matematinĖ fizika paskaitų medžiaga · matematinĖ fizika paskaitų medžiaga aleksandras...

MATEMATINĖ FIZIKAPaskaitų medžiaga

Aleksandras Krylovas

Vilniaus Gedimino technikos universitetas

2010 m. lapkričio 23 d.

Turinys

1 Lygtys dalinėmis išvestinėmis 31.1 Įvadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Pirmosios eilės diferencialinės lygtys dalinėmis išvestinėmis . 4

1.2.1 Homogeninė lygtis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2 Nehomogeninė pirmosios eilės lygtis . . . . . . . . . . 6

1.3 Kintamųjų keitimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.1 Laplaso operatorius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Koši ir Kovalevskajos teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Antrosios eilės lygčių klasifikacija 132.1 Antrosios eilės diferencialinė lygtis . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Antrosios eilės tiesinių diferencialinių lygčių klasifikacija . . . 14

2.2.1 Pagrindinės lygtys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3 Lygties su dviem nepriklausomais kintamaisiais pertvarkymas

į kanoninį pavidalą . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.1 Hiperbolinis atvejis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.2 Parabolinis atvejis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.3 Elipsinis atvejis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4 Lygtys su pastoviais koeficientais . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4.1 Hiperbolinis atvejis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4.2 Elipsinis atvejis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5 Lygties su pastoviais koeficientais prastinimas . . . . . . . . . 19

3 Stygos svyravimo lygtis 213.1 Stygos svyravimų lygties išvedimas . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.1 Modeliavimo prielaidos . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1.2 Kraštinės ir pradinės sąlygos . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2 Dalambero metodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3 Dalambero formulės tyrimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

iii

iv TURINYS

3.4 Nehomogeninės lygties sprendimas . . . . . . . . . . . . . . . 253.5 Kiti hiperbolinio tipo matematiniai modeliai . . . . . . . . . . 27

3.5.1 Ilgosios linijos lygtys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.5.2 Membranos svyravimų lygtis . . . . . . . . . . . . . . 303.5.3 Dujų ir skysčio dinamikos lygtys . . . . . . . . . . . . 31

4 Šilumos laidumo ir difuzijos lygtys 334.1 Difuzijos matematinis modelis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2 Šilumos laidumas strype . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2.1 Modeliavimo prielaidos . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2.2 Diferencialinė lygtis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2.3 Šilumos laidumas erdvėje . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.3 Koši uždavinio sprendimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3.1 Kintamųjų atskyrimo metodas . . . . . . . . . . . . . 364.3.2 Furjė metodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3.3 Fundamentinio sprendinio fizikinė prasmė . . . . . . . 384.3.4 Kraštinės sąlygos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3.5 Kraštinio uždavinio sprendimas Furjė metodu . . . . . 40

4.4 Maksimumo principas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.5 Uždavinys apie žemės temperatūrą . . . . . . . . . . . . . . . 42

5 Elipsinės lygtys 455.1 Procesai, aprašomi elipsinėmis lygtimi . . . . . . . . . . . . . 45

5.1.1 Bendrosios sąvokos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.1.2 Normalioji išvestinė . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.1.3 Adamaro pavyzdys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.2 Harmoninės funkcijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.2.1 Maksimumo principas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.3 Puasono formulė . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.3.1 Temperatūros pasiskirstymas apvalioje plokštelėje . . 49

5.4 Grino funkcijų metodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.4.1 Grino formulė Dirichlė uždaviniui . . . . . . . . . . . . 51

6 Kintamųjų atskyrimo metodas 536.1 Hiperbolinių lygčių sprendimas kintamųjų atskyrimo metodu 536.2 Elipsinių lygčių sprendimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.2.1 Laplaso lygties sprendimas apskritime . . . . . . . . . 55

TURINYS v

7 Šturmo ir Liuvilio uždavinys 597.1 Bendroji kintamųjų atskyrimo metodo schema . . . . . . . . . 59

7.1.1 Tiesinis diferencialinis operatorius . . . . . . . . . . . 597.2 Šturmo ir Liuvilio uždavinys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

8 Apibendrintosios funkcijos 618.1 Pagrindinės ir apibendrintosios funkcijos . . . . . . . . . . . . 61

8.1.1 Bendrosios sąvokos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618.1.2 Apibendrintų funkcijų erdvė D′ . . . . . . . . . . . . . 628.1.3 Apibendrintųjų funkcijų diferencijavimas . . . . . . . 63

9 Fundamentalieji sprendiniai 659.1 Apibendrintieji sprendiniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

9.1.1 Tiesinis diferencialinis operatorius . . . . . . . . . . . 659.1.2 Fundamentalusis sprendinys . . . . . . . . . . . . . . . 669.1.3 Nehomogeninė lygtis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

9.2 Fundamentaliųjų spendinių pavyzdžiai . . . . . . . . . . . . . 679.2.1 Tiesinis diferencialinis operatorius su paprastosiomis

išvestinėmis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679.2.2 Šilumos operatoriaus lygties fundamentalusis sprendinys 679.2.3 Banginio operatoriaus fundamentalusis sprendinys . . 689.2.4 Laplaso operatoriaus fundamentalusis sprendinys . . . 68

vi TURINYS

TURINYS 1

PAGRINDINĖS TEMOS

1. Antrosios eilės tiesinių lygčių dalinėmis išvestinėmis klasifikacija

2. Hiperbolinio tipo lygtys. Koši uždavinys

3. Hiperbolinio tipo lygtys. Mišrusis uždavinys

4. Parabolinio tipo lygtys

5. Elipsinio tipo lygtys

6. Apibendrintosios funkcijos

LITERATŪRA

1. Paulauskas V. Matematinės fizikos lygtys. Vilnius: Mintis, 1974.456 p.

2. Ambrazevičius A. Matematinės fizikos lygtys. D. 1. Vilnius: Aldorija,1996. 380 p.

3. Ambrazevičius A., Domarkas A. Matematinės fizikos lygtys. D. 2.Vilnius: Aldorija, 1999. 380 p.

4. Kamuntavičius G. Matematinė fizika. Kaunas: VDU, 2008.

5. Karpickaitė V. Matematinės fizikos lygčių uždavinynas. Kaunas: KPI-1980.

6. Žiaukienė S. Matematinės fizikos lygtys. Vilnius: 1987.

7. Dosinas G., Tvarijonas P. Matematinės fizikos lygtys. Užduotys irmetodiniai nurodymai. Kaunas: Technologija, 1991.

8. Būda V., Rutkauskas S. Pagrindiniai matematinės fizikos uždaviniaiir sprendimo metodai. Vilnius: Technika, 1992.

2 TURINYS

skyrius 1

Lygtys dalinėmis išvestinėmis

1.1 Įvadas

Tarkime, kad u(x, y) yra diferencijuojama funkcija. Jos pirmosios eilės da-lines išvestines žymėsime:

∂u

∂x= u′x = ux,

∂u

∂y= u′y = uy.

Antrosios eilės išvestinės:

∂2u

∂x2= u′′xx = uxx,

∂2u

∂y2= u′′yy = uyy,

∂2u

∂x∂y= u′′xy = uxy,

∂2u

∂y∂x= u′′yx = uyx.

Prisiminkime1, kad mišriosios išvestinės yra lygios:

∂2u

∂x∂y=

∂2u

∂y∂x.

Nagrinėsime lygčių dalinėmis išvestinėmis pavyzdžius.

1.1 pavyzdys. Raskime diferencialinės lygties

∂u(x, y)

∂x= u(x, y)

1Suformuluokite šį teiginį griežtai.

3

4 SKYRIUS 1. LYGTYS DALINĖMIS IŠVESTINĖMIS

bendrąjį sperendinį.Sprendimas. Sprendžiame lygtį kaip paprastąją diferencialinę lygtį suparametru y:

du

u= dx⇒

∫

du

u=

∫

dx⇒ lnu = x+ lnC(y).

Taigi u(x, y) = C(y) ex.

1.1 pratimas. Išspręskite Koši uždavinį u′y = u, u(x, y)|y=0 = sinx.Atsakymas. u(x, y) = sin(x) ey .

1.2 pavyzdys. Įrodykime, kad funkcija u(x, y) = sin(x− y) yra dife-rencialinės lygties

∂u

∂x+∂u

∂y= 0

sprendinys.Įrodymas. Funkcijos u dalinės išvestinės yra:

ux = cos(x− y), uy = − cos(x− y).

Įrašę šiuos reiškinius į lygtį, gauname tapatybę (tapačiai teisingą ly-gybę, esant visiems x, y). Pastebėkime, kad šios lygties bendrasissprendinys yra u(x, y) = ϕ(x − y), kai ϕ(z) – bet kuri diferencijuo-jamoji funkcija.

1.2 pratimas. Išspręskite Koši uždavinįu′x − u′y = 0, u(x, y)|y=0 = lnx.Atsakymas. u(x, y) = ln(x+ y).

1.2 Pirmosios eilės diferencialinės lygtys dalinėmisišvestinėmis

Pirmosios eilės diferencialinė lygtis dalinėmis išvestinėmis su dviem neprik-lausomais kintamaisiais x ir y bendruoju atveju užrašoma taip

F

(

∂u

∂x,∂u

∂y, u, x, y

)

= 0. (1.1)

Lygtis

a(u, x, y)∂u

∂x+ b(u, x, y)

∂u

∂y= c(u, x, y) (1.2)

vadinama tiesine išvestinių atžvilgiu (dar vadinama kvazitiesine).

1.2. PIRMOSIOS EILĖS DIFERENCIALINĖS LYGTYS DALINĖMIS IŠVESTINĖMIS5

1.2.1 Homogeninė lygtis

Kai (1.2) lygtyje c ≡ 0, lygtis vadinama homogenine:

a(u, x, y)∂u

∂x+ b(u, x, y)

∂u

∂y= 0. (1.3)

Akivaizdu, kad funkcija u ≡ const yra šios lygties sprendinys.Raskime kitus pirmosios eilės tiesinės homogeninės lygties dalinėmis

išvestinėmis sprendinius. Užrašykime paprastąją diferencialinę lygtį (charak-teristikų lygtį):

dx

a(u, x, y)=

dy

b(u, x, y), u = const. (1.4)

Tarkime, kad Ψ(x, y) = C−const yra šios paprastosios diferencialinės lygtiesintegralas. Tada funkcija u = Ψ(x, y) yra tiesinės homogeninės diferencial-inės lygties dalinėmis išvestinėmis sprendinys.

1.3 pavyzdys. Raskime lygties

yux − xuy = 0

bendrąjį sprendinį.Sprendimas. Užrašome paprastąją diferencialinę (charaktestikų) lygtį

dx

y= −dy

x.

Jos bendrasis integralas x2 + y2 = const. Taigi turime u(x, y) =ψ(x2 + y2). Čia ψ(z) – bet kuri diferencijuojamoji funkcija.

1.3 pratimas. Įrodykite, kad funcijos u = sin(x2+y2), u = ln√

x2 + y2,u = e−(x2+y2)3 yra 1.3 pavyzdžio lygties sprendiniai.

Tarkime, kad turime n nepriklausomų kintamųjų. Tada homogeninėlygtis užrašoma taip

n∑

j=1

aj (x1, x2, . . . , xn)∂u

∂xj= 0.

Atitinkama simetrinio pavidalo paprastųjų diferencialinių lygčių sistema yra

dx1a1

=dx2a2

= · · · = dxnan

.


Tarkime, kad ϕ1 (x1, x2, . . . , xn), ϕ2 (x1, x2, . . . , xn), . . ., ϕn−1 (x1, x2, . . . , xn)yra nepriklausomi šios sistemos integralai. Tada funkcija

u (x1, . . . , xn) = Φ (ϕ1 (x1, . . . , xn) , ϕ2 (x1, . . . , xn) , · · · , ϕn (x1, . . . , xn))

yra diferencialinės lygties sprendinys. Čia Φ yra bet kuri tolydžiai diferen-cijuojama funkcija.

