Mathématiques Troisièmes : Devoir maison 3 – Fonctions affines,Geogebra,Tableur.

Partie A : Etude de trois fonctions f, g et h

1. Soit f la fonction linéaire telle que (3) 24f . Donner, en justifiant, l’expression ( )f x .

2. Soit g la fonction affine telle que : (2) 50g et (4) 60g . Donner, en justifiant, l’expression ( )g x .

3. Soit h la fonction constante telle que, pour tout nombre x : ( ) 160h x .

Tracer avec Geogebra la représentation graphique de f ( en rouge ), celle de g ( en vert ) et celle de h ( en bleu ),en activant le quadrillage ; construire le point E intersection des représentations graphiques des fonctions f et g,et le point F intersection des représentations graphiques des fonctions g et h.Calculer les valeurs exactes des coordonnées de E, puis donner l’arrondi à 0,1. Calculer les coordonnées de F.

Partie B : étude d’une situation concrèteUn club de squash propose trois tarifs à ses adhérents :

Tarif A : 8 € par séance.

Tarif B : achat d’une carte privilège à 40 € pour l’année donnant droit à un tarif réduit de 5 € par séance.

Tarif C : achat d’une carte confort à 160 € valable une année et donnant droit à un accès illimité à la salle.Sophie, nouvelle adhérente au club, étudie les différents tarifs ; on note x le nombre de séances.1. Montrer que :

si Sophie choisit le tarif A elle va régler ( )f x euros

si elle choisit le tarif B elle va payer ( )g x euros

si c’est le tarif C qu’elle choisit, elle va régler ( )h x euros.

2. En utilisant le fichier Geogebra Partie A question 3 , répondre aux questions suivantes sans justifications maisen complétant le .ggb par toutes les constructions nécessaires.a. Quel est le tarif le plus avantageux si Sophie désire suivre 10 séances ? Votre réponse :b. Quel tarif Sophie aura-t-elle intérêt à choisir si elle souhaite participer au plus grand nombre possible de

séances, et à combien de séances pourra-t-il participer, sachant que son budget est de 120 € ?Elle devra choisir le tarif : ; elle participera à un nombre maximal de séances.

3. Par une méthode algébrique – calcul de l’image d’un nombre ou résolution d’une équation – répondre àchacune des questions suivantes en présentant tous les calculs nécessaires. On ne pourra pas utiliser les résultatsobtenus par lecture graphique à la question précédente.a. Quel est le tarif le plus avantageux si Sophie désire suivre 10 séances ?b. Le budget annuel de Sophie pour l’activité squash est de 120€. Quel tarif aura-t-elle intérêt à choisir si elle

souhaite participer au plus grand nombre possible de séances, et à combien de séances pourra-t-ilparticiper ?

Partie C : Création et utilisation d’une feuille de calculs créée avec un tableur

2. Sophie a un budget annuel de 120€. Déterminer, en raisonnant sur des cellules de cette feuille de calcul et enexposant clairement sur la copie le raisonnement, à combien au maximum de séances elle pourra participer.

- Vous devez m’envoyer par mail le .ggb et la feuille de calcul, en pièces jointes –

1.a. Quelle formule a été entrée dans la cellule A3 et recopiée vers le

bas ? Votre réponse :

b. Quelle formule a été entrée dans la cellule B2 et recopiée vers lebas ? Votre réponse :

c. Quelle formule a été entrée dans la cellule C2 et recopiée vers lebas ? Votre réponse :

d. Quelle formule a été entrée dans la cellule D2 et recopiée vers lebas ? Votre réponse :

NOMS :

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CorrigéPartie A

1. f est une fonction linéaire donc il existe une

constante a tel que : ( )f x ax .

Comme (3) 24f , on en déduit : 24 (3)a , puis :

3 24a , d’où :24

3a , et finalement : 8a .

On a donc : ( ) 8f x x .

2. g est une fonction affine donc il existe deux

constantes 'a et 'b telles que : ( ) ' 'g x a x b .

La formule du cours permet d’écrire :

(4) (2)'

4 2

g ga

, d’où :

60 50 10' 5

4 2 2a

.

