matematinė analizė

2 2 1 6 z 7 3 K a 2 2

y ^ K 5 1 7 [ 0 7 5 . 8 ]

Ka6afi . ia B . MaTeMaTHiecKHfi aHaun. H. I . — Bujitmoc: MoKcriac, 1 9 8 3 .

HacToaiuHH yie6HHK npeziHa3HaHeH juih CTyneHTOB MaTeMaTniecKHx (baKyjibTeTOB rocyHHBepcHTeTOB, o6yHaK>uiHxcfl no cneuHajibHOCTH MaTeMaTHKa Ha jihtobckom Wbnce. B I HacTH yHeOHmca H3JiaraK>Tc» ochobm MaTeMaTHHecicoro aHajima ujih aeiic-T B U O D D n (J)yHKUHH oimoft netfcTBHTe/ibHott nepeMeHHOii.

K m i r a oxBaTbiBaeT Bce nyHKTbi ,neHCTByioujHX b H a c r o s m e e BpeMH yne6Hbix npo-rpaMM h HeKOTopbie upyrue Bonpocw. HanpHMep, 3/ieMeHTapHyK) Teopmo HHTerpaiia J l e 6 e r a .

Recenzavo Kauno Antano 'Sniečkaus politechnikos instituto

Aukštosios matematikos katedra ir fiz. ir mat. moksl. kand. M . Sapagovas

Kabaila V. Ka22 Matematinė analizė: Vadovėlis respublikos aukšt. m-klų

matematikos spec—V.: Mokslas, 1 9 8 3 — [D.] 1. 4 0 8 p., brėž .

Vadovėlio pagrindas — matematinės analizės paskaitos, autoriaus skaitytos 1956—1982 m. Vilniaus universiteto matematikos specialybės studentams. Pirmoje vadovėlio dalyje išdėstyta vieno kintamojo funkcijų matematinės analizės pagrindai, elementarioji l.ebego integralo teori ja , paprasčiausios tolydi nių funkcijų savybės.

1 7 0 2 0 5 0 0 0 0 — 1 1 0 , B 3 B B K 2 2 . 1 6 z 7 3 M 8 5 4 J 0 8 ) — 8 3 5 1 7 . 2

BHTHHHC npaHOBm KaSaiiAa. M A T Ė M A T M H E C K H H A H A A M J . 4 . i. Ha U B O S C K 8 K nsBnce H3AaTeAbCTDO «MoKCAac», A H T C C P , BIIAMIKIC . 1983

Vytenis Kabaila. MATEMATINĖ A N A L I Z Ė . I d. Redaktorė R. Klimkienė. Dailininkas L. Rimkus. Menine redaktorė B . Grabauskienė. Techninės redaktorės: A. Plauškienė, L . Zvinakeviciene. Korektorės: M. Vaineikienė. A. Vaitkevičienė

H E Ns 1949 Duota rinkti 1 9 8 2 . 1 2 . 1 7 . Pas i rašy ta spausdinti 1 9 8 3 . 0 8 . 0 5 . Formatas 60 X 907i6. Popier i u s — s p a u d o s Nr. 1. Garnitura — „Romaniška", 10 punktų. Iškilioji spauda, 25 ,5 sąl. sp. 1. 28 .61 apsk. leid. 1. Tiražas 2000 egz. Užsakymas 1630. Kaina 1 rb 10 kp. Leidykla „Mokslas", 232050 Vilnius, Žvaigždžių 23. Spaudė K. Požėlos spaustuvė, 233000 Kaunas, Gedimino 10

. , 1 7 0 2 0 5 0 0 0 0 - 1 1 0 •

M 8 5 4 | 0 8 j ^ 8 3 — 4 5 ~ 8 3 © L e i d y k l a „ M o k s l a s " 1 9 8 3

T U R I N Y S

P r a t a r m ė

I skyrius . A I B Ė S I R F U N K C I J O S

1. Aib ių veiksmai 2 . F u n k c i j o s 3 . Realieji skaičiai 4 . Tikslieji rėžiai 5. Natūr in ių skaičių savybės . . 6 . Baigt inės ir suska ič iuo jamos a i

bės

7. Įdė tų jų intervalų l e m a 8 . Aibės R poaibių klas i f ikavimas . 9 . Baigt inės d a n g o s l e m a

10 . E l e m e n t a r i ų j ų funkcijų egzistavim a s

1 1 . A p ž v a l g a 1 2 . Uždaviniai

I I skyr ius . R I B A

1. F u n k c i j o s r iba 2 . Sekos riba 3 . R i b a iš dešinės ir iš ka irės . . . 4 . Paprasč iaus ios ribų savybės . . 5. M o n o t o n i š k ų j ų funkcijų r ibos . 6 . B o l c a n o — V e j e r Š t r a s o lema . . 7. K o š i k o n v e r g a v i m o kriterijus . 8 . Skaič ius e 9 . Viršutinės ir apat inės r ibos . .

10 . As imptot in i s funkcijų įvertinim a s

1 1 . Apžva lga

12 . Uždavinia i

/ l U skyr ius . S K A I Č I Ų E I L U T Ė S

fff) Skaičių eilutės s ą v o k a . . . . Skaičių eilučių k o n v e r g a v i m o , p o - r

žymiai ^ • Q) Ei lučių nar ių g r u p a v i m a s . . \ . .

A. Eilučių nar ių p e r s t a t y m a s . . 5. Ei lučių sudėtis ir d a u g y b a •. . 6 . Begal inės s a n d a u g o s . . . .

7. Apžva lga

8 . Uždavinia i

I V skyr ius . T O L Y D U M A S _

1. T o l y d u m o ap ibrėž imas 2 . Tolydž iųjų funkcijų s u m a , sandau

ga , d a l m u o ir sudėt inė funkcija . 3 . VejerŠtraso ir B o l c a n o - K o Š i te

o r e m o s 4 . T e o r e m o s apie intervalo a tva izda

vimą 5 . Atvirkšt inės funkcijos tolydu-

m a s 6 . Elementariųjų funkcijų

mas to lvdu-

5 7. M o n o t o n i š k ų j ų funkcijų trūkiai . 8 7 8 . Baigt inės var iac i jos funkcijos . . 9 0 9 . Tolygiai to lydž ios funkcijos . . . 9 3

, 10 . Absol iučiai to lydž ios funkcijos . 9 5 % 1 1 . Apžva lga 9 9

- J 1 2 . Uždav in ia i 9 9

j 3 V s k y r i u s . I Š V E S T I N Ė

1. Išvestinės s ą v o k a 1 0 0 1 6 2 . Diferencialas ir di ferenci juojamos 1 9 funkcijos t o l y d u m a s 1 0 4

3 . Pagr indinės diferencijavimo ta i -2 4 syklės 1 0 6

4 . E l e m e n t a r i ų j ų funkcijų iŠvesti-2 5 . nės 1 0 9 2 j 5 . Vidurinių re ikšmių t e o r e m o s . . 113

6 . L iop i ta l io taisyklė 1 1 6 ' 7 . M o n o t o n i š k u m o kriterijus . . . 118

8 . T e o r e m a apie atvirkšt inę funkci-3 2 j ą 1 1 9

9 . Nul inio m a t o a ibės 1 2 0 lt 10 . M o n o t o n i š k o s i o s funkcijos išves-^ tinės • • • 1 2 2

4 3 1 1 . Aukštesnių eilių išvestinės ir dife-

4 4 ^ — r e n c i a l a i . 1 2 7 4 6 ra^eilnrnfnrmiilė. 130 4 8 f f U t-unkciiu skleidimas eilutėmis . . 1 3 5

14 . L o k a l ū s e k s t r e m u m a i 1 3 9 51 f f j p Iškilosios funkcijos 1 4 5 5*4 l oT K a i kurie išvestinių ta ikymai g e o -55 metr i joje ir mechanikoje . . . 1 5 2

17. A p ž v a l g a 157

1 8 . Uždav in ia i 158 1 5 5 " T V I skyr ius . N E A P I B R Ė Ž T I N S

5 g jl. I N T E G R A L A S

6 5 1. P irminės funkcijos ir neapibrėžt i -

6 7 nio in tegra lo s ą v o k o s 160 7 0 2 . M e c h a n i n ė ir g e o m e t r i n ė neapi -

«R brėžt in io integralo p r a s m ė . . . 163 7 6 3 . P l o t ų ska ič iav imas neapibrėžt i -

niais integrala is 1 6 6 4 . K i n t a m ų j ų pakei t imas neapibrėž-

t iniuose integraluose 1 6 9 5 . Neapibrėžt in ių integralų dalinis

3-L i n t egrav imas . 1 7 1 6. P a p r a s č i a u s i ų rac ional iųjų fun-

8 0 kcijų in tegrav imas 1 7 2 7. Bet kokių rac ional iųjų funkcijų

81 in tegrav imas 174 8 . K a i kur ių specialaus pavidalo

83 funkcijų in tegrav imas 1 7 8 9 . Neapibrėžt in ių • integralų ta iky-

85 m a s 1 8 4 10 . A p ž v a l g a . 1 9 3

06 1 1 . Uždav in ia i . 1 9 3

I AIBĖS IR FUNKCIJOS

- M . Aib ių veiksmai

Aibė ir jos elementas yra matematikoje pirminės sąvokos. Paaiškinsime jas pavyzdžiais ir panašios prasmės žodžiais. Aibe vadiname kokių nors objektų rinkinį, visumą, sistemą. Objektus, kurie sudaro aibę, vadiname tos aibės elementais, arba taškais. Pavyzdžiui, galime kalbėti apie Europoje gyvenančių žmonių aibę (jos elementai yra žmonės), raidžių aibę (elementai — raidės), skaičių, tiesės taškų, plokštumos taškų, visų galimų teiginių aibę ir 1.1. Galime nagrinėti ir tokias aibes, kurių elementai yra kokios nors kitos aibės elementų aibės. Tokios aibės pavyzdžiu gali būti aibė, kurios elementai yra aibės žmonių, gimusių tais pačiais metais.

Tuščiąją aibe vadiname aibę, kuri neturi nė vieno elemento. J ą žymime simboliu 0 . Dvi -aibes \adiname lygiomis, jei jos sudarytos iš tų pačių elementų. T ą faktą, kad objektas, pažymėtas raide a, priklauso aibei, pažymėtai raide A (kitaip sakant, kad a yra aibės A elementas), užrašome šitaip: a e A. Jeigu kiekvienas aibės A elementas priklauso ir aibei B, tai A vadiname aibės B poaibiu ir rašome A a B arba B=>A. Jeigu a e A ir be A, be to, a ir b yra tas pats aibės A elementas, tai rašome a = b.

Aibes sąlygiškai galime vaizduoti plokščiomis figūromis, o j ų elementus — tų figūrų taškais. Dėl šios, taip pat ir dėl kitų priežasčių, kurios paaiškės vėliau, aibių elementus kartais ir vadiname taškais.

Aibių A ir B sąjunga vadiname aibę, sudarytą iš visų elementų, kurie priklauso bent vienai iŠ aibių A ir B (1 pav.). T ą sąjungą žymime A u B. Sutrumpintai sąjungos apibrėžimą galima užrašyti šitaip: A U B= {x : x e e A arba x eB], t. y. aibė A U B yra sudaryta iš visų tokių elementų x, kurie turi savybę, nurodytą dešinėje lygybės pusėje po dvitaškio.

1 pav. 2 pav. 3 pav.

Aibių A ir B sankirta vadiname aibę, sudarytą iš visų elementų, kurie priklauso ir aibei A, ir aibei B (2 pav.). Sankirtą žymime A o B. Taigi A n B= {x : xe A ir xe B}.

Aibių A ir B skirtumu vadiname aibę, kurios elementai yra visi aibės A elementai, nepriklausantys aibei B (3 pav.). Šį skirtumą žymime A\B. Su-

2. F U N K C I J O S

trumpintai užrašome: A\B={x:xeA ir xęB} (užrašas xė B reiškia, kad x nėra aibės B elementas). Tuo atveju, kai A=>B, skirtumą A\B dar vadiname aibės B papildiniu aibėje A.

Aibių A ir B Dekarto1 sandauga vadiname aibę, kurios elementai yra visos tokios aibių A ir B elementų poros (a, b), kurių pirmasis elementas (t. y. a) priklauso aibei A, o antrasis (t. y. b) - aibei B. Šią sandaugą žymime A y. B. Taigi pagal apibrėžimą A xB= {(a, b) : ae A ir be B}. Pastebėsime, kad kiekvienoje poroje turi būti nurodyta, kuris poros elementas

« , laikomas pirmuoju ir kuris — antruoju. Porą, kurios pirmasis elementas yra a, o antrasis — b, žymėsime (a, b). Taigi (a, b) ir (b, a) apskritai yra skirtingos poros.

P a v y z d y s . Sakykime, aibę A sudaro keturi elementai: a, b, c ir d, o aibę B — trys elementai: c, d ir e, t. y. A = {a, b, c, d}, B= {c, d, e}. Tada

A [)B={a, b, c, d, e},

Ar\B={c, d],

A\B={a, b},

AxB={(a, c), (a, d), (a, e), (b, c), (b, d), (b, e), (c, c),

(c, d), (c, e), (d, c), (d, d), (d, e)}.

Aibes, kurių elementai yra kokios nors aibės, vadiname aibių sistemomis, arba aibių aibėmis. Aibių sistemas dažniausiai žymime didžiosiomis rašytinėmis raidėmis. Sistemos sJ aibių sąjunga bei sankirta apibrėžiama panašiai, kaip ir dviejų aibių sąjunga bei sankirta: sistemos s/

aibių sąjunga A vadiname aibę, sudarytą iš visų elementų, priklausan-A e . c i

čių bent vienai sistemos sJ aibei; sistemos s/ aibių sankirta (~\ A va-Aerf

diname aibę, sudarytą iš visų elementų, priklausančių visoms sistemos s/ aibėms.

- j - 2. Funkcijos

Apibrėžimas. Sakykime, kad A ir B yra dvi bet kokios aibės', vienareikšme funkcija, apibrėžta aibėje A su reikšmėmis aibėje B, vadiname taisyklę f, paąal kurią kiekvienam aibės A elementui priskiriama po vieną aibės B elementą. Vienareikšmė funkcija kariais dar vadinama atvaizdžiu, arba operatoriumi.

Aibės B elementą, kurį funkcija / priskiria aibės A elementui a, vadiname funkcijos f reikšme taške a, arba taško a vaizdu, ir žymime f (a), o elementą a vadiname elemento f (a) pirmvaizdžiu. Aibę A vadiname funkcijos f apibrėžimo aibe, visų aibės A elementų vaizdų aibę {f (a): « e A }

1 R e n ė D e s c a r t e s ( 1 5 9 6 — 1 6 5 0 ) — prancūzų f i losofas , m a t e m a t i k a s , fizikas.

7

I A I B Ė S IR F U N K C I J O S

— f u n k c i j o s / r e i k š m i ų aibe; pastarąją žymime / (A), o aibę G={(a, / ( a ) ) : ae A} — funkcijos / grafiku.

Jeigu A0cAy tai visų aibės A0 elementų vaizdų aibę {/(a) : ae A0} vadiname aibės A0 vaizdu ir žymime f(A0). Jeigu tai aibę {a s A: :f(a)eB0}, t. y. aibę visų a i b ė s e elementų a, kuriems f (a) <=B0, vadiname aibės B0 pirmvaizdžiu ir žymime f ' 1 (B0). Taigi

f(A0) = {f(a):aeA0}, (1)

' f-\BQ)={aGA:f(a)eB(s}. (2)

Pastebėsime, kad pagal apibrėžimą funkcija / - tai kokia nors taisyklė, pagai kurią nurodoma, kuris aibės B elementas priskiriamas kiekvienam aibės A elementui a, kitaip tariant, kuris aibės B elementas atitinka elementą a. T ą faktą, kad / yra funkcija, kurios apibrėžimo aibė yra A ir

f (A) c B, sutrumpintai užrašome šitaip:

/ : A-*B. arba / — funkcija A^-B,

ir sakome, kad funkcija / aibę A atvaizduoja aibėje B. Tai, kad f(a) = b, kartais užrašome šitaip: a> >b arba a\~~>b.

1 p a v y z d y s . Sakykime, A = {a, b, c}, B={k, /, m, n] ir funkcija / : A->B apibrėžta lygybėmis: f(a) = l, f(b)^n, / ( c ) = /. Tada funkcijos /apibrėžimo aibė yra A, o jos reikšmių aibė f (A)— {/, n}. Funkcijos f grafikas - G~{(a> /), (b, n), (c, /)}.

Pastebėsime, kad funkcijos apibrėžime nenurodoma, kaip turi būti apibrėžta toji taisyklė, pagal kurią aibės A elementams priskiriama po vieną aibės B elementą. Pavyzdyje ši taisyklė (funkcija / ' ) buvo apibrėžta, užrašant kiekvienam aibės A elementui priskirtą aibės B elementą. T ą pačią funkc i ją /ga lė jome apibrėžti ir šitokia schema:

k

n

Be to, šią funkciją galėjome apibrėžti ir nurodydami jos grafiką G= {(a, /), (b, n), (c, / ) } . Čia G elementai yra aibių A ir B elementų poros, kuriose antrasis elementas yra pirmojo elemento vaizdas. Bendru atveju sakykime, kad A ir B yra bet kokios aibės, o C—aibės A x B poaibis, turintis šitokią savybę: kiekvienam aibės A elementui x egzistuoja vienas ir tik vienas toks aibės B elementas y, kad (x, y)e G. Tada aibė G apibrėžia, tokią funkciją

8

2. F U N K C I J O S

U kad f(x) = v tada ir tik tada, kai (x, y) eG. Taigi funkciją A-^B galima apibrėžti kaip aibės AxB poaibį G, turintį nurodytąją savybę. Aišku, toks funkcijos apibrėžimas ekvivalentiškas poskyrio pradžioje suformuluotam apibrėžimui.

Kartais patogiau f u n k c i j ą / : A-+B žymėti taip pat, kaip jos reikšmes taškuose x eA, t. y. rašyti „ f u n k c i j a / ( * ) " , užuot rašius „funkci ja /" . Taip nevienaprasmiškai vartojant s imbol į / ( .v) nesusidaro keblumų, o užrašai supaprastėja.

Funkcijos sąvoka plačiai vartojama fizikoje, biologijoje, chemijoje, ekonomikoje, technikoje. Pavyzdžiui, dujų slėgis uždarame inde yra temperatūros funkcija, cheminės reakcijos greitis gali būti laiko funkcija, apskritimo ilgis yra spindulio funkcija ir t. t. Matematikoje nagrinėjamos funkcijos - " t a i abstrakčios taisyklės, atitiktys, kuriomis vienos aibės elementams priskiriami kitos aibės elementai, nesigilinant \ tų elementų arba pačių funkcijų fizikinę, cheminę, ekonominę ar dar kitokią prasmę.

Kartais matematikoje vartojama ir daugiareikšmės funkcijos, atvaizduoĮ iančios aibę A aibėje B, sąvoka. Taip vadinama taisyklė, pagal kurią kiekvienam aibės A elementui priskiriama po vieną arba kelis aibės B elementus (bent vienam aibės A elementui priskiriama daugiau kaip vienas aibės B elementas). Daugiareikšmių funkcijų nagrinėjimą galima pakeisti tam tikrų vienareikšmių funkcijų nagrinėjimu, todėl matematikoje jos nėra tokios svarbios kaip vienareikšmės funkcijos. Kadangi šioje knygoje nagrinėjamos tik vienareikšmės funkcijos, tai, kad būtų trumpiau, j as vadinsime tiesiog funkcijomis.

Jei A, B ir C - trys aibės, AczB,f: A-+C, g: B->C ir f(x)=g(x) visiems xe A, tai funkcija g vadinama funkcijos f tęsiniu, o f u n k c i j a / - funkcijos g siauriniu į aibę A. Funkcijos g siaurinys i aibę A žymimas g\A; taigi f~g\A- N o r s S\A (•*) visiems xe A, bet g yra apibrėžta kitoje, platesnėje aibėje B, todėl laikoma, kad funkcijos g ir g \A yra skirtingos.

2 p a v y z d y s . Sakykime, A = { a , b}, B=* { a , b, c), C={k,l,m] ir funkcija g: 2?->C apibrėžta j o s grafiku G={(a, m), (b, k), (c, m)} (t. y. g ( « ) = / » , g(b)~k, g(c)~m). Tada g\ A yra funkcija, apibrėžta aibėje A lygybėmis g\A(d)—m, g\A(b) = k.

Ypač svarbios visose matematikos šakose funkcijos, vadinamos bijek-cijomis, arba abipus vienareikšmiais atvaizdžiais.

Apibrėžimas. Funkciją f: A->B vadiname bijekcija, arba abipus vienareikšmiu atvaizdžiu, jeigu f(A)=.B ir skirtinguose aibės A taškuose funkcija f įgyja skirtingas reikšmes, t. y. f(a)^f(a'), kai a^a (a, a'e A).

J e i g u / yra bijekcija A^B, tai pagal apibrėžimą kiekvienam be B egzistuoja toks vienintelis aibės A elementas a, kad f (a) = b; priskirdami kiek vienam be B toki ae A, kad būtų f (a) = b, apibrėžiame funkciją B-+A, kuri vadinama funkcijos j atvirkštine funkcija ir ž y m i m a / " 1 .

9

I AIBES IR FUNKCIJOS

3 p a v y z d y s . Sakykime, A s= [a, b, c), B^{k, /, m) ir / - funkcija A-*B, apibrėžta Šitaip: •

Funkc i ja /— bijekcija A->B, nes skirtinguose taškuose įgyja skirtingas reikšmes i r / ( ^ ) = 5 . Atvirkštinę f u n k c i j ą / - 1 : B->A apibrėžia tokia pat schema, kaip ir funkciją / tik rodyklės yra priešingų krypčių:

X m - 1

Taigi / - 1 (k) = b, f * ( O - f l ir / - 1 ( m ^ c .

J e i g u / : A^B \r B0cB, tai s i m b o l i s / - 1 (f i 0 ) turi prasmę ir tada, kai neegzistuoja funkcija, atvirkštinė funkcijai / Tuo atveju, kaip jau buvo minėta, f ' 1 (B0) reiškia aibę, apibrėžtą (2) lygybe.

Sakykime, A, B ir C yra tokios aibės, knč/:B->C it g: A-+B. Tada funkcija F: A ->C, kurios reikšmės nurodomos iygybe

visiems xe A, yra vadinama sudėtine funkcija, sudaryta iš funkcijų / i r g; kartais ši sudėtinė funkcija vadinama funkci jų/ i r g superpozicija ir žymima

f o g. Taigi galime užrašyti: f°g : A->C ir

f°g(x) = (f-g)(x)=f(g(x)) visiems .ve A.

4 p a v y z d y s . Duota A~ {a, b, c}, B= {k, l, m, n}, C={p, q},f — funkcija B-+C, apibrėžta grafiku Gf= {(k, p), (I, p), (m, q), (n, q)} ir g - funkcija A-+B, apibrėžta grafiku {(u, m), (b, l), (c, / ) } . Schemoje funkcijas

f ir g galime pavaizduoti šitaip:

Sudėtinės funkcijos/= g grafikas bus Gfog~{(a, q), (b, p), (c, p)}, t. y. fog (a) *q, fog (b)=p ir / ° g (c) = p .

i O

3. R E A L I E J I SKAIČIAI

T 3. Realieji skaičiai

Realiuosius skaičius apibrėšime aksiomomis: bet kokių elementų aibę A, tenkinančią žemiau nurodytas sąlygas, vadinsime realiųjų skaičių aibe, o tos aibės elementus — realiaisiais skaičiais.

Apibrėžimas. Visų realiųjų skaičių aibe vadiname aibę A, turinčią šias savybes:

1) aibėje A xA yra apibrėžtos dvi funkcijos, 9: A x A-+A ir ty: Ax A~>A, vadinamos atitinkamai „sudėtimi" ir „daugyba" (jų reikšmės taške (a, b)e e A x A žymimos (a, b)—a-by,

2) yra apibrėžtas aibės AxA poaibis T, vadinamas „tvarkos sąryšiu"; jeigu (a, b)e T, tai sakoma, kad a yra ne didesnis už b ir žymima a^b;

3) sudėtis, daugyba ir tvarkos sąryšis tenkina žemiau nurodytas sąlygas, vadinamas aksiomomis. Aksiomos suskirstytos į 4 grupes, a, b ir c — bei kokie aibės A elementai.

I Sudėties aksiomos

1) (a + b) + c = a + (b + c) (sudėties asociatyvumo aksioma), 2) a + b = b + a (sudėties komutatyvumo aksioma), 3) aibėje A egzistuoja elementas, žymimas 0 ir vadinamas nuliu, kuris

tenkina sąlygą: a A- 0 = a visiems a e A, 4) kiekvienam ae A egzistuoja elementas, vadinamas elementui a prie

šingu elementu ir žymimas — a, kuris tenkina tokią sąlygą: a + ( — a) = 0.

II Daugybos aksiomos

1) (a • b) • c = a • (b • c) (daugybos asociatyvumo aksioma), 2) a • b = b • a (daugybos komutatyvumo aksioma), 3) aibėje A egzistuoja elementas, žymimas 1 ir vadinamas vienetu, kuris

tenkina sąlygą: a • \ ~a visiems ae A, 4) kiekvienam nelygiam nuliui aibės A elementui a egzistuoja aibės A ele

mentas, vadinamas elemento a atvirkštiniu elementu ir žymimas a'1, kuris tenkina sąlygą: ą • a - 1 = 1,

5) a • (b + c) — a • b + a • c (distribulyvumo aksioma).

