matematİk mantik - kÜmeler - capyayinlari.com.trcapyayinlari.com.tr/demo/mantik-ve-kumeler.pdf ·...

MATEMATİK

MANTIK - KÜMELER

ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK9. SINIF OKULA YARDIMCI

KONU ANLATIMLISORU BANKASI

ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK9. SINIF

OKULA YARDIMCIKONU ANLATIMLI SORU BANKASI

ISBN978 – 605 – 2273 - 66 - 1

EditörlerHazal ÖZNAR - Uğurcan AYDIN

DizgiÇAP Dizgi

Kapak TasarımÖzgür OFLAZ

1. BaskıEylül 2018

İLETİŞİMÇAP YAYINLARI

Ostim Mah. 1207 Sokak No: 3/C–DOstim / Ankara

Tel: 0312 395 13 36Fax: 0312 394 10 04

[email protected]/capyayinlari

facebook.com/capyayinlariinstagram.com/capyayinlari

Bu kitabın her hakkı Çap Yayınlarına aittir. 5846 ve 2936 sayılı Fikir ve

Sanat Eserleri Yasası’na göre Çap Yayınlarının yazılı izni olmaksızın,

kitabın tamamı veya bir kısmı herhangi bir yöntemle basılamaz, yayınlanamaz,

bilgisayarda depolanamaz, çoğaltılamaz ve dağıtım yapılamaz.

SUNU

Sevgili Öğrenciler,

Gelecekteki hayatınızı şekillendirmek, düşlediğiniz bir yaşamı kurmak için üniversite sınavını başarıyla atlatmanız gerektiğini bi-liyorsunuz. Bu bilinçle yoğun bir ders çalışma sürecinden geçmek-tesiniz. Böylesine önemli bir sınavı başarıyla atlatmanın en temel şartlarından biri sınavın ruhunu anlamak ve bu çizgide hazırlanmış kitaplardan yeterince faydalanmaktır.

Bizlerde gayretlerinize destek olmak, çalışmalarınızı daha ve-rimli hâle getirmek amacıyla sınav ruhuna uygun elinizdeki fasikül-leri hazırladık.

Kitaplarımız, Talim Terbiye Kurulu’nun en son yayımladığı öğ-retim programında yer alan kazanımlar dikkate alınarak hazırlan-mıştır. Özgün bir yaklaşım ve titiz bir çalışmanın ürünü olan eserle-rimizin ana yapısı şu şekildedir:

Kazanımlara ait bilgiler konu sayfasında verilmiştir. Özet konu anlatımından sonra örnek çözümlerine geçilmiş ve bu bö-lüm standart sorular ve çözümleri ile ÖSYM tarzı sorular ve çö-zümleri olmak üzere iki kısımdan oluşturulmuştur. Buradaki amacımız konu ile ilgili soru çeşitlerine hâkim olduktan sonra ÖSYM'nin son yıllarda sorduğu ve sınavlarda çıkma olasılığı yüksek soru türlerine yer vermektir. Örnek çözümlerinden sonra da pekiştirme testleri bulunmaktadır. Bölümün tamamı bittiğinde ise tüm ünitenin özetini bulabilirsiniz. Konuyu özetledikten sonra Acemi, Amatör, Uzman ve Profesyonel adı altında dört farklı zorluk düzeyinde çoktan seçmeli soruların bulunduğu karma testlere yer verilmiştir. Arkasından ÖSYM'den Seçmeler adı altında son yıllarda üniversite giriş sınavlarında sorulmuş seçme sorular yer almaktadır.

Kitabımızdaki testlerin tamamını VİDEO ÇÖZÜMLÜ hazırladık. Yayınevimize ait olan akıllı telefon uygulamasını (çApp) kullanarakvideo çözümlerine ulaşabilirsiniz.

Kitaplarımızın eğitim öğretim faaliyetlerinizde sizlere faydalı ol-ması ümidiyle, hepinize başarılı, sağlıklı ve mutlu bir gelecek dileriz.

ÇAP YAYINLARI

KİTABIMIZI TANIYALIM

KONU

12

56

7

3

4

KARMA TESTLER

ÖSYMʼden SEÇMELER

STANDART SORULAR VE ÇÖZÜMLERİ

PEKİŞTİRME TESTLERİÜNİTE ÖZETİ

ÖSYM TARZISORULAR VE ÇÖZÜMLERİ

Konuya ilişkin bilgilerin özet halinde verildiği, “Aklında Olsun”,

“Hatırlatma”, “Uyarı” gibi pratik notların da olduğu alan…

İşlenen konuyla ilgili standart soru tiplerinin görülebileceği, çözümlü soruların olduğu alan…

Son yıllarda ÖSYMʼnin

sınavlarında sorduğu soru tarzları; sınavlarda

çıkabilecek seçici ve ayırt edici soruların olduğu alan…

Hem standart hem de ÖSYM tarzı sorulardan oluşan, kendinizi sınamanızı sağlayan, konuyu iyice

kavramanıza yardımcı özgün soruların olduğu alan…

Konunun tamamının özelliklerini, formüllerini

özet halinde bir arada bulabileceğiniz alan…

Dört ayrı zorluk düzeyine göre düzenlenmiş, “Acemi, Amatör,

Uzman ve Profesyonel” seviyelerinde tüm ünite ile ilgili karma, özgün

soruların olduğu alan…

ÖSYM çıkmış sınav sorularından seçilen ve işlenen konularla

paralel, yıl sıralamasına göre oluşturulan alan…

İÇİNDEKİLERBÖLÜM 1: MANTIKÖnerme, Doğruluk Değeri, Denklik, Bir Önermenin

Değili ..................................................................................6

Standart Sorular ve Çözümleri ...........................................7

ÖSYM Tarzı Sorular ve Çözümleri .....................................8

Konu Pekiştirme -1 .............................................................9

Bileşik Önermeler ...........................................................11

Standart Sorular ve Çözümleri .........................................12

ÖSYM Tarzı Sorular ve Çözümleri ...................................13

Konu Pekiştirme - 2 ..........................................................14

Koşullu Önermeler, İki Yönlü Koşullu Önermeler .......16



Konu Pekiştirme - 3 ..........................................................20

Niceleyiciler .....................................................................22


Konu Pekiştirme - 4 ..........................................................24

Açık Önerme ...................................................................25


Konu Pekiştirme - 5 ..........................................................27

Aksiyom ve Teorem ........................................................29

Ünite Özeti ........................................................................30

Acemi Testleri 1, 2 ............................................................31

Amatör Testleri 1, 2 ..........................................................35

Uzman Testleri 1, 2 ..........................................................39

Profesyonel Testleri 1, 2 ...................................................43

ÖSYM'den Seçmeler ........................................................47

BÖLÜM 2: KÜMELERKümelerde Temel Kavramlar .........................................50



Konu Pekiştirme 1 ............................................................53

Alt Küme ..........................................................................55



Konu Pekiştirme 2 ............................................................59

Kümelerde Birleşim ve Kesişim İşlemleri ....................61



Konu Pekiştirme 3 ............................................................65

Kümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri .........................67



Konu Pekiştirme 4 ............................................................72

Kümelerde İşlemler ile Sembolik Mantık Arasındakiİlişki .................................................................................74


Konu Pekiştirme 5 ............................................................76

Küme Problemleri ...........................................................77



Konu Pekiştirme 6, 7 ........................................................83

Kartezyen Çarpım ...........................................................87



Konu Pekiştirme 8 ............................................................90

Ünite Özeti ........................................................................92

Acemi Testleri 1, 2 ............................................................93

Amatör Testleri 1, 2 ..........................................................97

Uzman Testleri 1, 2, 3 ....................................................101

Profesyonel Testleri 1, 2 .................................................107

ÖSYM'den Seçmeler ......................................................111

2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018

YGS LYS YGS LYS YGS LYS YGS LYS YGS LYS YGS LYS YGS LYS YGS LYS TYT AYT

1 1 1 1 1 1 1

MANTIK KONUSUNUNÖSYM SINAVLARINDAKİ SORU DAĞILIMI

MANTIKBÖLÜM

1Değerli hocalarımız;

Haldun ÖZNAR, Hakan SAĞLIK, Yavuz ÖZSOY,Işıl GÖÇMEN ve Oğuz GÖÇMEN'e katkılarından dolayı teşekkür ederiz.

KONU

MATEMATİK

6

Önerme: Doğru ya da yanlış kesin hüküm bildiren ifadelere denir.

Önermeler p, q, r, s, .......gibi küçük harflerle gösterilir.

Soru, istek, hayret vb. anlamlar içeren ifadeler önerme değildir.

Bir önerme doğru ise 1 veya D, yanlış ise 0 veya Y ile gösterilir.

Bir p önermesinin doğruluk tablosu

p10

ya da pDY

şeklindedir.

İki önermenin doğruluk tablosu

p q1 11 00 10 0

n tane farklı önermenin birbirine göre en çok 2n tane doğruluk durumu vardır.

