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Matlab, matrices y transformaciones geométricas en el plano y en el espacioValentín Gregori Gregori | Bernardino Roig Sala

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Matlab, matrices y transformaciones geométricas en el plano y en el espacioValentín Gregori Gregori | Bernardino Roig Sala

XXXXXXX

Colección Académica

Colección de carácter multidisciplinar, orientada a los estudiantes y cuya finalidad es apoyar la gestión docente conforme a los planes de estudio de las titulaciones universitarias impartidas en la Universitat Politècnica de València, constituyendo bi-bliografía recomendada para el aprendizaje de una asignatura. Los títulos de la colección se clasifican en distintas series según el área de conocimiento y la mayoría de ellos están disponibles tanto en formato papel como electrónico.

Todos los títulos de la colección están eva-luados por el departamento de la Universitat Politècnica de València en el que se inscribe la materia, atendiendo a la oportunidad de la obra para el estudiante y la adecuación de la metodología empleada en su didáctica.

Para conocer más información sobre la colección, los títulos que la componen y cómo adquirirlos puede visitar la web http://www.lalibreria.upv.es

Bernardino Roig Salaxxxxxxx

Bernardino Roig Salaxxxxxxxx

UPVUPVUPV

ISBN 978-84-9048-838-6

Valentín Gregori Gregori Bernardino Roig Sala

Matlab, matrices y transformaciones geométricas

en el plano y en el espacio

Colección Académica

Para referenciar esta publicación utilice la siguiente cita: Gregori Gregori, V.; Roig Sala, B. (2021). Matlab, matrices y transformaciones geométricas en el plano y en el espacio. Valencia: Editorial Universitat Politècnica de València

Autoría Valentín Gregori Gregori Bernardino Roig Sala

Editorial Universitat Politècnica de València www.lalibreria.upv.es / Ref.: 6702_01_01_01

ISBN: 978-84-9048-585-9

Si el lector detecta algún error en el libro o bien quiere contactar con los autores, puede enviar un correo a [email protected]

Matlab, matrices y transformaciones geométricas en el plano y en el espacio

Se permite la reutilización y redistribución de los contenidos siempre que se reconozca la autoría y se cite con la información bibliográfica completa. No se permite el uso ni la generación de obras derivadas.

Autores

VALENTÍN GREGORI GREGORI

Catedrático de universidad que ejerce la docencia como profesor de matemáticas en la Escuela Politécnica Superior de Gandía de la Universitat Politècnica de València. Ha dirigido varias tesis doctorales y ha publicado algunos libros docentes y un gran número de artículos de investigación sobre topología general y métrica fuzzy en revistas internacionales.

BERNARDINO ROIG SALA

Profesor titular en la Escuela Politécnica Superior de Gandía de la Universitat Politècnica de València; también lo ha sido en otras universidades presenciales y no presenciales, impartiendo asignaturas de la rama de las matemáticas. Es autor de libros y publicaciones docentes y especialista en mecánica computacional y otras aplicaciones numéricas de la matemática en donde es autor de numerosas publicaciones de investigación.

Resumen

Este texto está pensado para la realización de prácticas informáticas matriciales y de geometría para alumnos de primer curso con Matlab u Octave. Aparte de exponer las bases operativas y matriciales, también quiere ayudar a la comprensión de lo que son las transformaciones semejantes con un conjunto ágil y estructurado de comandos. En el primer capítulo realiza una introducción general al entorno de cálculo. En el segundo se tratan las matrices, su operatividad y aplicaciones. En el tercero se realiza una representación de curvas y figuras sencillas en el plano euclídeo utilizando distintos tipos de coordenadas (cartesianas y polares) mientras que en el quinto se realiza en el espacio (en cartesianas, cilíndricas y esféricas). En los capítulos cuarto y sexto se presentan las transformaciones geométricas en el plano y en el espacio euclídeo, respectivamente, desde una perspectiva de cálculo e interpretación geométrica. Finalmente se incluyen las soluciones de los ejercicios de autoevaluación propuestos en cada capítulo.

Presentación

Este texto está pensado para la realización de prácticas informáticas matricia-les y de geometría de alumnos de primer curso, especialmente para los alumnos de laasignatura de Álgebra Matricial y Geometría del Grado en Tecnologías Interactivasque imparte el Departament de Matemàtica Aplicada en la Escola Politècnica Supe-rior de Gandia de la Universitat Politècnica de València. En vistas a ello, la redacciónutilizada en el texto es menos sobria que la usual en otros textos de matemáticas delos mismos autores.