Itf Tvarkos aksiomos

1) aâ (refleksyvumo aksioma), 2) jei a^b ir b^c, tai a^c (tranzityvumo aksioma), 3) jei a^b ir bâ, tai a = b (antisimetriškumo aksioma),. 4) arba a-^b, arba bâ, arba a^b ir bâ visiems a ir b iš A, 5) jei a^b, tai a+c^b + c, 6) jei Oâ ir O^b, tai Oâ • b.

11

I A IBES IR F U N K C I J O S

IV Pilnumo aksioma

1) Jei P ir O yra netušti aibės A poaibiai, Pr\Q=o,PvQ = A irta ^ b bet kokiems ae P ir be Q, tai arba aibėje P yra didžiausias elementas, arba aibėje Q yra mažiausias elementas (ce P vadinamas didžiausiu aibės P elementu, jei a^c visiems ae P; analogiškai apibrėžiamas mažiausias aibės Q elementas).

Toliau šioje knygoje visų realiųjų skaičių aibę žymėsime R. Realiųjų skaičių a ir b skirtumu vadiname skaičių a + ( — b), o dalmeniu —

skaičių a • b~1; a ir b skirtumą žymime a—b, o dalmenį — ~.

Užrašas a^b reiškia tą patj, kaip bâ. Užrašas a0, neigiamu, j e i a<0, neneigiamu, jei aÔ ir neteigiamu, jei aÔ.

Skaičiaus R absoliučiu dydžiu, arba moduliu | a |, vadiname didesnįjį iš dviejų skaičių: a ir —a (rašysime Į a [ = max {a, —a}).

Skaičius 1,2—1 + 1,3 = 2 + 1 , . . . vadiname natūriniais skaičiais. Apskritai, jei n — natūrinis skaičius, tai skaičių /?+ 1 irgi vadiname natūriniu skaičiumi. Visų natūrinių skaičių aibę žymime N.

Aibę, sudarytą iš visų natūrinių skaičių, nulio ir visų skaičių, priešingų natūriniams skaičiams, vadiname sveikųjų skaičių aibe ir žymime Z. Aibę j :meZ, # E W j vadiname racionaliųjų skaičių aibe ir žymime Q. Aibę R\Q vadiname iracionaliųjų skaičių aibe.

Pastebėsime, kad pilnumo aksioma labai sudėtingai suformuluota. Patogu j o s prasmę išsiaiškinti grafiškai, vaizduojant skaičius tiesėje taškais: skaičių 0 vaizduojame laisva; pasirinktu tiesės tašku: skaičių a, aÔ, vaizduojame tiesės tašku, nutolusiu nuo nulinio taško atstumu [ a j (atstumą matuojame kokiais nors ilgio vienetais); teigiamus ir neigiamus skaičius vaizduojančius taškus atidedame į skirtingas puses nuo nulinio taško. Aibės A ir B, apie kurias kalbama pilnumo aksiomoje, padalija visą realiųjų skaičių aibę R į dvi nesusikertančias dalis: be to, visi aibės A skaičiai yra mažesni už bet kurį aibės B skaičių, todėl aibės A ir B vaizduojamos dviem nesusikertančiomis pustiesėmis: tokį tiesės padalijimą galėtume pavadinti tiesės pjūviu. Tada pilnumo aksiomą galėtume pasakyti šitaip: kiekvienas realiųjų skaičių tiesės pjūvis eina per vieną iš tos tiesės taškų: šis taškas pri-klatiso vipnni iš dviejų pustiesiu, kurios gaunamos padarius pjūvį. Realiųjų skaičių aibės padalijimus į dvi aibes, tenkinančias pilnumo aksiomos sąlygas, nagrinėjo vokiečių matematikas R . Dedekindas (1831 - 1 9 1 6 ) , todėl tokie padalijimai vadinami Dedekindo pjūviais.

Galima ir kitais būdais įvesti realiojo skaičiaus sąvoką, pavyzdžiui, galima aksiomomis nusakyti tik natūrinių skaičių aibę, po to, naudojantis šia aibe, apibrėžti platesnę racionaliųjų skaičių aibę, ir jau po to, naudojantis racionaliųjų skaičių aibe, apibrėžti realiųjų skaičių aibę. Tokiu būdu apibrėžiant realiuosius skaičius, šiame paragrafe nurodytos aksiomos taptų teoremomis, taigi j as reikėtų įrodinėti. Dedekindas, pavyzdžiui, realųjį skaičių apibrėžė kaip pjūvį racionaliųjų skaičių aibėje (t. y. kaip raciona-

12

4. T I K S L I E J I R E 2 I A I

liųjų skaičių aibių A ir B porą, tenkinančią tokias pat sąlygas, kaip pilnumo aksiomoje) ir įrodė, kad realiųjų skaičių aibės pjūvis jau tenkina pilnumo aksiomos sąlygas; ši teorema vadinama Dedekindo teorema.

Apibrėžtus\ealiuosius skaičius kartais vadiname baigtiniais realiaisiais skaičiais. Apibrėšime ir begalinius realiuosius skaičius: co ir - co.

Apibrėžimas. Sakykime, A yra bet kokia aibė, turinti tik du elementus p ir q; išplėstine realiųjų skaičių aibe vadiname aibę R U A, kurioje elementams p ir g apibrėžtas.tik tvarkos sąryšis: p<a<q visiems ae R ir p<ų; elementas p vadinamas „minus begalybe" ir žymimas — oo, o elementas q -„plius begalybe" ir žymimas + co arba trumpiau co; elementai co ir - cc vadinami begaliniais realiaisiais skaičiais. Išplėstinę realiųjų skaičių aibę žymime R.

Jei ae R, be R ir a<b, tai žymime:

[a, b) = {xeR:a^x^b},

(a, b) = {xeR:a<x<b),

(a, b] = {xeR:a<x*kb),

[a, b) = {xeR:a^x<b}.

Šias aibes vadiname intervalais. Intervalą [a, b] vadiname uždaru intervalu1, (a, b) — atviru intervalu, o intervalus (a, b] ir [a, b) — pusiau uždarais arba pusiau atvirais2; skaičius a ir b vadiname šių intervalų galais. Jei intervalo galai yra baigtiniai skaičiai, tai intervalą vadiname baigtiniu, priešingu atveju — begaliniu. Jei baigtinio intervalo galai yra a ir b, tai skaičių b — a vadiname intervalo ilgiu.

-f- 4. Tikslieji rėžiai

Sakome, j o g aibė A a R yra aprėžta iš viršaus, jei egzistuoja toks baigtinis realusis skaičius p , kad

x^p visiems xeA; (1 )

sakome, jog A aprėžta iš apačios, jei egzistuoja toks baigtinis realusis skaičius ų, kau

x ^ ą visiems xeA. (2)

Aibę A vadiname aprėžta, jei j i aprėžta ir iš viršaus, ir iš apačios. 1 U ž d a r ą intervalą [a, b] ga l ima apibrėžti ir t a d a , kai a = b. Š iuo atveju la ikome,

kad intervalui [a, a] pr ik lauso tik vienas skaičius a. T o k s intervalas karta i s v a d i n a m a s išsigimusiu į tašką intervalu.

* Š io skyriaus 8 poskyryje bus d u o t a s bendras a tv i rų ir uždarų aibės R poaibių apibrėž imas . Paga l t ą ap ibrėž imą baigtiniai intervalai [a, b] yra uždar i , o intervalai (a, b) — atviri aibės R poaibiai , intervalas R=(—co, -f c o ) — ir atv iras , ir u ž d a r a s , o intervalai (— co, c] ir [c, + co) ( c e R) — uždari aibės R poaibiai .

13

I A I B E S IR F U N K C I J O S

Baigtinį arba begalinį skaičių p , tenkinanti (1) sąlygą, vadiname aibės A viršutiniu rėžiu; baigtinį arba begalinį skaičių q, tenkinantį (2) sąlygą, vadiname aibės A apatiniu rėžiu.

Apibrėžimas. Aibės AczR tiksliuoju yjršutiniu.rėžiu vadiname mažiausią šios aibės viršutinį rėžį; jį žymime sup A. Aibės A tiksliuoju fipjrtįnJM rėžiu vadiname didžiausią šios aibės apatinį rėžį; jį žymime yjÂ.

1 p a v y z d y s . Aibė A=(— oo, 2) yra aprėžta iš viršaus. Skaičiai 5, 2,

y , 1000 yra aibės A viršutiniai rėžiai. Visų aibės A viršutinių rėžių aibė

yra [2, + oo]. Skaičius 2 yra mažiausias aibės A viršutinis rėžis, taigi sup A=2. Aibė A turi tik vieną apatinį rėžį — — oo, todėl inf A = — oo.

Išnagrinėtame 1 pavyzdyje egzistuoja aibės A tikslieji rėžiai: sup A = 2, inf A = — oo. Kyla klausimas, ar bet kokie realiųjų skaičių aibės poaibiai turi tikslius rėžius? Į šį klausimą atsako tiksliųjų rėžių teorema.

j - Tiksliųjų rėžių teorema. Kiekvienam netuščiom aibės R poaibiui egzistuoja tikslusis viršutinis ir tikslusis apatinis rėžis.

| > Sakykime, PczR. [rodysime, kad egzistuoja sup P. Je i P neaprėžta iš viršaus, tai supP= + 00 , taigi tikslusis viršutinis rė

žis egzistuoja. Sakykime, kad P aprėžta iš viršaus. Pažymėkime raide B visų aibės P

baigtinių viršutinių rėžių aibę. Galimi du atvejai: arba aibėje B yra bent vienas aibės P elementas, arba aibėje B nėra nė vieno aibės P elemento.

Jei aibėje B yra bent vienas aibės P elementas a, tai a = sup P. Iš tikrųjų. a yra aibės P viršutinis rėžis, nes ae B, o bet koks mažesnis už a skaičius b j au nebus aibės P viršutinis rėžis, nes b<ae P,. Todėl a — mažiausias aibės P viršutinis rėžis. Taigi šiuo atveju sup P egzistuoja.

Jei aibėje B nėra aibės P elementų, tai aibėje A = R\B nėra didžiausio skaičiaus: toks skaičius būtų aibės P viršutinis rėžis ir turėtu priklausyti aibei B, t. y. negalėtų priklausyti aibei A = R\B. Aibės A ir B tenkina pilnumo aksiomoje nurodytas sąlygas ir aibėje A nėra didžiausio skaičiaus, todėl aibėje B yra mažiausias skaičius, kuris ir yra sup P.

inf P egzistencija įrodoma analogiškai. <] Iš tiksliųjų rėžių apibrėžimo išplaukia: jei kokioje nors aibėje P'cR

egzistuoja didžiausias skaičius, tai j i s ir yra sup P, o jei aibėje P egzistuoja mažiausias skaičius, tai j i s yra inf P. Tačiau, kaip matome 1 pavyzdyje, didžiausias skaičius aibėje P gali ir neegzistuoti, o tikslusis viršutinis aibės P rėžis egzistuoja visuomet. Ši tiksliųjų rėžių savybė panaudojama įvairiuose egzistencijos įrodymuose visame matematinės analizės kurse.

Sakykime, A yra bet kokia aibė i r / : A-*R. A i b ė s / ( A ) tikslųjį viršutinį rėžį vadiname funkcijos/tiksliuoju viršutiniu rėžiu ir žymime sup/(.v). Taigi

sup / (x) = sup f (A) = sup { f(x): x e A } .

14 \

S. NATŪRINIU SKAIČIŲ rĄVYSSf

5. Natūrinių skaičių savybės

Šiame poskvryje įrodysime teoremas, kurios galii atrodytiT „savaime .upran amoV", t. y. tokios, kurių nereikia įrodinėti. Tačiau nereikia pamirš-• P kad ealiuosius skaičius nusakėme aksiomomis todėl v i s o s ^ savybes,

net ir tos, kurios atrodo visiškai aiškios, turi išplaukti «s aksiomų.

T teorema (Archimedo principas). Kiekvienam baigtiniam realiajam skaičiui egzistuoja už jį didesnis natūrinis skaičius.

> Tarkime, kad nėra didesnio natūrinio skaičiaus už kokį nors baigtinį realųjį skaičių a, t. y. nâ visiems ne N. Pagal teoremą apie tiksliuosius rėžius egzistuoja b = sup Nâ, t. y. b yra mažiausias aibės N viršutinis rėžis. Skaičius b — 1 jau nėra aibės TV viršutinis rėžis, todėl aibėje N atsiras didesnis už b — 1 skaičius /70. Bet jei n0 > b — 1, tai n0 + 1 > b, taigi b nėra aibės N viršutinis rėžis. Gavome prieštaravimą: b ir yra ir nėra aibės N viršutinis rėžis, todėl įrodymo pradžioje padaryta prielaida neteisinga. <]

2 teorema. Kiekviename netuščiame natūrinių skaičių aibės poaibyje yra mažiausias skaičius.

r> Teeu M c i V i r M±0. Pažymėkime a = inf M. Aišku, kad a>\. Skaičius a+\ nėra aibės M apatinis rėžis, todėl egzistuoja toks me,1, kad al m<a+ 1. Iš šios nelygybės išplaukia, kad m - 1 <a, todėl m- M M £ Jei koks nors natūrinis skaičius k yra mažesnis uz m - 1 , ta. juo lab.au k<a ir todėl k ėM, taigi m yra mažiausias aibes M skaičius. <]

Išvada. Jeia<b, ae R, b E R, tai egzistuoja- toks racionalusis skaičius r, kad a<r<b. ,

> Pagal Archimedo principą egzistuoja toks ne N, kad n> b

1 ^ ,

t. y. —n • a, t. y. — >a. Aibėje .i — {me N : m>n • a} egzistuoja mažiau

sias skaičius m0. Tada racionalusis skaičius r= — ir yra ieškomasis skai

čius. Iš tikrųjų, m0e A ir m0 — 1 $ A, todėl m0>na ir m 0 — 1 ^na, taigi nia „ 1 f

a< ša+ - <b. n n Je i a<0 ir bÔ, tai, kaip jau buvo įrodyta, egzistuoja toks re Q, kad

— b<r< —a, t. y. a<—r<b. Jei o < 0 ir b>0, tai 0 yra ieškomas racionalusis skaičius. <\

15

http://lab.au

I AIBĖS IR F U N K C I J O S

6. Baigtinės ir suskaičiuojamos aibės

Sakykime, A ir B — dvi bet kokių elementų (nebūtinai realiųjų skaičių) aibės.

Apibrėžimas. Aibes A ir B vadiname ekvivalenčiomis, jei egzistuoja bijekcija 9 : A->B. Jei A ir B yra ekvivalenčios, tai rašome: A~B.

P a v y z d y s . Realiųjų skaičių aibės [0, 1] ir [0, 2] yra ekvivalenčios. Iš tikrųjų, funkcija 9 (x) = 2x, 0 < x < l , yra bijekcija [0, l ] -^ [0 , 2J.

Iš aibių ekvivalentumo apibrėžimo matome, kad jei A~B, tai B~A. Be to, jei A, B, C — trys aibės, kurioms A ~ £ ir J 9 ~ C, tai ir A ~ C.

Apibrėžimas. Aibė A vadinama suskaičiuojama, jei A~N.

P a v y z d y s . Visų lyginių natūrinių skaičių aibė A**{2, 4, 6, . . . } yra suskaičiuojama, nes funkcija cp(w) = 2« , n e N, yra bijekcija N->A, todėl N~A, taigi ir A~N.

Pagal suskaičiuojamos aibės apibrėžimą aibė A yra suskaičiuojama tada ir tik tada, kai egzistuoja bijekcija 9 : A-+N, kuria kiekvienam ae A priskiriamas natūrinis skaičius n=-<p(a), t. y. kiekvienas aibės A elementas a gauna savo „numerį" n, be to, skirtingi aibės A elementai gauna skirtingus „numerius" ir kiekvienas natūrinis skaičius („numeris") yra priskirtas kokiam nors aibės A elementui. Taigi aibė A — suskaičiuojama tada ir tik tada, kai j o s elementus galima sunumeruoti visais natūriniais skaičiais taip, kad skirtingi elementai gautų skirtingus numerius.

Apibrėžimas. Aibė A vadinama baigtine, jei egzistuoja toks natūrinis skaičius n, kad A ekvivalenti aibei visų natūrinių skaičių, ne didesnių už n; toks skaičius n vadinamas aibės A elementų skaičiumi. Aibė A vadinama begaline, jei ji nėra baigtinė.

Taigi, paprasčiau sakant, aibė A yra baigtinė, jei jos elementų skaičius baigtinis.

P a v y z d y s . Aibė {a, b, c, d} — baigtinė, jos elementų skaičius yra 4 .

Sakykime, A ir B — dvi bet kokios aibės. Jei A ekvivalenti kokiam nors aibės B poaibiui, bet neekvivalenti visai aibei B, tai sakome, kad aibės A galia mažesnė už aibės B galią.

Jei aibės A galia mažesnė už aibės B galią, tai aibės A elementų „gausumą" galime laikyti mažesniu už aibės B elementų „gausumą". Tokiu būdu

.16

6. BAIGTINES IR S U S K A I Č I U O J A M O S A I B E S

galima palyginti net begalines aibes pagal elementų „gausumą". Iš sekančios teoremos paaiškės, kad suskaičiuojamos aibės tam tikra prasme yra pačios „negausiausios" elementų, lyginant su kitomis begalinėmis aibėmis, tiksliau sakant, negali egzistuoti begalinė aibė, kurios galia būtų mažesnė už suskaičiuojamos aibės galią.

Jei PczR, tai mažiausią aibės P skaičių (jei tik šioje aibėje yra toks skaičius) žymime minP .

1 teorema. Bet koks suskaičiuojamos aibės poaibis yra baigtinis arba suskaičiuojamas.

t> Iš pradžių įrodysime, kad bet koks aibės N poaibis yra baigtinis arba suskaičiuojamas.

Tegu AcN ir aibė A ~ begalinė. Pažymėkime: x1=mm A, .v2 = min A\{x1}, ^ 3 = min x2],

Jei x\, x„ jau išrinkti ir xk=vaxa A\{xlt xk_x) (k=2, 3, ra), tai a p i b r ė ž i a m e x n + 1 = m ' m A\{xlt xn}. Apibrėžkime funkciją 9: N^-A lygybėmis cp(n)=xn, n eN. Kadangi pagal apibrėžimą Xi<xi<..,, tai 9 (m)5^9 (n) jei m^n. Be to, nesunku įsitikinti, kad x ^ \ , x^2, ...

Įrodysime, kad (į>(N)=A. Sakykime, m e A. Aibės N poaibis {xk :xk^m) yra netuščias, nes

xm^m, todėl šiame poaibyje egzistuoja mažiausias elementas, sakykim, x„. Tada x „ _ j < w ^ x „ ir x„ = m'm A\{x1, x„_1}, todėl x„ = m, t. y. me9 (N), o tai ir reiškia, kad 9 (N) = A. Taigi 9 — bijekcija N->A, todėl A ~ suskaičiuojama.

Dabar sakykime, kad P yra bet kokia suskaičiuojama aibė ir QczP. Tada P~N, todėl egzistuoja bi jekci jaT : P->N. Pažymėkime 4 = Y (Q). Tada pagal įrodytą teoremos dalį A yra suskaičiuojama arba baigtinė; be to, Q^A, nes T — abipus vienareikšmis atvaizdis, taigi ir O ~ suskaičiuojama arba baigtinė. <\

2 teorema. Suskaičiuojamų aibių suskaičiuojama sąjunga yra SUSkalČiUO-co

jama aibė. t. y. jei aibės A„ (ne N) yra suskaičiuojamos, tai ir aibė A„

yra suskaičiuojama.

t> Kadangi aibė A„ — suskaičiuojama, tai jos elementus galima sunumeruoti natūriniais skaičiais: An={a„tl, a„t.2, a n > 3 , . . . } (ne N).

IŠ oradžių sakykime, kad aibės A„ poromis nesusikerta, t. y. An n Am~

= 0 , j e i n ^ m . T a d a a i b ė S y 4 = An — [a„ik: ne?V, k e IV] elementus gali-

Ms&msf t kos fak. b - ' . . 1 7

m.Tada aibės A = ^

Mok* •

I AIBĖS IR FUNKCIJOS

ma sunumeruoti tokiu būdu: elementui a l t l priskiriame skaičių („numerį") 1; toliau numeruojame tuos aibės A elementus alh k kuriems n + k~ = 3, t. y. elementus a 3 t l ir al<2 (pvz., elementui a 2 t l priskiriame skaičių 2, elementui al%z — skaičių 3 ) ; po to numeruojame tuos aibės A elementus an> k , kuriems n+k = 4 ir 1.1. Elementų aHi k numeravimo tvarką patogu pavaizduoti rodyklėmis:

Jei meiV, tai aibės A narių a„t k , kuriems nĄ-k=m, yra baigtinis skaičius (būtent, m — 1 narys), todėl, numeruojant aprašytuoju būdu, kiekvienam aibės A elementui a„ k bus priskirtas koks nors natūrinis skaičius. Priskirdami aibės A elementams natūrinius skaičius, mes apibrėžėme bijekciją 9: J - W V , taigi A — suskaičiuojama.

Je i aibės A„ik turėtų bendrų elementų, tai aibės A elementus numeruotume ta pačia tvarka, kaip ir aprašytuoju atveju, tiktai praleisdami pasikartojančius elementus, taigi ir šiuo atveju A — suskaičiuojama. < J

Išvada. Suskaičiuojamų arba baigtinių aibių suskaičiuojama arba baigtinė sąjunga yra suskaičiuojama arba baigtinė aibė.

D> Jei 4̂ = ^ j An, o aibės An — baigtinės arba suskaičiuojamos, tai

tas iŠ j ų , kurios yra baigtinės, papildome bet kokiais elementais (pvz., natūriniais skaičiais) iki suskaičiuojamų aibių. Tokių praplėstų aibių A„ sąjunga A pagal teoremą yra suskaičiuojama ir AczA, todėl A — baigtinė arba suskaičiuojama

m x

Jei A = An ir A„ — baigtinės arba suskaičiuojamos, tai A = A„

i T Am+l=Am+2= 0 įr todėl A — suskaičiuojama arba baigtinė. <J

3 teorema. Dviejų suskaičiuojamų aibių Dekarto sandauga yra suskaičiuojama aibė.

t> Tegu A-{ak} ir B={bj} — suskaičiuojamos aibės, kurių elementai sunumeruoti natūriniais skaičiais ir C=A xB= {ak, bj) : /ce N, j e/V}. 18 Vv> v * j #

7. { D E T U J U I N T E R V A L Ų L E M A

Pažymėkime Ck={(ak, b ( a k , b2), . . . } . Tada Ck - suskaičiuojama, nes aibę Ck galima sunumeruoti, priskiriant kiekvienam jos elementui

(ak, bj) 0 = 1 , 2, . . . ) natūrinį ska ič ių / Aibė C = Ck yra suskaičiuojamų

aibių suskaičiuojama sąjunga, todėl C — suskaičiuojama. <0 Pavyzdžiui, visų sveikųjų skaičių aibė Z yra suskaičiuojama, nes Z

yra sąjunga aibės iV, visų neigiamų sveikų skaičių aibės { — n : n EN} ir baigtinės aibės { 0 } , turinčios vienintelį elementą — nulį. Aišku, {— n :n eN] ~ /V, todėl Z — baigtinė arba suskaičiuojama. Bet Z nėra baigtinė, todėl Z — suskaičiuojama.

Įrodytos trys teoremos aprašo pagrindines suskaičiuojamų aibių savybes.

Tolesnė teorema teigia, kad racionaliųjų skaičių aibė, nors ir yra begalinė, bet turi „nelabai daug" elementų.

4 teorema. Visų racionaliųjų skaičių aibė Q yra suskaičiuojama.

> Apibrėžkime funkciją 9 : Q-*ZxN tokiu būdu: jei me Z, ne N

ir ~ — nesuprastinama trupmena, tai 9 — (w> n) 0 e ' m—^> t a * 9 ( 0 ) =

= (0, 1)). Funkcija 9 skirtingiems racionaliesiems skaičiams -pr i sk i r ia

skirtingus aibės ZxN elementus (m, n), todėl 9 abipus vienareikšmiškai atvaizduoja aibę Q į aibės Z y. N poaibį 9 (Q), t. y.

Aibė Z y. N - suskaičiuojama, todėl jos poaibis 9 (Q) — baigtinis arba suskaičiuojamas ir todėl Q — baigtinė arba suskaičiuojama aibė. Bet Q nėra baigtinė, taigi Q — suskaičiuojama. <

^f- 7. Įdėtųjų intervalų lema

Jei A — bet kokių elementų aibė, tai kiekvieną funkciją c : N->A vadiname aibės A elementų seka arba natūrinio argumento funkcija, o funkcijos 9 reikšmę an=ę(ri) taške ne N — n-uojv sekos 9 nariu; seką

* 9 žymime dar ir taip: («„), arba (an)„=12, . . . , arba %, a2, ...

P v z . , užrašas reiškia skaičių seką, kurios n-asis narys yra — (čia n — r u t u l i

nis skaičius), užrašas ^f-| , ~J j reiškia intervalų seką, kurios nariai yra uždarieji

imerva.a, [ I . 21, [ f , [ j , [ i . f ] [ i , f ] , . . .

