cristobalespino.escristobalespino.es/mat1/apuntes+mates+curiosos.pdf · 1.01 los números reales...

1.01 Los números reales .......................................................................... 2 1.02 La recta real ampliada .................................................................... 4 1.03 Valor absoluto de un número real ............................................... 4 1.04 Intervalos de la recta real................................................................. 5 1.05 Distancia entre dos puntos de la recta real .................................. 5 1.06 Entorno de un punto de la recta real ............................................ 5 1.07 Correspondencia entre conjuntos ................................................ 6 1.08 Función real de variable real ......................................................... 7 1.09 Operaciones con funciones .......................................................... 8 1.10 La regla de Ruffini ........................................................................... 9 1.11 Las Reglas Sagradas del Cálculo .................................................... 14 1.12 De las funciones y las serpientes ................................................... 15 1.13 Catálogo de peligros ....................................................................... 16 1.14 Gráfica de una función .................................................................. 26 1.15 Las rectas y las parábolas ................................................................ 29 1.16 Funciones uniformes ..................................................................... 33 1.17 Funciones algebraicas y trascendentes ........................................ 33 1.18 Dominio de definición de una función ........................................ 34 1.19 Signo de una función ..................................................................... 44 1.20 Simetrías de una función ............................................................... 67 1.21 Funciones periódicas ..................................................................... 69 1.22 Funciones compuestas ................................................................... 72 1.23 Función inversa o recíproca ......................................................... 76 1.24 Funciones trigonométricas inversas ............................................ 82 1.25 Funciones hiperbólicas .................................................................. 87

Tema 1: Funciones reales de variable real 1

1.1 LOS NÚMEROS REALES

Dios inventó el número natural, lo demás es obra del hombre

Kronecker

Desde nuestra más tierna infancia todos estamos familiarizados con los números naturales (1, 2, 3, 4, 5, ....), pues con ellos aprendimos a "contar". Podemos vi-sualizar dicho conjunto si, tomando como "soporte" una recta, convenimos en representar cada número natural mediante un punto.

VISUALIZACIÓN DE LOS NATURALES

recta soporte1 2 3 4 5 6 7 8 9• • • • • • • • • • • •

. . . Con los números naturales no puede irse muy lejos, pues todos son positivos; así, dados dos naturales "a" y "b", no siempre existe otro número natural "x" tal que a + x = b. Por ejemplo, 4 2 2+ = ⇒ = −x x , que no es un número natural. Esta limitación del conjunto de los números na-turales no se presenta en el conjunto de los números enteros (0, 1, − − −1 2 2 3 3, , , , , ..... ) . Consideramos que el número "cero" es entero; el "cero" es tan especial que hasta bien entrado el segundo milenio de nuestra era no se le ad-mitió como número, para los sabios del siglo XI no era un número. Si convenimos en representar cada número entero mediante un punto, podemos visualizar el con-junto de dichos números.

. . . .• • • • • • • • • • •

− − −3 2 1 0 1 2 3

VISUALIZACIÓN DE LOS ENTEROS Con los números enteros tampoco puede irse muy lejos ni construir puentes muy largos, pues dados dos números enteros "a" y "b", no siempre existe otro número entero "x" tal que a.x = b. Por ejemplo, 7 5 5 7. /x x ,= ⇒ = que no es un número entero. Esta limitación de los enteros no se presenta en el conjunto de los números racionales, que son los que pueden expresarse como cociente entre un número entero y otro natural. Dicho de otro modo: son racionales los números que tienen un número finito de cifras decimales, y también los números periódicos (todo número periódico se puede expresar como co-ciente entre un número entero y otro natural). La visualización del conjunto de los números racionales es asunto delicado, pues por "parecidos" que sean dos ra-cionales entre ellos hay infinidad de racionales, y eso hace que el sentido de la vista pueda engañarnos al representar cada número


racional mediante un punto. Por ejemplo, si consideramos los números racionales

ab==

7 686738593478276456278383483427234742374123897349877 68673859347827645627838348342723474237412389734988

''

es evidente que son distintos y no muy famosos; además "a" es menor que "b" y ambos están comprendidos entre los números 7 y 8. Por tanto, al visualizar los números 7, 8, "a" y "b" obtendremos algo parecido a lo que sigue:

7 8• • • •

a b recta soporteComo entre los números racionales "a" y "b" hay infinidad de números racionales, para visualizarlos todos deberíamos marcar infinidad de puntos entre el punto que representa al número "a" y el que representa al número "b". Así las cosas, es claro que los números racionales comprendidos entre "a" y "b" están como sardinas en lata, tan "apretados" que, a simple vista, podría parecer que constituyen un "todo continuo" y que "llenan por completo" la re-cta soporte, podría parecer que la visualización de los racionales es la propia recta soporte, un "raíl continuo" por el que rodaría con sigilo el tren de la figura, sin el escándalo que se produce si los raíles están un poco separados para que la vía no se levante por la dilatación que sufre cuando aprieta la calor, cuando canta la calandria y contesta el ruiseñor.

A simple vista, la visualización del conjunto de los números raciona-les parece una recta, un "todo continuo" ...... pero no lo es

Si mirásemos con un microscopio veríamos que en realidad los núme-ros racionales no forman un "todo continuo"; es decir, no "llenan por completo" la recta soporte, pues "eso" que a simple vista parece un "todo continuo" está infectado de "agujeros": cada uno de ellos corres-ponde a un número de los llamados "irracionales" (un número con infini-tas cifras decimales y no periódico), como los números llamados "pi", "raíz cuadrada de dos" (no hay ningún número racional cuyo cuadrado sea 2, por eso es necesario "inventar" un número que cumpla esa condición, se denota 2 ), etc. Aunque geométricamente es imposible distinguir un número racional de otro irra-cional, la siguiente figura es un burdo intento de la imposible visualización del conjunto de los números racionales.

Burdo intento de visualización del conjunto de los números racionales


Al unir el conjunto de los racionales y el de los irracionales se obtiene el conjunto de los números "reales". Para visualizarlo basta añadir los números irracionales al raíl infectado de agujeros que forman los racionales, con lo que cada agujero es "tapado" por el correspondiente número irracional; al hacer eso la recta soporte se "llena por comple-to", resultando un "todo continuo" que llamamos "recta real". Como cada punto de la recta real representa a un número real,

ℜ

en adelante consideraremos sinónimas las palabras "número" y "punto".

−4 0 2 π 6 8Recta real

1.2 LA RECTA REAL AMPLIADA • Llamamos recta real ampliada al conjunto que resulta al añadir al con-

junto los símbolos ("más infinito"; o sea, como estar hiperpodrido de dinero) y ("menos infinito", como estar hiperpodrido de deudas).

ℜ +∞−∞

¡Ojo!: +∞ y −∞ no son números, y para todo número real "x", es: −∞ < x < +∞

• En general, con +∞ y −∞ no tienen sentido las operaciones que hacemos con los números; en concreto, carecen de sentido las siguientes expresiones:

( ) ( ) ; .( ) ; .( ) ; ; ; ;+∞ + −∞ +∞ −∞ +∞+∞

+∞−∞

−∞+∞

−∞−∞

0 0

No obstante, convenimos que:

( ).( ) ( ).( ) ; ( ).( ) ( ).( )+∞ +∞ = −∞ −∞ = +∞ +∞ −∞ = +∞ −∞ = −∞

También convenimos que, ∀ ∈ℜx , es:

x x

x x si xsi x x x si x

si xx x

+ +∞ = +∞ + +∞ = +∞ + −∞ = −∞ + −∞ = −∞

+∞ = +∞ = +∞ >−∞ < −∞ = −∞ = −∞ >

+∞ <RST

RST+ ∞ = − ∞ =

( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( )

.( ) ( ). ; .( ) ( ).

/ /

00

00

0

1.3 VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL • El valor absoluto del número real "x" es el número real no negativo que

denotamos x , siendo x x si xx si x= ≥

− ≤RST

00 .

• Si "x" e "y" son números reales, se cumplen las siguientes propiedades: x si x x k k x k si k

x y x y x y x y x y x y> ≠ = < ⇒ − < < >

= + ≤ + − ≥ −0 0 0 0; ; (

. . ; ;0)


1.4 INTERVALOS DE LA RECTA REAL

d x y( ; )

x y ℜ

Siendo "a" y "b" números reales tales que a b< , se llaman intervalos de origen "a" y extremo "b" a los siguientes subconjuntos de ℜ:

[ ; ] / [ ; ],( ; ) / ( ; )

[ ; ) /

( ; ] /

a b x a x b a ba b x a x b a b

a b x a x b

a b x a x b

= ∈ℜ ≤ ≤ ≡= ∈ℜ < < ≡

= ∈ℜ ≤ < ≡

= ∈ℜ < ≤ ≡

k pk pk pk p

intervalo "cerrado" incluye a "a" y a "b"intervalo "abierto" , excluye a "a" y a "b"

intervalo "cerrado" por la izquierda y "abierto" por la derecha

intervalo "abierto" por la izquierda y "cerrado" por la derecha

De "a" también se dice que es el extremo inferior del intervalo, y de "b" se dice que es el extremo superior. Del número real positivo " se dice que es la amplitud del intervalo. Por ejemplo:

"b a−

[ ; ] / ; ( ; ) /[ ; ) / ; ( ; ] /

4 9 4 9 2 5 2 54 2 4 2 6 8 6 8

= ∈ℜ ≤ ≤ = ∈ℜ < <− = ∈ℜ − ≤ < = ∈ℜ < ≤

x x x xx x x xk p kk p k

pp

Los cuatro intervalos anteriores tienen amplitud finita, pues el valor absoluto de "x" no se hace infinitamente grande en ningún punto "x" del intervalo; para expre-sar esto de modo rápido se dice que son acotados. Se dice que un intervalo es compacto si es cerrado y acotado, como los intervalos [ ; ], [ ; ], [ ; ].−2 3 1 8 6 9 Los cuatro intervalos siguientes tienen amplitud infinita; también se dice que son no acotados, para así indicar que el valor absoluto de "x" puede hacerse infini-tamente grande en puntos "x" del intervalo:

[ ; ) / ; ( ; ) /( ; ] / ; ( ; ) /a x x a a x x

a x x a a x x a+ ∞ = ∈ℜ ≥ + ∞ = ∈ℜ >

−∞ = ∈ℜ ≤ −∞ = ∈ℜ <k p k pk p k p

a

1.5 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DE ℜ Para evaluar la "proximidad" entre los puntos "x" e "y" usaremos el número real no negativo llamado distancia entre "x" e "y", que se denota d x y( ; ) , siendo d x y y x( ; ) = − . Así, dos puntos "x" e "y" son muy (poco) próxi-mos si y x− es muy (poco) próximo a cero.

1.6 ENTORNO DE UN PUNTO DE ℜ • Si y "r" es un número real positivo, llamamos entorno de centro

en "c" y radio "r" (se denota B al subconjunto de que forman los números reales (puntos) cuya distancia al punto "c" es inferior a "r"; es decir:

c ∈ℜℜcr ( ))

B c x d c x r x x c rx r x c r x c r x c r c r c

r ( ) / ( ; ) // / (

= ∈ℜ < = ∈ℜ − < == ∈ℜ − < − < = ∈ℜ − < < + = − +

l q m rk p k p r; )


Por ejemplo, el entorno de centro en "5" y radio 0 es el conjunto que for-man los números reales (puntos) "x" tales que

02'x − <5 0 0' 2 , que son los del

intervalo ( ' ; ' ) ( ' ; ' ).5 0 02 5 0 02 4 98 5 02− + ≡ Del intervalo ( ' ; ]4 98 5 se dice que es el semientorno izquierdo de "5" y radio y del intervalo 0 02' , [ ; ' )5 5 02 se dice que es el semientorno derecho de "5" y radio 0 02' .

• Si del entorno del punto "c" eliminamos el propio punto "c" obtenemos el entorno reducido de centro en "c" y radio "r", que se denota

; es decir,

B cr ( )

A

Pera

Pato

••••

177

π

B •••••

9

5

LunaAlivioSuspiro

f⎯ →⎯

B cr∗( ) B c . x x c r c r c c c rr∗ = ∈ℜ < − < = − ∪ +( ) / ( ; ) ( ; )0m rPor ejemplo, el entorno reducido de centro en "5" y radio es el conjunto que forman los reales "x" tales que

0 02'0 5 0 02< − <x ' , o sea, los "x" tales que

x ∈ ∪( ' ; ) ( ; ' ).4 98 5 5 5 02 Del intervalo ( ' ; )4 98 5 se dice que es el semientor-no reducido izquierdo de "5" y radio ; del intervalo 0 02' ( ; ' )5 5 02 se dice que es el semientorno reducido derecho de "5" y radio 0 02' .

• De todo intervalo de la forma ( ; )a +∞ se dice que es un entorno de y de todo intervalo de la forma

+∞( ; )−∞ b se dice que es un entorno de En es-

tos dos casos la palabra "reducido" ni quita ni pone nada a la palabra "entorno", pues como +∞ no es un número, hablar de un entorno de

−∞.

+∞ es igual que ha-blar de un entorno reducido de +∞ −∞. , y lo mismo con

1.7 CORRESPONDENCIA ENTRE CONJUNTOS

• Siendo "A" y "B" conjuntos cualesquiera, se llama "corres-pondencia" de "A" en "B" a todo criterio o ley que asocie elementos de "A" con elementos de "B"; si el nombre del criterio es "f", para expresar que "f" es una correspondencia de "A" en "B" escribimos

. De "A" se dice que es el conjunto inicial de "f" y de "B" se dice que es el conjunto final de "f". f A B:

En la definición de "correspondencia" no se impone ninguna restricción o traba al criterio "f" que asocia elementos de "A" con elementos "B"; por tanto, queda definida una "correspondencia" de "A" en "B" en el mismo instante en que se establece un criterio que asocie elementos de "A" con elementos "B", aunque dicho criterio sea muy absurdo o chiripitiflaútico, como el adjunto.

Observa: en el conjunto inicial "A" puede haber elementos a los que "f" no les asocia ningún elemento del conjunto final "B", y también puede ocurrir que "f" asocie varios elementos de "B" a un mismo elemento de "A".


f⎯ →⎯A

B

x f x( )

• Si x ∈ A, para referirnos al elemento del conjunto final "B" que la correspondencia o ley "f" asocia a "x", usaremos la notación "f(x)", que los profesionales leen efe de x, pero tú debes leer imagen de "x" según "f".

1) Un conjunto "A", que es protagonista "invisible", pues "A" no apare-

ce por ningún lado en la notación "f(x)" ..... ¡pero está! 2) Un conjunto "B", también invisible. 3) Una ley "f" que asocia elementos de "A" con elementos de "B"; es

protagonista "visible", pues en la notación "f(x)" hay una "f". 4) El elemento "x" del conjunto "A"; también visible, pues en la nota-

ción "f(x)" hay una "x". 5) El quinto protagonista es un elemento del conjunto "B", pero no uno

cualquiera, el quinto protagonista es el elemento de "B" que la ley "f"asocia a "x", y para denotarlo nadie ha inventado una notación másclara y concisa que "f(x)", introducida por Euler en el año 1734.

Si "f(x)" lo lees imagen de "x" según "f" te será más fácil tener a la vez en el cerebro

esos cinco protagonistas

1.8 FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL f⎯ →⎯

ℜ

ℜ x f x( )

El concepto de función generó mucha polémica entre los sabios de los siglos XVIII y XIX, y hubo que esperar hasta que Dirichlet zanjó el asunto en el año 1854, llamando función real de variable real a toda correspondencia o sea, una función real de variable real es una ley o criterio "f" que asocia números reales con números reales. Para expresar que el número real

f : ;ℜ ℜ

x inicial∈ℜ puede ser el que nos dé la gana, se dice que "x" es una variable independiente; y para expresar que el número real que "f" asocia a "x" escapa por completo a nuestro control (pues es la ley "f" quien decide el valor de "f(x)"), se dice que el número real que denotamos "f(x)" es una variable dependiente.

f x final( ) ∈ℜ


Se dice que es una función real porque el conjunto final de "f" es el de los reales, y se dice que "f" es de variable real porque el conjunto inicial de "f" es el de los reales. Siguiendo el criterio de Dirichlet, si el conjunto inicial de "f" fuera el de los números racionales y el conjunto final fuera el de los números complejos, diríamos que "f" es una función compleja de variable racional.

f :ℜ ℜ

ℜ

x •••

59

ℜ

• −• −• −

x x/( )/( )/( )

15 5 19 9 1

f⎯ →⎯ Como sólo trabajaremos con funciones reales de variable real, por razones de eco-nomía, cuando queramos referirnos a una de ellas (llamada "f") diremos simplemen-te sea la función "f". Por ejemplo, al hablar de la función f :ℜ ℜ tal que f x x x( ) /( )= − 1 se está hablando del criterio o ley "f" que al número real "x" le asocia el número real x x/( );−1 así, al número real 5 la ley "f" le asocia el número real y al número real 9 le asocia el número real 9 9 1/( )−5 5 1/( ),− ..... y para ex-presarlo escribimos f ( ) /( ) ( ) /( )5 5 5 1 9 9 9 1= − = −y f .

Entenderás la importancia de las funciones reales de variable real si piensas que "x" expresa la cantidad de capital que utiliza una empresa y "f(x)" expresa su producción de acero, o que

"x" expresa el tiempo transcurrido a partir de un cierto instante y "f(x)" expresa la velocidad de un móvil en el instante "x"

1.9 OPERACIONES CON FUNCIONES Con las funciones podemos hacer las mismas operaciones que con los números reales; así, siendo u y v: :ℜ ℜ ℜ ℜ dos funciones, se tiene que:

123456 0

) ( ) ( ) ( )) . ( ) ( ). ( )) / ( ) ( )/ ( )) ( ) ( ( ))) ( ) ( ),) log ( ) log ( ), ,

( )

f u v es la fu x u x v xf u v es la fu x u x v xf u v es la fu x u x v xf u x u xf u x u x k cons tef u es la fu x u x k k

v v xk k

k k

= +

1tan

= += == == == = ≡= =

nción tal que fnción tal que fnción tal que f

es la función tal que f es la función tal que f

nción tal que f

> ≠

Por ejemplo, si y u:ℜ ℜ v:ℜ ℜ son tales que u x x y v x x( ) ( ) /( ):= =2 1 1+

1 12 13 1456

2222 1 1

7 27

5 5 2

) ( )) . ( ) /( )) / ( ) .( )) ( ) () ( )) log ( ) log

/( )

f u v es la fu x x xf u v es la fu x x xf u v es la fu x x xf u x xf u x xf u es la fu x x

v x

= + = + += == == == == =

+

nción tal que fnción tal que fnción tal que f

es la función tal que f es la función tal que f

nción tal que f

1( /( ))

)

++


1.10 LA REGLA DE RUFFINI Miles de veces nos encontraremos ante el problema de resol-ver una ecuación siendo f x( ) ,= 0 f x( ) un polinomio; o sea, deberemos determinar los valores de "x" que cumplen la condición f x( ) .= 0 De dichos valores de "x" se dice que son las "soluciones" o "raíces" de la ecuación f x( ) .= 0

f x a x b( ) .= +1) Si el polinomio es de grado 1 (o sea, , donde "a" y "b" son cons-tantes y a ≠ 0), la ecuación f x( ) = 0 tiene una única solución, y su cálculo es fácil:

a x b a x b x b. .+ a/= ⇒ = − ⇒ = −0

2) Si el polinomio es de grado 2 (o sea, donde "a", "b" y "c" son constantes y a ≠ 0), la ecuación f

f x a x b x c( ) . . ,= + +2

x( ) = 0 tiene 2 soluciones o raíces, y las calcularemos usando la "formulita" hiperfamosa que todos conocemos:

a x b x c x b b aa. . . .

.2 2

0 42+ + = ⇒ = − ± − c

Por ejemplo:

2 5 3 05 5 4 2 3

2 25 1

43 21

22

. .( ) ( ) . .

./

x x x− + = ⇒ =− − ± − −

= ± = RST

• ¡Ojo!, si el coeficiente de "x" (o sea, "b") es un número par (por ejemplo, ), hay otra "formulita" más cómoda y rápida: b = 2.k

a x k x c xk k a c

ak k a

a. . .( . ) ( . ) . .

..2

2 22 0

2 2 42+ + = ⇒ =

− ± −= − ± − c

Por ejemplo:

1 6 5 0 3 3 151 3 2 1

52 2

. . .x x x+ + = ⇒ = − ± − = − ± = −−{

¡qué suerte!, el coeficiente de "x" es par (usamos la "formulita" cómoda

2 6 3. )k k= ⇒ = ⇒⇒

1 4 13 02 2 113

1 2 922

. .( ) ( ) .

x x x− + = ⇒ =− − ± − −

= ± − =

¡qué suerte!, el coeficiente de "x" es par (usamos la "formulita" cómoda

2 4 2. )k k= − ⇒ = − ⇒⇒

= ± − = ± − = ± − = ±2 1 9 2 1 9 2 3 1 2( ). . . .3 i

el número 1 no es "real" , se llama"unidad imaginaria" y se denota " i"

−


• Si el "término independiente" de la ecuación es cero (o sea, ) no necesita-remos ninguna formulita, y podremos apostar la vida a que una de las soluciones de la ecuación es .

c = 0

x = 0

a x b x x a x b xa x b x b a. . .( . ) . /

2 0 0 00+ = ⇒ + = ⇒ =

+ = ⇒ = −{

para que un producto de dos números sea 0 basta que alguno de ellos sea 0

FONEMATO 1.10.1 (RAÍCES ENTERAS)

Resuélvase la ecuación f x( ) = 0 , siendo f x x x x( ) . . .= − +2 10 85 3

SOLUCIÓN Debemos determinar los valores de "x" que satisfacen la ecuación (condición de igualdad) f x( ) = 0 . Como f(x) es un polinomio de grado 5, la ecuación en cuestión tiene 5 soluciones, pudiendo estar "repetidas" algunas de ellas.

¡Qué suerte!, como el término independiente de la ecuación es 0, apostamos un brazo a que es solución: x = 0

2 10 8 0 2 10 8 0 02 10 8

5 3 4 2 4 2. . . .( . . ) . .x x x x x x xx x− + = ⇒ − + = ⇒ 0=

− +RST =

,

2 10 8 04 2. .x x− + =Ahora debemos resolver la ecuación y de nuevo tenemos suerte, pues como la suma ( )2 10 8− + de los coeficientes es 0, apostamos tranquilamente la vida a que x = 1 es una de las soluciones, lo que garantiza que el polinomio es divi-sible por (la Regla de Ruffini permite calcular los coeficientes del polinomio h(x) obtenido como cociente de dicha división):

g x x x( ) . .= − +2 104 2 8x − 1

coeficientes de g(x)

2 0 10 0 81 2 2 8 8

2 2 8 8 0

−= −

− −x −

coeficientes de h(x) g(x)/(x )= − 1 resto

En general, si "f" es un polinomio de grado "n" superior a 2, el cálculo de las "n" soluciones de la ecuación

f x( ) = 0 es un petardo, pues no hay ninguna "formulita" que resuelva la papeleta. No obstante, en todos los casos

que encontremos (normalmente n = 3 ó n = 4 ), el poli-nomio estará "preparado" para que las soluciones sean

enteras .... y Ruffini nos permitirá determinarlas.


h x g x x x x x( ) ( )/( ) . . .= − = + − −1 2 2 8 83 2Así, es ; o sea:

g x x h x x x x x( ) ( ). ( ) ( ).( . . . )= − = − + − −1 1 2 2 83 2 8

Por tanto:

g x x x x xx x

x x x( ) ( ).( . . . ) . . .= ⇒ − + − − = ⇒− = ⇒ =

+ − − =RST0 1 2 2 8 8 0

1 0 12 2 8 8

3 23 2 0

h x x x x( ) . . . ;= + − − =2 2 8 83 2Ahora debemos resolver la ecuación 0 y como la suma ( )2 2 8 8+ − − de sus coeficientes no es 0, podemos apostar una pierna a que

no es una de sus soluciones. Si la ecuación tiene raíces enteras deben ser divisores del término independiente ; como los divi-sores de son 1

x = 1−8

−8 1 2 2 4 4 8 8, , , , , ,− − ,− −y debemos armarnos de paciencia e ir probando con todos (excepto el 1, pues sabemos que x = 1 no es solución de

, rezando para que alguno de ellos sea solución. 2 2 8 83 2. . .x x x+ − − = 0)

0Es , lo que garantiza que h( ) . . .2 2 2 2 2 8 2 83 2= + − − = x = 2 es solución de y que el polinomio 2 2 8 83 2. . .x x x+ − −h x x x x( ) . . .= + − − =2 2 8 83 2 0 es divi-

sible por ; la Regla de Ruffini permite calcular los coeficientes del polinomio t(x) que se obtiene como cociente de dicha división:

x − 2

coeficientes de h(x)

2 2 8 82 4 12

2 6 4 08

− −=x

coeficientes de t(x) h(x)/(x )= − 2 resto

t x h x x x x( ) ( )/( ) . .= − = + +2 2 6 42 ; o sea: Así, es h x x t x x x x( ) ( ). ( ) ( ).( . . )= − = − + +2 2 2 62 4

Por tanto:

h x x x xx x

x x( ) ( ).( . . ) . .= ⇒ − + + = ⇒− = ⇒ =

+ + =RST0 2 2 6 4 0

2 0 22 6 4

22 0

y las soluciones de la ecuación 2 6 4 02. .x x+ + = son:

x = − ± − = − ± = −−

3 3 2 42

3 12

12

2 . {

En definitiva, siendo f las soluciones de la ecuación x x x x( ) . . . ,= − +2 10 85 3

f x( ) = 0 son x x x x y x= = = = − = −0 1 2 1, , , ;2 el que así sean las cosas nos per-mite escribir la descomposición factorial del polinomio f(x):

f x x x x x x( ) .( ).( ).( ).( ).( )= − − − + +2 0 1 2 1 2

el "2" es el coeficiente del término de mayor grado de f(x)


Raíces múltiples Si el polinomio "f" es tal que , siendo el polinomio "p" tal que f x x a p xk( ) ( ) . ( )= −

se dice que "a" es una raíz múltiple de orden "k" de la ecuación p a( ) ,≠ 0f x( ) = 0 . Por ejemplo:

f x x x x xx xx x

( ) . .( )= − = ⇒ − = ⇒= ⇒ =− = ⇒ = ±

RST6 4 4 2

4

29 0 9 0

0 09 0 3

(cuádruple)

f x x x( ) .= − =6 49 0Por tanto, las 6 raíces de la ecuación son: x = 0 x x simple= = −3 3(simple) ; ( ) (cuádruple) ;

La descomposición factorial es f . x x x x x x( ) . .( ).( )= − = − +6 4 49 3 3

FONEMATO 1.10.2 (RAÍCES FRACCIONARIAS)

Resuélvase la ecuación f x( ) = 0 , siendo f x x x x( ) . . .= − −12 4 3 13 2 +

SOLUCIÓN La ecuación 12 4 3 1 03 2. . .x x x− − + = carece de raíces enteras, pues ningún divi-sor del término independiente "1" es solución. Si la ecuación admite raíces fraccionarias de la forma "m/n" (siendo "m" y "n" nú-meros enteros y "n" distinto de 0 y de 1), entonces "m" es divisor del término independiente (el número 1 en nuestro caso) y "n" es divisor del coeficiente del término de mayor grado (el número 12 en nuestro caso); por tanto, las únicas raíces fraccionarias que puede tener la ecuación dada son:

12

12

13

13

14

14

16

16

112

112; ; ; ; ; ; ; ; ;− − − − −

Ahora hay que armarse de paciencia e ir probando una por una, rezando para que alguna sea solución de 12 4 3 1 03 2. . .x x x− − + = ...... y tenemos suerte, pues

es solución, ya que 12 1 2 4 1 2 3 1 2 1 03 2. ( / ) .( / ) .( / )− − + =x = 1 2/ .

