materi : 3
TRANSCRIPT
KALKULUS II
14
APLIKASI INTEGRAL TENTU
JUMLAH PERTEMUAN : 3 PERTEMUAN
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS :
Memahami penggunaan integral tentu
Materi :
3.1 Luas Daerah
1. Misalkan daerah π = {(π₯, π¦)|π β€ π₯ β€ π, 0 β€ π¦ β€ π(π₯)}. Luas R?
3
R
a βπ₯ b
y = f(x)
Langkah-langkah:
1. Iris R menjadi n bagian dari luas satu buah irisan
dihampiri oleh luas persegi panjang dengan tinggi f(x).
alas (lebar) βπ₯
βπ΄ β π(π₯)βπ₯
2. Luas R dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang.
Dengan mengambil limitnya diperoleh:
Luas R = π΄ = β« π(π₯)ππ₯
π
π
KALKULUS II
15
Contoh:
Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva π¦ = π₯2, sumbu x dan x = 2?
2. Misalkan daerah π = {(π₯, π¦)|π β€ π₯ β€ π, π(π₯) β€ π¦ β€ β(π₯)}. Luas R?
Contoh:
Hitung luas daerah yang dibatasi oleh garis π¦ = π₯ + 4 dan parabola π¦ = π₯2 β 2
Jawab:
Titik potong antara garis dan parabola:
βπ₯ 2
R
π¦ = π₯2
Luas irisan : βπ΄ β π₯2βπ₯
Luas daerah : π΄ = β« π₯2ππ₯2
0=
1
3π₯3 |
20
=8
3
R
βπ₯ a b
y = g(x)
y = h(x)
h(x) β g(x)
Langkah:
1. Iris R menjadi n bagian dan luas satu buah irisan dihampiri
oleh luas persegi panjang dengan tinggi (h(x) β g(x)) dan
alas βπ₯
βπ΄ β [β(π₯) β π(π₯)]βπ₯
2. Luas R dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan
mengambil limitnya diperoleh
Luas R = π΄ = β«[β(π₯) β π(π₯)]
π
π
ππ₯
KALKULUS II
16
π₯ + 4 = π₯2 β 2 β π₯2 β π₯ β 6 = 0 β (π₯ β 3)(π₯ + 2) = 0
Maka titik potongnya : x = 3 dan x = -2
Catatan : Jika irisan dibuat tegak lurus terhadap sumbu x maka tinggi irisan adalah kurva
yang terletak di atas dikurangi kurva yang dibawahnya. Jika batas atas dan batas
bawah irisan berubah untuk sebarang irisan di R maka daerah R harus dibagi dua
atau lebih.
Contoh:
Hitung luas daerah yang dibatasi oleh sumbu x, π¦ = π₯2 dan π¦ = βπ₯ + 2
βπ₯
(π₯ + 4) β (π₯2 β 2)
π¦ = π₯ + 4
π¦ = π₯2
Luas irisan :
βπ΄ β [(π₯ + 4) β (π₯2 β 2)]βπ₯
Sehingga luas daerah:
π΄ = β«[(π₯ + 4) β (π₯2 β 2)]
3
β2
ππ₯
= β«(βπ₯2 + π₯ + 6)ππ₯
3
β2
= β1
3π₯3 +
1
2π₯2 + 6π₯ |
3β2
=125
6
KALKULUS II
17
Jawab:
3. Misalkan daerah π = {(π₯, π¦)|π β€ π¦ β€ π, π(π¦) β€ π₯ β€ β(π¦)}. Luas R?
π¦ = π₯2
π¦ = βπ₯ + 2
I II
Jika dibuat irisan yang tegak lurus dengan sumbu x, maka
daerah harus dibagi menjadi dua bagian.
