
perkuliahan sehingga dapat mengkaji kembali matrik perspektif dan sifat-
sifat garis dalam gambar perspektif.
3. Bagi Universitas
Universitas dapat menambah koleksi skripsi dalam bidang geometri,
khususnya mengenai geometri proyeksi dengan spesialisasi proyeksi
perspektif.
F. Metode Penulisan
Metode yang digunakan oleh peneliti untuk menyusun skripsi ini adalah
metode studi pustaka, yaitu dengan membaca referensi-referensi yang berkaitan
dengan geometri ruang, geometri analitik ruang, geometri analitik bidang, aljabar
linear elementer, dan gambar perspektif. Lalu peneliti mencoba mengkaji ulang
gambar perspektif menggunakan apa yang telah dipelajari pada geometri ruang,
geometri analitik ruang, geometri analitik bidang dan aljabar linear elementer.
Pembahasan dalam skripsi ini mengacu pada buku βMath and Art: An Introduction
to Visual Mathematicsβ karangan Sasho Kalajdzievski (2008).
Langkah-Langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah:
1. Membaca berbagai referensi yang diperlukan, khususnya mengenai gambar
perspektif, geometri ruang, geometri analitik ruang, geometri analitik bidang,
aljabar linear elementer, dan berbagai referensi lain yang dibutuhkan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
2. Menyajikan ilustrasi atau gambaran mengenai gambar perspektif.
3. Menyajikan kembali beberapa teori pada geometri ruang, geometri analitik
ruang, geometri analitik bidang, dan aljabar linear elementer.
4. Memberikan penjelasan yang diperlukan dan contoh-contoh dari teori yang
digunakan.
5. Mencari hubungan antara geometri ruang, geometri analitik ruang, geometri
analitik bidang, aljabar linear elementer dengan gambar perspektif.
6. Menyusun seluruh materi yang telah dikumpulkan secara runtut agar
memudahkan pembaca dalam memahaminya.
G. Sistematika Penulisan
Tujuan akhir penulisan skripsi ini yaitu untuk mengetahui matrik
perspektif dari suatu titik dan sifat-sifat garis dalam gambar perspektif. Untuk
itu pada bab pertama disampaikan terlebih dahulu latar belakang, rumusan
masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, metode
penulisan dan sistematika penulisan dalam skripsi ini.
Kemudian pada bab kedua akan dibahas terlebih dahulu mengenai
definisi-definisi dasar yang digunakan dalam penulisan skripsi ini. Selain itu
disajikan pula beberapa teorema yang ada pada geometri ruang yang nantinya
akan digunakan dalam pembahsan di bab tiga. Selanjutnya dibahas pula
mengenai beberapa teori yang ada di geometri analitik ruang, geometri
analitik bidang. Kemudian penulis menyajikan pula pengertian proyeksi, baik
proyeksi paralel maupun proyeksi perspektif. Kemudian di bagian akhir dari
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
bab kedua akan dibahas pula mengenai matrik yang nantinya akan digunakan
untuk pemahasan matrik perspektif dan sifat-sifat garis dalam gambar
perspektif.
Bab ketiga yang merupakan inti dari penulisan ini berisi tentang
Koordinat titik perspektif, matrik translasi salib sumbu, matrik rotasi salib
sumbu, matrik perspektif, prinsip β prinsip dalam gambar perspektif, dan
koordinat titik lenyap dari kumpulan garis sejajar yang tidak sejajar dengan
bidang proyeksi. Pada bab tiga juga diberikan contoh-contoh yang terkait
dengan proyeksi perspektif dan sifat-sifat garis dalam gambar perspektif.
Bab keempat berisi tentang kesimpulan dari pembahasan pada bab
ketiga serta saran yang diberikan penulis kepada pembaca yang ingin
melanjutkan penelitian ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
BAB II
LANDASAN TEORI
Pada bab II, terlebih dahulu kita akan mempelajari titik, garis dan bidang
melalui teorema-teorema. Setelah itu, akan dibahas pula sistem koordinat kartesius
dan koordinat homogen. Kemudian setelah kita mempelajari garis dan bidang
melalui teorema-teorema, kita akan mempelajari pula garis dan bidang datar secara
analitik sehingga diperoleh persamaan garis dan persamaan bidang. Selanjutnya
akan dipelajari transformasi salib sumbu dalam β2 dan akan diperumum untuk β3.
Karena skripsi ini membahas proyeksi perspektif, maka di subbab selanjutnya akan
disajikan definisi umum tentang proyeksi dan macam-macam proyeksi yang salah
satunya adalah proyeksi perspektif. Kemudian di bagian akhir dari bab ini, akan
dibahas pula mengenai matrik.
Berikut ini adalah pembahasan titik, garis dan bidang dalam β3 melalui
teorema-teorema.
A. Titik, Garis dan Bidang dalam βπ
Pada ilmu ukur ruang, terdapat 3 unsur pangkal yaitu titik, garis, dan bidang
datar. Menurut postulat SMSG (School Mathematics Study Group) untuk geometri
Euclides titik, garis dan bidang tidak memiliki definisi karena ketiga unsur tersebut
merupakan unsur pangkal. Kemudian ketiga unsur tersebut membentuk suatu
konsep-konsep yang lain yaitu jarak antar dua titik, sudut antar dua garis, sudut
antar dua bidang, dan yang lainnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
Postulat 2.1 (Zakaria T., -:5):
Melalui sebuah garis, dapat dibuat tak hingga banyak bidang yang melalui garis
tersebut.
Diketahui bahwa π merupakan himpunan titik. Himpunan π memiliki anggota
lebih dari satu titik. Definisi 2.1 berikut ini menjelaskan bahwa jika π merupakan
himpunan titik-titik, maka π dikatakan kolinear jika semua titik pada himpunan π
terletak pada satu garis yang sama.
Definisi 2.1 (Millman & Parker, 1991:22):
Misalkan π adalah himpunan titik-titik dalam β3 dan memiliki lebih dari satu
anggota. Himpunan π dikatakan kolinear jika ada sebuah garis π sehingga π β π.
Dengan kata lain, jika untuk semua garis π β β3, π β π maka π dikatakan
tidak kolinear. Postulat 2.2 berikut menyatakan sebuah bidang memiliki paling
sedikit tiga titik yang tidak kolinear.
Postulat 2.2 (Owen & Felix, 2010:18)
Bidang memiliki sedikitnya tiga buah titik yang tidak kolinear.
Postulat 2.2 menjelaskan sebuah bidang memiliki sedikitnya tiga buah titik
yang tidak kolinear. Berdasarkan hal tersebut, teorema 2.1 berikut menyatakan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
bahwa tiga buah titik yang berbeda dan tidak kolinear terletak pada tepat satu
bidang datar.
Teorema 2.1 (Zakaria, -:5):
Melalui tiga buah titik yang tidak kolinear dapat dilukiskan tepat satu bidang datar.
Bukti: (lihat di buku Ilmu Ukur Ruang karangan
Zakaria T. halaman 5)
Gambar 2.1
Teorema 2.2 (Zakaria, -:5):
Melalui sebuah garis dan sebuah titik di luar garis tersebut dapat dilukis tepat satu
bidang datar.
Bukti:
Titik A terletak di luar garis l. Ambil dua buah titik
yang berbeda yang terletak pada garis l. Misalkan
titik P dan Q. Berdasarkan Postulat 2.3, maka titik A,
P, dan Q terletak pada tepat satu bidang datar. β Gambar 2.2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
Dalam β3 terdapat tiga jenis kedudukan antara dua buah garis yang berbeda
yaitu berpotongan, sejajar dan bersilangan. Definisi 2.2 berikut ini menjelaskan
kedudukan antara dua buah garis.
Definisi 2.2:
Diberikan garis l dan garis m dalam β3. Kedudukan garis l terhadap garis m
memenuhi salah satu kondisi berikut ini:
a. Berpotongan jika garis l memiliki satu titik persekutuan dengan garis m.
b. Sejajar jika garis l dan garis m terletak pada satu bidang dan garis-garis tersebut
tidak memiliki satu titik persekutuan.
c. Bersilangan jika garis l dan garis m tidak terletak pada satu bidang dan garis
tersebut tidak memiliki titik persekutuan.
Teorema 2.3 (Zakaria, -:5):
Melalui dua buah garis yang saling berpotongan dapat dilukiskan tepat satu bidang
datar.
Bukti:
Andaikan garis l dan garis g berpotongan di titik P.
Ambil sebarang titik yang terletak pada garis l dan
berbeda dengan titik P. Misalkan titik A. Jelas bahwa
titik A tidak dilalui oleh garis g. Berdasarkan Teorema
2.1, maka dapat dibentuk sebuah bidang datar. β
Gambar 2.3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
Teorema 2.4 (Zakaria, -:5):
Melalui dua buah garis yang sejajar hanya dapat dilukis sebuah bidang datar.
Gambar 2.4
Bukti:
Garis l dan garis g sejajar. Ambil sebarang titik yang
terletak pada garis l . Misalkan titik A. Jelas bahwa
titik A tidak dilalui oleh garis g. Hal ini dikarenakan
π β₯ π. Berdasarkan Teorema 2.1, maka dapat
dibentuk sebuah bidang datar. β
Teorema 2.5 (Zakaria, -:5)
Melalui dua buah garis yang tidak berpotongan maupun tidak sejajar maka kita
tidak dapat melukis sebuah bidang datar yang melalui garis-garis tersebut.
Bukti:
Andaikan dapat dilukiskan sebuah bidang melalui garis-garis tersebut. Berdasarkan
teorema-teorema sebelumnya, maka kedua garis tersebut memiliki dua
kemungkinan yaitu sejajar atau berpotongan. Kontradiksi dengan pernyataan kedua
garis tidak sejajar maupun tidak berpotongan. β
Secara tidak langsung, teorema 2.5 mengatakan bahwa suatu bidang tidak
dapat dibentuk dari dua buah garis yang bersilangan. Bidang hanya dapat dibentuk
dari dua buah garis yang berpotongan atau dua buah garis yang sejajar.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
Postulat 2.3 (Wallace and West, 1992:376):
Melalui satu titik di luar garis, hanya dapat dilukiskan sebuah garis yang sejajar
dengan garis tersebut.
Postulat 2.3, menjelaskan bahwa dari satu titik di luar suatu garis, dapat
dibentuk satu garis yang sejajar dengan garis pertama. Dengan kata lain jika satu
titik terletak pada satu garis, maka kita tidak dapat melukiskan garis yang sejajar
dengan garis pertama.
Definisi 2.3 (Prenowitz & Jordan, 1965:186)
Notasi untuk keantaraan adalah (π΄ β π΅ β πΆ) dan dibaca B di antara A dan C. Relasi
keantaraan memenuhi sistem postulat berikut:
A.1 Jika (π΄ β π΅ β πΆ) maka (πΆ β π΅ β π΄). (Sifat Simetri)
A.2 Jika (π΄ β π΅ β πΆ) maka bukan (π΅ β πΆ β π΄). (Sifat Antisiklik)
A.3 π΄, π΅, πΆ adalah titik-titik yang berbeda dan kolinear jika dan hanya jika
(π΄ β π΅ β πΆ) atau (π΅ β πΆ β π΄) atau (πΆ β π΅ β π΄). (Koherensi Linear)
A.4 Misalkan titik π kolinear dan berbeda dengan titik π΄, π΅, πΆ. Maka, (π΄ β π β π΅)
mengakibatkan (π΅ β π β πΆ) atau (π΄ β π β πΆ) tetapi tidak keduanya. (Sifat
Memisahkan)
A.5 Jika π΄ β π΅, maka ada π, π, π sedemikian sehingga (π β π΄ β π΅), (π΄ β π β π΅),
dan (π΄ β π΅ β π). (Sifat Eksistensi)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
Definisi 2.3 menjelaskan konsep keantaraan dari tiga buah titik. Postulat A.1
mengatakan jika titik B di antara titik A dan C, maka titik B juga diantara titik C dan
A. Postulat A.2 mengatakan bahwa jika titik B berada di antara titik A dan C tidak
sama dengan titik C di antara titik A dan B. Postulat A.3 merupakan biimplikasi
sehingga dapat diartikan menjadi dua implikasi yaitu:
A.3(a) Jika titik A, B, C adalah titik-titik yang berbeda dan kolinear, maka (A-B-C)
atau (B-C-A) atau (C-B-A).
A.3(b) Jika (A-B-C) atau (B-C-A) atau (C-B-A), maka titik A, B, C adalah titik-titik
yang berbeda dan kolinear.
Postulat A.4 mengatakan jika titik P memisahkan titik A dan titik B, maka titik P
juga memisahkan titik A atau B dari titik C tetapi tidak keduanya. Postulat A.5
mengatakan jika titik A tidak sama dengan titik B maka
A.5(a) ada sebuah titik yang dipisahkan oleh titik A dari titik B, dengan kata lain
titik A berada di antara titik B dan suatu titik.
A.5(b) ada sebuah titik yang memisahkan titik A dari titik B.
A.5(c) ada sebuah titik yang dipisahkan oleh titik B dari titik A, dengan kata lain
titik B berada di antara titik A dan suatu titik.
Setelah membahas konsep keantaraan, sekarang kita akan membahas konsep
segmen garis dan sinar garis. Definisi 2.3 berikut menjelaskan segmen garis.
Definisi 2.3 (Millman & Parker, 1991:52)
Jika π΄ dan π΅ adalah merupakan dua buah titik yang berbeda, maka segmen garis
dari A ke B didefinisikan sebagai
π΄π΅Μ Μ Μ Μ = {πΆ β β3|(π΄ β πΆ β π΅) atau π΄ = πΆ atau π΄ = π΅}.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
Definisi 2.3 merupakan definisi dari segmen garis. Definisi 2.3 mengatakan
bahwa segmen garis adalah himpunan titik-titik yang terletak di antara dua buah
titik tertentu dan kolinear dengan dua buah titik tersebut. Selanjutnya akan dibahas
mengenai jarak dua buah titik. Postulat berikut ini akan menjelaskan tentang jarak
antara dua buah titik yang berbeda.
Postulat 2.4 (Owen & Felix, 2010:18):
Titik-titik pada suatu garis berkorespondensi dengan bilangan real sedemikian
sehingga, 1) setiap titik yang ada pada garis berkorespondensi dengan tepat satu
bilangan real. 2) setiap bilangan real berkorespondensi dengan tepat satu titik yang
ada pada garis. 3) jarak antara dua buah titik merupakan nilai mutlak dari selisih
bilangan real yang berkorespondensi dengan titik tersebut.
Postulat 2.4 memberikan definisi mengenai jarak antara dua buah titik. dalam
postulat tersebut, jarak didefinisikan sebagai bilangan positif yang
berkorespondensi dengan sepasang titik yang berbeda. Jarak bisa disebut sebagai
panjang segmen garis. Setelah kita memahami konsep segmen garis, dan jarak
antara dua buah titik, selanjutnya kita akan mempelajari konsep sinar garis. Definisi
2.4 berbicara mengenai sinar garis.
Definisi 2.4 (Millman & Parker, 1991:54)
Jika A dan B adalah dua titik yang berbeda, maka sinar garis dari A melewati B
didefinisikan sebagai:
π΄π΅ββββ β = π΄π΅Μ Μ Μ Μ β {πΆ β β3|(π΄ β π΅ β πΆ)}
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
Sinar garis π΄π΅ββββ β merupakan himpunan bagian dari garis π΄π΅β‘βββ β. Sinar garis π΄π΅ββββ β
merupakan himpunan titik-titik yang kolinear sedemikian sehingga titik π΅ berada
di antara titik π΄ dan suatu titik. Titik π΄ dinamakan titik pangkal atau titik asal sinar
garis π΄π΅ββββ β. Berikutnya akan dikenalkan konsep sudut. Dua buah garis berbeda yang
berpotongan di satu titik membagi sebuah bidang datar menjadi beberapa daerah.
Daerah yang dibatasi sinar-sinar garis tersebut dinamakan sudut seperti dijelaskan
pada definisi 2.5 berikut ini.
Definisi 2.5:
Sudut adalah gabungan antara dua buah sinar garis berbeda yang memiliki satu titik
pangkal.
Postulat 2.5 (Wallace & West, 1996:377):
Setiap sudut berkorespondensi dengan sebuah bilangan real diantara 0 sampai 180.
Setelah memahami konsep sudut, selanjutnya akan dibahas mengenai
kedudukan garis dan bidang. Dalam β3 terdapat dua jenis kedudukan garis dan
bidang yaitu garis menembus bidang, garis terletak pada bidang dan garis sejajar
bidang. Definisi 2.6 berikut ini menjelaskan kedudukan antara garis dan bidang.
Definisi 2.6 (Zakaria, -:5):
Apabila sebuah garis dan sebuah bidang memiliki satu titik persekutuan, maka garis
itu menembus bidang. Dengan kata lain bidang tersebut memotong garis.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
Definisi 2.6 berbicara mengenai salah satu kedudukan garis dan bidang.
Dengan kata lain, jika sebuah garis dan sebuah bidang tidak memiliki satu titik
persekutuan, maka garis tersebut dikatakan sejajar dengan bidang. Setelah
membahas hubungan antara sebuah garis dan sebuah bidang, kita akan mempelajari
hubungan antara dua buah bidang. Secara umum tiga jenis kedudukan bidang yaitu
sejajar, berpotongan dan berimpit. Definisi 2.7 berikut ini menjelaskan kedudukan
antara dua buah bidang.
Definisi 2.7 (Zakaria, -:5):
Dua buah bidang dikatakan berpotongan jika dua buah bidang tersebut memiliki
garis persekutuan.
Teorema 2.6 (Zakaria, -:6):
Jika dua buah bidang datar mempunyai satu titik persekutuan, maka kedua bidang
tersebut juga mempunyai sebuah garis persekutuan yang melalui titik tersebut.
Gambar 2.5
Bukti: (lihat di buku Ilmu Ukur Ruang karangan Zakaria
T. halaman 6)
Definisi 2.8:
Misalkan π΄ β β3, dan π adalah sebarang garis di β3. Jarak antara titik π΄ dan π
adalah panjang ruas garis π΄π΄β²Μ Μ Μ Μ Μ dimana π΄β² = π β© πβ², πβ² β₯ π dan π΄ β πβ².
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
Setelah kita memahami tentang titik, garis dan bidang, kita akan mempelajari
sistem koordinat Cartesius dalam β3 dan koordinat homogen. Sistem koordinat
kartesius akan sangat berguna untuk menentukan letak atau posisi suatu titik dalam
β3 dan akan sangat berguna untuk pembahasan selanjutnya tentang persamaan
garis dan persamaan bidang. Sedangkan koordinat homogen akan sangat berguna
untuk pembentukan matrik perspektif yang akan dibahas di bab III. Berikut ini
pembahasan mengenai sistem koordinat.
B. Sistem Koordinat
Letak suatu titik yang terletak dalam β3 dapat ditentukan dengan bantuan
sistem koordinat ruang. Ada beberapa jenis sistem koordinat, tetapi dalam skripsi
ini akan dibahas sistem koordinat Cartesius saja.
Sistem koordinat Cartesius dalam β3 terdiri atas tiga garis yang saling
berpotongan tegak lurus di satu titik. Kemudian garis-garis tersebut dinamakan
sumbu X, sumbu Y dan sumbu Z (Sasho Kalajdzievski, 2008:184). Letak titik-titik
yang ada pada β3 ditentukan oleh tripel bilangan berurutan (π, π, π). Bilangan
pertama dan kedua pada tripel bilangan berurutan (π, π, π) merupakan koordinat
titik pada bidang xy. Bilangan ketiga merupakan jarak berarah dari titik terhadap
bidang-xy. Bilangan tersebut bernilai positif jika titik berada di bawah bidang-xy,
dan bernilai negatif jika titik berada di atas bidang-xy. Dalam skripsi ini digunakan
aturan tangan kanan untuk melukiskan salib-salib sumbu. Gambar 2.6 menunjukkan
titik π΄ pada β3.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
Gambar 2.6 Koordinat Cartesius
Dalam skripsi ini akan dikenalkan konsep baru yaitu koordinat homogen.
Koordinat homogen akan sangat berguna untuk membentuk matrik perspektif yang
merupakan topik dari skripsi ini. Berikut ini akan disajikan definisi dari koordinat
homogen.
Definisi 2.9:
Jika suatu titik dalam β3 memiliki koordinat (π₯, π¦, π§) maka dipilih π β β sehingga
koordinat homogen dari titik tersebut adalah (π’, π£, π€, π) dengan π₯ =π’
π, π¦ =
π£
π, π§ =
π€
π dan π β 0, serta π(π’, π£, π€, π) merepresentasikan titik yang sama yaitu (π₯. π¦. π§)
untuk π β β dan π β 0.