Yani, 1 önermenin 21 = 2 tane durumu, 2 önermenin 22 = 4 tane durumu, 3 önermenin 23 = 8 tane durumu vardır.

Doğruluk değerleri aynı olan önermelere denk önermeler denir ve p ≡ q ile gös-terilir.

Doğruluk değerleri aynı olmayan önermeler denk değildir ve p _ q şeklinde gös-terilir.

Bir p önermesinin değili pı (ya da ∼ p) ile gösterilir.

p pı (pı)ı

1 0 10 1 0

Önerme, Doğruluk Değeri,Denklik, Bir Önermenin Değili

Standart Sorular ve Çözümleri

7

“Mantık”

10.1

p: "Eşkenar üçgenin bir iç açısı 60° dir."

q: "Bugün hava güneşli."

r: "Çankırı Karadeniz Bölgesi'ndedir."

s: "Sinemaya gidelim mi?"

t: "Her gerçek sayının sıfırıncı kuvveti 1 dir."

Yukarıda verilen ifadelerden kaç tanesi önerme-dir?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

p, r ve t ifadeleri yargı belirttiğinden önermedir. q ve s ifadeleri kesin bir yargı belirtmediğinden önerme değildir.

Yanıt C

10.2

(pı)ı : "§2 sayısı irrasyonel bir sayıdır."

olduğuna göre, pı önermesi aşağıdakilerden han-gisidir?

A) 2 sayısı rasyonel bir sayı değildir.

B) 2 sayısı irrasyonel bir sayıdır.

C) 2 sayısı rasyonel bir sayıdır.

D) 2 sayısı irrasyonel bir sayı değildir.

E) 2 sayısı gerçek bir sayı değildir.

(pı)ı / p demektir.

Soruda pı sorulduğundan; p önermesinin değilini almamız gerekiyor. p önermesinde "sayıdır" kelime-sinin değili "sayı değildir" dir.

O hâlde;

pı: 2 sayısı irrasyonel bir sayı değildir.Yanıt D

10.3

Aşağıdaki önermelerden hangisinin doğruluk değeri "0" dır?

A) x2 = 1 ise x = –1 veya x = 1 dir.

B) 45 > 83 > 162 dir.

C) (n – 1) çift sayı iken (n + 2)5 de çifttir.

D) Karenin bir kenarı a ise alanı a2 dir.

E) 2x + 7 = 19 ise x = 6 dır.

A) x2 = 1 ise her tarafın karekökünü alalım.

x 12 = ¡ |x| = 1 olur.

Buradan x = 1 veya x = –1 bulunur.

A seçeneğinin doğruluk değeri 1 dir.

B) Üslü sayıların özelliğinden;

45 > 83 > 162 ¡ (22)5 > (23)3 > (24)2

210 > 29 > 28 olur.

B seçeneğinin doğruluk değeri 1 dir.

C) n – 1 çift sayı ise n sayısı tek sayıdır. O hâlde n + 2 ifadesi de tek sayıdır. Tek sayının kuvvetle-ri, tek sayı olacağından C seçeneğinin doğruluk değeri 0 dır.

D) Karenin bir kenarı a ise alanı a2 dir. Doğru yargı-dır. O hâlde doğruluk değeri 1 dir.

E) 2x + 7 = 19

2x + 7 – 7 = 19 – 7

2x = 12

x = 6 olur.

E seçeneğinin doğruluk değeri 1 dir.Yanıt C

ÖSYM Tarzı Sorular ve Çözümleri

8

MATEMATİK

4

p: 0 < x < p olmak üzere, tanx·cotx = 1 dir.qı: 0 < x < 2p olmak üzere, sin2x + cos2x = 1 dir.

(rı)ı: x = 4r olmak üzere, tanx = 2

2 dir.

olduğuna göre, p, q ve r nin doğruluk değerleri aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

p q rA) 1 1 1B) 1 1 0C) 0 0 1D) 0 1 1E) 1 0 0

p önermesi;p: 0 < x < p olmak üzere, tanx·cotx = 1 dir.Doğru bir önermedir. Yani p / 1 dir.q önermesi;qı : 0 < x < 2p olmak üzere, sin2x + cos2x = 1 dir. Doğru bir önermedir. qı / 1 ise q / 0 dır.r önermesi;(rı)ı = x = 4

r olmak üzere, tanx = 22 dir.

Yanlış bir önermedir. (rı)ı / 0 ise r / 0 dır.Doğruluk değerleri sırasıyla 1, 0, 0 olmalıdır.

Yanıt E

5

Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

A) Doğruluk değeri aynı olan iki önermeye denk önermeler denir.

B) Bir önermenin doğru ya da yanlış olarak ifade edilmesine doğruluk değeri denir.

C) 4 önermenin birbirine göre 16 farklı durumu var-dır.

D) Birbirine göre 64 farklı durumu olan 6 önerme vardır.

E) Bir önermenin olumsuzu, bir tane doğruluk değe-ri alabilir.

A ve B seçenekleri tanımdan doğrudur.

C seçeneği için; 4 önerme varsa 24 = 16 farklı durum olduğunu gösterir.

D seçeneği için; n tane önerme olsun. 2n = 64 oldu-ğundan n = 6 bulunur.

E seçeneği için; tablo yaparsak

p pı

1 00 1

olup iki durum söz konusudur.E seçeneği yanlıştır.

Yanıt E

6

p: ,53

54–b l noktası birim çember üzerindedir.

q: 4– sayısının sanal kısmı negatiftir.

r: x < y olmak üzere, ax < ay ise a < 0 dır.

s: yx Œ Q ise y ≠ 0 dır.

önermelerinden kaç tanesinin değili doğrudur?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

p: ,53

54–b l noktası birim çember üzerindedir.

53

2525

54

259

2516 1–

2 2+ = + = =b bl l

olur ve birim çember üzerindedir. p / 1 ise pı / 0 dır.

q: 4– sayısının sanal kısmı negatiftir.

i4 1 4 2– – $= = olur.

Yani q / 0 ise qı / 1 dir.

r: x < y olmak üzere, ax < ay ise a < 0 dır.

x < y ise ax < ay şartı a > 0 olduğunda sağlanır. Yani r / 0 ise rı / 1 dir.

s: yx Œ Q ise y ≠ 0 dır.

y = 0 olsaydı belirsiz olurdu.

Buradan s / 1 ise sı / 0 dır.

İki önermenin değili doğrudur.Yanıt C

Konu Pekiştirme - 1

9

“Mantık”

1. I. Bütün insanlar ölümlüdür.

II. Bizde yok yok.

III. Ali Ayşe'yi seviyor.

IV. Ben gazoz içmem.

V. Bir hafta yedi gündür.

Yukarıdaki cümlelerden hangileri önermedir?

A) I, III, V B) I, II, IV C) I ve VD) II, III, V E) III ve IV

2. Aşağıdakilerden hangileri önermedir?

I. Kırmızı bir renktir.

II. E = m · c2

III. Zeynep çok tatlı kız.

IV. Bazı insanlar enteresandır.

V. Çift sayı ile tek sayının çarpımı tektir.

A) I ve III B) II ve III C) I, III, IVD) I, II, III E) I, II, V

3. 3x – 4 ≠ 8 önermesini aşağıdaki sayılardan han-gisi yanlış önerme yapar?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

4. "En küçük negatif tam sayı –1 dir."

önermesine denk olan önerme aşağıdakilerden hangisidir?

A) Üçgenin dış açılarının ölçüleri toplamı 360° dir.

B) 72 + 242 = 252 tir.

C) 0 çift sayıdır.

D) §9 rasyonel sayıdır.

E) 91 sayısı asaldır.

5. Aşağıdaki önermelerden hangisinin doğruluk değeri "1" dir?

A) n Œ N+ olmak üzere, P(n, 0) = 1 dir.

B) n Œ N+ olmak üzere, P(n, 1) = n! dir.

C) n Œ N+ olmak üzere, P(n, n) = n dir.

D) n ≥ r olmak üzere, ( ) !!

rn

n rn–=b l dir.

E) n ≥ r olmak üzere, P(n, r) = ! ( ) !!

r n rn– dir.

6. Aşağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır?

A) (x – y)5 açılımında 6 terim vardır.

B) (2x – 3y)4 ün katsayılar toplamı 1 dir.

C) P(x – 3) ün sabit terimi P(0) dır.

D) P(2x + 1) in katsayılar toplamı P(3) tür.

E) P(A), A olayının olma olasılığı olmak üzere, 0 ≤ P(A) ≤ 1 dir.

10

MATEMATİK

7. p: 3 sayısı en küçük tek asal sayıdır.

önermesinin değili aşağıdakilerden hangisidir?

A) 3 sayısı en büyük tek asal sayıdır.

B) 3 sayısı en küçük çift asal sayıdır.

C) 3 sayısı en büyük çift asal sayıdır.

D) 3 sayısı en küçük tek asal sayı değildir.

E) 3 sayısı en büyük tek asal sayı değildir.

