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FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

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Dominio y rango de una función. Operaciones con funciones. Composición de funciones. Función inyectiva, suryectiva y biyectiva. Función inversa. Aplicaciones de las funciones. Análisis de equilibrio. Función exponencial. Función logarítmica.

ESQUEMA CONCEPTUAL

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Funciones

Operaciones con funciones

Suma: f + g

Diferencia: f – g

Multiplicación: f .g

Cociente: f/g

Composición de funciones

Función Inyectiva

Definición

Propiedades

FunciónSuryectiva

FunciónExponencial

Funcióninversa

FunciónBiyectiva

FunciónLogarítmica

Aplicaciones

Introducción

Esther es una ama de casa organizada, todos los domingos asiste al supermercado y realiza sus compras semanales. De entre todos los comestibles que compra, concentrémonos un momento por ejemplo en el azúcar, sabemos que se compra por kilos, y que por cada kilo se pagará un valor determinado. Suponiendo que el valor por kilo de azúcar es de S/2, 00, que es un valor constante, este valor variara en función a la cantidad de kilos de azúcar que Esther compre, así tenemos que:1kg azúcar S/2,002kg azúcar S/4,003kg azúcar S/6,00:::

Y así sucesivamente.Entonces, podemos afirmar que el precio del azúcar (y) variara en función a la cantidad de azúcar a comprar(x) o lo que es lo mismo y = f(x); estableciendo así una función lineal o afín, en este caso particular está basado en la oferta y la demanda.

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Lección I

FUNCIÓN

Una función en matemática, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizo el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta que recientemente su uso más generalizado ha sido el referido en 1829 por el matemático alemán J.P.G. Lejeune Dirichlet (1805-1859), quien escribió:

“Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ellos.” Dos variables “x” e “y” están asociados de tal forma que al asignar un valor a “x” entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a “y”, se dice que “y” es una función (univoca) de “x”. La variable “x” a la que se le asigna libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable “y” cuyos valores dependen de “x” se llaman variables dependientes. Los valores permitidos de “x” constituyen el dominio de la función y los valores que toma “y” constituye su recorrido.Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de geología y de cualquier área social donde haya que relacionar variables.

1.1 DEFINICIÓN .- Una función es una relación en la que se cumple que la primera componente de los pares ordenados le corresponde un único elemento de la segunda componente.

Ejem : Indicar que relación es función

R1 = {(3 ; 2), (4 ; 5), (2; 7), (4 ; 1)} Se observa que (4 ; 5) ≠ (4 ; 1) luego R1 no es función.

R2 ={(1 ;9), (4 ; 2), (2; 7), (8 ; 4)} Se observa que a las primeras componentes le corresponde una única segunda componente, luego R2 si es función.

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R3 = {(7 ; 7), (1 ; 7), (2 ;7), (4;7)} Se observa que a las primeras componentes le corresponde una única segunda componente, luego R3 si es función.

R4 = {(9 ;2), (9 ; 3), (9 ;7),(9; 8)} Se observa que (9 ;2) ≠ (9 ;3) ≠ (9 ;7) ≠ (9 ;8), luego R4 no es función.

Ejem : determinar en cada caso el valor “m” si f es función.

a) f1 = { (6 ; 1), (m; 1), (5 ; m2-15), (3, 2), (5; -2m) } b) f2 = {(4 ; m2-40), (7 ; 1), (m; 2), (4; 9 )}

Solución:

a) Si f1 es función, entonces se debe cumplir la igualdad: (5 ; m2-15) = (5; -2m) m2 - 15 = -2m m2 + 2m – 15 = 0m 5 5mm -3 -3m 2m( m + 5)(m - 3) = 0 m = -5 ʌ m = 3

Analicemos la función cuando m = 3.

f1 = {(6 ; 1), (3; 1), (5 ; -6), (3; 2), (5; -6) } la cual no es función (3; 1) ≠ (3; 2) luego “m” no puede tomar el valor de 3.

Analicemos la función cuando m= -5.f1 = {(6 ; 1), (-5; 1), (5 ; 10), (3; 2) }, luego f1 si es función.Finalmente m = -5

b) Si f2 es función, entonces se debe cumplir la igualdad: (4 ; m2-40) = (4; 9 )

m2 - 40 = 9 m2 – 49 = 0 (m +7) (m – 7) = 0

m = -7 ʌ m = 7

Analicemos la función cuando m = 7.f2 = {(3 ; 9), (7 ; 1), (7; 2)} , la cual no es función (7; 1) ≠ (7, 2) luego “m” no puede tomar el valor de 7.

Analicemos la función cuando m = -7.f2 = {(3 ; 9), (7 ; 1), (-7; 2)}, Se observa que a las primeras componentes le corresponde una única segunda componente, luego f2 si es función.Finalmente m = -7

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1.2 OPERACIONES CON FUNCIONES.- sean las funciones”f” y “g”, luego se definen las operaciones:

Suma: (f + g) (x) = f(x) + g(x)Diferencia: (f - g) (x) = f(x) - g(x)Producto: (f . g ) (x) = f(x) . g(x)Cociente: (f / g) (x) = f(x) / g(x)

Para las operaciones con funciones de suma, diferencia y producto, el dominio esta dado por: Dom f ∩ Dom g.

