Download - matrices
![Page 1: matrices](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062811/5695d4301a28ab9b02a09865/html5/thumbnails/1.jpg)
MATRICES
![Page 2: matrices](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062811/5695d4301a28ab9b02a09865/html5/thumbnails/2.jpg)
MATRICES
• INTRODUCCION
![Page 3: matrices](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062811/5695d4301a28ab9b02a09865/html5/thumbnails/3.jpg)
Definición:
Una matriz es todo aquel arreglo rectangular de elementos de R ó C en filas y columnas perfectamente definidas. Una matriz no está asociada a un valor real o complejo.
• Ejemplo: Es una matriz de elementos:2,3,9 y 29.
2 39 29
![Page 4: matrices](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062811/5695d4301a28ab9b02a09865/html5/thumbnails/4.jpg)
1. Notación Matricial
A las matrices se les designa mediante símbolos o letras mayúsculas y a los elementos con la designación Aij.
• Donde: i: es la fila i – ésima. j: es la columna j – esima.
![Page 5: matrices](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062811/5695d4301a28ab9b02a09865/html5/thumbnails/5.jpg)
A los elementos de las matriz se les aísla mediante el uso de paréntesis o corchetes.
• Ejemplo:
A= B=(7 4 9 5 ); C= [ a i j ] Una matriz carece de valor numérico.
3 97 152 23
FILAS
COLUMNAS
![Page 6: matrices](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062811/5695d4301a28ab9b02a09865/html5/thumbnails/6.jpg)
2. Orden de una Matriz Se establece por el producto de una matriz.
• Donde: m: Es el número de filas de la matriz. n: Es el número de columnas de la matriz.• Ejemplo:
A= es una matriz de 3. 2; es decir 3 filas y 2 columnas.
También A= ( a i j ) m * n que es la notación abreviada.
3 97 152 23
![Page 7: matrices](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062811/5695d4301a28ab9b02a09865/html5/thumbnails/7.jpg)
3. Igualdad de matrices Dos matrices M y N son iguales si verifican: i: Igualdad de orden ii: Igualdad de elementos correspondientes.
• Ejemplo:
B= y M = B = M 3*2 3*2
13 47 2915 37
13 47 2915 37
![Page 8: matrices](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062811/5695d4301a28ab9b02a09865/html5/thumbnails/8.jpg)
4. Matriz Cuadrada
Si el número de filas es igual que el número de columnas.
• Ejemplo:
M= es una matriz cuadrada.
41 2937 87
![Page 9: matrices](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062811/5695d4301a28ab9b02a09865/html5/thumbnails/9.jpg)
• Únicamente las matrices cuadradas poseen diagonales denominadas principal y secundaria.
• Ejemplo: Es la diagonal secundaria
Es la diagonal principal
11 5 81
21 10 18
3 29 9
![Page 10: matrices](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062811/5695d4301a28ab9b02a09865/html5/thumbnails/10.jpg)
5. La Matriz Nula
Aquella cuyos elementos son iguales a cero.
• Ejemplo:
H= ; Q=0 0 0 0
0 0 0 00 0
![Page 11: matrices](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062811/5695d4301a28ab9b02a09865/html5/thumbnails/11.jpg)
6. La Matriz Diagonal
Es la matriz cuadrada cuyos elementos son iguales a cero con excepción de los elementos de la diagonal principal.
• Ejemplo:
M = ; M=
4 0 0 15
17 0 0
0 5 0 0 0 23
![Page 12: matrices](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062811/5695d4301a28ab9b02a09865/html5/thumbnails/12.jpg)
7. La Matriz Escalar
Es toda matriz diagonal en La cual todo sus elementos son iguales.
• Ejemplo:
Q= ; T=12 0 0 12
5 0 0 0 5 00 0 5
![Page 13: matrices](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062811/5695d4301a28ab9b02a09865/html5/thumbnails/13.jpg)
8. La Matriz Identidad
• Es toda matriz diagonal en la cual los elementos de la diagonal principal son iguales que la unidad.
• Ejemplo:
G= = I
1 0 0 0 1 00 0 1
![Page 14: matrices](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062811/5695d4301a28ab9b02a09865/html5/thumbnails/14.jpg)
9. Transpuestas de una matriz ( )
Es la que se obtiene de transformar las filas en columnas.
• Ejemplo:
A= =9 35 41 2 10 38
9 2
35 10
41 88
![Page 15: matrices](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062811/5695d4301a28ab9b02a09865/html5/thumbnails/15.jpg)
10. Matriz Simétrica Si A es matriz cuadrada y A =
• Ejemplo:
A= =
Los elementos simétricos de la diagonal principal son iguales.
2 5 11 5 4 1711 17 6
2 5 11
5 4 17
11 17 6
![Page 16: matrices](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062811/5695d4301a28ab9b02a09865/html5/thumbnails/16.jpg)
11. Matriz Antisimétrica Si A es cuadrada y A = - A es Asimétrica.
• Ejemplo:
A= ; = A = -
A es Antisimétrica.
0 -4 -9 4 0 -169 16 0
0 4 9
-4 0 16
-9 -16 0
![Page 17: matrices](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062811/5695d4301a28ab9b02a09865/html5/thumbnails/17.jpg)
12. Adición de Matrices Si A y B poseen el mismo orden, la suma se realiza con los elementos
correspondientes.
• Ejemplo:
A= y B= 2*3 2*3
Por tener iguales ordenes.
