Öncebiz sorduk

120 Soruda

SORU

2 10 8

kpss

85

Genel YetenekGenel Kültür

Konu Anlatımı

Pratik Bilgiler

Sınavlara En Yakın Özgün Sorular ve Açıklamaları

Çıkmış Sorular ve Açıklamaları

GEOMETRİSAYISAL MANTIK

MATEMATİK

GüncellenmişYeni

Baskı

Lise ve Ön Lisans

Editörler: Kenan Osmanoğlu / Kerem Köker

KPSS LİSE VE ÖN LİSANS MATEMATİK - SAYISAL MANTIK - GEOMETRİ KONU ANLATIMLI

ISBN 978-605-318-992-3

Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir.

© Pegem AkademiBu kitabın basım, yayım ve satış hakları

Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ye aittir.Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri,kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıtya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.

Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında

yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınlarısatın almamasını diliyoruz.

“Bu kitapta yer alan geçmiş yıllarda ÖSYM'nin yapmış olduğu sınavlardaki ÇIKMIŞ SORULAR'ın her hakkı ÖSYM'ye aittir. Hangi amaçla olursa olsun, tamamının veya bir kısmının kopya edilmesi, fotoğraflarının çekilmesi, herhangi bir yolla çoğaltılması ya da kullanılması, yayımlanması ÖSYM'nin yazılı izni olmadan yapılamaz. Pegem Akademi Yayıncılık telif ücreti ödeyerek bu izni almıştır.”

8. Baskı: 2017, Ankara

Yayın-Proje: Özge IşıkcıDizgi-Grafik Tasarım: Kezban Yanık

Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı

Baskı: Vadi Grup Ciltevi A.Ş.İvedik Organize Sanayi 28. Cadde 2284 Sokak No:105

Yenimahalle/ANKARA(0312 394 55 91)

Yayıncı Sertifika No: 14749Matbaa Sertifika No: 26687

İletişim

Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARAYayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51

Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08

Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60

İnternet: www.pegem.netE-ileti: pegem@pegem.net

Değerli Adaylar;

Bu kitap Kamu Personeli Seçme Sınavı (KPSS) Lise ve Önlisans Genel Yetenek Testinde önemli bir yer tutan "Matematik”, "Sayısal Mantık" ve "Geometri" kapsamındaki 30 soruyu etkili bir şekilde çözebilmeniz amacıyla hazırlanmıştır. Kitap, sorulmuş ve sorulması olası soruların titizlikle incelenmesiyle meydana getirilmiştir.

Kitapta; bölümlerin sınav formatına uygun ve soru çözümünü kolaylaştıracak bir şekilde ele alınmasına ve bilgilerin açık ve anlaşılır bir dille ifade edilmesine özen gösterilmiştir. Her ünitenin sonunda, - çıkmış sorulara ve

- cevaplı testlere

yer verilmiştir. Bu kitabın hazırlanmasında yardım, destek ve katkılarını esirgemeyen tüm meslektaşlarımıza, PEGEM AKADEMİ yayınevi ve dershanesi çalışanlarına ve öğrencilerine teşekkürü bir borç biliriz. Bu kitap, uzun bir birikimin ve yoğun bir emeğin ürünüdür. Kitapla ilgili görüş ve önerileriniz bu ürünün niteliğini daha da arttıracaktır. Değerli görüş ve önerilerinizi lütfen bizimle pegem@pegem.net aracılığıyla paylaşınız.

Kitabın çalışmalarınızda yararlı olması dileğiyle, KPSS’de ve meslek hayatınızda başarılar.

Editörler: Kenan Osmanoğlu – Kerem Köker

SUNU

v

İÇİNDEKİLERMatematik

TEMEL KAVRAMLARKüme ..........................................................................1Kümenin Elemanı ve Eleman Sayısı ..........................1Kümelerin Gösterilişi...................................................1Boş Küme ...................................................................2Sayı Kümeleri .............................................................2Tek - Çift Tamsayılar ...................................................3Tam Sayılarda İşlemler ...............................................3İşlem Önceliği .............................................................6Rasyonel Sayılar ........................................................6Rasyonel Sayılarda İşlemler .......................................6Harfli İfadeler ..............................................................7Denklemler .................................................................8Çözüm Kümesi Bulma ................................................8İkili ............................................................................10Sıralama ...................................................................10Eşitsizlik .................................................................... 11Oran – Orantı............................................................ 11Ortak Paranteze Alma ..............................................12Cevaplı Test – 1 ........................................................13Cevaplı Test – 2 ........................................................15