Para la operación f/g su dominio es: [ Dom f ∩ Dom g ] - {g(x) = 0}

Ejem : Sean las funciones:f(x) = 2x2 – 7x y g(x) = 3xDeterminar: f + g, f – g, f. g, f/g

Solución:

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = 2x2 – 7x + 3x =2x2 – 4x (f - g)(x) = f(x) + g(x) = 2x2 – 7x - 3x = 2x2 – 10x (f . g)(x) = f(x) . g(x) = (2x2 – 7x)(3x) = 6x3 – 21x2

(f / g)(x) = f(x) / g(x) = =

Ejem : Sean las funciones:f(x) = 6x – 4 ; -3< x ≤ 8 g(x) = x2 – 9 ; -4 ≤ x < 5Determinar: f + g, f – g, f. g, f/g

Solución:

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = x2 + 6x - 13 (f - g)(x) = f(x) - g(x) = -x2 + 6x + 5

(f . g)(x) = f(x) . g(x) = (6x - 4)(x2 - 9) = 6x3 – 4x2 – 54x + 36 El dominio de las operaciones adición, sustracción y multiplicación esta dado por:

Dom f ∩ Dom g = < -3; 5 >

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-3 5 8-∞ +∞

(f / g)(x) = f(x) / g(x) = , x ≠ 3 x ≠-3

Dom (f /g) = < -3; 5 > - {-3; 3}

Ejem : Sean las funciones: f = {(1; 3) ;(4; 9); (3; 7); (5; 11)} g = {(2; 4); (1; 2); (3; 6); (4; 8)}

Calcular f + g y f - g.

Solución:

Calculando el dominio de las funciones:Dom f = {1; 3; 4; 5}Dom g = {1; 2; 3; 4}Luego el dominio de las operacionesDom( f + g) = Dom (f – g) = Dom f ∩ Dom g = {1; 3; 4}

Hallando f + g(f + g)(1) = f(1) + g(1) = 3 + 2 = 5 (1; 5)(f + g)(3) = f(3) + g(3) = 7 + 6 = 13 (3;13)(f + g)(4) = f(4) + g(4) = 9 + 8 = 17 (4, 17)

f + g = {(1,5) ;(3,13); (4,17)}

Hallando f - g(f - g)(1) = f(1) - g(1) = 3 - 2 = 1 (1; 1)(f - g)(3) = f(3) - g(3) = 7 - 6 = 1 (3; 1)(f - g)(4) = f(4) - g(4) = 9 - 8 = 1 (4, 1)

f - g = {(1,1) ;(3,1); (4,1)}

Ejem : calcular f/g si: f = {(4; 2) ;(9; 3); (1; 1); (16; 4); (25; 5)} g = {(1; 2); (25; 0); (9; 6); (4; 8); (3; 3)}

Solución:

Calculando el dominio de la operación f/ g:Dom f/g = Dom f ∩ Dom g – { g(x) = 0 }Dom f/g = {1; 4; 9; 25} - { 25}Dom f/g = {1; 4; 9}

Calculando f/g(f/g) (1) = 1/ 2(f/g) (4) = 1/ 4(f/g) (9) = 3 / 6 = 1/ 2

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f/g = {(1,1/ 2) ; (4; 1 /4); (9,1/ 2)}

1.3 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES.- sean las funciones ”f” y “g”, luego la composición de “f” con “g” se define: (f o g)(x) = f(g(x))

Donde el dominio de la función compuesta está definido:

Dom (f o g)(x) = {x/ x є Dom g ʌ g(x) є Dom f }

Propiedades: f o g g o f (f + g) o h = (f o h) + (g o h) (f o g) o h =f o ( g o h) (f.g) o h = (f o h).(g o h)

Ejem : Si f(x) = 3x2 y g(x) = 4x – 5, calcular “ f o g” y “g o f”

Solución:

(f o g)(x) = f( g(x) ) = f(4x – 5) = 3(4x – 5)2

= 48x2 – 120x + 75

(g o f)(x) = g( f(x) ) = g(3x2) = 4(3x2) – 5 = 12x2 - 5

Ejem : Sean las funcionesf = {(6;3) ;(4;3); (7;1); (5;4); (9;5)} g = {(1;4); (5;0); (3;6); (4;5); (6;2)}

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x g(x) f(g(x))

Dom (g)Dom (f)

g f

(fog)(x)

Calcular “ f o g”

Solución:

Tenemos los dominios de las funciones:Dom f = {6; 4; 7; 5; 9} y Dom g = {1; 5; 3; 4; 6}

Sabemos que el dominio de la función compuesta esta dado por:Dom (f o g)(x) = {x/ x є Dom g ʌ g(x) є Dom f }

Los elementos que conforman el dominio de la función compuesta deberán cumplir 2 condiciones: 1era: x є Dom g Dom g = {1; 5; 3; 4; 6}

2da: g(x) є Dom f g(1) = 4 є Dom f El elemento 1 cumple con las dos condiciones. g(5) = 0 Dom f El elemento 5 cumple con sólo una condición. g(3) = 6 є Dom f El elemento 3 cumple con las dos condiciones.

g(4) = 5 є Dom f El elemento 4 cumple con las dos condiciones. g(6) = 2 Dom f El elemento 6 cumple con sólo una condición.

Luego el dominio de la función compuesta esta dado por:Dom (f o g) = {1; 3; 4}

Calculando el rango de la función compuesta: (f o g)(1) = f(g(1)) = f(4) = 3 (1; 3) (f o g)(3) = f(g(3)) = f(6) = 3 (3; 3)

(f o g)(4) = f(g(4)) = f(5) = 4 (4; 4) Ran f o g = {3; 4}

Luego f o g = {(1;3); (3;3); (4;4)}

Ejem : Sean las funcionesf = {(4; 1) ;(3; 5); (7; 1); (0; 2); (6; 8)} g = {(2; 3); (4; 5); (3; 4); (1; 0)}Calcular “ f o g”

Solución:

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Ejem : Sean las funciones “f” y “g”:

x -3 -2 0 6

f(x) 5 6 7 8

Calcular a) (f o g)(3)b) (f o g)(-2)c) (f o g)(0)d) (g o f)(-3)e) (g o g)(-2)

