matemÁticas 1 - editorialpatria.com.mx · 1. se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y...

MATEMÁTICAS 1Álgebra en acción

primera edición ebook 2014

Joaquín Ruiz Basto

BACHILLERATO GENERAL

SERIE INTEGRAL POR COMPETENCIAS

Grupo Editorial Patria®División Bachillerato, Universitario y Profesional

Matemáticas 1.

Álgebra en acción

Serie integral por competencias

Derechos reservados: ©2014, Joaquín Ruiz Basto

©2014, Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V.

ISBN ebook: 978-607-438-995-1

Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca,Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F.Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial MexicanaRegistro núm. 43

Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en

cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.

Impreso en México / Printed in Mexico

Primera edición ebook: 2014

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Dirección editorial: Javier Enrique CallejasCoordinación editorial: Alma Sámano CastilloElaboración de rúbricas: Alex Polo Velázquez, páginas: 16-18, 48, 49, 64, 65, 84, 85, 106, 107, 126, 127, 142, 143, 154, 155, 170, 171, 186, 187 Diseño de interiores y portada: Juan Bernardo Rosado SolísSupervisión de preprensa: Miguel Ángel Morales VerdugoDiagramación: Gustavo Vargas Martínez, Jorge Antonio Martínez JiménezIlustraciones: José Luis Mendoza Monroy, Perla Alejandra López Romo, Leopoldo TrejoFotografías: Thinkstock

Se incluyeron reproducciones autorizadas por el Instituto Nacional de Antropología e Historia, México.

Representación de las esculturas Reloj de Sol de Almussafes y Reloj de Sol de Ontiyent, autorizadas y

proporcionadas por los escultores Joao Olivares Alfonso y Rafael Almorós.

Agradecemos las facilidades que otorgó el Zoológico de Chapultepec a esta casa editorial.

DedicatoriaA Estela, Rodrigo, Leonardo, Christian y Ricardo.

A todos los que contribuyeron para la realización de esta obra.

Contenido Parte1 Desarrollo

decompetencias . . . . . . . 1

BLO

QU

E

1 Resuelvesproblemasaritméticosyalgebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

BLO

QU

E

2Utilizasmagnitudesynúmerosreales 22

BLO

QU

E

3 Realizassumasysucesionesdenúmeros . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

BLO

QU

E

4 RealizastransformacionesalgebraicasI . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

BLO

QU

E

6ResuelvesecuacioneslinealesI . . . . 108

BLO

QU

E

5 RealizastransformacionesalgebraicasII . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

IV

Parte2 Materialdeconsulta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189Sección1 .Potenciasyraíces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

Sección2 .Determinantesdesistemaslineales2×2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

SolucionesaejerciciosimparesdeautoevaluaciónparalaParte1 . . . . . . . . . . 209

SolucionesaejerciciosimparesdelaParte2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

BLO

QU

E

7ResuelvesecuacioneslinealesII . . . . 128

BLO

QU

E

8ResuelvesecuacioneslinealesIII . . . 144

BLO

QU

E

9ResuelvesecuacionescuadráticasI . 156

BLO

QU

E

10ResuelvesecuacionescuadráticasII . 172

V

CompetenciasgenéricasdelBachilleratoGeneral

Las competencias genéricas son aquellas que todos los bachilleres deben estar en la capacidad de desempeñar, y que les permitirán a los estudiantes comprender su entorno (local, regional, nacional o internacional) e influir en él, contar con herramientas básicas para continuar aprendiendo a lo largo de la vida, y practicar una convi-

vencia adecuada en sus ámbitos sociales, profesional, familiar, etc., por lo anterior estas competencias construyen el Perfil del Egresa-do del Sistema Nacional de Bachillerato.

A continuación se enlistan las competencias genéricas:

1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.

3. Elige y practica estilos de vida saludables.

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apro-piados.

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.

7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo.

10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la inculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.

11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.

CompetenciasdisciplinaresbásicasdelcampodelasMatemáticas

CompetenciasdisciplinaresbásicasBloquesdeaprendizaje

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1. Construyeeinterpretamodelosmatemáticosmediantelaaplicacióndeprocedimientosaritméticos,algebraicos,geométricosyvariacionalesparalacomprensiónyanálisisdesituacionesreales,hipotéticasoformales.

X X X X X X X X X X

2. Formulayresuelveproblemasmatemáticos,aplicandodiferentesenfoques. X X X X X X X X X X

3. Explicaeinterpretalosresultadosobtenidosmedianteprocedimientosmatemáticosyloscontrastaconmodelosestablecidososituacionesreales.

X X X X X X X X X X

4. Argumentalasoluciónobtenidadeunproblema,conmétodosnuméricos,gráficos,analíticosovariacionalesmedianteellenguajeverbal,matemáticoyelusodelastecnologíasdelainformaciónycomunicación.

5. Analizalasrelacionesentredosomásvariablesdeunprocesosocialonaturalparadeterminaroestimarsucomportamiento.

X X X X X X X X X

6. Cuantifica,representaycontrastaexperimentalomatemáticamentelasmagnitudesdelespacioylaspropiedadesfísicasdelosobjetosquelorodean.

7. Eligeunenfoquedeterministaounoaleatorioparaelestudiodeunprocesoofenómeno,yargumentasupertinencia.

8. Interpretatablas,gráficas,mapas,diagramasytextosconsímbolosmatemáticosycientíficos.

X X X X X X X X X X

VII

X

CompetenciasgenéricasdelBachilleratoGeneral

Las competencias genéricas son aquellas que todos los bachilleres deben estar en la capacidad de desempeñar, y que les permitirán a los estudiantes comprender su entorno (local, regional, nacional o internacional) e influir en él, contar con herramientas básicas para continuar aprendiendo a lo largo de la vida, y practicar una convi-

vencia adecuada en sus ámbitos sociales, profesional, familiar, etc., por lo anterior estas competencias construyen el Perfil del Egresa-do del Sistema Nacional de Bachillerato.

A continuación se enlistan las competencias genéricas:

1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.

3. Elige y practica estilos de vida saludables.

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apro-piados.

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.

7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo.

10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la inculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.

11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.

CompetenciasdisciplinaresbásicasdelcampodelasMatemáticas

CompetenciasdisciplinaresbásicasBloquesdeaprendizaje

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1. Construyeeinterpretamodelosmatemáticosmediantelaaplicacióndeprocedimientosaritméticos,algebraicos,geométricosyvariacionalesparalacomprensiónyanálisisdesituacionesreales,hipotéticasoformales.

X X X X X X X X X X

2. Formulayresuelveproblemasmatemáticos,aplicandodiferentesenfoques. X X X X X X X X X X

3. Explicaeinterpretalosresultadosobtenidosmedianteprocedimientosmatemáticosyloscontrastaconmodelosestablecidososituacionesreales.

X X X X X X X X X X

4. Argumentalasoluciónobtenidadeunproblema,conmétodosnuméricos,gráficos,analíticosovariacionalesmedianteellenguajeverbal,matemáticoyelusodelastecnologíasdelainformaciónycomunicación.

5. Analizalasrelacionesentredosomásvariablesdeunprocesosocialonaturalparadeterminaroestimarsucomportamiento.

X X X X X X X X X

6. Cuantifica,representaycontrastaexperimentalomatemáticamentelasmagnitudesdelespacioylaspropiedadesfísicasdelosobjetosquelorodean.

7. Eligeunenfoquedeterministaounoaleatorioparaelestudiodeunprocesoofenómeno,yargumentasupertinencia.

8. Interpretatablas,gráficas,mapas,diagramasytextosconsímbolosmatemáticosycientíficos.

X X X X X X X X X X

VIII

Es el primer libro de la Serie integral por competencias, que ayudará a profesores y estudiantes a organizar y desarrollar experiencias de aprendizaje a lo largo del primer semestre escolar del bachillerato general.