SAYILARRakam ......................................................................17Sayı ..........................................................................17Doğal Sayılar ............................................................18Tam Sayılar...............................................................21Tek ve Çift Tam Sayılar .............................................23Pozitif ve Negatif Sayılar ..........................................25Ardışık Sayılar ..........................................................27Basamak Analizi .......................................................32Çözümleme ..............................................................38Asal Sayı ..................................................................41Aralarında Asal Sayılar .............................................42Faktöriyel ..................................................................43Cevaplı Test – 1 ........................................................47Cevaplı Test – 2 ........................................................49Cevaplı Test – 3 ........................................................51Cevaplı Test – 4 ........................................................53Cevaplı Test – 5 ........................................................55Cevaplı Test – 6 ........................................................57Çıkmış Sorular ..........................................................59

BÖLME-BÖLÜNEBİLME KURALLARIBölme .......................................................................60

Bölünebilme Kuralları ...............................................65

2 ile Bölünebilme ................................................65

3 ile Bölünebilme ................................................65

4 ile Bölünebilme ................................................65

5 ile Bölünebilme ................................................66

7 ile Bölünebilme ................................................67

8 ile Bölünebilme ................................................67

9 ile Bölünebilme ................................................68

10 ile Bölünebilme ..............................................69

11 ile Bölünebilme ..............................................69

Cevaplı Test - 1 .........................................................71

Cevaplı Test - 2 .........................................................73

ASAL ÇARPANLARA AYIRMA

EBOB – EKOKAsal Çarpanlara Ayırma ............................................75

Bir Tam Sayının Bölenleri .........................................76

Bir Tam Sayının Bölenleri Toplamı ......................78

En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ...........................79

En Küçük Ortak Kat (EKOK)...............................82

Cevaplı Test - 1 .........................................................87

Cevaplı Test - 2 .........................................................89

Cevaplı Test - 3 .........................................................91

Çıkmış Sorular ..........................................................93

DENKLEMLERBirinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler ........94

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler .........96

Denklem Sistemi.......................................................97

a. Yok Etme Metodu ...........................................97

b. Yerine Koyma Metodu ....................................98

Özel Denklemler .......................................................99

Cevaplı Test - 1 .......................................................102

Cevaplı Test - 2 .......................................................104

vi

İçindekiler

RASYONEL SAYILARRasyonel Sayılar ....................................................106

Kesir ve Kesir Türleri ..............................................106

Kesir .................................................................106

Basit Kesir ........................................................106

Bileşik Kesir ......................................................106

Tam Sayılı Kesir................................................107

Sabit Kesir ........................................................107

Denk Kesir ........................................................108

Rasyonel Sayılarda Dört İşlem ...............................109

1. Toplama İşlemi ..............................................109

2. Çıkarma İşlemi..............................................109

3. Çarpma İşlemi ..............................................109

4. Bölme İşlemi .................................................109

5. Kuvvet Alma.................................................. 110

6. İşlem Önceliği ............................................... 110

Ondalık Kesirler ...................................................... 112

Ondalık Sayılarda Dört İşlem.................................. 113

Devirli Ondalık Açılımlar ......................................... 115

Devirli Ondalık Sayıyı Rasyonel Sayıya Çevirme ... 115

Rasyonel Sayılarda Sıralama ................................. 117

İki Rasyonel Sayı Arasındaki Sayıları Yazma ......... 119

Cevaplı Test - 1 .......................................................120

Cevaplı Test - 2 .......................................................122

Çıkmış Sorular ........................................................124

EŞİTSİZLİKLERBasit Eşitsizlikler .....................................................125

Özellikleri ..........................................................125

Reel (Gerçel) Sayı Aralıkları ...................................128

Kapalı Aralık .....................................................128

Yarı Açık Aralık .................................................128

Açık Aralık.........................................................129

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler .......129

Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi .............................130

Cevaplı Test – 1 ......................................................133

Cevaplı Test – 2 ......................................................135

Çıkmış Sorular ........................................................137

MUTLAK DEĞERMutlak Değer ..........................................................138

Özellikleri ..........................................................139

Cevaplı Test ............................................................145

Çıkmış Sorular ........................................................147

ÜSTLÜ SAYILARÖzellikleri ..........................................................149