Įdėtųjų intervalu lema. Jei ([«.,, b,,]) — uždarųjų intervalų seka ir [ G , , />,]^[a 2> bs) ^=>[a3. b3)^> . . . . tai egzistuoja realusis skaičius, priklausantis visiems intervalams [a„. b„).

19

I A I B Ė S IR FUNKCIJOS

Į> Jei m<n, tai pagal lemos sąlygą [am, b„,]=>[«„. b„], todėl

am^a„^b„^bm. Iš šios nelygybės išeina, kad a,„^bn ir an^bm su visais natūriniais skaičiais m ir m, tenkinančiais nelygybę m<n, todėl ak^bt su visais k ir i iš /V. Taigi kiekvienas skaičius Z?/ yra aibės {ak} viršutinis rėžis. Pagal teoremą apie tiksliuosius rėžius egzistuoja skaičius c = sup {ak} ir ak^c su visais ke N. Ki ta vertus, c yra mažiausias aibės {ak} viršutinis rėžis, todėl j is ne didesnis už bet kokius aibės {ak} viršutinius rėžius, taigi c^bk

visiems k e N, t. y. ak^c<bk

visiems k e N, o tai ir reiškia, kad skaičius c priklauso visiems intervalams [ak, bk). <

įdėtųjų intervalų lema remiasi daugelis teoremų. Kaip vieną iš šios lemos taikymų įrodysime, kad intervalas [0, 1], taigi j uo labiau ir platesnė aibė R yra nesuskaičiuojamos aibės. Kadangi racionaliųjų skaičių aibė Q yra suskaičiuojama, tai reikš, kad Q galia mažesnė už R galią ir net už intervalo [0, 1] galią, t. y. kad racionaliųjų skaičių yra „daug mažiau" negu realiųjų skaičių.

Teorema. Intervalas [0, 1] yra nesuskaičiuojama aibė.

r> Tarkime priešingai teoremos teiginiui, kad [0, 1] — suskaičiuojama aibė. Tada egzistuoja bijekcija 9 : N^-[0, 1]. Pažymėkime x„=<į> (n). Padalykime intervalą [0, 1] į 3 vienodo ilgio intervalus: |u, — j , ^ , y j ,

~ , 1 j . Nė vienas realusis skaičius negali priklausyti visiems trims inter

valams, todėl x x nepriklauso bent vienam iš šių intervalų. Pažymėkime

[alf bj] tą iš intervalų ^ 0 , y j , £y , y j , [y , l j , kuriam nepriklauso

x\. Intervalą [ax, b^] vėl dalykime tokiu pat būdu į tris dalis ir pažymėkime [a2, b%\ tą^ dalį, kuriai nepriklauso xz. Jei j au išrinkti intervalai [ a ] 5 6 J = 3 . . . =>[a„, b„] ir xk $ [ak, bk] su visais k^n, tai, dalydami intervalą [an, b„] į tris lygias dalis, vėl galime pažymėti [an+15 bn+ tą dalinį intervalą, kuriam nepriklauso xn+ x . Taigi įrodėme, kad tokius intervalus [an, b„] galima sudaryti visiems n e N. Paga! įdėtųjų intervalų lemą egzistuoja realusis skaičius c, priklausantis visiems šiems intervalams ir juo labiau intervalui [0, 1]. Kadangi 9 yra bijekcija N—>[0, 1], tai atsiras toks m e N, kad c=9 (m)=xm. Bet xm $ [am, bm], o c priklauso visiems intervalams [<t„, b„], n~\, 2, . . . , t. y. ir intervalui [am, bm]. Gautas prieštaravimas įrodo, kad aibė [0, 1] negali būti suskaičiuojama. <\

Jeigu a<b, tai funkcija 9 (x) = a+x (b~a) yra bijekcija [0, l]->[a,b], t. y. [a, b]~[0, I ] , todėl ir [a, b] yra nesuskaičiuojama aibė. Iš čia nesunkiai gauname, kad intervalai (a, b), (a, b] ir [a, b) irgi yra nesuskaičiuojamos aibės. Aibės, ekvivalenčios intervalui [0, 1], yra vadinamos kontinuumo galios aibėmis, arba tiesiog — kontinuumais.

20

S, A I B E S R P O A I B I U K L A S I F I K A V I M A S

8. A I B Ė S R P O A I B I Ų K L A S I F I K A V I M A S

Apibrėžimas. Sakykime, ::0e R ir r>0. Intervalą (x0—r, x0+r) vadiname taško x0 r-aplinka. Aišku, imdami įvairius skaičius r, gausime įvairias taško x0 r-aplinkas.

Taško A o e R aplinka vadiname kiekvieną aibę V c: R, kurios poaibis yra kokia nors taško x0 r-aplinka.

Aibė Ac=R vadinama atvirąja, jei ji yra kiekvieno savo taško aplinka. Tuščiąją aibę taip pat vadinsime atvirąja. Aibė BczR vadinama uždarąja, jei aibė R\B — atviroji.

1 p a v y z d y s . Intervalas (a, b) (a. be R, a<b) yra atviroji aibė. Iš tikrųjų jei a ir b - baigtiniai, x0e(a, b) ir r = m i n {x0—a, b—x0},

tai (x0-r, x0+r)cz(a, b) (žr. 4 pav.), t. y. (a, b) yra taško x0 aplinka. Kadangi x& — bet kaip pasirinktas intervalo (a, b) taškas, tai intervalas (a, b) yra ir visų kitų savo taškų aplinka, todėl (a, b) — atviroji ai- r r bė. Jei kuris nors vienas intervalo —fi <f 1 ^ ^ galas arba abu galai begaliniai, — G x° įrodymas panašus.

2 p a v y z d y s . Intervalas [a, b] 4 pav. (a, b e R, a < b) yra uždaroji aibė.

Iš tikrųjų, R\[a, b] = (-cc, a) v (b. + 0 0 ) . Intervalai ( - c o , a) ir (b, + 0 0 ) yra atvirosios aibės, todėl, jei .v0 priklauso vienam iš šių atvirųjų intervalų, tai tas intervalas ir j uo labiau didesnė aibė R\[a, b] yra taško x 0 aplinka. Taigi aibė R\[a, b] yra kiekvieno savo taško aplinka, todėl j i atviroji, o tai ir reiškia, kad [a, b) — uždaroji.

Aišku, aibė AcR gali nebūti nei atviroji, nei uždaroji. 3 p a v y z d y s . Intervalas (a, b] (a, be R a<b) nėra nei atviroji, nei

uždaroji aibė. Iš tikrųjų, intervalas (a, b] nėra taško b aplinka, nes su bet kokiais

r > 0 taško b r-aplinka (b~r, b + r) nėra intervalo (a, b] poaibis. Aibė R\(a, b] = (- co, a] U (b, + po), taip pat nėra atviroji (nes j i nėra taško a aplinka), todėl (a, b] nėra uždaroji aibė.

A P I B R Ė Ž I M A S Tašką Xae R vadiname aibės E^R ribiniu tašku, jei kiekviena jo aplinka turi bent du aibės E taškus. Ribinis taškas kuriui*

yra vadinamas sankaupos tašku. A 0 vadiname aibės E vidiniu tašku, jei E yra šio taško aplinka. Tašką x 0 vadiname aibės E sienos tašku, jei kiekvienoje jo aplinkoje yra ir aibės E taškų, ir taškų, nepriklausančių aibei E. Visų aibės E sienos taškų aibė vadinama aibės E siena.

4 p a v y z d y s . Sakykime. £ - ( 0 . l j . Tada aibės E ribinių :aškų aibė yra [0, 1], vidinių taškų aibė - intervalas (0 . I ) , aibės E siena - dviejų taškų aibė { 0 , 1 } .

21

1 teorema. Bet kokia atvirųjų aibių sąjunga ir baigtinio skaičiaus atvirųjų aibių sankirta yra atviroji aibė.

f> 1) Sakykime, sf={A} (A<=R) yra kokia nors atvirųjų aibių sistema. Pažymėkime P sistemos s/ aibių sąjungą. Jei xQ e P, tai egzistuoja tokia aibė A0e s/, kad x0 e A0. Bet A0 - atviroji, todėl A0 ir j uo labiau didesnė aibė P yra taško x0 aplinka. Taigi P yra bet kurio savo taško ap-Jinka, todėl P — atviroji aibė. r

2) Tarkime, aibės Aly ... , A„ yra atvirosios ir D yra šių aibių sankirta. Je i x0 e D, tai x0 priklauso ir kiekvienai aibei Ak. Kadangi aibė Ak -atviroji, tai egzistuoja toks skaičius rk>0, kad (x0—rk, x0 + rk)cAk (£ = = J , 2, . . . , » ) . Pažymėkime r=m'm { r l 5 r.z, r„}. Tada

(x0-r, x0 + r)cz(x0-rk, x0 + rk)czAk

visiems k= 1, 2, . . . , n, todėl (x0~r, x0+r)c=D, t. y. D yra taško x0 aplinka. Kadangi x0 — bet koks aibės D taškas, tai D yra kiekvieno savo taško aplinka, todėl D — atviroji. <]

P a s t a b a . Taško x0e R baigtinio skaičiaus aplinkų sankirta yra taško ;r0 aplinka.

Šį teiginį nesunku įrodyti tokiu būdu, kaip įrodėme teoremos antrąją dalį.

Nagrinėdami 1 pavyzdį matėme, kad atvirieji intervalai yra atvirosios aibės. Pagal įrodytą teoremą bet kokia atvirųjų intervalų sąjunga irgi yra atviroji aibė. Pasirodo, kad teisingas ir atvirkščias teiginys: kiekvienas atvirasis aibės R poaibis yra atvirųjų, poromis nesikertančių intervalų sąjunga. Mes įrodysime šiek tiek „griežtesnį" teiginį, tačiau iš pradžių reikės įrodyti vieną lemą.

Lema. Bet kokios atvirųjų intervalų, turinčių bent vieną bendrą tašką, sistemos sąjunga yra atvirasis intervalas.

Į> Tegu 3 — atvirųjų intervalų / sistema ir ce i visiems ie I. Pažy

mėkime A — I ^ J j , /? = inf A /> = «;IIN 4 Aišku, kad A a (a. b). Lema bus

įrodyta, jei įrodysime, kad ir (a, b)<=A. Sakykime, xe (a, b) ir x<c. a = inf A<x, todėl egzistuoja toks

x' e A, kad a<x' <x; be to, egzistuoja toks i'e 3 , kad x' e / ' . Taškas c priklauso visiems sistemos 3 intervalams, todėl c priklauso ir intervalui /". Pažymėkime (a, Į3)=f' . Kadangi x<c, x'<X, x'ei' ir c ei', tai a < <x' <x<c<$, t. y. xe i' ir j uo labiau xe A.

Jei xe (a, b) ir x>c, tai panašiu būdu įrodome, kad taip pat xe A, o tai ir reiškia, kad (a, b)c A. <]

22

S. A I B E S R P O A I B I U K L A S I F I K A V I M A S

2 teorema. Kiekvienas atvirasis aibės R poaibis yra baigtinė arba suskaičiuojama poromis nesikertančių atvirųjų intervalų sąjunga.

Į> Sakykime, A — atviroji aibė. Kiekvienam aibės A taškui x pažymėkime simboliu ix sąjungą visų tokių intervalų i, kuriems xeicA.

.Pagal lemą aibė ix — atvirasis intervalas. Be to, jei x'^x, tai arba

jxf]ix.= 0 , arba / r = /.,. Aišku, kad A = 1 ) (r« Išmetę iš sistemos { / A . }

pasikartojančius intervalus, gauname sistemą ./ poromis nesikertančių atvirųjų intervalų, kurių sąjunga lygi A.

Pagal išvadą iš 1.5 kiekviename intervale ie3 egzistuoja bent vienas racionalusis skaičius /*,. Skirtingus sistemos 3 intervalus atitiks skirtingi racionalieji skaičiai, t. y. . 7 ekvivalentiška suskaičiuojamos aibės poaibiui {rt : ie 3 } , todėl 3 — suskaičiuojama arba baigtinė. <\

Atvirosios aibės sąvoką, taigi ir kitas su j a susijusias sąvokas galima apibrėžti ir išplėstinėje realiųjų skaičių aibėje R. Baigtinių taškų /--aplinkas aibėje R apibrėžiame taip pat, kaip aibėje R. Taško + co /--aplinka vadiname intervalą (r, + co], o taško — oo r-aplinka — intervalą [—co, r). Taško aeR aplinka aibėje R vadiname bet kokią aibę VczR, kurios poaibis yra kokia nors taško a /--aplinka. Aibės R poaibį vadiname atvirąja aibe, jei j i yra kiekvieno savo taško aplinka; aibę Fa R vadiname uždarąja, jei R\F — atviroji (aibėje R).

Reikia pastebėti, kad, taip apibrėžiant atvirąsias ir uždarąsias aibes, gali atsirasti neaiškumų, pvz., tas pats intervalas [1, + co) bus uždarasis aibės R poaibis, bet nebus uždarasis aibės R poaibis. Tokiais neaiškiais atvejais nurodysime, kurios aibės poaibiu laikoma duotoji skaičių aibė, sakydami, pvz.: „Aibė A uždara erdvėje R", arba „Aibė B atvira erdvė

je R" (aibės R ir R dažnai yra vadinamos erdvėmis). Panašiai, kaip erdvėse R ir R, galima klasifikuoti ir bet kurios aibės

A<=. R poaibius. Būtent, atviraisiais aibėje A vadinsime tuos ir tik tuos aibės A poaibius, kurie yra lygūs atvirosios erdvėje R aibės ir aibės A sankirtai; uždaruoju aibėje A vadinsime toki aibės A poaibi F, kuriam A F — atvira erdvėje A. Aibę V a A vadinsime taško ae A aplinka erdvėje A, jei egzistuoja tokia atvira erdvėje A aibė G. kad

aeCc V.

Apskritai bet kokių elementų aibė T. kuriai nurodyta, kokie jos poaibiai vadinami atviraisiais, vadinama topologine erdve, jei tuščioji aibė, aibė T, bet kokios atvirųjų aibių sąjungos ir baigtinės atvirųjų aibių sankirtos yra atvirosios aibės. Topologinėse erdvėse galima apibrėžti ir nagrinėti daugelį matematinės analizės sąvokų.

9. Baigtinės dangos lema

Apibrėžimas. Aibės AczR atvirąja danga vadiname atvirų erdvėje R aibių sistemą CD, kurios aibių sąjunga uždengia aibę A, t. y.

Ac (J D. DeCj)

Aibę KczR vadiname kompaktiška, jei iš kiekvienos jos atvirosios dangos 0) galima išrinkti baigtinę dangą {Dx, ... , Dn}dcD.

1 p a v y z d y s . Bet kokia baigtinė baigtinių realiųjų skaičių aibė K— = {x1, ... , xn} yra kompaktiška. Iš tikrųjų, jei atvirųjų aibių sistema

CD yra aibės K atviroji danga, tai bet kokiam xke K egzistuoja bent viena tokia aibė DkecD, kad xke Dk, todėl baigtinė sistemos CD aibių sistema {Di, ... , D„} yra aibės K danga.

2 p a v y z d y s . Aibė N nėra kompaktiška aibė. Jei kiekvienam ne N sudarysime atvirą intervalą (n — l, n + l), tai visų tokių intervalų sistema cD={(n— I, n + l ) :n e TV} uždengs aibę N, bet iŠ sistemos <\Z) negalėsime išrinkti baigtinės dangos aibei N.

Borelio 1 baigtinės dangos l e m a . Uždaras baigtinis intervalas [a, b] yra kompaktiška aibė.

t> Sakykime, intervalas [a, b] yra nekompaktiškas, t. y. egzistuoja tokia atviroji aibės [a, b] danga 'D, iš kurios neįmanoma išrinkti baigtinės

dangos. Padalykime intervalą [a, b] viduriniuoju tašku c=^^-~ į du

vienodo ilgio intervalus: [a, c] ir [c, b}. Kadangi iš dangos CD neįmanoma išrinkti baigtinės viso intervalo [a, b] dangos, tai iš CD neįmanoma išrinkti baigtinės dangos bent vienam iš intervalų: [a, c] ir [c, b]; pažymėkime

šį intervalą [ a l 5 b{\. Pastebėsime, kad bt—ax— - ^ . Padaliję intervalą

[ax, bj] tašku cx = - -^r-1- \ du dalinius intervalus [ax, ė J ir [cXi bx], gauname,

kad bent vienam iš j ų neįmanoma išrinkti iš cl) baigtinės dangos; pažymė

kime šį intervalą [a2, b2\. Pastebėkime, kad u2 — a2 = — = ;'^'

Toliau dalydami gausime intervalų seką {[ak, bk]} su tokiomis savybėmis:

[a, b]^>[alf 6 i ] = > [ a 2 , b2]ZD..., bk — ak~~-k~ ir kiekvienam intervalui

[A/o bk] iš ^ neįmanoma išrinkti baigtinės dangos (k—1,2, ...).

Iš tikrųjų, jei jau išrinkti intervalai [ax, fej, [a2, b\], ... , [a„, b„] su

nurodytomis savybėmis, tai, padaliję intervalą [an, b„] tašku cn = -^~—

į du dalinius intervalus [an, e„] ir [c„, b„], gausime, kad bent vienam j ų 1 E . Borel (1871 — 1 9 5 6 ) — prancūzų matematikas.

10. E L E M E N T A R I Ų J Ų F U N K C I J Ų EGZISTAVIMAS

iš CD neįmanoma išrinkti baigtinės dangos; pažymėkime j į [an+1, ba+1]. Tada ~an+1 = = ir [ą„, b„]^[an+l, bn+1], taigi egzis

tuoja ir intervalas [an+lt bn+]] su tokiomis pat savybėmis, kaip intervalai [ax, 6 J , . . . , [a„, b„]. Tai' ir yra įrodymas (matematinės indukcijos būdu), kad egzistuoja begalinė intervalų seka ([ak, bk}) su nurodytomis savybėmis.

Pagal lemą apie įdėtuosius intervalus (I . 7) egzistuoja taškas x*, priklausantis visiems intervalams [ak, bk] ir juo labiau intervalui [a, b]. Kadangi CD yra intervalo [a, b] atviroji danga, tai egzistuoja tokia atviroji sistemos 0 ) aibė G, kad x*eG. G - atviroji aibė erdvėje R, todėl pagal atvirosios erdvėje R aibės apibrėžimą (I . 8) egzistuoja tokia taško .v* r-aplinka (x*~r, x*+r), kad (x*-r, x* + r)cG. Bet jeigu n yra pakankamai didelis (pvz., jei n>-~a-)j, tai 6 r t - a „ = ^ — < r ir todėl [an> bn]^{x*-r, x* + r)c:G. Gavome prieštaravimą: intervalui [a„, b„] su pakankamai dideliu n iš CD galima išrinkti baigtinę dangą (sudarytą iš vienos aibės G), ir kita vertus, pagal intervalų [ak, bh] pasirinkimo būdą, nė vienam iš j ų neįmanoma iš 1) išrinkti baigtinės dangos.

Gautasis prieštaravimas įrodo, kad įrodymo pradžioje padaryta prielaida apie intervalo [a, b] nekompaktiškumą yra neteisinga. <3

Vėliau iš bendresnių teoremų išplauks, kad visi uždarieji ir aprėžtieji realiųjų skaičių aibės poaibiai ir tik j ie yra kompaktiškos erdvėje R aibės.

10. Elementariųjų funkcijų egzistavimas

Paprasčiausios elementariosios funkcijos x* (laipsninė funkcija), a* (rodiklinė funkcija), sin x, cos x (trigonometrinės funkcijos) ir j ų atvirkštinės funkcijos yra apibrėžiamos vidurinės mokyklos kurse. Tačiau apibrėžiant šias funkcijas susiduriama su rimtais loginiais sunkumais. Nors laipsnis su sveiku rodikliu a", ne Z, apibrėžiamas indukcijos būdu labai paprastai (a1 =a, a"+'i=a" • a, a~"=lja" bet kokiems ne N), bet jau

1 " su laipsnio an = ] / a , ne N, apibrėžimu susiję loginiai sunkumai: tenka įrodinėti, kad bet kokiam a>0 egzistuoja toks skaičius b>0, kad b"~a,

N

t. y. tenka įrodinėti šaknies ]/ a egzistavimą. Apibrėžus realiuosius skaičius aksiomomis, taip pat reikia įrodyti, kad šaknies egzistavimą galima išvesti iŠ realiųjų skaičių aksiomų ir j au įrodytų teoremų.

. Šaknies egzistavimo teorema. Bet kokiam a^O ir ne N egzistuoja toks b^O, kad b" = a; be to, tarp neneigiamų realių skaičių toks b yra vienintelis.

D> Iš pradžių pastebėsime, kad n

p"-cf" = (p-q) 2 Pn~k«k-\ ( 0 K = L

24 25

esant bet kokiems p , qe R. Iš tikrųjų, je i x^= i, tai

l-x" 1 + x + x2 + .. . +*"-1 =

Įstate x = J gauname (1) , je i / > # 0 ir p^q. Kai p = 0, arba p = q, (1) lygybę galima patikrinti tiesiogiai.

Sakykime, a>0. Aibei A = {xe R :x>Q, xn<a) skaičius l+a yra viršutinis rėžis, todėl A aprėžta iš viršaus. Pažymėkime b = sup A ir [rodykime, kad b"-a.

Tarkime, b"<a. Bet kokiam he(0, 1) turime:

(b + h)"-b" = h T (bA-h)'"kbk-l<hn(b+\)n-1. k = \ \

Iš šios nelygybės matome, kad pakankamai mažiems h bus (b+k)"<a, būtent, pakanka pasirinkti

a-b" h< rt(b+l)»-

Taip pasirinkę h gautume, kad b + heA, bet to negali būti, nes b yra aibės A viršutinis rėžis. Gautas prieštaravimas įrodo, kad bn^a.

n Tarkime, bn>a. Jei 0<h<b, tai b"-(b - h)n = h V b"~k (b - h)"-1 <

k = l <hnb" 1 , todėl h galima pasirinkti tokį mažą, kad būtų (b-h)"> >a— pakanka pasirinkti

b n - a h< nbn-

Su tokiu h išeitų, kad xn<a<(b-h)", todėl ir x<b-h visiems xe A, t. y. b —h būtų aibės A viršutinis rėžis, bet to negali būti, nes b yra mažiausias viršutinis rėžis. <\

m n Apibrėžę a" = ( { / # ) ' " (kai m ir n neturi nelygių i bendrų daiikiių)

gauname, kad ar apibrėžtas visiems re Q. Dabar nesunku apibrėžti ir ab visiems be R ir a^l, būtent,

r a 6 = s u p {ar :reQ, r^b}.

Jei 0 < a < l , tai apibrėžiame ab = (lla)~b. Iš šio apibrėžimo galima išvesti pagrindinę realiųjų skaičių laipsnių savybę:

ab+c = ab-ac (2)

visiems a>0 ir b, ce R. Šioje knygoje nebus įrodinėjamos elementariosios algebros teoremos ir taisyklės. Pvz., iš realiųjų skaičių aksiomų ir šiame skyrelyje suformuluoto ab apibrėžimo galima išvesti, kad ax*<ax*, jei x1<xt ir a> 1 (rodiklinės funkcijos monotoniškumo savybė). Panašiai įrodoma, kad xf <x%, jei xx<xa ir a > 0 (laipsninės funkcijos monotoniš-

10. E L E M E N T A R I Ų J Ų F U N K C I J Ų E G Z I S T A V I M A S

kumo savybė). Šių teiginių smulkiau neįrodinėsime. Be to, pastebėsime, kad laipsnis ab yra apibrėžtas visiems a>0 ir b e R, todėl funkcija x a

apibrėžta intervale [0, + cc) , jei a > 0 , arba intervale (0, + co) j e i a ^ O .

5 pav.

Suprantama, jei a e Z , arba a = — , m e Z ir n ~ nelyginis natūrinis

skaičius, funkcijos xa reikšmes galima apibrėžti ir kai A -<0 (5 pav.). R o -diklinė funkcija ax, a>0, apibrėžta visoje R (6 pav.).

Šioje knygoje naudosimės trigonometrinių funkcijų sin.r ir cos.v apibrėžimu ir savybėmis, aprašytomis vidurinės mokyklos vadovėliuose (7 pav.). Loginių sunkumų, susijusių su kampų matavimu, čia nenagrinėsime.

Panaudojant paprasčiausias elementariąsias funkcijas, galima api- . brėžti visų elementariųjų funkcijų klasę. Pavadinkime elementariomis operacijomis šias operacijas: 1) dviejų funkcijų sudėtį, 2) dviejų funkcijų daugybą, 3) dviejų funkcij ų superpoziciją (sudėtinės funkcij o s sudarymą iš dviejų funkcijų), 4 ) atvirkštinės funkcijos priskyrimą kokiai nors funkcijai (jei tokia funkcija egzistuoja). Atlikę baigtinį skaičių elementarių operacijų su paprasčiausiomis elementariosiomis funkcijomis, gauname tam tikrą funkcijų klasę Ex, atlikę baigtinį skaičių elementarių operacijų su E± klasės funkcijomis, gauname funkcijų klasę £ 2

i r l - J e i J a u apibrėžtos Elf ... En, klasės, tai, atlikę baigtinį skaičių elementarių operacijų su

6 pav .

