chapitre 6: fonctions trigonométriques

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FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 95 2M stand/renf – JtJ 2019 Chapitre 6: Fonctions trigonométriques Prérequis: Généralités sur les fonctions, Introduction dérivée, rapports trigo Requis pour: Croissance, Optimisation. 6.1 Quelques rappels Définitions Les fonctions trigonométriques sont définies à l’aide du cercle trigonométrique : Considérons le point M du cercle trigonométrique corres- pondant à l’angle α. Le cosinus de α, noté cos(α), est la 1 ère coordonnée (ou abs- cisse) de M. Le sinus de α, noté sin(α), est la 2 ème coordonnée (ou or- donnée) de M. La tangente de α, notée tan(α), est l’ordonnée de T. Relations fondamentales (I) sin 2 (α) + cos 2 (α) = 1 (II) tan(α) = sin(α) cos(α) Valeurs particulières degrés radians sin cos tan 30° 45° 60° 90° 180° Graphes des fonctions trigo

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Page 1: Chapitre 6: Fonctions trigonométriques

FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 95

2Mstand/renf – JtJ 2019

Chapitre 6: Fonctions trigonométriques Prérequis: Généralités sur les fonctions, Introduction dérivée, rapports trigo Requis pour: Croissance, Optimisation.

6.1 Quelques rappels

Définitions

Les fonctions trigonométriques sont définies à l’aide du cercle trigonométrique :

Considérons le point M du cercle trigonométrique corres-pondant à l’angle α.

Le cosinus de α, noté cos(α), est la 1ère coordonnée (ou abs-cisse) de M.

Le sinus de α, noté sin(α), est la 2ème coordonnée (ou or-donnée) de M.

La tangente de α, notée tan(α), est l’ordonnée de T.

Relations fondamentales

(I) sin2(α) + cos2(α) =1

(II) tan(α) =sin(α)cos(α)

Valeurs particulières degrés radians sin cos tan

30°

45°

60°

90°

180°

Graphes des fonctions trigo

Page 2: Chapitre 6: Fonctions trigonométriques

96 CHAPITRE 6

2Mstand/renf – Jt 2019

Périodicité

• La fonction sinus est périodique de période ……

sin(α + …) = sin(…)

• La fonction cosinus est périodique de période ……

cos(α + …) = cos(…)

• La fonction tangente est périodique de période ……

tan(α + …) = tan(…)

a) Esquisser la fonction f définie par f (x) = 3sin x

2

⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ puis

préciser sa période et son amplitude.

Exemple

Page 3: Chapitre 6: Fonctions trigonométriques

FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 97

2Mstand/renf – JtJ 2019

b) Esquisser la fonction f définie par f (x) = −1

2cos x + π( )

puis préciser sa période, son amplitude.

Exemple

Exercice 6.1 :

Esquisser les fonctions f suivantes en précisant leur période et leur amplitude:

a) f (x) = −2cos x

3

⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ b) f (x) = sin x + π

2

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

c) f (x) = 3cos x

2+ π

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

Théorème

Si f (x) = a ⋅ sin(bx + c) ou f (x) = a ⋅ cos(bx + c) , où a, b et c sont des réels non nuls, alors :

• l’amplitude A vaut : | a |

• la période T vaut : 2π|b |

Page 4: Chapitre 6: Fonctions trigonométriques

98 CHAPITRE 6

2Mstand/renf – Jt 2019

On considère la fonction f définie par f (x) = −3cos x

2+ π

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ .

Déterminer l’amplitude A et la période T de f. En déduire son esquisse

Exemple

Exercice 6.2 :

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer sa pé-riode T et son amplitude A :

a) f (x) = sin x − π2

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ b) g(x) = 2cos 3x + π( )

c) h(x) = −cos x

2+π3

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ d) i(x) = −2sin 3x −π( )

Retrouver sur le graphe ci-dessous les courbes correspon-dantes à ces 4 fonctions :

Page 5: Chapitre 6: Fonctions trigonométriques

FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 99

2Mstand/renf – JtJ 2019

6.2 Quelques équations trigonométriques

Introduction

Une équation trigonométrique est une équation contenant des expressions trigonométriques. Il n’existe pas de mé-thode universelle, mais le cercle trigonométrique sera très souvent votre allié.

Exemple

Résoudre cos(2x) = -0,9

Exercice 6.3 :

Résoudre les équations suivantes (en degrés):

a) cos(x) = −1

2 b) sin(3x) = 0,829

c) tan(x) = −0,754 d) cos(−x) = −1,43

e) tanx

2

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = 5,33 f) sin(3x) = −

3

2

Page 6: Chapitre 6: Fonctions trigonométriques

100 CHAPITRE 6

2Mstand/renf – Jt 2019

Résoudre sin 2x +π2

⎝ ⎜

⎠ ⎟ = −

3

2

Exemple

Exercice 6.4 :

Résoudre les équations suivantes (en radians):

a) sin x +π4

⎝ ⎜

⎠ ⎟ =1

2 b) cos x −

π3

⎝ ⎜

⎠ ⎟ =1

2

c) sin 2x −π3

⎝ ⎜

⎠ ⎟ =1

2 d) cos 4x −

π4

⎝ ⎜

⎠ ⎟ =

2

2

e) tan(2x + π) = 3 f) tanx

2

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = −1

Exemple

Résoudre sin2 x( ) =1

Page 7: Chapitre 6: Fonctions trigonométriques

FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 101

2Mstand/renf – JtJ 2019

Exercice 6.5 :

