matematikos didaktika - vdu

Vilniaus pedagoginis universitetasMatematikos ir informatikos fakultetas

Matematikos ir informatikos didaktikos katedra

Viktorija Sičiūnienė

Matematikos didaktika 1 knyga

Metodinė priemonė

Vilnius, 2010

UDK 372.851(075.8) Si-11

Leidinys apsvarstytas Vilniaus pedagoginio universiteto Matematikos ir informa-tikos fakulteto Matematikos ir informatikos didaktikos katedros posėdyje 2009 m. lapkričio 25 d. (protokolo Nr. 2), Vilniaus pedagoginio universiteto Matematikos ir informatikos fakulteto tarybos posėdyje 2009 m. gruodžio 2 d. (protokolo Nr. 10) ir rekomenduotas spausdinti.

Recenzavo: doc. dr. Vytautas Bernotas (Vilniaus pedagoginis universitetas)dr. Aistė Elijio (Vilniaus universitetas, Nacionalinis egzaminų centras)

© Viktorija Sičiūnienė, 2010© Vilniaus pedagoginis universitetas, 2010

ISBN 978-9955-20-508-1

3

Turinys

Įvadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1. Matematikos didaktikos mokslo raida . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Matematinis ugdymas Lietuvoje 1988–2008 metais . . . . . . . .16

3. Psichologiniai matematikos mokymo(si) pagrindai. . . . . . . 38

4. Matematikos sąvokos ir teiginiai . . . . . . . . . . . . . . . . . .51

5. Matematikos uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6. Vadovavimas mokinių mokymosi procesui. . . . . . . . . . . . . .95

Literatūra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5

Įvadas

Per dvidešimt Lietuvos nepriklausomybės metų matematikos didaktikos vadovė-liams rengti nebuvo skiriama pakankamai dėmesio. 2002 m. pasirodė A. Ažubalio ir A. Kiseliovo vadovėlis „Bendroji praktinės matematikos didaktika“, skirtas pradinio ugdymo matematikos specialybės studentams. O rengiant bendrojo lavinimo mo-kyklos V–XII klasių matematikos mokytojus tebenaudojamas dar 1984 m. išleistas V. Drėgūno ir P. Rumšo metodikos vadovėlis „Bendroji matematikos mokymo me-todika“, kuriame gvildenami klausimai neapima kaitos sąlygomis mokyklai aktualių problemų. Todėl rengiant būsimus matematikos mokytojus aukštųjų mokyklų dalyko didaktikos dėstytojams tenka nuolat remtis užsienio ir šalies ugdytojų gerąja patirtimi, mokslininkų straipsniais, švietimo dokumentais ir vadovėlių komplektais, mokinių mokymosi pasiekimų tyrimų ataskaitomis, ugdymo turinio formavimo specialistų pa-rengtomis rekomendacijomis, projektų medžiaga ir pan.

Idėja – pradėti metodinių priemonių / vadovėlių seriją „Matematikos didaktika“ – gimė neatsitiktinai. Naujausiuose valstybiniuose dokumentuose nubrėžtos tolimesnės matematinio ugdymo bendrojo lavinimo mokykloje kaitos kryptys, nauji reikalavimai ugdymo procesui kelia naujus iššūkius ne tik pradedančiam dirbti, bet ir patyrusiam mokytojui. Aukštoji mokykla privalo pasirūpinti, kad joje rengiami specialistai pir-miausia įgytų supratimą, koks jų vaidmuo pasirinktame kelyje, jaustų poreikį ir turėtų valios keistis. Jiems būtinas žiniomis ir gebėjimais grįstas pasitikėjimas savo jėgomis, leidžiantis įgyti vis naujų kompetencijų.

Tai pirmoji sumanytos serijos knyga, kurią sudaro šeši skyriai. Pirmuose dvie-juose skyriuose skaitytojas kviečiamas apmąstyti matematinio ugdymo mokykloje patirtį, įsigilinti į pasikeitusius matematikos mokytojo reikalavimus, įžvelgti gali-mybes, kelius ir būdus naujoms dabartinio laikotarpio diktuojamoms matematikos mokytojo kompetencijoms įgyti. Trečiajame ir ketvirtajame skyriuose nagrinėjami svarbiausi šiuolaikinės didaktikos požiūriu psichologiniai matematikos mokymosi aspektai, gvildenami matematinių sąvokų ir teiginių mokymo ir mokymosi klau-simai. Kad mokytojas norėtų ir pajėgtų būti aktyviu ir atsakingu mokymo(si) pro-ceso dalyviu, jis turi išmokti vadovauti šiam procesui, t. y. jį planuoti, organizuoti ir vertinti. Jam būtina išmokti kurti / kūrybiškai pritaikyti įvairius mokymo(si) ir vertinimo metodus, įvaldyti šiuolaikines jų rengimo ir panaudojimo technologi-

6 Įvada s

jas. Šioms svarbioms mokytojo kompetencijoms plėtoti skirti paskutiniai du knygos skyriai.

Autorė viliasi, kad knygoje nagrinėjami klausimai padės ne tik būsimiems, bet ir jau dirbantiems matematikos mokytojams bei kitiems ugdytojams kritiškai įvertin-ti matematinio ugdymo praktiką, įgyti naujų žinių ir gebėjimų, reikalingų tinkamai reaguoti į sparčiai kintančios visuomenės iššūkius, laikotarpio keliamus ugdytojui rei-kalavimus. Kviečiame visų aukštųjų mokyklų matematikos didaktikos specialistus ir patyrusius mokytojus praktikus prisidėti plėtojant šios serijos leidinius.

Už pastabas ir patarimus autorė nuoširdžiai dėkoja dr. Aistei Elijio, dr. Juozui Ba-nioniui, dr. Vytautui Bernotui. Pastabų ir pasiūlymų laukiame adresu: Vilniaus peda-goginio universiteto I rūmai, Studentų g. 39, LT-08106 Vilnius.

Autorė

7

1 Matematikos didaktikos mokslo raida

MateMatikos didaktikos objektas

Požiūrio į MateMatinį ugdyMą kaita XiX–XX a.MateMatinio raštinguMo saMPrata

Matematikos didaktikos objektas. Matematikos didaktika (mokymo metodika) – vienas iš socialinių mokslų, kurio objektas – matematikos mokymo ir mokymosi pro-cesas įvairių tipų ir lygių mokyklose. Ji sukonkretina, modifikuoja didaktikos moksle aptariamas sąvokas ir teiginius, pritaikydama juos matematikos mokymo ir mokymosi procesui.

Matematikos didaktika kelia sau sudėtingus uždavinius – rasti atsakymus į tris fun-damentinius klausimus:

kam mokyti, t. y. kokie turėtų būti šiandienos matematikos mokymo tikslai bei principai;ko mokyti, t. y. koks turėtų būti matematikos mokymo turinys bei jo mokymo struktūra;kaip mokyti, t. y. kokios technologijos (metodai, priemonės, formos) pajėgios užtikrinti mokymo ir mokymosi kokybę, atliepiančią visuomenės poreikius.

Atsakymų į šiuos klausimus paieška visais laikais kėlė sunkumų, nes mokymo ir mokymosi procesas yra sudėtinga sistema, kurios struktūriniai elementai – mokymo tikslai ir didaktiniai principai, mokymo turinys, mokymo ir vertinimo technologi-jos, mokytojas ir mokinys – ne tik sąveikauja tarpusavyje, bet ir labai glaudžiai susiję su visos visuomenės, ekonomikos kaita. Juos lemia ne tik matematikos, edukologijos, psichologijos, filosofijos ir kt. mokslų raida, bet ir visuomenėje vykstančių socialinių, ekonominių, politinių pokyčių, globalizacijos pasaulyje procesai.

XX a. antrojoje pusėje matematikos mokslas labai sparčiai plėtojosi. Visose šalyse buvo daug svarstyta, kurių mokyklinės matematikos temų jau reikėtų atsisakyti ir kaip į mokyklinės matematikos kursą integruoti naujas temas, kad mokykloje įgytas žinios galėtų būti tinkamai naudojamos ir ateityje. XXI a. pradžioje diskusijos įgavo jau visai

•

•

•

8

kitą atspalvį – apie bet kurį mokomąjį dalyką (sritį) imta kalbėti ne kaip apie mokymosi objektą, bet kaip apie įrankį mokinių gebėjimams ir kompetencijoms ugdyti. Kodėl?

Sparti visuomenės raida šiuolaikinei mokyklai iškėlė labai sudėtingą tikslą – pa-siekti, kad mokiniai taptų motyvuotais ir pasitikinčiais savo jėgomis, nebijančiais ri-zikuoti, gebančiais prisitaikyti prie globalaus konteksto ir technologijų pažangos. Kuo sudėtingesnis tampa globalizuotas pasaulis, tuo labiau asmenims ir kompanijoms rei-kia įvairių koordinavimo ir vadybos formų, t. y. labai išaugo poreikis tokių asmens gebėjimų kaip bendradarbiauti, organizuoti, apjungti, apibendrinti, paaiškinti, vietos lygmeniu lokalizuoti. Imta vertinti žmogaus gebėjimą būti universaliu: apimti įvairias situacijas ir patirtis, užmegzti ryšius, prisiimti naujus vaidmenis, nuolatos mokytis ir tobulėti.

Pastaruoju metu labai sparčiai plėtojosi informacinės komunikacinės technologijos (IKT). Jaunoji karta taip greitai prisitaiko prie jų ir skaitmeninės terpės, kad iš esmės keičiasi jos mokymosi lūkesčiai ir mokymosi procesas. Mokiniai jau ateina į mokyklą turėdami vis daugiau technologinių gebėjimų, tačiau jiems būtina išmokti atrinkti ir kritiškai analizuoti informaciją, išskirti esmę, perteikti savo samprotavimus kitiems. Kaip integruoti IKT į didaktinį ugdymo procesą? Tai neišvengiamai verčia mokytojus ieškoti naujų mokymo metodų, tobulinti kompetencijas, o ugdymo turinio formavimo specialistus – vėl ir vėl peržiūrėti ugdymo turinį. Kokia matematikos dalyko vieta ir reikšmė visame ugdymo procese? Juk bet koks sprendimas dėl mokymo tikslų, mo-kymo turinio, jo struktūros pakeitimų sukelia visą virtinę procesų: tenka pasirūpinti atitinkama mokytojų kvalifikacija, koreguoti vadovėlių turinį ir t. t.

Taigi, keičiantis pasauliui, keičiasi, įgauna naujų atspalvių ir matematikos didak-tikos turinio elementai. Šio turinio formavimo specialistai ir tyrėjai siekia pažinti ir suprasti mokymo(si) proceso esmę, išryškinti principus, sukurti metodus, kurie leistų racionaliai naudoti turimus materialinius ir dvasinius išteklius.

Pažindami tikrovę, siūlydami naujai atsirandančių problemų sprendimo būdus, matematikos didaktikos specialistai remiasi įvairiais objektyviosios tikrovės pažinimo būdais: autoritetų patirtimi, asmenine patirtimi, ieško tiesos mąstydami ar pasitelkda-mi tyrimus. Mokslinių metodų, kuriuos naudoja mokslininkai metodikos problemoms spręsti, didaktikos raidai tyrinėti, visuma vadinama metodologija.

Matematikos didaktikoje gvildenami labai įvairūs klausimai. Bendrojoje didaktikoje nagrinėjamos mokymo(si) tikslų ir didaktinių principų taikymo, matematinių sąvokų apibrėžimo ir formavimo, matematikos teiginių ir jų įrodymo problemos. Analizuo-jama, kas yra matematinė kompetencija, kaip ji formuojama ir galėtų būti įvertinta.

Matematikos didakt ikos mok slo raida

9

Taip pat aptariami bendrieji matematikos mokymo proceso organizavimo klausimai, mokytojo rengimosi pamokoms sistema ir pan.

Specialiojoje didaktikoje susitelkiama ties svarbiausių matematikos sričių mokymu, gvildenami šių sričių mokymo turinio perteikimo būdai ir ypatumai, nagrinėjama matematikos sričių tarpusavio ryšių atskleidimo problematika, taip pat matematikos taikymo kitiems mokslams aspektai.

Konkrečioji didaktika analizuoja konkrečius atvejus, kaip gali būti organizuojamas mokymo(si) procesas vienomis ar kitomis sąlygomis. Konkrečiosios didaktikos pavyz-dys – mokytojo knygose pateiktos įvairios rekomendacijos mokytojams.

Požiūrio į matematinį ugdymą kaita XIX–XX a. Tarptautinė matematikos moky-mo sistema susiformavo dar XIX a., kai daugelyje pasaulio šalių buvo įsteigtos dviejų pakopų mokyklos: pradinė (liaudžiai) ir vidurinė (privilegijuotiesiems).

Atotrūkis tarp šių dviejų mokymo pakopų iš pat pradžių buvo didžiulis. Pradinėje mokykloje buvo mokoma tik elementariosios aritmetikos, skaičiavimo, kiek vėliau – ir braižomosios geometrijos pradmenų. Vidurinės mokyklos matematikos turinį sudarė keli izoliuotai mokomi dalykai: aritmetika, algebra, geometrija ir trigonometrija.

Pradinėje mokykloje buvo sprendžiami praktiški elementarūs skaičiavimo uždavi-niai, o visos sąvokos pateikiamos empiriškai. Vidurinėje mokykloje daugiausia dėme-sio kreipiama matematikos teorijai išdėstyti. Pastaroji būdavo pateikiama formaliai, o mokomieji uždaviniai nebuvo siejami su gyvenimu. Naudojami mokymo metodai tiek pradinėje, tiek vidurinėje mokykloje dažniausiai rėmėsi mechanine mokinių atminti-mi, o ne jų gebėjimu protauti.

Matematikos mokslo plėtra pradinės mokyklos matematikos dalyko turinį ilgą lai-ką menkai tekeitė. Tuo tarpu vidurinės mokyklos kursas dėl matematikos mokslo plė-totės buvo stipriai veikiamas. Jis buvo nuolat papildomas naujais skyriais, kol galų gale „išsipūtusios“ turinio apimtys daugeliui šios pakopos mokinių tapo sunkiai įveikia-mos. Taip XIX a. pabaigoje kyla rimtų diskusijų apie būtinybę reformuoti mokyklinės matematikos mokymo turinį.

1894 m. dienos šviesą išvysta tarptautinės matematikų asociacijos leidžiamas žurna-las „Matematinės žinios“ („The Mathematical Gazette“, 1894–2003), kurio puslapiuose įvairių šalių mokslininkai pateikia savo samprotavimus apie tai, kaip greičiau ir geriau galima būtų perduoti augančiai kartai visas sukauptas žinias ir patyrimą.

Rimtu žingsniu mokyklinės matematikos reformos link reikėtų laikyti 1905 m. Me-ranėje (Vokietija) įvykusį III tarptautinį matematikų kongresą. Ir nors jame priim-ta matematikos mokymo programa dar menkai tesiskyrė nuo XIX a. suformavusios


10

klasikinės matematikos mokymo programos, tačiau diskusijų apie galimus pokyčius programoje netrūko. Jau po trejų metų IV tarptautiniame matematikų kongrese Ro-moje buvo sudaryta tarptautinė komisija, vadovaujama žymaus pedagogo matematiko Felikso Kleino (1849–1925), kuri, apibendrinusi įvairius mokslininkų siūlymus, pa-teikė išvadas apie tai, kaip galima būtų pertvarkyti mokyklinės matematikos moky-mo turinį. Pradinėje mokykloje buvo siūloma: pradėti mokyti geometrijos pradmenų, mokomuosius uždavinius labiau sieti su mokinių aplinka, mokant aritmetikos remtis vaizdumo principu.

Vidurinėje mokykloje aritmetikos, algebros, geometrijos ir trigonometrijos buvo siūloma mokyti ne kaip izoliuotų dalykų, bet atskleidžiant jų tarpusavio sąsajas bei jų ryšius su fizika. Taip pat vidurinės mokyklos turinį buvo siūloma papildyti aukštosios matematikos – matematinės analizės ir analitinės geometrijos – elementais. Matema-tikos mokymo(si) efektyvumas jau buvo siejamas su euristinių mokymo(si) metodų taikymu.

Tai buvo labai pažangios idėjos, tačiau tuometinė politinė situacija pasaulyje buvo labai nestabili, nemažai šalių dalyvavo karuose, tad šių idėjų įgyvendinimas įvairiose šalyse vyko labai netolygiai, o kai kuriose net nebuvo pradėtas.

Naują postūmį diskutuoti apie matematikos mokymo turinio atnaujinimą davė XX a. 2–3 dešimtmetyje prasidėjęs spartus pramonės plėtojimasis, kuriam reikėjo vis daugiau išsilavinusių žmonių. Tai paskatino daugelį Europos šalių priimti sprendimą įvesti visuotinį pradinį mokymą, o 3–4 dešimtmetyje – ir pagrindinį mokymą (VI ar VIII klasių). Pradinės mokyklos mokiniams buvo keliamas uždavinys – išmokti visko, ko reikėtų jų kasdieniame gyvenime. Pagrindinių mokyklų bei gimnazijų mokiniai buvo rengiami tolimesnėms studijoms.

Spartus pramonės ir technologijų plėtojimasis lėmė naujų matematikos šakų, tokių kaip matematinė logika, aibių teorija, tikimybių teorija, topologija ir kt., atsiradimą. Jų buvo daug, patys matematikai negalėjo apsispręsti, ko gi reikėtų mokyti mokykloje. Pagaliau jie patys ėmė nebesutarti, kuri iš naujai atsiradusių šakų galėtų vadintis ma-tematikos šaka.

Atsakymą į šį klausimą pasiūlė prancūzų matematikų grupė, susikūrusi dar 1928–1930 m. ir pasivadinusi Nicolaso Bourbakio pseudonimu, oficialiai vadinama Associa-tion des collaborateurs de Nicolas Bourbaki (Amir, 2007). Grupės vadovai buvo Andre Weilas, Henris Cartanas ir Jeanas Dieudonne. 1939–1965 m. ši grupė parašė daugiau nei 30 knygų, kuriose iš esmės buvo atskleista ir pagrįsta struktūra, būdinga kiekvienai matematikos šakai. Dėl šių darbų imta svarstyti apie galimybes formalizuoti matema-


11

tikos mokymo turinį, jau pradinėje ir pagrindinėje mokykloje perteikiant mokiniams daugiau iš anksto apibendrintų ir griežtai sustruktūruotų žinių. Buvo viltasi, kad tokiu būdu pavyks sumažinti vis gilėjantį atotrūkį tarp tradicinio mokyklinės matematikos kurso ir sparčiai besiplėtojančio matematikos mokslo. Šios idėjos buvo plačiai aptartos 1959 m. tarptautinėje konferencijoje Reimonte (Prancūzija) ir vėliau daugelyje Europos šalių bandyta jas įgyvendinti atnaujinant mokyklinės matematikos programas.

Tačiau netrukus buvo pastebėta, kad ne visi mokiniai pajėgūs suvokti formalias ir abstrakčias idėjas, o atlikti tyrimai bylojo apie tai, kad mokyklinė matematika ima tapti bene sunkiausiai išmokstamu dalyku mokykloje. Vėliau Reubenas Hershas (1979), api-bendrindamas šią XX a. vidurio matematikos mokymo reformą mokyklose, įvertino ją „ne kaip nekaltą nukrypimą, o kaip nesėkmingą filosofijos mokslo prognozę, jog suma-žinus visas žinias iki aksiominių sistemų palengvės jos mokymas mokykloje“ (p. 33).

Nicolaso Bourbakio idėjos neliko nepastebėtos psichologų, kurie ėmė aktyviai ty-rinėti, kokiu gi būdu mokyklinio amžiaus mokiniai galėtų išmokti matematikos. Itin daug tyrimų šioje srityje atliko Jeanas Piaget (1973), Levas Vygotskis (1978) ir jų pase-kėjai. Po keleto metų darbo, nepriklausomai vienas nuo kito, jie priėjo išvadą, kad iš pradžių mokiniai turi išmokti operuoti konkretybėmis ir tik vėliau, empirinės patirties pagrindu įgytos žinios, nuolat perstruktūruojamos ir susiejamos, gali būti formalizuo-jamos ir abstrahuojamos. Nauja medžiaga negali būti nuleista iš niekur, mokiniui turi būti sudarytos sąlygos ją integruoti prie jau turimų žinių. Dėl šių mokslininkų darbų įtakos daugelyje šalių imtasi įgyvendinti mokymo per uždavinius idėją, kurios esmę sudarė specialiai sukonstruota uždavinių seka, sudaranti sąlygas patiems mokiniams aktyviai dalyvauti teorijos atradimo ir jos taikymo procese. (Plačiau apie tai skaitykite 3 skyriuje „Psichologiniai matematikos mokymo(si) pagrindai“.)

Peržiūrėti mokyklinės matematikos mokymo turinį ir jos mokymo metodus vertė ne tik psichologų rekomendacijos, bet ir vis didėjantis spaudimas mokyklai iš išorės. Po Antrojo pasaulinio karo prasidėjusi ekonomikos globalizacija paskatino itin spar-tų mokslo ir technologijų plėtojimąsi. Išaugo poreikis ugdyti jaunos kartos gebėjimą greitai reaguoti į rinkos pokyčius. Vis dažniau imama kalbėti apie mokyklinės mate-matikos mokymo(si) tikslų kaitos būtinybę, mat mokyklinė matematika vis dažniau ima susilaukti priekaištų už savo nepraktiškumą ir nepritaikomumą kasdieniame gy-venime.

D. Robitaille ir M. Dirksas 1982 m. savo straipsnyje „Models for the mathematics curriculum“ (,,Matematikos mokymo modeliai“) rašė, kad minimu laikotarpiu įvairios šalys į matematikos mokymo tikslus ir priemones jiems pasiekti žiūrėjo nevienodai.


12

Vienur matematikos mokymas buvo dar gana ryškiai orientuotas į abstrakčių struk-tūrų ir jų savybių mokymo modelį (pavyzdžiui, SSRS), kitur labiau buvo pabrėžiami matematikos taikymai kitoms disciplinoms (pavyzdžiui, Didžiojoje Britanijoje), trečia sparčiai besiformuojanti kryptis akcentavo matematikos svarbą kasdieniame gyvenime (pavyzdžiui, Šiaurės Amerikoje). Išnagrinėję ir apibendrinę 5–7 dešimtmečio įvairių ša-lių matematikos mokymo programas, šie mokslininkai prieina išvadą, kad daugelyje šalių 6–7 dešimtmetyje matematikos programose buvo visų trijų dedamųjų, o pačios programos skyrėsi tik skirtingu dėmesiu šioms dedamosioms (Robitaille, Dirks, 1982).

Apie 9-ąjį dešimtmetį ekonomikos globalizacija apima visas visuomenės gyveni-mo sritis. Visame pasaulyje kyla nauja švietimo reformų banga. Įvairių šalių švietimo formavimo specialistai, įvertinę matematikos mokymo įvairiose šalyse būklę, prieina išvadą, kad mokyklinė matematika turi labiau orientuotis į matematinių gebėjimų la-vinimą, o ne į platesnes dalyko žinias. Adelaidėje (Australija) vykusiame penktajame ICME-5 (International Congress on Mathematical Education) kongrese (1984) buvo pažymėta, kad išsivysčiusių šalių ekonomika verčia, jog matematikos būtų mokomi visi (Mathematics for All, 1984). Akcentuota, kad visuomenė tuo geresnė, kuo auto-nomiškesnis, savarankiškesnis kiekvienas jos narys, gebantis pats savimi pasirūpinti. Vidurinis išsilavinimas imamas deklaruoti kaip minimalus parengimas gyvenimui. Pažymėta, kad šiame kontekste senos matematikos programos yra per daug akademiš-kos, per sunkios ir privalo būti keičiamos, sudarant galimybę kiekvienam vaikui ar jaunuoliui visavertiškai, atsižvelgiant į gabumus, tobulėti.

XX a. antrojoje pusėje mokymo programų veiksmingumą imta vertinti pagal mo-kinių matematikos mokymosi pasiekimus. Pastarieji pradedami matuoti ne tik šalių viduje vykdant nacionalinius tyrimus, bet ir tarptautiniu mastu, vykdant tęstinius tyrimus, kuriuose dalyvauja daug šalių. Šalys dalyvės turi galimybę palyginti savo mokinių mokymosi pasiekimus, įvertinti švietimo sistemos ir matematinio ugdymo pokyčius, nustatyti veiksnius, darančius didžiausią poveikį mokinių matematikos mo-kymosi pasiekimams šalies viduje. Su įvairių tyrimų ataskaitomis gali susipažinti visų šalių mokslininkai – jos skelbiamos viešai. Aktualios matematinio ugdymo problemos nuolat gvildenamos įvairiose konferencijose. Matematikos mokymo įvairiose šalyse patirtis nuo 1969 m. nuolat apibendrinama ir pristatoma kas ketveri metai vykstančio-se tarptautiniuose matematikos kongresuose ICME, todėl kiekviena šalis turi galimybę koreguoti savo matematikos programas, atsižvelgdama ne tik į savo šalies patirtį, bet ir į tarptautiniu lygiu parengtas rekomendacijas.


13

Matematinio raštingumo samprata. Visose šalyse pripažįstama, kad pagrindinis matematikos mokymo bendrojo lavinimo mokykloje tikslas – sudaryti sąlygas moki-niams įgyti matematinio raštingumo žinių, nes dabartinėje visuomenėje tai asmeniui yra taip pat svarbu, kaip teisė į gyvenimą, laisvę, laimę.

J. Dudaitė (2008) išskiria tokius matematinio raštingumo sampratos, būdingos dau-geliui šalių, elementus: būtinos žinios, visuotinumas, temų aktualumas, kontekstualu-mas, nuostatos, komunikacija, technologijos, kultūrinis aspektas, simbolių „jausmas“, skaičių jausmas, loginis mąstymas, praktiniai gebėjimai, problemų sprendimas, mo-deliavimas, matematinis argumentavimas, erdvinis mąstymas, darbas su informacija, eksperimentavimas, duomenų interpretavimas, reprezentavimas, „susigyvenimas“ su matematika. Šių elementų tarpusavio ryšius mokslininkė atskleidė matematinio raš-tingumo sampratos modelyje (žr. 1 pav.). Mūsų manymu, šis modelis vertingas dar ir tuo, kad padeda geriau suprasti pasaulyje inicijuojamas švietimo naujoves, kurios yra nukreiptos į mokinių kompetencijų ugdymą.

1 pav. Matematinio raštingumo sampratos modelis (pgl. J. Dudaitę, 2008)

Sąvoką „kompetencija“ šiandien suprantame ne tik kaip dalyko žinias ir įgūdžius, gebėjimą juos taikyti, bet ir kaip turimomis žiniomis ir gebėjimais grįstą tikėjimą tam


14

tikra, aiškiai apibrėžta žmonių veiklos sritimi (jos reikšmingumu) ir savo gebėjimais atlikti tos srities užduotis.

Tačiau pasaulyje keičiasi supratimas ne tik apie matematikos mokymo tikslus. Švieti-mas derinasi prie pakitusio pasaulio. Didėjant informacinių komunikacinių technologijų (IKT) poveikiui ekonomikoje ir visuomenėje, vis daugiau žmonių bus priversti nuolatos kurti savo pačių mokymosi turinį. Kai informacija tampa plačiai prieinama, kaip niekad anksčiau, išauga poreikis gebėti informaciją paversti žinojimu. Be išlavintų kritinio mąs-tymo gebėjimų tai vargiai pasiekiama. IKT tampa globalus socialinis bendravimas, o tai reiškia, kad kaip niekad anksčiau aktualiais tampa asmens gebėjimai: bendradarbiauti ir organizuoti darbą, apjungti, apibendrinti informaciją, asmeniniai ir tarpdalykiniai gebė-jimai, gebėjimas būti kūrybiškam, pasitikinčiam savo jėgomis, sugebančiam mokytis ir jaučiančiam poreikį nuolat tobulėti. Nuo dalykinės sistemos mokykloje tobulinimo vis labiau krypstama į mokyklos ugdymo turinio transformavimą: vis daugiau diskutuoja-ma ne tik apie dalyko (srities) kompetencijų ugdymą, bet ir apie bendrųjų asmens gebėji-mų formavimą per dalyką (sritį) ir nebūtinai atsižvelgiant į centralizuoto ugdymo turinį. Dalykas tampa nebe mokymosi objektu, bet darbo ir mokymosi priemone.

Tikima, kad kompetencijomis grįstas ugdymo turinys padės pagerinti mokinių mokymosi pasiekimus, pakels mokinių mokymosi motyvaciją. Kiekviena šalis ieško būdų, kaip įgyvendinti šiuos siekius savo šalyje, o savo sėkmių ir nesėkmių pamoko-mis dalijasi tarptautinėse ir šalies konferencijose.

Tolimesniame skyriuje apžvelgsime, kaip keitėsi ugdytojų požiūris į matematinį ug-dymą Lietuvoje per pirmuosius dvidešimt metų atkūrus nepriklausomybę, bandysime įvertinti, kaip matematinio ugdymo tradicijos, turima patirtis leido prisitaikyti prie pasaulyje ir šalyje vykstančių pokyčių, kaip šalyje, įžengus į XXI a., buvo ir yra kuria-ma į besimokančią visuomenę orientuota mokykla.

Diskusijų klausimai Apibūdinkite matematikos didaktikos objektą, šio mokslo sprendžiamus užda-vinius. Atskleiskite sisteminio požiūrio į matematinio ugdymo procesą esmę.Paaiškinkite, kaip suprantate ,,matematinį raštingumą“.

Praktinis darbas (grupėmis)Perskaitę skyrelio medžiagą, išskirkite svarbiausias XIX–XX a. Europoje vykusias

mokyklinės matematikos reformas. Trumpai apibūdinkite kiekvieną jų. Pasvarstykite,

1.

2.3.


15

kokia turėtų būti XXI a. mokykla, kokias jaunuolių savybes ir gebėjimus ji turėtų ug-dyti, kodėl.

Savarankiško darbo užduotysReferatas. Matematikos didaktikos pradininku laikomas šveicarų pedagogas G. Pestalocis (1746–1827), žinomas garsaus veikalo „Vaizdus skaičių mokymas“ (1803) autorius. Raskite informacijos apie šią ar kitą matematikos didaktikai nusipelniusią asmenybę ir parašykite šia tema 6–8 psl. apimties referatą. Referatas. Atskleiskite keletą savo šalies matematikos mokymo istorijos akimir-kų. Pasirinkdami temą, pasistenkite, kad ji būtų konkreti, įdomi ir naudinga. Paaiškinkite, kodėl pasirinkote būtent tokią temą. Pagalvokite, koks turėtų būti jūsų referatas, kad būtų patrauklus jį skaitantiesiems, plėstų jų akiratį ir skatin-tų daugiau sužinoti.

Rekomenduojama literatūra savarankiškoms studijomsAžubalis A. (1997). Matematika lietuviškoje mokykloje (XIX a. pr. – 1940 m.). Monogra-

fija. Vilnius: Žiburys.

Ažubalis A. (2005). Matematikos didaktika Lietuvos pedagoginėje periodikoje (1945–

1990 m.). Monografija. Vilnius: Generolo Jono Žemaičio Lietuvos karo akademija.

Banionis J. Matematinė mintis Lietuvoje 1832–1990. Vilnius: VPU leidykla, 2006.

Žemaitis Z. (1926). Aukštosios matematikos pagrindai aukštesniųjų mokyklų progra-

moje. Švietimo darbas, Nr. 6, p. 716–734.

Žemaitis Z. (1928). Pirmosios matematikos ir fizikos mokytojų konferencijos darbai:

1928 m. sausio 3–5 d., Klaipėda.

1.

2.

1.

2.

3.

4.

5.


16

2 Matematinis ugdymas Lietuvoje 1988–2008 metais

MateMatinio ugdyMo kaita atkūrus Lietuvos nePrikLausoMybę: reaLijos, ProbLeMos ir jų sPrendiMo keLiai

nauji reikaLaviMai ugdyMo Procesui

2008 M. MateMatikos PrograMa

Matematinio ugdymo kaita atkūrus Lietuvos nepriklausomybę: realijos, pro-blemos ir jų sprendimo keliai. Nepriklausomybės Atkūrimo Aktu paskelbus Lietuvą demokratine respublika, šalyje imta kurti interpretacinį švietimo sistemos modelį (žr. 2 pav.). Švietimo reforma buvo suplanuota, o vėliau ir įgyvendinama kaip sisteminė.

2 pav. Interpretacinės švietimo sistemos modelis (pgl. D. Kuolį, 1996)

1992–1997 m. sąlygiškai laikomi Lietuvos švietimo reformos I etapu. Vyriausybės patvirtintoje Lietuvos švietimo koncepcijoje (1992) kalbama apie pasikeitusius ugdy-mo tikslus, pateikiama reformos veiksmų programa iki 1997 metų.

17

Tačiau iki 1997 m., kol buvo patvirtintos naujos matematikos programos reformuo-tai mokyklai, matematikos mokymas iš esmės buvo vykdomas pagal 1988 m. matema-tikos programas, kuriose matematikos mokymo tikslai buvo siejami su tvirtų žinių ir įgūdžių įgijimu, loginio mąstymo formavimo būtinybe. Taip pat buvo keliamas tiks-las – išmokyti mokinius taikyti matematiką giminingiems dalykams ir padėti moki-niams pasiruošti tolimesnėms studijoms (Vidurinės bendrojo lavinimo mokyklos pro-gramos. Matematika V–XII kl., 1988). Kaip matyti iš 1990 m. matematikos programos, „bendrieji matematikos mokymo tikslai ir uždaviniai, <...>, ugdymo turinys, <...> lieka tie patys“ (Vidurinės bendrojo lavinimo mokyklos programos. Matematika V–XII kl., 1990, p. 33). 1991–1995 m. programos leidiniuose tikslai, uždaviniai, metodai iš viso nebuvo minimi arba minimi labai siaurai, apsiribojama tik matematikos temų įvardi-jimu (Vidurinės bendrojo lavinimo mokyklos programos. Matematika V–XII kl., 1991, 1992, 1993; Bendrojo lavinimo mokyklos programos. Matematika V–XII kl., 1994, 1995).

1994 m. buvo parengti ir išleisti trys matematikos programos projektai reformuotai mokyklai. Vienas jų 1997 m. buvo patvirtintas. Jame pirmą kartą šalies istorijoje pa-minėtas „Matematinio raštingumo“ terminas, rašoma, kad prioritetiniai matematikos mokymo tikslai yra:

ugdyti matematinę komunikaciją;išmokyti atlikti standartines matemati-nes operacijas;išmokyti matematiškai tirti problemas;išmokyti matematiškai mąstyti;ugdyti teigiamas nuostatas į matemati-ką;propaguoti matematines, mokslines bei technologines profesijas;skatinti studijuoti matematiką;formuoti matematinį, mokslinį mąstymo pobūdį.

••

•••

•

••

Matematikos mokymo progra-mos ir planaiMatematikos mokymo progra-mos, valstybiniai mokymo planai skelbiami:http://www.smm.lt

Pasirodžius naujų programų projektams, buvo pradėti rengti originalūs, lietuviški matematikos vadovėliai. Jų autoriams buvo keliamas uždavinys – kuo labiau mokymo turinį priartinti prie mokinio poreikių, siekti, kad vadovėliai padėtų mokiniams įgyti matematinio raštingumo pagrindus.

Matematini s ugdyma s Lietuvoje 1988–2008 metai s

18

Pirmas naujas matematikos vadovėlis V klasei pasirodo 1996 m., o 1998–2002 m. naujų matematikos vadovėlių sulaukia ir kitų pagrindinės mokyklos klasių mokiniai.

2002 m. išleidžiami Lietuvos bendrojo lavinimo mokyklos bendroji programa ir išsilavinimo standartai XI–XII klasėms, kur reglamentuojamas ugdymo turinys ir laukiami rezultatai besimokančiųjų pagal bendrąjį (B) ir išplėstinį (A) kursą. Šiame leidinyje atsispindėjo „Lietuvos švietimo gairėse“ (2001) pateiktos idėjos: rašoma, kad ugdytojai turėtų remtis interpretacine, konstruktyvistine ugdymo nuostata, tai reiškia, kad mokymo turinys turi būti pritaikytas mokinio savarankiškam mokymuisi, moty-vuoti ir įtraukti jį į aktyvų mokymosi procesą.

Deja, 2003–2004 m. pagal Išplėstinio matematikos kurso programą parašyti vado-vėliai savo turiniu buvo išsamesni nei tai buvo numatyta Bendrosiose programose (BP), labiau orientuoti į tuos mokinius, kurie ateityje galėtų studijuoti aukštojoje mokykloje pagal tiksliųjų mokslų studijų programas.

Apskritai tuo laikotarpiu mokyklose buvo daug sumaišties. Absoliuti dauguma mo-kinių, neturėdami praktiškai jokių rimtesnių alternatyvų, ką veikti baigus X klasę, ateidavo tęsti mokslų į XI–XII klases (ko anksčiau ugdymo praktikoje nebuvo). Na-tūralu, kad netrukus šiose klasėse dirbantys mokytojai ėmė reikšti susirūpinimą dėl to, kad labai jau didelės mokinių dalies žinios ir įgūdžiai yra nepakankami sėkmingai mokytis šioje studijų pakopoje. Ir nors formaliai mokiniams buvo sudarytos sąlygos pasirinkti, pagal kokią programą – A (vienu metu net S) ar B lygio – jie norėtų (galėtų) mokytis, tačiau takoskyra tarp abiejų lygių programų buvo gana neaiški net patiems mokytojams. Bendrojo kurso vadovėlių dar nebuvo (jie pasirodė tik 2005–2006 m.), todėl mokytojų reikalavimai besimokantiems pagal B lygio programą pradiniame eta-pe buvo stipriai (ir suprantama, kodėl) padidinti. Realybėje skirtingus lygius pasirin-kusius mokinius teko mokyti tam pačiam mokytojui (o kartais ir toje pačioje klasėje), todėl dažniausiai visi mokiniai būdavo mokomi pagal A lygio programą, o B progra-mą pasirinkusių mokinių pažymiai būdavo tiesiog padidinami, formaliai prie gauto įvertinimo pridedant du balus.