Esta obra se apega al programa oficial de la asignatura y pone el centro de la actividad en el propio estudiante.

Así, cada uno de los 10 bloques que lo integran inicia exponiendo una situación práctica al estudiante, de su entorno social, familiar o personal, que requiere la búsqueda de explicaciones o soluciones.

La obra propone, en seguida, una secuencia didáctica de actividades, que conduce al alumno a la solución de la situación propuesta y que puede realizarse individualmente o en forma colectiva de modo que, a través del aná-lisis, la reflexión, el estudio, la investigación y el trabajo personal y colaborativo, el estudiante desarrolle habilidades cognitivas, haciendo y aplicando sus conocimientos, mismos que podrá ampliar en los segmentos informativos de cada lección, que incluyen ejercicios de autoevaluación con solución para los impares.

Cada bloque contiene, después de cada situación didáctica, un proyecto de trabajo cuyo objetivo es que el estudiante desarrolle sus conocimientos y habilidades, y consolide la autonomía en su quehacer.

Otra fuente complementaria de consulta de contenidos matemáticos para el estudiante se proporciona en la segunda parte del libro e incluye soluciones a ejercicios de orden impar.

La distribución de los contenidos del curso en 10 bloques permitirá al profesor disponer de variados proble-mas de aplicación práctica para organizar su trabajo en el aula.

Esta tercera edición se enriquece con nuevos e interesantes problemas y con modelos de instrumentos para la evaluación: rúbricas analíticas, listas de cotejo, guías de observación y lineamientos para la organización y uso de un portafolio de evidencias, elementos que, sin duda, serán de gran utilidad para el alumno y el profesor.

Problema propuesto

Situación didáctica

Análisis de la situación

Conocimientos

Consulta

Secuencia didáctica

Proyecto de trabajo

Rúbrica de evaluación Segmento informativo

Parte teórica

Ejemplos

Comentarios adicionales

Aplicaciones

Autoevaluaciones

Sugerencias para los ejercicios

Presentación

IX

Joaquín Ruiz Basto

MATEMÁTICAS 1Álgebra en acción

Parte 1Desarrollo de competencias

Contenido Bloque 1 Resuelves problemas aritméticos y algebraicos A. Cambios climáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

B. Tu computadora personal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Bloque 2 Utilizas magnitudes y números reales A. Husos horarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

B. Afluencia turística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Bloque 3 Realizas sumas y sucesiones de números A. Apertura de un restaurante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

B. Bienes raíces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Bloque 4 Realizas transformaciones algebraicas I A. Embalaje de piezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

B. Cultivo y venta de pescado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Bloque 5 Realizas transformaciones algebraicas II A. Alimento para ardillas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

B. Venta de churros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

C. Limpieza de albercas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Bloque 6 Resuelves ecuaciones lineales I A. Mezcla de dulces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

B. Banco de ostiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Bloque 7 Resuelves ecuaciones lineales II A. Matrimonios y divorcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

B. Esencias para perfumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Bloque 8 Resuelves ecuaciones lineales III A. Selección deportiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

B. Distribución y venta de quesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Bloque 9 Resuelves ecuaciones cuadráticas I A. Víveres para damnificados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

B. Pantalla de plasma PDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Bloque 10 Resuelves ecuaciones cuadráticas II A. Preservación de pandas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

B. Amigas y pulseras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

n Construyeeinterpretamodelosmatemáticosmediantelaaplicacióndeprocedimientosaritméticos,algebraicos,geométricosyvariacionales,paralacomprensiónyanálisisdesituacionesreales,hipotéticasoformales.

n Formulayresuelveproblemasmatemáticosaplicandodiferentesenfoques.n Explicaeinterpretalosresultadosobtenidosmedianteprocedimientosmatemáticosy

loscontrastaconmodelosestablecidososituacionesreales.n Analizalasrelacionesentredosomásvariablesdeunprocesosocialonaturalpara

determinaroestimarsucomportamiento.n Establecelarelaciónentrediversasmagnitudesexpresandoideasyconceptos

medianterepresentacioneslingüísticas,matemáticasográficas.n Interpretatablas,gráficas,mapas,diagramasytextosconsímbolosmatemáticosy

científicos.

n Elaboramodelosaritméticosoalgebraicossencillosdediversassituacionesofenómenossociales,naturales,económicosyadministrativosasumiendounaactitudconstructiva,congruenteconlosconocimientosyhabilidadesconlosquecuentadentrodesuentornosocialy/onatural.

n Aportapuntosdevistaconaperturayconsideralosdeotraspersonasdemanerareflexiva.

n Resuelveproblemasaritméticosoalgebraicosproponiendolamaneradesolucionardichoproblema,utilizandolastecnologíasdelainformaciónycomunicaciónparaprocesareinterpretarinformación.

n Asumeunaactitudconstructiva,congruenteconlosconocimientosyhabilidadesconlosquecuentadentrodedistintosequiposdetrabajo.

Resuelves problemas aritméticos y algebraicos

Competencias a desarrollarCompetencias a desarrollar

n Construyeeinterpretamodelosmatemáticosmediantelaaplicacióndeprocedimientosaritméticos,algebraicos,geométricosyvariacionales,paralacomprensiónyanálisisdesituacionesreales,hipotéticasoformales.

n Formulayresuelveproblemasmatemáticosaplicandodiferentesenfoques.n Explicaeinterpretalosresultadosobtenidosmedianteprocedimientosmatemáticosy

loscontrastaconmodelosestablecidososituacionesreales.n Analizalasrelacionesentredosomásvariablesdeunprocesosocialonaturalpara

determinaroestimarsucomportamiento.n Establecelarelaciónentrediversasmagnitudesexpresandoideasyconceptos

medianterepresentacioneslingüísticas,matemáticasográficas.n Interpretatablas,gráficas,mapas,diagramasytextosconsímbolosmatemáticosy

científicos.

n Elaboramodelosaritméticosoalgebraicossencillosdediversassituacionesofenómenossociales,naturales,económicosyadministrativosasumiendounaactitudconstructiva,congruenteconlosconocimientosyhabilidadesconlosquecuentadentrodesuentornosocialy/onatural.

n Aportapuntosdevistaconaperturayconsideralosdeotraspersonasdemanerareflexiva.

n Resuelveproblemasaritméticosoalgebraicosproponiendolamaneradesolucionardichoproblema,utilizandolastecnologíasdelainformaciónycomunicaciónparaprocesareinterpretarinformación.

n Asumeunaactitudconstructiva,congruenteconlosconocimientosyhabilidadesconlosquecuentadentrodedistintosequiposdetrabajo.

Competencias a desarrollar

Objetos de aprendizaje

Representación de relaciones entre magnitudes

Modelos aritméticos y algebraicos

¿Qué sabes hacer ahora?

Laaritméticaeslareinaylaesclavadelasmatemáticas.

EstasingulardescripcióndelagrandezayutilidaddelaaritméticaseinspiraenunafrasedelfamosomatemáticoalemánKarlF.Gauss,quienvivióenlossiglosxviiiyxix.

Unviejocuentorusodesafíaalescuchaafirmandocosasinverosímilesacercadeunapeculiarventadehuevoscrudosrealizadaporunacampesina,quien,sinromperninguno,sequedóalfinalconunhuevoluegodevenderalprimerclientelamitaddetodoslosquellevabamásmediohuevoy,mástarde,aunasegundapersona,lamitaddelosquequedarondelaprimeraventamásmediohuevo.

¿Podríaalguienhaceralgosimilaralvenderdelamismaformacachorritosymitadesdeellosyentregarlosvivos?¿Esaritméticamenteposibletalcosa?¿PodríaayudarteelÁlgebraaresponderesto?