Jika kita memilih π = 1, maka π₯ = π’, π¦ = π£, π§ = π€ sehingga koordinat
homogen dari koordinat titik (π₯, π¦, π§) adalah (π₯, π¦, π§, 1) dan merupakan koordinat
homogen paling sederhana dari koordinat titik (π₯, π¦, π§). Untuk lebih memahami
hubungan antara koordinat kartesius dalam β3 dengan koordinat homogen, maka
perhatikanlah contoh berikut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
Contoh 2.1:
Jika diketahui titik π΄ dengan koordinat π΄(2,9, β1) maka koordinat homogen dari
titik π΄(2,9, β1) adalah π΄β1(2,9, β1,1) atau π΄β2 (1,9
2, β
1
2,1
2). Kedua koordinat Aβ1
dan Aβ2 merepresentasikan satu titik yang sama yaitu titik π΄(2,9, β1).
Setelah mempelajari garis dan bidang secara aksiomatik, maka pada subab ini
akan membahas garis dan bidang secara analitik sehingga menghasilkan persamaan
garis dan persamaan bidang. Berikut ini adalah pembahasan tentang persamaan
garis dan persamaan bidang datar dalam β3.
C. Persamaan Garis dan Bidang Datar Dalam βπ
Sebelum kita mempelajari persamaan garis dan persamaan bidang, kita akan
mempelajari terlebih dahulu sudut arah dan cosinus arah dari suatu garis dalam β3.
Definisi 2.10 (Charles & Irving, 1980:148):
Sudut Arah dari suatu sinar garis yang berpangkal di titik asal adalah sudut-sudut
πΌ, π½, dan πΎ yang dibentuk oleh sinar garis tersebut terhadap sumbu π₯ positif, sumbu
π¦ positif dan sumbu π§ positif, sedemikian sehingga 0Β° β€ πΌ β€ 180Β°,0Β° β€ π½ β€
180Β°, dan 0Β° β€ π½ β€ 180Β°.
Gambar 2.5 merupakan ilustrasi dari sudut-sudut arah suatu sinar garis yang
berpangkal di titik asal. Sudut-sudut πΌ, π½, dan πΎ merupakan sudut-sudut arah dari π.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
Gambar 2.7 Sudut Arah
Sudut arah dari sebarang garis di β3 adalah sudut arah dari sinar garis yang
berpangkal di titik asal dan sejajar dengan garis tersebut. Gambar 2.7 merupakan
ilustrasi dari sudut arah sebarang sinar garis yang pangkalnya tidak terletak di titik
asal. π merupakan sebarang sinar garis yang titik pangkalnya tidak terletak pada
titik asal, sedangkan π merupakan sinar garis yang sejajar dengan π. Sudut-sudut
πΌ, π½, dan πΎ merupakan sudut-sudut arah dari π yang juga merupakan sudut-sudut
arah dari sinar garis π.
Gambar 2.8 Sudut Arah Garis Sebarang
Definisi 2.11 (Charles & Irving, 1980:148):
Cosinus arah dari suatu garis adalah nilai cosinus dari masing-masing sudut
arahnya.
l
l
n
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
Setelah memahami sudut arah dan cosinus arah, selanjutnya akan dipelajari
teorema mengenai jarak antara dua buah titik dalam β3.
Teorema 2.7 (F. Riddle, 1996:318):
Jarak antara dua buah titik berbeda (π₯1, π¦1, π§1) dan (π₯2, π¦2, π§2) adalah
π = β(π₯2 β π₯1)2 + (π¦2 β π¦1)2 + (π§2 β π§1)2
(Bukti lihat di buku Analytic Geometry karangan Douglas F Riddle halaman 318)
Teorema 2.8 (Charles & Irving, 1980:149):
Jika d adalah jarak antara titik π΄1(π₯1, π¦1, π§1) dan π΄2(π₯2, π¦2, π§2), maka cosinus arah
dari garis yang melalui titik π΄1 dan π΄2 adalah
cosπΌ =π₯2βπ₯1
π, cosπ½ =
π¦2βπ¦1
π , cosπΎ =
π§2βπ§1
π
Teorema 2.8 merupakan teorema mengenai cosinus-cosinus arah dari suatu
garis yang melalui dua titik tertentu. Gambar 2.9 merupakan ilustrasi dari sudut-
sudut arah suatu garis yang melalui titik π΄1(π₯1, π¦1, π§1) dan titik π΄2(π₯2, π¦2, π§2).
Gambar 2.9 Cosinus Arah Suatu Garis yang melalui dua buah titik
2 2 2 2, ,A x y z
1 1 1 1, ,A x y z
d
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
Untuk membantu memahami sudut arah dan cosinus arah suatu garis, maka
perhatikan contoh berikut ini.
Contoh 2.2:
Jika suatu garis yang melalui titik π΄1(1,5,2) dan π΄1(2,4,1), maka cosinus-cosinus
arahnya adalah
π = β(π₯2 β π₯1)2 + (π¦2 β π¦1)2 + (π§2 β π§1)2
= β(2 β 1)2 + (4 β 5)2 + (1 β 2)2
= β1 + 1 + 1
= β3
cosπΌ =π₯2 β π₯1
π=
2 β 1
β3=
1
β3
cosπ½ =π¦2 β π¦1
π=
4 β 5
β3= β
1
β3
cosπΎ =π§2 β π§1
π=
1 β 2
β3= β
1
β3
Setelah pembahasan sudut arah dan cosinus arah dari suatu garis, sekarang
akan dibahas mengenai bilangan arah dari suatu garis serta hubungan antara cosinus
arah dan bilangan arah suatu garis.
Definisi 2.12 (Charles & Irving, 1980:150):
Bilangan arah [π, π, π] dari suatu garis adalah tiga bilangan berurutan dari hasil kali
antara cosinus arah garis tersebut dengan sebarang konstanta yang tidak sama
dengan nol.
Definisi 2.12 merupakan definisi dari bilangan-bilangan arah suatu garis, di
mana bilangan arah suatu garis merupakan hasil kali dari cosinus-cosinus arah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
dengan sebarang konstanta k di mana π β β dan π β 0. Untuk lebih memahami
bilangan-bilangan arah suatu garis jika cosinus-cosinus arahnya diketahui, maka
perhatikanlah contoh berikut ini.
Contoh 2.3:
Jika cosinus arah dari suatu garis adalah
cosπΌ =1
3, cosπ½ = β
2
3, cosπΎ =
2
3,
Di mana untuk sebarang 0k , maka
[1
3π,β
2
3π,
2
3π]
Juga merupakan bilangan arah garis tersebut. Untuk k = β2, bilangan arahnya
adalah [β2
3,4
3, β
4
3]; untuk π = β1, bilangan arahnya adalah [β
1
3,2
3, β
2
3].
Teorema 2.9 (Charles & Irving, 1980:151):
Jika suatu garis melalui titik π΄1(π₯1, π¦1, π§1) dan π΄2(π₯2, π¦2, π§2), maka untuk setiap
bilangan arah [π, π, π], ada sebarang bilangan real π β 0 sedemikian sehingga
π = π(π₯2 β π₯1), π = π(π¦2 β π¦1), π = π(π§2 β π§1)
Bukti:
Berdasarkan teorema 2.8 diperoleh:
cosπΌ =π₯2βπ₯1
π, cosπ½ =
π¦2βπ¦1
π , cosπΎ =
π§2βπ§1
π
Berdasarkan definisi 2.12, diperoleh:
π = π. cosπΌ, π = π. cosπ½, π = π. cosπΎ
Akibatnya:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
π = π.π₯2βπ₯1
π, π = π.
π¦2βπ¦1
π, π = π.
π§2βπ§1
π
atau
π =π
π(π₯2 β π₯1), π =
π
π(π¦2 β π¦1), π =
π
π(π§2 β π§1)
Dengan memisalkan π =π
π, maka diperoleh
π = π(π₯2 β π₯1), π = π(π¦2 β π¦1), π = π(π§2 β π§1) β
Teorema 2.9 menjelaskan bahwa bilangan arah dari suatu garis yang melalui
titik π΄1(π₯1, π¦1, π§1) dan π΄2(π₯2, π¦2, π§2) adalah [π(π₯2 β π₯1), π(π¦2 β π¦1), π(π§2 β π§1)].
Jika kita ambil nilai 1k , maka bilangan arah dari suatu garis yang melalui titik
π΄1(π₯1, π¦1, π§1) dan π΄2(π₯2, π¦2, π§2) adalah [π₯2 β π₯1, π¦2 β π¦1, π§2 β π§1]. Bilangan arah
[π₯2 β π₯1, π¦2 β π¦1, π§2 β π§1] merupakan bilangan arah paling sederhana dari suatu
garis yang melalui dua titik yang diketahui. Untuk lebih memahami bilangan-
bilangan arah dari suatu garis yang melalui dua buah titik yang diketahui, maka
perhatikanlah contoh berikut ini.
Contoh 2.4:
Jika suatu garis melalui titik π΄1(3,1,2) dan π΄2(β1,2,0), maka bilangan arah dari
suatu garis yang melalui titik π΄1 dan π΄2 adalah
[π(β1 β 3), π(2 β 1), π(0 β 2)]
atau bisa ditulis sebagai berikut
[β4π, π, β2π]
Untuk nilai π = β1 , maka bilangan arah A1A2β‘β ββ ββ ββ β adalah [4,1, β2].
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
Untuk nilai π = β3, maka bilangan arah A1A2β‘β ββ ββ ββ β adalah [12, β3,6].
Teorema 2.10 (Charles & Irving 1980:151):
Jika [π, π, π] adalah himpunan dari bilangan arah suatu garis, maka cosinus arahnya
adalah
cosπΌ =π
βπ2+π2+π2, cosπ½ =
π
βπ2+π2+π2,
cosπΎ =π
βπ2+π2+π2
Setelah dibahas sudut arah, cosinus arah dan bilangan arah dari suatu garis,
maka selanjutnya akan dibahas persamaan garis. Ada berbagai macam bentuk untuk
menyatakan persamaan garis dalam β3, tetapi dalam skripsi ini akan digunakan
persamaan parametrik dari suatu garis.
Teorema 2.11 (Charles & Irving, 1980:158):
Jika suatu garis melalui titik π΄1(π₯1, π¦1, π§1) dan
a) Jika bilangan arah garis tersebut [π, π, π] dan tidak ada bilangan arah yang nol,
maka persamaan garisnya adalah:
π₯βπ₯1
π=
π¦βπ¦1
π=
π§βπ§1
π
b) Jika bilangan arah garis tersebut [π, π, π] dan salah satu bilangan arahnya nol,
maka persamaan garisnya adalah
i. Jika π = 0, maka π₯ = π₯1 dan π¦βπ¦1
π=
π§βπ§1
π;
ii. Jika π = 0, maka π¦ = π¦1 dan π₯βπ₯1
π=
π§βπ§1
π;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
iii. Jika π = 0, maka π§ = π§1 dan π₯βπ₯1
π=
π¦βπ¦1
π
c) Jika bilangan arah garis tersebut [π, π, π] dan dua dari bilangan arahnya nol,
maka persamaan garisnya adalah
i. Jika π = π = 0, maka π¦ = π¦1 dan π§ = π§1
ii. Jika π = π = 0, maka π§ = π§1 dan π₯ = π₯1
iii. Jika π = π = 0, maka π¦ = π¦1 dan π₯ = π₯1
(Bukti: buku Analytic Geometry karangan Charles C. Carico dan Irving Drooyan
halaman158)
Teorema 2.10 a) merupakan persamaan kanonik atau persamaan umum dari
suatu garis dalam β3 di mana garis teresebut memiliki bilangan arah [π, π, π]. Selain
dalam bentuk persamaan kanonik, suatu garis juga dapat ditulis dalam bentuk
parameter:
π₯ β π₯1
π=
π¦ β π¦1
π=
π§ β π§1
π= π‘
Persamaan di atas dikenal dengan persamaan parameter garis lurus dengan π‘ β β.
Telah kita ketahui bahwa kedudukan dua garis dalam β3 adalah sejajar,
berpotongan dan bersilangan. Kedua garis yang sejajar, berpotongan dan
bersilangan memiliki sudut yang dibentuk oleh kedua garis tersebut.. Berikut ini
adalah pembahasan sudut antara dua garis pada β3.
Definisi 2.13 (Douglas F. Riddle, 1996:323):
Sudut antara dua garis dalam β3 didefinisikan sebagai sudut terkecil yang dibentuk
oleh dua sinar garis yang memiliki satu titik pangkal dan sejajar dengan dua garis
yang diberikan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
Definisi 2.13 menjelaskan bahwa walaupun kedua garis dalam β3 tidak
berpotongan maupun tidak sejajar, kedua garis tersebut tetap memiliki sudut antara
dua garis tersebut. Sudut antara dua garis tersebut merupakan sudut yang dibentuk
oleh dua buah sinar garis yang sejajar dengan garis-garis tersebut dan berpotongan
di satu titik
Teorema 2.12 (Charles & Irving, 1980:156):
Dua buah garis yang memiliki bilangan arah [π1, π1, π1] dan [π2, π2, π2] akan:
a) Sejajar jika dan hanya jika untuk sebarang π β β dan π β 0 berlaku
π2 = ππ1, π2 = ππ1, dan π2 = ππ1
b) Tegak lurus jika dan hanya jika
π1π2 + π1π2 + π1π2 = 0
Teorema 2.11 a) mengatakan bahwa dua buah garis yang memiliki bilangan
arah [π1, π1, π1] dan [π2, π2, π2] dikatakan sejajar jika dan hanya jika bilangan arah
dari salah satu garis merupakan perkalian bilangan arah garis yang lain dengan
suatu konstanta yang tidak sama dengan nol. Sedangkan Teorema 2.11 b)
mengatakan bahwa dua buah garis yang memiliki bilangan arah [π1, π1, π1] dan
[π2, π2, π2] dikatakan tegak lurus jika dan hanya jika jumlah dari perkalian
bilangan-bilangan arah yang seletak sama dengan nol.
Teorema 2.13 (F. Riddle, 1996:358):
Jarak antara titik (π₯1, π¦1, π§1) dengan bidang ππ + ππ¦ + ππ§ + π = 0 adalah
π =|ππ₯1+ππ¦1+ππ§1|
βπ2+π2+π2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
Setelah kita mempelajari sudut antara dua garis dalam β3, maka kita akan
mempelajari persamaan bidang datar dalam β3. Andaikan suatu garis yang melalui
titik asal memiliki bilangan arah [π, π, π]. Maka persamaan suatu bidang datar yang
melalui titik π΄(π₯0, π¦0, π§0) dan tegak lurus dengan garis tersebut adalah:
ππ₯ + ππ¦ + ππ§ = ππ₯0 + ππ¦0 + ππ§0
atau dapat dinyatakan juga dalam bentuk
ππ₯ + ππ¦ + ππ§ β ππ₯0 β ππ¦0 β ππ§0 = 0
atau
ππ₯ + ππ¦ + ππ§ + π = 0 di mana π = βππ₯0 β ππ¦0 β ππ§0
Persamaan ini disebut dengan persamaan umum bidang datar dengan bilangan arah
[π, π, π]dan melalui titik (π₯0, π¦0, π§0).
Selanjutnya akan dibahas sudut arah, cosinus arah dan bilangan arah dari
suatu bidang datar. Sebelum membahas ketiga hal tersebut, perhatikanlah definisi
berikut ini.
Definisi 2.14 (Charles & Irving, 1980):
Suatu garis yang tegak lurus dengan bidang datar disebut normal dari bidang datar
tersebut (garis normal bidang).
Berdasarkan definisi 2.14 maka sudut arah, cosinus arah, dan bilangan arah
dari suatu bidang datar adalah sudut arah, cosinus arah dan bilangan arah dari garis
normalnya. Jika suatu bidang datar memiliki persamaan:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
ππ₯ + ππ¦ + ππ§ + π = 0
Maka [π, π, π] adalah bilangan-bilangan arah dari garis normal bidang atau
bilangan-bilangan arah bidang tersebut dan
cos πΌ =π
βπ2+π2+π2
cos π½ =π
βπ2+π2+π2
cos πΎ =π
βπ2+π2+π2
adalah cosinus-cosinus arah bidang tersebut. Sedangkan πΌ, π½ dan πΎ adalah sudut-
sudut arah bidang tersebut.
Ada beberapa cara untuk menyatakan suatu persamaan bidang datar, salah
satunya dengan persamaan bidang datar bentuk normal dari Hesse. Persamaan dari
suatu bidang datar dapat dinyatakan dalam bentuk
π₯ cos πΌ + π¦ cos π½ + π§ cos πΎ + π = 0 dengan π =π
βπ2+π2+π2
Persamaan di atas dapat disebut dengan persamaan bidang datar bentuk
normal dari Hesse di mana πΌ, π½ dan πΎ adalah sudut-sudut arah dari bidang datar dan
n merupakan jarak bidang datar tersebut dari titik pangkal O. Untuk lebih
memahami persamaan bidang, maka perhatikan contoh berikut.
Contoh 2.6
Jika οΏ½β‘οΏ½ memiliki bilangan arah [2,1, β3]. Maka persamaan bidang datar yang tegak
lurus dengan garis οΏ½β‘οΏ½ dan melalui titik π΄(3,1,2) adalah
2π₯ + π¦ β 3π§ β 2.3 β 1.1 + 3.2 = 0
2π₯ + π¦ + 3π§ β 1 = 0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
Cosinus-cosinus arah bidang tersebut adalah
cos πΌ =2
β22+12+(β3)2=
2
β14=
1
7β14
cos π½ =1
β22+12+(β3)2=
1
β14=
1
14β14
cos πΎ =β3
β22+12+(β3)2= β
3
β14=
3
14β14
Persamaan normal Hesse bidang tersebut adalah
1
7β14π₯ +
1
14β14π¦ +
3
14β14π§ β
1
14β14 = 0
Setelah kita memahami persamaan garis dan persamaan bidang, maka
selanjutnya kita akan mempelajari transformasi sistem koordinat. Transformasi
sistem koordinat yang dibahas adalah transformasi di β2, namun selanjutnya
diperumum menjadi transformasi sistem koordinat dalam β3. Berikut adalah
pembahasan transformasi sistem koordinat.
D. Transformasi Sistem Koordinat
Menurut Fuller & Tarwater (1986:90) transformasi sistem koordinat adalah
proses perubahan sistem koordinat yang lama ke sistem koordinat yang baru. Dalam
skripsi ini akan dibahas transformasi sistem koordinat berupa translasi salib sumbu
dan rotasi salib sumbu.
1. Translasi (Pergeseran) Salib Sumbu
Menurut Charles & Irving (1980:75), translasi salib sumbu adalah
proses pergeseran titik asal O ke sebarang titik A dengan salib-salib sumbu
yang baru tetap sejajar dengan salib-salib sumbu awal. Berikut ini akan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
dibahas teorema yang berkaitan dengan translasi salib sumbu yang akan
digunakan untuk pembahasan dalam skripsi ini.
Teorema 2.14 (Charles & Irving, 1980:75)
Jika titik asal πβ² dari sumbu-sumbu πβ²πβ² memiliki koordinat π΄(π, π) pada
sumbu-sumbu ππ, maka relasi antara koordinat titik π(π₯, π¦) pada sumbu-
sumbu ππ dengan koordinat titik πβ²(π₯β², π¦β²) pada sumbu-sumbu πβ²πβ²
dinyatakan dalam persamaan
'.
'
x x aa
y y b
atau
'.
'
x x ab
y y b
Gambar 2.10 Translasi Salib Sumbu pada β2
Gambar 2.10 merupakan ilustrasi dari translasi salib sumbu pada β2.
Dari gambar tersebut, titik π(0,0) ditranslasikan ke sebuah titik yang
memiliki koordinat π΄(π, π) sehingga terbentuklah sumbu-sumbu baru yaitu
πβ² dan πβ² yang sejajar dengan sumbu π dan π .
Berdasarkan teorema 2.13 maka persamaan translasi salib sumbu akan
diperumum untuk sebarang titik di β3. Jika titik asal π(0,0,0) dari sumbu-
sumbu πβ²πβ²πβ² memiliki koordinat π΄(π, π, π) pada sumbu-sumbu πππ, maka
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
relasi antara koordinat titik π(π₯, π¦, π§) pada sumbu-sumbu πππ dengan
koordinat titik πβ²(π₯β², π¦β², π§β²) pada sumbu-sumbu πβ²πβ²πβ² dinyatakan dalam
persamaan
π₯ = π₯β² + π π₯β² = π₯ β π
π¦ = π¦β² + π atau π¦β² = π¦ β π
π§ = π§β² + π π§β² = π§ β π
Gambar 2.11 Translasi Salib Sumbu pada β3
Gambar 2.11 merupakan ilustrasi dari translasi salib sumbu pada β3.