Minimu laikotarpiu buvo pradėta vykdyti ir egzaminų reformą. 1999 m. įvyko pir-mieji naujo tipo brandos matematikos egzaminai: mokyklinis atitiko B kurso programą, valstybinis – A kurso programą. Nors daugelis pritarė naujo tipo egzaminams, tačiau pirmaisiais jų vykdymo metais mokyklinio ir valstybinio egzaminų užduotys pagal savo sunkumą menkai tesiskyrė. Tai išprovokavo gausias matematikų bendruomenės disku-sijas: vieniems naujos egzaminų užduotys atrodė lengvos, kitiems sunkios, labai skyrėsi pedagogų požiūris ir į atskirų uždavinių vertinimą. Supratimas ir nuomonės apie tai,


19

ko norima ir įmanoma išmokyti realiomis sąlygomis, buvo prieštaringi. (Nepamirški-me, kad tik pradėjus įgyvendinti švietimo re-formą buvo priimtas sprendimas sumažinti matematikos ir gamtos dalykams skiriamą mokymosi laiką, vadinasi, turi keistis visų mūsų supratimas apie tai, kas realiai pasie-kima dabartinėmis sąlygomis.) Mokytojus ir mokinius glumino ne tik egzamino užduo-ties sunkumas (ypač mokyklinio egzamino), bet ir nauji, palyginti su vadovėlių, uždavinių egzamino užduotyje formatai, netikėtos už-davinių formuluotės ir kontekstai. Mokytojai reikalavo peržiūrėti mokymo turinį, siūlė jį siaurinti jau žemesnėse klasėse.

Tuo tarpu užgriuvusias problemas moky-tojai sprendė kas kaip išmanė. Vieni nuose-kliai mokė vadovėlio temų, dalį jų dėl laiko trūkumo praleisdami. Kiti didesnę pamokų dalį dirbo patys, pateikdami mokiniams jau susistemintą vadovėlio medžiagą ir ignoruo-dami tai, kad išmokti gali tik pats mokinys, aktyviai mokydamasis ir protaudamas. Treti pradėjo ignoruoti bet kokius pagrindimus ir įrodymus, net nesusimąstydami, kokią žalą daro mokinių matematinių gebėjimų ugdy-mui. Galų gale visa tai privedė prie masinio korepetitoriavimo (ypač didmiesčiuose). Atotrūkis tarp matematiką išmanančių ir ją menkai teišmanančių mokinių ėmė sparčiai didėti.

Tuo metu šalyje jau buvo pradėti vykdy-ti švietimo būklės tyrimai. Jų metu surinkta informacija apie mokinių pasiekimus ir juos veikiančius faktorius padėjo geriau suprasti,

Egzaminų reformaNacionalinio egzaminų centro svetainė: www.nec.lt

Švietimo būklės tyrimaiAtliktų švietimo būklės tyrimų rezultatai pristatomi viešam visuomenės svarstymui ir skelbiami: http://www.smm.lt/svietimo_bukle/tyrimai.htm

Nacionaliniai mokinių pasiekimų tyrimaiNacionaliniai mokinių pasieki-mų tyrimai buvo pradėti vykdyti 2002 m. (2002–2005 m. naciona-liniai mokinių pasiekimų tyri-mai buvo vykdomi įgyvendinant Švietimo ir mokslo ministerijos Mokyklų tobulinimo programą. Nuo 2006 m. NMPT vykdomi įgyvendinant ŠMM valstybinės švietimo strategijos įgyvendini-mo programą). Daugiau apie na-cionalinius tyrimus: www.peda-gogika.lt/index.php?628923849


20

kas vyksta vienoje ar kitoje ugdymo srityje, sudarė prielaidas daryti pagrįstas išvadas ir sprendimus. Tačiau reikia turėti omenyje, kad kol įvyksta tyrimas ir išanalizuojami jų duomenys, praeina bent dveji treji metai. Todėl šiame reformos etape pradėtų vykdyti nacionalinių ir tarptautinių tyrimų rezultatų analizės sulaukta jau kitame reformos etape.

2003 m. buvo išleistos Lietuvos bendrojo lavinimo mokyklos bendrosios programos ir išsilavinimo standartai priešmokykli-niam, pradiniam ir pagrindiniam ugdymui. Pirmą kartą šalies istorijoje jie buvo išdės-tyti klasių koncentrais: I–II, III–IV, V–VI, VII–VIII, IX–X klasėms (tikėtasi, kad tai padės laiduoti mokymo(si) dermę, tęstinu-mą ir kokybę visose šalies mokyklose, nu-matyti ir stebėti bendrąją bei individualiąją mokinių pažangą einant iš klasės į klasę). Matematikos mokymo tikslai bei uždaviniai šiame dokumente iš esmės nebuvo pakeisti, tačiau šiame dokumente jau aiškiai atsispin-dėjo tolimesnės matematinio ugdymo kaitos kryptys. Mokytojai buvo raginami daugiau dėmesio skirti tam, kad mokiniai geriau suprastų tai, ką mokosi, skatintų mokinius domėtis matematika. Kalbama apie išaugusį poreikį formuoti mokinių bendruosius ma-tematinius gebėjimus: matematinį komuni-kavimą, matematinį mąstymą, matematinių ryšių supratimą, problemų sprendimą.

Vis dėlto reikia pripažinti, kad šiems sie-kiams įgyvendinti nei pats dokumentas, nei matematikos vadovėliai nebuvo pritaikyti. Antai Išsilavinimo standartuose buvo ap-

Tarptautiniai mokinių pasiekimų tyrimaiIš karto atkūrus nepriklausomy-bę Lietuva įsijungė ir į tarptauti-nės švietimo pasiekimų vertini-mo asociacijos IEA (Internatio-nal Association of the Evaluation of Achievement) organizuojamą tarptautinį matematikos ir gam-tos mokslų tyrimą TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Stady). Šalies aštuntokai jau dalyvavo keturiuose šio ty-rimo cikluose (1995, 1999, 2003 ir 2007), dvyliktokai – viename (1995), ketvirtokai – dviejuose (2003 ir 2007). 15 metų mokinių matematiniai gebėjimai buvo ti-riami ir 2003 m. Ekonominio ir socialinio bendradarbiavimo ir plėtotės organizacijos (OECD – Organization for Economic and Social Cooperation and Develo-pment) organizuotame tyrime PISA (Programme for Internatio-nal Student Assessment). Daugiau apie tarptautinius tyrimus: http://www.nec.lt/3/,http://www.pisa.oecd.org,http://www.iea.nl/,http://www.timss.org


21

rašyti tik pagrindinio pasiekimų lygio laukiami mokinių rezultatai, o tai reiškė, kad pačiam mokytojui buvo palikta nuspręsti, ką laikyti silpno ar stipraus mokinio sėkme. Dėl sparčių pokyčių visuomenėje, o kartu ir mokykloje, žirklės dėl atskirų mokinių pa-siekimų grupių vis didėjo. Tai atskleidė tarptautinio penkiolikmečių pasiekimų tyrimo PISA rezultatai, vėliau patvirtino ir nacionalinių mokinių pasiekimų tyrimų rezultatai. 2003 m., PISA duomenimis, Lietuvoje buvo daugiau silpnesnių 15 metų mokinių nei vidutiniškai OECD šalyse (žr. 3 pav.). Tačiau ir aukščiausius rezultatus pademonstravu-sių mokinių dalis mūsų šalyje buvo gerokai mažesnė nei vidutinė OECD šalyse. Viena vertus, tai galėjo reikšti, kad mūsų mokyklose nepakankamai dėmesio skiriama gabių mokinių ugdymui. Kita vertus, kai mokytojas daug brangaus laiko ir jėgų eikvoja tam, kad visi mokiniai pasiektų tam tikrą lygį, tai neišvengiamai nukenčia ir gabesnieji, ir silpnesnieji mokiniai.

3 pav. Penkiolikmečių pasiekimų procentinis pasiskirstymas pagal lygius (pgl. OECD PISA, 2003)

Kaip parodė nacionalinių mokinių pasiekimų tyrimų duomenų analizė, ši pro-blema išryškėja jau žemesnėse klasėse: bent patenkinamu lygiu išmokti Bendrosiose programose apibrėžto turinio nesugebėjo kas šeštas šeštokas! (žr. 4 pav.). Kažin, ar reikia stebėtis, kodėl aukštesnėse klasėse jų pasiekimai negerėja, o mokymosi motyva-cija smunka. Buvo nustatyta, kad mokant kitų mokomųjų dalykų tokios grėsmingos situacijos nėra. Pasidomėjus, koks yra įvairių amžiaus mokinių matematikos trimestro pažymių pasiskirstymas, paaiškėjo, kad visose mokinių amžiaus grupėse matematikos trimestro pažymių vidurkis yra statistiškai reikšmingai žemesnis nei kitų mokomųjų dalykų (žr. 5 pav.), o visose nagrinėtose imtyse pažymiu „keturi“ įvertintų mokinių skaičius yra neproporcingai didelis (žr. 6 pav.).


22

4 pav. Mokinių pasiekimų procentinis pasiskirstymas pagal lygius

(pgl. D. Dobravolskaitę, V. Sičiūnienę, 2008; V. Sičiūnienę, V. Kožemiakiną, 2008)

Šalyje buvo itin aktualu susi-tarti, kokį mokinių pasiekimų lygį esamomis sąlygomis derėtų pripa-žinti patenkinamu ir ką reikėtų daryti, kad ištaisyti grėsmingai besiklostančią situaciją. Tai nebu-vo paprasta padaryti, nes įvairios matematikų bendruomenės gru-pės mokykloje vykstančius poky-čius matė ir vertino iš skirtingų perspektyvų. Į aukštąsias moky-klas ateinančių mokinių mate-matinis pasirengimas neatitiko aukštosios mokyklos lūkesčių. Mokytojai gi neįstengė toje pa-čioje pamokoje mokyti skirtingo pasirengimo, motyvacijos, intere-sų ir vis labiau įgytais gebėjimais besiskiriančių mokinių. Apskri-tai visi tuo metu inicijuojami po-kyčiai skynėsi kelią į mokyklas nelengvai. Pateiksime tik keletą šį teiginį iliustruojančių pavyzdžių.

5 pav. Aštuntokų trimestro pažymių vidurkiai

(pgl. V. Sičiūnienę, V. Kožemiakiną, 2008)

6 pav. Aštuntokų trimestro (semestro) pažymių

pasiskirstymas (pgl. V. Sičiūnienę, V. Kožemiakiną, 2008)


23

2003 m. programoje, siekiant sureguliuoti pasikeitusius reikalavimus mokinių ži-nioms ir gebėjimams, buvo pavartoti tokie užduočių sunkumą nusakantys terminai: paprasčiausi uždaviniai, paprasti uždaviniai ir nesudėtingi uždaviniai bei jų analogai. Tačiau tuo metu šie užduočių sunkumą apibūdinantys terminai mokytojų, aukštųjų mokyklų dėstytojų, egzaminų rengėjų, vadovėlių autorių ir kt. buvo suprantami labai skirtingai. Supratimo, kad „lengva yra tai, ką geba išmokti ir parodyti mokinys, o ne tai, ką apie tai mano jo mokytojas“, dar aiškiai stokojome, nes objektyvių, tyrimais pa-remtų pavyzdžių turėjome labai mažai. Dažniausiai išsakomos nuomonės buvo grin-džiamos asmenine patirtimi. Pastaroji buvo labai nevienoda, o pasikeitusiomis sąlygo-mis neretai klaidino net ir patyrusius praktikus.

Turinio apimtis 2003 m. programoje buvo siekta sureguliuoti ne tik uždavinių sun-kumą nusakančiais terminais: buvo sumažintas ir privalomų įsidėmėti teoremų skai-čius. Tikėtasi, kad tai leis išvengti formalaus jų mokymo, o mokytojai galės daugiau dė-mesio skirti įrodymo proceso esmei, pagrindinėms idėjoms atskleisti, atsiras daugiau laiko tiltams tarp įvairių konstruktų nutiesti, išmokti dalykai taps labiau „funkciona-lūs“, daugiau laiko bus skiriama apmąstymams ir įgytų žinių bei gebėjimų perkėlimo idėjoms įgyvendinti. Tačiau šie ketinimai dalies mokytojų buvo interpretuoti tik kaip sumažėję reikalavimai mokinių mąstymo gebėjimams ugdyti. Gali būti, kad tokį jų su-pratimą ir elgesį išprovokavo ir kai kurie nauji programose ir egzaminų užduotyse pra-dėti vartoti terminai. Pavyzdžiui, žodį „įrodyk“ imta keisti žodžiais: „argumentuok“, „paaiškink“, „pagrįsk“ ir pan. Įvesdami naujus terminus, jų autoriai laikėsi nuomonės, kad jie neiškreipia termino „įrodyk“ esmės, o mokiniams siūlo labiau įprastus, len-gviau suprantamus. Tyrimų duomenys patvirtino, kad mokiniai iš tiesų noriau spren-džia uždavinius, kurių formuluotėse vartojami labiau jų amžių ir mokymosi patirtį atitinkantys teiginiai.

Tačiau ne tik naujų terminų įvedimas kėlė problemų. Kaitos sąlygomis kai kurios anksčiau daugiau ar mažiau vienodai suprantamos sąvokos įgavo naujas prasmes ir atspalvius, o tai reiškė, kad nesidominčio inovacijomis mokytojo žinios ir supratimas apie savo darbo tikslus ir jų siekimo būdus ėmė sparčiai atsilikti. Pateiksime pavyzdį. Nuo senų laikų gerai visiems mokytojams žinoma sąvoka geba taikyti teoriją kaitos są-lygomis įgavo gilesnę prasmę. Ankstesnis supratimas, kad taikyti teoriją – tai išspręsti vieną ar kitą uždavinį, kuriame pritaikoma išmokta taisyklė – aiškiai tapo per siauras. Dabar jis apima ir gebėjimą pasinaudoti vidiniais ir išoriniais matematikos ryšiais. Dar daugiau, tai – asmens suvokimas, kad teorija ir jos taikymas – abipusis ir neats-kiriamas procesas. Tai reiškia, kad mokymo procese turi atsirasti gerokai daugiau ir


24

įvairesnių situacijų, kuriose dalyvaudami mokiniai įgytų supratimą, kaip gimsta teo-rija, kaip tam tikri matematiniai modeliai ar jų sprendimo būdai taikomi kitose pačios mokyklinės matematikos srityse (vidiniai ryšiai) ir kituose mokomuosiuose dalykuose ar realiame gyvenime (išoriniai ryšiai). Mokomųjų situacijų įvairovė taip pat turi pa-dėti mokiniams išsiugdyti labai svarbų įgūdį – įveikti jų kelyje pasitaikančius sunku-mus, tai reiškia, kad ypatingas dėmesys turi būti kreipiamas mokinio savarankiškam mąstymui ugdyti.

Tačiau toli gražu ne visi pakeitimai 2003 m. programoje reikalavo gilesnių moky-tojų apmąstymų ir diskusijų. Per dešimtmečius susiformavęs mokytojų įprotis ir nuos-tatos dirbti pagal vadovėlius, o ne remtis programomis buvo toks gajus, kad net visiškai išbrauktus iš 2003 m. programos kai kuriuos teiginius, dalis mokytojų ir toliau kriti-kavo bei siūlė jų atsisakyti net ir po kelių metų, kai buvo svarstoma 2008 m. programa. Labai apmaudu, kad programų rengėjų lūkesčiai tuo metu nemažos dalies mokytojų nebuvo suprasti taip, kaip norėta, tačiau tai buvo puiki pamoka, kad bet kokia naujovė (ir ypač jos vertybinis pagrindas) turi būti plačiai aptariama, kol visuotinai prieinama prie susitarimo, ką gi ji mums visiems reiškia ir kodėl esamomis sąlygomis yra mums svarbi. Kartu ši situacija atskleidė ir kitą, daug gilesnę, problemą: nepakankamą dalies mokytojų savo dalyko „epistemologinių“ metodų, principų ir taisyklių (apie tai plačiau kalbėsime 4 skyriuje „Matematikos sąvokos ir teiginiai“) išmanymą.

Pastebėjus šias problemas, mokytojams jų kvalifikacijos tobulinimo kursuose imta pristatinėti nacionalinių tyrimų rezultatus, imta su jais diskutuoti apie švietime vyks-tančius ir inicijuojamus pokyčius. Mokytojai vis drąsiau ėmėsi juos įgyvendinti, nors lengva jiems tikrai nebuvo: tuo metu buvo dirbama dar iš senų vadovėlių, o praleidžiant kai kuriuos programos neatitinkančius skyrelius, griūdavo visa tolimesnio mokymo pagal vadovėlius sistema. Kūrybiškai pritaikyti esamą mokymo medžiagą, papildyti ją nauja, laikotarpio aktualijas atitinkančia medžiaga mokytojams buvo nemenkas iššū-kis (plačiau apie tai bus kalbama 5 skyriuje „Matematikos uždaviniai“).

Pateikėme Jums tik keletą faktų, kurie, mūsų manymu, leidžia geriau suprasti, kodėl kaitos sąlygomis yra toks svarbus visų socialinių partnerių noras ir vidinis pasiryžimas bendradarbiauti, mokytis ir tobulėti.

Jau šiame reformos etape iš naujo buvo apibrėžtos kompetencijos, būtinos šiuolaiki-niam mokytojui. Kad mokytojas suprastų jų svarbą ir išsiugdytų poreikį ir gebėjimą jų siekti, buvo pasirūpinta, kad mokytojai galėtų susipažinti su gerąja pasaulio patirtimi ir gebėtų pereiti prie šiuolaikine mokymosi samprata grindžiamo ugdymo. Dalyvau-jant įvairiuose projektuose, kvalifikacijos tobulinimo kursuose ir seminaruose buvo


25

siekiama sudaryti sąlygas matematikos mokytojams keistis gerąja patirtimi, kelti savo kompetenciją. Taip pat buvo pasirūpinta, kad nemažai garsių pasaulio edukologų dar-bų būtų išversta į lietuvių kalbą.

Nauji reikalavimai ugdymo procesui. Vi-duriniojo ugdymo programos 2003–2008 m. laikotarpiu nebuvo keičiamos. Vos išleidus 2003 m. piešmokyklinio, pradinio ir pagrindi-nio ugdymo programas, imta kalbėti apie būti-nybę pastarąsias dar kartą pertvarkyti. Tai lėmė ne tik ėmusios ryškėti, pasitelkus tyrimus, pro-blemos, bet ir Europos Tarybos rekomendacijos inicijuoti viso ugdymo turinio didžiulius poky-čius. Ugdymo turinio formavimo specialistai, vadovaujami E. Motiejūnienės, papildomai iš-studijavo daug mokslinės edukologinės litera-tūros, tyrimų duomenų. Įvairiais klausimais jie diskutavo ir tarėsi su mokytojais, universitetų dėstytojais, kitais socialiniais partneriais.

Per keletą metų buvo parengti nauji švieti-mo dokumentai, kuriuose buvo suformuluoti nauji ugdymo tikslai ir nubrėžtos tolimesnės ugdymo kaitos kryptys – didesnė orientacija į mokinio bendrųjų ir dalykinių kompetencijų pa-grindų ugdymą. Mokytojai skatinami prisiimti didesnę atsakomybę kuriant motyvuojančią ir skatinančią aktyviai mokytis aplinką, pasisa-kyta už labiau individualizuoto ir integruoto ugdymo turinio, labiau pritaikyto planuoti mo-kinių pasiekimus ir pažangą, vertinimą ir įsiver-tinimą, kūrimą.

Visa tai tapo pagrindu atnaujinant Pradinio ir pagrindinio ugdymo bendrąsias programas.

Mokytojų atestacija2002 m. pradedama vykdyti mo-kytojų atestacija, kuria numato-mos keturios mokytojų kvalifi-kacinės kategorijos: mokytojo, vyresniojo mokytojo, mokytojo metodininko ir mokytojo eks-perto.2008 m. ŠMM ministro įsakymu (Nr. ISAK-3216 ir Nr. ISAK-94) buvo patvirtinti nauji Mokytojų ir pagalbos mokiniui specialistų atestacijos nuostatai. Remiantis jais, kiekvienas moky-tojas turi teisę atestuotis – kelti savo kvalifikaciją. Atestacijos nuostatai paskelbti internete adresu: www.smm.lt/naujienos/nteises_a.htm

Švietimo projektai ir programosŠvietimo projektai ir programos prisideda prie visapusiškai išsila-vinusio asmens ugdymo, laiduoja sėkmingą mokymosi visą gyve-nimą galimybę. Informacijos apie vykdomus projektus galite rasti adresu: www.smm.lt arba www.pedagogika.lt


26

2008 m. Bendrųjų programų rengimui vadovavo dr. E. Motiejūnienė. Pirmą kartą šalies istorijoje visų mokomųjų dalykų naujos programos buvo rengiamos kaip sudė-tinės Bendrųjų programų pradinei ir pagrindinei bendrojo lavinimo mokyklai pro-gramų paketo dalys ir jose aiškiai išreikšta nuostata, kad mokytojas turi tapti ugdymo proceso organizatoriumi ir valdytoju, o ne žinių perteikėju. Šios programos yra daug platesnės nei tai, ką įprasta vadinti National Curriculum. Jose, be mokinių pasiekimų aprašų (buvusių Standartų), pateiktos ir Ugdymo gairės, nukreipiančios mokinį ak-tyviam individualizuotam mokymuisi, atspindinčios integracinius ryšius tarp dalykų programų ir ryšius tarp dalyko ir mokinių gyvenimo aplinkos. Visose programose taip pat yra pateikti mokinių pasiekimų lygių aprašai. Visa tai buvo padaryta tam, kad mokytojas išmoktų kelti mokiniams pritaikytus mokymo(si) tikslus, t. y. įgytų įprotį prieš mokymo(si) tikslų iškėlimą išsiaiškinti, ko gi turi išmokti jo mokiniai ir ar jo visų mokinių mokymosi patirtis ir poreikiai leis ir skatins juos mokytis.

Mokytojui patikėtas labai sunkus ir atsakingas uždavinys – sukurti tokią edukacinę aplinką, kuri motyvuotų ir mokytų mokinį mokytis. O tai reiškia, kad ji turėtų tapti la-biau kūrybiška, labiau palanki mokinių saviraiškai: skatinanti juos protauti, leidžianti jiems eksperimentuoti, sudaranti sąlygas kiekvienam mokiniui išgyventi kūrybos ir atradimo džiaugsmą. Ji turi žadinti mokinių vaizduotę, smalsumą, atvirumą sau ir ki-tiems, padėti išmokti jiems dirbti individualiai ir komandoje, mokyti gerbti kitų žmo-nių nuomonę, laikytis dorinių nuostatų bendraujant ir bendradarbiaujant. Labai svar-bu, kad mokytojas apgalvotų, kaip skatins mokinių pasitikėjimą savo jėgomis, norą ir drąsą reikšti savo mintis jo mokomojo dalyko temomis, pasirūpins, kad mokiniai į jo dalyką žiūrėtų kaip į įdomią teigiamų išgyvenimų ir prasmingų atradimų teikiančią veiklą, kaip į savo kritinio mąstymo, bendrųjų problemų sprendimo įrankį. Mokytojas niekada neturėtų pamiršti, kad mokinio veikla yra svarbesnė už mokytojo veiklą, o mokymasis – tai ne tik žinių įgijimas ir struktūravimas, bet ir savęs kontroliavimas bei įvertinimas.

2004 m. vasario 25 d. įsakymu Nr. ISAK-256 Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministras patvirtino labai svarbų mokyklai dokumentą „Mokinių pažangos ir pasiekimų vertinimo samprata“. Šiuo dokumentu skatinama nauja vertinimo šalyje politika. Mokykloms keliamas uždavinys – sukurti kuo aiškesnę mokinių pasiekimų vertinimo sistemą, numatant ir užtikrinant greitą ir veiksmingą grįžtamąjį ryšį, laiku pagelbėjant savo mokiniams. Vertinimo sampratoje teigiama, kad dėl vertinimo kriterijų su mokiniais turi būti tariamasi, jie mokiniams turi būti žinomi ir jų turi būti laikomasi. Vertinimas turi tapti tuo keliu, kuriuo einant siekiama ugdymo tikslų ir kokybiškų


27

rezultatų, nuolatinės jų refl eksijos. Atskiro mokytojo vykdoma vertinimo politika turi tapti sudėtine visos mokyklos vertinimo sistemos dalis. Šios nuostatos aiškiai atsispin-di ir naujose Bendrosiose programose.

Naujųjų bendrųjų programų paketą sudaro bendroji programa (1 priedas), daly-kų (sričių) – dorinio ugdymo, kalbų, matematikos, informacinių technologijų, gamta-mokslinio, socialinio, meninio ir technologinio ugdymo – programos (2–10 priedai) ir bendrųjų kompetencijų ir gyvenimo įgūdžių ugdymo programos (11 priedas) (Pradi-nio ir pagrindinio ugdymo bendrosios programos, 2008).

Atskirai reikėtų aptarti 1-ąjį Pradinio ir pagrindinio ugdymo bendrųjų programų priedą (2008), kuriame teigiama, kad „ugdymo tikslas – plėtoti dvasines, intelektines ir fi zines asmens galias, ugdyti aktyvų, kūrybingą, atsakingą pilietį, įgijusį kompeten-cijas, būtinas sėkmingai socialinei integracijai ir mokymuisi visą gyvenimą“ (ten pat, p. 7). Kalbant apie kompetencijas, turimos omenyje bendrosios kompetencijos (ten pat, p. 8) ir esminių dalykinių kompetencijų pagrindai (matematikos – p. 792). Kokį jų ug-dymo santykio sieksime ugdymo praktikoje (žr. 7 pav.)?

Bendrosios kompetencijos Matematikos kompetencijos

dedamosios?

7 pav. Bendrųjų kompetencijų ir matematikos kompetencijos samprata (pgl. Pradinio ir pagrindinio

ugdymo bendrąsias programas, 2008)


28

Kol kas turime tik bendrą viziją, kuri mus vienija ir skatina veikti. Lieka dar la-bai daug neatsakytų klausimų. Antai mums dar labai aktualu artimiausioje ateityje aiškiai įvardyti, kaip mes suprantame šias kompetencijas, atsakyti sau į klausimą, ar turime gilų tikėjimą, kad labiau išlavintos bendrosios kompetencijos padės ugdyti dalykines kompetencijas. Dar turime išsiaiškinti, kaip kompetencijos įgyjamos, su-sitarti, koks jų formavimo santykis su dalykinėmis kompetencijomis ugdymo prak-tikoje būtų priimtinas. Nors dalykinių kompetencijų pagrindai ir aprašomi atitinka-mų dalykų programose, tačiau ar visi vienodai suprantame dalykinių kompetencijų dedamąsias, ar galime apibūdinti žinių ir gebėjimų lygmenis, pagrįstai diskutuoti apie juos.

Ar susimąstome apie tai, kad net toje pačioje klasėje sėdinčių mokinių skirtingų kompetencijų įgijimo lygiai bus nevienodi, o siekis formuoti asmens kompetencijas gali būti suprantamas tik kaip mūsų noras ir pasiryžimas sudaryti sąlygas visiems moki-niams jas lavinti, nekeliant sau tikslo, kad visų mokinių kompetencijų „žemėlapiai“ taptų kuo vienodesni. Juk apibrėžtos kompetencijos tik atkreipia mūsų dėmesį į svar-bius ugdymo aspektus.

Nacionalinių tyrimų rezultatai byloja, kad aukštesnių nei vidutinių rezultatų pa-vyksta pasiekti tiems mokytojams, kurie greičiau įsigilina į naujoves ir bando jas kū-rybiškai taikyti, yra refleksyvūs: stengiasi sužinoti, kokį poveikį mokiniams daro jų mokymas, ir, remdamiesi gautais duomenimis, patys imasi iniciatyvos modifikuoti ir tobulinti savo mokymą. Taigi geram mokytojui šiandien būtinas nuolatinis domėji-masis ugdymo naujovėmis, atkaklios pastangos mokytis kurti ir diegti naujas idėjas, analizuoti ir vertinti ne tik mokinių bet ir savo veiklas, gebėti tinkamai reflektuoti į ugdymo rezultatus. Nuolat kintanti ir daugialybė mokytojo sąveika su mokiniais reikalauja iš jo atvirumo naujovėms, greitos reakcijos į besikeičiančias aplinkybes ir lankstumo.

Plačiau apie mokytojo vadovavimą mokinių mokymosi procesui bus kalbama 6 sky-riuje „Vadovavimas mokinių mokymosi procesui“.

2008 m. matematikos programa. 2008 m. matematikos programa gimė prisideri-nant prie besikeičiančios bendrosios ugdymo turinio krypties ir siekiant išspręsti da-lyko viduje susikaupusias problemas.


29

Trumpai konceptualias naujos matematikos programos idėjas galima būtų prista-tyti taip:

dalyko statusas privalomas, pamokų skaičius nesikeičia;

ideologija didesnė orientacija į mokinį, jo galimybių, gabumų atskleidimą, nuos-tatų formavimą;

požiūris į žinias siekti balanso tarp empirinių ir racionalistinių žinių; daugiau dėmesio mokinių refleksyviojo mąstymo formavimui;

orientacinės ypatybės

daugiau dėmesio žinių supratimui, perstruktūravimui, apibendrini-mui ir sisteminimui, bendrųjų gebėjimų plėtotei; mokymosi individu-alizavimui;

vertinimas didesnis dėmesys vertinimo sistemai, padedančiai siekti aiškios žinių ir gebėjimų pažangos; taikomas planuojamasis, formuojamasis ir api-bendrinamasis vertinimas;

pedagogika siekti mokytojo vadovaujamos ir mokinio inicijuojamos veiklos pu-siausvyros;

rezultatas progresinis (ne atsitiktinis) žinių, gebėjimų ir nuostatų įgijimas, didelė mokymosi patirties ir mokinio gebėjimų atitiktis.

Naujose Pradinio ir pagrindinio ugdymo bendrosiose programose (2008) pateikta ir išsamiai apibūdinta nauja matematinės kompetencijos struktūra (žr. 8 pav.). Anks-tesnėse Lietuvos bendrojo lavinimo mokyklos bendrosiose programose (2002) buvu-sios keturios veiklos sritys naujose programose suskaidytos į septynias. Tai padary-ta dėl kelių priežasčių. Taip buvo paprasčiau išskirti ir aprašyti svarbiausių ugdomų gebėjimų grupes, taip pat – apsispręsti dėl reikalavimų, kuriuos protinga būtų kelti įvairių mokinių pasiekimų grupėms. 9 pav. pavaizduota, kokius atskirų sričių gebėji-mus pademonstravo aštuntokai 2007 m. nacionalinio tyrimo metu (atliekant analizę iš tyrimo duomenų bazės buvo atrinkti tik tų uždavinių rezultatai, kuriuos mokiniai turėtų gebėti spręsti pagal naująsias programas).

Matome, kad mokinių gebėjimai spręsti geometrijos srities uždavinius gana žemi, tačiau ir ankstesnėse programose, ir vadovėliuose, iš kurių mokėsi mokiniai, šiai sričiai buvo skiriama kone daugiausia dėmesio. Tuo tarpu matų ir matavimų srities uždavi-niams išmokti spręsti nei programose, nei vadovėliuose šiame koncentre praktiškai nebuvo skiriama jokio dėmesio. Ankstesnėse programose abi šios sritys buvo aprašy-tos kaip viena, todėl apibendrintas vidutinis šios srities mokymosi rezultatas nedaug ką gelbėjo bandant suprasti, ką gi reikėtų tobulinti buvusios srities mokyme.


30

Nacionalinių tyrimų rezultatai taipogi atskleidė, kad skirtingų pasiekimų lygių moki-niai atskirų sričių mokomąją medžiagą išmoksta labai nevienodai. Antai silpnesni moki-niai sunkiai sprendžia uždavinius, kuriuose vartojami abstraktūs algebros ir geometrijos teiginiai, tuo tarpu matavimų, statistikos, sąryšių temos jiems yra daug lengvesnės.

Gebėjimai ir nuostatos

Veiklos sritys

Žinios ir suprati-

mas

Matemati-nis komu-nikavimas

Matemati-nis mąsty-

mas

Problemų sprendi-

mas

Mokymasis mokytis ir domėjima-sis matema-

tika

Skaičiai ir skaičiavi-mai

Reiškiniai, lygtys, nelygybės, sistemos

Sąryšiai ir funkcijos

Geometrija

Matai ir matavimai

Statistika

Tikimybių teorija

8 pav. Matematinės kompetencijos struktūra

(pgl. Lietuvos bendrojo lavinimo mokyklos bendrąsias programas, 2002, p. 792)

9 pav. Įvairių veiklos sričių užduočių lengvumas (pgl. V. Sičiūnienę, V. Kožemiakiną, 2008)


31

Taigi buvusių plačių temų suskaidymas į smulkesnes sudaro prielaidas geriau pri-taikyti ugdymo turinį mokinių poreikiams, kartu išlaikant gebėjimų formavimo tęs-tinumą tarp koncentrų. Be abejonės, sričių atskyrimas programoje – susitarimo reika-las. Realybėje, kad išspręstų uždavinį, mokinys dažniausiai turi taikyti bent iš keleto sričių žinias ir įgūdžius. Tačiau, jei mokymo procese jų dėmesys bus atkreiptas ne tik į įgijamas žinias ir įgūdžius, bet ir iš kokių matematikos sričių jie įgija tas žinias, tai, mūsų manymu, bus žengtas dar vienas žingsnis bendrųjų gebėjimų formavimo link, nes tuomet ir planuojant, ir vertinant mokinių pasiekimus, visiems bus aiškiau, ką darome. Plačiau šie klausimai bus gvildenami 5 ir 6 skyriuose.

Prisiminkime, kiek diskusijų matematikų bendruomenėje sukėlė kai kurių teiginių ankstesnėse programose nepakankamas apibrėžtumas, kiek dėl jų interpretavimo ginči-josi vadovėlių autoriai, egzamino užduočių rengėjai, mokytojai ir kiti specialistai. Todėl jau rengiant 2008 m. programas buvo skiriama labai daug dėmesio tam, kad visos pro-gramų formuluotės būtų kuo labiau visiems vienodai suprantamos. Kai buvo parengtas Lietuvos bendrojo lavinimo mokyklos pagrindinio ugdymo bendrosios programų pro-jektas (2007), mokytojų buvo prašoma nurodyti orientacinį laiką, reikalingą, jų many-mu, apibūdintam programoje gebėjimui suformuoti. Atsižvelgiant į jų pastabas ir pasiū-lymus, programos teiginiai buvo tikslinami ir koreguojami. Maža to, atsižvelgus į jų nuo-monę, naujose programose yra nurodytas orientacinis laikas (proc.) kiekvienos srities mokymui. Tikimasi, kad tai padės mokytojams ir vadovėlių autoriams priimti pagrįstus sprendimus dėl turinio apimčių ir proporcijų, o egzamino programų ir užduočių rengė-jams sudarys sąlygas objektyviau priimti sprendimus dėl testo matricos proporcijų.

Kitas labai svarbus naujos matematinės kompetencijos dėmuo – bendrieji matematiniai gebėjimai. Pirmą kartą plačiau apie juos buvo užsiminta jau 2003 m. matematikos programą lydinčiose rekomenda-cijose (žr. 10 pav.). Tada mokytojai pirmą kartą buvo paskatinti į mate-matikos mokymo ir mo-

10 pav. Mokinių matematinės kompetencijos struktūra

(pgl. Lietuvos bendrojo lavinimo mokyklos bendrąsias

programas, 2002, p. 792)


32

kymosi procesą pažvelgti iš dalyko pozicijos ir iš kompetencijų ugdymo per dalyką pozicijos (Dobravolskaitė, Sičiūnienė, 2003).

Tačiau 2003–2008 m. nacionalinių mokinių pasiekimų tyrimų rezultatų analizė, taip pat ir 2005–2007 m. brandos egzaminų rezultatų analizė atskleidė, kad didesnio poslinkio bendrųjų gebėjimų formavimo srityje minimu laikotarpiu taip ir nepavyko pasiekti (žr. 11 pav.). Kodėl?

Priežasčių galėjo būti įvairių. Mokytojams nebuvo pakankamai aišku, ką gi jie ug-dymo procese turėtų daryti kitaip. Bendriesiems gebėjimams ugdyti nebuvo pritaikyti ir vadovėliai, iš kurių mokėsi mokiniai. Pagaliau net išorinio vertinimo metodų tin-kamumas „žinioms“ ir „gebėjimams“ išmatuoti buvo suprantamas ir interpretuojamas nevienodai (Sičiūnienė, 2008).

11 pav. Aštuntokų suriktų taškų pasiskirstymas pagal žinias ir pagal gebėjimus

(pgl. V. Sičiūnienę, V. Kožemiakiną, 2008)

Galvojant, kaip galima būtų pakeisti susiklosčiusią situaciją, naujose matematikos programose buvo nuspręsta išskirti ir smulkiai aprašyti penkias bendrųjų matema-tinių gebėjimų / nuostatų grupes: gebėjimas įgyti žinių ir jas suprasti, matematinis komunikavimas, matematinis mąstymas, problemų sprendimas, mokėjimas mokytis matematikos ir domėjimasis matematika (žr. 8 pav.). Pirmą kartą programose ne tik aprašyta, kaip jie yra suprantami, bet ir yra numatytas jų augimas iš vieno koncentro į kitą. Taip pat yra pateikti mokinių pasiekimų lygių požymiai pagal kiekvieną bendrųjų gebėjimų / nuostatų grupę. Be abejonės, visa tai yra tik pradžių pradžia ir ateityje visi drauge turėsime dar daug ko mokytis.


33

Kaip jau minėjome, naujųjų Bendrųjų programų pakete pabrėžiamas būtinumas individualizuoti mokymo turinį, pritaikant jį prie mokinių polinkių, poreikių ir gali-mybių. Kaip ši bendroji nuostata atsispindi naujosiose matematikos programose? Jau nuo V klasės matematikos programoje yra išskirtas turinio minimumas, kurį privalo išmokti mokiniai, kad galėtų toliau sėkmingai mokytis (kitų dalykų – nuo VII klasės). Visi planuojami mokinių gebėjimai aprašyti trimis lygiais: patenkinamu, pagrindi-niu ir aukštesniuoju. Reikalavimai skirtingiems mokinių pasiekimų lygiams skiriasi ir turinio apimtimi, ir jo sudėtingumu, ir gebėjimų, kuriuos mokiniai turėtų pade-monstruoti, kompleksiškumo laipsniu. Tai reiškia, kad mokytojas turės vis dažniau susimąstyti, ką ir kaip jo pamokoje turėtų išmokti tiek silpnas, tiek gabus mokinys. Kai kurie svarbūs su šia problema susiję klausimai, tokie kaip aktualių mokinių mo-kymosi patirčiai uždavinių kūrimas, profesionalus reagavimas į mokinių pasiekimus ir kt., dar bus gvildenami kituose šios knygos skyriuose. Tačiau atskiro dėmesio iš mo-kytojo pareikalaus ir kiti su individualizavimu susiję aspektai: gabių mokinių ugdymo problematika, mokymo(si) šaltinių įvairovė ir jų pritaikymas, atsižvelgiant į mokinių poreikius, aktyviųjų mokymo(si) metodų panaudojimas pamokose ir kt. Kai kuriuos klausimus plačiau aptarsime jau šios leidinio dalies tolimesniuose skyriuose, kitus pla-čiau atskleisime kitose mūsų leidinio dalyse.