8. p: p rasyonel sayıdır.qı: Birim çemberin yarıçapı 1 br dir.(rı)ı: 2x ifadesinin değeri x = –3 için 2–3 = 8

1 dir.

olduğuna göre p, q ve r önermelerinin doğruluk değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

A) 1, 1, 1 B) 1, 0, 1 C) 0, 1, 1D) 0, 0, 1 E) 0, 0, 0


A) 2–x = 21 için x = –1 dir.

B) |x – 1| ≤ 1 için Ç.K. = [–1, 1] dir.

C) x2 < x için 0 < x < 1 dir.

D) x2 > 0 için Ç.K= (– ∞, 0) dır.

E) x2 = 2 için x = 2 dir.

10. I. x = 2r için sin 2

r = 1 dir.

II. x = 53r için tanx in değeri negatiftir.

III. x = p için cosp = 1 dir.IV. tanx·cotx = –1 dir.V. x = 6

5r için sin 65r nın değeri pozitiftir.

önermelerinden kaç tanesinin değili "0" dır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

11. (x – 2)x(x + 2)(x + 7) = 0

önermesini aşağıdaki sayılardan hangisi yanlış önerme yapar?

A) –7 B) –2 C) 0D) 2 E) 7

12. p, q ve r önermelerinin doğruluk tablosunda sadece ikisinin sıfır olduğu kaç satır vardır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

13. a ≠ 0 ve gerçek sayı olmak üzere,

I. a0 = 0 dır.II. a a

11 =- dır.

III. (a–3)–2 = a–6 dır.

önermelerinin hangilerinin doğruluk değeri "1" dir?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız IIID) I ve III E) II ve III

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13C E C E A C D D C C E C B

e

-

e

-

n

KONU

“Mantık”

11

İki veya daha fazla önermenin “ve" , "veya", "ya da", "ise", "gerek ve yeter şart" bağlaçlarından en az biri ile birbirine bağlanmasıyla elde edilen yeni önermeye bi-leşik önerme denir.

p q p ∧ q p ∨ q p ∨ q1 1 1 1 01 0 0 1 10 1 0 1 10 0 0 0 0

∧ (ve) bağlacında önermelerden her ikisi de 1 ise sonuç 1, diğer durumlarda sonuç 0 dır.

∨ (veya) bağlacında önermelerden her ikisi de 0 ise sonuç 0, diğer durumda sonuç 1 dir.

∨ (ya da) bağlacında önermelerin doğruluk değerleri aynı ise sonuç 0, farklı ise sonuç 1 dir.

Özellikler

1. Tek kuvvet özelliği

p ∨ p ≡ p; p ∧ p ≡ p

2. Değişme özelliği

p ∨ q ≡ q ∨ p ; p ∧ q ≡ q ∧ p

3. Birleşme özelliği

p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r

p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r

4. Dağılma özelliği

p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

5. De Morgan Kuralları

(p ∨ q)ı ≡ pı ∧ qı

(p ∧ q)ı ≡ pı ∨ qı

6. Sadeleştirme Kuralları

p ∨ 1 ≡ 1 p ∧ 1 ≡ p p ∨ 1 ≡ pı

p ∨ 0 ≡ p p ∧ 0 ≡ 0 p ∨ 0 ≡ p

p ∨ pı ≡ 1 p ∧ pı ≡ 0 p ∨ p ≡ 0

p ∨ p ≡ p p ∧ p ≡ p p ∨ pı ≡ 1

Q ya da bağlacının / (ve) ve 0 (veya) bağlaçları üzerinde dağılma özelliği yoktur.

AKLINDA OLSUN

Bileşik Önermeler


12

MATEMATİK

10.1

Aşağıdaki bileşik önermelerden hangisinin doğ-ruluk değeri "1" dir?A) Doğal sayılar 1 den başlar ve en büyük rakam 9 dur.B) –3 ≤ –4 veya 23 = 6 dır.C) –15 = –1 ya da (–12)3 = –1 dir.D) 2 sayısı asal ya da çifttir.E) Türkiye'nin başkenti Ankara'dır veya İstanbul,

nüfusu bakımından en küçük şehirdir.

A) p: Doğal sayılar 1 den başlar. p / 0 q: En büyük rakam 9 dur. q / 1 p ∧ q / 0 ∧ 1 / 0 dır.B) p: –3 ≤ –4 ise p / 0 q: 23 = 6 ise q / 0 p ∨ q / 0 ∨ 0 / 0 dır.C) p: –15 = –1 ise p / 1 q: (–12)3 = –1 ise q / 1 p ∨ q / 1 ∨ 1 / 0 dır.D) p: 2 sayısı asaldır. p / 1 q: 2 sayısı çifttir. q / 1 p ∨ q / 1 ∨ 1 / 0 dır.E) p: Türkiye'nin başkenti Ankara'dır. p / 1 q: İstanbul, nüfusu bakımından en küçük şehirdir. q / 0 p ∨ q / 1 ∨ 0 / 1 dir.

Yanıt E

10.2

[0 Q (1 / 0)] 0 [(1 Q 0) / (1 0 0)]

önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir?A) p B) p' C) p 0 p

D) p0p' E) pQp

İşlemi iki parçada yapalım.[0 Q (1 / 0)] 0 [(1 Q 0) / (1 0 0)]

1 2

1 : [0 Q (1 / 0)] / 0 Q 0 / 0

2 : [(1 Q 0) / (1 0 0)] / 1 / 1 / 1

1 ve 2 / 0 0 1 / 1 bulunur.p nin doğruluk değeri ne olursa olsun daima 1 oldu-ğundan doğruluk değerini veren D seçeneğidir.

Yanıt D

10.3

I. pı ∧ p / 0

II. (p ∨ pı)ı / 0

III. p ∨ pı / 0

IV. (p ∨ p)ı / 1

Yukarıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?

A) I ve II B) II ve IV C) III ve IV

D) I, II ve IV E) II, III ve IV

İfadeleri tablo yaparak çözelim:

I. p pı pı ∧ p1 0 00 1 0

pı ∧ p / 0 dır. (Doğru)

II. p pı p ∨ pı (p ∨ pı)ı

1 0 1 00 1 1 0

(p ∨ pı)ı / 0 dır.

(Doğru)

III. p pı p ∨ pı

1 0 10 1 1

p ∨ pı / 0 dır. (Yanlış)

IV. p p p ∨ p (p ∨ p)ı

1 1 0 10 0 0 1

(p ∨ p)ı / 1 dir.

(Doğru)

Yanıt D

10.4

(p ∨ 0) ∧ (q ∨ 1)

önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir?

A) 1 B) 0 C) p D) q E) p ∧ q

(p ∨ 0) ∧ (q ∨ 1)

1 2

1 : p ∨ 0 / p dir.

2 : q ∨ 1 / 1 dir.

1 ∧ 2 / p ∧ 1 / p dir.Yanıt C


13

“Mantık”

5

[(p ∨ q)ı ∧ q] ∨ (p ∨ pı)ı

bileşik önermesinin en sade hâli aşağıdakilerden hangisidir?

A) pı B) p ∨ pı C) pı ∨ q

D) 0 E) 1

[(p ∨ q)ı ∧ q] ∨ (p ∨ pı)ı

1 2

1 : (p ∨ q)ı ∧ q / (pı ∧ qı) ∧ q (Birleşme özelliğinden)

/ pı ∧ (qı ∧ q) 0 / pı ∧ 0 / 0 dır.

2 : (p ∨ pı)ı ifadesinin değeri için p ∨ p' / 1 oldu-ğunu bilmeliyiz ya da tablodan;

p pı p ∨ pı (p ∨ pı)ı

1 0 1 00 1 1 0

(p ∨ pı)ı / 0 dır.

1 ∨ 2 / 0 ∨ 0 / 0 bulunur.Yanıt D

6

p q pı pı ∨ q p ∧ (pı ∨ q)1 1 0 1 1x 0 0 0 t0 1 y z 00 0 1 1 0

Yukarıda verilen doğruluk tablosuna göre, 2x – 3y + 4z – 5t

ifadesinin değeri kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

Tabloya göre x, y, z ve t değerlerini bulalım.

x / 1 dir.

p / 0 ise pı / 1 olup y / 1 dir.

z için;

pı ∨ q / 0ı ∨ 1 / 1 ∨ 1 / 1 olup z / 1 dir.

t için;

p ∧ (pı ∨ q) / 1 ∧ 0 / 0 olup t / 0 dır.

x, y, z ve t değerlerini yerine yazalım.

2 · 1 – 3 · 2 + 4 · 1 – 5 · 0 = 2 – 3 + 4

= 3 olur.Yanıt A

7

p / 1, q / 1 ve r bir önerme olmak üzere,

(pı Ğ qı) v (r Ÿ p)ı

önermesinin değili doğru olduğuna göre, (p Ğ qı) Ÿ rı önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir?

A) 0 B) 1 C) r

D) p Ÿ r E) p Ğ q'

(pı Q qı) Ğ (r Ÿ p)ı önermesinin değili doğru ise ken-disi yanlıştır.