La enseñanza de la geometría en los niveles previos a la universidad ha quedadoreducida a cálculos geométricos sobre �guras planas más o menos regulares. Elloimplica la existencia de lagunas en la mayoría de estudiantes que generan carenciasen el tratamiento geométrico de imágenes. Este texto, aparte de exponer las basesoperativas y matriciales, también quiere aportar su grano de arena a la comprensiónde lo que son las transformaciones semejantes poniendo a disposición del lector unconjunto ágil y estructurado de comandos. En todo momento se añaden grá�cas queayudan a interpretar las ideas expuestas.

El texto está orientado para ejecutar todos los comandos en Matlabr en al-guna de las últimas versiones aunque, como no se utiliza ninguna función especial enel desarrollo del texto (excepto alguna nota complementaria o alternativa), es com-patible con Octave, con versiones más antiguas de Matlabr y, con algunos cambios,con otros entornos de cálculo como, por ejemplo, Scilab. Para los cálculos simbólicosen Octave se requiere instalar Python y sus librerías Mpmath y SymPy y cargarlasdentro de Octave con los comandos pkg install -forge symbolic y pkg load symbolic.

La formación necesaria para entender este libro son los conocimientos matemá-ticos de bachillerato requeridos para poder entrar a cualquier ingeniería o titulacióncientí�ca y se ha escrito de modo que sea asequible para lectores de menor nivelmatemático. Se pueden utilizar los procedimientos habituales de copia/pega de loscomandos como si fueran funciones prede�nidas para seguir con facilidad todo ellibro.

En todo momento se indican los procedimientos matemáticos utilizados argu-mentados de forma coherente, pero no se demuestran, aunque en algunos casos sejusti�quen. El lector puede encontrar las bases matemáticas necesarias en los libros�Álgebra Matricial� y �Geometría euclídea� de Estruch, Gregori y Roig incluidos enla bibliografía.

Los comandos se diferencian claramente del texto para evitar confusiones. Sehan marcado en negrita los lugares en donde se de�ne un concepto y se han referen-ciado en un índice al �nal del texto para facilitar su localización. Este documento seha creado con enlaces que permiten navegar con facilidad por las diferentes secciones,referencias e índices. Cada visualizador suele tener un botón (léase combinación deteclas) para volver atrás cuando ya se ha visitado una referencia. Una forma habituales �alt�+�←� o �command�+�←�.

Al �nal de cada capítulo se proponen ejercicios para veri�car la comprensióndel capítulo. Se asume que se está en una situación de trabajo real en donde se disponedel entorno de cálculo habitual con su ayuda incorporada y que se puede consultareste texto. El único límite existente es la comprensión de los temas desarrollados.Se aconseja no consultar información por internet (excepto puntualmente) dado queel libro es autocontenido y la información existente en la red muchas veces no esadecuada. Los ejercicios propuestos son creativos mientras que los de autoevaluaciónse presentan a modo de prueba test de los contenidos. Una vez realizados estosúltimos, se pueden veri�car las respuestas en el apéndice A. En cada una de laspreguntas solo hay una opción o respuesta que se adecúa al enunciado y, si no seindica lo contrario, se pide la respuesta que es cierta. Una pregunta correcta suma 1punto, una incorrecta resta 1/3 y una no contestada suma 0. Si el tiempo utilizadoen responder cada pregunta (sin consultar las respuestas) es inferior a 5 minutos seha alcanzado una buena comprensión del capítulo, si está entre 5 y 10 minutos elnivel de comprensión es ajustado y, si es superior a 10 minutos, es insu�ciente.

El texto consta de seis capítulos y un apéndice. El primer capítulo realizauna introducción general al entorno de cálculo como si se tratase de una calcula-dora grá�ca de amplias prestaciones en los distintos campos del cálculo cientí�co.En el segundo capítulo se tratan las matrices, su operatividad y aplicaciones como,por ejemplo, en la fotografía digital. En el tercer capítulo se realiza una representa-ción de puntos y �guras sencillas en el plano euclídeo utilizando distintos tipos decoordenadas (cartesianas y polares) mientras que en el quinto capítulo se realiza enel espacio (en cartesianas, cilíndricas y esféricas). En los capítulos cuarto y sextose presentan las transformaciones geométricas en el plano y en el espacio euclídeo,respectivamente, desde una perspectiva de cálculo e interpretación geométrica. Ellopermite conocer la esencia del funcionamiento de las transformaciones geométricas.Aunque la metodología propuesta se puede aplicar a cualquier transformación, noscentramos con las semejanzas por ser la base de ellas. En el apéndice se incluyen lassoluciones de los ejercicios de autoevaluación propuestos en cada capítulo.

