mates 1r bat.pdf

La Guia de Matemàtiques per a 1r de Batxillerat és una obracol·lectiva concebuda, dissenyada i creada en el departamentd’Edicions Educatives de Grup Promotor / Santillana,dirigit per Enric Juan Redal i M. Àngels Andrés Casamiquela.

En la realització han intervingut:

Miguel AntonioDolores CortellLorenzo GonzálezPedro JiménezFrancisco LozanoPedro MachínMiguel MarquésM.ª José MartínezAntonio MiñanoAntonio MolanoAndrés NortesM.ª Salud PousM.ª José ReyJosé del RíoJosé A. RódenasJuan ÚbedaMariano de Vicente

EDICIÓMarta BallesterAngélica EscoredoJosé Miguel EscoredoNúria GrinyóMercedes de LucasCarlos Pérez

DIRECCIÓ DEL PROJECTEDomingo Sánchez Figueroa

Biblioteca del professoratGUIA I RECURSOS

Matemàtiques 1BATXILLERAT

Grup PromotorSantillana

917232 _ 0001-0019.qxd 16/12/08 13:50 Página 1

2

PRESENTACIÓ DEL PROJECTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

PROGRAMACIÓ D’AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

RECURSOS PER AL TREBALL A L’AULA

1. Nombres reals

Literatura i matemàtiques: El codi da Vinci. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Notació matemàtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Estratègies de resolució de problemes: Contraexemple i assaig-error dirigit . . . . . . . . 56Matemàtiques amb l’ordinador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2. Successions. Progressions

Literatura i matemàtiques: El dimoni dels nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Notació matemàtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66Estratègies de resolució de problemes: Esbrinar regularitats i generalitzar . . . . . . . . . 68Matemàtiques amb l’ordinador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3. Equacions, inequacions i sistemes

Literatura i matemàtiques: L’últim Cató . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Notació matemàtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Estratègies de resolució de problemes: Codificar i marxa enrere . . . . . . . . . . . . . . . . . 82Matemàtiques amb l’ordinador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4. Trigonometria

Literatura i matemàtiques: El mesurament del món . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Notació matemàtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Estratègies de resolució de problemes: Particularització . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Matemàtiques amb l’ordinador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5. Nombres complexos

Literatura i matemàtiques: Les tribulacions del jove Törless . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Notació matemàtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Estratègies de resolució de problemes: Reducció a l’absurd i demostració indirecta . . . . 104Matemàtiques amb l’ordinador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6. Geometria analítica

Literatura i matemàtiques: La carícia de l’escorpí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108Notació matemàtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112Estratègies de resolució de problemes: Organització per resoldre un problema. . . . . . 114Matemàtiques amb l’ordinador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

7. Llocs geomètrics. Còniques

Literatura i matemàtiques: El recel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120Notació matemàtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124Estratègies de resolució de problemes: Anàlisi i eliminació dels casos desfavorables . . . 126Matemàtiques amb l’ordinador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

8. Funcions

Literatura i matemàtiques: A la recerca de Klingsor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130Notació matemàtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134Estratègies de resolució de problemes: Taules, gràfiques i fórmules . . . . . . . . . . . . . . 136Matemàtiques amb l’ordinador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

9. Funcions elementals

Literatura i matemàtiques: La clau Gaudí. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140Notació matemàtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144Estratègies de resolució de problemes: Ús d’una bona notació . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146Matemàtiques amb l’ordinador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Índex

917232 _ 0001-0019.qxd 23/12/08 11:52 Página 2

3

10. Límit d’una funció. Continuïtat

Literatura i matemàtiques: El vuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150Notació matemàtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156Estratègies de resolució de problemes: Començar per un problema més fàcil . . . . . . . 158Matemàtiques amb l’ordinador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

11. Derivada d’una funció

Literatura i matemàtiques: La ciutat rosa i vermella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162Notació matemàtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166Estratègies de resolució de problemes: Aproximacions successives . . . . . . . . . . . . . . . 168Matemàtiques amb l’ordinador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

12. Estadística bidimensional

Literatura i matemàtiques: La caverna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172Notació matemàtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176Estratègies de resolució de problemes: Organització i tractament de la informació . . . . 178Matemàtiques amb l’ordinador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

13. Probabilitat

Literatura i matemàtiques: El curiós incident del gos a mitjanit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182Notació matemàtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188Estratègies de resolució de problemes: Fer un diagrama i utilitzar un codi . . . . . . . . . 190Matemàtiques amb l’ordinador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

14. Distribucions binomial i normal

Literatura i matemàtiques: El teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194Notació matemàtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198Estratègies de resolució de problemes: La millor estratègia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200Matemàtiques amb l’ordinador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

MODELS PAU PER A 1R BATXILLERAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

CIÈNCIES I MATEMÀTIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

DESTRESES TIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

GUIA D’ÚS DE KALIPEDIA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

MATEMÀTIQUES I NOVES TECNOLOGIES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

JOCS MATEMÀTICS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402

OLIMPÍADES MATEMÀTIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470

CRÈDITS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552

917232 _ 0001-0019.qxd 16/12/08 13:50 Página 3

4

Presentació

El perquè de...

El significat del nom

Les claus del nostre projecte editorial

Un nom és alguna cosa més que un conjunt de paraules. És una idea, un concepte. La Casa del Saber és un nom que parla de la tasca educativa i d’un projecte editorial.És un nom que expressa unes intencions prèvies d’acollida, seguretat i confiança.Que planteja uns objectius d’aprenentatge ben construït. És una metàfora de la casadel saber per excel·lència, l’escola, el lloc on els alumnes i les alumnes creixen iaprenen. La Casa del Saber neix com un projecte amb vocació de recolzament alsalumnes i les alumnes, de contribució a l’èxit escolar, de servei al professorat.

Ara la Casa és una realitat. En el seu disseny i construcció hi van participar profes-sors, dissenyafors, psicopedagogs, editors, il·lustradors, fotògrafs, infografistes, ma-quetistes i informàtics. Està gairebé acabada. Però hi falta allò fonamental: els habi-tants, que aportaran experiència, treball, esforç, per omplir de Saber cada estança,d’Il·lusió cada paret i de Vida cada racó.

Queda el pas més important de tots: convertir el nostre projecte en el seu. Allargar lamà i, junts, treballar pel triomf dels alumnes i les alumnes.

Endavant, aquest projecte és vostre. És casa vostra. És la casa de tots.

FONAMENTACIÓ TEÒRICA. La Casa del Saber va néixer de la reflexió i es va disse-nyar amb cura. Els plànols van ser els fonaments teòrics de les programacions delsmaterials, de la seqüència de continguts de cada àrea, de la selecció dels comple-ments didàctics, de les propostes d’avaluació. En aquests plànols es van especificarles justificacions psicopedagògiques i científiques que constitueixen els fonamentsteòrics de la casa.

ELS PILARS COMUNS A TOTS ELS MATERIALS. Tots els components del projecteLa Casa del Saber comparteixen l’atenció pels valors (solidaritat, tolerància, esperit em-prenedor), les tecnologies de la informació i la comunicació, i les competències i des-treses necessàries per als alumnes d’aquesta edat.

DIVERSITAT: UN ESPAI PER A TOTS. Volíem una Casa del Saber oberta a tots. Unespai on hi cabessin tots. Un lloc en el qual tots trobessin recursos per aprendre, créi-xer, desenvolupar-se. Recursos per aprendre més o reforçar els coneixements, percomprendre millor i aplicar el que s’ha estudiat, per explorar possibilitats noves. I re-cursos per acollir els que acaben d’arribar i que encara no coneixen prou la nostrallengua.

917232 _ 0001-0019.qxd 16/12/08 13:50 Página 4

5

En què es concreta el projecteQuatre principis bàsics han inspirat el contingut, l’orientació i l’estructura de La Casa del Saber: l’adequació al nou marc legislatiu (la LOE), millorar la comprensió dels alumnes, preparar-los per a la societat de la informaciói aportar una gran diversitat de materials per facilitar la tasca del professorat.

ELS NOUS LLIBRES PER ALS ALUMNES I LES ALUMNES

A La Casa del Saber hem donat importància a l’elegància dels llibres, al format, al disseny, a la bellesa de les imatges, a la textura del paper. Tot això s’ha concebut per donar una sensació de feina ben feta, per transmetre la importància de l’educació i la cultura.

RELACIÓ DE PROVES DE SELECTIVITAT

Col·lecció de totes les proves de Selectivitat dels darrers anys proposades pels diversos districtes universitaris.

GUIES AMB GRAN QUANTITAT DE RECURSOS PER AL TREBALL A L’AULA

Recursos per al treball a l’aula associats a les unitats: amb comentaris del fragment literari que apareix a la unitat, notació matemàtica de la unitat,resolució d’activitats utilitzant l’ordinador...

Models PAU per a 1r Batxillerat: propostes d’exàmens tipus PAU adaptats als continguts de cada unitat del llibre de l’alumne.

Ciències i matemàtiques: materials per tractar la relació de les matemàtiques amb diversos camps de la ciència.

Matemàtiques i noves tecnologies: continguts matemàtics treballats des del punt de vista de les noves tecnologies.

Jocs matemàtics: activitats per desenvolupar estratègies i habilitats matemàtiques de manera lúdica.

Olimpíades matemàtiques: selecció d’activitats i problemes extrets d’Olimpíades i Concursos matemàtics.

SOLUCIONARI AMB MÉS DE 1.500 EXERCICIS I PROBLEMES RESOLTS

Solució de totes les activitats presents al Llibre de l’alumne.A més, s’hi inclou tot el procés de resolució, pas a pas.

UN COMPLET MATERIAL DIGITAL DE RECOLZAMENT

Guia en format pdf. Per facilitar la distribució de documents entre els alumnes i les alumnes sense haver de fotocopiar, o per consultar-los a l’ordinador.

Tercer nivell de concreció amb la programació de les unitats.

M Y CM MY CY CMY K

1BA

TXIL

LERA

T

Matemàtiques1BATXILLERAT

M. Antonio

L. González

J. Lorenzo

M. Marqués

A. Molano

J. del Río

D. Santos

M. de Vicente

Grup Promotor

Santillana

r Gru

p P

rom

oto

r

San

tilla

na

Bibl

iote

ca d

el p

rofe

ssor

at P

REPA

RACI

Ó P

ER A

LA

SEL

ECTI

VITA

T Re

cull

de p

rove

s d’

accé

s a

la u

nive

rsita

t

Mat

emàt

ique

s

Bibliotecadel professorat

Districtes universitaris:Aragó

Andalusia

Astúries

Canàries

Cantàbria

Castella-la ManxaCastella i LleóCatalunya

Comunitat ValencianaExtremaduraGalícia

Illes BalearsLa Rioja

Madrid

Múrcia

Navarra

País Basc

Recull deproves d’accésa la universitatMatemàtiques

Tot el material d’aquest llibreestà disponible en CD, perpoder-lo imprimir i ampliar.

PREPARACIÓPER A LASELECTIVITAT

Grup PromotorSantillana

917232 _ 0001-0019.qxd 23/12/08 11:52 Página 5

6

El Batxillerat constitueix un àmbit o etapa important en l’ordenació del sistema educatiu. Els seus ensenyaments, i la titulació a què condueixen, faculten els alumnes per al desenvolupament personal, social i laboral, i per accedir a estudis posteriors de naturalesa acadèmica o professional. L’objectiu d’aquest apartat és facilitar el coneixement d’alguns aspectes bàsics del Batxillerat: l’emplaçament en l’ordenació del sistema educatiu, l’estructura i els principis, les dicotomies pròpies de la seva naturalesa (preparatori i terminal, comú i divers, acadèmic i professional), alguns apunts sobre la metodologia didàctica i, finalment, unes referències sobre les normes d’accés a la universitat.

El Batxillerat en l’ordenació del sistema educatiu

Els ensenyaments del Batxillerat en el sistema educatiu que estableix la Llei Orgànica d’Educació (LOE, 2006) formen part de l’Educació Secundària postobligatòria, juntament amb la Formació Professional de grau mitjà, els ensenyaments professionals d’arts plàstiques i disseny de grau mitjà i els ensenyaments esportius de grau mitjà (fig. 1).

Algunes claus del Batxillerat en el sistema educatiu

Educacióbàsica

Educació Infantil

Educació Primària

Educació Secundària Obligatòria

BATXILLERAT

Ensenyament d’idiomes

Ensenyaments artístics

Ens

enya

men

ts d

e rè

gim

esp

ecia

l

Ensenyament universitari

Formació Professional

Educ. de persones adultes

Ensenyaments esportius

Grau mitjà

Grau mitjà

Grau superior

Grau superior

Superiors

Elementals

Professionals

De música i dansa

De música i dansa

Grau mitjà d’arts plàstiques i disseny

Grau superior d’arts plàstiques i disseny

Estudis superiors de música i dansa

Ensenyaments d’art dramàtic

Estudis superiors de disseny

Estudis superiors d’arts plàstiques

Ensenyaments de conservació i restauracióde béns culturals

Figura 1: Ensenyaments del sistema educatiu (LOE, 2006)

917232 _ 0001-0019.qxd 16/12/08 13:50 Página 6

7

Les característiques referides a l’accés als ensenyaments, durada d’aquestes modalitats, vies, matèries,promoció de curs, permanència i titulació es recullen al quadre següent (fig. 2).

Accés

• Títol de Graduat en Educació Secundària Obligatòria.

• Títols de Tècnic corresponents als ensenyaments de Formació Professional de graumitjà.

• Títols de Tècnic Esportiu en els Ensenyaments Esportius de grau mitjà.

• Títol de Tècnic d’Arts Plàstiques i Disseny, només per a l’accés a la modalitatd’Arts.

Durada dels ensenyaments

• El Batxillerat comprèn dos cursos acadèmics.

• En règim ordinari, els alumnes podran estar cursant el Batxillerat durantquatre anys, consecutius o no.

Modalitats• Arts.

• Ciències i Tecnologia.

• Humanitats i Ciències Socials.

Vies

• La modalitat d’Arts s’organitza en dues vies:

– Arts Plàstiques, Disseny i Imatge.

– Arts Escèniques, Música i Dansa.

• En les altres modalitats es podran organitzar blocs de matèries (un màxim de tres matèries, en el conjunt dels dos cursos, entre aquelles que configuren lamodalitat respectiva).

Matèries

• Les matèries del Batxillerat es reparteixen en tres grups:

– Comunes.

– De modalitat.

– Optatives.

• S’establirà un règim de reconeixement recíproc entre matèries de Batxillerat i mòduls de Formació Professional, i entre matèries de Batxillerat imòduls d’Arts Plàstiques i Disseny.

• S’establirà un règim de convalidacions entre matèries del Batxillerat i assignaturesdels ensenyaments professionals de Música i Dansa.

Promoció del curs 1r al 2n

• Amb totes les matèries cursades o dues matèries, com a màxim, amb avaluaciónegativa.

Permanència al curs 1r

• Amb més de quatre matèries amb avaluació negativa:

– Cursar de nou tot 1r.

• Amb tres o quatre matèries amb avaluació negativa, dues opcions:

– Cursar de nou tot 1r.

– Matricular-se de les matèries de 1r amb avaluació negativa i ampliar aquestamatrícula amb dues o tres matèries de 2n.

Permanència al curs 2n

• Els alumnes que en acabar 2n tinguessin avaluació negativa en algunes matèriespodran matricular-se d’aquestes matèries sense haver de cursar de nou lesmatèries superades.

Títol de Batxiller

• S’obté després da l’avaluació positiva en totes les matèries dels dos cursosde Batxillerat.

• Faculta per accedir als diversos ensenyaments que constitueixen l’EducacióSuperior.

• L’alumnat que acabi els ensenyaments professionals de Música i Dansa obtindrà el títol de Batxiller si supera les matèries comunes del Batxillerat.

Figura 2: Ordenació dels ensenyaments del Batxillerat

917232 _ 0001-0019.qxd 16/12/08 13:50 Página 7

8

Finalitats i objectius del Batxillerat

El Batxillerat acompleix una triple finalitat educativa: de formació general, d’orientació de l’alumnat i depreparació per a estudis superiors (fig. 3).

Figura 3: Finalitats del Batxillerat

Per aquest motiu, els ensenyaments del Batxillerat han de cobrir els objectius següents:

• Proporcionar als alumnes que el cursen una formació consistent, que contribueixi a la seva maduresaintel·lectual i humana, i també coneixements i habilitats que els permetin desenvolupar funcions socials iincorporar-se a la vida activa amb responsabilitat i competència.

• Capacitar els alumnes per a l’accés a l’Educació Superior, que inclou l’ensenyament universitari,els ensenyaments artístics superiors, la Formació Professional de grau superior, els ensenyamentsprofessionals d’Arts Plàstiques i Disseny de grau superior i els Ensenyaments Esportius de grau superior.

• Facilitar activitats i estratègies d’orientació, per tal com les modalitats i, en el seu cas, les vies tenenrelació directa amb estudis superiors de naturalesa i configuració diverses.

Les finalitats assenyalades orienten la formulació dels objectius del Batxillerat. Tot i que les competèncieseducatives, com a elements del currículum, són pròpies de l’ensenyança bàsica (Educació Primària i Educació Secundària Obligatòria), els objectius del Batxillerat també es formulen en termes de capacitats. L’abast d’aquest fet pot inferir-se del concepte mateix de capacitat, proper al potencial o aptitud, inherent a totes les persones, d’adquirir nous coneixements i destreses en una dinàmica d’aprenentatge permanent, al llarg de la vida.

Les capacitats al densenvolupament de les quals per part dels alumnes ha de contribuir el Batxillerat són:

• Exercir la ciutadania democràtica, des d’una perspectiva global, i adquirir una consciència cívicaresponsable, inspirada pels valors de la Constitució i pels drets humans, que fomenti la coresponsabilitaten la construcció d’una societat justa i equitativa.

• Consolidar una maduresa personal i social que els permeti actuar de manera responsable i autònomai desenvolupar el seu esperit crític. Preveure i resoldre pacíficament els conflictes personals,familiars i socials.

• Fomentar la igualtat efectiva de drets i oportunitats entre homes i dones, analitzar i valorar críticamentles desigualtats existents i impulsar la igualtat real i la no discriminació de les persones amb discapacitat.

• Consolidar els hàbits de lectura, estudi i disciplina, com a condicions necessàries per a l’aprofitamenteficaç de l’aprenentatge i com a mitjà de desenvolupament personal.

• Dominar, tant en l’expressió oral com escrita, la llengua catalana i la llengua castellana.

• Expressar-se amb fluïdesa i correcció en una llengua estrangera o en més d’una.

• Utilitzar amb solvència i responsabilitat les tecnologies de la informació i la comunicació.

• Conèixer i valorar críticament les realitats del món contemporani, els seus antecedents històrics i elsprincipals factors de la seva evolució. Participar de manera solidària en el desenvolupament i la millora del seu entorn social.

Finalitats del Batxillerat

FORMACIÓGENERAL

ORIENTACIÓDE L’ALUMNAT

PREPARACIÓ PER AESTUDIS SUPERIORS

917232 _ 0001-0019.qxd 16/12/08 13:50 Página 8

9

• Accedir als coneixements científics i tecnològics fonamentals i dominar les habilitats bàsiques pròpies dela modalitat escollida.

• Comprendre els elements i els procediments fonamentals de la investigació i dels mètodes científics.

• Conèixer i valorar de manera crítica la contribució de la ciència i la tecnologia en el canvi de les condicions de vida, així com consolidar la sensibilitat i el respecte cap al medi ambient.

• Afermar l’esperit emprenedor amb actituds de creativitat, flexibilitat, iniciativa, treball en equip, confiançaen un mateix i sentit crític.

• Desenvolupar la sensibilitat artística i literària, així com el criteri estètic, com a fonts de formaciói enriquiment cultural.

• Utilitzar l’educació física i l’esport per afavorir el desenvolupament personal i social.

• Garantir actituds de respecte i prevenció en l’àmbit de la seguretat vial.

Interessa apuntar, per últim, que cursar l’ensenyament secundari superior, en el qual s’inclou el Batxillerat,és un dels «punts de referència» o indicadors europeus en el marc del Programa de Treball «Educació i Formació 2010», que es va adoptar al Consell Europeu de Lisboa (2000) amb la vista posada en l’ideal d’assolir una societat basada en el coneixement. S’hi afirma que per participar satisfactòriament en aquesta societat cal tenir les bases que facilita el Batxillerat; i s’hiestableix que a l’any 2010 almenys el 85 % dels ciutadans de 22 anys de la Unió Europea hauria d’havercursat l’ensenyament secundari superior.

Les matèries del Batxillerat

Les matèries del Batxillerat es divideixen en comunes, de modalitat i optatives; cada grup de matèries téuna naturalesa i una intenció diferent.

La finalitat de les matèries comunes del Batxillerat és aprofundir en la formació general de l’alumnat,augmentar-ne la maduresa intel·lectual i humana i aprofundir en aquelles competències que tenen un caràcter més transversal i afavoreixen continuar aprenent. Apareix, en aquest cas, una menció directa de les competències en l’àmbit del Batxillerat, tot i que genèrica i més atenuada que enel cas de l’ensenyança bàsica i obligatòria. De fet, l’adquisició de les competències bàsiques és un objectiude l’ensenyament obligatori; no correspon, per tant, al Batxillerat.

Les matèries comunes del Batxillerat es recullen al quadre següent (fig. 4):

Figura 4: Matèries comunes del Batxillerat

D’altra banda, les matèries de modalitat s’encarreguen de proporcionar una formació de caràcterespecífic, vinculada a la modalitat escollida, que orienti en un àmbit de coneixement ampli, desenvolupiaquelles competències més estretament relacionades amb aquest àmbit, prepari per una varietat d’estudis posteriors i afavoreixi la inserció en un determinat camp laboral. La lògica de les competències també està present, com es pot veure, en la caracterització de les matèries de modalitat, el catàleg de les quals es mostra a continuació (fig. 5).

Ciències per al món contemporani

Educació física

Filosofia i ciutadania

Història de la Filosofia

Història

Llengua catalana i castellana i Literatura

Llengua estrangera

917232 _ 0001-0019.qxd 16/12/08 13:50 Página 9

10

Figura 5: Matèries de modalitat del Batxillerat

Els alumnes han de cursar en el conjunt dels dos cursos del Batxillerat un mínim de sis matèriesde modalitat, de les quals almenys cinc hauran de ser de la modalitat escollida.

Les matèries optatives, per últim, contribueixen a completar la formació de l’alumnat, aprofondint en aspectespropis de la modalitat escollida o ampliant les perspectives de la pròpia formació general. En la regulació d’aquestes matèries ha d’estimar-se la possibilitat que els alumnes també escullin com a matèria optativa almenys una matèria de modalitat. I l’oferta de matèries optatives ha d’incloure una segona Llengua estrangera i Tecnologies de la informació i la comunicació.

Dicotomies del BatxilleratBona part dels aspectes i les qüestions que hem tractat permet una aproximació a l’abast dels ensenyaments del Batxillerat des de la perspectiva de tres dicotomies característiques: el seu caràcter alhora preparatori i terminal, la seva entitat comuna i diversa, i la seva vinculació amb àmbits acadèmicsi professionals (fig. 6).

Figura 6: Dicotomies del Batxillerat

Batxillerat «preparatori» i «terminal»La dialèctica entre el caràcter preparatori –propedèutic– i terminal del Batxillerat situa l’anàlisi enfrontdel desenvolupament de futures opcions acadèmiques i professionals –en el primer cas– i la naturalesaformativa de l’última etapa de l’itinerari escolar –en el segon. Probablement, la inspiració propedèuticaha orientat més l’actuació educativa del Batxillerat que la terminal, però aquesta funció preparatòria ha de ser complementada per salvaguardar la identitat del Batxillerat i no reduir-lo o limitar-lo a un pròleg

Modalitat d’ArtsVia: Arts plàstiques, Imatge i Disseny

Cultura audiovisual

Dibuix artístic I i II

Dibuix tècnic I i II

Disseny

Història de l’art

Tècniques d’expressió graficoplàstica

Volum

Modalitat d’ArtsVia: Arts escèniques, Música i Dansa

Anàlisi musical I i II

Anatomia aplicada

Arts escèniques

Cultura audiovisual

Història de la música i de la dansa

Literatura universal

Llenguatge i pràctica musical

Modalitat de Ciències i Tecnologia

Biologia

Biologia i Geologia

Ciències de la Terra i mediambientals

Dibuix tècnic I i II

Electrotècnia

Física

Física i Química

Matemàtiques I i II

Química

Tecnologia industrial I i II

PREPARATORI/TERMINAL

COMÚ/DIVERS

ACADÈMIC/PROFESSIONAL

Dicotomies del Batxillerat

Modalitat d’Humanitats i Ciències Socials

Economia

Economia de l’empresa

Geografia

Grec I i II

Història de l’art

Història del món contemporani

Llatí I i II

Literatura universal

Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials I i II

917232 _ 0001-0019.qxd 16/12/08 13:50 Página 10

11

de l’ensenyament superior, sobretot, del de caràcter universitari. Encara més, l’assimilació a l’ensenyamentuniversitari pot explicar que s’anticipin formes metodològiques i didàctiques de nivells superiors, i que esdesvirtuï l’abast terminal del Batxillerat. Per tant, és oportú assumir una posició intermèdia, que integri iaproximi les formes curriculars pròpies de l’etapa precedent i de les opcions futures; de manera que esprocuri una eficient preparació «per al que segueix». Amb aquest mateix objectiu, s’han d’introduir nivellsd’especialització que no obviïn del tot una formació bàsica i general, o concedir una progressivaimportància a l’aprenentatge autònom i el treball individual, sense abandonar les metodologies querecorren a activitats de grup.Perquè, a més de ser propedèutic, el Batxillerat té un valor educatiu intrínsec, que es percep millor quanes considera el nivell superior de formació general que la societat del coneixement exigeix als ciutadans peraccedir a un lloc de treball o desenvolupament laboral.I per satisfer aquesta doble naturalesa –«preparatòria» i «terminal»– es plantegen diverses modalitats,amb una organització flexible, i, en aquest cas, vies diferents.

Batxillerat «comú» i «divers»La dicotomia entre allò comú i allò divers també és evident. En primer terme, el caràcter comú o generaldel Batxillerat enllaça amb el patró de coneixements bàsics que la societat entén precisos perdesenvolupar-se en un marc cultural també comú. No tenir aquests coneixements pot afectar, de maneradirecta, a la capacitat de les persones per desenvolupar-se satisfactòriament en la societat delconeixement. El caràcter comú del Batxillerat entronca, a més, amb els seus objectius, formulats com acapacitats per a totes les modalitats previstes, amb les matèries comunes que han de cursar tots elsalumnes i amb el mateix títol de Batxillerat, igualment únic. La diversitat, d’altra banda, es dedueixde les modalitats i vies definides, de l’oferta de matèries, de l’organització flexible dels ensenyaments i de lamateixa adequació del currículum en el marc de l’autonomia pedagògica.

Batxillerat «acadèmic» i «professional»Finalment, la dicotomia entre allò acadèmic i allò professional s’associa amb la finalitat orientadoradel Batxillerat i la diversitat dels estudis superiors als quals dóna accés. Així, es reconeixen cada vegadamés els ensenyaments corresponents a la Formació Professional de grau superior, de la mateixa maneraque els artístics i esportius, que s’ofereixen alhora que els de caràcter universitari.

Alguns principis pedagògics del BatxilleratLes característiques de l’alumnat que, amb caràcter general, cursa els ensenyaments del Batxillerat, aixícom les demandes de la societat del coneixement i la informació, fan recomanables les següents pautes imesures per al desenvolupament de les activitats educatives:• Afavorir la capacitat de l’alumne per aprendre per ell mateix, per treballar en equip i per aplicar

els mètodes d’investigació apropiats.• Promoure mesures perquè, en les diverses matèries, es desenvolupin activitats que estimulin

l’interès i l’hàbit de la lectura i la capacitat d’expressar-se correctament en públic, així com l’ús de lestecnologies de la informació i la comunicació.

• Aprofundir en els elements metodològics i epistemològics propis de cada una de les matèries, que en el currículum del Batxillerat tenen força importància, per tal com els alumnes han adquirit un graude pensament abstracte que està en condicions de desenvolupar-se.

L’accés a la universitat després del BatxilleratPer acabar, en les prescripcions bàsiques que ordenen l’accés a la universitat s’estableixen lesconsideracions següents:• Per accedir als estudis universitaris cal superar una única prova que, juntament amb les qualificacions

obtingudes al Batxillerat, valora la maduresa acadèmica i els coneixements que s’hi han adquirit, així comla capacitat per seguir amb èxit els estudis universitaris.

• Poden presentar-se a la prova d’accés a la universitat tots els alumnes que estiguin en possessió del títolde Batxiller, amb independència de la modalitat i de la via cursades. La prova tindrà validesa per al’accés a les diverses titulacions de les universitats espanyoles.

• La prova d’accés a la Universitat tindrà en compte les modalitats del Batxillerat i les vies que poden seguir els alumnes, i tractarà sobre les matèries de segon de Batxillerat. Per aquest motiu, almenys les matèries d’Història de la Filosofia, Història d’Espanya, Llengua i Literatura i Llengua estrangera han d’impartir-se al segon curs de Batxillerat.

917232 _ 0001-0019.qxd 16/12/08 13:50 Página 11

12

Funcions

A la recerca de KlingsorUna vegada, un reporter va preguntar a Einstein:

–Hi ha alguna fórmula per obtenir èxit en la vida?

–Sí, n’hi ha una.

–Quina és? –va preguntar el reporter, insistent.

–Si A representa l’èxit, diria que la fórmula és A = x + y + z, on x és el treball i y,la sort –va explicar Einstein.

–I què seria la z?

Einstein va somriure abans de contestar:

–Mantenir la boca tancada.

Un jove nord-americà, Bacon, va estudiar Física a l’Institut d’Estudis Avançats de Prin-ceton i hi va conèixer Einstein, del qual recorda algunes anècdotes, com aquesta. Quanva acabar la Segona Guerra Mundial, es va fer espia i va viatjar a Alemanya per trobarel màxim responsable de les investigacions atòmiques que van dur a terme els nazis, ques’amagava sota el pseudònim de Klingsor. En aquesta recerca el va ajudar un matemàticanomenat Links, que formava part de l’equip d’investigació nuclear.

Per què estàvem junts el tinent Bacon i jo? –pensava en Links. Quan ens vam tro-bar per primera vegada? Quina era la nostra missió? Com es van encreuar, en fi,les nostres vides paral·leles? Per respondre aquestes qüestions no em queda altreremei sinó parlar una mica de mi.

Ubico el meu naixement al mapa de la meva imaginació com un punt petit dibui-xat al centre d’un pla cartesià. Cap amunt, a l’eix de les y, hi ha tots els fets posi-tius que m’han passat; en contraposició, cap avall descobreixo les desventures, elsretrocessos i els trencaments. A la dreta, a l’eix de les x, trobo els actes que em de-fineixen, aquells que voluntàriament he convertit en el centre de la meva vida–desitjos, anhels, obsessions–, mentre que, a l’esquerra, jeuen aquells fragmentsdel meu ésser que m’han modelat contra la meva voluntat o la meva consciència,aquelles parts aparentment impredictibles o espontànies que, no ho puc negar,també m’han portat on sóc ara. Quin podria ser el resultat final d’un exercici comaquest? Quina forma podria aparèixer al mig del full? Seria possible traçar les coor-denades que he recorregut al llarg del meu trajecte? I obtenir, a partir d’aquesta línia, la fórmula que em resumeixi en cos i ànima?

JORGE VOLPI (text adaptat)

Jutja la metàfora de Links. Seria possible representar una «vida» mitjançantuna corba en un sistema de coordenades cartesianes?

8L I T E R A T U R A I M A T E M À T I Q U E S

Funcions reals

Creixement. Màxims i mínims

Simetries

Periodicitat

Composició de funcions

Funció inversa

191Funcions

Funcions

Gràfiques discretes,esglaonades i contínues

Les gràfiques discretes són gràfiquesde punts aïllats.En aquest tipus de funcions noméshi representem els punts.

Les gràfiques esglaonades estanformades per segments horitzontalssituats a diferents altures.Quan representem aquestes funcionsunim els punts per mitjà de línieshoritzontals.

Les gràfiques contínues les podemrepresentar d’un sol traç.Quan representem aquest tipusde funcions unim els puntsamb una línia.

Expressa, de manera algebraica i mitjançant una taula, la funcióque assigna a cada nombre el seu cub menys dues vegades el seu quadrat.

3

Repassa

Dibuixa aquestes funcions i indica de quin tipus són:

a) Un venedor de mobles té un sou fix de 480 € i, per cada mobleque ven, cobra 10 € de comissió.

b) A cada nombre real hi fem correspondre el seu doble menys 2.

4

Repassa

Enunciat A cada nombre, x, hi fem correspondre el seu quadrat menys tres unitats.

Expressióalgebraica y= x2− 3 o f(x) = x2− 3

Taulade valors

Gràfica

x −2 −1 0 1 2

f (x) f (−2) = 1 f (−1) =−2 f (0) =−3 f (1) =−2 f (2) = 1

Y

X

1

1

y = x2− 3

Y

X

Y

X

Y

X

190 Unitat 8

ABANS DE COMENÇAR… RECORDA

• En una fracció, el denominador no pot ser mai zero.

• A R no existeix l’arrel quadrada d’un nombre negatiu.

Si x no pot ser negatiu, perquè a2 sempre és positiu.

• No existeix el logaritme de zero ni d’un nombre negatiu.Si loga x= b → ab= x

x no pot ser zero, perquè cap potència és igual a zero.x no pot ser negatiu, perquè ab, amb a> 0, sempre és positiu.

• El sinus i el cosinus estan definits per a qualsevol angle.

• La tangent no existeix quan el cosinus és zero.

Com que , la tangent no existeix si o .x k= +3

22

ππx k= +

ππ

22tg

sin

cosx

x

x=

x a a x= =→ 2

Intervals

Un interval és un conjunt de nombres que es corresponen amb els punts d’un segment de la recta real.

• Si els dos extrems de l’interval hi pertanyen, diem que és tancat.

L’interval tancat [0, 2] conté tots els punts que hi ha entre 0 i 2, inclososels extrems, 0 i 2.

• Si els extrems de l’interval no hi pertanyen, diem que és obert.

L’interval obert (0, 2) conté tots els punts que hi ha entre 0 i 2, exclososels extrems, 0 i 2.

• Si l’extrem més petit de l’interval hi pertany i l’extrem més gran no, diemque és tancat per l’esquerra i obert per la dreta.

L’interval tancat per l’esquerra i obert per la dreta [0, 2) conté tots els puntsque hi ha entre 0 i 2, inclòs el 0 i exclòs el 2.

• Si l’extrem més petit de l’interval no hi pertany i l’extrem més gran sí, diemque és obert per l’esquerra i tancat per la dreta.

L’interval obert per l’esquerra i tancat per la dreta (0, 2] conté tots els puntsque hi ha entre 0 i 1, inclòs el 2 i exclòs el 0.

Propietats numèriques

Donada la funció f (x) = log (sin x):

a) Està definida per a ? b) I per a ?x = 3

2

πx = π

2

1

Repassa

Expressa les condicions següents en forma d’interval:

a) −1 ≤x<5 c) x≤−2b) x≥7 d) Tots els nombres reals.

2

Repassa

0 2

0 2

0 2

0 2

Esquema de la unitat didàctica del Llibre de l’alumne

Literatura i matemàtiques:

Presenta un fragment d’una obraliterària coneguda, mitjançant el qual, a més de desenvolupar la comprensió

de textos i el gust per la lectura, l’alumne podrà comprovar

la relació de les matemàtiques amb altres branques de la cultura.

Al final de cada fragment,proposem una activitat que permetrà

detectar els coneixements previs de l’alumne sobre

els continguts que estudiarà.

Abans de començar… Recorda:

Aquesta doble pàgina recull els continguts i els procedimentsnecessaris per encarar la unitat i activitats per practicar-los.

Pàgines de continguts:

En aquestes pàgines es treballen els continguts i els procediments

de la matèria recolzats per nombrosos exemples resolts.

Per destacar algunsprocediments, hi hem inclòs

la secció FES-HO AIXÍ, en la qual es desenvolupen mètodes generals

de resolució pas a pas.

A més, es plantegen, a peu depàgina, activitats sobre els

continguts que s’hi exposen.

Determina el domini i el recorregut d’aquesta funció:

Quin és el domini d’aquestes funcions?

a) f(x) =

b) f(x) =

c) f(x)= 9x3+ 6x2− 9xd) f(x)= cos x

2 5

16

x

x

−−2

x + 4

43

ACTIVITATS

193Funcions

Domini i recorregut2

Donada una funció f: R→ R, que verifica que y = f(x) hi definim:

• El domini de la funció com el conjunt D ⊂ R dels valors per alsquals està definida la funció. Es representa Dom f.

• El recorregut de la funció com el conjunt de valors que pren lafunció. Es representa Im f.

COM DETERMINEM EL DOMINI D’UNA FUNCIÓ

Calcula el domini d’aquestes funcions:

a) f(x) = 3x2 + 2x −7 c) f(x) = e) f(x) = sin x

b) f(x) = d) f(x) = log (x + 1) f) f(x) = tg x

PRIMER. Considerem les operacions que apareixen a l’expressió algebraica de f(x).

• Les expressions polinòmiques estan definides per a tots els nombres reals.

• Les expressions amb x al denominador no estan definides quan el denominadors’anul·la.

• Les arrels d’índex parell només estan definides per a nombres reals positius.

• Els logaritmes només estan definits per a nombres reals positius.

• Les raons trigonomètriques de sinus i cosinus sempre estan definides.

• La tangent no està definida quan el cosinus és zero.

a) Està definida a R.

b) No està definida si x+ 1 = 0 → x=−1

c) Només està definida si x− 1 ≥ 0 → x≥ 1

d) Només està definida si x+ 1 ≥ 0 → x>−1

e) Està definida a R.

f ) No està definida si cos x= 0 → x= + 2kπ i x= + 2kπ

SEGON. Expressem les condicions anteriors en el domini de la funció.

a) Dom f= R d) Dom f= (−1, +�)

b) Dom f= R− {−1} e) Dom f= R

c) Dom f= [1, +�) f ) Dom f=�− + +⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

πππ

π2

23

22k k,

3

2

ππ2

3 7

1

+ −+2x

x

x −1

Fes-ho així

X

Y

X

Y

Domini

Rec

orre

gut

f(x)

1

1

192 Unitat 8

Indica si aquestes gràfiques corresponen a funcions o no:

a) b) c)

A les gràfiques a) i c) hi ha valors de la variable x als quals corresponen diversosvalors de y. Aquestes gràfiques no corresponen a funcions.

A la gràfica b), a cada valor de x per al qual existeix la gràfica hi correspon un únicvalor de y. Aquesta gràfica correspon a una funció.

El preu del metre de roba és de 7,50 €. La relació entre les magnituds longitudde roba, en metres, i preu, en euros, és una funció?

La relació entre la longitud de roba, x, i el preu, y, la podem expressar així:y= 7,50 ⋅ x

Si agrupem alguns parells de valors en forma de taula, tenim:

Per a cada longitud, x, tenim un únic preu, y (una mateixa quantitat de robano pot tenir dos preus diferents).

La relació entre aquestes dues magnituds és una funció.

2

1

Funcions reals de variable real1

Una funció real f de variable real és una relació que associa a cada nombrereal, x, que pertany a un conjunt D, D ⊂ R, un únic nombre real y = f(x).Es pot expressar d’aquesta manera:

f: R ⎯→ Rx ⎯→ y = f(x)

La variable x s’anomena variable independent i la variable y és la variabledependent.

Exemples

Justifica si les gràfiques següents corresponen a funcions:

a) b)

Raona, en cada cas, si la relació entre les magnituds és una funció o no ho és:

a) La distància entre dues ciutats i el temps que triguema anar de l’una a l’altra.

b) La quantitat de fruita que compra una família,en quilograms, i el preu per quilogram.

c) L’altura dels alumnes d’un centre escolar i l’edatque tenen.

21

ACTIVITATS

Longitud (m) 0,5 1 1,5 2 2,5

Preu (€) 3,75 7,50 11,25 15 18,75

Una funció pot tallar diversesvegades l’eix X, però noméspot tallar una vegada coma màxim l’eix Y.

No te n’oblidis

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X



a) f(x) =

b) f(x) =

c) f(x)= 9x3+ 6x2− 9xd) f(x)= cos x

2 5

16

x

x

−−2

x + 4

43

ACTIVITATS

193Funcions























a) Dom f= R d) Dom f= (−1, +�)


c) Dom f= [1, +�) f ) Dom f=�− + +⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

πππ

π2

23

22k k,

3

2

ππ2

3 7

1

+ −+2x

x

x −1

Fes-ho així

X

Y

X

Y

Domini

Rec

orre

gut

f(x)

1

1

192 Unitat 8


a) b) c)








2

1



f: R ⎯→ Rx ⎯→ y = f(x)


Exemples


a) b)





21

ACTIVITATS

Longitud (m) 0,5 1 1,5 2 2,5

Preu (€) 3,75 7,50 11,25 15 18,75


No te n’oblidis

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

917232 _ 0001-0019.qxd 16/12/08 13:50 Página 12

13

212 Unitat 8

Reflexiona sobre la teoria

PER ACABAR…

Donades les funcions i ,

comprova que es compleix que [g (x)]2− [f (x)]2= 1.

Calcula les funcions inverses de:

ye ex x

=+ −

2y

e ex x

=− −

2

74

g xe ex x

( ) =+ −

2f x

e ex x

( ) =− −

273

Si la funció definida per , amb ,

verifica que f [f (x)] = x, quant val c?

En un quadrat de 16 cm de costat suprimim, de cadacantonada, un triangle rectanglei isòsceles de catet x. Expressa l’àrea i el perímetre del polígon que en resulta en funció de x. Quin domini té?I quin recorregut?

76

x �−3

2f x

cx

x( ) =

+2 375

IDEA CLAU

Aïlla ex en relació amb y, i fes el canvi de variable z= ex. Obtindràs una equació de segon grau amb z com a variable.

IDEA CLAU

Calcula f [f (x)] i iguala aquesta expressió a x. Obtindràsuna equació de segon grau amb c com a variable.

Pensa-hi una mica més

Anàlisi de l’enunciat

L’ombra de la persona variarà segons

s’allunyi del fanal, és a dir, en relació

amb el temps que camini.

Disseny de la resolució

El fanal, la persona, els raigs de llum

del fanal i el terra formen dos triangles

rectangles.

Clau per resoldre el problema

Els triangles estan en posició

de Tales.

Anàlisi de l’enunciat

El preu de l’excursió varia segons

el nombre d’alumnes que s’hi apuntin.

Disseny de la resolució

Definim dues funcions, una per a cada

agència, en la qual la variable és el nombre

d’alumnes que aniran a l’excursió.

Clau per resoldre el problema

El punt d’intersecció entre les gràfiques

de totes dues funcions significarà

que el preu és igual en les dues

agències.

Un fanal té 7 m d’altura. A la base hi ha una persona d’1,80 m d’altura que comença a caminar en línia recta i s’allunya del fanal a una velocitat de 2 m/s.

Passats 10 segons, quina longitud tindrà l’ombra que projecta la persona?

Esbrina una funció que expressi la longitud de l’ombra en relació amb el temps, t, que està caminant.

78

Un grup d’alumnes de 1r de Batxillerat demanenpressupost en dues agències de viatges per feruna excursió.

La primera agència els fa la proposta següent:

• Si el nombre d’alumnes que van a l’excursióés de 40 o menys, els cobrarà 200 € per alumne.

• Si el nombre d’alumnes és superior a 40,els descomptarà el 10 % a cadascun dels alumnesque s’hi inscriguin.

L’oferta de la segona agència és la següent:

• Si omplen un autobús amb capacitat pera 60 persones, el preu serà de 150 € per persona.Si algun autobús no va complet, s’incrementaràel preu l’1 % per cada persona que falti percompletar-lo.

Quina agència els convé més?

77

x

x

7 m

1,80 m

Activitats:

Exercicis i problemes organitzats per continguts i classificats

per grau de dificultat. Amb aquestes activitats,l’alumne podrà treballar

el que ha après i aprofundir-hi.

Per acabar:

Activitats en què l’alumne haurà d’aplicar tots els seus coneixements i l’enginy per descobrir regularitats i propietats dels continguts que acaba d’estudiar. Amb aquests problemes aprendrà que, generalment, el més importantabans de resolre un problema és reflexionar sobre quina és la millormanera d’abordar-ne la resolució.

Problemes resolts:

Cada unitat presenta quatre pàginesen les quals es detallen els procediments bàsics,desenvolupats pas a pas, perquè l’alumne pugui resoldrequalsevol activitat relacionada amb els continguts de la unitat.



a) f(x) =

b) f(x) =

c) f(x)= 9x3+ 6x2− 9xd) f(x)= cos x

2 5

16

x

x

−−2

x + 4

43

ACTIVITATS

193Funcions























a) Dom f= R d) Dom f= (−1, +�)


c) Dom f= [1, +�) f ) Dom f=�− + +⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

πππ

π2

23

22k k,

3

2

ππ2

3 7

1

+ −+2x

x

x −1

Fes-ho així

X

Y

X

Y

Domini

Rec

orre

gut

f(x)

1

1

192 Unitat 8


a) b) c)








2

1



f: R ⎯→ Rx ⎯→ y = f(x)


Exemples


a) b)





21

ACTIVITATS

Longitud (m) 0,5 1 1,5 2 2,5

Preu (€) 3,75 7,50 11,25 15 18,75


No te n’oblidis

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

203

El pare d’en Jaume ha comprat un cotxe que marcael consum instantani de combustible en litresper cada 100 km. Un dia, en Jaume anota enuna taula els consums segons la velocitat mentreel seu pare circula per trams de carretera recta.

Creus que aquesta taula defineix una funció?

Quines són les seves variables? Dibuixa’n la gràfica.

S O L U C I Ó

PRIMER. Determinem les variables de la relació. Velocitat → v Consum → c

SEGON. A cada valor de v, li correspon un únic valorde c; per tant, la relació c = f (v) és una funció.

TERCER. Representem els punts de la taula. Com que calsuposar que a cada velocitat hi ha un consum, podemunir els punts i obtenim la gràfica següent:

13

S O L U C I Ó

PRIMER. És una funció: a cada valor de x ( temps)correspon un únic valor de distancia (km).

SEGON. Analitzem la gràfica. Aquesta persona surt decasa a les 7 del matí. Agafa el cotxe (1/2 hora i 1/2 km).A dos quarts de vuit arriba a la feina, que és a 8 kmde casa seva. S’està a la feina fins a les dues. Desprésva al bar (a 1/2 km) i s’hi està 1/2 h. Després agafael cotxe i torna al pàrquing (1/2 hora) i torna a casa,on arriba a un quart de cinc.

Estudi d’una funció

1. COM DETERMINEM UNA GRÀFICA EN RELACIÓ A UNA TAULA

Periodicitat

1. COM DETERMINEM EL PERÍODE D’UNA FUNCIÓ

Determina el període de les funcions següents:

a)

b)

S O L U C I Ó

PRIMER. Si és una funció periòdica, la gràfica es repeteixcada cert interval. Determinem els extrems d’un d’aquests intervals.

a) Interval [0, π]

b) Interval [−2, 2]

SEGON. La diferència entre els extrems d’aquestsintervals és el període.

a) T= π− 0 = πb) T= 2 − (−2) = 4

15

X

Y

1

1

−1

1

X

Y

1

−1

ππ2

X

Y

π

π

π2

1

4

X

Y

1

Funcions

v (km/h) 40 60 80 100 120

c (¬/100 km) 7 6 4,8 5,3 6,5

Una persona surt de casa, camina fins on té el cotxei va a treballar; surt de la feina i va amb uns amicsa fer un aperitiu; agafa el cotxe i va al pàrquing;aparca el cotxe i camina cap a casa. La gràficadel moviment és la següent:

Estudia la gràfica del moviment d’aquesta persona.

14

2. COM INTERPRETEM UNA GRÀFICA

Y

Xv (km/h)

20 40 60 80 100 120

7654321

c(¬/

100

km)

Y

XHora

8 10 12 14 16

87654321

s(k

m)

PROBLEMES RESOLTS

202

El pare d’en Jaume ha comprat un cotxe que marcael consum instantani de combustible en litresper cada 100 km. Un dia, en Jaume apunta els consums segons la velocitat quan el seu parecircula per trams de carretera recta.

Penses que aquesta taula defineix una funció? Quines en són les variables? Dibuixa’n la gràfica.

S O L U C I Ó

PRIMER. Determinem les variables de la relació.

Velocitat → VConsum → C

SEGON. Estudiem si a cada valor de la variable Xhi correspon un únic valor de la variable Y.

Segons la taula, a cada velocitat, x, hi corresponun únic consum, y.

Per tant, la relació velocitat–consum és una funció.

TERCER. Representem els punts de la taula.

QUART. Decidim si podem unir els punts.

En aquest cas, cal unir els punts, perquè tot i que no apareguin a la taula tots els consums, per a qualsevol velocitat sempre hi ha un consum.

10

Concepte de funció

1. COM DETERMINEM SI LA RELACIÓ ENTREDUES MAGNITUDS DEFINEIX UNA FUNCIÓ

Calcula el domini d’aquesta funció:

S O L U C I Ó

PRIMER. Determinem el domini de les funcionselementals corresponents.

està definida si x2 − 4 � 0 →

està definida si .

SEGON. La intersecció dels diferents dominis és el domini de la funció.

Representem els intervals que corresponen a cadainequació, però cal tenir en compte que, perquè la fracció sigui positiva, tots dos polinomishan de tenir el mateix signe.

Dom f = [−3, −2) ∪ (2, +�)

x

x

+−

≥3

40

2

x

x

+−

3

42

xx

�

�

22−

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

x

x

+−

3

42

f xx

x( ) = +

−3

4212

2. COM CALCULEM EL DOMINI DE FUNCIONSNO ELEMENTALS

Domini i recorregut

1. COM CALCULEM EL DOMINI I EL RECORREGUTD’UNA FUNCIÓ A PARTIR DE LA GRÀFICA

Calcula el domini i el recorregut d’aquesta funció:

S O L U C I Ó

PRIMER. Establim el primer i l’últim valor de xper als quals està definida la funció.

En aquest cas, x = −1 i x = 8.

SEGON. A partir de la gràfica de la funció, determinemels trams i els punts en els quals no està definidala funció. Aquesta funció no està definida a l’interval [2, 3] i al punt x = 5.

TERCER. Expressem el domini amb les dades que hem obtingut: Dom f = [−1, 8] − [2, 3] − {5}

QUART. Establim a quins valors de Y la funció assoleixel màxim i el mínim. El mínim l’ assoleix a y = 0i el màxim, a y = 5.

CINQUÈ. El recorregut de la funció és l’intervalque formen aquests valors: Im f = [0, 5]

11

Velocitat (km/h)

40 60 80 100 120

Consum (¬/100 km)

7 6 4,8 5,3 6,5

C

V20 40 60 80 100 120

7

6

5

4

C

V20 40 60 80 100 120

7

6

5

4

Y

X

f (x)

1 8

1

−2−3 2x2 − 4 > 0

x + 3 ≥ 0

−3 −2 2x2 − 4 < 0

x + 3 ≤ 0

Unitat 8



a) f(x) =

b) f(x) =

c) f(x)= 9x3+ 6x2− 9xd) f(x)= cos x

2 5

16

x

x

−−2

x + 4

43

ACTIVITATS

193Funcions























a) Dom f= R d) Dom f= (−1, +�)


c) Dom f= [1, +�) f ) Dom f=�− + +⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

πππ

π2

23

22k k,

3

2

ππ2

3 7

1

+ −+2x

x

x −1

Fes-ho així

X

Y

X

Y

Domini

Rec

orre

gut

f(x)

1

1

192 Unitat 8


a) b) c)








2

1



f: R ⎯→ Rx ⎯→ y = f(x)


Exemples


a) b)





21

ACTIVITATS

Longitud (m) 0,5 1 1,5 2 2,5

Preu (€) 3,75 7,50 11,25 15 18,75


No te n’oblidis

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

207Funcions

Determina el domini d’aquestes funcions:

a)

b)

c)

Estudia el domini i el recorregut de les funcions següents:

a) y= 5x− 3 d) y= 2 − 4x

b) e)

c) f )

Estudia les característiques de les funcions següents:

a) c)

b) d)

Considera la funció que relaciona el temps (dies) amb la superfície visible de la Lluna.

a) És una funció periòdica?b) En cas afirmatiu, indica’n el període.

Estudia les simetries d’aquesta funció:

f(x) = x3− 3x

Transformacions de funcions

Donada la gràfica de la funció y= x2,

representa aquestes funcions:

a) y= (x− 2)2 c) y= (x+ 3)2

b) y= x2+ 3 d) y= x2− 4

35

34

33

32

yx

=−2

2y

x=

3

y x x= − + +3 3y x= + −2 1

31

y x x= − ⋅ −2 4 1

y x x= + ⋅ +2 33

y x x= + + −1 8

30 A partir de la funció següent:

troba la gràfica d’aquestes funcions:

a) g(x) = c) i(x) =

b) h(x) = d) j(x) =

Amb la gràfica d’aquesta funció:

f (x) = x2+ 2x

representa gràficament les funcions següents:

a) f(x− 2) c) f(x+ 1)b) −f(x) d) f(x) + 2

Raona com ho fas i calcula’n l’expressió algebraica.

A partir de cada gràfica, dibuixa la gràfica de les funcionsque s’indiquen:

a) f(−x) i −f(x)

b) g(x) + 1 i g(x) − 3

c) h(x+ 1) i h(x− 2)

38

37

−12

x

12

4x +

121

x+

12

2x −

36

1

1

X

Y

1

1

X

Y

5

5

X

Y

1

1

X

Y

1

1

X

Y

1

2

X

Y

1

1

X

Y

1

1

X

Y

1

1

X

Y

1

1

X

Y

g (x)

f (x)

h (x)

f xx

( ) =12

206 Unitat 8

ACTIVITATS

Concepte de funció

Raona si les gràfiques següents poden correspondre a una funció:

a)

b)

c)

d)

Construeix una taula i representa aquestes funcions:

a) Cada nombre enter el relacionem amb el nombrede divisors positius que té.

b) Cada nombre real el relacionem amb la seva part entera.c) A cada nombre hi fem correspondre el mateix nombre

menys el seu valor absolut.d) A cada nombre hi correspon el valor 2.

Al llarg d’un dia mesurem la longitud,en metres, de l’ombra que projecta un fanal des que surt el sol finsque es pon.

Les mesures, preses cada dues hores,des de les 6:00 h, es mostren a continuació.

0 25 17 5 26 19 32 0

a) Penses que les taules defineixenuna funció?

b) En cas afirmatiu, identifica’nles variables.

23

22

21

Propietats de les funcions

Comprova si els punts següents són als dominis de cadafunció:

a) Els punts x= 3, x= 2 i x=−5 per a la funció

.

b) Els punts x= 3, x= 4 i x= 5 per a la funció f(x) = ln (x− 4).

c) Els punts x= 2, x=−2 i x= 0 per a la funció

.

Estudia si els valors de l’ordenada, y, estan inclosos en els recorreguts d’aquestes funcions:

a) Les ordenades y= 3, y= 2 i y=−5 per a la funció

.

b) Les ordenades y= 0, y= 30 i y=−3 per a la funcióf(x)= x2− 5x+ 6.

c) Les ordenades y= 1, y= i y=−7 per a la funció

.

Determina el domini d’aquestes funcions:

a) f(x) = c) f(x) =

b) f(x) = d) f(x) =

Estudia el domini de les funcions següents:

a) d)

b) e)

c) f )

Escriu el domini d’aquestes funcions:

a) y= log4 (x− 4)b) y= cos (1 − x)c) y= 3ln x

d) y= sin (x− π)

e)

Analitza el domini de les funcions següents:

a) y= log4 (5 + x)

b) y= 23x−6

c)d) y= 2 − tg x

e) y

x

=

+⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

3

2tg π

y x= −51

2

29

yx

=−

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ln

10

4

28

y x x= + −6 2y x x= − +2 44

y x x= + +2 92y x x= + −2 3 22

y x= −5 2y x= + 3

27

x

x x

−+

12 2

7

3x −

x

x

2

2 1+x − 3

7

26

f xx

x( ) =

−+

2 5

2

13

6

f x x( ) = −3 3

25

f xx

x( ) =

−+

3 6

2

f x x( ) = +1

24

Y

X

Y

X1

1

Y

X1

1

Y

X1

1

1

1

917232 _ 0001-0019.qxd 16/12/08 13:50 Página 13

14

Els recursos per al professorSom conscients que cada professor es troba a l’aula amb situacions diferents. Per poder desenvolupar amb eficàcia la seva tasca, cal que compti amb una gran diversitat de recursos entre els quals poder triar. Amb la Guia per al professor intentem dotar el professorat d’una varietat de recursos que l’ajudaran en la feina a l’aula.

Pretenem també que el format de les diverses seccions i fitxes incloses a la Guia s’adeqüi als materials emprats pels professors. Aquestes fitxes poden fotocopiar-se, però, per facilitar-ne la reproducció i la consulta, es proporciona la totalitat de la Guia en unCD, i, així, les fitxes es podran imprimir sense dificultat.

2. RECURSOS PER AL TREBALL A L’AULA

Aquesta secció recull idees, consell i suggeriments per al treball a l’aula, i consta d’un conjunt de recursos per a cada unitat que es presenten en els apartats següents.

Literatura i matemàtiques.

Aclariments i comentaris

del fragment literari que presenta cada unitat

del llibre de l’alumne.

48 49

RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

SEl codi Da VinciDan Brown

La intriga de la novel·la comença quan el conservador del Museu del Louvre és assassinat a la

sala dedicada als pintors italians. Quan arriba la policia, en troben el cos despullat, estirat cap

per amunt a terra, amb les cames obertes i els braços estesos. L’envolta un cercle i,

a l’abdomen, té dibuixada amb sang una estrella de cinc puntes, anomenada pentagrama.

Als seus peus hi ha un estrany missatge verbal acompanyat per aquesta successió

de nombres: 13 – 3 – 2 – 21 – 1 – 1 – 8 – 5. L’escena els deixa perplexos.

Què significa tot això? Sembla que el mort va voler transmetre alguna cosa, però què?

L’inspector de policia opta per trucar a una experta a desxifrar

missatges, Sophie, que, a més, és néta del mort, i a un expert

a interpretar obres d’art, el professor nord-americà Langdon,

que era a París, convidat per ell, per pronunciar una conferència.

Els dos reconeixen immediatament l’al·lusió a un dibuix famós

de Leonardo da Vinci, que representa un home despullat dins d’un

cercle i d’un quadrat. Seguint aquesta pista, descobreixen una clau

amagada pel conservador en un quadre. També s’adonen que aquests

nombres no són arbitraris, sinó que tots pertanyen a una famosa

successió descoberta al segle XII per un matemàtic i comerciant

anomenat Fibonacci i en la qual cada terme s’obté sumant

els dos anteriors:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...

Això els porta a pensar que potser són

una clau per recuperar algun objecte

de valor, guardat en algun lloc del món,

i que el mort va voler que fossin ells

que ho descobrissin. Decideixen no

explicar res del que saben a la policia

i emprenen per compte seu una aventura

llarga i perillosa a la recerca

de l’objecte misteriós. Aquesta cerca

vertiginosa, perseguits per l’assassí,

que també el vol, i per la policia

que sospita que el professor Langdon

és l’assassí, constitueix l’argument

de la novel·la.

La fugida comença al Museu

del Louvre.

Van arribar a l’escala d’emergència i la Sophie va obrir la porta amb molt de compte.

No es va disparar cap alarma. Només estaven connectades a les portes exteriors. La Sophie va portar

en Langdon per un seguit d’escales fins que van arribar a la planta baixa; cada vegada anaven més

de pressa.

–El seu avi –va dir en Langdon corrent darrere la Sophie–, quan li parlava del pentacle, li va explicar

mai res del culte a la deessa o d’algun ressentiment amb l’església catòlica?

La Sophie va fer que no amb el cap.

–A mi m’interessaven més els aspectes matemàtics: la proporció divina, el número fi,

les successions de Fibonacci, aquesta mena de coses.

–El seu avi li va parlar del número fi? –va dir en Langdon sorprès.

–És clar. El número auri –va dir una mica avergonyida–. Solia dir mig en broma que jo era mig

divina... Ja sap què vull dir, per això de les lletres del meu nom.

En Langdon es va quedar un instant pensatiu i de sobte va deixar anar

un gemec.

«s-o-PHI-e».

Mentre continuaven baixant, va concentrar-se en el número fi.

Començava a adonar-se que les pistes d’en Saunière eren molt més

sòlides del que havia cregut en un primer moment.

«Da Vinci..., números de Fibonacci..., el pentacle».

Per increïble que semblés, tots aquells fets estaven relacionats

amb un concepte tan fonamental per a la història de l’art que sovint

en Langdon es passava trimestres sencers parlant-ne als seus alumnes.

«Fi».

De sobte va recordar les classes a Harvard, davant dels seus alumnes

de Simbolisme en l’art mentre escrivia a la pissarra el seu número preferit.

1,618

En Langdon es va girar per contemplar els rostres ansiosos dels seus alumnes.

–Qui em pot dir quin és aquest número?

Un estudiant de matemàtiques camallarg va aixecar la mà.

–És el número fi.

–Ben dit, Stettner –va dir en Langdon–. Alumnes, saludin el senyor Fi.

–Que no té res a veure amb el número pi –va afegir somrient l’Stettner–. Tal com ens agrada dir

als matemàtics: «Fi és molt més “fi” que pi!».

En Langdon va riure, però l’acudit no va fer gràcia a ningú més. L’Stettner va abaixar el cap.

–Aquest número fi –va continuar en Langdon–, u coma sis u vuit, és un número molt important per

a l’art. Qui em sap dir per què?

–Per què és molt bonic? –va dir l’Stettner per provar de redimir-se.

Tothom es va posar a riure.

LITERATURA I MATEMÀTIQUES

Nombres reals1 1 Nombres reals

� MATEMÀTIQUES I (1r BATXILLERAT) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © GRUP PROMOTOR/SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. � � MATEMÀTIQUES I (1r BATXILLERAT) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �

20 � MATEMÀTIQUES I (1r BATXILLERAT) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �

21

� MATEMÀTIQUES I (1r BATXILLERAT) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �

PROG

RAM

ACIÓ

N D

E AU

LA

Nombres reals

• Utilitzar els nombres enters, racionals i irracionals per quantificar situacions de la vida quotidiana.

• Aplicar adequadament la jerarquia de les operacions i els parèntesis en les operacions combinades

de nombres reals.

• Ordenar i representar els nombres reals sobre la recta real.

• Conèixer i utilitzar les diferents classes d’intervals.

• Operar fent servir la notació científica i les aproximacions.

• Expressar un radical com a potència d’exponent fraccionari, i a la inversa.

• Operar amb radicals. Racionalitzar expressions amb arrels al denominador.

• Emprar adequadament el concepte de logaritme d’un nombre.

• Aplicar les propietats dels logaritmes en la resolució de problemes i equacions logarítmiques

i exponencials.

OBJECTIUS

• Nombres racionals, irracionals i reals.

• Comparació de nombres racionals utilizant la representació d’una fracció.

• Recta real. Ordenació dels nombres reals.

• Ús de les propietats de l’ordre en el conjunt R en contextos diferents.

• Valor absolut d’un nombre real.

• Intervals.

• Aproximacions. Errors absolut i relatiu.

• Notació científica.

• Radicals. Radicals equivalents. Racionalització.

• Logaritme d’un nombre. Propietats.

• Equacions logarítmiques i exponencials.

• Reconeixement i creació de nombres irracionals.

• Expressió i representació d’un conjunt numèric en forma d’interval.

• Aplicació del valor absolut i la distància entre nombres reals en la resolució

de problemes.

• Ús de nombres expressats en notació científica.

• Realització de càlculs amb nombres fent servir les aproximacions, i expressar

l’error comès.

• Expressió d’un radical com a potència d’exponent fraccionari, i a la inversa.

• Realització d’operacions amb radicals. Racionalització d’expressions.

• Aplicació de les propietats dels logaritmes en diversos contextos.

• Reconeixement i resolució d’equacions logarítmiques i exponencials.

CONTINGUTS

1

1

• Operar amb nombres enters, racionals i reals, aplicant la jerarquia

de les operacions.

• Reconèixer el conjunt numèrico mínim al qual pertany un nombre donat.

• Resoldre situacions de la vida quotidiana, utilitzant les operacions de nombres decimals,

fraccionaris i reals.

• Expressar resultats usant la representació de nombres reals i els diversos tipus d’intervals.

• Emprar amb soltesa la notació científica.


• Operar amb radicals.

• Racionalitzar expressions amb arrels al denominador.

• Utilitzar adequadament el concepte de logaritme d’un nombre.

• Emprar les propietats dels logaritmes en la resolució de problemes i equacions logarítmiques

i exponencials.

CRITERIS D’AVALUACIÓ

1. PROGRAMACIÓ D’AULA

Aquesta secció proporciona guions orientatius per a l’elaboració de les programacions d’aula per part del professorat. La nostra intenció no és substituir la tasca del professor, ja que la programació del curs ha de ser elaborada per l’educador, en funcióde les característiques específiques tant del centre com de l’alumnat. Des de Grup Promotor només intentem oferir recursos que facilitin aquesta tasca.

Amb aquesta finalitat, hem elaborat un guió de cada unitat, en el qual es presenten els objectius, continguts i criteris d’avaluació.

917232 _ 0001-0019.qxd 23/12/08 11:52 Página 14

15

Estratègies de resolució de problemes.Ofereixen diverses tècniques de resolució de problemes a través de l’anàlisi deproblemes resolts i proposats.

Matemàtiques amb l’ordinador. Mostra

la resolució d’algunes de les activitats proposades

en el llibre de l’alumne mitjançant l’ús

de tres programes informàticsconeguts: Derive, Excel

i Cabri.

Notació matemàtica.En aquesta secció incloemtota la simbologia matemàtica i el vocabulariemprats a la unitat, juntament amb el seu significat.

54 55

RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S

NOTACIÓ MATEMÀTICA

Nombres reals1

� MATEMÀTIQUES I (1r BATXILLERAT) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. � � MATEMÀTIQUES I (1r BATXILLERAT) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �

1 Nombres reals

3,21 Indica un nombre decimalexacte.

1,58)

Expressa un nombre decimal periòdic pur.

2,34)

Indica un nombre decimal periòdic mixt.

3,14159… Indica un nombre decimal no exacte.

QUÈ VOL DIR? COM HO ESCRIVIM?

Els conjunts de nombres els denotem amb lletresmajúscules, generalment buides.

N, Z i Q representen els conjunts dels nombresnaturals, enters i racionals, respectivament.

El conjunt dels nombres reals es denota amb la lletra R i es compon dels nombres racionals(conjunt Q) i els irracionals (conjunt I).


a n = a ⋅ a ⋅ …n ⋅ a Indiquen l’expressió

a n = a ⋅ a ⋅ … ⋅ a d’una potència

n vegadesen forma de producte.

a−n Expressa una potència d’exponentnegatiu.

(−a)n Indica una potència de base negativa.

(−a)−n Expressa una potència d’exponentnegatiu i base negativa.

a�m

n�

Indica una potència d’exponentfraccionari.

Els punts suspensius entre els dos signes demultiplicació vol dir que a es multiplica n vegades.

Quan a una lletra s’hi posa el signe menys al davant, estem indicant que representa un nombre negatiu.

Si no té signe al davant, el nombre pot ser negatiu o positiu.

7 73

4 34=


Per escriure un nombre decimal separem les xifres enteres de les decimals amb una coma.

El símbol ) sobre una xifra o un grup de xifres indicaque aquestes xifres es repeteixen indefinidament.Aquest grup s’anomena període.

Els punts suspensius darrere d’una xifra indiquen quedarrere d’ella hi ha més xifres decimals.

[a, b] Indica un interval tancat.

[a, b) Expressen un interval semiobert (a, b] per la dreta i un altre per l’esquerra.

(a, b) Indica un interval obert.


Un interval és el conjunt de tots els punts d’un segment de la recta real. Si hi apareixen els símbols [ o ], l’extrem pertany a l’interval,i si hi apareixen els símbols ( o ), l’extrem no pertany a l’interval.

N Indica el conjunt dels nombres naturals.

Z Expressa el conjunt dels nombres enters.

Q Indica el conjunt dels nombres racionals.

I Expressa el conjunt dels nombresirracionals.

R Indica el conjunt dels nombres reals.

loga b Indica el logaritme en base a de b.

loga b = c Indica que el logaritme en base ade b és c.

log b Expressa el logaritme en base 10de b.

ln a Expressen el logaritmeln a neperià de a.

l a

e Es refereix al número e.

log bn Indica el logaritme de la potència bn.

(log b)n Indiquen la potència enèsimalogn b del logaritme de b.


Sota el símbol de l’arrel es pot expressar qualsevol operació entre nombres.

Per efectuar aquesta operació es calcula primer l’arrel enèsima del nombre i, després, es troba l’arrel m-èsima del resultat anterior.

L’arrel quadrada exacta d’una fracció és la fracció formada per l’arrel exacta del seu numerador i del seu denominador.

a

b

a

bn

n

n= = =→ 125

64

125

64

5

43

3

3


El logaritme és l’operació inversa a l’exponencial.L’expressem amb les lletres log, i posem a sota labase i, després, el valor del qual volem calcular ellogaritme.

Per expressar un logaritme de base 10 no fa faltaespecificar-ne la base.

Les lletres ln indiquen que el logaritme que volemcalcular té com a base el número e.

De vegades, els logaritmes neperians es podenexpressar com Ln o només L.

La potència enèsima d’un logaritme es pot expressard’aquestes dues maneres.

Indica l’arrel quadrada d’un nombre.

Expressa l’arrel quadrada d’una suma de nombres.

Indica l’arrel d’un producte.

Expressa l’arrel enèsima d’un nombre.

Indica l’arrel m-èsima de l’arrel

enèsima d’un nombre.

La fracció és l’arrel enèsima

exacta de la fracció .a

b

c

d

a

b

c

dn =

anm

an

a b⋅

a b+

a

⎫⎬ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭ ⎪⎪⎪⎪⎪

56

Plantejament i resolució

Per començar el problema provarem amb un nombre amb el qual operar sigui fàcil: 1, 10, 100, ...

• Per a 1 ⎯⎯→ 12+1=1+1=2, el resultat que busquem (132) està lluny.

• Per a 10 ⎯→102+10=100+10=110, el resultat que busquem (132) està a prop.

• Per a 100 →1002+100=10.000+100 = 10.100, el resultat que busquem (132) està lluny.

El nombre que busquem és molt proper a 10; per tant, ho provem amb el 15.

• Per a 15 ⎯→152+15=225+15=240, el resultat que busquem (132) està més lluny

que en el cas de 10; per tant, ho provem amb el 12.

• Per a 12 ⎯→122+12=144+12=156, per tant, el nombre que busquem ha de ser l’11.

• Per a 11 ⎯→112+11=121+11=132

Esbrina el nombre n que sumat al seu quadrat doni 132.


Per emprendre aquest problema fem algunes comprovacions per a diferents valors de n,

de manera ordenada.

n=1 → 21+3= 2+3=5 (primer)n=4 → 24+3=16+3=19 (primer)

n=2 → 22+3= 4+3=7 (primer)n=5 → 25+3=32+3=35 (compost)

n=3 → 23+3= 8+3=11 (primer)

Com que 25+3 no és un nombre primer, hem obtingut un contraexemple que demostra la falsedat

de l’afirmació del problema proposat.

Comprova que si per a qualsevol nombre natural n, l’expressió 2n + 3 és un nombre primer.

Estratègia L’estratègia consistent a buscar un exemple que no verifiqui un enunciat,

o les condicions donades o exigides, s’anomena contraexemple.

La cerca d’un contraexemple exigeix l’aplicació d’altres estratègies, com

l’assaig-error dirigit. Consisteix a efectuar proves segons un ordre, provant tots els

casos possibles i contrastant cada resultat obtingut amb la pregunta

del problema i els resultats aconseguits anteriorment, per comprovar

si s’està més a prop o més lluny de la solució.

Comprova si aquesta afirmació és certa:

«Per a qualsevol nombre natural n,

n2+n+17 és un nombre primer».

Verifica que l’afirmació és certa:

«El quocient que s’obté en dividir

un nombre enter entre un altre

nombre enter és sempre menor

que el dividend».

Comprova si l’afirmació és vertadera:

«El quocient que s’obté en dividir

un nombre natural entre un nombre decimal

positiu és sempre menor que el dividend».3

2

1

Contraexemple i assaig-error dirigit

PROBLEMA RESOLT

PROBLEMES PROPOSATS

ESTRATÈGIES DE RESOLUCIÓ DE PROBLEMESNombres reals1



MATEMÀTIQUES AMB L’ORDINADOR

EXERCICIS

De manera semblant a com ho has fet

a la Pràctica 1, resol els exercicis 79 i 88

de la pàgina 29.

Utilitza una aproximació amb els dígits

necessaris dels nombres π i per resoldre

l’exercici 87 de la pàgina 29.

Completa la taula amb les aproximacions

que es demanen.

3

355

113

2

1

Pestanya d’Opcions

Ajustos de mode

PRÀCTICA DERIVEEl primer pas abans de començar les pràctiques és executar DERIVE.

PRÀCTICA 1 (pàg. 29, exercici 82)

1. Abans d’introduir les fraccions, comprova si la finestra d’entrada d’ex-

pressions està activa. Està activa si el cursor està intermitent a la fines-

tra; si no es així, prem el botó per activar-la.

2. Escriu el numerador i el denominador de la fracció separats per / i prem

ENTER.

Comprova que la fracció que apareix a la finestra d’àlgebra és la que

vols.

3. Prem el botón Aproximar , i a la pantalla apareix l’aproximació de la

fracció, tot i que DERIVE, per defecte, en mostra 10 dígits.

4. Com que volem que mostri fins als centèsims, hem d’escollir 3 dígits

(un per a la part entera i dos per a la part decimal); per fer-ho, prem la

pestanya d’Opciones i escull Ajustes de modo.

5. Escull la pestanya Presentación, activa la casella Dígitos i selecciona 3.

6. Torna a seleccionar amb el cursor la fracció introduïda i prem el botó

Aproximar . A la pantalla apareix l’aproximació.


EXERCICIS

De manera semblant a com ho has fet

a la Pràctica 1, resol la resta dels apartats de


Resol els exercicis 110 i 111

de la pàgina 31.

De manera semblant a com ho has fet a la

Pràctica 2, resol la resta dels apartats de


Calcula els logaritmes de l’exercici 124

de la pàgina 32.

4

3

2

1


PRÀCTICA 1 (pàg. 30, exercici 100 a)

1. Abans d’introduir les arrels, comprova si la finestra d’entrada d’expres-

sions està activa: el cursor ha de parpellejar a la finestra; si no és així,

prem el botó per activar-la.

2. Per introduir una arrel no quadrada has de passar-la prèviament a po-

tència. En aquest cas, has d’escriure:

Comprova que l’expressió que apareix a la finestra d’àlgebra és la que

vols.

3. Prem sobre el botó Simplificar , i a la pantalla apareix l’expressió sim-

plificada. Efectua el pas de potència fraccionària a arrel i obtens el re-

sultat.


1. Abans d’introduir els logaritmes comprova si la finestra d’entrada d’ex-

pressions està activa: el cursor ha de parpellejar a la finestra; si no és ai-

xí, prem el botó per activar-la.

2. Per introduir un logaritme hi ha tres possibilitats, segons la base. Per

exemple, si volem introduir el logaritme de 2 hem d’escriure:

log (2) → Logaritme en base decimal

ln (2) → Logaritme neperià

log (2, n) → Logaritme de base n

Per fer aquesta activitat, has d’escriure:

Comprova que l’expressió que apareix a la finestra d’àlgebra és la que

vols.

3. Prem sobre el botó Aproximar , i a la pantalla apareix l’expressió sim-

plificada amb el nombre de dígits escollit.

45 45

1

10 10=

1 Nombres reals1 Nombres reals

Centèsims Deumil·lèsims

3 + π

53

12

36

Resultat de la Pràctica 1



RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S

917232 _ 0001-0019.qxd 23/12/08 11:52 Página 15

16

3. MODELS PAU PER A 1R BATXILLERAT

4. CIÈNCIES I MATEMÀTIQUES

� MATEMÀTIQUES I (1r BATXILLERAT) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © GRUP PROMOTOR/SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. � � MATEMÀTIQUES I (1r BATXILLERAT) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �

CIÈ

NC

IES

I

MATE

MÀ

TIQ

UE

S

290 291

Quina hora marquen els rellotgesdels pilots de les aerolínies?El sistema de fusos horaris va permetre unificar l’hora mundial; cap a l’est,

el rellotge augmenta una hora per cada fus horari, i cap a l’oest, el rellotge

disminueix una hora per cada fus horari.

En Xavier ha consultat en una guia de televisió per cable els programes

recomanats en alguns canals.

L’hora zulu és la suma de l’hora local i el nombre corresponent

a la franja superior del mapa.

GEOGRAFIA

El 1928 es va establir

el meridià de Greenwich com a

punt de referència per a l’hora

mundial.

Aquest meridià és un semicercle

imaginari que uneix els pols

i passa per l’antic observatori

astronòmic de Greenwich.

Aquesta referència s’acostuma a

anomenar GTM o hora UTC, hora

universal coordinada i, en el

context de l’aviació, hora zulu.

En l’aviació, per poder dur un

seguiment més coordinat dels

vols, es treballa amb l’hora zulu,

és a dir, els pilots i les torres de

control de tot el món treballen

amb l’hora universal, GTM o UTC,

per operar amb una mesura

comuna del temps i no haver de

dependre de l’hora que tingui

cada país.

10 h 11 h12 h13 h 14 h 15 h 16 h 17 h 18 h 19 h 20 h 21 h 22 h 23 h 24 h 1h 2h 3 h23 h 24 h 1 h 2 h 3 h 4 h 5 h 6 h 7 h 8 h 9 h

Països amb mitja horade diferència sobre l’oficial

Països amb horaoficial imparella

Països amb horaoficial parella

LÍNIA

CANVI

Equador

DIUM

ENGE

DILL

UNS

DE DATA

DE DATA

LÍNIACANVI

DE

DE

Madrid

Moscou

BeijingNova York

San Francisco

FES AQUESTES ACTIVITATS

Indica l’hora zulu en cada cas.

1. Mèxic, 10 h locals. 4. Índia, 6 h locals.

2. Alemanya, 13 h locals. 5. Xile, 3 h locals.

3. Guatemala, 10 h locals. 6. A quina hora es podrà veure aquí cada programa?

Lleis de Kepler

El sistema solarFÍSICA

Primera llei

Tots els planetes es mouen

en òrbites el·líptiques en què

el Sol és un dels focus.

Segona llei

Els planetes escombren àrees

iguals en temps iguals.

Tercera llei

S’estableix una relació entre

el període (T ), temps que triga

un planeta a fer la volta al Sol,

i la distància (d) d’aquest planeta

a l’astre.

d T= 23

T d= 3

Planeta Període (T , en anys)Distància al Sol

(d , en UA)

Neptú 164,8

Urà 19,19

Saturn 29,458

Júpiter 5,2

Mart 1,881

Terra 0,99998

Venus 0,723

Mercuri 0,241

Les distàncies entre els

planetes són tan grans que

es mesuren en unitats

astronòmiques, UA.

UA = 150 milions de

quilòmetres (aprox.).

SABIES QUE...

El cel nocturn ha fascinat des de sempre la humanitat. Els astrònoms

han registrat els moviments aparents de les estrelles i dels planetes durant

milers d’anys.

Cap al 1601, Johannes Kepler descobrí que els planetes no es

movien sempre amb la mateixa velocitat. Kepler desenvolupàr

una teoria matemàtica que va reunir en tres lleis.

FOX Els Simpsons

14 h

Brussel·les

DISNEY CHANNELLa Ventafocs

18 h Miami

BBC WORLD Notícies

13 h

Lisboa

NATIONAL GEOGRAPHICTransbordador

19 h Tòquio

EUROSPORT Salts

d’esquí

16 h Londres

HOLLYWOOD Coneixent

Jane Austen

20 h Roma

COMPLETA LA TAULA SEGÜENT


Successions. Progressions2

QÜESTIONS

1. Un concurs de televisió de l’any 2001 consistia a proposar al concursant una successió

de preguntes fins que donava una resposta incorrecta i quedava eliminat. Els premis

per a cada resposta s’acumulaven i eren d’una pesseta per a la primera, dues per a la

segona, quatre per a la tercera i així successivament en progressió geomètrica de raó 2.

a) Si es responien deu preguntes correctament, quants diners s’aconseguien?

b) Quin és el nombre mínim de preguntes que calia respondre per aconseguir un milió

o més?

(2 punts)

2. Troba els sis angles d’un hexàgon sabent que l’angle més petit és recte i que tots formen

una progressió aritmètica.

(2 punts)

3. Raoneu quin dels dos procediments financers següents és més favorable per a l’inversor

i calculeu quina diferència hi ha entre els capitals acumulats.

a) Ingressar 30.000 euros a un interès simple del 8 % anual durant 10 anys.

b) Ingressar 30.000 euros a un interès compost del 7 % anual durant 10 anys, amb

acumulació d’interessos cada any.

(2 punts)

4. A quin interès compost anual heu invertit un cert capital si al cap de cinc anys

ha augmentat el 50 %?

(2 punts)

213� MATEMÀTIQUES I (1r BATXILLERAT) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �

MO

DE

LS P

AU

P

ER

A 1

r B

ATX

ILLE

RA

T

PROBLEMES

1. Es deixa caure una bola de goma des d’una altura de 243 metres. Cada vegada que toca

a terra rebota i recorre cap amunt una distància igual a les dues terceres parts de l’altura

des de la qual ha caigut l’última vegada.

a) De quina altura ha caigut la bola quan ha tocat a terra per sisena vegada?

b) Quina distància ha recorregut des que s’ha deixat caure fins que ha tocat a terra

per sisena vegada?

(4 punts)

2. La Joana i la Mercè tenien 20.000 € cadascuna per invertir. Cadascuna fa la mateixa

distribució dels diners en tres parts P, Q i R, i les porta a una entitat financera. Al cap

d’un any, a la Joana li han donat un 4 % d’interès per la part P, un 5 % per la part Q i un

4 % per la part R, i a la Mercè li han donat un 5 % per la part P, un 6 % per la part Q

i un 4 % per la part R. La Joana ha rebut en total 850 € d’interessos, mentre que la Mercè,

n’ha rebut 950.

De quants euros constava cadascuna de les parts P, Q i R?

(4 punts: 2 punts plantejament i 2 punts resolució)

Responeu TRES de les quatre qüestions i resoleu UN dels dos problemes següents. En les

respostes, expliqueu sempre què és el que voleu fer i per què.

Cada qüestió val 2 punts, i el problema, 4 punts.

Podeu utilitzar calculadora, però no es poden fer servir calculadores o altres aparells que

portin informació emmagatzemada o que puguin transmetre o rebre informació.

Temps: Una hora i mitja.

Qualificació: Cada exercici porta indicada la seva puntuació màxima.

Proves d’accés a la universitat. MatemàtiquesPropostes d’exàmens tipus PAU adaptats als continguts

de cada unitat del llibre de l’alumne. A més, s’hi inclouen les resolucions

de cada una de les activitats i es detalla la puntuació màxima

que es podria obtenir en cada una d’elles, segons la qualificació

de cada apartat.

Materials mitjançant els quals l’alumne descobrirà la relació de les matemàtiques amb diversos camps de la ciència: geografia, física,astronomia, economia, òptica,termodinàmica… Es proposen activitats amb les quals l’alumne podràcomprovar que les matemàtiques apareixen en tot allò que l’envolta.


RESOLUCIÓ I CRITERIS ESPECÍFICS DE CORRECCIÓ

SUCCESSIONS. PROGRESSIONS. APLICACIONS

2QÜESTIONS

1. Un concurs de televisió de l’any 2001 consistia a proposar al concursant una successió de

preguntes fins que donava una resposta incorrecta i queda eliminat. Els premis per a cada

resposta s’acumulaven i eren d’una pesseta per a la primera, dues per a la segona, quatre

per a la tercera i així successivament en progressió geomètrica de raó 2.


b) Quin és el nombre mínim de preguntes que calia respondre per aconseguir un milió o

més?

Apartat a) Primerament cal obtenir el terme general de la progressió: 1, 2, 4...

a1 = 1, r = 2 → an = a1 ⋅ rn−1 = 1 · 2

n−1 = 2n−1

Serà la suma dels deu primers termes:

Apartat b) S’ha de trobar un valor natural n tal que Sn ≥ 1000000, o sigui: 2n = 1 ≥ 1000000.

S’aïlla 2n ≥ 1000001. Es treuen logaritmes:

; per tant n = 20.

Puntuació:

Apartats a) i b) 1 punt per apartat.

Les respostes han de ser, sobretot, justificades. No compteu cap resultat que no estigui justificat.

2. Troba els sis angles d’un hexàgon sabent que l’angle més petit és recte i que tots formen

una progressió aritmètica.

Anomenem d a la diferència de la progressió. Els angles seran:

90, 90 + d, 90 + 2d, 90 + 3d, 90 + 4d i 90 + 5d

La suma dels angles d’un polígon de n costats és: Sn = (n − 2) ⋅ 180, en aquest cas: S6 = 4 ⋅ 180 = 720.

Per tant:

I els angles són: 90, 102, 114, 126, 138 i 150.

Puntuació:

Plantejament correcte: 1 punt.

Resolució correcta: 1 punt.

S

dd

dd

6

90 90 5

2

6 720 540 15 720 15 180

=+ + ⋅ =

+ ==

=

() →

→→ 112

n

n

⋅ ≥≥

≥

log log

loglog

,

2 10000011000001

2

6

0 30103→

00

S10

10 10

1 2 1

2 12 1 1023

=⋅ −

−= − =

( )

215


MO

DELS P

AU

PER

A 1

r B

ATXIL

LER

AT

3. Raoneu quin dels dos procediments financers següents és més favorable per a l’inversor

i calculeu quina diferència hi ha entre els capitals acumulats.


b) Ingressar 30.000 euros a un interès compost del 7 % anual durant 10 anys,

amb acumulació d’interessos cada any.

Calculem en cada cas quin és el capital final:

Cas a) Cf = C0 (1 + it) = 30000 (1 + 0,08 ⋅ 10) = 54000 €

Cas b) Cf = C0 (1 + i)t = 30000 (1 + 0,07)10 = 59014,54 €

Per tant, és més favorable el cas b). La diferència és de 5.014,54 €

Puntuació:



4. A quin interès compost anual heu invertit un cert capital si al cap de cinc anys ha

augmentat el 50 %?

Hem de resoldre la següent equació Cf = C0 (1 + i)5 tenint en compte que Cf = C0 ⋅ 1,5.

Per tant, 1,5 C0 = C0 . (1 + i)5. Dividim per C0 i ens queda: 1,5 = (1 + i)

5, o sigui:

Puntuació:



11 5 1 0845

080845 8 45

5+ = ≅

=

i

i, ,

, %

→→

917232 _ 0001-0019.qxd 23/12/08 11:52 Página 16

17

5. DESTRESES TIC (Tecnologies de la Informació i la Comunicació)

Bloc A. Què és un bloc?

El bloc (blog o weblog en anglès) és una pàgina d’Inter-

net que ens permet publicar continguts i comentaris

sobre qualsevol tema que ens interessi. Aquestes pàgi-

nes estan pensades perquè els usuaris que no siguin ex-

perts en informàtica puguin col·locar a Internet les seves

idees, projectes, fotografies, etc., i compartir-ho amb

tots els membres de la xarxa.

La majoria dels blocs permeten que els articles, anome-

nats generalment escrits, entrades o missatges (post en

anglès), els puguin comentar els usuaris que els llegei-

xen. De vegades els comentaris són a favor i altres en

contra del que es publica, cosa que permet generar una

mena de debat o fòrum sobre el contingut que es pu-

blica al bloc.

Els blocs es diferencien de la resta de pàgines web per-

què acostumen a mostrar els continguts de manera cro-

nològica, com si fos un diari (o una bitàcora, que és com

també se’ls coneix). En general, apareixen primer els

continguts més actuals, és a dir, els últims que s’han afe-

git al bloc, i després es van mostrant la resta d’entrades

fins a arribar al contingut amb el qual es va iniciar el bloc.

A cada entrada queda registrada la data en la qual es va

incloure el contingut i, a més, s’hi pot afegir un títol que

identifiqui la informació que afegirem.

Els blocs acostumen a ser unipersonals, tot i que també

n’hi ha de grupals, que poden ser creats i mantinguts

per un grup d’amics o persones amb alguna cosa en co-

mú. La persona que crea el bloc i hi inclou els contin-

guts rep el nom de blocaire i és qui s’encarrega d’admi-

nistrar el bloc, que pot configurar segons les opcions

que vulgui.

Podem diferenciar blocs de tres tipus:

• Els blocs de contingut, que ja hem comentat i que

són dels que més n’hi ha en actualitat.

• Els fotoblocs, que permeten incloure al bloc galeries

de fotografies que es poden veure a tota la xarxa.

Normalment, aquest tipus de bloc té una limitació

pel que fa al nombre de fotografies que hi podem

posar o bé sobre quantes n’hi podem pujar diària-

ment.

Aquests blocs els creen tot tipus d’usuaris, des del

grup d’amics que posen a Internet les fotos del cap

de setmana fins a fotògrafs professionals que donen

a conèixer la seva feina per mitjà d’aquestes pàgi-

nes.

• Els videoblocs, que permeten incloure al bloc vídeos

que volem compartir amb els usuaris d’Internet. Tot i


que la majoria d’aquests videoblocs estan formats a

partir de vídeos graciosos, curiosos o interessants que

el blocaire ha trobat a Internet, també hi ha un gran

nombre de blocs en els quals els aficionats al vídeo, al

cinema, etc., ensenyen els seus treballs perquè els pu-

guin veure altres usuaris.

Com creem un bloc?

Actualment hi ha a Internet molts llocs on podem crear

un bloc de manera gratuïta. Per a aquest apartat hem

escollit el servei Blogger del Google, perquè és un dels

més divulgats a la xarxa i perquè és molt senzill d’utilit-

zar a l’hora de crear el bloc i mantenir-lo.

Per crear-lo, tan sols ens cal tenir un compte de correu

electrònic i seguir els passos següents:

1r Executar el navegador d’Internet, escriure a la barra

d’adreces la pàgina del Blogger i prémer <Enter>:

http:// www.blogger.com

A la finestra del navegador apareixerà la pàgina ini-

cial del servei de blocs que utilitzarem.

Per crear un bloc al Blogger cal estar registrat, és a

dir, tenir un compte al Google o al Blogger.

Si ja en tenim creada una, la podem fer servir, però si

no en tenim cap, la creem de manera senzilla men-

tre donem d’alta el nostre bloc.

1

A la pàgina que s’obre hem de teclejar dues vega-

des la nostra adreça de correu electrònic, per asse-

gurar-nos que no hem comès cap error en escriure-

la. Després ens demana una contrasenya, que ens

caldrà per poder modificar els continguts o el dis-

seny del bloc.

317� MATEMÀTIQUES I (1r BATXILLERAT) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �� MATEMÀTIQUES I (1r BATXILLERAT) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �

DES

TRES

ES T

IC

316

Clic per crear un bloc nou.

Tot seguit ens demana el nom amb el qual volem

signar els continguts del bloc, que pot ser el nostre

nom vertader, un sobrenom, un pseudònim, etc.

Al camp següent hem de teclejar les lletres que

apareixen a la imatge superior; això es fa per evitar

les altes automàtiques a través de programes que

s’executen a la xarxa.

2n Per començar, fem clic a l’enllaç que conté el text

CREEU UN BLOC ARA.

Les noves tecnologies estan revolucionant tots els aspectes

de la nostra vida, i l’ensenyament no hade ser aliè a aquesta revolució.

L’arribada de la informàtica i d’Internet han modificat els hàbits relacionats

amb la cerca i el tractament de la informació.

El seu ús també obre grans possibilitats a l’aula.


359


DES

TRES

ES T

IC

Què és?

La Kalipedia (www.kalipedia.com) és una iniciativa pionera a l’Estat espanyol de web 2.0

i de continguts educatius, amb la qual Santillana posa a la disposició de tota la societat una web

d’ajuda a l’estudi i a l’ensenyament, d’accés lliure i gratuït, amb vocació de convertir-se en el recurs

de referència per a l’àmbit educatiu.

La Kalipedia neix amb més de 40.000 continguts de referència; l’usuari pot visualitzar les obres

de Velázquez, escoltar discursos dels grans protagonistes de la història, anar al centre de la Terra

per comprendre l’origen dels volcans, conèixer de prop els personatges més il·lustres, aprofundir

en fórmules matemàtiques... I tot això amb la garantia i el rigor de Santillana.

La Kalipedia t’ofereix la possibilitat que comparteixis, interactuïs i hi participis mitjançant

l’interkambiador, una comunitat per a professors i estudiants en què l’usuari forma part del projecte

a través d’una xarxa social viva, interactiva i participativa.

Característiques

La Kalipedia presenta els continguts contextualitzats i relacionats entre si, de tal manera que promou

en l’usuari la iniciativa personal i la gestió de la informació, i en fomenta, així, l’evolució personal

i acadèmica.

La línia temàtica de la Kalipedia queda resumida en els punts següents:

• Actualment, la Kalipedia consta de 40.000 continguts divulgatius i de referència, i creix

de dia en dia, en les àrees de Geografia, Llengua, Ciències, Història, Literatura, Filosofia, Art,

Tecnologia, Física, Química, Matemàtiques i Informàtica, dirigits a estudiants d’Educació

Secundària Obligatòria.

• Té un potent tractament gràfic, que enriqueix les àrees temàtiques amb elements visuals en alta

resolució i amb una qualitat desconeguda fins ara a la xarxa: mapes versionats, fotografies, galeria

d’imatges, gràfics, il·lustracions i infografies.

• Ofereix un ampli desplegament de continguts interactius en diferents formats: vídeos, fitxers d’àudio,

animacions, simulacions i gràfics interactius, que proporcionen una visió més detallada

i descriptiva de tots els continguts.

• Disposa d’eines de gestió del coneixement, cercador avançat, glossari detallat, test d’autoavaluació...

Guia d’ús general

de la KalipediaLa Kalipedia s’endinsa en la web 2.0 i obre les portes de l’interkambiador, una comunitat

per a professors i estudiants en què l’usuari pot personalitzar, ampliar, compartir, publicar

i comunicar-se amb altres persones. L’àrea social i comunicativa de la Kalipedia disposa

dels instruments següents:

• Eines de valoració amb les quals es pot comentar, modificar, enviar, afegir etiquetes, crear

preferits... i compartir amb tota la comunitat una estructura de continguts personalitzada a la mida

de cada usuari.

• Eina de creació d’avatars personalitzats, que et permet crear la imatge que et representarà

a l’interkambiador.

• Participació activa en reptes i concursos ludicoformatius, amb els quals pots aprendre

divertint-te.

• Sistema d’etiquetatge dels continguts amb paraules clau que permeten desar els nostres preferits

i intercanviar-los amb altres usuaris.

• Generació de cercles de companys i de grups amb interessos afins, cosa que permet comunicar

experiències, dur a terme investigacions, treballs conjunts i compartir continguts etiquetats

a la nostra manera.

• Blocs multiautor, una eina innovadora i única fins al moment, en què tots els membres d’un grup

poden escriure i comentar.

• Fòrums per crear, plantejar, compartir i discutir qüestions que interessen o preocupen la comunitat

educativa.

Aprofitament

Estructura i navegació

La navegació per la Kalipedia és molt senzilla i intuïtiva, mitjançant dos menús:

• El menú lateral ens permet conèixer tots els nivells de navegació dins de la web. Així, trobem

un menú Materias, dins del qual hi ha les diferents àrees temàtiques, com ara «Geografía»,

que alhora es divideix en General i Descriptiva. D’aquesta manera, sense moure’ns, coneixerem

la profunditat de la matèria a la qual volem anar. Aquest menú ens permet accedir a les seccions

de Materias, Multimedia, Glosario, Noticias i Interkambiador.

• El menú superior és més senzill, un accés directe a les seccions de Materias, Multimedia i Glosario.

També pots accedir a tots els continguts i les seccions a través del mapa del lloc:

http://www.kalipedia.com/mapa.htmlLa portada general

6. GUIA D’ÚS GENERAL DE KALIPEDIA

Manual perquè l’usuari aprengui a navegar per aquesta enciclopèdia en línia gratuïta d’ajuda a l’estudii al coneixement.

368 � MATEMÀTIQUES I (1r BATXILLERAT) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. � 369� MATEMÀTIQUES I (1r BATXILLERAT) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �

PRÀCTICA DERIVE

PAS A PAS

PRÀCTICA DERIVE

En aquesta fitxa es treballa l’àlgebra i, en concret, les operacions amb polinomis. També farem servir De-

rive per factoritzar un polinomi, és a dir, descompondre’l en producte de polinomis més senzills. Resol tu

mateix els exercicis proposats per practicar.

Polinomis1En aquesta fitxa aprendrem a multiplicar i dividir polinomis, aplicar el teorema del residu, factoritzar un

polinomi i trobar-ne les arrels.

PAS A PAS1. Escriu dos polinomis:

#1: P(x) := 3 ⋅ x 4 − 2 ⋅ x2 − 1

#2: Q(x) := x2 − 3

2. Ara escriu això que s’indica:

#3: P(x)*Q(x)

#4: P(x)/Q(x)

3. Prem a Simplificar/Expandir/Expandir sobre cada una

de les línies anteriors i obtindràs els resultats de les

operacions:

#5: 3 ⋅ x6 − 11 ⋅ x 4 + 5 ⋅ x2 + 3

#6: + 3 ⋅ x2 + 7

4. Per obtenir el quocient i el residu de la divisió d’a-

quests polinomis, escriu:

#7: QUOTIENT(P(x), Q(x))

#8: REMAINDER(P(x), Q(x))

i en Simplificar obtindràs:

#9: 3 ⋅ x2 + 7 #10: 20

5. Per factoritzar el polinomi:

#11: x4 − 11 ⋅ x2 − 2 ⋅ x + 12

prem a Simplificar /Factorizar /Factorizar, i escull Ra-

cional o Radicales per obtenir la factorització amb

coeficients racionals o reals:

#12: (x − 1) ⋅ (x + 3) ⋅ (x 2 − 2 ⋅ x − 4)

#13: (x − 1) ⋅ (x + 3) ⋅ (x + − 1) ⋅ (x − − 1)

Si factoritzem dos polinomis o més, és fàcil calcular-

ne el m.c.d. i el m.c.m.

6. En prémer Resolver/Expresión/Resolver sobre les línies

#11, #12 o #13, obtens les arrels del polinomi:

#14: SOLVE(x 4 − 11 ⋅ x2 + 2 ⋅ x + 12, x)

#15: x = 1 − ∨ x = + 1 ∨ x = −3 ∨ x = 1

7. Per calcular el valor numèric del polinomi P(x) a

x = 2:

#16: P(2)

I en Simplificar obtindràs:

#17: 39

55

55

20

32x −

8. Calcula el valor de k perquè, en dividir el polinomi

2x4 − 5x3 + kx2 − 8 entre x + 2, s’obtingui 4 de residu:

#18: M(x) := 2 ⋅ x4 − 5 ⋅ x3 + k ⋅ x2 − 8

#19: M(−2) = 4 i Simplificar

#20: 4 ⋅ k + 64 = 4 i Resolver

#21: SOLVE(4 ⋅ k + 64, k)

#22: k = −15

9. Calcula els valors de a i b que verifiquin que el polino-

mi x 3 − 2x2 + ax + b és divisible per x + 3, i que en

dividir-lo entre x − 1, s’obtingui 28 de residu.

#23: N(x) := x3 − 2 ⋅ x2 + a ⋅ x + b

#24: N(−3) = 0

#25: N(1) = 28

i en Simplificar:

#26: −3a + b − 45 = 0

#27: a + b − 1 = 28

Si escrius SOLVE([#26, #27], [a, b]), obtens:

#28: SOLVE([−3 ⋅ a + b − 45 = 0,

a + b − 1 = 28, [a, b]) i Simplificar

#29: [a = −4, b = 33]

I si escrius SOLVE([N(−3) = 0, N(1) = 28, [a, b]), ob-

tens directament el resultat.

EXERCICIS

Troba el quocient i el residu de la divisió.

6x 4 − 17x 3 + 4x − 3 : 3x 2 − 4x + 1

Factoritza el polinomi x 4 + x 3 − 5x 2 − 3x + 6.

Troba el valor de a i b perquè

x 3 + ax 2 + bx + 6 sigui divisible

per x + 3 i per x − 2.

3

2

1

1. Escriu dos polinomis, usant * per als productes

i ^ per a les potències:

#1: 3 ⋅ x 3 + 2 ⋅ x 2 − 2

#2: 2x2 − 5 ⋅ x + 3

2. Si escrius #1 + #2, #1 − #2 i #1 * #2, obtindràs la su-

ma, la resta i la multiplicació dels polinomis a les línies

#3, #4 i #5.

3. Prem a Simplificar /Expandir /Expandir, després d’ha-

ver seleccionat cada una de les línies anteriors, i ob-

tindràs els resultats de les operacions:

#6: 3 ⋅ x3 + 4 ⋅ x2 − 5 ⋅ x + 1

#7: 3 ⋅ x3 + 5 ⋅ x − 7

#8: 6 ⋅ x5 − 11 ⋅ x4 − x3 + 2 ⋅ x2 + 10 ⋅ x − 6

4. Per obtenir el quocient i el residu de la divisió dels dos

polinomis, escriu:

QUOTIENT(#1, #2) i REMAINDER(#1, #2)

A les línies #9 i #10 veuràs les expressions amb els po-

linomis substituïts. Si prems a Simplificar / Expandir /

Expandir, obtindràs:

#11:

#12:

5. Per calcular el valor numèric del primer polinomi per a

x = 2, selecciona el polinomi, prem a Simplificar/ Susti-

tuir variable, escriu el valor 2 i prem Sí:

#13: 3 ⋅ 23 + 2 ⋅ 22 − 2

Si prems Simplificar/Normal, obtens el valor 30 a la línia

#14. I si calcules el valor del polinomi a x = −1:

#15: 3 ⋅ (−1)3 + 2 ⋅ (−1)2 − 2 i en Simplificar:

#16: −3

6. Escriu les fórmules:

#17: (x + y)2

#18: (x − y)2

#19: (x + y) ⋅ (x − y)

En prémer Simplificar /Expandir /Expandir, obtens:

#20: x2 + 2 ⋅ x ⋅ y + y2

#21: x2 − 2 ⋅ x ⋅ y + y2

#22: x2 − y2

77

4

65

4

⋅ x−

3

2

19

4

⋅ x+

7. Selecciona les fórmules #20, #21 i #22 successiva-

ment. Si prems Simplificar /Factorizar /Factorizar, ob-

tindràs les fórmules #17, #18 i #19. Esborra les tres

últimes línies abans de seguir.

8. Ara obtindrem el residu de la divisió del polinomi

x 4 − 2 ⋅ x 3 + 5 ⋅ x − 1 entre x − 3:

#23: P(x) := x 4 − 2 ⋅ x3 + 5 ⋅ x − 1

#24: P(3) i Simplificar/Normal

#25: 41

Pots comprovar que el resultat és correcte:

#26: REMAINDER(P(x), x − 3)

Prement a Simplificar/Normal:

#27: 41

19. Per factoritzar un polinomi:

#28: x4 − 4 ⋅ x3 + 4 ⋅ x2 − 4 ⋅ x + 3

prem a Simplificar /Factorizar /Factorizar :

#29: (x − 1) ⋅ (x + 1) ⋅ (x 2 + 1)

10. Ara calcularem el valor de k perquè, en dividir

2x4 − 5x3 + kx2 − 12 entre x + 2, el residu sigui 80.

#30: Q(x) := 2 ⋅ x4 − 5 ⋅ x3 + k ⋅ x2 − 12

#31: Q(−2) = 80 i Simplificar /Normal

#32: 4 ⋅ k + 60 = 80 i Resolver /Resolver

#33: SOLVE(4k + 60 = 80, k)

#34: k = 5

EXERCICIS

Calcula: (2x − 5)2, (3x + 2y)2

i (x 2 + 2y3) ⋅ (x 2 − 2y3).

Descompon en factors.

a) 4x2 − 12x + 9 b) x2 + x4 + 2x3

Factoritza els polinomis.

a) 4x3 + 20x2 + 25x

b) x4 + 6x3 + 5x2 − 24x − 36

Suma, resta, multiplica i divideix els polinomis

següents.

P(x) = 2x4 − 3x3 + 5x2 − x + 1

Q(x) = 3x2 − 4x + 6

Calcula el valor numèric del polinomi

x4 − 3x3 + x2 + 1, per a x = i x = .−1

3

1

2

5

4

3

2

1

Polinomis2

MA

TE

MÀ

TIQ

UE

S

I N

OVE

S T

EC

NO

LO

GIE

S

7. MATEMÀTIQUES I NOVES

TECNOLOGIESA partir d’una introducció sobre l’ús

de programes informàtics comDerive, Cabri o Excel es

desenvolupen, pas a pas,continguts matemàtics. A

continuació, es proposen activitatsperquè l’alumne pugui treballar

aquests continguts des del punt devista de les noves tecnologies.

917232 _ 0001-0019.qxd 23/12/08 11:52 Página 17

18

8. JOCS MATEMÀTICS

� MATEMÀTIQUES I (1r BATXILLERAT) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �402 � MATEMÀTIQUES I (1r BATXILLERAT) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �

1

403

1

JOC

S M

ATE

MÀ

TIC

S

JOCS DE POSICIÓ

LES GRANOTES SALTADORESNombre de participants

És un joc per a un jugador.

Material

El material és un tauler d’1 fila i 7 caselles. Les fitxes són de 2 colors. Es disposen de la manera següent:

Objectiu

L’objectiu del joc és que les fitxes (granotes) intercanviïn la seva posició inicial, és a dir, les fitxes grises ocuparan el lloc de les negres, i aquestes ocuparan el lloc de les grises. S’ha d’intentar que el nombre de moviments sigui el mínim possible.

Regles del joc

Juga diverses vegades per familiaritzar-te amb el joc. En cada cas, no paris fins a conseguir l’objectiu:

intercanviar les fitxes grises i negres respectant les regles del joc. És possible que alguna vegada et quedis

bloquejat, és a dir, que no puguis seguir movent les fitxes. No et desanimis, descansa

i torna a jugar després.

Juga amb 4 fitxes en lloc de fer-ho amb 6 fitxes.

Comprova que, ara, les situacions de bloqueig són més fàcils d’evitar.

2

1

EXPERIMENTA I JUGA

El quadre següent reflecteix les jugades fetes durant una partida amb 2 fitxes de cada color.

A la fila superior del quadre apareix la posició de les fitxes quan comença el joc.

A sota hi ha les posicions que van prenent les fitxes després de cada jugada.

A la columna de l’esquerra s’indiquen les jugades successives.

a) Què hauria passat si a la jugada 5a haguéssim jugat com s’indica a continuació?

b) Es pot continuar jugant després d’aquesta jugada?

c) Per què?

Observa que només pots retrocedir a posicions anteriors (acció prohibida). Direm, aleshores, que s’ha produït un bloqueig en unir-se les dues fitxes de color gris.

d) És desitjable aquesta posició de les fitxes per a un jugador?

e) Creus que pot ser una bona estratègia evitar les jugadas en què s’uneixin dues fitxes del mateix color? Justifica la resposta.

1

INVESTIGA

1a Les fitxes grises només es poden moure cap a la dreta i les negres cap a l’esquerra.

2a Cada fitxa pot avançar a una casella contigua si està buida. Per exemple, de la posició A es passa a la posició B.

Posició A Posició B

3a Una fitxa pot saltar per sobre d’una altra de color diferent, si a continuació d’aquesta hi ha una casellabuida. Per exemple, de la posició C es passa a la posició D.

Posició C Posició D

4a No cal moure una fitxa de color diferent a la que hem mogut l’última vegada.

5a En una casella no hi pot haver més d’una fitxa.

Posicions de les fitxes després de cada jugada

Posició inicial

Jugada 1a

Jugada 2a

Jugada 3a

Jugada 4a

Jugada 5a

Jugada 6a

Jugada 7a

Jugada 8a

1.ª

2.ª

3.ª

4.ª

5.ª

6.ª

7.ª

8.ª

Jugada 4a

Jugada 5a 5a

Conjunt d’activitats en les quals es plantegen

diferents jocs matemàtics, des de jocs de posició o tipus NIM,

fins a problemes d’enginy o jocs de bloqueig.

Amb ells, l’alumne podrà desenvoluparestratègies i habilitats matemàtiques

de manera lúdica. A més, es podrà fomentar el treball en equip.

9. OLIMPÍADES MATEMÀTIQUES

� MATEMÀTIQUES I (1r BATXILLERAT) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �470 � MATEMÀTIQUES I (1r BATXILLERAT) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �

1

471

1OLIMPÍADES MATEMÀTIQUES

ARITMÈTICA I ÀLGEBRA

Un polinomi P(x) dividit entre (x − 2) dóna residu 4, i un altre polinomi Q(x) dóna residu 3 en dividir-lo

entre (x − 2).

a) El residu de la divisió [P(x) ⋅ Q(x)] : (x − 2) és 3 ⋅ 4 = 12?

b) Existeix un resultat semblant per a divisions arbitràries? Si el residu de P(x) : S(x) és R1(x)

i el residu de Q(x) : S(x) és R2(x), és cert que el residu de [P(x) ⋅ Q(x)] : S(x) és R1(x) ⋅ R2(x)?

(Premi Extraordinari de Batxillerat, 1993/94)

SOLUCIÓ:

a) Com que P(2) = 4 i Q(2) = 3, si C(x) és el quocient resultant de dividir [P(x) ⋅ Q(x)] entre (x − 2)

i r és el residu, es verifica que:

P(x) ⋅ Q(x) = C(x) ⋅ (x − 2) + r

P(2) ⋅ Q(2) = C(2) ⋅ 0 + r → r = P(2) ⋅ Q(2) = 4 ⋅ 3 = 12

b) En aquest cas, S(x) no ha de ser necessàriament un polinomi de primer grau quan es verifiquen

les condicions anteriors.

Donats P(x) = x2 − x, Q(x) = x2 + x i S(x) = x2 − 1, si fem les divisions:

P(x) = (x 2 − 1) ⋅ 1 + (−x + 1) i Q(x) = (x 2 − 1) ⋅ 1 + (x + 1)

Quan dividim P(x) ⋅ Q(x) = x4 − x2 entre S(x) obtenim de residu 0:

R1(x) ⋅ R2(x) = 1 − x2 � 0

Trobeu totes les solucions enteres positives, x i y, de l’equació P ⋅ (x + y) = xy,

en què P és un nombre primer.

(Olimpíada de Batxillerat. Fase de Districte)

SOLUCIÓ:

Siguin x i y diferents de zero. Si aïllem x + y, tenim que:

que ha de ser un nombre enter positiu.

Com que P és primer, resulta que x = P⋅

o y = P⋅.

Si x = P⋅= kP, aleshores:

amb k � 1, ja que si k = 1, P + y = y → P = 0, que no és possible perquè és un nombre primer.

Com que y ∈ Z +, aleshores . Però k no és divisible per k − 1, i per tant k − 1 serà

un divisor de P, que és nombre primer, amb k − 1 = ±1 o k − 1 = ±P,

i els possibles valors de k són 2, 0, P + 1 o 1 − P.

Si k = 0: x = y = 0 Si k = P + 1: x = P(P + 1) i y = P + 1

Si k = 2: x = 2P, y = 2P Si k = 1 − P: x = P(1 − P) i y = P − 1

Les solucions són: (2P, 2P); (P(P + 1), P + 1); (P(1 − P), P − 1).

Com que l’equació és simètrica, les parelles anteriors en ordre invers també són solucions.

kP

k −∈ +

1Z

kP y ky ykP

k+ = =

−→

1

x yx y

P+ =

2

1

En una cafeteria, un got de llimonada, tres entrepans i set brioxos han costat

1 xelí i 2 penics, i un got de llimonada, quatre entrepans i deu brioxos

valen 1 xelí i 5 penics. Trobeu el preu de:

a) Un got de llimonada, un entrepà i un briox.

b) Dos gots de llimonada, tres entrepans i cinc brioxos.

Teniu en compte que 1 xelí són 12 penics.

(XIX Olimpíada de Batxillerat. Fase Nacional)

SOLUCIÓ:

Siguin x, y, z els preus respectius d’un got de llimonada, un entrepà i un briox,

i a, b són els preus demanats.

Es verifica que:

Si considerem les dues primeres equacions del sistema, i prenem com a paràmetro z, obtenim:

Si substituïm aquests valors a les equacions tercera i quarta, es verifica que:

En la successió de nombres primers hi ha nombres que són gairebé iguals: 11 i 13; 17 i 19;

29 i 31; … Demostreu que el nombre comprès entre aquests nombres primers especials

és sempre un múltiple de 6 (excepte el parell 3 i 5).


SOLUCIÓ:

Siguin p i q dos d’aquests nombres primers, amb p < q, i x és el nombre enter que hi està comprès.

Perquè x sigui múltiple de 6, també ha de ser-ho de 2 i de 3.

Com que p és un nombre primer, és imparell i, per tant, x és múltiple de 2.

Si tres nombres són consecutius, un d’ells és múltiple de 3; per tant, x també és

múltiple de 3.

Com que x és múltiple de 2 i de 3, també és múltiple de 6.

Una altra manera:

Fem la demostració per reducció a l’absurd.

Suposem que x no és múltiple de 6, aleshores x = 6⋅+ n, amb n = 1, 2, 3, 4 o 5.

Si x = 6⋅+ 1 → p = 6

⋅, que no és primer.

Si x = 6⋅+ 2 → q = 6

⋅+ 3 = 3


Si x = 6⋅+ 3 → p = 6

⋅+ 2 = 2


Si x = 6⋅+ 4 → p = 6

⋅+ 3 = 3


Si x = 6⋅+ 5 → q = 6

⋅+ 6 = 6


En conseqüència, x ha de ser múltiple de 6.

4

5 2 3 3

10 4 9 9 58

+ + − + =+ + − + =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

=z z z az z z b

a b→ i == 19

x y zx y z

x z y z+ = −+ = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= + = −3 14 7

4 17 105 2 3 3→ i

2 122 17

1

3 7 144 10 17

2 3 5

x y zx y zx y z ax y z

+ + =+ + =+ + =+ + ==

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪ b

3

OLIM

PÍA

DES

MATEM

ÀTIQ

UES

Selecció d’activitats i problemes extretsd’olimpíades i concursos matemàtics.Classificades per blocsde continguts i totalment resoltes.


Trobeu la suma

.


SOLUCIÓ:

Descomponem el terme general en una suma de fraccions simples:

I el terme general val:

La suma demanada és:

Una altra manera:

També es pot trobar la suma per a n = 1, 2, 3, …; obtenir l’expressió de Sn i demostrar

que és vàlida per a qualsevol valor de n pel mètode d’inducció.

Si donem a n els valors 1, 2, 3, …, obtenim les sumes:

Suposem que la forma de Sn és:

Per a n = 1, l’expressió és vàlida ja que .

Suposem que l’expressió és vàlida per a n = k, és a dir, .

Demostrem que és certa per a n = k + 1:

Veiem que també es verifica.

S S k k

k

kk k

k

kk

+ =+ + +

= ++ + +

=+

1

2

1

1 21

1

1 2

1

( )( )( )( )

( )

(( )( )k k

k

k+ +

=++

1 2

1

2

Sk

kk = + 1

S1

1

2=

Sn

nn = + 1

SS

S

12

3

1

2

2

3

2

2 1

3

4

3

3 1

== = +

= = +…

Sn = −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟+ −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟+ −⎛

⎝1

1

2

1

2

1

3

1

3

1

4⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟+ + −

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟+ − +⎛

⎝⎜⎜

…1

1

1 1 1

1

n n n n⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟= − +

= +11

11

n

n

n

1

1

1 1

1

n nn n

( )+= − +

1

11

1

1

0

1

n n

A

n

B

n

A n Bn

n n

A B

A

( )

( )

( )

+= + +

=+ +

+

+ =

=⎧⎨⎪

→ ⎪⎪⎩⎪⎪

= = −→ A B1

1i

Sn n

n = ⋅+ ⋅

+ ⋅+ + +

1

1 2

1

2 3

1

3 4

1

1… ( )

7

473

1


Escrits els nombres naturals segons la configuració següent.

1

23

4

56

78

9

10 11 12 13 14 15 16

……

……

……

…

Es demana trobar la suma dels nombres situats a la fila n-èsima.


SOLUCIÓ:

Els elements de cada fila formen una progressió aritmètica de diferència 1.

Per tant, calcularem el primer i l’últim terme de cada fila i el nombre de termes.

Cada fila acaba en 1 = 12, 4 = 22, 9 = 32…, per tant, la fila n-èsima acaba en n2.

Com que el primer terme de cada fila és igual a l’últim terme de la fila anterior augmentat en una unitat,

aleshores el primer terme de la fila n-èsima és (n − 1)2 + 1.

El nombre de termes és 1 a la primera fila, 3 a la segona, 5 a la tercera i 2n − 1 a la fila n-èsima.

La suma que ens demanen és:

Sigui a � 1 un nombre real positiu i n un nombre enter més gran que 1. Demostreu que:

(XLIII Olimpíada de Batxillerat. Fase Nacional)

SOLUCIÓ:

El segon membre de la desigualtat es pot escriure:

Hem de demostrar que:

Si extraiem l’arrel quadrada, és equivalent a:

Com que

, tenim que:

El primer membre és la mitjana geomètrica dels nombres 1, a, a2, …, a

n−1:

El segon membre és la mitjana aritmètica d’1, a, a2, …, a

n−1.

Com que la mitjana aritmètica de n nombres positius és més gran que la seva mitjana geomètrica,

queda demostrada la desigualtat.

12

11 2

1

1

2

1

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ==

=

−+ + + −

−−

a a a aa

a

n

n

nn

n nn

n

…

… ( )

( )22

aa a

a

nn

n

−

−

<+ + + +

1

21

12

…

aa

a aa

n

n

−

−= + + + +

−

1

11

21

…

aaa

nnn−

<−

−

1 1

12:

naa

a aaan n

n

n

2

21

11

1

1

1<

−

−⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⋅

<−

−⎛

⎝−−

→⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

22

: n

a a

a a

aa

a a

aan

nn

nn

+ −

+ −=

−−

=−

−⎛

−

−

2

2

1

1

1

1

1

2

2( ) :

( ) : ⎝⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⋅ −

21a n

na a

a a

nn

2 1

2

2<+ −

+ −

−

−6

Sn

n n n n n

=− + + − = − + −

[( )]( ) (

)( )

1 1 2 1

2

1 2 1

22 2

5


OLIM

PÍA

DES

MATEM

ÀTIQ

UES

917232 _ 0001-0019.qxd 16/12/08 13:50 Página 18

El CDLa Guia del professor s’acompanya d’un CD que conté:

LA GUIA

Es proporciona la Guia en format pdf, per tal que se’n pugui imprimir amb facilitat el que faci falta, sense haver de fer fotocòpies.

EL TERCER NIVELL DE CONCRECIÓ

Aquesta part conté la programació de cada una de les unitats didàctiques.

19

917232 _ 0001-0019.qxd 16/12/08 13:50 Página 19


Nombres reals

• Utilitzar els nombres enters, racionals i irracionals per quantificar situacions de la vida quotidiana.

• Aplicar adequadament la jerarquia de les operacions i els parèntesis en les operacions combinades de nombres reals.

• Ordenar i representar els nombres reals sobre la recta real.

• Conèixer i utilitzar les diferents classes d’intervals.

• Operar fent servir la notació científica i les aproximacions.


• Operar amb radicals. Racionalitzar expressions amb arrels al denominador.

• Emprar adequadament el concepte de logaritme d’un nombre.

• Aplicar les propietats dels logaritmes en la resolució de problemes i equacions logarítmiques i exponencials.

OBJECTIUS

• Nombres racionals, irracionals i reals.

• Comparació de nombres racionals utilizant la representació d’una fracció.

• Recta real. Ordenació dels nombres reals.

• Ús de les propietats de l’ordre en el conjunt R en contextos diferents.

• Valor absolut d’un nombre real.

• Intervals.

• Aproximacions. Errors absolut i relatiu.

• Notació científica.

• Radicals. Radicals equivalents. Racionalització.

• Logaritme d’un nombre. Propietats.

• Equacions logarítmiques i exponencials.

• Reconeixement i creació de nombres irracionals.

• Expressió i representació d’un conjunt numèric en forma d’interval.

• Aplicació del valor absolut i la distància entre nombres reals en la resolució de problemes.

• Ús de nombres expressats en notació científica.

• Realització de càlculs amb nombres fent servir les aproximacions, i expressar l’error comès.

• Expressió d’un radical com a potència d’exponent fraccionari, i a la inversa.

• Realització d’operacions amb radicals. Racionalització d’expressions.

• Aplicació de les propietats dels logaritmes en diversos contextos.

• Reconeixement i resolució d’equacions logarítmiques i exponencials.

CONTINGUTS

1917232 _ 0020-0047.qxd 16/12/08 13:56 Página 20


PR

OG

RA

MA

CIÓ

D’A

ULA1

• Operar amb nombres enters, racionals i reals, aplicant la jerarquia de les operacions.

• Reconèixer el conjunt numèric mínim al qual pertany un nombre donat.

• Resoldre situacions de la vida quotidiana, utilitzant les operacions de nombres decimals, fraccionaris i reals.

• Expressar resultats usant la representació de nombres reals i els diversos tipus d’intervals.

• Emprar amb soltesa la notació científica.


• Operar amb radicals.

• Racionalitzar expressions amb arrels al denominador.

• Utilitzar adequadament el concepte de logaritme d’un nombre.

• Emprar les propietats dels logaritmes en la resolució de problemes i equacions logarítmiques i exponencials.


917232 _ 0020-0047.qxd 16/12/08 13:56 Página 21


Successions. Progressions

• Reconèixer successions de nombres reals, obtenir diferents termes a partir d’una regla de formació i determinar el terme general en alguns casos possibles.

• Reconèixer una progressió aritmètica i determinar el seu terme general.

• Reconèixer una progressió geomètrica i determinar el seu terme general.

• Calcular la suma dels n primers termes d’una progressió aritmètica.

• Calcular la suma i el producte dels n primers termes d’una progressió geomètrica.

• Interpolar mitjans aritmètics entre dos nombres donats de manera que formen una progressió aritmètica.

• Interpolar mitjans geomètrics entre dos nombres donats de manera que formen una progressió geomètrica.

• Diferenciar i calcular l’interès simple i compost.

• Resoldre problemes reals on apareguin els conceptes d’interès simple i compost.

OBJECTIUS

• Successions de nombres reals. Terme general.

• Progressions aritmètiques. Terme general.

• Suma dels termes d’una progressió aritmètica.

• Progressions geomètriques.

• Producte dels n primers termes d’una progressió geomètrica.

• Suma dels n primers termes d’una progressió geomètrica.

• Suma dels infinits termes d’una progressió geomètrica.

• Interpolació.

• Interès simple.

• Interès compost.

• Obtenció de diferents termes d’una successió i del seu terme general.

• Reconeixement de les progressions aritmètiques, obtenció de la seva diferència i càlculde diferents termes, del terme general i de la suma dels primers n termes.

• Reconeixement de les progressions geomètriques, obtenció de la seva raó, càlcul dediferents termes, del terme general i de la suma i el producte dels primers n termes.

• Càlcul de la suma dels infinits termes d’una progressió geomètrica quan la raó és méspetita que la unitat.

• Interpolació de mitjans aritmètics i geomètrics.

• Resolució de problemes que impliquin el càlcul de capitals, rèdits i temps en contextosd’interès simple i compost.

• Confiança en les pròpies capacitats per resoldre problemes numèrics.

• Valoració de la utilitat dels conceptes d’interès en la vida real.

CONTINGUTS

2917232 _ 0020-0047.qxd 23/12/08 11:59 Página 22


PR

OG

RA

MA

CIÓ

D’A

ULA2

• Obtenir diferents termes d’una successió a partir de la seva regla de formació i obtenir el terme general en els casos que es pugui.

• Diferenciar les progressions aritmètiques, i obtenir la diferència, el terme general i diferents termes.

• Calcular la suma de n termes d’una progressió aritmètica.

• Distingir les progressions geomètriques, i obtenir la seva raó.

• Trobar correctament el terme general d’una progressió geomètrica.

• Calcular la suma i el producte de n termes d’una progressió geomètrica.

• Calcular la suma dels infinits termes d’una progressió geomètrica en els casos en què la raó sigui menor que 1.

• Interpolar mitjans aritmètics i geomètrics entre dos nombres donats.

• Aplicar correctament les fórmules de l’interès simple i compost.


917232 _ 0020-0047.qxd 16/12/08 13:56 Página 23


Equacions, inequacions i sistemes

• Factoritzar i simplificar polinomis.

• Simplificar fraccions algebraiques.

• Reduir fraccions algebraiques a comú denominador.

• Realitzar operacions de suma, resta, multiplicació i divisió de fraccions algebraiques.

• Interpretar i utilitzar les relacions entre les arrels i els coeficients d’una equació de segon grau.

• Resoldre equacions biquadrades, amb radicals, amb fraccions algebraiques, exponencials i logarítmiques.

• Conèixer i aplicar els mètodes algebraics i gràfics de resolució de sistemes d’equacions lineals.

• Plantejar i resoldre sistemes d’equacions no lineals, utilitzant tècniques algebraiques i gràfiques.

• Resoldre inequacions amb una i dues incògnites.

• Resoldre sistemes d’inequacions, aplicant tècniques algebraiques i gràfiques.

OBJECTIUS

• Arrels d’un polinomi i factorització de polinomis.

• Descomposició d’un polinomi en factors.

• Operacions amb fraccions algebraiques.

• Classificació d’una fracció algebraica com a irreductible o reductible.

• Simplificació de fraccions algebraiques reductibles.

• Reducció d’un conjunt de fraccions algebraiques a comú denominador.

• Realització de sumes, restes, multiplicacions i divisions de fraccions algebraiques.

• Equacions de segon grau, biquadrades, amb radicals, fraccions algebraiques,exponencials i logarítmiques.

• Ús de les relacions entre els coeficients d’una equació de segon grau i les seves arrels per resoldre problemes diversos.

• Reconeixament i resolució d’equacions de diferents tipus aplicant de manera ordenada els passos adequats.

• Sistemes d’equacions lineals i no lineals.

• Plantejament i resolució de sistemes d’equacions, i aplicar-los per resoldre problemesde la vida quotidiana.

• Desigualtats. Inequacions. Sistemes d’inequacions lineals.

• Resolució d’inequacions de primer grau amb una i dues incògnites i de sistemes amb inequacions lineals.

CONTINGUTS

3917232 _ 0020-0047.qxd 23/12/08 11:59 Página 24


PR

OG

RA

MA

CIÓ

D’A

ULA3

• Determinar si un polinomi és irreducible o no.

• Obtenir fraccions algebraiques equivalents a una fracció donada, i simplificar i distingir si una fracció algebraica és irreductible o no.

• Reduir un conjunt de fraccions algebraiques a comú denominador.

• Sumar, restar, multiplicar i dividir fraccions algebraiques.

• Utilitzar la fórmula general, el discriminant i les relacions entre arrels i coeficients per resoldre equacions de segon grau.

• Distingir i resoldre equacions de diferents tipus: biquadrades, radicals, etc.

• Transformar situacions reals en equacions o sistemes d’equacions lineals.

• Resoldre, analíticament i gràficament, sistemes lineals d’equacions, i determinar-ne la compatibilitat o incompatibilitat.

• Resoldre problemes reals emprant sistemes no lineals d’equacions, i determinar la compatibilitat o incompatibilitat d’aquests sistemes.

• Trobar el conjunt solució d’una inequació amb una incògnita, i representar-lo sobre la recta numèrica.

• Resoldre inequacions amb dues incògnites i sistemes amb inequacions, i representar el conjunt solució de manera gràfica.


917232 _ 0020-0047.qxd 23/12/08 11:59 Página 25


Trigonometria

• Reconèixer els sistemes de mesura d’angles.

• Obtenir les raons trigonomètriques d’un angle agut.

• Reconèixer les raons trigonomètriques d’un angle qualsevol, obtenir-les i emprar-les per resoldre problemes.

• Aplicar les relacions trigonomètriques en diversos contextos.

• Utilitzar les raons trigonomètriques de la suma i la diferència de dos angles, així com les raons de l’angle doble i de l’angle meitat.

• Resoldre triangles rectangles i aplicar els teoremes del sinus i del cosinus en la resolució de problemes.

• Resoldre triangles qualssevol a partir d’unes dades determinades.

• Reconèixer i resoldre equacions trigonomètriques.

OBJECTIUS

• Angles. Mesura d’angles.

• Ús del concepte d’angle i dels sistemes de mesura d’angles: graus i radians, passantdels uns als altres.

• Raons trigonomètriques d’un angle qualsevol.

• Reconeixement i càlcul de les raons trigonomètriques d’un angle qualsevol, i ús de les seves relacions per resoldre problemes.

• Relacions trigonomètriques fonamentals.

• Aplicació de les relacions trigonomètriques en contextos diferents.

• Raons trigonomètriques de la suma de dos angles, de l’angle doble i de l’angle meitat.

• Resolució de triangles rectangles. Teorema del sinus. Teorema del cosinus.

• Resolució de triangles qualssevol.

• Resolució de problemes reals mitjançant la resolució d’un triangle qualsevol, calculant-ne els angles i els costats desconeguts a partir de les dades conegudes.

• Equacions trigonomètriques.

• Identificació, resolució i discusió d’equacions trigonomètriques.

CONTINGUTS

4917232 _ 0020-0047.qxd 16/12/08 13:56 Página 26


PR

OG

RA

MA

CIÓ

D’A

ULA4

• Utilitzar el concepte d’angle i emprar diferents mesures d’angles: passar de graus a radians, i a la inversa.

• Distingir i trobar les raons trigonomètriques d’un angle qualsevol, i emprar les relacions entre elles per resoldre problemes.

• Aplicar les relacions trigonomètriques en contextos diversos.

• Obtenir i utilitzar les raons trigonomètriques de la suma de dos angles, de l’angle doble i de l’angle meitat.

• Resoldre triangles rectangles i aplicar els teoremes del sinus i del cosinus en la resolució de problemes.

• Resoldre problemes reals mitjançant la resolució d’un triangle qualsevol, calculant els angles i els costats que hi falten a partir de les dades conegudes, i comprovant-ne la solució obtinguda.

• Reconèixer, resoldre i discutir equacions trigonomètriques.


917232 _ 0020-0047.qxd 16/12/08 13:56 Página 27


Nombres complexos

• Treballar amb nombres complexos expressats en forma binòmica, determinar-ne la part real i imaginària, calcular-ne l’oposat i el conjugat, i representar-los gràficament.

• Efectuar sumes, restes, productes i quocients de nombres complexos expressats en forma binòmica, així com potències de la unitat imaginària.

• Passar de l’expressió binòmica d’un nombre complex a l’expressió polar i trigonomètrica, i a la inversa.

• Multiplicar, dividir i calcular potències de nombres complexos en forma polar, utilizant la fórmula de Moivre.

• Calcular les arrels n-èsimes d’un nombre complex i representar-les gràficament.

OBJECTIUS

• Ampliació del conjunt R.

• Resolució de problemes en què s’ampliï el conjunt R.

• Nombres complexos en forma binòmica. Representació. Operacions.

• Reconeixement dels nombres complexos expressats en forma binòmica, determinacióde la part real i imaginària, càlcul del complex conjugat i del complex oposat,i obtenció de la representació gràfica d’un nombre complex.

• Càlcul d’operacions amb nombres complexos expressats en forma binòmica.

• Forma polar i trigonomètrica d’un nombre complex.

• Reconeixement dels nombres complexos expressats en forma polar, i determinació del mòdul i l’argument.

• Pas d’unes formes a altres. Operacions en forma polar.

• Potències en forma polar. Fórmula de Moivre.

• Càlcul de productes, quocients i potències de nombres complexos expressats en forma polar, emprant la fórmula de Moivre per a les potències.

• Arrels de nombres complexos.

• Obtenció i representació de les arrels n-èsimes d’un nombre complex.

CONTINGUTS

5917232 _ 0020-0047.qxd 16/12/08 13:56 Página 28


PR

OG

RA

MA

CIÓ

D’A

ULA5

• Utilitzar els nombres complexos per trobar la solució de problemes que no es poden resoldre en el conjunt R.

• Treballar amb nombres complexos expressats en forma binòmica, obtenir-ne la part real i imaginària, trobar el complex conjugat i el complex oposat, i representar-los gràficament.

• Sumar, restar, multiplicar i dividir nombres complexos expressats en forma binòmica.

• Treballar amb nombres complexos expressats en forma polar, determinar-ne el mòdul i l’argument, i representar-los gràficament.

• Transformar nombres complexos expressats en forma binòmica en forma polar i trigonomètrica, i a la inversa.

• Operar amb nombres complexos expressats en forma polar, emprant la fórmula de Moivre per a les potències de complexos.

• Trobar i representar les arrels n-èsimes d’un nombre complex.


917232 _ 0020-0047.qxd 16/12/08 13:56 Página 29


Geometria analítica

• Utilitzar els conceptes de vector, i els seus elements: mòdul, direcció i sentit.

• Distingir si dos vectors són equivalents, i calcular les coordenades d’un vector si se’n coneixen els extrems.

• Efectuar operacions de suma de vectors i producte per un nombre real, així com combinacions lineals de vectors.

• Distingir si dos vectors en el pla són linealment dependents o independents i si formen base, i obtenir les coordenades d’un vector en una base.

• Obtenir el producte escalar de dos vectors, i aplicar-lo al càlcul del mòdul d’un vector i de l’angle que formen dos vectors.

• Reconèixer i trobar l’equació vectorial, les equacions paramètriques, l’equació contínua,l’equació general, l’equació explícita i l’equació punt-pendent d’una recta.

• Determinar la posició relativa de dues rectes en el pla.

OBJECTIUS

• Vectors: mòdul, direcció i sentit.

• Ús dels conceptes de vector: mòdul, direcció i sentit, en contextos diferents ideterminació de l’existència o no d’equivalència entre dos vectors.

• Operacions amb vectors.

• Sumes de vectors, producte d’un nombre per un vector, i obtenció de combinacions lineals de vectors, de manera gràfica.

• Dependència lineal. Bases. Coordenades.

• Determinació de la relació de linealitat entre dos vectors, i càlcul de les coordenades d’un vector en una base qualsevol.

• Producte escalar. Propietats. Aplicacions del producte escalar.

• Obtenció del producte escalar de dos vectors, i ús de les seves propietats per resoldre diversos problemes: càlcul del mòdul d’un vector, de l’angle de dos vectors...

• Vector director d’una recta.

• Equació vectorial d’una recta. Equacions paramètriques d’una recta.

• Equació contínua. Rectes paral·leles als eixos de coordenades.

• Equació general.

• Equació explícita. Equació punt-pendent.

• Posicions relatives de dues rectes al pla.

CONTINGUTS

6917232 _ 0020-0047.qxd 16/12/08 13:56 Página 30


PR

OG

RA

MA

CIÓ

D’A

ULA6

• Determinar el mòdul, la direcció i el sentit d’un vector, l’equivalència o no amb un altre vector, i calcular-ne els components.

• Sumar vectors, multiplicar-los per un nombre real i obtenir combinacions lineals de vectors, de manera gràfica.

• Determinar la relació de linealitat entre dos vectors.

• Obtenir les coordenades d’un vector en una base qualsevol.

• Trobar el producte escalar de dos vectors de manera gràfica i analítica, i fer-ne servir les propietats per resoldre problemes diversos.

• Calcular la distància entre dos punts i l’angle de dos vectors.

• Reconèixer i calcular l’equació vectorial d’una recta.

• Determinar les equacions paramètriques d’una recta, a partir de l’equació vectorial.

• Calcular les equacions paramètriques d’una recta que passa per dos punts.

• Trobar l’equació contínua d’una recta, a partir de l’equació vectorial.

• Calcular l’equació general d’una recta.

• Calcular l’equació explícita d’una recta, a partir de l’equació contínua.

• Obtenir l’equació punt-pendent d’una recta, a partir de l’equació explícita.

• Distingir si un punt pertany o no a una recta donada.

• Determinar la posició relativa de dues rectes al pla.


917232 _ 0020-0047.qxd 16/12/08 13:56 Página 31


Llocs geomètrics. Còniques

• Identificar els llocs geomètrics més comuns i raonar-ne la definició.

• Reconèixer l’el·lipse i els seus elements característics, i aplicar les diverses formes d’expressar-nel’equació.

• Distingir la hipèrbola i els seus elements característics, i aplicar les diverses formes d’expressar-ne l’equació.

• Reconèixer la paràbola i els seus elements característics, i aplicar les diverses formes d’expressar-ne l’equació.

• Definir la circumferència i els seus elements característics, i trobar-ne l’equació en diverses situacions.

• Reconèixer i analitzar les posicions de dues circumferències.

• Reconèixer i analitzar les diverses posicions d’una recta i una circumferència, i caracteritzar les rectes tangent i normal a la circumferència.

OBJECTIUS

• Llocs geomètrics.

• El·lipse: definició, elements, propietats i equació.

• Hipèrbola: definició, elements, propietats i equació.

• Ús de la relació entre els semieixos major, menor (o imaginari) i focal en l’el·lipse i en la hipèrbola per resoldre problemes.

• Obtenció de l’excentricitat d’el·lipses i hipèrboles, i reconeixement de la influència que té en la forma d’aquestes còniques.

• Càlcul de l’equació de l’el·lipse i la hipèrbola amb centre al punt (h, k) i eixos paral·lels als eixos de coordenades.

• Paràbola: definició, elements, propietats i equació.

• Representació gràfica i obtenció de l’equació d’una paràbola d’eixos paral·lels als eixos de coordenades.

• Circumferència: definició, elements i equació.

• Determinació de l’equació d’una circumferència en diverses situacions.

• Posició relativa de dues circumferències.

• Posició relativa d’una recta i una circumferència.

• Resolució de problemes reals en què apareguin còniques.

CONTINGUTS

7917232 _ 0020-0047.qxd 16/12/08 13:56 Página 32


PR

OG

RA

MA

CIÓ

D’A

ULA7

• Trobar l’equació de l’el·lipse, si se’n coneixen alguns dels elements.

• Determinar les coordenades del centre, vèrtexs i focus d’una el·lipse de centre (h, k), donada la seva equació reduïda o general.

• Trobar l’equació de la hipèrbola de centre (h, k), si se’n coneixen alguns dels elements.

• Representar i trobar els elements de diverses paràboles, donada la seva equació reduïda.

• Reconèixer i calcular l’equació d’una circumferència en diferents casos.

• Identificar la posició relativa de dues circumferències.

• Identificar la posició relativa d’una recta respecte d’una circumferència.

• Resoldre problemes reals en què apareguin còniques en diversos contextos.


917232 _ 0020-0047.qxd 16/12/08 13:56 Página 33


Funcions

• Comprendre el concepte de funció.

• Trobar el domini i el recorregut d’una funció, donada la seva gràfica o la seva expressió algebraica.

• Determinar el creixement o el decreixement d’una funció, i obtenir-ne els màxims i els mínims absoluts i relatius.

• Analitzar la concavitat i la convexitat d’una funció.

• Distingir les simetries d’una funció.

• Reconèixer si una funció és periòdica.

• Obtenir funcions a partir de la transformació d’altres funcions.

• Efectuar operacions amb funcions.

• Compondre dues funcions o més.

• Calcular la funció inversa d’una funció donada.

OBJECTIUS

• Funció: variable dependent i independent, domini i recorregut.

• Obtenció del domini i el recorregut d’una funció.

• Càlcul d’imatges en una funció.

• Creixement i decreixement. Màxims i mínims absoluts i relatius.

• Anàlisi del creixement d’una funció i obtenció dels màxims i mínims absoluts i relatius.

• Concavitat i convexitat.

• Punts de tall amb els eixos. Simetries. Periodicitat.

• Determinació de les simetries d’una funció respecte de l’eix d’ordenades i respecte de l’origen (funcions parelles i imparelles).

• Anàlisi de la periodicitat d’una funció.

• Obtenció de funcions a partir de la transformació d’altres funcions.

• Composició de funcions.

• Funció inversa d’una funció.

CONTINGUTS

8917232 _ 0020-0047.qxd 16/12/08 13:56 Página 34


PR

OG

RA

MA

CIÓ

D’A

ULA8

• Trobar el domini i el recorregut d’una funció, si en coneixem el gràfic o l’expressió algebraica.

• Obtenir imatges en una funció.

• Determinar el creixement o el decreixement d’una funció, i obtenir-ne els màximsi els mínims absoluts i relatius.

• Estudiar la concavitat i la convexitat d’una funció.

• Distingir les simetries d’una funció respecte de l’eix Y i de l’origen, i reconèixer si una funció és parella o imparella.

• Determinar si una funció és periòdica.

• Transformar funcions per obtenir altres funcions a partir d’elles.

• Compondre dues funcions o més.

• Calcular la inversa d’una funció.


917232 _ 0020-0047.qxd 16/12/08 13:56 Página 35


Funcions elementals

• Distingir les funcions polinòmiques pel grau: de primer grau, rectes, i de segon grau, paràboles.

• Identificar els elements principals d’una paràbola: vèrtex i eix de simetria.

• Representar gràficament i analitzar qualsevol tipus de paràbola, a partir de l’estudi de les seves característiques.

• Obtenir la gràfica d’una funció de proporcionalitat inversa, a partir de la seva expressió algebraica.

• Reconèixer i representar hipèrboles derivades de funcions de proporcionalitat inversa.

• Identificar i representar funcions radicals.

• Interpretar i representar les funcions exponencials i logarítmiques.

• Aplicar les propietats de les funcions exponencials i logarítmiques en la resolució de problemes.

• Conèixer les característiques principals de les funcions trigonomètriques i representar-les gràficament.

• Representar funcions definides a trossos.

OBJECTIUS

• Funcions polinòmiques de primer grau: rectes.

• Funcions polinòmiques de segon grau: paràboles.

• Representació gràfica de funciones polinòmiques de primer i de segon grau.

• Funcions de proporcionalitat inversa: hipèrboles.

• Representació gràfica d’una funció de proporcionalitat inversa.

• Funcions racionals.

• Funcions radicals.

• Representació gràfica i estudi de les característiques de la funció radical.

• Funcions exponencials.

• Interpretació i representació de la funció exponencial.

• Funcions logarítmiques.

• Interpretació i representació de la funció logarítmica.

• Funcions trigonomètriques.

• Característiques de les funciones trigonomètriques.

• Funcions definides per trossos.

CONTINGUTS

9917232 _ 0020-0047.qxd 16/12/08 13:56 Página 36


PR

OG

RA

MA

CIÓ

D’A

ULA9

• Representar gràficament funcions polinòmiques de primer i de segon grau.

• Estudiar i representar gràficament funcions de proporcionalitat inversa.

• Representar funcions radicals.

• Determinar, analíticament i gràficament, la funció exponencial.

• Identificar i interpretar les gràfiques de les funcions exponencials.

• Interpretar i representar les gràfiques de les funcions logarítmiques.

• Determinar funcions trigonomètriques.

• Representar gràficament funcions definides per trossos.


917232 _ 0020-0047.qxd 16/12/08 13:56 Página 37


Límit d’una funció

• Reconèixer successions de nombres reals, obtenir-ne diversos termes a partir de la regla de formació i determinar-ne el terme general quan sigui possible.

• Calcular el límit d’una successió de nombres reals.

• Determinar, si existeix, el límit d’una funció en un punt i trobar-ne els límits laterals.

• Obtenir els límits infinits i a l’infinit d’una funció.

• Calcular els límits de les operacions amb funcions.

• Resoldre les indeterminacions del tipus i � − � en el càlcul de límits.

• Estudiar l’existència d’asímptotes en una funció.

• Determinar la continuïtat d’una funció en un punt, estudiar-ne les discontinuïtats i distingir-ne el tipus.

� �

�0,

0

0,

OBJECTIUS

• Successions de nombres reals.

• Obtenció de diversos termes d’una successió i del terme general.

• Límit d’una successió.

• Càlcul del límit d’una successió.

• Obtenció, si existeix, del límit d’una funció en un punt i dels límits laterals.

• Determinació dels límits infinits d’una funció.

• Operacions amb límits.

• Límit d’una funció. Límits laterals. Indeterminacions.

• Ús de les propietats dels límits per al càlcul de límits d’operacions amb funcions.

• Resolució d’indeterminacions en el càlcul de límits.

• Branques infinites i asímptotes.

• Estudi de funcions en l’infinit (branques infinites).

• Càlcul d’asímptotes horitzontals, verticals i obliqües en una funció.

• Continuïtat en un punt. Tipus de discontinuïtat.

• Determinació de la continuïtat d’una funció en un punt, i estudi de les seves discontinuïtats.

CONTINGUTS

10917232 _ 0020-0047.qxd 16/12/08 13:56 Página 38


PR

OG

RA

MA

CIÓ

D’A

ULA10

• Trobar diversos termes d’una successió a partir de la regla de formació, i obtenir-ne el terme general quan sigui possible.

• Calcular el límit d’una successió.

• Determinar, si existeix, el límit d’una funció en un punt i els límits laterals.

• Obtenir els límits infinits d’una funció.

• Utilitzar les propietats dels límits per calcular-los.

• Resoldre diversos tipus d’indeterminacions.

• Determinar les asímptotes i les branques infinites d’una funció.

• Trobar la continuïtat d’una funció en un punt i estudiar-ne els tipus de discontinuïtats.


917232 _ 0020-0047.qxd 16/12/08 13:56 Página 39


Derivada d’una funció

• Utilitzar la taxa de variació mitjana d’una funció per interpretar situacions de la vida quotidiana.

• Obtenir la derivada d’una funció en un punt i la funció derivada d’una funció.

• Obtenir l’equació de la recta tangent i la recta normal a una funció en un punt.

• Calcular derivades emprant les regles de derivació.

• Obtenir derivades d’operacions amb funcions.

• Aplicar la regla de la cadena al càlcul de la derivada d’una funció composta.

• Utilitzar la taula de derivades per trobar la funció derivada d’una funció qualsevol.

• Calcular derivades successives.

• Resoldre problemes d’optimació.

OBJECTIUS

• Taxa de variació mitjana d’una funció.

• Càlcul de la variació mitjana d’una funció en un interval.

• Derivada en un punt. Interpretació geomètrica.

• Obtenció de la derivada d’una funció en un punt, i determinació de la funció derivadaque hi està associada.

• Ús de la interpretació geomètrica de la derivada per resoldre problemes.

• Rectes tangent i normal en una funció.

• Obtenció de l’equació de la recta tangent i de la recta normal en una funcióen un punt.

• Funció derivada.

• Determinació de la funció derivada de les funcions elementals.

• Derivades laterales.

• Derivades de les funcions elementals.

• Derivades d’operacions amb funcions. Regla de la cadena.

• Càlcul de derivades d’operacions amb funcions, i aplicació de la regla de la cadena per trobar derivades de funcions compostes.

• Ús de la relació entre la derivada i el creixement d’una funció per resoldre problemes.

• Derivades successives.

• Aplicacions de les derivades.

CONTINGUTS

11917232 _ 0020-0047.qxd 16/12/08 13:56 Página 40


PR

OG

RA

MA

CIÓ

D’A

ULA

• Trobar la taxa de variació mitjana d’una funció en un interval.

• Determinar la derivada d’una funció en un punt, i obtenir la funció derivada que hi està associada.

• Utilitzar la interpretació geomètrica de la derivada per resoldre problemes.

• Obtenir l’equació de la recta tangent i de la recta normal a una funció en un punt.

• Obtenir la funció derivada d’una funció elemental.

• Calcular derivades d’operacions amb funcions, i aplicar la regla de la cadena per trobar derivades de funcions compostes.

• Utilitzar la relació entre derivada i creixement per resoldre problemes.

• Calcular derivades successives d’una funció.

• Resoldre problemes d’optimació en què aparegui el concepte de derivada d’una funció.


11

917232 _ 0020-0047.qxd 16/12/08 13:56 Página 41


Estadística bidimensional

• Interpretar freqüències i taules de variables unidimensionals.

• Trobar valors representatius d’un conjunt de dades, emprant mesures de centralització i dispersió.

• Reconèixer variables estadístiques bidimensionals, i organitzar les dades en una taula de doble entrada.

• Representar i interpretar un conjunt de valors de dues variables mitjançant un diagrama de dispersió.

• Distingir si existeix dependència lineal entre les variables que formen una variable bidimensional.

• Determinar el coeficient de correlació lineal.

• Analitzar el grau de relació de dues variables, si se’n coneix el coeficient de correlació lineal.

• Determinar la recta que s’ajusta millor a un núvol de punts.

• Estimar un valor d’una variable, si es coneix un valor de l’altra variable.

OBJECTIUS

• Freqüències i taules de variables unidimensionals.

• Mesures estadístiques unidimensionals.

• Obtenció de les freqüències absolutes i relatives d’una variable unidimensional d’un conjunt de dades, i expressar-les en forma de taula.

• Variables bidimensionals.

• Freqüències relatives i absolutes de variables bidimensionals. Diagrama de dispersió.

• Obtenció de la mitjana, la mediana i la moda d’un conjunt de dades, agrupades o no.

• Càlcul de la variança, la desviació típica i el coeficient de variació d’un conjunt de dades.

• Representació del diagrama de dispersió d’una variable bidimensional.

• Taules de doble entrada.

• Covariància. Coeficient de correlació. Rectes de regressió. Estimació.

• Obtenció de la covariància d’una variable bidimensional.

• Interpretació i obtenció del coeficient de correlació.

• Càlcul de les rectes de regressió de Y sobre X i de X sobre Y.

• Obtenció d’estimacions a partir de les rectes de regressió.

CONTINGUTS

12917232 _ 0020-0047.qxd 16/12/08 13:56 Página 42


PR

OG

RA

MA

CIÓ

D’A

ULA

• Expressar, en forma de taula, les freqüències absolutes i relatives d’una variable d’un conjunt de dades.

• Resoldre problemes en què intervinguin la mitjana, la mediana i la moda d’un conjunt de dades, agrupades o no.

• Obtenir la variància, la desviació típica i el coeficient de variació d’un conjunt de dades.

• Representar una variable bidimensional fent servir el diagrama de dispersió.

• Calcular la covariància d’una variable bidimensional i el coeficient de correlació lineal entre dues variables, a partir de la covariança i de les desviacions típiques.

• Trobar les rectes de regressió d’una variable bidimensional, i efectuar estimacions i prediccions emprant aquestes rectes.


12

917232 _ 0020-0047.qxd 16/12/08 13:56 Página 43


Probabilitat

• Distingir si un experiment és aleatori o no, i utilitzar els conceptes d’espai mostral, esdeveniment, esdeveniment segur, esdeveniment impossible i esdeveniment complementari.

• Efectuar operacions amb esdeveniments a partir de les seves propietats.

• Reconèixer i utilitzar la probabilitat i les seves propietats.

• Calcular probabilitats de manera experimental o emprant la regla de Laplace.

• Resoldre problemes de probabilitat condicionada.

• Reconèixer problemes de probabilitat composta, distingir si els esdeveniments són dependents o independents, i resoldre’ls.

• Determinar la probabilitat d’un esdeveniment, aplicant el teorema de probabilitat total.

• Aplicar el teorema de Bayes en la resolució de problemes en què apareguin probabilitats a posteriori.

OBJECTIUS

• Experiment aleatori. Espai mostral. Esdeveniment. Operacions amb esdeveniments.Propietats.

• Reconeixement de l’aleatorietat o no d’un experiment.

• Obtenció de l’espai mostral d’un experiment aleatori, dels esdeveniments segur iimpossible i de l’esdeveniment complementari a un de donat. Realització d’operacions amb esdeveniments.

• Probabilitat. Regla de Laplace. Probabilitat condicionada.

• Ús de la definició de probabilitat i càlcul de probabilitats mitjançant la regla de Laplace en contextos d’equiprobabilitat.

• Resolució de problemes de probabilitat condicionada.

• Probabilitat composta. Esdeveniments dependents i independents.

• Reconeixement i resolució de problemes de probabilitat composta, i determinació de la dependència o independència de dos esdeveniments.

• Probabilitat total. Probabilitats «a posteriori». Teorema de Bayes.

• Obtenció de la probabilitat total d’un esdeveniment.

• Reconeixement i ús de les probabilitats a posteriori.• Ús del teorema de Bayes en la resolució de problemes.

CONTINGUTS

13917232 _ 0020-0047.qxd 16/12/08 13:56 Página 44


PR

OG

RA

MA

CIÓ

D’A

ULA

• Distingir si un experiment és aleatori o no.

• Determinar l’espai mostral d’un experiment aleatori.

• Efectuar operacions amb esdeveniments, fent servir les seves propietats.

• Emprar la definició de probabilitat i calcular probabilitats amb la regla de Laplace en contextos d’equiprobabilitat.

• Trobar probabilitats de manera experimental.

• Distingir i resoldre problemes de probabilitat condicionada.

• Reconèixer i resoldre problemes de probabilitat composta.

• Determinar la dependència o independència de dos esdeveniments.

• Calcular la probabilitat total d’un esdeveniment, emprant diagrames d’esdeveniments i diagrames d’arbre.

• Reconèixer i emprar les probabilitats a posteriori.• Utilitzar el teorema de Bayes en la resolució de problemes.


13

917232 _ 0020-0047.qxd 16/12/08 13:56 Página 45


Distribucions binomial i normal

• Reconèixer el concepte de variable aleatòria, els tipus i les funcions de probabilitat i de densitat.

• Identificar les característiques de la funció de distribució, i fer servir la relació que té amb les funcions de probabilitat i densitat.

• Reconèixer la distribució binomial, obtenir diverses probabilitats a partir d’aquesta i calcular-ne la mitjana i la variància.

• Identificar la distribució normal, interpretar la campana de Gauss i tipificar i emprar la taula N(0, 1) en el càlcul de probabilitats.

• Ajustar una distribució binomial mitjançant una normal en els casos en què sigui necessari.

OBJECTIUS

• Funcions de probabilitat i de densitat. Funció de distribució.

• Distinció entre variables aleatòries discretes i contínues.

• Ús de la funció de probabilitat d’una variable aleatòria discreta i de la seva funció de distribució associada en el càlcul de probabilitats.

• Distribució binomial. Mitjana i variància.

• Identificació de la distribució binomial i del valor dels seus paràmetres en situacions de la vida real, càlcul de probabilitats emprant les taules, i obtenció del valor de la mitjana o esperança i la variància.

• Distribució normal. Campana de Gauss. Taula N(0, 1).

• Identificació de la distribució normal i del valor dels paràmetres en situacions reals,interpretació de la campana de Gauss, ús de la taula N(0, 1) i càlcul de probabilitats mitjançant la tipificació.

• Tipificació de la normal. Aproximació de la binomial per la normal.

• Ajust d’una distribució binomial mitjançant una normal en diversos casos.

CONTINGUTS

14917232 _ 0020-0047.qxd 16/12/08 13:56 Página 46


PR

OG

RA

MA

CIÓ

D’A

ULA

• Distingir entre variables aleatòries discretes i contínues.

• Utilitzar la funció de probabilitat d’una variable aleatòria discreta i la funció de distribució que hi està associada.

• Emprar la funció de densitat d’una variable aleatòria contínua i la funció de distribució que hi està associada en el càlcul de probabilitats.

• Identificar la distribució binomial i el valor dels seus paràmetres en situacions de la vida real, calcular probabilitats fent servir les taules i obtenir el valor de la mitjana i la variància.

• Reconèixer la distribució normal i el valor dels seus paràmetres en situacions reals, interpretar la campana de Gauss, emprar la taula N(0, 1) i trobar probabilitats mitjançant la tipificació.

• Ajustar una distribució binomial mitjançant una normal en diversos casos.


14

917232 _ 0020-0047.qxd 16/12/08 13:56 Página 47

48

El codi Da VinciDan Brown

La intriga de la novel·la comença quan el conservador del Museu del Louvre és assassinat a lasala dedicada als pintors italians. Quan arriba la policia, en troben el cos despullat, estirat capper amunt a terra, amb les cames obertes i els braços estesos. L’envolta un cercle i, a l’abdomen, té dibuixada amb sang una estrella de cinc puntes, anomenada pentagrama. Als seus peus hi ha un estrany missatge verbal acompanyat per aquesta successió de nombres: 13 – 3 – 2 – 21 – 1 – 1 – 8 – 5. L’escena els deixa perplexos. Què significa tot això? Sembla que el mort va voler transmetre alguna cosa, però què?

L’inspector de policia opta per trucar a una experta a desxifrarmissatges, Sophie, que, a més, és néta del mort, i a un expert a interpretar obres d’art, el professor nord-americà Langdon, que era a París, convidat per ell, per pronunciar una conferència. Els dos reconeixen immediatament l’al·lusió a un dibuix famós de Leonardo da Vinci, que representa un home despullat dins d’uncercle i d’un quadrat. Seguint aquesta pista, descobreixen una clau amagada pel conservador en un quadre. També s’adonen que aquestsnombres no són arbitraris, sinó que tots pertanyen a una famosasuccessió descoberta al segle XII per un matemàtic i comerciantanomenat Fibonacci i en la qual cada terme s’obté sumant els dos anteriors:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...

Això els porta a pensar que potser sónuna clau per recuperar algun objecte de valor, guardat en algun lloc del món,i que el mort va voler que fossin ellsque ho descobrissin. Decideixen no explicar res del que saben a la policiai emprenen per compte seu una aventurallarga i perillosa a la recerca de l’objecte misteriós. Aquesta cercavertiginosa, perseguits per l’assassí, que també el vol, i per la policia que sospita que el professor Langdon és l’assassí, constitueix l’argument de la novel·la.

La fugida comença al Museudel Louvre.


Nombres reals1

� MATEMÀTIQUES I (1r BATXILLERAT) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © GRUP PROMOTOR/SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �

917232p048a085Rec.qxd 16/12/08 11:47 Página 48

49

RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

SVan arribar a l’escala d’emergència i la Sophie va obrir la porta amb molt de compte. No es va disparar cap alarma. Només estaven connectades a les portes exteriors. La Sophie va portar en Langdon per un seguit d’escales fins que van arribar a la planta baixa; cada vegada anaven més de pressa.

–El seu avi –va dir en Langdon corrent darrere la Sophie–, quan li parlava del pentacle, li va explicarmai res del culte a la deessa o d’algun ressentiment amb l’església catòlica?

La Sophie va fer que no amb el cap.

–A mi m’interessaven més els aspectes matemàtics: la proporció divina, el número fi, les successions de Fibonacci, aquesta mena de coses.

–El seu avi li va parlar del número fi? –va dir en Langdon sorprès.

–És clar. El número auri –va dir una mica avergonyida–. Solia dir mig en broma que jo era migdivina... Ja sap què vull dir, per això de les lletres del meu nom.

En Langdon es va quedar un instant pensatiu i de sobte va deixar anar un gemec.

«s-o-PHI-e».

Mentre continuaven baixant, va concentrar-se en el número fi.Començava a adonar-se que les pistes d’en Saunière eren molt méssòlides del que havia cregut en un primer moment.

«Da Vinci..., números de Fibonacci..., el pentacle».

Per increïble que semblés, tots aquells fets estaven relacionatsamb un concepte tan fonamental per a la història de l’art que sovint en Langdon es passava trimestres sencers parlant-ne als seus alumnes.

«Fi».

De sobte va recordar les classes a Harvard, davant dels seus alumnes de Simbolisme en l’art mentre escrivia a la pissarra el seu número preferit.

1,618

En Langdon es va girar per contemplar els rostres ansiosos dels seus alumnes.

–Qui em pot dir quin és aquest número?

Un estudiant de matemàtiques camallarg va aixecar la mà.

–És el número fi.

–Ben dit, Stettner –va dir en Langdon–. Alumnes, saludin el senyor Fi.

–Que no té res a veure amb el número pi –va afegir somrient l’Stettner–. Tal com ens agrada dir als matemàtics: «Fi és molt més “fi” que pi!».

En Langdon va riure, però l’acudit no va fer gràcia a ningú més. L’Stettner va abaixar el cap.

–Aquest número fi –va continuar en Langdon–, u coma sis u vuit, és un número molt important per a l’art. Qui em sap dir per què?

–Per què és molt bonic? –va dir l’Stettner per provar de redimir-se.

Tothom es va posar a riure.

1 Nombres reals


917232p048a085Rec.qxd 16/12/08 11:47 Página 49


–En realitat –va dir en Langdon–, el senyor Stettner l’ha tornada a encertar. El número fi se sol considerar el número més bell de l’univers.

De sobte es van apagar les rialles i l’Stettner va fer un posat de satisfacció. Mentre en Langdonpreparava el projector de transparències, els va explicar que el número fi era un derivat de la successióde Fibonacci, una successió que era famosa no només pel fet que cada terme era la suma dels termesadjacents, sinó perquè els quocients dels termes adjacents tenien la sorprenent propietat d’aproximar-se a 1,618... el número fi.

Tot i que els orígens matemàtics de fi semblaven més aviat místics, en Langdon els va explicar que l’aspecte realment sorprenent de fi era el seu paper com a peça fonamental en la construcció de la naturalesa. Les plantes, els animals i fins i tot els éssers humans tenien propietats dimensionalsque coincidien misteriosament amb la relació de fi amb 1.

–La ubiqüitat de fi a la naturalesa –deia en Langdon mentre apagava els llums–, sens dubte, és moltmés que una simple coincidència: és per això que antigament es va donar per fet que el número fi deviaser obra del creador de l’univers. Els primers científics van donar-li el nom de «proporció divina».

–Esperi un moment –va dir una dona jove de la primera fila–. Jo sóc estudiant de biologia i aquestaproporció divina no l’he vist mai a la naturalesa.

–No? –va somriure en Langdon–. Ha estudiat mai les relacions entre mascles i femelles en un ruscd’abelles?

–Sí. Sempre hi ha més femelles que no pas mascles.

–Correcte. I sabia que si divideix el nombre de femelles pel nombre de mascles en qualsevol rusc del món, sempre li sortirà el mateix número?

–De veritat?

–I tant. Fi.

–No pot ser! –va dir la noia bocabadada.

–I tant que pot ser! –va respondre en Langdonmentre els mostrava la petxina amb forma d’espiralamb el projector–. Algú em sap dir què és això?

–És un nàutil –va dir l’estudiant de biologia–.Un mol·lusc cefalòpode que pot bombar gas a la closca per controlar la seva flotabilitat.

–Correcte. I saben quina és la relació entre el diàmetre d’una espiral i l’altra?

La noia es va quedar mirant els arcsconcèntrics del nàutil completament desconcertada.

–Fi –va assentir en Langdon–. La proporció divina. U coma sis u vuit u.

La noia s’havia quedat de pedra. En Langdon va passar una altra transparència, un primer pla de la punta d’una llavor de gira-sol.

–Les llavors de gira-sol creixen en forma d’espirals oposades. Endevinen quin és el diàmetre de cada rotació en relació amb la següent?

–Fi? –van respondre tots alhora.

–Bingo –va dir en Langdon mentre els passava les transparències més ràpidament: pètals de pinyaen forma d’espiral, la disposició de les fulles a la tija de les plantes, segmentació d’insectes... Tots demostraven una obediència sorprenent de la proporció divina.

–Això és increïble! –va cridar algú.

1 Nombres reals

917232p048a085Rec.qxd 16/12/08 11:47 Página 50

51

RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S


1 Nombres reals

–Sí –va respondre algú altre–. Però què hi té a veure, amb l’art?

–Ah –va dir en Langdon–. M’agrada que faci aquesta pregunta –va dir mentre preparava una altratransparència, una mena de pergamí esgrogueït amb el famós nu masculí de Leonardo da Vinci, l’Home de Vitruvi, batejat així en honor a Marc Vitruvi, el brillant arquitecte romà que va cantar les virtuts de la proporció divina en el seu volum De Architectura–. Ningú no va entendre millor que Da Vinci l’estructura divina del cos humà. De fet, Da Vinci va desenterrar cossos per mesurar les proporcions exactes de l’estructura òssia de l’ésser humà. Va ser el primer a demostrar que el cos humà està fet literalment amb blocs que respecten sempre relacions proporcionals iguals a fi.

Tothom se’l va mirar sense acabar-s’ho de creure.

–No em creuen? –va desafiar-los en Langdon–. La propera vegada que es tornin a ficar a la dutxaemportin-se una cinta mètrica.

Un parell de jugadors de futbol americà van fer broma.

–No només els esportistes immadurs –va deixar anar en Langdon–. Tots vostès. Nois i noies. Facin-ho. Mesurin la distància des del capdamunt del cap fins a terra. Divideixin el resultat per la distància entre el melic i el terra. A veure si endevinen quin número obtindran.

–No deu pas ser fi! –va riure escèptic un dels esportistes.

–Sí, fi –va respondre en Langdon–. U coma sis u vuit. Volen un altre exemple? Mesurin la distànciade l’espatlla a la punta dels dits de la mà i divideixin-la per la distància del colze al mateix lloc. Altre cop fi. Un altre? Del maluc a terra dividit per la distància del genoll a terra. Altra vegada fi. Les articulacions dels dits, els turmells, les vèrtebres. Fi. Fi. Fi. Amics meus, cadascun de vostès és un homenatge vivent a la proporció divina.

Fins i tot a les fosques es va adonar que estaven tots desconcertats. Va sentir dins seu una escalforque li era familiar. Aquell era el motiu pel qual es dedicava a l’ensenyament.

–Amics meus, com poden comprovar, darrere l’aparença caòtica d’aquest món hi ha un ordre. [...]

–En resum –deia en Langdon mentre es dirigia a la pissarra–, tornem als símbols –va dibuixar una estrella de cinc puntes–. Aquest símbol és una de les imatges més poderoses que podrancontemplar aquest trimestre. Es coneix formalment amb el nom de pentagrama o, tal com el coneixienels antics, el pentacle. Moltes cultures l’han considerat un símbol diví i màgic alhora. Algú em sabria dir per què?

L’Stettner, l’estudiant de matemàtiques, va aixecar la mà.

–Perquè si dibuixes un pentagrama les línies es divideixen en segments que respecten la proporció divina.

En Langdon va assentir amb el cap, satisfet.

–Ben dit. Sí, les proporcions dels segments d’un pentacle són totes igual a fi, un fet que converteixaquest símbol en l’expressió suprema de la proporció divina. És per aquest motiu que l’estrella de cincpuntes ha estat sempre símbol de la bellesa i de la perfecció associada a la deessa i a la feminitatsagrada.

Les noies de la classe estaven radiants de satisfacció.

DAN BROWN, El codi da Vinci, Barcelona: Empúries, 2003

917232p048a085Rec.qxd 16/12/08 11:47 Página 51


1 Nombres reals

PER REFLEXIONAR SOBRE EL TEXT

ACTIVITAT 1

No és cert que els primers científics anomenessin proporció divina el número fi. Aquest nom li va posar un frare matemàtic al segle XVI, anomenat Luca Pacioli, però actualment, en la ciència i en l’art, se l’anomena número d’or o número auri. Quan el quocient de dos segments dóna aquest nombre, es diu que el nombre menor és la secció àuria del més gran.

El vertader valor del número fi no és 1,618, com creia el professor Langdon, sinó ,

que no és el mateix, perquè un dels dos és racional i l’altre és irracional. Per què? Quin error cometemquan prenem 1,618 com a valor aproximat de l’altre nombre?

ACTIVITAT 2

Ara comprovaràs què volia dir el professor Langdon sobre el nàutil. A la fotografia del tall equatorial, mesura amb cura els segments OF i OA i calcula’n el quocient. Després mesura OE i OB i troba’n, també, el quocient. Què observes?

ACTIVITAT 3

Les proporcions que Leonardo va escollir per a l’home del seu dibuix i per als models dels seus quadres només responen al seu gust personal. Al llarg de la història, cada artista ha establert unes proporcions, de la mateixa manera que els dissenyadors actuals fixenla proporció dels models que porten les seves creacions. Per aquest motiu, el que diu el professorLangdon que les mesures de tots els cossos compleixen aquestes propietat no és cert. De tota manera, pren les mesures que necessitis i comprova si el teu cos s’ajusta o noal model de Leonardo.

ACTIVITAT 4

L’estrella de cinc puntes, el pentagrama, s’utilitza molt sovint com a símbol, potser a causa de la seva bellesa, més que no pas a la propietat que enuncia l’estudiant de matemàtiques. Alguns pintors l’han amagat sota les seves obres. En el dibuix preparatori de Dalí, observa com va planificar el quadre perquè el cap de la seva dona, Gala, que aquí representa Leda, encaixi perfectament al triangle superior.Miquel Àngel també ho va fer amb la cara de la Mare de Déu del quadre de la dreta. Busca tres objectes o imatges on aparegui l’estrella de cinc puntes.

1 5

2

+

917232p048a085Rec.qxd 16/12/08 11:47 Página 52

53

RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S


1 Nombres reals

ACTIVITAT 5

La propietat que té l’estrella de cinc puntes, com l’expressa el novel·lista per boca del’estudiant, és incomprensible i misteriosa, i potser és el que pretenia. Amb tot, aquesta propietat existeix i la descobriràs si segueixes i completes aquest raonament.

Observa atentament l’estrella pentagonal de la figura.

Veuràs que només hi ha quatre tipus de segments diferents: la diagonal, d; el costat del pentàgon, c;la seva diferència, d − c, i la base de la punta de l’estrella, b.

També hi ha tres tipus de triangles que tenen la mateixa forma, però amb mides diferents: els triangles grans com ABC, els mitjans com ADEi els petits com FGH. Per què són semblants aquests triangles?

Aquests triangles tenen proporcionals les longituds dels seus costats. Quan establim aquesta relació de proporcionalitat entre els costats desiguals del triangle gran ABCi els corresponents del triangle mitjà ADE, tenim:

Si anomenes x , aquesta expressió la pots escriure d’aquesta manera: . Per què?

Indicació. Opera i arriba a l’equació x2 − x − 1 = 0.

Comprova que la solució positiva és

del pentàgon és la secció àuria de la diagonal, i la diagonal menys el costat és la secció àuria del costat.

Com que el triangle petit és semblant al gran, en deduïm que el segment base de la punta de l’estrella és la secció àuria del segment.

En conclusió, si ordenem, de més gran a més petit, els quatre tipus de segments diferents que apareixen al pentagrama (diagonal d, costat c, diagonal-costat d − c i base b), cada un d’ells és la secció àuria de l’anterior, és a dir, el quocient entre cada un i el següent és el número Fi. Això és el que vol dir l’estudiant. I aquesta és la propietat que aprofita el novel·lista per atribuir qualitats màgiques o divines al pentagrama.

x = +1 5

2

xx

=−1

1

dl

dl

ld l

=−

A

B C

cc

d d

D

c

d − c

d −c d −

c

E

917232p048a085Rec.qxd 16/12/08 11:47 Página 53

54


Nombres reals1


3,21 Indica un nombre decimalexacte.

1,58)

Expressa un nombre decimal periòdic pur.

2,34)

Indica un nombre decimal periòdic mixt.

3,14159… Indica un nombre decimal no exacte.




El conjunt dels nombres reals es denota amb la lletra R i es compon dels nombres racionals(conjunt Q) i els irracionals (conjunt I).


a n = a ⋅ a ⋅ …n ⋅ a Indiquen l’expressió

a n = a ⋅ a ⋅ … ⋅ a d’una potència

n vegades en forma de producte.

a−n Expressa una potència d’exponentnegatiu.

(−a)n Indica una potència de base negativa.

(−a)−n Expressa una potència d’exponentnegatiu i base negativa.

a�mn� Indica una potència d’exponent

fraccionari.

Els punts suspensius entre els dos signes demultiplicació vol dir que a es multiplica n vegades.

Quan a una lletra s’hi posa el signe menys al davant, estem indicant que representa un nombre negatiu.

Si no té signe al davant, el nombre pot ser negatiu o positiu.

7 73

4 34=


Per escriure un nombre decimal separem les xifres enteres de les decimals amb una coma.

El símbol ) sobre una xifra o un grup de xifres indicaque aquestes xifres es repeteixen indefinidament.Aquest grup s’anomena període.

Els punts suspensius darrere d’una xifra indiquen quedarrere d’ella hi ha més xifres decimals.

[a, b] Indica un interval tancat.

[a, b) Expressen un interval semiobert (a, b] per la dreta i un altre per l’esquerra.

(a, b) Indica un interval obert.


Un interval és el conjunt de tots els punts d’un segment de la recta real. Si hi apareixen els símbols [ o ], l’extrem pertany a l’interval,i si hi apareixen els símbols ( o ), l’extrem no pertany a l’interval.




I Expressa el conjunt dels nombresirracionals.

R Indica el conjunt dels nombres reals.

⎫⎬ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭ ⎪⎪⎪⎪⎪

917232p048a085Rec.qxd 16/12/08 11:47 Página 54

55

RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S


1 Nombres reals

loga b Indica el logaritme en base a de b.

loga b = c Indica que el logaritme en base ade b és c.

log b Expressa el logaritme en base 10de b.

ln a Expressen el logaritmeln a neperià de a.l a

e Es refereix al número e.

log bn Indica el logaritme de la potència bn.

(log b)n Indiquen la potència enèsimalogn b del logaritme de b.


Sota el símbol de l’arrel es pot expressar qualsevol operació entre nombres.

Per efectuar aquesta operació es calcula primer l’arrel enèsima del nombre i, després, es troba l’arrel m-èsima del resultat anterior.

L’arrel quadrada exacta d’una fracció és la fracció formada per l’arrel exacta del seu numerador i del seu denominador.

a

b

a

bn

n

n= = =→ 125

64

125

64

5

43

3

3


El logaritme és l’operació inversa a l’exponencial.L’expressem amb les lletres log, i posem a sota labase i, després, el valor del qual volem calcular ellogaritme.

Per expressar un logaritme de base 10 no fa faltaespecificar-ne la base.

Les lletres ln indiquen que el logaritme que volemcalcular té com a base el número e.

De vegades, els logaritmes neperians es podenexpressar com Ln o només L.

La potència enèsima d’un logaritme es pot expressard’aquestes dues maneres.

Indica l’arrel quadrada d’un nombre.

Expressa l’arrel quadrada d’una suma de nombres.

Indica l’arrel d’un producte.

Expressa l’arrel enèsima d’un nombre.

Indica l’arrel m-èsima de l’arrelenèsima d’un nombre.

La fracció és l’arrel enèsima

exacta de la fracció .a

b

c

d

a

b

c

dn =

anm

an

a b⋅

a b+

a

917232p048a085Rec.qxd 16/12/08 11:47 Página 55

56

Plantejament i resolucióPer començar el problema provarem amb un nombre amb el qual operar sigui fàcil: 1, 10, 100, ...

• Per a 1 ⎯⎯→ 12 + 1 = 1 + 1 = 2, el resultat que busquem (132) està lluny.

• Per a 10 ⎯→102 + 10 = 100 + 10 = 110, el resultat que busquem (132) està a prop.

• Per a 100 →1002 + 100 = 10.000 + 100 = 10.100, el resultat que busquem (132) està lluny.

El nombre que busquem és molt proper a 10; per tant, ho provem amb el 15.

• Per a 15 ⎯→152 + 15 = 225 + 15 = 240, el resultat que busquem (132) està més lluny que en el cas de 10; per tant, ho provem amb el 12.

• Per a 12 ⎯→ 122 + 12 = 144 + 12 = 156, per tant, el nombre que busquem ha de ser l’11.

• Per a 11 ⎯→112 + 11 = 121 + 11 = 132

Esbrina el nombre n que sumat al seu quadrat doni 132.

Plantejament i resolucióPer emprendre aquest problema fem algunes comprovacions per a diferents valors de n, de manera ordenada.

n = 1 → 21 + 3 = 2 + 3 = 5 (primer) n = 4 → 24 + 3 = 16 + 3 = 19 (primer)n = 2 → 22 + 3 = 4 + 3 = 7 (primer) n = 5 → 25 + 3 = 32 + 3 = 35 (compost)n = 3 → 23 + 3 = 8 + 3 = 11 (primer)

Com que 25 + 3 no és un nombre primer, hem obtingut un contraexemple que demostra la falsedat de l’afirmació del problema proposat.

Comprova que si per a qualsevol nombre natural n, l’expressió 2n + 3 és un nombre primer.

Estratègia L’estratègia consistent a buscar un exemple que no verifiqui un enunciat, o les condicions donades o exigides, s’anomena contraexemple.

La cerca d’un contraexemple exigeix l’aplicació d’altres estratègies, com l’assaig-error dirigit. Consisteix a efectuar proves segons un ordre, provant tots elscasos possibles i contrastant cada resultat obtingut amb la pregunta del problema i els resultats aconseguits anteriorment, per comprovar si s’està més a prop o més lluny de la solució.

Comprova si aquesta afirmació és certa:«Per a qualsevol nombre natural n, n2 + n + 17 és un nombre primer».

Verifica que l’afirmació és certa: «El quocient que s’obté en dividir un nombre enter entre un altre

nombre enter és sempre menor que el dividend».

Comprova si l’afirmació és vertadera: «El quocient que s’obté en dividir un nombre natural entre un nombre decimalpositiu és sempre menor que el dividend».

3

2

1

Contraexemple i assaig-error dirigit

PROBLEMA RESOLT

PROBLEMES PROPOSATS

ESTRATÈGIES DE RESOLUCIÓ DE PROBLEMES

Nombres reals1


917232p048a085Rec.qxd 16/12/08 11:47 Página 56

57

RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S


EXERCICIS

Escriu a la línia d’edició

les fraccions i .

Troba’n la suma i la diferència.

Calcula el producte i el quocient de les mateixesfraccions.

Amb → , desa l’arxiu de lestasques fetes al teu directori i anomena’l unitat_00_1.dfw.

3

21

3

2

5

1


1 Nombres reals

PRÀCTICA DERIVEEl programa DERIVE és fàcil d’utilitzar i, per tant, ens limitem a donar-neunes instruccions inicials breus. A més, prement F1 accedim, en qualsevolmoment, a una guia bàsica de funcionament.

Quan obrim el programa apareix la finestra d’àlgebra, en la qual introduïmles expressions numèriques i simbòliques. A la part superior hi ha una barrablava amb el nom del programa i el document de treball corresponent, itambé el menú amb les opcions desplegables i els botons de les accions dela pantalla.

A la part inferior hi ha la línia d’edició, on escrivim les ordres, i els botons desímbols de l’alfabet grec i de diversos operadors.

Un cop introduïda una expressió, aquesta apareix a la pantalla. Les diversesexpressions es van numerant amb els símbols #1, #2…

Si introduïm a la línia d’edició la suma de dos nombres racionals:

i, després, premem el botó d’Introduir i Simplificar , apa-

reix a la finestra el resultat de l’operació.

1

2

2

3+

917232p048a085Rec.qxd 16/12/08 11:47 Página 57

58


EXERCICIS

Introdueix a la línia de la finestra d’àlgebral’expressió y = x2 (y = x^2).

Selecciona la pantalla gràfica i amb la icona

obtens una gràfica.

Amb → , desa l’arxiu de lestasques fetes al teu directori i anomena’l unitat_00_2.dfw.

21


1 Nombres reals

Si l’expressió introduïda té una representació gràfica, passem a la finestragràfica 2D prement aquest botó.

En aquest cas, apareix un menú nou amb opcions desplegables i diversosbotons que es refereixen a la representació gràfica.

A la part inferior de la pantalla es veuen els eixos de coordenades i hi apa-reix informació relativa a la situació del cursor, el centre de coordenades il’escala.

Per obtenir la representació gràfica de l’expressió, seleccionada a la finestrad’àlgebra, hem de prémer:

Per tornar a la finestra d’àlgebra es prem:

També hi ha la possibilitat de visualit-zar simultàniament totes dues panta-lles. Una manera de fer-ho és dividir lapantalla en dues mitjançant l’opcióMosaico vertical.

Representar expressióF

Activar la finestra d’àlgebra (Ctrl+1)

F

Finestra 2D

F

917232p048a085Rec.qxd 16/12/08 11:47 Página 58

59

RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S


EXERCICIS

De manera semblant a com ho has fet a la Pràctica 1, resol la resta dels apartats de l’exercici 45 de la pàgina 28.

Resol l’exercici 46 de la pàgina 28del teu llibre.

De manera semblant a com ho has fet a la Pràctica 2, resol l’apartat b) de l’exercici 50 de la pàgina 28.

Efectua l’operació, utilizant el programa DERIVE.

3

4

4 5 3

62

23

2 65−

− ⋅+

⋅−:

4

3

2

1





1. Abans d’introduir les fraccions, comprova si la finestra d’entrada d’ex-pressions està activa: el cursor ha d’estar intermitent a la finestra; si noés així, prem el botó per activar-la.

2. Escriu el numerador i el denominador de la fracció separats per / i premENTER.

Comprova que la fracció que apareix a la finestra d’àlgebra és la quevols.

3. Desplega la pestanya Simplificar i escull l’opció = Normal, i a la finestraalgebraica apareix la fracció irreductible.

Arribes al mateix resultat prement el botó .

4. Torna a activar la finestra d’entrada i segueix el mateix procés amb lesaltres fraccions.


1. Comprova si la finestra d’entrada d’expressions està activa; si no hoestà, prem el botó per activar-la.


Has de tenir en compte que DERIVE llegeix el text que introdueixis respec-tant la jerarquia de les operacions. Per exemple, quan escrius 2/3^−1,

el programa entén la fracció , és a dir, primer avalua la potència i,després, la divisió.

3. Desplega la pestanya Simplificar i escull l’opció = Normal, i a la finestraalgebraica apareix el resultat de l’operació.

Arribaràs al mateix resultat prement el botó .

Has de tenir en compte que quan Derive opera amb fraccions, dónacom a resultat la fracció irreductible.

2

3 1−


1 Nombres reals

917232p048a085Rec.qxd 16/12/08 11:47 Página 59



EXERCICIS

De manera semblant a com ho has fet a la Pràctica 1, resol els exercicis 79 i 88 de la pàgina 29.

Utilitza una aproximació amb els dígits

necessaris dels nombres π i per resoldre


Completa la taula amb les aproximacions que es demanen.

3

355

113

2

1

Pestanya d’Opcions

Ajustos de mode



1. Abans d’introduir les fraccions, comprova si la finestra d’entrada d’ex-pressions està activa. Està activa si el cursor està intermitent a la fines-tra; si no es així, prem el botó per activar-la.


Comprova que la fracció que apareix a la finestra d’àlgebra és la quevols.

3. Prem el botón Aproximar , i a la pantalla apareix l’aproximació de lafracció, tot i que DERIVE, per defecte, en mostra 10 dígits.

4. Com que volem que mostri fins als centèsims, hem d’escollir 3 dígits(un per a la part entera i dos per a la part decimal); per fer-ho, prem lapestanya d’Opciones i escull Ajustes de modo.

5. Escull la pestanya Presentación, activa la casella Dígitos i selecciona 3.

6. Torna a seleccionar amb el cursor la fracció introduïda i prem el botóAproximar . A la pantalla apareix l’aproximació.

1 Nombres reals

Centèsims Deumil·lèsims

3 + π

53

12

36

917232p048a085Rec.qxd 16/12/08 11:47 Página 60

61


EXERCICIS

De manera semblant a com ho has fet a la Pràctica 1, resol la resta dels apartats del’exercici 100 de la pàgina 30.

Resol els exercicis 110 i 111 de la pàgina 31.

De manera semblant a com ho has fet a laPràctica 2, resol la resta dels apartats del’exercici 122 de la pàgina 32.

Calcula els logaritmes de l’exercici 124 de la pàgina 32.

4

3

2

1



1. Abans d’introduir les arrels, comprova si la finestra d’entrada d’expres-sions està activa: el cursor ha de parpellejar a la finestra; si no és així,prem el botó per activar-la.

2. Per introduir una arrel no quadrada has de passar-la prèviament a po-tència. En aquest cas, has d’escriure:

Comprova que l’expressió que apareix a la finestra d’àlgebra és la quevols.

3. Prem sobre el botó Simplificar , i a la pantalla apareix l’expressió sim-plificada. Efectua el pas de potència fraccionària a arrel i obtens el re-sultat.


1. Abans d’introduir els logaritmes comprova si la finestra d’entrada d’ex-pressions està activa: el cursor ha de parpellejar a la finestra; si no és ai-xí, prem el botó per activar-la.

2. Per introduir un logaritme hi ha tres possibilitats, segons la base. Perexemple, si volem introduir el logaritme de 2 hem d’escriure:

log (2) → Logaritme en base decimal

ln (2) → Logaritme neperià

log (2, n) → Logaritme de base n

Per fer aquesta activitat, has d’escriure:

Comprova que l’expressió que apareix a la finestra d’àlgebra és la quevols.

3. Prem sobre el botó Aproximar , i a la pantalla apareix l’expressió sim-plificada amb el nombre de dígits escollit.

45 451

10 10=

1 Nombres reals




RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S

917232p048a085Rec.qxd 16/12/08 11:47 Página 61


El dimoni dels nombresHans Magnus Enzensberger

En Robert és un noi a qui no li agraden les matemàtiques –com a tanta altra gent– perquè no les acaba d’entendre. Però una nit somia en un diable que pretén instruir-lo en la ciènciadels nombres. Naturalment, primer en Robert pensa que allò no és altre que un dels seus malsons, però en realitat és el començament d’un recorregut nou i apassionant a través del món de les matemàtiques. A través de dotze nits, el diableintenta fer-li veure que les matemàtiques no són tan difícils com a vegades poden semblar.

Al passatge següent, corresponent a la novena nit, el diable li ensenya a treballar amb les sèries.

De nou van començar la fressa, les empentes, els cops de colze, els que anaven i els que venien, les topades volent o sense voler... Només quan tots els nombres van ser fora es va ferun silenci deliciós a l’habitació d’en Robert, i va tornar a quedarpetita i espaiosa com abans.

–Ara sí que necessito un vas d’aigua i una aspirina –digué en Robert.

–Dorm i reposa, així demà al matí tornaràs a estar en forma.

Fins i tot va tenir el detall d’acotxar-lo.

–L’únic que has de fer és obrir bé els ulls –va dir–. La resta, te l’escriuré al sostre.

–Quina resta?

–Home –va dir l’homenet, que ja tornava a agitar el bastó–, hem fet sortir els rengles perquès’esvalotaven massa i embrutaven l’habitació, però ara treballarem amb les sèries.

–Les sèries? Quina mena de sèries?

–Veuràs –va dir el dimoni dels nombres–. Resulta que els nombres no sempre es posen en rengleigual que si fossin soldats de plom. A vegades s’ajunten. Vull dir, quan els sumem.

–No t’entenc –protestà en Robert.

–No t’enfadis. Només has de llegir el que posa aquí:

–Són trencats! –exclamà en Robert, indignat–. No m’atabalis!

–Perdona, però la veritat és que són molt senzills. A tu no t’ho semblen?

–Una meitat –va llegir en Robert–, més un quart, més un vuitè, més un setzè, etcètera. A dalt hi ha sempre un u, i a baix hi ha els nombres saltadors de la sèrie del dos, els de la samarretanegra: 2, 4, 8, 16... Ja sabem com continua.


Successions. Progressions2917232p048a085Rec.qxd 16/12/08 11:47 Página 62


RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S–Això sí, però què sortiria si sumàvem tots aquests trencats?

–No ho sé. Com que la sèrie no s’acaba mai, el més probable és que sortís una quantitat infinita. D’altra banda, 1/4 és menys que 1/2;1/8 és menys que 1/4, etcètera... De manera que el que sumaria seriacada vegada més petit.

Llavors van desaparèixer totes les xifres del sostre. En Robert es vaquedar mirant-lo fixament, i el que va veure va ser una ratlla llarga,llarga, llarga...

–Aaah –digué al cap d’una estona–. Em sembla que ja ho entenc. Es comença amb 1/2, i llavors hi sumes la meitat de 1/2, és a dir: 1/4.

I de seguida el que en Robert havia dit va aparèixer escrit al sostrede l’habitació, negre sobre blanc.

–I llavors només he de continuar, afegint-hi sempre una meitat. La meitat d’1/4 és 1/8, la meitat d’1/8 és 1/16, etcètera.

»Els trencats que hi vas afegint cada cop són més petits, fins que arriben a ser tan diminuts que ja no els podem veure, igual que ens va passar aquell dia amb el xiclet compartit.

»I amb aquest sistema podria anar seguint fins que m’hi tornés mico. Arribaria «quasi» a l’u, però del tot, mai.

–Sí que hi podries arribar, si seguissis sumant així fins a l’infinit.

–No en tinc cap ganes, iaio. Al capdavall, pensa que tinc la grip.

–Així i tot –respongué l’homenet–, ara ja saps com se sumen els trencats i on van a parar, perquè tu et pots cansar, però els nombres, mai.

Llavors la ratlla del sostre va desaparèixer i s’hi va poder llegir:

–Fantàstic! –va exclamar el dimoni dels nombres–. Magnífic! Però ara, segueix.

–Estic cansat. No veus que he de dormir?

–Però, què més vols? –preguntà l’homenet–. És que no estàs mai content, Robert. Ja estàs dormint.Dorms i em somies. Només bo i adormit es pot somiar.

2 Successions. Progressions

917232p048a085Rec.qxd 16/12/08 11:47 Página 63


En Robert no tingué altre remei que reconèixer-ho, per bé que, de mica en mica, se sentia el cervelladolorit.

–D’acord. Aguantaré una altra de les teves idees boges, però una altra i prou.

El dimoni dels nombres alçà el bastó i va fer petar els dits. De seguida van aparèixer més nombres al sostre:

–Això és exactament el mateix que abans –exclamà en Robert–. Aquesta sèrie, també la puc allargarfins on vulgui. Cada nombre serà més petit que l’anterior. I de segur que a la fi tornarà a donar u.

–Vols dir? Aleshores ens ho mirarem amb una mica més d’atenció. Agafem els dos primers nombres.

Ara, al sostre, només hi havia els dos primers nombres de la sèrie:

–Quant fa això?

–No ho sé –murmurà en Robert.

–Vinga, no vulguis semblar més burro del que ets –remugà el dimoni dels nombres–. Què és més,una meitat o un terç?

–Una meitat, lògicament –cridà molt enfadat en Robert–. Et penses que sóc ruc?

–No i ara! Però m’has de dir encara una altra cosa: què és més gran, un terç o un quart?

–Un terç, és clar.

–Va bé. Tenim dos nombres trencats. Tots dos són més que un quart. Ara digues-me, què són dos quarts?

–Quina pregunta més ximple. Dos quarts són una meitat.

–Ho veus? De manera que:

»I si ara agafem els pròxims quatre trencats de la sèrie i els sumem, torna a sortir més d’una meitat:

–Això és massa complicat per a mi –es queixà en Robert.

–Ja pots comptar! –el va renyar el dimoni dels nombres–. Què és més, un quart o un vuitè?

–Un quart.

–Què és més, un cinquè o un vuitè?

–Un cinquè.

–Correcte. Amb el sisè i el setè passa el mateix. Cada un d’aquests quatre trencats és mes que un vuitè.

»I què són quatre vuitens?

De mala gana, en Robert va contestar:

–Quatre vuitens són exactament 1/2.

–Perfecte. Ara tenim:


més que més que més que1/2 1/2 1/2

917232p048a085Rec.qxd 16/12/08 11:47 Página 64


RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S


»I segueix així fins a l’infinit. Ja veus que els sis primers trencats d’aquesta sèriedonen més d’1 si els sumes.

»I podríem seguir així fins on volguéssim.

–Si et plau, no –digué en Robert.

–I si seguíssim (no pateixis, que no ho farem), on aniríem a parar?

–Segurament a l’infinit –digué en Robert–. Això és endimoniat.

–L’únic inconvenient és que tardaríem bastant temps –li explicà el dimoni dels nombres–. Només per arribar al primer miler, encara que calculéssim a gran velocitat, em sembla que necessitaríem tot el temps fins a la fi del món. Fixa’t si augmenta a poc a poc aquesta sèrie.

–Aleshores, deixem-ho –va dir en Robert.

–Deixem-ho.

Els trencats del sostre es van esborrar a poc a poc, l’homenet se’n va anar sense fer soroll, i el temps, també. En Robert es va despertar perquè el sol li feia pessigolles al nas. Quan la seva mare li tocà el front i li va dir: «Gràcies a Déu que t’ha baixat la febre», en Robert ja no es recordava de com era de fàcil lliscar de l’u fins a l’infinit.

HANS MAGNUS ENZENSBERGER, El dimoni dels nombres, Barcelona: Barcanova-Siruela, 1997


ACTIVITAT 1

Calcula la raó de la primera sèrie que apareix a la lectura . Escriu-ne el terme general i demostra que la suma és 1.

ACTIVITAT 2

Escriu el terme general de la segona sèrie de la lectura: . Explica per què no podem sumar aquesta sèrie.

ACTIVITAT 3

Zenó d’Enea va ser un matemàtic i filòsof grec del segle V aC conegut per les seves paradoxes sobre el moviment. Esbrina quina relació poden tenir amb les sèries.

ACTIVITAT 4

A partir de la suma de la primera sèrie i sense aplicar fórmules de progressions, calcula la suma de les sèries següents:

a) b)

ACTIVITAT 5

A partir de la suma de la primera sèrie i sense aplicar fórmules de progressions, calcula la suma de les sèries següents:

a) b)1

4

1

16

1

64+ + + ...

1

2

1

8

1

32+ + + ...

1

8

1

16

1

32+ + + ...

1

4

1

8

1

16+ + + ....

1

2

1

3

1

4

1

5+ + + + ...

1

2

1

4

1

8

1

16+ + + + ...

917232p048a085Rec.qxd 16/12/08 11:47 Página 65






El terme general d’una progressió aritmètica és:

an = an − 1 + d

On n és el lloc que ocupa el terme en la progressiói d és un valor constant en cada progressió que és el que ens permet passar d’un terme al següent sumant aquest valor.

La suma dels n primers termes d’una progressióaritmètica s’indica amb la lletra S i el subíndexassenyala el nombre de termes que sumem: S8 significa la suma dels vuit primers termes, S80 significarà la suma dels vuitanta primerstermes, etc.

Aquesta fórmula ens permet fer la suma dels n primers termes d’una progressió aritmètica si coneixem el primer i l’últim terme.

a n Sn = + =+

=2 35 23

210 14010→ ⋅

{a1, a2, a3, …} Indica una successiói els seus termes.

{an} Indica el terme general d’una successió.

Escrivim una successió enumerant tots els seus termes: al primer l’anomenem a1, al segon a1, i així successivament.

Una altra forma de denotar una successió és amb el terme general an. Amb aquest podem obtenir el valor de cada terme en funció de n:

an = 3n2 − 1 → a1 = 2, a2 = 11, a3 = 26, …

an = a1 + (n − 1) d

d

Sn

Sa a

nnn=

+1

2⋅

Expressa el terme enèsimd’una progressióaritmètica.

Indica la diferènciad’una progressióaritmètica.

Indica la suma dels nprimers termes d’una progressióaritmètica.

Expressa el valor de la suma dels termesd’una progressióaritmètica en funció dels paràmetres de la progressió.

917232p048a085Rec.qxd 16/12/08 11:47 Página 66


RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S

rB

Ah= +1

dA

h=

−+

B

1

Indica el valor de la diferència (p. a.) o de la raó (p. g.) quan fem una interpolacióde h termes entre dosdonats A i B.

P a an nn= ×( )1

S ar

rn

n

=−−

11

1⋅ Expressen els valors de

la suma/producte delstermes d’una progressiógeomètrica en funciódels paràmetres de la progressió.

S Sa

r° = =

−1

1

Indica la suma de totsels termes d’unaprogressió geomètrica.


El terme general d’una progressió aritmètica és:

an = an − 1 ⋅ r

On n és el lloc que ocupa el terme en la progressiói r és un valor constant en cada progressió que és el que ens permet passar d’un terme al següent multiplicant per aquest valor.

Aquestes fórmules ens permeten fer la suma o el producte dels n primers termes d’una progressió aritmètica si coneixem el primer i l’últim terme o bé el primer i la raó.

En el cas que ⏐r ⏐ < 1 es pot fer la suma de tots els termes d’una progressió geomètrica.

Sn i Pn Indiquen la suma i elproducte dels n primerstermes d’una progressiógeomètrica.

La suma i el producte dels n primers termes d’una progressió geomètrica s’indiquen mitjançantles lletres S i P, el subíndex assenyala el nombrede termes que sumem o multipliquem.


Quan interpolem h termes entre dos donats de forma que tots formen una progressióaritmètica/geomètrica, aquesta fórmula ens permet calcular la diferència/raó d’aquesta progressió.

Indica el capital finalque s’obtindràmitjançant un capitalinicial Co a t anys i amb un rèdit de l’rper cent anual a interèssimple o a interèscompost.

C Cr

f

t

= +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟0 1

100

C Cr

tf o= +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟1

100⋅


El capital final d’una inversió a interès simple o compost s’obté a partir del capital inicial, el temps (en anys) i el rèdit.

Co = 1500 € t = 3 anys r = 2,5%

a) I. simple:

b) I. compost: Cf = +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =1 500 1

2 5

100

3

.,

1.615,34

Cf = +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =1 500 1

2 5

1003.

,⋅ 1.612,5

an = a1 ⋅ rn−1 Expressa el termeenèsim d’una progressiógeomètrica.

r Indica la diferènciad’una progressió aritmètica.


917232p048a085Rec.qxd 16/12/08 11:47 Página 67




Es tracta d’una progressió aritmètica de segona espècie. La fórmula general serà del tipus: {an2 + bn + c}.Per calcular a, b i c és suficient de donar tres valors a n .

1 = 1a + 1b + c ⎫Per exemple per a n = 1, 2 i 3 tenim que 3 = 4a + 2b + c ⎬ que és un sistema de tres equacions.

6 = 9a + 3b + c ⎭

Trobem la solució: a = , b = , c = i la successió: a = n2 + n +⎫⎬⎭

1

4

1

8

5

8

⎧⎨⎩

1

8

1

8

5

8

Els deixebles de Pitàgores representaven els nombres mitjançant pedresa terra. Així van aparèixer els nombres triangulars o els quadrats. Quina és l’expressió del termes generals d’aquestes successions?

Plantejament i resolucióEl cas del nombres quadrats és molt fàcil: {n2}. Veiem el cas dels trian-gulars: s’observa que les diferències entre un terme i el següent són 2,3, 4, 5, 6, ... o sigui no formen una progressió aritmètica ja que no sóniguals, però si tornem a buscar les diferències entre aquestes diferèn-cies, sí que ens surt una progressió aritmètica :

Estratègia L’estratègia consisteix a conèixer alguna tècnica per trobar alguna regularitat en successions de nombres. La tècnica consisteix a observar la regularitat en una successió numèrica veient la relació que hi ha entre termes consecutius, examinant diferències i quocients i utilitzar aquesta regularitat per continuar la successió. A partir d’aquí podremconjecturar un patró, utilitzar la conjectura per predir un resultat i comprovar-lo.

Dibuixa els nombres pentagonals : 1, 5, 12,22, 35... i calcula l’expressió del termegeneral.

Dibuixa els nombres hexagonals: 1, 6, 15,28... i calcula l’expressió del terme general.

21

Esbrinar regularitats i generalitzar

PROBLEMA RESOLT

PROBLEMES PROPOSATS

Sucessió 1 3 6 10 15 21 ...

1es diferències 2 3 4 5 6 ...

2es diferències 1 1 1 1 ...

1 3 6 10

1 4 9 16

•• •

• • •• • • •

• • • •• • • •• • • •• • • •

• • •• • •• • •

• •• •

•

•• •

• • ••

• ••

917232 _ 0048-0085.qxd 23/12/08 12:15 Página 68


RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S



EXERCICIS

Amb l’ajudant d’Office, cerca informació sobre els conceptes bàsics següents i contesta:

a) Què és un llibre de treball?

b) I una etiqueta de full?

Cerca la informació i contesta:

a) Què és una fórmula?

b) Com se’n pot crear una?

Cerca la informació i contesta:

a) Què és una barra d’eines flotant?

b) Com s’oculta?

3

21

Pantalla inicial d’EXCEL

Ajuda del programa

Part d’un full

PRÀCTICA EXCELEntrada al Programa:

Menú → →

Una vegada que el programa s’executi, al monitor veuràs la pantalla quetens del marge.

Això és un llibre de treball format per 3 fulls: Full1; Full2 i Full3; encaraque se n’hi poden posar fins a 256.

Llibre → Carpeta que pot contenir fulls, gràfics, macros, etc.

Full → Pissarra ordenada en cel·les (cada cel·la està ordenada per fila i co-lumna) que contenen dades numèriques, textos, dates, etc.

Cel·la → Conté dues informacions:

• El format de la cel·la, que consisteix en el tipus de dada (números,text, dates, lògic, etc.)

• El contingut.

Fixa’t que al marge hi ha un full amb el text (format) «Matemàtiques» (con-tingut) a la cel·la B3 (columna B, Fila 3).

L’EXCEL treballa amb aquestes dues informacions per separat. Per exem-ple, pots esborrar el contingut d’una cel·la i mantenir el format o copiar elformat només d’una cel·la a una altra sense emportar-te’n el contingut.

Quan sortim del programa podem posar el nom de l’arxiu que vulguem. Elprograma mateix hi aplica l’extensió, que és .xls.

PRÀCTICAObre un llibre nou. La informació que dóna l’EXCEL amb l’eina de l’ajudaés molt completa i permet tenir una visió genèrica de què és un full decàlcul i de com es pot utilitzar. Prem el botó (Ajuda) de la barra demenús o prem directament la tecla . A la finestra que surt, clica

i escriu, per exemple, tipus de format i observa que torna asortir una nova finestra d’ajuda. A través d’aquest desplegament, el pro-grama et proporcionarà formes d’utilització o suggeriments sobre un temaconcret.

Full de càlcul Llibres i fulls de treball

Fórmules Càlculs ràpids a un full de càlcul

Barra d’eines Mostrar o amagar

917232p048a085Rec.qxd 16/12/08 11:47 Página 69




EXERCICIS

Introdueix a la cel·la B1 el teu nom i cognoms enlletra arial, negreta i de grandària 12.

Crea una carpeta personal amb el teu nom en eldisc dur de l’ordinador o en un disquet.

Desa el llibre per enregistrar les dadesintroduïdes en el full a la teva carpeta personalamb el nom següent: excel_unitat0.

3

2

1

Comandaments de Format

Comandaments d’Edició

Barra d’estat

Barres d’eines

PRÀCTICA EXCELObre el programa EXCEL i observa les barres d’eines per accedir als dife-rents menús a la part superior de la pantalla:

• Contenen els comandaments més importants per fer operacions ambel full o amb les dades del full.

• Per accedir a les diverses opcions que ofereix, clica l’opció amb elbotó esquerre del ratolí o bé prem simultàniament la tecla i latecla subratllada en l’opció (F per a Fitxer, D per a edició, etc.)

• Cadascuna d’aquestes opcions dóna lloc a una sèrie de comanda-ments. Per exemple amb + D es despleguen els comandamentsd’Edició (per fer les opcions de suprimir, cercar, etc.) i amb + O,els de Format (que ens permet canviar el format de cel·les, files, etc.)

Al menú → hi trobem l’opció d’eines, alguna de lesquals són actives a la barra d’eines (observa-ho al marge).

Una barra que sempre està activada, és a dir, visible, és la barra Estàndard,

que conté comandaments de la barra Fitxer, entre d’altres. Cada una de lesicones de la barra Estàndard és un comandament diferent. Per saber quèfa cada comandament, apropa-t’hi amb el punter i observa el rètol que apa-reix a sota de la icona amb la descripció del que fa; fes-ho amb el setè co-mandament i t’indicarà Visualització prèvia d’impressió, tal com pots veureal marge.

La barra Format conté formats de control del tipus de lletra, l’estil, la mida,l’alineació del text, etc.

La barra de fórmules permet introduir i veure fórmules a les cel·les:

La barra d’estat, situada a sota del full, assenyala, com pots veure al marge,l’acció que s’executa quan s’introdueix una fórmula.

→

917232p048a085Rec.qxd 16/12/08 11:47 Página 70


RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S


EXERCICIS

De manera anàloga a l’exercici 56, fes els exercicis 53 i 54 de la pàgina 50.

Com a la Pràctica 2, fes l’exercici 89 de la pàgina 52.

21

PRÀCTICA EXCEL


El primer pas és executar l’EXCEL

1. Primer has de preparar el full amb les dades.

a) Posa les etiquetes tal com es veuen al marge.

b) Posa un 1 a la cel·la A2. Mitjançant → →omple una sèrie que comencarà amb un 1 i anirà d’1 en

1: fins arribar a la filera 60.

c) Fes el mateix a la columna B: comença amb l’1 però amb un incre-ment de la sèrie de 2 en 2:

2. A la cel·la C3 comença a fer les sumes. Introdueix la fórmula: .

Repeteix la fórmula a tota la filera amb i . Desprésapareixaran la sumes corresponents a cada terme: S1, S2, S3, etc., a lacolumna C.

3. Busquem la suma 2916 a la columna C.

4. Observa que és a la filera 55, la que correspon a un valor de n = 54, queés el resultat.


1. Primer cal preparar el full amb les dades.

a) Posa les etiquetes tal com es veuen al marge.

b) Introdueix a la cel·la A2 el valor 1600 i 2,5 a la cel·la B2 que són elsvalors inicials. Mitjançant → → om-plim una sèrie que comenci per 1 i vagi de 2,5 en 2,5:

fins arribar a la filera 12.

2. A la cel·la C2 introdueix la fórmula següent: i a la cel·la A3: i copia aquestes fórmules a la resta de cel·les de la mateixa columna

amb i . Apareixen les quantitats que van quedantsegons els temps.

3. Observa el resultat de l’exercici a la cel·la C11: 1,5625 gr.

= C2= A2 /2

= C2 + B3


917232p048a085Rec.qxd 16/12/08 11:47 Página 71



EXERCICIS

De forma anàloga a la Pràctica 1, fes l’exercici 55de la pàgina 50.


21

PRÀCTICA DERIVEEl programa DERIVE permet calcular un terme qualsevol d’una progressiódonada la llei general; així com també permet sumar els termes d’una pro-gressió (sèrie) ja sigui aritmètica o geomètrica.


1. Introdueix l’expressió del terme general de l’exercici de la manera se-güent:

2. Per calcular el terme 20è, introdueix la següent expressió a(20) i clica laicona .

3. Observa la finestra del marge. Has obtingut el terme vintè en funció delvalor n = 20, i el resultat és 83.

4. A la mateixa finestra d’àlgebra, torna a introduir el terme a(n).

5. Amb aquesta expressió seleccionada, i a la barra de menús, seleccionai clica → .

6. Al quadre de diàleg que surt, escriu 20 a la finestra de la variable i a lasuma definida entre els límits 1 i 20. Observa la figura:

7. Prem i observa la finestra d’àlgebra. La suma dels 20 primerstermes de la progressió aritmètica és 140.

PRÀCTICA 2 ( exercici 71 pàg.51 )

1. Primer has d’obtenir la raó. Només has de dividir . Després ja podràs

escriure el terme general que introduiràs a la finestra d’àlgebra

.

2. De la mateixa manera que a la pràctica 1, per calcular el terme 25è in-trodueix b(25) i prem la icona .

3. Observa el resultat a la finestra d’àlgebra.

a

a2

1


917232p048a085Rec.qxd 16/12/08 11:47 Página 72


RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S


EXERCICIS

De forma anàloga a la Pràctica 1, fes la restad’apartats de l’exercici 107 de la pàgina 53.


21

PRÀCTICA DERIVEPRÀCTICA 1 (pàg. 53, exercici 107, apartat a)

1. Introdueix l’expressió cf(c0, r, t): = c0 * (1 + r/100)�t amb la icona .Aquesta expressió s’introdueix a la finestra d’entrada d’expressions talcom apareix al marge (tingues en compte els dos punts i els parèntesis).Observa-ho a la finestra d’àlgebra:

2. Aquesta és la «fórmula» de l’interès compost que ens permet calcular elvalor del capital final (Cf) en funció de tres variables: Co (capital inicial),r (rèdit en tant per cent ) i t (temps en anys).

3. Introdueix l’expressió cf(1200, 4, 8) i prem i obtindràs el resultat del’aplicació de la fórmula.


Aquesta fórmula també permet aïllar una de les variables que hi apareixensi sabem les altres variables.

1. A la mateixa finestra, introdueix l’expressió cf(c0, 4, 6) = 31633 mit-jançant la icona . (Vés amb compte perquè ara no hi ha els dospunts). Observa com apareix a la finestra d’àlgebra si prems :

.

2. Per resoldre, és a dir, per aïllar la t, només cal prémer el botó de labarra d’ordres. A la finestra de diàleg que sortirà tria la variable Co (laque surt seleccionada), el Mètode Numèric i prem .

3. Quin és el resultat? (Observa’l al marge).

22 SSuucccceessssiioonnss.. PPrrooggrreessssiioonnss

Interès compost

917232 _ 0048-0085.qxd 23/12/08 12:15 Página 73

74

L’últim CatóMatilde Asensi

Per què desapareixen els trossos de la creu de Crist que es conserven a les esglésies d’arreu del món? Aquesta investigació fa viure a la doctora en paleografia Ottavia Salina, que narra la història, al professor d’arqueologia Farag Boswell i al capità de la Guàrdia Suïssavaticana Kaspar Glauser-Röist, anomenat «la Roca», una aventura plena de misteris, en què hande superar set proves difícils per trobar els possibles autors dels robatoris: els membres de la secta dels staurofílakes, paraula que significa «protectors de la Creu».

En el fragment següent es relata una d’aquestes proves. Els protagonistes han entrat en unes catacumbes i, seguint un carreu de pedra que es movia automàticament davant seu, han recorregut un passadís estret i fosc que acaba en un petit habitacle.

Vaig subjectar la llanterna amb la mà dreta i vaig enfocar a través del forat. Com que no vaig veure res, vaig avançar una mica més i vaig treure el cap. Era una peça de dimensions idèntiques a les que havíem vist a les catacumbes, però aquesta estava completament desocupada. Després d’una primera ullada em va semblar que només eren quatre parets buides, directament excavades a la roca, amb un sostre més aviat baix i un terra estrany cobert per una planxa de ferro. El curiós és que, en aquell moment, no em cridés l’atenció el fet que tot fos perfectament net, com tampoc no em vaig adonar que m’estava recolzant sobre la mateixa pedra que havia estat empenyent durant tants metres de rampa. L’altura coincidiaaproximadament amb la distància que hi havia des del terra fins a l’obertura per la qual emergia jo.

Inspirant com un saltador abans d’agafar impuls, vaig fer una contorsió estrambòtica i vaig saltar dintre de la peça amb un gran terrabastall. A continuació, va sortir Farag pel forat, i després el capità, que no feia gaire bona cara. El seu cos era massa gran i, en comptes d’anar de quatre grapes, havia hagut de reptar com una serp durant tot el camí,arrossegant, a més, la seva motxilla de roba. Farag era gairebé tan alt com ell, però, en ser més prim,s’havia pogut moure amb més facilitat.

–Un terra molt original –va mussitar el professor,sabatejant sobre la planxa de ferro.

–Doni’m la llanterna, doctora.

–Tota seva.

Llavors va succeir una cosa xocant. Així que va haversortit el capità del forat, vam sentir un garranyic aspre, un so semblant a la contorsió dolorosa d’unes cordesvelles d’espart, i el soroll d’un engranatge que s’engegava lentament. Glauser-Röist va il·luminar tota la peça, girant de pressa sobre ell mateix, però no vam veure res. Va ser el professor qui ho va descobrir.


Equacions, inequacions i sistemes3


917232p048a085Rec.qxd 16/12/08 11:47 Página 74

75

RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S–La pedra, mirin la pedra!

El meu estimat pedrot, el que m’havia precedit tan amorosament fins a arribar allà, s’elevava del terra impulsatper una mena de plataforma que el va dipositar a la boca del túnel, pel qual va lliscar novament per desaparèixerde la nostra vista en menys del que es triga a dir amén.

–Estem tancats! –vaig cridar, angoixada. El carreu relliscaria pel conducte sense aturar-se fins a encaixar de nou a la motllura de pedra de l’entrada i, des de dintre, resultaria impossible moure’l d’allà. Aquell marc no estava pensat per segellar l’entrada, vaig descobrir aleshores, sinó per impedir la sortida.

Però un altre mecanisme s’havia posat també en marxa. Just a la paret del davant de l’obertura, una llosa de pedra girava com una porta sobre el seus golfos, i deixava al descobert una capelleta de la mida d’una persona on s’observaven, sense cap dubte, tres graons de colors (marbre blanc, granit negre i pòrfir vermell) i, a sobre, llaurada sobre la roca del fons, la figura enorme d’un àngel que alçava els braços en actitud orant i sobre el cap del qual, apuntant cap al cel, es veia una gran espasa. El relleu apareixia acolorit. Tal com deia Dante a la Divina Comèdia, les llargues vestidures estaven pintades del color de la cendra o de la terra seca, la carn de rosa clar i els cabells d’un negre molt fosc. Dels palmells de les seves mans, que s’elevaven implorants, sortien, per uns forats practicats a la roca, dos fragments de cadena de longitud similar. Una era, de manera indiscutible, d’or. L’altra, per descomptat, era d’argent. Totes dues eren netes i lluents i espurnejaven sota la llum de la llanterna.

–Què deu voler dir tot això? –va preguntar Farag, aproximant-se a la figura.

–Quiet, professor!

–Què passa? –es va sobresaltar aquest.

–No recorda les paraules de Dante?

–Les paraules...? –Boswell va arrufar les celles–. Vostè no havia portat un exemplar de la Divina Comèdia?

Però la Roca ja l’havia tret de la seva motxilla i l’estava obrint per la pàgina corresponent.

–«I als peus de l’Àngel el meu dors s’aplana –va llegir–: tres cops em dono al pit i després vaig a demanar-l’hi,com el mestre em mana.»

–Si us plau! Repetirem tots els gestos de Dante, un per un? –vaig protestar.

–L’àngel treu aleshores dues claus, una de plata i una altra d’or –va continuar recordant-nos Glauser-Röist–.Primer amb la de plata i després amb la d’or, obre els panys. I diu molt clarament que, quan una de les claus falla,la porta no s’obre. «L’una val més; mes l’altra vol més dit, més traça i més enginy del qui l’aferra, car ella el nusdeslliga de seguit.»

–Déu meu!

–Au, Ottavia –em va encoratjar Farag–. Mira de gaudir amb tot això. Al capdavall, no deixa de ser un ritualbonic.

Bé, en part tenia raó. Si no haguéssim estat a moltíssims metres sota terra, enterrats en un sepulcre i amb la sortida segellada, potser hauria estat capaç de trobar aquella bellesa de la qual parlava Farag. Però la captivitat m’irritava i una sensació aguda de perill em pujava per la columna vertebral.

–Suposo –va continuar Farag– que els staurofílakes van triar els tres colors alquímics en un sentit purament simbòlic. Per a ells, com per a qualsevol persona que arribés fins aquí, les tres fases de la Gran Obra alquímica es correspondrien amb el procés que l’aspirant anava a fer en el seu camí fins a la Vera Creu i el paradís terrenal.

3 Equacions, inequacions i sistemes


917232p048a085Rec.qxd 16/12/08 11:47 Página 75


–No t’entenc.

–És molt senzill. Al llarg de l’edat mitjana, l’alquímia va ser una ciència molt valorada i el nombre de savis que la van practicar,incomptable: Roger Bacon, Ramon Llull, Arnau de Vilanova, Paracels...Els alquimistes es passaven gran part de les seves vides tancats als seuslaboratoris entre atanors, retortes, gresols i alambins. Buscaven la pedrafilosofal, l’elixir de la vida eterna –Boswell va somriure–. En realitat,l’alquímia era un camí de perfeccionament interior, una mena de pràctica mística.

–Podries concretar, Farag? Estem tancats en un sepulcre i cal sortird’aquí.

–Ho sento... –va quequejar, encaixant-se les ulleres al front–. Els grans estudiosos de l’alquímia, com ara el psiquiatre Carl Jung,sostenen que era un camí d’autoconeixement, un procés de recerca d’un mateix que passava per la dissolució, la coagulació i la sublimació, és a dir, les tres obres o graons alquímics. Potser els aspirants a staurofílakes hagin de patir un procés similar de destrucció, integració i perfecció, i per això la germandat ha utilitzat aquest llenguatge simbòlic.

–En qualsevol cas, professor –va tallar el capità, avançant-se cap a l’àngel guardià–, nosaltres som en aquestmoment els aspirants a staurofílakes.

Glauser-Röist va prostrar-se davant la figura i va inclinar el cap fins a tocar amb el front el primer graó. Aquella escena era, veritablement, digna de veure. De fet, em va fer molta vergonya per ell, però com Farag el va imitar de seguida no vaig tenir més remei que fer el mateix si no volia provocar una discussió. Vam donar-nos tres cops al pit mentre pronunciàvem una mena de sol·licitud misericordiosa perquè se’ns obrís la porta. Però, és clar, la porta no es va obrir.

–Provem-ho amb les claus –va murmurar el professor, incorporant-se i pujant els graons impressionants. Era cara a cara amb l’àngel, però, en realitat, la seva atenció se centrava en les cadenes que li sortien de les mans. Eren unes cadenes grosses i, de cada palmell, penjaven tres baules.

–Provi estirant primer la d’argent i després la d’or –li va indicar la Roca.

El professor va obeir-lo. A la primera estirada de la cadena va sortir una altra baula més. Ara n’hi havia quatre a la mà esquerra i tres a la dreta. Farag va agafar llavors la d’or i va estirar també. Va succeir exactament el mateix: en va sortir una nova baula, encara que, aquest cop, no va ser l’única cosa que va passar,perquè un nou garranyic, molt més fort que el de la plataforma que s’havia endut el meu carreu, es va sentir sota els nostres peus, sota aquell terra fred de ferro. La pell se’m va eriçar, tot i que, si més no aparentment, no va passar res.

–Estiri un altre cop –va insistir la Roca–. Primer la d’argent i després la d’or.

Jo no ho veia clar. Allà hi havia alguna cosa que fallava. Ens descuidàvem algun detall important i intuïa que no podíem anar jugant amb les cadenes. No vaig dir res, però, de manera que Boswell va repetir l’operacióanterior i l’àngel va mostrar cinc baules a cada mà.

De cop i volta vaig sentir molta calor, una calor insuportable. Sense adonar-se del seu propi gest, Glauser-Röistes va treure la jaqueta i la va deixar a terra. Farag es va descordar el coll de la camisa i va començar a bufar. La calor augmentava a una velocitat vertiginosa.

–No els sembla que aquí passa alguna cosa estranya? –vaig preguntar.

–L’aire s’està tornant irrespirable –va advertir Farag.


917232p048a085Rec.qxd 16/12/08 11:47 Página 76


RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S


–No és pas l’aire... –va murmurar la Roca, perplex, mirant cap avall–. És el terra. El terra s’està escalfant!

Era cert. La planxa de ferro irradiava una temperatura altíssima i, si no fos per les sabates, ens cremaria els peus com si trepitgéssim sorra de platja en ple estiu.

–Ens hem d’afanyar o ens abrasarem aquí dintre! –vaig exclamar, horroritzada.

El capità i jo vam saltar precipitadament als graons, però jo vaig continuar pujant fins al graó de pòrfir, al costat de Farag, i vaig mirar fixament l’àngel. Una llum, una espurna de claredat s’anava obrint camí al meu cervell. La solució era allà. Hi havia de ser. I Déu volgués que hi fos, perquè en qüestió de minuts allò es convertiria en un forn crematori. L’àngel somreia tan suaument com la Gioconda de Leonardo i semblava que s’estava prenent a broma el que estava passant. Amb les seves mans elevades al cel, es divertia... Les mans! M’havia de fixar en les mans. Vaig examinar les cadenes amb molta cura. No tenien res d’especial, tret del seu valor crematístic. Eren unes cadenes normals i corrents, grosses. Però les mans...

–Què està fent, doctora?

Les mans no eren normals, no senyor. A la mà dreta hi faltava el dit índex. L’àngel estava mutilat. Què emrecordava tot allò...?

–Mirin aquell racó del terra! –va vociferar Farag–. S’està posant roent!

Un rugit sord, un fragor de flames enfurismades, pujava fins a nosaltres des del pis inferior.

–Hi ha un incendi a baix –va remugar la Roca i, després, enfadat, va insistir:– Què dimonis està fent vostè, doctora?

–L’àngel està mutilat –li vaig explicar, amb el cervellfuncionant de pressa, cercant un record llunyà que no aconseguia despertar–. Li falta el dit índex de la mà dreta.

–Doncs molt bé! I què?

–Que no ho entén? –vaig cridar, girant-me cap a ell–. A aquest àngel li falta un dit! No pot ser una casualitat! Ha de significar alguna cosa!

–Ottavia té raó, Kaspar –va decidir Farag, traient-se la jaqueta i descordant-se totalment la camisa–. Cal que utilitzem el cap. És l’únic que ens pot salvar.

–Li falta un dit. Magnífic.

–Potser és una mena de combinació –vaig pensar en veu alta–. Com en una caixa forta. Potser hem de posaruna baula a la cadena de plata i nou a la cadena d’or. O sigui, els deu dits.

–Endavant, Ottavia! No ens queda gaire temps.

Per cada baula que tornava a introduir a la mà de l’àngel, se sentia un «clac!» metàl·lic al darrere. Així doncs, vaig deixar una baula d’argent i vaig estirar la cadena d’or fins que es van veure nou baules. No res.

–Els quatre racons del terra són roents, Ottavia! –em va cridar Farag.

–No puc anar més ràpida. No puc anar més ràpida!

Em començava a marejar. La pudor de rentadora cremada em feia venir nàusees.

–No són u i nou –va aventurar el capità–. Així doncs, potser ho hem de mirar d’una altra manera. Hi ha sis dits a un costat i tres a l’altre del que falta, oi que sí? Provi sis i tres.

917232p048a085Rec.qxd 16/12/08 11:47 Página 77


Vaig estirar la cadena de plata com una esperitada i vaig deixar sis baules a l’aire. Moriríem, em vaig dir. Per primer cop en tota la meva vida, començava a creure de debò que havia arribat el final.

Vaig resar. Vaig resar desesperadament mentre introduïa sis baules d’or a la mà dreta i en deixava fora només tres. Però tampoc no va passar res.

El capità, Farag i jo ens vam mirar desolats. Una flamarada va sorgir llavors del terra: a la jaqueta que el capità havia deixat caure de qualsevol manera, s’hi acabava de calar foc. La suor em rajava pel cos, però el pitjor era com ens xiulaven les orelles. Em vaig començar a treure el jersei.

–Ens estem quedant sense oxigen –va anunciar la Roca en aquell moment amb veu neutra. Als seus ullsgrisosos vaig poder percebre que sabia, com jo, que s’acostava el final.

–Més val que resem, capità –vaig dir.

–Vosaltres, almenys... –va xiuxiuejar el professor, mirant la jaqueta que cremava i retirant-se els flocs de cabells mullats del front–, teniu el consol de creure que dintre de poc començareuuna nova vida.

Un accés sobtat de temor em va inundar per dintre.

–No ets creient, Farag?

–No, Ottavia, no ho sóc –es va excusar amb un somrís tímid–,però no et preocupis per mi. Fa molts anys que em preparo per a aquest moment.

–Que et prepares? –em vaig escandalitzar–. L’únic que has de fer és girar-te cap a Déu i confiar en la seva misericòrdia.

–Dormiré, senzillament –va dir amb tota la tendresa de la qualera capaç–. Durant bastant temps em va fer por la mort, però noem vaig consentir la feblesa de creure en Déu per estalviar-me eltemor. Després vaig descobrir que, en anar-me’n al llit cada nit i dormir, també estava morint una mica. El procésés el mateix, no ho sabies? Recordes la mitologia grega? –Va somriure–. Els germans bessons, H?pos i Thánatos,fills de Nyx, la Nit... te’n recordes?

–Per l’amor de Déu, Farag! –vaig gemegar–. Com pots blasfemar d’aquest manera quan estem a punt de morir?

Mai no havia pensat que Farag no fos creient. Sabia que no era el que se’n diu un cristià practicant, però d’això a no creure en Déu hi havia un abisme. Afortunadament, jo no havia conegut gaires ateus en la meva vida; estava convençuda que tothom, a la seva manera, creia en Déu. Per això em vaig horroritzar en adonar-me que aquell estúpid s’estava jugant la vida eterna per dir aquelles coses espantoses a l’últim minut.

–Dóna’m la mà, Ottavia –em va demanar, oferint-me la seva, que tremolava–. Si he de morir, m’agradaria tenir la teva mà entre les meves.

La hi vaig donar, és clar, com la hi podia refusar? A més, a mi també em calia un contacte humà, per molt breu que fos.

–Capità –vaig cridar–. Vol que resem?

La calor era infernal, amb prou feines quedava aire i ja gairebé no hi veia, i no només per les gotes de suor que em queien als ulls, sinó perquè estava defallint. Notava un ensopiment dolç, una son ardent que s’emparava de mi, deixant-me sense força. El terra, aquella planxa freda de ferro que ens havia rebut en arribar, era un llac de foc que enlluernava. Tot tenia una resplendor taronja i vermellosa, fins i tot nosaltres.

33 EEqquuaacciioonnss,, iinneeqquuaacciioonnss ii ssiisstteemmeess

917232 _ 0048-0085.qxd 23/12/08 12:15 Página 78


RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S


–És clar, doctora. Comenci vostè l’oració i jo la seguiré.

Però, aleshores, ho vaig comprendre. Era tan fàcil...! En vaig tenir prou de fer una última mirada a les mans que Farag i jo teníem entrellaçades: en aquell barrejadís, humit per la suor i brillant per la llum, els dits s’havienmultiplicat... Em va venir al cap, com en un somni, un joc infantil, un truc que el meu germà Cesare m’haviaensenyat quan era petita per no haver d’aprendre de memòria les taules de multiplicar. Per a la taula del nou,m’havia explicat Cesare, només calia estendre les dues mans, comptar des del dit petit de la mà esquerra fins a arribar al nombre multiplicador i doblegar aquell dit. La quantitat de dits que quedava a l’esquerra era la primeraxifra del resultat, i la que quedava a la dreta, la segona.

Em vaig desfer de les mans de Farag, que no va obrir els ulls, i vaig tornar davant l’àngel. Per un moment em vaig pensar que perdria l’equilibri, però em va sostenir l’esperança. No eren sis i tres les baules que calia deixarpenjant! Eren seixanta-tres. Seixanta-tres, però, no era una combinació que es pogués marcar en aquella caixaforta. Seixanta-tres era el producte, el resultat de multiplicar dues altres xifres, com al truc de Cesare, i eren tan fàcils d’endevinar! Els nombres de Dante, el nou i el set! Nou per set, seixanta-tres; set per nou, seixanta-tres,sis i tres. No hi havia més possibilitats. Vaig deixar anar un crit de joia i vaig començar a estirar les cadenes. És cert que desvariejava, que la meva ment patia una eufòria que no era altra cosa que el resultat de la mancad’oxigen. Però aquella eufòria m’havia proporcionat la solució: set i nou! O nou i set, que va ser la clau que vafuncionar. Les meves mans no podien empènyer i estirar les baules mullades, però una mena de bogeria, de rampell al·lucinat em va obligar a intentar-ho una i altra vegada amb totes les meves forces fins que ho vaigaconseguir. Vaig saber que Déu m’estava ajudant, vaig sentir el Seu alè en mi, però, quan ho vaig haver aconseguit,quan la llosa amb la figura de l’àngel va enfonsar-se a poc a poc a la terra, deixant visible un corredor nou i fresc i aturant l’incendi del soterrani, una veu pagana dintre meu em va dir que, en realitat, la vida que hi havia en mi sempre es resistiria a morir.

Arrossegant-nos per terra, vam sortir d’aquella peça, empassant-nos glopades d’un aire que devia ser vell i ranci, però que a nosaltres ens semblava el més net i dolç dels que havíem respirat mai. No ho vam ferexpressament, però, sense saber-ho, vam complir també el darrer precepte que l’àngel li havia donat a Dante:«Entreu [al purgatori], i amb compte, que en surt el qui mira cap enrere!». No ho vam fer i, darrere nostre, la llosa de pedra es va tornar a tancar.

MATILDE ASENSI, L’últim Cató, Rosa dels Vents, 2003


ACTIVITAT 1

Explica detalladament la manera com els tres protagonistes van aconseguir sortir de l’habitació. Com es multiplica 9 per 6 amb el truc descobert per l’Ottavia?

ACTIVITAT 2

Justifica algebraicament per què funciona aquest truc.

ACTIVITAT 3

Demostra que no existeix un truc semblant per multiplicar per un nombre que no sigui el 9.

ACTIVITAT 4

Raona algebraicament per què, a la taula del 9, la suma de les dues xifres del resultat sempre és 9.

917232 _ 0048-0085.qxd 23/12/08 12:15 Página 79





QUÈ VOL DIR? COM HO ESCRIVIM?Expressa el nombre combinatori n sobre m.

Expressa la suma de tots elsnombres combinatoris del tipus

, amb i = 0, 1, 2, …

fins que es compleixi que i = n.

ni

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

nii

n ⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

=∑

0

nm

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ Perquè el nombre combinatori estigui expressat

correctament, és imprescindible que n sigui més granque m.

A la part inferior del símbol � s’indica el primer termeamb què es comença a sumar (generalment, 0 o 1), i a la part superior, l’últim terme.

3 31

321

3

ii

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ =

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ +

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

=∑ ++

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

33


Un polinomi qualsevol amb una variable es denotaper P(x), Q(x), R(x)…

P(x) = x4 + 3x3 − 2x − 7

P(3) = 34 + 3 ⋅ 33 − 2 ⋅ 3 − 7 = 149

P(x , y ) = 2x2y − x2 + 2xy − 34

P(2, 1) = 2 ⋅ 22 ⋅ 1 − 22 + 2 ⋅ 2 ⋅ 1 − 34 = −26


L’exponent d’un polinomi sempre és un nombre natural.

Per expressar una fracció algebraica mai no es fa servir el format P(x) : Q(x), ja que aquestaforma només indica una divisió de polinomis.

5x 3 Expressa un monomi de grau 3 i coeficient 5.

ax n Expressa un monomi de grau ni coeficient a.

En l’expressió general d’un monomi es distingeixen diverses parts.

En la part literal s’acostuma a utilitzar la lletra x,però també s’utilitzen y, z, t, u, v…

ax nCoeficient Exponent = Grau

F

F

F

Part literal

P(x )Q(x )

Indiquen polinomis que només tenenuna variable, x.

P (3) Indica el valor del polinomi P(x ) pera x = 3.

P(x, y ) Indica un polinomi amb duesvariables, x i y.

P (2, 1) Indica el valor del polinomi P(x, y )per a x = 2, y = 1.

P(x )n

P x

Q x

( )

( )

Indica la potència d’un polinomi.

Expressa una fracció algebraica.

917232p048a085Rec.qxd 16/12/08 11:47 Página 80


RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S

Indica les dues possiblessolucions d’una equació de segon grau.

� Denota el discriminant d’una equació de segon grau.

x 1, x 2 Indiquen les dues solucionsd’una equació de segon grau.

− ± −b b ac

a

2 4

2


Quan s’escriu una equació amb una sola incògnita se sol emprar la lletra x per designar la incògnita, tot i que també es poden emprar altreslletres com y, z, t…

Si en lloc del signe = poséssim qualsevol dels signes de desigualtat, <, ≤, >, ≥, tindríeml’expressió d’una inequació.


x (ax + b) = 0 La clau indica quehi ha diversespossibilitats.

xax b

=+ =

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

00

Quan en una equació es presenten diversespossibiltats, les agrupem amb una clau; per exemple,en resoldre una equació de segon grau, ax2 + bx = 0, ens trobem aquest pas:

x (ax + b) = 0

que significa: «Si el producte de dos factors és zero,almenys un dels factors ha de ser zero».

xax b

=+ =

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

00


a, b i c són els coeficients de l’equació de segon grau.

El valor de � = b2 − 4ac determina quantes solucionsté l’equació: si � > 0 → 2 solucions, si � = 0 → 1solució, i si � < 0 → no té solució.

El símbol ± significa que l’equació té dues solucions, l’una sumant i l’altra restant.

Les solucions de l’equació de segon grau s’acostumen a anomenar x1 i x2.

Representa un sistema dedues equacions linealsamb dues incògnites.

ax by ca x b y c

+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪' ' '


Per escriure un sistema d’equacions es posen les equacions, l’una sota de l’altra, i s’agrupen amb una clau de tancament, } (la clau pot estar a la dreta o a l’esquerra).

ax + b = 0 Indica l’expressió general d’una equació de primer grau.

ax 2 + bx + c = 0 Indica l’expressió general d’una equació de segon grau.


917232p048a085Rec.qxd 16/12/08 11:47 Página 81



Mètode algebraic (codificar)

Consisteix a solucionar el problema plantejant i resolent una equació.

Si anomenem x el preu del producte a la fàbrica, tenim:

Preu del distribuïdor

x + x ⋅ 40%

Per calcular el 40% d’increment, multipliquem per0,4 el preu de venda del fabricant.

Preu del majorista

x + x ⋅ 0,4 + (x + x ⋅ 0,4) ⋅ 0,4

Preu del comerçx + x ⋅ 0,4 + (x + x ⋅ 0,4) ⋅ 0,4 + [x + x ⋅ 0,4 +

+ (x + x ⋅ 0,4) ⋅ 0,4] ⋅ 0,4 = 27,44

2,744x = 27,44

x = 10 euros

Marxa enrere

Consisteix a resoldre el problema partint de la solució mitjançant la cerca d’una regularitat.

Per calcular cada preu de venda a partir del fabricant, s’ha de sumar al preu de cost el resultat del 40% sobre aquest preu. En aquest cas tenim:

Preu de venda = (preu de cost) + 0,4 ⋅ (preu decost) = 1,4 ⋅ (preu de cost)

Preu de cost = (preu de venda)/1,4

Així que, per resoldre el problema podem partir delresultat i anar dividint successivament fins aobtenir el preu del fabricant.

27,44 € (preu del comerç)27,44/1,4 = 19,60 € (preu del majorista)19,60/1,4 = 14 € (preu del distribuïdor)14,00/1,4 = 10 € (preu del fabricant)

Un producte es ven al consumidor a 27,44 euros. Si el venedor del comerç ha incrementat el cost delproducte un 40% respecte del preu del majorista a qui el va comprar, i el majorista el va incrementar de la mateixa manera al preu del distribuïdor, quin preu tenia el producte a la fàbrica quan el va comprar eldistribuïdor, si s’hi va aplicar el mateix criteri que el comprador per obtenir-ne el preu de venda?

Estratègia Un problema es pot resoldre fent servir estratègies diferents. L’elecció de l’una o l’altra s’ha de fer en funció de la senzillesa a l’hora d’executar-la, comparant i valorant les possibilitats que ofereix cada opció.

L’Enric decideix gastar al primer establimenton entri la meitat dels diners que porta quan surt de casa, i la meitat del que li quedila gastarà al següent establiment on vagi, i així cada vegada que canviï de lloc. Si un cop que ha sortit de casa ha anat a cinc establiments i quan torna li queden 25 euros, amb quina quantitat d’euros hasortit de casa?

Resol el problema anterior per al cas que gastés la meitat dels diners i mig euro més.

Dos amics juguen a un joc que consisteix a dir un nombre comprès entre 1 i 5 i anar-lo sumant fins a arribar a 39. Si guanya el jugador que aconsegueixi aquestaxifra, per quin nombre ha de començar elprimer jugador per guanyar?

3

21

Codificar i marxa enrere

PROBLEMA RESOLT

PROBLEMES PROPOSATS


Equacions, inequacions i sistemes3917232p048a085Rec.qxd 16/12/08 11:47 Página 82


RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S


EXERCICIS

Resol la resta d’apartats de l’exercici 65 de lamateixa manera com ho has fet a la Pràctica 1.

Resol les equacions de l’exercici 67 de la pàgina 79.

Resol les equacions amb radicals de l’exercici 70 de la manera com ho has fet a la Pràctica 1, emprant el símbol i posant el radicand entre parèntesis.

Resol les equacions de l’exercici 74 de la pàgina80 emprant prèviament l’opció Simplificar.

4

3

2

1

Menú resoldre expressió

Equació amb infinites solucions

Equació sense solució

PRÀCTICA DERIVEPRÀCTICA 1 (pàg. 79, exercici 65 a)

1. Abans d’introduir les expressions comprova si la finestra d’entrada d’ex-pressions està activa. Si ho està, el cursor ha de parpellejar a la finestra;si no és així, prem el botó per activar-la.

2. Tecleja l’equació i prem ENTER. Recorda que el numerador i el deno-minador s’han de posar entre parèntesis.

Comprova que l’equació que apareix a la finestra d’àlgebra és la quevols.

3. Desplega la pestanya Resolver i escull l’opció Expresión, o prem el

botó . A la finestra d’àlgebra apareix el menú Resolver expresión, ihas de prémer el botó Resolver.

4. A la finestra d’àlgebra apareixen les solucions de l’equació.

Una altra possibilitat és desplegar la pestanya Simplificar i triar l’opció= Normal, o prémer directament el botó . D’aquesta manera ob-tens una equació simplificada que pots resoldre directament.


917232p048a085Rec.qxd 16/12/08 11:47 Página 83



EXERCICIS

Resol la resta d’apartats de l’exercici 79 de lapàgina 80 de manera semblant a com ho has feta la Pràctica 1.

Resol els sistemes de tres equacions amb duesincògnites de l’exercici 83 de la pàgina 81.

Resol gràficament els sistemes dels apartats a) i b) dels exercicis 79 i 83.

Resol els sistemes de tres equacions amb tresincògnites de l’exercici 84 de la pàgina 81.

4

3

2

1

Procés de resolució d’un sistema

Representació gràfica del sistema

PRÀCTICA DERIVEPRÀCTICA 1 (pàg. 80, exercici 79 c)

1. Prem sobre la pestanya Resolver i escull Sistema.

2. Apareix una pantalla on has de seleccionar el nombre d’equacions. Enaquest cas n’escollim 2.

3. A la pantalla que apareix has d’escriure les dues equacions que formenel sistema a les caselles 1 i 2.

Si prems sobre la casella Variables, apareixen les incògnites que tenen lesequacions, i en aquest cas són x i y.

Quan prems a Resolver apareixen les solucions del sistema.

Comprova que el sistema que apareix a la finestra és el que vols resoldre,ja que és probable que hi falti algun parèntesi.

Una manera més ràpida de resoldre el sistema és introduir-lo directa-ment a la finestra d’expressions; en aquest cas, hem de separar lesequacions amb el símbol ^.

Prem el botó , escull les dues variables i prem el botó Resolver perobtenir les solucions.

Si et situes sobre una de les equacions i prems el botó esquerre del ra-tolí, apareix ressaltada en gris.

Si prems dues vegades el botó , a la finestra gràfica apareixen les so-lucions de la primera equació de manera gráfica. Repeteix el procésamb l’altra equació.

El punt intersecció de les dues rectes és la solució del sistema.


917232 _ 0048-0085.qxd 23/12/08 12:15 Página 84


RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S


EXERCICIS


Resol els exercicis 90 i 91 de la pàgina 81.


Resol els exercicis 93 i 94 de la pàgina 82.4

3

2

1


Representació gràfica de l’interval solució de la Pràctica 1



1. Abans d’introduir les expressions comprova si la finestra d’entrada d’ex-pressions està activa. Si ho està, el cursor parpalleja a la finestra; si noho està, prem en el botó per activar-la.

2. Tecleja la inequació i prem ENTER.

Comprova que la inequació que apareix a la finestra d’àlgebra és la quevols.

3. Desplega la pestanya Resolver i escull l’opció Expresión, o prem el

botó . A la finestra de álgebra apareix el menú Resolver expresión,i hauràs de prémer el botó Resolver.

4. A la finestra d’àlgebra apareixen les solucions de l’equació.

Per veure gràficament les solucions, has de prémer dues vegades sobreel botó .


1. Prem sobre la pestanya Resolver i escull Sistema.

2. Apareix una pantalla on has d’escollir el nombre d’inequacions. Enaquest cas, són 2 inequacions.

3. A la pantalla que apareix has de teclejar les dues inequacions que for-men el sistema a les caselles 1 i 2.

Si prems sobre la casella Variables apareixen les incògnites que tenen lesinequacions. Si prems Resolver apareixen les solucions del sistema.

Per veure gràficament les solucions, hem de prémer dues vegades el botó.

Si el sistema té diverses inequacions amb dues incògnites, la solució ésuna regió del pla, i en aquest cas només té sentit la solució gràfica.


917232 _ 0048-0085.qxd 23/12/08 12:15 Página 85


El mesurament del mónDaniel Kehlmann

A Gauss l’incomodaven els signes negres dels llibres, que parlaven a la majoria dels adults, però no a la seva mare ni a ell. Una tarda de diumenge va demanar al pare, però, i ara què t’agafa, noi, que n’hi expliqués alguns: el de la biga grossa, el que tenia un penjoll a sota, la mitja rodona i la rodona sencera. Després va observar la pàgina fins que el que encara desconeixia es va completar tot sol i de sobte hi van aparèixer paraules. Va passar fulls, aquest cop tot va anar més ràpid, un parell d’hores més tard sabia llegir, i el mateix dia al vespre va acabar el llibre, que, per cert, era avorrit i parlava de les llàgrimes de Crist i del penediment dels pecadors. El va portar a la mare per explicar-li els signes, però ella va bellugar el cap fent un somriure trist. En aquell moment va entendre que ningú volia fer servir l’intel·lecte. La gent volia tranquil·litat. Volien menjar i dormir, i volien que els tractessin amb amabilitat. No volien pensar.

El mestre de l’escola es deia Büttner i li agradava estomacar. Feia veure que era sever i ascètic, i només de tant en tant l’expressió de la seva cara delatava com es divertia pegant. Li encantava posartasques que costessin molt de fer i que no es poguessin resoldre sensecometre algun error, de manera que al final hi hagués una excusa per treure la palmeta. Era el barri més pobre de Brunsvic, cap dels nensno aniria a l’institut, ningú no treballaria mai amb res més que no fossinles mans. Gauss sabia que Büttner no el podia sofrir. Per més callat que estigués i per més que intentés respondre amb tanta lentitud com els altres, notava la desconfiança de Büttner i que el mestre només esperava un motiu per poder-lo estomacar una mica més fort que als altres.

I n’hi va donar un.

Büttner els havia manat sumar tots els números de l’u al cent.Trigarien hores, i per més voluntat que hi posessin no aconseguirien fer-ho sense cometre algun error, pel qual els castigaria. Som-hi, havia cridat Büttner, no badeu, comenceu ja, vinga! Al cap d’un tempsGauss ja no recordava si aquell dia estava més cansat que de costum o si simplement s’havia distret. Fos com fos, no s’havia controlat, i al cap de tres minuts ja era davant del pupitre del mestre amb la seva pissarra, on havia escrit una sola línia.

Vaja, va dir Büttner, i va agafar la palmeta. La seva mirada va caure sobre el resultat i va aturar la mà en sec. Va preguntar què significava allò.

Cinc mil cinquanta.

Què?

A Gauss se li va fer un nus a la gola, tenia raspera i suava. Només desitjava ser al seu lloc, comptant encaracom els altres, que seien amb el cap cot fent veure que no escoltaven. Es tractava de sumar tots els números de l’u al cent. Cent més u donava cent u. Noranta-nou i dos donava cent u. Noranta-vuit i tres donava cent u.Sempre cent u. I això es podia fer cinquanta vegades. O sigui, cinquanta per cent u.

Büttner callava.


Trigonometria4917232p086a119Rec.qxd 16/12/08 12:54 Página 86


RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

SCinc mil cinquanta, va repetir Gauss, amb l’esperança que,excepcionalment, Büttner ho entendria. Cinquanta per cent u eren cinc milcinquanta. Es va fregar el nas. Estava a punt de plorar.

Que Déu em maleeixi, va dir Büttner. Després va callar una bona estona.La seva cara reflectia com barrinava: es xuclava les galtes i estirava la barbeta, es fregava el front i es donava copets al nas. Després va enviarGauss al seu lloc. Havia de seure, no obrir la boca i quedar-se després de classe.

Gauss va respirar profundament.

Ni una paraula, va dir Büttner, i de seguida van caure les garrotades.

Així doncs, després de la darrera lliçó, Gauss es va plantar amb el cap cotdavant la taula del mestre. Büttner li va exigir que jurés pel seu honor, i per Déu, que tot ho veia, que ho havia calculat tot sol. Gauss ho va jurar,però quan li anava a explicar que no tenia cap importància, que només calia observar un problema sense prejudicis ni rutina, que llavors la solució es mostrava tota sola, Büttner el va interrompre i li va allargar un llibre gruixut. Alta aritmètica: un dels seus forts. Gauss se l’havia d’endur a casa i llegir-lo. I que vigilés. Una pàgina doblegada, una taca, l’empremta d’un dit, i que Déu l’emparés de les garrotades que li caurien.

L’endemà li va tornar el llibre.

Büttner li va preguntar què significava allò. És clar que era complicat, però un no es rendia tan ràpid!

Gauss va bellugar el cap, volia explicar-se, no podia. Li rajava el nas. Es va haver d’empassar els mocs.

I doncs!

Ja estava, va balbucejar. Era interessant, li volia donar les gràcies. Va mirar Büttner fixament i va pregar perquè amb allò n’hi hagués prou.

No tolerava les mentides, va dir Büttner. Aquell era el llibre de text més complicat en llengua alemanya. Ningú no el podia estudiar en un dia, encara menys un mocós de vuit anys.

Gauss no sabia què havia de dir.

Büttner va agafar el llibre amb mans insegures. Potser sí que n’haviaentès alguna cosa, ara l’hi preguntaria!

Mitja hora després mirava Gauss amb expressió de buidor. Sabia que no era un bon mestre. No en tenia vocació ni habilitats especials. Però havia arribat l’hora: si Gauss no anava a l’institut, ell hauria viscutinútilment. El va examinar amb aire confús; després, probablement per combatre l’emoció, va agafar la palmeta i Gauss va rebre l’última tongada de garrotades de la seva vida.

Aquella mateixa tarda, un jove va picar a la porta de casa dels seuspares. Tenia disset anys, es deia Martin Bartels, estudiava matemàtiques i treballava d’ajudant de Büttner. I demanava permís per parlar amb el fill de la casa.

Només n’hi havia un, va dir el pare, i tenia vuit anys.

4 Trigonometria

917232p086a119Rec.qxd 16/12/08 12:54 Página 87


Justament aquest, va dir Bartels. Demanava permís per poder practicarmatemàtiques amb el jove senyor tres cops per setmana. No volia parlar de classes, perquè el terme li semblava inadequat, va dir fent un somriurenerviós, per a una activitat en què potser ell tenia més coses a aprendreque l’alumne.

El pare el va exhortar a posar-se ben dret. Tot allò eren bestieses! S’ho va pensar un moment. D’altra banda, no hi tenia res en contra.

Durant un any van treballar plegats. Al principi a Gauss li feien il·lusióaquelles tardes, que trencaven la monotonia de la setmana, encara que no apreciava gaire les matemàtiques i s’hauria estimat més classes de llatí. Després se li van fer avorrides. Bartels no era tan lent pensant com els altres, però també li costava. Bartels li va explicar que havia parlat amb el director de l’institut. Si el seu pare ho permetia, Gauss rebria una beca.

Gauss va sospirar.

No era normal, li va retreure Bartels, que un nen estigués sempre trist!

Hi va rumiar, l’observació li va semblar interessant. Per què estava trist? Potser perquè veia que la seva mare es moria, perquè el món semblava tan decebedor quan se sabia que el seu teixit no era atapeït, que la il·lusió estava feta de punt gruixut, que les costures estaven cosides per mans inexpertes, perquè només els secrets i l’oblit el feien suportable, perquè no s’aguantava sense la son, que cada dia t’arrencava de la realitat.No poder apartar la mirada era tristesa. Estar despert era tristesa. El coneixement, pobre Bartels, era desesperació.Per què, Bartels? Perquè el temps sempre passava.

Entre Bartels i Büttner van convèncer el seu pare que no havia de treballar a la filatura sinó que havia d’anar a l’institut. El pare ho va consentir de mala gana i li va donar el consell que, passés el que passés, sempre es mantingués ben dret. Ja feia temps que Gauss havia observat els pagesos treballant i havia entès que el seu pare no patia per la immoralitat de la gent sinó pel mal d’esquena crònic propi del seu ofici.

Gràcies a la seva intel·ligència, al seu esforç i a una beca que li va aconseguir el mestre, aquest nen que havia nascut en el si d’una família molt pobra, en un petit poble d’Alemanya, en una societat que no espreocupava per l’educació, va arribar a ser un astrònom molt important, un excel·lent físic i, sobretot, el matemàticmés gran de la seva època, per tal com se’l va conèixer com «el príncepdels matemàtics». A la novel·la de la qual hem extret aquest paràgraf, a més d’altres històries, es narra la seva vida de manera amena, con en aquest fragment, on llegim com va conèixer la dona amb la qual més tard es va casar.

El cel estava tapat, i la terra, enfangada. Es va enfilar per damuntd’una bardissa i es va trobar, panteixant, suat i cobert de pinassa,davant de dues noies. Quan li van preguntar què hi feia, allà, els va explicar, nerviós, la tècnica de la triangulació: si es coneixien un costat i dos angles d’un triangle, es podien determinar els altres doscostats i l’angle que no se sabia. Per tant, es triava un triangle en algunlloc d’aquella terra de Déu, se’n mesurava el costat que tenia milloraccés i, amb aquell aparell, es determinaven els angles per al tercerpunt. Va aixecar el teodolit i el va girar, així i així, i, ho veuen, així, amb dits destralers amunt i avall, com si fos la primera vegada. Després s’hi afegeix una sèrie de triangles com aquest. [...]

4 Trigonometria

917232p086a119Rec.qxd 16/12/08 12:54 Página 88


RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S

4 Trigonometria

Però un terreny, va replicar la més gran de les dues, no era un pla, oi?

La va mirar de fit a fit. Havia faltat la pausa. Com si la noia no hagués hagut de rumiar. En absolut, va dir Gauss, somrient.

Els angles d’un triangle, va dir ella, només sumaven cent vuitanta graus sobreun pla, però no sobre una esfera. D’allò depenia tot.

La va observar com si la veiés per primer cop. Ella li va tornar la miradaarquejant les celles. Sí, va dir Gauss. Bé, per compensar-ho, després del mesurament, els triangles s’havien d’encongir, per dir-ho d’alguna manera, a una grandària infinitament petita. En principi, una senzilla operació diferencial.Tot i que d’aquella manera... Es va asseure a terra i va treure la llibreta. D’aquella manera, va murmurar mentre començava a escriure, encara no ho havia fet mai ningú. Quan va aixecar la vista, estava sol. [...]

Va demanar en una carta la mà de Johanna i va ser rebutjat. No tenia res a veure amb ell, va escriure, simplement dubtava que viure al seu costat fossaludable. Sospitava que ell xuclava vida i energia de la gent que l’envoltava, igual que la Terra del Sol i el mar dels rius, i que, a prop seu, s’estava condemnat a la pal·lidesa i la irrealitat d’un ésser fantasmagòric.

Passat un temps, ho tornà a provar i, aquesta vegada, va ser acceptat.

DANIEL KEHLMANN, El mesurament del món, Angle, 2007


ACTIVITAT 1

Imagina que, en una superfície de terra plana, hi ha tres arbres, A, B i C, i no podem arribar a l’arbre C perquè alguna cosa ens ho impedeix. Amb una cinta mètrica mesurem la distància entre A i B i obtenim 26 m. Després, amb un teodolit, com el de Gauss, mesurem els angles i obtenim 48° i 60°, respectivament. Amb aquestes dades, quines altres distàncies o àrees podemcalcular? Basant-te en això, explica la tècnica de la triangulació i les seves aplicacions pràctiques.

ACTIVITAT 2

Qui va ensenyar a llegir Gauss? Com es deia el mestre? Qui era Bartels? Com eren les relacions del mestre amb Gauss?

ACTIVITAT 3

Explica quina tasca va manar el mestre als nens i com la va resoldre Gauss.

ACTIVITAT 4

Emprant la tècnica de Gauss, calcula la suma des d’1 fins a 1.000.

917232p086a119Rec.qxd 16/12/08 12:54 Página 89



Trigonometria4

Els vèrtexs del triangle es designenamb lletres majúscules, els costats amb lletresminúscules i els angles amb les mateixeslletres que els vèrtexs i el símbol ^.


Un angle s’expressa:

– Amb el símbol ^ sobre les tres lletres que

determinen l’angle, BAC, o bé CAB, de manera que quedi al centre la lletra del vèrtex.

– Amb el símbol ^ sobre la lletra del vèrtex: A$.

– Amb el símbol ^ sobre les lletres que designen les rectes que el formen, rs$.

– Amb una lletra grega: α, β…


radIndiquen un angle mesuraten radians.

58° 22' 15'' Expressen un angle mesuratα = 60° en graus sexagesimals.

απ

=3

2

π2

Per expressar un angle en radians, primer escrivim el nombre que n’expressa la mesura, deixem un espai i, finalment, escrivim l’abreviatura de radian, que és rad. Aquesta paraula es pot ometrequan expressem una igualtat.

Si volem expressar un angle en graus sexagesimals,escrivim els graus i el símbol °, després els minuts i el símbol '; finalment, la xifra dels segons amb elsímbol ''.


Per representar un triangle, primers’anomenen els vèrtexs, començant per qualsevol. S’acostumen a fer servir les lletres A, B, C…, tot i que és vàlida qualsevol lletra de l’abecedari.

Després, s’anomenen els costats, que es designen amb la lletra minúscula de la que representa el vèrtex oposat: a, b, c…

Finalment, els angles s’anomenen afegint el símbol ^ a la lletra que en representa el vèrtex, A$, B$, C$…

Un triangle es designa per les lletres dels seus

vèrtexs, ABC, amb el símbol , ABC.

Representen un angle.

A

A

C

s

A$

r

α

B

B$

C$CA

B

c a

b

A$

917232 _ 0086-0119.qxd 29/12/08 09:25 Página 90


RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S

cosec α Indica la cosecant de l’angle α.

sec α Expressa la secant de l’angle α.

cotg α Indica la cotangent de l’angle α.

cosec α =

sec α =

cotg α = 1

tg α

1

cos α

1

sen α


Les raons trigonomètriques d’un angle (sinus, cosinusi tangent) s’expressen mitjançant abreviatures: sin, cos i tg, respectivament. Després es deixa un espai en blanc i s’escriuen els angles, en graus o radians; de vegades els angles s’escriuen entre parèntesis.

sin 40° cos π tg 120° sin (40°)3

4


sin (α + β) Indica el sinus de la suma de dos angles.

sin α + β Expressa la suma del sinus d’un angle, α, i el nombre β.

sin α + sin β Indica la suma de dos sinus.

cos 2α Indica el cosinus del doble d’un angle.

2 cos α Indica el doble del cosinus d’un angle.

tg 2 α

(tg α)2

tg α2

Una raó trigonomètrica afecta una operació entre angles només si està entre parèntesis. Per exemple, si és un producte d’un angle per un nombre no cal posar parèntesis.

Per calcular una potència d’una raótrigonomètrica es pot indicar sobre la raó trigonomètrica, o introduir aquesta raótrigonomètrica entre parèntesis.

(tg α)2 = tg 2 α


Les raons trigonomètriques inverses d’un angle(cosecant, secant i cotangent) s’expressen mitjançantabreviatures: cosec, sec i cotg, respectivament.

Després es deixa un espai en blanc i s’escriuen els angles, en graus o radians; de vegades els angles s’escriuen entre parèntesis.

cosec 40° sec π cotg 120° cosec (40°)3

4

sin α Indica el sinus de l’angle α.

cos α Expressa el cosinus de l’angle α.

tg α Indica la tangent de l’angle α.

4 Trigonometria

Indiquen que la cosecant,la secant i la cotangentsón les inverses del sinus,el cosinus i la tangent,respectivament.

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

Indiquen el quadrat de la tangent d’un angle.

917232 _ 0086-0119.qxd 29/12/08 09:25 Página 91



Per particularitzar, considerem dades i models més senzills que els proposats al problema, l’amplada dels quals és d’1, 3, 5 i 7 rajoles i els models apareixen girats un angle de 45°. Observem el dibuix i organitzem la informació:

Formulem una conjectura per al model d’amplada 7:

Quan efectuem el recompte de cada una de les dades i el comparem amb les dades obtingudes en aquesta taula, comprovem que coincideixen.

Si y és el nombre total de rajoles i x és el nombre de rajoles de color blau, les rajoles de color blanc seran x − 1. Per tant, tenim aquest sistema:

� → �x = = 111 rajoles blaves

y = 1112 + 1102 = 24.421 rajoles

2222

2x − 1 = 221x2 + (x − 1)2 = y

x + (x − 1) = 221x2 + (x − 1)2 = y

La façana d’un edifici s’ha decorat amb rajoles de colors blanc i blau. Si l’amplada del model és de 221 rajoles blanques i blaves, quantes rajoles han fet falta?

Estratègia Per resoldre molts problemes ens pot servir la particularització, que consisteix a resoldre primer el problema per a situacions més senzilles. Per aplicar-la és molt important efectuar canvis en les dades, buscar pautes i/o regularitats i formular conjectures sobre possibles solucions.

En un magatzem pots aconseguir undescompte del 20%, però també has de pagar uns impostos del 16%. Què t’interessa més,que calculin primer el descompte o els impostos?

Quants mistos es necessiten per construir 81 quadrats unitaris i formar un altre quadrat més gran com el que es mostra en aquesta successió?

21

Particularització

PROBLEMA RESOLT

PROBLEMES PROPOSATS


Trigonometria4

Amplada de 7 rajoles

Amplada

Amplada

Amplada

Amplada del

model

1

3

5

1

2

3

0

1

2

1 ⋅ 1

2 ⋅ 2

3 ⋅ 3

0 ⋅ 0

1 ⋅ 1

2 ⋅ 2

1

5

13

Nre. de rajolesblaves

en l’amplada

Nre. de rajolesblanques

en l’amplada

Nre. total de rajoles blavesen el model

Nre. total de rajoles blanques

en el model

Nre. totalde rajoles

en el model

77 1

24

+=

7 1

23

−= 4 ⋅ 4 = 42 = 16 3 ⋅ 3 = 32 = 9 42 + 32 = 25

917232p086a119Rec.qxd 16/12/08 12:54 Página 92


RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S


EXERCICIS

Resol els apartats b), e), g) i h) de l’exercici 51 de la pàgina 107, de la manera com ho hasfet a la Pràctica 1.

Resol els apartats f), i), j), k) i l) de l’exercici 51 de la pàgina 107, de la manera com ho has fet a la Pràctica 2.

21



PRÀCTICA DERIVEAra resoldrem diversos apartats de l’exercici 63, però farem servir el progra-ma DERIVE en comptes de la calculadora.


1. Abans d’introduir les expressions comprova si la finestra d’entrada d’ex-pressions si està activa. Si ho està, el cursor parpalleja a la finestra; si noho està, prem el botó per activar-la.

Les diferents raons trigonomètriques de l’angle x s’han d’introduir enDERIVE de la manera següent:

SIN(x) → sinus de x CSC(x) → cosecant de xCOS(x) → cosinus de x SEC(x) → secant de xTAN(X) → tangent de x COT(x) → cotangent de x

Per defecte, la unitat de mesura de l’angle x és en radians. Per introduirels angles en graus es pot emprar °, o escriure deg a la línia d’entrada.

2. Calcula el valor de l’angle en graus. Per fer-ho, escriu l’expressió se-güent i prem ENTER.

3. Escriu l’expressió següent i prem ENTER.

4. Prem el botó . A la finestra d’àlgebra apareix el valor del sinus del’angle 319° 12’ 52’’.

PRÀCTICA 2 (pàg. 107, exercici 51 c)

1. Abans d’introduir les expressions comprova si la finestra d’entrada d’ex-pressions si està activa. Si ho està, el cursor parpalleja a la finestra; si noho està, prem el botó per activar-la.

2. Escriu l’expressió següent i prem ENTER.

3. A la finestra d’àlgebra apareix el valor de la tangent de l’angle 7,03 rad.

4. Repeteix el mateix procés però escrivint l’expressió següent:

Observa que, en aquests casos, no s’ha de fer servir ° o deg, ja que elsangles estan en radians.

4 Trigonometria

917232p086a119Rec.qxd 16/12/08 12:54 Página 93



4 Trigonometria

EXERCICIS

Busca informació sobre aquests conceptesbàsics emprant l’auxiliar d’Office, i respon les qüestions següents.

a) Què és un llibre de treball?

b) I una etiqueta de full?

Busca informació sobre:

a) Què és una fórmula?

b) Com es crea una fórmula?

Busca informació.

a) Què és una barra d’eines flotant?

b) Com s’oculta?

3

21

Pantalla inicial d’EXCEL

Ajuda del programa

Part d’un full

PRÀCTICA EXCELEntrada al Programa:

Menú → →

Quan el programa s’executa, al monitor veuràs la pantalla del marge.

És un llibre de treball format per 3 fulls: Full1; Full2 i Full3, tot i que en unllibre hi pot haver fins a 256 fulls.

Llibre → Carpeta que pot contenir fulls, gràfics, macros, etc.

Full → Pissarra «ordenada» en cel·les (cada cel·la està ordenada per la fila icolumna) que contenen dades numèriques, text, etc.

Cel·la → Presenta dues informacions:

• El format de la cel·la: consisteix en el tipus de dada que pot contenir:numèric, de text, lògic, dades, etc.

• El contingut.

Observa al marge un full que té escrita la paraula «Matemàtiques» a lacel·la B3 (columna B, fila 3); el contigut de la cel·la és la paraula «Matemà-tiques» i el format és el tipus text.

El programa EXCEL treballa amb aquestes dues informacions per separat;per exemple, pots esborrar el contingut d’una cel·la però mantenir-ne el for-mat, o copiar només el format d’una cel·la a una altra sense copiar-ne elcontingut.

Quan se surt del programa s’indica el nom de l’arxiu. L’extensió la dóna elmateix programa i és .xls.

PRÀCTICAObre un llibre nou. La informació que dóna EXCEL com a ajuda és moltcompleta i permet tenir una visió genèrica de què és un full de càlcul i de com es pot utilitzar. Prem el botó (ajuda) de la barra de menús o prem directament la tecla . A la finestra que surt, prem sobre

i escriu, per exemple, tipus de format i observa que torna a sortiruna nova finestra d’ajuda. A través d’aquest tipus de desenvolupament, elprograma et proporcionarà maneres d’ús o suggeriments sobre un tema de-terminat.

Cerca

917232p086a119Rec.qxd 16/12/08 12:54 Página 94


RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S

4 Trigonometria

EXERCICIS

Introdueix a la cel·la B1 et teu nom i cognoms en lletra arial, negreta i de mida 12.

Crea una carpeta personal amb el teu nom en el disc dur de l’ordinador o en un disquet.

Desa el llibre, per registrar les dades introduïdes en el full, a la teva carpeta personalamb el nom següent: Excel_Unitat0.

3

2

1

Comandaments de Format

Comandaments d’Edició

Barra d’estat

Barra d’eines

PRÀCTICA EXCELObre l’EXCEL i observa, a la part superior de la pantalla, les barres d’einesque hi ha per accedir als diferents menús:

• Conté els comandaments més importants per fer operacions amb elfull o amb les dades del full.

• Per accedir a les opcions que ofereix, prem sobre l’opció amb el bo-tó de l’esquerra del ratolí, o prem simultàniament la tecla i latecla subratllada a l’opció (F per a Fitxer, E per a Eines, etc.).

• Cada una d’aquestes opcions dóna lloc, al seu torn, a una sèrie de co-mandaments; per exemple amb + D es despleguen els coman-daments d’Edició (per a les opcions d’eliminar, cercar, etc.), i amb

+ O, els de Format (que permet canviar el format de cel·les, fi-les, etc.).

En el menú → trobem eines, alguna de les quals es potactivar a la barra corresponent (observa-ho en el marge).

Una barra que sempre està activada o visible és la barra Estàndard.

Aquesta barra conté comandaments, entre d’altres, de la barra Fitxer. Ca-da una de les icones de la barra Estàndard és un comandament diferent.Per saber la funció de cada comandament, acosta’t amb l’apuntador iobserva el rètol que apareix sota la icona amb la seva descripció. Fes-hoamb la vuitena icona i t’indica Visualització prèvia d’imatges, tal compots veure al marge.

La barra Format conté formats de control del tipus de lletra, l’estil, la mida,l’alineació del text, etc.

La barra de fórmules permet introduir i veure fórmules a les cel·les.

La barra d’estat, situada al final del full, assenyala, com pots veure al mar-ge, l’acció que s’executa quan s’introdueix una fórmula.

→


917232p086a119Rec.qxd 16/12/08 12:54 Página 95



4 Trigonometria

EXERCICIS

Resol els apartats e), utilitzant la Pràctica 1, i h),utilitzant la Pràctica 2, de l’exercici 63.

Modifica els fulls de les Pràctiques 1 i 2 per fer la resta de l’exercici 63 de la pàgina 108.

21

PRÀCTICA EXCELPRÀCTICA 1 (pàg. 108, exercici 63 a)

1. Primer dóna nom a les cel·les que vols uti-litzar. Per fer-ho tecleja els noms dels cos-tats i dels angles d’aquesta manera.

2. A les cel·les D3 i E3 introdueix la fórmula per calcular els valors dels an-gles A$ i B$, respectivament.

CEL·LA D3:

CEL·LA E3:

Només cal aïllar el valor de l’angle del teorema del cosinus i aplicar-hi lafunció ACOS, per calcular l’arcsinus, i la funció GRADOS, ja que ACOSens dóna l’angle en radians.

3. Per a l’angle C$ podem utilitzar que la suma dels tres angles del triangleés 180°. CEL·LA F3:

4. S’introdueixen els valors dels costats a, b i c del triangle a les cel·les A3, B3 i C3.


1. Coincideix amb el pas 1 de la Pràctica 1.

2. A les cel·les D3 i E3 cal introduir els graus dels angles A$ i B$, respectiva-ment, teclejant:

Per a l’angle C$ utilitza el fet que la suma dels tres angles del triangle és180°. CEL·LA F3:

3. A les cel·les D3 i E3 introdueix la fórmula per calcular els valors dels an-gles A$ i B$, respectivament.

CEL·LA D3:

CEL·LA E3:

Només cal aïllar el valor del costat en el teorema del sinus, i aplicar lafunció RADIANES, per calcular la funció SINO.

4. S’introdueixen els valors dels costats a, b ic del triangle a les cel·les A3, B3 i C3.

917232p086a119Rec.qxd 16/12/08 12:54 Página 96


RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S

4 Trigonometria


EXERCICIS

De manera semblant a com ho has fet a la Pràctica 1, resol els exercicis 84, 89 i 90 de les pàgines 109 i 110.

Utilitza l’opció Simplificar de DERIVE per fer l’exercici 86 de la pàgina 109.


Triant Sistema a la pestanya Resolver, resol els sistemes de l’exercici 92 de la pàgina 110.

4

3

2

1



Pestanya d’Ajustes de modo

PRÀCTICA DERIVEPRÀCTICA 1 (pàg. 109, exercici 85)

1. Abans d’introduir les expressions comprova si està activa la finestrad’entrada d’expressions. Per fer-ho, cal que parpellegi el cursor a la fi-nestra; si no és així, prem el botó per activar-la.

2. Tecleja la igualtat i prem ENTER.

Comprova que la igualtat que apareix a la finestra d’àlgebra és la quevols.

3. Prem sobre Opciones i tria Opciones de modo. A la casella Trigonome-tría, tria l’opció Collect, ja que d’aquesta manera es comprimeixen elsproductes i les potències de funcions trigonomètriques.

4. Desplega la pestanya Simplificar i tria l’opció Normal, o prem al botó . A la finestra d’àlgebra apareixen les dues parts de la igualtat simplifica-des, i en aquest cas es comprova la certesa de la igualtat.

Recorda que has de tornar a posar l’opció Auto a la casella Trigonome-tría.


1. Abans d’introduir les expressions comprova si està activa la finestrad’entrada d’expressions. Per fer-ho, cal que parpellegi el cursor a la fi-nestra; si no és així, prem el botó per activar-la.

2. Tecleja l’equació i prem ENTER.

Comprova que l’equació que apareix a la finestra d’àlgebra és la quevols.

3. Desplega la pestanya Resolver i tria l’opció Expresión, o prem el botó . Ala finestra d’àlgebra apareix el menú Resolver expresión, i prem sobre elbotó Resolver.

4. A la pantalla apareixen les solucions de l’equació.

917232p086a119Rec.qxd 16/12/08 12:54 Página 97


Les tribulacions del jove TörlessRobert Musil

Publicada amb molt d’èxit el 1909, en aquesta novel·la l’autordescriu, potser a partir de la seva pròpia experiència, com era la vidaen un internat vienès a la darreria del segle XIX. El tema central és la crueltat amb què uns estudiants maltracten un company acusatde petits robatoris. El protagonista del llibre, un jove amb inquietudsintel·lectuals que es diu Törless, tot i que no participa directament en aquells actes, tampoc no els impedeix. En el paràgraf següent assistim a una discussió entre Törless i un dels seuscompanys en sortir de la classe de Matemàtiques.

De sobte, durant la classe de matemàtiques, a Törless va venir-lial cap un pensament.

Durant els últims dies, havia seguit les classes amb especialinterès, perquè pensava per a si: «Si això ha de ser la veritablepreparació per a la vida, com diuen, llavors per força ha de conteniramagada alguna cosa del que jo busco».

Eren precisament les matemàtiques allò que li rondava pel cap, fins i tot amb més insistència que els pensaments sobre l’infinit.

I va ser en plena classe de matemàtiques que va abassegar-lo aquella idea. De seguida d’acabada la classe, va anar a seure al costat de Beineberg, perquè era l’únic amb qui podia parlar d’una cosasemblant.

«Tu ho has entès, això?»

«El què?»

«Això dels nombres imaginaris.»

«Sí. No és tan difícil. L’únic que s’ha de tenir present és que l’arrel quadrada de menys u és la unitat bàsica de càlcul.»

«D’això es tracta. Vull dir que aquesta unitat no existeix. El quadrat de qualsevol nombre, tant si és positiu com si és negatiu, dóna sempre un resultat positiu. Per això no pot haver-hi cap nombre real equivalent a l’arrel quadrada d’una quantitat negativa.»

«És cert. Però, tanmateix, per què no hauríem d’intentar aplicarl’operació d’obtenir l’arrel quadrada d’un nombre negatiu?Naturalment, no ens donarà cap valor real, i és per això que el resultat s’anomena imaginari. És com si diguéssim: abansaquí seia sempre algú, preparem-li avui, doncs, una cadira; encaraque mentrestant s’hagi mort aquella persona, actuem com si haguésde tornar d’un moment a l’altre.»


Nombres complexos5917232p086a119Rec.qxd 16/12/08 12:54 Página 98


RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S«Però, com podem fer-ho, si sabem del cert, amb unacertesa matemàtica, que això és impossible?»

«Ho fem precisament per això, pensant que podria serpossible. Tal vegada obtindríem un resultat positiu. Fet i fet,no fem el mateix amb els nombres irracionals? És una divisióque no s’acaba mai, una fracció el valor exacte de la qualmai per mai no podrem assolir, per molt que allarguem elcàlcul. I què penses de les línies paral·leles que et diuen quees tallen a l’infinit? Em sembla que les matemàtiques noexistirien si tot ho volguéssim conèixer amb tanta precisiócientífica.»

«Amb això tens raó, quan les coses es considerend’aquesta manera, tot resulta prou correcte i adequat. Allòcuriós és precisament que es puguin fer càlculs reals i espugui arribar a la fi a resultats comprensibles amb tals valorsimaginaris i, al capdavall, impossibles!»

«Sí, i, per a aconseguir això, els factors imaginaris han d’anul·lar-se entre ells al llarg de l’operació.»

«Sí, sí, tot el que dius, ho sé perfectament. Però, malgrat tot, no hi ha alguna cosa benestranya en aquesta operació? Com t’ho diria... imagina’t això: en una operació d’aquestamena tenim, d’entrada, nombres sòlids, que representen mesures de llargada o de pes o qualsevol altra cosa més o menys tangible; en qualsevol cas, es tracta de nombres reals.Però aquests dos extrems de l’operació estan lligats per alguna cosa que no existeix. No et sembla que és com ara un pont imaginari, proveït de dues pilastres, a un i a l’altre cap,que creuem, malgrat tot, amb plena seguretat, com si existís de debò? Operacions d’aquestordre em fan venir rodaments de cap, com si un tros de camí em portés Déu sap a on. Però allò que pròpiament em neguiteja és la força que s’amaga en aquests càlculs i el fet que puguem arribar amb pas ferm fins al final.»

Beineberg va fer, amb sornegueria: «Parles gairebé com el capellà: “...Veus aquestapoma? –doncs són les vibracions de la llum i el teu ull, etcètera..., allargues la mà amb la intenció de robar-la? –doncs són els músculs i els nervis que comanden aquest moviment. Però entre les dues coses hi ha alguna cosa que enllaça el segon gest amb el primer, i això és l’ànima immortal que cau en pecat al mig del camí...; sí, sí, cap dels vostres actes no pot explicar-se sensel’existència de l’ànima, que es mou en vosaltres com damuntles tecles d’un piano...”». I va imitar el to de veu en què el catequista solia expressar aquesta vella semblança.«Fet i fet, aquestes coses m’interessen ben poc.»

«Jo em pensava que precisament a tu t’haviend’interessar. Si més no, vaig pensar de seguida en tu, perquè això –si de debò és tan inexplicable– ve a ser com una confirmació de les teves creences.»

5 Nombres complexos

Es tallen a l’infinit

F

F

917232p086a119Rec.qxd 16/12/08 12:54 Página 99


«I per què no pot ser inexplicable? Considero del tot possible que, en aquest cas, els inventors de les matemàtiques hagin comès una relliscada. De fet, per què allò que es troba més enllà de la raóno es pot haver permès de fer una broma a la nostra raó mateixa? Però no penso trencar-m’hi la closca,perquè aquestes coses no porten enlloc.»

Törless no queda satisfet amb les explicacions del seu amic i planteja els seus dubtes al professor de matemàtiques, el qual li respon:

«Ara bé, per a ser estrictament científic jo hauria d’establir una sèrie d’hipòtesis i determinacionsprèvies, postulats de partença que vostè amb prou feines entendria, a part que ens faltaria el tempsnecessari.

»Miri, estic prou d’acord a acceptar, per exemple, que els nombres imaginaris, aquestes quantitatsque no tenen existència real, ha, ha!, són un os dur de rosegar per a un estudiant jove. S’hauriad’acontentar amb el fet que tals conceptes matemàtics no són precisament altra cosa que això: idees de naturalesa purament matemàtica. S’ha de fer el càrrec que, al nivell elemental d’ensenyamenten què vostè encara es troba, es fa molt difícil de trobar l’explicació correcta per a moltes coses que hem de tractar. Per sort, són molt pocs els que se n’adonen, però quan algú, com és ara el seu cas –i, com ja li he dit, cregui que n’estic ben satisfet– acudeix a nosaltres de debò, llavors només li podem dir: Estimat amic, t’has de limitar a creure; quan sàpigues deu vegades més matemàtiques que no saps ara, llavors comprendràs; però mentrestant: creure!

»No s’hi pot fer més, estimat Törless, les matemàtiques constitueixen per si soles tot un món, i s’hi ha d’haver conviscut molt de temps per copsar-ne tota l’essència i especificitat.»

Törless va estar content que el professor hagués acabat. Des que havia sentit el cop de la porta, en entrar a la cambra el professor, les seves paraules s’havien allunyat més i més... cap a l’altre costat,cap al regne indiferent on es troben totes les explicacions correctes i malgrat tot inexpressables.

ROBERT MUSIL, Les tribulacions del jove Törless, Barcelona: Proa, 2006


ACTIVITAT 1

Törless és un idealista i el seu amic és un pragmàtic. És cert que no és un nombre real?Explica la referència que fa l’amic als nombres irracionals quan els compara amb . És correcte el que diu?

−1

−1

5 Nombres complexos

917232p086a119Rec.qxd 16/12/08 12:54 Página 100


RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S

5 Nombres complexos

ACTIVITAT 2

Creus que en Matemàtiques tot es pot demostrar o que hi ha alguna cosa indemostrable? Opines, com diu el professor, que algunes vegades no hi ha més remei que creure el que diuen els llibres o els professors?

917232p086a119Rec.qxd 16/12/08 12:54 Página 101



Nombres complexos5

i És unitat imaginària.

Designen un nombre complex expressat en forma binòmic.

z– Indica un conjugat del nombre z.

QUÈ SIGNIFICA? COM HO ESCRIVIM?



El conjunt dels nombres reals es denota amb la lletra R i està format pels nombres racionals(conjunt Q) i els nombres irracionals (conjunt �).

El conjunt C representa els nombres complexos.


El nombre es designa per la lletra i.

i = i 2 = −1

i 3 = i 4 = 1

Per expressar nombres complexos en forma binòmica utilitzem a i b, que són nombres reals, i i, que és la unitat imaginària.

a → Part real b → Part imaginària

Per distingir diferents nombres reals utilitzem les primes o els subíndexs.

El nombre complex que té la mateixa part real que z i la seva part imaginària està canviada de signe s’anomena conjugat de z i es representaposant una ratlla sobre el nombre z.

− −1

−1

−1




I Assenyala el conjunt dels nombresirracionals.

R Expressa el conjunt dels nombres reals.

C Indica el conjunt dels nombres complexos.

a + bi

a’ + b’i

z = a + bi

z’ = a’ + b’i

3 + 4i

−6 − 2i

z = −2 + i

z1 = a1 + b1i

z2 = a2 + b2i

z3 = a2 + b3i

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

917232p086a119Rec.qxd 16/12/08 12:54 Página 102


RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S


El mòdul de z es representa posant el nombre entre barres verticals.

Per designar l’argument d’un nombre complex es fa servir l’abreviatura arg i es posa el nombre entre parèntesis. I per representar-ne el resultat fem servir la notació que hem aplicat als angles.

Un nombre s’expressa en forma polar per mitjà del seu mòdul, que és un nombre, i el seu argument,que se situa com a subíndex.

L’argument es pot expressar en graus o en radians.


1α Indica un nombre complex de mòdul 1 i argument α.

rα+β Expressa un nombre complex de mòdul r i argument α + β.

(r ⋅ r’ )α+β Indica un nombre complex de mòdul r ⋅ r’ i argument α + β.

Expressa un nombre complex

de mòdul i argument α − β.

(rα)n Indiquen una potència n-èsima r n

α del nombre complex rα.

Expressa l’arrel n-èsima del nombrecomplex rα.

rnα

r

r’

r

r’

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−α β

En un nombre complex escrit en forma polar, es poden expressar operacions en el seu mòdul i en el seu argument, fent servir els parèntesis.

⏐z ⏐ És el mòdul d’un nombre ⏐z ⏐ = r complex.

arg (z ) És l’argument d’un nombrearg (z ) = α complex.

ra

r’β

z = ra

760°

4 3

4π

5 Nombres complexos

Indiquen un nombre complex zexpressat en forma polar.

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

917232p086a119Rec.qxd 16/12/08 12:54 Página 103



Per abordar aquest problema, considerem que és un nombre racional (afirmació falsa).

Si és un nombre racional, llavors , on n i m són nombres enters primers entre si;

és a dir, la fracció és irreductible.

Operem amb l’expressió anterior: m ⋅ = n

Elevem els dos membres al quadrat: m2 ⋅ 2 = n2 [1]

Com que n2 és parell, en ser igual a 2 multiplicat per un nombre enter, n també ho és.

Per tant, en ser n un nombre parell: n = 2 ⋅ a i n2 = 4 ⋅ a2

Si substituïm el valor de n2 a l’expressió [1], tenim:

m2 ⋅ 2 = n2; m2 ⋅ 2 = 4 ⋅ a2 → m2 =

D’això es dedueix que m2 és un nombre parell i que, per tant, m és també parell.

Resulta llavors que n i m són nombres parells, cosa que contradiu la hipòtesi inicial que n i meren dos nombres primers entre si (absurd).

La contradicció es deu a què no es pot expressar en forma de fracció, cosa que significa que no és un nombre racional.

2

4

22

22⋅

= ⋅a

a

2

2 =n

m2

2

Comprova que no és un nombre racional.2

Estratègia La reducció a l’absurd és un mètode matemàtic per mitjà del qual, a partir d’una afirmació falsa, es fa palès com en són, d’absurds, els resultats que se n’obtenen.

La demostració indirecta estableix la veritat d’una afirmació a partir de la demostració de la falsedat de l’afirmació contrària.

Demostra que el nombre no és un nombre racional.

Els nombres 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,29, 31... són primers, ja que cap d’ells noadmet com a factors altres nombres diferentsd’1 i ell mateix. Demostra que existeixeninfinits nombres primers.

Per demostrar-ho pots tenir en compte que:

5 = 2 ⋅ 2 + 1

7 = 2 ⋅ 3 + 1

13 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 + 1

17 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 + 1

19 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 + 1

23 = 2 ⋅ 11 + 1

29 = 2 ⋅ 2 ⋅ 7 + 1

2

31

Reducció a l’absurd i demostració indirecta

PROBLEMA RESOLT

PROBLEMES PROPOSATS


Nombres complexos5917232p086a119Rec.qxd 16/12/08 12:54 Página 104


RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S


EXERCICIS


De manera semblant a com ho has fet a la Pràctica 2, resol l’apartat b) de l’exercici 61 de la pàgina 132.

21



PRÀCTICA DERIVEEl primer pas abans d’iniciar les pràctiques és executar DERIVE.


1. Abans d’introduir les equacions comprova si està activa la finestra d’en-trada d’expressions. Per fer-ho, cal que parpellegi el cursor a la finestra;si no és així, prem el botó per activar-la.

2. Tecleja l’equació que vols resoldre.

3. Prem el botó sobre la pestanya Resolver i tria Expresión, o bé prem so-bre el botó .

4. Tria l’opció Complejo a la pantalla Resolver expresión i prem sobre elbotó Resolver.

5. A la pantalla apareixen les solucions de l’equació. En aquest cas, hi hadues solucions complexes conjugades.



2. Tecleja l’equació que vols resoldre.

3. Prem el botó sobre la pestanya Resolver i tria Expresión, o bé prem so-bre el botó .

4. Tria l’opció Complejo a la pantalla Resolver expresión i prem sobre elbotó Resolver.

5. A la pantalla apareixen les solucions de l’equació. En aquest cas, hi hacinc solucions: una solució real i dos parells de solucions complexesconjugades.

5 Nombres complexos

917232p086a119Rec.qxd 16/12/08 12:54 Página 105



EXERCICIS



Resol, mitjançant DERIVE, les operacions amb nombres complexos de l’exercici 33 de la pàgina 130.

Resol, mitjançant DERIVE, aquesta operació amb nombres complexos.

(3 + 2i ) ⋅ 2i − ( )

( )

3 2

2

−− +

i

i

4

3

2

1






2. Tecleja l’operació amb nombres complexos. Per introduir la unitatimaginària cal teclejar # i o prémer sobre el botó de la barra desímbols.

3. A la pantalla apareix la suma dels nombres complexos en forma binò-mica.



2. Tecleja l’operació amb nombres complexos.

Per introduir la unitat imaginària cal teclejar # i o prémer sobre el botóde la barra de símbols.

3. A la pantalla apareix el quocient dels nombres complexos en forma bi-nòmica.

5 Nombres complexos

917232p086a119Rec.qxd 16/12/08 12:54 Página 106


RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S


EXERCICIS



21




2. Calcula el mòdul del nombre complex amb la funció ABS(), i per a aixòtecleja:

3. Prem a la pestanya Simplificar i tria Aproximar o prem sobre el bo-tó . A la finestra d’àlgebra apareix el valor del mòdul, que en aquestcas és 5.

4. Calcula l’argument de la funció PHASE(). Aquesta funció ens dóna elvalor de l’argument en radians, i per expressar-ho en graus el multipli-

quem per .

5. Prem a la pestanya Simplificar i tria Aproximar o prem sobre el botó . Ala finestra d’àlgebra apareix el valor de l’argument, i com que enaquest cas és negatiu, li sumem 360° i obtenim que l’argument és306,87°.

El nombre complex en forma binòmica és 5306,87°.



2. Tecleja l’expressió següent:

Les funcions COS i SIN necessiten que l’argument estigui expressat enradians, i per passar-ho a graus utilitzem DEG.

3. Prem la pestanya Simplificar i tria Normal, o prem sobre el botó . A lafinestra d’àlgebra apareix el nombre en forma binòmica.

360

2π

5 Nombres complexos



917232p086a119Rec.qxd 16/12/08 12:54 Página 107


La carícia de l’escorpíIgnacio García-Valiño

El protagonista i narrador, un jove professor de Matemàtiques, viu amb Candela, amb la qual manté una complicada relació amorosa,que la novel·la retrata amb fluïdesa i sentit de l’humor.

Vam continuar, doncs, en aquell pis calamitós de Delicias, eixugantinundacions domèstiques, clavant cops de martell a les canonades.Tots aquests desperfectes em crispaven tant com a ella, però l’energiaque consumíem a combatre’ls ens deslliurava de discutir altresproblemes més importants. A més del seu amant i amic, em convertiaen guixaire, lampista, fuster, electricista i no sé quantes coses més.Aquesta és la clau per entendre el meu paper a la seva vida. Jo li arreglava la casa. Feia trencaclosques amb les rajoles trencades de la cuina, i Candela admirava la precisió amb què les enganxava i les ajuntava de nou per les juntures. Vaig resoldre un problema d’unió de dues canonades en creu sense saber res de l’ofici,

basant-me en els meus coneixements de geometria euclidiana i aplicant-hi el teorema de Cavalieri,segons el qual dos cossos qualssevol tenen el mateix volum si tot tall dels dos a igual altura resulta en àrees iguals. Així vaig deduir que el volum de la intersecció de dos cilindres era el d’un cub, i en vaig construir un de paper a mida per comprovar la mida final. I va funcionar.

Depeníem l’un de l’altre; ella de mi perrecompondre les destrosses i jo d’ella per tenir una missió amb la qual fer-la contenta, o, més ben dit, per satisfer el meuamor per ella i així, de passada, estimar-memés. Ja se sap: hipoteques l’amor a tu mateix al fet que la persona estimada estigui d’acord a concedir-te’l. S’hi anteposa la convicció que l’altra persona està a gust amb algú perquè aquest també es pugui sentir còmode. Quan estimes no uneixes el teu cor: el divideixes. La unitat és l’ésser indivisible, autònom i ple. El número u conté la simfonia essencial de la totalitat. Per fer el dos, l’u s’arrenca a si mateix l’exclusivitat, genera la seva paritat, deixa de ser autònom i es disgrega. El dos és la nostàlgia irreversible de ser u. Els amants enyorant fondre’s en el coit. [...]

A mesura que baixes per Delicias, per entrar al nostre antic carrer cal travessar la placeta Luca de Tena, girant una cantonada a l’esquerra, i és allà on et topes amb el gran respirador del suburbà. Per ser exactes, no és una cantonada, sinó un xamfrà (tríedre en el qual dos plans normalmentperpendiculars són tallats per una intersecció). La placa metàl·lica que aireja les emanacions del metro està formada per cinc petites cel·les d’ample per nou de llarg, d’un metre quadrat cadascuna (en total, quaranta-cinc metres quadrats). És difícil evitar aquest pas, ja que més enllà


Geometria analítica 6917232p086a119Rec.qxd 16/12/08 12:54 Página 108


RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

Shi ha un parterre amb arbres, llevat que facis una marrada per la banda més llarga, primer a l’esquerra i després a la dreta. L’usual en aquests casos és abreujar travessant el respirador per la seva diagonal.Candela, en canvi, recorre els dos catets del triangle rectangle en comptes de la hipotenusa (o diagonaldel rectangle), amb la qual cosa comet una imperdonable infracció pitagòrica. Més que no pasrepugnància per l’aire que surt d’allà, jo gairebé crec que és per por que la placa cedeixi sota el seu pes, o alguna cosa. Una mania com qualsevolaltra; les meves són pitjors.

Sobre la seva tasca com a professor, el protagonista escriu el següent.

A aquestes altures sembla clar que als meusalumnes, llevat d’alguns casos no del tot esbrinats, no els interessen les matemàtiques. En els meustemps això no passava, vull dir que si una assignaturaens resultava difícil o avorrida, ens esforçàvem a tirar-la endavant com fos. Molts d’aquests nois, no tots, m’escolten endormiscats darrere delspupitres, segueixen els meus guixots a la pissarra com si hi veiessin mosques, no sé quina immensallosa ha aixafat els seus encefalogrames. Recordo la primera vegada que vaig parlar de Pitàgores en una aula. Vaig començar ple d’il·lusió, però, en arribar als catets, hi va haver un desordre tal, que vaig perdre del tot les regnes de la classe.

N’he parlat amb l’orientador psicopedagògic de l’Institut, un tipus expansiu i convincent que abanshavia treballat en una empresa privada i que en el primer any que porta en aquest Centre ha sabut ficar-se l’equip docent a la butxaca, tant els ugetistes com els conservadors, els interins i els catedràtics, amb una paradoxal barreja de filosofia d’autosuperació i Logse.

–Dóna’ls una mica de lirisme, home –m’ha dit–. Posa una mica de poesia a les matemàtiques. Que no siguin sols números. I alegra la cara. Se’t veu una mica pansit.

–Jo hi veig molta poesia, en els números.

Se n’ha rigut, el molt imbècil, pensant que era una facècia.

–Cal motivar els nois, parla’ls en el seu llenguatge, acosta’t a la seva mentalitat.

He estat pesant en el consell de l’orientador i he decidit que és hora de posar més poesia i motivacióa les matemàtiques. Avui tocava explicar els logaritmes. He rebuscat en la meva biblioteca i hi he trobatuna cosa poètica. He anat a fer la classe decidit a vendre’ls la màgia dels logaritmes. He anunciat alsnois que els recitaria un poema que es va escriure en el pròleg a la clàssica obra de John Napier,l’inventor dels logaritmes, titulada «Una descripció de la meravellosa regla de logaritmes». L’obra està datada el 1614. Diu així:

El seu ús és magnífic en tota mesura veritablede terres, plànols, edificis i fortificacions,així com en Astronomia i Gnomònica,geografia i navegació.En aquestes matèries els joves estudiantsobtindran molts avantatgesi els més hàbils, a més,es poden estalviar temps i feina.

6 Geometria analítica

917232p086a119Rec.qxd 16/12/08 12:54 Página 109


–Què us sembla? –tanco el llibre amb entusiasme. Alguns em miren com si s’acabessin de despertar. –Bé, no hi teniu res a dir?

–Què és la Gnomònica? –pregunta el més estudiós.

–La ciència dels gnoms, ha ha! –crida el pallasso de torn.

He tornat a veure si m’orienta l’orientador psicopedagògic. Estava molt ocupat fent no sé quinesAdaptacions Curriculars, m’ha mirat per damunt del seu arxivador abans d’avisar-me:

–He estat revisant la teva programació de Matemàtiques. Massa continguts conceptuals, i molt pocs de procedimentals i actitudinals. La metodologia està desfasada. Cal actualitzar-se.

–Què puc fer per actualitzar-me?

L’orientador sospira fons.

–Tu en saps molt, de números, oi?

No li contesto.

–Bé, a veure si ets capaç de dir-me quin és el número que si se li treu la meitat dóna zero.

–Em rendeixo.

–El vuit, si se li treu la meitat de dalt o la de baix.

Sóc tan beneit en aquestes coses que em costa entendre-ho. L’orientador se’n riu, del meu ostensible desconcert. Hi afegeix, mentre riu el seu propi acudit:

–I quin dóna zero si se li treuen dos terços?

M’arronso d’espatlles.

–El DOS! Com que té tres lletres, si li traiem la primera i la tercera, dóna zero!

El cas és que quan he sortit al passadís ja ni tan sols sabia on era la sortida.

Tampoc en la relació amb Candela no funcionen millor les coses, i tot i que no en revelarem el desenllaç, heus ací una confessió:

La relació entre nosaltres està ferida de mort. Em fa por que qualsevol dia em digui «Fins sempre,t’estimo» (que no és el mateix que dir «T’estimo fins sempre»). Sols ens queda aquesta forma d’amorque s’assembla a la compassió o la indulgència perquè s’eleva per damunt de totes les desgràcies en els moments difícils.

IGNACIO GARCÍA-VALIÑO, La carícia del escorpión, Barcelona: Destino, 1998


917232p086a119Rec.qxd 16/12/08 12:54 Página 110


RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S



ACTIVITAT 1

Com veiem a la figura, a la placa metàl·lica rectangular que s’esmenta en el text se li pot assignar un sistema de coordenades cartesianes. Per travessar-la, Candela recorre els segments AB i BC. En canvi, el seu xicot recorre el segment AC. Els segments, quan es doten d’un sentit, es converteixen en vectors. La seva longitud s’anomena mòdul del vector corresponent. Calcula els mòduls dels vectors definits per aquests tres segments. Quina relació hi ha entre ells?

ACTIVITAT 2

Explica el teorema de Cavalieri i aplica’l per relacionar els volums dels prismes amb els volums dels cilindres.

A B

C

917232p086a119Rec.qxd 16/12/08 12:54 Página 111



Geometria analítica 6

AB� Indica un vector que té l’origen en el punt Ai l’extrem en B.

v� Expressa un vector.

v� = AB� Indica que el vector v�té com a origen el punt A,i com a extrem, B.


Un punt es representa per mitjà d’una lletramajúscula. S’acostumen a fer servir les lletres A, B, C..., però es pot agafar qualsevol lletra de l’abecedari.

Una recta es denota mitjançant lletres minúscules. Se solen utilitzar les lletres r, s, t…, però es pot agafarqualsevol lletra de l’abecedari.


A(a1, a2) Indica les coordenades d’un punt.

v� = (v1, v2)v�(v1, v2) Expressen les coordenadesAB� = (v1, v2) d’un vector.

AB� (v1, v2)

A(3,5; 2,1) Designen les coordenades v� = (7; −4,2) decimals en un punt

o vector.

⏐v�⏐ Es refereix al mòdul d’un vector.

Per indicar les coordenades d’un punt es posa la lletra que designa el punt, que sempre és majúscula, i, a continuació, es col·loquen les seves coordenades entre parèntesis. Mai no es posa el signe igual.

Per expressar les coordenades d’un vector es pot posar el signe igual o no posar-lo.

Quan alguna de les coordenades d’un punt o un vector és un nombre decimal, la separació entre coordenades és un punt i coma (;).

Per designar el mòdul d’un vector s’introdueix la lletra que el designa entre barres verticals.


Representa un punt en el pla. Tot i que un punt no té dimensions, se sol representar gràficament per mitjà d’un punt prou gruixut perquè sigui visible.

A•

Representa una recta.

r

Per escriure un vectors’acostuma a fer servir la lletrav amb una fletxa al damunt, v�.

Un vector definit per dos puntsA i B, origen i extrem,respectivament, es denota com a AB amb una fletxa al damunt AB� .

B

Y

X

A

AB�

917232p086a119Rec.qxd 16/12/08 12:54 Página 112


RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S

w� = λu� + μv� Expressa que w� es pot posarcom a combinació lineal deu� i v�.

B = {u�, v�} Indica la base en el pla.

R = {O, [u�, v�]} Expressa un sistema de referència en el pla.


Per indicar operacions amb vectors es pot posar una fletxa sobre l’expressió de l’operació.


u� // v� Indica dos vectors paral·lels.

u� � v� Expressa dos vectorsperpendiculars.

Per expressar el paral·lelisme o la perpendicularitatentre vectors es fan servir els símbols // o �.


Les bases s’acostumen a designar amb B i entre clausfiguren els vectors que formen la base. Quan tenimdiverses bases se solen diferenciar posant-hisubíndexs: B1, B2, B3,… o bé posant-hi primes: B, B’, B’’,…

Els sistemes de referència se solen designar amb Ri entre claus apareix el seu origen, O, i els vectors que formen una base, entre claudàtors. Per diferenciar entre diversos sistemes de referència,utilitzem les mateixes fórmules que per a les bases.

u� ⋅ v� Expressa el producte escalarde dos vectors.

cos α Indica el cosinus de l’angleque formen dos vectors amb el mateix origen.

d (A, B) Indica la distància entre dos punts.

És el punt mitjà d’un segment.

Mx x y y1 2 1 2

2 2

+ +⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟,


Per distingir el producte escalar del producte de dos números, se sol posar un punt de productemés gruixut del normal.

Per expressar la distància s’acostuma a posar d o dist, i els punts dels quals volem trobar la distància, entre parèntesis.

El punt mitjà d’un segment se sol designar per M.

u� + v� Indiquen suma de dos vectors.u + v��

ku� Assenyalen el producte d’un vector ku� per un nombre.


v� w�

u�

v�α u�

917232p086a119Rec.qxd 16/12/08 12:54 Página 113



En el dibuix apareixen uns triangles amb un sol vèrtex cap amunt (A) i amb un vèrtexcap avall (B), amb la qual cosa es construeixen triangles de diferents mides.

Per resoldre el problema, els descomponem en dos; així, calculem el nombre de triangles del tipus A i del tipus B. Al seu torn, aquests els dividim en problemes més simples.

Nombre de triangles amb el vèrtex cap amunt (tipus A)

a) Nombre de triangles d’1 unitat de costat.

El resultat correspon a la suma dels 7 primers termes d’una progressió aritmètica per a a1 = 1 i d = 1: T1 = (1 + 7) ⋅ 7/2 = 28

b) Nombre de triangles de 2 unitats de costat.

El resultat correspon a la suma dels 6 primers termes d’una progressió aritmètica per a a1 = 1 i d = 1: T2 = (1 + 6) ⋅ 6/2 = 21

c) Raonant de la mateixa manera, per a tots els triangles del tipus A, la solució és:

Nombre de triangles amb el vèrtex cap avall (tipus B)

El nombre total de triangles és: 84 + 34 = 118

Quants triangles equilàters hi ha en una graella triangular formada per triangles equilàters, de 7 unitats de costat?

Estratègia Una organització adient és útil per abordar la situació problemàtica que es presenta, ja que es té una comprensió més fàcil del que es demana (podemrelacionar millor les dades amb la incògnita) i es fa una resolució adequada del problema (simplificant les operacions que cal fer).

Comprova que una graella triangular de n unitats de costat, com l’anterior, té

triangles

equilàters, amb el vèrtex cap amunt.

Antigament, els canons llançaven boles, i aquestes es col·locaven en forma de piràmide amb base quadrada. Si cada costat tenia 20 boles, quin era el nombre de boles de cada piràmide? I per a un costat de n boles?

2

[ ( )( )]n n n+ +1 26

1

Organització per resoldre un problema

PROBLEMA RESOLT

PROBLEMES PROPOSATS


Geometria analítica 6

a)

b)

c)Mida del triangleNombre de triangles

1 ⋅ 1 2 ⋅ 2 3 ⋅ 3 4 ⋅ 4 5 ⋅ 5 6 ⋅ 6 7 ⋅ 7 Total

28 21 15 10 6 3 1 84

Mida del triangleNombre de triangles

1 ⋅ 1 2 ⋅ 2 3 ⋅ 3 Total

21 10 3 34

12

34

56

7

12

34

56

12

34

917232p086a119Rec.qxd 16/12/08 12:54 Página 114


RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S


EXERCICIS

Amb el botó de la part esquerra del ratolí, prem cada una de les eines de la barra i observa com es desplega un menú vertical amb les diferents eines o aplicacions de cada grup i el seu nom. Fes un esquema de cada grup i les aplicacions que conté.

Prem la tecla i veuràs la descripció i el funcionament de cada eina. Fes els canvisnecessaris per obtenir la barra:

Escriu al teu quadern la funció de les eines que es mostren.

21


Presentació

Finestra de CABRI

Capçalera del programa

PRÀCTICA CABRIEl programa CABRI-GÉOMÈTRE II és un programa per aprendre Geometria.Al marge pots identificar-ne la pàgina de presentació i la finestra de treballque apareix al cap d’uns segons d’haver executat el programa. Observa quees veuen unes barres amb icones a la part superior i inferior.

LES BARRES DE CABRILa primera barra conté el nom del programa i el nom de la figura o l’arxiuque està obert en aquell moment.

En aquesta barra sempre hi ha indicat el nom de la figura amb la qual estàstreballant.

Barra de menús

Permet fer operacions amb fitxers (obrir, tancar, etc.), executar activitatsd’edició (copiar, seleccionar, etc.), diferents opcions del programa (prefe-rències inicials, idioma, etc.), posicions de les finestres obertes, i consul-tar l’ajuda.

Barra d’eines

Permet la realització de construccions geomètriques a partir dels diferentselements i de la seva manipulació. Són 11 grups que contenen una sèried’eines que fan que les icones de la barra variïn en funció de l’opció selec-cionada.

L’eina seleccionada es presenta amb fons blanc, mentre que la resta té unfons gris.

Els 11 grups d’eines són, d’esquerra a dreta:

17. MACROS

18. CONSULTES DE PROPIETATS

19. CÀLCULS GEOMÈTRICS

10. PRESENTACIÓ D’OBJECTES

11. AMAGAR / MOSTRAR

1. APUNTADOR

2. PUNTS

3. RECTES

4. CORBES

5. CONSTRUCCIONS GEOMÈTRIQUES

6. TRANSFORMACIONS

917232p086a119Rec.qxd 16/12/08 12:54 Página 115



EXERCICIS

Activa l’eina Apuntador : el cursor esconverteix en una creu que permet, acostant-te aun objecte, seleccionar-lo (es converteix en ) i modificar-lo o moure’l (surt una mà ) per la finestra.

Després, selecciona la circumferència construïdai amplia-la. Escriu les modificacions que fa elcursor.

En el grup RECTES, activa les diferents eines i fes construccions dels elements que puguis a la finestra que tens oberta.

Crea una carpeta amb el teu nom en el disc dur de l’ordinador o en un disquet, i desa-hi la figura creada mitjançant les ordres:

→ amb el nom Unitat00_Exercici_01.

3

21


Creació d’una recta

Construcció d’una circumferència

PRÀCTICA CABRIPer començar

PRÀCTICA: CONSTRUCCIÓ D’OBJECTES SIMPLES

1. Construcció de punts:

a) Activa l’eina , del grup PUNTS. Observa que el cur-sor adopta la forma d’un llapis: .

b) Prem algun punt de la finestra, i hi apareix un punt de color vermell. Siabans de fer una altra acció prems una tecla (per exemple, A), surtuna etiqueta amb aquesta lletra al costat del punt (les etiquetes servei-xen per nomenar objectes).

2. Construcció de rectes (per fer una recta són necessaris dos punts o unpunt i una direcció).

a) Activa l’eina , del grup RECTES.

b) Acosta’t amb el ratolí a aquest punt i observa que el cursor es trans-forma en una mà i apareix el rètol: Aquest punt. Prem el botó de l’es-querra de ratolí i veuràs que es dibuixa una recta que passa per A ique va canviant de direcció en funció del moviment que facis amb elratolí.

c) Prem un punt qualsevol de la finestra i obtindràs la recta, tal com esveu a la figura; la pots etiquetar com a r .

3. Construcció d’una circumferència (es necessita un punt que sigui elcentre i un radi).

a) Activa l’eina , del grup CORBES.

b) Amb el llapis, acosta’t al punt A i, quan apareguin la mà i el rètol:Aquest punt com a centre, prem el botó del ratolí i observa que la màva dibuixant una circumferència a la finestra.

c) Prem un punt qualsevol de la finestra: tindràs la circumferència, talcom es veu a la figura; la pots etiquetar com a C.

Creació d’un punt

917232p086a119Rec.qxd 16/12/08 12:54 Página 116


RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S


EXERCICIS

Resol, de manera anàloga a com s’ha fet a la Pràctica 1, la resta dels apartats de l’exercici 53 de la pàgina 157.

Resol, de manera anàloga a com s’ha fet a la Pràctica 2, l’exercici 44.

21



PRÀCTICA CABRIPRÀCTICA 1 (pàg. 157, exercici 53 a)

1. Activa l’eina , i a la finestra apareixen uns ei-xos de coordenades. Amb l’eina , crea unaxarxa de punts sobre uns eixos ja existents.

2. Amb l’eina , dibuixa els vectors, primer situant-te al’origen (0, 0) i, després, a l’extrem (−1, 5). Repeteix el mateix procésamb el vector b� = (3, 2).

3. Utilitza l’eina , prement sobre els dos vectors.Apareix a la pantalla la mida de l’angle format pels dos vectors.


1. Activa l’eina , i a la finestra apareixen uns ei-xos de coordenades. Amb l’eina , crea unaxarxa de punts sobre uns eixos ja existents.

2. Amb l’eina , dibuixa els vectors, primer situant-te al’origen A(3, 7) i, després, sobre l’extrem B(4, 9). Repeteix el mateixprocés amb l’origen i l’extrem del vector CD�.

3. Utilitza l’eina , prement sobre els dos vectors. Apa-reix a la pantalla si els dos vectors són paral·lels.


917232p086a119Rec.qxd 16/12/08 12:54 Página 117



EXERCICIS



21


1. Defineix les variables u i v com els vectors (2, −3) i (5, 4).

2. Introdueix l’expressió 2u + v.

3. Desplega la pestanya Simplificar i tria l’opció Normal, o prem el botó

. A la finestra apareix el resultat de la suma dels dos vectors.


1. Defineix les variables u i v com els vectors (3, 1) i (2, −1).

2. Introdueix l’expressió u * v.

3. Desplega la pestanya Simplificar i tria l’opció Normal, o prem el botó

. A la finestra apareix el resultat del producte escalar dels dos vec-tors.




917232p086a119Rec.qxd 16/12/08 12:54 Página 118


RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S


EXERCICIS


Fes l’exercici 38 de la pàgina 156.

Resol, de manera anàloga a com s’ha fet a la Pràctica 2, l’exercici 116 de la pàgina 160.

Resol l’exercici 123 de la pàgina 160 amb l’eina.

4

3

2

1

PRÀCTICA CABRIPRÀCTICA 1 (pàg. 156, exercici 48 c)

1. Defineix les variables v i w com els vectors (7, −2) i (m, 6).

2. Introdueix l’equació |u | = |w |.

3. Desplega la pestanya Resol i tria l’opció Expressió, o prem el botó

i tria l’opció Algebraic, i prem Resol. A la finestra apareixen els pos-sibles valors de m.


1. Activa l’eina , i a la finestra apareixen uns eixosde coordenades. Amb l’eina , crea una xarxade punts sobre uns eixos ja existents.

2. Amb l’eina , dibuixa els tres punts a les coor-denades (−1, 4), (3, 1) i (11, −5), i amb ano-mena els punts P, Q i R.

3. Utilitza l’eina per dibuixar la recta que passa per Pi Q, i comprova que aquesta recta passa també per R.

4. Amb l’eina , prement la recta, n’obtin-dràs l’equació.




917232 _ 0086-0119.qxd 29/12/08 09:26 Página 119


El recelJoaquín Leguina

Aquesta novel·la explica la història de les dues passions que van moure la vida del seu protagonista, Jesús Vio: el seu amor per Francisca i el seu desig de demostrar un teorema que, durant més de tres-cents anys, ningú no havia demostrat.

Deixem de banda la complicada relació amorosa entre Jesús i Francisca –que pots conèixer si llegeixes la novel·la– i centrem-nos en la seva història professional. Tot i que el seu pare, que era un ric empresari de Saragossa,volia que Jesús continués els seus negocis, ell es va estimarmés estudiar Matemàtiques. Quan va acabar la carrera, el 1921, el prestigiós professor Julio Pastor el va cridar al seu despatx per preguntar-li què pensava fer així que es llicenciés.

«Vostè té dots per arribar a ser un bon matemàtic –li va dir el professor–, i jo no el vull pasdesanimar, però si el que li interessa són les aplicacions pràctiques, li suggereixo que s’ocupide la Física o que s’adreci a l’enginyeria, ja que, en realitat, les Matemàtiques, si més no mentres’estan produint a la ment de l’investigador, no són altra cosa que conceptes que en aquellmoment tenen poc a veure amb el món físic o sensorial.» «Ho sé», va respondre Jesús. «Doncs en aquest cas, ja deu saber també –va continuar el professor– que l’únic resultatpràctic de les Matemàtiques és la creació de l’harmonia o de la perfecció, cosa que és a les antípodes dels objectius de l’home pragmàtic, de l’enginyer, del polític o de qui es dedica als negocis».

Jesús va entendre que l’última frase es referia als negocis del seu pare i va contestar: «No, no he pensat dedicar-me als negocis familiars». «Molt bé –va continuar el professor–, però el matemàtic neix, no es fa. Altrament, sense aquests dots naturals, es treballa debades.Si, malgrat les meves paraules, vostè es vol dedicar a aquesta disciplina esquiva i mal pagada,jo el puc ajudar, aconseguir-li una beca, però se n’haurà d’anar d’Espanya. No tingui pressa a contestar-me».

Jesús va plantejar a casa la possibilitat d’iniciar a l’estranger la seva carrera de matemàtic i al seu pare li va semblar una extravagància, tot i que no hi va oposar resistència i li vaprometre de completar la beca, ja que «si te’n vas, no permetré que vagis pel món com un mort de gana». Jesús Vio es va entrevistar de nou amb Julio Pastor per comunicar-li la sevavoluntat de seguir estudis a l’estranger i el professor se’n va alegrar.

–Sol·licitarem una beca a la junta d’Ampliació d’Estudis –va dir, en plural, el professor–.Estic segur que l’aconseguirem. A més, avui mateix escriuré a Harold Lardy, que m’honora amb la seva amistat i és un dels matemàtics més brillants del món. Treballa a Cambridge –li va informar.


Llocs geomètrics. Còniques 7917232p120a149Rec.qxd 16/12/08 12:55 Página 120


RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S

La junta d’Ampliació va contestar la carta de Pastor gairebé a correu seguit i va mostrar el seu interès a conèixer l’aspirant. Jesús i el seu professor van anar junts a Madrid i el noi es va sotmetre a una entrevista, ben aviat convertida en una cosa semblant a un examen, de la qual va sortir airós. En el tren de tornada, Julio Pastor, radiant i convençut que aviat arribarien bones notícies de Cambridge,va il·lustrar el seu pupil sobre Harold Lardy, que admirava tant. Li va explicar que Lardy havia nascut el 1877 i que treballava normalment amb un altre matemàtic molt important que es deia Littlegarden i, durant un temps, també amb Ramanutyan, un hindú que Lardy havia descobert gràcies a un manuscrit que li havia arribat deMadràs, on el llavors desconegut matemàtictreballava com a funcionari amb un sou de vint lliures anuals. El manuscrit conteniateoremes que Lardy i Littlegarden vanconsiderar extraordinàriament poderosos.Van aconseguir endur-se’l a Cambridge i allà va treballar amb ells. Lardy iRamanutyan van escriure en col·laboraciócinc comunicacions de primera categoria.«L’hindú tenia un greu problema: estavatuberculós i ha mort fa pocs mesos a Madràs», va dir Julio Pastor.

Julio Pastor es va acostar a la llibreria que hi havia darrere de la seva taula de despatx, va obrir les vidrieres que protegien de la pols els llibres i en va extreure un tom que va resultarser un dels volums de l’Opera omnia de Leonhard Euler, va tornar a seure i el va donar a Jesús.

–L’hi regalo perquè, per molts èxits que obtingui en la professió que ara es disposa a iniciar, i que li desitjo que siguin notables, sempre tingui en compte que abans de nosaltres hi va havergenis que no podrem igualar, als quals devem gairebé tot.

7 Llocs geomètrics. Còniques

917232p120a149Rec.qxd 16/12/08 12:55 Página 121


––Una tarda, m’ho ha explicat ell –va continuar Pastor–, Lardy va agafar un taxi per visitar el seu amic, que estavamolt malalt a l’hospital de Putney. En entrara l’habitació on jeia Ramanutyan, el vasaludar i, amb ganes d’iniciar una conversatrivial, va comentar que el número del taxien què s’havia desplaçat era el 1729, «un número força insípid», va afegir Lardy.Ramanutyan va contestar de seguida queno, que era un número molt interessant:

«És el menor número que pot serexpressat de dues maneres diferents com la suma de dos cubs», li va dir. Haurà d’aprendre a jugar al criquet i al tennis –va dir Pastor–. Lardy és un mestre en aquestes arts i li agrada mesurar-se amb els seus alumnes.

–Mai no he tingut a les mans una raqueta i sols he vist jugar a criquet en alguna pel·lículaanglesa, però li asseguro que faré el que pugui –va contestar Jesús.

A la carta que Lardy va enviar a Julio Pastor li anunciava l’admissió, en principi, de Jesús, que hauria de revalidar la seva llicenciatura a Cambridge. Al cap de poc van arribar els papersoficials de l’admissió, amb les signatures pertinents. [...]

Quan Jesús va arribar a Cambridge, després d’haver-se instal·lat en una pensió, va anar a visitar Lardy.

El mestre duia una jaqueta d’esport i pantalons de franel·la grisa. Duia una camisa blanca, de seda, tancada al coll amb una fina corbata blava de llana. Tenia els cabells rossos i llisos, amb uns quants cabells blancs a les temples, i duia unes ulleres rodones amb muntura de carei que tendien a lliscar al llarg del seu nas ben dibuixat, cosa que li permetia mirar el seu interlocutor per damunt d’elles. Els ulls verds d’aquell home eren penetrants i, alhora,riallers. La seva cara triangular i ben equilibrada dotava el personatge d’una serenitat en què no mancava la bellesa.

Lardy li va preguntar per Espanya, per la guerra del Marroc, per Saragossa i pels setgesnapoleònics que la ciutat havia sofert feia més d’un segle. Finalment, mirant-lo als ulls i potserperquè va veure que Jesús se sentia intimidat, li va dir:

–Vostè és molt jove, però això en matemàtiques és un avantatge. L’etapa creadora començaaviat en el nostre ofici i, ai!, també s’apaga molt d’hora. La Matemàtica, més no pas qualsevol altreart o ciència, està destinada a homes joves. Newton va exposar les seves idees més genials sobre fluxió i gravitació el 1666, quan tenia vint-i-quatre anys. Galois va morir en un duel als vint,Abel als vint-i-set, Rieman als quaranta. Si aquest és el seu camí, no el malgasti, perquè és curt i intens. [...]

Després de Nadal, Jesús Vio va tenir una llarga conversa amb Harold Lardy per orientar el treball de la tesi doctoral que havia de començar. Havia pensat centrar la seva recerca atacant,en la mesura de les seves forces, l’últim teorema de Fermat. L’atreia, com a molts, la senzillesa del plantejament. El que Pierre de Fermat havia escrit en el marge de l’Arithmetica de Diofant,probablement el 1637, era molt simple: «És impossible escriure un cub com la suma de dos cubso, en general, escriure qualsevol potència major que dos com la suma de dues potències iguals».


917232p120a149Rec.qxd 16/12/08 12:55 Página 122


RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S


Quan l’espanyol va plantejar a Lardy la seva intenció de centrar la tesi en el teorema de Fermat, el professor va somriure, però no el va desencoratjar. Estaven asseguts al voltant d’una taula a la salad’estar contigua a l’habitació on vivia el solter Lardy. [...] Una pissarra negra amb guixos completava la decoració mural. «Doncs comencem», va indicar Lardy i, aixecant-se, va anar cap a la pissarra. Hi va escriure l’equació de Fermat: xn + yn = zn.

–No existeix una terna (x, y, z) de números enters que, per a n major que 2, satisfaci aquestaequació –va concloure Lardy.

En comptes de seure, el professor va continuar dempeus.

–Si m’ho permet –va continuar Lardy–, li faré una petita digressió històrica que potser li sigui útil. [...]Euler, seguint el mètode conegut com a «descens infinit», que el mateix Fermat va utilitzar, tot i que noper demostrar aquesta conjectura, va demostrar la no-existència de solució per a la potència tres. Això ho va anunciar a Goldbach en una carta datada a l’agost del 1753. Al cap d’un segle de la mort de Fermat, només s’havia demostrat la validesa del seu teorema per a les potències 3 i 4. Si haig de sersincer –va continuar Lardy–, no crec que en aquest assumpte de Fermat s’hagi avançat gaire des de llavors. En tot cas, li prepararé una bibliografia ben exhaustiva sobre aquest enigma. Treballi-hi i després proposi’m una via d’atac, la discutirem. Crec que ha arribat el moment que tinguem una trobada en una pista de tennis. L’he reservat d’aquí a mitja hora. Hi ha prou temps?

JOAQUÍN LEGUINA, El rescoldo, Madrid: Alfaguara, 2004


ACTIVITAT 1

Jesús Vio és un personatge fictici creat per l’autor de la novel·la, però Lardy amaga la personalitat d’un important matemàtic anglès anomenat Godfrey Hardy, i Ramanutyan, la d’un altre matemàtic que es deia Ramanujan. De la mateixa manera, Fermat, Euler i Galois són matemàtics reals. Investiga i escriu una breu nota biogràfica de cadascun d’ells.

ACTIVITAT 2

El 1994, Wiles va demostrar, després de vuit anys de treball intens, que, efectivament, el teorema de Fermat és veritable. El més curiós és que, per a n = 2, l’equació x 2 + y 2 = z 2 té infinites solucionsenteres. En aquesta equació, si considerem z com una constant, per exemple, z = 5, obtenim l’equació d’una figura geomètrica que no és una recta. Quina figura creus que pot ser? Per què?

917232p120a149Rec.qxd 16/12/08 12:55 Página 123



Llocs geomètrics. Còniques 7

d(A, B) Expressa la distància entre dos punts.

d(A, r ) Expressa la distància entre un punt i una recta.


Els punts es representen per mitjà d’una lletramajúscula. Se solen utilitzar les lletres A, B, C…, però es pot agafar qualsevol lletra de l’abecedari.


Per expressar la distància se sol utilitzar d o dist. Si les lletres que hi ha a l’interior del parèntesi són majúscules, la distància és entre dos punts.

Si una de les rectes és minúscula, ens indica la distància entre un punt i una recta.


Representa un punt. Tot i que no té dimensions, se sol representargràficament per mitjà d’un punt prou gruixut perquè sigui visible.

A

F i F' Representen els focus d’unael·lipse o una hipèrbola.

F (c, 0) Indiquen les coordenades F '(−c, 0) dels focus d’una el·lipse

o una hipèrbola, amb centre a l’origen de coordenades.

A, A' Representen els vèrtexs B, B' d’una el·lipse

o una hipèrbola.

A(a, 0) i A'(−a, 0) Indiquen les coordenades B(b, 0) i B'(−b, 0) dels vèrtexs

d’una el·lipse o una hipèrbola, amb centre a l’origen de coordenades.

O Indica el centre d’unael·lipse o una hipèrbola.

P(x, y) Indica qualsevol puntde l’el·lipse o la hipèrbola.

Equació d’una el·lipse, amb centre en l’origen de coordenades.

Equació d’una hipèrbola, amb centre a l’origen de coordenades.

x

a

y

b

2

2

2

21− =

x

a

y

b

2

2

2

21+ =

Els elements d’una el·lipse i d’una hipèrbola se solen designar per les mateixes lletres.

Es fan servir les lletres F i F ' per als focus; A, A', B i B' per als vèrtexs, i O per al centre.

Quan volem indicar un punt qualsevol, de coordenades desconegudes, pertanyent a l’el·lipse o la hipèrbola, el designem com a P(x, y).

x i y designen les coordenades dels punts quepertanyen a l’el·lipse o la hipèrbola.

a i b són les distàncies entre el centre i els vèrtexs.

B(0, b)

F(c, 0)

F(c, 0)

F' (−c, 0)

F' (−c, 0)

A(a, 0)

A(a, 0)

B' (0, −b)

O

O

A'(−a, 0)

A'(−a, 0)

YEl·lipse

YHipèrbola

X

X

917232p120a149Rec.qxd 16/12/08 12:55 Página 124


RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S


r Indica el radi d’una circumferència.

D Indiquen el diàmetre d d’una circumferència.

C(a, b) Designa el centre de la circumferència que técom a coordenades (a, b).

P (x, y) Indica qualsevol punt de la circumferència.

(x − a)2 + (y − b)2 = r 2 Equació d’una x2 + y2 + Ax + By + C = 0 circumferència,

de centre C(a, b).

x 2 + y 2 = r 2 Equació d’una circumferència, amb centre a l’origen de coordenades.


x i y designen les coordenades desconegudes d’un punt de la paràbola.

x i y designen les coordenades dels punts que pertanyen a la paràbola, i p és la distànciaentre el vèrtex i la directriu de la paràbola.

S’utilitza la lletra F per designar el focus d’una paràbola, la lletra s per nomenar la directriu i V per representar el vèrtex.


El centre d’una circumferència se sol anomenat C.Les seves coordenades es denoten com (a, b) quansón conegudes.

Si volem indicar un punt qualsevol, de coordenades desconegudes, utilitzem les lletresx i y per designar-les.

El radi i el diàmetre se solen representar per mitjàde les lletres r i D (o d), respectivament.

x i y designen les coordenades dels punts quepertanyen a la circumferència, a i b són lescoordenades del centre i r és el radi.

F Representa el focusd’una paràbola.

Indica les coordenades del focus d’una paràbola, amb vèrtex a l’origen de coordenades.

V Representa el vèrtexd’una paràbola.

s Indica la directriu d’unaparàbola.

Equació de la directriu d’una paràbola, amb centre a l’origen de coordenades.

p Distància entre el focus d’unaparàbola i la seva directriu.

P(x, y) Indica qualsevol punt de la paràbola.

x2 = 2py Equació d’una paràbola, amb vèrtex a l’origen decoordenades.

d yp

: = −2

Fp

02

,⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

Os

F

YParàbola

X

917232p120a149Rec.qxd 16/12/08 12:55 Página 125


Tots els daus cúbics normals compleixen la condició que les cares oposades sumen 7 punts?

La figura següent es pot retallar, doblegar i enganxar per formar un dau.

Com col·locaries els nombres que hi falten, de manera que la suma de les cares oposades sigui sempre 7?

Plantejament i resolucióAnalitzem els casos desfavorables.

• L’1 ha d’estar enfrontat amb el 6, per tant no es pot col·locar en cap de les dues cares adjacents amb ell. Necessàriament ha d’estar a la cara assenyalada amb un asterisc (*).

• De la mateixa manera raonem amb el 4, que ha d’estar contigu al 3, i ha d’estar a la cara (**).

• Finalment, el 5 es col·loca a l’única cara lliure.

Estratègia Quan un problema té un nombre finit de possibles solucions, una manera de resoldre’l és per mitjà del mètode d’assaig i error. La seva aplicació ha de ser com més sistemàtica millor per assolir la màxima eficàcia.

Una modalitat d’aquest mètode és l’anàlisi i l’eliminació dels casos desfavorables.

Completa, si és possible. Completa, si és possible.21

Anàlisi i eliminació dels casos desfavorables

PROBLEMA RESOLT

PROBLEMES PROPOSATS


Llocs geomètrics. Còniques 7

4

6 2

6 2

3

*

**

5

6

3

917232p120a149Rec.qxd 16/12/08 12:55 Página 126


RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S


EXERCICIS


De manera semblant a com ho has fet a la Pràctica 2, resol la resta d’apartats de l’exercici 28 de la pàgina 182.

21




1. Introdueix l’expressió del lloc geomètric.

2. Prem dues vegades el botó i a la Finestra 2D apareix representat el lloc geomètric. En aquest cas es reconeix que és una recta.

PRÀCTICA 2 (pàg. 182, exercici 28a)

1. Introdueix l’expressió del lloc geomètric.

2. Prem dues vegades el botó i a la Finestra 2D apareix representat ellloc geomètric. En aquest cas es tracta d’una recta.

Per reconèixer quin és el lloc geomètric, dibuixem les dues rectes de lesquals equidista.

3. Introdueix la primera recta i prem dues vegades el botó .

4. Introdueix la segona recta i prem dues vegades el botó .

5. A la Finestra 2D apareixen les dues rectes i el lloc geomètric. Ara es potreconèixer que el lloc geomètric és la bisectriu de les dues rectes.

Si en el menú Opcions es tria Pantalla, a la pestanya Rejilla es pot fer queapareguin línies a la quadrícula, i modificar el nombre d’intervals que esmostren horitzontalment i verticalment. En les dues pràctiques s’ha modi-ficat a 10.



Resultat de la Pràctica 2 amb les rectes de l’enunciat

917232p120a149Rec.qxd 16/12/08 12:55 Página 127



EXERCICIS

De manera semblant a com ho has fet a la Pràctica 1, resol l’exercici 38 de la pàgina 182.

De manera semblant a com s’ha fet a la Pràctica 2, resol la resta d’apartats de l’exercici 66 de la pàgina 184.

21




1. Introdueix l’expressió de l’el·lipse.

2. Prem dues vegades el botó i a la Finestra 2D apareix representatl’el·lipse.

3. Repeteix els passos 1 i 2 amb la recta.

4. A la Finestra 2D apareixen representades la recta i l’el·lipse. En aquestcas podem comprovar que la recta i l’el·lipse són secants.


1. Introdueix l’expressió de la circumferència.

2. Prem dues vegades el botó i a la Finestra 2D apareix representada lacircumferència.

3. Repeteix els passos 1 i 2 amb la recta.

4. A la Finestra 2D apareixen representades la recta i la circumferència.En aquest cas podem comprovar que la recta i la circumferència sónexteriors.

Si en el menú Opcions es tria Pantalla, a la pestanya Rejilla es pot fer queapareguin línies a la quadrícula, i modificar el nombre d’intervals que esmostren horitzontalment i verticalment. En les dues pràctiques s’ha modifi-cat a 10.



917232p120a149Rec.qxd 16/12/08 12:55 Página 128


RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S


EXERCICIS

Resol, de manera anàloga a com s’ha fet a la Pràctica 1, la resta dels apartats de l’exercici 55 de la pàgina 183.

Resol, de manera anàloga a com s’ha fet a la Pràctica 1, l’exercici 56 de la pàgina 183.

21


PRÀCTICA CABRIEl primer pas abans d’iniciar les pràctiques és executar CABRI.

PRÀCTICA 1 (pàg. 183, exercici 55b)

1. Activa l’eina , i a la finestra apareixen unseixos de coordenades. Amb l’eina crea una xarxa de punts sobre uns eixos ja existents.

2. Amb l’eina dibuixa una semirecta amb extrem en el punt de coordenades (−2, −4).

3. Utilitza l’eina per calcular el valor de

.

4. Si premem i mantenim el botó dret del ratolí sobre el resultat, el podemarrossegar a la finestra per utilitzar-lo després.

5. Amb l’eina assenyalem el resultat de

l’operació anterior i l’extrem de la semirecta, i d’aquesta manera obte-nim el radi de la circumferència.

6. Fem servir l’eina , premem sobre l’origen de la se-

mirecta semirrecta i el punt que s’ha obtingut en el pas anterior, i tenimla circumferència que cercàvem.

7. Per aconseguir-ne l’equació utilitzem l’eina

i premem sobre l’equació.

20


917232p120a149Rec.qxd 16/12/08 12:55 Página 129


A la recerca de KlingsorJorge Volpi

Una vegada un reporter va preguntar a Einstein:

–Existeix cap fórmula per tenir èxit en la vida?

–Sí que n’hi ha una.

–Quina és? –va preguntar el reporter, ambinsistència.

–Si A representa l’èxit, diria que la fórmulaés A = x + y + z, on x és la feina i y, la sort –va explicar Einstein.

–I què seria la z?

Einstein va somriure abans de contestar:

–Mantenir la boca tancada.

Un jove nord-americà, Bacon, va estudiar Física a l’Institut d’Estudis Avançats de Princeton i hi va conèixer Einstein, del qual recorda algunes anècdotes com aquesta. En acabar la Segona Guerra Mundial, es va fer espia i va viatjar a Alemanya per trobar-hi el màxim responsable de les recerques atòmiques realitzades pels nazis,

que s’amagava sota el pseudònim de Klingsor. En les seves investigacions, el va ajudar un matemàtic,anomenat Links, que va formar part de l’equip de recerca nuclear dels nazis. Així explica Links els seus primers anys de vida.

Per què estàvem junts el tinent Bacon i jo? Quan ens vam trobar per primera vegada? Quina missió teníem? Com es van creuar, finalment, les nostres vides paral·leles? Per respondre totes aquestes preguntes no tinc altre remei que parlar una mica de mi mateix.

Situo el meu naixement en el mapa de la meva imaginació com un petit punt dibuixat en el centre d’un pla cartesià. Cap amunt, a l’eix de les y, hi ha tot el que m’ha passat de bo; en canvi, a l’eix de les x, trobo els actes que em defineixen, aquells que voluntàriament he convertit en el centre de la meva vida –desitjos, anhels, obsessions–, mentre que, a l’esquerra, jeuen aquellesporcions del meu ésser que m’han modelat contra la meva voluntat o la meva consciència, aquellesparts aparentment impredictibles o espontànies que, no ho puc negar, també m’han dut on sóc ara. Quin seria el resultat final d’un exercici com aquest? Quina forma apareixeria al bell mig del full?Seria possible traçar les coordenades que he recorregut al llarg del meu trajecte? I obtenir, a partird’aquesta línia, la fórmula que em resumeixi en cos i ànima?

En contemplar la meva vida des de la distància que dóna el temps –és a dir, en mirar-me com un problema abstracte o, millor, com un bacteri que es desplaça amb penes i treballs sota la llum del microscopi–, m’adono que, des del meu naixement, el meu destí ha estat lligat a la història del segle com una llamprea està unida finalment al cetaci que li fa de llar i de companyia.


Funcions 8917232p120a149Rec.qxd 16/12/08 12:55 Página 130


La meva és una existència marcada per la turbulenta època que em va tocar patir i, sobretot, per les persones que la fortuna va posar en el meu camí durant la primera meitat d’aquest segle.Comparteixo, doncs, només per casualitat, l’interès d’alguns dels moments més admirables i ruïnososde la humanitat: dues guerres mundials, Auschwitz i Hiroshima, i el naixement d’una nova ciència.

Divago. Intento concentrar-me per oferir una primera frase que m’arribi a retratar, un inici inquietantque desperti la curiositat, un cop d’efecte capaç d’atrapar els meus lectors: per desgràcia, no hoaconsegueixo. Així doncs, començo pel que és obvi. El meu nom –ja ho he dit– és Gustav Links, i vaig néixer el 21 de març de 1905 a Munic, capital de Baviera. No cal que descrigui la grandesa de la meva ciutat natal; n’hi ha prou a dir que, a més de la tradició de bogeria instaurada pel rei Lluís II i el seu germà Otto, la regió va conèixer un moment d’esplendor de què van participar homes com Thomas Mann, Richard Strauss, Franz Wedekind i Werner Heisenberg, entre molts d’altres.

El meu pare, Jürgen Links, era catedràtic d’Història medieval a la Universitat. El nostre llinatge es remunta com a mínim fins al segle XVII, tal com ho demostra l’arbre genealògic que ell guardava, i que va ser revisat una vegada rere l’altra per les autoritats nazis a la recerca d’un avantpassat jueu que ens pogués comprometre; en canvi, entre els meus antecessors figuren un mestre de música a la cort de Berlín, un farmacèutic de Soest i, finalment, un talabarder de Munic al servei del rei Max Joseph de Baviera, en plena era napoleònica.

El nom de la meva mare era Else Schwartz, però el recordque en tinc és molt borrós, ja que, per culpa d’un embaràsfallit, va morir quan jo tenia tresanys. No puc parlar-ne: l’únicque en sé, per les escassesfotografies que alguna vegada em va ensenyar el meu pare, és que tenia un front ampli i poderós, una cabellera de colorros pàl·lid, gairebé blanca, que li arribava fins on comencenels pits, i un esguard sever queno deixava traslluir la bondat que, segons que deien, era la seva virtut principal. A causa d’aquest desafortunatincident, vaig ser fill únic i, contra el costum de llavors, no vaig haver de compartir els meus escassosprivilegis amb una llarga llista de germanastres: tot i que ningú podia pensar que al meu pare li vaafectar la seva viduïtat primerenca, mai no es va tornar a casar.

En això, com en moltes altres coses, el meu pare era diferent a la resta dels mortals. A ell sí que el vaig conèixer, tot i que era el viu exemple d’aquella tradició ancestral dels Links que és la de no mostrar-te mai com ets. Va néixer a Munic, com jo, el 1871, just en el moment que Baviera va passar a formar part del Reich alemany amb l’emperador Guillem I i el seu ministre Bismarck.Pràcticament la meitat de la seva vida va transcórrer en la fèrria societat formada per aquests homes i era un convençut entusiasta de l’Imperi. Encara que era fort i arrogant, feréstec i rígid, tenia una de les personalitats que jo més he admirat. Des de petit es va interessar per la història dels antics germànics, la nissaga dels quals va estudiar tota la seva vida.

8 Funcions

RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S

917232 _ 0120-0149.qxd 23/12/08 12:41 Página 131


Era el més savi en un ambient d’homes savis i era capaç de recitar-me de memòria fragments sencers de les gestesmedievals: Tristany i Isolda, la Cançó dels Nibelungs o el Percival de Wolfram von Eschenbach.

Tanmateix, al llarg de la meva infantesa, gairebé no vaig tenir cap més contacte amb ell. En el nostre ambient de Bildungbürger –de burgesos il·lustrats–, els fills ocupaven el lloc més baix de la jerarquia social, sempre separats dels adults.

Quan vaig néixer, el món era un lloc ordenat, un cosmosseriós i meticulós en el qual els errors –les guerres, el dolor, la por– no eren més que lamentables excepcions degudes a la manca de traça. Els meus pares, i els pares dels meuspares, creien que la humanitat progressava linealment, des de l’horror de l’edat de les cavernes fins a la brillantor del futur,com si la història no fos altra cosa que un cable estès entre dospals de llum o, per fer servir la metàfora que defineix millor el segle XIX, com una via fèrria que uneix, finalment, dos poblats remots. Enmig d’aquest escenari, néixer era poca cosa més que un tràmit. A partir d’aquí, amb l’educació severa que se’ns donava n’hi havia prou per modelar-nos, per fer-nos homes de bé i per assegurar el nostre futur... Els valors que se’ns ensenyaven llavors eren ben simples: disciplina, austeritat, nacionalisme. Aquesta empresasemblava tan bella i alhora tan simple! Si la regla del món era el progrés, les existències individualss’havien d’ajustar al mateix esquema. Per què havia de fallar-hi res? Si es planejava amb prou cura la formació d’un nen, si se li donaven les eines que n’asseguressin el desenvolupament, el creixementfísic i espiritual, i si se’n forjava el caràcter com si fos, en efecte, una làmina de bronze sobre l’enclusade la moral, a poc a poc la societat es podia treure de sobre els bojos, els criminals i els captaires, amb la qual cosa s’assegurava una comunitat d’homes honrats, rics, alegres i pietosos.

8 Funcions

917232p120a149Rec.qxd 16/12/08 12:55 Página 132


8 Funcions

Per sort, la meva infantesa no sols va estar amarada pel rigor científic. Una activitat va transformar la meva infància: el meu ingrés als Wandervogel, «ocells errants», com s’anomenava llavors els integrants del moviment juvenil que, com els boy scouts d’altres països, eren una part destacada de la formació dels joves alemanys de l’època. Gràcies a aquest moviment, vaig conèixer Heinrich von Lütz, el meu millor amic durant molts anys, una de les influències cabdals de la meva vida, i WernerHeisenberg, que, com que era quatre anys més gran que nosaltres, ja dirigia el seu propi grup de nois.

JORGE VOLPI, En busca de Klingsor, Barcelona: Seix Barral, 1999

Aconseguirà el tinent Bacon, ajudat per Links, descobrir i detenir el responsable dels projectesnuclears nazis, la persona que s’amagava sota el pseudònim Klingsor? Per què Links, havent col·laboraten aquests projectes per fabricar la bomba atòmica, no va ser detingut ni jutjat? Aquestes incògnites les resoldràs si llegeixes la novel·la.


ACTIVITAT 1

Jutja la metàfora de Links. Seria possible representar una «vida» per mitjà d’una corba en un sistema de coordenades cartesianes?

ACTIVITAT 2

Links opina que la seva vida i la del tinent Bacon van ser «paral·leles» fins al moment que es van encreuar. Des del punt de vista de la Geometria analítica, què tenen en comú dues rectes paral·leles? En què s’assemblen les seves equacions?

ACTIVITAT 3

Investiga sobre la història d’Alemanya durant la primera meitat del segle XIX i fes-ne un resum per escrit.

RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S

917232p120a149Rec.qxd 16/12/08 12:55 Página 133



Funcions 8

(x, y) Indiquen un parell de valors(x0, y0) ordenats d’una funció.(x1, y1) (x2, y2)

(x, f (x)) Expressa el mateix parell ordenat.

(1, 2) Indica un punt en el pla.

(1,3; 2,4) Expressa un punt en el pla ambcoordenades decimals.


La funció f és una relació que associa a cada nombre real, x, pertanyent a un conjunt D, un únic nombre real y = f (x).

La variable x s’anomena variable independent,i la variable y, variable dependent.


Per indicar un punt de la gràfica d’una funció, la primera coordenada se sol denotar amb la lletra x, i la segona amb la lletra yo amb l’expressió de la funció, f (x).

Quan ens referim a un punt concret l’acostumem a anomenar-lo (x0, y0), i quan prenem diversos punts els anomenem (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)…

Si volem indicar un punt del pla s’escriuen les dues coordenades del punt entre parèntesis i se separen amb una coma seguida d’un espai.

De vegades, en referir-se a un punt d’una gràfica,sols es dóna la coordenada de x, per exemple: «La funció f té un màxim en el punt x = 2».Això vol dir que la funció té un màxim en el punt de coordenades (2, f (2)).


f : D → �Expressa la funció f.x ⎯→ y = f (x)

XIndiquen l’eix d’abscisses.OX

YIndiquen l’eix de coordenades.OY

O Es refereix a l’origen de coordenades.

Els eixos de coordenades se solen escriure amb les lletres majúscules X i Y. De vegades també es fa servir la notació OX i OY.

Per nomenar l’origen de coordenades, on es tallen els eixos d’abscisses i ordenades, es fa servir la lletra majúscula O.

917232 _ 0120-0149.qxd 23/12/08 12:41 Página 134


8 Funcions

g � f (x) f composta amb g de x.f � g(x) g composta amb f de x.


El domini i la imatge d’una funció és un conjuntque s’expressa en forma d’interval, o utilitzant els símbols d’operacions entre conjunts, com ara ∩ i ∪.

Quan volem expressar elements únics els col·loquem entre claus.


Per expressar la composició de dues funcions,escrivim les funcions de dreta a esquerra,separant-les per mitjà d’un punt buit que indica la composició.

f −1(x) Funció inversa de f.


El signe −1 com a exponent d’una funció significaque és la funció inversa.

T Indica el valor del període d’una funció periòdica.


Per assenyalar el valor del període d’una funciós’utilitza la lletra T i s’escriu f (x) = f (x + T). És una igualtat vàlida per a qualsevol valor de x.

Dom f Indica el conjuntdomini de la funció f.

Im f Indica el conjuntimatge de f.

Dom f = � − [a, b] El domini de f és elconjunt de tots els nombres realsexcepte els del’interval.

Dom f = � − {a, b} El domini de f és elconjunt de tots els nombres reals,excepte els nombresa i b.

Dom f = (a, b) ∪ (c, d ) El domini de fés el conjunt de totsels nombres reals dels intervals (a, b) i (c, d).

Dom f = (a, b) ∪ {c, d } El domini de fen tots els nombresreals de l’interval (a, b) i els nombres c i d.

RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S

917232 _ 0120-0149.qxd 23/12/08 12:41 Página 135


Per pintar una casa s’ha contractat un pintor i el seu ajudant. El pintor comença a treballar a les 10 del matí i cobra 20 euros per cada hora treballada. L’ajudant comença a les 8 del matí i cobra 12 euros l’hora de treball.

a) Quan l’ajudant ha treballat 4 hores, quants diners han guanyat?b) Quan el pintor porta treballades t hores, quant ha guanyat cadascun d’ells?

I entre tots dos?c) Completa una taula on apareguin el nombre d’hores treballades i els diners guanyats

per cadascun i per tots dos.d) Dibuixa la gràfica que representa com varien els diners que guanyarà l’ajudant

en funció de les hores treballades.

Plantejament i resolucióa) L’ajudant: 4 ⋅ 12 = 48 euros. El pintor: 2 ⋅ 20 = 40 euros

b) El pintor: 20 ⋅ t = 20t euros. L’ajudant: 12 ⋅ (t + 2) = 12t + 24 euros

c)

d) La gràfica és la recta r que passa per l’origen.

Estratègia Molts problemes es poden resoldre de diverses maneres. En aquests problemes hem de decidir quina és la manera més adequada de fer-ho.L’ús de taules, gràfiques i fórmules s’acostuma a presentar com una alternativa en algunes situacions problemàtiques.

Dibuixa, sobre els mateixos eixos, la gràficacorresponent als ingressos del pintor.Contesta, utilitzant les gràfiques, les qüestionssegüents:

a) A quina hora han guanyat el mateix?

b) Quant han guanyat en aquell moment?

c) Com ho saps?

Podries haver contestat les preguntes anteriors utilitzant la taula? I utilitzant les fórmules obtingudes a l’apartat b) del problema inicial? Quina creus que és la millor opció? Per què?

21

Taules, gràfiques i fórmules

PROBLEMA RESOLT

PROBLEMES PROPOSATS


Funcions 8

Hores Nre. d’horesde l’ajudant

Nre. d’horesdel pintor

Diners de l’ajudant

Diners del pintor

Diners guanyatsentre tots dos

8

9

10

11

12

13

14

0

1

2

3

4

5

6

0

0

0

1

2

3

4

0

12

24

36

48

60

72

0

0

0

20

40

60

80

0

12

24

56

88

120

152

1 2 3 4 5 6 70

8070605040302010

r

Y

X

917232 _ 0120-0149.qxd 23/12/08 12:41 Página 136



EXERCICIS


De manera semblant a com ho has fet a la Pràctica 1, troba el domini i el recorregut de les funcions de l’exercici 30 de la pàgina 207.

21

8 Funcions


PRÀCTICA (pàg. 206, exercici 29a)

En aquesta pràctica visualitzarem quin és el domini de la funció, i perfer-ho la representem i, amb els botons de canvi d’escala, visualitzem eldomini.

1. Defineix la funció, desplegant la pestanya Introducir i triant l’opcióDefinición de una función.

També ho pots teclejar directament.

2. Prem el botó per obrir la Finestra 2D i torna a prémer sobre elmateix botó.

A la Finestra 2D apareix la gràfica de la funció, en la qual no es potvisualitzar quin és el domini de la funció.

La barra d’eines de la Finestra gràfica 2D permet canviar l’escala i centrar elcursor. Canviant l’escala horitzontal i vertical obtenim les gràfiques se-güents.

Per tant, el domini de la funció és l’interval (5, +�).

Resultat de la funció sense canvisd’escales

Resultat utilitzant els diferents canvis d’escales

RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S

917232p120a149Rec.qxd 16/12/08 12:55 Página 137



EXERCICIS



21

8 Funcions



1. Defineix les tres funcions, desplegant la pestanya Introducir i triant l’op-ció Definición de una función, o teclejant-les directament.

2. Defineix la funció a(x) com la suma de m(x) i n(x).

3. Prem el botó per obtenir l’expressió simplificada de la funció.

4. Prem el botó per obrir la Finestra 2D, i prem una altra vegada el ma-teix botó per obtenir la gràfica de la funció.

5. Com que no apareix la funció en aquesta finestra, fes servir els botonsde canvi d’escala per obtenir una gràfica de la funció en què es puguivisualitzar el domini.

El domini de la funció és (−�, −2) ∪ (2, �).

Gràfica de la funció a(x) utilitzant els botons de canvid’escala

917232p120a149Rec.qxd 16/12/08 12:55 Página 138



EXERCICIS


Per obtenir l’expressió de f � g has de teclejar f (g(x)) i prémer en el botó . Fes l’exercici 46 de la pàgina 208.

21

Resultat a la Finestra 2D de la Pràctica 1

Resultat a la Finestra d’Àlgebra de la Pràctica 1



1. Defineix les tres funcions, desplegant la pestanya Introducir i triant l’op-ció Definición de una función, o teclejant-les directament.

2. Prem el botó per obrir la Finestra 2D, i prem un altre cop el mateixbotó per obtenir la gràfica de la funció. Una vegada obtinguda la gràfica,prem Control + 1 per tornar a la Finestra d’Àlgebra.

3. Tecleja l’expressió.

4. Prem la pestanya Resolver i tria Expresión, o prem el botó . A lapantalla Resolver Expresión, tria sols la variable x i prem el botó Resol-ver.

5. Per obtenir la funció inversa has d’intercanviar les variables obtingudes

en l’expressió. La funció inversa és .

6. Introdueix la funció inversa.

7. Prem el botó per obrir la Finestra 2D i prem un altre cop el mateixbotó per obtenir la gràfica de la funció. Una vegada obtinguda la gràfica,prem Control + 1 per tornar a la Finestra d’Àlgebra.

8. Introdueix l’equació del primer quadrant.

9. Prem el botó per obrir la Finestra 2D i prem un altre cop el mateixbotó per obtenir la gràfica de la funció.

A la Finestra 2D tens la funció f (x), la seva inversa g(x) i la bisectriu delprimer quadrant. Pots comprovar que és cert que f (x) i la seva inversasón simètriques respecte de la bisectriu del primer quadrant.

g xx

( ) =− 5

2

8 Funcions

RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S

917232p120a149Rec.qxd 16/12/08 12:55 Página 139


La clau Gaudí Esteban Martí i Andreu Carranza

L’any 1892 el marquès li va encarregar el projecte d’un edifici per a les missions catòliques franciscanes a Tànger; es tractava d’una església, un hospital i una escola. Gaudí va acabar el projecte en un any, però els pares franciscans van pensar que era massa ostentós.Tampoc els va agradar que la torre tingués una altura de seixanta metres.

–No els va agradar l’altura de la torre?

–Suposo que no va ser només això. Als franciscans no els van agradar el projecte en general, les solucions arquitectòniques.

–Quin tipus de solucions?

–Genials! Murs inclinats, finestres en forma de hiperboloide i torres en forma de paraboloide de revolució que, com dic, no van arribar a construir-se. A Gaudí li va doldre molt que al final fracassésel projecte de les missions.

–Llàstima, un projecte perdut –va dir Miquel.

–No.

–No? –va preguntar amb interès.

–A partir de 1903, Gaudí va utilitzar la forma, l’estructura pensada per a les torres de la façana del Naixement de la Sagrada Família.

–Això és normal –va fer Taitmatsu.

–Com a mínim no deixa de ser curiós –va afegir Miquel.

–I l’altre projecte que ha esmentat, el de Nova York? –va tornar a preguntar Miquel.

–Sí, l’any 1908 va rebre la visita de dos empresaris nord-americans que li van encarregar un projecte d’hotel. Es tractava d’un edifici de gairebé 300 metres d’altura. Tenia un perfil de catenària per a aconseguir el perfecte equilibri de la seva estructura.

–I què va passar amb aquest segon projecte? Per què no es va dur a terme?

–No se sap amb exactitud. Pel que sembla, l’any 1909 Gaudí va caure malalt. En qualsevol cas, els dos projectes van ser essencials per a avançar en la forma definitiva del Temple Expiatori de la Sagrada Família. Tant l’elegància de les torres de Tànger,com la monumentalitat del projecte de Nova York van permetrea Gaudí fer les maquetes definitives de l’estructura de laSagrada Família. Va depurar els seus estudis sobre lessuperfícies reglades en forma d’hiperboloides i paraboloideshiperbòlics, així com les formes esveltes de les columnes de la nau principal del temple.

–Abans ha dit que ens havíem avançat als esdeveniments.Que ens saltàvem una etapa –va fer Miquel.

–Sí, sí, és clar... Gaudí, abans d’aquests projectes, va comprendre que a la naturalesa no hi ha intencionsestètiques, sinó funcionals. Gaudí va entrar plenament Missions Franciscanes (Tànger)


Funcions elementals9917232p120a149Rec.qxd 16/12/08 12:55 Página 140


en un període naturalista. La seva font d’informació gairebé única era l’observació de les plantes,animals, muntanyes... Gaudí va comprendre que a la naturalesa no existeixen ni la línia recta ni el pla, sinó una immensa varietat de formes corbes, un equilibri funcional, no estètic.

–Vol dir amb això que no projectava sobre un pla? –preguntà Miquel.

–El que vull dir és que el mestre va entrar directament a la tercera dimensió experimentant ambmaquetes, models i...

–La casa Batlló –Maria va interrompre Conesa, demostrant que també era una experta sobre Gaudí,encara que havia callat durant tota l’estona. Una gran part d’aquell matí, acompanyada d’en Miquel, se l’havia passat al tanatori.

–I la casa Milà –va afegir Conesa.

–Segons vostè, quines serien les obres culminants de la seva arquitectura naturalista?

–Bé, segons la meva opinió i la de tots els especialistes, un dels exemples el trobem a la casa Batlló,les formes orgàniques de ceràmica vidriada... I naturalment a la casa Milà, la Pedrera, amb la sevasingular forma de penya-segat: un símbol del mar i de la terra... Les vidrieres de la catedral de Mallorca,la Resurrecció de Crist de la muntanya de Montserrat serien altres...

–I el parc Güell? No creu que és un bon exemple d’aquest naturalisme? –va intervenir Miquel.

–Cert... Si em permeten que faci un incís, va ser en aquesta època, mentre construïa el parc Güell,quan mossèn Cinto Verdaguer, el gran poeta, estava escrivint L’Atlàntida, poema que va dedicar al marquès de Comillas; com vostès saben, Comillas era sogre de Güell. Però tornant al parc, aquí Gaudí va ajustar les formes dels carrers a la topografia del terreny, va projectar viaductes per no desmuntar el terreny, respectant l’originalitat natural, construint amb la mateixa pedra del lloc,aprofitant els enderrocs d’una cova... D’aquesta gruta va treure les roques de diferents colors que va distribuir harmònicament per tot el parc. Com els deia, l’arquitecte partia d’un apassionat interès per la naturalesa, on la línia i el pla no existeixen.

–Una mica difícil d’entendre per a un arquitecte, acostumat al compàs i l’escaire –va afirmarTaimatsu.

–Però ell no venia d’una família d’arquitectes, sinó de calderers.El seu pare tenia el taller a la plaça Prim de Reus, just on actualmenthi ha una oficina bancària. El seu avi Francesc també era calderer a Riudoms, un poble a uns quatre quilòmetres de Reus. L’arquitecte Joan Bassegoda és de l’opinió que va ser al taller on Gaudí, quan era un nen, envoltat de les formes helicoïdals, els serpentins, els alambins..., en definitiva totes les formes que treballen els calderers, va adquirir el seu concepte espacial de l’arquitectura. Tal vegada per això, per tot aquest aprenentatgeque va rebre de petit al taller del calderer del seu pare, sempre va ser capaç d’imaginar en tres dimensions i no de la forma que aprenen els estudiants d’arquitectura: sobre el plànols i amb l’ajuda de la geometria descriptiva i la perspectiva. Gaudíconsiderava que havia rebut un do diví, en veure i concebre les coses, les formes, les obres, directament a l’espai, encara que ell mai no en va presumir.

–Ens està dient que la manera de treballar de Gaudí no té res a veure amb l’arquitectura acadèmica? –va preguntar Miguel.

9 Funcions elementals

RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S

Columna del col·legi de les Teresianes (Barcelona)

917232p120a149Rec.qxd 16/12/08 12:55 Página 141


–Miri, des de les piràmides fins a l’entrada projectada de Li Peh per al pati del museu del Louvre, els arquitectes sempre han treballat igual: amb el compàs i l’escaire projectant formes bidimensionals.Després amb els políedres regulars, tetràedres, octàedres, etc., passen a les tres dimensions. Però Gaudí observa atentament el seu entorn, els arbres, les muntanyes, els cossos vius... i s’adona que aquestes formes regulars o no existeixen a la naturalesa o són molt rares.

–Posava en qüestió la sacralització que Plató va proposar al Timeu i que s’identifica amb els quatreelements: foc, aigua, aire i terra –va dir Taimatsu.

–I la quinta essència... veig que ha llegit els articles de Bassegoda.

–I de García Gabarró, el primer arquitecte espanyol que va dedicar una tesi doctoral a la figura de Gaudí, centrant-se en l’estudi de les formes. Però vostè ho explica molt millor que jo... Quines són les formes que va veure en la naturalesa?

–Seguint Bassegoda, –va dir Conesa somrient a Taimatsu–, Gaudí va comprovar que no hi ha millor columna que el tronc d’un arbre o els ossos de l’esquelet d’un ésser viu. No hi ha cúpula que iguali en perfecció el crani d’un home... Cal fixar-se en les muntanyes per aconseguir l’estabilitatd’un edifici...

–Senzill –va dir Maria.

–Senzill, sí, i tot el que és senzill és genial... però primer cal saber veure-ho, i després ser capaçd’utilitzar aquestes estructures en el terreny de la construcció, en l’arquitectura. Vull ensenyar-los una cosa.

Conesa va treure unes fotografies d’un sobre i les va anar col·locant sobre la taula en parelles.

–Mirin això.

Els va mostrar una fotografia de la Sagrada Família i una imatge d’una planta. Tot seguit va afirmar:

–Es tracta del crespinell picant, una planta que creix prop de Reus.

Taimatsu i Maria ja havien vist aquelles fotos, però Miquel es va quedar vivament impressionat. La semblança de la façana del Naixement amb la forma de la planta era extraordinària, un calc.


Façana del Naixement de laSagrada Família (Barcelona) i exemplar de crespinellpicant (Sedum acre).

Conesa va continuar així amb tot un seguit de fotografies. En una altra es mostrava la maqueta de la façana de la Glòria, idèntica a la imatge d’una cova de Nerja, de la província de Màlaga. Una altra parella de fotografies mostraven d’una banda un dibuix de l’església de la Colònia Güell i de l’altra una imatge del Mont Blanc: pràcticament iguals.

La següent era una xemeneia de la Casa Milà i una caragola. Un bosc del Camp de Tarragona podia trasplantar-se a la maqueta de les columnes de la Sagrada Família.

917232p120a149Rec.qxd 16/12/08 12:55 Página 142

RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S


Conesa va continuar traient fotografies que mostraven analogies veritablement genials i sorprenentsentre les obres i projectes de l’arquitecte de Reus i les formes naturals. Miquel i les seves duescompanyes notaven com davant les imatges i les explicacions de Conesa els dominava una creixentexcitació.

–Com veuen, totes aquestes formes naturals, ocultes als ulls dels arquitectes convencionals,seguidors de la geometria euclidiana, les va descobrir Gaudí... En va trobar milers, en els tres regnes de la naturalesa, i les va utilitzar en la seva arquitectura. Tampoc no s’ha d’oblidar que tenia una gransensibilitat i respectava moltíssim l’arquitectura popular. Ell procedia del Camp de Tarragona; pensin per exemple en la barraca de vinya catalana, o en la cabana de pedra seca, que s’adapta amb perfecció al seu entorn natural.

–Així, es pot afirmar que les solucions que va utilitzar Gaudí són d’aparença geològica, botànica i zoològica...

–Això no és cap secret. Tots els especialistes estan d’acord, en aquest punt. La seva geometriareglada es fonamenta en la botànica, la geologia o l’anatomia. Gaudí s’adona que a la natura la llei de la gravetat dibuixa, construeix perfils parabòlics catenàries... N’hi ha infinitat, d’exemples: fulles, branques, capçades dels arbres, els ossos de l’esquelet... Són helicoïdals els troncs d’eucaliptus i algunes plantes grimpadores. Un lliri és un helicoide i un fèmur és un hiperboloide reglat... però no sé si els estic avorrint o si aconsegueixo fer-me entendre.

Potser Miquel no entenia els termes, però captava la idea de fons. Una idea genial per part de Gaudí: utilitzar aquestes formes per dotar les seves construccions de més rigidesa i resistènciaestructural. Però això només era la punta de l’iceberg, pensava Miquel. Volia entrar més endins i sense pensar-s’hi, va dir amb veu pausada:

–Per què?

ESTEBAN MARTÍN i ANDREU CARRANZA, La clau Gaudí, Barcelona: Plaza & Janés editores, 2008


ACTIVITAT 1

El projecte les missions franciscanes de Gaudí considerava unes solucions arquitectòniques ambhiperboloides i paraboloides.

a) On havien de ser construïdes aquestes missions?

b) Es van construir?

c) Esbrina què és un hiperboloide i un paraboloide.

d) Escriu l’expressió analítica d’una hipèrbola i dibuixa-la amb els seus dos eixos de simetria. Dibuixa els dos hiperboloides: d’una i de dues fulles en funció de l’eix de revolució.

e) Escriu l’expressió analítica d’una paràbola i dibuixa-la amb el seu eix de simetria. Dibuixa el paraboloide en funció del seu eix de revolució.

ACTIVITAT 2

D’on procedia Gaudí? Quina és l’estructura arquitectònica que s’adaptava perfectament al seu entorn?

ACTIVITAT 3

Albert Einstein, en la seva teoria de la relativitat, va donar a l’Univers una forma de cadira de muntar,que coincideix amb una de les solucions arquitectòniques de Gaudí. Esbrina quina és.


917232p120a149Rec.qxd 16/12/08 12:55 Página 143



f(x) = ax 2 + bx + c, Es refereix a una funció con a fi 0 la representació

de la qual és una paràbola.


Amb la lletra m s’indica el pendent de la recta(coeficient de la variable x ), i per a l’ordenada a l’origen s’utilitza la lletra n.

De vegades també s’escriu d’aquesta manera:

f (x) =ax + b on a i b representen el mateix que m i n.


a, b i c solen ser el coeficients de l’equació de segon grau.

Sempre se sol afegir la condició que a fi 0 per tenir la certesa que el polinomi és de segongrau i, per tant, representa una paràbola.


f (x) = mx + n Expressa una funció larepresentació de la qual és una recta.

Indica una funció la representació de la qual és unahipèrbola.

f xk

x ab( ) =

−+ El numerador de la fracció se sol anomenar k,

per similitud amb la constant de proporcionalitatinversa entre magnituds que guarden aquestarelació.

Funcions elementals9

m > 0

y = mx + n

y = n

m = 0

m < 0

y = mx

n

Y

X

Mínim

Màxim

a < 0

a > 0Y

X

f xk

x ab( ) =

−+

Y

X

917232 _ 0120-0149.qxd 23/12/08 12:41 Página 144



f (x) = sin x Indica la funció sinus.

f (x) = cos x Expressa la funció cosinus.

f (x) = tg x Indica la funció tangent.

f (x) = arc sin x

f (x) = arc cos x Expressen les funcions arc.

f (x) = arc tg x


Les funcions logarítmiques són del tipus log2 x, log (x + 1), ln x, 5 ln x… És a dir, la lletra aindica que la base del logaritme ha de ser un nombre conegut, i positiu.


Les raons trigonomètriques d’un angle (sinus,cosinus i tangent) s’expressen mitjançant els símbolsque els correponen, sin, cos i tg, respectivament.

Després es deixa un espai en blanc i es posen els angles, en graus o radians; de vegades s’escriuen els angles entre parèntesis.

sin 40°

tg 120° sin (40°)

Les funcions arc són les funcions inverses de les funcions sinus, cosinus i tangent,respectivament.

Per expressar-les es posen al davant les lletres arc a les funcions sinus, cosinus i tangent.

cos3

4π

f (x) = loga x Expressa una funció a fi 1 logarítmica.a > 0


f (x) = a x Indica una funció exponencial.a fi 1 a > 0

Les funcions exponencials són del tipus 2x, 7x, (4)x…La lletra a indica la base de la potència, que és un nombre conegut i positiu, i la lletra x, l’exponent, que és la variable de la funció.

y = ax

a > 1

Y

X

y = loga xa > 1

y = loga xa < 1

Y

X

y = ax

a < 1

RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S

917232 _ 0120-0149.qxd 23/12/08 12:41 Página 145


Una llanxa fa el recorregut entre dues ciutats per un riu. Quan va de la ciutat A a la ciutat Bnavega a favor del corrent a una velocitat de 20 milles/hora. Quan navega des de B fins a Aho fa a una velocitat de 10 milles/hora, ja que ha de vèncer la velocitat del corrent. Si en un dia fa un viatge d’anada i tornada, quina és la velocitat mitjana del recorregut?

Plantejament i resolucióInicialment, es podria raonar d’aquesta manera: «Com que la distància és la mateixa a l’anada i a la tornada, la velocitat mitjana ha de ser la mitjana de les velocitats, 15 milles/hora», però n’obtindríem una solució errònia.

Nomenem les variables i establim les relacions que hi ha entre elles.

d : distància entre A i B

t1: temps de l’anada

t2: temps de la tornada

Velocitat mitjana =+

=

+

=

+

2 2

20 10

2

1

20

1

11 2

d

t t

d

d d

00

40

313 3= = , milles/hora

td

210

=td

120

=

Estratègia L’èxit o el fracàs en la resolució d’un problema de vegades pot dependre de la tria del llenguatge adequat. El llenguatge geomètric, el llenguatge algèbric, la realització d’un diagrama o un dibuix..., poden resultar adequats algunes vegades i d’altres no.

En 3 dies, 4 gallines ponedores blanques i 5 gallines ponedores negres ponen la mateixa quantitat d’ous que, en 4 dies, 2 gallines blanques i 4 de negres. Quin tipus de gallina pon més ous?

Si llancem dos daus simultàniament, què és més fàcil d’obtenir, suma 6 o suma 9?

Com es poden col·locar 10 guàrdies en un fort rectangular, de manera que el nombre de sentinelles al llarg de cada mur sigui el mateix?

Substitueix les lletres per nombres en la suma següent, de manera que les lletres representin nombres diferents i que el resultat de la suma sigui el més gran possible.

AELD + DRYA + AIDN + MCII + AE + L

4

3

2

1

Ús d’una bona notació

PROBLEMA RESOLT

PROBLEMES PROPOSATS


Funcions elementals9917232p120a149Rec.qxd 16/12/08 12:55 Página 146



EXERCICIS

De manera semblant a com has fet a la Pràctica 1, resol la resta dels apartats de l’exercici 32 de la pàgina 230.


De manera semblant a com ho has fet a la Pràctica 1, troba els punts en què es tallen les funcions.

f (x) = −2x2 + 3x −1

g(x) = x3 − 3x 2 + x − 1

3

2

1



1. Defineix la funció, desplegant la pestanya Introducir i triant l’opció Defi-nición de una función.

També ho podem teclejar directament.

2. Prem el botó per obrir la Finestra 2D i torna a prémer el mateix botó.

A la Finestra 2D apareix la gràfica de la funció.

La barra d’eines de la Finestra gràfica 2D permet canviar l’escala i cen-trar el cursor on vulguem.

Per calcular els punts de tall amb els eixos hem de resoldre l’equacióf (x) = 0 i trobar la imatge en 0 de la funció f (x).

3. Prem Control + 1 per tornar a la Finestra d’Àlgebra.

4. A continuació, tecleja:

5. Prem la pestanya Resolver i tria Expresión, o prem el botó . A la panta-lla de Resolver Expresión tria sols la variable x i prem el botó Resolver.

6. A continuació tecleja:

7. Prem la pestanya Simplificar i tria Normal, o prem el botó .

La funció f (x) talla l’eix X en el punt i l’eix Y en el punt (0, 1).−⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

1

20,

Finestra 2D de la Pràctica 1

Finestra d’Àlgebra de la Pràctica 1


RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S

917232p120a149Rec.qxd 16/12/08 12:55 Página 147



EXERCICIS

De manera semblant a com has fet a la Pràctica 1, resol la resta dels apartats de l’exercici 49 de la pàgina 232.


21



1. Defineix la funció, desplegant la pestanya Introducir i triant l’opció Defi-nición de una función, o tecleja-la directament.

2. Prem el botó per obrir la Finestra 2D i torna a prémer el mateix botóper obtenir la gràfica de la funció.


4. Tecleja aquesta expressió.

5. Prem la pestanya Simplificar i tria Normal, o prem el botó .

S’obté que l’expressió algèbrica de f (x − 2) és .



1. Defineix la primera funció.

2. Prem el botó per obrir la Finestra 2D, prem la pestanya Opciones itria Pantalla; a la casella Factor d’escala horitzontal tecleja pi i premAceptar. Torna a prémer el botó , i a la Finestra 2D apareixerà la grà-fica de la funció.

3. Prem + 1 per tornar a la Finestra d’Àlgebra i defineix la segona fun-ció.


x − 2

Resultat a la Finestra 2D de la Pràctica 1


Resultat de la Finestra d’Àlgebrade la Pràctica 1


917232p120a149Rec.qxd 16/12/08 12:55 Página 148



EXERCICIS

De manera semblant a com ho has fet a la Pràctica 1, representa la gràfica de la funció de l’apartat c) de l’exercici 73 de la pàgina 234.

De manera semblant a com ho has fet a la Pràctica 1, representa la gràfica de la funció de l’exercici 77 de la pàgina 234.

De manera semblant a com ho has fet a la Pràctica 2, representa la gràfica de la funció següent.

f xx xx x

x x( ) =

− <≤ ≤

− >

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

3 00 2

5 2

2

sisisi

3

2

1





1. Definim la funció f (x) utilitzant l’expressió IF.

Pots desplegar la pestanya Introducir i triar l’opció Definición de unafunción, o teclejar-la directament.

2. Prem el botó per obrir la Finestra 2D i prem una altra vegada el ma-teix botó per obtenir la gràfica de la funció.

La barra d’eines de la Finestra gràfica 2D permet canviar l’escala i cen-trar el cursor on vulguis.

PRÀCTICA 2 (pàg. 234, exercici 73b)

1. Definim la funció f (x) utilitzant expressions IF imbricades.



La barra d’eines de la Finestra gràfica 2D permet canviar l’escala i centrarel cursor on vulguis.

IF (condició1, exp1, IF(condició2, exp2 − 1, exp2 − 2))

Qualsevol de les expressions d’un IF és, al seu torn, una ex-pressió IF.

IF (condició, expressió1, expressió2)

Si la condició és veritable, avalua l’expressió 1; en cas contrari, avalua l’expressió 2.


RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S

917232p120a149Rec.qxd 16/12/08 12:55 Página 149


El vuitKatherine Neville

La protagonista i narradora d’aquesta novel·la es diuCatherine i és una noia de 24 anys experta en informàtica. La seva empresa a Nova York li ha encarregat una feina a Alger. Aprofitant aquest viatge, unes persones, a través d’una amiga, li demanen que cerqui en aquella ciutat les peces d’un misteriós joc d’escacs que va pertànyer a Carlemany. Solarim, un campió soviètic d’escacs que participa aquells dies en un torneig a Nova York, l’avisa sobre el perill que corre la seva vida si decideix buscar aquestes peces. Catherine té por en veure que al seu voltant s’han produït dues morts i estranyesdesaparicions relacionades amb el món dels escacs. Intenta demanar ajuda i consell al seu amic Nim, que és informàtic com ella, de vida reservada i excèntrica, i que a més és un expert en escacs. Finalment, aconsegueix de parlar-hi.

A dos quarts de set encara era al despatx. Encara que gairebé tothom se n’havia anat, la meva secretàriacontinuava escrivint a màquina. Li havia donat molta feina per no quedar-me tota sola, però no sabia comtornar al meu apartament. Quedava a tan sols una illa de pisos i cridar un taxi semblava fora de lloc.

Va aparèixer el porter per fer la neteja. Quan estava buidant un cendrer a la meva paperera, va sonar el telèfon. Gairebé em va caure a terra de la precipitació amb què vaig agafar l’auricular.

–Fas feina fins tard, no et sembla? –comentà Nim. [...]

–Com has sabut que em trobaries aquí, a aquestes hores? –vaig preguntar.

–On podies ser, si no, tenint en compte la teva dedicació sense límits? –replicà–. A hores d’ara ja deus haver consumit les reserves mundials de petroli de mitjanit... Com estàs, amiga meva? He sabut que intentaves localitzar-me.

Vaig esperar que el porter se n’anés per respondre.

–Em temo que tinc un problema seriós –vaig explicar.

–És clar, tu sempre en tens, de problemes –respongué Nim impertorbable–. Forma part del teuencant. Una ment com la meva acaba cansant-se de trobar-se sempre amb allò que esperava.

Vaig mirar l’esquena de la secretària a l’altra banda del vidre del meu despatx.

–Tinc un problema terrible –vaig xiuxiuejar a l’aparell–. En els dos darrers dies han mort duespersones davant dels meus nassos! M’han advertit que tenia relació amb la meva presència a les partides d’escacs...

–Què! –exclamà Nim–. Què passa? Que parles amb un pedaç a la boca? Gairebé no et sento. Que t’han advertit que què? Parla més fort.

–Una pitonissa em va predir que estaria en perill –vaig explicar–. I ara hi estic. Aquests assassinats...

–Cat, estimada –interrompé Nim, rient–. M’estàs parlant d’una pitonissa?


10 Límit d’una funció. Continuïtat

917232p150a204Rec.qxd 16/12/08 12:58 Página 150


RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S–No ha estat l’única –vaig insistir, clavant-me les ungles al palmell de la mà–. Has sentit parlar d’Alexander Solarin?

Nim quedà en silenci un moment.

–El jugador d’escacs? –preguntà a la fi.

–Va ser ell qui em va dir... –vaig començar a explicar en veu baixa, tot just adonant-me que tot plegat resultava massa fantasiós perquè em cregués.

–De què coneixes Alexander Solarin? –s’inquietà Nim.

–Ahir vaig anar a un torneig d’escacs. Se’m va apropar i em va dir que estava en perill, i va insistir sobre el tema.

–Potser et va confondre amb algú altre –suggerí Nim, però amb una veu que sonava distant, com si estigués pensant en una altra cosa.

–Potser sí –vaig admetre–. Però aquest matí, a les Nacions Unides, m’ho ha deixat molt clar...

–Espera –interrompé Nim–. Em sembla que ja sé quin és el problema. Hi ha les pitonisses i els jugadors d’escacs que et persegueixen i et fan misterioses advertències a cau d’orella. També hi ha els cadàvers que cauen del cel. Què has menjat avui?

–Mm. Un entrepà i una mica de llet.

–Paranoia induïda per un cas clar de malnutrició –conclogué Nim, alegre–. Vés recollint les coses.Seré a baix d’aquí a cinc minuts, amb el cotxe. Anem a sopar bé i veuràs com desapareixen totesaquestes fantasies.

–No són fantasies –vaig aclarir, tot i que el fet que Nim em vingués a rescatar em tranquil·litzava.Almenys arribaria a casa sana i estàlvia.

–Deixa que sigui jo qui ho jutgi –replicà–. Des d’on em trobo en aquests moments et veig massaprima, tot i que el vestit vermell que portes fa patxoca.

Vaig fer un cop d’ull al voltant del despatx i llavors vaig mirar el carrer fosc de davant les NacionsUnides. S’acabaven d’encendre els fanals, però la vorera seguia en la seva major part a les fosques. Vaig veure una figura grisa dreta davant el telèfon públic que hi havia al costat de la parada d’autobús. Va alçar el braç.


917232p150a204Rec.qxd 16/12/08 12:58 Página 151


–Per cert, amiga meva –digué la veu de Nim a través de l’aparell–, si de debò et preocupa el perill, et suggereixo que deixis de bellugar-te de nit davant de finestres il·luminades. És un suggeriment, només faltaria.

Nim va penjar.

Catherine i Nim van sopar plegats i van passar la nit a casa de Nim. L’endemà al matí, Nim la va convèncer perquè acceptés l’encàrrec de cercar les peces d’aquell màgic joc d’escacs, de l’existència del qual ell també n’era coneixedor. Abans de marxar, li va regalar uns quants llibres sobre escacs i matemàtiques a fi que els llegís durant el viatge. Entre ells n’hi havia un que es titulava Els nombres de Fibonacci, escrit per Nim mateix. A la duana de l’aeroport d’Alger va patir una exhaustiva inspecció i un feixuc interrogatori per part del cap de seguretat, un home jove que es deia Sharrif.

Sharrif començà a treure tots els llibres [de la meva bossa] i a apilar-los sobre l’escriptori, mentre llegia els títols amb atenció.

–Escacs... jocs matemàtics... Ah! Els nombres Fibonacci! –exclamà, amb aquell somrís que em feiapensar que em tenia mania. Acariciava el llibre que Nim havia escrit–. Així que li interessen les matemàtiques? –preguntà, mirant-me amb interès.

–No gaire –vaig respondre, posant-me dreta i intentant tornar a ficar les meves coses a la bossa a mesura que Sharrif me les anava lliurant una a una. Era difícil de creure que una noia tan poca cosapassegés tantes foteses per mig món. Però així era.

–Què sap exactament dels nombres Fibonacci? –preguntà mentre jo continuava omplint la meva bossa.

–S’utilitzen a les projeccions de mercat –vaig murmurar–. Els teòrics de l’Eliott Wave projectenmercats amb ells... és una teoria que va ser desenvolupada els anys trenta per un tal R. N. Eliott...

–Llavors no coneix l’autor? –interrompé Sharrif.

Vaig sentir que em posava verda en mirar-lo, amb el llibre a la mà.

–Vull dir Leonardo Fibonacci –afegí Sharrif, mirant-me seriós–. Un italià nascut a Pisa el segle dotze però educat aquí, a Alger. Era un estudiós brillant de la matemàtica d’aquell àrab famós, Al-Kwarizmi, que va donar nom a l’algoritme. Fibonacci introduí la numeració aràbiga a Europa, que va reemplaçar els antics números romans...


917232p150a204Rec.qxd 16/12/08 12:58 Página 152


RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S

Merda. Hauria d’haver caigut que Nim no m’hauria donat un llibre només per passar l’estona, encara que l’hagués escrit ell mateix. En aquell moment m’hauria agradat saber de què anava abansque Sharrif hagués començat les seves inquisicions.

Quan va estar instal·lada a l’hotel, Catherine va decidir llegir aquell llibre.

Vaig estar desvetllada, llegint fins gairebé a punta de dia, i la meva decisió havia valgut la pena, tot i que no sabia del cert per què. Segons que semblava, els nombres Fibonacci s’usaven per a méscoses, a més de les projeccions de mercats de valors. Heus aquí el seu funcionament:

Leonardo Fibonacci decidí prendre els números que començaven per u: sumant a cada número el número precedent aconseguia una cadena de xifres amb unes propietats molt interessants. Així tenim: u més zero, que dóna u; u més u, que són dos; dos més u, que dóna tres; tres i dos, que dóna cinc; cinc i tres, que són vuit, etcètera. [...]

Descobrí que la fórmula que descrivia la relació entre cadascun d’aquests números –que era la meitat

de l’arrel quadrada de cinc menys u – descrivia també l’estructura de tot allò que en la naturaté forma d’espiral.

Segons el llibre de Nim, els botànics no trigaren a descobrir que totes les plantes amb pètals o tiges en forma d’espiral es conformaven segons els nombres Fibonacci. Els biòlegs sabien que el corndel nautilus i les altres formes en espiral de la vida marítima seguien el mateix patró. Els astrònomsafirmaven que la relació dels planetes del sistema solar –i fins i tot la forma de la Via Làctia– quedavadescrita pels nombres Fibonacci. Però, abans fins i tot de trobar l’explicació en el llibre, em vaig adonard’alguna cosa més. No perquè sabés gaire de matemàtiques, sinó perquè m’havia llicenciat en música. I era que aquesta petita fórmula no havia estat inventada per Leonardo Fibonacci sinó que havia estatdescoberta dos mil anys abans... per un tipus anomenat Pitàgores. Els grecs l’anomenaven la seccióàuria, l’aurio sectio.

En poques paraules, la secció àuria descriu qualsevol punt en una línia on la raó de la part petita en relació amb la part gran és la mateixa que la raó de la part gran a tota la línia. Aquesta raó va serutilitzada en l’arquitectura, la pintura i la música de totes les civilitzacions antigues. Plató i Aristòtil la consideraven la relació «perfecta» per determinar si res era bell estèticament. Però, per a Pitàgores,volia dir molt més que això.

Pitàgores era un individu que teniatal devoció mística que feia que fins i tot Fibonacci semblés un patzer. Els grecs l’anomenaven Pitàgores deSamos perquè havia arribat a Crotonaprovinent de l’illa de Samos, d’on fugíper problemes polítics. Però, segons els seus contemporanis, nasqué a Tir,una ciutat de l’antiga Fenícia –el paísque avui anomenem Líban– i viatjà molt:visqué a Egipte vint-i-un anys i dotze a Mesopotàmia; quan arribà a Crotonahavia entrat a la cinquantena. Allí fundàuna societat mística, més o menysdisfressada d’escola, on els estudiantsaprenien els secrets que havia adquiritdurant els seus viatges. Els secrets se centraven al voltant de dos temes: les matemàtiques i la música.

1 5

2

+


917232p150a204Rec.qxd 16/12/08 12:58 Página 153


Fou Pitàgores qui descobrí que la base de la música occidental era l’octava, perquè una corda tensa dividida per la meitat produïa el mateix so exactament vuit tons més aguts que una el doble de llarga. La freqüència de vibració d’una corda era inversament proporcional a la seva llargària. Un dels seus secrets era que si es repetia una quinta musical (cinc notes diatòniques o la secció àuriad’una octava) dotze vegades de manera ascendent tornava a la nota original vuit octaves més aguda.Però en canvi, quan hi arribava li faltava un vuitè de nota... de manera que l’escala ascendent també formava una espiral.

Però el secret més gran de tots era la teoria pitagòrica que veia l’univers com si estigués construït per nombres, tos ells amb propietats divines. Aquestes relacions màgiques de nombres apareixien arreu de la natura, fins i tot –segons Pitàgores– en els sons que feien els planetes quan vibraven en moure’s pel buit. «Hi ha música en l’espai que separa les esferes.»

I quina relació tenia això amb els escacs de Montglane? Sabia que un joc d’escacs constava de vuit peons i de vuit peces per banda, i que el taulell tenia seixanta-quatre caselles, vuit al quadrat.Era clar que hi havia una fórmula. Solarin l’havia anomenada la fórmula del vuit. I quin millor lloc per amagar-la que un joc d’escacs, compost a base de vuits? Igual que la secció àuria, els nombresFibonacci o l’espiral que ascendia eternament, els escacs de Montglane eren més grans que la suma dels seus components.

A l’interior del taxi en marxa, vaig treure un full de paper de la maleta i vaig dibuixar la figura d’un vuit. Després vaig girar-lo de costat. Era el símbol de l’infinit. Mentre contemplava la figura, vaig sentir una veu que em colpejava els polsos tot dient: «Just com un altre joc... batalla que continuarà sempre».

KATHERINE NEVILLE, El vuit, Barcelona: Proa, 1999

Quin secret s’amaga en el joc d’escacs de Carlemany? Catherine en va aconseguir les peces?Hauràs de llegir la novel·la si vols conèixer la resposta d’aquestes preguntes.


917232p150a204Rec.qxd 16/12/08 12:58 Página 154


RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S


ACTIVITAT 1

Els nombres de Fibonacci apareixen tot sovint a la naturalesa. Per exemple, el nombre d’espirals dels gira-sols o de les pinyes és sempre un d’aquests nombres. Comprova-ho.

ACTIVITAT 2

Com es diu en aquesta novel·la, en dividir cada terme de la successió de Fibonacci entre l’anterior,

s’obté una nova successió de nombres que s’aproximen cada vegada més al nombre d’or: . Tot i que no la va descobrir Fibonacci, aquesta propietat és veritable. Comprova-ho tu mateix.

ACTIVITAT 3

Potser et deus preguntar com va descobrir Fibonacci aquestasuccessió tan curiosa. En un llibre de Matemàtiques que vaescriure, el Liber Abaci, on explica el nostre actual sistema denumeració –que ell havia après en els seus viatges pels païsosàrabs– es planteja aquest problema: Quantes parelles de conillshi haurà al cap d’un any, començant amb una única parella, si cada mes qualsevol parella engendra una altra parella que es reprodueix, al seu torn, des del segon mes de vida?

Partim d’1 parella. En el primer mes, hi ha 1 parella. En el segon mes, aquesta parella n’engendra una altra i llavorshi ha 2 parelles. En el tercer mes, d’aquestes 2 parelles, sols la parella inicial d’adults engendra una altra parella, jaque la nova no és reproductiva, per tant en total hi ha 2 + 1 = 3 parelles. En el quart mes, de les tres parellesanteriors, sols dues són adultes i engendren dues parellesmés... Si continuem amb aquest raonament, a més de resoldreel problema, descobriràs els nombres de Fibonacci.

ACTIVITAT 4

Investiga si el que es diu a la novel·la sobre Pitàgores i la seva relació amb el descobriment de les lleis aritmètiques de la música i el nombre d’or és veritable.

1 5

2

+


917232p150a204Rec.qxd 16/12/08 12:58 Página 155



� − � Són indeterminacions.0 ⋅ �

1�, �0 i 00

0

0i �

�


Quan no cal especificar si el nombre és infinitament gran o infinitament petit, podem escriure el símbol infinit sense signe (�) o amb doble signe (±�).


Per expressar una indeterminació ho fem pel tipus al qual pertany; per exemple, per indicar que un resultat és una d’aquestesindeterminacions:

(+�) − (+�) (−�) − (−�)(−�) + (+�) (+�) + (−�)

diem que és del tipus � − �.


+� És un nombre infinitament gran.

−� És un nombre infinitament petit.

±� Són nombres infinitament grans � o infinitament petits.

Límit d’una successió.

limn

na→�

�= −

limn

na→�

�= +

limn

na a→�

= En el límit d’una successió cal posar n → � perquè, en aquest cas, l’infinit sols pot ser positiu. No hi ha posicions negatives: a−1, a−100…

Si el límit d’una successió és igual a un nombre, ho expressem amb una lletra minúscula: a, b, c…


limx

f x→−

= −�

�( )

limx

f x→−

= +�

�( )

limx

f x L→−

=�

( )

limx

f x→+

= −�

�( )

limn

f x→+

= +�

�( )

limn

f x L→+

=�

( ) Expressen el límit d’unafunció a l’infinit.

Expressen el límit d’unafunció en menys infinit.

limx

f x→ +

= −�

�( )

limx

f x→ −

= +�

�( )

limx

f x→ −

= −�

�( )

limx

f x L→ +

=�

( )

Y Y

YY

Y YLL

X X

XX

XX

limx

f x→ +

= +�

�( )

limx

f x L→ −

=�

( )


917232 _ 0150-0204.qxd 29/12/08 09:57 Página 156


RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S


Límit d’una sumade funcions.

Una funció més el límit d’una altra funció.

Límit d’un productede funcions.

Una funció pel límitd’una altra funció.

Límit de la sumad’una funció i el seu nombre.

Una funció més el límitd’una altra funció.

Límit d’un productede funcions.

Una funció pel límit d’una altra funció.a f x

x⋅ lim

→�( )

limx

f x a→�

( ) ⋅

limx

f x a→�

( )( ) ⋅

a f xx

+ lim→�

( )

limx

f x a→�

( ) +

limx

f x a→�

( )( ) +

g x f xx

( ) ( )⋅ lim→�

limx

f x g x→�

( ) ( )⋅

limx

f x g x→�

( )( ) ( )⋅

g x f xx

( ) ( )+ lim→�

limx

f x g x→�

( ) ( )+

limx

f x g x→�

( )( ) ( )+


Si volem calcular el límit d’una operació entre funcions, o entre un nombre i una funció, cal incloure l’expressió entre parèntesis.

Si l’expressió no apareix entre parèntesis, s’entén que el límit sols afecta la primera funció.

És el límit d’una funcióen un punt.

És el límit d’una funcióen un punt per l’esquerra.

És el límit d’una funciófunció en un punt per la dreta.

limx c

f x L→ +

=( )

limx c

f x→ +

= −( ) �

limx c

f x→ +

= +( ) �

limx c

f x L→ −

=( )

limx c

f x→ −

= −( ) �

limx c

f x→ −

= +( ) �

limx c

f x L→

( ) =

limx c

f x→

( ) = −�

limx c

f x→

( ) = +�

1100 LLíímmiitt dd’’uunnaa ffuunncciióó.. CCoonnttiinnuuïïttaatt

limx c

f x→ −

= +( ) �

limx c

f x→ −

= −( ) �

limx c

f x→ +

= +( ) �

limx c

f x→ −

= +( ) �

limx c

f x L→ +

=( )

limx c

f x L→ −

=( )

limx c

f x→ +

= −( ) �

limx c

f x→ +

= −( ) �

Y

Y

Y

X

X

X

L

L

c

c

c

limx c

f x→ +

= +( ) �

limx c

f x→ −

= −( ) �

917232 _ 0150-0204.qxd 29/12/08 09:57 Página 157


A una reunió assisteixen n persones. Al principi, cada persona saluda per mitjà d’una encaixada les altres persones.

a) Quantes encaixades s’han produït?b) Si en una reunió es produeixen 1.225 encaixades, quantes persones hi han assistit?

Plantejament i resolucióa) Comencem pel cas més senzill. En una festa a la qual assisteixen 2 persones, hi hauria

una única encaixada. En una festa amb 3 persones, hi hauria 3 encaixades; en una festa amb 4 persones, 6 encaixades...

Organitzem la informació en aquesta taula.

Si observem les dades i els diagrames ens podem fixar en què cada persona (n) saluda les altrespersones menys a si mateixa (n − 1), per tant, en total hi ha n(n − 1) encaixades. Però, en aquestrecompte, cada encaixada està comptada dues vegades, i cal dividir entre 2.

b) Van assistir a la reunió: personesn n

n( )

.−

= =1

21 225 50→

Estratègia Quan abordem la resolució d’un problema pot passar que el plantejament inicial ens impedeixi d’arribar a una solució. De vegades, començar per una situació similar però més senzilla, i fer una correcta organització de la informació pot ser molt útil.

Quantes diagonals té un polígon convex de 4 costats? I un de 6 costats? I un altre de n costats?

Quants costats té un polígon amb 45 diagonals?

Quant sumen els angles interiors d’un triangle? I d’un quadrilàter? I d’un polígon convex de n costats?

Sabent que un angle exterior d’un polígon està format per un costat i la prolongació de l’altre, quant sumen els angles exteriors d’un triangle? I d’un quadrilàter? I d’un polígon convex de n costats?

4

3

2

1

Començar per un problema més fàcil

PROBLEMA RESOLT

PROBLEMES PROPOSATS


Nombre d’assistents 2 3 4 5 … n

Nombre d’encaixades 1 3 6 10 …n n( )− 1

2

Diagrama …


917232p150a204Rec.qxd 16/12/08 12:58 Página 158


RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S


EXERCICIS


Fes servir una taula semblant a la de la Pràctica 1 per trobar el límit de la Pràctica 2.

De manera semblant a com ho has fet a la Pràctica 2, resol la resta dels apartats de l’activitat 37 de la pàgina 260.

De manera semblant a com ho has fet a la Pràctica 2, resol els límits de les activitats 38i 39 de la pàgina 260.

4

3

2

1



1. Defineix la successió com una funció, desplegant la pestanya Intro-ducir i triant l’opció Definición de una función, o teclejant-la directa-ment.

La funció Vector genera els valors d’una expressió avaluats en unspunts.

2. Tecleja la funció Vector amb els arguments següents.

3. Prem la pestanya Simplificar i tria Aproximar, o prem el botó .

A la Finestra d’Àlgebra apareix un vector amb els valors calculats.


1. Introdueix l’expressió de la successió teclejant-la directament.

2. Prem la pestanya Cálculo i tria Límite, o prem el botó .

3. A la pantalla Resolver Cálculo – Límite, tria la variable n, i a la casellaPunto, tecleja inf i prem el botó Simplificar.

A la Finestra d’Àlgebra apaereix la solució del límit.




917232p150a204Rec.qxd 16/12/08 12:58 Página 159



EXERCICIS



La casella Ambas, de la pantalla Cálculo – Límite,es fa servir per calcular el límit d’una funció.Utilitza aquesta opció per resoldre els límits de l’exercici 58 de la pàgina 262.

De la mateixa manera que en l’exercici anterior,resol l’exercici 59 de la pàgina 262.

4

3

2

1



1. Introdueix l’expressió.

2. Prem la pestanya Cálculo i tria Límite, o prem el botó .

3. A la pantalla Resolver Cálculo – Límite, tria la variable x, i a la casellaPunto tecleja 2, i tria Izquierda a la casella Tendiendo por.

Una vegada triades totes les opcions, prem Simplificar i obtens el límitper l’esquerra.

4. Situa’t amb el ratolí a la Finestra d’Àlgebra sobre la funció definida, iprem el botó esquerre del ratolí per activar-la.

5. Repeteix el pas 3, però aquesta vegada tria Derecha a la casella Ten-diendo por.

6. Una vegada triades les opcions, prem Simplificar i obtens el límit per ladreta.

Com que els dos límits laterals coincideixen, la funció té límit, que enaquest cas és zero.Resultat de la Pràctica 1


917232p150a204Rec.qxd 16/12/08 12:58 Página 160


RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S


EXERCICIS



21

Resultat de la Finestra 2D de la Pràctica 1



PRÀCTICA (pàg. 264, exercici 81a)

1. Definim la funció f (x) utilitzant l’expressió IF.


2. Prem la pestanya Cálculo i tria Límite, o prem el botó . A la pantallaResolver Cálculo – Límite, tria la variable x, i a la casella Punto tecleja 3,i tria Ambas a la casella Tendiendo por.

Una vegada triades totes les opcions, prem Simplificar i obtens el límitde la funció en el punt 3.

3. Troba la imatge de la funció del punt 3 teclejant:

4. Prem la pestanya Simplificar i tria Aproximar, o prem el botó .

Com que el límit coincideix amb la imatge de la funció en 3, la funció éscontínua en 3.

També pots comprovar que la funció és contínua representant-la.

Per fer-ho prem el botó per obrir la Finestra 2D i prem una altra ve-gada el mateix botó per obtenir la gràfica de la funció.




917232p150a204Rec.qxd 16/12/08 12:58 Página 161


La ciutat Rosa i VermellaCarlo Frabetti

Aquest llibre és un recull de contes, entre els quals hem triat els tres relats que tenen un contingut matemàticevident.

LA CABELLERA DE LA PRINCESA

[Aquella princesa de llargs i daurats cabells estava amoïnada en veure que cada dia molts se li quedaven enredats a la pinta. Però, per a la sevatranquil·litat], el compte es mantenia sempre al voltant dels cent cinquanta mil cabells, malgrat que n’hi queien uns cinquanta diaris, per la qual cosa no semblavaprobable que hagués de perdre el seu atribut daurat.

Arribat el moment de prendre marit, la princesa va declarar que sols es casaria amb qui endevinés la longitud de la seva cabellera. Eren dades

de sobres conegudes el nombre dels seus cabells i els que perdia cada dia, com també el fet que mai no se’ls tallava, ja que l’augusta cabellera era un dels temes de conversa més freqüents a palau. De manera que l’astrònom reial, que l’estimava en silenci, es va presentar davant de la princesa (que per confondre els seus pretendents es recollia els cabells en un gran monyo) i li va dir:

–Si teniu cent cinquanta mil cabells i us en cauen uns cinquanta cada dia, d’aquí a tres mil dies hauran caigut tots els que adornen el vostre cap (tot i que, naturalment, llavors en tindreu centcinquanta mil més, que hauran anat sortint al mateix ritme que us cauen, ja que el compte diaridemostra que el nombre dels vostres cabells roman constant). Lògicament, els últims a caure seran elsque us han sortit avui mateix, cosa que equival a dir que la vida mitjana d’un cabell és de tres mil dies.Com que el cabell humà (fins i tot el principesc) creix a raó d’un centímetre al mes, i tres mildies són cent mesos, la vostracabellera ha de mesurar en el seupunt de màxima longitud (ja quede fet teniu cabells de totes lesmides) aproximadament un metre.

La princesa es va casar ambl’astrònom, que, acostumat acomptar els estels, va passar a ocupar-se personalment del còmput dels cabells, amb la qual cosa unia al rigor delcientífic la sol·licitud de l’espòs.


11 Derivada d’una funció

917232p150a204Rec.qxd 16/12/08 12:58 Página 162


LA PUÇA DESMESURADA

Va pensar la puça: «Si sent tan petita puc fer salts de més d’una vara, si fos tan gran com un home, saltaria per damunt de les muntanyes».

Així doncs, va demanar a Zeus que la fes de la mida d’un ésser humà, i Zeus, per crueltat o estupidesa (ningú no sap si els déus són cruels o simplement estúpids), li va concedir el seu desig.

I la puça gegant es va enfonsar sota el seu propi pes com una closca aixafada per una roca invisible.

(La puça no havia tingut en compte –i potser tampoc Zeus– que el pes és proporcional al volum,mentre que la resistència és proporcional a la secció, és a dir, a la superfície. Això és evident en el cas d’una corda: la seva resistència és proporcional al seu gruix i independent de la seva longitud; o en el d’una columna: si n’augmentem l’altura n’augmenta el pes, però no la capacitat de sustentació, que sols depèn de la superfície de la seva secció transversal.Suposant que la longitud de les potes i altres mesures lineals de la puça es multipliquessin per mil, el seu volum, i per tant el seu pes, seria mil milions –mil al cub– de vegades més gran, però el gruix de les potes i de la closca, és a dir, la seva resistència, sols augmentaria un milió –mil al quadrat– de vegades. Proporcionalment, la puça gegant suportaria un pes –el seu pes– mil vegades més gran que quan tenia la mida normal i –com els grans imperis– moriria aixafada per la seva pròpia desmesura.)

LA CIUTAT IRREFRENABLE

Hi havia una vegada un petit planeta en què sols hi havia un arbre. I aquell únic arbre estava dinsd’una torre.

I tanmateix, aquell planeta havia estat totalment cobert de boscos. Els seus habitants solien protegir-se a l’interior de grans troncs buits i s’alimentaven dels fruits silvestres i de la caça. Fins que van descobrir l’agricultura i la ramaderia. I llavors van construir una ciutat.

De tant en tant, les feres del bosc atacaven els ramats i feien malbé els conreus, per la qual cosa els habitants de la ciutat la van envoltar amb una muralla de pedra.


RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S

917232p150a204Rec.qxd 16/12/08 12:58 Página 163


La muralla va resultar molteficaç per protegir les cases,els estables i els horts, però impedia el creixement de la ciutat, que cada cop teniamés habitants. De manera que,al cap d’un temps, es va haverde construir una segonamuralla, més àmplia, al voltantde la primera. I després vacaldre fer una tercera murallaencara més àmplia, per alsfonaments de la qual es vanaprofitar les pedres de laprimera, ja innecessària i fins i tot molesta a l’interior de la ciutat.

Aquestes ampliacionsperiòdiques es van succeir demanera ritual: amb les pedresde la segona muralla es vanposar els fonaments de laquarta; amb les pedres de latercera, els de la cinquena...

Com ones concèntriques en un estany petrificat, les muralles successives es van expandir cap a l’exterior, cada cop més àmplies, amb la qual cosa obligaven el bosc a recular de manera lenta però inexorable.

Van passar els segles, i en aixecar la muralla mil·lèsima segona, els perplexos habitants de la ciutatvan fer un descobriment increïble: per construir-la sencera en van tenir prou amb les pedres de la mil·lèsima muralla, teòricament molt més petita.

Un vell filòsof hi va donar l’explicaciósegüent: «El nostre món no és pla, sinóesfèric. La muralla mil·lèsima primerarecorre un cercle màxim de l’esfera del món,i per això la mil·lèsima segona és més petitaque ella, tot i envoltar-la per fora. Això vol dirque la nostra gran ciutat ja cobreix la meitatdel món, i que si continua creixent al mateixritme, en un temps equivalent al que hatranscorregut des de la seva fundació, al final el cobrirà del tot i el boscdesapareixerà».

Però els sacerdots, horroritzats, van rebutjar aquesta explicació i van dir queels déus, compadint-se de l’esforç colossalque suposava aixecar, una vegada rerel’altra, muralles cada cop més grans, elshavien concedit la miraculosa facultat deconstruir més amb menys pedres.


917232p150a204Rec.qxd 16/12/08 12:58 Página 164


Segle rere segle, les muralles van anar minvant a mesura que contenien una ciutat cada cop mésextensa. I va arribar el moment que va resultar evident que el vell filòsof que havia deduït l’esfericitat del món tenia raó, ja que el bosc va quedar reduït a una petita extensió circular que es podia abastaramb la mirada des del capdamunt dels murs. Les feres terribles i els altres animals que hi viviens’havien extingit, però no pas el terror sagrat que el bosc inspirava als habitants de la ciutat, que el van continuar acorralant fins a reduir-lo a un sol arbre envoltat d’una última muralla, que més aviat semblava una torre sense sostre o un gran pou que emergia de la terra.

CARLO FRABETTI, La ciudad Rosa y Roja, Madrid: Lengua de trapo, 1999



ACTIVITAT 1

En suposar que la «velocitat», o índex de creixement, del cabell de la princesa és constant, 1 cm/mes, la funció que relaciona la longitud, en cm, del cabell (l) i els mesos transcorreguts (t) és l = t. Si la velocitat de creixement fos de 2 cm/mes, la fórmula seria l = 2t. Però no sempre aquesta velocitat és constant. Imagina que, per efecte d’una loció capil·lar, la relació entre la longitud i el temps està expressada per la fórmula . Determina la velocitat o l’índex de creixement entre els mesos 2n i 7è, 2n i 6è, 2n i 4t. És constant? Es podria parlar de «velocitat instantània de creixement?» Com la definiries?

ACTIVITAT 2

Explica amb les teves paraules per què una puça que augmentés mil vegades totes les seves dimensions seria aixafada pel seu propi pes.

ACTIVITAT 3

Explica com va demostrar el filòsof que el seu planeta era esfèric, i fes un dibuix del planeta en la seva última etapa. Creus que l’autor, amb aquest conte, vol fer un advertiment?

l t= 3

RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S

917232p150a204Rec.qxd 16/12/08 12:58 Página 165



f'(x)f'Df(x)Dfdf

dx

Representen la derivada de la funció f (x).

f'(a)

Df (a)df

dxa( )

Indiquen la derivada de la funció f (x) en el punt a.



Per expressar la derivada d’una funció hicol·loquem una cometa a sobre (prima), precedint el nom de la funció per D

o mitjançant la fórmula: , on f és el nombre

de la funció i x és el nom de la funció i xés la variable que volem derivar. Aquesta última expressió se sol utilitzar quan la funció té diverses variables.

df

dx

La derivada d’una funció en un punt admet les mateixes expressions, substituint x pel punt en què volem derivar, a.

[a, a + h] És un interval de longitud h.

f (a + h) − f (a) Indica la variació de la funció f en l’interval [a, a + h].


f' Derivada de la funció f (x).

f" Derivada segona de la funció f (x).

f''' Derivada tercera de la funció f (x).

f IV) Derivada quarta de la funció f (x).

…

Les derivades segona i tercera s’expressen afegint una cometa a les derivades primera i segona, respectivament. A partir de la derivadaquarta, això s’indica utilitzant nombres romans i el tancament d’un parèntesi.

Y

X

f (a + h)

f (a)f (a + h) − f (a)

h

a a + h


917232 _ 0150-0204.qxd 29/12/08 09:57 Página 166



La derivada de les operacions amb funcionss’expressa introduint l’operació entre claudàtors o parèntesis i col·locant a fora la cometa.

De la mateixa manera, i seguint la formad’expressar la derivada d’una funció, es pot designar amb D i prescindint de la variable, x, si la funció té una sola variable.

[f (x) + g(x)]'

(f (x) + g(x))'

(f + g)'(x)

(f + g)'

D(f + g)(x)

D(f + g)

És la derivada d’una sumade funcions.

[kf (x)]'

(kf (x))'

(kf )'(x)

(kf )'

D(kf )(x)

D(kf )

És la derivada del producte d’un nombre per una funció.

[f (x) ⋅ g(x)]'

(f (x) ⋅ g(x))'

(f ⋅ g)'(x)

(f ⋅ g)'

D(f ⋅ g)(x)

D(f ⋅ g)

Expressen la derivada d’un producte de funcions.

Df

g

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

Df

gx

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟( )

f

g

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟'

f

gx

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟'( )

f x

g x

( )

( )

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟'

Expressen la derivada d’un quocient de funcions.

1111 DDeerriivvaaddaa dd’’uunnaa ffuunncciióó

RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S

917232 _ 0150-0204.qxd 29/12/08 09:57 Página 167


Per què podem afirmar que l’equació xex = 2 té una arrel en l’interval [0, 1]?

Descriu un procediment per aproximar una arrel d’aquesta equació amb un error inferior a 0,3.

Plantejament i resolucióA partir de l’equació donada, construïm la funció f (x) = xex − 2. Aquesta funció pren, en els extrems de l’interval donat, valors de signe contrari:

f (1) = 1e1 − 2 = e − 2 � 0,72 > 0

f(0) = 0e0 − 2 = −2 < 0

Com que f (x) és una funció contínua que passa del punt A al punt B sense salts, ha de tallar l’eix Xen algun punt de l’interval [0, 1]. Dividim aquest interval en dues parts iguals: [0; 0,5] i [0,5; 1] i veiem el signe de la funció en el punt 0,5 per quedar-nos amb l’interval en el qual hi hagi canvi de signe.

f (0,5) = 0,5e0,5 − 2 � −1,18 < 0

La funció és contínua, i ha de tallar l’eix X entre 0,5 i 1.

Tornem a dividir l’interval seleccionat en dues parts iguals: [0,5; 0,75] i [0,75; 1], i calculem:

f (0,75) = 0,75e0,75 − 2 � −0,41 < 0

L’arrel està en l’interval [0,75; 1].

Si reiterem el procés podem aproximar l’arrel amb tanta exactitud com vulguem.Si donem com a solució x = 0,75, l’error comès és inferior a 0,3.

Estratègia De vegades, en Matemàtiques, per obtenir la solució d’una equació no es disposa d’un mètode algèbric similar al que tenim per resoldre les equacions de primer i segon grau. Quan això passa, hem de fer servir mètodes iteratiusd’aproximacions successives, basats en algunes propietats de les funcions contínues que es poden entendre fàcilment.

Calcula, amb un error inferior a 0,2, una arrel de l’equació següent en l’interval [0, 1].

x3 − 5x + 2 = 0

Donada l’equació x 3 + x 2 −4x + 1 = 0:

a) Determina un interval en el qual aquestafunció tingui una arrel real.

b) Aproxima aquesta arrel amb un error inferior a 0,1.

21

Aproximacions successives

PROBLEMA RESOLT

PROBLEMES PROPOSATS


1

2

31 2

A

B

−1−2 −1

−2


917232p150a204Rec.qxd 16/12/08 12:58 Página 168



EXERCICIS



21



1. Definim la funció desplegant la pestanya Introducir i triant l’opció De-finición de una función, o teclejant-la directament.

2. Introdueix l’expressió que calcula la TVM.

3. Prem la pestanya Cálculo i tria Límite, o prem el botó . A la pantallaResolver Cálculo – Límite, tria la variable n, i a la casella Punto teclejainf i prem el botó Simplificar.

A la Finestra d’Àlgebra apareix el resultat del límit, que és la derivada dela funció f (x) en el punt x = 2.


1. Introdueix l’expressió que vols derivar.

2. Prem la pestanya Cálculo i tria Derivadas, o prem directament elbotó .

3. A la pantalla Cálculo – Derivadas tria com a variable x i indica 1 a la ca-sella Orden i prem el botó Simplificar.

A la Finestra d’Àlgebra apareix l’expressió derivada.




RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S

917232p150a204Rec.qxd 16/12/08 12:58 Página 169



EXERCICIS



Troba l’expressió i dibuixa la recta tangent a la funció:

f (x) = 3x3 − 2x − 1

en els punts següents.

a) x = −1 b) x = 1

3

2

1



1. Definim la funció desplegant la pestanya Introducir i triant l’opció Defini-ción de una función, o teclejant-la directament.



4. Defineix la funció g(x) com la derivada de f (x).

5. Prem la pestanya Simplificar i l’opció Normal, o prem el botó .

6. Introdueix l’expressió de la recta tangent en el punt d’abscissa π.

7. Torna a prémer la pestanya Simplificar i l’opció Normal, o prem el botó.

8. Prem el botó per obrir la Finestra 2D i prem de nou el mateix botóper obtenir la gràfica de la funció.

A la Finestra 2D es té la gràfica de la funció f (x) i la recta tangent a lagràfica de la funció en el punt x = π.




917232p150a204Rec.qxd 16/12/08 12:58 Página 170



EXERCICIS

De manera semblant a com ho has fet a la Pràctica 1, resol l’apartat b) de l’exercici 85de la pàgina 291.


21





1. Defineix la funció f (x ) utilitzant l’expressió IF.


2. Prem la pestanya Cálculo i tria Límite, o prem el botó . A la pantallaResolver Cálculo – Límite, tria la variable x, i a la casella Punto tecleja 3,i tria Ambas a la casella Tendiendo por.

Una vegada triades totes les opcions, prem Simplificar i obtens el límitde la funció en el punt 2.

3. Troba la imatge de la funció del punt 2 teclejant:

i prem la pestanya Simplificar i tria Aproximar, o prem el botó .

Com que el límit coincideix amb la imatge de la funció en 23, la funcióés contínua en 2.

També pots comprovar que la funció és contínua representant-la.

Per fer-ho prem el botó per obrir la Finestra 2D i prem una altra

vegada el mateix botó per obtenir la gràfica de la funció.




RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S

917232p150a204Rec.qxd 16/12/08 12:58 Página 171


La cavernaJosé Saramago

El personatge central de la novel·la és un terrissaire vidu que es diu Cipriano Algor, que ven els seus productes a un centre comercial amb monopoli exclusiu sobre els seus proveïdors, els quals es comprometen a no vendre a un altre establiment. També és un centre residencial que disposa de tots els serveis: hospital, escola, cementiri, platja... Allí treballa, com a vigilant de segona classe, el marit de l’única filla de Cipriano Algor, que viu i treballa amb el pare en un poble que és a la vora. Alcomençament de la novel·la, el Centre –com l’anomenal’autor– anuncia a Cipriano que les seves vaixelles deceràmica ja no tenen sortida comercial. I el gendreaprofita aquesta circumstància per planejar que visquintots tres junts al Centre quan a ell el promoguin a guardaresident. L’edifici té tres façanes completament llises,com si fossin panys de muralles que prometen seguretat,sense cap obertura a l’exterior, llevat de les portes.

Al contrari d’aquestes façanes llises, la que miracap a aquesta banda està clivellada de finestres,centenars i centenars de finestres, milers de finestres,tancades sempre a causa de l’aire condicionat del’interior. És cosa sabuda que quan ignorem l’alturaexacta d’un edifici, però volem donar una ideaaproximada de les dimensions que té, diem queposseeix un nombre determinat de plantes, quepoden ser dues, o cinc, o quinze, o trenta, i podenoscil·lar, per sota o per sobre d’aquests números,entre u i infinit. L’edifici del Centre no és ni tan petit ni tan gran, s’acontenta a exhibir quaranta-vuit plantesper sobre del nivell del carrer i a amagar-ne deu persota. I aprofitant l’avinentesa, ara que, com que en Cipriano Algor ha estacionat la furgoneta en aquestlloc, hem començat a considerar algunes de les xifres que defineixen el volum del Centre, diguem quel’amplada de les façanes menors és de prop de cent cinquanta metres, i la de les més grans de poc més de tres-cents cinquanta. [...]

Si avancem una mica més en els càlculs i prenem com a valor mitjà una altura de tres metres per planta, inclòs el gruix de paviment que les separa, tindrem, incloent-hi també les deu plantessubterrànies, una altura total de cent setanta-quatre metres. Si multipliquem aquesta xifra pels cent cinquanta metres d’amplada i pels tres-cents cinquanta de llargada, obtindrem com a resultat,salvat error, omissió o confusió, un volum de nou milions cent trenta-cinc mil metres cúbics, pam més pam menys, punt amunt punt avall. El Centre, no hi ha ningú que no ho reconegui esbalaït,

12 Estadística bidimensionalLITERATURA I MATEMÀTIQUES

917232p150a204Rec.qxd 16/12/08 12:58 Página 172


és realment gran. I és aquí, va dir en Cipriano Algor entre dents, on el meu benvolgut gendre vol que vingui a viure, darrere d’una d’aquestes finestres que no es poden obrir, ells diuen que és per no alterar l’estabilitat tèrmica de l’aire condicionat, però la veritat és una altra, la gent pot suïcidar-se, si vol, però no tirant-se al carrer des de cent metres d’altura, és un rampell desesperat que crida massa l’atenció i desperta la curiositat mòrbida dels transeünts, que de seguida volen saber per què.

El terrissaire Cipriano Algor i la seva filla Marta no s’enfonsen davant la decisió del Centre de no comercialitzar les seves vaixelles de ceràmica. Ben al contrari, hi reaccionen presentant-losuna nova proposta: fabricar figuretes policromades de fang amb forma de pallassos, infermeres,reis assiris, mandarins, bufons i esquimals. El Centre els dóna una altra oportunitat, però quan els ninots s’exposen a les prestatgeries, el cap del departament de compres autoritza la realitzaciód’una enquesta per analitzar-ne l’impacte comercial. Al cap d’uns dies, truca per telèfon al terrissaire Cipriano Algor.

Bona tarda, Senyor Cipriano Algor, Bona tarda, Suposo que s’imagina per quin motiu el truco avui,Suposa bé, l’escolto, Tinc aquí al meu davant els resultats i les conclusions de l’enquesta sobre els seus articles, que un dels sotscaps del departament, amb la meva aprovació, va decidir fer, I quins han estats aquests resultats, va demanar en Cipriano Algor, Em sap greu haver d’informar-lo que no hanestat tan bons com hauríem volgut, Si és així, a ningú li pot saber més greu que a mi, temo que la seva

12 Estadística bidimensional

RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S

917232p150a204Rec.qxd 16/12/08 12:58 Página 173


participació en la vida del nostre Centre ha arribat al final, Cada dia comença algunacosa, però, tard o d’hora, totes s’acaben, No vol que li llegeixi els resultats,M’interessen més les conclusions, i aquestesles acabo de saber ara, el Centre nocontinuarà comprant les nostres estatuetes.La Marta, que havia estat escoltant ambansietat cada vegada més gran les paraulesdel seu pare, va acostar-se les mans a laboca com per reprimir una exclamació. En Cipriano Algor va fer-li gestos demanant-licalma, al mateix temps que anava responenta una pregunta del cap del departament decompres, Comprenc el seu desig que no emquedi amb cap dubte a dintre, estic d’acordamb això que acaba de dir, que presentarunes conclusions sense l’exposició prèviadels motius que hi han portat es podriaentendre com una manera poc hàbil de disfressar una decisió arbitrària, que noseria mai, evidentment, el cas del Centre,M’alegra que coincideixi amb mi, És difícilno coincidir-hi, Doncs prengui nota delsresultats, Ja pot dir, El ventall de clientssobre el qual s’havia de dirigir l’enquesta va quedar definit d’entrada amb l’exclusiód’aquelles persones que per l’edat, per la posició social, per la formació i per lacultura, i també pels seus hàbits conegutsde consum, fossin previsiblement contràries a l’adquisició d’articles d’aquesta mena, convé que sàpigaque si vam prendre aquesta decisió, senyor Algor, va ser per no perjudicar-lo de bon començament,Molt agraït, N’hi donaré un exemple, si haguéssim triat cinquanta joves moderns, cinquanta nois i noiesde la nostra època, pot estar convençut, senyor Algor, que ni un de sol hauria volgut emportar-se a casani una sola de les seves figures, i si se l’hagués emportat hauria estat per fer-la servir en coses com tir al blanc, Ja, Vam triar vint-i-cinc persones de cada sexe, de professions i rendiments mitjans, personesamb antecedents familiars modestos, lligades encara a gustos tradicionals, i a casa de les quals larusticitat del producte no desentonés massa, I tot i així, Doncs sí, senyor Algor, tot i així els resultats han estat dolents, Què hi farem, Vint homes i deu dones han respost que les figures d’argila no elsagraden, quatre dones han dit que potser en comprarien si fossin més grans, tres que en comprarien si fossin més petites, dels cinc homes que quedaven, quatre han dit que ja no tenien edat per jugar i l’altre s’ha exclamat pel fet que tres de les estatuetes representessin estrangers, i a sobre exòtics, i, pel que fa a les vuit dones que encara falta esmentar, dues s’han declarat al·lèrgiques a l’argila, quatretenien mals records d’aquesta mena d’objecte, i tan sols les dues últimes han respost agraint molt lapossibilitat que se’ls havia proporcionat de decorar gratuïtament casa seva amb unes figuretes tanmaques, cal fer notar que es tracta de senyores grans que viuen soles, M’agradaria saber els noms i les adreces d’aquestes senyores per donar-los-en les gràcies, va dir en Cipriano Algor, Em sap greu, però no estic autoritzat a revelar dades personals dels enquestats, és una condició ineludible enqualsevol investigació d’aquesta mena, respectar l’anonimat de les respostes. [...] Passi-ho bé, Passi-ho bé. En Cipriano Algor va penjar el telèfon i es va quedar mirant la filla. La Marta estava


917232p150a204Rec.qxd 16/12/08 12:58 Página 174


asseguda, amb les mans a la falda, com si de cop hagués sentit necessitat de protegir la primera i encara amb prou feines perceptible rodonesa del ventre. Ens en deixen de comprar, Sí, han fet una enquesta entre els clients i el resultat ha estat desfavorable, Ja no compraran ni tan sols les tres-centes figures que hi ha al forn.

José Saramago, La caverna, Barcelona: Edicions 62, 2001



ACTIVITAT 1

En la descripció del Centre, un lloc dissenyat, com diu l’autor més endavant, perquè «la mort es noti menys», el novel·lista utilitza termes matemàtics. Fes una llista dels termes que hi trobis. Per què creus que els ha fet servir?

ACTIVITAT 2

Raona l’elecció de la mostra que va fer l’encarregat de compres per a l’enquesta. Resumeix les dades obtingudes en una taula de freqüències, i representa-la per mitjà d’un gràfic estadístic.Calcula, si és possible, alguna mesura de centralització.

RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S

917232p150a204Rec.qxd 16/12/08 12:58 Página 175



F i Indica la freqüència absoluta acumulada,fins a la classe i inclusivament.

H i Indica la freqüència relativa acumulada,fins a la classe i inclusivament.


La notació xi indica el valor o la modalitat obtingudaen cada dada; l’índex, i, expressa l’ordre de la dada,és a dir, si és la primera x1, si és la segona x2…

El nombre de fills dels 10 veïns d’un edifici és: 0, 3,1, 1, 0, 2, 2,1, 0, 0.

x 1 = 0, x 2 = 3, x 3 = 1, x 4 = 1…

Si les dades s’expressen agrupades, el significat de xi no és el valor de cada dada, sinó els possiblesvalors que hi puguin aparèixer.

La freqüència absoluta se sol representar per f i, onel subíndex i indica que pertany al valor x i.

La freqüència relativa se sol representar per hi,

. En l’exemple, h1 = 0,4; h2 = 0,3…

El nombre total de dades d’un estudi se sol denotar amb les lletres N o n. En l’exemple, N = 10.

limx

f x→ −

=�

( )


La freqüènciaacumulada s’escriuamb la mateixa lletra,però en majúscules, i es manté el subíndex.


xi Indica el valor de cada dada que obtenimen un estudi estadístic.

fi Indica la freqüència absoluta del valor xi.

hi Indica la freqüència relativa del valor xi.

N Indica el nombre total de dadesque considerem a l’estudi.

x� Indica la mitjana d’unes dades.Me Indica la mediana d’unes dades.

Mo Indica la moda d’unes dades.R Indica el recorregut.DM Representa la desviació mitjana.σ2 Indica la variància.σ Denota la desviació típica.

CV És el coeficient de variació.

La mitjana aritmètica es denota x�.

La mediana se sol indicar per Me, tot i que també es pot nomenar Md.

La moda es designa per Mo.

El recorregut o rang s’escriu amb la lletra R.

La desviació mitjana es representa com a DM.

La variància s’escriu σ2 i la desviació típica σ, tot i que de vegades s’utilitzen s2 i s per designaraquestes mesures.

El coeficient de variació es denota amb CV.


Nombre de fills xi 0 1 2 3

4 3 2 1Nombre de veïns f i

xi f i hi Fi Hi

0 4 0,4 4 0,4

1 3 0,3 7 0,7

2 2 0,2 9 0,9

3 1 0,1 10 1

917232 _ 0150-0204.qxd 29/12/08 09:58 Página 176


limx

f x→ −

= −�

�( )

limx

f x→ +

= −�

( )

Indica la sumadel producte de tots els parells de dades.


La notació (xi, yi) o (xi, yj) indica un parell de valorso modalitats obtinguts en cada parell de dades.

Si les dades no vénen agrupades per freqüències,és a dir, no es repeteixen, els valors se solenexpressar com a (xi, yi), on l’índex, i, expressal’ordre del parell de dades: (x1, y1) és el primerparell de dades, (x2, y2) és el segon parell…

Si les dades vénen donades en una taula de dobleentrada en la qual apareixen les freqüències decada parell de dades, l’expressió adequada sol ser(xi, yj).

(x1, y2) = (1, 20) (x3, y1) = (3, 10)

(x2, y1) = (2, 10) (x1, y3) → No existeix

f12 = 5 f21 = 1 f31 = 2

f1∑ = 7 f2∑ = 4 f3∑ = 6

f∑1 = 5 f∑2 = 12 N = 17


Quan els parells de valors no vénen associats a la seva freqüència absoluta, és a dir, no esrepeteixen, es fa servir un sumatori.

En el cas que hi hagi freqüències absolutes cal ferservir un sumatori per a la variable X, i un altre per a la variable Y.

σX Variància de la variable X.

σY Variància de la variable Y.

σXY Coeficient de correlació (X, Y ).

r Covariància de la variable.


En les variables bidimensionals, per designar la desviació típica de cada una de les variablesunidimensionals que la formen, es posa com asubíndex el nom de la variable de la qual volemcalcular la desviació típica.

En el cas de la covariància posem com a subíndexel nom de les dues variables que formen la variablebidimensional.

(xi, yi) Indiquen els valors de cada parell (xi, yj) de dades que obtenim

en un estudi estadístic.

fij Expressa la freqüència absoluta del parell de dades (xi, yj).

fi ∑ Indica la freqüència absolutamarginal de les dades xi.

f∑j Expressa la freqüència absolutamarginal de les dades yj.

N Es refereixen al nombre total de dadesn que considerem en l’estudi.

1122 EEssttaaddííssttiiccaa bbiiddiimmeennssiioonnaall

1 2 3 Total

10 2 1 2 5

20 5 3 4 12

Total 7 4 6 17

RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S

917232 _ 0150-0204.qxd 29/12/08 09:58 Página 177


Les dades de la taula corresponen als 20 alumnes de 1r de Batxillerat. Hem obtingut amb l’ordinador les correlacions, els núvols de punts i les rectes de regressió, però algunes són correctes i d’altres són incorrectes. Quina d’elles és incorrecta?


Dels tres casos, el tercer és incorrecte, perquè sexe és una variablequalitativa codificada i, tanmateix, s’ha pres com una variable quantitativa.L’ordinador ha processat el que li hem indicat, però el tercer resultat és incorrecte.

Estratègia L’ordinador, utilitzat de manera adequada, és un instrument que ens permetorganitzar, tractar i interpretar la informació. Hi ha molts programes informàtics que faciliten l’obtenció de paràmetres i gràfics estadístics.

Amb les dades anteriorss’han obtingut tres núvolsde punts i els seuscoeficients de correlació,però no sabem si el resultatés correcte.

a) Quin núvol de punts es correspon amb els resultats de lesvariables? Quin núvol de punts s’ha obtingutincorrectament?

b) Interpreta els resultats.

1

Organització i tractament de la informació

PROBLEMA RESOLT

PROBLEMA PROPOSAT



160 170 180 190 50 60 70 80 16 17 18 19

190

180

170

160

2

1

10

8

6

4

EdatAlçada

Alç

ada

Qua

lific

ació

de

Mat

emàt

ique

s

Sexe

PesVariable dependent: sexe.Variable independent: alçada.Coeficient de correlació: -0,753.

Variable dependent: alçada.Variable independent: pes.Coeficient de correlació: 0,773.

Variable dependent: edat.

Coef. de correlació: -0,390.Variable independent.: qualif. Matem.

16 17 18 19 160 170 180 190 1 2 3

190

180

170

160

80

70

60

50

40

19

18

17

16

Alç

ada

Pes

Edat

Edat Alçada SexeVariable dependent: alçada.Variable independent: edat.Coeficient de correlació: 0,346.

Variable dependent: edat.Variable independent: sexe.Coeficient de correlació: -0,405.

Variable dependent: pes.Variable independent: alçada.Coeficient de correlació: 0,733.

Edat

1616161616161616171616161918181816161717

21222222122221212211

164175165170168157167172177160168160164174170182161171173194

5362486047525052635463515080656360626386

10875577757

10746687874

Sexe* Alçada Pes Qualific.Matem.

* Noi = 1, noia = 2.

Pes

Eda

t

Sex

e

Qua

lific

ació

de

mat

emàt

ique

s

917232 _ 0150-0204.qxd 29/12/08 09:58 Página 178



EXERCICIS

De manera semblant a com ho has fet a laPràctica 1, dibuixa el núvol de punts de la restadels apartats de l’exercici 27 de la pàgina 314.

De manera semblant a com ho has fet a laPràctica 1, dibuixa el núvol de punts de tots els apartats de l’exercici 26 de la pàgina 314.

21

PRÀCTICA EXCELEl primer pas abans d’iniciar les pràctiques és executar EXCEL.


1. Introdueix els valors de la taula al full de càlcul.

2. Prem el botó per obrir l’assistent per a gràfics.

Una vegada observat el núvol de punts, pots deduir que sí que hi hacorrelació entre la variable A i la variable B.



2.1. Tria l’opció XY (dispersió). 2.2. A la casella de rang de dadestria B1:I2.

2.3. En aquesta pantalla pots mi-llorar l’aspecte del gràfic, po-sar un nom al gràfic...

2.4. Prem Final i arrossega el di-buix al lloc que vulguis del full.

RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S

917232p150a204Rec.qxd 16/12/08 12:58 Página 179



EXERCICIS




Utilitza la Pràctica 1 i els passos que indical’assistent per a gràfics per resoldre l’exercici 38de la pàgina 315.

4

3

2

1




2. Situa’t a la cel·la B5 i tecleja el text COVARIÀNCIA.

3. Situa’t a la cel·la D5 i prem el botó per desplegar la pantalla Inserirfunció. En aquesta pantalla tria com a categoria Estadístiques, com afunció COVAR i prem el botó Acceptar.

4. A la pantalla Arguments de funció, tecleja com a Matriu1 B1:I1, i com aMatriu 2, B2:I2.

També pots utilitzar el botó i seleccionar cada matriu prement ambel botó dret del ratolí i arrossegant.

Els passos 3 i 4 es poden simplificar teclejant directament COVAR(B1:I1;B2:I2) a la cel·la D3.

5. Situa’t a la cel·la B6 i tecleja el text COEF. CORRELACIÓ; a la cel·la D6repeteix els passos 3 i 4, però aquest cop tria la funció COEF.DE.CO-RREL. Recorda que també pots simplificar aquest pas teclejant directa-ment la funció COEF.DE.CORREL. (matriu de dades).

A les cel·les D5 i D6 es mostren la covariància i el coeficient de correla-ció, respectivament, de la taula de dades.

Pantalla d’Inserció de funcions


917232p150a204Rec.qxd 16/12/08 12:58 Página 180



EXERCICIS


Utilitza EXCEL per calcular les dues rectes de regressió de les taules de dades dels exercicis48 i 49 de la pàgina 317.

21





2. Prem el botó per obrir l’assistent per a gràfics. Segueix els passos itria com a gràfic XY (Dispersió), el rang de dades B1:I2 i, en l’últim pas,prem el botó Final. Arrossega el gràfic al lloc que vulguis del full.

3. Situa’t sobre un dels punts del gràfic i prem el botó dret del ratolí. Esdesplega la finestra següent, en la qual has de triar Afegeix línia de ten-dència.

4. A la finestra Afegeix una línia de tendència, tria la pestanya Opcions imarca la casella Mostra l’equació al gràfic.

En el gràfic apareixen el núvol de punts, la recta de regressió i l’equaciód’aquella recta.


RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S

917232p150a204Rec.qxd 16/12/08 12:58 Página 181

El curiós incident del gos a mitjanitMark Haddon

Passaven 7 minuts de la mitjanit. El gos estava estirat damunt la gespa enmig del jardí de davant la casa de la senyoraShears. Tenia els ulls tancats. Semblava que corria estirat a terra, com fan els gossos quan somien que empaiten gats. El gos, però, ni corria ni dormia. El gos era mort. Tenia una forca clavada. Les punxes de la forca devien haver travessat el gos de banda a banda i es devien haver enfonsat a terra, perquè la forca estava dreta. Vaig pensar que seguramenthavien mort el gos amb la forca perquè no li veia cap altra ferida i perquè no crec que ningú clavi una forca a un gos després que s’hagi mort per algun altre motiu, com ara un càncer o un accident a la carretera. D’això, però, no en puc estar segur.

Vaig travessar la tanca de la senyora Shears i la vaig tancar al meu darrere. Vaig travessar el seu jardí i em vaig agenollar al costat del gos. Vaig tocar el morro del gos. Encara estava calent.

El gos es deia Wellington. Era de la senyora Shears, que era amiga nostra. Vivia a l’altra banda del carrer, dues cases a l’esquerra de la meva. [...]

Aquesta és una novel·la de misteri amb un assassinat.

La Siobhan [una professora] em va dir que havia d’escriure alguna cosa que jo mateix volgués llegir.La majoria de llibres que llegeixo són de ciència i de matemàtiques. No llegeixo novel·les convencionals.A les novel·les convencionals, la gent diu coses com ara: «ferro, argent i un raig de fang vulgar emcorren per les venes. No em puc cloure en el puny ferm en què es tanquen aquells que no depenen del estímuls». Què vol dir, això? No ho sé. El pare tampoc no ho sap. Ni la Siobhan, ni el senyor Jeavons[el psicòleg de l’escola]. Els ho he preguntat.

La Siobhan té els cabells rossos i llargs i porta unes ulleres de plàstic verd. I el senyor Jeavons fa olorde sabó i porta unes sabates marrons, cadascuna de les quals té, aproximadament, 60 forats circularsminúsculs.

El que sí que m’agraden són les novel·les de misteri amb un assassinat. Per això escric una novel·lade misteri amb un assassinat.

En una novel·la de misteri amb un assassinat algú ha de descobrir qui és l’assassí i després l’had’atrapar. És un trencaclosques. Si és un trencaclosques ben fet, de vegades pots trobar la resposta al misteri abans no s’acaba el llibre.

La Siobhan em va dir que el llibre havia de començar amb alguna cosa que cridés l’atenció de la gent. Per això he començat amb el gos. També he començat amb el gos perquè és una cosa que em va passar de debò i perquè em costa imaginar coses que no m’han passat mai.

La Siobhan va llegir la primera pàgina i em va dir que era diferent. Va posar aquesta paraula entrecometes fent el signe de les cometes bellugant l’índex i el dit del mig de totes dues mans. Em va dir quea les novel·les de misteri amb assassinat, la víctima acostuma a ser una persona. Li vaig dir que a El gosdels Baskerville maten dos gossos, el del títol i l’spaniel de Jack Mortimer, però la Siobhan va dir que els



13 Probabilitat

917232p150a204Rec.qxd 16/12/08 12:58 Página 182


gossos no eren les víctimes principals dels assassinats, sinó Sir Charles Baskerville. Em va explicar queaixò era així perquè als lectors els preocupen més les persones que no pas els gossos, i aquest és elmotiu pel qual si en un llibre maten una persona, els lectors volen continuar llegint.

Jo li vaig dir que volia escriure sobre alguna cosa real, i que coneixia gent que s’havia mort, però noconeixia ningú que hagués mort violentament tret del senyor Paulson, el pare de l’Edward, un noi del’escola, però ell s’havia mort en un accident de planador, i no víctima d’un assassinat, i tampoc no elconeixia gaire. També li vaig dir que a mi em preocupen els gossos perquè són fidels i sincers, i quealguns gossos són més intel·ligents i més interessants que algunes persones. Com per exemple l’Steve,un noi que ve a l’escola els dijous, que necessita ajut per menjar i que ni tan sols no pot aguantar un pald’hoquei. La Siobhan em va demanar que mai no digués res d’això a la mare de l’Steve.

L’autor d’aquest text és Christopher, un noi de quinze anys que va a una escola per a alumnes amb necessitats educatives especials. Pateix severs trastorns psíquics que li dificultenles relacions amb els altres; això no obstant, la seva intel·ligència és normal, i fins i tot la sevacapacitat matemàtica està per damunt de la mitjana. Seguint un suggeriment de la sevaprofessora, Christopher decideix escriure un llibre on anota les seves recerques per descobrirl’assassí del gos i, alhora, intercala opinions sobre les persones, descripcions de si mateix i relats dels successos ordinaris que s’esdevenen a la seva vida.

Christopher és meticulós, programa tot el que ha de fer, observa amb objectivitat les coses, no es deixa endur per les aparences, aplica la lògica a totes les seves decisions, no li agrada que li donin ordres confuses o sense sentit...

Vaig decidir esbrinar qui havia mort el Wellington malgrat que el pare m’havia dit que no fiqués el nas en els afers dels altres.

Això és perquè no sempre faig el que em diuen.

I això és perquè quan la gent et diu què has de fer, generalment és difícil d’entendre i no té ni cap ni peus.

La gent, per exemple, et diu sovint: «calla», però no diu quanta estona has d’estar callat. O bé veusun senyal en què posa: NO TREPITGEU LA GESPA, però el que realment vol dir és NO TREPITGEU LA GESPA QUE HI HA AL VOLTANT D’AQUESTSENYAL, o bé NO TREPITGEU LA GESPA D’AQUESTPARC, perquè al món hi ha un munt de gespa que es pot trepitjar.

A més a més, la gent incompleix les normesconstantment. El pare, per exemple, moltes vegadespassa dels 50 km/h en zones en què està prohibitanar a més de 50 km/h, i de vegades condueixdesprés de beure alcohol i sovint no es posa elcinturó de seguretat quan va a la furgoneta. I la Bíbliadiu: «No mataràs», però hi va haver les croades, i dues guerres mundials i la guerra del Golf, i en toteshi havia cristians que mataven persones.

Tampoc no entenc què vol dir el pare quan diu«no fiquis el nas en els afers dels altres» perquè faigun munt de coses amb d’altres persones a l’escola, a la botiga i a l’autobús, i la seva feina mateix

13 Probabilitat

RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S

917232p150a204Rec.qxd 16/12/08 12:58 Página 183


consisteix a anar a casa d’altres persones a reparar calderes i sistemes de calefacció. I tot això són afersd’altres persones.

La Siobhan ho entén. Quan em diu que no faci alguna cosa, em diu exactament què és el que nopuc fer. I això m’agrada.

Una vegada, per exemple, em va dir: –Christopher, no peguis mai cops de puny a la Sarah, nil’ataquis de cap altra manera. Ni tan sols si ella et pega primer. Si et torna a pegar, allunya’t d’ella,queda’t quiet i compta fins a 50. Llavors vine a dir-me què ha fet o explica què ha fet a qualsevol altremembre del personal. [...]

Però quan algú altre et diu què no has de fer, no ho fa igual. Per això decideixo jo mateix què he de fer i què no he de fer.

Christopher mai no menteix. Per això no li agraden les metàfores. «Vaig veure com queial’aigua al carrer –escriu–. Queia amb tanta intensitat que semblaven guspires blanques (i això és un símil, no una metàfora)». Tampoc no li agraden les creences que creiem veritats i sols són convencionalismes.

La gent diu que Orió es diu Orió perquè Orió era un caçador i la constel·lació sembla un caçador amb un garrot i un arc i una fletxa, vist així:

Però això és una ximpleria molt gran perquè només són estels, i els punts es poden unir com un vulgui i es pot fer que semblin una dama amb un paraigües que saluda, o la cafetera de la senyoraShears, que és italiana, amb un mànec i traient fum, o bé un dinosaure:

13 Probabilitat

917232p150a204Rec.qxd 16/12/08 12:58 Página 184


I com que a l’espai no hi ha ratlles, podríem unir trossos d’Orió amb trossos de la constel·lació de laLlebre o de Taure, o dels Bessons i dir que formen una constel·lació anomenada El gotim de raïm oJesús o La bicicleta (si no fos perquè en l’època dels romans i els grecs, que és quan van anomenarOrió a Orió, no hi havia bicicletes).

I tanmateix, Orió no és ni un caçador ni una cafetera ni un dinosaure. Només son Betelgeuse i Bellatrix i Alnilam i Rigel i un munt d’altres estrelles que no sé com es diuen. I són explosions nuclearsque estan a milers de milions de quilòmetres de distància.

I això és veritat.

Christopher observa amb rigor i fidelitat totes les coses.Ho veig tot –escriu en el seu llibre–.

Per això no m’agraden els llocs nous. Si sóc en un lloc que conec, com ara casa meva, l’escola,l’autobús, la botiga o el carrer, ja ho tinc gairebé tot vist d’abans i només m’he de fixar en les coses quehan canviat o s’han mogut de lloc. Per exemple, hi va haver una setmana que el pòster del ShakespeareGlobe de la classe va caure i era molt fàcil de veure perquè l’havien tornat a enganxar una mica més ala dreta d’on era abans i es veien tres cercles minúsculs de Blu-Tack a l’esquerra del cartell. I l’endemà,algú havia pintat CROW APTOK al fanal 437 del nostre carrer, que és just davant el número 35.

Però la majoria de gent és gandula. Mai no mira res. La gent fa el que es diu fer un cop d’ull, que ésel mateix que rebotar o tirar pel dret, com per exemple quan una bola de billar rebota contra una altra.La informació que hi ha al seu cap és molt simple. […] I llavors ja no es fixa en res més, perquè es posaa pensar en alguna altra cosa com ara «Mira que és bonic, això», o «No sé si m’he deixat el gas obert»,o «No sé si la Julie ja deu haver parit». […]

Això vol dir que em canso molt cada vegada que vaig a un lloc nou, perquè veig totes aquestes cosesi, si algú em preguntés després [d’anar al camp] com eren les vaques, jo li demanaria quina en concret i li faria un dibuix a casa i diria que aquella vaca en particular era com aquesta:

M’he adonat que al Capítol 13 he dit una mentida, perquè he dit que «no sé explicar acudits», i síque hi ha 3 acudits que puc explicar i que entenc, i un d’ells és d’una vaca. La Siobhan em va dir queno calia que tornés enrere al Capítol 13, perquè no passa res, perquè no és una mentida, sinó unaclariment.

Aquest és l’acudit:

Van tres homes en un tren. Un és economista, un altre és filòsof i un altre és matemàtic. Acabend’entrar a Escòcia (no sé per què van a Escòcia) i, des de la finestra del tren, veuen una vaca marró en un camp (i la vaca està paral·lela al tren).

Llavors l’economista diu: «Mireu, les vaques d’Escòcia són marrons».

13 Probabilitat

RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S

917232p150a204Rec.qxd 16/12/08 12:58 Página 185


I el filòsof diu: «No. A Escòcia hi ha vaques i, almenys una d’elles, és marró».

I el matemàtic diu: «No. A Escòcia hi ha almenys una vaca que aparentment d’una banda és marró».

I té gràcia perquè els economistes no són científics de debò, perquè els filòsofs pensen amb mésclaredat, però els matemàtics són els més acurats. […]

El seu amor per les matemàtiques el porta a numerar els capítols de la seva novel·la amb nombres primers: comença amb el capítol 2 i acaba amb el capítol 233.

El senyor Jeavons em va dir que m’agradaven les matemàtiques perquè eren segures. Va dir quem’agradaven les matemàtiques perquè consisteixen en la resolució de problemes i, encara que elsproblemes eren difícils i interessants, al final sempre es resolien amb una resposta directa. I el que volia dir és que les matemàtiques no són com la vida perquè a la vida no hi ha respostes directes per a tot. Sé que volia dir això perquè m’ho va explicar.

Això és perquè el senyor Jeavons no entén els números.

Us explicaré una història famosa sobre el que s’anomena el Problema de Monty Hall, que he inclòs al llibre perquè il·lustra el que vull dir.

En una revista americanaanomenada Parade publicaven una columna titulada Pregunteu a la Marilyn. I aquesta columna l’escriviaMarilyn vos Savant i a la revista deienque tenia el coeficient intel·lectual méselevat del món i que constava al LlibreGuinness dels rècords. I a la columnaresponia a preguntes de matemàtiquesque li enviaven els lectors. I el mes desetembre del 1990 Craig F. Whitaker de Colúmbia, Maryland, li va enviar la següent pregunta (tot i que no ésel que s’anomena una citació literal

perquè l’he feta més simple i més fàcild’entendre).

«Ets en un concurs de la televisió. En el concurs, l’objectiu és guanyar un premi consistent en un cotxe. El presentador t’ensenya tres portes. Diu que hi ha un cotxe darrere una de les portes i una cabra darrere lesaltres dues. Et demana que triïs una

porta. Tries una porta, però no l’obren. Llavors el presentador obre una de les portes que no has triat i t’ensenya que hi havia una cabra (perquè ell sap què hi ha darrere cada porta). Aleshores diu que tens una última oportunitat de canviar de parer abans no obrin les portes i guanyis un cotxe o unacabra. Així doncs et pregunta si vols canviar de parer i triar l’altra porta que encara està tancada. Què hauries de fer?»

La Marilyn vos Savant va dir que sempre s’havia de canviar i triar l’altra porta perquè tens 2 possibilitats d’entre 3 que darrere aquesta porta hi hagi un cotxe.

1133 PPrroobbaabbiilliittaatt

917232 _ 0150-0204.qxd 29/12/08 09:58 Página 186


Però si fas servir la intuïció penses que hi ha un 50 % de possibilitats que el cotxe estigui darrere qualsevol de les dues portes.

Un munt de gent va escriure a la revista per dir que la Marilyn vos Savant s’havia equivocat, malgratque va explicar molt acuradament per què tenia raó. El 92 % de les cartes que va rebre deien ques’equivocava i un munt d’aquestes cartes eren de matemàtics i científics. […]

I això demostra que la intuïció de vegades ens pot fer equivocar. I la intuïció és el que la gent fa servirper prendre decisions. La lògica, però, ens pot ajudar a trobar la resposta correcta.

També demostra que el senyor Jeavons s’equivocava i que de vegades els problemes són moltcomplicats i no tenen ni de molt una resposta directa. I per això m’agrada el problema de Monty Hall.

Mark Haddon, El curiós incident del gos a mitjanit, Barcelona: La Magrana, 2007

Christopher aconsegueix saber qui ha matat el gos i aquesta dada –que el lector també coneixen llegir la novel·la–, juntament amb el descobriment d’un greu succés que el seu pare li haamagat, canvia totalment l’ordre de la seva vida. Aquesta revolució constitueix la trama de la segona part del llibre, el desenllaç del qual podràs conèixer si el llegeixes del tot.


ACTIVITAT 1

Demostra que, efectivament, la resposta correcta al problema de Monty Hall és la que va donar Marilynvos Savant.

ACTIVITAT 2

Christopher es refugia en càlculs mentals quan pateix alguna de les seves crisis: «Vaig inspirarprofundament i vaig comptar cinquanta respiracions i em vaig concentrar moltíssim en els nombres i els vaig elevar al cub a mesura que els deia. I això va fer que el dolor fos més suau». O, en un altremoment: «Vaig calcular potències de 2 al meu cap perquè em tranquil·litzava. Vaig arribar fins a 33.554.432 que és 225, cosa que no era gaire perquè en una altra ocasió he arribat a 245, però el meucervell no funcionava gaire bé». Calcula mentalment les potències de 2 fins on puguis.

ACTIVITAT 3

Christopher explica a la seva novel·la que un dia un amic del pare li va demanar que calculésmentalment 251 per 864 i ho va fer de seguida. Series capaç de fer-ho també? Fixa’t que el 251 és 250 més 1.

ACTIVITAT 4

Resol les següents equacions de segon grau amb les quals Christopher prepara el seu examen de Batxillerat en Matemàtiques: 437x 2 + 103x + 11 = 0, 79x 2 + 43x + 2.089 = 0.

ACTIVITAT 5

En aquest examen a Christopher li proposen el problema següent: «Demostra que un triangle elscostats del qual es puguin escriure en la forma n 2 + 1, n 2 − 1 y 2n (n > 1) és rectangle. Demostra per mitjà d’un contraexemple que l’enunciat recíproc és fals». Ell ho demostra perfectament i en el seullibre escriu la solució. Com ho faries tu?

13 Probabilitat

RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S

917232p150a204Rec.qxd 16/12/08 12:58 Página 187




Per indicar el factorial d’un nombre es posa un signe d’admiració a la seva dreta.

A fi que el nombre combinatori estigui expressat correctament, cal que n sigui més gran que m.

Un factorial o un nombre combinatori pot estarexpressat en forma d’operació sempre que el resultat d’aquesta sigui un nombre natural.


n! Expressa el factorial del nombre n.

(n − 1)! Expressa el factorial del nombreanterior a n.

Expressa el nombre combinatori n sobre m.

Expressa el nombre combinatori nsobre el nombre resultant de l’operació m − r.

limx

f x→ −

=�

( )

limx

f→ +�

Vn, m Expressa les variacions de n elements agrupats de m en m.

VRn, m Expressa les variacions ambrepetició de n elements agrupats dem en m.

Pn Expressa les permutacions de n elements.

Cn, m Expressa les combinacions de n elements agrupats de m en m.

En aquestes expressions, el primer nombre que apareix com a subíndex indica el nombred’elements que tenim, i el segon és el nombred’elements en els grups que volem fer.

Així mateix, cal tenir en compte que n ha de sersempre més gran que m, excepte en les variacionsamb repetició, en què pot ser més petit.


E Indica l’espai mostral.

A Indica un succés.

B Indica un altre succés.

Quan volem expressar l’espai mostral s’acostuma a utilitzar la lletra majúscula E o la lletra grega Ω(omega).

Per nomenar successos es fan servir lletresmajúscules, començant per les primeres lletres de l’abecedari: A, B, C…

Si es vol escriure un succés definit pels successoselementals que el formen, s’escriu la lletraassignada al succés i, després, entre claus,s’enumeren els successos elementals que hi ha.

A = «Treure parell en tirar un dau» = {2, 4, 6}

13 Probabilitat

917232 _ 0150-0204.qxd 29/12/08 09:58 Página 188


A ∪ B Indica la unió de dos successos.

A ∩ B Expressa la intersecció de dos successos.

A − B Indiquen la diferència A\B de dos successos.


Per anomenar el contrari (o el complementari) d’unsuccés, s’acostuma a fer servir la mateixa lletra queper a aquell succés amb una barra al damunt.

El contrari de A és A�.

L’únic succés contrari que no se sol denotar amb la mateixa lletra i una barra al damunt és ∅, que és el contrari de E.

Altres notacions utilitzades per designar el complementari d’un succés A són:

A� = Ac = A'


Entre les operacions que podem fer ambsuccessos, la unió de dos successos es denotaamb el símbol ∪ escrit entre tots dos successos, A ∪ B, i la intersecció amb el símbol ∩, A ∩ B.Algunes vegades, s’escriu el signe de la restainclinat per indicar que és la diferència entre dos conjunts.

P(A) És la probabilitat del succés A.

P (B/A) Expressa la probabilitat ques’esdevingui el succés B,condicionat a què hagi passat el succés A.

P (A /B) Indica la probabilitat ques’esdevingui el succés A,condicionat a què hagi passat el succés B.


Per indicar la probabilitat d’un succés A, s’escriu la lletra P, i, després, entre parèntesis, la lletracorresponent al succés: P(A).

En la probabilitat condicionada, el succés queconsiderem que s’ha esdevingut sempre s’ha de situar en segon lloc.

A, A� Indiquen un succési el seu contrari.

E, ∅ Es refereixen al succés segur Ei el seu contrari, el succésimpossible ∅.


RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S

917232 _ 0150-0204.qxd 29/12/08 09:58 Página 189


Es tenen 5 capses iguals de llumins, numerades de l’1 al 5, col·locades l’una al costat de l’altra de manera consecutiva. Es col·loquen 3 monedes iguals a les capses, de manera que cada capsacontingui com a màxim una moneda. De quantes maneres es pot fer?


Per mitjà d’un diagrama d’arbre, la situació és:

Hi ha 10 maneres de col·locar 3 monedes en 5 capses, posant com a màxim una moneda en cada capsa.

Estratègia En probabilitat, com en altres branques de les Matemàtiques, un cop s’ha llegitl’enunciat del problema, és útil:• Fer un esquema que el representi.• Utilitzar un codi adient per simplificar l’esquema.• Establir un dibuix o un diagrama que completi la situació.• Presentar els resultats per mitjà d’una taula.

De quantes maneres es poden col·locar 2 monedes en 5 capses? I 4 monedes? I 1 moneda?

Si tens capses i 3 monedes, quantes maneres hi ha de col·locar les 3 monedes a les capses? (1 moneda com a màxim en cada capsa.)

a) I si tinguessis 2 monedes?

b) I 1 moneda?

21

Fer un diagrama i utilitzar un codi

PROBLEMA RESOLT

PROBLEMES PROPOSATS


13 Probabilitat

Capsa 1 Capsa 2 Capsa 3 Capsa 4 Capsa 5 Codi Situació

M A A MMMAAM M A MMAMA

AA M MMAAM

M

MM A MAMMA

A A M MAMAM

A M M MAAMM

M A AMMMAM

A M AMMAMMA M M AMAMM

AA M M M AAMMM

917232p150a204Rec.qxd 16/12/08 12:58 Página 190



EXERCICIS


Fes servir EXCEL per calcular la probabilitat de treure dues boles amb nombres parells d’una urna amb 1.000 boles numerades de l’1 al 1.000.

En una urna hi ha 27 boles, i cadascuna d’ellesestà marcada amb una de les lletres del’abecedari. De manera semblant a com ho hasfet a la Pràctica 1, calcula la probabilitat que enextraure 5 boles es formi la paraula MATES.

a) Sense substituir les boles a l’urna.

b) Substituint les boles a l’urna.

3

2

1



1. Utilitza la funció =COMBINAT(nre. elements; mida) per calcular els ca-sos possibles. Has de teclejar a la cel·la C1:

2. Per calcular els casos favorables, torna a utilitzar la mateixa funció, te-clejant a la cel·la C2 aquesta expressió.

3. Calcula el quocient a la cel·la C4, teclejant el següent.

La probabilitat de l’esdeveniment és 0,0833...

Per identificar els nombres en el full tecleja CASOS POSSIBLES, CASOSFAVORABLES i PROBABILITAT a les cel·les A1, A2 i A4, respectiva-ment.


1. Com que el nombre de casos possibles és 215, tecleja a la cel·la B2:

2. En aquest cas, el nombre de casos favorables és 1, per tant, tecleja 1 ala cel·la A2.

3. La probabilitat demanada és el quocient entre la cel·la A2 i la cel·la B2.

Pots millorar la presentació teclejant CASOS, POSSIBLES, CASOS FA-VORABLES i PROBABILITAT a les cel·les A1, B1 i C1.

També pots repetir el càlcul per a més d’una aposta i comprovar quepràcticament no varia la probabilitat. Sols cal utilitzar l’opció Emplena,del menú Edició, i copiar-hi les cel·les B2 i A2.




RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S

917232 _ 0150-0204.qxd 29/12/08 09:58 Página 191



EXERCICIS



21


PRÀCTICA 1 (pàg. 342, exercicis 61 a, b i c)

1. Introdueix els noms i els valors de la taula al full de càlcul.

2. Situa’t a la cel·la B2 i, prement al botó esquerre del ratolí, selecciona elrang B2:B3.

3. Prem el botó . A la cel·la B4 apareix la suma de la columna B, i enaquest cas són els nens que hi ha a les dues escoles.

4. Repeteix els passos 3 i 4 amb els rangs C2:C3, B2:D2, B3:D3 i B2:D3.

Una altra manera de fer la suma és utilitzar directament la funció suma.Per exemple, si vols sumar totes les dades de la taula és més còmodesituar-te a la cel·la E4 i teclejar:

5. Tecleja, a les cel·les G2, G3 i G4, els textos P(P), P(A), P(A/N), respec-tivament.

6. A les cel·les H2, H3 i H4 tecleja les fórmules per calcular cada probabi-litat.

CEL·LA H2:

CEL·LA H3:

CEL·LA H4:


13 Probabilitat

917232p150a204Rec.qxd 16/12/08 12:58 Página 192



EXERCICIS


Utilitza el programa EXCEL per calcular la probabilitat experimental de dos successos de l’exercici 36 de la pàgina 340.

21



En aquesta pràctica simularàs l’experiment que proposa l’activitat 35 i cal-cularàs la freqüència relativa de l’esdeveniment.


1. Introdueix els noms i els valors de la taula en el full de càlcul.

Cada bola de l’urna s’identificarà amb un número de l’1 al 12.

2. Situa’t a la cel·la A4 i tecleja la funció següent per obtenir un nombrealeatori comprès entre 1 i 12.

3. Situa’t a la cel·la A4 i prem el botó . Amb el botó esquerre del ratolípremut, arrossega fins a la columna L i, després, fins a la fila 8. Ambaquesta operació has simulat fer l’experiment de treure una bola de l’ur-na 60 vegades.

4. Situa’t a la cel·la C10 i tecleja el següent per comptar el nombre de ve-gades que ha sortit la bola vermella.

5. Situa’t a la cel·la C11 i tecleja el següent per calcular la freqüència rela-tiva de l’esdeveniment treure bola vermella.

Ara pots comprovar la diferènciaentre el valor de la probabilitatexperimental amb el resultat dela probabilitat calculada per La-place que, en aquest cas, és

0,3)

.limx c

f x→ −

( )


RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S

917232 _ 0150-0204.qxd 29/12/08 09:58 Página 193


El teoremaAdam Fawer

Any 2000, una aula amb estudiants d’un curs d’Introducció a l’Estadística en una universitat nord-americana. El professor, David Caine, no ha complert els trenta anys.

–A veure, algú sap d’on ve la teoria de les probabilitats?

Silenci.

–D’acord, us donaré unes quantes respostes. La teoria de les probabilitats va sorgir d’una sèrie de cartes entre dosmatemàtics francesos que discutien sobre... (a) física, (b) filosofia o (c) daus.

Cap resposta.

–Si algú no aixeca la mà en els pròxims cinc segons, això entrarà a l’examen. –Vint mans es van aixecar de cop–. Molt millor. Jerry, tu què hi dius?

–Física?

–No. La resposta correcta és (c), daus. L’home a qui devem el càlcul de les probabilitats va néixer el 1623 i es deia BlaisePascal. Com molts nens privilegiats de la seva època, Pascal va ser educat a casa seva pel seu pare i diversos tutors.Tanmateix, el pare de Pascal no volia que el seu fill s’hi esforcés excessivament i per això va decidir que Blaise s’haviade concentrar en els idiomes i deixa de banda lesmatemàtiques. Com que era un noi normal, el fet que nopogués estudiar matemàtiques només va servir per estimular la seva curiositat, així que va decidir estudiar geometria en el seu temps lliure. –Alguns dels estudiants havien posat els ulls en blanc, i Caine hi va afegir–: Escolteu, això va ser abansdels videojocs; un noi de llavors no podia fer gaires coses més per divertir-se.

Rialles.

–Així que el pare es va adonar del do natural de Blaise pels nombres, li varegalar Els elements d’Euclides; recordeu que tampoc no hi havia televisió, així que la gent llegia aquestes coses que es diuen «llibres». –Això va provocar un parell de riallades–. Després de veure com Blaise s’empassava Euclides, el pare va contractar els millors mestres de matemàtiques, una sàvia decisió, perquè Blaise Pascal es va convertir en un dels matemàtics més importants del segle XVII. Entre moltes altres coses, una de les seves invencions ha tingut una gran repercussió en les vides de tots els qui estan presents en aquesta sala. Algú sap què era?

–L’àbac? –va arriscar una de les alumnes.


14 Distribucions binomial i normal

917232p150a204Rec.qxd 16/12/08 12:58 Página 194


–Crec que confons els francesos amb elsantics xinesos –li va dir Caine–. Tot i que vas pelbon camí. Va inventar la primera màquina decalcular, que més endavant va evolucionar fins a ser la calculadora actual. Durant la resta de laseva vida, va estudiar matemàtiques i física, sibé pocs anys abans de la seva mort va renunciara la seva obsessió pels nombres i, encara queresulti una ironia, ho va fer perquè es vademostrar matemàticament que aprofitaria millorel temps si es dedicava a la religió i la filosofia.

–Com ho va fer? –va preguntar un estudiantbarbut que seia a l’última fila.

–Bona pregunta i la contestaré d’aquí a un moment. Bé, per on anava? Ah, sí... –Caine va prendre un glop de cafè i va continuar–: Abans que Pascal abandonés les matemàtiques, un noble francès que es deia Chevalier de Méré, el 1654, li va plantejar unes quantes preguntes. Intrigat per aquestespreguntes, Pascal es va començar a cartejar amb un vell amic del seu pare, un antic conseller del regne anomenat Pierre de Fermat. Va resultar que De Méré era un jugador compulsiu i les sevespreguntes es referien a un joc de daus molt popular en què el jugador tira quatre daus. Si ho feia sense treure un sis, cobrava l’aposta, però si treia un sis, llavors guanyava la casa. De Méré volia saber si les probabilitats estaven a favor de la casa. Escolteu bé, si només heu d’aprendre una cosad’aquesta classe, espero que sigui això.

Caine es va girar cap a la pissarra i va escriure en grans lletres majúscules:«LES PROBABILITATS SEMPRE ESTAN A FAVOR DE LA CASA».

Es van sentir unes quantes rialles.

–Bé, algú em pot dir per què és així? Jim.

L’estudiant preferit de Caine es va animar.

–Perquè si les probabilitats no estiguessin a favor de la casa, llavors la casa hi perdria més diners dels que hi guanya, així que al final no hi hauria casa.

–Exactament –va afirmar Caine–. Segons el meu parer, fins i tot abans de la creació de la teoria de les probabilitats, el senyor De Méré ho hauria d’haver sabut. Però, evidentment, si els nobles francesos haguessin estat llestos, probablement no els haurien tallat el cap. La qüestió és que Pascal i Fermatvan demostrar matemàticament, sorpresa, sorpresa, que les probabilitats estaven en efecte a favor de la casa. Van demostrar que si un jugador feia 100 tirades, probablementno trauria un sis i guanyaria 48 vegades, però trauria un sis i perdria 52 vegades. Per tant, les probabilitats del joc estaven a favor de la casa, 52 a 48. Així va néixer la teoria de les probabilitats, perquè un noble francès volia saber siapostar que no trauria un sis amb quatre daus era una apostaintel·ligent.


RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S

917232p150a204Rec.qxd 16/12/08 12:58 Página 195


Uns quants caps van assentir, cosa que Caine havia après que era el codi per a «és interessant». Unestudiant afroamericà assegut entre els últims va aixecar la mà.

–Digues, Michael –va dir Caine.

–Com va demostrar Pascal que havia de dedicar la seva vida a la religió?

–Oh, tens raó, ja gairebé me n’havia oblidat. Va fer servir...

La classe d’un altre dia es descriu tot seguit.

–Com la majoria dels qui som en aquesta aula, Laplace va ser incomprès pels seus pares –va dir Caine mentre caminava per davant de la pissarra–. Tot i que el seu pare volia que fos soldat o sacerdot, Laplace es va decidir per la vida acadèmica. Per tant, quan va fer divuit anys se’n va anar a l’epicentre acadèmic de França: París. Allí va aconseguir una feina com a professor de geometria dels cadets d’una acadèmia militar. Entre ells hi havia un xicot baixet que es deia Napoleó Bonaparte que, segons que m’han dit, després va fer unes quantes coses extraordinàries.

Els dotze estudiants aplegats al voltant de la taula van riure per cortesia.

–El 1770, Laplace va presentar el seu primer treball a laprestigiosa Académie des Sciences. Després d’allò, va quedar

clar per a tothom que era un geni de les matemàtiques. Així que va dedicar la resta de la seva vida a dos camps: la probabilitat i l’astronomia. Al cap de gairebé trenta anys, el 1799, va unir tots dos camps en publicar el llibred’astronomia més important de l’època: Tractat de lamecànica celeste. El llibre no sols contenia una exposicióanalítica del sistema solar, sinó que també incloïa nousmètodes per calcular les òrbites planetàries.

»Tanmateix, la raó per la qual el Tractat de la mecànicaceleste avui encara es considera molt important no és

per les seves troballes astronòmiques, sinó perquè va ser la primera persona que va aplicar la teoria de les probabilitats

a l’astronomia. Laplace va demostrar que les múltiples observacionsde la posició d’un estel tendien a formar una corba amb forma

de campana. […]

–A què es refereix amb «múltiples observacions de la posició d’un estel»? –va preguntar un estudiant de cara pàl·lida i cabells llisos i foscos.

–Ah, bona pregunta –Caine es va atansar a la pissarra–. En aquells moments, un dels gransproblemes de l’astronomia era que tothom feia els seus mesuraments una mica a ull i, com que les persones cometen errors, les dades no eren clares. Vint astrònoms diferents mesuraven la posiciód’un estel i n’obtenien vint lectures diferents. El que va fer Laplace va ser agafar aquelles vintobservacions diferents i fer-ne un gràfic. Quan ho va fer, va veure que les posicions formaven una corba amb forma de campana com aquesta. –Caine va assenyalar una gràfica de distribució normal a la paret–. Així que ho va veure, va exclamar: «És clar, si les observacions estan en una distribució normal, llavors la punta ens indica la posició més probable de l’estel». Ara enssembla una mica obvi, però en aquell moment va ser revolucionari. Aquest va ser el primer exemple de com algú aplicava la teoria de les probabilitats a una altra disciplina.

Adam Fawer, El teorema, Barcelona: Planeta, 2005


917232p150a204Rec.qxd 16/12/08 12:58 Página 196


David Caine és graduat en Estadística, però la seva passió pel pòquer el converteix en unludòpata. Sap que les lleis matemàtiques de la probabilitat prediuen el comportament de l’atzarquan es fan desenes de milers de jugades, però mai el que passarà en una jugada concreta. Tot i així, David Caine es deixa seduir per la seva fe en els nombres en comptes d’utilitzar-los per protegir-se. D’aquesta manera, acumulant un deute darrere l’altre, la vida se li complica i les seves desventures constitueixen l’argument central de la novel·la.



ACTIVITAT 1

Què vol dir la frase: «Les probabilitats sempre estan a favor de la casa»?

ACTIVITAT 2

Què va voler dir el professor amb la frase: «Si els nobles francesos haguessin estat llestos,probablement no els haurien tallat el cap»?

ACTIVITAT 3

Demostra que, en aquest joc dels daus, un jugador té una probabilitat de guanyar del 48 %, mentre que la casa té un 52 %.

ACTIVITAT 4

Ara aplicarem la tècnica de Laplace en un context més senzill i intranscendent. Fent servir diversos instruments de mesura (regles, cartabons, cintes mètriques...), cada alumne ha de mesurar les dimensions, en mm, de la taula del professor i n’ha de calcular la superfície. Amb totes les dades obtingudes s’elabora un polígon de freqüències i, a partir d’aquest, s’estima quina és la superfície més probable de la taula.

RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S

917232p150a204Rec.qxd 16/12/08 12:58 Página 197




Les variables aleatòries se solen escriure en majúscula i es fan servir les lletres: X, Y, Z…

Per indicar els valors de les variables aleatòries es fa servir la mateixa lletra que designa la variableen minúscula, i s’hi afegeix un subíndex que es refereix a la posició de la dada.

Per indicar que una variable aleatòria pren un certvalor es fa servir el signe igual.

Tot sovint, per abreujar, s’utilitza la notació pi perindicar P(X = xi).

P(X = xi) = pi

Els signes de desigualtat: <, >, ≤, ≥ es fan servirper indicar que la variable aleatòria pren tots els valors per sota o per sobre d’un cert valor.


X Variable aleatòria.

x1, x2, x3, …, xi, … Valors que pot adoptar la variable aleatòria X.

X = xi El valor de la variablealeatòria X és xi.

P (X = xi) Probabilitat quepi la variable aleatòria X

adopti el valor xi.

P (X ≤ xi) Probabilitat quela variable aleatòria Xadopti un valor menor que xi.

μ Mitjana o esperança d’una variable E(X) aleatòria.

σ2 Variància d’una variable aleatòria.

σ Desviació típica d’una variablealeatòria.

De vegades, la mitjana d’una variable aleatòria, μ,rep el nom d’esperança matemàtica.

μ = E(X)

Quan tenim més d’una variable, als paràmetresd’una variable aleatòria s’hi sol afegir un subíndex amb el nom de la variable a la qual corresponen.

μX → Mitjana de XσY → Desviació típica de Y


f (xi) Funció de probabilitat o de densitatd’una variable aleatòria.

F (xi) Funció de distribució d’una variablealeatòria.

La funció de probabilitat d’una variable aleatòriadiscreta i la funció de densitat d’una variablealeatòria contínua s’expressen de la mateixamanera.

En el cas de la funció de distribució s’esdevé el mateix, i la seva notació no depèn de si la variable és discreta o contínua.

Per designar les dues funcions se solen utilitzar la mateixa lletra, minúscula en el cas de la funcióde probabilitat o densitat, i majúscula per a la funció de distribució.


917232 _ 0150-0204.qxd 29/12/08 09:58 Página 198



Valor de la probabilitaten una N(0, 1)quan la variable és menor o igual que un cert valor negatiu .P (Z ≤ − a) = P (Z ≥ a)

Valor de la probabilitaten una N(0, 1)quan la variable és menor o igual que un cert valor.P (Z > a) = 1− P (Z ≤ a)

Valor de la probabilitaten una N(0, 1)quan la variable és entre dos valors diferents.P (a < Z < b) = P (Z < b)− P (Z ≤ a)


La taula de la distribució normal fa P(Z ≤ a). La resta de probabilitats es determinenrelacionant-les amb ella. Així, l’àrea de la zonaacolorida és la probabilitat cercada en una distribució N(0, 1).

X � B(n, p) La variable aleatòria Xsegueix una distribucióde probabilitat binomialde paràmetres n i p.

X � N(μ, σ) La variable aleatòria X segueix una distribucióde probabilitat normalde paràmetres σ i μ.

Z � N(0, 1) La variable aleatòria Z segueix una distribucióde probabilitat normalde paràmetres 0 i 1.

X ≈ N(μ, σ) La variable aleatòria X X ≈ N(0, 1) s’acosta a una distribució

de probabilitat normal.

Per indicar que una variable aleatòria segueix unadistribució coneguda s’utilitza el símbol �..

La distribució binomial es designa amb una lletra Bi, entre parèntesis, es col·loquen els seus paràmetres:

n = nombre de vegades que es realitzal’experiment

p = probabilitat que s’esdevingui l’esdeveniment A

La distribució normal es designa amb una lletra N i,entre parèntesis, es col·loquen els seus paràmetres:

μ = mitjana de la variable aleatòria

σ = desviació típica de la variable aleatòria

La distribució N(0,1) se sol designar amb la variable Z.

Per indicar que una variable aleatòria es potaproximar a una distribució coneguda utilitzem elsímbol ≈.

1144 DDiissttrriibbuucciioonnss bbiinnoommiiaall ii nnoorrmmaall

P (Z ≤ −a)

P (Z ≤ a)

P (Z ≤ a)

P (Z < b)

P (Z ≥ a)

P (Z > a)

0

0

0

a

ba

−a

a

RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S

917232 _ 0150-0204.qxd 29/12/08 09:58 Página 199


D’una pila d’11 fitxes, 2 jugadors, de manera alternativa, agafen 1, 2 o 3 fitxes cada vegada, fins que s’acabin les fitxes de la pila. El jugador que retira l’última fitxa, perd. Busca l’estratègiaguanyadora.


Tot seguit mostrem una estratègia guanyadora que consisteix a deixar una fitxa al contrincant.

Si el primer jugador agafa 2 fitxes en la primera jugada i, després, agafa el complement a 4 de les fitxes que agafa el segon jugador, sempre guanya, perquè deixa l’última fitxa al segon jugador.

Estratègia Hi ha jocs en què es pot guanyar sempre utilitzant una estratègia guanyadora i d’altresen què la millor estratègia depèn del coneixement que es tingui sobre probabilitat. En aquest últim cas, la millor estratègia no garanteix l’èxit del joc perquè l’atzar tambéhi influeix.

Quan un jugador aconsegueix guanyar, independentment de com actuï l’altre jugador,està utilitzant una estratègia guanyadora.

Hi ha 2 jugadors, 2 daus, 2 taulers com el següent i 18 fitxes per a cadascun.

Cada jugador col·loca les 18 fitxes en el seu tauler en els nombres que vulgui, i pot col·locar diverses fitxes en alguns nombres i en d’altres, cap.

Els jugadors tiren els daus de maneraalternativa i resten els nombres que els surtin.Quan aquesta diferència coincideixi amb el nombre on hi hagi fitxes, es retira una fitxa.

Guanya el jugador que arribi al final de 30tirades amb menys fitxes en el seu tauler.

Quina és la millor estratègia?

El joc del punyet es pot establir a partir de 2 jugadors. Consisteix en què cada jugador té en una mà 0, 1, 2 o 3 monedes, i cada jugador diu, segons un torn establert,un nombre, per intentar encertar el nombretotal de monedes que hi ha a les mans dels jugadors.

Així que tots els jugadors han dit un nombre,s’obren les mans, es compten les monedes i el qui hagi dit el nombre que coincideixi amb el total guanya la partida.

Si sou 2 jugadors i comences dient un nombre, quina creus que seria la millor estratègia?

I si sou 3 jugadors i comences dient un nombre?

21

La millor estratègia

PROBLEMA RESOLT

PROBLEMES PROPOSATS



0 1 2 3 4 5 6

917232p150a204Rec.qxd 16/12/08 12:58 Página 200



EXERCICIS

De manera semblant a com ho has fet a la Pràctica 2, respon la resta de les preguntesde l’exercici 31 de la pàgina 364.

Utilitza la funció DISTR.BINOM com es fa a les Pràctiques 1 i 2 per resoldre els exercicis32 i 33 de la pàgina 365.

21




2. Per calcular valors d’una distribució binomial es fa servir la funció:

DISTR.BINOM(nre. èxits; nre. assaigs; prob. èxits; acumulat)

Aquesta funció depèn de l’argument acumulat; si és VERITABLE, retor-na la funció probabilitat acumulada; si és FALS, retorna la probabilitatque s’esdevingui un nombre de vegades igual a l’argument nre. èxits.En aquest cas cal teclejar la funció amb els arguments següents a lacel·la A2.

3. Situa’t sobre la cel·la A2 i prem el botó . Amb el botó esquerre delratolí premut, arrossega fins a la columna F.


1. Introdueix el possible nombre d’encerts a la taula.

2. Tecleja la funció DISTR.BINOM amb els arguments a A2.

3. Situa’t sobre la cel·la A2 i prem el botó . Amb el botó esquerre delratolí premut, arrossega fins a la columna M.

4. Per calcular la probabilitat que facin blanc més de dos torpedes has desumar el rang C2:M2. Utilitza la funció =SUMA amb el rang següent.

També pots fer servir directament el botó .




RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S

917232p150a204Rec.qxd 16/12/08 12:58 Página 201



EXERCICIS



Utilitza la funció DISTR.NORM.ESTAND per calcular les probabilitats de l’exercici 48 de la pàgina 366.


4

3

2

1


PRÀCTICA 1 (pàg. 366, exercici 47 a i e)

1. Per calcular la probabilitat d’una normal, de mitjana 0 i desviació típica 1 amb el full de càlcul EXCEL, has de fer servir la funcióDISTR.NORM.ESTAND(z).

Per trobar la probabilitat de l’apartat a) has de teclejar la funció ambl’argument 0,73.

2. A l’apartat e) cal utilitzar la propietat dels successos contraris. En aquestcas teclegem el següent.


1. Calcula primer la probabilitat que la N(0, 1) sigui menor que 0,26.

2. Ara calcula la probabilitat que la N(0, 1) sigui menor que 0,39.

3. La probabilitat buscada és la resta de les dues probabilitats, per tant calrestar el valor de les dues cel·les.

PRÀCTICA 3 (pàg. 366, exercici 50 a i b)

1. En aquest cas es coneix la probabilitat i necessites el valor que acumulaaquesta probabilitat. Per a aquest cas, EXCEL té la funcióDISTR.NORM.ESTAND.INV(k). Utilitza-la amb l’argument següent.

2. A l’apartat b) cal utilitzar la propietat dels successos contraris. Enaquest cas teclegem el següent.





917232p150a204Rec.qxd 16/12/08 12:58 Página 202



EXERCICIS


Utilitza la funció DISTR.NORM per calcular les probabilitats de l’exercici 52 de la pàgina 366.


Utilitza la funció DISTR.NORM per resoldre els exercicis 53, 56, 57 i 58 de les pàgines 366 i 367.

4

3

2

1



1. Per calcular la probabilitat en una normal, de mitjana μ i desviació típicaσ amb el full de càlcul EXCEL, has de fer servir la funció:

DISTR.NORM(x; μ; σ; VERITABLE)

En aquest cas l’has de teclejar amb els arguments següents.


1. En aquest cas necessites trobar el valor que deixa una certa probabili-tat, utilitzant la funció DISTR.NORM.INV(probabilitat; μ; σ). Utilitza lafunció de la manera següent.


1. La probabilitat segueix una distribució N(40; 6,2). Per calcular la proba-bilitat que aguanti més de 53 segons cal utilitzar la funció DISTR.NORMamb els arguments següents.

2. Per al cas que aguanti menys de 30 segons, tecleja la funció amb els ar-guments següents.





RE

CU

RS

OS

DID

ÀC

TIC

S

917232p150a204Rec.qxd 16/12/08 12:58 Página 203

917232p150a204Rec.qxd 16/12/08 12:58 Página 204

MODELS PAUPER A 1r BATXILLERAT

PAUTES DE CORRECCIÓ

• Cada pregunta s’avalua amb punts i mitjos punts, però no amb altresdecimals. Ara bé, dins de cada pregunta es pot utilitzar qualsevol decimal i després arrodonir la suma total. Es pot matisar la nota de cada preguntaamb signes + i –, de manera que es compensin els matisos entre totes les preguntes.

• Hi haurà molts casos concrets en què serà difícil aplicar els criteris ques’exposen a continuació. S’aplicaran en els casos clars. En els casosdubtosos, es farà prevaler el criteri del corrector i el sentit comú.

• Es valoraran totes les parts de cada subapartat que siguin correctes, encara que el resultat final no ho sigui.

• Es penalitzaran els errors simples de càlcul amb 0, 0,25 o 0,5 punts segonsla importància de l’error i el criteri del corrector. Els errors de càlcul queportin a resultats incoherents o absurds, es penalitzaran amb 0,75 o 1 punt.Si l’error és molt escandalós, es pot puntuar tot l’apartat amb 0 punts.

917232 _ 0205-0235.qxd 16/12/08 14:07 Página 205


Nombres reals1Responeu TRES de les quatre qüestions i resoleu UN dels dos problemes següents. En lesrespostes, expliqueu sempre què és el que voleu fer i per què.


Podeu utilitzar calculadora, però no es poden fer servir calculadores o altres aparells queportin informació emmagatzemada o que puguin transmetre o rebre informació.



QÜESTIONS

1. Resoleu de manera exacta les operacions següents:

a) 1,2 − 0,23�

b) 0,72�

: 0,916�

(2 punts)

2. La capacitat de memòria d’un ordinador es mesura en megabytes (Mb). Un megabyte té 106 bytes d’informació, de manera que cada byte conté un símbol (dígit, lletra, etc.).

Si, de mitjana, una paraula es compon de 4 símbols, estimeu quantes paraules pot arxivar un ordinador amb una memòria de 500 Mb.

(2 punts)

3. Un centre d’estudis té 600 alumnes i se’ls fa una enquesta sobre els hàbits de lectura que tenen. Se n’obté un resultat representatiu.

Si el 40,909090…% afirma que llegeix almenys un llibre per mes i el 14,58333…%declara que llegeix més de dos llibres en el mateix període, quants estudiants han contestat l’enquesta?

(2 punts)

4. Es consideren els nombres A = 543.210.000.000 i B = 0,000000678.

Expresseu en notació científica els resultats de les operacions següents:

a) A · B

b)

(2 punts)

A

B

Proves d’accés a la universitat. Matemàtiques

917232 _ 0205-0235.qxd 16/12/08 14:07 Página 206


MO

DE

LS P

AU

P

ER

A 1

r B

ATX

ILLE

RA

T

PROBLEMES

1. Resoleu:

a) Representeu gràficament:

b) Trobeu el resultat de:

c) Racionalitzeu i simplifiqueu:

( a) 1 punt, b) i c) 1,5 punts per apartat)

2. Calculeu la solució de les equacions seguents:

a) 3x−3 = 1

b) logx 8 = 2

c) logx = 5

d) log5 0,04 = x

(1 punt per apartat)

5

53

4 80 5 245 6 605 320− + −

26

917232 _ 0205-0235.qxd 16/12/08 14:07 Página 207



NOMBRES REALS1QÜESTIONS

1. Resoleu de manera exacta les operacions següents:

a) 1,2 − 0,23��

b) 0,72�

: 0,916��

Apartat a) 1,2 − 0,23��

=

Apartat b) 0,72��

: 0,916��

=

Puntuació: Apartats a) i b) 1 punt per apartat.

2. La capacitat de memòria d’un ordinador es mesura en megabytes (Mb). Un megabyte té 106 bytes d’informació, de manera que cada byte conté un símbol (dígit, lletra, etc.).

Si, de mitjana, una paraula es compon de 4 símbols, estimeu quantes paraules pot arxivarun ordinador amb una memòria de 500 Mb.

1 Mb = 10 6 b → 500 Mb = 5 ⋅ 10 8 b

Si cada paraula conté 4 símbols: 5 ⋅ 10 8 : 4 = 1,25 ⋅ 10 8

Per tant, un ordinador amb una memòria de 500 Mb pot arxivar 125 milions de paraules.

Puntuació:



3. Un centre d’estudis té 600 alumnes i se’ls fa una enquesta sobre els hàbits de lectura que tenen. Se n’obté un resultat representatiu.

Si el 40,909090…% afirma que ha llegit almenys un llibre per mes i el 14,58333…%declara que llegeix més de dos llibres en el mateix període, quants estudiants han contestat l’enquesta?

40,909090… = 14,58333… =

Com que el nombre d’alumnes és un valor enter, aquest nombre ha de ser divisible per 11 i per 12.Com que el m.c.m. (11, 12) = 132, el nombre buscat és múltiple de 132.

Així, l’enquesta ha estat contestada per 528 estudiants.

Puntuació:



13 125900

17512

. =4 05099

45011

. =

7299

825900

811

1112

96121

: := =

1210

2190

8790

2930

− = =

917232 _ 0205-0235.qxd 16/12/08 14:07 Página 208


MO

DE

LS P

AU

P

ER

A 1

r B

ATX

ILLE

RA

T

4. Es consideren els nombres A = 543.210.000.000 i B = 0,000000678.

Expresseu en notació científica els resultats de les operacions següents:

a) A · B b)

Apartat a) A ⋅ B = 5,4321 ⋅ 1010 ⋅ 6,78 ⋅ 10 −8 = 3.682,9638 = 3,6829638 ⋅ 10 3

Apartat b) = 8,01 ⋅ 1017

Puntuació:

Apartat a) 1,5 punts.

Apartat b) 0,5 punts.

AB

= ⋅⋅ −

5 4321 106 78 10

10

8

,,

A

B

917232 _ 0205-0235.qxd 16/12/08 14:07 Página 209


NOMBRES REALS1PROBLEMES

1. Resol:

a) Representeu gràficament:

b) Trobeu el resultat de:

c) Racionalitzeu i simplifiqueu:

Apartat a)

S’aplica el teorema de Pitàgores:

Apartat b)

Apartat c)

Puntuació:

Apartat a) 1 punt.

Apartat b) i c) 1,5 punts per apartat.

2. Calcula la solució de les equacions següents:

a) 3x−3 = 1

b) logx 8 = 2

c) logx = 5

d) log5 0,04 = x

Apartat a)

3 x−3 = 1 = 30 → x − 3 = 0 → x = 3

Apartat b)

logx 8 = 2. Per definició de logaritme: 2 x = 8 → 2 x = 23 → x = 3

Apartat c)

logx = 5. Per definició de logaritme: x = 105 = 100.000

5

5

5 55

5 55

5 55

53

23 3 46 66= ⋅ = ⋅ = =

4 80 5 245 6 605 320 16 5 35 5 66 5 8 5 39 5− + − = − + − =

26 5 12 2= +

5

53

4 80 5 245 6 605 320− + −

26

0 1 2 3 4 5

26

26 5 122

= +

917232 _ 0205-0235.qxd 16/12/08 14:07 Página 210


MO

DE

LS P

AU

P

ER

A 1

r B

ATX

ILLE

RA

T

Apartat d)

log5 0,04 = x. Per definició de logaritme:

Puntuació:

Apartats a), b), c) i d) 1 punt per apartat.

x = = = = −−log log log ( )5 5 524

1001

255 2

917232 _ 0205-0235.qxd 16/12/08 14:07 Página 211



QÜESTIONS

1. Un concurs de televisió de l’any 2001 consistia a proposar al concursant una successió de preguntes fins que donava una resposta incorrecta i quedava eliminat. Els premis per a cada resposta s’acumulaven i eren d’una pesseta per a la primera, dues per a lasegona, quatre per a la tercera i així successivament en progressió geomètrica de raó 2.


b) Quin és el nombre mínim de preguntes que calia respondre per aconseguir un milió o més?

(2 punts)

2. Troba els sis angles d’un hexàgon sabent que l’angle més petit és recte i que tots formenuna progressió aritmètica.

(2 punts)

3. Raoneu quin dels dos procediments financers següents és més favorable per a l’inversor i calculeu quina diferència hi ha entre els capitals acumulats.


b) Ingressar 30.000 euros a un interès compost del 7 % anual durant 10 anys, ambacumulació d’interessos cada any.

(2 punts)

4. A quin interès compost anual heu invertit un cert capital si al cap de cinc anys ha augmentat el 50 %?

(2 punts)

Responeu TRES de les quatre qüestions i resoleu UN dels dos problemes següents. En lesrespostes, expliqueu sempre què és el que voleu fer i per què.






917232 _ 0205-0235.qxd 16/12/08 14:07 Página 212


MO

DE

LS P

AU

P

ER

A 1

r B

ATX

ILLE

RA

T

PROBLEMES

1. Es deixa caure una bola de goma des d’una altura de 243 metres. Cada vegada que toca a terra rebota i recorre cap amunt una distància igual a les dues terceres parts de l’alturades de la qual ha caigut l’última vegada.


b) Quina distància ha recorregut des que s’ha deixat caure fins que ha tocat a terra per sisena vegada?

(4 punts)

2. La Joana i la Mercè tenien 20.000 € cadascuna per invertir. Cadascuna fa la mateixadistribució dels diners en tres parts P, Q i R, i les porta a una entitat financera. Al cap d’un any, a la Joana li han donat un 4 % d’interès per la part P, un 5 % per la part Q i un4 % per la part R, i a la Mercè li han donat un 5 % per la part P, un 6 % per la part Q i un 4 % per la part R. La Joana ha rebut en total 850 € d’interessos, mentre que la Mercè,n’ha rebut 950.



917232 _ 0205-0235.qxd 16/12/08 14:07 Página 213



SUCCESSIONS. PROGRESSIONS. APLICACIONS2QÜESTIONS

1. Un concurs de televisió de l’any 2001 consistia a proposar al concursant una successió depreguntes fins que donava una resposta incorrecta i queda eliminat. Els premis per a cadaresposta s’acumulaven i eren d’una pesseta per a la primera, dues per a la segona, quatreper a la tercera i així successivament en progressió geomètrica de raó 2.


b) Quin és el nombre mínim de preguntes que calia respondre per aconseguir un milió omés?

Apartat a) Primerament cal obtenir el terme general de la progressió: 1, 2, 4...

a1 = 1, r = 2 → an = a1 ⋅ rn−1 = 1 · 2n−1 = 2n−1

Serà la suma dels deu primers termes:

Apartat b) S’ha de trobar un valor natural n tal que Sn ≥ 1000000, o sigui: 2n = 1 ≥ 1000000. S’aïlla 2n ≥ 1000001. Es treuen logaritmes:

; per tant n = 20.

Puntuació:


Les respostes han de ser, sobretot, justificades. No compteu cap resultat que no estigui justificat.

2. Troba els sis angles d’un hexàgon sabent que l’angle més petit és recte i que tots formenuna progressió aritmètica.

Anomenem d a la diferència de la progressió. Els angles seran:

90, 90 + d, 90 + 2d, 90 + 3d, 90 + 4d i 90 + 5d

La suma dels angles d’un polígon de n costats és: Sn = (n − 2) ⋅ 180, en aquest cas: S6 = 4 ⋅ 180 = 720.

Per tant:

I els angles són: 90, 102, 114, 126, 138 i 150.

Puntuació:



Sd

d d d690 90 5

26 720 540 15 720 15 180= + + ⋅ = + = = =( ) → → → 112

n n⋅ ≥ ≥ ≥log loglog

log ,2 1000001

10000012

60 30103

→00

S10

10101 2 1

2 12 1 1023= ⋅ −

−= − =( )

917232 _ 0205-0235.qxd 16/12/08 14:07 Página 214


MO

DE

LS P

AU

P

ER

A 1

r B

ATX

ILLE

RA

T

3. Raoneu quin dels dos procediments financers següents és més favorable per a l’inversor i calculeu quina diferència hi ha entre els capitals acumulats.


b) Ingressar 30.000 euros a un interès compost del 7 % anual durant 10 anys, amb acumulació d’interessos cada any.

Calculem en cada cas quin és el capital final:

Cas a) Cf = C0 (1 + it) = 30000 (1 + 0,08 ⋅ 10) = 54000 €

Cas b) Cf = C0 (1 + i) t = 30000 (1 + 0,07)10 = 59014,54 €

Per tant, és més favorable el cas b). La diferència és de 5.014,54 €

Puntuació:



4. A quin interès compost anual heu invertit un cert capital si al cap de cinc anys haaugmentat el 50 %?

Hem de resoldre la següent equació Cf = C0 (1 + i)5 tenint en compte que Cf = C0 ⋅ 1,5.

Per tant, 1,5 C0 = C0 . (1 + i)5. Dividim per C0 i ens queda: 1,5 = (1 + i)5, o sigui:

Puntuació:



1 1 5 1 0845 080845 8 455+ = ≅ =i i, , , %→ →

917232 _ 0205-0235.qxd 16/12/08 14:07 Página 215


SUCCESSIONS. PROGRESSIONS. APLICACIONS2PROBLEMES

1. Deixem caure una bola de goma des d’una altura de 243 metres. Cada vegada que toca a terra rebota i recorre cap amunt una distància igual a les dues terceres parts de l’alturades de la qual ha caigut l’última vegada.


b) Quina distància ha recorregut des que l’hem deixada caure fins que ha tocat a terra per sisena vegada?

D’una banda, calculem els primers termes de la successió (altures de caiguda):

,... Es tracta d’una progressió geomètrica,

el primer terme de la qual és 243 i la raó és

De l’altra tenim també les altures que assoleix la bola en les pujades: la primera de la qual és

b1 = 162 i es tracta també d’una progressió geomètrica de raó

Apartat a)

Hem de calcular el sisè terme de la progressió de les baixades:

Apartat b)

Per calcular la distància recorreguda quan toca per sisena vegada a terra hem de fer les sumes següents: H = S6 + S’5

(distàncies recorregudes a les baixades)

(distàncies recorregudes a les pujades)

I, per tant, la distància total recorreguda serà: H = 665 + 422 = 1.087 m

Puntuació:

Plantejament correcte de les progressions: 1 punt.

Apartat a) 1 punt.

Apartat b) 2 punts.

S'5

5

162 23

1

23

1

162=

⋅ ⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ −

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−=

⋅⋅ −

−= =

211243

13

422313

422

S6

6

243 23

1

23

1

243=

⋅ ⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ −

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−=

⋅ −−

−= =

665729

13

665313

665

a m6

6 1

243 23

32= ⋅⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ =

−

r = 23

r = 23

a a a1 2 324323

243 16223

162 108= = = = =→ →

917232 _ 0205-0235.qxd 16/12/08 14:07 Página 216


MO

DE

LS P

AU

P

ER

A 1

r B

ATX

ILLE

RA

T

2. La Joana i la Mercè tenien 20.000 € cadascuna per invertir. Cadascuna fa la mateixadistribució dels diners en tres parts P, Q i R, i les porta a una entitat financera. Al cap d’un any, a la Joana li han donat un 4% d’interès per la part P, un 5 % per la part Q i un4% per la part R, i a la Mercè li han donat un 5% per la part P, un 6% per la part Q i un 4% per la part R. La Joana ha rebut en total 850 € d’interessos, mentre que la Mercè,n’ha rebut 950.


Anomenem x, y i z les quantitats d’euros que suposen cadascuna de les parts P, Q i R.

Els diners obtinguts per cadascuna seran:

Joana: 004x + 0,05y + 0,04z = 850

Mercè: 005x + 0,06y + 0,04z = 950

Per altra banda, x + y + z = 20000

Per tant, es traca de resoldre el sistema següent:

La solució és x = 5000 € y = 5000 € z = 10000 €

Puntuació:

Plantejament correcte del sistema: 2 punts.

Obtenció dels valors per algun mitjà correcte de resolució: 1 punt.

Solució correcta: 1 punt.

x y zx y zx y

+ + =+ + =+

200000 04 0 05 0504 8500 05 0 06

, ,, , ++ =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪0 04 950, z

917232 _ 0205-0235.qxd 16/12/08 14:07 Página 217



QÜESTIONS

1. Resoleu la inequació:

(2 punts)

2. Trobeu la solució de la inequació:

x 4 − 3x 3 − 4x2 + 12x > 0

(2 punts)

3. Trobeu la regió solució del sistema:

(2 punts)

4. Resoleu el sistema d’equacions, sabent que la suma de les tres solucions és igual a 8.

(2 punts)

2 333 0

2 3 5x y zx y z

+ − =+ − =

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

− + ≤− ≤

≥≥

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪⎪

2 22 2

00

2x yx y

xy

x

x x

2 16

1 50

−+ −

≥( ) ( )







917232 _ 0205-0235.qxd 16/12/08 14:07 Página 218


MO

DE

LS P

AU

P

ER

A 1

r B

ATX

ILLE

RA

T

PROBLEMES

1. Una dieta conté dos ingredients: A i B. L’ingredient A conté 35 g de lípids i 15 g de proteïnes per cada 100 g, i l’ingredient B aporta 15 g de lípids i 10 g de proteïnes per cada 100 g.

La dieta ha de contenir menys de 30 g de lípids i almenys 11 g de proteïnes per cada 100 gd’aliment. Indiqueu les expressions que determinen les possibles solucions del problema i representeu-les gràficament.


2. Resoleu les equacions:

a) 4x 4 − 21x 2 + 5 = 0

b)

( a) 2 punts: 0,5 punts plantejament i 1,5 punts resolució, b) 2 punts: 1,5 punts resolució i 0,5 punts comprovació)

x

x

x

x

x

x

−+

−+

− +=

−2

1

4

4 4

3

12

917232 _ 0205-0235.qxd 16/12/08 14:07 Página 219



EQUACIONS, INEQUACIONS I SISTEMES3QÜESTIONS

1. Resoleu la inequació:

x2 − 16 = 0 → x = ± 4

(x + 1)(x − 5) = 0 →

La solució és: (−�, −4) ∪ (−1, 4) ∪ (5, +�)

Puntuació:

Plantejament correcte: 0,5 punts.

Resolució correcta: 1,5 punts.

2. Trobeu la solució de la inequació: x 4 − 3x 3 − 4x2 + 12x > 0

x4 − 3x3 − 4x2 + 12x = 0 → x(x − 3)(x − 2)(x + 2) = 0 →

La solució és: (−�, −2) ∪ (0, 2) ∪ (3, +�)

Puntuació:



xxxx

==== −

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

032

2

xx

= −=

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

15

x

x x

2 16

1 50

−+ −

≥( ) ( )

−4

(x − 4)(x + 4) + −

(x + 1)(x − 5) + +

−

−

−

++

+

−

−

+

+

+

−1 4 5

( )( )

( )( )

x x

x x

− ++ −

4 4

1 5

−2

−

−

−

−

+

−

−

−

+

−

+

−

−

+

+

+

−

+

+

−

+

+

+

+

+

0 2 3

x

x − 3

x − 2

x + 2

x(x − 3)(x − 2)(x + 2)

917232 _ 0205-0235.qxd 16/12/08 14:07 Página 220


MO

DE

LS P

AU

P

ER

A 1

r B

ATX

ILLE

RA

T

3. Trobeu la regió solució del sistema:

Puntuació:

Representació de les rectes corresponents a les inequacions: 1 punt.

Determinació de la regió solució: 1 punt.

4. Resoleu el sistema d’equacions, sabent que la suma de les tres solucions és igual a 8.

Així, tenim que z = 2, y = −5 i x = 11.

Puntuació:



x y zx y zx y z

x y z+ − =+ − =+ + =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

+ − =−3 0

2 3 58

3 0→ yy z

z+ =

=

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

5 54 8

2 333 0

2 3 5x y zx y z

+ − =+ − =

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

− + ≤− ≤

≥≥

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪⎪

2 22 2

00

2x yx y

xy

1

y=

2x+

2

y

x=

−2

1

Y

X−2

−2

917232 _ 0205-0235.qxd 16/12/08 14:07 Página 221


EQUACIONS, INECUACIONS I SISTEMES3PROBLEMES

1. Una dieta conté dos ingredients: A i B. L’ingredient A conté 35 g de lípids i 15 g de proteïnes per cada 100 g, i l’ingredient B aporta 15 g de lípids i 10 g de proteïnes per cada 100 g.

La dieta ha de contenir menys de 30 g de lípids i almenys 11 g de proteïnes per cada 100 gd’aliment. Indiqueu les expressions que determinen les possibles solucions del problema i representeu-les gràficament.

Si x és la quantiat en grams de l’ingredient A i y és la quantitat de B:

Puntuació:

Plantejament correcte: 2 punts.

Representació correcta: 2 punts.

2. Resoleu les equacions:

a) 4x 4 − 21x 2 + 5 = 0

b)

Apartat a)

4x4 − 21x2 + 5 = 0

z = x2 → 4z2 − 21z + 5 = 0 → zz x

z x= ± = = ±

= = ±

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

21 198

5 514

12

→→

→

x

x

x

x

x

x

−+

−+

− +=

−2

1

4

4 4

3

12

35 15 3015 10 11

00

x yx y

xy

+ ≤+ ≥

≥≥

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪⎪

−0,5

1,1

1,08

y x= − +3

2

11

10y x= − +

7

32

917232 _ 0205-0235.qxd 16/12/08 14:07 Página 222


MO

DE

LS P

AU

P

ER

A 1

r B

ATX

ILLE

RA

T

Apartat b)

m.c.m. (x + 1, −4x + 4, x2 − 1) = 4(x2 − 1)

→ 4(x − 1)(x − 2) + ( x + 1)(x + 4) = 4 ⋅ 3x

4x2 − 12x + 8 + x2 + 5x + 4 = 12x → 5x2 − 19x + 12 = 0 →

Puntuació:

Apartat a) 2 punts: 0,5 punts plantejament i 1,5 punts resolució.

Apartat b) 2 punts: 1,5 punts resolució i 0,5 punts comprovació.

x

x

=

=

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

345

xx

xx

xx

−+

− +− +

=−

21

44 4

312

917232 _ 0205-0235.qxd 16/12/08 14:07 Página 223


Trigonometria4

QÜESTIONS

1. Tres punts, A, B i C, estan situats sobre un pla, de manera que els segments AB i BCmesuren 6 i 9 unitats respectivament, i l’amplada de l’angle que determinen és de 150º. Calculeu la distància entre els punts A i C.

(2 punts)

2. Sabent que sin α = i que α és un angle del segon quadrant, calculeu raonadament

(sense trobar l’angle) els valors de:

a) sin 2α

b) sin

(2 punts)

3. Trobeu la mida del costat desigual d’un triangle isòsceles, sabent que els seus costatsiguals fan 40 centímetres i que l’amplada dels seus angles iguals és de 30º.

(2 punts)

4. Si els angles d’un triangle són A$, B$ i C$, demostreu que:

tg A$ + tg B$ + tg C$ = tg A$ tg B$ tg C$

(2 punts)

απ

+⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟3

1

5







917232 _ 0205-0235.qxd 16/12/08 14:07 Página 224


MO

DE

LS P

AU

P

ER

A 1

r B

ATX

ILLE

RA

T

PROBLEMES

1. a) Calculeu tots els angles x que verifiquen l’equació.

cos 2 x = 3 sin2 x

b) Resoleu aquest sistema d’equacions, trobant les solucions compreses entre 0 i 2π radians.

(4 punts: 2 punts per apartat)


tg 2 x + 3 = 2 tg x

b) Resoleu el sistema d’equacions següent, trobant les solucions compreses entre 0º i 360º.

(4 punts: 2 punts per apartat)

sin cos

sin cos

x yx y+ =

− =

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

2

5 3 2

x y

x y

− =

+ =

⎧

⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

π2

2sin cos

917232 _ 0205-0235.qxd 16/12/08 14:07 Página 225



TRIGONOMETRIA4QÜESTIONS

1. Tres punts, A, B i C, estan situats sobre un pla, de manera que els segments AB i BCmesuren 6 i 9 unitats respectivament, i l’amplada de l’angle que determinen és de 150º. Calculeu la distància entre els punts A i C.

b2 = a2 + c2 − 2 arc cos B$ → b = = 14,51 u

Puntuació:



2. Sabent que sin α = i que α és un angle del segon quadrant, calculeu raonadament

(sense trobar l’angle) els valors de:

a) sin 2α b) sin

Apartat a)

sin2 α + cos2 α = 1 → cos2 α = 1 − → cos α =

sin 2α = 2 sin α cos α = 2 ⋅

Apartat b)

sin = sin α cos + cos α sin

Puntuació:

Apartat a) 1 punt: 0,5 punts plantejament i 0,5 punts resolució.

Apartat b) 1 punt.

3. Trobeu la mida del costat desigual d’un triangle isòsceles, sabent que els seus costatsiguals fan 40 centímetres i que l’amplada dels seus angles iguals és de 30º.

π3

15

12

2 65

32

1 6 210

= ⋅ + −⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

= −π3

α π+⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟3

15

2 65

4 625

−⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

= −

− 2 65

15

2425

2⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ =

απ

+⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟3

1

5

9 6 2 9 6 1502 2+ − ⋅ ⋅ cos °

6

9

b150°

A

BC

40 cm40 cm

30° 30°

C$

917232 _ 0205-0235.qxd 23/12/08 12:57 Página 226


MO

DE

LS P

AU

P

ER

A 1

r B

ATX

ILLE

RA

T

A$ + B$ + C$ = 180º → C$ = 180º − (30º + 30º) = 120º

= 69,28 cm

Puntuació:



4. Si els angles d’un triangle són A$, B$ i C$, demostreu que:

tg A$ + tg B$ + tg C$ = tg A$ tg B$ tg C$

A$ + B$ + C$ = 180º → C$ = 180º − (A$ + B$)

tg A$ + tg B$ + tg C$ = tg A$ + tg B$ + tg (180º − (A$ + B$)) = tg A$ + tg B$ − tg (A$ + B$) =

= tg A$ + tg B$ − = =

=

tg A$ tg B$ tg C$ = tg A$ tg B$ tg (180º − (A$ + B$)) = tg A$ tg B$ (−tg (A$ + B$)) =

= tg A$ tg B$ =

Puntuació:



−tg2 A$ tg B$ − tg A$ tg2 B$

1 − tg A$ tg B$−tg A$ − tg B$

1 − tg A$ tg B$

−tg2 A$ tg B$ − tg A$ tg2 B$

1 − tg A$ tg B$

tg A$ − tg2 A$ tg B$ + tg B$ − tg A$ tg2 B$ − tg A$ − tg B$

1 − tg A$ tg B$tg A$ + tg B$

1 + tg A$ tg B$

4030 120

40 12030sin ° sin °

sin °sin °

= =cc→

917232 _ 0205-0235.qxd 16/12/08 14:07 Página 227


TRIGONOMETRIA4PROBLEMES


cos 2 x = 3 sin2 x

b) Resoleu aquest sistema d’equacions, trobant les solucions compreses entre 0 i 2π radians.

Apartat a)

cos2 x = 3 sin2 x → cos2 x = 3(1 − cos2 x) → 4 cos2 x = 3

cos x =

, si k és un nombre enter.

Apartat b)

x = + y → sin + cos y = → cos y + cos y = → 2 cos y =

cos y =

Puntuació:

Apartats a) i b) 2 punts per apartat.


tg 2 x + 3 = 2 tg x

b) Resoleu el sistema d’equacions següent, trobant les solucions compreses entre 0º i 360º.

Apartat a)

tg2 x + 3 = 2 tg2 x → tg2 x = 3 → tg x =

, si k és un nombre enter.

±

= + ⋅= + ⋅= + ⋅

3

30 360240 360300 360

→

x kx kx

° °° °° ° kk

x k= + ⋅

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪⎪ 120 360° °

sin cos

sin cos

x yx y+ =

− =

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

2

5 3 2

22

434

74 4

→→

→

y x

y x

= =

= =

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

π π

π π

222y +⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

π2

π2

±

= + ⋅= + ⋅= + ⋅

32

30 360150 360210 360

→

xxxx

° °° °° °

kkk

== + ⋅

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪⎪ 330 360° ° k

x y

x y

− =

+ =

⎧

⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

π2

2sin cos

917232 _ 0205-0235.qxd 16/12/08 14:07 Página 228


MO

DE

LS P

AU

P

ER

A 1

r B

ATX

ILLE

RA

T

Apartat b)

8 sin x = 4 sin x =

sin x = → cos y =

Puntuació:

Apartats a) i b) 2 punts per apartat.

22

45315

→ yy

==

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

°°

22

22

45135

→ xx

==

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

°°

2

sin cossin cos

sinx yx y

x+ =− =

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

25 3 2

3→ ++ =− =

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

3 3 25 3 2

cossin cos

yx y

917232 _ 0205-0235.qxd 16/12/08 14:07 Página 229


Nombres complexos5

QÜESTIONS

1. Trobeu dos nombres complexos, sabent que la part real del primer és 3, que la suma dels dos nombres té una part real igual a 5 i que el seu producte és 8 − 4i.

(2 punts)

2. Calculeu:

a) (1 + i)10

b)

(2 punts)

3. Trobeu dos nombres complexos, sabent que la seva diferència té la part imaginària nul·la, la seva suma té la part real igual a 2 i el seu producte és −51 + 8i.

(2 punts)

4. a) Escriviu una equació de tercer grau que tingui com a solucions: i, −i i 1.

b) Calculeu i representeu en el pla complex les solucions de l’equació x4 − 64x = 0.

( a) 1 punt, i b) 2 punts: 1,5 punts resolució de l’equació i 0,5 punts representació)

2 12+ i







917232 _ 0205-0235.qxd 16/12/08 14:07 Página 230


MO

DE

LS P

AU

P

ER

A 1

r B

ATX

ILLE

RA

T

PROBLEMES

1. a) Calculeu el valor de x perquè el quocient sigui un nombre real.

b) Determineu el valor de x perquè el quocient sigui un nombre imaginari.

c) Demostreu que si el quocient de dos nombres complexos, a + mi i b + ni,

és un nombre imaginari pur, llavors es verifica:

( a) i b) 1 punt per apartat, i c) 2 punts: 1,5 punts resolució de l’equació i 0,5 punts representació)

2. a) Escriviu una equació de segon grau que tingui les solucions: 3 + 2i i 3 − 2i.

b) Calculeu i representeu en el pla complex les solucions de l’equació x 3 + 81 = 0.

( a) 1,5 punts, i b) 2,5 punts: 1,5 punts resolució de l’equació i 1 punt representació)

a

n

m

b= −

6

3 2

−−

xi

i

917232 _ 0205-0235.qxd 16/12/08 14:07 Página 231



NOMBRES COMPLEXOS5QÜESTIONS

1. Trobeu dos nombres complexos, sabent que la part real del primer és 3, que la suma dels dos nombres té una part real igual a 5 i que el seu producte és 8 − 4i.

Plantejament:

Els nombres són de la forma: 3 + mi i b + ni.

Si la suma dels dos nombres té una part real igual a 5 → 3 + b = 5 → b = 2

(3 + mi)(2 + ni) = 6 + 3ni + 2mi + mni2 = (6 − mn) + (3n + 2m) i →

Resolució:

⋅ n = 8 → 12 + 4n + 3n2 = 16 → 3n2 + 4n − 4 = 0 →

Si n = → m = −3 → Els nombres complexos són: 3 − 3i i 2 + i

Si n = −2 → m = 1 → Els nombres complexos són: 3 + i i 2 − 2i

Puntuació:



2. Calculeu:

a) (1 + i)10

b)

Apartat a)

Si z = 1 + i → i α = arc tg 1 = 45º

z = → z10 = = 32(cos 225º + i sin 225º) =

z

Apartat b)

Si z = 2 + = 4 i α = arc tg = 60º

z1 = = 230º = 2(cos 30º + i sin 30º) = + i

z2 = = 2210º = 2(cos 210º + i sin 210º) = − − i

Puntuació:


34 60 3602

° °+

34 602

°

122

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

12 2 122 2i z→ = +

= −⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

+ −⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠32

22

22

i ⎟⎟⎟⎟⎟= − −16 2 16 2 i

2 3210

45225( ) =

⋅° 5°2 45°

z = + =1 1 22 2

2 12+ i

23

23

n

n

=

= −

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

232

mn n= − − − − −4 3

26

4 32

→

6 83 2 4

− =+ = −

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

mnn m

917232 _ 0205-0235.qxd 16/12/08 14:07 Página 232


MO

DE

LS P

AU

P

ER

A 1

r B

ATX

ILLE

RA

T

3. Trobeu dos nombres complexos, sabent que la seva diferència té la part imaginària nul·la, la seva suma té la part real igual a 2 i el seu producte és −51 + 8i.

Plantejament:

Els dos nombres són de la forma: a + mi i b + ni.

Si la diferència té la part imaginària nul·la → m − n = 0 → m = n

I si la suma té la part real igual a 2 → a + b = 2

( a + mi)( b + mi) = ab + ami + bmi + m2i2 = ( ab − m2) + ( am + bm) i →

Resolució:

m(a + b) = 8 → 2m = 8 → m = 4 → ab − 16 = −51 → ab = −35

a(2 − a) = −35 → 2a − a2 = −35 → a2 − 2a − 35 = 0 →

Si a = 7 → b = −5 → Els nombres complexos són: 7 + 4i i −5 + 4i

Si a = −5 → b = 7 → Els nombres complexos són: −5 + 4i i 7 + 4i

Puntuació:



4. a) Escriviu una equació de tercer grau que tingui com a solucions: i, −i i 1.

b) Calculeu i representeu en el pla complex les solucions de l’equació x4 − 64x = 0.

Apartat a)

Si z1, z2 i z3 són les solucions d’una equació de tercer grau → ( x − z1)( x − z2)( x − z3) = 0

( x − i)( x + i)( x − 1) = 0 → ( x2 + 1)( x − 1) = 0 → x3 − x2 + x − 1 = 0

Apartat b)

x4 + 64x = 0 → x( x3 + 64) = 0 →

Si z = −64 → = 64 i α = arc tg 0 = 180º

z1 = = 460º = 4(cos 60º + i sin 60º) = 2 + 2 i

z2 = = 4180º = 4(cos 180º + i sin 180º) = −4

z3 = = 4300º = 4(cos 300º + i sin 300º) = 2 − 2 i

Puntuació:

Apartat a) 1 punt.

Apartat b) 2 punts: 1,5 punts resolució de l’equació i 0,5 punts representació.

3643 180 360 23

° °+ ⋅

643 180 3603

° °+

3643 1803

°

z = −( )642

xx x

=+ = = −

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

064 0 643 3→

aa

== −

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

75

ab mam bm

− = −+ =

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

2 518

460°

1

1

4300°

4180°

917232 _ 0205-0235.qxd 16/12/08 14:07 Página 233


NOMBRES COMPLEXOS5PROBLEMES

1. a) Calculeu el valor de x perquè el quocient sigui un nombre real.

b) Determineu el valor de x perquè el quocient sigui un nombre imaginari.

c) Demostreu que si el quocient de dos nombres complexos, a + mi i b + ni,

és un nombre imaginari pur, llavors es verifica:

Apartat a)

El quocient és un nombre real si la part imaginària és nul·la → 12 − 3x = 0 → x = 4

Apartat b)

El quocient és un nombre imaginari si la part real és nul·la → 18 + 2x = 0 → x = −9

Apartat c)

Si aquest quocient és un nombre imaginari → ab + mn = 0 → ab = −mn →

Puntuació:

Apartat a) i b): 1 punt per apartat.

Apartat c) 2 punts: 1,5 punts resolució de l’equació i 0,5 punts representació.

2. a) Escriviu una equació de segon grau que tingui les solucions: 3 + 2i i 3 − 2i.

b) Calculeu i representeu en el pla complex les solucions de l’equació x 3 + 81 = 0.

Apartat a)

Si z1 i z2 són les solucions d’una equació de segon grau → (x − z1)(x − z2) = 0

(x − 3 − 2i)(x − 3 + 2i) = 0 → x2 − 3x + 2ix − 3x + 9 − 6i − 2ix + 6i + 4 = 0 → x2 − 6x + 13 = 0

Apartat b)

x3 + 81 = 0 → x =

Si z = −81 → = 81 i α = arc tg 0 = 180º

z1 = = 960º = 9(cos 60º + i sin 60º) =

z2 = = 9180º = 9(cos 180º + i sin 180º) = −9

z3 = = 9300º = 9(cos 300º + i sin 300º) =92

9 32

− i813 180 360 23

° °+ ⋅

813 180 3603

° °+

92

9 32

+ i813 1803

°

z = −( )812

−813

an

mb

= −

a mib ni

a mi b nib ni b ni

ab ani bm++

= + −+ −

= − +( )( )( )( )

ii mnib n i

ab mn bm an ib n

−−

= + + −+

2

2 2 2 2 2

( ) ( )

63 2

6 3 23 2 3 2

18 12 3−−

= − +− +

= + −xii

xi ii i

i x( )( )( )( )

ii xii

x x i−−

= + + −29 4

18 2 12 313

2

2

( ) ( )

a

n

m

b= −

6

3 2

−−

xi

i

917232 _ 0205-0235.qxd 16/12/08 14:07 Página 234


MO

DE

LS P

AU

P

ER

A 1

r B

ATX

ILLE

RA

T

Puntuació:


Apartat b) 2,5 punts: 1,5 punts resolució de l’equació i 1 punt representació.

960°

9300°

9180°

9 3

2

9

2

917232 _ 0205-0235.qxd 16/12/08 14:07 Página 235


Geometria analítica6

QÜESTIONS

1. Tenint en compte els punts A(4, 5) i B(1, −3), feu el següent:

a) Trobeu l’extrem D d’un vector fix CD�, equipol·lent al vector AB�, si C (−2, 8).

b) Trobeu un vector unitari amb la mateixa direcció que el vector lliure determinat per AB�.

(2 punts)

2. Tenint en compte els punts A(1, 4) i B(−2, 3), us demanem que:

a) Trobeu l’origen C d’un vector fix CD�, equipol·lent al vector AB�, si resulta que D(5, 6).

b) Calculeu la suma del vector AB� i un vector que li és ortogonal amb el mateix mòdul.

(2 punts)

3. Calculeu el valor de a i de b perquè la recta r: passi pel punt

i tingui la direcció del vector .

(2 punts)

4. Tenint en compte les rectes següents:

r: 2x − y = 1 i s: 3x + 2y = 12

Trobeu l’equació de la recta que hi és concurrent que passa pel punt P(−8, −3).

(2 punts)

11

2, −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟1

1

3,x b

a

y

a

−=

+−2

2

1







917232p236a289Pau.qxd 16/12/08 13:05 Página 236


MO

DE

LS P

AU

P

ER

A 1

r B

ATX

ILLE

RA

T

PROBLEMES

1. Tenint en compte els punts A(2, 1) i B(6, −5). Us demanem que:

a) Calculeu la longitud del segment AB.

b) Determineu la mediatriu d’aquest segment.

c) Trobeu el punt simètric de A respecte del punt P (−1, 2).

( a) 1 punt, i b) i c) 1,5 punts per apartat)

2. a) Calculeu el valor de m perquè el baricentre del triangle de vèrtexs A(7, 4), B (m + 2, −6) i C(−5, m + 1) estigui situat en l’eix d’abscisses, i trobeu-ne coordenades.

b) Obteniu l’equació de la mitjana del triangle anterior que passa pel vèrtex A.

c) Trobeu la mida del segment determinat pel vèrtex A i el punt d’intersecció de la mitjanaanterior i el costat BC del triangle.

( a) i b) 1 punt per apartat, i c) 2 punts)

917232p236a289Pau.qxd 16/12/08 13:05 Página 237

238

GEOMETRIA ANALÍTICA6QÜESTIONS

1. Tenint en compte els punts A(4, 5) i B(1, −3), feu el següent:

a) Trobeu l’extrem D d’un vector fix CD�, equipol·lent al vector AB�, si C (−2, 8).

b) Trobeu un vector unitari amb la mateixa direcció que el vector lliure determinat per AB�.

Apartat a)

AB� = (1 − 4, −3 − 5) = (−3, −8)

Si AB� i CD� són vectors equipol·lents, llavors CD� = (−3, −8).

Sigui D(x, y) → (x + 2, y − 8) = (−3, −8) →

Apartat b)

Resposta oberta: És qualsevol vector proporcional a .

Puntuació:


2. Tenint en compte els punts A(1, 4) i B(−2, 3), us demanem que:

a) Trobeu l’origen C d’un vector fix CD�, equipol·lent al vector AB�, si resulta que D(5, 6).

b) Calculeu la suma del vector AB� i un vector que li és ortogonal amb el mateix mòdul.

Apartat a)

AB� = (−2 − 1, 3 − 4) = (−3, −1)

Si els vectors AB� i CD� són equipol·lents, llavors CD� = (−3, −1).

Sigui C(x, y) → (5 − x, 6 − y) = (−3, −1) →

Apartat b)

Dos vectors perpendiculars en el pla verifiquen que el seu producte escalar és nul.

Resposta oberta: Un vector ortogonal a AB� amb el mateix mòdul és de la forma (1, −3).

La suma dels dos vectors és: (−3, −1) + (1, −3) = (−2, −4)

Puntuació:


5 36 1

87

8 7− = −− = −

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

==

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

xy

xy

C→ → ( , )

− −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

3

73

8

73,

xy

xy

D+ = −− = −

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

= −=

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

−2 38 8

50

5 0→ → ( , )



917232p236a289Pau.qxd 16/12/08 13:05 Página 238

239

MO

DE

LS P

AU

P

ER

A 1

r B

ATX

ILLE

RA

T

3. Calculeu el valor de a i de b perquè la recta r: passi pel punt

i tingui la direcció del vector .

Càlcul del valor de a:

Com que el vector director de la recta és de la forma (2a, a − 1) →

Càlcul del valor de b:

Si a = → x − b = → x − b = −2y − 4 → x + 2y + 4 − b = 0

Com que és un punt de la recta, es verifica que: −1 + + 4 − b = 0 → b =

Puntuació:



4. Tenint en compte les rectes següents:

r : 2x − y = 1 i s : 3x + 2y = 12

Trobeu l’equació de la recta que hi és concurrent que passa pel punt P(−8, −3).

Si les rectes es tallen a (2, 3) i la recta que demanem passa pel punt P(−8, −3), llavors:

→ 3x − 5y + 9 = 0

Puntuació:

2 punts.

x y+ = +810

36

2 13 2 12

4 2 23 2 12

x yx y

x yx y

− =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

− =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪

→⎪⎪

==

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→ xy

23

113

23

−⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟1

13

,

y +

−

212

12

2 1

112

12

a

aa

=

− = −

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

=→

11

2, −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟1

1

3,x b

a

y

a

−=

+−2

2

1


917232p236a289Pau.qxd 16/12/08 13:05 Página 239

240

GEOMETRIA ANALÍTICA6PROBLEMES

1. Tenint en compte els punts A(2, 1) i B(6, −5). Us demanem que:

a) Calculeu la longitud del segment AB.

b) Determineu la mediatriu d’aquest segment.

c) Trobeu el punt simètric de A respecte del punt P (−1, 2).

Apartat a)

dist (A, B) = u

Apartat b)

El punt mitjà del segment AB és M(4, −2).

Si AB� = (4, −6) → Un vector normal és de la forma n� = (6, 4).

Llavors la mediatriu és la recta: → 2x − 3y − 14 = 0

Apartat c)

A'( x, y) és el punt simètric de A.

Com que P és el punt mitjà del segment AA': → A'(−4, 3)

Puntuació:

Apartat a) 1 punt.

Apartats b) i c) 1,5 punts per apartat.

2. a) Calculeu el valor de m perquè el baricentre del triangle de vèrtexs A(7, 4), B (m + 2, −6)i C(−5, m + 1) estigui situat en l’eix d’abscisses, i trobeu-ne coordenades.

b) Obteniu l’equació de la mitjana del triangle anterior que passa pel vèrtex A.

c) Trobeu la mida del segment determinat pel vèrtex A i el punt d’intersecció de la mitjanaanterior i el costat BC del triangle.

Apartat a)

G és el baricentre del triangle ABC: ( x, 0)

G =7 2 5

34 6 1

31

30 1

53

+ + − − + +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

− = =m m mm G, → → → ,, 0

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

22

1

12

2

+ = −

+ =

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

x

y

x y− = +46

24

( ) ( )6 2 5 1 52 2 132 2− + − − = =


917232p236a289Pau.qxd 16/12/08 13:05 Página 240

241

MO

DE

LS P

AU

P

ER

A 1

r B

ATX

ILLE

RA

T

Apartat b)

AG� = → → 3x − 4y − 5 = 0

Apartat c)

La mitjana talla el costat BC en el punt mitjà d’aquest segment: M(−1, 2)

dist (A, M) = u

Puntuació:


Apartat c) 2 punts.

( ) ( )− − + − =1 7 2 4 682 2

x y−

−= −

−7

163

44

− −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

163

, 4


917232p236a289Pau.qxd 16/12/08 13:05 Página 241

242

Llocs geomètrics. Còniques7

QÜESTIONS

1. a) Trobeu l’equació cartesiana del lloc geomètric dels punts del pla, de manera que la suma dels quadrats de les seves distàncies als punts (0, 0) i (1, 1) sigui igual a 9.

b) Calculeu l’àrea de la regió del pla que determina el lloc que heu trobat.

(2 punts)

2. Considerem dos punts fixos A(1, −2) i B(−1, 2) i altres dos punts P i Q que es desplacen sobre els eixos de coordenades (vegeu la figura), que canvien de manera que OQ = 2OP. Trobeu el lloc geomètric que descriu el punt M, en què es tallen les rectes variables AP i BQ.

(2 punts)

3. Trobeu una equació cartesiana del lloc geomètric dels punts del pla amb una diferència de distàncies als punts A(0, 3) i B(0, −1) igual a 1. Digueu de quin tipus de lloc geomètric es tracta.

(2 punts)

4. a) Determineu el centre, el radi i la gràfica de la circumferència C: x 2 + y 2 − 4x + 2y = 0.

b) Trobeu l’equació de la circumferència concèntrica amb C que és tangent a la rectad’equació 2x − y + 2 = 0.

( a) i b) 1 punt per apartat)

Y

Q2

Q1

P1 P2

P3

Q3

B

AX








917232p236a289Pau.qxd 16/12/08 13:05 Página 242

243

MO

DE

LS P

AU

P

ER

A 1

r B

ATX

ILLE

RA

T

PROBLEMES

1. Tenim les còniques C1 i C 2, que tenen les equacions cartesianes següents:

C1: 9x2 + 16y 2 = 144 C2: 9x 2 − 16y2 = 144

a) Especifiqueu els elements característics de cadascuna: vèrtexs, focus, excentricitat i asímptotes (si existeixen).

b) Trobeu una equació cartesiana de la paràbola d’eix horitzontal, oberta cap a la dreta i que passa per tres dels vèrtexs de la cònica C1.

( a) 1 punt per cònica, i b) 2 punts: 1 punt per plantejament i 1 punt per resolució)

2. Donada la paràbola d’equació y = y 2 − 2:

a) Determineu els punts d’intersecció d’aquesta paràbola amb els eixos de coordenades.

b) Trobeu una equació cartesiana i la gràfica de l’el·lipse que té com a vèrtexs els punts trobats en l’apartat anterior. Calculeu-ne l’excentricitat.

( a) 1,5 punts, i b) 1,5 punts: 0,5 punts per l’equació, 0,5 punts per l’excentricitat i 0,5 punts per la gràfica)

1

8


917232p236a289Pau.qxd 16/12/08 13:05 Página 243

244

LLOCS GEOMÈTRICS. CÒNIQUES7QÜESTIONS

1. a) Trobeu l’equació cartesiana del lloc geomètric dels punts del pla, de manera que la sumadels quadrats de les seves distàncies als punts (0, 0) i (1, 1) sigui igual a 9.

b) Calculeu l’àrea de la regió del pla que determina el lloc que heu trobat.

Apartat a)

Plantejament:

(x, y) és un punt del pla.

x2 + y2 + (x − 1)2 + (y − 1)2 = 9 → 2x2 + 2y2 + 2x + 2y − 7 = 0 → x2 + y2 + x + y − = 0

→ x2 + x + + y2 + y + = 4 →

Determinació del lloc geomètric:

Es tracta d’una circumferència amb centre i radi 2 u.

Apartat b)

A = πr2 = 4π = 12,57 u2

Puntuació:

Apartat a) 1,5 punts: 0,5 punts plantejament correcte i 1 punt determinació del lloc geomètric.


2. Considerem dos punts fixos A(1, −2) i B(−1, 2) i altres dos punts P i Q que es desplacen sobre els eixos de coordenades (vegeu la figura), que canvien de manera que OQ = 2OP. Trobeu el lloc geomètric que descriu el punt M, en què es tallen les rectes variables AP i BQ.

Els punts situats sobre els eixos de coordenades són P(p, 0) i Q(0, q).

AP� = (p − 1, 2) i BQ� = (1, 2 − q) = (1, 2 − 2p)

Les equacions de les rectes són:

OQ = 2OP → q = 2p → → y + 2 = 2x + 2 → y = 2x

El lloc geomètric és una recta que passa per l’origen de coordenades i té un pendent igual a 2.

Puntuació:

2 punts.

y xx

x yy

++

= ⋅ ++

21

22

2

xp

y

x yq

px−

−= +

+ = −−

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

− = −11

22

11

22

12

→

222

221

222

y

qyx

px y

y

qy x

+

− = −+

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

= ++

= +xx + 1

12

12

,⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

x y+⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ + +

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ =1

212

22 2

214

14

72



Y

X

A

1

2

−1

B

M

M

M

−2

917232p236a289Pau.qxd 16/12/08 13:05 Página 244

245

MO

DE

LS P

AU

P

ER

A 1

r B

ATX

ILLE

RA

T

3. Trobeu una equació cartesiana del lloc geomètric dels punts del pla amb una diferènciade distàncies als punts A(0, 3) i B(0, −1) igual a 1. Digueu de quin tipus de lloc geomètrices tracta.

Plantejament:

Per la definició del lloc geomètric es tracta d’una hipèrbola.

Com que (x, y) és un punt del pla:

Resolució:

→ x2 + y2 − 6y + 9 = 1 + x2 + y2 + 2y + 1 +

→ 7 − 8y = 2

→ 49 − 112y + 64y2 = 2x2 + 2y2 + 4y + 2

→ 2x2 − 62y2 + 116y − 47 = 0

Puntuació:

2 punts: 1 punt plantejament correcte i 1 punt resolució correcta.

4. a) Determineu el centre, el radi i la gràfica de la circumferència C: x2 + y 2 − 4x + 2y = 0.

b) Trobeu l’equació de la circumferència concèntrica amb C que és tangent a la recta d’equació 2x − y + 2 = 0.

Apartat a)

x2 + y2 − 4x + 2y = 0 → x2 − 4x + 4 + y2 + 2y + 1 = 5 →

→ ( x − 2)2 + ( y + 1)2 =

El centre de la circumferència és C(2, −1), i el radi fa u.

Apartat b)

La mida del radi de la circumferència concèntrica amb C coincideix amb la distància del seu centre

a la recta: r =

Per tant, l’equació de la circumferència és:

( x − 2)2 + ( y + 1)2 = → 5x2 + 5y2 − 20x + 10y − 24 = 0

Puntuació:


7

5

2⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⏐ ⏐2 2 1 2

2 1

7

52 2

⋅ − − +

+ −=( )

( )

5

52( )

x y2 21+ +( )

x y2 21+ +( )x y x y2 2 2 23 1 1+ − = + + +( ) ( )

x y x y2 2 2 23 1 1+ − + + + =( ) ( )


Y

X1

1

C (2, −1)

917232p236a289Pau.qxd 16/12/08 13:05 Página 245

246

LLOCS GEOMÈTRICS. CÒNIQUES7PROBLEMES

1. Tenim les còniques C1 i C2, que tenen les equacions cartesianes següents:

C1: 9x 2 + 16y 2 = 144

C2: 9x 2 − 16y 2 = 144

a) Especifiqueu els elements característics de cadascuna: vèrtexs, focus, excentricitat i asímptotes (si existeixen).

b) Trobeu una equació cartesiana de la paràbola d’eix horitzontal, oberta cap a la dreta i que passa per tres dels vèrtexs de la cònica C1.

Apartat a)

9x2 + 16y2 = 144 → . És una el·lipse amb a = 4 i b = 3.

Els vèrtexs són: A(4, 0), A'(−4, 0), B(0, 3) i B'(0, −3)

a2 = b2 + c2 → c =

L’excentricitat és: e = i els focus són: F( , 0) i F '(− , 0)

9x2 − 16y2 = 144 → . És una hipèrbola amb a = 4 i b = 3.

Els vèrtexs són: A(4, 0) i A'(−4, 0)

c2 = a2 + b2 → c = 5

L’excentricitat és: e = i els focus són: F(5, 0) i F'(−5, 0)

Les asímptotes de la hipèrbola tenen com a equacions: y = x

Apartat b)

L’equació de la paràbola és de la forma: x = ay2 + by + c

Si els punts A'(−4, 0), B(0, 3) i B'(0, −3) li corresponen:

Per tant, l’equació de la paràbola és: x = y2 − 4 → 9x − 4y2 + 36 = 0

Puntuació:

Apartat a) 1 punt per cònica. A l’el·lipse: 0,5 punts pels quatre vèrtexs; 0,25 punts pels dos focus i 0,25 punts per l’excentricitat. En la hipèrbola: 0,25 punts pels dos vèrtexs; 0,25 punts pels dos focus;0,25 punts per l’excentricitat i 0,25 punts per les asímptotes.

Apartat b) 2 punts: 1 punt plantejament correcte i 1 punt resolució correcta.

49

9 3 09 3 0

4

9 3 49 3

a b ca b c

c

a ba b

+ + =− + =

= −

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

+ =− ==

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= =4

49

0a i b

± 34

54

x y2 2

16 91− =

7774

7

x y2 2

16 91+ =


917232p236a289Pau.qxd 16/12/08 13:05 Página 246

247

MO

DE

LS P

AU

P

ER

A 1

r B

ATX

ILLE

RA

T

2. Donada la paràbola d’equació y = y 2 − 2:

a) Determineu els punts d’intersecció d’aquesta paràbola amb els eixos de coordenades.

b) Trobeu una equació cartesiana i la gràfica de l’el·lipse que té com a vèrtexs els punts trobats en l’apartat anterior. Calculeu-ne l’excentricitat.

Apartat a)

y = 0 → x2 − 2 = 0 → x2 − 16 = 0 → x = ±4 → A(−4, 0) i A'(4, 0)

x = 0 → y = −2 → B(0, −2)

Apartat b)

a = 4 i b = 2 → → x2 + 4y2 = 16

a2 = b2 + c2 → c =

L’excentricitat és: e =

Puntuació:


Apartat b) 1,5 punts: 0,5 punts per l’equació, 0,5 punts per l’excentricitat i 0,5 punts per la gràfica.

2 34

32

=

2 3

x y2 2

16 41+ =

18

1

8


Y

X1

1

FF'

917232p236a289Pau.qxd 16/12/08 13:05 Página 247

248

Funcions8

QÜESTIONS

1. Considerem un quadrat de x cm de costat. Amb centre en cada vèrtex i radi de la meitat de la longitud del costat, es construeixen sectors circulars. Trobeu l’expressió de l’àrea dela figura que es forma dins del quadrat en funció del seu costat.

Trobeu el valor de l’àrea si el costat fa cm.

(2 punts)

2. Dibuixeu la gràfica d’una funció que té les característiques següents:

• El domini és tota la recta real i el recorregut és l’interval [−3, 3].

• És simètrica respecte de l’origen de coordenades.

• És creixent a (−1, 1) i decreixent a (−�, −1) ∪ (1, +�).

(2 punts)

3. En un cercle amb un radi de x cm, hi inscrivim un quadrat.

a) Trobeu l’expressió de l’àrea de la figura que formen els quatre segments circulars.

b) Trobeu el valor de l’àrea si el radi fa cm.

(2 punts)

4. Dibuixeu la gràfica d’una funció amb les característiques següents.

• El seu recorregut és tota la recta real.

• És asimètrica respecte de l’eix d’ordenades.

• Té un màxim relatiu al punt (0, 4).

• Té dues asímptotes verticals.

(2 punts)

8

2








917232p236a289Pau.qxd 16/12/08 13:05 Página 248

249

MO

DE

LS P

AU

P

ER

A 1

r B

ATX

ILLE

RA

T

PROBLEMES

1. Es consideren les funcions: g(x) = 2x − 1

Calculeu:

a) f −1(x) i el seu domini.

b) (f � g )(x) i el seu domini.

c) i el seu domini.

( a) i b) 1,5 punts per apartat, i c) 1 punt)

2. De la funció representada, indiqueu-ne:

a) El domini i el recorregut.

b) La simetria i la monotonia.

c) Els punts de tall i les asímptotes.


f x

g x

( )

( )

f xx

x( ) =

+ 1


Y

X

1

1

917232p236a289Pau.qxd 16/12/08 13:05 Página 249

250

FUNCIONS8QÜESTIONS

1. Considerem un quadrat de x cm de costat. Amb centre en cada vèrtex i radi de la meitat de la longitud del costat, es construeixen sectors circulars. Trobeu l’expressió de l’àrea dela figura que es forma dins del quadrat en funció del seu costat.

Trobeu el valor de l’àrea si el costat fa cm.

Càlcul de l’àrea:

Àrea de la figura = Àrea del quadrat − Àrea del cercle de radi de la meitat

del costat → f(x) = x2 − π

Càlcul del valor:

cm2

Puntuació:

2 punts: 1,5 punts càlcul de l’àrea i 0,5 punts càlcul del valor.

2. Dibuixeu la gràfica d’una funció que té les característiques següents:

• El domini és tota la recta real i el recorregut és l’interval [−3, 3].

• És simètrica respecte de l’origen de coordenades.

• És creixent a (−1, 1) i decreixent a (−�, −1) ∪ (1, +�).

Resposta oberta.

Puntuació:

2 punts.

3. En un cercle amb un radi de x cm, hi inscrivim un quadrat.

a) Trobeu l’expressió de l’àrea de la figura que formen els quatre segments circulars.

b) Trobeu el valor de l’àrea si el radi fa cm.

Apartat a)

Pel teorema de Pitàgores:

(2x) 2 = y2 + y2 → 2y2 = 4x2 → y2 = 2x2 → y = x2

8

f 28 2

44

2( ) = − = −π π

x x x2

44

2 2 2⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = − π

2x2

x2



y

x

917232p236a289Pau.qxd 16/12/08 13:05 Página 250

251

MO

DE

LS P

AU

P

ER

A 1

r B

ATX

ILLE

RA

T

Àrea de la figura = Àrea del cercle − Àrea del quadrat → f(x) = πx2 − = x2

Apartat b)

f( ) = 8 cm2

Puntuació:



4. Dibuixeu la gràfica d’una funció amb les característiques següents.

• El seu recorregut és tota la recta real.

• És asimètrica respecte de l’eix d’ordenades.

• Té un màxim relatiu al punt (0, 4).

• Té dues asímptotes verticals.

Resposta oberta.

Puntuació:

2 punts.

π −( )28

π −( )222

x( )


917232p236a289Pau.qxd 16/12/08 13:05 Página 251

252

FUNCIONS8PROBLEMES

1. Es consideren les funcions:

Calculeu.

a) f −1(x) i el seu domini.

b) (g � f )(x) i el seu domini.

c) i el seu domini.

Apartat a)

Càlcul de la funció inversa:

→ xy = x − 1 → xy − x = −1 → x(y − 1) = −1 →

Determinació del domini:

Dom = � − {1}

Apartat b)

Càlcul de la composició de funcions:


Dom = (−�, 0) ∪ (1, +�)

Apartat c)

Càlcul de la divisió de funcions:


Dom = (0, +�)

Puntuació:

Apartat a) 1,5 punts: 1 punt càlcul de la funció inversa i 0,5 punts determinació del domini.

Apartat b) 1,5 punts: 1 punt càlcul de la composició de funcions i 0,5 punts determinació del domini.

Apartat c) 1 punt: 0,5 punts càlcul de la divisió de funcions i 0,5 punts determinació del domini.

f xg x

x

x x

( )( )

= − 1

( )( ) ( ( ))g f x g f xx

x� = = − 1

xy

f xx

= −−

=−

−11

11

1→ ( )yx

x= − 1

f x

g x

( )

( )

g x x( ) =f xx

x( ) =

− 1


917232p236a289Pau.qxd 16/12/08 13:05 Página 252

253

MO

DE

LS P

AU

P

ER

A 1

r B

ATX

ILLE

RA

T

2. De la funció representada, indiqueu-ne:

a) El domini i el recorregut.

b) La simetria i la monotonia.

c) Els punts de tall i les asímptotes.

Apartat a)

Dom = � − {−1, 1}

Im = (−�, 0] ∪ (1, +�)

Apartat b)

La funció és simètrica respecte de l’eix d’ordenades.

La funció és creixent a (−�, −1) ∪ (−1, 0) i és decreixent a (0, 1) ∪ (1, +�).

x = 0 és un màxim relatiu.

Apartat c)

La funció només té un punt de tall: (0, 0)

La funció té dues asímptotes verticals: x = −1 i x = 1, i una asímptota horitzontal: y = 1.

Puntuació:

Apartat a) 1 punt.



Y

X

11

917232p236a289Pau.qxd 16/12/08 13:05 Página 253

254

Funcions elementals9

QÜESTIONS

1. Trobeu una funció polinòmica de tercer grau que passi pels punts A(0, 7), B(1, 6), C(−1, 14) i D (2, 17).

(2 punts)

2. Representeu gràficament la funció:

(2 punts)

3. Representeu la funció y = sin x en l’interval [−2π, 2π].

(2 punts)


(2 punts)

f x x x xx x

( ) = − + ≤>

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

2 3 1 11

2 sisiln

f x x xx x

( ) = − ≥− <

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

⏐ ⏐5 05 02

sisi








917232p236a289Pau.qxd 16/12/08 13:05 Página 254

255

MO

DE

LS P

AU

P

ER

A 1

r B

ATX

ILLE

RA

T

PROBLEMES

1. El nombre de cèl·lules d’un cultiu de laboratori es reflecteix en l’expressió:

f (x) = e x − a

en què x representa el temps en dies.

a) Calculeu el valor de a si l’estudi del cultiu s’inicia amb quatre cèl·lules. Quantes cèl·lules hi ha l’endemà?

b) Representeu gràficament la funció, i indiqueu-ne la part gràfica que té sentit en el context del problema.

c) Quants dies han de passar perquè hi hagi 400 cèl·lules al cultiu? I perquè es dupliqui aquesta quantitat?

( a) i c) 1 punt per apartat, i b) 1,5 punts)

2. El nombre de plats que un cuiner prepara depèn dels dies x que dedica a aquesta

feina mitjançant l’expressió .

a) Representeu gràficament la funció, i indiqueu la part gràfica que té sentit en el context del problema.

b) Quants plats prepara en començar a treballar? I al cap d’un dia de feina?

c) Al cap de quants dies prepara 20 plats? Quin és el nombre màxim de plats que pot preparar?


f xx

x( ) =

++

25 5

1


917232p236a289Pau.qxd 16/12/08 13:05 Página 255

256

FUNCIONS ELEMENTALS9QÜESTIONS

1. Trobeu una funció polinòmica de tercer grau que passi pels punts A(0, 7), B(1, 6), C(−1, 14) i D (2, 17).

Plantejament:

Considerem una funció de la forma: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d

Se substitueixen les coordenades de cada punt de la funció:

Resolució:

La funció és: f(x) = x3 + 3x2 − 5x + 7

Puntuació:



Puntuació:

2 punts: 1 punt per la representació de cada part de la funció.

f x x xx x

( ) = − ≥− <

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

⏐ ⏐5 05 02

sisi

a b ca b ca b c

a b c+ + = −− + − =

+ + =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

+ + = −22

17

4 2 5

112 6

3 65 3 1b

a bc b a=

+ =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

= − = =, y

da b c da b c da b c d

=+ + + =

− + − + =+ + + =

⎫

⎬

⎪76

148 4 2 17

4 24 2

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪



5 10

5

X

Y

917232 _ 0236-0289.qxd 29/12/08 10:00 Página 256

257

MO

DE

LS P

AU

P

ER

A 1

r B

ATX

ILLE

RA

T

3. Representeu la funció y = sin x en l’interval [−2π, 2π].

Puntuació:

2 punts.


Puntuació:

2 punts: 1 punt representació de cada part de la funció.

f x x x xx x

( ) = − + ≤>

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

2 3 1 11

2 sisiln

Y

X

1

1 e

Y

X

1

−1−2π 2π


917232 _ 0236-0289.qxd 29/12/08 10:00 Página 257

258

FUNCIONS ELEMENTALS9PROBLEMES

1. El nombre de cèl·lules d’un cultiu de laboratori es reflecteix en l’expressió:

f (x) = e x − a

en què x representa el temps en dies.

a) Calculeu el valor de a si l’estudi del cultiu s’inicia amb quatre cèl·lules. Quantes cèl·lules hi ha l’endemà?

b) Representeu gràficament la funció, i indiqueu-ne la part gràfica que té sentit en el context del problema.

c) Quants dies han de passar perquè hi hagi 400 cèl·lules al cultiu? I perquè es dupliqui aquesta quantitat?

Apartat a)

Quan s’inicia el cultiu, el nombre de dies és: x = 0 → f(0) = 4 cèl·lules → 1 − a = 4 → a = −3

f(x) = ex + 3 → f(1) = e + 3 = 5,72

L’endemà hi ha 6 cèl·lules.

Apartat b)

Apartat c)

ex + 3 = 400 → ex = 397 → x = ln 397 = 5,98

Han de passar 6 dies perquè hi hagi 400 cèl·lules al cultiu.

ex + 3 = 800 → ex = 797 → x = ln 797 = 6,68

Han de passar 7 dies perquè hi hagi el doble de cèl·lules.

Puntuació:

Apartats a) i c) 1 punt per apartat.


Y

X1

4


917232p236a289Pau.qxd 16/12/08 13:05 Página 258

259

MO

DE

LS P

AU

P

ER

A 1

r B

ATX

ILLE

RA

T

2. El nombre de plats que un cuiner prepara depèn dels dies x que dedica a aquesta

feina mitjançant l’expressió .

a) Representeu gràficament la funció, i indiqueu la part gràfica que té sentit en el context del problema.

b) Quants plats prepara en començar a treballar? I al cap d’un dia de feina?

c) Al cap de quants dies prepara 20 plats? Quin és el nombre màxim de plats que pot preparar?

Apartat a)

Només té sentit la part de la gràfica que correspon al semieix positiu d’abscisses.

Apartat b)

En començar a treballar prepara: f(0) = 5 plats

I al cap d’un dia prepara: f(1) = 15 plats

Apartat c)

→ 25x + 5 = 20x + 20 → 5x = 15 → x = 3

Prepara 20 plats al cap de 3 dies.

El nombre màxim de plats és 25, ja que l’asímptota horitzontal de la funció és: y = 25

Puntuació:

Apartat a) 1 punt.


25 51

20x

x+

+=

f xx

x( ) =

++

25 5

1


Y

X1

5

5

y = 25

917232p236a289Pau.qxd 16/12/08 13:05 Página 259

260

Límit d’una funció10

QÜESTIONS

1. Calculeu els límits següents:

a)

b)

(2 punts)

2. Donada la funció:

determineu el valor de m perquè la funció f (x) sigui contínua en tota la recta real.

(2 punts)

3. Donada la funció: f (x) =

determineu els valors de a i b perquè f (x) sigui contínua en tota la recta real.

(2 punts)

4. De la funció f (x) = .

a) Trobeu els punts de discontinuïtat de f.

b) Determineu raonadament si alguna de les discontinuïtats és evitable.

(2 punts)

3 3

1

2

2

x x

x

−−

− − < −− − ≤ ≤

>

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

x xa x xbx

x

2 12 1 1

1

2

sisi

si

f x x x m xx x

( )ln

= − + ≤>

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

2 3 11

2 sisi

limx

x x x x→+

+ − −( )�

2 2

limx

x

x x→0

2

2 2+ − −








917232p236a289Pau.qxd 16/12/08 13:05 Página 260

261

MO

DE

LS P

AU

P

ER

A 1

r B

ATX

ILLE

RA

T

PROBLEMES

1. Considerem la funció: f (x) =

a) Estudieu el domini i la continuïtat de f.

b) Trobeu les asímptotes de la gràfica de f.

( a) 2,5 punts i b) 1,5 punts)

2. De la funció f (x) = , us demanem que:

a) N’especifiqueu el domini.

b) N’estudieu la continuïtat.

c) En calculeu les asímptotes, si en té.


− ++ −x

x x

3

2

1

2 2 12

x x

xx

x

xx

2 3 11

2

11

+ +≥ −

−< −

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

si

si


917232p236a289Pau.qxd 16/12/08 13:05 Página 261

262

LÍMIT D’UNA FUNCIÓ

QÜESTIONS

1. Calculeu els límits següents:

a) b)

Apartat a)

→ Indeterminació

Apartat b)

→ Indeterminació

Puntuació:


2. Donada la funció:

determineu el valor de m perquè la funció f (x) sigui contínua en tota la recta real.

Plantejament:

La funció f(x) és contínua a x = x0 →

Càlcul de cada valor:

f(1) = 2 − 3 + m = −1 + m = 0 → m = 1

Puntuació:

2 punts: 1 punt plantejament correcte, 0,5 punts càlcul cada valor.

lim

lim

x

x

f x m

f xm→

→

→1

1

1

01

−

+

= − +

=

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

− +( )

( )== =0 1→ m

∃ =

∃− +

lim lim limx x x x x x

f x f x f x

f x→ → →

→0 0 0

0

( ) ( ) ( )

( )) ( ) ( )i limx x

f x f x→ 0

0=

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

f x x x m xx x

( )ln

= − + ≤>

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

2 3 11

2 sisi

=+( ) − −( )+ + −

=++ +

lim limx x

x x x x

x x x x

x

x→ →� �

2 2

2 2 2

2

xx x x+ −=

21

lim limx x

x x x xx x x x x x x

→ →+ ++ − −( ) =

+ − −( ) + +

� �

2 2

2 2 2 22

2 2

−( )+ + −

=x

x x x x

limx

x x x x→+

+ − −( ) = −⎡⎣ ⎤⎦�

2 2 � �

=+ + −( )

=limx

x x x

x→0

2 2 2

22 2

lim limx x

x

x x

x x x

x x→ →0 0

2

2 2

2 2 2

2 2+ − −( )=

+ + −( )+ − −( )) + + −( )

=+ + −( )

+( ) − −( )=

2 2

2 2 2

2 20x x

x x x

x xxlim

→

limx

x

x x→0

2

2 2

0

0+ + −=

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

limx

x x x x→+

+ − −( )�

2 2limx

x

x x→0

2

2 2+ − −



10917232p236a289Pau.qxd 16/12/08 13:05 Página 262

263

MO

DE

LS P

AU

P

ER

A 1

r B

ATX

ILLE

RA

T


determineu els valors de a i b perquè f (x) sigui contínua en tota la recta real.

Plantejament:

La funció f( x) és contínua a x = x0 →

Càlcul de cada valor:

→ −1 = a − 2 → a = 1 → b = −1

Puntuació:

2 punts: 1 punt plantejament correcte, 0,5 punts càlcul cada valor.

4. De la funció f (x) = .

a) Trobeu els punts de discontinuïtat de f.

b) Determineu raonadament si alguna de les discontinuïtats és evitable.

Apartat a)

1 − x2 = 0 → x = ±1 Dom = � − {1, −1}

Els punts de discontinuïtat són x = 1 i x = −1.

Apartat b)

és un punt de discontinuïtat evitable.

Puntuació:


lim limx x

x xx

xx

x→ →

→1

2

2 1

3 31

31

32

1−

−= −

+= − =

limx

x xx→−

−−

=⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥1

2

2

3 31

60

limx

x xx→1

2

2

3 31

00

−−

=⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

3 3

1

2

2

x x

x

−−

lim

limx

x

f x

f x b→

→

1

1

1−

+

= −

=

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

( )

( )

lim

limx

x

f x

f x a→

→

−

−

−

+

= −

= −

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

1

1

1

2

( )

( )

∃ =

∃+ −

lim lim limx x x x x x

f x f x f x

f x→ → →

→0 0 0

0

( ) ( ) ( )

( ))( ) ( )lim

x xf x f x

→ 00=

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

− − < −− − ≤ ≤

>

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

x xa x xbx

x

2 12 1 1

1

2

sisi

si


917232p236a289Pau.qxd 16/12/08 13:05 Página 263

264

LÍMIT D’UNA FUNCIÓ

PROBLEMES

1. Considerem la funció: f (x) =

a) Estudieu el domini i la continuïtat de f.

b) Trobeu les asímptotes de la gràfica de f.

Apartat a)


Dom = � − {0}

Estudi de la continuïtat:

→

→ f(x) és contínua a x = 1.

Apartat b)

Asímptota vertical: x = 0

→ Asímptota horitzontal: y = 2

→ Asímptota obliqua: y = x + 3

Puntuació:



mf x

xx x

x

n f

x x

x

= = + + =

=

+ +

+

lim lim

lim

→ →

→

� �

�

( ) 2

2

3 11

(( )x mxx x

xx

x x−⎡⎣ ⎤⎦ = + + −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ =

+lim lim→ →�

2 3 1++

+ =

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪�

3 13

xx

lim

limx

x

f x

f x→

→

+

+

=

=

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

�

�

( )

( )

?? �

2

lim lim limx x x

f x f x f x f→ → →

→− − −− +

= = ∃ ∃1 1 1

1 1( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ( )− = = −−

1 1 11

limx

f x f→

f(x) no és contínua a x = 0, i aquest és un punt de discontinuïtatinevitable de salt infinit

lim

limx

x

f x

f x→

→

0

0

−

+

=

=

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

( )

( )

−�

�??

x x

xx

x

xx

2 3 11

2

11

+ +≥ −

−< −

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

si

si


10917232p236a289Pau.qxd 16/12/08 13:05 Página 264

265

MO

DE

LS P

AU

P

ER

A 1

r B

ATX

ILLE

RA

T

2. De la funció f (x) = , us demanem que:

a) N’especifiqueu el domini.

b) N’estudieu la continuïtat.

c) En calculeu les asímptotes, si en té.

Apartat a)

2x2 + 2x − 12 = 0 → x2 + x − 6 = 0 → Dom = � − {2, −3}

Apartat b)

→ f( x) és discontínua a x = 2. Inevitable de salt infinit

→ f( x) és discontínua a x = −3. Inevitable de salt infinit

Apartat c)

A partir de l’apartat anterior, veiem que la funció té dues asímptotes verticals:

Com que el polinomi del numerador és de grau més alt, no hi ha asímptotes horitzontals.

→ Asímptota obliqua: y =

Puntuació:

Apartat a) 1 punt.


− +12

12

x

mf x

xx

x x x

n

x x= = − +

+ −= −

+ +lim lim→ →� �

( ) 3

3 2

12 2 12

12

== −⎡⎣ ⎤⎦ = − ++ −

+→+ +lim ( )

x xf x mx

xx x� �

lim→

3

2

12 2 12

112

12

x⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ =

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

xx

== −

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

23

lim

limx

x

f x

f x→

→

−

−

−

+

=

=

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

3

3

( )

( )

?? �

�−

lim

limx

x

f x

f x→

→

2

2

−

+

=

=

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

( )

( )

?? �

�−

xx

== −

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

23

− ++ −x

x x

3

2

1

2 2 12


917232p236a289Pau.qxd 16/12/08 13:05 Página 265

266

Derivada d’una funció11

QÜESTIONS

1. Donada la funció f (x) =

a) Indiqueu-ne el domini de definició.

b) Trobeu els intervals de creixement i decreixement.

c) Determineu-ne els màxims i mínims.

(2 punts)

2. Tenim la paràbola y = x 2 − 4x + 4 i un punt (p, q) de manera que 0 ≤ p ≤ 2.

Calculeu les coordenades de (p, q) perquè l’àrea del rectangle format pels costats paral·lels als eixos amb vèrtexs oposats (0, 0) i (p, q) sigui màxima.

(2 punts)

3. Determineu la base i l’altura del triangle isòsceles de perímetre 8 perquè la seva àrea sigui màxima.

(2 punts)

4. De la funció f (x) = x 2 + m, en què m > 0, us demanem que:

a) Per a cada valor de m, trobeu el valor de a > 0, de manera que la recta tangent a la gràfica de la funció en el punt (a, f (a)) passi per l’origen de coordenades.

b) Determineu el valor de m perquè la recta y = x sigui tangent a la gràfica de f (x).

(2 punts)

x

x x

−+ −

3

1 1( ) ( )








917232p236a289Pau.qxd 16/12/08 13:05 Página 266

267

MO

DE

LS P

AU

P

ER

A 1

r B

ATX

ILLE

RA

T

PROBLEMES

1. Una pista de velocitat està formada per una regió rectangular amb un semicercle en cada extrem. Si el perímetre és de 200 metres, trobeu les dimensions de la pista perquè l’àrea de la zona rectangular sigui màxima.



a) Trobeu l’equació de la recta tangent a la seva gràfica en el punt P (a, f (a)), per a a > 0.

b) Trobeu els punts de tall de la recta tangent de l’apartat anterior amb els eixos de coordenades.

c) Determineu el valor de a > 0 que fa que la distància entre els dos punts d’intersecció que heu trobat sigui mínima.

( a) i c) 1,5 punts per apartat, b) 1 punt)

1

x


917232 _ 0236-0289.qxd 29/12/08 10:00 Página 267

268

DERIVADA D’UNA FUNCIÓ11QÜESTIONS

1. Donada la funció f (x) =

a) Indiqueu-ne el domini de definició.

b) Trobeu els intervals de creixement i decreixement.

c) Determineu-ne els màxims i mínims.

Apartat a) Dom = � − {1, −1}

Apartat b)

= 0 → −x2 + 6x − 1 = 0 → x = 3 ± 2

f'( x) > 0 a → f( x) és creixent a .

f'( x) < 0 a (−�, −1) ∪ (−1, 3 − 2 ) ∪ (3 + 2 , +�) → f( x) és creixent

a (−�, −1) ∪ (−1, 3 − 2 ) ∪ (3 + 2 , +�).Apartat c)

x = 3 − 2 és un mínim. x = 3 + 2 és un màxim.

Puntuació:

Apartats a) i c) 0,5 punts per apartat. Apartat b) 1 punt.

2. Tenim la paràbola y = x 2 − 4x + 4 i un punt (p, q) de manera que 0 ≤ p ≤ 2.

Calculeu les coordenades de (p, q) perquè l’àrea del rectangle format pels costats paral·lels als eixos amb vèrtexs oposats (0, 0) i (p, q) sigui màxima.

Plantejament:

(p, q) és un punt de la paràbola → q = p2 − 4p + 4

L’àrea del rectangle és: A = p ⋅ q = p(p2 − 4p + 4)

L’àrea serà màxima en el punt en què la funció f(p) = p3 − 4p2 + 4p assoleixi el màxim en l’interval [0, 2].

Resolució:

f'(p) = 3p2 − 8p + 4

3p2 − 8p + 4 = 0 → f''(p) = 6p − 8, f''(2) > 0 i f''

Per tant, en el punt (p, q) = l’àrea del rectangle és màxima.

Puntuació:


23

169

,⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

23

0⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ <

p

p

=

=

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

223

22

22

22

3 2 2 1 1 3 2 2−( ) ∪ +( ), ,3 2 2 1 1 3 2 2−( ) ∪ +( ), ,

2− + −−

x xx

2

2

6 11

f xxx

f xx x x

xx x

( ) ( )( )= −

−= − − −

−= − + −3

11 2 3

16

2

2

2

2

→ '11

12x −

x

x x

−+ −

3

1 1( ) ( )



917232p236a289Pau.qxd 16/12/08 13:05 Página 268

269

MO

DE

LS P

AU

P

ER

A 1

r B

ATX

ILLE

RA

T

3. Determineu la base i l’altura del triangle isòsceles de perímetre 8 perquè la seva àrea sigui màxima.

Plantejament:

Pel teorema de Pitàgores: (4 − x)2 = x2 + y2 → y =

L’àrea del triangle és: A = = x ⋅ y =

Resolució:

f( x) = → f'( x) =

Com que 16 − 12x = 0 → x = , diem que: és un màxim.

Així, la base del triangle fa: 2x = , i l’altura és: y =

Puntuació:


4. De la funció f (x) = x 2 + m, en què m > 0, us demanem que:

a) Per a cada valor de m, trobeu el valor de a > 0, de manera que la recta tangent a la gràfica de la funció en el punt (a, f (a)) passi per l’origen de coordenades.

b) Determineu el valor de m perquè la recta y = x sigui tangent a la gràfica de f (x).

Apartat a)

La recta tangent en el punt (a, f(a)) és: y − f(a) = f '(a) ( x − a) → y − (a2 + m) = 2a(x − a)

Si la recta passa per l’origen de coordenades, aleshores: −(a2 + m) = −2a2 → m = a2

Apartat b)

La recta tangent és de la forma: y − (a2 + m) = 2a(x − a)

Perquè la recta y = x sigui tangent a la gràfica → 2a = 1 → a = → m =

Puntuació:


14

12

16323

163

4 33

− = =83

f

fx

'

'

( )1 053

043

>⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ <

⎫⎬⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

=→43

16 88

2 16 8

16 8 4

16 8

16 12

16 8− + −

−= − −

−= −

−x x

x

x x

x

x

xx x16 8−

x x16 8−22x y⋅

( )4 16 82 2− − = −x x x


4 − x

2x

y4 − x

917232p236a289Pau.qxd 16/12/08 13:05 Página 269

270

DERIVADA D’UNA FUNCIÓ11PROBLEMES

1. Una pista de velocitat està formada per una regió rectangular amb un semicercle en cada extrem. Si el perímetre és de 200 metres, trobeu les dimensions de la pista perquè l’àrea de la zona rectangular sigui màxima.

Plantejament:

El perímetre de la pista és:

2πr + 2x = 200 → 2r =

La funció que determina l’àrea del rectangle és: A = x ⋅ 2r =

Resolució:

= 0 → 200 − 4x = 0 → x = 50

→ x = 50 és un màxim i r = = 15,92.

Per tant, les dimensions de la pista són: 50 m de base del rectangle i 15,92 m de radi dels semicercles.

Puntuació:

4 punts: 2 punts plantejament correcte i 2 punts resolució correcta.


a) Trobeu l’equació de la recta tangent a la seva gràfica en el punt P (a, f (a)), per a a > 0.

b) Trobeu els punts de tall de la recta tangent de l’apartat anterior amb els eixos de coordenades.

c) Determineu el valor de a > 0 que fa que la distància entre els dos punts d’intersecció que heu trobat sigui mínima.

Apartat a)

La recta tangent en el punt (a, f(a)) és: y − f(a) = f'(a)(x − a) → y − (x − a) → y

Apartat b)

Si x = 0 → y = → A Si y = 0 → = 0 → x = 2a → B(2a, 0)− +1 22a

xa

02

,a

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

2a

= − +1 22a

xa

1 12a a

= −

1

x

100 50− =xπ π

ff''( )( )49 051 0

><

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

200 4− xπ

f xx x

f xx

( ) ( )= − = −200 2 200 42

π π→ '

xx x x200 2 200 2 2− = −

π π

200 2− xπ

x

r


917232 _ 0236-0289.qxd 29/12/08 10:00 Página 270

271

MO

DE

LS P

AU

P

ER

A 1

r B

ATX

ILLE

RA

T

Apartat c)

La distància entre els punts A i B és:

Aquesta distància serà mínima per al valor de a en què la funció arribi al mínim:

f(a) = 4a2 + → f'(a) = 8a −

8a − = 0 → 8a4 − 8 = 0 → a4 − 1 = 0 → a = ±1. Com a > 0 → a = 1

Comprovem que és un mínim de la funció:

Puntuació:

Apartats a) i c) 1,5 punts per apartat.

Apartat b) 1 punt.

f

f

'

'

12

0

2 0

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ <

>

⎧⎨⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪ ( )

83a

83a

42a

( )222

2

aa

+ −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟


917232p236a289Pau.qxd 16/12/08 13:05 Página 271

272

Estadística bidimensional

QÜESTIONS

1. Considerem la següent taula de valors de dues variables.

a) Trobeu la recta de regressió de Y sobre X.

b) Amb els resultats obtinguts en l’apartat anterior, determineu el coeficient de correlació de les dues variables.

(2 punts)

2. Si tenim el conjunt de dades bidimensionals següent:

a) Sense efectuar càlculs, raoneu quin dels valors següents n’és el coeficient de correlació: 0,3; −0,9; 0,1; 0,92.

b) Indiqueu quina de les rectes següents és la recta de regressió de y sobre x:y = 2,03 + 0,37x; y = 5,53 + 0,37x; y = −2,03 − 1,37x; y = 2,03 − 0,72x.

(2 punts)

3. La recta de regressió de la despesa anual en aliments Y (en milers d’euros) per família, enfunció dels ingressos anuals X (en milers d’euros), ve donada per: y = 0,2x + 1

a) Quina és la despesa anual en aliments de famílies amb ingressos anuals de 20.000 euros?

b) Si sabem que l’ingrés mitjà en una regió és de 25.000 euros per família, trobeu la despesa mitjana anual en aliments en aquesta zona.

(2 punts)

4. La recta de regressió d’una variable Y respecte de la variable X és y = 0,3x + 1.

Els valors de la variable X són: {3, 4, 5, 6, 7}. Us demanem que:

a) Determineu el valor esperat de y per al valor de x = 3,5.

b) Si els valors de la variable Y que s’utilitzen per a la regressió es multipliquen per 10 i es mantenen els valors per a la variable X, determineu raonadament la nova recta de regressió.

(2 punts)

12

X 1 1 2 3 4 4 5 6 6

Y 2,1 2,5 3,1 3,0 3,8 3,2 4,3 3,9 4,4

X 1 6 9 3 2

Y 2 3 9 6 1








917232p236a289Pau.qxd 16/12/08 13:05 Página 272

273

MO

DE

LS P

AU

P

ER

A 1

r B

ATX

ILLE

RA

T

PROBLEMES

1. La variable X expressa la qualificació obtinguda en el primer curs de Batxillerat i la variable Yés la nota mitjana de Batxillerat. Tenim les dadessegüents que corresponen a nou alumnes.

a) Trobeu i representeu la recta de regressió de Y sobre X.

b) Quina nota mitjana es pot predir per a una persona que ha obtingut un 5,9 en el primer curs de Batxillerat?

( a) 2,5 punts: 1,5 punts càlcul de paràmetres i 1 punt determinació de la recta i gràfica; b) 1,5 punts)

2. Les dades de la variable X expressen el producte interior brut en desenes de milions d’euros, i la variable Y és la taxa d’inflació.

a) Dibuixeu el diagrama de dispersió de les dades.

b) Indiqueu quina de les rectes és la recta de regressió de Y sobre X.

y = 16,26 + 2,88x y = 16,26 − 2,88x

c) Calculeu el valor esperat de la taxa d’inflació que correspon a un producte interior brut de 4,3 desenes de milions d’euros.


X 3,4 4,6 5,2 3,2

Y 8,3 1,5 2,1 5,8

X 5,4 2,9 6,8 6,9 5,3 7,4 4,3 5,1 5,5

Y 5,8 3,5 4,8 6,4 5,9 7,4 4,2 6,2 6,1


917232 _ 0236-0289.qxd 29/12/08 10:00 Página 273

274

ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL12QÜESTIONS

1. Considerem la següent taula de valors de dues variables.

a) Trobeu la recta de regressió de Y sobre X.

b) Amb els resultats obtinguts en l’apartat anterior, determineu el coeficient de correlació de les dues variables.

Apartat a)

Càlcul de paràmetres:

x_

= y_

= 4,2 sx2 = sy

2 = 8,56 sx = sy = 2,93 sxy = 6,56

Determinació de la recta de la regressió:

La recta de regressió de Y sobre X és: y − 4,2 = 0,77(x − 4,2) → y = 0,77x + 0,97

Apartat b)

r = 0,76

Puntuació:

Apartat a) 1,5 punts: 0,5 punts càlcul de paràmetres i 1 punt determinació de la recta de regressió.


2. Si tenim el conjunt de dades bidimensionals següent:

a) Sense efectuar càlculs, raoneu quin dels valors següents n’és el coeficient de correlació: 0,3; −0,9; 0,1; 0,92.

b) Indiqueu quina de les rectes següents és la recta de regressió de y sobre x:y = 2,03 + 0,37x; y = 5,53 + 0,37x; y = −2,03 − 1,37x; y = 2,03 − 0,72x.

Apartat a)

Com la correlació de les dades és positiva, es descarta el valor −0,9. Per deduir quina de les possibilitatsrestants és la correcta, cal dibuixar el diagrama de dispersió.

Com que les dades apareixen poc disperses, el valor demanat és: r = 0,92

X 1 1 2 3 4 4 5 6 6

Y 2,1 2,5 3,1 3,0 3,8 3,2 4,3 3,9 4,4

X 1 6 9 3 2

Y 2 3 9 6 1

Y

X1

5432

2 3 4 5 6



917232p236a289Pau.qxd 16/12/08 13:05 Página 274

275

MO

DE

LS P

AU

P

ER

A 1

r B

ATX

ILLE

RA

T


Apartat b)

La recta de regressió de Y sobre X és: y = 2,03 + 0,37x

Puntuació:


3. La recta de regressió de la despesa anual en aliments Y (en milers d’euros) per família, enfunció dels ingressos anuals X (en milers d’euros), ve donada per: y = 0,2x + 1

a) Quina és la despesa anual en aliments de famílies amb ingressos anuals de 20.000 euros?

b) Si sabem que l’ingrés mitjà en una regió és de 25.000 euros per família, trobeu la despesa mitjana anual en aliments en aquesta zona.

Apartat a)Per uns ingressos de 200.000 euros cal que: x = 20 → y = 0,2 ⋅ 20 + 1 = 5Per tant, la despesa anual és de 5.000 €.

Apartat b)Com el punt ( x

_, y_) pertany a la recta de regressió: x

_= 25 → y

_= 0,2 ⋅ 25 + 1 = 6

La despesa mitjana anual puja a 6.000 €.

Puntuació:


4. La recta de regressió d’una variable Y respecte de la variable X és y = 0,3x + 1.

Els valors de la variable X són: {3, 4, 5, 6, 7}. Us demanem que:

a) Determineu el valor esperat de y per al valor de x = 3,5.

b) Si els valors de la variable Y que s’utilitzen per a la regressió es multipliquen per 10 i es mantenen els valors per a la variable X, determineu raonadament la nova recta de regressió.

Apartat a)

x = 3,5 → y = 0,3 ⋅ 3,5 + 1 = 2,05

Apartat b)

En determinar la recta de regressió s’observa que l’ordenada és: n = y_

− x_

En aquest cas, cal que y_

− 0,3x_

= 1.

Com que els valors que ha pres la variable X són: {3, 4, 5, 6, 7} → x_

= 5

Aleshores, resulta que: y_

− 0,3 ⋅ 5 = 1 → y_

= 2,5

Si els valors de la variable Y es multipliquen per 10, el valor de la mitjana és igual a 25.La nova recta de regressió és: y − 25 = 0,3(x − 5) → y = 0,3x + 23,5

Puntuació:



ss

xy

x

917232p236a289Pau.qxd 16/12/08 13:05 Página 275

276

ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL12PROBLEMES

1. La variable X expressa la qualificació obtinguda en el primer curs de Batxillerat i la variable Y és la nota mitjana de Batxillerat. Tenim les dades següents que corresponen a nou alumnes.

a) Trobeu i representeu la recta de regressió de Y sobre X.

b) Quina nota mitjana es pot predir per a una persona que ha obtingut un 5,9 en el primer curs de Batxillerat?

Apartat a)

Càlcul de paràmetres:

x_

= 5,51 y_

= 5,59 sx2 = 1,32 sxy = 1,15

Determinació de la recta de regressió i gràfica:

La recta de regressió de Y sobre X és:

y − 5,59 = 0,66(x − 5,51) → y = 0,66x + 1,95

Apartat b)

y = 0,66 ⋅ 5,9 + 1,95 = 5,844. La nota final és 5,8.

Puntuació:

Apartat a) 2,5 punts: 1,5 punts càlcul de paràmetres i 1 punt determinació de la recta i gràfica.


2. Les dades de la variable X expressen el producte interior brut en desenes de milionsd’euros, i la variable Y és la taxa d’inflació.

a) Dibuixeu el diagrama de dispersió de les dades.

b) Indiqueu quina de les rectes és la recta de regressió de Y sobre X.

y = 16,26 + 2,88x y = 16,26 − 2,88x

c) Calculeu el valor esperat de la taxa d’inflació que correspon a un producte interior brut de 4,3 desenes de milions d’euros.


X 5,4 2,9 6,8 6,9 5,3 7,4 4,3 5,1 5,5

Y 5,8 3,5 4,8 6,4 5,9 7,4 4,2 6,2 6,1

Y

X2

2(5,51; 5,59)

X 3,4 4,6 5,2 3,2

Y 8,3 1,5 2,1 5,8

917232 _ 0236-0289.qxd 29/12/08 10:00 Página 276

277

MO

DE

LS P

AU

P

ER

A 1

r B

ATX

ILLE

RA

T

Apartat a)

Apartat b)

El pendent de la recta de regressió ha de ser negatiu → y = 16,26 − 2,88x

Apartat c)

y = 16,26 − 2,88 ⋅ 4,3 = 3,876. La taxa d’inflació és del 3,9 %.

Puntuació:

Apartat a) 1 punt.



Y

X

8642

3 4 5

917232p236a289Pau.qxd 16/12/08 13:05 Página 277

278

Probabilitat

QÜESTIONS

1. Tenim la informació següent relativa als esdeveniments A i B.

P(A) = 0,6 P(B) = 0,2 P(A ∩ B) = 0,12

a) Calculeu les probabilitats dels esdeveniments A ∪ B i A / (A ∪ B).

b) Són incompatibles? I independents?

(2 punts)

2. Considerem els esdeveniments A i B, de manera que P (A) = , P (⎯B) = i P (⎯A ∪⎯B) = .Calculeu:

a) P (B / A) b) P (⎯A / B)

(2 punts)

3. En una estació de servei s’han fet 400 operacions amb la targeta V i 350 vendes pagadesamb la targeta MC. La resta de proveïments del dia han estat pagats en metàl·lic. Resultaque 150 de les operacions fetes amb la targeta V superen els 150 euros, mentre que 300 de les operacions pagades amb la targeta MC superen aquesta quantitat. S’extreu a l’atzarun comprovant de les operacions diàries fetes amb targetes de crèdit.

a) Quina probabilitat hi ha que correspongui a una operació superior a 150 euros?

b) Si la compra és inferior a 150 euros, quina probabilitat hi ha que hagi estat pagada amb la targeta MC?

(2 punts)

4. La taula següent recull la distribució per sexe i per opció dels 240 estudiants matriculats aprimer de Batxillerat en un centre escolar.

Si s’escull un estudiant a l’atzarentre els alumnes que fan primerde Batxillerat en aquest centre,calculeu la probabilitat que hi ha que:

3

4

2

5

1

2

13

Noies Nois

Cientificotecnològica 64 52

Humanitats i C. socials 74 50








917232 _ 0236-0289.qxd 29/12/08 10:00 Página 278

279

MO

DE

LS P

AU

P

ER

A 1

r B

ATX

ILLE

RA

T

a) No faci l’opció Cientificotecnològica.

b) Si és noi, faci l’opció d’Humanitats i Ciències socials.

(2 punts)

PROBLEMES

1. El 45 % del cens d’una localitat vota a favor del candidat A, el 35 % a favor del candidat Bi la resta s’absté de votar. Es trien tres persones del cens a l’atzar. Calculeu la probabilitatdels esdeveniments següents.

a) Les tres persones voten a favor del candidat A.

b) Dues persones voten a favor del candidat A i l’altra a favor del candidat B.

c) Almenys una de les tres persones s’absté de votar.


2. El 20 % dels clients d’una entitat bancària fa les operacions a través d’Internet. Dels clientsque fan operacions per Internet, un 80% consulta la pàgina web de l’entitat diàriament.Dels clients que no fan operacions per Internet, només un 20 % consulta la pàgina webcada dia.

a) Obteniu la probabilitat que hi ha que un client de l’entitat escollit a l’atzar consulti la pàgina web cada dia.

b) Si es tria a l’atzar un client de l’entitat i resulta que consulta la pàgina web cada dia,quina probabilitat hi ha que faci operacions per Internet?

( a) i b) 2 punts per apartat: 0,5 punts plantejament i 1,5 punts càlcul)


917232p236a289Pau.qxd 16/12/08 13:05 Página 279


PROBABILITAT13QÜESTIONS

1. Tenim la informació següent relativa als esdeveniments A i B.

P(A) = 0,6 P(B) = 0,2 P(A ∩ B) = 0,12

a) Calculeu les probabilitats dels esdeveniments A ∪ B i A / (A ∪ B).

b) Són incompatibles? I independents?

Apartat a)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 0,6 + 0,2 − 0,12 = 0,68

P(A / (A ∪ B)) =

Apartat b)

No són incompatibles, ja que si P(A ∩ B) = 0,12 → A ∩ B � ∅Són independents perquè P(A) ⋅ P(B) = P(A ∩ B).

Puntuació:


2. Considerem els esdeveniments A i B, de manera que P (A) = , P (⎯B) = i P (⎯A ∪⎯B) = .Calculeu:

a) P (B / A) b) P (⎯A / B)

Apartat a)

P( B / A) =

Apartat b)

P(A / B) =

Puntuació:


3. En una estació de servei s’han fet 400 operacions amb la targeta V i 350 vendes pagadesamb la targeta MC. La resta de proveïments del dia han estat pagats en metàl·lic. Resultaque 150 de les operacions fetes amb la targeta V superen els 150 euros, mentre que 300 de les operacions pagades amb la targeta MC superen aquesta quantitat. S’extreu a l’atzarun comprovant de les operacions diàries fetes amb targetes de crèdit.

a) Quina probabilitat hi ha que correspongui a una operació superior a 150 euros?

b) Si la compra és inferior a 150 euros, quina probabilitat hi ha que hagi estat pagada amb la targeta MC?

P A BP B

P A P B AP B

( )( )

( ) ( / )( )

∩ = ⋅ =⋅

= =

12

12

35

14

35

512

P A BP A

P A BP A

( )( )

( )( )

∩ = − ∪ =−

= =11

34

12

1412

12

3

4

2

5

1

2

P A A BP A B

P AP A B

( ( ))( )

( )( )

,,

,∩ ∪

∪=

∪= =0 6

0 680 88


917232p236a289Pau.qxd 16/12/08 13:05 Página 280


MO

DE

LS P

AU

P

ER

A 1

r B

ATX

ILLE

RA

T

Plantejament:

Tinguem en compte que A = extreure un comprovant d’una compra superior a 150 euros. La següent taula de contingència mostra la distribució de les compres.

Apartat a)

P(A) =

Apartat b)

P(MC / A) =

Puntuació:


Apartat a) i b) 0,5 punts per apartat.

4. La taula següent recull la distribució per sexe i per opció dels 240 estudiants matriculats aprimer de Batxillerat en un centre escolar.

Si s’escull un estudiant a l’atzarentre els alumnes que fan primerde Batxillerat en aquest centre,calculeu la probabilitat que hi ha que:

a) No faci l’opció Cientificotecnològica.

b) Si és noi, faci l’opció d’Humanitats i Ciències socials.

Plantejament:

A = ser noia, B = ser noi, C = fer l’opció Cientificotecnològica i D = fer l’opció d’Humanitats i Ciències socials. S’omple la taula de contingència.

Apartat a)

P(No fer l’opció Cientificotecnològica) = P(D) =

Apartat b)

P(D / B) =

Puntuació:


Apartats a) i b) 0,5 punts per apartat.

50102

2551

=

124240

3160

=

50300

16

=

450750

35

=

A A_

V 150 250 400

MC 300 50 350

450 300 750

A B

C 64 52 116

D 74 50 124

138 102 240

Noies Nois

Cientificotecnològica 64 52

Humanitats i C. socials 74 50

917232 _ 0236-0289.qxd 29/12/08 10:00 Página 281

282

PROBABILITAT13PROBLEMES

1. El 45 % del cens d’una localitat vota a favor del candidat A, el 35 % a favor del candidat Bi la resta s’absté de votar. Es trien tres persones del cens a l’atzar. Calculeu la probabilitatdels esdeveniments següents.

a) Les tres persones voten a favor del candidat A.

b) Dues persones voten a favor del candidat A i l’altra a favor del candidat B.

c) Almenys una de les tres persones s’absté de votar.

A = ser votant del candidat A B = ser votant del candidat B C = abstenir-se de votar

Apartat a)

P(A ∩ A ∩ A) = P(A) ⋅ P(A) ⋅ P(A) = ( P(A)) 3 = 0,453 = 0,0911

Apartat b)

P(A ∩ A ∩ B) + P(A ∩ B ∩ A) + P(B ∩ A ∩ A) = 3 P(A) ⋅ P(A) ⋅ P( B) = 3 ⋅ 0,452 ⋅ 0,35 = 0,2126

Apartat c)

Si P(A) = 0,45 i P(B) = 0,35 → P(C) = 0,2

P(Almenys una persona s’absté) = 1 − P(Cap persona s’absté) = 1 − P( C ∩ C ∩ C) == 1 − P(C) 3 = 1 − 0,83 = 0,488

Puntuació:

Apartat a) 1 punt.


2. El 20 % dels clients d’una entitat bancària fa les operacions a través d’Internet. Dels clientsque fan operacions per Internet, un 80% consulta la pàgina web de l’entitat diàriament.Dels clients que no fan operacions per Internet, només un 20 % consulta la pàgina webcada dia.

a) Obteniu la probabilitat que hi ha que un client de l’entitat escollit a l’atzar consulti la pàgina web cada dia.

b) Si es tria a l’atzar un client de l’entitat i resulta que consulta la pàgina web cada dia,quina probabilitat hi ha que faci operacions per Internet?

Apartat a)

S’aplica el teorema de la probabilitat total:

P( W) = P( I) ⋅ P( W / I) + P( I) ⋅ P( W / I) = 0,2 ⋅ 0,8 + 0,8 ⋅ 0,2 = 0,32


917232p236a289Pau.qxd 16/12/08 13:05 Página 282

283

MO

DE

LS P

AU

P

ER

A 1

r B

ATX

ILLE

RA

T

Apartat b)

S’aplica el teorema de Bayes:

P( I / W) =

Puntuació:

Apartats a) i b) 2 punts per apartat: 0,5 punts plantejament i 1,5 punts càlcul.

P I P W I

P I P W I P I P W I

( ) ( / )

( ) ( / ) ( ) ( / )

, ,⋅⋅ + ⋅

= ⋅0 2 0 80,,

,32

0 5=


917232p236a289Pau.qxd 16/12/08 13:05 Página 283

284

Distribucions binomial i normal

QÜESTIONS

1. En un taller es fabriquen peces que s’empaqueten en lots de cinc unitats. La probabilitatque una peça sigui defectuosa és 0,1. S’escull un lot a l’atzar. Us demanem que:

a) Trobeu la probabilitat que un lot tingui menys de dues peces defectuoses.

b) Si X és la variable aleatòria que indica el nombre de peces defectuoses del lot, calculeu el valor esperat de X.

(2 punts)

2. Considerem una distribució normal de mitjana 50, en què la probabilitat d’obtenir un valor per sobre de 70 és de 0,0228. Quina és la desviació típica d’aquesta distribució? I quina és la probabilitat dels valors per sota de 45?

(2 punts)

3. Una prova es compon de 10 preguntes i cadascuna té una resposta correcta de quatrerespostes possibles.

a) Si la prova se supera amb 3 o més respostes correctes, quina probabilitat hi ha de superar-la responent a l’atzar?

b) I quina probabilitat hi ha d’encertar les 10 preguntes contestant a l’atzar?

(2 punts)

4. Se sap que el 2% d’una quantitat d’instruments és defectuós. Tenint en compte que disposem d’una partida de 500 instruments, us demanem que:

a) Trobeu el nombre mitjà d’instruments que funcionaran.

b) Calculeu la probabilitat que funcionin com a mínim 485 instruments.

(2 punts)

14Responeu TRES de les quatre qüestions i resoleu UN dels dos problemes següents. En lesrespostes, expliqueu sempre què és el que voleu fer i per què.







917232p236a289Pau.qxd 16/12/08 13:05 Página 284

285

MO

DE

LS P

AU

P

ER

A 1

r B

ATX

ILLE

RA

T

PROBLEMES

1. En la inspecció tècnica d’un tipus de vehicle es mesura la quantitat d’òxid de nitrogen que emet i s’obté que segueix una distribució normal amb mitjana 1,6 i desviació típica 0,4.

a) Calculeu la probabilitat que hi ha que la quantitat d’òxid de nitrogen emesa sigui menor que 1,8.

b) Trobeu la probabilitat que hi ha que la quantitat emesa sigui entre 1,2 i 1,4.

c) Obteniu un valor de contaminació c, que faci que la probabilitat que hi ha que un vehicle emeti una quantitat menor que c sigui igual a 0,9901.


2. La variable X representa la pressió arterial mesurada en mil·límetres. Se sap que X segueixuna distribució normal amb una mitjana de 120 mm i una desviació típica de 10 mm.

a) Calculeu la probabilitat que hi ha que la pressió arterial d’una persona sigui menor que 110 mm.

b) Trobeu la probabilitat que hi ha que X sigui entre 120 mm i 140 mm.

c) Obteniu un valor x0 de manera que la probabilitat que hi ha que una persona tingui la pressió arterial major que x0 sigui igual a 0,9901.



917232p236a289Pau.qxd 16/12/08 13:05 Página 285

286

DISTRIBUCIONS BINOMIAL I NORMAL14QÜESTIONS

1. En un taller es fabriquen peces que s’empaqueten en lots de cinc unitats. La probabilitatque una peça sigui defectuosa és 0,1. S’escull un lot a l’atzar. Us demanem que:

a) Trobeu la probabilitat que un lot tingui menys de dues peces defectuoses.

b) Si X és la variable aleatòria que indica el nombre de peces defectuoses del lot, calculeu el valor esperat de X.

Apartat a)

Determinació de la variable aleatòria: X � B(5; 0,1)

Càlcul de la probabilitat: P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) =

= ⋅ 0,10 ⋅ 0,95 + ⋅ 0,1 ⋅ 0,94 = 0,9185

Apartat b)

E( X) = μ = n ⋅ p = 5 ⋅ 0,1 = 0,5 peces

Puntuació:

Apartat a) 1,5 punts: 0,5 punts determinació de la variable aleatòria i 1 punt càlcul de la probabilitat.


2. Considerem una distribució normal de mitjana 50, en què la probabilitat d’obtenir un valor per sobre de 70 és de 0,0228. Quina és la desviació típica d’aquesta distribució? I quina és la probabilitat dels valors per sota de 45?

Apartat a)

X � N(50, σ)

P( X > 70) = P = P = 0,0228 → P = 0,9772

→ = 2 → σ = 10

Apartat b)

P( X < 45) = P = P( Z > −0,5) = 1 − P( Z < 0,5) = 1 − 0,6915 = 0,3085

Puntuació:


3. Una prova es compon de 10 preguntes i cadascuna té una resposta correcta de quatrerespostes possibles.

a) Si la prova se supera amb 3 o més respostes correctes, quina probabilitat hi ha de superar-la responent a l’atzar?

b) I quina probabilitat hi ha d’encertar les 10 preguntes contestant a l’atzar?

X − > −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

5010

45 5010

20σ

Z ≤⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

20σ

Z >⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

20σ

X − > −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

50 70 50σ σ

51

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

50

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟



917232 _ 0236-0289.qxd 29/12/08 10:00 Página 286

287

MO

DE

LS P

AU

P

ER

A 1

r B

ATX

ILLE

RA

T

Apartat a)

Determinació de la variable aleatòria: X � B(10; 0,25)

Càlcul de la probabilitat:

P( X ≥ 3) = 1 − P( X < 3) = 1 − ( P( X = 0) + P( X = 1) + P( X = 2)) =

= 1 −

= 1 − (0,0563 + 0,1877 + 0,2816) = 0,4744

Apartat b)

P( X = 10) = ⋅ 0,2510 ⋅ 0,750 = 0,00000095

Puntuació:

Apartat a) 1,5 punts: 0,5 punts determinació de la variable aleatòria i 1 punt càlcul de la probabilitat.


4. Se sap que el 2% d’una quantitat d’instruments és defectuós. Tenint en compte que disposem d’una partida de 500 instruments, us demanem que:

a) Trobeu el nombre mitjà d’instruments que funcionaran.

b) Calculeu la probabilitat que funcionin com a mínim 485 instruments.

Apartat a)

Determinació de la variable aleatòria i càlcul de la mitjana:

X � B(500; 0,02)

μ = n ⋅ p = 500 ⋅ 0,02 = 10 instruments

Apartat b)

Aproximació de la distribució binomial per la normal:

X = B(500; 0,02) → X' = N(10; 3,13)

Càlcul de la probabilitat:

P( X' ≥ 485) = P( X' < 15) = P − = P( Z < 1,6) = 0,9452

Puntuació:


X' − < −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

103 13

15 103 13, ,

1010

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

100

0 25 0 75 101

00 10⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ +

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ ⋅, , ,225 0 75 10

20 25 0 759 2 8⋅ +

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ ⋅ ⋅

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟, , , ⎟⎟⎟ =


917232p236a289Pau.qxd 16/12/08 13:05 Página 287

288

DISTRIBUCIONS BINOMIAL I NORMAL14PROBLEMES

1. En la inspecció tècnica d’un tipus de vehicle es mesura la quantitat d’òxid de nitrogen que emet i s’obté que segueix una distribució normal amb mitjana 1,6 i desviació típica 0,4.

a) Calculeu la probabilitat que hi ha que la quantitat d’òxid de nitrogen emesa sigui menor que 1,8.

b) Trobeu la probabilitat que hi ha que la quantitat emesa sigui entre 1,2 i 1,4.

c) Obteniu un valor de contaminació c, que faci que la probabilitat que hi ha que un vehicle emeti una quantitat menor que c sigui igual a 0,9901.

Apartat a)

P( X < 1,8) = P = P( Z < 0,5) = 0,6915

Apartat b)

P(1,2 < X < 1,4) = P = P(−1 < Z < −0,5) =

= P( Z < −0,5) − P( Z < −1) = 1 − 0,6915 − (1 − 0,8413) = 0,1498

Apartat c)

P( X < c) = 0,9901 → P = 0,9901 → = 2,33

→ c − 1,6 = 0,932 → c = 2,532

Puntuació:

Apartat a) 1 punt.


2. La variable X representa la pressió arterial mesurada en mil·límetres. Se sap que X segueixuna distribució normal amb una mitjana de 120 mm i una desviació típica de 10 mm.

a) Calculeu la probabilitat que hi ha que la pressió arterial d’una persona sigui menor que 110 mm.

b) Trobeu la probabilitat que hi ha que X sigui entre 120 mm i 140 mm.

c) Obteniu un valor x0 de manera que la probabilitat que hi ha que una persona tingui la pressió arterial major que x0 sigui igual a 0,9901.

Apartat a)

P( X < 110) = P = P( Z < −1) = 1 − P( Z < 1) = 1 − 0,8413 = 0,1587X − < −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

12010

110 12010

c − 1 60 4

,,

X c− < −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

1 60 4

1 60 4

,,

,,

1 2 1 60 4

1 60 4

1 4 1 60 4

, ,,

,,

, ,,

− < − < −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

X

X − < −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

1 60 4

1 8 1 60 4

,,

, ,,


917232p236a289Pau.qxd 16/12/08 13:05 Página 288

289

MO

DE

LS P

AU

P

ER

A 1

r B

ATX

ILLE

RA

T

Apartat b)

P(120 < X < 140) = P = P(0 < Z < 2) =

= P( Z < 2) − P( Z < 0) = 0,9772 − 0,5 = 0,4772

Apartat c)

P( X < x0) = 0,9901 → P = 0,9901 → P = 0,9901

→ − = 2,33 → −x0 + 120 = 23,3 → x0 = 96,7 mm

Puntuació:

Apartat a) 1 punt.


x0 12010−

Zx≤ −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

0 12010

Zx> −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

0 12010

120 12010

12010

140 12010

− < − < −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

X


917232 _ 0236-0289.qxd 29/12/08 10:00 Página 289

� MATEMÀTIQUES I (1r BATXILLERAT) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © GRUP PROMOTOR/SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �290

Quina hora marquen els rellotgesdels pilots de les aerolínies?El sistema de fusos horaris va permetre unificar l’hora mundial; cap a l’est,el rellotge augmenta una hora per cada fus horari, i cap a l’oest, el rellotgedisminueix una hora per cada fus horari.

En Xavier ha consultat en una guia de televisió per cable els programesrecomanats en alguns canals.

L’hora zulu és la suma de l’hora local i el nombre corresponent a la franjasuperior del mapa.

GEOGRAFIA

El 1928 es va establir el meridià de Greenwich com apunt de referència per a l’horamundial.

Aquest meridià és un semicercleimaginari que uneix els polsi passa per l’antic observatoriastronòmic de Greenwich.

Aquesta referència s’acostuma aanomenar GTM o hora UTC, horauniversal coordinada i, en elcontext de l’aviació, hora zulu.

En l’aviació, per poder dur unseguiment més coordinat delsvols, es treballa amb l’hora zulu,és a dir, els pilots i les torres decontrol de tot el món treballenamb l’hora universal, GTM o UTC,per operar amb una mesuracomuna del temps i no haver dedependre de l’hora que tinguicada país.

10 h 11 h12 h13 h 14 h 15 h 16 h 17 h 18 h 19 h 20 h 21 h 22 h 23 h 24 h 1 h 2 h 3 h23 h 24 h 1 h 2 h 3 h 4 h 5 h 6 h 7 h 8 h 9 h

Països amb mitja horade diferència sobre l’oficial

Països amb horaoficial imparella

Països amb horaoficial parella

LÍNIA

CANVI

Equador

DIUM

ENGE

DILL

UNS

DE DATA

DE DATALÍNIACANVI

DE

DE

Madrid

Moscou

BeijingNova York

San Francisco


Indica l’hora zulu en cada cas.

1. Mèxic, 10 h locals. 4. Índia, 6 h locals.

2. Alemanya, 13 h locals. 5. Xile, 3 h locals.

3. Guatemala, 10 h locals. 6. A quina hora es podrà veure aquí cada programa?

FOX Els Simpsons14 hBrussel·les

DISNEY CHANNELLa Ventafocs18 h Miami

BBC WORLD Notícies13 hLisboa

NATIONAL GEOGRAPHICTransbordador19 h Tòquio

EUROSPORT Saltsd’esquí16 h Londres

HOLLYWOOD ConeixentJane Austen20 h Roma

917232 _ 0290-0314.qxd 23/12/08 16:45 Página 290


CIÈ

NC

IES

I

MAT

EM

ÀTI

QU

ES

291

Lleis de Kepler

El sistema solarFÍSICA

Primera llei

Tots els planetes es mouen en òrbites el·líptiques en quèel Sol és un dels focus.

Segona llei

Els planetes escombren àreesiguals en temps iguals.

Tercera llei

S’estableix una relació entreel període (T ), temps que trigaun planeta a fer la volta al Sol,i la distància (d) d’aquest planetaa l’astre.

d T= 23

T d= 3

Planeta Període (T , en anys)Distància al Sol

(d , en UA)

Neptú 164,8

Urà 19,19

Saturn 29,458

Júpiter 5,2

Mart 1,881

Terra 0,99998

Venus 0,723

Mercuri 0,241

Les distàncies entre elsplanetes són tan grans que es mesuren en unitatsastronòmiques, UA.

UA = 150 milions dequilòmetres (aprox.).

SABIES QUE...

El cel nocturn ha fascinat des de sempre la humanitat. Els astrònoms han registrat els moviments aparents de les estrelles i dels planetes durantmilers d’anys.

Cap al 1601, Johannes Kepler descobrí que els planetes no esmovien sempre amb la mateixa velocitat. Kepler desenvolupàr

una teoria matemàtica que va reunir en tres lleis.

COMPLETA LA TAULA SEGÜENT

917232p290a314CMat.qxd 16/12/08 13:07 Página 291

292 � MATEMÀTIQUES I (1r BATXILLERAT) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © GRUP PROMOTOR/SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �

Velocitat d’escapamentFÍSICA

Els satèl·lits artificials compleixen funcions molt importants per ales comunicacions a la Terra, ja que s’encarreguen de transmetre dadesamb un grau molt alt de precisió.

Els satèl·lits han de ser geoestacionaris. És a dir, han de girar al voltant de laTerra en una òrbita equatorial i amb un període de 24 hores. Per aquesta raó, des de la Terra, els satèl·lits es veuen com punts fixos i és possible orientar-hi amb facilitat les antenes.

Els satèl·lits geoestacionaris han d’estar localitzats a 35.800 km d’altura sobre la superfície terrestre, i formen un cinturó geoestacionari al voltant de la Terra.

Per posar en òrbita un satèl·lit s’ha de llançar amb una velocitat inicial moltelevada. Aquesta velocitat s’anomena velocitat d’escapament.

La velocitat d’escapament és la velocitat mínima a la qual s’ha de llançarun objecte des de la superfície del planeta perquè no torni a caure.

En un planeta, amb massa M i radi R, la velocitat d’escapament Ve és:

, amb G = 6,672 ⋅ 10−11 Nm2/kg2VG M

Re =

2 ⋅ ⋅

El cometa Halley

Porta aquest nom en honord’Edmond G. Halley, que fouel primer científic a afirmar l’existència dels cometes.Halley suggerí que existia un cometa que es podia observardes de la Terra cada 76 anys i que era el mateix que s’havia vistdes de l’any 240 aC.


1. Calcula la velocitat d’escapament a la qual s’ha de llançar un satèl·lit en cadascun dels planetes de la taula.

2. Quina és la distància mitjana del cometa Halley al Sol?

3. El cometa Kohoutek té un període aproximat de 106 anys. Quina és la seva distància al Sol?

Planeta Massa (kg) Radi (m)

Terra 6 ⋅ 1024 6,4 ⋅ 106

Mart 6,4 ⋅ 1023 3,4 ⋅ 106

Júpiter 1,9 ⋅ 1027 71,4 ⋅ 106

Urà 8,7 ⋅ 1025 23,5 ⋅ 106



CIÈ

NC

IES

I

MAT

EM

ÀTI

QU

ES

Escalada en rocaFÍSICA

L’escalada en roca és un esport d’alt risc, ja que si no es practica correctament potocasionar lesions greus i, fins i tot, la mort. Per això, les cordes per a aquest esportestan dissenyades per suportar les tensions o càrregues dinàmiques queresulten en aturar una caiguda.

Aquestes cordes són resistents, per no trencar-se en impactes forts, i sónelàstiques, per estirar-se i desaccelerar lentament, sense causar lesions.

Quan cau un alpinista, la càrrega augmenta i la corda pateix unadeformació elàstica (s’estira); quan rebota, la càrrega disminueix i el pesde l’alpinista es converteix en càrrega estàtica.

Quan se sobrepassa un límit elàstic, les cordes pateixen una deformació plàstica, no recuperen la forma original, i podenarribar a trencar-se. La càrrega límit que suporta una corda depèn de les propietats dels materials amb què està feta. Lesprimeres cordes es fabricaven amb fibres naturals similars al cotó;actualment, es fan de fibres sintètiques com el niló, el polièster o el polipropilè, que són més resistents i elàstiques.

Les investigacions que es duen a terme actualment sobre els materials per fer cordes busquen produirsintèticament el material d’algunes fibres naturals com les de les teranyines, a causa de la seva elasticitat i resistència als impactes.

Els materials han de tenir, principalment, una tensió elàstica (TE) i una absorció d’energia elàstica (AE) moltaltes. La relació entre aquestes tensions és:

AE = 0,5 ⋅ R ⋅ TE

en què R és la resistència i r és el mòdul de Young(nombre que resulta en dividir la tensió entre la deformació que pateix un material).

Es poden emprar els valors de la taula per comparar les cordes elaborades amb fibres diferents.

TR

rE =

Material R r

Cotó 2,25 7,9

Polièster 7,84 13,2

Niló 6,16 3,9

Teranyina 1.000 1.300


1. Són millors les fibres sintètiques que les fibres naturals per fabricar cordes? Justifica la resposta.

2. La teranyina és un bon material per fabricar cordes per escalar en roca? Per què?

3. Quina és la resistència d’una corda amb TE = 0,63 i AE = 2,268?

4. Quina és la TE d’una corda amb R = 6,3 i AE = 2,3?



El nostre món podria desaparèixer

ASTRONOMIA

Durant els darrers anys s’han presentat múltiples exemples de com l’astronomia pot arribar aconvertir-se en un element important en la vida de l’ésser humà. Així, podem llegir les notícies o veure pel·lícules sobre desastres naturals causats per meteorits, estrelleso cometes que xoquen contra la Terra.

Hom creu que fa uns 65 milions d’anys, a la península de Yucatán, a Mèxic, un meteorit enorme va xocar contra la Terra, fet que va motivar l’extinció dels dinosaures i de la majoria dels éssers vius.

Infinitat de meteorits s’acosten a la Terra cada dia, però pocs tenen el volum suficient per arribar a la superfície terrestre, a causa de la fricció amb l’atmosfera, que els crema i els desintegra i forma centelleigs o estels fugaços.

A partir de fórmules obtingudes experimentalment, els científics poden predir els efectes quepodria produir el xoc d’un meteorit amb el planeta Terra. Aquesta qüestió, i d’altres, es resolen plantejant equacions que expliquin l’entorn.

Per exemple, l’equació de la velocitat (v ) com el quocient entre la distància (d ) del recorregut i el temps (t ) invertit en aquest desplaçament.

vd

t=


1. Calcula la distància que separa la Terra de la Lluna, si un pols de la llum làser que s’envia a la Lluna des de la Terra triga 2,56 segons a rebotar, utilitzant un sistema de miralls que els astronautes de l’Apol·lo 11 van col·locar a la superfície lunar el 1969. La llum viatja en l’espai a una velocitat de 300.000 quilòmetres per segon.

2. Si un meteorit de mida molt gran, que acaba de passar prop de la Lluna, s’acosta a la Terra a una velocitat d’1,38 quilòmetres per segon, calcula al cap de quants dies arribaria a la Terra.

3. Si el meteorit triplica la velocitat després d’haver passat per la Lluna, en quants dies es reduirà el temps d’impacte?

4. Si la velocitat es redueix a la meitat, quants dies trigaria a xocar?


La densitat HIDROSTÀTICA

La densitat (D) d’un cos és la raó que hi ha entre la seva massa (m) i el seu volum (v ).

Cada substància o material té una densitat específica que es mesura en g/cm3.

La taula següent mostra la densitat d’algunes substàncies.

Dm

v=

La llei de HookeFÍSICA

Si s’agafa una molla i s’hi penja una massa m, la molla es deformai adquireix més longitud, ja que la massa li imprimeix una força F.

En el gràfic següent es registren les diferents deformacions que experimentauna molla quan s’hi suspenen diferents masses.

La fórmula que relaciona la longitud de la molla amb la força aplicada esconeix com llei de Hooke. S’hi expressa que la deformació és directamentproporcional a la força aplicada a la molla.

F = k ⋅ x

F: força x: deformació k: constant d’elasticitat


1. Calcula la densitat de 10 cm3 de glicerina, si té una massa de 12,5 g.2. Determina la densitat de 5 cm3 de mercuri, la massa del qual és de 68 g.3. Quina substància és més densa, la glicerina o el mercuri?4. Quina massa hi ha en 10 cm3 de gasolina?5. Quin volum ocupen 50 g d’aigua de mar?6. Quin volum ocupen 50 g d’aigua?

Els líquids menys densos flotensobre els líquids més densos.La densitat d’un cos ésinversament proporcional al seu volum, i és directamentproporcional a la seva massa.


1. Organitza les dades del gràfic en una taula.

2. Quina és la constant d’elasticitat entre la massa i la deformació que es mostra en el gràfic?

3. Quina deu ser la massa necessària per deformar7,5 cm en la molla?

4. Quina força es devia aplicar a una molla, amb unaconstant d’elasticitat 60, si es va deformar 0,2 m?

5. Si la molla mesurava 7 cm i en aplicar-li la força vaarribar a una longitud de 9,5 cm, quina deformacióva experimentar?

Substància Densitat (g/cm3)

Aire 0,0013

Gasolina 0,70

Aigua 1,0

Aigua de mar 1,03

0,1 g

0,2 g

0,3 g

0,4 g

0,5 g

0,6 g

1 cm

2 cm

3 cm

4 cm

5 cm

6 cm

7 cm

8 cm


CIÈ

NC

IES

I

MAT

EM

ÀTI

QU

ES



Com es reparteixen els guanysECONOMIA

En les indústries cinematogràfiques, editorials o musicals intervenen un gran nombrede persones o empreses encarregades de constituir, desenvolupar i comercialitzarels nous productes. A cadascuna d’aquestes empreses li correspon un percentatgedeterminat dels guanys generats per les vendes.

En el cas dels discos, les novel·les i les entrades de cinema, els percentatges esdeterminen amb acords previs en què es tenen en compte les aportacions intel·lectualsi econòmiques de cadascun dels participants de les indústries.


1. Un grup musical ha venut 100.000 còpies d’un CDa 35 euros cadascun. Calcula quant guanyenla distribuïdora, els autors i les botiguesper aquestes vendes.

2. Si d’una novel·la que costa aproximadament27 euros se n’han venut 8.500 exemplars,quant li correspon a l’autor? Quant a l’editorial?Quant hi guanya el llibreter o distribuïdor?

3. Una pel·lícula ha generat en un any 50 milionsd’euros en taquilla. Calcula què els correspona la productora, als cinemes i a la distribuïdora.

Societat General

d’Autors .............9,5 %

Fabricació ..........5 %

Companyia.........5 %

Botigues.............36,5 %

Autor.................. 26 %

Distribució..........15 %

VENDA DE DISCOS

Cinemes............. 46,5 %

Productora ......... 26,5 %

Impostos ............ 7 %

Distribuïdora ...... 20 %

VENDA DE PEL·LÍCULES

Promoció ........... 4 %

Autor.................. 9,5 %

Editorial.............. 5 %

Distribuïdor ........ 50 %

Fabricació .......... 13,5 %

IVA..................... 4 %

VENDA DE LLIBRES


L’efecte d’hivernacleMEDI AMBIENT

Les capes de la Terra

Amb l’inici de l’era industrial tambéva començar la contaminació del’ambient.

Bona part de la contaminaciódel planeta és generada perles emissions de diòxid de carboni.

L’excés de diòxid de carboni enl’atmosfera permet que els raigssolars entrin directament a la Terrai, al mateix temps, impedeix queen surti la calor. Aquest fenomen ésconegut com efecte d’hivernacle.

El desglaç provocat per l’efected’hivernacle ha causatel despreniment de grans blocsde glaç, els icebergs. Un iceberges mou, aproximadament,2,22 mil·lèsimes de mil·límetreen un segon.

L’atmosfera que cobreix la Terra està composta per nitrogen, oxigen i altresgasos. Té diverses capes o estrats:

• Troposfera: situada entre els 0 km i els 15 km sobre el nivell del mar, és l’única capa que conté vapor d’aigua.

• Estratosfera: va des dels 15 km fins als 50 km. En aquesta capa, entre els 20 km i els 30 km d’altitud, hi ha la capa d’ozó que intercepta els raigs ultraviolats.

• Mesosfera: va des dels 50 km fins als 80 km d’altitud. A la part més alta, la temperatura puja fins a 2.100 °C.

• Termosfera: va des dels 80 km fins als 500 km d’altitud. En aquesta capa, la temperatura augmenta a causa de la irradiació solar.

• Exosfera: va més enllà dels 500 km d’altitud. En aquesta capa les molècules d’aire escapen de la gravetat terrestre.


1. Quants metres es mou un iceberg al cap d’un dia?

2. Quants metres es mou un iceberg en una setmana?

3. Quants metres es mou un iceberg al cap d’un mes?

4. Quants metres es mou un iceberg en un any?

Les masses de glaç més grans del planeta (les glaceres) són a l’Antàrtida i a Grenlàndia.


1. La tropopausa és una capa prima que hi ha al límit entre la troposfera i l’estratosfera. A quants metres d’altitud està situada aproximadament?

2. Si un avió supersònic pot volar fins als 18.000.000 mm d’altitud, per quina de les capesatmosfèriques es desplaça?

3. El cim més alt de la Terra és l’Everest, que està situat a una altitud de 8.848 metres. A quina distància està de la tropopausa?


CIÈ

NC

IES

I

MAT

EM

ÀTI

QU

ES



Les taques solarsRADIOASTRONOMIA

La radioastronomia és la branca de l’astronomia que estudiaels fenòmens celestes per mitjà del mesuramentde les característiques de les ones de ràdio, emeses pels processos físics que tenen lloc a l’espai.

En l’actualitat hi ha radiotelescopis que permeten fer observacionsd’una resolució impossible en altres longituds d’ona. Una de les principals tasques dels radioastrònoms consisteixa estudiar les taques que s’observen al Sol.

El Sol està en activitat permanent i al seu interior es produeixenreaccions termonuclears que converteixen milions de tonesde matèria en energia solar.

Les taques solars s’originen com a resultat de forts campsmagnètics sota la superfície solar. Tenen l’aspecte de punts foscosque poden arribar a mesurar fins a 12.000 km2. Per mesurarel nombre de taques solars, en primer lloc es determinen grupsde taques, i després, de cada grup es calcula el nombre de taquesque hi ha.

Les dades següents s’han recollit de la informació obtingudaper un telescopi astronòmic. A la taula es mostra, per als mesosde gener i febrer, el nombre de grups que es van observari el nombre total de taques.

Data Grups Taques Data Grups Taques

6-1-08 1 6 1-2-08 2 7

13-1-08 3 33 2-2-08 2 7

19-1-08 4 47 7-2-08 6 16

21-1-08 4 28 10-2-08 5 16

22-1-08 3 14 14-2-08 3 15

24-1-08 3 6 15-2-08 4 35

26-1-08 2 12 17-2-08 4 25

27-1-08 2 12 18-2-08 4 20

28-1-08 5 8 21-2-08 2 15La radioastronomia és una àrea relativament novade la investigació astronòmica.


1. Construeix una taula de freqüències per al nombrede grups en cadascun dels mesos, fent servir elsintervals següents: 0 a 1, 2 a 3, 4 a 5, 6 o més.

2. Elabora dos diagrames de barres en el mateix pla.Utilitza un color diferent per a cada mes.

3. Compara els diagrames. Treu-ne algunesconclusions.

4. Fes dos diagrames de línies en el mateix pla.Treu-ne algunes conclusions.

5. Calcula la mitjana del nombre de grups en cadames.

6. Calcula la mitjana del nombre de taquesen cada mes.

7. Compara les dues mitjanes obtingudes. Escriu-ne alguna conclusió.

8. Calcula les medianes del nombre de taquesi compara-les.



CIÈ

NC

IES

I

MAT

EM

ÀTI

QU

ES

Dilatació tèrmicaTERMODINÀMICA

Dilatació lineal

Quan la temperatura d’una substància varia després de certlímit, es produeix un canvi en les seves dimensions: així,la substància es pot dilatar (augmentar) o contraure(disminuir). Aquesta deformació, que és freqüent en totesles substàncies, es coneix amb el nom de dilatació tèrmica.

En la construcció de diferents estructures, com ara vies,ponts, edificis, etc., la dilatació tèrmica té un paperimportant per preveure la temperatura màxima que podensuportar els materials que s’hi fan servir. El fenomen dedilatació és reversible (un cos pot recuperar la seva forma,si recupera la temperatura inicial), sempre que no sesuperin els límits màxims i mínims de temperatura que cadacos pot suportar, ja que llavors quedaria deformat demanera permanent.

La dilatació que pateixen les substàncies pot ser de trestipus: lineal, superficial i cúbica.

En la dilatació lineal només augmenta o disminueix la longitud de la substància. Per calcular la longitud final s’usa l’expressió següent:

LF = l0[1 + x(tF − ti)]

LF: longitud final l0: longitud inicial x: coeficient de dilataciótF: temperatura final ti: temperatura inicial


1. Calcula la longitud final de cadascuna de les barretes d’alumini, si la temperaturaaugmenta de 13 °C a 45 °C.

En el cas que falti alguna dada, dóna el resultatcom una expressió algebraica.

Barreta metàl·lica d’1,8 cm

Barreta metàl·lica de 2,3 cm



2. Què passaria amb la longitud de cada barretasi la temperatura disminuís de 45 °C a 13 °C?Justifica-ho amb un exemple.



Dilatació superficialEl cas dels regles d’acerL’increment o la disminució en les dimensions d’un cos és proporcional a la seva mida original.

Per exemple, si s’augmenta la temperatura d’un regle d’acer, l’efecte serà semblantal d’un petit augment fotogràfic. Les línies que estaven espaiades a la mateixadistància continuaran espaiades igual, però la distància entre si serà una micamés gran. De la mateixa manera, l’amplada del regle serà més gran.

Si el tipus de regle d’acer té un forat, aquest també serà més gran.

En la dilatació superficial, augmenta i disminueix tant la llargada com l’amplada,segons la temperatura. En el cas particular d’una làmina es té:

TERMODINÀMICA

Altura = hi

Base = l i

Coeficient de dilatació de l’acer:

Coeficient de dilatació de l’alcohol:

Coeficient de dilatació del vidre: 91

106⋅

1 11

103, ⋅

111

106⋅


1. Si l’àrea final és igual al producte de la longitud de la base final, lF, per la longitud de l’altura final, hF,escriu una expressió que permeti calcular l’àrea finaldesprés d’un canvi de temperatura.

2. Troba una expressió per calcular la dilatació cúbicad’un paral·lelepípede.

3. Quina longitud es dilatarà un pont d’acer que fa 900 m de longitud, quan la temperaturaaugmenta de 5 °C a 35 °C?

4. Com seria la dilatació del pont anterior si la temperatura disminueix de 20 °C a −15 °C?

5. Un pot de vidre d’1 litre s’omple amb alcohol a 10 °C.Si la temperatura augmenta fins a 30 °C, pot vessarl’alcohol del pot?

Les juntes de dilatació permeten que els ponts es dilatin o es contreguin, sense generar tensions que puguin deformar-los de manera permanent quan canvia la temperatura.

hF = hi[1 + x(tF − ti)]

lF = l i[1 + x(tF − ti)]

Altura = hF

Base = lF

Àreai = l i ⋅ hiÀreaF = IF ⋅ hF

Augment de temperatura



CIÈ

NC

IES

I

MAT

EM

ÀTI

QU

ES

Els codis de barresINFORMÀTICA

Actualment, les empreses identifiquen el seus productes ambun codi de barres. Així, en passar el codi de cada article pel lectoròptic, aquest identifica l’article, en cerca el preu a la base de dadesi l’apunta al tiquet.

El codi de barres és un sistema d’identificació que permet controlarla gestió d’inventari i racionalitzar el subministramentde mercaderies. Cada codi de barres duu associat un númeroque en facilita la interpretació. Quan parlem de codi de barres,ens referim a aquest número, ja que és més fàcil treballar-hi.Hi ha diversos tipus de codificació, però el més estès és l’EAN13.Consta de tretze dígits que identifiquen de manera inequívocacada producte: 8 4 1 3 5 0 0 0 6 0 1 0 8

Mètode de càlcul del dígit de control

Comprovarem que el dígit de control del codi de barres de l’exempleestà ben calculat. Per fer-ho, hem de col·locar el parell de xifres 1 i 3a sota de les altres xifres del codi:

8 4 1 3 5 0 0 0 6 0 1 0 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3

– Els dos primers dígits corresponen al país. En aquest codi són 84, que corresponen a Espanya.

– Les cinc xifres següents identifiquen l’empresa fabricant del producte. En l’exemple, el número de l’empresaés 13500.

– Les cinc xifres següents formen un número que tria l’empresa per identificar cadascun dels seus productes.En l’exemple, el codi numèric del producte és 06010.

– El dígit que fa 13, és a dir, el primer per la dreta, és el dígit de control i es calcula en funció de les altresxifres. En aquest cas és 8. Amb el dígit de control es poden detectar errors en els codis del país, l’empresao el producte.

Després es multipliquen totes les xifres del codi de barres pels números 1 i 3 que hi ha a sota i se sumenaquests productes.

8 ⋅ 1 + 4 ⋅ 3 + 1 ⋅ 1 + 3 ⋅ 3 + 5 ⋅ 1 + 0 ⋅ 3 + 0 ⋅ 1 + 0 ⋅ 3 + 6 ⋅ 1 + 0 ⋅ 3 + 1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 3 == 8 + 12 + 1 + 9 + 5 + 0 + 0 + 0 + 6 + 0 + 1 + 0 = 42

Com que a 42 n’hi falten 8 per completar la desena més pròxima, 8 és la xifra de control.

En el cas que la suma dels productes acabi en 0, la xifra de control és 0.


Fixa’t en els codis de barres i respon les preguntes.

1. Què tenen en comú els dos codis?

2. Fes les activitats següents:

a) En un supermercat han aparegut alguns codisamb dígits de control mal calculats.

Indica en quin dels codis s’ha calculat malamentaquest dígit.

9789501266566 84111115000019788429464115 5449000000996

b) Observa que els codis següents tenen el mateixdígit de control.

8410201030106 8420101030106

– Analitza l’ordre de les xifres de tots dosnúmeros. Què hi observes?

– Podries construir diversos codis de barresamb aquestes xifres de manera que tinguessinel mateix dígit de control?

Identificació del país

Dígit decontrol

Identificacióde l’empresa

Identificació del producte



Què és l’arquitectura?ARQUITECTURA

L’arquitectura s’ha definit com l’art de projectar i construir espais perquè l’ésser humà els utilitzi.Aquest art presenta certes peculiaritats que el diferencien de les altres arts. Una és la tècnica constructiva, que busca l’ús correcte dels materials en funció de les qualitats i la naturalesa que els són pròpies, de manera que compleixin amb les condicions de solidesa,aptitud i bellesa necessàries.

L’aspecte funcional és una altra de les característiques que diferencien aquest art. L’arquitectura cerca construir diferents espais segons la finalitat d’ús i l’espai, que està definit per uns límits físics.

El fenomen arquitectònic ha donat lloc a obres que, a més de la bellesa i l’aspecte funcional,amaguen grans coneixements matemàtics en la tècnica constructiva i en l’ús de l’espai. Alguns exemples es visualitzen en l’arquitectura de La Alhambra, a Granada, al Museu Guggenheimde Bilbao, i a l’amfiteatre de Gwennap Pit, a Cornualla (Regne Unit), entre altres.

L’amfiteatre de Gwennap Pit és un escenari circular envoltat per quatre nivells de grades. Cada nivell mesura x metres d’ample i el radi de l’escenari és de y metres.


1. Calcula l’àrea:

a) Del segon nivell de seients.

b) Del tercer nivell de seients.

c) Del quart nivell de seients.

2. Com varia l’àrea a mesura que es puja un nivell? Justifica la resposta.

Amfiteatre de Gwennap Pit.

y + 2x y+

x

y



CIÈ

NC

IES

I

MAT

EM

ÀTI

QU

ES


1. Si un jugador introdueix la pilota al forat 8 i fa 3 cops, quin resultat obté en aquest forat?

2. Si un jugador introdueix la pilota al forat 18 i fa 3 cops, quin resultat obté en aquest forat?

3. Si un jugador introdueix la pilota en cadascun dels 18 forats segons el nombre de par establert, quants cops fa en total?

4. La taula següent mostra les puntuacions d’un torneig de golf, en què el nombre total de pars és de 288.

• Quin és el resultat total de cada jugador?

• Quants cops de més o de menys va fercadascun?

• Qui va guanyar el torneig?

El golf és un joc d’origen escocès.

Pars d’un camp de golf.

El golfESPORT

El golf és una activitat esportiva queconsisteix a introduir una pilota petitaen un forat. Per aconseguir-hos’utilitzen diferents pals, i cal ferel nombre més petit possible de cops.

Un camp de golf convencional té,com a mínim, nou forats, tot i quel’ideal és que en tingui divuit,cadascun dels quals està numerat.

Una competició de golf consisteixa jugar, com a mínim, divuit foratsconsecutius. Les proves mésimportants es disputen en 36, 54o 42 forats, i es repeteix el recorregutdel camp durant diferents dies.

Cada camp de golf té establert un par. Un par és la quantitat de cops que s’esperaque un jugador faci per introduir la pilota en cadascun dels forats que componenel camp.

El par per a cada forat pot ser 3, 4, 5 o 6.

El nombre de cops, de més a menys, que un jugador faper introduir la pilota s’expressa amb nombres enters,positius o negatius, respectivament. Per exemple, si un forat té un par de 3 i un jugador el fa en 2 cops,aconsegueix un resultat de 2(−1), però si el fa en 5 cops, tindrà un resultat de 5(+2).

Forat 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Par 4 3 4 5 4 4 3 5 4 3 4 4 4 5 4 3 5 4

Jugador de golf

Castro Villegas Sánchez Lucas

1r dia 67 74 68 73

2n dia 69 70 73 68

3r dia 70 71 69 73

4t dia 73 69 75 69



Miralls esfèricsÒPTICA

És habitual trobar als parcs d’atraccions mirallsque distorsionen la forma i la mida dels objectesi les persones. Aquests miralls poden fer aquestefecte perquè no tenen una superfície plana,sinó esfèrica; és per aquest motiu que rebenel nom de miralls esfèrics.

Hi ha dos tipus de miralls esfèrics: els còncausi els convexos. En els miralls còncaus, la superfíciereflectora és interna, mentre que en els convexosés externa. En tots dos casos, els miralls formenimatges reals o virtuals, depenent del llocon interseca la llum.

MIRALL CÒNCAU

En un mirall còncau, on i determina la midade la imatge i o és la mida de l’objecte ques’hi reflectirà, es dóna la relació següent:

do: distància de l’objecte al mirall

di: distància de la imatge al mirall

f: distància d’un punt, anomenat focus, almirall

1 1 1

f d do i

= +

MIRALL CONVEX

En un mirall convex es compleix la relaciósegüent:

La mida de la imatge que fa el mirallde l’objecte està determinadaper les expressions següents:

o

A: augment de la mida de l’objecte

Ad

di

o

=Ai

o=

− = +1 1 1

f d do i

do

v

i

f

di

o

i

odo

di

i

f


1. 5.

2. 6.

3. 7.

4. 8. Es col·loca una creu de x2 + 13x + 36 cm d’alturaa 2x4 + 26x3 + 72x2 cm d’un mirall convex,amb una distància focal de x4 + 13x3 + 36x2 cm.Calcula la distància de la imatge al miralli l’augment del mirall.


CIÈ

NC

IES

I

MAT

EM

ÀTI

QU

ES


Determina, en cada cas, una expressió que indiqui l’augment A. Després, calcula una expressió

equivalent a .1f

di = 5x3 + 35x2 + 50x

do = 10x2 + 50x

o = 2x + 10i

v

di = 4x + 8

i = 2x + 4

o = 2x + 6

fv

do = 9x + 21

i = 3x + 7

o = 3x + 7

fv

f

o

di = 12x4 − 3x2y2

do = 12x3 − 6x2y

o = 4x − 2y

i

vf

o = x2 + x

iv

f

o

di = 15x3 − 81x2 − 168o = 5x + 8

i = 5x2 − 27x − 56

vf

o

v

f

o

2 3

4

a

ai

+

+=

da a

a ai =

+ +

+ +

6 13 6

3 14 8

2

2

da a

a ao =

+ +

+ +

4 12 9

3 14 8

2

2

dx

x xi =

+

+ +

( )1

2 1

3

2

dx

x xo =

+

− +

3

2

1

1



El radar

L’efecte DopplerÉs una variació aparent de la freqüència de qualsevol ona, llum o so, quan la font d’onas’acosta o s’allunya de l’observador. Aquest principi explica per què quan una font de so,de freqüència constant, avança cap a l’observador, el so sembla més agut (de freqüènciamés alta), mentre que si la font s’allunya, sembla més greu.

A continuació es mostren les fórmules que relacionen la freqüència de les ones observades, F;amb la freqüència de les ones emeses, F1; la velocitat de propagació de les ones, v; la velocitatde l’observador, v1, i la velocitat de l’emissor, v2.

FÍSICA

El radar és un sistema electrònic que permet detectar objectes que no sóna l’abast de la vista, i determinar la distància a què estan situatsprojectant-hi ones de ràdio a sobre. Un exemple és l’ús que en fa la policiaper mesurar la velocitat d’un vehicle. Les ones electromagnètiques emesespel radar xoquen contra el vehicle en moviment. Aquest actua coma receptor mòbil, o com a font mòbil, quan les ones s’hi reflecteixen i tornencap al receptor del radar.

En una altra de les aplicacions intervé el famós desplaçament cap al vermellde la llum procedent de galàxies distants, és a dir, la radioastronomia.Aquest fenomen té lloc quan les galàxies emeten ones de ràdio, coma resultat de la radiació dels electrons de raigs còsmics que es mouendins el camp magnètic. L’emissió en línia de 21 cm de l’hidrogen s’observaen tota la galàxia. Els petits canvis de longitud d’ona de 21 cm són produïtspel moviment dels núvols d’hidrogen des de l’observador o cap a ell.Aquests canvis (desplaçament cap al vermell) són un fenomen conegutcom efecte Doppler, i s’utilitza per mesurar la velocitat i determinarla posició dels núvols d’hidrogen. D’aquesta manera, mesurant-neel desplaçament, ha estat possible traçar les formes espirals de la Via Làctiai establir la velocitat de les galàxies respecte de la Terra.


1. Investiga sobre les unitats de la freqüència.

2. La freqüència d’un so emesa per una font és de 400 Hz. Calcula la freqüènciapercebuda per l’observador, considerant tots els casos (velocitat de propagació: v = 340 m/s).

v1 = 10 m/s v2 = 50 m/s

3. Un radar que controla la velocitat dels vehicles a la carretera emet microones ambuna freqüència de 200 Hz. Quan les ones són reflectides per un vehicle en movimentque s’allunya, la freqüència és de 183,4 Hz. Calcula la velocitat del vehicle.

G1Emissor Observador

F Fv v

v=

+⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟1

1

F2Emissor Observador

F Fv v

v=

−⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟1

1

F3Emissor Observador

F Fv

v v=

−

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟1

2

G4Emissor Observador

F Fv

v v=

+

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟1

2

GF5Emissor Observador

F Fv v

v v=

+−

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟1

1

2

FG6Emissor Observador

F Fv v

v v=

−+

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟1

1

2


El centre de massesFÍSICA


CIÈ

NC

IES

I

MAT

EM

ÀTI

QU

ES

Moltes aplicacions de col·lisions i xocs s’estenen a objectes com ara blocs, automòbils i, fins i tot, l’impacte d’una bala.

En física s’ha considerat que un objecte o cos és un extens sistema de partícules, dins del qual hi ha un punt, anomenat centre de masses, que es mou com si dins seu hi hagués concentrada tota la massa del sistema.

Si les partícules tenen la mateixa massa, el centrede masses està situat exactament a la meitat dela distància entre les masses.

La distància entre m1 i Xcm és igual a la distànciaentre Xcm i m2.

En general, si la partícula m1 se situa a l’origen delsistema de coordenades, aleshores la ubicaciódel centre de masses Xcm és:

Si les partícules són de masses diferents, el centre demasses està més pròxim a la partícula de massa més gran.

Xm

Md

m

m mdcm = =

+2 2

1 2

La distància entre m1 i Xcm és més petita que ladistància entre Xcm i m2.

En un sistema de coordenades (Xcm), el valor del centre de masses (M) és:

MXcm = m1x1 + m2x2

on M = m1 + m2 és la massa total del sistema.

x1 i x2 són les coordenades de les partícules m1 i m2 respecte d’un origen.

m1 m2Xcm

m1 m2

Xcm

m1 > m2



Els ulls ens enganyenFÍSICA

Antigament es considerava que la llum era emesapels ulls. Més tard es va establir que la llum procediadels objectes que es veien, i que entrava als ullsi provocava la sensació de visió.

Christian Huygens i Robert Hooke van explicarla reflexió i la refracció de la llum, i van establir que la llum viatja més ràpid en l’aire que en el vidreo l’aigua. De la mateixa manera, aquesta teoria explicaels colors que produeixen diferents fenòmens.No obstant això, no és vàlida a l’hora d’explicar altrespropietats de la llum, com ara la interacció d’aquestaamb la matèria.

L’arc de Sant Martí és un fenomen òptic que té lloc quan els raigs del sol travessen petites partícules d’humitat que conté l’atmosfera terrestre.

REFLEXIÓ DE LA LLUM

Aquest fenomen és conegut des dels primers anysde la infantesa, quan observem la imatgeque cadascun de nosaltres provoquem en un mirall,o el reflex de diferents cossos sobre l’aigua.Tal com es veu en la fotografia, la llum que il·luminael paisatge es reflecteix en l’aigua i arriba finsals nostres ulls. A causa d’aquest fenomen,és possible veure el paisatge i també la imatgeque en queda reflectida en l’aigua.

La llum, en reflectir-se en una superfície polidacom un mirall, té un comportament regularque compleix dues lleis.

Primera llei: el raigincident i el raig reflectitsón al mateix pla.

Segona llei: l’angled’incidència és iguala l’angle de reflexió. Quan es col·loquen diversos miralls

en certa posició, el raig reflectitd’un incideix sobre l’altre.

Perpendicularal mirall

Anglede reflexió

Angled’incidència

Raigreflectit

Mirall

Mirall

Mirall

Raig incident



CIÈ

NC

IES

I

MAT

EM

ÀTI

QU

ES


Completa la trajectòria del raig de llum sobre el mirall B. Després, calcula la mida de l’anglede reflexió en cada mirall.

REFRACCIÓ DE LA LLUM

La refracció de la llum fa que es vegin posicionsfalses dels objectes. Es dóna sempre que els raigslluminosos canvien de medi de propagació.

Quan la llum es reflecteix, igual que amb la reflexió,té un comportament regular que compleix dues lleis.

Primera llei: el raig incident i el raig refractat sónal mateix pla.

Segona llei: quan un raig lluminós passa d’un media un altre de més densitat, disminueix l’angledel raig incident, i a l’inrevés.

1.


Calcula l’angle d’incidència o de refracció, segons que correspongui, quan el raig de llum es propagad’un medi a un altre.

1. 2. 3.

3.

2. 4.

51°

A

40° 35'

Mirallsparal·lels

A

B

30°120°

A

B

30°

A

B

B

i = angle d’incidència

Raig incidentI

i

r

RRaig refractat

r = angle de refracció


310

L’atzar i la genèticaGENÈTICA

Cada persona disposa en el seu material genètic de la informaciócorresponent a les característiques que s’hereten dels pares.Una d’aquestes característiques és el color dels ulls: foscos o clars.

Johann Gregor Mendel (1822-1884), un monjo agustí austríac que va desenvolupar els principis fonamentals de la genètica, va plantejarque en l’herència genètica cada característica està determinada per dosfactors que va anomenar elements, i que avui dia es coneixen com gens,un aportat pel pare i l’altre, per la mare. A més, va afirmar que hi haalgunes característiques dominants respecte d’altres.

Per exemple, es compleix que el factor ulls foscos (C) domina sobreel factor ulls clars (c), és a dir, si una persona té els ulls foscos és perquè en la seva informació genètica apareixen els dos factors amb el gen ulls foscos, o bé un gen ulls foscos i un altre gen ulls clars.

Per calcular la probabilitat, per exemple, que una persona d’ulls foscos i una altra d’ulls clars tinguin fills d’ulls foscos, cal plantejardues probabilitats.

Segons la primera taula, si algun dels pares té la informació genètica (CC), la probabilitat

que els seus fills tinguin ulls foscos és . En canvi, en la segona taula s’observa

que si un d’ells té la informació genètica (Cc), la probabilitat que els seus fills tinguin

ulls foscos és .2

4

1

2=

4

41=

Pares C C

c Cc Cc

c Cc Cc

PROBABILITAT 1

Pares C c

c Cc cc

c Cc cc

PROBABILITAT 2


1. Quina probabilitat hi ha que dues persones d’ulls foscos tinguin fills d’ulls clars?

2. Fes un esquema que analitzi les possibilitats que tenen dues persones d’ulls foscos, (Cc) i (Cc), de tenir fills amb ulls clars.

� MATEMÀTIQUES I (1r BATXILLERAT) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © GRUP PROMOTOR/SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �

917232 _ 0290-0314.qxd 23/12/08 16:45 Página 310


CIÈ

NC

IES

I

MAT

EM

ÀTI

QU

ES

El Golden GateENGINYERIA

El Golden Gate (porta daurada)és un pont situat a l’estretde Califòrnia, a l’entrada dela badia de San Francisco.Uneix San Francisco amb MarinCounty.


1. Estima a quina altura estansituats els cables quanla distància és de 300 mdel centre del pont.

2. Calcula l’equació de la paràbola que formen els cables del pont Golden Gate.

3. Usa l’equació obtinguda en el punt 2 i calcula l’alturadels cables quan la distànciaés de 300 m. Compara aquestresultat amb el del punt 1.?

Y

X

(−640, 160) (640, 160)

(0, 0)

67 m

640 m 640 m

300 m

160 m

227 m

El Golden Gate està suspès de dos cables; la calçada està situadaaproximadament a 67 m del nivell de l’aigua i té una amplada de 27 m.

Els cables formen una paràbola i toquen la calçada exactament al centredel pont.

Dades tècniques

Altura de cada torre: 227 m

Separació entre torres: 1.280 m

Suggeriment. Usa l’equacióy = ax2 i reemplaça undels punts que hi haassenyalats a la part superiorde les torres per calcularel valor de a. Tingues encompte que el vèrtex és (0, 0).



Curiositats en les mesures d’àrea

HISTÒRIA

El sistema mètric decimal té els orígens en el segle XVIII, però les civilitzacions antiguestenien diferents mètodes per calcular longituds, àrees i volums. A continuació s’ofereixenalgunes dades curioses d’aquestes mesures.

Mesures d’àrea a Babilònia

1 gar quadrat = 1 sar, aproximadament 36 m2

1 iku = 100 sar

1 bur = 1,800 iku

Mesures d’àrea a Grècia

1 plethron = 10.000 peus quadrats

Mesures d’àrea a Roma1 iugerum = 2 actus quadrati2 actus quadrati = 0,252 Hm2

1 heredium = 1 iugerum1 centúria = 50,4 Hm2

Mesures d’àrea a Egipte1 cúbit = 27,35 m2

1 khet quadrat = 100 cúbits1 arura = 8,2 hectàrees


1. Quants cm2 són un gar quadrat?

2. A quants m2 equival un bur?

3. Si a Babilònia hi havia un terreny de 200 iku,quants m2 tenia aquest terreny?

4. Quants dm2 són 3 cúbits?

5. Quants cm2 té una arura?

6. Si un rectangle té d’àrea 1 cúbit, quants dm2

té aquest rectangle?

7. Quants cm2 són un plethron?

8. Si a la nostra època es compréssim un terreny de 12 plethron, quants m2 tindria aquest terreny?

9. Quants cm2 té un iugerum?

10. Si un quadrat que té una àrea d’1 iugerumes divideix en dos triangles iguals, quants cm2

tindrà l’àrea de cada triangle?



CIÈ

NC

IES

I

MAT

EM

ÀTI

QU

ES

Al planeta hi ha contrastos força sorprenents pel que fa a la superfície dels llocs. A continuació se’n presenten uns quants.

Dades curioses del mónGEOGRAFIA


1. Quants km2 més té el desert del Sàhara que el desert de Colorado?

2. Quina diferència de superfície en m2 hi ha entre l’oceà Pacífic i l’oceà Àrtic?

3. Quants km2 de diferència té més la Federació Russaque Tuvalu?

4. Quina diferència en m2 hi ha entre el mar del Coralli el mar de Màrmara?

5. Quants dam2 menys té la conca fluvialdel Mackenzie que la conca fluvial de l’Amazones?

6. Quants dam2 de diferència hi ha entreles extensions de Grenlàndia i Tuvalu?

El desert més extens és el Sàhara,amb 9.065.000 km2.El desert menys extens és el de Colorado,amb 52.000.000 dam2.

L’oceà més gran és l’oceà Pacífic,

amb 166.241.000 km2 de superfície.

L’oceà més petit és l’Àrtic,

amb 948.500.000 hm2 de superfície.

El país més gran és la Federació Russa,


El país més petit és Tuvalu, que té

una superfície de 26.000.000 m2.

La conca fluvial més extensa és la de l’Amazones,amb 705.000.000 hm2 de superfície.Una de les conques més petites és ladel Mackenzie, amb 1.760.000.000.000 m2.

L’illa més extensa és Grenlàndia,


Una de les illes menys extenses és Tuvalu,

amb 260.000 dam2 de superfície.

El mar més gran és el mar del Corall,amb 479.100.000 hm2 de superfície.Un dels mars més petits és el mar deMàrmara, amb 1.147.100.000.000 dm2.



On són els edificis més altsdel món?

ARQUITECTURA

El TAIPEI 101, construït el 2004,és fins avui dia l’edifici més altdel món. Actualment s’estàtreballant per instal·lar-hi la líniad’elevador més ràpida del món.

Les TORRES PETRONAS gaudien del títol de més altes del món finsel 2004, any en què el Taipei les va sobrepassar en 57 metres.

La TORRE SEARS, de 108 pisos,es construí el 1974 i sobrepassàel World Trade Center de Nova York;així es va convertir en l’edifici més alt dels Estats Units.

El JIN MAO XANGAI, amb 88 pisosper sobre del nivell del carrer, és el mirador més gran i alt de la Xina. Es va acabar de construir el 1998.

TAIPEI 101, Taiwan

TORRES PETRONAS DE KUALA LUMPUR, Malàisia

TORRE SEARS, Chicago JIN MAO XANGAI, Xina

45°

719,834 m

509 m

TAIPEI 101

60°

510,37 m

TORRE SEARS

60°

243,06 m

JIN MAOXANGAI


1. Quina és aproximadamentl’altura de l’edifici més altdel món?

2. Calcula l’altura de la torreSears.

3. Quina és l’altura de l’edificiJin Mao Xangai?

4. Quina és l’altura deles torres Petronas?

917232 _ 0290-0314.qxd 23/12/08 16:45 Página 314

315

Els continguts que presentem tot seguit miren de donar suport al nostre projecte editorial glo-bal per al Batxillerat en relació amb els objectius de la LOE, que planteja com un dels objectiusdel Batxillerat «Fer servir amb solvència i responsabilitat les tecnologies de la informació i la comuni-cació.»

En aquesta secció presentem de manera molt directa i operativa algunes de les destreses con-siderades bàsiques en l’ús quotidià de l’ordinador. Al llarg de les quatre Guies del professor d’a-questa assignatura, que corresponen als quatre cursos de l’ESO, més les dues Guies correspo-nents als dos cursos de Batxillerat, anirem desenvolupant els temes que hem considerat mésadequats i d’interès per al professorat.

ÍNDEX DE CONTINGUTS


1. Com creem un bloc? 591

2. La primera entrada 593

3. Configuració del bloc 593

4. La plantilla del nostre bloc 593

5. Com podem veure el nostre bloc? 595

6. Com afegim entrades noves al bloc? 596

7. Creació d’entrades des de correu electrònic 597

8. Gestió de permisos al nostre bloc 598

Bloc B. L’Skype

1. Com instal·lem l’Skype? 599

2. Configuració de l’Skype 600

3. Comprovació de l’equip 601

4. La llista de contactes 602

5. Realització d’una trucada amb l’Skype a un altre ordinador 603

6. Realització d’una trucada amb l’Skype a un telèfon convencional 605

7. Canvi de l’estat del nostre usuari 607

8. Comunicació mitjançat xat 607

9. Personalització de l’Skype 608

Bloc C. Missatgeria instantània amb el Messenger

1. Com descarreguem i instal·lem el Windows Live Messenger? 609

2. Com iniciem una sessió? 611

3. Com hi afegim contactes? 612

4. Com configurem el programa? 612

5. Com conversem amb el Messenger? 613

6. El correu electrònic 614

7. Com creem carpetes compartides? 615

8. El Windows Live Avui 616

9. Com enviem fitxers i fotos? 616

10. Com establim una videoconferència? 617

11. Jocs compartits 619

12. El Web Messenger 620

Bloc D. El full de càlcul. L’Excel

1. Com executem l’Excel? 621

2. Tipus de dades 622

3. Com introduïm dades? 623

4. Com obrim i desem un llibre d’Excel? 624

5. Operacions bàsiques 624

6. Com imprimim un full de càlcul? 629

Com es fa...?Destreses bàsiques amb l’ordinador

DES

TRES

ES T

IC

917232 _ 0315-0357.qxd 16/12/08 14:23 Página 315


El bloc (blog o weblog en anglès) és una pàgina d’Inter-net que ens permet publicar continguts i comentarissobre qualsevol tema que ens interessi. Aquestes pàgi-nes estan pensades perquè els usuaris que no siguin ex-perts en informàtica puguin col·locar a Internet les sevesidees, projectes, fotografies, etc., i compartir-ho ambtots els membres de la xarxa.

La majoria dels blocs permeten que els articles, anome-nats generalment escrits, entrades o missatges (post enanglès), els puguin comentar els usuaris que els llegei-xen. De vegades els comentaris són a favor i altres encontra del que es publica, cosa que permet generar unamena de debat o fòrum sobre el contingut que es pu-blica al bloc.

Els blocs es diferencien de la resta de pàgines web per-què acostumen a mostrar els continguts de manera cro-nològica, com si fos un diari (o una bitàcora, que és comtambé se’ls coneix). En general, apareixen primer elscontinguts més actuals, és a dir, els últims que s’han afe-git al bloc, i després es van mostrant la resta d’entradesfins a arribar al contingut amb el qual es va iniciar el bloc.A cada entrada queda registrada la data en la qual es vaincloure el contingut i, a més, s’hi pot afegir un títol queidentifiqui la informació que afegirem.

Els blocs acostumen a ser unipersonals, tot i que tambén’hi ha de grupals, que poden ser creats i mantingutsper un grup d’amics o persones amb alguna cosa en co-mú. La persona que crea el bloc i hi inclou els contin-guts rep el nom de blocaire i és qui s’encarrega d’admi-nistrar el bloc, que pot configurar segons les opcionsque vulgui.

Podem diferenciar blocs de tres tipus:

• Els blocs de contingut, que ja hem comentat i quesón dels que més n’hi ha en actualitat.

• Els fotoblocs, que permeten incloure al bloc galeriesde fotografies que es poden veure a tota la xarxa.

Normalment, aquest tipus de bloc té una limitaciópel que fa al nombre de fotografies que hi podemposar o bé sobre quantes n’hi podem pujar diària-ment.

Aquests blocs els creen tot tipus d’usuaris, des delgrup d’amics que posen a Internet les fotos del capde setmana fins a fotògrafs professionals que donena conèixer la seva feina per mitjà d’aquestes pàgi-nes.

• Els videoblocs, que permeten incloure al bloc vídeosque volem compartir amb els usuaris d’Internet. Tot i

� MATEMÀTIQUES I (1r BATXILLERAT) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �316

917232 _ 0315-0357.qxd 16/12/08 14:23 Página 316


que la majoria d’aquests videoblocs estan formats apartir de vídeos graciosos, curiosos o interessants queel blocaire ha trobat a Internet, també hi ha un grannombre de blocs en els quals els aficionats al vídeo, alcinema, etc., ensenyen els seus treballs perquè els pu-guin veure altres usuaris.

Com creem un bloc?

Actualment hi ha a Internet molts llocs on podem crearun bloc de manera gratuïta. Per a aquest apartat hemescollit el servei Blogger del Google, perquè és un delsmés divulgats a la xarxa i perquè és molt senzill d’utilit-zar a l’hora de crear el bloc i mantenir-lo.

Per crear-lo, tan sols ens cal tenir un compte de correuelectrònic i seguir els passos següents:

1r Executar el navegador d’Internet, escriure a la barrad’adreces la pàgina del Blogger i prémer <Enter>:

http:// www.blogger.com

A la finestra del navegador apareixerà la pàgina ini-cial del servei de blocs que utilitzarem.

Per crear un bloc al Blogger cal estar registrat, és adir, tenir un compte al Google o al Blogger.

Si ja en tenim creada una, la podem fer servir, però sino en tenim cap, la creem de manera senzilla men-tre donem d’alta el nostre bloc.

1

A la pàgina que s’obre hem de teclejar dues vega-des la nostra adreça de correu electrònic, per asse-gurar-nos que no hem comès cap error en escriure-la. Després ens demana una contrasenya, que enscaldrà per poder modificar els continguts o el dis-seny del bloc.


DES

TRES

ES T

IC

Clic per crear un bloc nou.

Tot seguit ens demana el nom amb el qual volemsignar els continguts del bloc, que pot ser el nostrenom vertader, un sobrenom, un pseudònim, etc.

Al camp següent hem de teclejar les lletres queapareixen a la imatge superior; això es fa per evitarles altes automàtiques a través de programes ques’executen a la xarxa.

2n Per començar, fem clic a l’enllaç que conté el textCREEU UN BLOC ARA.

917232 _ 0315-0357.qxd 16/12/08 14:23 Página 317


Finalment, ens hauríem de mirar les condicions delservei i marcar la casella de verificació en què ac-ceptem aquestes condicions.

Si no acceptem les condicions, no podrem crear elbloc. Per tirar endavant el procés fem clic a l’enllaçCONTINUA.

3r Hem d’escollir un títol per al bloc. És convenientque el títol cridi l’atenció i que representi els contin-guts que volem publicar.

A continuació, hem de triar una adreça del bloc queestigui disponible, és a dir, l’URL (adreça d’Internet)amb la qual qualsevol usuari de la xarxa podrà veureels continguts del bloc.

Trobar una adreça lliure no és fàcil, perquè ja hi haun gran nombre d’usuaris que se’ns han avançat;tot i això, si l’adreça que demanem està ocupada, elBlogger ens en suggerirà algunes de lliures.

Després d’haver teclejat l’adreça és aconsellablecomprovar-ne la disponibilitat amb l’enllaç Com-provar-ne la disponibilitat que hi ha a sota delquadre de text.

Quan hàgim trobat una adreça disponible, que uti-litzarem al nostre bloc, hauríem de tenir en compteque s’hi podrà accedir amb l’adreça següent:

http://nom.blogspot.com

en què el camp nom l’hem de substituir pel nomdisponible que hàgim escollit.

Per continuar el procés hem de fer clic a l’enllaçCONTINUA.

4t S’obrirà una finestra nova en què hem de selec-cionar la plantilla amb la qual mostrarem els con-tinguts del bloc. Les plantilles representen comquedarà la informació quan es mostri a Internet.Seleccionem la que ens sembli més atractiva i cli-quem a CONTINUA.

S’obrirà una pàgina nova que ens anuncia la creaciódel bloc i que ens permet començar-hi a publicarcontinguts.

Per afegir-hi la primera entrada fem clic a l’enllaçCOMENÇAR A UTILITZAR EL BLOC.

� MATEMÀTIQUES I (1r BATXILLERAT) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �318

És l’adreça amb la qualaccedirem al bloc.

Seleccionem la plantillaamb la qual volem mostrar

els nostres continguts.

917232 _ 0315-0357.qxd 16/12/08 14:23 Página 318

Configuració del bloc

Per modificar la configuració del bloc cliquem a l’enllaçConfiguració que apareix a les pestanyes de la part su-perior de la pàgina. A la pàgina nova que s’obre podemconfigurar una gran quantitat de paràmetres; tot i queaquí només en comentarem alguns, seria interessant re-visar-los i veure què ens permeten fer.

Cliquem a l’enllaç Bàsic i a la pàgina de configuració po-dem canviar el títol del bloc, la descripció que se’n dóna,si volem que el bloc aparegui a les llistes del Blogger, sivolem que els cercadors puguin incloure el nostre bloca la base de dades per poder-lo localitzar a la xarxa, etc.

Una vegada hàgim configurat les opcions, hem de ferclic al botó Desa les preferències que hi ha al final dela pàgina; si no ho fem, perdrem els canvis que havíemconfigurat.

La plantilla del nostre bloc

Al Blogger tot es pot personalitzar al màxim. En aquestapartat inclourem unes nocions bàsiques del que es potfer, però invitem el lector que vagi més enllà i que inves-tigui altres possibilitat que no es presenten en aquestdocument bàsic d’iniciació.

Quan fem clic a l’enllaç Plantilla sortirà l’esquema delmodel de plantilla que havíem seleccionat quan havíemcreat el bloc.

4

3


La primera entrada

Una vegada creat el bloc, el Blogger ens dóna l’opció decrear-hi continguts. Si hem fet clic a l’enllaç Començara utilitzar el bloc del punt anterior, tindrem al navega-dor una pàgina web en la qual hi ha seleccionada la pestanya Enviament de missatges. Hem de seguiraquests passos:

1r Indiquem el títol que tindrà la nostra primera entra-da; per fer-ho, el teclegem al quadre de text Títol: dela part superior.

2n A l’àrea de text teclegem el contingut que tindràaquesta entrada. Per donar-hi format disposem d’u-na barra d’eines amb la qual podem afegir-hi foto-grafies, vídeos, canviar l’estil, el color, la font i el for-mat del text, revisar ortogràficament el text quehem escrit, etc.

3r Una vegada hàgim introduït tot el contingut de lanostra primera entrada, tindrem dues opcions: la pri-mera, PUBLICAR UN MISSATGE, que desarà l’entra-da que hem teclejat i l’afegirà directament al nostrebloc, i la segona, DESAR ARA, que desarà el contin-gut que hem teclejat però que no el mostrarà albloc. Això s’acostuma a fer servir quan el contingutno està acabat del tot, és a dir, quan encara és un es-borrany.

2


DES

TRES

ES T

IC

Contingut de l’entrada que estem creant.

Títol de l’entrada nova. Opcions de configuració disponibles.

917232 _ 0315-0357.qxd 16/12/08 14:23 Página 319



Si en algun moment volem canviar de plantilla, cliquema la pestanya Format i a l’enllaç Triar un model nou,que ens deixarà fer-ho. Tornaran a sortir totes les planti-lles disponibles i només caldrà seleccionar la que volemfer servir i fer clic a l’enllaç Desar la plantilla.

L’enllaç Elements de la pàgina ens ensenya les dife-rents parts de la plantilla que hàgim seleccionat: elspodem modificar si fem clic sobre l’enllaç correspo-nent.

Per exemple, si cliquem a l’enllaç Edita de l’apartatQuant a mi, s’obrirà una pàgina nova en la qual podrememplenar i modificar les dades que apareixeran sobrel’autor del bloc. A més, podem escollir si es mostraran albloc dades sobre l’autor, com el nom i la descripció, i so-bre la ubicació, com ara la població, la comarca o el país.

Si editem l’apartat Arxiu del bloc, podrem indicar coms’han d’emmagatzemar els continguts al bloc quan passiun quant temps: mensualment, setmanalment o diària-ment. Podem escollir entre tres estils: jerarquia, llista pla-na o menú desplegable.

Podem canviar la cronologia de les entrades i que esmostrin primer les més antigues, tot i que això no és elmés habitual.

També podem canviar la presentació de les entradesdel bloc, la capçalera, etc.

Seleccionem la plantilla amb la qual volem mostrar el bloc.

Modifica el tipus de font i els colors del text

Configura la forma de fitxer dels continguts.

Configura les dadespersonals.

917232 _ 0315-0357.qxd 16/12/08 14:23 Página 320


DES

TRES

ES T

IC


Finalment, també és interessant veure com podem can-viar els colors dels apartats del bloc: si fem clic a l’enllaçTipus de lletra i colors de la part superior, s’obrirà unapàgina en la qual podrem seleccionar cada element delbloc i assignar-hi el color que vulguem si cliquem sobrela paleta de colors que es mostra.

Si tot ha funcionat correctament, ja tenim disponible elbloc. Ara hauríem de veure els missatges de correu delcompte que hem indicat en la creació del bloc, ja que elGoogle ens envia un missatge perquè activem el nostre

compte a través d’un enllaç. Només cal fer-hi clic i el Go-ogle ens mostrarà un missatge d’activació efectuadaamb èxit.

Com podem veure el nostre bloc?

Per veure el resultat final del bloc hem d’executar el na-vegador, teclejar l’adreça del bloc a la barra d’adreces iprémer <Enter>.

Cal que recordem que l’adreça del nostre bloc és del ti-pus:

http://nom.blogspot.com

en què hem de substituir el camp nom pel nom quehem triat quan hem creat el bloc.

Si tot ha anat bé, en pocs instants tindrem a la pantallael bloc amb l’entrada inicial que hem publicat i amb lesmodificacions incloses en la configuració que hem duta terme.

Si a la configuració hem permès que es puguin co-mentar les entrades, a la part inferior de cada una esmostra:

1r El nombre de comentaris que té l’entrada.

2n L’enllaç Comentaris, que permetrà als usuaris afe-gir comentaris sobre el contingut que hem publi-cat.

Si fem clic sobre aquest enllaç s’obrirà una pàginanova en la qual es veurà una àrea de text per em-plenar amb el títol Deixeu el vostre comentari.

5Primer seleccionem

l’element que volem canviar.

Àrea per comentarl’entrada.

Després escollim el color que hi volem aplicar.

Podem veure els resultats de maneraimmediata després de clicar al color.

Títol. Entrades.

Descripció. Fitxers del bloc.

917232 _ 0315-0357.qxd 16/12/08 14:23 Página 321



Una vegada redactat, hem de teclejar les lletres distor-sionades que surten a la imatge, i si hem configurat elbloc de manera que no permetem que es facin comen-taris anònims, l’usuari s’haurà d’identificar. Per defecte,cal ser usuari del Google o del Bogger per poder fer co-mentaris sobre les entrades dels blocs creats ambaquest servei.

Quan el comentari introduït s’hagi publicat, augmenta-rà automàticament el nombre de comentaris i aquestúltim passarà a estar disponible perquè el pugui consul-tar qualsevol internauta.

Si un altre usuari de la xarxa vol afegir un comentari nou,només ha de clicar sobre l’enllaç Comentaris, amb laqual cosa podrà veure el text de l’entrada i els comenta-ris que ha tingut. A la part esquerra disposa d’una àreaper fer el seu comentari. Haurà de seguir els mateixospassos que en el cas anterior. Finalment, cal fer clic al’enllaç Publiqueu el vostre comentari de la part infe-rior de la pàgina.

Com afegim entrades noves al bloc?

Per afegir una entrada nova al bloc hem d’accedir desde la pàgina del Blogger a l’espai de gestió del bloc. Perfer-ho, executem el navegador i accedim a la pàgina delBlogger teclejant a la barra d’adreces l’URL:

http://www.blogger.com

6

Quan s’obri la pàgina, teclegem al quadre Nom d’usuariel compte de correu electrònic que vam fer servir quanvam crear el bloc, i al camp Contrasenya, la clau quevam establir en aquell moment. Per acabar, cliquem al’enllaç per accedir-hi.

Si tot ha anat bé, apareixerà al navegador el tauler degestió del nostre bloc. Hi trobarem dos enllaços per cre-ar i modificar els continguts del bloc:

1r Si volem crear un escrit nou, cliquem a l’enllaç Nouescrit i passarem a la mateixa pàgina web que hemutilitzat anteriorment per crear el primer escrit delbloc.

Entrada que originaels comentaris.

Comentari previ.

Per afegir una entradanova fem clic aquí.

Per editar les entrades publicades o els esborranys desats cliquem aquí.

917232 _ 0315-0357.qxd 16/12/08 14:23 Página 322


DES

TRES

ES T

IC


2n Si el que volem fer és modificar algun escrit existento acabar un esborrany que havíem deixat a mitges,hem de fer clic sobre l’enllaç Escrits.

S’obrirà una pàgina en la qual hi ha totes les entra-des creades al bloc; des d’aquesta pàgina podemeditar cadascuna de les entrades o dels esbor-ranys tan sols fent clic a l’enllaç Edita de la partesquerra.

Si hi cliquéssim, s’obriria la mateixa pàgina d’edi-ció que al principi i des d’allí podríem fer els can-vis que calgués, i desar-los o publicar-los.

Des d’aquest tauler de gestió també podem elimi-nar aquelles entrades del bloc que vulguem esbor-rar; per fer-ho, només hem de clicar a l’enllaç Elimi-na que hi ha a la part dreta de cada entrada.

Creació d’entrades des de correuelectrònic

A més de tot el que hem vist fins ara, el Blogger disposad’una opció amb la qual podem tenir les nostres entra-des actualitzades amb un temps i un esforç mínims. Téuna opció per enviar un correu electrònic a una adreçaque nosaltres configurem i que el contingut del missat-ge s’emmagatzemi com un escrit nou al bloc.

7

Per poder aprofitar aquesta gran utilitat, primer l’hemde configurar. Per fer-ho, seguim aquests passos:

1r Anem al tauler de gestió del bloc i cliquem sobrel’enllaç Configuració.

2n A la pàgina de configuració fem clic sobre l’enllaçCorreu electrònic i s’obrirà una pàgina similar a lade la imatge.

Ens centrem en l’apartat Adreça Envia-a-Blogger iteclegem al quadre de text el nom que volem do-nar a la nostra adreça de correu d’actualització delbloc.

En aquest exemple hem triat la direcció de correu:

[email protected]

en què entrades és l’únic text que hem teclejat, jaque la primera part l’agafa del nostre compte decorreu electrònic i l’última depèn del servidor quegestiona el compte, en aquest cas blogger.com.

3r Cliquem a l’enllaç Desa les preferències perquès’emmagatzemin els canvis i tanquem el navega-dor.

4t Accedim al programa de correu i creem un missat-ge nou, que enviarem al compte que acabem deconfigurar.

El cos del missatge serà el contingut de l’entradanova. Hem de tenir en compte que el text quecol·loquem al camp Tema: serà el títol de l’escrit noudel bloc i que el contingut del missatge serà el con-tingut de l’escrit.

Quan ho hàgim completat fem clic al botó Envia.

Clic per crear una entrada nova. És un esborrany.

Clic per eliminaruna entrada.

Clic per editarl’entrada.

Nombre de comentaris.

917232 _ 0315-0357.qxd 16/12/08 14:23 Página 323



Per comprovar que hagi funcionat correctament, no-més cal que accedim al bloc i mirem si l’escrit nou s’hiha afegit.

Gestió de permisos al nostre bloc

Moltes vegades ens ajuda força que un bloc el puguinmantenir un conjunt de diverses persones. Si pensemen un bloc departamental, podria ser interessant que al-guns o tots els professors que integren el departamentpuguin afegir informació al bloc, d’aquesta manera es-taria més actualitzat i no caldria un gran esforç indivi-dual.

8

Perquè diverses persones puguin administrar un bloccal que s’hi afegeixin les adreces dels usuaris que tin-dran permís per fer aquestes tasques. Per fer-ho, hemde seguir els passos següents:

1r Entrem al bloc amb el nostre compte d’adminis-trador i fem clic a la fitxa Configuració. En aques-ta pàgina marquem el vincle Permisos, i alesho-res s’obrirà una pàgina amb l’apartat Autors delbloc.

2n Per afegir-hi usuaris nous que puguin modificar elscontinguts fem clic al botó Afegir autors, i s’obriràun quadre perquè hi teclegem les adreces delsusuaris nous.

3r Després d’emplenar les adreces, hem de clicar albotó Convida, d’aquesta manera, s’enviarà un co-rreu electrònic a cadascuna de les adreces que hemescrit perquè acceptin la invitació de participar en elbloc.

El missatge rebut en cadascuna de les adreces in-clourà un vincle sobre el qual els destinataris hau-ran de clicar per acceptar la invitació.

El tema serà el títol del’entrada nova al bloc.

El cos del missatge serà el contingut de l’entrada nova.

Entrada nova afegida des d’unmissatge de correu electrònic.

Fitxa de configuració. Vincle de permisos.

917232 _ 0315-0357.qxd 16/12/08 14:23 Página 324


DES

TRES

ES T

IC

Bloc B. L’Skype

L’Skype és un programa gratuït que ens permet xatejar iconversar amb altres persones a través de la xarxa, comtambé trucar a números de telèfon tant fixos com mò-bils a preus molt competitius. Les tarifes varien segonsel país. La qualitat i la seguretat de les converses sónmolt bones, i s’utilitzen algoritmes de xifratge per garan-tir-ne la privacitat.

Com instal·lem l’Skype?

Podem aconseguir el programa des d’Internet: execu-tem el navegador i accedim a la pàgina

http://www.skype.com

Fem clic a qualsevol dels enllaços de descàrrega, ales-hores s’obrirà una finestra en la qual se’ns preguntaràquè volem fer, si executar el fitxer o desar-lo. Fem clicper desar-lo i l’emmagatzemem en una carpeta al discdur per si el necessitem més endavant.

1

Quan hagi acabat la descàrrega ens situarem a la carpe-ta on hem emmagatzemat el fitxer i hi trobarem el pro-grama d’instal·lació de l’Skype.

Per executar-lo hi fem doble clic i començarà la instal·la-ció del programa. El sistema operatiu ens preguntaràquè volem fer amb el fitxer: farem clic sobre el botó Exe-cutar per iniciar la instal·lació.

Apareixerà la primera pantalla de l’Skype, en la qual hemde seleccionar el nostre idioma i on podem consultarles condicions de la llicència d’ús d’aquest software. Percontinuar la instal·lació és imprescindible marcar la ca-sella del punt 2, en el qual indiquem que acceptem lescondicions establertes. Cliquem al botó Instalar de lapart inferior de la finestra i continuem la instal·lació.

Clic per efectuar la descàrrega del programa.

917232 _ 0315-0357.qxd 16/12/08 14:23 Página 325


Bloc B. L’Skype

Després ens preguntarà si volem instal·lar la barra d’ei-nes del Google al nostre navegador. Si ho volem fer,hem de marcar la casella de verificació; si no la voleminstal·lar, només hem de deixar la casella en blanc. Con-tinuem amb la instal·lació.

A partir d’aquest moment comença la còpia dels fit-xers de l’Skype al disc dur, i al cap d’una estona apareixla finestra final, que ens agraeix la instal·lació del pro-grama.

Ja podem executar l’Skype si fem clic al botó IniciaSkype de la part inferior de la finestra.

Configuració de l’Skype

Quan executem per primera vegada el programa hemde crear un compte de Skype per poder-nos comunicaramb la resta d’usuaris. Per fer-ho, se’ns demanarà elnom de la persona que utilitzarà el programa, el nomd’usuari que farem servir i una contrasenya. Tornem amarcar la casella d’acceptació de les condicions del ser-vei i continuem.

A la finestra que s’obre hem de teclejar un compte decorreu electrònic i marcar la nostra ubicació, país i ciu-tat. A més, podem indicar que cada vegada que iniciemel programa es faci amb l’usuari que acabem de crear.Per acabar la configuració del compte ja ens podemconnectar.

2

Si accediu a la pàgina web següent de tradu.cattradu.feshocat.cat/index.php?seccio=skype-cat

trobareu les instruccions i els fitxers necessaris per tenir traduït al català aquest programa.

917232 _ 0315-0357.qxd 16/12/08 14:23 Página 326


DES

TRES

ES T

IC

Bloc B. L’Skype

Comprovació de l’equip

Una vegada hàgim aconseguit crear el nostre compte aSkype, el pas següent consisteix a comprovar que el sis-tema funciona correctament i que el podem fer servirper conversar amb altres usuaris. Per fer-ho, és aconse-llable utilitzar la trucada de prova de l’Skype, que consis-teix en un test que comprova si els altaveus i el micrò-fon estan connectats, configurats de manera adequadai en funcionament.

Per fer la prova hem de seleccionar-la a la fitxa de Con-tactes i clicar sobre el telèfon del cercle verd. En aquestmoment s’iniciarà el test. Sentirem un so de comença-ment de trucada, seguit dels tons de marcació de la tru-cada i, immediatament després, un enregistrament queens diu el que hem de fer.

El procés consisteix a escoltar l’enregistrament i desprésparlar durant uns quants segons pel micròfon. Les nos-tres paraules s’enregistraran a l’ordinador i, quan aca-bem, l’Skype les reproduirà. Si escoltem correctamentles paraules que hem dit, vol dir que tot està preparatper començar.

Si la prova no funciona correctament, haurem de buscarquè passa i configurar l’equip de manera adequada. Elproblema més comú amb què ens podem trobar ésque el micròfon estigui en mut i no es pugui emmagat-zemar la nostra veu.

3

Per canviar aquesta situació hem de clicar al botó Iniciai escollir Els programes / Accessoris / Entreteniment /Control de volum, aleshores s’obrirà una finestra enquè podrem veure tots els controls del so dels disposi-tius de l’ordinador. Doncs bé, hem de buscar el disposi-tiu Volum de micròfon i treure la marca Mut de la part in-ferior. A més, en aquesta finestra podem graduar elvolum del so amb el qual volem treballar, tant per al mi-cròfon com per als altaveus.

En qualsevol moment podem acabar una conversa sicliquem sobre el telèfon que hi ha al cercle vermell, finsi tot en la trucada de prova.

Seleccionem la trucada de prova del’Skype percomprovar el nostreequip.

Trucada en curs.

Podem acabar qualsevoltrucada fent clic en aquest botó.

Control per al volumdels altaveus.

Control per al volum del micròfon.

917232 _ 0315-0357.qxd 16/12/08 14:23 Página 327


Bloc B. L’Skype

Si durant la nostra conversa amb l’Skype notemque el volum no és l’adequat, podem fer clic a laicona de la part inferior de la finestra i apareixerà una ba-rra que podem fer lliscar i que ens permet ajustar el vo-lum amb clic i arrossegar sobre el punt blau.

La llista de contactes

Els contactes són les persones a qui podem trucar oamb qui podem xatejar. Per afegir una persona a la llistade contactes hem de fer clic a Afegeix contacte. En

4

aquest moment, s’obrirà una finestra nova que ens de-manarà alguna mena d’informació sobre l’usuari quevolem afegir a la llista.

Òbviament, si volem parlar amb el nostre contacted’ordinador a ordinador, l’altre usuari també ha de sermembre de Skype. La informació que podem intro-duir per localitzar-lo pot ser el seu usuari de Skype, elnom o bé la direcció de correu electrònic. Amb qual-sevol d’aquestes dades l’Skype localitzarà el nostrecontacte nou i mostrarà una llista dels usuaris quecompleixen aquest criteri. Cal que seleccionem l’usua-ri que busquem i que fem clic sobre el botó Afegeixcontacte de l’Skype que hi ha a la part inferior de la fi-nestra.

Quan fem això s’obrirà una finestra nova, en la qualhem de teclejar un text que es comunicarà a la perso-na que volem afegir com a contacte a la nostra llista. Ésimportant saber que no hi podrem afegir un usuari siell no vol pertànyer a la nostra llista. Això vol dir quenosaltres no estarem tampoc en cap llista que no hà-gim acceptat prèviament, cosa que ens dóna la certesaque no rebrem trucades de persones que no cone-guem.

Quan hàgim emplenat el text que enviarem a la perso-na que volem afegir a la llista de contactes, fem clic al

Podem ajustar el volum lliscant el punt amb clic

i arrossegar.

Clic per mostrar els controls de volum.

Clic per afegir un contacte nou.

Teclegem les dades del contacteque volem localitzar.

917232 _ 0315-0357.qxd 16/12/08 14:23 Página 328

Bloc B. L’Skype

botó D’acord i a l’ordinador del nostre futur contacteapareixerà una finestra amb el nostre missatge.

Quan es rep un missatge d’intercanvi de detalls decontacte, l’Skype ens avisa que, si no coneixem la per-sona que ens envia el missatge, ens ho pensem detin-gudament abans de deixar que ens afegeixin com acontacte.

Si decidim permetre que ens hi afegeixin, hem de fer clica D’acord, però si ho volem rebutjar, només hem de cli-car a Ignorar i no ens afegiran a la llista d’aquest usuari.

Si hem acceptat el missatge a la nostra llista, s’hi afegi-rà el contacte que el va enviar i a la seva també s’in-clourà el nostre usuari.

Realització d’una trucada ambl’Skype a un altre ordinador

Per fer una trucada gratuïta a un usuari de la nostra llistade contactes només l’hem de seleccionar i fer clic sobreel botó de trucada (telèfon al cercle de color verd). Enun moment començarà a sonar el to de la trucada i in-tentarà connectar amb el destinatari.

A l’ordinador de la persona a qui truquem es començaràa reproduir el so de la trucada i es mostrarà un quadrede diàleg perquè decideixi què fer.

Les opcions disponibles són:

1a Respon, aleshores començarà la conversa.

2a Rebutja la trucada, amb això es tallarà l’intent deconversa.

3a Escollir l’opció Xat, així passarem a una conversa es-crita.

Quan es contesta la trucada els dos usuaris comencen aconversar, i a la part inferior de la finestra hi surt la dura-da de la trucada. A més, disposem de dos controls perfer servir durant la trucada: amb el primer podem

5


DES

TRES

ES T

IC

Missatge d’advertència.

Controls.

Durada.

Seleccionem l’usuari que volemafegir a la llista de contactes.

917232 _ 0315-0357.qxd 16/12/08 14:23 Página 329

Bloc B. L’Skype

silenciar el micròfon durant un període de la conversa;

el segon serveix per posar una trucada en espera i

reiniciar-la més endavant.

A més, si tenim una càmera web connectada a l’ordina-dor, podem configurar l’Skype per fer una videoconfe-rència enlloc d’una simple conversa.

Per fer la configuració seguim aquests passos:

1r Anem a la finestra d’opcions de l’Skype per mitjà delmenú Eines/Opcions. A la finestra que s’obre cliquemal tauler de la dreta sobre el botó Generals perquèse’n despleguin les opcions.

2n Fem clic a l’element Configuració de vídeo i ensapareixeran les opcions de configuració per a la cà-mera web que tenim instal·lada a l’ordinador. És im-portant decidir de qui volem rebre vídeo en les nos-tres converses i a qui volem que se li mostri quedisposem de vídeo. Igualment, podem decidir siquan iniciem una conversa volem que s’executi au-tomàticament l’opció de vídeo i es mostri la nostracàmera des del principi o bé que iniciem el vídeo demanera manual quan ens interessi.

En una conversa amb vídeo disposem d’un botó per atu-rar-lo i iniciar-lo quan vulguem.

A més, en qualsevol moment podem fer una fotografiade la imatge de vídeo que veiem; per aconseguir-ho, cli-quem al botó de la càmera fotogràfica que hi ha a sotade la imatge.


Opcions per configurar el comportament de la càmera web.

Trucadaen espera.

Silenciar. Control del volum.

Puc aturar lareproducció de la càmera weben qualsevolmoment.

Imatge de vídeode la personaamb qui estemconversant.

La meva imatge de vídeo.

Podem fer unafoto de la imatgeque surt a lapantalla.

917232 _ 0315-0357.qxd 16/12/08 14:23 Página 330

Bloc B. L’Skype

Automàticament, s’obrirà la finestra de captura de vídeode l’Skype, on es veurà la imatge capturada, i, a la part in-ferior, una llista de les capturades prèviament.

També, quan mantenim una conversa amb vídeo po-dem escollir veure la imatge en una finestra o bé a pan-talla completa. Amb això aconseguim veure una imatgemolt més gran que la que es mostra inicialment.

Com es pot veure en la il·lustració, la imatge gran és lade la persona amb qui conversem i a la cantonada inferioresquerra apareix un requadre petit que mostra la nostraimatge durant la conversa.

Realització d’una trucada ambl’Skype a un telèfon convencional

Tal com s’ha dit anteriorment, amb l’Skype podem fertrucades a telèfons fixos i mòbils de qualsevol lloc delmón. Ara bé, aquestes trucades ja no són gratuïtes; tot iaixò, les tarifes de preus que ofereix són força competiti-ves dins del mercat actual.

Per fer una trucada solament hem de fer clic a la pes-tanya de trucada. Seleccionem el país on es troba eltelèfon al qual volem trucar i en el quadre de text cor-responent teclegem el número de telèfon que sigui.Una vegada emplenada la informació, només hem declicar al telèfon del cercle verd i començarà el so demarcatge.

Per fer servir aquesta opció hem d’haver adquirit crèditSkype, perquè aquest servei és de pagament. Si volemcomprar crèdit, hem de fer servir l’opció de comprarcrèdit Skype del menú del Compte.

Si tenim crèdit, amb cada trucada es reduirà l’import delnostre compte. En qualsevol moment podem consultarel saldo que tenim i incrementar-lo, si pensem que cal,per mitjà del menú Compte/Veure el vostre comp-te…

6


DES

TRES

ES T

IC

Clic per comprarcrèdit.

La imatge de qui conversaamb nosaltres.

La nostra imatge.

917232 _ 0315-0357.qxd 16/12/08 14:23 Página 331

Bloc B. L’Skype

També podem afegir als nostres contactes els telèfonsfixos als quals truquem de manera habitual. Per fer-ho,seguim aquests passos.

1r Cliquem al botó Afegeix de la fitxa de Contactes.

2n A la finestra que s’obre cliquem sobre Afegeix unnúmero normal com a contacte d’SkypeOut.

3r La finestra canviarà i ara ens demanarà el nom delcontacte i el número de telèfon. Emplenem les da-des i fem clic al botó d’Afegeix un número normalcom a contacte d’SkypeOut.

El contacte nou apareixerà a la llista amb la icona ,cosa que indica que és un contacte amb número de te-lèfon.

A més de les trucades telefòniques, l’Skype també pro-porciona el servei Skype Voice Mail, que funciona comun contestador o bústia de veu que enregistra missat-ges quan no pots agafar les trucades.

Un altre servei que podem contractar és el desviamentde trucades, que et permet transferir al teu número detelèfon fix o mòbil les trucades que rebis. Aquests ser-veis també són de pagament i se’n poden consultar lestarifes a la pàgina web de l’Skype http://www.skype.com

Totes les trucades fetes i rebudes queden registrades i lespodem consultar a la fitxa de registre del nostre Skype.Aquest registreespecifica ambqui hem parlat,quan, l’hora i ladurada de la tru-cada.


Trucada que es fa en aquestmoment i el quecosta.

Registre de trucades fetes

i rebudes.

Clic per afegir un contacte d’SkypeOut.

917232 _ 0315-0357.qxd 16/12/08 14:23 Página 332

Bloc B. L’Skype

Canvi de l’estat del nostre usuari

Habitualment, el nostre usuari apareix com a En línia;amb tot, pot ser que de vegades vulguem indicar queno podem o no volem rebre trucades. Podem canviarl’estat del nostre usuari per mitjà del menú Fitxer/Can-via l’estat, on es poden seleccionar les opcions Absent,No disponible, Ocupat... El nostre estat apareixerà a lapantalla de qualsevol usuari que vulgui connectar ambnosaltres.

Comunicació mitjançat xat

L’Skype també ens permetmantenir converses de ti-pus text tal com fem ambel Microsoft Messenger oamb el Yahoo Messenger.Per fer-ho, hem de seleccio-nar l’usuari amb qui volemcomençar la conversa i cli-car sobre la icona , o béper mitjà de l’opció del me-nú Xats/Xateja amb...

8

7 S’obrirà una finestra nova en la qual podem començar laconversa. Per fer-ho, hem d’escriure el missatge a la partinferior i prémer la tecla <Enter> per enviar-lo.

Podem afegir emoticones al nostre missatge si premem

el botó corresponent i seleccionem la que vo-

lem utilitzar.

Quan enviem un text, aquest mateix text apareixerà a lanostra finestra i a la de l’usuari amb el qual parlem, d’a-questa manera es pot seguir la conversa completa enqualsevol de les dues finestres.


DES

TRES

ES T

IC

També en podem canviar l’estat si despleguem aquest menú.

Historial de la conversa.

Ens permet afegir emoticonesal nostre missatge.

917232 _ 0315-0357.qxd 16/12/08 14:23 Página 333

Bloc B. L’Skype

A més, amb l’Skype podem xatejar amb diversos usuarisde manera simultània. Si escollim l’opció del menúXat/Inicia un grup de xat, s’obrirà una finestra nova enla qual hem de seleccionar tots els usuaris que intervin-dran en la conversa. Després d’haver confeccionat elgrup, només hem de clicar D’acord per començar el xat.

Personalització de l’Skype

Podem personalitzar l’aparença del nostre Skype a tra-vés de l’opció del menú Fitxer/Personalitzeu/Canvieula vostra imatge.

9

S’obrirà una finestra nova en la qual podrem seleccionarla imatge que volem fer servir o bé efectuar alguna cap-tura amb la nostra càmera web per utilitzar-la com aimatge.

L’Skype també ens permet crear Klonies, que són dibui-xos que podem dissenyar i utilitzar com a imatge nostra.Si fem clic al vincle crea un Klonie ens portarà a una pà-gina d’Internet en la qual podrem dissenyar la imatge alnostre gust, canviar-ne el color dels cabells, de la pell, laroba que porta, etc. Aquesta operació té un petit incon-venient: crear una imatge d’aquesta mena i utilitzar-lano és de franc.

També podem canviar el fons del nostre Skype per mitjàde l’opció Arxiu/Personalitza/Canvieu el fons...


917232 _ 0315-0357.qxd 16/12/08 14:23 Página 334


El servei de missatgeria ins-tantània permet que enscomuniquem amb altresusuaris d’Internet en tempsreal. El tipus de comunica-ció que es fa sevir més enaquest servei és l’intercan-vi de missatges de text: unusuari escriu el missatgeque vol enviar a l’usuariamb el qual ha establert eldiàleg, després d’això no-més ha de clicar sobre unbotó perquè el destinatariel pugui llegir a la pantallaencara que visqui o estiguia l’altre costat del planeta.

A més d’aquest servei, tam-bé podem parlar amb elsusuaris a través del micròfon i els altaveus, i fins i tot po-dem efectuar una comunicació amb vídeo inclòs si tenimuna càmera web connectada a l’ordinador.

El programari que es fa servir més per a aquest tipus deservei és el Messenger; el Windows Messenger i el Win-dows Live Messenger (aquest últim només està dispo-nible per als sistemes operatius Windows XP i WindowsVista) són els que utilitzen més els usuaris d’Internet. Totsdos programes són gratuïts; el Windows Messenger veamb el sistema operatiu Windows, i la versió més moder-na, el Windows Live Messenger, es pot descarregar de lapàgina web de Microsoft.

Actualment hi ha disponible una versió nova del Mes-senger, el Web Messenger, amb el qual podem entrar alnostre compte i connectar-nos al servei de missatgeriades d’una pàgina web. Això fa que ens puguem comu-nicar amb els amics des de qualsevol ordinador quetingui accés a Internet encara que no tingui instal·lat elMessenger.

Com descarreguem i instal·lem el Windows Live Messenger?

Per aconseguir la versió del Live Messenger hem d’ac-cedir a la pàgina web de Microsoft i entrar al centre dedescàrregues. Al tauler de l’esquerra fem clic sobre l’opció Windows Live i apareixeran totes les versionsdisponibles d’aquest programa. Solament hem de cli-car sobre la que volem descarregar perquè comenci elprocés.

A la pantalla apareixerà un missatge que ens pregunta sivolem instal·lar el programa o desar-lo al disc. Com sem-pre, aconsellem descarregar-lo primer i instal·lar-lo des-prés.

Així doncs, cliquem al botó Desa, seleccionem la carpe-ta on el volem emmagatzemar i fem clic novament aDesa.

1


El Windows Messenger. Versió original que

acompanya el Windows XP.

Nou Web Messenger, que ens permetutilitzar la missatgeria instantània des

del Microsoft Internet Explorer.

El Windows LiveMessenger, elmés nou delMessenger.

DES

TRES

ES T

IC

917232 _ 0315-0357.qxd 16/12/08 14:23 Página 335


En aquest moment començarà la descàrrega del fitxer.El temps de descàrrega dependrà de la velocitat de lanostra línia: si disposem d’ADSL, no seran més de tresminuts.

Una vegada acabada la descàrrega, tindrem a la carpetaun fitxer d’instal·lació del Messenger. Per fer la instal·la-ció, hi fem doble clic. Inicialment s’obrirà una finestra enquè se’ns pregunta si volem executar el fitxer, cliquemper executar i aleshores començarà la instal·lació, en laqual ens guiarà un assistent que ens facilitarà el procés.A la primera finestra només haurem de fer clic al botóSiguiente per continuar.

La finestra següent ens ensenya les condicions d’ús delprograma que instal·lem. Hem d’acceptar aquestes con-dicions per poder continuar la instal·lació; així doncs, cli-quem a Siguiente per anar endavant.

A la finestra següent podem seleccionar si volem ins-tal·lar algunes característiques addicionals, com per


Clic per descarregar la versió del WindowsLive Messenger que volem.

Ens indica com avança el procés dedescàrrega i el temps estimat que queda.

Clic a l’opció Windows Live.

Clic perquècomenci lainstal·lació.

Cal acceptar les condicions del contracte per continuar la instal·lació.

917232 _ 0315-0357.qxd 16/12/08 14:23 Página 336


exemple que s’afegeixi un accés directe a l’escriptori oa la barra d’accés ràpid, etc. Hem de llegir atentamentles opcions perquè n’hi ha dues que poden modificarla configuració del navegador, ja que en canvien lapàgina d’inici i hi afegeixen una barra d’eines addicio-nal.

Després d’haver seleccionat el que volem configurar, cli-quem en el botó Siguiente per continuar endavant. La instal·lació s’acabarà en pocs segons: apareixerà una fi-nestra final en la qual se’ns indica que la instal·lació s’haefectuat correctament. Cliquem al botó Cerrar per tancar.

Com iniciem una sessió?

El primer pas per utilitzar el Messenger és iniciar la ses-sió, i per fer-ho cal que disposem d’un usuari i d’unaclau. Hem de tenir un usuari del Hotmail, de l’MSM Pass-port o del Windows Live (en l’última versió també s’ad-meten usuaris del Yahoo Messenger).

2

Si no tens un usuari, en pots crear un si et registres enqualsevol de les adreces següents:

http://home.live.comhttp://login.live.comhttp://es.msn.com

Quan iniciem la sessió apareixerà un enllaç per poder-nos registrar com a usuaris del Windows Live.

Si ja tenim un usuari i la clau corresponent, podem exe-cutar el Windows Live Messenger, introduir el nostrecompte de correu, la contrasenya i fer clic al botó Iniciasessió que apareix a la finestra.

El més habitual és iniciar la sessió indicant als nostrescontactes, usuaris amb els quals ens comuniquem o enscomunicarem mitjançant el Messenger, que estem con-nectats. Amb tot, de vegades ens interessarà iniciar lasessió sense rebre comunicació d’altres usuaris; per això,a la mateixa pantalla d’inici de sessió podem seleccionarl’estat amb el qual volem començar. Entre els estats quefarem servir més freqüentment hi ha els de Connectat,Ocupat, Torne de seguida, Absent, etc.


DES

TRES

ES T

IC

Marquem només les opcions que volem instal·lar. Seleccionem l’estat

amb el qual volemcomençar.

917232 _ 0315-0357.qxd 16/12/08 14:23 Página 337


Com hi afegim contactes?

Per utilitzar el Messenger necessitem crear una llista decontactes, és a dir, afegir les adreces dels usuaris ambels quals ens volem comunicar.

Per fer-ho hem de seguir els passos següents:

1r Utilitzem el botó o bé l’opció del menú Con-tactes/Afegir un contacte.

2n S’obrirà una finestra nova en la qual se’ns demanainformació de la persona que volem afegir a la llista.

N’hem de teclejar l’adreça, escriure un text per invi-tar-lo a pertànyer a la nostra llista de contactes i, amés, podem indicar en quin grup l’inclourem; perexemple, com a amic, company de feina, família,etc. A més d’aquesta informació general, també hipodem afegir informació de contacte, personal, dela feina, etc.

3r Finalment, cliquem al botó Afegir un contacte quehi ha a la part inferior de la finestra..

Quan fem clic al botó, el Messenger envia una sol·licitudde confirmació a l’usuari que volem afegir a la nostra llis-ta per saber si hi està d’acord o si, al contrari, no hi volpertànyer.

A la pantalla del nostre futur contacte apareixerà unafinestra en la qual l’informarà que nosaltres l’afegim ala nostra llista de contactes, i li mostrarà el missatged’invitació personal que hem teclejat a la finestra ante-rior.

3

L’usuari ha de marcar si permet o no que nosaltres pu-guem veure quan està connectat i posar-nos-hi en con-tacte. A més, també pot decidir d’afegir-nos a la seva llis-ta de contactes. Per acabar, només ha de fer clic al botód’Accepta.

Podem mostrar la nostra llista de contactes per diferentscriteris, tot i que la manera més utilitzada és segons l’es-tat. Per fer-ho així, podem fer servir l’opció del menúContactes/Ordena els contactes per i seleccionar elcriteri que ens interessi més.

Com configurem el programa?

Abans de començar a fer servir el programa hem de se-guir uns senzills passos per configurar-lo segons el nos-tre usuari.

1r Configurem l’aspecte del Messenger mitjançant elbotó de combinació de colors.

Quan hi fem clic es desplega-rà una paleta de colors en laqual podem seleccionar el co-lor que hi vulguem aplicar. Ambun clic sobre qualsevol colorpodem veure com canvia la fi-nestra.

4


Tipus de grups per organitzar els nostres contactes.

L’usuari ens pot permetre o ens pot negar que l’incloguem com a contacte a la nostra llista.

Botó del menú.

917232 _ 0315-0357.qxd 16/12/08 14:23 Página 338


2n Fem clic sobre el botó del menú i escollim l’opcióEines/Opcions. S’obrirà una finestra nova en la qualpodem configurar nombrosos aspectes del nostreusuari.

Al tauler de l’esquerra seleccionem l’opció de personal iescrivim el nom amb el qual volem aparèixer quan con-versem amb altres usuaris. També tenim la possibilitatd’escriure un missatge personal que es mostrarà junta-ment amb el nostre nom d’usuari.

Addicionalment, podem seleccionar una fotografia, quepot ser nostra o bé d’algun aspecte que ens identifiquidavant dels altres usuaris. Tenim l’opció de permetre ala resta de contactes que vegin aquesta fotografia o béocultar-la i que no aparegui.

És interessant també poder canviar l’estat del nostreusuari a Absent de manera automàtica quan l’equip esti-gui inactiu durant un quant temps. Igualment, podemdecidir si volem que la resta d’usuaris puguin saber si te-nim càmera web.

Després seleccionem l’opció General al tauler de l’es-querra. A les noves opcions de configuració podem se-leccionar:

a. Si volem que el Messenger s’executi automàticamentquan carreguem el sistema operatiu Windows.

b. Si volem iniciar la sessió de manera automàtica quanens connecten a Internet.

c. Si volem veure la pàgina d’Avui en Windows quan ini-cien la sessió al Messenger, etc.

Podem continuar amb la resta d’opcions del tauler.Quan hàgim establert les configuracions que volíem, cli-quem al botó Accepta per desar-les.

Com conversem amb el Messenger?

Per iniciar una conversa amb un contacte que estigui con-nectat, fem doble clic sobre el seu nom a la llista de con-tactes o bé fem clic amb el botó secundari i seleccioneml’opció d’enviar un missatge instantani. S’obrirà una fines-tra nova que està separada en dues parts: una de supe-rior, en la qual hi ha els missatges de la conversa, i unad’inferior, on teclejarem els missatges que volem enviaral nostre interlocutor.

Després d’escriure el nostre missatge hem de clicar albotó Enviar perquè el text sigui enviat.

5


DES

TRES

ES T

IC

Missatge d’inicide conversa.

917232 _ 0315-0357.qxd 16/12/08 14:24 Página 339


Quan s’iniciï la conversa, al nostre contacte li apareixeràun avís a la pantalla que li mostrarà el nostre primer mis-satge.

A l’àrea de diàleg sortirà el nostre primer missatge. Cadamissatge va precedit del nom de l’usuari que l’ha enviat.

Quan el nostre contacte envia un missatge, el text apa-reixerà quasi a l’instant a l’àrea de diàleg. Aquesta és lamanera d’efectuar la conversa, a través dels missatgesque envien les dues parts.

Podem acompanyar els missatges amb icones gràfiquesper mitjà del botó .

A més d’imatges, podem enviar al nostre contacte emo-ticones que fan l’ullet. Es tracta d’animacions que s’exe-cuten a l’àrea de diàleg. Podem afegir una emoticonad’aquestes amb el botó .

Si volem cridar l’atenció del nostre interlocutor li podemenviar un brunzit si cliquem sobre la icona . El Mes-senger no ens deixarà abusar del brunzit, de maneraque no el podrem enviar diverses vegades seguides enpoc temps.També podem modificar el tipus de lletra, l’estil, la midao el color. Per aconseguir-ho, fem servir el botó ,que obrirà el quadre de diàleg per canviar la font. Això enspermetrà seleccionar el format del text amb el qual envia-rem els missatges.

El correu electrònic

Des del Messenger podem accedir d’una manera bensenzilla al nostre correu electrònic. A la barra d’eines, alcostat de la icona del correu apareixerà entre parèntesisel nombre de missatges nous que hem rebut.

6


Àrea de diàleg. Mostra la conversa que s’estableix entre els usuaris.

Escrivim el missatge nou i fem clic al botó Enviar.

Seleccionem les icones que volem enviarjuntament amb el missatge.

917232 _ 0315-0357.qxd 16/12/08 14:24 Página 340


Per consultar els nostres missatges cal que fem clic so-bre la icona , amb la qual cosa s’obrirà el navega-dor i ens mostrarà el contingut de la bústia d’entradadel nostre compte de correu.

Com creem carpetes compartides?

Amb el Messenger podem crear carpetes compartidesamb els nostres contactes, d’aquesta manera hi podremcompartir fitxers.

Per aconseguir-ho, cal que seguim aquests passos:

1r Cliquem amb el botó secundari sobre el nom delcontacte amb el qual volem compartir la carpetanova i escollim l’opció del menú emergent destina-da a crear carpetes per compartir.

Quan ho hàgim fet es mostrarà un avís sobre els ris-cos que comporta el fet de compartir fitxers amb al-tres usuaris.

2n Si continuem endavant se’ns mostrarà informacióde com es comportarà la carpeta que volem crear.

Se’ns indica que en realitat hi ha dues carpetes, unaal nostre equip i l’altra a l’equip del contacte amb elqual compartim aquests fitxers, i que la sincronitza-ció dels fitxers es portarà a terme en el moment enquè iniciem la sessió al Messenger.

7

3r Quan creem una carpeta compartida, el Messengeravisarà el nostre contacte perquè decideixi si accep-ta compartir una carpeta amb nosaltres o no.

Si és que sí, es crearà la carpeta i hi podrem afegir fitxers per mitjà del botó de la barra d’einesde la carpeta compartida. Quan cliquem sobre aquestbotó s’obrirà el quadre de diàleg per enviar un fitxer; no-més hem de seleccionar el fitxer que volem compartir ifer clic al botó Abrir.Per veure les nostres carpetes compartides fem servir laicona de la barra d’eines.


DES

TRES

ES T

IC

Es mostra el nombre de missatgesnous que hem rebut.

917232 _ 0315-0357.qxd 16/12/08 14:24 Página 341


El Windows Live Avui

El nou Windows Live Messenger ens manté al dia ambun sol clic. Vegem les opcions següents:

a. A la barra d’eines disposem del botó que obre lafinestra Avui.

b. Si fem clic a la pestanya Mail obtindrem informaciósobre els nostres missatges.

c. A la pestanya Actualidad se’ns ofereix un resum deles notícies més interessants que estan d’actualitat.

d. Finalment, a la pestanya MSN Hoy hi ha informaciósobre diversos esdeveniments, en general publicita-ris, que ens poden resultar interessants.

Com enviem fitxers i fotos?

De vegades necessitem enviar un document o una fo-tografia a algun dels nostres contactes. El Messengerens proporciona aquest servei de transferència de fit-xers de manera senzilla i còmoda.

Hem de fer servir l’opció Arxiu/Enviar un arxiu... S’obri-rà una finestra perquè hi seleccionem el contacte alqual volem enviar el fitxer. Marquem el destinatari i femclic al botó Acceptar.

9

8

S’obrirà un quadre de diàleg perquè localitzem el fitxerque volem enviar al nostre contacte. Quan l’hàgim se-leccionat, cliquem al botó Abrir.

Al destinatari li apareixerà a l’àrea de diàleg informacióque un dels seus contactes li vol enviar un fitxer. En aquest cas, el destinatari pot decidir si vol acceptarde rebre aquest fitxer (<Alt> � W) o si el vol rebutjar(<Alt> � X).

Si s’accepta la tramesa, el Messenger obrirà una finestraen què s’avisa que els fitxers poden incloure virus nociusi que s’haurien d’examinar amb un antivirus abans d’o-


Seleccionem el contacte al qual enviarem el fitxer.

Seleccionem la pestanya d’Actualidad.

Seleccionem el fitxer que volem enviar.

917232 _ 0315-0357.qxd 16/12/08 14:24 Página 342


brir-los. Fem clic al botó Acceptar i aleshores comença-rà la transferència del fitxer. Una vegada hagi acabat latramesa, sortirà un missatge que indicarà que el fitxers’ha descarregat de manera satisfactòria i la ubicació onha quedat desat.

Com establim una videoconferència?

Per poder establir una videoconferència necessitem te-nir instal·lats a l’ordinador una càmera web, un micròfoni uns altaveus.

La primera vegada que utilitzem aquest servei amb elMessenger hem de configurar aquests tres elementsper comprovar que funcionen correctament i per esta-blir els paràmetres amb els quals els volem fer servir.

Per començar la configuració fem servir l’opció del me-nú Eines/Configuració d’àudio i vídeo. S’obrirà una fi-nestra nova en la qual se’ns avisa que hem de tancartots els programes que utilitzin els elements que volemconfigurar i que ens assegurem que tots els elementsestan connectats a l’ordinador i engegats. Cliquem albotó Endavant per continuar.

1r Per configurar els altaveus, hem de seleccionar lasortida d’àudio que farem servir i el volum de l’alta-veu que volem utilitzar.

Per provar el volum podem clicar al botó Repro-dueix so, que canviarà a Atura so, sobre el qual fa-rem clic quan vulguem acabar la prova. Cliquem albotó Endavant per continuar.

2n Per configurar el micròfon hem de seleccionar eldispositiu d’entrada que volem utilitzar, llegir el textque surt a la pantalla i comprovar-ne el volum ac-tual a la barra vertical. El podem modificar lliscant labarra de la dreta.

10


DES

TRES

ES T

IC

Ens pregunta si volem rebre el fitxer que ens volen enviar.

Avís que els fitxers poden incloure virus.

Ubicació on s’ha emmagatzemat el fitxerque acabem de rebre.

917232 _ 0315-0357.qxd 16/12/08 14:24 Página 343


Cliquem al botó Endavant per continuar.

3r Hem de seleccionar la càmera web que farem servir.Si tot és correcte, apareixerà la imatge a la pantalla, ija podem acabar la configuració clicant al botóAcabament.

També podem configurar la nitidesa de la imatge de lacàmera web per mitjà de l’opció de configuració de lacàmera del menú eines. Apareixerà a la pantalla una fi-nestra nova amb la imatge de la càmera i la possibilitatde modificar-ne la brillantor, el contrast, etc. Desprésd’establir la configuració que ens agradi més, cliquem albotó per tancar.

Per iniciar una videoconferència amb un dels nostrescontactes, cliquem amb el botó secundari sobre elcontacte amb el qual ens volem comunicar i seleccio-nem l’opció Vídeo/Inicia un video-trucada del menúemergent.

Al nostre destinatari li arribarà una invitació de video-trucada, que pot contestar (<Alt> � W) o rebutjar(<Alt> � X).


917232 _ 0315-0357.qxd 16/12/08 14:24 Página 344


Quan el nostre interlocutor accepti la videotrucada, s’o-brirà a la nostra pantalla una finestra en la qual, a més del’àrea de diàleg i l’espai per enviar missatges, es mostra-ran les dues càmeres web. A la superior, la més gran,sortirà la imatge del nostre contacte, i a la de la part infe-rior, la petita, es mostrarà la nostra imatge. Per des-comptat, a la finestra que veu el nostre contacte estaranintercanviades: la imatge gran serà la nostra, i la imatgepetita, la d’ell.

Jocs compartits

El Messenger també ens permet jugar a través d’Inter-net amb els nostres contactes. Tan sols hem de fer clicamb el botó secundari sobre el nom del contacte ambel qual volem jugar i seleccionar l’opció Inicia un joc

11

del menú emergent. Apareixerà la finestra de diàleg i esdesplegarà la llista de jocs disponibles. Cliquem sobre eljoc que volem utilitzar i automàticament s’enviarà unainvitació per veure si el nostre contacte vol jugar ambnosaltres.

Si el nostre contacte accepta la invitació, es començarà acarregar el joc a la nostra finestra. En pocs moments tin-drem disponible el botó Inicia per començar la partida. Eljoc anirà indicant el torn de cada jugador en cada mo-ment perquè no hi hagi cap mena de confusió.


DES

TRES

ES T

IC

Hem de decidir si responem la invitació de la videotrucada o la rebutgem.

Seleccionem el joc que volem iniciar.

Si hi volem jugar hem d’acceptar la invitaciósobre el joc.

917232 _ 0315-0357.qxd 16/12/08 14:24 Página 345


El Web Messenger

Segur que alguna vegada que fem servir un ordinadorque no és nostre, per exemple a la sala de professors, enuna classe, en una biblioteca, en un cibercafè, etc., ensagradaria utilitzar el Messenger per comunicar-nos ambalgú; però, quan l’hem buscat, resulta que no hi estavainstal·lat.

Doncs bé, Microsoft ha resolt aquest problema amb elnou Web Messenger. A través del navegador d’Internetpodem utilitzar una pàgina web que actuarà igual queel Messenger que fem servir de manera tradicional. Perutilitzar aquest sistema hem d’executar el navegador iintroduir aquesta adreça d’Internet:

http://webmessenger.msn.com

A la pàgina web que se’ns obre hem de clicar al botócentral per iniciar el Web Messenger.

S’obrirà una pantalla nova en la qual hem de teclejar lanostra adreça de correu electrònic i la contrasenya. Femclic al botó Iniciar sesión i les dades s’enviaran al servi-dor per comprovar si són correctes. En cas afirmatiu, s’o-brirà la finestra del nou Web Messenger amb la llistadels nostres contactes.

Per conversar amb un dels nostres contactes que estàconnectat només hem de fer clic sobre el seu nom a lallista de contactes i s’obrirà una finestra nova per establirel diàleg.

12

Com podem observar, tot i que és una pàgina web, l’a-parença és pràcticament idèntica que la del Messengerque s’instal·la amb el sistema operatiu Windows, i la ma-nera d’utilitzar-lo és la mateixa que hem descrit enaquestes pàgines. L’única novetat que hem d’afegir atot això és l’enllaç que apareix a la part superior de la fi-nestra i que ens permetrà tancar la nostra sessió quanhàgim acabat de fer-lo servir.


Clic per tancar la sessió.

Clic sobre un contacteconnectat per obriruna finestra de diàleg.

917232 _ 0315-0357.qxd 16/12/08 14:24 Página 346


El full de càlcul és un programa que ens permet fer totamena d’operacions matemàtiques amb les dades queintroduïm a les cel·les.

L’aparença d’un full de càlcul és semblant a una taula enforma de reixeta. La taula està dividida en línies horit-zontals anomenades files i en línies verticals anomena-des columnes. La intersecció de les files i les columnesformen les cel·les.

El full de càlcul que farem servir en aquest apartat ésl’Excel. Aquesta aplicació l’ha desenvolupat l’empresaMicrosoft i forma part del conjunt d’aplicacions Micro-soft Office. Els fulls de càlcul amb els quals treballaremamb l’Excel tenen un màxim de 256 columnes i 65.536files.

Les columnes s’anomenen amb les lletres que hi ha asobre de cadascuna. La primera columna és la A, la se-gona és la B, la tercera és la C, i així successivament fins aacabar l’abecedari (26 columnes). A partir de la columna27 es fan servir combinacions de dues lletres: la colum-na 27 és AA, la següent AB, després AC, i així fins a arri-bar a AZ; després continua amb BA, BB, BC, etc., fins a l’última columna, que s’anomena IV.

Les files s’identifiquen amb nombres enters correlatius.La primera és la fila 1, la segona és la 2, i així successiva-ment, fins a la 65.536, que és l’última.

Anomenem cel·la cadascuna de les interseccions que esprodueixen entre les columnes i les files. Per identificarcada cel·la utilitzem el nom de la columna seguit delnombre de la fila a què pertany; per exemple, A1, B30,CB17. Per anomenar una cel·la cal seguir sempre aquestordre: primer el nom de la columna i després el nombrede la fila; aquesta combinació que la identifica es coneixcom a adreça de la cel·la.

Quan treballem amb un full de càlcul sempre estem si-tuats en una de les cel·les. Aquesta cel·la l’anomenemcel·la activa. A l’Excel podem identificar fàcilment lacel·la activa perquè té la vora més gruixada que la restade les cel·les.

Com executem l’Excel?

Per executar l’Excel cliquem al botó Inicia i escolliml’opció Tots els programes (o Programes si tenim acti-vat el menú Inici clàssic de Windows). Seleccionem elgrup Microsoft Office i cliquem sobre l’element Micro-soft Office Excel.

Quan executem l’aplicació s’obrirà la finestra principalde l’Excel i un llibre de treball nou. Un llibre de treball ésun conjunt de fulls de càlcul que s’emmagatzemenjunts com un únic fitxer o document. Per defecte, quanes crea un llibre de treball nou, apareixen tres fulls decàlcul, tot i que aquest paràmetre el podem modificarsegons les nostres necessitats amb l’opció del menú Ei-nes/Opcions i seleccionant la fitxa General.

A la finestra principal de l’Excel podem distingir els ele-ments típics de qualsevol aplicació, com ara la barra demenús, la barra d’eines, la barra d’estat, etc. També hi tro-bem alguns elements específics d’aquesta aplicació,com per exemple:

– El quadre de noms, que ens indica l’adreça de la cel·laactiva.

– La barra de fórmules, que ens permet introduir, modifi-car i mostrar el contingut de la cel·la activa.

– El selector de fulls, amb el qual podem escollir un fullde càlcul entre tots els que formen el llibre de treballque tenim obert. Per canviar d’un full a un altre delmateix llibre només hem de clicar a la pestanya cor-responent del selector.

1


DES

TRES

ES T

IC

Columnes.Cel·la activa.

Files.

Nombre de fulls que es crearaninicialment amb un llibre nou.

917232 _ 0315-0357.qxd 16/12/08 14:24 Página 347


– El navegador de fulls. Quan el llibre de treball contémolts fulls i no es poden veure tots els noms al selec-tor de fulls, el navegador ens permet moure les pes-tanyes per tenir accés a tots els fulls que integren el lli-bre.

Per moure’ns d’una cel·la a una altra podem fer servir lestecles dels cursors, el tabulador, la tecla <Enter> o el ra-tolí, amb el qual movem la busca fins a la cel·la on ensvolem situar i hi fem clic.

Si volem anar a una cel·la que no veiem a la pantalla enaquell moment, podem fer servir les barres de desplaça-ment per localitzar-la o bé escriure’n l’adreça al quadrede noms i prémer la tecla <Enter>. També tenim dispo-nible l’opció del menú Edició/Vés a i teclejar al quadrede text Referència l’adreça de la cel·la en la qual ens vo-lem situar.

Tipus de dades

Les dades amb les quals treballarem als fulls de càlculde l’Excel les introduirem a les cel·les. Aquestes dadespoden ser de diferents tipus en funció de les operacionsque hi fem. Entre els tipus més importants podem dis-tingir:

• Text. És qualsevol combinació de caràcters alfabètics,numèrics i signes de puntuació. Quan s’introdueix a lacel·la una dada de tipus text, per defecte s’alinea a l’es-querra.

• Valors numèrics. Estan formats per dígits numèrics, del0 al 9, i caràcters com ara +, –, (,), % i el separador dedecimals (la coma o el punt), separador que dependràde la configuració que tinguem establerta a l’apartatOpcions regionals i de llengua del Tauler de control deWindows. Els valors numèrics ens permetran efectuar-hi operacions matemàtiques i, per defecte, quan elsintroduïm s’alineen a la dreta de la cel·la.

• Dates i hores. Les dades numèriques de les dates se se-paren amb la barra inclinada (/), i les dades de les ho-res ho fan amb el símbol dos punts (:).

• Fórmules. S’utilitzen per calcular resultats a partir d’u-na expressió matemàtica formada per dades i opera-dors. Les dades poden ser nombres, adreces de cel·la,

2


Barra de menús. Barra de fórmules. Barra d’eines.

Quadre de noms.

Quadre de full.

Navegadorde fulls.

Barrad’estat.

Selector de fulls.

Àrea de treball. Barres de desplaçament.

Vés a l’últimapestanya.

Vés a la pestanyaanterior.

Vés a la primera pestanyadel selector de fulls.

Vés a la pestanyasegüent.

Selectorde fulls.

917232 _ 0315-0357.qxd 16/12/08 14:24 Página 348


funcions de l’Excel, etc., i els operadors solen ser elssímbols matemàtics, com ara la suma (�), la resta (�),la multiplicació (*), la divisió (/), la potenciació (^), elpercentatge (%), etc.

Per introduir una fórmula en una cel·la, primer hem deteclejar el símbol igual (�) i, tot seguit, les dades i elsoperadors que calen per formar l’expressió que volemcalcular.

• Funcions. Són fórmules predefinides a l’Excel amb lesquals podem efectuar càlculs determinats. Una funcióestà composta pel nom de la funció i els seus argu-ments. Els arguments poden ser valors, adreces decel·la, etc. Una funció s’introdueix en una cel·la amb elsímbol igual (�), el nom de la funció i els argumentsentre parèntesis.

Quan introduïm en una cel·la una fórmula o una funció,a la cel·la veurem el resultat de l’operació que hem efec-tuat, però a la barra de fórmules veurem la sintaxi de lafórmula o funció que hem teclejat.

L’avantatge més gran que tenen els fulls de càlcul ésque les fórmules i les funcions es recalculen automàtica-ment, és a dir, si es fa algun canvi sobre les dades queformen part de la fórmula o dels arguments d’una fun-ció, la cel·la que conté el resultat es recalcularà de ma-nera automàtica i mostrarà el nou resultat de l’operació.

Com introduïm dades?

Per introduir un valor en una cel·la només ens hi hem desituar a sobre i escriure’l. Quan teclegem ens trobem enmode edició de cel·la, i per acceptar el contingut nou enshaurem de canviar a una altra cel·la, bé amb la tecla deltabulador, amb la tecla <Enter>, amb els cursors o ambun clic del ratolí a una altra cel·la.

Cal que tinguem en compte que si ens situem sobreuna cel·la amb text i escrivim qualsevol dada, aquestainformació nova que hem teclejat substituirà el contin-gut anterior.

Si en algun moment mentre modifiquem un resultatanterior ens adonem que ens hem equivocat, podemfer servir la tecla <Esc> (escapada) o el botó de labarra de fórmules per descartar els canvis i deixar el con-tingut anterior a la cel·la.

Si fem efectuat el canvi i ja hem sortit de la cel·la, peròens hem adonat que ha estat una modificació errònia,podem desfer els canvis de tres maneres:

– Amb la combinació de tecles <Ctrl> + <z>.

– Per mitjà del botó de la barra d’eines.

– Amb l’opció del menú Edició/Desfés escriptura.

3


DES

TRES

ES T

ICQuadre de noms

on es mostra la cel·la activa.

Dades tipus text. Fórmula �B7�C7.

Fórmula �B8�C8.

Fórmula �B9�C9.

Fórmula de la cel·la activa. Valors numèrics.

Funció�SUMA(B7:B9).

Funció�SUMA(C7:C9).

Funció�SUMA(D7:D9).

917232 _ 0315-0357.qxd 16/12/08 14:24 Página 349


Per esborrar el contingut d’una cel·la, ens hi situem a so-bre i premem la tecla <Supr>, o bé utilitzem l’opció delmenú Edició/Suprimeix/Contingut.

Si el que volem fer és modificar el contingut d’una cel·la,ho podem dur a terme de diverses maneres:

– Amb doble clic sobre la cel·la.

– Ens situem sobre la cel·la i premem la tecla F2.

– Ens col·loquem sobre la cel·la i fem clic a la barra defórmules.

En cada cel·la només es pot emmagatzemar una dada.La dada s’estén longitudinalment i ocupa tota l’ampladade la cel·la. Quan la mida de la dada introduïda és mésgran que l’amplada de la cel·la, aquesta dada ocuparàl’espai de les cel·les de les columnes contigües sempreque estiguin buides.

Amb tot, si les cel·les contigües tinguessin informació,només es mostrarà el contingut que càpiga a l’ampladade la cel·la, i la resta de la informació quedarà oculta. Sila dada és numèrica i no es pot mostrar perquè l’ampla-da de la columna és insuficient, en lloc del contingut esmostraran coixinets (##########), que cobriran tot l’es-pai de la cel·la.

Això no és un error, només indica que no hi ha prou am-plada. Per aconseguir mostrar el contingut complet, calque augmentem l’amplada de la columna en la qual estroba la cel·la.

Com obrim i desem un llibred’Excel?

Quan executem l’aplicació, automàticament es crea unllibre nou d’Excel. Si en qualsevol moment necessitemcrear un altre llibre nou, podem fer servir l’opció del me-nú Fitxer/Crea, o bé clicar sobre el botó de la barrad’eines. Quan tenim diversos llibres oberts, podem can-viar de l’un a l’altre amb el menú Finestra i seleccionarel nom del llibre amb el qual volem treballar.

Per obrir un llibre que tinguem en un disc o en una me-mòria USB, fem servir l’opció del menú Fitxer/Obre, obé cliquem sobre el botó de la barra d’eines. Aixòobrirà el quadre de diàleg Obertura, en el qual hem deseleccionar la unitat i la carpeta on hi ha el documentque volem obrir. Una vegada localitzada la ubicació, elseleccionem i cliquem al botó Obre.Quan hàgim acabat de treballar amb el full de càlcul, elmés habitual és desar en un disc la feina que hem fet;d’aquesta manera, el podrem obrir posteriorment i tor-nar-lo a fer servir. Per desar el llibre utilitzem l’opció delmenú Fitxer/Desa, o bé el botó de la barra d’eines.L’extensió que tenen els noms de document dels llibresd’Excel és .xls.

També podem tancar un llibre d’Excel sense sortir de l’a-plicació; si ho volem fer així, hem d’utilitzar l’opció delmenú Fitxer/Tanca.

Per sortir de l’Excel hem de fer servir l’opció del me-nú Fitxer/Surt. Abans de tancar l’aplicació, l’Excel com-prova si s’han fet modificacions al full de càlcul que encara no s’hagin desat; en cas afirmatiu, ens pre-guntarà si volem desar els canvis abans de tancar l’apli-cació.

Operacions bàsiques

Tot seguit farem algunes operacions que són habitualsquan es treballa amb el full de càlcul Excel.

Com seleccionem informació?

En un full de càlcul podem fer el següent:

– Seleccionar una cel·la. Només hi hem de clicar a sobre.En aquest moment, passarà a ser la cel·la activa.

– Seleccionar una columna. Cliquem sobre la capçaleracorresponent, on hi ha el nom de la columna.

5

4


Clic i arrossegar a la vora dreta de la columna per variar-ne

l’amplada.

Valor numèricque hi ha a la cel·la.

No es pot mostrar el valor numèric perquè la columna no té prou amplada.

917232 _ 0315-0357.qxd 16/12/08 14:24 Página 350


– Seleccionar una fila. Cal que fem clic sobre l’encapça-lament, on hi ha el nombre de la fila.

– Seleccionar tot el full. Cliquem al quadre de full situat ala cantonada superior esquerra del full de càlcul.

– Seleccionar un rang. Un rang és un rectangle de cel·lesadjacents. Aquest conjunt de cel·les pot estar formatper cel·les d’una o diverses files i d’una o diverses co-lumnes, però totes contigües.

Un rang s’identifica per l’adreça de la cel·la de la canto-nada superior esquerra, on comença el rang, i per l’a-dreça de la cel·la de la cantonada inferior dreta, o, elque és el mateix, on acaba el rang. Les adreces de lesdues cel·les van separades per dos punts (:). Per exem-ple, B3:D8 seria un identificador de rang que va de lacel·la B3 la D8.

Per seleccionar un rang cal que cliquem a la cel·la queserà l’inici del rang i fer clic i arrossegar amb el ratolífins a arribar a la cel·la on acaba el rang que volem se-leccionar.

El rang apareixerà ressaltat per una línia més gruixudai les cel·les que el formen quedaran ombrejades, tretde la cel·la d’inici, que estarà sense ombrejar perquè ésla cel·la activa.

Com copiem, movem i eliminem?

Per copiar o moure el contingut d’una cel·la o d’un rangde cel·les podem fer servir el menú Edició de manerahabitual. Amb Edició/Copia passarem al porta-retallsles cel·les seleccionades, i amb Edició/Retalla igual-ment les passarem al porta-retalls i, a més, desapareixe-ran del full de càlcul.

Amb Edició/Enganxa podrem col·locar on vulguem elcontingut del porta-retalls.

Per eliminar el contingut d’una cel·la o d’un rang selec-cionat només hem de prémer la tecla <Supr> o bé ferservir l’opció del menú Edició/Suprimeix/Contingut.

També podem utilitzar el ratolí per efectuar aquestesoperacions. Per copiar una cel·la o un rang amb el ratolífem el següent:

1r Seleccionem el que volem copiar.

2n Acostem el ratolí a la vora del que hem seleccionatfins que la busca del ratolí canviï a , i aleshorespremem la tecla <Ctrl>.

3r En aquest moment, cliquem i arrosseguem amb elratolí fins al lloc on volem copiar les dades, i deixemanar.

Per moure una cel·la o un rang amb el ratolí farem això:

1r Seleccionem el que volem moure.

2n Acostem el ratolí a la vora del que hem seleccionatfins que la busca canviï a .

3r En aquest moment, cliquem i arrosseguem el ratolífins al lloc on volem moure les dades, i deixem anar.


DES

TRES

ES T

IC

Rang B3:D8.

La busca ens indica que faremuna còpia de la informacióseleccionada.

Cel·la activa. Rang seleccionat.

Quadre de full. Hi cliquem perseleccionar tot

el full de càlcul.

La busca ens indica que mourem la informacióseleccionada.

917232 _ 0315-0357.qxd 16/12/08 14:24 Página 351


Com treballem amb files i columnes?

Les operacions que podem fer amb files i columnes són:inserir o eliminar files i columnes, i ajustar-ne l’alçada il’amplada, respectivament. Vegem com es fan aquestesoperacions.

– Inserir una fila. Ens situem sobre una cel·la de la fila so-bre la qual volem inserir una fila nova i escollim l’opciódel menú Inserció/Files. Per damunt de la cel·la selec-cionada apareixerà una fila nova, amb totes les cel·lesbuides.

– Inserir una columna. Seleccionem una cel·la de la co-lumna on volem inserir una columna nova. Escolliml’opció del menú Inserció/Columnes, i a l’esquerra dela cel·la seleccionada apareixerà la columna nova quehem inserit, amb totes les cel·les buides.

– Eliminar una columna o una fila. Només hem de selec-cionar la columna o la fila clicant a la capçalera i esco-llir l’opció del menú Edició/Suprimeix.

– Canviar l’amplada d’una columna. Per fer-ho, situem labusca del ratolí a la vora dreta de la capçalera de la co-lumna que volem modificar. Quan la busca del ratolíagafi la forma , fem clic i arrossegar fins que acon-seguim l’amplada que volem.

– Canviar l’alçada d’una fila. Per aconseguir-ho, situem labusca del ratolí a la vora inferior de la capçalera de la fila que volem modificar. Quan la busca del ratolíagafi la forma , fem clic i arrossegar fins a l’alçadaque volíem.

– Canviar el nom d’un full de càlcul. Quan es crea un llibre de treball, per defecte s’adjudica als fulls elsnoms estàndard Full1, Full2 i Full3. Amb tot, com queaquests noms no són gaire significatius, l’Excel ens dó-na l’oportunitat de canviar-los d’una manera senzilla.

Hem de fer doble clic sobre la pestanya del full on hi hael nom i teclejar-hi el que hi volem posar. També podemutilitzar l’opció del menú Format/Full/Canvia el nom.

– Inserir i eliminar un full de càlcul al llibre de treball. Per afegir un full de càlcul nou al llibre que fem servir tansols hem de triar l’opció del menú Inserció/Full de càl-cul. Per eliminar el full de càlcul en el qual estem situats,escollim l’opció del menú Edició/Suprimeix el full.

Com hi apliquem formats?

Per canviar l’aspecte d’una cel·la o d’un rang, primer fem laselecció i després utilitzem l’opció del menú Format/Cel-les.

S’obrirà el quadre de diàleg Format de les cel·les, en elqual tenim disponibles les fitxes següents:

• Fitxa Número. Ens permet canviar l’aspecte de les da-des numèriques. Hi podem col·locar decimals o treu-re’n, utilitzar separadors de milers, posar els valors ne-gatius en vermell, etc. Per aconseguir-ho, seleccionemla fitxa Número i, a la llista Categoria:, seleccionem el ti-pus de format que hi volem aplicar: General, Número,Moneda, Comptabilitat, etc.

• Fitxa Alineació. Podem alinear les dades de les cel·lesde manera horitzontal i vertical. També les podem gi-rar un nombre determinat de graus o col·locar-les to-talment en vertical. Per fer-ho, a la fitxa Alineació po-dem utilitzar la llista desplegable Horitzontal:, amb laqual podrem alinear el contingut a l’esquerra, a la dre-ta, centrat, justificat, etc.

A la llista desplegable Vertical: podrem triar entre su-perior, inferior, centrat, etc. A la part dreta del quadrede diàleg podem clicar al text en vertical per col·locarel contingut en vertical o bé podem marcar els grausd’inclinació que hi vulguem donar.


Clic i arrossegarper modificarl’amplada de la columna.

Doble clic sobre la pestanya per canviar el nom del full.

Clic i arrossegarper modificarl’alçada de la fila.

917232 _ 0315-0357.qxd 16/12/08 14:24 Página 352


• Fitxa Tipus de lletra. Amb aquesta fitxa podem canviarel tipus de lletra, l’estil i la mida del contingut de lescel·les.

Hi podem aplicar diferents tipus de subratllat, canviarel color del text, etc.

• Fitxa Vora. Quan treballem amb l’Excel, les dades queintroduïm a les cel·les apareixen delimitades per les lí-nies que formen la reixeta, però aquestes línies ja nosurten quan imprimim la feina.

Si volem que algunes d’aquestes línies es mantinguinquan imprimim, cal que les establim com a vores deles cel·les.

Per aconseguir-ho, fem servir la fitxa Vora. El procedi-ment que hem de seguir és aquest: primer, seleccio-nem l’estil de línia que volem utilitzar; després, triemel color, i, finalment, cliquem sobre els botons que in-diquen on es col·locaran les vores.

• Fitxa Patrons. L’Excel ens permet donar color al fonsde les cel·les.

Cal que seleccionem la fitxa Patrons, en la qual esco-llim el color, i a la llista desplegable Patró: podem se-leccionar diferents tipus de patrons per aplicar-hi: lí-nies verticals, horitzontals, quadrets, etc.


DES

TRES

ES T

IC

Llista de categories disponibles per als formats de dades numèriques.

Podem escollir l’alineació horitzontal i vertical del contingut de les cel·les.

Podem col·locar en verticalels contingut de les cel·les. En tercer lloc, fem clic sobre els botons

que indiquen on s’aplicarà la vora.

Primer seleccioneml’estil de línia.

Després, el color de la vora.

Podem girar el contingut de les cel·les

un nombre de graus.

917232 _ 0315-0357.qxd 16/12/08 14:24 Página 353


Cal que tinguem en compte que, una vegada aplicat un format a una cel·la, continua activat encara que es-borrem el contingut de la cel·la amb la tecla <Supr>. Per eliminar el format juntament amb el contingut de la cel·la l’opció del menú que hem d’utilitzar és: Edició/Su-primeix/Tot.

Si l’únic que volem eliminar a les cel·les seleccionadessón els formats que hi hem aplicat però no els contin-guts de les cel·les, l’opció del menú que hem d’utilitzarés Edició/Suprimeix/Formats.

Referències de les cel·les

Quan copiem cel·les que contenen fórmules o funcions,l’Excel actua de manera diferent al que és habitual.Quan fem aquesta operació, les adreces de les cel·lesque formen la fórmula o la funció augmenten o dismi-nueixen tantes files i columnes com s’hagin desplaçatdes del lloc original. Això és així perquè l’Excel tracta lesadreces de les cel·les a la fórmula com a relatives a la po-sició en què es troba la fórmula o la funció: és el que esconeix com a referències relatives, i és el tipus de referèn-cies que l’Excel fa servir per defecte.

Amb tot, de vegades cal mantenir fixa l’adreça d’unacel·la en una fórmula o una funció; és a dir, que no aug-menti o disminueixi l’adreça de la cel·la quan es copiaen un altre lloc. Per aconseguir-ho, hem de col·locar davant del nom de la columna i davant del número dela fila el símbol del dòlar ($) a l’adreça de la cel·la, d’aquesta manera: $A$1. Aquest sistema d’utilització deles adreces de les cel·les s’anomena referències absolu-tes.

Hi ha un tercer tipus de referències, que consisteix enuna mescla de les dues anteriors i que s’anomena refe-rència mixta. Es fa servir quan volem que, després de co-piar una fórmula o una funció, una part de l’adreça de lacel·la quedi fixa i una altra part variï. Per utilitzar aquesttipus de referències col·loquem el signe dòlar ($) davantde la part que volem que quedi fixa. Per exemple, $A1 deixarà fixada la columna A però variarà la fila. D’al-tra banda, la referència A$1 deixarà fixada la fila 1 peròvariarà la columna.

Les funcions

Una funció és una fórmula predefinida dissenyada per fer un càlcul determinat. Els elements que formenuna funció són el nom de la funció i els arguments, quepoden ser valors, adreces de cel·la, rangs, etc.

Per introduir una funció en una cel·la hem de teclejar elsigne igual (=) seguit del nom de la funció i els argu-ments entre parèntesis separats per punt i coma (;). Perexemple:

�FUNCIÓ(argument1;argument2;argument3)

El nom de la funció es pot escriure en majúscules o enminúscules, és indiferent. També hi ha funcions que notenen arguments, és a dir, en les quals no va res entreparèntesis; amb tot, si calgués, es poden posar els pa-rèntesis perquè funcioni correctament.

El conjunt de funcions de l’Excel és amplíssim, i per aixòes classifiquen en categories, segons el tipus d’opera-cions que efectuen i el problema que resolen. Per exem-ple, algunes categories disponibles són: matemàtiques itrigonomètriques, estadístiques, financeres, etc.

No cal que sapiguem de memòria totes les funcions i elsseus arguments, ja que l’Excel disposa d’un assistentque ens mostra per a què serveix cadascuna de les fun-cions i ens ajuda a fer-les servir.

Per utilitzar una funció mitjançant l’assistent hem de se-guir aquests passos:

• Ens situem a la cel·la on volem inserir la funció.

• Fem clic al botó de la barra de fórmules o escolliml’opció del menú Inserció/Funció.

• S’obrirà la finestra Inserció de funcions, en la qual selec-cionem la categoria a què pertany la funció que vo-lem utilitzar. Després, a la llista de funcions d’aquestacategoria, seleccionem la funció que ens cal i cliquemal botó D’acord.


917232 _ 0315-0357.qxd 16/12/08 14:24 Página 354


• Seguidament apareixerà l’assistent, en el qual hemd’introduir els arguments que farem servir a la funció.Si coneixem l’argument, el podem teclejar directa-ment al quadre de text. En el cas que no el cone-guem, podem utilitzar el botó de selecció que hiha a la dreta del quadre per emplenar-lo.

Una vegada emplenats tots els arguments, només hemde clicar al botó D’acord perquè la funció aparegui a lacel·la.

Gràfics

Els gràfics ens permeten analitzar ràpidament les dadesque conté un full de càlcul, ja que representen la in-formació numèrica de manera visual per mitjà de dia-grames de columnes, de barres, de línies, d’àrees, etc.Les dades que es representen en un gràfic s’anomenensèries. Una sèrie és un rang d’una o diverses columnes ofiles que contenen les dades representades.

Per crear un gràfic seguim els passos següents:

• Seleccionem el rang de dades que formaran el gràfic,és a dir, les sèries.

• Després fem clic sobre el botó de l’assistent de gràficsa la barra d’eines, o bé utilitzem l’opció del menú

Inserció/Gràfic.• S’obrirà la finestra de l’assistent, en la qual hem de se-

leccionar el tipus i el subtipus del gràfic que volemcrear. Després de fer la selecció, cliquem al botó En-davant >.

• Indiquem si les sèries que volem representar gràfica-ment estan organitzades en files o en columnes, i femclic al botó Endavant >.

• A continuació hem de configurar les opcions del grà-fic. Per fer-ho, disposem de les fitxes Títols, Eixos, Líniesde la quadrícula, Llegenda, etc. Quan hàgim acabat laconfiguració, cliquem al botó Endavant >.

• Finalment, hem d’indicar on volem col·locar el gràfic.L’Excel ens ofereix dues possibilitats: col·locar-lo en unfull nou o bé inserir-lo en un dels fulls que ja tenim alllibre de treball. Seleccionem l’opció que volem utilit-zar i cliquem al botó Final.

Com imprimim un full de càlcul?

Abans d’imprimir un document cal que configurem lamanera com s’ha de dur a terme aquesta impressió. Perfer-ho, utilitzem l’opció del menú Fitxer/Format de pà-gina. Seleccionem la fitxa Pàgina i hi establim l’orienta-ció del paper (vertical o horitzontal), la mida i la qualitatde la impressió.

6


DES

TRES

ES T

IC

Clic per seleccionar el contingut de l’argument des del full de càlcul.

Seleccionem el tipus de gràfic que utilitzarem.

917232 _ 0315-0357.qxd 16/12/08 14:24 Página 355


A la fitxa Marges podem seleccionar la mida dels margessuperior, inferior, esquerre i dret, com també la distànciaa la qual se situarà la capçalera de la pàgina de la vorasuperior i el peu de pàgina de la vora inferior.

Amb la fitxa Capçalera i peu podem establir la capçaleradel document si fem clic al botó Capçalera personalit-zada...

Per crear el peu de pàgina fem servir el botó Peu perso-nalitzat... Si cliquem a qualsevol dels dos botons (cap-çalera o peu) s’obrirà una finestra nova dividida en tresseccions, esquerra, central i dreta.

Podem escriure les dades que vulguem en cadascunade les seccions o bé utilitzar els botons que aparei-xen sobre les seccions per inserir informació, com ara el nom del llibre de treball, el nom del full, el número de pàgina, etc. Quan hàgim emplenat les seccions de la capçalera o del peu de pàgina, cliquem al botó D’a-cord.

Per acabar la configuració de la pàgina cliquem a la fitxaFull, on podem indicar algunes característiques de la im-pressió; per exemple, si volem que apareguin les líniesde divisió del full de càlcul, si volem que la impressió esfaci en blanc i negre, que la impressió sigui en qualitatd’esborrany, si volem que s’imprimeixin les capçaleresde les columnes i els números de les files, etc.

A més, si el contingut del document ocupa més d’unfull imprès, podem escollir l’ordre en què s’han d’impri-mir els fulls: cap avall i després a la dreta o bé cap a ladreta i després avall.

Una vegada que hem establert la configuració de la pà-gina, podem veure com quedaria el document imprèsamb l’opció del menú Fitxer/Visualització prèvia d’im-pressió.

Per enviar el document a la impressora podem fer servirel botó de la barra d’eines o bé per mitjà de l’opciódel menú fitxer/imprimeix. S’obrirà una finestra on po-drem seleccionar la impressora a la qual l’hem d’enviar, itambé podrem indicar, entre altres coses, el nombre decòpies que volem imprimir, les pàgines que hem d’im-primir, etc.

Després d’haver establert totes les opcions que volemutilitzar, fem clic al botó D’acord per enviar el contingutdel full de càlcul a la impressora.


Canvia el tipusde font, l’estil

i la mida.

Númerode pàgina

actual.

Insereixl’horaactual.

Nombretotal

de pàgines.

Insereixla dataactual.

Ruta i nom del fitxer del llibre

de treball.

Nom del llibrede treball.

Ordre d’impressió dels fullsquan ocupa més d’una pàgina.

Nom del fullde càlcul.

917232 _ 0315-0357.qxd 16/12/08 14:24 Página 356

917232 _ 0315-0357.qxd 16/12/08 14:24 Página 357


Què és?

La Kalipedia (www.kalipedia.com) és una iniciativa pionera a l’Estat espanyol de web 2.0 i de continguts educatius, amb la qual Santillana posa a la disposició de tota la societat una webd’ajuda a l’estudi i a l’ensenyament, d’accés lliure i gratuït, amb vocació de convertir-se en el recurs de referència per a l’àmbit educatiu.

La Kalipedia neix amb més de 40.000 continguts de referència; l’usuari pot visualitzar les obres de Velázquez, escoltar discursos dels grans protagonistes de la història, anar al centre de la Terra per comprendre l’origen dels volcans, conèixer de prop els personatges més il·lustres, aprofundir en fórmules matemàtiques... I tot això amb la garantia i el rigor de Santillana.

La Kalipedia t’ofereix la possibilitat que comparteixis, interactuïs i hi participis mitjançantl’interkambiador, una comunitat per a professors i estudiants en què l’usuari forma part del projecte a través d’una xarxa social viva, interactiva i participativa.

Característiques

La Kalipedia presenta els continguts contextualitzats i relacionats entre si, de tal manera que promouen l’usuari la iniciativa personal i la gestió de la informació, i en fomenta, així, l’evolució personal i acadèmica.

La línia temàtica de la Kalipedia queda resumida en els punts següents:

• Actualment, la Kalipedia consta de 40.000 continguts divulgatius i de referència, i creix de dia en dia, en les àrees de Geografia, Llengua, Ciències, Història, Literatura, Filosofia, Art,Tecnologia, Física, Química, Matemàtiques i Informàtica, dirigits a estudiants d’Educació Secundària Obligatòria.

• Té un potent tractament gràfic, que enriqueix les àrees temàtiques amb elements visuals en altaresolució i amb una qualitat desconeguda fins ara a la xarxa: mapes versionats, fotografies, galeriad’imatges, gràfics, il·lustracions i infografies.

• Ofereix un ampli desplegament de continguts interactius en diferents formats: vídeos, fitxers d’àudio,animacions, simulacions i gràfics interactius, que proporcionen una visió més detallada i descriptiva de tots els continguts.

• Disposa d’eines de gestió del coneixement, cercador avançat, glossari detallat, test d’autoavaluació...

Guia d’ús general de la Kalipedia

917232p358a365Kali.qxd 16/12/08 15:24 Página 358


DES

TRES

ES T

IC

La Kalipedia s’endinsa en la web 2.0 i obre les portes de l’interkambiador, una comunitat per a professors i estudiants en què l’usuari pot personalitzar, ampliar, compartir, publicar i comunicar-se amb altres persones. L’àrea social i comunicativa de la Kalipedia disposa dels instruments següents:

• Eines de valoració amb les quals es pot comentar, modificar, enviar, afegir etiquetes, crearpreferits... i compartir amb tota la comunitat una estructura de continguts personalitzada a la midade cada usuari.

• Eina de creació d’avatars personalitzats, que et permet crear la imatge que et representarà a l’interkambiador.

• Participació activa en reptes i concursos ludicoformatius, amb els quals pots aprendre divertint-te.

• Sistema d’etiquetatge dels continguts amb paraules clau que permeten desar els nostres preferitsi intercanviar-los amb altres usuaris.

• Generació de cercles de companys i de grups amb interessos afins, cosa que permet comunicarexperiències, dur a terme investigacions, treballs conjunts i compartir continguts etiquetats a la nostra manera.

• Blocs multiautor, una eina innovadora i única fins al moment, en què tots els membres d’un gruppoden escriure i comentar.

• Fòrums per crear, plantejar, compartir i discutir qüestions que interessen o preocupen la comunitateducativa.

Aprofitament

Estructura i navegació

La navegació per la Kalipedia és molt senzilla i intuïtiva, mitjançant dos menús:

• El menú lateral ens permet conèixer tots els nivells de navegació dins de la web. Així, trobem un menú Materias, dins del qual hi ha les diferents àrees temàtiques, com ara «Geografía», que alhora es divideix en General i Descriptiva. D’aquesta manera, sense moure’ns, coneixerem la profunditat de la matèria a la qual volem anar. Aquest menú ens permet accedir a les seccionsde Materias, Multimedia, Glosario, Noticias i Interkambiador.

• El menú superior és més senzill, un accés directe a les seccions de Materias, Multimedia i Glosario.

També pots accedir a tots els continguts i les seccions a través del mapa del lloc:http://www.kalipedia.com/mapa.htmlLa portada general



Cercador general i avançat. Pots accedir a tots els continguts de la Kalipedia a travésd’una cerca senzilla, d’un article, una imatgeo un element multimèdia, o mitjançant la cerca avançada, amb la qual podràs discriminar per format,tipus de contingut, matèria i submatèria.

Cercador:http://www.kalipedia.com/buscador.html

Sempre hi trobaràs notícies d’interès, per matèries, perquè facis servir a l’aula el més destacat del dia, i contextualitzar així els continguts de la Kalipedia amb el mónactual que ens envolta.

Secció Noticias:http://www.kalipedia.com/noticias/

Secció multimèdia destacada amb fitxersd’àudio, vídeos, animacions i galeriesd’imatges, que aporten una presentació visual i interactiva dels continguts.

Secció Multimedia:http://www.kalipedia.com/media.html



DES

TRES

ES T

IC

Articles d’interès de totes les àreestemàtiques, destacats segons la rellevànciadiària.

Secció Materias: http://www.kalipedia.com/

Imatges en alta resolució, fotografies enformats horitzontals i verticals de mida granper poder-les projectar i/o fer-les servir en treballs de classe.

Secció Fotos: http://www.kalipedia.com/fotos/

El més recent, vist, valorat i comentat pels usuaris. Per conèixer els interessos de la comunitat educativa, per on naveguen, què els interessa...



Seccions

Les matèries tenen una portada principal per submatèria, amb els continguts destacats del dia i un Índice amb tots els temes i els articles que els inclouen. S’hi pot navegar per la versió mésgràfica, a la portada, o accedir als continguts directament mitjançant l’Índice.

� Multimedia, és l’àrea més visual, amb seccions d’animacions, fitxers d’àudio, fotos, galeries,gràfics, recursos web i vídeos. S’hi pot navegar per la portada principal o per la portada de les diverses seccions, on trobaràs els continguts més destacats del dia, l’últim, el més valorat, el més vist i comentat, o podràs endinsar-te en el fitxer per format i perdre’t en els més de 12.000 continguts interactius de què disposa.

http://www.kalipedia.com/media.html

Cadascun dels nostres gràfics apareix en diverses versions, perquè puguis fer servir, en cada moment, la que més et convingui. N’hi ha una versió bàsica, només el dibuix; una de muda, que és com la bàsica però amb pistes perquè l’usuari la pugui completar, i una de completa, amb tota la informació, com un apunt il·lustrat del tema que s’està estudiant.

Trobar esquemes, mapes, dibuixos, partitures i fórmules en aquestes tres versions; tu tries què fer servir i com, tot i que, si vols, podem orientar-te perquè en treguis el màxim partit.

� Glosario, és on hi ha totes les paraules que puguin generar alguna mena de dificultat. Les potstrobar per ordre alfabètic o, al seu cercador, pots suggerir un terme nou i integrar-hi significats nous.

http://www.kalipedia.com/glosario/

� Participa, perquè puguis formar-ne part activa; des de qualsevol contingut, tens disponibles les opcions de comentar, corregir, enviar, etiquetar i compartir material amb altres usuaris.

Com pots etiquetar un contingut?

Cada vegada que naveguis, exploris la Kalipedia i trobis una informació que t’interessi, sigui un text o bé una imatge, un vídeo o un fitxer d’àudio, pots desar-la com a preferit i etiquetar-la amb paraules clau. Aquests preferits els podràs veure, compartir-los amb els companys i enviar-los als teus grups des de l’interkambiador.

Pots veure els teus continguts etiquetats aquí:

http://www.kalipedia.com/comunidad/favoritos.html

Recursos Web, amb el més destacat i interessant que pots trobar a la xarxa.

Secció Recursos Web:http://www.kalipedia.com/recursoweb/



DES

TRES

ES T

IC

RSS, pots rebre de franc i en temps real els últims continguts actualitzats per temàticao per format. La Kalipedia t’ofereix les últimes actualitzacions de cada matèria o tema, i d’aquells elements multimèdia que es van desenvolupant dia a dia.

http://www.kalipedia.com/rss.html

L’interkambiador

Imagina’t poder compartir i rebre en la mateixa proporció els teus coneixements,solucionar els dubtes, millorar les capacitats, divertir-te amb els companys i aconseguir queaprenguin en un entorn tecnològic accessible.

Tens la resposta a l’interkambiador, un indret comú a la Kalipedia en què potscompartir coneixements i experiències, on pots créixer i aportar. És l’àrea en la qualpodràs conèixer companys, desar preferits i etiquetes, crear grups, blocs multiusuari,fòrums...

http://www.kalipedia.com/comunidad/

El menú de l’interkambiador té diverses seccions, les personalitzades i les generals del’interkambiador.

• Les que fan referència als teus espais personalitzats estan aplegades a les seccionsMi perfil, on pots accedir a les dades del teu compte, i Mi Kalipedia, on potsgestionar els teus preferits, les etiquetes, els grups, invitar els companys, pujar-hi unaimatge que representi el teu grup o a tu mateix, crear un bloc...

• Les opcions generals et permeten anar a zones comunes de l’interkambiador, comara els fòrums, els blocs, les entrevistes digitals i els tests.

Els Test permeten posar a prova els coneixements dels usuaris, amb la possibilitat de corregir-los automàticament a l’instant, comprovar-ne les errades i descobrir les respostescorrectes.

http://www.kalipedia.com/test/

Blocs

Pots tenir un bloc personal o de grup: http://blogs.kalipedia.com/. Un bloc personal a la teva mida, en el qual pots desenvolupar els teus continguts i iniciatives, o un bloc de grup. Pots crear tantsgrups com vulguis i pots tenir un bloc per a cada un, invitar-hi els companys i treballar amb totsalhora en una tasca col·lectiva.

Visita la nostra ajuda, amb les preguntes més freqüents dels usuaris, ahttp://www.kalipedia.com/ayuda.html

I ens pots conèixer més en profunditat a la nostra secció Acerca de Kalipedia,a http://www.kalipedia.com/acercade.html



Utilitat didàctica de la Kalipedia

La Kalipedia contribueix a assolir objectius significatius dins de l’Educació Secundària Obligatòria.D’una banda, reforça i amplia els elements bàsics de la cultura que els alumnes han adquirit a l’aula,en els aspectes humanístic, artístic, científic i tecnològic, i integra i interrelaciona aprenentatges tantformals com no formals. D’altra banda, d’acord amb les directrius de la LOE, afavoreix l’adquisiciói el desenvolupament d’habilitats i destreses en el coneixement i la utilització de les noves tecnologiesde la informació i la comunicació.

Com ja hem vist, la Kalipedia presenta una navegació simple i flexible que permet utilitzar-la no tansols com a eina de suport sinó també com un projecte integral d’aula.

Tot seguit, et presentem alguns models d’ús abans, durant i després de veure un contingut a l’aula,amb la finalitat que els adaptis a les teves necessitats i interessos i aprofitis al màxim el contingut i les eines de la Kalipedia.

Abans de...

En la societat tecnològica en què ens trobem, la Kalipedia es transforma en una font de motivacióvaluosa a l’hora d’abordar nous aprenentatges.

Fes servir un Sabías que, un vídeo, una foto o un fitxer d’àudio com a introducció a conceptes a priori poc atractius, per tenir-los com a referència, per posar «veu» a un personatge o un fet històric, o per contextualitzar un contingut.

Els gràfics versionats resulten una eina potent com a avaluació inicial. Treballa amb les versionsbàsica i muda, «juga» a completar-les i comprova les respostes una vegada vist el tema.

Durant…

La Kalipedia mostra tots els continguts relacionats amb altres materials i àrees, per la qual cosa en la majoria de les matèries permet contextualitzar socialment, políticament i econòmicament un contingut curricular, fet que permet que es pugui treballar de manera transversal.

En funció de l’afinitat temàtica, hi ha tres tipus de relacions entre els continguts:

• Relació de primer grau: a la dreta de la pàgina, es tracta de materials relacionats directament amb el tema en què ens trobem.

• Relació de segon grau: situat a sota del tema, són continguts relacionats de la mateixa àreao matèria.

• Relació de tercer grau: situat a sota de les relacions de segon grau, mostren materials relacionatstransversalment.

L’apartat Hazlo así, a les àrees cientificotècniques, exposa des del desenvolupament complet d’un procés fins a les maneres per evitar els errors més comuns.

Crea un grup afí a les teves necessitats i interessos i comparteix-ne els continguts relacionats que trobis a la Kalipedia. Entre tots, podeu etiquetar-los i generar carpetes temàtiques.

Dins de l’interkambiador, tens la possibilitat de crear blocs multiautor, que et permeten formar blocsconjunts on pots posar en marxa activitats col·laboratives. Treballar amb aquesta mena d’eines,pròpies de la web 2.0, afavoreix el desenvolupament d’estratègies i d’habilitats de comunicació i de planificació. Els blocs multiautor t’ofereixen la possibilitat de generar un espai virtual més enllà de l’espai/temps. Si pots, no perdis l’oportunitat de crear un bloc de grup amb una aula d’un altrecentre, en què professors i alumnes pugueu analitzar el que esteu treballant, i també reflexionar-hi i celebrar debats.

No perdis de vista la secció Entrevistas digitales (http://www.kalipedia.com/entrevistas/), on trobaràs escriptors, cantants, actors, esportistes... Enviar preguntes i llegir-ne les respostes, en funció del que estigueu estudiant a classe, es pot convertir en una activitat d’ampliació original i suggeridora.



DES

TRES

ES T

IC

Després de...

Esbrina el que saps a la secció Test (http://www.kalipedia.com/test/). La Kalipedia et permetcomentar, valorar i compartir els tests amb altres companys, i et planteja reptes nous d’aprenentatgesd’acord amb els resultats que obtingueu.

No t’oblidis d’afegir nous articles al teu bloc, personal o de grup, per explicar les teves experiències i inquietuds respecte del tema que heu vist.

La Kalipedia és un projecte viu, en creixement constant. Envia els teus dubtes, comentaris i suggeriments a [email protected]. A la Kalipedia, tu ets el protagonista!

Kalipedia, el volum que et faltava a la teva enciclopèdia

En dades:

40.000 continguts educatius i de referència

12.000 elements multimèdia

3.500 termes al Glosario



Introducció a DeriveDERIVE

L’ordinador és una eina didàctica cada dia més comuna i que ofereix moltes possibilitats educatives. Derive ésl’assistent matemàtic més conegut a causa de la seva potència en càlcul numèric i simbòlic, juntament a la sen-zillesa d’ús. Aquest programa afavoreix l’experimentació, potencia la reflexió sobre els càlculs, ajuda a desenvo-lupar l’autonomia de l’alumne i augmenta l’interès per les matemàtiques.

L’objectiu del conjunt d’activitats que presentem és familiaritzar l’alumnat amb aquesta eina informàtica, queels serà molt útil, no només al Batxillerat, sinó també als estudis universitaris posteriors.

Les fitxes, dissenyades per fer-les pas a pas, permeten que l’alumne, seguint les instruccions, vagi treballantels continguts del curs que s’hi tracten. Al final de cada fitxa es proposa una sèrie d’exercicis per comprovarque s’ha produït un aprenentatge significatiu.

El programa Derive és fàcil d’utilitzar i, per tant, ens limitarem a donar-ne unes breus instruccions inicials. Amés, prement F1 accedim, en qualsevol moment, a una guia bàsica de funcionament.

En obrir el programa apareix la finestra d’Álgebra, en la qual s’introdueixen les expressions numèriques i sim-bòliques. A la parte superior hi ha una barra blava amb el nom del programa i el document de treball correspo-nent, el menú amb opcions desplegables i els botons d’accions de la pantalla.

A la part inferior hi ha la línia d’edició, on s’escriuen les ordres, i els botons de símbols de l’alfabet grec i de di-versos operadors.

Un cop que hem introduït una expressió, aquesta apareix a la pantalla. Les diverses expressions es van nume-rant amb els símbols #1, #2…

Si l’expressió introduïda té representació gràfica, es passa a la Finestra 2D prement el botó que s’indica en laimatge següent.

Finestra 2D

F

917232p366a401Tecn.qxd 16/12/08 15:58 Página 366

MA

TEM

ÀTI

QU

ES

I

NO

VES

TE

CN

OLO

GIE

S


En aquest cas, apareix un menú nou amb opcions desplegables i diversos botons referits a la representació grà-fica.

A la part inferior de la pantalla es visualitzen els eixos de coordenades i apareix informació relativa a la situaciódel cursor, al centre de coordenades i a l’escala.

Per obtenir la representació gràfica de l’expressió seleccionada a la finestra d’Álgebra s’ha de prémer:

I per tornar a la finestra d’Álgebra:

També hi ha la possibilitat de visualitzar simultàniament totes dues pantalles. Una manera de fer-ho és dividir lapantalla en dues pantalles mitjançant l’opció Mosaico vertical.

Com a exemple pots veure la representació gràfica de la paràbola y = x2:

Representar expressió F

Activar la finestra d’Álgebra (Ctrl+1)G



PRÀCTICA DERIVE

En aquesta fitxa es treballa l’àlgebra i, en concret, les operacions amb polinomis. També farem servir De-rive per factoritzar un polinomi, és a dir, descompondre’l en producte de polinomis més senzills. Resol tumateix els exercicis proposats per practicar.

Polinomis1

PAS A PAS1. Escriu dos polinomis, usant * per als productes

i ^ per a les potències:#1: 3 ⋅ x 3 + 2 ⋅ x 2 − 2#2: 2x2 − 5 ⋅ x + 3

2. Si escrius #1 + #2, #1 − #2 i #1 * #2, obtindràs la su-ma, la resta i la multiplicació dels polinomis a les línies#3, #4 i #5.

3. Prem a Simplificar /Expandir /Expandir, després d’ha-ver seleccionat cada una de les línies anteriors, i ob-tindràs els resultats de les operacions:

#6: 3 ⋅ x3 + 4 ⋅ x2 − 5 ⋅ x + 1#7: 3 ⋅ x3 + 5 ⋅ x − 7#8: 6 ⋅ x5 − 11 ⋅ x4 − x3 + 2 ⋅ x2 + 10 ⋅ x − 6

4. Per obtenir el quocient i el residu de la divisió dels dospolinomis, escriu:

QUOTIENT(#1, #2) i REMAINDER(#1, #2)

A les línies #9 i #10 veuràs les expressions amb els po-linomis substituïts. Si prems a Simplificar / Expandir /Expandir, obtindràs:

#11:

#12:

5. Per calcular el valor numèric del primer polinomi per ax = 2, selecciona el polinomi, prem a Simplificar/ Susti-tuir variable, escriu el valor 2 i prem Sí:

#13: 3 ⋅ 23 + 2 ⋅ 22 − 2

Si prems Simplificar/Normal, obtens el valor 30 a la línia#14. I si calcules el valor del polinomi a x = −1:

#15: 3 ⋅ (−1)3 + 2 ⋅ (−1)2 − 2 i en Simplificar: #16: −3

6. Escriu les fórmules:

#17: (x + y)2

#18: (x − y)2

#19: (x + y) ⋅ (x − y)

En prémer Simplificar /Expandir /Expandir, obtens:

#20: x2 + 2 ⋅ x ⋅ y + y2

#21: x2 − 2 ⋅ x ⋅ y + y2

#22: x2 − y2

77

4

65

4

⋅ x−

3

2

19

4

⋅ x+

7. Selecciona les fórmules #20, #21 i #22 successiva-ment. Si prems Simplificar /Factorizar /Factorizar, ob-tindràs les fórmules #17, #18 i #19. Esborra les tresúltimes línies abans de seguir.

8. Ara obtindrem el residu de la divisió del polinomix 4 − 2 ⋅ x 3 + 5 ⋅ x − 1 entre x − 3:

#23: P(x) := x 4 − 2 ⋅ x3 + 5 ⋅ x − 1#24: P(3) i Simplificar/Normal#25: 41

Pots comprovar que el resultat és correcte:#26: REMAINDER(P(x), x − 3)

Prement a Simplificar/Normal:#27: 41

19. Per factoritzar un polinomi:#28: x4 − 4 ⋅ x3 + 4 ⋅ x2 − 4 ⋅ x + 3

prem a Simplificar /Factorizar /Factorizar :#29: (x − 1) ⋅ (x + 1) ⋅ (x 2 + 1)

10. Ara calcularem el valor de k perquè, en dividir 2x4 − 5x3 + kx2 − 12 entre x + 2, el residu sigui 80.

#30: Q(x) := 2 ⋅ x4 − 5 ⋅ x3 + k ⋅ x2 − 12#31: Q(−2) = 80 i Simplificar /Normal#32: 4 ⋅ k + 60 = 80 i Resolver /Resolver#33: SOLVE(4k + 60 = 80, k)#34: k = 5

EXERCICIS

Calcula: (2x − 5)2, (3x + 2y)2

i (x 2 + 2y3) ⋅ (x 2 − 2y3).

Descompon en factors.a) 4x2 − 12x + 9 b) x2 + x4 + 2x3

Factoritza els polinomis.a) 4x3 + 20x2 + 25xb) x4 + 6x3 + 5x2 − 24x − 36

Suma, resta, multiplica i divideix els polinomissegüents.

P(x) = 2x4 − 3x3 + 5x2 − x + 1Q(x) = 3x2 − 4x + 6

Calcula el valor numèric del polinomi

x4 − 3x3 + x2 + 1, per a x = i x = .−13

12

5

4

3

2

1



PRÀCTICA DERIVE

PAS A PAS

En aquesta fitxa aprendrem a multiplicar i dividir polinomis, aplicar el teorema del residu, factoritzar unpolinomi i trobar-ne les arrels.

1. Escriu dos polinomis:

#1: P(x) := 3 ⋅ x 4 − 2 ⋅ x2 − 1

#2: Q(x) := x2 − 3

2. Ara escriu això que s’indica:

#3: P(x)*Q(x)

#4: P(x)/Q(x)

3. Prem a Simplificar/Expandir/Expandir sobre cada unade les línies anteriors i obtindràs els resultats de lesoperacions:

#5: 3 ⋅ x6 − 11 ⋅ x 4 + 5 ⋅ x2 + 3

#6: + 3 ⋅ x2 + 7

4. Per obtenir el quocient i el residu de la divisió d’a-quests polinomis, escriu:

#7: QUOTIENT(P(x), Q(x))

#8: REMAINDER(P(x), Q(x))

i en Simplificar obtindràs:

#9: 3 ⋅ x2 + 7 #10: 20

5. Per factoritzar el polinomi:

#11: x4 − 11 ⋅ x2 − 2 ⋅ x + 12

prem a Simplificar /Factorizar /Factorizar, i escull Ra-cional o Radicales per obtenir la factorització ambcoeficients racionals o reals:

#12: (x − 1) ⋅ (x + 3) ⋅ (x 2 − 2 ⋅ x − 4)

#13: (x − 1) ⋅ (x + 3) ⋅ (x + − 1) ⋅ (x − − 1)

Si factoritzem dos polinomis o més, és fàcil calcular-ne el m.c.d. i el m.c.m.

6. En prémer Resolver/Expresión/Resolver sobre les línies#11, #12 o #13, obtens les arrels del polinomi:

#14: SOLVE(x 4 − 11 ⋅ x2 + 2 ⋅ x + 12, x)

#15: x = 1 − ∨ x = + 1 ∨ x = −3 ∨ x = 1

7. Per calcular el valor numèric del polinomi P(x) ax = 2:

#16: P(2)

I en Simplificar obtindràs:

#17: 39

55

55

20

32x −

8. Calcula el valor de k perquè, en dividir el polinomi 2x4 − 5x3 + kx2 − 8 entre x + 2, s’obtingui 4 de residu:

#18: M(x) := 2 ⋅ x4 − 5 ⋅ x3 + k ⋅ x2 − 8

#19: M(−2) = 4 i Simplificar#20: 4 ⋅ k + 64 = 4 i Resolver#21: SOLVE(4 ⋅ k + 64, k)

#22: k = −15

9. Calcula els valors de a i b que verifiquin que el polino-mi x 3 − 2x2 + ax + b és divisible per x + 3, i que endividir-lo entre x − 1, s’obtingui 28 de residu.

#23: N(x) := x3 − 2 ⋅ x2 + a ⋅ x + b#24: N(−3) = 0

#25: N(1) = 28

i en Simplificar:#26: −3a + b − 45 = 0

#27: a + b − 1 = 28

Si escrius SOLVE([#26, #27], [a, b]), obtens:

#28: SOLVE([−3 ⋅ a + b − 45 = 0, a + b − 1 = 28, [a, b]) i Simplificar

#29: [a = −4, b = 33]

I si escrius SOLVE([N(−3) = 0, N(1) = 28, [a, b]), ob-tens directament el resultat.

EXERCICIS

Troba el quocient i el residu de la divisió.

6x 4 − 17x 3 + 4x − 3 : 3x 2 − 4x + 1

Factoritza el polinomi x 4 + x 3 − 5x 2 − 3x + 6.

Troba el valor de a i b perquè x 3 + ax 2 + bx + 6 sigui divisible per x + 3 i per x − 2.

3

2

1

Polinomis2

MA

TEM

ÀTI

QU

ES

I

NO

VES

TE

CN

OLO

GIE

S



PRÀCTICA DERIVE

Un cop que hem vist com podem operar amb polinomis i factoritzar-los, ara treballarem amb fraccions al-gebraiques. Per introduir fraccions algebraiques s’han de posar els numeradors i els denominadors entreparèntesis.

PAS A PAS

Fraccions algebraiques3

1. Escriu la fracció algebraica:

#1:

Per trobar el valor numèric d’aquesta fracció a x = 1 ix = 2, selecciona la fracció, prem Simplificar / Susti-tuir variable, escull el valor 1 o 2 i prem Sí:

#2: o bé #3:

En Simplificar s’obté, respectivament:

#4: −1

#5: ±� (significa que no està definida)

2. Ara sumaràs i restaràs fraccions algebraiques. El re-sultat final els pots obtenir directament, o seleccionantels polinomis dels denominadors per factoritzar-los icalcular-ne el m.c.m.

#6:

i Factorizar l’últim denominador

#7:

i Simplificar

#8:

3. El mateix procés es pot aplicar per multiplicar i dividir fraccions algebraiques.

#9:

i Factorizar el primer denominador

#10:

i Factorizar el segon denominador

#11: i Simplificar

#12:1

1 2( ) ( )x x− −⋅

x

x x

x

x

−+ −

+−

2

1 1

1

2 2( ) ( ) ( )⋅⋅

x

x x

x

x x

−+ −

+− +

2

1 1

1

4 42( ) ( )⋅⋅

⋅

x

x

x

x x

– 2

1

1

4 42 2−+

− +⋅

⋅

4 3 11

2 3

2⋅ ⋅⋅

x x

x x

+ ++ −( ) ( )

3 1

3

5

2

2 6

2 3

⋅ ⋅⋅

x

x

x

x

x

x x

−−

++

−−

+ −–

) ( )(

3 1

3

5

2

2 6

6

⋅ ⋅x

x

x

x

x

x x

−−

++

−−− −

–2

2 3 2 1

2 4

2

2

+ −−⋅1 3 1 1

1 4

2

2

+ −−⋅

x x

x

2

2

3 1

4

+ −−⋅ 4. #13:

i Factorizar l’últim denominador

#14: i Simplificar

#15:

5. Determina els valors de a i b perquè:

#16:

Si prems a Simplificar /Expandir a x :

#17:

I, per tant, els valors són a = −4 i b = 5.

5

3

4

2 2 3x x

a

x

b

x+−

+=

++

+

x

x x

a

x

b

x

−+ +

=+

++

2

5 6 2 32 ⋅

x

x x

a

x

b

x

−+ +

=+

++

2

5 6 2 32

( )x

x

−+

3

4

2

2 63

2 83 3

⋅

⋅⋅

xx

xx x

−+

++ −( ) ( )

2 63

2 89

⋅

⋅

xx

xx

−+

+−2

EXERCICIS

Calcula:

Efectua:

Calcula:

Determina a, b i c perquè es verifiqui la igualtat.

x

x xa

b

x

c

x

2

2

1

1

++

= + ++

4

x xx x

x x xx

3

2

3 2

2

33 2

3 34

+− +

− + −−

:3

x ax a

x ax a

2 2

2 2

+−

− −+

2

xx x x x2 3 2

22

31− +

+−

+−

1




PRÀCTICA DERIVE

PAS A PAS1. Escriu aquesta equació:

#1: (3 ⋅ x + 2)2 + 3 ⋅ (1 − 3 ⋅ x) ⋅ x = 2 ⋅ (x − 11)

Prem a Simplificar /Expandir /Expandir :

#2: 15 ⋅ x + 4 = 2 ⋅ x − 22

Si, finalment, prems a Resoldre:

#3: SOLVE(15 ⋅ x + 4 = 2 ⋅ x − 22, x)

#4: x = −2

2. Ara resoldràs una equació de segon grau amb deno-minadors:

#5:

Si prems Simplificar /Factorizar, redueixes a comú de-nominador:

#6:

I si prems Resolver /Real:

#7: SOLVE

#8: x = −1 x = 0

3. Resol, ara, aquesta equació biquadrada:

#9: x4 − 3 ⋅ x2 − 4 = 0

Prem Resolver /Real:#10: SOLVE(x4 − 3 ⋅ x2 − 4 = 0, x, Real)

#11: x = −2 x = 2

4. Finalment, resol aquesta equació amb radicals:

#12:

Prem Resolver:

#13: SOLVE( = 4, x, Real)

#14: x = 2 i no apareix la solució no vàlida queobtindríem en resoldre-la.

5. Resol analíticament aquest sistema d’equacions:

x y

x y

++

−=

+−

−=

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

1

2

1

4

3

2

1

4

1

2

3

4

2 5 6⋅ ⋅x x+ −

2 5 6 4⋅ ⋅x x+ − =

x xx

2 5

12

5

12

+=

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟, , Real

x x2 5

12

5

12

+=

−

x x x2 22

3

1

41

7

12

+−

+= −

+

Prem Resolver /Sistema, escull 2 com a nombre d’in-cògnites i introdueix les equacions i les incògnites:

#15: SOLVE

#16: [x = 2, y = 1]

6. Per resoldre una inequació fem això:#17: 4 ⋅ x − 6 < 5 − 3 ⋅ (1 − 4 ⋅ x)

Prem Resolver:#18: SOLVE(4 ⋅ x − 6 < 5 − 3 ⋅ (1 − 4 ⋅ x), x)

#19: x > −1

Si volem resoldre un sistema de dues inequacionsamb una incògnita:

#20: 4 ⋅ x − 6 > x − 3, 2 ⋅ x − 3 < x + 2

I si prems Resolver:#21: SOLVE(4 ⋅ x − 6 > x − 3

2 ⋅ x − 3 < x + 2, x)

#22: [1 < x < 5]

x y+−

−=

⎤

⎦⎥⎥

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

1

4

1

2

3

4, [ , ]x y

x y++

−=

⎡

⎣⎢⎢

⎛

⎝⎜⎜⎜

1

2

1

4

3

2,

EXERCICIS

Troba les dimensions d’un camp de futbol de6.240 m2, si saps que l’amplada és 8 m mésgran que la meitat de la llargada.

Resol aquesta inequació gràficament i analíticament.

53

4

2

3−

−<

−x x

2

1

En aquesta fitxa tractarem els diferents tipus d’equacions i la seva resolució amb Derive, i també veuremcom es pot resoldre un sistema d’equacions i inequacions.

MA

TEM

ÀTI

QU

ES

I

NO

VES

TE

CN

OLO

GIE

S


372 � MATEMÀTIQUES I (1er BATXILLERAT) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �

PRÀCTICA DERIVE

En aquesta fitxa estudiaràs les eines bàsiques per resoldre alguns problemes geomètrics de punts, rec-tes i circumferències. Finalment, pots posar a prova els teus coneixements amb els exercicis que et proposem.

Geometria plana5

PAS A PAS1. Assigna coordenades a dos punts:

#1: A := [1, −2] #2: B := [3, 4]

2. Defineix la fórmula que calcula el punt mitjà d’un seg-ment i troba el punt mitjà del segment AB:

#3: PM(P, Q) :=

Per introduir subíndexs, prem el botó SUB (↓) de lapart inferior dreta:

#4: PM(A, B) i, en Simplificar, dóna #5: [2, 1]

3. Determina el vector AB� i calcula’n el mòdul, escrivintabs (v):

#6: v := B − A, i, en Simplificar, dóna #7: [2, 6]

#8: ⏐v ⏐, i, en Simplificar: #9: 2 ⋅

4. Defineix la fórmula de l’equació paramètrica de la rec-ta que passa per un punt P i té direcció v�:

#10: RP(P, v) := [P1 + t ⋅ v1, P2 + t ⋅ v2]

Si l’apliques a la recta que passa per [1, −2] i té direc-ció [2, 3]:

#11: RP([1, −2], [2 ,3]) i Simplificar#12: [2 ⋅ t + 1, 3 ⋅ t − 2]

5. Defineix la fórmula de l’equació contínua de la recta:

#13: RC(P, v) :=

Si l’apliques a la recta anterior:

#14: RC([1, −2], [2, 3]) i Simplificar

#15:

Si resols l’equació anterior en x i y, s’obté l’equació im-plícita Ax + By + C = 0. En canvi, si es resol nomésen y, s’obté l’equació explícita.

Per fer-ho, prem en Resoldre sobre la línia #15:

#16: SOLVE

#17: 3 ⋅ x − 2 ⋅ y − 7 = 0

#18: SOLVE

#19:3 7

2

⋅ x −

x yy

−=

+⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

1

2

2

3,

x yx y

−=

+⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

1

2

2

3, [ , ]

x y−=

+1

2

2

3

x P

v

y P

v

−=

−1

1

2

2

10

P Q P Q1 1 2 2

2 2

+ +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥,

6. Per representar la recta:

Selecciona qualsevol de leslínies #12, #15, #17 o #19.Prem en Ventana 2D per entrar en la pantalla de grà-fiques. Després, prem enRepresentar expresión i ob-tindràs la recta.

7. Defineix la circumferència de centre C i radi r :

#20: CIR(C, r ) := (x − C1)2 + (y − C2)2 = r 2

La circumferència de centre C(1, 2) i radi r = 5 és:

#21: CIR([1, 2], 5)

I si prems en Resolver a x i y:

#22: SOLVE(CIR([1, 2], 5), [x, y])

#23: x2 − 2 ⋅ x + y2 − 4 ⋅ y = 20

8. Per determinar el centre i el radi d’una circumferència:

#24: CyR(a, b, c) :=

:=

Si s’aplica a la circumferència anterior:

#25: CyR(−2, −4, 20) #26: [[1, 2], 5]

9. Per representar la circumferència:

Selecciona la línia #23. Premen Ventana 2D per entrar enla pantalla de gràfiques. Des-prés, prem en Representarexpresión i obtindràs la cir-cumferència.

Si selecciones les coordena-des del centre en la línia#26 podràs representar-lo.

− −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ + +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

a ba b c

2 2

1

242 2, , ⋅

EXERCICIS

Troba les equacions de la recta que passa pel punt P(3, 1) i és paral·lela a la recta y = −2x + 1. Després, representa-la.

Representa la circumferència que té en els punts A(2, 2) i B(0, 6) els extrems d’un dels seus diàmetres.

2

1


Translacions i girs6

373� MATEMÀTIQUES I (1er BATXILLERAT) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �

PRÀCTICA DERIVE

PAS A PAS1. Introdueix successivament els punts A(4, 4), B(9, 4),

C(9, 7) i el vector translació u� = (3, −9), i obtindràsles línies següents:

#1: A := [4, 4]#2: B := [9, 4]#3: C := [9, 7]#4: u := [3, −9]

2. Defineix la figura de vèrtexs A, B i C:

#5: F := [A, B, C, A]

S’introdueix el punt A al final per formar el triangle enfer la representació gràfica.

3. Defineix el gir de 90º amb centre en l’origen de coor-denades per a un punt P. L’ordre ELEMENT escull lacoordenada del punt que s’indiqui:

#6: G1(P) := [−ELEMENT(P, 2), ELEMENT(P, 1)]

4. Defineix la figura F1, obtinguda en girar F 90º:

#7: F1 := [G1(A), G1(B), G1(C), G1(A)]

5. Defineix el gir de 180º i centre en l’origen, i la figuraF2, obtinguda en girar F 180º:

#8: G2(P) := [−ELEMENT(P, 1), −ELEMENT(P, 2)]#9: F2 := [G2(A), G2(B), G2(C), G2(A)]

6. Defineix el gir de 270º i centre en l’origen, i la figuraF3, obtinguda en girar F 270º:

#10: G3(P) := [ELEMENT(P, 2), −ELEMENT(P, 1)]#11: F3 := [G3(A), G3(B), G3(C), G3(A)]

7. Defineix la translació de vector u� d’un punt P i la figu-ra F4, traslladada de F pel vector u�:

#12: T(P, u) := P + u#13: F4 := [T(A), T(B), T(C), T(A)]

8. Quan hagis introduït totes les expressions, si seleccio-nes les línies #5, #7, #9, #11 o #13 i apliques el menúSimplificar/Normal, obtindràs les coordenades de cadafigura en una taula.

Després, prem en Ventana 2D per entrar en la panta-lla de gràfiques. Finalment, prem en Representar ex-presión i Zoom hacia fuera, i veuràs la figura.

Si els punts no estan units entre si, has de prémer enOpciones/Pantalla/Puntos/Unir/Sí.

9. El resultat que has d’aconseguir en representar totesles figures és el següent:

Per aconseguir l’aspecte que veus de les figures, premen Seleccionar/Relación de aspecto, i introdueix valorsiguals per a Tamaño relativo.

En el menú d’Opciones de pantalla podràs eliminardel gràfic els eixos, els rètols, la reixeta i el cursor.

EXERCICI

Donats els punts A(0, 0), B(4, 9), C (0, 5) i D(−4, 9) i el vector de translacióu� = (0, 10), aconsegueix la figura mitjançant girs i translacions.

1

En aquesta fitxa es mostren diversos exemples per treballar amb les translacions i els girs de figures en elpla mitjançant Derive. Quan hagis comprès els procediments que has de seguir, resol l’exercici proposat ipractica altres activitats similars.

MA

TEM

ÀTI

QU

ES

I

NO

VES

TE

CN

OLO

GIE

S

F1

F2

F3

F4

F



PRÀCTICA DERIVE

En aquesta fitxa treballarem les simetries de diferents figures planes respecte d’un eix, així com les si-metries centrals respecte d’un punt. Resol l’exercici proposat i troba simetries axials i centrals de figurescreades per tu.

PAS A PAS

Simetries7

1. Introdueix successivament els punts A(5, 5), B(7, 8) i C(3, 8) i obtindràs les línies:

#1: A := [5, 5]#2: B := [7, 8]#3: C := [3, 8]

2. Defineix la figura de vèrtexs A, B i C:

#4: F := [A, B, C, A]

S’introdueix el punt A al final perquè es formi el trian-gle en fer la representació gràfica.

3. Estableix els valors per als eixos de simetria vertical ihoritzontal, i defineix-los:

#5: r := 10#6: s := −3#7: V(r) := [r, y]#8: H(s) := [x, s]

4. Defineix la simetria d’eix x = k i la figura F1, simètricade F respecte d’aquest eix:

#9: SV(P, k) := [2⋅k−ELEMENT(P, 1), ELEMENT(P, 2)]#10: F1 := [SV(A, r), SV(B, r), SV(C, r), SV(A, r)]

5. Defineix la simetria d’eix y = k i la figura simètrica de F,que és F2:

#11: SH(P, k) := [ELEMENT(P, 1), 2⋅k−ELEMENT(P, 2)]#12: F2 := [SH(A, s), SH(B, s), SH(C, s), SH(A, s)]

6. Defineix la simetria amb centre en l’origen i la figuraF3, simètrica de F respecte d’ell:

#13: SO(P) := [−ELEMENT(P, 1), −ELEMENT(P, 2)]#14: F3 := [SO(A), SO(B), SO(C), SO(A)]

7. Quan hagis introduït totes les expressions, seleccionales línies #7 i #8, aplica el menú Simplificar i obtindràsles coordenades de cada eix de simetria. Després,prem en Ventana 2D per entrar en la pantalla de grà-fiques. Finalment, prem en Representar expresión i,després d’escollir Valor mínimo = −20 i Valor màximo= 20, es dibuixaran els eixos.

8. Aplica a les línies #4, #10, #12 i #14 el menú Simplifi-car/Normal, i obtindràs les coordenades de cada figu-ra en una taula. Després, prem en Ventana 2D per en-trar en la pantalla de gràfics.

Finalment, prem en Representar expresión i obtindràsla figura. Si els punts no estan units entre si has deprémer en Opciones/Pantalla/Puntos/Unir/Sí.

9. El resultat que has d’aconseguir és el següent:

Per aconseguir l’aspecte proporcionat de les figures,prem en Seleccionar/Relación de aspecto, i introdueixvalors iguals per a Tamaño relativo.

EXERCICI

Donats els punts A(−9, 0), B(−9, 9), C(0, 9) i D(−5, 0), aconsegueix la figura mitjançantsimetries.

1

F1

F2

F3

F


Semblances8


PRÀCTICA DERIVE

PAS A PAS

1. Per aplicar un gir d’angle α (en radians), utilitzaràsuna matriu amb dues files i dues columnes.

Prem en Introducir matriz, escull dues files i dues co-lumnes i completa la taula. Obtindràs la línia:

#1:

2. Fes G(α) := #1 i obtindràs:

#2: G(α) :=

3. Per aplicar una simetria axial l’eix de la qual passa perl’origen i forma un angle β amb l’eix X, utilitzaràs unaaltra matriu de dues files i dues columnes.

Prem en Introducir matriz, tria dues files i dues colum-nes i completa la taula. Obtindràs la línia:

#3:

4. Defineix S(β) := #3 i obtindràs:

#4: S(β) :=

5. Per aplicar una semblança de raó k, segueix aquestspassos.

Prem en Introducción matriz, tria dues files i dues co-lumnes i completa la taula. Obtindràs la línia:

#5:

6. Defineix H(k) := #5 i obtindràs: #6: H(k) :=

7. Introdueix, en una taula de quatre files i dues colum-nes, les coordenades dels punts dels vèrtexs d’una fi-gura. La taula ha de començar i acabar amb el mateixpunt perquè tots els punts quedin connectats.

Aquesta taula apareixerà en la línia #7. Assigna F := #7i obtindràs:

#8: F :=

1231

1211

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

k

k

0

0

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

k

k

0

0

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

COS SIN

SIN COS

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

⋅ β ⋅ β⋅ β − ⋅ β

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

COS SIN

SIN COS

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

⋅ β ⋅ β⋅ β − ⋅ β

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

COS SIN

SIN COS

( ) ( )

( ) ( )

α α− α α

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

COS SIN

SIN COS

( ) ( )

( ) ( )

α α− α α

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

Ara has de prémer en Ventana 2D per entrar en la pan-talla de gràfiques. Finalment, prem en Representar ex-presión i obtindràs la figura. Si els punts no estan units,has de prémer en Opciones/Pantalla/Puntos/Unir/Sí.

8. Aplica a la figura F un gir de 90º:

#9: F ⋅ G , i prement en Simplificar, obtindràs

en forma de taula les coordenades dels nous punts.Representa la figura girada.

19. Aplica a la figura F una simetria d’eix X:

#10: F ⋅ S(0)

Prem en Simplificar per obtenir els punts.

10. Aplica a la figura F les semblances següents:

#11: F ⋅ H(1,5)#12: F ⋅ H(−1)#13: F ⋅ H(−0,5)

Prem en Simplificar per obtenir els punts.

En Ventana 2D es poden representar tots els puntsseleccionant cadascun dels resultats.

π2

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

EXERCICIS

Donats els punts A(0, 0), B(0, 10), C(3, 10),D(0, 13), E(−3, 10) i F(0, −10), aconsegueix,mitjançant girs i semblances, la figura.

En el menú Opciones de pantalla podràs eliminarels eixos, els rètols, la reixeta i el cursor.

Donats els punts A(7, 0), B(2, 5), C(2, 3), D(0, 5), E (0, −5), F (2, −3) i G(2, −5), aconsegueix,mitjançant simetries isemblances, la figura.

2

1

En aquesta fitxa dibuixaràs figures semblants mitjançant l’aplicació de simetries i girs. Per aplicar un giramb centre en l’origen i angle α, utilitzarem una expressió denominada matriu, que és una taula de nom-bres ordenats en files i columnes.

MA

TEM

ÀTI

QU

ES

I

NO

VES

TE

CN

OLO

GIE

S



PRÀCTICA DERIVE

Derive permet treballar amb funcions lineals i afins. En aquesta fitxa aprendràs a representar-les i a obtenir la recta que passa per dos punts. També veuràs la manera com es determina si un punt pertany o no a una recta i aprendràs a obtenir els punts de tall amb els eixos.

PAS A PAS

Funcions lineals i afins9

1. Escriu l’equació de la funció:

#1: y = −3 ⋅ x

2. Comprova si els punts (2, −6) i (−3, 6) pertanyen ono a la funció.

Selecciona la línia #1, i prem en Simplificar/Sustituirvariable/Sí, triant 2 per a x i −6 per a y:

#2: −6 = −3 ⋅ 2 i Simplificar /Normal#3: −6 = −6

la qual cosa indica que el punt pertany a la recta.

De manera anàloga, per a (−3, 6) obtens:

#4: 6 = −3 ⋅ (−3)#5: 6 = 9

la qual cosa indica que el punt no pertany a la recta.

3. Per comprovar-ho gràficament escriu:

#6: [[2, −6], [−3, 6]]

Selecciona la línia #6 i, després, prem en Ventana 2Dper entrar en la pantalla de gràfics.

Prem en Representar expresión i obtindràs els punts.Perquè els punts no estiguin units has de prémer en Op-ciones/Pantalla/Puntos/Unir/No. Selecciona la línia #1 i segueix els mateixos passos per representar la recta.

4. Representa les rectes y = x + 1 i y = x − 3:

#7: [y = x + 1, y = x − 3]

Si selecciones la línia #7 abans d’entrar en Ventana 2D,obtens la representació de les dues rectes alhora.

I si en selecciones cada vegada una, podràs veurequina gràfica li correspon.

La gràfica que obtens és:

5. Ara trobarem els punts de tall amb els eixos de la rec-ta y = 4x − 5:

#8: y = 4 ⋅ x − 5

Prem en Simplificar/Sustituir variable/Sí, escollint 0 pera x i 0 per a y:

#9: y = 4 ⋅ 0 − 5#10: 0 = 4 ⋅ x − 5

Si en l’expressió #9 prems en Simplificar, i en l’expres-sió #10, prems en Resolver/Expresión/Resolver:

#11: y = −5#12: SOLVE(0 = 4 ⋅ x − 5, x)

#13:5

4

EXERCICIS

Representa les funcions y = 4x i y = 2x + 1,

i determina si els punts , (4, 8) i (3, 7)

pertanyen a alguna d’aquestes funcions.

Troba els punts de tall amb els eixos de coordenades de la recta y = 3x − 6.

2

12

, 1⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

1


Funcions quadràtiques10


PRÀCTICA DERIVE

PAS A PAS1. En primer lloc escriu:

#1: f (x): = x2, que és la paràbola més senzilla.

Representa conjuntament aquesta paràbola i les següents:

#2: f (x) + 3 #4: f (x) − 2

#3: f (x + 1) #5: f (x − 4)

Si prems en Simplificar n’obtindràs les expressions:

x2 + 3 x2 − 2 (x + 1)2 (x − 4)2

Selecciona successivament les línies corresponents iprem en Ventana 2D per representar-les totes.

Esborra totes les gràfiques menys la primera amb elbotó Borrar gráfico. Després, esborra també les quatreúltimes fórmules obtingudes.

2. Ara representa la paràbola inicial amb les paràboles:

#6: −f (x) #7: 2 ⋅ f (x) #8: 0,5 ⋅ f (x)

i, després, fes-ho amb la paràbola:

#9: 3 ⋅ f (x − 2) + 1

Si selecciones, en l’última fórmula, f (x − 2), premsen Simplificar i després en Simplificar/Expandir/Expan-dir, obtens:

#10: 3 ⋅ (x − 2)2 + 1

#11: 3 ⋅ x2 − 12 ⋅ x + 13

3. Troba el valor de c perquè la paràbola següent:y = −x2 + 3x + c passi pel punt (3, −1):

#12: y = −x2 + 3 ⋅ x + c

Prem en Simplificar/Sustituir variable, assignant x = 3i y = −1, i després prem en Resolver en c:

#13: −1 = −32 + 3 ⋅ 3 + c#14: SOLVE(−1 = −32 + 3 ⋅ 3 + c, c)

#15: c = −1

4. Si vols resoldre el sistema format per la paràbola y = x 2 − 2x + 2 i la recta y = x + 2, prem en Resol-ver/Sistema, introdueix les equacions i prem en Resolver:

#16: SOLVE([y = x2 − 2 ⋅ x + 2, y = x + 2], [x, y])

#17: [x = 0 ∧ y = 2, x = 3 ∧ y = 5]

Una alternativa que permet obtenir la solució en for-ma de taula, i que facilita la representació dels punts,és:

#18: SOLUTIONS([y = x 2 − 2 ⋅ x + 2, y = x + 2],[x, y])

i, en prémer Simplificar, obtens:

#19:

Selecciona cadascuna de les fórmules de la línia #16 per representar la paràbola, i la recta i la línia #19 pera les solucions.

0 2

3 5

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

EXERCICIS

Resol analíticament i gràficament el sistema.

El benefici anual y (en milers d’euros) d’una empresa ve donat per l’expressió y = −x2 + 60x − 500, essent x el nombred’unitats fabricades (en milers).

Calcula el nombre d’unitats que s’han de fabricar perquè el benefici sigui màxim.Quan hi ha pèrdues?

2

y x xy x

= − += −

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

2

2

24

1

En aquesta fitxa estudiaràs les funcions del tipus y = ax2 + bx + c o y = a(x − p)2 + q, essent (p, q) lescoordenades del seu vèrtex. També aprendràs a representar-les gràficament, a reconèixer quan un puntpertany o no a les funcions, i a determinar quina és la intersecció amb una recta o amb una altra paràbola.

MA

TEM

ÀTI

QU

ES

I

NO

VES

TE

CN

OLO

GIE

S



PRÀCTICA DERIVE

En aquesta fitxa treballaràs amb les funcions exponencial i logarítmica en diferents bases. Aprendràs a re-presentar-les, a resoldre algunes equacions senzilles mitjançant Derive i a buscar la solució de problemesque es resolen amb l’ajuda d’aquestes funcions.

PAS A PAS1. Escriu diverses funcions exponencials i logarítmiques:

Exponencials: #1: y = 2x

#2: y = 0,5x

Logarítmiques: #3: y = LOG(x, 2)

#4: y = LOG(x, 0,5)

En Simplificar les expressions #2, #3 i #4, obtens:

#5: 2−x #6: #7: −

El programa expressa la funció exponencial amb ex-ponent negatiu i les funcions logarítmiques en la basedels logaritmes neperians, aplicant la fórmula de can-vi de base.

2. Per representar-les selecciona successivament les lí-nies corresponents i prem en Ventana 2D.

3. Representa cada funció exponencial amb la seva fun-ció logarítmica associada (funció inversa), juntamentamb la bisectriu del 1r i 3r quadrants, que és l’eix desimetria. Per a fer-ho escriu prèviament:

#8: y = x

LN

LN(2)

( )xLN

LN(2)

( )x

4. Ara resoldrem equacions logarítmiques senzilles:

log5 x = 2 logx 5 = 2 log5 = x

#9: LOG(x, 5) = 2 i prem en Resolver /Resolver#10: SOLVE(LOG(x, 5) = 2, x )#11: x = 25#12: LOG(5, x) = 2 i prem en Resolver /Resolver#13: SOLVE(LOG(5, x) = 2, x )

#14: x =

#15: = x i prem en Resolver/Resolver

#16:

#17: x = −3

5. La quantitat en sang d’un anestèsic ve donada així: y = 100 ⋅ 0,94 t, amb el temps en minuts i la quantitaten mil·ligrams.

En representem la gràfica i calculem la quantitat d’anes-tèsic que li queda al cap de 10 minuts a un pacient.

#18: IF(t ≥ 0, 100 ⋅ 0,94t)

Prem en Sustituir variable per t = 10 i després en Aproximar:

#19: IF(t ≥ 0, 100 ⋅ 0,9410)

#20: 53,86151140

SOLVE LOG1

1255, ,

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

x x

LOG125

15,

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

5

1

125

EXERCICIS

Representa i analitza la funció y = log2(x −5) i la seva inversa, que és la seva simètricarespecte de la recta y = x.

La pèrdua de fusta d’un bosc ve donada

per la funció y = 100 ⋅ 0,5 , essent x els anys

transcorreguts i y les tones de fusta.Representa la funció.a) Quanta fusta hi haurà passats 3 anys?b) Si queden 29 tones de fusta,

aproximadament, quant de temps ha passat?

x5

2

1

Funcions exponencial i logarítmica11917232p366a401Tecn.qxd 16/12/08 15:58 Página 378


PRÀCTICA DERIVE

PAS A PAS1. Escriu les funcions sinus, cosinus i tangent:

#1: y = SIN(x)

#2: y = COS(x)

#3: y = TAN(x)

Dibuixa les línies:

#4: x = #5: x =

Per fixar l’escala de l’eix d’ordenades utilitza el Zoom i,per a l’escala de l’eix d’abscisses, prem en Seleccio-nar/Rango de la gráfica i, en la finestra que apareix,escriu:

Horizontal: Mínimo = 0/Máximo = 2pi/Intervalos = 8

Amb l’eina Trazar gráficas pots recórrer els punts deles gràfiques, i amb Seleccionar/Relación de aspec-to 1:1 aconseguiràs una pantalla d’aspecte quadrat.

2. Representa, juntament amb la funció sinus inicial:

#6: y = SIN(x) + 1

#7: y = SIN(x) − 2

#8: y = SIN

#9: y = SIN(x + π)

x −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

π4

3

2

ππ2

3. Representa, juntament amb la funció sinus inicial:

#10: y = 3 SIN(x)

#11: y = 0,5 SIN(x)

#12: y = SIN(3 ⋅ x)

#13: y = SINx

2

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

EXERCICIS

Un model de poblacions de depredador-presa es descriu mitjançantdues funcions, on x ve donada en anys.

d(x) = 200 ⋅ sin x + 400

p (x) = 300 ⋅ sin + 500

Es demanen:

a) El període del cicle de la presa i el depredador.

b) El màxim i mínim d’animals de cadaespècie.

c) Quan coincideix el nombre d’animals de totes dues espècies?

x −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

2

5

π

1

En aquesta fitxa treballaràs amb les funcions trigonomètriques sinus, cosinus i tangent mitjançant l’estu-di de les gràfiques corresponents. Observant aquestes gràfiques en podràs calcular els màxims i els mí-nims, creixement i decreixement, periodicitat...

Funcions trigonomètriques12

MA

TEM

ÀTI

QU

ES

I

NO

VES

TE

CN

OLO

GIE

S



Introducció a Cabri-GéomètreCABRI

El programa Cabri-Géomètre II ha estat desenvolupat per Jean Marie Laborde i Frank Bellemain, dos mate-màtics de la Universitat Joseph Fourier, de Grenoble (França). El seu nom és un acrònim de CAhier BRouillonInteractive o, el que és el mateix, quadern esborrany interactiu. És una àrea de treball en què es creen objec-tes geomètrics que es poden modificar, cosa que permet comprovar i conjecturar propietats. Això ha dut aencunyar l’expressió «geometria dinàmica» per designar els programes o presentacions que donen una imat-ge no estàtica de l’anàlisi geomètrica. Tot i que hi ha altres programes semblants, Cabri-Géomètre II és el mésdifós.

Cabri, com es coneix de forma abreujada, és un programa l’ús del qual comprèn des de l’ensenyament primarifins a l’universitari, passant per la secundària. Una de les característiques principals de Cabri és que no necessi-ta expressions matemàtiques complexes per operar, per la qual cosa, des del principi, s’hi pot treballar de mane-ra inductiva, aprenent a usar-lo tot fent activitats senzilles. Això és el que s’ha pretès aconseguir en les activitatssegüents, que es presenten en forma de fitxes.

El programa treballa en l’entorn Windows i les gràfiques es poden exportar a altres programes, com ara MicrosoftWord. Desenvolupem, tot seguit, unes indicacions bàsiques sobre els conceptes i les maneres d’operar del pro-grama.

En obrir el programa apareix una barra de menús amb opcions desplegables i una altra barra d’eines distribuï-des en grups afins. La barra de menús conté sis opcions de menús (Fitxer, Edició, Opcions, Sessió, Finestra iAjuda) les possibilitats dels quals són, majoritàriament, les habituals d’un programa de l’entorn Windows. Noobstant això, hi ha possibilitats genuïnes de Cabri com ara Mostra la pàgina (en el menú Fitxer), que ens perme-ten veure complet el full d’1 m2 de superfície sobre el qual treballem; Revisa la construcció (en el menú Edició),on es pot veure tot el procés de construcció, i les opcions de Configuració (en el menú Opcions).

La barra d’eines conté les opcions necessàries per crear objectes i fer construccions. En principi, presenta 11 ico-nes, tot i que cadascuna és, en si mateixa, un submenú d’eines que es desplega prement el botó corresponent. Enla figura es pot observar el submenú de transformacions del pla.



L’Apuntador permet seleccionar una part concreta de la construcció i manipular-la mitjançant transforma-cions.

En Punts (segon submenú) s’escull la manera de considerar la construcció de punts.

En Rectes se selecciona el segment, la semirecta, la recta indefinida o el polígon que es vol construir.

Amb el submenú següent, Corbes, es dibuixen circumferències, arcs i, donant 5 punts, còniques.

Els submenús Construir, en què hi ha les construccions geomètriques de perpendicularitat, paral·lelisme i bisec-cions, entre d’altres, i Transformar, en què s’agrupen les transformacions geomètriques del pla, són alguns delssubmenús més utilitzats.

Amb Macros podem crear processos abreviats de construcció i utilitzar-los per a altres construccions.

Mitjançant Comprovar és possible establir si certs elements compleixen determinades propietats matemàtiquesque sembla que compleixen gràficament; per exemple, si hi ha alineament de punts, pertinença, perpendicula-ritat de rectes, etc.

El submenú Mesurar ens dóna el valor de longituds, àrees i angles. A més, proporciona una calculadora i la pos-sibilitat de presentar les dades numèriques en taules, que és útil per conjecturar propietats.

En els submenús Descriure i Aspectes hi ha diverses utilitats, com ara la notació d’elements, la introducció decomentaris i dades de variables independents, la possibilitat d’animar les figures o de canviar-ne els aspectes de color, gruix, puntejat..., i també de referir la construcció a uns eixos de coordenades.

MA

TEM

ÀTI

QU

ES

I

NO

VES

TE

CN

OLO

GIE

S

Apuntador Rectes

Punts

Construir Macros Mesurar

Corbes Comprovar

Descriure

Aspectes

Transformar

F

F F F FF

F F F F F



PRÀCTICA CABRI

En aquesta fitxa aprendràs a obtenir les tres altures i mitjanes d’un triangle, i els punts de tall, ortocentre ibaricentre.

PAS A PAS1. Construeix un triangle de

vèrtexs A, B i C, posant nomals vèrtexs a mesura que elscrees. Construeix ara la línia(altura) que passa per A i ésperpendicular al segmentBC. Per ajudar-te a distingirla nova línia de la resta deltriangle, utilitza l’eina Pun-tejat.

Quan hagis seleccionat l’eina, escull el tipus de punte-jat i, finalment, selecciona la línia a la qual ho volsaplicar.

2. Construeix també l’alturaque, passant per B, és per-pendicular a AC. Aquestesdues línies determinen unpunt d’intersecció que de-notarem amb la lletra M.

3. Construeix la línia que faltasimilar a les dues anteriors,això és, l’altura que passaper C i és perpendicular aAB. Passa aquesta línia perM? Utilitza l’eina Pertanyper comprovar-ho. El puntM s’anomena ortocentre

del triangle ABC.

4. Utilitza l’Apuntador per moure els vèrtexs A, B i C.Continuen intersecant-se en un mateix punt?

5. Guarda l’arxiu anterior, obre’n un altre i dibuixa un

nou triangle ABC.

6. Amb l’eina Punt mig, crea i anomena P el punt mig de AB; Q, el punt mig de BC, i R, el punt mig de AC.

07. Finalment, construeix el segment que uneix cada punt mig amb el vèrtex oposat: PC, QA i RB.Aquests segments s’anomenen mitjanes del triangle

ABC .

08. El baricentre és el punt on s’intersequen les mitja-nes. Com vas fer en el cas de les altures, anomena elpunt d’intersecció de dues mitjanes amb la lletra G.Aquest punt, pertany a la tercera mitjana? Utilitzal’eina Pertany per esbrinar-ho.

09. Utilitza l’apuntador per moure els punts A, B i C a diferents posicions. Es continuen intersecant, les

tres mitjanes en un punt? Està el baricentre de ABCsempre, algunes vegades o mai, en l’interior del

triangle ABC ?

10. Mesura la distància de G al vèrtex A. Sobre aquesta mit-jana, mesura la distància de G al punt mitjà Q. Obser-ves alguna relació entre totes dues longituds? Aplica lesmateixes mesures sobre les altres mitjanes. Què passa?

EXERCICIS

Varia, arrossegant els vèrtexs, el triangleperquè l’ortocentre se situï dins del triangle.Després, modifica’l perquè caigui fora. Com ha de ser el triangle perquè es doni cada situació?

Observa que les mitjanes divideixen el triangleoriginal en 6 triangles menors. Seran iguals,les àrees dels 6 triangles?

En un nou arxiu, dibuixa un triangle i troba’nl’ortocentre i el baricentre. Amb l’einaOculta/Mostra, deixa visibles només aquestsdos punts. Arrossega els vèrtexs i determina en quin tipus de triangles coincideixenl’ortocentre i el baricentre.

3

2

1

Ortocentre i baricentre d’un triangle1917232p366a401Tecn.qxd 16/12/08 15:58 Página 382


PRÀCTICA CABRI

PAS A PAS1. Construeix un trian-

gle de vèrtexs A, B iC, posant nom alsvèrtexs. Seleccional’eina Mediatriu i,activada, traça lamediatriu del costatAB i després la delcostat BC, prement sobre cada vèrtex. Amb l’eina Pun-tejat, aconsegueix un aspecte de línia discontínua per atotes dues mediatrius.

2. Anomena el punt d’intersecció M. Traça l’últimamediatriu corresponent al costat CA. Amb l’eina Per-tany, comprova que el punt M està situat en l’últimamediatriu i, per tant, és un punt comú a les tres me-diatrius.

3. El punt M és el cir-cumcentre del trian-gle. Com que està ala mateixa distànciadels tres vèrtexs, lacircumferència ambcentre en M i quepassa per A passatambé per B i C. És la circumferèn-cia circumscrita altriangle.

4. Arrossega els vèrtexs A, B i C. Continuen intersecant-se en un mateix punt, les tres mediatrius?

5. Guarda l’arxiu anterior i obre’n un altre. Dibuix un nou

triangle ABC.

Utilitzant l’eina Bisectriu, traça les bisectrius de l’angleBAC�, prement sobre els vèrtexs en aquest ordre.

6. De la mateixa manera, traça la bisectriu corresponenta l’angle ABC� i anomena incentre, I, el punt d’inter-secció de les dues bisectrius. Traça l’última bisectriu icomprova que passa per l’incentre. Per fer-ho utilitzal’eina Pertany.

7. Amb l’eina Oculta/Mostra, oculta les bisectrius peròconserva el punt I. Traça ara la recta perpendicu-lar des de I a un costat (per exemple, BC) i troba-ràs M, el punt d’intersecció de la perpendicular i elcostat.

Dibuixa la circumferència que passa per M. Aquestacircumferència tocarà en un sol punt a cada costat deltriangle (és a dir, serà tangent als tres costats). És lacircumferència inscrita.

EXERCICIS

Arrossega els vèrtexs del triangle perquè el circumcentre se situï dins del triangle.Després, modifica’l perquè se situï fora. Com ha de ser el triangle perquè es doni cada situació?

Dibuixa un triangle rectangle i troba’n el circumcentre. On és el circumcentre?

Dibuixa un quadrilàter qualsevol i troba lesmediatrius dels seus costats. On es tallen?

3

2

1

Utilitzarem Cabri per obtenir les mediatrius i bisectrius d’un triangle, així com els punts de tall, circumcen-tre i incentre. També dibuixarem la circumferència circumscrita i inscrita del triangle.

Circumcentre i incentre d’un triangle2

MA

TEM

ÀTI

QU

ES

I

NO

VES

TE

CN

OLO

GIE

S



PRÀCTICA CABRI

Pots dibuixar figures senzilles amb Cabri a mà alçada, però no admetran cap manipulació que en conser-vi les propietats. Ara veurem com es construeixen quadrilàters que mantenen les propietats característi-ques encara que els manipulem.

PAS A PAS1. Construeix un rectangle. Per fer-ho crea un segment

amb l’eina Segment, d’extrems A i B. Amb l’einaRecta perpendicular, traça dues rectes en els ex-trems.

Tria un punt en una d’aquestes rectes (Punt sobre objecte) i traça, amb l’eina Recta paral·lela, la rectaque suporta el quart costat. Amb l’eina Polígon, creael rectangle, recorrent tots els vèrtexs de la construc-ció. Oculta, amb l’eina Mostra/Oculta, les rectes uti-litzades. Després, posa nom als vèrtexs amb l’eina Etiqueta.

2. Mou algun dels punts inicials, A, B o C, per verificar sila construcció manté les propietats del rectangle. Te-nen A, B i C la mateixa llibertat de moviments? Potsmoure D?

3. Obre un nou arxiu. Construeix un romboide, creant dossegments AB i AD amb el mateix origen.

El paral·lelogram es completarà mitjançant l’eina Rec-ta paral·lela, usada per traçar els dos costats restants.Amb l’eina Polígon, crea el paral·lelogram. Finalment,oculta les rectes utilitzades amb Mostra/Oculta.

4. Mesura l’amplitud dels angles i les longituds dels cos-tats.

5. Mou algun dels punts inicials, A, B o D, i comprova sies mantenen les propietats del paral·lelogram relativesals seus costats i angles. Pots moure C? Per què?

6. Ara comprovarem una propietat que tenen tots elsquadrilàters.

Amb l’eina Polígon, dibuixa un quadrilàter ABCD qual-sevol. Amb l’eina Punt mig, troba els punts mitjans decada costat: M, N, P i Q.

Observa el quadrilàter MNPQ. És un paral·lelogram?Confirma que, en efecte, ho és mesurant la longituddels costats oposats, com s’ha fet en el pas 4.

EXERCICIS

Construeix un quadrat prenent dos segmentsiguals i perpendiculars, AB i AD, i completant-lo amb rectes paral·leles.

Construeix un rombe prenent dos segmentsiguals i oblics, AB i AD. Arrossega els vèrtexs i comprova que les formes del quadrat i el rombe no es modifiquen.

Traça les diagonals dels quadrilàters construïts i dedueix propietats sobre les seveslongituds i la seva perpendicularitat.

3

2

1

Quadrilàters3917232p366a401Tecn.qxd 16/12/08 15:58 Página 384


PRÀCTICA CABRI

PAS A PASEn el grup d’eines Transformar, el programa Cabri té les aplicacions que donen lloc a tots els moviments delpla: Simetria axial, Translació i Rotació. Podem utilit-zar aquestes transformacions en el pla cartesià. Per il·lus-trar-ho, vegem el resultat d’aplicar la simetria d’eix d’una recta del pla al triangle de vèrtexs (0, 1), (3, 1) i(1, 2).

1. Amb l’eina Mostra els eixos i Defineix la quadrícula te-nim una referència cartesiana. Dibuixem el triangle elseixos del qual s’han donat. Seleccionada l’eina Recta,prenem dos punts de la graella.

L’eina Coordenades o equació ens dóna l’equació dela recta (en aquest exemple, y = −x + 7) i les coor-denades dels punts. En actuar la Simetria axial, es di-buixa un triangle les coordenades del qual podem obtenir.

2. Modifica tant els vèrtexs del triangle com els de defini-ció de la recta per veure el resultat. Després, aplica altriangle translacions o girs, i observa l’efecte que esprodueix en les coordenades.

3. Construirem figures a partir d’un element base que esrepetirà tantes vegades com vulguis. Per fer-ho, co-mença editant, amb Edició numèrica, el nombre de ra-dis que tindrà la figura. En el nostre cas seran 5 radis,tot i que després podrem variar-lo. Amb aquest nombrecalcula el radi de gir, dividint 360°/5 = 72°, i arrosse-gant el resultat a la zona de treball.

4. Amb l’eina Polígon, dibuixa una figura, i ombreja-laper augmentar l’efecte del disseny. Convé que no si-gui gaire ampla mirant-la des del centre de gir, O,que situem independent de la figura.

5. Aplica successives rotacions prement sobre el polí-gon, l’angle de 72º i el punt O. El resultat serà el de lafigura. Podem variar la forma de la figura, arrossegant-ne els vèrtexs, l’angle de gir i el nombre de radis (pre-ment dues vegades sobre el nombre 5).

EXERCICIS

Quins elements (punts, nombres o rectes) cal per aplicar els moviments citats a una figura? Com s’introdueixen en el programa Cabri?

La transformació Simetria, del menúTransformar, és realment una rotació. Quin n’és l’angle?

2

1

Veurem com es treballen els moviments amb Cabri tant en el pla cartesià com en el pla sense referències.També construirem figures a partir de girs successius d’una figura o motiu base.

Moviments en el pla4

MA

TEM

ÀTI

QU

ES

I

NO

VES

TE

CN

OLO

GIE

S



PRÀCTICA CABRI

Un mosaic o tessel·lació del pla és una manera de recobrir-lo mitjançant figures (tessel·les) sense deixar-hi forats ni sobreposar-se. Ara utilitzarem Cabri per construir diferents mosaics.

PAS A PAS1. Qualsevol quadrilàter tessel·la el pla. Per veure-ho,

n’hi ha prou d’usar l’eina Simetria, que consisteix a donar un gir de 180º, anomenat també simetriacentral. Construeix un quadrilàter qualsevol. Aplical’eina Punt mig a un dels seus costats i, a continua-ció, l’eina Simetria del quadrilàter respecte d’aquestpunt.

2. Repeteix el procés ambels quatre costats. Se-gueix amb els nous qua-drilàters obtinguts. Arros-sega els vèrtexs del po-lígon original, destacatamb el nombre 1, perveure la manera comafecta tot el mosaic.

3. Construeix ara un mosaic que pertany a l’Alhambra deGranada.

En primer lloc, es fa un quadrat amb l’eina Polígon re-gular. Es gira 45º al voltant del seu centre. Per fer-ho,cal introduir el valor 45 amb Edició numèrica. Des-prés, amb l’eina Rotació, es prem sobre el quadrat, enel nombre i en el centre de gir.

4. A continuació s’a-consegueix, ambl’eina Simetria, laimatge d’aquestsquadrats per si-metria central res-pecte d’un vèrtexd’un dels qua-drats.

Els quadrats s’ombregen amb color clar. L’espai entreaquests quadrats s’ha de tancar amb l’eina Polígon,per ombrejar-lo amb el color fosc.

5. Ara construirem un nou mosaic sobre una retícula.Amb l’eina Mostra els eixos i, a continuació, amb De-fineix la quadrícula, prem sobre els eixos i obtindràsuna retícula.

Ens traslladem a una zona enquè els eixos no interfereixeni dibuixem l’hexàgon de la figura. Abans, haurem ob-tingut els punts mitjans, M iN, de dos punts de la re-tícula.

6. Fes el simètric del polígon respecte del costat oblicque passa per M. Així, dibuixaràs el mosaic copianthexàgons.

EXERCICIS

Hi ha tres tipus de polígons regulars quetessel·len per si sols el pla: el triangle equilàter, el quadrat i l’hexàgon.

Dibuixa un mosaic de triangles, utilitzant l’einaPolígon regular per crear el primer triangle.Després, utilitzant Simetria axial del trianglerespecte dels costats, obtingues una retícula de triangles.

Dibuixa, de manera similar, una retículad’hexàgons.

Busca mosaics en decoracions de parets oil·lustracions gràfiques, i mira de reproduir-losamb Cabri.

3

2

1

Mosaics5917232p366a401Tecn.qxd 16/12/08 15:58 Página 386


PRÀCTICA CABRI

PAS A PAS1. Dibuixa dues semirectes i marca-hi a sobre dos seg-

ments: l’un donarà la longitud de l’altura, h, i l’altre, elradi de la base, r.

2. Fem el desenvolupament del cilindre prenent les me-sures de l’altura i del radi, amb l’eina Distància o lon-gitud, i calculant la longitud de la circumferència de la base mitjançant la calculadora, amb l’eina Calcular.

3. Transfereix a dues se-mirectes perpendicu-lars aquestes mesuresamb l’eina correspo-nent del grup Cons-truir. Completa el rectangle usant l’einaRectes paral·leles.Finalment, amb l’eina Polígon, crea el rectangleque dóna la superfície lateral i oculta les línies auxi-liars.

4. Amb l’eina Oculta/Mostra, recupera la semirecta verti-cal. A partir del vèrtex superior del rectangle, portaamb l’eina Compàs el radi de la base. Això ens donaràel centre de la base del cilindre, i així serà fàcil dibui-xar aquesta base.

5. Si assenyalemara el centre delrectangle ambl’eina Punt mit-jà de dos vèr-texs oposats,podem trobaramb l’eina Si-metria el simè-tric de la cir-cumfe rènc iaanterior respec-te del centre, iobtindrem l’altra base. En la figura hi ha els valors de les àrees corres-ponents.

S’han utilitzat les eines Àrea i Calcular, i perquè el re-sultat d’un càlcul aparegui en la zona de treball, s’ar-rossega al lloc escollit.

6. Sense esborrar, en una zona lliure del dibuix, traça unasemirecta vertical. Amb la calculadora, troba el valor dela generatriu del con, calculada com la hipotenusa deltriangle de catets h i r. Arrossega el resultat a la zonade treball. Amb Transferència de mesures, troba el seg-ment generatriu a partir del punt origen de la semirec-ta.

7. Com en el pas 4, dibuixa la circumferència base sobrel’extrem de la generatriu i oculta la semirecta.

8. Dibuixa una circumfe-rència amb radi la gene-ratriu i que sigui tangenta l’anterior. Troba la lon-gitud de la circumferèn-cia base, amb l’eina Distància o longitud, itransfereix aquest valorprement-hi a sobre, des-prés fes-ho en la circum-ferència i, finalment, enel punt comú a les duescircumferències.

Així obtindràs un puntque és l’extrem del sectorcircular que constitueix l’àrea lateral del con, i que completarem amb el radi cor-responent. El valor numèric de l’àrea lateral es troba mit-jançant la fórmula de l’àrea d’un sector circular.

9. Si varies la longitud dels segments inicials, arrossegant-ne l’extrem dret, es modifiquen els desenvolupament i,per tant, els valors de les àrees de les dues figures.

EXERCICIS

Modifica els valors d’altura i radi per obtenir un cilindre l’àrea lateral del qual sigui,aproximadament, la meitat de l’àrea total, i un con amb la mateixa propietat.

Troba el desenvolupament d’un tronc de con.2

1

En aquesta fitxa obtindràs els desenvolupaments d’un cilindre i un con, de manera que en puguis variar elradi i l’altura per veure com en varien els desenvolupaments.

Desenvolupaments del cilindre i del con6

MA

TEM

ÀTI

QU

ES

I

NO

VES

TE

CN

OLO

GIE

S



Introducció a ExcelEXCEL

El full de càlcul Excel és una eina informàtica d’ús generalitzat, que s’adapta perfectament a l’estudi de les Ma-temàtiques. El conjunt d’activitats que presentem, dissenyades per desenvolupar-se a pas a pas, permeten quel’alumnat, seguint les instruccions, vagi construint el model proposat. Quan l’hagi acabat, podrà experimentaramb valors diferents als que ha introduït inicialment.

Un full de càlcul és una taula formada per cel·les que poden contenir textos, valors numèrics i fórmules.Aquestes cel·les s’identifiquen assenyalant la fila 1, 2, 3... i la columna A, B, C... a la qual pertanyen; perexemple, C7. S’anomena rang un conjunt rectangular de cel·les contigües, per exemple, C4:F9.

El full permet establir relacions entre els valors de diferents cel·les, calculant el valor de totes les cel·les al mínimcanvi que s’hi esdevingui. També permet la representació gràfica de dades, i qualsevol modificació en aquestesdades fa que s’actualitzi el gràfic.

Quan s’obre el programa apareix la pantalla següent. Hi assenyalem els elements principals:

El maneig dels menús i les barres d’eines és anàleg al de l’entorn Windows. Explicarem bàsicament el funciona-ment d’Excel calculant els cinc primers múltiples d’un nombre donat.

Fulls del llibreBarra d’estat

Barra de referència Barra d’eines Barra de títol

F

F

F

F

F



INTRODUCCIÓ DE DADES

Els nombres i els textos s’introdueixen tal com s’indica en la imatge:

Les fórmules i les funcions s’introdueixen precedides del signe = i fent referència a les cel·les implicades:

COPIAR I ENGANXAR

Es completa la primera columna escrivint el nombre 2 a la cel·la A2 i, seleccionades totes dues, s’arrossegaamb el ratolí fins a A5. Després, s’escriu el multiplicador en C3.

En B1 s’escriu la fórmula =A1*C$1, que utilitza referències relatives en A1 i referències absolutes ($) en C1per a la fila. Això permet que, en copiar i enganxar en el rang B2:B5, obtinguem en aquestes cel·les les fórmu-les: =A2*C$1, =A3*C$1, =A4*C$1 i =A5*C$1, que calculen els múltiples buscats. Si s’arrossega des de lacel·la en què s’escriu la primera fórmula, s’obté el mateix resultat.

GRÀFICS

Seleccionat el rang A1:B5, i prement la icona Auxiliar de gràfics de la barra d’eines Estàndard, es pot obtenir elgràfic de les dades d’aquestes taules.

Si es canvia el valor de la cel·la C3, automàticament varien els valors de les cel·les que s’hi relacionen i tambéel gràfic.

MA

TEM

ÀTI

QU

ES

I

NO

VES

TE

CN

OLO

GIE

S

Quadre de nom

IntrodueixF

Cancel·lar

F

F

Insereix la funcióF



PRÀCTICA EXCEL

En aquesta fitxa aprendràs a calcular, mitjançant el full Excel, el m.c.d. de dos nombres per l’algoritmed’Euclides i a calcular ternes pitagòriques.

PAS A PASAlgoritme d’Euclides

El màxim comú divisor, m.c.d., de dos nombres P i Qes pot calcular mitjançant l’algoritme d’Euclides. Es di-videixen tots dos nombres, i si el residu és zero, es tor-na a dividir el divisor entre el residu obtingut, i així suc-cessivament fins que el residu sigui zero. En aquest cas, el m.c.d. és l’últim residu no nul. El mínim comúmúltiple, m.c.m, es pot obtenir a partir de la propietat: P ⋅ Q = m.c.d. ⋅ m.c.m.

1. Introdueix, en les cel·les B3 i C3, els valors de P i Qque vulguis.

2. Escriu en D3 la fórmula =MCD(B3; C3), i en D5,=MCM(B3; C3). Aquestes funcions normalment noestan instal·lades. Usa el menú Eines/Complements/Eines per a anàlisi per instal·lar-les.

3. En D7 escriu =B3*C3, i en D9, =D3*D5, i comprova-ràs la propietat anterior.

4. En la cel·la B4 introdueix =C3 i arrossega fins a B12, ien C4 escriu =RESIDUO(B3; C3) i arrossega fins aC12. Aquesta funció calcula el residu de la divisió dedos nombres donats.

5. El missatge #DIV/0! apareix cada vegada que s’efec-tua una divisió entre zero.

6. Escriu els textos corresponents i dóna format a lescel·les.

7. Protegeix el full perquè només sigui possible escriureen les cel·les en gris.

Ternes pitagòriques

Qualsevol grup de tres nombres enters positius que verifi-quen el teorema de Pitàgores formen una terna pitagòrica.

Per generar ternes pitagòriques ens basem en la igualtat (a2 − b2)2 + (2ab)2 = (a2 + b2)2. Si donem dos valors per aa i b, els nombres x = a2 − b2, y = 2ab i z = a2 + b2 forma-ran una terna pitagòrica.

Si els nombres a i b són primers entre si, la terna serà pri-mitiva i a partir d’aquesta terna, multiplicant per un nom-bre, se’n podran obtenir infinites. En cas contrari, seràuna terna derivada, és a dir, que s’obté a partir d’una ter-na primitiva.

1. Introdueix en B5 i C5 els valors de a i b. Dóna elsnoms a i b per a aquestes cel·les mitjançant el menúInserció/Nom/Defineix.

2. En D5 escriu =MCD(a; b), que donarà com a resultat 1si els nombres són primers entre si.

3. En D4 escriu l’ordre condicional, que indicarà si unaterna és primitiva o no: =SI(D5=1; «terna primitiva»;«terna derivada»).

4. En B8 posa la fórmula =ABS(a^2-b^2), que calculael valor de x. La funció ABS calcula el valor absolutd’un nombre.

5. En C8 i D8 escriu les fórmules =2*a*b i =a^2+b^2,que calculen els valors de y i els valors de z.

6. En B11 escriu =B8^2 i arrossega fins a D11.

7. Escriu en C12 la fórmula =B11+C11 i comprovaràsque l’algoritme és correcte.

8. Escriu els textos corresponents i dóna format a lescel·les. Protegeix el full perquè només es pugui es-criure en les cel·les en gris.

Algoritme d’Euclides. Ternes1917232p366a401Tecn.qxd 16/12/08 15:59 Página 390


PRÀCTICA EXCEL

PAS A PASNombre e

El nombre e és el valor al qual tendeix l’expressió

quan prenem valors de n molt grans.

Una forma d’obtenir aproximacions decimals del valor delnombre e és anar sumant termes de la successió infi-nita:

1. Introdueix, en el rang de cel·les B3:B14, els 12 pri-mers nombres naturals.

2. La funció FACT calcula el factorial d’un nombre; perexemple, 5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1. El símbol x ! indica elfactorial del nombre x.

3. En C3 escriu =1/FACT(B3) i arrossega fins a C14 percalcular els inversos dels factorials.

4. Escriu =C3 en la cel·la D3, i escriu =D3+C4 en lacel·la D4, i arrossega fins a la cel·la D14.

5. Selecciona les cel·les C5:C14 i D3:D14 i, amb el menúFormat de les cel·les, selecciona categoria númeroi marca les posicions decimals que vulguis.


e = + + + + +11

1

1

2

1

3

1

4! ! ! !...

11

+⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟n

n

Nombre πEuler, un famós matemàtic, va determinar el 1735 que la

suma de la successió infinita

és igual a .

Ara utilitzarem aquesta igualtat per obtenir aproximacionsdel nombre π. Observaràs que es necessiten molts ter-mes per obtenir una bona aproximació.

1. Escriu els valors de les cel·les B3 i B4 i, amb totesdues seleccionades, arrossega fins a la cel·la B1002.

2. Escriu en C3 la fórmula =B3^2, i en D3, la fórmula=1/C3 i, amb totes dues seleccionades, arrossega finsa C1002 i D1002. Així obtens els quadrats i els inver-sos dels 1.000 primers nombres naturals.

3. Escriu =D3 en la cel·la E3, i en E4, la fórmula =E3+D4,i arrossega fins a E1002.

4. Finalment, escriu en F3 la fórmula =RAIZ(6*E3) iarrossega aquesta cel·la fins a F1002.

5. Per veure sempre les 10 primeres aproximacions, si-tuat en la fila 13, prem en el menú Finestra/Immobilit-za subfinestres.

6. Selecciona les cel·les D3:F1002 i, amb la icona de labarra d’eines Format de les cel·les i fixa els decimalsque vulguis. Escriu els textos corresponents i dóna for-mat a les cel·les.

π2

6

11

4

1

9

1

16

1

25+ + + + + ...

Els nombres irracionals tenen infinites xifres decimals no periòdiques. En aquesta fitxa aprendràs a calcu-lar aproximacions decimals dels nombres irracionals e i π.

Nombres irracionals: e i π2

MA

TEM

ÀTI

QU

ES

I

NO

VES

TE

CN

OLO

GIE

S



PRÀCTICA EXCEL

Els nombres irracionals tenen infinites xifres decimals no periòdiques. Per calcular-ne el valor cal efectuaruna sèrie d’aproximacions que, amb el full de càlcul Excel, resulten molt senzilles.

PAS A PAS

Nombre d’or (Φ)

Una forma d’obtenir el nombre d’or, mitjançant aproxi-macions successives, és utilitzant la successió de Fibo-nacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8… (cada terme s’obté de la suma dels dostermes anteriors)

Si dividim qualsevol terme entre el terme anterior, s’obtéuna aproximació del nombre auri.

1. Escriu els valors de les cel·les B3 i B4 i, amb totesdues seleccionades, arrossega fins a B23.

2. Escriu en C3 el valor inicial Φ que triïs i la fórmula =1+1/C3 en la cel·la C4, i arrossega aquesta cel·la finsa C23. Obtindràs aproximacions del nombre auri.

3. Introdueix la unitat en D3 i D4 i la fórmula =D3+D4en la cel·la D5, i arrossega aquesta cel·la fins a D23.

4. Finalment, escriu =D4/D3 en E3, arrossega fins a E22 iobservaràs que la successió tendeix al nombre d’or.

5. Selecciona les cel·les C3:C23 i E3:E22 i, amb la iconade la barra d’eines Format de les cel·les, fixa els deci-mals que vulguis.


7. Protegeix el full perquè només es pugui escriure enles cel·les en gris.

Radicals

Un mètode proposat per Heró per calcular arrels quadra-

des és el següent:

1. Introdueix, en el rang B4:B13, els 10 primers nom-bres naturals.

2. Escriu en C2 el nombre del qual vols trobar l’arrel, ien C4, un nombre positiu.

3. Finalment, en C5 escriu la fórmula =(C4+$C$2/C4)/2, iarrossega fins a la cel·la C13.



X XN

Xn n

n+ = +

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟1

1

2

EXERCICIS

Utilitza un full de càlcul Excel per trobar les arrels quadrades dels nombres imparellsentre 100 i 200.

Amb l’ajuda del full de càlcul Excel, troba les potències, d’exponent imparell menor que 30, del nombre d’or, Φ.

2

1

El nombre d’or i els radicals3917232p366a401Tecn.qxd 16/12/08 15:59 Página 392


PRÀCTICA EXCEL

PAS A PASSuccessions recurrents

Una successió ve determinada pel seu terme general omitjançant una llei de recurrència. Ara obtindrem els 10primers termes de les successions:

a) an = 3n2 − 5

b) b1 = 1 bn =

c) c1 = 2 c2 = 3 cn =

1. Introdueix, en el rang B3:B12, els nombres de l’1 al10, i en B13, l’ordre d’un terme qualsevol de la suc-cessió.

2. Selecciona el rang B3:B13 i prem en el menú Inser-sió/Nom/Defineix, assignant n com a nom d’aquestrang.

3. Posa en C3 la fórmula =3*n^2−5 i arrossega fins a C13.

4. Introdueix en D3 el valor del primer terme de la suc-cessió, i en D4, la fórmula de la recurrència =n/D3, iarrossega fins a D12.

5. Escriu en E3 i E4 els dos primers termes de la successió, ien E5, la fórmula de recurrència =RAIZ(E3*E4), i arros-sega fins a la cel·la E12.

6. Introdueix els textos i dóna format a les cel·les.

c cn n− −1 2⋅

n

bn−1

Progressions aritmètiques i geomètriques

Ara obtindrem els 10 primers termes de qualsevol pro-gressió aritmètica i geomètrica:

1. Introdueix, en el rang B5:B14, els nombres de l’1 al 10.Escriu en D3 i F3 el valor de la diferència i la raó, i mit-jançant l’ordre del menú Inserció/Nom/Defineix, assig-na’ls els noms d i r, respectivament.

2. En C5 i E5 escriu el primer terme de cada progressió, ien D5 i en F5, les fórmules =C5 i =E5, respectiva-ment.

3. Escriu en C6 la fórmula =C5+d, i en E6, la fórmula=E5*r, i arrossega fins a les cel·les C14 i E14, respec-tivament.

4. Introdueix en D6 la fórmula =D5+C6, i en la cel·la F6,la fórmula =F5+E6, i arrossega fins a les cel·les D14 iE14, respectivament.

5. Escriu els textos i protegeix el full perquè només espugui escriure en les cel·les en gris.

EXERCICI

Troba els 15 primers termes de les successions.

a) an = d) a1 = 3, d = 6

b) b1 = 1 bn = e) a1 = 4, r = 3

c) cn = cn−1 − cn−2 f) a1 = −2, d = 5

1 1+ −bn

nn+ 1

1

Les successions recurrents i les progressions aritmètiques i geomètriques també es poden treballar ambun full de càlcul Excel, com et mostrarem en aquesta fitxa.

Successions i progressions4

MA

TEM

ÀTI

QU

ES

I

NO

VES

TE

CN

OLO

GIE

S



PRÀCTICA EXCEL

En aquesta fitxa aprendràs a generar, mitjançant un full de càlcul Excel, dos exemples de progressionsaritmètiques: la successió harmònica i les successions de nombres poligonals.

PAS A PASSuccessió harmònica

Es defineix la mitjana harmònica de dos nombres coml’interval de la mitjana dels seus inversos.

Si els nombres són a i b, es compleix que:

Associat a aquest concepte es defineix la successió har-mònica com aquella successió els inversos de la qual for-men una progressió aritmètica. Tres termes consecutiusd’una successió harmònica verifiquen que:

1. Escriu, en el rang B3:B12, els 10 primers nombres.

2. Introdueix, en C3 i C4, els 2 primers termes d’una pro-gressió aritmètica.

3. Escriu en C5 la fórmula =C4+(C4−C3) i arrossegafins a C12.

4. Introdueix en D3 la fórmula =1/C3 i arrossega fins a D12.

5. En E4 introdueix la fórmula =1/PROMEDIO(1/D3;1/D5),i arrossega fins a E11.

6. Selecciona el rang D3:E12 i prem, en la barra d’eines,Format/Format de les cel·les.../Número/Categoria: Frac-ció, i tria Fins a dos dígits.

7. Introdueix els textos, dóna format a les cel·les i prote-geix el full perquè només es pugui escriure en lescel·les en gris.

2 1 1

1 1a a an n n

= +− +

m

a b

ab

a bar =

+

=+

1

1 1

2

2

Nombres poligonals

El coneixement dels nombres poligonals es remunta a l’o-rigen de les Matemàtiques. Van ser els pitagòrics els pri-mers matemàtics que els van utilitzar.

En el dibuix s’observen els 4 primers termes dels nom-bres triangulars i quadrangulars.

Els nombres triangulars (1, 3, 6, 10...) i els nombres qua-drangulars (1, 4, 9, 16...) són les successives sumes delstermes d’una progressió aritmètica de diferència 1 i 2, res-pectivament.

1. Introdueix, en els rangs B3:B12 i C3:C12, els 10 pri-mers nombres naturals, i en E3:E12, els 10 primersnombres imparells.

2. Escriu, en D3 i F3, les fórmules =C3 i =E3, respecti-vament.

3. Introdueix en D4 la fórmula =D3+C4 i arrossega fins aD12, i en F4, la fórmula =F3+E4 i arrossega fins a F12.

4. En G3 escriu =D4^2−D3^2 i arrossega fins a la cel·laG11 per observar una propietat dels nombres triangu-lars: T 2

n+1 − T 2n = (n + 1)3

5. Introdueix els textos, dóna format a les cel·les i prote-geix el full perquè no es pugui escriure en les cel·les.

EXERCICI

Utilitza el full de càlcul Excel per obtenir els 10 primers termes dels nombrespentagonals i hexagonals. Quins són els termes generals de cadascun dels 4 nombres poligonals?

1

Successions5917232p366a401Tecn.qxd 16/12/08 15:59 Página 394


PRÀCTICA EXCEL

PAS A PASRegla de Ruffini

Per calcular les arrels enteres d’un polinomi s’utilitza laregla de Ruffini. Les possibles arrels han de ser divisorsdel terme independent.

Perquè x = a sigui una arrel, en dividir entre x − a, el re-sidu de la divisió ha de ser zero. En el full podràs provarels possibles valors de a fins a trobar aquells la divisiódels quals sigui exacta.

Ara calcularem les arrels d’un polinomi de quart grau omenor.

1. Introdueix, en el rang C3:G3, els valors dels coefi-cients del polinomi.

2. Introdueix en B4 el primer valor de prova.

3. Escriu en la cel·la D4 la fórmula =$B4*C5 i arrossegafins a la cel·la G4.

4. En la cel·la C5 escriu =C3, en la cel·la D5, la fórmula=D3+D4, i arrossega fins a la cel·la G5.

De manera anàloga, repeteix els passos en els rangsB6:F7, B8:E9 y B10:D11.

5. Escriu els textos, dóna format a les cel·les i protegeixel full perquè només es pugui escriure en les cel·lesen gris.

Solucions d’una equació de segon grau

A continuació, estudiarem com analitzar el nombre de so-lucions d’una equació de segon grau, i, alhora, obtenir-neles solucions, si n’hi ha.

1. Introdueix, en el rang B3:D3, els valors dels coefi-cients a, b i c de l’equació de segon grau.

2. Prement en el menú Inserció/Nom/Defineix, posa elsnoms a, b i cc a aquests coeficients (no és possibleposar el nom c).

3. En la cel·la E3 escriu la condició lògica =SI(b^2−−4*a*cc<0; «No tiene solución», b^2−4*a*cc). Aixòsignifica que si el discriminant b2 − 4ac < 0, en lacel·la s’escriurà «No tiene solución»; mentre que si noés així, s’escriurà el valor numèric d’aquest discrimi-nant.

4. Escriu en la cel·la F3 el valor de la primera solució: =(−b+RAIZ(b^2–4*a*cc))/(2*a), i en G3, el valor dela segona: =(−b−RAIZ(b^2–4*a*cc))/(2*a).

5. Escriu els textos, dóna format a les cel·les i protegeixel full perquè no es pugui escriure en les cel·les engris.

EXERCICIS

Determina les solucions de les equacionssegüents, aplicant el full Excel.

a) x2 + 7x + 12

b) 3x2 + 21x + 36

c) x2 − x + 1

Fes un full d’Excel que indiqui el nombre exacte de solucions (0, 1 o 2) i quines són, d’una equació de segon grau qualsevol.

Fes un full Excel que resolgui una equació de primer grau de la forma ax + b = cx + d, a partir dels seus coeficients.

3

2

1

EXERCICI

Determina les arrels enteres dels polinomissegüents, aplicant la regla de Ruffini amb el full Excel.

a) x2 + 7x + 12

b) x4 + x3 − 3x2 − x + 2

c) x4 − 5x2 + 4

1

L’àlgebra també es pot treballar amb un full de càlcul Excel. En aquesta fitxa veurem com s’aplica la reglade Ruffini i com s’obtenen les solucions d’una equació de segon grau.

Regla de Ruffini. Equació de 2n grau6

MA

TEM

ÀTI

QU

ES

I

NO

VES

TE

CN

OLO

GIE

S



PRÀCTICA EXCEL

Seguint els passos que s’indiquen en aquesta fitxa podràs resoldre una equació de 2n grau, obtenint-nedues solucions, una solució o cap, segons el valor del discriminant. A més, podràs conèixer el vèrtex de la paràbola, i mitjançant una taula amb els valors de 9 punts, obtindràs la representació gràfica de la pa-ràbola.

PAS A PAS1. Introdueix, en el rang E3:G3, els valors dels coefi-

cients de l’equació de segon grau.

2. Prement en el menú Inserció/Nom/Defineix, anome-na p, q i r aquests coeficients.

3. Escriu la fórmula del discriminant: =q^2−4*p*r enla cel·la C5, i assigna el nom d a aquesta cel·la.

4. Introdueix, en la cel·la B11, la fórmula que calculal’abscissa del vèrtex: =−q/(2*p), i assigna a aquestacel·la el nom xv.

5. Igualment, en la cel·la C11, introdueix la fórmula quecalcula l’ordenada del vèrtex: =p*xv^2+q*xv+r, iassigna-li el nom yv.

6. En les cel·les B7 i C7 introdueix les fórmules que cal-culen les solucions de l’equació de segon grau:

=SI(d<0; «NO»; xv+RAIZ(d)/(2*p))

=SI(d<0; «NO»; xv−RAIZ(d)/(2*p))

Quan el discriminant sigui negatiu, el missatge «NO»indicarà que no hi ha solucions reals, i quan sigui nul,mostrarà dues solucions iguals.

7. Escriu, en la cel·la B18, la fórmula =xv. En la cel·laB17 posa =B18−1 i arrossega fins a la cel·la B14, ien la cel·la B19, posa =B18+1 i arrossega fins a B22.

8. Introdueix, en la cel·la C14, la fórmula =p*B14^2+q*B14+r i arrossega fins a C22.

Gràfic

9. Selecciona el rang B14:C22.

10. Prem en la barra d’eines Inserció/Gràfic... i segueixels passos:

• 1 de 4: XY (dispersió)/Subtipus de gràfic (el segonde la primera columna)

• 2 de 4: - - -

• 3 de 4: Llegenda i desactiva Mostra la llegenda

• 4 de 4: Com un objecte a: (el que et surti prede-terminat)

11. Introdueix els textos, dóna format a les cel·les i algràfic (seleccionant qualsevol element i prementamb el botó dret del ratolí), i protegeix el full perquènomés es pugui escriure en les cel·les en gris.

EXERCICIS

Amb l’ajut d’un full de càlcul Excel, representa una recta en funció del seu pendent i la seva ordenada en l’origen,i calcula els punts de tall amb els eixos de coordenades.

Representa i estudia una equació biquadradaen funció dels seus coeficients.

2

1

La paràbola i l’equació de 2n grau7917232p366a401Tecn.qxd 16/12/08 15:59 Página 396


PRÀCTICA EXCEL

PAS A PASRaons d’un angle qualsevol

1. Escriu el valor d’un angle qualsevol en C3.

2. Introdueix en C4, C5, C6, C7 i C8 les fórmules:=90−C3, =180−C3, =360−C3, =180+C3 i =90+C3

3. Introdueix la fórmula =SENO(C3*PI()/180) en D3 i arros-sega fins a D8.

Introdueix la fórmula =COS(C3*PI()/180) en E3 i des-prés arrossega fins a E8.

Introdueix la fórmula =SI(ABS(E3)<0,0001; «NO»; D3/E3)en F3 i arrossega fins a F8.

Si el cosinus és pràcticament zero es considera quecorrespon a l’angle de 90º i, per tant, la tangent noexisteix.

4. Introdueix els textos, dóna format a les cel·les i prote-geix el full perquè només es pugui escriure en la cel·laen gris.

Resolució de triangles rectangles

1. Escriu les dades en els rangs B4:C4, B6:C6, B8:C8 iB10:C10.

2. Introdueix les fórmules:

=RAIZ(B4^2+C4^2) en la cel·la D4.

=ASENO(B4/D4)*180/PI() en la cel·la E4.

=90−E4 en la cel·la F4.

=RAIZ(C6^2−B6^2) en la cel·la D6.

=ACOS(B6/C6)*180/PI() en la cel·la E6.

=90−E6 en la cel·la F6.

=B8*SENO(C8*PI()/180) en la cel·la D8.

=B8*COS(C8*PI()/180) en la cel·la E8.

=90−C8 en la cel·la F8.

=B10/COS(C10*PI()/180) en la cel·la D10.

=RAIZ(D10^2−B10^2) en la cel·la E10.

=90−C10 en la cel·la F10.

Tingues en compte que els càlculs són en radians:

π rad = 180 graus

3. Per posar un format personalitzat en «graus» i amb dosdecimals, prem, amb les cel·les seleccionades, en elmenú Format/Cel·les/Número/Categoria:Personalitzat/Tipus i escriu 0.00 «º». En el cas que siguin «metres»,posa-hi 0.00 «m».

4. Introdueix els textos, dóna format a les cel·les i prote-geix el full perquè només es pugui escriure en les cel·lesen gris.

EXERCICI

Dissenya un full de càlcul que permeti resoldredos problemes típics de trigonometria ambaquestes dades: α, β i d.

1

En aquesta fitxa obtindràs els angles complementaris, suplementaris, oposats i les corresponents raonstrigonomètriques. Així podràs construir una taula que permeti resoldre un triangle rectangle qualsevol apartir dels costats o angles coneguts.

Trigonometria8

MA

TEM

ÀTI

QU

ES

I

NO

VES

TE

CN

OLO

GIE

S



PRÀCTICA EXCEL

En aquesta fitxa representaràs gràficament la funció f (x) = sin (x) i la funció g(x) = a ⋅ sin (b ⋅ x + p)+ q. També podràs analitzar l’efecte produït pels paràmetres a, b, p i q sobre la gràfica de la funció sinus.

PAS A PAS1. Introdueix els valors 1, 2, 0 i 3 en les cel·les G4, H4,

I4 i J4, respectivament.

Dóna a les cel·les els noms a, b, p i q prement en elmenú Inserció/Nom/Defineix.

2. Dibuixa 100 punts de la gràfica en un recorregut de4π, escriu el valor 0 en la cel·la B4, i en la cel·la B5, lafórmula =B4+pi()/25, i arrossega aquesta cel·la fins aB104.

3. Escriu en C4 i D4 les fórmules =SENO(B4) i =a*SENO(b*B4+p)+q, respectivament. Copia aques-tes fórmules en C5:C104 i D5:D104.

4. Selecciona la línia 24 i prem en el menú Finestra/Im-mobilitza subfinestres. Així, quan recorris el full ambles fletxes de desplaçament, les 23 primeres filessempre estaran visibles.

Gràfic

5. Selecciona el rang B4:D104.

6. Prem en la barra d’eines Inserció gràfic... i segueix elspassos:

• 1 de 4: XY (dispersió) /Subtipus de gràfic (l’últim)

• 2 de 4: - - -

• 3 de 4: Llegenda i desactiva Mostra la llegenda

• 4 de 4: Com un objecte a: (el que surti predetermi-nat)

7. Per fixar les escales del gràfic, selecciona l’Eix de Valors (X) i prem el botó dret: Format de l’eix/Escala, i posa-hi: Mínim = 0, Màxim = 12,56 i unitat major = 1,57.

Selecciona l’Eix de valors (Y) i prem el botó dret: Formatd’eixos/Escala, i posa-hi: Mínim = −5, Màxim = 5 i unitat major = 2.

8. Introdueix els textos, dóna format a les cel·les i al grà-fic (seleccionant qualsevol element i prement amb elbotó dret) i protegeix el full perquè només es pugui es-criure en les cel·les en gris.

EXERCICI

Dissenya un full de càlcul que permetirepresentar la funció cosinus i les sevespossibles transformacions.

1

Gràfica de la funció sinus9917232p366a401Tecn.qxd 16/12/08 15:59 Página 398


PRÀCTICA EXCEL

PAS A PASAra construirem una taula amb les fórmules necessàriesper al càlcul de les àrees i els volums dels cossos geomè-trics més freqüents.

1. Cilindre

Per trobar l’àrea lateral, escriu en C5 la fórmula=2*PI()*C3*D3; per a l’àrea de les bases, en D5 lafórmula =2*PI()*C3^2; per a l’àrea total, en E5 la fór-mula =C5+D5; per al volum, en E3 la fórmula=PI()*C3^2*D3.

2. Con

Per trobar l’àrea lateral, escriu en C10 la fórmula=PI()*C8*D8; per a l’àrea de la base, en D10 la fór-mula =PI()*C8^2; per a l’àrea total, en E10 la fórmu-la =C10+D10; per al volum, en E8 la fórmula=PI()*C8^2*D8/3.

3. Esfera

Per trobar l’àrea, escriu en D13 la fórmula=4*PI()*C13^2, i per al volum, en E13 la fórmu-la =4*PI()*C13^3/3.

4. Prisma regular

Per trobar l’àrea lateral, escriu en C18 la fórmula=C16*E16; per a l’àrea de les bases, en D18 la fór-mula =C16*D16; per a l’àrea total, en E18 la fórmu-la =C18+D18; per al volum, en F18 la fórmula=D18/2*E16.

5. Piràmide regular

Per trobar l’àrea lateral, escriu en C23 la fórmula=C21*D21/2; per a l’àrea de la base, en D23 la fór-mula =C21*E21/2; per a l’àrea total, en E23 la fórmu-la =C23+D23; per al volum, en F23 la fórmula=D23*F21/3.

6. Quan hagis introduït les fórmules, completa el full em-plenant les cel·les amb els textos, i els valors que vul-guis prendre com a dades, per al càlcul de les dife-rents fórmules. Si vols que algun text ocupi més d’unacel·la, selecciona-les i prem en la barra d’eines For-mat de les cel·les/Alineació del text/Horitzonal i Verti-cal: Centrat i a continuació marca l’opció Combina lescel·les en el Control del text.


EXERCICIS

Troba l’àrea i el volum dels cossos geomètricssegüents utilitzant el full Excel.

a) Un con de 5 m de generatriu i 6 m de diàmetre de la base.

b) Un prisma hexagonal regular d’aresta bàsica5 cm i altura 8 cm.

c) Una esfera de diàmetre 10 m.

d) Un cilindre de radi 2 cm i altura 7 cm.

e) Una piràmide quadrangular regular d’arestabàsica 4m i altura 12 m.

Construeix un full Excel que, a partir del’aresta bàsica i l’altura d’un prisma hexagonalregular, calculi l’apotema de la base, l’àrealateral i total i el volum.

Crea un full Excel que calculi, a partir del’aresta bàsica i l’altura d’una piràmidequadrangular regular, la seva apotema, l’àrealateral i total i el volum.

3

2

1

El full Excel també té aplicacions en Geometria. Podem calcular àrees i volums de cossos geomètrics, in-troduint els valors dels elements principals.

Àrees i volums10

MA

TEM

ÀTI

QU

ES

I

NO

VES

TE

CN

OLO

GIE

S



PRÀCTICA EXCEL

Amb el full Excel, veurem com, segons la llei dels grans nombres, a mesura que un experiment aleatori esrepeteix, la freqüència relativa d’un esdeveniment tendeix a un nombre, la probabilitat d’aquest esdeve-niment.

PAS A PASAra simularem 1.000 llançaments d’un dau, calculant elnombre de vegades que apareix cada cara i la freqüènciarelativa, i després ho compararem amb el valor «esperat»,és a dir, la probabilitat.

01. Escriu 1 i 2 en les cel·les B3 i B4. Seleccionades to-tes dues cel·les, arrossega fins a la cel·la 1002.

02. Posa en C3 la fórmula =ENTERO(ALEATORIO ()*6)+1,que genera de forma aleatòria un nombre enter del’1 al 6 cada vegada que prems en F9.

03. Copia aquesta fórmula en el rang C4:C1002 per ob-tenir 1.000 llançaments simultanis.

04. Escriu els nombres de l’1 al 6 en el rang E3:E8.

05. Posa en F3 la fórmula =CONTAR.SI($C$3:$C$1002;E3), que compta els números 1 que hi ha en el rangC3:C1002.

06. Copia la fórmula en F4:F8 per comptar el nombre devegades que apareixen els altres resultats que es po-den obtenir en llançar un dau.

07. Posa en G3 la divisió =F3/$F$9 i arrossega fins a G8.Perquè aparegui en percentatge has de prémer en el menú Format de les cel·les/Número/Categoria:Per-centatge i fixa les Posicions decimals.

08. En el rang H3:H8 escriu =1/6 en totes les cel·les.Perquè apareguin els nombres en forma de fraccióhas de prémer, amb les cel·les seleccionades, en elmenú Format de les cel·les/Número/Categoria:Frac-ció/Tipus:Fins a un dígit (1/4).

09. Selecciona el rang F9:H9 i prem la icona de Sumaautomàtica de la barra d’eines per obtenir la sumade les tres columnes.

10. Selecciona la línia 25 i prem en el menú Finestra/Im-mobilitza subfinestres. Així, en recórrer el full ambles fletxes de desplaçament, sempre estaran visiblesles 24 primeres files.

Gràfic

11. Selecciona el rang discontinu E2:E8, G2:G8 i H2:H8.Per fer-ho has de mantenir premuda la tecla Ctrl.

12. Prem en la barra d’eines la icona Auxiliar de gràfics isegueix els passos:

• 1 de 4: Columna/Subtipus de gràfic (predeterminat)

• 2 de 4: Sèrie (resultat)/Suprimeix

• 3 de 4: Llegenda/Superior

• 4 de 4: Com un objecte a: (predeterminat)

13. Escriu els textos, dóna format a les cel·les i al gràfic(seleccionant qualsevol element i prement el botódret del ratolí).

14. Finalment, protegeix el full. Cada vegada que premisen F9 s’actualitzarà tot el full.

EXERCICIS

Construeix un full Excel i simula el llançament d’un dau de 4 cares 500 vegades. S’acosten, els resultats de lesfreqüències, a les probabilitats esperades?

Construeix un full Excel i simula el llançament d’una moneda 800 vegades.S’acosten, els resultats de les freqüències, a les probabilitats de cada esdeveniment?

2

1

Llei dels grans nombres11917232p366a401Tecn.qxd 16/12/08 15:59 Página 400


PRÀCTICA EXCEL

PAS A PASEn el joc del Lu-Lu s’utilitzen quatre discos rodons de pe-dra volcànica d’uns 2,5 cm de diàmetre. Per una cara notenen cap senyal, i per l’altra estan marcats com indica lafigura.

Suposem que llancem els quatre discos alhora i sumem elspunts obtinguts. Quins resultats possibles es poden obteniri quines probabilitats té cadascun?

11. Escriu 1 i 2 en les cel·les B3 i B4. Seleccionades to-tes dues cel·les, arrossega fins a la cel·la 1002.

12. Introdueix en les cel·les C3, D3, E3 i F3 les fórmules:

=SI(ALEATORIO()<0,5; 0; 1)=SI(ALEATORIO()<0,5; 0; 2)=SI(ALEATORIO()<0,5; 0; 3) =SI(ALEATORIO()<0,5; 0; 4)

per simular la tirada de cadascuna de les pedres.

13. Per calcular el nombre de punts obtinguts en un llança-ment, escriu la fórmula =SUMA(C3:F3) en G3.

14. Selecciona el rang C3:G3, i arrossega fins a la fila1002, per fer 1.000 tirades simultànies i anotar-neels resultats.

15. Un rang pot venir donat per un nom. Per donar nomal rang G3:G1002, selecciona prèviament el rang iprem en el menú Inserció/Nom/Defineix i assigna elnom D.

16. Escriu els nombres del 0 al 10 en el rang I3:I13.

17. Introdueix en J3 la fórmula =CONTAR.SI(D; I3), quecompta els «zeros» que hi ha en el rang G3:G1002.

18. Copia la fórmula en J4:J13 per comptar el nombrede vegades que apareixen els resultats que es podenobtenir en llançar els quatre discos.

19. Escriu en K3 la divisió =J3/$J$14 i arrossega fins aK13. Perquè apareguin en percentatge has de pré-mer la icona Estil de percentatge i fixar els decimalsque hi vulguis.

10. En el rang L3:L13, escriu els nombres =1/16 i =2/16en les cel·les que corresponguin. Perquè apareguin elsnombres en forma de fracció has de prémer, amb lescel·les seleccionades, en el menú Format/Cel·les/Nombre/Fracció/Fins a un dígit (1/4).

11. Selecciona J14:L14 i prem la icona de la barra d’ei-nes Suma automàtica, per obtenir la suma de lestres columnes.

12. Selecciona la línia 28 i prem en el menú Finestra/Im-mobilitza subfinestres. Així, en recórrer el full ambles fletxes de desplaçament, sempre estaran visiblesles 27 primeres files.

Gràfic

13. Selecciona el rang discontinu I2:I13, K2:K13 i L2:L13.Per fer-ho has de mantenir premuda la tecla Ctrl.

14. Prem en la barra d’eines la icona Auxiliar de gràfics isegueix aquests passos:

• 1 de 4: Columna/Subtipus de gràfics (predeterminat)

• 2 de 4: Sèries (resultat)/Suprimeix• 3 de 4: Llegenda/Superior• 4 de 4: Com un objecte a: (predeterminat)

15. Escriu els textos, dóna format a les cel·les i al gràfic.

16. Finalment, protegeix el full i, cada vegada que premisen F9, s’actualitzarà tot el full.

EXERCICI

Calcula i representa els resultats que es poden obtenir en llançar tres monedes,i troba’n les probabilitats.

1

Una altra de les característiques d’aquest programa és la simulació de jocs i el càlcul de probabilitats. Enaquest cas, utilitzant la funció aleatòria, simulem el joc del Lu-Lu.

Probabilitat. Un joc hawaià12

MA

TEM

ÀTI

QU

ES

I

NO

VES

TE

CN

OLO

GIE

S

917232 _ 0366-0401.qxd 29/12/08 12:45 Página 401


1JOCS DE POSICIÓ

LES GRANOTES SALTADORESNombre de participants


Material

El material és un tauler d’1 fila i 7 caselles. Les fitxes són de 2 colors. Es disposen de la manera següent:

Objectiu

L’objectiu del joc és que les fitxes (granotes) intercanviïn la seva posició inicial, és a dir, les fitxes grises ocupen el lloc de les negres, i aquestes ocupen el lloc de les grises. S’ha d’intentar que el nombre de moviments sigui el mínim possible.

Regles del joc

Juga diverses vegades per familiaritzar-te amb el joc. En cada cas, no paris fins a conseguir l’objectiu:intercanviar les fitxes grises i negres respectant les regles del joc. És possible que alguna vegada et quedisbloquejat, és a dir, que no puguis seguir movent les fitxes. No et desanimis, descansa i torna a jugar després.

Juga amb 4 fitxes en lloc de fer-ho amb 6 fitxes.

Comprova que, ara, les situacions de bloqueig són més fàcils d’evitar.

2

1

EXPERIMENTA I JUGA

1a Les fitxes grises només es poden moure cap a la dreta i les negres, cap a l’esquerra.

2a Cada fitxa pot avançar a una casella contigua si està buida. Per exemple, de la posició A es passa a la posició B.


3a Una fitxa pot saltar per sobre d’una altra de color diferent, si a continuació d’aquesta hi ha una casellabuida. Per exemple, de la posició C es passa a la posició D.

Posició C Posició D

4a No cal moure una fitxa de color diferent a la que hem mogut l’última vegada.

5a En una casella no hi pot haver més d’una fitxa.

917232p402a469Jocs.qxd 16/12/08 16:04 Página 402


1

403

El quadre següent reflecteix les jugades fetes durant una partida amb 2 fitxes de cada color. A la fila superior del quadre apareix la posició de les fitxes quan comença el joc. A sota hi ha les posicions que van prenent les fitxes després de cada jugada. A la columna de l’esquerra s’indiquen les jugades successives.

a) Què hauria passat si a la jugada 5a haguéssim jugat com s’indica a continuació?

b) Es pot continuar jugant després d’aquesta jugada?

c) Per què?

Observa que només pots retrocedir a posicions anteriors (acció prohibida). Direm, aleshores, que s’ha produït un bloqueig en unir-se les dues fitxes de color gris.

d) És desitjable aquesta posició de les fitxes per a un jugador?

e) Creus que pot ser una bona estratègia evitar les jugades en què s’uneixin dues fitxes del mateix color? Justifica la resposta.

1

INVESTIGA

JOC

S M

ATE

MÀ

TIC

S


Posició inicial

Jugada 1a

Jugada 2a

Jugada 3a

Jugada 4a

Jugada 5a

Jugada 6a

Jugada 7a

Jugada 8a

1.ª

2.ª

3.ª

4.ª

5.ª

6.ª

7.ª

8.ª

Jugada 4a

Jugada 5a 5a



Tipus de jugades. Torna’t a fixar en el quadre de la pàgina anterior. Cada jugada és un moviment d’una fitxa que pot ser de dues classes:

• Un desplaçament lateral (amb un avanç d’1 casella).

• Un salt (amb un avanç de 2 caselles).

a) Classificació

Escriu la paraula «desplaçament» o «salt» segons el moviment en cada jugada.

b) Nombre mínim de moviments

Com que en cada salt s’avancen 2 caselles i en cada desplaçament s’avança 1 casella, el nombre mínim de moviments per intercanviar les fitxes l’aconseguim quan podem fer el nombre màxim de salts.

Juga diverses vegades amb 2 fitxes de cada color i comprova que el nombre mínim de moviments que has de fer per aconseguir l’objectiu d’intercanviar les fitxes és 8.

El nombre de moviments es calcula en funció del nombre de fitxes de cada color.

Amb 2 fitxes de cada color és: Nombre mínim de moviments = (2 + 1)2 − 1 = 8

c) Codificació

Torna’t a fixar en les posicions de les fitxes en les 8 jugades del quadre de la pàgina anterior.

Per codificar les jugades, les fitxes negres les representem per n i les fitxes grises per g. Si és desplaçament escrivim la lletra amb majúscula, i si és salt l’escrivim amb minúscula. Completa la taula següent:

La codificació de les 8 jugades quedaria així: NgGnnGgN.

No cal distingir entre els dos tipus de moviments (desplaçament o salt), perquè les fitxes estan obligades.Per tant, la codificació pot quedar així: NGNNGGN.

2

LES GRANOTES SALTADORES

Jugada Tipus de moviment

1a desplaçament

2a

3a

4a

5a

6a

7a

8a

Jugades Codificació de les jugades acumulades des de la 1a

1a N

1a i 2a Ng

1a, 2a i 3a NgG

1a, 2a, 3a i 4a

1a, 2a, 3a, 4a i 5a

1a, 2a, 3a, 4a, 5a i 6a

1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a i 7a

1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a, 7a i 8a



Juga amb 2 fitxes en un tauler com el següent.

a) Dibuixa les posicions de les fitxes de cada jugada a la taula següent, i assoleix l’objectiu d’intercanviar les 2 fitxes de color en 3 jugades.

b) Elabora una taula amb les 3 jugades. Després, completa la codificació de les jugades.

c) Fixa’t en la fórmula que dóna el nombre mínim de moviments necessaris per acabar el joc amb 2 fitxes de cada color. Quina és la fórmula per al cas d’1 fitxa de cada color?

Amb 1 fitxa de cada color és: Nombre mínim de moviments = (1 + __)2 − 1 = __

Reprèn el joc amb 3 fitxes de cada color que hem vist al principi.

a) Comprova que es pot acabar el joc amb 15 moviments i elabora un quadre amb les 15 jugades.

b) Codifica aquests moviments de manera semblant als casos anteriors.

c) Completa els resultats i troba l’expressió general per calcular el nombre mínim de moviments quan es jugaamb n fitxes de cada color.

Amb 1 ficha de cada color és: Nombre mínim de moviments = (1 + 1)2 − 1 = 3

Amb 2 fitxes de cada color és: Nombre mínim de moviments = (2 + 1)2 − 1 = 8

Amb n fitxes de cada color, el nombre de moviments és:

4

3

405

1

JOC

S M

ATE

MÀ

TIC

S


Posició inicial

Jugada 1a

Jugada 2a

Jugada 3a

1a

2a

3a

Jugades Codificació de les jugades acumulades des de la 1a

1a N

1a i 2a

1a , 2a i 3a

Codificació de les jugades Jugades acumulades des de la 1a

1a N

1a i 2a NG

1a, 2a i 3a NGG

1a, 2a, 3a i 4a

1a, 2a, 3a, 4a i 5a

1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a, 7a, 8a, 9a, 10a, 11a, 12a, 13a, 14a i 15a



JOCS DE POSICIÓ

CANVI DE POSICIONS AMB SIS FITXES

Nombre de participants


Material

El material és 6 fitxes (3 fitxes de cada color) col·locades com es veu en aquest tauler de 7 caselles.

Objectiu

El joc consisteix a intercanviar les posicions de les fitxes, és a dir, les fitxes grises acaben on estan situades les negres, i les negres on hi ha les grises.

Regles del joc

Juga diverses partides per familiaritzar-te amb el joc, amb un tauler més senzill, amb 2 fitxes de cada color.

Al llarg de cada partida no has d’oblidar l’objectiu, per no fer jugades que no estiguin dirigidesa assolir-lo.

1

EXPERIMENTA I JUGA

2

1a Les fitxes de color diferent es mouen alternativament.

2a Una fitxa es pot moure a una casella adjacent que estigui buida en moviment vertical, horitzontal o diagonal. Per exemple, es pot passar de la posició A a la posició B.




2

Juga amb la intenció d’assolir l’objectiu en 5 jugades.

Juga algunes partides en aquest tauler amb 1 fitxa de cada color.

Quin és el nombre mínim de jugades per aconseguir intercanviar les fitxes?

Codificació. Com comunicaries a algú per telèfon els 5 moviments que ha de fer com a mínim per intercanviar les fitxes en un tauler amb 2 fitxes de cada color?

Per indicar a algú una jugada cal dir-li la casella d’on surt la fitxa i la casella on arriba.Això s’aconsegueix anomenant les caselles amb lletres.

Així, la 1a jugada es pot expressar escrivint primer la lletra de la casella de partida (B) i, després, la lletra de la casella d’arribada (E): B → E

Direm, aleshores, que s’ha codificat la primera jugada.

a) Codifica la 2a jugada.

b) Comprova que el nombre mínim de jugades per acabar la partida és: 2 ⋅ 2 + 1 = 5

c) Codifica les jugades: B → E, C → B

d) Juga amb la codificació següent una partida en el tauler anterior.

1a B → E, 2a C → B, 3a A → C, 4a D → A, 5a E → D

Torna al tauler inicial de 3 fitxes de cada color i juga algunes partides.

a) Quin és el nombre mínim de moviments per acabar la partida?

b) Fixa’t en el nombre de fitxes de cada color i en el nombre mínim de moviments per intercanviar les fitxes i completa.

Amb 1 fitxa de cada color és: Nombre mínim de moviments = 2 ⋅ 1 + 1

Amb 2 fitxes de cada color és: Nombre mínim de moviments = 2 ⋅ 2 + 1

Amb 3 fitxes de cada color és: Nombre mínim de moviments = 2 ⋅ __ + 1

Quin és el nombre mínim de moviments per a n fitxes de cada color?

c) Representa al teu quadern la partida codificada.

C → G, E → C, A → E, D → A, B → D, F → B, G → F

4

3

2

1

INVESTIGA

407

JOC

S M

ATE

MÀ

TIC

S

A

D

B

E F

C

G

A

C

B

D E

A

C

B

D E

A

C

B

D E

1a 2a



JOCS DE POSICIÓ

EL DIVUITNombre de participants

És un joc per a dos jugadors.

Material

Necessitem 6 fitxes (3 fitxes de cada color) que posem en un tauler amb 22 caselles; a les 11 caselles superiors hi van els nombres de l’1 a l’11, i a les caselles inferiors hi posem les fitxes.

Objectiu

L’objectiu d’aquest joc és aconseguir que la suma dels nombres enfrontats amb les 3 fitxes sigui 18.

Regles del joc

Juga 3 partides amb un company i anota els resultats del guanyador.

Juga 10 partides amb un company i, en cada una, anota els nombres que donen la suma 18.

a) Quins nombres surten més vegades?

b) Quins nombres surten menys vegades?

1

INVESTIGA

1

EXPERIMENTA I JUGA

3

1a Cada jugador, per torns, posa una fitxa en alguna de les caselles inferiors, amb el propòsit que els nombres enfrontats amb les seves 3 fitxes sumin 18.

2a Quan les 3 fitxes estan col·locades i cap jugador no aconsegueix la suma 18, per torns, les canvien de caselles segons que els interessi.

3a Guanya el jugador que aconsegueix primer la suma 18.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11



3

Escriu 6 ternes de nombres que sumin 18.

a) Creus que hi ha algun nombre que és més adequat que els altres per aconseguir la suma 18?

b) Per què?

Esbrina què passaria si al tauler només hi hagués els nombres de l’1 al 9 i haguessin de sumar 15.

a) Quines ternes que sumin 15 es poden formar amb els nombres de l’1 al 9?

b) Quin nombre surt menys vegades?

c) Creus que hi ha algun nombre que és millor que la resta per aconseguir la suma 15?

Per què?

El tauler següent correspon a una partida inacabada, i toca jugar al jugador de les fitxes grises.

a) Quina jugada faries?

b) Per què?

Intenta construir un quadrat màgic 3 × 3.

Recorda que, en el quadrat màgic, la suma de les files, les columnes i les diagonals ha de ser la mateixa.

5

4

3

2

409

JOC

S M

ATE

MÀ

TIC

S

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9



JOCS DE POSICIÓ

MORRIS DE TRES FITXESNombre de participants


Material

Necessitem 6 fitxes (3 fitxes d’un color per a un jugador i 3 fitxes d’un altre color per a l’altre jugador) i un taulercom el de la figura.

Objectiu

L’objectiu del joc és posar 3 fitxes en línia: horitzontal o vertical.

Regles del joc

4

1a El joc comença quan un dels jugadors posa una fitxa sobre un dels punts assenyalats, i, a continuació, ho fa el segon jugador. Es juga alternativament fins que els dos jugadors hagin posat totesles fitxes.

2a Quan les 6 fitxes siguin al tauler, cada jugador pot moure una de les seves fitxes a una posició adjacentseguint les línies del tauler.

3a Guanya el jugador que aconsegueixi primer posar les seves 3 fitxes en línia (horitzontal o vertical).



Si has jugat unes quantes partides, t’hauràs adonat si és convenient o no que el primer jugador esculli la posició central. Creus que és convenient?

Si mouen les fitxes grises, quina és la millor jugada que es pot fer per guanyar la partida?

Si toqués jugar amb les fitxes negres al tauler anterior, quina jugada faries?

Si es jugués amb les fitxes negres al tauler següent, quina jugada faries? Explica per què.

a) Tal com estan posades les fitxes al tauler anterior, creus que la partida té un guanyador?

b) Raona la resposta.

2

1

INVESTIGA I BUSCA ESTRATÈGIES

1

EXPERIMENTA I JUGA

411

4

JOC

S M

ATE

MÀ

TIC

S



JOCS DE POSICIÓ

MARROEl marro és un joc antic que consta d’un tauler quadrat amb les diagonals marcades i dues línies paral·leles als costats pel punt mitjà (paral·leles mitjanes). La intersecció d’aquestes línies són els llocs o les caselles on es posen les fitxes.


En aquest joc participen dos jugadors.

Material

Per a aquest joc es necessita un tauler amb 9 caselles o punts i 3 fitxes de colors diferents per a cada jugador.

El tauler és un quadrat semblant al de la dreta.

Objectiu

En aquest joc, l’objectiu de cada jugador és col·locar les seves 3 fitxes en una mateixa línia (horitzontal, verticalo diagonal).

Regles del joc

Juga unes quantes partides amb un company per familiaritzar-te amb el joc.

Juga 4 partides amb un company. En 2 partides comença a posar les fitxes un jugador i, en les 2 partides següents, comença l’altre jugador.

a) Quina jugada prefereixes fer quan comences a jugar?

b) Trobes algun avantatge a ser el primer que comença a jugar?

2

1

EXPERIMENTA I JUGA

5

1a Es fa a la sort el jugador que comença la partida.

2a Cada jugador col·loca les fitxes de manera alternativa.

3a Cada jugador, quan li toca, juga desplaçant una fitxa a una posició contigua seguint les línies del tauler.

4a Guanya el jugador que aconsegueix posar les seves 3 fitxes en línia recta (horitzontal, vertical o diagonal).



5

Imagina que la situació del tauler és la següent.

a) Juga amb un company amb les fitxes en aquesta posició. Qui guanya?

b) Creus que la partida té un guanyador?

Una partida està en la situació que indica el tauler de l’esquerra i correspon jugar a les fitxes negres.Indica dues jugades de les fitxes negres que portarien a perdre. Dibuixa com quedarien situades les fitxes negres després d’aquestes jugades.

JUGADES PERDEDORES DE LES FITXES NEGRES

Situació de la partida 1a jugada perdedora 2a jugada perdedora

Després de diverses jugades, la partida està com indica el tauler inferior de l’esquerra. Hi ha algun jugador que és guanyador segur?

Si toca jugar al jugador de les negres, quina jugada pot fer? Dibuixa les fitxes negres.

Situació desprésSituació de la partida de la jugada

3

2

1


413

JOC

S M

ATE

MÀ

TIC

S



JOCS TIPUS NIM I MANCALA

L’ÚLTIM QUE AGAFA, GUANYANombre de participants


Material

El material consta de 13 fitxes, cartolines o targetes.

Objectiu

L’objectiu del joc és agafar l’última fitxa. El jugador que ho aconsegueix, guanya.

Regles del joc

Nota. En els jocs de Nim, l’última regla pot canviar, i aleshores perd el jugador que ha agafat l’última fitxa.

Juga diverses partides amb un company fins que determinis quantes fitxes han de quedar com a mínim en l’última jugada per guanyar.

Per trobar l’estratègia guanyadora comencem pel final.

Imagina que al final l’adversari et deixa 1 fitxa. Qui guanya?

a) Què passa si et deixa 2 fitxes?

b) I si et deixa 3 fitxes?

1

ESBRINA I CERCA ESTRATÈGIES

1

EXPERIMENTA I JUGA

1

1a Se sorteja el jugador que começa a jugar.

2a Cada jugador agafa, per torns, 1, 2 o 3 fitxes.

3a Guanya el jugador que agafa l’última fitxa.



JOC

S M

ATE

MÀ

TIC

S

1

Què passa si l’altre jugador et deixa 4 fitxes?

a) Si es donés la situació següent, tindries opció de guanyar?

b) Per què?

Imagina que et toca jugar i hi ha 6 fitxes sobre la taula. Quantes fitxes hauries d’agafar per assegurar que guanyes?

a) I si hi ha 7 fitxes?

b) I si hi ha 8 fitxes?

Troba totes les situacions fatals que es poden donar en aquest joc.

Quina és la millor jugada inicial si hi ha 5 fitxes?

Té avantatge algun jugador?

Imagina que deixes 4 fitxes al teu adversari. El deixes en una situació fatal?

Per què?

I si li deixes 8 fitxes?

Per què?

6

5

4

Observa que si el nombre de fitxes que ens deixa el jugador contrari és 1, 2 o 3, guanyem perquè en cadacas podem agafar-les totes.

Segur que t’has adonat que hi ha situacions en què sempre pots guanyar i unes altres en què segurque perdràs si l’adversari juga bé. Aquestes últimes situacions les anomenarem situacions fatals.

3

2




L’ÚLTIM QUE RECULL, PERDImagina que hi ha 7 fitxes i que les regles del joc són les que s’indiquen.

Objectiu

L’objectiu del joc és aconseguir que l’altre jugador agafi l’última fitxa.

Regles del joc

Juga alguna partida amb un company. Després, respon.

a) Què passa si l’adversari et deixa 1 fitxa?

b) I si et deixa 2 fitxes?

c) I si et deixa 3 fitxes?

d) Quina és l’estratègia guanyadora?

e) Quin jugador té avantatge?

f) Quin jugador guanya segur si els dos saben jugar?

Per què?

Imagina, ara, que juguem amb 12 fitxes i amb les regles anteriors.

a) Quina seria l’estratègia guanyadora?

b) Quin jugador t’agradaria ser, el que comença a jugar o l’altre?

c) Quin jugador té l’estratègia guanyadora?

d) Quina ha de ser la 1a jugada del jugador que comença a jugar?

2

1

INVESTIGA I CERCA ESTRATÈGIES

2

1a Se sorteja el jugador que comença a jugar.

2a Cada jugador agafa per torn 1 o 2 fitxes.

3a Perd el jugador que agafa l’última fitxa.



JOC

S M

ATE

MÀ

TIC

S

El Nim és un dels jocs més antics que es coneixen, i és originari de la Xina. La paraula nim vol dir «robar» i és un terme que va emprar Shakespeare.



Material

El material són llumins, fitxes, monedes o peces petites, distribuïdes de la manera següent.

Les fitxes es col·loquen en files. La primera fila pot tenir una o diverses fitxes; la segona fila té una fitxa més;la tercera fila té una fitxa més que la segona, etc.

Objectiu

L’objectiu de cada jugador és aconseguir agafar l’última peça.

Regles del joc

Nota. L’objectiu i la regla 2 del joc de Nim poden ser contraris.Objectiu: cada jugador intenta aconseguir que el contrari reculli l’última fitxa.Regla 2: perd el jugador que recull l’última fitxa.

Juga unes quantes partides amb un company per familiaritzar-te amb el joc.

L’estratègia més idònia per fer una anàlisi del joc és començar pel final, de manera que és possibleidentificar les situacions fatals que es produeixen quan queden poques peces. Això permet trobarles successives situacions perdedores, amb la qual cosa podem saber com hem d’actuar des del principi.L’estratègia és situar el contrari en situacions fatals.

2

1

EXPERIMENTA I JUGA


UN NIM DE TRES FILES DEL TIPUS 3453

1a. Els jugadors retiren per torns tantes peces com vulguin d’una mateixa fila.

2a. Guanya el jugador que recull l’última peça.

Primera fila

Segona fila

Tercera fila



Comencem jugant en un Nim més petit i amb les mateixes regles, com el següent.

Si jugues diverses partides descobriràs com situar el contrari en una situació fatal.

a) Codificació. Anota totes les situacions fatals que trobis en aquest Nim. Una manera de fer-ho és indicarel nombre de peces que queden per fila, és a dir, la situació inicial en aquest Nim seria: 123.Això s’anomena codificar, és a dir, hem establert un codi a fi que qualsevol persona pugui entendrecom estan col·locades les peces i sàpiga com es desenvolupa la partida.

b) Codificació de les jugades. Si el primer jugador retira la fitxa de la 1a fila, la jugada es codificad’aquesta manera:

Què passa si el teu adversari et deixa en la situació 022?

I si et deixa en la situació 110?

La situació 101 és una situació fatal per al qui ha de jugar?

Per què?

c) En aquest Nim, quin jugador perd sempre si l’altre jugador sap jugar?

d) En el Nim de partida, troba totes les situacions fatals i així podràs guanyar sempre.

e) Hi ha cap jugador que tingui avantatge?

Primera jugada 123 ⎯⎯→ 023

3

Primera fila

Segona fila

Tercera fila

UN NIM DE TRES FILES DEL TIPUS 345



JOC

S M

ATE

MÀ

TIC

S

Aquest joc va ser inventat per Sam Loyd i té la mateixa finalitat que el Nim.



Material

Es necessita un nombre parell de fitxes, disposades formant un cercle. El nombre de fitxes és variable; en el cas següent són 8 fitxes.

Objectiu

L’objectiu és buscar estratègies guanyadores per aconseguir retirar l’última fitxa.

Regles del joc

Juga algunes partides per fixar-te en les regularitats, i troba una codificació adient per anotar totsels moviments de la partida.

Qui guanya sempre?

És possible acabar en empat?

Col·loca en el cercle un nombre senar de fitxes. Passa el mateix que abans?

Hi influeix el nombre de fitxes?4

3

2

1


1

EXPERIMENTA I JUGA

1a. Els jugadors retiren per torn 1 o 2 fitxes, però si es retiren 2 fitxes, aquestes han d’estar situades l’unaal costat de l’altra, sense que hi hagi espai entre elles.

2a. Els jugadors retiren les fitxes alternativament.

3a. Guanya el jugador que recull l’última fitxa.


EL CERCLE MISTERIÓS4





Material

Es necessiten 6 fitxes col·locades sobre els costats d’un triangle equilàter, tot situant 2 fitxes en cada costat.

Objectiu

L’objectiu de cada jugador és recollir l’última fitxa.

Regles del joc

Pots codificar com en els casos anteriors. La situació de partida es codifica per 222.

a) Dibuixa les situacions següents: 011, 110 i 101. Són situacions fatals?

b) Per què?

c) Analitza les situacions 022 i 122. Com són aquestes situacions per al jugador a qui li toca jugar? Anota el desenvolupament de la partida.

Situació 022 Situació 122

Seguint les normes anteriors, juga ara amb 3 fitxes en cada costat.2

1

EXPERIMENTA I JUGA

1a. Es treuen les fitxes, d’una en una o de dues en dues, però si són dues han de ser del mateix costat.

2a. Els jugadors retiren les fitxes alternativament.

3a. Guanya el jugador que reculli l’última fitxa.


EL TRIANGLE MAREJAT5



JOC

S M

ATE

MÀ

TIC

S

Per a aquest joc es poden fer servir diferents objectes (fitxes, botons, monedes, xapes, etc.) o es poden dibuixar cercles en un full de paper. L’objectiu és el mateix que en els jocs anteriors: retirar l’última fitxa.



Material

El material consisteix en 19 monedes disposades formant un cercle. El nombre de monedes és variable i pot ser més gran o més petit, segons que ho decideixin els jugadors.

Regles del joc

Quina és l’estratègia guanyadora?

1a. Es fa a la sort el jugador que comença a jugar.

2a. Cada jugador, per torn, retira una moneda o dues monedes que estiguin en contacte.

3a. El guanyador és el jugador que retira l’última moneda de la cadena.


LA CADENA6



Mancala és una família de jocs que tenen l’origen a l’Àfrica. Hi ha constància d’uns 200 jocs d’aquesta família. Un d’ells és el Wari, que es coneix com els escacs de l’Àfrica. El Wari és molt popular a la Costa d’Ivori i al Carib, on els descendents dels esclaus negres encara el conserven.



Material

S’utilitzen 12 recipients amb 4 fitxes, pedres o llavors cadascun, i 2 recipients més per posar-hi les fitxes o pedres que guanya cada jugador.

El tauler està format per 2 files de 6 forats o recipients, una per a cada jugador. La casa o recipient per a les fitxes que guanya cada jugador és a la seva dreta.

Objectiu

Cada jugador intenta aconseguir el màxim nombre de fitxes o pedres del jugador contrari.

Regles del joc


2a. En cada jugada, un jugador tria un recipient, agafa totes les pedres i les va dipositant, una a una, en els recipients següents (tant en els recipients del jugador que està jugant com en els recipients del rival) en sentit contrari al de les agulles del rellotge.

Per exemple, si el jugador A tria el recipient de les pedres que hem pintat de negre, les repartiria com assenyala la fletxa i el tauler quedaria com s’indica.

3a. Guanya el jugador que aconsegueix la majoria de les fitxes (25 fitxes o més). En aquell moment s’acaba la partida.

Jugador BC

asa

del j

ugad

or B

Cas

a de

l jug

ador

A

Jugador A

Jugador B

Jugador A

Cas

a de

l jug

ador

B

Cas

a de

l jug

ador

A


MANCALA7



JOC

S M

ATE

MÀ

TIC

S

a) Si el recipient que es tria té moltes pedres (pot passar quan s’han fet diverses jugades), es dóna la volta sencera al tauler; en aquest cas, el recipient del qual agafem les pedres s’ha de saltar. Aquest recipient ha de quedar buit en aquesta jugada. Per exemple, després de diverses jugades el tauler queda com es mostra tot seguit, i el jugador a qui toca jugar tria el recipient que té 13 fitxes.

b) Si en dipositar l’última pedra o fitxa en un moviment es fa en un recipient del jugador contrari, i aquell recipient conté 2 o 3 pedres (comptant-hi la pedra que s’hi acaba de dipositar), aquestes són capturades pel jugador i dipositades a casa seva.

En aquest cas, el jugador reparteix les 13 fitxes o pedres i el tauler queda com es mostra a la figura.

Juga amb un company per familiaritzar-te amb el joc, i decidir el recipient que t’interessa per aconseguir més fitxes o pedres del teu company.

1

EXPERIMENTA I JUGA

Jugador A

Jugador B

Cas

a de

l jug

ador

A

Cas

a de

l jug

ador

B

Jugador A

Jugador B

Cas

a de

l jug

ador

A

Cas

a de

l jug

ador

B

Jugador A

Jugador B

Cas

a de

l jug

ador

A

Cas

a de

l jug

ador

B

7



Diverses jugades d’una partida de Wari

Per desenvolupar aquesta partida de Wari representem els forats i les cases dels jugadors per mitjàde cercles. A la figura següent s’han numerat els forats del tauler. Els dos cercles dels costats sónles cases de tots dos jugadors. Les fitxes dels jugadors són negres.

Imaginem que la partida la inicia el jugador A, que juga amb la fila de forats de sota.

PRIMERA JUGADA

• En el tauler anterior, el jugador A tria el forat 12 i reparteix les 4 fitxes que té a partir del forat 1. El tauler queda d’aquesta manera:

• Al tauler anterior, el jugador B tria el forat 2 i reparteix les 5 fitxes que té a partir del forat 3. El tauler queda d’aquesta manera:

SEGONA JUGADA

• En el tauler anterior, el jugador A tria el forat 11 i reparteix les 4 fitxes que té a partir del forat 12. El tauler queda d’aquesta manera:

• En el tauler anterior, el jugador B tria el forat 2 i deixa la fitxa que té al forat 3. El tauler queda d’aquesta manera:

1

MANCALA

Casa deljugador B

Casa de B

Casa de B

Casa de B

Casa de B

Casa de A

Casa de A

Casa de A

Casa de A

Casa deljugador A

Puntuació

A B

0 0

Puntuació

A B

0 0

Puntuació

A B

0 0

Puntuació

A B

0 0

Forats del jugador B

Forats del jugador A

1444444442444444443

1444444442444444443

6 5 4 3 2 1

7 8 9 10 11 12



JOC

S M

ATE

MÀ

TIC

S

TERCERA JUGADA

• En el tauler anterior, el jugador A tria el forat 12 i deixa 1 fitxa que té en el forat 1, que queda amb 7 fitxes. El tauler queda d’aquesta manera:

• En el tauler anterior, el jugador B tria el forat 1 i reparteix les 7 fitxes que té a partir del forat 2. El tauler queda d’aquesta manera:

QUARTA JUGADA

• En el tauler anterior, el jugador A tria el forat 10 i reparteix les 4 fitxes que té a partir del forat 11. Com que després del repartiment el forat 2 queda amb 2 fitxes, aquestes passen a la casa del jugador A. El tauler queda d’aquesta manera:

• En el tauler anterior, el jugador B tria el forat 6 i reparteix les 6 fitxes que té a partir del forat 7. Com que els forats 11 i 12 queden amb 2 fitxes cadascun, aquestes passen a la casa del jugador B. El tauler queda d’aquesta manera:

Dibuixa com quedarien els taulers si el jugador A tria en el seu torn el forat 10 i el jugador B tria el forat 5. Com quedaria la puntuació al final d’aquesta jugada?

Continua jugant la partida.

2

7

Puntuació

B A

0 0

Puntuació

B A

0 0

Puntuació

B A

0 2

Puntuació

B A

4 2

Puntuació

B A

Puntuació

B A

Casa de B Casa de A

Casa de B Casa de A

Casa de B Casa de A

Casa de B Casa de A

Després de jugar A Després de jugar B



Escriu els nombres de l’1 al 30, com a suma de nombres consecutius. Es tracta d’una activitat individual que té com a objectiu el desenvolupament d’habilitats numèriques.

Per exemple: 3 = 1 + 2; 5 = 2 + 3; 6 = 1 + 2 + 3

Si algun nombre té més d’una solució, aquesta també s’escriu.

3 =

4 =

5 =

6 =

7 =

8 =

9 = 4 + 5 i també 9 = 2 + 3 + 4

10 =

11 =

12 =

13 =

14 =

15 =

16 =

17 =

18 =

19 =

20 =

21 =

22 =

1

EXPERIMENTA, INVESTIGA I COMPLETA

JOCS I ACTIVITATS LÚDIQUES AMB NOMBRES

NOMBRES CONSECUTIUS1



JOC

S M

ATE

MÀ

TIC

S

23 =

24 =

25 =

26 =

27 =

28 =

29 =

30 =

Quina classe de nombre resulta en sumar dos nombres consecutius?

Es pot posar un nombre parell com a suma de dos nombres consecutius?

Per què?

Fixa’t en els nombres que són suma de tres nombres consecutius. Quina propietat tenen en comú aquests nombres?

Fixa’t en l’activitat 1. Quins nombres no es poden posar com a suma de diversos nombres consecutius?Quina propietat tenen en comú?

Hem vist que la suma de tres nombres consecutius és sempre un múltiple de 3. Si vols verificar aquesta propietat, pots triar tres nombres consecutius, per exemple 3k − 1, 3k i 3k + 1.

Fes la suma i comprova que en resulta un nombre múltiple de 3.

Escriu la suma resultant com el producte d’un nombre per 3.

Això és una demostració de la propietat següent.

La suma de tres nombres consecutius és igual a un múltiple de 3.

5

4

3

2

1

OBSERVA ELS RESULTATS I RESPON

1



Un quadrat numèric és un quadrat màgic si la suma dels nombres de cada fila és igual a la suma dels nombres de cada columna i a la suma dels nombres de cada diagonal.

Per exemple, pots comprovar fàcilment per mitjà de sumes que el quadrat següent és un quadrat màgic.

L’objectiu d’aquestes activitats és aconseguir habilitats numèriques i ampliar el vocabulari amb les paraules «fila», «columna» i «diagonal».

Comprova, mitjançant sumes, que el quadrat anterior és un quadrat màgic.

La suma és 15, és igual per a totes les línies i s’anomena «suma màgica».

Imagina que vols formar el quadrat anterior amb els dígits de l’1 al 9. Com ho faries?

a) Troba la suma màgica, és a dir, el que suma cada línia.

Tingues en compte que:• La suma dels 9 nombres és:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45• Hi ha d’haver 3 files de nombres que sumen el mateix.

La suma màgica és: 45 =

b) Esbrina els nombres que has de posar en cada casella.

Tingues en compte que:• El 5 ha d’estar al centre, ja que es fa servir en 4 sumes.• L’1 es fa servir sols en 2 sumes, per tant ha d’estar en una

de les dues caselles ombrejades.Si es posa l’1 a la dreta, a l’esquerra s’ha de col·locar el 9.

• El 4 també figura en 2 sumes, per tant ha d’estar en un dels vèrtexs.

Ara ja pots acabar el quadrat.

c) Explica com has completat el quadrat.

2

1

OBSERVA ELS RESULTATS I RESPON

Diagonals

+ + = + + =

Files

+ + =

+ + =

+ + =

Columnes

+ + =

+ + =

+ + =

2 7 6

9 5 1

4 3 8

5

4

1


QUADRATS MÀGICS2


2


JOC

S M

ATE

MÀ

TIC

S

Suma 4 a cada nombre del quadrat màgic que has construït.

a) En resulta un nou quadrat màgic? Comprova-ho.

b) Quina és la suma màgica en aquest quadrat?

Si multipliquem per una quantitat constant cada nombre del quadrat màgic, continua sent màgic?Comprova-ho multiplicant per 4 els nombres d’aquest quadrat màgic.

a) Comprova que el quadrat obtingut és un quadrat màgic.

b) Quina és la suma màgica en aquest nou quadrat?

4

3

Diagonals

+ + = + + =

Files

+ + =

+ + =

+ + =

Columnes

+ + =

+ + =

+ + =

Diagonals

+ + = + + =

Files

+ + =

+ + =

+ + =

Columnes

+ + =

+ + =

+ + =

2 7 6

9 5 1

4 3 8

2 7 6

9 5 1

4 3 8



Fixa’t en aquest quadrat màgic.

Les caselles pintades de gris i els nombres corresponents s’anomenen termes mitjans, les caselles pintades de negre són els termes cantonada o cantonades, i la casella en blanc és el terme central.

a) Quina relació hi ha entre dos termes simètrics: (2 i 8), (4 i 6), (3 i 7), (1 i 9) i el terme central?

b) Quina relació hi ha entre la suma dels quatre termes de les cantonades i el terme central?

Calcula i respon, abans de resoldre els quadrats màgics següents.

a) Quant sumen els nombres de les dues caselles ombrejades del quadrat I)?

b) Quant sumen els nombres de les dues caselles ombrejades del quadrat II)?

c) Quant sumen els nombres de les dues caselles ombrejades del quadrat III)?

d) Quant sumen els nombres de les dues caselles ombrejades del quadrat IV)?

e) Resol els quadrats màgics I), II), III) i IV).

I) III)

II) IV)

Calcula i respon, abans de resoldre els quadrats màgics següents.

a) Quant sumen els nombres de les quatre caselles de les cantonades en el quadrat I)?

b) I la suma dels quatre nombres de les caselles de les cantonades en el quadrat II)?

I) II)

2

1

COMPLETA ELS QUADRATS MÀGICS

5

QUADRATS MÀGICS

2 7 6

9 5 1

4 3 8

18

14

12 10

22 14 6

12

39 35

33

27

23

29 33

35

35

15 17 19

18

19

25 11 21


431

2


JOC

S M

ATE

MÀ

TIC

S

Fins ara hem vist de manera pràctica algunes propietats dels quadrats màgics. A continuació, les generalitzem.

En aquest quadrat màgic s’han codificat els termes.

• C és el terme central, que es fa servir en 4 sumes.

• E(1), E(2), E(3) i E(4) són els termes de les cantonades i es fan servir en 3 sumes.

• M(1), M(2), M(3) i M(4) són els termes mitjans que es fan servir en 2 sumes.

Escriu amb aquests símbols les propietats següents.

1a. La suma de 2 nombres de dues caselles simètriques respecte del centre és igual al doble del terme central:

2a. La suma dels quatre nombres de les cantonades és igual a quatre vegades el terme central.

Observa i completa en cada cas el nombre que hi falta:

a) M(4) + M(2) = C

b) E(2) + E(4) = C

c) E(1) + E(3) = C

d) M(1) + M(3) = C

Resol els quadrats màgics, coneixent quatre dels nombres que els formen.

2

1

ALGUNES PROPIETATS DELS QUADRATS MÀGICS

E(1) M(1) E(2)

M(4) C M(2)

E(4) M(3) E(3)

12 8

2 19

7 5

15 13

11 13

15 5

15 10

18 13




Es tracta d’un joc per a dos jugadors.

Material

Es necessita fer servir llapis i paper.

Objectiu

Utilitzant les xifres de l’1 al 9, l’objectiu és formar dos nombres de tres xifres diferents i multiplicar-los.

Regles del joc

Juga amb un company unes quantes partides i, després, escriu els nombres que triaries per mirar de guanyar.

Primer nombre: Segon nombre:

Producte = ⋅ =

Jugueu una altra partida amb la condició que el segon nombre no pot tenir les xifres del primer.

Escriu els nombres que triaries en aquesta segona partida.

Primer nombre: Segon nombre:

Producte = ⋅ =

Respon.

a) Si has de jugar una única partida, quina hauria de ser la primera xifra dels nombres a fi que el producte fos màxim?

b) Quina hauria de ser la segona?

c) I la tercera?

3

2

1

EXPERIMENTA, JUGA I INVESTIGA

1a. Es formen equips de dos alumnes.

2a. Cada jugador tria dos nombres de tres xifres diferents; el segon nombre pot tenir xifres iguals que les del primer, sempre que estiguin situades en un lloc diferent.

3a. Tots dos jugadors multipliquen els seus nombres i mostren els resultats.

4a. Guanya el jugador que aconsegueixi el producte màxim.

5a. Si els jugadors obtenen el mateix producte, juguen de nou.


EL PRODUCTE MÀXIM3



JOC

S M

ATE

MÀ

TIC

S

Es tracta d’un joc o una activitat lúdica per a un sol jugador.El material és el següent quadrat 4 × 4.

L’objectiu consisteix a completar el quadrat màgic amb els nombres de l’1 al 16, tenint en compte els nombres que ja figuren en el quadrat.

Observa la disposició dels nombres coneguts i resol.

a) Calcula la suma màgica en aquest quadrat.

+ + + =

b) Quina és la línia (fila o columna) més fàcil de completar?

c) Quina fila pots completar a continuació?

d) Continua completant files i columnes fins que obtinguis tot el quadrat.

Suma 10 a cada nombre del quadrat anterior i comprova que el quadrat obtingut també és màgic.

e) Ara multiplica per 10 cada nombre del primer quadrat. En resulta un quadrat màgic?

1


16 13

10 11

12

4 15 14 1

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1


QUADRAT MÀGIC 4×44



Es tracta d’un joc o activitat lúdica per a un sol jugador.

El material és el següent quadrat 4 × 4.

El quadrat numèric està format per 16 nombres consecutius a partir del nombre 5.

Regles del joc

Comença triant un nombre qualsevol, per exemple 11, i escriu els nombres que quedin.

Tria un dels quatre nombres que queden a c), per exemple 14, i fes el mateix. Així queda un sol nombre.

1

EXPERIMENTA I APLICA LES REGLES

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

17 18 19 20

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

17 18 19 20

5 6 8

13 14 16

17 18 20

5 6

13 14

5

1a. Es tria un nombre qualsevol del quadrat anterior i es ratllen la fila i la columna on estigui aquest nombre.

2a. Després, es tria un altre nombre i es ratllen la fila i la columna on està situat.

3a. Es repeteix aquest procés dues vegades més.

a) b)

c) d)

Tria un altre nombre a b), per exemple 20, i fes el mateix.

Finalment, tria a d) el nombre que queda.


EL JOC DEL «50»5



JOC

S M

ATE

MÀ

TIC

S

Escriu els quatre nombres que has triat i suma’ls.

a) Nombres triats:

b) Suma:

Per què et sorprèn el resultat?

Fixa’t de nou en el primer quadrat de nombres de la pàgina anterior.

a) Els nombres de la primera columna són: 5, 9, 13 i 17.

Compara cada nombre amb el següent. Quina relació hi ha entre ells?

b) Quina relació hi ha entre els nombres de la segona columna?

c) I entre els nombres de la tercera columna?

Estudia la relació que hi ha entre la primera i la segona fila. Fes el mateix amb la primera i la tercera fila, i amb la primera i la quarta fila. Observa els resultats i escriu alguna conclusió.

Juga en el quadrat 5 × 5 i comprova que es compleixen les propietats anteriors.3

2

1

INVESTIGA I BUSCA PROPIETATS

2

5 6 7 8

5 + 4 6 + 4 7 + 4 8 + 4

10 11 12 13 14

15 16 17 18 19

20 21 22 23 24

25

30

26

31

27

32

28

33

29

34

5



Es tracta d’una activitat individual, que està basada en el relat següent.

Escriu el resultat sense fer la multiplicació.

a) 11.111 ⋅ 11.111 =

b) 111.111 ⋅ 111.111 =

c) 1.111.111 ⋅ 1.111.111 =

d) 11.111.111 ⋅ 11.111.111 =

1

Hi havia una vegada el nombre «dos», que va passar pel país dels «uns». Els guàrdies del país el van detenirperquè no el coneixien, mentre ell plorava i deia:

–Sóc un «dos», sóc un «dos»!

El van dur a la presència del rei 1 i aquest li va preguntar:

–Qui ets?

–Sóc un «dos». En el país d’on vinc hi ha dosos, tresos, quatres... i tots provenen dels uns.

–Com és possible?

–Mireu, nosaltres vam sorgir d’aquesta manera.

1 + 1 = 22 + 1 = 33 + 1 = 4…

–Però va arribar el rei Trencasumes i ens va prohibir fer aquesta operació. Per això, vam haver d’inventaruna altra operació que vam anomenar producte. Així vam resoldre el problema:

11 ⋅ 11 = 121111 ⋅ 111 = 12.3211.111 ⋅ 1.111 = 1.234.321…

D’aquesta manera van sorgir tots els nombres coneguts.

El rei 1 es va entusiasmar tant amb aquest descobriment que hi va posar a treballar tots els matemàticsdel regne.

De tots els descobriments que van fer els matemàtics, no en queda cap constància. Imaginem que el rei ens hagués fet treballar en aquest tema. Series capaç d’esbrinar el que van descobrir?


EL PAÍS DELS «UNS»6



JOC

S M

ATE

MÀ

TIC

S

Aquest és un joc per a dos jugadors.

Cada jugador ha de tenir un quadrat de potències 3 × 3, com el de la figura.

Regles del joc

Aquest és un joc per a dos jugadors.

Cada jugador ha de tenir un quadrat de nombres 4 × 4 com el de la figura.

El joc es desenvolupa d’acord amb les regles del joc anterior.

En aquest cas es tria un nombre del quadrat i un altre del cercle, es multipliquen i es col·loca la fitxa a la casella corresponent.

QUATRE EN RATLLA AMB NOMBRES

TRES EN RATLLA AMB NOMBRES

1a. Es fa a la sort el jugador que fa la primera jugada.

2a. En cada jugada, el jugador tria un nombre de cada un dels cercles. Aquests nombres els multiplica o els divideix, i encercla el nombre del quadrat que té el resultat de la seva operació.

3a. Guanya el jugador que aconsegueix encerclar tres nombres en línia vertical, horitzontal o diagonal.

27

32

25

63

52

53

55 1 217

22 212 3

27 33 5

4 120 5 75

6 10 25 72

12

36

40

8

20

24

3

15

3016

40

4850

24 80

0,5

0,251,5

0,1


TRES EN RATLLA I QUATRE EN RATLLA AMB NOMBRES

7



El llop, la col i la cabra

Un pastor ha de passar un llop, una col i una cabra de l’una riba a l’altra d’un riu. Té una barca en la qual sols hi caben ell i una de les tres coses que vol passar. D’altra banda, sap que:

• Si el llop es queda sol amb la cabra, se la menja.• Si la cabra es queda sola amb la col, se la menja.

Com ho ha de fer el pastor?

Completa les frases d’aquest esquema que indiquen el que ha de dur el pastor en cada viatge d’anada a l’altra riba del riu, i les frases que indiquen si torna sol o amb alguna cosa a la barca.

Riba de partida(on són)

1r. El pastor va amb la cabra a l’altra riba.

2n. El pastor torna

3r. El pastor va amb

4t. El pastor torna

5è. El pastor va amb

6è. El pastor torna

7è. El pastor fa el seu últim viatge amb

F

G

F

G

F

G

F

Riba d’arribada(la destinació)

FG


PROBLEMES D’ENGINY8

917232 _ 0402-0469.qxd 29/12/08 12:53 Página 438


JOC

S M

ATE

MÀ

TIC

S

El convidat paga

Dos amics estaven a punt de menjar-se 5 entrepans per berenar. L’un havia portat 2 entrepans i l’altre, 3 entrepans. Quan eren a punt de començar a menjar, va arribar un pastor i el van convidar a berenar. El pastor i els dos amics es van menjar els 5 entrepans a parts iguals. Al final el pastor va donar 5 € als seus amfitrions.

El problema que es van plantejar els amics és com s’havia de fer el repartiment perquè fos equitatiu, és a dir, que cadascú rebés el que realment li corresponia d’acord amb el nombre d’entrepans que havien portat.

Com cal repartir els 5 €?

Després de reflexionar sobre el problema, van decidir que es repartirien els 5 € en parts directament proporcionals a la quantitat d’entrepà que hagués donat cadascú al pastor.

A més, la part dels entrepans que cada un dels amics i el pastor havien menjat és: 5 : 3 =

Ara ja pots fer el repartiment.

La rajola de xocolata i el xiclet

En Sergi va anar a comprar una rajola de xocolata i un xiclet. Els dos articles junts costen 1,10 €. També se sap que la rajola de xocolata val 1 € més que el xiclet.

Quant costa la rajola de xocolata? I el xiclet?

5

3

La rajola costa 1 €més que el xiclet.

8

917232 _ 0402-0469.qxd 29/12/08 12:54 Página 439


El pes de la bóta

Una bóta plena de vi pesa 13 kg. Quan se n’ha tret la meitat del vi, la bóta pesa 7 kg. Quant pesa la bóta buida?

Anomenem:

x → pes de la bóta buiday → pes del vi quan la bóta és plena

La filla gran toca el piano

Dos amics es troben al cap de molts anys. Es posen a passejar mentre xerren.

A: Quants anys tenen les teves filles?B: El producte de les seves edats és 36.A: No em dónes prou dades.B: La suma de les seves edats és el nombre de la casa del davant.A: Encara em falten dades.B: Bé, la gran toca el piano.A: Gràcies, en tinc prou. Les seves edats són...

Quines edats tenen?

a) Fes la descomposició del nombre 36 en producte de factors.

b) De totes les descomposicions possibles, elimina les que no compleixin les condicions de l’enunciat.

c) Completa quines edats tenen les filles.

PROBLEMES D’ENGINY



JOC

S M

ATE

MÀ

TIC

S

Un lleter intel·ligent

Un lleter disposa únicament de dos recipients de 3 i 5 litres de capacitat per mesurar la llet que ven als seus clients. Com podria treure un litre del dipòsit sense llençar llet?

El repartiment d’un premi d’un milió d’euros

A una persona li toca un premi d’un milió d’euros en la Loteria Primitiva. Decideix repartir-ne la meitatmés 80.000 euros entre els seus quatre fills, de manera que cadascun rebi 20.000 euros menys que el seu germà immediatament més gran. Quants diners rebrà cadascun?

a) Anomena x la quantitat que rep el germà gran (primer).

El segon en rep:

El tercer en rep:

El quart en rep:

Escriu l’equació:

b) Resol l’equació.

c) Completa.

El primer en rep: El segon en rep:

El tercer en rep: El quart en rep:

8

917232 _ 0402-0469.qxd 29/12/08 13:02 Página 441


Cal omplir la piscina

Una piscina es pot omplir amb tres aixetes. La primera aixeta triga a omplir-la 30 hores, la segona triga 40 hores i la tercera, 5 dies. Si les tres aixetes es connecten plegades, quant de temps triga la piscina a omplir-se?

Per resoldre aquest problema, has d’esbrinar la part de la piscina que s’omple en 1 hora per cada aixeta.

Com que la primera aixeta omple la piscina en 30 hores, en 1 hora omple de la piscina.

a) Continua seguint el model i completa.

Si la segona aixeta omple la piscina en 40 hores, quina part de la piscina omple en 1 hora?

En 1 hora, la segona aixeta omple:

b) Troba la part de la piscina que omple la tercera aixeta en 1 hora.

En 1 hora, la tercera aixeta omple:

c) Suma les tres fraccions i trobaràs la part de la piscina que omplen les tres aixetes en 1 hora.

Les tres aixetes omplen en 1 hora:

Simplificant la fracció anterior s’obté . Aquest resultat significa que en 1 hora s’omple

una quinzena part de la piscina.

d) En quantes hores s’omple la piscina?

1

15

1

30




JOC

S M

ATE

MÀ

TIC

S

La família de l’Anna i en Marc

L’Anna i en Marc són germans. Fixa’t en el que diuen i resol el problema que proposen.

Quants nois i quantes noies hi ha a la família?

Anomenem: x = nre. de noisy = nre. de noies

a) Escriu en forma d’equació les frases que diuen en Marc i l’Anna.

b) Resol el sistema d’equacions que has obtingut.

Els euros de l’Eva i d’en Lluís

En Lluís diu a l’Eva: «Si em dónes 1 euro, tindré el doble de diners que tu». L’Eva li respon: «És més just que me’l donis tu a mi, perquè així tots dos en tindrem la mateixa quantitat». Quants euros té cada un?

Anomenem: x = nre. d’euros de l’Evay = nre. d’euros d’en Lluís

Escriu una equació amb la frase de l’Eva i una altra amb la frase d’en Lluís. Després, resol el sistema.

Sistema d’equacions:

Jo tinc el doblede germans quede germanes.

Jo tinc tants germans com germanes.

8

917232 _ 0402-0469.qxd 29/12/08 13:02 Página 443


La granota tossuda

Una granota va caure a un pou de 30 metres de profunditat. Intentant sortir-ne, la granota pujava 3 metres cada dia, però a la nit relliscava i baixava 2 metres.

¿Sabries calcular quants dies va trigar la granota a sortir del pou?

Planteja’t què passa els primers dies i pensa què passa quan la granota està arribant al final, prop de la sortida del pou.

Una col·lecció per a tres col·leccionistes

Un comerciant decideix vendre una col·lecció de monedes d’or a tres col·leccionistes.El primer compra la meitat de la col·lecció i mitja moneda; el segon, la meitat del que queda i mitja moneda, i el tercer, la meitat del que queda i mitja moneda. Quantes monedes tenia el comerciant?

Anomenem x el nombre de monedes de la col·lecció.

Col·leccionista 1r 0Compra0 0Quantitat que queda de la col·lecció0

Col·leccionista 2n

Col·leccionista 3r

x −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

x2

12

+x2

12

+




JOC

S M

ATE

MÀ

TIC

S

Ja està. Continua...

Multiplica per 2 el dia que vas néixer

Endevinar el dia i el mes de naixement d’una persona

Digues al teu company que li endevinaràs la data de naixement.

Demana-li que faci aquestes operacions.

1r. Multiplica per 2 el dia que vas néixer.2n. Suma 5 al nombre anterior.3r. Multiplica per 50 el resultat anterior.4t. Suma el nombre que indica el mes.5è. Resta 250 a l’últim resultat.

Per saber el dia i el mes de naixement, n’hi ha prou que el teu company et digui el resultat final. Les dues últimes xifres indiquen el mes de naixement i la primera (o les dues primeres) correspon al dia de naixement.

a) Imagina que el teu company ha pensat en un nombre, ha fet les operacions que indiquen els passos anteriors i, en acabat, et diu que el resultat final és 2.811.

Quin és el dia del naixement?

Quin és el mes del naixement?

b) Una persona va néixer el 15 de desembre de l’any 1991. Aplica l’esquema anterior a aquestes dades.

1r. Multiplica per 2 el dia que va néixer.

2n. Suma 5 al nombre anterior.

3r. Multiplica per 50 el resultat anterior.

4t. Suma el nombre que indica el mes.

5è. Resta 250 a l’últim resultat.

El nombre final és:


ENDEVINALLES9

917232 _ 0402-0469.qxd 29/12/08 13:03 Página 445


Endevinar dos nombres que un amic ha pensat

Pensa en dos nombres d’una xifra.

1r. Tria el primer i multiplica’l per 2.2n. Suma 8 al resultat.3r. Multiplica el resultat per 5.4t. Suma ara el segon nombre.5è. Resta 40 a l’últim resultat.

Les dues xifres del nombre que et digui el teu company, i en el mateix ordre, són els dos nombres que havies pensat.

Per exemple, pensem en els nombres 3 i 5. Anem fent els passos anteriors.

1r. pas: 3 ⋅ 2 = 62n. pas: 6 + 8 = 143r. pas: 14 ⋅ 5 = 704t. pas: 70 + 5 = 755è pas: 75 − 40 = 35

Observa que, efectivament, les xifres de 35 són els dos dígits que havíem pensat.

Fes les operacions que cal fer si els nombres són 4 i 6.

Fes les operacions que cal fer si els nombres són 5 i 7.

El nombre que es resta al final és el producte del nombre sumat en el 2n pas, multiplicat per 5. Repeteix l’exemple sumant 10 en el 2n pas.

3

2

1

EXPERIMENTA I JUGA

ENDEVINALLES


447

9


JOC

S M

ATE

MÀ

TIC

S

Endevinar el resultat de diverses operacions

Digues a un amic que faci amb la calculadora les operacions que li indiquis i que després li endevinaràs el resultat.

1r. Tria un nombre qualsevol de tres xifres, escriu-lo dues vegades seguides i obtens un nombre de sis xifres: per exemple, si has triat 384 tens 384.384.

2n. Aquest nombre el divideixes entre 7 amb la calculadora. Comprova que et dóna un quocient exacte:384.384 : 7 = 54.912

3r. Ara divideix el quocient entre 11. Comprova de nou que el quocient és exacte: 54.912 : 11 = 4.992

4t. Finalment, fes una última divisió. Divideix l’últim resultat entre 13 i comprova que resulta un quocient exacte: 4.992 : 13 = 384

Observa que aquest és el nombre de tres xifres que havies triat.

Prova ara amb el nombre 568.

1r. Escriu-lo dues vegades seguides.

2n. Aquest nombre el divideixes entre 7 amb la calculadora. Comprova que et dóna un quocient exacte.

3r. Ara divideix el quocient entre 11. Comprova de nou que el quocient és exacte.

4t. Finalment, fes una última divisió. Divideix l’últim resultat entre 13 i comprova que resultaun quocient exacte.

Per què creus que passa això?

Una altra manera d’endevinar el resultat de diverses operacions

1r. Escriu un nombre de tres xifres que no sigui capicua; per exemple, 645.

2n. Inverteix ara el seu ordre; per exemple, 645 queda com a 546, i resta el nombre més petit del més gran: 645 − 546 = 099

3r. Inverteix l’ordre de les xifres del resultat de la resta. En invertir l’ordre de les xifres resulta 990.

4t. Suma la diferència (099) amb el nombre resultant d’invertir les seves xifres (990). Ara ja pots endevinar el resultat d’aquesta operació. El resultat és sempre el nombre 1.089.

El procés es pot allargar, però sempre s’arriba al nombre indicat.

Prova amb el nombre 197 i aplica-hi cada un dels passos anteriors.

2

1

917232 _ 0402-0469.qxd 29/12/08 13:04 Página 447




Material

Cada jugador disposarà de dos quadrats 10 × 10. En un d’ells col·loca la seva flota, i en l’altre anota els vaixells que ha tocat de l’adversari. La flota de cada jugador es representa per casella o per rectangles verticals o horitzontals.

• Un portaavions, que es representa per un rectangle de 4 caselles.

• Dues fragates, que es representen per dos rectangles de 3 caselles.

• Tres corbetes, que es representen per tres rectangles de 2 caselles.

• Quatre submarins, que es representen per 1 casella cada un.

Objectiu

L’objectiu és enfonsar la flota de l’adversari.

Regles del joc

1a. Els jugadors col·loquen la seva flota a les caselles que vulguin, amb la condició que dos vaixellsqualssevol estiguin separats com a mínim per una casella.

2a. Cada jugador, per torns, fa tres trets, nomenant tres caselles del tauler per mitjà de tres parells ordenats;per exemple, (2, b), (7, g) i (9, h).

3a. Després de cada tret, el jugador contrari ha de dir:• «Tocat», si el tret cau en una part del vaixell.• «Enfonsat», si el tret cau en l’única casella que ocupa un vaixell, o en l’única casella que li queda.• «Aigua», si el tret cau en una casella buida.

4a. Quan un jugador enfonsa un vaixell de l’adversari, pot fer un altre tret.

5a. Guanya el jugador que enfonsi primer els vaixells del contrari.

6a. En el quadrat auxiliar es representen amb un punt els trets del contrari, però quan un tret enemic tocaun vaixell, es marca una creu a la casella.

j

Portaavions

Fragata

Corbeta

A

B

i

h

g

f

e

d

c

b

a

j

i

h

g

f

e

d

c

b

a

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

JOCS AMB LLAPIS I PAPER

EL JOC DELS VAIXELLS1



JOC

S M

ATE

MÀ

TIC

S

Juga amb un company fins a familiaritzar-te amb el joc.

a) Si els vaixells d’un jugador estan situats com s’indica en els taulers anteriors, i un jugador adversari fa els trets (2, b), (7, g) i (9, h), quina paraula ha de dir el jugador contrari després de cada tret?

b) Quins trets has de fer per enfonsar la fragata A?

c) I quins trets has de fer per enfonsar la corbeta B?

Jugant als vaixells, en Joan fa els trets següents: (5, d), (5, e), (5, f) i (5, g). Amb aquests trets enfonsa el portaavions d’en Lluís. Saps dibuixar el portaavions d’en Lluís? Dibuixa’l a la quadrícula.

a) Després, en Lluís fa els trets següents a en Joan; (1, d), (5, h) i (7, h). En Joan respon després de cada tret d’aquesta manera:

(1, d) ⎯→ Aigua(5, h) ⎯→ Tocat(7, h) ⎯→ Tocat

Indica alguna de les possibilitats que hi ha en la col·locació dels vaixells d’en Joan a les casellesesmentades.

b) Si fossis en Lluís, quins trets faries quan et toqués jugar de nou?

c) Per què?

Creus que hi ha alguna estratègia guanyadora? És un joc d’atzar? Té alguna estratègia que afavoreixi per guanyar?

1


2

1

EXPERIMENTA I JUGA

j

i

h

g

f

e

d

c

b

a

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1





Material

Són necessàries dues quadrícules, una per a cada jugador.

Objectiu

L’objectiu de cada jugador és descobrir les coordenades del punt en el qual el jugador contrari ha amagat el seu tresor.

Regles del joc

Juga amb un company dues partides, l’una amagant tu el tresor i l’altra cercant-lo.

Mentre jugues, esbrina què t’interessa més: fer desplaçaments curts o desplaçaments amplis.

Si col·loques la lletra T a la casella (5, 20) i l’altre jugador indica les coordenades (30, 50), quina paraula li diries per ajudar-lo?

1

INVESTIGA

1

EXPERIMENTA I JUGA

1a. Un jugador A amaga el seu tresor, per a la qual cosa escriu la lletra T en un punt o vèrtex de la seva quadrícula, i l’altre jugador B ha d’esbrinar les coordenades del punt on se situa el tresor T. Per exemple, el jugador A pot posar la lletra T en el punt (40, 10).

2a. El jugador B intenta descobrir el punt on està T, donant les coordenades d’un vèrtex; per exemple, (5, 50).

3a. El jugador A ha de donar pistes que ajudin el jugador B a trobar el tresor T. Així, el jugador A pot dir est o sud, amb la qual cosa indica al jugador B que ha d’anar més a l’est i cap al sud si es vol acostar més al tresor.

4a. El joc s’ha de desenvolupar d’aquesta manera fins que el jugador B descobreix el tresor, donant-neles coordenades correctes: (40, 10). En aquest moment s’intercanvien els papers: el jugador A cerca el tresor i el jugador B l’amaga.

5a. Cal anotar les ordres que dóna cada jugador fins que troba el tresor.

6a. Si un jugador dóna una pista falsa per confondre el contrari, perd la partida.

7a. Guanya el jugador que troba el tresor amb el menor nombre d’ordres.

OES

T

NORD

SUD

EST

80

70

60

50

40

30

20

10

10

�

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170

T


A LA RECERCA DEL TRESOR2



JOC

S M

ATE

MÀ

TIC

S



Material

El material és un full de paper quadriculat, de quadrats grans, sobre el qual es marquen 36 punts i dos retoladors de diferent color, un per a cada jugador.

Objectiu

L’objectiu del joc és formar el màxim nombre de quadrats, unint vèrtexs contigus de la quadrícula.

Regles del joc

Juga diverses vegades amb un company per familiaritzar-te amb el joc.

a) Té avantatge el jugador que fa la primera jugada?

b) Guanya sempre el jugador que fa la primera jugada?

1

EXPERIMENTA I JUGA


2a. Cada jugador, per torns, uneix dos vèrtexs consecutius de la quadrícula per mitjà d’un segment, en horitzontal o en vertical, però mai en diagonal.

3a. Un jugador s’atribueix un quadrat quan en traça el quart costat. En aquest cas, escriu la inicial del seu nom dins del quadrat.

4a. Sempre que un jugador forma un quadrat, té dret a fer una jugada més.

5a. Guanya el jugador que al final ha format més quadrats.


UNINT VÈRTEXS3





Material

Cal un full de paper quadriculat, de quadrats grossos, i dos retoladors de diferent color, un per a cada jugador.

Objectiu

L’objectiu del joc és formar el major nombre de quadrats.

Regles del joc

Juga unes quantes vegades amb un company per familiaritzar-te amb el joc.1



2a. Cada jugador, per torns, uneix els centres de dos quadrats per segments paral·lels a les rectes de la quadrícula, o mitjançant un segment inclinat, com els del quadrat A del dibuix.

3a. Un jugador s’atribueix un quadrat quan en traça el quart costat. En aquest cas, escriu la inicial del seu nom dins del quadrat.

4a. Sempre que un jugador forma un quadrat, té dret a fer una jugada més.

5a. Guanya el jugador que al final ha format més quadrats.

A


UNINT CENTRES4



JOC

S M

ATE

MÀ

TIC

S

El quadrat A de la quadrícula anterior inclou una casella completa de la quadrícula i parts d’altres. Es pot formar un quadrat que contingui sols dues caselles completes de la quadrícula i parts d’altres?

Dibuixa un altre quadrat anàleg al quadrat A que contingui al seu interior dues caselles completes de la quadrícula.

Juga diverses partides en un tauler o en una quadrícula 2 × 2.

Quants quadrats es poden formar?

Quadrícula 2 × 2Quadrícula 3 × 3

Juga unes quantes partides en un tauler o en una quadrícula 3 × 3.

a) Dibuixa els quadrats que es poden formar en el quadrat 3 × 3. Per fer-ho amb ordre, dibuixa tots els quadrats que puguis amb vèrtex al centre de la casella A, després tots els quadrats que puguis amb vèrtex al centre de B, i així successivament.

b) D’alguns vèrtexs sols es poden formar quadrats que ja han estat formats. Quins són aquests vèrtexs?

c) Quants quadrats has pogut formar?

d) Juga amb un company a la quadrícula 4 × 4.

e) Dibuixa al teu quadern alguns dels quadrats possibles en una quadrícula 4 × 4.

f) Quants quadrats es poden dibuixar?

g) Per a la quadrícula n × n, el nombre de quadrats que es poden formar és:

Calcula amb aquesta fórmula el nombre de quadrats de la quadrícula 5 × 5 i el nombre de quadrats de la quadrícula 6 × 6.

n n4 2−12

4

3

2

A

D

G H

B C A

D

G H I

B C A

D

G H I

E F

B C

F

I

A

D E

G H

B C

F

I

A

D E

G H

B C

F

I

A

D E

G H

B C

F

I

4





Material

Cal un full de paper quadriculat i dos retoladors de diferent color, un per a cada jugador.

Objectiu

L’objectiu del joc és unir els centres de dos quadrats de la quadrícula, però sense formar cap quadrat.

Regles del joc

Juga unes quantes vegades amb un company per familiaritzar-te amb el joc.

En aquest joc és important no ser el primer a acabar un quadrat. Juga tres partides i respon.

a) Has evitat formar quadrats en les 6 primeres jugades?

b) A partir de quina jugada s’ha complicat el joc?

c) Quantes jugades s’han fet abans de formar un quadrat?

1

INVESTIGA

1

EXPERIMENTA I JUGA


2a. Cada jugador, per torns, uneix els centres de dos quadrats per segments paral·lels a les rectes de la quadrícula, o mitjançant un segment inclinat.

3a. Perd el jugador que primer es veu obligat a formar un quadrat.


QUI FA EL PRIMER PERD5



JOC

S M

ATE

MÀ

TIC

S



Material

Cal un full de paper quadriculat i un retolador de color per a cada jugador.

Objectiu

L’objectiu del joc és dibuixar la figura de major perímetre unint quadrats de la quadrícula.

Regles del joc

Dibuixa a la quadrícula totes les figures diferents que es poden dibuixar, de manera que tinguin 4 quadrats de la quadrícula. Si prenem com a unitat el costat de la quadrícula, quin és el perímetre de les figures dibuixades?

Dibuixa a la quadrícula totes les figures diferents que sigui possible, de manera que tinguin 5 quadrats de la quadrícula. Quina figura té el perímetre més gran?

Dibuixa totes les figures possibles que tinguin 6 quadrats. Quina és la figura amb el perímetre més gran? És alguna figura coneguda?

3

2

1


1a. Els jugadors llencen un dau alternativament en cada jugada.

2a. Cada jugador dibuixa a la seva quadrícula una figura amb tants quadrats com indiqui el nombre que li ha sortit en el dau. Els quadrats de la figura han de tenir com a mínim un costat comú.

3a. Si en alguna jugada apareix un nombre que ha sortit abans, el jugador tira un altre cop el dau.

4a. Després d’haver dibuixat com a mínim 5 figures, els dos jugadors mostren les seves figures i calculen els perímetres de cadascuna.

5a. Guanya el jugador que identifiqui les figures amb major perímetre i les de menor perímetre.


MAJOR I MENOR PERÍMETRE6





Material

Es necessiten 13 fitxes de color gris que representen els ratolins, una fitxa negra que és el gat i un tauler com el d’aquesta figura.

Objectiu

L’objectiu d’aquest joc per als ratolins consisteix a bloquejar o acorralar el gat, i per al gat, menjar-se tots els ratolins.

Regles del joc

1a. Es fa a la sort el jugador que mou la fitxa del gat i el que mou les fitxes dels ratolins.

2a. Tant les fitxes dels ratolins com la del gat es mouen a posicions veïnes, sempre que estiguin buides.

3a. El gat menja o captura els ratolins saltant per damunt seu a una casella buida. També es pot menjarmés d’un ratolí en un sol moviment fent diversos salts seguits, simulant el moviment de les dames.

4a. El gat guanya si es menja 10 ratolins (ja que els 3 ratolins que queden no el poden acorralar), i els ratolinsguanyen si acorralen el gat i impedeixen que es mogui.

JOCS DE BLOQUEIG I ALTRES JOCS

EL GAT I ELS RATOLINS1



JOC

S M

ATE

MÀ

TIC

S

Juga unes quantes partides, movent les fitxes com si fossis unes vegades els ratolins i d’altres el gat, i observa què passa.

Si moguessis la fitxa del gat i estiguessis en aquesta situació, quina jugada faries?Dibuixa com quedaria el tauler.

a) Quin és el nombre mínim de ratolins necessaris per acorralar el gat?

b) Depèn del lloc on estigui?

c) Si comencen a moure’s els ratolins, quin és el millor moviment d’obertura?

d) Qui creus que té més avantatge, el gat o els ratolins?

e) Si fossis ratolí, quina seria l’estratègia que faries servir per acorralar el gat?

Una variant del joc

Una variant del joc és la que apareix al tauler següent, en què hi ha 17 ratolins, però limitats a moure’s únicament cap endavant. Juga unes quantes partides en aquest tauler.

1


1

EXPERIMENTA I JUGA

1



En Bernat estava cansat de jugar a les dames i, per això, va agafar el tauler i el va retallar de la manera que veiem a la figura.



Material

Es fan servir 18 fitxes de dos colors diferents; en aquest cas, 9 fitxes de color gris i 9 fitxes de color negre, i un tauler com el de la figura.

Objectiu

L’objectiu de cada jugador és capturar totes les fitxes de l’adversari.

Regles del joc

1a. Cada jugador mou, per torns, una fitxa en sentit horitzontal o vertical (mai en diagonal) fins a un llocadjacent que estigui buit, ocupant els nusos de la xarxa.

2a. Les fitxes no poden recular.

3a. Una fitxa se’n menja una altra saltant-hi pel damunt.

4a. Quan la fitxa d’un jugador arriba al fons de la xarxa del contrincant, es converteix en superfitxa, que tél’avantatge d’anar cap endavant, cap enrere i saltar nusos buits per menjar-se les fitxes del contrari,sempre que no hi hagi dues fitxes en dos nusos consecutius.La superfitxa no pot saltar pel damunt de fitxes del seu color.


EL TAULER D’EN BERNAT2


2


JOC

S M

ATE

MÀ

TIC

S

Juga diverses partides fins que et familiaritzis amb el joc. Després, observa’n la similitud amb el joc de les dames.

Si jugues amb les fitxes negres i et trobes amb la situació que indica la figura, quina jugada faries?

Dibuixa una situació en la qual una superfitxa es pugui menjar 3 fitxes de l’adversari.

Compara aquest joc amb el joc de les dames i indica les diferències que hi trobis.

1


2

1

EXPERIMENTA I JUGA



Aquest joc va ser presentat a Scientific American a l’octubre del 1958, amb el nom de «joc de Gale», pel seu inventor, David Gale, que era un matemàtic nord-americà. El joc es va comercialitzar amb el nom de bridg-it.



Material

El tauler és un paper quadriculat, en el qual s’han dibuixat punts de diferent color, i dos llapis de dos colorsdiferents, un per a cada jugador.

Objectiu

L’objectiu d’aquest joc és que cada jugador traci un camí continu que uneixi els dos costats del tauler que tenen punts del mateix color. Un jugador fa un camí que uneixi dos punts negres qualssevol dels costats horitzontals, del superior a l’inferior; i l’altre, un camí que uneixi el costat de l’esquerra amb el de la dreta.

Regles del joc

1a. Es fa a la sort el jugador que comença a jugar i quins dos costats oposats ha d’unir cada jugador.

2a. Cada jugador, per torns, uneix amb un traç dos punts contigus del color que li hagi tocat.

3a. Un jugador intenta traçar una línia contínua que uneixi punts negres, i l’altre, una línia contínua que uneixi punts blancs.

4a. Els traços es poden dibuixar en horitzontal o en vertical, però no en diagonal.

5a. Les línies dels dos jugadors no es poden encreuar.

6a. Guanya el jugador que aconsegueixi abans traçar un camí continu que uneixi els dos costats oposatsdel quadrat que li han correspost.


BRIDG-IT3



JOC

S M

ATE

MÀ

TIC

S

Juga unes quantes partides mirant de bloquejar el camí del teu adversari, mentre intentes assolir el teu objectiu.

A la partida següent, el jugador dels punts negres parteix del punt A del costat superior del quadrat, i el jugador dels punts blancs parteix del punt B.

a) Fixa’t en la partida que reflecteix el tauler. A quin jugador li correspon jugar?

b) Imagina que ets el jugador dels punts negres. Quina és la millor jugada que pots fer? I la pitjor?

c) Ja has vist que el jugador dels punts negres, que és a qui toca jugar, té dues jugades possibles: una de bona i una altra de dolenta. Si fa una jugada dolenta, és segur que guanyarà el jugador dels punts blancs? Per què?

d) Si t’ofereixen el tauler per continuar la partida, quins punts triaries, els blancs o els negres?

e) Per què has fet aquesta tria?

f) Quin jugador guanya aquesta partida?

g) Fixa’t en la direcció dels traços que han fet els dos jugadors en el tauler anterior. Tenen res a veure les direccions dels traços amb el fet que el jugador dels punts negres sigui el guanyador?

1


1

EXPERIMENTA I JUGA

A

B

3



Observa la partida que s’ha iniciat en el tauler següent.

a) Qui guanya la partida si juguen les fitxes blanques?

b) I qui guanya la partida si juguen les fitxes negres?

Sempre hi ha un guanyador en una partida de bridg-it ?

Qui és aquest guanyador, el jugador que juga primer o el segon?

La partida pot acabar en empat? Raona la resposta.5

4

3

2

B

A

BRIDG-IT



JOC

S M

ATE

MÀ

TIC

S



Material

El material consta de 4 fitxes, 2 de les quals són d’un color per a un jugador i les altres 2 són d’un color diferent per a l’altre jugador. A més, es necessita un tauler com aquest.

Objectiu

L’objectiu del joc és impedir el moviment del contrari.

Regles del joc

Quina jugada faries si el jugador de les fitxes blanques ha fet la jugada que s’indica a continuació?

Indica quina jugada faries tu amb les fitxes grises.

1


1a. Es fa a la sort el jugador que juga primer.

2a. Cada jugador, per torns, mou una de les seves fitxes en cada jugada.

3a. Cada jugador mou una fitxa del seu color tantes caselles com vulgui al llarg de la fila on està col·locada.

4a. No és permès saltar per damunt de la fitxa d’un altre color.

5a. Guanya el jugador que aconsegueix impedir el moviment del contrari (bloqueig).


BLOQUEJAR EL CONTRARI4



Imagina que el jugador de les fitxes grises fa la jugada simètrica a la que ha fet el jugador de les fitxes blanques.

a) Què ha de fer el jugador de les fitxes blanques?

b) Per què?

c) Hi ha alguna estratègia guanyadora?

d) Té avantatge algun jugador? Raona la teva resposta.

Suposem que el tauler del joc és el de la figura.

a) Hi ha alguna estratègia guanyadora?

b) Quin jugador té avantatge?

3

2

BLOQUEJAR EL CONTRARI



JOC

S M

ATE

MÀ

TIC

S

El solitari i els jocs associats a aquest no són jocs de bloqueig, però hi tenen semblances.

Aquest joc s’atribueix a un noble francès que va ser fet presoner durant els anys de la Revolució francesa, i se li va acudir aquest joc per no pensar en el futur incert que l’esperava. El joc es va popularitzar al Regne Unit en una versió més simplificada.

Els solitaris són jocs per a una sola persona, i el més conegut és el que té el tauler en forma de creu i conté 33 caselles sobre les quals es col·loquen 32 fitxes.

El tauler del solitari que es fa servir més és aquest (versió anglesa).

Per jugar-hi cal fer servir 32 fitxes que se situen a les 33 caselles d’un tauler, com s’indica a continuació.

Objectiu

L’objectiu d’aquest joc és retirar totes les fitxes col·locades, llevat d’una fitxa que acostuma a ocupar una posició determinada (normalment la posició central), respectant les regles del joc.

El solitari és, en realitat, un conjunt de jocs, perquè per poder resoldre aquest joc es necessita resoldre diversos jocs abans. El solitari, i tot els jocs associats, són jocs problemes molt interessants, ja que requereixen pensar i raonar.


EL SOLITARI5



Regles del joc

Exemples de moviments permesos:

De la posició es pot passar a

eliminant la fitxa per sobre de la qual se salta.

De la posició es pot passar a per la mateixa raó.

Codificació

Per indicar els moviments de les fitxes,cal que numerem les caselles. Per fer-ho, situem el tauler sobreuns eixos de coordenades, i d’aquestamanera cada casella queda determinadaper un parell de nombres: el primerés l’abscissa i el segon, l’ordenada.

El joc s’inicia amb 32 fitxes que ocupentotes les posicions excepte una,que queda buida en el centre del tauler.La solució consisteix a anar eliminantfitxes fins a quedar-se amb una fitxasituada a la casella que estava buidaal principi.

1a. Cada jugada consisteix a saltar amb una fitxa qualsevol sobre una altra, des d’una casella fins a una altracasella buida.

2a. Es pot saltar en vertical i en horitzontal, cap endavant i cap enrere, però mai en diagonal.

3a. En cada salt es retira la fitxa intermèdia per damunt de la qual ha passat la fitxa que s’ha mogut.

4a. Una fitxa pot fer salts en cadena sempre que compleixi les condicions anteriors.

37

36

35 45

34 44

33

15

14

13

25

24

23 43

32 42

31

1 2 3 4 5 6 7

41

47

46

55

54

53

65

64

63

75

74

73

52

51

56

577

6

5

4

3

2

1

Cada moviment es pot expressar per mitjà d’un parell de nombres, com indica l’exemple següent. El primer nombre assenyala la fitxa que se salta, i el segon, la casella buida a què s’arriba.

Per exemple, imagina que les caselles 53 i 63 estan ocupades per fitxes i que la casella 73 està buida. La jugada consisteix a passar la fitxa 53 a la casella 73.

53 63 73 63 53

5

EL SOLITARI



JOC

S M

ATE

MÀ

TIC

S

Com que el solitari és un joc difícil, convé anar resolent abans altres jocs més senzills. En aquests jocs cal eliminar totes les fitxes menys una, que queda en la posició que s’indiqui.

a) En aquest joc cal passar de la figura de l’esquerra a la de la dreta.

Les fletxes indiquen, en cada cas, el salt de la fitxa. El primer salt és obligat.

b) En el joc següent cal passar de la figura de l’esquerra a la de la dreta.

Per resoldre’l actua de manera anàloga, completant el que falta en els dibuixos.

c) En aquest joc cal passar de la figura de l’esquerra a la de la dreta.

1

EXPERIMENTA I JUGA

46

45 55 6535

44

43

5



El joc es pot resoldre en 5 moviments o salts, dels quals tots són obligatoris menys el tercer.

Tenint en compte els nombres que apareixen en el tauler del solitari, codifica els moviments 3r, 4t i 5è.

3r 4t 5è

d) Resol aquest joc, que es diu «La creu».

En aquest joc cal passar de la figura de l’esquerra a la de la dreta,

Per fer-ho, tingues en compte la teva experiència anterior i actua de manera anàloga.

La primera i la segona jugades són obligades i la tercera és opcional.

45

46

44 54 643424

43

42

41

46

45 55 6535

44

43

45/65

EL SOLITARI



JOC

S M

ATE

MÀ

TIC

S

Ara et serà més fàcil resoldre aquests jocs.

e) Resol el joc següent, passant de la situació de la figura de l’esquerra a la de la dreta.

f) Resol el joc següent, passant de la situació de la figura de l’esquerra a la de la dreta.

g) Resol el joc següent, passant de la situació de la figura de l’esquerra a la de la dreta.

Finalment, resol el solitari de la pàgina 463.

36 45 56

34 44 54

42

23 33 43 53 63

5





Un polinomi P(x) dividit entre (x − 2) dóna residu 4, i un altre polinomi Q(x) dóna residu 3 en dividir-lo entre (x − 2).

a) El residu de la divisió [P(x) ⋅ Q(x)] : (x − 2) és 3 ⋅ 4 = 12?b) Existeix un resultat semblant per a divisions arbitràries? Si el residu de P(x) : S(x) és R1(x)

i el residu de Q(x) : S(x) és R2(x), és cert que el residu de [P(x) ⋅ Q(x)] : S(x) és R1(x) ⋅ R2(x)?


SOLUCIÓ:

a) Com que P(2) = 4 i Q(2) = 3, si C(x) és el quocient resultant de dividir [P(x) ⋅ Q(x)] entre (x − 2) i r és el residu, es verifica que:

P(x) ⋅ Q(x) = C(x) ⋅ (x − 2) + r

P(2) ⋅ Q(2) = C(2) ⋅ 0 + r → r = P(2) ⋅ Q(2) = 4 ⋅ 3 = 12

b) En aquest cas, S(x) no ha de ser necessàriament un polinomi de primer grau quan es verifiquen les condicions anteriors.

Donats P(x) = x2 − x, Q(x) = x2 + x i S(x) = x2 − 1, si fem les divisions:

P(x) = (x 2 − 1) ⋅ 1 + (−x + 1) i Q(x) = (x 2 − 1) ⋅ 1 + (x + 1)

Quan dividim P(x) ⋅ Q(x) = x4 − x2 entre S(x) obtenim de residu 0:

R1(x) ⋅ R2(x) = 1 − x2 � 0

Trobeu totes les solucions enteres positives, x i y, de l’equació P ⋅ (x + y) = xy,en què P és un nombre primer.

(Olimpíada de Batxillerat. Fase de districte)

SOLUCIÓ:

Siguin x i y diferents de zero. Si aïllem x + y, tenim que:

que ha de ser un nombre enter positiu.

Com que P és primer, resulta que x = P⋅

o y = P⋅.

Si x = P⋅

= kP, aleshores:

amb k � 1, ja que si k = 1, P + y = y → P = 0, que no és possible perquè és un nombre primer.

Com que y ∈ Z +, aleshores . Però k no és divisible per k − 1, i per tant k − 1 serà

un divisor de P, que és nombre primer, amb k − 1 = ±1 o k − 1 = ±P, i els possibles valors de k són 2, 0, P + 1 o 1 − P.

Si k = 0: x = y = 0 Si k = P + 1: x = P(P + 1) i y = P + 1

Si k = 2: x = 2P, y = 2P Si k = 1 − P: x = P(1 − P) i y = P − 1

Les solucions són: (2P, 2P); (P(P + 1), P + 1); (P(1 − P), P − 1).

Com que l’equació és simètrica, les parelles anteriors en ordre invers també són solucions.

kP

k −∈ +

1Z

kP y ky ykP

k+ = =

−→

1

x yx y

P+ =

2

1

917232p470a552Olim.qxd 16/12/08 16:16 Página 470


1

471

En una cafeteria, un got de llimonada, tres entrepans i set brioixos han costat 1 xelí i 2 penics, i un got de llimonada, quatre entrepans i deu brioixos valen 1 xelí i 5 penics. Trobeu el preu de:

a) Un got de llimonada, un entrepà i un brioix.b) Dos gots de llimonada, tres entrepans i cinc brioixos.

Teniu en compte que 1 xelí són 12 penics.

(XIX Olimpíada de Batxillerat. Fase estatal)

SOLUCIÓ:

Siguin x, y, z els preus respectius d’un got de llimonada, un entrepà i un brioix, i a, b són els preus demanats.

Es verifica que:

Si considerem les dues primeres equacions del sistema, i prenem com a paràmetre z, obtenim:

Si substituïm aquests valors a les equacions tercera i quarta, es verifica que:

En la successió de nombres primers hi ha nombres que són gairebé iguals: 11 i 13; 17 i 19; 29 i 31; … Demostreu que el nombre comprès entre aquests nombres primers especials és sempre un múltiple de 6 (excepte el parell 3 i 5).


SOLUCIÓ:

Siguin p i q dos d’aquests nombres primers, amb p < q, i x és el nombre enter que hi està comprès.

Perquè x sigui múltiple de 6, també ha de ser-ho de 2 i de 3.

Com que p és un nombre primer, és imparell i, per tant, x és múltiple de 2.

Si tres nombres són consecutius, un d’ells és múltiple de 3; per tant, x també és múltiple de 3.

Com que x és múltiple de 2 i de 3, també és múltiple de 6.

Una altra manera:

Fem la demostració per reducció a l’absurd.

Suposem que x no és múltiple de 6, aleshores x = 6⋅

+ n, amb n = 1, 2, 3, 4 o 5.

Si x = 6⋅

+ 1 → p = 6⋅, que no és primer.

Si x = 6⋅

+ 2 → q = 6⋅

+ 3 = 3⋅, que no és primer.

Si x = 6⋅

+ 3 → p = 6⋅


Si x = 6⋅

+ 4 → p = 6⋅


Si x = 6⋅

+ 5 → q = 6⋅


En conseqüència, x ha de ser múltiple de 6.

4

5 2 3 310 4 9 9 5

8+ + − + =+ + − + =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

=z z z az z z b

a b→ y == 19

x y zx y z

x z y z+ = −+ = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= + = −3 14 74 17 10

5 2 3 3→ e

2 122 17

1

3 7 144 10 17

2 3 5

x y zx y zx y z ax y z

+ + =+ + =+ + =+ + ==

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪ b

3

OLI

MPÍA

DES

MATE

MÀTI

QU

ES



Escrits els nombres naturals segons la configuració següent.

12 3 4

5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16… … … … … … …

Es demana trobar la suma dels nombres situats a la fila n-èsima.


SOLUCIÓ:

Els elements de cada fila formen una progressió aritmètica de diferència 1. Per tant, calcularem el primer i l’últim terme de cada fila i el nombre de termes.

Cada fila acaba en 1 = 12, 4 = 22, 9 = 32…, per tant, la fila n-èsima acaba en n2.

Com que el primer terme de cada fila és igual a l’últim terme de la fila anterior augmentat en una unitat,aleshores el primer terme de la fila n-èsima és (n − 1)2 + 1.

El nombre de termes és 1 a la primera fila, 3 a la segona, 5 a la tercera i 2n − 1 a la fila n-èsima.

La suma que ens demanen és:

Sigui a � 1 un nombre real positiu i n un nombre enter més gran que 1. Demostreu que:

(XLIII Olimpíada de Batxillerat. Fase estatal)

SOLUCIÓ:

El segon membre de la desigualtat es pot escriure:

Hem de demostrar que:

Si extraiem l’arrel quadrada, és equivalent a:

Com que , tenim que:

El primer membre és la mitjana geomètrica dels nombres 1, a, a2, …, an−1:

El segon membre és la mitjana aritmètica d’1, a, a2, …, an−1.

Com que la mitjana aritmètica de n nombres positius és més gran que la seva mitjana geomètrica, queda demostrada la desigualtat.

1 2 1 1 2 11

2

1

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = =− + + + −− −

a a a a a ann nnn n

nn

… … ( )( )

22

aa a a

n

n n− −

<+ + + +1 2 11

2…a

aa a a

nn−

−= + + + + −1

11 2 1…

aa

an

n n−

<−−

1 1

12 :

na

aa a

a

a

nn n

n2

2

1 11

1

1

1<

−−

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⋅ <−−

⎛

⎝− −→ ⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

2: n

a a

a a

a a

a a

a

a

n n n n n+ −+ −

=−−

=−−

⎛−

−

2

2

1

1

1

11

2

2

( ) :

( ) : ⎝⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⋅ −

2

1a n

na aa a

n n2

1

22

< + −+ −

−

−

6

Sn n n

n n n=− + + −

= − + −[( ) ]( )

( )( )1 1 2 1

21 2 1

2 22

5




Trobeu la suma .


SOLUCIÓ:

Descomponem el terme general en una suma de fraccions simples:

I el terme general val:

La suma demanada és:

Una altra manera:

També es pot trobar la suma per a n = 1, 2, 3, …; obtenir l’expressió de Sn i demostrar que és vàlida per a qualsevol valor de n pel mètode d’inducció.

Si donem a n els valors 1, 2, 3, …, obtenim les sumes:

Suposem que la forma de Sn és:

Per a n = 1, l’expressió és vàlida ja que .

Suposem que l’expressió és vàlida per a n = k, és a dir, .

Demostrem que és certa per a n = k + 1:

Veiem que també es verifica.

S Sk k

k

k k k

kk k+ = +

+ +=

++

+ +=

+1

21

1 2 1

1

1 2

1

( )( ) ( )( )

( )

(( )( )k k

k

k+ +=

++1 2

1

2

Sk

kk =

+ 1

S11

2=

Sn

nn =

+ 1

S S S1 2 31

2

2

3

2

2 1

3

4

3

3 1= = =

+= =

+…

Sn = −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ + −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ + −

⎛

⎝1

1

2

1

2

1

3

1

3

1

4⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ + +

−−

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ + −

+

⎛

⎝⎜⎜…

1

1

1 1 1

1n n n n⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = −

+=

+1

1

1 1n

n

n

1

1

1 1

1n n n n( )+= −

+

1

1 1

1

10

1n n

A

n

B

n

A n Bn

n nA BA( )

( )

( )+= +

+=

+ ++

+ ==

⎧⎨⎪→ ⎪⎪⎩⎪⎪

= = −→ A B1 1y

Sn n

n =⋅

+⋅

+⋅

+ ++

11 2

12 3

13 4

11

…( )

7

473

1

OLI

MPÍA

DES

MATE

MÀTI

QU

ES



Trobeu raonadament un nombre n que verifiqui que n + S(n) = 1.875, en què S(n) és la suma de totes les seves xifres.

(I Concurs Intercentres. Madrid)

SOLUCIÓ:

Si n fos un nombre de tres xifres, el valor de n + S(n) seria, com a màxim, 1.026, per a n = 999, que és menor que 1.875; i si fos de cinc xifres, el valor mínim seria per a n = 10.000 i n + S(n) = 10.001, que és més gran que 1.875. Per tant, n ha de ser un nombre de quatre xifres.

Sigui n = 1.000a + 100b + 10c + d:

n + S(n) = (1.000a + 100b + 10c + d) + (a + b + c + d) = 1.001a + 101b + 11c + 2d = 1.875

D’aquesta equació es dedueix que a = 1 i b = 8, i, per tant, 11c + 2d = 66, i els únics valors possibles de c i d són 6 i 0.

El nombre que ens demanen és 1.860.

Tres nombres a, b i c, diferents de zero, estan en progressió aritmètica. Si s’augmenta aen 1 unitat o c en 2 unitats, resulten progressions geomètriques. Esbrineu aquests nombres.

(IV Concurs Primavera. Madrid)

SOLUCIÓ:

Els nombres a, b i c verifiquen que:

→

La solució del sistema és a = 8, b = 12 i c = 16.

Si s’escriu el nombre 2.003 en la forma 1 − 2 + 3 − 4 + … + (n − 2) − (n − 1) + n, què val la suma dels dígits de n?

(VII Concurs Primavera. Madrid)

SOLUCIÓ:

La suma ha de ser:2.003 = 1 + (−2 + 3) + (−4 + 5) + … + (−(n − 1) + n)

A partir del primer sumand, cada parèntesi afegeix una unitat al valor de la suma. Per arribar a 2.003 fan falta 2.002 parèntesis amb dos sumands en cada un; per tant, n = 1 + 2 ⋅ 2.002 = 4.005.

La suma dels seus dígits és 9.

10

212

2

2

b a cb c ab a c

= += += +

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

( )( )

b a c bb

a

c

bb

a

c

b

− = −

+=

=+

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

12

9

8




Una altra manera:

Agrupem a la suma els termes negatius i positius:

1 − 2 + 3 − 4 + … + (n − 2) − (n − 1) + n = (1 + 3 + … + n) − [2 + 4 + … + (n − 1)]

Resulten les sumes de dues progressions aritmètiques que valen:

Com que . La suma dels seus dígits és 9.

Donada la successió 49, 4.489, 444.889, …, formada en col·locar el nombre 48 al centre del nombre anterior, demostreu que tots els seus termes són quadrats perfectes.


SOLUCIÓ:

Sigui un terme qualsevol de la successió format per n nombres 4, n − 1 nombres 8 i un nombre 9:

4 … (n) … 48 … (n − 1) … 89 = 4(102n−1 + 102n−2 + … + 10n) + 8(10n−1 + 10n−2 + … + 10) + 9

Cada un dels parèntesis és la suma dels termes d’una progressió geomètrica:

4 … (n) … 48 … (n − 1) … 89 =

=

La succesió és 72, 672, 6672, 6.6672, …

Els 30 atletes d’un equip reben puntuacions de 2, 3, 4 i 5 punts cada un. La suma total dels punts de l’equip és 93.

Hi ha més atletes amb 3 punts que amb 5 punts, i menys atletes amb 3 punts que amb 4. A més, el nombre dels atletes que reben 4 punts és divisible per 10, i el nombre dels que reben 5 punts és parell.

Determineu el nombre d’atletes que han rebut 2, 3, 4 i 5 punts.


SOLUCIÓ:

Siguin z els atletes que han rebut 5 punts, y són els atletes que han rebut 4 punts, x són els atletes que han rebut 3 punts i 30 − x − y − z són els atletes que han rebut 2 punts.

Es verifica que:

5z + 4y + 3x + 2(30 − x − y − z) = 93 → 3z + 2y + x = 33

amb x > z, x < y, y = 10⋅

i z = 2⋅.

El valor de y és 10 perquè si fos més gran, x o z serien negatius. El valor de z és 2, ja que si fos més gran resultaria que x és més petit que z.

El nombre d’atletes que han rebut 2, 3, 4 i 5 punts és, respectivament: 11, 7, 10 i 2.

12

4 10 4 10 1

9

2 10 1

3

2 2⋅ + ⋅ +

=⋅ +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

n n n

410 10

98

10 10

99

2

⋅−

+ ⋅−

+ =n n n

11

nn

+= =

1

22 003 4 005. .→

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

+⋅

+−

+⋅

−=

+n n n n n

475

1

OLI

MPÍA

DES

MATE

MÀTI

QU

ES



Demostreu que la suma dels cubs de tres nombres enters consecutius sempre és múltiple de 9.


SOLUCIÓ:

Siguin els nombres x − 1, x i x + 1.

La suma dels cubs és: (x − 1)3 + x3 + (x + 1)3 = 3x(x2 + 2), que és múltiple de 3.

Hem de demostrar que x(x2 + 2) també ho és.

Si x = 3⋅, la condició quedaria demostrada.

Si x � 3⋅, aleshores x pot ser de la forma x = 3n + 1 o x = 3n + 2, amb n ∈ Z.

Si x = 3n + 1, es verifica que: x 2 + 2 = (3n + 1)2 + 2 = 3(3n2 + 2n + 1), que és múltiple de 3.

I si x = 3n + 2, es compleix que: x 2 + 2 = 3(3n2 + 4n + 2), que és múltiple de 3.

En tots dos casos, l’expressió (x − 1)3 + x3 + (x + 1)3 = 3x(x2 + 2) és múltiple de 9.

Calcula el valor del nombre a definit per , si saps que és una solució de l’equació x 4 − 4x 2 − x + 2 = 0.


SOLUCIÓ:

L’equació x 4 − 4x2 − x + 2 = 0 té per solucions −1, 2, , .

Com que a > 1, l’única solució que ho verifica és a = 2.

Una altra manera:

Sense resoldre l’equació, tenim que

Si elevem al quadrat, obtenim:

amb a = −1 i a = 2, i no és vàlid el valor negatiu ja que es tracta d’una expressió positiva.

Sobre una circumferència es col·loquen els nombres de l’1 al 40. Demostreu que independentement del’ordenació dels nombres, hi ha tres nombres consecutius la suma dels quals és més gran que 61.

SOLUCIÓ:

Siguin els nombres x1, x2, x3, …, x40.

Suposem que no existeixen tres nombres consecutius que sumin més de 61:

Si sumem les 40 desigualtats, resulta que: 3(x1 + x2 + x3 + … + x40) ≤ 2.440.

Com que la suma dels nombres de l’1 al 40 és 820, s’ha de complir que:

3 ⋅ 820 = 2.460 ≤ 2.440

que és fals, i per tant també és fals el supòsit que la suma de cada terna de nombres consecutius sigui més petita o igual que 61.

Aquest resultat es pot generalitzar per al cas que els nombres siguin d’1 a n,

i sempre hi haurà tres nombres consecutius que sumin més que un nombre k, per a .k n< +3

21( )

x x xx x xx x x

x x x

1 2 3

2 3 4

3 4 5

40 1 2

616161

+ + ≤+ + ≤+ + ≤

…+ + ≤≤

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪61

15

a a a2 22 2 2 2 2= + + + + = +.... →

a = + + +2 2 2 …

−+1 5

2

5 1

2

−

2 2 2+ + + …14

13




Calculeu el coeficient del terme x 3y 16z 2 del desenvolupament de (x + y + z)21.

SOLUCIÓ:

Escrivim la potència corresponent:

(x + y + z)21 = [x + (y + z)]21

El terme amb x3 és:

En el desenvolupament de la potència (y + z)18, el terme amb y16z 2 té de coeficient.

Per tant, el coeficient que ens demanen és:

Hi ha algun nombre natural que verifiqui que quan n’eliminem la xifra d’ordre més gran resulti un altrenombre que sigui 18 vegades més petit?

SOLUCIÓ:

Si ai és la xifra d’ordre i, el nombre inicial és 10n−1an + 10n−2an−1 + … + a1.

S’ha de verificar que:

10n−1an + (10n−2an−1 + 10n−3an−2 + … + a1) = 18(10n−2an−1 + 10n−3an−2 + … + a1)

10n−1an = 17(10n−2an−1 + 10n−3an−2 + … + a1)

Aquesta igualtat és falsa perquè el seu primer membre no és divisible per 17; per tant, no existeix cap nombre natural que verifiqui aquestes condicions.

Calcula, en el camp complex, les arrels del polinomi de segon grau ax 2 + bx + c, si saps que són iguals que les arrels dels polinomis de segon grau cx 2 + ax + b i bx 2 + cx + a.

(V Certamen del Número de Oro. Argentina)

SOLUCIÓ:

Apliquem la propietat de la suma de les arrels d’un polinomi de segon grau i suposem que les arrels comunes són α i β:

El polinomi és ax2 + ax + a, i les seves arrels són:

i − −1

2

3

2i− +

1

2

3

2i

α β+ = − = − = − = =b

a

a

c

c

ba b c→

18

17

2118

182

203 490⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = .

182

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

2118

3 18⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +x y z( )

16

477

1

OLI

MPÍA

DES

MATE

MÀTI

QU

ES



En Joan i en Lluís van a comprar a uns grans magatzems i pugen a una escala mecànica, de graó en graó. En Joan puja el triple de ràpid que el seu amic. Quan acaben de pujar, en Joan ha comptat 75 graons, i en Lluís 50. Amb aquestes dades, calculeu els graons «visibles» de l’escala.

(VIII Olimpíada estatal de Secundària)

SOLUCIÓ:

Els graons que compten en Joan i en Lluís són els que pugen cada un pels seus mitjans propis. A aquests graons s’hi sumaran els graons que, mentrestant, els puja l’escala mecànica.

Suposem que mentre en Lluís compta un graó, l’escala l’eleva un nombre ade graons, i, per tant, quan ell compta 50 graons, l’escala l’eleva 50a graons.

El nombre total de graons «visibles» és: 50 + 50a.

Respecte del Joan, mentre ell compta un graó, l’escala l’eleva graons.

El nombre total de graons «visibles» és: .

Si igualem els graons «visibles» de tots dos:

Per tant, el nombre de graons «visibles» és: 50 + 50 ⋅ 1 = 100.

Tenim un terra rectangular format per rajoles quadrades de color blanc, que està envoltat de rajoles ombrejades quadrades, tal com s’indica a la figura. Quines dimensions ha de tenir el rectangle blanc perquè l’àrea de la regió interior sigui igual a l’àrea de la franja ombrejada que l’envolta quan aquesta franja ombrejada és d’una rajola d’ampla?

(VIII Olimpíada estatal de Secundària)

SOLUCIÓ:

Si les dimensions del rectangle exterior són x i y, l’àrea del rectangle blanc és:(x − 2)(y − 2) i l’àrea de la franja ombrejada és: 2x + 2(y − 2).

Si igualem les dues àrees:

(x − 2)(y − 2) = 2x + 2(y − 2)

(x − 4)(y − 4) = 8

Com que els factors han de ser nombres enters, es verificarà que:

(x − 4)(y − 4) = 1 ⋅ 8 → x = 5, y = 12(x − 4)(y − 4) = 2 ⋅ 4 → x = 6, y = 8

Per tant, hi ha dos rectangles que verifiquen les condicions de l’enunciat: 5 × 12 i 6 × 8.

Una altra manera:

A les zones N i B de les dues franges externes de la figura coincideix el nombre de rajoles blanques i ombrejades,però en cada cantonada hi ha 3 rajoles ombrejades per 1 de blanca. És a dir, hi ha 8 rajoles ombrejades més quede blanques. Perquè en coincideixi el nombre, l’àrea del rectangle R ha de ser igual a 8 rajoles.

Això només passa amb 1 × 8 o 2 × 4. En aquest cas, tenim que x = 5, y = 12 o x = 6, y = 8.

20

50 50 75 753

1+ = + =aa

a→

75 753

+a

a

3

19


NB B B

BN R B

B BNx

B

N y



Resoleu l’equació ⏐x + 1⏐ − ⏐x⏐ + 3⏐x − 1⏐ − 2⏐x − 2⏐ = x + 2.


SOLUCIÓ:

L’equació equival a:

⏐x + 1⏐ − ⏐x⏐ + 3⏐x − 1⏐ − 2⏐x − 2⏐ = x + 2 →

Un nombre descomposat en factors primers, n = ax ⋅ b y ⋅ c z, disminueix el nombre dels seus divisors, en 72, 48 o 54 en dividir-lo entre a, b o c, respectivament. Trobeu el valor de n.


SOLUCIÓ:

El nombre de divisors de n és (x + 1)(y + 1)(z + 1).

En dividir entre a, b i c, el nombre de divisors de , i és:

x(y + 1)(z + 1); (x + 1)y(z + 1); (x + 1)(y + 1)z

L’arrel quadrada del producte de les tres equacions, (x + 1)(y + 1)(z + 1) = 432, la dividim entre la primera equació:

De la mateixa manera obtenim que y = 8 i z = 7, dividint entre la segona i la tercera equacions.

El valor de n és: n = a5 ⋅ b8 ⋅ c7

La suma d’un cert nombre d’enters positius consecutius val 1.000. Trobeu aquests nombres enters.


SOLUCIÓ:

Si el nombre d’enters és senar, hi ha un terme central x i els nombres són:

…, x − 2, x − 1, x, x + 1, x + 2, …

Hi ha k nombres per davant de x i k nombres per darrere, i la suma és (2k + 1)x → (2k + 1)x = 1.000

Els divisors senars de 1.000 són 5, 25 i 125:

Si 2k + 1 = 5, x = 200 i els nombres són: 198, 199, 200, 201, 202.

Si 2k + 1 = 25, x = 40 i els nombres són: 28, 29, …, 38, 39, 40, 41, 42, …, 51, 52.

Si 2k + 1 = 125, x = 8. Solució no vàlida, ja que hi ha nombres enters negatius.

Si el nombre d’enters és 2k, hi ha dos termes centrals, x i x + 1, i hi ha k parelles, i la suma de cada una d’elles és 2x + 1 i la suma total és k(2x + 1). S’ha d’acomplir que:

k(2x + 1) = 1.000

Els divisors imparells de 1.000 són 5, 25 i 125, i es verifica que:

Si 2x + 1 = 5, x = 2 i hi ha 400 sumands. Cas no vàlid perquè hi ha nombres negatius.

Si 2x + 1 = 25, x = 12 i hi ha 80 sumands. Tampoc no és vàlid perquè hi ha alguns nombres negatius.

Si 2x + 1 = 125, x = 62 i hi ha 16 sumands, que són: 55, 56, …, 62, 63, …, 69, 70.

23

( )( )( )

( )( )

x y z

y zx

+ + ++ +

= =1 1 1

1 1

432

725→

x y z x y zx y z( )( ) ( )( )( )

( ) ( ) (+ + = + + + −

+ + =1 1 1 1 1 72

1 1 xx y zx y z x y z

+ + + −+ + = + + +

1 1 1 481 1 1 1

)( )( )( )( ) ( )( )( 11 54

1 1 721 1 48

)

( )( )( )( )(−

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

+ + =+ + =→

y zx zxx y+ + =

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪1 1 54)( )

n

c

n

b

n

a,

22

x xx xx x

= − ∈ − −= ∈ −

− = ∈

2 10 2 1 02 2 0 1

sisisi

( , )[ , )[ , )

�

44 8 1 20 0 2

x xx x

= ∈= ∈ +

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

sisi

[ , )[ , )�

⎫⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

∈ + ∪ −→ x [ , ) { }2 2�

21

479

1

OLI

MPÍA

DES

MATE

MÀTI

QU

ES



Resoleu l’equació 4x 3 + 6x 2 + 12x + 5 = 0, sabent que existeixen nombres enters a i bque verifiquen que l’equació pot posar-se en la forma: (x + a)4 = (x + b)4.


SOLUCIÓ:

Si desenvolupem la igualtat i simplifiquem, obtenim:

(x + a)4 = (x + b)4 → 4x3 + 6(a + b)x2 + 4(a2 + b2 + ab)x + (a + b)(a2 + b2) = 0

Les dues equacions són les mateixes si els seus coeficients són iguals o proporcionals. En aquest cas, com que són iguals els coeficients de x3, tots els coeficients seran iguals:

(x + 2)4 − (x − 1)4 = 0 → [(x + 2)2 + (x − 1)2] ⋅ [(x + 2)2 − (x − 1)2] = 0

Si anul·lem cada un dels parèntesis, obtenim les solucions: , i .

Sense haver de fer la descomposició, es pot resoldre l’equació, buscant la solució racional i, després de dividir entre x menys l’arrel, es calculen les dues arrels complexes.

Les arrels enteres, si n’hi ha, estan entre els divisors del terme independent de l’equació: ±1 i ±5, i no n’hi ha cap.

Les arrels fraccionàries estan compreses entre les fraccions que es poden formar, i tenen com a numerador un divisor del terme independent, i com a denominador, un divisor del coeficient del terme de grau més gran.

En aquest cas, l’arrel correspondria a :

4x3 + 6x2 + 12x + 5 = (2x + 1)(2x2 + 2x + 5)

Les altres dues solucions de l’equació són els valors de x que anul·len el segon parèntesi:

Sigui un nombre n de quatre xifres, que és un quadrat perfecte, amb totes les xifres més petites que 9. Si a cada xifra se li suma 1, el nombre resultant també és un quadrat perfecte. Trobeu n.

(XIX Concurs Puig Adam)

SOLUCIÓ:

El nombre n verifica que: n = k2 = 1.000a + 100b + 10c + d.

Si se li suma una unitat a cada xifra, s’obté:

m2 = 1.000(a + 1) + 100(b + 1) + 10(c + 1) + (d + 1) → m2 = k2 + 1.111

m2 − k2 = 1.111 → (m + k)(m − k) = 1.111

Els divisors de 1.111 són 1, 11, 101 i 1.111, i com que m i k han de ser nombres naturals, hi ha les possibilitats següents:

→ Solució no vàlida perquè n = 308.025 té 6 xifres.

→ Solució vàlida i n = k2 = 2.025.m km k

km

+ =− =

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

==

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

10111

4556

→

m km k

km

+ =− =

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

==

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

1 1111

555556

. →

25

2 2 5 02 36

4

1

2

3

22x x x i+ + = =

− ± −= − ±→

−1

2

− −1

2

3

2i− +

1

2

3

2i−

1

2

6 64 12

5

2 2

2 2

( )( )

( )( )

a ba b ab

a b a b

+ =+ + =

+ + =

⎫

⎬⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪⎪

== −

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

= −=

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→ ab

ab

21

12

o

24




La successió a1, a2, a3, …, verifica que a1 = 19, a9 = 99, i per a n ≥ 3, an és la mitjana aritmètica dels n − 1 primers termes. Quant val a2?

(V Concurs Primavera. Madrid)

SOLUCIÓ:

Si anomenem a2 = x, els termes de la successió a partir del tercer terme són:

Demostrem per inducció que el terme general de la successió és , per a n ≥ 3.

Suposem que és cert per a n = k, , i calculem el valor de ak + 1.

Substituïm a l’expressió:

Es tracta d’una successió de termes constants a partir de n = 3.

Com que a9 = 99, resulta que:

Per tant, el valor de a2 és: a2 = 179.

Trobeu tots els nombres naturals x, y ≥ 1 que verifiquen que 2x − 3y = 7.

(Olimpíada de Batxillerat. Fase internacional)

SOLUCIÓ:

El valor de x és:

Perquè x sigui un nombre natural, y ha de ser un nombre senar de la forma 2n + 1, amb n = 0, 1, 2, …

La solució és tots els parells de valors de la forma (3n + 5, 2n + 1).

xn

n=+ +

= +7 3 2 1

23 5

( )

xy

=+7 3

2

27

19

299 179

+= =

xx→

a

x k x

k

k x

k

xk+ =

+ −+

+

=+

=+

1

19 12

192 19

2

19

2

( )( )( )

aa a a

k

xa a ak

kk=

+ + +−

=+

+ + + =−−

1 2 11 2 1

1

19

2

......

(→ 119 1

2

+ −x k)( )

aa a a a

k

a a a ak

k k k k+

− −=+ + + +

=+ + + +

11 2 1 1 2 1... ( ... )

kk

ax

k =+19

2

ax

n =+19

2

aa a a

xx

x4

1 2 3

3

1919

2

3

19

2=

+ +=

+ ++

=+

aa a x

31 2

2

19

2=

+=

+

26

481

1

OLI

MPÍA

DES

MATE

MÀTI

QU

ES



Resoleu el sistema d’equacions:

en què a i b són constants. Doneu les condicions que han de satisfer a i b perquè les solucions del sistema siguin diferents.

(III Olimpíada de Batxillerat. Fase internacional)

SOLUCIÓ:

Es resol a R , i com que (x + y)2 = x 2 + y 2 + 2xy, amb xy = z 2 i x + y = a − z, la segona equació es pot escriure:

(a − z)2 − z 2 = b2 → 2az = a2 − b2

Si a = 0, com que 2az = a2 − b2 → b = 0 → x 2 + y 2 + z 2 = 0 → x = y = z =0, les solucions no són diferents.

Si a � 0, resulta que:

Així, obtenim el sistema:

Podem prendre

o al contrari.

Perquè les solucions siguin diferents, el radicand ha de ser més gran que zero i això passa quan:

→ Solució no vàlida

Descomponeu el polinomi P(x) = x 5 − 209x + 56 en producte de dos factors, sabent que s’anul·la per a dos valors, x1 i x2 inversos entre ells.


SOLUCIÓ:

Siguin r i les dues arrels inverses del polinomi P(x).

El polinomi que té aquestes arrels és:

Així, resulta que P (x) = x5 − 209x + 56 = (x2 + mx + 1)(x3 + bx2 + cx + d).

( )x r xr

xr

rx x mx− −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = −

++ = + +

1 11 12

22

1

r

29

3 03 0 3

32 2

2 22

22a b

b aa

ba b− <

− <

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

< >→ y

3 03 0 3

32 2

2 2

22 2a b

b a

ba b− >

− >

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

< <→

xa b a b b a

ay

a b=

+ + − −=

+ −( ) ( )( ) ( ) (2 2 2 2 2 2 2 23 3

4

3e

aa b b a

a

2 2 2 23

4

− −)( )

x y a ba

xy a ba

+ = +

= −⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

2 2

2 22

2

2

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

=+ ± − −→ x

a b a b a ba

( )2 2 2 2 4 410 3 34

za b

a=

−2 2

2

x y z ax y z bxy z

+ + =+ + ==

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

2 2 2 2

2

28




Si operem i identifiquem coeficients, obtenim el sistema:

Si m = −52: b = 52, d = 56 i c = 2.703, que no verifiquen la tercera equació.

Si m = −4: b = 4, d = 56 i c = 15, obtenim x5 − 209x + 56 = (x2 − 4x + 1)(x3 + 4x2 + 15x + 56).

Una avioneta, en condicions d’absència de vent, vola a una velocitat de 300 km/h i té combustible per a 4 hores.

a) Un dia amb vent de 50 km/h, s’enlaira i viatja a favor del vent, i torna per la mateixa ruta. Trobeu la màxima distància a la qual pot volar amb combustible suficient per a la tornada.

b) Calculeu-ho també per diverses velocitats del vent, relacionant les dues variables mitjançant una fórmula.


SOLUCIÓ:

Comencem resolent l’apartat b), ja que és el cas general.

b) Sigui x la distància màxima que pot recórrer i sigui v la velocitat del vent. A favor del vent, la velocitat és 300 + v km/h i en contra és 300 − v km/h. La suma dels temps d’anada i tornada ha de ser de 4 hores.

a) Si v = 50 km/h, resulta que x = 583,3 km.

Quan dividim un polinomi P(x) entre x − a el residu és a. Quan el dividim entre x − b el residu és bi quan el dividim entre x − c el residu és c. Calculeu el residu de la divisió P(x) : (x − a)(x − b)(x − c).

SOLUCIÓ:

Sigui Q(x) el quocient de la divisió P(x): (x − a)(x − b)(x − c) i sigui r (x) el residu.

Pel teorema del residu, tenim que: P(a) = r (a) = a P(b) = r (b) = b P(c) = r (c) = c

Com que r (x) és un polinomi de grau més petit que 3, de la forma r (x) = k2x2 + k1x + k0, els seus coeficients s’obtenen en resoldre el sistema:

→ r (x) = x

Tres amics A, B i C aporten diners per a un fons d’inversió comú. Si A hi hagués aportat el triple, la quantitat total augmentaria en un 90 %. Si B tripliqués l’aportació, l’augment seria del 60 %. Calculeu l’augment si C tripliqués l’aportació.

SOLUCIÓ:

Si es tripliquessin totes les aportacions, l’augment seria del 200 %. Com que els augments de A i B sumen el 150 %, l’augment de C serà del 50 %.

Una altra manera:

Les aportacions de A i B han estat del 45 % i del 30 %, respectivament, i, per tant, l’aportació de C és del 25 %, que, en triplicar-se, produeix un augment del 50 %.

32

r a a k a k a kr b b k b k b kr c c

( )( )( )

= = + += = + += =

22

1 0

22

1 0

kk c k c k

k k k

22

1 0

2 1 00 1 0

+ +

⎫

⎬⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

= = =→

31

x

v

x

vx

v

300 3004 600

150

2

++

−= = − km

30

m bmb c

d mc bmd cd

+ =+ + =+ + =

+ = −=

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

01 0

0209

56

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

= −= −

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→ mm

452

483

1

OLI

MPÍA

DES

MATE

MÀTI

QU

ES



Als exàmens de 1r de Batxillerat d’un curs aprova Física, com a mínim, el 70 % dels alumnes; Matemàtiques, com a mínim, el 75 %; Filosofia, com a mínim, el 90 %; i Anglès, com a mínim, el 85 %. Quants alumnes, com a mínim, aproven totes quatre assignatures?

(VII Olimpíada de Batxillerat. Fase estatal)

SOLUCIÓ:

Si N és el nombre d’alumnes del centre, aprovaran:

Física, com a mínim Matemàtiques, com a mínim

Filosofia, com a mínim Anglès, com a mínim

Perquè aquestes fraccions siguin nombres enters, N ha de ser múltiple de 10, 4 i 20, per tant, serà múltiple del m.c.m. (10, 4, 20), que és 20.

Aproven 20 alumnes, com a mínim.

Demostreu que, per a qualsevol nombre enter positiu n, An = 5n + 2 ⋅ 3n − 1 + 1 és múltiple de 8.

(IX Olimpíada de Batxillerat. Fase estatal)

SOLUCIÓ:

Per a n = 1 es verifica que A1 = 8, que és múltiple de 8.

Si suposem que es verifica per a n = k, tenim que Ak = 5k + 2 ⋅ 3k − 1 + 1 és múltiple de 8.

Per a n = k + 1:

Ak + 1 = 5k + 1 + 2 ⋅ 3k + 1 = 5k ⋅ 5 + 2 ⋅ 3k − 1 ⋅ 3 + 1 = (5k + 2 ⋅ 3k − 1 + 1) + 4(5k + 3k − 1)

Si Ak + 1 és la suma de dos sumands, el primer és, per la hipòtesi d’inducció, múltiple de 8, i el segon és la suma de dos nombres senars multiplicada per 4, i també és múltiple de 8.

Per tant, queda demostrat que An, per a qualsevol valor de n, és múltiple de 8.

Demostreu que , expressat en forma decimal, és un nombre

periòdic mixt per a qualsevol valor de n.


SOLUCIÓ:

Perquè una fracció irreductible generi un nombre decimal periòdic mixt ha de tenir al denominador algun factor primer 2 o 5 i algun que no sigui 2 ni 5.

Calculem la suma:

Veiem que és irreductible, ja que el numerador no s’anul·la per a cap valor natural de ni, a més, el denominador és el producte de tres nombres consecutius i té com a divisors, almenys, el 2 i el 3.

1 1

1

1

2

3 6 2

1 2

2

n n n

n n

n n n+

++

+=

+ ++ +( )( )

1 11

12n n n

++

++

35

34

85

100

17

20

N N=

90

100

9

10

N N=

75

100

3

4

N N=

70

100

7

10

N N=

33




Siguin a, b, c, d nombres reals qualsevol. Proveu que el valor mínim dels nombres

a − b 2, b − c 2, c − d 2, d − a2 és més petit o igual que .

SOLUCIÓ:

Suposem que cada un dels nombres a − b2, b − c2, c − d 2, d − a2 és més gran que :

Aquesta expressió equival a:

que és impossible perquè es tracta d’una suma de quadrats.

Es consideren en el pla els conjunts de nombres complexos.

Determineu la projecció ortogonal del conjunt intersecció de A i B sobre l’eix X.


SOLUCIÓ:

Els conjunts A i B són:

Sigui A el conjunt format pels punts de la recta x − y + 1 = 0 i sigui B els punts interiors de la circumferència d’equació (x − 2)2 + (y − 1)2 = 4, amb centre C(2, 1) i radi r = 2.

La intersecció dels dos conjunts és la solució del sistema:

que és el segment obert D(0, 1) i E(2, 3).

La seva projecció sobre l’eix X és el segment O, d’extrems O(0, 0) i E'(2, 0), sense incloure O i E'.

( ) ( )x yx y

− + − <− + =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2 1 41 0

2 2

B z x y i z i x y x y= = + − + <{ } = − + − </ ( ) ( , ) / ( ) ( )⏐ ⏐2 2 2 12 2 44{ }

A z x y i z i x= = + − +[ ] =⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

=/ ( ) ( ,arg 2 34

πyy x y) / − + ={ }1 0

A z z i B z z= − +[ ] =⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= −/ ( ) / (arg 2 34π

⏐ 22 2+ <{ }i )⏐

37

a b c−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ + −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ + −

⎛

⎝⎜⎜⎜

1

2

1

2

1

2

2 2 ⎞⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ + −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ <

2 21

20d

a a b b c c2 2 21

4

1

4− +

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ + − +

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ + − +

11

4

1

402

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ + − +

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ <d d

a b b c c d d a− + − + − + − > + + +2 2 2 2 1

4

1

4

1

4

1

4

1

4

14

36

485

1

Y

E

C

X

D

O E'

OLI

MPÍA

DES

MATE

MÀTI

QU

ES



Es defineix la successió de nombres complexos {an}, n ≥ 1:

Esbrineu si existeix un nombre natural m que verifiqui que:


SOLUCIÓ:

Els mòduls de les diferències dels termes de la successió valen:

Com que el mòdul del producte és el producte dels mòduls, resulta:

Demostreu que en el desenvolupament de l’expressió següent no hi ha termes de grau senar.

(1 − x + x 2 − x 3+ … − x 99 + x 100)(1 + x + x 2 + x 3 + … + x 99 + x 100)


SOLUCIÓ:

Cada un dels parèntesis és la suma dels termes d’una progressió geomètrica de raó −x i x, respectivament.

Es pot escriure d’aquesta manera.

La divisió és exacta, ja que 1 i −1 són arrels del numerador i el denominador, i el quocient val x200 + x198 + x196 + ... + x2 + 1, i tots els termes són de grau parell.

Una altra manera:

El producte es pot escriure com una suma per una diferència.

[(1 + x 2 + x 4+ … + x 100) + (x + x 3+ … + x 99)] ⋅ [(1 + x 2 + x 4+ … + x 100) − (x + x 3+ … + x 99)] =

= (1 + x 2 + x 4+ ... + x 100)2 − (x + x 3+ … + x 99)2

En elevar els parèntesis al quadrat, s’obtenen els quadrats de cada un dels termes amb exponent parell. A més, els dobles productes, essent els del primer parèntesi, factors d’exponent parell, la seva suma és parell, i en els del segon, la suma de senars també és parell.

=+ −

−=

−−

( )( )x x

x

x

x

101 101

2

202

2

1 1

1

1

1

( )( )(

1 12 3 100 2 3 100100

− + − + … + + + + + … + =⋅

x x x x x x x xx −− −

− −⋅

⋅ −−

=x

x

x x

x

) 1

1

1

1

100

39

⏐ ⏐ →a a m mn nn

m

− = + + + = =+=

∑ 11

1 1 1 1 990… .

23

2

1 1

11⋅ ⋅ ⋅

+⋅

+=…

n

n n

= + ⋅ +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ +

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣⎢( )1 1

21i

i i

n…⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ ⋅ − +

+

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥1 1

1

i

n

⏐ ⏐a a ii i

nn n− = + ⋅ +

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ +

⎛

⎝⎜⎜⎜+1 1 1

21( ) …

⎞⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ − + ⋅ +

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ +

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠( )1 1

21i

i i

n… ⎟⎟⎟⎟⎟ ⋅ +

+

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =1

1

i

n

⏐ ⏐a an nn

m

− =+=

∑ 11

1 990.

a ii i

nn = + ⋅ +

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ +

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟( )1 1

21…

38




Trobeu la suma dels coeficients del polinomi que resulta d’operar i reduir termes en l’expressió:

(1 − 3x + 3x 2)743 ⋅ (1 + 3x − 3x2)744


SOLUCIÓ:

Per a qualsevol polinomi Pn(x) = anxn + an−1xn−1 + … + a1x + a0, la suma dels seus coeficients és Pn(1).

En aquest cas, si P(x) = (1 − 3x + 3x2)743 ⋅ (1 + 3x − 3x2)744, la suma dels coeficients és:

P(1) = (1 − 3 + 3)743 ⋅ (1 + 3 − 3)744 = 1

Trobeu l’equació de la circumferència que passa pels afixos de les solucions de l’equació:

z 3 + (−1 + i) z 2 + (1 − i )z + i = 0

(XXI Olimpíada de Batxillerat. Fase estatal)

SOLUCIÓ:

Es comprova que z = −i és una arrel de l’equació.

Dividint entre z + i s’obté que:

z 3 + (−1 + i )z 2 + (1 − i )z + i = (z + i )(z 2 − z + 1)

Les arrels de z 2 − z + 1 són els nombres .

La circumferència passa pels punts A(0, −1), i .

L’equació de la mediatriu del segment AB és i la del segment AC

és .

El punt de tall de les dues mediatrius és el centre de la circumferència, O (0, 0), i el radi és la distància del centre a un dels punts A, B o C, que val 1.

Per tant, l’equació de la circumferència és x2 + y 2 = 1.

Demostreu que per a tot n natural es verifica: 32n+2 + 26n+1 = 11⋅

.


SOLUCIÓ:

S’ha de demostrar que 32n+2 + 26n+1 és múltiple d’11.

Mitjançant el mètode d’inducció, per a n = 1, el valor de l’expressió és 209 = 11 ⋅ 19.

Suposem que és cert per a n = k, és a dir, que 32k+2 + 26k+1 = 11⋅

, aleshores 32k+2 = 11⋅

− 26k+1.

Per a n = k + 1 és:

32k+4 + 26k+7 = 32k+2 ⋅ 9 + 26k+1 ⋅ 64 =

= (11⋅

− 26k+1) ⋅ 9 + 26k+1 ⋅ 64 = 11⋅

⋅ 9 + 26k+1 ⋅ 55 = 11⋅

⋅ 9 + 26k+1 ⋅ 11⋅

= 11⋅

42

x y+ −( ) =2 3 0

x y+ +( ) =2 3 0

C1

2

3

2, −

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟B

1

2

3

2,

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

1

2

3

2± i

41

40

487

1

OLI

MPÍA

DES

MATE

MÀTI

QU

ES



Dos punts A i B disten 86 km. Un mòbil m surt de A cap a B, amb velocitat v, i un altre mòbil nsurt, alhora, de B cap a A, amb velocitat 3v. Quan n troba m torna cap a B i després surt cap a A. El procés es repeteix fins que els dos mòbils coincideixen a B. Quina és la longitud total recorreguda per n? Què passaria si n hagués sortit inicialment de A?


SOLUCIÓ:

El temps que n està en moviment és igual al temps que triga m a recórrer els 86 kmque separen A de B i és 86/v.

L’espai total que recorre n és:

Si n hagués sortit inicialment de A, repetint el raonament anterior s’arriba a la conclusió que n recorre la mateixa distància que en el cas anterior, 258 km.

Una altra manera:

Com que la velocitat d’un mòbil és el triple que la de l’altre, mentre el primer va cap a m i torna a B, el segon recorre la meitat de la distància que els separava quan n ha sortit de B. Per tant, la distància que els separa en els successius instants en què n està a B és 86 km, 86/2 km, 86/4 km… I, a més, cada vegada que n surt i torna a B recorre 3/4 parts d’aquesta distància dues vegades.

La longitud total recorreguda per n és:

Aquesta expressió és la suma dels termes d’una progressió geomètrica il·limitada

de raó :

En el segon supòsit, els dos mòbils surten de A. Mentre el mòbil més veloç recorre 86 kmi arriba a B, el mòbil menys veloç recorre 86/3 km. A partir d’aquest moment, el problema és igual a l’anterior, amb una separació inicial de (2 ⋅ 86)/3 km.

La longitud total recorreguda per n és:

Aquests sumands, excepte el primer, són termes d’una altra progressió geomètrica anàloga a l’anterior.

Per tant, la suma és:

8686

1 12

258+−

= km

86 23

4

2 86

32

3

4

2 86

3 22

3

4

2 86

3 22+ ⋅ ⋅

⋅+ ⋅ ⋅

⋅⋅

+ ⋅ ⋅⋅⋅

+ …

2 34

86

1 12

258⋅⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

−= km

12

23

486 2

3

4

86

22

3

4

86

22⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + …

386

258vv

⋅ = km

43




Un munt de taronges s’apila en capes, de manera que en el forat de 4 taronges d’una capa se n’hi posa una de la capa superior. La primera capa, comptant per sota, té m files i n columnes i l’última capa té una sola fila; essent m el nombre de diagonals d’un decàgon i n el menor nombre que dividit entre 4 dóna residu 3, entre 5 dóna residu 4, i entre 6 dóna residu 5. Quantes taronges hi ha?


SOLUCIÓ:

La quantitat de files, m, és igual al nombre de diagonals del decàgon:

La quantitat de columnes, n, és un nombre que verifica que n +1 és el menor múltiple comú de 4, 5 i 6, que és 60, i, per tant, n = 59.

La quantitat de taronges que hi ha en cada capa és:

1a capa: 59 ⋅ 35 = 2.065

2a capa: (59 − 1) ⋅ (35 − 1) = 2.065 − 94 + 1

3a capa: (59 − 2) ⋅ (35 − 2) = 2.065 − 2 ⋅ 94 + 22

…

34a capa: (59 − 33) ⋅ (35 − 33) = 2.065 − 33 ⋅ 94 + 332

35a capa: (59 − 34) ⋅ (35 − 34) = 2.065 − 34 ⋅ 94 + 342

Fem la suma:

2.065 ⋅ 35 − (1 + 2 + 3 + … + 34) ⋅ 94 + (1 + 22 + 32 + … + 342) =

Demostreu que per a tot enter n es compleix: n3 − n és divisible per 3, n5 − n és divisible per 5 i n7 − n és divisible per 7.


SOLUCIÓ:

Es demostra per inducció.

Qualsevol dels tres casos es verifica per a n = 1.

Suposem que es verifica per a n = k, és a dir, que k3 − k és múltiple de 3, k5 − k és múltiple de 5 i k7 − k és múltiple de 7.

Per a n = k + 1, cada una de les expressions val:

(k + 1)3 − (k + 1) = (k3 − k) + 3(k2 + k) = 3⋅

+ 3⋅

(k + 1)5 − (k + 1) = (k5 − k) + 5(k4 + 2k3 + 2k2 + k) = 5⋅

+ 5⋅

(k + 1)7 − (k + 1) = (k7 − k) + 7(k6 + 3k5 + 5k4 + 5k3 + 3k2 + k) = 7⋅

+ 7⋅

En conseqüència, els polinomis són múltiples de 3, 5 o 7.

Una altra manera:

Cada un dels polinomis es pot descompondre en factors de la manera següent.

n3 − n = (n − 1) ⋅ n ⋅ (n + 1); n5 − n = (n − 1) ⋅ n ⋅ (n + 1) ⋅ (n2 + 1); n7 − n = (n3 − 1) ⋅ n ⋅ (n3 + 1)

El primer polinomi és el producte de tres enters consecutius, i és múltiple de 3.

En el segon polinomi, si n = 5⋅

o n = 5⋅

− 1 o n = 5⋅

+ 1, els factors n o n + 1 o n − 1 són 5⋅, i si n = 5

⋅+ 2

o n = 5⋅

+ 3, n2 és 5⋅

més 4 o 9, i així resulta que n2 + 1 és 5⋅

més 5 o 10, que també és múltiple de 5.

El tercer cas es verifica si n = 7⋅. Si n = 7

⋅+ k, amb k = 1, 2, 3, 4, 5 o 6, la potència n3 seria 7

⋅més 1, 8, 27,

64, 125 o 216, i així resulta que n3 − 1 o n3 + 1 serien múltiples de 7.

45

= −+

⋅ ++ +

=72 2751 34

294

34 34 1 68 1

630 030.

( )( ). naraanjas

m =−

=10 10 3

235

( )

44

489

1

OLI

MPÍA

DES

MATE

MÀTI

QU

ES



Un nombre enter s’escriu amb tres xifres diferents. Obtenim tres nombres de dues xifres cada un suprimint la xifra de les centenes, les desenes i les unitats. La suma d’aquests tres nombres és la meitat del nombre de tres xifres inicial. Trobeu el nombre.


SOLUCIÓ:

El nombre és 100a + 10b + c, amb a � 0.

En suprimir la xifra de les centenes, desenes o unitats, els nombres que s’obtenen són 10b + c, 10a + c i 10a + b, que sumen 20a + 11b + 2c.

Els valors que pot prendre a són 1 i 2, perquè si fos un valor més gran, aleshores c seria més gran que 9.

Si a = 1 → c = 20 − 4b, i perquè c sigui més petit o igual que 9, b pot valer 3, 4 o 5, prenent cels valors 8, 4 o 0, respectivament. Els nombres són 138, 144 i 150. No val el nombre 144 ja que té xifres repetides.

Si a = 2 → c = 40 − 4b, per un raonament semblant a l’anterior, s’obté el nombre 294.

El nombre buscat pot ser 138, 150 o 294.

Demostreu que l’expressió , en què n és un enter qualsevol, sempre és

divisible per 24.

(XIII Olimpíada de Batxillerat. Fase estatal)

SOLUCIÓ:

L’expressió té sentit si n � −2. I si n = −2, el verdader valor de la fracció és 24.

Divindin, s’obté:

que és el producte de quatre nombres naturals consecutius entre els quals hi ha un múltiple de 4, almenys un múltiple de 3 i un altre múltiple de 2; per tant, el producte és múltiple de 24.

Una altra manera:

Demostrarem per inducció que el polinomi P(n) = n4 − 2n3 − n2 + 2n és múltiple de 24.

Si n = 1, tenim que P(1) = 0 = 24⋅

.

Suposem que és cert per a n = k, és a dir, P(k) = k4 − 2k3 − k2 + 2k = 24⋅

.

Si n = k + 1: P(k + 1) = (k + 1)4 − 2(k + 1)3 − (k + 1)2 + 2(k + 1) = (k4 − 2k3 − k2 + 2k) + 4(k3 − k)

El primer sumand és 24⋅

.

El segon sumand serà múltiple de 4 i s’haurà de demostrar que k3 − k és múltiple de 6, o múltiple de 2 i de 3.

Es demostra que k3 − k és múltiple de 3.

Per inducció. Per a k = 1, tenim que k3 − k = 0 = 3⋅; per a k = h, tenim que h3 − h = 3

⋅.

Per a k = h + 1: (h + 1)3 − (h + 1) = (h3 − h) + 3(h2 + h) = 3⋅

Per tant, P(n) és múltiple de 24.

Si impar impar

Si

k k k

k

es impar

es pa

→ 3 2− = − =⋅

rr ⎯→ k k3 2− = − =⋅

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪par par

n n n

nn n n n n n n n

5 34 3 25 4

22 2 2 1

− ++

= − − + = − ⋅ − ⋅ ⋅ +( ) ( ) ( 11)

n n nn

5 35 42

− ++

47

100 10

220 11 2 20 4

a b ca b c c a b

+ += + + = −→

46




Demostreu que la suma dels quadrats de cinc enters consecutius no pot ser un quadrat perfecte.

(XIV Olimpíada de Batxillerat. Fase estatal)

SOLUCIÓ:

La suma dels quadrats de cinc nombres consecutius és:

(n − 2)2 + (n − 1)2 + n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 = 5(n2 + 2)

Perquè sigui un quadrat perfecte, n2 + 2 ha de ser, almenys, múltiple de 5, però no ho és perquè les terminacions d’un quadrat perfecte són: 0, 1, 4, 5, 6, 9, i n2 + 2 pot acabar en 1, 2, 3, 6, 7 o 8.

Si z1 i z2 són les arrels de l’equació amb coeficients reals z 2 + az + b = 0, proveu que z1

n + z2n és un nombre real per a qualsevol valor natural de n.

En el cas particular de l’equació z 2 − 2z + 2 = 0, expresseu aquesta suma en funció de n.

(XV Olimpíada de Batxillerat. Fase estatal)

SOLUCIÓ:

Si les arrels de l’equació són reals, la suma de les potències de qualsevol exponent és sempre real.

Suposem que les arrels són complexes.

Com que els coeficients són nombres reals, les solucions de l’equació són dos nombres complexos conjugats de la forma z1 = rα i z2 = r−α:

que és real per a qualsevol valor de r i α.

En el cas particular de l’equació z 2 − 2z + 2 = 0, les arrels són:

La suma de les potències n-èsimes és .

Donat el trinomi F (x ) = x 2 − (8a − 2)x + 15a 2 − 2a − 7.

a) Trobeu el valor de a perquè el trinomi sigui positiu per a qualsevol valor de x.

b) Calculeu el valor de a perquè la suma dels quadrats de les arrels de l’equació F (x ) = 0 sigui 24.


SOLUCIÓ:

a) Perquè el polinomi tingui signe constant, les seves arrels no han de ser nombres reals.

I, per aquest motiu, el discriminant ha de ser negatiu:

(8a − 2)2 − 4(15a2 − 2a − 7) < 0 → 4(a − 4)(a − 2) < 0 → a ∈ (2, 4)

La gràfica del trinomi F(x) és una paràbola d’eix paral·lel a Y i com que el coeficient de x2 és positiu, té un mínim al vèrtex. Per tant, tots els valors que pren F(x) són positius per a qualsevol valor de a ∈ (2, 4).

b) La suma dels quadrats de les arrels es pot escriure: x12 + x2

2 = (x1 + x2)2 − 2x1x2 = s2 − 2p,en què s és la suma de les arrels i p el producte.

Llavors, resulta que: x12 + x2

2 = (8a − 2)2 − 2(15a2 − 2a − 7) = 34a2 − 28a + 18 = 24.

En concloem que a pren els valors 1 i .−3

17

50

z z nn n n1 2 2 2+ = cos (45° )

z i z i1 45 2 451 2 1 2= + = ( ) = − = ( )−º ºy

z z r r r n i sin nn n n n n1 2+ = + = +( ) + −−( ) ( ) (α α α αcos cos nn i sin n r nnα α α) ( )+ −( )[ ] = 2 cos

49

48

491

1

OLI

MPÍA

DES

MATE

MÀTI

QU

ES




GEOMETRIA

Tenim el quadrat ABCD de costat a (l’ordre de les lletres és en el sentit del moviment de les agulles d’un rellotge). Se’n divideixen els costats en tres parts iguals mitjançant els punts següents: A, E, F, B, G, H, C, I, J, D, K, L i A.

Es tracen les rectes AG, BI, CK i DE. Siguin P = AG ∩ DE; Q = AG ∩ BI; R = CK ∩ DE. Calcula l’àrea del quadrilàter PBQR.


SOLUCIÓ:

El quadrilàter PBQR és un trapezi de bases PR i BQ, i altura PQ, on PQ = PR = 2BQ.

En n el triangle rectangle AQB, AQ = 3BQ, i si hi apliquem el teorema de Pitàgores:

AQ 2 + BQ2 = AB 2 → 10BQ2 = a2

L’àrea de PBQR és:

Una altra manera:

També es pot fer tenint en compte que el quadrilàter PBQR està format

per dos triangles rectangles: RPQ, de base i altura RP = PQ,

i PQB, de base PQ i altura . L’àrea és:

Construeix un triangle ABC sabent ha, hb i ma.

(II Olimpíada de Batxillerat. Fase Internacional)

SOLUCIÓ:

Suposem que tenim el problema resolt,conegudes les altures AA' = ha, BB' = hb

i la mitjana AM = ma.

Del triangle AMA' en sabem la hipotenusa AMi el catet AA'.

D’altra banda, la perpendicular per M a ACés la paral·lela mitjana del triangle BB'C.

La construcció és la següent.

Es construeix el triangle AMA'. Es traça la circumferència de centre M i radi ; la tangent

a aquesta circumferència per A talla la recta MA' en C, que és el segon vèrtex del triangle que es demana;finalment, el simètric de C respecte a M ens dóna el tercer vèrtex, B.

hb

2

MMhb' =2

52

S S Sa a a

RPQ PQB= + =⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟+ ⋅

1

2

10

5

1

2

10

10

12

00

5

3

10

22

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟=

au

BQa

=10

10

PQa

=10

5

Sa a a a

= +⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⋅ =

1

2

10

10

10

5

10

5

3

10

22u

BQa

PR PQa

= = =10

10

10

5

51

BG H

C

AL K

D

RP

Q

F

E

I

J

ha

hb

ma

A'

M'

B'

A

CBM


� MATEMÀTIQUES I (1r BATXILLERAT) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. � 493

Es consideren el triangle ABC, amb $A = 70°, $B = 60°, i el triangle format pels peus de les altures de ABC: A'B'C', anomenat triangle òrtic del primer. Calcula els angles de A'B'C'.(Olimpíada de Batxillerat. Fase de districte)

SOLUCIÓ:

Siguin A'B'C ' el triangle òrtic del triangle ABCi H l’ortocentre d’aquest triangle.

El quadrilàter A'HC'B té rectes els angles en $A' i $C'; per tant, els altres dos angles són suplementaris:

A més, com que en qualsevol triangle les altures són les bisectrius del seu triangle òrtic, es verifica que α + γ = 60°.

Anàlogament, tenim que:

Resolem el sistema:

S’obté que .

Tres punts A, B i C s’uneixen per segments. Sobre la meitat del segment AB es construeix un quadrat; sobre BC es construeix un altre quadrat, i sobre CA es construeix un rectangle de base CA i altura 4 cm. L’àrea del rectangle supera en 20 cm2 la suma de les àrees dels dos quadrats. Troba l’àrea del rectangle.


SOLUCIÓ:

Observant la figura es té la relació:

Per la propietat triangular, b ≤ a + c:

Completem els quadrats:

(c − 8)2 + (2a − 4)2 ≤ 0

Com que la suma de quadrats no pot ser negativa:

(c − 8)2 + (2a − 4)2 = 0

Si igualem a zero cadascun dels sumands, tenim que:

c = 8, a = 2 i b = 10

Com que b = a + c, els punts estan alineats.

L’àrea del rectangle és 4 ⋅ 10 = 40 cm2

80 4

1680 4 16 16 0

2 22 2+ +

≤ + + + − − ≤c a

a c c a a c→

44

2080 4

16

22

2 2

bc

a bc a

= + + =+ +→

54

A B C' ' '� � �= = =40 60 80º, º ºi

α γα ββ γ

α β γ+ =+ =+ =

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

= = =605070

20 30 4→ º, º, 00º

B HC A' '� �= − = + =180 110 70º º º→ β γ

A HB C' '� �= − = + =180 130 50º º º→ α β

A HC B' '� �= − =180 120º º

53

C

A B

C

b

4a

cc/2

A B

Hγ

αβ

C'

B'

A'

2

A4 2

10

4

CB

OLI

MPÍA

DES

MATE

MÀTI

QU

ES



Tenim un triangle ABC qualsevol de costats a, b i c. Si P és un punt del costat BC, situat entre B i C, si m i n són les longituds dels segments BP i PC, respectivament, i si t és la longitud del segment AP,demostra que b2m + c2n = t 2a + mna.

Fent servir el resultat anterior, calcula la longitud de la mitjana i de la bisectriu interior del triangle ABC, relatives al vèrtex A.


SOLUCIÓ:

Apliquem el teorema del cosinus als triangles APC i ABP:

b2 = t 2 + n2 − 2tn cos α

c2 = t 2 + m2 + 2tm cos α

Si multipliquem la primera expressió per m i la segona per n i les sumem m + n = a, en resulta:

b2m + c2n = t 2a + mna

Si AP és la mitjana, , i si ho substituïm a la igualtat anterior:

I si AP és la bisectriu, es verifica que:

Si ho substituïm, tenim que:

on p és el semiperímetre del triangle ABC.

Finalment, concloem que:

Un punt P dista 12 cm del centre d’una circumferència de 6 cm de radi. Troba l’angle que formen entre elles les dues tangents traçades des d’aquest punt a la circumferència.


SOLUCIÓ:

En el triangle OAP de la figura, que és rectangle en A, es compleix que:

Per tant, l’angle format per les tangents és de 60°.

sin α α= = =6

12

1

230→ º

56

tb c

bcp p a=+

−2

( )

t bca

b cbc

a b c b c a

b2

2

21= −

+

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ = ⋅

+ + + −( )

( ) ( )

( ++=

−+c

bcp p a

b c)

( )

( )2 2

4

bac

b cc

ab

b ct a

a bc

b c2 2 2

3

2⋅

++ ⋅

+= +

+( )

m

c

n

b

m n

b c

a

b cm

ac

b cn

ab

b c= =

++

=+

=+

=+

→

ba

ca

t aa

a tb c a2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2⋅ + ⋅ = +

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

+ −→22

2

m na

= =2

55

GEOMETRIA

anm

A

B C

bcc

t

P

α

A

α

B

P O

6

12



Es considera un con equilàter inscrit en una esfera de radi R. Calcula a quina distància del vèrtex del con s’ha de traçar un pla perpendicular a l’eix del con, perquè l’àrea de la corona circular compresa entre l’esfera i el con sigui màxima.


SOLUCIÓ:

Es representa una secció per un pla que passa per l’eix del con.

Sigui x = FA la distància que es demana.

L’àrea de la corona és: S = α(FH 2 − FG2) [1]

El triangle rectangle AHD, pel teorema de l’altura:

FH 2 = FA ⋅ FD = x(2R − x)

De la semblança dels dos triangles AFG i AEC, tenim que:

→

Si ho substituïm en [1]:

El valor màxim de S s’assoleix per a .

Es considera una circumferència de centre O i radi r, i un punt P que és exterior a la circumferència. Es tracen cordes AB paral·leles a OP.

a) Demostra que PA 2 + PB 2 és constant.

b) Troba la longitud de la corda AB, que fa màxima l’àrea del triangle ABP.


SOLUCIÓ:

a) Sigui 2c la longitud de la corda AB i h és la distància: AA' = BB'.

En els triangles rectangles AA'P i BB'P, tenim que:

PA2 = AA'2 + PA'2 = h2 + (PO + c)2

PB2 = BB'2 + PB'2 = h2 + (PO − c)2

Sumant-los, membre per membre:

PA2 + PB2 = 2(h2 + PO 2 + c2)

Com que h2 + c2 = r 2, en resulta que: PA2 + PB 2 = 2(r 2 + PO 2),que és constant perquè r i PO ho són.

b) L’àrea del triangle ABP val ch, que és el doble del triangle rectangle AA'O; aquest triangle té la hipotenusa constant, OA = r.

Si un triangle rectangle té constant la hipotenusa, la seva àrea és màxima quan els catetssón iguals; per tant, el triangle ABP és d’àrea màxima quan c = h; aleshores AB és el costat del quadrat inscrit en la circumferència i val .AB r= 2

58

xR

=3

4

S x R xx

Rxx

= − −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ = −

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟π π( )2

32

4

3

2 2

⎟⎟

FGx

=3

3EC BC

REA R

R R= = = + =

1

2

3

2 2

3

2i

FG

EC

FA

EAFG

EC FA

EA= =

⋅→

57

495

2

A

D

O

2c

A' B'

A B

hr

P

H

CB E

O

F

xG

OLI

MPÍA

DES

MATE

MÀTI

QU

ES



Una altra manera:

a) Prenent un sistema de referència, com s’indica a la figura, la circumferència té d’equació x2 + y2 = r 2, i les coordenades dels punts són P(a, 0), A(−x, y ) i B(x, y ).

La suma següent és constant:

PA2 + PB2 = [(−x − a)2 + y2] + [(x − a)2 + y2] =

PA2 + PB2 = 2(x2 + y2) + 2a2 = 2(r 2 + a2)

b) L’àrea del triangle PAB és

, amb x ∈ [−r, r ]

La funció S té màxim quan el tingui el polinomi P (x) = r 2x 2 − x4, que, fent-hi el canvi de variable x2 = t, es converteix en el polinomi de segon grau P (t ) = r 2t − t 2, de valor màxim

quan , i en resulta , on prenem el valor positiu, per simetria.

La longitud de la corda és:

Sigui γ1 una circumferència de radi r1 i P un punt exterior que dista a del seu centre. Se suposenconstruïdes les dues rectes tangents a γ1 des de P. I sigui γ2 una circumferència de radi menor que el radide γ1, tangent a aquestes dues rectes i a γ1. Un cop construïda la circumferència γn es construeix unaaltra circumferència γn+1, tangent a les dues rectes esmentades i a γn. Es demana que determinis:

a) El radi de γ2.

b) L’expressió general del radi de γn.

c) El límit de la suma de les longituds de les circumferències γ1, γ2, γ3, …, γn, …

(II Olimpíada de Batxillerat. Fase estatal)

SOLUCIÓ:

a) O1 y O2 són els centres, r1 i r2 són els radis, i A1 i A2 són els punts de tangència de les circumferències γ1 i γ2, respectivament.

De la semblança dels triangles PO1A1 i PO2A2 es dedueix que:

b) Si O3, r 3 i A3 són el centre, el radi i el punt de tangència de la circumferència γ3, per semblança dels triangles PO2A2 i PO3A3, en resulta que:

Els radis formen una progressió geomètrica de raó .

Aleshores el radi de la circumferència γ n val: r ra r

a rn

n

= ⋅−+

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

−

11

1

1

a r

a r

−+

1

1

rr a r

a rr

a r

a r3

2 1

11

1

1

2

=−

+=

−+

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

( )

PO

PO

O A

O A

a

a r r

r

r

a r

a rr1

2

1 1

2 2 1 2

1

2

1

12=

− += =

+−

→ →( )

==−

+r a r

a r1 1

1

( )

59

AB x r= =2 2

xr

= ±2

2t

r=

2

2

S AB BB x r x r x x= ⋅ = ⋅ − = −1

2

1

22 2 2 2 2 4'

GEOMETRIA

B'O

A B

P

Y

X

P

A3A2

A1

γ3 γ2 γ1

r 1r 2r 3

O3 O2 O1



c) Com que es tracta d’una progressió geomètrica decreixent i il·limitada, el límit de la suma de les longituds dels radis és:

La suma de les longituds de les circumferències és π (a + r 1).

La longitud de la hipotenusa BC d’un triangle rectangle ABC és a, i a sobre de la hipotenusa

hi ha els punts M i N tals que BM = NC = k, amb . Suposant que només sabem

les dades a i k, calcula:

a) El valor de la suma dels quadrats de les longituds AM i AN.

b) La raó de les àrees dels triangles ABC i AMN.

c) L’àrea tancada per la circumferència que passa pels punts A, M' i N', on M'és la projecció ortogonal de M sobre AB i N? la projecció ortogonal de N sobre AC.

(III Olimpíada de Batxillerat. Fase estatal)

SOLUCIÓ:

a) En el triangles AM'M i AN'N es té que:

AM2 = y2 + (c − x)2 = y2 + c2 − 2cx + x2

AN2 = (b − y)2 + x2 = b2 − 2by + y2 + x2

Com que x2 + y2 = k2 i b2 + c2 = a2, s’obté:

AM2 + AN2 = 2k2 + a2 − 2(cx + by)

De la semblança dels triangles BM 'M i BAC, en resulta que:

El valor de la suma dels quadrats és:

AM2 + AN2 = 2k2 + a2 − 2ka

b) Prenent BC i MN com a bases dels triangles ABC i AMN, l’altura, h, és comuna, per la qual cosa la raó de les seves àrees és igual a la raó de les bases:

c) La circumferència que passa per A, M ' i N ' té per diàmetre la hipotenusa del triangle M'AN'.

L’àrea és: SM N a k

= =−π π' '2 2

4 4

( )

M N b y c x bkb

cc

kc

a' ' = − + − = −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ + −

⎛( ) ( )2 2

2

⎝⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = −

2

a k

S

S

a

a kABC

AMN

=− 2

BM

BA

MM

AC

BM

BC

x

c

y

b

k

ax

kc

ay

kb

a

' '= = = = = =→ → ,

ka<2

60

ra r

a r

a r1

1

1

1

1 2−−+

=+

497

2

A

N

MH

B

c

PC

b

x

y

xk

k

h

ya

N'

M'

M'

N'C

B

c − x

b − yA

OLI

MPÍA

DES

MATE

MÀTI

QU

ES



C i C' són dues circumferències concèntriques de radis r i r', respectivament. Determina

quant ha de valer el quocient perquè en la corona limitada per C i C' hi hagi vuit

circumferències Ci, per a i = 1, 2, …, 8, que siguin tangents a C i C', i també que Ci

sigui tangent a Ci + 1 per a i = 1, 2, …, 7, i C8 sigui tangent a C1.

(X Olimpíada de Batxillerat. Fase estatal)

SOLUCIÓ:

Suposem que r > r '.

Els centres de les vuit circumferències tangents entre elles i a C i C ' formen un octògon regular, per la qual cosa

l’angle BOA és igual a , i l’angle DOA,

que és igual a la meitat de l’angle BOA, mesura 22° 30'.

En el triangle rectangle ODA:

El segment DA és el radi d’una de les vuit circumferències:

El valor OA és:

Determina tots els triangles tals que les longituds dels tres costats i la seva àrea siguin quatre nombres naturals consecutius.

(XVI Olimpíada de Batxillerat. Fase estatal)

SOLUCIÓ:

Siguin els costats n, n + 1 i n + 2 i l’àrea n + 3.

Fent servir la fórmula d’Heró i tenint en compte que el semiperímetre és :

3n3 + 3n2 − 19n − 51 = 0

Aquesta equació té com a única arrel real n = 3.

El triangle que verifica les condicions del problema és el que té com a longituds dels seus costats 3, 4 i 5 i àrea 6.

nn n n n

n n+ =+

⋅+

⋅+

⋅−

+ = +33 1

2

3

2

1

2

1

23

3

1612 2( )

( ) ( )→ (( ) ( )n n− +1 3

pn

=+3 1

2

( )

62

2 2

2

2 2

2

1

1

2 22

2

−=

−

+

−=

−

+=

−( )

( )

r r

r r

rrr

r

r

r

'

'

'

''→ → −−

+ −

2

2 2 2

OA OF FA rr r r r

= + = +−

=+

'' '

2 2

DA FAOG OF r r

= =−

=−

2 2

'

sincos

22 301 45

2

2 2

2º

º' =

−=

−

sin sinDOADA

OA� = =22 30º '

360

845

ºº=

rr'

61

GEOMETRIA

O F A

D

B

G



En una circumferència de radi igual a la unitat es tracen dues cordes, AB i AC, de la mateixa longitud.

a) Esbrina com es pot construir una tercera corda DE que quedi dividida en tres parts iguals per les interseccions amb AB i AC.

b) Si , quant valen les longituds dels dos segments que la corda DE determina sobre AB?

(XI Olimpíada de Batxillerat. Fase estatal)

SOLUCIÓ:

a) Prenem sobre la recta BC els segments BB' i CC', que són iguals a BC.

Les interseccions de AB' i AC' amb la circumferènciadeterminen els punts D i E.

En efecte, si BB'= BC = CC', per la semblança dels triangles ABB ', ABC i ACC ' amb ADM, AMNi ANE, respectivament, també es compleix que: DM = MN = NE.

b) Si , la corda AB és el costat del quadrat inscrit en la circumferència, i els triangles ABCi AMN són rectangles i isòsceles.

Per potència del punt M respecte de la circumferència, en resulta que:

D’entre els triangles que tenen un costat de 5 m de longitud i l’angle oposat de 30°, determina quin és el d’àrea màxima, calculant el valor dels altres dos angles i la seva àrea.


SOLUCIÓ:

Tenim el triangle ABC, amb BC = 5 m.

Si l’angle oposat $A val 30°, està inscrit en una circumferència i abasta un arc de 60º, per la qual cosa BC serà el costat de l’hexàgon regular inscrit i el radi valdrà 5 m.

De tots els triangles que compleixen aquestes condicions, el triangle

d’àrea màxima és el que té més altura, i és el triangle isòsceles A'BC .

Els angles en $B i en $C mesuren 75° cadascun.

La base BC mesura 5 m i l’altura és:

L’àrea que es demana és:

S = ⋅ ⋅+

=+1

25

10 5 3

2

25 2 3

42( )

m

HA A O OH A O OC' ' '= + = + =+

sin 6010 5 3

2º

64

MA MB= = − =2

52

2

5

4 2

5i

MA MB MD ME MA MA MA MA⋅ = ⋅ − = ⋅→ ( )2 2 2 2

MN AM DM AM ME AM= = =2 2 2 2

AB AC= = 2

AB AC= = 2

63

499

2

D E

C'B' B C

M N

A

A'

A

O

HB C

30°

B' B

D EA

M N

O C C'

OLI

MPÍA

DES

MATE

MÀTI

QU

ES



Troba les coordenades dels vèrtexs d’un quadrat ABCD, sabent que A està sobre la recta

y − 2x = 6, C en x = 0 i B és el punt (a, 0); on .


SOLUCIÓ:

Com que , les coordenades del punt B són (4, 0).

Traslladem els eixos de coordenades de manera que el nou origen sigui el punt B. Les equacions de la translació són:

Les rectes són y ' = 2x ' + 14 i x ' = −4 i el punt C és (−4, α).

El punt A s’obté a partir de C per un gir de 90° i centre en el nou origen.Per trobar el punt A, doncs, multipliquem el nombre complex −4 + αiper la unitat imaginària i, i s’obté (−4 + αi ) ⋅ i = −α − 4i , i com que ha de pertànyer a la recta y ' = 2x ' + 14, s’ha de complir que:

−4 = −2α + 14 → α = 9

Les coordenades de C són:

I les coordenades de A són:

Finalment, les coordenades del punt D es poden obtenir fàcilment, tenint en compte que el centre del quadrat és el punt mitjà de les diagonals BD i AC.

Per tant, tenim que D(−9, 5).

Una altra manera:

Amb centre en B fem un gir de + 90°. La recta x = 0 es transforma en y = −4, i el punt C, en A.

Com que A també pertany a la recta y = 2x + 6, trobem la intersecció de les dues rectes i s’obté A(−5, −4).

La recta perpendicular a AB pel punt B: 9x + 4y − 36 = 0, talla l’eix Y en el punt C(0, 9).

De la mateixa manera, s’obté el vèrtex D (−9, 5).

dd2

20

2

9 4

25

+=

−=→

dd1

14

2

0 5

29

+=

−= −→

xy

A= − + = −= −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

− −9 4 54

5 4→ ( , )

xy

C= − + ==

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

4 4 09

0 9→ ( , )

x xy y

x xy y

''

''

= −=

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= +=

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

4 4→

a = =⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =log log2

323

416

81

2

34

a =⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟log 2

3

1681

65

GEOMETRIA

Y'Y

XO'B

O

A

D

C

A

BO

D

M

C

Y

X



Si m és un nombre enter positiu i les rectes y = mx − 1 i 13x + 11y = 700 es tallen en un punt de coordenades enteres, quant val m? Quines són les coordenades del punt de tall?

(X Concurs Primavera. Madrid)

SOLUCIÓ:

Resolem el sistema d’equacions:

Perquè x sigui un número enter, 11m + 13 ha de ser divisor de 711.

Els divisors són ±1, ±3, ±9, ±79, ±237 i ±711.

Si 11m + 13 és igual a un dels divisors positius, només s’obté m quan:

11m + 13 = 79 → m = 6

Les rectes es tallen en el punt (9, 53).

Pel punt mitjà de la hipotenusa d’un triangle rectangle es traça una recta que talla el catet més gran amb un angle de 45°. Calcula, en funció de la hipotenusa, la suma dels quadrats dels segmentsdeterminats en aquest catet.


SOLUCIÓ:

Si M és el punt mitjà de la hipotenusa, P és la seva projecció sobre el catet AB i l’angle MNP és de 45°, el triangle

rectangle MPN és isòsceles, i per tant .

Una altra manera:

Si situem el triangle en un sistema de referència, com indica

la figura, el punt M és i la recta que passa per M,

amb pendent igual a 1, té d’equació

i talla l’eix d’abscisses a , per la qual cosa:

AN NBc b

cc b2 2

2 2

2 2+ =

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ + −

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ==

+=

b c a2 2 2

2 2

Nc b−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟2

0,

yb

xc

− = −2 2

c b

2 2,

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

AN AP NP c b c b

NB NP PBb c b c

= − = − = −

= + = + =+

⎫

⎬

⎪⎪⎪2 2 2

2 2 2

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

+ =−

++

=+

=→ AN NBc b b c c b a2 2

2 2 2 2 2

4 4 2

( ) ( )

22

PM PNb

= =2

67

y mxx y

xm

ym= −

+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

=+

=−1

13 11 700711

11 13

700→ 113

11 13m +

66

501

2

A

b

C

M

45°N P B

A

b

aM

45°N c B

C

X

Y

c2

a2

OLI

MPÍA

DES

MATE

MÀTI

QU

ES



Doblega les puntes d’un quadrat en la forma que indica la figura de manera

que l’àrea del quadrat del centre valgui de l’àrea del quadrat més gran.


SOLUCIÓ:

Com que el costat del quadrat més gran és a = AB = x + y, i el costat del quadrat més petit és a' = EF = y − x, la relació

entre les àrees ha de ser .

Una altra manera:

Sigui a el costat del quadrat ABCD, i sigui DE = x.

L’àrea del quadrat del centre és la diferència entre l’àrea del quadrat ABCDi la suma de les àrees de vuit triangles rectangles, de catets x i a − x.

Les solucions són:

Per un punt comú a dues circumferències secants, traça una recta que determini en totes dues circumferències cordes de la mateixa longitud.


SOLUCIÓ:

Suposem que tenim el problema resolt, i que la recta que es demanaés CD.

Si tracem per O i O' les perpendiculars a CD, es forma el trapezirectangle OO'FE, en què AI és la paral·lela mitjana.

Per tant, la construcció és la següent: s’uneix A amb el punt mitjà Ide OO', i la perpendicular a AI per A és la recta que es demana.

Per un raonament anàleg s’obté la recta que passa per C' i D', que és l’altra solució del problema.

Una altra manera:

A i B són els punts d’intersecció de les circumferències de centres O i O'.

Suposem que tenim el problema resolt, i que la secant que es demana és ED. Com que els punts E i D, un de cada circumferència, són simètricsrespecte de A, la construcció és la següent: es traça la circumferènciasimètrica de la circumferència de centre O respecte de A, la intersecció de la qual amb la circumferència de centre O és el punt D; la recta que es demana s’obté unint D amb A.

Hi ha una altra solució, GF, que és simètrica de l’anterior respecte de la recta OO' dels centres.

També es podria resoldre obtenint la circumferència simètrica de la circumferència de centre O' respecte de A.

69

a n n

n

a n n

n

( ) ( )+ −2 2

i

a x a x

a nnx anx a n

2

22 24 1

4 4 1 0− −

= − + − =( )

( )→

a x ya y x

a nn

a

xn n

na y

n= += −

=

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

=−

⋅ ='

'→

2

++⋅

n

na

2

an

a'2 21=

1n

68

GEOMETRIA

O'

GB

FO

D

CA

E

D Ca − x

A

E

x

a B

A'

C'

D'

O I

CE

FD

A

O'

D C

A y x B

FE

aa'



Inscriu en un quadrat donat un triangle equilàter amb un vèrtex comú.


SOLUCIÓ:

Suposem que tenim el problema resolt, i que el triangle equilàter que es demana és AMN, inscrit en el quadrat ABCD.

Per un gir de centre A i amplitud 60°, el vèrtex M, del costat BC, es transforma en el vèrtex N, del costat CD.

Aleshores la construcció és la següent: s’aplica en el costat BC el gir de centre A i amplitud 60°, i s’obté la recta r, i la intersecció d’aquesta recta amb el costat CD és el vèrtex N; el gir oposat al gir anterior transforma N en M, de manera que queda determinat el triangle que es demana.

Una altra manera:

Siguin a el costat i BM = x → MC = a − x.

Com que AM = MN, si apliquem el teorema de Pitàgores als triangles ABM i MCN:

a2 + x2 = 2(a − x)2 → x2 − 4ax + a2 = 0 →

Pel fet que x < a, l’única solució vàlida és .

La construcció del segment x és:

Construïm el segment , en la primera figura.

Donats el segment OD = 2 unitats, i el triangle rectangle OAM, de catets la unitat, la hipotenusa és .

En n el triangle rectangle, amb OB = OM i catet NB = 1, la hipotenusa és .

Si OD = 2 i , el segment és .

El segment x és el producte dels segments a i , que es construeix prenent els segments OC = 1, OP = a i , en la segona figura. La paral·lela a PC per D dóna el punt Q. El segment PQ és el segment que es demana.

Una altra manera:

Els triangles rectangles ABM i ADN són iguals perquè tenen, respectivament,iguals les hipotenuses i els catets.

Per construir-lo, tracem el triangle equilàter ABP, i en resulta l’angle PAB = 60°. A continuació tracem les bisectrius AQ

de l’angle PAB i AM de l’angle QAB, i en resulta . El punt Més un dels vèrtexs del triangle que es demana. Per la seva banda, N es potobtenir com el simètric de M respecte de la diagonal AC.

MAB� = 15º

α =−

=90 60

215

º ºº

OP

OC

PQ

CDPQ OP CD a= = ⋅ = −→ ( )2 3

CD = −2 32 3−

CD = −2 3OC = 3

ON = 3

OM = 2

x a= −( )2 3

x a= −( )2 3

x a= ±( )2 3

70

503

2

D Nr

M

C

A B

α

α

axPQ

M N

0 1 A B C D DC10

A B

D NP

Q

M

15° 30° 60°

C

D N

M

C

A Bx

a − x

a

OLI

MPÍA

DES

MATE

MÀTI

QU

ES



Demostra que si a i b són els catets, c és la hipotenusa d’un triangle rectangle i r és el radi

de la circumferència inscrita, es verifica que: .


SOLUCIÓ:

Sigui l el centre de la circumferència inscrita en el triangle ABC.

Si M, N i P són els punts de tangència d’aquesta circumferència amb les dades del triangle, es verifica que:

CM = CP = r BN = BM = a − r AN = AP = b − r

En un quadrat ABCD, de costat a, es fa centre en els vèrtexs C i D, i, amb radi a, es tracen els arcs BMD i AMC que es tallen en M. Troba el radi de la circumferència inscrita en el triangle curvilini DMC, i també l’àrea d’aquest triangle.


SOLUCIÓ:

En la primera figura, O és el centre de la circumferència que es demana i r el radi.

En el triangle rectangle OED tenim que:

DO = DF − OF = a − r

En la segona figura, el triangle curvilini DMC està format per un sector circular de radi ai amplitud 60° i el segment circular corresponent.

L’àrea és igual a dues vegades l’àrea del sector circular menys l’àrea del triangle equilàter DCM:

26

3

4

4 3 3

12

2 22⋅ − =

−π πa aa

( )a r ra

ra

− = + =2 22

4

3

8→

DEa

=2

72

c BN AN a b r ra b c

= + = + − =+ −

22

→

ra b c= + −

2

71

GEOMETRIA

A

C M B

N

P Ic

a

b

A

D

a

E

BM

F

O

C D

M

C60°



Un triangle que té els costats determinats pels nombres enters fa 8 cm de perímetre. Troba’n la mesura dels angles i la mida de l’àrea.

(IX Concurs Primavera. Madrid)

SOLUCIÓ:

Si es té un compte que, en qualsevol triangle, el costat més gran és més petit que el semiperímetre, en aquest cas aquest costat ha de ser més petit que 4.

Els únics nombres enters positius la suma dels quals és 8, i que verifiquen les relacions anteriors, són 3, 3 i 2; per tant, el triangle és isòsceles.

L’altura del triangle ABC mesura:

En aquest triangle tenim que:

L’angle $A és:

$A = 180° − 2 ⋅ (70° 31' 43,61'') = 38° 56' 32,79''

I la seva àrea fa:

El punt M és el punt mitjà del segment d’extrems A i B. Estudia el lloc geomètric dels punt Pdel plànol, tals que PM sigui la mitjana proporcional entre PA i PB.


SOLUCIÓ:

PM és una mitjana del triangle PAB.

Apliquem el teorema del cosinus en els triangles PAM i PMB:

PA2 = d2 + PM2 − 2d ⋅ PM ⋅ cos α

PB 2 = d2 + PM2 − 2d ⋅ PM ⋅ cos (180° − α) =PB 2 = d2 + PM2 + 2d ⋅ PM ⋅ cos α

Si ho sumem s’obté: PA2 + PB 2 = 2d2 + 2PM2

Com que PM2 = PA ⋅ PB, en resulta que:

PA2 + PB 2 = 2d2 + 2PA ⋅ PB → PA2 + PB 2 − 2PA ⋅ PB = 2d2 → (PA − PB)2 = 2d2

Per tant, tenim que , és a dir, la diferència de les distàncies de P als punts A i B és constant,per la qual cosa el lloc que es demana és una hipèrbola de focus A i B. Consegüentment, la distància focal és 2c = 2d i l’eix real és .

En una hipèrbola es verifica que b2 = c2 − a2:

Com que els dos eixos són iguals, la hipèrbola és equilàtera.

b dd d

b d2 2

222

2 22 2= −

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟= =→

2 2a d=

PA PB d− = 2

74

SBC h

=⋅

=⋅

=2

2 2 2

22 2 2cm

sin α α= = =h

AC

2 2

370 31 43 61→ º ' , ''

h AC HC= − =2 2 2 2 cm

73

505

2

α

α

A B

P

Md

H

A

B CH

h

OLI

MPÍA

DES

MATE

MÀTI

QU

ES



Una altra manera:

Siguin els punts A(−d, 0) i B(d, 0). El punt mitjà és l’origen de coordenades i P és el punt de coordenades (x, y ).

Es verifica que:

PM2 = PA ⋅ PB

Després d’operar i simplificar-ho, en resulta l’equació:

, d’una hipèrbola equilàtera referida als seus eixos.

Els seus focus són els punts A i B.

Donada la recta x = a, un punt M (x1, y1) es projecta ortogonalment sobre x = a en D, i es traça OM, que talla x = a en B. Una paral·lela a X per B talla OD en N. Troba l’equació del lloc geomètric de N quan M descriu la circumferència (x − b)2 + y 2 = b 2.


SOLUCIÓ:

Les coordenades del punt D són D(a, y1).

El punt B és la intersecció de les rectes OM,

i x = a. Les seves coordenades són:

El punt N és la intersecció de OD, y 1x = ay, i la paral·lela

a OX per B, .

El lloc geomètric és , amb la condició

que .

Si eliminen x1 i y2 s’obté que:

Aquesta és l’equació d’una paràbola l’eix de la qual és X, i amb vèrtex en el punt .Va

b

2

20,

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

a

xb

ay

xb y b

2 2 2

2 2 2−⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

+⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = −→ xx a+ =2 0

( )x b y b12

12 2− + =

xa

xy

ay

x= =

2

1

1

1

i

yay

x= 1

1

B aay

x, 1

1

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

yy x

x= 1

1

75

c a bd

d c d2 2 2

2

222

22 2= + = ⋅

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟= =→

ad

a b d22

22 2 2= = =→

x yd2 2

2

2− =

x y x d y x d y2 2 2 2 2 2+ = + + ⋅ − +( ) ( )

GEOMETRIA

P

M B(d, 0)

A(−d, 0)

Y

X

Y

XCO

ND

M

B



Quin lloc geomètric ha de descriure l’afix del nombre complex z perquè els afixos de z, iz i i estiguin alineats?


SOLUCIÓ:

Siguin z = x + yi, iz = −y + xi. Els afixos de cada un dels tres nombres complexos són M (x, y ), B (−y, x) i A(0, 1).

Perquè estiguin alineats, els vectorsMB� = (−y − x, x − y) i MA� = (−x, 1 − y) han de tenir la mateixa direcció i els seus componentshan de ser proporcionals.

El lloc geomètric és una circumferència de centre i radi .

En un trapezi ABCD, les diagonals AC i BD es tallen en P. Demostra que l’àrea del triangle PBC és la mitjana proporcional entre les àrees dels dos triangles ABP i PCD.


SOLUCIÓ:

Les àrees de cada un dels triangles ABP, PCD i PBC són:

Si multipliquem les àrees de ABP i PCD:

Els triangles ABP i PCD són semblants, perquè tenen els angles iguals i es verifica que:

I si fem les substitucions s’obté:

L’àrea SPBC és la mitjana proporcional entre les àrees SABP i SPCD.

S S AB DC h h ABAB h

hh hABP PCD⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

⋅⋅ ⋅ = ⋅

1

4

1

4

1

2'

'' AAB h SPBC⋅

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = ( )'

22

DC

AB

h

hDC

AB h

h= =

⋅' '→

S S AB h DC h AB DC h hABP PCD⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅1

2

1

2

1

4' '

S S S AB h h AB h AB hPBC ABC ABP= − = ⋅ + − ⋅ = ⋅1

2

1

2

1

2( )' '

S AB h S DC hABP PCD= ⋅ = ⋅1

2

1

2'

77

r =2

2C

1

2

1

2,

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

− −−

=−−

+ − − =y x

x

x y

yx y x y

102 2→

76

507

2

BA

C

P

β α

α β

D

B

M

x

xA

O

C

y

−y

Y

X

h'

h

OLI

MPÍA

DES

MATE

MÀTI

QU

ES



Calcula els valors dels cosinus dels angles x que satisfan l’equació.

(VII Olimpíada de Batxillerat. Fase estatal)

SOLUCIÓ:

L’equació es pot escriure així:

1 − cos2x − 2 cos2x + sin x cos x = 0 → 3 cos2x − sin x cos x − 1 = 0

Sabem que cos x no pot valer zero, ja que aleshores en resultaria −1 = 0.

Si ho dividim entre cos2x , i com que :

tg 2x + tg x − 2 = 0 → tg x = 1 i tg x = −2

Si tg x = 1:

Si tg x = −2:

Una altra manera:

Si apliquem la fórmula del sinus de l’angle doble, i expressem sin x en funció de cos x, en resulta l’equació:

→ 10 cos4 x − 7 cos2 x + 1 = 0

La solució de l’equació és:

Es dibuixa un semicercle amb centre en O i diàmetre AB, i, a l’interior, un altre semicercle amb diàmetre OA. Es traça per un punt C de OA una perpendicular a aquest radi OA, que talla el semicercle menor en D i el major en E, i, finalment, la recta AD, que talla el semicercle major en F. Demostra que el cercle circumscrit al triangle DEF és tangent a la corda AE en E.


SOLUCIÓ:

L’angle AFB és recte perquè està inscrit en una semicircumferència;aleshores el quadrilàter CBFD té rectes dos angles oposats, per laqual cosa és inscriptible en la circumferència de diàmetre BD.

Per potència del punt A respecte d’aquesta circumferència, tenim que:

AC ⋅ AB = AD ⋅ AF [1]

L’angle AEB és recte perquè està inscrit en una semicircumferència, i aplicant-hi el teorema del catet del triangle AEB:

AE 2 = AB ⋅ AC

Tenint en compte [1], en resulta: AE 2 = AD ⋅ AF

Es dedueix, per potència del punt A respecte de la circumferència circumscrita el triangle DEF, que la recta AE és la tangent en E.

79

cos i cosx x= ± = ±2

2

5

5

3 1 1 02 2cos cos cosx x x− − − =

15

5

52coscos

xx= = ±→

12

2

22coscos

xx= = ±→

11

22

costg

xx= +

sin cos sin2 2212

2 0x x x− + =

78

GEOMETRIA

A C O B

D

EF



En el rectangle la base del qual és doble que l’altura, es construeixen els dos quadrants de circumferènciai les circumferències tangents als dos quadrants i a l’anterior (excepte la primera, que és tangent al costatsuperior del rectangle). Si numerem les circumferències en ordre de mida decreixent, es demana quedemostris que l’expressió per al diàmetre dn de la n-èsima circumferència és:

Demostra també que:


SOLUCIÓ:

Anomenem Oi el centre de la circumferència construïda en l’ordre i, ri n’és el radi i di n’és el diàmetre.

En el triangle rectangle APO1, AP = R, AO1 = R + r1, PO1 == R − r1, i aplicant-hi el teorema de Pitàgores:

Per al radi r2 tenim que:

I per al radi r3:

Si suposem que és cert que, per a n = k, es verifiquen les relacions anteriors:

Tot seguit demostrem que aquestes relacions també es compleixen per a n = k + 1.

De la hipòtesi d’inducció es dedueix que:

El diàmetre de la n-èsima circumferència és:

Els sumands de la successió són els valors dels diàmetres

calculats anteriorment quan R = 1.

El límit d’aquesta suma, quan n tendeix a infinit, és el segment que conté els centres de les infinites circumferències, que és el radi R, i aquest límit val 1.

an n

n =⋅

+⋅

+ … ++

1

1 2

1

2 3

1

1( )

dR

n nn =

+( )1

rR

k kd

R

k kk k+ +=

⋅ + +=

+ +1 1

2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )→

( ) ( )R r R R r r r r RR

kk k k+ = + − − − … − − = +

++ +1

2 21 2 1

2 22 2 211

1

2

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟+rk

R r r r rR

k

R

k k

R

kk k− − − … − − = − ⋅

+=

+−2 2 2 2 2

2 1 11 2 1

( )

R r r rR

kk− − − … − =−2 2 21 2 1

( ) ( )R r R R r r r r RR

krk k k k+ = + − − − − − = + −−

2 21 2 1

2 22 2 2…⎛⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

⋅ +

2

1→ d

R

k kk

( )

( ) ( )R r R R r r r RR

r+ = + − − − = + −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟

32 2

1 2 32 2

32 23

⎟⎟⎟⎟ =⋅

=⋅

2

3 33 8 3 4

→ →rR

dR

( ) ( )R r R R r r RR

r+ = + − − = + −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟2

2 21 2

2 22

2

22

→→ →rR

dR

2 23 4 2 3

=⋅

=⋅

rR

dR

1 14 1 2

= =⋅

→

( ) ( )R r R R r+ = + −12 2

12

limn n n→�

11 2

12 3

11

1⋅

+⋅

+ … ++

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟ =

( )

dR

n nn =

+( )1

80

509

2

C

B

D

AP

R

r1O1

OLI

MPÍA

DES

MATE

MÀTI

QU

ES



Demostra que, en un triangle, la distància d’un vèrtex qualsevol a l’ortocentre és el doble de la distància del circumcentre al costat oposat a aquest vèrtex.


SOLUCIÓ:

H i O són l’ortocentre i el circumcentre del triangle ABC. Si per cada vèrtex es tracen paral·leles al costat oposat, es forma el triangle A'B'C', i es verifica que A, B i Csón, respectivament, els punt mitjans dels costats del triangle A'B'C'.

Aleshores les altures de ABC són les mediatrius de A'B'C', per la qual cosa l’ortocentre H del primer és el circumcentre del segon.

D’altra banda, els dos triangles són semblants, amb raó

de semblança .

Si dos triangles són semblants, la raó de dos segments homòlegs és igual a la raó de semblança; per tant, els segments HA i OD són homòlegs:

Es col·loquen sis quadrats de la manera que mostra la figura.

Demostra que la suma de les àrees dels quadrats «interiors» denotats per I, II i III és la tercera part de la suma de les àrees dels quadrats «exteriors», denotats per IV, V i VI.

(Olimpíada de Batxillerat. Fase Internacional)

SOLUCIÓ:

Si el costat del quadrat I, l1, mesura a, el costat del quadrat IV, l4, també mesura a.

Els costats dels quadrats II i III, aplicant el teorema de Pitàgores, mesuren:

L’angle que formen els costats dels quadrats I i III és de 135°, i si hi apliquem el teorema del cosinus:

Les sumes de les àrees són:

S S S

S S S

a

a1 2 3

4 5 6

2

2

2

6

1

3

+ ++ +

= =

S S S a a a a4 5 62 2 2 25

2

5

26+ + = + + =

S S S aa a

a1 2 32

2 22

2 22+ + = + + =

l l l l l52

12

32

1 322 135

5

2= + − ⋅ ⋅ =cos º a

l l2 32

2= =

a

82

HA

ODHA OD= = ⋅2 2→

A B

AB

' '= 2

81

GEOMETRIA

VI VI

IV

II III

C' A

B D C

H O

B'

A'



Un satèl·lit descriu una òrbita circular, concèntrica amb l’esfera terrestre, a 300 km d’altura. Calcula l’àrea de la porció de la Terra que es veu des del satèl·lit quan descriu una òrbita.


SOLUCIÓ:

La porció de la Terra que es veu des del satèl·lit és la zona esfèrica d’arc BC, d’altura BC = h.

L’àrea de la zona esfèrica val A = 2πRh, on R és el radi de la Terra, que mesura, aproximadament, 6.366 km.

En el triangle SCO, que és rectangle en C:

En el triangle OUC, que és rectangle en U:

Si ho substituïm, en resulta que: A = 2π ⋅ 6.366 ⋅ 3.776,56 = 151.057.708,2 km2

Demostra que, en un triangle isòsceles, la distància entre el circumcentre i l’incentre

és determinada per , on R i r són els radis dels cercles circumscrit i inscrit,respectivament.


SOLUCIÓ:

O és el circumcentre i l l’incentre del triangle ABC. Per tant:

OA = R ID = r OI = d BD = a AB = b

Pel teorema de la bisectriu, en el triangle ADB:

I aplicant el teorema de Pitàgores en el mateix triangle:

AD 2 = AB 2 − BD2 → (R + d + r )2 = b2 − a2 [2]

Utilitzem el teorema de l’altura en el triangle ABE:

BD2 = AD ⋅ DE → a2 = (R + d + r )(R − d − r ) [3]

De [1] es dedueix que:

Ho substituïm en [2]:

Finalment, tenint en compte [3]:

d R R r= −( )2

→ →r R d r R d r d R R r2 2 2= − − + − = −( )( ) ( )

( )( )( )[( ) ]

R d rR d r R d r R d r

r+ + =

+ + − − + −22 2

2→

( )[( ) ]

R d ra R d r

r+ + =

+ −22 2 2

2

( ) ( ) [R d

r

b

a

R d r

r

b a

ab a

a+=

+ −=

−− =

2

2

2

2

2 2

2

2 2

22 2

2

→ → (( ) ]R d r

r

+ −2 2

2

AI

ID

AB

BD

R d

r

b

a=

+=→ [ ]1

d R R r= −( )2

84

hR h

21 888 28 3 776 56= = =sin α . , . ,km km→

α = =+

arc arccos cosOC

SO

6 366

6 366 30017 25

.

., º�

83

511

2

O

B C

T

S

h

U Rα

A

E

a

OI

D

b

B C

OLI

MPÍA

DES

MATE

MÀTI

QU

ES



Donada una esfera de radi R, es construeix un con de revolució la base del qual és un cercle màxim de l’esfera, amb vèrtex exterior a aquesta. Troba el radi de la circumferència menor amb la qual es tallen l’esfera i el con, sabent que el volum del con és la meitat del volum de l’esfera.


SOLUCIÓ:

Siguin AB = 2R el diàmetre de l’esfera, CD = 2r el diàmetre de la circumferència de tall de l’esfera i el con, i h l’altura del con.

Es verifica que:

Els triangles rectangles VOA i CEA són semblants:

Com que AE = R − r, tenim que CE = OF = 2(R − r ).

En el triangle rectangle CFO:OF 2 + CF 2 = OC2 → 4(R − r )2 + r 2 = R2 → 5r2 − 8Rr + 3R2 = 0

L’única solució vàlida és .

Dues tangents a una circumferència paral·leles entre elles són tallades per una altra tangent en el punt A i B. Demostra que les rectes que uneixen A i B amb el centre de la circumferència són perpendiculars.


SOLUCIÓ:

Com que les dues tangents a la circumferència de centre Osón paral·leles, els punts de tangència C i D són diametralment oposats i el quadrilàter ACDB és un trapezi.

El segment AO és la bisectriu de l’angle en A, i el segment BOés la bisectriu de l’angle en B; com que els angles $A i $B sumen 180°, les seves meitats sumen 90°, per la qual cosa en el triangle AOBl’angle AOB mesura 90°, i per tant les rectes que uneixen A i Bamb el centre són perpendiculars.

En un triangle amb un perímetre de 8 cm, els nombres que representen les longituds dels costats, en cm,i el nombre que en representa l’àrea, en cm2, estan en progressió aritmètica. Troba aquests nombres.


SOLUCIÓ:

Siguin a − d, a, a + d i a + 2d els costats i l’àrea del triangle, respectivament.

Els costats són: , i l’àrea és:

Si hi apliquem la fórmula d’Heró:

Els costats mesuren , i l’àrea és de .64

21cm252

21

8

3

20

7cm cm i cm,

2 4 3

34

4 3

3

4

3

4 3

3

4

21

( )+= ⋅

+⋅ ⋅

−=

d d dd→

8

32

8 6

3

2 4 3

3+ =

+=

+d

d d( )8

3

8 3

3

8

3

8

3

8 3

3− =

−+ =

+d

dd

d, ,

a d a a d a− + + + = =88

3→

87

86

rR

=3

5

CE

AE

OV

OA

h

RCE AE= = = =2 2→

1

3

1

2

4

322 3π πR h R h R= ⋅ =→

85

GEOMETRIA

V

C D

BA E OR

F r

AC

D B

O



M és el punt mitjà del costat BC i N és el punt mitjà del costat DA del quadrat ABCD. Determina les simetries axials que, aplicades successivament, transformen el triangle ABNen el triangle CDM, de manera que el nombre d’aquestes simetries sigui el mínim possible. Especifica els eixos de simetria i l’ordre en què s’han de fer.


SOLUCIÓ:

Les figures mostren la posició del triangle ABN fins a transformar-se en el triangle CDM.

Demostra que si les longituds a, b i c dels costats d’un triangle verifiquen que a 2 = b 2 + bc, aleshores l’angle $A (oposat al costat a) és doble que l’angle $B (oposat al costat b).


SOLUCIÓ:

Prolonguem el costat CA fins a C', tal que AC' = c.

Com que es verifica que a2 = b2 + bc, existeix una circumferència que passapels punts C', A i B i, a més, és tangent al costat BC en B, ja que a2 i b(b + c) és la potència de C respecte d’aquesta circumferència.

L’angle exterior $A del triangle és inscrit i val:

Aleshores l’angle interior $A del triangle és igual a l’arc .

Com que l’angle $B, pel fet d’estar semiinscrit, val , es compleix que $A = 2$B.

1

2AB�

AB�

1

2

1

2360

1

2360 2 180C MB C AB AB' '� � �= − = − ⋅ = −( º ) ( º ) º AAB�

89

88

513

2

D

N M

C

A B

D

N M

C

A B

D

N M

C

A B

D

N M

C

A B

D e1

N M

C

A B

D

N M

e2

C

A B

D

N

N'

M'

M

e3

C

A B

D

N M

e3

e4

C

A B

D

N Me2

C

A B

D

N M

C

A B

D

N M

e1

C

A B

D

N M

e4

C

A B

C'

c

O

M

B

C

A

b2α

α

a

c

e1⎯⎯⎯→ e2⎯⎯⎯→

e2⎯⎯⎯→ e1⎯⎯⎯→

e3⎯⎯⎯→ e4⎯⎯⎯→

e4⎯⎯⎯→ e3⎯⎯⎯→

OLI

MPÍA

DES

MATE

MÀTI

QU

ES



Donats una circumferència i un punt exterior, traça per aquest punt una secant que intercepti en la circumferència una corda de longitud donada.


SOLUCIÓ:

En la circumferència es pren una corda qualsevol A'B', de la mateixa longitud que el segment AB; es traça la circumferència concèntrica tangent a A'B', i des de P es tracen dues tangents PN i PR a aquestacircumferència. MN i SR són les secants que es demanen,ja que totes les cordes determinades en la circumferènciamajor per les tangents a la circumferència menor són iguals.

Donats un polígon P i un punt interior A, traça una recta que passi per A i que intercepti amb Pun segment amb un punt mitjà en A.


SOLUCIÓ:

Es construeix el simètric P ' del polígon P respecte del punt A. Els punts B i C d’intersecció dels dos polígons determinen la recta que es demana.

Efectivament, com que B i C són simètrics respecte de A, aquest és el punt mitjà del segment BC.

M és un punt interior del segment AB. Es construeixen els quadrats AMCD i BEHM al mateix costat de AB. Si N és el segon punt d’intersecció de les circumferències circumscrites en aquests quadrats, prova que:

a) Els punts B, N i C estan alineats.b) El punt H és l’ortocentre del triangle ABC.


SOLUCIÓ:

a) Els punts B, N i C estaran alineats si els angles CNMi MNB sumen 180°.

L’angle CNM està inscrit en la circumferència s i abasta un arc de 270°, per la qual cosa mesura 135°.

L’angle MNB és inscrit en la circumferència s' i abasta un arc de 90°, per la qual cosa mesura 45°.

Per tant, la suma dels dos angles val 180°, i els punts estan alineats.

b) CM és una altura del triangle ABC.

BH és perpendicular a ME perquè són les diagonals del quadrat BEHM; com que ME i AC són paral·leles, BH és perpendicular a AC; aleshores BL és l’altra altura del triangle ABC.

El punt H d’intersecció de totes dues és l’ortocentre del triangle ABC.

MB�

CDAM�

92

91

90

GEOMETRIA

P'

A

B

PC

A'

B'

P

A BM

S

N

R

O

D

A M

L

H

C

NE

B



Construeix un rectangle sabent-ne un costat a = 6 i la diferència d − b = 4 entre la diagonal i l’altre costat.


SOLUCIÓ:

Pel teorema de Pitàgores, tenim que:

d2 − b2 = 36 → (d + b)(d − b) = 36

Com que d − b = 4, aleshores:

d + b = 9 →

Per tant, cal construir un rectangle de dimensions 6 i .

En general, per construir un rectangle, sabent-ne un costat i la diferència entre la diagonal i l’altre costat, hem d’actuar de la manera següent:Construïm el triangle rectangle ABC de catets AB, el costat que sabem, i BC, la diferència entre la diagonal i l’altre costat. La mediatriu traçada a la hipotenusa AC determina el vèrtex E sobre la prolongació del catet BC, i acabem la construcció del rectangle traçant les paral·leles a AB per E i a BE per A.

Efectivament, el triangle AEC és isòsceles, ja que el vèrtex E pertany a la mediatriu del costat AC; per tant, EC = EA → EB = EC − BC = d − (d − b) = b.

En el triangle ABC es traça la bisectriu interior CD. Se sap que el centre del cercle inscrit

en el triangle BCD coincideix amb el centre del cercle circumscrit del triangle ABC.

Calcula els angles del triangle ABC.


SOLUCIÓ:

Sigui O el centre dels dos cercles. Pel fet que és el circumcentre del triangle ABC, equidista dels seus vèrtexs, i per tant OA = OB = OC, per la qual cosa els triangles OAB, OBCi OCA són isòsceles.

Com que O és l’incentre del triangle BCD, OB és la bisectriu de l’angle $B; aleshores els angles designats amb α són iguals.

D’altra banda, OC és la bisectriu de l’angle ,

per la qual cosa l’angle .

Com que CD és la bisectriu de l’angle $C del triangle ABC, l’angle .

I com que el triangle OCA és isòsceles, s’obté que:

Per tant, en resulta que: A = C = 4α i B = 2α → $A + $B + $C = 10α = 180° → α = 18°

Els angles del triangle ABC valen $A = $C = 72° i $B = 36°.

OAC OCA� �= = 3α

DCA� = 2α

DCB� = 2α

DCB�

94

5

2

d b= =13

2

5

2i

93

515

2

db

a

a

A B

F E

d

M

C

b

d − b

a

d − b

A B

C

O

D

2α

3αα α

α

αα

OLI

MPÍA

DES

MATE

MÀTI

QU

ES



Donat un triangle ABC, traça una secant que talli AB en M i BC en N, de manera que el quadrilàter AMNC i el triangle BMN tinguin el mateix perímetre i la mateixa àrea.


SOLUCIÓ:

Si tenen el mateix perímetre, amb la notació de la figura, es verifica:c − x + b + a − y + MN = x + MN + y → x + y = p

on p és el semiperímetre del triangle ABC.

Si el quadrilàter AMNC i el triangle BMN tenen la mateixa àrea, l’àrea d’aquest triangle serà la meitat que l’àrea de ABC:

Si sabem la suma p i el producte dels segments x i y, es poden construir aquests segments

de la manera següent:

Comencem pel segment QR.

Tracem una semicircumferència de diàmetre ,

i pel punt Q tracem una perpendicular al diàmetre. El punt de tall, R, d’aquesta perpendicular amb lasemicircumferència determina el segment QR.

Pel teorema de l’altura, en un triangle rectangle

es verifica que .

Dibuixem una semicircumferència el diàmetre de la qual és el semiperímetre, p, del triangle, i hi portem el segment QRcom s’indica a la figura. Tracem una paral·lela al diàmetre pel punt R, i el punt de tall amb l’arc és el vèrtex d’un trianglerectangle. L’altura des de T a la hipotenusa la divideix en dossegments, x i y, que verifiquen que x + y = p, i pel teorema de l’altura és:

Un cop tenim determinats x i y, el portem sobre el triangle inicial ABC.

Determina el grup de moviments del triangle equilàter.


SOLUCIÓ:

Els moviments del triangle són aplicacions que el transformen en ell mateix, i són les següents:

I = Gir de 360°, de centre el punt O

G120° = Gir de 120, de centre el punt O

G240° = Gir de 240°, de centre el punt O

SA = Simetria de l’eix mediatriu del costat BC

SB = Simetria de l’eix mediatriu del costat AC

SC = Simetria de l’eix mediatriu del costat AB

96

QR QU UV ac x y2

2

1

2= ⋅

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟= ⋅→

RQ ac=1

2

ac

2+

1

2ac

1

2

1

2

1

2

1

2xy B ac B xy acsin sin= ⋅ =→

95

GEOMETRIA

TR

QVO Up

y x

B

AC

O

240°

120°SC

SB

SA

M

c − xa − y

B

bA

x y

N

C

R

P Q Sca/2



Amb l’operació «composició», la taula dels resultats és la següent:

Es considera una circumferència g de centre (3, 0) i radi 3, i la recta r paral·lela a l’eix X i que dista 3 de l’origen. Es traça una recta variable per l’origen que talla g en el punt M i talla la recta r en P. Determina el lloc geomètric dels punts d’intersecció de les paral·leles a X i a Ytraçades per M i P, respectivament.

(XX Olimpíada de Batxillerat. Fase estatal)

SOLUCIÓ:

L’equació de la circumferència és (x − 3)2 + y2 = 9 i l’equació de les rectes que passen per l’origen de coordenades és de la forma y = mx.

Les coordenades dels punt M i P són:

I les rectes paral·leles als eixos que passen per aquests punts són: i ,

que es tallen en els punts de coordenades .

L’equació del lloc geomètric és:

A la figura la gràfica del lloc geomètric apareix destacada amb un traç més gruixut.

xm

y mm

yx

x

=

=+

=+

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

3

61

18

92

2→

3 6

1 2m

m

m,

+

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

ym

m=

+6

1 2x

m=

3

P yy mx

Pm

� ==

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

3 33→ ,

M x yy mx m m

� ( ) ,− + ==

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ + +

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠3 9 6

1

6

1

2 2

2 2→ ⎟⎟⎟⎟⎟

97

517

2

� I G120° G240° SA SB SC

I I G120° G240° SA SB SC

G120° G120° G240° I SB SC SA

G240° G240° I G120° SC SA SB

SA SA SC SB I G240° G120°

SB SB SA SC G120° I G240°

SC SC SB SA G240° G120° I

P'

M'

CO

P

Y

X

M

OLI

MPÍA

DES

MATE

MÀTI

QU

ES



En el pla complex, 2 + i és el centre d’un quadrat i 5 + 5i és un dels vèrtexs. Troba els altres dos vèrtexs.


SOLUCIÓ:

Anomenem C l’afix del nombre z = 2 + i i A, B, D i E els afixos dels nombres z1 = 5 + 5i, z 2, z 3 i z 4.

El vèrtex B s’obté girant A un angle de 90° al voltant de C, la qual cosaequival a multiplicar el nombre z1 − z per i .

z 2 − z = i ⋅ (z 1 − z) → z2 = −2 + 4i → B(−2, 4)

De manera similar, s’obtenen D i E:

z 3 − z = i ⋅ (z 2 − z) → z3 = −1 − 3i → D(−1, −3)

z4 − z = i ⋅ (z 3 − z) → z4 = 6 − 2i → E(6, −2)

Una altra manera:

Analíticament, C és el punt mitjà del segment AD; per tant, si les coordenades de D són d1 i d2:

Els punts B i E són els punts de tall de la circumferència de centre C(2, 1) i radi AC = 5, d’equació (x − 2)2 + (y − 1)2 = 25, amb la recta que passa per C, i és perpendicular a la recta que passa per A i C, d’equació 3x + 4y = 10.

Donada una circumferència de radi R, considera quatre circumferències iguals de radi r, tangents interiorment a la circumferència donada i tangents entre elles. Expressa ren funció de R, de manera exacta i amb quatre decimals del coeficient corresponent. Troba les àrees dels recintes que determinen.


SOLUCIÓ:

Apliquem el teorema de Pitàgores en el triangle rectangle OPQ:

(2r )2 = 2(R − r )2 → r 2 + 2Rr − R2 = 0

El valor exacte de r és:

Si , aleshores r = 0,4142R.

L’àrea del recinte central limitat per les quatre circumferències menors és igual que l’àrea del quadrat PQTS, de costat 2r, menys l’àrea de quatre sectors d’amplitud 90° i radi r; és, per tant, l’àrea d’un cercle de radi r.

S = (2r )2 − πr 2 = (4 − π)r 2

L’àrea del recinte exterior a les quatre circumferències i interior a la circumferència de radi R és igual a l’àrea del cercle de radi R, menys l’àrea de les circumferències de radi r i menys l’àrea de la circumferència que hem calculat anteriorment:

S R r r R r r= − − − = − − = − +π π π π π2 2 2 2 2 24 4 3 4 6 2 8 8( ) ( ) [( ) 22 12 2− ]R

2 1 41421= ,

r R= −( )2 1

99

( ) ( ) ( , ) (x yx y

B E− + − =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

−2 1 253 4 10

2 4 62 2

→ y ,, )−2

5

21 3 1 32

2+

= = − − −d

d D→ ( , )5

22 11

1+

= = −d

d→

98

GEOMETRIA

D

E

Cz

A

X

Y

Bz2

z1

z4

z3

Q

P

S

T O

r

R − r

917232 _ 0470-0552.qxd 29/12/08 13:13 Página 518


Construeix i resol un triangle rectangle en A, sabent c i a + b.


SOLUCIÓ:

Suposem que tenim el problema resolt. Es prolonga el catet AC = b fins a D, tal que CD = a, i s’uneix D amb B; en resulta el triangle BCD; la mediatriu de BD talla AD en C, i quedadeterminat el triangle ABC.

La construcció és la següent:

Es construeix el triangle ABD, de catets AB = c i AD = a + b. La mediatriu de BD talla AD en C, que és el tercer vèrtex del triangle que es demana.

Calculem els valors de a, b, B i C en funció de c i s = a + b.

Es verifica que:

I el catet és:

Els angles $B i $C són:

$C

Donades dues rectes r i s i un punt P que no pertany a cap de les dues, construeix un quadrat amb un vèrtex en P i els dos vèrtexs contigus en r i s.


SOLUCIÓ:

S’aplica el gir de centre P i amplitud 90° a la recta r, que es transforma en r'; A és la intersecció d’aquesta recta amb la recta s; el gir de centre P i amplitud −90° transforma A en B. Aquests dos punts són els vèrtexs contigus a P.

El quart vèrtex, C, l’obtenim com el punt de tall de les rectes perpendiculars a AP per A i a PBper B.

De manera anàloga, si fem primer el gir de −90° i, després, el gir de 90° s’obté una altra solució, que és el quadrat PA'C'B'.

Si el punt P és exterior a les dues rectes, amb el mateix procediment s’obtenen els quadrats de la figura de la dreta.

101

=+

arcsin2

2 2

sc

c s

cos cosBc

a

sc

c sB

sc

c s� �= =

+=

+2 2

2 2 2 2→ arc

b s as c

s= − =

−2 2

2

c a b c a s a ac s

s2 2 2 2 2 2

2 2

2= − = − − =

+→ →( )

100

519

2

A'r''

r'

C'

B'B

C

AP

s

r

A'

r''r'

C'

B' B

C

A

Ps

r

A D

B

C

c

c

b

a

m

a

a + b

OLI

MPÍA

DES

MATE

MÀTI

QU

ES




ANÀLISI

Demostra que no existeix cap funció f: N → N que compleixi que f [f (n)] = n + 1.

(XXXVI Olimpíada de Batxillerat. Fase estatal)

SOLUCIÓ:

Suposem que existeixi aquesta funció.

Sigui f (1) = k, aleshores tenim que: f [f (1)] = f(k) = 2

Si f (k) = 2: f [f (k)] = f (2) = k + 1 → f (k + 1) = f [f (2)] = 3

Si f (k + 1) = 3: f [f (k + 1)] = f (3) = k + 2 → f (k + 2) = f [f (3)] = 4

Continuant aquest procés, resulta que:

f (1) = k

f (2) = k + 1

f (3) = k + 2

…

f (n) = k + n − 1

S’ha obtingut que f (k + 1) = 3 i f (k + 1) = k + k + 1 − 1 = 2k,

per la qual cosa 3 = 2k → .

Però com que f (1) = no és un nombre natural, concloem que no existeix aquesta funció.

Les pèrdues o els guanys d’una empresa, expressats en centenes de milers d’euros,

quan han transcorregut t anys segueixen la funció .

a) Determina l’any en què l’empresa deixa de tenir pèrdues.

b) És decreixent la funció que expressa els guanys?

c) Hi ha un límit per als guanys? En cas afirmatiu, quin és aquest límit?


SOLUCIÓ:

a) S’analitza el signe de la funció segons els valors de t, i tenint en compte que només pot prendre valors positius, resulta que:

Si 0 < t < 2, f (t) < 0, hi ha pèrdues.

Si t = 2, f (t) = 0, no hi ha pèrdues ni guanys.

Si t > 2, f (t) > 0, hi ha guanys.

Per tant, el segon any l’empresa deixa de tenir pèrdues.

b) La derivada de la funció és , i com que sempre és positiva, la funció que expressa

el guany és decreixent.

c) El límit és:

Per tant, el límit dels guanys és 200.000 €.

limt

t

t→ �

2 4

22

−+

=

f tt

'( )( )

=+8

2 2

f ttt

( ) = −+

2 42

103

k =3

2

k =3

2

102



3

521

Demostra que l’equació de la tangent a la corba , on a és un nombre real positiu, en el punt P (x0, y0) d’aquesta corba, es pot escriure:

Siguin A i B, respectivament, els punts d’intersecció de la tangent amb els eixos de coordenades X i Y. Prova que la suma de les longituds dels segments OA i OBés sempre igual al valor de a per a totes les tangents de la corda.


SOLUCIÓ:

Si es deriva implícitament la funció s’obté que:

El pendent de la recta tangent en el punt P(x0, y0) és:

L’equació de la tangent és:

Si operem i dividim entre , i tenim en compte que P pertany a la corba,

es compleix que , i en resulta que:

Les coordenades dels punts de tall amb els eixos de coordenades són i .

I la suma de les distàncies OA i OB és

Per a quants valors de x pertanyents a l’interval (0,01; 1) la gràfica de la funciótalla l’eix d’abscisses?

(IV Concurs Primavera. Madrid, 1999/00)

SOLUCIÓ:

Els punts de tall amb l’eix d’abscisses s’obtenen resolent l’equació:

S’ha de complir que:

on k pot prendre els 31 valors: 1, 2, 3, …, 31.

En conseqüència, la gràfica de f (x) talla l’eix d’abscisses en 31 punts de l’interval.

0 011

11 100

0 3 31 8, , ,< < < < < <k

k kπ π π

→ →

sin1

01 1

x xk k x

k= = ∈ =→ →π

π, *amb Z

f xx

( ) = sin1

105

OA OB x a y a x y a a+ = + = + =0

12

12

0

12

12

0

12

0

12

12

12⋅ ⋅ ⋅( ) aa a

12 =

B y a( , )0 0

12

12⋅A x a( , )0

12

12 0⋅

x

x

y

y

a

0

12

0

12

12+ =

x y a0

12

0

12

12+ =

x y0

12

0

12⋅

y yy

x

x x− = − −00

12

0

12

0( )

yy

xx y'( , )0 0

0

12

0

12

= −

1

2

1

20

12

12

12

12

x y y yy

x

− −+ ⋅ = = −' '→

x

x

y

y

a

0

12

0

12

12+ =

x y a12

12

12+ =104

OLI

MPÍA

DES

MATE

MÀTI

QU

ES



Determina els valor de a, b i c perquè la representació gràfica de la funció y = ax3 + bx2 + cxtingui una inflexió en el punt d’abscissa x = 3, amb tangent d’equació x − 4y + 1 = 0.

Dibuixa la gràfica corresponent.


SOLUCIÓ:

Les derivades de f (x) són:

f '(x) = 3ax2 + 2bx + c i f''(x) = 6ax + 2b

Com que per a x = 3 hi ha un punt d’inflexió, f''(3) = 18a + 2b = 0.

Pel fet que x = 3 és el punt de tangència, ha de verificar l’equació de la tangent, és a dir, 3 − 4y + 1 = 0, d’on s’obté que y = 1. El punt de tangència té de coordenades (3, 1), que també pertany a la gràfica, i resulta que: 1 = 27a + 9b + 3c.

El pendent de la recta tangent, x − 4y + 1 = 0, , coincideix amb la derivada en x = 3:

Resolem el sistema:

La funció és:

Per representar gràficament la funció hem de tenir en compte que:

• L’únic punt de tall amb els eixos de coordenades és (0, 0).

• Els límits de la funció són:

• L’equació no té solucions reals i f '(x) > 0, ∀ x ∈ R;

per tant, f (x) és creixent.

• L’únic punt d’inflexió és (3, 1) i la funció és convexa en l’interval (−�, 3) i és còncava en (3, +�).

La seva gràfica és la següent:

f x x x'( ) = − + =1

36

1

6

1

202

lim limx x

f x f x→ →− +

= − = +� �

� �( ) ( )

y x x x= − +1

108

1

12

1

23 2

9 027 9 3 1

27 61

4

a ba b c

a b ca

+ =+ + =

+ + =

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

→ == = − =1

108

1

12

1

2, ,b c

f a b c'( )3 27 61

4= + + =

m =1

4

106

ANÀLISI

3

1

O

Y

X



Calcula el límit.


SOLUCIÓ:

Si anomenem L el límit i prenem logaritmes neperians:

Considerem la funció f (x) = ln (1 + x) en l’interval [0, 1].

L’expressió de ln L és el límit de la suma de les àrees dels rectangles de base

i altura , que és la integral definida:

Pel mètode d’integració per parts, calculem una primitiva de f (x):

El valor del límit és:

Quin nombre és més gran, 1.0001.000 o 1.001999?


SOLUCIÓ:

Calculem el logaritme decimal de cadascun dels nombres.

log 1.0001.000 = 3.000

log 1.001999 = 2.997,433643

Com que log 1.0001.000 > log 1.001999, i la funció logarítmica de base més gran que u és creixent, aleshores 1.0001.000 > 1.001999.

108

ln lnLe

Le

= =4 4→

�1

0

011 1 1

4ln ( ) [( ) ln ( ) ] ln+ = + + − =x dx x x x

e

= + −+

= + +x xx

xdx x xln ( ) ( ) ln (1

11 1� )) − +x C

�ln ( )ln ( )

11

1+ = = + =+

= =

⎧

⎨⎪⎪⎪x dxu x du

dx

xdv dx v x

→

→⎩⎩⎪⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

=

�1

0

1ln ( )+ x dx

ln 1 +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

i

n

1

n

ln ln lnLn n nn

= +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ + +

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠lim→ �

11

11

2 ⎟⎟⎟⎟⎟ + + +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ =... ln 1

1n

n nlim→ � nn

i

ni

n

ln 11

+⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠=∑

limn

n

nn n n

→�

11 2 2( ) ( ) ... ( )+ ⋅ + ⋅ ⋅

107

523

3

OLI

MPÍA

DES

MATE

MÀTI

QU

ES



Una semicircumferència de radi r es divideix en n + 1 parts iguals. S’uneix el k-èsim punt de divisió amb els extrems del diàmetre i es forma un triangle. Si anomenem A(k) la seva àrea, troba el límit quan n tendeix a infinit de la mitjana aritmètica de les àrees A(k).


SOLUCIÓ:

L’àrea del triangle APkB és:

En el triangle CHPk, l’altura h = r sin α, i com que α és l’angle que correspon a k divisions de la semicircumferència,

val , i l’àrea és:

La mitjana aritmètica de les àrees és:

El límit és:

Si considerem la funció f (x) = sin (πx) en l’interval [0, 1], el límit és la integral:

El límit de la mitjana de les àrees és:

Resol les qüestions següents:

a) Si 0 < x < 1, prova que x (1 − x) ≤ . S’arriba a la igualtat?

b) Demostra que si x1, x2, x3, ..., xn, pertanyen a l’interval (0, 1), almenys un dels productesx1 ⋅ x2 ⋅ x3 ⋅ … ⋅ xn y (1 − x1) ⋅ (1 − x2) ⋅ … ⋅ (1 − xn) és menor o igual que 2−n.


SOLUCIÓ:

a) La funció y = x(1 − x) = x − x2 és una paràbola que té el màxim en el punt ;

per tant, el producte de x i 1 − x és menor o igual que .

S’arriba a la igualtat quan .

b) Es demostra per reducció a l’absurd.

Suposant que , en resulta:

Segons l’apartat a), es verifica que → , la qual cosa contradiu el càlcul anterior.

Per tant, en resulta que: x1 ⋅ x2 ⋅ x3 ⋅ … ⋅ xn ≤ 2−n o (1 − x1) ⋅ (1 − x2) ⋅ … ⋅ (1 − xn) ≤ 2−n

x xi ii

n

n( )1

1

212

− ≤=∏x xi i⋅ − ≤( )1

1

22

x xi ii

n

n( )1

1

212

− >=∏x xi

i

nn

ii

nn

=

−

=

−∏ ∏> − >1 1

2 1 2i ( )

x =1

2

1

4

V1

2

1

4,

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

14

110

limn

nA r→ �

=2 2

π

limn

k

n

n

k

nx dx

→ �

1

1 1

1

1

1

0+ += = −

=∑ sin sin cos

ππ

π� ( ) (( )ππ

x⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ =0

12

=+

⋅+ +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦=∑r

n

n n

k

nn nk

n2

1

1 1

1 1lim lim→ →� �

sinπ ⎥⎥

⎥ =+ +=

∑rn

k

nnk

n2

1

1

1 1lim→ �

sinπ

lim lim ln

nn

k

n

Ar

n

k

nr

→ →� �=

+

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ =

=∑

2

1

2

1sin

πiim

nk

nn

n n

k

n→ �

++ +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ =

=∑1 1

1 11

sinπ

An

rk

n

r

n

k

nn

k

n

k

n

= ⋅+

=+= =

∑ ∑1

1 12

1

2

1

sin sinπ π

A rk

nk = ⋅

+2

1sin

πα

π=

+k

n 1

A AB h r h r hk = ⋅ = ⋅ = ⋅1

2

1

22

109

ANÀLISI

BA H C

r

α

h

Pk

P2

P1



Si es calcula aproximadament el quadrat d’un nombre decimal per mitjà de la interpolació amb una taula de quadrats de nombres naturals, demostra que el màxim error comès és menor o igual que 0,25.


SOLUCIÓ:

La interpolació es fa mitjançant la recta que passa pels punts A i B.

Les coordenades dels punts són A(n, n2) i B[n + 1, (n + 1)2], i la recta AB té d’equació y = (2n + 1)x − (n2 + n).

Si n ≤ x ≤ n + 1, l’error comès a la taula és determinat pel segment CD, que és la diferència entre les ordenades de la recta i la paràbola:

E = (2n + 1)x − (n2 + n) − x2

que s’anul·la per a x = n i per a x = n + 1.

La seva primera derivada E' = (2n + 1) − 2x s’anul·la per a

, que correspon a un màxim, i el valor de E és .

La funció E = (2n + 1)x − (n2 + n) − x2, que és continua en l’interval [n, n + 1],

està fitada entre els seu mínim absolut: 0, i el seu màxim absolut: .

Per tant, l’error és menor o igual que .

Una circumferència de radi a es mou rodant sobre l’eix d’abscisses. En cada posició de la circumferència es traça la tangent no horitzontal a aquesta, que passa per l’origen de coordenades, O, i que talla en M la vertical que passa pel seu centre, C. Per M es traça la segona tangent a la circumferència (simètrica de OM respecte de la vertical CM) i que talla en A l’eix X.

a) Troba l’equació del lloc geomètric dels punts M.

b) Dibuixa’n la gràfica.

c) Demostra que la recta AC, per a totes les posicions de la circumferència, passa per un punt fix.


SOLUCIÓ:

a) Sigui M el punt de coordenades (x, y). La circumferència té per centre el punt C(x, a).

L’ordenada del punt M és:

En el triangle ONC, que és rectangle en N, es verifica que:

Per tant, en resulta que:

I si fem la substitució tenim que l’equació que es demana és: yax

x a=

−2 2

2 2

cos α =−+

x a

x a

2 2

2 2

coscosα α

2

1

2

2

2 2=

+=

+ON

OC

x

x a→

y NC MC aa

= + = +cos α

112

1

4

1

4

E =1

4x

n=

+2 1

2

111

525

3

Y

XO n n+1x

A

D

B

C

Y

X

M

C

T

O

P

A

N

α

α/2

OLI

MPÍA

DES

MATE

MÀTI

QU

ES



b) Les característiques de la funció són:

1a El seu domini és: R − {−a, a}.

2a És contínua en tot el seu domini.

3a És simètrica respecte de l’eix Y.

4a Té dues asímptotes verticals d’equacions x = −a i x = a i una asímptota horitzontal d’equació y = 2a.

5a La seva derivada s’anul·la per a x = 0, on y' > 0 per a x → 0− i y' < 0

per a x → 0+, per la qual cosa té un màxim en el punt (0, 0).

6a La segona derivada s’anul·la per a cap valor de x,

per la qual cosa no hi ha punt d’inflexió. No obstant això, per a x < −a o x > a és y'' < 0, i la funció és còncava, i per a x ∈ (−a, a) és y'' > 0, i la funció és convexa.

7a Talla els eixos de coordenades en el punt (0, 0).

La gràfica de la funció és la següent:

c) Les coordenades del punt A són (2x0, 0) i la recta que passa per A i C és:

Com que per a x = 0, en resulta y = 2a, totes les rectes passen pel punt (0, 2a).

Se sap que la funció real f (t) és monòtona creixent en l’interval −8 < t < 8. En quin interval de valors de x es pot assegurar que la funció y = f (2x − x 2)és monòtona creixent?

(IV Olimpíada de Batxillerat. Fase estatal)

SOLUCIÓ:

Si suposem que f (t) és derivable, tenim que y' = f '(2x − x2)(2 − 2x).

La funció y = f (2x − x2) és monòtona creixent per als valors de x tals que −8 ≤ 2x − x2 ≤ 8, és a dir, x ∈ [−2, 4], i en aquest interval és 2 − 2x ≥ 0 si x ∈ [−2, 1) i 2 − 2x ≤ 0 si x ∈ (1, 4].

• Si x ∈ [−2, 1), y' té el mateix signe que el de f '(t); per tant, la funció és monòtona creixent.

• Si x ∈ (1, 4], y' té el signe oposat al de f '(t); per tant, la funció és monòtona decreixent.

Per a x = 1, y = f (2x − x2) té un màxim.

113

A xC x

x y ax ax( , )( , )2 0

02 00

00 0

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

+ − =→

ya x a

x a'' =

+−

4 33 2 2

2 2 3

( )

( )

ya x

x a' =

−−4 3

2 2 2( )

ANÀLISI

Y

X

2a

a−a



Proba que la successió següent és monòtona i fitada. Calcula’n el límit.


SOLUCIÓ:

Apliquem el teorema: «Tota successió monòtona i fitada és convergent».

1r La successió és creixent: an +1 − an > 0, ∀n ∈ N .

Fem servir el mètode d’inducció.

Per a .

Suposem que an − an −1 > 0 i demostrem que an +1 − an > 0:

Com que una suma per una diferència ha de ser positiva i, a més, la suma an +1 + an també és positiva, pel fet que tots els termes són positius, s’ha de verificar que an +1 − an > 0.

2n La successió està fitada.

Si substituïm an per an +1, com que la successió és creixent, augmenta el valor del quocient:

I com que és creixent i el primer terme a0 = 1, és an +1 > 1, si substituïm el denominador per un valor menor, el valor del quocient augmenta:

Per tant, la successió està fitada inferiorment per 1 i superiorment per 7, és a dir:

1 ≤ an < 7, ∀n ∈ N.

3r Calculem el límit.

I fent , en resulta l’equació:

Dels valors de x, el valor que pertany a l’interval [1, 7) és el valor positiu:

limn

na→ �

= 4

x x x xx

2 1

23 4 0

3 5

24

1− − = =

±= =

= −⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→

lim limn

nn

na a x→ →� �

+ = =1

lim lim limn

nn

nn

na a a→ → →� � �

+ = + = +1 4 3 4 3

aa

nnn

++

< + < + = ∀ ∈11

43

4

13 7, N

aa

a an

n

n n+

+

+ +

<+

= +11

1 1

4 3 43

a a aa

an n n

n

n+ +

+

= + =+

12

11

4 34 3→

a a a a a a a an n n n n n n n+ + + −− = + − = − >12 2

1 1 13 0( ) ( ) ( )

a a a an n n n2

1 124 3 4 3= + = +− +

n a a= − = − >1 7 1 01 0,

a a a no n n= = + −1 4 3 1 = 1, 2, 3, ...

114

527

3

OLI

MPÍA

DES

MATE

MÀTI

QU

ES



Troba la funció f (x) que compleix l’equació f '(x) + x 2f (x) = 0, sabent que f (1) = e. Representa gràficament aquesta funció i calcula la tangent en el punt de la corba d’abscissa 1.


SOLUCIÓ:

L’equació es pot escriure:

I integrem:

Pel fet que la funció exponencial és sempre positiva, tenim que:

Com que f (1) = e, en resulta que:

La funció f (x) és:

Les característiques de la funció són:

1a El seu domini i la seva continuïtat són en tot R .

2a És positiva per a qualsevol valor de x.

3a No hi ha simetria.

4a El semieix positiu d’abscisses és una asímptota.

5a La derivada f '(x) = −x 2 f (x) és negativa sempre, la funció és decreixent. No hi ha màxims ni mínims.

6a La segona derivada f''(x) = x(x3 − 2) ⋅ f (x) s’anul·la per a x = 0 i , canviant de signe a l’esquerra i la dreta de cadascun d’aquests valors.

Per tant, té dos punts d’inflexió: i .


La tangent en el punt (1, e) té de pendent f '(1) = −e i la seva equació és y = −ex + 2e.

( , )2323e( , )0

43e

x = 23

lim i limx

x

x

x

e e→ →−

−

+

−

= + =� �

�4

34

3

3 3

0

f x ex

( ) =−43

3

e e kk− +

= =13

4

3→

f x ex k

( ) =− +

3

3

� �f x

f xdx x dx f x

xk f x

'( )

( )ln ( ) ( )= − = − + =2

3

3→ →⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ee

x k− +3

3

f x

f xx

'( )

( )= − 2

115

ANÀLISI

Y

XO 1



Donat un nombre natural no nul n, fn és la funció de l’interval tancat [0, 1] en R .

a) Representar gràficament la funció.

b) Calcula .

c) Troba, si existeix, .

(XVII Olimpíada de Batxillerat. Fase estatal)

SOLUCIÓ:

a) Per a n = 1, 2, o 5, les funcions i les seves gràfiques són:

Les gràfiques de la funció fn(x) depenen del valor de n i es componen d’un segment

de recta y = n2x, per a , i un altre segment de recta , per a ,

exceptuant n = 1, que és el segment de bisectriu del primer quadrant per a x ∈ [0, 1)i el punt de coordenades (1, 3).

xn

∈1

1,⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

yn

=3

xn

∈ 01

,⎡

⎣⎢⎢

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

f xx x

x5

25 0 15

35

15

1( ) =

≤ <

≤ ≤

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

si

sif x

x x

x2

4 0 12

32

12

1( ) =

≤ <

≤ ≤

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

si

sif x x x

x10 1

3 1( ) = ≤ <

=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

sisi

limn

nA→ �

A f x dxn n= �1

0

( )

f xn x x

n

n nx

n ( ) =≤ <

≤ ≤

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

2 0 1

3 1 1

si

si

116

529

3

Y

XO 1

0,6

5

Y Y

X XO O1 10,5

1

3

21,5

OLI

MPÍA

DES

MATE

MÀTI

QU

ES



b) La integral val:

També es pot obtenir el valor de la integral, tenint en compte que, per a qualsevol valor de n, la funció fn(x) és positiva i, per tant, el valor de la integral coincideix amb l’àrea

de la figura limitada per la gràfica, i l’eix X en els intervals i .

En el primer interval, el recinte és un triangle de base i altura n, i l’àrea és:

El segon recinte és un rectangle de base i altura , i l’àrea és:

La integral és:

c) El límit és:

Calcula.

(XX Olimpíada de Batxillerat. Fase estatal)

SOLUCIÓ:

Partint de la fórmula de sin 2x i aplicant-la successivament, s’obté:

= …

Com que , resulta que:

lim limn

nn

nn

n

xx

xx

x

x→ →� �

sin

sin

sin sin

22

22

= =

limα

αα→0

1sin

=

cos cos cos cossin

cos sin

x x x x x

xn

n2 2 2 2

2

22 3

1

⋅ ⋅… =+ xx

xx

nn

n22

2

=sin

sin

= …+22 2 2 2 2

12 3

nn n

xx x x x x

cos cos cos cos cos sin⋅ ⋅

sin sin cos cos sin cos cos cos2 2 22 2

22 3x x x xx x

xx

= = =22 2 22 2

sin cosx x

=

limn n

x x x x→ �

cos cos cos cos2 2 2 22 3

⋅ ⋅ ⋅ … ⋅

117

lim limn

nn

An

n→ →� �= +

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

1

2

3 1 1

22

( )

A f x dxn

nn n= = +

−�1

02

1

2

3 1( )

( )

An n

n

n2 2

11 3 3 1

= −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ =

−( )

3

n1

1−

n

An

n11

2

1 1

2= ⋅ ⋅ =

1

n

11

n,

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥0

1,

n

⎡

⎣⎢⎢

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

A f x dx n x dxn

dxn x

n n

n

n

= = + =⎤

⎦⎥⎥� � �

1

0

1

0

2

1

1

2 2

0

3

2( )

11

1

1

2

3 1

2

3 1n

n

x

n

n

n+

⎤

⎦⎥⎥ = +

−( )

ANÀLISI



Es considera la funció real definida per:

, per a x ∈ R

a) Determina’n el màxim.

b) Representa gràficament la funció.

(XII Olimpíada de Batxillerat. Fase estatal)

SOLUCIÓ:

a) La funció és equivalent a:

Per tant, la funció és contínua per a qualsevol valor de x, ja que els criteris que la defensen en cada interval corresponen a arcs continus, i a més:

La derivada és:

i no és derivable per als valors de x: −3, −1, 2 i 5.

En les dues primeres parts, la derivada és positiva i la funció és creixent, i en les dues últimes, és negativa, per la qual cosa la funció és decreixent i roman constant en l’interval [−1, 2],

de la qual cosa deduïm que la funció assoleix el valor màxim en tots els punts d’aquest interval.

b) La seva gràfica és la següent:

1

11

y f x

x xx x

' = =

− < −− ∈ − −

−

−

( )

( )( ) ( , )

4 3 4 32 9 2 3 1

2

2

sisi

00 1 22 2 7 2 54 4 3

2

2

sisisi

xx xx

∈ −− + ∈− −

−

−

( , )( ) ( , )( ) xx <

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 5

lim limx x

f x f x f→ →5 5

51

17− += = =( ) ( ) ( )lim lim

x xf x f x f

→ →2 22

1

11− += = =( ) ( ) ( )

lim limx x

f x f x f→ →( ) ( )

( ) ( ) ( )− −− +

= = − =1 1

11

11lim lim

x xf x f x f

→ →( ) ( )( ) ( ) ( )

− −− += = − =

3 33

1

15

f xx x x x

x x

( )

( )

=+ + + + − + −

=

− < −−

1

3 1 2 5

3 4 1

⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐

si 339 2 3 1111

1 2

2 7

1

1

( ) [ , )

[ , )

( )

− ∈ − −

∈ −

+

−

−

x x

x

x

si

si

siisi

xx x

∈− ≤

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪−

[ , )( )

2 54 3 51

f xx x x x

( ) =+ + + + − + −

13 1 2 5⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐

117

531

3

Y

X

0,1

0,2

−3 −1 O 1 2 5 OLI

MPÍA

DES

MATE

MÀTI

QU

ES



Donat el polinomi P(x) = 1 + 3x + 5x 2 + 7x 3 + … + 1.001x500, expressa el valor numèric de la seva derivada d’ordre 325 per a x = 0.


SOLUCIÓ:

El polinomi es pot escriure de la forma:

La derivada d’ordre h és:

La derivada d’ordre 325 és:

Per a x = 0:

Una altra manera:

Qualsevol polinomi Pn(x) es pot expressar com a:

En aquest cas, el polinomi és: P(x) = 1 + 3x + 5x2 + 7x3 + ... + 1.001x500

El coeficient corresponent a x325 en P(x) es 2 ⋅ 325 + 1, i identificant-lo amb el coeficient de Pn(x):

Prova que el volum d’un pneumàtic (toro) és igual al volum d’un cilindre que té com a base una secció meridiana d’aquell, i que té per altura la longitud de la circumferència formada pels centres de les seccions meridianes.


SOLUCIÓ:

El toro és generat pel cercle de centre C(0, b) i radi r, en girar al voltant de l’eix X, amb b > r.

L’equació de la circumferència és x2 + (y − b)2 = r 2.

El volum és el generat per la semicircumferència superior,

d’equació , menys el volum generat

per la semicircumferència inferior, d’equació , quan x varia des de −r fins a r.

El volum és:

La integral és l’àrea d’un semicercle de radi r → V = 2πb ⋅ πr 2

En el resultat, el factor 2πb és la longitud d’una circumferència de radi b i πr 2 és l’àrea d’un cercle de radi r, i és equivalent al volum d’un cilindre de radi de la base r, l’altura del qual és la longitud de la circumferència de radi b.

�r

r

r x−

−2 2

V b r x b r x dx br

r

r

= + −( ) − − −( )⎡⎣⎢

⎤⎦⎥ =

− −

π π� �2 22

2 22

4rr

r x dx2 2−

y b r x= − −2 2

y b r x= + −2 2

120

PP

( )( )( )

!( ) !

3253250

3252 325 1 0 651 325= ⋅ + = ⋅→

P x P P xP

xP

nxn

nn( ) ( ) ( )

( )

!

( )

!

( )

= + + + … +0 00

2

02'''

P ( )( ) ( )!

!!325 0 2 325 1

325

0651 325= ⋅ + = ⋅

P x kk

kxk

k

( )( ) ( )!

( )!325 325

325

500

2 1325

= +−

−

=∑

P x kk

k hxh k h

k h

( )( ) ( )!

( )!= +

−−

=∑ 2 1500

P x k xk

k

( ) ( )= + +=

∑1 2 11

500

119

ANÀLISI

O X

Y

rC



Donada la successió de Fibonacci: a1 = a2 = 1 i ∀n ≥ 2, an +1 = an + an −1, demostra que es compleixenles propietats següents:

a) an +2 = 1 + a1 + a2 + … + an

b)


SOLUCIÓ:

a) Escrivim els termes de la successió:

a1 = 1 a2 = 1

a3 = a2 + a1 a4 = a3 + a2

a5 = a4 + a3 a6 = a5 + a4

… …

an − 1 = an − 2 + an − 3 an = an − 1 + an − 2

an + 1 = an + an − 1 an + 2 = an + 1 + an

Si sumem, membre per membre, les igualtats s’obté que:

an + 2 = 1 + a1 + a2 + a3 + … + an

b) Ho demostrem per inducció.

Per a n = 2 és: a2 ⋅ a1 = a12 → 1 ⋅ 1 = 12

Suposem que és cert per a n = k:

I ho demostrem per a n = k + 1:

Determina el conjunt de punts P (x, y) que verifiquin que sin (x + y) = sin x + sin y.


SOLUCIÓ:

Desenvolupem els dos membres de la igualtat:

Hi ha dues possibilitats:

1a

Els punts P tenen de coordenades (x, 2k π − x), amb k ∈ Z .

2a

S’obté de la primera equació els punts P de coordenades (2k π, y), i de la segona equació, els punts de coordenades (x, 2k π).

cos cos sin sin sinsin

x y x yx y x

y+

−−

= − = ==2 2

0 2 0 00

→ →⎧⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

sinx y x y

k x y k+

=+

= + =2

02

2→ →π π

22 2

22 2 2

sin cos sin cos sin cosx y x y x y x y x y x+ +

=+ − +→ ++

−−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

y x y

2 20cos

122

a a a a a a a a a ak k k k k k k k+ − −⋅ = + ⋅ = + ⋅ = + + … +1 12

1 12

22( ) aa ak k− +1

2 2

a a a a ak k k⋅ = + + … +− −1 12

22

12

a a a a an n n⋅ − −= + + … +1 12

22

12

121

533

3

OLI

MPÍA

DES

MATE

MÀTI

QU

ES



L’impost sobre el rendiment del treball personal és una funció f (x) del total (x) de les retribucions anuals en euros.

Determina el valor de la quantitat P, en euros, i representa gràficament la funció y = f (x ) .

a) f (x ) és una funció contínua.

b) La derivada en l’interval 0 ≤ x < 60.000 és constant i igual a 0;

en l’interval 60.000 < x < P, és constant i igual a 1; i per a x > P, és constant i igual a 0,14.

c) f (0) = 0 i f (140.000) = 14.000

(I Olimpíada de Batxillerat. Fase estatal)

SOLUCIÓ:

La funció f '(x) està definida a trossos.

Integrant s’obté la funció:

f (0) = 0 → 0 + C1 = 0 → C1 = 0

Com que la funció és contínua:

Per calcular P, si 140.000 ≤ P, s’obtindria f (140.000) = 140.000 − 60.000 = 80.000, que no és possible en ser f (140.000) = 14.000. Com que 140.000 > P, tenim que:

f (140.000) = 0,14 ⋅ 140.000 + C3 = 14.000 → C3 = −5.600

I com que f (x) ha de ser contínua en P, es compleix que:

La funció és:


f xx

x x( ).

. . .=≤ <

− ≤ ≤0 0 60 000

60 000 60 000 63 255sisi ,,

, . . ,81

0 14 5 600 63 255 81x x− <

⎧

⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪ si

lim

limx P

x P

x P

x→

→

−

+

− = −

−

( . ) .

( , .

60 000 60 000

0 14 5 6000 0 14 5 60060 000 0 14 5

) , .. , .

= −

⎧

⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

− = −P

P P→ 6600 63 255 81→ P = . ,

lim

limx

x

f x

f x C→

→

60 000

60 000

0

60 000.

.

( )

( ) .

−

+

=

= + 222 60 000 60 000 0

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

= − =→ C f. ( . )i

f xC x

x C x Px

( ).

.,

=+ ≤ <+ < ≤

+

0 0 60 00060 000

0 14

1

2

sisi

CC P x3 si <

⎧

⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

f xx

x PP x

'( ).

.,

=≤ <

< <<

⎧

⎨0 0 60 0001 60 0000 14

sisisi

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

df xdx( )

123

ANÀLISI

X

Y

3.255,81

O 63.255,8160.000



Representa gràficament la funció y = |||x − 1 | − 2 | − 3 |, en l’interval − 8 ≤ x ≤ 8.

(I Olimpíada de Batxillerat. Fase estatal)

SOLUCIÓ:

S’expressa la funció per intervals:

La funció és:

La funció definida a trossos és de la forma:


y f x

x xx x

x xx

= =

− − ≤ −+ − < < −

− + − ≤ <( )

4 44 4 1

2 1 1

sisisisiisisi

1 36 3 6

6 6

≤ <− + ≤ <

− ≤

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

xx x

x x⎪⎪⎪

⏐ ⏐ ⏐ ⏐− = < ≤ − = − + < ≤− <

⎧⎨⎪⎪⎩

x x x x x xx x

si sisi

1 3 6 6 3 66 6⎪⎪⎪

⏐ ⏐ ⏐ ⏐− − = − − ≤ −+ − < ≤ −

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

− = −x x xx x

x4 4 44 4 1

2sisi

xx x+ − < ≤2 1 1si

y

x xx x

x xx

=

− ≤ −− − < ≤

< ≤−

−

−

⏐ ⏐⏐ ⏐⏐ ⏐⏐ ⏐

4 12 1 1

1 36

sisisissi 3 <

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪ x

⏐ ⏐ ⏐ ⏐− − = − − ≤ −+ > −

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

− = − +x x xx x

x x1 1 11 1

3sisi

i 33 33 3

sisi

xx x

≤− >

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

y x xx x

= − − − ≤− − >

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⏐⏐⏐ ⏐ ⏐⏐ ⏐ ⏐

1 3 13 3 1

sisi

⏐ ⏐x x xx x

− = − + ≤− >

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

1 1 11 1

sisi

124

535

3

Y

X

3

O−4 −1 1 3 6

OLI

MPÍA

DES

MATE

MÀTI

QU

ES



Troba tots els intervals de valors de x que verifiquen:

a) cos x + sin x > 1

b) cos x + |sin x | > 1


SOLUCIÓ:

a) El primer membre de la desigualtat es pot escriure com a:

Per la periodicitat de les funcions sinus i cosinus, els intervals on es verifica

la desigualtat són de la forma: , amb k ∈ Z .

Els resultats anteriors s’observen a la gràfica de la funció y = cos x + sin x.

b) Com que |sin x | ≤ 1, es pot escriure:

Es verifica en l’interval .

I, en general, la inequació es verifica en els intervals , amb k ∈ Z .

De la mateixa manera, la gràfica de la funció cos x + |sin x | és la següent.

22

2 2 22

k k k kππ

π π ππ

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ∪ +

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟, ,

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ∪

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

π π2

0 02

, ,

cos sinsin

cosx x

xx

+ >− ≥ −

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

>⏐ ⏐⏐ ⏐

→11

0

2 22

k kπ ππ

, +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

24

14

2

2cos cos

π π−

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ > −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ >x x→ →→ →− < − < < <

π π π π4 4 4

02

x x

= −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟2

4 42

4sin cos cos

π π πx x⎟⎟⎟

cos sin sin sin sinx x x xx

+ = −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ + =

− +π

π

22

2xx x x

2

2

2cos

π− −

=

125

ANÀLISI

O

1

− π2

Y

Xπ2

O

1− π

2

Y

Xπ2



Un tronc de con de revolució té la seva base major de radi r, i les seves generatrius formen amb el pla de la base un angle la tangent del qual val m. Aquest tronc de con està format per un material de densitat d i la seva base menor és recoberta per una làmina que té una massa de p (g/cm2).


SOLUCIÓ:

El volum del tronc de con d’altura h i radis de les bases r i r' és:

Com que tg α = m, es té que:

La massa del tronc de con és:

I la massa de la base superior és:

La massa total és:

El valor de la derivada és:

Aquesta derivada s’anul·la per a:

Substituïm aquests valors a la segona derivada:

L’altura és màxima quan i .

Si h = mr i r' = 0, la figura és un con.

Perquè existeixi h, s’ha de complir que mrd − 2p > 0 → .mp

rd= >tg α

2

rp

dm' =

2h

mrd p

d=

− 2

M hm

dh p mrdh mr M h

''''

( ) [ ( )]( )

= + −= =π

22 2

2

→⎯⎯⎯→Si

ππp

m

hmrd p

dM h p

20

22 0

>

=−

= − <

→

→ →

Mínim

Si ''( ) Màxim

⎧⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

hmrd p p m r d pmrd d m r d mrp

=− ± + − − −2 4 4 8 4 22 2 2 2 2 2( ) ( )

222

d

mrd p pd

mrmrd p

d

=− ±

= −

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

M hm

dh p mrd h m r d mrp'( ) [ ( ) ]= + − + −π

22 2 22 2

M hm

dhp mrd h m r d mrp h m r p( ) ( ) ( )= + − + − +

⎡π2

32 2 2 2 2

32

⎣⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

M A pmr h

mp

p

mm r mrhB = ⋅ =

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ = − +π

π2

22 2 2( hh2)

M V ddh

mm r mrh hTC = = − +

π3

3 32

2 2 2( )

Vh

mm r mrh h= − +

π3

3 32

2 2 2( )

tg α = =−

= −mh

r rr r

h

m''→

Vh

r r rr= + +π3

2 2( )' '

126

537

3

h

r

r'

α

OLI

MPÍA

DES

MATE

MÀTI

QU

ES



Raona si es pot verificar la continuïtat en el punt x = 0 d’una funció real f (x) de variable real en aquests casos:

a) Per a n natural, .

b) Per a x real no negatiu, f (x) = x 2, i per a x real negatiu, f (x) = 0.

c) Per a n natural, .

(V Olimpíada de Batxillerat. Fase estatal)

SOLUCIÓ:

Perquè una funció sigui contínua en x = 0, s’ha de verificar que, per a qualsevol successió {xn},

tal que , es verifiqui que .

a) En aquest cas es verifica que:

No obstant això, la funció f (x) és igual a 1 per a i és igual a −1 quan :

No existeix el límit i la funció no és contínua en x = 0.

b) La funció és determinada per:

El límit és:

La funció f (x) és contínua en x = 0.

c) Perquè f (x) sigui contínua en x = 0 s’ha de verificar que per a qualsevol successió {xn}, tal que , es verifiqui que . Com que només se sap el valor de f (x)

per a una successió de valors de x, no es pot afirmar que la funció sigui contínua.

limn

nf x f→ �

( ) ( )= 0limn

nx→ �

= 0

lim

limlimx

xx

f x

xf x→

→→

→0

0

2 0

0

0−

+

=

=

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

( )( )) ( )= =0 0f

f x xx x

( ) = <≥

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

0 002

sisi

lim limn n

fn

fn→ →� �

1

21

1

2 1

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =

+

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟ = −1

xn

=+1

2 1x

n=

1

2

lim limn nn n→ →� �

1

20

1

2 10=

+=

limn

nf x f→ �

( ) ( )= 0limn

nx→ �

= 0

fn1

1⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟ =

fn

fn

12

11

2 11

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟ =

+

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟ = −i

127

ANÀLISI



Les velocitats d’un submarí submergit i a la superfície són, respectivament, v i kv. Està situat en un punt P a 30 milles del centre O d’un cercle de radi 60 milles, i ha de navegar submergit mentre és dins del cercle. Discuteix, segons els valors de k, el camí més ràpid per traslladar-se a l’extrem oposat del diàmetre que passa per P.Considerar el cas particular .

(VIII Olimpíada de Batxillerat. Fase estatal)

SOLUCIÓ:

Si el submarí va de P a P' submergit, i de P' a Q a la superfície, al llarg de la circumferència, el trajecte recorregut és:

, amb α ∈ [0, π]

El temps que tarda a recórrer-lo és:

La derivada de t és:

D’altra banda, el valor màxim que pren la funció és , per a radians,

valors que es poden obtenir si en fem la derivada. Així, per a α ∈ [0, π] és i t'

és negativa per a k ∈ (0, 2), on t és decreixent i pren el valor mínim quan t = π. El camí més ràpid és el segment PQ, amb un recorregut de 90 milles.

Si k = 2, t' = 0 per a rad, però a la seva esquerra i a la seva dreta la derivada és negativa,

per la qual cosa la t és decreixent. El camí més ràpid també és el segment PQ.

Si k > 2, la derivada

s’anul·la per a dos valors de cos α, i hi hauria dos camins: un de màxim i un altre de mínim, depenent de cada valor de k.

Quan , el temps és:

La derivada és:

i s’anul·la quan

Per a aquests valors, la segona derivada és:

El temps mínim és , per a α = 0,64 rad, i el temps màxim és , per a rad.απ

=2

tv

=109 23,

tv

=107 38,

tv

'' =− −

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟60 5 2 2

5 4

2

32

cos cos

cos

α α

α( )⎟⎟⎟⎟⎟

= <

= >→

→ →

→ →

Si Màxim

Si M

cos

cos

α

α

0 045

0

t

t

''

'' íínim

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

sin

coscos cos

cos

cosα

αα α

α

α5 4

1

55 4 0

04

5

2

−= − =

=

=→ →

⎧⎧

⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

tv

' =−

−⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟60

5 4

1

5

sin

cos

α

α

tv

= − + −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

305 4

2

5cos α π α( )k = 5

cos α =± − −

=± − −4 16 4 5

2

2 1 42 2

2

2 2

2

k k

k

k k

k

( ) ( ) ( )

sin

coscos cos

α

αα α

5 4

10 4 5 02 2 2

−− = − + − =

kk k→

απ

=3

05 4

1

2≤

−≤

sin

cos

α

α

απ

=3

1

2y =

−

sin

cos

α

α5 4

tv k

' =−

−⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟60

5 4

1sin

cos

α

α

tv k

= − + −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

305 4

2cos α π α( )

= − + −30 5 4 60cos α π α( )

C = + − ⋅ ⋅ ⋅ + − =60 30 2 60 30 602 2 cos α π α( )

k = 5

128

539

3

QP

P'

60

α

30O

OLI

MPÍA

DES

MATE

MÀTI

QU

ES



En un disc metàl·lic s’elimina un sector circular, de manera que amb la part restant es pugui formar un vas cònic de volum màxim. Calcula, en radians, l’angle del sector que s’elimina.

(XI Olimpíada de Batxillerat. Fase estatal)

SOLUCIÓ:

El con té de generatriu R, el radi del disc metàl·lic, i de longitud de la base, l’arc ACB� , que correspon a un angle de α radians, en la circumferència de radi R, per la qual cosa ACB = αR.

Si la longitud de la base del con és αR, el seu radi és i l’altura del con és:

i el volum és:

I si el radicand és màxim, el volum també serà màxim:

y = 4π2α4 − α6 → y' = α3 (16π2 − 6α2)

Els valors que anul·len la derivada són α = 0 i radians; el valor positiu

correspon al màxim: , i el radi del con és: ,

l’altura és: i el volum és .

Per tant, el sector que s’elimina té una amplitud de radians.2 22 6

3

3 6

32π α π

ππ− = − =

−⋅

VR

=2 3

27

3πh

R=

3

3

rR

=6

3α

π=

2 6

3

απ

= ±2 6

3

VR R R

= ⋅ ⋅ − = −1

3 4 24

244

2 2

22 2

3

22 4 6π

απ π

π απ

π α α

h RR R

= −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = −2

2

2 2

2 24

απ π

π α

rR

=α

π2

129

ANÀLISI

O

α

C

R

B

A

O

Rh

r



Estudia i representa la funció definida per a x ∈ R − [−1, 0].


SOLUCIÓ:

Si en la funció es donen només valors naturals a x, s’obté la successió de terme general , que és creixent i fitada, 2 ≤ an < 3 i el seu límit és el nombre e.

El domini de la funció és el conjunt R − {−1, 0}, ja que si no la base és zero o és negativa, i per a x = 0, la funció no existeix.

No és simètrica respecte de l’eix Y ni de l’origen.

Les rectes x = −1 i y = e són asímptotes.

Com que la funció no pren mai el valor e, per a x → −� és f (x) > e, ja que si x → −1−, f (x) → +�, i si x → +�, f (x) < e:

La derivada de la funció és positiva, i la funció és creixent en tot el seu domini.

La gràfica és la següent:

yx x x

x

' = +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ +

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ −

+

⎡

⎣1

11

1 1

1ln⎢⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

h xx

xx

x x= +

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

+⎡

⎣+ +

lim lim→ →0 0

11

1

ln

ln ⎢⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=+

= = =+1 1

0 10

0

x

x

xL e

xlim→

→

Lx

ex

x

h= +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

+lim→0

11

lim limx

x

x→ →−+

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

� �1

11

1α α ⎟⎟⎟ =

−

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = +

−

⎛

⎝

−α

α

α

α

αα α

lim lim→ →� �1

11

1⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ +

−

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = ⋅ =

−α

α

1

11

11e e

lim limx

x

xx x→ →− −+

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = + +

⎛

⎝⎜⎜⎜1

11

11

��

i⎞⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

x

e

an

n

n

= +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟1

1

f xx

x

( ) = +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟1

1130

541

3

Y

XO

y = e

x = −1

OLI

MPÍA

DES

MATE

MÀTI

QU

ES



Calcula l’àrea de la intersecció de l’interior de l’el·lipse amb el cerclelimitat per la circumferència (x − 2)2 + (y − 1)2 = 5.


SOLUCIÓ:

Els punts de tall de l’el·lipse i la circumferència són B(0, 2) i A(4, 0), i el punt C, que és el centre de la circumferència, és el punt mitjà del segment AB.

El recinte limitat per l’el·lipse i el cercle està compost per l’àrea d’un quart d’el·lipse més dos segments circulars BDO i OEA.

L’àrea del quadrant d’el·lipse és:

L’àrea dels dos segments és igual a l’àrea del semicercle de centre C i radi menys l’àrea del triangle AOB:

Per tant, l’àrea és:

Una altra manera:

Fent servir el càlcul integral, l’àrea de cada un dels recintes és:

Quadrant de l’el·lipse:

Segment BDO:

Segment OEA:

L’àrea que es demana és la suma dels tres valors: S = 6,28 + 0,31 + 3,54 = 10,13 u2

Troba la integral definida .


SOLUCIÓ:

Si traslladem els eixos de coordenades de manera que el nou origen sigui el punt (3, 0), la funció f (x) = sin (x − 3)3 es transforma en f (X) = sin X 3, que és imparella i simètrica respecte al nou origen.

L’interval d’integració [2, 4] es transforma en [–1, 1] i la integral és:

ja que les dues últimes integrals són oposades.

� � � �4

2

31

1

30

1

31

3sin sin sin[( ) ]x dx X dX X dX− = = +− − 00

3 0sin X dX =

�4

2

33sin [( ) ]x dx−132

S x dxOEA = − − −( ) =�4

0

21 5 2 3 54( ) ,

S x x dxBDO = + − − − − − −( )⎡⎣⎢

⎤⎦⎥ =

−�

0

2 5

2 21 5 2 1 5 2 2( ) ( ) ��0

2 5

25 2 0 31−

− − =( ) ,x dx

S x dx x dx= − = − = ⋅ ⋅ =� � �4

0

24

0

21

216

1

216

1

2

1

416 2 6π π ,228

S = +−

=−

25 8

2

9 8

210 14 2π

π π � , u

1

25

4 2

2

5 8

2π

π−

⋅=

−

AC = 5

1

4

1

44 2 2π π πab = ⋅ ⋅ =

x y2 2

16 41+ =131

ANÀLISI

Y

X

B

D C

B'

A' AO E

βα



Calcula la integral .


SOLUCIÓ:

La integral es pot escriure:

I dividint el numerador i el denominador entre cos2x:

Fem el canvi de variable tg x = t, sec 2 x dx = dt:

Descomponem la fracció en suma de fraccions simples i integrem:

I desfent el canvi de variable:

Determina un polinomi P (x) de segon grau, tal que P (0) = 0 i la corba y = P (x) tingui un màxim en el punt (2, 4).

Quantes solucions hi ha?


SOLUCIÓ:

Sigui P (x) = ax2 + bx + c. La seva derivada és p '(x) = 2ax + b.

Es compleix que:

Existeix un únic polinomi, P (x) = −x2 + 4x.

P cP a bP a b

( )( )( )

0 0 02 4 4 2 42 0 4 0

= == + == + =

⎫

⎬⎯⎯⎯→→→'

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

= − = =→ a b c1 4 0, ,

134

� dx

x x

x

xsin sin sin

tg tg

tg tg( ) ( )− −=

−−

⎛

⎝1 2

1

1

2

1ln ⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ + K

=−−

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ +

1

1

2

1sin

tg

tgln

t

tK

1

1 2 1 2

1

1 2

1

1cos cos tg tg cos cos tg tg� dt

t t( ) ( )− −=

− 22 1

1

1 2 2� �dt

t

dt

t−−

− −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=tg tg tg tg

� �dtt t

dtt( ) ( ) (cos sin cos sin cos cos1 1 2 2

11 2− −

=− ttg tg1 2) ( )t −

� sec2

1 1 2 2x dx

x x( ) ( )tg cos sin tg cos sin− −

� �dxx x

dxx xsin sin sin cos cos sin( ) ( ) ( ) (− −

=−1 2 1 1 ssin cos cos sinx x2 2− )

� dxx xsin sin( ) ( )− −1 2

133

543

3

OLI

MPÍA

DES

MATE

MÀTI

QU

ES



La funció f, de la variable real x, és definida per: f: x → f (x) = ex (x 2 + 1).

Es demana que resolguis les qüestions següents:

a) Estudia l’existència i la continuïtat de f.

b) Determina la derivada d’ordre n d’aquesta funció i dóna’n una expressió simplificada.

c) Troba l’àrea de la figura limitada per la corba representativa d’aquesta funció, l’eix d’abscisses i les rectes d’equacions x = 0 i x = 1.


SOLUCIÓ:

a) La funció f (x) és el producte de la funció exponencial, ex, que existeix i és contínua en tot � ,i el polinomi x2 + 1, que també ho és. Per tant, f (x) existeix i és contínua en tot �.

b) Després de derivar successivament, s’obté que la derivada n-èsima pot ser:

f (n ) = ex[x2 + 2nx + n(n − 1) + 1]

Per demostrar que és vàlida per a qualsevol valor de n, ho fem per inducció.

La primera derivada és:

f '(x)= ex(x2 + 2x + 1) = ex[x2 + 2 ⋅ 1x + 1(1 − 1) + 1]

Suposem que és cert que per a n = k:

f (k ) = ex[x2 + 2kx + k(k − 1) + 1]

i vegem que també és cert per a n = k + 1:

f (k+1)(x) = ex[x 2 + 2kx + k(k − 1) + 1] + ex(2x + 2k) = ex[x2 + 2(k + 1)x + (k + 1)k + 1]

c) Com que f (x) > 0, ∀x ∈ �, l’àrea és el valor de la integral:

S’ha calculat una funció primitiva de ex(x2 + 1) integrant dues vegades pel mètode d’«integració per parts».

�1

0

2 201 21 2 3 2 3e x dx e x x ex x( ) [ ( )]+ = − + = − u

135

ANÀLISI



Demostra que el punt d’inflexió d’una paràbola cúbica y = ax 3 + bx 2 + cx + dés el centre de simetria de la corba.


SOLUCIÓ:

La derivada segona y'' = 6ax + 2b s’anul·la per a .

El punt d’inflexió és:

Fem una translació d’eixos a aquest punt.

Les equacions de la translació són:

La funció Y = f (X), tal que f (−X) = −f (X), és simètrica respecte al nou origen de coordenades.

Y aX cb

aX= + −

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

32

3

Yb

a

bc

ad a X

b

ab X

b

a+ − + = −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ + −

⎛2

27 3 3 3

3

2

3

⎝⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ + −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ +

2

3c X

b

ad

x Xba

y Y ba

bca

d

= −

= + − +

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

3

227 3

3

2

Pb

a

b

a

bc

ad− − +

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟3

2

27 3

3

2,

xb

a= −

3

136

545

3

OLI

MPÍA

DES

MATE

MÀTI

QU

ES




ESTADÍSTICA I PROBABILITAT

Es considera un triangle equilàter d’altura 1. Per a qualsevol punt P interior del triangle, x, y, z són les distàncies de P als costats del triangle.

a) Prova que x + y + z = 1 per a qualsevol punt P interior del triangle.

b) Per a quins punts del triangle es verifica que la distància a un costat és més gran que la suma de les distàncies als altres costats?

c) Troba la probabilitat que, en dividir en tres trossos, un bastó de longitud 1, es pugui formar un triangle amb els tres trossos.


SOLUCIÓ:

a) Anomenem m a la longitud del costat del triangle equilàter.

Unim el punt P amb cada un dels tres vèrtexs del triangle equilàter.

Com que la suma de les àrees dels triangles BCP, ABP i ACP és igual a l’àrea del triangle:

I si simplifiquem, en resulta que: x + y + z = 1.

b) Si unim els punts mitjans de cada costat s’obtenen quatre

triangles equilàters iguals, d’altura .

Si P és en qualsevol dels tres triangles de color blanc es verifica que:

Els punt de qualsevol d’aquests triangles verifiquen que la distància a un costat és més gran que la suma de les distàncies als altres costats.

c) La condició necessària i suficient perquè tres segments puguin ser els costats d’un triangle és que cada un d’ells ha de ser menor que la suma dels altres dos.

Per tant, tenint en compte l’apartat anterior, la probabilitat que es demana equival a calcularla probabilitat que el punt P sigui interior en el triangle HIJ , i com que l’àrea d’aquest triangle és la quarta part de l’àrea del triangle ABC, es té que:

PS

SHIJ

ABC

= =1

4

x y z

xx

x y zx y z

+ + =

>

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

>+ +

> +1

12

2→ →

1

2

1

2

1

21m x y z m⋅ + + = ⋅( )

m x m y m z m⋅+

⋅+

⋅=

⋅2 2 2

1

2

137

C

A a

P

B

J Ixz

y

C

A a

P

B

xz

y



4

547

La freqüència d’encert en el llançament de triples d’un jugador de bàsquet en els darrers trenta partits és del 60 %. Quantes vegades haurà de llançar a cistella perquè, amb una probabilitat del 90 %, com a mínim faci triple almenys una vegada?


SOLUCIÓ:

Si se suposa que fa n llançaments, la probabilitat de no encertar la cistella en cap és 0,4n. L’esdeveniment contrari és encistellar almenys una vegada, i la seva probabilitat és 1 − 0,4n.

S’ha de verificar que:

Ha de fer 3 llançaments perquè la probabilitat sigui, com a mínim, del 90 %.

En un equip de futbol hi ha 11 jugadors, les samarretes dels quals estan numerades de l’1 a l’11. En triem 6 a l’atzar. Quina és la probabilitat que la suma dels nombres de les samarretes sigui imparell?


SOLUCIÓ:

Hi ha C11, 6 = 462 tries possibles.

La suma dels nombres de les samarretes dels jugadors que s’han triat serà imparell si entre els nombres hi ha una quantitat imparella de nombres imparells. Hi ha 6 nombres imparells i 5 nombres parells.

1 samarreta imparella i 5 samarretes parelles: C6, 1 ⋅ C5, 5 = 6 ⋅ 1 = 6

3 samarretes imparelles i 3 samarretes parelles: C6, 3 ⋅ C5, 3 = 20 ⋅ 10 = 200

5 samarretes imparelles i 1 samarreta parella: C6, 5 ⋅ C5, 1 = 6 ⋅ 5 = 30

La suma és 236, i és el nombre de casos favorables.

La probabilitat que es demana és

Una urna s’ha omplert amb tres boles seguint el procediment següent: s’ha llançat una moneda tresvegades i s’hi ha introduït una bola blanca cada vegada que ha sortit cara, i una bola negra cada vegadaque ha sortit creu. Extraiem una bola d’aquesta urna quatre vegades consecutives, però cada vegada la hi tornem a introduir abans de l’extracció següent. Quina és la probabilitat que, en les quatreextraccions, s’obtingui una bola blanca?


SOLUCIÓ:

En llançar una moneda 3 vegades consecutives es poden obtenir els resultats següents:

CCC CCX CXC XCC CXX XCX XXC XXX

I les possibles composicions de les urnes són:

U1: 3B U2: 2B, 1N U3: 2B, 1N U4: 2B, 1N U5: 1B, 2N U6: 1B, 2N U7: 1B, 2N U8: 3N

La probabilitat que la composició de l’urna sigui U1, U2, …, U8 és .

I la probabilitat que es demana és que les quatre boles blanques siguin de qualsevol de les urnes.

P U B U B U B[( ) ( ) ( )]1 2 84 4 41

81

3

8

2

3∩ ∪ ∩ ∪ ∪ ∩ = ⋅ + ⋅

⎛

⎝⎜⎜… ⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ + ⋅

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ + ⋅ =

4 43

8

1

3

1

80

11

54

1

8

140

P =236

4620 51� ,

139

1 0 4 0 90 1

0 42 51− ≥ ≥, ,

log ,

log ,,n n→ �

138

OLI

MPÍA

DES

MATE

MÀTI

QU

ES



En una fàbrica de pilotes de tenis hi ha 4 màquines, m1, m2, m3 i m4, que produeixen respectivament el 10 %, 20 %, 30 % i 40 % de les pilotes. La màquina m1 introdueix defectes en l’1 % de les pilotes que fabrica, la màquina m2 en el 2 %, la màquina m3 en el 4 % i la màquina m4 en el 15 %. De les pilotes fabricades en un dia, se’n tria una a l’atzar i resulta que és defectuosa.Quina és la probabilitat que aquesta pilota hagi estat elaborada per la màquina m3?


SOLUCIÓ:

La distribució de 1.000 pilotes, segons que siguin fabricades per m1, m2, m3 o m4, i segons que siguin defectuoses, D, o no defectuoses, D', és:

Si triem una pilota defectuosa, el nombre de casos possibles és 7, i en 12 dels casos haurà estat elaboradaper la màquina m3, i la probabilitat és:

Una altra manera:

Si anomenem mi l’esdeveniment «la pilota de tenis surt de la màquina i» i d l’esdeveniment «la pilota és defectuosa», aplicant el teorema de Bayes la probabilitat és:

Un matrimoni té cinc fills. Troba la probabilitat que entre ells hi hagi almenys dos nois

i, com a mínim, una noia. La probabilitat de néixer noi es considera .


SOLUCIÓ:

Hi haurà, almenys, dos nois i, com a mínim, una noia quan siguin dos nois i tres noies, o tres nois i dues noies, o quatre nois i una noia. La probabilitat és:

Una altra manera:

S’obté que els casos possibles són: VR2, 5 = 25 = 32

Els casos favorables són: 4 nois i 1 noia � C5, 4 = 53 nois i 2 noies � C5, 3 = 102 nois i 3 noies � C5, 2 = 10

I la probabilitat és: P =25

32

P =⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

52

1

2

1

2

2 3

++⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

53

1

2

1

2

3 2

++⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =5

41

2

1

2

25

32

4

12

142

P m dP m P d m

P m P d mi ii

[ ][ ] [ ]

[ ] [ ]

,3

3 3

1

4

0 3/

/

/

=⋅

⋅

=

=∑

⋅⋅⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

=0 04

0 1 0 01 0 2 0 02 0 3 0 04 0 4 0 15

0,

, , , , , , , ,

,,

,,

012

0 0770 16�

P =12

770 16� ,

141


D D'

m1 1 99 100

m2 4 196 200

m3 12 288 300

m4 60 340 400

77 923 1.000



AO

C B

Y

X

Tres esportistes disputen entre ells una sèrie de proves atlètiques, fins que algun dels participantsobtingui 3 triomfs i guanyi. Quin és el nombre més probable de proves que faran?

(V Certamen El Nombre d’Or)

SOLUCIÓ:

Anomenem A, B i C els tres esportistes. La probabilitat que un d’ells guanyi una prova és .

S’han de fer com a mínim 3 proves i guanyaria l’esportista que vencés en les 3 proves,

amb una probabilitat de . La probabilitat és:

Si es fan 4 proves, perquè guanyi un d’ells, per exemple, el participant A, aquest hauria de guanyar l’última prova i, a més, dues de les tres proves anteriors:

- A A A A - A A A A - A (el lloc del guió pot ser ocupat per B o C)

La probabilitat és:

Si són 5 proves, els casos que poden tenir lloc són:

- - A A A - A - A A - A A - A A - - A A A - A - A A A - - A

Cada lloc del guió pot ser ocupat per B o C, i la probabilitat és:

Si són 6 proves, quedarien 3 proves per repartir entre B i C, i les altres tres proves seran per a A, tenint en compte que l’última és per a A. La probabilitat és:

Si són 7 proves, quedarien 4 proves per repartir entre B i C, sense que ningú guanyi 3 vegades. La probabilitat és:

No serà necessari fer una octava prova. Per tant, el més probable és que es facin 5 proves.

Es trien aleatòriament dos nombres reals entre 0 i 1, calcula la probabilitat que un sigui menor que el quadrat de l’altre.


SOLUCIÓ:

El conjunt de tots els parells de nombres reals compresos entre 0 i 1 és l’interior del quadrat OABC, d’àrea 1.

Els parells de nombres que verifiquen la condició del problema són els que pertanyen a les regions acolorides de la figura.

Una de les regions està limitada per la paràbola d’equació y = x2, l’eix X i la recta x = 1, i l’altra, per la paràbola d’equació x = y2, l’eix Y i la recta y = 1, totes dues l’àrea igual.

L’àrea d’una de les regions és:

I la probabilitat és: P =⋅

=2

13

1

2

3

�1

0

23

0

1

3

1

3x dx

x=

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ =

144

6 31

3

10

816 2

7

⋅ ⋅ ⋅⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =C ,

6 31

3

20

815 2

6

⋅ ⋅ ⋅⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =C ,

4 31

3

8

274 2

5

⋅ ⋅ ⋅⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =C ,

2 31

3

2

93 1

4

⋅ ⋅ ⋅⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =C ,

31

3

1

9

3

⋅⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =1

3

3⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

1

3

143

549

4

OLI

MPÍA

DES

MATE

MÀTI

QU

ES



Una urna conté els vots per a l’elecció de dos candidats, A i B. Se sap que el candidat A té 6 vots i el candidat B té 9 vots. Troba la probabilitat que, en fer l’escrutini, sempre estigui guanyant el candidat B.


SOLUCIÓ:

El nombre de casos és una combinació de 15 elements, presos de 6 en 6:

C15, 6 = 5.005

Els casos favorables es produeixen quan el primer i el segon vots corresponen al candidat B, el tercer a B o a A, és a dir, BBB o BBA, el quart a BBBB, BBBA o BBAB, i així successivament.

BBB

BBB BBABBBB BBBA BBAB

BBBBB BBBBA BBBAB BBBAA BBABB BBABABBBBBB BBBBBA BBBBAB BBBBAA BBBABB BBBABA BBBAAB BBABBB BBABBA BBABAB

Podem formar una taula en què en cada casella hi ha els casos favorables, i que es poden obtenir sumant en cada cas la xifra que hi ha a la casella situada a la seva esquerra més la que hi ha a la casella immediata superior.

La probabilitat és:

En una urna hi ha 100 boles numerades com a 1, 2, 3, ..., 100. Triem una bola a l’atzar, n’apuntem el número, la tornem a introduir a l’urna i triem una altra bola, i n’apuntem, també, el número. Si el primer número que hem apuntat és a i el segon és b, formem el número T = 3a + 7b. Quina és la probabilitat que el número T acabi en 8?

(XX Concurs Puig Adam)

SOLUCIÓ:

El nombre de casos possibles és una variació amb repetició de 100 elements, presos de dos en dos, és a dir, VR100, 2 = 1002 = 10.000.

La xifra de les unitats de 3a pot ser 3, 9, 7 i 1, i la de 7b pot ser 7, 9, 3 i 1. En tots dos casos es repeteixen de quatre en quatre en unitats; per tant, entre les 100 potències hi ha 25 potències de cada tipus.

La suma 3a + 7b acaba en 8 quan els sumands acaben en 9 i 9, 1 i 7, 7 i 1. El nombre de casos favorables per a cada terminació és: 25 ⋅ 25 = 625. En total, són: 3 ⋅ 625 = 1.875.

I la probabilitat és: P = =1 875

10 000

3

16

.

.

146

P = = =1 001

5 005

1

50 2

.

.,

145


B/A 0 1 2 3 4 5 6

1 1 – – – – – –

2 1 – – – – – –

3 1 2 2 – – – –

4 1 3 5 5 – – –

5 1 4 9 14 14 – –

6 1 5 14 28 42 42 –

7 1 6 20 48 90 132 132

8 1 7 27 75 165 297 429

9 1 8 35 110 275 572 1.001



Una altra manera:

La probabilitat que totes dues potències acabin en 9 és:

I la probabilitat que un ho faci en 1 i l’altra en 7 és:

Per tant, la probabilitat que es demana és la suma de totes dues:

En una classe en què no hi ha més de 16 estudiants, la probabilitat que,

en escollir-ne dos, resulti que tots dos han aprovat l’últim examen de Matemàtiques és . Quants estudiants hi ha a la classe i quants van aprovar aquest examen?

(XIX Concurs Puig Adam)

SOLUCIÓ:

Considerem que n és el nombre d’estudiants i m és el nombre d’estudiants que han aprovat.

La probabilitat que el primer alumne elegit hagi aprovat és i la probabilitat que el segon alumne

també hagi aprovat és .

La probabilitat que hagin aprovat els dos alumnes elegits és:

Com que m i m – 1 són nombres consecutius, el primer membre de l’equació és múltiple de 4, la qual cosa implica que n(n − 1) també ho sigui, i com que n ≤ 16, n pot valer 16, 13, 12, 9, 8, 5 i 4. L’únic valor de n per al qual l’equació té solució és 4, i aleshores m = 3.Per tant, hi ha 4 alumnes i en van aprovar 3.

Una capsa conté 9 fitxes marcades de l’1 al 9. Es treuen, d’una en una, tres fitxes de la capsa. Troba la probabilitat que siguin, alternativament, parella, imparella, parella; o imparella, parella, imparella.


SOLUCIÓ:

Es considera que l’extracció de les fitxes es fa sense devolució.Siguin l l’esdeveniment «treure fitxa imparella» i R «treure fitxa parella».La probabilitat que es demana és:

Si es fa amb devolució, la probabilitat és:

En una rifa, els bitllets estan numerats de la manera 00000, 00001, 00002, …, 99998, 99999. Calcula la probabilitat que el bitllet premiat tingui només 3 xifres diferents.


SOLUCIÓ:

Hi ha 100.000 bitllets. Tres xifres diferents es poden elegir de C10, 3 = 120 formes.Per a cada terna de xifres es poden formar nombres de cinc xifres, repetint-ne una tres vegades o repetint-ne dues en dues ocasions. En total es poden formar:

nombres

La probabilitat és: P = =18 000

100 0000 18

.

.,

120 3 360 20 30 18 00053 1 1

52 2 1⋅ ⋅ + = ⋅ + =( ) ( ) ., , , ,P P

149

P R P I P R P I P R P I[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅4

9

5

9

4

9

5

9

4

99

5

9

160

729⋅ =

P R P I R P R I R P I P R I P I I R[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]⋅ ⋅ ∩ + ⋅ ⋅ ∩ =/ / / /4

99

5

8

3

7

5

9

4

8

4

7

5

18⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

148

m

n

m

nm m n n⋅

−−

= − = −1

1

1

22 1 1→ ( ) ( )

m

n

−−

1

1

m

n

12

147

P = + ⋅ =1

162

1

16

3

16

21

4

1

4⋅ ⋅

1

4

1

4

1

16⋅ =

551

4

OLI

MPÍA

DES

MATE

MÀTI

QU

ES


Qualsevol forma de reproducció, distribució, comunicació pública o transformaciód’aquesta obra només es pot fer amb l’autorització dels seus titulars, llevat d’ex-cepció prevista per la llei. Si en necessiteu fotocopiar o escanejar algun fragment,adreceu-vos a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org).

© 2008 by Grup Promotor / Santillana Educación, S. L.Frederic Mompou, 11. 08005 BarcelonaPRINTED IN SPAINImprès a

ISBN: 978-84-7918-330-1CP: 917232Dipòsit legal:

Direcció d’art: José Crespo

Projecte gràfic:Coberta: CARRIÓ/SÁNCHEZ/LACASTAInteriors: Rosa María Barriga

Il·lustració: José María Valera

Cap de projecte: Rosa MarínCoordinació d’il·lustració: Carlos AguileraCap de desenvolupament de projecte: Javier TejedaDesenvolupament gràfic: José Luis García, Raúl de Andrés

Direcció tècnica: Ángel García Encinar

Coordinació tècnica: Marisa Valbuena, Félix RotellaConfecció i muntatge: Pedro Valencia, Fernando Calonge, Luis González, María Delgado, Anglofort, S. A., Jonas Nilsson

Documentació i selecció fotogràfica: Nieves Marinas

Fotografies: A. Melgar; A. Toril; Algar/Dipositat al Congrés dels Diputats; Antonia Reeve; C. Jiménez; D. Lezama; D. López; F. M. Guillén; F. Ontañón; I. Rovira; I. Sabater; J. C. Martínez; J. C. Muñoz; J. Gual; J. J. Barinaga; J. Jaime; J. Lucas; J. M. Escudero; J. M. Barres;J. V. Resino; Krauel; M. A. Buendía; M. C. Hoz de Vila; Michele di Piccione; ORONOZ; P. Esgueva; Prats i Camps; R. Manent; S. Cid; S. Enríquez; S. Padura; A. G. E. FOTOSTOCK/José Fuste Raga; COVER/SYGMA; CONTIFOTO/VISA REPORTAGE/G. Lansard, Muriot; DIGITALVISION; EFE; EFE/SIPA-PRESS/SIPA ICONO/Françoise de Mulder, Tracy Baker, ILY; HIGHRES PRESS STOCK/AbleStock.com; JOHN FOXX IMAGES; LOBO PRODUCCIONES/C. Sanz; MUSEUMICONOGRAFÍA/J. Martin; NASA/Matthew Spinelli; PHOTODISC; SAFI 2000; The InternationalAstronomical Union/Martin Kommesser; Siruela/ROTRAUT SUSANNE BERNER; BIBLIOTECANACIONAL, MADRID/Laboratorio Biblioteca Nacional; GALERIA DELS UFFIZI, FLORÈNCIA; J. Gómez;MATTON-BILD; MUSEU NACIONAL DEL PRADO; PALAIS DE LA DÉCOUVERTE, PARIS; PIERPOINT MORGAN LIBRARY, NEW YORK; SCOTTISH NATIONAL GALLERY OF MODERN ART;SERIDEC PHOTOIMAGENES CD; El nostre agraïment a Uri Azulay; ARXIU SANTILLANA

917232 _ 0470-0552.qxd 29/12/08 13:15 Página 552

mates 1r bat.pdf

Documents