Matemática  II  2011-­‐2012  �  1º  Semestre  �  Exame  

27  de  Janeiro  de  2012

1/8

Pedro Raposo; Carla Cardoso; Miguel Carvalho

O teste tem a duração de 2:30 horas. Deve resolver os grupos em folhas separadas.

Grupo I

1. Estude  a  natureza  da  série   2( 1) ln1

n nn+⎛ ⎞− ⎜ ⎟+⎝ ⎠

∑ .  (Cotação:  1,5  valores)  

2. Determine  o  domínio  de  convergência  da  série1( 1)

(2 1)(2 1)

n nxn n

+−− +∑ .  (1,5  valores)    

3. Usando  os  conhecimentos  de  séries,  calcule  o  limite  16

lim( 1)!nn+

.  (1,5  valores)  

Grupo II

 

4. Seja     2 2 4 2( , , ) z x yf x y z x ez

y ϕ− +⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠.  Calcule  

(2,1,2)

fλ∂⎛ ⎞

⎜ ⎟∂⎝ ⎠  sendo  λ  a  designação  genérica  

da  direcção  que  faz  ângulos  obtusos  e  iguais  com  o  três  eixos  coordenados.  Admita  que  

ϕ  é  uma  função  derivável  e  que   (2) (2) 5ϕ ϕ′= = .  (Cotação:  2    valores)  

 

5. Seja   ( )f t    uma  função  derivável  e   ( , )t x yφ= uma  função  homogénea  de  grau  5,  também  

derivável.  Sabendo  que   (2) 3f ′ = ,  determine  para   2t = ,  o  valor  de   f fx yx y

∂ ∂+∂ ∂

.  (2  val)  

Grupo  III  

6. Determine os máximos e mínimos da função 2 3( , , ) ( 4) 3f x y z xz x z y y= + + + − , em que

0z ≠ .  (Cotação:  2  valores)  

7. Considere  a  função         2 2( 1) ( 1)z x y= − − − −    sujeito  a  4

3 8x yx y+ ≤⎧

⎨− − ≥ −⎩  

a) Determine  graficamente  o  máximo  e  o  mínimo  de  z.  (Cotação:  2  valores)  

b) Resolva  o  problema,  utilizando  as   condições  de  Kuhn-­‐Tucker  para  obter  o  máximo  

de  z.  (Cotação:  1,5  valores)  

 

 

2/8

Grupo  IV  

8.  Arnoldo  (nome  fictício)  está  na  época  de  exames  e  tem  de  dividir  o  seu  tempo  de  estudo  

entre  Matemática  II,  Cristianismo  e  Cultura,  e  Direito.  A  primeira  vale  7  créditos,  a  segunda  2  

créditos,   e   a   última   5   créditos.   Ele   tem   16   horas   disponíveis   diariamente   para   dedicar   ao  

estudo.  Contudo,  estudar  Matemática  II  é  mais  cansativo  e  requer  mais  descanso,  logo  cada  

hora  dedicada  a  esta  cadeira  acaba  por  custar  tanto  como  duas  horas  de  estudo  normal.  

Além  disso,  há  que  fazer  um  trabalho  para  Cristianismo  e  Cultura,  e  assim  é  necessário  um  

mínimo  de  duas  horas  para  esta  cadeira.  

Por  cada  hora  de  estudo  diária  numa  cadeira,  a  nota  sobe  um  valor.  Para  simplificar,  assuma  

que   o  Arnoldo   já   tem  10   a   tudo,   ou   seja   não   tem  que   se   preocupar   com  um  mínimo  para  

passar.  O  Arnoldo  quer  assim  apenas  maximizar  a  sua  média,  onde  o  peso  de  cada  cadeira    é  

dado  pelos  créditos  que  ela  vale.  

a)  Formule  o  problema  do  Arnoldo  como  um  problema  de  programação  linear.  (1  valor)  

Nas  alíneas  seguintes,  caso  não  tenha  resolvido  a),  use  o  seguinte  problema:  

