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MATEMÁTICA 3

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GOBERNADORA DE LA PROVINCIA DE BUENOS AIRESLic. María Eugenia Vidal

DIRECTOR GENERAL DE CULTURA Y EDUCACIÓNLic. Gabriel Sánchez Zinny

SUBSECRETARIO DE EDUCACIÓNLic. Sergio Siciliano

DIRECTOR DE EDUCACIÓN DE ADULTOS Prof. Ing. Pedro Schiuma

SUBDIRECTOR DE EDUCACIÓN DE ADULTOSProf. Juan Carlos Latini

MANUAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA

PRESENTACIÓN

Este material que hoy llega a sus manos forma parte de una serie de módulos del Programa de Educación a Distancia (Res. 106/18) de la Dirección de Educación de Adultos de la Provincia de Buenos Aires. El mismo busca ampliar el acceso a la educación secundaria de aquellos jóvenes y adultos mayores de 18 años que se encuentren imposibilitados de concurrir a nuestras escuelas.

La evolución de las tecnologías de la información y de la comunicación nos permite repensar el modelo educativo de enseñanza-aprendizaje. El objetivo de la modalidad a distancia es superar las limitaciones de tiempo y espacio de todos aquellos bonaerenses que quieran terminar sus estudios secundarios. Este Programa tiene como propósito que los estudiantes puedan ingresar y egresar en cualquier momento del año, avanzando según su propio ritmo y con la posibilidad de organizar su trayecto formativo.

La Educación a Distancia es una herramienta que se suma a las ofertas de terminalidad secundaria que ofrece la provincia de Buenos Aires en pos de alcanzar a aquellos que el sistema educativo no les proponía una alternativa de estudio que no requiera concurrir a los servicios educativos presenciales de tiempo completo y con desplazamiento diario.

Esta modalidad se caracteriza por la mediatización de la relación entre el docente y el estudiante, a través de recursos de aprendizaje especí�cos que permiten la actividad autónoma de éstos.

Los estudiantes contarán así con el acompañamiento permanente de un profesor tutor a través de los distintos recursos que ofrece el Campus Virtual (campusvirtualadultos.com.ar), y también en instancias presenciales de encuentros individuales e intercambios abiertos grupales para compartir intereses, preocupaciones, dudas, opiniones, explicaciones, materiales, etc.

Este material estará disponible tanto en formato digital como impreso, para que sin importar sus posibilidades, los estudiantes tengan acceso al mismo. Completar sus estudios secundarios es, fundamentalmente, dar un paso más en la construcción de su ciudadanía.

Director de Educación de AdultosProf. Ing. Pedro Schiuma

RESOLUCIÓN DE CREACIÓN 106/18 Año de impresión2018Adecuación de la estructura curricular modular del Programa Educación a Distancia

Introducción

Unidad 1: Estadística y probabilidad Apuntes de clase: Estadística y probabilidad -1. La estadística -2. Algunos términos específicos -3. Frecuencias -4. Intervalos de frecuencia -5. Gráficos -6. Parámetros estadísticos

Unidad 2: Parámetros estadísticos Apuntes de clase: Estadística y probabilidad -1. Parámetros estadísticos -2. Medidas de dispersión

Unidad 3: Probabilidad Apuntes de clase: Probabilidad -1. Probabilidad en suceso -2. Técnicas de conteo: permutaciones, variaciones y combinaciones -3. Probabilidad condicional: sucesos dependientes, independientes y excluyentes

Unidad 4: Cuerpos geométricos Apuntes de clase: Cuerpos geométricos -1. Cuerpos geométricos -2. Volúmen. Medición y cálculo del volumen de un cuerpo -3. Fórmulas -3. Algunos problemas

1EDUCACIÓN a DISTANCIA

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¡Bienvenidos a este nuevo módulo!Aquí nos encontraremos con un universo posible, probable pero no certero. Es

decir, estudiaremos las formas que puede adquirir un suceso en una población, las probabilidades de que ese suceso ocurra y las variables que influyen en él.

También vamos a acercarnos a ciertas medidas de las muestras que son representativas de los sucesos poblacionales como: media aritmética o promedio, mediana y moda.

Asimismo, en este módulo podrán ver cómo se trabajan los datos estadísticos y las conclusiones a las que se puede arribar luego de su análisis. Formas sencillas de recabar información y combinarlas de diversos modos posibles.

Además, analizaremos algunos cuerpos geométricos y el lugar que ocupan en el espacio, tanto como el área de sus caras.

¡Éxitos en su recorrido!

Introducción

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EDUCACIÓNa DISTANCIA

2MATEMÁTICA 3

1. La estadística

Muchas veces escuchamos frases tales como:“Según las estadísticas, los niños que recibieron todas las dosis de las

vacunas del calendario oficial tienen menos tendencia a enfermarse que quienes no las recibieron.”

“El índice de precios aumentó un 1,5% en el mes de enero, según un análisis estadístico de la empresa XX”.

“38,2% de la población no tiene gas natural, según los últimos datos recolectados en la encuesta del mes pasado.“

O vemos ciertos gráficos como los siguientes:

Apunte de clase: Estadística y probabilidad

UNIDAD 1

Histograma con polígono de frecuencia.

Gráfico circular.

Estadística y probabiblidad


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Estadística es la ciencia que se ocupa de recolectar, organizar y analizar datos procedentes de las muestras y de la realización de inferencias

acerca de las poblaciones de las que proceden las muestras.

Estas afirmaciones dan cuenta de la valoración de la estadística en nuestra vida cotidiana, pero ¿qué es la estadística?

Hay dos ramas muy usadas en la estadística que son la descriptiva y la inferencial.

En la primera, estadística descriptiva, se trata de enunciar, analizar y comunicar ciertos fenómenos que ocurren en las poblaciones.

En la estadística inferencial se trata de interpretar los datos estadísticos y sacar conclusiones que permitan prever o predecir la marcha futura del fenómeno que se está estudiando a través de los datos disponibles. Por ejemplo, los datos meteorológicos, se evalúan ciertas variables y se pueden deducir algunas probabilidades (que son posibilidades, no certezas).

Pueden leer acerca de este tema en:https://ebevidencia.com/archivos/3568

WEB

2. Algunos términos específicos

Veamos algunos términos específicos de esta ciencia:Universo: Es el conjunto más amplio al que pertenece la población de

estudio. Por ejemplo, si queremos estudiar la población de estudiantes secundarios, el universo estaría formado por todos los estudiantes. Como resultaría imposible considerar a todos, entonces se recorta a una población determinada.

Población de individuos: Es el grupo de todos los elementos sobre los cuales se observa una o más características que son de interés para realizar un análisis. Esta población es tomada como objeto de estudio, en razón de que sobre ella recae el interés del investigador. Por ejemplo: conjunto de aspirantes al empleo de mozo en restaurantes de la zona costera de la provincia de Buenos Aires o conjunto de escuelas secundarias especializadas en construcciones o cantidad de peones empleados por hectárea de campo. Seguramente, para extraer conclusiones acerca de esas poblaciones habría que tardar bastante tiempo y dar con todos los individuos. Para facilitar el trabajo se toma una muestra de esa oblación que se quiere estudiar.

Muestra de individuos: Es el subconjunto o subgrupo de una población de individuos representativa del total. Este subgrupo tiene que ser variado y representar a todos los individuos de la población, en el ejemplo del empleo del restaurante, la muestra podría ser: los 200 aspirantes que se presentaron a lo largo de una semana del mes de diciembre en 10 restaurantes costeros, o 50 escuelas secundarias especializadas en construcciones de diferentes partidos bonaerenses, o 10 establecimientos productores que tengan peones para el trabajo.

La teoría dice que una muestra, para ser representativa y confiable, debe ser aleatoria, es decir, los individuos se deben elegir al azar. La elección no


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debe seguir ninguna norma prefijada. Cuanto más aleatoria sea, mejor y más confiable será la conclusión que podrá extenderse a toda la población. Para elegir al azar los individuos que se considerarán en la muestra primero es necesario caracterizar el universo de población que se quiere estudiar y establecer la cantidad de individuos que se incluirán en cada caso. Por ejemplo, una fábrica quiere conocer la aceptación que tendrá un nuevo modelo de auto que están por sacar al mercado. Primero caracteriza el universo: segmento de la población que puede llegar a comprarlo por su poder adquisitivo; se analiza cuántos son hombres y cuántas mujeres; se consideran diferentes tramos de edad a partir de los 21 años. Sobre la base de estos datos se determina a cuántas personas que reúnan determinados requisitos se entrevistarán y se elige al interior de cada caso los individuos al azar. Con estos resultados la empresa automotriz dirigirá su campaña publicitaria.

