mathématiques sn rÉsolutions déquations et inéquations trigonomÉtriques réalisé par :...
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Mathématiques Mathématiques SNSN
RÉSOLUTIONSRÉSOLUTIONS d’équations et inéquationsd’équations et inéquations
TRIGONOMÉTRIQUESTRIGONOMÉTRIQUES
Réalisé par :Réalisé par : Sébastien Lachance Sébastien Lachance
Mathématiques Mathématiques SNSN- Résolutions - Résolutions TRIGONOMÉTRIQUESTRIGONOMÉTRIQUES - -
Résolutions d’équations Résolutions d’équations SINUSOÏDALESSINUSOÏDALES
Exemple #1 : Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = 2 Trouver les zéros de f(x) = 2 sinsin x – 3 x – 3
0 = 2 0 = 2 sinsin x – 3 x – 3
3 = 2 3 = 2 sinsin x x
33
22
= = sinsin x x
33
22
sinsin-1-1 ( ) = x ( ) = x
Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ?
Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ? 33
22
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
2211--
--P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )
P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )
66
44
33
66
77
44
55
44 33
66
5544
33
22 33
66
1111
44
77
55 33
33 22
22
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22
00
Exemple #1 : Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = 2 Trouver les zéros de f(x) = 2 sinsin x – 3 x – 3
0 = 2 0 = 2 sinsin x – 3 x – 3
3 = 2 3 = 2 sinsin x x
33
22
= = sinsin x x
33
22
sinsin-1-1 ( ) = x ( ) = x
Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ?
Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ? 33
22
33
xx11 = = 2233
xx22 = = etet
Comme Comme xx11 et et xx22 sont les zéros à l’intérieur de sont les zéros à l’intérieur de 1 cycle 1 cycle seulement, il faut seulement, il faut
aussi nommer tous les autres ! aussi nommer tous les autres !
33
22
33
+ 1 P+ 1 P + 1 P+ 1 P
P = P = 22| | bb | |
22| 1 || 1 |
P =P =
PériodePériode
= 2= 2
Réponse :Réponse :
x x + 2 + 2n , + 2n , + 2n n où n où n 33
2233
+ 1 P+ 1 P + 1 P+ 1 P– – 1 P1 P – – 1 P1 P– – 1 P1 P – – 1 P1 P
sinsin-1-1 ( ) = 3x ( ) = 3x
Exemple #2 : Exemple #2 : Trouver les zéros de g(x) = - Trouver les zéros de g(x) = - sinsin 3x + 0,5 3x + 0,5
0 = - 0 = - sinsin 3x + 0,5 3x + 0,5
= - = - sinsin 3x 3x
11
22
= = sinsin 3x 3x
11
22
Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ?
Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ?11
22
-1-1
22
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
2211--
--P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )
P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )
66
44
33
66
77
44
55
44 33
66
5544
33
22 33
66
1111
44
77
55 33
33 22
22
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22
00
66
3x = 3x = 5566
3x = 3x = etet
P = P = 22| | bb | |
22| 3 || 3 |
P =P =
PériodePériode
Réponse :Réponse :
x x + n , + n + n , + n où n où n 1818
551818
sinsin-1-1 ( ) = 3x ( ) = 3x
Exemple #2 : Exemple #2 : Trouver les zéros de g(x) = - Trouver les zéros de g(x) = - sinsin 3x + 0,5 3x + 0,5
0 = - 0 = - sinsin 3x + 0,5 3x + 0,5
= - = - sinsin 3x 3x
11
22
= = sinsin 3x 3x
11
22
Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ?
Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ?11
22
-1-1
22
1818
xx11 = = 551818
xx22 = = 2233
==
2233
2233
coscos-1-1 ( ) = (x + ( ) = (x + ) )
Exemple #3 : Exemple #3 : Trouver les zéros de f(x) = 2 Trouver les zéros de f(x) = 2 coscos (x + (x + ) – 1 ) – 1
0 = 2 0 = 2 coscos (x + (x + ) – 1 ) – 1
= = cos cos (x + (x + ) )
11
22
Quel est l’angle dont la valeur en « x » est ?