12 4 3 11 2 12 2 2

3 2 2. . .( / ) . .x x x

x x x− − +−

= + −Mediante Ruffini obtenemos

Como las soluciones de 12 2 2 02. .x x+ − = x y x= = −1 3 1 2/ / son , es:

12 4 3 1 12 12

13

12

3 2. . . .( ).( ).(x x x x x x− − + = − − + )

FONEMATO 1.10.3 (RAÍCES IMAGINARIAS) f x( ) = 0Resuélvase la ecuación en los siguientes casos:

1 64 26 6) ( ) ; ) ( )f x x f x x 64= + = − SOLUCIÓN


x x6 664 0 64+ = ⇒ = − ∉ℜ1) Ninguna de las 6 raíces de la ecuación es real:

−646• Para calcular −64 consideramos al número como elemento del conjunto de los números imaginarios (de la forma a b i+ . , i = −1) siendo ; así, − es el número imaginario

64− +64 0. i b i+ ., cuyo módulo es 64 (el módulo de a es

a b2 2+ ) y cuyo argumento es π (el argumento de a b i+ . es arc tg ba ).

Un número imaginario no nulo con módulo "r" y argumento " posee "n" raíces n-ésimas distintas, que tienen como módulo la raíz n-ésima

"θ

de "r", y sus respectivos argumentos son: θ θ π θ π θ π θ πn n n n n n n n n n; . ; . ; . ; .... ; ( ).+ + + + −2 4 6 2 1

En nuestro caso es por tanto, el número n = 6; −64 r = 64 (para el que y θ π= ) tiene 6 raíces sextas distintas, que tienen módulo 2 (la raíz sexta de 64), y sus respectivos argumentos son:

π π π π π π π π π π π6 6 2 6 6 4 6 6 6 6 6 8 6 6 10 6; . ; . ; . ; . ;+ + + + + .

π π π π π π6 2 5 6 7 6 3 2 11 6, , . , . . .yO sea: ; así, teniendo en cuenta que si un número

imaginario "x" tiene módulo "r" y argumento " "θ x r i sen= +.(cos . ),θ θ es las 6 raíces sextas de − (o sea, las 6 soluciones de la ecuación son: x6 64 0+ = )64

x i sen i i

x i sen i i

x i sen i

x i sen i

x i sen i i

x i sen

= + = + = +

= + = + = +

= + = − + = −

= + = − − = −

= + = − = −

= +

2 6 6 2 32

12 3 1

2 2 2 2 0 1 0 2

2 56

56 2 3

212 3 1

2 76

76 2 3

212 3 1

2 32

32 2 0 1 0 2

2 116

.(cos . ) .( . ) .

.(cos . ) .( . ) .

.(cos . ) .( . ) .

.(cos . ) .( . ) .

.(cos . ) .( . ) .

.(cos .

π π

π π

π π

π π

π π

π

i

i

+

−

116 2 3

212 3 1π ) .( . ) .= − = −i i

x xi

ii

6 664 0 643 1

0 23 1

+ = ⇒ = − =±±

− ±

RS|T|

UV|W|

..

.En definitiva, .

x x6 664 0 64− = ⇒ = , 646 64 0= + . i2) Si y para calcular consideramos 64 , cuyo módulo es 64 y cuyo argumento es 0. Las seis raíces sextas de 64 tienen módulo 2 (la raíz sexta de 64), y sus respectivos argumentos son:

06

06 2 6

06 4 6

06 6 6

06 8 6

06 10 6; . ; . ; . ; . ; .+ + + + +π π π π π


0 3 2 3 4 3 5 3, , . , , . .π π π π πyO sea: ; por tanto, las seis raíces sextas de 64 son:

x i sen i

x i sen i i

x i sen i

x i sen i

x i sen i

x i sen

= + = + =

= + = + = +

= + = − + = − +

= + = − + = −

= + = − − = − −

= + = −

2 0 0 2 1 0 2

2 3 3 2 12

32 1 3

2 23

23 2 1

23

2 1 3

2 2 1 0 2

2 43

43 2 1

23

2 1 3

2 53

53 2 1

23

2

.(cos . ) .( . )

.(cos . ) .( . ) .

.(cos . ) .( . ) .

.(cos . ) .( . )

.(cos . ) .( . ) .

.(cos . ) .(

π π

π π

π π

π π

π π

i

i

. ) .i i= −1 3

1.11 LAS REGLAS SAGRADAS DEL CÁLCULO

Hay tres operaciones muy peligrosas que causan muchos disgustos a los principiantes; debes

grabarlas en tu cerebro de inmediato.


1) Prohibido dividir por cero; es un gran

pardillo todo el que diga que el cociente7/0 es infinito, pues este cociente de nú-meros no tiene sentido matemático.

2 ) El logaritmo de un número no positivo(≤0) no es un número real.

3 ) Toda raíz de índice par de un númeronegativo no es un número real.

SE HACE SABER Será inmisericordemente suspendido ipso facto todo

violador de una Regla Sagrada; caerán sobre él toneladas de desprestigio y deshonor, y el estigma de tan ignominioso acto apestará la

honra de su linaje por los siglos de los siglos.

1.12 DE LAS FUNCIONES Y LAS SERPIENTES Es el momento de avisarte sobre lo que se nos viene encima ..... utilizando brocha gorda y no pincel, cabe decir que en las próximas quinientas páginas vamos a ocu-parnos de poco más que los siguientes tres conceptos:

1) Límite de una función f :ℜ ℜ en un punto "a" 2) Continuidad de una función f :ℜ ℜ en un punto "a" 3) Derivabilidad de una función f :ℜ ℜ en un punto "a"

Pregunta: quinientas páginas son muchas, ¿tan difícil es? Respuesta: el problema no es que estos tres con-ceptos sean difíciles de entender, al contrario, son tan tontorrones que "entran" por los ojos, el sentido de la vista es la única herramienta necesaria para dar los primeros pasos por el proceloso mundo del límite, la continuidad y la derivabilidad de una función "f" en un punto "a". El problema es que, en lo que a estos conceptos se refiere, y debido a las Reglas Sagradas del Cálculo, las funcio-nes son como las serpientes: hay gran variedad de "familias", y sobre todo, y eso es lo más importante, las hay inofensivas y también las hay que pueden ser muy peligrosas. Para que el Cálculo Infinitesimal (ya sea Cálculo Dife-rencial o Cálculo Integral) te haga sufrir poco debes aprender a "catalogar" la peligrosidad de las diversas "familias" de funciones (como haría con las serpientes toda persona sensata que viviera entre infinidad de tan inquietantes animales), pues así podrás valorar en unos pocos segundos qué peli-gros te acecharán al trabajar (límite, continuidad, derivabilidad) con una función "f" en un punto "a". A veces las serpientes de familias extremadamente peligrosas pueden ser inofensi-vas: ¿quién no ha observado a pocos centímetros de su nariz los movimientos de una temible serpiente de cascabel que para su desgracia y mayor tranquilidad del observador ha sido introducida en una urna de cristal de dos centímetros de espe-sor?, ¿pero qué pasa con la tranquilidad del observador si la urna cae al suelo y la serpiente de cascabel queda en libertad y de mala leche por el golpe recibido? Con las funciones pasa un poco lo mismo, el trabajo (límite, continuidad, derivabi-lidad) con una función "f" puede ser inofensivo (o sea, fácil) en el punto "5" y ser extremadamente peligroso (o sea, difícil) en el punto "7". En definitiva, los pe-ligros que te acecharán al trabajar (límite, continuidad, derivabilidad) con una función "f" en un punto "a" dependen de la "familia" a la que pertenece "f" y del punto "a" en que se desarrolle el trabajo (límite, continuidad, derivabilidad) con "f".


1.13 CATÁLOGO DE PELIGROS El siguiente catálogo no es exhaustivo, quedan fuera de él algunas situaciones que de momento no comentamos para no complicar nuestros primeros pasos por el Cálculo Diferencial.

1) Las funciones "racionales enteras" • Son de la forma f x( ) = polinomio, y son inofensivas sea

cual sea el punto "c" en que desarrolle nuestro trabajo con ellas. Por ejemplo, son racionales enteras las siguientes funciones:

f f x x xg g x x xh h x x

: / ( ) .: / ( ): / ( )

ℜ ℜ = + −ℜ ℜ = + −ℜ ℜ = − +

3 31

2

7 22

2) Las funciones "racionales fraccionarias"• Son de la forma f x( ) = cociente de polinomios; son inofen-

sivas si el punto "c" en que desarrolla el trabajo con ellas no anula al denominador; por el contrario, son peligrosas si en "c" se anula el denominador, pues en ése punto se viola la regla que prohibe dividir por cero. Por ejemplo, son racionales fraccionarias las siguientes funciones:

f f x xx

g g x xx x

h h x xx

t t x xx x

: / ( )

: / ( ).

: / ( )

: / ( ).

ℜ ℜ = +−

ℜ ℜ =− +

ℜ ℜ = −+

ℜ ℜ =− −

12

3 21

4

2 1

2

6

2 369696

x = 2,El trabajo con "f" sólo es peligroso en el punto pues el denominador de x − 2 f x( ) sólo se anula en dicho punto.

x y x= =1 2,El trabajo con "g" sólo es peligroso en los puntos pues el deno-minador e x x2 3 2− +. d g x( ) sólo se anula en dichos puntos. El trabajo con "h" es inofensivo en todo punto, pues el denominador de h x( )

no se anula para ningún valor real de "x" ( )4 0 46 6+ = ⇒ = − ∉ℜx x . Hay 369696 valores de "x" (unos reales, otros imaginarios) que anulan el deno-minador de t x( ), y su cálculo es asunto infumable incluso para los japoneses. No obstante, es muy fácil analizar lo que sucede en cada punto concreto. Por ejemplo, el trabajo con "t" es inofensivo en el punto x = 7, pues en dicho punto no se anula el denominador de t x( ); sin embargo, es peligroso en ya que el denominador de t

x = 1,2 1 1 1 02 369696. − − =x = 1,x( ) se anula si pues


3) Las raíces de índice impar

f x u ximpar( ) ( ) ;=• Son de la forma en lo que se refiere a los asuntos de "límite" y "continuidad", son inofensivas o peligrosas en el punto "c" según que la función "u" sea in-ofensiva o peligrosa en dicho punto. Por ejemplo, sean las funciones:

f f x x

g g x x

h h x x

: / ( )

: / ( ) /(

: / ( ) /(

ℜ ℜ = −

ℜ ℜ = −

ℜ ℜ = +

1

9

9

3

25

27

x

x

)

)

u x x( ) = − 1El trabajo con "f" es inofensivo en todo punto, pues el polinomio es inofensivo en todo punto.

x y x= = −3 3,El trabajo con "g" sólo es peligroso en los puntos pues el co-ciente de polinomios v x x x( ) /( )= −9 2 x = 3 sólo es peligroso en los puntos y

. en que se anula su denominador. x = −3El trabajo con "h" es inofensivo en todo punto, pues el cociente de polinomios

es inofensivo en todo punto, ya que su denominador 9 2+ x w x x x( ) /( )= +9 2

( ) .9 0 92+ = ⇒ = ± − ∉ℜx xno se anula para ningún valor real de "x"

f x u ximpar( ) ( )=• Puede ocurrir que el trabajo con en el punto "c" sea inofensivo en lo que se refiere a los asuntos de "límite" y "continuidad" pero sea peligroso en lo que se refiere al asunto de la "derivabilidad". Por desgracia no es posible establecer un criterio general de peligrosidad para los trabajos relacionados con la "derivabilidad".

4) Las raíces de índice parf x u xpar( ) ( )=• Son de la forma ; en lo que se refiere a los

asuntos de "límite" y "continuidad", son inofensivas en el punto "c" si la función "u" es inofensiva en dicho punto y además es u(c) >0; son peligrosas en el punto "c" si la fun-ción "u" es peligrosa en dicho punto o si u(c)<0, pues si u c( ) < 0 se viola la segunda Regla Sagrada:

número negativopar ∉ℜ

u c( ) = 0Si la función "u" es inofensiva en el punto "c" y , lo más frecuente es que haya peligro al trabajar en dicho punto, aunque puede no haberlo.


Por ejemplo, como el polinomio u x x( ) = − 1 es inofensivo en todo punto, el trabajo con

Observa: el signo del número real u x( ) tiene protagonismo estelar a la hora de evaluar la peligrosidad que en cada punto "x" tiene el trabajo ("límite" y

"continuidad") con la función f x u xpar( ) ( )= . Si la expresión matemática de u x( ) es tontorrona será muy sencillo determinar los puntos en que el trabajo es peligroso; a medida que se complique la expresión matemática de u x( ) se

complicará la detección de los puntos peligrosos.

f x x( ) = − 1 u x( ) > 0 es inofensivo en todo punto "x" tal que ( )⇒ − > ⇒ >x x1 0 1 u x( ) < 0 y es peligroso en los puntos "x" tales que ( ).⇒ − < ⇒ <x x1 0 1 Como u( ) ,1 0= lo más probable es que haya peligro en el punto aunque podría no haberlo. El que la expresión matemática de x = 1, u x( ) sea tontorrona hace que resulte muy sencillo determinar los puntos en que el traba-jo con f x u xpar( ) ( )= es peligroso.

v x x x( ) /( )= −2 4Por ejemplo, como el cociente de polinomios es peligroso sólo en los puntos x y x= = −2 2 en que se anula su denominador, el trabajo con

g x x x( ) /( )= −24 4 es peligroso en dichos puntos y en todos los puntos "x" tales que v x x x( ) /( )= −2 4v x( ) .≤ 0 Pero la expresión matemática de es lo bastante complicada como para que, con lo poco que aún sabemos, nos resulte imposible determinar todos los puntos "x" que satisfacen la condición v x x x( ) /( ) .= − ≤2 4 0 No obstante, es muy fácil analizar qué sucede en cada punto concreto; por ejem-plo, el trabajo con g x x x( ) /( )= −24 4 es inofensivo en el punto pues en dicho punto es

x = 5,v( ) /( ) ,5 5 5 4 02= − > sin embargo, el trabajo es peligroso en el

punto pues v( ) /( ) .1 1 1 4 02= − <x = 1,

Hasta que no aprenda a estudiar el signo del número

u x ( ) no siempre podré determinar todos los puntos "x"

en que es peligroso trabajar con f x u xpar( ) ( )=

w x x x( ) ( )/( )= − +5Por ejemplo, como el cociente de polinomios 46 es inofen-sivo en todo punto (pues su denominador no se anula para ningún valor real de "x"), el trabajo con h x x x( ) ( )/( )= − +5 66 4 es inofensivo en los puntos "x" tales que w x x x( ) ( )/( )= − +5 6w x( ) .> 0 La expresión matemática de 4 es lo bastante tonta como para que el estudio del signo del número real ( )/( )x x− +5 6 4 sea fá-cil: para todo "x" es por lo que el signo de x6 4 0+ > , w x x x( ) ( )/( )= − +5 46 es el mismo que tiene su numerador x − 5 , que es positivo sólo si x > 5.


f x u xpar( ) ( )=• Puede ocurrir que el trabajo con en el pun-to "c" sea inofensivo en lo referido a los asuntos de "límite" y "continuidad" pero sea peligroso en lo referido a la "de-rivabilidad". Por desgracia no es posible establecer un criterio general de peligrosidad para los trabajos relacionados con la "derivabilidad".

5) Las funciones logarítmicas• Son de la forma f x u x k kk( ) log ( ), , ;= > ≠0 1 en lo que se

refiere a los asuntos de "límite" y "continuidad", son in-ofensivas en el punto "c" si la función "u" es inofensiva en dicho punto y además es u(c) >0; son peligrosas en el pun-to "c" si la función "u" es peligrosa en "c" o si u(c) ≤0, pues si u c( ) ≤ 0 , en "c" se viola la tercera Regla Sagrada:

log ( )k número no positivo ∉ℜ

Observa: el signo del número real u x( ) tiene protagonismo estelar a la hora de evaluar la peligrosidad que en cada punto "x" tiene el trabajo ("límite" y

"continuidad") con la función f x u xk( ) log ( )= . Si la expresión matemática de u x( ) es tontorrona será muy sencillo determinar los puntos en que el trabajo es peligroso; a medida que se complique la expresión matemática de u x( ) se

complicará la detección de los puntos peligrosos.

u x x( ) = + 3Por ejemplo, como el polinomio es inofensivo en todo punto, el trabajo con f es inofensivo en todos los puntos "x" tales que x x( ) log ( )5 3= +u x x x( ) ( ),> ⇒ + > ⇒ > −0 3 0 3 y es peligroso en los puntos "x" tales que u x x x( ) ( ).≤ ⇒ + ≤ ⇒ ≤ −0 3 0 3 El que la expresión matemática de u x( ) sea ton-torrona hace que sea muy sencillo determinar los puntos en que el trabajo con

es peligroso. f x u xk( ) log ( )=

Por ejemplo, como el cociente de polinomios v x x x( ) /( −2 4= ) es peligroso sólo en los puntos x y x= = −2 2 en que se anula su denominador, el trabajo con

es peligroso en dichos puntos y en todo punto "x" tal que g x x x( ) log /( )= 9 2 4−v x x x( ) /( )= −2 4v x( ) .≤ 0 Pero la expresión matemática de es lo bastante com-

plicada como para que, con lo que sabemos, nos resulte imposible determinar todos los puntos "x" que satisfacen la condición v x x x( ) /( ) .= − ≤2 4 0 No obs-tante, es muy fácil analizar lo que sucede en cada punto concreto; así, por ejemplo, el trabajo con g x x x( ) log /( )= −9 2 4 es inofensivo en el punto pues en dicho punto es sin embargo, es peligroso en pues

x = 5,v( ) /( ) ;5 5 5 4 02= − > x = 1,

v( ) /( ) .1 1 1 4 02= − <


Hasta que no aprenda a estudiar el signo de u x( ) no siempre podré determinar

todos los puntos "x" en que es peligroso trabajar con f x u xk( ) log ( )=

w x x x( ) ( )/( )= − +5 2Por ejemplo, como el cociente de polinomios 4

42

es inofen-sivo en todo punto (pues su denominador no se anula en ningún punto), el trabajo con sólo es inofensivo en los puntos "x" tales que h x Ln x x( ) ( )/( )= − +5w x( ) .> 0 w x x x( ) ( )/( )= − +5 42

42 La expresión matemática de es lo bastante tonta

como para que el estudio del signo del número real ( )/( )5 − +x x sea fácil: para todo real de "x" es por tanto, el signo de x 4 0+ > ;2 w x x x( ) ( )/( )= − +5 42 es el que tiene su numerador 5 , que es positivo sólo si x− x < 5.

• Puede ocurrir que el trabajo con f x u xk( ) log ( )= en el punto "c" sea inofensivo en lo referido a los asuntos de "límite" y "continuidad" pero sea peligroso en lo referido a la "derivabilidad". No hay un criterio general de peligrosidad para los tra-bajos relacionados con la "derivabilidad".

• Se dice que el número real "a" es el logaritmo en base "k" ( , )k k> ≠0 1del número real positivo "b" si k ba = ; o sea: log k ab a k b= ⇔ =

• Se dice que el logaritmo es decimal si la base "k" es el número 10; si labase es el número irracional "e" ( ' )e ≅ 2 7182818 , se dice que el logaritmoes neperiano (se denota "Ln", o sea: Ln b a e ba= ⇔ = ) .

• Propiedades: log ; log ; log ; log . log

log ( . ) (log ) (log ) ; log ( / ) (log ) (log )

logloglog

log

k k k c k c k

k k k k k k

kk

k

k

k k c b c bm n m n m n m n

mmk

si ksi k

1 0 1

00 1

1

122 1

= = = == + = −

=

=+∞ < <−∞ >RST

+

Cambio de base:

Al escribir 0+ nos referimos a un número muy próximo a cero pero positivo; o sea, si un número positivo es enormemente pró-ximo a 0, su logaritmo es bestialmente positivo si la base "k" es

menor que 1, y bestialmente negativo si "k" es mayor que 1


6) Las funciones exponencialesf x k siendo ku x( ) , ;( )= > 0• Son de la forma en lo que se re-

fiere a los asuntos de "límite" y "continuidad", son inofen-sivas o peligrosas en el punto "c" según que la función "u" sea inofensiva o peligrosa en dicho punto.

u:ℜ ℜ u x x( ) = ≡Por ejemplo, la función tal que polinomio es inofensiva en todo punto; por tanto, el trabajo con f x x( ) = 3 es inofensivo en todo punto.

v :ℜ ℜ v x x( ) /= ≡1Por ejemplo, la función definida como cociente de po-linomios es peligrosa sólo en el punto x = 0 en que se anula su denominador; por tanto, el trabajo con g x x( ) /= 51 sólo es peligroso en dicho punto.

w:ℜ ℜ w x x( ) =Por ejemplo, la función tal que es inofensiva si ; por tanto, el trabajo con

x > 0h x x( ) = 2 es inofensivo si x > 0.

f x ku x( ) ( )=• Puede ocurrir que el trabajo con en el punto "c" sea inofensivo en lo referido a los asuntos de "límite" y "continuidad" pero sea peligroso en lo referido a la "deri-vabilidad". No hay un criterio general de peligrosidad para los trabajos relacionados con la "derivabilidad".

7) El peligro de las sumas y restas • Si la función "f" es el resultado sumar o restar otras fun-

ciones, el trabajo con "f" en el punto "c" es inofensivo si todos los sumandos son inofensivos en dicho punto, y es peligroso si algún sumando es peligroso en "c".

:ℜ ℜPor ejemplo, siendo f tal que

f x x x x x xx( ) log ( )/= −−

+ + + + − − +2 1 433

4 5 3 1π

5

como: ∗ = ≡ ⇒

∗ = − ≡ ⇒ ≠

∗ = ≡ ⇒ ≠

∗ = + ≡ ⇒ + > ⇒ > −

∗ = − ≡ ⇒

∗ = + ≡ ⇒ + > ⇒ > −

u x x polinomio inofensiva en todos los puntos

v x x cociente de polinomios inofensiva si x

w x inofensiva si x

h x x polinomio inofensiva si x x

g x x polinomio inofensiva

t x x polinomio inofensiva si x x

x cociente de polinomios

par

impar

( )

( ) /( )

( )

( ) ( )

( )

( ) log ( ) log ( ) ( )

/

2

1

43

3 3

4

5 5 0

3 3 0

1

5 5

π π

en todos los puntos

3

0 5

resulta que, en lo que se refiere a los asuntos de "límite" y "continuidad", el tra-bajo con "f" será inofensivo en el punto "x" si x x x y x≠ ≠ > − > −0 3, , 5π (o sea, si siendo x > −3 x y x≠ ≠0 π), y será peligroso en los demás puntos.