1 2 3max 4 2 3z x x x= + +    com  2 3

1 2 3

1 2 3

4 210

, , 0

x xx x xx x x

+ ≥⎧⎪ + + ≤⎨⎪ ≥⎩

 

b)  Escreva  o  dual  do  problema  em  a)  e  resolva-­‐o  pelo  método  do  Simplex.  (2  valores)  

c)  Determine  e  interprete  a  solução  do  primal  utilizando  a  propriedade  dos  desvios  complementares.  (Cotação:  1  valor)    

9.  Considere  um  novo  problema  de  distribuição  de  tempo  do  Arnoldo.    

1 2 3max 2 3z x x x= − + +    com  1 2 3

1 3

1 2 3

4 5 6 102 5 20, , 0

x x xx xx x x

+ + ≤⎧⎪ + ≤⎨⎪ ≥⎩

 

cujo  último  quadro  do  Simplex    é  dado  por:  

z   1x   2x   3x    

4x    

5x    

   

  3   1/2   0   1/2   0   5       2/3   5/6   1   1/6   0   5/3     3x       -­‐4/3   -­‐25/6   0   -­‐5/6   1   35/3   5x    

 

a)  Indique  o  intervalo  de  sensibilidade  dos  parâmetros  b1  =  10  e  c2  =  2.  (Cotação:  1,5  

valores)  

b)  A  primeira  restrição  é  relativa  ao  tempo  que  ele  passa  em  casa.  Se  pudesse  ficar  mais  uma  

hora  em  casa,  qual  seria  o  novo  valor  máximo  de  z?  (Cotação:  0,5  valores)  

BOA  SORTE.  

3/8

 

 

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO (Tópicos)

Grupo I

1. R: Como 2 11

nn+ >+

, tem-se 2ln 01

nn+⎛ ⎞ >⎜ ⎟+⎝ ⎠

e a série de módulos é 2ln1

nn+⎛ ⎞

⎜ ⎟+⎝ ⎠∑ .

Comparando a série de módulos com 1n∑ que é uma série divergente obtemos:

1 12ln

1 11lim limln 1 ln lim 11/ 1 1

ln 1

nn n n

nnn n n

e

+ ++⎛ ⎞

⎜ ⎟+ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

⎝ ⎠ = + = + =⎜ ⎟⎣⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= =⎦

∈R   { }0~

E a série de módulos diverge. Mas, como; A série original é alternada;

21

nn++

é decrescente (é facil ver que 1 0n nu u+ − < ) e a função ln é monótona com o

seu argumento portanto2ln1

nn+⎛ ⎞

⎜ ⎟+⎝ ⎠ é decrescente.

2ln ln1 01

nn+⎛ ⎞→ =⎜ ⎟+⎝ ⎠

O critério de Leibniz permite concluir que a série é simplesmente convergente.

2. R: A série de módulos é xn

(2n !1)(2n +1)" .

Usando o critério de Cauchy

lim unn =x

(2n !1)(2n +1)n= x e para que a série de módulos seja convergente impôe-se

x <1portanto !1< x <1 .

Se x = !1 a série (original) é ! 1(2n !1)(2n +1)" e é convergente se compararmos com

1n2!

Se x =1 a série original é !1( )n+1 1(2n !1)(2n +1)" a qual é absolutamente convergente

Domínio de convergencia !1,1"# $% e é divergente caso contrário.

3. R: Seja 16

( 1)!nnan

=+∑ ∑ . É uma série de termos não negativos. Usando o critério de

D’Alembert obtemos: 1616

16

( 1) ( 1)! 1 1lim lim 0 1( 2)! 2n n nn n n n+ + +⎛ ⎞= = <⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

portanto a série na∑ é convergente o que permite concluir imediatamente que

4/8

16

lim lim 0( 1)!nnan

= =+

Grupo II

4. 2 2 4 2( , , ) z x yf x y z x ez

y ϕ− +⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2 4 2 2 4

2 4 2 2 4

2 2 4 2 2 42

1. . 10

22 . . 30

22 . . 10

z z

p p

z z

pp

z z

p P

f y e xy ex z

f xye xy ey z

f x yxy e xy ez z

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

− −

− −

− −

∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞′= + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞′= + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠∂ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞′= + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Como α β γ= = , e:

2 2 2cos cos cos 1α β γ+ + = então:

23cos 1α =

cosα = 13

= ± e

(os cosenos são negativos uma vez que os angulos são obtusos). 1cos cos cos3

α β γ= = = −

Assim 1 1 1 5010 30 103 3 3 3P

fλ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ = − + − + − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5.

xf t

y−

22

.5

5 . 5 2 (2) 10 3 30tt

f f df t df t df t t dfx y x y x y tx y dt x dt y dt x y dt

f f dfx y t fx y dt ==

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ = + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂ ⎛ ⎞ ′+ = = × × = × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠

5/8

Grupo  III  

6.