Quel est l’angle dont la valeur en « x » est ?11
22
11
22
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
2211--
--P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )
P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )
66
44
33
66
77
44
55
44 33
66
5544
33
22 33
66
1111
44
77
55 33
33 22
22
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22
00
coscos-1-1 ( ) = (x + ( ) = (x + ) )
Exemple #3 : Exemple #3 : Trouver les zéros de f(x) = 2 Trouver les zéros de f(x) = 2 coscos (x + (x + ) – 1 ) – 1
0 = 2 0 = 2 coscos (x + (x + ) – 1 ) – 1
= = cos cos (x + (x + ) – 1 ) – 1
11
22
Quel est l’angle dont la valeur en « x » est ?
Quel est l’angle dont la valeur en « x » est ?11
22
11
22
33
x + x + = = 5533
x + x + = = etet
-2-233
xx11 = = 2233
xx22 = =
P = P = 22| | bb | |
22| 1 || 1 |
P =P =
PériodePériode
= 2= 2
Réponse :Réponse :
x x + 2 + 2n , + 2n , + 2n n où n où n -2-233
2233
sinsin-1-1 ( ) = ( ) = (x + 1) (x + 1)
Exemple #4 : Exemple #4 : Trouver les zéros de h(x) = Trouver les zéros de h(x) = sinsin (x + 1) + 0,5 (x + 1) + 0,5
0 = 0 = sinsin (x + 1) + 0,5 (x + 1) + 0,5
= = sinsin (x + 1) (x + 1)
-1-1
22
Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ?
Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ?-1-1
22
-1-1
22
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
2211--
--P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )
P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )
66
44
33
66
77
44
55
44 33
66
5544
33
22 33
66
1111
44
77
55 33
33 22
22
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22
00
sinsin-1-1 ( ) = ( ) = (x + 1) (x + 1)
Exemple #4 : Exemple #4 : Trouver les zéros de h(x) = Trouver les zéros de h(x) = sinsin (x + 1) + 0,5 (x + 1) + 0,5
0 = 0 = sinsin (x + 1) + 0,5 (x + 1) + 0,5
= = sinsin (x + 1) (x + 1)
-1-1
22
Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ?
Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ?-1-1
22
-1-1
22
7766
(x + 1) = (x + 1) = 111166
(x + 1) = (x + 1) = etet
P = P = 22| | bb | |
22
| | | |P =P =
PériodePériode
Réponse :Réponse :
x x + 2n , + 2n + 2n , + 2n où n où n 11
66
55
66
11
66
xx11 = = 55
66
xx22 = =
= 2= 2
77
66
x + 1 = x + 1 = 1111
66
x + 1 = x + 1 =
77
66
x + 1 = x + 1 = 1111
66
x + 1 = x + 1 =
coscos-1-1 ( ) = ( ) = x x
Exemple #5 : Exemple #5 : Trouver les zéros de f(x) = 2 Trouver les zéros de f(x) = 2 coscos x + 2 x + 2
0 = 2 0 = 2 coscos x + 2 x + 2
= = cos cos x x
- 2- 2
22
Quel est l’angle dont la valeur en
« x » est ?
Quel est l’angle dont la valeur en
« x » est ?- 2- 2
22
- 2- 2
22
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
2211--
--P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )
P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )
66
44
33
66
77
44
55
44 33
66
5544
33
22 33
66
1111
44
77
55 33
33 22
22
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22
00
coscos-1-1 ( ) = ( ) = x x
Exemple #5 : Exemple #5 : Trouver les zéros de f(x) = 2 Trouver les zéros de f(x) = 2 coscos x + 2 x + 2
0 = 2 0 = 2 coscos x + 2 x + 2
= = cos cos x x
- 2- 2
22
Quel est l’angle dont la valeur en
« x » est ?