Diskusijų klausimai Kaip ir kodėl keitėsi matematikos mokymo bendrojo lavinimo mokykloje tiks-lai atkūrus Lietuvos nepriklausomybę?Kokie dokumentai reglamentuoja matematikos ugdymo turinį Lietuvos ben-drojo lavinimo mokykloje? Kokia Bendrųjų programų paskirtis ir vieta matematinio ugdymo sistemoje? Remdamiesi skyrelio medžiaga, nurodykite vidinius ir išorinius veiksnius, lė-musius Bendrųjų programų kaitą atkūrus Lietuvos nepriklausomybę. Apibūdinkite, kaip pasikeitė matematikos mokymo turinys 2008 m. programo-je, palyginti su 2003 m. programa.Aptarkite vadovėlio vaidmenį matematinio ugdymo sistemoje kaitos sąlygo-mis.Įvertinkite egzaminų reformos poveikį matematinio ugdymo procesui.Kokia nacionalinių mokinių pasiekimų tyrimų reikšmė?Apibūdinkite konceptualias Pradinio ir pagrindinio ugdymo bendrųjų progra-mų (2008) matematikos programos idėjas.

1.

2.

3.4.

5.

6.

7.8.9.


34

Kas yra bendrieji matematiniai gebėjimai? Remdamiesi Pradinio ir pagrindinio ugdymo bendrosiomis programomis (2008) apibūdinkite juos. Kokios turėtų būti šiuolaikinio matematikos mokytojo didaktinės nuostatos? Kokie yra pagrindiniai matematikos mokytojo reikalavimai kintančioje visuo-menėje? Kuo jie skiriasi nuo ankstesnių reikalavimų?Pateikite argumentų, įrodančių, koks svarbus kaitos sąlygomis yra visų socia-linių partnerių noras ir vidinis pasiryžimas bendradarbiauti, mokytis ir tobu-lėti.

Praktinis darbas (grupėmis) Remdamiesi egzaminų rezultatais, nacionalinių ir tarptautinių mokinių pasie-kimų tyrimų rezultatais, atskleiskite, kaip keitėsi šalies mokinių matematikos pasiekimai atkūrus Lietuvos nepriklausomybę. Remdamiesi skyrelio medžiaga, įvertinkite, kokią įtaką mokinių matemati-kos pasiekimų rezultatams įvairiuose švietimo reformos etapuose galėjo turėti šie veiksniai: bendrosios programos, vadovėliai, egzaminų reforma, mokytojų kompetencija. Įvertinkite Pradinio ir pagrindinio ugdymo bendrųjų programų (2008) mate-matikos programų pranašumus, trūkumus, galimybes ir pavojus. Bendrųjų kompetencijų samprata, matematinės kompetencijos samprata. Kom-petencijų formavimo ugdymo praktikoje pavyzdžių nagrinėjimas.

Savarankiško darbo užduotysKompetencijų portfelis. Pagrįskite, kokių savo, kaip būsimo matematikos mo-kytojo, kompetencijų plėtotei turėtumėte skirti daugiausiai dėmesio. Suda-rykite savo kompetencijų plėtoties planą 2 mėn. laikotarpiui, numatykite jo įgyvendinimo etapus ir priemones. Įsivertinkite ir apmąstykite gautus rezul-tatus. Tyrimas. Pasirinkę du tris naujų alternatyvių matematikos vadovėlių komplek-tus, įvertinkite, kaip jų autoriams pavyko atliepti naujausių BP reikalavimus:

kokios galimybės ugdyti mokinių bendruosius gebėjimus?kokios galimybės ugdyti mokinių matematinės kompetencijos pagrindus?kokios galimybės integruoti ugdymo turinį? kokios galimybės diferencijuoti ir individualizuoti ugdymo turinį?

10.

11.12.

13.

1.

2.

3.

4.

1.

2.

••••


35

Rekomenduojama literatūra savarankiškoms studijomsBankauskienė N. (2007). Mokytojo profesijos kompetencijos aprašas. Seminaro me-

džiaga. Prieiga per internetą: http://www.pprc.lt/MetodineVeikla/naujienos/Moky-

tojui_butinos_kompetencijos.pdf

Bernotas V., Cibulskaitė N. (2006). Pagrindinės mokyklos matematikos mokytojų tai-

komos ugdymo metodikos ypatumai. Pedagogika, t. 82, p. 110–115.

Cibulskaitė N., Sičiūnienė V. (2007). Matematikos pamokose mokytojų taikomi

mokymo(si) būdai ir jų efektyvumas. Pedagogika, t. 87, p. 93–99.

Dargytė J., Sičiūnienė V. (2008). Kaip pakelti egzamino išlaikymo ribą? In: Lietuvos

matematikos rinkinys. T. 48 / 49, p. 99–104.

Dobravolskaitė D. Sičiūnienė V. (2003). Ko ir kaip mokome. Matematika. Mokymas,

mokymasis ir vertinimas (3). Projekto medžiaga. Vilnius: Švietimo aprūpinimo cen-

tras, p. 32–35.

Dobravolskaitė D., Sičiūnienė V. (2003). Kaip vertiname. Kokie galėtų būti matematinės

užduoties bei jos atlikimo vertinimo kriterijai ugdymo procese. Mokymas, mokymasis

ir vertinimas (3). Projekto medžiaga. Vilnius: Švietimo aprūpinimo centras, p. 78–86.

Dobravolskaitė D., Sičiūnienė V. (2005). Nacionalinis mokinių pasiekimų tyrimas 2005:

dalykinė ataskaita: matematika. Vilnius: ŠPC, ŠMM, p. 28–43.





Dudaitė J., Elijio A. (2004). Santykis tarp moksleivių matematikos pasiekimai ir jų so-

cialinės ir švietimo aplinka. In: Matematika ir matematikos dėstymas 2004. Konferenci-

jos pranešimų medžiaga. Kauno technologijos universitetas. Kaunas: KTU, p. 17–21.

Dudaitė J., Elijio A. (2004). Pagrindiniai Lietuvos moksleivių matematikos pasiekimai.

In: Matematika ir matematikos dėstymas 2004. Konferencijos pranešimų medžiaga.

Kauno technologijos universitetas. Kaunas: KTU, p. 22–26.

Dudaitė J., Sičiūnienė V., Stričkienė M. (2004), 2004 m. matematikos valstybinio bran-

dos egzamino rezultatų kokybinė analizė. Vilnius: NEC.

Dudaitė J. (2008). Mokinių matematinio raštingumo kaita edukacinės ir mokymosi

aplinkų aspektu. Daktaro disertacija. Kaunas: Technologija.

Dudaitė J. (2006). TIMSS 2003 Rezultatų analizė. Vilnius: Firidas.

Elijio A. (red.). (2009). 8 klasės matematikos uždavinių pavyzdžiai: tarptautinis mate-

matikos ir gamtos mokslų tyrimas 2007. Vilnius, NEC.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.


36

IKT taikymo dalykų mokymui(si) metodinės rekomendacijos. I dalis. (2007). Vilnius:

ŠMM.

IKT taikymo ugdymo procese galimybės (rekomendacijos mokytojui). (2005). Vilnius:

Švietimo aprūpinimo centras.

Kaip keisti mokymo praktiką: ugdymo turinio diferencijavimas atsižvelgiant į moksleivių

įvairovę. (2006). Vilnius: Žara.

Lamanauskas V. (1997). Kai kurie filosofiniai, socialiniai, didaktiniai integruoto gam-

tamokslinio ugdymo aspektai. In: Gamtamokslinis ugdymas bendrojo lavinimo moky-

kloje : III respublikinės mokslinės konferencijos straipsnių rinkinys. Vilnius, p. 32–44.

Matematikos brandos egzamino rezultatų kokybinės analizės. Prieiga per internetą:

<www.nec.lt>.

Metodinės rekomendacijos. Projekto „Mokymosi krypties pasirinkimo galimybių didini-

mas 14–19 metų mokiniams“ medžiaga. (2007). Priedai. Vilnius: ŠPC, p. 43–69.

Miškinienė A., Sičiūnienė V. (2009). Nauja edukacinė aplinka moksleivių statistiniam

raštingumui ugdyti. Veiksmingai dirbantis matematikos ir informacinių technologi-

jų mokytojas – efektyvios pamokos vadybininkas, ugdytojas ir profesionalas.

In: 6-oji matematikos ir informacinių technologijų mokytojų respublikinė metodinė

praktinė konferencija. Šiauliai, p. 58–59.

Mokytojo profesijos kompetencijos aprašas. Prieiga per internetą: <www.pprc.lt/Me-

todineVeikla/.../Mokytojui_butinos_kompetencijos.pdf>.

Pradinio ir pagrindinio ugdymo bendrosios programos. (2008). Vilnius: Švietimo aprū-

pinimo centras.

Sičiūnienė V. (2006). Aštuntų klasių mokinių matematinio komunikavimo ypatumai.

In: Lietuvos matematikos rinkinys. T. 46, p. 195–201.

Sičiūnienė V. (2007). Ugdymo turinio diferencijavimas atsižvelgiant į mokinių įvairo-

vę. In: Lietuvos matematikos rinkinys. T. 47, p. 268–272.

Sičiūnienė V. (2008). Nacionalinės ugdymo programos įgyvendinimas: paslėptasis,

matomasis ir mokinių patiriamasis ugdymo turinys. Mokymo(si) proceso valdymo

kompetencija, mokant matematikos ir informacinių technologijų pagal mokinių ga-

lias, poreikius ir polinkius. In: 5-oji matematikos ir informacinių technologijų mokytojų

respublikinė metodinė praktinė konferencija. Šiauliai, p. 9–10.

Sičiūnienė V. (2003). Statistikos ir tikimybių teorijos pradmenų mokymo Lietuvos pa-

grindinėje mokykloje sistema. Daktaro disertacija. Vilnius: VPU.

Sičiūnienė V. ir kt. (2008). 2007 m. Valstybinio brandos egzamino kokybinė anali-

zė (p. 1–24) ir 2007 m. Pilotinės (bandomosios) užduoties analizė. 2007 m. brandos

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.


37

egzaminų užduočių analizė. Matematika. Vilnius: NEC, p. 1–28. Prieiga per internetą:

<www.egzaminai.lt>.

Sičiūnienė V., Kožemiakina V. (2008). 2007 metų nacionalinis mokinių pasiekimų tyri-

mas: dalykinė ataskaita: matematika. Vilnius: Vilnius: ŠPC, ŠMM, p. 37–56.

Šiaučiukėnienė L., Visockienė O., Talijūnienė P. (2006). Šiuolaikinės didaktikos pagrin-

dai. Kaunas, p. 8–86.

Šoktonas (2009). Nr. 1. Prieiga per internetą: <www.sokvadoveliai.lt>.

TIMSS 2007 International Mathematics Report. (2009). Boston: TIMSS & PIRLS Interna-

tional Study Center.

Zybartas S. (2000). Matematikos mokymo lyginamoji analizė Skandinavijos šalių ir Lie-

tuvos švietimo sistemose. Daktaro disertacija. Vilnius: VPU.

V–XII klasių bendrojo lavinimo mokyklos matematikos vadovėliai, knygos mokytojui,

uždavinynai, didaktinė medžiaga.

www.emokykla.lt

www.itc.smm.lt

www.mkc.lt

www.nec.lt

www.pedagogika.lt

www.stat.gov.lt

www.smm.lt

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.


38

3 Psichologiniai matematikos mokymo(si) pagrindai

MokyMasis suPrantant

MokyMas atrasti

individuaLizaviMas

kartojiMo gaLia

grįžtaMasis ryšys Logika ir intuicija

Mokymasis suprantant. Mokinių mokymosi sėkmė priklauso nuo turimų žinių kiekio ir kokybės, nuo asmens gebėjimo jas pritaikyti įvairiomis aplinkybėmis ir su-sieti su naujomis žiniomis. Tačiau kaip mokyti, kad visi mokiniai pagal savo galimybes pajėgtų suprasti ir įsiminti sąvokas, kurių mokosi, išmoktų formuluoti ir pagrįsti teigi-nius, juos jungti į nuoseklias mąstymo grandines, t. y. logiškai protauti.

Kartais galvojama, kad gerų mokymosi rezultatų galima pasiekti priverčiant moki-nius įsiminti, ,,iškalti“ aibę taisyklių, įvairių uždavinių sprendimų. Tokiu atveju pamo-kose stengiamasi mokiniams perteikti kuo daugiau informacijos, skiriama jiems atlikti daugybę pratimų, tikimasi, kad tai padės išmokti matematikos.

Tačiau mokiniai skiriasi savo savybėmis įsiminti ir atgaminti informaciją, todėl to-kia mokymo politika prastesnes atminties funkcijas turinčius mokinius pasmerkia ne-sėkmei. Negalėdami visko atsiminti mechaniškai, jie vis vien, natūraliai savo prigim-čiai, bando rasti atsakymą į klausimą „kodėl taip daroma?“ ir, negaudami suprantamo jiems paaiškinimo, prisigalvoja labai neefektyvių, o kartais ir visai klaidingų „taisy-klių“. Taip pradeda rastis įvairiausios mokinių klaidos, kurias vėliau ištaisyti būna be galo sunku, nes mokiniai natūraliai jas „perkelia“ į naujas mokomąsias situacijas.

Tokia „mokymosi kalant“ politika nėra palanki net ir geresnėmis atminties funkci-jomis pasižymintiems mokiniams, nes jie visą savo energiją nukreipia ne savo mąsty-mo savybėms lavinti, o tam, kad įsimintų informaciją ir paprašyti gebėtų ją atgaminti.

39

Taip mokomi mokiniai vėliau dažniausiai pasimeta, kai susiduria su nauju uždaviniu, o savo nesėkmes aiškina žodžiais „pamiršau“, „tokių uždavinių nesprendėme“ ir pan. Mechanine mokinių atmintimi grindžiama mokymo politika galiausiai priveda prie to, kad mokinių mokymosi krūviai po pamokų ima augti, nes jie vis vien bando rasti atsakymus į jiems svarbius klausimus: „kodėl?“, „kam?“, „kaip?“ Uolesniems moki-niams ima grėsti pervargimas, o vis didėjančių mokymosi krūvių neįstengiantys pa-kelti mokiniai galų gale praranda mokymosi motyvaciją ir ima atsilikti.

Mokslininkų įrodyta, kad daug veiksmingesnis yra verbaline (žodine), valinga, logi-ne, ilgalaike atmintimi grįstas mokymo(si) procesas. Jei mokinys nuolatos skatinamas savarankiškai ir savais žodžiais formuluoti ir reikšti mintis, tai informacija suvokiama savaime, nes verbalinės atminties pagrindą sudaro įsimenamos medžiagos perkodavi-mo procesas, dėl kurio žmogus atsiriboja nuo detalių, išskiria ir apibendrina priimamos informacijos esmę. Verbalinė atmintis remiasi įsimenamos medžiagos prasminiu per-dirbimu, jos loginių ryšių supratimu ir suvokimu, kaip jie gali būti ateityje panaudoti.

Taigi mokiniams turime sudaryti sąlygas patiems „atrasti taisykles“ (juk visas tai-sykles iki mokymosi pradžios momento žino tik jų mokytojas). Jie turi būti sistemingai mokomi gretinti ir palyginti įvairius faktus, skatinami įsigilinti į nagrinėjamus pavyz-džius, ieškoti juos jungiančių ar skiriančių požymių. Mokytojo pareiga – ne pačiam pasakyti taisykles, o mokinių atrastiems apibrėžimams ar teiginiams suteikti tobules-nę formą, padėti įtvirtinti „mokinių atrastas tiesas“, parenkant kuo įvairesnių naujų pratimų, kuriuos atlikdami jie įprasmintų, „įdarbintų“ naujas sąvokas, susietų jas su kitomis sąvokomis ir realiu gyvenimu. Tik nuolat sugrįždami prie anksčiau nagrinėtų sąvokų, suteikdami joms vis naujų reikšmių ir prasmių, mokydamiesi jas taikyti kuo įvairesniuose kontekstuose, mokiniai palaipsniui įgyja tikrąjį supratimą apie atskiras sąvokas ir jų ryšius. Mokydamiesi, suprasdami jie patenkina natūralų savo poreikį su-vokti, kodėl vienaip ar kitaip yra kažkas daroma ir kur bei kaip tai pritaikoma.

Mokymasis suprantant – tai ne tik lengvesnis naujų žinių ir gebėjimų, bet ir neįkai-nojamo supratimo, kaip apskritai mokomasi, įgijimas. Mokydamiesi suprasdami, mo-kiniai mokosi panaudoti išmoktus dalykus. Kartu žadinamas jų noras ir pasiryžimas toliau mokytis ir sulaukti sėkmės.

Kokie požymiai rodo, kad mokinys mokosi suprasdamas?Užtikrintas atsakymas, mokinio pastangos apsieiti be pašalinių pagalbos.Laisvai pasirinkta atsakymo žodžiu forma, gebėjimas atsakyti į klausimus, ku-riuos užduoda ne tik mokytojas, bet ir pašaliniai asmenys (turimas omeny ge-bėjimas atsakyti į įvairiai suformuluotus klausimus).

••

Psicholog iniai matematikos mokymo(s i) pagr indai

40

Gebėjimas tą pačią mintį išreikšti įvairiais žodžiais, atpažinti tą pačią mintį, kuri slypi po skirtingomis formuluotėmis.Sėkmingas turimų žinių perkėlimas į naujas situacijas. Pavyzdžiui, jei mokinys supranta, kada atliekamas vienas ar kitas veiksmas su natūraliaisiais skaičiais ir jau geba atlikti veiksmus su dešimtainiais skaičiais, tai jis pajėgus ir be mokytojo pagalbos išspręsti žodinius uždavinius, kuriuose fi gūruos dešimtainiai skaičiai ir mokinys turės pasirinkti tinkamą veiksmą ir jį atlikti. Arba, jei mokiniai ge-rai išmoko spręsti kvadratines lygtis ir suprato sudėtingesnių lygčių suvedimo į kvadratinę lygtį idėją, tai jie nesunkiai sugalvos, kaip spręsti, tarkime, sudėtin-gas logaritmines ar rodiklines lygtis (kurioms galima būtų pritaikyti šį lygčių sprendimo būdą). Ir tai padaryti daugelis jų gebės patys iš karto po to, kai tik išmoks spręsti paprasčiausias pirmojo laipsnio logaritmines ar rodiklines lygtis. Mokinys sugeba pateikti savo pavyzdžių, užduoti įvairių, su sąvoka susijusių klausimų.Pateikti uždavinio ar problemos sprendimo interpretaciją. Užrašyti tą patį uždavinio sprendimą kita forma.Lengvai pakartoti išgirstą ar pamatytą uždavinio sprendimą (dirbti nežvilgčio-jant į pavyzdį).Gebėjimas patikrinti ir pagrįsti tai, ką daro.

Mokymas atrasti. Jau atskleidėme, kodėl svarbu siekti, kad mokiniai mokytųsi su-prasdami, paminėjome, kokią didelę reikšmę šiame procese turi paties mokinio akty-vus dalyvavimas matematikos taisyklių atradimo ir jų pritaikymo procese, kai moki-niui ne nuleidžiamos „gatavos tiesos“, o stengiamasi sudaryti sąlygas pačiam jas atrasti veikiant, stebint, diskutuojant, tyrinėjant, nagrinėjant, aptariant pavyzdžius ir pan.

Kad būtų aiškiau, kokia veikla skatina tik mechaninį įsiminimą, o kokia – gebėjimų plėtojimąsi, išnagrinėkime pavyzdį.

Tarkime, kad mokytojas turi tikslą supažindinti mokinius su laipsnio sąvoka.

12 pav. Sąvokų išmokimo etapai

•

•

•

•••

•


41

Jis gali pateikti laipsnio su natūraliuoju rodikliu apibrėžimą ir iliustruoti jį konkrečiais pavyzdžiais (I situacija).Tačiau mokytojas gali elgtis ir kitaip. Jis gali pa-siūlyti mokiniams iš pradžių savarankiškai išna-grinėti keletą jo užrašytų lygybių, atrasti dėsnin-gumą, pagal kurį jos sudaromos, o tada pasiūlyti savo pastebėjimais pasidalyti su klasės draugais (II situacija).Taip besielgiantis mokytojas žino mažytę paslap-tį: reikia pasistengti, kad mintis „gimtų“ moki-nio galvoje, o ne būtų nuleista į jo sąmonę, kur jai dar nėra vietos įsitvirtinti. Vėliau mokinių atrastą mintį jie visi kartu nušlifuos ir užsirašys.

I situacijaApibrėžimas: Pavyzdysan = a ∙ a ∙ a ∙ ... ∙ a a3 = a ∙ a ∙ a

n vienodų daugiklių

II situacijaa = a1 a ∙ a = a2 a ∙ a ∙ a = a3

a ∙ a ∙ a ∙ a = a4

...a ∙ a ∙ a ∙ ... ∙ a = an

n vienodų daugiklių

Labai svarbu, kad mokytojas suvoktų, kuo gi paremtas mokinio gebėjimas savaran-kiškai atrasti. Pažiūrėkime į schemą, kurioje pavaizduoti etapai, kurių turi paisyti mo-kytojas, siekiantis sudaryti sąlygas mokiniams dalyvauti atradimo procese (žr. 12 pav.).

Paskubėti čia niekaip negalima: jei mokinys nesugebės savarankiškai išnagrinėti konkrečios situacijos, uždavinių pavyzdžių, objektų, esančių prieš akis, ir pan., jis ne-bus pajėgus (net ir mokytojo padedamas) atrasti bendras, nagrinėtus atvejus apjun-giančias, taisykles, paaiškinančias, kodėl taip daroma.

Patyręs mokytojas žino, kad mokiniui sugalvoti bendrą taisyklę (abstrakciją) pade-da su mokinio artima aplinka susiję analogiški, realūs, konkretūs pavyzdžiai ir visada pasiruošęs jų pateikti.

Antai mokiniui niekaip nesugalvojant, kaip sutraukti panašiuosius narius reiškiny-je a + 5a, mokytojas gali pasufleruoti, užduodamas klausimus: „Kiek būtų arbūzų, jei šalia arbūzo padėtume dar penkis arbūzus?“, „Kaip manai, kodėl uždaviau tau klausi-mą apie arbūzus?“ ir pan.

Matydamas mokinio negebėjimą savarankiškai dirbti su abstrakčiais dalykais (ma-tematiniais terminais ir simboliais), mokytojas turėtų jam pasiūlyti atlikti visą eilę pa-pildomų uždavinių, kurie savo kontekstu būtų artimi mokinio aplinkai ir atskleistų reikiamos taisyklės esmę.

Pavyzdžiui, mokiniai geriau supras, kaip iš grafiko apibūdinti abstrakčios funk-cijos savybes, jei prieš tai bus išnagrinėję realios situacijos, pavaizduotos grafiku, pa-vyzdį.


42

Reali situacijaBrėžinyje pavaizduotas vienos paros oro temperatūros kitimo grafikas. Remda-miesi juo atsakykite į klausimus. a) Kiek laiko buvo matuojama oro tem-

peratūra?b) Koks oro temperatūros svyravimo in-

tervalas? c) Kelintą valandą oro temperatūra buvo

0 °C? d) Kada oro temperatūra krito?e) Kada oro temperatūra kilo?f) Kada oro temperatūra buvo teigiama?g) Kada oro temperatūra buvo neigiama?h) Kokia oro temperatūra buvo 6 h?i) Kuriuo paros metu oro temperatūra

buvo 2 °C?

Abstrakti situacijaRemdamiesi pavaizduotos funkcijos y = f(x) grafiku, nustatykite: a) x reikšmių kitimo intervalą; b) y reikšmių kitimo intervalą;c) x reikšmes, su kuriomis funkcijos

reikšmės lygios nuliui;d) funkcijos reikšmių didėjimo interva-

lus;e) funkcijos reikšmių mažėjimo inter-

valus;f) intervalus, kuriuose funkcijos reikš-

mės yra teigiamos;g) intervalus, kuriuose funkcijos reikš-

mės yra neigiamos;h) y reikšmę, kai x = 3;i) x reikšmes, su kuriomis y = –4.

Kartu su mokiniu apmąstant, kas ir kaip turi būti daroma konkrečiu atveju (realios situacijos pavyzdys) ir kaip tai siejasi su analogiškais klausimais, kai sprendžiamas abs-traktus uždavinys (abstrakčios situacijos pavyzdys), padeda mokiniui išmokti protauti savarankiškai.

Jei mokinys nesugeba savarankiškai išnagrinėti konkrečių pavyzdžių, paprasčiausio vadovėlio teksto, užduoti mokytojui su nagrinėjama medžiaga susijusių klausimų ir pan., tai mokytojas turi būti pasiruošęs jam padėti. Užduodamas klausimą po klausi-mo mokytojas gali pats vesti mokinį atsakymo link. Klausimai turi mokyti atsirinkti,


43

peržvelgti informaciją ir susieti ją prasminiais ryšiais, padėti susidaryti asociacijas, ku-rios leidžia įsiminti tai, ko mokomės. Mokytojas turėtų formuluojamiems klausimams suteikti tokią formą, kad mokinys būtų sužadintas ir sudomintas, norėtų ir stengtųsi į jį atsakyti.

Mokytojas privalo rūpintis, kad mokiniai nuolatos tobulintų savo savarankiško mąs-tymo gebėjimus. Pirmiausia jis turėtų pasistengti įrodyti mokiniams, kodėl taip svarbu išmokti dirbti ir mąstyti savarankiškai. Pavyzdžiui, mokytojas pamokos pradžioje gali skirti mokiniams atlikti uždavinius, kurie būtų analogiški darytiems namuose. Kartu jis gali paprašyti mokinių kaskart nurodyti, kokiu būdu – savarankiškai ar kieno nors padedami – mokiniai juos namuose atliko. Akivaizdu, kad dauguma savarankiškai namuose dirbusių mokinių parodytų aukštesnius rezultatus. Sistemingai tokiu būdu tikrinami ir aptariami mokinių mokymosi rezultatai leis mokiniams įsitikinti sava-rankiškai atliekamo darbo nauda ir, tikėtina, kad mokiniai dės vis daugiau pastangų juos atlikdami.

Sutikdami su tuo, kad namų darbai – puikus įrankis mokinių savarankiško darbo įgūdžiams lavinti, turime apmąstyti ir visą mokytojo vykdomą namų darbų politiką.

Mokiniai gali neatlikti namų darbų dėl labai įvairių priežasčių, todėl mokytojas turėtų įsigilinti į jas ir padėti mokiniams įveikti galimas kliūtis.

Mokinius, kurių savarankiško mąstymo gebėjimai yra menkiau išlavinti, mokyto-jas turėtų dažniau pakalbinti ir per pamoką. Tokį mokinį reikėtų dažniau paskatinti reikšti mintis savais žodžiais. Jei pradiniame etape tai jam nesiseka, galima pasiūlyti taisyklę išmokti ir atmintinai, tačiau mokiniui reikėtų užduoti tokius klausimus, į ku-riuos atsakyti pasakant ,,iškaltą“ taisyklę tiesiog neįmanoma. Mokytojo užduodami klausimai turi skatinti mokinį tą taisyklę interpretuoti.

Galima manyti, kad mokinys yra įveikęs pirmąjį savarankiško mąstymo etapą, jei jis geba atsakyti į klausimą ir tada, kai pakeičiama klausimo forma.

Geroji praktika rodo, kad padėti lavinti mokinių savarankiško mąstymo gebėjimus gali ir specialūs uždavinių rinkiniai. Juose uždaviniai parenkami tokia eiga, kad net ir silpnesni mokiniai, nuosekliai juos atlikdami, būna pajėgūs savarankiškai suformu-luoti taisyklę ar dėsnį. Tačiau tokių uždavinių rinkinių, atitinkančių naujas mokymo programas, sudarymas pareikalautų daug laiko juos sudarant ir tobulinant (praktiškai neįmanoma būtų apsieiti be mokomųjų eksperimentų). Be to, mūsų manymu, suabso-liutinti „vedimo pažingsniui“ mokymo idėją neverta, nes anksčiau ar vėliau susidurtu-me su kita problema – kaip išmokyti mokinį išspręsti sudėtingesnį uždavinį, nesutei-kiant jam pagalbos.


44

Atsakymo į klausimą, kaip tobulinti mokinių savarankiško mąstymo gebėjimus, paieška nėra lengva todėl, kad mokiniai skiriasi savo mąstymo savybėmis. Vadinasi, atskiriems mokiniams mąstymo savarankiškumo kartelę reikės kelti diferencijuotai.

Patyręs mokytojas žino, kad jei mokinys savarankiškai geba atrasti ir suformuluoti bendrąsias taisykles, tai jis yra įveikęs antrąjį savarankiško mąstymo etapą.

Tačiau gebėti atrasti bendrąją taisyklę – tik pusiaukelė savarankiško mąstymo link. Mokiniui dar teks nueiti ilgą kelią, kol jis išmoks tą bendrąją taisyklę taiky-ti. Mokydamas taip mąstyti gebantį mokinį, mokytojas iš pradžių keis tik moki-niui skiriamų uždavinių kontekstus ir formuluotes, vėliau mokys daryti anksčiau išmoktų dalykų apžvalgas, skatins savarankiškai atrasti ir susieti naują medžiagą su anksčiau išmokta. Mąstymo savarankiškumas pasireikš tada, kai mokinys be kitų pagalbos gebės atrasti jam nežinomo, sunkaus uždavinio sprendimo kelią. Maža to, jis neapsistos ties pirma į jo galvą atėjusia mintimi, o atkakliai ieškos racionaliausio, trumpiausio, logiškiausio, gražiausio būdo uždaviniui išspręsti, t. y. sieks tam tikros savo darbo kokybės.

Individualizavimas. Neretai mokytojai susiduria su rimta problema: dėl skirtingų mokinių galių ir nevienodos mokymosi patirties toje pačioje klasėje besimokantys mo-kiniai ne visi vienu metu būna pasirengę „atrasti“ bendras taisykles. Jeigu mokytojas orientuosis į greičiau mąstančius, labiau pažengusius, tai netrukus ims atsilikti silpnes-ni mokiniai, nes beprasmiška kalbėti apie savarankiškumą bendros taisyklės atradimo etape, jei jie negeba savarankiškai dirbti pirmame mūsų paminėtame etape.

Be to, jei silpnesnis mokinys nuolat bus skubinamas, už jį bus sugalvojama ir paro-doma, kaip daryti, jis negalės dirbti jam priimtinu tempu ir būdu, tai jis ne tik kad neį-gis savarankiško mokymosi gebėjimo, bet ilgainiui toks mokinys pradės nebepasitikėti savo jėgomis. Toks mokytojų elgesys lėčiau mąstančius, menkesnę savarankiško mo-kymosi patirtį turinčius mokinius priveda prie užburto rato: mokytojai jiems nuolat ir daug aiškina, net nesuvokdami, kad nesąmoningai verčia mokinį mokytis atmintinai, o ne savarankiškai įveikti kliūtį, o mokiniai vis labiau ima priklausyti nuo mokytojo.

Jeigu bus orientuojamasi į lėčiau mąstančius, mažesnę savarankiško mokymosi pa-tirtį turinčius, tai nuobodžiaus gabesni mokiniai. Pasirengusieji dirbti savarankiškai jaučiasi blogai, kai yra verčiami klausyti aiškinimų vietoj galimybės patiems atrasti, patirti pažinimo džiaugsmą. Siekdamas, kad kiekvienas mokinys išliktų protiškai ak-tyvus, mokytojas privalo tam tikru momentu diferencijuoti mokinių veiklas. Pavyz-džiui, gabesni mokiniai galėtų padėti silpnesniems arba atliktų kitas, tik jiems skirtas, užduotis.


45

Mokytojas, ruošdamasis pamokoms, kuriose bus planuojama pereiti nuo konkrečių situacijų nagrinėjimo prie bendrų taisyklių atradimo, turi gerai apgalvoti, kaip įsiti-kins, ar atskiri mokiniai pasiruošę ,,protiniam šuoliui“ ir kaip, esant reikalui, galima bus jiems padėti, ką tuo metu veiks kiti mokiniai.

Mokinio pasirengimą padės įvertinti nedidelis savarankiškas darbelis. Jei leisite mokiniams pasirinkti, kaip jie norėtų jį atlikti – grupėmis ar individualiai, tai supran-tantieji dažniausiai renkasi individualų darbą, nes jaučia didelį malonumą savaran-kiškai pasiekdami rezultatą. Susidūrę su kliūtimi, jie klausimą stengiasi adresuoti tam asmeniui, kuris, jų manymu, galėtų nukreipti juos reikiama linkme, t. y. mokytojui, o ne bendraamžiams.

Tik nereikėtų manyti, kad savarankiškai dirbti gebantys mokiniai neturėtų mo-kytis grupėmis. Bendravimas ir bendradarbiavimas yra svarbi socialinio gyvenimo dalis. Mokydamiesi grupelėse, mokiniai pamato alternatyvius požiūrius, drąsiau eksperimentuoja bei tikrina įvairius spėjimus, dalijasi intuicija, reiškia savo min-tis, mokosi argumentuoti ir atidžiai klausytis kitų. Patirtis, įgyta dirbant tokiomis bendradarbiaujančiomis grupėmis, skatina geresnį mokinių požiūrį į matematiką, formuoja pasitikėjimą savo jėgomis atlikti matematines užduotis. Bendradarbiauda-mi su kitais grupės nariais mokiniai nuolatos pasitikrina savo žinias ir supratimą. Bendra veikla kelia mokinių susidomėjimą matematika, įtraukia visus mokinius į mokymosi procesą, ugdo atsakomybės jausmą, mokiniai turi galimybę patenkinti vertės pojūtį.

Jei labiau pasirengusius mokinius subursime į vieną grupę ir pasiūlysime jiems kuo daugiau būdų ir metodų, skatinančių diskutuoti, svarstyti, apibendrinti jų mąstymo lygį atitinkančias problemas, tai mokiniai ne tik dirbs noriai, bet ir praturtins vienas kitą individualiomis įžvalgomis. Pavyzdžiui, tokiems mokiniams galima pasiūlyti kuo įvairesniais būdais išspręsti uždavinį, o tada paskatinti juos grupėje diskutuoti, kuris iš mokinių pasiūlytų būdų ir dėl kokių priežasčių jiems atrodo priimtinesnis, raciona-lesnis. Arba surinkus mokinių kokio nors uždavinio sprendimus, galima jų paprašyti sukurti tokią šio uždavinio vertinimo instrukciją, kuri leistų kuo teisingiau įvertinti visus jų darbus (paprastai geriau besimokantieji pateikia nestandartinių, originalių uždavinių sprendimų, kurie neretai remiasi intuicija, ir mokiniai neretai susiduria su sunkumais, kaip logiškai pagrįsti ,,nujaučiamą“ atsakymą).

Neteisinga būtų manyti, kad grupėmis turėtų dirbti tik panašių gebėjimų mokiniai. Tačiau jei grupę sudaro skirtingų gebėjimų mokiniai, tai ir užduotis grupei turi būti visai kitokia nei būtų skiriama gabių vaikų grupei. Pavyzdžiui, jei mokiniai į grupes


46

bus suburti atsižvelgiant į jų mokymosi stilių (vieni mokiniai geriau išmoksta, kai gau-su vaizdinių priemonių, kiti geriau įsimena diskutuodami grupėse, treti – gamindami modelius, liesdami medžiagas ir gamindami daiktus), tokioms grupėms galima pasiū-lyti jų mokymosi stiliui artimas veiklas. Kita vertus, į grupę galima susodinti skirtingų mokymosi stilių mokinius – tai puiki proga mokytis dirbti ir galvoti kitaip.

Vis dėlto, atsižvelgiant į matematikos specifiką, piktnaudžiauti darbu grupėmis per matematikos pamokas nederėtų. Pakaktų per matematikos pamokas ilgiau trunkantį darbą grupėmis organizuoti kartą per savaitę, nors atskirų darbo grupėse elementų gali būti ir kiekvieną pamoką.

Kartojimo galia. Būna labai apmaudu, kai praėjus kiek laiko, mokiniai nebeprisi-mena, atrodytų, labai gerai suprastų dalykų. Natūralu, kad dalį informacijos pamirš-tame, jei jos nuolat nekartojame. Tačiau kaip rasti laiko kartojimui, kai reikia išmokyti mokinius dar daug naujų dalykų?

Pirmiausia pačiam mokytojui reikia labai aiškiai įsivaizduoti, kokia informacija yra itin svarbi ir kurią iš tiesų verta įsiminti.

Mokymo esmė ir prasmė – pamatinės žinios, t. y. tos sąvokos ir mintys, kuriomis mokinys remsis tolimesniame gyvenime, toliau mokydamasis.

Trumpalaikai faktai – būtina informacija, kuri leidžia sužinoti ir išmokti šiek tiek sudėtingesnių dalykų, bet laikui bėgant paprastai pamirštama. Papildomos detalės – konkretesnė informacija, kuri padeda išsamiau suprasti ir kurios nereikia mokytis dėl to, kad mokėtum.

Pamatinės žinios turi būti nuolat naudojamos naujose situacijose, apmąstomos ir perstruktūruojamos. Mokytojas labai gerai turi apgalvoti klausimus. Jie turi padėti su-sisteminti faktus, nekreipti mokinių dėmesio į papildomas detales. Klausimai turi mo-kyti atsirinkti, peržvelgti informaciją ir susieti ją prasminiais ryšiais, padėti susidaryti asociacijas, kurios leidžia įsiminti tai, ko mokiniai mokėsi.

Kartojimas – tai nėra informacijos atgamini-mas ir mechaninis pakartojimas. Tai naujų kelių ir tiltų tarp objektų (net ir žinomų) tiesimas, rū-pinimasis matematikos vidinių ir išorinių ryšių atskleidimu, o kartu ir mokinių aukštesniųjų kognityviųjų gebėjimų lavinimu. Todėl mokyto-jas turi labai kruopščiai apgalvoti visą kartojimo sistemą. Pavyzdžiui, jei mokinys gerai supras, kas yra bendrosios funkcijų savybės, tai ir atei-13 pav. Faktų piramidė


47

tyje bus pajėgus atrasti ir taikyti įvairių konkrečių funkcijų savybes, taip pat palyginti, grupuoti konkrečias funkcijas pagal tam tikrus požymius ir pan.

Grįžtamasis ryšys. Mokinio tobulėjimas neatsiejamas nuo jo paties gebėjimo ade-kvačiai save įsivertinti. Tyrimų duomenimis, silpniau besimokantys mokiniai dažniau-siai negali nurodyti, ką turėtų daryti kitaip, kad jų mokymosi rezultatai pagerėtų. Tuo tarpu aukščiausius rezultatus pelnę mokiniai ir be didesnės pašalinių pagalbos drąsiai imasi iniciatyvos įgyvendinti užsibrėžtą tikslą.

