matematika za Život 1 - alka script
TRANSCRIPT
Đurđica Salamon Padjen • Boško Šego • Snježana Šišić • Josip Kličinović
MATEMATIKA ZA ŽIVOT 1 UDŽBENIK SA ZBIRKOM ZADATAKA ZA 1. RAZRED
ČETVEROGODIŠNJE SREDNJE ŠKOLE
Za izdavača:Đurđica Salamon Padjen, dipl. ing.
Autori:Đurđica Salamon Padjen, dipl. ing.
prof. dr. sc. Boško ŠegoSnježana Šišić, prof.
Josip Kličinović, prof.
Lektorica:Ana Horvat, prof.
Stručna suradnica:Draga Dolenec-Gashi, prof.
Grafička urednica:Eleni Papulkas
Uporabu udžbenika odobrilo je stručno povjerenstvo Ministarstva znanosti, obrazovanja i sporta Republike Hrvatske u xxxxx xxxxx. godine
CIP zapis dostupan u računalnom katalogu Nacionalne i sveučilišne knjižnice u Zagrebu pod brojem xxxxxxx.
ISBN xxxxxxxxxxxxxxxx
Niti jedan dio ove knjige ne smije se umnožavati ni preslikavati bez pisane
suglasnosti nakladnika i autora.
IzdavačAlka script d.o.o.
Zagreb, Nehajska 42tel. 01/30 135 30
www. alkascript.hr
Tisak
Đurđica Salamon Padjen • Boško Šego • Snježana Šišić • Josip Kličinović
prvo izdanjeZagreb, 2018.
MATEMATIKA ZA ŽIVOT 1 UDŽBENIK SA ZBIRKOM ZADATAKA ZA 1. RAZRED
ČETVEROGODIŠNJE SREDNJE ŠKOLE
SADRŽAJ
SKUPOVI BROJEVA .................................................................................................91.1. Skup prirodnih brojeva ..................................................................................10
1.1.1. Djeljivost u skupu prirodnih brojeva ............................................................16
1.1.2. Najveći zajednički djelitelj i najmanji zajednički višekratnik .......18
1.1.3. Skup prirodnih brojeva s nulim .....................................................................21
1.2. Skup cijelih brojeva .........................................................................................24
1.3. Skup racionalnih brojeva .............................................................................281.3.1. Decimalni zapis racionalnog broja ............................................................37
1.3.2. Zaokruživanje brojeva .....................................................................................40
1.4. Skup iracionalnih brojeva ............................................................................43
1.5. Skup realnih brojeva ......................................................................................44
1.6. Brojevni pravac .................................................................................................45
1.7. Apsolutna vrijednost realnog broja ........................................................49
1.8. Međusobna udaljenost točaka brojevnog pravca .............................52
POTENCIJE.............................................................................................................552.1. Potencije ...............................................................................................................56
2.1.1. Zbrajanje i oduzimanje potencija ................................................................57
2.1.2. Množenje potencija ........................................................................................... 58
2.1.3. Dijeljenje potencija ........................................................................................... 59
2.1.4. Potencije jednakih eksponenata ..................................................................61
2.1.5. Potenciranje potencija ....................................................................................62
2.1.6. Znanstveni oblik realnoga broja .................................................................62
2.2. Monomi i polinomi ...........................................................................................662.2.1. Kvadrat binoma ................................................................................................... 67
2.2.2. Kub binoma ...........................................................................................................68
2.2.3. Razlika kvadrata ...............................................................................................68
2.2.4. Razlika i zbroj kubova .....................................................................................69
2.3. Rastav polinoma na faktore ....................................................................... 722.3.1. Izlučivanje zajedničkog faktora ................................................................ 72
2.3.2. Rastav kvadratnog trinoma na faktore ................................................. 73
2.3.3. Kvadrat binoma ................................................................................................. 74
2.3.4. Kub binoma ........................................................................................................... 75
2.3.5. Razlika kvadrata ............................................................................................... 75
2.3.6. Razlika i zbroj kubova .................................................................................... 76
2.4. Algebarski razlomci .......................................................................................802.4.1. Skraćivanje i proširivanje algebarskih razlomaka ...........................80
2.4.2. Zbrajanje algebarskih razlomaka ..............................................................81
2.4.3. Množenje algebarskih razlomaka .............................................................82
2.4.4. Dijeljenje algebarskih razlomaka .............................................................82
PROPORCIONALNOST ......................................................................................... 853.1. Omjeri ....................................................................................................................86
3.2. Upravna i obratna proporcionalnost ....................................................89
3.3. Postotni račun ...................................................................................................95
LINEARNA FUNKCIJA ..........................................................................................1014.1. Koordinatni sustav u ravnini .................................................................... 102
4.2. Linearna funkcija ........................................................................................... 105
LINEARNE JEDNADŽBE I NEJEDNADŽBE ...................................................... 1175.1. Linearne jednadžbe s jednom nepoznanicom ................................... 118
5.2. Linearne jednadžbe s jednom nepoznanicom – problemski zadatci ...................................................123
5.3. Linearne nejednadžbe s jednom nepoznanicom ............................. 1265.3.1. Uređaj u skupu realnih brojeva ................................................................. 126
5.3.2. Intervali ............................................................................................................... 128
5.3.3. Linearne nejednadžbe s jednom nepoznanicom .............................132
5.4. Linearne jednadžbe s apsolutnom vrijednošću ...............................139
5.5. Linearne nejednadžbe s apsolutnom vrijednošću ...........................141
5.6. Sustav dviju linearnih jednadžba s dvjema nepoznanicama ...1435.6.1. Metoda supstitucije..........................................................................................144
5.6.2. Metoda suprotnih koeficijenata ...............................................................145
5.7. Sustav dviju linearnih jednadžba s dvjema nepoznanicama – problemski zadatci ........................................................................................147
5.8. Grafička interpretacija sustava dviju jednadžba s dvjema nepoznanicama ................................................... 149
ODNOSI U RAVNINI ........................................................................................... 1536.1. Trokut ...................................................................................................................154
6.2. Opseg i površina trokuta ............................................................................1566.2.1. Pravokutni trokut .............................................................................................158
6.2.2. Jednakokračni trokut ...................................................................................158
6.2.3. Jednakostranični trokut ..............................................................................159
6.3. Sukladnost trokuta ........................................................................................ 1626.3.1. Poučci o sukladnosti trokuta ...................................................................... 162
6.3.2. Kružnica opisana trokutu ............................................................................ 166
6.3.3. Kružnica upisana trokutu ............................................................................ 169
6.3.4. Visine i težišnice trokuta .............................................................................. 171
6.4. Razmjernost dužina ...................................................................................... 175
6.5. Sličnost trokuta .............................................................................................. 1806.5.1. Poučci o sličnosti trokuta ............................................................................. 180
6.5.2. Opseg i površina sličnih trokuta .............................................................. 186
OSNOVE TRIGONOMETRIJE ...............................................................................1917.1. Definicije trigonometrijskih funkcija ................................................... 192
7.2. Vrijednosti trigonometrijskih funkcija šiljastoga kuta ................ 196
7.3. Rješavanje pravokutnog trokuta..............................................................197
OBRADA PODATAKA ...........................................................................................2018.1. Matematička statistika .............................................................................. 202
8.2. Srednje vrijednosti skupa podataka .................................................... 2098.2.1. Aritmetička sredina ....................................................................................... 209
8.2.2. Medjan .................................................................................................................. 210
8.3. Mjere raspršenosti podataka ................................................................... 2148.3.1. Raspon ili rang ..................................................................................................214
8.3.2. Kvartili ..................................................................................................................214
8.3.3. Brkata kutija .....................................................................................................216
8.3.4. Interkvartil ..........................................................................................................217
8.3.5. Varijanca i standardna varijacija ..........................................................218
PREDGOVOR
Ovaj je udžbenik pripremljen za eksperimentalnu provedbu kurikularne reforme u četverogodišnjim srednjim školama koje imaju najviše 140 sati matematike godišnje.U skladu s naslovom eksperimentalnog programa Škola za život, našim udžbenikom Matematika za život želimo razvijati one kompetencije kod učenika koje će postati čvrsta osnova cjeloživotnog učenja.
Udžbenik je podijeljen na osam poglavlja u kojima je gradivo izložene preko primjera. Primjeri su riješeni tako da učeniku približe novo gradivo, ali i da kroz njih učenik upozna matematičke procese i postupke.Poslije izloženog gradiva učenika očekuju jednostavni zadatci pomoću kojih utvrđuje i razrađuje netom usvojene činjenice. Zadatci su razvrstani u: Vježbaj!, Odgovori!, Procijeni! i Modeliraj!. Postupak rješavanja tih zadataka nalazi se u elektroničkom udžbeniku. Na kraju svakog poglavlja nalaze se zadatci za vježbu kao dodatak elektroničkom udžbeniku.Udžbenik nudi nekoliko projektnih zadataka kojima se ostvaruju ishodi međupredmetnih tema.Udžbenik se nalazi na platformi Mozabook, obogaćen je apletima Geogebre, a odabrani linkovi upu-ćuju učenike na relevantne sadržaje na internetu.Vjerujemo da će učenici uz ovaj udžbenik lako ostvariti sve predviđene ishode u čemu im nudimo svaku podršku.
Autori
SKUPOVI BROJEVASkup prirodnih brojeva
Skup cijelih brojeva
Skup racionalnih brojeva
Skup iracionalnih brojeva
Skup realnih brojeva
Brojevni pravac
Apsolutna vrijednost realnog broja
Međusobna udaljenost točaka brojevnog pravca
1.
Sk
upo
vi b
roje
va
10
1.1. Skup prirodnih brojevaBrojeve kojima prebrajamo predmete i pojave u svojoj okolini nazivamo prirod-nim brojevima. Tako imamo jedan stol, dva oblaka, tri tona, četiri godišnja doba itd. Skup prirodnih brojeva obilježavamo oznakom :
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . }.Kažemo da je prirodni broj element skupa = {1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . }. Tako je, pri-mjerice, broj 2 element skupa , što pišemo ovako:
2 .Skup n ima najmanji element (broj 1), a svaki sljedeći element dobijemo tako da prethodni element uvećamo za 1. Za svaki prirodni broj n ≠ 1 postoji prirodni broj koji je njegov prethodnik. Prethodnik broja n , n ≠ 1 prirodni je broj
n – 1. Svaki prirodni broj ima sljedbenika. Sljedbenik broja n prirodni je broj
n + 1.Prirodne brojeve oblika
2n, n nazivamo parnim brojevima, a prirodne brojeve oblika
2n – 1, n nazivamo neparnim brojevima.Ne postoji najveći prirodni broj. Kad bi broj a bio najveći prirodni broj, on bi, kao svaki prirodni broj, imao svog sljedbenika a + 1 . Tako bismo dobili prirodni broj za 1 veći od najvećeg, što nije moguće.U skupu prirodnih brojeva definirana je računska operacija zbrajanja. Pritom je rezultat zbrajanja dvaju prirodnih brojeva (zbroj) opet prirodni broj. Brojeve koje zbrajamo nazivamo pribrojnicima.Za zbrajanje prirodnih brojeva vrijedi zakon komutativnosti ili zamjene:
Zbroj se ne mijenja zamijenimo li mjesta pribrojnicima.Za bilo koja dva prirodna broja a i b ovaj zakon možemo zapisati:
a + b = b + a.Za zbrajanje u skupu vrijedi i zakon asocijativnosti ili združivanja:
Zbroj se ne mijenja združimo li pribrojnike na bilo koji način.
Skupovi brojeva
11
Za tri po volji odabrana prirodna broja a, b i c to možemo zapisati ovako:a + (b + c) = (a + b) + c.
¤¤ Primjer 1.Izračunajmo: 44 + 76 + 56 + 24.
Rješenje
Uočimo da je najlakše zbrojiti 44 s 56, a 76 s 24. U tu svrhu zamijenimo mjesta pribrojnicima, a zatim ih združimo:
44 + 76 + 56 + 24komutativnost
= 44 + 56 + 76 + 24asocijativost
= (44 + 56) + (76 + 24) ==100 + 100 = 200 U skupu prirodnih brojeva definirana je i računska operacija množenja. Ako su faktori (množenik i množitelj) prirodni brojevi, onda je i umnožak (produkt) prirodni broj. I za množenje vrijedi zakon komutacije i zakon asocijacije. Tako, za po volji odabrane prirodne brojeve a, b i c, vrijedi:
Umnožak se ne mijenja zamijene li faktori mjesta.Simbolički:
a · b = b · a.Umnožak se ne mijenja združimo li faktore na bilo koji način.
Simbolički:(a · b) · c = a · (b · c).
¤¤ Primjer 2.Izračunajmo na najkraći način: 25 · 125 · 8 · 4.
Rješenje
Uočimo da bi bilo najlakše pomnožiti 25 sa 4 i 125 s 8, pa im zamijenimo mjesta, a potom ih združimo:
25 · 125 · 8 · 4komutativnost
= 25 · 4 · 125 · 8 asocijativost
= (25 · 4) · (125 · 8) = 100 · 1 000 == 100 000
Sk
upo
vi b
roje
va
12
Za operaciju množenja u skupu prirodnih brojeva postoji neutralni element. To je broj 1. Naime, za svaki a vrijedi
a · 1 = 1 · a = a,tj. umnožak bilo kojeg prirodnog broja i broja 1 jednak je tom prirodnom broju.
Operacije zbrajanja i množenja povezuje zakon distributivnosti. Za bilo koje pri-rodne brojeve a, b, c vrijedi zakon distribucije zdesna:
(a + b) · c = a · c + b · c,odnosno zakon distribucije slijeva:
a · (b + c) = a · b + a · c.Riječima:Zbroj prirodnih brojeva množimo prirodnim brojem tako da svaki pribrojnik množimo tim brojem i dobivene umnoške zbrojimo.
¤¤ Primjer 3.S jedne strane školskog hodnika nalaze se 4 učionice. Svaka je učionica široka 5 m. Jedna je učionica dugačka 7 m, druga 8 m, a preostale dvije imaju duljinu po 6 m. Koliko kvadratnih metara parketa treba za prekrivanje podova tih učionica?
