materi determinan (stis)
DESCRIPTION
semoga bermanfaat :)TRANSCRIPT
![Page 1: Materi Determinan (STIS)](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061609/5566c7ebd8b42aac288b534b/html5/thumbnails/1.jpg)
DETERMINAN
MENGHITUNG DETERMINANSIFAT-SIFAT DETERMINAN
![Page 2: Materi Determinan (STIS)](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061609/5566c7ebd8b42aac288b534b/html5/thumbnails/2.jpg)
Menghitung Determinan
Perkalian Elementer Ekspansi Kofaktor Reduksi Baris
Matriks Segitiga
![Page 3: Materi Determinan (STIS)](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061609/5566c7ebd8b42aac288b534b/html5/thumbnails/3.jpg)
•Menghitung Determinan Dengan Perkalian Elementer
![Page 4: Materi Determinan (STIS)](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061609/5566c7ebd8b42aac288b534b/html5/thumbnails/4.jpg)
PERMUTASI
Definisi:Suatu permutasi bilangan bulat {1,2,…,n} adalah suatu susunan bilangan-bilangan bulat ini dalam suatu urutan tanpa penghilangan atau pengulangan
Contoh: 6 permutasi berbeda dari bilangan bulat {1,2,3} adalah:{1,2,3} {2,1,3} {3,1,2}{1,3,2} {2,3,1} {3,2,1}
![Page 5: Materi Determinan (STIS)](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061609/5566c7ebd8b42aac288b534b/html5/thumbnails/5.jpg)
PERMUTASIDalam permutasi dikatakan terjadi sebuah inversi/ pembalikan bilamana suatu bilangan bulat yg lebih besar mendahului yang lebih kecil.
Contoh:Tentukan jumlah inversi dari permutasi berikut:(a) (6,5,3,1,4,2) (b) (2,4,1,3) c (1,2,3,4)
Penyelesaian Jumlah iversi/pembalikan: 5+4+2+0+1=12 Jumlah iversi/Pembalikan: 1+2+0=3 Tidak ada inversi/pembalikan dalam permutasi ini
![Page 6: Materi Determinan (STIS)](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061609/5566c7ebd8b42aac288b534b/html5/thumbnails/6.jpg)
PERMUTASI
Definisi: Suatu permutasi disebut genap jika
total jumlah inversi merupakan suatu
bilangan bulat genap dan disebut ganjil
jika total jumlah inversi merupakan suatu
bilangan bulat ganjil
![Page 7: Materi Determinan (STIS)](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061609/5566c7ebd8b42aac288b534b/html5/thumbnails/7.jpg)
PERMUTASIContoh. Tabel berikut merupakan klasifikasi berbagai
permutasi dari {1,2,3} sebagai genap atau ganjil
Permutasi Jumlah Inversi Klasifikasi
(1,2,3) 0 genap
(1,3,2) 1 Ganjil
(2,1,3) 1 Ganjil
(2,3,1) 2 Genap
(3,1,2) 2 Genap
(3,2,1) 3 Ganjil
![Page 8: Materi Determinan (STIS)](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061609/5566c7ebd8b42aac288b534b/html5/thumbnails/8.jpg)
DETERMINANA adalah matriks bujursangkar. Determinan matriks A yang disimbolkan det(A) dapat didefinisikan sebgai jumlah semua hasil perkalian elementer bertanda dari matriks A.
Contoh: Daftarkan semua hasil kali bertanda dari matriks-matriks berikut ini
a. b.
2221
1211
aa
aa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
![Page 9: Materi Determinan (STIS)](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061609/5566c7ebd8b42aac288b534b/html5/thumbnails/9.jpg)
DETERMINANPenyelesaian:
Hasil Kali
Dasar
Permutasi Terkait
Klasifikasi
Hasil Kali Dasar
Bertanda
a11a22 (1,2) genap a11a22
a12a21 (2,1) Ganjil -a12a21
![Page 10: Materi Determinan (STIS)](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061609/5566c7ebd8b42aac288b534b/html5/thumbnails/10.jpg)
DETERMINANPenyelesaian:
Hasil Kali Dasar
Permutasi Terkait
Klasifikasi
Hasil Kali Dasar
Bertanda
a11a22a33 (1,2,3) genap a11a22a33
a11a23a32 (1,3,2) Ganjil -a11a23a32
a12a21a33 (2,1,3) Ganjil -a12a21a33
a12a23a31 (2,3,1) Genap a12a23a31
a13a21a32 (3,1,2) Genap a13a21a32
a13a22a31 (3,2,1) Ganjil -a13a22a31
![Page 11: Materi Determinan (STIS)](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061609/5566c7ebd8b42aac288b534b/html5/thumbnails/11.jpg)
DETERMINANSehingga diperoleh:
a. det = a11a22 - a12a21
b. det = a11a22a33 +a12a23a31 +a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33 -a13a22a31
2221
1211
aa
aa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
![Page 12: Materi Determinan (STIS)](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061609/5566c7ebd8b42aac288b534b/html5/thumbnails/12.jpg)
DETERMINANDengan menggunakan jembatan keledai (mnemonic) dapat
dihitung:
+ - + + + - - -
2221
1211
aa
aa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
3231
2221
1211
aa
aa
aa
![Page 13: Materi Determinan (STIS)](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061609/5566c7ebd8b42aac288b534b/html5/thumbnails/13.jpg)
Contoh :
Diperoleh :det (A) = -2, det( A1) = -8, det( A2) = 2,
det(A3) = -2
1 2 3
1 2 3 4 8 12 0 1 4 1 2 3
0 1 4 , 0 1 4 , 1 2 3 , 2 3 2
1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1
A A A A
![Page 14: Materi Determinan (STIS)](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061609/5566c7ebd8b42aac288b534b/html5/thumbnails/14.jpg)
MENGHITUNG DETERMINAN
DENGAN EKSPANSI KOFAKTOR
![Page 15: Materi Determinan (STIS)](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061609/5566c7ebd8b42aac288b534b/html5/thumbnails/15.jpg)
Ekspansi kofaktorDefinisi:
Bila A adalah sebuah matriks bujursangkar, maka
minor elemen aij (disimbolkan dengan Mij)
didefinisikan sebagai determinan dari submatriks yang ada setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan dari A.
