mathematical structures for cs [chapter3]456
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CHAPTER 3Sets, Combinatorics,
and Probability
아꿈사: http://cafe.naver.com/architect1김태우: [email protected]
예제 46
• 경계 조건 (boundary condition)
–0개 의 객체, 즉 공집합의 순서화된 배열은 하나만 존재
–하나의 객체의 순서화된 배열은 n개가 존재
–n개의 서로 별개인 객체들의 순서화된 배열들은
n!개가 존재
1!
!
)!0(
!)0,(
n
n
n
nnP
nn
nnP
)!1(
!)1,(
!!0
!
)!(
!),( n
n
nn
nnnP
예제 48
• 만일 어떠한 문자도 반복될 수 없다면,단어 compiler로부터 얼마나 많은 3자리의
단어가 만들어질 수 있을까?
–문자의 배열이 중요하다
–8개의 객체로부터 얻어질 수 있는 세 개의 서로
별개인 객체의 순열의 수를 알고자 하는 것임
–P(8,3) = 8!/5! = 336
예제 49
• 10명의 운동 선수들이 메달을 받는 방법
–10명의 선수와 금, 은, 동
–순서가 중요
–A-금, B-은, C-동 ≠ C-금, B-은, A-동
–P(n,r) 사용
–P(10,3) = 10!/7! = 10•9•8 = 720
예제 50
• OS-4, PR-7, DS-3
• 같은 과목에 관한 모든 책이 함께 놓여야 함
• 책들을 배열할 수 있는 방법의 수는?
–연속적인 하위의 작업들로 나누어 생각
• 세 가지 과목을 배열하는 작업을 고려
– 3!가지 과목의 다른 순서 존재
•OS배열: 4!
• PR배열: 7!
•DS배열: 3!
–그러므로, 곱셈 원리에 의해 모든 책을
배열할 수 있는 방법의 수는
• (3!)(4!)(7!)(3!)=4,354,560
예제 52
–n개의 객체들로부터 0개의 객체, 즉 공집합을
선택하기 위해서는 단지 하나의 방법만이 존재
–n개의 객체들로부터 1개의 객체를 선택하기
위해서는 n개의 방법이 존재
–n개의 객체들로부터 n개의 객체들을 선택하기
위해서는 단지 한 가지 방법만이 존재
1)!0(!0
!)0,(
n
nnC
nn
nnC
)!1(!1
!)1,(
1)!(!
!),(
nnn
nnnC
예제 53
• 52장의 카드로부터 받아볼 수 있는 5장의 카드
는 몇 가지?
–단순히 무슨 카드인지에 관심 순서 X
–52개중 5개를 선택하는 방법의 수를 계산
–C(52,5) = 52!/(5!47!) = 2,598,960
예제 54
• 10명의 운동 경기 선수들이 경기, 3명이 우승
–우승자들에 대해서는 순서를 고려하지 않음
–그러므로, 10명중 3명을 선택하는 것임
–C(10,3) = 10!/(3!7!) = 120
예제 57
• FLORIDA, MISSISSIPPI
• 몇 가지의 서로 별개인 순열이 만들어지나?
–FLORIDA
• 7!
–MISSISSIPPI
• 11! 이 아님
• 중복된 문자열이 존재하기 때문
•MIS1S2ISSIPPI == MIS2S1ISSIPPI
• 재배치 하는 것은 변화가 없음
– 4개의 S, 4개의 I, 2개의 P
• 서로 별개인 순열의 수 11!/4!4!2!
–n개의 객체들이 존재하고,
–그 객체들 중에서 n1개의 객체들이 서로 동일하고
–… nK개의 객체들이 서로 동일한 경우
–이런 n개의 객체들에 대한 서로 별개인 순열의 수
)!()!)(!(
!
21 knnn
n
반복을 허용하는 순열과 조합
• P(n,r), C(n,r)
–N개의 객체들 중에서 r개를 배열하거나 선택
–즉, r ≤ n
• 그러나 n개의 객체들이 원하는 만큼
많이 재사용 될 수 있다면?
–알파벳 26개를 이용하여 단어를 구성
–N개 중에서 r개의 객체들의 순열/조합을 구성가능
하지만, 반복을 허용
–교묘한 방법을 사용… (예제58)
예제 58
• 다이아몬드, 루비, 에메랄드로부터 5개의 보석
을 선택하여 사용할 때… 몇 가지 방법?