1.4 pavyzdys. Išspręsime tiesinę pirmos eilės lygtį dalinėmis išvestinėmis

2xy∂u

∂x+ x

∂u

∂y+ z2y

∂u

∂z= 0.

Užrašome atitinkamą simetrinio pavidalo paprastųjų diferencialiniųlygčių sistemą:

dx

2xy=dy

x=

dz

z2y.

Gauname integralus

dx

2xy=dy

x⇒ dx = 2ydy ⇒ x = y2 + C1,

dx

2xy=

dz

z2y⇒ lnx = −2

z+C2.

Taigi bendrąjį lygties sprendinį galima išreikšti taip

u = Φ

(

x− y2, ln x+2

z

)

.

1.4 pratimas. Patikrinkite, kad funkcijau(α, β), α = x− y2, β = lnx+ 2

z

yra 1.4 pavyzdžio sprendinys.

1.2.2 Nehomogeninė pirmosios eilės lygtis

Nagrinėsime (1.2) nehomogeninę lygtį. Tarkime, kad sprendinys u(x, y)užrašomas neišreikštine funkcija

U(x, y, u) = C − const,∂U

∂u6= 0.

Tada turime dvi tapatybes:

∂U

∂x+∂U

∂u

∂u

∂x≡ 0,

1.2. PIRMOSIOS EILĖS DIFERENCIALINĖS LYGTYS DALINĖMIS IŠVESTINĖMIS7

∂U

∂y+∂U

∂u

∂u

∂y≡ 0.

Taigi įrašę iš šių tapatybių gaunamus reiškinius

ux = −Ux

Uu, uy = −Uy

Uu

į (1.2) lygtį, gauname lygtį

a(u, x, y)∂U

∂x+ b(u, x, y)

∂U

∂y+ c(u, x, y)

∂U

∂u= 0.

Užrašome atitinkamą paprastųjų diferencialinių lygčių sistemą

dx

a(u, x, y)=

dy

b(u, x, y)=

du

c(u, x, y), U = C − const. (1.5)

1.5 pavyzdys. Išspręskime diferencialinę lygį

xux + yuy + u = 0.

Sprendimas. Užrašome charakteristikų lygtis

dx

x=dy

y=du

−u.

Sprendžiame lygčių sistemą:

lnx = ln y + lnC1, lnx = − lnu+ lnC2.

Taigi u =C2

x,x

y= C1, C2 = ϕ (C1), u(x, y) =

ϕ(

xy

)

x.

Patikrinkime, kad funkcija u yra diferencialinės lygties sprendinys:

ux = − ϕ

x2+ϕ′

xy, uy = −ϕ

′

y2,

x

(

− ϕ

x2+ϕ′

xy

)

+ y

(

−ϕ′

y2

)

+ϕ

x= 0.


1.3 Kintamųjų keitimas

Tarkime, kad nepriklausomi kintamieji x, y keičiami taip:

x = ϕ(ξ, ν), y = ψ(ξ, ν). (1.6)

Raskime funkcijos v(ξ, ν) = u(x, y) dalines išvestines:

∂v

∂ξ=∂u

∂ϕ

∂ϕ

∂ξ+∂u

∂ψ

∂ψ

∂ξ,

∂v

∂ν=∂u

∂ϕ

∂ϕ

∂ν+∂u

∂ψ

∂ψ

∂ν.

Pareikalaukime, kad Jakobianas būtų nelygus nuliui2:

J =

∣

∣

∣

∣

ϕξ ψξ

ϕν ψν

∣

∣

∣

∣

6= 0. (1.7)

Tada funkcijos u(x, y) dalinės išvestinės išreiškiamos funkcijos v(ξ, ν) dali-nėmis išvestinėmis:

(

uxuy

)

=

(

ϕξ ψξ

ϕν ψν

)−1(vξuν

)

1.5 pratimas. Pakeiskite kintamuosius x = ξ sin ν, y = ξ cos ν , kaiu(x, y) =

√

x2 + xy + y2. Raskite funkciją v(ξ, ν) = u(x, y).

1.3.1 Laplaso operatorius

1.1 apibrėžimas. Reiškinys

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2

žymimas ∆u, t. y.:

∆ ≡ ∂2

∂x2+

∂2

∂y2

arba trimačiu atveju

∆ ≡ ∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

ir vadinamas Laplaso operatoriumi.2(1.7) sąlyga garantuoja atvirkštinės transformacijos egzistavimą, t. y. galimybę

išreikšti naujuosius kintamuosius ξ ir ν seniaisiais kintamaisiais x, y.

1.3. KINTAMŲJŲ KEITIMAS 9

Užrašykime Laplaso operatorių polinėse koordinatėse:

x = r cosϕ, y = r sinϕ, r =√

x2 + y2, tgϕ =y

x.

Tada∂u

∂x=∂u

∂r

∂r

∂x+∂u

∂ϕ

∂ϕ

∂x,

∂u

∂y=∂u

∂r

∂r

∂y+∂u

∂ϕ

∂ϕ

∂y.

Apskaičiuokime dalines išvestines:

∂r

∂x=

2x

2√

x2 + y2=x

r= cosϕ,

∂r

∂y=

2y

2√

x2 + y2=y

r= sinϕ.

Diferencijuojame lygybę tgϕ = yx

pagal x ir y:

1

cos2 ϕ

∂ϕ

∂x= − y

x2,

1

cos2 ϕ

∂ϕ

∂y=

1

x.

Taigi∂ϕ

∂x= −sinϕ

r,∂ϕ

∂y=

cosϕ

r.

Perrašome dalines išvestines

∂u

∂x=∂u

∂rcosϕ− ∂u

∂ϕ

sinϕ

r,

∂u

∂y=∂u

∂rsinϕ+

∂u

∂ϕ

cosϕ

r.

Užrašykime antrąsias išvestines:

∂2u

∂x2=∂(

∂u∂r

)

∂r

∂r

∂x+∂(

∂u∂x

)

∂ϕ

∂ϕ

∂x=

∂2u

∂r2cos2 ϕ− 2

∂2u

∂r∂ϕ

sinϕ cosϕ

r+ 2

∂u

∂ϕ

sinϕ cosϕ

r2+∂u

∂r

sin2 ϕ

r+∂2u

∂ϕ2

sin2 ϕ

r2,


∂2u

∂y2=∂2u

∂r2sin2 ϕ+2

∂2u

∂r∂ϕ

sinϕ cosϕ

r−2

∂u

∂ϕ

sinϕ cosϕ

r2+∂u

∂r

cos2 ϕ

r+∂2u

∂ϕ2

cos2 ϕ

r2.

Taigi Laplaso operatorius polinėse koordinatėse užrašomas taip:

∆u =∂2u

∂r2+

1

r

∂u

∂r+

1

r2∂2u

∂ϕ2.

Pastebėkime, kad reiškinį galima perrašyti tokiu pavidalu:

1

r

∂

∂r

(

r∂u

∂r

)

+1

r2∂2u

∂ϕ2.

1.6 pratimas. Įrodykite, kad Laplaso operatorius sferinėse koordi-natėse

x = r sin θ cosϕ, y = r sin θ sinϕ, z = r cos θ, r =√

x2 + y2 + z2

užrašomas taip:

∆u =∂2u

∂r2+

2

r

∂u

∂r+

cos θ

r2 sin θ

∂u

∂θ+

1

r2∂2u

∂θ2+

1

r2 sin2 θ

∂2u

∂ϕ2.

1.4. KOŠI IR KOVALEVSKAJOS TEOREMA 11

1.4 Koši ir Kovalevskajos teorema

Normalioji pavidalo sistema užrašoma taip:

∂njuj∂tnj

= Fj

(

t, x1, . . . , xn, u1, . . . , uN , . . . ,∂kui

∂tk0∂xk11 . . . xknn, · · ·

)

,

k0 + k1 + · · ·+ kn = k 6 nj, k0 < nj, i, j = 1, 2, . . . , N.

Koši uždavinys:

∂kuj∂tk

∣

∣

∣

∣

t=t0

= ϕ(k)j (x1, x2, . . . , xn) , k = 0, 1, . . . , nj − 1.

1.1 teorema. Tarkime, kad funkcijos Fj yra analizinės tam tikroje taško(

t0, x01, . . . , x

0n, ϕ1, . . . , ϕn, . . .

)

aplinkoje, funkcijos ϕ(k)j analizinės taško

(

t0, x01, . . . , x

0n

)

aplinkoje. Tada egzistuoja tokia taško(

t0, x01, . . . , x

0n

)

aplin-ka, kurioje Koši uždavinys turi vienintelį analizinį sprendinį.

skyrius 2

Antrosios eilės lygčiųdalinėmis išvestinėmisklasifikacija

2.1 Antrosios eilės diferencialinė lygtis

Antrosios eilės diferencialinė lygtis dalinėmis išvestinėmis su dviem neprik-lausomais kintamaisiais x ir y bendruoju atveju užrašoma taip:

F

(

∂2u

∂x2,∂2u

∂x∂y,∂2u

∂y2,∂u

∂x,∂u

∂y, u, x, y

)

= 0.

Lygtis

a(u, x, y)∂2u

∂x2+ 2b(u, x, y)

∂2u

∂x∂y+ c(u, x, y)

∂2u

∂y2+ F

(

∂u

∂x,∂u

∂y, u, x, y

)

= 0.

vadinama tiesine aukštesniųjų išvestinių atžvilgiu. Ši lygtis dar vadinamakvazitiesine. Nagrinėsime antrosios eilės tiesinę lygtį dalinėmis išvestinėmis:

auxx + 2buxy + cuyy + dux + euy + fu+ g = 0. (2.1)

Lygties koeficientai a, b, c, d, e, f , g priklauso tik nuo kintamųjų x, y.Pakeiskime kintamuosius ξ = ϕ(x, y), ν = ψ(x, y). Priminkime, kad

(1.7) Jakobianas nelygus nuliui. Perrašome dalines išvestines (žr. (1.6) for-

13

14 SKYRIUS 2. ANTROSIOS EILĖS LYGČIŲ KLASIFIKACIJA

mules):

ux = uξξx + uννx,uy = uξξy + uννy,uxx = uξξξ

2x + 2uξνξxνx + uννν

2x + uξξxx + uννxx,

uxy = uξξξxξy + uξν(ξxνy + ξyνx) + uνννxνy + uξξxy + uννxy,uyy = uξξξ

2y + 2uξνξyνy + uννν

2y + uξξyy + uννyy.

Tada (2.1) lygtis perrašoma taip:

Auξξ + 2Buξν +Cuνν + F = 0. (2.2)

ČiaA = aξ2x + 2bξxξy + cξ2y ,

B = aξxνx + b(ξxνy + νxξy) + cξyνy,C = aν2x + 2bνxνy + cν2y ,

F = αuξ + βuν + γu+ δ.

Pastebėkime, kad lygtis lieka tiesinė.Pasirinkime kintamuosius ξ, ν taip, kad koeficientas A būtų lygus nuliui:

aξ2x + 2bξxξy + cξ2y = 0. (2.3)

2.1 teorema. Tarkime, kad funkcija ξ(x, y) yra (2.3) lygties sprendinys.Tada reiškinys ξ(x, y) = const yra diferencialinės (charakteristikų)lygties

a(dy)2 − 2bdydx+ c(dx)2 = 0

bendrasis integralas. Galioja ir atvirkštinis teiginys: jei ξ(x, y) =const yra šios paprastosios diferencialinės lygties bendrasis integralas,tai funkcija ξ(x, y) yra (2.3) lygties sprendinys.

Pastebėkime, kad jei y = y(x) yra lygties ξ(x, y) = const sprendinys, tai

dξ = ξxdx+ ξydy = 0 ir y′ =dy

dx= −ξx

ξy.