Nilai (-1)i+j Mij ditulis sebagai Cij dan dinamakan sebagai
kofaktor elemen aij.
Jadi, Cij = (-1)i+jMij
![Page 16: Materi Determinan (STIS)](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061609/5566c7ebd8b42aac288b534b/html5/thumbnails/16.jpg)
Ekspansi kofaktor
Contoh:
Diketahui A =
Maka M32 = det = det
= (1)(-3) – (1)(-1)
=-3+1 = -2
Jadi, C32 = (-1)3+2 M32 = (-1)(-2) = 2
122
331
121
122
331
121
31
11
![Page 17: Materi Determinan (STIS)](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061609/5566c7ebd8b42aac288b534b/html5/thumbnails/17.jpg)
Ekspansi kofaktor
Teorema:
Apabila diberikan matriks A yang berukuran nxn, maka determinan matriks A dapat dihitung dengan menggunakan:
Expansi kofaktor sepanjang kolom j:
det(A) = a1jC1j + a2jC2j +...+ anjCnj
Expansi kofaktor sepanjang baris i:
det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2+...+ ainCin
![Page 18: Materi Determinan (STIS)](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061609/5566c7ebd8b42aac288b534b/html5/thumbnails/18.jpg)
Ekspansi kofaktor
Contoh:
Hitung Determinan matriks A =
Penghitungan det. ekspansi kofaktor baris 1:
det (A) = 1 -2 +1
Penghitungan det. ekspansi kofaktor kolom 2 ?
122
331
121
12
33
12
31
22
31
![Page 19: Materi Determinan (STIS)](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061609/5566c7ebd8b42aac288b534b/html5/thumbnails/19.jpg)
Matriks Kofaktor
Jika A adalah sembarang matriks nxn dan Cik adalah kofaktor dari aij, maka matriks kofaktor dari A adalah:
Matriks Adjoint A yg disimbolkan Adj (A) adalah Transpose dari matriks kofaktor A
nnnn
n
n
CCC
CCC
CCC
...
.
.
...
...
21
22221
11211
![Page 20: Materi Determinan (STIS)](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061609/5566c7ebd8b42aac288b534b/html5/thumbnails/20.jpg)
REDUKSI BARIS
Determinan sebuah matriks dapat dihitung dengan mereduksi matriks menggunakan operasi baris elementer sehingga matriks berada pada bentuk eselon baris.
Teorema 2.1.
Jika A adalah sebarang matriks kuadrat yang mengandung sebaris bilangan nol, maka
det(A) = 0
![Page 21: Materi Determinan (STIS)](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061609/5566c7ebd8b42aac288b534b/html5/thumbnails/21.jpg)
Teorema:
Jika A adalah matriks segitiga n x n, maka det(A) adalah hasil kali entri-entri pada diagonal utama.
Teorema: Misalkan A adalah sebarang matriks n x n.
(a) Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila baris tunggal A dikalikan oleh konstanta k, maka det (A’) = k det (A)
(b) Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila 2 baris A dipertukarkan, maka det(A’)=-det(A)
(c) Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila kelipatan 1 baris A ditambahkan pada baris lain, maka det (A’) = det (A)
![Page 22: Materi Determinan (STIS)](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061609/5566c7ebd8b42aac288b534b/html5/thumbnails/22.jpg)
Misalkan A’ adalah matriks yang dihasilkan dari operasi baris elementer tertentu.
Operasi det ( A ) det ( A’ )
( i ) | A | k | A |
( ii ) | A | - | A |
( iii ) | A | | A |
![Page 23: Materi Determinan (STIS)](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061609/5566c7ebd8b42aac288b534b/html5/thumbnails/23.jpg)
det(kA) = kndet(A) n : jumlah baris
det(A+B) ≠ det(A) + det(B) det(AB) = det(A).det(B) det(A) = det(AT) implikasi : berlaku operasi kolom
11 12 13 11 12 133
21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33
ka ka ka a a a
ka ka ka k a a a
ka ka ka a a a
![Page 24: Materi Determinan (STIS)](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061609/5566c7ebd8b42aac288b534b/html5/thumbnails/24.jpg)
TeoremaAnggap A, B, dan C adalah matriks nxn yang berbeda hanya pada salah satu barisnya, katakanlah beris ke –r, dan anggap baris ke-r dari C bisa diperoleh dengan menambahkan anggota-anggota yang berpadanan pada baris ke-r dari A dan B. Maka:
Det ( C ) = det (A) + det ( B )Hasil yg sama berlaku untuk kolom
![Page 25: Materi Determinan (STIS)](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061609/5566c7ebd8b42aac288b534b/html5/thumbnails/25.jpg)
Contoh:
110
302
571
741
302
571
171401
302
571