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Matemáticas

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ÍNDICE ASIGNATURA

Matemáticas 1

UNIDAD 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS MATEMÁTICOS 1.1. DIFERENTES CONJUNTOS DE NUMEROS 1.2. ORDEN Y VALOR ABSOLUTO EN LOS NÚMEROS REALES

1.2.1. ORDEN 1.2.2. VALOR ABSOLUTO 1.2.3. PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO 1.2.4. INTERVALO EN LA RECTA

1.3. POTENCIAS DE NÚMEROS REALES 1.3.1. OPERACIONES CON POTENCIAS

1.4. RADICALES 1.4.1. OPERACIONES CON RADICALES

1.5. LOGARITMOS 1.5.1. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

Matemáticas 2

UNIDAD 2. SISTEMAS DE COORDENADAS. 2.1. EJES DE COORDENADAS CARTESIANOS

2.1.1. COORDENADAS DE UN PUNTO 2.1.2. CUADRANTES

2.2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 2.2.1. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

2.3. VECTORES 2.3.1. COMPONENTES DE UN VECTOR 2.3.2. MÓDULO E INCLINACIÓN DE UN VECTOR

UNIDAD 3. RECTAS EN EL PLANO. 3.1. ECUACIÓN DE LA RECTA

3.1.1. ECUACIÓN DE UNA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS 3.1.2. ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE 3.1.3. ECUACIÓN EXPLÍCITA DE LA RECTA 3.1.4. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

3.2. SITUACIÓN DE UNA RECTA EN EL PLANO 3.2.1. SIGNO DE LA PENDIENTE 3.2.2. RECTAS HORIZONTALES Y VERTICALES

3.3. INCIDENCIA DE RECTA Y RECTA 3.3.1. RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

UNIDAD 4. TRIGONOMETRÍA 4.1. TRIGONOMETRÍA

4.1.1. MEDIDAS DE ÁNGULOS 4.2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO

4.2.1. EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO 4.2.2. EN UNA CIRCUNFERENCIA 4.2.3. RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO 4.2.4. RAZONES EXACTAS DE ÁNGULOS 4.2.5. LÍNEAS Y SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 4.2.6. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA RELACIONADAS

CON UN ÁNGULO DEL 1º CUADRANTE 4.3. APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRIA

4.3.1. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 4.3.2. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA

4.4. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS E INVERSAS 4.4.1. DIRECTAS 4.4.2. INVERSAS 4.4.3. OTRAS FÓRMULAS

Matemáticas 3

UNIDAD 5. NÚMEROS COMPLEJOS. 5.1. UNIDAD IMAGINARIA Y NÚMEROS COMPLEJOS

5.1.1. LA UNIDAD IMAGINARIA 5.1.2. NÚMEROS COMPLEJOS 5.1.3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN NÚMERO COMPLEJO

5.2. FORMAS DE EXPRESAR UN NÚMERO COMPLEJO 5.3. NÚMEROS CONJUGADOS Y OPUESTOS DE OTRO COMPLEJO 5.4. POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA 5.5. OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NÚMEROS COMPLEJOS

5.5.1. SUMA Y RESTA 5.5.2. PRODUCTO 5.5.3. COCIENTE 5.5.4. POTENCIA DE UN COMPLEJO 5.5.5. RAÍZ DE UN COMPLEJO

UNIDAD 6. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL 6.1. FUNCIÓN Y DOMINIO 6.2. GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

6.2.1. DOMINIOS Y GRÁFICAS DE FUNCIONES ELEMENTALES 6.3. LÍMITES

6.3.1. DEFINICIÓN 6.3.2. LÍMITES LATERALES 6.3.3. LÍMITES INFINITOS 6.3.4. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES 6.3.5. INDETERMINACIONES

6.4. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN 6.4.1. PROPIEDADES

6.4.2. DISCONTINUIDAD

Matemáticas 4

UNIDAD 7. DERIVADAS DE FUNCIONES. 7.1. CONCEPTO DE DERIVADA

7.1.1. DEFINICIÓN 7.1.2. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA 7.1.3. DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD

7.2. CÁLCULO DE FUNCIONES DERIVADAS 7.2.1. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES 7.2.2. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES DERIVABLES. LA REGLA DE LA CADENA. 7.2.3. DERIVADA DE UNA FUNCION POTENCIAL- EXPONENCIAL 7.2.4. DERIVADAS SUCESIVAS

7.3. FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES 7.3.1. DEFINICIONES 7.3.2. CRECIMIENTO Y DERIVADA DE LA FUNCIÓN

7.4. MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE LAS FUNCIONES 7.4.1. DEFINICIONES 7.4.2. CARACTERIZACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS 7.4.3. APLICACIONES A PROBLEMAS

7.5. CURVATURA Y PUNTOS DE INFLEXIÓN 7.5.1. CARACTERIZACIÓN DE CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD 7.5.2. PUNTOS DE INFLEXIÓN

UNIDAD 8. INTEGRAL INDEFINIDA E INTEGRAL DEFINIDA. 8.1. CONCEPTO DE INTEGRAL INDEFINIDA

8.1.1. PROPIEDADES 8.2. INTEGRALES INMEDIATAS 8.3. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

8.3.1. INTEGRACIÓN POR PARTES 8.3.2. INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE

8.4. INTEGRALES CUMPLIENDO CONDICIONES 8.5. INTEGRAL DEFINIDA

8.5.1. DEFINICIÓN 8.5.2. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

8.6. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 8.6.1. CÁLCULO DE UNA LONGITUD DE ARCO 8.6.2. CÁLCULO DE ÁREAS DE REVOLUCIÓN 8.6.3. VOLÚMENES DE REVOLUCIÓN

MMAATTEEMMÁÁTTIICCAASS

EELL CCOONNJJUUNNTTOO DDEE LLOOSS NNÚÚMMEERROOSS

MMAATTEEMMÁÁTTIICCOOSS

11

M065(01)

Matemáticas

Unidad 1. El Conjunto de los Números Matemáticos 1

ÍNDICE

♦ OBJETIVOS .................................................................................................3

♦ INTRODUCCIÓN..........................................................................................4

1.1. Diferentes Conjuntos de Numeros .......................................................5 1.2. Orden y Valor Absoluto en los Números Reales ................................9

1.2.1. Orden ................................................................................................9 1.2.2. Valor absoluto ...................................................................................9 1.2.3. Propiedades del valor absoluto.......................................................10 1.2.4. Intervalo en la recta.........................................................................11

1.3. Potencias de números reales .............................................................13 1.3.1. Operaciones con potencias.............................................................14

1.4. Radicales ..............................................................................................18 1.4.1. Operaciones con radicales..............................................................19

1.5. Logaritmos............................................................................................21 1.5.1. Propiedades de los logaritmos........................................................22

♦ RESUMEN..................................................................................................25

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♦ OBJETIVOS

Tras el estudio de la presente unidad didáctica el alumno debe:

• Conocer y diferenciar los principales conjuntos numéricos, N, Z, Q, R y saber clasificar los números en dichos conjuntos.

• Comprender y manejar la representación de los números en la recta real y ordenar los números reales.

• Definir y manejar el concepto de valor absoluto.

• Comprender las definiciones de intervalo abierto y cerrado.

• Saber operar con potencias y radicales.

• Entender el concepto de logaritmo, el número irracional “e” y los logaritmos neperianos. Conocer y aplicar sus propiedades.

Formación Abierta


♦ INTRODUCCIÓN

El concepto de número que ahora nos resulta tan familiar se ha ido elaborando a través de la historia muy lentamente. Para poder contar, medir distintos objetos, distancias necesitamos usar números escritos de muy diversas formas.

En este primer tema vamos a recordar los conjuntos en que se clasifican los números que normalmente usamos. Para ello veremos sus distintos tipos, sus propiedades principales y las relaciones que existen entre ellos.

Desde el punto de vista matemático se utilizan los números naturales para medir con la unidad, los números racionales para medir con partes de la unidad, los irracionales que aparecen en distintas situaciones y completan la recta de los reales.

Intuitivamente sobre la recta real entendemos los conceptos de orden y distancia entre los números y los puntos. Vamos a formalizar esta idea intuitiva y conocer el valor absoluto y sus propiedades.

También veremos y recordaremos las operaciones de potenciación, radicación, y la función logarítmica. Los cálculos con potencias aparecen muchas veces cuando queremos hallar el área de una figura o el volumen de algún recipiente. De la misma forma, las operaciones con radicales aparecen al aplicar el teorema de Pitágoras, al resolver ecuaciones de segundo grado...

La función logarítmica, el cálculo de logaritmos es la forma de hallar exponentes cuando los datos conocidos son la base y el resultado de la potencia. De todos modos, las aplicaciones de los logaritmos van mucho más allá porque tienen unas propiedades que resultan muy útiles para simplificar ciertas operaciones.

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1.1. DIFERENTES CONJUNTOS DE NUMEROS

Cuando se empieza a numerar páginas en un libro, o empezamos a contar objetos de cualquier tipo, usamos los números naturales, 1,2,3,4,...y designamos con N a la colección de todos ellos.

Sobre estos números existe un orden y que podemos realizar operaciones como la suma y el producto cuyo resultado siempre será otro número natural.

Si se intenta contar cuántos números naturales hay, se observa que a cada número natural le sigue otro y que esta cadena no tiene final, así aparece la noción matemática de infinito.

Hay bastantes situaciones en que los números naturales resultan insuficientes para expresar la realidad, por ejemplo las temperaturas bajo cero, gastos en un presupuesto...faltan números negativos, y aparecen los números enteros que designamos por Z.

Z = {....-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4....}.

Los enteros contienen a los números naturales o enteros positivos y a los enteros negativos. Los podemos representar gráficamente sobre una recta donde vemos claramente el orden entre ellos.

0-1 1 2-2 3-3 ∞+∞−

Figura 1.1. Los números enteros sobre la recta.

Hay una notación específica para los conjuntos. Si queremos expresar que un elemento, en este caso un número, pertenece a un conjunto, usaremos el símbolo ∈ , por ejemplo, -3 Z∈ . Si queremos indicar que un elemento no pertenece al conjunto lo haremos escribiendo ∉ , por ejemplo, -3 N∉ .

Luego los símbolos ∉∈, , expresan la pertenencia o no de un elemento a un conjunto.

Si lo que queremos es indicar que un conjunto está contenido o incluido en otro, usaremos el símbolo ⊂ . Por ejemplo N⊂Z. El símbolo ⊄ , indica lo contrario, no está incluido o contenido, y

,⊆ indica está contenido o es igual, o coincide.

Formación Abierta


Estos símbolos ⊆⊄⊂ ,, se usan para expresar la inclusión, o no o inclusión o coincidencia entre conjuntos.

Si queremos unir dos conjuntos A y B, la notación será A∪ B que será el conjunto formado por todos los elementos de A y de B. Conjunto unión.

La intersección de dos conjuntos A y B está formada por los elementos que tienen en común, los que pertenecen a la vez a A y a B, y se escribe A∩ B.

Las operaciones que podemos realizar dentro de los enteros son la suma y el producto, como en los naturales, solo que al sumar un número negativo lo que hacemos es lo mismo que restar un positivo.

Al dividir números enteros o naturales, aparecen los números fraccionarios o fracciones. Las fracciones no son números enteros.

Se entiende como fracción la expresiónba

, donde a y b son

distintos de cero, son enteros y se interpreta como tomar “a”

veces la unidad b1

.

Llamamos fracciones equivalentes a aquellas que tienen el mismo valor y definen un número racional.

{ ,....2613,

2412,

21,

42,

63

−−

−−

−−

} son todas fracciones equivalentes y representan al

número racional 21

.

Los números racionales también tienen un orden y sobre ellos podemos definir las operaciones de suma, producto y cociente. Al conjunto de los números racionales se le llama Q. Los racionales también se representan sobre la recta y contienen a los enteros QZ ⊂ .

Expresión decimal de los números racionales.

Los números racionales se expresan de forma decimal mediante la división del numerador por el denominador, y siempre nos encontramos en uno de los siguientes casos:

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1) La división es un número entero, o sea el numerador es un múltiplo del denominador. Ejemplo:

000,996

54==

2) La división es un decimal exacto, cuando el denominador es producto de los factores primos 2 y 5. Ejemplo:

34,15067

=

3) La división no es un decimal exacto, si el denominador contiene factores primos distintos de 2 y 5. Se llaman decimales periódicos puros o periódicos mixtos. Ejemplo:

38,183333,16

11 )==

Todo número racional se puede expresar en forma decimal periódica y todo número decimal periódico se puede expresar en forma racional.

Con los números racionales y los enteros no está llena la recta, hay números que no pertenecen al conjunto de los racionales ni los enteros, números cuya expresión decimal es infinita no periódica. Se llaman números irracionales y se representan con la letra I.

Por ejemplo, si calculamos la longitud de la diagonal del cuadrado de lado la

unidad , usando el teorema de Pitágoras, obtenemos 211 22 =+=d

L=1

L=1

2=d

Figura 1.2. Diagonal del cuadrado de lado la unidad

Formación Abierta


Hay números irracionales muy importantes, por ejemplo el número Π, es el resultado de dividir la longitud de una circunferencia por su diámetro y su valor es Π=3,1416.....

Un número irracional muy usado es el número e.

Su valor decimal, se puede obtener en la calculadora, es 2,718281828459045....

Aparece en muchos fenómenos de crecimiento de especies vegetales y animales y en la fórmula de la curva llamada catenaria. Es la curva que describe un hilo flexible que cuelga sujeto solo por sus extremos, por ejemplo, los cables de cualquier tendido eléctrico.

Si representamos los números irracionales sobre la recta si que la llenamos completamente, y es la que normalmente se conoce como la recta real o recta de números reales.

Los números reales son el conjunto de números constituido por la unión de los racionales y los irracionales, y se designa por la letra R. ¿Cuál es el primer número real?, ¿El más pequeño? y ¿Cuál es el más grande?. Los números reales forman un conjunto no acotado, lo que quiere decir que se extienden de

∞+∞− a .

N: Conjunto de los números naturales.

Z: Conjunto de los números enteros.

Q: Conjunto de los racionales.

I: Conjunto de los irracionales.

R: Conjunto de los números reales.

Y como hemos ido viendo unos conjuntos engloban a otros, eso lo expresaremos utilizando la notación de los conjuntos de la siguiente manera:

RQZN ⊂⊂⊂

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1.2. ORDEN Y VALOR ABSOLUTO EN LOS NÚMEROS REALES

Intuitivamente la idea de orden, la de distancia o separación entre dos números o dos puntos de la recta real son conceptos que todos entendemos. En este apartado trataremos cómo expresar estos conceptos usando la notación matemática.

1.2.1. ORDEN

Tal y como hemos visto en el apartado 1.1, los números reales se representan sobre la recta, esta representación ya nos da una idea muy clara sobre el orden en el conjunto R, un número es mayor que otro si está situado a la derecha del mismo. Vamos a definir un poco más concretamente este concepto de orden.

Dados dos números a y b, se dice que a es menor que b, y se escribe a<b si b-a es positivo.

Si usamos el símbolo ba ≤ , estamos expresando “a es menor o igual que b”.

1.2.2. VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un número real expresa la distancia del número al cero, al origen. Así, el valor absoluto de un número real positivo es él mismo y el de un número real negativo es su opuesto. El valor absoluto de un número “a”, se

simboliza con a .

Definimos el valor absoluto de un número real a, como:

0a si >= aa

0a si <−= aa

Y el valor absoluto de cero, es cero. 00 =

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Ejemplos:

78,578,5 =

987,3987,3 =−

El concepto de valor absoluto como distancia, nos lleva a poder definir la distancia entre dos puntos cualesquiera de la recta real como el valor absoluto de su diferencia.

Se llama distancia entre dos puntos de la recta real, x1 y x2, al valor absoluto de su diferencia, es decir:

21 xx −

1.2.3. PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO

Por la propia definición de valor absoluto es fácil darse cuenta de que un número

y su opuesto tienen el mismo valor absoluto, así, por ejemplo, la ecuación 3=x ,

tiene dos soluciones, 3 y –3.

Aplicando la definición y esta simple conclusión, se demuestran fácilmente las siguientes propiedades del valor absoluto.

aa −=

abba −=−

r trianguladDesigualda baba +≤+

baba ⋅=⋅

ba

ba=

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Para comprobarlas sobre distintos ejemplos, puede usar los siguientes:

Calcular:

72−

, 54 ⋅− , 675,1098,8 −

1.2.4. INTERVALO EN LA RECTA

Si a y b son dos números reales, el intervalo limitado por ellos en la recta real es el conjunto de números comprendidos entre a y b. A los números a y b se les llama extremos del intervalo.

Llamamos intervalo abierto y se designa (a,b) al conjunto de números reales que están situados entre a y b, sin incluirlos a ellos, sin incluir los extremos. En notación matemática:

(a,b) = }{ bxa que tal, <<∈ Rx

Veámoslo sobre un dibujo:

a b

Figura 1.3. Intervalo abierto de extremos a, b.

Llamamos intervalo cerrado y lo designamos [a,b] al conjunto de números reales que están situados entre a y b, incluyéndolos a ellos, incluyendo los extremos. En notación matemática:

[a,b] = }{ bxa que tal, ≤≤∈ Rx

Sobre el dibujo:

a b

Figura 1.4. Intervalo cerrado de extremos a,b.

Así es lo mismo escribir 53 ≤≤− x , que poner [-3, 5], nos referimos exactamente al mismo conjunto de números.

Los únicos valores con los que nunca aparece el intervalo cerrado son con ∞+∞− con y . Cuando alguno de estos dos valores sea el extremo de algún

intervalo, en ese extremo siempre el intervalo será abierto.

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Si queremos expresar en forma de intervalo los números que cumplen x 5≤ , deberíamos escribir ( ]5,∞− .

Intervalos y valor absoluto

Si nos encontramos con la expresión 69 ≤−x hemos de darnos cuenta que lo

que indica es que x es cualquier número que se encuentre a una distancia de 9 que sea menor o igual que 6. Así, si queremos expresar este mismo conjunto de números utilizando un intervalo, tendremos que buscar sus extremos. Sumamos y restamos 6, que es la distancia máxima, a 9, que va a ser el centro del intervalo, y obtenemos los extremos que serán 3 y 15.

Luego [ ] 6915,3 ≤−⇔∈ xx

Si nos encontramos con un intervalo y queremos expresarlo con valor absoluto deberemos proceder al revés.

El intervalo (-2, 6).

Empezaremos por calcular el punto medio del intervalo, el punto medio siempre se puede calcular como la suma de los extremos

dividida entre 2. En este caso 22

62=

+−.

Luego calcularemos la distancia a un extremo,

( ) 42262 =−−=− , este valor es la distancia máxima a la que

los puntos se pueden encontrar del centro.

Luego tendríamos la expresión:

42 ≤−x

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1.3. POTENCIAS DE NÚMEROS REALES

Las operaciones suma, (diferencia), producto y cociente de números reales son las básicas en este conjunto, el resultado de cualquiera de ellas es siempre otro número real. Cómo operar y las propiedades de estas operaciones son conocidas por todos.

Vamos a centrarnos en las potencias de números reales y explicar cómo operar con ellas. Potencias de la misma base, potencias del mismo exponente y distinta base, exponentes positivos y negativos y exponentes fraccionarios.

Si a es un número real cualquiera y n un número natural:

(n veces) ......aaaaaan ⋅⋅⋅=

nn

aa

aaa

1

11

0

=

=

=

−

Hemos visto en esta definición qué representan las potencias de exponente natural y de exponente entero, así como el exponente nulo y la unidad. Veamos algunos ejemplos.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

91

313

12341622222

2764

34

34

34

34

34

22

0

4

3

33

==

=

=−⋅−⋅−⋅−=−

==⋅⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

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1.3.1. OPERACIONES CON POTENCIAS

Veamos ahora cómo hacer productos, cocientes...de potencias enteras.

Producto de potencias de la misma base.

mnmn aaa +=⋅

El producto de potencias de la misma base es otra potencia de la misma base y exponente la suma de los exponentes. Si alguno de los exponentes es negativo la operación se realiza igual. Veamos algunos ejemplos.

( )

95454

13232

72

72

72

72

515555

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

===⋅

+

−−+−

Cociente de potencias de la misma base

El cociente de potencias de la misma base es otra potencia de la misma base y exponente la diferencia entre el exponente del numerador y el del denominador.

mnm

n

aaa −=

En realidad es un caso particular del producto donde una de las potencias tiene exponente negativo y la expresamos como inversa de una con exponente positivo. Veamos unos ejemplos.

( ) 431

3

2286

8

6

5555

7177

77

==

===

−−−

−−

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Potencia elevada a otra potencia

Si hay que elevar una potencia a otra potencia el resultado es una potencia de la misma base y exponente el producto de los exponentes. O sea, para elevar una potencia a otra potencia se deja la misma base y se multiplican los exponentes.

( ) mnmn aa ⋅=

( ) ( ) 153535 222 −−⋅−==

Factores y cociente con el mismo exponente.

Para multiplicar o dividir potencias con distinta base y el mismo exponente se mantiene el exponente y se multiplican o dividen las bases.

( )n

n

n

nnn

ba

ba

baba

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⋅=⋅

También podríamos expresarlo al revés, para elevar un producto a una potencia se eleva cada uno de los factores a la potencia. De la misma forma con el cociente, y sería leer las igualdades de izquierda a derecha.

8

8

8

333

52

52

2137

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=⋅ −−−

Teniendo clara esta forma de operar, podremos resolver cualquier expresión en que intervengan potencias, productos o cocientes de potencias enteras. Hagamos un pequeño resumen.

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Operaciones con potencias:

nn

aa

a1

10

=

=

−

Producto de potencias de la misma base:

mnmn aaa +=⋅

Cociente de potencias de la misma base:

mnm

n

aaa −=

Elevar una potencia a otra potencia:

( ) mnmn aa ⋅=

Factores y cociente con el mismo exponente:

( )n

n

n

nnn

ba

ba

baba

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⋅=⋅

Cuando queremos escribir números grandes que son potencia de 10 o números con muchos decimales a menudo se usan las potencias de 10 con exponente positivo o negativo. Es una cuestión de comodidad y algo que aparece en las calculadoras científicas. Por ejemplo en lugar de escribir 3.000.000 se escribe 6103 ⋅ .

3.250.000 = 61025,3 ⋅

0,0000025 = 71025 −⋅

En la calculadora no aparece el 10, solamente aparecen arriba y en pequeño los números que son el exponente de 10 y para introducirlos se hace con la tecla EXP.

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Hay algunas potencias que aparecen a menudo en los cálculos y que quizá sea mejor verlas aparte. Alguna ya la hemos comentado, las potencias con exponente nulo.

aciónerinaciónerin

a

a

mindet,0mindet1

a 0a a

a 1

0

0

=∞

=

ℜ∈=

ℜ∈∞=

ℜ∈=

∞

∞

∞−

+∞

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1.4. RADICALES

Hallar una raíz de índice n es hacer la operación inversa a calcular una potencia de exponente n. Veámoslo.

A un número “a” cuya potencia n-sima (enésima) es otro número conocido “b”, se le llama su raíz enésima y se expresa:

baab nn =⇔=

n es el índice de la raíz.

b es el radicando

Si el índice es 2, se llama raíz cuadrada y si es 3 se llama raíz cúbica, que son expresiones más usadas que raíz de índice 2 ó 3.

Si tenemos una raíz de índice par, una raíz cuadrada por ejemplo de un número real positivo nos encontramos con que hay dos soluciones posibles, una positiva, y otra negativa.

216

3994

2

±=

±==

Sin embargo la raíz de índice par de un número real negativo es una operación que no tiene solución en el conjunto de los números reales. Para buscar estas soluciones tendremos que conocer los números complejos, a los que les dedicamos otro capítulo.

Si estamos resolviendo una raíz de índice impar no aparecen estas situaciones, la raíz de índice impar es un único valor, con el mismo signo que el radicando. Luego la raíz de índice impar de un número negativo, existe, es única y tiene signo negativo también.

525

232

1

11

327

5

5

3

±=

=

ℜ∉−

−=−

−=−

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Potencias de exponente racional

Veamos cómo expresar un radical cualquiera como el radicando elevado a un exponente racional.

nmn m aa =

De lo que fácilmente se deduce:

( ) mnmnn

mn

n m

mnnmn m

aaaa

abbaa

==⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

=⇔==⋅

nm

a que ya

Para multiplicar y dividir potencias de la misma base que tengan exponente racional se actúa de la misma forma que con los exponentes enteros. En general todo lo que se ha visto para operar con potencias de exponente entero es válido cuando el exponente es racional.

1.4.1. OPERACIONES CON RADICALES

De todos modos, vamos a especificar como operar con radicales aunque siempre podamos escribirlos en forma de potencia y aplicar las reglas aprendidas para ello.

Producto y cociente de raíces con igual índice

El producto (cociente) de raíces de igual índice es otra raíz del mismo índice y radicando el producto (cociente) de los radicandos.

nn

n

nnn

ba

ba

baba

=

⋅=⋅

Si hemos de multiplicar o dividir radicales de distinto índice pero con el mismo radicando, lo más sencillo y rápido es escribirlos como potencias racionales y sumar o restar los exponentes.