Üstlü Sayılarda Dört İşlem ......................................151

1. Toplama – Çıkarma ......................................151

2. Çarpma .........................................................152

3. Bölme ...........................................................153

Üstlü Sayılarda Denklemler ....................................155

Üstlü Sayılarda Eşitsizlikler ve Sıralama ................157

Cevaplı Test - 1 .......................................................159

Cevaplı Test - 2 .......................................................161

Çıkmış Sorular ........................................................163

KÖKLÜ SAYILARKöklü Sayılar ..........................................................165

Köklü Sayıların Özellikleri .......................................165

Köklü Sayılarda Dört İşlem .....................................169

1. Toplama-Çıkarma .........................................169

2. Çarpma .........................................................170

Kök Kuvvetli Aynı Olan Köklü İfadelerin Çarpılması ..............................................................170

3. Bölme ...........................................................171

Kök Kuvvetleri Farklı Olan Köklü İfadelerin Bölünmesi ...............................................................171

Kök Dışındaki Bir Sayının Kök İçine Alınması ........173

Eşlenik ....................................................................174

İç İçe Sonlu Kökler..................................................176

İç İçe Sonsuz Kökler ...............................................177

A 2 B Ifadesinin Kök Dışına Çıkarılması ..........179

Köklü Sayılarda Sıralama .......................................181

Köklü Sayılarda Denklem Çözme ...........................182

Cevaplı Test - 1 .......................................................183

Cevaplı Test - 2 .......................................................185

Çıkmış Sorular ........................................................187

vii

İçindekiler

ÇARPANLARA AYIRMAÇarpanlara Ayırma ..................................................189

1. Ortak Parantez Yöntemi ...............................189

2. Gruplandırma Yöntemi .................................189

3. ax2+bx+c İfadesinin Çarpanlara Ayrılması ....190

Özdeşlikler ..............................................................192

1. İki Kare Farkı ................................................192

2. Tam Kare İfadeler .........................................194

III. Dereceden Özdeşlikler ......................................197

Cevaplı Test – 1 ......................................................199

Cevaplı Test – 2 ......................................................201

Çıkmış Sorular ........................................................203

ORAN – ORANTIOran........................................................................204

Orantı......................................................................204

Orantının Özellikleri ..........................................204

Orantı Türleri ..........................................................207

1. Doğru Orantı .................................................207

2. Ters Orantılı Çokluklar ..................................208

3. Bileşik Orantı ................................................210

Ortalamalar ............................................................. 211

1. Aritmetik Ortalama ........................................ 211

2. Geometrik Ortalama .....................................212

Cevaplı Test - 1 .......................................................214

Cevaplı Test - 2 .......................................................216

Çıkmış Sorular ........................................................218

PROBLEMLERDenklem Kurma Problemleri...................................219

Yaş Problemleri ......................................................227

Yüzde Problemleri ..................................................230

Faiz Problemleri......................................................232

Kâr – Zarar Problemleri ..........................................233

Karışım Problemleri ................................................237

İşçi Problemleri .......................................................240

Havuz Problemleri ..................................................242

Hareket Problemleri ................................................245

Cevaplı Test – 1 ......................................................251

Cevaplı Test – 2 ......................................................253

Cevaplı Test – 3 ......................................................255

Cevaplı Test – 4 ......................................................257

Cevaplı Test – 5 ......................................................259

Cevaplı Test – 6 ......................................................261

Cevaplı Test – 7 ......................................................263

Cevaplı Test – 8 ......................................................265

Çıkmış Sorular ........................................................267

KÜMELERKüme ......................................................................273

Kümelerin Elemanı ve Eleman Sayısı ..............273

Kümelerin Gösterimi .........................................273

Küme Çeşitleri ..................................................274

Kümelerde İşlem Özellikleri ..............................279

Alt Küme ...........................................................279

Küme Problemleri .............................................281

Cevaplı Test ...........................................................283

Çıkmış Sorular ........................................................285

FONKSİYON - İŞLEM –

MODÜLER ARİTMETİKBağıntı ....................................................................286