Quel est l’angle dont la valeur en
« x » est ?- 2- 2
22
- 2- 2
22
3344
x = x = 5544
x = x = etet
33
44x = x =
33
44xx11 = =
55
44x = x =
55
44xx22 = = P = P = 22
| | bb | |
22
| | | |P =P =
PériodePériode
Réponse :Réponse :
x x + 2n , + 2n + 2n , + 2n où n où n 33
44
55
44
= 2= 2
sinsin-1-1 ( ) = ( ) = (x – 0,25) (x – 0,25)
Exemple #6 : Exemple #6 : Trouver les zéros de j(x) = -45 Trouver les zéros de j(x) = -45 sinsin (x – 0,25) + 15 (x – 0,25) + 15
0 = -45 0 = -45 sinsin (x – 0,25) + 15(x – 0,25) + 15
= = sinsin (x – 0,25) (x – 0,25)
11
33
Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ?
Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ?11
33
11
33Il ne fait pas partie des
16 coordonnées remarquables !
Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables !
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
P( P( 11 ) = ( , ) ) = ( , )
11
11
3311
33
P( P( 22 ) = ( , ) ) = ( , )11
3322
22 ==
–– 11
11
sinsin-1-1 ( ) = ( ) = (x – 0,25) (x – 0,25)
Exemple #6 : Exemple #6 : Trouver les zéros de j(x) = -45 Trouver les zéros de j(x) = -45 sinsin (x – 0,25) + 15 (x – 0,25) + 15
0 = -45 0 = -45 sinsin (x – 0,25) + 15(x – 0,25) + 15
= = sinsin (x – 0,25) (x – 0,25)
11
33
Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ?
Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ?11
33
11
33Il ne fait pas partie des
16 coordonnées remarquables !
Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables !
0,340,34 = = (x – 0,25)(x – 0,25) etet –– 0,340,34 = = (x – 0,25)(x – 0,25)
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
P( P( 11 ) = ( , ) ) = ( , )
11
11
3311
33
P( P( 22 ) = ( , ) ) = ( , )11
3322
22 ==
–– 0,34 0,34
0,340,34- 0,34- 0,34
22 ==
2,82,8
sinsin-1-1 ( ) = ( ) = (x – 0,25) (x – 0,25)
Exemple #6 : Exemple #6 : Trouver les zéros de j(x) = -45 Trouver les zéros de j(x) = -45 sinsin (x – 0,25) + 15 (x – 0,25) + 15
0 = -45 0 = -45 sinsin (x – 0,25) + 15(x – 0,25) + 15
= = sinsin (x – 0,25) (x – 0,25)
11
33
Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ?
Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ?11
33
11
33Il ne fait pas partie des
16 coordonnées remarquables !
Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables !
0,340,34 = = (x – 0,25)(x – 0,25) etet –– 0,340,34 = = (x – 0,25)(x – 0,25)
0,35820,3582 = x= x11 2,82,8 = = (x – 0,25)(x – 0,25)
1,14131,1413 = x = x22
P = P = 22| | bb | |
22
| | | |P =P =
PériodePériode
Réponse :Réponse :
x x 0,35820,3582 + 2n , + 2n , 1,14131,1413 + 2n + 2n où n où n
= 2= 2
coscos-1-1 ( 0,4 ) = 0,5x – 2 ( 0,4 ) = 0,5x – 2
Exemple #7 : Exemple #7 : Résoudre 7 = 5 Résoudre 7 = 5 coscos (0,5x – 2) + 5 (0,5x – 2) + 5
7 = 5 7 = 5 cos cos (0,5x – 2) + 5(0,5x – 2) + 5
2 = 5 2 = 5 cos cos (0,5x – 2) (0,5x – 2)
Quel est l’angle dont la valeur en « x » est 0,4 ?
Quel est l’angle dont la valeur en « x » est 0,4 ?
Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables !
Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables !
0,4 = 0,4 = cos cos (0,5x – 2) (0,5x – 2)
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
P( P( 11 ) = ( 0,4 , ) ) = ( 0,4 , )
11
P( P( 22 ) = ( 0,4 , ) ) = ( 0,4 , )
22
22 ==
22
–– 11
11
0,40,4
coscos-1-1 ( 0,4 ) = 0,5x – 2 ( 0,4 ) = 0,5x – 2
Exemple #7 : Exemple #7 : Résoudre 7 = 5 Résoudre 7 = 5 coscos (0,5x – 2) + 5 (0,5x – 2) + 5
7 = 5 7 = 5 cos cos (0,5x – 2) + 5(0,5x – 2) + 5
2 = 5 2 = 5 cos cos (0,5x – 2) (0,5x – 2)
Quel est l’angle dont la valeur en « x » est 0,4 ?
Quel est l’angle dont la valeur en « x » est 0,4 ?
Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables !
Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables !
0,4 = 0,4 = cos cos (0,5x – 2) (0,5x – 2)
1,16 1,16 = 0,5x – 2= 0,5x – 2 etet 22 –– 1,161,16 = 0,5x – 2= 0,5x – 2
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
P( P( 11 ) = ( 0,4 , ) ) = ( 0,4 , )
11
P( P( 22 ) = ( 0,4 , ) ) = ( 0,4 , )
22
1,161,16
0,40,4
- 1,16- 1,16
22
22 ==
22 –– 1,16
1,16
22 ==
5,123
5,123
coscos-1-1 ( 0,4 ) = 0,5x – 2 ( 0,4 ) = 0,5x – 2
Exemple #7 : Exemple #7 : Résoudre 7 = 5 Résoudre 7 = 5 coscos (0,5x – 2) + 5 (0,5x – 2) + 5
7 = 5 7 = 5 cos cos (0,5x – 2) + 5(0,5x – 2) + 5
2 = 5 2 = 5 cos cos (0,5x – 2) (0,5x – 2)
Quel est l’angle dont la valeur en « x » est 0,4 ?
Quel est l’angle dont la valeur en « x » est 0,4 ?
Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables !
Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables !
0,4 = 0,4 = cos cos (0,5x – 2) (0,5x – 2)
1,16 1,16 = 0,5x – 2= 0,5x – 2 etet 22 –– 1,161,16 = 0,5x – 2= 0,5x – 2
6,32 6,32 = x= x115,1235,123 = 0,5x – 2 = 0,5x – 2
14,2514,25 = x = x22
P = P = 22| | bb | |
22| 0,5 || 0,5 |
P =P =
PériodePériode
Réponse :Réponse :
x x 6,32 6,32 + 4+ 4n , n , 14,25 14,25 + 4+ 4n n où n où n
= 4= 4
Résolutions d’inéquationsRésolutions d’inéquations SINUSOÏDALES SINUSOÏDALES
Exemple : Exemple : Résoudre 2 Résoudre 2 sinsin 2 (x + 2 (x + ) ) ≥ 0≥ 0
11
22
44
33
22
33
22
55
22
77
22
--
22
---3-3
22
-2-2-5-5
22
-3-3-7-7
22
22 33
+ 1 P+ 1 P + 1 P+ 1 P
Mathématiques Mathématiques SNSN- Résolutions - Résolutions TRIGONOMÉTRIQUESTRIGONOMÉTRIQUES - -
Résoudre 2 Résoudre 2 sinsin 2 ( x + 2 ( x + ) ) ≥ 0≥ 0Exemple :Exemple :
2 (x + 2 (x + ) ≥ ) ≥ sinsin-1-1 ( 0 )( 0 )
2 2 sinsin 2 (x + 2 (x + ) ≥ 0 ) ≥ 0
sinsin 2 (x + 2 (x + ) ≥ 0 ) ≥ 0 Quel est l’angle dont la valeur en
« y » est 0 ?
Quel est l’angle dont la valeur en
« y » est 0 ?