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( ) 35 173517

35107

72

51

72

517 25

3 33 23

44

4

333

55555555

3333

4624

1535

====⋅=⋅

==⋅

=

=⋅

++

Si nos encontramos con radicales de distinto índice y distinto radicando, los reduciremos a dos radicales del mismo índice y multiplicaremos o dividiremos los radicandos transformados. Veámoslo en un ejemplo.

666 36 223 50012545252 =⋅=⋅=⋅

Para poner los dos radicales con el mismo índice, hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, este valor será el índice común, y los radicandos se elevan al resultado de dividir ese índice común por el de la raíz en que se encuentran. Quizá sea más fácil reduciendo a común denominador los exponentes racionales correspondientes.

Raíz de una raíz

La raíz de una raíz es otra raíz de índice el producto de los índices, y como radicando el mismo radicando. Es equivalente a hallar la potencia de una potencia.

mnm n aa ⋅=

153 5

63

66

55

=

=

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1.5. LOGARITMOS

En ocasiones conocemos la base de una potencia y el resultado de elevarla a un exponente que desconocemos. Lo que precisamente queremos es hallar ese exponente. Para ello la operación que hemos de realizar es un logaritmo.

Logaritmación: Decimos que el logaritmo de “b” en base “a” es igual a “n” si se cumple que “a” elevado a “n” es igual a “b”.

banb na =⇔=log

Luego el resultado de un logaritmo es siempre un exponente que puede ser cualquier número real.

Dado un número “a”, perteneciente a los reales positivos y distinto de la unidad, se llama función logarítmica a una aplicación de los

reales positivos en los reales tal que a cada +ℜ∈x le hace corresponder una imagen xy alog= .

3001'0log410000log

225log38log

10

10

5

2

−==

==

Existencia del logaritmo

Como la base ”a” es positiva, a>0 , entonces los únicos posibles valores de “b” para los que puedo hallar el logaritmo, para los que existe el logaritmo, son los reales positivos +ℜ . Por ejemplo, el logaritmo en base 2 de –4 no existe, ya que no hay ningún valor que cumpla que 2 elevado a él sea igual a –4.

Logaritmos más usuales

Los logaritmos que más se emplean, los que aparecen en las calculadoras, son el logaritmo con base 10 o logaritmo decimal que se escribe log y el logaritmo en base e o logaritmo neperiano que se escribe ln..

Formación Abierta


Es evidente que 1.lney 110log ==

1.5.1. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

Los logaritmos tienen ciertas propiedades que hacen que resulte muy práctico trabajar con ellos cuando queremos facilitar ciertos cálculos. Veámoslas.

Logaritmo del producto

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

( ) DCDC aaa logloglog +=⋅

Luego si aplicamos un logaritmo a un producto podemos transformarlo en una suma de logaritmos. A veces se dice: Los logaritmos transforman productos en sumas.

Logaritmo del cociente

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo o numerador menos el logaritmo del divisor o denominador.

DCDC

aaa logloglog −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Transformamos entonces una división o un cociente en una resta.

( ) Π+=Π⋅ log3log3log

( ) 1)4(lnln4ln4ln +=+= ee

10ln110lnln10

ln

11log6log116log

−=−=

−=

ee

Matemáticas


Logaritmo de una potencia y de una raíz

El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base. El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice de la raíz. Como antes, la raíz la expresamos como potencia racional y aplicamos el logaritmo de una potencia.

( )C

nC

CnC

an

a

an

a

log1log

loglog

=

⋅=

Veamos que al aplicarle el logaritmo a una potencia la transformamos en un producto de dos factores y una división en un cociente. Luego conseguimos operaciones más sencillas.

3

2ln32ln

410log410log220log20log

6log36log

32

4

53

5

==

=⋅=

=

⋅=

ee

El logaritmo es una operación o función relacionada con la potenciación como ya hemos visto. Veamos ahora desde el punto de vista de los logaritmos esos casos particulares de potencias que a veces quedaban indeterminadas.

( ) ( ) existen no lnloglnlog

0ln0log01ln1log

∞−=∞−∞=∞=∞−∞==

==

Matemáticas


♦ RESUMEN

• Los distintos conjuntos de números , los naturales Ν , los enteros Ζ , los racionales Q, los irracionales I y los reales ℜ están incluidos unos en

otros de la siguiente forma: ℜ⊂⊂Ζ⊂Ν Q

• Los números reales los representamos sobre una recta infinita, ( )+∞∞− , en la que cada punto corresponde con un número real y viceversa. Los reales están ordenados y siempre que comparamos dos de ellos podemos concluir cual es mayor o menor que el otro o si son iguales.

• El valor absoluto o módulo de un número se puede interpretar como la distancia de ese punto, de ese número, al valor o al punto cero, el origen. Y como consecuencia de ello, la distancia entre dos puntos o dos números la podemos definir como el módulo o valor absoluto de su diferencia

• Las propiedades del valor absoluto son:

aa −=

abba −=−

r trianguladDesigualda baba +≤+

baba ⋅=⋅

ba

ba=

• Intervalos abiertos y cerrados sobre la recta real.

Llamamos intervalo abierto y se designa (a,b) al conjunto de números reales que están situados entre a y b, sin incluirlos a ellos, sin incluir los extremos. En notación matemática:

(a,b) = }{ bxa que tal, <<∈ Rx

Formación Abierta


Llamamos intervalo cerrado y lo designamos [a,b] al conjunto de números reales que están situados entre a y b, incluyéndolos a ellos, incluyendo los extremos. En notación matemática:

[a,b] = }{ bxa que tal, ≤≤∈ Rx

• Las operaciones con potencias y raíces de números reales.

nn

aa

a1

10

=

=

−

Producto de potencias de la misma base:

mnmn aaa +=⋅

Cociente de potencias de la misma base:

mnm

n

aaa −=

Elevar una potencia a otra potencia:

( ) mnmn aa ⋅=

Factores y cociente con el mismo exponente:

( )n

n

n

nnn

ba

ba

baba

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⋅=⋅

Las raíces siempre podemos ponerlas en forma de potencia con exponente racional y operar como acabamos de ver con ellas.

nmn m aa =

Matemáticas


• Algunas potencias reseñables:

aciónerinaciónerin

a

a

mindet,0mindet1

a 0a a

a 1

0

0

=∞

=

ℜ∈=

ℜ∈∞=

ℜ∈=

∞

∞

∞−

+∞

• Logaritmos

Logaritmación: Decimos que el logaritmo de “b” en base “a” es igual a “n” si se cumple que “a” elevado a “n” es igual a “b”.

banb na =⇔=log

• Propiedades de los logaritmos

Logaritmo del producto y del cociente

( ) DCDC aaa logloglog +=⋅

DCDC

aaa logloglog −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Logaritmo de una potencia y una raíz

( )C

nC

CnC

an

a

an

a

log1log

loglog

=

⋅=


SSIISSTTEEMMAASS DDEE CCOOOORRDDEENNAADDAASS CCAARRTTEESSIIAANNAASS..

VVEECCTTOORREESS

22

Matemáticas

Unidad 2. Sistemas de Coordenadas. 1

ÍNDICE ♦ OBJETIVOS .................................................................................................3

♦ INTRODUCCIÓN..........................................................................................4

2.1. Ejes de coordenadas cartesianos ........................................................5 2.1.1. Coordenadas de un punto.................................................................6 2.1.2. Cuadrantes........................................................................................7

2.2. Distancia entre dos puntos ...................................................................8 2.2.1. Punto medio de un segmento ...........................................................9

2.3. Vectores ................................................................................................10 2.3.1. Componentes de un vector .............................................................10 2.3.2. Módulo e inclinación de un vector ...................................................11

♦ RESUMEN..................................................................................................13

Matemáticas


♦ OBJETIVOS

El alumno debe alcanzar los siguientes objetivos tras el estudio de la presente unidad didáctica:

• Representar en el plano puntos y vectores dados por sus coordenadas cartesianas.

• Obtener las coordenadas de un vector del que se conocen sus componentes y las coordenadas de uno de sus representantes.

• Calcular ciertas medidas geométricas como distancias y puntos medios, con apoyo de los procedimientos propios de la geometría analítica del plano.

Formación Abierta


♦ INTRODUCCIÓN

En esta unidad se ven conceptos que suponemos conocidos ya por todos, ejes cartesianos, coordenadas de un punto....

Nos sirven para situar puntos, vectores, segmentos... en el plano. Tener un sistema de referencia para calcular distancias y puntos medios de los segmentos, la misma función que hace un mapa cuando nos trasladamos por tierra, por mar... algo que ha resultado imprescindible en el desarrollo de la humanidad y es básico para el desarrollo del temario.

Por ello, planteamos un recordatorio de estos conceptos sencillos que aparecen de una forma u otra a lo largo de todo el temario desarrollado.

Matemáticas


2.1. EJES DE COORDENADAS CARTESIANOS

En esta unidad se va a aprender a representar puntos y vectores en el plano, lo primero que hay que tener es una referencia, un “lugar” desde donde empezar a medir. Este sistema de referencia será el formado por los ejes cartesianos.

En el plano se consideran dos rectas perpendiculares, una horizontal y otra vertical. La recta horizontal se llama eje OX o eje de abscisas, y a la recta vertical se le llama eje OY o eje de ordenadas.

El punto de corte de ambas rectas de llama Origen de coordenadas, representa el valor cero del eje OX y del eje OY.

Veamos el dibujo:

OX

OY

1

1

-1-1

2

2

-2

-2

3

3

-3

-3

0

Figura 2.1. Ejes de coordenadas

Del origen de coordenadas a la derecha se encuentran los valores positivos del eje OX y a la izquierda los valores negativos. En el eje vertical OY, los valores positivos están situados hacia arriba del origen y los valores negativos se sitúan del origen hacia abajo.

Vamos a ver cómo establecer una correspondencia entre los puntos del plano y pares de números reales.

Formación Abierta


2.1.1. COORDENADAS DE UN PUNTO

Se considera un punto P cualquiera del plano, se trazan las rectas paralelas a los ejes que pasan por el punto. Estas dos rectas cortan a los ejes, al eje OX en el punto a, y al eje OY en el punto b. Estos puntos o “lugares” a y b, representan la distancia del punto P al origen, medida sobre los ejes.

OX

OY

0 a

b P (a , b)

Figura 2.2. Punto P(a,b)

Al par de números reales (a,b) se les llama coordenadas del punto P. La primera coordenada, el primer número del par, “a”, se llama abscisa de P o coordenada x de P. El segundo número “b” se corresponde con la coordenada y del punto, u ordenada del punto P.

Así, cualquier par de números reales P(a,b) tiene una representación gráfica en el plano, se corresponde con un punto del plano. Y cualquier punto del plano puede representarse por un par de números reales (a,b).

Veamos varios puntos representados en el plano y las coordenadas correspondientes

Matemáticas


OX

OY

P (2 , 3)

V (6 , -3)W (-6 , -2)

Z (-4 , 7)

2.1.2. CUADRANTES

Como se puede observar los signos de las coordenadas determinan claramente la posición que ocupan éstos respecto a los ejes. Los ejes dividen el plano en cuatro partes que llamamos cuadrantes. Los cuadrantes se numeran de la siguiente forma:

CUADRANTE 1erCUADRANTE 2º

CUADRANTE 3er CUADRANTE 4º

+

+

-

- Figura 2.3. Numeración de los cuadrantes.

Luego los puntos del primer cuadrante tienen ambas coordenadas positivas (+a,+b), los del segundo cuadrante, la x negativa y la y positiva (-a,+b), en el tercero serán las dos coordenadas negativas (-a,-b) y por último en el cuarto la abscisa positiva y la ordenada negativa (+a,-b).

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2.2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

La distancia entre dos puntos se define como la longitud de la recta que los une. Para calcular esta distancia veremos una fórmula que se basa en el teorema de Pitágoras.

d

1X 2X

1Y

2Y

12 YY −

12 XX −

),( 222 YXP

),( 111 YXP

Figura 2.4. Teorema de Pitágoras aplicado en el cálculo de la distancia existente entre dos puntos.

Sean dos puntos P1 y P2, con coordenadas P1 (x1,y1) y P2 (x2,y2). La distancia entre ellos viene dada por la siguiente fórmula:

( ) ( )221

22121 yyxxPPD −+−==

Por supuesto siempre tomaremos el valor positivo de la raíz, una distancia es algo siempre no negativo.

Veamos cómo se aplica esta fórmula en algunos ejemplos:

La distancia entre (2,5) y (7,17) es ( ) ( ) 1316917572D 22 ==−+−=

La distancia entre (1,4) y (5,2) es ( ) ( ) 52202451D 22 ==−+−=

Matemáticas


2.2.1. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Ahora trataremos de encontrar las coordenadas del punto medio M(x,y) del segmento que une dos puntos P1(x1,x2) y P2(x1,x2).

1X 2X

1Y

2Y ),( 222 YXP

),( 111 YXP

),( YXM

X

Y

Figura 2.5. Punto medio de un segmento

Las coordenadas (x,y) de ese punto medio M del segmento que une P1(x1,x2) y P2(x1,x2) vienen dadas por la siguiente fórmula:

2xx

x 21 +=

2yyy 21 +=

Vamos a ver unos ejemplos:

• El punto medio del segmento que une (2,9) y (4,3) es

( )6,32

39,2

42=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

• El punto medio entre (-5,1) y (1,4) es ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−

25,2

241,

215

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2.3. VECTORES

Visto y entendido el concepto de punto y segmento en un plano, vamos a definir lo que es un vector. Un vector no solo indica una posición en el plano, digamos que determina un movimiento, un desplazamiento en el plano.

Un vector es un segmento orientado en el plano. Por lo tanto está caracterizado por su punto origen y su extremo o por la longitud del segmento, su dirección y su sentido.

Una de las formas de determinar un vector es conociendo los puntos que marcan sus extremos dados en orden. Un desplazamiento tiene un punto de partida y un destino. La dirección del vector es la de la recta que une los dos puntos dados y el sentido depende del orden en que se den los puntos, cual es el origen y cual el extremo.

Situándonos en el plano, conocemos dos puntos, uno de ellos es el origen y otro el extremo del vector. Las coordenadas de estos puntos nos sirven para hallar las componentes del vector.

2.3.1. COMPONENTES DE UN VECTOR

Sean los puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2), el vector )v,v(VPP 2121 == , las

componentes son v1, v2, y la forma de hallarlas es 121 xxv −= y

122 yyv −= .

),( 222 YXP

),( 111 YXP

),( 21 VVV

112 Vxx =−

Figura 2.6. Componentes de un vector

Matemáticas


Las componentes del vector que tiene por extremos P1(2,-3) y

P2(1,4) son )7,1()34 ,21(VPP 21 −=−−−==r

.

Las componentes del vector que tiene por extremos P1(-1,6) y

P2(0,-1) son )7,1()16 ,01(VPP 21 −=−−−−==r

.

Observar que hay dos vectores con las mismas componentes pero distintos puntos extremos.

Estos dos vectores del ejemplo son vectores equipolentes, o sea, el mismo vector, solo que situado en distinto lugar del plano. Todos los vectores que tienen sus componentes iguales son equipolentes, indican el mismo desplazamiento.

Conociendo las componentes de un vector y uno de los puntos que lo determinan, origen o extremo, es muy sencillo calcular el punto que falta sin más que despejar de la fórmula de las componentes.

2.3.2. MÓDULO E INCLINACIÓN DE UN VECTOR

Otra forma de caracterizar vectores es conociendo su módulo y el ángulo que forman con el eje OX.

α

Figura 2.7. Módulo y ángulo de un vector.

El módulo o norma de un vector se define como la longitud del segmento que une los puntos origen y extremo de un vector y se denota V Para

calcularlo nos basaremos en la fórmula vista para hallar la distancia entre dos puntos.

Formación Abierta


Sean los puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2), el vector )v,v(VPP 2121 == , entonces

( ) ( )221

221

22

21 yyxxvvV −+−=+= .

La inclinación de un vector se determina midiendo el ángulo α que forma el mismo con la parte positiva del eje OX.

En una de las siguientes unidades, la dedicada a trigonometría, se trata con mayor detenimiento el tema de los ángulos, sus medidas, sus razones trigonométricas y en la unidad dedicada a los números complejos se vuelve al tema de vectores, con su módulo e inclinación.

El ángulo α buscado es aquel cuya tangente vale 1

2

vv

.

Así, en esta unidad, solamente se pretende que quede claro que una forma de determinar un vector es conociendo su módulo y el ángulo que forma con el eje OX midiéndolo desde la parte positiva.

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♦ RESUMEN

• Sobre el plano se consideran dos rectas perpendiculares entre sí, una horizontal y otra vertical, forman un conjunto de dos ejes que llamamos ejes cartesianos. El punto de corte de los dos ejes es el Origen de coordenadas.

• El eje horizontal es el eje de abscisas o eje OX, y el vertical es el eje de ordenadas o eje OY.

• Partiendo de este sistema de referencia podemos hacer corresponder a cada punto del plano un par de nº reales, que llamaremos coordenadas y a cada par de reales le corresponde un punto del plano.

• Al par de números reales (a,b) se les llama coordenadas del punto P. La primera coordenada, el primer número del par, “a”, se llama abscisa de P o coordenada x de P. El segundo número “b” se corresponde con la coordenada y del punto, u ordenada del punto P.

• Gráficamente vemos de forma clara el valor de las coordenadas y los cuadrantes en que dividen los ejes al plano.

+

+

-

-

1er CUADRANTE

3er CUADRANTE 4º CUADRANTE

2º CUADRANTE

a

b P(a , b)

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• Sean dos puntos P1 y P2, con coordenadas P1 (x1,y1) y P2 (x2,y2). La distancia entre ellos viene dada por la siguiente fórmula:

( ) ( )221

22121 yyxxPPD −+−==

• Las coordenadas (x,y) de ese punto medio M del segmento que une P1(x1,x2) y P2(x1,x2) vienen dadas por la siguiente fórmula:

2xxx 21 +=

2yyy 21 +=

• Un vector es un segmento orientado en el plano. Por lo tanto está caracterizado por su punto origen y su extremo o por la longitud del segmento, su dirección y su sentido.

• Las componentes de un vector las determinamos a partir de los puntos

origen P1(x1,y1) y extremo P2(x2,y2) del mismo, )v,v(VPP 2121 == las componentes las componentes son v1, v2, y la forma de hallarlas es

121 xxv −= y 122 yyv −= .

• El módulo o norma de un vector es la longitud del segmento determinado por sus extremos. Podemos hallarlo partiendo de sus componentes o de las coordenadas de los puntos aplicando la siguiente fórmula:

• ( ) ( )221

221

22

21 yyxxvvV −+−=+=

• La inclinación de un vector se determina midiendo el ángulo α que forma el mismo con el eje OX.


RREECCTTAASS EENN EELL PPLLAANNOO

33

Matemáticas

Unidad 3. Rectas en el Plano. 1


♦ INTRODUCCIÓN..........................................................................................4

3.1. Ecuación de la recta ..............................................................................5 3.1.1. Ecuación de una recta que pasa por dos puntos..............................5 3.1.2. Ecuación punto-pendiente ................................................................6 3.1.3. Ecuación explícita de la recta ..........................................................7 3.1.4. Ecuación general de la recta.............................................................8

3.2. Situación de una recta en el plano .......................................................9 3.2.1. Signo de la pendiente .......................................................................9 3.2.2. Rectas horizontales y verticales......................................................10

3.3. Incidencia de recta y recta ..................................................................11 3.3.1. Rectas paralelas y perpendiculares ................................................12

♦ RESUMEN..................................................................................................15

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♦ OBJETIVOS

El alumno debe alcanzar los siguientes objetivos:

• Conocer diferentes tipos de ecuación de una recta en función del conocimiento de algún elemento que la determine.

• Resolver situaciones geométricas sencillas con el apoyo de las coordenadas de los puntos, los vectores y las ecuaciones de las rectas.

• Saber determinar la posición relativa de un par de rectas dadas o decidir sobre la pertenencia de un punto a una recta determinada.

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♦ INTRODUCCIÓN

En la unidad anterior hemos visto los ejes de coordenadas cartesianas en el plano, la forma de representar un punto cualquiera por un par de números reales, los vectores, la distancia entre dos puntos cualesquiera...

En esta unidad veremos las rectas en el plano.Geométricamente todos sabemos que la recta es el camino más corto entre dos puntos, pero además de esta idea sencilla e intuitiva, una recta sobre un plano representa infinitos puntos que cumplen una determinada condición.

Es interesante conocer bien la forma de representar una recta a través de sus ecuaciones puesto que numerosos fenómenos en la naturaleza se pueden representar de esta manera. Por ejemplo, el espacio recorrido por un móvil que lleva una velocidad constante en función del tiempo que transcurrido desde su partida, se representa con una recta en el plano.

El eje OX se identificará con el tiempo t, y sobre el eje OY se localizarán los valores correspondientes al espacio s, recorrido por el móvil. Si dibujamos los pares de puntos (t,s) correspondientes a cada instante considerado, la figura resultante es una recta.

Con muchos otros fenómenos físicos y económicos ocurre lo mismo, luego el estudio de las ecuaciones de las rectas será muy práctico en campos bien distintos.

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3.1. ECUACIÓN DE LA RECTA

Intuitivamente todos sabemos lo que es una recta, pero vamos a dar una definición desde el punto de vista matemático:

Una recta es el lugar geométrico de los puntos del plano, alineados con un punto dado A y según una dirección dada por un vector V.

La forma analítica de representar una recta es mediante una ecuación lineal, los infinitos puntos que cumplen la condición dada por la ecuación son los puntos de la recta.

La forma de saber si un punto pertenece o no a una recta es sustituir las coordenadas del punto en la ecuación de la recta, si satisfacen la ecuación, el punto pertenece a la recta, y si no la satisfacen, no se cumple la ecuación es que el punto no pertenece a la recta considerada.

Para determinar la ecuación de una recta es necesario tener siempre dos condiciones, puede ser saber que la recta pasa por dos puntos determinados o conocer un punto y la inclinación de la recta. Dependiendo de qué es lo que conocemos escribiremos la ecuación de una u otra forma.

3.1.1. ECUACIÓN DE UNA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS

Si las condiciones que tenemos para determinar la ecuación de la recta son las coordenadas de dos puntos por los que pasa, plantearemos la ecuación de la siguiente forma.

),( 222 YXP

),( 111 YXP

x

y

0 Figura 3.1. Representación de una recta que pasa dos puntos.

Formación Abierta


Sean P1(x1,y1) y P2(x2,y2) dos puntos por los que pasa una recta, la ecuación de la misma viene dada por:

12

1

12

1

yyyy

xxxx

−−

=−−

Ecuación de una recta que pasa por dos puntos

Escribir la ecuación de una recta que pasa por los puntos (2,3) y (-2,5).

( ) ( )

4x21y3y1x

21

3y42x22

3y42x

353y

222x

+−=⇒−=+−

⇒−−=−⇒−

=−−

⇒−−

=−−−

Dejando despejada la variable dependiente, y.

3.1.2. ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE

Cuando los datos conocidos sean un punto y la pendiente de la recta, plantearemos la ecuación de otra manera. Antes de esto recordaremos qué es la pendiente de una recta.

La pendiente de una recta es una magnitud que refleja o mide la inclinación de la misma. Está relacionada con el ángulo que forma la recta con el eje OX, a ese ángulo le llamaremos α .

),( 222 YXP

),( 111 YXP

12 xx −

12 yy −

y

x0

α

Figura 3.2. Representación de la pendiente de una recta.

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La pendiente viene dada por: 21

21

xxyy

m−−

= , siendo ( )11 y,x y

( )22 y,x cualquiera dos puntos de la recta. Como se verá en la unidad de trigonometría este valor m es el valor de la tangente del ángulo α formado por la recta y la parte positiva del eje OX.

Entonces, si la información de la que disponemos es un punto de la recta ( )11 y,x y su pendiente m, la forma de plantear la ecuación es:

( )11 xxmyy −=− Ecuación punto-pendiente

Plantea la ecuación de una recta que pasa por el punto (5,-3) y tiene pendiente m=2.

13x2y10x23y)5x(2)3(y −=⇒−=+⇒−=−−

3.1.3. ECUACIÓN EXPLÍCITA DE LA RECTA

Partiendo de cualquier ecuación se puede despejar la y, variable dependiente, como se ha hecho en los dos ejemplos, y la expresión queda de la forma:

Y=mx+b Ecuación explícita de la recta

Las dos constantes que aparecen en esta ecuación tienen mucho significado,

m es la pendiente de la recta

b es la ordenada en el origen, o sea, el valor que toma y, cuando x=0

En el ejemplo anterior la ecuación explicita es y=2x-13. Donde m=2, la pendiente y b=-13, la ordenada en el origen.

Formación Abierta


3.1.4. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

Partiendo de cualquiera de las ecuaciones anteriores, podemos despejar y poner todos los términos igualados a cero, esa es la expresión que se llama ecuación general de la recta.