On a donc : ( ) 5 'g x x b . Comme (2) 50g , on

en déduit : 50 5(2) 'b , d’où : ' 50 10b , soit :

' 40b .

On a donc : ( ) 5 40g x x .

3.

Les trois fonctions f, g et h sont des fonctions affines donc leurs représentations graphiques sont des droites.

Calculons les coordonnées de E

L’abscisse de E est la solution de l’équation ( ) ( )f x g x ,

qui donne successivement :

8 5 40x x 8 5 40x x 3 40x

40

3x

On a :40 40 8 40 320

( ) 83 3 3 3

E Ey f x f

.

Remarque : on pouvait aussi utiliser :

40 200 120 320( ) 5 40

3 3 3 3E Ey g x

.

Finalement :40

3Ex et

320

3Ey , d’où les arrondis au

dixième : 13,3Ex et 106,7Ey .

Calculons les coordonnées de FL’abscisse de F est la solution de l’équation

( ) ( )g x h x , qui donne successivement :

5 40 160x 5 160 40x 5 120x

120

5x

24x

On a : ( ) 160F Fy h x .

Remarque : on pouvait aussi utiliser :

( ) 5 24 40 120 40 160F Fy g x .

Finalement : 24Fx et 160Fy .

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Partie B

1. Pour le tarif A : Sophie va régler 8€ par séance, donc pour x séances, elle devra régler : 8€x , soit 8x euros,

et comme ( ) 8f x x , elle devra effectivement payer ( )f x euros.

Pour le tarif B : Sophie doit d’abord dépenser 40€ pour la carte privilège, auxquels s’ajoutent 5€ par séance donc

5€x , soit 5x euros, pour x séances. Elle devra donc s’acquitter en tout de : (40 5 )x euros, et comme

( ) 5 40g x x , elle devra effectivement payer ( )g x euros.

Pour le tarif C : Sophie doit régler 160€, quel que soit le nombre de séances, et comme ( ) 160h x , elle devra

effectivement s’acquitter de ( )h x euros.

2. En utilisant Geogebraa. Pour 10 séances, c’est le tarif A qu’elle devra choisir, et elle réglera alors 80€ ( point P sur la figure du fichier

Geogebra )b. Pour un budget de 120€, c’est le tarif B qu’il faudra choisir (point Q sur la figure du fichier Geogebra)

3. Par une méthode algébrique

a. (10) 8(10) 80f , (10) 5(10) 40 90g , (10) 160h .

Pour 10 séances, elle devra régler 80€ pour le tarif A, 90€ pour le tarif B, et 160€ pour le tarif C : c’est le tarifA le moins cher et elle devra régler 80€.

b. Pour un budget de 120€

L’équation ( ) 120f x donne :

8 120x 120

8x

15x

Avec un budget de 120€, elle pourraparticiper à 15 séances avec le tarif A.

L’équation ( ) 120g x donne :

5 40 120x 5 120 40x 5 80x

80

5x

16x Avec un budget de 120€, ellepourra participer à 16 séances avecle tarif B.

120 < 160

Avec un budget de 120 €, ellene pourra pas choisir le tarif C.

Pour un budget de 120€, Sophie devra choisir le tarif B : elle pourra alors participer à 16 séances.

Partie C1. a. Dans A3 : « =A2+1 » b. Dans B2 : « =8*A2 » c. dans C2 : « =5*A2+40 » d. Dans D2 : « =160 »2. Dans la colonne B qui correspond au tarif A, le nombre 120 apparaît dans la cellule B17 : à la même ligne dans la

colonne A qui correspond au nombre de séances, on trouve le nombre 15, donc avec un budget de 120€, le tarifA permettrait de participer à 15 séances.

Dans la colonne C qui correspond au tarif B, le nombre 120 apparaît dans la cellule C18 : à la même ligne dans lacolonne A qui correspond au nombre de séances, on trouve le nombre 16, donc avec un budget de 120€, le tarifB permettrait de participer à 16 séances..

Dans la colonne C, le nombre 120 n’apparaît pas : le budget 120€ ne permet pas de choisir le tarif C.

Finalement, pour un budget de 120€, Sophie devra choisir le tarif B : elle pourra ainsi participer à 16 séances.

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