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
2211--
--P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )
P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )
66
44
33
66
77
44
55
44 33
66
5544
33
22 33
66
1111
44
77
55 33
33 22
22
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22
00
Résoudre 2 Résoudre 2 sinsin 2 ( x + 2 ( x + ) ) ≥ 0≥ 0Exemple :Exemple :
2 (x + 2 (x + ) = ) = sinsin-1-1 ( 0 )( 0 )
2 2 sinsin 2 (x + 2 (x + ) = 0 ) = 0
sinsin 2 (x + 2 (x + ) = 0 ) = 0 Quel est l’angle dont la valeur en
« y » est 0 ?
Quel est l’angle dont la valeur en
« y » est 0 ?
2 (x + 2 (x + ) = ) = 00 2 (x + 2 (x + ) = ) = etet
P = P = 22| | bb | |
22| 2 || 2 |
P =P =
PériodePériode
Réponse :Réponse :
x x [ [ - - + + n , + n , + n ] où n n ] où n - - 22
- - 22
==
xx11 = = - - xx22 ==
Résolutions d’équations Résolutions d’équations TANGENTESTANGENTES
Exemple #1 : Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = - Trouver les zéros de f(x) = - tan tan 2 (x – ) + 12 (x – ) + 144
Mathématiques Mathématiques SNSN- Résolutions - Résolutions TRIGONOMÉTRIQUESTRIGONOMÉTRIQUES - -
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
RAPPELRAPPEL
sin sin
cos cos tan tan = =
On sait que :On sait que :
Donc :Donc :
yy
xx
tan tan = =
P(P() = ( , )) = ( , )cos cos sin sin
xx
yy
11
Résolutions d’équations Résolutions d’équations TANGENTESTANGENTES
0 = - 0 = - tan tan 2 (x – ) + 12 (x – ) + 1
Exemple #1 : Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = - Trouver les zéros de f(x) = - tan tan 2 (x – ) + 12 (x – ) + 144
44
-1 = - -1 = - tan tan 2 (x – )2 (x – )44
1 = 1 = tan tan 2 (x – )2 (x – )44
Quel est l’angle dont la
valeur est « 1 » lorsqu’on
effectue « y / x » ?
Quel est l’angle dont la
valeur est « 1 » lorsqu’on
effectue « y / x » ?
tantan-1-1(1) = 2 (x – )(1) = 2 (x – )44
Mathématiques Mathématiques SNSN- Résolutions - Résolutions TRIGONOMÉTRIQUESTRIGONOMÉTRIQUES - -
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
2211--
--P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )
P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )
66
44
33
66
77
44
55
44 33
66
5544
33
22 33
66
1111
44
77
55 33
33 22
22
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22
00
0 = - 0 = - tan tan 2 (x – ) + 12 (x – ) + 1
Exemple #1 : Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = - Trouver les zéros de f(x) = - tan tan 2 (x – ) + 12 (x – ) + 144
44
-1 = - -1 = - tan tan 2 (x – )2 (x – )44
1 = 1 = tan tan 2 (x – )2 (x – )44
Quel est l’angle dont la
valeur est « 1 » lorsqu’on
effectue « y / x » ?
Quel est l’angle dont la
valeur est « 1 » lorsqu’on
effectue « y / x » ?
tantan-1-1(1) = 2 (x – )(1) = 2 (x – )44
= 2 (x – )= 2 (x – )44
44
etet = 2 (x – )= 2 (x – )44
5544
= x –= x – 44
88
= x –= x – 44
5588
= x= x113388
= x= x227788
P = P = | | bb | |
| | 22 | |P =P =
PériodePériode
Réponse :Réponse :
x x + n + n où n où n
==
22
22
3388
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
2211--
--P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )
P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )
66
44
33
66
77
44
55
44 33
66
5544
33
22 33
66
1111
44
77
55 33
33 22
22
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22
00
REMARQUE…REMARQUE…
11
44
++
22
44
En RÉSUMÉ…En RÉSUMÉ…
22 = = – – 11 Avec Avec SINSIN : :
22 = = 22 – – 11 Avec Avec COSCOS ::
22 = = + + 11Avec Avec TANTAN ::
0 = -3 0 = -3 tan tan (x – (x – ) + 3) + 3
Exemple #2 : Exemple #2 : Trouver les zéros de f(x) = -3 Trouver les zéros de f(x) = -3 tan tan (x – (x – ) + 3) + 3
11
22
= = tan tan (x – (x – ))11
22Quel est l’angle dont la valeur est
« »
lorsqu’on effectue « y / x » ?