Ax+By+Cz=0 Ecuación general de la recta

En el ejemplo, la ecuación general sería: y-2x+13=0.

La pendiente de una recta dada en forma general la hallaríamos partiendo de

los coeficientes aplicando BAm −

=

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3.2. SITUACIÓN DE UNA RECTA EN EL PLANO

La pendiente es algo fundamental en el estudio de las rectas. La pendiente caracteriza a las rectas horizontales, verticales, nos habla de su inclinación y determina las rectas paralelas o perpendiculares a una dada.

3.2.1. SIGNO DE LA PENDIENTE

Si una recta tiene pendiente positiva, m>0 indica que su inclinación es como en la figura y el ángulo α es menor de 90º.

y

x0

α

m>0

Figura 3.3. Pendiente positiva.

Si la pendiente es negativa, m<0 , el ángulo α es mayor de 90º y la inclinación de la recta es como en la figura:

y

x0

α

m<0

Figura 3.4. Pendiente negativa.

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3.2.2. RECTAS HORIZONTALES Y VERTICALES

Las rectas horizontales son paralelas al eje OX y tienen por pendiente m=0.

Las rectas verticales, paralelas al eje OY tienen por pendiente ∞=m .

y

x0

∞=m

y

x0

0=m

Figura 3.5. Rectas paralelas a los ejes OX e OY.

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3.3. INCIDENCIA DE RECTA Y RECTA

Geométricamente hay tres posibilidades para la posición relativa de dos rectas en el plano R1 y R2: Secantes, si se cortan en un único punto, coincidentes, si tienen infinitos puntos en común, o sea, son la misma recta y paralelas, si no se cortan en ningún punto.

R1

R2

),( yxP

R1

R2 R1

R2

Figura 3.6. Posiciones relativas de dos rectas en un plano.

Analíticamente, o sea fijándonos en las ecuaciones de las rectas, estas posibilidades se corresponden con las siguientes situaciones. Consideramos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas formado por las ecuaciones de ambas rectas, las rectas serán:

Secantes ⇔ El sistema de ecuaciones tiene una única solución

Coincidentes⇔ El sistema tiene infinitas soluciones, ecuaciones proporcionales

Paralelas⇔ El sistema no tiene solución.

Determinar la posición relativa de las dos rectas siguientes:

010yx2s06y3x2r

=−+≡=+−≡

Para ello lo que haremos es solucionar el sistema de ecuaciones formado, al hacerlo, queda como ejercicio para el alumno, obtenemos un única solución, x=3, y=4. Luego son dos rectas secantes y el punto de corte es P(3,4).

Hacer lo mismo con las rectas:

100y5x10s20yx2r=+≡

=+≡

Formación Abierta


Vemos claramente que son dos ecuaciones proporcionales, si multiplicamos la primera por cinco, obtenemos la segunda. Eso indica que representan a la misma recta, o sea, son dos rectas coincidentes. Si resolvemos el sistema vemos que tiene infinitas soluciones, situación que implica que las dos rectas son coincidentes.

Y la posición relativa de las siguientes rectas:

08y12x10s07y6x5r=++≡

=−+≡

Al resolver el sistema, ejercicio que debe realizar el alumno, resulta un sistema incompatible, sin solución, lo que indica que las rectas son paralelas.

Si calculamos la pendiente de ambas, ejercicio propuesto para el alumno, se comprueba que son iguales.

3.3.1. RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

Todas las rectas paralelas a una dada tienen en común con ella la pendiente, o sea, todas las rectas paralelas a una dada tienen la misma pendiente.

Luego, para comprobar si dos rectas son o no paralelas sin dibujarlas y sin solucionar el sistema de ecuaciones correspondiente, bastará con que comparemos sus pendientes.

Sean dos rectas R1 y R2, con pendientes m1 y m2, entonces

R1 y R2 son paralelas 21 mm =⇔

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Comprobar si las siguientes rectas son paralelas:

21y

13x −=

−−

y 01yx2 =−+

Despejando y en las dos ecuaciones, localizamos el coeficiente de x que es la pendiente y se ve que m=2 en ambas rectas. Luego son paralelas.

La condición que cumplen dos rectas perpendiculares es que sus pendientes son opuestas e inversas. Dos rectas son perpendiculares si al cortarse forman un ángulo recto, un ángulo de 90º.

Sean dos rectas R1 y R2, con pendientes m1 y m2, entonces son

perpendiculares si se cumple 2

1 m1m −

= .

R1 y R2 perpendiculares ⇔2

1 m1m −

=

Es evidente que la perpendicularidad entre rectas es un caso particular de rectas secantes, se cortan en un único punto y el ángulo que forman al cortarse es un ángulo recto,90°.

Las rectas R1: 3x2y += y R2: 3x21y +−= son

perpendiculares, por la forma de las pendientes, y su punto de corte, se halla solucionando el sistema de ecuaciones.

El punto es P(0,3)

Matemáticas


♦ RESUMEN

• Una recta es el lugar geométrico de los puntos del plano, alineados con un punto dado A y según una dirección dada por un vector V.

• La forma de saber si un punto pertenece o no a una recta es sustituir las coordenadas del punto en la ecuación de la recta, si satisfacen la ecuación, el punto pertenece a la recta, y si no la satisfacen, no se cumple la ecuación es que el punto no pertenece a la recta considerada.

• Para determinar la ecuación de una recta es necesario tener siempre dos condiciones, puede ser saber que la recta pasa por dos puntos determinados o conocer un punto y la inclinación de la recta.

Hemos visto distintas expresiones para la ecuación de una recta:

12

1

12

1

yyyy

xxxx

−−

=−−

Ecuación de una recta que pasa por dos puntos

( )11 xxmyy −=− Ecuación punto-pendiente

Y=mx+b Ecuación explícita de la recta

Ax+By+Cz=0 Ecuación general de la recta

• La pendiente de una recta, m, representa la inclinación de la recta respecto a la parte positiva del eje OX. Está relacionada con el ángulo que forma la recta con el eje OX, a ese ángulo le llamaremos α .

• Como se verá en la unidad de trigonometría este valor m es el valor de la tangente del ángulo α formado por la recta y la parte positiva del eje OX.

Las rectas horizontales son paralelas al eje OX y su pendiente es m=0.

Las rectas verticales, paralelas al eje OY tienen por pendiente ∞=m .

Formación Abierta


• Si una recta tiene pendiente positiva, m>0 indica que el ángulo α es menor de 90º. Si la pendiente es negativa, m<0, el ángulo α es mayor que 90º.

• Posición relativa de dos rectas en el plano. Secantes, si se cortan en un único punto, coincidentes, si tienen infinitos puntos en común, o sea, son la misma recta y paralelas, si no se cortan en ningún punto.

Secantes ⇔ El sistema de ecuaciones tiene una única solución

Coincidentes⇔ El sistema tiene infinitas soluciones, ecuaciones proporcionales

Paralelas⇔ El sistema no tiene solución.

• Todas las rectas paralelas a una dada tienen en común con ella la pendiente, o sea, todas las rectas paralelas a una dada tienen la misma pendiente.

R1 y R2 son paralelas 21 mm =⇔

• La condición que cumplen dos rectas perpendiculares es que sus pendientes son opuestas e inversas.

R1 y R2 perpendiculares ⇔2

1 m1m −

=


TTRRIIGGOONNOOMMEETTRRÍÍAA

44

Matemáticas

Unidad 4. Trigonometría 1


♦ INTRODUCCIÓN..........................................................................................4

4.1. Trigonometría .........................................................................................5 4.1.1. Medidas de ángulos ..........................................................................5

4.2. Razones trigonométricas de un ángulo...............................................7 4.2.1. En un triángulo rectángulo ................................................................7 4.2.2. En una circunferencia .......................................................................9 4.2.3. Relaciones entre las razones Trigonométricas de un ángulo .........10 4.2.4. Razones exactas de ángulos ..........................................................11 4.2.5. Líneas y signos de las razones trigonométricas .............................12 4.2.6. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera relacionadas

con un ángulo del 1º cuadrante.......................................................14 4.3. Aplicaciones de la trigonometria........................................................19

4.3.1. Resolución de triángulos rectángulos .............................................19 4.3.2. Resolución de triángulos cualesquiera ...........................................21

4.3.2.1. Teorema del seno........................................................................21 4.3.2.2. Teorema del coseno....................................................................23

4.4. Funciones trigonométricas directas e inversas................................27 4.4.1. Directas ...........................................................................................27 4.4.2. Inversas...........................................................................................30 4.4.3. Otras fórmulas.................................................................................30

♦ RESUMEN..................................................................................................33

Matemáticas


♦ OBJETIVOS

Tras el estudio de la presente unidad didáctica el alumno debe saber:

• Expresar medidas angulares en grados o en radianes y calcular las equivalencias entre ellas.

• Calcular las razones trigonométricas de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. Obtención de ángulos y distancias en situaciones cotidianas.

• Calcular las razones trigonométricas de un ángulo si se conoce una cualquiera de ellas.

• Obtener las razones trigonométricas de un ángulo con ayuda de las de otro que pertenece al primer cuadrante o con las de otros que estén relacionados con él.

• Resolver triángulos cualesquiera mediante la utilización del teorema de los senos y del teorema del coseno .

• Calcular áreas de triángulos y figuras poligonales mediante una previa triangulación, si fuera necesario, y la aplicación de las herramientas trigonométricas apropiadas a cada caso.

• Conocer las funciones trigonométricas directas e inversas.

Formación Abierta


♦ INTRODUCCIÓN

Para comprender el universo, el sistema solar, predecir eclipses, conocer la distancia de la tierra al sol, hay que medir distancias entre objetos no accesibles.

La parte de las matemáticas que surgió a raíz de estas necesidades y que estudia estos problemas es la trigonometría.

El origen de la trigonometría se atribuye a Hiparco de Nicea (190-125 a.c.), que la aplicó a sus cálculos astronómicos y confeccionó las primeras tablas trigonométricas.

En este tema, nos vamos a ocupar de medir alturas de faros, de torres o en general de objetos a los que no podemos acceder directamente para ello. Utilizaremos las distancias que si que podamos medir y los ángulos bajo los que observamos los objetos.

Dado que la trigonometría trabaja con ángulos, son necesarios instrumentos para medirlos, como el teodolito, el goniómetro..Quizá lo más habitual en nuestro entorno es que en cualquier actividad de construcción nos encontremos a un topógrafo tomando medidas de ángulos.

Matemáticas


4.1. TRIGONOMETRÍA

Ángulo: parte del plano comprendido entre dos rectas que se cortan.

Figura 4.1. Ángulo entre dos rectas

B

A0s

r

4.1.1. MEDIDAS DE ÁNGULOS

Para medir ángulos se emplean como:

Unidades principales: Angulo completo, ángulo llano y ángulo recto.

Ángulocompleto

360º

Ángulorecto

90º

Ángulollano

180º

Figura 1.1. Unidades principales de un ángulo.

Sistemas de unidades:

Angulo completo Angulo llano Angulo recto

Sistema sexagesimal 360º 180º 90º

Sistema basado en radianes 2Π Π Π/2

Formación Abierta


1 rad1 radio

Figura 1.2. Representación de un radián.

Radian es la medida de un ángulo central cuyo arco mide igual que un arco de la circunferencia.

Grado sexagesimal es cada una de las 360 partes iguales en las que dividimos un ángulo completo.

Para hallar los radianes que tiene un ángulo completo razonaremos así:

La longitud de la circunferencia es L = 2Πr =2Π radios.

Cada radio de arco implica un radián en el ángulo central.

Luego el ángulo completo son 2Π radianes.

Expresar en radianes un ángulo de 135º.360º 2 Π radianes.

360º rad ianes 2π135º rad ianesx

rad ianes4

3360º

135º2x ππ==

Si observas, hemos aplicado una sencilla regla de tres, para obtener la equivalencia de grados y radianes.

Expresar en grados sexagesimales 2,4 radianes.

2 ,4

g ra d o s2

3 6 02 ,4yππ

4 3 2=

°⋅=

2 π 3 6 0 º

y º

Matemáticas


4.2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO

Las vamos a definir de dos formas, en primer lugar partiendo de un triángulo rectángulo y luego sobre una circunferencia dibujada en el plano cartesiano.

4.2.1. EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

-Son las distintas proporciones que se establecen entre los lados de un triángulo rectángulo:

Notación universal: Los lados del triángulo se nombran con la misma letra que su ángulo opuesto pero en minúscula. Como se ve en la figura siguiente.

A

C

B

b

c

a

a = hipotenusa

b = opuesto de B o contiguo de C

c = opuesto de C o contiguo de B

-Las razones se definen para un ángulo agudo, menor de 90º, menor que el ángulo recto

Seno de un ángulo es su cateto opuesto partido por la hiipotenusa

b / a = senB = cosC

Coseno de un ángulo es su cateto adyacente partido por su hipotenusa.

c / a = cosB = senC

Formación Abierta


Tangente de un ángulo es su cateto opuesto partido por su cateto adyacente

b / c = tgB = cotgC

Cosecante de un ángulo es la hipotenusa partido por el cateto opuesto.

a / b = cosecB = secC

Secante de un ángulo es la hipotenusa dividida por el cateto adyacente.

a / c = secB = cosecC

Cotangente de un ángulo es el cateto adyacente partido por el cateto opuesto.

c / b = cotgB = tgC

En un triángulo rectángulo los catetos miden 8m. y 6m. Hallar las razones trigonométricas del menor de sus ángulos.

Como se puede ver en la figura anterior, el ángulo menor se opone al lado menor.

Por el teorema de Pitágoras, la medida de la hipotenusa será

.103616 ma =+=

Aplicando las fórmulas y las definiciones que acabamos de ver.

sen B= 6/10= 3/5

Cos B= 8/10= 4/5

Tg B= 6/8= ¾

Cosec B= 10/6= 5/3

Sec B= 10/8= 5/4

Cotg B= 8/6= 4/3.

Matemáticas


El teorema de Pitágoras nos da una fórmula que permite relacionar la longitud de la hipotenusa y los dos catetos de un triángulo rectángulo.

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos.

Fórmula: a2 = b2 + c2

A

C

B

b

c

a

4.2.2. EN UNA CIRCUNFERENCIA

Para ello recordaremos primero el concepto de coordenadas cartesianas en el plano.

Coordenadas cartesianas:

Están en función de las medidas de los ejes de coordenadas. Coordenada X es la medida sobre el eje de abscisas (el eje horizontal) y coordenada Y que es la medida sobre el eje de ordenadas (el eje vertical).

En un sistema de coordenadas cartesianas dibujamos una circunferencia con centro en el origen y radio r. Tomando como lado origen el semieje positivo de abscisas construimos un ángulo agudo α.

x

y

0αa =

r

c = x

b = y

C

Formación Abierta


Por el punto C, donde ese lado extremo corta a la circunferencia, trazamos la perpendicular al eje de abscisas y se forma un triángulo rectángulo OCA.

Ahora definiremos las razones trigonométricas de este ángulo α basándonos en este triángulo, donde la hipotenusa a = r es el radio de la circunferencia, el cateto opuesto b =y es la ordenada del punto C y el cateto adyacente es c= x la abscisa del punto C.

Para cualquier ángulo en la circunferencia, definiremos sus razones trigonométricas por medio del radio r, y las coordenadas del punto C (x,y) , punto en el que el lado extremo del ángulo corta a la circunferencia.

Seno de α es la ordenada en el punto C partido por el radio de la circunferencia

Senα = y/r

Coseno de α es la abscisa del punto C partida por el radio de la circunferencia

Cosα = x/r

Tangente de α es la ordenada del punto C partido por su abscisa Tgα = y/r

Cosecante de α es el radio de la circunferencia partido por la ordenada en el punto C

Cosecα= r/y

Secante de α es el radio de la circunferencia partido por la abscisa del punto C.

Sec = r/x

Cotangente de α es la abscisa del punto C partido por la ordenada de C Cotgα = x/y

4.2.3. RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO

Como habrás observado las razones trigonométricas de un ángulo están muy relacionadas entre si. Vamos a escribir esas relaciones.

Cosec α =αsen

1

Sec α =αcos

1

Matemáticas


Cotg α =αtg

1

Tg α = αα

cossen

Aparte de estas cuatro que son muy fáciles de comprobar casi solamente mirando los dibujos, hay otras tres relaciones más de tipo cuadrático, que son muy interesantes.

1 = sen2 α + cos2 α

Cosec2α = 1+ cotg2α

Sec2α = 1 + tg2α

Todas estas fórmulas nos serán de utilidad para deducir las razones trigonométricas de un ángulo del que conocemos una de ellas y para resolver triángulos.

4.2.4. RAZONES EXACTAS DE ÁNGULOS

En esta tabla aparecen las razones trigonométricas de los ángulos más usados, sabiéndonos estos valores podremos hallar fácilmente las razones de otros ángulos relacionados con ellos. Luego veremos cómo.

α Sen α Cos α Tg α Cosec α Sec α Cotg α

0º 0 / 2 1 0 1/0 1 1/0

30º 1/2 3 / 2 3 / 3 2 2 3 /3 3

45º 2 / 2 2 / 2 1 2 2 1

60º 3 / 2 1/2 3 2 3 /3 2 3 / 3

90º 1 0 1/0 1 1/0 0

180º 0 -1 0 1/0 -1 1/0

Formación Abierta


Para ver cómo relacionar las razones trigonométricas de unos ángulos con otros y para aprender algo más sobre las mismas vamos a desarrollar otro apartado sobre las líneas y los signos de las razones.

4.2.5. LÍNEAS Y SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

A) Líneas trigonométricas.

Vamos a construir ahora una circunferencia como la de antes, pero con radio la unidad, r = 1.

x

y

0α

C

B

CBOCCBsen ==α

RadioOC == 1

x

y

0α

C

B

OBOCOB

==αcos

SENO COSENO

Figura 1.3. Circunferencia de radio 1, seno y coseno del ángulo

Así, es fácil ver que el seno de un ángulo coincide con el cateto opuesto del triángulo y su coseno con el cateto adyacente del mismo.

Una circunferencia de radio la unidad, se llama circunferencia goniométrica.

B) Signos de las razones trigonométricas.

Basándonos en el apartado anterior, vamos a ver los signos de las distintas razones trigonométricas de un ángulo cualquiera. Nos bastará con saber los signos del seno y el coseno porque los del resto de razones se deducen directamente de ellos usando las relaciones ya vistas.

Matemáticas


Los signos de seno y coseno dependerán del cuadrante en el que esté situado el ángulo.

El signo del seno será el del eje de ordenadas, eje vertical, o sea, positivo en el primer y segundo cuadrante y negativo en el tercero y en el cuarto.

El signo del coseno será el del eje de abscisas, eje horizontal, positivo en el primer y cuarto cuadrante y negativo en el segundo y tercero.

++-- 0º180º

º180º0 ⟨⟨α

SENO Y COSEC

y

+-+-

COS Y SEC

0º ; 360º

270º

90º

+--+

TG Y COTG

90º

xy

x

Conociendo los signos de las razones trigonométricas de un ángulo y las relaciones entre las mismas, podremos conocer todas ellas partiendo de una sola y del cuadrante en que se encuentra el ángulo.

Veámoslo en un ejemplo.

Ejercicio 1

Sabiendo que senX = 0,3 y que 90º< X <180º, hallar las restantes razones trigonométricas de X.

Formación Abierta


Solución

• Signos: El ángulo pertenece al 2º cuadrante, luego su coseno será negativo

• Valores:

0,30,91-

tgx 1 cotgx

91,03,0

cosx senx

0,911-

cosx 1 x Sec

raiz. la de negativo valor el tomaremos negativo, es que sabemos como 0,91 x cos 0,91 0,09 -1 x Cos 1x Cos 0,32

1 x Cos Sen

0,31

x 1 x Cosec

22

22

==

−==

==

±=⇒==⇒=+

=+

==

Tgx

y

x

sen

Hallar las restantes razones trigonométricas de un ángulo x tal que sec x= 2 y sabemos que 0< x < Π/2

4.2.6. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA RELACIONADAS CON UN ÁNGULO DEL 1º CUADRANTE

Ya conocemos los valores de las razones trigonométricas de los ángulos más usuales en el primer cuadrante, vamos a aprender a deducir las razones de ángulos relacionados con ellos.

O aunque no conozcamos exactamente el valor de las razones, poder relacionar las razones de un ángulo cualquiera con las de un ángulo de primer cuadrante.

Matemáticas


A. Dos ángulos que suman 180º, ángulos suplementarios, α en el 1º cuadrante y lógicamente β situado en el 2º cuadrante.

X

Y

CC’

AA’ x’ x0

y’ yβ

α

y' = yx’ = -x

α

Como se ve en la figura, x’ = -x, y’ = y, luego las relaciones entre las razones de los ángulos suplementarios α y β las podremos deducir de estas igualdades de segmentos.

αβ

αβ

cos- r x-

r x' cos

sen r y

ry' sen

===

===

Conociendo el seno y el coseno de β, ya sabríamos deducir el valor de la tangente, secante....

Conclusión: Las razones del ángulo β son iguales en valor absoluto a las razones de α y los signos son los que corresponden al 2º cuadrante.

Tg 120º = - tg 60º = - 3 .

Sec 135º = - sec 45º = - 2

B. Cuando β y α difieren en 180º. β -α = 180º, luego β está situado en el 3º cuadrante.

Formación Abierta


X

Y

C

C’

A

A’ x’

x0y’

yβy' = -yx’ = -x

αα

Podemos ver en el dibujo que , x’ = -x , y’ = - y, igual que en el caso anterior podremos ver las razones de β basándonos en estas igualdades entre los segmentos.

αβ

αβ

cos- r x-

r x' cos

sen r y-

ry' sen

===

−===

El resto de las razones, como antes se deducen de éstas.

Conclusión: Las razones trigonométricas del ángulo β son iguales en valor absoluto a las de α y los signos serán los del 3º cuadrante.

Cos 225º = - cos 45º = 2

2-

Tg 240º = tg 60º = 3

C. Cuando β y α suman 360º. Ángulos opuestos. α en el primer cuadrante, como siempre y β estará en el cuarto cuadrante.

Matemáticas


X

Y

C

C’

x’

x

0y’

y

β y' = -yx’ = x

αα

Podemos ver en el dibujo que , x’ = x , y’ = - y, procederemos igual que en los casos anteriores.

αβ

αβ

cos r x

r x' cos

sen r y-

ry' sen

===

−===

Conclusión: las razones de un ángulo β del 4º cuadrante, opuesto a α son iguales en valor absoluto a las de αy los signos del cuarto cuadrante.

Sen 330º = - sen30º = -1/2.

D. Cuando β y α difieren 360º.

y' = yx’ = x

X

Y

C = C’

Ax = x’0

y= y’α

β

Formación Abierta


Como vemos en el dibujo, los ángulos coinciden sobre el primer cuadrante,

Conclusión: Las razones de β y α son idénticas en valor y signo.

Tg 2655º = tg 135º = -tg 45º = -1.

Sen(- 2730º) = sen (-210º) = sen150º = sen 30º = 1/2

Para transformar un ángulo mayor de 360º en otro que se encuentre en la circunferencia, o sea, menor que 360º, no tenemos más que dividir el ángulo que nos den entre 360º y quedarnos con el valor del resto de dicha división, este resto es el ángulo que buscamos.

Para entendernos, el resultado de la división es el número de vueltas completas que damos y el resto indica el lugar donde pararíamos.

Un ángulo negativo no es más que un ángulo medido en el sentido de giro opuesto al normal. El habitual, el que consideramos positivo es el contrario a las agujas del reloj y el negativo es el de las agujas horarias.

Matemáticas


4.3. APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRIA

Vamos a ver cómo aplicar estos conocimientos a problemas “reales”. Utilizaremos lo visto hasta ahora y veremos también algunos teoremas que completaran nuestro conocimiento y recursos para resolver problemas.

4.3.1. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Resolver un triángulo rectángulo consiste en encontrar las medidas de sus seis elementos, tres lados y tres ángulos.

B A

C

a

c

b90º

Recuerde que los tres ángulos de cualquier triángulo siempre suman 180º.

1.Por ser un triángulo rectángulo sabemos que uno de sus ángulos es recto, o sea A = 90º.Los otros dos ángulos restantes sumarán por tanto 90º. B + C = 90º.

2. Los lados, por el teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2.

3. Las razones trigonométricas que relacionan lados y ángulos.

Sen B = b/a, cos B = c/a, tg B = b/c, y lo mismo con el ángulo C.

Formación Abierta


CASO 1: Conocidos dos lados:

Una escalera de tres metros de largo está apoyada sobre una pared, se apoya en el suelo a 1,5 m. de la misma. ¿Qué ángulo forma la escalera con el suelo?

3m

α1,5m

Tenemos un triángulo rectángulo. Conocemos la hipotenusa y el cateto adyacente del ángulo que buscamos. La razón trigonométrica que relaciona cateto adyacente e hipotenusa es el coseno.

Luego el ángulo que buscamos tiene un cos α = 1,5/3 = ½ = 0,5. Debemos encontrar un ángulo agudo que tenga coseno igual a 0,5, y ese ángulo sabemos que es 60º.