Rješenje
Nacrtajmo tlocrt učionica:
5 5 5 5
7 8 6 6Možemo izračunati površinu svake učionice:
7 m · 5 m = 35 m2, 8 m · 5 m = 40 m2,6 m · 5 m = 30 m2,6 m · 5 m = 30 m2.
Zbroj je površina podova svih učionica:35 m2 + 40 m2 + 30 m2 + 30 m2 = 135 m2.
Skupovi brojeva
13
Manje bismo imali računanja da smo zbroj duljina svih učionica pomnožili njiho-vom širinom (koja je za sve učionice jednaka!):
7 m + 8 m + 6 m + 6 m = 27 m27 m · 5 m = 135 m2.
Primjerom smo potvrdili korisnost primjene zakona distributivnosti množenja pri-rodnih brojeva prema zbrajanju:
7 · 5 + 8 · 5 + 6 · 5 + 6 · 5 = (7 + 8 + 6 + 6) · 5 Pri računanju u skupu prirodnih brojeva treba voditi računa o redoslijedu račun-skih operacija. Ako se u aritmetičkom izrazu pojavljuju zbrajanje i množenje, naj-prije ćemo pomnožiti. Kažemo da je množenje računska operacija višeg stupnja.
¤¤ Primjer 4.Izračunajmo 2 + 3 · 4.
RješenjeNajprije ćemo izračunati
3 · 4 = 12,a zatim ćemo zbrojiti
2 + 12 = 14. Otkrij kako na računalu riješiti ovaj primjer. Zapamti postupak.
¤¤ Primjer 5.Izračunajmo 2 · (4 + 5).
RješenjeNajprije treba izračunati
4 + 5 = 9,bez obzira na to što se radi o računskoj operaciji nižeg stupnja. Sada je
2 · 9 = 18.Zadatak riješi računalom i zapamti postupak. Da bi računski izraz bio pregledniji, služimo se različitim oznakama za zagrade. Uobičajeno je razlikovati okrugle ili oble ( ), uglate [ ] i vitičaste {} zagrade, s tim da se najprije izvrše računske operacije u okruglim zagradama, zatim u uglatim i napokon u vitičastim zagradama.
Sk
upo
vi b
roje
va
14
¤¤ Primjer 6.Izračunajmo 2 · {1 + 4 · [1 + 3 · (1 + 5)]}.
Rješenje
Najprije treba izračunati 1 + 5 = 6, čime se zadani izraz svodi na2 · {1 + 4 · [1 + 3 · 6]}.
Sada računamo 1 + 3 · 6 = 19 i dobivamo izraz2 · {1 + 4 · 19}.
Napokon računamo 1 + 4 · 19 = 77 pa nalazimo da zadani izraz ima vrijednost2 · 77 = 154.
Zadatak riješi pomoću računala i zapamti postupak.
Vježbaj!
1. Napiši prethodnike brojeva 27, 500 i 2 399.
2. Napiši sljedbenik najvećeg troznamenkastog broja.
3. Napiši sve neparne dvoznamenkaste brojeve kojima je znamenka desetice 5.
4. Napiši sve parne troznamenkaste brojeve kojima je znamenka desetice 0, a znamenka stotice za 1 manja od znamenke jedinice.
5. Pronađi podatak koliko je stanovnika bilo u Hrvatskoj prema popisu stanovništva 2011. godine. Napiši taj broj riječima.
6. Napiši najveći sedmeroznamenkasti broj kojemu su sve znamenke različite.
7. Zbroji. a) 248 + 52 b) 345 + 2 455 c) 10 518 + 29 482
8. Zbroji primjenom zakona komutativnosti i asocijativnosti. a) 47 + 22 + 53 + 128 b) 325 + 456 + 544 + 675
9. Izračunaj opseg trokuta kojemu su zadane duljine stranica. a) 13 cm, 14 cm, 15 cm b) 72 dm, 90 dm, 78 dm
10. Pomnoži. a) 135 · 9 b) 6 · 234 c) 213 · 200
11. Pomnoži primjenom zakona komutativnosti i asocijativnosti. a) 2 · 3 · 4 · 5 b) 4 · 12 · 25 · 7 c) 125 · 65 · 8
Skupovi brojeva
15
12. Izračunaj. a) (3 + 5) · 125 b) 40 · (23 + 57) c) 72 · (34 + 16) · 2
13. Izračunaj. a) 15 · 45 + 15 · 55 b) 72 · 44 + 56 · 72
14. Izračunaj opseg kvadrata kojemu je duljina stranice 26 mm.
15. Izračunaj površinu pravokutnika kojemu stranice imaju duljinu 16 m i 8 m.
Odgovori!
1. Koje je svojstvo promijenjeno pri rješavanju sljedećih zadataka? a) 561 + 39 = 39 + 561 b) 17 · 42 = 42 · 17 c) 6 + 1 + 9 = 6 + (1 + 9) d) 250 · (4 · 314) = (250 · 4) · 314 e) 15 (2 + 3) = 30 + 45 f) (16 + 18) · 5 = 80 + 90
Procijeni!
1. Koji broj nastavlja niz? a) 4, 9, 14, 19, ... b) 2, 6, 18, 54, ... c) 1, 4, 9, 16, ...
2. Pomoću znamenaka 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, ne ponavljajući ih, napiši brojeve čiji je zbroj 99.
3. Koji broj treba pisati u kvadratiću da vrijedi jednakost? a) 101 010 + 10 100 = 10 · b) 147 : 7 = 7 ·
Modeliraj!
1. U jednom je zečnjaku 65 zečeva, a u drugom 55. Koliko zečeva treba iz jednog zečnjaka staviti u drugi da bi u oba zečnjaka bio isti broj zečeva?
2. Vlasta kaže: Imam 8 godina. Utrostručiš li moje godine i još dodaš li 6 godina, dobit ćeš godine moje majke. Dodaš li mojim godinama 6 godina, pa to utrostručiš, dobit ćeš godine moga oca. Koliko godina ima Vlastina majka, a koliko otac?
3. Majka je odlučila na svaki rođendan svog sina u kasicu staviti 10 kuna više nego prethodne godine. Koliko će novca biti u kasici na deseti rođendan?
4. Pod dvorane ima oblik pravokutnika i popločan je pločicama. Uz kraći zid ima 56 pločica, a uz dulji 72. Koliko je pločica trebalo za popločavanje toga poda?
Sk
upo
vi b
roje
va
16
1.1.1. Djeljivost u skupu prirodnih brojeva
Neka je n prirodni broj. Promatrajmo umnoške:1 · n, 2 · n, 3 · n, . . . , k · n, ...,
gdje je k bilo koji prirodni broj. Takve brojeve nazivamo višekratnicima broja n.Prirodni je broj m višekratnik prirodnog broja n ako postoji prirodni broj k takav da vrijedi:
m = k · n.Neka je m prirodni broj. Ako postoje dva prirodna broja k i n, k ≠ 1, n ≠ 1, takva da vrijedi
m = k · n,za broj m kažemo da je složeni broj. U protivnom, ako ne postoje prirodni brojevi k i n s navedenim svojstvom, broj m je prost broj. Po dogovoru, broj 1 ne smatramo niti prostim niti složenim.Prosti brojevi jesu:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...
¤¤ Primjer 7.Rastavimo na proste faktore brojeve 84 i 60.
Rješenje
Broj 84 možemo prikazati kao84 = 6 · 14,
što nije traženi rastav, jer 6 i 14 nisu prosti brojevi, pa se oni još mogu rastaviti:84 = 6 · 14 = 2 · 3 · 2 · 7.
Analogno, rastav broja 60:60 = 2 · 2 · 3 · 5.
Do tog smo rastava došli postupno: 60 = 2 · 30 = 2 · 2 · 15 = 2 · 2 · 3 · 5. U skupu prirodnih brojeva nije definirana računska operacija dijeljenja jer rezultat dijeljenja (količnik) bilo kojih dvaju prirodnih brojeva ne mora biti prirodni broj.Dijelimo li, međutim, višekratnik nekog broja njim samim, količnik će biti prirodni broj. Kažemo da je višekratnik nekog broja djeljiv tim brojem. Prirodni broj m djeljiv je prirodnim brojem n ako je m višekratnik broja n.
Skupovi brojeva
17
Prirodne brojeve2, 4, 6, 8, 10, ...
nazvali smo parnim brojevima. Svi su oni višekratnici broja 2, jer se mogu zapisati kao:
2 · 1, 2 · 2, 2 · 3, 2 · 4, 2 · 5, ...,dakle, djeljivi su s 2. Svi prirodni brojevi kojima je posljednja znamenka 0, 2, 4, 6, 8 jesu parni brojevi, pa su djeljivi s 2.Prirodni je broj djeljiv s 2 ako mu je posljednja znamenka 0, 2, 4, 6 ili 8.Navedimo višekratnike broja 3:
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, ...Zbroj znamenaka bilo kojeg od tih brojeva višekratnik je broja 3. Zbrojimo, primje-rice, znamenke broja 15, 1 + 5 = 6. Dobili smo višekratnik broja 3 (6 = 2 · 3), dakle, 15 je djeljiv brojem 3. Prirodni je broj djeljiv s 3 ako mu je zbroj znamenaka djeljiv s 3.Višekratnici broja 5 jesu:
5, 10, 15, 20, 25, 30, ...Posljednja im je znamenka 0 ili 5. Zaključujemo:Prirodni je broj djeljiv s 5 ako mu je posljednja znamenka 0 ili 5.Navedimo višekratnike broja 10:
10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, ...Uočimo da je svakom od njih posljednja znamenka 0. Prirodni je broj djeljiv s 10 ako mu je posljednja znamenka 0.Može se pokazati da za djeljivost vrijede i sljedeća pravila:Prirodni je broj djeljiv s 9 ako mu je zbroj znamenaka djeljiv s 9. Prirodni je broj djeljiv s 4 ako mu je dvoznamenkasti završetak djeljiv s 4.Prirodni je broj djeljiv s 8 ako mu je troznamenkasti završetak djeljiv s 8.Prirodni je broj djeljiv s 25 ako su mu posljednje dvije znamenke ili 25 ili 50 ili 75 ili 00.Prirodni je broj djeljiv sa 100 ako su mu posljednje dvije znamenke 0.Prirodni je broj djeljiv s 1000 ako su mu posljednje tri znamenke 0.Prirodni je broj djeljiv sa 6 ako je djeljiv i s 3 i s 2.
Sk
upo
vi b
roje
va
18
1.1.2. Najveći zajednički djelitelj i
najmanji zajednički višekratnik
Prirodni brojevi mogu se prikazati kao umnošci prirodnih brojeva. Tako je15 = 3 · 5, 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3.
Kažemo da smo brojeve 15 i 72 faktorizirali, tj. rastavili na faktore. Budući su svi navedeni faktori prosti brojevi, to navedene rastave nazivamo rastavima na proste faktore.Djelitelj prirodnog broja n svaki je prirodni broj koji ga dijeli. Dakle, ako je pri dijeljenju prirodnog broja n prirodnim brojem m ostatak 0, broj m djelitelj je broja n.
¤¤ Primjer 8.Odredimo djelitelje broja 60.
Rješenje
Rastavimo broj 60 na proste faktore:60 = 2 · 30 = 2 · 2 · 15 = 2 · 2 · 3 · 5,
pa su djelitelji broja 60 brojevi: 2, 3, 5, ali i 2 · 2 = 4, 2 · 3 = 6, 2 · 5 = 10, 3 · 5 = 15, 2 · 2 · 3 = 12, 2 · 2 · 5 = 20, 2 · 3 · 5 = 30, 2 · 2 · 3 · 5 = 60 i broj 1. Zajednički djelitelj dvaju prirodnih brojeva m i n svaki je prirodni broj koji je dje-litelj broja m i djelitelj broja n.
¤¤ Primjer 9.Odredimo zajedničke djelitelje brojeva 84 i 60.
Rješenje
Djelitelji broja 84 jesu:1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42 i 84,
a djelitelji broja 60 jesu:1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 i 60.
Zajednički djelitelji brojeva 84 i 60 jesu:1, 2, 3, 4, 6, 12.
Skupovi brojeva
19
Najveći zajednički djelitelj (najveći zajednički djelitelj) prirodnih brojeva m i n najveći j/e broj među zajedničkim djeliteljima zadanih brojeva. Najveći zajednički djelitelj brojeva m i n označujemo s M(m, n).Primjerice, D(60, 84) = 12.
¤¤ Primjer 10.Odredimo najveći zajednički djelielj brojeva 48 i 72.
Rješenje
Rastavimo zadane brojeve na proste faktore:48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3, 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3.
Napravimo sada sve moguće umnoške prostih faktora broja 48:4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
Dodamo li tom skupu broj 1 i brojeve iz rastava, dobili smo sve djelitelje broja 48:1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
Djelitelji broja 72 jesu:1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72.
Dakle, zajednički su djelitelji brojeva 48 i 72:1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
Najveći od tih brojeva jest najveća zajednički djelitelj brojeva 48 i 72:D(48, 72) = 24.
Za prirodne brojeve m i n kažemo da su relativno prosti ako je njihov najveća zajednička mjera broj 1. Drugim riječima, m i n su relativno prosti ako nemaju za-jedničkog djelitelja većeg od 1.Tako su npr. 9 i 10 relativno prosti brojevi jer je D(9, 10) = 1.
Svaki prirodni broj čija je mjera prirodni broj n nazivamo višekratnikom broja n.Zajednički višekratnik prirodnih brojeva m i n svaki je prirodni broj kojega dijele brojevi m i n. Primjerice, zajednički višekratnici brojeva 3 i 4 su redom: 12, 24, 36, 48, ... .Najmanji zajednički višekratnik prirodnih brojeva m i n najmanji je od svih za-jedničkih višekratnika brojeva m i n. Najmanji zajednički višekratnik brojeva m i n označujemo s v(m, n). Npr. v(3, 4) = 12.
Sk
upo
vi b
roje
va
20
¤¤ Primjer 11.Odredimo najmanji zajednički višekratnik brojeva 12 i 20.