(0 Q 0) Ğ (r Ÿ 1)ı / 0

0 Ğ (rı Ğ 0) / 0

rı / 0 olur.

(p Ğ qı) Ÿ rı / (1 Ğ 0) Ÿ 0 / 0 bulunur.Yanıt A

14

MATEMATİK


1. p: Hazal çalışkanq: Hazal uzun boyluönermeleri veriliyor.

Buna göre, (p ∨ q)ı önermesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) Hazal çalışkan veya kısa boyludur.

B) Hazal çalışkan ve kısa boyludur.

C) Hazal çalışkan değildir ve Hazal uzun boylu de-ğildir.

D) Hazal tembel veya kısa boyludur.

E) Hazal tembel ve uzun boyludur.

2. (pı ∨ q)ı ∨ q

önermesinin dengi aşağıdakilerden hangisidir?

A) p B) q C) p ∧ q D) p ∨ q E) pı ∨ q

3. qı ∨ (p ∨ qı)ı


A) p B) (p ∧ q)ı C) p ∧ q D) 0 E) 1

4. p / q / r / 1 olmak üzere;

(pı ∨ qı) ∨ r


A) pı ∧ q B) (qı ∨ r) ∧ pı C) pı ∨ (qı ∨ r)D) pı ∨ rı E) qı ∨ (pı ∧ r)

5. [(p ∨ qı) ∧ (p ∨ rı)]ı


A) p B) q C) p ∧ q D) q ∧ r E) pı ∧ (q ∨ r)

6. (pı ∨ p) ∨ (q ∧ qı)


A) 1 B) 0 C) p ∨ q D) p ∨ q' E) pı ∨ q

7. [(p ∧ qı) ∨ pı] ∨ (p ∧ q)


A) 0 B) 1 C) p D) q E) p ∧ q

8. (pı ∨ p) ∧ (p ∨ pı)ı


A) pı ∨ q B) p ∧ q C) pı ∧ q D) 1 E) 0

15

“Mantık”

9. (p ∨ pı) ∧ [((q ∧ rı) ∨ qı) ∨ r]


A) 0 B) 1 C) p D) q E) r

10. [(pı ∧ qı) ∧ q]ı


A) p ∨ qı B) p ∧ (pı ∨ q) C) q ∧ qı

D) pı ∧ q E) p ∨ p'

11. (p ∨ pı) ∨ q / 1 ve pı ∨ q / 0 olmak üzere, (p ∨ q) ∧ (pı ∨ qı)

önermesini aşağıdakilerden hangisine denktir?

A) pı ∧ qı B) q ∧ qı C) pı ∨ q

D) pı ∨ (q ∧ qı) E) p ∨ (qı ∨ q)

12. p: Eşkenar üçgende bir kenar a br ise üçgenin

alanı a4

32 şeklinde hesaplanır.

q: n elemanlı bir kümenin 2n tane alt kümesi var-

dır.

r: Analitik düzlemde birbirine dik olan doğruların

eğimleri çarpımı 1 dir.

önermelerine göre, pı ∧ (q ∨ r) önermesine aşa-ğıdakilerden hangisi denktir?

A) p ∧ (q ∨ rı) B) p ∨ (rı ∧ pı) C) pı ∨ rı

D) r ∧ (p ∨ q) E) qı ∨ p

13. ((p ∨ r)ı ∨ qjı ∧ (r ∧ q)

bileşik önermesinin dengi aşağıdakilerden han-gisidir?

A) (p ∨ r) ∧ q B) p ∨ r C) (p ∨ r) ∧ r

D) 1 E) 0

14. I. p ∨ pı / 1 II. p ∧ p / pı

III. p ∨ pı / 1 IV. pı ∨ 0 / p

V. p ∧ 0 / 0

önermelerin kaç tanesi doğrudur?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5


A) –2 rasyonel sayıdır ve 5 çift sayıdır.

B) Suyun kaynama noktası 0°C dir veya Türki-ye'nin başkenti İstanbul'dur.

C) 7 sayısı irrasyoneldir ya da 7, 2 ile tam bölü-nür.

D) Dairenin alanı 2pr ile bulunur veya 91° dar açı-dır.

E) 21 sayısı rasyonel sayıdır ve 0! = 0 dır.

16. p / q / r / s / 1 olmak üzere, apı ∧ (q ∨ (rı ∧ sı)k


A) 0 B) 1 C) p D) q E) pı ∨ s

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16C D B C E A B E B E E D E C C A

2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018

YGS LYS YGS LYS YGS LYS YGS LYS YGS LYS YGS LYS YGS LYS YGS LYS TYT AYT

1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 1 2 1

KÜMELER KONUSUNUNÖSYM SINAVLARINDAKİ SORU DAĞILIMI

KÜMELERBÖLÜM

2

KONU

MATEMATİK

50

Küme: İyi tanımlanmış nesneler topluluğudur. A, B, C, ... gibi büyük harflerle gös-terilirler.

Kümelerin Gösterimi: Genellikle üç değişik biçimde gösterilir. ■ Liste yöntemi

A = {1, 2, 3, 4} ■ Venn şeması

A1 2

34

■ Ortak özellik yöntemi:

A = {x | x, 5 ten küçük sayma sayısı}

BOŞ KÜME

Hiçbir elemanı olmayan kümeye denir. Ø veya { } sembolleriyle gösterilir.

EVRENSEL KÜME

Üzerinde işlem yapılan tüm kümeleri ve dolayısıyla tüm elemanları içine alan küme-ye denir. E harfi ile gösterilir.

SONLU VE SONSUZ KÜME

Eleman sayısı bir doğal sayı olan kümeye sonlu küme denir. Sonlu olmayan küme-ye sonsuz küme denir.Örneğin; rakamlar kümesi sonlu bir küme iken doğal sayılar kümesi sonsuz kümedir.

• Bir eleman kümeye ait ise "d" ile gösterilir.

• Bir eleman kümeye ait değil ise "g" ile gösterilir.

• Her eleman kümenin içine yalnız bir defa yazılır.

Örneğin; SAKARYA kelimesinin harflerinden oluşan küme {S, A, K, R, Y} kümesidir.

• Elemanlar kümenin içinde farklı yerlere yazılırsa, yani yer değiştirirse bu yeni bir küme belirtmez.

UYARI

A kümesinin eleman sayısı s(A) ile gösterilir.

A = ise s(A) = 0 dır.

AKLINDA OLSUN

Kümelerde Temel Kavramlar


51

“Kümeler”

10.1

Aşağıdakilerden hangisi bir küme belirtmez?

A) Yılın T harfi ile başlayan ayları

B) OECD kriterlerine göre eğitim sistemi en iyi olan 5 ülke

C) İstanbul'daki üniversite öğrencileri

D) Türkiye'nin L harfi ile başlayan şehirleri

E) Okulumuzun uzun boylu öğrencileri

Seçenekler incelendiğinde iyi tanımlanmayan E se-çeneğidir. Kime göre uzun olduğunu bilmiyoruz.

Yani kişiye göre hüküm değiştiği için küme belirtmez.

Yanıt E

10.2

A = {ö, z, (d, o), {ğ}, an, Q}kümesi için aşağıdaki ifadeler veriliyor.

I. s(A) = 7 II. {ğ}dA

III. QdA IV. dgA

V. {an}dA

Buna göre, bu ifadelerden kaç tanesi doğrudur?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

I. A kümesinin elemanları; ö, z, (d, o), {ğ}, an, Q olduğundan

s(A) = 6'dır. (Yanlış)

II. {ğ}dA'dır. (Doğru)

III. QdA'dır. (Doğru)

IV. dgA'dır. (Doğru)

V. {an}dA'dır. (Yanlış)

Yanıt C

10.3

Aşağıda verilen kümelerden hangisi sonlu bir kümedir?

A) {x : 2x – 3 > 3x + 5, xdZ}

B) {x : |x – 1| < 3, xdR}

C) {x : 2.(x + 1) – 3 = x – 1, xdN}

D) {x : x = 3k, kdR ve –2 < k < 4}

E) {x : 4x + 6 = 2.(2x + 3), xdZ}

A) 2x – 3 > 3x + 5 Gerekli işlemleri yaparsak; –3 + (–5) > 3x + (–2x) –8 > x olur. xdZ olduğundan A = {–9, –10, –11, ... } olur. Sonsuz kümedir.

B) |x – 1| < 3 Mutlak değer özelliğinden; –3 < x – 1 < 3 –3 + 1 < x – 1 + 1 < 3 + 1 –2 < x < 4 olur. xdR olduğundan sonsuz kümedir.

C) 2.(x + 1) – 3 = x – 1 2x + 2 – 3 = x – 1 2x – x = –1 + 1 x = 0dN olur. C = {0} dır. Sonlu kümedir.

D) kdR ve –2 < k < 4 olduğundan –2.3 < 3.k < 4.3 –6 < 3k < 12 –6 < x < 12 xdR olduğundan D = (–6, 12) sonsuz kümedir.