α = 60º forma la escalera con el suelo.

Utilizando la calculadora también podemos hallar el valor del ángulo. Tendremos que usar la función cos-1 y aplicarla al valor 0,5.

Aplicando el teorema de Pitágoras podremos sacar fácilmente la longitud del otro lado del triángulo, la altura que alcanza la escalera en la pared. Igual que se ha hecho en el ejemplo del apartado 2.2.1.

El ángulo que falta conocer es evidentemente 30º.

Matemáticas


CASO 2: Conocidos un lado y un ángulo.

cB A

C

b

90º30º

70m

Conocemos la hipotenusa y un ángulo, podemos usar tanto el seno como el coseno para resolver el triángulo. Usaremos el seno.

Sabemos que sen 30º = ½ = 0,5 = b/70 35m.0,570 b =×=⇒

Igual que antes ya podemos fácilmente obtener las medidas del lado y ángulo que faltan.

4.3.2. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA

4.3.2.1. TEOREMA DEL SENO

Los lados de un triángulo cualquiera son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

Es decir:

senCsenBb

senA a c

==

Veámoslo sobre una figura.

B

C

A D

b a

c

h

Al trazar la altura del triángulo obtenemos dos triángulos rectángulos: ACD y BCD. Vamos a trabajar sobre ellos.

Formación Abierta


SenA = senAb h ×=⇒bh

SenB = senBa h a

×=⇒h

Luego senBb

senAasenBasenAb =⇒×=×

De la misma forma se obtiene senC

csenB

b=

El teorema del seno permite resolver triángulos cualesquiera, no necesariamente rectángulos como en el caso anterior, en los que conozcamos:

a) Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.

b) Dos ángulos y un lado.

En el triángulo de la figura , hallar el ángulo B.

B

C

Ac

30º

8m10m

Solución:

senAa

senBb

=senB10

sen30º8

=⇒

Matemáticas


⇒=×

=⇒85

8sen30º10 senB B = arco cuyo seno vale 5/8.

Con estos datos y aplicando el teorema del seno, también podríamos hallar el lado c y el ángulo C.

Este problema que se nos plantea de hallar un ángulo conociendo alguna de sus razones trigonométricas lo resolveremos definiendo las funciones trigonométricas inversas. Es el apartado 2.4 del tema.

4.3.2.2. TEOREMA DEL COSENO

El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de éstos por el coseno del ángulo que forman.

a2 = b2 + c2 – 2bc . cosA

C

BA

a

c

bh

Dx

Triángulo oblicuángulo

B

C

A D

b ah

xc

Triángulo acutángulo

Consideramos en las figuras anteriores los triángulos rectángulos ACD y BCD. Entonces, en el triángulo oblicuángulo:

h2 = b2 –x2

h2 = a2 – (x+c)2

b2 – x2 = a2 – (x+c)2

b2 – x2 = a2 –x2- c2- 2xc

a2 = b2 + c2 + 2xc

Formación Abierta


Como x = - b. CosA (ya que por estar en el 2º cuadrante el cosA es negativo), resulta a2 = b2 + c2 – 2bc cosA.

Y en el triángulo acutángulo:

h2 = b2 –x2

h2 = a2 – (c - x)2

b2 – x2 = a2 – (c - x)2

b2 – x2 = a2 – x2 - c2 + 2xc

a2 = b2 + c2 - 2xc

Como x = b. CosA (ya que por estar en el 2º cuadrante el cosA es negativo), resulta a2 = b2 + c2 – 2bc cosA.

El teorema del coseno permite resolver triángulos cualesquiera cuando se conocen:

a) Dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos.

b) Los tres lados.

Si las dos ramas de un compás forman un ángulo de 60º y su longitud es de 12 cm. Hallar la distancia a la que se encuentran las puntas.

A

BC a

c = 12b = 1260º

Matemáticas


Aplicando el teorema del coseno:

a2 = b2 + c2 – 2bc . cosA ⇒ a2 = 122 + 122 - 2 º60cos1212 ××× 144 a2 =⇒

a = 12 cm.

Luego el triángulo formado por el compás tiene todos sus lados iguales, es un triángulo equilátero.

Para la resolución de triángulos cualesquiera, lo primero

que tenemos que hacer es saber de qué tipo es el triángulo

que nos proponen.

Si es un triángulo rectángulo podremos aplicar:

Relación entre ángulos. Suman 180º.

Relación entre los lados. Teorema de Pitágoras.

Relación entre lados y ángulos. Razones trigonométricas.

Si el triángulo no es rectángulo.

Relaciones entre ángulos. Suman 180º.

Teorema del seno.

Teorema del coseno.

El resolver triángulos sirve también para calcular el área de los mismos. La

fórmula para calcular el área de un triángulo es Area = 2altura base×

. El poder

hallar el área de cualquier triángulo a partir de datos de ángulos y lados, servirá para hallar el área de cualquier polígono o figura geométrica que podamos dividir en triángulos.

Calcular el área del triángulo siguiente:

Formación Abierta


C

A

B

c = 10 cm b = 6 cmh

30º

x a - x

cmhhsen 521

1030 =⇒==

102330cos x==

a

Solución:

La altura divide al triángulo en dos triángulos rectángulos. En ellos podremos aplicar directamente las definiciones de las razones trigonométricas y el teorema de Pitágoras.

Sen 30º = cmhh 521

10=⇒=

Por otro lado, se necesita saber lo que vale “a”, la base del triángulo para poder hallar el área. Podemos hallar su valor hallando los dos segmentos en que queda dividida por la altura, x, a-x.

Cos 30º = cmxx 35102

3×=⇒= .

Y para hallar a-x, usaremos el teorema de Pitágoras.

( )222 56 xa −+= ( ) cmxaxa 111125362 =−⇒=−=−⇒

Luego la base del triángulo mide: cmcm 9768,113511 =+

2altura base×

= área = cmha 942,292

59768,112

=×

=×

Matemáticas


4.4. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS E INVERSAS

En este apartado vamos a ver la representación gráfica y las características más relevantes de las funciones trigonométricas más usadas.

4.4.1. DIRECTAS

Y = sen X

Esta función periódica es una aplicación del conjunto de los ángulos en un intervalo de los números reales, el intervalo [ ]1,1− .

Se dice que es periódica porque los valores que toma se repiten cada 360º, cada giro completo. El seno de 45º es igual al de 405º.

0

0

-1

0

1

Y

πX

π22π

23π

4π

1

0

-1

F : A

x

sen xR

[-1,1]

Figura 1.4. Representación gráfica de la función seno.

Características:

1.Campo de existencia: Existe para cualquier número real, ( )+∞∞− ,

2.Continuidad: Es una función continua en todo el campo de existencia.

3.Cuadro de valores:

Formación Abierta


X 0º 90º 180º 270º 360º

Sen X 0 1 0 -1 0

Y = Cos X

La función periódica Y = Cos X es una aplicación del conjunto de ángulos en el intervalo de los reales [ ]1,1− .

0

Y

πX

π22π

23π

4π

F : A

x

cos xR

[-1,1]

1 0-1

Figura 1.5. Representación gráfica de la función coseno.

Características:

1.Campo de existencia: Existe para cualquier número real, ( )+∞∞− ,

2.Continuidad: Es una función continua en todo el campo de existencia.


X 0º 90º 180º 270º 360º

Cos X 1 0 -1 0 1

Matemáticas


Y = Tg X

La función periódica Y = Tg X es una aplicación del conjunto de los ángulos en el conjunto de los números reales ( )+∞∞− , .

F : A

x

R

Ry∈

0

Y

Xπ2

2π

23π4

π

1

0

2

π

∞+

∞− -2

-1

Figura 1.6. Representación gráfica de la función tangente

Características:

1.Campo de existencia: Existe para cualquier número real, salvo los que hacen cero a la función cos X.

2.Continuidad: Es una función continua salvo donde cos X = 0. Estos valores son los ángulos X = (2n – 1)90º, donde n = 1, 2, 3,.....

Formación Abierta



X 0º 90º 180º 270º 360º

Tg X 0 ∞ 0 ∞ 0

4.4.2. INVERSAS

Al igual que ocurrió en la resolución de un triángulo rectángulo del que conocíamos dos de sus lados, en ocasiones el valor que podemos obtener es el de una razón trigonométrica y a partir de él hemos de averiguar el valor del ángulo al que corresponde.

Las funciones trigonométricas inversas son las que nos sirven para hallar el valor de un ángulo conociendo alguna de sus razones trigonométricas.

Y = arc sen X

Leeremos Y es igual al arco cuyo seno vale X, y evidentemente es la función inversa del seno. Para hallar los valores del ángulo Y acudiremos a los valores de los ángulos más usuales que ya conocemos o a la función sen-1 de la calculadora.

Y = arc cos X, Y = arc tg X

Se definen de forma análoga a la anterior y el cálculo de valores también se hace de la misma manera. En la calculadora las funciones serán, cos –1 y tg-1.

4.4.3. OTRAS FÓRMULAS

Aquí hay otras fórmulas que no vamos a explicar y servirán como referencia si se aplican en algún tema posterior.

Razones del ángulo suma Razones del ángulo diferencia

( )Sen sen cos cos senα +β = α β + α β ( )Sen sen cos cos senα −β = α β − α β

( )Cos cos cos sen senα +β = α β + α β ( )Cos cos cos sen senα −β = α β + α β

tg tgTg( )1- tg tgα + β

α +β =α β

tg tgTg( )1 tg tg

α − βα −β =

+ α β

Matemáticas


Razones del ángulo doble Razones del ángulo mitad

( )Sen2 sen 2sen cosα = α + α = α α 1 cosSen( )2 2α − α

= ±

( ) 2 2Cos2 cos cos senα = α + α = α − α 1 cosCos( )2 2α + α

= ±

2

2tgTg2 tg( )1 tg

αα = α + α =

− α 1 cosTg( )

2 1 cosα − α

= ±+ α

Razones que transforman el producto en sumas

( ) ( )Sen Sen 2sen cosα +β + α −β = α β

2 cos2 2

A B A BSenA senB sen + −+ =

( ) ( )Cos Cos 2cos cosα +β + α −β = α β

cos 2cos cos2 2

A B A BCosA B + −+ =

Razones que transforman el producto en resta

2cos2 2

A B A BSenA senB sen+ −− =

cos 22 2

A B A BCosA B sen sen+ −− = −

Matemáticas


♦ RESUMEN

• Concepto de ángulo y medidas de los ángulos. Grados sexagesimales y radianes.

Radian es la medida de un ángulo central cuyo arco mide igual que un arco de la circunferencia.

Grado sexagesimal es cada una de las 360 partes iguales en las que dividimos un ángulo completo.

• Concepto de razón trigonométrica. Hemos aprendido a calcularlas a partir de un triángulo rectángulo y una circunferencia en el plano.

• En el triángulo:

Seno de un ángulo es su cateto opuesto partido por la hiipotenusa

Coseno de un ángulo es su cateto adyacente partido por su hipotenusa.

Tangente de un ángulo es su cateto opuesto partido por su cateto adyacente

Cosecante de un ángulo es la hipotenusa partido por el cateto opuesto.

Secante de un ángulo es la hipotenusa dividida por el cateto adyacente.

Cotangente de un ángulo es el cateto adyacente partido por el cateto opuesto.

• Signos de las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera. Conocemos los signos de las distintas razones sin más que localizar el cuadrante en que de encuentra el ángulo.

Formación Abierta


• Relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo.

• Valores de las razones trigonométricas de los ángulos más usuales.

α Sen α Cos α Tg α Cosec α Sec α Cotg α

0º 0 / 2 1 0 1/0 1 1/0

30º 1/2 3 / 2 3 / 3 2 2 3 /3 3

45º 2 / 2 2 / 2 1 2 2 1

60º 3 / 2 1/2 3 2 3 /3 2 3 / 3

90º 1 0 1/0 1 1/0 0

180º 0 -1 0 1/0 -1 1/0

• Resolución de triángulos rectángulos. Teorema de Pitágoras. Aplicación de las razones trigonométricas.En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos.

Fórmula: a2 = b2 + c2

Cosec α =αsen

1 Cotg α =

αtg1

Sec α =αcos

1 Tg α =

αα

cossen

1 = sen2 α + cos2 α Cosec2α = 1+ cotg2α

Sec2α = 1 + tg2α

Matemáticas


• Resolución de triángulos cualesquiera. Teorema del seno y del coseno. Los lados de un triángulo cualquiera son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

Es decir:

senCsenBb

senA a c

==

El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de éstos por el coseno del ángulo que forman.

a2 = b2 + c2 – 2bc . cosA


NNÚÚMMEERROOSS CCOOMMPPLLEEJJOOSS

55

Matemáticas

Unidad 5. Números Complejos. 1


♦ INTRODUCCIÓN..........................................................................................4

5.1. Unidad imaginaria y números complejos ............................................5 5.1.1. La unidad imaginaria.........................................................................5 5.1.2. Números complejos ..........................................................................6 5.1.3. Representación gráfica de un número complejo...............................7

5.2. Formas de expresar un número complejo...........................................8 5.3. Números conjugados y opuestos de otro complejo ........................11 5.4. Potencias de la unidad imaginaria .....................................................13 5.5. Operaciones fundamentales con números complejos.....................14

5.5.1. Suma y resta ...................................................................................14 5.5.2. Producto..........................................................................................14 5.5.3. Cociente ..........................................................................................16 5.5.4. Potencia de un complejo.................................................................18 5.5.5. Raíz de un complejo .......................................................................19

♦ RESUMEN..................................................................................................21

Matemáticas


♦ OBJETIVOS

Los objetivos que debe alcanzar el alumno tras el estudio de la presente unidad didáctica son:

• Escribir un número complejo en todas las formas conocidas sabiendo pasar de una de ellas a otra cualquiera y representarlo en el plano.

• Realizar operaciones con números complejos expresando el resultado tanto en su forma binómica como en su forma polar.

• Calcular todas las raíces, tanto reales como complejas, de ecuaciones reales.

Formación Abierta


♦ INTRODUCCIÓN

Como ya vimos en la unidad didáctica 1, hay raíces de números reales que no se pueden calcular, que no existen en la recta real. Como ya se indicó para resolver esas raíces hemos de recurrir a otro tipo de números, los números complejos, que no pueden representarse sobre la recta real.

Los números complejos como veremos se representan sobre los ejes cartesianos, sobre el plano, luego nos servirán para indicar posiciones en el plano además de para resolver ecuaciones que no tengan solución en los números reales.

Aparecerán en problemas de física o electricidad, para calcular impedancias o con la corriente alterna.

Matemáticas


5.1. UNIDAD IMAGINARIA Y NÚMEROS COMPLEJOS

En el ámbito de los números reales hay ciertas operaciones que no tienen sentido, las raíces cuadradas de números negativos, y en general las raíces de índice par de cualquier real menor que cero.

Ejemplos:

9− , 3/4(-3) , log (-1)

Estos números suelen aparecer como soluciones a ecuaciones del tipo:

X2 + 1 = 0, donde obtenemos un valor para X = 1−± .

Para poder resolver este tipo de problemas hemos de ampliar el concepto de número a un conjunto más amplio que es el conjunto de los números complejos.

5.1.1. LA UNIDAD IMAGINARIA

En el caso de una raíz cuadrada de cualquier real negativo –a, actuaremos de la forma siguiente:

1- ×=− aa

La unidad imaginaria es i1 =− , la raíz de ( –1) la representaremos con la letra i, y cumple que i2 = -1, por tanto:

i ×=− aa

A partir de esta unidad imaginaria i vamos a entender el concepto de número complejo.

Formación Abierta


5.1.2. NÚMEROS COMPLEJOS

Un número complejo Z es un par ordenado de números reales (a,b) ∈ba, R. Donde los números a y b representan:

a= 1ª componente o componente real.

b= 2ª componente o componente imaginaria.

El número expresado en función de la unidad imaginaria, sería a + bi. Por lo tanto es fácil entender:

Z1= (a,0) es un número real.

Z2= (0,b) es un número imaginario puro.

Z3=(a,b) es un número complejo.

Z4=(0, 1) es la unidad imaginaria.

Resolver la ecuación x2 – 2x + 5 = 0.

Recordemos la fórmula general para solucionar una ecuación de 2º grado del tipo ax2 + bx + c = 0.

X tiene en general dos soluciones que vienen dadas por

aacbbx

242 −±−

=

Luego las soluciones a la ecuación planteada, serán:

( )iix 21

241

2161

251422 2

±=±=−

±=⋅⋅−−±

=

Matemáticas


Luego las soluciones son dos complejos 1 + 2i, 1 - 2i.

Estos números complejos se llaman conjugados, más adelante explicaremos más despacio este término.

5.1.3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN NÚMERO COMPLEJO

Un número complejo Z=(a,b) se representa por un punto del plano P=(a,b). Tomando como coordenadas la parte real y la parte imaginaria del número complejo. Este punto P del plano que representa al número complejo, se llama afijo del complejo.

El eje horizontal es el eje real. El eje vertical es el eje imaginario.

Z(a,b)

Im

Rea

b

Figura 5.1. Representación de un complejo en los ejes cartesianos

Formación Abierta


5.2. FORMAS DE EXPRESAR UN NÚMERO COMPLEJO

1. Forma vectorial o par ordenado Z=(a,b)

2. Forma binómica b·iaZ +=

3. Forma polar αrZ =

Para entender esta forma polar hemos de explicar los conceptos de módulo y argumento de un complejo.

El módulo de un número complejo Z es r y es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de la componente real y la componente imaginaria.

22 bar +=

El argumento del número complejo Z es α y es el ángulo que forma el número complejo Z con el eje real (en sentido

positivo). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

ab tgarc α

Z(a,b)

Im

Rea

b

0

r

α

Figura 5.2. Módulo y argumento de un número complejo

Matemáticas


4. Forma trigonométrica o módulo argumentalα )i·sen(cosrZ αα +×=

22 bar += abtgarcα =

Resolver la ecuación: x2 + 2x +4 = 0 y expresar las soluciones obtenidas de las cuatro formas explicadas.

Solución:

Por la fórmula de la ecuación de 2º grado.

2122

216 - 4 2 x −±

=±

=

i1212 =− = 2 i3

Luego las soluciones expresadas en forma binomial serán:

ii 3 -1 , 31+

Ya podemos expresar estas soluciones también en forma cartesiana.

(1, 3 ) , (1, - 3 )

Para pasar a la forma polar y la trigonométrica tendré que hallar el módulo y el argumento correspondientes a las dos soluciones. Tomamos la primera de ellas.

X1 = 1+ 3 i

Hallemos su módulo:

m1 = 2 )3( 1 22 =+

POLO

Resaltado

Formación Abierta


Y el argumento:

60º 13 tgarc 1 ==α

• Forma binómica 1+ 3 i

• Forma Polar 260º

• Forma trigonométrica 2 sen60º i cos60º ( +× )

Con la otra solución haga lo mismo, el módulo es el mismo y el argumento es 300º.

Se ve claramente que cambiar de forma cartesiana a binomial es inmediato. Igual que ocurre con la forma polar y la trigonométrica.

Matemáticas


5.3. NÚMEROS CONJUGADOS Y OPUESTOS DE OTRO COMPLEJO

Dado un complejo b·iaZ += , su conjugado ( Z ) tiene la misma parte real y opuesta la parte imaginaria. Fíjate, las dos soluciones del ejemplo anterior son conjugadas.

b·i-aZ =

El complejo opuesto de b·iaZ += es -Z y tiene opuestas las componentes real e imaginaria de Z.

b·i--aZ- =

a + bi

a - biconjugado

-a - biopuesto

Im

Re

Figura 5.3. Conjugado y opuesto de un complejo.

Como se ve en la figura y claramente se puede comprobar, el módulo de un complejo, de su conjugado y de su opuesto son iguales. El módulo es la longitud del vector que representa el complejo en el plano independientemente de su posición.

Encontrar dos números complejos conjugados, sabiendo que la suma de sus componentes reales es 10, y que la suma de sus módulos es 26.

Solución:

Formación Abierta


Por ser dos complejos conjugados los representamos a + bi, a- bi.

Si la suma de sus componentes reales es 10, a+a = 10, luego a = 5, la parte real es 5.

Dos números complejos tienen el mismo módulo, como hemos visto. Luego el módulo de cada uno será 13.

12144251692513 22222 =⇒=⇒+=⇒+=+= bbbbba .

Luego los números buscados son: 5 + 12i, 5 – 12i.

Matemáticas


5.4. POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA

Para elevar la unidad imaginaria a una potencia cualquiera basta con conocer el valor de las cuatro primeras potencias de la misma.

Como cualquier número, si lo elevo a cero, el resultado es uno, y para

resolver el resto de las potencias trabajaremos con 1−

1iii1i

1-ii

1i

4

3

2

1

0

=

−=

−=

==

=

Cuando el exponente es superior a 4 se divide éste entre 4, y se eleva i al resto de la división.

( ) ri·ii·iiii rc4r4cr4cn ==== +

Calcular 2336 ,ii .

36/4 =9 y el resto es cero, luego 1036 == ii

23/4 = 5 y el resto es 3, luego iii −== 323

Formación Abierta


5.5. OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NÚMEROS COMPLEJOS

5.5.1. SUMA Y RESTA

La suma (resta) de dos números complejos es otro número complejo, cuya parte real es la suma (diferencia) de las partes reales de los números dados y cuya parte imaginaria es la suma (diferencia) de las partes imaginarias de los números dados.

d)·i(b c)(ad·i)(cb·i)(aZZ 21 +++=+++=+

d)·i(bc)(ad·i)(cb·i)(aZZ 21 −+−=+−+=−

(3 + 5i) + (2 – 3 i) = (5 + 2i ).

(3 + 5i) - (2 – 3 i) = (1+ 8i ).

(2,-5) + (-6,1) = (-4,-4)

(2,-5) - (-6,1) = (8,-6)

Para sumar y restar números complejos es necesario representarlos en forma binomial o cartesiana.

5.5.2. PRODUCTO

El producto de complejos es una operación que se hace de distinto modo dependiendo de la forma en que esté representado el complejo.

Forma binómica

Se aplica la propiedad distributiva:

ad)·i(bcbd)(ac bdi ibc iad ac d·i)b·i)·(c(a·ZZ 221 ++−=+++=++=

Matemáticas


Es inmediato pasar a forma cartesiana.

Calcular (2 + 3i)(3 + 3i).

Aplicando directamente la fórmula anterior obtenida de aplicar la propiedad distributiva

= (6 –9) + (9 + 6)i = -3 + 15i

Forma polar

Es muy sencillo y rápido, no hay más que multiplicar los módulos y sumar los argumentos:

( )ββα α212121 ·rr)·(r)(r·ZZ ==

Es también inmediato pasar a expresar este resultado en forma trigonométrica, pero hagamos el desarrollo a partir de los complejos expresados de esta forma para comprobarlo.

Forma trigonométrica

Se aplica la distributiva y las fórmulas trigonométricas de la adición de ángulos. (Ver en el tema 2).

Z1 = r1 (cosα + i senα )

Z2 = r2 (cosβ + i senβ)

Z1Z2 = r1 r2 (cosα + i senα) (cosβ + i senβ) =

r1 r2 [ cosα cosβ + i2 senα senβ + i ( senα cosβ + cosα senβ) ]

Y aplicando las fórmulas trigonométricas queda

Z1Z2 = r1 r2 [ ])sen( i )( cos βαβα +++

Formación Abierta


Z1 = 260º

Z2 = 330º.

Z1Z2 = 690º = 6 (cos90º + i sen90º)

Resulta más rápido y sencillo hacer las operaciones con complejos en forma polar y expresar el resultado en forma trigonométrica si así nos interesa.

A partir de ahora, si hemos de elegir entre forma polar y trigonométrica, por comodidad y sencillez, operaremos siempre en forma polar.

Producto de un número real por un número complejo

∈k R

K·b·iK·ab·i)k·(ak·Z1 +=+=

Si pensamos en la forma polar, el módulo quedaría multiplicado por el número real y el argumento no cambiaría.

( )αα kr k.r =

Ejemplo: ( ) ( )6,16616382 −=−=−⋅ ii

En forma polar: º30º30 1243 =⋅

5.5.3. COCIENTE

Igual que el producto, el cociente de números complejos se expresa en función de la forma en que vengan representados los mismos.

Matemáticas


Forma binomial

22222

1

dcbc)·iad(bd)(ac

dcbc)·iad(bd)(ac

d·i)d·i)·(c(cd·i)b·i)·(c(a

d·icb·ia

ZZ

++−++

=+

+−++=

−+−+

=++

=

Z1 = 1 + 3i

Z2 = 3 – 4i

2513i 15

4·i33·i1

ZZ

2

1 +=

++

=

Forma polar

ββ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

α2

1

2

α1

2

1

rr

)(r)(r

ZZ

Z1 = 260º

Z2 = 330º.

30ºº30º602

1 0,66 32 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−ZZ

El inverso de un número complejo es un caso particular de la división donde el numerador o dividendo es el número real 1, y el denominador o divisor es el número complejo de que se trate.