Rješenje
Višekratnici broja 12 jesu: 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, ... .Višekratnici broja 20 jesu:
20, 40, 60, 80, 100, 120, ... .Zajednički višekratnici brojeva 12 i 20 redom su brojevi:
60, 120, 180, 240, ... Skup zajedničkih višekratnika dvaju prirodnih brojeva ima beskonačno mnogo ele-menata. Najmanji zajednički višekratnik brojeva 12 i 20 jest 60. Kako računanjem dobiti najmanji zajednički višekratnik dvaju brojeva? Pokažimo to na primjeru brojeva 12 i 20. Rastavimo te brojeve na proste faktore.
12 = 2 · 2 · 3, 20 = 2 · 2 · 5.Uočimo da se u oba rastava nalazi 2 · 2. Ako taj umnožak pomnožimo onim bro-jevima koji se nalaze samo u jednom od rastava, dobit ćemo najmanji zajednički višekratnik zadanih brojeva:
v(12, 20) = 2 · 2 · 3 · 5 = 60. U praksi se to izvodi ovako:
12 20 2 6 10 2 3 5 3 1 5 5 1
Umnožak brojeva desno od crte najmanji je zajednički višekratnik. Najveću zajedničku mjeru i najmanji zajednički višekratnik, po volji odabranih pri-rodnih brojeva a i b, povezuje relacija:
D (a, b) · v(a, b) = a · b.
Skupovi brojeva
21
¤¤ Primjer 12.Provjerimo prethodnu formulu koristeći se brojevima 36 i 54.
Rješenje
Rastavimo zadane brojeve na proste faktore:36 = 2 · 2 · 3 · 3, 54 = 2 · 3 · 3 · 3.
Najveći zajednički djelitelj sada jeD(36, 54) = 2 · 3 · 3 = 18,
a najmanji zajednički višekratnikv(36, 54) = 2 · 3 · 3 · 2 · 3 = 108.
Provjerimo vrijedi li: D(a, b) · v(a, b) = a · b.M(36, 54) · v(36, 54) = 36 · 54.
18 · 108 = 1944.Doista, lijeva je strana jednaka desnoj.
1.1.3. Skup prirodnih brojeva s nulim
Proširimo li skup prirodnih brojeva brojem 0 (nula), dobit ćemo skup0 = {0, 1, 2, 3, 4, . . . }.
Elemente ovog skupa nazivamo nenegativnim cijelim brojevima. Za elemente ovog skupa definiraju se operacije zbrajanja i množenja s istim svojstvima kao u skupu . U ovom skupu postoji neutralni element za zbrajanje 0. Naime, za svaki a 0 vrijedi
a + 0 = 0 + a = a.Zbrojimo li bilo koji prirodni broj s nulom, dobit ćemo upravo taj broj.Pomnožimo li bilo koji prirodni broj nulom, rezultat je uvijek nula, tj. za svaki a 0 vrijedi:
a · 0 = 0 · a = 0.Skup 0 nasljeđuje računske operacije i njihova svojstva iz skupa .
Sk
upo
vi b
roje
va
22
Vježbaj!
1. Napiši sve brojeve manje od 100 koji su djeljivi s 12.
2. Zadani su brojevi 72, 44, 56, 91, 92, 99. Koji je od njih djeljiv s a) 4 b) 7 c) 9?
3. Kojim je brojevima višekratnik broj 24?
4. Napiši sve višekratnike broja 8 veće od 150, a manje od 200.
5. Je li 175 višekratnik broja 45? Objasni.
6. Je li 15 djelitelj broja 165? Objasni.
7. Odredi sve djelitelje broja: a) 72 b) 45 c) 32.
8. Napiši barem tri višekratnika broja: a) 7 b) 17 c) 100.
9. Napiši sve zajedničke djelitelje brojeva: a) 12 i 18 b) 15 i 45.
10. Odredi najmanji zajednički višekratnik brojeva: a) 16 i 24 b) 30 i 33.
11. Napiši barem tri zajednička višekratnika brojeva: a) 8 i 18 b) 9 i 12.
12. Odredi najveći zajednički djelitelj i najmanji zajednički višekratnik brojeva: a) 54 i 72 b) 25 i 100.
Odgovori!
1. Koja je tvrdnja točna?
a) Svaki prirodan broj ima beskonačno mnogo višekratnika.
b) Najmanji djelitelj svakog prirodnog broja jest broj 1.
c) Najveći djelitelj svakog prirodnog broja veća je od tog broja.
2. Dovrši rečenicu.
Umnožak najvećeg zajedničkog djelitelja mjere i najmanjeg zajedničkog višekratnika dvaju brojeva jednak je ...
Skupovi brojeva
23
Procijeni!
1. Dvoznamenkasti broj kojemu je znamenka jedinice 4 zapisujemo: 4a , gdje je a nepoznata znamenka. Koliki je a ako je zadani broj djeljiv s:
a) 4 b) 9?
2. Odredi nepoznatu znamenku tako da je broj 211 4x djeljiv s 3.
3. Odredi nepoznatu znamenku tako da je broj 2 2 0y x djeljiv s 4. Napiši sva rješenja.
4. Koji je najmanji broj oblika 2 2 0y x djeljiv s 9?
Modeliraj!
1. Imaš 50 bombona. Želiš ih rasporediti u 8 tanjurića tako da u svakom tanjuriću bude jednak broj bombona. Na koliko načina to možeš učiniti?
2. Imaš 20 kvadratića. Složi od njih pravokutnik. Na koliko načina to možeš učiniti.
3. Veći kotač u jednom okretu prijeđe put od 70 cm, a manji kotač put od 40 cm. Koliko okreta mora napraviti manji kotač da prijeđe put koji veći kotač učini u 140 okreta?
Sk
upo
vi b
roje
va
24
1.2. Skup cijelih brojevaU skupu prirodnih brojeva nismo definirali oduzimanje, tj. razlika bilo kojih dvaju prirodnih brojeva ne mora biti prirodni broj. Proširimo skup takvim brojevima da se razlika svaka dva prirodna broja nalazi u tom skupu. Dobili smo skup cijelih brojeva
= {..., – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, ...}. Skup cijelih brojeva čine pozitivni brojevi: 1, 2, 3, 4, ..., negativni brojevi –1, –2, –3, –4, ... i broj 0. Pozitivni brojevi imaju predznak + koji se ne piše, a negativni predznak –. Skup nema niti najmanji niti najveći element. Za svaki njegov ele-ment a možemo odrediti prethodnika
a – 1i sljedbenika
a + 1.Tako je prethodnik broja – 5 broj – 6, a sljedbenik mu je broj – 4.
Dva su cijela broja suprotni brojevi ako im je zbroj nula. Ako je a , onda je
– a
njemu suprotan broj jer je a + (– a) = 0. Tako je broj –3 suprotan broju 3, a 5 supro-tan broju – 5.Neka je a . Njemu je suprotan broj – a . Broju – a suprotan je broj – (– a). Budući da je broju – a suprotan i broj a, to vrijedi
– (– a) = a.Tako je – (– 3) = 3, a 4 – (– 1) = 4 + 1 = 5.Skup cijelih brojeva nasljeđuje računske operacije zbrajanja i množenja iz skupa prirodnih brojeva sa svim njihovim svojstvima. Broj 1 neutralni je element za mno-ženje, a broj 0 neutralni je element za zbrajanje u skupu cijelih brojeva. Za svaki a vrijedi:
a · 1 = a, a + 0 = a, a + (– a) = 0. Oduzimanje cijelih brojeva možemo svesti na zbrajanje sa suprotnim brojem. Ako su a i b cijeli brojevi, onda vrijedi:
a – b = a + (– b).
Skupovi brojeva
25
Broj a nazivamo umanjenikom , broj b umanjiteljem, a a – b razlikom brojeva a i b.
¤¤ Primjer 13.Izračunajmo vrijednost izraza: 3(2x + y) – [2(x – y) – 3(x – 2y)] ako je x = 2, y = –1.
Rješenje
Uvrstimo zadane brojeve umjesto x i y:3(2 · 2 +(–1)) – [2(2 –(–1)) –3 (2 – 2 · (–1))].
Podsjetimo se da je množenje operacija višeg reda, pa nju najprije obavljamo (vo-deći računa o zagradama).
Umnožak cijelih brojeva jednakih predznaka pozitivan je broj. Umnožak dvaju cijelih brojeva različitih predznaka negativan je broj.
3(4 +(– 1)) – [2(2 –(– 1)) – 3(2 + 2)].Poštujući prioritet zagrada, izvršimo zbrajanja u okruglim zagradama.
3(4 +(– 1)) – [2(2 + 1) – 3(2 + 2)] = 3 · 3 – [2 · 3 – 3 · 4].Sada ponovno izvršimo naznačena množenja:
9 – [6 – 12] = 9 – (– 6) = 9 + 6 = 15.
¤¤ Primjer 14.Izračunajmo 2 – (– 3 – 1).
Rješenje
Izračunajmo najprije izraz u zagradi: –3 – 1 = – 4, što gledamo kao zbrajanje dvaju negativnih brojeva: (–3) + (–1). Sada moramo izračunati 2 – (– 4). Ovo oduzimanje negativnog broja gledamo kao zbrajanje pozitivnog broja: 2 + 4 = 6.
Vježbaj!
1. Izračunaj. a) 32 + (– 27) b) 99 – (– 11) c) – 57 + (– 43) – 100
2. Izračunaj. a) – 22 – [32 – (– 18)] b) 7 – [(– 57 – 13) – (14 – 24)]
Sk
upo
vi b
roje
va
26
3. Pomnoži. a) –12 · (– 2) · (– 1) b) 4 · (– 50) · (– 20)
4. Izračunaj. a) 26 · 10 – (– 26) · (– 9) b) 56 · 62 + 56 · (– 55) – 49 · 7 + 7 · (– 7)
5. Izračunaj. a) 1 + 2 {3 – [140 – (32 – 30) · 70] + (– 1)} b) – 5 – 5 {– 5 – 5 [– 5 – 5 (– 5 – 5) – 40] – 40}
6. Pretpostavi da je izgradnja arene u Puli počela prve godine vladavine cara Vespazijana. Koliko je, uz tu pretpostavku, stara ta građevina?
Odgovori!
1. Vrijedi li komutativnost za zbrajanje cijeli brojeva?
2. Vrijedi li komutativnost za oduzimanje cijeli brojeva?
3. Koji su cijeli brojevi jednaki svojim kvadratima?
Procijeni!
1. Zbroj dvaju cijelih brojeva za 20 je veći od njihove razlike. Što možeš reći o tim brojevima?
2. Koji broj možeš napisati umjesto kvadratića da vrijedi jednakost?
1 100 – 11 000 = 10 –
3. Tri prijateljice našle su se na kavi i provele ugodno vrijeme. Prije odlaska zatraž ile su račun koji je iznosio 25 kuna. Svaka od njih dala je 10 kuna konobaru. Konobar nije imao 5 kuna za vratiti pa je svakoj djevojci dao po 1 kunu, a 2 kune je zadržao sebi.
Dakle, djevojke su dale po 10 kuna, konobar je svakoj vratio po jednu kunu, što znači da je svaka dala 9 kuna, a zajedno su platile 3 · 9 = 27 kuna. Ako su platile 27 kuna, a konobar je zadržao dvije kune, kamo je nestala jedna kuna?
Modeliraj!
1. Marko je skupljao sitniš po svojim džepovima. U hlačama je pronašao 8 kn, u jakni 13 kuna, u pernici 20 kn. Je li mu to dovoljno da kupi ulaznicu za kino (25 kn) i kokice (15 kn)?
Skupovi brojeva
27
2. Jasna kaže: Zamislila sam neki broj. Dodala sam mu 17. Zbroj sam udvostručila. Dobila sam 4. Koji sam broj zamislila?
3. Temperatura je od 7 do 10 sati ujutro porasla za 5 °C, a do 13 sati za još 7 °C, kada je bila 13 °C. Kolika je temperatura bila u 7 sati?
4. U tablici su prikazane jutarnje temperature mjerene u Mrkoplju tijekom jednog tjedna u siječnju. Koliko je iznosila prosječna jutarnja temperatura u tom tjednu?
dan temperatura (°C)ponedjeljak 2utorak – 3srijeda – 12četvrtak – 7petak – 1subota 0nedjelja –7
Sk
upo
vi b
roje
va
28
1.3. Skup racionalnih brojevaU skupu cijelih brojeva nismo definirali dijeljenje. Naime, količnik dvaju cijelih brojeva nije nužno cijeli broj. Tako je, primjerice,
12 : 3 = 4 ,ali
13 : 3 .Proširimo skup tako da rezultati dijeljenja cijelih brojeva budu elementi tog no-vog skupa. Ako je m dijeljenik, a n djelitelj, n 0, onda njihov količnik zapisujemo u obliku razlomka
mn
.
Ovdje m nazivamo brojnikom, a n nazivnikom tog razlomka. Brojevi koje može-mo napisati u obliku razlomka čine skup racionalnih brojeva:
, .m m nn
= ∈ ∈ � � �
Čitamo: je skup brojeva oblika mn sa svojstvom da je brojnik (m) cijeli broj, a
nazivnik (n) prirodni broj.Uočimo da nazivnik ne može biti nula; dijeljenje nulom nije definirano u skupu .Ako je n = 1, onda je količnik
m1 = m ,
a to znači da je svaki cijeli broj ujedno i element skupa racionalnih brojeva.Primjeri racionalnih brojeva:
3
4
10
35
10
20 5
1
21
7
7, , , , , .− = − = − − =
−
Elementu skupa Q ne možemo odrediti neposrednog prethodnika niti neposrednog sljedbenika.
Količnik, primjerice, brojeva 20 i 4 jednak je količniku brojeva 10 i 2, a to znači da
su i razlomci 20
4 i
10
2 međusobno jednaki.
Skupovi brojeva
29
Dva su razlomka ab
i cd međusobno jednaka ako su umnošci brojnika jednog
razlomka s nazivnikom drugog razlomka međusobno jednaki:a · d = b · c.
Razlomke možemo proširivati i skraćivati.Razlomak proširujemo tako da mu i brojnik i nazivnik pomnožimo istim cijelim brojem različitim od nule. Razlomak skraćujemo tako da mu i brojnik i nazivnik dijelimo istim cijelim bro-jem različitim od nule.