E) 4x + 6 = 2.(2x + 3) 4x + 6 = 4x + 6 0 = 0 olduğundan denklem, x'in her değeri için sağlanır. Sonsuz kümedir.

Yanıt C


52

MATEMATİK

4

I. A = {x : –4 ≤ 3x + 2 < 11, xdZ}

II. B = {x : |2x + 1| < 23 , xdN}

III. C = {x, y : x.y = 0 ve x + y = 2, x, ydZ}

Yukarıdaki ifadelerden hangileri küme belirtir?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II

D) II ve III E) I, II ve III

I. –4 ≤ 3x + 2 < 11

–4 – 2 ≤ 3x + 2 – 2 < 11 – 2

–6 ≤ 3x < 9

– 36 ≤ 3

3x < 39

–2 ≤ x < 3 olur.

A = {–2, –1, 0, 1, 2} bulunur. Küme belirtir.

II. |2x + 1| < 23

Mutlak değer özelliğinden

– 23 < 2x + 1 < 2

3

– 23 – 1 < 2x + 1 – 1 < 2

3 – 1

– 25 < 2x < 2

1

– 45 < x < 4

1

Aralığın içinde 0 hariç doğal sayı olmadığından;

B = {0} dır. Küme belirtir.

III. x.y = 0 olduğuna göre,

x = 0 veya y = 0 olmalıdır.

x + y = 2 ise . .

0 2 2 0

Buradan C = {(0,2), (2,0)} bulunur.

Küme belirtir.Yanıt E

5

A = {x : 10 ≤ x < 73, x = 3k, k ! N}

B = {x : –5 ≤ x < 39, x asal sayı}

kümeleri ile ilgili aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur?I. s(A) + s(B) = 33'tür.II. A ve B kümelerinin ortak eleman sayısı 3'tür.III. A'nın en büyük elemanı ile B'nin en küçük ele- manının toplamı 74'tür.IV. s(A) = 20'dir.

V. 37 ! A'dır.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

A = {x : 10 ≤ x < 73, x = 3k, k ! N}

x = 3k olduğundan, [10, 73) aralığında 3 ün katı olan sayılar A kümesinin elemanıdır.

A = {12, 15, ...,72}

B = {x : –5 ≤ x ≤ 39, x asal sayı}

B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37}

I. s(A) + s(B) = 33 eşitliğine bakalım.

A kümesi için;

372 12 1 21-

+ =

s(A) = 21'dir.

B kümesi için;

s(B) = 12'dir.

s(A) + s(B) = 21 + 12 = 33'tür. (Doğru)

II. Ortak eleman yoktur. B kümesi asal sayı- lardan oluştuğu için 3'ün katı olan bir eleman yoktur. (Yanlış)

III. A'nın en büyük elemanı 72 dir.

B'nin en küçük elemanı 2'dir.

72 + 2 = 74'tür. (Doğru)

IV. I. öncülden s(A) = 21'dir. (Yanlış)

V. 37 sayısı 3'ün katı olmadığı için 37gA'dır.

(Yanlış)Yanıt B


53

“Kümeler”

1. Aşağıdakilerden hangisi küme belirtmez?

A) Türkiye'nin en yüksek iki dağı

B) 10 dan küçük çift asal sayılar

C) Alfabemizdeki ünsüz harfler

D) Mahallemizin yakışıklı erkekleri

E) Okulumuzun gözleri ela olan öğrencileri

2. A

1

B

C

2

3 8

45

6 7

9 10

Verilen Venn şemasına göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B) s(B) = 5

C) 6 g B D) s(C) = 6

E) 8 ! A

3. Aşağıdakilerden hangisi sonsuz kümedir?

A) {x : 5 ≤ 2x ≤ 35, x ! Z}

B) {x : x – 1 > 2, x ! Z}

C) {x : 3x – 4 = 5, x ! Z}

D) {x : 2x + 3 = 2x – 8, x ! Z}

E) {x : |2x – 3| ≤ 2, x ! Z}

4. "SAPANCA" sözcüğündeki harflerden bir küme oluşturulduğunda, kümenin liste yöntemi ile gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

A) {SAPANCA}

B) {S, A, P, A, N, C, A}

C) {S, P, N, C}

D) {S, P, N, C, A}

E) {S, P, N}

5. A = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}

kümesinin ortak özellik yöntemi ile gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

A) {x : 8 ≤ x ≤ 100, x = 11k, k ! Z}

B) {x : 11 ≤ x ≤ 99, x ! Z}

C) {x : 3x – 4 = 5, x ! Z}

D) {x : 10 < x < 100, x ! Z}

E) {x : x ≤ 100, x = 11k, k ! Z}

6. A = {–2, –1, 0, 1, 2} kümesi ile ilgili B = {x – y : x ! A ve y ! A} kümesi tanımlanıyor. Buna göre, s(B) kaçtır?

A) 2 B) 4 C) 6 D) 7 E) 9

7. I. Evrensel küme, üzerinde işlem yapılan tüm kümeleri kapsar.

II. A = {x : |x – 1| ≤ 0, x ! Z} kümesinin eleman sayısı 1'dir.

III. B = {x : 2x > 0, x ! Q) kümesi sonlu kümeye örnektir.

Yukarıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III

D) I ve II E) II ve III

8. A = {{a, b, {c}, {c, d}, {c, d, e}}} kümesinin eleman sayısı kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

9. A = {x : x2 < 50, x d Z} olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlış-

tır?

A) Elemanları toplamı 0'dır.

B) s(A) = 14'tür.

C) –6 d A'dır.

D) Elemanlarından 7 tanesi negatif sayıdır.

E) 5 d A'dır.

54

MATEMATİK

10. A = {x : 9 ≤ x ≤ 44, x = 7k, k d Z} B = {x : –1 < 2x–1 ≤ 17, x d N} kümeleri ile ilgili,

I. s(A) + s(B) = 10'dur.

II. A ve B kümelerinin ortak elemanı 2 tanedir.

III. A kümesinin en büyük elemanı 42'dir.

IV. B kümesinin en küçük elemanı –3'tür. verilen ifadelerden hangileri doğrudur?

A) Yalnız III B) I ve II C) I ve IIID) I, II ve III E) II, III ve IV

11. K = {(a, b) : a.b = 8, a, b ! Z} olduğuna göre, K kümesinin eleman sayısı kaç-

tır?

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

12. G kümesi NAZ kelimesinin harfleri ile oluşturulan anlamlı ya da anlamsız üç harfli kelimelerden oluş-maktadır.

Buna göre, G kümesinin eleman sayısı kaçtır?

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

13. A = {x : 52x – 1 < 3, x ! N+}

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlış-tır?

A) s(A) = 7'dir.

B) 5 d A'dır.

C) Kümede 4 tane tek sayı vardır.

D) 0 d A'dır.

E) Elemanları toplamı 28'dir.

14. G = {g, {ü, l}, t, {e}, n}N = {{n}, a, z, l, {ı}}kümeleri veriliyor.Buna göre;

I. ü d G II. l d N

III. t, n d G IV. {n}, l d N

ifadelerinden hangileri doğrudur?

A) Yalnız I B) I ve III C) II ve IV

D) III ve IV E) II, III ve IV

15. A = {x : –2 < x ≤ 7, x d R}B = {y : –4 ≤ y < 3, y d N}C = {z : 0 ≤ z ≤ 11, z d Z}kümeleri veriliyor.Buna göre;

I. s(A) < s(C) II. s(B) > s(A)

III. s(C) = 12 IV. s(B) = 7

ifadelerinden hangileri doğrudur?

A) Yalnız II B) Yalnız III C) I ve II

D) III ve IV E) I, III ve IV

16. A = {x : 2 < x < 17, x asal sayı}

B = {y : 23 < y < 16, y çift tam sayı}

C = {z : 9 < z ≤ 21, z tek tam sayı}kümeleri veriliyor.Buna göre;

I. s(A) = 5 II. s(B) = 8

III. s(C) = 6 IV. 8 d B

V. B ≠ VI. s(B) < s(C)

ifadelerinden kaç tanesi yanlıştır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16D E B D A E D A B A D C D E B A

KONU

55

“Kümeler”

Alt Küme

ALT KÜME

Bir B kümesindeki her eleman aynı zamanda A kümesinin de bir elemanı ise B kümesi, A kümesinin alt kümesi olur.

B ⊆ A veya A ⊇ B şeklinde gösterilir.

■ B ⊆ A ifadesi, "B kümesi A kümesinin alt kümesidir." şeklinde okunur.

■ A ⊇ B ifadesi, "A kümesi B kümesini kapsar." şeklinde okunur.

■ B M A ifadesi, "B kümesi A kümesinin alt kümesi değildir." şeklinde okunur.

■ Ø ⊆ A (Boş küme her kümenin alt kümesidir.)

■ A ⊆ A (Her küme kendisinin alt kümesidir.)

■ A ⊆ E (Her küme evrensel kümesinin alt kümesidir.)

■ A ⊆ B ve B ⊆ C ise A ⊆ C dir.