8) El peligro del producto• Si la función "f" es el resultado multiplicar diversas fun-

ciones, el trabajo con "f" en el punto "c" es inofensivo si todos los factores son inofensivos en dicho punto, y es pe-ligroso si algún factor es peligroso en "c".

f x xx e xx( ) . . log ( )=

−−3 76:ℜ ℜPor ejemplo, siendo f tal que , como:

∗ = − ≡ ⇒ ≠∗ = ≡ ⇒ ∀ ∈ℜ∗ = − ≡ ⇒ − > ⇒ >

u x x x cociente de polinomios inofensiva si xv x e e inofensiva xh x x polinomio inofensiva si x x

x polinomio( ) /( )( )( ) log ( ) log ( ) ( )

3 3

7 76 6

0 7

resulta que, en lo que se refiere a los asuntos de "límite" y "continuidad", el tra-bajo con "f" será inofensivo en el punto "x" si x y x≠ >3 7 x > 7) (o sea, si , y será peligroso en los demás puntos.

Por ejemplo, si f es tal que :ℜ ℜ f x xx x

x( ) . . /=− −4

11 92

3 1 , como:

∗ = − ≡ ⇒ ≠ ±∗ = − ≡ ⇒ ≠∗ = ≡ ⇒ ≠

u x x x cociente de polinomios inofensiva si xv x x inofensiva si xh x inofensiva si x

impar

x

( ) /( )( ) /( )( ) /

4 21 1

9 9 0

2

3

1cociente de polinomios

cociente de polinomios1

resulta que, en lo que se refiere a los asuntos de "límite" y "continuidad", el tra-bajo con "f" será peligroso solo si x x y x= ± = =2 1, ,0 y será inofensivo en los demás puntos.

Por ejemplo, siendo f :ℜ ℜ tal que f x xx

x( ) . /( )=+

+4

721 2 2 , como:

∗ = + ≡ ⇒ ∀ ∈ℜ

∗ = ≡ ⇒ ∀ ∈ℜ+

u x x x cociente de polinomios inofensiva x

v x inofensiva xx

( ) /( ) ,

( ) ,/( )

4

7 7

2

1 1 2

puesel denominador no se anula para ningún valor real de "x".

pues eldenominador no se anula para ningún valor real de "x".

cociente de polinomios

resulta que, en lo que se refiere a los asuntos de "límite" y "continuidad", el tra-bajo con "f" es inofensivo en todo punto.

Por ejemplo, siendo f :ℜ ℜ tal que f x , como: x x( ) .= +2 64

∗ = ≡ ⇒ ∀ ∈ℜ∗ = + ≡ ⇒ ∀ ∈ℜ

u x x polinomio inofensiva xv x x polinomio inofensiva xpar( )( ) ,

2

64 pues elpolinomio 4 + x sólo toma valores positivos.6

resulta que, en lo que se refiere a los asuntos de "límite" y "continuidad", el tra-bajo con "f" es inofensivo en todo punto.


9) El peligro de la división• Si la función "f" es el cociente entre las funciones "u" y "v"

(o sea, es f x u x v x( ) ( ) / ( )),= el trabajo con "f" es inofensivo en el punto "c" si el numerador u x( ) y el denominador v x( ) son inofensivos en "c" y además el denominador no se anula en dicho punto; es peligroso si el numerador o el denominador son peligrosos en "c" o el denominador se anula en dicho punto (violación de la primera Regla Sagrada).

f x xx( ) =

−+323 1

:ℜ ℜPor ejemplo, siendo f tal que , como:

∗ = ≡ ⇒u x x polinomio inofensiva( ) 3 en todo punto ∗ = −+v x x( ) 3 12 −1≡ suma de la constante (inofensiva , pues una

constante es un polinomio de grado cero) y de la función exponencial (inofensiva en todos los puntos, pues el exponente es un in-

ofensivo polinomio) ⇒

∀ ∈ℜx

3 2x+ x + 2= −+v x x( ) 3 12 es inofensiva en todo punto.

resulta que, en lo que se refiere a los asuntos de "límite" y "continuidad", el tra-bajo con f x u x v x( ) ( )/ ( )= sólo es peligroso en los puntos que anulen el deno-minador:

3 1 0 3 1 2 02 2x x x x+ 2+− = ⇒ = ⇒ + = ⇒ = −

Por ejemplo, siendo f :ℜ ℜ tal que f x x xx

( ) log ( )=

− + −−

2 52

1 49

, como:

x2 1−∗ = − + − ≡u x x x( ) log ( )2 51 4 suma del polinomio (inofensivo en to-dos los puntos) y de la función logarítmica log ( ) log5 54 − ≡x polinomio que es peligrosa sólo si 4 0 1 42 5− ≤ ⇒ = − + −x u x x( ) log ( )x

n todo punto

es peli-grosa sólo si 4 0− ≤x .

∗ = − ≡ ⇒v x x polinomio inofensiva( ) 2 9 e

resulta que, en lo que se refiere a los asuntos de "límite" y "continuidad", el tra-bajo con f x u x v x( ) ( )/ ( )= 4 0 4− ≤ ⇒ ≥x x( ) es peligroso en el punto "x" si o si (puntos que anulan el denominador: x x2 9 0 3− = ⇒ = ± ).x = ±3

Por ejemplo, siendo f :ℜ ℜ tal que f x xx

x( ) .

=++

2 17

35

6 , como:

∗ = + ≡ ⇒u x x polinomiox polinomio impar( ) . .2 1 235 inofensiva en todos los puntos

∗ = + ≡ ⇒v x x polinomio inofensiva( ) 6 7 en todos los puntos

resulta que, en lo que se refiere a los asuntos de "límite" y "continuidad", el tra-bajo con f x u x v x( ) ( )/ ( )= es inofensivo en todo punto, pues el denominador

no se anula para ningún valor real de "x". v x x( ) = +6 7


10) Las funciones trigonométricas o "circulares"

Los ángulos siempre se miden en radianes: un radián es el án-gulo tal que la longitud del arco PS coincide con el radio de la circunferencia. La circunferencia (360 grados) tiene 2.π radianes; por tanto, expresado en grados, un radián corresponde a 360 2 57 29578/( . ) 'π ≅ grados.

cos x

tg x

x

1

sen x

cot g x

EL CIRCULO GONIOMÉTRICO

tg x sen xx

g x xsen x

x xec x sen x

=

=

=

=

cos

cot cos

sec coscos

1

1

RECORDATORIO • En un triángulo rectángulo, para el ángulo "x" es:

sen x b c x sen x

x a c x xtg x b a g x tg x

= == == =

/ ; /cos / ; sec /cos

/ ; cot /

cosec 111

x

cb

a

• En un circulo de radio 1, para el ángulo "x" es:

SGrados

Radianesseno

eno

0 30 45 60 90 180 270 3600 6 4 3 2 3 2 20 1 2 2 2 3 2 1 0 1 01 3 2 2 2 1 2 0 1 0 1

π π π π π π π/ / / / . / ./ / /

cos / / /−

−

1 P


• Si "f" es de la forma f x sen u x( ) ( )= ó f x u x( ) cos ( ),= en lo que se refiere a los asuntos de "límite" y "continuidad", el trabajo con "f" es inofensivo o peligroso en el punto "c" según que la función "u" sea inofensiva o peligrosa en di-cho punto. Para las restantes funciones trigonométricas basta tener en cuenta los peligros inherentes a toda divi-sión, y saber que, siendo "k" un número entero cualquiera, es:

sen u x u x ku x u x k

( ) ( ) .cos ( ) ( ) ( . ) .

= ⇒ =

= ⇒ = +

00 2 1 2

ππ

f x sen x( ) ( )= +1 2f :ℜ ℜPor ejemplo, siendo tal que , la función "f" es inofensiva ∀ u x x( ) = +1 2∈ℜx , ∀ ∈ℜx . pues el polinomio es inofensivo

x x( ) cos ( ),= −2 3:ℜ ℜPor ejemplo, siendo f tal que f la función "f" es inofensiva ∀ u x x( ) = −2 3∈ℜx , ∀ ∈ℜx . pues el polinomio es inofensivo

f :ℜ ℜ f x sen Ln x( ) ( )=Por ejemplo, siendo tal que , la función "f" sólo es peligrosa si pues x ≤ 0, u x Ln x( ) = x ≤ 0. sólo es peligrosa si

x x( ) cos ,/= 31Por ejemplo, siendo f la función "f" sólo es peligrosa en el pun-to x pues sólo es peligrosa en dicho punto. u x x( ) /= 31= 0,

x tg x sen x x( ) ( ) ( ( ))/(cos ( )),= − = − −1 1 1Por ejemplo, siendo f como el nu-merador y el denominador son inofensivos en todo punto, el trabajo con "f" sólo es peligroso en aquellos puntos "x" en que se anula el denominador: cos ( ) ( . ). / ( . ). /x x k x k− = ⇒ − = + ⇒ = + +1 0 1 2 1 2 1 2 1 2π π , donde "k" pue-de tomar cualquier valor entero. Por ejemplo, siendo f x g x x sen x( ) cot (cos )/( ),= = como numerador y de-nominador son inofensivos en todo punto, el trabajo con "f" sólo es peligroso en los puntos "x" que anulen al denominador: sen x = ⇒0 x k= .π , donde "k" puede tomar cualquier valor entero.

f x x x( ) sec . /(cos . )= =2 1 2Por ejemplo, siendo tal que , como el numerador y el denominador son inofensivos en todo punto, el trabajo con "f" sólo es peli-groso en los puntos "x" en que se anule el denominador: cos .2 0x = ⇒ 2 2 1 2 2 1. 4( . ). / ( . ). /x k x k= + ⇒ = +π π , donde "k" puede tomar cualquier va-lor entero.

x ec x sen x( ) cos ( ) /( ( ))= − = −3 1 3Por ejemplo, si f , como el numerador y el denominador son inofensivos en todo punto, "f" sólo es peligrosa en los puntos "x" que anulen al denominador: sen x x k x k( ) . .− = ⇒ − = ⇒ = +3 0 3 3π π , donde "k" puede tomar cualquier valor entero.


1.14 GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN :ℜ ℜPuesto que la función f

f⎯ →⎯ x

f(x)

ℜ ℜ

es simplemente un criterio o ley que asocia nú-meros reales con números reales, en la visualización de "f" tendrá gran protagonismo la visualización del conjunto de los números reales, que en nuestra historia desempeña dos papeles a la vez, pues hace el papel de conjunto "inicial" de "f" y también hace el papel de conjunto "final" de "f".

ℜ

Llamamos "eje de abcisas" a la recta elegida para visualizar el conjunto "inicial", y llamamos "eje de ordenadas" a la re-cta elegida para visualizar el conjunto "final". Por comodidad, siempre consideraremos que el eje de abcisas y el de ordenadas son perpendicula-res y que su punto de corte es el que corresponde al número cero en cada eje.

0

El eje de ordenadas es la visualización del con-

junto "final" La representación gráfica de una función real de va-riable real es una curva plana. En efecto, si "x" es un número real del conjunto "inicial" y " ( )"f x es el número real del conjunto "final" que la función asocia a "x", es claro que los números reales "x" y "f :ℜ ℜ ( )"f x de-terminan de manera inequívoca un punto del plano: el punto que tiene coorde-nadas ( ; ( )).x f x Por tanto, si asignásemos a "x" los infinitos valores que puede to-mar y fuésemos posicionando en el plano los infinitos puntos ( ; ( ))x f x que se van obteniendo, al final nuestros ojos verían una curva plana.

ℜ

El visualización del conjunto

"inicial"

eje de abcisas es la

ℜ

0 a x

f a( )

f x( )

•

•

( ; ( ))a f a

( ; ( ))x f x

Gráfica de "f" De la curva re-presentativa de "f" también se dice que es el grafo de "f"


•

••

•

•

−2 −1 0 1 2

7

3

1

El Cálculo Diferencial no se ha inventado para fastidiar a nadie, se ha inventado porque es una herramienta eficacísima para resolver infinidad de problemas de la vida real. Aunque es prematuro hablar de esos problemas, conviene que sientas que el Cálculo Diferencial sirve para algo; por eso, y hasta que abordemos problemas de la vida real, debes considerar que la finalidad del Cálculo Diferencial es la representación gráfica de fun-ciones. En consecuencia, debes entender que los conceptos que introduciremos en los próximos temas son las herramientas necesarias para ser eficaces al repre-sentar la gráfica de una función f :ℜ ℜ con la que se está trabajando ..... porque no puedes ir por la vida representando funcio-nes "punto a punto", como hacías en cursos anteriores, cuando, para que te acostumbra-ras a posicionar puntos en un sistema de referencia plano y rectangular, tu profesor te daba, por ejemplo, la función f :ℜ ℜ tal que f x x x( ) = + +2 1 y te pedía que ubicaras en el plano unos pocos puntos por los que "pasa" la gráfica de esa función:

xf x

− −2 13 1 1( )

0 1 23 7

• Pregunta: ¿por qué nos da la neurosis por representar curvas?

• Respuesta: nos da la neurosis de representar curvas porque la curva repre-sentativa de la función f :ℜ ℜ nos permite tener una visión global del "fenó-meno gobernado" por "f".

• Pregunta: ¿qué es eso del "fenómeno gobernado" por "f"?

• Respuesta: el Cálculo Diferencial nació ligado a la "Física" que preocupaba a los seres humanos de principios del siglo XVII, pues fueron los grandes físicos de la época los que lo "inventaron" para poder hincarle el diente a fenómenos como el del movimiento de los planetas o el de la transmisión del calor; pero desde entonces ha llovido mucho, y para contestar la pregunta planteada pode-mos poner ejemplos de fenómenos que nada tienen que ver con la Física.

Por ejemplo, piensa en el fenómeno de la ingesta de cerveza y su influencia en tu nivel de euforia; en concreto, considera que el número real "x" expresa en litros la cantidad de cerveza que bebes un día de juerga y que f :ℜ ℜ es la función que determina o gobierna tu nivel de euforia " ( )"f x cuando la cantidad ingerida de cerveza es "x". Así las cosas, considera que la gráfica de la función "f" es la repre-sentada en la siguiente figura.


f⎯ →⎯

y

ℜ ℜ

x

f x( ) ≡Nivel de euforia

X0 0'4 1 1 6' 2 3

2

4

7

x ≡Cantidad ingerida

A la vista de la gráfica de la función "f" podemos hacernos una idea global del fe-nómeno: cuando no bebes ( )x = 0 tu nivel de euforia es 2. Los primeros tragos te deprimen un poco, pues tu nivel de euforia va disminuyendo hasta que la cantidad ingerida es pero a partir de ahí la cosa cambia, pues el nivel de euforia empie-za aumentar hasta que alcanza una zona de "meseta" entorno al nivel de euforia 4. La "meseta" se mantiene hasta que la cantidad ingerida llega a 1 que marca el inicio de una subida de euforia que alcanza su máximo cuando la cantidad ingerida es 2; a partir de entonces ándate con ojo, porque tu euforia comienza a disminuir si sigues bebiendo, y con la gota que colme los 3 litros de cerveza tu euforia se des-plomará muy bruscamente, lo que puede producirte mareos y desagradables vómitos. Si te empecinas y sigues bebiendo tu euforia seguirá disminuyendo, apro-ximándose al nivel cero, que es el de las piedras.

0 4' ,

6' ,

Muy importante: otras notaciones :ℜ ℜA veces se está trabajando con una función f

y para abreviar se denota "y" al número real " ( )"

x x( ) .= −3 1

y x= −3 1. ;

f x que "f" tiene a bien asociar a "x". Por ejemplo, en vez de escribir

f f x x Ln x f x sen x; ( ) . ; ( )= = 2

se escribe y x Ln x y sen x= = 2. ;

Esta notación no es recomendable para los principiantes, porque con ella es más fácil que se les despiste lo esencial, y lo esencial ahora es asimilar que tras la notación "f(x)" hay 5 protagonistas (a saber: el conjunto ℜ inicial , el ℜfinal , la correspon-dencia "f" que asocia elementos de ℜ inicial con elementos de ℜ , el número

y el número final

x inicial∈ℜ f x final( )∈ℜ que "f" tiene a bien asociar a "x"), y que nuestro cerebro debe ser capaz de estar pendiente de los cinco simultáneamente.


1.15 LAS RECTAS Y LAS PARÁBOLAS

Las rectas y parábolas son las "curvas" más famosas; las encontrarás hasta en la sopa

La gráfica de un polinomio de grado uno es una recta (no per-pendicular al eje de abcisas). De otro modo: toda recta no perpendicular al eje de abcisas es la gráfica de una función f :ℜ ℜ tal que f x a x b( ) . ,= + donde "a" y "b" son constantes.

f x a x b( ) .= +

• •a x b. +

• •a z b. +

••

xx • z • •u

a u b. +

b•

−b a/•

Sea cual sea el valor de "a", sucede quef a b b( ) .0 0= + = , por lo que la recta"corta" al eje de ordenadas en el punto"b"; de "b" se dice que es la ordena-da de la recta en el origen. Larecta corta al eje de abcisas en el punto"x" tal que f x( ) = 0 :

f x a x b x b a( ) . /= + = ⇒ = −0 Del número −b a/ se dice que es la ab-cisa de la recta en el origen.

Para dibujar una recta basta "posicionar" dos pun-tos de ella. Por ejemplo, para dibujar la recta f x x( ) .= +3 4 , los pardillos posicionan dos puntos cualquiera de ella:

si x f la recta psi x f la recta p

= ⇒ = + = ⇒= ⇒ = + = ⇒

RST1 1 2 3 1 5 52 2 2 3 2 8

( ) .( ) .

asa por el punto (1; )asa por el punto (2 ; )8

Pero los que no se chupan el dedo dibujan la recta calculando su abcisa y su orde-nada en el origen, pues así tardan menos:

si x f la recta pf x x x la recta p

= ⇒ = + = ⇒= + = ⇒ = − ⇒ −

RST0 1 2 3 0 2 22 3 0 2 3 2 3 0

( ) .( ) . / /

asa por el punto (0 ; )asa por el punto ( ; )

•

•

1 2 x

5

8 x f x( )1 52 8

f x( )

PARDILLO

•

x

2

x f x( )

/0 22 3 0−

f x( )

−2 3/•

PROFESIONAL


f x a x b( ) .= +

• •a x b. +

xx •

b •

f x b( ) −

x

P

θ

θ

•

•

( ; )x y

x

x x− 0

x1x x1 0−

x

y y− 0

y y1 0−

•

( ; )x y0 0

( ; )x y1 1

y0

y1

y

Si una función "f" es un polinomio de grado uno, también se dice que

"f" es una función "lineal" Como en el lenguaje matemático las pala-bras "lineal" y "proporcional" son sinóni-mas, sin duda te preguntas dónde está la "proporcionalidad" en esta historia.

Fíjate: si P x f x= ( ; ( )) es un punto ge-nérico de una recta, como f x a x b( ) .= + , sucede que f x b a x( ) .− = ; o sea, la dife-rencia f x b( ) − entre la ordenada " ( )"f x del punto "P" y la ordenada "b" de la recta en el origen es proporcional a la abcisa "x" de "P". Si miras la figura podrás comprobar que la constante de propor-cionalidad (o sea, "a") coincide con la tangente del ángulo " "θ que la recta forma con la dirección positiva del eje de abcisas:

f x b a x f x bx a tg( ) . ( )

− = ⇒−

= = θ

De "a" se dice que es la pendiente de la recta. Observa: si a la recta es paralela al eje de abcisas (o también:

= ⇒ = ⇒0 0θa f x b cons te= ⇒ = ≡0 ( ) tan ).

Recta que pasa por dos puntos conocidos Si ( ; )x y son las coordenadas de un punto genérico de la recta que pasa por los puntos

y ( de la figu-ra, por semejanza de triángulos, se deduce que:

; ),x y1 1( ;x y0 0 )

x xx x

y yy y

−−

=−−

01 0

01 0

Por ejemplo, para la recta que pasa por los puntos ( ; )2 3 y ( ; ),5 6− es:

x y y x−−

=−

− −⇒ = −2

5 23

6 3 5

ℜAsí, la expresión matemática de la función lineal cuya gráfica es la recta que pasa por los puntos

f :ℜ; ),5 6−( ; )2 3 y ( es f x x= −5 ( )


Recta que pasa por un punto conocido con pendiente conocida Si ( ; ( ))x f x son las coordenadas de un punto genérico de la recta que pasa por el punto conocido ( ; )m n y tiene pendiente conocida "a", la expresión matemática de la función lineal cuya gráfica es dicha recta es f x a x b( ) .= +f :ℜ ℜ ; el valor de "b" se determina al exigir la recta pase por ( f m n( ) :=; )m n , o sea, al exigir que

f m n a m b n b n a m f x a x n a m( ) . . ( ) . .= ⇒ + = ⇒ = − ⇒ = + − ⇒

sustituimos "b" por "n en f− =a m x a x b. " ( ) . + ⇒ = + −f x n a x m( ) .( )

f :ℜ ℜPor ejemplo, la expresión matemática de la función lineal que pasa por el punto ( ; )6 4− f x x x( ) .( ) .= − + − = −4 3 6 3 22 y tiene pendiente 3 es , y la expre-sión matemática de la función lineal g :ℜ ℜ ; )−5 7 que pasa por el punto ( y tiene pendiente es g x x x( ) .( ( )) .= − − − = − −7 4 5 4 13−4 .

La gráfica de un polinomio de grado 2 es una pará-bola; o sea, es una parábola la gráfica de toda función f :ℜ ℜ cuya expresión matemática sea f x a x b x c( ) . .= + +2 a ≠ 0., siendo "a", "b" y "c" constantes y La parábola tiene sus "cuernos" hacia arriba o hacia abajo según que "a" sea positivo o negativo ..... y las soluciones de a x b x c. .2 0+ + = nos dirán si la parábola y el eje de abcisas se "tocan" o no:

x b x c. .2 0+ + = x x= 01) Si la ecuación a tiene dos soluciones reales y distintas y , la parábola corta al eje de abcisas en esos puntos. x x= 1

x b x c. .2 0+ + = x x= 0 tiene una raíz real doble 2) Si la ecuación a , la parábola es tangente al eje de abcisas en ese punto.

x b x c. .2 0+ + =3) Si la ecuación a carece de raíces reales, la parábola no "toca" al eje de abcisas.

x

f x( )

x

f x( )

x

f x( )

f x a x b x c a( ) . . ;= + + >2 0

x

f x( )

x

f x( )

x

f x( )

f x a x b x c a( ) . . ;= + + <2 0


Ejemplos:

x

f x1( )

1 4

x

f x2( )

2

x

f x3( )

f x6( )x

x

f x5( )

1

x

f x4 ( )

0 3

1

0

1) La gráfica de f tal que f es una parábola con "cuernos" hacia arriba (pues el coeficiente de es positivo); como las soluciones de

son reales y distintas

x x x2 5 4( ) .= − +1 :ℜ ℜ

x2

x x2 5 4− + =. , ),x x= =1 4( la parábola corta al eje de abcisas en esos puntos.

2) La gráfica de f tal que f es una parábola con los "cuernos" hacia arriba (pues el coeficiente de es positivo); como la ecuación

tiene una raíz real doble

x x x2 2 4 4( ) .= − +2 :ℜ ℜ

x2

0x x2 4 4− + =. ( ),x = 2 la parábola es tangente al eje de abcisas en ese punto.

3) La gráfica de f tal que es una parábola con los "cuernos" hacia arriba (pues el coeficiente de es positivo); como la ecuación

carece de raíces reales, la parábola no "toca" al eje de abcisas.

x x x2 5( ) = + +3 :ℜ ℜ f3

2

0

xx x2 5 0+ + =

4) La gráfica de f tal que es una parábola con los "cuernos" hacia abajo (pues el coeficiente de es negativo); como las soluciones de son reales y distintas

f x x x4 2 3( ) .= − +4 :ℜ ℜ

x2

− + =x x2 3. )x y x= =0 3( la parábola corta al eje de abcisas en esos puntos.

5 :ℜ ℜ5) La gráfica de la función f definida como es una parábola con "cuernos"

hacia abajo (el coeficiente de es negativo); como tiene una raíz real doble

f x x x5 2 2( ) .= − + − 12

0x

− + − =x x2 2 1. )x = 1( , la parábola es tangente al eje de abcisas en ese punto.

f6 :ℜ ℜ6) La gráfica de la función definida como es una parábola con "cuernos"

hacia abajo (pues el coeficiente de es negativo); como la ecuación

f x x x6 2 7( ) = − + −x2

− + − =x x2 7 0 no tiene raíces reales, la parábola no "toca" al eje de abcisas.