Quel est l’angle dont la valeur est
« »
lorsqu’on effectue « y / x » ?
tantan-1 -1 ( ) = (x – ( ) = (x – ))11
22
11
22
33
33
33
33 33
33
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
2211--
--P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )
P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )
66
44
33
66
77
44
55
44 33
66
5544
33
22 33
66
1111
44
77
55 33
33 22
22
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22
00
11
22
33
22÷÷ ==
11
22
22
33xx ==
11
33Il faut
rationnaliser !Il faut
rationnaliser !EXPLICATION :EXPLICATION :EXPLICATION :EXPLICATION :
33
33
0 = -3 0 = -3 tan tan (x – (x – ) + 3) + 3
Exemple #2 : Exemple #2 : Trouver les zéros de f(x) = -3 Trouver les zéros de f(x) = -3 tan tan (x – (x – ) + 3) + 3
11
22
= = tan tan (x – (x – ))11
22 Quel est l’angle dont la valeur est
« »
lorsqu’on effectue « y / x » ?
Quel est l’angle dont la valeur est
« »
lorsqu’on effectue « y / x » ?
tantan-1 -1 ( ) = (x – ( ) = (x – ))11
22
11
22
33
33
33
33
33
33
= (x – = (x – ))11
22
66
etet = (x – = (x – ))11
22
7766
= x – = x – 2266
= x= x114433
= x – = x – 141466
= x= x22101033
P = P = | | bb | |
| 1/2 || 1/2 |
P =P =
PériodePériode
Réponse :Réponse :
x x + 2 + 2n n où n où n
= 2= 2
4433
Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction TANGENTETANGENTE--
Résolutions d’inéquations Résolutions d’inéquations TANGENTESTANGENTES
Exemple : Exemple : Résoudre f(x) = - Résoudre f(x) = - tan tan 2 (x + ) – 1 ≥ 2 (x + ) – 1 ≥ 1188
- 5- 5
55
22
33
22
--
22
---3-3
22
88P = P = /2/2
y = 1y = 1
Exemple : Exemple : Résoudre f(x) = - Résoudre f(x) = - tan tan 2 (x + ) – 1 ≥ 12 (x + ) – 1 ≥ 188
-1,1071-1,1071 ≥ 2 (x + ) ≥ 2 (x + )88
etet ++ -1,1071 -1,1071 ≥ 2 (x + ) ≥ 2 (x + )88
-0,55355 -0,55355 ≥ x +≥ x + 88
-0,94625 -0,94625 ≥ x≥ x11
2,03442,0344 ≥ 2 (x + )≥ 2 (x + )88
1,01722 1,01722 ≥ x +≥ x + 88
0,6245 0,6245 ≥ x≥ x22
1 ≤ - 1 ≤ - tan tan 2 (x + ) – 12 (x + ) – 188
2 ≤ - 2 ≤ - tan tan 2 (x + )2 (x + )88
-2 -2 ≥≥ tan tan 2 (x + )2 (x + )88
Quel est l’angle dont la
valeur est « -2 » lorsqu’on
effectue « y / x » ?
Quel est l’angle dont la
valeur est « -2 » lorsqu’on
effectue « y / x » ?
tantan-1-1(-2) (-2) ≥≥ 2 (x + ) 2 (x + )88
Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables !
Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables !
- 5- 5
55
22
33
22
--
22
---3-3
22
88
y = 1y = 1
-0,9
46
25
-0,9
46
25
P = P = | | bb | |
| 2 || 2 |
P =P =
PériodePériode
Réponse :Réponse :
x x ] + n , ] + n , -0,94625 -0,94625 + n ] où n + n ] où n
==
-3-388
22
22
22