■ n tane elemanı olan bir kümenin 2n tane alt kümesi vardır.

■ B ⊆ A ifadesinin şema ile gösterimi aşağıdaki gibidir.

B

A

B ⊆ A (B kümesi, A kümesinin alt kümesidir.)A ⊇ B (A kümesi, B kümesini kapsar.)Bir kümenin kendisi dışındaki tüm alt kümelerine özalt kümeleri denir.n elemanlı bir kümenin 2n – 1 tane öz alt kümesi vardır.

EŞİT KÜME

Elemanları aynı olan kümelere "eşit küme" denir ve A = B şeklinde gösterilir.• A = B ise A ⊆ B ve B ⊆ A dır.

• Eşit iki kümenin eleman sayıları aynıdır fakat eleman sayıları aynı olan her küme eşit olmak zorunda değildir.

Örneğin; A = {1, 2, 3} B = {5, 6, 7} s(A) = s(B) = 3 fakat A ≠ B dir.


56

MATEMATİK

10.1

Aşağıdakilerden hangisi

A = {a, b, {a}, {ab}, {a,b}}

kümesinin alt kümelerinden biri değildir?

A) {a} B) {a, b} C) {ab}

D) {{a}} E) {{a, b}}

Bu tarz sorularda seçeneklere bakarken elemanı küme içine almalıyız. Bunu sağlamayan ise C seçe-neğidir. {{ab}} olmalıydı.

Yanıt C

10.2

A = {1, 2, {1, 2}, {3}}

kümesi ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

A) 1 ⊆ A B) {{1}, 2} ⊆ A C) 3ŒA

D) {{3}} ⊆ A E) {1}ŒA

A kümesinin elemanları 1, 2, {1, 2}, {3} tür. Œ sembo-lünü kullanırken küme içinde yazmamıza gerek yok fakat alt küme sembolünde elemanı küme içine almamız gerekmektedir. Bunu sağlayan D seçeneği-dir.

Yanıt D

10.3

A = {x : 1– x 2+ ; x d Z}

olduğuna göre, A kümesinin öz alt küme sayısı kaçtır?

A) 0 B) 3 C) 7 D) 15 E) 31

1 – |x + 2| ≥ 0 olmalıdır.

1 ≥ |x + 2| (Mutlak değer özelliğinden)

1 ≥ x + 2 ≥ –1

1 + (–2) ≥ x + 2 + (–2) ≥ –1 + (–2)

–1 ≥ x ≥ –3 ve x d Z olduğundan;

A = {–3, –2, –1} bulunur. s(A) = 3'tür.

Öz alt küme sayısı; 23 – 1 = 8 – 1 = 7 olur.

Yanıt C

10.4

Bir A kümesinin eleman sayısı 3 arttırıldığında alt küme sayısı 112 artmaktadır.Buna göre, A kümesinin alt küme sayısı kaçtır?

A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 32

s(A) = m olsun. Alt küme sayısı 2m olur.Eleman sayısı 3 arttırılırsa;m + 3 & Alt küme sayısı 2m+3 olur.2m+3 – 2m = 1122m.23 – 2m = 2m.(23 – 1) = 112 & 2m.7 = 112 2m = 16 bulunur.

Yanıt D

10.5

A = {a, b, c, d, e, f} kümesinin 3 elemanlı alt küme-lerinin kaç tanesinde c ve e birlikte bulunur?

A) 4 B) 8 C) 10 D) 12 E) 15

–, –, –c e" , olacağından 1 tane eleman seçmeliyiz.A kümesinde {a, b, d, f} elemanları kaldığı için;{c, e, a} {c, e, d}{c, e, b} {c, e, f} olmak üzere 4 tane bulunur.

Yanıt A

10.6

A = {c, e, k, o, u} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en az bir sesli harf bulunur?

A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) 28

En az bir sesli harf olması için;

Tüm AltKüme Sayısı

Sessiz Harflerin OlduğuAlt Küme Sayısı

–

25 – 22 = 32 – 4 = 28 bulunur.

Yanıt E


57

“Kümeler”

7

A kümesinin m tane elemanı vardır. Bu kümeye 2 tane eleman eklendiğinde elde edilen yeni kümenin alt küme sayısı, 2 tane eleman çıkarıldığında elde edilen kümenin kendisi hariç alt küme sayısından(4a – 1) eleman fazladır.

a doğal sayı olduğuna göre, A kümesi en az kaç elemanlıdır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

A kümesinin eleman sayısı m'dir. (m ≥ 2)

Alt küme sayısı 2m olur.

2 eleman eklersek; 2m+2 tane alt kümesi olur.

2 eleman çıkartırsak; 2m–2 – 1 tane öz alt kümesi olur.

2m+2 – (2m–2 – 1) = 4a – 1

2m+2 – 2m–2 + 1 = 4a – 1

2m.22 – 2m.2–2 = 4a – 2

2m.(22 – 2–2) = 4a – 2

2m.(4 – 41 ) = 4a – 2

2m. 415 = 4a – 2

2m.15 = 16a – 8 denklemi elde edilir.

a = 8 için denklem sağlanır.

2m.15 = 16.8 – 8 = 128 – 8

2m.15 = 120 & 2m = 8 = 23 & m = 3 bulunur.

Yanıt C

8

A, B ve C farklı kümeler ve A ⊆ B ⊆ C dir.

s(A) + s(B) + s(C) = 33 olduğuna göre, A kümesi-nin eleman sayısı en çok kaçtır?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

CB

A 11x

s(A) nın en çok olması için s(C) en az olmalıdır ve C kümesi A ve B yi kapsamalıdır. Aynı zamanda fark-lı küme olduklarından en az 1 eleman diğer kümede yoktur.

O hâlde; s(C) = x + 2 s(B) = x + 1 s(A) = x + –––––––––––––– s(A) + s(B) + s(C) = 3x + 3 = 33 3x = 30 x = 10 bulunur.

Yanıt C

9

A = {x, y} ve B = {x, y, a, b, 3, 4, 5}

olduğuna göre, A ⊆ P ⊆ B koşulunu sağlayan B'den farklı kaç tane P kümesi vardır?

A) 15 B) 16 C) 25 D) 28 E) 31

A ⊆ P olduğundan P kümesinde {x, y} elemanları olmak zorundadır. P ⊆ B olduğundan P kümesinde{a, b, 3, 4, 5} elemanları da olabilir. B'den farklı olması istendiği için {x, y, a, b, 3, 4, 5} kümesi ola-maz. Buradan,25 – 1 = 32 – 1 = 31 bulunur.

Yanıt E

58

MATEMATİK

10

A = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3}

kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesin-de 1 elemanı vardır ve elemanların çarpımı pozitiftir?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

––, ––, ––1

İki eleman seçmemiz gerekiyor. Çarpımlarının pozi-tif olması için elemanların her ikisi de ya pozitif ya da negatif olmalıdır.{–3, –2}, {–3, –1}, {–2, –1} olabilir ya da{2, 3} olabilir.Yani 4 durum vardır.

Yanıt B

11

A kümesinin eleman sayısı, B kümesinin eleman sayısından 4 fazladır.

A ve B kümelerinin alt küme sayıları toplamı 272 olduğuna göre, A kümesinin eleman sayısı kaç-tır?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

B kümesinin eleman sayısı m olsun.s(B) = m ise s(A) = m + 4 olur.2m + 2m+4 = 2722m + 2m.24 = 2722m.(1 + 16) = 272 2m.17 = 272 2m = 162m = 24 & m = 4'tür.Buradan;s(B) = 4 ve s(A) = 4 + 4 = 8 bulunur.

Yanıt E

12A, B ve C birer küme olmak üzere,

"(A ⊆ B ve A ⊆ C) ise B ⊆ C'dir." açık önermesi veri-liyor.

Aşağıdakilerden hangisi, bu açık önermenin yanlış olduğunu gösteren bir örnektir?

A B C

A) Q {1} {1}

B) {1} {1, 2} {1, 2, 3}

C) {1, 2} {1, 2} {1, 2}

D) {1} {1, 2} {1}

E) Q {1, 2} {1, 2, 3}

Verilen önermeye göre;

A) Q ⊆ {1} ve ⊆ {1} ise

{1} ⊆ {1} dir. Önerme sağlanır.

B) {1} ⊆ {1, 2} ve {1} ⊆ {1, 2, 3} ise

{1, 2} ⊆ {1, 2, 3} dir. Önerme sağlanır.

C) {1, 2} ⊆ {1, 2} olacağından önerme sağlanır.

D) {1} Õ {1, 2} ve {1} Õ {1} dir. Ancak {1, 2} M {1}olduğundan önerme sağlanmaz.

E) Q ⊆ {1, 2} ve ⊆ {1, 2, 3} ise

{1, 2} ⊆ {1, 2, 3} olduğundan önerme sağlanır.Yanıt D

13

A ve B eşit iki küme olmak üzere; s(A) = 7x – 15 s(B) = 12 – 2x

olduğuna göre, x kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

A ve B eşit küme olduğundan eleman sayıları eşittir.7x – 15 = 12 – 2x7x + 2x = 12 + 15 9x = 27 x = 3 bulunur.