Si la parábola no "toca" al eje de abcisas (ejemplos 3 y 6) nos quedamos con el culo al aire. En su momento veremos que el punto en que la parábola

presenta su máximo (o mínimo) es f x a x b x c( ) . .= + +2 x b a= − / . ;2 así, la parábola f presenta su mínimo en el punto , y la

parábola presenta su máximo en el punto x x x3 2 5( ) = + + x = −1 2/

f x x x6 2 7( ) = − + − x = 1 2/ .


1.16 FUNCIONES UNIFORMES Se dice que la función f :ℜ ℜ es uniforme si cada número real "x" del con-junto inicial que tiene imagen en el conjunto final, tiene una única imagen.

Por ejemplo, la función f :ℜ ℜ tal que f x x( ) = +1 2 es uniforme, pues cada número real "x" que tiene imagen en el conjunto final ℜ tiene una única imagen. Sin embargo, no es uniforme la función g :ℜ ℜ tal que ( pues ( )) ,g x x2 1= + 2

( ( )) ( )g x x g x x2 21= + ⇒ = ± + 21 , lo que indica que cada número real "x" que tiene imagen en el conjunto final ℜ tiene dos imágenes; así:

g g( ) ; ( ) ( )7 1 7 50 4 1 42 2= ± + = ± − = ± + − = ± 17

El 99'9 % de las funciones con que trabajaremos serán uniformes. Y

0

••

Gráfica de una función uniforme

Y

0

•

•

Gráfica de una función no uniformeX X

•

•

Si la función f :ℜ ℜ es uniforme, las rectas paralelas al eje OY o no cortan o cortan en un único punto a la curva representativa de "f"; si "f" no es uniforme hay rectas paralelas al eje OY que cortan a dicha curva en

dos o más puntos.

•

1.17 FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES

Se dice que una función "f" es algebraica si las operaciones que deben realizar-se para calcular el número "f(x)" son las llamadas algebraicas: suma, resta, multi-plicación, división, potenciación de exponente constante y radicación de índice constante. Se dice que "f" es trascendente si no es algebraica. Por ejemplo, son algebraicas las funciones tales que:

f x x x f x x xx f x x x f x x x

x( ) . ; ( ) ; ( ) /( ) ; ( )= − = +

−= + = +

− +3 2 3

53 1 11 2

pues en los cuatro casos sucede que las operaciones que deben realizarse para cal-cular el número "f(x)" son las algebraicas: suma, resta, multiplicación, división, potenciación de exponente constante y radicación de índice constante. Son tras-cendentes las funciones f x f x x f x sen xx( ) , ( ) log ( ), ( ).= = + =+2 13 1 6 2 .


1.18 DOMINIO DE DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN

Si es la función cuya gráfica se quiere dibujar y "a" es un número real del conjunto "inicial", puede suceder que "f" no asigne imagen en el conjunto "fi-nal" al número "a", lo que en términos geométricos significa que no hay curva en la vertical del punto "a" (es decir, la recta de ecuación

f :ℜ ℜ

x a= , que es paralela al eje de ordenadas y pasa por el punto "a" no tiene ningún contacto con la curva repre-sentativa de "f"). Por eso, si nuestro trabajo es representar la gráfica de "f", se entiende que la primera preocupación siempre sea la misma: determinar cuáles son los números reales del conjunto "inicial" a los que "f" sí les asigna imagen y cuáles son los pobrecitos desgraciados a los que "f" no les asigna imagen. Para dar res-puesta a esta preocupación el Cálculo Diferencial inventa lo que llama dominio de definición de "f" (se denota Dom f. ), que es el subconjunto de ℜ inicial que forman los números reales a los que la función "f" sí les asigna imagen; es de-cir: Dom f x f xinicial final. / ( )= ∈ℜ ∈ℜl q . Si f a( )∈ℜ se dice que la función "f" está definida en el punto "a", y si f a( )∉ℜ se dice que "f" no está definida en di-cho punto.

Por ejemplo, si f :ℜ ℜ es tal que f x x x( ) /( )= − 4 , entonces "f" está definida en el punto "6", pues

La función "f" no está definida en el punto

"a" si para calcular "f(a)" hay que violar alguna Regla Sagrada del Cálculo

f ( ) /( ) ,6 6 6 4 3= − = ∈ℜ lo que en términos geométricos significa que hay curva en la vertical de dicho punto. Pero "f" no está definida en el punto "4", pues f ( ) /( ) /4 4 4 4 4 0= − = ∉ℜ (violación de la primera Regla Sagra-da), lo que en términos geométricos significa que no hay curva en la vertical de "4". Por ejemplo, si f es tal que :ℜ ℜ f x , entonces "f" está definida en

el punto "9", pues

x( ) = − 35

f( ) ,9 9 3 65 5= − = ∈ℜ lo que en términos geométricos signi-fica que hay curva en la vertical de "9". La función "f" también está definida en el punto "3", pues f ( lo que en términos geométricos significa que hay curva en la vertical de "3"; también está definida "f" en el punto "2", pues

) ,3 3 3 05= − = ∈ℜ

f ( ) ,2 2 3 1 15 5= − = − = − ∈ℜ lo que en términos geométricos significa que hay curva en la vertical de "2". Por ejemplo, si f es tal que :ℜ ℜ f x , entonces "f" está definida en

el punto "9", pues

x( ) = − 34

f( ) ,9 9 3 64 4= − = ∈ℜ lo que en términos geométricos signi-fica que hay curva en la vertical de "9". La función "f" también está definida en el


punto "3", pues f ( ) ,3 3 3 04= − = ∈ℜ lo que en términos geométricos significa que hay curva en la vertical de "3". Pero "f" no está definida en el punto "2", pues f ( )2 2 3 14 4= − = − ∉ℜ (violación de la segunda Regla Sagrada), lo que en térmi-nos geométricos significa que hay curva en la vertical de "2".

Por ejemplo, si es tal que f :ℜ ℜ f x Ln x( ) ( )= − 3 , entonces "f" está definida en el punto "9", pues f Ln Ln( ) ( ) ,9 9 3 6= − = ∈ℜ lo que en términos geométricos significa que hay curva en la vertical de "9". Pero "f" no está definida en los puntos "3" y "2", pues es f Ln Ln y f Ln Ln( ) ( ) ( ) ( ) ,3 3 3 0 2 2 3 1= − = ∉ℜ = − = − ∉ℜ lo que significa que no hay curva en la vertical de "3" ni en la vertical de "2".

CRITERIOS PARA DETERMINAR EL DOMINIO DE DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN

Para no hacer el ridículo con el asunto del "dominio de definición" de unafunción f :ℜ ℜ debes saber que: 01) Si f x polinomio f x x( ) ( ) ,= ⇒ ∈ℜ ∀ ∈ℜ 02) Si f x u x v x f x sólo si u x y v x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ± ⇒ ∈ℜ ∈ℜ ∈ℜ 03) Si f x u x v x f x sólo si u x y v x( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( )= ⇒ ∈ℜ ∈ℜ ∈ℜ 04) Si f x u x v x f x sólo si u x v x y v x( ) ( )/ ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) .= ⇒ ∈ℜ ∈ℜ ∈ℜ ≠ 0

Si f x( ) = cociente de polinomios ⇒ f x sólo si v x( ) ( ) .∈ℜ ≠ 0 05) Si f x k k f x sólo si u xu x( ) ( ) ( ) ( )( )= > ⇒ ∈ℜ ∈ℜ0

06) Si f x u x f x sólo si u ximpar( ) ( ) ( ) ( )= ⇒ ∈ℜ ∈ℜ

07) Si f x u x f x sólo si u x y u xpar( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ⇒ ∈ℜ ∈ℜ ≥ 008) Si f x u x f x sólo si u x y u xk( ) log ( ) ( ) ( ) ( )= ⇒ ∈ℜ ∈ℜ > 0 09) Si f x sen u x ó f x u x f x sólo si u x( ) ( ) ( ) cos ( ) ( ) ( )= = ⇒ ∈ℜ ∈ℜ

10) Si f x u x f x sólo si u x( ) ( ) ( ) ( )= ⇒ ∈ℜ ∈ℜ


Observa: el signo del número real u x( ) tiene protagonismo estelar a la

hora de determinar el dominio de de-finición de funciones de la forma f x u x ó f x u xpar

k( ) ( ) ( ) log ( )= =

Si la expresión matemática de u x( ) es tontorrona será sencillo determinar los puntos "x" tales que f x( ) ,∈ℜ pero el asunto se complicará si se complica la

expresión matemática de u x( ).

¡Anda! ..... lo mismo que ocurría en el

catálogo de peligros

FONEMATO 1.18.1 Determínese el dominio de definición de las siguientes funciones:

1 4 3 2 5 31 2 1 32) ( ) /( ) ; ) ( ) ; ) ( )/f x x f x f x ex x= − = =

4 7 5 7 64 3 5 3 6 8) ( ) /( ) ; ) ( ) log ( ) ; ) ( ) (f x x x f x x f x Ln x= − = + = +1 )

)

7 7 1 2 3 4 5 6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (f x f x f x f x f x f x f x= + − − − +

8 8 1 2 3 4 5 6) ( ) ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( )f x f x f x f x f x f x f x= SOLUCIÓN 1) Como cociente de polinomios, es ff x x1 4 3( ) /( )= − ≡ x1( )∈ℜ en todo punto

"x" que no anule su denominador. Por tanto: Dom f x x. /1 3= ∈ℜ ≠k p . 2) Como , es f x x h x2 15 5( ) / (= ≡ ) f x sólo si h x2( ) ( ) ;∈ℜ ∈ℜ como h x x( ) /= ≡1

cociente de polinomios, es h x( )∈ℜ si "x" no anula el denominador de h x( ) . Por tanto: Dom f x x. /2 0= ∈ℜ ≠k p .

3) Como , es ff x e ex g x3

2( )( )

= ≡ x sólo si g x3( ) ( ) .∈ℜ ∈ℜ Como es un polinomio, entonces

g x x( ) = 2

g x( )∈ℜ para todo "x". Por tanto: Dom f. .3 = ℜ

4) Siendo f x , es x x v ximpar4 3 6( ) /( ) ( )= − ≡ f x sólo si v x4 ( ) ( ) .∈ℜ ∈ℜ Como

v x x x( ) /( )= − 6 ≡ cociente de polinomios, es v x( )∈ℜ para todo "x" que no anule su denominador. Por tanto: Dom f x x. /4 6= ∈ℜ ≠k p .

5) Como es f x x u x5 3 37( ) log ( ) log ( )= + ≡ f x sólo si u x5( ) ( )∈ℜ ∈ℜ y u x( ) .> 0 Como u x x( ) = + ≡7 polinomio, entonces u x( )∈ℜ para todo valor de "x", y es u x x( ) = + >7 0 si x Por tanto: Dom> −7. f x x. /5 7= ∈ℜ > −k p .

6) Como , es f x Ln x t x6 8 31( ) ( ) log ( )= + ≡ f x sólo si t x6( ) ( )∈ℜ ∈ℜ y t x( ) .> 0 Como polinomio, es t x x( ) = + ≡1 8 t x( )∈ℜ para todo "x", y además es

para todo "x". Por tanto: t x x( ) = + >1 8 0 Dom f. .6 = ℜ

7) Como la función f es suma de otras funciones, el dominio de definición de f es la intersección de los dominios de definición de los distintos sumandos; es decir:

7 7

Dom f x x x x x. / , , ,7 3 0 6 7= ∈ℜ ≠ ≠ ≠ > −l q 8) Como la función f es producto de otras funciones, el dominio de definición de

es la intersección de los dominios de definición de los distintos factores; es decir:

8f8

Dom f x x x x x. / , , ,8 3 0 6 7= ∈ℜ ≠ ≠ ≠ > −l q



1 9 2 1 6 3 11 2 2 5 3 4) ( ) /( ) ; ) ( ) /( ) ; ) ( ) /(f x x x f x x f x x= − = − = −7 )

4 1 4 5 4 6 14 64 5 2 6 3) ( ) /( ) ; ) ( ) log ( ) ; ) ( ) (f x x f x x f x sen x= + = − = − )

)

7 3 57 1 2 3 4 5 6) ( ) ( ) ( ) . ( ) . ( ) ( ) (f x f x f x f x f x f x f x= − + − − +

8 8 1 2 3 4 5 6) ( ) ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( )f x f x f x f x f x f x f x= SOLUCIÓN 1) Como f cociente de polinomios, es f para todo "x"

que no anule su denominador. Por tanto: x x x1 2 9( ) /( )= − ≡ x1( )∈ℜ

Dom f x x. /1 3= ∈ℜ ≠ ±k p . 2) Como f x x h ximpar

2 5 1 6( ) /( ) ( )= − ≡ , es f x2( )∈ℜ sólo si Como h x( ) .∈ℜh x x( ) /( )= −1 6 ≡ cociente de polinomios, es h x( )∈ℜ si "x" no anula el denominador de h x( ). 6 Por tanto: Dom f x x. /2 = ∈ℜ ≠k p .

3) Como f x , es x g xpar3 4 1 7( ) /( ) ( )= − ≡ f x3( )∈ℜ sólo si y g x( )∈ℜ g x( ) .≥ 0

Como g x x( ) /( )= −1 7 ≡ cociente de polinomios, es g x( )∈ℜ si (punto en que se anula el denominador). No existe ningún valor de "x" tal que

x ≠ 7

g x x( ) /( ) ,= − =1 7 0 y es g x x( ) /( )= − >1 7 0 siempre que (o sea, siempre que

7 0− >xx < 7) . Por tanto: Dom f x x. /3 7= ∈ℜ <k p

4) Como f x es fx v xpar4 64 1 4( ) /( ) ( )= + ≡ x sólo si v x4 ( ) ( )∈ℜ ∈ℜ y v x( ) .≥ 0

Como cociente de polinomios cuyo denominador no se anula para ningún "x", es

v x x( ) /( )= +1 4 6 ≡v x( )∈ℜ para todo "x"; y como só-

lo toma valores positivos, es v x x( ) /( )= +1 4 6

Dom f. .4 = ℜ

5) Comof x x u x5 2 24( ) log ( ) log ( )= − ≡ es f x sólo si u x5( ) ( )∈ℜ ∈ℜ y u x( ) .> 0 Como u x x( ) = − ≡4 polinomio, es u x( )∈ℜ para todo "x"; y u x x( ) = − >4 0 si Por tanto: Domx > 4. f x x. /5 4= ∈ℜ >k p .

6) Como f x sen x sen t x6 31( ) ( ) ( )= − ≡ , es f x6( )∈ℜ sólo si t , y como polinomio, es t

x( )∈ℜt x x( ) = − ≡1 3 x( )∈ℜ para todo "x". Por tanto: Dom f. .6 = ℜ

7) Como la función f es suma de otras funciones, su dominio de definición es la intersección de los dominios de definición de los distintos sumandos, o sea:

7

Dom f x x x x x x x x. / , , , / ,7 3 6 7 4 4 7= ∈ℜ ≠ ± 6≠ < > = ∈ℜ < < ≠l q l q

6

8) Como la función es producto de otras funciones, su dominio de definición es la intersección de los dominios de definición de los distintos factores, o sea:

f8

Dom f x x x x x x x x. / , , , / ,8 3 6 7 4 4 7= ∈ℜ ≠ ± ≠ < > = ∈ℜ < < ≠l q l q Tema 1: Funciones reales de variable real 37


1 1 4 2 1 31 2 2 5/3 3 5/2) ( ) ( )/( ) ; ) ( ) ( ) ; ) ( ) ( )f x x x f x x f x x= − + 2= + = −

4 3 5 954 5) ( ) ( ) ; ) ( ) ( )f x x

Ln x f x Ln xx=

−=

−−

SOLUCIÓN 1) Como f x x x1 21 4( ) ( )/( )= − + ≡ cociente de polinomios cuyo denominador no

se anula en ningún punto, es Dom f. .1 = ℜ

2) Como f x x h ximpar2 53 1( ) ( ) ( )= + ≡ , es f x2( )∈ℜ sólo si y como

polinomio, es h x( ) ,∈ℜ

h x x( ) ( )= + ≡1 5 h x( )∈ℜ para todo "x". Así: Dom f. .2 = ℜ

3) Como f x , es x x g xpar3 5 52 2( ) ( ) ( ) ( )/2= − = − ≡ f x3( )∈ℜ sólo si g x( )∈ℜ

y g x( ) .≥ 0 Como g x x( ) ( )= − ≡2 5 polinomio, es g x( )∈ℜ para todo "x", y es sólo si Por tanto: Domg x x( ) ( )= − ≥2 5 0 x ≥ 2. f x x. /3 2= ∈ℜ ≥k p

4) Como f x , es xLn x

m xn x4 3( ) ( )

( )( )=

−≡ f x4 ( )∈ℜ sólo si:

m x n x n x( ) ; ( ) ; ( )∈ℜ ∈ℜ ≠ 0

Como m x x polinomio( ) ,= ≡ es m x( )∈ℜ para todo "x". Como es n x Ln x Ln p x( ) ( ) ( ) ,= − ≡3 n x sólo si p x( ) ( )∈ℜ ∈ℜ y p x( ) .> 0 Co-mo p x x( ) = − ≡3 polinomio, es p x( )∈ℜ para todo "x"; y es p x x( ) = − >3 0 sólo si Por tanto, es x > 3. n x Ln x sólo si x( ) ( ) .= − ∈ℜ >3 3 Determinemos los valores de "x" que anulan a n x Ln x( ) ( ):= − 3

n x Ln x x x( ) ( )= − = ⇒ − = ⇒ =3 0 3 1 4

En definitiva: Dom f x x x. / ,4 3 4= ∈ℜ > ≠l q . 5) Como f x , es fLn x

xu xv x5

95( ) ( ) ( )

( )=−

−≡ x5( )∈ℜ sólo si:

u x v x v x( ) ; ( ) ; ( )∈ℜ ∈ℜ ≠ 0

Como es u x Ln x Ln t x( ) ( ) ( ) ,= − ≡9 u x sólo si t x( ) ( )∈ℜ ∈ℜ y t x( ) .> 0 Co-mo t x x( ) = − ≡9 polinomio, es t x( )∈ℜ para todo "x"; y es t x x( ) = − >9 0 sólo si Por tanto, es x < 9. u x Ln x sólo si x( ) ( ) .= − ∈ℜ <9 9

Como v x x polinomio( ) ,= − ≡5 es v( )x ∈ℜ para todo "x", y es v x( ) ≠ 0 si x ≠ 5.

En definitiva: Dom f x x x. / ,5 9 5= ∈ℜ < ≠l q .



1 3 8 2 1 3 21 2 2 7/5 3 9/4) ( ) ( )/( ) ; ) ( ) ( ) ; ) ( ) ( )f x x x f x x f x x= + − = + = −− −

4 41 6

5 214 5) ( ) ; ) ( ) ( )

( )f x x f x Ln xsen xx= +

−=

−+

SOLUCIÓN 1) Como f x x x1 23 8( ) ( )/( )= + − ≡ cociente de polinomios cuyo denominador sólo

se anula si x = ± 8, es: Dom f x x. /1 8= ∈ℜ ≠ ±n s. 2) Como f x x x h ximpar

2 7 5 751 1 1( ) ( ) /( ) ( )/= + = + ≡− , entonces f x2( )∈ℜ sólo si Como h x( ) .∈ℜ h x x( ) /( )= + ≡1 1 7 cociente de polinomios, es h x( )∈ℜ pa-ra todo "x" que no anule su denominador. Así: Dom f x x. /2 1 .= ∈ℜ ≠ −k p

3) Como f x x x g xpar3 9 942 1 2( ) ( ) /( ) ( )/4= − = − ≡− , entonces sólo si y

f x3( )∈ℜg x( )∈ℜ g x( ) .≥ 0 Como g x x( ) /( )= − ≡1 2 9 cociente de polinomios, es

si g x( )∈ℜ x ≠ 2. No existe ningún "x" tal que g x x( ) /( ) ,= − =1 2 9 0 y es g x( ) > 0 si (o sea, x − >2 0 x > 2). Por tanto: Dom f x x. /3 2 .= ∈ℜ >k p

4) Es f x x m xn xx4

41 6

( ) ( )( )= +

−≡ ∈ℜ sólo si:

m x n x n x( ) ; ( ) ; ( )∈ℜ ∈ℜ ≠ 0

Como m x x polinomio( ) ,= + ≡4 es m x( )∈ℜ para todo valor de "x". Como n x x( ) = −1 6 es suma de una constante y de una función exponencial cu-yo exponente es un polinomio, es n x( )∈ℜ para todo "x"; y n x( ) se anula sólo si x = 0 ( ( ) )n x xx x= ⇒ − = ⇒ = ⇒ =0 1 6 0 6 1 0 . En definitiva: Dom f x x. /4 0= ∈ℜ ≠k p .

5) Es f x Ln xsen x

u xv x5

21( ) ( )

( )( )( )=

−+ ≡ ∈ℜ sólo si:

u x v x v x( ) ; ( ) ; ( )∈ℜ ∈ℜ ≠ 0

Como , es u x Ln x Ln t x( ) ( ) ( )= − ≡2 u x sólo si t x( ) ( )∈ℜ ∈ℜ y t x( ) .> 0 Co-mo t x x( ) = − ≡2 polinomio, es t x( )∈ℜ para todo "x"; y es t x x( ) = − >2 0 sólo si Por tanto, x < 2. u x Ln x sólo si x( ) ( ) .= − ∈ℜ <2 2

Como v x sen x sen p x( ) ( ) ( )= + ≡1 , es v x( )∈ℜ sólo si p x x( ) ( ) ,= + ∈ℜ1 lo que sucede para todo "x", pues p x polinomio( ) .≡ Además, es sen x( )+ ≠1 0 siempre que x k x k+ ≠ ⇒ ≠ −1 . 1( . ),π π siendo "k" un número entero cual-quiera.

En definitiva: Dom f x x x k. / , .5 2 1= ∈ℜ < ≠ −πl q . Tema 1: Funciones reales de variable real 39


1 37 2 5 3 4

15

28

3) ( ) log ; ) ( ) ; ) ( ) ( )cosf x x

x f x x f x Ln xx= +

+= − =

−

4 15 3 5 7 3 944

5 1 2 3 4) ( ) . ; ) ( ) ( ) . ( ) . ( ) . ( )f x x f x f x f x f x f= − = + − + x

SOLUCIÓN

1) Es f x sólo si: xx

m xn x1

53

7( ) log( )( )= +

+ ≡ ∈ℜ

m x n x n x( ) ; ( ) ; ( )∈ℜ ∈ℜ ≠ 0

Como m x x polinomio( ) ,= + ≡3 es m x( )∈ℜ para todo "x". Como es suma de una constante y de una función logarítmi-ca, es para todo "x" tal que

n x x( ) log= +7 5n x( )∈ℜ log ,5 x ∈ℜ lo que sucede sólo si x

Además, > 0.

n x( ) sólo se anula si x = 1 57/ : n x x x x( ) log log /= + = ⇒ = − ⇒ = =−7 0 7 55 5 7 71 5

/

En definitiva: Dom . f x x x. / ,1 70 1 5= ∈ℜ > ≠m r2) Como f x x g xpar

28 5( ) ( )= − ≡ , es f x2( )∈ℜ sólo si g x( )∈ℜ y g x( ) .≥ 0 Co-

mo g x x( ) = − ≡5 polinomio, es g x( )∈ℜ para todo "x"; y g x x( ) = − ≥5 0 sólo si Por tanto: x ≥ 5. Dom f x x. /2 5 .= ∈ℜ ≥k p

3) Es f x sólo si: Ln xx

u xv x3

4( ) ( )cos

( )( )=

−≡ ∈ℜ

u x v x v x( ) ; ( ) ; ( )∈ℜ ∈ℜ ≠ 0

Como , es u x Ln x Ln t x( ) ( ) ( )= − ≡4 u x sólo si t x( ) ( )∈ℜ ∈ℜ y t x( ) .> 0 Co-mo t x x( ) = − ≡4 polinomio, es t x( )∈ℜ para todo "x"; y es t x x( ) = − >4 0 sólo si Por tanto, x > 4. u x Ln x sólo si x( ) ( ) .= − ∈ℜ >4 4 Como v x x p x( ) cos cos ( )= ≡ , es v x( )∈ℜ sólo si p x x( ) ,= ∈ℜ lo que sucede para todo "x", pues p x polinomio( ) .≡ Además, cos x ≠ 0 si x k≠ +( ). / ,2 1 2π siendo "k" un número entero cualquiera. En definitiva: Dom f x x x k. / , ( ).3 4 2 1= ∈ /2ℜ > ≠ + πl q .