La selección representativa y confiable de la muestra es una actividad que requiere de conocimientos específicos para asegurar que los datos que se obtienen pueden aplicarse al total de la población. Esta tarea la realizan profesionales especializados no sólo en estadística, sino especialmente en muestras. En general se los llama muestristas y en todos los casos indican el grado de confiabilidad del resultado obtenido, explicitando el porcentaje de error posible.

Es habitual que esta información se presente en una “ficha técnica” que acompaña los resultados de la indagación realizada, donde se describen sintéticamente las características de la muestra, los métodos utilizados, el error posible, etc.

Ejemplo de ficha técnica:Empresa ejecutora: CEOP (Centro de Estudios de Opinión Pública)• Tipo de estudio: encuesta en boca de comicios.• Tipo de preguntas: cerradas, alternativas fijas y abiertas.• Alcance de la muestra: nivel nacional.• Tamaño de la muestra: submuestra especial en boca de comicio sobre

un total de 2.650 casos con un error de + / - 1,94% (confiabilidad del 95.5%).• Fecha de realización trabajo de campo: 14 de mayo de 1995.• Procesamiento y análisis:15 al 19 de mayo de 1995

En nuestro país, el INDEC (Instituto Nacional de Estadística y Censos) es el organismo público, encargado de orientar y ejercer la dirección de todas las estadísticas oficiales que se realizan en el territorio. También coordina el Sistema Estadístico Nacional, integrado por los servicios estadísticos de los organismos nacionales, provinciales y municipales.

Variable: Es la característica observable en los individuos acerca de la cual se quiere estudiar algún aspecto. Por ej: edades promedio de los aspirantes a mozos en restaurantes costeros, inserción laboral que tienen los egresados de las escuelas secundarias especializadas en construcciones, estado civil de los peones de campo menores de 40 años.

Cada variable tendrá distintos valores. Para el caso de las edades serán números, para la inserción laboral podrán ser categorías que indiquen orden: muy buena, buena, regular, mala; para el estado civil serán clasificaciones: soltero, casado, viudo, divorciado, etc.

Los valores de las variables también son determinados por el investigador en cuestión.


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Clasificación de variables

Nivel de medición•Nominal•Ordinal•Intervalar•Cociente o razón

Tipo de valores•Cualitativos•Cuasi Cuantitativos•Cuantitativos: - Discretos - Continuos

Veamos cada una de las clases:

Nivel de medición nominal: establece una clasificación según las características del objeto pertenecerá a una clase o a otra. Las clases deben ser exhaustivas (abarcar todas las posibilidades) y exclusivas (que pueda pertenecer sólo a una clase) Por ej. para estado civil se deberán contemplar todas las posibilidades, si la escala establece como opciones: soltero o casado quedarían estados sin contemplar y no sería exhaustiva.

Nivel ordinal: Estipula un orden, por ejemplo: muy bueno, bueno, regular, malo. Podemos decir que “muy bueno” es mejor que el resto de las categorías y “malo” es la peor de ellas. Una categoría es mayor que otra aunque no se aprecie cuánto mayores.

Nivel intervalar o de intervalo: Existe una escala de medición y se aprecia la distancia entre un valor y otro, por ejemplo: la temperatura ambiente (entre 3º y 15º hay una diferencia de 12º). El 0 no tiene valor absoluto, muchas veces la temperatura es de 0º o de -1º.

Nivel de cociente o razón: Agrega el 0 absoluto a la escala. El 0 es ausencia de la característica. Por ejemplo: en la variable “cantidad de hijos” el 0 indica ausencia de ellos.

Instrumentos de medición:De acuerdo a los valores que alcanzan, las variables pueden ser: •Cualitativas: se les otorga una cualidad, un atributo.•Cuasi cuantitativas: se establece un rango o jerarquía. Hay un

ordenamiento jerárquico.•Cuantitativas: se expresan con cantidades numéricas que pueden ser: - Discretas: cuando entre dos valores consecutivos no existe otro intermedio:

cantidad de hijos, 3 o 4 no es posible que exista un valor entre 3 y 4. - Continuas: existen múltiples cantidades entre una y otra, por ejemplo,

la estatura, el peso, la temperatura (existen cantidades intermedias aunque sean difíciles de medir). Entre 3º y 4º de temperatura hay una gran cantidad de intermedios.

No olvidemos que las variables pueden sufrir cambios inesperados. A estos cambios los llamamos FUENTES DE VARIACIÓN, algunas son previsibles y sistemáticas, por ejemplo: con las grandes tormentas, menos alumnos que concurren a la escuela. Otras fuentes son FORTUITAS o IMPREVISIBLES: el paro sin aviso del transporte influye sobre la actividad laboral de quienes van a trabajar en colectivo.


6MATEMÁTICA 3

3. Frecuencias

Una vez que están recolectados los datos, debemos organizarlos para poder inferir y sacar conclusiones posibles acerca de ellos.

Un instrumento para conseguir esa ordenación es la llamada DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS.

La frecuencia es la cantidad de veces que se repite un suceso, por ejemplo: cantidad hijos de una familia en una muestra de 20 familias de San Pedro.

Una distribución de frecuencias debe cumplir tres funciones:

a) Organizar y ordenar racionalmente los datos reunidos.b) Ofrecer la información suficiente para representarla en un gráfico.c) Facilitar los cálculos necesarios para realizar las inferencias y extraer

conclusiones.

La frecuencia puede ser:•absoluta: es el número de veces que se repite un valor en la muestra.•relativa: es el cociente entre la frecuencia absoluta y el tamaño total

de la muestra. La sumatoria de ellas dá 1.

A veces, las frecuencias se calculan como porcentajes para facilitar su comprensión y su sumatoria da por resultado 100, son las frecuencias porcentuales.

Veamos cómo se organiza una TABLA DE FRECUENCIAS según el caso de la variable “cantidad de hijos” con un total de 20 integrantes en la muestra.

“Conceptos básicos de estadística”https://www.youtube.com/watch?time_continue=3&v=IYCjWcDTelQ

VIDEO

ACTIVIDAD 1»Resolver los siguientes ejercicios y problemas:1) Clasificar las siguientes variables según el nivel y la escala de medición:•Clasificación de personas por nacionalidad: nivel nominal, escala cualitativa.•Clasificación de familias por número de hijos: •Ordenamiento de 10 sujetos por estatura:•Ordenamiento de los participantes de una competencia según la cantidad de puntos logrados:•Clasificación obtenida por cada alumnos en una evaluación de matemática: •Temperaturas de una localidad a lo largo de un día:

2) Definir a qué aspecto de la estadística se refieren las siguientes acciones: •Encuesta en una esquina del barrio a los vecinos por parte de un partido político: recolección de datos.•Confección de un gráfico estadístico: •Confección de una tabla con los datos obtenidos en la encuesta: •Tendencia a favor de una partido político expresada luego de la encuesta:

Continuamos con la lectura del apunte


MATEMÁTICA 3

Elegimos designar con n a las frecuencias pero también podés encontrarlas con otras letras que las designen, por ej: p o f.

De la observación de la tabla podemos inferir que 7 familias tienen 2 hijos, es decir, que la cantidad que se repite más veces es 2. 3 familias no tienen hijos y una tiene 4 hijos.

Si habláramos de porcentajes podríamos afirmar que un 15% de las familias no tienen hijos y que otro 15% corresponde a familias con 3 hijos.

¿Cuáles son los pasos a seguir para armar una tabla de frecuencias?1° Ordenar los datos.2° Realizar los cálculos correspondientes.

Analicemos un ejemplo: cantidad de horas diarias trabajadas por un grupo de 25 operarios de una fábrica:

Los siguientes son los valores recolectados según lo registrado por la oficina de personal.

7- 8 – 10 – 6 – 8 - 6 – 10 – 8 – 8 – 76 – 9 – 8 – 7 – 6 - 8 – 10 – 9 – 8 – 77 – 8 – 10 – 8 – 7

Procedemos a ordenar los datos: descubrimos el menor (6) y el mayor (10), entonces los valores de la variable irán desde 6 hasta 10.

Contamos cuántas veces se repite cada uno:6: //// 4 veces7: ////// 6 veces8: ///////// 9 veces9: // 2 veces10: //// 4 veces

Es decir que 4 operarios trabajaron 6 horas, 6 trabajaron 7 horas, 4 trabajaron 10 horas.

Armamos la tabla.