27 2 6

S A I B E S IR F U N K C I J O S

cc

E„ klasės funkcijomis, gausime funkcijų klasę En+1. Funkcijų klasę E„

vadiname elementariųjų funkcijų klase. Elementariosios funkcijos plačiai taikomos fizikoje, technikoje, ekonomikoje ir kt. Paminėsime kelias dažniau sutinkamas elementariąsias funkcijas.

7 p a v .

Funkci ja P : R^-R, apibrėžiama lygybe

P (x) = a0 + ax x + a2 x2 + . . . + an x",

xe R, vadinama n-ojo laipsnio polinomu. Čia A? G Nirak€ R(k=0,1, . . . , « ) • Dviejų polinomų dalmuo yra vadinamas racionaliąja funkcija (8 pav.). Trigonometrinės funkcijos tg x ir ctg x apibrėžiamos lygybėmis

8 pav. 9 pav.

Apibrėžimas. Funkcija f: A->R, A<=R vadinama griežtai didėjančia intervale I<=:A, jei f (x')<f (x") bet kokiems x', x"e I, tenkinantiems nelygybę x'<x". f vadinama griežtai mažėjančia intervale I, jei f(x')> >f(x") bet kokiems x\ x"e I, tenkinantiems nelygybę x' <x". Jeigu f

yra griežtai didėjanti arba griežtai mažėjanti intervale I, tai ji vadinama griežtai monotoniška intervale L

28

10. E L E M E N T A R I Ų J Ų F U N K C I J Ų EGZISTAVIMAS

Jeigu / : I^R ir / — griežtai monotoniška intervale / , tai j i abipus vienareikšmiškai atvaizduoja / j aibe / ' ( / ) , todėl egzistuoja atvirkštinė funkcija f * : f (1)^1.

Pavyzdžiui, rodiklinė funkcija ax: a>0, a^ 1, yra griežtai monotoniška rntervale (— co, +oo) = R, todėl egzistuoja atvirkštinė funkcija, kuri rodiklinės funkcijos reikšmių aibę

Y = {ax:xeR} = (0, + co)

atvaizduoja j aibę R. Šios funkcijos reikšmę taške y e Y žymime log u.r (10 pav.).

Funkcija s i n x intervale [ — y « y ] v r a griežtai didėjanti ir jos reikš

mių aibė yra intervalas [—1, 1], todėl funkcijos sin x siaurinys in

tervale [ - y , y ] y r a bijekcija [ ~ y » y ] - > [ — l j H- Šios bijekcijos at

virkštinės funkcijos reikšmė taške .ve [—1, I] žymima a r c s i n v (11 pav.).

x=log2y ^ y

/ s /

/ /

/ /

sr y=orcsin x 2

y=orcsin x

•i y A ! ^ X X - f i i / 2 ^

2

10 pav. 11 pav.

Funkcija cos.v yra griežtai mažėjanti intervale [0, n], jos siaurinys šiame intervale yra bijekcija [0, 7r]->[—1, 1] ir turi atvirkštinę funkciją, kurios reikšmė taške ve [—1, 1] žymima arccos v- (12 pav.).

Funkcija t g x griežtai didėja intervale ( ~ y > y j > ° funkcija c t g * —

griežtai mažėja intervale (0, n), todėl šių funkcijų siauriniai minėtuose intervaluose turi atvirkštines funkcijas, apibrėžtas visoje aibėje R. Funkcijos igx atvirkštinės funkcijos reikšmė taške y<= R Žymima aretgv. o funkcijos ctg „v atvirkštinės funkcijos reikšmė taške y e R žymima arcctg y (13 pav.).

Pastebėsime, kad pagal apibrėžimą

— y < arcsin y < y , 0 < arccos y < K,

— y < a r c t g j < y ir 0 < arcctg y <n

visiems y iŠ Šių funkcijų apibrėžimo aibių.

29

12 pav . 13 pav .

1 1 . Apžva lga

Šio skyriaus pradžioje ( I . 1) aibe pavadinome bet kokių objektų, vadinamų aibės elementais, rinkinį. Aibės elementai gali būti bet kokie daiktai, simboliai, sąvokos, kitos aibės ir pan. Šitaip aprašant aibes, susiduriama su tam tikru loginiu sunkumu: kaip atskirti, ar koks nors objektas yra duotos aibės elementas, ar ne? Jei aibė A duota, tai turi būti nurodytas koks nors charakteringas tos aibės elementų požymis P, pagal kurį būtų galima atskirti, ar koks nors objektas x yra duotosios aibės elementas. Taigi A = {x : x turi požymį P}. Tačiau taip apibūdinus aibę gali kilti prieštaravimų, vadinamų antinomijomis arba paradoksais. Kaip pavyzdį galima paminėti vadinamosios Raselo (B . Russel) antinomijos (1902 m.) buitinį variantą: kaimo barzdaskutys skuta barzdas visiems tiems ir tik tiems kaimo gyventojams, kurie patys sau neskuta barzdos; ar barzdaskutys skuta barzdą pats sau? Aišku, kad tai — aibių teorijos antinomija: Čia aibę A sudaro visi tie kaimo gyventojai, kurie turi požymį P — patys sau neskuta barzdos. Ka ip matome, šis požymis neapibrėžia aibės A, nes pats barzdaskutys negali nei priklausyti, nei nepriklausyti šiai aibei.

Bandyti išvengti prieštaravimo galėtume paskelbdami požymį P „netinkamu" -, „prieštaringu" ir pan., bet tada kiltų klausimas, pagal kokį kriterijų atskirti „tinkamus" ir „netinkamus" požymius. Šiuos klausimus nagrinėja matematinės logikos šaka, vadinama aksiomine aibių teorij a , kuri matematinės logikos metodais tyrinėja atskirus aibių teorijos fragmentus. Su tais klausimais skaitytojas gali susipažinti iš specialių monografijų.

Antrame paragrafe apibrėžiama vienareikšmė funkcija (=atvaizdis) / : A-^B kaip taisyklė, pagal kurią aibės A elementams priskiriami aibės B elementai. Kitas apibrėžimas: vienareikšme funkcija / : A~>B vadinamas aibės A A B poaibis G su tokia savybe: kiekvienam xe A egzistuoja vienas ir tik vienas aibės G elementas (x, y); y vadinamas funkcijos / reikšme taške x. Pirmasis apibrėžimas plačiai vartojamas matematinėje literatūroje ir įvairiuose matematikos pritaikymuose, be to, mažiau formalus ir vaizdesnis už antrąjį, todėl šiame vadovėlyje jis ir laikomas pagrindiniu.

3 0

12. UŽDAVINIAI

Realiuosius skaičius nusakėme aksiomomis. Yra ir kitas realiųjų skaičių apibrėžimo būdas: galima aksiomomis nusakyti natūrinius skaičius, po to jais remiantis apibrėžti racionaliuosius skaičius kaip natūrinių skaičių poras su tam tikru būdu apibrėžtomis aritmetinėmis operacijomis ir nelygybėmis, o naudojantis racionaliais skaičiais apibrėžti bet kokius realiuosius skaičius.

Su realiųjų skaičių aibe susijusios ir kitos svarbios šio skyriaus savo-kos. Tai tiksliojo rėžio (I . 4 ) , suskaičiuojamos aibės (I . 6 ) , aplinkos (I. 8) , atvirosios aibės ( I . 8 ) , ribinio taško (T. 8) , atvirosios dangos ( I . 9) ir kompaktiškos aibės (I . 9) sąvokos.

Iš įrodytų šiame skyriuje teiginių norėtųsi išskirti teoremą apie tiksliųjų rėžių egzistavimą ( I . 4) ir iš j o s išplaukiančią teoremą apie įdėtuosius intervalus ( I . 7) . Šiomis teoremomis pagrįsti įvairių teoremų įrodymai. Kita vertus, teoremos apie atvirųjų erdvės R aibių struktūrą (I . 8) ir B o -relio baigtinės dangos lema (I . 9) - sudėtingiausios ir prasmingiausios šiame skyriuje.

Surašykime įrodytų Šiame skyriuje teoremų pavadinimus: 1. Tiksliųjų rėžių teorema ( I . 4) . 2. Archimedo principas (I . 5). 3. Teorema apie aibės N poaibius ( I . 5) . 4. Teorema apie suskaičiuojamos aibės poaibius ( I . 6) . 5. Teorema apie suskaičiuojamų aibių suskaičiuojamą sąjungą (I. 6 ) . 6. Teorema apie suskaičiuojamų aibių Dekarto sandaugą ( I . 6) . 7. Teorema apie racionaliųjų skaičių aibės suskaičiuoja m urną (I . 6). 8. Įdėtųjų intervalų lema (I . 7) . 9. Teorema apie intervalo [a, b] nesuskaieiuojamumą ( I . 7 ) .

10. Teorema apie atvirųjų aibių sąjungą ir sankirtą (I . 8) . 11. Teorema apie atvirųjų aibės R poaibių struktūrą (I . 8). 12. Borelio baigtinės dangos lema ( I . 9) . 13. Šaknies egzistavimo teorema (I. 10).

12. Uždavinia i

1. Įrodykite, kad (A U B) fl C = ( / l n C) U (B n C). 2. Įrodykite, kad A\(B u C)=*(A\B) 0 (A\C). 3. Įrodykite, kad A\(B fl C)—(A\B) U (A\C). 4. Sakykime, kad A ir B yra funkcijos / apibrėžimo aibės poaibiai,

a) Įrodykite, kad f (A <oE)=f (A) U f (B)] b) nurodykite pavyzdi funkcijos / ir aibių A ir B, kurioms f (A n B) # / (A) n j (B).

5. Sakykime, kad A ir B - bet kokios aibės, f - bet kokia funkcija; įrodykite, kad f~1 (A U B) = f-1 (A) U f~1 (B) ir f ' 1 (A fl B) = = f-\A)(\ f'HB).

6 . Sakykime, kad AczR ir BczR. a) Įrodykite, kad sup (A u B)^ = m a x {sup .4, sup B} ir inf {A U-B) = min {inf A, \m°B): b) nurodykite pavyzdį aibių A ir B, kurioms sup {A n f i ) < m i n {sup A, sup B}.

7. Sakykime, kad / : R-+R, g : R-+R ir A <= R. a) Įrodykite, kad sup(f+g) n (A)^sup f(A)-\-sup g (A); b) nurodykite pavyzdį aibės A ir

31

II R I B A

funkcijų/, g, kurioms sup (f+g) (A) < sup / (A) + sup g (A) (čia (f+g) (x) = =f(x) + q(x)).

8. Įrodykite, kad kiekviena sistema poromis nesikertančių intervalų yra baigtinė arba suskaičiuojama.

9. Įrodykite, kad intervalas [0, 1) vra ekvivalentiškas intervalui [0, + co).

10. Įrodykite, kad visų plokštumos apskritimų, kurių centrai turi racionalias koordinates ir kurių spinduliai yra racionalieji skaičiai, aibė yra suskaičiuojama.

11. Sakykime, kad AczR. Įrodykite: jei aibė A atvira erdvėje R, tai j i atvira ir erdvėje R, ir atvirkščiai.

12. Sudarykite aibės Z atvirąją dangą, iš kurios neįmanoma išrinkti baigtinės dangos.

13. Sudarykite aibės j r i :«e7vj atvirąją dangą, iš kurios neįmanoma

išrinkti baigtinės dangos. 14. Sudarykite intervalo (0, 1) atvirąją dangą, iš kurios neįmanoma iš

rinkti baigtinės dangos.

I I

RIBA

1. Funkcijos riba

Sakykime, AczR ir f : A^R, t. y. f yra funkcija, apibrėžta realiųjų skaičių aibėje A ir j o s reikšmės yra realieji skaičiai, kurie gali būti ir begaliniai. Tokia funkcija vadinama realiąja realaus kintamojo funkcija. Kaip ir anksčiau, realiuosius skaičius kartais vadinsime taškais. Šiame skyriuje taško xe R aplinka vadinsime j o aplinką erdvėje R (žr. I . 8 ) , o taško x bazine aplinka — bet kokią j o r-aplinką erdvėje R.

Sakykime, taškas a e R yra aibės A ribinis taškas (žr. I . 8 ) .

1 apibrėžimas. Funkcijos f riba taške ae R vadiname tokį tašką be R, kurio bet kuriai aplinkai Vb egzistuoja tokia taško a aplinka Va,kadf (x)e Vb, jei xe Va[) A ir xâ.

Jeigu b yra funkcijos / riba taške a, tai rašome 6 = lim f(x). x—*a

P a v y z d y s . Sakykime, f(x) == 1 įx2. Tada lim l / x 2 = c o . Iš tikrųjų, jei x-*0

Va, yra bet kokia taško co aplinka, tai pagal aplinkos apibrėžimą egzistuoja

3 2

1. F U N K C I J O S R I B A

tokia taško oo r-aplinka (bazinė aplinka) (r, co], kad (r, co]c: Tada

f(x)e(r, co], t. y. ^ - > r , jei \x\<^=-, t. y. x e ^ - y = , y = ) « Pa

žymėję V0 intervalą f = - , !_ ) gauname, kad \ V r V r f

-êVn, je i xeV0 ir x^Q,

t. y. lim ~ = o o . x-*0 X

Pastebėsime, kad pagal bazinės aplinkos (t. y. r-aplinkos) apibrėžimą bet kuriai erdvės R taško aplinkai V egzistuoja tokia to paties taško bazinė aplinka B, kad Bcz V, todėl, funkcijos ribos apibrėžime pakeitę žodžius „taško a aplinka Va" žodžiais „taško a bazinė aplinka Va" ir žodžius „taško b aplinka Vb" žodžiais „taško b bazinė aplinka Vb", gausime ekvivalentišką ribos apibrėžimą.

1 teiginys. Jei a ir b — baigtiniai realieji skaičiai, tai lim f(x) = b tada x-+a

ir tik tada, kai kiekvienam teigiamam skaičiui z egzistuoja toks teigiamas skaičius S, kad

\f(x) — b\<e, jei 0<\x — a j < S ir xeA.

> Jei s>0 ir lim f(x)=b, tai bet kuriai taško b aplinkai, taigi ir ap-x—*a

linkai (b — z, b+£) egzistuoja tokia taško a aplinka Va, kad f(x)e(b-t,b+z),t.y. \f(x) — b | < z, jei xe Va n A ir x¥=a. Pagal aplinkos apibrėžimą egzistuoja tokia taško a bazinė aplinka (a—S, a + 8 ) , kad ( t f - S , a + $)cz Va. Jeigu xe A ir 0 < | x — a | < S , t a i x e (a— S , a + §)cz Va ir xâir todėl \f(x) — b \ < e.

Ir atvirkščiai: j e i kiekvienam s > 0 egzistuoja toks 8 > 0 , kad \f(x) — — b \<z, kai 0<\x — a | < 8 ir xe A, tai pagal 1 apibrėžimą limf(x) = b.

x-*a IŠ tikrųjų, jei Vb — bet kokia taško b bazinė aplinka, tarkim Vb = (b— z, b+z), tai skaičiui z pasirinkę tokį B, kuris atitinka teiginio formuluotėje nurodyta sąlyga, ir pažymėię V„ = (a— S, a + S) , gauname, kad \f{x)-b \<z, t. y. f(x)e Vb, je i xe VaC)A ir xâ. <\

Dabar galime suformuluoti kitą funkcijos ribos apibrėžimą, ekvivalentišką baigtinių a ir b atveju 1-am apibrėžimui.

2 apibrėžimas. Sakykime, a ir b yra baigtiniai skaičiai. Funkcijos f riba taške a vadiname skaičių b, jei kiekvienam teigiamam skaičiui z egzistuoja toks teigiamas skaičius S, kad

\f(x) — b\<z, jei 0<\x — a\<8 ir xeA.

2. V . Kabaila

II RIBA

Šis apibrėžimas kartais vadinamas ribos apibrėžimu z — S terminais, o 1 apibrėžimas — pagrindiniu ribos apibrėžimu, arba apibrėžimu aplinkų terminais. Iš įrodyto teiginio išeina, kad baigtinių skaičių a ir b atveju abu ribos apibrėžimai yra ekvivalentiški: je i b yra f u n k c i j o s / r i b a taške a pirmojo apibrėžimo prasme, tai b y r a / r i b a taške a antrojo apibrėžimo prasme ir atvirkščiai. Tačiau 1 apibrėžimas bendresnis, nes j i s tinka ir tuo atveju, kai skaičiai a ir b (arba vienas iš jų) yra begaliniai. Žinoma, ir tuo atveju, kai a, arba b, arba a ir b yra begaliniai, galima suformuluoti ribos apibrėžimus, panašius į 2 apibrėžimą ir ekvivalentiškus kiekvienu atskiru atveju 1 apibrėžimui. Pvz., jeigu a = + co ir b — baigtinis realusis skaičius, tai gauname tokį apibrėžimą:

2a apibrėžimas. Sakykime, b yra baigtinis skaičius. Funkcijos f riba taške + co vadiname skaičių b, jei kiekvienam teigiamam skaičiui z egzistuoja toks skaičius r eR, kad

\f(x) — b\<z, j e i x>r ir xeA.

Jeigu a~ — cc, tai 2a apibrėžime vietoj nelygybės x>r reikėtų rašyti x<r. Kai 6 = + co, —apibrėžimai analogiški.

Nagrinėdami ribų savybes, kiekvienu atveju taikysime tą ribos apibrėžimą, kuris bus patogesnis.

-r 2. Sekos riba

Atskirai paminėtinas ribos apibrėžimas skaičių sekoms (xn), t. y. natūrinio argumento funkcijoms / : N->R, f (n)=xn, ne N (žr. I . 7 ) . Kadangi erdvėje R yra tik vienas aibės N ribinis taškas, būtent, taškas 4- co, tai vietoj \imx„ = a rašome sutrumpintai \imx„ = a, arba xn-^-a. Pagal 1 apibrė-

žimą \imx„ = a, jei bet kuriai taško a aplinkai Va egzistuoja tokia taško oo aplinka V^, kad

x„eVa, je i ncV^nN;

be to, Vco galima laikyti bazine aplinka, t. y. Vx~(r, co] kokiam nors re R. Sąlyga ne VM n N reiškia, kad n>r. Taigi lim xn = a, je i bet kuriai a aplinkai Va egzistuoja toks re R, kad

x n

E V a , je i n>r (n e N).

Kadangi kiekvienam re R egzistuoja didesnis už j į natūrinis skaičius n0 ( I . 5) , tai sąlygą n>r galima pakeisti sąlyga n>n0. Taigi iš bendro ribos apibrėžimo gauname: lim x„ = a, jei bet kuriai taško a aplinkai Va egzistuoja toks n0e N, kad

x„eVa, jei n>n0.

Sąlygą x„e Va, kaip ir antrame ribos apibrėžime, galima pakeisti nelygybe | xn — a | < z, kai a - baigtinis, nelygybe x„>r, kai a=co, ir nelygybe x„<r, kai a = — co.

34

2, S E K O S R I B A

P a s t a b a . x„-*-a tada ir tik tada, kai bet kuriai a aplinkai Va priklauso visi sekos (x„) nariai, išskyrus baigtinį šios sekos narių skaičių.

Tarkime, kad •Vi» -^2' • * •» • • • 0 )

yra skaičių seka, o o — bijekcija N^N. Tada skaičių sekos

*ep (1)> x y (2)» • • •» * • • • (2)

pirmasis narys xą>(1) bus (1) sekos narys su numeriu 9 (1) , (2) sekos antrasis narys bus (1) sekos narys su numeriu 9 (2) ir 1.1. Taigi (2) sekos nariais yra visi (1) sekos nariai: n-asis (2) sekos narys x<p(„) yra (1) sekos narys su numeriu 9 («), ne N. (2) seką vadinsime skaičių seka, gauta iš (1) sekos, perstatant j o s narius.

Teiginys. Jeigu a yra skaičių sekos (x„) riba, tai a yra ir sekos, gautos iš (x„) perstatant jos narius, riba.

> Sakykime, kad xn->a. Tada bet kuriai a aplinkai V priklauso visi sekos (x„) nariai, išskyrus baigtinį j ų skaičių. Bet tada aplinkai V priklauso ir visi „perstatytos" sekos (XQ , n ) ) nariai (čia 9 — bijekcija N~>N), išskyrus baigtinį j ų skaičių, t. y. xtf{n)â. <

Bet kokios, nebūtinai natūrinio argumento funkcijos, ribą galima apibrėžti ir sekų terminais.

Sakykime, kad AcR ir taškas ae R yra aibės A ribinis taškas. Iš ribinio aibės taško apibrėžimo (žr. I. 8 ) išeina, kad egzistuoja aibės A taškų seka (xn), xn=£a, kurios riba yra a. IŠ tikrųjų, pažymėkime =

= —*į- f a + ^ , jei a — baigtinis, V{")=s(n, + co], jei a= + co ir V(

a

n) =

= [— ° 0 » —«) , jei a = — co. Bet kurioje a aplinkoje V(

a

n) pagal ribinio taško apibrėžimą yra bent du skirtingi aibės A taškai, todėl yra ir taškas x„e A n V^, x„â,n= 1, 2, . . . . Nesunku pagal ribos apibrėžimą patikrinti, kad x„->a.

Dabar galima suformuluoti trečią funkcijos ribos apibrėžimą, kuris vadinamas ribos apibrėžimu sekomis.

Apibrėžimas. Skaičių be R vadiname funkcijos f : A-^R riba taške a, jei kiekvienai aibės A taškų sekai (x„), xn=£a, kurios riba yra a, funkcijos reikšmių seka ( /(x„)j turi ribą b.

Teorema. Funkcijos f ribos apibrėžimas sekomis yra ekvivalentiškas pagrindiniam funkcijos ribos apibrėžimui (t. y. 1 apibrėžimui iš I I . 1).

> Sakykime, kad \\mf(x) = b pagal pagrindinį ribos apibrėžimą.

Tada kiekvienai taško b aplinkai Vb egzistuoja tokia taško a aplinka Va, k a d / ( x ) e Vb, j e i xe Va n A ir x # a . Pasirinkime bet kokią aibės A taškų seką (xn), xnâ, kurios riba yra a, t. y. limxn = a. Tada aplinkai Va egzistuoja toks n0e N, kad xne Va, o todėl ir f(x„)e Vb, jei n>n0. Tai reiš-

2» 35

II R I B A

kia, kad/•(*„)->£, t. y. b yra funkci jos / r iba taške a pagal ribos apibrėžimą sekomis.

Dabar sakykime, kad b yra funkc i jos / r iba taške a pagal ribos apibrėžimą sekomis. Tarkime, kad b nėra funkc i jos / r iba pagal pagrindinį ribos apibrėžimą. Tada egzistuoja tokia taško b aplinka Vb, kad kiekvienoje taško a aplinkoje Va atsiras bent vienas toks taškas x e Va n A, xâ, kad

f(x)į Vb. Pasirinkime taško a aplinkas Va

n) (n = 1, 2, . . . ) taip, kaip jos buvo apibrėžtos anksčiau: Va

n) = [a- į , a+ , jei a - baigtinis skaičius,

V(

a"'> = (n, + c o ] , jei a= + co ir V(

a

n)=[- co, -n), jei a- - co. Kaip jau buvo sakyta, kiekvienoje a aplinkoje Va

n) atsiras bent vienas toks taškas xne Vįn) fl A, xn¥=a, kad / (x„) <£ Vb. Tada xn->a ir b nėra sekos ( / ( * „ ) ) riba, bet taip negali būti, nes b yra funkcijos / riba taške a pagal ribos apibrėžimą sekomis. Gautas prieštaravimas įrodo, kad padaryta prielaida yra neteisinga, todėl lim f(x) = b pagal pagrindinį ri-x~*a bos apibrėžimą. <\

Įrodyta teorema dažnai naudojama, kai norima įrodyti, kad duota funkcija neturi ribos kokiame nors taške.

P a v y z d y s . Įrodykime, kad funkcija / ( x ) = sin - ( x # 0 ) neturi ribos

taške 0 ( 1 4 pav.). Įrodymui pasirinkime taškus = ^ - ir * ; =

= - 1 , « = 1 , 2, . . . . Aišku, kad x„->0, x'n->0, x „ # 0 ir x'n^0. Bet

lim sin — = lim sin mz = 0, x„ o funkcijos / reikšmių taškuose x'n seka turi kitą ribą:

lim sin ~ = lim sin įlnn+ ~J=1,

todėl pagal ribos apibrėžimą sekomis nė vienas skaičius negali būti funk

cijos sin - riba taške 0.

3. Riba iš dešinės ir iš kairės

Sakykime, kad AczR ir a yra aibės {xe A :x>a} ribinis taškas.

Apibrėžimas. Funkcijos f: A-+R riba iš dešinės taške a vadiname tokį tašką be R, kurio kiekvienai aplinkai Vb egzistuoja tokia taško a aplinka Va, kad f (x)e Vb, jei xeVaf)A ir x>a.

3 6

4. P A P R A S Č I A U S I O S R I B Ų S A V Y B E S

Jei a yra aibės {xe A : x<a] ribinis taškas, tai funkcijos / r i b a iš kairės apibrėžiama panašiai, kaip riba iš dešinės, pakeičiant nelygybę x>a nelygybe x<a.

Funkcijos / ribą iš dešinės taške a žymėsime lim f(x) arba f(a + ) ,

o ribą iš kairės — lim f(x) arba f (a — ) . x—>a—

Tegu a yra ir aibės {xe A : x>a}, ir aibės {xe A : x<a} ribinis taškas.

