matrices y vectores derivadas sumatoria y series...

Matrices y vectoresDerivadas

Sumatoria y series elementales

Curso de nivelación Estadística y Matemática

Segunda clase: Matrices y derivadas

Luis Diego Fernández Gómez

Programa Técnico en Riesgo, 2017

Luis Diego Fernández Gómez Repaso Matemática



Agenda

1 Matrices y vectores

Vectores

Suma y resta de Matrices

Multiplicación de Matrices

Inversa de una matriz

Cadenas de Markov

2 Derivadas

De�nición

Reglas de diferenciación

Derivadas parciales

3 Sumatoria y series elementales

Sumatoria

Series elementales




VectoresSuma y resta de MatricesMultiplicación de MatricesInversa de una matrizCadenas de Markov

De�nición de matrices

¾Qué es una matriz?

Se de�ne como un arreglo rectangular de números, parámetros

o variables. Los números miembros del arreglo, normalmente se

conocen como elementos. Por convención, las matrices se

representan con letras en mayúsculas.

Ejemplo

Los pagos de un conjunto de activos en cada estado de la

naturaleza.





Dimensión

¾Qué es la dimensión de una matriz?

Es el número de �las (m) y el número de columnas (n) conque cuenta una matriz especí�ca.

Ejemplo matriz de dimensión (mx n)

A=

a11 a12 . . . a1na21 a22...

. . .

am1 amn





Otras de�niciones

¾Qué es una matriz cuadrada?

Cuando tiene la misma cantidad de �las que de columnas

(caso particular si la matriz es de dimensión 1, lo cual

llamamos escalar).

¾Qué es una igualdad de matrices?

Si se tiene el mismo orden y además cada elemento es igual en

ambas matrices.





Agenda


Vectores




Cadenas de Markov

2 Derivadas

De�nición


Derivadas parciales


Sumatoria

Series elementales





Vectores

¾Qué es un vector?

Es una matriz de una sóla �la o de una columna.

Ejemplo vector columna de 4x1

B =

1

2

3

4

Ejemplo vector �la de 1x4

C =[5 6 7 8

]Luis Diego Fernández Gómez Repaso Matemática




Agenda


Vectores




Cadenas de Markov

2 Derivadas

De�nición


Derivadas parciales


Sumatoria

Series elementales






¾Cómo se suma y restan las matrices?

Sean A y B dos matrices de orden mx n (mismo orden), su

suma (o resta) es una matriz C de orden mx n donde cada

elemento de C es la suma (o resta) de los elementos

correspondientes de A y B.

Conformabilidad para la suma

Cuando dos matrices tienen la misma dimensión.






Ejemplo

A=

[1 2 3

0 1 4

]

B =

[2 3 0

−1 2 5

]

A+B =

[3 5 3

−1 3 9

]A−B =

[−1 −1 3

1 −1 −1

]





Algunas propiedades importantes

Propiedades de la aditividad de matrices

A+B = B+A

A+(B+C ) = (A+B)+C

k (A+B) = kA+kB = (A+B)k





Agenda


Vectores




Cadenas de Markov

2 Derivadas

De�nición


Derivadas parciales


Sumatoria

Series elementales





Multiplicación de una matriz por un Escalar

¾Cómo se multiplica una matriz por un escalar?

Sea A una matriz y k un escalar, su multiplicación es la

multiplicación de cada elemento de A por k .

Ejemplo

A=

[1 2

3 4

]k = 3

A∗k =

[3 6

9 12





Multiplicación de vectores y matrices

Principio básico

Multiplicar �las por columnas.

Conformables para la multiplicación

Cuando los vectores o matrices son compatibles para la

multiplicación. Para esto el número correspondiente a las

columnas de la primera matriz (vector) debé ser igual al

correspondiente a las �las de la segunda matriz (vector).





Multiplicación de vectores

Ejemplo

D =[2 3 4

]E =

1

−12

D ∗E =

[7]

F =[3 −1 4

]G =

−263

F ∗G = [0]





Multiplicación de vectores

Ejemplo

H =

[1 2 1

4 0 2

]

I =

3 −41 5

−2 2

H ∗ I =

[3 8

8 −12

]






Propiedades de la multiplicación de matrices

A(BC ) = (AB)C

A(B+C ) = AB+AC

(A+B)C = AC +BC

k (AB) = (kA)B = A(kB) = (AB)k





Otras de�niciones

¾Qué es una matriz transpuesta?

La transpuesta de una matriz A se obtiene intercambiando sus

�las por sus columnas y se denota como A′.

Ejemplo

J =

[1 2

3 4

]

J ′ =

[1 3

2 4

]

K =

[2 3 7

1 −1 5

]

K ′ =

2 1

3 −17 5





Otras de�niciones

¾Qué es una matriz simétrica?

Es aquella que cumple que A= A′.

Ejemplo

L=

[1 2

2 1

]

L′ =

[1 2

2 1

]





Otras de�niciones

¾Qué es una matriz identidad?

Es una matriz diagonal de unos, es decir, una matriz

cuadrada donde todos los elementos fuera de la diagonal

principal son ceros y los elementos dentro de la diagonal son

unos.

Ejemplo

I3 =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I2 =

[1 0

0 1





Agenda


Vectores




Cadenas de Markov

2 Derivadas

De�nición


Derivadas parciales


Sumatoria

Series elementales






¾Qué es la inversa de una matriz?

Si A y B son dos matrices cuadradas tales que AB = I .