Taigi mokytojo pareiga – pasirūpinti, kad kiekvienas mokinys laiku gautų kokybiš-ką grįžtamąjį ryšį apie savo mokymosi rezultatus, kol išmoks savarankiškai įsivertinti, ar pakankamai gerai suvokia naują informaciją ir kokybiškai atlieka darbą.

Grįžtamasis ryšys nėra tas pat kaip mokinio kontrolė. Tai laiku atliekamas mokinio dėmesio sutelkimas į svarbiausius mokymosi proceso žingsnius. Tai mokinio įtrauki-mas į veiklą, kurioje jis nuolatos pratinamas pasitikrinti savo supratimą.

Grįžtamojo ryšių būdų ir formų gali būti labai įvairių. Pavyzdžiui, diskusijos tarp mokinio ir mokytojo objektu gali tapti mokinio vedamas matematinis dienoraštis, ku-riame mokinys aprašys savo „atradimus“, išdėstys savo mintis apie pamoką ir pan.

Grįžtamąjį ryšį mokiniams suteikti gali ne tik mokytojas, bet ir kiti mokiniai. Ta-čiau užduotys, kurias jie turėtų tokiu atveju atlikti, turėtų būti įdomios, intriguojan-čios, įtraukiančios. Pavyzdžiui, darbui porose galima būtų pasiūlyti tokią užduotį: vienas mokinys, žiūrėdamas į funkcijos grafiką, bando ją apibūdinti, o kitas, nematy-damas grafiko, bando pagal draugo pasakojimą jį nupiešti. „Pasakotojas“ tol tikslina savo apibūdinimus, kol „atlikėjas“ tiksliai atlieka užduotį. Tos mokinių poros, kurios greičiau atlieka užduotį, gauna sudėtingesnį grafiką. Mokiniai, mokydami vienas kitą, iš tikrųjų teikia vienas kitam puikų grįžtamąjį ryšį. Šiuo atveju mokytojas gali laisvai judėti klasėje ir padėti tiems, kuriems prireikia jo pagalbos.

Svarbu suprasti, kad tai, kokia forma ir būdais mokinys sužino, ar tinkamai atliko darbą, ir kaip suvokia, ką dar turėtų padaryti, kad darbas būtų atliktas ir įvertintas geriau, glaudžiai susiję su jo emocijomis ir su tuo susijusia silpnėjančia ar stiprėjančia mokymosi motyvacija.

Logika ir intuicija. Iš visų ugdymo uždavinių (protinis, dvasinis, socialinis, este-tinis, fizinis lavinimas ir auklėjimas) matematikai tenka išskirtinis vaidmuo atsklei-džiant ir formuojant mokinių protines galias, t. y. ugdant jų gebėjimą tinkslingai ir nuosekliai tikrinant variantus artėti prie tikslo (logiškai protauti).

Tačiau negalima ignoruoti ir to didžiulio vaidmens, kurį matematika suvaidina asmens intuicijos plėtojimosi procese. Intuityvūs sprendimai, priešingai nei loginiai,


48

gimsta žaibiškai. Susimąstykime: juk neretai puikus mokinys iš kažkur nujaučia atsa-kymą, nors tuo metu dar negali paaiškinti, kodėl jis toks...

Įdomiausia, kad vienu metu neįmanoma mąstyti ir logiškai, ir intuityviai: pasiner-dami į nuojautų pasaulį, mes pametame griežtą logikos siūlą ir, atvirkščiai, nuoseklūs logikos žingsniai užtrenkia duris į intuityviąją mūsų patirtį.

Žodis ,,intuicija“ kilęs iš lotyniškojo intuition, reiškiančio įdėmų žiūrėjimą, tačiau apibūdinti, kas yra intuicija, iš tiesų labai sunku, nes ji remiasi ne tik vizualiniais vaiz-diniais, bet ir metamorfozėmis, simboliais, archetipais, t. y. visu tuo, ką žmonija sukau-pė per savo vystymosi tūkstantmečius. Tad akivaizdu, kad savo galimybėmis intuicija kur kas turtingesnė už įprastines pažinimo formas. Taip pat ir už logiką. Intuicija – tai gebėjimas išgirsti, jausti. Būtent tada gimsta sprendimai iš niekur...

Tačiau mes negalime nuvertinti nei vieno, nei kito pažinimo proceso elemento... Logika suteikia objektyvumo, daiktiškumo vos apčiuopiamiems intuicijos vaisiams.

Intuiciją galima treniruoti. Mokiniai laikas nuo laiko turi gauti jiems sunkių, niekada nespręstų uždavinių. Būtina skatinti juos reikšti idėjas, paremtas pojūčiais, ateinančiais lyg iš niekur. Idealiai suformuluotas mokytojo klausimas paskatina intuityvų mokinio at-sakymą. Tačiau tinkamai suformuluoti klausimą tik iš pirmo žvilgsnio atrodo paprasta...

Rūpindamiesi mokinių intuicijos lavinimu, turime skatinti juos fantazuoti. Pasiū-lykime suvaidinti uždavinį ar sukurti matematinę pasaką. Meninė išmonė skatina kū-rybiškiau mąstyti, moko atrasti daugiau galimų situacijų.

Reikia rasti laiko su mokiniais apsvarstyti net tas jų idėjas, kurios, jau žinote, ne-duos vaisių (bet tai žinote tik Jūs). Kai galų gale paaiškės, kad idėja, kurią su mokiniais svarstėte, žlugo, suraskite visas galimas to priežastis, nurodykite visus galimus nesė-kmingus aplinkybių sutapimus.

Kovokite su mąstymo stereotipais. Daug kartų užduokite vieną ir tą patį klausimą, kol išgirsite ne standartinį mokinio atsakymą ar nuomonę, o miglotus svarstymus, gimusius jo sąmonėje ar pasąmonėje... Tai tikrasis kelias mokinio matematiniams ga-bumams atsiskleisti.

Diskusijų klausimai Ką reiškia mokytis suprantant?Kodėl svarbu siekti, kad būtų mokomasi suprantant?Kokie požymiai rodo, kad mokomasi suprantant?Apibūdinkite mokinių savarankiško mąstymo gebėjimų sėkmingo vystymosi prielaidas.

1.2.3.4.


49

Kada mokiniams skiriami namų darbai padeda mokytis?Atskleiskite individualizavimo sampratą.Kokie mokymo metodai tinkami mokymui individualizuoti?Kokią vietą matematikos ugdymo procese turėtų užimti kartojimas?Kodėl svarbu mokiniams laiku teikti grįžtamąjį ryšį?Kokios galimos grįžtamojo ryšio formos?

Praktinis darbas (grupėmis) Matematikos vadovėliuose raskite mokinių mąstymo savarankiškumą skatinan-čių matematikos užduočių pavyzdžių ir pakomentuokite, kodėl juos pasirinkote.Perskaitykite pamokos aprašymą. Aptarkite, kokios jame paminėtos mokinių veiklos rodo, kad mokiniai buvo skatinami dalyvauti naujų žinių atradimo pro-cese? Raskite daugiau pamokų pavyzdžių, iliustruojančių, kaip mokinius gali-ma skatinti aktyviai dalyvauti žinių atradimo procese.

Mokytojas mokiniams išdalija lapelius, kuriuose pavaizduotas realų procesą atspin-dinčios tos pačios funkcijos grafikas. Jis prašo mokinių kuo pilniau apibūdinti pavaiz-duotą situaciją, kiekvieną naują mintį užrašant ant atskiro lapelio.

Kai mokiniai baigia darbą, jie susodinami grupelėmis. Visus grupės mokinių lapelius jie bando sudėlioti į krūveles pagal tai, koks aspektas (kokia funkcijos savybė) juose atspindėtas.

Kai mokiniai apmąsto savo darbą grupėmis, vienas grupės narys jį pristato kitoms grupėms. Visi kartu, klausydami kitų grupių pristatymų, dar kartą įsivertina ir papildo savo darbą.

Mokytojui belieka apibendrinti, kad grafiku išreikštą funkciją apibūdiname nusaky-dami jos savybes (apibrėžimo ir reikšmių sritį ir t. t.).

Savarankiško darbo užduotysReferatas. Ko gero, visi atsakymai į klausimą „Kaip mokyti ir mokytis matema-tikos?“ slypi posakiuose žmonių, kurie iš tiesų buvo ar yra puikūs matematikai. Raskite matematikų posakių, atskleidžiančių sėkmingo matematikos mokymosi paslaptis. Nepamirškite pateikti savo komentarų kiekvienam surastam posakiui. Straipsnis į laikraštį. Kurie mokymo metodai per matematikos pamokas galėtų padėti ugdyti mokinių mąstymo savarankiškumą? Straipsnis į laikraštį. Ar svarbu per matematikos pamokas ugdyti mokinių kū-rybiškumą? Ar sudarydami mokiniams sąlygas dirbti kūrybiškai, prisidedame prie jų matematinių gebėjimų ugdymo?

5.6.7.8.9.10.

1.

2.

1.

2.

3.


50

Straipsnis į laikraštį. Kokie požymiai rodo, kad mokinys yra gabus matema-tikai? Kokios užduotys yra tinkamos jo matematinių gabumų plėtotei? Kokia gabių matematikai mokinių ugdymo patirtis Lietuvoje ir pasaulyje?

Rekomenduojama literatūra savarankiškoms studijomsAktyvaus mokymosi metodai. Mokytojo knyga. (1999). Vilnius: Garnelis.

Arends R. I. (1998). Mokomės mokyti. Vilnius: Margi raštai.

Badegruber B. (2000). Atviras mokymasis. Kaunas: Šviesa.

Buehl D. (2004). Interaktyviojo mokymosi strategijos. Vilnius: Garnelis.

Fridmanas L. (1988). Matematikos mokymo pedagoginės psichologijos pagrindai. Kau-

nas: Šviesa.

Gage N. L., Berliner D. C. (1994). Pedagoginė psichologija. Vilnius: Alna litera.

Indrašienė V. (2001). Kritinį mąstymą skatinantys metodai ir matematika. Pedagogi-

ka, t. 48, p. 116–124.

Kritinio mąstymo ugdymas. Teorija ir praktika. (2001). Vilnius: Garnelis.

Milieškaitė V. (2009). Gabių mokinių ugdymas 5–6 klasėse. Bakalauro darbas. VPU

(darbo vad. V. Sičiūnienė).

Narkevičienė B. (2007). Gabūs vaikai: iššūkiai ir galimybės. Mokslo monografija. Kau-

nas: Technologija.

Petty G. (2006). Šiuolaikinis mokymas. Vilnius: Tyto alba.

Petty G. (2008). Įrodymais pagrįstas mokymas. Vilnius: Tyto alba.

Pollard A. Refleksyvusis mokymas. (2006). Vilnius: Garnelis.

Sergejeva J. (2009). Gabių mokinių ugdymas 9–10 klasėse. Bakalauro darbas. VPU



vę. In: Lietuvos matematikos rinkinys, t. 47, p. 268–272.

Šiaučiukėnienė L., Visockienė O., Talijūnienė P. Šiuolaikinės didaktikos pagrindai.

(2006). Kaunas: Technologija.

Ščavinskaja V. (2009). Gabių mokinių ugdymas 7–8 klasėse. Bakalauro darbas. VPU


Teresevičienė M., Gedvilienė G. (1999). Mokymasis bendradarbiaujant. Vilnius: Gar-

nelis.

Visockienė O. (2002). Kritinio mąstymo ugdymas. Kaunas: Technologija.

www.gabusvaikas.lt

4.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

51

4 Matematikos sąvokos ir teiginiai

sąvokos saMPrata

MateMatinių sąvokų aPibrėžiMo būdai

sąvokų kLasifikaviMas

teiginio saMPrata

aksioMos, aPibrėžiMai ir teoreMos

indukcinis ir dedukcinis ProtaviMas

indukcinį ProtaviMą skatinantys Metodai

dedukcinį ProtaviMą skatinantys Metodai

Sąvokos samprata. Sąvoka – žodžiu (jų grupe) išreikštas apibendrintas daiktų ar reiškinių apibūdinimas. Tačiau žodis, nors ir yra kalbinis sąvokos pagrindas, vis dėlto nėra tapatus pačiai sąvokai. Neretai tą pačią sąvoką galima išreikšti kitais žodžiais. Pa-vyzdžiui, tą pačią sąvoką atspindi tokie žodžių junginiai kaip „taisyklingasis trikam-pis“ ir „lygiakraštis trikampis“. Žodžių junginiai „skritulio perimetras“ ir „apskritimo ilgis“ taip pat turi tą pačią prasmę.

Kita vertus, tas pats žodis gali reikšti visai skirtingus dalykus. Neretai sąvokos turi-nį galime suvokti tik iš konteksto. Pavyzdžiui, palyginkime sąvokos „laipsnis“ prasmę šiuose sakiniuose: „kampo didumas 30 laipsnių“ (kampo matas laipsniais), „pakelti skaičių trys antruoju laipsniu“ (kėlimas laipsniu), „gėrimo stiprumas 12 laipsnių“ (tai apskritai ne matematinė sąvoka).

Mūsų tikslas – siekti, kad mokiniai ne tik suprastų ir prisimintų tam tikras mate-matines sąvokas, bet išmoktų įžvelgti jų vidinius ir išorinius ryšius, išmoktų pavienius faktus jungti į vientisas logines sistemas, t. y. protauti.

Matematinių sąvokų apibrėžimo būdai. Kiekvienoje matematinėje teorijoje ski-riamos pirminės ir išvestinės sąvokos. Pirminės sąvokos pateikiamos be apibrėžimų. Pavyzdžiui, tokios sąvokos kaip taškas, tiesė, plokštuma, atstumas nuo taško iki taško yra pirminės. Nuo to, kokias sąvokas susitariama laikyti pirminėmis, priklauso kie-kvienos teorijos plėtojimas. Pirminių sąvokų turinys ir jų tarpusavio ryšiai nusakomi

52

aksiomomis. Aksiomos pavyzdys: „Per du taškus galima nubrėžti tik vieną tiesę.“ Vi-sos kitos sąvokos yra išvestinės. Jos apibrėžiamos remiantis keliomis pirminėmis ar anksčiau apibrėžtomis sąvokomis.

Mokyklinėje matematikoje sąvokos yra apibrėžiamos įvairiai: klasikiniu apibrėži-mu, genetiniu apibrėžimu arba pateikiant sąvokos aprašymą.

Apibūdinant sąvoką klasikiniu apibrėžimu yra nurodoma sąvokos giminė (rūšis) ir rūšinis požymis. Sąvokos klasikinio apibrėžimo pavyzdžiai: „Lygiagretainiu (apibrėžia-ma sąvoka) vadiname keturkampį (daugiakampio rūšis), kurio priešingos kraštinės ly-giagrečios (rūšinis požymis)“; „Tiesė (figūros rūšis), kurios atžvilgiu figūra yra simetriška pati sau (rūšinis požymis), vadinama tos figūros simetrijos ašimi“ (apibrėžiama sąvoka).

Kai yra apibūdinama, kaip sudaromas (gautas) apibrėžiamas objektas, tai sakoma, kad sąvoka apibrėžiama genetiškai. Sąvokos genetinio apibrėžimo pavyzdžiai: „Kūnas, gautas stačiakampį sukant apie ašį, kurioje yra jo kraštinė, vadinama ritiniu“; „Du al-gebriniai reiškiniai, susieti lygumo ženklu, sudaro lygybę.“

Kartais vienu sakiniu pateikiamas sąvokos apibrėžimas esti labai painus, sunkiai mokiniams suprantamas. Tada jį galima (o kartais ir tikslinga) pakeisti sąvokos ap-rašymu, kuris tuo pačiu suteikia ir papildomos informacijos apie apibrėžiamą sąvoką. Pavyzdžiui, lygčių sistemos sprendimo sudėties būdu algoritmą galima aprašyti taip: „Pastebėjus, kad abiejų lygčių koeficientai prie kurio nors nežinomojo yra vienas kitam priešingi skaičiai, lygčių sistemą galima spręsti sudėties būdu. Jo esmė – vieno nežino-mojo pašalinimas sudedant lygtis.“ Kaip reikia dauginti trupmeninius reiškinius, su-žinome iš tokio aprašymo: „Trupmeniniai reiškiniai dauginami kaip paprastosios tru-pmenos. Skaitiklyje rašoma skaitiklių sandauga, o vardiklyje – vardiklių sandauga.“

Nereikėtų iš mokinių reikalauti, kad jie „iškaltų“ sąvokų apibrėžimus, nesupras-dami jų. Taip elgdamiesi vargu galėtume tikėtis, kad mokiniai gebės jais pasinaudoti. Tačiau tai nereiškia, kad mokinių nereikia mokyti apibrėžti sąvokų. Mokiniams būtina atskleisti, kaip yra konstruojami apibrėžimai, kokių reikalavimų turi būti laikomasi apibrėžiant sąvokas, ir skatinti pačius mokinius atrasti taisykles ir apibrėžimus.

Mokiniai turi įgyti supratimą, kad apibrėžiant naujas sąvokas negalima remtis neži-nomomis sąvokomis, kitaip neišvengsime „užburto rato“ klaidų. Pavyzdžiui, jei vienas laipsnis buvo apibrėžtas kaip

1801 ištiestinio kampo didumas, tai vėliau ištiestinį kampą

apibrėžti kaip kampą, turintį 180°, būtų nelogiška.Mokinius svarbu išmokyti apmąstyti, kad konstruojamas apibrėžimas nebūtų nei

per platus, nei per siauras. Pavyzdžiui, jei iracionaliuosius skaičius apibrėžtume kaip skaičius, užrašomus su šaknies ženklu ir neturinčius tikslios reikšmės ( 2 , 5 , ...),

Matematikos sąvokos ir te ig iniai

53

toks apibrėžimas būtų per siauras, nes į jį nepatektų iracionalieji skaičiai л, e, 1,5478..., lg2 ir pan. Tačiau jei iracionaliuosius skaičius apibrėžtume kaip begalines dešimtaines trupmenas, toks apibrėžimas būtų per platus, nes tada iracionaliuoju skaičiumi lai-kytume ir skaičių 0,(3), kuris iš tikrųjų yra racionalusis skaičius. Mokiniai turi įgyti supratimą, kad ir per siauri, ir per platūs apibrėžimai laikomi klaidingais. Iraciona-liuosius skaičius tiktų apibrėžti taip: „Iracionalusis skaičius yra skaičius, kuris yra iš-reiškiamas begaline dešimtaine neperiodinė trupmena.“

Reikėtų atkreipti mokinių dėmesį ir į tai, kad apibrėžime nebūtų nurodomos api-brėžiamų sąvokų savybės (tokie apibrėžimai nėra klaidingi, tačiau nekorektiški). Pa-vyzdžiui, apibrėžimą „Lygiagretainis yra keturkampis, kurio priešingos kraštinės yra lygiagrečios ir lygios“ derėtų pakeisti tokiu: „Lygiagretainis yra keturkampis, kurio priešingos kraštinės lygiagrečios.“

Sąvokų klasifikavimas. Tikrasis, holistinis, sąvokos suvokimas, ,,pajautimas“ yra dau-giau nei vien gebėjimas ją kaip nors apibrėžti. Antai visai nesunku nupasakoti, kaip atrodo kvadratas, tačiau gebėjimas apibrėžti kvadratą kaip stačiakampį (kurio visos kraštinės ly-gios), kaip rombą (kurio visi kampai statūs) arba kaip lygiagretainį (kurio visos kraštinės lygios ir visi kampai statūs) rodo visai kitą šios sąvokos suvokimo laipsnį. Taip apibūdin-dami figūrą parodome ne vien gebėjimą ją atpažinti, bet ir gebėjimą nusakyti jos vietą hierarchinėje sąvokų sistemoje, t. y. demonstruojame savo suvokimą apie įvairias sąvokas siejančius ryšius, bendrą supratimą, kad visos sąvokos gali būti skirstomos į grupes, kla-sifikuojamos, kai tik jos turi tam tikrą bendrą požymį, pagal kurį jas galima palyginti. Pavyzdžiui, mokiniai turi suprasti, kad visus trikampius pagal vieną požymį – lygių kraš-tinių skaičių – galime suskirstyti į lygiakraščius, lygiašonius ir įvairiakraščius, o pagal kitą požymį – didžiausias trikampio kampas – į smailiuosius, stačiuosius ir bukuosius.

Sistemingai mokydami ieškoti bendrybių ir mąstyti apie atskirus atvejus apjun-giančias taisykles, tobuliname mokinių gebėjimą pasinaudoti žinomomis taisyklėmis įvairiomis aplinkybėmis.

Sąvokų hierarchija. Mokymo esmė ir prasmė – tos sąvokos ir mintys, kurias mo-kinys turi žinoti ir atsiminti, kai baigs tam tikrą mokymosi pakopą. Turime siekti, kad mokinių atmintyje išliktų pagrindinės sąvokos ir bendras supratimas. Tai pasiekiama, kai įsimenami faktai nuolatos siejami tarpusavyje ir su kitais jau žinomais, sistemina-mi, perstruktūruojami, integruojami į turimas žinias.

Tačiau mokymosi procese mokiniams neišvengiamai turėsime pateikti ir daugiau konkretesnės informacijos, kuri padėtų jiems suprasti pagrindinę, tačiau kurios ne-verta įsidėmėti. Todėl mokytojas, prieš pradėdamas pamoką (jų ciklą), turėtų gerai


54

apgalvoti, kokias sąvokas, artimiausias nagrinėjamai, mokiniai jau žino, kokiomis pa-grindinėmis savybėmis pasižymi nagrinėjama sąvoka, kokie pavyzdžiai šio amžiaus mokiniams būtų tinkamiausi iliustruoti sąvokos pritaikymą ir panaudojimą, kur ar-timiausiu metu ir tolimesnėje ateityje mokiniai dar susidurs su šia sąvoka ir pan. Visi klausimai, kuriuos mokytojas ketina užduoti mokiniams mokymosi proceso eigoje, turi būti itin kruopščiai apmąstyti. Jie turi mokyti mokinius susisteminti, sugrupuoti faktus, o ne sutelkti jų dėmesį į papildomas detales.

Bet kokios pagrindinės sąvokos formavimas primena tam tikro minčių žemėlapio nėrimą pagal schemą (žr. 14 pav.).

Pavyzdžiui, sudėties sąvokos samprata mokykloje formuojama taip: pati sąvoka „su-dėtis“ nėra apibrėžiama, tačiau pasakoma, kad tai yra veiksmas (nurodoma kategori-ja); paaiškinama, kaip jis žymimas; aptariama, kokiomis aplinkybėmis šis veiksmas naudojamas (kokiomis savybėmis pasižymi sudėtis); pateikiami tų savybių pritaikymo pavyzdžiai ir t. t. (žr. 15 pav.).

14 pav. Bendroji sąvokos formavimo schema

15 pav. Sąvokos „sudėtis“ formavimo schema


55

Pamatyti, kaip mokinys išmoko ir suvokia vieną ar kitą sąvoką gali padėti mokinio braižomi minčių žemėlapiai. Be abejo, labai pravartu ir pačiam mokytojui, įsigilinus į Bendrąsias matematikos programas, susidaryti (bent mintyse) per jo pamokas for-muojamų matematinių sąvokų minčių žemėlapius. Pavyzdžiui, pagal Pradinio ir pa-grindinio ugdymo bendrųjų programų (2008) bendrąją matematikos programą, baig-damas pagrindinę mokyklą, mokinys galėtų būti susiformavęs tokią sąvokos „lygtis“ ir su ja susijusių sąvokų sampratą:

16 pav. Sąvokos „lygtis“ formavimo modelis

Kartais mokiniai susiformuoja neteisingus vienų ar kitų sąvokų vaizdinius, dėl to jų darbuose neišvengiamai atsiranda įvairių klaidų. Kodėl sąvokos suprantamos netei-singai?


56

Nepakankama praktika prieš pradedant nagrinėti teorijąMatematinės sąvokos yra tam tikra prasme abstrakcijos, kurioms suprasti ir su-

formuoti būtinas išankstinis, konkrečiais pavyzdžiais paremtas mokinių patyrimas. Mokiniai neįsisąmonina apibendrinto sąvokos apibrėžimo, jei prieš tai nebuvo susidū-rę su daug konkrečių pavyzdžių, neturėjo progos juos palyginti tarpusavyje, nebuvo atkreiptas jų dėmesys į tai, kas tuos pavyzdžius jungia, o kas skiria. Todėl kuo jaunesni mokiniai, tuo daugiau sąvokų jiems turėtų būti pateikiama aprašymo būdu ar naudo-jant genetinius apibrėžimus. Klasikiniai apibrėžimai – abstraktūs formalaus mąsty-mo pavyzdžiai – dažniau formuluojami ir jiems daugiau dėmesio turėtų būti skiriama aukštesnėse klasėse. Jei mokinys geba savais žodžiais paaiškinti sąvokos esmę, tai ga-lime būti tikri, kad jis ją iš tikrųjų supranta. Siekdami mokinio aktyvaus mąstymo, turėtume užduoti mokiniui ne tiesioginius klausimus, nukreiptus į mechaninį atkar-tojimą, o klausimus, kurie skatintų mokinį interpretuoti, kurti, atrasti.

Netinkamai apibrėžiamos ir pristatomos sąvokos.Kai nepakankamai apgalvojama, kokius vaizdinius, susijusius su viena ar kita są-

voka ilgainiui turėtų įgyti mokiniai, nepaisoma to, kad mokiniai natūraliai perkelia išmoktus dalykus (net ir klaidingai) į naujas situacijas, klaidų neišvengiama.

Pavyzdžiui, neretai pradinių klasių mokytojai, apibrėždami daugybą, nepagalvoda-mi akcentuoja, kad daugybos rezultatas (t. y. sandauga) atlikus daugybą visada padi-dėja. Tačiau tai nėra tiesa, kai kalbama apie trupmeninių skaičių arba neigiamų skaičių daugybą. Klaidingai suformuotas daugybos veiksmo rezultato suvokimas sukelia aibę mokinių klaidų aukštesnėse klasėse. Nacionalinių tyrimų rezultatai atskleidė, kad lygtį

162 =⋅x 16 dauguma šeštokų išsprendžia teisingai, tačiau lygties 216 =⋅x 16 216 =⋅x nebesugeba išspręsti. Mokinių tipiniai klaidingi atsakymai (8 arba 14) rodo, kad jie nesuvokia, jog sandauga gali būti mažesnė už daugiklius.

Kitas pavyzdys. Pradinių klasių matematikos vadovėlio autoriai, nieko bloga neį-žvelgdami, raidėmis a, b, c ir pan. kartais žymi nežinomus dviženklio skaičiaus skai-tmenis, t. y. toks užrašas kaip 2a traktuojamas kaip dviženklis skaičius. Kažin, ar ver-ta stebėtis, kodėl šeštokai, paprašyti apskaičiuoti reiškinio 2a skaitinę reikšmę, kai a lygu 6, ėmė masiškai rašyti atsakymą „26“ vietoj teisingo atsakymo „12“.

Labai daug klaidų mokiniai daro ir spręsdami įvairias nelygybes. Daugumą jų lemia negera lygčių ir nelygybių sprendimo mokymo metodika, paremta analogija tarp lygčių ir nelygybių sprendimo, taip pat daugybės atskirų atvejų ir išimčių na-grinėjimo. Taip mokomas mokinys negali susidaryti esminių nagrinėjamų sąvokų sąsajų ir ryšių.

•

•


57

Taigi formuluojant apibrėžimus ir parenkant jų pritaikymo pavyzdžius, labai svar-bu apmąstyti, ar pateikiami ir nagrinėjami būdingiausi ir būtini, ar tik kintantys požy-miai, lemiantys ribotą supratimą. Reikia stengtis griežčiau apibrėžti tada, kai mokiniai turi pakankamai patirties suprasti esmę ir sąvokoje telpančią visumą, o ne skubėti pateikti apibrėžimų, kuriuos vėliau neišvengiamai teks „keisti“.

Mokiniai paliekami patys sau ir nesirūpinama klaidų prevencija. Mokiniai, tikėtina, įgis ribotą sąvokos supratimą, jei klasėje bus nagrinėjami vie-

nodi pavyzdžiai, atspindintys tik tam tikrą sąvokos pusę. Greičiausiai šiuos dalinius, atskirus, atvejus mokiniai apibendrins ir suvoks kaip bendrus, o atmes kitus, iš tiesų lygiaverčius nagrinėtiems.

Teiginio samprata. Bandydami įvertinti objektus ar reiškinius, parodyti kaip su-prantame jų sąsajas su kitais objektais ar reiškiniais, mes nuolatos ką nors teigiame ar neigiame. Tačiau ne bet koks sakinys yra teiginys. Teiginiui būdinga tam tikra struk-tūra.

Teiginio struktūra

Subjektas, teiginio sąlyga

Jungiamasis žodelis

Predikatas, teiginio išvada

17 pav. Teiginio struktūriniai elementai

Teiginyje visada nurodomas subjektas (apie ką kalbama), jungiamasis žodelis ir predikatas (kas kalbama, teigiama apie subjektą). Matematinių teiginių pavyzdžiai: „Trikampis yra plokštumos figūra“, (trikampis – subjektas, yra – jungiamasis žodelis, plokštumos figūra – predikatas); „Yra tokių taškų, kurie priklauso tiesei, ir tokių, kurie nepriklauso jai“, „Lygiagretainio priešingos kraštinės yra lygios“ (pagalvokite, kas yra paskutinių dviejų teiginių subjektai, o kas – predikatai).

Teisingais teiginiais laikomi tokie, kurie logiškai susiję su ankstesniais teisingais teiginiais. Nei patirtis, nei praktika nėra teiginio teisingumo kriterijai. Apie asmenį,

•


58

gebantį rasti argumentų, juos tinkamai išdėstyti pagal loginę seką, sakome, kad jis puikiai logiškai mąsto.

Mokydamiesi matematikos mokiniai susipažįsta ir su ypatingų teiginių rūšimis – aksiomomis, apibrėžimais, teoremomis. Aksiomos – teiginiai, laikomi teisingais be įro-dymo. Apibrėžimai – dar viena specifinė teiginių rūšis, padedanti apibūdinti įvairias išvestines matematines sąvokas. Teoremos taip pat yra matematiniai teiginiai, kurių teisingumu įsitikinama juos įrodžius.

Mokyklinės matematikos kursas gan stipriai skiriasi nuo bet kokios matematinės teorijos modelio, kuris sukuriamas iš pirminių sąvokų, aksiomų bei jų pagrindu išve-damų visų kitų išvestinių sąvokų bei teiginių. Bet kuri matematinė teorija, skirtingai nuo mokyklinio matematikos kurso, remiasi aksiomų sistema, kuriai keliami griežti reikalavimai: minimalumas (kuo mažiau aksiomų), neprieštaringumas (tuo pat metu teiginys negali būti ir teisingas, ir klaidingas), pilnumas (turi būti tiek ir tokių aksiomų, kad būtų įmanoma įrodyti visus kitus teiginius), nepriklausomumas (kai nė vienos aksiomos neįmanoma išvesti iš kitų aksiomų).

Mokyklinėje matematikoje ir sąvokos, ir teiginiai pateikiami tik iš dalies prisilaikant vidinės matematikos dalyko logikos, be to, visa eilė matematinių teiginių mokykloje nėra įrodinėjami. Dėl šios priežasties mokyklinėje matematikoje vis rečiau prašoma įrodyti teoremą, o dažniau reikalaujama pagrįsti, argumentuoti ir pan.

Tačiau tai jokiu būdu nereiškia, kad nesiekiama išmokyti mokinius protauti. Dau-giausia dėmesio mokykloje skiriama tam, kad mokiniai įgytų supratimą, kaip yra įgyjamos žinios, siekiama, kad mokiniai išmoktų jas savarankiškai plėsti, perstruk-tūruoti, sisteminti ir apibendrinti. Spręsdami įvairias praktines ir matematines pro-blemas, mokiniai turėtų išmokti iš įvairių šaltinių susirasti reikalingos matematinės informacijos ir gebėti ja pasinaudoti. Nemažai matematinių teoremų mokiniams da-bar suformuluojamos ne kaip teoremos, o kaip matematinės problemos. Ieškodami jų sprendimo, mokiniai mokosi protauti, t. y. jungti teiginius į nuoseklias logines gran-dines.

Indukcinis ir dedukcinis protavimas. Pagal mąstymo veiklos pobūdį yra skiria-mos dvi skirtingos protavimo rūšys: indukcinis ir dedukcinis protavimas. Matematikos dalykas labai palankus tiek vienai, tiek kitai protavimo veiklai skatinti.

Mokant protauti indukciniu būdu, mokoma iš atskirų konkrečių faktų (sąlygos, ats-kirų pavyzdžių, atvejų nagrinėjimo) daryti išvadas. Mokant protauti dedukciniu būdu yra mokoma remtis kitais, anksčiau pripažintais teisingais teiginiais ir tada daryti iš-vadas.


59

Indukcinis protavimas Dedukcinis protavimas

18 pav. Indukcinio ir dedukcinio protavimo schemos

Yra daug būdų ir metodų indukciniam ir dedukciniam mokinių mąstymui lavin-ti. Toliau aptarsime kelis specifi nius matematinius metodus, naudojamus atitinkamai mokinių protavimo veiklai skatinti.

Indukcinį protavimą skatinantys metodai. Aptarsime nepilnosios ir pilnosios in-dukcijos metodus.

Kai išvada daroma išnagrinėjus tik dalį tiriamosios aibės elementų, turime nepilnos indukcijos protavimo atvejį. Mokykloje, ypač žemesnėse klasėse, tai labai dažnai taiko-mas metodas. Daugumą matematinių teiginių mokiniai pajėgūs patys atrasti, nagrinė-dami atskirus atvejus, o po to bandydami juos apibendrinti. Pavyzdžiui, matuodami įvairių trikampių kampus ir ieškodami jų sumos, mokiniai gali pastebėti (atrasti), kad bet kurio trikampio kampų suma yra 180°. Tačiau labai svarbu, kad jie suprastų, jog tai tik eksperimentuojant suformuluota hipotezė, kurios pagrindimas yra ne mažiau sudėtingas procesas nei pats taisyklės / dėsningumo pastebėjimas.

Mokiniams reikėtų pateikti įvairių šio metodo taikymo pavyzdžių, kurie leistų jiems suprasti, kada išvados, daromos esant nepilnai indukcijai, yra tik hipotezės (žr. 1 pvz.), o kada – galutinis rezultatas (žr. 2 pvz.).

1 pavyzdys Ar tiesa, kad jei x yra pirminis skaičius, tai ir y, apskaičiuojamas pagal formulę

y = x2 + x + 17, taip pat yra pirminis skaičius?

SprendimasPaimame keletą x reikšmių ir įsistatę jas į nurodytą formulę, įsitikinkime teiginio

teisingumu:


60

x 2 3 5 7 …

y 23 29 47 73 …

Jei bandytume įstatyti ir daugiau pirminių x reikšmių ir visais atvejais gautume, kad y – pirminis, tai vis tiek negalėtume teigti, kad šiuo atveju teiginys teisingas. Tektų taikyti kitą matematinį metodą. Taigi šiuo atveju sprendimo rezultatas galėtų būti suformuluotas taip: „Yra pagrindas tikėtis, kad y yra pirminis skaičius, tačiau tai tik hipotezė.“

2 pavyzdysAr tiesa, kad jei x yra pirminis skaičius, tai ir y, apskaičiuojamas pagal formulę

y = 2x – 1, yra pirminis skaičius?

Sprendimasx 2 3 5 7 …

y 3 7 31 127 …

Šiuo atveju, kai x = 2, 3, 5, 7, 11, 13, y reikšmė yra pirminis skaičius. Tačiau, kai x = 17, gautas skaičius 65535 yra sudėtinis, todėl galime tvirtinti, kad teiginys yra neteisingas (radom jį paneigiantį atvejį).

Pilnosios indukcijos protavimo pavyzdys matematikoje yra matematinės indukcijos metodo taikymas (žr. 3 pvz.). Šio metodo esmė:

1. Patikrinama, kad teisingas teiginys, kai n yra konkretus skaičius.2. Daroma prielaida, kad teiginys teisingas, kai n = k.3. Tikrinama, ar teisingas teiginys, kai n = k + 1.

3 pavyzdysĮrodykite, kad visi skaičiai an, apskaičiuojami pagal formulę an = n3 – n, kai n – na-

tūralusis skaičius, dalūs iš 6.

SprendimasTeiginiui pagrįsti taikysime matematinės indukcijos metodą.1. Kai n = 1, tai an = 1 – 1 = 0; 0 : 6 = 0, tai teiginys teisingas.2. Tarkime, kad teisingas teiginys, kai n = k, t. y. ak = k3 – k dalus iš 6.


61

3. Tikriname, ar teisingas teiginys, kai n = k + 1.

ak+1 = (k + 1)3 – (k + 1) = (k3 + 3k2 + 3k + 1) – (k + 1) = (k3– k) + (3k2 + 3k); k3– k dalijasi iš 6 (remiantis prielaida), todėl turime patikrinti, ar 3k2 + 3k dalijasi

iš 6. Galime tai padaryti dar kartą pritaikę matematinį indukcijos metodą. Ir tik tai atlikę galėsime tvirtinti, kad įrodėme (pabandykite tai padaryti savarankiškai).

Dedukcinį protavimą skatinantys metodai. Aptarsime tris metodus: sintezės, ana-lizės ir prieštaros. Bet kuris šių metodų remiasi anksčiau žinomų teiginių panaudojimu, tik sintezės metodo panaudojimo atveju einama nuo žinomo teiginio link įrodomo, analizės – atvirkščiai – nuo norimo įrodyti link žinomo. Prieštaros metodo esmė: nesu-tikti su teisingumu teiginio, kurį prašoma įrodyti, ir gauti prieštarą žinomam teiginiui (žr. 4 pvz.).

4 pavyzdysĮrodyti, kad visiems a ≥ 0 ir b ≥ 0 teisinga nelygybė abba

≥+2

ab.

SprendimasSintezės metodu Analizės metodu Prieštaros metodu

;02 ba ba ba ba ba ba ba

;0 baba baba baba baba 2 baba 2 baba baba baba baba baba 2 2 baba 2 2;2 ;2 ;2 abba abba ;2 abba ;2 ;2 abba ;2 ;2 abba ;2 ;2 abba ;2 abba abba

.2

abba

ba ba

rodyta.

;2

abba

ba ba

;2 ;2 ;2 abba abba ;2 abba ;2 ;2 abba ;2 ;2 abba ;2 ;2 abba ;2 abba abba;0 baba baba baba 2 baba 2 baba baba baba baba baba 2 2 baba 2 2

.02 ba ba ba ba ba ba ba

rodyta.

Tariam priešingai: yra teisinga nelygyb

.2

abba

ba ba Tada <ba ba ba ;2 ;2 ;2 ;2 ab;2 ab;2

baba baba baba baba baba baba baba baba baba baba baba baba 2 baba baba baba 2 baba baba <0;

2ba ba ba ba ba ba <0, kas yra netiesa. rodyta.

