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MATEMÁTICAS II

Examen del 28/06/2007

Solución

Importante Las calificaciones se harán públicas en la página web de la asignatura y en el tablón de anuncios del Dpto. de Métodos Cuantitativos en Economía y Gestión, Módulo D, 3ª planta, el 16/07/2007. La revisión será el 18/07/07 y el 19/07/07 de 12-13 horas en el aula D-4.01.

Las respuestas correctas suman 4 puntos, las incorrectas restan 2 puntos, y las que se dejan en blanco no puntúan. Las cuatro primeras preguntas del test equivalen a la evaluación continua.

A B C D

1 a b c c

2 b c b a

3 b b c c

4 c b b a

5 b a a b

6 b a b b

7 b a b c

8 b b c b

9 a b a a

10 b a a b

11 a a a b

12 c a c b

13 b a a a

14 a b b b

15 c b c b

MATEMÁTICAS II 28 / 06 / 2007 Tipo A

Departamento de Métodos Cuantitativos en Economía y Gestión. (U. de Las Palmas de Gran Canaria) Lic. en Economía, Lic. Admón. y Dir. Empresas y Dipl. CC. Empresariales

Estas 4 preguntas corresponden a la evaluación

continua

1. El rango de la matriz

1 2 02 1 14 01 5 1

Aa

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎣ ⎦

es 3 para:

(a) .a∀ ∈(b) 8.a =(c) 8.a ≠

2. Sea el sistema 3

2 3 .2 3

− + = −⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩

ax y zx y z

x y z

Entonces: (a) Si el sistema es compatible indeterminado y la solución es

4= −a3 3 .= − −x z y

(b) Si el sistema es compatible indeterminado y la solución es

4= −a, 3 3 .x z y z= = −

(c) Si el sistema es compatible indeterminado y la solución es

4≠ −a3 2 .= − −x z y

3. Si , entonces: 1 1 20 3 01 1 1

A−⎡ ⎤

⎢= ⎢⎢− ⎥⎣ ⎦

⎥⎥

(a) No existe 1.A−

(b) ( )1 23

1 5 99

− = − + .A A A I

(c) 1 3 25 9A A A A− = − + . 4. La forma cuadrática 2( , , ) 2 2 2Q x y z y xy xz yz= − + − restringida a es: y z x= −

(a) Definida positiva. (b) Definida negativa. (c) Indefinida.

5. Un vector linealmente independiente del sistema { }(1,0,1,0), (2,1,1,0), (2,1,0,1) es:

(a) (3,1,2,0).(b) (2,1,2,0).(c) (2,1,2, 1).−

6. Sean dos matrices ,nxn nxnA B con 0,A ≠ 0,B ≠ .nx∈ Si ,=ABx BA entonces:

(a) .nx I= (b) 1 1 .x B A BA− −= (c) .1 1x BAB A− −= 7. El sistema

3 44

4

− − =⎧⎪ + + =⎨⎪ − =⎩

x y zx y zy z

es: (a) Compatible determinado e 2.=y(b) Compatible determinado e 3.=y(c) Compatible indeterminado e 2 .= −y z

8. Sean las matrices tal que , n nA B M ×∈ 2 0 .= nA Entonces el sistema ( ) 0+ =AB A x es:

(a) Compatible determinado. (b) Compatible indeterminado. (c) Incompatible.

9. Dada la matriz 2 1 11 2 10 0 1

A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, se tiene que:

(a) Sus vectores propios asociados al valor propio 1λ = se expresan como combinación lineal de los vectores básicos ( 1,1,0),( 1,0,1).− −

(b) 1λ = no es valor propio de la matriz .A (c) Sus vectores propios asociados al valor

propio 1λ = se expresan como combinación lineal del vector básico (1,1,0).

10. Si 3 3A × es una matriz simétrica con

3 2( ) 3 4Ap λ λ λ= − − + , entonces: (a) 1 1λ = es valor propio de con A 1 2.m = (b) 2 2λ = − es valor propio de con A 2 2.m = (c) 2 2λ = − es valor propio de con A 2 1.m =

11. El problema tiene: 2opt

. . 2 7⎧ +⎨

− + =⎩

xy zs a x y z

(a) Un mínimo local en ( )2, 4, 1 .− − (b) Un punto de silla en ( )2, 4, 1 .− −

(c) Un máximo local en ( )2, 4, 1 .− −

12. La función

2 2( , , ) 3 3 2= − − + +3f x y z y x z xz y tiene:

(a) Un máximo local en 1 1, 1, .2 4

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

(b) Un mínimo local en 1 1, 1, .2 4

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

(c) Un punto de silla en 1 1, 1, .2 4

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

13. Dado el problema

1 2

1 2

2

1 2

max. :

2 4 , 0.

+

− + ≤≤≥

x xs a

x xx

x x

(a) La solución óptima es ( ) ( )* *

1 2, 2,=x x 4 .

(b) El problema no tiene solución. Es no acotado.

(c) La solución óptima es ( ) ( )* *1 2, 0,=x x 2 .

14. La solución óptima del problema

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

max. :

22 6

2 6 , 0

x xs a

x xx x

x xx x

+

− + ≤+ ≤+ ≤

≥

es ( ) ( )* *1 2, 2,x x = 2 . Entonces la solución óptima

del problema dual es:

(a) ( )* * *1 2 3

1 1, , 0, ,3 3

y y y ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

.

(b) ( )* * *1 2 3

1, , 1,0, .3

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

y y y

(c) ( )* * *1 2 3

2 1, , 0, , .3 3

y y y ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

15. Sea el PPL

3 2

max. :

,

0,

tc xs a

A x b

x× ≤

≥

siendo [ ]6 4tc = y [ ]20 30 16 .tb = Su solución óptima es ( ), 4a a + , la solución óptima y el valor óptimo del problema dual son ( )0, , 1b a − y respectivamente. Entonces:

* 36,w =

(a) 61 y .5

= =a b

(b) 32 y .2

= =a b

(c) 22 y .3

= =a b

MATEMÁTICAS II 28 / 06 / 2007 Tipo B



continua


1 1 02 12 1 30 3 1

aA

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

es 3 para:

(a) 1.a = −(b) .a∀ ∈(c) 1.a ≠ −

2. Sea el sistema 3

2 12 1

− = −⎧⎪ + − = −⎨⎪ + − =⎩

ax yx y z

x y z.


