MATRICES

MATRICES

• INTRODUCCION

Definición:

Una matriz es todo aquel arreglo rectangular de elementos de R ó C en filas y columnas perfectamente definidas. Una matriz no está asociada a un valor real o complejo.

• Ejemplo: Es una matriz de elementos:2,3,9 y 29.

2 39 29

1. Notación Matricial

A las matrices se les designa mediante símbolos o letras mayúsculas y a los elementos con la designación Aij.

• Donde: i: es la fila i – ésima. j: es la columna j – esima.

A los elementos de las matriz se les aísla mediante el uso de paréntesis o corchetes.

• Ejemplo:

A= B=(7 4 9 5 ); C= [ a i j ] Una matriz carece de valor numérico.

3 97 152 23

FILAS

COLUMNAS

2. Orden de una Matriz Se establece por el producto de una matriz.

• Donde: m: Es el número de filas de la matriz. n: Es el número de columnas de la matriz.• Ejemplo:

A= es una matriz de 3. 2; es decir 3 filas y 2 columnas.

También A= ( a i j ) m * n que es la notación abreviada.

3 97 152 23

3. Igualdad de matrices Dos matrices M y N son iguales si verifican: i: Igualdad de orden ii: Igualdad de elementos correspondientes.

• Ejemplo:

B= y M = B = M 3*2 3*2

13 47 2915 37

13 47 2915 37

4. Matriz Cuadrada

Si el número de filas es igual que el número de columnas.

• Ejemplo:

M= es una matriz cuadrada.

41 2937 87

• Únicamente las matrices cuadradas poseen diagonales denominadas principal y secundaria.

• Ejemplo: Es la diagonal secundaria

Es la diagonal principal

11 5 81

21 10 18

3 29 9

5. La Matriz Nula

Aquella cuyos elementos son iguales a cero.

• Ejemplo:

H= ; Q=0 0 0 0

0 0 0 00 0

6. La Matriz Diagonal

Es la matriz cuadrada cuyos elementos son iguales a cero con excepción de los elementos de la diagonal principal.

• Ejemplo:

M = ; M=

4 0 0 15

17 0 0

0 5 0 0 0 23

7. La Matriz Escalar

Es toda matriz diagonal en La cual todo sus elementos son iguales.

• Ejemplo:

Q= ; T=12 0 0 12

5 0 0 0 5 00 0 5

8. La Matriz Identidad

• Es toda matriz diagonal en la cual los elementos de la diagonal principal son iguales que la unidad.

• Ejemplo:

G= = I

1 0 0 0 1 00 0 1

9. Transpuestas de una matriz ( )

Es la que se obtiene de transformar las filas en columnas.

• Ejemplo:

A= =9 35 41 2 10 38

9 2

35 10

41 88

10. Matriz Simétrica Si A es matriz cuadrada y A =

• Ejemplo:

A= =

Los elementos simétricos de la diagonal principal son iguales.

2 5 11 5 4 1711 17 6

2 5 11

5 4 17

11 17 6

11. Matriz Antisimétrica Si A es cuadrada y A = - A es Asimétrica.

• Ejemplo:

A= ; = A = -

A es Antisimétrica.

0 -4 -9 4 0 -169 16 0

0 4 9

-4 0 16

-9 -16 0

12. Adición de Matrices Si A y B poseen el mismo orden, la suma se realiza con los elementos

correspondientes.

• Ejemplo:

A= y B= 2*3 2*3

Por tener iguales ordenes.

A + B = . A + B =

2 31 67 41 8

10 60 80

40 90 100

2 + 10 31 + 60 6 + 80 7 + 40 41 + 90 8 + 100

12 91 68 47 131 108

13. Axiomas de la Adición de Matrices: M, N y P

• M + N = N + M Conmutatividad

• (M + N) + P = M + (N + P) Asociatividad

• K (M + N) = KM + KN, Si “K” es escalar o elemento de R • 1. M = M

• -M = (-1)M Existencia del elemento opuesto

• M – N = M + (-M) definición de sustracción de matrices.

14. Multiplicación de un Escalar por una Matriz

Al multiplicar una matriz por un escalar K, éste se distribuye sobre cada elemento de la matriz.

• Ejemplo:

40. = = 5 7

3 119 2

5.40 7.40 3.40 11.40 9.40 2.40

200 280 120 440 360 80

15. Multiplicación de una Matriz Fila por una Matriz columna

Si A es un matriz de orden 1.n y B una matriz de orden n.1, luego A.B es de orden 1.1 (un elemento de R).

A.B = [a11 b11 + a12 b21 + a13 b31 + … + a1n bn1]

• Ejemplo:

(2 5 18)1.3 = (2.3 + 5.4 + 18.7 )1.1 = (6+20+126)1.1 = (152)1.1

3.1

347

16. Multiplicación de dos Matrices Definición: Sean las matrices [a i j]m*n y [b i j]n*p

[a i j]m*n X [b j k]n*p = [c i x]m*p

• Ejemplo:

= = 2*2 2*1 2*1

2*1

= =

2*1 2*1

7 94 3

(7 9) g h j

(4 3) g d f

14

11

14

11

14

11

7.14 + 9.11

4.14 + 3.11

98 + 99

56 + 33

197

89

17. Axioma de la Multiplicación de Matrices: A, B y C

i. A.B B.Aii. A.B = B.A A = Biii. (A+B).C = A.C + B.C iv. C.(A+B) = C.A + C.Bv. A.B.C = A.(B.C) = (A.B).Cvi. A.A = A vii. A. A = A y A . A = A

18. Determinante de una Matriz cuadrada

A = det A det = = ad - bc a cb a

a cb d

19. Menor de una Matriz cuadrada Es una matriz cuadrada de orden n, se denomina menor “Mij”

a la matriz cuadrada de orden “n-1” que resulta de eliminar los elementos de la fila i y la columna j, luego del (Mij) se denominará menor complementaria de la matriz M.

• Ejemplo:

M= M31=

M31 = M31=

3 7 114 8 319 2 41

Eliminar la fila 3Y la columna 1

3 7 114 8 319 2 41

7 11 8 31

Es el menor del elemento a31

20. Cofactor del elemento aij de una matriz cuadrada

Si aij es el elemento y mij es el menor, se define el cofactor del elemento aij como:

aij = (-1) det (mij)

21. Matriz de cofactores

• Sea M una matriz cuadrada de orden n tal que Aij es el factor del elemento aij y sea Cofac (M) la matriz de los cofactores de M.

cofac. (M)

A11 A12…………… Am A21 A22 ……….... A2m A31 A32 ……………A3m…………………………………… An1 An2 Anm

22. Matriz Adjunta

La matriz adjunta de M es la matriz transpuesta

de la matriz de los cofactores de M, si:

Adjunta (M) = [Cofact (M)]

23. La Matriz Inversa

• Si M es una matriz cuadrada, se denomina matriz inversa como M y definida por:

M = x [Adjunta(M)]; det (M) 0

24. Propiedad

M.M = I o M . M = I

25. Sea el sistema de ecuaciones simultáneos de incógnitas x e y

ax + by = p = . mx + ny = q

Xy

a bm n

Pq

• Ó

ax + by + cz = p mx + ny + qz = r = . ix + ky + mz = t

XYz

a b cm n q I k u

prt

MATRIZ DE INCOGNITAS

MATRIZ INVERSA DE LOS

COEFICIENTES

MATRIZ DE LOS TERMINOS

INDEPENDIENTES