X (cantidad de hijos)

43210

TOTAL

0,050,150,350,300,15

1

13763

20

515353015

100

nr (frecuencia relativa)

ni (frecuencia absoluta)

n% (frecuencia porcentual)

X (cantidad de horas trabajadas)

109876

TOTAL

4 0,16 162 0,08 89 0,36 366 0,24 244 0,16 16

25 1 100

ni nr n%


8MATEMÁTICA 3

Podemos afirmar que el 16% de operarios trabajaron 10 h, que corresponde a 4 personas; el 24% trabajaron 7 h, 9 personas representan el 36% trabajaron 8 h y es la cantidad de horas que trabajó la mayoría del personal.

Para afianzar el tema, pueden ver:

4. Intervalos de frecuencia Al trabajar con muestra más extensas tendríamos más valores para

la variable, por ejemplo si quisiéramos hacer un análisis de los tiempos empleados por 100 maratonistas del Municipio de Lomas de Zamora en una prueba de atletismo. Sería muy difícil trabajar con todas todas las posibilidades (aún con ayuda de los medios informáticos).

Para poder trabajar con valores de este tipo se establecen intervalos de frecuencias, que son agrupaciones de valores entre dos números, teniendo un valor inferior (el menor de los dos números escritos) y otro superior (el mayor de los números escritos). Estos valores se eligen dependiendo del análisis que se quiera hacer de los datos.

Por ejemplo: Supongamos que se quiere analizar la edad de los alumnos de un grupo de Educación de Adultos a distancia. Se obtienen las siguientes edades de 100 alumnos ordenados alfabéticamente por apellido:

51 35 36 41 33 28 57 62 43 6942 33 62 53 37 36 48 53 39 4119 47 18 62 33 54 29 35 61 6027 31 36 44 45 50 21 52 59 5243 49 23 37 28 27 41 35 37 2850 34 22 31 34 43 32 36 25 3033 25 28 31 36 25 41 44 38 5150 46 26 40 53 36 31 34 51 6532 34 43 63 49 61 48 38 16 41 Determinamos el valor menor (16) y el mayor (69).Luego contamos la frecuencia para cada valor (cuántos alumnos hay de

cada edad):Aun así, resulta difícil de analizar. Es conveniente, en este caso, agrupar los

“Tablas de frecuencia | Ejemplo 1”https://www.youtube.com/watch?time_continue=1&v=cyXenZEbGz4

VIDEO

ACTIVIDAD 2»Armar una tabla de frecuencias (absolutas y porcentuales) teniendo en cuenta la variable: calificaciones obtenidas en Inglés, tamaño de la muestra: 15 alumnos.

6 – 7 – 9 – 10 – 9 – 10 – 8 – 7 – 7 – 9 – 6 – 10 – 7- 8 – 9

Responder:a)¿Cuál es la calificación de mayor frecuencia absoluta?b)¿Qué porcentaje de alumnos calificó con 10?c)¿Cuál fue la nota que menor porcentaje de alumnos obtuvo?

Obligatoria



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valores formando intervalos y presentarlos mediante una tabla abreviada.Calculamos la diferencia entre ambos extremos y obtenemos que los

valores posibles son 54, entonces buscamos una amplitud de intervalo (cantidad de valores que comprende) que resulte cómoda para trabajar, en este caso elegimos 6 porque 54 es divisible por 6 y tendremos 9 intervalos de amplitud 6 cada uno. Podríamos haber elegido hacer 6 intervalos de amplitud 9. La amplitud, en general, se señala con la letra I.

En nuestro caso, el primer intervalo será el que va desde 16 hasta 21; el segundo se referirá a los valores desde 22 hasta 27 y así sucesivamente.

Así podemos darnos cuenta de que el intervalo 34-39 es el que más

1

1

5

16

22

28

34

40

46

52

58

64

4

1

1

2

0

0

0

1

2

17

23

29

35

41

47

53

59

65

4

5

1

3

1

1

1

0

3

18

24

30

36

42

48

54

60

66

6

3

2

1

1

0

1

4

5

19

25

31

37

43

49

55

61

67

5

4

2

0

2

0

0

1

2

20

26

32

38

44

50

56

62

68

2

2

2

0

3

0

1

2

4

21

27

33

39

45

51

57

63

69

1

1

3

1

1

1

ni (alumnos

que tienen la edad x)

X (edad) X (edad) X (edad)ni

(alumnos que tienen la edad x)

ni (alumnos

que tienen la edad x)

X (intervalos de edades)64 - 69

52 - 57

40 - 45

28 - 33

16 - 21

58 - 63

46 - 51

34 - 39

22 - 27

TOTAL

2

7

16

21

4

8

11

22

9

100

ni


10MATEMÁTICA 3

alumnos tiene, podemos calcular los porcentajes, agregamos las columnas de frecuencia relativa y de porcentuales.

El 22% de los alumnos del grupo tiene entre 34 y 39 años.

X (intervalos de edades)64 - 69

52 - 57

40 - 45

28 - 33

16 - 21

58 - 63

46 - 51

34 - 39

22 - 27

TOTAL

2 0,02 2

7 0,07 7

16 0,16 16

21 0,21 21

4 0,04 4

8 0,08 8

11 0,11 11

22 0,22 22

9 0,09 9

100 1 100

ni nr n%

5. Gráficos

ACTIVIDAD 3»En un entrenamiento deportivo se han registrafo los siguientes valores (en segundos):

30 31 28 25 33 34 31 32 26 3932 35 37 29 32 40 35 38 31 3634 35 30 28 27 32 33 39 30 31

a) Realizar una tabla de frecuencias con 4 intervalos de amplitud 4.b)Responder:● ¿Cuánto fue el tiempo más repetido?● ¿Cúal fue el porcentaje de deportistas que tardó menos de 33 seg?● ¿Cuántos deportistas tardaron más de 33 seg?

La información puede darse a conocer mediante recursos más fáciles de visualizar como son los gráficos que, con sólo verlos, tendremos una idea de lo que está ocurriendo con los valores de la variable y la muestra seleccionadas.

Hay variedad de gráficos que se usan según el tipo de variable con la que se esté trabajando. Veamos algunos:

● Diagrama de rectángulos: Se usa para representar variables nominales.En el eje x (de abscisas) se colocan los valores de la variable y en el eje y

( de ordenadas) las frecuencias.En el ejemplo tenemos representados el grupo de solteros y casados de

una muestra de 13 personas.● Diagrama circular, de torta o pictograma: de rectángulos: Sirve para



MATEMÁTICA 3

sin estudios 1 10

secundario 3 30

TOTAL 10 100

primario 5 50

terciario 1 10

x n N%

01

3

5

8

2

4

7

6

9

casados solteros

representar cualquier tipo de variable. Se hace el cálculo de la amplitud del ángulo que corresponde a los datos teniendo en cuenta que el 100% es igual a 360º. Si queremos representar la variable nivel de estudios en una muestra de 10 personas, siendo los valores: sin estudios, primario, secundario, terciario; armamos la tabla.

● Histograma: Se usa para variables cuantitativas continuas pueden estar

agrupadas en intervalos o sin agrupar. En el eje de abscisas colocamos los valores (agrupados o no) y en el de ordenadas las frecuencias.

Vemos en este histograma que la frecuencia que más se repite es la de

0

40 50 6545 6055 70

1

3

5

2

4

6

frec

uenc

ia

HDL Colesterol (mg/dL)

valores entre 50 y 55 mg/dl de colesterol HDL.● Polígono de frecuencias: Se usa para variables discretas o continuas,


12MATEMÁTICA 3

resulta de la unión de los puntos que corresponden a cada puntuación. Por ejemplo: número de hijos.

0 3

2 7

4TOTAL

220

1 6

3 2

x (número de hijos) ni

00 1 2 3 4

cantidad de hijos

1

3

5

2

4

6

7

● Perfil ortogonal: Se usa para comparar la evolución de una variable en el mismo individuo. Por ejemplo la evolución de las calificaciones de un estudiante a lo largo de los bimestres de un año.

Para explorar este tema, pueden visitar:“Diagramas de sectores - Probabilidad y estadística - Educatina”https://www.youtube.com/watch?v=p7PpVZAQxPA

VIDEO


MATEMÁTICA 3

ACTIVIDAD 4»Observar cada gráfico y determinar para cada uno:1) Tipo de gráfico, variable graficada, valores para la variable.2) Valor mayor según lo representado en el gráfico.3) Conclusión estadística que se podría extraer observando el gráfico.

Gráfico A Gráfico B Encuesta de apoyo a candidatos presidenciales.