3= −a1 .= − − +x y z

(b) Si el sistema es compatible indeterminado y la solución es .

3≠ −a1 2= − − +x y z

.


3= −a

2 , 3 3x z y z= − = − +

3. Si , entonces: 1 1 20 3 01 2 2

A−⎡ ⎤

⎢= ⎢⎢ ⎥⎣ ⎦

⎥⎥

.(a) 1 236 9A A A I− = − + −

(b) No existe 1.A−

(c) 1 3 26 9A A A− = − + − .A 4. La forma cuadrática 2 2 2( , , ) 2 2 2= − + + − −Q x y z x y z xy xz yz restringida a = −x y z es:

(a) Definida positiva. (b) Indefinida. (c) Definida negativa.

5. Un vector linealmente independiente del sistema { }(0,1,1,0), (1,1,2,0), ( 1,1,1,1)− es:

(a) (1,2,2,0).(b) (1,2,3,0).(c) (1,2,2, 1).−

6. Sean dos matrices ,nxn nxnA B con 0,A ≠

0,B ≠ .nx∈ Si ,=BAx AB entonces: (a) 1 1 .x A B AB− −= (b) .nx I= (c) .1 1x ABA B− −= 7. El sistema

3 44

4

− − =⎧⎪ + + =⎨⎪ − =⎩

x y zx y zy z

es: (a) Compatible determinado y 1.= −z(b) Compatible determinado y 2.=z(c) Compatible indeterminado y 4.= −z y

8. Sean las matrices tal que , n nA B M ×∈ 2 0 .= nB Entonces el sistema ( ) 0+ =AB B x es:


9. Dada la matriz 1 3 0

0 2 00 0 1

A−⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

, se tiene que:

(a) Sus vectores propios asociados al valor propio 1λ = − se expresan como combinación lineal del vector básico (1,1,0).

(b) Sus vectores propios asociados al valor propio 1λ = − se expresan como combinación lineal de los vectores básicos (1,0,0), (0,0,1).

(c) 1λ = − no es valor propio de la matriz ..A 10. Si 3 3A × es una matriz simétrica con

3 2( ) 7 11 5Ap λ λ λ λ= − + − + , entonces: (a) 1 1λ = es valor propio de con A 1 2.m = (b) 2 5λ = es valor propio de con A 2 2.m = (c) 1 1λ = es valor propio de con A 1 1.m =


. . 2 7⎧ +⎨

+ − =⎩

xz ys a y x z

(a) Un mínimo local en ( )2, 1, 4 .− − (b) Un punto de silla en ( )2, 1, 4 .− −


12. La función ( ) 3 2 2, , 3 3 2= − + − − +f x y z x xz z y y tiene:

15. Sea el PPL

3 2

max. :

,

0,

tc xs a

A x b

x× ≤

≥

(a) Un máximo local en 1 1,1, .2 4

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(b) Un punto de silla en 1 1,1, .2 4

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

siendo [ ]1 4=tc y Su solución óptima es

[ ]4 1 4 .=tb

( ),3a a , la solución óptima y el valor óptimo del problema dual son ( ), ,0b a y respectivamente. Entonces: * 13,=w

(c) Un mínimo local en 1 1,1, .2 4

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠


1 2

1 2

2

1 2

min. :

2 4 , 0.

+

− + ≤≥≥

x xs a

x xx

x x

(a) 1 y 2.= =a b (b) 1 y 3.= =a b

(c) 37 y .2

= =a b


1 2, 2,=x x 4 .

(b) La solución óptima es ( ) ( )* *1 2, 0,=x x 4 .

(c) El problema no tiene solución. Es no acotado.


1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

min 2. :

53 3

2 10 , 0

x xs a

x xx x

x xx x

+

− + ≥+ ≥− ≥

≥

es Entonces la solución óptima

del problema dual es: ( ) (* *

1 2, 15,20x x = ).

(a) ( ) ( )* * *1 2 3, , 2,0,2 .y y y =

(b) ( ) ( )* * *1 2 3, , 4,0,3 .y y y =

(c) ( ) ( )* * *1 2 3, , 0,10,2 .=y y y

MATEMÁTICAS II 28 / 06 / 2007 Tipo C



continua


1 2 02 1 14 01 5 1

Aa

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎣ ⎦

es 3 para:

(a) 8.a ≠(b) 8.a =(c) .a∀ ∈

2. Sea el sistema 3

2 1.2 1

− = −⎧⎪ + − = −⎨⎪ + − =⎩

ax yx y z

x y z


3= −a1 .= − − +x y z


3= −a

2 , 3 3 .x z y z= − = − + (c) Si el sistema es compatible indeterminado y la solución es .

3≠ −a1 2= − − +x y z

⎥⎥

.

3. Si , entonces: 1 1 20 3 01 1 1

A−⎡ ⎤

⎢= ⎢⎢− ⎥⎣ ⎦

(a) No existe 1.A−

(b) 1 3 25 9A A A A− = − +

(c) ( )1 23

1 5 99

− = − + .A A A I

4. La forma cuadrática ( ) 2, , 2 2 2= − + −Q x y z y xy xz yz restringida a es: = −y z x

(a) Definida positiva. (b) Indefinida. (c) Definida negativa.

5. Un vector linealmente independiente del sistema { }(0,1,1,0), (1,1,2,0), ( 1,1,1,1)− es:

(a) (1,2,2,0).(b) (1,2,2, 1).−(c) (1,2,3,0).