Ejemplo

M =

1 2 3

1 3 3

1 2 4

N =

6 −2 −3−1 1 0

−1 0 1

M ∗N =

1 0 0

0 1 0

0 0 1






¾Cómo saber si una matriz tiene inversa?

Para esto se obtiene el determinante. Si el determinante es

diferente de 0 se dice que la matriz es una matriz no singular

(o sea tiene inversa) pero si el determinante es igual a 0 se

dice que la matriz es singular (o sea no tiene inversa).





Agenda


Vectores




Cadenas de Markov

2 Derivadas

De�nición


Derivadas parciales


Sumatoria

Series elementales





Cadenas de Markov

¾Qué es una Cadena de Markov?

Se emplean para medir o estimar movimientos en el tiempo.

Requiere el uso de una Matriz de transición de Markov (o

�Markov�), donde cada valor en la matriz es una probabilidad

de pasar de un estado (ubicación, trabajo, etc.) a otro

estado.También hay un vector que contiene la distribución

inicial en los distintos estados.

Ejemplo

x ′o =[A0 B0

]M =

[PAA PAB

PBA PBB





Cadenas de Markov

Ejemplo

x ′tM = x ′t+1

x ′t+1M = x ′t+2

x ′tMM = x ′t+2

x ′tM2 = x ′t+2

...

x ′tMn = x ′t+n




De�niciónReglas de diferenciaciónDerivadas parciales

Agenda


Vectores




Cadenas de Markov

2 Derivadas

De�nición


Derivadas parciales


Sumatoria

Series elementales





¾Qué es una derivada?

¾Qué es una derivada?

Es una función que mide como cambia la variable y ante

cambios in�nidesimales en x . Famosa por su representación

geométrica (la pendiente de una curva). Es el resultado del

siguiente cociente de diferencias:

dy

dx= lim4x→0

4y

4x= lim4x→0

f (x0+4x)− f (x0)

4x

Ejemplo

y = 3x2−4





Pendiente de una curva





Agenda


Vectores




Cadenas de Markov

2 Derivadas

De�nición


Derivadas parciales


Sumatoria

Series elementales





Reglas para una función de una variable

Derivada de una constante

y = k

dy

dx= 0

Derivada de una potencia

y = xn

dy

dx= nxn−1





Reglas con dos o más funciones de la misma variable

Derivada de una suma o resta

d

dx[f (x)±g (x)] = f ′ (x)±g ′ (x)

Derivada de un producto

d

dx[f (x)g (x)] = f (x)g ′ (x)+ f ′ (x)g (x)

Derivada de un cociente

d

dx

[f (x)

g (x)

]=

f ′ (x)g (x)− f (x)g ′ (x)

g2 (x)





Reglas para funciones de variables diferentes

Regla de la cadena

Si tenemos una función diferenciable z = f (y), donde y es a

su vez una función diferenciable de otra variable x , y = g (x),entonces la derivada de z respecto a x es igual a la derivada

de z repecto y , por la derivada de y respecto a x .

Ejemplo

Sea z = 3y2 y y = 2x+5, entonces:

dz

dx= 6y ∗2= 12y = 12(2x+5)





Agenda


Vectores




Cadenas de Markov

2 Derivadas

De�nición


Derivadas parciales


Sumatoria

Series elementales





Diferenciación parcial

Diferenciación Parcial

y = f (x1,x2, ...,xn)

Si mantienen constantes (n−1) variables independientes mientras

se permite que cambie una variable se obtiene.

Ejemplo

f (x1,x2) = 3x21 + x1x2+4x22

∂y

∂x1= 6x1+ x2

∂y

∂x2= x1+8x2




SumatoriaSeries elementales

Agenda


Vectores




Cadenas de Markov

2 Derivadas

De�nición


Derivadas parciales


Sumatoria

Series elementales





Sumatoria


La sumatoria del producto de una constante (a) por unavariable es igual al producto de la constante por la sumatoria

de la variable.n

∑i=1

axi = an

∑i=1

xi





Sumatoria


La sumatoria de la suma algebraica de dos o más variables, es

igual a la suma algebraica de las sumatorias de las variables.

n

∑i=1

(xi + yi − zi ) =n

∑i=1

xi +n

∑i=1

yi −n

∑i=1

zi





Sumatoria


La sumatoria de una constante (a), tomada de 1 a n, es igual

a n veces la constante.n

∑i=1

a= na





Agenda


Vectores




Cadenas de Markov

2 Derivadas

De�nición


Derivadas parciales


Sumatoria

Series elementales





Series elementales

Suma de términos

Sea k un índice de sumación, y entenderemos que los valores

que toma este índice son 1,2, ..,n.

Sn = 1+2+ ...+n

Sn =n

∑i=1

k =n(n+1)

2





Series elementales

Progresión geométrica

Sea la siguiente serie con r 6= 1.

Sn = 1+ r + r2...+ rn

Sn =n

∑i=0

r i =1− rn+1

1− r





Series elementales

Progresión geométrica de una serie in�nita

Si se tiene la siguiente serie in�nita con |r |< 1.

∞

∑i=0

r i =1

1− r

∞

∑i=1

r i =r

1− r





Bibliografía

Chiang, A. Wainwright, K

Métodos fundamentales de economía matemática. Mc Graw-Hill,

2006.

Parra, A

Álgebra MatricialTrabajo docente, Pontifícia Universidad Católica de Chile.

Steward, J.

Cálculo de una variableThomson Learning, 2001.


matrices y vectores derivadas sumatoria y series...

Documents