–보석의 배열의 순서에는 관심 X
• 순열X 조합O
• 반복을 허용하면서, 3개 중에서 5개의 조합의 수를 계산
–1다야, 3루비, 1에메
• *|***|*
–5다야, 0루비, 0에메
• *****||
–즉, 7개의 slot중에서 5개의 품목을 선택
•C(7,5) = 7!/(5!2!)
• 반복을 허용하면서
N개의 서로 별개인 객체들 중에서
R개의 객체들에 대한 조합을 표현
–N개의 객체들의 반복된 수를 나타내기 위해 n-1개
의 수직선 필요
–수직선들을 포함한 전체가 차지하는 위치의 수는
r+(n-1)
–이들 중에서 r개를 선택하는 방법의 수는
)!1(!
)!1(
)!1(!
)!1(),1(
nr
nr
rnrr
nrrnrC
)!(!
!),(
rnr
nrnC
예제 59
• 하나의 동전을 던졌을 때 “앞면” 얻기
–2결과중 하나
–1/2
• 하나의 주사위를 굴렸을 때 “3”을 얻기
–6결과중 하나
–1/6
• 표준 카드 한 벌에서 ♠1 ♦Q 둘중의 하나 뽑기
–1/52 + 1/52 = 2/52 = 1/26
• 표본 공간
–어떤 행동의 모든 가능한 결과들의 집합
• 사건
–표본 공간의 임의의 부분집합
• 결과가 동일한 확률로 나타나는 임의의
유한 집합이 S라면, 사건 E의 확률 P(E)는
) A |A(| )( 크기의집합유한임의의는S
EEP
예제 60
• 2개의 동전 동시 던짐
• 각 동전은 공정 앞면,뒷면의 확률은 같다
• 표본 공간은 S={HH,HT,TH,TT}
• 사건 E를 집합 {HH}라 하자.
• E의 확률, 즉 두 동전 모두 앞면이 나타날 확률은?
S
EEP )(
4
1
},,,{
}{
TTTHHTHH
HH
예제 61
• 검사, 개발, 마케팅 붓서 직원들이 한 직원의 이
름이 선택되는 뽑기에 참가• 검사5 ( 2M, 3W)
• 개발23 (16M, 7W)
• 마켓14 ( 6M, 8W)
– |S|=42
– |W|=3+7+8=18
• P(W)=|W|/|S|=18/42=3/7
– |마|=14
• P(마) =|마|/|S|=14/42=/3
–P(W ∩ M)=8/42=4/21
–P(W∪M)=P(3+7+14)=24/42=4/7
확률 분포
• 만일 임의의 행동이 초래하는 결과가
전혀 동등한 확률로 나타나지 않는다면,
이 상황을 처리하기 위한 한 가지 방법은
해당 결과의 일부가 반복되는 대략적인 횟수를
소개하는 것이다…. -_-;
예제 63
• 하나의 주사위
• 6가지 가능한 결과가 존재 |S|=6
• T는 3이 나타나는 사건
–이 사건은 오직 한 번만이 존재
– |T|=1
–P(T)=|T|/|S|=1/6
• 주사위가 치우쳐서 4가 3배 더 자주라고 가정
• F는 4가 나타나는 사건
–결과 집합={1,2,3,4,4,4,5,6} |S|=8
–P(F)=|F|/|S|=1/8
모든 결과가 동등한 확률이 아님
• 방법은 해당 표본 공간에 대해
하나의 확률 분포를 할당하는 것
–더 자주 발생하는 결과들의 복제품을 생성하여
표본 공간을 오히려 더 크게 만들기 보다
–간단히 하나의 사건처럼 원래의 표본 공간에서
각 별개의 결과를 고려하고, 임의의 확률을 할당
• 만일 표본 공간에서 K개의 다른 결과들이 존재
–각 결과 Xi에는 다음과 같은 규칙이 적용됨
1)(0 .1i
xp
1)( .2
1
i
k
i
xp
• 사건 E ⊆ S를 고려
• 사건 E의 확률은
–E안의 개별적인 결과들에 대한 모든 확률을
더할 수 있다
–E는 서로 별개인 결과 모두에 대한 합집합
–결과가 모두 동등하게 나타날 때,P(E)=|E|/|S|라는 정의는
E안의 각 xi에 대해 p(xi)=1/|S|일 때 정의의
특별한 경우가 된다
)( .3i
EX
xp
i
조건부 확률
• Conditional Probability
–사건 E1과 E2가 주어졌을 때,
–E1이 발생한 조건하에서 E2의 조건부 확률
P(E2|E1)은 다음과 같다
)(
)()|(
1
21
12EP
EEPEEP
예제 64
• 예제63의 치우친 주사위에 대해 사용된
확률 분포가 다음과 같다
–E: 2또는 4가 나타나는 사건
–P(E) 는?