Luas daerah I: βπ΄1 β π₯2βπ₯
π΄1 = β« π₯2ππ₯
1
0
=1
3π₯3 |
10
=1
3
Luas daerah II: βπ΄2 β (βπ₯ + 2)βπ₯
π΄2 = β«(βπ₯ + 2)ππ₯
2
1
= β1
2π₯2 + 2π₯ |
21
=1
2
Sehingga luas daerah:
π΄ = π΄1 + π΄2 =1
3+
1
2=
5
6
βy
c
d
π(π¦) β(π¦)
Langkah:
1. Iris R menjadi n selang dan luas satu buah irisan dihampiri
oleh luas persegi dengan tinggi [h(y) - g(y)] dan alas βπ¦
βπ΄ β [β(π¦) β π(π¦)]βπ¦
KALKULUS II
18
Contoh:
Hitung luas daerah yang dibatasi oleh π₯ = 3 β π¦2 dan π¦ = π₯ β 1
Jawab:
Titik potong:
π¦ + 1 = 3 β π¦2 β π¦2 + π¦ β 2 = 0 β (π¦ + 2)(π¦ β 1) = 0
Jadi titik potongnya: y = -2 dan y = 1
Luas irisan : βπ΄ β [(3 β π¦2) β (π¦ + 1)]βπ¦
Sehingga luas daerah:
Luas daerah = π΄ = β« [(3 β π¦2) β (π¦ + 1)]ππ¦1
β2
= β«(βπ¦2 β π¦ + 2)ππ¦
1
β2
= β1
3π¦3 β
1
2π¦2 + 2π¦ |
1β2
=9
2
Catatan: Jika irisan sejajar dengan sumbu x maka tinggi irisan adalah kurva yang terletak
disebelah kanan dikurangi kurva yang terletak disebelah kiri. Jika batas kanan dan kiri irisan
berubah untuk sebarang irisan R maka daerah R harus dibagi dua atau lebih.
y = x β 1
x = 3 β y2
βy
2. Luas R dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan
mengambil limitnya diperoleh:
Luas R = π΄ = β«[β(π¦) β π(π¦)]ππ¦
π
π
KALKULUS II
19
3.2 Menghitung Volume Benda Putar
3.2.1 Metode cakram
1. Daerah π = {(π₯, π¦)|π β€ π₯ β€ π, 0 β€ π¦ β€ π(π₯)} diputar terhadap sumbu x. Berapa
volume benda tersebut?
Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan iris, hampiri, jumlahkan,
dan ambil limitnya.
Contoh:
Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah R yang dibatasi oleh π¦ = π₯2,
sumbu x, dan garis x = 2 diputar terhadap sumbu x.
a b
R
π¦ = π(π₯)
a b
R
π¦ = π(π₯)
βx
Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi f(x) dan alas
Ξx diputar terhadap sumbu x akan diperoleh suatu cakram
lingkaran dengan tebal Ξx dan jari-jari f(x). sehingga
βπ β ππ2(π₯)βπ₯
Volume benda putar dihampiri oleh jumlah volume cakram.
Dengan mengambil limitnya diperoleh
π = π β« π2(π₯)ππ₯
π
π
βπ₯
π(π₯)
KALKULUS II
20
Jawab:
2. Daerah π = {(π₯, π¦)|π β€ π¦ β€ π, 0 β€ π₯ β€ π(π₯)} diputar terhadap sumbu y?
Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan iris, hampiri, jumlahkan,
dan ambil limitnya.
2 βπ₯
π¦ = π₯2
Jika irisan diputar terhadap sumbu x akan diperoleh cakram dengan
jari-jari π₯2 dan tebal βπ₯.
Sehingga
βπ β π(π₯2)2βπ₯ = ππ₯4βπ₯
Volume benda putar
π = π β« π₯4ππ₯
2
0
=π
5π₯5 |
20
=32π
5
c
d
βπ¦ π₯ = π(π¦)
c
d
π₯ = π(π¦)
Ξy
g(y)
KALKULUS II
21
Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi g(y) dan alas Ξy diputar terhadap
sumbu y akan diperoleh suatu cakram lingkaran dengan tebal Ξy dan jari-jari g(y). Sehingga
βπ β ππ2(π¦)βπ¦
Volume benda putar dihampiri oleh jumlah volume cakram. Dengan mengambil limitnya
diperoleh
π = π β« π2(π¦)ππ¦
π
π
Contoh:
Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh π¦ = π₯2 dan garis y
= 4, sumbu y diputar terhadap sumbu y.
Jawab:
3.2.2 Metode Cincin
A. Daerah π = {(π₯, π¦)|π β€ π₯ β€ π, π(π₯) β€ π¦ β€ β(π₯)} diputar terhadap sumbu x. Berapa
volume benda putar yang terjadi?
π¦ = π₯2
Ξy
Jika irisan dengan tinggi βπ¦ dan tebal Ξy diputar terhadap sumbu y
akan diperoleh cakram dengan jari-jari βπ¦ dan tebal Ξy. Sehingga
βπ β π(βπ¦)2βπ¦ = ππ¦βπ¦
Volume benda putar
π = π β« π¦ππ¦
4
0
=π
2π¦2 |
40
= 8π
KALKULUS II
22
Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan iris, hampiri, jumlah dan ambil
limitnya.