0,B ≠ .nx∈ Si ,=ABx BA entonces: (a) .1 1x BAB A− −= (b) 1 1 .x B A BA− −= (c) .nx I= 7. El sistema

3 44

4

− − =⎧⎪ + + =⎨⎪ − =⎩

x y zx y zy z

es: (a) Compatible determinado y 2.=z(b) Compatible determinado y 1.= −z(c) Compatible indeterminado y 4.= −z y

8. Sean las matrices tal que , n nA B M ×∈ 2 0 .= nA Entonces el sistema ( ) 0+ =AB A x es:

(a) Compatible determinado. (b) Incompatible. (c) Compatible indeterminado.

9. Dada la matriz 1 3 0

0 2 00 0 1

A−⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

, se tiene que:

(a) Sus vectores propios asociados al valor propio 1λ = − se expresan como combinación lineal de los vectores básicos (1,0,0), (0,0,1).

(b) Sus vectores propios asociados al valor propio 1λ = − se expresan como combinación lineal del vector básico (1,1,0).

(c) 1λ = − no es valor propio de la matriz ..A 10. Si 3 3A × es una matriz simétrica con

3 2( ) 3 4Ap λ λ λ= − − + , entonces: (a) 2 2λ = − es valor propio de con A 2 2.m = (b) 1 1λ = es valor propio de con A 1 2.m = (c) 2 2λ = − es valor propio de con A 2 1.m =


. . 2 7⎧ +⎨

+ − =⎩

xz ys a y x z

(a) Un mínimo local en ( )2, 1, 4 .− − (b) Un máximo local en ( )2, 1, 4 .− −

(c) Un punto de silla en ( )2, 1, 4 .− −

12. La función

2 3 2( , , ) 3 3 2= − − + +f x y z y x z xz y tiene:

(a) Un máximo local en 1 1, 1, .2 4

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

(b) Un mínimo local en 1 1, 1, .2 4

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

(c) Un punto de silla en 1 1, 1, .2 4

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠


1 2

1 2

2

1 2

min. :

2 4 , 0.

+

− + ≤≥≥

x xs a

x xx

x x


1 2, 2,=x x 4 .

(b) La solución óptima es ( ) ( )* *1 2, 0,=x x 4 .

(c) El problema no tiene solución. Es no acotado.


1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

max. :

22 6

2 6 , 0

x xs a

x xx x

x xx x

+

− + ≤+ ≤+ ≤

≥

es ( ) ( )* *1 2, 2,x x = 2 . Entonces la solución óptima

del problema dual es:

(a) ( )* * *1 2 3

1, , 1,0, .3

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

y y y

(b) ( )* * *1 2 3

1 1, , 0, ,3 3

y y y ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

.

(c) ( )* * *1 2 3

2 1, , 0, , .3 3

y y y ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

15. Sea el PPL

3 2

max. :

,

0,

tc xs a

A x b

x× ≤

≥

siendo [ ]1 4=tc y Su solución óptima es

[ ]4 1 4 .=tb

( ),3a a , la solución óptima y el valor óptimo del problema dual son ( ), ,0b a y respectivamente. Entonces: * 13,=w

(a) 1 y 2.= =a b

(b) 37 y .2

= =a b

(c) 1 y 3.= =a b

MATEMÁTICAS II 28 / 06 / 2007 Tipo D



continua


1 1 02 12 1 30 3 1

aA

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

es 3 para:

(a) 1.a = −(b) 1.a ≠ −(c) .a∀ ∈

2. Sea el sistema 3

2 32 3

− + = −⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩

ax y zx y z

x y z.


4= −a, 3 3 .x z y z= = −


4= −a3 3 .= − −x z y


4≠ −a3 2 .= − −x z y

3. Si , entonces: 1 1 20 3 01 2 2

A−⎡ ⎤

⎢= ⎢⎢ ⎥⎣ ⎦

⎥⎥

.(a) 1 236 9A A A I− = − + −

(b) 1 3 26 9A A A− = − + − .A(c) No existe 1.A−

4. La forma cuadrática 2 2 2( , , ) 2 2 2= − + + − −Q x y z x y z xy xz yz restringida a = −x y z es:

(a) Indefinida. (b) Definida positiva. (c) Definida negativa.

5. Un vector linealmente independiente del sistema { }(1,0,1,0), (2,1,1,0), (2,1,0,1) es:

(a) (2,1,2, 1).−(b) (2,1,2,0).(c) (3,1,2,0).


0,B ≠ .nx∈ Si ,=BAx AB entonces: (a) .nx I= (b) 1 1 .x A B AB− −= (c) .1 1x ABA B− −= 7. El sistema

3 44

4

− − =⎧⎪ + + =⎨⎪ − =⎩

x y zx y zy z

es: (a) Compatible determinado e 2.=y(b) Compatible indeterminado e 2 .= −y z(c) Compatible determinado e 3.=y

8. Sean las matrices tal que , n nA B M ×∈ 2 0 .= nB Entonces el sistema ( ) 0+ =AB B x es:


9. Dada la matriz 2 1 11 2 10 0 1

A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, se tiene que:

(a) Sus vectores propios asociados al valor propio 1λ = se expresan como combinación lineal de los vectores básicos ( 1,1,0),( 1,0,1).− −

(b) 1λ = no es valor propio de la matriz .A (c) Sus vectores propios asociados al valor

propio 1λ = se expresan como combinación lineal del vector básico (1,1,0).

10. Si 3 3A × es una matriz simétrica con

3 2( ) 7 11 5Ap λ λ λ λ= − + − + , entonces: (a) 2 5λ = es valor propio de con A 2 2.m = (b) 1 1λ = es valor propio de con A 1 2.m = (c) 1 1λ = es valor propio de con A 1 1.m =


. . 2 7⎧ +⎨

− + =⎩

xy zs a x y z

(a) Un punto de silla en ( )2, 4, 1 .− − (b) Un mínimo local en ( )2, 4, 1 .− −


15. Sea el PPL 12. La función

( ) 3 2 2, , 3 3 2= − + − − +f x y z x xz z y y tiene:

(a) Un punto de silla en 1 1,1, .2 4

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(b) Un máximo local en 1 1,1, .2 4

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(c) Un mínimo local en 1 1,1, .2 4

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠


1 2

1 2

2

1 2

max. :

2 4 , 0.