Titik asal π(0,0,0) ditranslasikan ke titik π΄(π, π, π) sehingga terbentuklah
sistem koordinat baru yaitu πβ²Y'πβ² yang sumbu-sumbunya sejajar dengan
sumbu-sumbu pada sistem koordinat πππ.
2. Rotasi (Perputaran) Salib Sumbu
Menurut Fuller & Tarwater (1986:140) rotasi salib sumbu adalah proses
perputaran salib-salib sumbu-sumbu terhadap satu poros/pusat dengan sudut
rotasi tertentu. Berikut ini akan dibahas teorema yang berkaitan dengan rotasi
salib sumbu yang akan digunakan untuk pembahasan dalam skripsi ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
Teorema 2.15 (Charles & Irving, 1980:87)
Jika sumbu-sumbu π dan π dirotasikan terhadap titik asal π(0,0) dengan
sudut rotasi π terhadap sumbu π+ sehingga menghasilkan sumbu-sumbu baru
yaitu sumbu-sumbu β2, maka relasi antara koordinat titik π΄(π₯, π¦) pada
sumbu-sumbu ππ dengan koordinat titik π΄β²(π₯β², π¦β²) pada sumbu-sumbu β2
dinyatakan dalam persamaan
π₯ = π₯β²πππ π β π¦β²π πππ
π¦ = π₯β²π πππ + π¦β²πππ π
atau
π₯β² = π₯πππ π + π¦π πππ
π¦β² = βπ₯π πππ + π¦πππ π
Gambar 2.12 Rotasi β2
Berdasarkan teorema 2.15 maka persamaan rotasi salib sumbu akan
diperumum untuk β3, sehingga dalam β3 terdapat tiga macam rotasi salib
sumbu yaitu rotasi salib sumbu terhadap sumbu π, rotasi salib sumbu
terhadap sumbu π, dan rotasi salib sumbu terhadap sumbu π.
a. Rotasi Salib Sumbu Terhadap Sumbu π
Pada rotasi salib sumbu terhadap sumbu π, sumbu-sumbu ππ
dirotasikan dengan sudut rotasi π terhadap sumbu π+, maka komponen π₯
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
pada sebarang titik di β3 tetap sedangkan komponen π¦ dan komponen π§
nya berubah dan dapat dinyatakan dalam persamaan
π¦β² = π¦ cos π + π§ sin π
π§β² = βπ¦ sin π + π§ cos π
Gambar 2.13 Rotasi β3 terhadap sumbu X
Jika suatu titik memiliki koordinat π΄(π₯, π¦, π§) dan salib-salib
sumbunya dirotasikan terhadap sumbu π sejauh dengan sudut rotasi π
terhadap sumbu π, maka koordinat titik tersebut terhadap salib sumbu
yang baru dapat dicari dengan persamaan
π₯β² = π₯
π¦β² = π¦ cos π + π§ sin π
π§β² = βπ¦ sin π + π§ cos π
Jadi koordinat titik tersebut adalah (π₯, π¦ cos π + π§ sin π ,βπ¦ sin π +
π§ cos π) terhadap salib sumbu yang baru.
b. Rotasi Salib Sumbu Terhadap Sumbu π
Pada rotasi salib sumbu terhadap sumbu π, sumbu-sumbu ππ
dirotasikan dengan sudut rotasi π terhadap sumbu π+, maka komponen π¦
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
pada sebarang titik di β3 tetap sedangkan komponen π₯ dan komponen π§
nya berubah dan dapat dinyatakan dalam persamaan
π₯β² = βπ§π πππ + π₯πππ π
π§β² = π§πππ π + π₯π πππ
Gambar 2.14 Rotasi β3 terhadap sumbu π
Jika suatu titik memiliki koordinat π΄(π₯, π¦, π§) dan salib-salib
sumbunya dirotasikan terhadap sumbu π sejauh dengan sudut rotasi π
terhadap sumbu π, maka koordinat titik tersebut terhadap salib sumbu
yang baru dapat dicari dengan persamaan
π₯β² = π₯πππ π β π§π πππ
π¦β² = π¦
π§β² = π₯π πππ + π§πππ π
Jadi koordinat titik tersebut adalah (π₯πππ π β π§π πππ, π¦, π₯π πππ +
π§πππ π) terhadap salib sumbu yang baru.
c. Rotasi Salib Sumbu Terhadap Sumbu π
Pada rotasi salib sumbu terhadap sumbu π, sumbu-sumbu ππ
dirotasikan dengan sudut rotasi π terhadap sumbu π+, maka komponen π§
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
pada sebarang titik di β3 tetap sedangkan komponen π₯ dan komponen π¦
nya berubah dan dapat dinyatakan dalam persamaan
π₯β² = π₯πππ π + π¦π πππ
π¦β² = βπ₯π πππ + π¦πππ π
Gambar 2.15 Rotasi β3 terhadap sumbu π
Jika suatu titik memiliki koordinat ( , , )x y z dan salib-salib
sumbunya dirotasikan terhadap sumbu π sejauh dengan sudut rotasi π
terhadap sumbu π+, maka koordinat titik tersebut terhadap salib sumbu
yang baru dapat dicari dengan persamaan
π₯β² = π₯πππ π + π¦π πππ
π¦β² = βπ₯π πππ + π¦πππ π
π§β² = π§
Jadi koordinat titik tersebut adalah (π₯πππ π + π¦π πππ,βπ₯π πππ +
π¦πππ π, π§) terhadap salib sumbu yang baru.
Setelah kita memahami transformasi sistem koordinat yang berupa translasi
salib sumbu dan rotasi salib sumbu, maka selanjutnya kita akan mempelajari
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
mengenai proyeksi. Pada bagian awal akan disajikan definisi umum dari proyeksi,
namun selanjutnya akan dibahas proyeksi perspektif yang merupakan topik utama
dari skripsi ini.
E. Proyeksi
Ada berbagai macam jenis proyeksi. Namun terlebih dahulu kita akan
melihat definisi proyeksi secara umum.
Definisi 2.15 (Foley & Dam, 1983):
Proyeksi merupakan transformasi dari suatu titik dalam sistem koordinat βπ
menjadi titik dalam sistem koordinat yang lebih kecil dari dimensi asalnya.
Dalam pembahasan kali ini proyeksi yang digunakan adalah proyeksi dari
β3 ke β2. Proyeksi dari suatu benda yang ada di β3 dapat dihasilkan dari sinar-
sinar garis yang berasal dari suatu titik tertentu dan melalui setiap titik pada benda
tersebut serta memotong suatu bidang datar. Sinar-sinar garis disebut proyektor,
titik tertentu disebut titik proyeksi, dan bidang datar disebut bidang proyeksi.
Berdasarkan letak titik proyeksi terhadap bidang proyeksi, proyeksi dibagi menjadi
dua yaitu proyeksi paralel dan proyeksi perspektif.
1. Proyeksi Paralel
Proyeksi paralel adalah proyeksi di mana titik proyeksinya terletak di jauh
tak hingga. Proyeksi paralel di mana proyektornya tegak lurus dengan bidang
proyeksi disebut proyeksi orthogonal. Gambar 2.16 a mengilustrasikan proyeksi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
paralel secara umum, sedangkan Gambar 2.16 b mengilustrasikan proyeksi
orthogonal.
a b
Gambar 2.16 Proyeksi Paralel
2. Proyeksi Perspektif
Proyeksi Perspektif adalah proyeksi di mana titik proyeksinya terletak di
suatu tempat yang berhingga. Gambar 2.15 mengilustrasikan proyeksi
perspektif.
A
b
c
Gambar 2.17 Proyeksi Perspektif
Gambar 2.17 a merupakan proyeksi perspektif di mana objek dan titik
proyeksi dipisahkan oleh bidang proyeksi. Gambar 2.17 b merupakan proyeksi
perspektif di mana titik perspektif berada di antara objek dan bidang proyeksi.
Sedangkan Gambar 2.17 c merupakan proyeksi perspektif di mana titik objek
berada di antara titik proyeksi dan bidang proyeksi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
Teknik menggambar perspektif merupakan suatu teknik menggambar
yang bertujuan untuk menghasilkan gambar dari beberapa objek dalam β3
sesuai dengan apa yang terlihat ke β2 dalam bidang gambar sehingga ketika kita
melihat gambar tersebut, kita dapat membayangkan objek-objek tersebut secara
nyata (Sasho Kalajdzievski, 2008:169). Pada teknik menggambar perspektif ini,
titik proyeksi dengan benda dipisahkan oleh bidang proyeksi.
Gambar 2.16
Gambar 2.17
Gambar 2.16 merupakan suatu lukisan yang dihasilkan tanpa
menggunakan teknik menggamar perspektif sedangkan gambar 2.17 merupakan
suatu gambar yang dihasilkan dengan menggunakan teknik menggambar
perspektif.
F. Matrik
Setelah kita membahas titik, garis, bidang, sistem koordinat, persamaan
garis, persamaan bidang, dan proyeksi, maka selanjutnya kita akan membahas
mengenai matrik. Matrik merupakan susunan dari bilangan-bilangan yang teratur
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
sehingga susunan bilangan-bilangan tersebut membentuk suatu segi empat
beraturan. Definisi 2.16 di bawah ini menjelaskan pengertian matrik.
Definisi 2.16 (Howard Anton, 2010:26):
Matrik adalah susunan bilangan-bilangan yang teratur sedemikian sehingga
membentuk segi empat beraturan. Bilangan-bilangan yang terdapat di dalam
susunan tersebut dinamakan elemen dari matrik
Contoh 2.7:
[1 3 78 1 39 2 4
], [142], [3 2], [1]
Di dalam matrik, susunan bilangan-bilangan tersebut ditentukan oleh baris
dan kolom. Baris merupakan susunan yang horisontal, sedangkan kolom
merupakan susunan yang vertikal. Ukuran dari suatu matrik ditentukan oleh
banyaknya baris dan kolom dari matrik tersebut dan dituangkan ke dalam definisi
2.17 berikut ini.
Definisi 2.17 (Howard Anton, 2010:26):
Ukuran dari suatu matrik ditentukan oleh banyaknya baris dan banyaknya kolom
dari matrik tersebut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
Contoh 2.8:
Matrik pertama pada contoh 2.7 memiliki 4 baris dan 3 kolom, maka ukuran matrik
tersebut dapat ditulis 4 Γ 3.
Dalam menuliskan nama matrik akan digunakan huruf kapital, sedangkan
untuk menuliskan elemen matrik akan digunakan huruf kecil. Matrik A yang
berukuran π Γ π dapat dituliskan dengan AπΓπ
Contoh 2.9:
2 1 4
0 3 2
5 0 2
1 3 1
A
, a b
Bc d
Suatu matrik A dengan π baris dan π kolom disebut matrik persegi
berukuran π Γ π, dan elemen π11, π22, β¦ , πππ pada matrik A di bawah ini disebut
diagonal utama dari A.
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
a a a
a a aA
a a a
Definisi 2.18 (Howard Anton, 2010:27)
Dua matrik dikatakan sama jika matrik-matrik tersebut memiliki ukuran yang sama
dan elemen-elemen yang bersesuaian sama.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
Definisi 2.19 (Howard Anton, 2010:27)
Jika A dan B adalah dua buah matrik yang memiliki ukuran yang sama, maka
jumlah dari matrik A dan B (A+B) adalah suatu matrik yang elemen-elemennya
merupakan jumlahan dari elemen matrik A yang berkorespondensi dengan elemen
matrik B. Selisih dari matrik A dan B (A-B) adalah suatu matrik yang elemen-
elemennya merupakan selisih dari elemen-elemen dari matrik A yang
berkorespondensi dengan elemen matrik B.
Definisi 2.19 menjelaskan operasi penjumlahan dan operasi pengurangan
antara dua buah matrik A dan matrik B. Selain operasi penjumlahan dan operasi
pengurangan, operasi perkalian juga berlaku dalam matrik. Operasi perkalian dalam
matrik terbagi menjadi dua yaitu perkalian matrik dengan skalar dan perkalian
matrik dengan matrik. Definisi 2.20 dan definisi 2.21 berikut ini menjelaskan
operasi perkalian di dalam matrik.
Definisi 2.20 (Howard Anton, 2010:28):
Jika A adalah suatu matrik dan π β β, maka hasil dari πA adalah suatu matrik yang
diperoleh dengan cara mengalikan setiap elemen pada matrik A dengan π. Matrik
πA disebut hasil kali skalar dari matrik A.
Untuk lebih memahami perkalian skalar dengan matrik, mari perhatikan
contoh 2.10 berikut ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
Contoh 2.10:
Jika matrik 2 1
0 2A
, maka 6 3
30 6
A
Definisi 2.21 (Howard Anton, 2010:28):
Jika AπΓπ dan BπΓπ , maka hasil perkalian matrik A dengan matrik B adalah suatu
matrik yang berukuran π Γ π yang elemen-elemennya didefinisikan sebagai
berikut:
πππ = β πππ. πππ
π
π=1
di mana 1 β€ π β€ π dan 1 β€ π β€ π.
Untuk lebih memahami perkalian antara matrik dengan matrik, maka
perhatikan contoh 2.11 berikut ini.
Contoh 2.11:
Jika matrik A = [2 01 1
] dan B = [1 0 23 1 1
], maka matrik A.B berukuran 2 Γ 3.
Untuk menentukan elemen-elemennya, sebagai contoh kita akan menentukan
elemen dari baris ke-2 kolom ke-3, perhatikan elemen dari baris ke-2 pada matrik
A dan elemen dari kolom ke-3 matrik B. Mengalikan elemen yang
berkorespondensi dari baris dan kolom bersama-sama, lalu jumlahkan hasil kalinya
akan diilustrasikan sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
[2 01 1
] . [1 0 23 1 1
] = [3
]
1.2 1.1 3
Perhitungan untuk elemen yang tersisa sebagai berikut:
(2.1) + (0.3) = 2
(2.0) + (0.1) = 0
(2.2) + (0.1) = 4 A. B = [2 0 44 1 3
]
(1.1) + (1.3) = 4
(1.0) + (1.1) = 1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
BAB III
MATRIK PERSPEKTIF DAN SIFAT GARIS DALAM GAMBAR
PERSPEKTIF
Setelah mempelajari teori-teori pada bab II, maka pada bab III kita akan
mempelajari matrik perspektif dan sifat garis dalam gambar perspektif. Perspektif
merupakan suatu konsep yang setiap hari kita alami, contohnya adalah ketika kita
melihat, pembentukan bayangan ketika proses pengelihatan kita menggunakan
konsep perspektif. Hal yang sama terjadi ketika kita menggambil gambar dari
kamera. Teknik menggambar construzione legittima juga menggunakan konsep
perspektif.
A. Koordinat Gambar Perspektif
Sebelum kita mencari matrik perspektif dari suatu titik, mari kita terlebih
dahulu mencari koordinat hasil proyeksi perspektif dari suatu titik. Koordinat hasil
proyeksi perspektif merupakan koordinat titik tembus dari garis yang
menghubungkan titik proyeksi dengan objek.
1. Koordinat titik proyeksi P(π₯π, 0,0) dan bidang proyeksi π₯ = π
Gambar 3.1 yang merupakan ilustrasi untuk mencari koordinat hasil
proyeksi perspektif titik A(π₯, π¦, π§) dengan titik proyeksi P(π₯π, 0,0) dan
persamaan bidang proyeksinya π₯ = π. Pada gambar 3.1, A(π₯, π¦, π§) merupakan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
titik yang terletak pada objek yang akan digambar sedangkan Aβ²(π₯β², π¦β², π§β²)
merupakan koordinat hasil proyeksi perspektif titik A(π₯, π¦, π§). Pada gambar 3.1
terlihat bahwa Aβ² terletak pada bidang proyeksi yang memiliki persamaan π₯ =
π, sehingga komponen pertama dari koordinat titik Aβ² sama dengan π. Dengan
kata lain koordinat dari titik Aβ² berbentuk Aβ²(π, π¦β², π§β²) .
Gambar 3.1 Bidang proyeksi π₯ = π dan titik proyeksi π(π₯π, 0,0)
Perhatikan segmen garis yang melalui titik P dan A (PAΜ Μ Μ Μ ). Persamaan garis
yang melalui titik P(π₯π, 0,0) dan titik A(π₯π, π¦π, π§π) adalah:
π₯βπ
π₯π=
π¦β0
π¦πβ0=
π§β0
π§πβ0= π‘
βΉπ₯βπ₯π
π₯π=
π¦
π¦π=
π§
π§π= π‘
atau dapat ditulis menjadi persamaan parametrik yaitu:
{π₯ = π‘. (π₯π β π₯π) + π₯π
π¦ = π‘. π¦π
π§ = π‘. π§π
titik tembus PAβ‘β ββ dengan bidang x = k adalah:
π‘(π₯π β π₯π) + π₯π = π
π‘(π₯π β π₯π) = π β π₯π
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
π‘ =πβπ₯π
π₯πβπ₯π
π‘ =π₯πβπ
π₯πβπ₯π
Subtitusi π‘ =π₯πβπ
π₯πβπ₯π ke persamaan garis, maka diperoleh:
π₯ = π
π¦ = π‘. π¦π
=π₯πβπ
π₯πβπ₯π. π¦π
=π¦π(π₯πβπ)
π₯πβπ₯π
π§ = π‘. π§π
=π₯πβπ
π₯πβπ₯π. π§π
=π§π(π₯πβπ)
π₯πβπ₯π
Jadi jika bidang proyeksinya berjarak π satuan dari bidang YOZ dan
koordinat titik proyeksi adalah P(π₯π, 0,0), maka hasil proyeksi perspektif titik
A(π₯, π¦, π§) adalah titik Aβ² dengan koordinat (π,π¦(π₯πβπ)
π₯πβπ₯,π§(π₯πβπ)
π₯πβπ₯).
Untuk lebih memahami koordinat hasil proyeksi perspektif jika koordinat
titik proyeksi adalah P(π₯π, 0,0) dan bidang proyeksi memiliki persamaan π₯ =
π, maka perhatikanlah contoh berikut ini.
Contoh 3.1 :
Akan ditentukan koordinat hasil proyeksi perspektif titik A(β5,2, β1) jika
koordinat titik proyeksi adalah P(3,0,0) dan bidang proyeksinya adalah π₯ = 1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
Dari rumus yang telah diperoleh, maka koordinat hasil proyeksi perspektif titik
A(β5,2,β1) adalah:
(1,2(3β1)
3β(β5),β1(3β1)
3β(β5))
= (1,2.2
8,β1.2
8)
= (1,1
2, β
1
4)
Pada contoh 3.2 berikut ini kita akan mencari hasil proyeksi perspektif
sumbu Y. Hasil yang diperoleh pada contoh 3.2 akan digunakan untuk
mengambil kesimpulan hasil proyeksi perspektif sumbu Z.
Contoh 3.2:
Akan ditentukan hasil proyeksi perspektif sumbu Y jika koordinat titik
proyeksi berada di P(π₯π, 0,0), serta bidang proyeksi adalah bidang π₯ = π dan
xp β k. Titik yang melalui sumbu Y memiliki koordinat (0, π¦, 0), akibatnya
berdasarkan rumus yang telah diperoleh, hasil proyeksi perspektif untuk titik
tersebut adalah (π,π¦(π₯πβπ)
π₯πβ0,0(π₯πβπ)
π₯πβ0) = (π, π¦ (1 β
π
π₯π) , 0). Karena π¦ β β, π₯π β
β dan π β β, maka π¦ (1 βπ
π₯π) β β . Akibatnya himpunan titik (π, π¦ (1 β
π
π₯π) , 0) juga merupakan sumbu Y pada bidang proyeksi yang sejajar dengan
sumbu Y dalam ruang dan berjarak k satuan dari sumbu Y di ruang.
Begitu pula dengan sumbu z pada bidang proyeksi akan berjarak π satuan
dengan sumbu Z pada ruang. Akibatnya pada bidang proyeksi akan digunakan
koordinat kartesius dengan sumbu Zβ² sejajar dengan sumbu Z dalam β3 dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
sumbu Yβ² yang merupakan hasil proyeksi perspektif sumbu Y dalam β3. Gambar
3.2 mengilustrasikan gambar proyeksi dari salib sumbu Y dan Z.