Solución:

Sabemos que (f o g)(x) = f(g(x)), luego:

Ejem : Sean las funcionesf (x) = 5x + 1, donde x є [-3 ; 5>

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x -2 0 3 5 8

g(x) 0 6 -2 2 4

g(x) = 3 –x, donde x є Calcular:

a) (f o g)(x)b) (g o f)(x)c) (f o g)(4)d) (g o f)(-3)e) (g o g)(0)f) (f o g)(-4)

Solución:

Ejem : Sean las funciones definidas por:f (x) = 3x2 + x -5g(x) = 5 – 2x

Calcular

Solución:

Ejem : Dados los gráficos de las funciones “f” y “g”Calcular:

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a) (g o f)(-1) d) (f o g)(-1)b) (g o f )(0) e) (f o g)(-2)c) (g o f)(1)

Solución:

Ejem : Sean las funcionesf (x) = 6x - 7, donde x є [-1 ; 1>g(x) = 3x + 1, donde x є <-7; 5>

Calcular g o f e indicar el dominio de la función compuesta.Solución:

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g

f

1.4 FUNCIONES INYECTIVAS, SURYECTIVAS Y BIYECTIVAS

1.4.1. Función inyectiva.- Una función es inyectiva si a cada elemento del rango le corresponde un único elemento del dominio.

F = {(x1; y3); (x2; y2); (x3; y1)} g = {(x1; y2); (x2; y2); (x3; y2)}

Se observa que la función “f” es inyectiva ya que a cada elemento del rango le corresponde un único elemento del dominio.

Se observa que la función “g” no es inyectiva ya que a un elemento del rango le corresponde varios elementos del dominio.

Ejem : Sean las funciones “f” y “g” indicar cuál es inyectiva.

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X1

X2

X3

y1

Y2

Y3

F g

X1

X2

X3

y1

Y2

Y3

x1 x2

f(x1)

g

x1 x2

f(x2)

f(x1)

f

Nota: Si “f” es inyectiva, se cumple:

F(x1) = F(x2) x1 = x2

La función “f” es inyectiva. La función “g” no es inyectiva

Ejem : Determinar si la función f(x) = 6x + 7 es inyectiva.

Solución:

Si la función es inyectiva , se debe cumplir:

Ejem : Demostrar que la función es inyectiva, donde x ≠ -3/2

Solución:

Si la función es inyectiva , se debe cumplir:

Ejem : Demostrar que la función es inyectiva cuando x є <0; 12]

Solución:

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Ejem : Demostrar que la función es inyectiva cuando x є [-2; 2]

Solución:

Si la función es inyectiva , se debe cumplir: h(x1) = h(x2) x1 = x2

Elevando al cuadrado ambos términos:

Luego la función h(x) es inyectiva.

Ejem : Determinar el dominio de la función para que sea inyectiva.

Solución:

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1.4.2. Función Suryectiva.- Una función es suryectiva si el rango coincide con el conjunto de llegada.

F: A B es suryectiva Ran(f) = B

F = {(x1; y3); (x2; y2); (x3; y1)} g = {(x1; y2); (x2; y2); (x3; y2)} Ran(f) = {y1; y2; y3} Ran(g) = {y2}

Se observa que la función “f” es suryectiva ya que el rango coincide con el conjunto de llegada.

Se observa que la función “g” no es suryectiva ya que el rango no coincide con el conjunto de llegada.

Ejem : Demostrar que la función es suryectiva cuando f: A B

A є < 2; 5] y B є < 20; 125]

Solución:

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X1

X2

X3

y1

Y2

Y3

F g

X1

X2

X3

y1

Y2

Y3

Ejem : Si g(x) = x - | x - 3l es una función suryectiva donde g: A B, determina el conjunto B.Solución:

1.4.3. Función Biyectiva.- Una función es biyectiva si es inyectiva y suryectiva a la vez.

Ejem : Indicar cuál de las funciones es biyectiva.

Solución:

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3

5

7

7

11

15

f BA

3

5

7

7

11

15

g BA

F = {(3;11); (5;7); (7;15)} g = {(3;15); (5;7); (7;7)} Ran(f) = {7;11;15} Ran(g) = {7;15}

Se observa que la función “f” es inyectiva ya que a cada elemento del rango le corresponde un único elemento del dominio. La función “f” es suryectiva ya que el rango coincide con el conjunto de llegada. Por lo tanto la función “f” es biyectiva.

Se observa que la función “g” no es inyectiva ya que ya que a un elemento del rango le corresponde dos elementos del dominio.. La función “g” no es suryectiva ya que el rango no coincide con el conjunto de llegada. Por lo tanto la función “g” no es biyectiva.

Ejem : Sea f: A B, donde A є [0; 6> y B є <0;+∞>, además ¿es f biyectiva?

Solución:

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1.5 FUNCIÓN INVERSA Una función “f” tiene inversa si es inyectiva, luego el dominio de “f” será igual al rango de la función inversa f* y el rango de “f” será igual al dominio de la función inversa f*. Una función inversa se denota f* ó f-1

Ejem : Sea f = {(2; 5); (3; 7); (1; 2); (4; 9)} , halla la inversa f-1 e indica su dominio y rango. Solución:

Se puede observar quela función “f” es inyectiva, ya que a cada elemento del rango le corresponde un único elemento del dominio. Además:Dom(f) = {2; 3; 1; 4} Ran(f) ={5; 7; 2; 9}

Luego la función inversa es:f-1 ={(5; 2); (7; 3); (2; 1); (9; 4)}Dom(f-1) = {5; 7; 2; 9} Ran(f-1) ={2; 3; 1; 4}

Se observa que el Dom (f) = Ran(f-1) y que el Ran(f) = Dom(f-1)

1.5.1 Propiedad.- Sea “f” una función de A B, la función inversa f -1 cumple con las propiedades:

f-1(f(x)) = x ; para todo x en A f(f-1(x)) = x; para todo x en Bf y f-1 son inversas entre sí.