Competencias a desarrollar

1B LO Q U E

Desempeños del estudiante al concluir el bloque

Identificaformasdiferentesderepresentarnúmerospositivos,decimalesendistintasformas(enteros,fracciones,porcentajes)ydelosdemásnúmerosreales.

Jerarquizaoperacionesnuméricasalrealizarlas.

Realizaoperacionesaritméticas,siguiendoelordenjerárquicoalefectuarlas.

Calculaporcentajes,descuentoseinteresesendiversassituaciones.

Emplealacalculadoracomoinstrumentodeexploraciónyverificaciónderesultados.

Representarelacionesnuméricasyalgebraicasentreloselementosdediversassituaciones.

Solucionaproblemasaritméticosyalgebraicos.

�

Resuelves problemas aritméticos y algebraicos GrupoEditorialPatria®

A1BLOQUE


Conocimientos

Números positivos

Enteros y/o fracciones mayores que 0 .

Fracción común Fracción mixta

1 4

6 2

7 5

12 5

Notación decimal Porcentajes

0 .25 3 1 .4 25% 300%

Volumen y altura de un prisma

Volumen = área de la base × altura

Altura = _____________volumenárea de la base

h

Vapor atmosférico

Una columna de aire atmosférico de 1 m2 de base contiene entre 15 kg y 25 kg de agua .

Equivalencias métricas

1 kg = 1,000 g

1 m2 = 100 cm × 100 cm = 10,000 cm2

Para agua destilada, a 4 °C:

1 g

=1 cm 3

Peso Volumen

Consulta

En libros de aritmética y de álgebra:

Númerospositivos

Sistemamétricodecimal

Variablesnuméricas

En Internet:

terraeantiqvae .blogia .com/2006/120701-un-tsun . . .www .librosmaravillosos .com/

Situación didáctica Cambios climáticos

Diversas historias, mitos y leyendas antiguas, provenientes de civilizaciones de di-ferentes lugares del mundo —Mesopotamia, Israel, India, América y otros sitios— relatan la ocurrencia de catástrofes causadas por inundaciones pluviales.

Algunos científicos consideran que tales fenómenos, acontecidos en épocas diferen-tes, tuvieron alcance local o regional y fueron originados por cambios meteorológi-cos y/o geológicos, como erupciones volcánicas, terremotos y tsunamis .

Un conocido relato bíblico, en el cual se refiere el origen del mundo, narra que en épocas remotas ocurrió un diluvio universal que cubrió todas las montañas del mun-do en un lapso de 40 días .

Considerando los conocimientos científicos y los cambios climatológicos actuales, ¿es factible que pueda ocurrir una catástrofe así?


1. La lluvia proviene del vapor de agua atmosférico cuando éste se condensa (es decir, pasa del estado gaseoso al líquido) .

2. En sitios distintos —incluso cercanos—, la lluvia alcanza volúmenes diferentes debido a que el viento desplaza al vapor atmosférico de un lugar a otro .

3. Si lloviera simultáneamente en todo el planeta, ningún sitio podría prestar su hu-medad a otro, puesto que se condensaría en su totalidad el vapor de agua existente en la atmósfera .


�


Rúbrica de evaluación

Elabora un resumen que incluya:

Un cuadro de equivalencias en el sistema métrico decimal, para medidas de capaci-dad, peso y volumen .

El desarrollo de la secuencia didáctica con las respuestas y operaciones solici-tadas .

Una reflexión y conclusiones sobre los resultados obtenidos en la secuencia di-dáctica y en la evaluación sumativa .


1 . Durante una lluvia simultánea, toda el agua de la atmósfera caería a la vez sobre el planeta, descargando cada columna atmosférica (de 1 m2 de base), una cantidad máxima promedio de ______________________ (15 kg / 25 kg) de agua .

2 . Suponiendo que la tierra no absorbiera el agua, la altura de la capa de agua sobre la superficie terrestre sería ______________________ (la misma/diferente) en to-dos los lugares del planeta .

3 . Para conocer la altura que alcanzaría la capa de agua por cada columna de aire atmosférico, debe dividirse el volumen de agua que contiene la columna entre el área de su base (1 m2) .

Volumen máximo de agua: 25 kg = ___________ g = ___________ cm3 .

Área de la base: 1 m2 = ( cm) × ( cm) = __________ cm2 .

h = Volumen máximo de agua

Área de la base

= cm2

cm2 = cm .

4 . Así, por cada columna atmosférica del planeta, es decir, en cada m2 de superficie, el agua alcanzaría una altura máxima de ___________ cm .

5 . El Monte Everest, la cumbre más elevada del mundo (9 km de altura), rebasaría la altura de esta capa de agua,

Altura del Monte Everest

Altura de la capa de agua

= cm

cm

= veces .

Proyecto de trabajo

1. Envases ¿Cabe lo mismo en una lata de harina de 12 .5 cm de alto y base circular de 25 cm de ancho, que en otra con altura doble y la mitad de ancho?

a) Analiza casos de recipientes sencillos con base cuadrada donde la altura y ancho sean números enteros y representa la in-formación en diagramas . Haz lo mismo para recipientes cilíndricos . ¿Cómo se relacionan ambos casos?

b) Realiza los cálculos para la situación descrita inicialmente . ¿Qué relación observas? Generaliza los resultados usando variables para expresar las mag-nitudes (altura: h y diámetro: d); aplícalos al caso de peso de troncos, en vez de capacidad de latas, y de depósitos de agua, en lugar de recipientes para harina .

Harina

Harina

�


Segmentoinformativo 1A


Recuerda

1 . Los dígitos son los números que se escri-ben con una sola cifra .

2 . Un numeral es el símbolo que representa a un número .

Algunosnumeralesparaeldos: ••, 2, II, 10 .

Verifica tu avance

1 . ¿Cuáles son los dígitos en base 10? ¿Y en base 2?

2 . ¿Cuál es el origen de la palabradígito?

3 . ¿A qué sistemas de numeración corres-ponden estos numerales del dos?

Fíjate en lo siguiente...

En un número decimal, tal como 2 .15, a las cifras después del punto decimal se les lla-ma fraccióndecimal, coladecimal o cifrasdecimales .

Recuerda

1 . Cuando operamos con números los tér-minos reciben nombres especiales:

Adición: 2 + 0 .5 = 2 .5 Sumandos Suma

Sustracción: 2 - 0 .5 = 1 .5 Minuendo Sustraendo Restaodiferencia

Multiplicación: 2 × 0 .5 = 1 Factores Producto

División:

2 ÷ 0 .5 = 2

0 .5 Numerador

Denominador

= 4

Dividendo Divisor Cociente

Variables y números reales

Aritmética y números positivos

En la aritmética ordinaria se usan sólo números positivos, además del cero .Por estar escritos en base diez (sistema de numeración decimal), a todos se les llama números decimales .

2, 1 .25, 0 .333…, 1 .4142,… .

Muchas veces el nombre de un número depende de cómo está escrito,

Fracción común: 1 4

Un cuarto

Fracción decimal: 0 .25 Veinticinco centésimos

Porcentaje: 25% Veinticinco por ciento

O también de la clase o conjunto a la cual pertenece:

Enteros: 0, 1, 2, 3, …

Naturales o enteros positivos: 1, 2, 3, …

Fraccionarios: 0 .25, 1 4

, …

Las operaciones con que se combinan estos números son cuatro: adición, sustrac-ción, multiplicación y división . Junto con los números y signos de operación, se emplean signos de agrupación (paréntesis) a fin de construir expresiones numéricas para indicar las operaciones .

(3 × 4) + 2 Expresión numérica

Para evitar ambigüedades en expresiones numéricas, se siguen las siguientes reglas al operar con los números:

Ordendelasoperaciones

1o Se efectúan las operaciones entre paréntesis, de adentro hacia fuera .