Gambar 3.2 Hasil Proyeksi Perspektif salib-salib sumbu di bidang proyeksi x=k
2. Koordinat titik proyeksi P(0, π¦π, 0) dan bidang proyeksi π¦ = π.
Gambar 3.3 yang merupakan ilustrasi untuk mencari koordinat hasil
proyeksi perspektif dari titik A(π₯, π¦, π§) dengan titik proyeksi P(0, π¦π, 0) dan
persamaan bidang proyeksinya π¦ = π. Pada gambar 3.4, A(π₯, π¦, π§) merupakan
titik yang terletak pada objek yang akan digambar sedangkan Aβ²(π₯β², π¦β², π§β²)
merupakan koordinat hasil proyeksi dari titik π΄(π₯, π¦, π§). Pada gambar terlihat
bahwa Aβ² terletak pada bidang proyeksi yang memiliki persamaan π¦ = π,
sehingga komponen kedua dari koordinat titik Aβ² sama dengan π. Dengan kata
lain koordinat dari titik Aβ² berbentuk Aβ²(π₯β², π, π§β²) .
Gambar 3.3 Bidang proyeksi π¦ = π dan titik proyeksi P(0, π¦π, 0)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
Perhatikan segmen garis yang melalui titik P dan A
(PAββββ β). Persamaan garis yang melalui titik P(0, π¦π, 0) dan titik A(π₯π, π¦π, π§π)
adalah:
π₯β0
π₯πβ0=
π¦βπ¦π
π¦πβπ¦π=
π§β0
π§πβ0= π‘
βπ₯
π₯π=
π¦βπ¦π
π¦πβπ¦π=
π§
π§π= π‘
atau dapat ditulis menjadi persamaan parametrik yaitu:
{
π₯ = π‘. π₯π
π¦ = π‘. (π¦π β π¦π) + π¦π
π§ = π‘. π§π
Titik tembus PAβ‘β ββ dengan bidang π¦ = π adalah:
π‘. (π¦π β π¦π) + π¦π = π
π‘. (π¦π β π¦π) = π β π¦π
π‘ =πβπ¦π
π¦πβπ¦π
π‘ =π¦πβπ
π¦πβπ¦π
Subtitusi π‘ =π¦πβπ
π¦πβπ¦π ke persamaan garis, maka diperoleh:
π₯ = π‘. π₯π
=π¦πβπ
π¦πβπ¦π. π₯π
=π₯π(π¦πβπ)
π¦πβπ¦π
π¦ = π
π§ = π‘. π§π
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
=π¦πβπ
π¦πβπ¦π. π§π
=π§π(π¦πβπ)
π¦πβπ¦π
Jadi jika bidang proyeksinya berjarak k satuan dari bidang XOZ dan
koordinat titik proyeksi adalah P(0, π¦π, 0), maka hasil proyeksi perspektif titik
A(π₯, π¦, π§) adalah titik Aβ² dengan koordinat (π₯(π¦πβπ)
π¦πβπ¦, π,
π§(π¦πβπ)
π¦πβπ¦).
Untuk lebih memahami koordinat hasil proyeksi perspektif jika koordinat
titik proyeksi adalah P(0, yπ, 0) dan bidang proyeksi memiliki persamaan π¦ = π
maka perhatikanlah contoh berikut ini.
Contoh 3.3 :
Akan dicari koordinat hasil proyeksi perspektif titik A(3,β3,1) jika
koordinat titik proyeksi adalah π(0,3,0) dan bidang proyeksinya adalah π¦ = 0.
Dari rumus yang telah diperoleh, maka koordinat hasil proyeksi perspektif titik
A(3,β3,1) adalah:
(3(3β0)
3β(β3), 0,
β1(3β0)
3β(β3))
= (3.3
6, 0,
β1.3
6)
= (3
2, 0,
β1
2)
Pada contoh 3.4 berikut ini kita akan mencari hasil proyeksi perspektif
sumbu X. Hasil yang diperoleh pada contoh 3.4 akan digunakan untuk
mengambil kesimpulan hasil proyeksi perspektif sumbu Z.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
Contoh 3.4:
Akan ditentukan hasil proyeksi perspektif sumbu X jika koordinat titik
proyeksi berada di P(0, π¦π, 0) serta bidang proyeksi adalah bidang π¦ = π. Ingat
bahwa sumbu X berada di sisi lain dari bidang proyeksi yang tidak memuat
koordinat titik proyeksi. Titik yang melalui sumbu X memiliki koordinat
(π₯, 0,0), akibatnya berdasarkan rumus yang telah diperoleh, hasil proyeksi
perspektif untuk titik tersebut adalah (π₯(π¦πβπ)
π¦πβ0, π,
0(π¦πβπ)
π¦πβ0) = (π₯ (1 β
π
π¦π) , π, 0).
Karena π₯ β β, π¦π β β dan π β β, maka π₯ (1 βπ
π¦π) β β Akibatnya himpunan
titik (π₯ (1 βπ
π¦π) , π, 0) juga merupakan sumbu x pada bidang proyeksi yang
sejajar dengan sumbu X dalam ruang dan berjarak π satuan dari sumbu X di
ruang.
Begitu pula dengan sumbu Z pada bidang proyeksi akan berjarak π satuan
dengan sumbu Z pada ruang. Akibatnya pada bidang proyeksi akan digunakan
koordinat kartesius dengan sumbu Zβ² sejajar dengan sumbu Z dalam β3 dan
sumbu Xβ² yang merupakan hasil proyeksi perspektif sumbu X dalam β3. Dalam
kasus seperti ini, Zβ² akan menjadi sumbu X di bidang gambar. Sedangkan Xβ² akan
menjadi sumbu Y pada bidang gambar. Gambar 3.4 mengilustrasikan gambar
proyeksi dari salib sumbu Y dan Z.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
Gambar 3.4 Hasil Proyeksi Perspektif Salib-Salib Sumbu di Bidang Proyeksi y=k
3. Koordinat titik proyeksi P(0,0, π§π) dan bidang proyeksi π§ = π.
Gambar 3.6 yang merupakan ilustrasi untuk mencari koordinat hasil
proyeksi perspektif titik A(π₯, π¦, π§) dengan persamaan bidang proyeksinya π§ =
π. Pada gambar 3.5, A(π₯, π¦, π§) merupakan titik yang terletak pada objek yang
akan digambar sedangkan Aβ²(π₯β², π¦β², π§β²) merupakan koordinat hasil proyeksi
perspektif dari titik A(π₯, π¦, π§). Pada gambar terlihat bahwa Aβ² terletak pada
bidang proyeksi yang memiliki persamaan π§ = π, sehingga komponen kedua
dari koordinat titik Aβ² sama dengan k. Dengan kata lain π§β² = π Akibatnya
koordinat dari titik Aβ² berbentuk Aβ²(π₯β², π¦β², π§β²) .
Gambar 3.5 Bidang Proyeksi π§ = π dan Titik Proyeksi P(0,0, π§π)
Perhatikan segmen garis yang melalui titik P dan A (PAββββ β). Persamaan garis
yang melalui titik P(0,0, π§π) dan titik A(π₯π, π¦π, π§π) adalah:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
π₯β0
π₯πβ0=
π¦β0
π¦πβ0=
π§βπ§π
π§πβπ§π= π‘
βΉπ₯
π₯π=
π¦
π¦π=
π§βπ§π
π§πβπ§π= π‘
atau dapat ditulis menjadi persamaan parametrik yaitu:
{
π₯ = π‘. π₯π
π¦ = π‘. π¦π
π§ = π‘. (π§π β π§π) + π§π
Titik tembus garis ππ΄β‘βββ β dengan bidang π§ = π adalah:
π‘. (π§π β π§π) + π§π = π
π‘. (π§π β π§π) = π β π§π
π‘ =πβπ§π
π§πβπ§π
π‘ =π§πβπ
π§πβπ§π
Subtitusi π‘ =π§πβπ
π§πβπ§π ke persamaan garis, maka diperoleh:
π₯ = π‘. π₯π
= (π§π β π
π§π β π§π) . π₯π
=π₯π. (π§π β π)
(π§π β π§π)
π¦ = π‘. π¦π
= (π§π β π
π§π β π§π) . π¦π
=π¦π. (π§π β π)
(π§π β π§π)
π§ = π
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
Jadi jika bidang proyeksinya berjarak π satuan dari bidang XOY dan
koordinat titik proyeksi adalah P(0,0, π§π), maka hasil proyeksi perspektif titik
A(x, y, z) adalah titik Aβ² dengan koordinat (π₯(π§πβπ)
π§πβπ§,π¦(π§πβπ)
π§πβπ§, π).
Untuk lebih memahami mengenai koordinat gambar perspektif jika
koordinat titik proyeksi adalah P(0,0, zp) dan bidang proyeksi memiliki
persamaan π§ = π, maka perhatikanlah contoh berikut ini.
Contoh 3.5 :
Akan dicari koordinat hasil proyeksi perspektif titik A(3,2, β1) jika
koordinat titik proyeksi adalah P(0,0,6) dan bidang proyeksinya adalah π§ = 2.
Dari rumus yang telah diperoleh, maka koordinat hasil proyeksi perspektif titik
A(3,2, β1) adalah:
(3(6 β 2)
6 β (β1),2(6 β 2)
6 β (β1), 2)
= (3.4
7,2.4
7, 2)
= (12
7,8
7, 2)
Pada contoh 3.6 berikut ini kita akan mencari hasil proyeksi perspektif
sumbu X. Hasil yang diperoleh pada contoh 3.6 akan digunakan untuk
mengambil kesimpulan hasil proyeksi perspektif sumbu Y.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
Contoh 3.6:
Akan ditentukan hasil proyeksi perspektif sumbu X jika koordinat titik
proyeksi berada di P(0,0, π§π), serta bidang proyeksi adalah bidang π§ = π. Titik
yang melalui sumbu X memiliki koordinat (π₯, 0,0), akibatnya berdasarkan rumus
yang telah diperoleh, hasil proyeksi perspektif untuk titik tersebut adalah
(π₯(π§πβπ)
π§πβ0,0(π§πβπ)
π§πβ0, π) = (π₯ (1 β
π
π§π) , 0, π).Karena π₯ β β, π§π β β, dan π β β ,
maka π₯ (1 βπ
π§π) β β. Akibatnya himpunan titik (π₯ (1 β
π
zπ)0, π) juga
merupakan sumbu π₯ pada bidang proyeksi yang sejajar dengan sumbu X dalam
ruang dan berjarak π satuan dari sumbu X di ruang.
Begitu pula dengan sumbu π¦ pada bidang proyeksi akan berjarak π satuan
dengan sumbu Y pada ruang. Akibatnya pada bidang proyeksi akan digunakan
koordinat kartesius dengan sumbu Yβ² yang merupakan hasil proyeksi perspektif
sumbu Y dalam β3 dan sumbu Xβ² yang merupakan hasil proyeksi perspektif
sumbu Y dalam β3. Dalam kasus seperti ini, Xβ² akan menjadi sumbu X di bidang
gambar. Sedangkan Yβ² akan menjadi sumbu Y pada bidang gambar. Gambar 3.6
mengilustrasikan gambar proyeksi dari salib sumbu X dan Y.
Gambar 3.6 Gambar Perspektif salib-salib sumbu di bidang proyeksi π§ = π
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
Setelah kita memperoleh koordinat-koordinat titik proyeksi, maka
selanjutnya kita akan mencari matrik translasi salib-salib sumbu dan matrik rotasi
salib-salib sumbu dalam β3. Pertama-tama akan kita pelajari terlebih dahulu matrik
translasi salib sumbu.
B. Matrik Translasi Salib Sumbu
Matrik translasi salib sumbu adalah suatu matrik yang berguna untuk
mendapatkan hasil translasi salib sumbu jika salib sumbu digeser ke titik (π, π, π).
Hasil translasi salib sumbu diperoleh dengan cara mengalikan matrik translasi
dengan titik A(π₯, π¦, π§). Pada bab II subbab D telah dibahas mengenai translasi salib
sumbu serta diperoleh rumus translasi sebagai berikut:
(π₯β², π¦β², π§β²) = (π₯ β π, π¦ β π, π§ β π)
dapat ditulis dalam bentuk:
π₯β² = π₯ β π
π¦β² = π¦ β π
π§β² = π§ β π
Jika ditulis dalam bentuk persamaan matrik menjadi:
[π₯β²π¦β²
π§β²
] = [1 0 00 1 00 0 1
] . [π₯π¦π§].................................(1)
Pada persamaan (1), untuk memperoleh hasil translasi salib sumbu
memerlukan operasi perkalian dan pengurangan matrik sedangkan matrik translasi
salib sumbu hanya digunakan operasi perkalian. Berdasarkan hal tersebut maka
digunakanlah koordinat homogen yang telah dijelaskan pada bab II subbab B,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
sehingga koordinat homogen dari titik A(π₯, π¦, π§) adalah Ah(π₯, π¦, π§, 1) dan koordinat
homogen dari titik hasil proyeksi prspekifnya adalah Ahβ² (π₯ β π, π¦ β π, π§ β π, 1).
Kita pilih matrik translasi salib sumbu berupa suatu matrik yang berukuran 4 Γ 4.
Misalkan matrik perspektifnya adalah ππ‘ππππ = [
π1 π2 π3 π4
π1 π2 π3 π4
π1 π2 π3 π4
π1 π2 π3 π4
], maka
[
π₯ β ππ¦ β ππ§ β π
1
] = [
π1 π2 π3 π4
π1 π2 π3 π4
π1 π2 π3 π4
π1 π2 π3 π4
] . [
π₯π¦π§1
]
[
π₯ β ππ¦ β ππ§ β π
1
] = [
π₯. π1 + π¦. π2 + π§. π3 + π4
π₯. π1 + π¦. π2 + π§. π3 + π4
π₯. π1 + π¦. π2 + π§. π3 + π4
π₯. π1 + π¦. π2 + π§. π3 + π4
]
Kemudian diperoleh:
π1 = 1; π2 = 0; π3 = 0; π4 = βπ
π1 = 0; π2 = 1; π3 = 0; π4 = βπ
π1 = 0; π2 = 0; π3 = 1; π4 = βπ
π1 = 0; π2 = 0; π3 = 0; π4 = 1
Jadi matrik translasi salib sumbu ke titik (π, π, π) adalah
ππ‘ππππ = [
1 0 0 βπ0 1 0 βπ0 0 1 βπ0 0 0 1
]
Untuk lebih memahami matrik translasi salib sumbu, maka perhatikanlah
contoh berikut ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
Contoh 3.7:
Akan dicari koordinat titik π΄β² jika koordinat titik A(4,1,3) dan titik asal
ditranslasikan ke titik B(1,β3,2). koordinat homogen dari titik A(4,1,3) adalah
Ah(4,1,3,1). Karena titik asal ditranslasikan ke titik B(1,β3,2), maka matrik
translasi dari salib-salib sumbunya adalah
ππ‘ππππ = [
1 0 0 β10 1 0 30 0 1 β20 0 0 1
]
Maka koordinat thomogen dari titik π΄ββ² adalah
[
π₯β²π¦β²
π§β²1
] = [
1 0 0 β10 1 0 30 0 1 β20 0 0 1
] [
4131
]
= [
3β211
]
Dari perhitungan di atas diperoleh koordinat titik Ahβ² adalah Ah
β² (3, β2,1,1) dan
merupakan koordinat homogen dari titik Aβ²(3, β2,1).
Setelah kita memperoleh matrik translasi salib sumbu dalam β3, maka
selanjutnya kita akan mempelajari mengenai matrik rotasi salib sumbu dalam β3
yang nantinya akan digunakan untuk mencari matrik perspektif. Berikut ini
pembahasan mengenai matrik rotasi salib sumbu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
C. Matrik Rotasi Salib Sumbu
Matrik rotasi salib sumbu adalah suatu matrik yang berguna untuk
mendapatkan hasil rotasi salib sumbu jika salib sumbu dirotasikan dengan sudut
rotasi π. Pada tulisan ini akan digunakan rotasi salib sumbu terhadap sumbu Y dan
rotasi salib sumbu terhadap sumbu Z untuk memperoleh matrik perspektif. Hasil
rotasi salib sumbu diperoleh dengan cara mengalikan matrik rotasi dengan titik
A(π₯, π¦, π§).
1. Matrik Rotasi Salib Sumbu Terhadap Sumbu Y
Pada bab II subbab D diperoleh persamaan
π₯β² = π₯ cos π β π§ sinπ
π¦β² = π¦
π§β² = π₯ sin π + π§ cosπ
Jika persamaan diatas ditulis dalam bentuk operasi matrik maka diperoleh
[π₯β²π¦β²
π§β²
] = [cosπ 0 βsinπ
0 1 0sinπ 0 cosπ
] . [π₯π¦π§]
Maka matrik rotasi salib sumbu terhadap sumbu π adalah
ππππ‘π = [cosπ 0 βsinπ
0 1 0sinπ 0 cosπ
]
Karena pada tulisan ini akan digunakan koordinat homogen, maka matrik rotasi
dari koordinat homogen π΄β(π₯, π¦, π§, 1) adalah
ππππ‘π = [
cosπ 0 βsinπ 00 1 0 0
sinπ 0 cosπ 00 0 0 1
]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
Untuk lebih memahami matrik rotasi salib sumbu dengan sumbu Y sebagai
porosnya, maka perhatikanlah contoh berikut ini.
Contoh 3.8:
Akan dicari koordinat titik π΄β² jika koordinat titik A(10,3,4) dan salib-salib
sumbu dirotasikan sejauh 30Β° diukur dari sumbu Z+ dengan sumbu Y sebagai
sumbu rotasinya. Koordinat homogen dari titik A(10,3,4) adalah Ah(10,3,4,1).
Karena salib-salib sumbu dirotasikan sejauh 30Β° diukur dari sumbu Z+ dengan
sumbu Y sebagai sumbu rotasinya, maka matrik rotasi dari salib-salib sumbunya
adalah
ππππ‘π = [
cos 30Β° 0 β sin 30Β° 00 1 0 0
sin 30Β° 0 cos 30Β° 00 0 0 1
]
=
[ β3
2β 0 β1
2β 0
0 1 0 0
12β 0 β3
2β 0
0 0 0 1]
Andaikan Aβ²(π₯β², π¦β², π§β²) adalah koordinat titik A(10,3,4) terhadap salib
sumbu yang telah dirotasikan sejauh 30Β° diukur dari sumbu Z+ dengan sumbu
Y sebagai sumbu rotasinya. Maka koordinat Ahβ² adalah:
[
π₯β²π¦β²
π§β²1
] =
[ β3
2β 0 β1
2β 0
0 1 0 0
12β 0 β3
2β 0
0 0 0 1]
[
10341
]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
= [
5β3 β 23
5 β 2β31
]
Dari perhitungan di atas diperoleh koordinat titik Ahβ² adalah Ah
β² (5β3 β
2,3,5 β 2β3, 1) dan merupakan koordinat homogen dari titik Aβ²(5β3 β 2,3,5 β
2β3).
2. Matrik Rotasi Salib Sumbu Terhadap Sumbu Z
Pada bab II subbab D diperoleh persamaan
π₯β² = π₯ cos π + π¦ sinπ
π¦β² = βπ₯ sin π + π¦ cosπ
π§β² = π§
Jika persamaan diatas ditulis dalam bentuk operasi matrik maka diperoleh
[π₯β²π¦β²
π§β²
] = [cosπ sinπ 0βsinπ cosπ 0
0 0 1] . [
π₯π¦π§]
Maka matrik rotasi salib sumbu terhadap sumbu π adalah
ππππ‘π = [cosπ sinπ 0βsinπ cosπ 0
0 0 1]
Karena pada tulisan ini akan digunakan koordinat homogen, maka matrik rotasi
dari koordinat homogen dari titik Ah(π₯, π¦, π§, 1) adalah
ππππ‘π = [
cosπ sinπ 0 0βsinπ cosπ 0 0
0 0 1 00 0 0 1
]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
Untuk lebih memahami matrik rotasi salib sumbu dengan sumbu Y sebagai
porosnya, maka perhatikanlah contoh berikut ini.