4) Como f x x h xpar4

4 15 3( ) . ( )= − ≡ , es f x4 ( )∈ℜ sólo si y hh x( )∈ℜ x( ) .≥ 0 Como h x x( ) .= −15 3 ≡ polinomio es h x( )∈ℜ para todo "x"; y sucede que h x x( ) .= − ≥15 3 0 sólo si x ≤ 5. Por tanto: Dom f x x. /4 5 .= ∈ℜ ≤k p

5) Como la función es suma de otras funciones, su dominio de definición es la intersección de los dominios de definición de los distintos sumandos; o sea:

f5

Dom f x x x x x x k x. / , / , , , ( ). / ,5 70 1 5 5 4 2 1 2 5= ∈ℜ > ≠ ≥ > ≠ + ≤πm r = = ∈ℜ =x x/ 5k p


FONEMATO 1.18.6 Determínese el dominio de definición de la función f :ℜ ℜ tal que

f xx si x

x x si xx si x

( ) /( . )/( )

=− ≤ −

− + − < < −1− ≥ −

RS|T|

22

35 58 4 5

1 6 1

SOLUCIÓN Por primera vez encontramos una función "f" definida a in-tervalos; es decir, al contrario de lo sucedido con todas las funciones vistas hasta ahora, la expresión matemática del número real " ( )"f x que la función "f" asocia al número real "x" no es la misma para todos los valores de "x", pues la recta real ampliada se particiona en diversos intervalos dis-juntos (en nuestro caso la partición es ℜ = −∞ − ∪ − − ∪ − + ∞( ; ] ( ; ) [ ; )5 5 1 1 ) y la expresión matemática de "f(x)" es una u otra dependiendo de que "x" pertenezca a uno u otro de dichos intervalos.

X x −5 x −1 x

f x x x( ) /( . )= − +8 42f x x( ) = −2 35 f x x( ) /( )= −1 6 Por ejemplo:

∗ = − ∈ −∞ − − = − − =∗ = − ∈ − − − = − − + −∗ = ∈ − + ∞ = − =

como x es fcomo x es fcomo x es f

6 5 6 6 35 12 5 1 2 8 2 4 2

4 1 4 1 4 6 1 2

22

( ; ] ( ) ( )( ; ) ( ) /(( ) .( ))

[ ; ) ( ) /( ) /= 2

Para determinar el dominio de definición de la función "f" iremos viendo qué sucede en cada uno de los intervalos en que se ha particionado la recta real. 1) Si x es f x x∈ −∞ − = − ≡( ; ] ( )5 32 5 polinomio⇒ ∈ℜ ∀ ∈ −∞ −f x x( ) , ( ; ].5 2) Si x es f x x x∈ − − = − + ≡( ; ) ( ) /( . )5 1 8 42 cociente de polinomios, por lo que es

en los puntos "x" del intervalo f x( )∈ℜ ( ; )− −5 1 que no anulen el denomina-dor y como éste se anula sólo si x x2 4+ . , x y x= − ∈ − − = ∉ − −4 5 1 0 5 1( ; ) ( ; ), resulta que si x es f x∈ − − ∈ℜ( ; ) ( )5 1 si x ≠ −4.

3) Si x es f x x∈ − + ∞ = u x− ≡[ ; ) ( ) /( ) ( )1 1 6 , por lo que f en todos los puntos "x" del intervalo

x( )∈ℜ[ ; )− + ∞1 tales que u x( ) .∈ℜ Como u x x( ) /( )= − ≡1 6

cociente de polinomios, es u x( )∈ℜ siempre que x ≠ 6 (pues es el único punto del intervalo

x = 6[ ; )− + ∞1 que anula al denominador x − 6).

• En definitiva, el dominio de definición de "f" es:

Dom f x f x x x x. / ( ) / ,= ∈ℜ ∈ℜ = ∈ℜ ≠ − ≠l q l 4 6q Tema 1: Funciones reales de variable real 41


1 3 2 2 14 3 2 4 28) ( ) log ( . . ) ; ) ( ) .f x x x x g x x x= − + = − 0 9+

SOLUCIÓN 1) Es f x x x x u x( ) log ( . . ) log ( )= − + ≡ ∈ℜ4 3 2 43 2 sólo si y uu x( )∈ℜ x( ) .> 0

Como u x( ) ≡ polinomio, es u x( )∈ℜ para todo "x".

Pero la expresión matemática de u x x x x( ) . .= − +3 23 2 es lo bastante compli-cada como para que, con lo que sabemos, nos resulte imposible determinar todos los puntos "x" tales que u Por tanto, no somos capaces de determinar el dominio de definición de la función "f".

x x x x( ) . . .= − + >3 23 2 0

Tu fino olfato matemático sin duda ya te ha hecho tomar conciencia de la gra-vedad y patetismo de nuestra situación: podemos averiguar si para cada valor concreto de "x", por ejemplo:

f x( )∈ℜ

∗ = − + = ∉ℜ∗ = − + = ∈

ff( ) log ( . . ) log( ) log ( . . ) log0 0 3 0 2 0 05 5 3 5 2 5 60

4 3 2 44 3 2 4 ℜ

pero como todavía no somos capaces de determinar todos los puntos "x" tales que nos resulta imposible determinar el dominio de definición de la función "f" tal que f

u x x x x( ) . . ,= − + >3 23 2 0x u x( ) log ( ).= 4

2) Es g x x x v xpar( ) . ( )= − + ≡ ∈4 28 10 9 ℜ sólo si v x( )∈ℜ y v x( ) ,≥ 0 y como v x( ) ≡ polinomio, es para todo "x". v x( )∈ℜ

Pero la expresión matemática de v x x x( ) .= − +4 210 9 es lo bastante compli-cada como para que, con lo po-quito que sabemos, nos sea imposible determinar todos los "x" tales que

Por lo tanto, de momento no podemos determinar el dominio de defini-ción de la función "g" tal que

v x x x( ) . .= − + ≥4 210 9 0

g x v x( ) ( )= 4

¡Vaya ruina! ..... hasta que no aprenda a estudiar el signo de v x( ) no siem-pre podré determinar

todos los puntos "x" tales que g x v xpar( ) ( )= ∈ℜ

¡Puaf! .... hasta que hasta que no aprenda a estu-diar el signo de u x( ) no siempre podré

determinar todos los puntos "x" tales que f x u xk( ) log ( )= ∈ℜ


FONEMATO 1.18.8 Determínese el dominio de definición de la función f :ℜ ℜ tal que:

f x x x x( ) ( . )/( )= − + −2 3 2 2 SOLUCIÓN Siempre hay algún pardillete que, al ver que el numerador x x2 3 2− +. se anula si x y si x x x x= = − + = − −1 2 3 2 12( . ( )por lo que x 2.( )) , escribe:

f x x xx

x xx x( ) . ( ).( )

= − +−

=− −

−= −

2 3 22

1 22 1

y después dice que como f x x( ) = − ≡1 polinomio, es f x x( ) , .∈ℜ ∀ ∈ℜ

Trabajar así no es correcto, pues el resultado obtenido al dividir por el factor el numerador y el denominador de ("x − 2" . )/( )x x x2 3 2 2− + − sólo es valido si

ya que si el factor "x ≠ 2, x = 2 "x − 2 toma el valor cero, y todo el mundo sabe que la primera Regla Sagrada del Cálculo prohibe dividir por cero. Lo correcto es escribir:

f x x xx

x xx x( ) . ( ).( )

= − +−

=− −

−= −

2 3 22

1 22 1

sólo si x 2 ≠

O sea, si el valor que toma la función dada "f" en el punto "x" coincide con el valor que en dicho punto "x" toma la función

x ≠ 2g :ℜ ℜ definida como

g x x( ) = − 1, lo que en términos geométricos significa que la gráfica de la función "f" coincide con la gráfica de la función "g" si x ≠ 2. No así en pues x = 2,f ( ) ( . )/( ) /2 2 3 2 2 2 2 0 02= − + − = ∉ℜ y sin embargo g( ) .2 2 1 1= − = ∈ℜ


x2 0

f x x xx( ) .= − +−

2 3 22

• 1

−1

g x x( ) = − 1

x2 0 • 1

−1

La gráfica de g x x( ) = − 1 (polinomio de grado uno) es una recta, y la gráfica de f x x x x( ) ( . )/( )= − + −2 3 2 2 es la misma recta, salvo

en x = 2 , pues como f ( ) ,2 ∉ℜ la gráfica de f x( ) tiene un agujerito en la vertical del punto x = 2.

agujerito

Dom g. = ℜ Dom f. = ℜ − 2k p

1.19 SIGNO DE UNA FUNCIÓN

x

u(x)

u⎯ →⎯ℜℜ

Si es una función cuya gráfica queremos representar, aprender a estudiar el signo del número real u(x) es muy importante, pues nos permitirá conocer la posición de la gráfica de "u" respecto al eje de abcisas, porque dicha gráfica está por encima del eje de abcisas en todo punto "x" tal que

u:ℜ ℜ

u x( ) ,> 0 estando por debajo de dicho eje en todo punto "x" tal que u x( ) .< 0 Obviamente, en los puntos "x" en que la curva "toca" al eje de abcisas sucede que u x( ) .= 0

X

Y

a b dc e

∗ < ⇔ =∗ = =∗ = =∗ = =

Es u a aEs u b bEs u c cEs u d d

( )( ) ,( ) ,( ) ,

0000

la curva está por "debajo" del eje OX en x y la curva "atraviesa" al eje OX en x y la curva es "tangente" al eje OX en x y la curva ni "atraviesa" ni es "tangente" al eje OX en x

O

Gráfica de la función u:ℜ ℜ

∗ > ⇔ =Es u e a( ) 0 la curva está por "encima" del eje OX en x

u a( ) < 0

u e( ) > 0

Además, y también esencial, cuando sepamos estudiar elsigno del número real u(x) desaparecerán las dificultadesque a veces encontramos al determinar el dominio de defi-nición de funciones de la forma

f x u x f x u xkpar( ) log ( ) ; ( ) ( )= =

pues: log ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )k

paru x x y u x

u x x y u x

∈ℜ ∈ℜ >

∈ℜ ∈ℜ ≥

sólo si u

sólo si u

0

0

¡Brindemos por tan notable avance!


FONEMATO 1.19.1 1) Estúdiese el signo de la función u u x x x: / ( ) .ℜ ℜ = − +4 210 9 2) Calcúlese el dominio de definición de las funciones f y g: :ℜ ℜ ℜ ℜ defi-

nidas como: f x x x g x x x( ) log ( . ) ; ( ) .= − + = −3 4 2 4 210 9 10 9+

SOLUCIÓN 1) Determinemos los números reales "x" cuya imagen según la función polinómica

"u" es el número cero; o sea, resolvamos la ecuación u x( ) := 0

u x x x x( ) .= ⇒ − + = ⇒ = ±±10 10 9 0 34 2 {

Las cuatro soluciones de la ecuación u x( ) = 0 dividen al eje de abcisas en cinco intervalos, y u x( ) tiene el mismo signo en todos los puntos "x" de cada uno de ellos.

Para averiguar el signo de u x( ) en un intervalo concreto basta determinar el sig-no de u x( ) en un punto cualquiera de él:

∗ − = − − − + > ⇒ > ∀ < −∗ − = − − − + < ⇒ < ∀ ∈ − −∗ = − + > ⇒ > ∀ ∈ −∗ = − + < ⇒ < ∀ ∈∗ = − + > ⇒ > ∀ >

como u como u como u como u como u

( ) ( ) .( ) ( ) ,( ) ( ) .( ) ( ) , ( ;( ) . ( ) , ( ; )( ) . ( ) , ( ; )( ) . ( ) ,

4 4 10 4 9 0 0 32 2 10 2 9 0 0 3

0 0 10 0 9 0 0 1 12 2 10 2 9 0 0 1 34 4 10 4 9 0 0 3

4 24 2

4 24 24 2

u x xu x x

u x xu x xu x x

)1

x < −3 x

Si nuestro objetivo fuera dibujar la gráfica de la función "u", la información que acabamos de obtener indica que la curva representativa de "u" está por encima del eje de abcisas si , si ∈ −( ; )1 1 x > 3; y si dicha curva está por debajo del eje de abcisas si x ∈ − −( ; )3 x1 y si ∈( ; ).1 3

La ecuación x x4 210 9 0− + =. es a x b x c. . ,4 2 0+ + = siendo "a", "b" y "c" constantes, a ≠ 0

bicuadrada (de la forma ); ha-

ciendo x z2 = se transforma en una ecuación de segundo grado:

x x z z z x xx x

4 2 22210 9 0 10 9 0 9 3

1 1− + = ⇒ − + = ⇒ = = ⇒ = ±

= ⇒ = ±RST. .

x −3 x −1 x 1 x 3 x X

u x( ) > 0 u x( ) < 0 u x( ) > 0 u x( ) < 0 u x( ) > 0

x −3 x −1 x 1 x 3 x X

u u u u( ) ( ) ( ) ( )− = − = = =3 1 1 3 0


x31−1−3

u x( )u u x x x: / ( ) .ℜ ℜ = − +4 210 9

x x

xx

x • • • •

u x( ) > 0

u x( ) < 0

u x( ) > 0

u x( ) < 0

u x( ) > 0

Observa: en los puntos x x x y x= − = − = =3 1 1, , 3 no sólo ocurre que u x( ) = 0 (lo que indica que en dichos puntos hay "contacto" entre la gráfica de la función "u" y el eje de abcisas), también ocurre algo que en general no tiene por qué suceder: como u x( ) "cambia de signo" en x x x= − = − =3 1, , 1 y

, el "contacto" entre la gráfica de "u" y el eje de abcisas es tal que la gráfica "atraviesa" dicho eje (lo corta). x = 3

x3 1−1

−3

u x( )

• • • f

2) Siendo tal que ff :ℜ ℜ x x x u x( ) log ( . ) log ( ),= − + ≡3 4 2 310 9 su dominio

de definición es:

Dom f x f x x u x u x. / ( ) / ( ) , ( )= ∈ℜ ∈ℜ = ∈ℜ ∈ℜ > =l q l 0 q= ∈ℜ ∈ −∞ − ∪ − ∪ + ∞x x/ ( ; ) ( ; ) ( ; )3 1 1 3l q

x 31−1−3

f x( )

f f x u x: / ( ) log ( )ℜ ℜ = 3

x x x x • • • •

f x( )∉ℜ f x( )∉ℜ

3x

f x( )∈ℜ f x( )∈ℜ f x( )∈ℜ

No hay curva si x ∈ − − ∪[ ; ] [ ; ]3 1 1 3


• Siendo g :ℜ ℜ tal que g x x x u xpar( ) . ( )= − + ≡4 210 9 , su dominio de de-finición es:

Dom g x g x x u x u x. / ( ) / ( ) , ( )= ∈ℜ ∈ℜ = ∈ℜ ∈ℜ ≥ =l q l 0 q= ∈ℜ ∈ −∞ − ∪ − ∪ + ∞x x/ ( ; ] [ ; ] [ ; )3 1 1 3l q

x31−1−3

g x( )

g g x u x: / ( ) ( )ℜ ℜ =

x x x x • • • •

g x( )∉ℜ g x( )∉ℜ

3x

g x( )∈ℜ g x( )∈ℜ g x( )∈ℜ

No hay curva si x ∈ − − ∪( ; ) ( ; )3 1 1 3

Como la raíz cuadrada no lleva signo delante, consideramos que lleva el signo "+"; así, si g x u x( ) ( )= ∈ℜ , es g x u x( ) ( )= 0≥ , por lo que la gráfica de la función "g" no está por debajo del eje de abcisas. En los puntos x x= − = −3 1, ,

y la función "g" toma el valor 0, lo que indica que en esos puntos hay "contacto" entre dicha gráfica y el eje de abcisas. x = 1 x = 3

x31−1−3

g x( )g g x u x: / ( ) ( )ℜ ℜ =

x x x3

g x( ) > 0 g x( ) > 0 g x( ) > 0

• • • •

FONEMATO 1.19.2

u u x x x x: / ( ) . .ℜ ℜ = − + −3 29 241) Estúdiese el signo de la función 20 f y g: :ℜ ℜ ℜ ℜ2) Calcúlese el dominio de definición de las funciones defi-

nidas como f x . u x y g x u x( ) log ( ) ( ) ( )= =7SOLUCIÓN 1) Determinemos los números reales "x" cuya imagen según la función polinómica

"u" es el número cero; o sea, resolvamos la ecuación u x( ) := 0

u x x x x x doble( ) . . ( )= ⇒ − + − = ⇒ =0 9 24 20 0 523 2 {


x y x= =2 5 u x( ) = 0Las soluciones de la ecuación dividen al eje de abcisas en tres intervalos, y u x( ) tiene el mismo signo en todos los puntos de cada uno de ellos. Para averiguar el signo de u x( ) en un intervalo concreto basta determinar el signo de u x( ) en un punto cualquiera de él:

∗ = − + − < ⇒ < ∀ <∗ = − + − < ⇒ < ∀ ∈∗ = − + − > ⇒ > ∀ >

como u como u como u

( ) . . ( ) ,( ) . . ( ) , ( ; )( ) . . ( ) ,

0 0 9 0 24 0 20 0 0 23 3 9 3 24 3 20 0 0 2 57 7 9 7 24 7 20 0 0 5

3 23 23 2

u x xu x xu x x

u x( ) < 0 u x( ) < 0 u x( ) > 0

u u( ) ( )2 5 0= = x 2 x 5 x X

Observa: si nuestro objetivo fuera dibujar la gráfica de la función "u", la in-formación que acabamos de obtener indica que la curva representativa de "u" está por encima del eje de abcisas si y está por debajo de dicho eje si x > 5,x ∈ −∞( ; )2 y si x ∈( ; ).2 5

x 5

u x( )u u x x x x: / ( ) . .ℜ ℜ = − + −3 29 24 20

xx2

• •

u x( ) < 0

u x( ) > 0

.

En el punto ocurre que x = 5 u( )5 0= (⇒ x = 5 en hay "contacto" entre la gráfica de la función "u" y el eje de abcisas) y además u x( ) "cambia de signo" en

; por tanto, la gráfica "atraviesa" a dicho eje (lo corta). x = 5u( )2 0= (⇒ x = 2En el punto ocurre que x = 2 en hay "contacto" entre la

gráfica de la función "u" y el eje de abcisas), pero como u x( ) no "cambia de signo" en , dicha gráfica no "atraviesa" a dicho eje (no lo corta). x = 2

x 5

u x( )u u x x x x: / ( ) . .ℜ ℜ = − + −3 29 24 20

2• •


f x x x x u x( ) log ( . . ) log ( ),= − + − ≡7 3 2 79 24 202) Siendo tal que f :ℜ ℜ su dominio de definición es:

Dom f x f x x u x u x. / ( ) / ( ) , ( )= ∈ℜ ∈ℜ = ∈ℜ ∈ℜ > =l q l 0 q= ∈ℜ >x x/ 5k p

x5

f x( ) f f x u: / ( ) log (x)ℜ ℜ = 7

•No hay curva

si x ≤ 5

g x x x x u xpar( ) . . ( )= − + − ≡3 29 24 20• Siendo , el dominio de definición de la función "g" es:

Dom g x g x x u x u x. / ( ) / ( ) , ( )= ∈ℜ ∈ℜ = ∈ℜ ∈ℜ ≥ =l q l 0 q= ∈ℜ = >x x ó x/ 2 5l q

x 5

g x( ) g g x u x: / ( ) ( )ℜ ℜ =

2• •

No hay curva si x ∈ −∞ ∪( ; ) ( ; )2 2 5

Como la raíz cuadrada no lleva signo delante, consideramos que lleva el signo "+"; así, si g x u x( ) ( )= ∈ℜ es g x u x( ) ( )= 0≥ , por eso la gráfica de "g" no está por debajo del eje de abcisas.

x y x= =2 5En los puntos la función "g" toma el valor 0, lo que indica que en dichos puntos hay "contacto" entre la gráfica de "g" y el eje de abcisas.

x5

g x( ) g g x u x: / ( ) ( )ℜ ℜ =

2• •

En la gráfica de la función "g" el punto de coordenadas ( ; ( )) ( ; )2 2 2 0g ≡ está "aislado" de los demás puntos de dicha gráfica


FONEMATO 1.19.3

u u xx x

x

x

x: / ( )

( ). .(( ).

ℜ ℜ =)+ −

+ +7 2

1 5

2

4 136

1) Estúdiese el signo de la función

f y g: :ℜ ℜ ℜ ℜ2) Calcúlese el dominio de definición de las funciones defi-nidas como:

f x Ln u x g x u x( ) ( ) ; ( ) ( )= = SOLUCIÓN 1) El signo del número real u x( ) depende del signo que tengan los números reales

h x x h x h x xh x x h x

x

x1 2 2 3

4 4 5 17 2

1 5 3( ) ; ( ) ; ( )

( ) ; ( )= + = = −

= + = +6

siendo evidente que:

h x x x h x x x1 2 4 47 0 1 0( ) , ; ( ) ,= + > ∀ ∈ℜ = + > ∀ ∈ℜ

No lo olvides: si a > 0 es a x v xv x( ) , / ( )> ∀ ∈ℜ0

Como también sucede que:

h xh x

x

x2

5 12 0

5 03( ) ,

( ) ,= >

= >+x

x∀ ∈ℜ∀ ∈ℜ

entonces resulta un chollo, pues el signo del número real x6

u x( )

x x •

u x( ) < 0

u x( ) > 0

Dom u. = ℜ

u x( ) es el que tiene el número real h x x3 6( ) ,= − y éste es positivo si es negativo si y es cero si

x > 6,x < 6 x = 6.

En el punto ocurre que x = 6 u( )6 0= (⇒ x = 6 en hay "contacto" entre la gráfica de "u" y el eje de abcisas). Como u x( ) "cambia de signo" en , dicha gráfica "atraviesa" a dicho eje (lo corta).

x = 6

2) Siendo f tal que :ℜ ℜ

f x Lnx

( )( )

=+

2

Dom f x. /= ∈ℜ

x xLn u x

x

x. .( )

( ).( )

+ −≡

+7 2 6

1 54 1 3

su dominio de definición es:

f x( )∈ℜ =l q = ∈ℜ ∈ℜ > =x u x/ ( )

= ∈ℜ >x x/ 6k pu x, ( ) 0l q

x6

f x Ln u x( ) ( )=

x x •

f x( )∉ℜ f x( )∈ℜ

No hay curva si x ≤ 6


• Siendo g :ℜ ℜ tal que

g x x xx

u xx

xpar( ) ( ). .( )

( ).( )=

+ −+

≡+

7 2 61 5

2

4 13


Dom g x g x x u x u xx x

. / ( ) / ( ) , ( )/

= ∈ℜ ∈ℜ = ∈ℜ ∈ℜ ≥= ∈ℜ ≥

l q lk p

06

=q

Como la raíz no lleva signo delante, consideramos que lleva signo "+"; así, si g x u x( ) ( )= ∈ℜ es g x , por lo que la gráfica de "g" no está por debajo del eje de abcisas.

u x( ) ( )= ≥ 0

x6

g x u x( ) ( )=

x •

g x( )∉ℜ

No hay curva si x < 6

x = 6En el punto la función "g" toma el valor 0, lo que indica que en x = 6 hay "contacto" entre dicha gráfica y el eje de abcisas.

FONEMATO 1.19.4

w x x x( ) ( ) .( )= − −2 94w:ℜ ℜ1) Estúdiese el signo de la función tal que f y g: :ℜ ℜ ℜ ℜ2) Calcúlese el dominio de definición de tales que:

f x Ln w x g x w x( ) ( ) ; ( ) ( )= = SOLUCIÓN 1) El signo del número real w x( ) depende del signo que tengan los números reales

k x x k x x1 4 22 9( ) ( ) ; ( )= − = −

Como toma valores positivos si k x x1 42( ) ( )= − x ≠ 2 x = 2, y se anula sólo si el signo de k x x2 9( ) ,= − = 2w x( ) es el de salvo si x , pues en este punto se anula w x( ) pero no se anula k x2( ).

k x x2 9( ) = −Resulta evidente que toma valores positivos o negativos según sea

y se anula sólo si

x9

w x( )

2 •

w x( ) < 0

w x( ) > 0Dom w. = ℜ

x ó x< >9 9, x = 9.

Como w( )9 = 0 y w x( ) "cambia de sig-no" en , la gráfica de la función "w" atraviesa al eje de abcisas en

x = 9x = 9.

Como w( )2 = 0 y w x( ) no "cambia de signo" en , la gráfica de "w" no atraviesa al eje de abcisas en

x = 2x = 2.