Yanıt B

59

“Kümeler”


1. A = {{a}, b, {c, d}, e} kümesi veriliyor.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) {a} d A B) {c, d} d A C) {c, d} ⊆ AD) {b, {c, d}} ⊆ A E) {{a}, b, e} ⊆ A

2. A = {Q , {Q}, x, {x}} kümesi veriliyor.

Bu kümenin elemanlarından kaç tanesi aynı zamanda bu kümenin bir alt kümesidir?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

3. A = x N : x2x 10 y, y N+ =! !& 0

olduğuna göre, A kümesinin öz alt küme sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

A) 1 B) 3 C) 7 D) 15 E) 31

4. A = {1, 2, 3, a, b, c} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde rakam bulunmaz?

A) 4 B) 6 C) 8 D) 9 E) 10

5. Eleman sayısı 3 arttırıldığında, alt küme sayısı 112 artan bir kümenin eleman sayısı 1 azaltılırsa alt küme sayısı kaç azalır?

A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 32

6. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 1 ve 6 birlikte bulunmaz?

A) 64 B) 60 C) 54 D) 48 E) 42

7. A = {a, b} ve B = {a, b, ✰, ❏, r}

olduğuna göre, A ⊆ D ⊆ B koşulunu sağlayan A dan farklı kaç tane D kümesi vardır?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

8. A = {a, b, c, d, e, f} kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde "a" harfi bulunur?

A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50

60

MATEMATİK

9. Öz alt küme sayısı 127 olan bir A kümesinin ele-manlarından biri x'tir.A kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde x eleman olarak bulunur?

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 16

10. {a, b, c, d, e, f} kümesinin 2 sessiz ve 1 sesli harften oluşan ve 2 sessiz harften birinin b harfi olduğu kaç tane 3 elemanlı alt kümesi vardır?

A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12

11. A = {(x, y) : 2(y – 5) = x(y – 3), x d N, y d Z}olduğuna göre, A kümesinin alt küme sayısı kaçtır?

A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 32

12. Aşağıdakilerden hangisi bir kümenin alt küme-leri sayısı ile öz alt kümeleri sayısının toplamı olamaz?

A) 2 B) 7 C) 15 D) 31 E) 63

13. K ve L eşit iki küme olmak üzere;

s(K) = 5k + 3s(L) = 19 – 3kolduğuna göre, k kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

14. Öz alt kümelerinin sayısı m olan bir kümenin eleman sayısı 4 arttırılırsa alt küme sayısı ne kadar artar?

A) 15m + 15 B) 7m + 7 C) 3m + 3D) 3m + 1 E) 2m + 2

15. A kümesinin n tane alt kümesi vardır.A kümesinden 2 eleman azaltılırsa bu kümenin kendisi hariç kaç tane alt kümesi olur?

A) n – 2 B) n – 1 C) n – 22

D) n – 14 E) n – 4

4

16. A, B ve C birer kümedir.A ⊆ B ⊆ C ve s(A) + s(B) + s(C) = 39

olduğuna göre, A kümesinin eleman sayısı en çok kaçtır?

A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16C D D C C D D A A A E A A A E C

KONU

61

“Kümeler”

Kümelerde Birleşim ve Kesişim İşlemleri

Kümelerde Birleşim İşlemiA kümesi ile B kümesinin bütün elemanlarından oluşan kümeye, bu iki kümenin birleşimi denir. A ∪ B ile gösterilir.

A B A BB

A , B A , B = B A , B

A

A ∪ B = {x : x ∈ A veya x ∈ B}

Özellikler1) A ∪ A = A (Tek kuvvet özelliği)2) A ∪ B = B ∪ A (Değişme özelliği)3) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (Birleşme özelliği)4) A ∪ Ø = A5) A ∪ E = E6) A ∪ B = Ø ise A = Ø ve B = Ø

7) A ⊆ B ise A ∪ B = B

Kümelerde Kesişim İşlemiA kümesi ile B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye, bu iki kümenin kesişim kümesi denir. A ∩ B ile gösterilir.

A B A BB

A + B A + B = A A + B = Ø

A

A ∩ B = {x : x ∈ A ve x ∈ B}

Özellikler1) A ∩ A = A (Tek kuvvet özelliği)2) A ∩ B = B ∩ A (Değişme özelliği)3) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (Birleşme özelliği)4) A ∩ Ø = Ø5) A ∩ E = A6) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (Kesişimin birleşim üzerine soldan dağılma özelliği) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (Birleşimin kesişim üzerine soldan dağılma özelliği)7) A ⊆ B ise A ∩ B = A8) s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A ∩ B)9) s(A ∪ B ∪ C) = s(A) + s(B) + s(C) – s (A ∩ B) – s(A ∩ C) – s(B ∩ C) + s(A ∩ B ∩ C)

10) A ∪ (A ∩ B) = A

A ∩ (A ∪ B) = A

Mantık konusunda;

i) "VEYA" bağlacı, kümelerde birleşim işlemine,

ii) "VE" bağlacı, kümelerde ke-sişim işlemine karşılık gelir.

AKLINDA OLSUN


62

MATEMATİK

10.1

A, B ve A + B kümelerinin alt küme sayıları sırasıyla 8, 16 ve 4'tür.

Buna göre, A ∪ B kümesinin alt küme sayısı kaç-tır?

A) 32 B) 64 C) 128 D) 256 E) 512

A kümesinin eleman sayısı x olsun.2x = 8 & 2x = 23 ise x = 3'tür.s(A) = 3 olur.B kümesinin eleman sayısı y olsun.2y = 16 & 2y = 24 ise y = 4'tür.s(B) = 4 olur.A + B kümesinin eleman sayısı z olsun.2z = 4 & 2z = 22 ise z = 2'dir.s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A + B) = 3 + 4 – 2 = 5'tir.A ∪ B nin alt küme sayısı 25 = 32 bulunur.

Yanıt A

10.2

A = {x : x2 – 9 = 0, x d N}

B = {x : 0 < x ≤ 5, x d Z}

olduğuna göre, A ∪ B kümesinin öz alt küme sayısı kaçtır?

A) 15 B) 16 C) 27 D) 31 E) 32

A = {x : x2 – 9 = 0, x d N}x2 – 9 = 0(x – 3).(x + 3) = 0Denklemi sağlayan x değerleri x = 3 veya x = –3'tür.x d N olduğundan x = 3 değeri için sağlanır.A = {3} bulunur.B = {x : 0 < x ≤ 5, x d Z}0 < x ≤ 5 aralığında x; 1, 2, 3, 4, 5 değerlerini alır.B = {1, 2, 3, 4, 5} bulunur.A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} olur.Öz alt küme sayısı25 – 1 = 32 – 1 = 31 bulunur.

Yanıt D

10.3

A B

C

x–2

10x+1 5

23x–4

7

Yukarıdaki şekilde s(A ∪ B ∪ C) = 54 olduğuna göre, s(A + (B ∪ C)) kaçtır?

A) 30 B) 31 C) 32 D) 33 E) 34

A, B ve C kümelerinin birleşimi;

s(A ∪ B ∪ C) = x + 1 + 10 + x – 2 + 3x – 4 + 5 + 2 + 7

s(A ∪ B ∪ C) = 5x + 19

54 = 5x + 19 olur.

54 – 19 = 5x + 19 – 19

35 = 5x & 7 = x olur.

Yerine yazarsak;

A B

C

C

517

108 5

7

2

Taralı bölge istendiği için;10 + 5 + 17 = 32 bulunur.

Yanıt C

63

“Kümeler”

10.4

A, B ve C aynı evrensel kümenin alt kümeleridir.A ⊆ B ve B ∩ C ≠ Ø olmak üzere, s(A) = 7, s(B) = 12 ve s(C) = 6olduğuna göre, s(A ∪ B ∪ C) nin en büyük değeri kaçtır?A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17

7

BA

C

5 – x

x 6 – x

B ∩ C ≠ Ø olduğundan x = 0 olamaz. s(A ∪ B ∪ C) en büyük değeri sorulduğu için x'e en küçük değeri vermeliyiz. x buradan 1 olur.

7

B C

4

A

1 5

s(A ∪ B ∪ C) = 7 + 4 + 1 + 5 = 17 bulunur.Yanıt E

10.5

M = {a, b, c}

M ∪ N = {a, b, c, d, e, f}

olduğuna göre, kaç farklı N kümesi yazılabilir?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

M = {a, b, c} olduğundan N kümesinde d, e, f eleman-ları olmak zorundadır.

{d, e, f}, {a, d, e, f}, {b, d, e, f},{c, d, e, f}, {a, b, d, e, f}, {a, c, d, e, f},{b, c, d, e, f}, {a, b, c, d, e, f} olmalıdır.Yani M nin elemanlarının alt kümesi kadar N kümesi yazılır. 23 = 8 bulunur.