¤¤ Primjer 15.
a) Proširimo razlomak 2
5 brojem 4. b) Skratimo razlomak 28
42.
Rješenje
a) Pomnožimo brojnik i nazivnik zadanog razlomka brojem 4:
2
5
2 4
5 4
8
20= =
⋅⋅
.
b) Najveći broj kojim možemo skratiti razlomak jest najveći zajednički djelitelj brojnika i nazivnika. U ovom je slučaju D (28, 42) = 14. Skratimo:
28
42
28 14
42 14
2
3= =
:
:.
Skup jest potpuno uređen, a to znači da svaka dva racionalna broja možemo us-porediti. Naime, za po volji odabrane a, b vrijedi samo jedna od triju sljedećih tvrdnji:
a < b ili a = b ili a > b.Promatrajmo razlomke kojima su brojnik i nazivnik pozitivni. U slučaju da su im jednaki nazivnici, veći je onaj razlomak čiji je brojnik veći. U slučaju da su im jed-naki brojnici, veći je onaj razlomak čiji je nazivnik manji. Tako je
2
5
4
5
4
3< <i
4
7.
Da bismo usporedili razlomke istog predznaka, nužno je da imaju jednake brojnike ili jednake nazivnike. Stoga ih svodimo na zajednički nazivnik (ili brojnik). To će biti višekratnik zadanih nazivnika (odnosno brojnika).
Sk
upo
vi b
roje
va
30
Uspoređujemo li brojeve različitih predznaka, naravno, uvijek je veći pozitivan broj.
¤¤ Primjer 16.
Usporedimo brojeve: a) 5
6
15
18i ; b) 13
15
17
20i .
Rješenje
a) Zajednički je nazivnik 18 pa prvi razlomak proširujemo s 3. Dobivamo 15
18, što
je jednako drugom razlomku, pa vrijedi:
5
6
15
18= .
b) Zajednički je nazivnik najmanji zajednički višekratnik brojeva 15 i 20, a to je 60. Prvi ćemo razlomak proširi s 4, a drugi s 3:
13
15
13 4
15 4
52
60
17
20
17 3
20 3
51
60=
⋅⋅
= =⋅⋅
=,
pa je
52
60
51
60> , odnosno 13
15
17
20> .
Brojevi a i 1a , a ≠ 0 međusobno su recipročni brojevi. Za njih vrijedi
a
aaa
� � �1
1.
Oznaka recipročnog broja je a–1. Dakle,
a a a a a⋅ = ⋅ = ≠− −1 11 0, .
Dva su racionalna broja međusobno recipročna ako im je umnožak 1. Primjeri međusobno recipročnih brojeva:
3
1
34
1
4
2
3
3
2
7
2
2
7i i i i, , , .− − − −
Skupovi brojeva
31
Skup racionalnih brojeva, kao proširenje skupa cijelih brojeva, naslijedio je račun-ske operacije definirane za cijele brojeve sa svim njihovim svojstvima. Ponovimo ta svojstva. Za po volji odabrane a, b, c vrijedi:1. komutativnost zbrajanja:
a + b = b + a, 2. komutativnost množenja:
a · b = b · a,3. asocijativnost zbrajanja:
(a + b) + c = a + (b + c), 4. asocijativnost množenja:
(a · b) · c = a · (b · c), 5. distributivnost množenja prema zbrajanju:
(a + b) · c = a · c + b · c, (distributivnost zdesna)a · (b + c) = a · b + a · c, (distributivnost slijeva)
6. 0 je neutralni element za zbrajanje:a + 0 = 0 + a = a,
7. 1 je neutralni element za množenje:a · 1 = 1 · a = a,
8. za svaki racionalni broj a postoji suprotni broj –a sa svojstvom:a +(–a) = –a + a = 0,
9. za svaki racionalni broj a, a ≠ 0, postoji broj koji zovemo recipročnim brojem broja a sa svojstvom:
aa a
a� � � �1 1
1, odnosno, a a a a� � � �� �1 11.
Sk
upo
vi b
roje
va
32
¤¤ Primjer 17.Izračunajmo brojeve:
a) 3
5
7
5+ ; b) 3
4
1
8− ; c)
7
8
3
5+ ; d)
2
3
7
5· ; e) 14
9
2
21· ; f ) 15
48· ; g) 5
8
9
4: ;
h) 7
43: ; i)
2
3
5
7
.
Rješenje
a) Razlomke možemo zbrajati ako imaju jednake nazivnike i tada je zbroj razlo-mak nazivnika koji je jednak nazivnicima pribrojnika, a brojnik mu je jednak zbroju brojnika pribrojnika:
abcb
a cb
+ =+ , b ≠ 0.
Dakle, u razmatranom je primjeru
3
5
7
5
3 7
5
10
52� �
�� � .
b) Oduzimanje razlomaka svodi se na zbrajanje sa suprotnim brojem. U ovom se primjeru radi o oduzimanju razlomaka različitih nazivnika pa ih najprije mo-ramo svesti na jednake nazivnike. Pritom za nazivnik razlike biramo najmanji zajednički nazivnik danih razlomaka. Budući da je v(4, 8) = 8, to će rezultat oduzimanja biti razlomak kojemu je nazivnik broj 8. Prema tome, da dobijemo razlomke jednakog nazivnika, valja nam 3
4 proširiti brojem 2, tj. moramo i broj-
nik i nazivnik pomnožiti brojem 2:
3 1 3 2 1 6 1 6 –1 5– – – .4 8 4 2 8 8 8 8 8
⋅= = = =
⋅
c) Zajednički nazivnik razlomaka 7
8
3
5i umnožak je njihovih nazivnika (8 i 5)
jer im je najveći zajednički djelitelj D (8, 5) = 1:
7
8
3
5
7 5 3 8
40
35 24
40
59
40+ =
⋅ + ⋅=
+= .
d) Umnožak dvaju razlomaka jest razlomak čiji je brojnik umnožak brojnika, a nazivnik umnožak nazivnika zadanih razlomaka:
Skupovi brojeva
33
abcd
a cb d
� ���
, b ≠ 0 i d ≠ 0.
Tako je
2
3
7
5
2 7
3 5
14
15⋅ =
⋅⋅
= .
Dva razlomka, dakle, možemo množiti i njihov umnožak također pripada skupu . e) Prije množenja razlomke možemo skratiti. Pritom brojnik i nazivnik bilo kojeg
od faktora dijelimo istim brojem. Ovdje ćemo 14 i 21 dijeliti brojem 7:
14
9
2
21
14 2
9 21
14 7 2
9 21 7
2 2
9 3
4
27⋅ =
⋅⋅
=( )⋅
⋅( )=
⋅⋅
=:
:.
f ) Svaki je cijeli broj razlomak s nazivnikom 1, pa množenje razlomka cijelim bro-jem izvodimo kao množenje razlomka razlomkom:
abc a
bc a c
b⋅ = ⋅ =
⋅1
, b ≠ 0.
Prije množenja brojeva 15
48i , možemo ih skratiti (8 i 4 dijelimo s 4):
15
48
15
12 15 2 30� � � � � � .
g) Količnik dvaju razlomaka jest umnožak dijeljenika i recipročne vrijednosti dje-litelja:
abcd
abdc
a db c
: ,� � ���
b ≠ 0, c ≠ 0, d ≠ 0.
5
8
9
4
5
8
4
9
5
2
1
9
5
18: .� � � � �
h) Dijeljenje razlomka cijelim brojem izvodi se kao i dijeljenje razlomka razlom-kom jer je cijeli broj razlomak s nazivnikom 1:
abc abc a
b cab c
: : ,� � � ��1
1 b ≠ 0, c ≠ 0.
7
43
7
4
1
3
7
12: .� � �
Sk
upo
vi b
roje
va
34
i) Količnik dvaju razlomaka ponekad je napisan i kao dvojni razlomak. Neka su a, b, c, d brojevi i neka su b, c, d različiti od 0. Izraz
abcd
nazivamo dvojnim razlomkom. Brojevi a i d vanjski su članovi dvojnog ra-zlomka, a brojevi b i c unutarnji članovi. Očito je:
abcd
abcd
abdc
adbc
= = ⋅ =: .
U dvojnom razlomku dopušteno je skraćivati bilo koji vanjski član s bilo kojim
unutarnjim članom. Zadani dvojni razlomak možemo pojednostaviti tako da, umjesto glavne razlo-
mačke crte, pišemo znak dijeljenja:
2
35
7
2
3
5
7
2
3
7
5
14
15= = ⋅ =: .
Razlikujemo dvije vrste razlomaka: prave i neprave.
Ako su m, n i m < n, razlomak mn nazivamo pravim razlomkom.
Ako su m, n i m > n, razlomak mn nazivamo nepravim razlomkom.
Tako je 3
7 pravi, a
5
2 nepravi razlomak.
Mješoviti broj zbroj je cijelog broja i pravog razlomka. Tako je
2
1
32
1
35
3
45
3
4= + = +; .
Očito je da se mješoviti broj može prikazati u obliku nepravoga razlomka. Tako je:
2
1
32
1
3
6
3
1
3
7
35
3
45
3
4
20
4
3
4
23
4= + = + = = + = + =; .
Skupovi brojeva
35
Mješoviti broj pretvaramo u razlomak tako da cijeli broj množimo nazivnikom i tom umnošku dodamo brojnik. Tako dobivamo brojnik traženog razlomka. Naziv-nik se ne mijenja. Dakle,
, 0.b a c ba cc c
⋅ ++ = ≠
¤¤ Primjer 18.
Pretvorimo mješoviti broj 2 3
5 u nepravi razlomak, a razlomak
172
u mješoviti broj.
Rješenje
Prema prethodnome imamo:
23
5
2 5 3
5
13
5=
⋅ += .
Razlomak pretvaramo u mješoviti broj tako da brojnik dijelimo nazivnikom. Količ-nik je cijeli dio mješovitog broja. Ostatak je brojnik odgovarajućeg razlomka.
17 : 2 = 8 1
Dakle, 17 182 2= .
Vježbaj!
1. Skrati razlomak.
a) 4872
b) 3556
c) 680510
2. Izračunaj.
a) 1 526 6
+ − b) 5 1 76 12 18
− + c) 5 7 371 224 30 36
− +
3. Trokut ima opseg 279
m. Duljine dviju stranica su 12
18m i
536
m. Kolika je
duljina treće stranice?
4. Pomnoži.
a) 536
⋅ b) 2 83 15 17
⋅ c) 4 35 27 8 5
⋅ ⋅
5. Napiši umjesto kvadratića odgovarajući broj.
a) 45
10m = dm b)
73100
km = m c) 35 m = cm
Sk
upo
vi b
roje
va
36
6. Izračunaj.
a) 3 1 27 14 5
+ ⋅ b)
1 21 24 5
⋅ − c) 2 1 1 2
5 10 6 3 − ⋅ +
7. Podijeli.
a) 6 : 27
b) 2 : 35
c) 5 231 :
18 30 d) 81:
98. Napiši umjesto kvadratića odgovarajući broj.
a) 119
dag = kg b) 11
999 kg = t c) min = h
9. Izračunaj.
a) 2 8 1 1:3 9 3 4
− ⋅ b) 1 2 5 243 5 6 7
+ − ⋅ c)
1 2 5 2:2 3 6 3
+ − 10. Izračunaj.
a)
2 43 55 3
+ b)
5 18 41 12 4
−
+ c)
4 927 85 1 : 26 3
⋅ − −
11. Za a = – 2, b = 23
, c = 14
izračunaj vrijednost izraza 3b – 4ac.
Odgovori!
1. Kojim slovom označavamo skup racionalnih brojeva?
2. Zašto je svaki cijeli broj ujedno i racionalan?
3. Kojim brojem nije definirano dijeljenje? Zašto?
4. Znaš li koji je najveći racionalan broj?
Procijeni!
1. Brzina zvuka je 300 m/s. Za koje vrijeme zvuk prijeđe pola kilometra?
2. Površina je pravokutnika je 285
cm2, a duljina jedne njegove stranice iznosi 7 cm.
Koliki je opseg tog pravokutnika?
3. Josip i Ivan rješavali su test. Josip je od 25 zadataka točno riješio 20, a Ivan je od 30 zadataka točno riješio 24. Tko je bolje riješio test?
4. Kojim brojem možeš zamijeniti kvadratić?500 : 400 = 1 :
Skupovi brojeva
37
5. Koji je broj bliže broju 1: 89 ili
8099 ?
Modeliraj!
1. Ana je platila 114 kg piletine 125 2kn. Koliko je Marija platila tri četvrtine
kilograma iste piletine?
2. Koliko se odijela može sašiti od 22 m tkanine ako je za jedno odijelo potrebno 32 4
m tkanine?
3. Od 1 kg brašna dobije se 113 kg kruha. Koliko je brašna potrebno za 25 kg kruha?
4. U nekoj školi ima 282 učenika. Jednoga je dana 13 učenika bila na izletu, a 3
47
izostalo je zbog bolesti. Koliko je učenika prisustvovalo nastavi?
5. Ako je 57
zgrade stambeni prostor, a 310 zgrade iznajmljeno je zalogajnici, koji
je dio zgrade neiskorišten?
6. Polovina razrednog odjela dobila je ocjenu dovoljan, a trećina je dobila ocjenu dobar. Preostalih pet učenika dobila su ocjenu odličan. Koliko je učenika u tom razrednom odjelu?
1.3.1. Decimalni zapis racionalnog broja
Racionalne brojeve zapisujemo i u decimalnom obliku. Decimalni se zapis racio-nalnog broja zapisanog u obliku razlomka dobije dijeljenjem brojnika nazivnikom, npr.
5
85 8 0 625= =: , .
Decimalni broj može imati konačno ili beskonačno mnogo decimala. Ako se nakon konačnog broja koraka u dijeljenju brojnika nazivnikom dobije ostatak 0, racional-ni broj ima konačan broj decimala. Npr.
2
50 4
13
43 25
7
80 875
97
1600 60625= = = =, ; , ; , ; , .
Ako se prilikom dijeljenja jedna znamenka ili skupina znamenaka beskonačno puta ponavlja, broj ima beskonačno mnogo decimala, što bilježimo tako da iznad deci-malnih mjesta koja se ponavljaju stavljamo točke. Skup znamenki koje se ponavlja-
Sk
upo
vi b
roje
va
38
ju nazivamo periodom, a takav je broj periodičan decimalni broj, npr.