Contoh:
Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah R yang dibatasi oleh π¦ = π₯2, sumbu
x, dan garis x = 2 diputar terhadap garis y = -1.
h(x)
g(x)
a b
R
h(x)
g(x)
a b
R
Ξx
Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi h(x) β g(x)
dan alas Ξx diputar terhadap sumbu x akan diperoleh suatu
cincin dengan tebal Ξx dan jari-jari luar h(x) dan jari-jari
dalamnya g(x). Sehingga
βπ β [β2(π₯) β π2(π₯)]βπ₯
Volume benda putar dihampiri oleh jumlah volume cincin.
Dengan mengambil limitnya diperoleh
π = π β«[β2(π₯) β π2(π₯)]ππ₯
π
π
g(x)
h(x)
Ξx
KALKULUS II
23
Jawab:
B. Daerah π = {(π₯, π¦)|π β€ π¦ β€ π, π(π¦) β€ π₯ β€ β(π¦)} diputar terhadap sumbu y. Berapa
volume benda putar yang terjadi?
Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan iris, hampiri, jumlah dan ambil
limitnya.
c
d R
g(y) h(y)
y = x2
y = β1 2
Jika irisan diputar terhadap garis y = β1 akan diperoleh
suatu cincin dengan jari-jari dalam 1 dan jari-jari luar 1 + π₯2.
Sehingga
βπ β π[(1 + π₯2)2 β 12]βπ₯ = π(π₯4 + 2π₯2)βπ₯
Volume benda putar:
π = π β«(π₯4 + 2π₯2)
2
0
ππ₯ = π (1
5π₯5 +
2
3π₯3 |
20
) =186
15π
KALKULUS II
24
Catatan: Metode cincin irisan dibuat tegak lurus dengan sumbu putar.
3.2.3 Metode Kulit Tabung
A. Misal daerah π = {(π₯, π¦)|π β€ π₯ β€ π, 0 β€ π¦ β€ π(π₯)} diputar terhadap sumbu y. Berapa
volume benda putar?
Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan iris, hampiri, jumlah, dan ambil
limitnya.
Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi h(y) β g(y)
dan alas Ξy diputar terhadap sumbu y akan diperoleh suatu
cincin dengan tebal Ξy dan jari-jari luar h(y) dan jari-jari
dalamnya g(y). Sehingga
βπ β [β2(π¦) β π2(π¦)]βπ¦
Volume benda putar dihampiri oleh jumlah volume cincin.
Dengan mengambil limitnya diperoleh
π = π β«[β2(π¦) β π2(π¦)]ππ¦
π
π
c
d R
g(y) h(y)
Ξy
R
a b
y = f(x)
KALKULUS II
25
Contoh:
Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah R yang dibatasi oleh π¦ = βπ₯, x = 4, y = 0;
mengelilingi sumbu x = 4
Jawab:
R
a b
y = f(x)
Ξx
Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi f(x) dan alas Ξx
diputar terhadap sumbu y akan diperoleh suatu tabung kosong
dengan tebal Ξx dan jari-jari dalam x. Sehingga
βπ β 2ππ₯π(π₯)βπ₯
Volume benda putar dihampiri oleh jumlah volume kulit tabung.
Dengan mengambil limitnya diperoleh
π = 2π β« π₯π(π₯)
π
π
ππ₯
x Ξx
f(x)
Ξx
f(x)
2ππ₯
KALKULUS II
26
B. Misal daerah π = {(π₯, π¦)|π β€ π₯ β€ π, π(π₯) β€ π¦ β€ β(π₯)} diputar terhadap y. Berapa
volume benda putar?
Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan iris, hampiri, jumlah, dan ambil
limitnya.
Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi β(π₯) β π(π₯) dan alas βπ₯ diputar terhadap
sumbu y akan diperoleh suatu tabung kosong dengan tebal βπ₯ dan jari-jari dalam tabung x.
Sehingga
x = 4
Ξx
π¦ = βπ₯
Jika irisan diputar terhadap garis x = 4 akan diperoleh suatu tabung
kosong dengan jari-jari 4 β x dan tinggi tabung βπ₯
βπ β 2π(4 β π₯)βπ₯βπ₯
Volume benda putar:
π = 2π β« (4βπ₯ β π₯32)
4
0
ππ₯ = 2π [8
3π₯3 2β β
2
5π₯5 2β |
40
] = 171
15π
h(x)
g(x)
a b
R
h(x)
g(x)
a b
R
Ξx
β(π₯) β π(π₯)
x Ξx
β(π₯) β π(π₯)
2ππ₯ Ξx
KALKULUS II
27
βπ β 2ππ₯(β(π₯) β π(π₯))βπ₯
Volume benda putar dihampiri oleh jumlah volume kulit tabung. Dengan mengambil limitnya
diperoleh
π = 2π β« π₯(β(π₯) β π(π₯))
π
π
ππ₯
Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah R yang dibatasi oleh π¦ = π₯2,
π¦ = 2π₯ mengelilingi sumbu y.