Diskusijų klausimai Pateikite matematinių sąvokų pavyzdžių.Pateikite pavyzdį, kai skirtingos matematinės sąvokos išreiškiamos tais pačiais žodžiais.Pateikite pavyzdį, kai tuo pačiu žodžiu išreiškiamos matematinės sąvokos turi skirtingą prasmę.Raskite kelis tos pačios sąvokos apibrėžimus. Išanalizuokite, kokiu būdu kie-kvienu atveju apibrėžta sąvoka.

1.2.

3.

4.


62

Pasirinkite matematinę sąvoką. Pabandykite apibrėžti ją keliais skirtingais bū-dais. Atsižvelkite į tai, kokio amžiaus mokiniams ji būtų pateikiama.Suklasifikuokite žinomus keturkampius į grupes pagal požymį „Lygiagrečių kraštinių porų skaičius“.Nurodykite požymį, pagal kurį yra sudarytos nurodytų skaičių aibės:

a) {2, 4, 6, 8} ir {3, 5, 7, 9}; b) {1, 2, ..., 9} ir {10, 11, ..., 99}; c) {2, 3, 5, 7, 11} ir {4, 6, 8, 9, 10, 12}.

Dėl kokių priežasčių mokiniai gali susiformuoti neteisingus sąvokų vaizdi-nius?Pateikite matematinių teiginių pavyzdžių.Apibūdinkite, kokie teiginiai matematikoje laikomi teisingais.

Praktinis darbas (grupėmis)Perskaitykite pasirinktą matematikos vadovėlio skyrelį. Kurios jame nagrinėjamos sąvokos yra pagrindinės, o kurios – pagalbinės? Pagrįskite savo samprotavimus.Pasirinkite matematinę sąvoką. Pavaizduokite schema ar minčių žemėlapiu, koks jos plėtojimas pagal Bendrąsias programas (2008) yra numatytas nuo V iki X klasės.Pasirinkite vadovėlį (aukštesnėms klasėms). Jame raskite indukcinį ir dedukci-nį protavimą skatinančių metodų taikymo pavyzdžių. Juos pakomentuokite.

Savarankiško darbo užduotysTyrimas. Jūsų tikslas – parengti rekomendacijas pradedančiajam mokytojui, kaip

išvengti sąvokų formavimo klaidų. Nacionalinių tyrimų ataskaitose, valstybinių egzaminų kokybinėse ataskaitose ras-

kite informacijos apie mokinių daromas tipines klaidas. a) Pasirinkite tik vieną problemą, kurį išsamiau tyrinėsite. b) Ištirkite, kaip su Jūsų pasirinkta problema susijusios sąvokos buvo formuojamos

vadovėliuose, iš kurių mokėsi mokiniai (kada ir kaip ji buvo pirmą kartą pristatoma, kokiame kontekste integruojama į aukštesnių klasių vadovėlius).

c) Plačiau pasidomėkite atitinkamos sąvokos formavimo metodika: kaip šią svoką pristato kitų šalies ir užsienio vadovėlių autoriai, metodikos specialistai ar praktikai.

d) Parenkite 5–7 min. trukmės pristatymą, kuriame supažindinkite su savo atlikto tyri-mo rezultatais. Nepamirškite parašyti išvadų ir pasiūlymų, susijusių su Jūsų atliktu darbu.

5.

6.

7.

8.

9.10.

1.

2.

3.


63

e) Taip pat pasidalykite mintimis apie atlikto darbo naudą Jums. Ką galėtumėte patarti panašų tyrimą darysiantiems?

Rekomenduojama literatūra savarankiškoms studijomsBuehl D. (2004). Interaktyviojo mokymosi strategijos. Vilnius: Garnelis.

Drėgūnas V., Rumšas P. (1984). Bendroji matematikos mokymo metodika. Vilnius: Šviesa.

V–XII klasių bendrojo lavinimo mokyklos matematikos vadovėliai. Knygos mokytojui,


1.

2.

3.


64

5 Matematikos uždaviniai

uždaviniai, jų vieta ir reikšMė MateMatikos MokyMo(si) Procese uždavinio PriskyriMo MateMatikos sričiai ProbLeMatika

uždavinio kontekstas

neProbLeMiniai ir ProbLeMiniai uždaviniai uždavinio sPrendiMo etaPai

ProbLeMinių uždavinių sPrendiMo strategijų MokyMas uždavinio sudėtinguMas ir sunkuMas

uždavinių kokybė ir kiekybė

uždavinio forMatas

uždavinio sPrendiMo vertiniMas

Uždaviniai, jų vieta ir reikšmė matematikos mokymo(si) procese. Bet kokioje kūrybinėje veikloje žmogui yra būtini savarankiškumas, supratingumas, pastabumas, sumanumas, išradingumas, sugebėjimas protauti, nuovoka. Šiuos ir daugelį kitų rei-kalingų gyvenime gebėjimų galima lavinti ir plėtoti sistemingomis ir laipsniškomis pratybomis, sprendžiant uždavinius. Todėl neverta stebėtis, kodėl per matematikos pamokas tiek daug dėmesio skiriama įvairiausiems uždaviniams spręsti.

Šiandien kai kurie per pamokas sprendžiami uždaviniai savo savybėmis mažai tesiski-ria nuo spręstų prieš šimtą ar daugiau metų. Kita jų dalis keičiasi kartu su matematikos mokslo plėtojimusi, požiūrio į jos mokymą(si) kaita. O tai reiškia, kad mokyklinių užda-vinių sistemas tenka nuolat peržiūrėti, perstruktūruoti, papildyti naujais uždaviniais.

Atsižvelgiant į savybes, kurios priskiriamos uždaviniams, pastarieji gali būti gru-puojami į įvairias grupes, klasifikuojami. Antai Matematikos terminų žodyne (1994) yra pateiktos daugiau nei keturiasdešimt skirtingų matematinių uždavinių klasifikaci-jų. Vien šis faktas byloja apie didžiules matematikos galimybes įvairiais pjūviais nagri-nėti ir pažinti mus supantį pasaulį.

Tačiau kiekvienas atskiras uždavinys savo panaudojimo prasmę ir reikšmę įgyja tik konkrečioje ugdymo situacijoje ir tik būdamas dalimi gerai apmąstytos uždavinių

65

sistemos. Tik tikslingai parinkti ir tinkamai mokinių mokymosi patirčiai pritaikyti uždaviniai gali padėti pasiekti gerų rezultatų. Kad išmoktume atsirinkti, sukurti už-davinius, konkrečiam atvejui juos pritaikyti, sudaryti optimalius jų derinius pirmiau-sia turime išmokti pažvelgti į kiekvieną uždavinį kuo visapusiškiau, apgalvoti jų vietą mūsų konstruojamoje uždavinių sistemoje.

Parenkant uždavinius labai svarbu apmąstyti:kokios šio uždavinio didaktinės funkcijos; kokie matematinės veiklos lavinimo elementai slypi jame;ar būtina spręsti kaip tik šį uždavinį;ar ketinama sudaryti tokią uždavinių seką, kad kiekvieno uždavinio sprendimą būtų galima pagrįsti prieš tai išspręsto uždavinio sprendimu; kodėl uždavinyje nurodyti tie, o ne kiti dydžiai; ar mokiniams bus įdomu spręsti šį uždavinį;ar mokinys galės savarankiškai išspręsti šį uždavinį; kokias išvadas reikės pa-daryti, jei jis nepajėgs išspręsti šio uždavinio;kaip padėsime mokiniui, jeigu jis, spręsdamas uždavinį, susidurs su sunku-mais; kaip tas uždavinys siejasi su ankstesniu ir paskesniu mokinio mokymusi ir pan.

Uždavinio priskyrimo matematikos sričiai problematika. Mokykloje mokiniai įgyja žinių, įgūdžių ir gebėjimų iš septynių matematikos veiklos sričių: skaičių ir skai-čiavimų, reiškinių, lygčių, nelygybių, sistemų (algebros), sąryšių ir funkcijų, geometri-jos, matų ir matavimų, statistikos, tikimybių teorijos (Pradinio ir pagrindinio ugdymo bendrosios programos, 2008). Kai programų lygmenyje susitariama ir apibrėžiama, kokios srities yra vienas ar kitas ugdomas mokinių gebėjimas, lengviau numatyti tam gebėjimui ugdyti reikalingas laiko sąnaudas, objektyviau galima sudaryti egza-mino ar kitos patikros užduotis. Tai kelias, kurio žengdami galime siekti aukštesnės mokymo(si) ir jo rezultatų vertinimo kokybės.

Tačiau realybėje iškyla nemažai su tuo susijusių problemų, nes spręsdami vienos srities uždavinius, mokiniai nuolat mokosi taikyti ir kitose srityse įgytas žinias ir gebėjimus. Pa-vyzdžiui, sprendžiant lygtis, tenka taikyti veiksmų su skaičiais savybes arba sprendžiant geometrinius uždavinius neretai tenka sudaryti ir spręsti lygtis ar jų sistemas.

Tarkime, mokytojas įdėjo labai daug pastangų, kad mokiniai išmoktų geometrijos temas, o spręsdami kontrolinio darbo užduotį mokiniai parodė ne kokius rezultatus.

••••

•••

•

•

Matematikos uždaviniai

66

Ar tai jau reiškia, kad jie neišmoko geometrijos temų? Galbūt mokytojas, parinkdamas uždavinius, neatsižvelgė į tai, kad jų sprendimas iš mokinių pareikalavo pademons-truoti ne tik geometrijos srities žinias, bet ir puikius skaičiavimo ir algebros sričių gebėjimus, o mokinys jais nepasižymi? Tokiu atveju taip ir lieka neaišku, kokios srities gebėjimus vis dėlto pamatavo mokytojas.

Taigi parenkant uždavinius spręsti klasėje ar kontroliniam darbui, mokytojas turi apmąstyti, kuriai veiklos sričiai jis priskirtinas, kokius gebėjimus iš tiesų matuoja.

Uždavinio kontekstas. Niekas nebeabejoja, kad su mokiniais būtina spręsti prak-tinio turinio uždavinius. 2003–2008 metų nacionalinių tyrimų duomenimis, mažiau matematikoje pasiekę mokiniai, nepriklausomai nuo jų amžiaus, praktinio turinio už-davinius sprendžia noriau ir geriau nei matematinio turinio, o aukštesnius rezultatus matematikoje pademonstravę mokiniai vienodai gerai sprendžia tiek matematinio, tiek praktinio turinio uždavinius.

Kokią visų uždavinių dalį ugdymo praktikoje turėtų sudaryti praktinio turinio, o kokią – matematinio turinio uždaviniai? Sunku būtų atsakyti į šį klausimą neatlikus tyrimų. Viena aišku, kad jaunesniajame mokykliniame amžiuje jų turėtų būti nagrinė-jama pakankamai daug. Aukštesnėse klasėse, atsižvelgiant į mokinių abstraktaus mąs-tymo išsivystymo laipsnį, turėtų atsirasti vis daugiau matematinio turinio uždavinių, ypač reikalaujančių teorinių apmąstymų ir pagrindimų.

Tačiau daug aktualesnis klausimas yra praktinių uždavinių konteksto šiuolaikiš-kumas, nes būtent jis yra įdomus / neįdomus mokiniams ir motyvuoja / nemotyvuoja juos mokymuisi.

Paaugliams neįdomūs pseudorealistinio konteksto uždaviniai, tokie kaip: „Vieną dieną Kęstutis nuvažiavo 302 km per a val., o kitą dieną – 285 km per a – 3 val. Koks Kęstučio vidutinis važiavimo greitis per abi dienas?“ Netinkami ir dirbtinai „aplipdyti“ uždaviniai (pavyzdžiui: „Ginta gimė 1993 metais. Keliaženklis yra skaičius, jei žino-ma, kad Gintos gimimo metų skaičiaus kartotinis yra skaičius, kurio visi skaitmenys lygūs 1.“). Reikėtų vengti ir mokinių patirčiai svetimo konteksto (pavyzdžiui: „Dar-bininkas A pavestą darbą dirba 3 dienom ilgiau negu darbininkas B ir b dienų ilgiau nei darbininkas C. A ir B kartu atlikdami šį darbą sugaišta tiek pat laiko, kiek vienas darbininkas C. Per kiek laiko atlieka šį darbą darbininkas B, dirbdamas atskirai?“).

Sukurti ar parinkti mokiniui aktualius ar laikotarpio sąlygomis įdomius prakti-nio turinio uždavinius – iššūkis ugdytojams: juk visuomenė ir aplinka taip sparčiai keičiasi. Vis dėlto turėtume siekti, kad praktinio uždavinio kontekstas būtų kuo la-biau autentiškas ir realus, susijęs su mokiniui artima aplinka (su mokykla ar namais,


67

pomėgiais ar interesais, darbu, sportu ar laisvalaikiu, bendruomenės ar visuomenės gyvenimu). Praktinio turinio uždaviniai turi padėti priartinti matematiką prie šiuo-laikinio gyvenimo, integruoti mokomuosius dalykus. Pavyzdžiui, skirtumą tarp ploto ir perimetro mokiniai geriau suvoktų, jeigu pasiūlytume jiems įveikti tokią realią pro-blemą: ,,Išdėstykite šešiolika mažų kvadrato formos staliukų taip, kad gautumėte vieną stačiakampio formos banketinį stalą. Jei kiekvienoje mažo staliuko pusėje gali atsisėsti vienas žmogus, tai kiek daugiausiai (mažiausiai) žmonių galima būtų pasodinti prie banketinio stalo?“

Neprobleminiai ir probleminiai uždaviniai. Uždaviniai, kurių sprendimo eiga mokiniams turėtų būti žinoma iš anksto, laikomi neprobleminiais, arba standartiniais, uždaviniais. Tačiau gyvenime, gamyboje ir moksle apstu probleminių, nestandartinių, uždavinių, todėl labai svarbu sudaryti sąlygas mokiniams išmokti mąstymo strategijų, reikalingų tokiems uždaviniams spręsti.

Reikia turėti omenyje, kad probleminių uždavinių sprendimas prilyginamas kū-rybinei veiklai, o ši bus sėkminga tik tuo atveju, jei užtikrinama, kad mokiniui buvo sudarytos sąlygos ne tik suvokti, suprasti, įsiminti žinias, išmokti jas taikyti žinomose ir naujose situacijose, bet ir išmokti įvairių mąstymo strategijų (veiklos būdų), įgyti jų perkeliamumo į naujas situacijas patirties� (žr. 19 pav.).

Ar uždavinys probleminis, ar ne, nustatome ne iš jo sprendimo, o iš to, ar anksčiau mokiniai buvo susidūrę su panašiu uždaviniu. Tas pats uždavinys gali būti proble-minis, o papildomai įgijus žinių – tapti standartiniu. Pavyzdžiui, jeigu mokiniai dar nežino kvadratinės lygties sprendinių radimo formulės, o jų prašoma išspręsti kvad-ratinę lygtį x² + 5x + 4 = 0, šis uždavinys jiems bus probleminis. Tačiau išnagrinėję kvadratinės lygties sprendimo algoritmą, ateityje jie su tokiu uždaviniu susidurs kaip su standartiniu uždaviniu.

Taip pat reikia turėti omenyje, kad net tos pačios klasės mokiniams tas pats užda-vinys vieniems gali būti probleminis, kitiems – ne, ypač tada, kai jį sprendžiant galima pritaikyti galbūt ir už klasės ribų įgytą patirtį. Uždavinys gali būti mokiniams pro-bleminis ir tuo atveju, kai turimas žinias ir įgūdžius jie turi naujai susieti ar suderinti, panaudoti jiems neįprasto konteksto uždavinyje.

� Perkėlimas – tai procesas, kuris leidžia anksčiau išmoktas reakcijas pritaikyti naujose situacijose. Perkėlimas įvyksta tuomet, kai dviejose situacijose dirgikliai yra panašūs ir sužadinamos tokios pat reakcijos. Kuo daugiau vienos situacijos elementų atitinka kitos situacijos elementus, tuo geresnis perkėlimas. Kai dviejų užduočių elementai yra panašūs, tai įvyksta teigia-mas perkėlimas. Neigiamas perkėlimas, kai ankstesnis išmokimas trukdo naujam mokymuisi, uždavinio sprendimui ar skati-na netinkamą reagavimą.


68

19 pav. Gebėjimų plėtojimosi schema (pgl. I. J. Lernerį, 1981)

Nuspręsti, ar uždavinys mokiniams bus standartinis, ar probleminis, daugeliu atve-ju nėra paprasta. Pirmiausia turime būti gerai susipažinę su BP aprašytais reikalavimais visiems mokinių pasiekimų lygiams, deramai įvertinę ankstesnę mokinių mokymo(si) patirtį ir ugdymo kontekstą.

Spręsti probleminius uždavinius labai naudinga, nes šio proceso metu persitvarko turimos žinios, jos atsiskleidžia kitu aspektu, ir tampa gilesnės. Tačiau jei mokinys nepasirengia probleminių uždavinių sprendimui, jei stokoja būtinų žinių ir įgūdžių, kuriais turėtų pasiremti, spręsdamas uždavinius, tai ne tik nesugebės jų išspręsti, bet ir susilpnės jo pasitikėjimas savo jėgomis, smuks mokymosi motyvacija.

Uždavinių yra tiek daug, kad kartais ir mokytojui sunku nuspręsti, ar jis moki-niams bus probleminis, ar ne. Todėl mokytojas visada turi būti pasirengęs nepageidau-jamą probleminę situaciją sušvelninti. Pavyzdžiui, galima papildyti uždavinio sąlygą uždaviniui išspręsti reikalinga teorema ar savybe ar suformuluoti kelis tarpinius klau-simus, sufl eruojančius sprendimo kryptį ir pan. (žr. struktūrizuoti uždaviniai). Tačiau tikrą gebėjimą spręsti uždavinius, o kartu ir kūrybiškai mąstyti, įgyjame tik nuolatos savarankiškai mokydamiesi spręsti probleminius uždavinius. Kad ir kiek sunkių už-davinių sprendimų pademonstruotų mokytojas, mokiniai neįgis pažintinio savaran-kiškumo, jeigu patys jų nespręs.

Pažintinio savarankiškumo požymiai:siekimas ir mokėjimas savarankiškai mąstyti;•


69

sugebėjimas orientuotis naujoje situacijoje;noras suprasti ne tik žinias, bet ir jų gavimo būdus;kritinis požiūris į kitų samprotavimus;nepriklausomi nuo kitų samprotavimai.

Kad išmoktų spręsti uždavinius, mokiniai turi išmokti mąstyti ir valdyti savo ma-tematinę mąstyseną ne tik spręsdami uždavinius, bet ir mokydamiesi matematikos apskritai. Juk matematinio mąstymo gebėjimai labai glaudžiai susiję su asmens gebė-jimu spręsti problemas. Dar neretai galvojama, kad išspręsti uždavinį reiškia gauti ir užrašyti teisingą atsakymą į uždavinio klausimą. Tai tik iš dalies tiesa. Be galo svarbios yra dvasinės vertybės, kurias įgyjame sėkmingai spręsdami uždavinį, suvokdami, kad išties pavyko surasti bendriausią, gražiausią, ekonomiškiausią sprendimą, gebėjimas visa tai užrašyti, apmąstyti ir įvertinti. Mokytis spręsti uždavinius – tai pačiam atrasti naujus matematikos faktus ir įsiminti juos, pačiam perprasti naujus matematinius me-todus, sukaupti patirties, išmokti tobuliau mąstyti.

Uždavinio sprendimo etapai. Kad išmoktų spręsti uždavinius, mokiniai pirmiau-sia turi išmokti išanalizuoti uždavinio sąlygą ir numatyti sprendimo kryptį, sudaryti jo planą (gal ir mintyse). Labai svarbu išmokti užrašyti sprendimą ir išnagrinėti, ar nėra geresnio, apmąstyti, ko pavyko išmokti, išsiaiškinti, ką verta įsidėmėti, o ką gali-ma pamiršti. Išsamiau aptarkime kiekvieną uždavinio sprendimo etapą.

1. Uždavinio sąlygos suvokimas. Pradėti spręsti uždavinį reikia tik visiškai išsiaiš-kinus jo sąlygą, t. y. įsisąmoninus, kokie dydžiai ir juos siejantys sąryšiai žinomi. Na-grinėdami sąlygą, turime stengtis ją suvokti ir visą, ir dalimis. Todėl uždavinio sąlygą reikia mokyti skaityti atidžiai, gal net keletą kartų, kol suvokiama, kas joje teigiama ir ko reikalaujama.

Uždavinio sąlygą nagrinėti lengviau, kai ji pavaizduojama schema, piešiniais, brėži-niais ir pan. Geras brėžinys ,,pasufleruoja“ sprendimą ir atsakymą, o klaidinantis, labai smulkus, atmestinai nubraižytas užkertą kelią tolimesniems veiksmams. Geometrinis brėžinys turi atitikti tiek uždavinio sąlygą, tiek iš jos išplaukiančias išvadas. Jei žinoma, kad viena kraštinė dukart didesnė už kitą, tai šis faktas turi atsispindėti brėžinyje. Kai reikia, brėžinys papildomas, braižomas naujas, tikslesnis. Pavyzdžiui, dažnai paprašius nubraižyti trikampį, mokiniai nubraižo lygiakraštį arba statųjį trikampį. Būtina parei-kalauti nubraižyti bet kokį trikampį, o ne lygiakraštį arba statųjį. Labai svarbu išmo-kyti vaikus užrašyti uždavinio sąlygą sutartiniais ženklais ir simboliais, kurie kartu su brėžiniu parodo, kaip yra suvokta uždavinio sąlyga.

••••


70

2. Sprendimo plano sudarymas. Pirmiausia reikia stengtis uždavinį priskirti kuriai nors žinomai uždavinių grupei (tipui), apgalvoti, kokiu būdu jį spręsime. Kuo daugiau uždavinių tipų, jų sprendimo būdų žinome, tuo labiau tikėtina, kad uždavinį išspręsi-me. Jei nepavyksta, imame uždavinį modeliuoti, t. y. performuluoti: suprastinti (suda-ryti ir išspręsti paprastesnį uždavinį) arba apibendrinti – sudaryti bendresnį uždavinį. Jei mokinys dar nepajėgia to padaryti pats, būtina aktyvinti mokinio mąstymą klausi-mais, galinčiais nurodyti pagrindines analizės grandis, tačiau jokiu būdu nepasakant jo sprendimo (tai tik sugaištas laikas). Galima iškelti dalinius uždavinius, sudaromus iš pagrindinio, arba struktūrizuoti uždavinį.

Tik nereikia įsivaizduoti, kad sprendimo planas – tai būtinai tikslus ir pilnas visų operacijų ir veiksmų, kuriuos reikia atlikti sprendžiant uždavinį, išvardijimas. Daž-niausiai planas – tik idėja. Jei uždavinio sprendimo eigoje pasirodo, kad ji netiksli, o gal net ir klaidinga, tada tenka vėl grįžti prie uždavinio analizės, ieškoti kitos sprendi-mo idėjos arba tikslinti turimą.

3. Sprendimo plano vykdymas. Sudaręs sprendimo planą, mokinys turi pasirinkti trumpą ir aiškų sprendimo apipavidalinimo būdą. Svarbu apgalvoti, ką būtina užrašy-ti, o ką tik nurodyti žodžiu. Labai svarbu skatinti mokinius lakoniškai aiškinti ir pa-grįsti samprotavimus žodžiu ir raštu. Uždavinio sprendimui keliami reikalavimai: jis turi būti teisingas, glaustas, pagrįstas ir išsamus. Uždavinio sprendimas nėra išsamus, jeigu neišnagrinėti visi uždavinio sąlygą atitinkantys atvejai. Pavyzdžiui, sprendimas nėra išsamus, jei rastas tik vienas iš lygties sprendinių.

4. Gauto sprendinio nagrinėjimas. Uždavinys baigiamas nagrinėti patikrinus, ar gautas rezultatas atitinka uždavinio sąlygą, taip pat išnagrinėjus ypatingus atvejus. La-bai svarbu atkreipti jų dėmesį į tai, kaip sprendimas turėtų būti tinkamai užrašytas.

Taip pat labai svarbu išsprendus uždavinį, apmąstyti, ko galima pasimokyti iš na-grinėto uždavinio, ką verta įsiminti. Reikia skatinti mokinius ieškoti kitų, ekono-miškesnių uždavinio sprendimo būdų, mokyti juos išsprendus konkretų uždavinį, įvertinti sprendimo metu įgytas žinias ir gebėjimus, apmąstyti, kaip jas galima būtų dar pritaikyti. Tai pasiekiama paskatinant mokinius pačius sugalvoti analogiškų už-davinių.

Probleminių uždavinių sprendimo strategijų mokymas. Kai mokinys ieško jam nežinomų sprendimo kelių, tai jo darbas tampa panašus į mokslininko. Kaip išmokyti mokinį pradėti spręsti uždavinį, kai visai neaišku, nuo ko jį pradėti spręsti?

Reikia mokyti probleminių uždavinių sprendimo strategijų ir pasirūpinti, kad mo-kiniai išmoktų jas perkelti į kitas situacijas. Mokiniams reikia pasiūlyti pakankamai


71

uždavinių, kuriuos spręsdami jie įgytų žinių ir patirties apie įvairias veiksmingas už-davinio sprendimo strategijas.

Dėmesio vertos probleminių uždavinių sprendimo strategijos:Bandymų ir klaidų metodas; Perrinkimo metodas;Žinomo matematinio modelio, metodo paieška;Uždavinio performulavimo metodas;Uždavinio bendresnio ar dalinio atvejo paieška; Uždavinio skaidymas į paprastesnius uždavinius;Papildymo metodas;Dėsningumų paieška;Sprendimas nuo galo; Kontrapavyzdžio paieška;Prieštaros metodas;Gautų sprendinių pritaikymas naujoms probleminėms situacijoms identifikuoti.

Aptarkime šias strategijas. Kartu turėkime omenyje, kad sudėtingam uždaviniui išspręsti gali vienu metu prireikti taikyti ir keletą strategijų.

Bandymų ir klaidų metodas. Rasti atsakymą į uždavinio klausimą galima

tiesiog nagrinėjant, išbandant, perrenkant atskirus, atsitiktinius atvejus. Ši

strategija veiksminga tik atsitiktinai, atsakymas yra ne visada visiškai pagrįstas

(žr. 1, 2 pvz.).

1 pavyzdysIšspręskite lygtį x2 + 3x – 54 = 0, kai n ∈ N. (Pastaba: uždavinys sprendžiamas,

kol mokiniai dar nesimokė kvadratinės lygties sprendinių apskaičiavimo formulės.)

SprendimasPertvarkome lygtį, kad ji įgytų tokį pavidalą: x (x + 3) = 54. Paeiliui, perrinkdami

natūraliuosius skaičius, pastebime, kad 6 yra lygties sprendinys, nes 6 (6 + 3) = 54. Kai x didesnis už 7, sandaugos reikšmė didesnė už 54. Taigi darome prielaidą, kad 6 yra vienintelis natūralusis lygties sprendinys.

Atsakymas. 6.

••••••••••••


72

2 pavyzdysDviženklį skaičių padauginę iš vienaženklio ir atėmę vienaženklį, gavome 2. Ar

taip galėjo būti?

Sprendimas10 × 1 – 8 = 2.Atsakymas. Taip.

Perrinkimo metodas. Sugalvojama sistema, kaip išsirašyti ir perrinkti visus

galimus atvejus. Aukščiausias lygis – išmąstyti, kaip perrenkant visus atvejus,

galima sumažinti perrenkamų variantų skaičių (žr. 3 pvz.).

3 pavyzdysIšspręskite lygtį x2 + 3x – 54 = 0, kai n ∈ N. (Pastaba: uždavinys sprendžiamas,

kol mokiniai dar nesimokė kvadratinės lygties sprendinių apskaičiavimo formulės.)

SprendimasPertvarkome lygtį, kad ji įgytų tokį pavidalą: x (x + 3) = 54. Pastebime, kad x gali

būti tik 54 daliklis. Išrašome visus 54 daliklius: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54. Paeiliui juos įstatydami į lygtį, įsitikiname, kad tik 6 yra ieškomas sprendinys.

Atsakymas. 6.

Žinomo matematinio modelio, metodo paieška. Kuo daugiau įvairių matematinių

modelių, metodų žinome, kuo daugiau įvairių uždavinių tipų esame išnagrinėję,

tuo turime didesnes galimybes išspręsti uždavinius, kurių sprendimas paremtas

žinomų metodų ir modelių ar jų derinių taikymu. Antai tekstiniam uždaviniui

išspręsti galime rinktis aritmetinį ar algebrinį jo sprendimo būdą. Vėlgi,

pasirinkę algebrinį būdą, turime pasirinkimą: sudaryti lygtį ar lygčių sistemą

(žr. 4, 5 pvz.).

4 pavyzdysIšspręskite lygtį x2 + 3x – 54 = 0, kai n ∈ N. (Pastaba: uždavinys sprendžiamas po

to, kai buvo išvesta kvadratinės lygties sprendinių apskaičiavimo formulė.)


73Matematikos uždaviniai

SprendimasPritaikę ką tik išvestą kvadratinės lygties sprendinių apskaičiavimo formulę, gau-

name, kad x1 = 6, x2 = –9. Iš rastųjų sprendinių natūralusis yra tik 6.Atsakymas. 6.

5 pavyzdysSugalvokite skaičių. Prie jo pridėkite 5, o gautą sumą padauginkite iš 2, tada at-

imkite 4 ir viską padalinkite iš 2. Kai iš rezultato atimsite sugalvotą skaičių, gausite 3. Iš kur aš tai sužinojau?

SprendimasIeškomas skaičius x. Sudarome reiškinį ir jį suprastiname:((x + 5) × 2 – 4) : 2 – x = x + 3 – x = 3. Atsakymas. Parodėme, kad atsakymas nepriklauso nuo sugalvotojo skaičiaus.

Uždavinio performulavimo metodas. Kartais uždavinį lengviau išspręsti, jį

pakeičiant tapačiu pagal prasmę (žr. 6 pvz.).

6 pavyzdysRaskite du dviženklius natūraliuosius skaičius, kurių sandauga būtų didžiausia iš

visų sandaugų, mažesnių už 1000.

SprendimasSpendžiame duotam uždaviniui pagal prasmę tapatų uždavinį: „Raskite didžiau-

sią triženklį skaičių, kurį galima išskaidyti į du dviženklius natūraliuosius skaičius.“Didžiausias triženklis skaičius yra 999. 999 = 3 × 3 × 3 × 37 = 27 × 37. Atsakymas. 27 ir 37.

Uždavinio bendresnio ar dalinio atvejo paieška. Vietoje duoto uždavinio galima

bandyti išspręsti bendresnį arba dalinį jo atvejį (žr. 7, 8 pvz.).

7 pavyzdysPradinė prekės kaina buvo 105,67 Lt. Pirmą kartą ji buvo sumažinta 15 proc., o

antrą kartą – 10 proc. Kiek procentų nukrito pradinė prekės kaina?

74

SprendimasIšspręskime bendresnį uždavinį: „Pradinė prekės kaina buvo sumažinta 15 proc.,

o vėliau – 10 proc. Kiek procentų nukrito pradinė prekės kaina?“ Pradinę kainą pažymėję a (Lt), gausime, kad galutinę kainą nusakys reiškinys:

a · 0,85 · 0,9 = 0,765a (Lt). Pastebime, kad uždavinio atsakymas yra 23,5 proc. ir jis visai nepriklauso nuo pradinės prekės kainos.

Atsakymas. 23,5 proc.

8 pavyzdysLina viena galėtų nuravėti daržą per 6 val., o jos mama – per 3 val. Per kiek laiko

Lina ir jos mama, dirbdamos kartu, galėtų nuravėti visą daržą?

SprendimasKadangi tiksliai nepasakyta, koks yra daržo plotas, tai galime laisvai jį pasirinkti.

Tegu viso daržo plotas yra 100 m2. Tada Lina, dirbdama viena, per vieną valandą nuravės

6100 m2, o mama –

3100 m2.

Kartu per valandą jos nuravės )(503

1006

100 2 )(50 2 )(50 )(50 m )(50

2

.Kadangi visas daržas 100 m2, o abi per vieną valandą nuravi 50 m2, joms prireiks

2 valandų visam daržui nuravėti.Atsakymas: per 2 valandas.

(Pastaba: atsakymas nepriklauso nuo pasirinkto daržo ploto, todėl galėjome gal-voti ne apie konkretaus dydžio daržą, o apie atliktą darbą. Jei nuravėtą daržą (atliktą darbą) laikytume 1, tai sprendimą trumpai užsirašytume taip: 11

1

36

2 (h).

Reikia turėti omenyje, kad kai sprendžiame ne bendresnį, o dalinį duotojo uždavi-nio atvejį, tai neretai neleistinai „siauriname“ klausimą, į kurį prašoma atsakyti, todėl rizikuojame palikti nevisiškai išspręstą ar net klaidingai išspręstą uždavinį. Tai ypač aktualu įrodant įvairius teiginius, kai išnagrinėjami ne visi galimi atvejai. Pavyzdžiui, į klausimą „Ar tiesa, kad trikampio plotas lygus pusei stačiakampio ploto?“ mokiniai neretai atsako „taip“, savo atsakymus net įvairiai iliustruodami:


8

Pradin kain pažym j a (Lt), gausime, kad galutin kain nusakys reiškinys: a · 0,85 · 0,9 = 0,765a (Lt). Pastebime, kad uždavinio atsakymas yra 23,5 proc. ir jis visai nepriklauso nuo pradin sprek s kainos. Atsakymas. 23,5 proc.

8 pavyzdys Lina viena gal t nurav ti darž per 6 val., o jos mama – per 3 val. Per kiek laiko Lina ir jos mama, dirbdamos kartu, gal t nurav ti vis darž ?

SprendimasKadangi tiksliai nepasakyta, koks yra daržo plotas, tai galime laisvai j pasirinkti. Tegu viso daržo plotas yra 100 m2. Tada Lina, dirbdama viena, per vien valand nurav s 2

6m100 , o mama – 2100 .

3m

Kartu per valand jos nurav s )(503

1006

100 2m .

Kadangi visas daržas 100 m2, o abi per vien valand nuravi 50 m2, tai joms prireiks 2 valandvisam daržui nurav ti.Atsakymas: per 2 valandas.

(Pastaba: atsakymas nepriklauso nuo pasirinkto daržo ploto, tod l gal jome galvoti ne apie konkretaus dydžio darž , o apie atlikt darb . Jei nurav t darž (atlikt darb ) laikytume 1, tai sprendim trumpai užsirašytume taip: )(50

111 2m

.

36

Reikia tur ti omenyje, kad kai sprendžiame ne bendresn , o dalin duotojo uždavinio atvej , tai eretai neleistinai „siauriname“ klausim , kur prašoma atsakyti, tod l rizikuojame palikti

a iau uždavinio s l tokie j atsakymai n ra teisingi.

nnevisiškai išspr st ar net klaidingai išspr st uždavin . Tai ypa aktualu rodant vairius teiginius, kai išnagrin jami ne visi galimi atvejai. Pavyzdžiui, klausim „Ar tiesa, kad trikampio plotas lygus pusei sta iakampio ploto?“ mokiniai neretai atsako „taip“, savo atsakymus net vairiaiiliustruodami:

T lygoje trikampis n ra apibr žtas, tod

Uždavinio skaidymas paprastesnius. Sud tingesn uždavin lengviau išspr sime, prieš tai jsuskaid kelet paprastesni (žr. 9 pvz.).

9 pavyzdysFirmos pajamas, gautas už parduotas prekes, apib dina funkcija P(x) = –20x2 + 300x, kur x – vienos prek s kaina litais. Kokia turi b ti prek s kaina, kad pajamos b t didžiausios?

SprendimasPajamas apib dinanti funkcija kvadratin . Didžiausi reikšm ji gis kritiniame taške, t. y. parabol svirš n s taške. Taigi turime rasti, su kokia x reikšme funkcijos išvestin lygi nuliui (galimi ir kiti xradimo b dai).

Atsakymas. 7,5 Lt.


75Matematikos uždaviniai

Tačiau uždavinio sąlygoje trikampio rūšis nėra apibrėžta, todėl tokie jų atsakymai nėra teisingi.

Uždavinio skaidymas į paprastesnius. Sudėtingesnį uždavinį lengviau išspręsime,

prieš tai jį suskaidę į keletą paprastesnių (žr. 9 pvz.).

9 pavyzdysFirmos pajamas, gautas už parduotas prekes, apibūdina funkcija P(x) = –20x2 +

+ 300x, kur x – vienos prekės kaina litais. Kokia turi būti prekės kaina, kad pajamos būtų didžiausios?

SprendimasPajamas apibūdinanti funkcija kvadratinė. Didžiausią reikšmę ji įgis kritiniame

taške, t. y. parabolės viršūnės taške. Taigi turime rasti, su kokia x reikšme funkcijos išvestinė lygi nuliui (galimi ir kiti x radimo būdai).

P (́x) = –40x + 300, P (́x) = 0,–40x + 300 = 0, x = 7,5.Atsakymas. 7,5 Lt.

Papildymo metodas. Brėžinio ar sąlygos papildymo iki mums pažįstamo

uždavinio idėja dažnai praverčia sprendžiant ne tik geometrinius, bet ir kitų

sričių uždavinius (žr. 10, 11 pvz.).

10 pavyzdysVienas trikampio kampas lygus 120º, o jį sudarančių kraštinių ilgiai yra 8 ir 10.

Raskite šio kampo pusiaukraštinės ilgį.

SprendimasIš pradžių, pritaikę kosinusų teoremą, randame trečiosios trikampio kraštinės

kvadratą: c2 = 82 + 62 – 2 · 8 · 6 · cos 120° ; c2 = 52.

76

Tada papildome trikampį iki lygiagretainio ir pritaikome lygiagretainio savybę: lygiagretainio priešingų kraštinių kvadratų suma lygi jo įstrižai-nių kvadratų sumai. Ieškomą pusiaukraštinę pažy-mėję m, turime: 2 (82 + 62 ) = (2m)2 + 52, m = 37 ..

Atsakymas. 37 .ilgio vnt.

11 pavyzdysApskaičiuokite: .

541

431

321

211

⋅+

⋅+

⋅+

⋅

Sprendimas

.54

511)

51

41()

41

31()

31

21()

21

11( =−=−+−+−+−

Atsakymas. .54

Ar atkreipėte dėmesį į tai, kad spęsdami šį uždavinį rėmėmės ne tik papildymo me-todu, bet ir uždavinio skaidymo į paprastesnius uždavinius metodu?

Dėsningumų paieška. Nagrinėjami paprasčiausi atvejai, kol suformuluojama

hipotezė, tada bandoma ją patikrinti ar pagrįsti (žr. 12, 13 pvz.).

12 pavyzdysKiekvienas skaičių eilutės 3, 10, 24, n, 108 narys gaunamas iš prieš jį einančiojo

pagal tą pačią taisyklę. Kam lygus n?