5 5 : 9 0,555555555.... 0,5.9
= = = �
¤¤ Primjer 19.Zapišimo u decimalnom obliku:
a) 1
3; b) 8
11; c) 8
45; d) 5
13.
Rješenje
a) 1
31 3 0 3333 0 3= = =: , ... , ;
b) 8
118 11 0 727272 0 72= = =: , ... , ;
c) 8
458 45 0 17777 0 17= = =: , ... , ;
d) 5
135 13 0 384615384615384615 0 384615= = =: , .... , .
¤¤ Primjer 20.Zapišimo u obliku razlomka:
a) 0,3; b) 2,5; c) 0,007 ; d) 0,3;� e) 0,007.�
Rješenje
Decimalni broj konačnog zapisa pretvaramo u decimalni razlomak. To je razlomak čiji je nazivnik potencija broja 10:
a) 0,33
10= ; b) 2 5
25
10
5
2, ;= = c) 0 007
7
1000, .=
Prva dva razlomka imaju u nazivniku broj 10 jer decimalni zapis ima jedno deci-malno mjesto. Treći razlomak u nazivniku ima 1000 = 103 jer decimalni broj ima 3 decimalna mjesta.
d) Da bismo pretvorili periodični decimalni broj 0.3� u razlomak, obilježimo ga s x x= 0.3.�
Ovu jednadžbu možemo pisati i ovako: x = 0 33. .� Množenjem brojem 10 dobivamo 10 3 3x = . ,�
Zapišemo li desnu stranu kao zbroj 10 3 0 3x � � . ,�
to je
Skupovi brojeva
39
10 3x x� � , 9x = 3
39
x = .
Zaključujemo da je 30,3 .9
=� Napomenimo da je uobičajeno čisto periodične broje-ve zapisivati s nazivnikom 9.e) Da bismo pretvorili periodični decimalni broj u razlomak, period mora slijediti neposredno iza decimalne točke. Zato ćemo 0,007� zapisati kao razlomak s brojni-kom 0,7� :
0 0070 7
100,
,.
=
Prema prethodno pokazanom postupku dobivamo:
0 77
9, =
pa je
0 0070 7
100
7
9
100
7
900,
,.
= = =
¤¤ Primjer 21.U računalo upišimo 1,6
.
Rješenje
Beskonačno periodični decimalni broj može se u računalo upisati jedino kao razlo-mak. Dakle, najprije je potrebno pretvoriti
1 6
5
3, , =
a nakon unosa razlomka (ili količnika 5 : 3), na zaslonu računala dobit ćemo prvih nekoliko decimala zadanog periodičnog broja: 1,666666667. Racionalne brojeve računalo zapisuje ili kao razlomke ili kao decimalne brojeve. Uporabom tipke S <=> D, Standardni zapis u obliku razlomka pretvaramo u Deci-malni i obratno.
Sk
upo
vi b
roje
va
40
1.3.2. Zaokruživanje brojeva
Često se javlja potreba da se umjesto točne vrijednosti broja navede njegova pri-bližna vrijednost. Primjerice, udaljenost od 7 124 metra možemo zapisati kao 7,124 kilometar. Želimo li istaknuti da je taj broj odaljenost između mjesta A i B, nepotrebna je preciznost na tisućinke kilometara. Jednostavno kažemo da su mjesta A i B udaljena 7 kilometara. Ovdje smo broj zaokružili.Kod zaokruživanja broja vodimo računa o znamenci koju izostavljamo. Ako je ta znamenka 0, 1, 2, 3 ili 5, prethodna znameka ostaje ista. Tako možemo, primjerice,3, 42 zaokružiti na 3,4 ili 0,152 možemo zaokružiti na o,15.Ako je znamenka koju odbacujemo 5, 6, 7, 8 ili 9, prethodnu znamenku treba pove-ćati za 1. Tako je 7, 37 ≈ 7,4, a 91,315 ≈ 91,32. Znak ≈ čitamo: približno.
Vježbaj!
1. Napiši u obliku decimalnoga broja.
a) 9
10 b)
359100
c) 29
10002. Napiši zadani broj kao razlomak. a) 2,5 b) 0,73 c) 0,004
3. Napiši kao decimalan broj.
a) 15
b) 54 c)
8140
4. Napiši u obliku razlomka.
a) .
5,7 b) .
0,22 c) . .
0,345. Izračunaj.
a) .
3 (1 1,3)⋅ − b) .
.1,7
0,346. Izračunaj. a) 23 431,18 + 4 315,8 b) 7 300 – 8 320,5 c) 32,53 · (– 6,5)
7. Izračunaj. a) 8,35 + 16,065 : 3,57 b) 15 : (2,5 – 7,2 : 1,8)
8. Izračunaj i rezultat zaokruži na cijeli broj. a) (6 320,6 – 5 230,6) : 10,9 b) 123,6 – 13,02 : 1,2 + 6,5 · 2
Skupovi brojeva
41
9. Kolika je vrijednost izraza zaokružena na 4 decimale?
3( 0,3)( 0, 2) 1: (7 1,25)4
− − − +
Odgovori!
1. Blagajnica nema u blagajni kovanica lipa. Koliko će kuna vratiti kupcu koji plaća novčanicom 50 kuna, ako račun iznosi
a) 35,70 kn b) 20,20 kn c) 45,50 kn?
2. Kolika je razlika između
a) .
0,3 i 13
b) .
0,3 i 0,3?
3. Jesu li 3 i .
0,3 recipročni brojevi?
Procijeni!
1. U tablicu su prosječne ocjene učenika na kraju školske godine.
Ime ProsjekAnte 4,32Ema 4,94Ivan 4,23Olga 4,83Una 4,45
a) Koliko ih prolazi s odličnim uspjehom? b) Tko ima najbolji prosjek? c) Poredaj učenike od njauspješnijeg do najmanje uspješnog. d) Koji bi učenik imao odličan uspjeh ako bi decimale zamijenile mjesta? e) Kojim se učenicima uspjeh ne bi promijenio zamjenom redoslijeda znamenaka
iza decimalnog zareza?
2. Bez dijeljenja odredi koji razlomak ima konačni decimalni zapis, beskonačni periodni zapis ili mješovit beskonačni periodni zapis.
17 5 55 22 23 320 9 64 15 24 11
Sk
upo
vi b
roje
va
42
3. Broj 7,46125 zaokružen je na jednu dvije, tri i četiru decimale. Koja je tvrdnja netočna?
a) na jednu decimalu iznosi 7,5 b) na dvije decimale iznosi 7,46 c) na tri decimale iznosi 7,462 d) na četiri decimale iznosi 7,4613
4. Koji od navedenih brojeva zaokruženi na dvije decimale iznose 3,15?
3, 1427 3,1463 3,1591 3,1515
Modeliraj!
1. Litra benzina stoji 10,17 kuna. Koliko će Ante platiti ako je natočio 38,45 litara u spremnik svojeg automobila?
2. Američke mjere za tekućinu su bareli i galoni. Veza među njima dana je formulom 100 galona = 3.1746 barela. Koliko je galona 1 300 barela?
3. Površina kopnenog dijela Republike Hrvatske iznosi 56 542 km2. Središnja Hrvatska zauzima trećinu kopnenog dijela. Na tome području živi 2,16 milijuna stanovnika. Kolika je gustoća naseljenosti Središnje Hrvatske? (Rezultat zaokruži na najbliži cijeli broj.)
4. U Hrvatskoj ima 8 nacionalnih parkova:
• Brijuni, površine 33,9 km2, utemeljeni 1983. godine
• Kornati, površine 320 km2, utemeljeni 1980. godine
• Krka, površine 109 km2, utemeljen 1985. godine
• Mljet, površine 53,75 km2, utemeljen 1960. godine
• Paklenica, površine 95 km2, utemeljena 19.11.1949. godine
• Plitvička jezera, površine 296.85 km2, utemeljena 8.4.1949. godine
• Risnjak, površine 64 km2, utemeljen 1953. godine
• Sjeverni Velebit, ima površinu 109 km2, utemeljen 1999. godine.
a) Poredaj nacionalne parkove po površini od najvećeg do najmanjeg.
b) Poredajte nacionalne parkove po vremenu utemeljenja.
c) Koliko je nacionalnih parkova koji su po površini manji od 100 km2?
d) Koliko je nacionalnih parkova utemeljeno poslije 1990. godine?
Skupovi brojeva
43
1.4. Skup iracionalnih brojevaPostoje brojevi koji se ne mogu prikazati u obliku razlomaka, tj. brojevi koji nisu racionalni. Takve brojeve nazivamo iracionalnim brojevima, oni čine skup iracio-nalnih brojeva, kojeg označujemo s I. Primjeri iracionalnih brojeva:
2 = 1,41. . .; 3 = 1,73205 . . .; p = 3,1415927. . . . Iracionalni brojevi u decimalnom zapisu imaju oblik decimalnog broja s beskonač-no mnogo decimalnih mjesta, ali se ni jedna znamenka niti skupina znamenaka ne ponavlja periodično.Decimalni zapis iracionalnog broja možemo odrediti samo približno (aproksimativno).
¤¤ Primjer 22.Odredimo približni iznos opsega kotača kojem je polumjer 50 cm ako uzmemo da jea) p = 3,14; b) p = 3,14159.Koliko se puta treba okrenuti taj kotač da bi opisao ekvator Zemlje uzimajući da je približna duljina ekvatora 40 000 km?
Rješenje
Opseg kruga određujemo množenjem promjera brojem p o = 2rp.a) o = 2 · 50 cm · 3,14 = 314 cm = 3,14 mb) o = 2 · 50 cm · 3,14159 = 314,159 cm = 3,14159 mDa bismo odredili koliko će se puta okrenuti kotač pri obilasku zemaljske kugle, trebamo podijeliti put s opsegom kotača.a) 40 000 000 m : 3,14 m = 12738854 b) 40 000 000 m : 3,14159 m = 12732406Razlika u broju okretaja u a) i b) slučaju je 6447 okretaja. To znači da bi se kotač opsega 3,14 m morao okrenuti za 6447 okretaja više nego kotač opsega 3,14159!
Sk
upo
vi b
roje
va
44
1.5. Skup realnih brojevaU izgradnji skupova brojeva pošli smo od skupa , skupa prirodnih brojeva u ko-jem je rezultat zbrajanja, odnosno, množenja bilo kojih dvaju prirodnih brojeva također broj iz tog skupa. Da bismo mogli oduzimati, skup prirodnih brojeva pro-širili smo nulom i brojevima suprotnim prirodnim brojevima i dobili skup . Očito je skup prirodnih brojeva sadržan u skupu cijelih brojeva. Kažemo da je podskup skupa i pišemo:
. Rezultat dijeljenja dvaju cijelih brojeva nije nužno cijeli broj, pa smo skup pro-širili do skupa racionalnih brojeva u kojem se nalazi rezultat dijeljenja dvaju cijelih brojeva, pri čemu je djelitelj različit od nule. Budući da se svaki cijeli broj može prikazati u obliku razlomka, to vrijedi:
.Elemente skupa prikazivali smo i u decimalnom obliku kao konačne ili periodič-ne decimalne brojeve. Beskonačni neperiodični decimalni brojevi pripadaju skupu iracionalnih brojeva . Očito je da skupovi i nemaju zajedničkih elemenata pa kažemo da je njihov presjek1 prazan skup te pišemo:
= ,gdje je oznaka za prazan skup, tj. skup koji nema niti jedan element.Skup racionalnih brojeva i skup iracionalnih brojeva zajedno čine skup realnih brojeva . Kažemo da je skup unija2 skupova i i pišemo:
= .Odnos među skupovima brojeva je, dakle, sljedeći:
i .
1 Presjek dvaju skupova čine elementi koji pripadaju jednom i drugom skupu. Presjek skupova A i B označavamo ovako: A B.
2 Uniju dvaju skupova čine elementi koji pripadaju jednom ili drugom skupu. Uniju skupova A i B označavamo ovako: A B.
Skupovi brojeva
45
1.6. Brojevni pravacUspostavimo vezu između točaka nekog pravca i elemenata skupa realnih brojeva. Nacrtajmo pravac x i istaknimo na njemu dvije točke: točku O i desno od nje točku E (slika 1). Točki O pridružimo broj nula (0), a točki E pridružimo broj jedan (1). Udaljenost točke E od točke O iznosi 1. To pišemo:
|OE| = 1 ili d(O, E) = 1.Točku O nazivamo ishodištem, točku E jediničnom točkom, a dužinu OE jedi-ničnom dužinom. Sada nije teško naći točke pravca koje su pridružene prirodnim, cijelim i ostalim racionalnim brojevima. Mogu se naći i točke pravca x koje su pri-družene iracionalnim brojevima, npr. 2 3, , . . .
Pravac na kojem je istaknuto ishodište i jedinična točka nazivamo brojevnim prav-cem. Svakom realnom broju pridružena je jedna točka brojevnog pravca, a svakoj točki brojevnog pravca pridružen je jedan realni broj.Kažemo da smo na pravcu x definirali koordinatni sustav. Uobičajeno je crtanje strelice koja pokazuje orijentaciju od točke O prema točki E.
O E
x0 1slika 1
¤¤ Primjer 23.Nađimo točku brojevnog pravca koja je pridružena prirodnom broju 3.Rješenje
Nanesimo iz ishodišta na desnu stranu pravca jediničnu dužinu triput (slika 2).
0
O
1
E A
2 3 xslika 2
Kažemo da točka A ima koordinatu 3 i pišemo A(3). Broj 3 nazivamo apscisom točke A. Analogno, svakom broju n N možemo pridružiti (samo jednu) točku, A(n), bro-jevnog pravca (slika 3).
0
O
1
E A
2 n xslika 3
Sk
upo
vi b
roje
va
46
Odredimo točke brojevnog pravca pridružene negativnim cijelim brojevima.Prenosimo iz ishodišta na lijevu stranu pravca jediničnu dužinu. Točke koje smo na taj način obilježili pridružene su brojevima – 1, – 2, – 3, . . . (slika 4).