A + B = . A + B =
2 31 67 41 8
10 60 80
40 90 100
2 + 10 31 + 60 6 + 80 7 + 40 41 + 90 8 + 100
12 91 68 47 131 108
![Page 18: matrices](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062811/5695d4301a28ab9b02a09865/html5/thumbnails/18.jpg)
13. Axiomas de la Adición de Matrices: M, N y P
• M + N = N + M Conmutatividad
• (M + N) + P = M + (N + P) Asociatividad
• K (M + N) = KM + KN, Si “K” es escalar o elemento de R • 1. M = M
• -M = (-1)M Existencia del elemento opuesto
• M – N = M + (-M) definición de sustracción de matrices.
![Page 19: matrices](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062811/5695d4301a28ab9b02a09865/html5/thumbnails/19.jpg)
14. Multiplicación de un Escalar por una Matriz
Al multiplicar una matriz por un escalar K, éste se distribuye sobre cada elemento de la matriz.
• Ejemplo:
40. = = 5 7
3 119 2
5.40 7.40 3.40 11.40 9.40 2.40
200 280 120 440 360 80
![Page 20: matrices](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062811/5695d4301a28ab9b02a09865/html5/thumbnails/20.jpg)
15. Multiplicación de una Matriz Fila por una Matriz columna
Si A es un matriz de orden 1.n y B una matriz de orden n.1, luego A.B es de orden 1.1 (un elemento de R).
A.B = [a11 b11 + a12 b21 + a13 b31 + … + a1n bn1]
• Ejemplo:
(2 5 18)1.3 = (2.3 + 5.4 + 18.7 )1.1 = (6+20+126)1.1 = (152)1.1
3.1
347
![Page 21: matrices](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062811/5695d4301a28ab9b02a09865/html5/thumbnails/21.jpg)
16. Multiplicación de dos Matrices Definición: Sean las matrices [a i j]m*n y [b i j]n*p
[a i j]m*n X [b j k]n*p = [c i x]m*p
• Ejemplo:
= = 2*2 2*1 2*1
2*1
= =
2*1 2*1
7 94 3
(7 9) g h j
(4 3) g d f
14
11
14
11
14
11
7.14 + 9.11
4.14 + 3.11
98 + 99
56 + 33
197
89
![Page 22: matrices](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062811/5695d4301a28ab9b02a09865/html5/thumbnails/22.jpg)
17. Axioma de la Multiplicación de Matrices: A, B y C
i. A.B B.Aii. A.B = B.A A = Biii. (A+B).C = A.C + B.C iv. C.(A+B) = C.A + C.Bv. A.B.C = A.(B.C) = (A.B).Cvi. A.A = A vii. A. A = A y A . A = A
![Page 23: matrices](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062811/5695d4301a28ab9b02a09865/html5/thumbnails/23.jpg)
18. Determinante de una Matriz cuadrada
A = det A det = = ad - bc a cb a
a cb d
![Page 24: matrices](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062811/5695d4301a28ab9b02a09865/html5/thumbnails/24.jpg)
19. Menor de una Matriz cuadrada Es una matriz cuadrada de orden n, se denomina menor “Mij”
a la matriz cuadrada de orden “n-1” que resulta de eliminar los elementos de la fila i y la columna j, luego del (Mij) se denominará menor complementaria de la matriz M.
• Ejemplo:
M= M31=
M31 = M31=
3 7 114 8 319 2 41
Eliminar la fila 3Y la columna 1
3 7 114 8 319 2 41
7 11 8 31
Es el menor del elemento a31
![Page 25: matrices](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062811/5695d4301a28ab9b02a09865/html5/thumbnails/25.jpg)
20. Cofactor del elemento aij de una matriz cuadrada
Si aij es el elemento y mij es el menor, se define el cofactor del elemento aij como:
aij = (-1) det (mij)
![Page 26: matrices](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062811/5695d4301a28ab9b02a09865/html5/thumbnails/26.jpg)
21. Matriz de cofactores
• Sea M una matriz cuadrada de orden n tal que Aij es el factor del elemento aij y sea Cofac (M) la matriz de los cofactores de M.
cofac. (M)
A11 A12…………… Am A21 A22 ……….... A2m A31 A32 ……………A3m…………………………………… An1 An2 Anm
![Page 27: matrices](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062811/5695d4301a28ab9b02a09865/html5/thumbnails/27.jpg)
22. Matriz Adjunta
La matriz adjunta de M es la matriz transpuesta
de la matriz de los cofactores de M, si:
Adjunta (M) = [Cofact (M)]
![Page 28: matrices](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062811/5695d4301a28ab9b02a09865/html5/thumbnails/28.jpg)
23. La Matriz Inversa
• Si M es una matriz cuadrada, se denomina matriz inversa como M y definida por:
M = x [Adjunta(M)]; det (M) 0
![Page 29: matrices](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062811/5695d4301a28ab9b02a09865/html5/thumbnails/29.jpg)
24. Propiedad
M.M = I o M . M = I
![Page 30: matrices](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062811/5695d4301a28ab9b02a09865/html5/thumbnails/30.jpg)
25. Sea el sistema de ecuaciones simultáneos de incógnitas x e y
ax + by = p = . mx + ny = q
Xy
a bm n
Pq
![Page 31: matrices](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062811/5695d4301a28ab9b02a09865/html5/thumbnails/31.jpg)
• Ó
ax + by + cz = p mx + ny + qz = r = . ix + ky + mz = t
XYz
a b cm n q I k u
prt
MATRIZ DE INCOGNITAS
MATRIZ INVERSA DE LOS
COEFICIENTES
MATRIZ DE LOS TERMINOS
INDEPENDIENTES