Fonksiyon ...............................................................286

Test Fonksiyon........................................................290

Bileşke Fonksiyon...................................................292

İşlem .......................................................................292

İşlem Tabloları ..................................................295

İşlemin Özellikleri..............................................295

Modüler Aritmetik ....................................................299

Modüler Aritmetiğin Özellikleri ..........................299

Modüler Aritmetikte Denklem Çözümü .............304

Cevaplı Test – 1 ......................................................306

Cevaplı Test – 2 ......................................................308

Çıkmış Sorular ........................................................310

viii

İçindekiler

PERMÜTASYON – KOMBİNASYON –

OLASILIKSaymanın Temel Kuralları ......................................312

Toplama Kuralı..................................................312

Çarpma Yolu ile Sayma ....................................312

Saymanın Temel İlkesi ......................................312

Permütasyon (Sıralama).........................................314

Tekrarlı Permütasyon........................................315

Dairesel Permütasyon ......................................317

Kombinasyon (Gruplama) ......................................318

Olasılık....................................................................323

Olasılık Fonksiyonu .........................................324

Eş Olumlu Örnek Uzay .....................................324

Olasılık Hesabı .................................................324

Koşullu Olasılık .................................................328

Bağımsız ve Bağımlı Olasılık............................329

Cevaplı Test – 1 ......................................................330

Cevaplı Test – 2 ......................................................332

Çıkmış Sorular ........................................................334

TABLO VE GRAFİKLERTablo ve Yorumlama ...............................................336

Grafik ve Yorumlama ..............................................340

Çizgi Grafik .......................................................340

Sütun Grafiği.....................................................342

Daire Grafiği .....................................................342

Cevaplı Test – 1 ......................................................345

Cevaplı Test – 2 ......................................................348

Çıkmış Sorular ........................................................350

SAYISAL MANTIKSayısal Mantık Problemleri .....................................352

Sayı Örüntüleri........................................................352

Sayı Dizileri.............................................................354

Tablo ve Şekil Soruları ............................................357

Akıl Yürütme ve Mantık Soruları .............................361

Görsel Yetenek .......................................................364

Cevaplı Test-1 .........................................................367

Cevaplı Test-2 .........................................................369

Cevaplı Test-3 .........................................................371

Çıkmış Sorular ........................................................373

geometriGEOMETRİK KAVRAMLAR VE

DOĞRUDA AÇILAR

Geometrik Kavramlar..............................................375Tanımsız Kavramlar ................................................375

Açılar ................................................................375

Açının Ölçüsü ...................................................375

Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler ...................375

Açı Ölçü Birimleri ..............................................375

Derecenin Alt Birimleri ......................................376

Açı Çeşitleri ............................................................376Dar Açı ..............................................................376

Dik Açı ..............................................................376

Geniş Açı ..........................................................376

Doğru Açı ..........................................................376

Tam Açı .............................................................376

Komşu Açılar ....................................................376

Açıortay ..................................................................376Tümler Açılar ..........................................................377Bütünler Açılar ........................................................377Ters Açılar ...............................................................378Paralel İki Doğrunun Bir Kesen ile Yaptığı Açılar ..........................................................378Paralel İki Doğrunun Birden Çok Kesen ile Meydana Getirdiği Açılar ....................................378Kenarları Paralel Açılar ...........................................380Kenarları Dik Açılar .................................................380Üçgenler .................................................................383Üçgen Çeşitleri .......................................................383Açılarına Göre Üçgenler .........................................383

ix

İçindekiler

Kenarlarına Göre Üçgenler.....................................383Üçgende Temel ve Yardımcı Elemanlar..................384

i. Yükseklik ........................................................384

ii. Açıortay .........................................................384

iii. Kenarortay....................................................384

Üçgende Açılar ile İlgili Özellikler............................385Dik Üçgen ...............................................................389Pisagor Teoremi ......................................................389Öklid Bağıntıları ......................................................390Kenarlarına Göre Özel Dik Üçgenler ......................391Açılarına Göre Özel Dik Üçgenler ..........................392Üçgende Açıortay Teoremleri .................................395

İç Açıortay Teoremi ...........................................396

Dış Açıortay Teoremi ........................................397

Üçgende Kenarortay Teoremleri .............................399Ağırlık Merkezi ..................................................399

Kenarortay Bağıntıları.............................................401Özel Üçgenler .........................................................403İkizkenar Üçgen ......................................................403Eşkenar Üçgen .......................................................406Üçgende Alan .........................................................410Üçgende Benzerlik .................................................416Açı – Açı – Açı Benzerlik Kuralı ..............................416Tales Teoremi .........................................................418Temel Orantı Teoremi .............................................418Çapraz Tales Teoremi .............................................419Kenar – Açı – Kenar Benzerlik Kuralı .....................421Kenar – Kenar – Kenar Benzerlik Kuralı.................421Üçgende Açı – Kenar Bağıntıları ............................425Üçgen Eşitsizliği .....................................................425