Gráfico C Preparación de un examen final.


14MATEMÁTICA 3

¿Quedó alguna duda? ¿Alguna actividad que no sé cómo resolverla? Los espera el tutor en el Campus Virtual o en el encuentro presencialpara acompañarlos y ayudarlos.


6. Parámetros estadísticos

Los parámetros estadísticos son números que se emplean para organizar y presentar la información contenida en un conjunto de datos.

Su finalidad es representar a esos datos en forma breve y simple y de modo tal que se pueda apreciar, aproximadamente, de un solo golpe de vista la característica que identifica a los restantes elementos del conjunto estudiado.

Si bien se pierde mucha información con esta síntesis, se gana en simplicidad, en eficacia y en operatividad. Algunos de ellos son los centiles, promedio, moda, etc. que estudiaremos en la próxima unidad.

1. Parámetros estadísticos

Como dijimos en la unidad anterior, los parámetros estadísticos son números que relacionan una puntuación determinada con un lugar dentro de un grupo de referencia. Trabajaremos entonces, con valores y su posición dentro de la muestra.

Algunos conceptos indican la posición de la puntuación dentro del grupo, es decir, qué lugar ocupa en el conjunto.

Supongamos que nos dicen que un aspirante a obtener un empleo obtuvo en una prueba de desempeño la puntuación 35. Ese número, por sí mismo, no nos dice nada. Si el máximo fuera 35, entonces el aspirante habría obtenido la puntuación máxima, pero si el máximo era de 100, la puntuación obtenida evidentemente no es la mejor…Necesitamos referencias para que el 35 nos brinde información adicional.

Las medidas de posición más usuales reciben el nombre de cuantiles.Cuantiles más usados:

● Centiles:Los centiles, también llamados percentiles son 99 valores de la variable

que dividen a la muestra en 100 secciones, cada una conteniendo a la centésima parte de las observaciones.

En nuestro ejemplo, sabiendo que el número 35 corresponde al centil 90, sabemos que es una puntuación que supera al 90 de las 100 observaciones realizadas y es superada por un 10 de las 100. Sería una buena puntuación.

C90 = 35

Apunte de clase: Estadística y probabilidad

UNIDAD 2 Parámetros estadísticos



MATEMÁTICA 3

● Deciles:Similares a los centiles, son 9 puntuaciones que dividen a la muestra en

10 secciones con un décimo de la cantidad total cada una.El decil se representa como D. Existe una equivalencia directa entre

centiles y deciles. Al C90 equivale el D9 .

D1 = C10

D2 = C20

● Cuartiles:Son 3 puntuaciones que dividen a la muestra en 4 partes iguales,

conservando cada una 25 puntuaciones o el 25 % del total de la muestra.Se designa como Q y también tiene equivalencias con deciles y centiles.

Q1 = C10

Q2 =C50 = D5

Q3 = C75

Veamos algunos ejemplos:1) En un grupo de fincas, sabemos que la de Juan ocupa el C50, cómo

está posicionada con respecto al grupo de fincas de la región? Podemos decir que la finca de Juan está ubicada en el centro del grupo, porque hay 50 que quedan por debajo de ella y 50 que la superan.

2) El siguiente gráfico muestra el centil de crecimiento de niños sanos.

Un niño de 20 meses que mide 90 cm se ubica en el C97 y uno que mide 80 cm en el C3. Así se puede hacer un seguimiento del crecimiento normal y detectar anomalías para diagnosticar sus causas y realizar el tratamiento adecuado.

long

itud

(cm

)

El niño está en el percentil 75.8 de longitud. Es decir, su longitud es algo superior a la mayoría de los niños de su edad.

Percentil 97

Percentil 50

Percentil 3

Medidas tomadas (últ. percentil: 75,8)

meses

400 10 205 15 25

60

80

50

70

90

100


16MATEMÁTICA 3

Medidas de tendencia central:Son aquellos valores que permiten representar un valor de referencia

central en la muestra. No ocupan cualquier posición sino la central.Una medida de tendencia central es la que representa la magnitud

general observada en la muestra.

Las medidas de tendencia central más usadas son:

● Media aritmética o promedio: Se define como la suma de los valores observados, dividida por el número de ellas.

Como ejemplo muy usual citamos el promedio de notas obtenidas por un alumno: Lengua 9, Matemática 10, Ciencias Sociales 5, Biología 8, Inglés 3.

Sumamos los valores individuales: 9 + 10 + 5 + 8 + 3 = 35 dividimos por la cantidad de valores observados, 5 en este caso correspondientes a las 5 materias registradas. Entonces: 35/5 = 7

El promedio de esta persona es de 7. Es decir, que 7 es el número que representa el total de las calificaciones obtenidas. Sabemos que la aprobación de cada materia requiere de 6 o más…aunque el promedio es 7 ¿aprobó todas las materias? Sabemos que Inglés y Ciencias sociales no están aprobadas aunque su promedio haya superado el límite de 6.

Para indicar el promedio o la media usamos X. En nuestro caso:X = 7

Calculemos el promedio de las estaturas de jugadores de básquet expresadas en cm: 207; 206; 203; 204; 202; 193; 196; 199

X = 207+206+203+204+202+193+196+1998 = 201,25La estatura promedio de los jugadores de básquet del equipo en cuestión

es de 201,25 cm.Para calcular la media en un conjunto de intervalos, se calcula el punto

medio de cada intervalo y se multiplica por la frecuencia absoluta observada. Veamos un ejemplo: km recorridos en entrenamientos de 36 ciclistas.

5 - 9 387 7 . 38 = 266

15 - 19 1217 17 . 12 = 20410 - 14 2012 12 . 20 = 240

Km recorridos por ciclistas niPunto medio X

Ahora sí, podemos calcular el promedio general:X = 266+240+20436 = 19,72El promedio o media recorrida en los entrenamientos es de 19,72 km.

● Mediana: Es aquella puntuación que es superada por la mitad de las observaciones y supera a la otra mitad. Es equivalente a pensar en C50.

Dado el conjunto de valores: 7, 11, 6, 5, 7, 12, 9, 8, 10, 6, 9, los ordenamos de menor a mayor: 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 10, 11, 12. Tomamos el valor central: 8. Si tuviésemos intervalos, se determina el punto medio y se procede de la misma manera.

Md = 8En el ejemplo de los ciclistas la Md = 20 → 12 , 20, 38


MATEMÁTICA 3

● Moda: Es el valor que más se repite en la muestra. Se designa como Mo.En el ejemplo anterior el valor de ni que más se repite es 38, o sea que

la distancia más recorrida en el entrenamiento de los 36 ciclistas es de 5 a 9 km.

Para saber más, pueden visitar el sitio:https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/mean-median-mode

WEB

ACTIVIDAD 5»Calcular moda, media y mediana en los siguientes enunciados:1) Una auditoría realizada a una empresa de transporte registró los siguientes datos sobre el número mensual de accidentes de trabajo:

1, 3, 4 ,5, 2, 2, 6, 7, 2, 0, 1

2) Los siguientes datos corresponden al número de ventas en distintos períodos de una hora de duración en una tienda de helados:

35, 47, 22, 15, 13, 28, 39, 41, 43, 36, 24, 23, 17, 19, 21, 31, 35, 37, 41, 43, 47, 5, 12, 19

3) Durante los años 80, la industria farmacéutica hizo un especial hincapié en el desarrollo y creación de nuevos productos. Como resultado de ello, los gastos de investigación y desarrollo (I+D) crecieron y las empresas se vieron forzadas a prestar una gran atención a la gestión de estos gastos.

La siguiente tabla recoge los gastos en I+D (en millones de dólares) de las principales compañías farmacéuticas del mundo:

Obligatoria

Abbot

Boehringer Inhelheim

Pfizer

Schering - Plough

110

176

159

129Bayer

Ciba Geiby

Hoffman - Laroche

Merck

Sandoz

Squibb

Upjohn

200

230

363

290

181

114

200

American Home

Bristol - Miers

Hoechst

Johnson & Johnson

Rhone - Poulene

Smith Kline

Takeda

Warner - Lambert

90

162

274

187

110

158

125

162

Empresa EmpresaGastos I + D Gastos I + D


18MATEMÁTICA 3

2. Medidas de dispersión

En los conjuntos de datos pueden aparecen agrupaciones de los mismos, entonces la muestra es homogénea; si están a mucha distancia unos de otros se dice que la muestra es más heterogénea. Esta propiedad se llama dispersión o variabilidad.