2.2 Antrosios eilės tiesinių diferencialinių lygčiųklasifikacija

Taikydami kintamųjų keitinį antrosios eilės diferencialinę lygtį su n neprik-lausomais kintamaisiais x1, x2, . . ., xn užrašome kanoniniu pavidalu:

α1∂2u

∂x21+ α2

∂2u

∂x22+ · · ·+ αn

∂2u

∂x2n= (2.4)

2.2. ANTROSIOS EILĖS TIESINIŲ DIFERENCIALINIŲ LYGČIŲ KLASIFIKACIJA15

F

(

x1, x2, . . . , xn, u,∂u

∂x1,∂u

∂x2, . . . ,

∂u

∂xn

)

,

čia αj ∈ {0, 1,−1} ir |α1|+ |α2|+ · · ·+ |αn| 6= 0.

2.1 apibrėžimas. (2.4) lygtį vadiname elipsine, kai visi koeficien-tai αj yra vienodo ženklo ir nelygūs nuliui; kai visi koeficientai αj

nelygūs nuliui ir bent du iš jų yra skirtingo ženklo, lygtį vadinamehiperboline; kai tarp koeficientų αj yra bent vienas lygus nuliui,lygtį vadiname paraboline.

2.2.1 Pagrindinės lygtys

Lygtisuxx + uyy + uzz = 0

vadinama Laplaso lygtimi ir yra elipsinio tipo.

Lygtisuxx + uyy + uzz = utt

yra įvairių bangų sklidimo matematinis modelis ir yra hiperbolinio tipo.

Lygtisuxx + uyy + uzz = ut

vadinama šilumos laidumo lygtimi ir yra parabolinio tipo.Pažymėję ∆u antrosios eilės dalinių išvestinių sumą (Laplaso operatorių;

žr. 1.1, 8 p.) šias lygtis galime perrašyti taip:

∆u =

0, elipsinio tipo lygtisutt, hiperbolinio tipo lygtisut, parabolinio tipo lygtis

2.1 pavyzdys. Perrašykime diferencialinę lygtį

x2uxx + 2xyuxy + y2uyy = 0

kanoniniu pavidalu.Sprendimas. Užrašome charakteristikų lygtį:

x2 (dy)2 − 2xy dx dy + y2 (dx))2 = 0 ⇒ (xdy − ydx)2 = 0.


Gauname tik vieną integralą y = Cx (lygtis yra parabolinė). Keičiame

kintamuosius: ξ =y

xir ν = y. Tada

ξx = − y

x2, νx = 0, ξy =

1

x, νy = 1,

ux = uξ

(

− y

x2

)

,

uy = uξ1

x+ uν ,

uxx =y2

x4uξξ +

2y

x3uξ,

uxy = uξξ

(

− y

x3

)

− uξ1

x2+ uξν

(

− y

x2

)

,

uyy = uξξ1

x2+ uξν

2

x+ uνν ,

Įrašę gautus reiškinius į lygtį gauname jos kanoninį pavidalą:

uνν = 0.

Šios lygties bendrasis spendinys (kai x 6= 0) yra u = νϕ(ξ)+ψ(ξ) arba

u(x, y) = yϕ(y

x

)

+ ψ(y

x

)

.

2.3 Lygties su dviem nepriklausomais kintamaisi-ais pertvarkymas į kanoninį pavidalą

LygtiesAuxx + 2Buxy + Cuyy + F (x, y, u, ux, uy) = 0 (2.5)

charakteristikų diferencialinė lygtis

Ady2 − 2Bdydx+ Cdx2 = 0. (2.6)

Perrašome charakteristikų lygtį:(

Ady −(

B −√

B2 −AC)

dx)

·(

Ady −(

B +√

B2 −AC)

dx)

= 0.

Priklausomai nuo diskriminanto D = B2 −AC ženklo, gauname:1) D > 0 – hiperbolinė lygtis;2) D = 0 – parabolinė lygtis;3) D < 0 – elipsinė lygtis.

2.3. LYGTIES SU DVIEM NEPRIKLAUSOMAIS KINTAMAISIAIS PERTVARKYMAS Į KANONINĮ PAVID

2.3.1 Hiperbolinis atvejis

Tarkime, kad ϕ(x, y) = const ir ψ(x, y) = const yra du (2.6) lygties inte-gralai. Tada keitinys

ξ = ϕ(x, y), ν = ψ(x, y)

leidžia perrašyti (2.5) lygtį antruoju kanoniniu pavidalu:

∂2u

∂ξ∂ν= F̃

(

ξ, ν, u,∂u

∂ξ,∂u

∂ν

)

.

Pastebėkime, kad pakeitę kintamuosius ξ = x − y, ν = x + y, gausime šioslygties pirmąjį kanoninį pavidalą:

uxx − uyy = F (· · · ).

2.2 pavyzdys. Perrašykime lygtį

x2uxx − y2uyy = 0

kanoniniu pavidalu.Sprendimas. Nagrinėsime atvejį x > 0, y > 0, kai lygtis yra hiper-bolinė: D = 02 − x2(−y2) = x2y2 > 0. Sudarome charakteristikųlygtį:

x2dy2 − y2dx2 = 0 ⇒ xdy ± ydx = 0.

Gauname du integralus: ln y ± lnx = lnC±. Taigi reikia pakeistikintamuosius:

ξ = xy, ν =y

x.

Užrašome lygties kanoninį pavidalą:

uξν =1

2ξuν , ξ > 0, ν > 0.

2.3.2 Parabolinis atvejis

Charakteristikų lygtis šiuo atveju yra pilnas kvadratas

Ady2 − 2Bdydx+ Cdx2 =(√

Ady −√Cdx

)2= 0

ir gauname tik vieną nepriklausomą integralą ϕ(x, y) = const. Keičiame kin-tamuosius ξ = ϕ(x, y), o kitą kintamąjį ν galima pasirinkti laisvai (žr. 2.1 pavyzdį,15 p.) Nepamirškime, kad jakobianas turi būti nelygus nuliui.


2.3.3 Elipsinis atvejis

Charakteristinės lygties pirmieji integralai bus kompleksinės jungtinės funkci-jos

ξ + iν = ϕ(x, y), ξ − iν = ψ(x, y).

2.3 pavyzdys. Perrašykime lygį

y2uxx + x2uyy = 0

kanoniniu pavidalu.Sprendimas. Užrašome charakteristikų lygį

y2dy2 + x2dx2 = 0 ⇒ (ydy + ixdx) (ydy − ixdx) = 0.

Gauname du pirmuosius integralus: 12y

2 ± 12 ix

2 = C±. Keičiamekintamuosius: ξ = 1

2y2, ν = 1

2x2. Lygties kanoninis pavidalas yra

uξξ + uνν +1

2ξuξ +

1

2νuν = 0.

2.4 Lygtys su pastoviais koeficientais

2.4.1 Hiperbolinis atvejis

Lygties su pastoviais koeficientais charakteristikos yra tiesės. Todėl kinta-muosius galima keisti taip: ξ = x+ αy, ν = x+ βy. Tada turime

ux = uξ + uν ,uy = αuξ + βuν ,uxx = uξξ + 2uξν + uνν ,uxy = αuξξ + (α+ β)uξν + βuνν ,uyy = α2uξξ + 2αβuξν + β2uνν .


uxx + 2uxy − 3uyy = 0

kanoniniu pavidalu.Sprendimas. Gauname

uξξ+2uξν+uνν+2 (αuξξ + (α+ β)uξν + βuνν)−3(

α2uξξ + 2αβuξν + β2uνν)

= 0.

2.5. LYGTIES SU PASTOVIAIS KOEFICIENTAIS PRASTINIMAS 19

Iš čia(

1 + 2α− 3α2)

uξξ + 2 (1 + α+ β − 3αβ) uξν +(

1 + 2β − 3β2)

uνν = 0.

Taigi, kai α = −1

3, β = 1 gauname lygtį

uξν = 0.

2.4.2 Elipsinis atvejis


uxx + 2uxy + 5uyy = 0

kanoniniu pavidalu.Sprendimas. Užrašome charakteristinę lygtį

dy2 − 2 dx dy + 5 dx2 = (dy − (1 + 2i) dx) (dy − (1− 2i) dx) = 0.

Taigi turime y = x ± 2ix + C±. Keičiame kintamuosius: ξ = y − x,ν = 2x. Todėl

ux = −uξ + 2uν ,uy = uξ,uxx = uξξ − 4uξν + 4uνν ,uxy = −uξξ + 2uνξ,uyy = uξξ.

Perrašome lygtį:

uξξ − 4uξν + 4uνν + 2 (−uξξ + 2uνξ) + 5uξξ =

(1− 2 + 5) uξξ + (−4 + 4) uξν + 4uνν = 4(uξξ + uνν) = 0.

2.5 Lygties su pastoviais koeficientais prastinimas

Antrosios eilės tiesinę lygtį

Auxx + 2Buxy + Cuyy + aux + buy + cu+ f = 0

galima pervarkyti į pavidalą, kai koeficientai a = b = 0.Keičiame kintamąjį

u(x, y) = v(x, y) eλx+µy .


Turimeux = (vx + λv) eλx+µy ,uy = (vy + µv) eλx+µy ,uxx = (vxx + 2λvx + λ2v) eλx+µy ,uxy = (vxy + λvy + µvx + λµv) eλx+µy ,uyy = (vyy + 2µvy + µ2v) eλx+µy.

Taigi reikia paimti, pavyzdžiui, λ = −a2

, µ = − b2

, kai lygtis yra elipsinė, ir

gausime kanonines formas:vxx + vyy + cv + f = 0 – elipsinis tipas;vxy + cv + f = 0vxx − vyy + cv + f = 0

]

– hiperbolinis tipas;

vxx + bvy + f = 0 – parabolinis tipas.

skyrius 3

Stygos svyravimo lygtis

3.1 Stygos svyravimų lygties išvedimas

3.1.1 Modeliavimo prielaidos

• Styga – ištemptas absoliučiai lankstus siūlas

• Susidariusi įtempimo jėga veikia liestinės kryptimi

• Styga svyruoja vienoje plokštumoje

• Svyravimų amplitudė maža

3.1 pav.: Styga įtvirtinta taškuose x = X1 ir x = X2

Žymėjimaiu(t, x) – stygos nukrypimo taške x laiko momentu t funkcija;

21

22 SKYRIUS 3. STYGOS SVYRAVIMO LYGTIS

ρ(x) – stygos linijinis tankis taške x:x+∆x∫

x

ρ(x) dx ≈ ∆xρ(x) – stygos atkar-

pos [x, x+∆x] masė;T (x) taške x veikianti liestinės kryptimi įtempimo jėga;α – stygos liestinės kampas su x ašimi;F (t, x) – stygos elementą veikianti išorinė jėga (linijinis jėgos tankis).

Kampą α imsime mažą: sinα ≈ tgα = ∂u(t,x)∂x

, cosα ≈ 1;∂u(t, x)

∂t– stygos taško x judėjimo greitis;

∂2u(t, x)

∂t2– stygos taško x judėjimo pagreitis.

Remiantis antruoju Niutono dėsniu užrašome

ρ(x)∆x∂2u(t, x)

∂t2= T (x+∆x) sinα′ − T (x) sinα+ F (t, x)∆x.

Iš čia gauname:

ρ(x)∆x∂2u(t, x)

∂t2= T (x+∆x)

∂u(t, x+∆x)

∂x− T (x)

∂u(t, x)

∂x+ F (t, x)∆x.

Padaliję abi lygybės puses iš ∆x ir perėję prie ribos, kai ∆x → 0, gau-name skersinių stygos svyravimų lygtį

ρ(x)∂2u

∂t2=

∂

∂x

(

T (x)∂u

∂x

)

+ F (t, x). (3.1)

Jei stygos neveikia išilginė išorinė jėga (F ≡ 0) ir styga yra homogeninė:ρ ≡ ρ0, T ≡ T0, užrašome (3.1) lygties atskirą atvejį

utt − a2uxx = 0, (3.2)

čia a =

√

T0ρ0

.