–4 –3 –2 –1 0
O
1
E
2 3 4 x
slika 4
¤¤ Primjer 24.Pridružimo brojevima 2
3 i −
2
3 točke brojevnog pravca x.
Rješenje
Podijelimo jediničnu dužinu na 3 jednaka dijela. Na udaljenosti 23
OE nalazi se
prva tražena točka. Označimo je slovom A. Dužinu 1
3OE nanesimo 2 puta lijevo
od ishodišta. Dobit ćemo drugu traženu točku. Označimo je slovom B.
O EAx
−2
3
B
slika 5 Na opisani se način svakome racionalnom broju može pridružiti jedna (i samo jed-na) točka brojevnoga pravca. Obrat ne vrijedi. Svakoj točki brojevnoga pravca nije pridružen racionalni broj jer postoje točke brojevnoga pravca kojima ne možemo pridružiti racionalan broj.
Da bismo mogli nanositi i neke iracionalne brojeve na brojevni pravac, ponovimo Pitagorin poučak.Neka su a i b duljine kateta, a c duljina hipotenuze pravokutnog trokuta.Tada vrijedi a2 + b2 = c2. ab
c
Skupovi brojeva
47
¤¤ Primjer 25.Pronađimo na brojevnom pravcu točku kojoj je pridružen broj 2.
Rješenje
Nacrtajmo kvadrat iznad jedinične dužine. Duljinu njegove dijagonale računamo po Pitagorinu poučku:
d = + =1 1 22 2
.
O 1
1
E x
2
2slika 6
Dobiveni broj nije racionalan, ali lako, nanošenjem dijagonale kvadrata na pravac, nađemo na pravcu točku koja je pridružena broju 2 . Prema tome, i iracionalne brojeve možemo prikazivati na brojevnom pravcu. Svakom realnom broju pridružena je točno jedna točka brojevnog pravca. Vrijedi i obrat: svakoj točki brojevnog pravca odgovara točno jedan realni broj.
Vježbaj!
1. Nacrtaj točke u koordinatnom sustavu na pravcu.
3 1 3 74 4 2 4
A B C D − −
2. Nacrtaj točke u koordinatnom sustavu na pravcu.
1 1 3 73 5 5 15
A B C D − −
3. Nacrtaj točke u koordinatnom sustavu na pravcu.
( ) ( ) ( )5 5 6A B C−
4. Napiši barem dva racionalna broja x za koja vrijedi:
a) – 3 < x < – 1 b) – 3 ≤ x < – 1 c) 14
< x < 54
d) 75
− ≤ x ≤ 75
Sk
upo
vi b
roje
va
48
Odgovori!
1. Točka A(a) nalazi se na brojevnom pravcu lijevo od točke B(b).
Koja je od sljedećih tvrdnja točna? a) a < b b) b < a c) a = b
2. Na brojevnom je pravcu točka A(– 4). Koja tvrdnja vrijedi za sve točke T(x) desno od točke A?
x > – 4 x < – 4 x > 4
3. Na brojevnom je pravcu točka A(2). Promatramo skup točaka T(x) za koje vrijedi x ≥ 2. Pripada li točka A tom skupu?
3. Zapiši matematičkim simbolom skup svih brojeva x koji su veći od 2 i manji od 5.
4. a) Za koliko prirodnih brojeva vrijedi nejdnakost: –2 < x < 2?
b) Za koliko cijelih brojeva vrijedi nejdnakost: –2 < x < 2?
c) Za koliko cijelih brojeva vrijedi nejdnakost: –2 ≤ x < 2?
d) Za koliko racionalnih brojeva vrijedi nejdnakost: –2 < x < 2?
Procijeni!
1. Skupovi prikazani na slici sadrže svoje krajnje točke. Koliko cijelih brojeva sadrži zajednički dio tih skupova?
– 3
– 0,5
3
4
2. Koliko je prirodnih brojeva između 1,9 i 193
?
3. Koji je od navedenih brojeva veći od 75
− ?
4 8 61 25 5 5− − − −
4. Koji je od navedenih brojeva najbliži broju 3?
π 227
.3,1
Skupovi brojeva
49
1.7. Apsolutna vrijednost realnog brojaPromatrajmo brojevni pravac. Svakoj točki pravca možemo pridružiti njezinu uda-ljenost od ishodišta. Ako je točka desno od ishodišta, udaljenost od ishodišta jednaka je koordinati toč-ke. Tako je, primjerice, točka B(4) za 4 jedinice udaljena od ishodišta. Ako se točka nalazi lijevo od ishodišta, njezinoj koordinati treba promijeniti pred-znak kako bismo dobili udaljenost od ishodišta. Tako je, primjerice, točka A(– 4) za 4 jedinice udaljena od ishodišta. Broju x pridružili smo točku brojevnog pravca A(x). Apsolutna vrijednost broja x udaljenost je točke A od ishodišta. Ishodište od samog sebe nije udaljeno, tj. njegova udaljenost iznosi 0, a to je i vri-jednost njegove koordinate O(0).
–4 0 4x44
OA B
slika 7
Na slici 7 vidi se da je udaljenost točke A od ishodišta jednaka udaljenosti točke B od ishodišta. Za njihove koordinate kažemo da imaju jednake apsolutne vrijedno-sti ili module.Apsolutnu vrijednost realnog broja x obilježavamo |x|. Iz prethodne definicije apso-lutne vrijednosti slijedi da je:
ako je 0| | 0 ako je 0
ako je 0,
x xx x
x x
− <= = >
ili, kraće zapisano:
ako je 0| |
ako je 0.x x
xx x− <
= ≥
Iz definicije je očito da apsolutna vrijednost realnog broja nikad nije negativna| x | ≥ 0 za svaki x .
Naime, apsolutna vrijednost ne mijenja pozitivan broj (apsolutna vrijednost po-zitivnog broja jest pozitivan broj), a negativnom mijenja predznak (apsolutna vrijednost negativnog broja pozitivan je broj).
Sk
upo
vi b
roje
va
50
Za svaki realni broj x vrijedi| x | = | –x |
budući da apsolutna vrijednost broja x predstavlja udaljenost točke T(x) od ishodi-šta. Naime, točke T(x) i T(– x) jednako su udaljene od ishodišta pa su stoga i apso-lutne vrijednosti njihovih koordinata jednake.
¤¤ Primjer 26.Izračunajmo |a – b| ako je
a) a = 3, b = –1, b) a = 3, b = 5, c) a = 3, b = 10 .
Rješenje
a) | 3 –(–1) | = | 3 + 1 | = | 4 | = 4.
b) | 3 – 5 | = | –2 | = 2.
c) Znamo da je 10 3> (jer je ( )10 32 2> ) pa je 3 – 10 negativan broj. U tom
slučaju broju mijenjamo predznak pri izračunavanju apsolutne vrijednosti:
| 3 – 10 | = –(3 – 10 ) = –3 + 10 = 10 –3.
Navedimo neka svojstva apsolutne vrijednosti.
1. Apsolutna vrijednost umnoška realnih brojeva jednaka je umnošku njihovih apsolutnih vrijednosti:
| a · b | = | a | · | b | za a, b .
2. Apsolutna vrijednost količnika dvaju realnih brojeva jednaka je količniku njihovih apsolutnih vrijednosti:
| a : b | = | a | : | b | za a, b , b ≠ 0.
3. Apsolutna vrijednost zbroja realnih brojeva nije veća od zbroja njihovih apsolutnih vrijednosti:
| a + b | ≤ | a | + | b | za a, b .(Ova se nejednakost naziva nejednakost trokuta.)
Skupovi brojeva
51
¤¤ Primjer 27.
Provjerimo tri navedena svojstva apsolutne vrijednosti za 2 , –1.3
a b= =
Rješenje
1. 2 2 2 2 2 2(–1) – , | –1| 1 .3 3 3 3 3 3⋅ = = ⋅ = ⋅ =
2. 2 2 2 2 2 2: (–1) – , :| –1| :1 .3 3 3 3 3 3
= = = =
3. 2 1 1 2 2 5(–1) – , | –1| 1 .3 3 3 3 3 3+ = = + = + =
Doista, 2 ( 1)3
+ – ≤ 2 | 1| .3
+ –
Za koje realne brojeve vrijedi jednakost u svojstvu 3?
Sk
upo
vi b
roje
va
52
1.8. Međusobna udaljenost točaka brojevnog pravca
Neka su A(a) i B(b) točke brojevnog pravca određene svojim koordinatama a i b. Te dvije točke određuju dužinu AB, koju označujemo AB. Pod duljinom dužine AB podrazumijevat ćemo međusobnu udaljenost točaka A i B i označujemo je |AB| ili d(A, B). Budući da je točka A udaljena od točke B upravo onoliko koliko je točka B udaljena od A, očito je
|AB| = |BA|.
Dakle, udaljenost ima svojstvo simetričnosti.
Kako određujemo udaljenost točaka A i B? Pogledajmo njihov međusobni položaj.1. Neka je a > b > 0, tj. a – b > 0.
B A
a xb0slika 8
Udaljenost točaka A i B dobit ćemo tako da od udaljenosti točke A od ishodišta oduzmemo udaljenost točke B od ishodišta:
| AB | = | OA | – | OB | = | a | – | b | = a – b = | a – b | jer je a – b > 0.Ako je 0 < a < b (dakle, ako je na brojevnom pravcu točka B desno od točke A), onda je:
| AB | = | OB | – | OA | = | b | – | a | = b – a = –(a – b) = | a – b |.2. Neka je a, b < 0 i a < b < 0. To znači da je a – b < 0, tj. | a – b | = –(a – b).
BA
a xb 0slika 9
Sada je| AB | = | OA | – | OB | = | a | – | b | = –a –(–b) = –(a – b) = | a – b |.
Ako je a, b < 0 i b < a < 0 (dakle, ako je na brojevnom pravcu točka B lijevo od točke A), onda je:
| AB | = | OB | – | OA | = | b | – | a | = – b –(–a) = a – b = | a – b |.
Skupovi brojeva
53
3. Neka je b < 0 < a.
B A
a xb 0slika 10
Ovdje ćemo međusobnu udaljenost točaka dobiti tako da zbrojimo njihove udalje-nosti od ishodišta:
| AB | = | OB | + | OA | = | b | + | a | = –b + a = a – b = | a – b |.
Zamijene li točke A i B mjesta, tj. ako je a < 0 < b, ponovno dobivamo:
| AB | = | OA | + | OB | = | a | + | b | = –a + b = –(a – b) = | a – b |.
Dakle, za bilo koje točke A(a) i B(b) na brojevnom pravcu vrijedi:
| AB | = | a – b |.
Uočimo da formula vrijedi i ako se točke A i B podudaraju.
¤¤ Primjer 28.
Odredimo udaljenost točaka A( 3 2– ) i B( 1 3– + ).
Rješenje
| AB | = | a – b | = | 3 2– – ( 1 3– + )| = | 3 2– +1 – 3 | = | –1 | = 1.
Vježbaj!
1. Izračunaj.
a) 5 – |– 2 – 7| b) 5 – |– 2| – 7 c) |5 – (– 2) – 7|
2. Izračunaj.
a) |– 0,2 – 1,5| b) |– 0,2| – |1,5| c) ||– 0,2| – 1,5|
3. Ako je a = – 2, b = 73 , c = 2,1 izračunaj:
a) |a + b – c| b) |a + b| – c c) |a – b + c| d) a + |b – c|
Sk
upo
vi b
roje
va
54
Odgovori!
1. Kojim od navedenih brojeva možeš zamijeniti x tako da vrijedi |2 – 3x| = 5? Zadatak ima više rješenja.
13
– 1 73 2
2. Za brojeve iz kojeg skupa prikazanog slikom vrijedi: |x| < 3?
a) 3– 3
b) 3– 3
c) 3– 3
Procijeni!
1. Kakav je odnos između brojeva a i b ako je
a) |a – b| = a – b b) |a – b| > a – b?
POTENCIJEPotencije
Monomi i polinomi
Rastav polinoma na faktore
Algebarski razlomci
2.
56
Pot
enci
je 2.1. PotencijeRastavimo broj 288 na proste faktore.
288 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3,što možemo kraće zapisati
288 = 25 · 32.Dakle, 2 · 2 · 2 · 2 · 2 kraće zapisujemo 25, a 3 · 3 kraće zapisujemo 32. Izraze poput 25 i 32 nazivamo potencijama.
¤¤ Primjer 1.
Izračunajmo 54 i 32– .
3
Rješenje
54 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625,
32 2 2 2 8– – – – – .
3 3 3 3 27 = ⋅ ⋅ =
Za realni broj a definiramo kvadrat broja a: a2 = a · a,
kub broja a:a3 = a · a · a
i, općenito, n-tu potenciju broja a:
faktora
,n
n
a a a a= ⋅ ⋅ ⋅…�����
gdje je n prirodni broj. U potenciji (čitamo: a na entu) a nazivamo bazom (osnovi-com), a n eksponentom potencije.Primijetimo da je a1 = a.
¤¤ Primjer 2. Izračunajmo: a) 7
2; b) 2(–0,3) ; c) 0
5; d)
51– ;2
f )6
3
(–2) .4
57
Potencije
Rješenje
a) 7 7 7 492 = ⋅ = ;
b) 2(–0,3) (–0,3) (–0,3) 0,09;= ⋅ =
c) 0 0 0 0 0 0 05 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ;
d) 61 1 1 1 1 1 1 1– – – – – – – ;
2 2 2 2 2 2 2 64 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
e ) 6
3
(–2) (–2) (–2) (–2) (–2) (–2) (–2) 64 1.4 4 4 4 64
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =
⋅ ⋅
Ako je baza negativan realni broj, predznak potencije ovisi o parnosti eksponenta. Ako je eksponent paran, potencija je pozitivna, a ako je eksponent neparan, poten-cija je negativna. To znači da je za realni broj a < 0 i svaki prirodni broj k potencija a2k pozitivna, a a2k – 1 negativna.
¤¤ Primjer 3.Izračunajmo koristeći se džepnim računalom: a) 0,72, b) 35.
Rješenje
a) Računalo ima tipku s oznakom x2. Ako je pritisnemo nakon unosa broja 0,7, re-zultat će biti 0,49.b) Za ostale potencije treba se koristiti tipkom s oznakom potencije. Tako je
35 = 243.