Jawab:
Catatan: Metode kulit tabung irisan dibuat sejajar dengan sumbu putar
3.3 Panjang Kurva
Kurva Rata
Kurva Rata adalah kurva yang terletak seluruhnya pada sebuah bidang.
y = x2
y = 2x
2
Titik potong:
π₯2 = 2π₯ β π₯2 β 2π₯ = 0 β π₯(π₯ β 2) = 0
Jadi titik potong adalah x = 0 dan x = 2
Jika irisan diputar terhadap sumbu y akan diperoleh suatu tabung
kosong dengan jari-jari x dan tinggi tabung 2π₯ β π₯2
βπ β 2ππ₯(2π₯ β π₯2)βπ₯
Volume benda putar:
π = 2π β«(2π₯2 β π₯3)
2
0
ππ₯ = 2π [2
3π₯3 β
1
4π₯4 |
20
] =8
3π
KALKULUS II
28
Contoh:
- π₯ = π¦2, β2 β€ π¦ β€ 2
- π₯2 + π¦2 = π2
Sebuah kurva rata disebut mulus apabila kurva itu ditentukan oleh persamaan-persamaan
π₯ = π(π‘), π¦ = π(π‘), π β€ π‘ β€ π, dengan ketentuan bahwa turunan-turunan fβ dan gβ adalah
kontinu ada [a,b] sedangkan fβ(t) dan gβ(t) tidak bersama-sama nol di selang [a,b].
Panjang kurva
Misal sebuah kurva π = {(π₯, π¦)|π₯ = π(π‘), π¦ = π(π‘), π β€ π‘ β€ π}. Panjang kurva tersebut
adalah?
Untuk menghitung panjang kurva gunakan pendekatan iris, hampiri, jumlah dan ambil
limitnya.
Hampiran βπ π β βπ€π = β(βπ₯π)2 + (βπ¦π)2
= β[π(π‘π) β π(π‘πβ1)]2 + [π(π‘π) β π(π‘πβ1)]2
Gunakan teorema nilai rata-rata untuk turunan
π¦ = π(π₯) = βπ2 β π₯2
π₯ = π(π¦) = βπ2 β π¦2
π₯ = π cos π‘ , π¦ = asin π‘ , 0 β€ π‘ β€ 2π , t = parameter
ππ
π0
π1
π2
ππβ1 ππ
ππβ1
ππ
βπ π
βπ€π
βπ₯π = π(π‘π) β π(π‘πβ1)
βπ¦π = π(π‘π) β π(π‘πβ1)
KALKULUS II
29
Maka Hampiran βπ π dengan menggunakan teorema nilai rata-rata untuk turunan diperoleh
βπ€π = β(πβ²(π‘οΏ½Μ οΏ½)βπ‘π)2 + (πβ²(π‘οΏ½ΜοΏ½)βπ‘π)2
= β(πβ²(π‘οΏ½Μ οΏ½))2
+ (πβ²(π‘οΏ½ΜοΏ½))2
βπ‘π
Panjang kurva dihampiri oleh jumlah panjang sisi miring. Dengan mengambil limitnya diperoleh
π = β« β(πβ²(π‘))2
+ (πβ²(π‘))2
ππ‘
π
π
= β« β(ππ₯
ππ‘)
2
+ (ππ¦
ππ‘)
2
ππ‘
π
π
Jika yang diketahui adalah kurva π¦ = π(π₯), π β€ π₯ β€ π , maka panjang kurva:
π = β« β1 + (ππ¦
ππ₯)
2
ππ₯
π
π
Jika yang diketahui adalah kurva π₯ = π(π¦), π β€ π¦ β€ π, maka panjang kurva:
π = β« β1 + (ππ₯
ππ¦)
2
ππ¦
π
π
Contoh: Tentukan keliling lingkaran π₯2 + π¦2 = π2
Jawab:
βti t iΜ
f(tiβ1)
f(ti) πβ²(π‘οΏ½Μ οΏ½) =
π(π‘π) β π(π‘πβ1)
βπ‘πβ π(π‘π) β π(π‘πβ1) = πβ²(π‘οΏ½Μ οΏ½)βπ‘π
KALKULUS II
30
π₯2 + π¦2 = π2 β π₯ = π cos π‘ , π¦ = a sin π‘ , 0 β€ π‘ β€ 2π
ππ₯
ππ‘= βπ sin π‘,
ππ¦
ππ‘= π cos π‘
Maka
βπ€ β β(ππ₯
ππ‘)
2
+ (ππ¦
ππ‘)
2
βπ‘
π = β« β(βπ sin π‘)2 + (a cos π‘)2ππ‘