·iba

bba

abab·i)1·(a

b·ia1

Z1

222222 +−

+=

+−

=+

=

Ejemplo

( ) iii 25

3254

34341

341

22 +=++⋅

=−

Formación Abierta


5.5.4. POTENCIA DE UN COMPLEJO

Forma binomial

Se aplica la fórmula del binomio de Newton que recordamos a continuación, ya aplicada a calcular el cuadrado de un número complejo.

2a·b·i)b(a2·a·b·iba2a·b·i(b·i)ab·i)(aZ 222222221 +−=++=++=+=

Calcular ( ) iii 1259322432 2 +−=−⋅⋅+=+ .

Si me pidieran hallar ( )332 i+ , podría hacerlo

como ( ) ( )ii 3232 2 ++

Forma polar

El resultado de elevar un complejo a una potencia n es un nº complejo que tiene como módulo el del complejo de la base elevado a la potencia y como argumento el del complejo de la base multiplicado por la potencia.

( ) ( ) n

nnr αα r =

Hallar (2 +3i)2

Visto el resultado obtenido del binomio de Newton:

(2 +3i)2 = (4 – 9) + 12i = -5 + 12i

Hallar ( )3305 = 12590

Matemáticas


5.5.5. RAÍZ DE UN COMPLEJO

La raíz n-ésima de un número complejo z, es otro número complejo r que elevado a la potencia n coincide con z.

z r z r n n =⇔=

Forma polar

Aprenderemos a hacer raíces de un complejo cuando está expresado en forma polar, si nos los dan de cualquier otra forma, tendremos que pasarlo a forma polar para hacer la raíz.

El módulo de r será la raíz enésima del módulo de Z. Su argumento es

nk360α °+

, siendo α el argumento de Z.

Resolver la ecuación 0 243 6 =+x

Solución:

Despejando x, resulta 6 243- =x , -243 es un número real negativo del que no podemos hallar una raíz de índice par en los reales. Tendremos que expresarlo como un número complejo para poder resolver la ecuación.

-243 = -243 + 0i en forma binomial, tendremos que ponerlo en forma polar.

Módulo: ( ) 243 0 243- 22=+=m

Argumento: ( )0 tgarc 243-0 tgarc =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=α

El ángulo cuya tangente vale cero puede ser oº ó 180º, para averiguarlo representaremos gráficamente el complejo y nos damos cuenta que su afijo, el punto que lo representa, se encuentra en el 2º cuadrante, luego el ángulo que le corresponde es 180º.

Formación Abierta


Luego lo que tenemos es 6180º243- =x . Entonces,

Módulo de x = 6 243 = 3

Argumento de x = n

k360α °+6

k 30º 6

2k 180º ∏+=∏+

= . Con K =

1,2,3,...

Entonces para:

k = o 30º3 x =⇒

k = 1 90º3 x =⇒

k = 2 150º3 x =⇒

Luego tendremos infinitas soluciones todas con el mismo módulo y

argumentos que difieren entre sí 60º = 3∏

rad.

Matemáticas


♦ RESUMEN

• La unidad imaginaria i es la raíz cuadrada de –1, 1- =i . Nos sirve para definir el concepto de número complejo como un par de números reales ordenados (a,b) que representan el binomio a + bi.

• Los números complejos podemos representarlos gráficamente en el plano

y a partir de ahí definir su módulo y su argumento. Módulo 22 bar += y

argumento ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

ab tgarc α .

• Estos dos conceptos nos permitirán expresar cualquier número complejo en forma polar αrZ = y trigonométrica )i·sen(cosrZ αα +×= .

• Hemos de saber calcular las cuatro potencias fundamentales de la unidad imaginaria y saber lo que es el conjugado y el opuesto de un complejo.

• Operaciones con complejos: Suma, diferencia, multiplicación, división, potencia y raíz.


FFUUNNCCIIÓÓNN RREEAALL DDEE VVAARRIIAABBLLEE RREEAALL..

LLÍÍMMIITTEESS YY CCOONNTTIINNUUIIDDAADD

66

Matemáticas

Unidad 6. Función Real de Variable Real 1


♦ INTRODUCCIÓN..........................................................................................4

6.1. Función y dominio .................................................................................5 6.2. Gráfica de una función ..........................................................................8

6.2.1. Dominios y gráficas de funciones elementales .................................9 6.3. Límites...................................................................................................15

6.3.1. Definición ........................................................................................15 6.3.2. Límites laterales ..............................................................................16 6.3.3. Límites infinitos ...............................................................................17 6.3.4. Propiedades de los límites ..............................................................19 6.3.5. Indeterminaciones...........................................................................20

6.4. Continuidad de una función................................................................22 6.4.1. Propiedades ....................................................................................24 6.4.2. Discontinuidad.................................................................................25

♦ RESUMEN..................................................................................................27

Matemáticas


♦ OBJETIVOS

Tras el estudio de la presente unidad didáctica el alumno debe ser capaz de:

• Hallar el dominio de cualquier función a partir de su expresión algebraica.

• Representar funciones elementales partiendo de su expresión algebraica.

• Conocer el concepto de límite de una función. Límites laterales y propiedades de los límites.

• Saber calcular límites de expresiones funcionales sencillas, identificar las indeterminaciones y saber qué herramientas usar para evitarlas.

• Conocer el concepto de continuidad de una función, saber estudiarla y distinguir las discontinuidades evitables de las inevitables.

Formación Abierta


♦ INTRODUCCIÓN

Los distintos objetos y fenómenos que observamos en la naturaleza están relacionados unos con otros en la mayoría de los casos, son interdependientes.

Algunas de estas relaciones no son perfectas, no se rigen por una fórmula, por ejemplo, la altura y el peso de una persona son dos medidas, dos variables que están relacionadas, pero sin embargo conociendo la altura de una persona no puedo conocer su peso, ni a la inversa.

En otras ocasiones, esa relación se puede expresar con una expresión algebraica o fórmula que nos permite asegurar cual es el valor de una de las variables conociendo la otra. Por ejemplo, la relación entre la longitud del lado de un cuadrado, L, y su área, A, se expresa como A=L2. Conociendo el lado tenemos perfectamente determinada el área del cuadrado.

El ser humano conoce desde hace tiempo muchas de estas relaciones, en los fenómenos físicos, por ejemplo, la velocidad a la que cae un móvil sabiendo la altura a la que se encuentra cuando empieza su caída.

Correspondencias de este estilo dieron origen al concepto de función, que en esencia es una fórmula algebraica que relaciona los valores de algunas variables, dándonos un medio para obtener el valor de una de ellas conociendo el valor de la otra.

En esta unidad y en algunas de las siguientes se estudiarán las funciones y sus propiedades.

Matemáticas


6.1. FUNCIÓN Y DOMINIO

Decimos que una cantidad Y, es función de otra cantidad X, si el valor de Y queda determinado por el valor que tome X. Si denotamos f a la función, la dependencia entre Y y X se expresa con la fórmula ( )xfy = .

El espacio recorrido Y por un móvil que circula a una velocidad constante V= 65 km/h, se puede expresar en función del tiempo transcurrido X a través de la función Y=65X.

Y es la variable dependiente o valor de la función.

X es la variable independiente o argumento de la función.

Si ambas variables son números reales, tendremos una función real de variable real.

Se llama función real de variable real a cualquier aplicación ℜ→Df : , siendo D un subconjunto de los reales, ℜ⊆D .

Al conjunto ( ){ }xfxD ∃ℜ∈= se denomina dominio de la

función.

El dominio de una función es el conjunto de valores reales para los que existe la función, a los que se puede aplicar la función.

El rango de una función es el conjunto de valores que la función asocia al dominio.

La función ( ) 2xxf = tiene como dominio todos los números reales, y como rango los reales no negativos.

Es una función que existe, que está bien definida para todos los reales y la imagen de cualquier número real será siempre otro real pero positivo salvo para el cero que la imagen será cero.

POLO

Resaltado

Formación Abierta


El dominio pueden especificarlo con la función o, como pasa en general hemos de saber hallarlo partiendo de la expresión algebraica de la función.

Así, los casos más comunes son:

Dominio de una función racional: ( )( )xgxf

Esta función existirá para cualquier valor del numerador y denominador salvo para aquellos valores de x que anulen el denominador.

Luego el dominio serán todos los reales salvo los que hagan cero el denominador.

Sea la función ( )4x4x3

x2xf 2 −−−

= , es una función

racional, luego el dominio será el conjunto de todos los reales salvo las raíces del denominador.

Si solucionamos la ecuación de segundo grado

04x4x3 2 =−− obtenemos dos soluciones 32x,2x ==

luego el dominio lo expresaremos como:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ℜ=

322,-D

Esta notación entre llaves incluye solamente los números especificados, no intervalos de números reales que se expresan entre paréntesis o corchetes.

Otro caso bastante frecuente es el de las funciones irracionales.

Dominio de una función irracional ( )n xfy =

En este caso, el dominio depende del valor del índice de la raíz. Si n es impar, raíz cúbica por ejemplo, la función existe en todos los puntos del dominio de f(x). Sin embargo si es una raíz de índice par, solamente existe para aquellos valores en los que f(x) 0≥ .

Matemáticas


Sea 4 2 4x4x3)x(f −−= , por ser una raíz de índice par solo existe para los valores de x que hagan al polinomio positivo o nulo. Hallamos sus raíces y estudiamos en que intervalo se cumple esta condición.

[ )+∞∪⎥⎦⎤

⎜⎝⎛ −∞−= ,2

32,D

Veamos también el caso de las funciones logarítmicas.

Dominio de log f(x) y ln f(x)

Como se vio en la unidad de los números matemáticos, tanto los logaritmos decimales como los neperianos tienen por base un número positivo, luego existirán para los valores de x que hagan f(x)>0.

En esa misma unidad también se indicó que cualquier número elevado a ∞− es igual a cero, luego el logaritmo de cero en cualquier base es igual a ∞− que no se considera número real. Por lo tanto, no son del dominio los

puntos donde f(x)=0.

Y= ln (x-1)

Los valores que hacen x-1>0, son el dominio de la función.

( )+∞= ,1D

Y por último, las funciones exponenciales.

Dominio de ( ) ( ) ℜ∈a con a ,e xfxf

La función exponencial existe para cualquier valor del exponente, luego estas funciones existirán para todos los puntos del dominio de f(x). El dominio de una función exponencial coincide con el dominio de su exponente.

Formación Abierta


6.2. GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

Las funciones reales de variable real se representan en los ejes de coordenadas cartesianos. Los valores de x sobre el eje de abscisas y los de y sobre el de ordenadas.

Se llama gráfica de una función y = f(x) cuyo dominio es D, al conjunto de puntos del plano de la forma (x, f(x)) con ℜ∈x .

Uno de los objetivos de este tema es saber representar gráficamente las funciones. Veamos unos ejemplos. Las rectas en el plano, las funciones más sencillas, se vieron en una unidad anterior.

Gráfica de la función 3 xy = , cuyo dominio son todos los reales.

3 xy =

x

y

1

1

-1

-1

También es interesante aprender a representar funciones afectadas por el valor absoluto. Hemos de escribir su valor expresado sin las barras del valor absoluto, siempre se obtendrá una función definida de forma diferente según el intervalo.

Matemáticas


Función xy =

Escrita sin la expresión del valor absoluto es:

⎩⎨⎧

<≥

=0 xsix -0 xsi x

y

Luego es la representación de dos rectas.

xy =

x

y

1

1

-1

6.2.1. DOMINIOS Y GRÁFICAS DE FUNCIONES ELEMENTALES

Ya conocemos el concepto de dominio de una función y hemos aprendido a calcularlo en las funciones más comunes. A continuación vamos a hacer un pequeño recordatorio de los dominios de ciertas funciones, completado con las gráficas de algunas de ellas.

Función potencial

Es de la forma αxy = con ℜ∈α . Su gráfica y dominio dependen de α .

Formación Abierta


Función polinómica

Es de la forma nnxaxaxaay ++++= ...2

210 con ℜ∈ia . Su dominio son

todos los números reales. La gráfica es una recta si el polinomio es de grado menor o igual que 1 y una parábola de eje vertical si el polinomio es de grado 2.

2 3-2-3

y

x

4

9 2xy =

Función racional

Es de la forma )()(

xQxPy = siendo P(x) y Q(x) polinomios. El dominio son todos

los números reales excepto las raíces del polinomio Q (x).

Función irracional

Es de la forma nxQxPy)()(

= siendo P(x) y Q(x) polinomios y n un número

natural. Su dominio depende de si n es par o impar; en el caso de que n sea impar son todos los números reales excepto las raíces de Q(x), si n es par

son todos los números reales tales que )()(

xQxP

exista y tome valores no

negativos.

Matemáticas


Función exponencial

Es de la forma xay = con ℜ∈a y a > 0. Su dominio son todos los números reales.

y

1

a > 1

x

y

1

a < 1

xay =

La función exponencial más utilizada es xey = .

Función logarítmica

Es la función inversa a la exponencial, se denota xy alog= con ℜ∈a y a >

0. Su dominio son todos los números reales positivos.

x

y

1

a < 1

xy alog=

x

y

a > 1

1

xy alog=

La función logarítmica más utilizada es xy ln= que es la función inversa de xey = .

Formación Abierta


Funciones trigonométricas

• senxy =

Su dominio es ℜ y está acotada.

0

0

-1

0

1

Y

πX

π22π

23π

4π0

senxy =

• xy cos=

Su dominio es ℜ y está acotada.

0

Y

πX

π22π

23π

4π0

xy cos=

Matemáticas


• tgxy =

Su dominio son todos los números reales excepto los que anulan el coseno,

es decir, }Ζ∈⎩⎨⎧

⋅+−ℜ kk2

)12( π y no está acotada.

Y

X2π

23ππ

2π−

π−23π−

0

Funciones inversas de las funciones trigonométricas.

Las funciones trigonométricas son biyectivas si se consideran definidas en un subconjunto de su dominio. Por ejemplo, la función seno es biyectiva en

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

2,

2ππ

, la función coseno en [ ]π,0 y la función tangente en ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

2,

2ππ

.

• arcsenxy = se define en [ ]1,1− y toma valores en ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

2,

2ππ

Formación Abierta


x

y

1-1

2π

2π−

• xy arccos= se define en [ ]1,1− y toma valores en [ ]π,0

y

x1

2π

π

-1

• arctgxy = se define en ℜ y toma valores en ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

2,

2ππ

x

y

2π

2π−

Matemáticas


6.3. LÍMITES

Es éste un concepto muy importante en el estudio de las funciones.

6.3.1. DEFINICIÓN

Si f(x) es una función, se dice que L)x(flim ax =→ si el valor de f(x) se

aproxima mucho a L, cuando x se aproxima mucho a “a”. Por ejemplo, 9xlim 2

3x =→ , ya que 2x se aproxima mucho a 9 cuando x se aproxima

mucho a 3.

Decimos que el límite de una función f(x) es L, cuando x se aproxima a “a” y se denota L)x(flim ax =→ , si y solo si, para

cualquier nº 0un existe queramos, como pequeño tan 0, >δ>ε ,

que cumple que 0< δ<− ax , entonces ( ) ε<− Lxf .

“a” puede no pertenecer al dominio de f(x).

Veámoslo representado en una figura.

δ+aδ−a

x

a

(i)

ε+Lε−L

)(xf

L

(ii)

Calcular 2x4xlim

2

2x −−

→

Esta función en principio no existe para x=2, no es un punto de su dominio ya que anula al denominador, pero intentemos simplificarla

( ) ( ) 42x2x

2x2x2x4x 2x

2

⎯⎯→⎯+=−

+⋅−=

−− →

Luego 42x4xlim

2

2x =−−

→

Formación Abierta


6.3.2. LÍMITES LATERALES

En la recta real, si decimos que x se aproxima a “a”, ax → , no especificamos si se acerca por la derecha, o sea, por valores mayores que a, o por la izquierda por valores menores que a. En el concepto de límite lateral tiene cabida esta distinción.

Límite lateral derecho, o límite por la derecha de f(x) cuando ax → , es el valor del límite de la función teniendo en cuenta

que nos aproximamos a “a” por valores mayores que “a”.

Se denota ).x(flimax +→

Límite lateral izquierdo o límite por la izquierda es exactamente lo mismo pero aproximándonos por valores más pequeños que a.

Se denota ).x(flimax −→

Los límites laterales se tienen que calcular cuando la función esta definida solamente en un intervalo a la derecha de a, o en un intervalo a la izquierda de a.

Si ( ) xxf = , entonces f está definida solo a la derecha de cero, para valores mayores que cero, luego en este caso solamente podremos hallar el límite lateral derecho que vale cero.

En este caso el límite coincide con el límite lateral.

0xlimxlim0x0x == +→→

En otras funciones, definidas a ambos lados del número “a”, se pueden calcular ambos límites laterales. Se deben calcular cuando se sospecha que el valor del límite puede variar dependiendo de que nos acerquemos al punto por la derecha o la izquierda. En este caso, para poder decir que existe el límite es necesario que existan ambos límites laterales y que además coincidan. Ese valor de coincidencia será el valor del límite.

Matemáticas


Calcular xlim 0x→ . Por la definición de esta función, antes

representada, sabemos que no se expresa de la misma forma para los valores mayores que 0, a la derecha de 0 o para los menores que 0, a la izquierda de 0.

⎩⎨⎧

<≥

=0 xsix -0 xsi x

)x(f

Para hallar el límite que nos piden tendremos que calcular los dos laterales y comprobar que coinciden.

En este ejemplo, es sencillo ver que así sucede y que

0xlimxlimxlim0x0x0x === −+ →→→

Hay otras funciones que por su propia definición está claro que en algunos puntos hay que hallar límites laterales. Son las funciones definidas de distinto modo para distintos intervalos de los reales. Por ejemplo:

( ) ( )[ )⎩

⎨⎧

+∞∈+∞−∈−

=,12

1,12 xx

xxxf

Para calcular ( )xfx 1lim → , tendremos que calcular límites laterales.

( ) ( )( ) ( ) 32limlim

01limlim2

11

11

=+=

=−=

→→

→→

+

−

xxf

xxf

xx

xx

Como los límites laterales no coinciden, el límite buscado no existe.

6.3.3. LÍMITES INFINITOS

No todos los límites son números reales, ni todos los límites existen o podemos determinar su valor.

A veces el resultado de un límite es el valor ∞+ o ∞− .Lo que indica que la función no está acotada, crece o decrece sin límite. Es decir si

+∞=→ )x(flim ax significa que cuando x se acerca a “a”, f(x) se hace

infinitamente grande y positiva. Análogamente con ∞− .

Formación Abierta


Con los límites laterales puede pasar lo mismo, por supuesto.

+∞== +→ 01

x1lim 20x

( )+∞=

−=

−−

+→ 01

1x1lim 21x

+∞==+

+→ 03

x3xlim 20x

( )+∞=−+∞=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

−→ 1

54x

1x3lim 21x

En estos ejemplos con la simbología 0+, indicamos que se llega al valor cero pero siempre a través de valores positivos. Vamos a ver un ejemplo donde este matiz es algo fundamental para el resultado.

x1lim ox→ Vamos a ver como en esta función hace falta hallar

los límites laterales.

−∞==

+∞==

−→

+→

−

+

01

x1lim

01

x1lim

ox

ox

Los límites laterales no coinciden, la función crece indefinidamente si me acerco a 0 por la derecha y decrece infinitamente si es por la izquierda.

Evidentemente el límite que se está buscando no existe.

Ocurre lo mismo al calcular xx e

1

0lim → , si se calcula el límite

lateral derecho el resultado es +∞=+∞e y sin embargo el

izquierdo vale 01== ∞

∞−

ee . Los límites laterales no

coinciden, luego el límite de la función cuando x se acerca a cero no existe

Matemáticas


Además también podemos intentar saber qué pasa con la función cuando x se aproxima a los infinitos de la recta real. Los conceptos de límite mencionados pueden extenderse de forma obvia al caso en que la variable tiende a ∞+ o ∞− , expresándose L)x(flimx =+∞→ o L)x(flimx =−∞→ .

Veamos algunos ejemplos.

1032

32lim

2

<=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+∞

−∞→ 32 que ya

x

x

+∞===⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∞+∞−

−∞→ 0101lim

3

2

x

x x

+∞==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∞+

−∞

−∞→ 221

21lim

x

x

6.3.4. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

• Límite de una función constante: Si f(x)=c, una constante, entonces cxfax =→ )(lim .

Para los siguientes cinco teoremas, se asume que Axfax =→ )(lim y Bxgax =→ )(lim .

• Límite del producto de una constante por una función: cAxfcxfc axax =⋅=⋅ →→ )(lim)(lim .

• Límite de la suma de dos funciones: [ ] BAxgxfxgxf axaxax ±=±=± →→→ )(lim)(lim)()(lim .

• Límite del producto de dos funciones: [ ] BAxgxfxgxf axaxax ⋅=⋅=⋅ →→→ )(lim)(lim)()(lim .

Formación Abierta


• Límite del cociente de dos funciones:

0. B ≠==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

→

→→ si

BA

xgxf

xgxf

ax

axax ,

)(lim)(lim

)()(lim

• Límite de la raíz de una función:

definida está A nsiAxfxf nnax

nax ,)(lim)(lim == →→ .

6.3.5. INDETERMINACIONES

Existen casos en los que no se puede asegurar a priori el valor del límite de una operación con funciones. Estas situaciones se conocen con el nombre de indeterminaciones y representadas simbólicamente son:

∞+ ∞− ; ∞⋅0 ; 00

; ∞∞

; ∞0 ; 0∞ y ∞1

1.- 2

0 04 2 4

1 3 1 3lim limx xx

x x x→ →

−⎛ ⎞− = ∞ −∞ = = +∞⎜ ⎟⎝ ⎠

La indeterminación ∞+ ∞− se elimina realizando la diferencia.

2.-

( ) ( ) ( )2 22 2

2

2 2

1 1 1 1lim 1 lim lim 01 1

x x x

x x x x x xx xx x x x

→−∞ →−∞ →−∞

+ + ⋅ + − + −+ + = ∞ −∞ = = = =

+∞+ − + −En este caso la indeterminación ∞+ ∞− se elimina multiplicando y dividiendo por el conjugado de la expresión.

3.- ( )

( )( )3 33 2

4 4 4lim 3 0 ( ) lim03 3

x xxx x

→ →

− −− = −∞ = = = −∞

− −

Esta indeterminación 0⋅∞ se resuelve simplificando 3-x, simplificación válida pues 3-x es no nulo dado que x se acerca a 3 pero no toma dicho valor.

4.- 333

31lim33

33lim 21

2

1 =+−

=+−

−−

−

+∞→−−

−

+∞→ x

x

xxx

xx

x

El primer paso consiste en dividir el numerador y el denominador por 3x , en el segundo se ha tenido en cuenta que 03lim 2 =−

+∞→x

x

Matemáticas


5.- 2 3

3

3

1 11 0lim lim 011 3 33

x xx x x

xx

→+∞ →+∞

−− ∞= = = =

− −∞ −−

Esta indeterminación ∞∞

se resuelve dividiendo numerador y denominador

por x3 que es la mayor potencia de x que aparece.

6.- 3 3

2 2

3

1lim lim lim 1 11 1x t tx t

x tt t

→−∞ →+∞ →+∞

− −= = = −∞

− − −

Se ha realizado el cambio de variable xt −= .

7.- 23

84

31

lim84

31lim3

2

3 3=

−

−=

−

−−∞→−∞→

x

xxx

xxx

En este caso la indeterminación se resuelve dividiendo numerador y denominador por x.

8.- [ ]1)()(lim)( 1)(lim −∞∞→

∞→⇔= xfxgxgx

xexf

+∞====⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++ ∞+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++

−∞→

−∞→−∞→

eeex

x xx

xxxx

x

xx 232lim1

2312lim 22

2

2312lim

Formación Abierta


6.4. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

La idea intuitiva de continuidad de una función es algo muy sencillo, una función es continua cuando al dibujar su gráfica no tengo que levantar el lápiz del papel. La línea de la gráfica no tiene cortes o saltos.

Las funciones que verifican que a variaciones infinitesimales de la variable independiente corresponden variaciones infinitesimales de la variable dependiente, son las funciones continuas.

Para expresar este concepto de forma matemática veremos la siguiente definición.

Una función se define como continua en a si existe la imagen de a, existe el límite de la función cuando ax → , y ambos valores coinciden.

f es continua en a⇔

( )( )

( ) ( )x a

x a

,

lim ,

lim

f a

f x

f a f x→

→

⎧∃⎪⎪∃⎨⎪ =⎪⎩

La primera condición, la existencia de imagen, implica que una función solo puede ser continua en los puntos de su dominio. Da ∈ .

Por ejemplo, f(x)=x2+1 es una función continua en x=2, es muy fácil de comprobar. La comprobación queda para el alumno.

Estudiar la continuidad de la siguiente función

( )2x

1xf−

= en el punto x=2.

Se tienen que comprobar las condiciones de la definición.