Contoh 3.9:
Akan dicari koordinat titik π΄β² jika koordinat titik A(2,β1, β4) dan salib-
salib sumbu dirotasikan sejauh 45Β° diukur dari sumbu X+ dengan sumbu Z
sebagai sumbu rotasinya. Koordinat homogen dari titik A(2,β1,β4) adalah
Ah(2, β1,β4,1). Karena salib-salib sumbu dirotasikan sejauh 45Β° diukur dari
sumbu X+ dengan sumbu Z sebagai sumbu rotasinya, maka matrik rotasi dari
salib-salib sumbunya adalah
ππππ‘π = [
cos 45Β° sin 45Β° 0 0βsin 45Β° cos 45Β° 0 0
0 0 1 00 0 0 1
]
= [
1 1 0 0β1 1 0 00 0 1 00 0 0 1
]
Andaikan Aβ²(π₯β², π¦β², π§β²) adalah koordinat titik A(2,β1, β4) terhadap salib
sumbu yang telah dirotasikan sejauh 45Β° diukur dari sumbu X+ dengan sumbu
Z sebagai sumbu rotasinya. Maka Ahβ² adalah:
[
π₯β²π¦β²
π§β²1
] = [
1 1 0 0β1 1 0 00 0 1 00 0 0 1
] [
2β1β41
]
= [
1β3β41
]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
Dari perhitungan di atas diperoleh koordinat titik Ahβ² adalah
Ahβ² (1, β3,β4,1) dan merupakan koordinat homogen dari titik Aβ²(3,1, β4).
Setelah kita memahami tentang koordinat hasil proyeksi perspektif dan
transformasi salib sumbu yang berupa translasi, rotasi dengan sumbu Z sebagai
poros, dan rotasi dengan sumbu Y, maka kita akan mempelajari matrik perspektif.
Dalam pembahasan mengenai matrik perspektif, akan dibagi dalam beberapa kasus.
Berikut ini merupakan pembahasan mengenai matrik perspektif.
D. Matrik Perspektif
Matrik perspektif adalah suatu matrik yang berguna untuk mendapatkan titik
hasil proyeksi perspektif dari suatu titik yang diketahui. Titik hasil proyeksi
perspektif Aβ²(π₯β², π¦β², π§β²) diperoleh dengan cara mengalikan matrik perspektif dengan
titik A(π₯, π¦, π§).
1. Matrik Perspektif Jika Koordinat titik proyeksi P(π₯π, 0,0) dan bidang proyeksi
π₯ = π
Ambil sembarang titik A(π₯, π¦, π§), maka koordinat homogen dari titik
tersebut adalah A(π₯, π¦, π§, 1). Koordinat yang merupakan hasil proyeksi
perspektif titik A adalah Aβ² (π,π¦(π₯πβπ)
π₯πβπ₯,π§(π₯πβπ)
π₯πβπ₯). Koordinat homogen dari Aβ²
adalah Ahβ² (π,
π¦(π₯πβπ)
π₯πβπ₯,π§(π₯πβπ)
π₯πβπ₯, 1) βΌ Ah
β² (π(π₯π β π₯), π¦(π₯π β π), π§(π₯π β π),
(π₯π β π₯))Jika dipandang sebagai matrik, maka Aβ² dapat diperoleh dari perkalian
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
suatu matrik berordo 4 Γ 4 dengan titik A. Misalkan matrik tersebut adalah
matrik πππππ = [
π1 π2 π3 π4
π1 π2 π3 π4
π1 π2 π3 π4
π1 π2 π3 π4
]. Maka
[ π(π₯π β π₯)
π¦(π₯π β π)
π§(π₯π β π)
(π₯π β π₯) ]
= [
π1 π2 π3 π4
π1 π2 π3 π4
π1 π2 π3 π4
π1 π2 π3 π4
] . [
π₯π¦π§1
]
[ π(π₯π β π₯)
π¦(π₯π β π)
π§(π₯π β π)
(π β π₯) ]
= [
π₯. π1 + π¦. π2 + π§. π3 + π4
π₯. π1 + π¦. π2 + π§. π3 + π4
π₯. π1 + π¦. π2 + π§. π3 + π4
π₯. π1 + π¦. π2 + π§. π3 + π4
]
Kemudian diperoleh:
π1 = βπ; π2 = 0; π3 = 0; π4 = ππ₯π
π1 = 0; π2 = π₯π β π; π3 = 0; π4 = 0
π1 = 0; π2 = 0; π3 = π₯π β π; π4 = 0
π1 = β1; π2 = 0; π3 = 0; π4 = π₯π
Jadi matrik perspektif dari titik A jika koordinat titik proyeksi P(π₯π, 0,0)
dan bidang proyeksi π₯ = π adalah:
πππππ =
[ βπ 0 0 ππ₯π
0 π₯π β π 0 0
0 0 π₯π β π 0
β1 0 0 π₯π ]
Untuk lebih memahami matrik perspektif dengan koordinat titik proyeksi
P(π₯π, 0,0) dan bidang proyeksi π₯ = π, maka perhatikanlah contoh berikut ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
Contoh 3.10:
Suatu benda yang berbentuk segitiga jika titik-titik sudut dari benda tersebut
memiliki koordinat (β3,0,0), (β3,4,0) dan (β9
2, 2,5). Benda tersebut akan
dilukiskan di bidang proyeksi jika koordinat titik proyeksinya berada di titik
π(5,0,0) dan persamaan bidang proyeksinya adalah π₯ = 2. Koordinat homogen
dari titik-titik sudut benda tersebut adalah Ah(β3,0,0,1), Bh(β3,4,0,1),
Ch (β9
2, 2,5,1). Karena koordinat titik proyeksinya adalah P(5,0,0) dan
persamaan bidang proyeksinya adalah π₯ = 2, maka matrik perspektifnya adalah
πππππ = [
β2 0 0 100 3 0 00 0 3 0
β1 0 0 5
]
Koordinat homogen proyeksi perspektif dari titik-titik sudut segi tiga ABC
adalah.
Ahβ² = πππππ . Ah
= [
β2 0 0 100 3 0 00 0 3 0
β1 0 0 5
] . [
β3001
]
= [
16008
]~ [
2001
]
Chβ² = πππππ . Ch
= [
β2 0 0 100 3 0 00 0 3 0
β1 0 0 5
] .
[ β
92β
251 ]
=
[
19615
192β ] ~
[
212
19β
3019β
1 ]
Bhβ² = πππππ . Bh
= [
β2 0 0 100 3 0 00 0 3 0
β1 0 0 5
] . [
β3401
]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
= [
161208
]~ [
23
2β
01
]
Berdasaran perhitungan di atas diperoleh titik Ahβ² (2,0,0,1),
Bhβ² (2,
3
2, 0,1) , Ch
β² (2,12
19,30
19, 1) yang masing-masing merupakan koordinat
homogen dari Aβ²(2,0,0), Bβ² (2,3
2, 0) , Cβ² (2,
12
19,30
19). Jadi titik-titik sudut hasil
proyeksi perspektif dari segitiga ABC memiliki koordinat Aβ²(2,0,0),
Bβ² (2,3
2, 0) , Cβ² (2,
12
19,30
19).
Setelah diperoleh koordinat hasil proyeksi perspektif dari masing-masing
titik sudut segitiga, maka selanjutnya akan dilukiskan segitiga tersebut ke bidang
proyeksi π₯ = 2. Kita telah memperoleh titik-titik Aβ²(2,0,0), Bβ² (2,3
2, 0) ,
Cβ² (2,12
19,30
19) merupakan hasil proyeksi perspektif dari titik-titik sudut segitiga.
Karena bidang proyeksinya adalah π₯ = 2, maka komponen X pada setiap
koordinat hasil proyeksi perspektif dapat diabaikan, komponen y dalam
koordinat ruang dari hasil proyeksi perspektif suatu titik menjadi komponen x
dalam koordinat bidang proyeksi dan komponen z dalam koordinat ruang dari
hasil proyeksi perspektif suatu titik menjadi komponen y dalam koordinat bidang
proyeksi. Maka diperoleh koordinat hasil proyeksi perspektif dari titik-titik sudut
segitiga dalam bidang proyeksi adalah Aβ²(0,0), Bβ² (3
2, 0) , Cβ² (
12
19,30
19). Gambar
3.7 merupakan hasil proyeksi perspektif dari segitiga ABC yang dilukiskan di
bidang proyeksi π₯ = 2.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
Gambar 3.7 Hasil Proyeksi perspektif Segitiga ABC di Bidang Proyeksi π₯ = 2
Setelah kita memahami matrik perspektif dengan koordinat titik proyeksi
P(π₯π, 0,0) dan bidang proyeksi π₯ = π, selanjutnya kita akan mempelajari mengenai
matrik perspektif jika koordinat titik proyeksi P(0, π¦π, 0) dan bidang proyeksi π¦ =
π. Berikut ini adalah pembahasan mengenai matrik perspektif jika koordinat
koordinat titik proyeksi P(0, π¦π, 0) dan bidang proyeksi π¦ = π.
2. Matrik Perspektif Jika Koordinat titik proyeksi P(0, π¦π, 0) dan bidang proyeksi
π¦ = π
Ambil sembarang titik A(π₯, π¦, π§), maka koordinat homogen dari titik
tersebut adalah A(π₯, π¦, π§, 1). Koordinat hasil proyeksi perspektif titik A
adalah Aβ² (π₯(π¦πβπ)
π¦πβπ¦, π,
π§(π¦πβπ)
π¦πβπ¦). Koordinat homogen dari Aβ² adalah
Ahβ² (
π₯(π¦πβπ)
π¦πβπ¦, π,
π§(π¦πβπ)
π¦πβπ¦, 1) βΌ Ah
β² (x(π¦π β k), k(π¦π β y), z(π¦π β k), (π¦π β y)).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
Jika dipandang sebagai matrik, maka π΄β² dapat diperoleh dari perkalian suatu
matrik berordo 4 Γ 4 dengan titik π΄. Misalkan matrik tersebut adalah matrik
πππππ = [
π1 π2 π3 π4
π1 π2 π3 π4
π1 π2 π3 π4
π1 π2 π3 π4
]. Maka
[ π₯(π¦π β π)
π(π¦π β π¦)
π§(π¦π β π)
(π¦π β π¦) ]
= [
π1 π2 π3 π4
π1 π2 π3 π4
π1 π2 π3 π4
π1 π2 π3 π4
] . [
π₯π¦π§1
]
[ π₯(π¦π β π)
π(π¦π β π¦)
π§(π¦π β π)
(π¦π β π¦) ]
= [
π₯. π1 + π¦. π2 + π§. π3 + π4
π₯. π1 + π¦. π2 + π§. π3 + π4
π₯. π1 + π¦. π2 + π§. π3 + π4
π₯. π1 + π¦. π2 + π§. π3 + π4
]
Kemudian diperoleh:
π1 = π¦π β π; π2 = 0; π3 = 0; π4 = 0
π1 = 0; π2 = βπ; π3 = 0; π4 = ππ¦π
π1 = 0; π2 = 0; π3 = π¦π β π; π4 = 0
π1 = 0; π2 = β1; π3 = 0; π4 = π¦π
Jadi matrik perspektif dari titik π΄ jika koordinat titik proyeksi P(0, π¦π, 0)dan
bidang proyeksi π¦ = π adalah:
πππππ =
[ π¦π β π 0 0 0
0 βπ 0 ππ¦π
0 0 π¦π β π 0
0 β1 0 π¦π ]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
Untuk lebih memahami matrik perspektif dengan koordinat titik proyeksi
P(0, π¦π, 0) dan bidang proyeksi π¦ = π, maka perhatikanlah contoh berikut ini.
Contoh 3.11:
Suatu benda yang berbentuk segitiga yang titik-titik sudutnya memiliki
koordinat (1,1,1), (β3,1,1) dan (β1,1,4). Akan dilukiskan benda tersebut jika
koordinat titik proyeksinya berada di titik π(0,7,0) dan persamaan bidang
proyeksinya adalah π¦ = 3. Koordinat homogen dari titik-titik sudut benda
tersebut adalah π΄β(1,1,1,1), π΅β(β3,1,1,1), πΆβ(β1,1,4,1). Karena koordinat
titik proyeksinya adalah π(0,7,0) dan persamaan bidang proyeksinya adalah π¦ =
3, maka matrik perspektifnya adalah
πππππ = [
4 0 0 00 β3 0 210 0 4 00 β1 0 7
]
Koordinat homogen proyeksi perspektif titik-titik sudut dari segitiga ABC
adalah.
π΄ββ² = πππππ . π΄β
= [
4 0 0 00 β3 0 210 0 4 00 β1 0 7
] . [
1111
]
= [
41846
]~
[ 2
3β
32
3β
1 ]
πΆββ² = πππππ . πΆβ
= [
4 0 0 00 β3 0 210 0 4 00 β1 0 7
] . [
β1141
]
= [
β418166
]~
[ β
23β
38
3β
1 ]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
π΅ββ² = πππππ . π΅β
= [
4 0 0 00 β3 0 210 0 4 00 β1 0 7
] . [
β3111
]
= [
β121846
]~ [
β23
23β
1
]
Dari perhitungan di atas diperoleh titik π΄ββ² (
2
3, 3,
2
3, 1) ,
π΅ββ² (β2,3,
2
3, 1) , πΆβ
β² (β2
3, 3,
8
3, 1) yang masing-masing merupakan koordinat
homogen dari titik-titik sudut hasil proyeksi segitiga π΄π΅πΆ. Jadi titik-titik sudut
hasil proyeksi dari segitiga π΄π΅πΆ memiliki koordinat π΄β² (2
3, 3,
2
3) , π΅β² (β2,3,
2
3) ,
πΆβ² (β2
3, 3,
8
3).
Setelah diperoleh koordinat hasil proyeksi dari masing-masing titik sudut
segitiga, maka selanjutnya akan dilukiskan segitiga tersebut ke bidang proyeksi
π¦ = 3. Kita telah memperoleh titik-titik π΄β² (2
3, 3,
2
3) , π΅β² (β2,3,
2
3) ,
πΆβ² (β2
3, 3,
8
3) merupakan hasil proyeksi dari titik-titik sudut segitiga. Karena
bidang proyeksinya adalah π¦ = 3, maka komponen π¦ pada setiap koordinat hasil
proyeksi dapat diabaikan, komponen π§ dalam koordinat ruang dari hasil proyeksi
suatu titik menjadi komponen π₯ dalam koordinat bidang proyeksi dan komponen
π₯ dalam koordinat ruang dari hasil proyeksi suatu titik menjadi komponen y
dalam koordinat bidang proyeksi. Maka diperoleh koordinat hasil proyeksi dari
titik-titik sudut segitiga dalam bidang proyeksi adalah π΄β² (2
3,2
3) , π΅β² (β2,
2
3) ,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
πΆβ² (β2
3,8
3). Gambar 3.8 merupakan hasil proyeksi dari segitiga π΄π΅πΆ yang
dilukiskan di bidang proyeksi π¦ = 3.
Gambar 3.8 Hasil Proyeksi Segitiga ABC di Bidang Proyeksi π¦ = 3
Setelah kita memahami matrik perspektif dengan koordinat titik proyeksi
P(0, π¦π, 0) dan bidang proyeksi π¦ = π, selanjutnya kita akan mempelajari matrik
perspektif jika koordinat titik proyeksi π(0,0, π§π) dan bidang proyeksi π§ = π.
Berikut ini pembahasan matrik perspektif jika koordinat titik proyeksi adalah
π(0,0, π§π) dan bidang proyeksi π§ = π.
3. Matrik Perspektif Jika Koordinat titik proyeksi π(0,0, π§π) dan bidang proyeksi
π§ = π.
Ambil sembarang titik π΄(π₯, π¦, π§), maka koordinat homogen dari titik
tersebut adalah π΄β(π₯, π¦, π§, 1). Koordinat hasil proyeksi dari titik π΄ adalah
π΄β² (π₯(π§πβπ)
π§πβπ§,π¦(π§πβπ)
π§πβπ§, π). Koordinat homogen dari π΄β² adalah
Ahβ² (
π₯(π§πβπ)
π§πβπ§,π¦(π§πβπ)
π§πβπ§, π, 1) βΌ Ah
β² (π₯(π§π β π), π¦(π§π β π), π(π§π β π§), (π§π β π§)).
Jika dipandang sebagai matrik, maka π΄ dapat diperoleh dari perkalian suatu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
matrik berordo 4 x 4 dengan titik π΄. Misalkan matrik tersebut adalah matrik
πππππ = [
π1 π2 π3 π4
π1 π2 π3 π4
π1 π2 π3 π4
π1 π2 π3 π4
]. Maka
[ x(π§π β k)
y(π§π β k)
k(π§π β z)
(π§π β z) ]
= [
π1 π2 π3 π4
π1 π2 π3 π4
π1 π2 π3 π4
π1 π2 π3 π4
] . [
π₯π¦π§1
]
[ x(π§π β k)
y(π§π β k)
k(π§π β z)
(π§π β z) ]
= [
π₯. π1 + π¦. π2 + π§. π3 + π4
π₯. π1 + π¦. π2 + π§. π3 + π4
π₯. π1 + π¦. π2 + π§. π3 + π4
π₯. π1 + π¦. π2 + π§. π3 + π4
]
Kemudian diperoleh:
π1 = π§π β π; π2 = 0; π3 = 0; π4 = 0
π1 = 0; π2 = π§π β π; π3 = 0; π4 = π§π
π1 = π§π β π; π2 = 0; π3 = βπ; π4 = ππ§π
π1 = 0; π2 = 0; π3 = β1; π4 = π§π
Jadi matrik perspektif dari titik π΄ jika koordinat titik proyeksi π(0,0, π§π)dan
bidang proyeksi π§ = π adalah:
πππππ =
[ π§π β π 0 0 0
0 π§π β π 0 0
0 0 βπ ππ§π
0 0 β1 π§π ]
Untuk lebih memahami matrik perspektif dengan koordinat titik proyeksi
π(0,0, π§π) dan bidang proyeksi π§ = π, maka perhatikanlah contoh berikut ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
Contoh 3.12:
Suatu benda yang berbentuk segiempat titik-titik sudut dari benda tersebut
memiliki koordinat (β1,2,0), (2,2,0), (2, β2,β3) dan (β1,β2,β3). Akan
dilihat lukisan dari benda tersebut jika koordinat titik proyeksinya berada di titik
π(0,0,3) dan persamaan bidang proyeksinya adalah π§ = 1. Koordinat homogen
dari titik-titik sudut benda adalah Ah(β1,2,0,1), Bh(2,2,0,1), Ch(2, β2,β3,1),
Dh(β1,β2,β3,1). Karena koordinat titik proyeksinya adalah P(0,0,3) dan
persamaan bidang proyeksinya adalah π§ = 1, maka matrik perspektifnya adalah
πππππ = [
2 0 0 00 2 0 00 0 β1 30 0 β1 3
]
Koordinat homogen hasil proyeksi perspektif titik-titik sudut segi empat
ABCD adalah.
π΄ββ² = πππππ . π΄β
= [
2 0 0 00 2 0 00 0 β1 30 0 β1 3
] . [
β1201
]
= [
β2433
]~
[ β
23β
43β
11 ]
πΆββ² = πππππ . πΆβ
= [
2 0 0 00 2 0 00 0 β1 30 0 β1 3
] . [
2β2β31
]
= [
4β466
]~
[
23β
β23β
11 ]
π΅ββ² = πππππ . πΏβ
= [
2 0 0 00 2 0 00 0 β1 30 0 β1 3
] . [
2201
]
π·ββ² = πππππ . π·β
= [
2 0 0 00 2 0 00 0 β1 30 0 β1 3
] . [
β1β2β31
]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
= [
4433
]~
[ 4
3β
43β
11 ]
= [
β2β466
]~
[ β
13β
β23β
11 ]
Dari perhitungan di atas diperoleh titik π΄ββ² (β
2
3,4
3, 1,1) ,
π΅ββ² (
4
3,4
3, 1,1) , πΆβ
β² (2
3, β
2
3, 1,1) , π·β
β² (β1
3, β
2
3, 1,1) yang masing-masing
merupakan koordinat homogen dari titik-titik sudut hasil proyeksi perspektif
segiempat π΄π΅πΆπ·. Jadi titik-titik sudut hasil proyeksi perspektif dari segiempat
π΄π΅πΆπ· memiliki koordinat π΄β² (β2
3,4
3, 1) , π΅β² (
4
3,4
3, 1) , πΆβ² (
2
3, β
2
3, 1) ,
π·β² (β1
3, β
2
3, 1).