2) Siendo tal que f :ℜ ℜ

f x Ln x x Ln w x( ) ( ) .( ) ( )= − − ≡2 94


Dom f x f x x w x w xx x x

. / ( ) / ( ) , ( )/ ,

= ∈ℜ ∈ℜ = ∈ℜ ∈ℜ > == ∈ℜ < ≠

l q ll q

09 2

q

f x Ln w x=( ) ( )

x 9

• Siendo tal que g :ℜ ℜ

g x x x w xpar( ) ( ) .( ) ( )= − − ≡2 94


Dom g x g x x w x w xx x

. / ( ) / ( ) , ( )/

= ∈ℜ ∈ℜ = ∈ℜ ∈ℜ ≥ == ∈ℜ ≤

l q lk p

09

q

Como la raíz no lleva signo delante, consideramos que lleva el signo "+"; así, si g x w x( ) ( )= ∈ℜ es g x w x( ) ( )= 0≥ , por lo que la gráfica de la función "g" no está por debajo del eje de abcisas. En los puntos x y x= =2 9 la función "g" toma el valor 0, lo que indica que en dichos puntos hay "contacto" entre dicha gráfica y el eje de abcisas.

x 9

g x w x( ) ( )=

•

g x( )∉ℜ

No hay curva si x > 9

2 •

•

f x( )∉ℜ

No hay curva si x ≥ 9 o si x = 2

2 •


FONEMATO 1.19.5 Estúdiese el signo de las siguientes funciones:

1 22 63 14 45 26 2

1 1 2

2 2 2

3 3 2

4 4 2

5 5 2

6 6 2

) : / ( ) . .) : / ( ) .) : / ( )) : / ( ) .) : / ( ) .) : / ( ) . .

f f x x xf f x x xf f x x xf f x x xf f x x xf f x x

ℜ ℜ = − +ℜ ℜ = − +ℜ ℜ = + +ℜ ℜ = − +ℜ ℜ = − + −ℜ ℜ = − + −

14 109

12 1x

SOLUCIÓN Las seis funciones dadas son polinomios de grado 2, y todo el mundo sabe que si f x a x b x c( ) . .= + +2 a ≠ 0) (siendo "a", "b" y "c" constantes y , la gráfica de "f" es una parábola con los "cuernos" hacia arriba o hacia abajo según sea a ó a> 0 < 0. Independientemente de cómo tenga los "cuernos", las soluciones de la ecuación

nos dirán si la parábola y el eje de abcisas se "tocan" o no; en concreto: a x b x c. .2 0+ + =

a x b x c. .2 0+ + =1) Si la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas x x y x x= =0 1 , la parábola corta al eje de abcisas en esos puntos.

2) Si la ecuación a x b x c. .2 0+ + = tiene una raíz real doble , la parábola es tangente al eje de abcisas en ese punto.

x x= 0

3) Si la ecuación a x b x c. .2 0+ + = carece de raíces reales, la parábola no "to-ca" al eje de abcisas.

x

f x( )

x

f x( )

x

f x( )

f x a x b x c( ) . . ;= + + <2 0caso a

x

f x( )

x

f x( )

x

f x( )

f x a x b x c( ) . . ;= + + >2 0caso a


1) La gráfica de la función f1 :ℜ ℜ tal que f x x x1 22 14( ) . . 10= − + es una pa-rábola con "cuernos" hacia arriba (el coeficiente de

es positivo). Como las soluciones de la ecuación son reales y distintas

x2

2 14 102. .x x− + = 0 (x = 2 y x = 5) , la parábola corta al eje de abcisas en esos pun-tos, por lo que si f x1 0( ) > x < 2 x > 5 o si , y

si xx

f x1( )

2 5 f x1 0( ) < ∈( ; )2 5 .

2 :ℜ ℜ tal que 2) La gráfica de la función f

f x x2 2( ) = − x6 9. +

es una parábola con "cuernos" hacia arriba (pues el coeficiente de es positivo). Como la ecuación

tiene una raíz real doble x2

0x x2 6 9− + =. ( ),x = 3 la parábola es tangente al eje de abcisas en ese punto, por lo que si , y f

x

f x2( )

3 f x2 0( ) > x ≠ 3 x2 0( ) = x = 3. si

3 :ℜ ℜ tal que 3) La gráfica de la función f

f x x3 2( ) = x 1+ +

es una parábola con los "cuernos" hacia arriba (pues el coeficiente de es positivo). Como la ecuación

carece de raíces reales, la parábola no "toca" al eje de abcisas, por lo que para todo valor de "x".

x

f x3( )2x

x x2 1 0+ + =f x3 0( ) >

4 :ℜ ℜ4) La gráfica de la función f tal que

f x x4 2( ) = − x4.+

es una parábola con los "cuernos" hacia abajo (pues el coeficiente de es negativo). Como las soluciones de

son reales y distintas x2

− + =x x2 4. )x y x= =0 40 ( la parábola corta al eje de abcisas en esos puntos; así,

si f x4 0( ) > x ∈( ; )0 4 , y f x4 0( ) < x o< >0 4si x .

x

f x4 ( )

0 4 si

5 :ℜ ℜ tal que 5) La gráfica de la función ff x x5 2( ) = − x2 1.+ −

es una parábola con los "cuernos" hacia abajo (pues el coeficiente de es negativo). Como sucede que la ecuación tiene una raíz real doble

x

f x5( )

1 x2

− + − =x x2 2 1. 0( )x = 1 , la parábola es tangente al eje de abcisas en ese punto; así, f si , y fx5 0( ) < x ≠ 1 x5 0( ) = x = 1. si


f6 :ℜ ℜ6) La gráfica de la función tal que

f x6( ) .= − x x22 2 1.+ −

es una parábola con los "cuernos" hacia abajo (pues el coeficiente de es negativo). Como la ecuación

carece de raíces reales la parábola no "toca" al eje de abcisas, por lo que f

f x6( )x

2

0x

− + − =2 2 12. .x xx6 0( ) < para todo valor de "x".

Toma buena muy nota del asunto de las parábolas, porque serán innume-

rables las veces que estudiarás el signo de un polinomio de grado 2.


1 42 23 2

1 1 2

2 2 24

3 3 7 2

) : / ( ) ( )) : / ( ) .) : / ( ) log ( .

f f x Ln xf f x x xf f x x

ℜ ℜ = −ℜ ℜ = − + +ℜ ℜ = − +

32)x

SOLUCIÓN 1) Como , es: f x Ln x Ln u x1 2 14( ) ( ) ( )= − ≡

Dom f x f x x u x u x. / ( ) / ( ) , ( )1 1 1 1 0= ∈ℜ ∈ℜ = ∈ℜ ∈ℜ > =l q l q = ∈ℜ ∈ −∞ − ∪ + ∞x x/ ( ; ) ( ; )2 2l q

La gráfica de u x x1 2 4( ) = − es una parábola con cuernos hacia arriba (pues el coeficiente de x2 es positivo) que corta al eje de abcisas en los puntos

x y x= = −2 2 (pues x x2 4 0 2− = ⇒ = ó x = −2). Por tanto, es u x1 0( ) > sólo si x ó x< − >2 2.

No es de recibo que para estudiar el signo de f x x x4 2 4( ) .= − + (polinomio de grado dos) necesi-

tes montar el siguiente "pollo":

− + = ⇒ =x x x2 4 0 04. {

y después asignes a "x" un valor concreto en cada uno de los intervalos ( ; ), ( ; ) ( , ):−∞ + ∞0 0 4 4y

∗ − = − − + − < ⇒ < ∀ <∗ = − + > ⇒ > ∀ ∈∗ = − + < ⇒ < ∀ >

f f x xf f x xf f x x

4 2 4

4 2 4

4 2 4

2 2 4 2 0 0 01 1 4 1 0 0 0 45 5 4 5 0 0 4

( ) ( ) .( ) ( ) ,( ) . ( ) , ( ; )( ) . ( ) ,

¡A mi plim!

Lo pagarás caro


f x x x u xpar2 24

22 3( ) . ( )= − + + ≡2) Como , es:

Dom f x f x x u x u x. / ( ) / ( ) , ( )2 2 2 2 0= ∈ℜ ∈ℜ = ∈ℜ ∈ℜ ≥ =l q l q

= ∈ℜ ∈ −x x/ [ ; ]1 3l q

La gráfica de u x x x2 2 2 3( ) .= − + + es una parábola con cuernos hacia aba-jo (pues el coeficiente de x2 es negativo) que corta al eje de abcisas en los

puntos x y x= − =1 3, (pues − + + = ⇒ = − =x x x ó x2 2 3 0 1 3. )Por tanto, es u x2 0( ) ≥ sólo si x

. ∈ −[ ; ]1 3

x x x Ln u x3 7 2 32 2( ) log ( . ) ( )= − + ≡3) Como f , es:

Dom f x f x x u x u x. / ( ) / ( ) , ( )3 3 3 3 0= ∈ℜ ∈ℜ = ∈ℜ ∈ℜ > = ℜl q l q

= ∈ℜ ∈ −∞ − ∪ + ∞x x/ ( ; ) ( ; )3 3n s

La gráfica de u x x x3 2 2 2( ) .= − + es una parábola con cuernos hacia arriba (pues el coeficiente de x2 es positivo) que no "toca" al eje de abci-sas ( . )pues x x x2 2 2 0− + = ⇒ ∉ℜ . Por tanto, es u x x( ) ,> ∀ ∈ℜ0

FONEMATO 1.19.7

u x x x x x( ) ( )/( . . )= + − +2 7 103 2u:ℜ ℜ1) Estúdiese el signo de tal que y g: :ℜ ℜ ℜ ℜ2) Calcúlese el dominio de definición de f tales que:

f x Ln u x g x u x( ) ( ) ; ( ) ( )= = SOLUCIÓN 1) El signo del número real u x( ) depende del signo que tengan los números reales

k x x k x x x x1 2 3 22 7( ) ; ( ) . .= 10+ = − +

Determinemos los valores de "x" que anulan a k x o a k x1 2( ) ( ):

k x x x

k x x x x x

1

2 3 2

2 0 2

7 10 0025

( )

( ) . .

= + = ⇒ = −

= − + = ⇒ =RS|T|

x x x y x= − = = =2 0 2, , 5Los puntos dividen al eje de abcisas en cinco inter-valos, y u x( ) tiene el mismo signo en todos los puntos de cada uno de ellos.

x −2 x 0 x 2 x 5 x X


Para averiguar el signo de u x( ) en un intervalo concreto basta determinar el sig-no de u x( ) en un punto cualquiera de él:

∗ − = − +− − − + −

> ⇒ > ∀ < −

∗ − = − +− − − + −

< ⇒ < ∀ ∈ −

∗ = +− +

> ⇒ > ∀ ∈

∗ = +− +

< ⇒ < ∀ ∈

∗

como u

como u

como u

como u

como u

( )( ) .( ) .( )

( ) ,

( )( ) .( ) .( )

( ) , ( ; )

( ). .

( ) , ( ; )

( ). .

( ) , ( ; )

(

3 3 23 7 3 10 3

0 0 2

1 1 21 7 1 10 1

0 0

1 1 21 7 1 10 1

0 0 0 2

3 3 23 7 3 10 3

0 0 2 5

6

3 2

3 2

3 2

3 2

u x x

u x x

u x x

u x x

2 0

). .

( ) ,= +− +

> ⇒ > ∀ >6 26 7 6 10 6

0 0 53 2 u x x

< > 00 u x( ) 0 u x( )u x( ) > 0 u x( ) < 0 u x( ) >

En el punto ocurre que x = −2 u x( ) = 0 (⇒ en dicho punto hay "contacto" entre la gráfica de la función "u" y el eje de abcisas) y u x( ) "cambia de signo" en x = −2 (⇒ la gráfica de "u" atraviesa dicho eje).

2) Siendo f :ℜ ℜ tal que f x Ln u x( ) ( ),= su dominio de definición es:

Dom f x f x x u x u x. / ( ) / ( ) , ( )= ∈ℜ ∈ℜ = ∈ℜ ∈ℜ > =l q l 0 q= ∈ℜ ∈ −∞ − ∪ ∪ + ∞x x/ ( ; ) ( ; ) ( ; )2 0 2 5l q

• Siendo g :ℜ ℜ tal que g x u xpar( ) ( )= , su dominio de definición es:

Dom g x g x x u x u x. / ( ) / ( ) , ( )= ∈ℜ ∈ℜ = ∈ℜ ∈ℜ ≥ =l q l 0 q= ∈ℜ ∈ −∞ − ∪ ∪ + ∞x x/ ( ; ] ( ; ) ( ; )2 0 2 5l q

x −2 x 0 x 2 x 5 x X

La función "u" no está definida en x x= y x= =0 2 5, , pues el denominador de u(x) se anula en esos puntos

u( )− =2 0

x5 20−2

u x x x x x( ) ( )/( . . )= + − +2 7 103 2

x x

xx

x • • • •

Dom u x x x x. / , ,= ∈ℜ ≠ ≠ ≠0 2 5l q


FONEMATO 1.19.8 f x x x( ) /( )= −3 24 f :ℜ ℜEstúdiese el signo de la función tal que

SOLUCIÓN Como el signo del número real f x( ) depende del signo que tengan los números reales y , determinamos los valores de "x" que anulan a

k x x1 3( ) = k x x2 24( ) = −

k x o a k x1 2( ) ( ):k x x x triplek x x x1 3

2 20 0

4 0( ) ( )( ) 2= = ⇒ == − = ⇒ = ±

x x y x= − = =2 0, 2 dividen al eje de abcisas en cuatro intervalos, y Los puntos f x( ) tiene el mismo signo en todos los puntos de cada uno de ellos. Para averiguar el signo de f x( ) en un intervalo concreto basta determinar el signo de f x( ) en un punto cualquiera de él:

∗ − = > ⇒ > ∀ < −∗ − = − < ⇒ < ∀ ∈ −∗ = > ⇒ > ∀ ∈∗ = − < ⇒ < ∀ ∈

como f como f como f como f

( ) / ( ) ,( ) / ( ) , ( ; )( ) / ( ) , ( ; )( ) / ( ) , ( ; )

3 27 5 0 0 21 1 3 0 0 2 0

1 1 3 0 0 0 23 27 5 0 0 2

f x xf x x

f x xf x x

+ ∞

En el punto ocurre que x = 0 f( )0 0= (⇒ en dicho punto hay "contacto" entre la gráfica de la función "f" y el eje de abcisas) y f x( ) "cambia de signo" en x = 0 (⇒ la gráfica de "f" atraviesa dicho eje).

Con una función tan tontorrona como nuestra "f" debes ser capaz de estudiarel signo de f x( ) sin necesidad de montar el "pollo" precedente: como el nume-rador x3 es positivo o negativo según que x > 0 ó x < 0 y el denominador4 2− x es negativo o positivo según que x > 2 ó x < 2 , el signo de f x( ) sedetermina en un periquete:

0 x − +

−2 x

2 − + −

−2 2 0+ − + − x

x3

4 2− x

f x( )

f x( ) > 0 f x < 0 f x > 0 f x( ) ( ) ( ) < 0

x −2 x 0 x 2 x X

Es f ( ) ,0 0= y "f" no está definida en x = − =y x2 2, pues el denominador de f x( ) se anula en esos puntos


FONEMATO 1.19.9 FONEMATO 1.19.9 :ℜ ℜEstúdiese el signo de la función f en los siguientes casos:

1 216

2 1642

22) ( ) ; ) ( ) .( )f x x

xf x e x

xx

= −−

=−−

SOLUCIÓN 1) Si , como el numerador f x x x( ) ( )/( )= − −2 2 x − 216 es positivo o negativo

según que ó y el denominador x2 16−x > 2 x < 2 es positivo o negativo se-gún que x > 4 x < 4 ó , el signo de f x( ) se determina en un periquete:

Así, la gráfica de "f" está por debajo del eje de abcisas si x < −4 o si x ∈( ; ),2 4 y está por encima de dicho eje si x ∈ − −( ; )4 2 x > 4. o si

En el punto ocurre que x = 2 f( )2 0= (⇒ en dicho punto hay "contacto" entre la gráfica de la función "f" y el eje de abcisas) y f x( ) "cambia de signo" en x = 2 (⇒ la gráfica de "f" atraviesa a dicho eje). La función "f" no está definida en los puntos x y x= = −4 4, pues en ellos se anula el denominador.

2) Si f x e x xx( ) .( )/( )= − −16 42 2 , sucede que el factor siempre toma valores positivos, el factor 16 es positivo o negativo según que

ex

2− x x < 4 ó x > 4 , y el factor es positivo o negativo según que x2 4− x > 2 ó x < 2 . Por tanto, el signo de f x( ) se determina en un periquete:

Así, la gráfica de "f" está por encima del eje de abcisas si x ∈ − −( ; )4 2 y si x ∈( ; ),2 4 x y está por debajo de dicho eje si < −4 x, si ∈ −( ; )2 2 x > 2. y si

La gráfica de "f" corta al eje de abcisas en los puntos x y x = 4= −4 , pues f f( ) ( )− = =4 4 0 y f x( ) "cambia de signo" en dichos puntos. La función "f" no está definida en los puntos x y x= = −2 2, pues en ellos se anula el denomina-dor.

2 x − +

−4 x

4 + − +

−4 4 2 − + − +

x − 2

x2 16−

f x( ) x

x − + − 16 2− x −4 4

x + − +

x2 4− −2 2 − + − + − −4 42

f x( ) x −2


FONEMATO 1.19.10 f :ℜ ℜEstúdiese el signo de la función en los siguientes casos:

1 12 3

2 71

3 2 54 52

22

22) ( )

.; ) ( ) ; ) ( ) .

.f x x

x xf x x

x xf x x x

x x= −

+ −= −

+ += − +− + −

SOLUCIÓN 1) Si , como el numerador 1f x x x x( ) ( )/( . )= − + −1 22 − x3 es negativo o positi-

vo según que ó , y el denominador u x x x( ) .= + −2 2 3x > 1 x < 1 es negativo si u x x x( ) .= + −2 2x < −1x ∈ −( ; )1 3 y positivo si ó (pues x > 3 3 es una pará-

bola con "cuernos" hacia arriba que corta al eje de abcisas en los puntos x y x= − =1 3), el signo de f x( ) se determina en un periquete:

Así, la gráfica de "f" está por encima del eje de abcisas si x < −1 o si x ∈( ; ),1 3 y está por debajo de dicho eje si x ∈ −( ; )1 1 o si x > 3.

En el punto ocurre que x = 1 f( )1 0= (⇒ en dicho punto hay "contacto" entre la gráfica de la función "f" y el eje de abcisas) y f x( ) "cambia de signo" en x = 1 (⇒ la gráfica de "f" atraviesa dicho eje). La función "f" no está definida en los puntos x y x= − =1 3, pues en ellos se anula el denominador.

2) Si f , como el factor x x x x( ) ( )/( )= − + +7 2 2 1 u x x x( ) = + +2 1 sólo toma va-lores positivos ( ( )u x x x= + +2 1 es una parábola con "cuernos" hacia arriba que no corta al eje de abcisas, pues u x( ) = 0 carece de soluciones reales), el sig-no de f x( ) es el de 7 , que es positivo si 2− x x < 7 y negativo si x > 7 . Así, la gráfica de "f" está encima del eje de abcisas si x < 7 , y está debajo de dicho eje si x > 7 . Dicha gráfica corta al eje de abcisas en x y , pues

x= − =7 7f f y ( ) ( )− = =7 7 f x0 ( ) "cambia de signo" en dichos puntos.

3) Es f x x x x x( ) ( . )/( . )= − + − + − <2 22 5 4 5 0 , pues u x x x( ) .= − +2 2 5 siempre es positivo ( ( ) .u x x x= − +2 2 5 es una parábola con "cuernos" hacia arriba que no corta al eje de abcisas, pues u x( ) = 0 carece de soluciones reales), y

siempre es negativo (v x x x( ) .= − + −2 4 5 ( ) .v x x x= − + −2 4 5 es una parábo-la con "cuernos" hacia abajo que no corta al eje de abcisas, pues v x( ) = 0 carece de soluciones reales). Por tanto, la gráfica de "f" está por debajo del eje de abci-sas en todos los puntos.

1 x + −

−1 x

3 + − +

−1 3 1 + − + −

1 − x

x x2 2 3+ −.

f x( ) x


FONEMATO 1.19.11 Determínese el dominio de definición y estúdiese el signo de la función f :ℜ ℜ tal que . f x Ln x( ) ( )= −5 2

SOLUCIÓN Como , es: f x Ln x Ln u x( ) ( ) ( )= − ≡5 2

Dom f x f x x u x u x. / ( ) / ( ) , ( )= ∈ℜ ∈ℜ = ∈ℜ ∈ℜ > =l q l 0 q= ∈ℜ ∈ −x x/ ( ;5 5n s)

u x x( ) = −5 2 es un polinomio cuya gráfica es una parábola con cuernos hacia abajo (pues el coeficiente de es x2 < 0 ) que corta al eje de abcisas en x = ± 5 ( ) pues x x5 0 52− = ⇒ = ± u x⇒ > 0 sólo si x ∈ −( ;5 5( ) )

x 5

Para estudiar el signo de f x Ln x( ) ( )= −5 2 cuando x ∈ −( ;5 5) , determinamos los valores de "x" que anulan a f x( ); o sea, resolvemos la ecuación f x( ) := 0

f x Ln x x x( ) ( )= − = ⇒ − = ⇒ = ±5 0 5 12 2 2

Los puntos x y x= − =2 2 dividen al intervalo ( en tres intervalos, y ; )− 5 5f x( ) tiene el mismo signo en todos los puntos de cada uno de ellos.

Para averiguar el signo de f x( ) en un intervalo concreto basta determinar el signo de f x( ) en un punto cualquiera de él:

∗ − = − − = < ⇒ < ∀ ∈ − −∗ = − = > ⇒ > ∀ ∈ −∗ = − = < ⇒ < ∀ ∈

como f como f

( ' ) ( ( ' ) ) ' ( ) , ( ; )( ) ( ) ( ) , ( ; )( ' ) ( ' ) ' ( ) , ( ; )

2 1 5 2 1 0 59 0 0 5 20 5 0 5 0 0 2 22 1 5 2 1 0 59 0 0 2 5

22

2

Ln Ln f x xLn Ln f x x

Ln Ln f x x

como f

En definitiva, la gráfica de "f" está por encima del eje de abcisas si x ∈ −( ; )2 2 , y está por debajo de dicho eje si x ∈ − − ∪( ; ) ( ;5 2 2 5).

Como f x( ) se anula y cambia de signo en x y en x= = −2 2, la gráfica de "f" corta al eje de abcisas en dichos puntos.

f x Ln x( ) ( )= −5 2

• •− 5

− 5 x −2 x 2 x 5 X


FONEMATO 1.19.12 Determínese el dominio de definición y estúdiese el signo de la función f :ℜ ℜ tal que f x Ln x x x( ) (( . )/( ))= + −3 22 4 . SOLUCIÓN Como f x Ln x x x Ln u x( ) (( . )/( )) ( )= + − ≡3 22 4 , es:

Dom f x f x x u x u x. / ( ) / ( ) , ( )= ∈ℜ ∈ℜ = ∈ℜ ∈ℜ > =l q l 0 q= ∈ℜ ∈ − ∪x x/ ( ; ) ( ; )2 0 0 4l q

Para estudiar el signo de f x Ln x x x( ) (( . )/( ))= + −3 22 4 cuando x Dom f∈ . , de-terminamos los valores de "x" que anulan a f x( ):

f x Ln x x x x x x( ) (( . )/( )) ( . )/( )= + − = ⇒ + − = ⇒3 2 3 22 4 0 2 4 1

⇒ + + − = ⇒ =x x x x3 22 4 0 1. soluciones imaginarias{

• Como u x x x x( ) ( . )/( )= + − ≡3 22 4 cociente de polinomios, es u x( )∈ℜsiempre que (único punto en que se anula el denominador de u(x)).x ≠ 4

• El signo del número real u x( ) depende del signo que tengan los númerosreales k x x x y k x x1 3 2 22 4( ) . ( ) ,= + = − por lo que debemos determi-nar los valores de "x" que anulan a k x o a k x1 2( ) ( ):

k x x x x doble

k x x x1 3 2

2

2 0 02

4 0 4

( ) . ( )

( )

= + = ⇒ = −RST

= − = ⇒ =

Los puntos x x y x= − = =2 0, 4 dividen al eje de abcisas en cuatro in-tervalos, y u x( ) tiene el mismo signo en todos los puntos de cada uno deellos. Para averiguar el signo de u x( ) en un intervalo concreto basta de-terminar el signo de u x( ) en un punto cualquiera de él:

∗ − < ⇒ < ∀ < −∗ − > ⇒ > ∀ ∈ −∗ > ⇒ > ∀ ∈∗ < ⇒ < ∀ >

como u como u como u como u

( ) ( ) ,( ) ( ) , ( ; )( ) ( ) , ( ; )( ) ( ) ,

3 0 0 21 0 0 2 0

1 0 0 0 45 0 0 4

u x xu x x

u x xu x x

• En definitiva, u x( ) ( ; ) ( ; )> ∈ − ∪0 2 0 sólo si x 0 4 .

x 4

f x Ln x x x( ) (( . )/( ))= + −3 22 4

• •−2

"f" no está definida en el punto x pues f Ln= = ∉ℜ0 0 0, ( ) 0


El punto divide al dominio de "f" en dos zonas, y x = 1 f x( ) tiene el mismo signo en todos los puntos de cada una de ellas.

−2 x 1 x 4X

0 Para averiguar el signo de f x( ) en una zona concreta basta determinar el signo de f x( ) en un punto cualquiera de ella; así:

∗ − = < ⇒ < ∀ ∈ − ≠∗ = > ⇒ > ∀ ∈

como f como f

( ) / ( ) , ( ; ),( ) ( ) , ( ; )

1 3 4 0 0 2 13 7 0 0 1 4

Ln f x x xLn f x x

0

En definitiva, la gráfica de "f" está por encima del eje de abcisas si x ∈( ; )1 4 , y está por debajo de dicho eje si x ∈ − ∪( ; ) ( ; )2 0 0 1 . Como f x( ) se anula y cambia de signo en la gráfica de "f" corta al eje de abcisas en dicho punto. x = 1,

FONEMATO 1.19.13

Determínese el dominio de definición de f x x x x( ) ( )/( )= − −3 2 5 .