Cevaplı Test (Geometrik Kavramlar) ................431

Cevaplı Test (Üçgende Açılar) ..........................433

Cevaplı Test (Dik Üçgen) ..................................435

Cevaplı Test (Üçgende Açıortay Teoremleri) ....437

Cevaplı Test (Üçgende Kenarortay Teoremleri) ..439

Cevaplı Test (Özel Üçgenler-1) ........................441

Cevaplı Test (Özel Üçgenler-2) ........................443

Cevaplı Test (Üçgende Alan-1) .........................445

Cevaplı Test (Üçgende Alan-2) .........................447

Cevaplı Test (Üçgende Benzerlik-1) .................449

Cevaplı Test (Üçgende Benzerlik-2) .................451

Cevaplı Test (Üçgende Benzerlik-3) .................453

Cevaplı Test (Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları) ....455

ÇOKGENLER VE DÖRTGENLER

Çokgenler ...............................................................457Dışbükey ve İçbükey Çokgenler .............................457Düzgün Çokgen ......................................................458Dörtgenler ...............................................................463Dörtgenlerde Alan ...................................................465Parelelkenar-Eşkenar Dörtgen ...............................467Paralelkenar ...........................................................467Paralelkenarda Alan ...............................................468Paralelkenarın Alan Özellikleri ................................469Paralelkenarda Uzunluk İle İlgili Özellikler..............471Eşkenar Dörtgen.....................................................471Dikdörtgen - Kare ...................................................473Dikdörtgen .............................................................473Kare ........................................................................475Yamuk – Deltoid .....................................................478Yamuk .....................................................................478İkizkenar Yamuk .....................................................481Dik Yamuk ..............................................................483Deltoid ....................................................................483Cevaplı Test (Çokgenler) ........................................484Cevaplı Test (Dörtgenler) ........................................486Cevaplı Test (Paralelkenar-Eşkanar-Dörtgen) ........488Cevaplı Test (Dikdörtgen-Kare) ..............................490Cevaplı Test (Yamuk-Deltoid) .................................492

x

İçindekiler

ÇEMBER VE DAİRE

Çemberde Açı .........................................................494Çemberde Yardımcı Elemanlar ..............................494Çemberde Yay ve Açı Özellikleri ............................496Merkez Açı ..............................................................496Çevre Açı ................................................................496Teğet Kiriş Açı .........................................................497İç Açı .......................................................................498Dış Açı ....................................................................498Çemberde Kiriş Yay Özellikleri ...............................499Kirişler Dörtgeni ......................................................500Çemberde Uzunluk .................................................501Bir Noktanın Bir Çembere Göre Kuvveti .................501Kuvvet Ekseni .........................................................503İki Çemberin Ortak Teğetleri ...................................505İki Çemberin Birbirine Göre Durumları ...................506Üçgenin Çemberleri ................................................507Üçgenin İç Teğet Çemberi ......................................507Üçgenin Dış Teğet Çemberi ....................................507Teğetler Dörtgeni ....................................................508Dairede Alan ...........................................................5091. Dairenin Alanı ve Çevresi ...................................5092. Daire Diliminin Alanı ...........................................5093. Çember Yayının Uzunluğu ..................................5094. Daire Kesmesinin Alanı ......................................5105. Daire Halkasının Alanı ........................................ 5116. Çemberde Benzerlik ........................................... 511Cevaplı Test (Çemberde Açı) ..................................514Cevaplı Test (Çemberde Uzunluk) ..........................516Cevaplı Test (Dairede Alan) ....................................518

ANALİTİK GEOMETRİ

Noktanın Analitik İncelenmesi.................................520

Analitik Düzlem .......................................................520

İki Nokta Arasındaki Uzaklık ...................................521

Doğrusal Noktalar ...................................................522

Doğrusal Olmayan Noktalar ...................................525

Doğrunun Analitik İncelenmesi ...............................528

Doğrunun Eğim Açısı ve Eğimi ...............................528

Doğrunun Grafiğinin Çizimi.....................................530

Doğrunun Denklemleri ............................................530

Özel Doğrular .........................................................533

İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları (Paralelliği ve Dikliği) ..............................................533

Doğru Demeti .........................................................535

Simetriler ................................................................538

Noktanın Simetriği ..................................................538

Doğrunun Simetriği .................................................541

Eşitsizlikler ..............................................................544

Cevaplı Test ............................................................546

KATI CİSİMLER

Prizma ....................................................................548

Dikdörtgenler Prizması ...........................................549

Küp ........................................................................ 551

Silindir .................................................................... 551