Estos datos nos sirven para valorar las diferenciaciones. Si tomamos en cuenta los sueldos promedio de una fábrica de la provincia de Buenos Aires, la mayoría de los trabajadores entraría en el intervalo 15 000- 25000, supongamos que el gerente de personas cobrara 120 000 y el de RRHH 125000. Los valores de las gerencias harían que la media fuera más elevada pero no revelaría los hechos reales, ya que la mayoría cobra otro sueldo. Para esto se usa el desvío estándar.

Tengamos como valores de la variable para horas trabajadas las siguientes cantidades:

Abril 4, 10, 12, 14, 20 X = 12Mayo 10, 11, 12, 13, 14 X = 12Junio 104, 110, 112, 114, 120 20 X = 112Los grupos de abril y mayo tienen la misma tendencia central (media) pero

claramente vemos que en A los valores están más desagrupados, en tanto que en mayo están más cercanos a la tendencia central. La distribución es más homogénea. El grupo junio cumple con las mismas características que el grupo A aunque tenga distinta medida central. Nos damos cuenta de que la tendencia central es distinta a la de variabilidad.

Desvío medioSe necesita, además del promedio (o media), otro parámetro que mida

cómo están dispersos los datos con relación a ese promedio.Ese parámetro se denomina desvío medio y permite estimar la variación

(o dispersión), es decir, en qué medida los datos se diseminan o reparten alrededor del valor medio. Es sumamente útil en estadística ya que indica, si su valor es pequeño, que los datos obtenidos están muy cercanos al promedio. Esto significa que la población estudiada no presenta una gran dispersión.

La utilización del desvío estándar es muy común cuando se hace un estudio estadístico acerca de un suceso social, biológico, matemático, físico, etc.

Veamos un ejemplo:Las estaturas correspondientes a tres equipos de fútbol A, B y C se

distribuyen según las gráficas y con los parámetros que se dan a continuación.A, B y C tienen la misma media 175. Observemos las gráficas:


1 1 1

3 3 3

5 5 5

8 8

2 2 2

4 4 4

7 7

6 6 6

9 9

160-164

160-164

160-164

Equipo A

Equipo B Equipo C

165-169

165-169

165-169

170-174

170-174

170-174

175-179

175-179

175-179

180-184

180-184

180-184

185-190

185-190

185-190

Los valores de las variables son los intervalos que van de 5 en 5 cm.


MATEMÁTICA 3

Los tres equipos tienen igual media o promedio de estatura, pero en el equipo B los valores son más extremos que en los otros dos, la dispersión es alta, la muestra es más heterogénea. En el A los valores son más cercanos a la media, hay más homogeneidad.

En el equipo C la mayoría de los jugadores tienen tallas cercanas al promedio, la dispersión es media.

Para calcular la desviación media se usa la siguiente fórmula:

DM = Σ │Xi- X │n

La desviación media es igual a la sumatoria de los valores absolutos de las frecuencias absolutas menos la media, dividido el total de observaciones de la muestra.

Analicemos un ejemplo:

En la muestra A, 5 alumnos obtienen las siguientes calificaciones en una evaluación de Matemática: 10 , 10 , 8 , 2 , 6.

En la muestra B, otros 5 alumnos obtiene estas calificaciones para la misma evaluación: 7, 8 , 9 , 7 , 6.

Organizamos los datos y obtenemos la media aritmética (o promedio) para cada muestra:

MUESTRA B

X = 7+8+9+7+6 = 7,45

MUESTRA A

X = 10+10+8+2+6 = 7,25

DM = (10-7,5) + (10-7,2) + (8-7,2) + (2-7,2) + (6-7,2) = (2,8+2,8+0,8+5,2+1,2)/5 = 2,56 5

DM = (7-7,4) + (8-7,4) + (9-7,4) + (7-7,4) + (6-7,4) = (0,4+0,6+1,6+0,4+1,4)/5 = 0,88 5

Como podemos observar el DM en la muestra B es menor que en la muestra A.

Las barras azules corresponden a la muestra A y las vemos más desparejas, las bordó son de la muestra B y las alturas son más semejantes.

Gráficamente nos damos cuenta de la diferencia con respecto a la media.


20MATEMÁTICA 3

ACTIVIDAD 6»El siguiente, es un gráfico realizado por la OMS (Organización Mundial para la Salud) en el marco de la prevención de enfermedades de transmisión sexual en el mundo.

Figura 3b). Estimación de la prevalencia del virus del herpes simple del tipo 2, por región y por sexo, 2012.

Obligatoria

90

80

60

40

20

70

50

30

10

Africa Américas EuropaMediterráneo Oriental

AsiaSudoriental

PacíficoOccidental

0

mill

ones

● Observar el gráfico y calcular la media y el DM para varones como para mujeres y decidir qué muestra es más homogénea y justificar.




MATEMÁTICA 3

1. Probabilidad de un suceso

Muy posiblemente pensaron alguna vez en los juegos de azar: Quini 6, el Loto, quiniela, ruleta. Los llamados ”juegos de azar” no responden a reglas generales, son aleatorios, no se puede predecir el resultado aunque a veces se pueda anticipar las posibilidades de que ocurra algún suceso. Por ejemplo: si tiramos un dado tenemos la seguridad de que caerá entre el 1 y el 6, nunca saldrá un 8… Pero no podemos asegurar cuál de los números entre 1 y 6 saldrá. Éste es un suceso aleatorio.

Importantes matemáticos comenzaron a desafiarse presentándose mutuamente situaciones en las cuales se pretendían analizar todas las “probabilidades” de ganar que tenían. Los matemáticos comenzaron a preocuparse no sólo por los resultados exactos sino también por la resolución de problemas en los cuales interviene el azar.

Los hechos que dependen del azar se llaman “sucesos aleatorios” y la rama de la matemática que los estudia es el cálculo de probabilidades.

Hasta ahora estuvimos trabajado con resultados exactos, por ejemplo ecuaciones, operaciones combinadas, promedios, etc.

En uno de los grupos de Educación a Distancia hay un 30% de personas casadas. Alguien elige al azar uno de los alumnos y le pregunta: ¿es casado? Nada puede afirmarse como respuesta, sólo podría decirse que hay más probabilidades de que no lo sea, pero la respuesta no puede predecirse.

Pensar este tipo de situaciones implica desarrollar el pensamiento aleatorio, es decir aquél en el que no hay uno o varios resultados exactos o con un cierto margen de error acotado.

Hay sucesos que ocurren indefectiblemente, por ejemplo: que mañana sea lunes (si hoy es domingo) o ver una persona que tiene menos de 180 años en un partido de fútbol. Estos son sucesos seguros.

También existen sucesos que no ocurrirán nunca, es decir que con total certeza no sucederán. Por ejemplo: que mañana sea sábado (si hoy es miércoles) o que la primera persona que vea a través de la ventana sea la madre del general San Martín. Estos son sucesos imposibles.

Los sucesos que ahora nos interesa estudiar no son ni los seguros ni los imposibles, sino aquellos en los que algo puede o no ocurrir; estos son los sucesos probables. Por ejemplo: que gane nuestro equipo en el próximo partido o que la primera persona que entre por la puerta sea una mujer.

Pensemos los siguientes sucesos aleatorios:1) Salir un 3 al tirar un dado.2) Elegir una carta de un mazo de 40 y que sea un oro.3) Tirar una moneda y que caiga “cara”.4) Que en una jugada de ruleta salga el 20.5) Dar vuelta una carta y que no sea un rey.

Apunte de clase: Probabilidad

UNIDAD 3 Probabilidad


22MATEMÁTICA 3

Todos estos sucesos pueden o no ocurrir; es probable que ocurran y también es probable que no ocurran. Pero... ¿son igualmente probables? Es decir, ¿tienen la misma probabilidad de ocurrir como de no ocurrir? Evidentemente no.

Algunos de estos sucesos son “poco probables”, otros “altamente probables” y algunos “igualmente probables”.

Los casos 1, 2 y 4 son poco probables, son mayores las posibilidades de que no ocurran.

El caso 5 es altamente probable, son mayores las chances de que ocurra a que esto no suceda. Hay muchas más cartas que no son reyes que las que lo son.

El caso 3 es igualmente probable; las posibilidades de que suceda son tantas como las de que no ocurra.

Supongamos que en un juego se tiran simultáneamente dos monedas y se puede apostar a:

1) Dos caras;2) Una cara y una ceca (no importa el orden);3) Dos cecas.

Al arrojar dos monedas, esas tres son las únicas posibilidades que pueden darse, pero... ¿son igualmente probables?