SprendimasPastebime, kad norint gauti kitą eilutės skaičių, reikia prieš jį esantį padauginti iš

2 ir pridėti 4. Atsakymas. 52.

13 pavyzdysNagrinėjami didesni už 4 natūralieji skaičiai k. Žinoma, kad prieš skaičių k ir po

skaičiaus k esantys skaičiai yra pirminiai. Kokia savybe pasižymi tokie skaičiai k?


77

Sprendimasn k l Pastebime, kad nagrinėjami skaičiai 6, 12, 18, 30, 42,

dalijasi iš 6. Įrodysim, kad tai tiesa. n, k , l – trys skaičiai, tada arba n ir l yra ly-giniai, arba k – lyginis. Pagal sąlygą n ir l pir-miniai, reiškia k – lyginis, t. y. k dalijasi iš 2. n, k, l – iš šių skaičių vienas yra 3 kartotinis. Pagal sąly-gą n ir l pirminiai, tada iš 3 dalijasi skaičius k.Atsakymas. k dalijasi iš 2 ir iš 3, todėl jis dalijasi ir iš 6.

511172941…

612183042…

713193143…

Sprendimas nuo galo. Kai kuriuos uždavinius lengviau išspręsti, jei juos

sprendžiame nuo galo (žr. 14 pvz.).

14 pavyzdysTroleibusu važiavo keleiviai. Vienoje stotelėje iš troleibuso išlipo 11 keleivių, o įli-

po 14. Kitoje stotelėje išlipo 9 keleiviai, o įlipo 21. Po šių dviejų sustojimų troleibuse buvo 27 keleiviai. Kiek keleivių buvo troleibuse iš pat pradžių?

Sprendimas27 – 21 + 9 – 14 + 11 = 12.Atsakymas. 12.

Kontrapavyzdžio paieška. Ieškome pavyzdžio (atvejo), kuris paneigtų teiginį

(žr. 15 pvz.).

15 pavyzdysSkaičius 36 dalus iš a ir skaičius 36 dalus iš b. Ar teisingas teiginys, kad skaičius

36 dalus iš skaičių a ir b sandaugos?

Sprendimas36 dalijasi iš 36 ir 36 dalijasi iš 18, bet 36 nesidalija iš 36 · 18, taigi teiginys nėra

teisingas, nes radome jį paneigiantį pavyzdį.Atsakymas. Ne.


78

Gautų sprendinių pritaikymas naujoms probleminėms situacijoms identifikuoti.

Puiku, kai vieno uždavinio sprendimas skatina naujo, iš pažiūros gana

panašaus uždavinio nagrinėjimą. Tai puiki proga mokyti tyrinėti, nustatyti

naujo uždavinio ryšį su anksčiau spręstais uždaviniais (žr. 16, 17 pvz.).

16 pavyzdysDuoti skaičiai 3, 6, 12, 15, 21, 27, 42, 51. Ar galima rasti tokį jų poaibį, kad atrink-

tų skaičių suma dalytųsi iš 100? Atsakymą pagrįskite.

SprendimasPastebime, kad kiekvieno duotojo skaičiaus vienas daugiklis yra skaičius 3: 3 × 1, 3

× 2, 3 × 4, 3 × 5, 3 × 7, 3 × 9, 3 × 14, 3 × 17. Panagrinėkime likusių daugiklių sumą: 1 + 3 + 4 + 5 + 7 + 9 + 14 + 17 = 59. Skaičius 100 nesidalija iš 3, o skaičius 59 mažesnis už 100, taigi tokio poaibio surasti negalime.

Atsakymas. Ne.

Mokiniams išsprendus 16 pavyzdyje pateiktą uždavinį, jiems galima papildomai pasiūlyti tokią užduotį: „Ar galima iš 100 padalyti sumą skaičių, jei kiekvienas jų yra 3 kartotinis?“

17 pavyzdysĮrodykite, kad kiekvienas, išskyrus vienetą, nelyginis skaičius lygus dviejų skaičių

kvadratų skirtumui.

SprendimasPirmiausia sąlygoje nusakytą dėsningumą iliustruojame pavyzdžiais: 22 123 −= ,

22 235 −= , .... Žinome, kad nelyginį skaičių bendru atveju galima parašyti išraiška 2n + 1. Taigi reikia įrodyti, kad 2212 yxn −=+ .

Pabandykime skaičių 2n + 1 išreikšti skirtumu bent vieno kvadrato ir kokio nors kito dėmens: 2222 )1(1212 nnnnnn −+=−++=+ .

Atsakymas. Įrodėme.

Mokiniams išsprendus 17 pavyzdyje pateiktą uždavinį galima papildomai pasiū-lyti tokią užduotį: „Pastebėkite ir suformuluokite teiginį apie du skaičius, kurių kva-


79

dratų skirtumu yra išreiškiamas bet kuris nelyginis skaičius, pradedant skaičiumi 3. Pavyzdžiui: ,22 8917 22 8917 22 8917 8917 22 444599 22 444599 22 444599 444599 .

Pateikiame dar vieną tyrinėti skatinančių susijusių uždavinių pavyzdį: „Stačia-kampio perimetras lygus 2p. Koks turi būti stačiakampis, kad jo plotas būtų didžiau-sias?“ ir „Stačiakampio plotas lygus S. Koks turi būti stačiakampis, kad jo perimetras būtų mažiausias?“

Visą aibę naujų klausimų, poreikį tyrinėti ir apibendrinti taip pat skatina uždaviniai, į kuriuos atsakyti galima nevienareikšmiškai. Pavyzdžiui: „Nurodykite skaičių, didesnį už

21

į kuriuos atsakyti galima nevienareikšmiškai. Pavyzdžiui: „Nurodykite skaičių, didesnį 1

į kuriuos atsakyti galima nevienareikšmiškai. Pavyzdžiui: „Nurodykite skaičių, didesnį , bet mažesnį už

31

į kuriuos atsakyti galima nevienareikšmiškai. Pavyzdžiui: „Nurodykite skaičių, didesnį 1

į kuriuos atsakyti galima nevienareikšmiškai. Pavyzdžiui: „Nurodykite skaičių, didesnį “, „Užrašykite lygtį tiesės, einančios per tašką (7; 90).“

Uždavinio sudėtingumas ir sunkumas. Sąvokos sudėtingumas ir sunkumas nėra ta-pačios. Siekiant formalizuotai aprašyti Bendrosiose ar Matematikos brandos egzaminų programose pateikiamų uždavinių sudėtingumo laipsnį, vartojami tokie terminai:

Paprasčiausiais vadinami uždaviniai, kuriuos sprendžiant reikia atlikti vieną standartinę operaciją ar žinoti algoritmą ir mokėti jį taikyti.Paprastais vadinami uždaviniai, kuriuos sprendžiant reikia suderinti ir atlikti dvi standartines operacijas ar pritaikyti algoritmų.Nesudėtingais vadinami uždaviniai, kuriuos sprendžiant reikia suderinti ir at-likti tris ar daugiau standartinių operacijų ar pritaikyti algoritmų.

Panašiai suprantame ir žodžių junginius paprasčiausias atvejis (standartinis atvejis, prilygstantis paprasčiausiam uždaviniui), paprasta algebrinė lygtis (lygtis, iš kurios ne-žinomąjį paprasta išreikšti), nesudėtingas reiškinys (reiškinys, kurio reikšmė gali būti apskaičiuota 3 ar 4 veiksmais).

Uždavinio sunkumą įprasta nusakyti terminais: sunkus, vidutinio sunkumo, len-gvas. Sunkiu uždaviniu laikytume tokį uždavinį, kurį išsprendžia ne daugiau kaip trečdalis tiriamųjų, lengvu – kurį išsprendė ne mažiau kaip du trečdaliai tiriamųjų, vidutinio sunkumo – kurį išsprendė daugiau nei trečdalis, bet mažiau nei du trečdaliai tiriamųjų. Kadangi tyrimo imtis gali būti sudaroma įvairiai, tai sunkumo sąvoka kie-kvienu konkrečiu atveju turi būti interpretuojama atsižvelgiant į ugdymo kontekstą. Antai valstybinio matematikos egzamino metu mokiniams buvęs lengvas uždavinys gali būti labai sunkus egzamino nelaikiusiems mokiniams.

Objektyvi informacija apie uždavinio sunkumą – mokinių šio uždavinio sprendi-mo rezultatai, o ne ugdytojų ar kitų asmenų nuomonė apie jo sunkumą. Be abejo, yra ir ne statistinių, o ekspertiniu vertinimu pagrįstų metodų, kurie leidžia gana patikimai įvertinti uždavinio sunkumo laipsnį (pavyzdžiui, Angoff o metodas).

•

•

•


80

Parenkant atskirus uždavinius, ugdytojams tenka labai didelė atsakomybė, kad kie-kvienas mokinys, kokių gebėjimų jis bebūtų, turėtų pakankamai galimybių ugdymo procese išbandyti įvairaus sunkumo uždavinių. Be abejo, silpnesniems mokiniams bus reikalinga sumani, atvirai nematoma mokytojo pagalba. Uždavinio sunkumą moky-tojas gali reguliuoti šiek tiek modifikuodamas ar papildydamas jo sąlygą. Pavyzdžiui, jei uždavinio sąlyga bus papildomai iliustruota brėžiniu, tai labai tikėtina, kad tokį uždavinį išspręs daugiau mokinių. Arba sunkus uždavinys mokiniams bus lengviau įveikiamas, jeigu jie prieš jį spręsdami bus atlikę panašių, reikiama linkme nukreipian-čių uždavinių.

Taip pat reikia atsiminti, kad nebūtinai sudėtingas uždavinys bus ir sunkus. Pavyz-džiui, reiškinys pagal atliekamų jame operacijų skaičių gali būti labai sudėtingas, ta-čiau, jei visos operacijos standartinės, nereikalaujančios nestandartinio mąstymo, ka-žin, ar bus didesni skirtumai tarp vidutiniškai ir labai gerai besimokančių mokinių.

Kita vertus, nestandartinio mąstymo reikalaujantis uždavinys gali būti sunkus mo-kiniams net ir tuo atveju, kai jis yra vos vieno dviejų žingsnių, t. y. kada „raktas“ į tokio uždavinio sprendimą yra pati uždavinio sprendimo idėja.

Panagrinėkime mokiniams sunkaus uždavinio pavyzdį (žr. 16 pvz.). Šis uždavinys buvo pateiktas aštuntokams per 2007 m. nacionalinį tyrimą. Lentelėje pateikti ne tik vidutiniai, bet ir skirtingų pasiekimų mokinių šio uždavinio sprendimo rezultatai.

Atkreipkime dėmesį į uždavinio sąlygą ir abu klausimus. Panašių uždavinių vado-vėliuose, iš kurių mokėsi tiriamieji, nebuvo, nors pats uždavinys iš mokinių nereika-lauja jokių ypatingų žinių. Sėkmingai atsakyti į pirmą uždavinio klausimą jiems galėjo padėti išlavinta erdvinė vaizduotė. Visų pasiekimų grupių mokiniai darė tipinę klaidą, iškalbingai bylojančią apie praktinių darbų stoką ugdymo procese.

Visiškai įprastas mokiniams buvo antras klausimas – VII–VIII klasėje mokiniai skaičiuoja įvairiausių figūrų plotus. Tik šiuo atveju pati sąlyga buvo neįprastai sufor-muluota. Atkreipkime dėmesį į tai, kad devynis ar dešimt trimestre turintys aštunto-kai šį uždavinį sprendė daug geriau nei kiti mokiniai.

Peržiūrėjus geriausių mokinių darbus, paaiškėjo, kad maždaug pusė jų skaičiavo gautos figūros plotą pagal trapecijos ploto apskaičiavimo formulę arba kaip plotų sumą stačiakampio ir stačiojo trikampio, į kuriuos gali būti padalyta trapecija. Ir tik dalis geriausiųjų susivokė, kad reikia tiesiog apskaičiuoti kvadrato plotą (ką labai lengva padaryti), nes gautosios figūros plotas negali skirtis nuo pradinės.


81

Kairėje pavaizduotas kvadratas. Jį perkirpus į dvi dalis ir kitaip sudėjus buvo gauta dešinėje pusėje esanti fi gūra.pusėje esanti fi gūra.

Mokinio pažymys trimestre

Iš viso(2–3) (4–6) (7–8) (9–10)

a) Pavaizduotame kvadrate nubrėžk kirpimo liniją

7 %

19 %

9 %

29 %

17 %

30 %

31 %

29 %

15 %

28 %

Neatsakė 53 % 40 % 31 % 24 % 36 %b) Apskaičiuok gautos fi gūros plotą

Teisingai 7 % 11 % 21 % 53 % 20 %Neatsakė 65 % 50 % 30 % 19 % 40 %

20 pav. Uždavinys ir aštuntokų jo sprendimo rezultatai (pgl. V. Sičiūnienę, V. Kožemiakiną, 2008)

Kartu reikia turėti omenyje ir tai, kad kuo daugiau patirties turime spręsdami įvai-riausius ir standartinius, ir nestandartinius uždavinius, tuo didesnė tikimybė, kad juos gerai išspręsime. Jei į paminėtąjį panašūs uždaviniai būtų su mokiniais sprendžiami dažniau, be abejonės, mokinių rezultatai būtų geresni.

Uždavinių kiekybė ir kokybė. Uždavinių yra labai daug. Kokius uždavinius su mokiniais spręsti, o kokių atsisakyti, sprendžia mokytojas, atsižvelgdamas į mokymo tikslus, mokinių patirtį ir gebėjimus. Jei siekiama, kad mokiniai suprastų ir įgustų at-likti tam tikras procedūras, tai jiems teks skirti daug pratimų. Tačiau net formuojant įgūdžius negalima piktnaudžiauti vienodais pratimais! Vienodi pratimai, standartinės formuluotės nėra įdomūs mokiniams, jie neskatina jų „aktyvaus dalyvavimo“.

Juo labiau uždavinių įvairovė reikalinga plėtojant mokinių gebėjimus taikyti įgytas žinias. Gerai apmąsčius uždavinių sistemą, galima ir sprendžiant mažiau uždavinių pasiekti norimą rezultatą. Vietoj to, kad ieškotume naujo uždavinio, galime vis keisti uždavinio sąlygos formuluotę ir mokyti mokinius įvairiose situacijose atpažinti užda-


82

vinį. Arba galima pasiūlyti mokiniams rasti kuo daugiau būdų tam pačiam uždaviniui išspręsti. Šiuo atveju išspręsime tik vieną uždavinį, bet kiek daug mokiniai gali išmokti jį spręsdami! Labai svarbu ne tik spręsti uždavinius, bet ir mokytis iš uždavinių, skirti laiko apmąstymams, diskusijoms apie jų sprendimo ir sprendimo užrašymo būdus ir formas.

Vėlgi, žinodami, kaip svarbu pripratinti mokinius aiškiai paaiškinti uždavinio sprendimą, negailėkite laiko diskusijoms apie tai, ką atskleidžia ir slepia jų užrašyti sprendimai. Tačiau jauskite saiką: jokiu būdu nereikia reikalauti aiškinti kiekvieną už-davinį, kitaip prarasite daug brangaus laiko.

Gero matematikos mokytojo darbą galima palyginti su menininko: per jo pamokas mokinių sprendžiami uždaviniai primena mozaikos dėliojimą. Kad išryškėtų visas jos grožis, mokytojas numato ir švelnesnių atspalvių dalelių rinkinius mozaikos fonui iš-gauti, sumaniai parenka ryškesnius akcentus, apgalvoja jų derinius, išgauna ir aptaria ne tik akivaizdžiai matomus rezultatus, bet ir nutiesia kelius mokinio savarankiško pažinimo link.

Uždavinio formatas. Jei palygintume pastarąjį dešimtmetį egzamino užduotyse ir vadovėliuose naudotų uždavinių formatus su ankstesnių dešimtmečių, tai paste-bėtume nemažai skirtumų. Daugiausia dėl egzaminų reformos šalia tradicinių trum-pesnio ar ilgesnio sprendimo reikalaujančių uždavinių atsirado įvairesnių formatų uždaviniai: pasirenkamojo ir trumpo atsakymo, trumpo ir išsamaus sprendimo, struktūrizuoti. Sumanus jų parinkimas ir derinimas leidžia gauti daugiau objektyvios informacijos apie mokinių įgyjamas žinias ir gebėjimus, o kartu kryptingiau siekti numatytų mokymo ir mokymosi tikslų. Panagrinėkime ir aptarkite paminėtus užda-vinių formatus.

Pasirenkamojo atsakymo uždaviniai. Tai uždaviniai, kai kartu su uždavinio sąlyga pateikiami ir keli pasirenkamieji atsakymai: vienas iš jų teisingas, o kiti – klaidingi (distraktoriai). 18 pavyzdyje matome pasirenkamojo atsakymo uždavinio pavyzdį ir šeštokų jo sprendimo rezultatus (Dobravolskaitė, Sičiūnienė, 2008).

18 pavyzdys2 milijonai karoliukų buvo sudėta į 50 tūkstančių dėžučių po lygiai. Kiek karoliukų yra vienoje dėžutėje?

A 4 B 25 C 40 D 250 E 4008,1 % 8,5 % 35,7 % 12,3 % 29,3 %


83

Pasirenkamojo atsakymo uždavinys laikomas išspręstu, kai pasirenkamas teisingas atsakymas. Jei mokinys pasirenka du atsakymus, iš kurių tik vienas yra teisingas, lai-koma, kad jis neteisingai išsprendė uždavinį. Kadangi sprendimo nereikalaujama ir jis nėra tikrinamas, tai tokio formato uždavinio vertinimas lengvas ir objektyvus.

Taip suformuluoti uždaviniai gana patrauklūs mokiniams. Visada yra tam tikra ti-kimybė atspėti teisingą atsakymą. O ir tokio uždavinio sprendimo taktikų yra įvairių. Galima išspręsti uždavinį ir tada pasirinkti atsakymą. Kartais užtenka tiesiog pati-krinti pasiūlytus atsakymus, juos įstatant į pradinę uždavinio sąlygą. Mokinys, bent kiek išmanantis matematiką, gali iš pradžių atmesti visai netinkamus atsakymus, o tada iš likusiųjų tikimybė pasirinkti teisingą atsakymą padidėja.

Tačiau būtent šio formato uždaviniai kartais suklaidina mokinius, nes parenkant klaidingus atsakymus, juose užkoduojamos tipinės mokinių klaidos. Jei tipinė klaida užkoduota pirmame atsakyme, tai labai tikėtina, kad dalį mokinių tiesiog išprovokuo-sime pasirinkti būtent jį.

Neretai mokiniai apsigauna ir tada, kai uždavinio sąlyga suformuluota kaip neigi-nys. Pastebėta, kad uždavinius su neiginiais silpnesni mokiniai linkę spręsti blogiau, todėl siekiant patikrinti būtent šį aspektą, neiginį apibūdinantį žodį patartina vizualiai išryškinti (taip sumažinama tikimybė mokiniui padaryti klaidą dėl to, kad skubėda-mas neatidžiai perskaitė uždavinio sąlygą).

Pasirenkamojo atsakymo uždaviniai ypač tinkami, kai norima greitai įvertinti mo-kinių turimas žinias ir gebėjimus įvairias pjūviais, surinkti kuo daugiau informacijos, apimti daug temų.

Tačiau nuolatos vertinti mokinių žinias ir gebėjimus tik tokio formato uždaviniais nėra gerai mažiausiai dėl dviejų priežasčių: juk išspręsti uždavinį yra daug daugiau nei pasirinkti teisingą jo atsakymą, o ką jau bekalbėti apie galimybę atspėti.

Dar vienas šio formato uždavinių minusas – jais labai sunku patikrinti kai kuriuos aukštesniojo lygio gebėjimus, tokius kaip problemų kėlimo, argumentavimo ir pan.

Gerai sudaryti ir tinkamai naudojami mokymo(si) procese pasirenkamojo atsa-kymo uždaviniai gali padėti jį patobulinti. Tačiau sudaryti pasirenkamojo atsakymo uždavinį gerai nėra paprasta. Atsakymo variantų skaičius turi būti pakankamai dide-lis (3–5), kad teisingo atsakymo spėjimo tikimybė nebūtų per didelė. Gerai parinkti klaidingus atsakymus (prasmingus distraktorius) tikras menas. Atsakymai negali būti visiškai nelogiški, ryškiai išsiskiriantys iš kitų, nes tada tikėtina, kad mokinys juos iš karto atmes.


84

Trumpo atsakymo ir trumpo sprendimo uždaviniai. Panašūs į pasirenkamojo atsa-kymo uždavinius – vieno ar dviejų žingsnių uždaviniai, kai mokinys turi užrašyti tik teisingą atsakymą (trumpo atsakymo uždavinys), o kartais minimaliai parodyti, kaip jį gavo (trumpo sprendimo uždavinys). Jie geri tuo, kad leidžia apimti daug temų, suma-žėja spėjimo tikimybė, nereikia parinkinėti tinkamų distraktorių. Trumpo atsakymo uždavinių minusai – neleidžia identifi kuoti tipinių klaidų, lengva „nusirašyti“, sunku patikrinti kai kuriuos aukštesniojo lygio gebėjimus. Vertinti tokių uždavinių sprendimo rezultatus kebliau nei pasirenkamojo atsakymo. Ką daryti, jeigu bus susitarta vertinti tik atsakymą, o mokinio paliktas neteisingas sprendimas išduos, kad teisingas atsaky-mas gautas tik dėl laimingo atsitiktinumo? Gabesni vaikai dalį veiksmų atlieka mintinai ir nemato jokio reikalo rodyti kiekvieną sprendimo žingsnį, dėl to gali nepelnytai nu-kentėti, jei vėliau bus nuspręsta vertinti ir sprendimus. Kad išvengtume tokių problemų, su mokiniais iš anksto turėtume susitarti dėl įvairių sprendimo pateikimo taisyklių ir jų laikytis, antraip mokiniai nesupras, kaip turėtų atlikti darbą, kad būtų gerai įvertinti.

Paprastai trumpo sprendimo uždaviniai vertinami vienu arba dviem taškais. Jei tai dviejų žingsnių uždavinys, tai pirmas taškas dažniausiai skiriamas už idėją, strategijos (sprendimo būdo) pasirinkimą, o antrasis – už jos įgyvendinimą, procedūrų atlikimą arba pirmas taškas skiriamas už teisingą atsakymą, o antras – už jo pagrindimą (pa-aiškinimą).

Išsamaus sprendimo uždaviniai. Tai kelių žingsnių uždaviniai, kurių sąlygose pa-pildomai prašoma nurodyti sprendimą, pagrįsti teiginį, arba šalia uždavinio parašo-mi taškai, kurie sufl eruoja, kiek uždavinio sprendimo žingsnių turi pademonstruoti mokinys. Šie uždaviniai ypač geri, kai norima patikrinti mokinių aukštesniojo lygio mąstymo gebėjimus (žr. 19 pvz.)

19 pavyzdysAr pavaizduotas sunkvežimis galėjo atvežti 6 m3 žvyro? Atsakymą argumentuok.


85

Išsamaus sprendimo uždavinių kontroliniame darbe negali būti daug: juk mokiniui reikia ne tik sugalvoti, kaip išspręsti uždavinį, bet ir apmąstyti, kaip užrašyti jo spren-dimą. Taigi, jeigu kontrolinį sudarysime tik iš tokių uždavinių, liks nemažai nepalies-tų temų.

Šie uždaviniai imlūs laikui ir juos vertinant. Uždavinius (ypač probleminius) mo-kiniai neretai sprendžia labai įvairiais būdais ir jau dėl to pasunkėja jų vertinimas. Pateikiame jums vieną nesudėtingą uždavinį ir net keturių mokinių teisingus jo spren-dimus (žr. 20 pvz.). Pagalvokite, jei šio uždavinio sprendimą vertintume 2 taškais, tai už ką būtų rašomas pirmasis, o už ką – antrasis taškas.

20 pavyzdysYra 9 taškai (jokie trys nėra vienoje tiesėje). Kiekvieni du jungiami atkarpa. Kiek

gausime atkarpų, sujungę šiuos taškus?

1 sprendimasIš kiekvieno iš 9 taškų galime išvesti po 8 atkarpas,

t. y. 9 × 8 = 72 atkarpas. Tačiau atkarpa AB ir BA yra ta pati atkarpa, todėl skirtingų atkarpų bus 72 : 2 = 36.

Atsakymas. 36 atkarpos.

2 sprendimas Galima taikyti derinių formulę, nes deriniai iš n elementų po k yra tokie jungi-

niai, kurių kiekvienas turi po k elementų, parinktų iš duotųjų n elementų ir kurie vienas nuo kito skiriasi tik pačiais elementais, bet ne tų elementų išdėstymo tvarka ir kurie vienas nuo kito skiriasi tik pa ir kurie vienas nuo kito skiriasi tik pa

.362892

9 89 89

C .



86

3 sprendimasVaizdas ... ...

Taškų skaičius 2 3 4 ... 9

Atkarpų skaičius 1 1 + 2 1 + 2 + 3 ... 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36


4 sprendimas Iš devinto taško išeina 8 atkarpos, nes su savimi taškas jungtis negali. Iš aštunto

taško išeis naujos 7 atkarpos. Su kitais taškais analogiškai, tik vis po vieną mažės, taigi atkarpų iš viso bus

8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36.Atsakymas. 36 atkarpos.

Vertinant, kaip mokiniai išsprendė išsamaus sprendimo reikalaujantį uždavinį, reikia turėti omenyje, kad jei neesminę klaidą mokinys įvėlė jau uždavinio pradžioje (prarado tašką), tai toliau mokytojas turi tikrinti sprendimą, atsižvelgdamas į pada-rytą klaidą ir skirti likusius taškus, jei naujų klaidų neatsirado ir iš esmės atsakyta į uždavinio klausimą. Be abejo, toks darbas iš mokytojo pareikalauja papildomo laiko, o tai dar viena priežastis, kodėl objektyviai įvertinti tokių uždavinių sprendimus yra sunkiau.

Struktūrizuoti uždaviniai. Silpnesni ir net vidutiniai mokiniai kartais negali sugal-voti pačios uždavinio sprendimo idėjos (tai aukšto lygio gebėjimas), todėl iš karto pra-randa labai daug taškų, net negalėdami pademonstruoti, kad vis dėlto šį bei tą ir jie sugeba.

Ši problema išsprendžiama naudojant struktūrizuotus uždavinius. Tokio uždavi-nio pradžioje pateikiama įvadinė informacija, o vėliau su ja susiję klausimai. Pradiniai klausimai sudaromi taip, kad juose užkoduota papildoma informacija galima būtų pa-sinaudoti ieškant atsakymo į tolimesnius uždavinio klausimus. Tokiu atveju, neatsakęs į pirmuosius klausimus, mokinys gali dirbti toliau, ir tiek pačiam mokiniui, tiek moky-tojui aiškiau, kuriuos žingsnius mokinys jau moka atlikti (žr. 21 pvz.).

Mokant mokinius spręsti struktūrizuotus uždavinius, būtina atkreipti jų dėmesį į tai, kad tolimesniuose klausimuose slypinti papildoma informacija negali būti panau-dojama atsakant į ankstesnius klausimus (klaidingas mąstymo ratas).


87

21 pavyzdys Į apskritimą, kurio centras – taškas O, o spindulys

lygus R, įbrėžtas kvadratas ABCD ir lygiakraštis tri-kampis MNK.

1) Įsitikinkite, kad 2ABCD R2S = .

2) Parodykite, kad MNKS = 2R4

33 .

3) Apskaičiuokite, kiek kartų kvadrato plotas di-desnis už lygiakraščio trikampio plotą.

Sunkinant ar lengvinant tarpinius klausimus, pateikiant didesnį ar mažesnį jų skai-čių, galime geriau pritaikyti uždavinį mokinio mokymosi poreikiams, laiku suteikti būtiną pagalbą. Struktūrizuotų uždavinių vertinimas sunkesnis. Reikia numatyti gali-mas mokinių klaidas, jiems atsakant į pirmuosius klausimus ir antrąkart nebausti mo-kinių, kai tolimesniame sprendime jie teisingai panaudoja prieš tai gautus rezultatus. Norėtųsi atkreipti dėmesį į tai, kad ne kiekvienas uždavinys su keliais klausimais yra struktūrizuotas. Jeigu pirmieji klausimai nesusiję su tolimesniais, turime tiesiog dviejų trumpo sprendimo uždavinių derinį vienoje uždavinio sąlygoje.

Beje, konstruojant struktūrizuotus uždavinius, juose gali būti derinami pasirenka-mo atsakymo, trumpo ir išsamaus atsakymo ir sprendimo ar pagrindimo reikalaujan-tys klausimai. Svarbu, kad jie būtų įvairūs, leidžiantys mokiniui pademonstruoti kuo įvairesnius gebėjimus.

Uždavinio sprendimo vertinimas. Įvairiuose uždavinio sprendimo etapuose mo-kiniams tenka atlikti skirtingas intelektualines operacijas. Tiesiogiai stebint mokinio darbą, kalbantis su juo lengviau suprasti, kaip mokinys samprotauja, su kokiomis pro-blemomis susiduria. Tačiau pamokos laikas ir didelis mokinių skaičius klasėje riboja mokytojo galimybes tiesiogiai stebėti kiekvieną mokinį. Todėl mokytojas turi nuolat tobulinti savo kompetenciją diagnozuoti esamų mokinio gebėjimų lygį, įvardyti pro-blemas iš mokinio rašto darbų.

Susipažinkime su dviem veiksmingais mokinių rašto darbų vertinimo būdais: sprendimo vertinimu pagal pasirinktus rodiklius ir sprendimo kodavimu.


88

Praktinis darbas „Vertinimas pagal pasirinktus rodiklius“1. Savarankiškai sąsiuviniuose išspręskite uždavinį: „Žinoma, kad skaičius 72 da-

lijasi iš skaičiaus a ir dalijasi iš skaičiaus b (a, b ∈ N). Ar teisingas teiginys, kad skaičius 72 dalijasi iš skaičių a ir b sandaugos?“

2. Parašykite, kokius gebėjimus, jūsų manymu, atskleidėte (turėjote atskleisti) už-davinio sprendimo ir jo apiforminimo eigoje.

3. Aptarkite grupėmis savo sprendimus: palyginkite, ar vienodai suvokėte uždavi-nio sąlygoje slypinčią problemą (žinojote, koks teiginys laikomas teisingu) ir ar tai įvardijote (parašėte) pateikdami sprendimą; ar gebėjote tinkamai pasirinkti uždavinio sprendimo būdą; ar tikrai pasirinkote racionaliausią sprendimo būdą; ar teisingai pritaikėte pasirinktą uždavinio sprendimo būdą ir be klaidų atlikote matematines procedūras, kol gavote sprendinį; ar parašėte sprendimu paremtas išvadas.

4. Pabandykite, dirbdami grupėmis, sukurti spręsto uždavinio vertinimo instruk-ciją.

5. Pagal Jūsų sukurtą vertinimo instrukciją įvertinkite toliau pateiktus darbus (Pas-taba: mokinių darbų kalba netaisyta).

1 mokinio uždavinio sprendimas

Reikia rasti a ir b, kad teiginys pasitvirtintų. Tegul a = 2, b = 3.


Tegul a = 2, tai 72 : 2Tegul b = 9, tai 72 : 9Tegul a = 18, tai 72 : 18Tegul b = 24, tai 72 : 24

Ats.: gali dalytis, o gali ir nesidalyti

Žiūrime, ar 72dalijasi iš a:

72 : 2 = 36

Žiūrime, ar 72dalijasi iš b:

72 : 3 = 24

Žiūrime, ar 72dalijasi iš ab:

72 : 6 = 12


Randam 72 daliklius: 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36.Randam visas sandaugas, iš kurių dalijasi 72:


Teiginys laikomas teisingu, jei jis yra teisingas su visomis a ir b galimomis reikšmėmis (šiuo atveju a ir b reikšmės – 72 dalikliai).Pastebiu, kad nors 72 dalijasi iš 36 ir 72 dalijasi iš 72, tačiau nesidalija iš jųandaugos, taigi sąlygo-je nurodytas teiginys nėra teisingas.

Ats.: teiginys nėra teisingas.

72 : (2 · 3) = 1272 : (4 · 6) = 372 : (2 · 4) = 9

72 : (4 · 18) = 172 : (3 · 12) = 272 : (3 · 24) = 172 : (2 · 36) = 1

72 : (3 · 4) = 672 : (8 · 9) = 172 : (3 · 6) = 472 : (2 · 6) = 6

72 : (2 · 12) = 372 : (2 · 18) = 2

Ats.: radau visus atvejus, kada teiginys yra teisingas


89

6. Perskaitykite toliau pateiktą ištrauką iš BP (Pradinio ir pagrindinio ugdymo bendrosios programos, 2008) apie įvairių gebėjimų lygių nustatymą. Įvertinkite kiekvieno mokinio atitinkamo gebėjimo lygį, kurį jis pademonstravo spręsda-mas uždavinį. Parašykite rekomendacijas kiekvienam mokiniui, ko artimiausiu metu jis turėtų pasimokyti.

Ištrauka iš Pradinio ir pagrindinio ugdymo bendrųjų programų (2008, p. 836–838)

„Patenkinamas pasiekimų lygisKomunikavimas. Bando perteikti (žodžiais, simboliais ar kitaip) pagrindines mintis,

uždavinio sprendimą, panaudoti kai kuriuos terminus ir simbolius, tačiau iš pateikimo ryškėja, kad nepakankamai suprantamas komunikavimo tikslas. Perteikiami atskiri, labai trumpi, be paaiškinimų, nesusieti uždavinio sprendimo fragmentai. Matematinis komunikavimas ribotas.

Žinios ir supratimas, įgūdžiai ir procedūros, mąstymas ir problemų sprendimas. At-kartoja tam tikras žinias, bet žinių suvokimo lygis ir supratimas paviršutiniški. At-lieka ugdymo turinio tematikoje apibrėžtas pagrindines standartines procedūras tik spręsdamas elementarius arba supaprastintus uždavinius įprastame kontekste. Atpa-žįsta bei nagrinėja tik atskiras tiriamojo klausimo detales, jų nesiedamas, neįžvelgia dėsningumų, ryšių dalyko viduje bei su kitomis sritimis.

Reflektavimas į problemos sprendimo rezultatus ir išvadų darymas. Pateikia tam tikrus rezultatus ar išvadas, paremtas sprendimu, tačiau dėl sprendime pasitaikiusių klaidų gautas rezultatas ar daromos išvados yra klaidingos, nedera su konkrečiais na-grinėtais atvejais, nepagrįstos loginiais samprotavimais, atsakymo neargumentuoja ir neinterpretuoja.

Pagrindinis pasiekimų lygmuoKomunikavimas. Supranta svarbiausias sąvokas ir procedūras, apibrėžtas ugdymo

turinio, teisingai jas taiko. Iš esmės teisingai pateikia uždavinio sprendimą, panaudoja tinkamus terminus bei simbolius. Trūksta tikslumo, nuoseklumo, rišlumo, glaustumo, kartojasi, „šokinėja“ mintys, nepagrindžiami esminiai momentai.

Žinios ir supratimas, įgūdžiai ir procedūros, mąstymas ir problemų sprendimas. At-gamina žinias, taiko jas naujose, bet nesudėtingose situacijose, tačiau žinios nėra labai išsamios. Pasirenka ne visai racionalias problemų sprendimo strategijas, tačiau suderi-na kelis algoritmus standartinėse situacijose. Gerai atlieka daugumą matematinių pro-


90

cedūrų, daromos klaidos neesminės. Taiko ryšius, iš esmės naudoja analizę ir sintezę, tačiau objektai ir reiškiniai nagrinėjami ne pagal visus būdingus bruožus. Vis dėlto daugeliu atvejų demonstruoja produktyvųjį mąstymą.

Reflektavimas į problemos sprendimo rezultatus ir išvadų darymas. Teisingai spren-džia problemą, paaiškina uždavinio sprendimą ir gautus rezultatus, tačiau gauto atsa-kymo ar išvados neinterpretuoja pradinės sąlygos kontekste. Problema lyg ir išspręsta, tačiau nevisiškai susiejami atskiri sprendimo etapai, dėl to sprendimas tarsi nutrūksta ir nepateikiamas galutinis atsakymas ar nepadaroma galutinė išvada.

Aukštesnysis pasiekimų lygmuoKomunikavimas. Veiksmingai, nuosekliai, pilnai, sklandžiai, bet glaustai pateikia

uždavinio sprendimą, kuriame nėra loginių klaidų. Tiksliai bei tikslingai naudoja tin-kamus simbolius bei terminus.

Žinios ir supratimas, įgūdžiai ir procedūros, mąstymas ir problemų sprendimas. Puikiai supranta visas svarbias su tema susijusias žinias. Daugeliu atvejų pasirenka veiksmingą ir racionalią problemos sprendimo strategiją, be žymesnių klaidų atlieka esmines procedūras. Apžvelgia būdingus objektų bei reiškinių bruožus, nustato ne tik pagrindinius, bet ir smulkesnius jų sąryšius ar dėsningumus. Demonstruoja kūrybi-niam mąstymui būdingus elementus neįprastame kontekste. Pasižymi minčių origina-lumu, kritiniu mąstymu.

Reflektavimas į problemos sprendimo rezultatus ir išvadų darymas. Tinkamai ref-lektuoja, daro išsamias ir tikslias išvadas, paremtas teisingu problemos sprendimu, randa teisingą atsakymą (sprendinį, rezultatą) ir interpretuoja jį pradinės sąlygos kontekste“.

Uždavinio sprendimo kodavimas. Tarkime, mokiniai turi išspręsti paprastą teks-tinį uždavinį. Jeigu uždavinio sąlygoje nenurodyta, kokiu būdu jie turėtų šį uždavinį išspręsti, tai tikėtina, kad mokiniai bandys spręsti įvairiai: vieni rinksis aritmetinį jo sprendimo kelią, o kiti bandys sudaryti lygtį. Jei mokytojui įdomu, kokias uždavinio sprendimo strategijas renkasi jo mokiniai, mokytojas gali mokinių darbus koduoti, t. y. charakteringus sprendimus pažymėti tam tikrais skaičių deriniais.

Koduojant mokinių darbus galima gauti vertingos informacijos ir apie mokinių da-romas tipines klaidas. Pavyzdžiui, dalis mokinių, spręsdami dviejų taškų uždavinį, gauna tašką. Vieni jį gavo už teisingai sudarytą lygtį (antrojo taško negavo, nes padarė klaidų ją spręsdami). Kiti mokiniai nors lygtį sudarė ir neteisingai (tačiau pagal sudė-tingumą ji adekvati teisingai sudarytajai), bet teisingai ją išsprendė, taigi irgi gavo taš-


91

ką. Koduodamas abu sprendimų variantus, mokytojas gali gauti informacijos, kokiam mokymo aspektui reikėtų skirti daugiau dėmesio.