2.1.1. Zbrajanje i oduzimanje potencija
Zbroj dviju potencija, npr.64 + 64
možemo kraće zapisati2 · 64.
To nije moguće učiniti sa zbrojem 24 + 64 ili 63 + 64. Prema tome, zbrajati i oduzi-mati možemo samo potencije kojima su i baze i eksponenti jednaki. Trebamo li zbrojiti
5a4 + 2a4,
58
Pot
enci
je zbrojit ćemo brojeve (koeficijente) 5 i 2, a potenciju a4 ćemo prepisati. Dobit ćemo, dakle:
5a4 + 2a4 = (5 + 2)a4 = 7a4.Uočimo da smo se, u stvari, koristili pravilom distributivnosti.Potencije možemo zbrajati samo ako imaju jednake baze i jednake eksponente i to tako da zadanu potenciju množimo zbrojem koeficijenata pribrojnika.
¤¤ Primjer 4.Izračunajmo a) 24 + 24 + 24; b) 5 · 33 + 33; c) 2a3 + 4a2 + 5a3 – a2; d) a4 – 5b4 – b4 + 3a4.
Rješenje
a) 24 + 24 + 24 = 3 · 24 = 3 · 16 = 48; b) 5 · 33 + 33 = 6 · 33 = 6 · 27 = 162;c) Koristeći se komutativnošću i asocijativnošću zbrajanja realnih brojeva, dobivamo: 2a3 + 4a2 + 5a3 – a2 = (2a3 + 5a3) + (4a2 – a2) = 7a3 + 3a2,d) Zbog komutativnosti i asocijativnosti zbrajanja imamo: a4 – 5b4 – b4 + 3a4 = a4 + 3a4 – 5b4 – b4 = 4a4 – 6b4.
2.1.2. Množenje potencija
Pomnožimo
a a4 5⋅ .
Budući da je a a a a a4 � � � � i a a a a a a5 � � � � � , to je
a a a a a a a a a a a a4 5 9� � � � � � � � � � �( ) ( ) .
Očito je da smo bazu a ove potencije potencirali zbrojem eksponenata (4 + 5 = 9). Općenito:
faktora faktora faktora
. . . . . . . . .m n m n
m n m n
a a a a a a a a a +
+
⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =����� ����� �����
am · an = am + n.Potencije jednakih baza množimo tako da bazu potenciramo zbrojem njihovih eks-ponenata.
59
Potencije
Ako potencije nemaju jednake baze, nećemo ih moći pomnožiti. Npr.
a b a b4 5 4 5� � .
¤¤ Primjer 5.Pomnožimo:a) x x3 ⋅ , b) 3 7
7 3x x⋅ , c) a b a b3 7 2 3⋅ .
Rješenje
a) Jedna potencija ima eksponent 3, a druga 1 pa je x x x x3 3 1 4⋅ = =+
.
b) Posebno smo pomnožili koeficijente (3 i 7), a posebno potencije (x7 i x3). 3 7 3 7 21
7 3 7 3 10x x x x⋅ = ⋅ =+.
c) Zbog komutativnosti množenja realnih brojeva možemo napisati a b a b a a b b3 7 2 3 3 2 7 3⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ,
a sada je zbog asocijativnosti množenja u skupu realnih brojeva:
a b a b a a b b a b a b3 7 2 3 3 2 7 3 3 2 7 3 5 10⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = =+ +( ) ( ) .
2.1.3. Dijeljenje potencija
Podijelimo a9 s a5.
a a aa
a a a a a a a a aa a a a a
a a a a a a9 5
9
5
40: , .� �
� � � � � � � �� � � �
� � � � � �
Ovdje se radi o dijeljenju potencija. Eksponent količnika mogli smo dobiti oduzi-manjem eksponenata dijeljenika i djelitelja:
9 – 5 = 4.Općenito,
am : an = am – n, a ≠ 0. Potencije jednakih baza dijelimo tako da bazu potenciramo razlikom eksponenata dijeljenika i djelitelja.Ako potencije nemaju jednake baze, pišemo ih u obliku razlomka. Npr.
a b ab
9 5
9
5: .=
60
Pot
enci
je ¤¤ Primjer 6.Podijelimo:a) 15 5
7 8 2x y x y: ; b) xx
5
2.
Rješenje
a) 7 8 2 7 2 8 7–2 8–1 5 715 : 5 (15 : 5)( : )( : ) 3 3 ,x y x y x x y y x y x y= = =b) Budući da razlomkom zapisujemo dijeljenje, ovaj količnik računamo ovako:
xx
x x x5
2
5 2 3= =: .
Izračunajmo sada a2 : a2 ako je a ≠ 0: a2 : a2 = a2 – 2 = a0.
S druge strane, dijelimo li realan broj različit od nule samim sobom, dobit ćemo 1, pa očekujemo da je
a2 : a2 = 1.Budući da su lijeve strane posljednjih dviju jednakosti jednake, možemo izjednačiti njihove desne strane:
a0 = 1 za sve a , a ≠ 0.Potencija eksponenta 0 uz bilo koju bazu, različitu od 0, ima vrijednost 1.Time smo proširili skup eksponenata na skup nenegativnih cijelih brojeva.
Podijelimo sada a2 : a5. a2 : a5 = a2 – 5 = a– 3
S druge strane, zadani količnik potencija jednakih baza možemo zapisati u obliku razlomka:
a a aa
a aa a a a a a
2 5
2
5 3
1: .� �
�� � � �
�
Kako su lijeve strane posljednjih dvaju izraza međusobno jednake, i desne moraju biti takve:
aa
� �3
3
1.
Vrijedi općenito za a , a ≠ 0, n ,
a an
n� �
1.
61
Potencije
Potencija negativnog eksponenta jednaka je recipročnoj vrijednosti potencije iste baze pozitivnog eksponenta.
Tako je 31
3
1
9
7
3
3
7
27
343
2
2
3 3
��
� � �
��
�
�� � �
��
�
�� �, .
Posebno, ako je n = 1, vrijedi:
a
aa� � �1 1
0, .
Dakle, recipročnu vrijednost broja pišemo kao potenciju s eksponentom – 1. Pri-mjerice,
2
5
5
2
5
2
1 1
�
��
�
�� � �
��
�
�� �
�
.
Općenito vrijedi:, , 0.
n na b a bb a
− = ≠
¤¤ Primjer 7.Izračunajmo: a) 4–2; b) 10–3.
Rješenje
a) 2
2 1 14 0,06254 16− = = =
b) 3
3 1 110 0,00110 1000− = = =
2.1.4. Potencije jednakih eksponenata
Trebamo li pomnožiti (podijeliti) potencije jednakih eksponenata, možemo pomno-žiti (podijeliti) njihove baze, a zajednički eksponent prepisati:
( )nn na b a b⋅ = ⋅ ( ): : nn na b a b=
¤¤ Primjer 8.Izračunajmo: a) 1004 · 0,14; b) 163 : 83.
Rješenje
a) 4 4 4 4100 0,1 (100 0,1) 10 10 000⋅ = ⋅ = =
b) ( )33 3 316 :8 16 :8 2 8= = =
62
Pot
enci
je 2.1.5. Potenciranje potencija
Želimo li izračunati koliko je (a3)2 , razmišljamo ovako: kvadrirati a3 znači pomno-žiti a3 samim sobom:
( ) .a a a a a3 2 3 3 3 3 6� � � ��
Pogledamo li početak i kraj računa, možemo zaključiti da smo rezultat mogli dobiti množenjem eksponenata. Doista, općenito:
( ) . . .
. . .a a a a am n m m m m
n
n
� � � � �� �
faktora
pribrojnika
� �� ��
� ��� ���mm n�
.
Dakle, ( )a am n m n� � .
Potenciju potenciramo tako da bazu potenciramo umnoškom eksponenata.
¤¤ Primjer 9.Potencirajmo:a) ( ) ;a b c4 3 5 b) ( ) ;a a2 4 3⋅ c) ( ) : ( ) .a a3 6 2 5
Rješenje
a) ( ) ( ) ( ) ;a b c a b c a b c a b c4 3 5 4 5 3 5 5 4 5 3 5 5 20 15 5= ⋅ ⋅ = =⋅ ⋅
b) ( ) ( ) ( ) ;a a a a a a2 4 3 2 4 3 6 3 6 3 18⋅ = = = =+ ⋅
c) ( ) : ( ) : : .a a a a a a a3 6 2 5 3 6 2 5 18 10 8= = =⋅ ⋅
2.1.6. Znanstveni oblik realnoga broja
Jako velike i jako malene realne brojeve zapisujemo pomoću potencija u tzv. znan-stvenom obliku. Tako masa Zemlje iznosi oko 5 960 000 000 000 000 000 000 000 kg = 5,96 · 1 000 000 000 000 000 000 000 000 kg što je prikladnije napisati kao 5,96 · 1024 kg. Zaokruženo, masa Zemlje iznosi 6 · 1024 kg. Slično je s masom elektrona. Utvrđeno je da ona iznosi 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 911 kg =
= 9,1110000000000000000000000000000000000 kg
63
Potencije
što je za uporabu nespretno. Zapišemo li taj podatak kao 9,11 · 10–34 kg, stječe se predodžba o veličini te mase. Znanstveni oblik realnog broja umnožak je realnog broja a zapisanog u decimal-nom obliku kojemu je cijeli dio jednoznamenkasti broj različit od nule i potencije broja 10 (n Z)
a · 10n.
¤¤ Primjer 10.a) Upišimo u računalo broj 1,312 · 10–26.b) Izračunajmo: 12 350 · 54 000 000.
Rješenje
a) Zadanu potenciju možemo upisati tako da upišemo 1,312, znak množenja i na kraju zadanu potenciju. No, možemo nakon upisana broja upotrijebiti tipku
x10x
čime dobivamo znanstveni oblik racionalnog broja.b) Unesemo li zadane brojeve u računalo, rezultat u obliku
666 900 000 000ne stane na zaslon. Stoga ga računalo automatski pretvara u znanstveni oblik:
6,669 · 1011.
Istaknimo pravila za računanje s potencijama:Zbrajanje i oduzimanje potencija a xn + b xn = (a + b)xn
Množenje potencija jednakih baza xn · xm = xn+m
Množenje potencija jednakih eksponenata xn · yn = (x · y)n
Dijeljenje potencija jednakih baza xn : xm = xn–m, x ≠ 0Dijeljenje potencija jednakih eksponenata xn : yn = (x : y)n, y ≠ 0Potenciranje (xn)m = xn·m
Potenciranje nulom x0 = 1, x ≠ 0
Potenciranje negativnim eksponentom xx
xnn
� � �1
0, .
64
Pot
enci
je Vježbaj!
1. Napiši u obliku potencije.
a) 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 b) (– 2) · (– 2) · (– 2) · (– 2)
c) 3 3 3 3 35 5 5 5 5⋅ ⋅ ⋅ ⋅ d) 1,2 · 1,2 · 1,2 · 1,2 · 1,2 · 1,2 · 1,2
2. Izračunaj.
a) 25 b) (– 6)3 c) 43
4
d) 0,12
3. Izračunaj.
a) 34 – 33 b) 44 – 2 · 42 · 32 + 34 c) 4 · (– 0,5)2 – 16 · (– 0,5)4
4. Izračunaj.
a) ( )2
3 5 14 16 8 − −
b) 2 4 31 5 118 2 2
− +
5. Izračunaj vrijednost izraz K = x3 + 2x2 – 3x + 1 za:
a) x = 5 b) x = 0,2 c) x = 23
6. Pomnoži.
a) 2m2 · 3m4 b) 0,2a7 · a4 · 5a c) 2 3 5 44 93 2a b a b⋅
7. Podijeli.
a) 8x8 : 3x3 b) 0,125a4b5 : 0,25ab c) 6 8 3 448 8:49 7a b a b
8. Izračunaj.
a) a7 · a– 4 b) a6b– 3 · a2b– 1 c) a4 : a– 4
9. Izračunaj.
a) (50b)3 · (10b)3 : (0,125b)3 b) 7 7
3 26 9:5 5a b a b
10. Potenciraj.
a) ( )23 4x y b) ( )23 2a b− c) ( )732a b
11. Izračunaj.
a) (2u2)4 · (3u3)4 : (12u)4 b) 2 2
5 3 29 3:8 4a b a b
65
Potencije
12. Napiši u znanstvenom obliku.
a) 56 000 000 b) 0,000 004 c) 345,6 · 104
Odgovori!
1. Koji broj stoji u kvadratiću?
a) 10 = 10 b) 10 = 0,0001 c) 10 · 10 = 10 000
Procijeni!
1. Koja je potencija negativna?
(– 1)18 (– 1)– 6 (– 1)0 (– 1)3
2. Koji je broj veći?
a) 4 53 3ili2 2
b)
5 61 1ili2 2
Modeliraj!
1. Koliko je puta udaljenost Zemlje od Sunca (1,5 · 1011 m) veća od udaljenosti Mjeseca od Zemlje (3,8 · 108 m)?
2. Masa protona iznosi 1,67 · 10– 27 kg, a masa elektrona 9,1 · 10– 31 kg. Koliko je puta masa elektrona manja od mase protona?
66
Pot
enci
je 2.2. Monomi i polinomiPogledajmo sljedeće izraze:
x x a b a ab2 3 4 3 12 5 7
3
2, , , , .
−
To su umnošci realnog broja i potencija. Nazivamo ih jednočlanim izrazima ili monomima. Zbrojimo li dva monoma, dobit ćemo dvočlani izraz ili binom. Binomi su, npr.
x3 + 2x2, 5a4b3 – 4a3b4, 7a – 3.Monome koji zbrojeni čine binom nazivamo članovima toga binoma. Tako se bi-nom x3 + 2x2 sastoji od dva člana: x3 i 2x2.Ako zbrojimo tri monoma, dobit ćemo tročlani izraz ili trinom. Npr.
x x a b a b ab a b c2 3 2 2 32 7 5 2 17
3
4� � � � � �, , .
Zbroj više monoma naziva se višečlanim izrazom ili polinomom. Takvi su:
x x x a a b a b ab b a b c d3 2 4 3 2 2 3 4
7 3 7 5 2 8 2 101
2
7
4
5
2+ − − + − − + − + −, , .