SOLUCIÓN

Como f x x x x u xpar( ) ( )/( ) ( )= − − ≡3 2 5 , es:

Dom f x f x x u x u x. / ( ) / ( ) , ( )= ∈ℜ ∈ℜ = ∈ℜ ∈ℜ ≥ =l q l 0 q= ∈ℜ ∈ −∞ ∪ + ∞x x/ ( ; ] ( ; )1 5l q

• Como u x x x x( ) ( )/( )= − − ≡3 2 5 cociente de polinomios, es si (único punto en que se anula el denominador de u(x)).

u x( )∈ℜx ≠ 5

• El signo del número real u x( ) depende del signo que tengan los númerosreales k x x x y k x x1 3 2 2 5( ) ( ) ,= − = − por lo que debemos determinarlos valores de "x" que anulan a k x o a k x1 2( ) ( ):

k x x x x doble ó xk x x x

1 3 2

20 0 1

5 0 5( ) ( )

( )= − = ⇒ = =

= − = ⇒ =

Los puntos x x y x= = =0 1, 5 dividen al eje de abcisas en cuatro inter-valos, y u x( ) tiene el mismo signo en todos los puntos de cada uno deellos. Para averiguar el signo de u x( ) en un intervalo concreto basta de-terminar el signo de u x( ) en un punto cualquiera de él:

∗ − > ⇒ > ∀ <∗ > ⇒ > ∀ ∈∗ < ⇒ < ∀ ∈∗ > ⇒ > ∀ >


( ) ( ) ,( / ) ( ) , ( ; )( ) ( ) , ( ; )( ) ( ) ,

3 0 0 01 2 0 0 0 12 0 0 1 56 0 0 5

u x xu x x

u x xu x x

• En definitiva, es u x( ) ( ; ] ( ; )≥ ∈ −∞ ∪ + ∞0 1sólo si x 5 . Tema 1: Funciones reales de variable real 63

FONEMATO 1.19.14

Determínese el dominio de definición de f x x( ) log ( )= − −1 95 2 . SOLUCIÓN

Como f x x u xpar( ) log ( ) ( )= − − ≡1 95 2 , es:

Dom f x f x x u x u x. / ( ) / ( ) , ( )= ∈ℜ ∈ℜ = ∈ℜ ∈ℜ ≥ =l q l 0 q= ∈ℜ ∈ − − ∪x x/ ( ; ] [ ; )3 2 2 3l q

• Como u x x h x( ) log ( ) log ( )= − − ≡ −1 9 15 2 5 , ocurre que sólo si Como

u x( )∈ℜh x y h x( ) ( ) .∈ℜ > 0 h x x( ) = − ≡9 2 polinomio, es paratodo "x"; además, es

h x( )∈ℜh x( ) > 0 sólo si x ∈ −( ; )3 3 , pues la gráfica de h(x) es

una parábola con "cuernos" hacia abajo (el coeficiente de es negativo)que corta al eje de abcisas en los puntos

x2x y x= = −3 3. En definitiva, es

sólo si u x( )∈ℜ x ∈ −( ; )3 3 .

• Para estudiar el signo de u x x( ) log ( )= − −1 95 2 cuando x ∈ −( ; )3 3 deter-minamos los valores de "x" que anulan a u x( ):

u x x x( ) log ( ) log ( )= − − = ⇒ − = ⇒1 9 0 9 15 2 5 2

⇒ −

= ⇒ = ⇒ = ±9 5 4 22 2x x x

Los puntos x y x= − =2 2 dividen al intervalo ( ; )−3 3 en tres intervalos, yu(x) tiene el mismo signo en todos los puntos de cada uno de ellos.

Para averiguar el signo de u(x) en un intervalo concreto basta determinar elsigno de u(x) en un punto cualquiera de él:

∗ − = − − − > ⇒ > ∀ ∈ − −∗ = − − < ⇒ < ∀ ∈ −∗ = − − > ⇒ > ∀ ∈

como u como u como u

( ' ) log ( ( ' ) ) ( ) , ( ; )( ) log ( ) ( ) , ( ; )( ' ) log ( ' ) ( ) , ( ; )

2 5 1 9 2 5 0 0 3 21 1 9 1 0 0 2 22 5 1 9 2 5 0 0 2 3

5 2

5 2

5 2

u x xu x x

u x x

u x

• En definitiva, es ( ) ( ; ] [ ; )≥ ∈ − − ∪0 3 2 2 3 sólo si x .

−3 x −2 x 2 x 3X

x3

f x x( ) log ( )= − −1 95 2

− −3 2 2

Como la raíz cuadrada no lleva signo delante, entendemos que lleva el signo "+", por lo que si x ∈ − − ∪( ; ] [ ; )3 2 2 3 es f x( ) .≥ 0

• • • •


FONEMATO 1.19.15

Determínese el dominio de definición de f x x( ) log ( )= − −1 97 2 .

SOLUCIÓN

Como f x x u xpar( ) log ( ) ( )= − − ≡1 97 2 , es:

Dom f x f x x u x u x. / ( ) / ( ) , ( )= ∈ℜ ∈ℜ = ∈ℜ ∈ℜ ≥ =l q l 0 q∈ℜ ∈ − − ∪x x/ [ ; ) ( ; ]4 3 3 4l q =

• Como u x x h x( ) log ( ) log ( )= − − ≡ −1 9 17 2 7 , ocurre que u x( )∈ℜ sólo sih x y h x( ) ( ) .∈ℜ > 0 Como h x x( ) = − ≡2 9 polinomio es h x( )∈ℜ para to-do valor de "x"; además, es h x > 0 x ó x< −( ) sólo si >3 3, pues la gráficade h(x) es una parábola con "cuernos" hacia arriba (el coeficiente de x2 espositivo) que corta al eje de abcisas en los puntos x = y x = −3 3. En defini-tiva, es u x( )∈ℜ sólo si x ó x< − >3 3.

• Para estudiar el signo de u x x( ) log ( )

= − −1 97 2 si x ó x< − >3 3, deter-minamos los valores de "x" que anulan a u x( ):

u x x x( ) log ( ) log ( )= − − = ⇒ − = ⇒1 9 0 9 17 2 7 2

⇒ − = ⇒ = ⇒ = ±x x x2 29 7 16 4

Ahora: ∗ − = −

X x −4 x −3 3 x 4 x

< ⇒ < ∀ < −∗ − ′ = − > ⇒ > ∀ ∈ − −∗ = − > ⇒ > ∀ ∈∗ = − < ⇒ < ∀ >


( ) log ( ) ,( ) log ' ( ) , ( ; )( ' ) log ' ( ) , ( ; )( ) log ( ) ,

5 1 16 0 0 43 5 1 3 25 0 0 4 3

35 1 3 25 0 0 3 45 1 16 0 0 4

77

77

u x xu x x

u x xu x x

• En definitiva, es u x ≥( ) [∈ − −; ) ( ; ]∪0 4 3 3 4 sólo si x .

x4

f x x( ) log ( )= − −1 97 2

− −4 3 3

Como la raíz cuadrada no lleva signo delante entendemos que lleva el signo "+", por lo que si x ∈ − − ∪[ ; ) ( ; ]4 3 3 4 es f x( ) .≥ 0

• • • •


FONEMATO 1.19.16 Determínese el dominio de definición de f :ℜ ℜ en los siguientes casos:

1 1 9 2 17 2) ( ) log ( ) ; ) ( ) ( / )f x x f x sen x= − + =

π

SOLUCIÓN 1) La función "f" no está definida en ningún punto:

pues f ( ) log ( ) ( )x x par= − + ≡1 97 2 u x

Dom f x f x x u x u x. / ( ) / ( ) , ( )= ∈ℜ ∈ℜ = ∈ℜ ∈ℜ ≥ =l q l 0 ∅q

• Como u x x h x( ) log ( ) log ( )= − + ≡ −1 9 17 2 7 , es sólo si y

u x( )∈ℜh x( )∈ℜ h x( ) > 0 . Como h x x( ) = + ≡2 9 polinomio que sólo tomavalores positivos, es u x h x( ) log ( )= − ∈ℜ1 7 para todo valor de "x".

• Es u x x( ) log ( )= − + <1 7 2 9 0

x x u x x2 7 2 7 29 7 9 1 1 9 0+ > ⇒

para todo "x", pues para todo "x" es:

+ > ⇒ = − + <log ( ) ( ) log ( )

2) Siendo f x sen x u x( ) /( ( / )) / ( )= ≡1 π 1 , la función "f" está definida excepto si y , siendo "n" cualquier número entero no nulo. En efecto, como x = 0 x n= 1/

u x sen x sen cociente d( ) ( / ) (= ≡π e polinomios) , es u x( )∈ℜ si (pues el denominador de sólo se anula si

x ≠ 0π/x x = 0) , y es u x sen x( ) ( / )= =π 0 si

, siendo "n" cualquier número entero no nulo. x = 1/n

Observa: en todo entorno reducido de x = 0 hay infinidad de puntos en los que "f" no está definida, pues en dicho entorno de x = 0 hay infinidad de pun-tos en los que se anula el denominador de f x( ). Por ejemplo, en el entorno reducido de formado por los "x" tales que x = 0 0 0 1 3000< − <x / , los infini-tos puntos en que "f" no está definida son:

± ± ±13001

13002

13003; ; ; ..........

Nada tarda tanto como lo que

no se empieza

PROVERBIO ANAMITA


1.20 SIMETRÍAS DE UNA FUNCIÓN • Se dice que la función f :ℜ ℜ es par si en todo punto "x" de su dominio de

definición sucede que f x f x( ) ( );− = en términos geométricos significa que la gráfica de "f" es simétrica respecto del eje de ordenadas.

• Se dice que la función f :ℜ ℜ es impar si en todo punto "x" de su dominio de definición sucede que f x f x( ) ( );− = − en términos geométricos significa que la gráfica de "f" es simétrica respecto al origen de coordenadas.

Xf x( )

Y

x−x

•

•• f x( )−

• El que una función "f" sea "par" o "impar" es un chollo, pues en tal caso sólo nos preocupará dibujar su gráfica para valores positivos de "x", ya que lo que sucede para valores negativos de "x" lo deducimos por simetría. Por ejemplo, son "pares" las funciones definidas como

f x xx

f x sen xx x

f x x e f x Ln xx12

6 28

2 6 3 4 4 21 1

12( ) ; ( ) ; ( ) . ; ( ) ( )=+

=− −

= = +

pues al sustituir "x" por " , resulta: "−x

f x xx

xx

f x

f x sen xx x

sen xx x

f x

12

62

6 1

28

2 6

8

2 6 2

1 1

1 1

( ) ( )( )

( )

( ) ( )( ) ( )

( )

− =−+ −

=+

=

− =−

− − − −=

− −=

f x x e x e f xf x Ln x Ln x f x

x x3 4 4 34 2 2 4

2 2

1 1( ) ( ) . . ( )

( ) ( ( )) ( ) (( )− = − = =

− = + − = + =−

)

Por ejemplo, son "impares" las funciones definidas como

f x xx

f x xx

f x x e f x x Ln xx57

4 63

2 7 3 8 9 28 1

12( ) ; ( ) ; ( ) . ; ( ) . ( )=−

=−

= = +


FUNCIÓN "PAR"

Y

FUNCIÓN "IMPAR"

X

f x( )

x −x

•

• •

f x( )−

f x f x( ) (− = − = −) f ( x) f (x)


f x xx

xx

f x

f x xx

xx

f x

57

47

4 5

63

23

2 6

8 8

1 1

( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )

( )

− =−− −

= −−

= −

− =−

− −= −

−= −

f x x e x e f xf x x Ln x x Ln x f x

x x7 3 3 78 9 2 9 2 8

2 2

1 1( ) ( ) . . ( )

( ) ( ) . ( ( )) . ( ) (( )− = − = − = −

− = − + − = − + = −−

)

Por ejemplo, no son "pares" ni "impares" las funciones definidas como

g xx x

g x xx

g x x e g x Ln x xx1 2 2 2 3 4 4 21 11

1( ) ; ( ) ; ( ) . ; ( ) ( )=+

= +−

= = + +


g xx x x x

g xg x1 2 211

1 1( )( ) ( )

( )( )− =

− + −=

−≠ −RST

g xx

xx

xg xg x2 2 222

11

11

( )( )

( )( )( )− =

+ −

− −= −

−≠ −RST

g x x e x e g xg x

x x3 4 4 33

( ) ( ) . . ( )( )− = − = ≠ −

RST− −

g x Ln x x Ln x x g xg x4 2 2 4

41 1( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( )

( )− = + − + − = − + ≠ −RST

Tomo nota

Si el dominio de definición de una función "f" no es simétrico respecto al punto x = 0 entonces no hay que andar con la puñeta de sustituir "x" por "−x" para analizar las posibles simetrías de "f", pues puedes apostarte tranquilamente la vida a

que "f" no es "par" ni es "impar". Por ejemplo, si

f x x( ) /( )= −1 4 entonces "f" está definida siempre que x ≠ 4, y saber eso es suficiente para garantizar "f" no es "par" ni "impar",

pues para que fuera "par" o "impar" sería necesario (no suficiente) que "f" no estuviera definida tampoco en el punto x = −4 (simétri-

co del punto x = =4 respecto del punto x 0).


1.21 FUNCIONES PERIÓDICAS • Se dice que la función "f" es periódica o cíclica de periodo "T" si

"T" es el menor número positivo tal que en todo punto "x" del dominio de de-finición de "f" sucede que f x T f x( ) ( ).+ =

X

Y

x x T+ x T+2.•• •

T T

FUNCIÓN PERIÓDICA DE PERIODO "T"

• El que una función "f" sea periódica de periodo "T" es un gran chollo, pues así sólo debemos preocuparnos por dibu-jar su gráfica en el intervalo [a;a+T], siendo "a" un punto cualquiera del dominio de definición de "f". Si suele elegirse el intervalo

0∈Dom f.[ ; ].0 T

• Las más famosas funciones periódicas son f x sen x y f x x( ) ( ) cos ,= = que tie-nen periodo " , pues para todo "x" sucede que: "2π

sen x sen x x x= + = +( ) ; cos cos ( )2 2π π

xπ/2 π

3 2π/2π

1

−1

sen x

0

Periodo " "2π

π/2 π3 2π/

2π

1

−1

cos x

x0

Periodo " "2π

• Las funciones f x tg x y f x g x( ) ( ) cot= = son periódicas de periodo , y las funciones

" "πf x x y f x ec x( ) sec ( ) cos= = son periódicas de periodo . " "2π


tg x

x 3 2π/π0

π/2

Periodo " "π

cot g x

x π/2π

3 2π/2π0

Periodo " "π

x π/2 π

3 2π/2π

1

−1

cosec x

0

Periodo " "2π

x π/2

π3 2π/ 2π

1

−1

sec x

0

Periodo " "2π


¡Puaf! .... tengo que memorizar las gráfi-cas de las funciones

trigonométricas

No hace falta que me-morices nada, dentro

de no mucho serás ca-paz de deducirlas de la mera observación del circulo goniométrico

Por ejemplo, la función "g" tal que g x sen x( ) .= 8 es periódica de periodo π/4 , pues al exigir que se satisfaga la condición g x T g x( ) ( ),+ = resulta:

sen x T sen x x T x T8 8 8 8 2. 4( ) . .( ) . .+ = ⇒ /+ = + ⇒ =π π

pues el "seno" es una función periódica de periodo 2π

x

1

−1

sen x8Periodo " / "π 4

x

1

−1

sen x

0

Periodo " "2π

π/2 π 3 2π/ 2π0En el intervalo [ ; ]0 2π la función f x sen x( ) = hace un "ciclo", y

la función g x sen x( ) .= 8 hace ocho ciclos en ese intervalo.

La inversa del periodo se llama "frecuencia", y expresa el número de ciclos que se producen por cada unidad de la variable "x". Por ejemplo, si "x" mide

el tiempo en segundos, el que la frecuencia de g x sen x( ) .= 8 sea indica que en un segundo se producen 1 ciclos. 4 12732395/ 'π ≅ 2732395'

h x tg x( ) .= 5 π/5Por ejemplo, la función "h" tal que es periódica de periodo , pues al exigir que se satisfaga la condición +h x T h x( ) ( ),= resulta:

tg x T tg x x T x T5 5 5. 5 5( ) . .( ) . /+ = ⇒ + = + ⇒ =π π

pues la "tangente" es una función periódica de periodo π


1.22 FUNCIONES COMPUESTAS Aunque ya hemos trabajado con multitud de funciones "com-puestas", conviene hablar expresamente de ello: si f :ℜ ℜ y

son funciones, se dice que la función g :ℜ ℜ h:ℜ ℜ es la compuesta de "f" y "g" (se denota h g f= • ) h x g f x( ) ( ( ));= x ∈ℜ si es decir, la imagen de se-gún "h" es la imagen según "g" de la imagen de "x" según "f".

g⎯ →⎯

h g f= •

f⎯ →⎯ ℜ x

ℜ f x( )

ℜ g f x( ( ))

x x ex( ) = + +7 2Por ejemplo, si f es tal que f:ℜ ℜ g :ℜ ℜ y es tal que g y sen y( ) ,= h g f1 = • la función es tal que:

es f ( )x x ex= + +7 2

h x g f x f x e sen x ex x1 2 27 7( ) ( ( )) ( ) ( )= = + + = + +

la función "g" establece que g(Pepe) sen (Pepe)=

La función es tal que: h f g2 = •es g( )y sen y=

sen y sen y esen y2 27( ) ( ( ) ( ) ( )=

h y f g y f) = = + +

la función "f" establece que f(Paco) 7 + (Paco)2 Paco= + e

Por ejemplo, si f :ℜ ℜ f x x( ) = −1 es tal que y la función es tal que la función

g :ℜ ℜ−g y y( ) log ( ),= 7 2 9 h g f1 = • es la definida como:

es f ( )x x= −1

h x g f x g x x1 7 21 1( ) ( ( 9( ) log (( ) )= = − = − −))

la función "g" establece que g(Pepe) ((Pepe)2= −log )7 9

La función es la definida como: h f g2 = •

es g( ) log ( )y y= −7 2 9

h y f g y f y y2 7 2 7 29 1 9( ) ( ( )) (log ( )) log ( )= − = − −=

la función "f" establece que f(Paco) 1 Paco= −


u z z z( ) = − +1 2u:ℜ ℜPor ejemplo, si la función es tal que y la función es tal que v t t( ) ,= h v u1 = •v:ℜ ℜ la función es la definida como:

es u( )z z= − +1 2 z

h z v u z v z z z z1 2 21 1( ) ( ( ))= = ( )− + = − +

la función "v" establece que v(Pepe) = Pepe

La función es la definida como: h u v2 = •

es v( )t t=

h t u v t u t t t2 21( ) ( ( ))= = ( ) ( )= − +

la función "u" establece que u(Paco) 1 (Paco) Paco2= − +

u( )λ λ= −1 3u:ℜ ℜPor ejemplo, si la función es tal que y es tal que

v :ℜ ℜv( ) / ,θ = 1 θ h v u1 = • la función es la definida como:

es u( )λ λ= −1 3

h v u z v1 3 31 1 1( ) ( ( )) ( ) /( )λ λ λ= = − = −

la función "v" establece que v(Pepe) = 1/Pepe

La función es la definida como: h u v2 = •es v( ) /θ θ= 1

h u v u2 31 1 1( ) ( ( )) ( / ) ( / )θ θ θ θ= = = −

la función "u" establece que u(Paco) 1 (Paco)3= −

λ :ℜ ℜ λ( )z z= +1 y ℜPor ejemplo, si la función es tal que θ es tal que θ

:ℜ( ) / ,t = 1 h1 = •θ λt la función es la definida como:

es λ( )z z= +1

h z z z z1 1 1 1( ) ( ( )) ( ) /( )= = + = +θ λ θ

la función " " establece que (Pepe)θ θ = 1/Pepe

La función es la definida como: h2 = •λ θes θ( ) /t t= 1

h t t t t2 1 1 1( ) ( ( )) ( / ) /= = = +λ θ λ

la función " " establece que (Paco) 1+ Pacoλ λ =


Entenderás la utilidad que en la vida cotidiana tienen las funciones "compuestas" si miras el siguiente esquema

h g f= •

g⎯ →⎯f⎯ →⎯ ℜ

x

ℜ y

ℜ z

y sintiendo como si el negocio fuera tuyo, piensas que, por ejemplo, las variables "x", "y" y "z" expresan lo siguiente:

xy

z

≡≡

≡

cantidad de capital que utiliza Revilla S.A. para producir chorizoproducción de chorizo de Revilla S.A

beneficio de Revilla S.A

Cabe decir que estamos ante dos fenómenos encadenados: el fenómeno consistente en producir chorizo a partir de capital, y el fenómeno consistente en obtener beneficios a partir de la producción de chorizo. Cada uno de los dos fe-nómenos está gobernado por una "ley": la ley "f" determina la producción "y" ( ( ))y f x= en función de la cantidad "x" empleada de capital, y la ley "g" determina el beneficio "z" en función de la producción "y" ( ( ))z g y= . En este contexto, cabe decir que la ley "compuesta" h g f= • "conecta" el inicio y el final del proceso, pues expresa el beneficio "z" en función de la cantidad "x" empleada de capital.

Se pueden "encadenar" más de dos funciones. Por ejemplo, si las funciones "u", "v" y "w" son tales que

u x x v z wz( ) . ; ( ) ; ( ) /( )= − = = +2 1 5 1 7λ λ entonces:

1) La función es la definida como: h w v u1 = • •u( ) .x x= −2 1 v(Pepe) = 5Pepe

h x w v u x w v x w xx1 2 1

2 12 1 5 17 5

( ) ( ( ( ))) ( ( . )) ( )..= = − = =

+−

−

w(Pío) =+

17 ( )Pío

2) La función es la definida como: h w u v2 = • •v( )z z= 5

h z w u v z w u wz zz2 5 2 5 1 1

7 2 5 1( ) ( ( ( ))) ( ( )) ( . )

( . )= = = − =

+ −

u( ) .( )Paco Paco= −2 1 w(Pío) = +1 7/( )Pío


3) La función es la definida como: h v u w3 = • •

pues es w( ) /( )λ λ= +1 7 pues es u( ) .( )Paco Paco= −2 1

h v u w v u v31

72

7 1( ) ( ( ( ))) ( ( )) ( )λ λλ λ

= =+

=+

− =

= + −5 2 7 1( /( ))λ

pues es v(Pepe) = 5Pepe

4) La función es la definida como: h v w u4 = • •

u( ) .x x= −2 1 w(Pío) = +1 7/( )Pío

h x v w u x v w x v x v x4 2 1 17 2 1

16 2( ) ( ( ( ))) ( ( . )) ( ( . )) ( . )− =

+ −=

+== =

= +51 6 2/( . )x

v(Pepe) = 5Pepe

5) La función es la definida como: h u v w5 = • •

pues es w( ) /( )λ λ= +1 7 v(Pepe) = 5Pepe

h u v w u v u5 1 717 5( ) ( ( ( ))) ( ( )) ( )/( )λ λ

λλ= =

+= =+

x u⎯ →⎯ 2 1− w⎯ →⎯ 16 2+ .x v⎯ →⎯ 51 6 2/( . )+ x .x

= −+2 5 11 7. /( )λ

u( ) .( )Paco Paco= −2 1

λ w⎯ →⎯ 17 + λ

v⎯ →⎯ 51 7/( )λ u⎯ →⎯ 2 5 11 7. /( )+ −λ +

6) La función es la definida como: h u w v6 = • •

v( )z z= 5

h z u w v z u w uzz z6 5 1

7 52 1

7 51( ) ( ( ( )))= = ( ( )) ( ) .= = −

+ +w(Pío) = +1 7/( )Pío u( ) .( )Paco Paco= −2 1

z v⎯ →⎯ 5 z w⎯ →⎯ 17 5z

u⎯ →⎯ 2 17 5

1.+

−z +


1.23 FUNCIÓN INVERSA O RECÍPROCA Lo mejor es un ejemplillo con un "fenómeno" de la vida cotidiana: sea "x" el tiem-po que dedicas a estudiar un examen y sea "f" la función que al tiempo "x" le asocia la puntuación "y" que obtienes en el examen; es decir, y f x= ( ):

tiempo de estudio "x" f⎯ →⎯ puntuación "y" variable "dependiente",

su valor depende del de "x" variable "independiente",

toma el valor que queramos

• Se llama inversa o recíproca de "f" (se denota f −1 ) a la función que per-mite analizar el "fenómeno" dando la vuelta a la tortilla (lo que a veces es muy interesante); es decir, la función f −1 es la que a la puntuación "y" le asocia el tiempo de estudio "x".

puntuación "y" f −⎯ →⎯⎯1

tiempo de estudio "x" variable "dependiente",

su valor depende del de "y" variable "independiente",

toma el valor que queramos

• La "inversa" de f es "f", por eso se dice que son "inversas" una de otra. −1

f⎯ →⎯ x

y

ℜℜ

tiempo

f −⎯ →⎯⎯1

y

x

ℜℜ⇔puntuaciónpuntuación tiempo

• ¡Ojo!: el conjunto inicial (final) de "f" es el final (inicial) de f . −1

Si f a b( ) = (o sea, la gráfica de "f" pasa por el punto ( ; ))a b es f b a− =1( ) (o sea, la gráfica de la función f −1 pasa por el punto ( ; )).b a

Los puntos ( ; )a b y ( ; )b a son simétricos respecto de la bisectriz del primer cuadrante del plano (pues el punto medio del segmento que los une es el (( )/ ;( )/ )a b b a+ +2 2 que por tener las dos coordenadas iguales está ubicado en dicha bisectriz); por tanto, la gráfica de f −1 es simétrica de la gráfica

de "f" respecto de la bisectriz del primer cuadrante.