Résoudre les équations suivantes (en radians):

a) cos2 x( ) =1 b) sin2 x( ) = 14

c) tan2 x( ) = 3 d) sin2 x( ) = 34

e) tan2 x( ) =1 f) sin2(x) = cos2(x)

Exemple

Résoudre 4cos2(x) − 4cos(x) − 3 = 0

Exercice 6.6 :

Résoudre les équations suivantes (en degrés):

a) 2sin2(x) − 5sin(x) + 2 = 0

b) 2cos2(x) − 3cos(x) +1= 0

c) tan2(x) + 2tan(x) = −1

Page 8: Chapitre 6: Fonctions trigonométriques

102 CHAPITRE 6

2Mstand/renf – Jt 2019

Exemple

Résoudre 3sin2(x) + cos2(x) − 2 = 0

Exercice 6.7 :

Résoudre les équations suivantes (en degrés):

a) 3sin2(x) + cos2(x) − 2 = 0 (en proposant une autre substitution)

b) 2cos2(x) − sin(x) =1

c) 5sin(x) = 6cos2(x)

Page 9: Chapitre 6: Fonctions trigonométriques

FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 103

2Mstand/renf – JtJ 2019

6.3 Dérivée des fonctions trigonométriques

Introduction

À l'image des chapitres précédents, nous pourrions détermi-ner la dérivée de la fonction f définie par f (x) = sin(x) à

l’aide du calcul de limite : limx→a

sin(x)− sin(a)

x − a.

Essayons de trouver cette dérivée en comparant les graphes de f et de la pente de la tangente en plusieurs points.

x−π π 2π

y

−2

2f(x) = sin(x)

x−π π 2π

y

−1

1

f ′(x) = . . . . . . . . . Des démarches analogues permettraient de justifier les règles suivantes :

Les règles de dérivation des fonctions trigo :

8ème règle : Si f (x) = sin(x) ⇒ ′ f (x) = cos(x)

9ème règle : Si f (x) = cos(x) ⇒ ′ f (x) = −sin(x)

10ème règle : Si f (x) = tan(x) ⇒ ′f (x) = tan2(x)+1

ou ′f (x) = 1

cos2(x)

Exercice 6.8 :

Dériver les fonctions f suivantes :

a) f (x) = sin(x) + cos(x) b) f (x) = x2 · cos(x)

c) f (x) = cos(x) – 2tan(x) d) f (x) =tan(x)

x

e) f (x) =sin(x)

1+ cos(x) f) f (x) =

x

sin(x)+ cos(x)

Page 10: Chapitre 6: Fonctions trigonométriques

104 CHAPITRE 6

2Mstand/renf – Jt 2019

Exercice 6.9 :

En combinant les règles 8 et 9 du tableau précédent, justifier la 10ème règle (sous les deux formes).

Exercice 6.10 :

Déterminer l’équation de la tangente à la courbe au point indiqué :

a) f (x) = tan(x) au point d’abscisse x = π b) f (x) = x cos(x) au point d’abscisse x = π

Exercice 6.11 :

En quelles valeurs de x ∈ [0; 2π ] , la courbe y = x + 2sin(x) a-t-elle une tangente horizontale ?

6.4 La dérivée de fonctions composées

Introduction

Nous avons déjà eu l’occasion de dériver quelques fonctions composées codées: f (x) = (g h)(x) . Par exemple :

• f (x) = x − 2 correspond à f (x) = (g h)(x) avec

g(x) = ……… et h(x) = ………

• f (x) = (3x − 5)3 correspond à f (x) = (g h)(x) avec

g(x) = ……… et h(x) = ………

• f (x) =1

x2 + 43

correspond à f (x) = (g h)(x) avec

g(x) = ……… et h(x) = ………

Lors du calcul de ces 3 dérivées, nous avons vu apparaître ce que nous avons appelé la dérivée interne. Ceci se géné-ralise lors du calcul de la dérivée de toutes les fonctions composées.

Les règles de dérivation des fonctions composées :

11ème règle : Si f (x) = sin g(x)( ) ⇒ ′ f (x) = cos g(x)( ) ⋅ ′ g (x)

12ème règle : Si f (x) = cos g(x)( ) ⇒ ′ f (x) = −sin g(x)( ) ⋅ ′ g (x)

13ème règle : Si f (x) = tan g(x)( ) ⇒ ′ f (x) =1

cos g(x)( )( )2⋅ ′ g (x) =

′ g (x)

cos g(x)( )( )2

ou ′f (x) = tan2(g(x))+1( ) ⋅ ′g (x)

ou plus généralement pour toutes les fonctions composées :

14ème règle : Si f (x) = g(x) h(x) = g h(x)( ) ⇒ ′ f (x) = ′ g h(x)( ) ⋅ ′ h (x)

Page 11: Chapitre 6: Fonctions trigonométriques

FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 105

2Mstand/renf – JtJ 2019

Exemple

dériver les 2 fonctions f et g définies par :

a) f (x) = sin x2( ) b) f (x) = sin(x)( )2

Exercice 6.12 : Dériver les fonctions f définies par :

a) f (x) = tan(3x) b) f (x) = cos(x3 )

c) f (x) = cos3(x) d) f (x) = xsin1

x

⎝⎜⎞

⎠⎟

Page 12: Chapitre 6: Fonctions trigonométriques

106 CHAPITRE 6

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