Para responder esta pregunta hagamos el siguiente análisis:

Cara Cara

CecaCara Cara

Ceca

Moneda 1 Moneda 2

CARA

CECA

Cara

Cara

Ceca

Ceca

Moneda 1 Moneda 2

Obtendríamos los siguientes pares:

(cara; cara) (cara; ceca) (ceca; cara) (ceca; ceca)

La tabla muestra las diferentes formas en que puede caer una moneda. La primera puede caer cara o ceca; y para cada una de estas posibilidades hay dos alternativas para la segunda moneda, cara o ceca.

En este esquema, denominado “diagrama de árbol”, se advierte que las posibilidades son cuatro:

Tenemos los mismos pares:(cara; cara)(cara; ceca)(ceca; cara)(ceca; ceca)


MATEMÁTICA 3

En general, decimos que la probabilidad (P) de que ocurra el suceso (s) es el cociente entre los casos favorables y los casos posibles.

Por lo tanto, si apostamos por ejemplo a sacar dos caras, existe una sola posibilidad de ganar. Esto quiere decir que uno solo de los posibles resultados es favorable sobre un total de 4 resultados (casos) posibles. Muchas personas suelen decir que hay un 25% de probabilidades porque es 1 de cada 4 casos el favorable. Lo mismo podría decirse de la probabilidad de sacar dos cecas, porque de cada 4 casos posibles uno solo es favorable. También suele decirse que son equiprobables (igual probabilidad).

En cambio, si apostamos a una cara y una ceca tendremos más chances de ganar, pues de los 4 resultados posibles 2 son favorables. Dicho de otra forma tenemos la mitad de las posibilidades de ganar, lo que es equivalente al 50%.

Sacar una y una tiene el doble de posibilidades que sacar dos caras o dos cecas, es decir que las tres posibilidades de apuestas no son equiprobables.

Queremos medir la probabilidad de sacar un tres al tirar un dado cúbico.Al hacerlo puede salir cualquiera de los números del 1 al 6. Hay 6

resultados posibles. Éste es el total de casos posibles, o sea la cantidad de resultados diferentes que pueden obtenerse. Todos ellos tienen la misma probabilidad de salir, son casos equiprobables o igualmente posibles. En esta situación son 6 los casos posibles.

De estos 6 casos posibles sólo 1 es favorable a sacar un 3.La probabilidad de sacar un 3 es:● 1 entre 6● 1 de cada 6● 1 en 6● De cada 6 posibles 1 es favorable

Todas estas expresiones son equivalentes, y se expresan matemáticamente como 1. Como son 6 los casos posibles, y uno solo el caso favorable, la

6probabilidad de sacar un tres es (una en seis).En símbolos:

Casos favorablesCasos posibles

P(s) = CF CP

Analicemos otro caso: Sacar una carta de un mazo de 40 y que sea una espada.


24MATEMÁTICA 3

La cantidad de casos favorables es 10 (hay 10 espadas) y los casos posibles son 40 (hay 40 cartas en total y todas tienen las mismas posibilidades de salir).

Los tres resultados pueden leerse como:“10 de 40” o “uno de cada cuatro” : 0,25 es el número que expresa

la probabilidad.Apliquemos la fórmula vista:P(E) = 10 = 0,25 40

Corroboramos de esta forma, que la posibilidad de sacar una espada del mazo de 40 cartas es del 25%.

Casos especialesAl tirar un dado, ¿cuál es la probabilidad de sacar un número menor que 9?Los casos favorables son 6, ya que todos los números de un dado son

menores que 9. Es seguro que el número que obtendremos es menor que 9.Los casos posibles también son 6, entonces P(<9) = 6 = 1. 6

Si un suceso es seguro la probabilidad es 1.

Si un suceso es imposible la probabilidad es 0.

Si tenemos 5 monedas y en total suman $0,80, ¿cuál es la probabilidad de que una de ellas sea de $1? Si las 5 monedas suman $0,80, es imposible que una sea de $1. Por lo tanto: P($1) = 0= 0

6

Es lícito entonces, resumir que la probabilidad es siempre un número entre 0 y 1, lo que ocurre es que tendemos a hablar en términos de porcentajes, entonces a la fórmula anterior la multiplicamos por 100 y así obtenemos el porcentaje buscado.

El porcentaje permite apreciar con mayor facilidad cuán probable es que ocurra o no cierto suceso. Cuánto más se aproxime al 100% mayor será la probabilidad. Si nos da 50% significa que es tan probable que ocurra como que no ocurra.

ACTIVIDAD 7»1) Indicar qué tipo de suceso es cada uno de los siguientes.● Que mañana llueva● Que un pez salte del agua y empiece a volar● Vivir hasta los 100 años● Encender el televisor y que estén dando una propaganda● Que nuestro gato atienda el teléfono● Tardar más de 2 horas en ir en auto de Salta a Bs. As.2) Calcular la probabilidad de:● Sacar un as (mazo de 40 cartas).● Obtener un número mayor que 1 al lanzar un dado.● Acertar a color negro en una jugada de ruleta.3) Calcular la P y expresarla como porcentaje.● ¿Cuál es la probabilidad de sacar una figura (sotas, caballos o reyes) de un mazo de 52 cartas?● Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número menor que cinco?● En una urna hay 5 bolas blancas, 8 azules y 3 amarillas; al sacar una sola bola, ¿cuál es la probabilidad de que sea azul?


MATEMÁTICA 3

Para ver más acerca del tema, pueden ver:“Principio multiplicativo | ejercicio 1”https://www.youtube.com/watch?v=pccJlNT38fE&list=PLEwR-RTQiRPWPR3ImvqTTF9-VIchUeQEK

VIDEO

2. Técnicas de conteo: permutaciones, variaciones y combinaciones

Las técnicas de conteo son usadas para enumerar los eventos difíciles de cuantificar.

En el enfoque clásico como vimos hasta ahora, el valor de la probabilidad es la razón entre el número de resultados favorables respecto del número resultados posibles.

Cuando los problemas son simples, el número de resultados pueden contarse directamente. Sin embargo, en problemas más complejos, por ejemplo todas las combinaciones posibles en un grupo de 20 personas de varones y mujeres.

Para eso, es necesario usar técnicas de conteo para determinar el número de resultados posibles.

Una de las técnicas es el “diagrama de árbol” que vimos antes, que es una combinación de todos los casos posibles.

Las bases para entender las técnicas de conteo son; el principio multiplicativo y el aditivo:

Principio multiplicativo: El principio multiplicativo es una técnica que se utiliza para resolver problemas de conteo para hallar la solución sin que sea necesario enumerar sus elementos. Es conocido también como el principio fundamental del análisis combinatorio; se basa en la multiplicación sucesiva para determinar la forma en la que puede ocurrir un evento.

Este principio establece que, si una decisión (d1) puede ser tomada de n maneras y otra decisión (d2) puede tomarse de m maneras, el número total de maneras en las que pueden ser tomadas las decisiones d1 y d2 será igual a multiplicar de n * m. Según el principio, cada decisión se realiza una tras otra: número de maneras = N1 * N2… * Nx maneras.

Por ejemplo, calculemos la cantidad de números telefónicos que pueden existir en una ciudad donde los números constan de 7 dígitos, el primero n puede ser 0 y los demás pueden tomar valores del 0 al 9.

Aplicando el principio multiplicativo tendremos:1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º(9) (10) (10) (10) (10) (10) (10) = 9 000 000Tendremos 9.000.000 de posibles números telefónicos.



26MATEMÁTICA 3

1) Resolver aplicando alguno de los principios vistos.● Antonio quiere hacer un viaje pero no decide a cuál destino; en la Agencia de Turismo del Norte le ofrecen una promoción para viajar a Salta o a Cataratas del Iguazú, mientras que la Agencia de Turismo del Sur le recomienda viajar a Calafate, Ushuaia o Bariloche. ¿Cuántas alternativas de viajes diferentes le ofrecen Antonio entre las dos agencias?● Marta es maestra de adultos y preparó una merienda para sus alumnos en ocasión del festejo del día del estudiante. Quiso comprar jugos en un mayorista. Las posibilidades eran las siguientes: dos tamaños: grande y pequeño; y cuatro sabores: manzana, naranja, limón y uva. ¿De cuántas maneras puede Marta elegir el jugo?2) Realizar un diagrama de árbol y especificar todas las elecciones posibilidades. Paula tiene un cumpleaños y decide vestirse con pollera y blusa. Elige 3 polleras que le gustan y 3 blusas. ¿Cuántas combinaciones posibles tiene?