Teorema. limf(x) = b tada ir tik tada, kai f (a + )=f (a — )~b.

r> Jei limf(x) = b, tai kiekvienai taško b aplinkai Vb egzistuoja tokia

taško a aplinka Va, kad f(x)eVb visiems xeVa(] A, x^-a, t. y. visiems xeVaczA, x>a ir visiems xeVa n A, x<a, o tai ir reiškia, kad f(a + ) =

Ir atvirkščiai: je i f (a + )—f(a~) = b, tai kiekvienai b aplinkai Vb egzistuoja tokia a aplinka V'a, kad f(x)eVb visiems xeV'a n A, x>a, ir egzistuoja tokia a aplinka V'a, kad f(x)eVb visiems xeVa n A, x<a. Pažymėkime Va~ V'a n V'a\ Tada Va — kgi taško a aplinka (žr. I. 8) . Jei xeVa f) A, xâ, tai xeV'a n A ir xeV"a n A, t o d ė l / ( x ) e V b , o tai ir reiškia, kad lim

f(x) = b. < .

4. Paprasčiausios ribų savybės

Lema. Jei ae R, be R ir a^b, tai egzistuoja taškų a ir b aplinkos, neturinčios bendrų taškų.

\> Sakykime dėl apibrėžtumo, kad a<b. Egzistuoja toks re R, kad a<r<b (žr. 1.5,2 teoremos išvadą). Tada taškų a ir b aplinkos Va = [— co, r) ir Vj,—(r, -rco] neturi bendrų taškų. <]

P a s t a b a . Jei a<b, tai egzistuoja tokios taškų a ir b nesi kertančios (t. y. neturinčios bendrų taškų) aplinkos Va ir Vb, kad x<y visiems xeVa

ir y^Vb. Toliau visose šio skyrelio teoremose AczR, a — aibės A ribinis taškas

erdvėje R (ae R), f, g, h : A->R.

1 teorema. Jei \imf(x) = b ir \\mf(x) = c, tai b = c.

t> Tarkime, kad b^c. Tada egzistuoja nesikertančios b ir c aplinkos Vb ir Vc. Pagal ribos apibrėžimą egzistuoja tokia taško a aplinka V'a, kad

f(x)eVb, jei xeVaf]A, xâ, ir tokia taško a aplinka Va, kūdf(x)eVc, je i xeVl n A, xâ. AibėVa = V'a n v; yra taško a aplinka (žr. II . 8) ir a -

37

II RIBA

ribinis aibės A taškas, todėl aplinkoje Va egzistuoja bent vienas aibės A taškas x, nesutampantis su a. Tada xsV'a ir xeV'^, todėl / (x)eVb ir f(x)eVc, bet to negali būti, nes Vb ir Vc nesikerta. <J

1 2 teorema. Jei \imf(x) = b<c, tai egzistuoja tokia a aplinka Va, kad x—*a

f (x) < c, jei xe Va n A ir xâ.

> Intervalas [— co, c) yra taško b aplinka. Kadangi \imf(x) = b, tai x-*-a

pagal ribos apibrėžimą egzistuoja tokia taško a aplinka Va, kad f(x) e e [—co, c), t. y. f(x)<c, je i xeVaC)A ir x^0. <j

Išvada. Jei lim f(x)>c, tai egzistuoja tokia a aplinka Va, kad f(x)>c x—>a

visiems xeVaf\A, xâ.

3 teorema. Jei funkcija f turi baigtinę ribą taške a, tai yra tokia taško a aplinka V a , kad funkcija f yra aprėžta aibėje Va n A\{a}.

\> Pažymėkime b = \\mf(x) ir pasirinkime du tokius baigtinius skai-x—*a

č iusp ir q, kad būtųp<b<q. Pagal 2 teoremą egzistuoja tokios a aplinkos V'a ir V^, kad f(x)>p, je i xeV'a n A, xâ ir f(x)<q, jei xeV"a n ^ , Pažymėkime Va= V'a n Tada p<f(x)<q, je i xeVaf)A ir x ^ a . Jei xn->aeR, tai pagal 2 teoremą egzistuoja toks « 0 e N, kad x„ < a + 1,

jei n>n0. Tada x „ < m a x { x 1 , *„„ a + 1 } ,

t. y. seka (x„) aprėžta iš viršaus. Panašiai įrodoma, kad (x„) aprėžta ir iš apačios. <\

Tolesnės dvi teoremos vadinamos teoremomis apie perėjimą prie ribos nelygybėse.

4 teorema. Jei f(x)^g(x) visiems xe A ir egzistuoja funkcijų f ir g ribos taške a, tai

• lim / ( x ) lim g (x).

> Pažymėkime b = \imf(x), c = \img(x) ir tarkime, kad b>c. Pagal x-*a x—>a

lemą egzistuoja tokios nesikertančios taškų b ir c aplinkos Vb ir Vc, kad y>z visiems yeVb ir zeVc. Kadangi \imf(x) = b ir lim g (x) = c, tai eg-

x-*a x~>a 3 8

4. P A P R A S Č I A U S I O S R I B U S A V Y B Ė S

zistuoja tokios taško a aplinkos V'a ir V"a, kad f(x)eVb, jei xeV'a{\ A, xâ ir f(x)eVc, je i xeVaT\ A, xâ. Tarkime, kad Va= V'a n V"a. Pagal ribinio taško apibrėžimą egzistuoja bent vienas taškas xeVaf)A, x=£a. Tada f(x)eVb, g(x)eVc ir todėl f(x)>g(x), o tai prieštarauja teoremos sąlygoms. Taigi prielaida, kad b>c, neteisinga. <

5 teorema. Jei f (x) ^g(x)^h (x) visiems xe A ir lim f (x) = lim h (x) = b, x—*a x—*a

tai ir lim g (x) = b. x—>-a

\> Tarkime, kad Vb — bet kokia taško b r-aplinka (1.8). Kadangi l i m / ( x ) = lim h (x) = b, tai egzistuoja tokios taško a aplinkos V'a ir V"a, x-*a x-*a

kad f(x)eVb visiems xeV'a(\A, xâ, ir h(x)eVb visiems x&VįūA, xâ. Pažymėkime Va=V'ac\ V"a. Tada f(x)eVb ir h (x)eV'b visiems xeVao A,xâ, o kadangi taško b r-aplinka Vb yra intervalas ir f (x)^g(x)^h (x), tai ir g(x)eVb, o tai ir reiškia, kad lim g (x) = b. <

x—*a P a v y z d y s . Pritaikykime 5

teoremą įrodymui, kad , . s i n x , lim - = 1. x-*o x

( D

Iš brėžinio (15 pav.) aišku, kad AOCB plotas mažesnis už skritulio išpjovos OCB plotą, o šis — mažesnis už AOCD plotą, jei

0 < x < y . Iš šios nelygybės, pastebėję, kad \AB \ = sin x, lanko CB ilgis yra x, \ C D \ =igx ir | OC | = 1, gauname nelygybę

sin x<x<tgx,

kurią pertvarkę gauname 15 pav.

0̂-1 — S ' n X < 1 — cn«: Y = ? « i n 2

visiems x e 0 , - ) , o todėl ir visiems x e ( — ; 0 ) . Kadangi sin 2 <

- • x \ \ x\ . •

< | sin j < -y-, tai 1 — b c l < < 1.

Perėję šioje nelygybėje prie ribos, kai x^0, pagal 5 teoremą gauname (1) .

39

II RIBA

Dviejų funkc i jų / i r g suma, sandauga ir dalmeniu vadinsime funkcijas /+jf> fg ir f/g, apibrėžiamas lygybėmis:

( / + * ) ( * ) = * / ( * ) + * ( * ) ,

( / g ) ( * ) = / ( * ) g (* ) ,

(flg)(x)=f(x)lg(x);

funkcija f/g apibrėžta tiems x E A, kuriems g(x)^0.

6 teorema. Jei funkcijos f ir g turi baigtines ribas taške a, tai 1) l i m ( / + g ) ( x ) = l i m / ( x ) + l i m g ( x ) ,

x—*a x—±a x-*a

2) lim ( / g ) (x) = lim f(x) lim g (x), x—*a x—*a x—+a

3) jei, be to, limg(x)^0, tai lim ( / /g ) (*) - ( l i m / ( * ) ) / (lim g(x)). x-*a x—*a x~*a

O Pažymėkime b = limf(x) ir c = limg(x). Tegu £ > 0 . Pagal ribos X—>a x—*a

apibrėžimą egzistuoja tokios a aplinkos V'a ir V"a, kad \f(x) — b [ < £ , jei xEV'aC\A, xâ, ir \g(x)-c | < s, jei XEV"ū n / l , x ^ a . Tegu Va=V'af) V"a. Tada

l ( / + g ) W - ( ^ + c ) ! < | / ( x ) - ^ | + : g ( x ) - C | < 2 £ ,

jei x e F a n ^ 5 x # a , t. y. lim (f+g) (x) = b + c. x-*a

Panašiai I ( / g ) ( x ) - b c \ = \ f(x)g(x)-f(x)c+f(x)c-bc\^

Į g ( x ) - c i + k | | ' / ( x ) - Z ) j < ( j f e i + £ ) £ + | c | £ < £ 1 ,

jei £ x — bet koks teigiamas skaičius, s — toks, kad būtų (\b į+e)z + + | c | e < £ l 9 ir XEV„ n ^4, x ^ a . Pagal ribos apibrėžimą tai ir reiškia, kad \im(fg)(x) = bc. x—*a

Trečią teoremos teiginį įrodysime šitaip:

/(*) b g{x) c

cf(x)-bg(x) \ _ \cf(x)-bc + bc-bg(x) cg(x) \c}]g(x)l

< \c\\f(x)-b\ + \b\\c-g(x)\ Įci + 161

)c\ \g{x)\ < j c J \gix)\ E '

jei xeVa(]A, xâ. Kadangi

lim g (x) | = Į c | > > 0, x-*a *

40

4 . P A P R A S Č I A U S I O S R I B Ų S A V Y B Ė S

tai pagal šio skyrelio 2 teoremos išvadą egzistuoja tokia taško a aplinka Ua, kad \g(x) \ >\c \/2 visiems xe U'a n A, xâ. Pažymėję Ua=U'a(\ Va

gausime, kad i , r r \ r \ L r , 2() C\ + \ b\)

I Ulg) (*) + A/C | < ^ — £ < £i, iei £ i>0 , £ < . . £ l | c į , . ir xe Ua n A, xâ, o tai ir reiškia, kad

J A 2 ( | c | + l o i) l i m ( / / g ) ( x ) = ž>/c. <

1 išvada. limf(x)~b tada ir tik tada, kai lim(f(x) — b) = 0. x-+a x-*a

t> Iš tikrųjų, jei \imf(x) = b, tai x—*a

lim (f(x)-b) = \imf(x) + \im(-b) = b-b = 0. x—*a x~*a x—*a

Kita vertus, jei lim (f(x) — b) = 0, tai x—*a

lim f(x) = lim ( ( / ( * ) - 6 ) + &) = lim ( / ( * ) - 6 ) + lim b = 6. <] x—*a x-*a ' ' x-»a Jt->a

2 išvada J e / l i m / ( x ) = 6, tai lim \f(x)\=)b\. x—*a x—*a

t> Jei pe R ir .ye /? , tai | p — q | ̂ j | p \ — \ g | j , todėl

0<\\f(x)\-\b\\^\f(x)-b\.

Perėję šioje nelygybėje prie ribos, kai xâ, gauname, kad lim I i f(x) \ —

— i 6 i į = 0 , todėl pagal 1 išvadą lim \f(x)\=\b\. <3 x—*a

~j~ 3 išvada (susitraukiančių intervalų lema). Jei [an, b„] — įdėtųjų intervalų seka (I . 7) ir lim (bn — a,) ~ 0, tai egzistuoja vienintelis taškas c, priklausantis visiems intervalams [a„, bn] ir lim a„ = lim b„ — c.

^ : ' • :

[> Pagal įdėtųjų intervalų lemą ( I . 7) egzistuoja taškas c, priklausantis visiems intervalams [a„, bn]. Be to,

0šc-an<bn-an->0,

kai « - > o o , todėl an-^c. Panašiai įrodoma, kad ir b„-^c. Pagal 1 teoremą toks c — vienintelis. <]

41

II R I B A

5. Monotoniškųjų funkcijų ribos

Apibrėžimas. Funkcija f: A-+R, AaR, yra vadinama didėjančiąja, jei f(x')^f(x") bet kokiems x', x" e A', tenkinantiems nelygybę x'<x"; f vadinama mažėjančiąia,jeif (x') ^f(x") bet kokiems x', x e A, tenkinantiems nelygybę x'<x". Funkcija f vadinama monotoniškąja, jei ji yra didėjančioji arba mažėjancioji.

Jei nelygybes f(x')^f(x") ir f(x')^f(x") šiame apibrėžime pakeistume atitinkamai griežtomis nelygybėmis / ( x ' ) <f (x") ir / ( x ' ) >/(x"), tai gautume atitinkamai griežtai didėjančios, griežtai mažėjančios ir griežtai monotoniškos funkcijos apibrėžimus (I . 10).

Griežtai monotoniškos funkcijos kartais vadinamos monotoniškomis siaurąja prasme, o monotoniškosios funkcijos — monotoniškomis plačiąja prasme.

1 teorema. Monotoniškoji skaičių seka turi ribą; jei ši seka aprėžta, tai jos riba yra baigtinė.

[> Tarkime, kad (xn) — didėjanti aprėžta skaičių seka. Sakykime, a = sup {xn}< co. Įrodysime, kad xn-^a. Paimkime £>0. Skaičius a —z yra mažesnis už mažiausią aibės {xn} viršutinį rėžį, todėl a— z nėra aibės {x„} viršutinis rėžis ir dėl to yra bent vienas toks natūrinis skaičius n0, kad x„0>a — z. Kadangi (x„) yra didėjančioji seka, tai xn>a— z ir visiems n>n0, t. y. \xn — a \ <z, je i n>n0, o tai ir reiškia, kad

Jei (xn) — didėjanti neaprėžta iš viršaus, tai kiekvienam r eR egzistuoj a toks n0 eN, kad xno > r ir j u o labiau xn > r, je i n > n0, o tai ir reiškia, kad x„-*+co.

Panašiai įrodoma ir mažėjančioms sekoms. < Tolesnė teorema yra įrodytos teoremos apibendrinimas. Sakykime,

a yra aibės A <= R ribinis taškas, didesnis už visus aibės A skaičius, i r / : A^R.

2 teorema. Jei f yra monotoniškoji funkcija, tai egzistuoja lim f(x); be x—*a

. to, jei f aprėžta, tai ši riba baigtinė.

> Sakykime, kad funkcija / — didėjančioji ir aprėžta iš viršaus. Pažymėkime 6 = sup {f(x) :xeA}. Įrodykime, kad \imf(x) = b. Paimkime

x—*a z>0. Tada b — z nėra aibės {f(x) :xe A} viršutinis rėžis, todėl egzistuoja toks x0e A, kad f(x0)>b—z ir j u o labiau f(x)>b—z, je i x>x0 ir xe A.

42

6. B O L C A N O - V E J E R Š T R A S O L E M A

Be t o , / ( x ) < 6 visiems xe A, todėl \f{x) — b | < s, jei x0<x<a ir xeA, o tai ir reiškia, kad \imf(x) = b.

x—*a Jei / — neaprėžta iŠ viršaus, tai kiekvienam re R egzistuoja toks

x0 e A, k a d f ( x 0 ) > r ir juo labiau f(x)>r, je i x > x 0 ir xe A, todėl pagal ribos apibrėžimą l i m / ( x ) = + co.

x—*a Mažėjančioms funkcijoms įrodymas analogiškas. <\ P a s t a b a . Aišku, kad 2 teorema teisinga ir tuo atveju, kai a<x visiems

xe A. , - f - 6. Bolcano—VejerŠtraso1 lema

Jei (an) — kokios nors aibės A elementų seka, nke N ir » 1 < B 2 <

tai seka (a„k) vadinama sekos (a„) posekiu arba daline seka. Jei skaičių seka turi ribą, tai pagal ribos apibrėžimą sekomis ( I I . 2) ir kiekvienas tos sekos posekis turi tą pačią ribą.

Nesunku įsitikinti, kad ir neturinti ribos seka gali turėti posekius, turinčius ribas. Pavyzdžiui, seka (xn), xn = (—l)n neturi ribos, o x2n=l ir todėl sekos (x„) posekis (x2n) turi ribą, būtent, x2n-^-l.

Skaičių seka vadinama konverguojančia, je i j i turi baigtinę ribą.

Bolcano—VejerŠtraso lema. Kiekviena aprėžta skaičių seka turi kon-verguojantį posekį.

[> Lemą įrodinėsime dviem būdais. 1 b ū d a s . Jei (x„) — aprėžta skaičių seka, tai egzistuoja tokie a, be R,

kad a^xn^b, t. y. x„e [a, b] visiems ne N. Jei koks nors sekos (xn) posekis konverguoja į tašką x, tai kiekvienoje taško x aplinkoje F yra be galo daug sekos (.Y„) narių, t. y. egzistuoja be galo daug tokių n eN, kad xneV.

Tarkime, kad seka (x„) neturi konverguojančio posekio. Tada kiekvienam x e[a, b] egzistuoja tokia atvira aplinka Vx, kurioje yra ne daugiau kaip baigtinis skaičius sekos (xn) narių. Visų tokių aplinkų sistema { Vx : xe [a, b]} yra atvira intervalo [a, b] danga, [a, b] yra kompaktiška aibė (I. 9 ) , todėl iš atviros dangos {Vx} galima išrinkti baigtinę dangą 1) = = {Vai, Van}- Gavome prieštaravimą: danga 1) uždengia intervalą [a, b], taigi ir visus sekos (x„) narius, todėl bent į vieną iš aibių Va'k turi patekti be galo daug sekos (xr) narfų.

2 b ū d a s . Jei (x„) — aprėžta skaičių seka, tai egzistuoja tokie a, beR, kad x„ e [a, b] visiems ne N. Padalykime intervalą [a, b] tašku c į du vienodo ilgio intervalus: [a ,c] ir [c, b]. Kadangi visame intervale [a, b] yra be galo daug sekos (x„) narių, tai ir bent viename iš intervalų [a, c] ir [c, b] yra be galo daug šios sekos narių. Pažymėkime [alt bx] tą iš intervalų [a, c] ir [c, b], kuriame yra be galo daug sekos (xn) narių. Toliau dalijame intervalą [alt bx] į du vienodo ilgio dalinius uždarus intervalus ir pažymime [a2, b2] tą iš j ų , kuriame yra be galo daug sekos narių. Dalydami to-

1 B . B o l z a n o ( 1 7 8 1 - 1 8 4 8 ) - č e k ų m a t e m a t i k a s ir f i losofas, K . VVeierstrass ( 1 8 1 5 -1 8 9 7 ) — vokiečių m a t e m a t i k a s .

4 3

8 R I B A

liau, gauname tokią begalinę intervalų seką {[ak, bk]}, kad [ak, bk]zD[ak+1, bk+1] visiems ke N, bk — ak = ^~- ->-0, ir kiekviename iš šios sekos intervalų yra be galo daug sekos (xn) narių. Pasirinkime intervale [at, bx] bet kokį vieną sekos (xn) narį xni. Intervale [a.2, b2] pasirinkime tokį sekos (x„) narį x„t, kad būtų n2>nx (taip galima pasirinkti, nes intervale [a2, b2] yra be galo daug sekos (xn) narių) ir t. t. Jei jau pasirinktas x„ f c e [ak, bk], tai intervale [ak+1, bk+1] pasirenkame tokį sekos (xn) narį x„, , kad būtų nk+1> >nk. Tokiu budu gauname begalinį sekos (xn) posekį (x„k), ak^x„k ^bk. Pagal susitraukiančiųjų intervalų lemą (II .4) egzistuoja toks c e R, kad ak-^-c ir bk->c, todėl pagal teoremą apie perėjimą prie ribos nelygybėje ( I I . 4 , 6 teorema), x„k-+c. <\

1 išvada (iš įrodymo). Jei (x„) yra kompaktiškos erdvėje R aibės elementų seka, tai iš jos galima išrinkti konverguojantį posekį.

> Iš tikrųjų, įrodinėdami teoremą pirmuoju būdu, rėmėmės . t ik intervalo [a, b] kompaktiškumu. Įrodymas nepasikeistų, jei vietoj intervalo [a, b] būtų bet kokia kompaktiška erdvėje R aibė. <

2 išvada. Iš bet kokios realiųjų skaičių sekos galima išrinkti posekį, kuris turi ribą (baigtinę arba begalinę).

t> Jei seka (xn) aprėžta, tai egzistuoja konverguojantis posekis, o jei neaprėžta, pvz., iŠ viršaus, tai kiekvienam neN egzistuos be galo daug sekos (xk) narių, didesnių už w, todėl atsiras tokie natūriniai skaičiai kx,k2,

kad Xk >n ir kx<k<><... Tada Xk —>co. <

7. Kosi 1 konvergavimo kriterijus Įrodysime teoremą, kurioje nurodytos būtinos ir pakankamos sąlygos,

kad realiųjų skaičių seka (xn) konverguotų, t. y. turėtų baigtinę ribą.

1 teorema (Koši kriterijus sekoms). Tam, kad baigtinių realiųjų skaičių seka (xn) konverguotų, būtina ir pakankama tokia sąlyga (C): kiekvienam s > 0 turi egzistuoti toks n0e N, kad būtų J x„—xm j < e, jei n>n0 ir m> n0.

> B ū t i n u m a s . Sakykime, seka (xn) konverguoja. Pažymėkime a = = limx„. Pasirinkime £ > 0 . Pagal ribos apibrėžimą yra toks nQe N, kad

\xn — a\ <~, jei n>nQ. Jei m, ne N, m>n0 ir n>n0, tai

| x„ - xm | = | x„ - a + a - xm ! ^ i xn - a \ + \ a - xm Į < s,

t- y- (x„) tenkina teoremoje nurodytą sąlygą ( C ) .

1 O . C a u c h y ( 1 7 8 9 - 1 8 5 7 ) - p r a n c ū z ų m a t e m a t i k a s .

7. KOSI K O N V E R G A V I M O K R I T E R I J U S

P a k a n k a m u m a s . Sakykime, £ > 0 ir patenkinta sąlyga ( C ) . Pasirinkime tokį n0e N, kad būtų J x„—xm \ < z, je i n > ^ ) ir m > J V Tada | xn | = = I x n - x m + x i n \<\x„-xm \+\xm | < £ + | x m |, jei m>n0 ir n>n0. Pažymėkime p = m&x { \xx \, | xnt |, | x „ , + 1 | + e } , Tada \xn \ visiems ne N, t. y. (x„) — aprėžta. Pagal Bolcano—Vejerštraso lemą seka (xn) turi konverguojantį posekį (x„k). Pažymėkime a — lim x„k. Įrodysime, kad ir visa seka (xn) turi tą pačią ribą a. lim x„k=a, todėl egzistuoja toks k0eNy

kad \ x„k — a | < £ , jei k>k0. Pasirinkime tokį posekio (x„k) narį xnj, kad būtų J>kį ir nj>n0. Tada, jeigu n>n0, tai

\x„-a\<:\xn-xnj\ + \xnj-a\<2z,

t. y. xn->a. <] Įrodytą teoremą galima apibendrinti bet kokioms realioms realaus kin

tamojo funkcijoms. Tegu AczR, a — aibės A sankaupos t a š k a s , / : A-+R.

2 teorema (Koši kriterijus bet kokioms realioms realaus kintamojo funkcijoms). Tam, kad funkcija f turėtų baigtinę ribą taške a, būtina ir pakankama tokia sąlyga (C): kiekvienam £ > 0 turi egzistuoti tokia taško a aplinka V, kad būtų \f(x')—f(x") \ <z, jei x\ x"e Vf| A} X'â, x"=£a.

t> B ū t i n u m a s įrodomas taip pat, kaip 1 teoremoje. Iš tikrųjų, j e i limf(x)=p eR, tai kiekvienam £ > 0 egzistuoja tokia a aplinka V, kad x-*a

> / ( * ) - / > ! < § , jei xeVoA, x*a\ tada \f(x')-f(x")\^\f(x')-p\Ą-

+ 1 P~f(x") l < £ > J e i x ' , x"eVc\A, x'â, x"â. P a k a n k a m u m a s . Įrodinėdami, k a d / t u r i baigtinę ribą taške a, rem

simės funkcijos ribos apibrėžimu sekomis ( I I . 2 ) . Pasirinkime £ > 0 . Pagal (C) egzistuoja tokia a aplinka V, kad | / ( x ' ) — f (x") \ < e, jei x', x"e V f] A, x'â, x"j=a. Tegu xne A, x„â ir xn->a. Tada egzistuoja toks Ne N, kad x„e V, jei n> N, ir todėl \f(xm) —f (x„) \ < z, je i n > N ir m> N, t. y. seka ( / ( X . ) ) tenkina 1 teoremos sąlygą (C), todėl j i konverguoja. Jei x'neAy

x'n±a\x x'„-+a, tai, kaip įrodėme, seka (f(x'„)) irgi konverguoja. Pažymėkime p — lim f(x„) ir q=lim f (XI). Pakanka įrodyti, kad p = q. Apibrėžkime naują seką (x'£) lygybėmis: x'2„=x'„, x2'n-1=xn, neN. Aišku, kad x"„-â, todėl, kaip j au įrodėme, seka Tf{XJį\ irgi konverguoja Bet konverguojan-čios sekos visi posekiai turi vienodas ribas ( I I . 6 ) , todėl lim f ( x 2 „ - \ ) =

n—*ca

= \imf(x'2n), t. y. p = q. < n—*~x>

Išvada. Jei a — baigtinis aibės AczR sankaupos taškas, tai tam, kad funkcija f: A-+R turėtų baigtinę ribą, būtina ir pakankama tokia sąlyga: kiekvienam z>0 turi egzistuoti toks $>0, kad būtų \f(x')-f(x") (<£,. jei \x'-a | < 8 , \x"-a<<§, x', x"eA.