2π
0
= β« βπ2π ππ2π‘ + π2πππ 2π‘ππ‘
2π
0
= β« πππ‘
2π
0
= ππ‘ |2π0
= 2ππ
Contoh: tentukan panjang ruas garis dengan persamaan π¦ =2
3(π₯2 + 1)3 2β , 1 β€ π₯ β€ 4
Jawab:
KALKULUS II
31
π¦ =2
3(π₯2 + 1)
32β β
ππ¦
ππ₯=
2
3
3
22π₯(π₯2 + 1)
12β
βπ€ β β1 + (ππ¦
ππ₯)
2
βπ₯
πΏ = β« β1 + (2π₯(π₯2 + 1)1
2β )2
ππ₯4
1= β« β1 + (4π₯2(π₯2 + 1))ππ₯
4
1
= β« β1 + 4π₯4 + 4π₯2ππ₯4
1= β« β(1 + 2π₯2)2ππ₯
4
1= β« (1 + 2π₯2)ππ₯
4
1= π₯ +
2
3π₯3 |
41
=126
3+ 3
Diferensial Panjang Kurva
Misal f dapat dideferensialkan ada [a,b]. Untuk setiap π₯ β [π, π] kita definisikan s(x) melalui
π (π₯) = β« β1 + [πβ²(π’)]2ππ’
π₯
π
3.4 Luas Permukaan Benda Putar
A. Misal kurva π· = {(π₯, π¦)|π₯ = π(π‘), π¦ = π(π‘), π β€ π‘ β€ π}, diputar terhadap sumbu x.
Berapa luas permukaan benda putar tersebut?
(a,f(a))
(x,f(x)) s(x)
Maka s(x) panjang kurva y = f(u) antara titik (a,f(a)) dan titik
(x,f(x)). Maka
π β²(π₯) =ππ
ππ₯= β1 + [πβ²(π₯)]2 = β1 + (
ππ¦
ππ₯)
2
Maka
ππ = β1 + (ππ¦
ππ₯)
2
ππ₯ = β1 + (ππ₯
ππ¦)
2
ππ¦ = β(ππ₯
ππ‘)
2
+ (ππ¦
ππ‘)
2
ππ‘
KALKULUS II
32
Untuk menghitung luas permukaan benda putar gunakan pendekatan iris, hampiri, jumlah
dan ambil limitnya.
Jadi jika y = f(x) maka π΄ = 2π β« π(π₯)β1 + (πβ²(π₯))2
ππ₯π
π
jika x = g(y) maka π΄ = 2π β« π(π¦)β1 + (πβ²(π¦))2
ππ¦π
π
Jika irisan kurva yang berbentuk garis dan tinggi yi terhadap
sumbu x akan diperoleh tabung kosong dengan tinggi Ξsi dan
jari-jari yi. Sehingga
βπ΄ β 2ππ¦πβπ π
Luas permukaan benda putar dihampiri oleh jumlah luas
permukaan tabung. Dengan mengambil limitnya diperoleh
βπ΄ = 2π β« π¦
π
π
ππ
a b
yi
βπ π
βsi
yi
KALKULUS II
33
Contoh:
Tentukan luas permukaan benda putar apabila kurva π¦ = βπ₯, 0 β€ π₯ β€ 4, diputar mengelilingi
sumbu x.
Jawab:
3.5 Latihan
1. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh fungsi π(π₯) = βπ₯ dan π(π₯) = βπ₯ + 6
2. Tentukan volume benda putar yang terbentuk apabila daerah yang dibatasi oleh π¦ =
β4 β π₯2, π¦ = 0, π₯ = β1 dan π₯ = 2 diputar mengelilingi sumbu x. Gambarlah
3. Tentukan volume benda putar yang terbentuk apabila daerah yang dibatasi oleh π₯ = π¦2,
π¦ = 2, dan π₯ = 0 diputar mengelilingi garis π¦ = 3. Gambarlah
y = βx
ππ¦
ππ₯=
1
2π₯β1
2β
Maka hampirannya: βπ΄ β 2πβπ₯β1 + (1
2βπ₯)
2
ππ₯
Maka luas permukaannya: π΄ = 2π β« βπ₯β1 +1
4π₯ππ₯
4
0= π β« βπ₯ +
1
4ππ₯
4
0
= π [2
3(π₯ +
1
4)
32β
] |41
=2π
3[(
17
4)
32β
β (5
4)
32β
]