En este caso, D2∉ , la función no está definida en el punto 2, y

+∞=−

+→ 2x1lim 2x

, −∞=−

−→ 2x1lim 2x

, luego no existe el límite. La

función no es continua en el punto 2. Vamos a ver la representación gráfica.

Matemáticas


y

x0

2

• Se dice que una función f(x) es continua en un conjunto A si es continua para todos los puntos de A.

• Se dice que una función f(x) es continua si es continua para todos los

reales, si es continua ℜ∈∀x .

Hay funciones definidas por intervalos, como si dijéramos por “trozos”, para ver si estas funciones son continuas o no, se tendrá que estudiar cada una de las funciones en el intervalo que estén definidas y luego ver la continuidad en el punto donde se unen esos intervalos. Veámoslo en un ejemplo.

Dada ( )⎩⎨⎧

≥+<+

=0 xsi3x0 x22 six

xf

Las dos funciones son polinomios, luego son continuas en los intervalos en los que están definidas. Hay que estudiar entonces la continuidad en el punto x=0, que es donde puede haber problemas, para calcular el límite de la función tendremos que calcular límites laterales, puesto que la función se define de distinta manera a la derecha y a la izquierda del punto cero.

Calculando los límites laterales, se ve que por la izquierda el límite es 2, y por la derecha es 3, f(0)=3, luego no hay coincidencia, la función no es continua en x=0.

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6.4.1. PROPIEDADES

Hay numerosas propiedades que cumplen las funciones continuas y muchos teoremas y resultados matemáticos válidos para funciones continuas. En esta unidad nos limitaremos a ver los más sencillos y de más inmediata aplicación.

1. Si f(x) y g(x) son continuas en “a” la función f+g es también continua en “a”.La suma de funciones continuas es una función continua.

2. Si f(x) y g(x) son continuas en “a” la función f·g es también continua en “a”.El producto de funciones continuas es una función continua.

3. Si f(x) y g(x) son continuas en “a” la función f/g es también continua en “a”salvo para los puntos que hacen g(x)=0. El cociente de funciones continuas es una función continua salvo para los puntos que anulan la función que esté en el denominador.

4. Sea f(x) una función continua en “a”, n xf )( es continua en “a”

siempre que esté definida. La raíz de índice n de una función continua es continua siempre que esté definida.

En particular, todos los polinomios son funciones continuas para cualquier ℜ∈x , luego cualquier suma o producto de polinomios será una función

continua, y el cociente de polinomios es una función continua salvo en las raíces del denominador.

Estudiar la continuidad de ( ) 12

1 23 +++−

= xxx

xf

Esta función es suma de un polinomio, función continua para todos los reales, y un cociente. Para estudiar la continuidad de la función suma es suficiente con examinar la función cociente. Como se ha visto antes no es continua en x=2, luego la función suma es continua para todos los reales salvo para x=2.

Matemáticas


6.4.2. DISCONTINUIDAD

Se dice que f(x) es discontinua en un punto “a”, cuando no es continua en dicho punto.

Se dice que f(x) es discontinua evitable en “a” si existe )(lim xfax→ y se dice discontinua inevitable si no existe

)(lim xfax→ .

Si la función es discontinua porque no existe la imagen del punto, pero si existe el límite de la función al acercarse al punto la discontinuidad se dice evitable porque siempre se puede definir la imagen del punto como el valor del límite.

La función ( )112

−−

=xxxf es discontinua evitable en x=1, ya

que no existe f(1), pero 211lim

2

1 =−−

→ xx

x , para evitar la

discontinuidad se redefine la función de la siguiente forma:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠−−

=1 xsi 2

1 xsi 11

)(2

xx

xf

Cuando se estudia la continuidad de una función y se ven los puntos de discontinuidad es conveniente clasificar también el tipo de discontinuidad, evitable o inevitable, así el estudio será más completo.

Matemáticas


♦ RESUMEN

• Se llama función real de variable real a cualquier aplicación ℜ→Df : ,

siendo D un subconjunto de los reales, ℜ⊆D .

• Al conjunto ( ){ }xfxD ∃ℜ∈= se denomina dominio de la función. Es el

conjunto de los puntos para los que existe la función.

• Para hallar el dominio de cualquier función hay que tener en cuenta los casos estudiados, raíces de índice par que solo existen cuando el radicando es cero o mayor que cero, cocientes que no existen para los puntos que anulan el denominador y logaritmos decimales o neperianos que existen solo para valores positivos.

• El rango de una función es el conjunto de valores que la función asocia al dominio.

• Se llama gráfica de una función y = f(x) cuyo dominio es D, al conjunto de puntos del plano de la forma (x, f(x)) con ℜ∈x .

• Decimos que el límite de una función f(x) es L, cuando x se aproxima a “a” y se denota L)x(flim ax =→ , si y solo si, para cualquier nº

0un existe queramos, como pequeño tan 0, >δ>ε , que cumple que

0< δ<− ax , entonces ( ) ε<− Lxf . El punto “a” puede no pertenecer al

dominio de la función.

• Los límites laterales son los límites que hallamos teniendo en cuenta si nos acercamos al punto “a”, por la derecha o por la izquierda, por números más grandes o más pequeños. Para que exista el límite de una función en un punto es necesario que existan los dos límites laterales y que ambos coincidan.

Formación Abierta


• Al calcular límites de funciones pueden aparecer indeterminaciones, hemos aprendido a evitar algunas de ellas manipulando la función, simplificándola, multiplicado por el conjugado del denominador...

• Una función se define como continua en a si existe la imagen de a, existe el límite de la función cuando ax → , y ambos valores coinciden.

f es continua en a⇔( )

( )( ) ( )

x a

x a

,

lim ,

lim

f a

f x

f a f x→

→

⎧∃⎪⎪ ∃⎨⎪ =⎪⎩

• Hay bastantes propiedades y teoremas que verifican las funciones continuas, en esta unidad solamente se han visto los de más inmediata aplicación.

Si f(x) y g(x) son continuas en “a” la función f+g es también continua en “a”.La suma de funciones continuas es una función continua.

Si f(x) y g(x) son continuas en “a” la función f·g es también continua en “a”.El producto de funciones continuas es una función continua.

Si f(x) y g(x) son continuas en “a” la función f/g es también continua en “a”salvo para los puntos que hacen g(x)=0. El cociente de funciones continuas es una función continua salvo para los puntos que anulan la función que esté en el denominador.

Sea f(x) una función continua en “a”, n xf )( es continua en “a”

siempre que esté definida. La raíz de índice n de una función continua es continua siempre que esté definida.

• Cuando una función no es continua en un punto se dice que es discontinua, dentro de las discontinuidades distinguimos las evitables de las inevitables. Las discontinuidades evitables son aquellas en las que no existe la imagen del punto pero si el límite en el punto, y se puede redefinir la función dándole a la imagen el valor del límite.


DDEERRIIVVAADDAASS DDEE FFUUNNCCIIOONNEESS

77

Matemáticas

Unidad 7. Derivadas de funciones. 1


♦ INTRODUCCIÓN..........................................................................................4

7.1. Concepto de derivada............................................................................5 7.1.1. Definición ..........................................................................................5 7.1.2. Interpretación geométrica de la derivada..........................................6 7.1.3. Derivabilidad y continuidad ...............................................................7

7.2. Cálculo de funciones derivadas ...........................................................9 7.2.1. Derivadas de las funciones elementales...........................................9 7.2.2. Composición de funciones derivables. La regla de la cadena. .......10 7.2.3. Derivada de una funcion potencial- exponencial ............................13 7.2.4. Derivadas sucesivas .......................................................................14

7.3. Funciones crecientes y decrecientes ................................................16 7.3.1. Definiciones.....................................................................................16 7.3.2. Crecimiento y derivada de la función ..............................................17

7.4. Máximos y mínimos de las funciones................................................20 7.4.1. Definiciones.....................................................................................20 7.4.2. Caracterización de máximos y mínimos..........................................21 7.4.3. Aplicaciones a problemas ...............................................................22

7.5. Curvatura y puntos de inflexión .........................................................25 7.5.1. Caracterización de concavidad y convexidad .................................25 7.5.2. Puntos de inflexión..........................................................................26

♦ RESUMEN..................................................................................................29

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♦ OBJETIVOS

El alumno debe ser capaz de alcanzar los objetivos siguientes:

• Saber derivar las funciones elementales. Entender la interpretación geométrica de la derivada.

• Obtener la derivada de una función definida como combinación lineal, producto o cociente de funciones elementales.

• Aplicar la regla de la cadena para la obtención de la derivada de una función compuesta por dos funciones elementales.

• Obtener la función derivada de una función de tipo potencial- exponencial.

• Estudiar los intervalos de monotonía de una función, determinar sus máximos y mínimos usando la primera y segunda derivadas.

• Estudiar el tipo de curvatura de una función y determinar sus puntos de inflexión mediante las derivadas primera y segunda.

• Aplicar el cálculo de máximos y mínimos de una función a la resolución de problemas de optimización.

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♦ INTRODUCCIÓN

En la unidad anterior se estudió el concepto de función, las posibilidades de representar fenómenos físicos o de cualquier otro tipo a través de funciones y cómo se puede determinar el valor de una variable dependiente conociendo el valor de la independiente.

En esta unidad se va a profundizar en el conocimiento de las funciones, nos interesa saber cuando crecen o decrecen, si existe un punto en el que alcancen un valor máximo o mínimo.

Si conseguimos expresar el consumo de energía en función de cualquier otra variable que nosotros podamos controlar directamente, será interesante poder hallar el valor de la variable para el que ese consumo se hace mínimo o máximo. Para esto, la derivada de la función nos va a ser de mucha utilidad.

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7.1. CONCEPTO DE DERIVADA

La derivabilidad de una función y = f(x) permite conocer, con mayor precisión que la continuidad, la variación infinitesimal de la variable dependiente y, respecto de la variación infinitesimal de la variable independiente x.

7.1.1. DEFINICIÓN

Dada la función ℜ→Df : y Dx ∈0 , se dice que f es derivable en 0x si

existe el siguiente límite 0

0 )()(lim0 xx

xfxfxx −

−→ y es un número real.

Si la función f es derivable en 0x , se llama derivada de f en 0x al valor

=′ )( 0xf0

0 )()(lim0 xx

xfxfxx −

−→ .

Llamando incremento de x, 0xxx −=Δ e incremento de

y, )()( 00 xfxxfy −Δ+=Δ , la expresión de la derivada queda

xxfxxf

xyxf xx Δ

−Δ+=

ΔΔ

=′ →Δ→Δ

)()(limlim)( 00

000 .

Dada 2)( xxf = , veamos si es derivable en x=2. Calculamos

42

)2()2(lim24lim

2)2()(lim 2

2

22 =−

+⋅−=

−−

=−−

→→→ xxx

xx

xfxf

xxx

Luego la función es derivable en x=2 y el valor de la derivada de la función en ese punto es 4, 4)2( =′f

Si decimos que una función f es derivable en un intervalo (a,b) estamos diciendo que es derivable para todos los puntos de ese intervalo.

Y llamamos función derivada de f a la función f ′ tal que asocia a cada nº real x, el valor de la derivada de la función en ese punto

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7.1.2. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

La derivada de una función en un punto coincide con la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto.

y

x0 0x

)( 0xf

)( 0 xxf Δ+

xx Δ+0

α

0)( xxfy en a tangente Recta =

)()( 00 xfxxf −Δ+

xΔ

Si f es derivable en 0x , la ecuación de la recta tangente en ese punto es

)()()( 000 xxxfxfy −⋅′=− , es la ecuación punto –pendiente de una recta.

En un ejemplo vamos a ver cómo conseguir esta ecuación de la recta tangente a una curva en un punto, hallando la derivada de la función de la curva en dicho punto.

La ecuación de la recta tangente a la curva 2)( xxf = en x=3,

es )3)(3()3( −′=− xffy .

Luego la ecuación de la recta queda )3(69 −=− xy .

El cálculo de la derivada queda para el alumno.

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7.1.3. DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD

Al igual que en continuidad, hay muchos teoremas y proposiciones que se cumplen para funciones derivables, pero el objetivo fundamental de esta unidad es aprender a derivar, así que solo vamos a indicar la relación entre continuidad y derivabilidad.

Si f es una función derivable en 0x entonces f es continua en

0x .

Esto es equivalente a decir que si una función es discontinua en un punto, no es derivable en dicho punto.

Luego derivabilidad implica continuidad, pero no al revés, una función puede ser continua en un punto y no ser derivable en dicho punto.

Veamos un ejemplo de este último caso. En la unidad anterior se vio que la función xxfy == )( es una función continua en x=0, para comprobarlo

hubo que hallar los límites laterales. Como es continua puede que sea derivable, vamos a comprobarlo.

⎩⎨⎧

<≥

=0 xsix-0 x

)(six

xf , para calcular la derivada habrá que hacerlo por la

derecha y por la izquierda, como para la continuidad. La función será derivable en 0, si los límites laterales calculados coinciden.

100lim

0)0()(lim

00=

−−

=−−

++ →→ xx

xfxf

xx

100lim

0)0()(lim

00−=

−−−

=−−

−− →→ xx

xfxf

xx

Los límites no coinciden, no existe la derivada de la función en x=0, luego la función xxfy == )( no es derivable en el punto x=0. Gráficamente en el

cero la función presenta un “pico”.

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xy =

x

y

1

1

-1

Comprobar si la siguiente función es continua y derivable en x=2.

( ]⎩⎨⎧

>∈−

=2 xsi1-x-3,2- x1

)(2 six

xf

Como antes es continua pero no derivable en x=2

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7.2. CÁLCULO DE FUNCIONES DERIVADAS

Como se ha definido en el primer apartado, se llama función derivada )(xf ′ de una función dada )(xf , a aquella a que a cada punto le hace

corresponder el valor de la derivada en ese punto.

7.2.1. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES

Veamos en un cuadro las derivadas de las funciones más utilizadas.

Derivadas de las funciones elementales

FUNCIÓN SIMPLE DERIVADA Potencial nxy = 1−⋅=′ nxny

xey = xey =′ Exponencial

xay = aLnay x =′

xLny = x

y 1=′

Logarítmica xLogy a= aLn

xy 1=′

Seno xseny = xy cos=′

Coseno xy cos= xseny −=′

Tangente xtgy =

xxtgy 2

2

cos11 =+=′

Arco seno xsenarcy = 21

1x

y−

=′

Arco coseno xarcy cos= 21

1x

y−

−=′

Arco tangente xtgarcy = 21

1x

y+

=′

Además las funciones derivables tienen ciertas propiedades que nos sirven para poder calcular fácilmente las derivadas de las sumas, productos o cocientes de las funciones elementales.

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Propiedades de las funciones derivables.

La suma, producto por un escalar, producto y cociente de funciones derivables en un intervalo (a , b) y sus funciones derivadas son:

1.- ( ) ( ) ( ) ( ) ( )baxxgxfxgf ,, ∈∀′+′=′+ .

2.- ( ) ( ) ( ) ( )baxtxftxft ,, ∈∀ℜ∈′⋅=′⋅ .

3.- ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )baxxgxfxgxfxgf ,, ∈∀′+′=′⋅ .

4.- ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,,)(2 ≠∈∀

′−′=

′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛xgquetalbax

xgxgxfxgxfx

gf .

Algunos ejemplos sencillos.

xxeysenxxeyx

xxxyxxy

xeexeyexyxyxxy

xyxy

xx

xxxx

cos4)5(

)3(2)5(153

)73()43(3)43(41243

3

34

22

2

2

34

23

−+=′⇒−+=

−−⋅−−⋅

=′⇒−−

=

+=++=′⇒+=

+=′⇒+=

=′⇒=

7.2.2. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES DERIVABLES. LA REGLA DE LA CADENA.

Composición de funciones es lo que se suele expresar como una función de otra función. Por ejemplo, una exponencial que tiene por exponente un polinomio. Para derivarla habrá que tener en cuenta las dos funciones, exponencial y polinómica. La llamada regla de la cadena es la aplicada para calcular estas derivadas de funciones compuestas.

En el siguiente cuadro aparecen las derivadas de funciones compuestas, obtenidas aplicando la regla de la cadena.

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FUNCIÓN COMPUESTA DERIVADA

Potencial nxfy )(= )()( 1 xfxfny n ′⋅=′ − )(xfey = )()( xfexfy ′=′

Exponencial )(xfay = aLnaxfy xf )()(′=′

)xLny f( = )()(

xfxfy

′=′

Logarítmica

)(xfLogy a= aLnxfxfy )()(′

=′

Seno )xseny f( = )cos)( xxfy f( ′=′

Coseno )cos xy f( = ))( xsenxfy f( ′−=′

Tangente )xtgy f( = ( ))(1)( 2 xftgxfy +′=′

Arco seno )xsenarcy f( = 2)(1)(xf

xfy−

′=′

Arco coseno )cos xarcy f( = 2)(1)(

xfxfy

−

′−=′

Arco tangente )xtgarcy f( = 2)(1)(xfxfy

+′

=′

Veamos algunos ejemplos resueltos:

senxsenxsenx excose)senx(yey ⋅=⋅′=′⇒=

)e(sene3)e(3)e(sen)e()e(seny)ecos(y

xsen)xcosxsenx(2

xsenxcosx2senx2y

senxx2y

)x3xcos()3x3()x3x()x3xcos(y)x3x(seny

x3x3

x3x3x3x3x3

22

32

333

−

=⋅−=′⋅−=′⇒=

−=

⋅−⋅=′⇒=

++=

=′+⋅+=′⇒+=

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Es importante ser ordenado a la hora de derivar funciones, simplificar lo máximo posible las expresiones de las derivadas y ordenar el resultado de forma que no pueda dar lugar a confusiones.

Cuando hay que derivar un cociente donde el numerador es un valor constante, cualquier número real, y el denominador es una función, es más rápido expresarlo como una potencia negativa y luego hacer la derivada de una potencia. La derivada de una potencia es más corta a la hora de calcular que la de un cociente.

Los cocientes que se puedan expresar como potencias negativas conviene expresarlos así antes de hacer la derivada.

Veamos la derivada de la función 4x

2y 2 += , se puede hacer como la

derivada de un cociente, se deja como ejercicio para el alumno, y se puede hacer de la siguiente forma, que nosotros recomendamos:

2)4x(x4

)x2()4x(2)4x()4x()1(2y)4x(24x

2y

2

22222122

+−

=

=+−=′+⋅+⋅−⋅=′⇒+=+

= −−−

Este es el mismo resultado que el que habría que haberse obtenido derivando como cociente.

El alumno debe elegir el método que le resulte más fácil y rápido, ya que ambos son correctos.

Algunos ejemplos más.

2

2

2

22

2

22

senxxcosx2

senx)x(xcos

senx)senx(y)senxln(y =

′⋅=

′=′⇒=

x1)xcosx(xln)senxx2(

)x)(lnxcosx(xln)xcosx(yxln)xcosx(y

2

222

++−

=′++′+=′⇒+=

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A veces la notación de las funciones trigonométricas y la potencial puede dar lugar a confusión. Hemos de distinguir bien si la potencia afecta a la función trigonométrica o a sus argumentos, o sea, a lo de dentro.

La expresión: 2senxy = es equivalente a )x(seny 2= , o sea, lo que está afectado por la potencia es el argumento, la x, lo de dentro.

Sin embargo la expresión: xseny 2= es equivalente a 2)senx(y = , lo que está afectado por la potencia es la función

trigonométrica, no el argumento, no la x.

Las derivadas de ambas funciones son distintas, ahora las haremos.

( ) 222

2

xcosx2x2xcosysenxyxcossenx2yxseny=⋅=′⇒=

⋅⋅=′⇒=

7.2.3. DERIVADA DE UNA FUNCION POTENCIAL- EXPONENCIAL

Hay un caso en el que no aplicamos directamente la regla de la cadena, si no que transformamos la función antes de derivarla aplicando entonces la regla de la cadena. Este caso es el de las funciones de tipo potencial-exponencial.

[ ] )x(g)x(fy =

Vamos a ver qué método seguir para derivar funciones de este tipo. Iremos desarrollando los pasos sobre un ejemplo para entenderlo mejor.

Sea la función: senx2 )xx(y +=

• Primero: transformación de la función mediante logaritmos. Así, aplicando las propiedades de los logaritmos vistas en la primera unidad, se consigue pasar a un producto de funciones.

)xxln()senx()xxln(yln 2senx2 +⋅=+=

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• Segundo: derivación del logaritmo y derivación del producto de funciones.

=′

=′yy)y(ln

xx1x2senx)xxln(xcos))xx(ln()senx()xxln()senx( 2

222

++

++=′+⋅++⋅′

• Tercero: Obtención de la derivada buscada. El resultado del paso anterior no es la derivada de la función y, sino la derivada de la función lny. Tendremos que despejar partiendo de la expresión anterior de la siguiente manera:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

++

+++=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

++

++⋅=′xx1x2senx)xxln(xcos)xx(

xx1x2senx)xxln(xcosyy 2

2senx22

2

Donde hemos sustituido “y” por su valor, la función potencial-exponencial de la que partíamos.

7.2.4. DERIVADAS SUCESIVAS

Hemos visto cómo calcular la derivada de una función cualquiera, la primera derivada o derivada de primer orden. Esta función obtenida se puede volver a derivar, obteniendo la segunda derivada o derivada de segundo orden y así sucesivamente.

Hay funciones que se pueden derivar infinitamente y nunca se anulan, cualquier exponencial xe , por ejemplo. Sin embargo, cualquier función polinómica si derivamos sucesivamente siempre llega un momento en que se anula.

La notación de estas derivadas sucesivas, será: f,f,f ′′′′′′ ...y para las derivadas de orden mayor que tres, se expresa ese orden en el superíndice escrito en números romanos viviv f,f,f ...

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Calcular las 2ª y 3ª derivadas de las funciones x3e)x(f = y

3x5x)x(f 2 +−= .

x33x3

x32x3

x3

x3

e3e27)x(fe3e9)x(f

e3)x(fe)x(f

==′′′

==′′

=′

=

0)x(f2)x(f

5x2)x(f3x5x)x(f 2

=′′′=′′

−=′+−=

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7.3. FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

Intuitivamente o viendo la gráfica de una función es muy sencillo identificar si la función crece o decrece en un intervalo determinado.

y

x

4

9

2 3-2-3

2xy =

decreciente creciente

7.3.1. DEFINICIONES

Veamos las definiciones matemáticas de estos conceptos.

Se dice que una función f(x) es creciente en un intervalo si se cumple que para cualquiera dos puntos del intervalo tales que

21 xx < , sus imágenes cumplen que )x(f)x(f 21 < .

De igual forma, f(x) es decreciente en un intervalo si se cumple que para cualquiera dos puntos del intervalo tales que

21 xx < , sus imágenes cumplen que )x(f)x(f 21 > .

Si queremos estudiar el crecimiento o decrecimiento de una función en un intervalo determinado o sobre la recta real podemos dibujar la gráfica y observarlo directamente o ir haciendo comprobaciones. Ninguno de estos métodos es rápido.

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7.3.2. CRECIMIENTO Y DERIVADA DE LA FUNCIÓN

Vamos a ver cómo las derivadas de las funciones son muy útiles para caracterizar el crecimiento y decrecimiento de éstas.

Si la derivada de una función f ′es positiva en un intervalo, entonces la función f es creciente en dicho intervalo.

Si la derivada de una función f ′es negativa en un intervalo, entonces la función f es decreciente en dicho intervalo.

edecrecient f0fcreciente ff

⇒<′⇒>′ 0

Para poder aplicar estos resultados es necesario que la función sea continua en el intervalo en que se estudia.

Si queremos saber si una función es creciente o decreciente en un intervalo determinado no tendremos más que sustituir en la derivada de la función el valor de cualquier elemento del intervalo, ver el signo del resultado y ya podemos saber si la función crece o decrece.

Esto es bastante práctico por ejemplo en una función que represente el beneficio de una empresa en función de la inversión realizada. Nos conviene saber para qué intervalo de valores de inversión la función beneficio es creciente o decreciente.

Ahora, lo que nos podemos preguntar es cómo saber que en un intervalo determinado la función pasa de creciente a decreciente o a la inversa. Cómo determinar intervalos donde la función es siempre creciente o decreciente, estos son los que nos interesa estudiar.

Para esto también va a resultar muy práctico conocer la función derivada. Si la función pasa de ser creciente a decreciente o a la inversa, la derivada pasa de ser positiva a negativa o al revés, luego, como la función es continúa y derivable, no puede haber saltos, la derivada tiene que alcanzar el valor nulo, ha de haber un momento en que tome valor cero.

Estos valores de x donde la derivada se anula son los que van a marcar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

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Si queremos delimitar los intervalos donde una función continua crece o decrece procederemos de la siguiente forma:

1. Comprobar que la función es continua y calcular la derivada de la función.

2. Igualarla a cero y sacar las soluciones de la ecuación que resulte. Estas soluciones se llaman puntos críticos.

3. Dividir la recta real en los intervalos obtenidos con los puntos críticos hallados. Estos serán los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

4. Sustituir en la primera derivada un punto cualquiera de cada intervalo para ver el signo que toma y poder decir si la función es creciente o decreciente.