3.1.2 Kraštinės ir pradinės sąlygos

Styga itvirtinta taškuose x = X1 ir x = X2. Todėl galime užrašyti kraštinessąlygas:

u(t,X1) = 0, u(t,X2) = 0. (3.3)

3.2. DALAMBERO METODAS 23

Tarkime, kad pradiniu laiko momentu t = 0 yra žinoma stygos nuokryp-ių funkcija u

(0)0 (x) ir kiekvieno jos taško x judėjimo greitis u(1)0 (x). Tada

formuluojame pradines sąlygas:

u(0, x) = u(0)0 (x), u′t(0, x) = u

(1)0 (x). (3.4)

3.2 Dalambero metodas

Pakeiskime (3.2) lygties kintamuosius: ξ = x − at, ν = x + at. Gaunameantrąjį lygties kanoninį pavidalą:

uξν = 0,

kurios bendrasis sprendinys yra

u(ξ, ν) = f(ξ) + g(ν) ⇒ u(x− at, x+ at) = f(x− at) + g(x+ at).

Raskime funkcijas f ir g, kai žinomos (3.4) pradinės sąlygos:

(f(x− at) + g(x+ at))|t=0 = f(x) + g(x) = u(0)0 (x),

∂

∂t(f(x− at) + g(x+ at))|t=0 = −af ′(x) + ag′(x) = u

(1)0 (x).

Integuojame antrąją lygtį:

−f(x) + g(x) =1

a

x∫

x0

u(1)0 (s) ds + C

ir gauname funkcijas

f(x) =1

2u(0)0 (x)− 1

2a

x∫

x0

u(1)0 (s) ds −C,

g(x) =1

2u(0)0 (x) +

1

2a

x∫

x0

u(1)0 (s) ds + C.

Taigi gauname Dalambero formulę

u(t, x) =u(0)0 (x− at) + u

(0)0 (x+ at)

2+

1

2a

x+at∫

x−at

u(1)0 (s) ds. (3.5)


3.3 Dalambero formulės tyrimas

Nagrinėsime (3.5) formulę, kai u(0)0 (x) = ϕ (x), u(1)0 (x) ≡ 0 ir funkcijos ϕgrafikas pavaizduotas paveiksle.

3.2 pav.: Funkcijos ϕ(x) grafikas

3.3 pav.: Funkcijos (3.5) grafikas esant skirtingoms t reikšmėms

3.4. NEHOMOGENINĖS LYGTIES SPRENDIMAS 25

3.4 pav.: Funkcijos (3.5) grafikas laiko momentu t = t1 > 0

3.5 pav.: Funkcijos (3.5) grafikas laiko momentu t = t2 > t1

3.4 Nehomogeninės lygties sprendimas

Nagrinėsime tiesinę nehomogeninę stygos svyravimo lygtį

utt − a2uxx = f(t, x) (3.6)

Parodykime, kad funkcija

Φ(t, x) =1

2a

t∫

0

dτ

x+a(t−τ)∫

x−a(t−τ)

f(τ, ξ) dξ (3.7)


3.6 pav.: Funkcijos (3.5) grafikas laiko momentu t = t3 > t2

yra (3.6) lygties sprendinys. Pažymėkime

F (t, x) =

x∫

0

f(t, ξ) dξ.

Pastebėkime, kad iš čia išplaukia

∂F (t, x)

∂x≡ F ′

x = f(t, x). (3.8)

Tada

Φ(t, x) =1

2a

t∫

0

(F (τ, x+ a(t− τ))− F (τ, x− a(t− τ))) dτ

ir gausime

∂

∂tΦ(t, x) =

1

2a(F (τ, x+ a(t− τ))− F (τ, x− a(t− τ)))|τ=t+

1

2aa

t∫

0

(

F ′x(τ, x+ a(t− τ)) + F ′

x(τ, x− a(t− τ)))

dτ = 0+1

2

t∫

0

(

F ′x + F ′

x

)

dτ,

∂

∂xΦ(t, x) =

1

2a

t∫

0

(

F ′x − F ′

x

)

dτ,

3.5. KITI HIPERBOLINIO TIPO MATEMATINIAI MODELIAI 27

∂2

∂t2Φ(t, x) =

1

2

(

F ′x(τ, x+ a(t− τ)) + F ′

x(τ, x− a(t− τ)))∣

∣

τ=t+

a

2

t∫

0

(

F ′′xx − F ′′

xx

)

dτ,

t∫

0

(

F ′x + F ′

x

)

dτ,

∂2

∂x2Φ(t, x) =

1

2a

t∫

0

(

F ′′xx − F ′′

xx

)

dτ.

Įrašome gautus reiškinius į (3.6) ir taikome (3.8) formulę:

Φ′′tt − a2Φ′′

xx = f(t, x).

3.1 pavyzdys. Funkcija

Φ(t, x) =1

2 · 3

t∫

0

dτ

x+3(t−τ)∫

x−3(t−τ)

cos(ξ − 5τ) dξ =

1

6

t∫

0

(sin(x+ 3(t− τ)− 5τ)− sin(x− 3(t− τ)− 5τ)) dτ =

1

48cos(x− 5t)− 1

48cos(x+ 3t)− 1

12cos(x− 5t) +

1

12cos(x− 3t) =

− 1

16cos(x− 5t)− 1

48cos(x+ 3t) +

1

12cos(x− 3t)

yra diferencialinės lygties

utt − 9uxx = cos(x− 5t)

sprendinys.

3.5 Kiti hiperbolinio tipo matematiniai modeliai

3.5.1 Ilgosios linijos lygtys

Prisiminkime elektrinės grandinės elementų diferencialinius sąryšius.


3.7 pav.: Varža

Varža

Elektros srovės (3.7 pav.) stiprumui i(t) ir įtampai u(t) galioja lygybės

u(t) = R i(t) arba i(t) =1

Ru(t).

Talpa

Galioja (3.8 pav.) lygybė:

i(t) = Cdu(t)

dt.

Induktyvumas

Galioja (3.9 pav.) lygybė:

u(t) = Ld i(t)

dt.

Ilgosios linijos (telegrafo) lygtys

Esant dideliam atstumui x2 − x1 ≫ 1 voltmetro ir ampermetro rodmenystaškuose x1 ir x2 (3.10 pav.) bendruoju atveju bus skirtingi. Todėl funkci-jos i ir u priklauso nuo erdvinės koordinatės x, t. y. turime paskirstytų


3.8 pav.: Talpa

parametrų sistemą. Nagrinėsime ilgosios linijos mažą (|∆x| ≪ 1) elementą(3.11 pav.). Kai linijos parametrai R (varža), L (saviindukcija), C (talpa),G (skersinis izoliacijos laidumas – nuotekis) nepriklauso nuo x, ji vadinamahomogenine. Taikome Omo ir Kirchhofo dėsnius mažam linijos elementui:

u(t, x) − u(t, x+∆x) = i(t, x)R

2∆x+

∂i(t, x)

∂t

L

2∆x+

i(t, x+∆x)R

2∆x+

∂i(t, x +∆x)

∂t

L

2∆x,

i(t, x)− i(t, x+∆x) =

(

u(t, x)− i(t, x)R

2∆x− ∂i(t, x)

∂t

L

2∆x

)

G∆x+

∂

∂t

(

u(t, x)− i(t, x)R

2∆x− ∂i(t, x)

∂t

L

2∆x

)

C∆x.

Gauname

−∂u∂x

= iR+ ∂i∂tL

− ∂i∂x

= uG+ ∂u∂tC

(3.9)

Diferencijuojame abi lygtis pagal t ir x ir taikome lygybesutx = uxt, itx = ixt:

−ixx = −RCit +Gux − CLitt.


3.9 pav.: Induktyvumas

Taikydami pirmąją (3.9) lygtį gauname

itt −1

CLixx +

RC + LG

CLit +

RG

CLi = 0.

3.1 pratimas. Užrašykite lygtį funkcijai u(t, x) rasti.

3.5.2 Membranos svyravimų lygtis

Membrana – įtempta plona absoliučiai lanksti plevelė;t – laikas, x, y – membranos taškų koordinatės;u(t, x, y) – membranos taškų nukrypimai aplikačių (u) ašies kryptimi;ρ – membranos tankis (apskaičiuotas ploto vienetui);T – įtempimo jėga (apskaičiuota kontūro vienetui);F (t, x, y) – įšorinės (skersinės) jėgos tankis;Homogeninės ir vienodai įtemptos (ρ, T – const) membranos mažų skersiniųsvyravimų lygtis – dvimatė bangavimo lygtis

∂2u

∂t2= a2

(

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2

)

+ f(t, x, y), (3.10)

čia a =

√

T

ρ, f(t, x, y) =

F (t, x, y)

ρ.


3.10 pav.: Ilgoji linija

3.11 pav.: Telegrafo lygčių išvedimas

3.5.3 Dujų ir skysčio dinamikos lygtys

~U(t, x, y, z) = (u, v, w) – dujų srovės greičio vektorius;ρ(t, x, y, z) – dujų tankis;p(t, x, y, z) – dujų slėgis;Vektorinio lauko ~U divergencija vadinamas reiškinys

div~U =∂u

∂x+∂v

∂y+∂w

∂z.

Dujų dinamikos lygtys:tolydumo lygtis

∂ρ

∂t+ div

(

ρ~U)

= 0. (3.11)

Pastebėkime, kad (3.11) lygtį galima perrašyti taip:

∂ρ

∂t+ (~U, gradρ) + ρdiv~U = 0,


čia

gradρ =~i∂ρ

∂x+~j

∂ρ

∂y+ ~k

∂ρ

∂z.

Prisiminkime, kad divergenciją ir gradijentą patogu išreikši nabla operato-riumi

∇ ≡(

∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

)

:

div~U = (∇, ~U), gradρ = ∇ρ.Oilerio lygtys vektoriniu pavidalu užrašomos taip:

ρ∂~U

∂t+ ρ(~U∇)~U +∇p = 0, (3.12)

arba koordinatėmis

ρ∂u

∂t+ ρ

(

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y+ w

∂u

∂z

)

+∂p

∂x= 0,

ρ∂v

∂t+ ρ

(

u∂v

∂x+ v

∂v

∂y+ w

∂v

∂z

)

+∂p

∂y= 0,

ρ∂w

∂t+ ρ

(

u∂w

∂x+ v

∂w

∂y+ w

∂w

∂z

)

+∂p

∂z= 0.

Būsenos lygtis neturi standartinio pavidalo ir bendruoju atveju užrašomataip

f(p, ρ, T ) = 0, (3.13)

čia T – dujų (skysčio) temperatūra.Lygčių sistema (3.11), (3.12), (3.13) vadinam hidrodinamikos lygtimis.

Trimatė bangavimo lygtis

Dujų svyravimams (3.13) lygtis dažnai pakeičiama Puasono dėsniu:

p

p0=

(

ρ

ρ0

)γ

.

Tada mažos amplitudės bangoms p ≈ p0(1 + γp̃) galioja tiesinės akustikos

artinys slėgiui∂2p̃

∂t2= a2

(

∂2p̃

∂x2+∂2p̃

∂y2+∂2p̃

∂z2

)

,

čia a =

√

γp0ρ0

– garso greitis.

skyrius 4

Šilumos laidumo ir difuzijoslygtys

4.1 Difuzijos matematinis modelis

Dėl medžiagos (pavyzdžiui, druskos; 4.1 pav.) molekulių chaotinių judėsiųkinta jos koncentracija (molekulių kiekis) kitoje medžiagoje (pavyzdžiui,vandenyje). Difuzuojančių medžiagų sąveikos procesas paprastai vyksta du-

4.1 pav.: Difuzijos proceso modelis

jose ir skysčiuose ir vadinamas difuzija. Per laiko intervalą ∆t ≪ 1 pervamzdžio pjūvį (S – pjūvio plotas) praeina difuzuojančios medžiagos kiekis,kurio masė yra m. Šis kiekis priklauso nuo medžiagos (pavyzdžio atveju– druskos) koncentracijos C(t, x) ir nuo difuzijos koeficiento λ. Masė mišreiškiama Fiko (A.Fick) dėsniu:

m = −λ ∂C∂x

S∆t. (4.1)

33

34 SKYRIUS 4. ŠILUMOS LAIDUMO IR DIFUZIJOS LYGTYS

Pastebėkime, kad iš (4.1) išplaukia

∆xm = m(t, x+∆x)−m(t, x) = −λ(

∂C(t, x+∆x)

∂x− ∂C(t, x)

∂x

)

S∆t.