2o Se calculan las potencias .

3o De izquierda a derecha se sigue con multiplicaciones y divisiones .

4o Al último, de izquierda a derecha, se ejecutan sumas y restas .

Así, 3 × 4 + 2 = 14 y (3 × 4) + 2 = 14, en tanto que 3 × (4 + 2) = 18 .

Ejemplo 1 Valuando expresiones numéricas

Obtén el valor de las siguientes expresiones numéricas .

a) 2 + 7 - 3 × 2

b) 12 - ((4 + 4) ÷ 2)

Solución

a) 2 + 7 - 3 × 2 = Multiplica primero 3 × 2 2 + 7 - 6 = Halla la suma 2 + 7 9 - 6 = 3 Obtén la resta 9 - 6

b) 12 - ((4 + 4) ÷ 2) = Del paréntesis interior obtén 4 + 4 12 - (8 ÷ 2) = Divide 8 ÷ 2 en el paréntesis

12 - 4 = 8 Halla la resta 12 - 4


�


2 . La raíz y la potencia de un número se de-finen mediante multiplicación repetida .

Tercera potencia de 4: 43 = 4 × 4 × 4 = 64

Raíz cúbica de 64: 3√ 64 = 4, pues 43 = 64

Exponente Índice o grado

25 = 32 3√ 8 = 2

Base Potencia Radicando Raíz

Potencias especiales:_____________________________________ Primera potencia Potencia cero 41 = 4 (excepto para el cero)

1001 = 100 20 = 1 (0 .25)1 = 0 .25 (3 .5)0 = 1

Ejemplo 2

Recuerda

1 . 20% = 20

100 = 0 .20 pues 0 .20 × 100 = 20 .

Al operar con potencias de 10

Mueves el punto decimal a la izquierda si divides, a la derecha si multiplicas

Tantoslugarescomocerosposeelapotenciade10.

(101 = 10, 102 = 100, 103 = 1,000, etc .)

2 . Por el contexto del problema, $660 .376 se redondeó a $660 .38

Redondeo de cifras decimales

Laúltimacifradecimalquesedeja:

Quedaigual si la que sigue es menor a 5

Aumenta 1 si la que sigue es 5 o mayor a 5

Verifica tu avance

1 . ¿Es 660 .37 un redondeo de 660 .376?

2 . ¿Tu calculadora redondea o corta las cifras decimales?

3 . Con la misma estrategia, aplica el plan:costo final por camisa × número deéstas.

4 . ¿Es correcto razonar: si ahorro 20% ypago15%deimpuesto,alfinalmipagoeselcostoinicialmenos5%?

Ejemplo 2 Aritmética en acción: descuento comercial

Compras cinco camisas en promoción, con 20% de des-cuento . ¿A cuánto ascenderá tu pago si el precio de $143 .56 mostrado en cada etiqueta no tiene incorporado el descuen-to, ni 15% de impuesto?

Solución

Descomponemos el problema en tres partes:

1. Se halla el costo inicial de todas las camisas

Número de camisas × Costo por camisa = Costo inicial

5 × 143 .56 = 717 .80

2. Le aplicas el descuento

Costo inicial - 20% del costo inicial = Costo con descuento

717 .80 - 0 .20 × 717 .80 = 574 .24

3. Hallas el costo final sumándole el impuesto

Costo con descuento + 15% de este costo = Costo final

574 .24 + 0 .15 × 574 .24 = 660 .376

Así, el importe total que pagarás por las cinco camisas será $660 .38 .

El proceso completo puede resumirse con la expresión numérica:

(5 × 143 .56) - 0 .20 (5 × 143 .56) + 0 .15 × (5 × 143 .56 - 0 .20 (5 × 143 .56)) .

Costo de las camisas con descuento + 15% de impuesto

Ejemplo 3 Ilusión aritmética

Estás de vacaciones con dos amigos y entre los tres pa-gan $300 por una habitación, aportando cada uno $100 . El hotel les devuelve $50, pero el mozo con que los en-vía guarda para sí $20 y les regresa $10 a cada uno .

Así, cada uno pagó $90, lo cual hace $270 por los tres; más $20 del mozo, dan un total de $290 . ¿Qué sucedió con los $10 restantes?

Solución

Pago total = Ingreso hotel + Retención mozo + Devolución

300 = 250 + 20 + 30

Comparamos ahora el argumento dado, contra este modelo:

Argumentación presentada 270 + 20 = 250 + 20 + 20

Modelo correcto 300 = 250 + 20 + 30

En ambos casos, los $250 del hotel y los $20 del mozo están incluidos dentro de los $270 . Por esto, en la argumentación presentada, en vez de sumar los $20 del mozo a los $270, debieron sumarse los $30 devueltos .

�

Resuelves problemas aritméticos y algebraicos GrupoEditorialPatria®Resuelves problemas aritméticos y algebraicos GrupoEditorialPatria®

Ejemplo 4 Duración del cabello

Se calcula que en la cabeza de una persona hay en promedio 180,000 cabellos y que mensualmente se caen 3,600 de ellos .

¿Cuánto tiempo permanecerá cada nuevo cabello en tu cabeza?

Solución

a) Una solución mediante un modelo verbal es la siguiente:

Total de cabellos ÷ Cabellos que = Años que tarda en caen en un año caerse todo el cabello

180,000 ÷ (3,600 × 12) = 4 .1666666666…

Cada cabello nuevo durará, aproximadamente, 4 años en tu cabeza .

b) Otra forma de abordar el problema es elaborando una tabla, como sigue:

Tiempo Pérdida de cabello

1 mes 3,600 3,600

2 meses 2 × 3,600 7,200

3 meses 3 × 3,600 10,800

1 año 12 × 3,600 43,200

2 años 24 × 3,600 86,400

3 años 36 × 3,600 129,600

4 años 48 × 3,600 172,800

5 años 60 × 3,600 216,000

Podemos observar que en 4 años se pierden 172,800 cabellos, cifra muy cercana a 180,000 . Agregándole la cantidad del segundo mes se tiene

172,800 + 7,200 = 180,000 . Esto dice que la respuesta son 4 años 2 meses .

Ejemplo 4

Observaciones importantes

1 . Muchos problemas admiten distintos pro-cedimientos (aritméticos, geométricos, algebraicos, etc .) y distintas formas (es-trategias) para hallar su solución . En este ejemplo se muestran dos estrategias para resolverlo .

2 . Para transformar a meses la fracción de año, basta multiplicarla por 12:

4 .16666666666… años = 4 años + 12 × (0 .1666666…) meses = 4 años + 1 .9999… meses = 4 años 2 meses .

3 . Las fracciones decimales como 0 .1666666666… que poseen una o varias cifras que se repiten indefinidamente (perio-do) se llaman fracciones periódicas .

Se escriben en forma abreviada con unperiodo y una línea encima de éste:

0 .16 = 0 .16666666 . . .

4 . Por lo regular el trabajo con fracciones comunes es más preciso y sencillo que con fracciones decimales, ya que sus com-ponentes son dos números enteros:

180,000

12 × 3,600 =1,800

432(se cancelan dos ceros)

Para simplificar al máximo esta fracción ha-llamos el mayor divisor común para 1,800 y 432, mediante descomposición en factores primos:

1,800 432 3 600 144 2 300 72 3 100 24 2 50 12 2 25 6

Los divisores comunes se escriben a la derecha . Los cocientes debajo a la izquierda . El proceso termina al no haber divisores comunes .Su producto es el máximocomúndivisor .

mcd = 23 × 32 = 8 × 9 = 72

Dividiendo ambos números entre 72:

1,800

432=25

6

=41 6 6 |

4

251 =41

6

41 6

años = 4 años +1 6

× 12 meses=

4 años + 2 meses

1. Agrega paréntesis para que

a) 2 + 7 - 3 × 2 = 10; b) 15 × 6 ÷ 6 ÷ 3 = 45 .

En los ejercicios 2 a 4 haz las operaciones y redondea fracciones a centésimos .

2. 967 .42 ÷ 1,000

3. 0 .1631 ÷ 100

4. (14 .02 + 23 .19) × (13 ÷ 6)

Autoevaluación 1A


�


Sugerencias para la autoevaluación 1A

1. Prueba varias opciones hasta obtener la correcta .

2 y 3. Revisa Operacionescon potenciasdediez y Redondeodecifrasdecimales en el margen del ejemplo 2 .

4. Los números con fracciones decimales se suman en columna alineando el pun-to . Revisa en el margen: Potenciasespe-ciales.

5 a 7. Divide en cada caso el numerador en-tre el denominador .

11. Prueba acomodos . Hay varias soluciones .

b) Ejemplo:

3 = 4 × 4 - 4

4

; 4 = 4 + 4 × (4 - 4)

c) Más de una solución: 30 = 5 × 5 + 5

d) Escríbelo (no puede ser el 0, ¿por qué?)

12. Utiliza la siguiente equivalencia:

10 cm

1 litro 1 kg 1 dm3

10 cm

=10 cm

=

En los ejercicios 5 a 7: a) escribe cada fracción común en forma decimal; b) identifica el periodo en cada número decimal y abrevia su escritura .

5. 1 3

6. 3 5

7. 7 4

En los ejercicios 8 a 10 asocia cada fracción con su nombre: a) Fracción propia, b) Fracción impropia, c) Fracción mixta.

8. 27 3

9. 8 1

10. 12

16

11. Pasatiempos numéricos

a) Acomoda los dígitos positivos en el triángulo, de modo que en cada lado la suma sea igual a 20 .

b) Escribe cada dígito usando sólo 4 cuatros y algunas de las cuatro operacio-nes básicas .

c) Expresa el 30 con tres cifras iguales y algunas de las seis operaciones .

d) ¿Cuál es el menor entero positivo que puedes escribir con dos cifras?

12. Aguacero Se calcula que la zona metropolitana de la ciudad de México abar-ca una superficie aproximada de 900 km2 . Si lloviera en toda esta zona y el agua alcanzara en promedio 1 cm de altura, ¿qué cantidad de agua habría (en litros) y cuál sería su peso (en kg)?

10


Conocimientos

Tanto por ciento

1 . Las siguientes expresiones indican lo

mismo: 25% = 25

100 =0.25

2 . También, 25% =1 4

. ¿Por qué?

3 . Para obtener 25% de 48, multiplica ambos números .

Así, (25%)(48) = 12, ya que

(25%)(48) = (0 .25)(48) =1 4

(48)

Datos variados

¿Cuál valor tomarías como precio de un kilo-gramo de limón?

Día 1 2 3 4 5

Kg($) 6 .50 6 .75 8 7 .30 7

El promedio suele ser un buen valor:

6 .50 + 6 .75 + 8 + 7 .30 + 7 5

=?

Consulta

En libros de algebra y otras fuentes .

En la segunda parte del libro:

Aritméticaynúmerospositivos

Númerosyvariables

En Internet:

www .aaamatematicas .com/equ .htm

Situación didáctica Tu computadora personal

Unalmacéninformaqueapartirdelasiguientesemanaaumentará10%elpreciodeunacomputadoraportátil,altiempoqueanunciaunarebajade10%entodoslosartículosparaesosdías.

¿Me conviene comprar el equipo antes de que aumente de precio, o cuando aplique la rebaja? ¿Cómo podría predecir cuál será el nuevo precio para cualquier compu-tadora, bajo estas condiciones?


1. ¿Cuánto cuesta una computadora portátil? ¿De qué depende esto?

2. ¿Cuántos años, en promedio, duran tales equipos? ¿Cuál sería el costo anual de tu inversión?

3. ¿Son iguales los precios durante la rebaja que antes de ésta, en virtud de que el porcentaje de aumento es el mismo que el de descuento?

4. Para un precio particular efectúa los cálculos del nuevo precio con aumento y descuento de 10% y compara ambos resultados .

B1BLOQUE


11


Rúbrica de evaluación

1. El desarrollo de la secuencia didáctica y de la evaluación sumativa, debe mostrar:

El manejo de porcentajes en forma decimal y de fracción común .

El uso de variables en la elaboración de modelos algebraicos .

La aplicación de los modelos para predecir o anticipar resultados .

El empleo de tablas para organizar información en forma sistemática y para examinar regularidades .

2. Trabajo optativo de investigación .

Hallar un modelo algebraico para la si-tuación descrita, reemplazando el 10% de aumento y descuento por: a) 25%, b) a% . Establecer conclusiones para es-tos casos .


1 . Si la computadora cuesta en este momento $10,000, en la siguiente semana se tendrá:

Nuevo precio:

10,000 + 10%(10,000) = 10,000 + ( ) × ( ) =

Nuevo precio con descuento:

- 10% = ________________ = $ ________________ .

Como este precio es _________________ (mayor/menor) que el precio actual,

___________________ (conviene/no conviene) esperar para comprar el equipo en

oferta la próxima semana .

2 . Para cualquier precio P (en $) que tuviera actualmente el equipo, su nuevo precio, con aumento y descuento de 10%, se obtendrá así:

Nuevo precio:

P + 10%P = P + __________ P = __________ P

Nuevo precio con descuento:

__________ P - 10% __________ P = _________________ = __________ P

3 . Este modelo muestra que, en estas condiciones, el nuevo precio de la computado-

ra en oferta es una _________________ (décima/centésima) menor que el precio

inicial . Aplicado a un precio P de $10,000 anticipa que el nuevo precio en oferta

será de $( )(10,000) = $ _____________ y para un precio P = $15,000, será

de $( )(15,000) = $ ______________ .

Proyecto de trabajo

1. Calorías y ejercicio Cuando caminas durante 15 minutos tu cuerpo quema 60 calorías . En cambio, montando bicicleta que-mas 90 calorías .

a) ¿Cuántas calorías pierdes por minuto al realizar cada una de estas actividades?

b) Escribe un modelo verbal y uno algebraico para saber cuán-tas calorías quemas al realizar ambas actividades .

c) Si caminas una hora y después andas media hora en bicicle-ta, ¿cuántas calorías quemas?

d) Elabora una tabla para diversas combinaciones de ambos ejer-cicios hasta completar una hora y media, en intervalos de quince minutos .

e) Describe las regularidades que observes en renglones y columnas de la tabla y predice el dato para 15 minutos a pie y 105 minutos en bicicleta .

12



1 . En matemáticas las variables pueden re-presentar diversas cosas (conjuntos, fun-ciones, matrices, números, etcétera) .

2 . Cuando representan números (como en álgebra básica) se les llama variablesnu-méricas (o simplemente variables) .

Verifica tu avance

¿Podrías decir que una expresión algebraica es una expresión numérica que contiene va-riables?

Al evaluar expresiones algebraicasDebes sustituir el valor de la variable cada vez que ésta aparezca escrita .


Al usar paréntesis y/o variables se omite el signo × de multiplicación . También puede reemplazarse por un punto a mitad de altura entre los símbolos . 5 × x = 5x = 5 ⋅ x = 5(x) = (5)x = (5)(x)

Verifica tu avance

1 . La expresión disminuido en de la sustracción, ¿a cuál corresponde en la adición?

2 . ¿Son iguales las expresiones:

2 menosquey, y 2menosy?


En la sustracción el orden es importante, lo mismo que en la división . No es lo mismo a - 6 que 6 - a, ni x/5 que 5/x .

Números y variables

Una variable es una letra que representa a un número . Los números son los valores de la variable . Una expresión que contiene signos de operación, de agrupación, nú-meros y variables es una expresión algebraica.

3(x - 5) + 2 Expresión algebraica

Al sustituir la variable por un número y efectuar las operaciones indicadas se está evaluando la expresión algebraica . El resultado es el valor de la expresión algebrai-ca y depende del número reemplazado .

El valor de 3(x - 5) + 2 para x = 10 es 3(10 - 5) + 2 = 17

Las expresiones algebraicas, al igual que las expresiones numéricas, pueden ser uti-lizadas para representar situaciones reales . Las expresiones constituyen el modelo ma-temático (aritmético o algebraico) de la situación .

Expresión algebraica Situación que modela

2x El doble de un número x - 5 Un número menos 5

Al escribir modelos es útil identificar las operaciones aritméticas involucradas:

Situación descrita Modelo algebraico

Adición 5 más un número 5 + x 2 más que y y + 2

Sustracción Un número disminuido en 6 a - 6 2 menos que y y - 2

Multiplicación El producto de 5 y un número 5x 3 veces un número 3y

División El cociente de un número y 9 x/9 La quinta parte de un número x/5

Es conveniente también aplicar la siguiente secuencia:

Hazunmodeloverbal

Introducevariables

Escribelaexpresiónalgebraica

Ejemplo 1 Valuando expresiones algebraicas

Evaluar

a) 2(7x - 8) + 3(5 - x), cuando x = 2

b) (x + 1) /5y, cuando x = 4, y = 5

c) x2 + 4x - 5, cuando x = 10

Solución

a) 2(7x - 8) + 3(5 - x) Escribe la expresión

= 2(7(2) - 8) + 3(5 - 2) Sustituye x por 2

= 2(14 - 8) + 3(3) Realiza operaciones y simplifica

= 21 Valor de la expresión

Segmentoinformativo 1B


13


Ejemplo 1

Fíjate en lo siguiente…

1 . Cuando en una expresión algebraica reemplazas la(s) variable(s) por un valor, obtienes una expresiónnumérica .

expresiónalgebraica

expresiónnumérica

2 . El valor de una expresión algebraica pue-de ser un número entero o con fracciones .

3 . En una expresión algebraica una misma variable puede aparecer con diversas po-tencias .

Verifica tu avance

Escribe un modelo para el doble y otro para el cuadrado de un mismo número .

a) ¿Son iguales o distintos? ¿Por qué?

b) Comprueba con diversos números .

Ejemplo 2

Recuerda

1 . El orden de los términos en las sumas y multiplicaciones puede cambiarse sin que afecte el resultado . Así, es lo mismo

5x que x(5); 12 .50y que y(12 .50);

5x + 12 .50 y que 12 .50 y + 5x

2 . Puedes usar cualquier letra como variable (a, m, n, s, t, v, z…) no necesariamente x, y .

Verifica tu avance

¿Por qué se requieren dos variables distintas en el modelo del ejemplo 2?


Los valores en el interior de la tabla están dados en pesos ($) . Así, el valor 55 indica un monto de $55 .00 y corresponde a 2 helados de yogur y 2 de crema . Es el valor del modelo 5x + 12 .50y para x = 2, y = 2 .

b) (x + 1) /5y Escribe la expresión

= (4 + 1) /5(5) Sustituye x por 4 y y por 5

= 5/25 Realiza operaciones y simplifica

= 1/5 = 0 .20 Valor de la expresión

c) x2 + 4x - 5 Escribe la expresión

= 102 + 4(10) - 5 Sustituye x por 10

= 100 + 40 - 5 Realiza operaciones y simplifica

= 135 Valor de la expresión

Ejemplo 2 Álgebra en acción: Fuente de sodas

Trabajas en una fuente de sodas y vendes helados de yogur a $15 .00, y de crema a $12 .50 .

a) Escribe un modelo para calcular el precio de las ventas de ambos productos .

b) ¿Cuánto te pagarán por 4 helados de yogur y 3 de crema?

c) Haz una lista de cobros hasta un máximo de cinco hela-dos de ambos tipos .

Solución

a) Modelo verbal:

Número de helados de yogur

Precio del he-lado de yogur

Número de helados de crema

Precio del helado

de crema× + ×

Introduce variables:

x = Número de helados de yogur; y = Número de helados de crema

Escribe la expresión algebraica:

15x + 12 .50y Modelo algebraico

b) Calcula el valor de la expresión algebraica para x = 4, y = 3 .

15x + 12 .50y = 15(4) + 12 .50(3) = 97 .50 . El pago será de $ 97 .50 .

c) Halla el valor del modelo para cada combinación de valores de la tabla .

y Helados de crema

x H

elad

os d

e yo

gur

0 1 2 3 4 5

0 0 12 .50 25 37 .50 50 62 .50

1 15 27 .50 40 52 .50 65 77 .50

2 30 42 .50 55 67 .50 80 92 .50

3 45 57 .50 70 82 .50 95 107 .50

4 60 72 .50 85 97 .50 110 122 .50

5 75 87 .50 100 112 .50 125 137 .50

1�


Ejemplo 3


1 . Las fórmulas de las distintas cien-cias son modelos ya hechos para ciertas situaciones .

2 . d = vt significa: distancia=velocidad×tiempo

3 . Puedes hallar el valor de cual- quiera de estas variables conociendo el de las otras dos .

Recuerda

1 . Horas Minutos

× 60

÷ 60

4 min = (4 ÷ 60) h = 4 60

h

1 h + 20 min = 1 h + 20 60

h = 1 + 1

3

h = 4

3 h .

2 . Puedes multiplicar o dividir* ambos la-dos de cualquier igualdad por un mismo número (*no cero) y la igualdad perma-nece .

Ampliando el conocimiento

1 . Los trenes de alta velocidad iniciaron con las lentas locomotoras de carbón y vapor que cambiaron después a trenes rápidos de diesel y derivaron en los actuales vehícu-los aerodinámicos con tecnología eléctrica y levitación magnética .

2 . Los trenes eléctricos recientes, origina-dos con el trenbala en Japón en la segun-da mitad del siglo pasado, han alcanzado velocidades de hasta 300 kph .

3 . Los trenes de levitación magnética (como el Maglev-Transrapid que opera en China) se deslizan flotando de 1 a 10 cm sobre la vía, mediante un sistema de suspensión y propulsión electromagnética .

4 . El principio físico con que opera este tren es la repulsión entre polos magnéticos iguales, mediante electroimanes en el tren y en los muros laterales de la pista, que alternan su polaridad .

5 . Al igual que los aviones revoluciona-ron el transporte en el siglo xx, se con-sidera que los trenes de alta velocidad se-rán el transporte del siglo xxi .

Ejemplo 3 Fórmulas como modelos matemáticos

Los trenes de alta velocidad, como el tren de levitación mag-nética, han logrado desarrollar velocidades de hasta 500 kiló-metros por hora . Un tren convencional alcanza, a lo sumo, 180 km/h .

a) El tren de alta velocidad que une el aeropuerto de Pudong con la ciudad de Shangai hace 8 minutos de recorrido . ¿Qué distancia cubre el tren, si yendo a 450 km/h haría 4 minutos de recorrido?

b) ¿Cuánto tiempo tomaría el recorrido anterior en un tren con-vencional?

c) ¿Qué velocidad promedio mantiene un tren europeo de alta velocidad que cubre en 1 hora 20 minutos un trayecto de 400 km entre dos ciudades?

Solución

a) d = v t Escribe el modelo

d = 450

km h

4 60

h Sustituye v por 450

km h

; t por 4 60

h

d = 30 km Simplifica

La distancia entre el aeropuerto y el centro de Shangai es de 30 km .

b) Omitimos las unidades (sabiendo que son km, km/h y h) .

d = v t Escribe el modelo

30 = 180 t Sustituye d por 30; v por 180

0 .17 = t Divide ambos lados por 180

Tardaría 0 .17 horas, es decir, 0 .17 × 60 minutos ≈ 10 minutos .

c) d = v t Escribe el modelo

400 = v

4 3

Sustituye d por 400; t por

4 3

1,200 = 4v Multiplica ambos lados por 3

300 = v Divide ambos lados por 4

La velocidad promedio de este tren de alta velocidad es de 300 km/h .

En los ejercicios 1 a 4 asocia cada expresión con su descripción .

8a 6 - x 6/a x + 8

1. La suma de un número y 8 2. La diferencia de 6 y un número

3. Un número multiplicado por 8 4. 6 dividido entre un número

En cada ejercicio del 5 al 10 escribe una expresión algebraica .

5. El doble de un número 6. El triple de un número

7. Un tercio de un número 8. La quinta parte de un número

9. Tres veces un número 10. Un número entre 3

Autoevaluación 1B


1�


Francisco Vieta1540 – 1603

Abogado francés, es recordado por descifrar códigos secretos españoles durante la guerra sostenida entre Francia y España en el siglo xvi, y reconocido como el padredelálgebramoderna por introducir signos para las ope-raciones y letras para representar números (variables) .

Sugerencias para la autoevaluación 1B

18. Reemplaza los valores dados . Simplifica el denominador y multiplica por este valor ambos lados de la igualdad . (G = juegos ganados, T = juegos jugados, C = carre-ras anotadas y c = carreras permitidas) .

19. Escribe el producto de n por dos . ¿Qué entero le sigue?

20. Revisa al inicio de la sección las expresiones para las operaciones . ¿Qué produce el producto de un número por él mismo?

21. Usa una variable distinta para cada velocidad . Relaciona los datos numéricos mediante restas, sumas o multiplicacio-nes. Hay varias alternativas (p . ej . y= x + 110) .

22. a) y b) Construye un modelo algebraico. (Halla primero la pérdida calórica por mi-nuto . Haz un modelo verbal para obtener el algebraico . Revisa el ejemplo 2a .)

c) Haz una tabla. (Revisa el ejemplo 2c . Usa el modelo para calcular valores para 15, 30, 45, 60, 75 y 90 minutos .)

En los ejercicios 11 a 14, asocia ambas columnas .

11. x + 2x + 3x a) El cuadrado de la suma de dos números

12. 4(x/3) b) La suma de un número con su doble y con su triple

13. (x + y)2 c) La diferencia de los cuadrados de dos números

14. x2 - y2 d) Cuatro veces la tercera parte de un número

En los ejercicios 15 a 17 evalúa la expresión para el valor dado .

15. (x + 9)(x - 4); x = 4

16. (5x3 - 1)/x2; x = 2

17. x2 + 2xy + y2; x = 2, y = 2 .5

18. Juegos ganados en el beisbol Obtén el valor del modelo para la variable

indicada .G = TC2

C2 + c2 ; G = 25, C = 63, c = 51 .

19. Pares e impares Al multiplicar un entero por el número 2 se obtiene un nú-mero par . El entero que sigue a un par es un número impar . Si n es un núme-ro entero, escribe un modelo algebraico para números a) pares; b) impares; c) calcula seis valores numéricos para cada expresión .

20. Área Escribe la expresión algebraica .

x − 1

πveceselradioporelradio

21. Autos Escribe un modelo algebraico que indique la relación entre la velo-cidad máxima promedio de un auto de carreras (350 km/h) y la de un auto ordinario (240 km/h) .

22. Calorías y ejercicio Cuando caminas durante 15 minutos tu cuerpo quema 60 calorías . En cambio, montando bicicleta, quemas 90 calorías .

a) Escribe un modelo para saber cuántas calorías quemas al realizar ambas actividades .

b) Si caminas 1 hora y después andas 1/2 hora en bicicleta, ¿cuántas calorías quemas?

c) Elabora una tabla para diversas combinaciones de ejercicio de ambos tipos hasta llegar a 1 hora y media, en intervalos de quince minutos .

1�


Instrumentos de evaluación

Lista de cotejo para el reporte de la situación didáctica “Cambios climáticos” del Bloque 1A.

Lista de cotejo

Dominio del tema SÍ NO Observaciones

9. Sabeobtenerequivalenciasentremúltiplosysubmúltiplosdemedidasdecapacidad,pesoyvolumenenelSistemaMétricoDecimal.

10. Sabecalcularlaalturadeunprismasabiendosuvolumenysuárea.

11. Sabecalcularelpesodeunvolumendadodeaguayviceversa.

Resultados y conclusiones SÍ NO Observaciones

12. Calculócorrectamentelaalturaencmquealcanzaríaelaguaporcadam2desuperficie.

13. ComparócorrectamentelaalturacalculadadelacapadeaguaconlaalturadelMonteEverest.

14. ConcluyócorrectamentesiesposiblequeocurraunacatástrofecomoelDiluvioUniversal.

Desarrollo SÍ NO Observaciones

5. Presentatodoslospasosrequeridosparadeterminarlascantidadespedidassiguiendounasecuenciacoherenteyordenada.

6. Elaboróuncuadrodeequivalenciasenelsistemamétricodecimal,paramedidasdecapacidad,pesoyvolumen.

Iniciativa SÍ NO Observaciones

7. InvestigasobreelDiluvioUniversalyotrascatástrofesenlaantigüedadcausadasporinundacionespluviales.

8. ConfirmaenlibrosdeFísicaoporInternetelcontenidodeaguadeunacolumnade1m2deaireatmosféricoeindicalafuente.

Comentarios generales: __________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

Nombre del estudiante: _______________________________________________ Fecha: ____________________

Presentación SÍ NO Observaciones

1. Cuentaconunacarátulaqueincluyealmenoselnombredeltrabajoqueserealiza,elnombredelamateria,lafechadeentrega,elnombredelalumnoysumatrícula.

2. Laredacciónesbuenaoporlomenossatisfactoria.

3. Tienepocosoningúnerrordeortografía.

4. ElaboróeltrabajoconunprocesadordetextocomoWord,obien,lohizoamanoconbuenacaligrafíaoporlomenosentendible.

Nivel Excelente (4) Bueno (3) Satisfactorio (2) Deficiente (1)

As

pect

o a

eval

uar

Presentación

Elabora el reporte a mano con buena caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión bien hecha), bien redactado y sin faltas de ortografía.

Elabora el reporte a mano con buena caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión bien hecha), redacción regular y sin faltas de ortografía.

Elabora el reporte a mano con regular caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión regular), redacción regular y pocas faltas de ortografía.

Elabora el reporte a mano con mala caligrafía, mal redactado y con muchas faltas de ortografía.

Desarrollo

Reporta el precio actual de las computadoras portátiles en su localidad.

Indica el promedio de duración de las computadoras portátiles y el costo anual de la inversión en dichos equipos.

Presenta todos los pasos para calcular el precio de la computadora personal con el aumento y la rebaja especificados para los tres casos indicados.


No indica el promedio de duración de las computadoras portátiles o el costo anual de la inversión en dichos equipos.



No indica el promedio de duración de las computadoras portátiles ni el costo anual de la inversión en dichos equipos.

Omite algunos pasos para calcular el precio de la computadora personal con el aumento y la rebaja especificados para los tres casos indicados.

No reporta el precio actual de las computadoras portátiles en su localidad.


Sólo presenta resultados del precio de la computadora sin dar ninguna justificación.

Dominio del tema

Maneja correctamente porcentajes en forma decimal y de fracción común.

Usa correctamente variables en la elaboración de modelos algebraicos y aplica éstos para predecir resultados.