2 3( , , ) ( 4) 3f x y z xz x z y y= + + + − , 0z ≠ .  

2 2

2

2 2

2

( 4) 0(2 4) 0

3 3 0 3 3 0(2 3 8) 0

2 ( 4) 0

f z x z xzx z x zf y yy

xz x zf xz x z xzy

⎧∂ = + + + =⎪∂ ⎧⎪ + + =

⎪⎪∂ = − = ⇔ − = ⇔⎨ ⎨∂⎪ ⎪ + + =⎩⎪∂ = + + + =⎪∂⎩

Como

0 :z ≠  

2 4 0 2 4 0 4 2 41 1 1 10 2 3 8 0 0 2 3 8 0

4 21 10 1

x z x z z z xy y y yx x z x x z

z zy yx x

+ + = + + = = − = − −⎧ ⎧ ⎧ ⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ± ∨ = ± ⇔ = ± ∨ = ± ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎪= + + = = + + =⎩ ⎩ ⎩ ⎩

= − = −⎧ ⎧⎪ ⎪⇔ = ± ∨ = ±⎨ ⎨⎪ ⎪= = −⎩ ⎩

Os pontos de estacionaridade são:

( ) ( ) ( )(0,1, 4) 0, 1, 4 1,1, 2 1, 1, 2A B C D− − − − − − − −

22 21

22

2 2 2 2 2 23

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3

22 0 4 3 80 6 0 12

4 3 8 0 2 6 8 6 2 (2 6 8 ) (4 3 8 )

0 0 0 00 0 0 00 0

. .. m

zz xz z zy yz

xz z z x xz x y z x xz x xz z z

A B C D

p sela p selap sela ínimo

Δ =+ +Δ = Δ =

+ + + + ⎡ ⎤Δ = + + − + +⎣ ⎦

Δ > Δ > Δ > Δ >Δ > Δ < Δ > Δ <Δ < Δ >

R.: min 6f = − em ( 1,1, 2)− − .

6/8

7. a) Gráfico Máximo 0f = no ponto (1,1) Não tem mínimo

b)

2 21 2( 1) ( 1) ( 4) (3 8)x y x y x yλ λΖ = − − − − − + − − + −

( )( )

( )( )

1 2

1 2

1 11

2

22 1 2

1 2

1 21 2

0

2 2 3 002 2 0

0 4 0

3 8 00

, 0, , 0

, 0, , 0

ZxZ xy

yZ

x y

x yZZ Z

Z Z

λ λλ λ

λ λλλ

λλ λ λ

λ λλ λ

λ λ

⎧⎪⎪ ∂ =⎪

∂⎪⎧⎪ ∂ − + − − == ⎪⎪ ∂ ⎪⎪ − + − − =⎪⎪ ∂ ⎪= − + − =⎪ ⎨⎪ ∂ ⇔⎨ ⎪ − + − =∂⎪ ⎪=⎪ ∂ ∂⎪∂ ≥ ≥⎪ ⎪ ∂ ∂⎩∂ ∂⎪ ≥ ≥⎪ ∂ ∂⎪

⎪⎪⎪⎪⎩

1 1

2

1

12 2

2

71 2 251 11 2 0

50 2 200 0 24 / 5

yx imp impy yx

x yx

imp

λ λλ

λλλ λλ

⎧ =⎪= = − = −⎧ ⎧ ⎧⎪⎪ ⎪ ⎪= = =⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⇔ ∨ ∨ ∨⎨ ⎨ ⎨ ⎨= = =⎪ ⎪ ⎪ ⎪

=⎪ ⎪ ⎪ ⎪= = =⎩ ⎩ ⎩⎪ = −⎩

R: f=0 no ponto (1,1) e lambdas a zero

7/8

Grupo IV

8/8