ACTIVIDAD 8» Obligatoria

Principio aditivo: El principio aditivo establece que, si dos eventos m y n no pueden ocurrir al mismo tiempo, el número de formas como puede ocurrir el primer o segundo evento será la suma de m + n:

Número de formas = m + n… + x formas diferentes.Veamos un ejemplo: Joaquín desea comprar una memoria USB para

guardar sus archivos de estudio. Buscando precios, en un comercio le ofrecen dos marcas diferentes y en otro le dan a elegir entre 3 marcas (distintas a las anteriores). Quiere establecer cuántas posibilidades tiene:

Comercio A: 2 alternativas m Comercio B: 3 alternativas. nNúmero de formas = m + n = 2+3 = 5Joaquín tiene 5 opciones posibles para la adquisición de la memoria USB.

Para seguir con este tema, les recomiendo ver los siguientes videos: “Principio multiplicativo | ejercicio 1”https://www.youtube.com/watch?v=pccJlNT38fE&list=PLEwR-RTQiRPWPR3ImvqTTF9-VIchUeQEK

“Diagrama de árbol para contar los resultados”https://www.youtube.com/watch?v=1leOxpF8WcM

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3. Probabilidad condicional: sucesos dependientes, independientes y excluyentes

Sucesos dependientes: Son los sucesos que pueden afectar la probabilidad de que suceda otro evento; por ejemplo, el ser elegido para un puesto de trabajo dependerá de cuánta experiencia tenga una persona para ese trabajo o la preparación académica que posea.

Sucesos disjuntos o excluyentes: Son los sucesos que no pueden ocurrir al mismo tiempo; por ejemplo, que un billete tenga a la vez el valor de $10 y de $50.

Sucesos independientes: Son los sucesos que no se ven afectados por otros sucesos; por ejemplo, el color de mi ropa no afectará la probabilidad de que llueva el día de hoy.



MATEMÁTICA 3

Pueden seguir con el tema viendo: “Distribución binomial (Ejercicio resuelto)”https://www.youtube.com/watch?v=EisaSQ1j_Kk

Pueden encontrar algunas características de este modelo de distribución en:“01 Qué es la distribución normal”https://www.youtube.com/watch?time_continue=1&v=phY8Z9-TXCY

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Distribución de probabilidad:Recordemos que la probabilidad de un suceso es un número que

cuantifica (da un valor) en términos relativos las opciones de que ese suceso se verifique.

La probabilidad es un concepto ideal (no real) que se refiere a las frecuencias con las que ocurrirían las cosas en el caso hipotético de que los eventos se repitiesen un número grande de veces y con las mismas condiciones.

Distribución binomial:La distribución binomial es un modelo de distribución usado para

variables discretas. Para saber si una variable se ajusta al modelo binomial debe cumplir tres requisitos:

Ajustarse al cumplimiento o incumplimiento de una condición (llueve o no llueve; asistió o no asistió; aprobó o no aprobó).

Producir una secuencia de n observaciones de esos ensayos dicotómicos en los que la probabilidad de verificación de la condición en cada repetición es constante.

Definir una variable aleatoria (azarosa) X como el número de casos de esa secuencia en los que se cumple la condición.

Distribución normal:Este tipo de distribución es usado para variables continuas. En la mayor parte

de las variables existe un valor central (la media o promedio) en torno al cual se concentra la mayor parte de las observaciones, a medida que nos alejamos de la media, los valores son menos frecuentes dibujando una curva en la representación gráfica. A la gráfica se la conoce como campana de Gauss.

La campana de Gauss es una representación gráfica de la distribución normal de un grupo de datos. Éstos se reparten en valores bajos, medios y altos, creando un gráfico de forma acampanada y simétrica con respecto a un determinado parámetro, la media que se denomina μ (letra griega mu).


28MATEMÁTICA 3

Prueba de hipótesis:Una prueba de hipótesis es un procedimiento, con el que se busca tomar

una decisión sobre el valor de verdad de una hipótesis estadística.Al realizar una prueba de hipótesis decidimos si rechazar o no rechazar

esa hipótesis estadística. Basamos la decisión en la evidencia muestral.Muchas veces se la compara con un juicio: se deben recolectar evidencias

para analizar si la hipótesis de base se sostiene o se rechaza.

Analicemos un caso:Un fabricante de galletitas produce paquetes en los cuales el peso

nominal impreso es de 500 gramos. Pero el contenido real en gramos es una variable aleatoria. No tienen exactamente 500 gramos todos los paquetes. El fabricante, basándose en información histórica, afirma que la media de esa variable X es μ=500 gramos con un desvío estándar de 5 gramos. Se desconfía de la afirmación del fabricante acerca de que μ=500 gramos. Se quiere analizar si en realidad el peso promedio de los paquetes es inferior a 500 gramos.

La variable que nos interesa observar es X: peso en gramos de un paquete de galletitas de la fábrica.

Las dos afirmaciones que se contraponen en esta situación son:● Afirmación del fabricante, que llamaremos hipótesis nula: la media de

X es 500: μ=500.● Afirmación alternativa: hipótesis alternativa: la media de X es menor

que 500: μ<500.

Como se trata de una discusión acerca del valor de un parámetro, no es fácil decidir cuál afirmación es correcta. Habría que medir todos los paquetes de la producción para conocer la verdadera esperanza de X. En general esto es inviable. Para no tener que medir el peso en todos los paquetes de la producción se puede tomar una muestra aleatoria de n paquetes, y analizar si los valores observados de X son o no coherentes con la afirmación del fabricante.

Para lo que sigue a continuación es requisito saber sobre la distribución de la variable media muestral.

Supongamos que se toma una muestra aleatoria de 100 paquetes, y se mide el peso (utilizando una balanza muy precisa) en cada uno de los 100 paquetes. Obtenemos entonces una muestra aleatoria de la variable X:

X1,X2,X3…,X100

Sabemos que la medía muestral X es un buen estimador de la media poblacional μ. Entonces vamos a calcular la media muestral del peso de los 100 paquetes, para contrastarla con la hipótesis nula.

● Si obtenemos un valor de X “muy inferior a 500”, rechazaremos la hipótesis nula.

● Si obtenemos un valor de X “muy cercano a 500”, diremos que no existe evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula.

● Si se obtiene que el promedio de los pesos es de X = 421,3 gramos, podríamos concluir que la evidencia muestral no es compatible con la afirmación del fabricante.


MATEMÁTICA 3

Para profundizar y afianzar contenidos, pueden leer:http://probafacil.com/prueba-de-hipotesis-estadistica/

WEB

● Si se obtiene que el promedio de los pesos es de X =499,8 gramos, podríamos pensar que el valor de X obtenido es muy cercano al valor de μ propuesto por la hipótesis inicial… Y entonces concluir que no hay evidencia contraria a esa hipótesis.

Si el tema les gustó, pueden conocer más ingresando a la página que se encuentra a continuación.




30MATEMÁTICA 3

1. Cuerpos geométricos

Cuando hablamos de los cuerpos geométricos dijimos que ocupaban un lugar tridimensional en el espacio y que, por lo tanto, contaban con largo, ancho y profundidad.

Apunte de clase: Cuerpos geométricos

UNIDAD 4 Cuerpos geométricos

Para recordar la clasificación y características de cada cuerpo y sus elementos (poliedros y redondos), pueden ver:● “Poliedros - Geometria”https://www.youtube.com/watch?v=3gWNfO1lgvs● “Los cuerpos geométricos: poliedros y cuerpos redondos”https://www.youtube.com/watch?v=lqv0dYnKTxA&t=12s

VIDEO

Algo más acerca de áreas:http://www.calculararea.com/index.htm

WEB


MATEMÁTICA 3

2. Volumen. Medición y cálculo del volumen de un cuerpo

Cuando hablamos de los cuerpos geométricos dijimos que ocupaban un lugar tridimensional en el espacio y que, por lo tanto, contaban con largo, ancho y profundidad.

El espacio que ocupa un cuerpo se denomina volumen y depende de las dimensiones del cuerpo. Así como vimos fórmulas para el cálculo del área de las figuras, también existen fórmulas para el cálculo del volumen de los cuerpos.

Si queremos levantar una construcción de hormigón, llenar un camión con la carga, llenar una pileta o un tanque, guardar la vajilla en un armario o la mercadería que compramos (latas de tomates, paquetes de galletitas, etc.), guardar libros en una caja o en un estante, rellenar un pozo con tierra o con material asfáltico debemos estimar los respectivos volúmenes.

Para medir el volumen de un cuerpo es necesario acordar -tal como se hizo con las mediciones de longitudes y de superficies- y adoptar una unidad de medida común.