Koduojant mokinių darbus verta įsidėmėti, kad kiekvienam mokinio darbui gali būti priskiriamas tik vienas kodas. Įvesti labai daug kodų irgi neverta – koduoti reikia tik tipines klaidas ar kokius esminius mus dominančius aspektus.

Susipažinti su darbų kodavimo pavyzdžiais galite nagrinėdami nacionalinių moki-nių pasiekimų tyrimų ataskaitas (www.pedagogika.lt).

Diskusijų klausimai Kokia uždavinių vieta ir reikšmė matematikos mokymosi procese?Kodėl mokytojui svarbu išmokti į uždavinį pažvelgti kuo įvairesniais pjū-viais?Ar sutinkate su teiginiu „Ar uždavinys probleminis, galime spręsti tik iš ugdy-mo konteksto“. Atsakymą pagrįskite.Kokios yra probleminių uždavinių sprendimo strategijos? Kada mokinius mokyti probleminių uždavinių sprendimo strategijų? Paaiškinkite sąvokas uždavinio sunkumas ir uždavinio sudėtingumas.Ar mažindami sprendžiamų uždavinių skaičių pamokoje, galime pasiekti ge-resnių mokymosi rezultatų? Savo nuomonę argumentuokite.

Praktinis darbas (grupėmis)Paimkite kontrolinio darbo užduotį. Pabandykite įvertinti, kokios srities gebė-jimus matuoja kiekvienas atskiras uždavinys ir jų visuma.Pasiūlykite, kas VII–VIII klasės mokiniui būtų įdomu. Pasirinkite gebėjimą, kurį ketinate formuoti (žr. Pradinio ir pagrindinio ugdymo bendrosios progra-mos, 2008). Sugalvokite praktinio turinio šiuolaikiško konteksto uždavinį.Išspręskite uždavinį ir aptarkite jo sprendimo etapus:

UždavinysParabolės formos simetriškos vartų arkos aukštis yra 4 m, o plotis prie žemės –

3 m. Ar gali pro šiuos vartus įvažiuoti 2 m aukščio ir 2 m pločio transporto priemo-nė? Atsakymą pagrįskite.

Pabandykite savarankiškai per 15 min. išspręsti uždavinį. Vėliau diskutuodami su kitais įsivertinkite:

1.2.

3.

4.5.6.7.

1.

2.

3.

4.


92

– kaip suvokėte uždavinio sąlygą;– kokią uždavinio sprendimo strategiją pasirinkote ir kaip ją sekėsi įgyvendinti;– ar išnagrinėjote gautą sprendinį.

UždavinysPaveiksle pažymėti 9 taškai. Jie išsidėstę kvadrato

viršūnėse, kraštinių vidurio taškuose ir kvadrato cen-tre. Pasirinkus bet kuriuos tris taškus, nesančius vieno-je tiesėje, gaunamas trikampis. Kiek daugiausiai skir-tingų (nelygių) trikampių galima tokiu būdu sudaryti?

Kokias išvadas apie jūsų pažintinį savarankiškumą galima būtų daryti, remiantis šio uždavinio sprendimo rezultatais?

Sakoma, kad geras mokytojas moka paklausti kiekvieną mokinį taip, jog šis atsakytų. Pa-bandykime paklausti kitaip. Suformuluokite paveiksle pateiktą užduotį bent dviem skir-tingais būdais (pavyzdžiui, sudarydami len-telę arba tekstu), palyginkite ir aptarkite savo formuluotes.

5.

Skaitydami skyrelyje pateiktus įvairių formatų uždavinių aprašymus, atkreip-kite dėmesį į tai, kiek kiekvieno formato uždaviniai tinkami mokymo turiniui „padengti“, identifi kuoti tipines mokinių klaidas. Įvertinkite, kaip lengva ar sunku juos sudaryti ir vertinti, kokios jų „nusirašymo“ galimybės ir pan. Savo pastebėjimus rašykite lentelėje, o vėliau visi kartu juos aptarkite.

Uždavinio tipas Pranašumai Trūkumai

Pasirenkamojo atsakymo

Trumpo atsakymo

Trumpo sprendimo

Išsamaus sprendimo

6.


93

Išnagrinėkite keletą skirtingų formatų uždavinių, kurie buvo naudojami išori-nio vertinimo metu (nacionalinių tyrimų ar egzaminų), aptarkite jų sprendimo rezultatus. Sukurkite įvairių formatų uždavinių (su jų vertinimo instrukcija).

Gairės uždavinių sudarymui:paieškokite mąstymą skatinančios medžiagos – iliustracijų, lentelių su duome-nimis, diagramų ir pan.; išanalizuokite surinktą medžiagą: ar ji bus patraukli, įdomi, suprantama tam tikro amžiaus mokiniui, kokius uždavinius, atitinkančius BP, ja remiantis gali-ma būtų sukurti;nuspręskite, kokia forma bus pateikti klausimai: tekstu, grafiku, lentele ir pan.; koks bus uždavinio formatas;jei uždaviniui sukurti naudosite lentelę, diagramą ar grafiką, palikite nedidelę jos dalį, kad per didelis kiekis pašalinės informacijos neblaškytų mokinių dė-mesio;jei klausimui naudosite paveikslėlį, jis turėtų būti funkcionalus – padėti atlikti užduotį; klausimo formuluotėje aiškiai nurodykite, ką mokinys turės daryti ir kokia for-ma pateikti atsakymą;kiekvienu klausimu klauskite tik vieno dalyko. Klausimas turi būti aiškus ir glaustas;kai kursite klausimus, numatykite ir pasižymėkite galimus atsakymus; apgalvo-kite, koks bus jų vertinimas;jei bus keli klausimai, jie turėtų sunkėti palaipsniui. Nelygybę x² – 4 < 0 galima išspręsti įvairiai: taikant skaidymo daugikliais me-todą, intervalų metodą ar grafinį metodą. Išspręskite nelygybę paminėtais bū-dais. Išnagrinėkite ir palyginkite savo sprendimus. Aptarkite ir sukoduokite ti-pines klaidas. Įvertinkite darbus. Apibendrinkite gautus rezultatus. Įvardykite problemas, išryškėjusias iš Jūsų darbų.

Savarankiško darbo užduotysPristatymas. Išnagrinėkite NEC projekto „Brandos egzaminų kokybės sistemos plėtra“ atliktų tyrimų rezultatus – „2007 metų matematikos valstybinio bran-dos egzamino (VBE) užduočių kokybinę analizė“ bei „Matematikos bandomojo egzamino pilotinės užduoties analizė“ – šiais aspektais:

7.

8.

•

•

•

•

•

•

•

•

•9.

1.


94

kokias problemas gvildena 2007 m. VBE kokybinės ataskaitos autoriai ir kaip galima būtų šias problemas spręsti?kokių problemų sprendimo kelių aktualu ieškoti jau pagrindinėje mokykloje?Referatas. Parašykite referatą tema „Įvairūs būdai tam pačiam uždaviniui iš-spręsti“.

•

•2.


95

6 Vadovavimas mokinių mokymosi procesui

šiuoLaikinė ugdyMo turinio PLanaviMo saMPrata

darbo PLanų sudaryMas

MokyMosi uždaviniai

diferencijaviMo saMPrata šiuoLaikinė vertiniMo saMPrata

PradėkiMe PLanaviMą nuo kontroLinio darbo

kontroLinio darbo rengiMo Metodika

Šiuolaikinė ugdymo turinio planavimo

samprata. Ugdymas planuojamas visuose švie-timo lygmenyse: valstybės, savivaldybės, mo-kyklos, mokytojų ir mokinių. Pagrindinius ug-dymo turinį reglamentuojančius dokumentus – Bendrąsias programas ir Bendruosius ugdymo planus (http://www.smm.lt/ugdymas/bendrasis/index.htm) – tvirtina LR švietimo ir mokslo mi-nisterija. Bendrosiose programose apibrėžiami keliami ugdymo tikslai, nubrėžiamos ugdymo turinio gairės, numatomi mokinių pasiekimai. Bendrieji ugdymo planai reglamentuoja ugdymo proceso organizavimą. Šie dokumentai padeda siekti švietimo dermės visose šalies mokyklose.

Planavimas – tai mokymo ir mokymosi apmąstymo ir mode-liavimo procesas. Šiame procese išskiriami šie svarbiausi žingsniai:

− planavimo konteksto (situ-acijos) supratimas;

− priemonių tikslui pasiekti planavimas ir išteklių nu-matymas;

− suplanuotų priemonių įgy-vendinimas;

− suplanuotų priemonių įgy-vendinimo stebėsena;

− vertinimas ir analizė.

Mokymo(si) priemonės, mokinių pasiekimų išorinio vertinimo programos rengia-mos atsižvelgiant į BP programų reikalavimus. Netiesiogiai ugdymo planavimą veikia ir audito metodikos, mokytojų ir vadovų kompetencijas aprašantys dokumentai.

96

Visuose valstybės lygmens dokumentuose ugdymo planavimo tvarka apibrėžiama tik pačiais bendriausiais bruožais. Mokyklos savo darbą planuoja nuolat ieškodamos dermės tarp to, kas siūloma naujausiuose ugdymo turinį reglamentuojančiuose doku-mentuose, ir to, kokią patirtį, išteklius ir galimybes turi pati mokykla. Pačios mokyklos priima sprendimus dėl ugdymo turinio planavimo principų, dėl mokinių pažangos ir pasiekimų vertinimo ugdymo procese būdų ir laikotarpių. Išsamesnis ugdymo plana-vimas paliekamas mokyklos, mokytojo nuožiūrai ir yra prasmingas tiek, kiek padeda užtikrinti sklandų jų darbą ir aukštesnę ugdymo kokybę.

Planuodamas pamoką kiekvienas mokytojas turėtų semtis idėjų ir patirties iš kitų, tačiau svarbu nepamiršti, kad planavimo kokybei nelabai tinka absoliutūs matai, ji yra labai kontekstuali. Pavyzdžiui, patyrusio mokytojo sukurtas pamokos planas gali vi-siškai netikti pradedančiam mokytojui, nes nepatyręs mokytojas tiesiog neturės kom-petencijos tą planą įgyvendinti.

Svarbu, kad po kiekvienos pamokos mokytojas įgustų apmąstyti ir įsivertinti savo pamoką. Pavyzdžiui, jei jam dažnai nesiseka palaikyti mokinių drausmės, tai šiam aspektui jau planuojant kurį laiką reikėtų skirti daugiau dėmesio.

Verta įsigilinti, ar vienoje ir kitoje klasėje išryškėjusi problema egzistuoja ir kitų mokytojų pamokose. Norint tobulinti planavimą, iš tiesų reikia tobulinti ne tik moky-tojo kompetencijas, bet ir visą mokyklos vadybą.

Taigi siekdami ugdymo kokybės, turime siekti visų lygmenų ir grandžių glaudaus bendradarbiavimo ir didelės asmeninės atsakomybės prisiėmimo: juk kiekviename švietimo sistemos lygmenyje esama milžiniškų galimybių patobulinti ar iškraipyti, kūrybiškai pritaikyti ir išplėtoti ugdymo turinį.

Darbo planų sudarymas. Kiekvienų mokslo metų pradžioje mokykloje tvirtinami kiekvieno dalyko mokytojo parengti ilgalaikiai planai. Tai mokytojų ir mokinių vei-klos perspektyva ilgesniam laikotarpiui (dviem metams, metams ar pusmečiui).

Ilgalaikio planavimo esmė ir prasmė – pasiekti susitarimą, kaip bus mokoma ir moko-masi, bendradarbiaujama, kaip suplanuotas vertinimas padės at(si)naujinti, patobulėti. Visi klasėje dirbantys mokytojai drauge apmąsto, kaip mokys mokinius mokytis, įtrauks juos į aktyvų pažinimo procesą, per visas pamokas formuos BP apibrėžtus bendruosius gebėji-mus, numatydami integracinius ryšius ir suplanuodami atitinkamas mokinių veiklas.

Dalykų mokytojai drauge apmąsto, kaip mokyklos lygmeniu sieks įgyvendinti su-planuotus tikslus, aptaria vertinimo sistemą, suderina tarpusavyje vertinimo meto-dus ir formas. Kartu mokytojai apsvarsto savo profesinės kompetencijos tobulinimo kryptis ir etapus. Kaip svarbiausi, būtiniausi, aktualiausi susitarimų elementai turė-

Vadovavima s mokinių mokymosi proce sui

97

tų atsispindėti kiekvieno mokytojo ilgalaikiame plane – taip pat mokyklos mokyto-jų susitarimo reikalas. Atskiras mokytojas atsižvelgia į mokyklos lygmeniu priimtus susitarimus, tačiau savo ilgalaikiame plane suplanuoja tik tai, ką įgyvendinti jau yra pasirengęs, turi tam reikiamus gebėjimus ir išteklius.

Ilgalaikiame plane jis privalo užrašyti mokymo(si) tikslus, nurodyti pagrindinius mokymosi šaltinius ir priemones. Suderinęs jų mokymo(si) turinį su reikalavimais mo-kinių žinioms ir gebėjimams Bendrosiose programose, jis tiksliai apibrėžia mokymo(si) turinį ir suskirsto jį įvykdomais ir nuosekliais mokymosi etapais. Planuojama ne „ką reikia išeiti“, o kokį rezultatą turėtų pasiekti mokiniai, su kokia medžiaga ir kaip jie dirbs, kad įgytų numatytas dalyko žinias, gebėjimus ir nuostatas. 21 paveiksle pateik-tas galimo ilgalaikio plano formos pavyzdys.

Labai svarbus yra ir pamokų sekų bei atskirų pamokų planavimo etapas. Šiame etape svarbu gerai apmąstyti:

kiekvienos pamokos pagrindinę idėją (kuo ši pamoka bus vertinga, kaip ji sieja-si su ankstesnėmis pamokomis ir su tuo, ką planuojame daryti ateityje, kokios galimybės joje ugdyti bendruosius gebėjimus);mokymosi uždavinius (jie turi pasakyti, ko mokiniai išmoks per šią pamoką, kaip ir kokiomis sąlygomis bus galima įsitikinti, kaip numatytas tikslas pasiektas);mokinių veiklas mokymosi uždaviniams pasiekti, pamokos laiko paskirstymą;mokinių veiklų vertinimo būdus.

22 paveiksle pateiktas galimo pamokos plano formos pavyzdys.

Klasė: ...Trumpa klasės charakteristika: ...Pamokų skaičius per metus: ...Pagrindiniai metų mokymo(si) tikslai…Mokymo ir mokymosi priemonės ir šaltiniai: ...

Vadovėlio skyrius, temos

Trukmė, pa-mokų

skaičius

Bendrosios programos (2008)

Integracija VertinimasMokinių gebėjimai Nuostatos

21 pav. Ilgalaikio plano formos pavyzdys

•

•

••


98

Pamokos tema: ... Data ...Pamokos tipas: ...Mokymo ir mokymosi priemonės ir šaltiniai, kurie naudojami pamokoje: ...Mokymosi uždaviniai: ...

Pamokos eiga, laikas Mokytojo veikla Mokinio veikla Pagrindimas, vertinimas, komentarai

22 pav. Pamokos plano formos pavyzdys

Mokymosi uždaviniai. Kodėl svarbu kuo anksčiau ir aiškiau apibrėžti mokymosi uždavinius? Pirmiausia todėl, kad tik aiškiai apibrėžti uždaviniai rodo, ko iš tikrų-jų siekia mokymo(si) proceso dalyviai, kaip yra suprantami siekiniai. Kai aiškiai api-brėžta, kokių žinių ir gebėjimų siekiama, tai ieškoma situacijų, kurios padėtų siekti iš(si)keltų uždavinių įgyvendinimo. Tai savo ruožtu skatina per pamokas suplanuoti tokias mokinių veiklas, pasirinkti tokius darbo metodus ir užduotis, kurios veda link laukiamų rezultatų. Tuomet natūraliai kyla poreikis analizuoti surinktą vertinimo in-formaciją, gautus rezultatus palyginti su užsibrėžtais uždaviniais.

Jei mokytojas skiria laiko mokymosi uždaviniams išaiškinti mokiniams (nebūtinai tiesiogiai), tai mokiniai pozityviau žvelgia į mokymąsi, ima labiau pasitikėti savimi, mokymasis jiems atrodo labiau prasmingas, nes jie kartu išsiaiškina ir susitaria, kokios žinios, gebėjimai ir nuostatos jiems atrodo svarbūs, kaip juos galima įgyti, išmatuoti, kaip ir kada įvertinti. Be abejo, keldamas atskirų pamokų (jų sekų) mokymosi užda-vinius, mokytojas privalo atsižvelgti ne tik į BP reikalavimus, bet ir į klasės mokinių galias, jų mokymosi ypatumus ir pan.

Gerai suformuluoti mokymosi uždaviniai turėtų būti konkretūs, glaustai ir aiškiai apibrėžti, išmatuojami. Jų formuluotėse reikėtų vengti tokių žodžių kaip „supras“, „su-voks“. Jie turėtų nusakyti, ką ir kokiomis sąlygomis mokiniai gebės padaryti ir rodo, kokiais kriterijais bus remiamasi vertinant. Visada (tiesiogiai ar netiesiogiai) jie turi apimti ne tik žinias ir įgūdžius, bet ir kitus, su gebėjimais ir nuostatomis susijusius kompetencijų elementus.

Prieš formuluojant pamokos mokymosi uždavinius, labai svarbu apgalvoti, ko iš tikrųjų siekiame: gal keliame sau tikslą, kad mokiniai suprasdami priimtų tai, ką aiš-


99

kiname, o gal manome, kad jie per pamoką turėtų išmokti pritaikyti ankstesnėse pa-mokose išnagrinėtus teiginius? Mes galime užsibrėžti, kad mokiniai pamokoje susietų kelių sričių žinias, atrastų naujus modelius, o galbūt, įvertinę vieni kitų darbus, pasiū-lytų, kaip juos patobulinti?

Apgalvojant pamokų sekų mokymosi uždavinius tikrai verta pasinaudoti vienu di-džiausiu JAV pasiekimu šioje srityje – žinių ir gebėjimų tikrinimo biblija – B. S. Bloomo taksonomija, kurią 1990 m. B. S. Bloomo mokiniai, vadovaujami L. Anderson, sumo-dernino, pasiūlydami tinkamesnę XXI a. darbui jos versiją. Ši taksonomija padeda kel-ti tokius mokymosi uždavinius ir sudaryti tokius klausimus, kurie akcentuoja įvairius pažinimo lygius (žr. 23 pav.).

6 lygis. Sukuria naują produktą, išreiškia savitą po-žiūrį, pasiūlo, išplėtoja idėją, kelia hipotezes, reko-menduoja, svarsto, atsižvelgia, įtikina, kritikuoja

5 lygis. Pagrindžia nuomonę ar sprendimą, at-renka pagal kriterijus, įvertina, įsivertina, derina, jungia, supriešina, produkuoja, planuoja

4 lygis. Įžvelgia skirtingus aspektus, pastebi skirtumus, išnagrinėja, suskaido į dalis, gru-puoja, daro išvadas, atskiria, kritikuoja, suda-ro, ranguoja

3 lygis. Parenka, demonstruoja, panaudoja tam tikram tikslui, išsprendžia, užrašo, taiko, pla-nuoja, atskleidžia, atranda, modeliuoja, modi-fikuoja

2 lygis. Klasifikuoja pagal nurodytą požymį, pa-aiškina, aptaria, atpažįsta, perfrazuoja, iliustruo-ja, išplėtoja, pratęsia, susieja, nuspėja, išreiškia

1 lygis. Atsimena, atkartoja, pakartoja, atlieka pagal pavyzdį, suranda, surikiuoja, atpasakoja, išvardija

23 pav. Pažinimo lygiai (pgl. B. S. Bloomą, L. Anderson, 1990,

http://projects.coe.uga.edu/epltt/index.php?title=Bloom%27s_Taxonomy)


100

Išmokti formuluoti mokymosi tikslus ir uždavinius gali padėti tokia lentelė:

1. Bendrojisakinio dalis

2. Veiksmažodis(frazė)

3. Papildinys 4. Kontekstas arba sąlyga

Mokinys geba paaiškinti ryšius tarp sąvokų ...

apibūdinti skirtumus tarp ...

įvertinti gautą rezultatą atsižvelgdamas į ...

Diferencijavimo samprata. Šalies švietimo dokumentuose išreiškiama nuostata, kad turime pripažinti kiekvieno mokinio savitumą, suprasti kontekstinius veiksnius, kurie lemia mokinių geriausius mokymosi rezultatus, nustatyti bet kokius sunkumus, su kuriais jie gali susidurti, ir pagal galimybes juos pašalinti.

Pripažinti mokinių savitumą, tai reiškia pagal galimybes jiems pritaikyti ugdymo turinį. Tai iš mokytojo reikalauja nemažai pastangų ir naujų kompetencijų. Įsivaiz-duokime dvi klases, kurių mokinių matematikos trimestro pažymių vidurkiai vienodi, tačiau vienoje klasėje yra nemažai labai stiprių ir labai silpnų mokinių, o kitos klasės visų mokinių mokymosi rezultatai artimi. Sutikite, norėdami pagerinti šių klasių mo-kinių mokymosi rezultatus, turėsime elgtis kiek kitaip. Be abejo, daugiau pastangų iš mūsų pareikalaus ta klasė, kurioje mokinių gebėjimai ir poreikiai įvairesni. Jei daugiau dėmesio skirsime labiau pažengusiems, ne kažin ką pajėgs išmokti silpnesni mokiniai. Ir atvirkščiai, pernelyg daug susitelkę ties silpnesniaisiais, priversime nuobodžiauti la-biau pažengusiuosius.

Atlikti tyrimai rodo, kad mokinių mokymosi sėkmė priklauso nuo to, kaip mo-kytojas supranta mokinių poreikius ir interesus, jau planuojant rimtai susimąsto apie mokiniams keliamus tikslus ir uždavinius, mokymo turinio elementų pritaikymo ga-limybes, mokymo ir mokymosi metodų tinkamumą, vertinimo būdų įvairovę.

Svarbu suprasti, kad diferencijavimas – tai ne tik „įvairių užduočių“ parinkimas. Kaip teigia T. R. Guskey (2004), diferencijavimas – tai mąstymo būdas, susimąstymas apie savo įvairialypius mokinius, apie tai, ką jie tikrai turi išmokti ir kokiu būdu, ap-mąstymai apie jų mokymosi proceso ir rezultatų vertinimą.

Galvojimas apie ugdymo turinio diferencijavimą, tai galvojimas apie daugialygmenį pamokos vedimo procesą. Pirmiausia tai – aiškių mokymo tikslų ir mokymosi uždavi-nių numatymas, pripažįstant esamą mokinių pasiekimų lygį. Tai mokinių skatinimas varžytis ne su kitais, o su savo ankstesniuoju darbu.


101

Mokytojas turi išmokti mokymo turinį atsirinkti tikslingai. Kasdieniu jo įpročiu turi tapti tokių klausimų apmąstymas, kaip antai: kodėl svarbu to išmokyti, kokie yra esminiai elementai ar veiksmai, kuriuos kiekvienas mokinys turi žinoti, kokias žinias ar įgūdžius mokiniai atsineš į pamoką ir išsineš iš jos?

Apmąstęs mokymo turinį, mokytojas turi apgalvoti, kokie mokymo metodai būtų tinkamiausi, t. y. kaip atskiroms mokinių grupėms geriau pateikti sąvokas, susieti jas su jų poreikiais, pomėgiais, patirtimi, kad įgytos žinios ir įgūdžiai jiems atrodytų svar-būs.

Mokytojas turi pasirūpinti mokinių praktinės veiklos ir užduočių atlikimo metodų įvairove. Jis turi apmąstyti, ar pakankama siūlomų technikų įvairovė, ar palankios aplinkybės, kuriomis mokiniai apdoros informaciją, ar numatyti mokymosi būdai pa-dės jiems siekti rezultato, ar bus tinkamas pratybų sudėtingumo lygis ir mokymosi tempas?

Labai svarbu apmąstyti vertinimo pamokoje aspektus, kaip antai tokius: ar siekia-mas rezultatas yra kiekvieno mokinio tobulėjimas, ar mokiniai gali pasirinkti būdą parodyti, ko išmoko, ar laiku gaunamas grįžtamasis ryšys, ar grįžtamasis ryšys žvelgia į ateitį, pozityvus, t. y. konstruktyvus, ar grįžtamasis ryšys nukreiptas į užduotį, o ne į ego.

Tik nuolat analizuodamas mokinių mokymosi rezultatus, mokytojas gali įvertinti, kuri „grandis“ yra silpniausia, o tada imti ieškoti būdų identifikuotai problemai iš-spręsti.

Taigi, kaip matome, vienareikšmiai atsakyti į klausimą, ką daryti, kad visų moki-nių poreikiai būtų kuo geriau patenkinti, o jų turimi gebėjimai lavinami tinkamiausiu būdu, nėra paprasta. Turime suprasti, kad norėdami, kad kažkas mūsų praktikoje pa-sikeistų, pirmiausia turime stengtis tobulėti patys.

Vertinimas visada veikia mūsų emocijas, priverčia susimąstyti, keistis, tobulėti. „Mokinių pažangos ir pasiekimų vertinimo sampratoje“ (2004) nurodoma, kad pa-grindinis šiuolaikinio vertinimo tikslas – padėti mokiniui mokytis ir bręsti kaip asme-nybei; pateikti informaciją apie jo mokymosi patirtį, pasiekimus ir pažangą; nustatyti mokytojo, mokyklos darbo sėkmę, priimti pagrįstus sprendimus.

Dėmesio sutelkimas į sėkmę lemiančių sąlygų sukūrimą skatina labiau apmąstyti, kokie bus renkami faktai, kaip jų pagrindu vykdoma veikla bus peržiūrima, patobu-linama, keičiama. Tik tikslinga ir kryptinga veikla, lydima patvirtinančių faktų, jog einama tinkama linkme, atvira kaitai ir koregavimui, gali užtikrinti, jog bus pasiekta numatytų tikslų.


102

Šiuolaikinė vertinimo samprata. Kalbėda-mi apie šiuolaikinį vertinimą, turime galvoti apie nuolatinį bendruomenės dialogą ir pasiektų susita-rimų, kokios žinios, gebėjimai ir nuostatos mums atrodo svarbūs, kaip juos galima išmatuoti ir įver-tinti, atnaujinimą.

Vertinimo kaitos šalyje strategija yra išdėstyta leidinyje „Mokinių pažangos ir pasiekimų vertini-mo samprata“ (2004). Jame nurodyti tokios moki-nių pažangos ir pasiekimų vertinimo nuostatos ir principai:

vertinimas grindžiamas šiuolaikine moky-mosi samprata, amžiaus tarpsnių psicholo-giniais ypatumais;vertinama: mokinių žinios ir supratimas, bendrieji ir dalyko gebėjimai, vertybinės nuostatos ir elgesys;vertinimas yra pozityvus ir konstrukty-vus – vertinama tai, ką mokinys jau išmo-ko, skirtas padėti mokytis; vertinama indi-viduali mokinio pažanga; vertinimas atviras ir skaidrus – su moki-niais tariamasi dėl vertinimo kriterijų ir procedūrų, vengiama pernelyg didelio ver-tinimo formalizavimo;vertinimas objektyvus ir efektyvus – sie-kiama kuo didesnio vertinimo validumo (pagrįstumo) ir patikimumo, remiamasi BP, taikomos modernios vertinimo meto-dikos.

Vertinimas yra procesas, kuris prasideda jau planuojant mokymą(si), nenutrūkstamai vyksta mokant ir mokantis, kaupiant vertinimo informa-ciją, ją fiksuojant ir apibendrinant, nenutrūksta-mai vertinant ir koreguojant patį procesą.

•

•

•

•

•

Vertinimas – nuolatinis in-formacijos kaupimo, inter-pretavimo ir apibendrinimo procesas.Įvertinimas – vertinimo pro-ceso rezultatas, konkretus sprendimas apie mokinio pa-siekimus ir padarytą pažangą.Įsivertinimas – paties moki-nio daromi sprendimai apie daromą pažangą bei pasieki-mus. Vertinimo validumas – ver-tinimo būdai atitinka vertini-mo tikslus. Vertinimo patikimumas – kai tas pats mokinys tomis pačiomis sąlygomis gauna tokį pat įvertinimą; kai galima patikimai palyginti mokinių pasiekimus tarpusavyje arba su nustatytais kriterijais. Mokymosi patirtis – mokinio gebėjimas kelti sau mokymosi tikslus ir jų siekti, planuoti ir prasmingai išnaudoti moky-mosi laiką, naudotis įvairiais informacijos šaltiniais, dirbti grupėmis ir laikytis sutartų taisyklių.Pagrindiniai vertinimo ti-pai:1. Planuojamasis.2. Formuojamasis.3. Apibendrinamasis.


103

Bene taikliausiai, mūsų manymu, šiuolaikinio vertinimo sampratą atskleidė Tho-mas R. Guskey (2000) vertinimą apibrėždamas kaip „sistemingą vertės ar naudingumo tyrimą“. Šio apibrėžimo kiekvienas žodis – reikšminis: sistemingas reiškia apgalvotą procesą, pagrįstą aiškiu ketinimu ir tikslu; žodžiu tyrimas teigiama, kad neatsiejama vertinimo proceso dalimi yra tinkamos ir aktualios informacijos rinkimas ir analiza-vimas; vertė ar naudingumas rodo vertybinį vertės nustatymo, sprendimo priėmimo veiksmą. Kažin, ar galima nusakyti taikliau.

Taip suprantant vertinimo procesą, jame galima išskirti tris, nuo vertinimo tikslų specifikos atskiruose vertinimo etapuose pabrėžiamus, vertinimo tipus:

planuojamasis vertinimas (diagnostinis, ikiformuojamasis, prevencinis);formuojamasis vertinimas;apibendrinamasis vertinimas (vidinis, išorinis).

Kiekvieno tipo specifiką geriau suprasime, vertinimo procesą palygindami su patie-kalo gaminimu: kol renkamės receptą ir jam pagaminti reikiamus produktus – vyksta planuojamasis vertinimas. Kai gaminame ir ragaujame patiekalą – formuojamasis ver-tinimas. O kai patiekalo paragauja garbūs svečiai – apibendrinamasis vertinimas. Jei norime nustebinti ir pamaloninti svečius, daug dėmesio turime skirti būtent planuoja-majam ir formuojamajam vertinimui.

Taigi planuojamasis vertinimas – visa ko pradžia. Jis ruošia dirvą tolimesnei vei-klai. Neįmanoma suplanuoti veiksmingo mokymo(si), jei nežinomi mokinių porei-kiai, jų ypatybės, mokymosi patirtis. Atliekant planuojamąjį vertinimą, pasveria-ma, kiek turimos mokinių žinios ir gebėjimai leidžia siekti numatytų tikslų, kokios esama tikimybės, kad mūsų planai bus įgyvendinti per turimą laiką su turimais ištekliais. Šiame etape kruopščiai analizuojamas kontekstas ir renkama aktuali startinės linijos informacija. Planavimo tikslais atliekamas vertinimas gali padėti iš karto identifikuoti sunkumus, kurie vėliau galėtų pakenkti vertinimo darbui, ir jų išvengti.

Formuojamasis vertinimas – pasikartojantis procesas, iki veiklos pabaigos atlieka-mas daugelį kartų; išankstinis galutinio visa apimančio vertinimo variantas. Jis būtinai turi būti sutelktas į sėkmę lemiančių sąlygų kūrimą. Jo tikslas – suteikti informaciją mokytojams ir mokiniams, ar viskas klostosi kaip planuota ir ar daroma laukiama pa-žanga. Faktai renkami tam, kad jų pagrindu galima būtų vykdyti korekciją, peržiūrėti, patobulinti ar net pakeisti mokymosi programą.

Apibendrinamasis vertinimas naudojamas baigus programą, kursą, modulį siekiant patvirtinti mokinio pasiekimus ugdymo programos pabaigoje: kas buvo įgyvendinta,

•••


104

kokios gautos pasekmės (teigiamos ar neigiamos), kokie gauti galutiniai rezultatai (nu-matyti ir nenumatyti); kartais – ar pasiekta nauda verta išlaidų.

Jei mokinių pasiekimai planuojami ir vertinami pagal tam tikrus kriterijus (pvz., standartus), sakoma, kad atliekamas kriterinis vertinimas. Jei mokinių pasiekimai ver-tinami tarpusavyje – tai norminis vertinimas.

Pradėkime planavimą nuo kontrolinio darbo. Ar dažnai susimąstome, kiek mūsų taikomi vertinimo metodai leidžia mokiniams parodyti tai, ko jie išmoko? Pavyzdžiui, apie ką byloja kontrolinio darbo rezultatai? Kaip bebūtų skaudu ir apmaudu, dar nere-tai jie byloja tik apie nemokšiškai sudarytą kontrolinį darbą. Įsigilinkime.

Pagalvokime, ar turėsime bent kiek daugiau naudos, jei tas pats fotografas tą pačią minutę padarys keletą panašių momentinių nuotraukų? Taip ir su kontroliniu darbu. Jei jame bus daug panašių uždavinių, tai mokinio bendras kontrolinio darbo rezultatas menkai tesiskirs nuo vieno uždavinio sprendimo rezultatų.

Tačiau bendras kontrolinio darbo rezultatas bus jau kitoks, jei pakeisime vien kai kurių uždavinių pateikimo formą. Vieno uždavinio sąlygą pateikime tekstu, kito – pa-sitelkę matematinius simbolius. Pasistenkime, kad būtų uždavinys su schema, lentele, diagrama, grafiku ir pan. Turėkime omenyje ir tai, kad uždavinio atlikimo rezultatai priklausomi ir nuo žodyno sudėtingumo, sakinių struktūros, žodžių kiekio ir sakinių ilgio. Norėdami palengvinti kokį uždavinį, į jo sąlygą įdėkime užuominų, patarimų, pateikime piešinį ar iliustraciją.

Gerai pamąstykime, kokio mąstymo, pažinimo lygį turės pademonstruoti mokinys, kokių veiklos būdų jam teks imtis, kad gautų teisingą atsakymą. Juk užduoties atlikimas iš mokinio gali reikalauti intensyvaus protinio darbo, rašymo, praktinio darbo atliki-mo, įvairių šaltinių panaudojimo ir pan.

Pagaliau uždavinys gali pareikalauti iš mokinio labai skirtingo uždavinio sprendi-mo užrašymo ar pavaizdavimo būdo.

Nemažą įtaką rezultatams darys ir uždavinio kontekstas, todėl būtina apgalvoti, ar žinios ir gebėjimai bus tikrinami remiantis žinomu ar nežinomu kontekstu.

Taip pat reikia turėti omeny, kad net tą patį kontekstą kitaip gali suvokti skirtingo amžiaus, lyčių ar mokymosi stilių atstovai.

Taigi mokytojo tikslas – parinkti, sukurti kiek galima daugiau ir įvairesnių uždavi-nių, kad kiekvieno mokinio gebėjimai galėtų kuo pilniau atsiskleisti.

Svarbu gerai apmąstyti ne tik kiekvieną uždavinį, bet ir tai, kaip atrodys jų visuma. Kontrolinio darbo užduotį (testą) sudarantys uždaviniai turi būti kuo įvairesni tiek


105

sąlygos pateikimo forma, tiek kontekstu. Jie turi matuoti ne vien žinias, bet ir sudaryti sąlygas mokiniams parodyti, kaip jie geba naudotis įvairiomis mąstymo strategijomis.

Pagaliau būtina apgalvoti, kokio sprendimo užrašymo reikalauti iš mokinių; jei no-rėsime, kad visų uždavinių sprendimus mokiniai užrašytų (tai daug laiko reikalau-jantis darbas), negalėsime patikrinti bent kiek didesnės žinių apimties. Šiandien apie tai dar retokai susimąstoma. Apie kontrolinio darbo užduotį imama galvoti tada, kai būna išeita viena ar kelios temos. Tuomet mokytojai mokiniams pasiūlo kitų sudary-tus testus net nesusimąstę, ar jis tinkamas įrankis jų mokinių žinioms ir gebėjimams išmatuoti.

Kai siekiame, kad kontrolinis darbas leistų kuo objektyviau įvertinti, ko ir kaip mo-kiniai išmoko, kokią pažangą padarė, kokios mokinio tolesnio mokymosi galimybės, kokia pagalba reikalinga įveikiant pasitaikiusius sunkumus, tai apie kontrolinio darbo užduotį ir jos vertinimo instrukciją turime pradėti galvoti ne tada, kai tema būna išeita, o tada, kai planuojamas mokymosi procesas, ir tada, kai jis vyksta ir pasimato tai, kas ir kaip taisytina, ko reikėtų atsisakyti, o ką tik patobulinti. Galvodami, kaip patobulinti vertinimą, pradedame galvoti ir apie tai, kaip ir ko mokome. Mokytojas turi pasirū-pinti, kad iki kontrolinio darbo mokiniams būtų sudarytos sąlygos įgyti reikalingų žinių, įgūdžių ir gebėjimų apibendrinamajam darbui gerai parašyti, o tai reiškia, kad pirmiausia jis turi atidžiai peržiūrėti vadovėlį, iš kurio mokosi jo mokiniai.

Kai mokytojui ir mokiniams aišku, kas bus vertinama, tai pozityvia kryptimi kei-čiasi jų santykiai, visi aiškiau suvokia, ko siekia, ir stengiasi pasiekti numatytų rezul-tatų. Net ir tuo atveju, kai mokytojas nepakankamai patyręs savarankiškai parengti testą ir ketina pasinaudoti kitų parengtais darbais, vis tiek jis savo darbą turėtų pradėti planuoti nuo kontrolinio darbo užduoties analizės. Įvertinęs užduoties ir Bendrųjų programų atitikimą, mokytojas turėtų apmąstyti, kaip ją pakoreguoti, geriau pritaiky-ti konkrečiai klasei. Jei klasė stipri, joje dirba labiau patyręs mokytojas, ir kontrolinio darbo užduotis galėtų būti kiek sunkesnė (bet tai nereiškia, kad į ją būtinai reikėtų įtraukti neprograminius uždavinius!). Tuo tarpu silpnoje klasėje pasunkinto kontroli-nio darbo rezultatai greičiausiai bus ne tik apgailėtini, bet ir neinformatyvūs.

Kontrolinio darbo rengimo metodika. Aptarkime kokybiškesnės kontrolinio dar-bo užduoties parengimo ir jos rezultatų vertinimo procesą.

Kontrolinio darbo tematika. Mokinių žinios gali būti tikrinamos iš vienos ar kelių temų arba iš viso kurso. Tikrinti galime tik tuos dalykus, kurių kryptingai bei tiks-lingai mokėme. Visi kontrolinio darbo užduotyje esantys uždaviniai turėtų tikrinti BP apibrėžtus mokinių gebėjimus.