Kita vertus, per laiko intervalą ∆t ≪ 1 medžiagos (druskos) koncentracijaindo dalyje tarp x ir x+∆x pasikeis taip:

−∆xm = (C(t+∆t, x̃)− C(t, x̃)) ∆V.

Čia ∆V – indo dalies tarp taškų x ir x + ∆x tūris, x̃ ∈ (x, x + ∆x). KaiS–const, ∆V = S∆x. Taigi gauname

C(t+∆t, x̃)− C(t, x̃)

∆tS = λS

∂

∂x

(

C(t, x+∆x)− C(t, x)

∆x

)

.

Perėję prie ribos, kai ∆t→ 0 ir ∆x→ 0, gauname difuzijos lygtį

∂C

∂t= a2

∂2C

∂x2, (4.2)

čia a =√λ.

4.2 Šilumos laidumas strype

4.2.1 Modeliavimo prielaidos

• strypas yra tiek plonas, kad kiekvieno skersinio pjūvio taškuose tem-pertūra laikoma vienoda;

• u(t, x) – strypo skersmenyje, kurio koordinatė yra x temperatūra laikomomentu t;

• S(x) > 0 – strypo skerspjūvio plotas;

• p(x) > 0 – skerspjūvio perimetras;

• ρ(x) > 0 – tankis;

• C(x) > 0 – specifinė šiluma (šilumos kiekis strypo elemente x, x+∆xlygus CρS∆xu);

• k(x) > 0 – šilumos laidumo koeficientas;

• κ(x) > 0 – spinduliavimo (aušimo) koeficientas;

• f(t, x) – oro temperatūra strypo aplinkoje.

4.2. ŠILUMOS LAIDUMAS STRYPE 35

4.2.2 Diferencialinė lygtis

C(x) ρ(x) S(x)∂u

∂t=

∂

∂x

(

k(x)S(x)∂u

∂x

)

− κ(x)p(x) (u− f(t, x)) .

Kai visi modelio parametrai yra konstantos (vienalytė medžiaga ir vienodasskerspjūvis),

∂u

∂t= a2

∂2u

∂x2− b(u− f(t, x)),

a =

√

k

Cρ, b =

κp

CρS.

Jei strypas yra izoliuotas (κ = 0), gauname homogeninę lygtį

∂u

∂t= a2

∂2u

∂x2.

Šilumos sklidimas esant šilumos šaltiniui

Kai strypas yra izoliuotas ir veikia šilumos šaltinis, tai strypo temeratūraigalioja nehomogeninė lygtis

∂u

∂t= a2

∂2u

∂x2+ h(t, x). (4.3)

4.2.3 Šilumos laidumas erdvėje

Tarkime, kad ρ(x, y, z) – kūno tankis, C(x, y, z) – specifinė šiluma, k(x, y, x)– šilumos laidumo koeficientas. Kūno temperantūrai u(t, x, y, z) galioja šilu-

mos laidumo lygtis

Cρ∂u

∂t= div (k grad u) . (4.4)

Kai parametrai ρ, C, k yra konstantos (homogeninis kūnas) gauname lygtį

ut = a2∆u,

čia a =

√

k

ρC, ∆ ≡ ∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2– Laplaso operatorius.


4.3 Koši uždavinio sprendimas

Begalinio strypo aušinimasSpręsime uždavinį

∂u

∂t= a2

∂2u

∂x2, u (t, x)|t=0 = ϕ(x), (4.5)

kai −∞ < x < +∞, t > 0.

4.3.1 Kintamųjų atskyrimo metodas

Ieškosime netrivialių (nenulinių) (4.5) lygties spendinių tokiu pavidalu

u(t, x) = T (t)X(x).

Tada ut = T ′(t)X(x), uxx = T (t)X ′′(x) ir įrašę šiuos reiškinius į (4.5) lygtį,gauname

T ′(t)T (t)

= a2X ′′(x)X(x)

= const.

Nagrinėsime atvejį const < 0 (priešingas atvejis neturi fizikinės prasmės) irpažymėkime const = −a2 · λ2. Tada

T (t) = C e−λ2 a2 t, X(x) = A cos λx+B sinλx.

Taigi pastebėję, kad λ yra bet kuris neneigiamas realusis skaičius, gaunamebe galo daug lygties sprendinių

u(t, x) = e−λ2 a2 t (A(λ) cos λx+B(λ) sinλx) .

4.3.2 Furjė metodas

Tiesioginiu patikrinimu įrodome, kad integralas

u(t, x) =

+∞∫

−∞

e−λ2 a2 t (A(λ) cos λx+B(λ) sinλx) dλ (4.6)

irgi yra (4.5) lygties sprendinys.Iš pradinės sąlygos gauname:

u(0, x) =

+∞∫

−∞

(A(λ) cos λx+B(λ) sinλx) dλ = ϕ(x).

4.3. KOŠI UŽDAVINIO SPRENDIMAS 37

Tarkime, kad funkciją ϕ(c) galima išreikšti Furjė integralu. Tada

A(λ) =1

2π

+∞∫

−∞

ϕ(ξ) cos λξ dξ,

B(λ) =1

2π

+∞∫

−∞

ϕ(ξ) sin λξ dξ.

Iš čia, taikydami formulę cosλx cos λξ+sinλx sinλξ = cos λ(ξ−x), gauname

u(t, x) =1

2π

+∞∫

−∞

e−λ2 a2 t

cos λx

+∞∫

−∞

ϕ(ξ) cos λξ dξ + sinλx

+∞∫

−∞

ϕ(ξ) sin λξ dξ

dλ =

1

π

+∞∫

0

+∞∫

−∞

e−λ2 a2 t ϕ(ξ) cos λ(ξ − x) dξ

dλ.

Pakeitę integravimo tvarką, gausime

u(t, x) =1

π

+∞∫

−∞

ϕ(ξ) I(ξ) dξ,

čia

I(ξ) =

+∞∫

0

e−λ2 a2 t cos λ(ξ − x) dλ.

Raskime funkcijos I(ξ) išvestinę

I ′(ξ) = −+∞∫

0

e−λ2 a2 tλ sinλ(ξ − x) dλ =

1

2a2t

+∞∫

0

sinλ(ξ − x) d e−λ2 a2 t

Diferencijavimu dalimis gauname diferencialinę lygtį

I ′(ξ) = −ξ − x

2a2tI(ξ).


Iš čia ir iš funkcijos I(ξ) reiškimo integralu, kai ξ = x:

∞∫

0

e−z2 dz =

√π

2

išplaukia, kad

I(ξ)|ξ=x =1

2a

√

π

t,

I(ξ) =1

2a

√

π

te−

(ξ−x)2

4a2t .

Taigi galime užrašyti (4.5) uždavinio sprendinį

u(t, x) =

12a

√πt

+∞∫

−∞ϕ(ξ)e−

(ξ−x)2

4a2t dξ, t > 0

ϕ(x), t = 0

(4.7)

4.3.3 Fundamentinio sprendinio fizikinė prasmė

Tarkime, kad funkcija ϕ(ξ) (4.7) formulėje yra tokia

ϕ(ξ) =

0, kai ξ < x0 − δ,ϕ0, kai x0 − δ 6 ξ 6 x0 + δ,0, kai ξ > x0 + δ,

čia δ – mažas teigiamas skaičius.Paimkime,

ϕ0 =Q0

2δSρC,

S – strypo skerspjūvio plotas,ρ – strypo medžiagos tankis,C – specifinė šiluma,Q0 – šilumos kiekis, sukoncentruotas strypo atkarpoje [x0 − δ, x0 + δ].

Įrašę ϕ0 į (4.7) formulę, gausime

u(t, x) =Q0

SρC· 1

2a√πt

· 1

2δ

x0+δ∫

x0−δ

e−(ξ−x)2

4a2t dξ

ir kai δ → 0 gauname:

Q0

SρC· 1

2a√πte−

(x0−x)2

4a2t .

4.3. KOŠI UŽDAVINIO SPRENDIMAS 39

Paimkime šilumos kiekį Q0 taip, kad jis galėtų pakelti vienetinio ilgio strypoatkarpos temperatūrą vienu laipsniu: Q0 = 1 · SρC · 1. Funkciją

v(t, x) =1

2a√πte−

(x0−x)2

4a2t (4.8)

vadiname fundamentiniu sprendiniu. Ši funkcija turi šaltinio prasmę,kai taške x = x0 pradine akimirka patalpintas šilumos kiekis (toks, kadpakelti temperatūrą taip, kaip buvo nurodyta), o kituose strypo taškuose jotemperatūra lygi nuliui.

Funkcijos v(t, x) grafikas esant skirtingoms t reikšmėms t1 < t2 < t3 < t4parodytas 4.2 paveiksle.

4.2 pav.: Funkcijos (4.8) grafikas esant skirtingoms t reikšmėms

4.1 pratimas. Raskite laiko momentą tx, kai taške x 6= x0 strypotemperatūra v (tx, x) yra maksimali ir raskite šią temperatūrą.

Temperatūros formulė plokštumoje ir erdvėje

u(t, x, y) =1

4πa2t

+∞∫

−∞

+∞∫

−∞

ϕ(ξ, η) e−(ξ−x)2+(η−y)2

4a2t dξ dη.


u(t, x, y, z) =1

(

2a√πt)3

+∞∫

−∞

+∞∫

−∞

+∞∫

−∞

ϕ(ξ, η, ζ) e−(ξ−x)2+(η−y)2+(ζ−z)2

4a2t dξ dη dζ.

4.3.4 Kraštinės sąlygos

Baigtinio strypo galuose x = 0 ir x = l palaikoma kintanti temperatūra α(t)ir β(t) – pirmosios rūšies kraštinės sąlygos:

u(t, x)|x=0 = α(t), u(t, x)|x=l = β(t).

Strypo galuose yra žinoma šilumos srovė (ji proporcinga temperatūros gradi-jentui) – antrosios rūšies kraštinės sąlygos:

∂u(t, x)

∂x

∣

∣

∣

∣

x=0

= γ(t),∂u(t, x)

∂x

∣

∣

∣

∣

x=l

= δ(t).

Trečiosios rūšies kraštinės sąlygos – strypo galuose vyksta šiluminisspinduliavimas į aplinką:

∂u(t, x)

∂x− h0(u(t, x)− f0(t))

∣

∣

∣

∣

x=0

= 0,

∂u(t, x)

∂x+ hl(u(t, x)− fl(t))

∣

∣

∣

∣

x=l

= 0.

4.3.5 Kraštinio uždavinio sprendimas Furjė metodu

Baigtinio izoliuoto strypo aušinimas

ut = a2 uxx, 0 < x < l, t > 0,

u(0, x) = ϕ(x),

u′x(t, 0) = 0, u′x(t, l) = 0.

Taikome kintamųjų atskyrimo metodą (4.3.1, 36 p.):

T ′(t)T (t)

= −a2λ2, X ′′(x) + λ2X(x) = 0.

Iš čia gauname

T (t) = Ce−a2λ2t, X(x) = A cos λx+B sinλx.

4.4. MAKSIMUMO PRINCIPAS 41

Iš kraštinių sąlygų gauname, kad nenuliniai sprendiniai egzistuoja, kai

B = 0, λ =nπ

l, n = 1, 2, . . .

Todėl (atskirai išnagrinėkite atvejį, kai λ = 0)

u(t, x) =1

2A0 +

∞∑

n=1

An e−n2π2a2t

l2 cosnπx

l

Iš pradinės sąlygos turime

u(0, x) =1

2A0 +

∞∑

n=1

An cosnπx

l= ϕ(x).