Si cargamos el baúl de un auto con cajones de gaseosa, y vemos que entran cinco, podríamos afirmar que el volumen interior del baúl es 5 cajones de gaseosa. Pero otra persona podría discutir por un baúl semejante porque él guarda sesenta cajas de gaseosas, entonces podría decir mide sesenta.

Un volumen se mide viendo cuántas unidades cúbicas contiene el sólido en cuestión.

El metro cúbico (m3) es el volumen que tiene un cubo de 1 m de arista.El centímetro cúbico (cm3) es el volumen que tiene un cubo de 1 cm

de arista.

Si se quiere medir el volumen de agua que puede contener un balde es conveniente medirlo con centímetros cúbicos (cm3) .

Si se quiere medir el volumen de aire que contiene una habitación es mejor hacerlo en metros cúbicos (m3).

Muchas veces, la capacidad de los frascos de medicamentos viene indicada en centímetros cúbicos (cm3) o en milímetros cúbicos (mm3).

Si considera el siguiente dibujo a escala de 1 dm3 y la cantidad de cubitos de 1 cm de arista (1 cm3) necesarios para llenarlo podrá recordar que en las unidades de volumen del SIMELA la relación entre las diferentes unidades es de potencias de 10.


32MATEMÁTICA 3

1 dm3 1 cm3

Recordar: 1 dm= 10 cm, 1 dm2 = 10 cm . 10 cm = 100 cm2

1 dm3 = 10 cm . 10 cm . 10 cm = 1000 cm3

La medida del volumen se puede obtener calculándola a partir de conocer algunas longitudes.

Por ejemplo, la fórmula del prisma es:

Volumen del prisma = área de la base x altura o largo x ancho x alto.

Analicemos este ejemplo.Se quiere medir el prisma de la siguiente figura. Se utilizan cubos de 1 cm3 .


MATEMÁTICA 3

Observamos que caben 6 cubos a lo largo, luego 5 cubos a lo ancho, con lo que se tienen en la base 30 cubos. Luego, en el alto caben 3 cubos. Finalmente contamos todos los cubos y se obtiene que hay 30 x 3 = 90 cubos.

Por lo tanto el volumen de este prisma se puede obtener directamente multiplicando los valores del largo por el ancho por el alto o lo que es lo mismo, superficie de la base por la altura.

Analicemos estos datos:Longitud del largo = 6 cmLongitud del ancho = 5 cmLongitud del alto = 3 cm

Volumen del prisma = 6 cm x 5 cm x 3 cm = 90 cm3.O averiguamos el área de la base= 6 cm x 5 cm= 30 cm2 y la multiplicamos

por la altura: 30 cm2 x 3 cm = 90 cm2.

Para ahondar en el tema pueden visitar:http://laescuelaencasa.com/matematicas-2/geometria-basica/clase-8-volumenes-los-cuerpos-geometricos/

WEB

3. Fórmulas

Para calcular el volumen de cualquier cuerpo geométrico, usamos las fórmulas. En el cuadro se las presentamos, tomando como base al prisma para desarrollar las siguientes:

CUERPO

Cubo

Prisma

VOLÚMEN(siempre obtendrás resultados con la

unidad de medida elevada al cubo)

a: arista volúmen: a3

V = área de la b x h oV = L x a x h

(El área de la base te dará una medida al cuadrado que al multiplicarla por la altura (h) obtendrás una medida

elevada al cubo).

área = 1 cara x 6Atotal = a2 x 6

Atotal = cara lateral x 4 + 2x base

ÁREA(siempre obtendrás resultados con la

unidad de medida elevada al cuadrado)


34MATEMÁTICA 3

CUERPO

Pirámide

Esfera

Cilindro

Cono

VOLÚMEN(siempre obtendrás resultados con la

unidad de medida elevada al cubo)

V = 1 B x h 3(La pirámide es 1/3 del prisma, por lo tanto su volúmen es 1/3 del volúmen

del prisma)

V = π B x h(π r2 es el área de la base circular)

V = 4 π r3 3

V = 1 π r2 h 3

Atotal = 1 x n a + B 2

x = longitud de cada lado de la basen= cantidad de lados

a= apotemab= base

Atotal = 2 π r h + 2 π r2

(el primer término equivale al área lateral y el segundo área de las dos bases)

Atotal = 4 π r2

Atotal = π r2 + π r g

ÁREA(siempre obtendrás resultados con la

unidad de medida elevada al cuadrado)

Para seguir con el tema les propongo dos enlaces antes de pasar a las actividades: ● “Área y volúmen de cuerpos geométricos ”https://colbuenosaires.edu.co/portal/prueba-2/● “Cuerpos - Trigonometría - Educatina”https://www.youtube.com/watch?time_continue=15&v=NxmH01Oou6k

WEB Y VIDEO

4. Algunos problemas

Resolvamos juntos algunos problemas:a) Sabemos que cuando un objeto se sumerge en un recipiente con un

fluido, lo desplaza ocupando su lugar. El volumen del fluido desplazado es igual al volumen del objeto sumergido.


MATEMÁTICA 3

Puede resultarles de interés este sitio:http://data.imatematicas.es/suprevol/revolucion.htm

WEB

Este prisma tiene una base de 5 cm x 10 cm y 15 cm de altura. Tiene agua hasta sus 2/3 partes. ¿Qué volumen debe tener un objeto sumergido en él para que el líquido llegue hasta el borde superior?

Primero calculamos el volumen del agua contenida en el prisma:Usamos la fórmula, tomando 10 cm como altura ya que contiene 2/3

del total:

V = área de la base x h

El área de la base la obtenemos calculando:

L x l= 5 cm x 10 cm = 50 cm²

V = 50 cm2 x 10 cm = 500 cm3 (teniendo en cuenta la altura hasta 2/3)

El volumen del objeto sebe ser de 250 cm3 para que el líquido llegue hasta el extremo superior del recipiente.

Luego, calculamos el volumen total del prisma:V = 5 cm x 10 cm x 15 cm = 750 cm3 (con la h total del recipiente).Para su llenado total nos faltan 750 cm3 – 500 cm3 = 250 cm3

b) Un tanque de forma cilíndrica tiene las siguientes dimensiones: área de la base = 157 m2. Su altura es el doble de la medida del diámetro. Calcular la altura y el volumen.

Primero hallamos la altura que, como está relacionada con el diámetro, tenemos que despejarla de la fórmula del área de la base para encontrarlo.

π r2 = 3,14 x r2 = 157 m2

r2 = 157 m2 / 3,14= 50 m2

r = 50 m2 = 7,07 m

Si r = 7,07 entonces D = 2 x r = 14,14 m (medimos longitud, usamos m)La altura, que es el doble del D, será 2 x D = 2 x 14,14 m = 28,28 mAhora que sabemos la altura, podemos calcular el volumen del cilindro:

V= π r2 x h = 157 m2 x 28,28 m = 4439,96 m3


36MATEMÁTICA 3

● Completar con el volumen de los cuerpos pedidos. Recordar las fórmulas y el procedimiento para despejar la incógnita que se quiere calcular.

ACTIVIDAD 9» Obligatoria

● Una pecera de base rectangular de 15 cm por 25 cm está llena hasta sus 45 partes con 9 dm3 de agua. ¿Cuál es su altura?● Si se hace girar este rectángulo alrededor de su lado marcado con rojo, ¿qué cuerpo se genera?

Calcular el área total y el volumen del cuerpo que se genera.




MATEMÁTICA 3

Bibliografía y Webgrafía

● Apuntes de Cátedra Gutiérrez. (2016) Matemática. Buenos Aires, Argentina. UBA, CBC● Equipos Técnicos del Programa de Acciones Compensatorias en Educación del Ministerio de Educación. Matemática 4. Buenos Aires, Argentina. Ministerio de Educación de la Nación.● Equipos Técnicos del Programa de Acciones Compensatorias en Educación del Ministerio de Educación. Matemática 5. Buenos Aires, Argentina. Ministerio de Educación de la Nación.● Equipos Técnicos del Programa de Acciones Compensatorias en Educación del Ministerio de Educación. Matemática 6. Buenos Aires, Argentina. Ministerio de Educación de la Nación.● Meana, M.G. Matemática: Iniciación al Álgebra. Ministerio de Educación de la Nación. Buenos Aires, Argentina.● Muiños, R. Apuntes de cátedra: Estadística. (2015). Buenos Aires, Argentina. UBA.● Tapia, C; Tapia, A; Vázquez, N. (1994). Matemática 2. Buenos Aires, Argentina. Estrada.

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