Dönel Silindir ......................................................... 552

Piramit ................................................................... 554

Düzgün Piramit ...................................................... 554

Kesik Piramit.......................................................... 555

Koni ....................................................................... 556

Küre ....................................................................... 557

Cevaplı Test - 1 ..................................................... 558

Cevaplı Test - 2 ..................................................... 560

Geometri Çıkmış Sorular ....................................... 562

1

Temel Kavramlar

Bu bölümde yer verdiğimiz başlıkların bir kısmı KPSS de direkt olarak sorulan konulara dair değildir. Buradaki amacımız diğer konuların daha iyi anlaşılabilmesi için bazı temel bilgileri hatırlat-mak ve işlem yeteneğinin gelişmesini sağlamaktır. Değindiğimiz konuların bir kısmı ilerleyen bölüm-lerde daha detaylı bir şekilde işlenecektir.

Bu bölüm daha çok sözel bölümlerden me-zun olan arkadaşlarımıza yönelik hazırlanmıştır.

KÜMENet olarak tanımlanmış canlı veya cansız varlıkların oluş-turduğu topluluğa küme denir.Kümeler A, B, C, D, E,… gibi büyük harflerle isimlendirilir.

Örnek:

“Pegem” kelimesinin harfleri bir küme oluşturur.

Örnek:

“Haftanın bazı günleri” cümlesi bir küme oluşturmaz. Çünkü kümeyi oluşturacak günler net olarak söylenme-miştir.

KÜMENİN ELEMANI VE ELEMAN SAYISIKümeyi oluşturan canlı ve cansız varlıklara kümenin elemanları denir.Kümenin elemanı olan nesneler “!” sembolü ile küme-

nin elemanı olmayan nesneler ise “g”sembolü ile göste-

rilir.Bir kümeyi oluşturan nesne veya varlıkların sayısına kü-menin eleman sayısı denir.Bir A kümesinin n tane elemanı varsa s(A) = n şeklinde gösterilir.

Örnek:

1 sayısı A kümesinin elemanı ise A1 !

2 sayısı A kümesinin elemanı değil ise A2 g

şeklinde gösterilir.

KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ

1) Liste Yöntemi

Kümenin elemanlarının aralarına “,” konarak { } pa-rantezi içine yazılmasına kümelerin liste biçiminde gösterilişi denir.

Liste yönteminde virgülle ayrılan her nesne kümenin bir elemanıdır.

ÖRNEK

A = {a, b, {c}, {d, e}, f} kümesinin eleman sayısı kaçtır?

A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2

Çözüm:

A kümesinin elemanlarını yazacak olursak, , , , ,a A b A c A d e A f A! ! ! ! !" ", ,

olmak üzere A kümesinin eleman sayısı 5 dir.Dolayısıyla s(A) = 5 bulunur.

Bir küme yazılırken eğer yazılan elemanlar arasında aynı olanlar varsa bu elemanlar kümeye bir kez yazılır.

UYARI

ÖRNEK

”PEGEM” kelimesinin harflerinin oluşturduğu küme-nin eleman sayısı kaçtır?

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

Çözüm:

“PEGEM” kelimesinin oluşturduğu küme A kümesi ol-sun.Küme yazılırken ortak olan elemanlar bir kez yazılacağın-dan A = {P, E, G, M} olur. Dolayısıyla ( )s A 4= bulunur.

ÖRNEK

A Kerem= " , kümesinin eleman sayısı kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Çözüm:

Liste yönteminde elemanlar virgüllerle ayrılır. Kümeyi in-celeyecek olursak virgülle ayrılan eleman olmadığı için kümenin eleman sayısı s(A) = 1 bulunur.

2

Temel Kavramlar

2) Ortak Özellik Yöntemi Kümenin elemanlarının taşıdıkları ortak özellikler be-

lirtilerek { } parantezi içine yazılmasına kümenin or-tak özellik yöntemi ile gösterilişi denir.

Örnek:

Yüzden küçük doğal sayıların kümesi A = {x | x < 100 ve x ∈ N} şeklinde gösterilir.

3) Venn Şeması

Kümenin elemanlarının yanlarına “•” konarak kapalı bir şeklin içine yazılmasına kümenin venn şeması ile gösterilişi denir.

Örnek:

A = {a, b, c, d} kümesini venn şeması ile gösterilişi şekildeki gibidir.

a

b d

c

BOŞ KÜMEElemanı olmayan içi boş olan kümeye boş küme denir.

Boş küme Q veya { } sembolleri ile gösterilir.

Örnek:

“Yılın S harfi ile başlayan ayları” cümlesinin oluşturduğu küme boş kümedir.