Taigi apskaičiuojame Furjė eilutės koeficientus

An =2

l

l∫

0

ϕ(ξ) cosnπξ

ldξ, n = 0, 1, . . .

4.4 Maksimumo principas

Pažymėkime stačiakampio G = {0 6 t 6 T, 0 6 x 6 l} kontūrą Γ ={t = 0, x = 0, x = l} (4.3 pav.) Tarkime, kad MΓ = max

Γu(t, x) funkcijos

u maksimumas kontūro Γ taškuose, MG = maxG

u(t, x) – jos maksimumas

srities G taškuose. Kadangi Γ ⊂ G, galioja nelygybė MΓ 6 MG. Tačiaušilumos laidumo lygties sprendiniui galioja lygybė MΓ =MG.

4.1 teorema. Tarkime, kad funkcija u(t, x) – lygties ut = a2uxx –spendinys yra tolydi srityje G. Tada egzistuoja toks kontūro Γ taškas(t0, x0), kad

u (t0, x0) =MG = maxG

u(t, x).

Įrodymas. Tarkime, kad (t1, x1) ∈ G \ Γ yra vidinis srities G taškas iru(t1, x1) = MΓ + ε, ε > 0. Sudarome pagalbinę funkciją (ji nėra šilumoslaidumo lygties sprendinys)

U(t, x) = u(t, x) +ε

2t1(t1 − t).


4.3 pav.: Maksimumo principas

Jei padaryta prielaida yra teisinga, funkcijos U maksimumas srities G tašku-ose lygus MΓ + ε, o kontūro Γ taškuose

U(t, x)|Γ 6MΓ +ε

2t1t1 =MΓ +

ε

2.

Taigi funkcija U(t, x) įgyja maksimalią reikšmę kažkuriame vidiniame (atski-rai reikia nagrinėti atvejį t2 = T ) srities taške (t2, x2). Maksimumo taške turibūti Uxx (t2, x2) 6 0 ir iš funkcijos U apibrėžimo išplaukia, kad uxx (t2, x2) 6

0. Kita vertus, ekstremumo taške gausime įvertį ut (t2, x2) >ε

2t2(lygybė

galima tik, kai t2 = T ). Tada funkcija u(t, x) nėra lygties ut = a2uxxsprendinys, o tai prieštarauja teoremos sąlygai.

4.5 Uždavinys apie žemės temperatūrą

Spręsime uždavinį, kai žinoma vidutinė ilgametė temperatūra žemės pavirši-uje

f(t) = Re+∞∑

n=−∞fn e

2πntT ,

4.5. UŽDAVINYS APIE ŽEMĖS TEMPERATŪRĄ 43

čia T – metų ilgis (pavyzdžiui, T = 365).Žymėsime x = 0 – žemės paviršius, x = −∞ – didelis gylis.Sprendinio ieškosime Furjė eilutės pavidalu

u(t, x) =+∞∑

n=−∞fnun(x) e

2πntT .

Funkcija u(t, x) yra šilumos laidumo lygties sprendinys. Todėl

2πin

Tun (x) = a2 u′′n (x) .

Bendrasis lygties sprendinys

un(x) = Ane(1±i)qnx +Bne

−(1±i)qnx, qn =

√

|n|πa2T

bus aprėžtas tik, kai An = 0.Iš pradinių sąlygų gauname, kad un(0) = 1. Pastebėkime, kad fn =

f−n = |fn| e−iγn . Todėl

u(t, x) = f0 + 2∞∑

n=1

|fn| e−qnx cos

(

2πnt

T+ γn − qnx

)

.

Furjė eilutės koeficientas f0 turi ilgametės vidutinės temperatūros pras-mę. Pavyzdžiui, šiaurės kraštuose f0 < 0 ir tai reiškia amžinąjį įšalą.

skyrius 5

Elipsinės lygtys

5.1 Procesai, aprašomi elipsinėmis lygtimi

5.1.1 Bendrosios sąvokos

Šilumos lygties utt = a2∆u stacionarus (nepriklausantis nuo laiko t) sprendinystenkina Laplaso lygtį

∆u = 0. (5.1)

Kai yra šilumos šaltinių, užrašoma Puasono lygtis

∆u = −f. (5.2)

Tarkime, kad T yra tam tikra aprėžta sritis erdvėje x, y, z ir paviršius Σ –jos siena. (5.1) arba (5.2) lygtys papildomos kraštinėmis sąlygomis.

Pirmasis kraštinis uždavinys (Dirichlė uždavinys)

(u = ϕ)|(x,y,z)∈Σ

Antrasis kraštinis uždavinys (Noimano uždavinys)(

∂u

∂~n= ϕ

)∣

∣

∣

∣

(x,y,z)∈Σ

Trečiasis kraštinis uždavinys(

∂u

∂~n+ h(u− ϕ)

)∣

∣

∣

∣

(x,y,z)∈Σ

45

46 SKYRIUS 5. ELIPSINĖS LYGTYS

5.1 pav.: Sritis T ir jos siena Σ

Čia ~n – paviršiaus Σ išorinės normalės vektorius.Pastebėkime, kad gali būti sprendžiami ir vidiniai, ir išoriniai kraštiniai

uždaviniai.

5.1.2 Normalioji išvestinė

∂u(x, y, z)

∂~n= lim

h→0

u(x+ hnx, y + hny, z + hnz)− u(x, y, z)

h=

nx∂u(x, y, z)

∂x+ ny

∂u(x, y, z)

∂y+ nz

∂u(x, y, z)

∂z= (~n, grad u),

~n = (nx, ny, nz), |~n| = 1.

5.1.3 Adamaro pavyzdys

Parodykime, kad Koši uždavinys

∆u = 0, u(0, y) = ϕ(y),∂u(0, y)

∂x= ψ(y)

yra nekorektiškas.

5.2. HARMONINĖS FUNKCIJOS 47

Paimkime, ϕ(y) = 0, ψ(y) =1

rsin(ry). Kai r → ∞ gauname u(x, y) ≡

0. Tačiau, kai r yra baigtinis skaičius uždavinio sprendinys yra

u(x, y) =shrxr2

sin ry =erx − e−rx

2r2sin ry.

Matome, kad funkcija yra neaprėžta, kai x 6= 0, y 6= 0 ir r → ∞.

5.2 Harmoninės funkcijos

Nagrinėsime dvimatį atvejį ∆ ≡ ∂2

∂x2+

∂2

∂y2. Tarkime, kad

w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y)

yra kompleksinio kintamojo z = x+iy funkcija. Priminkime, kad jei funkcijaw yra analizinė, ji turi išvestinę

dw

dz= lim

∆z→0

∆w

∆z= lim

∆z→0

f(z +∆z)− f(z)

∆z,

kuri nepriklauso nuo reiškino ∆z = ∆x+ i∆y artėjimo į 0 būdo.Kad funkciją w = f(z) būtų analizinė, yra būtinos ir pakankamos Koši

ir Rymano sąlygos:{

ux = vy,uy = −vx.

(5.3)

Iš (5.3) lygybių gauname, kad analizinės funkcijos realioji ir menamoji dalisyra harmoninės funkcijos:

∆u = 0, ∆v = 0.

Harmoninėmis funkcijomis trimačiu atveju vadiname Laplaso lygties spren-dinius:

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2= 0.

5.2.1 Maksimumo principas

5.1 teorema. Tarkime, kad u(x, y, z) yra harmoninė uždaroje aprėž-toje srityje T ∪ Σ. Tada jos reikšmė bet kuriame vidiniame taške(x0, y0, z0) yra ne didesnė už max

(x,y,z)∈Γu(x, y, z) – funkcijos maksimumą


sienos taškuose.Įrodymas. Pažymėkime

m = max(x,y,z)∈Γ

u(x, y, z), M = max(x,y,z)∈T\Γ

u(x, y, z).

Tarkime, kad (x0, y0, z0) yra toks vidinis taškas, kad u (x0, y0, z0) =M . Darome prieladą, kad M > m ir sudarome pagalbinę funkciją

v = u(x, y, z) +M −m

2d2

(

(x− x0)2 + (y − y0)

2 + (z − z0)2)

.

Čia

d = max(x1,y1,z1),(x2,y2,z2)∈T∪Σ

‖(x1, y1, z1)− (x2, y2, z2)‖

yra srities T skersmuo.Visiems taškams (x, y, z) ∈ T ∪ Σ galioja nelygybė

(x− x0)2 + (y − y0)

2 + (z − z0)26 d2.

Todėl bet kuriame srities sienos taške (x, y, z) ∈ Γ:

v(x, y, z) 6 m+M −m

2d2d2 =

M +m

2< M.

Antra vertus, vidiniame taške (x0, y0, z0):

v (x0, y0, z0) = u (x0, y0, z0) =M.

Taigi funkcija v įgyja maksimumą tam tikrame vidiniame taške (x0, y0, z0).Bet kuriame maksimumo taške visada galioja:

∂v

∂x=∂v

∂y=∂v

∂z= 0,

∂2v

∂x26 0,

∂2v

∂y26 0,

∂2v

∂z26 0.

Iš čia gauname, kad

∂2v

∂x2+∂2v

∂y2+∂2v

∂z26 0.

Tačiau∂2v

∂x2+∂2v

∂y2+∂2v

∂z2=∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+

∂2u

∂z2+M −m

2d2

(

∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

)

(x− x0)2 + (y − y0)

2 + (z − z0)2 =

0 +M −m

2d2(2 + 2 + 2) > 0.

Taigi gavome prieštaravimą, kad M > m.

5.3. PUASONO FORMULĖ 49

5.3 Puasono formulė

Tarkime, kad harmoninės funkcijos u(x, y) reikšmės apskritimo x = R cos θ,y = R sin θ taškuose apibrėžtos funkcija ϕ(θ), 0 6 θ < 2π. Tada funkcija uišreiškiama Puasono integralu:

u(x, y) =1

2π

2π∫

0

R2 − x2 − y2

R2 − 2R(x cos θ + y sin θ) + x2 + y2ϕ(θ) dθ. (5.4)

Pateiksime kitą (5.4) formulės pavidalą:

u(ρ cos ω, ρ sinω) =1

2π

2π∫

0

R2 − ρ2

R2 − 2Rρ cos(θ − ω) + ρ2ϕ(θ) dθ. (5.5)

5.3.1 Temperatūros pasiskirstymas apvalioje plokštelėje

Darome prielaidą, kad plokštelė yra plona ir jos kraštuose (apskritime)palaikoma temperatūra ϕ(x, y). Tarkime, kad sprendžiamas Dirichlė už-

5.2 pav.: Temperatūros pasiskirstymas


davinys ∆u = 0, u|Σ = ϕ|Σ ir

ϕ(x, y) =

{

1, kai y > 00, kai y < 0, x2 + y2 = R2.

Taikome Puasono formulę (5.5):

u(ρ cos ω, ρ sinω) =1

2π

π∫

0

R2 − ρ2

R2 − 2Rρ cos(θ − ω) + ρ2ϕ(θ) dθ.

Kai 0 < ω < π turime viršutinę pusplokštumę ir keičiame kintamąjį

tanθ − ω

2= t, cos(θ − ω) =

1− t2

1 + t2, dθ =

2dt

1 + t2:

u(ρ, ω) =1

π

cot ω2

∫

− tan ω2

R2 − ρ2

(R− ρ)2 + (R+ ρ)2t2dt =

1

πarctan

(

R+ ρ

R− ρt

)∣

∣

∣

∣

cot ω2

− tan ω2

=

1

π

(

arctan

(

R+ ρ

R− ρcot

ω

2

)

+ arctan

(

R+ ρ

R− ρtan

ω

2

))

.

Pertvarkome reiškinį taip

tan uπ =

R+ρR−ρ

cot ω2 + R+ρ

R−ρtan ω

2

1−(

R+ρR−ρ

)2 =

R2 − ρ2

−4Rρ

(

cotω

2+ tan

ω

2

)

= − R2 − ρ2

2Rρ sinω.