Setelah diperoleh koordinat hasil proyeksi perspektif dari masing-masing
titik sudut segiempat, maka selanjutnya akan dilukiskan segiempat tersebut ke
bidang proyeksi π§ = 1. Kita telah memperoleh titik-titik π΄β² (β2
3,4
3, 1) ,
π΅β² (4
3,4
3, 1) , πΆβ² (
2
3, β
2
3, 1) , π·β² (β
1
3, β
2
3, 1) merupakan hasil proyeksi
perspektif dari titik-titik sudut segiempat. Karena bidang proyeksinya adalah
π§ = 1, maka komponen π§ pada setiap koordinat hasil proyeksi perspektif dapat
diabaikan, komponen π₯ dalam koordinat ruang dari hasil proyeksi perspektif
suatu titik menjadi komponen π₯ dalam koordinat bidang proyeksi dan komponen
π¦ dalam koordinat ruang dari hasil proyeksi perspektif suatu titik menjadi
komponen y dalam koordinat bidang proyeksi. Maka diperoleh koordinat hasil
proyeksi perspektif dari titik-titik sudut segitiga dalam bidang proyeksi adalah
π΄β² (β2
3,4
3) , π΅β² (
4
3,4
3) , πΆβ² (
2
3, β
2
3) , π·β² (β
1
3, β
2
3). Gambar 3.9 merupakan hasil
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
proyeksi perspektif dari segi empat ABCD yang dilukiskan di bidang proyeksi
π¦ = 3.
Gambar 3.9 Gambar Perspektif Segitiga π΄π΅πΆ di Bidang Proyeksi π§ = 1
Selanjutnya kita akan menentukan matrik perspektif jika koordinat titik
proyeksi tidak berada pada sumbu π, sumbu π atau sumbu π tetapi bidang proyeksi
memiliki persamaan π₯ = π, π¦ = π atau π§ = π. Ada beberapa langkah untuk
mencari matrik perspektif dari suatu titik jika titik proyeksi tidak berada pada
sumbu π, sumbu π, atau sumbu π. Langkah-langkah tersebut yaitu:
1. Tentukan matrik translasi salib sumbu dengan ketentuan (ππ‘ππππ ):
a. Jika bidang proyeksi memiliki persamaan π₯ = π, maka salib sumbu
ditranslasikan ke titik (0, π¦π, π§π).
b. Jika bidang proyeksi memiliki persamaan π¦ = π, maka salib sumbu
ditranslasikan ke titik (π₯π, 0, π§π)
c. Jika bidang proyeksi memiliki persamaan π§ = π, maka salib sumbu
ditranslasikan ke titik (π₯π, π¦π, 0)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
2. Kemudian dengan menggunakan salib-salib sumbu yang baru, tentukan
matrik perspektif berdasarkan persamaan bidangnya. (πππππ )
3. Tentukan matrik perspektif dengan rumus πππππ β² = πππππ . ππ‘ππππ .
Berikut ini pembahasan tentang matrik perspektif jika koordinat titik proyeksi
tidak berada pada sumbu π, sumbu π atau sumbu π tetapi bidang proyeksi memiliki
persamaan π₯ = π, π¦ = π atau π§ = π.
4. Matrik Perspektif Jika Koordinat titik proyeksi π(π₯π, π¦π, π§π) dan bidang
proyeksi π₯ = π
Dalam kasus ini, diperlukan translasi salib sumbu sedemikian sehingga
koordinat π(π₯π, π¦π, π§π) menjadi πβ²(π₯π, 0,0). Maka salib sumbu ditranslasikan
ke titik (0, π¦π, π§π) sehingga matrik translasinya adalah
ππ‘ππππ = [
1 0 0 00 1 0 βπ¦π
0 0 1 βπ§π
0 0 0 1
]
Gambar 3.10 Translasi salib sumbu jika bidang proyeksi π₯ = π
Perhatikan Gambar 3.10. Pada Gambar 3.10, titik asal π(0,0,0)
ditranslasikan ke titik (0, π¦π, π§π) sehingga koordinat titik perspektif akan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
berubah dari π(π₯π, π¦π, π§π) menjadi πβ²(π₯π, 0,0) akibat dari translasi salib sumbu
yang telah dilakukan.
Karena bidang proyeksinya memiliki persamaan π₯ = π, maka matrik
perspektif yang bersesuian adalah:
πππππ =
[ βπ 0 0 ππ₯π
0 π₯π β π 0 0
0 0 π₯π β π 0
β1 0 0 π₯π ]
Matrik perspektifnya jika koordinat titik proyeksi π(π₯π, π¦π, π§π) dan bidang
proyeksi π₯ = π adalah:
πππππ β² =
[ βπ 0 0 ππ₯π
0 π₯π β π 0 0
0 0 π₯π β π 0
β1 0 0 π₯π ]
. [
1 0 0 00 1 0 βπ¦π
0 0 1 βπ§π
0 0 0 1
]
πππππ β² =
[ βπ 0 0 ππ₯π
0 π₯π β π 0 βπ¦π(π₯π β π)
0 0 π₯π β π βπ§π(π₯π β π)
β1 0 0 π₯π ]
Untuk lebih memahami matrik perspektif dengan koordinat titik proyeksi
π(π₯π, π¦π, π§π) dan bidang proyeksi π₯ = π, maka perhatikanlah contoh berikut ini.
Contoh 3.13:
Suatu benda yang berbentuk segiempat titik-titik sudutnya memiliki
koordinat (β4,3,1), (β4,1,1), (β6,1,1) dan (β6,3,1). Akan dilukiskan benda
tersebut jika koordinat titik proyeksinya berada di titik π(3,2, β1) dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
persamaan bidang proyeksinya adalah π₯ = 1. Koordinat homogen dari titik-titik
sudut benda tersebut adalah π΄β(β4,3,1,1), π΅β(β4,1,1,1), πΆβ(β6,1,1,1),
π·β(β6,3,1,1). Karena koordinat titik proyeksinya adalah π(3,2, β1) dan
persamaan bidang proyeksinya adalah π₯ = 1, maka matrik perspektifnya adalah
πππππ = [
β1 0 0 30 2 0 β40 0 2 2
β1 0 0 3
]
Koordinat homogen hasil proyeksi perspektif titik-titik sudut segi empat
ABCD adalah.
π΄ββ² = πππππ . π΄β
= [
β1 0 0 30 2 0 β40 0 2 2
β1 0 0 3
] . [
β4311
]
= [
7247
]~
[
12
7β
47β
1 ]
πΆββ² = πππππ . πΆβ
= [
β1 0 0 30 2 0 β40 0 2 2
β1 0 0 3
] . [
β6111
]
= [
9β249
]~
[
1
β29β
49β
1 ]
π΅ββ² = πππππ . π΅β
= [
β1 0 0 30 2 0 β40 0 2 2
β1 0 0 3
] . [
β4111
]
= [
7β247
]~
[
1
β23β
47β
1 ]
π·ββ² = πππππ . π·β
= [
β1 0 0 30 2 0 β40 0 2 2
β1 0 0 3
] . [
β6311
]
= [
9249
]~
[
12
9β
49β
1 ]
Dari perhitungan di atas diperoleh titik π΄ββ² (1,
2
7,4
7, 1) ,
π΅ββ² (1,β
2
3,4
7, 1) , πΆβ
β² (1,β2
9,4
9, 1) , π·β
β² (1,β10
9,4
9, 1) yang masing-masing
merupakan koordinat homogen dari titik-titik sudut gambar perspektif dari
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
segiempat π΄π΅πΆπ·. Jadi titik-titik sudut gambar perspektif dari segiempat π΄π΅πΆπ·
memiliki koordinat π΄β² (1,2
7,4
7) , π΅β² (1, β
2
3,4
7) , πΆβ² (1,β
2
9,4
9) , π·β² (1,
2
9,4
9).
Setelah diperoleh koordinat gambar perspektif dari masing-masing titik
sudut segiempat, maka selanjutnya akan dilukiskan segiempat tersebut ke bidang
proyeksi π₯ = 1. Kita telah memperoleh titik-titik π΄β² (1,2
7,4
7) , π΅β² (1,β
2
3,4
7) ,
πΆβ² (1,β2
9,4
9) , π·β² (1,
2
9,4
9) merupakan gambar perspektif dari titik-titik sudut
segiempat. Karena bidang proyeksinya adalah π₯ = 1, maka komponen π₯ pada
setiap koordinat gambar perspektif dapat diabaikan, komponen π¦ dalam
koordinat ruang dari gambar perspektif suatu titik menjadi komponen π₯ dalam
koordinat bidang proyeksi dan komponen π¦ dalam koordinat ruang dari gambar
perspektif suatu titik menjadi komponen y dalam koordinat bidang proyeksi.
Maka diperoleh koordinat gambar perspektif dari titik-titik sudut segitiga dalam
bidang proyeksi adalah π΄β² (2
7,4
7) , π΅β² (β
2
3,4
7) , πΆβ² (β
2
9,4
9) , π·β² (
2
9,4
9). Gambar
3.11 merupakan gambar perspektif dari segiempat π΄π΅πΆπ· yang dilukiskan di
bidang proyeksi π₯ = 1.
Gambar 3.11 Hasil Proyeksi Perspektif Segiempat π΄π΅πΆπ· di Bidang Proyeksi π₯ = 1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
81
5. Matrik Perspektif Jika Koordinat titik proyeksi π(π₯π, π¦π, π§π) dan bidang
proyeksi π¦ = π
Dalam kasus ini, diperlukan translasi salib sumbu sedemikian sehingga
koordinat π(π₯π, π¦π, π§π)menjadi πβ²(0, π¦π, 0). Maka salib sumbu ditranslasikan ke
titik (π₯π, 0, π§π) sehingga matrik translasinya adalah:
ππ‘ππππ = [
1 0 0 βπ₯π
0 1 0 00 0 1 βπ§π
0 0 0 1
]
Gambar 3.12 Translasi salib sumbu jika bidang proyeksi π¦ = π
Perhatikan Gambar 3.12. Pada Gambar 3.12, titik asal π(0,0,0)
ditranslasikan ke titik (π₯π, 0, π§π) sehingga koordinat titik perspektif akan
berubah dari π(π₯π, π¦π, π§π) menjadi πβ²(0, π¦π, 0) akibat dari translasi salib sumbu
yang telah dilakukan.
Karena bidang proyeksinya memiliki persamaan π¦ = π, maka matrik
perspektif yang bersesuian adalah:
πππππ =
[ π¦π β π 0 0 0
0 βπ 0 ππ¦π
0 0 π¦π β π 0
0 β1 0 π¦π ]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
82
Matrik perspektif jika koordinat titik proyeksi π(π₯π, π¦π, π§π) dan bidang
proyeksi π¦ = π adalah:
πππππ β² =
[ π¦π β π 0 0 0
0 βπ 0 ππ¦π
0 0 π¦π β π 0
0 β1 0 π¦π ]
. [
1 0 0 βπ₯π
0 1 0 00 0 1 βπ§π
0 0 0 1
]
πππππ β² =
[ π¦π β π 0 0 βπ₯π(π¦π β π)
0 βπ 0 ππ¦π
0 0 π¦π β π βπ§π(π¦π β π)
0 β1 0 π¦π ]
Untuk lebih memahami matrik perspektif dengan koordinat titik proyeksi
π(π₯π, π¦π, π§π) dan bidang proyeksi π¦ = π, maka perhatikanlah contoh berikut ini.
Contoh 3.14
Sebuah piramida di Mesir berbentuk limas segiempat dengan titik
(0,2,2), (0, β2,2), (0, β2, β2), (0,2, β2) merupakan titik-titik sudut alas
piramida dan titik (0,8,0) merupakan puncak dari piramida. Akan dilukiskan
piramida tersebut jika koordinat titik proyeksinya berada di titik π(0,7,3) dan
persamaan bidang proyeksinya adalah π¦ = 4. Koordinat homogen dari titik-titik
sudut piramida adalah π΄β(0,2,2,1), π΅β(0, β2,2,1), πΆβ(0, β2,β2,1),
π·β(0,2, β2,1) dan πβ(0,8,0,1). Karena koordinat titik proyeksinya adalah
π(4,7,3) dan persamaan bidang proyeksinya adalah π¦ = 4, maka matrik
perspektifnya adalah
πππππ = [
3 0 0 β160 β4 0 280 0 3 β90 β1 0 7
]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
83
Koordinat homogen hasil proyeksi perspektif titik-titik sudut piramida
T.ABCD adalah:
π΄ββ² = πππππ . π΄β
= [
3 0 0 β160 β4 0 280 0 3 β90 β1 0 7
] . [
0221
]
= [
β1620β35
]~
[ β
165β
4
β35β
1 ]
πΆββ² = πππππ . πΆβ
= [
3 0 0 β160 β4 0 280 0 3 β90 β1 0 7
] . [
0β2β21
]
= [
β1636
β159
]~
[ β
169β
4
β53β
1 ]
π΅ββ² = πππππ . π΅β
= [
3 0 0 β160 β4 0 280 0 3 β90 β1 0 7
] . [
0β221
]
= [
β1636β39
]~
[ β
169β
4
β13β
1 ]
π·ββ² = πππππ . π·β
= [
3 0 0 β160 β4 0 280 0 3 β90 β1 0 7
] . [
02
β21
]
= [
β1620
β155
]~
[ β
165β
4β31 ]
πββ² = πππππ . πβ
= [
3 0 0 β160 β4 0 280 0 3 β90 β1 0 7
] . [
8001
]
= [
828β97
]~
[
87β
4
β97β
1 ]
Dari perhitungan di atas diperoleh titik π΄ββ² (β
16
5, 4, β
3
5, 1) ,
π΅ββ² (β
16
9, 4, β
1
3, 1) , πΆβ
β² (β16
9, 4, β
5
3, 1) , π·β
β² (β16
5, 4, β3,1) , πβ
β² (8
7, 4, β
9
7, 1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
84
yang masing-masing merupakan koordinat homogen dari titik-titik sudut hasil
proyeksi perspektif piramida. Jadi titik-titik sudut gambar perspektif dari alas
piramida tersebut adalah memiliki koordinat π΄β² (β16
5, 4, β
3
5) ,
π΅β² (β16
9, 4, β
1
3) , πΆβ² (β
16
9, 4, β
5
3) , π·β² (β
16
5, 4, β3) dan titik puncak dari
gambar perspektif piramida tersebut adalah πβ² (8
7, 4, β
9
7).
Selanjutnya akan dilukiskan piramida tersebut ke bidang proyeksi π¦ = 4.
Karena bidang proyeksinya adalah π¦ = 4, maka komponen π¦ pada setiap
koordinat gambar perspektif dapat diabaikan, komponen π§ dalam koordinat
ruang dari gambar perspektif suatu titik menjadi komponen π₯ dalam koordinat
bidang proyeksi dan komponen π₯ dalam koordinat ruang dari gambar perspektif
suatu titik menjadi komponen y dalam koordinat bidang proyeksi. Maka
diperoleh koordinat gambar perspektif dari titik-titik sudut alas piramida dalam
bidang proyeksi adalah π΄β² (β3
5, β
16
5) , π΅β² (β
1
3, β
16
9) , πΆβ² (β
5
3, β
16
9) ,
π·β² (β3,β16
5) dan koordinat titik puncak gambar perspektif dari piramida adalah
πβ² (β9
7,8
7). Gambar 3.13 merupakan gambar perspektif dari piramida yang
dilukiskan di bidang proyeksi π¦ = 4.
Gambar 3.13 Gambar Perspektif Piramida π. π΄π΅πΆπ· di Bidang Proyeksi π¦ = 4
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
85
6. Matrik Perspektif Jika Koordinat titik proyeksi π(π₯π, π¦π, π§π) dan bidang
proyeksi π§ = π.
Dalam kasus ini, diperlukan translasi salib sumbu sedemikian sehingga
koordinat π(π₯π, π¦π, π§π)menjadi πβ²(0,0, π§π). Maka salib sumbu harus
ditranslasikan ke titik (π₯π, π¦π, 0) sehingga matrik translasinya adalah:
ππ‘ππππ = [
1 0 0 βπ₯π
0 1 0 βπ¦π
0 0 1 00 0 0 1
]
Gambar 3.14 Translasi salib sumbu jika bidang proyeksi π§ = π
Perhatikan Gambar 3.14. Pada Gambar 3.14, titik asal π(0,0,0)
ditranslasikan ke titik (π₯π, π¦π, 0) sehingga koordinat titik perspektif akan
berubah dari π(π₯π, π¦π, π§π) menjadi πβ²(0,0, π§π) akibat dari translasi salib sumbu
yang telah dilakukan.
Karena bidang proyeksinya memiliki persamaan π§ = π, maka matrik
perspektif yang bersesuian adalah:
πππππ =
[ π§π β π 0 0 0
0 π§π β π 0 0
0 0 βπ ππ§π
0 0 β1 π§π ]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
86
Matrik perspektif jika koordinat titik proyeksi π(π₯π, π¦π, π§π) dan bidang proyeksi
π§ = π adalah:
πππππ β² =
[ π§π β π 0 0 0
0 π§π β π 0 0
0 0 βπ ππ§π
0 0 β1 π§π ]
. [
1 0 0 βπ₯π
0 1 0 βπ¦π
0 0 1 00 0 0 1
]
πππππ β² =
[ π§π β π 0 0 βπ₯π(π§π β π)
0 π§π β π 0 βπ¦π(π§π β π)
0 0 βπ ππ§π
0 0 β1 π§π ]
Untuk lebih memahami matrik perspektif dengan koordinat titik proyeksi
π(π₯π, π¦π, π§π) dan bidang proyeksi π§ = π, maka perhatikanlah contoh berikut ini.
Contoh 3.15
Sebuah prisma π΄π΅πΆ. π·πΈπΉ yang titik-titik sudutnya berada pada koordinat
π΄(2,4, β5), π΅(β2,4, β5), πΆ(0,4, β2), π·(2,β2,β5), πΈ(β2,β2,β5),
πΉ(0, β2, β2). Akan dilukiskan prisma π΄π΅πΆ.π·πΈπΉ jika koordinat titik proyeksi
adalah (3,1,5) dan π§ = 1 merupakan persamaan bidang proyeksinya. Koordinat
homogen dari titik-titik sudut prisma π΄π΅πΆ. π·πΈπΉ adalah π΄β(2,4,β5,1),
π΅β(β2,4,β5,1), πΆβ(0,4, β2,1), π·β(2, β2,β5,1), πΈβ(β2,β2, β5,1),
πΉβ(0, β2,β2,1). Karena koordinat titik proyeksinya adalah (3,1,5) dan
persamaan bidang proyeksinya adalah π§ = 1, maka matrik perspektifnya adalah
πππππ = [
4 0 0 β120 4 0 β40 0 β1 50 0 β1 5
]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
87
Koordinat homogen hasil proyeksi perspektif titik-titik sudut pada prisma
dapat dicari dengan cara.
π΄ββ² = πππππ . π΄β
= [
4 0 0 β120 4 0 β40 0 β1 50 0 β1 5
] . [
24
β51
]
= [
β4121010
]~
[ β
25β
65β
11 ]
π·ββ² = πππππ . π·β
= [
4 0 0 β120 4 0 β40 0 β1 50 0 β1 5
] . [
2β2β51
]
= [
β4β121010
]~
[ β
25β
β65β
11 ]
π΅ββ² = πππππ . π΅β
= [
4 0 0 β120 4 0 β40 0 β1 50 0 β1 5
] . [
β24
β51
]
= [
β20121010
]~ [
β26
5β
11
]
πΈββ² = πππππ . πΈβ
= [
4 0 0 β120 4 0 β40 0 β1 50 0 β1 5
] . [
β2β2β51
]
= [
β20β121010
]~ [
β2
β65β
11
]
πΆββ² = πππππ . πΆβ
= [
4 0 0 β120 4 0 β40 0 β1 50 0 β1 5
] . [
04
β21
]
= [
β121277
]~
[ β
127β
127β
11 ]
πΉββ² = πππππ . πΉβ
= [
4 0 0 β120 4 0 β40 0 β1 50 0 β1 5
] . [
0β2β21
]
= [
β12β1279
]~
[ β
127β
β127β
11 ]
Dari perhitungan di atas diperoleh titik π΄ββ² (β
2
5,6
5, 1,1) , π΅β
β² (β2,6
5, 1,1) ,
πΆββ² (β
12
7,12
7, 1,1) , π·β
β² (β2
5, β
6
5, 1,1) , πΈβ
β² (β2,β6
5, 1,1) πΉβ
β² (β12
7, β
12
7, 1,1)
yang masing-masing merupakan koordinat homogen hasil proyeksi perspektif
titik-titik sudut pada prisma. Jadi titik-titik sudut gambar perspektif dari prisma
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
88
tersebut memiliki koordinat π΄β² (β2
5,6
5, 1) , π΅β² (β2,
6
5, 1) , πΆβ² (β
12
7,12
7, 1) ,
π·β² (β2
5, β
6
5, 1) , πΈβ² (β2,β
6
5, 1) , πΉβ² (β
12
7, β
12
7, 1).