Los autores agradecen cualquier sugerencia para la mejora de este texto.

Los autores.

Notación

En este texto se ha evitado un lenguaje excesivamente simbólico.No obstante, el lector debe conocer la siguiente terminología básica que se usaen matemáticas y ciencias tecnológicas:

∀ Cuanti�cador universal. Se lee �para todo.o �para cada�∃ Cuanti�cador existencial. Se lee �existe"⇐⇒ Equivalencia proposicional. Se lee �si y sólo si"sii Abreviatura de �si y sólo si"≡ Equivalencia (o cambio convencional de notación)⇒ Implicación proposicional. La proposición de la izquierda

implica la de la derecha. Se lee �implica"| Se lee �tal (tales) que": Se lee �tal (tales) que"i.e. En latín id est y se lee �es decir"∈ Símbolo de pertenencia⊂ Símbolo de inclusión∪ Símbolo de unión∩ Símbolo de intersecciónN Conjunto de los números naturales (incluye al cero)N∗ El conjunto N sin el ceroZ El anillo de los números enterosQ El cuerpo de los números racionalesR El cuerpo de los números realesR+ El conjunto de los números reales estrictamente positivosC El cuerpo de los números complejos

Ténganse presentes las siguientes abreviaturas utilizadas para referen-ciar otros sitios en el texto:

ec. Ecuaciónsec. Sección

5

Sumario

1. Introducción al entorno de cálculo 11

1.1. EL ENTORNO DE CÁLCULO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.1. Ventana de comandos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.2. Operadores aritméticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.3. Comandos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.4. Formatear un resultado numérico . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.5. Asignación de valores a variables . . . . . . . . . . . . . 15

1.2. VARIABLES VECTORIALES Y MATRICIALES . . . . . . . 17

1.2.1. De�nición y construcción de vectores y matrices . . . . . 17

1.2.2. Ejemplos constructivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.3. Operaciones matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.4. Ejemplos de operatividad matricial . . . . . . . . . . . . 21

1.2.5. Operaciones elemento a elemento . . . . . . . . . . . . . 23

1.2.6. Ejemplos operativos elemento a elemento . . . . . . . . 24

1.2.7. Ejemplo de cálculo de valores estadísticos . . . . . . . . 25

1.3. FUNCIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.3.1. Funciones elementales prede�nidas . . . . . . . . . . . . 26

1.3.2. De�nición de nuevas funciones . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3.3. Ejemplo de función vectorial de dos variables . . . . . . 30

1.4. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES . . . . . . 31

1.4.1. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . 31

1.4.2. Resolución de sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . 31

1.4.3. Ejemplo de resolución de sistemas . . . . . . . . . . . . 32

1.5. GRÁFICOS BIDIMENSIONALES . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.5.1. Dibujo de puntos y polígonos con plot y �ll . . . . . . . 33

1.5.2. Dibujo de funciones con fplot . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.5.3. Otros comandos de representación grá�ca . . . . . . . . 35

1.5.4. Ejemplo de función de�nida a trozos . . . . . . . . . . . 36

1.5.5. Circunferencias y elipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.6. GRÁFICOS TRIDIMENSIONALES . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.6.1. Dibujo de puntos y curvas con plot3 y fplot3 . . . . . . 40

1.6.2. Dibujo de funciones y super�cies con fsurf . . . . . . . . 41

1.7. EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.7.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.7.2. Ejercicios de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2. Matrices y ecuaciones 47

2.1. MATRICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.1.1. De�niciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.1.2. Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.1.3. Ejemplos de operaciones matriciales . . . . . . . . . . . 52

2.1.4. Ejemplo de ecuación matricial . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.2. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES . . . . . . . . . . . 54

2.2.1. De�niciones y teorema de Rouché-Fröbenius . . . . . . . 54

2.2.2. Resolución de un sistema compatible determinado . . . 54

2.2.3. Resolución de un sistema compatible indeterminado . . 55

2.2.4. Resolución de un sistema sobredeterminado . . . . . . . 57

2.2.5. Ejemplo de regresión polinómica . . . . . . . . . . . . . 58

2.3. APLICACIÓN DE LAS MATRICES A LAS IMÁGENES DI-GITALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.3.1. Matrices e imágenes digitales . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.3.2. Ejemplo de tratamiento de imágenes digitales . . . . . . 63

2.4. EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64



3. Figuras y curvas en el plano euclídeo 69

3.1. COORDENADAS EN R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.1.1. Coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.1.2. Coordenadas homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.1.3. Coordenadas polares y números complejos . . . . . . . . 70