Ejem : Hallar la inversa de las siguientes funciones:

f = {(1; 5); (2; 8); (3; 11)} f-1 = {(5; 1); (8; 2); (11; 3)} g = {(0; -2); (3; 4); (6; 10); (5; 8); (1; 0)} g-1 = {(-2; 0); (4; 3); (10; 6); (8; 5); (0; 1)} h = {(1; 2); (4; 5); (3; 4); (-2; -1)} h-1 = {(2; 1); (5; 4); (4; 3); (-1; -2)} Ejem : Calcular la inversa de la función f(x) = 9x -5, donde x є Solución:

Calculando la inversa, haciendo uso de las propiedades:f(f-1(x)) = x9 (f-1(x)) - 5 = x9(f-1(x)) = x + 5

f-1(x) =

Otro método :Tenemos f(x) = 9x -5, despejando la variable x:

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Y = 9x – 59x = y + 5

x = , permutamos las variables

y =

f-1(x) = , luego la función inversa es f-1 = {(x;y) є x / y = }

Ejem : Calcular la inversa de la función f(x) = 7x + 1, donde x є [0; 12> Solución:

Calculando la inversa, haciendo uso de las propiedades:f(f-1(x)) = x7(f-1(x)) + 1 = x7(f-1(x)) = x – 1

Luego la inversa esta dado por f-1(x) =

Otro método :Tenemos f(x) = 7x + 1, despejando la variable x:Y = 7x + 17x = y - 1

x = , permutamos las variables

y = , luego la función inversa es f-1(x) =

Se sabe que 0 ≤ x < 12

0 ≤ y – 1< 841 ≤ y < 85

Luego la función inversa es f-1 = {(x;y) / y = ʌ 1 ≤ y < 85 }

Ejem : Hallar la función inversa de: f(x) = x2 + 6x + 7, donde x є [-2; 2> Solución:

Tenemos f(x) = x2 + 6x + 7, despejando la variable x:y = x2 + 6x + 7 y = x2 + 6x + 7 + 2 – 2y = x2 + 6x + 9 – 2

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y = (x + 3)2 – 2y + 2 = (x + 3)2

…….(1)

Se sabe que: -2 ≤ x < 2 -2 +3 ≤ x + 3 < 2 + 3

1≤ x + 3 < 5 ……(2)

Reemplazando (2) en (1) se tiene:

permutando

f-1=

Hallando el rango de la función “f”: -2 ≤ x < 2

1≤ y + 2 < 25 -1≤ y < 23

Ran(f) є [-1; 23> es igual al dominio de la función inversa f-1 Dom(f-1) є [-1; 23>

Luego f-1= ; x є [-1; 23>

Ejem : Hallar f-1 si existe, si f está definida por:

Solución:

De la función f(x) tenemos f1 = x +3 ʌ f2 = x2 + 3

Hallando el rango de las funciones:Para f1 se tiene x ≤ 0 x + 3≤ 3 Ran(f1) є < -∞; 3]

Para f2 se tiene x > 0 X2 + 3> 3 Ran(f2) є < 3; +∞>

Se puede observar quelas funciones f1 y f2 son inyectivas ya que a cada elemento del rango le corresponde un único elemento del dominio. Luego la función tiene inversa.

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Calculando la inversa, haciendo uso de las propiedades:Para f1

f(f-1(x)) = xf-1(x) + 3 = x f-1(x) = x – 3; x є < -∞; 3]

Para f2

f(f-1(x)) = x[f-1(x)]2 + 3 = x f-1(x) = ; x є < 3; +∞>

Luego se tiene:

1.6 APLICACIONES DE FUNCIONES LINEALES

1.6.1 Términos usados en negocios:

a) Costo Fijo (b): es el costo que no va depender del nivel de producción de un producto.Ejm: rentas, interés de préstamo, salarios de administración.

b) Costo Unitario (m): es el costo de producir cada unidad de un producto.

c) Costo Variable (mx): es la suma de todos los costos dependientes del nivel de producción(x).Ejm costo de materiales, costo de mano de obra.

d) Ingreso Total I(x): es la retribución que percibe un productor por una venta realizada a un consumidor (cliente)

e) Utilidad U(x): es el monto resultante que se obtiene de restar el ingreso obtenido en la venta efectuada con los costos de producción.

U(x) = I(x) – C(x)

1.6.2 Función lineal de costo total C(x): el costo de una empresa va depender de la cantidad de producción de un producto, a mayor cantidad de productos producidos el costo será mayor.

Costo total = Costo variable + costo fijoC(x) = mx + b

Donde:Costo unitario es “m”Cantidad de productos “x”Costo fijo “b”La gráfica de la función lineal de costo corresponde a una línea recta.

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Ejem : Un fabricante tiene gastos fijos mensuales de $6000, se sabe que el costo unitario de producción es de $5. Determine:

a) La función lineal de costo total. Graficar.b) El costo de producir 1000 unidades.

Solución:

Datos:Costo fijo (b): $6000Costo unitario (m): $5

a) La función de Costo total es: C(x) = mx + b C(x) = 5x + 6000

b) Luego el costo de producir 1000 unidades es: C(x) = 5(1000) + 6000 C(x) = $11 000

1.6.3 Costo marginal (m): el costo marginal permite tomar decisiones sobre el control de costos, fijación de precios y planeación de la producción.