Setelah diperoleh koordinat gambar perspektif dari masing-masing titik
sudut prisma π΄π΅πΆ.π·πΈπΉ, maka selanjutnya akan dilukiskan prisma tersebut ke
bidang proyeksi π§ = 1. Karena bidang proyeksinya adalah π§ = 1, maka
komponen π§ pada setiap koordinat gambar perspektif dapat diabaikan,
komponen π₯ dalam koordinat ruang dari gambar perspektif suatu titik menjadi
komponen π₯ dalam koordinat bidang proyeksi dan komponen π¦ dalam koordinat
ruang dari gambar perspektif suatu titik menjadi komponen y dalam koordinat
bidang proyeksi. Maka diperoleh koordinat gambar perspektif dari titik-titik
sudut prisma π΄π΅πΆ.π·πΈπΉ dalam bidang proyeksi adalah π΄β² (β2
5,6
5) , π΅β² (β2,
6
5) ,
πΆβ² (β12
7,12
7) , π·β² (β
2
5, β
6
5) , πΈβ² (β2,β
6
5) , πΉβ² (β
12
7, β
12
7). Gambar 3.15
merupakan gambar perspektif dari prisma yang dilukiskan di bidang proyeksi
π§ = 1
Gambar 3.15 Gambar Perspektif Prisma π΄π΅πΆ. π·πΈπΉ di Bidang Proyeksi π§ = 1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
89
Selanjutnya kita akan membahas matrik perspektif jika koordinat titik proyeksi
tidak berada pada sumbu π, sumbu π atau sumbu π dan bidang proyeksi memiliki
persamaan ππ₯ + ππ¦ + ππ§ + π = 0. Ada beberapa langkah untuk mencari matrik
perspektif dari suatu titik jika titik proyeksi tidak berada pada sumbu π, sumbu π,
atau sumbu π dan persamaan bidangnya berbentuk ππ₯ + ππ¦ + ππ§ + π = 0.
Langkah-langkah tersebut yaitu:
1. Tentukan cosinus-cosinus arah dari bidang datar tersebut. Misalkan sudut-
sudut arahnya adalah πΌ, π½, dan πΎ.
2. Tentukan sudut yang dibentuk oleh hasil proyeksi garis normal bidang datar
tersebut di bidang πππ dengan sumbu π+. (π)
3. Tentukan jarak titik asal ke bidang tersebut (π).
4. Rotasikan salib-salib sumbu terhadab sumbu π dengan sudut rotasinya
adalah sudut yang telah diperoleh pada langkah 2. Hal ini dilakukan agar
garis normal bidang berada pada bidang πβ²ππ.
5. Tentukan matrik rotasi dari langkah 3. ππππ‘π
6. Rotasikan salib-salib sumbu terhadab sumbu πβ² dengan sudut rotasi sebesar
πΎ dari sumbu π+. Hal ini dilakukan agar garis normal bidang berada pada
bidang berimpit pada sumbu πβ², sehingga bidang datar tersebut memiliki
persamaan π§β² = π.
7. Tentukan matrik rotasi pada langkah 6. ππππ‘π
8. Tentukan matrik rotasi totalnya dengan rumus
ππππ‘π‘ππ‘ = ππππ‘πβ² . ππππ‘π
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
90
9. Tentukan koordinat homogen dari titik proyeksi pada salib-salib sumbu
yang telah dirotasikan pada langkah 4 dan langkah 6. (πββ²(π₯π
β² , π¦πβ² , π§π
β² , 1))
10. Rotasi-rotasi yang telah dilakukan tadi mengakibatkan sumbu Xβ menuju ke
bawah, akibatnya perlu dilakukan rotasi sejauh 90Β° dengan poros sumbu Zβ.
ππππ‘πβ² = [
0 1 0 0β1 0 0 00 0 1 00 0 0 1
]
11. a) Jika π₯πβ² = 0 dan π¦π
β² = 0, maka matrik perspektifnya diperoleh dengan
cara πππππ β² = ππππ‘πβ² .πππππ . ππππ‘π‘ππ‘
b) Jika π₯πβ² β 0 atau π¦π
β² β 0, maka diperlukan matrik translasi ke titik
(π₯πβ² , π¦π
β² , 0), sehingga matrik perspektifnya diperoleh dengan rumus
πππππ β² = ππππ‘πβ² . (πππππ . ππ‘ππππ )ππππ‘π‘ππ‘
Berikut ini pembahasan tentang matrik perspektif jika koordinat titik proyeksi
tidak berada pada sumbu π, sumbu π atau sumbu π dan bidang proyeksi memiliki
persamaan ππ₯ + ππ¦ + ππ§ + π = 0.
7. Matrik Perspektif Jika Koordinat Titik Proyeksi π(π₯π, π¦π, π§π) dan Persamaan
Bidang Proyeksinya ππ₯ + ππ¦ + ππ§ + π = 0
Langkah-langkah menentukan matrik perspektif jika koordinat titik
proyeksi π(π₯π, π¦π, π§π) dan persamaan bidang proyeksi ππ₯ + ππ¦ + ππ§ + π = 0:
a. Bidang proyeksi memiliki persamaan ππ₯ + ππ¦ + ππ§ + π = 0. Berdasarkan
Teorema 2.11, maka cosinus arah dari bidang tersebut adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
91
cos πΌ =π
βπ2 + π2 + π2
cos π½ =π
βπ2 + π2 + π2
cos πΎ =π
βπ2 + π2 + π2
Gambar 3.16 Bilangan arah dan Sudut Arah dari Bidang Proyeksi
Pada Gambar 3.16 terlihat bahwa πΌ, π½, dan πΎ merupakan sudut-sudut
arah dari bidang proyeksi. Sedangkan [π, π, π] merupakan bilangan-
bilangan arah dari garis π. π merupakan jarak titik asal π(0,0,0) ke bidang
proyeksi.
b. Sudut yang dibentuk oleh proyeksi garis normal di bidang πππ dengan
sumbu π+ adalah
π = tanβ1 (π
π)
c. Jarak titik asal π(0,0,0) ke bidang proyeksi yang memiliki persamaan ππ₯ +
ππ¦ + ππ§ + π = 0 adalah:
π =π. 0 + π. 0 + π. 0 + π
βπ2 + π2 + π2
=π
βπ2 + π2 + π2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
92
d. Matrik rotasi salib sumbu terhadap sumbu π sejauh
π = tanβ1 (π
π) dari sumbu π+ adalah
ππππ‘π =
[
π
βπ2 + π2
π
βπ2 + π20 0
βπ
βπ2 + π2
π
βπ2 + π20 0
0 0 1 00 0 0 1]
Gambar 3.17 Rotasi terhadap sumbu π
Gambar 3.17 merupakan ilustrasi dari rotasi salib sumbu terhadap
sumbu π dengan besar sudut rotasinya adalah π diukur dari sumbu π+.
Rotasi tersebut mengakibatkan garis π berada pada bidang πβ²ππβ².
e. Matrik rotasi salib sumbu terhadap sumbu πβ² sejauh πΎ dari sumbu π+ adalah
MrotYβ² = [
cos πΎ 0 β sin πΎ 00 1 0 0
sin πΎ 0 cos πΎ 00 0 0 1
]
=
[ cos πΎ 0 β
βa2 + π2
βa2 + b2 + c20
0 1 0 0
βa2 + π2
βa2 + b2 + c20 cos πΎ 0
0 0 0 1]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
93
Gambar 3.18 Rotasi terhadap sumbu Yβ
Gambar 3.18 merupakan ilustrasi dari rotasi salib sumbu terhadap
sumbu πβ² dengan besar sudut rotasinya adalah πΎ diukur dari sumbu π+.
Rotasi tersebut mengakibatkan garis π berhimpit dengan bidang πβ².
Akibatnya persamaan bidang proyeksinya menjadi π§β² = π.
f. Matrik rotasi totalnya adalah
Mπππ‘π‘ππ‘ = MrotYβ² .ππππ‘π
=
[ a. cosΞ³
βa2 + π2
b. cosΞ³
βa2 + π2β
βa2 + π2
βa2 + b2 + c20
βb
βa2 + π2
a
βa2 + π20 0
πππ πΌ cosπ½ cosΞ³ 00 0 0 1]
g. Koordinat titik proyeksi terhadap salib sumbu yang baru:
[ π₯β²ππ¦β²ππ§β²π1 ]
=
[ a. cosΞ³
βa2 + π2
b. cosΞ³
βa2 + π2β
βa2 + π2
βa2 + b2 + c20
βb
βa2 + π2
a
βa2 + π20 0
πππ πΌ cosπ½ cosΞ³ 00 0 0 1]
. [
π₯π
π¦π
π§π
1
]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
94
=
[ a. π₯π. πππ πΎ
βa2 + π2+
b. π¦π. πππ πΎ
βa2 + π2β
π§πβa2 + π2
βa2 + b2 + c2
βb. π₯π
βa2 + π2+
a. π¦π
βa2 + π2
π₯π. πππ πΌ + π¦π. πππ π½ + π§ππππ πΎ
1 ]
diperoleh:
π₯β²π =a. π₯π. πππ πΎ
βa2 + π2+
b. π¦π. πππ πΎ
βa2 + π2β
π§πβa2 + π2
βa2 + b2 + c2
π¦β²π = βb. π₯π
βa2 + π2+
a. π¦π
βa2 + π2
π§β²π = π₯π. πππ πΌ + π¦π. πππ π½ + π§ππππ πΎ
h. Jika π₯πβ² = 0 dan π¦π
β² = 0, maka
πππππ =
[ π§β²π β π 0 0 0
0 π§β²π β π 0 0
0 0 βπ π. π§β²π0 0 β1 π§β²π ]
Gambar 3.19 Ilustrasi Titik Proyeksi berada di sumbu πβ²
sehingga matrik perspektifnya adalah
πππππ β² = ππππ‘πβ² .πππππ . ππππ‘π‘ππ‘
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
95
=
[ β
(π§πβ² β π). b
βa2 + π2
(π§πβ² β π). a
βa2 + π20 0
β(π§π
β² β π). a. cosΞ³
βa2 + π2
(π§πβ² β π). b. cosΞ³
βa2 + π2
(π§πβ² β π)βa2 + π2
βa2 + b2 + c20
βπ. πππ πΌ βπ. cosπ½ βr. cosΞ³ r. π§πβ²
βπππ πΌ βcosπ½ βcosΞ³ π§πβ² ]
i. Jika π₯πβ² β 0 atau π¦π
β² β 0, maka
πππππ . ππ‘ππππ =
[ π§π
β² β π 0 0 βπ₯πβ² (π§π
β² β π)
0 π§πβ² β π 0 βπ¦π
β²(π§πβ² β π)
0 0 βπ π. π§πβ²
0 0 β1 π§πβ² ]
Gambar 3.20 Ilustrasi Titik Proyeksi tidak berada di sumbu πβ²
sehingga matrik perspektifnya adalah
πππππ β² = ππππ‘πβ² . (πππππ . ππ‘ππππ )ππππ‘π‘ππ‘
=
[ β
(π§πβ² β π). b
βa2 + π2
(π§πβ² β π). a
βa2 + π20 βπ¦π
β²(π§πβ² β π)
β(π§π
β² β π). a. cosΞ³
βa2 + π2β
(π§πβ² β π). b. cosΞ³
βa2 + π2
(π§πβ² β π)βa2 + π2
βa2 + b2 + c2π₯π
β² (π§πβ² β π)
βπ. πππ πΌ βπ. cosπ½ βr. cosΞ³ r. π§πβ²
βπππ πΌ βcosπ½ βcosΞ³ π§πβ² ]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
96
Untuk lebih memahami matrik perspektif dengan koordinat titik proyeksi
π(π₯π, π¦π, π§π) dan bidang proyeksi ππ₯ + ππ¦ + ππ§ + π = 0, maka perhatikanlah
contoh berikut ini.
Contoh 3.16
Sebuah kubus π΄π΅πΆπ·. πΈπΉπΊπ» yang titik-titik sudutnya berada pada koordinat
π΄(0,0,0), π΅(2,0,0), πΆ(2, β2,0), π·(0, β2,0), πΈ(0,0, β2), πΉ(2,0, β2),
πΊ(2,β2,β2), π»(0,β2,β2). Akan dilukiskan kubus tersebut jika titik (0,10,2)
merupakan titik proyeksinya dan 3π₯ + 4π¦ = 20 merupakan persamaan bidang
proyeksinya. Koordinat homogen dari titik-titik tersebut adalah π΄β(2,2,0,1),
π΅β(2, β2,0,1), πΆβ(β2,β2,0,1), π·β(β2,2,0,1), πΈβ(2,2,4,1), πΉβ(2, β2,4,1),
πΊβ(β2,β2,4,1), π»β(β2,2,4,1). Karena persamaan bidang proyeksinya adalah
3π₯ + 4π¦ = 20, maka bilangan arah dari garis normal bidang proyeksi adalah
[3,4,0] dan cosinus-cosinus arahnya adalah:
cos πΌ =3
β32+42+02=
3
5
cos π½ =4
β32+42+02=
4
5
cos πΎ =0
β32+42+02= 0
Koordinat titik proyeksi setelah salib-salib sumbu dirotasikan adalah:
π₯πβ² =
a.π₯π.πππ πΎ
βa2+π2+
b.π¦π.πππ πΎ
βa2+π2β
π§πβa2+π2
βa2+b2+c2
=3.0.0
β32+42+
4.10.0
β32+42β
2.β32+42
β32+42+02
= β2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
97
π¦πβ² = β
b.π₯π
βa2+π2+
a.π¦π
βa2+π2
= β4.0
β32+42+
3.10
β32+42
= 6
π§πβ² = π₯π. πππ πΌ + π¦π. πππ π½ + π§ππππ πΎ
= 0.3
5+ 10.
4
5+ 2.0
= 8
Jarak titik asal π(0,0,0) ke bidang proyeksi adalah:
π = |3.0 + 4.0 + 0.0 β 20
β32 + 42 + 02|
= |β20
β5|
= 4
Jadi persamaan bidang proyeksi setelah salib-salib sumbu
ditransformasikan adalah π§ = 4. Karena π₯πβ² β 0 dan π¦π
β² β 0, maka matrik
perspektifnya adalah
πππππ =
[ β
(π§πβ² βπ).b
βa2+π2
(π§πβ² βπ).a
βa2+π20 βπ¦π
β²(π§πβ² β π)
β(π§π
β² βπ).a.cosΞ³
βa2+π2β
(π§πβ² βπ).b.cosΞ³
βa2+π2
(π§πβ² βπ)βa2+π2
βa2+b2+c2π₯π
β² (π§πβ² β π)
βπ. πππ πΌ βπ. cosπ½ βr. cosΞ³ r. π§πβ²
βπππ πΌ βcosπ½ βcosΞ³ π§πβ² ]
=
[ β
(8β4).4
β32+42
(8β4).3
β32+420 β6(8 β 4)
β(8β4).3.0
β32+42β
(8β4).4.0
β32+42
(8β4)β32+42
β32+42+02β2(8 β 4)
β4.3
5β4.
4
5β4.0 4.8
β3
5β
4
5β0 8 ]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
98
=
[ β
16
5
12
50 β24
0 0 4 β8
β12
5β
16
50 32
β3
5β
4
50 8 ]
Koordinat homogen dari hasil proyeksi perspektif titik-titik sudut kubus
π΄π΅πΆπ·. πΈπΉπΊπ» adalah:
π΄ββ² = πππππ . π΄β
=
[ β
16
5
12
50 β24
0 0 4 β8
β12
5β
16
50 32
β3
5β
4
50 8 ]
. [
2201
]
=
[ β
1285β
β8104
5β
265β ]
~
[ β
6413β
β2013β
41 ]
πΈββ² = πππππ . πΈβ
=
[ β
16
5
12
50 β24
0 0 4 β8
β12
5β
16
50 32
β3
5β
4
50 8 ]
. [
2241
]
=
[ β
1285β
8104
5β
265β ]
~
[ β
6413β
2013β
41 ]
π΅ββ² = πππππ . π΅β
=
[ β
16
5
12
50 β24
0 0 4 β8
β12
5β
16
50 32
β3
5β
4
50 8 ]
. [
2β201
]
=
[ β
1765β
β8168
5β
425β ]
~
[ β
8821β
β2021β
41 ]
πΉββ² = πππππ . πΉβ
=
[ β
16
5
12
50 β24
0 0 4 β8
β12
5β
16
50 32
β3
5β
4
50 8 ]
. [
2β241
]
=
[ β
1765β
8168
5β
425β ]
~
[ β
8821β
2021β
41 ]
πΆββ² = πππππ . πΆβ
=
[ β
16
5
12
50 β24
0 0 4 β8
β12
5β
16
50 32
β3
5β
4
50 8 ]
. [
β2β201
]
πΊββ² = πππππ . πΊβ
=
[ β
16
5
12
50 β24
0 0 4 β8
β12
5β
16
50 32
β3
5β
4
50 8 ]
. [
β2β241
]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
99
=
[ β
1125β
β8216
5β
545β ]
~
[ β
5627β
β2027β
41 ]
=
[ β
1125β
8216
5β
545β ]
~
[ β
5627β
2027β
41 ]
π·ββ² = πππππ . π·β
=
[ β
16
5
12
50 β24
0 0 4 β8
β12
5β
16
50 32
β3
5β
4
50 8 ]
. [
β2201
]
=
[ β
645β
β8152
5β
385β ]
~
[ β
3219β
β2019β
41 ]
π»ββ² = πππππ . π»β
=
[ β
16
5
12
50 β24
0 0 4 β8
β12
5β
16
50 32
β3
5β
4
50 8 ]
. [
β2241
]
=
[ β
645β
8152
5β
385β ]
~
[ β
3219β
2019β
41 ]
Dari perhitungan di atas diperoleh titik π΄ββ² (β
64
13, β
20
13, 4,1) ,
π΅ββ² (β
88
21, β
20
21, 4,1) , πΆβ
β² (β56
27, β
20
27, 4,1) , π·β
β² (β32
19, β
20
19, 4,1) , πΈβ
β² (β64
13,20
13, 4,1) ,
πΉββ² (β
56
27,20
27, 4,1) , πΊβ
β² (β56
27,20
27, 4,1) , π»β
β² (β32
19,20
19, 4,1) yang masing-masing
merupakan koordinat homogen dari titik π΄β² (β64
13, β
20
13, 4) ,
π΅β² (β88
21, β
20
21, 4) , πΆβ² (β
56
27, β
20
27, 4) , π·β² (β
32
19, β
20
19, 4) , πΈβ² (β
64
13,20
13, 4),
πΉβ² (β56
27,20
27, 4) , πΊβ² (β
56
27,20
27, 4) , π»β² (β
32
19,20
19, 4) dan merupakan hasil
proyeksi perspektif dari titik-titik sudut kubus π΄π΅πΆπ·. πΈπΉπΊπ».
Selanjutnya akan dilukiskan kubus tersebut ke bidang proyeksi π§ = 5.
Karena bidang proyeksinya adalah π§ = 5, maka komponen π§ pada setiap
koordinat gambar perspektif dapat diabaikan, dan sesuai kesepakatan, maka
komponen π₯ dalam koordinat ruang dari gambar perspektif suatu titik menjadi
komponen π₯ dalam koordinat bidang proyeksi dan komponen π¦ dalam koordinat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
100
ruang dari gambar perspektif suatu titik menjadi komponen y dalam koordinat
bidang proyeksi. Maka diperoleh koordinat gambar perspektif dari titik-titik
sudut kubus π΄π΅πΆπ·. πΈπΉπΊπ» dalam bidang proyeksi adalah
π΄β² (β64
13, β
20
13) , π΅β² (β
88
21, β
20
21) , πΆβ² (β
56
27, β
20
27) , π·β² (β
32
19, β
20
19) , πΈβ² (β
64
13,20
13) ,
πΉβ² (β56
27,20
27) , πΊβ² (β
56
27,20
27) , π»β² (β
32
19,20
19). Gambar 3.21 merupakan gambar
perspektif dari kubus ABCD.EFGH yang dilukiskan di bidang proyeksi 3π₯ +
4π¦ = 20
Gambar 3.21
Setelah kita memperoleh berbagai macam matrik perspektif sesuai dengan
berbagai macam kondisi, maka selanjutnya akan dibahas mengenai sifat-sifat garis
dalam gambar perspektif. Terdapat tiga sifat garis dalam gambar perspektif yang
akan diuraiakan dan dibuktikan pada subbab berikut ini.