106

Visuomet reikėtų turėti omenyje, kad ilgainiui mokinių atmintyje išliks pagrindinės sąvokos, bendras supratimas, o konkrečias detales jie greičiausiai pamirš. Todėl parink-damas konkrečius uždavinius kontroliniam darbui, mokytojas turi siekti, kad jų visuma sudarytų sąlygas mokiniams pademonstruoti bendrąjį žinojimą apie įvairias uždavinių sprendimo strategijas, bendruosius gebėjimus. Bendrasis žinojimas visada susijęs su aukš-tesniais kognityviniais procesais. Tai mokinio susiformavusių vaizdinių atspindys apie uždavinių atsiradimą iš realių ar abstrakčių probleminių situacijų, apie uždavinių sudėti-nes dalis ir struktūrą; apie problemų sprendimo proceso struktūrą ir etapus, apie matema-tinį modeliavimą ir jo taikymą, sprendžiant įvairius taikomojo pobūdžio uždavinius.

Matuojami gebėjimai. Itin atsakingas etapas – apsibrėžti matuojamus kognityvinius gebėjimus, kuriuos ketinama pamatuoti. Lietuvoje dėl išorinio vertinimo poveikio susi-formavo tradicija skirti dvi pagrindines gebėjimų grupes: reprodukavimo gebėjimai ir produkavimo gebėjimai, kurios savo ruožtu galėtų turėti nuo kelių iki keliolikos rubrikų. Pavyzdžiui, matematinių žinių ir procedūrų reprodukavimo srityje bet kuria kontrolinio darbo užduotimi galėtų būti matuojama, kaip mokiniai: pademonstruoja pagrindinių ma-tematinių sąvokų ir procedūrų žinojimą bei supratimą; atlieka standartines matematines procedūras įprastame kontekste; naudojasi formulių rinkiniais, braižymo įrankiais ir pan.

Matematinių žinių ir procedūrų produkavimo srityje galima būtų matuoti tokius gebėjimus: matematinis mąstymas ir problemų sprendimas; komunikavimas; reflekta-vimas į problemos sprendimo rezultatus ir išvadų darymas. Produktyvusis žinojimas leidžia mokiniui sieti faktus, susisteminti informaciją ir rišliai, nuosekliai suformuluo-ti bei perteikti pagrindinę mintį.

Pasiekimų lygiai. Mokytojas turėtų numatyti, kiek maždaug taškų mokinys galėtų surinkti teisingai išsprendęs visą kontrolinio darbo užduotį ir kurią dalį šių taškų galė-tų susirinkti patenkinamo, pagrindinio ir aukštesniojo pasiekimų lygio mokiniai.

Mūsų patirtis rodo, kad numatant visos užduoties taškų skaičių reikėtų remtis tokia nuostata, kad vienas taškas pelnomas vidutiniškai per 2–3 min., t. y. per 40–45 min. mokinys gali surinkti apie 20–25 taškus.

Paskirstant taškus pagal pasiekimų lygius, šalies mastu rekomenduojamos maždaug tokios proporcijos: 30 proc. taškų mokiniai galėtų surinkti spręsdami lengvus užda-vinius, 40 proc. – vidutinio ir 30 proc. – sunkius uždavinius (Pradinio ir pagrindinio ugdymo bendrosios programos, 2008, p. 797, pastraipa 643). Tačiau mokytojas jas gali, o tam tikrais atvejais ir turi keisti.

Matrica (specifikacijos lentelė). Nors paprastai kontrolinio darbo užduotimi matuo-jami mokinių gebėjimai išmokus vieną temą, tačiau vidinių ir išorinių matematikos


107

ryšių supratimas bei taikymas atsiskleidžia per kitų temų įgytus gebėjimus, integruo-tas problemines užduotis, įvairų uždavinių kontekstą. Visi šie aspektai turėtų būti iš anksto suplanuoti bei atsiskleisti kontrolinio darbo užduoties matricoje.

Paprasčiausios teorinės matricos, kurios prisilaikoma rengiant valstybinio mate-matikos egzamino užduotį, pavyzdį matome 24 paveiksle. Ji sudaroma vadovaujan-tis egzaminų programa, kurioje turinio struktūra ir struktūrinių dalių proporcijos iš anksto apibrėžtos. Matrica rodo, kiek maždaug procentų taškų bus skirta kiekvienai tematikos sričiai ir pagal kokias proporcijas bus matuojamos mokinių demonstruo-jamos veiklos. Susitarta, kad pusę kontrolinio darbo užduoties taškų mokinys galėtų surinkti spręsdamas standartinius, neprobleminius uždavinius, o kitą pusę – proble-minius uždavinius.

Veiklos sritys

Tematikos sritys

Matematinės žinios ir pro-

cedūros

Matematikos taikymai ir matematinis mąstymas

Proc.

Skaičiai, skaičiavimai, algebra 35Geometrija 20Funkcijos ir analizės pradmenys 35Kombinatorika, tikimybės ir statistika 10

Proc. 55 45 10024 pav. Teorinė egzamino užduoties matrica

Ugdymo praktikoje galima naudoti ir kiek sudėtingesnę matricą, kurioje vienu metu būtų derinami įvairesni aspektai (žr. 25 pav.).

25 pav. Kontrolinio darbo užduoties matrica


108

Mūsų pateiktoje matricoje yra nurodytos penkios struktūrinės dalys (BP, pasiekimų lygio, mąstymo pobūdžio ir t. t. atitikimas), tačiau jų skaičių galima mažinti ar didinti, atsižvelgiant į tai, kiek pasirengęs ir patyręs mokytojas. Be to, atsižvelgdamas į klasę, mokytojas gali numatyti tokį procentinį jų pasiskirstymą, kuris leistų geriausiai siekti konkrečiai klasei iškeltų mokymosi tikslų.

Uždavinių kontrolinio darbo užduočiai parinkimas. Numačius kontrolinio darbo me-tmenis, galima pradėti rengti užduotį. Ją sudarysiantys uždaviniai turėtų kuo geriau pa-dengti suplanuotą (teorinę) matricą. Peržiūrint uždavinių banką, iš kurio bus atrenkami uždaviniai kontroliniam darbui, prie kiekvieno uždavinio reikėtų nurodyti matricoje paminėtas charakteristikas: testuojamą gebėjimą, pasiekimų lygio atitikimą ir t. t.

Galvojant apie tai, kokio pobūdžio gebėjimus – reprodukavimo ar produkavimo – tikrins uždavinys, galima būtų remtis tokiais aprašais:

reprodukavimo gebėjimus mokiniai parodo, kai:pademonstruoja pagrindinių matematinių sąvokų ir procedūrų žinojimą bei

supratimą;

atlieka standartines matematines procedūras įprastame kontekste;

naudojasi formulių rinkiniais, braižymo įrankiais paprastiems uždaviniams

spręsti;

produkavimo gebėjimus mokiniai demonstruoja, kai: suderina kelis algoritmus standartinėse situacijose;

pasirenka tinkamą sprendimo strategiją ir ją įgyvendina;

taiko racionalias problemų sprendimo strategijas;

sieja žinomus matematinius faktus ir procedūras tarpusavyje bei su realiomis

gyvenimo situacijomis;

apžvelgia būdingus objektų ar reiškinių bruožus, nustato jų sąryšius ar

dėsningumus;

teisingai supranta nesudėtingus uždavinius ir užduotis, pateiktus žodine

išraiška, lentelėmis, diagramomis ir pan.

taisyklingai vartoja matematinius simbolius ir terminus;

tinkamai perteikia nesudėtingo uždavinio sprendimą,

argumentuoja uždavinių sprendimus ir atsakymus;

gautus rezultatus įvertina ir interpretuoja atsižvelgiant į pradinės sąlygos

kontekstą;

daro išsamias ir tikslias išvadas.


109

Planuojamam kontroliniam darbui reikėtų parengti daugiau uždavinių nei jų bus palikta galutinėje kontrolinio darbo užduotyje. Reikia turėti omenyje, kad kiekvienas uždavinys ar jo dalis pagal kiekvieną matricoje numatytą parametrą galės būti priski-riamas tik vienam matricos langeliui.

Išmokti parengti gerą visais atžvilgiais kontrolinio darbo užduotį tikrai nelengva. Tam reikalingas nemažas mokytojo įdirbis, mokinio galimybių pajautimas. Tačiau to siekdami imame kokybiškai kitaip planuoti mokymą ir mokymąsi bei jo rezultatų įvertinimą.

Norėtųsi atkreipti dėmesį ir į tai, kad uždaviniai kontroliniam darbui yra tik dalis uždavinių, kuriuos mokiniai turėtų mokytis spręsti per pamokas. Yra daugybė užda-vinių, kurie yra nuostabūs kaip mokymosi įrankiai, tačiau gana prasti kaip matavimo įrankiai. Taip pat reikia turėti omenyje, kad kontrolinis darbas yra tik viena iš daugelio mokinių žinių ir gebėjimų vertinimo formų, o kai kurių gebėjimų juo apskritai neįma-noma išmatuoti.

Vertinimo instrukcija. Gerai parengta užduotis turi ne tik tikrinti įvairių pasiekimų lygių mokinių žinias ir gebėjimus, bet ir būti vienareikšmiai vertinama. Taigi rengdami užduotį visada turime galvoti ir apie tai, kaip vertinsime mokinių atliktus darbus. Ver-tinimas neturi atimti daug mūsų pačių laiko, būti aiškus ir suprantamas mokiniams.

Apskritai ligi šiol kontrolinio darbo mokinių sprendimų vertintoju įprasta buvo lai-kyti mokytoją. Tačiau aiškūs kontrolinio darbo užduoties sudarymo kriterijai sudaro prielaidas mokytojui parengti mokinių darbų vertinimo instrukciją, pagal kurią patys mokiniai (ypač aukštesnių klasių) galėtų įsivertinti savo ar klasės draugų darbus. To-kio vertinimo metu surinkta informacija svarbi pačiam mokiniui (kaip jo pasiekimų ir pažangos rodiklis), mokytojui (planuojant bei koreguojant tolimesnį mokymo pro-cesą, pateikiant pasiūlymus išoriniams vertintojams), mokyklos tarybai (informuojant tėvus), metodiniam būreliui (bendradarbiaujant, teikiant pasiūlymus programų suda-rytojams) ir pan.

Šiame etape kiekvienas mokytojas turėtų rasti atsakymus į tokius klausimus: kokio pobūdžio duomenis man pavyko surinkti ir kokias pagrindines išvadas galiu padaryti iš jų aš ir mano mokiniai, kiek yra vertingos kiekvienam mūsų įgytos žinios ir nauja patirtis.

Diskusijų klausimai Kodėl svarbu planuoti ugdymo procesą?Apibūdinkite ugdymo turinio planavimo sampratą.

1.2.


110

Kokia ilgalaikio planavimo esmė ir prasmė?Kaip veiksmingai pasinaudoti kitų mokytojų, vadovėlių autorių parengtais pla-nais?Ar būtina rašyti kiekvienos pamokos planą?Kokie elementai turėtų atsispindėti pamokos plane?Kas yra pamokos mokymosi uždaviniai? Kokie reikalavimai keliami pamokos uždaviniams? Kodėl svarbu kuo anksčiau ir aiškiau apibrėžti mokymosi uždavinius? Suformuluokite pamokos mokymosi uždavinį. Kokio pažinimo lygio pagal B. S. Bloomo taksonomiją juo siekiama? Apmąstykite, kaip galėtumėte pati-krinti, ar jis sėkmingai įgyvendintas.Į ką būtina atsižvelgti, planuojant mokinių veiklas pamokoje?Kodėl jau prieš pamoką būtina numatyti mokinių veiklų pamokoje vertinimo būdus?Kuris teiginys (1 ar 2), Jūsų manymu, geriau atskleidžia šiuolaikinę diferencija-vimo sampratą? Kodėl taip manote?1) diferencijuoti – tai ieškoti kiekvienam mokiniui tinkančio turinio elementų,

mokymo(si) metodų ir vertinimo būdų.2) diferencijuoti – tai užtikrinti, kad kiekvienas mokinys pamokų sekoje rastų

jam pritaikytų turinio elementų, galėtų dirbti ir jam tinkančiais metodais, taip pat galėtų parodyti tai, ko išmoko.

Apibūdinkite šiuolaikinio vertinimo sampratą.Kokie yra šiuolaikinio vertinimo tikslai?Kokia planuojamojo, formuojamojo ir apibendrinamojo vertinimo paskirtis?Kada kontrolinio daro užduotį galime laikyti kokybiška?Kodėl mokytojui svarbu išmokti parengti kokybišką kontrolinio darbo užduotį?Į ką turėtų atsižvelgti mokytojas rengdamas kontrolinio darbo užduotį?

Praktinis darbas (grupėmis) Susipažinkite su keletu ilgalaikių planų pavyzdžių. (Jų galite rasti mokytojų kny-gose, mokytojams parengtose rekomendacijose ir kt. Jų galite paprašyti ir iš dalyko mokytojo.) Atkreipkite dėmesį į planų formas ir tai, kaip juose atsispindi mūsų sky-relyje aptariami aspektai. Kuris planas iš nagrinėtų jums labiausiai patiko, kodėl? Susipažinkite su keletu pamokų planų pavyzdžių. Atkreipkite dėmesį į planų formas ir tai, kaip planuose atsispindėti pamokos mokymosi uždaviniai, mo-

3.4.

5.6.7.8.9.10.

11.12.

13.

14.15.16.17.18.19.

1.

2.


111

kinių veiklos mokymosi uždaviniams pasiekti, laiko paskirstymas pamokoje, mokinių veiklų vertinimo būdai. Kuris planas iš nagrinėtų Jums labiausiai pa-tiko, kodėl?Pasirinkite vadovėlio komplektą. Pasirinkite pamokos temą ir parenkite du ga-limus tos pačios pamokos scenarijus. Kiekviename numatykite fragmentą, ku-riame bus organizuojamas mokinių darbas grupėse. Pirmame pamokos scenarijuje planuokite sudaryti mokinių grupes pagal mo-kinių sugebėjimų lygį, o antrame – planuokite mokinių darbą mišriomis gru-pėmis, kai daugiau gebantys mokiniai padės mažiau patyrusiems. Kiekvienu atveju darbui grupėmis parenkite po komplektą uždavinių. Nepamirškite ap-mąstyti mokinių darbo grupėmis rezultatų vertinimo / įsivertinimo. Pasikeiskite savo darbo rezultatais su kita grupe. Pasiūlykite vieni kitiems, kaip galima būtų patobulinti Jūsų darbus. Apmąstykite, kokios Jūsų asmeninės savybės, gebėjimai ir kaip atsiskleidė šio darbo metu.Pasirinkite vieną kontrolinio darbo užduotį, kurioje nurodytas kiekvieno užda-vinio vertinimas (taškais). Pabandykite užpildyti mūsų skyrelyje pasiūlytą matricą, priskirdami kiekvieną kontrolinio darbo užduotį (su jos taškais) kiekvienu aspektu tik vienam matri-cos langeliui. Palyginkite savo darbus ir padiskutuokite, kaip sekėsi.Pasiūlykite, kaip patobulinti kontrolinio darbo užduotį, kad ji būtų labiau pa-lanki įvairių gebėjimų ir polinkių mokiniams. Paimkite vienos klasės mokinių išspręstą kontrolinį darbą. Pataisykite jų dar-bus pagal Jums išdalytą vertinimo instrukciją. Padarykite mokinių rezultatų suvestinę ir ją išanalizuokite. Parašykite:a) kokius gebėjimus pademonstravo dauguma šios klasės mokinių;b) dvi problemas, su kuriomis susidūrė mokiniai, spręsdami uždavinius;c) rekomendacijas vienam pasirinktam mokiniui, į ką jis turėtų atkreipti dau-

giau dėmesio ateityje;d) kokias išvadas apie mokytojo darbą klasėje galite padaryti. Pateikite jam pa-

siūlymų.

Savarankiško darbo užduotysTyrimas. Jūsų tikslas – parengti rekomendacijas pradedančiajam mokytojui, kaip jis

galėtų per pamokas geriau diferencijuoti mokinių darbą, atsižvelgdamas į:

3.

4.

5.


112

mokinių poreikius ir interesus;sugebėjimus ir gabumus;mokymosi stilių;amžių;kultūrinę ir kalbinę aplinką.a) pasirinkite tik vieną iš mūsų paminėtų aspektų;b) suraskite ir apžvelkite 2–3 šaltinius, kuriuose aptariami, nagrinėjami su šiuo

aspektu susiję klausimai; c) pasirinktu pjūviu išnagrinėkite vieną matematikos vadovėlio komplektą,

kaip ir kiek jį galima pritaikyti diferencijuojant mokinių darbą; d) parenkite 5–7 min. trukmės pristatymą, kuriame pristatykite savo atlikto

tyrimo rezultatus. Nepamirškite parašyti išvadų ir pasiūlymų, susijusių su Jūsų atliktu darbu. Taip pat pasidalykite mintimis apie atlikto darbo naudą Jums. Ką galėtumėte patarti panašų darbą darysiantiems?

Rekomenduojama literatūra savarankiškoms studijomsAktyvaus mokymosi metodai. Mokytojo knyga. (1999). Vilnius: Garnelis.



Bernotas V., Cibulskaitė N. (2006). Pagrindinės mokyklos matematikos mokytojų tai-

komos ugdymo metodikos ypatumai. Pedagogika, t. 82, p. 110–115.

Bitinas B. (2000). Ugdymo filosofija. Vilnius: Enciklopedija.





užduoties bei jos atlikimo vertinimo kriterijai ugdymo procese. Mokymas, mokymasis ir

vertinimas (3). Projekto medžiaga. Vilnius: Švietimo aprūpinimo centras, p. 78–86.

Gage N. L., Berliner D. C. (1994). Pedagoginė psichologija. Vilnius: Alna litera.

Guskey T. R. (2004). Profesinio tobulinimosi vertinimas. Vilnius: Garnelis.


ka, t. 48, p. 116–124.

Kaip keisti mokymo praktiką: ugdymo turinio diferencijavimas atsižvelgiant į moksleivių

įvairovę. (2006). Vilnius: Žara.

Kiliuvienė D. (2002). Integruotojo mokymo didaktiniai aspektai. Pedagogika, t. 57, p. 62–67.

•••••

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.


113

Ko reikia šiuolaikiniam mokytojui? Aktualus mokytojų kvalifikacijos tobulinimo turinys.

Mokomoji knyga mokytojams. (2008). Vilnius: Lodvila.

Marzano R. J. (2005). Naujoji ugdymo tikslų taksonomija. Vilnius: Žara.

Metodinės rekomendacijos. Projekto „Mokymosi krypties pasirinkimo galimybių didini-

mas 14–19 metų mokiniams“ medžiaga. (2007). Priedai. Vilnius: ŠPC, p. 43–69.



jų mokytojas – efektyvios pamokos vadybininkas, ugdytojas ir profesionalas. 6-oji

matematikos ir informacinių technologijų mokytojų respublikinė metodinė praktinė

konferencija, Šiauliai, p. 58–59.

Mokinių pažangos ir pasiekimų vertinimo samprata. Patvirtinta LR ŠMM 2004 m. va-

sario 25 d. įsakymu Nr. ISAK-256. Valstybės žinios, 2004, Nr. 35-1150.

Mokslas ant pakylos. Projekto medžiaga. (2007). Vilnius: TEV.

Moksleivių pažangos ir pasiekimų vertinimas ugdymo procese. ŠPC projektai, 3 knygos.

(2002–2003). Vilnius: Švietimo aprūpinimo centras.

Pečiuliauskienė P. (2008). Studento pedagoginės praktikos vadovas pamokoje. Vilnius:

VPU leidykla.



Pollard A. Refleksyvusis mokymas. (2006). Vilnius: Garnelis.

Rajeckas V. (2001). Ugdymo tikslo samprata. Pedagogika, t. 55, p. 10–13.


vę. In: Lietuvos matematikos rinkinys. T. 47, p. 268–272.

Šiaučiukėnienė L., Visockienė O., Talijūnienė P. (2006). Šiuolaikinės didaktikos pagrin-

dai. Kaunas: Technologija.

Šoktonas (2009). Nr. 1–5. Prieiga per internetą: <www.sokvadoveliai.lt>.

Teresevičienė M., Gedvilienė G. (1999). Mokymasis bendradarbiaujant. Vilnius: Garnelis.

Vertinimas ugdymo procese. Knyga mokytojui. (2006). Vilnius: Aja.

Weeden P., Winter J., Broadfoot P. (2005). Vertinimas. Ką tai reiškia mokykloms? Vil-

nius: Garnelis.



www.pedagogika.lt

www.smm.lt

www.mkc.lt/dokuments/akreditavimas/EM.ppt

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.


114

Literatūra

Aktyvaus mokymosi metodai. Mokytojo knyga. (1999). Vilnius: Garnelis.

Amir A. (2007). The Artist and the Mathematician: The Story of Nicolas Bourbaki, the

Genius Mathematician Who Never Existed. London: High Stakes Publishing.


Aušraitė J., Sičiūnienė V. (2006). Kai kurie matematinio ugdymo kaitos aspektai: IKT

panaudojimas mokymo ir mokymosi diferencijavimui ir individualizavimui. In: 2-oji

tarptautinė konferencija „Informatika mokykloje: raida ir perspektyvos“ (ISSEP). Vil-

nius (el. versija).

Ažubalis A. (1997). Matematika lietuviškoje mokykloje (XIX a. pr. – 1940 m.). Monogra-

fija. Vilnius: Žiburys.

Ažubalis A. (2005). Matematikos didaktika Lietuvos pedagoginėje periodikoje (1945–

1990 m.). Monografija. Vilnius: Generolo Jono Žemaičio Lietuvos karo akademija.


Balčytienė A. (1999). Konstruktyvizmas – švietimo reformų pagrindas. Mokykla,

Nr. 3, p. 16–21; Nr. 4, p. 12–15.

Banionis J. (2006). Matematinė mintis Lietuvoje 1832–1990. Vilnius: VPU leidykla.

Bankauskienė N. (2007). Mokytojo profesijos kompetencijos aprašas. Seminaro me-

džiaga. Prieiga per internetą: <http://www.pprc.lt/MetodineVeikla/naujienos/Mo-

kytojui_butinos_kompetencijos.pdf>. 11.

Bendrojo lavinimo mokyklos programos. Matematika V–XII kl. (1994). Vilnius: Leidy-

bos centras.

Bendrojo lavinimo mokyklos programos. Matematika V–XII kl. (1995). Vilnius: Leidy-

bos centras.

Bendrosios programos ir išsilavinimo standartai. Priešmokyklinis, pradinis ir pagrindi-

nis ugdymas. (2003). Vilnius: Švietimo aprūpinimo centras.

Bernotas V., Cibulskaitė N. (2006). Pagrindinės mokyklos matematikos mokytojų

taikomos ugdymo metodikos ypatumai. Pedagogika, t. 82, p. 110–115.

Bitinas B. (2000). Ugdymo filosofija. Vilnius: Enciklopedija.

Blum A. (1994). Integrated and General Science. The International Encyclopedia of

Education, Vol. 5, p. 2897–2903.


1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

115

Butkienė G., Kepalaitė A. (1996). Mokymasis ir asmenybės brendimas. Vilnius: Margi raštai.

Būdienė V. (1996). Matematikos mokymo kaita reformuojamoje Lietuvos moky-

kloje. In: Lietuvos matematikų draugijos XXXVI konferencijos plenariniai pranešimai.

Vilnius: MII.

Cibulskaitė N. (2000). Matematikos mokymo humanizavimas V pagrindinės mokyklos

klasėje. Daktaro disertacija. Vilnius: VPU.



Dargytė J., Sičiūnienė V. (2008). Kaip pakelti egzamino išlaikymo ribą? In: Lietuvos

matematikos rinkinys. T. 48 / 49, p. 99–104.


užduoties bei jos atlikimo vertinimo kriterijai ugdymo procese. Mokymas, mokymasis ir

vertinimas (3). Projekto medžiaga. Vilnius: Švietimo aprūpinimo centras, p. 78–86.

Dobravolskaitė D., Sičiūnienė V. (2003). Ko ir kaip mokome. Matematika. Mokymas,

mokymasis ir vertinimas (3). Projekto medžiaga. Vilnius: Švietimo aprūpinimo cen-

tras, p. 32–35.

Dobravolskaitė D., Sičiūnienė V. (2004). Matematika. Nacionalinis mokinių pasiekimų

tyrimas. 2004. Dalykinė ataskaita: 6 ir 10 klasė. Vilnius: ŠPC, ŠMM, p. 55–98.

Dobravolskaitė D., Sičiūnienė V. (2005). Matematika. In: Nacionalinis mokinių pasie-

kimų tyrimas. 2005. Dalykinė ataskaita: 8 klasė. Vilnius: ŠPC, ŠMM, p. 28–43.

Dobravolskaitė D., Sičiūnienė V. (2008). Matematika. In: Nacionalinis mokinių pasie-

kimų tyrimas 2006. Dalykinė ataskaita: 6 ir 10 klasė. Vilnius: ŠPC, ŠMM, p. 43–71.

Drėgūnas V., Rumšas P. (1984). Bendroji matematikos mokymo metodika. Vilnius:

Šviesa.

Dudaitė J. (2008). Mokinių matematinio raštingumo kaita edukacinės ir mokymosi

aplinkų aspektu. Daktaro disertacija. Kaunas: Technologija.

Dudaitė J., Elijio A. (2004). Santykis tarp moksleivių matematikos pasiekimų ir jų

socialinės ir švietimo aplinkos. In: Matematika ir matematikos dėstymas 2004. Kon-

ferencijos pranešimų medžiaga. Kaunas: KTU, p. 17–21.

Dudaitė J., Elijio A. (2004). Pagrindiniai Lietuvos moksleivių matematikos pasieki-

mai. In: Matematika ir matematikos dėstymas 2004. Konferencijos pranešimų me-

džiaga. Kaunas: KTU, p. 22–26.

Dudaitė J., Sičiūnienė V., Stričkienė M. (2004). 2004 m. matematikos valstybinio bran-

dos egzamino rezultatų kokybinė analizė. Prieiga per internetą: <www.nec.lt/fai-

lai/439_rez_analize_2004_VBE_kokybine_matematika.pdf>.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

Literatūra

116

Dudaitė J. (2006). TIMSS 2003 Rezultatų analizė. Vilnius: Firidas.

Elijio A. (red.). (2009). 8 klasės matematikos uždavinių pavyzdžiai: tarptautinis mate-

matikos ir gamtos mokslų tyrimas 2007. Vilnius, NEC.

Fridmanas L. (1988). Matematikos mokymo pedagoginės psichologijos pagrindai.

Kaunas: Šviesa.

Gage N. L., Berliner, D. C. (1994). Pedagoginė psichologija. Vilnius: Alna litera.

Galdikienė A. (1993). Lietuvos švietimo reformos gairės. Vilnius: Valstybinis leidybos

centras.

Gudynas P., Zabulionis A. (1994). Mokyklinės matematikos raida. Mokykla, Nr. 10–11,

p. 1–3.

Guskey T. R. (2004). Profesinio tobulinimosi vertinimas. Vilnius: Garnelis.

Hargreaves A. (2008). Mokymas žinių visuomenėje. Švietimas nesaugumo amžiuje.

Vilnius: Homo liber.

Hersh R. (1979). Some proposals for reviving the philosophy of mathematics.

In: Advances in Mathematics, 31, p. 31–50.

IKT taikymo ugdymo procese galimybės. Rekomendacijos mokytojui. (2005). Vilnius:

Švietimo aprūpinimo centras.

IKT taikymo dalykų mokymui(si) metodinės rekomendacijos. I dalis. (2007). Vilnius:

ŠMM.


ka, t. 48, p. 116–124.

Jovaiša L. (2007). Enciklopedinis edukologijos žodynas. Vilnius: Gimtasis žodis.

Kaip keisti mokymo praktiką: ugdymo turinio diferencijavimas atsižvelgiant į mokslei-

vių įvairovę. (2006). Vilnius: Žara.

Kiliuvienė D. (2002). Integruotojo mokymo didaktiniai aspektai. Pedagogika, t. 57,

p. 62–67.

Ko reikia šiuolaikiniam mokytojui? Aktualus mokytojų kvalifikacijos tobulinimo turi-

nys. Mokomoji knyga mokytojams. (2008). Vilnius: Lodvila.

Kritinio mąstymo ugdymas. Teorija ir praktika. (2001). Vilnius: Garnelis.

Kuolys D. (1996). Ugdymo turinio kaita ir mokykla. In: Švietimo reforma ir mokytojų

rengimas: III tarptautinė mokslinė konferencija. Mokslo darbai. Vilnius: VPU leidy-

kla, p. 7–9.

Lamanauskas V. (1997). Kai kurie filosofiniai, socialiniai, didaktiniai integruoto gam-

tamokslinio ugdymo aspektai. In: Gamtamokslinis ugdymas bendrojo lavinimo moky-

kloje : III respublikinės mokslinės konferencijos straipsnių rinkinys. Vilnius, p. 32–44.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

Literatūra

117

Lietuvos bendrojo lavinimo mokyklos bendrosios programos. Projektai. Matematika.

(1994). Vilnius: Leidybos centras, p. 292–315.

Lietuvos bendrojo lavinimo mokyklos bendrosios programos. (2002). Vilnius.

Lietuvos bendrojo lavinimo mokyklos pagrindinio ugdymo bendrosios programos.

projektas. (2007). Vilnius: Sapnų sala, 116 p. ISBN 9789955611141.

Lietuvos bendrojo lavinimo mokyklos bendrosios programos. I–X klasės. Matematika.

(1997). Vilnius: Leidybos centras, p. 266–280.

Marzano R. J. (2005). Naujoji ugdymo tikslų taksonomija. Vilnius: Žara.

Matematikos brandos egzaminų programa. Prieiga per internetą: <www.nec.lt/

failai/28_programa_matematikos.pdf>.

Mathematics for All. Report and papers presented in theme group I. In: “Mathe-

matics for All“ at the 5th Internatinal Congress on Mathematical Education, Adelaide,

August 24–29, 1984.

Matematikos terminų žodynas. (1994). Moksl. red. Jonas Kubilius. Vilnius: Mokslo ir

enciklopedijų leidykla.

Metodinės rekomendacijos. Projekto „Mokymosi krypties pasirinkimo galimy-

bių didinimas 14–19 metų mokiniams“ medžiaga. (2007). Priedai. Vilnius: ŠPC,

p. 43–69.



jų mokytojas – efektyvios pamokos vadybininkas, ugdytojas ir profesionalas. 6-oji

matematikos ir informacinių technologijų mokytojų respublikinė metodinė praktinė

konferencija. Šiauliai, p. 58–59.

Mokinių pažangos ir pasiekimų vertinimo samprata. (2004). Patvirtinta LR ŠMM

2004 m. vasario 25 d. įsakymu Nr. ISAK-256. Valstybės žinios, 2004, Nr. 35-1150.

Mokslas ant pakylos. Projekto medžiaga. (2007). Vilnius: TEV.

Moksleivių pažangos ir pasiekimų vertinimas ugdymo procese. ŠPC projektai, 3 kny-

gos. (2002–2003). Vilnius: Švietimo aprūpinimo centras.

Monkevičius A. (2001). Lietuvos mokykla XXI a. Pedagogika, t. 52, p. 18–26.

Narkevičienė B. (2007). Gabūs vaikai: iššūkiai ir galimybės. Mokslo monografija. Kau-

nas: Technologija.

Pečiuliauskienė P. (2008). Studento pedagoginės praktikos vadovas pamokoje. Vil-

nius: VPU leidykla.



52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

Literatūra

118

Pradinio ir pagrindinio ugdymo bendrosios programos. (2008). Patvirtinta Lietuvos

Respublikos švietimo ir mokslo ministro 2008 m. rugpjūčio 26 d. įsakymu Nr. ISAK-

2433. Valstybės žinios, 2008, Nr. 99-384. Vilnius: Švietimo aprūpinimo centras. Priei-

ga per internetą: <www.pedagogika.lt>.

Pollard A. (2006). Refleksyvusis mokymas. Vilnius: Garnelis.

Rajeckas V. (2001). Ugdymo tikslo samprata. Pedagogika, t. 55, p. 10–13.

Robitaille D., Dirks M. (1982). Models for the mathematics curriculum. For the Lear-

ning of Mathematics, 2 (3), p. 3–21.

Sičiūnienė V. (2006). Aštuntų klasių mokinių matematinio komunikavimo ypatumai.

In: Lietuvos matematikos rinkinys. T. 46, p. 195–199.

Sičiūnienė V. (2008). Nacionalinės ugdymo programos įgyvendinimas: paslėptasis,

matomasis ir mokinių patiriamasis ugdymo turinys. Mokymo(si) proceso valdymo

kompetencija, mokant matematikos ir informacinių technologijų pagal mokinių

galias, poreikius ir polinkius. 5-oji matematikos ir informacinių technologijų mokyto-

jų respublikinė metodinė praktinė konferencija. Šiauliai, p. 9–10.

Sičiūnienė, V., Kožemiakina, V. Vilimienė, A. (2009). Matematika. 2007 metų nacionalinis

mokinių pasiekimų tyrimas. Dalykinė ataskaita: 8 klasė. Vilnius : ŠPC, ŠMM, p. 37–56.

Sičiūnienė V. (2005). Namų darbų reikšmė mokinių matematinio ugdymo sistemo-

je. In: Lietuvos matematikos rinkinys. T. 45, p. 286–290.

Sičiūnienė V. (2003). Statistikos ir tikimybių teorijos pradmenų mokymo Lietuvos pa-

grindinėje mokykloje sistema. Daktaro disertacija. Vilnius: VPU.

Sičiūnienė V. (2005). Žinių ir gebėjimų dermė: mokinių pasiekimų skaičiavimo srity-

je analizė. In: Lietuvos matematikos rinkinys. T. 45. p. 291–295.

Sičiūnienė V. (2007). Ugdymo turinio diferencijavimas atsižvelgiant į mokinių įvai-

rovę. In: Lietuvos matematikos rinkinys. T. 47, p. 268–272.

Sičiūnienė V. ir kt. (2008). 2007 m. valstybinio brandos egzamino kokybinė analizė

(p. 1–24) ir 2007 m. pilotinės (bandomosios) užduoties analizė. 2007 m. brandos eg-

zaminų užduočių analizė. Matematika, 2008. Vilnius: NEC, p. 1–28. Prieiga per inter-

netą: <www.egzaminai.lt>.

Šiaučiukėnienė L., Visockienė O., Talijūnienė P. (2006). Šiuolaikinės didaktikos pa-

grindai. Kaunas: Technologija.

Taylor T. (1990). Mathematical attitude development from a Vygotskian perspective.

Mathematical Education Research Journal, (4) 3, p. 8–23.

TIMSS 2007 International Mathematics Report. (2009). Boston: TIMSS & PIRLS Interna-

tional Study Center.

70.

71.

72.

73.

74.

75.

76.

77.

78.

79.

80.

81.

82.

83.

84.

Literatūra

119

Teresevičienė M., Gedvilienė G. (1999). Mokymasis bendradarbiaujant. Vilnius: Garnelis.

UNESCO (2004). Changing teaching practices. Using curriculum diferentiation to

respond to student‘s diversity. Prieiga per internetą: <http://unesdoc.unesco.org/

images/0013/001356/136583e.pdf>.

Valstybinės švietimo strategijos 2003–2012 metų nuostatos. Patvirtinta LR Seimo

2003 m. liepos 4 d. Prieiga per internetą: http://www.smm.lt/teisine_baze/docs/

nutarimai/2005-01-24-82.htm.

Vertinimas ugdymo procese. Knyga mokytojui. (2006). Vilnius: Aja. 93.

Vidurinės bendrojo lavinimo mokyklos programos. Matematika V–XII kl. (1988). Kau-

nas: Šviesa.


nas: Šviesa.


nas: Šviesa.


nas: Šviesa.

Vidurinės bendrojo lavinimo mokyklos programos. Matematika V–XII kl. (1993). Vil-

nius: Leidybos centras

Visockienė O. (2002). Kritinio mąstymo ugdymas. Kaunas: Technologija.

Weeden P., Winter J., Broadfoot P. (2005). Vertinimas. Ką tai reiškia mokykloms? Vil-

nius: Garnelis.

Zybartas S. (2000). Matematikos mokymo lyginamoji analizė Skandinavijos šalių ir

Lietuvos švietimo sistemose. Daktaro disertacija. Vilnius: VPU.

Žemaitis Z. (1926). Aukštosios matematikos pagrindai aukštesniųjų mokyklų pro-

gramoje. Švietimo darbas, Nr. 6, p. 716–734.

Žemaitis Z. (1928). Pirmosios matematikos ir fizikos mokytojų konferencijos darbai:

1928 m. sausio 3–5 d., Klaipėda.


uždavinynai, mokomoji medžiaga.

Лернер. И. Я. (1981). Дидактические основы методов обучения. Москва: Педа-

гогика.

http://www.jstor.org/action/showPublisher?publisherCode=mathas

http://www.britannica.com/EBchecked/topic/75700/Nicolas-Bourbaki

http://www.smm.lt/ugdymas/bendrasis/index.htm

http://projects.coe.uga.edu/epltt/index.php?title=Bloom%27s_Taxonomy

85.

86.

87.

88.

89.

90.

91.

92.

93.

94.

95.

96.

97.

98.

99.

100.

101.

102.

103.

104.

Literatūra

Viktorija SičiūnienėMatematikos didaktika: metodinė priemonė. 1 knyga. Vilnius:

Vilniaus pedagoginio universiteto leidykla, 2010. 120 p.

ISBN 978-9955-20-508-1

Leidinys skirtas Vilniaus pedagoginio universiteto matematikos studijų studentams, matematikos mokytojams praktikams, mate-matikos didaktikos ir matematikos ugdymo turinio formavimo spe-cialistams – visiems, kam rūpi matematikos mokymo ir mokymosi klausimai. Skaitydami šią knygą sužinosite, kodėl ir kaip keitėsi ma-tematikos mokymo ir mokymosi tikslai Lietuvos bendrojo lavinimo mokykloje, ką apie mokinių matematikos mokymosi ypatumus ir rezultatus byloja įvairių tyrimų rezultatai. Knygoje gausu patarimų, kaip planuoti, organizuoti ir vertinti mokinių matematinių kompe-tencijų ugdymo procesą.

UDK 372.851(075.8)

Si-11

Redagavo Danguolė KopūstienėMaketavo Laura Barisienė

Viršelio autorė Dalia Raicevičiūtė

SL 605. 15 sp. l. Tir. 150. Užsak. Nr. 10-032Išleido ir spausdino Vilniaus pedagoginio universiteto leidykla

T. Ševčenkos g. 31, LT-03111 VilniusTel. +370 5 233 3593, el. p. [email protected]

www.leidykla.vpu.lt

matematikos didaktika - vdu

Documents