Kadangi reiškinys dešinėje pusėje yra neigiamas, turime1

2< u < 1 (5.2 pav).

Pastebėję, kad

tan(π − uπ) =R2 − ρ2

2Rρ sinω,

gauname

u = 1− 1

πarctan

R2 − ρ2

2Rρ sinω, 0 < ω < π.

Kai π < ω < 2π keičiame kintamąjį cot θ−ω2 = t.

5.1 pratimas. Įrodykite formulę

u = − 1

πarctan

R2 − ρ2

2Rρ sinω, π < ω < 2π.

5.4. GRINO FUNKCIJŲ METODAS 51

5.4 Grino funkcijų metodas

Tarkime, kad M0 (x0, y0, z0) yra fiksuotas srities T taškas. Pažymėkime šiotaško atstumą nuo bet kurio srities T taško M(x, y, z):

r =

√

(x− x0)2 + (y − y0)

2 + (z − z0)2

Patikrinkime, kad funkcija w(x, y, z) =1

ryra harmoninė, t. y. Laplaso

lygties ∆w = 0 sprendinys.

∂r

∂x=x− x0r

,

∂w

∂x= −x− x0

r3,

∂2w

∂x2=

2 (x− x0)2 − (y − y0)

2 − (z − z0)2

r5,

Pažymėkime w̃ harmoninę funkciją esant kraštinėms sąlygoms:

w̃|Σ = w|Σ .

Grino G funkcija vadinamas funkcijų w̃ ir w skirtumas:

G (x, y, z;x0, x0, x0) = w̃ − 1

r.

Pastebėkime, kad G|Σ = 0.

5.4.1 Grino formulė Dirichlė uždaviniui

Tarkime, kad žinoma Grino funkcija ir ϕ(x, y, z) harmoninės funkcijos u(x, y, z)reikšmės srities T sienos Σ taškuose. Tada srities vidiniuose taškuose funkci-jos u reikšmės lygios

u (x0, y0, z0) =1

4π

∮ ∮

Σ

ϕ(x, y, z)∂G

∂~ndσ

Plokštumoje Grino formulė užrašoma taip

u (x0, y0) =1

2π

∮

Σ

ϕ(x, y)∂G

∂~ndσ

skyrius 6

Kintamųjų atskyrimometodas

6.1 Hiperbolinių lygčių sprendimas kintamųjų atsky-rimo metodu

Spręsime kraštinį uždavinį

utt = a2uxx, u(0, x) = ϕ(x), ut(0, x) = ψ(x), u(t, 0) = u(t, l) = 0. (6.1)

Ieškome atskirų sprendinių tokiu pavidalu:

u(t, x) = T (t)X(x). (6.2)

Iš (6.1), (6.2) gauname

T ′′(t)a2T (t)

≡ X ′′(x)X(x)

= λ.

Matome, kad funkcijos X(x) turi būti šio uždavinio nenuliniai sprendiniai

X ′′ = λX, X(0) = X(l) = 0.

Atitinkamos λ reikšmės vadinamos uždavinio tikrinėmis reikšmėmis, oatitinkamos funkcijos X(x) – tikrinėmis funkcijomis.

Kai λ > 0 tikrinių funkcijų nėra. Neigiamas konstantas pažymėkime(−λ2). Tada tikrinės reikšmės ir tikrinės funkcijos yra:

λ =nπ

l, Xn(x) = sin

nπx

l, n = 1, 2, 3, . . . . (6.3)

53

54 SKYRIUS 6. KINTAMŲJŲ ATSKYRIMO METODAS

Iš čia gauname

Tn(t) = An cosnπat

l+Bn sin

nπat

l.

Taigi

u(t, x) =

∞∑

n=1

(

An cosnπat

l+Bn sin

nπat

l

)

sinnπx

l,

u(0, x) =

∞∑

n=1

An sinnπx

l= ϕ(x),

ut(0, x) =∞∑

n=1

nπa

lBn sin

nπx

l= ψ(x).

6.1 pavyzdys. Spręsime kraštinį uždavinį

utt + 2ut = uxx − u, 0 < x < π, t > 0,u(t, 0) = u(t, π) = 0,u(0, x) = πx− x2,ut (0, x) = 0.

Ieškome atskirų sprendinių u(t, x) = T (t)X(x):

T ′′ + 2T ′ + T

T=X ′′

X= const = −λ2.

Iš kraštinių sąlygų u(t, 0) = u(t, π) = 0 gauname, kad const = −λ2 irλ = n ∈ N . Taigi X(x) = sinnx ir spendžiame lygtį

T ′′ + 2T ′ +(

1 + n2)

T = 0.

Jos benrasis sprendinys

Tn (t) = e−t (An cosnt+Bn sinnt) .

Užrašome funkciją

u(t, x) = e−t∞∑

n=1

(An cosnt+Bn sinnt) sinnx.

Iš pirmosios pradinės sąlygos gauname, kad

u(0, x) =∞∑

n=1

An sinnx = πx− x2, 0 < x < π.

6.2. ELIPSINIŲ LYGČIŲ SPRENDIMAS 55

Apskaičiuojame Furjė koeficientus

An =2

π

π∫

0

(

πx− x2)

sinnx dx =

− 2

π

(−2− cosnπ

n3

)

=

{

8πn3 , kai n = 1, 3, . . . ,0, kai n = 2, 4, . . . .

Užrašome sąlygą funkcijos u(t, x) išvestinei:

ut (0, x) =∞∑

n=1

(−An + nBn) sinnx = 0.

Taigi Bn =An

nir

u(t, x) =8e−t

π

∞∑

k=1

1

(2k − 1)3

(

cos(2k − 1)t+1

(2k − 1)sin(2k − 1)t

)

sin(2k−1)x.

Užrašykime apytikslę formulę

u(t, x) ≈ 8e−t

π

(

(cos t+ sin t) sinx+1

9

(

cos 3t+1

3sin 3t

)

sin 3x

)

.

6.2 Elipsinių lygčių sprendimas

6.2.1 Laplaso lygties sprendimas apskritime

Tarkime, kad γ yra apskritimas, kurio centras yra taške O(0, 0) ir spindulyslygus a. Spręsime uždavinį

∆u = 0, u|(x,y)∈γ = f(x, y).

Perrašome Laplaso operatorių polinėse koordinatėse (žr. 1.1, 8 p.):

∂2u

∂ρ2+

1

ρ

∂u

∂ρ+

1

ρ2∂2u

∂ϕ2= 0, u (ρ, ϕ)|ρ=a = F (ϕ). (6.4)

(6.4) lygties sprendinio ieškome pavidalu

u(ρ, ϕ) = R(ρ)Φ(ϕ).


Tadauρρ = R′′Φ, uρ = R′Φ, uϕϕ = RΦ′′.

Įrašę šiuos reiškinius į lygtį, gauname(

R′′ +1

ρR′)

Φ+R

ρ2Φ′′ = 0.

Atskiriame kintamuosius:

1

R(ρ)

(

ρ2R′′ (ρ) + ρR′ (ρ))

= −Φ′′ (ϕ)Φ(ϕ)

.

Ieškome periodinių sprendinių:

Φ′′ (ϕ) = −αΦ(ϕ).

Tada α = λ2 > 0 ir turime

Φ(ϕ) = A cos λϕ+B sinλϕ.

Iš antrosios lygybės išplaukia Oilerio tipo lygtis

ρ2R′′ (ρ) + ρR′ (ρ)− λ2R(ρ) = 0.

Lygtis turi atskirus sprendinius R(ρ) = ρs. Gauname s = λ, s = −λ.Aprėžtą skritulyje ρ 6 a sprendinį gauname, kai s = λ > 0. Periodinį superiodu 2π sprendinį gausime, kai

cos(λϕ+ λ2π) = cos λϕ, sin(λϕ+ λ2π) = sinλϕ.

Todėl λ = 0, 1, 2, . . .. Taigi gauname uždavinio sprendinį

u(ρ, ϕ) =∞∑

n=0

(An cos nϕ+Bn sin nϕ) ρn.

Koeficientus An, Bn pasirinkime taip, kad patenkinti pradines sąlygas

∞∑

n=0

(An cos nϕ+Bn sin nϕ) an = F (ϕ).

Skleidžiame funkciją F (ϕ) Furjė eilute:

F (ϕ) =1

2f c0 +

∞∑

n=0

(f cn cos nϕ+ f sn sin nϕ) ,

6.2. ELIPSINIŲ LYGČIŲ SPRENDIMAS 57

f cn =1

π

2π∫

0

f(a cosϕ, a sinϕ) cosnϕdϕ,

f sn =1

π

∫ 2π

0f(a cosϕ, a sinϕ) sinnϕdϕ.

Gauname An = 1anf cn, Bn = 1

anf sn ir todėl

u(ρ, ϕ) =1

2π

2π∫

0

f(a cosϕ, a sinϕ) dϕ+

1

π

∞∑

n=1

(ρ

a

)n

cos nϕ

2π∫

0

f(a cosϕ, a sinϕ) cosnϕdϕ+

sin nϕ

2π∫

0

f(a cosϕ, a sinϕ) sinnϕdϕ

.

skyrius 7

Šturmo ir Liuvilio uždavinys

7.1 Bendroji kintamųjų atskyrimo metodo schema

7.1.1 Tiesinis diferencialinis operatorius

Pažymėkime

Lu ≡(

A(t)∂2

∂t2−B(x)

∂2

∂x2+C(t)

∂

∂t+D(x)

∂

∂x+ (E(t) + F (x))

)

u,

(7.1)čia A(t) > A0 > 0, B(x) > B0 > 0.

Homogeninės lygties

Lu = 0, t ∈ [0,+∞] , x ∈ [a, b] (7.2)

netrivialių (nenulinių) spendinių ieškosime pavidalu

u(t, x) = T (t)X(x). (7.3)

Nagrinėsime (7.1), (7.2) lygtį esant kraštinėms sąlygoms:

(

αu(t, x) + βu′x(t, x))∣

∣

x=a= 0,

(

δu(t, x) + γu′x(t, x))∣

∣

x=b= 0. (7.4)

Gauname diferencialines lygtis funkcijoms T ir X rasti:

A(t)T ′′(t) + C(t)T ′(t) + E(t)T (t)

T (t)= (7.5)

B(x)X ′′(x)−D(x)X ′(x)− F (x)X(x)

X(x)= const

59

60 SKYRIUS 7. ŠTURMO IR LIUVILIO UŽDAVINYS

ir kraštines sąlygas:

αX(a) + βX ′(a) = 0, δX(b) + γX ′(b) = 0. (7.6)

Pažymėkime (7.5) lygčių konstanta (−λ) ir užrašome diferencialinę lygtįfunkcijai X:

−B(x)X ′′ +D(x)X ′ + F (x)X = λX.

Padauginę abi lygybės puses iš1

B(x)e−

∫DB

dx ir pažymėję

p(x) = e−∫

DB

dx, q(x) =F (x)

B(x)e−

∫DB

dx, r(x) =1

B(x)e−

∫DB

dx,

gauname diferencialinę lygtį, priklausančią nuo parametro λ:

L[X] ≡ d

dx

(

p(x)dX

dx

)

− q(x)X = −λr(x)X. (7.7)

Pastebėkime, kadp(x) > 0, q(x) > 0, r(x) > 0.

7.2 Šturmo ir Liuvilio uždavinys

(7.7), (7.6) uždavinį, kai α2 + β2 6= 0 ir δ2 + γ2 6= 0 vadiname Šturmoir Liuvilio uždaviniu. Reikia rasti tokias parametro λ reikšmes (jos vadi-namos tikrinėmis), kad uždavinys turėtų netrivialių (nenulinių) sprendinių- tikrinių funkcijų.

skyrius 8

Apibendrintosios funkcijos

8.1 Pagrindinės ir apibendrintosios funkcijos

8.1.1 Bendrosios sąvokos

Tarkime, kad mažo spindulio ε rutulyje yra materialus taškas, kurio masėlygi 1. Užrašykime masės tankio funkciją

fε(x) =

{

34πε3

, kai |x| 6 ε,0, kai |x| > ε.