+

− + ≤≤≥

x xs a

x xx

x x

(a) El problema no tiene solución. Es no

acotado. (b) La solución óptima es ( ) ( )* *

1 2, 2,=x x 4 .

(c) La solución óptima es ( ) ( )* *1 2, 0,=x x 2 .


1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

min 2. :

53 3

2 10 , 0

x xs a

x xx x

x xx x

+

− + ≥+ ≥− ≥

≥

es Entonces la solución óptima

del problema dual es: ( ) (* *

1 2, 15,20x x = ).

(a) ( ) ( )* * *1 2 3, , 0,10,2 .=y y y

(b) ( ) ( )* * *1 2 3, , 4,0,3 .y y y =

(c) ( ) ( )* * *1 2 3, , 2,0,2 .y y y =

3 2

max. :

,

0,

tc xs a

A x b

x× ≤

≥

siendo [ ]6 4tc = y [ ]20 30 16 .tb = Su solución óptima es ( ), 4a a + , la solución óptima y el valor óptimo del problema dual son ( )0, , 1b a − y respectivamente. Entonces:

* 36,w =

(a) 61 y .5

= =a b

(b) 22 y .3

= =a b

(c) 32 y .2

= =a b

MATEMÁTICAS II 28/06/2007 Apellidos: ................................................. Nombre: ............................ DNI: ..................................

Titulación: Lic. Economía Lic. Admón. y Dir. Empresas Dipl. Empresariales

Problema A y C

Se desea hacer una mezcla con dos pinturas A y B que contienen dos tipos de pigmentos P y Q. Si 1 2, x x representan las cantidades (en gramos) de las pinturas A y B, respectivamente, que se utilizan en la mezcla, se sabe que las cantidades de pigmentos P y Q (en gramos) vienen dadas por las funciones, y 1 2 1 2( , ) 0.2 +0.4P x x x x= 1 2 1 2( , ) 0.5 +0.3Q x x x x= . Además la mezcla debe cumplir que: • La cantidad utilizada de A no puede ser inferior que la utilizada de B. • La diferencia entre la cantidad utilizada de A y la cantidad utilizada de B no puede superar los 20

gramos. • La cantidad utilizada de B no puede ser inferior a 10 gramos ni superar los 30 gramos. Se pide: 1) Plantear el problema que determine las cantidades de A y B que deben utilizarse en la mezcla para que

sea máxima la cantidad del pigmento P. (2 puntos). 2) Resolver dicho problema. (6 puntos). 3) Plantear y resolver el problema que determine las cantidades de A y B que deben utilizarse en la mezcla

para que sea mínima la cantidad del pigmento Q. (4 puntos). 4) Plantear y resolver el dual del problema del apartado 1). (6 puntos). 5) Si ahora la diferencia entre las cantidades utilizadas de A y B no puede superar los 20 +h gramos, para

, ¿cuál será el valor óptimo del pigmento P en el problema del apartado 1)? (2 puntos). 0h >

Solución al Problema 1) El planteamiento del problema es el siguiente,

1 2

1 2

1 2

2

2

1 2

max z=0.2 0.4 s.a: 0 20 10 30 , 0

x xx xx x

xx

x x

+− ≥− ≤

≥≤≥

2) La representación gráfica de la región factible X, y algunas rectas de nivel es

El vector gradiente, es proporcional al vector el cual representamos. Avanzando sobre el conjunto factible en la dirección de este vector, se deduce que existe una solución óptima única. Esta solución se encuentra en la intersección de las rectas:

(0.2,0.4),z∇ = (5,10),

2 * *1 2

1 2

3050, 30.

20x

x xx x

= ⎫⇒ = =⎬− = ⎭

La máxima cantidad de pigmento P obtenida es Alternativamente, se puede calcular el óptimo calculando el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices del poliedro X, observando que el mayor valor se alcanza en

* 22 gr.z =

* *1 2( , ) (50,30).x x =

3) El problema ahora sería el siguiente,

1 2

1 2

1 2

2

2

1 2

min z=0.5 0.3 s.a: 0 20 10 30 , 0

x xx xx x

xx

x x

+− ≥− ≤

≥≤≥

El conjunto factible X no varía, pero el vector gradiente es (0.5,0.3),z∇ = que es proporcional al vector (1 Así, la representación gráfica queda de la siguiente manera, 0,6).

Por tanto, el punto con menor valor en la función objetivo se encuentra en la intersección de las rectas

2 * *1 2

1 2

1010, 10.

0x

x xx x

= ⎫⇒ = =⎬− = ⎭

La mínima cantidad de pigmento Q obtenida es * 8 gr.z =

4) Antes de plantear el problema dual, hemos de escribir el problema del apartado 1) en forma canónica,

1 2

1 2

1 2

2

2

1 2

max z=0.2 0.4 s.a: 0 20 10 30 , 0

x xx xx x

xx

x x

+− + ≤

− ≤− ≤ −

≤≥

El problema dual es entonces 2 3 4

1 2

1 2 3 4

1 2 3 4

min =20 10 30 s.a: 0.2 0.4 , , , 0

w y y yy yy y y yy y y y

− +− + ≥

− − + ≥≥

En forma estándar es 2 3 4

1 2 1

1 2 3 4 2

1 2 3 4 1 2

min =20 10 30 s.a: 0.2 0.4 , , , , , 0

w y y yy y ty y y y t

y y y y t t

− +− + − =

− − + − =≥

Tomando ( ) ( )* *

1 2, 50,3x x = 0 se obtienen los valores óptimos de las variables de holgura del

primal, ( ) ( )* * * *1 2 3 4, , , 20,0, 20,0 ,h h h h = y aplicando las condiciones de holgura complementaria

resulta * *1 1* *2 2* *1 1* *2 2* *3 3* *4 4

50 0

30 0

20 0

0

20 0

0

x t

x t

h y

h y

h y

h y

= ⇒ =

= ⇒ =

= ⇒ =

=

= ⇒ =

=

Los valores de las variables se obtienen a partir de las restricciones de la forma estándar del problema dual, incorporando los valores conocidos,

2 e y y4

2

2 * *4

2 4

0.20.2, 0.6.