Usa correctamente variables en la elaboración de modelos algebraicos pero no sabe aplicar éstos para predecir resultados.


No usa correctamente variables en la elaboración de modelos algebraicos, pero sí sabe aplicar éstos para predecir resultados.

No maneja correctamente porcentajes en forma decimal ni de fracción común.

No usa correctamente variables en la elaboración de modelos algebraicos y no sabe aplicar éstos para predecir resultados.

Iniciativa

Determina el modelo algebraico para los casos de un aumento y descuento de 25% y de a% justificando todos los pasos de su procedimiento.

Determina el modelo algebraico para los casos de un aumento y descuento de 25% y de a% pero no justifica algunos pasos de su procedimiento.

Determina el modelo algebraico para los casos de un aumento y descuento de 25% y de a% pero no justifica su procedimiento.

No determina el modelo algebraico para los casos de un aumento y descuento de 25% y de a%.

Resultados y conclusiones

Determina correctamente el precio de la computadora con el aumento y el descuento especificados para las tres situaciones indicadas.

Concluye correctamente si es mejor comprar la computadora antes de que aumente de precio o cuando aplique la rebaja.

Determina correctamente el precio de la computadora con el aumento y el descuento especificados para dos de las tres situaciones indicadas.


Determina correctamente el precio de la computadora con el aumento y el descuento especificados sólo para una de las situaciones indicadas.


No determina correctamente el precio de la computadora con el aumento y el descuento especificados para las tres situaciones indicadas.

No concluye correctamente si es mejor comprar la computadora antes de que aumente de precio o cuando aplique la rebaja.

Acerca de las rúbricas de evaluación

Las rúbricas son instrumentos que describen las características que deben tener los elementos que se considerarán para la evaluación.

Cuando son de carácter general se denominan “holísticas” y cuando son específicas se llaman “analíticas”.

Las rúbricas que acompañan cada situación didáctica del libro son holísticas y describen de manera general las actividades que se realizarán para efectos de evaluación.

Las rúbricas que aquí se presentan, al final de cada bloque, son analíticas e ilustran la forma como pueden evaluarse aspectos particulares por niveles de desempeño de los alumnos.

Rúbrica para evaluar el reporte de la situación didáctica “Tu computadora personal” del Bloque 1B.

Rúbrica

Nombre del alumno:


1�


Lista de cotejo para el reporte de la situación didáctica “Cambios climáticos” del Bloque 1A.

Lista de cotejo

Dominio del tema SÍ NO Observaciones

9. Sabeobtenerequivalenciasentremúltiplosysubmúltiplosdemedidasdecapacidad,pesoyvolumenenelSistemaMétricoDecimal.

10. Sabecalcularlaalturadeunprismasabiendosuvolumenysuárea.

11. Sabecalcularelpesodeunvolumendadodeaguayviceversa.

Resultados y conclusiones SÍ NO Observaciones

12. Calculócorrectamentelaalturaencmquealcanzaríaelaguaporcadam2desuperficie.

13. ComparócorrectamentelaalturacalculadadelacapadeaguaconlaalturadelMonteEverest.

14. ConcluyócorrectamentesiesposiblequeocurraunacatástrofecomoelDiluvioUniversal.

Desarrollo SÍ NO Observaciones

5. Presentatodoslospasosrequeridosparadeterminarlascantidadespedidassiguiendounasecuenciacoherenteyordenada.

6. Elaboróuncuadrodeequivalenciasenelsistemamétricodecimal,paramedidasdecapacidad,pesoyvolumen.

Iniciativa SÍ NO Observaciones

7. InvestigasobreelDiluvioUniversalyotrascatástrofesenlaantigüedadcausadasporinundacionespluviales.

8. ConfirmaenlibrosdeFísicaoporInternetelcontenidodeaguadeunacolumnade1m2deaireatmosféricoeindicalafuente.

Comentarios generales: __________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

Nombre del estudiante: _______________________________________________ Fecha: ____________________

Presentación SÍ NO Observaciones

1. Cuentaconunacarátulaqueincluyealmenoselnombredeltrabajoqueserealiza,elnombredelamateria,lafechadeentrega,elnombredelalumnoysumatrícula.

2. Laredacciónesbuenaoporlomenossatisfactoria.

3. Tienepocosoningúnerrordeortografía.

4. ElaboróeltrabajoconunprocesadordetextocomoWord,obien,lohizoamanoconbuenacaligrafíaoporlomenosentendible.

Nivel Excelente (4) Bueno (3) Satisfactorio (2) Deficiente (1)

As

pect

o a

eval

uar

Presentación

Elabora el reporte a mano con buena caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión bien hecha), bien redactado y sin faltas de ortografía.

Elabora el reporte a mano con buena caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión bien hecha), redacción regular y sin faltas de ortografía.

Elabora el reporte a mano con regular caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión regular), redacción regular y pocas faltas de ortografía.

Elabora el reporte a mano con mala caligrafía, mal redactado y con muchas faltas de ortografía.

Desarrollo


Indica el promedio de duración de las computadoras portátiles y el costo anual de la inversión en dichos equipos.



No indica el promedio de duración de las computadoras portátiles o el costo anual de la inversión en dichos equipos.




Omite algunos pasos para calcular el precio de la computadora personal con el aumento y la rebaja especificados para los tres casos indicados.

No reporta el precio actual de las computadoras portátiles en su localidad.


Sólo presenta resultados del precio de la computadora sin dar ninguna justificación.

Dominio del tema


Usa correctamente variables en la elaboración de modelos algebraicos y aplica éstos para predecir resultados.


Usa correctamente variables en la elaboración de modelos algebraicos pero no sabe aplicar éstos para predecir resultados.


No usa correctamente variables en la elaboración de modelos algebraicos, pero sí sabe aplicar éstos para predecir resultados.

No maneja correctamente porcentajes en forma decimal ni de fracción común.

No usa correctamente variables en la elaboración de modelos algebraicos y no sabe aplicar éstos para predecir resultados.

Iniciativa

Determina el modelo algebraico para los casos de un aumento y descuento de 25% y de a% justificando todos los pasos de su procedimiento.

Determina el modelo algebraico para los casos de un aumento y descuento de 25% y de a% pero no justifica algunos pasos de su procedimiento.

Determina el modelo algebraico para los casos de un aumento y descuento de 25% y de a% pero no justifica su procedimiento.

No determina el modelo algebraico para los casos de un aumento y descuento de 25% y de a%.

Resultados y conclusiones

Determina correctamente el precio de la computadora con el aumento y el descuento especificados para las tres situaciones indicadas.


Determina correctamente el precio de la computadora con el aumento y el descuento especificados para dos de las tres situaciones indicadas.


Determina correctamente el precio de la computadora con el aumento y el descuento especificados sólo para una de las situaciones indicadas.


No determina correctamente el precio de la computadora con el aumento y el descuento especificados para las tres situaciones indicadas.

No concluye correctamente si es mejor comprar la computadora antes de que aumente de precio o cuando aplique la rebaja.

Acerca de las rúbricas de evaluación

Las rúbricas son instrumentos que describen las características que deben tener los elementos que se considerarán para la evaluación.

Cuando son de carácter general se denominan “holísticas” y cuando son específicas se llaman “analíticas”.

Las rúbricas que acompañan cada situación didáctica del libro son holísticas y describen de manera general las actividades que se realizarán para efectos de evaluación.

Las rúbricas que aquí se presentan, al final de cada bloque, son analíticas e ilustran la forma como pueden evaluarse aspectos particulares por niveles de desempeño de los alumnos.

Rúbrica para evaluar el reporte de la situación didáctica “Tu computadora personal” del Bloque 1B.

Rúbrica

Nombre del alumno:

matemÁticas 1 - editorialpatria.com.mx · 1. se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y...

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