Vamos a ver en un ejemplo cómo estudiar el crecimiento o decrecimiento de una función. A veces también se dice estudio de la monotonía de una función.

La función representada en la figura anterior, es 2xy = , gráficamente se ve claro que es decreciente desde ∞− hasta x=0, y creciente desde x=0 hasta ∞+ .

Vamos a comprobar que coincide lo que vemos gráficamente con el resultado hallado con la primera derivada.

1. La función es un polinomio, luego es continua para todos los reales. Calculamos la derivada

x2yxy 2 =′⇒=

2. 0x0x20y =⇒=⇒=′ es la abscisa del punto crítico. El punto crítico es (0,0).

3. Los intervalos en que queda dividida la recta real son: ( ) ( )+∞∪∞− ,0o, Serán los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

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4. x2y =′ sustituida en un punto cualquiera del primer intervalo tomará siempre un valor negativo, luego la función será decreciente ese primer intervalo ( )o,∞− .

Análogamente, la función x2y =′ en el intervalo

( )+∞,0 tomará valor positivo en cualquiera de sus puntos, luego la función será creciente.

Muchas veces para expresar toda esta información de manera clara y conjunta se escribe una tabla como la siguiente.

Intervalos ( ,0)−∞ (0, )+∞

Signo f’ - +

Crecimiento de f Decreciente ↓ Creciente ↑

Hay funciones que son crecientes o decrecientes para todos los reales, su primera derivada nunca se anula. Al igualar la primera derivada a cero se obtiene una ecuación sin solución, eso quiere decir que el intervalo de crecimiento o decrecimiento es toda la recta real.

Como ejercicio para el alumno queda el demostrar que la función 6x20x)x(f 5 −+= es una función creciente para todos los valores de x.

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7.4. MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE LAS FUNCIONES

Al igual que con el crecimiento y decrecimiento, la idea intuitiva de máximo y mínimo es muy sencilla, gráficamente también son fáciles de identificar los puntos donde la función alcanza un mínimo o un máximo.

7.4.1. DEFINICIONES

Veamos también una definición matemática de estos conceptos.

• Sea y=f(x) una función continua en un dominio D, y sea Dx 0 ∈ un punto del dominio, se dice que f tiene

un máximo relativo o local en 0x si existe un

intervalo alrededor de 0x para el que se cumple que si

x es un punto de ese intervalo, entonces ( ) ( )0xfxf ≤ .

• Análogamente pero con la condición de que ( ) ( )0xfxf ≥ , se define mínimo relativo o local de una

función.

• El máximo o mínimo es global cuando las desigualdades se verifican para cualquier punto del dominio de la función, Dx∈∀ .

• El máximo o mínimo es estricto si se verifica la desigualdad estricta.

• Para hablar indistintamente de máximos o mínimo hablaremos de óptimos o valores extremos de la función.

Cómo localizar los puntos donde se pueden dar estos valores extremos de la función, cómo buscar los máximos y mínimos. Los candidatos a máximos y mínimos son los puntos críticos encontrados al igualar a cero la primera derivada. Hay otros puntos a tener en cuenta en este estudio, son los puntos de discontinuidad, donde también se puede encontrar algún óptimo.

Lógicamente, en los puntos críticos la función pasa de creciente a decreciente o al revés, está claro, y si no gráficamente se ve, que la función alcanza en estos casos un máximo local o un mínimo local respectivamente.

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0

0 0

Y

πX

π22π

23π

0

senxy =

Máximo local Máximo local

Mínimo local

7.4.2. CARACTERIZACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Ahora ya tenemos los posibles óptimos, veamos como comprobar si verdaderamente lo son y cómo distinguir si son máximos o mínimos.

Podemos hacerlo usando la información que nos da la primera derivada de la función, o calculando la segunda derivada y estudiando los valores que toma en los puntos críticos.

Utilizando la primera derivada

Con la información organizada como hemos visto en la tabla es fácil identificar los mínimos como los puntos donde la función pasa de decreciente a creciente, por lo tanto la primera derivada pasará de negativa a positiva. Los máximos son los puntos donde pasa justo lo contrario.

Y los puntos críticos donde la función no cambia su crecimiento, o sea, donde la primera derivada no cambia de signo, no son ni máximos ni mínimos.

Utilizando la segunda derivada

Sea 0x el valor de la abscisa de un punto crítico, para determinar si

corresponde a un máximo, a un mínimo o a ninguno de ellos, procederemos de la siguiente manera:

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1. Calcular la segunda derivada )x(f ′′ , sin más que derivar la primera

derivada )x(f ′ .

2. Sustituir el valor 0x en la expresión de la segunda derivada, entonces

si ⇒<′′ 0)x(f 0 La función f alcanza un máximo en 0x .

⇒>′′ 0)x(f 0 La función f alcanza un mínimo en 0x .

⇒=′′ 0)x(f 0 No se alcanza ni máximo ni mínimo en 0x .

Vamos a verlo sobre un ejemplo.

Dada 2xxx)x(f 23 +−−= , estudiar la monotonía y calcular sus extremos.

Calculamos la primera derivada, 1x2x3)x(f 2 −−=′

La igualamos a cero y obtenemos los puntos críticos, 1x1 = y

31x 2 −= .

Pongamos la tabla con los intervalos y estudiemos el signo de la primera derivada.

Intervalos 1,3

⎛ ⎞−∞ −⎜ ⎟⎝ ⎠

1 ,13

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

( )1,∞

f’ + - +

f Creciente Decreciente Creciente

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7.4.3. APLICACIONES A PROBLEMAS

En ocasiones lo interesante es hallar un máximo o un mínimo de una función que no nos dan de forma explícita, nos hablan de una magnitud que se quiere optimizar y de las condiciones que se han de cumplir. Hemos de plantear el problema, expresar esa magnitud en función de las variables necesarias y tener en cuenta las condiciones que se han de cumplir. Planteado así, solo quedará aplicar las técnicas aprendidas para localizar los óptimos.

La parte escrita de la página de un libro ocupa 400 cm2, los márgenes superior e inferior deben ser de 3 cm y los laterales de 2 cm.¿Cuáles deben ser las dimensiones de la página para que el coste del papel fuera mínimo?

Viendo la figura

3

2

a

2

3

b

Figura 7.1. Dimensiones de la página

La función a minimizar es la del área de la página, la podemos expresar como:

( ) ( ) ( )4b6ab,af +⋅+=

Es una función de dos variables, a y b. Hemos aprendido a calcular los óptimos de las funciones de una variable, función real de variable real, luego tendremos que expresar esta función dependiendo solo de una variable. Para ello utilizaremos la restricción o condición que nos plantean.

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La parte escrita de la página ocupa 400cm2 , esto se puede expresar:

b400a400ba =⇒=⋅

Así, en la función a minimizar, que llamamos función objetivo, sustituimos a por lo que vale en función de b.

( ) ( ) 424b6b

16004b6b

400bf ++=+⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

Que es nuestra nueva función objetivo, la que tenemos que minimizar, que está en función de una sola variable b. Empezaremos entonces por calcular su primera derivada y sus puntos críticos como se ha aprendido.

( ) cm32,163

800b06b1600bf 2 ±=±=⇒=+

−=′

Tenemos entonces un punto crítico b = 16,32 ya que no tiene sentido una distancia negativa.

Hemos de comprobar que es un mínimo y lo haremos calculando la segunda derivada.

( ) ( )( )

MINIMO032,16

320032,16fb

3200bf 33 ⇒>=′′⇒=′′

Entonces es lo que estábamos buscando.

cm49,24b

400a32,16b ==⇒=

Y las dimensiones que piden son

( ) ( ) cm32,20cm49,304b6a ×⇒+×+

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7.5. CURVATURA Y PUNTOS DE INFLEXIÓN

Además de estudiar el crecimiento o decrecimiento de una función, también vamos a estudiar su curvatura, el ver si es cóncava o convexa. No daremos las definiciones de concavidad y convexidad nos limitaremos a entender estos conceptos sobre una representación gráfica.

Las curvas convexas son aquellas que quedan por encima de cualquier recta tangente a un punto de ellas.

x

y

x

y

Las curvas cóncavas son aquellas que quedan por debajo de cualquier recta tangente a un punto de ellas.

x

y

x

y

La mayoría de las curvas tienen zonas de concavidad y de convexidad. Luego las rectas tangentes quedarán por encima o por debajo de la curva en determinados intervalos.

7.5.1. CARACTERIZACIÓN DE CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD

Veamos cómo conocer la curvatura de una función sin ver su gráfica, y para ello necesitamos calcular y conocer la segunda derivada de la función.

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Si la segunda derivada de la función f(x) es positiva en un intervalo (a,b), entonces la gráfica de la función f(x) es convexa en ese intervalo (a,b). O sea

Si )x(f)b,a(x 0)x(f ⇒∈∀>′′ es convexa en (a,b)

Si la segunda derivada de la función f(x) es negativa en un intervalo (a,b), entonces la gráfica de la función f(x) es cóncava en ese intervalo (a,b).

Si f(x)b)(a,x 0)x(f ⇒∈∀<′′ es cóncava en (a,b)

Igual que nos pasaba con la monotonía, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, hemos de localizar los intervalos de concavidad y convexidad. Para determinar estos intervalos veremos en qué puntos se anula la segunda derivada. Estos puntos se llaman puntos de inflexión.

7.5.2. PUNTOS DE INFLEXIÓN

Puntos de inflexión de una función son aquellos en los que la gráfica de la función pasa de ser cóncava a ser convexa o al revés. Estos puntos de inflexión son evidentemente los que marcan los intervalos de concavidad y convexidad, igual que los puntos críticos marcan los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Para localizar estos puntos igualaremos la segunda derivada de la función a cero, y hallaremos las soluciones de la ecuación que resulte.

Para verificar que estos puntos “candidatos”, son o no verdaderos puntos de inflexión hay dos caminos, uno usando la segunda derivada y otro calculando la tercera derivada.

Usando la segunda derivada

Con los posibles puntos de inflexión hallados se plantean los intervalos de concavidad y convexidad, en cada intervalo se estudia la curvatura de la función (sustituyendo en la segunda derivada), y los puntos donde realmente se compruebe que hay cambio de signo, que hay cambio de curvatura esos si son puntos de inflexión.

Matemáticas


Usando la tercera derivada

Para comprobar si un punto que anula la segunda derivada es un verdadero punto de inflexión, calcularemos la tercera derivada y sustituimos en ella el punto, si la tercera derivada sustituida es distinta de cero, el punto es un verdadero punto de inflexión. Si la tercera derivada sustituida en el punto es igual a cero, no podemos asegurar que sea punto de inflexión, habrá que comprobar por el criterio anterior.

Sea 0x0x6)x(fx3)x(fx)x(f 23 =⇒==′′⇒=′⇒= , en (0,0) hay un posible punto de inflexión, vamos a comprobar que realmente lo es.

Los intervalos de concavidad y convexidad serían: ),0()0,( +∞∪−∞ , la segunda derivada sustituida en cualquier punto del primer intervalo da siempre un valor negativo, luego la función será cóncava en ese intervalo; y en el segundo intervalo pasa lo contrario, la segunda derivada en cualquiera de los puntos es positiva, luego la función es convexa en ese intervalo. Luego hay cambio en el punto cero de concavidad a convexidad, (0,0) es un punto de inflexión.

Vamos a comprobarlo también con el criterio de la tercera derivada. 06)x(f ≠=′′′ luego la tercera derivada es distinta de cero, es un punto de

inflexión.

La gráfica de esta función como ya se vio en la unidad 6 es:

x

y

-1

1

1

-1(0,0) Punto de inflexión

Se propone como ejercicio para el alumno buscar los intervalos de concavidad y convexidad para la función 4x)x(f = . El resultado es una función convexa para todos los reales y el punto (0,0), no es un punto de inflexión.

Matemáticas


♦ RESUMEN

• Definición de la derivada de una función en un punto y su interpretación geométrica. Si la función f es derivable en 0x , se llama derivada de f en

0x al valor =′ )( 0xf0

0 )()(lim0 xx

xfxfxx −

−→ . La derivada de una función en

un punto coincide con la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto.

• Si f es una función derivable en 0x entonces f es continua en 0x . Esto es

equivalente a decir que si una función es discontinua en un punto, no es derivable en dicho punto.

• Cuadro de derivadas de las operaciones fundamentales y de las funciones compuestas.


FUNCIÓN SIMPLE DERIVADA COMPUESTA DERIVADA

Potencial nxy = 1−⋅=′ nxny nxfy )(= )()( 1 xfxfny n ′⋅=′ −

xey = xey =′ )(xfey = )()( xfexfy ′=′ Exponencial

xay = aLnay x =′ )(xfay = aLnaxfy xf )()(′=′

xLny = x

y 1=′ )xLny f( =

)()(

xfxfy

′=′

Logarítmica

xLogy a= aLnx

y 1=′ )(xfLogy a= aLn

xfxfy )()(′

=′

Seno xseny = xy cos=′ )xseny f( = )cos)( xxfy f( ′=′

Coseno xy cos= xseny −=′ )cos xy f( = ))( xsenxfy f( ′−=′

Formación Abierta



FUNCIÓN SIMPLE DERIVADA COMPUESTA DERIVADA

Tangente xtgy =

xxtgy 2

2

cos11 =+=′ )xtgy f( = ( ))(1)( 2 xftgxfy +′=′

Arco seno xsenarcy = 21

1

xy

−=′ )xsenarcy f( =

2)(1)(xf

xfy−

′=′

Arco coseno

xarcy cos= 21

1

xy

−

−=′ )cos xarcy f( =

2)(1)(

xfxfy

−

′−=′

Arco tangente xtgarcy =

211x

y+

=′ )xtgarcy f( = 2)(1)(xfxfy

+′

=′

• La regla de la cadena se expresa dtdx

dxdy

dtdy

⋅=

• La derivada de una función potencial-exponencial hay que hacerla transformando primero la función mediante logaritmos y luego aplicando las reglas de derivación en ambos miembros.

• Se dice que una función f(x) es creciente en un intervalo si se cumple que para cualquiera dos puntos del intervalo tales que 21 xx < , sus

imágenes cumplen que )x(f)x(f 21 < .

• De igual forma, f(x) es decreciente en un intervalo si se cumple que para cualquiera dos puntos del intervalo tales que 21 xx < , sus imágenes

cumplen que )x(f)x(f 21 > .

• Para calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, hay que hallar los puntos críticos, aquellos que anulan la primera derivada, dividir la recta real por esos valores y ver qué signo toma la primera derivada en un punto cualquiera de ellos.

Matemáticas


• edecrecient f0f

creciente ff⇒<′⇒>′ 0

• Para caracterizar los óptimos, o sea los puntos máximos o mínimos de la función, partimos de los puntos críticos y podemos emplear la primera derivada, viendo los cambios de monotonía de la función o estudiar el valor de la segunda derivada en esos puntos críticos.

⇒<′′ 0)x(f 0 La función f alcanza un máximo en 0x .

⇒>′′ 0)x(f 0 La función f alcanza un mínimo en 0x .

⇒=′′ 0)x(f 0 No se alcanza ni máximo ni mínimo en 0x .

• La concavidad y convexidad de una función se estudian en la segunda derivada. Para hallar los intervalos de concavidad y convexidad hay que igualar a cero la segunda derivada obteniendo los posibles puntos de inflexión. Son los puntos donde la función cambia su curvatura.

• Si la segunda derivada de la función f(x) es positiva en un intervalo (a,b), entonces la gráfica de la función f(x) es convexa en ese intervalo (a,b). O sea

Si )x(f)b,a(x 0)x(f ⇒∈∀>′′ es convexa en (a,b)

• Si la segunda derivada de la función f(x) es negativa en un intervalo (a,b), entonces la gráfica de la función f(x) es cóncava en ese intervalo (a,b).

Si f(x)b)(a,x 0)x(f ⇒∈∀<′′ es cóncava en (a,b)

• Para comprobar si un punto es verdadero punto de inflexión hay dos posibilidades. Una estudiando con los signos de la segunda derivada los puntos donde realmente cambia la curvatura. Y otra, calculando la tercera derivada y sustituyendo los valores, si esta derivada no se anula, los puntos son puntos de inflexión.


IINNTTEEGGRRAALL IINNDDEEFFIINNIIDDAA EE IINNTTEEGGRRAALL DDEEFFIINNIIDDAA..

AAPPLLIICCAACCIIOONNEESS

88

Matemáticas

Unidad 8. Integral indefinida e integral definida. 1


♦ INTRODUCCIÓN..........................................................................................4

8.1. Concepto de integral indefinida ...........................................................5 8.1.1. Propiedades ......................................................................................6

8.2. Integrales inmediatas ............................................................................7 8.3. Métodos de integración.......................................................................10

8.3.1. Integración por partes .....................................................................10 8.3.2. Integración por cambio de variable .................................................14

8.4. Integrales cumpliendo condiciones ...................................................17 8.5. Integral definida ...................................................................................18

8.5.1. Definición ........................................................................................18 8.5.2. Propiedades de la integral definida.................................................19

8.6. Aplicaciones de la integral definida ...................................................23 8.6.1. Cálculo de una longitud de arco......................................................25 8.6.2. Cálculo de áreas de revolución.......................................................26 8.6.3. Volúmenes de revolución................................................................28

♦ RESUMEN..................................................................................................31

Matemáticas


♦ OBJETIVOS

Los objetivos que se persiguen con el estudio de la presente unidad didáctica son:

• Obtener la integral indefinida de funciones sencillas utilizando las integrales inmediatas y los métodos de integración.

• Saber escoger entre las diferentes primitivas aquella que cumple una condición inicial determinada.

• Calcular integrales definidas mediante la aplicación de la regla de Barrow.

• Aplicar el cálculo integral a la resolución de problemas como el cálculo de áreas planas, volúmenes, superficies de revolución y longitudes de arco.

Formación Abierta


♦ INTRODUCCIÓN

Uno de los problemas que ocupó la mente de los matemáticos durante una época fue el cálculo de áreas de figuras planas.

Si se disponía de fórmulas para determinar el área de algunas de estas figuras, como el triángulo, cuadrado, rectángulo...no ocurría lo mismo para las figuras más generales. Ni siquiera había una definición formal de área.

La resolución de este problema requería introducir un concepto nuevo: el de integral definida, que posteriormente dio lugar al Cálculo Integral.

Matemáticas


8.1. CONCEPTO DE INTEGRAL INDEFINIDA

En la unidad anterior hemos aprendido a derivar funciones, calcular la integral de una función es realizar la operación inversa, buscar una función que al derivarla obtengamos la función de la que se parte.

Llamamos primitiva de una función f, a otra función g cuya derivada sea justamente f.

g es primitiva de f fg =′⇔

Por ejemplo, dada la función 2x)x(f = , una primitiva es por ejemplo

3x)x(g

3

= , pero la función 23x)x(h

3

+= también es primitiva de la función f.

En general cualquier función de la forma C3x)x(G

3

+= , siendo C un número

real, es una primitiva de la función f.

Después de entender este concepto de primitiva de una función, surgen dos cuestiones:

• ¿Qué funciones tienen primitivas?, ¿Todas o solo algunas?

• En caso de tener primitivas, ¿Cuántas tienen?

Aunque no lo demostraremos, si diremos que si una función es continua, entonces admite primitivas. Es el Teorema Fundamental del Cálculo Integral: Si una función f es continua en el intervalo [a,b], entonces admite una función primitiva en dicho intervalo, es decir, existe una función F tal que ( ) ).x(fxF =′

Y como se puede deducir del ejemplo, si una función tiene una primitiva, tiene infinitas primitivas. No hay más que sumar cualquier número real para encontrar otra primitiva.

Formación Abierta


Se llama integral indefinida de una función f(x), al conjunto formado por todas sus primitivas y se denota por:

∫ dx)x(f

Luego si ℜ∈C

{ } { }f(x)(x)F donde, C)x(Ff(x) de Primitivasdx)x(f =′+==∫

Por ejemplo, la integral indefinida de f(x)=sen x será C)xcos()x(F +−= , el alumno puede comprobar que para cualquier valor real de la constante C al hacer la derivada de F(x) se obtiene f(x).

8.1.1. PROPIEDADES

Las propiedades que cumplen las integrales indefinidas son las siguientes:

• La integral de la derivada de una función es la propia función.

( ) ( ) C ∫ +=′ xfdxxf

• La integral de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

( ) ( )∫ ∫=⋅ dxxfkdxxfk

• La integral de una suma (diferencia) es igual a la suma (diferencia) de las integrales.

( ) ( )( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫±=± dxxgdxxfdxxgxf

• Las dos últimas propiedades afirman que la integral indefinida es lineal, y se pueden englobar en una sola, de la siguiente manera:

( ) ( )( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫±=⋅±⋅ dxxgndxxfmdxxgnxfm

Matemáticas


8.2. INTEGRALES INMEDIATAS Se llaman integrales inmediatas a las integrales de las derivadas de las funciones elementales, esto es, de las funciones polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.

Es como si le diéramos la vuelta al cuadro de derivadas de funciones elementales.

INTEGRALES INMEDIATAS

FUNCIÓN PRIMITIVA SIMPLE PRIMITIVA COMPUESTA

Potencial ∫ ++

=+

Cnxdxx

nn

1

1

∫ ++

=⋅′+

Cnfdxff

nn

1

1

∫ += Cedxe xx ∫ +=⋅′ Cedxef ff

Exponencial

CLnadxa

xx +=∫ a

CLnadxaf

ff +=⋅′∫ a

Logarítmica ∫ += CxLndxx1

∫ +=′

CfLndxff

Seno ∫ += Csenxxdxcos ∫ +=′ Csenffdxf cos

Coseno ∫ +−= Cxsenxdx cos ∫ +−=⋅′ Cfsenfdxf cos

( )∫ +=+ Ctgxdxxtg 21 ( )∫ +=+′ Ctgfdxftgf 21

Tangente

∫ += Ctgxdxx2cos

1 ∫ +=

′Ctgfdx

ff

2cos

( ) Cgxdxxg +−=+∫ cotcot1 2 ( ) Cgfdxfgf +−=+′∫ cotcot1 2

Cotangente

∫ +−= Cgxdxxsen

cot12 ∫ +−=

′Cgfdx

fsenf cot2

Arco seno ∫ +=−

+ Csenxarcdxx

21

1 ∫ +=

−

′+ Csenfarcdxf

f 21

Arco coseno ∫ +=−

− Cxarcdxx

cos1

12

∫ +=−

′− Cxarcdxf

f cos1 2

Arco tangente ∫ +=

+Ctgxarcdx

x 21

1 ∫ +=

+′

Ctgfarcdxf

f 21

Formación Abierta


Es importante memorizar o entender muy bien casi todas las integrales de este cuadro, hay integrales que no son inmediatas pero que se resuelven fácilmente viéndolas como semejantes a una inmediata. En los siguientes ejemplos se ve cómo hacerlo.

( )

( ) ( ) ( ) C4

1x221dx1x22

21dx1x2

Cx2

x33

x2

dxxdx3dxx2dx1x3x2

433

23

22

++

⋅=+⋅=+

+++=

=++=++

∫∫

∫ ∫ ∫∫

Para hacer esta segunda integral se han seguido los pasos siguientes. Faltaba en la integral la derivada de la base de la potencia para tener dentro la derivada completa de la potencia de una función. Hemos multiplicado dentro de la integral por esa constante que nos falta y dividido por ella fuera para que el valor total no cambie. Así conseguimos una integral inmediata.

Ce31dxe3

31dxe x3x3x3 +== ∫∫

( ) ( )

Cxlnx2xCxlnx2

11x

11

dx)xxx(dxxx

1x1

C1x2sen21dx1x2cos2

21dx)1x2cos(

2112

11

12121

2

++−−=++−−

=

=+−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−

++=+=+

−−

−−−− ∫∫

∫∫

Al igual que para derivar recomendamos el poner los cocientes como potencia negativa, para integrar funciones esta recomendación sigue siendo válida.

A la hora de integrar es más sencillo expresar los cocientes como potencia negativa, y las raíces como potencias racionales. Así se tiene que calcular la integral de una potencia que es bastante sencilla, solamente habrá que localizar la derivada de la base.

Matemáticas


Hay que tener siempre en cuenta que Cxlndxxdxx1 1 +== ∫∫ − , la integral

de esta potencia de exponente negativo, es el logaritmo neperiano, todas las demás se integran como potencias.

( ) ( ) ( ) C1xcos31dx1xsenx3

31dx1xsenx 33232 ++−=+⋅=+⋅ ∫∫

Formación Abierta


8.3. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

No siempre podemos calcular la integral de una función dada, aunque sepamos seguro que existe. Ahora bien, el procedimiento para calcular una integral consiste en reducir, mediante transformaciones que no alteren su valor, la integral dada en otra u otras que sepamos resolver.

Aquí veremos solamente las transformaciones o métodos de integración más sencillos:

• Integración por partes.

• Integración por cambio de variable.

8.3.1. INTEGRACIÓN POR PARTES

Este método se emplea cuando se quieren integrar ciertos productos de funciones. Lo que se hará es una transformación que se basa en la expresión de la derivada de un producto de funciones. Sean dos funciones u, v.

