Download - Materi Determinan (STIS)
DETERMINAN
MENGHITUNG DETERMINANSIFAT-SIFAT DETERMINAN
Menghitung Determinan
Perkalian Elementer Ekspansi Kofaktor Reduksi Baris
Matriks Segitiga
•Menghitung Determinan Dengan Perkalian Elementer
PERMUTASI
Definisi:Suatu permutasi bilangan bulat {1,2,…,n} adalah suatu susunan bilangan-bilangan bulat ini dalam suatu urutan tanpa penghilangan atau pengulangan
Contoh: 6 permutasi berbeda dari bilangan bulat {1,2,3} adalah:{1,2,3} {2,1,3} {3,1,2}{1,3,2} {2,3,1} {3,2,1}
PERMUTASIDalam permutasi dikatakan terjadi sebuah inversi/ pembalikan bilamana suatu bilangan bulat yg lebih besar mendahului yang lebih kecil.
Contoh:Tentukan jumlah inversi dari permutasi berikut:(a) (6,5,3,1,4,2) (b) (2,4,1,3) c (1,2,3,4)
Penyelesaian Jumlah iversi/pembalikan: 5+4+2+0+1=12 Jumlah iversi/Pembalikan: 1+2+0=3 Tidak ada inversi/pembalikan dalam permutasi ini
PERMUTASI
Definisi: Suatu permutasi disebut genap jika
total jumlah inversi merupakan suatu
bilangan bulat genap dan disebut ganjil
jika total jumlah inversi merupakan suatu
bilangan bulat ganjil
PERMUTASIContoh. Tabel berikut merupakan klasifikasi berbagai
permutasi dari {1,2,3} sebagai genap atau ganjil
Permutasi Jumlah Inversi Klasifikasi
(1,2,3) 0 genap
(1,3,2) 1 Ganjil
(2,1,3) 1 Ganjil
(2,3,1) 2 Genap
(3,1,2) 2 Genap
(3,2,1) 3 Ganjil
DETERMINANA adalah matriks bujursangkar. Determinan matriks A yang disimbolkan det(A) dapat didefinisikan sebgai jumlah semua hasil perkalian elementer bertanda dari matriks A.
Contoh: Daftarkan semua hasil kali bertanda dari matriks-matriks berikut ini
a. b.
2221
1211
aa
aa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
DETERMINANPenyelesaian:
Hasil Kali
Dasar
Permutasi Terkait
Klasifikasi
Hasil Kali Dasar
Bertanda
a11a22 (1,2) genap a11a22
a12a21 (2,1) Ganjil -a12a21
DETERMINANPenyelesaian:
Hasil Kali Dasar
Permutasi Terkait
Klasifikasi
Hasil Kali Dasar
Bertanda
a11a22a33 (1,2,3) genap a11a22a33
a11a23a32 (1,3,2) Ganjil -a11a23a32
a12a21a33 (2,1,3) Ganjil -a12a21a33
a12a23a31 (2,3,1) Genap a12a23a31
a13a21a32 (3,1,2) Genap a13a21a32
a13a22a31 (3,2,1) Ganjil -a13a22a31
DETERMINANSehingga diperoleh:
a. det = a11a22 - a12a21
b. det = a11a22a33 +a12a23a31 +a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33 -a13a22a31
2221
1211
aa
aa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
DETERMINANDengan menggunakan jembatan keledai (mnemonic) dapat
dihitung:
+ - + + + - - -
2221
1211
aa
aa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
3231
2221
1211
aa
aa
aa
Contoh :
Diperoleh :det (A) = -2, det( A1) = -8, det( A2) = 2,
det(A3) = -2
1 2 3
1 2 3 4 8 12 0 1 4 1 2 3
0 1 4 , 0 1 4 , 1 2 3 , 2 3 2
1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1
A A A A
MENGHITUNG DETERMINAN
DENGAN EKSPANSI KOFAKTOR
Ekspansi kofaktorDefinisi:
Bila A adalah sebuah matriks bujursangkar, maka
minor elemen aij (disimbolkan dengan Mij)
didefinisikan sebagai determinan dari submatriks yang ada setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan dari A.
Nilai (-1)i+j Mij ditulis sebagai Cij dan dinamakan sebagai
kofaktor elemen aij.
Jadi, Cij = (-1)i+jMij
Ekspansi kofaktor
Contoh:
Diketahui A =
Maka M32 = det = det
= (1)(-3) – (1)(-1)
=-3+1 = -2
Jadi, C32 = (-1)3+2 M32 = (-1)(-2) = 2
122
331
121
122
331
121
31
11
Ekspansi kofaktor
Teorema:
Apabila diberikan matriks A yang berukuran nxn, maka determinan matriks A dapat dihitung dengan menggunakan:
Expansi kofaktor sepanjang kolom j:
det(A) = a1jC1j + a2jC2j +...+ anjCnj
Expansi kofaktor sepanjang baris i:
det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2+...+ ainCin
Ekspansi kofaktor
Contoh:
Hitung Determinan matriks A =
Penghitungan det. ekspansi kofaktor baris 1:
det (A) = 1 -2 +1
Penghitungan det. ekspansi kofaktor kolom 2 ?
122
331
121
12
33
12
31
22
31
Matriks Kofaktor
Jika A adalah sembarang matriks nxn dan Cik adalah kofaktor dari aij, maka matriks kofaktor dari A adalah:
Matriks Adjoint A yg disimbolkan Adj (A) adalah Transpose dari matriks kofaktor A
nnnn
n
n
CCC
CCC
CCC
...
.
.
...
...
21
22221
11211
REDUKSI BARIS
Determinan sebuah matriks dapat dihitung dengan mereduksi matriks menggunakan operasi baris elementer sehingga matriks berada pada bentuk eselon baris.
Teorema 2.1.
Jika A adalah sebarang matriks kuadrat yang mengandung sebaris bilangan nol, maka
det(A) = 0
Teorema:
Jika A adalah matriks segitiga n x n, maka det(A) adalah hasil kali entri-entri pada diagonal utama.
Teorema: Misalkan A adalah sebarang matriks n x n.
(a) Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila baris tunggal A dikalikan oleh konstanta k, maka det (A’) = k det (A)
(b) Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila 2 baris A dipertukarkan, maka det(A’)=-det(A)
(c) Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila kelipatan 1 baris A ditambahkan pada baris lain, maka det (A’) = det (A)
Misalkan A’ adalah matriks yang dihasilkan dari operasi baris elementer tertentu.
Operasi det ( A ) det ( A’ )
( i ) | A | k | A |
( ii ) | A | - | A |
( iii ) | A | | A |
det(kA) = kndet(A) n : jumlah baris
det(A+B) ≠ det(A) + det(B) det(AB) = det(A).det(B) det(A) = det(AT) implikasi : berlaku operasi kolom
11 12 13 11 12 133
21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33
ka ka ka a a a
ka ka ka k a a a
ka ka ka a a a
TeoremaAnggap A, B, dan C adalah matriks nxn yang berbeda hanya pada salah satu barisnya, katakanlah beris ke –r, dan anggap baris ke-r dari C bisa diperoleh dengan menambahkan anggota-anggota yang berpadanan pada baris ke-r dari A dan B. Maka:
Det ( C ) = det (A) + det ( B )Hasil yg sama berlaku untuk kolom
Contoh:
110
302
571
741
302
571
171401
302
571