E. Sifat Garis Dalam Gambar Perspektif
Sekarang akan dibahas mengenai sifat-sifat garis yang ada di β3 jika
digambarkan menggunakan teknik menggambar perspektif dalam bidang
proyeksi/bidang gambar.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
101
Sifat Garis 1:
Jika tiga titik pada objek gambar terletak pada satu garis dan melalui titik
proyeksi, maka gambar perspektifnya berupa titik. Jika tiga titik pada objek gambar
terletak pada satu garis yang tidak melewati titik proyeksi, maka gambar
perspektifnya juga akan terletak pada satu garis.
Andaikan titik π΄, π΅, dan πΆ merupakan tiga buah titik yang terletak pada objek
gambar, dan titik π merupakan titik proyeksi. Maka sifat garis yang pertama ingin
mengatakan bahwa jika titik π΄, π΅, πΆ kolinear, (misalkan π΄, π΅, πΆ terletak pada garis
π) dan π juga melalui titik π, maka gambar perspektif dari garis π adalah sebuah titik.
Sedangkan jika titik π΄, π΅, πΆ kolinear (misalkan π΄, π΅, πΆ terletak pada garis π) dan π
tidak melalui titik π, maka gambar perspektif dari garis π merupakan suatu garis
juga. Dengan kata lain jika titik π΄, π΅, πΆ kolinear maka titik π΄β², π΅β², πΆβ² juga kolinear.
Bukti:
Jika tiga titik pada objek gambar (π΄, π΅, dan πΆ) terletak pada satu garis π dan
melewati titik proyeksi, maka garis π tersebut menembus bidang proyeksi,
akibatnya gambar perspektif garis tersebut adalah sebuah titik.
Sekarang kondisi tersebut diperumum untuk garis yang melalui tiga titik yang
tidak melewati titik proyeksi. Maka berdasarkan teorema 2.2, dapat dibentuk
sebuah bidang yang melalui garis tersebut dan titik proyeksi. Kemudian
berdasarkan teorema 2.6 kedua bidang tersebut memiliki garis persekutuan. Garis
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
102
persekutuan tersebut merupakan gambar perspektif dari garis yang melalui tiga titik
yang diketahui. Maka gambar perspektif dari sebuah garis yang melalui tiga titik
juga merupakan sebuah garis pada bidang proyeksi/bidang gambar. Dengan kata
lain, jika titik π΄, π΅, πΆ kolinear maka titik π΄β², π΅β², πΆβ² juga kolinear
Gambar 3.22. Sifat Garis Pada Gambar Perspektif 1
Sifat Garis 2:
Kumpulan garis yang sejajar dan sejajar dengan bidang proyeksi dilukiskan
sebagai kumpulan garis yang sejajar pada bidang proyeksi.
Bukti:
Diberikan himpunan β = {π1, π2, β¦ , ππ} merupakan himpunan garis-garis lurus
yang saling sejajar dan sejajar dengan bidang gambar serta tidak melalui titik
proyeksi. Andaikan bidang proyeksinya adalah bidang U dan Titik P adalah titik
proyeksinya. Karena β merupakan himpunan garis-garis lurus yang saling sejajar
dan sejajar dengan bidang proyeksi maka π1 β₯ π2 β₯ β― β₯ ππ β₯ π dan akan dibuktikan
bahwa π1β² β₯ π2
β² β₯ β― β₯ ππβ² .
Pertama akan dibuktikan bahwa jika π1 β₯ π2 β₯ β― β₯ ππ β₯ π dan π1β² merupakan
hasil proyeksi perspektif dari garis π1 maka π1β² β₯ π1 β₯ π2 β₯ β― β₯ ππ. Lukislah sebuah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
103
bidang yang sejajar dengan bidang U dan memuat garis π1. Namakan bidang π1.
Karena π1β² merupakan hasil proyeksi perspektif dari garis π1 dan berdasarkan sifat
garis 1, maka π1β² dan π1 terletak pada bidang yang sama. Karena π β₯ π1 dan π1
β² dan
π1 terletak pada bidang yang sama maka π1β² β₯ π1. Akibatnya π1
β² β₯ π1 β₯ π2 β₯ β― β₯ ππ.
Kemudian akan dibuktikan bahwa jika π1 β₯ π2 β₯ β― β₯ ππ β₯ π dan π2β² merupakan
hasil proyeksi perspektif dari garis π2 maka π2β² β₯ π1 β₯ π2 β₯ β― β₯ ππ. Dengan cara yang
hampir sama untuk membuktikan π1β² β₯ π1 β₯ π2 β₯ β― β₯ ππ, maka terbukti bahwa π2
β² β₯
π1 β₯ π2 β₯ β― β₯ ππ. Karena π1β² β₯ π1 β₯ π2 β₯ β― β₯ ππ dan π2
β² β₯ π1 β₯ π2 β₯ β― β₯ ππ, maka π1β² β₯
π2β² . Kemudian secara umum dapat disimpulkan bahwa jika π1 β₯ π2 β₯ β― β₯ ππ β₯ π
maka π1β² β₯ π2
β² β₯ β― β₯ ππβ² . Jadi gambar perspektif dari kumpulan garis sejajar yang
sejajar dengan bidang proyeksi/gambar akan dilukiskan sebagai kumpulan garis
yang sejajar pada bidang proyeksi/gambar.
Sifat Garis 3:
Garis-garis yang saling sejajar dan tidak sejajar dengan bidang proyeksi
dilukiskan sebagai garis yang berpotongan di satu titik.
Bukti:
Perhatikan Gambar 3.23 Ambil sebarang garis π yang tidak sejajar dengan
bidang proyeksi, maka garis π akan berpotongan dengan bidang proyeksi. Misalkan
titik itu adalah titik C. Berdasarkan postulat 2.3 maka dapat dilukiskan sebuah garis
yang sejajar dengan π dan melalui koordinat titik proyeksi. Garis tersebut
menembus bidang proyeksi pada titik π. Berdasarkan teorema 2.4 dapat dilukiskan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
104
sebuah bidang yang memuat garis π dan ππβ‘βββ β, sehingga titik V terletak pada bidang
proyeksi dan bidang yang memuat garis π dan garis ππβ‘βββ β. Maka πΆπΜ Μ Μ Μ merupakan
gambar perspektif dari garis π.
Gambar 3.23 Ilustrasi Memperoleh Titik V
Ingat bahwa π adalah titik tembus dari garis yang sejajar dengan π dan melalui
titik π. Ambil sebarang garis π yang sejajar dengan π dan tidak melalui π. maka
garis π akan berpotongan dengan bidang proyeksi. Misalkan titik itu adalah titik
π΄. Berdasarkan postulat 2.3 maka dapat dilukiskan sebuah garis yang sejajar dengan
π dan melalui koordinat titik proyeksi. Garis tersebut menembus bidang proyeksi
pada titik πΎ. Berdasarkan teorema 2.4 dapat dilukiskan sebuah bidang yang memuat
garis π dan ππΎβ‘βββ β, sehingga titik πΎ terletak pada bidang proyeksi dan bidang yang
memuat garis π dan ππΎβ‘βββ β. Maka π΄πΎΜ Μ Μ Μ merupakan gambar perspektif dari garis π.
Sekarang akan dibuktikan π dan πΎ berimpit. Karena π β₯ π, garis ππβ‘βββ β β₯ π, dan
garis π β₯ ππΎβ‘βββ β, maka garis πΈπβ‘βββ β β₯ ππΎβ‘βββ β. Karena kedua garis ini sejajar dan melalui titik
π, maka πΎ dan π haruslah berimpit. Perhatikan gambar 3.24 berikut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
105
Gambar 3.24 Titik lenyap dari garis-garis yang sejajar dengan garis π
Akibatnya πΆπΜ Μ Μ Μ yang merupakan gambar perspektif dari garis π dan π΄πΜ Μ Μ Μ yang
merupakan gambar perspektif dari π berpotongan di satu titik yaitu titik V.
Jadi, gambar perspektif dari setiap garis yang sejajar dengan garis π haruslah
melewati titik V. Titik V disebut titik lenyap dari kumpulan garis yang sejajar
dengan garis π.
1. Titik Lenyap
Sekarang akan dicari koordinat titik lenyap secara analitik. Diberikan
himpunan β merupakan himpunan garis-garis lurus yang memiliki bilangan arah
[π, π, π]. Andaikan π, π, π, β¦ β β. ππβ‘βββ β β₯ π akibatnya garis ππβ‘βββ β memiliki bilangan
arah [π, π, π]. ππβ‘βββ β melalui titik π(π₯π, π¦π, π§π) dan memiliki bilangan arah [π, π, π],
maka persamaan garis ππβ‘βββ β adalah:
{
π₯ = ππ‘ + π₯π
π¦ = ππ‘ + π¦π
π§ = ππ‘ + π§π
a. Koordinat titik V jika bidang proyeksi adalah bidang π§ = π
Titik V merupakan titik tembus garis ππβ‘βββ β dengan bidang proyeksi.
Koorinat titik π(π₯π, π¦π, π§π) setelah ditransformasikan menjadi π(0,0, π§β²π)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
106
untuk bidang proyeksi π§ = π maka koordinat titik V dapat dicari dengan
memotongkan persamaan garis {
π₯ = ππ‘π¦ = ππ‘
π§ = ππ‘ + π§β²π
dengan persamaan bidang
π§ = π.
π = ππ‘ + π§β²π
ππ‘ = π β π§β²π
π‘ =πβπ§β²π
π................(1)
Subtitusi persamaan (1) ke π₯ = ππ‘ dan π¦ = ππ‘, diperoleh
π₯ = ππβπ§β²π
π
=π(πβπ§β²π)
π
π¦ = ππβπ§β²π
π
=π(πβπ§β²π)
π
Jadi koordinat titik V untuk bidang proyeksi π§ = π adalah
(π(πβπ§β²π)
π,π(πβπ§β²π)
π, π).
Dapat kita simpulkan bahwa semua garis yang memiliki bilangan arah
[π, π, π] dan tidak sejajar dengan bidang π§ = π akan bertemu di satu titik
yang memiliki koordinat (π(πβπ§β²π)
π,π(πβπ§β²π)
π, π).
b. Koordinat titik π jika bidang proyeksi adalah bidang π¦ = π
Titik V merupakan titik tembus garis ππβ‘βββ β dengan bidang proyeksi.
Koorinat titik π(π₯π, π¦π, π§π) setelah ditransformasikan menjadi π(0, π¦β²π, 0)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
107
untuk bidang proyeksi π¦ = π maka koordinat titik V dapat dicari dengan
memotongkan persamaan garis {π₯ = ππ‘
π¦ = ππ‘ + π¦β²ππ§ = ππ‘
dengan persamaan bidang
π¦ = π.
π = ππ‘ + π¦β²π
ππ‘ = π β π¦β²π
π‘ =πβπ¦β²π
π................(1)
Subtitusi persamaan (1) ke π₯ = ππ‘ dan π§ = ππ‘, diperoleh
π₯ = ππβπ¦β²π
π
=π(πβπ¦β²π)
π
π§ = ππβπ¦β²π
π
=π(πβπ¦β²π)
π
Jadi koordinat titik π untuk bidang proyeksi π¦ = π adalah
(π(πβπ¦β²π)
π, π,
π(πβπ¦β²π)
π).
Dapat kita simpulkan bahwa semua garis yang memiliki bilangan arah
[π, π, π] dan tidak sejajar dengan bidang π¦ = π akan bertemu di satu titik
yang memiliki koordinat (π(πβπ¦β²π)
π, π,
π(πβπ¦β²π)
π).
c. Koordinat titik π jika bidang proyeksi adalah bidang π₯ = π
Titik V merupakan titik tembus garis ππβ‘βββ β dengan bidang proyeksi.
Koorinat titik π(π₯π, π¦π, π§π) setelah ditransformasikan menjadi π(π₯β²π, 0,0)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
108
untuk bidang proyeksi π₯ = π, maka koordinat titik V dapat dicari dengan
memotongkan persamaan garis {π₯ = ππ‘ + π₯β²π
π¦ = ππ‘π§ = ππ‘
dengan persamaan bidang
π₯ = π.
π = ππ‘ + π₯β²π
ππ‘ = π β π₯β²π
π‘ =πβπ₯β²π
π................(1)
Subtitusi persamaan (1) ke π¦ = ππ‘ dan π§ = ππ‘, diperoleh
π¦ = ππβπ₯β²π
π
=π(πβπ₯β²π)
π
π§ = ππβπ₯β²π
π
=π(πβπ₯β²π)
π
Jadi koordinat titik π untuk bidang proyeksi π₯ = π adalah
(π,π(πβπ₯β²π)
π,π(πβπ₯β²π)
π).
Dapat kita simpulkan bahwa semua garis yang memiliki bilangan arah
[π, π, π] dan tidak sejajar dengan bidang π₯ = π akan bertemu di satu titik
yang memiliki koordinat (π,π(πβπ₯β²π)
π,π(πβπ₯β²π)
π). .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
110
BAB IV
PENUTUP
A. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil pembahasan, maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut:
1. a) Jika π(π₯π, 0,0) adalah koordinat titik proyeksi dan π₯ = π merupakan
persamaan bidang proyeksi maka matriks perspektif berbentuk
πππππ =
[ βπ 0 0 π. π₯π
0 π₯π β π 0 0
0 0 π₯π β π 0
β1 0 0 π₯π ]
.
b) Jika π(0, π¦π, 0) adalah koordinat titik proyeksi dan π¦ = π merupakan
persamaan bidang proyeksi maka matriks perspektif berbentuk
πππππ =
[ π¦π β π 0 0 0
0 βπ 0 π. π¦π
0 0 π¦π β π 0
0 β1 0 π¦π ]
c) Jika π(0,0, π§π) adalah koordinat titik proyeksi dan π§ = π merupakan
persamaan bidang proyeksi maka matriks perspektif berbentuk
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
111
πππππ =
[ π§π β π 0 0 0
0 π§π β π 0 0
0 0 βπ π. π§π
0 0 β1 π§π ]
d) Jika π(π₯π, π¦π, π§π) adalah koordinat titik proyeksi dan π₯ = π merupakan
persamaan bidang proyeksi maka matriks perspektif berbentuk
πππππ =
[ βπ 0 0 ππ₯π
0 βπ 0 βπ¦π(π₯π β π)
0 0 π₯π β π βπ§π(π₯π β π)
β1 0 0 π₯π ]
e) Jika π(π₯π, π¦π, π§π) adalah koordinat titik proyeksi dan π¦ = π merupakan
persamaan bidang proyeksi maka matriks perspektif berbentuk
πππππ =
[ π¦π β π 0 0 βπ₯π (π¦π β π)
0 βπ 0 ππ¦π
0 0 π¦π β π βπ§π (π¦π β π)
0 β1 0 π¦π ]
f) Jika π(π₯π, π¦π, π§π) adalah koordinat titik proyeksi dan π§ = π merupakan
persamaan bidang proyeksi maka matriks perspektif berbentuk
πππππ =
[ π§π β π 0 0 βπ₯π(π§π β π)
0 π§π β π 0 βπ¦π(π§π β π)
0 0 βπ ππ§π
0 0 β1 π§π ]
g) Jika π(π₯π, π¦π, π§π) adalah koordinat titik proyeksi dan ππ₯ + ππ¦ + ππ§ + π = 0
merupakan persamaan bidang proyeksi dengan π₯πβ² =
a.π₯π.πππ πΎ
βa2+π2+
b.π¦π.πππ πΎ
βa2+π2β
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
112
π§πβa2+π2
βa2+b2+c2= 0, π¦π
β² = βb.π₯π
βa2+π2+
a.π¦π
βa2+π2= 0 dan π§π
β² = π₯ππππ πΌ + π¦ππππ π½ +
π§ππππ πΎ, maka matrik perspektifnya adalah
πππππ =
[ β
(π§πβ² βπ).b
βa2+π2
(π§πβ² βπ).a
βa2+π20 0
β(π§π
β² βπ).a.cosΞ³
βa2+π2
(π§πβ² βπ).b.cosΞ³
βa2+π2
(π§πβ² βπ)βa2+π2
βa2+b2+c20
βπ. πππ πΌ βπ. cosπ½ βr. cosΞ³ r. π§πβ²
βπππ πΌ βcosπ½ βcosΞ³ π§πβ²
]
h) Jika π(π₯π, π¦π, π§π) adalah koordinat titik proyeksi dan ππ₯ + ππ¦ + ππ§ + π = 0
merupakan persamaan bidang proyeksi π₯πβ² =
a.π₯π.πππ πΎ
βa2+π2+
b.π¦π.πππ πΎ
βa2+π2β
π§πβa2+π2
βa2+b2+c2β 0, π¦π
β² = βb.π₯π
βa2+π2+
a.π¦π
βa2+π2β 0 dan π§π
β² = π₯ππππ πΌ + π¦ππππ π½ +
π§ππππ πΎ, maka matrik perspektifnya adalah
πππππ =
[ β
(π§πβ² βπ).b
βa2+π2
(π§πβ² βπ).a
βa2+π20 βπ¦π
β² (π§πβ² β π)
β(π§π
β² βπ).a.cosΞ³
βa2+π2β
(π§πβ² βπ).b.cosΞ³
βa2+π2
(π§πβ² βπ)βa2+π2
βa2+b2+c2π₯π
β² (π§πβ² β π)
βπ. πππ πΌ βπ. cosπ½ βr. cosΞ³ r. π§πβ²
βπππ πΌ βcosπ½ βcosΞ³ π§πβ²
]
2. Sifat-sifat garis dalam gambar perspektif sebagai berikut:
a) Gambar perspektif dari suatu garis pada β3 juga merupakan garis pada
bidang proyeksi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
113
b) Garis-garis yang sejajar pada β3 dan sejajar dengan bidang proyeksi akan
digambarkan sebagai garis-garis yang sejajar pula.
c) Garis-garis yang sejajar pada β3 tetapi tidak sejajar dengan bidang
proyeksi akan digambarkan sebagai garis-garis yang berpotongan pada
satu titik. Titik tersebut dinamakan titik lenyap.
3. a) Jika bidang proyeksi memiliki persamaan π₯ = π, maka koordinat titik
lenyapnya adalah (π,π(πβπ₯π)
π,π(πβπ₯π)
π) .
b) Jika bidang proyeksi memiliki persamaan π¦ = π, maka koordinat titik
lenyapnya adalah (π(πβπ¦π)
π, π,
π(πβπ¦π)
π).
c) Jika bidang proyeksi memiliki persamaan π§ = π, maka koordinat titik
lenyapnya adalah (π(πβπ§π)
π,π(πβπ§π)
π, π).
B. SARAN
Untuk penulisan selanjutnya, skripsi ini dapat dikembangkan dengan
membuat program untuk melukis gambar perspektif dari suatu titik dengan
koordinat titik proyeksi dan persamaan bidang proyeksi yang telah diketahui serta
mengkaji untuk sifat-sifat segmen garis dalam gambar perspektif.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
114
DAFTAR PUSTAKA
Anton, Howard. 2010. Elementary Linear Algebra 10π‘β Edition. World Colour
USA: United States of America.
Byer, Owen, Felix Lazebnik, and Deirdre L. Smeltzer. 2010. Methods for Euclidean
Geometry. Mathematical Association of America: United States of
America.
Carico, Charles C. and Irving Drooyan. 1980. Analytic Geometry. John Wiley &
Sons Incorporation: Canada.
Fuller, Gordon and Dalton Tarwater. 1986. Analytic Geometry Edition. Addison-
Wesley Publishing Company Incorporation: United States of America.
Hearn, Donald and M. Pauline Baker. 1986. Computer Graphic. Prentice-Hall
Incorporation: United States of America.
Kalajdzievski, Sasho. 2008. Math and Art: An Introduction to Visual Mathematics.
CRC Press: United States of America.
Millman, Richard S. and George D. Parker. 1991. Geometry: A Metric Approach
with Models Edition. Springer: New York.
Prenowitz, Walter and Meyer Jordan. 1989. Basic Concept of Geometry. Blaisdell
Publishing Company: London.
Stillwell, John. 2005. The Four Pillars of Geometry. Springer: United States of
America
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
115
Wallace, Edward C. and Stephen F. West. 1992. Roads to Geometry. Prentice-Hal,
Incorporation: United States of America.
Zakaria, T., Ilmu Ukur Ruang. N.V. Keng po: Jakarta.
http://mathworld.wolfram.com/
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI