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Matemticas

Los propietarios del tiene reservados todos los derechos. Cualquier reproduccin, total o parcial de este texto, por cualquier medio, o soporte sonoro, visual o informtico, as como su utilizacin fuera del mbito estricto de la informacin del alumno comprador, sin la conformidad expresa por escrito de los propietarios de los derechos, ser perseguida con todo el rigor que prev la ley y se exigirn las responsabilidades civiles y penales, as como las reparaciones procedentes. Matemticas Autor: ISBN: Depsito Legal: Imprime: SEAS, Estudios Superiores Abiertos S.A. 84-8422-791-X Z-122-2004 El depositario, con autorizacin expresa de SEAS, S.A.

NDICE ASIGNATURA

UNIDAD 1. EL CONJUNTO DE LOS NMEROS MATEMTICOS1.1. DIFERENTES CONJUNTOS DE NUMEROS 1.2. ORDEN Y VALOR ABSOLUTO EN LOS NMEROS REALES 1.2.1. ORDEN 1.2.2. VALOR ABSOLUTO 1.2.3. PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO 1.2.4. INTERVALO EN LA RECTA 1.3. POTENCIAS DE NMEROS REALES 1.3.1. OPERACIONES CON POTENCIAS 1.4. RADICALES 1.4.1. OPERACIONES CON RADICALES 1.5. LOGARITMOS 1.5.1. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

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UNIDAD 2. SISTEMAS DE COORDENADAS.2.1. EJES DE COORDENADAS CARTESIANOS 2.1.1. COORDENADAS DE UN PUNTO 2.1.2. CUADRANTES 2.2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 2.2.1. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO 2.3. VECTORES 2.3.1. COMPONENTES DE UN VECTOR 2.3.2. MDULO E INCLINACIN DE UN VECTOR

UNIDAD 3. RECTAS EN EL PLANO.3.1. ECUACIN DE LA RECTA 3.1.1. ECUACIN DE UNA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS 3.1.2. ECUACIN PUNTO-PENDIENTE 3.1.3. ECUACIN EXPLCITA DE LA RECTA 3.1.4. ECUACIN GENERAL DE LA RECTA 3.2. SITUACIN DE UNA RECTA EN EL PLANO 3.2.1. SIGNO DE LA PENDIENTE 3.2.2. RECTAS HORIZONTALES Y VERTICALES 3.3. INCIDENCIA DE RECTA Y RECTA 3.3.1. RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

UNIDAD 4. TRIGONOMETRA4.1. TRIGONOMETRA 4.1.1. MEDIDAS DE NGULOS 4.2. RAZONES TRIGONOMTRICAS DE UN NGULO 4.2.1. EN UN TRINGULO RECTNGULO 4.2.2. EN UNA CIRCUNFERENCIA 4.2.3. RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMTRICAS DE UN NGULO 4.2.4. RAZONES EXACTAS DE NGULOS 4.2.5. LNEAS Y SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMTRICAS 4.2.6. RAZONES TRIGONOMTRICAS DE UN NGULO CUALQUIERA RELACIONADAS CON UN NGULO DEL 1 CUADRANTE 4.3. APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRIA 4.3.1. RESOLUCIN DE TRINGULOS RECTNGULOS 4.3.2. RESOLUCIN DE TRINGULOS CUALESQUIERA 4.4. FUNCIONES TRIGONOMTRICAS DIRECTAS E INVERSAS 4.4.1. DIRECTAS 4.4.2. INVERSAS 4.4.3. OTRAS FRMULAS

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UNIDAD 5. NMEROS COMPLEJOS.5.1. UNIDAD IMAGINARIA Y NMEROS COMPLEJOS 5.1.1. LA UNIDAD IMAGINARIA 5.1.2. NMEROS COMPLEJOS 5.1.3. REPRESENTACIN GRFICA DE UN NMERO COMPLEJO 5.2. FORMAS DE EXPRESAR UN NMERO COMPLEJO 5.3. NMEROS CONJUGADOS Y OPUESTOS DE OTRO COMPLEJO 5.4. POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA 5.5. OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NMEROS COMPLEJOS 5.5.1. SUMA Y RESTA 5.5.2. PRODUCTO 5.5.3. COCIENTE 5.5.4. POTENCIA DE UN COMPLEJO 5.5.5. RAZ DE UN COMPLEJO

UNIDAD 6. FUNCIN REAL DE VARIABLE REAL6.1. FUNCIN Y DOMINIO 6.2. GRFICA DE UNA FUNCIN 6.2.1. DOMINIOS Y GRFICAS DE FUNCIONES ELEMENTALES 6.3. LMITES 6.3.1. DEFINICIN 6.3.2. LMITES LATERALES 6.3.3. LMITES INFINITOS 6.3.4. PROPIEDADES DE LOS LMITES 6.3.5. INDETERMINACIONES 6.4. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIN 6.4.1. PROPIEDADES 6.4.2. DISCONTINUIDAD

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UNIDAD 7. DERIVADAS DE FUNCIONES.7.1. CONCEPTO DE DERIVADA 7.1.1. DEFINICIN 7.1.2. INTERPRETACIN GEOMTRICA DE LA DERIVADA 7.1.3. DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD 7.2. CLCULO DE FUNCIONES DERIVADAS 7.2.1. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES 7.2.2. COMPOSICIN DE FUNCIONES DERIVABLES. LA REGLA DE LA CADENA. 7.2.3. DERIVADA DE UNA FUNCION POTENCIAL- EXPONENCIAL 7.2.4. DERIVADAS SUCESIVAS 7.3. FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES 7.3.1. DEFINICIONES 7.3.2. CRECIMIENTO Y DERIVADA DE LA FUNCIN 7.4. MXIMOS Y MNIMOS DE LAS FUNCIONES 7.4.1. DEFINICIONES 7.4.2. CARACTERIZACIN DE MXIMOS Y MNIMOS 7.4.3. APLICACIONES A PROBLEMAS 7.5. CURVATURA Y PUNTOS DE INFLEXIN 7.5.1. CARACTERIZACIN DE CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD 7.5.2. PUNTOS DE INFLEXIN

UNIDAD 8. INTEGRAL INDEFINIDA E INTEGRAL DEFINIDA.8.1. CONCEPTO DE INTEGRAL INDEFINIDA 8.1.1. PROPIEDADES 8.2. INTEGRALES INMEDIATAS 8.3. MTODOS DE INTEGRACIN 8.3.1. INTEGRACIN POR PARTES 8.3.2. INTEGRACIN POR CAMBIO DE VARIABLE 8.4. INTEGRALES CUMPLIENDO CONDICIONES 8.5. INTEGRAL DEFINIDA 8.5.1. DEFINICIN 8.5.2. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 8.6. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 8.6.1. CLCULO DE UNA LONGITUD DE ARCO 8.6.2. CLCULO DE REAS DE REVOLUCIN 8.6.3. VOLMENES DE REVOLUCIN

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MATEMTICAS

1EL CONJUNTO DE LOS NMEROS MATEMTICOS

M065(01)

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NDICE OBJETIVOS .................................................................................................3 INTRODUCCIN ..........................................................................................4 1.1. Diferentes Conjuntos de Numeros .......................................................5 1.2. Orden y Valor Absoluto en los Nmeros Reales ................................9 1.2.1. Orden ................................................................................................9 1.2.2. Valor absoluto ...................................................................................9 1.2.3. Propiedades del valor absoluto .......................................................10 1.2.4. Intervalo en la recta.........................................................................11 1.3. Potencias de nmeros reales .............................................................13 1.3.1. Operaciones con potencias.............................................................14 1.4. Radicales ..............................................................................................18 1.4.1. Operaciones con radicales..............................................................19 1.5. Logaritmos............................................................................................21 1.5.1. Propiedades de los logaritmos ........................................................22 RESUMEN..................................................................................................25

Unidad 1. El Conjunto de los Nmeros Matemticos

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OBJETIVOSTras el estudio de la presente unidad didctica el alumno debe:

Conocer y diferenciar los principales conjuntos numricos, N, Z, Q, R y saberclasificar los nmeros en dichos conjuntos.

Comprender y manejar la representacin de los nmeros en la recta real yordenar los nmeros reales.

Definir y manejar el concepto de valor absoluto. Comprender las definiciones de intervalo abierto y cerrado. Saber operar con potencias y radicales. Entender el concepto de logaritmo, el nmero irracional e y los logaritmosneperianos. Conocer y aplicar sus propiedades.

Unidad 1. El Conjunto de los Nmeros Matemticos

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Formacin Abierta

INTRODUCCINEl concepto de nmero que ahora nos resulta tan familiar se ha ido elaborando a travs de la historia muy lentamente. Para poder contar, medir distintos objetos, distancias necesitamos usar nmeros escritos de muy diversas formas. En este primer tema vamos a recordar los conjuntos en que se clasifican los nmeros que normalmente usamos. Para ello veremos sus distintos tipos, sus propiedades principales y las relaciones que existen entre ellos. Desde el punto de vista matemtico se utilizan los nmeros naturales para medir con la unidad, los nmeros racionales para medir con partes de la unidad, los irracionales que aparecen en distintas situaciones y completan la recta de los reales. Intuitivamente sobre la recta real entendemos los conceptos de orden y distancia entre los nmeros y los puntos. Vamos a formalizar esta idea intuitiva y conocer el valor absoluto y sus propiedades. Tambin veremos y recordaremos las operaciones de potenciacin, radicacin, y la funcin logartmica. Los clculos con potencias aparecen muchas veces cuando queremos hallar el rea de una figura o el volumen de algn recipiente. De la misma forma, las operaciones con radicales aparecen al aplicar el teorema de Pitgoras, al resolver ecuaciones de segundo grado... La funcin logartmica, el clculo de logaritmos es la forma de hallar exponentes cuando los datos conocidos son la base y el resultado de la potencia. De todos modos, las aplicaciones de los logaritmos van mucho ms all porque tienen unas propiedades que resultan muy tiles para simplificar ciertas operaciones.

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Unidad 1. El Conjunto de los Nmeros Matemticos

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1.1. DIFERENTES CONJUNTOS DE NUMEROSCuando se empieza a numerar pginas en un libro, o empezamos a contar objetos de cualquier tipo, usamos los nmeros naturales, 1,2,3,4,...y designamos con N a la coleccin de todos ellos. Sobre estos nmeros existe un orden y que podemos realizar operaciones como la suma y el producto cuyo resultado siempre ser otro nmero natural. Si se intenta contar cuntos nmeros naturales hay, se observa que a cada nmero natural le sigue otro y que esta cadena no tiene final, as aparece la nocin matemtica de infinito. Hay bastantes situaciones en que los nmeros naturales resultan insuficientes para expresar la realidad, por ejemplo las temperaturas bajo cero, gastos en un presupuesto...faltan nmeros negativos, y aparecen los nmeros enteros que designamos por Z. Z = {....-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4....}. Los enteros contienen a los nmeros naturales o enteros positivos y a los enteros negativos. Los podemos representar grficamente sobre una recta donde vemos claramente el orden entre ellos.

-3 -2 -1

0 1

2

3

+

Figura 1.1. Los nmeros enteros sobre la recta.

Hay una notacin especfica para los conjuntos. Si queremos expresar que un elemento, en este caso un nmero, pertenece a un conjunto, usaremos el smbolo , por ejemplo, -3 Z . Si quer