Ejem : El costo marginal de producir crema corporal para damas de 200 ml es de S/6 por unidad, determine el costo fijo y la función lineal de costo si se sabe que el costo de producir 500 unidades es de S/9 000.

Solución:

Datos:Costo fijo (b): ???Costo unitario (m): S/6Costo total de producir 500 es S/9 000

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x1 x2

y2

y1

500 1000 1500

11000

8500

Hallando el costo fijoC(x) = mx + bC(x) = 6x + bSi x = 500 C(x) =6(500) + b9000 = 3000 + bb = 6000, el costo fijo es S/6000

Hallando la función de costo: C(x) = mx + b C(x) = 6x + 6000

1.6.4 Función lineal de Ingreso I(x): el dinero que ingresa a una empresa va depender de la cantidad de productos vendidos.

I(x) = αx

Donde: Cantidad de productos vendidos “x”Precio de un producto vendido por unidad “α”

Ejem : Si un fabricante tiene gastos fijos mensuales de $5000 y un costo unitario de producción $5, determine la función de costos y de ingresos si se sabe que el producto se vende a $10 la unidad.

Solución:

Datos:Costo fijo (b): $5000Costo unitario (m): $5Precio de venta por unidad (α):$10

Hallando la función de costo: C(x) = mx + b C(x) = 5x + 5000

Hallando la función de ingreso: I(x) = αx I(x) = 10x

1.6.5 Función lineal de Ganancia U(x): la ganancia de una empresa va depender de la diferencia que resulte al restar los ingresos con los costos.

U(x) = I(x) – C(x)U(x) = αx – (mx + b)U(x) = (α – m)x - b

Si U > 0 entonces la utilidad es ganancia.

24

Si U< 0 entonces la utilidad es pérdida.

1.6.6 Análisis de equilibrioEl nivel de equilibrio de una empresa se obtiene cuando no hay ganancias ni pérdidas. Utilidad es igual a cero.

I(x) = C(x)

Donde “x” es el volumen mínimo de producción (VMP)

Ejem: La empresa “Román” se dedica a la producción y venta de mochilas para estudiantes, los costos fijos de la empresa asciende a $3600 y el costo unitario de producción es de $6, si el precio de venta por unidad es de $15, determine:

a) Las funciones de costo, ingreso y de utilidad.b) El volumen mínimo de producción.c) La cantidad de mochilas que se debe producir y vender para obtener una ganancia

igual al 40% del costo total.

Solución:

Datos:Costo fijo (b): $3600Costo unitario (m): $6Precio de venta por unidad (α):$15

a) Hallando las funciones de costo, ingreso y de utilidad.C(x) = mx + b I(x) = αx U(x) = (α – m)x - b C(x) = 6x + 3600 I(x) = 15x U(x) = 9x – 3600

b) Calculando el volumen mínimo de producción (VMP)I(x) = C(x)15x = 6x + 3600 9x = 3600 x = 400 Se debe producir como mínimo 400 mochilas.

c) Ganancia = 40% del costo totalU(x) = 20% C(x)

25

C(x)Po

9x – 3600 = 40% (6x + 3600)9x – 3600 = 2/5 (6x + 3600)45x – 18000 = 12x + 720033x = 25200X = 763,63

Se debe vender 764 mochilas para obtener una ganancia del 40% del costo total.

Ejem: La empresa G y O se dedica a la producción y venta de agendas de cuero. Los costos fijos de la empresa asciende a S/ 6000 y el costo unitario de producción es de S/15. Si cada agenda se vende a S/30 determine:a) Las funciones de costo, ingreso y utilidad.b) Determine el volumen mínimo de producción.c) Determine el número de agendas que se deben producir y vender para obtener una ganancia igual al 20% del costo total.d) Cuántas unidades se deben vender para obtener una ganancia de S/4000.

Solución:

Datos:- Costos fijos(b) = S/6 000- Costo unitario(m) = S/15- Precio de venta (α ) = S/30

a) Hallando las funciones de costo, ingreso y de utilidad. C(x) = mx + b I(x) = αx U(x) = (α – m)x - b C(x) = 15x + 6000 I(x) = 30x U(x) = 15x – 6000

b) Calculando el volumen mínimo de producción (VMP) I(x) = C(x) 30x = 15x + 6000 15x = 6000 x = 400 Se debe producir como mínimo 400 agendas. c) Ganancia = 20% del costo total U(x) = 20% C(x) 15x – 6000 = 20% (15x + 6000) 15x – 6000 = 1/5 (15x + 6000) 15x – 6000 = 3x + 1200 x = 600Se debe vender 600 agendas para obtener una ganancia del 20% del costo total.

d) ganancia = S/4000 U(x) = 4000 15x – 6000 = 4000 15x = 10 000 X = Se debe vender 667 agendas.

26

Ejem: Si el costo marginal para producir cierto medicamento es de $8 por unidad y el costo de producir 500 unidades es de $5400. Determine la función lineal de costo.

Solución:

Datos:- Costo unitario(m) = $8- Costo de producir 500 unidades es $5400

Se tiene que si x = 500 C(x) = $5400Se sabe que la ecuación de costo total es: C(x) = mx + b 5400 = 8(500) + b 5400 = 4000 + b b = $1400

Luego la función lineal de costo es: C(x) = 8x + 1400

Ejem: La empresa Díaz se encarga de la producción y ventas de tinte para el cabello. Si el costo de producir cada unidad es de S/8 y el costo de producir 1000 unidades es de S/13000, si cada tinte se vende a S/24, determinar:

a) Las funciones de costo, ingreso y utilidad.b) El punto de equilibrio.c) La ganancia o pérdida correspondiente a niveles de producción de 200 y 800

unidades.