0.4y

y yy y

= ⎫⇒ = =⎬− + = ⎭

Por tanto la solución óptima del dual es ( ) ( )* * * *1 2 3 4, , , 0,0.2,0,0.6y y y y = con valor óptimo

* *22 .w z= =

5) El problema sería entonces 1 2

1 2

1 2

2

2

1 2

max z=0.2 0.4 s.a: 0 20 10 30 , 0

x xx xx x h

xx

x x

+− + ≤

− ≤ +− ≤ −

≤≥

Aplicando que el valor óptimo de este problema, se puede obtener de la siguiente forma,

* *2 ,z y h∆ = * ,hz

* * * * * *2 2, 2h hz z y h z z y h h− = ⇒ = + = +2 0.2 .

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Problema B y D

Se desea hacer una mezcla con dos pinturas A y B que contienen dos tipos de pigmentos P y Q. Si 1 2, x x representan las cantidades (en gramos) de las pinturas A y B, respectivamente, que se utilizan en la mezcla, se sabe que las cantidades de pigmentos P y Q (en gramos) vienen dadas por las funciones, y 1 2 1 2( , ) 0.3 +0.5P x x x x= 1 2 1 2( , ) 0.5 +0.2Q x x x x= . Además la mezcla debe cumplir que: • La cantidad utilizada de B no puede ser inferior que la utilizada de A. • La diferencia entre la cantidad utilizada de B y la cantidad utilizada de A no puede superar los 20

gramos. • La cantidad utilizada de A no puede ser inferior a 10 gramos ni superar los 30 gramos. Se pide: 1) Plantear el problema que determine las cantidades de A y B que deben utilizarse en la mezcla para que

sea máxima la cantidad del pigmento Q. (2 puntos). 2) Resolver dicho problema. (6 puntos). 3) Plantear y resolver el problema que determine las cantidades de A y B que deben utilizarse en la mezcla

para que sea mínima la cantidad del pigmento P. (4 puntos). 4) Plantear y resolver el dual del problema del apartado 1). (6 puntos). 5) Si ahora la diferencia entre las cantidades utilizadas de B y A no puede superar los 20 +h gramos, para

, ¿cuál será el valor óptimo del pigmento Q en el problema del apartado 1)? (2 puntos). 0h >

Solución al Problema

1) El planteamiento del problema es el siguiente,

1 2

1 2

1 2

1

1

1 2

max z=0.5 0.2 s.a: 0 20 10 30 , 0

x xx xx xxx

x x

+− + ≥− + ≤

≥≤≥

2) La representación gráfica de la región factible X, y algunas rectas de nivel es

El vector gradiente, (0.5,0.2),z∇ = es proporcional al vector (1 el cual representamos. Avanzando sobre el conjunto factible en la dirección de este vector, se deduce que existe una solución óptima única. Esta solución se encuentra en la intersección de las rectas:

0, 4),

1 * *1 2

1 2

3030, 50.

20x

x xx x

= ⎫⇒ = =⎬− + = ⎭

La máxima cantidad de pigmento Q obtenida es Alternativamente, se puede calcular el óptimo calculando el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices del poliedro X, observando que el mayor valor se alcanza en

* 25 gr.z =

* *1 2( , ) (30,50).x x =

3) El problema ahora sería el siguiente,

1 2

1 2

1 2

1

1

1 2

min z=0.3 0.5 s.a: 0 20 10 30 , 0

x xx xx xxx

x x

+− + ≥− + ≤

≥≤≥

El conjunto factible X no varía, pero el vector gradiente es (0.3,0.5),z∇ = que es proporcional al vector (6 Así, la representación gráfica queda de la siguiente manera, ,10).

Por tanto, el punto con menor valor en la función objetivo se encuentra en la intersección de las rectas

1 * *1 2

1 2

1010, 10.

0x

x xx x

= ⎫⇒ = =⎬− + = ⎭

La mínima cantidad de pigmento P obtenida es * 8 gr.z =

4) Antes de plantear el problema dual, hemos de escribir el problema del apartado 1) en forma canónica,

1 2

1 2

1 2

1

1

1 2

max z=0.5 0.2 s.a: 0 20 10 30 , 0

x xx xx xxx

x x

+− ≤

− + ≤− ≤ −

≤≥

El problema dual es entonces 2 3 4

1 2 3 4

1 2

1 2 3 4

min =20 10 30 s.a: 0.5 0.2 , , , 0

w y y yy y y yy y

y y y y

− +− − + ≥

− + ≥≥

En forma estándar es 2 3 4

1 2 3 4 1

1 2 2

1 2 3 4 1 2

min =20 10 30 s.a: 0.5 0.2 , , , , , 0

w y y yy y y y ty y t

y y y y t t

− +− − + − =

− + − =≥

Tomando ( ) ( )* *

1 2, 30,5x x = 0 se obtienen los valores óptimos de las variables de holgura del

primal, ( ) ( )* * * *1 2 3 4, , , 20,0, 20,0 ,h h h h = y aplicando las condiciones de holgura complementaria

resulta * *1 1* *2 2* *1 1* *2 2* *3 3* *4 4

30 0

50 0

20 0

0

20 0

0

x t

x t

h y

h y

h y

h y

= ⇒ =

= ⇒ =

= ⇒ =

=

= ⇒ =

=

Los valores de las variables se obtienen a partir de las restricciones de la forma estándar del problema dual, incorporando los valores conocidos,

2 e y y4

2

2 4 * *4

2

0.50.2, 0.7.

0.2y y

y yy− + = ⎫

⇒ = =⎬= ⎭

Por tanto la solución óptima del dual es ( ) ( )* * * *1 2 3 4, , , 0,0.2,0,0.7y y y y = con valor óptimo

* *25 .w z= =

5) El problema sería entonces 1 2

1 2

1 2

1

1

1 2

max z=0.5 0.2 s.a: 0 20 10 30 , 0

x xx xx x hxx

x x

+− ≤

− + ≤ +− ≤ −

≤≥

Aplicando que el valor óptimo de este problema, se puede obtener de la siguiente forma,

* *2 ,z y h∆ = * ,hz

* * * * * *2 2, 2h hz z y h z z y h h− = ⇒ = + = +5 0.2 .

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Problema con ordenador A

Sea la matriz con .

1 2 20 1 0 0

A ,0 0 1 20 0 2 1

− α −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎣ ⎦

∈α

1. Calcular los valores propios de la matriz A indicando su multiplicidad algebraica. (2 puntos) 2. Discutir la diagonalización de la matriz A en función de los valores del parámetro α. (4 puntos) 3. Hallar la matriz de paso P, y la diagonal D, para aquellos valores de α que hacen que A sea

diagonalizable y escribir la relación de semejanza correspondiente. (3 puntos) 4. Construir la matriz Hallar los valores del parámetro α que aseguran que la matriz C es

invertible. (3 puntos) .= + tC A A

5. Hallar los valores del parámetro α que hacen que el sistema 0=Cx sea compatible indeterminado. (2 puntos)

6. Para el caso 0,=α clasificar la forma cuadrática ( ) .= tQ x x Cx (2 puntos)

7. Clasificar la forma cuadrática del apartado 6) restringida al sistema 0

.0

− =⎧⎨ − =⎩

y zz t

(4 puntos)

1) Se introduce la matriz

„ -1 © 2 -2 † ¦ ¦ ¦ 0 -1 0 0 ¦ ¦ ¦ ¦ 0 0 1 -2 ¦ ¦ ¦ … 0 0 -2 1 ‡

y se calcula el polinomio característico

„ -1 © 2 -2 † ¦ ¦ ¦ 0 -1 0 0 ¦ CHARPOLY ¦ ¦ ¦ 0 0 1 -2 ¦ ¦ ¦ … 0 0 -2 1 ‡

2 2 (w + 1) ·(w - 2·w - 3)

que factorizado queda

3 (w - 3)·(w + 1)

Por tanto, los valores propios de la matriz son 1 3,λ = con multiplicidad algebraica 1 1,α = y

con multiplicidad algebraica 2 1,λ = − 2 3.α =

2) La multiplicidad geométrica del valor propio 1 3λ = es necesariamente Para

calcular la multiplicidad geométrica del valor propio 1 1m = = α1.

2 1λ = − discutimos el rango de la matriz 2 ,A I−λ

„ -1 © 2 -2 † ¦ ¦ ¦ 0 -1 0 0 ¦ ¦ ¦ - (-1)·IDENTITY_MATRIX(4) ¦ 0 0 1 -2 ¦ ¦ ¦ … 0 0 -2 1 ‡

„ 0 © 2 -2 † ¦ ¦ ¦ 0 0 0 0 ¦ ¦ ¦ ¦ 0 0 2 -2 ¦ ¦ ¦ … 0 0 -2 2 ‡

El rango de esta matriz depende del resultado de este menor de orden 2

„ © 2 † DET ¦ ¦ … 0 2 ‡

2·©

Por tanto, si α=0, entonces 2( )rango A I 1,−λ = por lo que 2 4 1 3 ,m 2= − = = α y la matriz es diagonalizable. En cambio, si α≠0, entonces 2( )rango A I 2,−λ = por lo que

y la matriz no es diagonalizable. 2 4 2 2 ,m = − = ≠ α2

3) El único valor para el que la matriz A es diagonalizable es α=0. Para este valor A es igual a

„ -1 0 2 -2 † ¦ ¦ ¦ 0 -1 0 0 ¦ ¦ ¦ ¦ 0 0 1 -2 ¦ ¦ ¦ … 0 0 -2 1 ‡

Se calculan los vectores propios,

„ -1 0 2 -2 † ‚ ¦¦ ¦ ¦ ¦¦ 0 -1 0 0 ¦ ¦ EXACT_EIGENVECTOR¦¦ ¦, 3¦ ¦¦ 0 0 1 -2 ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ … 0 0 -2 1 ‡ ƒ

[[@1, 0, @1, -@1]]

De aquí se deduce que es un vector propio asociado al valor propio (1,0,1, 1)− 1 3.λ =

„ -1 0 2 -2 † ‚ ¦¦ ¦ ¦ ¦¦ 0 -1 0 0 ¦ ¦ EXACT_EIGENVECTOR¦¦ ¦, -1¦ ¦¦ 0 0 1 -2 ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ … 0 0 -2 1 ‡ ƒ

[[@2, @3, @4, @4]] Entonces son tres vectores propios independientes asociados al valor propio

(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,1)

1 1.λ = −La matriz de paso P es la siguiente

„ 1 1 0 0 † ¦ ¦ ¦ 0 0 1 0 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 0 0 1 ¦ ¦ ¦ … -1 0 0 1 ‡

que verifica la relación de semejanza 1 ,P AP D− = con D=diag(3,-1,-1,-1), como se demuestra aplicando la relación,

„ 1 1 0 0 †-1 „ -1 0 2 -2 † „ 1 1 0 0 † ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ 0 0 1 0 ¦ ¦ 0 -1 0 0 ¦ ¦ 0 0 1 0 ¦ ¦ ¦ ·¦ ¦·¦ ¦ ¦ 1 0 0 1 ¦ ¦ 0 0 1 -2 ¦ ¦ 1 0 0 1 ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ … -1 0 0 1 ‡ … 0 0 -2 1 ‡ … -1 0 0 1 ‡

„ 3 0 0 0 † ¦ ¦ ¦ 0 -1 0 0 ¦ ¦ ¦ ¦ 0 0 -1 0 ¦ ¦ ¦ … 0 0 0 -1 ‡

4) La matriz es tA A+

„ -1 © 2 -2 † „ -1 © 2 -2 † ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ 0 -1 0 0 ¦ ¦ 0 -1 0 0 ¦ ¦ ¦ + ¦ ¦` ¦ 0 0 1 -2 ¦ ¦ 0 0 1 -2 ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ … 0 0 -2 1 ‡ … 0 0 -2 1 ‡

„ -2 © 2 -2 † ¦ ¦ ¦ © -2 0 0 ¦ ¦ ¦ ¦ 2 0 2 -4 ¦ ¦ ¦ … -2 0 -4 2 ‡

Esta matriz no es invertible en los valores de α que hacen nulo su determinante, estos son,

„ -2 © 2 -2 † ¦ ¦ ¦ © -2 0 0 ¦ DET ¦ ¦ ¦ 2 0 2 -4 ¦ ¦ ¦ … -2 0 -4 2 ‡

2 12·© - 80

2 SOLVE(12·© - 80, ©)

2·‹15 2·‹15 © = - ——————— © = ——————— 3 3

Por tanto, la matriz es invertible si 2 15 2 15, .3 3

α ≠ − α ≠

5) El sistema es compatible indeterminado si el determinante de C es igual a cero, que

se verifica para los valores

0Cx =2 15 2 15ó .

3 3α = − α =

6) La matriz asociada a la forma cuadrática ( ) tQ x x Cx= para α=0 es

„ -2 0 2 -2 † ¦ ¦ ¦ 0 -2 0 0 ¦ ¦ ¦ ¦ 2 0 2 -4 ¦ ¦ ¦ … -2 0 -4 2 ‡

Se calculan los valores propios de esta matriz, que son,

„ -2 0 2 -2 † ¦ ¦ ¦ 0 -2 0 0 ¦ EIGENVALUES ¦ ¦ ¦ 2 0 2 -4 ¦ ¦ ¦ … -2 0 -4 2 ‡

[-2, -2.898979485, 6.898979485]

por lo que la forma cuadrática es indefinida.

7) Se escribe la expresión desarrollada de la forma cuadrática,

2 2 2 2 - 2·x - 2·y + 2·z + 2·t + 4·x·z - 4·x·t - 8·z·t

La solución del sistema es 0

0y zz t− =⎧

⎨ − =⎩* * * *( , , , ) ( , , , ),x y z t x t t t= por lo que la forma cuadrática

restringida queda 2 2 2 2 - 2·x - 2·t + 2·t + 2·t + 4·x·t - 4·x·t - 8·t·t

2 2 - 2·x - 6·t

que es claramente definida negativa.

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Problema con ordenador B

Sea la matriz con

1 0 00 0 1 2

,0 1 2 20 1 1 1

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎢ ⎥− −⎣ ⎦

A

β

.∈β

1. Calcular los valores propios de la matriz A indicando su multiplicidad algebraica. (2 puntos) 2. Discutir la diagonalización de la matriz A en función de los valores del parámetro β. (4 puntos) 3. Hallar la matriz de paso P, y la diagonal D, para aquellos valores de β que hacen que A sea

diagonalizable y escribir la relación de semejanza correspondiente. (3 puntos) 4. Construir la matriz Hallar los valores del parámetro β que aseguran que la matriz C es

invertible. (3 puntos) .= + tC A A

5. Hallar los valores del parámetro β que hacen que el sistema 0=Cx sea compatible indeterminado. (2 puntos)

6. Para el caso 0,=β clasificar la forma cuadrática ( ) .= tQ x x Cx (2 puntos)

7. Clasificar la forma cuadrática del apartado 6) restringida al sistema 0

.0

− =⎧⎨ =⎩

x yt

(4 puntos)

1) Se introduce la matriz

„ 1 ß 0 0 † ¦ ¦ ¦ 0 0 1 -2 ¦ ¦ ¦ ¦ 0 -1 2 -2 ¦ ¦ ¦ … 0 -1 -1 1 ‡

y se calcula el polinomio característico

„ 1 ß 0 0 † ¦ ¦ ¦ 0 0 1 -2 ¦ CHARPOLY ¦ ¦ ¦ 0 -1 2 -2 ¦ ¦ ¦ … 0 -1 -1 1 ‡

3 2 (w - 1)·(w - 3·w - w + 3)

que factorizado queda

2 (w + 1)·(w - 3)·(w - 1)

Por tanto, los valores propios de la matriz son 1 21, 3λ = − λ = con multiplicidad algebraica

y con multiplicidad algebraica 1 2 1,α = α = 3 1,λ = 3 2.α =

2) Las multiplicidades geométricas de los valores propios 1 1λ = − y 2 3λ = son necesariamente Para calcular la multiplicidad geométrica del valor propio 1 2 11m m= = = α = α2. 3 1λ =

discutimos el rango de la matriz 3 ,A I−λ

„ 1 ß 0 0 † ¦ ¦ ¦ 0 0 1 -2 ¦ ¦ ¦ - 1·IDENTITY_MATRIX(4) ¦ 0 -1 2 -2 ¦ ¦ ¦ … 0 -1 -1 1 ‡

„ 0 ß 0 0 † ¦ ¦ ¦ 0 -1 1 -2 ¦ ¦ ¦ ¦ 0 -1 1 -2 ¦ ¦ ¦ … 0 -1 -1 0 ‡

El rango de esta matriz depende del resultado de este menor de orden 3

„ ß 0 0 † ¦ ¦ DET ¦ -1 1 -2 ¦ ¦ ¦ … -1 -1 0 ‡

- 2·ß

Por tanto, si β=0, entonces 3( )rango A I 2,−λ = por lo que 3 4 2 2 ,m 3= − = = α y la matriz es diagonalizable. En cambio, si β≠0, entonces 3( )rango A I 3,−λ = por lo que

y la matriz no es diagonalizable. 3 4 3 1 ,m = − = ≠ α3

3) El único valor para el que la matriz A es diagonalizable es β=0. Para este valor la matriz A es

igual a

„ 1 0 0 0 † ¦ ¦ ¦ 0 0 1 -2 ¦ ¦ ¦ ¦ 0 -1 2 -2 ¦ ¦ ¦ … 0 -1 -1 1 ‡

Se calculan los vectores propios,

„ 1 0 0 0 † ‚ ¦¦ ¦ ¦ ¦¦ 0 0 1 -2 ¦ ¦ EXACT_EIGENVECTOR¦¦ ¦, -1¦ ¦¦ 0 -1 2 -2 ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ … 0 -1 -1 1 ‡ ƒ

[[0, @1, @1, @1]]

De aquí se deduce que es un vector propio asociado al valor propio (0,1,1,1) 1 1.λ = −

„ 1 0 0 0 † ‚ ¦¦ ¦ ¦ ¦¦ 0 0 1 -2 ¦ ¦ EXACT_EIGENVECTOR¦¦ ¦, 3¦ ¦¦ 0 -1 2 -2 ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ … 0 -1 -1 1 ‡ ƒ

[[0, @2, @2, -@2]]

Se deduce que (0 es un vector propio asociado al valor propio ,1,1, 1)− 2 3.λ =

„ 1 0 0 0 † ‚ ¦¦ ¦ ¦ ¦¦ 0 0 1 -2 ¦ ¦ EXACT_EIGENVECTOR¦¦ ¦, 1¦ ¦¦ 0 -1 2 -2 ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ … 0 -1 -1 1 ‡ ƒ

[[@3, -@4, @4, @4]]

Entonces son dos vectores propios independientes asociados al valor propio

(1,0,0,0), (0, 1,1,1)−

3 1.λ =La matriz de paso P es la siguiente

„ 0 0 1 0 † ¦ ¦ ¦ 1 1 0 -1 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 1 0 1 ¦ ¦ ¦ … 1 -1 0 1 ‡

que verifica la relación de semejanza 1 ,P AP D− = con D=diag(3,-1,-1,-1), como se demuestra aplicando la relación,

„ 0 0 1 0 †-1 „ 1 0 0 0 † „ 0 0 1 0 † ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ 1 1 0 -1 ¦ ¦ 0 0 1 -2 ¦ ¦ 1 1 0 -1 ¦ ¦ ¦ ·¦ ¦·¦ ¦ ¦ 1 1 0 1 ¦ ¦ 0 -1 2 -2 ¦ ¦ 1 1 0 1 ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ … 1 -1 0 1 ‡ … 0 -1 -1 1 ‡ … 1 -1 0 1 ‡

„ -1 0 0 0 † ¦ ¦ ¦ 0 3 0 0 ¦ ¦ ¦ ¦ 0 0 1 0 ¦ ¦ ¦ … 0 0 0 1 ‡

4) La matriz es tA A+

„ 1 ß 0 0 † „ 1 ß 0 0 † ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ 0 0 1 -2 ¦ ¦ 0 0 1 -2 ¦ ¦ ¦ + ¦ ¦` ¦ 0 -1 2 -2 ¦ ¦ 0 -1 2 -2 ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ … 0 -1 -1 1 ‡ … 0 -1 -1 1 ‡

„ 2 ß 0 0 † ¦ ¦ ¦ ß 0 0 -3 ¦ ¦ ¦ ¦ 0 0 4 -3 ¦ ¦ ¦ … 0 -3 -3 2 ‡

Esta matriz no es invertible en los valores de α que hacen nulo su determinante, estos son,

„ 2 ß 0 0 † ¦ ¦ ¦ ß 0 0 -3 ¦ DET ¦ ¦ ¦ 0 0 4 -3 ¦ ¦ ¦ … 0 -3 -3 2 ‡

2 ß - 72

2 SOLVE(ß - 72, ß)

ß = - 6·‹2 ß = 6·‹2

Por tanto, la matriz es invertible si 6 2, 6 2.β ≠ − α ≠

5) El sistema es compatible indeterminado si el determinante de C es igual a cero, que se verifica para los valores

0Cx =6 2 ó 6 2.β = − β =

6) La matriz asociada a la forma cuadrática ( ) tQ x x Cx= para β=0 es

„ 2 0 0 0 † ¦ ¦ ¦ 0 0 0 -3 ¦ ¦ ¦ ¦ 0 0 4 -3 ¦ ¦ ¦ … 0 -3 -3 2 ‡

Se calculan los valores propios de esta matriz, que son,

„ 2 0 0 0 † ¦ ¦ ¦ 0 0 0 -3 ¦ EIGENVALUES ¦ ¦ ¦ 0 0 4 -3 ¦ ¦ ¦ … 0 -3 -3 2 ‡

[2, -2.690415759, 6.690415759]

por lo que la forma cuadrática es indefinida.

7) Se escribe la expresión desarrollada de la forma cuadrática,

2 2 2 2·x + 4·z + 2·t - 6·x·t - 6·z·t

La solución del sistema es 00

x yt

− =⎧⎨ =⎩

* * * *( , , , ) ( , , ,0),x y z t y y z= por lo que la forma cuadrática

restringida queda

2 2 2 2·y + 4·z + 2·0 - 6·y·0 - 6·z·0

2 2 2·y + 4·z

que es claramente definida positiva.

matemÁticas ii examen del 28/06/2007 solución importante · 2008-11-11 · matemÁticas ii examen...

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