NOT

Bir kümenin elemanlarının yerlerinin değişmesi kümeyi değiştirmez. Yani kümenin elemanları farklı şekillerde sı-ralanabilir.

Örnek:

A = {a, b, c} kümesinin elemanlarının yerleri değiştirilirseA kümesi değişmez.

, , , , , , ...A a b c b a c c a b= = = =" " ", , , gibi.

TEMEL KAVRAMLAR

RAKAM

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 gibi tek haneli sembollere rakam denir.

SAYI

Rakamların tek başlarına veya bir çokluk oluşturacak şekilde bir araya gelmesiyle oluşan ifadelere sayı denir.

Örnek:

3 hem rakam hem de bir sayıdır.16 iki rakamdan oluşan bir sayıdır.348 üç rakamdan oluşan bir sayıdır.-7415 dört rakamdan oluşan negatif bir sayıdır.

SAYI KÜMELERİ

1) Sayma Sayıları Kümesi

, , , ...1 2 3" , kümesine sayma sayıları kümesi ve bu kümenin her bir elemanına bir sayma sayısı denir.

Sayma sayıları kümesi " "N+ sembolü ile gösterilir.

2) Doğal Sayılar Kümesi

, , , , ...0 1 2 3" , kümesine doğal sayılar kümesi ve bu kümenin her bir elemanına bir doğal sayı denir.

Doğal sayılar kümesi “IN” sembolü ile gösterilir.

3) Tam Sayılar Kümesi

.........., , , , , , , , ..........3 2 1 0 1 2 3- - -" , kümesine tam sayılar kümesi ve bu kümenin her bir elemanına bir tam sayı denir.

Tam sayılar kümesi “Z” sembolü ile gösterilir. Tam sayılar kümesi üç kümenin birleşimi olarak ifade

edilir. Bu alt kümeleri inceleyecek olursak;

a) NegatifTamSayılarKümesi

Sayı doğrusu üzerinde sıfırın solunda olan yani sıfır-dan küçük sayılara negatif tam sayılar bu sayıların oluşturduğu kümeye negatif tam sayılar kümesi denir.

Negatif tam sayılar kümesi " "Z- sembolü ile gösteri-lir.

.................., , ,Z 3 2 1= - - -- " ,’dir.

3

Temel Kavramlar

NOT

Negatif tam sayılar sıfıra yaklaştıkça büyürler.Dolayısıyla en büyük negatif tam sayı “– 1” dir.

b) PozitifTamSayılarKümesi

Sayı doğrusu üzerinde sıfırın sağında olan yani sıfır-dan büyük sayılara pozitif tam sayılar bu sayıların oluşturduğu kümeye pozitif tam sayılar kümesi de-nir.

Pozitif tam sayılar kümesi " "Z+ sembolü ile gösterilir. , , , .........Z 1 2 3=

+ " ,’dir.

NOT

Pozitif tam sayılar sıfıra yaklaştıkça küçülürler.Dolayısıyla en küçük pozitif tam sayı “1” dir.

c) Sıfır bir tam sayıdır, fakat işaretsizdir. Yani pozitif ya da negatif tam sayı değildir.

4) Rasyonel Sayılar Kümesi

a ve b birer tam sayı ve b 0! olsun. İki tam sayının bölümü şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir.

Rasyonel sayılar kümesi " "Q sembolü ile gösterilir.

Q = " ba : a, b ∈ Z ve b ≠ 0- şeklinde yazılır.

Örnek:

, , , , , ...52

1917

136 14 1- - birer rasyonel sayıdır.

5) İrrasyonel Sayılar Kümesi

Rasyonel olmayan sayılara yani iki tam sayının bölü-mü şeklinde yazılamayan sayılara irrasyonel sayılar denir.

İrrasyonel sayılar kümesi “Qʹ” sembolü ile gösterilir.

Örnek:

, , , ,5 2 37

215g- birer irrasyonel sayıdır.

6) Reel (Gerçel, Gerçek) Sayılar Kümesi

Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar küme-sinin birleşim kümesine Reel sayılar kümesi denir.

Reel sayılar kümesi “R” ile gösterilir. R Q Qı

,= şeklinde ifade edilir.

TEK VE ÇİFT TAM SAYILAR

a) Tek tam sayılar

İki ile tam bölünemeyen sayılara tek tam sayılar de-nir.

Tek tam sayılar kümesi ... , , , , , , ...5 3 1 1 3 5- - -" , şeklinde gösterilir.