3.2. PARAMETRIZACIONES EN R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.2.1. Curva regular parametrizada . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.2.2. Parametrización de recta y segmento . . . . . . . . . . . 73

3.2.3. Parametrización de circunferencia y elipse . . . . . . . . 74

3.2.4. Parametrización de espirales . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.3. FIGURAS EN EL PLANO REAL . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.3.1. Ejemplo de �gura plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.3.2. Ejemplo de �gura parametrizada . . . . . . . . . . . . . 76

3.3.3. Ejemplo de un trozo de pizza . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.3.4. Ejemplo de representación de un polígono regular . . . . 78

3.3.5. Ejemplo de representación de una recta . . . . . . . . . 80

3.3.6. Ejemplo de representación de circunferencias y elipses . 80

3.3.7. Ejemplo de representación paramétrica de espirales . . . 81

3.3.8. Ejemplo de representación de curvas en coordenadas po-lares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.3.9. Ejemplo de trayectoria delimitada por puntos . . . . . . 84

3.4. VECTOR TANGENTE A UNA CURVA PARAMETRIZADA . 85

3.5. EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86



4. Transformaciones geométricas en el plano 91

4.1. TRANSFORMACIONES EN R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.1.1. Transformaciones del plano . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.1.2. Isometrías y semejanzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.1.3. Transformación afín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.1.4. Producto de transformaciones a�nes . . . . . . . . . . . 93

4.1.5. Caracterización de una transformación afín . . . . . . . 94

4.2. SEMEJANZAS EN EL PLANO REAL . . . . . . . . . . . . . . 95

4.2.1. Traslaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.2.2. Giros y simetrías respecto a un punto . . . . . . . . . . 96

4.2.3. Simetrías respecto un eje . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.2.4. Homotecias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.2.5. Productos habituales de semejanzas en R2 . . . . . . . . 100

4.3. EJEMPLOS DE SEMEJANZAS EN EL PLANO REAL . . . . 101

4.3.1. Ejemplo de traslación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.3.2. Ejemplo de giro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.3.3. Ejemplo de simetría puntual . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.3.4. Ejemplo de simetría axial . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.3.5. Ejemplo de homotecia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.3.6. Ejemplo de cizallamiento o sesgado . . . . . . . . . . . . 108

4.3.7. Procedimiento para el producto de semejanzas . . . . . 109

4.3.8. Ejemplo de producto de transformaciones a�nes . . . . . 110

4.3.9. Ejemplo de determinación de una transformación a par-tir de tres puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.4. EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114



5. Curvas y super�cies en el espacio euclídeo 119

5.1. COORDENADAS EN R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.1.1. Coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.1.2. Coordenadas homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.1.3. Coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.1.4. Coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.2. PARAMETRIZACIONES EN R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.2.1. Curva paramétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.2.2. Super�cie paramétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.3. FIGURAS EN EL ESPACIO REAL . . . . . . . . . . . . . . . 126

5.3.1. Ejemplo de representación de una recta . . . . . . . . . 126

5.3.2. Ejemplo de curva parametrizada . . . . . . . . . . . . . 127

5.3.3. Ejemplo de trayectoria delimitada por puntos . . . . . . 128

5.3.4. Ejemplo de super�cie paramétrica . . . . . . . . . . . . 129

5.3.5. Ejemplo de casquete esférico . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.3.6. Ejemplo de paralelepípedo al espacio . . . . . . . . . . . 132

5.3.7. Ejemplo de representación aproximada de una super�ciemediante una nube de puntos . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.3.8. Ejemplo de un cilindro con tapas . . . . . . . . . . . . . 134