Pastebėkime, kad∫∫∫

|x|6ε

fε(x1, x2, x3) dx1dx2dx3 = 1.

Kai ε→ 0, gauname

δ(x) = limε→0

fε(x) =

{

+∞, kai x = 0,0, kai x 6= 0.

(8.1)

Tačiau taip apibrėžta funkcija δ(x) netenkina reikalavimo masės tankiui:

∫

V

δ(x)dx =

{

1, kai 0 ∈ V,0, kai 0 /∈ V.

Paimkime bet kurią tolydžiąją funkciją ϕ(x) ir apskaičiuokime silpnąjąribą

limε→0

∫

fε(x)ϕ(x) dx = ϕ(0).

Įrodykime šią lygybę. Paimkime bet kurį ν > 0. Kadangi ϕ(x) yra tolydžioji

61

62 SKYRIUS 8. APIBENDRINTOSIOS FUNKCIJOS

funkcija, egzistuoja toks εν > 0, kad ∀|x| 6 εν : |ϕ(x) − ϕ(0)| < ν. Taigi∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∫

|x|6ε

fεϕ(x)dx− ϕ(0)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=3

4πε3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∫

|x|6ε

(ϕ(x)− ϕ(0)) dx

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

6

ν3

4πε3

∫

|x|6ε

dx = ν.

Matome, kad silpnoji riba yra funkcionalas: kiekvieną tolydžiąją funkcijąϕ(x) atitinka jos reikšmė ϕ(0). Šis funcionalas žymimas δ ir vadinamasDirako δ-funkcija. Žymėsime

limε→0

∫

fε(x)ϕ(x) dx = (δ, ϕ).

Jei taške x = 0 sukoncentruota masė m, tai tankį galima išreikšti taip:mδ(x). Bendruoju atveju, kai taškuose x1, x2, . . ., xN sukoncentruotosmasės m1, m2, . . ., mN , tankio funkcija užrašome taip:

N∑

j=1

mjδ(x − xj).

8.1.2 Apibendrintų funkcijų erdvė D′

Žymėsime D = D (Rn) visų finitinių (turinčių baigtinę atramą – supp) begalo daug kartų diferencijuojamų funkcijų aibę (žymime C∞). Šias funkcijasvadiname pagrindinėmis.

Tarkime, kad UR = {~x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn : ‖~x‖ 6 R},

Dαu(x) =∂|α|u(x)

∂xα11 ∂xα2

2 · · · ∂xαnn, α = (α1, . . . , αn) , αj > 0, |α| = α1+· · ·+αn.

Apibrėžkime konvergavimą pagrindinių funkcijų aibėje D. Tarkime, kad1) ϕ1, ϕ2, . . . ∈ D;2) ∃R > 0 (∀k ∈ N) suppϕk ⊂ UR;3) ∀ε > 0 ∃kε ∈ N : ∀α, k > kε

maxx∈UR

|Dαϕk (x)−Dαϕ (x)| < ε.

Rašysime limk→+∞

ϕk = ϕ arba ϕk → ϕ, k → +∞.

8.1. PAGRINDINĖS IR APIBENDRINTOSIOS FUNKCIJOS 63

8.1 apibrėžimas. Apibendrintąja funkcija f vadinsime bet kurįtiesinį tolydųjį funkcionalą f : D → C. Čia C – kompleksinių skaičiųaibė.

Funkcionalo f reikšmes žymėsime (f, ϕ). Šios reikšmės yra (kompleksiniai)skaičiai. Apibendintoji funkcija yra tiesinis funkcionalas:

(f, λ1ϕ1 + λ2ϕ2) = λ1 (f, ϕ1) + λ2 (f, ϕ2) .

Apibendrintoji funkcija yra tolydusis funkcionalas:

limk→+∞

ϕk = ϕ ⇒ limk→+∞

(f, ϕk) = (f, ϕ) .

Apibendrintųjų funkcijų aibė yra tiesinė: jei f ir g yra tiesiniai tolydiejifunkcionalai D → C, tai (∀λ, µ ∈ C) λf + µg irgi yra tiesinis tolygusisfunkcionalas.

Apibrėžkime silpnąjį konvergavimą apibendintojų funkcijų aibėje. Sakysime,kad apibendrintoji funkcija f yra apibendrintojų funkcijų f1, f2, · · · sekosriba, jei (∀ϕ ∈ D) lim

k→+∞(fk, ϕ) = (f, ϕ).

8.2 apibrėžimas. Visų apibendrintųjų funkcijų aibę su apibrėžtu silp-nuoju konvergavimu žymėsime D′.

8.1 teorema. Aibė D′ yra pilnoji erdvė: jei seka fn ∈ D′ silpnaikonveguoja fn → f , tai f ∈ D′.

PratimaiĮrodykite, kad (ε→ +0)

1.1

2√πε

e−x2

4ε → δ(x);

2.1

πxsin

x

ε→ δ(x);

3.1

π

ε

x2 + ε2→ δ(x).

8.1.3 Apibendrintųjų funkcijų diferencijavimas

Tarkime, kad f(x) ∈ C1 [a, b], ϕ ∈ D [a, b]. Tada

(f ′, ϕ) =∫ b

a

f ′(x)ϕ(x) dx =

∫ b

a

ϕ(x) df(x) = f(x)ϕ(x)

∣

∣

∣

∣

b

a

−∫ b

a

f(x)ϕ′(x) dx.

64 SKYRIUS 8. APIBENDRINTOSIOS FUNKCIJOS

Kadangi ϕ(a) = ϕ(b) = 0, gauname

(f ′, ϕ) = −(f, ϕ′).

Taigi galime apibrėžti apibendintosios funkcijos išvestinę

(Dαf, ϕ) = (−1)|α| (f,Dαϕ) .

Pastebėkime, kad differencijuojamai funkcijai f ∈ Cn gauname, kad

(Dαf, ϕ) =

∫

Rn

Dα (f(x)) ϕ(x) dx.

8.1 pavyzdys. Hevisaido funkcijosH(x) =

{

0, kai x 6 0,1, kai x > 0.

išvestinė

H ′(x) = δ(x).

Delta funkcijos δ(x) pirmykštė funkcija yra H(x) + C, čia C – bet kurikonstanta.

skyrius 9

Fundamentalieji sprendiniai

9.1 Apibendrintieji sprendiniai

9.1.1 Tiesinis diferencialinis operatorius

Nagrinėsime tiesinę diferencialinę lygtįm∑

|α|=0

aα(x)Dαu = f(x), f ∈ D′, (9.1)

čia aα ∈ C∞ (Rn).Pažymėkime diferencialinį operatorių

L(x,D) ≡m∑

|α|=0

aα(x)Dα

ir perrašykime (9.1) lygtį taip:

L(x,D)u = f(x) (9.2)

(9.2) lygties apibendrintuoju sprendiniu vadiname funkciją u ∈ D′:

∀ϕ ∈ D (L(x,D)u, ϕ) = (f, ϕ).

9.1 apibrėžimas. Jungtiniu operatoriui L(x,D) operatorimi vadi-name reiškinį

L∗(x,D)ϕ =

m∑

|α|=0

(−1)|α|Dα(aαϕ).

Pastebėkime, kad

(L(u,D)u, ϕ) = (u,L∗(x,D)ϕ).

65

66 SKYRIUS 9. FUNDAMENTALIEJI SPRENDINIAI

9.1.2 Fundamentalusis sprendinys

9.2 apibrėžimas. Diferencialinio operatoriaus L(x,D) fundamen-taliuoju sprendiniu (įtakos funkcija) vadinama tokia apibendrintojifunkcija E ∈ D′, kad

L(x,D)E = δ(x).

9.1 pastaba. Jei E yra fundamentalusis sprendinys ir E0 – tiesinėshomogeninės lygties L(x,D)E0 = 0 sprendinys, tai E + E0 irgi yrafundamentalusis sprendinys.

Pažymėkime F [ϕ] pagrindinės funkcijos ϕ ∈ D Furjė transformaciją:

F [ϕ](ξ) =

∫

ϕ(x)ei(ξ,x) dx.

Apibendrintosios funkcijos f ∈ D′ Furjė F [f ] transformaciją apibrėžkimetaip:

(F [f ], ϕ) = (f, F [ϕ]) .

9.1 pavyzdys.

F [δ (x− x0)] = ei(ξ,x0).

Iš čia gauname F [δ] = 1 ir

δ = F−1 [1] =1

(2π)nF [1].

Taigi F [1] = (2π)nδ(ξ).

9.1 teorema. Apibendrintoji funkcija E ∈ D′ yra operatoriaus L(x,D)fundamentalusis sprendinys tada ir tik tada, kai jos Furjė transforma-cija F [E ] yra lygties

L(ξ)F [E ] = 1

sprendinys. Čia L(ξ) =m∑

|α|=0

aαξα.

9.2. FUNDAMENTALIŲJŲ SPENDINIŲ PAVYZDŽIAI 67

9.1.3 Nehomogeninė lygtis

Nagrinėsime diferencialinę lygtį, turinčią dešinę pusę

L(x,D)u = f(x), f ∈ D′. (9.3)

9.3 apibrėžimas. Funkcijų f ir g sąsūka1 (žymime f ∗ g) vadinamefunkciją

(f ∗ g)(x) =∫

f(y)g(x− y) dy =

∫

g(y)f(x− y) dy = (g ∗ f)(x).

Apibendrintųjų funkcijų sąsūką apibrėžiame kaip tiesinį funkcionalą

(f ∗ g) = (f(x) · g(y), ϕ(x + y)).

9.2 pavyzdys. Jei f yra bet kuri apibendintoji funkcija, tai jos sąsū-ka su δ funkcija:

f ∗ δ = δ ∗ f = f.

9.2 teorema. Jei 9.3 lygties funkcija turi sąsūką su fundamentaliuojusprendiniu u = E ∗ f ∈ D′, tai funkcija u yra vienintelis šios lygtiessprendinys.

9.2 Fundamentaliųjų spendinių pavyzdžiai

9.2.1 Tiesinis diferencialinis operatorius su paprastosiomisišvestinėmis

LE ≡(

dn

dxn+ · · · + an−1

dn

dxn+ a1

d

dx+ an

)

E = δ(x).

Kai n = 1 turime L ≡ d

dt+ a ir E(t) = H(t)e−at, čia H(t) – Hevisaido

funkcija.

Antrosios eilės operatoriausd2

dt2+a2 fundamentalusis sprendinysH(t)

sin at

a.

9.2.2 Šilumos operatoriaus lygties fundamentalusis sprendinys

∂E∂t

− a2∆E = δ(t, x).

E(t, x) = H(t)

(2a√πt)n

e−|x|2

4a2t .

1convolution – angl.; sviortka – rus.

68 SKYRIUS 9. FUNDAMENTALIEJI SPRENDINIAI

9.2.3 Banginio operatoriaus fundamentalusis sprendinys

∂2E∂t2

− a2∆E = δ(t, x).

E1(t, x) =1

2aH(at− |x|).

E2(t, x) =at− |x|

2πa√

a2t2 − |x|2.

E3(t, x) =H(t)

2πaδ(

a2t2 − |x|2)

.

9.2 pastaba. Jei En+1 (x, xn+1) yra operatoriaus L(x, xn+1,D) fun-damentalusis sprendinys, tai operatoriaus L(x,D) fundamentalusis

sprendinys (nusileidimo metodas) En(x) =+∞∫

−∞En+1 (t, x, xn+1) dxn+1.

Pavyzdžiui,

E1(t, x) =+∞∫

−∞

E2 (t, x, x2) dx2.

9.2.4 Laplaso operatoriaus fundamentalusis sprendinys

∆En = δ(x).

E2(x) =1

2πln |x|, E3(x) = − 1

4π|x| .

matematinĖ fizika paskaitų medžiaga · matematinĖ fizika paskaitų medžiaga aleksandras...

Documents