Solución:

Datos:- Costo unitario(m) = S/8- Precio de venta (α ) = S/24- Costo de producir 1000 unidades es S/13000

Se tiene que si x = 1000 C(x) = S/13000Se sabe que la ecuación de costo total es: C(x) = mx + b 13000 = 8(|1000) + b 5000 = b

a) Hallando las funciones de costo, ingreso y de utilidad. C(x) = mx + b I(x) = αx U(x) = (α – m)x - b C(x) = 8x + 5000 I(x) = 24x U(x) = 16x – 5000

b) Para determinar el punto de equilibrio se necesita el VMP I(x) = C(x) 24x = 8x + 5000

27

16x = 5000X = Luego el punto de equilibrio es (313 ; 7500)

c) Si x = 200 U(x) = 16x – 5000 U(x) = 16(200) – 5000 = -1800 pérdida.

Si x = 800 U(x) = 16x – 5000 U(x) = 16(800) – 5000 = 7800 ganancia.

Ejem: Un empresario se dedica a la compra y venta de reloj para caballero, se sabe que lo compra a S/50 y los vende a S/150. Si tiene un lote de 200 unidades y por cada S/20 que aumente en el precio de venta deja de vender 5 unidades. Si el empresario desea obtener una ganancia de S/35 000.

a) A qué precio le conviene vender cada reloj?b) Cuántos relojes venderá a ese precio?c) Cuántos incrementos de S/20 realizó?

Solución:

Ganancia al iniciar: 150 – 50 = S/100N° de

incrementosCantidad de relojes vendidos

según el incremento.Ganancia por unidad

1 200 – 5(1) 100 + 20(1)2 200 – 5(2) 100 + 20(2)3 200 – 5(3) 100 + 20(3)4 200 – 5(4) 100 + 20(4)...

.

.

.

.

.

.x 200 – 5(x) 100 + 20(x)

La cantidad de incrementos esta dado por: x

Ganancia total = (200 – 5x)(100 + 20x)35 000 = 20 000 + 4000x – 500x -100x2

X2 – 35x + 150 = 0X -30X -5(x – 30)(x – 5) = 0X = 30 x = 5

a) Para 30 incrementos Precio de venta = 150 + 30(20) = 750Para 5 incrementos Precio de venta = 150 + 5(20) = 250Los relojes se pueden vender a S/250 ó S/750, les conviene vender a S/250.

28

b) Cantidad de relojes = 200 – 5x = 200 – 5(5) = 175

c) Se realizó 5 incrementos de S/20.

1.7 APLICACIONES DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

Sea f(x) una función cuadrática, luego su regla de correspondencia es:

f(x) = ax2 + bx + cDonde:a, b, c є y son constantes, además a ≠ 0

La gráfica de la función cuadrática corresponde a una parábola, donde el vértice de la parábola permite calcular el valor máximo o mínimo de ganancia que se obtiene al vender una cantidad de productos.

Si a > 0 se cumple:- La parábola se abre hacia arriba.

- La función cuadrática tiene un punto mínimo y es el vértice :

- Dom f є [0; +∞>- Ran f є [f(-b/2a) ; +∞>

Si a < 0 se cumple:- La parábola se abre hacia abajo.

- La función cuadrática tiene un punto máximo y es el vértice :

- Dom f є [0; +∞>- Ran f є <- ∞; f(-b/2a)>

29

-b/2a

f(-b/2a)

Eje de simetría

V

Punto mínimo

-b/2a

f(-b/2a)

Eje de simetría

V

Punto máximo

Nota:- Para determinar los puntos en que la parábola se interseca con el eje x se

obtiene haciendo y = 0 f(x) = 0

- Para determinar el punto de intersección de la parábola con el eje “y” se obtiene haciendo x = 0 f(0) = constante

Ejem: Graficar las siguientes funciones cuadráticas, indicar el dominio y rango.

a) F(x) = 2x2 – 4x – 3b) H(x) = -x2 + 4x

Solución:

a) En la función F(x) = 2x2 – 4x – 3, se tiene:

a = 2 b= -4 c= -3 como a > 0 luego la parábola se abre hacia arriba.

Calculando el vértice de la función:

-b/2a = -(-4)/2(2) = 1F(-b/2a) = F(1) = 2(1)2 – 4(1) – 3 F(1) = -5

Luego el vértice es V(1; -5)

Si x = 0 F(0) = 2(0)2 – 4(0) – 3= -3 y = -3, luego el punto (0; -3) є a la parábola.

Si y = 0 F(x) = 2x2 – 4x – 32x2 – 4x – 3 = 0, resolviendo la ecuación por la fórmula general se tiene:X1 = 2,58 x2= -0,58

30

-3

-5

1

V(1;-5)

2,58

Dom F(x) є [0; +∞> Ran F(x) є [-5; +∞>

b) En la función H(x) = -x2 + 4x , se tiene:

a = -1 b= 4 c= 0 como a < 0 luego la parábola se abre hacia abajo.


-b/2a = -(4)/2(-1) = 2F(-b/2a) = F(2) = -(2)2 + 4(2) F(2) = 4

Luego el vértice es V(2; 4)

Si x = 0 H(0) = (0)2 + 4(0) = 0 y = 0, luego el punto (0; 0) є a la parábola.

Si y = 0 H(x) = -x2 + 4x -x2 + 4x = 0, resolviendo la ecuación por factorización se tiene:X1 = 0 x2= 4

Dom H(x) є [0; +∞> Ran H(x) є <-∞; 4]

Ejem: Determinar el rango, el valor máximo y mínimo de las funciones:

a) F(x) = 2x2 – 4x – 1b) H(x) = -x2 + 6x

Solución:

a) En la función F(x) = 2x2 – 4x – 1, se tiene:

31

4

2

V(1;-5)

4

a = 2 b= -4 c= -1 como a > 0 luego la parábola se abre hacia arriba, por lo tanto tiene un punto mínimo.