• ( ; )a b

y puntuación( )

x tiempo( )a

b• ( ; )b a

y puntuación( )

x tiempo( )

a

b


Por ejemplo, siendo y f x x= = +( ) .9 3 , es x f y y= =

−−1 93( )

a partir de y os "x":

x

= +

= + ⇒ − = ⇒ =−

9 3

9 3 9 3 93

.

. .

x despejam

y x y x y

⇔x−3

9

y f x x= = +( ) .9 3

x ≡ variable independiente

y

x f y y= = −−1 9 3( ) ( )/

9

−3

y ≡ variable independiente

f x( )

x y,−3

9

f y−1( )

9

−3

Como estaba previsto, al "superponer" las figuras anteriores vemos que las

gráficas de las funciones "f" y f −1 son simétricas res-pecto de la bisectriz del

primer cuadrante

y f x ex= = −( ) 2 x f y Ln y= = +−1 2( )Por ejemplo, siendo , es

a partir de y despejamos "x": == ⇒ = ⇒ = − ⇒ = +

−− −

ey e Ln y Ln e Ln y x x Ln y

xx x

22 2 2 2

El "fenómeno" es el que es, pero hay dosformas de "mirarlo" .... y como para gustosestán los colores, tú lo "miras" como gustes:

A "x" horas de estudio les corresponde una nota ex −2

O vuelves la tortilla: A la nota "y" le corresponden 2 Ln y horas de estudio+En el primer caso la variable "independiente" es "x" (eltiempo de estudio) y en el segundo caso la "independiente"es "y" (la nota del examen) .... ¿Te enteras de algo?


No hace falta andar cambiando los ejes según cuál sea la variable que elijamos como "independiente": si "arrancas" en el punto "x" del eje de abcisas (⇔ tomas "x" como independiente), la curva te "lleva" al punto ex−2 del eje de ordenadas; si "arrancas" del punto "y" del eje de ordenadas (⇔ tomas "y"

como independiente), la curva te "lleva" al punto 2 + Ln y del eje de abcisas

•

x f y= −1( )2 + Ln y x

•

•

y

ex−2

•

•

y f x= ( )

•

f −1

f

y f x x= =+

( ) 34 x f y y= = −−1 4 3( ) +Por ejemplo, siendo , es

=y f x( )

Por ejemplo, siendo z f x x= = +( ) log ( )3 2 , es x f z z= = −−1 3 2( )

a partir de z despejamos "x":x

= +

= + ⇒ = + ⇒ = −log ( )

log ( )3

3

22 3 2 3

xz x xz z 2

Por ejemplo, siendo y f x x= = −( ) 4 1 , es x f y y= = +−1 41( ) log

a partir de y despejamos "x":x

== ⇒ = − ⇒ = +

−−

44 1 1

11 4 4

xxy y xlog log y

Las funciones compuestas h f f y h f f1 1 2 1= • = •− − son la función identidad (una función se dice que es la "identidad" si a cada número le asocia él mismo ⇒ la gráfica de una función identidad es la bisectriz del primer cuadrante):

x f y f x⎯ →⎯ ⎯ →⎯⎯−1

h f f1 1= •−

y f x f y−

⎯ →⎯⎯ ⎯ →⎯1

h f f2 1= • −

y •

x f y= −1( )x− +4 3( / )y

•34 + x

• •

•

•Despejamos "x":

x

y x yx

y

=+

⇒ = + ⇒

⇒ = − +

34

1 43

4 3


Por ejemplo, hemos visto que:

y f x x x f y y= =+

⇔ = = − +−( ) ( )34 4 31

h f f1 1= •−Comprobemos ahora que la función es la "identidad":

h x f f x f xx

x1 1 1 34 4 3

34

( ) ( ( )) ( )= =+

= − +

+

=− −

es f Juan Juan x− = − + ≡ +

1 4 3 34( ) ; en nuestro caso: Juan

h f f2 1= • −Comprobemos que la función , también es la "identidad":

h y f f y f yy

y2 1 4 3 34 4 3( ) ( ( )) ( )

( )= = − + =

+ − +=−

es f Pepe Pepe y( ) ;= + ≡ − +34 4 3 en nuestro caso: Pepe

¡Ojo con la notación!: volvemos al ejemplo en que "x" es el tiempo que dedicas a estudiar un examen y "f" es la función que a "x" le asocia la puntuación "y" que obtienes en él. Hemos visto que, por ejemplo:

y f x x x f y y= = + ⇔ = = − +−( ) /( ) ( ) ( / )3 4 4 31

Hay quien siempre llama "x" a la variable independiente; es decir, puedes encontrar quien diga que "inversa" de la función tal que f :ℜ ℜ

− ℜ ℜ1 : f x x− = − +1 4 3( ) ( / )f x x( ) /( )= +3 4 es la función f tal que , lo que genera notable confusión entre l@s principiantes, pues no se dan cuenta de que la "x" que aparece en f x x( ) /( )= +3 4 nada tiene que ver con la "x" que aparece en

: f x x− = − +1 4 3( ) ( / )

• El número "x" que aparece en f x x( ) /( )= +3 4 expresa el tiempo que estudias, y el número f x( ) expresa la correspondiente nota del examen.

f x x− = − +1 4 3( ) ( / )• El número "x" que aparece en expresa la nota del examen, y el número expresa el correspondiente tiempo de estudio. f x−1( )

tiempo notas:ℜ ℜHabría menos lío si se dijera que la función inversa de la f tal

que f x x( ) /( )= +3 4 es la f notas tiempo− ℜ ℜ1 : tal que , pues así se entendería que la "x" que aparece en

f x x− = − +1 4 3( ) ( / )f x( ) es un elemento del conjunto

, y la "x" que aparece en f x−1( )ℜtiempo es un elemento del conjunto ℜ . notas

Como los profesionales tienen perfectamente claro que el conjunto inicial (final) de la función "f" es el final (inicial) de f −1 , no se lían si oyen decir que la "inversa" de


f x x( ) /( )= +3 4 es f , que es lo mismo que decir: x x− = − +1 4 3( ) ( / )

f w w f z z f y y− − −= − + = − + = − +1 1 14 3 4 3 4 3( ) ( / ) ; ( ) ( / ) ; ( ) ( / )

f f f− − −= − + = − + = − +1 1 14 3 4 3 4 3( ) ( / ) ; ( ) ( / ) ; ( ) ( / )λ λ θ θ η η

Observa: siendo la "inversa" de f notas tiempo− ℜ ℜ1 : f tiempo notas:ℜ ℜ ,

al hablar de estamos llamando "w" a un elemento genérico del conjunto inicial de

f w−1( )f −1 (que es el final de "f"), y al

hablar de estamos llamando "z" a un elemento genérico del conjunto inicial de

f z−1( )

f −1 (que es el final de "f"), y al hablar de ...... lo importante no es el símbolo que usemos para referirnos a un elemento genérico del conjunto "inicial" de

ℜtiempo

ℜnotas

x

μ

2+Lnyk

ex−2

ek−2

eμ−2

yf

ff −1

2+Lnz zf −1

2+Lnc cf

f −1

f −1 , lo importante es tener perfectamente claro que tal conjunto es ℜnotas .

Recuerda que los principiantes deben leer f Paco−1( ) como:

Imagen de "Paco" según f −1

A veces una función es "uniforme" y su función "inversa" no lo es. Por ejemplo, es uniforme la función f :ℜ ℜ tal que pero no es uniforme su inversa, que es la f

y f x x= =( ) ,2

− ℜ1 : ℜ x f y y= = ±−1( ) tal que

Hay funciones que carecen de función "inversa". Por ejemplo, la función tal que f :ℜ ℜ y f x= =( ) 1 carece de "inversa".

Hay funciones cuya inversa no se puede "explicitar": si "x" es el tiempo que dedicas a estudiar un examen y "f" es la función que al tiempo "x" le asocia la puntuación "y" que obtienes en él (o sea, y f x= ( )), entonces, siendo

y

xx

x2

y

•

+ y•

•

•

•

• ℜ

ℜ

x•

− y•

x2f

yf −1+ y

− y


−1y f x x= = +( ) /( )3 4 , sucede que la función f se puede "explicitar", lo que quie-re decir que a partir de la igualdad y x= +3 4/( ) es posible despejar la variable "x":

y f x x x f y y= = + ⇔ = = − +−( ) /( ) ( ) ( / )3 4 4 31

g−1y g x x Ln= = + x+( ) 1Sin embargo, si , la función no se puede "explicitar", lo que quiere decir que a partir de la igualdad y x Ln x= + +1 resulta imposible despejar la variable "x":

y g x x Ln x x g y= = + + ⇒ = =−( ) ( ) ?1 1

ni los japoneses más listos son capaces de d espejar "x"

−1

El que suceda tan desagradable contingencia no significa que en el estudio del "fe-nómeno" no pueda volverse la tortilla y considerar que la variable independiente es la "y" y la dependiente la "x".

−1La diferencia entre es que f y g−1 f nos da expresamente (explícitamente) el valor de "x" que corresponde al valor elegido de la variable independiente "y":

x f y y

fff

= = − + ⇒

= − += − += − +

RS||

T||

−

−−−

1

1114 3

1 4 3 12 4 37 4 3

( ) ( / )

( ) ( / )( ) ( / )( ) ( / )

:

27

g−1Sin embargo, para averiguar el valor de "x" que hace corresponder al valor elegido de "y", debemos resolver una ecuación (cosa que no siempre es fácil). Así, para calcular debemos resolver la ecuación g−1 2( ) 2 1= + +x Ln x (que es fácil, su solución es por lo que g− =1 2 1( ) ),x = 1, y para calcular debemos re-solver la ecuación 7 , que es no es tan fácil.

g−1 7( )1= + +x Ln x

•

x g y= −1( )?• x

•

•

y

x Ln x+ +1

•

•

y g x= ( )

x f y= −1( )

•

− +4 3( / )y x

•

• •

y

34 + x

•

•

y f x= ( )

La función inversa de "f" se puede "explicitar", pues es posible despejar "x" en función de "y". La función inversa de "g" no se puede "explicitar, pues

no es posible despejar "x" en función de "y"; en este caso, para averiguar el valor de "x" que corresponde a cada valor dado de "y" deberemos resolver

la ecuación x Ln x y+ + =1 .


1.24 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Las funciones trigonométricas inversas son las inversas o recíprocas de las funcio-nes trigonométricas.

Recuerda: los ángulos se miden en radianes, no en grados.

La función "arco seno" La inversa de la función "seno" se llama "arco seno" y se denota "arc sen". Por ejemplo, como imagen de π según la función "seno" es el número 1 (o sea, /6 2/sen π/ / )6 1 2= , entonces la imagen del número 1 según la función "arco seno" es el número , y se escribe

2/π/6 arc sen 1 2 6/ /= π (se lee: el arco cuyo seno es

1 2 6/ / ):es radianesπ

π π/ /2 1 2 6arc sen⎯ →⎯⎯⎯

ℜ

xarc sen y

ℜ

sen xy

/ /6 1sen⎯ →⎯⎯ ⇔

sen π

O sea: arc sen π/ /6 1 2= ⇔ / /1 2 6=


•

arc sen y π/2

1

−1

y • •• •

• • •

arc sen y

−π/2•

arc sen yarc sen y

x arc sen y=

y sen x=

La función "seno" es uniforme, pues a cada valor de la variable indepen-diente le corresponde un único valor de la variable dependiente, pero lafunción "arco seno" no es uniforme, pues a cada valor de la variable inde-pendiente le corresponden infinitos valores de la variable dependiente. Entre estos infinitos valores elegiremos siempre el único que está en elintervalo [ / ; / ]−π π2 2 , diciendo de él que es el valor principal del "arco seno". Del intervalo [ / ; / ]−π π2 2 se dice que es el intervalo principal (o fundamental) de la función "arco seno". Por ejemplo, el seno de π π/ , . / ,6 5 6 13 6 7 6. / , . /π π− y −11 6. /π es 1 2/ ;por tanto:

arc sen arc sen arc senarc sen arc sen

1 2 6 1 2 5 6 1 2 13 61 2 7 6 1 2 11 6

/ / ; / . / ; / . // . / ; / . /

= = == − = −

π π ππ π

El valor principal de arc sen 1 2/ es π/ ,6 pues π/6 es el único ángulo del intervalo [ / ; / ]−π π2 2 cuyo seno es 1 2/ .

Llamando "w" a la variable "independiente", la gráfica de la función f w arc sen w( ) = es la de la figura adjunta.

Observa: esta función sólo está definida si por tanto, carece de sentido ha-blar de arc pues no hay ningún ángu-lo cuyo seno sea 7.

− ≤ ≤1 w ;1sen 7,

La función definida como g :ℜ ℜ

g w arc sen w( ) .= 3

sólo está definida si − ≤ ≤1 3. .w 1;.

h w arc sen

o sea, sólo si − ≤ ≤1 3 1 3/ /w

La función definida como h:ℜ ℜ

w( ) ( . )= −2 5

sólo está definida si − ≤ − ≤1 2 5.w 1, y se tiene que:

f w arc sen w( ) =

w

π/2

π

2π

1−1 0

3 2π/

−π/2

• • •

• •

− ≤ − ≤ ⇒ − ≤ − ≤ − ⇒ ≥ ≥ ⇒ ≤ ≤1 2 5 1 3 5 1 3 5 1 15

35. . .w w w w

al multiplicar por un número negativo cambia el sentido de la desigualdad

La función r definida como sólo está definida si y se tiene que:

w arc sen w( ) ( )= −1 2:ℜ ℜ r− ≤ − ≤1 1 12w ,

− ≤ − ≤ ⇒ − ≤ − ≤ ⇒ ≥ ≥ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤1 1 1 2 0 2 0 0 2 22 2 2 2w w w w w

al multiplicar por un número negativo cambia el sentido de la desigualdad • Recuerda: al "componer" una función con su inversa siempre se obtiene la

función identidad, por tanto: sen arc sen w w arc sen sen w w( ) , ( )= =

La función "arco coseno" La inversa de la función "coseno" se llama "arco coseno" y se denota "arc cos". Por ejemplo, como imagen de π/3 según la función "coseno" es el número 1 (o sea,

2/cos / / )π 3 1 2= , entonces la imagen del número 1 según la función "arco

coseno" es el número , y se escribe 2/

arc cos / /1 2 3= ππ/3 (se lee: el arco cuyo co-seno es 1 2 3/ / ):es radianesπ

π π/ / cos /2 1 2 3⎯ →⎯⎯⎯arc/ cos3 1⎯ →⎯⎯ ⇔

cos / /π

O sea: cos / /π3 1 2= ⇔ 1 2 3=arc

ℜℜ

xarc

cos xycos y


π

y x= cos

0

• • • •

• • ••

y•

x arc y= cosarc ycos arc ycos

arc ycos arc ycos

La función "coseno" es uniforme, pues a cada valor de la variable inde-pendiente le corresponde un único valor de la variable dependiente, perola función "arco coseno" no es uniforme, pues a cada valor de la variableindependiente le corresponden infinitos valores de la variable dependien-te; entre estos infinitos valores elegiremos siempre el único que está en elintervalo [ ; ]0 π , diciendo de él que es el valor principal del "arcocoseno". Del intervalo [ ; ]0 π se dice que es el intervalo principal(o fundamental) de la función "arco coseno". Por ejemplo, el coseno de π π/ , . / ,3 7 3 13 3 3. / , /π π− y −5 3. /π es 1 2/ ;por tanto:

arc arc arcarc arc

cos / / ; cos / . / ; cos / . /cos / / ; cos / . /

1 2 3 1 2 7 3 1 2 13 31 2 3 1 2 5 3

= = == − = −

π π ππ π

El valor principal de arc cos /1 2 es π/3, pues π/3 es el único ángulo delintervalo [ ; ]0 π cuyo coseno es 1 2/ .

Llamando "w" a la variable "independiente", la gráfica de la función f w arc w( ) cos=

− ≤1 wos ,4

es la de la figura adjunta. Observa: esta función sólo está definida si por tanto, carece de sentido hablar de arc pues no hay ningún ángulo cuyo coseno sea 4.

≤ 1;c

Si h w arc w( ) cos ( . )= −2 3 , la función "h" sólo está definida si − ≤ − ≤1 2 3 1. :w

− ≤ ≤− ⇒ − ≤ − ≤ − ⇒1 3 3 1. .w w1 2 3

⇒ ≥ ≥3 3 1.w ⇒ ≤ ≤13 1w

al multiplicar por un número negativocambia el sentido de la desigualdad

r w arc w( ) cos ( )= −4 2

Si , la función "r" sólo

3 2π/

w

π/2

π

2π

1 −1 0

f w arc wcos=( )


está definida si − ≤ y se tiene que: − ≤1 4 12w ,

− ≤ − ≤ ⇒ − ≤ − ≤ − ⇒ ≥ ≥ ⇒1 4 2 1 5 2 3 5 2 3w w w

al multiplicar por un número negativo cambia el sentido de la desigualdad

⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤3 2 5 3w w 5 • Recuerda: al "componer" una función con su inversa siempre se obtiene la

función identidad, por tanto: cos ( cos ) , cos (cos )arc w w arc w w= =

La función "arco tangente" La inversa de la función "tangente" se llama "arco tangente" y se denota "arc tg". Por ejemplo, como imagen de π/4 según la función "tangente" es el número 1 (o sea, tg π/ )4 1= , entonces la imagen del número 1 según la función "arco tangen-te" es el número , y se escribe arcπ/4 tg 1 4= π/ (se lee: el arco cuyo tangente es 1 es π/ ):4 radianes

π π/ /1 4arc tg⎯ →⎯⎯⎯4 1tg

⎯ →⎯ ⇔

t

O sea:

g arc tgπ π/ /1 4

ℜ

xarc tg y

ℜ

tg xy4 1= ⇔ =

La función "tangente" es uniforme, pues a cada valor de la variable inde-pendiente le corresponde un único valor de la variable dependiente, pero lafunción "arco tangente" no es uniforme, pues a cada valor de la variable in-dependiente le corresponden infinitos valores de la variable dependiente;entre estos infinitos valores elegiremos siempre el único que está en el inter-valo [ / ; / ]−π π2 2 , diciendo de él que es el valor principal del "arcotangente". Del intervalo [ / ; / ]−π π2 2 se dice que es el intervalo prin-cipal (o fundamental) de la función "arco tangente". Por ejemplo, la tangente de π/ ,4 5 4. / ,π 9 4. / ,π −3 4. /π y −7 4. /π es 1; así:

arc tg arc tg arc tgarc tg arc tg1 4 1 5 4 1 9 4

1 3 4 1 7 4= = =

= − = −π π π

π π/ ; . / ; . /

. / ; . /

El valor principal de arc tg 1 es π/4 , pues π/4 es el único ángulo del inter-valo [ / ; / ]−π π2 2 cuya tangente es 1.

y tg x=

x arc tg y=3 2π/π0 π/2−π/2

• • •• y

arc tg y•

arc tg y

• •

arc tg y


Llamando "w" a la variable "independiente", la gráfica de la función f w arc tg w( ) = es la de la figura adjunta, que está definida para todo valor de "w" (pues como la función "tangente" toma todos los valores reales, sea cual sea el valor real que se elija para "w" siempre puede encontrarse un ángulo cuya tangente sea "w"). Si h w arc tg w( ) /= 1 , la función "h" está definida siempre que pues 1w ≠ 0, /w ∈ℜ siempre que w ≠ 0.Si g w arc tg Ln w( ) ( ( ))= 1 +

0,, la función "g"

sólo está definida sólo si 1 pues sólo si 1

+ >wLn w( )1 + ∈ℜ 0+ >w .

Si r w arc tg w( ) = 1+,

, la función "r" sólo está definida si 1 pues 0+ ≥w 1 + ∈ℜw

f w arc tg w( ) =

w0

π/2

−π/2

sólo si 1 0+ ≥w .

La "inversas" de las funciones "cotangente", "secante" y "cosecante" son lasfunciones llamadas "arco cotangente" (se denota "arc )cot "g , "arco secante" (se denota " )sec"arc y "arco cosecante" (se denota "arc cosec"):

=

y g x x arc g⇔ = ycot cot =y x x arc⇔ = ysec sec

=y ec x x arc ec⇔ = ycos cosrc

Observa: es a g y arc tg ycot /= 1

/ ., pues si la cotangente de un ángulo es

"y", su tangente es 1 y Es arc y arc ysec cos / ,= 1/ .

pues si la secante de un án-gulo es "y", su coseno es 1 y Es arc ec y arc sen ycos / ,= 1

/ .pues si la cosecante

de un ángulo es "y", su seno es 1 y


Recuerda: cuando el Cálculo Diferencial se usa para analizar "fenómenos"de la vida real en los que intervienen dos variables "x" e "y" relacionadas entresí, el asunto de la función "inversa" permite volver la tortilla, según se elijacomo "independiente" la variable "x" o la "y".

Si decido trabajar "x" horas ganaré 4 13+ −x euros

O vuelves la tortilla: si decides ganar "y" eu-

ros trabajarás 1 4 3+ −( )y horas

1.25 LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS

Se llaman hiperbólicas las siguientes funciones:

∗ = − ≡ ≡

∗ = + ≡ ≡

∗ = ≡ ≡

∗ = ≡ ≡

∗ = ≡ ≡

∗ = ≡ ≡

−

−

f x e e sh x

f x e e coseno hip ch x

f x sh xch x gente hipe th x

f x ch xsh x angente hi x

f x ch x ante hiper h x

f x sh x ecante hip ech x

x x

x x

( )

( )

( ) tan

( ) cot coth

( ) sec sec

( ) cos cos

2

2

1

1

seno hiperbólico de "x"

erbólico de "x"

rbólica de "x"

perbólica de "x"

bólica de "x"

erbólica de "x"

f x sh x( ) = 2f :ℜ ℜPor ejemplo, si te dicen que es tal que , te dicen que:

f x e ex x( ) = −2 2

2

Si te dicen que f es tal que :ℜ ℜ f x ch x( ) /= 1 , te dicen que:

f x e ex x( ) / /= + −1 1

2

f x sh x( ) =La función es "impar" (su gráfica es simétrica respecto al origen de coordenadas), pues:

f x sh x e e e e sh x f xx x x x( ) ( ) (( )− = − = )− = − − = − = −

− − − −2 2

La función f x ch x( ) = es "par" (su gráfica es simétrica respecto al eje de ordena-das), pues:

f x ch x e e e e ch x f xx x x x( ) ( ) (( )− = − = )+ = + = =

− − − −2 2

f x ch x( ) =La gráfica de se llama catenaria: es la forma que toma un cable sus-pendido por sus extremos bajo la acción de la gravedad.

x

sh x

x

1

−1

th x

x

1

ch x Es ch x sh x e y ch x sh x ex+ = − x= − ; y multiplicando miembro a miembro las


x sh x2 2 1− =anteriores, resulta ch .

ch a b e e e e e ea b a b a b a b( ) . .( )+ = + = + =

+ − + − −2 2 Es:

e ch a sh a e ch a sh a e ch b sh b e ch b sh ba a b b= + = − = + = −− −; ; ;

=+ + + − −

=( ).( ) ( ).(ch a sh a ch b sh b ch a sh a ch b sh b

2)

= +ch a ch b sh a sh b. .

De modo análogo se demuestra que:

∗ − = −∗ + = +∗ − = −

ch a b ch a ch b sh a sh bsh a b sh a ch b ch a sh bsh a b sh a ch b ch a sh b

( ) . .( ) . .( ) . .

Las funciones hiperbólicas inversas son las inversas o recíprocas de las funciones hiperbólicas:

y f x sh xy f x ch xy f x thy f xy f xy f x

= == == == == == =

( )( )( )( ) co( ) sec( ) cos

x f y sh yx f y ch y

x x f y th yx x f y cth y

h x x f y h yech x x f y ech y

⇔ = =⇔ = =⇔ = =⇔ = =⇔ = =⇔ = =

−

−

−

−

−

−

( ) arg( ) arg( ) arg

th ( ) arg( ) arg sec

( ) arg cos

1

1

1

1

1

1

ℜ

xarg sh y

ℜ

ysh x

donde "arg" lo debes leer "argumento".


SALIDA

El que se "suelte" con los números hará una Carrera rápida y disfruta-rá razonablemente mientras aprendeTermodinámica, Cálculo de Estruc-

turas, Microeconomía, Redes, Econometría ... y el que no se "suel-

te" lo tiene crudo, las pasará canutas ..... y no acabará la Carrera

META

π

cristobalespino.escristobalespino.es/mat1/apuntes+mates+curiosos.pdf · 1.01 los números reales...

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