5.3.9. Ejemplo de un trozo de sandía . . . . . . . . . . . . . . 136

5.4. VECTORES TANGENTES A CURVAS Y SUPERFICIES . . 138

5.4.1. Vectores tangentes a una curva parametrizada . . . . . . 138

5.4.2. Vectores tangentes a una super�cie parametrizada . . . 140

5.5. EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141



6. Transformaciones geométricas en el espacio 145

6.1. TRANSFORMACIONES EN R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

6.1.1. Transformaciones del espacio . . . . . . . . . . . . . . . 145

6.1.2. Isometrías y semejanzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

6.1.3. Transformación afín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

6.1.4. Producto de transformaciones a�nes . . . . . . . . . . . 147

6.1.5. Caracterización de una transformación afín . . . . . . . 148

6.2. SEMEJANZAS EN EL ESPACIO REAL . . . . . . . . . . . . . 148

6.2.1. Traslaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

6.2.2. Simetrías respecto un punto . . . . . . . . . . . . . . . . 149

6.2.3. Homotecias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

6.2.4. Giros sobre un eje y simetría axial . . . . . . . . . . . . 151

6.2.5. Simetrías respecto un plano . . . . . . . . . . . . . . . . 154

6.2.6. Productos habituales de semejanzas en R3 . . . . . . . . 156

6.3. EJEMPLOS DE SEMEJANZAS EN EL ESPACIO REAL . . . 157

6.3.1. Ejemplo de traslación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

6.3.2. Ejemplo de simetría respecto un punto . . . . . . . . . . 160

6.3.3. Ejemplo de homotecia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

6.3.4. Ejemplo de giro y simetría respecto un eje . . . . . . . . 162

6.3.5. Ejemplo de simetría respecto un plano . . . . . . . . . . 163

6.3.6. Ejemplo de cizallamiento o sesgado . . . . . . . . . . . . 165

6.3.7. Procedimiento para el producto de semejanzas . . . . . 167

6.3.8. Ejemplo de producto de transformaciones a�nes . . . . . 167

6.3.9. Ejemplo de determinación de una transformación afín apartir de cuatro puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

6.4. TRANSFORMACIONES PERSPECTIVAS . . . . . . . . . . . 172

10


A. Soluciones de los ejercicios de autoevaluación 179

A.1. SOLUCIONES AL CAPÍTULO 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

A.1.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

A.1.2. Pasos en la resolución y posibles comandos a utilizar . . 179


A.2.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184



A.3.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188



A.4.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194



A.5.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202



A.6.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210


Referencias 227

6.5. EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174


Capítulo 1

Introducción al entorno decálculo

Como se indica en la Presentación, el texto está orientado para ejecutartodos los comandos en Matlab en alguna de las últimas versiones aunque,como no se utiliza ninguna función especial en el desarrollo del texto (exceptoen alguna nota complementaria o alternativa), es compatible con Octave, conversiones más antiguas de Matlab y, con algunos cambios, con otros entornosde cálculo como, por ejemplo, Scilab.

En este capítulo no se trata de entender los procesos matemáticos o al-gorítmicos que puedan estar detrás de los comandos, sino simplemente conocerlas sintaxis de los comandos habituales que se requieren en este texto y qué seconsigue con cada uno de ellos. Al �nal se incluyen algunos ejercicios propues-tos y de autoevaluación. En la sección A.1 se encuentran las soluciones y losposibles comandos a utilizar para la resolución de los ejercicios test incluidosen la autoevaluación de este capítulo.

1.1. EL ENTORNO DE CÁLCULO

1.1.1. Ventana de comandos

Al ejecutar el programa aparece la llamada pantalla o ventana de coman-dos. En ella aparece el menú general de la aplicación con todas sus opciones,así como el prompt (>>) para la entrada de comandos.

11

12 1. Introducción al entorno de cálculo

1.1.2. Operadores aritméticos

Para ejecutar un simple cálculo basta con escribir los comandos u ór-denes al lado del prompt y pulsar la tecla Enter. Se devuelve la respuestautilizando la expresión ans = (answer). Por tanto, una de sus aplicacioneses poder servir como una gran calculadora. Los símbolos utilizados para lasoperaciones algebraicas son:

+ para la suma.

− para la diferencia.

∗ para el producto.

/ para el cociente.

∧ para la potencia.

Hay que tener en cuenta que, al combinar varios operadores en unamisma entrada, hay unos criterios de prioridad entre las operaciones que,por defecto, determinan el orden de evaluación de la expresión y que se citana continuación:

1. Primero se ejecutan las expresiones incluidas dentro de paréntesis.

2. Seguidamente se ejecutan las funciones.

3. Después las operaciones aritméticas: primero las potencias y luego losproductos y cocientes de izquierda a derecha.

4. Por último, las sumas y restas también de izquierda a derecha.

Hay que tener también cuidado con los paréntesis y los corchetes, yaque se utilizan para cosas distintas. Ténganse siempre presente las siguientesobservaciones:

a. Si la expresión es un cociente o fracción y puede haber confusión, sesugiere introducir tanto el numerador como el denominador entre pa-réntesis: (···)/(···).

b. Cuando se desea realizar un producto es imprescindible escribir el signo* (asterisco) en la orden correspondiente. No se asume por omisión.

c. Cuando hay expresiones no simples en potencias, es conveniente utilizarparéntesis: (···)^(···).

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matlab, matrices y transformaciones geométricas en el

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