-b/2a = -(-4)/2(2) = 1

F(-b/2a) = F(1) = 2(1)2 – 4(1) – 1 F(1) = -3

Luego el vértice es el punto mínimo V(1; -3) Ran F(x) є [-3; +∞>

b) En la función H(x) = -x2 + 6x , se tiene:

a = -1 b= 6 c= 0 como a < 0 luego la parábola se abre hacia abajo. por lo tanto tiene un punto máximo.


-b/2a = -(6)/2(-1) = 3F(-b/2a) = F(3) = -(3)2 + 6(3) F(3) = 9

Luego el vértice es el punto máximo V(3; 9)Ran H(x) є <-∞; 9]

32

-3

1

Punto mínimo V(1;-5)

9

3

Punto máximo V(3;9)

Ejem: La ganancia bimestral de una empresa que produce y vende “x” millares de billeteras de cuero está dada por f(x) = -x2/2 + 4x + 10. ¿Cuántas billeteras se debe vender para maximizar las ganancias?

Solución:

En la función F(x) = -x2/2 + 4x + 10, se tiene:

a = -1/2 b= 4 c= 10 como a < 0 luego la parábola se abre hacia abajo, por lo tanto tiene un punto máximo.


-b/2a = -(4)/2(-1 /2) = 4F(-b/2a) = F(4) = -8 + 16 + 10 = 18 F(4) = 9

Luego el vértice es el punto máximo V(4; 18)

Se debe vender 4000 billeteras para que la ganancia máxima seas/18 000.

Ejem: La ganancia bimestral de una empresa que produce y vende “x” millares de billeteras de cuero está dada por f(x) = -x2/2 + 4x + 10. ¿Cuántas billeteras se debe vender para maximizar las ganancias? ¿Cuánto será la ganancia máxima?

Solución:

En la función F(x) = -x2/2 + 4x + 10, se tiene:

a = -1/2 b= 4 c= 10 como a < 0 luego la parábola se abre hacia abajo, por lo tanto tiene un punto máximo.

33

18

4



F(-b/2a) = F(4) = -8 + 16 + 10 = 18 F(4) = 18


Se debe vender 4000 billeteras de cuero para maximizar la ganancia. La ganancia máxima es de S/18 000.

Ejem: El dueño de un restaurant de comida vegetariana contrata a un consultor para analizar las operaciones de negocio. El consultor observa que las ganancias P(x) de la venta de “x” cientos de platos de comida está dada por: P(x) = -x2 + 40x. ¿Cuántos platos se debe vender para maximizar la ganancia? ¿Cuál es la ganancia máxima?

Solución:

En la función P(x) = -x2 + 40x , se tiene:

a = -1 b= 40 c= 0 como a < 0 luego la parábola se abre hacia abajo, por lo tanto tiene un punto máximo.


P(-b/2a) = P(20) = -202 + 40(20) = 400 P(20) = 400


Calculando los puntos de intersección de la parábola con el eje X. P(x) = -x2 + 40x

34

18

4



0 = -x(x -40)

X1 = 0 X2 = 40

Se debe vender 2000 platos de comida vegetariana. La ganancia máxima es de S/40 000.

Ejem: Cuando una empresa vende “x” millares de un producto sus ganancias son P(x) = -2x2 + 40x + 280 determine:

a) El número de millares que debe vender para que la ganancia sea máxima.b) Cuál es la ganancia máxima.

Solución:

En la función P(x) = -2x2 + 40x + 280 se tiene:

a = -2 b= 40 c= 280 como a < 0 luego la parábola se abre hacia abajo, por lo tanto tiene un punto máximo.


P(-b/2a) = P(10) = -2(10)2 + 40(10) + 280 = 480 P(10) = 480


35

400

20 40

480

10


Se debe vender 10000 unidades de dicho producto.La ganancia máxima es de S/480 000.

1.8 FUNCIÓN EXPONENCIALLa función exponencial tiene su aplicación en finanzas y economía, está definida por:

F(x) = bx Donde: b > 0 ʌ b ≠ 1, x є

Y = bx

1.8.1 Gráfica de funciones exponenciales

La gráfica F(x) = bx se intersecta con el eje “y” en el punto (0; 1). No existe intersección con el eje “x”.

Si b > 1 la gráfica es creciente de izquierda a derecha. Si 0 < b < 1 la gráfica es decreciente de izquierda a derecha.

La función es creciente, b>1. La función es decreciente, 0<b<1.

Ejem: Sea la función exponencial f(x) = 2x, construir su gráfica e indicar el dominio y rango.Solución:

Para graficar vamos a tabular:

36

F(x) F(x)

x -2 -1 0 1 2

Y = 2x 1/4 1/2 1 2 4

El punto de intersección con el eje “y” es (0; 1) Si f(x) = 2x, b > 1 la gráfica es creciente. Dom f(x) є Ran f(x) є <0; +∞>

Ejem: Sea la función exponencial f(x) = 3x, construir su gráfica e indicar el dominio y rango.Solución:


x -2 -1 0 1 2

Y = 3x 1/9 1/3 1 3 9

El punto de intersección con el eje “y” es (0; 1) Si f(x) = 3x, b > 1 la gráfica es creciente.

37

F(x)

-2 -1 0 1 2

2

1

½1/4

F(x)

-2 -1 1

3

1

1/31/9

Dom f(x) є Ran f(x) є <0; +∞>

Ejem: Sea la función exponencial , construir su gráfica e indicar el dominio y

rango.Solución:


x -2 -1 0 1 2

4 2 1 1 /2 1/4

El punto de intersección con el eje “y” es (0; 1)

Si , 0< b < 1 la gráfica es decreciente.