Yanıt D

10.6

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

B ∪ C = {4, 5, 6, 7} olduğuna göre, (A ∩ C) ∪ B kümesi aşağıdakiler-den hangisidir?

A) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} B) {4, 5, 6, 7}

C) {4, 5, 6} D) {6, 7}

E) {6}

Soruda (A ∩ C) ∪ B kümesi soruluyor.Dağılma özelliğini kullanalım.(A ∪ B) ∩ (C ∪ B) = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∩ {4, 5, 6, 7} = {4, 5, 6} olarak bulunur.

Yanıt C

10.7

A, B ve C birbirinden farklı kümeler olmak üzere,s(A) = 5s(B) = 7 s(C) = 11

olduğuna göre, s(A ∪ B ∪ C) en az kaçtır?

A) 7 B) 11 C) 15 D) 17 E) 23

CB

A

425

En küçük değerini sorduğu içinA ⊆ B ⊆ C diyebiliriz.

Kümeler yukarıdaki venn şeması gibi olacağından;s(A ∪ B ∪ C) = 5 + 2 + 4 = 11 olur.

Yanıt B


64

MATEMATİK

8

A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere;

s(A ∪ B) + s (A ∩ B) = 45

s(A) = 4.s(B)

olduğuna göre, A kümesinin kaç elemanı vardır?

A) 24 B) 28 C) 30 D) 36 E) 40

s(B) = m olsun.s(A) = 4.s(B) = 4m olur.s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A + B) demektir.Soruda yerine yazalım.s(A) + s(B) – s(A + B) + s(A + B) = 454m + m = 45 5m = 45 m = 9 olur.s(B) = 9 ve s(A) = 4.9 = 36 bulunur.

Yanıt D

9

A ve B kümeleri için, s(B) = n s(A) = s(B) + s(A ∩ B)

olduğuna göre, A ∪ B kümesinin tüm alt kümele-rinin sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2n+1 B) 2n+2 C) 4n

D) 4n+2 E) 2n2+n

s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A + B)olduğundan soruda verilen s(A) ifadesini yerine yazarsak;s(A ∪ B) = s(B) + s(A + B) + s(B) – s(A + B)s(A ∪ B) = 2.s(B) olur.s(B) = n ifadesi yerine yazılırsa;s(A ∪ B) = 2n bulunur.Alt küme sayısı: 22n = (22)n = 4n bulunur.

Yanıt C

10

K = {x : 1 ≤ x ≤ 300, x d Z}

olduğuna göre, K kümesinin kaç elemanı 3 veya 5 ile bölünür?

A) 160 B) 140 C) 120 D) 100 E) 90

1 ≤ x ≤ 300 aralığında 3 ile bölünen sayılar kümesi

A olsun.

3, 6, 9, ..., 300'dür. Terim sayısı ise300 – 3

3 1 100+ = tane, yani s(A) = 100 olur.

1 ≤ x ≤ 300 aralığında 5 ile bölünen sayılar kümesi

B olsun.

5, 10, 15, ..., 300'dür. Terim sayısı:300 – 5

5 1 60+ = tane, yani s(B) = 60'tır.

1 ≤ x ≤ 300 aralığında hem 3'e hem de 5'e bölünen

sayılar;

15, 20, 45, ..., 300'dür. Terim sayısı:3 – 15

1500 1 20+ = tane, yani s(A + B) = 20'dir.

s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A + B)

= 100 + 60 – 20 = 140 bulunur.

Yanıt B

11

A ≠ olmak üzere,

A ⊆ B ve B = {1, 2, 3, 4}

olduğuna göre, (A + B) ⊆ X ⊆ (A , B) koşulunu sağlayan kaç tane X kümesi vardır?

A) 7 B) 12 C) 15 D) 31 E) 63

A ⊆ B olduğundan A + B = A ve A ∪ B = B'dir.ÖyleyseA + B ⊆ X ⊆ A ∪ B koşulu;A ⊆ X ⊆ B olmalıdır.A ⊆ B ve A kümesi boştan farklı olduğundan bu koşu-lu sağlayan;24 – 1 = 16 – 1 = 15 tane X kümesi vardır.

Yanıt C

65

“Kümeler”


1. A

E

B

C

Şekildeki kümeler

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}A = {1, 3, 4, 5, 6}B = {2, 3, 6, 7, 9}C = {2, 3, 5, 6, 7, 8}

olduğuna göre, taralı bölgeyi veren küme aşağı-dakilerden hangisidir?

A) {2, 5, 7} B) {2, 4, 5} C) {3, 6}D) {2, 3, 6, 8} E) {2, 7, 8}

2. D C

M

a

LK

N

a

BEA

F

ABCD ve KLMN eş kareler ve bir kenarı a birimdir.|AE| = |EB| = |BF| = |FM| = |NF| = |NE| dir.Buna göre, yukarıdaki tüm şeklin alanı kaç birimkaredir?

A) a2 B) 45 a2 C) a2

3 2

D) a47 2 E) 2a2

3. A, B ve C aynı evrensel kümenin alt kümeleridir.

A ⊆ B ve B + C ≠ Ø olmak üzere, s(A) = 7, s(B) = 12 ve s(C) = 4

olduğuna göre, s(A , B , C) nin en büyük değe-ri kaçtır?

A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17

4. E = {x : 200 < x ≤ 300 ; x d N}A = {x : x = 6k, k d N}B = {x : x = 5k, k d N}

A ⊆ E ve B ⊆ E olduğuna göre, s(A , B) kaçtır?

A) 30 B) 31 C) 32 D) 33 E) 34

5. A ⊆ B olmak üzere, 2.s(A) + 3.s(B) = 26

olduğuna göre, A kümesi en çok kaç elemanlı-dır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

6. A ve B kümeleri için,

s(A) = 2x + 3

s(B) = x + 1'dir.

Bu iki kümenin alt kümelerinin sayıları oranı 64'tür.

Buna göre, s(A , B) ifadesinin değeri en çok kaçtır?

A) 11 B) 14 C) 15 D) 16 E) 18

7. A = {x : |2x – 3| ≤ 7, x d R}

B = {x : |x – 3| > 3, x d R}

olduğuna göre, A + B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) (–2, 0) , (2, 5) B) [–2, 0) , (2, 5]

C) [–2, 0] , [2, 6] D) (–2, 0] , [2, 6) E) [–2, 0)

8. A = {x : 1 < x < 100, x d N}

olduğuna göre, A kümesinin kaç elemanı 5 veya 6 ile tam bölünür?

A) 31 B) 32 C) 33 D) 34 E) 35

66

MATEMATİK

9. A, B ve C boştan farklı kümeler olmak üzere, aşa-ğıdakiler bilinmektedir.• s(A + B) = 3 ve A + C ≠ Ø dır.• A da bulunan fakat B de bulunmayan 5 ele-man vardır.• 2s(A) = s(B) dir.• s(A + C) = s(B + C) dir.Yukarıdaki verilere göre, s(B – A) – s(A – B) farkı kaçtır?

A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6

10. A = {x : x – 8x 162 + ≤ 3, x d R}

B = {x : –5 ≤ x < 4, x d R}

C = {x : –10 < x ≤ 5, x d N}

olduğuna göre, (A + B) , C kümesi aşağıdaki-lerden hangisidir?

A) [1, 4) B) [1, 5]C) [1, 4) , {0, 4, 5} D) [3, 4] , {5} E) [1, 7]

11. A ve B kümeleri, E evrensel kümesinin alt kümele-ridir. A, A + B ve E kümelerinin alt küme sayıları sırasıyla 16, 4, 256'dır.B – A ≠ Ø olduğuna göre, A , B kümesinin ele-man sayısı en az kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

12. A = {x : 7 < 2x < 74 , x d Z}

B = {x : 2x–1 ≤ 33, x d N}kümeleri veriliyor.Buna göre, A , B kümesinin alt küme sayısı kaçtır?

A) 8 B) 16 C) 32 D) 64 E) 128

13. A = [–7, 4) ve B = (–2, 6] kümeleri veriliyor.Buna göre, A + B kümesi aşağıdakilerden han-gisidir?

A) (–2, 4) B) [–2, 4] C) [–7, –2)D) (4, 6) E) [–7, 6]

14. s(A) = 7 ve s(B) = 5'tir.s(A , B) ifadesinin en büyük değeri ile en küçük değerinin toplamı kaçtır?

A) 5 B) 7 C) 12 D) 17 E) 19

15. A, B ve C kümeleri E evrensel kümesinin alt küme-leridir.I. A + B = A ise A , B = A dır.II. A ⊆ B ve B ⊆ C ise A ⊆ C dir.III. A , B = B , C ise A = C dir.Yukarıdaki önermelerden hangileri doğrudur?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve IID) I ve III E) II ve III

16. A , B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}A , C = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümeleri veriliyor.Buna göre, A , (B + C) kümesinin eleman sayısı kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16A D C D B D E B C C C E A E B B

matematİk mantik - kÜmeler - capyayinlari.com.trcapyayinlari.com.tr/demo/mantik-ve-kumeler.pdf ·...

Documents