( ) vuvuvu ′⋅+⋅′=′⋅

Escrito con diferenciales

( ) dvuvduvud ⋅+⋅=⋅

Integrando en ambos lados de la igualdad:

( ) dvuvduvud ⋅+⋅=⋅ ∫∫∫

∫ ∫ ⋅+⋅=⋅ dvuduvvu

Y despejando:

∫ ∫−= vduuvudv

Que es la fórmula que se conoce para la integración por partes.

Matemáticas


El procedimiento para aplicar esta fórmula será:

1. Identificar en la integral que tenemos que calcular la parte que se corresponderá con u, y la parte que se corresponderá con dv.

Siempre identificaremos con dv la función que al integrarla no aumente de grado o se complique más. Funciones como la exponencial, o las trigonométricas senos y cosenos. E identificaremos con u la función que al derivarla quede más sencilla, más fácil de integrar.

2. Calcular ∫ dv , derivar u para conseguir v, du.

3. Sustituir en la fórmula y calcular la integral ∫ vdu , que ha de ser más

sencilla que la integral ∫ udv .

A continuación veremos cómo aplicar este método a ejemplos concretos:

1.- Resolver la siguiente integral: ( ) ( ) ( )∫ + xdxsenx 12

2.- Resolver la siguiente integral: ∫ xdxex cos

Resolución del ejemplo 1.

Según lo dicho anteriormente, tenemos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

∫

∫⎪⎩

⎪⎨⎧

−==

=⇒

⇒⎩⎨⎧

=+=

=+

xxdxsenxv

dxxdu

xdxsenxdvxxu

xdxsenx

cos

2

1212

A continuación aplicamos la fórmula de integración por partes:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )∫∫ =−−−+=+ xdxxxxdxsenx 2coscos1212

( )( ) Csenxxx ++−+= 2cos12

Formación Abierta



Siguiendo las indicaciones tenemos:

( )( )

( )( )∫

⎩⎨⎧

==

⇒⎩⎨⎧

==

=senxxv

dxexduxdxxdv

exuxdxe

xxx

coscos

Entonces:

( ) [ ]∫ ∫−= *cos senxdxesenxexdxe xxx

Nuevamente integrando por partes obtenemos que:

∫ ∫+−= xdxexesenxdxe xxx coscos

Entonces sustituyendo en [ ]* llegamos a la siguiente igualdad:

( )∫ ∫−+= xdxexesenxexdxe xxxx cos)(coscos

Si llamamos ∫= xdxeI x cos obtenemos la integral pedida:

CxesenxeIxesenxeIIxesenxeIxx

xxxx ++

=⇒+=⇒−+=2

coscos2cos

INTEGRACIÓN POR PARTES

Un polinomio por senos o cosenos ( ) ( )dxxsenfxPn∫ ( ) ( )

( ) ( )⎩⎨⎧

==

dxxsenfxdvxPxu n

Un polinomio por una función exponencial ( ) ( )dxexP xf

n∫ ( ) ( )( ) ( )

⎩⎨⎧

=

=

dxexdv

xPxuxf

n

Un polinomio por una función logarítmica ( ) ( )( )dxxfLogxPn∫ ( ) ( )( )

( ) ( )⎩⎨⎧

==

dxxPxdvxfLogxu

n

Una función exponencial por senos o cosenos

( ) ( )dxxgsene xf∫ ( ) ( )

( ) ( )⎩⎨⎧

==

dxxgsenxdvexu xf

Matemáticas


3.- Resolver la siguiente integral utilizando la integración por

partes: ∫ dxex x2

4.- Resolver la siguiente integral mediante la integración por

partes: ( )∫ −+ dxxLnxx 12


Como se trata del producto de un polinomio por una exponencial, tenemos:

( ) ( )( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

==⇒=

=⇒==

∫∫ xxxxe

edxexvdxexdv

xdxxduxxudxex

222

Aplicando la fórmula de integración por partes obtenemos:

( ) ( ) ∫∫∫ −=−= dxxeexdxxeexdxex xxxxx 22 222

Para calcular la integral ∫ xxe aplicamos otra vez la integración por partes:

( ) ( )1+=−=−=∫ ∫ xeexedxexedxxe xxxxxx

Por tanto:

( ) ( ) ( )∫ +−=−−= 112 222 xxexeexdxex xxxx


En este caso, tenemos el producto de un polinomio por un logaritmo:

( )( ) ( )

( ) ( )∫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−+=⇒−+=

=⇒==−+

xxxxvxxdxxdv

xdxxduxLnxu

dxxLnxx

231

123

2

2

Formación Abierta


Aplicando la fórmula de integración por partes obtenemos:

( )∫ ∫ =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=−+

xdxxxxxLnxxxdxxLnxx

23231

23232

CxxxxLnxxx+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

4923

2323

8.3.2. INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE

Este método consiste en transformar la integral de partida, que está en función de x, por otra integral equivalente expresada en función de otra variable t, de forma que esta segunda integral sea más fácil de resolver.

Tendremos un cambio de variable )t(gx = , y por la regla de la cadena

( )dttgdx ′= , así que la integral quedará ∫ ∫ ′= dt)t(g))t(g(fdx)x(f

Este método de resolución de integrales se puede aplicar a gran cantidad de casos, algunos de ellos complicados. Nosotros nos limitaremos a algunos ejemplos sencillos como los que exponemos a continuación.

5.-Resuelve la siguiente integral mediante un cambio de

variable: ∫ − 25xdx

6.-Resuelve la siguiente integral mediante un cambio de

variable: ∫ − dxxx 1


Para resolver esta integral empleamos el cambio dxdtxt 525 =⇒−= .

( )∫ ∫ +−=+==−

C2x552Ct2

51

t5dt

2x5dx

Matemáticas



( )∫∫ =+=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=−=

=− dtttdxdt

xtdxxx 1

11

( ) ( ) ( )∫ =−+−=+=+ 32252325

2123 1321

52

2325xxttdttt

( ) ( ) Cxx +−+− 3 25 1321

52

7.- Resuelve la siguiente integral mediante un cambio de

variable: ∫ dxex x32


variable: ∫ − 21 xdx


∫∫ +=+==⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

== CeCedte

dxxdtxt

dxex xtt

x 33

31

31

33 2

32


Para resolver esta integral utilizaremos el cambio de variable: tsenx =

∫∫∫ ==−⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

==

=− t

dtttsen

dttdttdx

tsenx

xdx

222 coscos

1cos

cos1

∫ +=+= CxsenarcCtdt


variable: ∫ dxxxsen cos3


variable: ∫ + 21 xxdx

Formación Abierta



De nuevo utilizaremos el cambio xsent =

{ } ∫∫ ====x

dtxttxsendxxxsen

cos

coscos 33

( )∫ +=+= CxsenCtdtt

44

443


En este caso consideramos el cambio de variable: 2xt = .

{ }( )∫ ∫∫ ++=+

=+

===+

Ctt

dttx

xdttxx

xdx 112121

22

Matemáticas


8.4. INTEGRALES CUMPLIENDO CONDICIONES

Hemos visto que hay infinitas funciones primitivas para algunas funciones, y a ese conjunto de primitivas lo llamamos integral indefinida de la función. En las integrales indefinidas siempre aparece una constante C que puede tomar el valor de cualquier número real.

En ocasiones podemos encontrarnos con que nos pidan determinar el valor de esa constante C, dándonos una condición que ha de cumplir la primitiva o integral de la función.

Hallar la ecuación de la curva que pasa por el punto (3,2) y tiene por derivada la función 1xx5 2 +− .

Empezaremos por calcular la integral de la función

Cx2

x3x5dx)1xx5(

232 ++−=+−∫

Ahora ya tenemos la ecuación de infinitas curvas que solamente difieren en el valor de una constante C

Cx2

x3x5y

23

++−=

De estas curvas hemos de elegir la que pasa por el punto (3,2), luego a esta ecuación le impondremos esta condición:

283CC3

23

3352

23

−=⇒++−=

Luego la ecuación buscada es

283x

2x

3x5y

23

−+−=

Que es una ecuación concreta, no depende de ninguna constante.

Formación Abierta


8.5. INTEGRAL DEFINIDA

8.5.1. DEFINICIÓN

La integral definida de la función f en el intervalo [a,b] coincide con el área del recinto R, limitado por la gráfica de la función f, el eje OX y las rectas x=a y x=b.

y=f(x)

R

x=bx=a

Figura 8.1. Área del recinto R

Aparecen ahora dos cuestiones, cómo calcular estas áreas y su relación con la integral indefinida y las primitivas de la función f. La Regla de Barrow es la que nos plantea la solución a estas dos cuestiones.

Regla de Barrow

Sea f una función continua en el intervalo [a,b]. Entonces la integral definida de f entre a y b es igual al valor de que toma una primitiva F en b, menos el valor que toma F en a, es decir:

∫ −=b

a

)a(F)b(Fdx)x(f

Los valores a y b se llaman límites de integración.

Así, cuando queramos calcular el área encerrada entre una función continua y el eje de abscisas, en un intervalo [a,b], tendremos que calcular la integral indefinida de una función y sustituirla en los extremos del intervalo dado.

Matemáticas


Calcular el área limitada por la curva 2x)x(f = y el eje de abscisas en el intervalo [0,1].

310

31

3xdxx

1

0

31

0

2 =−=⎥⎦

⎤=∫

y

x1-1

A

La constante C desaparece al restar las dos primitivas, por eso ni siquiera se pone.

Cuando se ha calculado la integral indefinida y solo queda sustituir por los extremos del intervalo, se indica con el corchete y los extremos del intervalo como subíndice y superíndice, como está en este ejemplo.

8.5.2. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Vamos a señalar las principales propiedades de la integral definida, aunque no vamos a demostrarlas. Lo importante es saber aplicarlas y entender su significado geométrico.

• Si c es un número entre a y b, esto es a < c < b, entonces se verifica lo siguiente:

∫∫∫ +=b

c

c

a

b

afff

Formación Abierta


y=f(x)

R1 R2

a c b

Figura 8.2. Propiedad

El significado geométrico de esta propiedad es claro. El área que está bajo la gráfica de la función f entre los puntos a y b es igual al área comprendida entre x=a y x=c más el área comprendida entre x=c y x=b.

• Si a=b, entonces:

0== ∫∫a

a

b

aff

• Si permutamos los límites de integración, entonces la integral cambia de signo. Pueden aparecer resultados negativos que no tienen ningún sentido real si los interpretamos cómo áreas.

∫∫ −=a

b

b

aff

• La integral de la suma (diferencia) de dos funciones f y g es igual a la suma (diferencia) de las integrales. Esto es:

( ) ∫∫∫ ±=±b

a

b

a

b

agfgf

• La integral del producto de una constante k por una función f es igual a la constante por la integral de la función:

( )∫ ∫=⋅b

a

b

afkfk

Matemáticas


Áreas por debajo del eje OX

Cuando una curva se encuentra por debajo del eje de abscisas y calculamos el área que encierra entre dos puntos, el resultado al aplicar la regla de Barrow es un número negativo. Pero no tiene ningún sentido real el expresar el área de un recinto como algo negativo.

En ocasiones, las curvas pueden limitar con el eje OX unas áreas por encima del eje y otras por debajo, como se ve en la siguiente figura. En estos casos, en los que la función f , entre a y b, asume tanto valores positivos como

negativos, entonces ∫b

a

dx)x(f es la diferencia entre la suma de las áreas por

encima del eje y la suma de las áreas que están por debajo del eje y dan lugar a integrales con valor negativo.

0

Y

X0

A1

A2

A3

a c d b

321

b

a

AAAdx)x(f +−=∫ , este resultado no coincide con el que queremos

hallar. Para poder conseguir la suma de las tres áreas habrá que proceder calculando por separado sus valores, de la siguiente manera. Observar que los intervalos de integración quedan determinados por los puntos de corte de la curva con el eje OX. Todos los puntos de corte que se encuentren entre los valores a y b.

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ++=+−=++c

a

c

d

b

d

c

a

d

c

b

d321 dx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fAAA

Formación Abierta


Por lo que si lo requerido es el cálculo de el área encerrada entre una curva y el eje OX habrá que dibujar primero la curva para delimitar los intervalos de integración con los puntos de corte con el eje.

Calcular el área limitada por la curva senx)x(f = y el eje OX

en el intervalo [ ]π2,0 .

Sabemos que la función senx)x(f = toma valores positivos y

negativos en el intervalo [ ]π2,0 , luego tendremos que hacer la representación gráfica y determinar los puntos de corte con el eje.

0

Y

X0

A1

A22π

23π

π π2

El área buscada es 21 AA + , para calcularla habrá que calcular las integrales siguientes:

21 AA + = ] ] =−−−=−∫ ∫ 2ππ

π

0

π

0

2π

π

cosx)(cosxsenxdxsenxdx

[ ] 41111cos2cos0coscos =+++=π+π−−+π−

En este caso en el que se ve claramente que 21 AA = ,

también se puede calcular ∫π

=⋅=+0

121 senxdx2A2AA

Matemáticas


8.6. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Ya se ha visto la integral definida como un instrumento para determinar áreas encerradas bajo una curva y el eje OX. Basándonos en este concepto podemos encontrar otras aplicaciones.

Consideremos la región que aparece en la siguiente figura. Está limitada a la izquierda por el eje de ordenadas y a la derecha por una curva )y(gx = , para calcular ese área procederemos de forma análoga pero intercambiando el papel de x por el de y.

x

y

d

c

x = g (y)

A

∫=d

c

dy)y(gArea

Calcular el área de la región limitada a la derecha por la parábola 2y4x −= , a la izquierda por el eje de ordenadas y por encima y por debajo, por y=2, y=-1.

1 2 3 4 5x

y

-2

-1

1

2

( ) ] 9y31y4dyy4Area 2

13

2

1

2 =−=−= −−∫

Formación Abierta


Otra posible aplicación de la integral definida es para calcular el área encerrada entre dos curvas.

Áreas entre curvas

Sean f y g funciones continuas tales que )x(f)x(g ≤ para bxa ≤≤ . Entonces, la curva y=f(x) queda por encima de y=g(x) entre x=a y x=b, El área A de la región entre las dos curvas y que queda entre a y b se calcula con la fórmula:

( )dx)x(g)x(fAb

a∫ −=

Vamos a verlo sobre la gráfica:

Realmente lo que se está haciendo es restar el área que queda por debajo de f(x) y el área que queda por debajo de g(x), gráficamente se ve que este resultado es el área A buscada.

a b0

Y

X0

y = f(x)

y = g(x)

A

dx))x(g)x(f(dx)x(gdx)x(fAb

a

b

a

b

a∫ ∫∫ −=−=

Por supuesto, en estos casos habrá que tener en cuenta también si la región cuya área se quiere determinar está situada por encima o por debajo del eje OX para cambiar los signos necesarios.

Matemáticas


Hallar el área de la región situada bajo la recta 2x21y += ,

encima de la parábola 2xy = y entre el eje de ordenadas y x=1.

x

y

1 2

1

2

A

]1223x

31x2x

41dxx2x

21A 1

032

1

0

2 =−+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= ∫

8.6.1. CÁLCULO DE UNA LONGITUD DE ARCO

En ocasiones lo que interesa es calcular la longitud de una curva determinada entre dos puntos en lugar de calcular el área encerrada por ella y el eje. Para resolver esta cuestión también aplicaremos la integral definida.

x

y

L

a b

Sea una función f(x), derivable en (a,b), para calcular la longitud de la curva y=f(x) entre los valores x=a y x=b, hay que aplicar la siguiente fórmula:

Formación Abierta


dx)y(1dx))x(f(1Lb

a

2b

a

2 ∫∫ ′+=′+=

Tendremos que derivar la función, elevar la derivada al cuadrado y calcular la integral que aparece en la fórmula.

Calcular la longitud de arco L de la curva 23

xy = desde x=0 hasta x=5.

Primero derivamos la función:

x23x

23y 2

1==′

Elevamos la derivada al cuadrado

( ) x49y 2 =′

Calculamos la integral definida de la fórmula:

]

27335

x491

32

94dxx

491

49

94dxx

491L 5

0

23

215

0

215

0

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += ∫∫

Si nos imaginamos que el arco de una curva gira sobre el eje OX, lo que se forma en el espacio es un cuerpo de revolución. Este cuerpo de revolución tiene un determinado volumen y una superficie que llamaremos volumen y superficie o área de revolución.

8.6.2. CÁLCULO DE ÁREAS DE REVOLUCIÓN

Vamos a ver cómo poder calcular esta área o superficie de revolución., engendrada al girar la curva que representa a la función alrededor del eje OX.

Matemáticas


a b

y = f(x)

Sea f una función continua en [a,b] y derivable en (a,b), tal que 0)x(f ≥ para

bxa ≤≤ , entonces el área o superficie de revolución S generada al girar la gráfica de f(x) en [a,b] sobre el eje OX, se calcula aplicando la siguiente fórmula:

( ) dx)x(f1)x(f2Sb

a

2∫ ′+π=

Determinar la superficie del paraboloide, engendrada por la revolución alrededor del eje OX de un arco de la parábola

x2y2 = , desde x=0 hasta x=a.

a0

Para aplicar la fórmula primero hemos de tener y como función de x, luego

tendremos que despejar y, ( ) 21

x2x2)x(fy === .

Formación Abierta


También aparece la derivada de la función )x(fy ′=′ , en este caso la

derivada de una raíz, ( ) ( )x2

1x22x221)x(fy 2

12

1==⋅=′=′

−− .

Aplicando la fórmula que nos da la superficie: ( ) dx)x(f1)x(f2Sb

a

2∫ ′+π=

( ) ( )

( ) ( )[ ]11a23

221

321x22

dx1x22dx1x22dxx2

11x22dxx2

11x22S

23

a

0

23

a

0

21

a

0

a

0

2a

0

21

−+π

=⎥⎦⎤⋅⋅+⋅π=

+π=+π=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +π=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+⋅π= ∫∫∫∫

8.6.3. VOLÚMENES DE REVOLUCIÓN

Otra de las aplicaciones de la integral definida es el cálculo de los volúmenes de los cuerpos engendrados al girar áreas sobre el eje OX. Volúmenes de revolución engendrados al girar un área determinada por cualquier curva y el eje.

y = f(x)

Hay distintos métodos para calcular estos volúmenes según nos basemos en función de las áreas de secciones paralelas, método de las capas cilíndricas, método de Washer o de arandelas, pero aplicaremos la fórmula general para el cálculo de volúmenes que es la siguiente:

( )[ ]∫∫ π=π=b

a

2b

a

2 dxxfdxyV

Matemáticas


Esta fórmula resulta más sencilla de plantear que las anteriores porque no es necesario calcular la derivada de la función. Veamos un ejemplo.

Estudiemos el volumen del cuerpo de revolución engendrado

por la rotación del área determinada por la curva 2x31y = y

las rectas x=a, x=b.

b0 a

Aplicando la fórmula:

] ( )44ba

5b

a

42b

a

2 ab9

5x51

9dxx

91dxx

31V −

π=⋅

π=π=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛π= ∫∫

Siendo b y a cualquiera dos valores de x que se consideren.

Matemáticas


♦ RESUMEN

• Llamamos primitiva de una función f, a otra función g cuya derivada sea justamente f. g es primitiva de f fg =′⇔

• Si una función es continua, entonces admite primitivas. Si una función tiene primitivas, estas son un conjunto de infinitas funciones que solo difieren en el valor de una constante C que puede tomar el valor de cualquier número real.

• Se llama integral indefinida de una función f(x), al conjunto formado por todas sus primitivas y se denota por:

∫ dx)x(f

• Las integrales indefinidas cumplen las siguientes propiedades

• La integral de la derivada de una función es la propia función.

( ) ( ) C ∫ +=′ xfdxxf

• La integral de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

( ) ( )∫ ∫=⋅ dxxfkdxxfk

• La integral de una suma (diferencia) es igual a la suma (diferencia) de las integrales.

( ) ( )( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫±=± dxxgdxxfdxxgxf

• Las dos últimas propiedades afirman que la integral indefinida es lineal, y se pueden englobar en una sola, de la siguiente manera:

( ) ( )( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫±=⋅±⋅ dxxgndxxfmdxxgnxfm

Formación Abierta


• A las integrales de las funciones elementales se les llama integrales inmediatas, son las siguientes:

INTEGRALES INMEDIATAS

FUNCIÓN PRIMITIVA SIMPLE PRIMITIVA COMPUESTA

Potencial ∫ ++

=+

Cnxdxx

nn

1

1

∫ ++

=⋅′+

Cnfdxff

nn

1

1

∫ += Cedxe xx ∫ +=⋅′ Cedxef ff

Exponencial

CLnadxa

xx +=∫ a

CLnadxaf

ff +=⋅′∫ a

Logarítmica ∫ += CxLndxx1

∫ +=′

CfLndxff

Seno ∫ += Csenxxdxcos ∫ +=′ Csenffdxf cos

Coseno ∫ +−= Cxsenxdx cos ∫ +−=⋅′ Cfsenfdxf cos

( )∫ +=+ Ctgxdxxtg 21 ( )∫ +=+′ Ctgfdxftgf 21

Tangente

∫ += Ctgxdxx2cos

1 ∫ +=

′Ctgfdx

ff

2cos

( ) Cgxdxxg +−=+∫ cotcot1 2 ( ) Cgfdxfgf +−=+′∫ cotcot1 2

Cotangente

∫ +−= Cgxdxxsen

cot12 ∫ +−=

′Cgfdx

fsenf cot2

Arco seno ∫ +=−

+ Csenxarcdxx

21

1 ∫ +=

−

′+ Csenfarcdxf

f 21

Arco coseno ∫ +=−

− Cxarcdxx

cos1

12

∫ +=−

′− Cxarcdxf

f cos1 2

Arco tangente ∫ +=

+Ctgxarcdx

x 21

1 ∫ +=

+′

Ctgfarcdxf

f 21

Matemáticas


• El método de integración por partes se aplica para integrar ciertos productos de funciones. Es muy importante elegir las partes de la forma adecuada, tal y como se ha indicado en los distintos casos, si no, podemos complicar más la integral. La fórmula de integración por partes

es ∫ ∫−= vduuvudv

• La integración por cambio de variable se aplica en integrales de muy diverso tipo, en el texto hay bastantes ejemplos. Expresaremos x en función de otra variable t, o al revés, a una expresión en función de x la llamaremos t.

• Para poder elegir una de las infinitas primitivas de una función hay que concretar el valor de la constante C, para ello hay que tener una condición inicial que sea de obligado cumplimiento par la función primitiva.

• La integral definida de la función f en el intervalo [a,b] coincide con el área del recinto R, limitado por la gráfica de la función f, el eje OX y las rectas x=a y x=b.

• Regla de Barrow: Sea f una función continua en el intervalo [a,b]. Entonces la integral definida de f entre a y b es igual al valor de que toma una primitiva F en b, menos el valor que toma F en a, es decir:

∫ −=b

a

)a(F)b(Fdx)x(f

• Propiedades de la integral definida:

• Si c es un número entre a y b, esto es a < c < b, entonces se verifica lo siguiente:

∫∫∫ +=b

c

c

a

b

afff

Figura 8.3. Propiedad

Formación Abierta


El significado geométrico de esta propiedad es claro. El área que está bajo la gráfica de la función f entre los puntos a y b es igual al área comprendida entre x=a y x=c más el área comprendida entre x=c y x=b.

• Si a=b, entonces:

0== ∫∫a

a

b

aff

• Si permutamos los límites de integración, entonces la integral cambia de signo. Pueden aparecer resultados negativos que no tienen ningún sentido real si los interpretamos cómo áreas.

∫∫ −=a

b

b

aff

• La integral de la suma (diferencia) de dos funciones f y g es igual a la suma (diferencia) de las integrales. Esto es:

( ) ∫∫∫ ±=±b

a

b

a

b

agfgf

• La integral del producto de una constante k por una función f es igual a la constante por la integral de la función:

( )∫ ∫=⋅b

a

b

afkfk

• Se ha visto también cómo calcular el área encerrada entre dos curvas sin más que integrar la diferencia de las funciones que las representan. Hay que tener en cuenta qué curva se encuentra por encima de la otra.

• También hay que tener en cuenta que si hacemos la integral definida de una función cuya curva se encuentre por debajo del eje OX , el resultado obtenido es un nº negativo que no puede representar un área o superficie, por lo que hay que tenerlo en cuenta y cambiarle el signo.

Matemáticas


• Otra importante aplicación de la integral definida es el cálculo de la longitud de un arco de curva entre dos puntos dados, en un intervalo [a,b]. La fórmula a emplear es la siguiente:

dx)y(1dx))x(f(1Lb

a

2b

a

2 ∫∫ ′+=′+=

• También se pueden calcular áreas de revolución y volúmenes de revolución, engendrados al girar cualquier curva alrededor del eje OX. Las fórmulas respectivas son las siguientes:

( ) dx)x(f1)x(f2Sb

a

2∫ ′+π=

( )[ ]∫∫ π=π=b

a

2b

a

2 dxxfdxyV

libro mates

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