45 4 4

II RIBA

- / ~ 8 . Skaičius e

Pažymėkime n! = 1 - 2 • ...-n,

/ -n — m ( m ~ • — w + 1 ) _ m\ m ~ 1 - 2 - . . . n ~ n\ im-n)\ '

jei m, ne N ir m ^ n . Be to, apibrėžkime 0 ! ir C° lygybe: 0 ! = C j į = l .

Lema. Jei ne N, xe R ir x^0, tai n

( l + x ) " = 2 C***. (1) * = 0

> Įrodysime (1) lygybę indukcijos būdu. Aišku, kad ši lygybė teisinga, kai n= 1. Jei kokiam nors « e i V teisinga (1) lygybė, tai

n

( l + x ) n + 1 = ( l + x ) 2 C * * » « 1 + ( C J + C * ) * +

+ (CS.+ C j ) ^ + . r . ' + (C5 .+ < C" - l )x" + x " + l - 2 (Ck

n + Ck

n~1)xk.

Nesunku patikrinti ir įsitikinti, kad

ir todėl /i+i

( l + * ) n + 1 = 2 C " + ^ k '

o tai ir reiškia, kad (1) lygybė teisinga visiems ne N. <

Išvada. Jei a, be R, a^O ir 6 # 0 , tai n

(a + br= 2 Ck„akb-k. • (2)

Ši lygybė yra vadinama Niutono1 binomu ir gaunama iš (1) lygybės, paėmus x = a/b.

1 teiginys. Skaičių xn = (\ + l/n)n, n eN, seka turi baigtinę ribą.

1 I . N e w t o n ( 1 6 4 3 - 1 7 2 7 ) - anglų m a t e m a t i k a s ir fizikas.

4 6

8. SKAIČIUS ©

[> Pagal lemą

1 \" s? w • 1 , , ^T* 1 n{n-\).. An-k+Y)

A = 0 * = I

= > + Z i ( ' - J ) - ( > - ^ - ) <

< » + 2 T H - ( » - i ? r ) - ( 1 - ^ r ) - ^

todėl seka (.Y„) — didėjančioji. Be to, seka (x„) aprėžta, nes n n

Pagal teoremą apie monotoniškos sekos ribą ( I I . 5) egzistuoja lim x„. <J

Apibrėžimas. Skaičiumi e vadiname ribą lim ^1 +~\ , t. y.

e = lim ( l + y ) " - ( 3 )

Matematinėje analizėje skaičius e, kaip matysime, plačiai vartojamas. Dėl tam tikrų priežasčių, kurios paaiškės vėliau, matematinėje analizėje dažniausiai vartojami logaritmai pagrindu e. Šie logaritmai vadinami natūriniais ir žymimi l n v ( r > 0 ) .

2 teiginys, lim (1 + x)x = e. x-*0

t> Iš pradžių įrodysime, kad funkcijos f(x) = () +x)ljx riba iš dešinės taške x = 0 yra lygi e.

Sakykime, xk>0 ir xk->0 (ke N). Pažymėkime nk mažiausią natūrinį skaičių, didesnį už l}xk> t. y. «,, = min {ne N : n> lfxk} (pagal I. 5, 2 teoremą toks skaičius nk egzistuoja). Tada nk— \ < 1 /xk<nk ir

Kadangi skaičių # , = ( 1 + seka turi ribą e, tai ir seka ( } \ ) , kurį gali skirtis nuo sekos (>•„) posekio tik narių tvarka, turi tą pačią ribą (žr. I I . 2 ir I I . 6 ) , todėl kraštiniai (4) nelygybės nariai konverguoja į skaičių e, taigi

I I R I B A

ir (1 +xk)i,xk —>e. Pagal funkcijos ribos apibrėžimą sekomis (žr. I I . 2) gauname, kad ir lim (1 +x)llx = e.

x-*0 + Įrodysime, kad ir lim (1 +x)llx = e. Sakykime, kad—1 < x < 0 ir pažy-

x - > 0 -mėkime y=—x. Tada

( 1 + * ) * - ( ! - , ) - ? - ( ! + 7 į - ) , / ( , + T Z _ )

ar todėl i l-y

lim (l+x)x= lim ( I + T M ' ( L + T Z - ) ;

4 - " *

= lim ( 1 + z ) 2 ( 1 + * ) = <?. <

Viršutinės ir apatinės ribos

Apibrėžimas. Realiųjų skaičių sekos (x„) viršutine rida vadiname skai-•čių

lim s u p { x „ , x n + 1 , x„ + 2 , . . . } , n—>CO

•o apatine riba — skaičių

lim i n f { * . , x n + 1 , x n + 2 , .. .}.

Sekos (x„) viršutinę ribą žymėsime lim x„, o apatinę ribą — lim xn.

1 p a v y z d y s . Sakykime, kad xn = (— 1)", n G N. Tada L I M A R „ = L ,

lim.v„== — 1. Pastebėsime, kad skaičių >'„ = sup {xn, x„+1, ...} (n=l, 2, . . . ) seka

( j n ) yra mažėjanti, o skaičių z„ = inf x „ + 1 , . . . } seka (z„) — didėjanti, todėl abi šios sekos turi ribas ir lim x n = lim z„<l im v„ = lim x„. Taigi kiekvienai skaičių sekai egzistuoja viršutinė ir apatinė riba.

1 teorema. Kiekvienai skaičių sekai (x„) egzistuoja posekis, kurio riba yra lygi sekos (x„) viršutinei ribai ir nėra posekio, kurio riba būtų didesnė už sekos (xn) viršutinę ribą.

[> Pažymėkime v„ = sup {x„, x n + 1 , . . . } ir a = l imx„ = l i m y n . Aišku, kad egzistuoja tokia realiųjų skaičių seka (un), kad un<y„ ir lim un = lim yn. Kiekvienam ne TV skaičius un yra mažesnis už mažiausią aibės {x„,-Y„+1, . . . } viršutinį rėžįy„, todėl yra toks ktteN,kn^n, kad un<xk <y„.

48

9. V I R Š U T I N E S IR A P A T I N Ė S R I B O S

Perėję šioje nelygybėje prie ribos (žr. II . 4 ) , gauname, kad xkn->a. Iš nelygybės kn^n išplaukia, kad & n->oo, todėl sekoje (kn) yra be galo daug skirtingų skaičių, t. y. egzistuoja sekos (xkJ posekis, sudarytas iš skirtingų sekos (xk) narių ir konverguojantis į a; toks posekis tik narių tvarka gali skirtis nuo sekos (xk) posekio. Sekos, kurios skiriasi tik narių tvarka, turi vienodas ribas (žr. I I . 2 ) , todėl yra sekos (x„) posekis, konverguojantis į a.

Įrodykime, kad nėra sekos (xk) posekio, kurio riba būtų didesnė už a. IŠ tikrųjų, kiekvieno turinčio ribą sekos (xk) posekio (xkn) nariai tenkina nelygybę Xkn < ^ ir, perėję šioje nelygybėje prie ribos, gauname, kad lim xk ^ a. <\

n

Išvada. Kiekvienai skaičių sekai (xn) yra posekis, kurio riba lygi sekos (x„) apatinei ribai ir nėra posekio, kurio riba būtų mažesnė už sekos (xn) apatinę ribą.

2 teorema. Kad egzistuotų realiųjų skaičių sekos (x„) riba, būtina ir pakankama, kad būtų lim xn = lim xn.

> Tegu j>„ = sup {xn, x a + 1 , ... } , z„= in f {xn, x n + 1 , ... } . Jei lim xn — lim xn = a, tai, perėję prie ribos nelygybėje zn^xn^y„,

gauname, kad xn->a. Ir atvirkščiai: jei xH~->a, tai visi sekos (xn) posekiai irgi konverguoja

į a. Pagal 1 teoremą egzistuoja sekos (xn) posekiai, kurie konverguoja atitinkamai į apatinę ir į viršutinę sekos (x„) ribą, o kadangi visų sekos (x„) posekių ribos yra lygios a, tai ir \\mx„ = \\mx„==a. <]

Viršutinės ir apatinės ribos sąyoka apibendrinama ir bet kokioms realioms realaus kintamojo funkcijoms.

Sakykime, AczR, a — aibės A ribinis taškas, / : A->R. Kiekvienam & > 0 pažymėkime

[a-B, a + 8]\{a), jei aeR,

V(a, 8 )=< [h +aD)' jei a= + cc' M - co, - - § " ] » J e i a= ~co

(čia simboliu {a} pažymėta aibė, turinti tik vieną elementą a).

Apibrėžimas. Funkcijos f:A->R viršutine riba taške a vadiname skaičių

lim sup {/(x): x e V (a, 8) n-A}, s-*o+

II RIBA

o apatine riba taške a — skaičių

lim m.\{f{x):xeV {a, 8)c\A). 8—0+

Funkcijos / viršutinę ribą taške a žymime lim f(x), o apatinę ri

bą - lim f(x). x—*a

Pažymėkime <p($) = sup { f(x): x e V (a, 8) n A} ir ty(8) = iaf{f(x): :xe V (a, B) f) A}, B>0. Nesunku pastebėti, kad funkci jose ir <Į/ — monotoniškos^ todėl j o s turi ribas, taigi bet kokiai funkcijai / : A-+R egzistuoja l i m / ( * ) = lim 9(S) ir ] i m / ( x ) = lim <Į>(8).

x-*a 8 -»0+ ~ a 8-5-0+

2 p a v y z d y s , lim sin — = 1 ir lim sin — = - 1 . Iš tikrųjų, X ^ ( I V

9(S) = sup j sin ~ : 0 < | x \ < 8 J = 1,

9(3) = inf j sin y :0< x <>j J= - 1 , jei 8<~,

todėl lim sin ~ = lim o ( S ) = l ir *-*0 x 8 - * 0 +

lim sin — = lim 6(8)= - 1 (žr. 14 pav.). x 8 - . - 0 + '

3 teorema. Kiekvienai funkcijai f : A^R egzistuoja tokia seka (x„), x„e A, x„->a, x„â, kad

lim / ( x „ ) = lim / ( x )

ir nėra tokios sekos (x'„), X'„<E A, x'n-±a, x'n*£a, kad būtų

l\mf(x'n)>\\mf{x).

t> Pasirinkime tokią teigiamų skaičių seką (8„), kad 8„~>Q. Aišku, kad egzistuoja skaičių seka (t/„), tenkinanti sąlygas: u„<cp (8n) ir limw„ = = lim9(S n ) = l i m / ( x ) .

x—*a

Pagal 9 (S) ir tiksliojo viršutinio rėžio apibrėžimą kiekvienam ne A r

egzistuoja toks xne V(a, 8„) n A, kad u„<f (x„)^jp_(8n). Perėję prie ribos šioje nelygybėje gauname, kad lim f(xn) = limf(x). T§ y (a 8)

n-<-cc x-+a

apibrėžimo ir taškų x„ pasirinkimo būdo išeina, kad x„->a ir x„#cr.

50

10. ASIMPTOTINIS F U N K C I J Ų ĮVERTINIMAS

[rodykime antrąjį teoremos teiginį. Sakykime, (x'„) — bet kokia aibės A skaičių seka, tenkinanti sąlygas: x'nâ, x'„-â. Nesunku pastebėti, kad egzistuoja tokia teigiamų skaičių seka (8„), kad x'„ e V (a, 8„) ir 8w-»0. Iš tikrųjų, jei a - baigtinis skaičius, tai galima pasirinkti 8H=\x'H — a\ ; je i <z= + co, tai 8n pasirenkame tokį, kad būtų j ~ = = x'n (x'n-++ co), todėl x'„>0 pakankamai dideliems n, o jei a= — co, tai 8n imame tokius, kad būtų - ~=x'n. Iš 9 (§) apibrėžimo ir x'n pasirin-

kimo išeina, kad f{x'n)^<? (8„). Jei seka (f (x'„)) turi ribą, tai, perėję paskutinėje nelygybėje prie ribos, gauname, kad lim / (x'n) ^ lim 9 (§„) = = ]imf(x). <J

x—>a

Išvada. Kiekvienai funkcijai f : A~>R egzistuoja tokia seka (x„), xneA, xn->a,xnâ,kad lim f(xn) = lim f(x) ir nėra tokios sekos (x'„),

«—<*> x ^ a

kad būtų l i m / ( x ; ) < l i m / ( x ) .

4 teorema. Tam, kad egzistuotų riba lim f (x), būtina ir pakankama, kad x~>a

būtų lim / ( x ) = lim / ( x ) . xâ

> Jei l i m / ( x ) = i i m / ( x ) = 6, tai lim 6(8) = lim 9 ( S ) = b. Panašiai -~a x~*a 8 - 0 + 8 - 0 +

kaip 3 teoremos įrodyme gauname, kad kiekvienai aibės A skaičių sekai (x„), x,,j=a, kurios riba yra a, egzistuoja tokia teigiamų skaičių seka (8„), kad x„e V (a, 8H) ir 8n->0. Tada 9 (8„)<f (x„)<o (8„) ir, perėję šioje nelygybėje prie ribos, gauname, kad lim f(x„)—b. Pagal funkcijos ribos apibrėžimą sekomis gauname, kad lim f(x) = b.

x—*a Ir atvirkščiai; jei lim f(x) = b, tai f(xn)-+b visoms a i b ė s e skaičių

X—>ū

sekoms (x„), kurioms x„^ a ir x„~->a. Pagal 3 teoremą tarp šių sekų bus tokia seka (x'n), kad /(x ' n ) -> lim / (x) ir tokia seka (x£), kad f(x"„) ->

x—>a -> lim f(x). Todėl lim / ( x ) = lim f(x) = b. <

10. Asimptotinis funkcijų įvertinimas

Šiame paragrafe pabandysime palyginti dviejų funkcijų artėjimo prie savo ribų greitį. Pirmiausia įvesime tinkamus Šiam tikslui žymėjimus.

Sakykime, kad / ir g yra realios realaus kintamojo funkcijos, apibrėžtos aibėje A su sankaupos tašku a. Be to, laikome, kad g ( x ) ^ 0 kokioje nors taško a aplinkoje.

5 1

II RIBA

Apibrėžimas. Sakysime, kad

1) f(x) = 0 (g {x)), kai x-+a, jei lim UfijU < oo; x—*Ū 1 8 W 1

2) f(x)=0*(g(x)),kaix->a,jeif(x)=0(g(x)) ir g (x) = O (f (x)), kai x->a;

3) f(x) = o (g (x)) (arba /(*) < <g (x)), kai xâ, jei lim i$t = 0 ; x—*a S V*)

*)'fix)~g{x), kai x~>a, jei H n i / M = l. x-*a 8 Kxt

Funkcijos f ir g, kurioms f(x)~g(x), kai x-+a, vadinamos ekvivalentiškomis taško a aplinkoje.

1 p a v y z d y s . Sis 2x~ę(xk kai JC->0, nes

,• s in 2 .v , . . sin x „ ,

lim - = hm s i n x = 0 - 1 = 0 .

Aišku, kad juo labiau sin2x=0(x), kai x ^ 0 . Dar daugiau, s i n 2 x = 0 (x2), kai x->0, nes

,. sin2 x , hm — i — = 1.

2 p a v y z d y s . s i n x ~ x , kai x->0, nes lim- — = 1 . Juo labiau tei-* - * o x

singa lygybė sin x=0* (x), kai x ->0 .

3 p a v y z d y s , sin x = O (1) , kai x ^ c o , nes lim - ^ ^ = l < c o .

Iš simbolio O ir viršutinės ribos apibrėžimų išeina, kad f(x) = = °(g (*))» kai x-+a, tada ir tik tada, kai egzistuoja tokia taško a aplinka V ir toks skaičius Mm R, kad

\f(x)\^M'\g(x)\ visiems xeVnA, xâ (1)

(čia kaip ir anksčiau raide A pažymėta funkcijų / ir g apibrėžimo aibė). Taigi simbolio O apibrėžime užrašytą sąlygą

i i s j ^ 4 ' < o o

galima pakeisti ekvivalentiška (1) sąlyga.

Užrašas „f(x) = o (1 ) , kai reiškia, kad l i m ^ ^ - = 0 , t. y. x-*a

kad funkcijos / riba taške a yra nulis, o užrašas nf(x)*=0(l) taško a aplinkoje" - kad funkcija / yra aprėžta tam tikroje taško a aplinkoje.

Apibrėžimas. Funkcija f : A-+R yra vadinama be galo mažėjančiu dydžiu, kai xâ, jei limf(x) = 0; f vadinama be galo didėjančiu dydžiu,

52

10. ASIMPTOTINIS F U N K C I J Ų ĮVERTINIMAS

kai x->a, jei lim \f ( x ) | = oo. Be galo mažėjantis dydis f vadinamas aukš-x—>a

tesnės eilės be galo mažėjančiu dydžiu už be galo mažėjanti dydį g, kai x->a, jei f (x) = o (g ( x ) ) ; be galo didėjantis dydis f vadinamas aukštesnės eilės be galo didėjančiu dydžiu už be galo didėjantį dydį g, jei g(x) = o ( / ( x ) ) .

Vadinasi, / yra aukštesnės eilės be galo mažėjantis dydis už g (kai x->a), jei / artėja prie nulio, kai x~>a, „greičiau" už g ta prasme, kad

I Į M Z^L_O. Panašiai f yra aukštesnės eilės be galo didėjantis dydis už g,

kai x->a, jei Į / | „greičiau" artėja prie co už \g\ ta prasme, kad

lim 4 ^ = 0 . V- .„ / ( * )

Teig inys . / (x ) ~ g (x ) , kaix-±a, tada ir tik tada, kaif(x)-g(x) = o (g(x)).

t> Jei f(x)~g(x), tai

x^ą g(x) x.>a\g(x) I

t. y. / (x)-g (x) = o (g (x) ) , kai x->a. Ir atvirkščiai: jei / (x)-g (x) = o (g (.v)), tai

*_>a g(x) xâ \ g(x) I

t. y. / ( x ) ~ g ( x ) , kai x->a. < Remiantis įrodytu teiginiu, galima išreikšti funkcijas paprastesnėmis

funkcijomis duotojo taško aplinkoje. Sakykime, kad / - duotoji funkcija, o G — aibė funkcijų, kurių kitimas taško ae R aplinkoje gerai žinomas. Tarkime, kad egzistuoja tokia funkcija gt e G, kad f(x)~gi(x), kai x->a. Pagal įrodytą teiginį / ( x ) - g x (x) = o ( g x (x)) , kai x~>a. Jei egzistuoja tokia funkcija g2 e G, kad g2 (x)^f(x)—gl (x), tai, kaip ir anksčiau, gauname, kad / ( x ) ~ g x ( x ) - g 2 (x) = o ( g 2 ( x ) ) . Jei analogiškai galima rasti aibėje G n tokių funkcijų g 3 , . . . , g„, tai gauname:

/ (*) - gi (x) -g.2(x)-...- gn (x) = o (g„ (x)),

kai x - » a . Kitaip sakant,

/(*) = gl (X) +g%(X) + . . . + gn (X) + O (gn (X)), (1)

kai xâ; čia gr (x) ~f (x ) ir gj (x) = o (gj_ x(x)), kai x-+a, jei . / = 2, 3, . . . , n. (1) lygybė kartais vadinama funkcijos / asimptotiška išraiška klasės G funkcijomis taško a aplinkoje.

53

II R I B A

4 p a v y z d y s . Ieškokime funkcijos c o s x asimptotinės išraiškos nuli

nio taško aplinkoje laipsninėmis funkcijomis, lim = 1, todėl cos x ~ 1,

kai x - » 0 . Taigi cos x = 1 -f-o (1).

- 2 s in 2 4

.. COSAT—1 . . 2 1 hm ^ — = lim - = * - - - ,

todėl cos x — 1 ~ — y x 2 ir todėl

COS X = 1 — y X 2 + o ( x 2 ) ;

ši lygybė rodo, kad funkcijos cos x ir 1 — ^ x 2 nulinio taško aplinkoje

yra apytikriai lygios ta prasme, kad j ų skirtumas artėja prie nulio, kai x->0, greičiau kaip x 2 . Gautos lygybės: cos x = l + o ( l ) ir c o s x =

= 1——- x 2 + 0 ( x 2 ) y r a asimptotiškos c o s * išraiškos nulinio taško aplinkoje.

11 . Apžva lga

Ribos sąvoka — viena iš pagrindinių matematinės analizės sąvokų. Pagal bendriausią ribos apibrėžimą lim / (x) = b, jei kiekvienai b aplinkai

X~>tl Vb egzistuoja tokia a aplinka Va, kad f (x)e Vb, jei x e Va n A ir x^a (čia A — funkcijos / apibrėžimo aibė). Šis apibrėžimas patogus savo paprastumu ir bendrumu: a ir b, arba vienas iš j ų gali būti baigtiniai arba begaliniai realieji skaičiai. Toks pat ribos apibrėžimas išlieka ne tik realioms realaus kintamojo funkcijoms, bet ir bendresnėms funkcijoms, atvaizduojančioms bet kokią topologinę erdvę j kitą topologinę erdv*. Tačiau kai kada, ypač tiriant konkrečių funkcijų ribas, patogiau naudotis kitais ekvivalentiškais apibrėžimais — ribos apibrėžimu „s —S terminais" (II . 1) ir ribos apibrėžimu sekomis (11. 2). Todėl būtina mokėti iš bendro ribos apibrėžimo išvesti kitus ribos apibrėžimus.

Teoremos apie paprasčiausias ribų savybes ( I i . 4) , ypač teoremos apie perėjimą prie ribos nelygybėse, nuolat bus naudojamos įvairiuose įrodymuose, šios savybės yra tiesioginės išvados iš ribos apibrėžimo, nereikalaujančios kokių nors specialių įrodymo metodų. Pagrindinėmis teoremomis apie ribas reikėtų laikyti 3 teoremas: teoremą apie monotoniškos funkcijos ribą (II . 5) , Bolcano —VejerŠtraso lemą (II . 6 ) ir Kosi konvergavimo kriterijų (II . 7) .

Funkcijos viršutinės ir apatinės ribos sąvokos (II . 9 ) yra svarbios todėl, kad bet kokiai funkcijai kiekviename jos apibrėžimo aibės ribiniame taške viršutinė ir apatinė riba visuomet egzistuoja, o „paprasta" riba gali ir neegzistuoti (kad egzistuotų funkcijos riba, būtina ir pakankama, kad viršutinė riba būtų lygi apatinei ribai).

Šio skyriaus 10 poskyryje aprašyti funkcijų artėjimo prie savo ribų (kai x~>a) greičių palyginimo būdai, pvz., suteikta griežta prasmė tokiam sakiniui: Funkcija / artėja prie nulio (kai x->a) greičiau už funkciją g".

54

12. U Ž D A V I N I A I

Funkcijų artėjimo prie ribos greičio įvertinimai vadinami asimptotiniais įvertinimais. Vartojant šiame poskyryje apibrėžtus simbolius O ir o, sutrumpėja daugelio formulių ir įrodymų užrašymas.

12. Uždaviniai

1. įrodykite, kad lim ~ - = 0 . 2"

2. [rodykite, kad lim ^ = 0, n

3. Įrodykite, kad lim ]/ a = 1 ( f l > 0 ) . n

4 . Įrodykite, kad lim Į / «_== 1. 5. Raskite ribą \im(]/ n + l - V

6. Raskite ribą lim į^^T ( « m * 0 , fc„#0), k a i l ) m < « , x -^ .^ ū 0 + £>j A + • - • i- un A

2) m>n, 3) m —n. x- — 1

7. Raskite ribą lim ——r- . JC-t-l - x * 1

8. Įrodykite, kad riba lim sin x neegzistuoja. X—»»

9. Raskite ribą lim — —. x-*0 x

10. Sakykime, kad_(a„) ir (b„) - aprėžtos skaičių sekos. Įrodykite, kad lim (a„+•&„)< lim a„ + lim b„.

n

11. Raskite sekos ( | / « + ( - 1)") viršutinę ir apatinę ribą. 12. Raskite lim cos - .

.V-»0 X

13. Įrodykite, kad x s in-L = 0 (x) , kai x ->0 . 14. Įrodykite, kad c o s - ^ = 1 +0* f ~ | , kai x~^cc . 15. Įrodykite, kad ] / l + x = 1 + į x + o (x) . kai x - » 0 (ne N).

SKAIČIŲ EILUTĖS

- ' 1 . Skaičių eilutės sąvoka

Realiųjų skaičių aibėje ^? buvo apibrėžta dviejų skaičių suma. Jei (ah) yra realiųjų skaičių seka, tai indukcijos būdu galime apibrėžti ir bet kokio baigtinio skaičiaus šios sekos narių s u m ą a x + ... +an. Tačiau pa-

55

III SKAIČIŲ E I L U T Ė S

sakymas „visų sekos (ak) narių suma" kol kas neturi prasmės — tokia suma nebuvo apibrėžta. Pagal tradiciją ir kad būtų patogiau, nagrinėjant sekos (tfk) narių sumavimo klausimus, ši seka vadinama skaičių eilute ir žymima simboliu

CC

k=l

(sutrumpintai 2 f l k ) , arba a1

Jr...+a„+... .