Dom f(x) є Ran f(x) є <0; +∞>

1.9 FUNCIÓN LOGARITMICA

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial. Una función logarítmica de base b > 0, se define por:

F(x) = Y = by = x

38

f(x)

-2 -1 0 1 2

4

2

El dominio de la función logarítmica es el conjunto de y el rango pertenece a los números .

1.9.1 Gráfica de funciones logarítmicas

La gráfica F(x) = se interseca con el eje “x” en el punto (1; 0). No existe intersección con el eje “y”.

Si b > 1 la gráfica asciende de izquierda a derecha. Si 0 < b < 1 la gráfica desciende de izquierda a derecha.

b > 1 0 < b < 1

Ejem: Sea la función logarítmica , construir su gráfica e indicar el dominio y rango.Solución:

Se tiene: 2y = x Para graficar vamos a tabular:

x 1/4 1/2 1 2 4

-2 -1 0 1 2

39

f(x)

f(x)

f(x)

1 2 4

2

1

El punto de intersección con el eje “x” es (1; 0) Si, la gráfica asciende de izquierda a derecha

Dom f(x) є Ran f(x) є

Ejem: Sea la función logarítmica , construir su gráfica e indicar el dominio y rango.Solución:

Se tiene:


x 4 2 1 1/ 4 1/2

-2 -1 0 2 1

El punto de intersección con el eje “x” es (1; 0) Si, la gráfica desciende de izquierda a derecha

Dom f(x) є Ran f(x) є

40

-1

-2 f(x)

4

1

2

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.-Calcular f + g; f – g, f . g, f/g, donde:F ={(1;2), (3,4), (2,5), (4,1)}G ={(3;-1), (2,1), (1,0), (0,2)}

2.- Calcular f + g; f – g, f . g, f/g, donde:F(x) = 4x – 5, -4< x ≤ 8G(x)= x2 + 4 , -3< x ≤ 10

3.-Sea la función , indica el valor de

4.- Sean las funciones: f(x) = x2 -3x ʌ G(x) = 5x – 7

Hallar E =

5.-Dada la gráfica de las funciones “f” y “g” como se muestra en la figura

Calculara) (f o g)(-2) b) (g o f)(1) c) (g o f)(3) d) (g o g)(6)

6.- Sean las funciones: F( x) = 2x2 -5 G(x) = 6x + 1 , hallar f o g y g o f

42

g

f

7.- Sean las funciones:

x -2 4 6 9

f(x) 5 3 7 8x -1 3 5 7 9

g(x) 0 6 -4 3 4

Calcular:

8.- La empresa “Seminario”, se encarga de la producción y venta de relojes para dama. Producir cada unidad le cuesta $15 y el costo de producir 200 relojes es de $5 000. Si cada reloj se vende a $25, determine:a) El valor del costo fijo.b) Las ecuaciones de costo e ingreso.c) Que utilidad se obtiene al vender 50 relojes?d) Cuántas unidades se deben vender para obtener una ganancia de $ 4 000?e) Cuántas unidades se vendieron si se perdió $ 1 000?f) Cuántas unidades se deben vender para obtener una ganancia igual al 15% del costo? g) Cuál es mínimo número de relojes que se deben vender para obtener ganancia? De cuánto es dicha ganancia?h) Cuál es máximo número de relojes que se deben vender y aún así generar pérdidas?

9.- Determinar si la función es inyectiva?

10.- Sea donde f: A ---- B, A є [2; 7> y B є R. ¿es f biyectiva?

43

AUTOEVALUACIÓN

1.- Dada la función , x ≠ 1 ¿es inyectiva?

2.- Determinar el valor “m3+ 1” si f es función.

f = {(5 ; 3), (m; 2), (5 ; 2m2- 5m), (3, 1) }

3.- La empresa G y O se dedica a la producción y venta de maletines para ejecutivos. Los costos fijos de la empresa asciende a S/ 9000 y el costo unitario de producción es de S/25. Si cada maletín se vende a S/120 determine:a) Determine el volumen mínimo de producción.b) Cuántas unidades se deben vender para obtener una ganancia de S/8000.

4.- Calcular f + g y f.g, donde: f(x) = 6x + 1, -5 < x ≤ 8g(x)= x2 + 1 , 2 < x ≤ 10

5.- Sean las funciones f ={(1;-3),(7;4),(6;3),(4;-4),(7;4)} y g={(2,9),(7;1),(6;6),(8;1),(4,0)}.Calcular f o g e indicar el dominio y rango de la función compuesta.

6.- Sean las funciones: f(x) = x3 - 4x g(x) = x – 1

Hallar

7.- Sea la función f(x) = 9x – 5 donde x є [0; 8>, será inyectiva? En caso de ser inyectiva calcular la inversa.

8.-La empresa “Guardales”, se encarga de la producción y venta de calculadoras científicas. Producir cada unidad le cuesta $20 y el costo de producir 400 calculadoras es de $13 000. Si cada reloj se vende a $100, determine:a) El valor del costo fijo.b) Cuántas unidades se vendieron si se perdió $ 1 000?

44

RESPUESTAS

N°1 N°2 N°3 N°4es inyectiva. 7/8 95 y 179 f + g = x2 + 6x + 2

F. g = 6x3 + x2 + 6x + 1

N°5 N°6 N°7 N°8f o g ={(7;-3),(6;3),(8;-3)}Dom f og = {6, 7, 8}Ran f og = {-3; 3}

1/15 es inyectiva

,

$5000 y 50

45

material de funciones-mate 2

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