Tek tam sayıların genel formülü n bir tam sayı olmak üzere “2n – 1” dir.

b) Çift tam sayılar

İki ile tam bölünen sayılara çift tam sayılar denir. Çift tam sayılar kümesi ... , , , , , ...4 2 0 2 4- -" , şeklin-

de gösterilir. Çift tam sayıların genel formülü n bir tam sayı olmak

üzere “2n” dir.

Çift tam sayılar pozitifte olabilir, negatifte olabilir, sı-fırda olabilir.Tek tam sayılar pozitifte olabilir, negatifte olabilir.

UYARI

TAM SAYILARDA İŞLEMLER

Toplama işlemi

a) Aynıişaretlisayılarıntoplanması

İşaretleri aynı olan tam sayılar toplanırken önce sayı değerleri toplanır. Sonra toplama sayıların ortak işa-reti verilir.

Örnek:

32 14 29+ + işleminde Sayılarının hepsi pozitif ( )+ olduğundan sayı değerle-

ri toplanır. Bulunan toplamın işareti “+” olur. Buradan 32 14 29 75+ + = bulunur.

Örnek:

45 11 73- - - işleminde Sayıların hepsi negatif ( )- olduğundan sayı değerleri

toplanır. Bulunan toplamın işareti " "- olur. Buradan ( )45 11 73 45 11 73 129- - - =- + + =-

bulunur.

4

Temel Kavramlar

b) Zıt İşaretli Sayıların Toplanması

(Çıkarma İşlemi)

İşareti farklı olan tam sayılar toplanırken sayı değeri büyük olandan sayı değeri küçük olan çıkarılır. Bulu-nan toplama, sayı değeri büyük olan sayının işareti verilir.

Örnek:

65 93- + işleminde Sayıların biri (−) diğeri (+) işaretli olduğundan sayı de-

ğeri büyük olandan yani 93 den sayı değeri küçük olan yani 65 çıkarılır. Bulunan toplamın sonucu 93’ün işareti yani (+) olur. Buradan 65 93 28- + = bulunur.

Örnek:

124 175- işleminde Sayılar zıt işaretli ve 175 124> olduğundan 175 den

124 çıkarılır. Bulunan toplama, 175’in işareti yani ( )- işareti verilir. Buradan 124 175 51- =- bulunur.

NOT

Toplama işleminde sayıların yerlerini değiştirmek işlemin sonucunu değiştirmez. Yani a b b a- =- + ’dır.

Örnek:

354 195- + işleminde sayıların yerlerinin değişmesi işle-min sonucunu değiştirmez. Buradan 354 195 195 354 159- + = - =- bulunur.

NOT

İşlemde birkaç sayı varsa önce işareti aynı olanlar kendi aralarında toplanarak ifade düzenlenir.

Örnek:

36 73 86 118- + - işleminde

iki tane pozitif ( )+ , iki tane negatif ( )- sayı olduğundan önce bu sayılar kendi aralarında toplanarak işlem düzen-lenir. Sonra bulunan zıt işaretli sayılar toplanır.

36 73 86 118 36 86 73 118- + - = + - - 122 191

69= -

=-

bulunur.

Çarpma İşlemi

Tam sayılarda çarpma işlemi yapılırken önce işaretler çar-pılıp çarpımın işareti bulunur. Sonra sayı değerleri çarpılır.

Aynı işaretli sayıların çarpımı daima pozitiftir.

Yani ( ) ( )( ) ( )$

$

+ + =+

- - =+

Zıt işaretli sayıların çarpımı daima negatiftir.

Yani ( ) ( )( ) ( )$

$

- + =-

+ - =-

UYARI

Örnek:( ) ( )5 23 115$- - =

( ) ( )12 11 132$- =-

( ) ( )18 12 216$ =

NOT

Parantez dışındaki bir işlem parantez içerisine dağıtılır-ken işaretler çarpılır.

Bölme İşlemi

Tam sayılarda bölme işlemi yapılırken önce işaretleri bölü-nüp bölümün işareti bulunur. Sonra sayı değerleri bölünür.

Aynı işaretli sayıların bölümü daima pozitiftir.Yani ( ) : ( )+ + =+

( ) : ( )- - =+

Zıt işaretli sayıların bölümü daima negatiftir.Yani ( ) : ( )- + =-

( ) : ( )+ - =-

UYARI

Örnek:

( ) : ( )68 17 4- =-

:120 12 10=

( ) : ( )111 37 3- =-

( ) : ( )180 15 12- - =