( I ) eilutės nariais vadiname sekos (ah) narius. Sumą Sn = a1+ ... +a„ vadiname (1) eilutės «-ąja daline suma, o dalinių sumų sekos (Sn) ribą S— lim S„, jei tokia riba egzistuoja, vadiname (1) eilutės suma. Sakome, kad (1) eilutė konverguoja, jei j o s dalinių sumų seka turi baigtinę ribą; priešingu atveju, t. y. kai seka (S„) neturi ribos arba jos riba yra begalinė, sakome, kad (1) eilutė diverguoja. Tuo atveju, kai (1) eilutė turi sumą S, rašoma

00

S = ^ ak a r D a S = a x + . . . + a n + . . . ,

k = l

taigi tuo pačiu simboliu žymima ir eilutė (t. y. seka (ak)), ir eilutės suma (t. y. skaičius lim Sn). Jei dėl tokio žymėjimo galės kilti neaiškumų, eilutės sumą žymėsime kokia nors raide, pvz., S, o eilutę — i2 ak arba ax + + ... +an+ ...

00

Eilutes ak(N<=N), gautas iŠ (1) eilutės, atmetus baigtinį skaičių k = A ' + I

pirmųjų narių, vadiname (1) eilutės liekamosiomis eilutėmis,

į i T* 1 p a v y z d y s . Eilutės ^ ( — l ) f c dalinės sumos S2n = 0 i r 5 2 f l _ i = — 1

*" • ' ' k = l

visiems ne N, todėl (S„) neturi ribos, taigi eilutė ii ( - \ ) k diverguoja ir j o s suma neapibrėžta.

(įį 2 p a v y z d y s . Sakykime, seka (ak) yra geometrinė progresija su var-ę i dikliu q ir q\<\. Tada

S„ = a1+...+an = a1 ,

00

taigi eilutė V ak konverguoja ir jos suma S= ~rz.~ •

I I *=' 9

I » 3 p a v y z d y s . Eilutė 1 + 1 + . . . + 1 + . . . diverguoja, nes jos dalinės sumos S„=n-±co. Šios eilutės suma 5 = + co. 5 6

1. SKAIČIŲ E I L U T E S S Ą V O K A

1 T E I G I N Y S . / ? / Ne N, tai eilutė ^ ak konverguoja tada ir tik tada, kai k=i

03

konverguoja liekamoji eilutė ak. k = N+\

> Pažymėkime S„ eilutės ^ ak " -ą ją dalinę sumą ir S'„ - eilutės k=l

OO

^ ak /7-ąją dalinę sumą. Tada k = N+l

S n = AN + l + • • • + AN + n — $S + n ~ $N- (2) Jei (1) eilutė konverguoja, tai dešinioji (2) lygybės pusė turi baigtinę ribą, kai n-+ao, todėl ir kairioji šios lygybės pusė turi baigtinę ribą, t. y. eilutė

X

ak konverguoja. Ir atvirkščiai, jei (1) eilutė diverguoja, tai deši-

nioji (2) lygybės pusė neturi baigtinės ribos, kai //—>x, todėl ir kairioji šios lygybės pusė neturi baigtinės ribos. <j

Iš įrodyto teiginio išeina, kad. esant bet kokiam Ne N, pirmieji eilu-03

tės a„ nariai ax, ...,as neturi įtakos šios eilutės konvergavimui. n=l

Jei c e R ir eilutė ^ ak konverguoja, tai ir eilutė cat

konverguoja, ir £ cak=c V ak.

k=\ fc-i

> Pažymėkime raide S (1) eilutės sumą. Tada ca1+ca2+ ... +ea„ = CC CO

= c (a1 + a_,+ ... +a„)~>cS, todėl eilutė ^ eak konverguoja ir ^ cak = k=\ k=l

= CS. <

(būtina eilutės konvergavimo sąlyga). Jei (1) eilutė konverguoja, tai an-+0.

t> Jei S„ (n e N) — (\) eilutės dalinės sumos, o S — šios eilutės suma, tai an=Sn-Sn.1-^S-S=0. <J

57

III SKAICTU E I L U T Ė S

Reikia pastebėti, kad eilučių konvergavimo tyrimas yra tik kitokia sekų konvergavimo tyrimo forma, nes pagaltMBMEpa eilutė konvcr-j | 0 H H H M H M H H M ^ v e r 8 u o i a J o s dalinių sumų sekaf Taigi eilutės konvergavimo tyrimas suvedamas j sekos konvergavimo tyrimą. Ir atvirkščiai, jeiĄpcjį yra skaičių seka, kurios konvergavimą norime tirti, tai galime sudaryti eilutę

x1 + (x2-x1) + {x.6-x2) + . . . +(x„-xn_1)+ . (3)

kurios «-oji dalinė suma yra lygi sekos (A' F C) n-ajam nariui, todėl seka £c£konverguoja tada ir tik tada, kai konverguoja (3) eilutė.

2. Skaičių eilučių konvergavimo požymia i

Skaičių sekoms įrodytą Koši konvergavimo kriterijų ( I I . 7) galima pritaikyti ir eilutėms.

1

(Koši kriterijus skaičių eilutėms). Tam, kad eilutė

ax + a2 + . . . + an + . .. (D

konverguotų, būtina ir pakankama tokia sąlyga: kiekvienam s > 0 egzistuoja toks NE N, kad

\am+1+am+2+...+a„\<z, jei n>m>N.

O Ši teorema sutampa su Koš i kriterijumi skaičių sekoms, pritaikytu (1) eilutės dalinių sumų sekai (Sn), nes r-

\am+1+ ...+an) = \S„~Sml <

Jei eilutė

K I + K I + • • .+\a«\+ • • •

konverguoja, tai ir (1) eilutė konverguoja.

(2)

[> Pasirinkime s > 0 . Kadangi (2) eilutė konverguoja, tai jos nariai tenkina 1 teoremos sąlygą, t. y. egzistuoja toks A 7 G N, kad

Tada

\am+i\+ . . .+\an}<z, je i n>m>N.

am+1+ . . . +an\^\am+1 \+ . . . +\a„\<t, jei n>m>N,

t. y. (1) eilutės nariai irgi tenkina 1 teoremos sąlygą, todėl ir (1 ) eilutė konverguoja. <]

2. SKAICTU E I L U Č I Ų K O N V E R G A V I M O P O Ž Y M I A I

Apibrėžimas. (1) eilutė vadinama absoliučiai konverguojančia, jei (2) eilutė konverguoja; (1) eilutė vadinama reliatyviai konverguojančia, jei ji konverguoja, o (2) eilutė diverguoja.

1 p a v y z d y s . Eilutė

2 2 3 2 8 2 4

absoliučiai konverguoja, nes jos narių absoliutinių dydžių seka yra geo

metrinė progresija, kurios vardiklis q mažesnis už vienetą, būtent q = -į

(žr. I I I . 1, 2 pavyzdį). 2 p a v y z d y s . Įrodykime, kad eilutė

] + > + ; + . . . + i + . . . p )

diverguoja. Tuo tikslu įvertinsime jos dalinių sumą S2n ir Sn skirtumą.

visiems IIE N, todėl (3) eilutė netenkina Koši kriterijaus skaičių eilutėms, ir todėl (3) eilutė diverguoja.

(3) eilutė yra vadinama harmonine eilute.

(eilučių palyginimo principas). Jei \ak\^bk visiems k E N ir eilutė

b1 + h + . . . + £ „ + . . . (4 )

konverguoja, tai (1) eilutė absoliučiai konverguoja.

t> Iš nelygybės

\am+1 \+ . .. + K | ^ & m + i + . • • +K

išeina, kad je i (4) eilutės nariai tenkina 2 teoremos sąlygą, tai ir (2) eilutės .nariai tenkina šią sąlygą, todėl jei (4) eilutė konverguoja, tai ir (2) eilutė konverguoja. <

1 išvada. Jei 0^ak^bk visiems k e N ir (1) eilutė diverguoja, tai ir (4) eilutė diverguoja.

D> Jei (1) eilutė diverguoja, tai (4) eilutė negali konverguoti, nes pagal teoremą tada turėtų konverguoti ir (1) eilutė. <]

58 59

III SKAIČIŲ E I L U T E S

2 išvada. Jei (1) eilutės ir (4) eilutės nariai yra teigiami, egzistuoja riba

lim -į-me ir 0 < c < o o , * - c o °k

tai (1) ir (4) eilutės abi konverguoja arba abi diverguoja.

> Pasirinkime tokius du skaičius a ir (3, kad būtų 0 < a < c JV

(žr. I I . 4 ) , ir todėl xbk<ak<ę>bk, je i k>N. Jei (4) eilutė konverguoja, tai konverguoja eilutė 2 $ bk, ir todėl konverguoja mažesnių narių (1) eilutė. I r atvirkščiai: jei (4) eilutė diverguoja, tai negali konverguoti ir eilutė 2 yJ)k (žr. I I I . 1, 1 ir 2 pastabas), o todėl, remiantis 1 išvada, didesnių narių (1) eilutė diverguoja. <]

3 p a v y z d y s . Jei a < l , tai eilutė CO

I į (5)

. - n=l diverguoja. Iš tikrųjų, šios eilutės nariai yra didesni už diverguojančios (3) eilutės narius, todėl pagal 2 teoremos 1 išvadą (5) eilutė diverguoja.

' ' . ..' • flHMHf Jei (1) eilutės nariai yra neneigiami, tai ši eilutė turi sumą:

kad (1) eilutė konverguotų, būtina ir pakankama, kad jos dalinių sumų seka būtų aprėžta.

> Kadangi ak^0 visiems ke N, tai ax+ ... +a„^a1+ ... +a„ + +a„+1 visiems ne N, t. y. (1) eilutės dalinių sumų S„ seka didėja ir todėl turi baigtinę arba begalinę ribą, kuri ir yra (1) eilutės suma; tam, kad ši riba būtų baigtinė, būtina ir pakankama, kad seka (S„) būtų aprėžta (žr. I I . 5 ) . <\

'(Koši požymis). Jeigu Mm V\a„\<lt tai (1) eilutė abso-

liūčiai konverguoja, o jeigu lim ]/\a„\>\, tai\\) eilutė diverguoja. lim

n ^ Pažymėkime q = \\m]/\aH\.

n—»co Jeigu q<\, tai egzistuoja toks skaičius a, kad q<v.<\. Pagal viršuti

nės ribos apibrėžimą ( I I . 9) ir ribų savybes ( I I . 4 ) egzistuoja toks Ne N,

2. SKAIČIŲ E I L U Č I Ų K O N V E R G A V I M O P O Ž Y M I A I

n

kad ]/\a„ \ < a , ir todėl \a„\<a", jei n> N. Tai reiškia, kad (2) eilutės nariai yra mažesni už geometrinės progresijos (a") su vardikliu a, 0 < a < l , narius (žr. I I I . 1,2 pavyzdį), todėl (2) eilutė konverguoja, taigi (1) eilutė konverguoja absoliučiai.

n Je i q> 1, tai egzistuoja sekos (]/1 an I) posekis

(V k j ) . kurio riba yra ą>\, todėl atsiras toks Ne N, kad^

K

V \ank\>^ visiems k>N, taigi ir Į an j > 1, jei k> N ir todėl an-j-*Q, t. y. nepatenkinta būtina (1) eilutės konvergavimo sąlygą (žr. I I I . 1, 3 pastabą), taigi (1) eilutė diverguoj a . A

CO

4 p a v y z d y s . . E i l u t ė J konverguoja, nes

71=1 V n _ 1

f. Jeigu

tai (1) eilutė absoliučiai konverguoja, o jeigu

n—>co

/oi (1) e/7wfė diverguoja.

> Pažymėkime ^ = lim l ^ t 1 ! . Je i ? < 1 ir f « x < l , tai egzistuoja

toks Ne N. k a d - ^ i ^ < a . iei n>N. Kadangi eilutės konvergavimas

nepriklauso nuo jos pirmųjų N narių (žr. I I I . 1, 1 pastabą), tai galima

laikyti, kad l a " + l 1 < a visiems ne N. Tada | Qn I

| f l | l + 1 l < a - ! a B | < a 2 - | f l n - i l < . . . < « " • \<*x 1, n e N, taigi (2) eilutės nariai yra mažesni už geometrinės progresijos ( a n | a j ) su vardikliu a, 0 < a < l , narius, todėl (2) eilutė konverguoja (žr. I I I . 1, 2 pavyzdį).

1 J e a n d ' A l e m b e r t ( 1 7 1 7 - 1 7 8 3 ) - p r a n c ū z ų m a t e m a t i k a s , fizikas ir f i losofas.

61 6 0

III SKAICTU E I L U T E S

Sakykime, lim > 1, t. y. egzistuoja toks Ne N, kad i a „ + J > n-f<x> '"n' 1 1 + 1 1

> k „ | , je i n> N, todėl seka \aN+1\, \aN+2\, ... didėja ir todėl

l i m | a n | ^ Į ^ + 1 Į > 0 .

Taigi a „ - M ) , todėl (1) eilutė diverguoja. <

c o

5 p a v y z d y s . Eilutė £ konverguoja, nes n=l 2 « + i 2" ">

1™ ( ^ W : ^ = « - ^ = 0 < > -

Jei teigiamų skaičių seka (a„) mažėja ir hm an = 0, tai eilutė

a1-a2 + a3-a4+ . . . (6)

konverguoja.

[> Panagrinėkime (6) eilutės lyginių numerių dalinių sumu S., neN, seką.

Su = (ai ~ a2) + • . • + ((ųn-i ~ a,„) ^ (ax - a2) +

+ . . . +(a2n-1-a.2n) + (a2n + 1 - a 2 n + 2 ) = S2n+2, (7)

nes a 2 n + 1 ^ a 2 n + 2 , todėl seka (5" 2 n ) didėja. Be to,

S2n = ai~(a2-a3)- . . . - ( f l 2 „ _ x - a 2 „ _ 1 ) - f l 2 n ^ o 1 , (8)

todėl seka (S2n) aprėžta iš viršaus. Aprėžta iš viršaus didėjanti skaičių seka turi baigtinę ribą (11. 5), todėl egzistuoja baigtinė riba 5 = lim S, . Tada

Km S2n+1= lim (S2„ + a.2n+1) = S,

nes an-+0. Taigi sekos (S2n) ir C S 2 n + 1 ) turi tą pačią baigtinę ribą S. Tada įs sekos ribos apibrėžimo išplaukia, kad ir seka (Sn) turi tą pačią ribą Iš tikrųjų, jei s > 0 , tai egzistuoja tokie Nte N ir N2e N, kad | 5 2 „ - 5 j < < = , jei 2n>A\ ir | o 2 n + i - S j < s, jei 2n+i>N2. Tada \Sk-S\< z" visiems £ > m a x (Nt, N2), o tai ir reiškia, kad Sk-^S. <j

Jfrarifl Jei (6) eilutė tenkina Leibnico požymio sąlygas, S - šios eilutės suma ir S„ - n-oji dalinė suma, tai

\S-S„{ân+1; be to, S2n^S ir S2n + 1 ž S .

1 Got f r i ed VVilhelm Leibniz ( 1 6 4 6 - 1 7 1 6 ) - vokiečių m a t e m a t i k a s .

2. S K A I Č I Ų E I L U Č I Ų K O N V E R G A V I M O P O Ž Y M I A I

r> Iš (7) ir (8) matome, kad O^S^â^ Perėję prie ribos šioje nelygybėje gauname, kad ir (6) eilutės suma 5 tenkina nelygybę:

0^Sâv

Tada 1 S-Sn\ = a n + J - a n + 2 + an + 3 - a n + 4 + . . . ^ a n + 1 ,

nes eilutė a n + 1 - a n + 2 + a n + 3 - a n + i + ... tenkina tas pačias Leibnico požymio sąlygas, kaip (6) eilutė, ir todėl jo s suma | 5 - 5 „ | taip pat yra ne didesnė už pirmąjį j o s narį an+1.

Kadangi seka (S 2 „) didėja ir S2n->S, tai S2n^S.

Sln-1 = a1-(a2-a3)- . . . -(a2n-2-a2n_1)>a1-(a2-a3)-

- . ..-(a2n_2-a2n_1)-(a2n-a2n + 1)=S2n+1, t. y. seka

(S2n+1) mažėja ir S2n+1->S, todėl S2n..1^S. <

6 p a v y z d y : Eilutė 1— y + y - į + • • • konverguoja, nes seka

^ mažėja ir - ->-0. Be to, pagal išvadą, jei S yra šios eilutės suma, o S „ -

n-oji dalinė suma, tai

I S-S„\ < — . ,

t . y. galima lengvai įvertinti skirtumą tarp sumos 5 ir dalinės sumos S„

L e m ą ^ e i <xk, <į>ke R ir Bk = $x + ... + % (Ar = 1, 2, . . . , n), tai

n n— 1

2 A* P * = A " B " - Z ~ a" ) B k -k=l k=l

[> $k = Bk-Bk_lt jei k>\ ir $x = Blt todėl

*iPi + a2 Č2+ • • . +a n [3 n = a 1 5 1 + a 2 (£ 2 -£ 1 ) + . . . + xH(Bn-Bn.x) =

= (eų - a2) B x + (a2 - a 3)£ 2 + . . . +(a«-i— *«)•*«-1 + «-i

+ xnBn = x„B„- 2 (ak + i - a t ) 5 k . < fc=i

Sakykime, (ak) ir (Z?fc) — dvi skaičių sekos. Panagrinėsime eilutės

a1b1 + a2b2+. . . (9)

konvergavimą.

6 3 62

III S K A I Č I Ų E I L U T Ė S

1 teorema (Abelio 1 ir Dirichlė 2 požymis). Jei sekos (ak) ir (bk) tenkina bent vieną iš tokių dviejų sąlygų: (A) sąlyga: eilutė

bx + b2+ ...+bn+ . . . ( 10 )

konverguoja, o seka (ak) — monotoniška ir aprėžta; (D) sąlyga: ( 10 ) eilutės dalinių sumų seka aprėžta, o seka (ak) — mono

toniška ir ak-^-0, tai (9) eilutė konverguoja.

> Seka (ak) — monotoniška. Sakykime, kad (ak) didėja. Teoremos įrodymui panaudosime Koši kriterijų (1 teorema). Jei n>m, p = n — m ir Bk = bm+1+ ... +bm+k (k=l, 2, ...,p), tai pagal lemą

\ a m + 1 b m + 1 + . . . + a m + p b m + p \ = p-i

= \ am + p B p - £ (am+k+1-am+k)Bk |^

k-1

P~i

<\am+p\\B,\+ ^ (am+k+1-am+k)\Bk\. (11)

Sakykime, s > 0 . Jei patenkinta (A) sąlyga, tai egzistuoja toks Ne N, kad

\Bk\ = \bm+1+ ... + bm+k\<z, je i m>N; be to, \ak\^M visiems ke e N. Tada iš (11) gauname:

P-i

\am + 1 b m + 1 + . . . + am+pbm+p\^Mz + z ] T (flm+k + i - f l « + i ) = /t=i

= z(M + am + p - a m + 1)^3Mz,

jei m>N, todėl pagal Koši kriterijų (9) eilutė konverguoja (paskutinėje nelygybėje vietoj 3Mz gautume z, je i pasirinktume tokį N, kad būtų l ^ f c l < _ 3 ^ " visiems k>N).

Je i patenkinta (D) sąlyga, tai ; bx + . . . + bn \ ̂ M' visiems n e N ir a k - > 0 . T a d a | 5 k l = | ^ + 1 + . . . +bm+k | ̂ ' bt+ . . . +bm+k\ + \b1 +...+ + bs. \ ^ 2M' Pasirinkime tokį N'c N, kad būtų ! a * Į < £ , j e i k>N'. Iš

(11) , je i m>N', gauname: P-i

\ a m + 1 b m + l + . . . + am+pbm+p\^2zM' + 2M' £ (am + k + 1 -am+k) = k - \

= 2zM' + 2M'(am+p-am + 1)^6zM', '

todėl (9) eilutė konverguoja. <] v 1 N . H . Abel ( 1 8 0 2 - 1 8 2 9 ) - n o r v e g ų m a t e m a t i k a s . 8 P . G . Lejeune-Dir ich le t ( 1 8 0 5 - 1 8 5 9 ) - vokiečių m a t e m a t i k a s

3. E I L U Č I Ų N A R I Ų G R U P A V I M A S

7 p a v y z d y s . Eilutė

\

• + T - T - T + T + T — • ( , 2 > konverguoja. Iš tikrųjų, šią eilutę galime užrašyti kaip (9) eilutę, kurioje o » = ^ i bin= - 1 , - 1 , bin_2=l ir ^ - 3 = 1 (ne N). Kadangi (a„) mažėja ir a„-K), o eilutės 1 + 1 - 1 — 1 + 1 + 1 - . . . dalinės sumos aprėžtos (ne didesnės už 2 ir ne mažesnės už 0 ) , tai patenkinta (D) sąlyga, taigi (12) eilutė konverguoja.

3. Eilučių narių grupavimas

Iš realiųjų skaičių sudėties asociatyvumo aksiomos išeina, kad baigtinių sumų narius galima bet kaip grupuoti, t. y.

«!+... + an = (at + . .. +ami) + (ami+1+ . . . +am,) +

+ . . . +(amp+1 + amp+2+ . . . +a„).

Panašią savybę turi ir konverguojančios eilutės.

I teoremai Jei skaičių eilutė

ių+tų+ . . . + a M + . . . (1)

konverguoja, tai ir eilutė

(at+ . . . +ami) + (ami+1+ . . . +am,)+ ...+

+ ( S - 1 + i + - - ' + S ) + (2)

gauta iš (1) eilutės bet kaip sugrupavus narius, irgi konverguoja ir jos suma yra lygi (1) eilutės sumai.

> (2) eilutės dalinių sumų seka yra (1) eilutės dalinių sumų sekos posekis, o konverguojančios sekos kiekvienas pogekisturi tą pačią ribų kaip visa seka. <]

Nesunku įsitikinti, kad atvirkščias teiginys nėra teisingas: (2) eilutė gali konverguoti, o (1) — diverguoti. Iš tikrųjų, jei a„ = (— 1)", tai eilutė

- 1 + 1 - 1 + 1 - . . .

diverguoja (nes nepatenkinta būtina konvergavimo sąlyga, žr. I I I . 1), o eilutė

( - l + l ) + ( - l + l ) + . . . ,

aišku, konverguoja. Tačiau tam tikromis sąlygomis ir iš (2) eilutės konvergavimo išplaukia (1) eilutės konvergavimas.

3. V . Kabaila 6 5 6 4

\Jei (2) formulės kiekvienuose skliaustuose visi nariai turi vienodą ženklą ir (2) eilutė konverguoja, tai konverguoja ir (1) eilutė, ir abiejų eilučių sumos yra lygios.

P a s t a b a . (2) formulėje skirtinguose skliaustuose esančių narių ženklai gali būti skirtingi.

[> (1) eilutės n-ąją dalinę sumą pažymėkime S„, o (2) eilutės &-ąją dalinę sumą — Sk, t. y.

Sk = (ai+ . . . +ami) + (a„l+1+ . . . +ami)+ . . . +

+ • • • + « « * ) • (3 )

Jei mk_x<n^mk, tai

arba Šk$Sm<Šk-i,

priklausomai nuo to, ar (3) lygybės dešiniosios pusės paskutiniuose skliaustuose visi nariai teigiami ar neigiami. Pažymėkime (2) eilutės sumą raide S. Tada ~Sk^S ir

\ S n - S \ ^ \ S n - Š k \ + \Šk-S\^\Šk_1-Šk\ +

+ \ Sk — S\ - > 0 , jei n -> co ir mk_1<n^mk, t. y. S„->S. <]

1 p a v y z d y s . Remdamiesi 2 teorema įrodysime, kad jei oe> 1, tai eilutė

n=l konverguoja. Tuo tikslu, panašiai kaip įrodinėjant harmoninės eilutės divergavimą ( I I I . 2, 2 pavyzdys), įvertinsime (4) . eilutės dalinių sumų S2n ir S„ skirtumą, tik šį kartą iš viršaus. Pažymėkime a = x— 1.

5 2 » - 5 « = 7 ^ T i 7 r + • • • + T 2 ^ " < , 2 " ^ = ^ - ( 5 )

Pagal (5) nelygybę eilutės

S1 + (S2-Si) + (S2>-S2) + . . . + ( 5 2 , i + 1 - 5 „ ) + . . . ( 6 )

nariai tenkina tokias nelygybes:

S _<? — c _ 5 < _ I _ - ( ' _ L \ " J 2 n + ! 2 n _ 2 . 2 " 2 " (2")° \ 2° / '

t. y. (6) eilutės nariai yra mažesni už geometrinės progresijos su vardikliu

•?&••< 1 narius. Kadangi tokios progresijos narių eilutė konverguoja ( I I I . 1,

4. E I L U Č I Ų NARIŲ P E R S T A T Y M A S

2 pavyzdys), tai ir (6) eilutė konverguoja. Bet (6) eilutę galima gauti iš (4)

eilutės grupuojant narius aw=^.

a1+a2 + (a3 + ai) + (a-0 + a6 + a7 + a8)+ .. . +

+ ( « 2 n + 1 + • • • + « 2 » + i ) + • (?)