–P(E) = p(2) + p(4) = 1/8 + 3/8 = 4/8= 1/2
xi 1 2 3 4 5 6
P(xi) 1/8 1/8 1/8 3/8 1/8 1/8
예제 65
• 환자들 그룹의 약품 연구
• 17%: 약품 A에 긍정적
• 34%: 약품 B에 긍정적
• 8%: 약품 A와 B에 긍정적
• 한 환자가 약품A에 긍정적으로 응답했을 때
약품B에 긍정적으로 응답할 확률은?
47.017.0
08.0
)(
)()|(
AP
BAPABP
독립 사건
• 만일 P(E2|E1) = P(E2)이면
–E2는 E1이 발생되든 말든 동일하게 발생
–이 경우 E1과 E2는 독립 사건이 된다고 함
–다음 두 식이 성립
)(
)()()|(
1
21
212EP
EEPEPEEP
)()()(2121
EPEPEEP
예제 66
• 동전 던지기 앞면(E1) 다음에 뒷면(E2)이
나타날 사건은 다음에 의해서 서로 독립 사건임
4/1)(21
EEP
2/1)( , 2/1)(21
EPEP
)(
)(
21
21
EEP
EEP
각 사건이 별개인 경우, 각 확률을 합
각 사건이 별개인 경우, 각 확률을 곱
기대값
• 세 번의 시험에 대한 성적의 집합
–S={g1,g2,g3}
• 평균 시험 성적
–A(g) = (g1 + g2 + g3) / 3
–각 시험에 대한 가중값이 동일하다고 가정
• 마지막 시험에 두 배의 가중값
–A(g) = (g1 + g2 + 2*g3) / 4
예제 67
• 하나의 공정한 동전이 3번 던져짐
• 표본 공간 S
={HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}
• 확률변수 X
–S내의 각 결과를 해당 결과 내의 앞면의 수로 할당
–즉, 결과는 0~3까지의 정수값
–공정한 동전, 각 구성 원소는 동일한 확률
XI HHH HHT HTH HTT THH THT TTH TTT
X(xi) 3 2 2 1 2 1 1 0
p(xi) 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8
• X의 기대값,
• 즉 세 번 던질 때 기대되는 앞면의 수는…
8
1
)()()(
i
iixPxXXE
5.12/3)8/1(12
)8/1(0)8/1(1)8/1(1)8/1(2)8/1(1)8/1(2)8/1(2)8/1(3
• 앞면이 뒷면보다 3번 더 자주 발생하는
가중값이 존재한다고 가정
–확률 분포
• 연속적인 결과가 독립 사건
•S에서 각 결과의 확률은 각 확률의 곱
•HTT의 확률은 (3/4)(1/4)(1/4) = 3/64
XI HHH HHT HTH HTT THH THT TTH TTT
X(xi) 3 2 2 1 2 1 1 0
p(xi) 27/64 9/64 9/64 3/64 9/64 3/64 3/64 1/64
8
1
)()()(
i
iixPxXXE
5.12/3)8/1(12
)64/1(0)64/3(1)64/3(1)64/9(2)64/3(1)64/9(2)64/9(2)64/27(3
파스칼의 삼각형
• n행 (0 ≤n)은 0≤r≤n에 대해 모든 값
C(n,r)로 구성된다.
11,
),1()1,1(),(
nk
knCknCknC
단
이항식 정리
• (a + b)n 를 전개한 결과…
–a2+2ab+b2에서는 계수 1,2,1이 존재.
–파스칼 삼각형에서 2번째 열
• 이항식 정리
–모든 음이 아닌 정수 n에 대해서, 다음의 식이 성립
– (a + b)n = C(n, 0)anb0 + C(n, 1)an-1b1 +C(n, 2)an-2b2 + ... + C(n, k)an-kbk + ... + C(n, n)a0bn
–∑C(n, k)an-kbk
예제 69
• (x - 3)4 의 전개식
(x – 3)4 = C(4, 0)x4(-3)0 + C(4, 1)x3(-3)1 + C(4, 2)x2(-3)2 + C(4, 3)x1(-3)3 + C(4, 4)x0(-3)4
= x4 + 4x3(-3) + 6x2(9) + 4x1(-27) + 81
= x4 - 12x3 + 54x2 + 108x + 81
에제 70
• 이항식 정리에서 a=b=1이라고 하면
– (1+1) n
=C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,k)+C(n,n)
–2 n
=C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,k)+C(n,n)