Kadangi šios eilutės nariai yra sumos vienodo ženklo dėmenų, tai pagal 2 teoremą ir (4) eilutė, gauta iš (7) eilutės praleidžiant skliaustus, konverguoja.

4. Eilučių narių perstatymas

Iš realiųjų skaičių komutatyvumo aksiomos išplaukia, kad, baigtinėse sumose bet kaip perstačius narius, sumos reikšmė nepasikeičia. Pabandysime išsiaiškinti, ar turi panašią savybę ir skaičių eilutės.

Pirmiausia išsiaiškinkime, kas vadinama eilutės narių perstatymu. Sakykime,

a1 + a2 + . .. +an+ . .. (1)

yra bet kokia skaičių eilutė, o a yra bijekcija N->N; tada laikysime, kad eilutė

« 0 ( l ) + ««(2)+ • • • + « o ( n ) + • • • (2)

yra gauta iš (1) eilutės perstačius narius. Taigi (2) eilutės narys su numeriu n yra ir (1) eilutės narys su numeriu a (n), o kiekvienas (1) eilutės narys yra ir (2) eilutės narys (plg. I I . 2 ) .

Dirichlė teorema. Jei (1) eilutė absoliučiai konverguoja, tai ir (2) eilutė, gauta iš (1) eilutės perstačius narius, absoliučiai konverguoja ir turi tą pačią sumą, kaip (1) eilutė.

> Sakykime, kad s > 0 . Kadangi (1) eilutė absoliučiai konverguoja, tai pagal Koši kriterijų eilutėms ( I I I . 2) egzistuoja toks Ne N, kad

\am+1\+ . . . +\ an\<z, jei n>m>N.

Pažymėkime JV' = max {ne N : a (n) 4 N}. Pastebėkime, kad N"žN; be to, G (/«) > Ar, j e i u > N'. Tada

\ao(m+i)\+ • • • +\aa{n)\<z, jei n>m>N',

t. y. (2) eilutė absoliučiai konverguoja. Be to, jei Sn ir S'n yra atitinkamai (1) ir (2) eilutės dalinės sumos ir n>N', tai

^ Sn-S'n[^\aN+1\+ . . . +\aM\<z, (3)

nes nariai alf aN sumoje Sn — S'n susiprastina; čia A / > m a x { < j ( l ) , . . . , o (n)}. Iš (3) išeina, kad Sn — S'n-+0. Jei S yra (1) eilutės suma, tai \S'n--S\^\S'„-Sn\ + \S„-S \-+Q, t. y. 5 yra ir (2) eilutės suma. <

6 6

Iš įrodytos teoremos išplaukia, kad absoliučiai konverguojančios skaičių eilutės turi panašias savybes, kaip ir baigtinės sumos. Ka ip paaiškės iš sekančios teoremos, perstačius narius reliatyviai konverguojančio-se eilutėse suma gali pasikeisti.

Apibrėžimas. Realiojo skaičiaus a teigiamąja dalimi vadiname skaičių a+ = max{a; 0 } , o a neigiamąja dalimi — skaičių a " = max { — a; 0 } .

Iš apibrėžimo išeina, kad a=a+ — a~ ir \a\ = a++a~.

L e m a . Jei (1) eilutė konverguoja reliatyviai, tai neneigiamų skaičių eilutės

a?+aĮ+ ...+a:+ . . . (4) ir

a \ + a2 + • • • + an + • • • (5) diverguoja.

> Pažymėkime S„, 5 ( „ + ) ir atitinkamai (1) , (4) ir (5) eilutės dalines sumas; eilutės

\a1\ + \a2\+...+\an\+... (6)

dalines sumas pažymėkime Ą ' 1 (ne N). Aišku, kad Sn = S^+) — ir Sj ," 1 = S £ + ) + . Pagal lemos sąlygas seka (S„) konverguoja, o seka (S[']) — diverguoja.

Tarkime, kad ( S ^ + ) ) konverguoja. Kadangi Sf~) = Sj,+^ — Sn, tai ir seka (S^) konverguoja. Bet tada ir seka (Sl„ ' ) , S į ' ' f - f l į ^ + S į " * * , turėtų konverguoti, o tai prieštarautų lemos sąlygoms. Taigi ( .S£ + ) ) diverguoja.

Seka ( S £ _ ) ) taip pat turi diverguoti, nes priešingu atveju iš lygybės Si+) = S„ + Sįt~) išeitų, kad ir ( S + ) konverguoja, o taip nėra. <J

Rymano 1 teorema. Jei (1) eilutė konverguoja reliatyviai ir ce R, tai egzistuoja tokia bijekcija a : N-+N, kad (2) eilutės suma yra c.

P a a i š k i n i m a s . Kitais žodžiais tariant, Rymano teoremoje sakoma, kad, koks bebūtų baigtims arba begalinis realusis skaičius c, reliatyviai konverguojančios skaičių eilutės narius galima taip perstatyti, kad tos perstatytos eilutės suma būtų lygi c. Atskiru atveju, kai c = + oo arba c= — co, gauname, kad reliatyviai konverguojančios eilutės narius galima taip perstatyti, kad perstatytoji eilutė diverguotų.

D> Iš pradžių sakykime, kad c — baigtinis. Kadangi (1) eilutė konverguoja, tai a„-+0. Be to, pagal lemą (4) ir (5) eilutės diverguoja, taigi diver-

1 B e r n h a r d R i e m a n n ( 1 8 2 6 — 1 8 6 6 ) — vokiečių m a t e m a t i k a s .

4. E I L U Č I Ų NARIŲ P E R S T A T Y M A S

guoja ir eilutės, gautos iš eilučių (4) ir (5) atmetus baigtinį skaičių pirmųjų narių. Kadangi (4) eilutė diverguoja, tai egzistuoja toks nxe N, kad

a? + . . . +< >c.

Kadangi (5) eilutė diverguoja, tai egzistuoja toks n2e N, kad

f K + . . . + < ) - ( a r + • • • + 0 < c '

I (at+ . . . +a+)-(ar+ . . . + a„t-i)>c.

Panašiai galvojant išeina, kad egzistuoja toks nze N, kad

f (at+ . . . + < ) - ( a r + " • • + a * " > + « + i + ; • • +<)>c>

l (a, + + . . . + < ) - ( « f + • • • • • •

Pratęsę tokį (1) eilutės narių perstatymą ir grupavimą, gauname eilutę:

(a,+ + . . . + < ) + ( - « r - • • • - < ) . + ( < + > + . • • • + < ) + • • • ( ? )

Pažymėkime Sk (ke N) (7) eilutės dalines sumas. Iš (7) eilutės sudarymo būdo išeina, kad

Sk<c^Sk + a,Tk, jei k lyginis ir Sk — aJk^c<Sk, jei k nelyginis,

todėl \Sk — c\ ^ j a„k | -*0, t. y. (7) eilutės suma yra c. Kadangi (7) formulėje kiekvienuose skliaustuose yra vienodo ženklo nariai, tai ir eilutės

at + . . . + < - « r - • • • - • < £ + < + ! + . . - + < - . . . (8)

suma yra S. Belieka pastebėti, kad (8) eilutė gauta iš (1) eilutės perstačius narius.

Sakykime, kad c — begalinis skaičius, pvz., c = + co. Tada eilutė, gaunama perstatant narius iš (1) eilutės, kurios suma yra -h cc, sudaroma tokiu būdu: iš pradžių pasirenkame tokį nxe N, kad būtų

at + . . . +<>!>

po to pasirenkame tokį n2c N, kad būtų

(af+. . . + . . . + < ) > 2

ir t.t. Taip gauname eilutę

(at+ . . . + < ) - « f + « + i + • • • +<)~t f2~+(«»t+i +

+ . . . + < ) + . . . , (9)

kurios dalinės sumos S'k tenkina šitokias sąlygas:

S^ = S'2j-X-ar, j e N,

todėl S'k-> + cc . Tada eilutė, gauta iš (9) praleidus skliaustus, turės tą pačią sumą S= + co ir bus gauta iš (1) eilutės perstačius narius. <

6 8 69

5. Eilučių sudėtis ir d a u g y b a

1 teorema. Jei eilutės

a i + a2+ ...+an+ . . . (1)

ir

b1 + bi+ . . . + b„ + . . . (2)

konverguoja ir jų sumos yra atitinkamai A ir B, tai ir eilutė

(a1 + b1) + (a2 + b2) + . . . + (an + b„) + . . . (3)

konverguoja ir jos suma yra A+B.

į> Pažymėkime An, B„ ir Sn atitinkamai (1), (2) ir (3) eilutės w-ąsias dalines sumas. Tada S„ = An+B„ ir todėl lim Sn = \\mAn + \\mBn = A+B. <

Iš šios teoremos išeina, kad konverguojančias eilutes, taip pat kaip ir baigtines sumas, galima sudėti panariui.

Iš realiųjų skaičių aksiomų išeina, kad dviejų sumų, turinčių baigtinius skaičius narių, sandauga yra lygi sumai sandaugų, sudarytų padauginus kiekvieną pirmosios sumos narį iš kiekvieno antrosios sumos nario, pvz.

(ax+... +am) +bn) = (a1b1 + a1b2+ ...+

+ aibj+ . . . +amb„)= J at

/<ii

Pereikime prie eilučių sandaugos nagrinėjimo. Iš pradžių išsiaiškinkime, kokią eilutę reikėtų vadinti (1) ir (2) eilutės sandauga. Pastebėkime, kad visų natūrinių skaičių sutvarkytų porų (i, j) aibė N x N yra suskaičiuojama aibė ( I . 6), todėl egzistuoja bijekcija 9 :N->NxN. Pažymėkime <?(«) = = (h„ jn) (neN). Eilutę

ah bh + au bJt+ ...+ a,n bjn + (4)

taip pat bet kurią eilutę, kurią galima gauti iš (4) eilutės perstačius narius, ir vadiname (1) ir (2) eilutės sandauga. Kadangi 9 — bijekcija, tai (4) eilutės nariai bus visos (1) ir (2) eilutės narių sandaugos ak bt ir kiekvienai sandaugai akbt atsiras tik vienas toks (4) eilutės narys Ą kad in = k

ir /„ = /• Sandaugų eilutė (4) žymima ir šitokiu būdu:

00 •

2 (4a) k, 1=1

7 0

5. E I L U Č I Ų S U D Ė T I S IR D A U G Y B A

2 teorema. Jei (1) ir (2) eilutės absoliučiai konverguoja, tai ir tų eilučių sandauga (4) absoliučiai konverguoja ir (4) eilutės suma yra lygi (1) ir (2) eilutės sumų A ir B sandaugai AB.

[> Pažymėkime An ir Bn atitinkamai (1) ir (2) eilutės «-ąsias dalines sumas; be to, pažymėkime:

A'„ = \ax\ + . . . + \an\,

B'n = :bl\+ ...+\bn\,

^=1

k = l

Tada

s'n = U i , ! I K I + . . . + J a, J [ b.n | < A'N B'N C A' B',

jei A r = m a x iKt j \ . . .jn}, todėl eilutės l a i ^ J i \ + \ailbj1\+ . . . +\ainbJn\+ . . . ( 5 )

dalinės sumos S'„ yra aprėžtos ir todėl (5) eilutė konverguoja ( I I I . 2 ) , t. y. (4) eilutė konverguoja absoliučiai. Pažymėkime jos sumą raide 5.

Įrodykime, kad (4) eilutės suma yra AB. Tuo tikslu sudarykime eilutę, kurios H-osios dalinės sumos būtų lygios (1) ir (2) eilutės n-ųjų dalinių sumų A„ ir B„ sandaugai:

A1B1 + (A2B2-A1B1)+ ...+(AnBn-An_1Bn_1)+ . . . . (6)

Bet A„->A ir B„->B, todėl An Bn-^AB, t. y. (6) eilutė konverguoja ir j o s suma yra AB. K i t a vertus, nesunku pastebėti, kad (6) eilutė yra gauta iš (4) eilutės perstačius ir sugrupavus j o s narius. Iš tikrųjų

A R — A .R =(a-.4- j - n \ (h J_ _ i _ A \ _

+ . . .+a„^1)(b1+ . . . + b„.1) = a1bn + a2 b„ +

+ . . . +an-1bn + a„b„ + anbn_1 + anb1,

t. y. (6) eilutės /z-asis narys yra lygus sumai visų tų (4) eilutės narių ak bt, kuriems k^n, n ir bent vienas iš numerių k arba / yra lygus n. Kadangi (4) eilutė absoliučiai konverguoja, tai perstatinėjant ir grupuojant jo s narius suma nesikeičia ( I I I . 3 ir 4), todėl (6) eilutės ir (4) eilutės sumos yra lygios, t. y. S=AB. <

71

i i i S K A I Č I Ų E I L U T E S

6. Begalinės sandaugos

Sakykime, kad (ak) yra kokia nors nelygių nuliui realiųjų skaičių seka. Kiekvienam ne N yra apibrėžta pirmųjų n sekos (ak) narių sandauga P„ = a1a2 ... an. Nagrinėjant sekos (P„) konvergavimo klausimus, seka (ak) vadinama begaline sandauga ir žymima

CO

n (i) k=l

(sutrumpintai Tlak), arba ax • a2 • • • • ' an ' • • • Sekos (ak) nariai vadinami (1) begalinės sandaugos daugikliais, o skaičiai Pn — (1) begalinės sandaugos dalinėmis sandaugomis. Sakome, kad (1) begalinė sandauga konverguoja, je i j o s dalinių sandaugų seka (P„) turi baigtinę ir nelygią nuliui r ibą ; priešingu atveju sakome, kad (1) begalinė sandauga diverguoja. Dalinių sandaugų sekos (P„) ribą P, j e i tik tokia riba egzistuoja, vadiname (1) begalinės sandaugos reikšme ir rašome

P = J~~Į ak a r ° a P = a1-a2- . . . • an • . . . k =1

Begalines sandaugas 00

n ** (NeN)t ( 2 ) Ar = JV+I

gautas iš (1) begalinės sandaugos, atmetus baigtinį skaičių pirmųjų daugiklių, vadiname (1) begalinės sandaugos liekamosiomis sandaugomis.

Kaip matome, begalinės sandaugos ir su jomis surištos sąvokos apibrėžiamos panašiai kaip eilutės ir su eilutėmis surištos sąvokos.

1 teiginys. Jei Ne N, tai (1) begalinė sandauga konverguoja tada ir tik tada, kai konverguoja liekamoji begalinė sandauga ( 2 ) .

m N-r n

> Pažymėkime Pm= J~J ak ir P„ = ak. Tada PN+n=PN • k=l k=N+l

'P„; šioje lygybėje perėję prie ribos, kai n-^cc, gauname, kad ( i ) ir (2) begalinės sandaugos dalinės sandaugos PN+„ ir Pn arba abi turi baigtines nelygias nuliui ribas, arba abi tokių ribų neturi. <\

2 teiginys (būtina begalinės sandaugos konvergavimo sąlyga). Jei (1) begalinė sandauga konverguoja, tai an->\.

7 2

6. B E G A L I N Ė S S A N D A U G O S

IŠ sekančių teoremų paaiškės, kad begalinių sandaugų konvergavimo tyrimą galima pakeisti tam tikrų eilučių konvergavimo tyrimu.

1 teorema. Jei ak>0 visiems k e N, tai (1) begalinė sandauga konverguoja tada ir tik tada, kai konverguoja eilutė

00

2 ln«*. (3) k = \

> Pažymėkime P„ = [~Į ak ir S„ = ^ \nak. Tada \nPn = Sn ir I k=1 k=\

P„ = eSn. Perėję prie ribos Šiose lygybėse, gauname, kad seka (S„) konverguoja tada ir tik tada, kai seka (P„) turi baigtinę ir nelygią nuliui ribą. 0, todėl pagal ribų savybes ( I I . 4 ) egzistuoja toks Ne N, kad ak>0 visiems ke N. Taigi, jei patenkinta būtina begalinės sandaugos konvergavimo sąlyga, tai pereinant prie liekamųjų sandaugų galima pasiekti, kad būtų patenkinta visiems liekamosios sandaugos daugikliams ak teoremos sąlyga ak>0.

Nagrinėjant begalinių sandaugų konvergavimą, dažnai patogu begalinės sandaugos daugiklius ak užrašyti pavidalu ak=l+ctk.

2 teorema. Jei y.k^0 visiems k, tai begalinė sandauga

n (ą) k=i

konverguoja tada ir tik tada. kai konverguoja eilutė

oo

2 «,. (5) k=l

> Jei (5) eilutė konverguoja, tai a k ->0 ir l n ( 1 + 3 C f c ) = hi ( l + *kf* -> CO

~->me=l, todėl eilutė ^ l n ( l + x & ) konverguoja ( I I I . 2, 2 teor., 2 k=l

išvada) ir todėl pagal 1 teoremą (4) begalinė sandauga konverguoja. Ir atvirkščiai, jei konverguoja (4) begalinė sandauga, tai l + a f c - ^ l ,

t. y. a f c ^ 0 , todėl l n l 1 + Jtfc) i ? taigi (5) eilutė konverguoja. <] <xk

7 3

Aišku, kad nelygybė a k ^ 0 ekvivalentiška nelygybei a k = 1+oc k $J 1, taigi 2 teorema taikoma tokioms begalinėms sandaugoms Uak, k u r a k ^ l .

1 p a v y z d y s . Begalinė sandauga

co 2* + l

konverguoja, nes

2* k = 1

2 ' + 1 = i + i 2" ' 2 *

co i r eilutė ^ -p- konverguoja.

k = l Pastebėsime, kad pagal begalinės sandaugos konvergavimo apibrėži

mą sandaugos oo co

N * I R N i

& = 1 k=l arba abi kartu konverguoja, arba abi diverguoja, todėl 2 teoremos teiginys yra teisingas ir tuo atveju, kai 0<ak= 1 + a k ^ 1, t. y. kai — 1 < a k ^ 0 .

(1) begalinė sandauga vadinama absoliučiai konverguojančia, jei (3) eilutė konverguoja absoliučiai.

3 teorema. Sakykime, a k > — 1 visiems ke N; tam, kad begalinė sandau-co

ga J ~ Į ( l + o c k ) konverguotų absoliučiai, būtina ir pakankama, kad eilutė k =i

^ a k konverguotų absoliučiai. k=l

D> Įrodymas panašus į 2 teoremos įrodymą. Jei eilutė ^ | a k į

konverguoja, tai cck->0 ir

lim l l n ^ 1 + ^ i = 1 , (6)

todėl eilutė | In (1 + a k ) [ konverguoja, o tai pagal apibrėžimą ir reis-k = \

co kia, kad begalinė sandauga " J ( l + a k ) konverguoja absoliučiai. I r at-

7 4

6. B E G A L I N E S S A N D A U G O S

virkščiai, jei begalinė sandauga | ( l + a*) konverguoja absoliučiai, k=\

00 t. y. eilutė ^ į i n ( l + a k ) j konverguoja, tai a k - > 0 , todėl lieka teisinga

k = \ • 00

(6) lygybė ir todėl eilutė ^ [ a k ] konverguoja. <\ k = l

Iki šiol nagrinėjome tik tokias begalines sandaugas I I ak, kurių visi daugikliai ak nelygūs nuliui. Kartais, ypač nagrinėjant begalines sandaugas, kurių daugikliai yra funkcijų reikšmės tam tikrame taške x, toks apribojimas yra nepatogus. Todėl begalinės sandaugos konvergavimas apibrėžiamas ir tuo atveju, kai baigtinis skaičius jos daugiklių ak yra nuliai.

Apibrėžimas. Begalinė sandauga | ak, kurios daugikliai gali būti fc = i

ir nuliai, vadinama konverguojančia, jei nulinių daugiklių yra baigtinis skaičius ir bent viena liekamoji sandauga, kurios visi daugikliai nelygūs nuliui, konverguoja.

2 p a v y z d y s . Panaudosime begalinės sandaugos sąvoką, apibrėždami funkciją/ , kuri duotos sekos (ak), a k # 0 , taškuose ir tik tuose taškuose yra lygi nuliui. Funkcijos reikšmę taške x apibrėžkime lygybe:

/ w = N ( i - t ) - <7> k=l

konver-Jei eilute V — absoliučiai konverguoia, tai ir eilute V — ^ ak ^ I ak k=\ fe=l

guoja, o todėl ir (7) begalinė sandauga absoliučiai konverguoja visiems n

t r / V \ xe R. Jei x=aJ} tai į visas dalines sandaugas Pn J J ^1 — — i , kur

k = 1

n^j, įeis lygus nuliui /-asis daugiklis ( l — - ^ j , todėl P„ (aj) = 0, jei n ir

f{aj) = \xm Pn(aj) = 0. n-*oo

Je i x^aj nė vienam je N, tai (7) begalinės sandaugos visi daugikliai nė-nuliniai ir ši saudauga konverguoja, todėl f (x)^0.

7 5

7. A p ž v a l g a

Eilutės sąvoka matematikoje pradėta vartoti dar X V I I amžiuje. Niutonas ir Leibnicas, žymiausi X V I I amžiaus matematikai, diferencialinio ir integralinio skaičiavimo kūrėjai, savo darbuose jau naudojo eilutes. X V I I I amžiuje, daugiausia Te i lo ro 1 ir Eulerio 2 darbų dėka, eilutės buvo plačiai taikomos įvairiose matematikos srityse, tačiau eilučių teorij o s tiksliu pagrindimu susidomėta tik X I X amžiuje. Gauso 3 , Koši , Ryma-no, Vejerštraso ir kitų matematikų pastangomis buvo sukurta griežta eilučių teorija.

Dabartiniuose matematinės analizės vadovėliuose eilutė, kurios nariai yra skaičiai ake R, kartais apibrėžiama kaip formalus simbolis (užrašas)

ax + a2 + . . . + a„ + . . . ,

pastebint, kad eilutė laikoma apibrėžta, jei yra duota j o s narių seka (ak). Nesunku pastebėti, kad šiame vadovėlyje eilutės apibrėžimas tik savo forma skiriasi nuo tokio apibrėžimo.

Šiame vadovėlio skyriuje didžiausias dėmesys nagrinėjant eilutes buvo skiriamas j ų konvergavimo klausimams ir kai kurioms algebrinėms operacijoms su eilutėmis. Eilutės sumos skaičiavimo metodai nebuvo nagrinėjami. Nebuvo įrodytas ir vadinamasis integralinis eilučių konvergavimo požymis, kuris bus išvestas po to, kai bus išdėstyta apibrėžtinio integralo sąvoka. \

Svarbiausios įrodytos -šiame skyriuje teoremos :^Koši konvergavimo ikriterijus skaičių eilutėms ( I I I . 2)^j)eilučių palyginimo principas ( I I I . 2) ,

Jy*Koši, Dalambero ir Leibnico konvergavimo požymiai ( I I I . 2) , Dirichlė teorema apie eilutės narių perstatymą ( I I I . 4) , Rymano teorema apie reliatyviai konverguojančia eilučių narių perstatymą ( I I I . 4 ) ir teorema apie eilučių daugybą ( I I I . 5) .

8. Uždavin ia i

1. Ištirkite tokių eilučių konvergavimą:

co co co

n=l n = l n = l

. CO CO > T - « . 0 0

n = l n = l n= 1

1 B r o o k T a y l o r ( 1 6 8 5 - 1 7 3 1 ) - a n g l ų m a t e m a t i k a s . 2 L e o n h a r d E u l e r ( 1 7 0 7 — 1 7 8 3 ) — šve icarų kilmės m a t e m a t i k a s . 3 Car l F r i e d r i c h G a u s s ( 1 7 7 7 - 1 8 5 5 ) - vokiečių m a t e m a t i k a s .

7 6

1. T O L Y D U M O A P I B R Ė Ž I M A S

n = l

12) +

1 3 ) {p> *****

CO

15) Y l į t (-xeR\N). n = \

2. Įrodykite: jei eilutės S a„ ir 2 b„ konverguoja ir tfn^cn<6„, tai ir eilutė S c„ konverguoja.

3. Eilutės S a„ ir S bn diverguoja ir an ^ c„ ^ bn. Ar diverguos eilutė S c„? 4. Įrodykite: jei eilutė S \a„\ konverguoja, tai ir eilutė S a ^ kon

verguoja. 5. Nurodykite pavyzdį sekos (a„), kuriai eilutė Š a * konverguoja, o

eilutė S \aR\ diverguoja. 6. Įrodykite: j e i na„->a^0, tai eilutė S a„ diverguoja.

iv T O L Y D U M A S

1 . Tolydumo apibrėžimas

Sakykime, kad AczR ir / : A^R.

Apibrėžimas. Funkcija f vadinama tolydžia taške ae A, jei bet kokiai taško f (a) aplinkai V} įa-. egzistuoja tokia taško a aplinka Vū, kad f(x)e eVf(a), jei xe Vaf] A.

Kitaip sakant, / yra tolydi taške a, j e i bet kokiai / (a) aplinkai Vf(a)

egzistuoja tokia a aplinka Va, kad f (VaC\ A)cz Vf(ay

Funkcija f vadinama tolydžia aibėje BczA, jei ji tolydi kiekviename aibės B taške, f vadinama tolydžia, jei ji tolydi visoje apibrėžimo aibėje A.

77

matematinė analizė

Documents