Uočimo da se monom sastoji od faktora, a polinom od članova.Pomnožiti dva binoma (3a + 4)(5a + 6),Primijenom zakona distributivnosti dobivamo:
(3a + 4) · (5a + 6) = 3a · 5a + 3a · 6 + 4 · 5a + 4 · 6 =
= 15 18 20 24 15 38 242 2a a a a a� � � � � � .
¤¤ Primjer 11.Pomnožimo 2( – 5 2)(4 –1).x x x+
Rješenje2 3 2 2 3 2( – 5 2)(4 –1) 4 – – 20 5 8 – 2 4 – 21 13 – 2;+ = + + = +x x x x x x x x x x x
67
Potencije
2.2.1. Kvadrat binoma
Promatrajmo binom a + b. Njegov ćemo kvadrat izračunati tako da ga pomnožimo samim sobom:
( ) ( )( ) .a b a b a b a ab ab b a ab b� � � � � � � � � � �2 2 2 2 22
Dakle,
( ) .a b a ab b� � � �2 2 22
Gornju formulu nazivamo kvadratom zbroja. Desnu stranu formule čini zbroj kva-drata prvog i drugog člana zadanog binoma i dvostruki umnožak njegovih članova.Zamijenimo li u posljednjoj formuli b s (–b), dobit ćemo kvadrat razlike:
( ( )) ( ) ( ) ,a b a a b b� � � � � � � �2 2 22
odnosno,
( ) .a b a ab b� � � �2 2 22
Kvadrat zbroja i kvadrat razlike jednim imenom nazivamo kvadratom binoma kojeg kraće zapisujemo:
( ) .a b a ab b� � � �2 2 22
Pazi!2 2 2( ) .a b a b± ≠ ±
¤¤ Primjer 12.Primjenom formule za kvadrat binoma, izračunajmo:a) (a + 3)2; b) (5 – x3)2; c) (2a – 5b)2 + (2a + 5b)2.
Rješenje
a) (a + 3)2 = a2 + 2 · a · 3 + 32 = a2 + 6a + 9;b) (5 – x3)2 = 52 – 2 · 5 · x3 + (x2)2 = 25 – 10x3 + x6;c) (2a – 5b)2 + (2a + 5b)2 = (2a)2 – 2 · 2a · 5b + (5b)2 + (2a)2 + 2 · 2a · 5b + (5b)2 = = 4a2 – 20ab + 25b2 + 4a2 + 20ab + 25b2 = 8a2 + 50b2.
68
Pot
enci
je 2.2.2. Kub binoma
Zadan je binom a + b. Njegov kub možemo izračunati tako da binom pomnožimo njegovim kvadratom:( ) ( )( ) ( )( )a b a b a b a b a ab b� � � � � � � � �3 2 2 2
2
� � � � � � � � � �a a b ab a b ab b a a b ab b3 2 2 2 2 3 3 2 2 32 2 3 3 .
Dobili smo formulu za kub zbroja: ( ) .a b a a b ab b� � � � �3 3 2 2 3
3 3
Zamijenimo li u dobivenoj formuli b s (–b), dobit ćemo formulu za kub razlike: ( ( )) ( ) ( ) ( ) ,a b a a b a b b� � � � � � � � �3 3 2 2 3
3 3
odnosno, ( ) .a b a a b ab b� � � � �3 3 2 2 3
3 3
Kub zbroja i kub razlike jednim imenom nazivamo kubom binoma i pišemo:
( ) .a b a a b ab b± = ± + ±3 3 2 2 33 3
Pazi!3 3 3( ) .a b a b± ≠ ±
¤¤ Primjer 13.Uporabom formule za kub binoma, izračunajmo:a) (a + 2)3; b) (3a – 4)3.
Rješenje
a) (a + 2)3 = a3 + 3 · a2 · 2 + 3 · a · 22 + 23 = a3 + 6a2 + 12a + 8;b) (3a – 4)3 = (3a)3 – 3 · (3a)2 · 4 + 3 · 3a · 42 – 43 = 27a3 – 108a2 + 144a – 64
2.2.3. Razlika kvadrata
Pomnožimo binom a + b binomom a – b. Uočimo odmah da su prvi članovi tih binoma međusobno jednaki brojevi, a drugi su članovi suprotni brojevi.
a b a b a ab ab b a b�� � �� �� � � � � �2 2 2 2.
Dobiveni je umnožak razlika kvadrata prvog i kvadrata drugog člana binoma s li-jeve strane.
a b a b a b+( ) −( )= −2 2 .
69
Potencije
¤¤ Primjer 14.Uporabom formule za razliku kvadrata, izračunajmo sljedeće umnoške:
a) (a + 7)(a – 7); b) (1 – a3) (1 + a3); c) 1 12 – 2 .2 2
a b a b + + +
Rješenje
a) (a + 7)(a – 7) = a2 – 72 = a2 – 49;b) (1 – a3) (1 + a3) = 1 –(a3)2 = 1 – a6;
c) 2
2 2 21 1 1 12 – 2 (2 ) – 4 4 – .2 2 2 4
+ + + = + = + + a b a b a b a ab b
2.2.4. Razlika i zbroj kubova
Pomnožimo ( )( ).a b a ab b� � �2 2
( )( ) .a b a ab b a a b ab a b ab b a b� � � � � � � � � � �2 2 3 2 2 2 2 3 3 3
Dobiveni umnožak ima oblik razlike dvaju kubova:
( )( ) .a b a ab b a b� � � � �2 2 3 3
Pomnožimo sada ( )( ).a b a ab b� � �2 2
( )( ) .a b a ab b a a b ab a b ab b a b� � � � � � � � � � �2 2 3 2 2 2 2 3 3 3
Rezultat ima oblik zbroja dvaju kubova:
( )( ) .a b a ab b a b� � � � �2 2 3 3
Formule koje smo dobili nazivamo razlikom kubova i zbrojem kubova.
¤¤ Primjer 15.Uporabom formule za zbroj i razliku kubova, izračunajmo sljedeće umnoške:a) (a – 2)(a2 + 2a + 4); b) (1 + x)(1 – x + x2).
Rješenje
a) (a – 2)(a2 + 2a + 4) = a3 – 22 = a3 – 8;
b) (1 + x)(1 – x + x2) = 13 + x3 = 1 + x3.
70
Pot
enci
je Vježbaj!
1. Kvadriraj zbroj.
a) (a + x)2 b) (a + 7)2 c) (2 + 3x)2 d) (4a + 5b)2
e) 21
2a +
f ) 23 24 a b +
g)
2
3 2yx +
2. Izračunaj koristeći se formulom za kvadrat zbroja. a) 212 b) 4042 c) 1,022 d) 1,12
3. Kvadriraj.
a) ( )22 2a b+ b) 212a a
+
c) ( )23 2m m+
4. Kvardiraj razliku.
a) (x – a)2 b) (5 – a)2 c) (m – 1)2 d) (3x – 4y)2
e) 21
2 m −
f ) 1 12 2a b
g) (0,2x – 0,3)2
5. Izračunaj koristeći se formulom za kvadrat razlike. a) 9,92 b) 9982 c) 49,92
6. Kvadriraj.
a) ( )22 2x x− b) 2
22
1xx
−
c) ( )22 2a b ab−
7. Kubiraj zbroj.
a) (a + x)3 b) (1 + x)3 c) (a + 2)3
d) 32
3 a +
e) 31 aa
+
f ) ( )32 2a b ab+
8. Kubiraj razliku.
a) (x – 2)3 b) (1 – xy)3 c) (3a – 1)3
d) (ab – 0,1)2 e) ( )32 2a b− f ) 31 1
2 3a b −
9. Pomnoži.
a) (a – 8)(a + 8) b) (x – 2y)(x + 2y) c) 2 23 33 3a a + −
71
Potencije
10. Pomnoži koristeći se razlikom kvadrata.
a) 490 · 510 b) 101 · 99 c) 998 · 1002
11. Pomnoži.
a) (u + v) · (u2 – uv + v2) b) (a + 2) · (a2 – 2a + 4)
12. Pomnoži.
a) (a – u) · (a2 + au + u2) b) (2a – 3b) · (4a2 + 6ab + 9b2)
13. Kvadratu izraza ab – 3 dodaj udvostručeni izraz 3ab − 4. Što je rezu1at nakon sređivanja?
14. Pojednostavni izraz (a + 3)(a2 – 3a + 9) – 27.
Odgovori!
1. Što je pogrešno izračunato?
a) (a + 7)2 = a2 + 49 b) (2a + 7)2 = 4a2 + 14a + 49
c) (5a2 – 2a5)2 = 25a4 + 20a7 + 4a10
2. Otkrij pogrešku.
a) (3 – x)3 = 27 – x3 b) (x + y)3 = x3 + x2y + xy2 + y3
Procijeni!
1. Promotri izraze A = (1 + x) i B = (1 – x). Koji će izraz imati veću vrijednost ako je x = 0,5?
a) A2 ili A3 b) B2 ili B3
2. Koji je broj veći?
a) 4 53 3ili2 2
b)
5 61 1ili2 2
72
Pot
enci
je 2.3. Rastav polinoma na faktoreNeke polinome moguće je napisati u obliku umnoška. Kažemo da smo polinom faktorizirali ili rastavili na faktore. Pritom često rabimo formule za kvadrat bino-ma, kub binoma, razliku kvadrata, razliku kubova, zbroj kubova i slično.
2.3.1. Izlučivanje zajedničkog faktora
Ako svaki član nekog polinoma sadrži isti faktor, možemo taj faktor izlučiti. Tako svaki član trinoma
2 3a ab ac� �
sadrži faktor a pa taj faktor možemo izlučiti: 2 3 2 3a ab ac a b c� � � � �( ).
Da bismo se uvjerili u ispravnost postupka, pomnožimo izraz u zagradi na desnoj strani posljednje jednakosti s a. Zbog distributivnosti množenja prema zbrajanju realnih brojeva, zaista, dobivamo zadani trinom.
¤¤ Primjer 16.Izlučimo zajednički faktor u sljedećim izrazima:a) a3 – 2a2 + 3a; b) 5a5b3 – 2a2b6 + a3b4; c) 15x3 – 20x2 + 5x.
Rješenje
a) a3 – 2a2 + 3a = a(a3 – 2a + 3);b) 5a5b3 – 2a2b6 + a3b4 = a2b3(5a3 – 2b3 + ab);Ako izlučujemo potenciju, potražimo onu koja ima najmanji eksponent jer je takva potencija zajednički faktor svake potencije većeg eksponenta. Da bismo saznali što ostaje nakon izlučivanja zajedničkog faktora, svaki član zadanog polinoma dijeli-mo izlučenim faktorom. Tako smo podijelili:
5a5b3 : a2b3 = 5a3,–2a2b6 : a2b3 = –2b3,
a3b4 : a2b3 = ab.c) 15x3 – 20x2 + 5x = 5x (3x2 – 4x + 1).
Zajednički faktor kojeg izlučujemo može biti i binom. Faktorizirajmo2x(x – 2) + 3(x – 2).
73
Potencije
Ovdje imamo dva pribrojnika: 2x(x – 2) i 3(x – 2). Njihov je zajednički faktor x – 2 pa ga možemo izlučiti:
2x(x – 2) + 3(x – 2) = (x – 2)(2x + 3).
¤¤ Primjer 17.Rastavimo na faktore: a) 3x3 – 6x2 + 5x – 10; b) 3a2x2 – 6a2x + 5a2 – 9x2 + 18x – 15.
Rješenje
a) Uočimo skupine od po dva člana. Iz prvih dvaju članova možemo izlučiti 3x2, a iz zadnjih dvaju 5:
3x2 – 6x2 + 5x – 10 = 3x2(x – 2) + 5(x – 2) = (x – 2)(3x2 + 5).Isti bismo rezultat dobili uočavanjem drugih dvočlanih skupina. Mogli smo iz pr-vog i trećeg člana izlučiti x, a iz drugog i četvrtog – 2:
3x2 – 6x2 + 5x – 10 = x(3x2 + 5) – 2(3x2 + 5) = (3x2+ 5)(x – 2) = (x – 2) (3x2 + 5).Posljednja jednakost vrijedi zbog komutativnosti množenja.b) Uočimo prva tri člana i izlučimo a2 te iz posljednja tri člana i izlučimo –3:3a2 x2– 6a2x + 5a2– 9x2+ 18x – 15 = a2(3x2 – 6x + 5) – 3(3x2 – 6x + 5) = = (a2 – 3)(3x2 – 6x + 5).Mogli smo napraviti skupine od po dva člana. Iz prvog i četvrtog člana možemo izlučiti 3x2, iz drugog i petog – 6x, a iz trećeg i posljednjeg 5:3a2 x2– 6a2x + 5a2– 9x2+ 18x – 15 = 3x(a2 – 3) – 6x(a2 – 3) + 5(a2 – 3) = = (3x2 – 6x + 5)(a2 – 3) = (a2 – 3)(3x2 – 6x + 5).
2.3.2. Rastav kvadratnog trinoma na faktore
Kvadratni trinom
x px q2 + + ,
gdje su p i q realni brojevi, možemo faktorizirati ako postoje realni brojevi m i n takvi da vrijedi:
m + n = pm · n = q.
74
Pot
enci
je Tada možemo polazni kvadratni trinom napisati u obliku: x m n x mn2 + + +( ) ,
a njega možemo rastaviti na faktore:
x mx nx mn x x m n x m x m x n2 + + + = + + + = + +( ) ( ) ( )( ).
¤¤ Primjer 18.Rastavimo na faktore kvadratne trinome: a) x2 + 7x + 10; b) x2 – x – 6.
Rješenje
a) Pitamo se postoje li dva cijela broja kojih je zbroj 7, a umnožak 10. Umnožak 10 imaju brojevi: 1 i 10, – 1 i – 10, 2 i 5 te – 2 i – 5. Od tih parova odabiremo onaj čiji je zbroj 7, a to su 2 i 5. Imamo:
x2 + 7x + 10 = x2 + 2x + 5x + 10 = x(x + 2) + 5(x + 2) = (x + 2)(x + 5).b) Za rastav trinoma na faktore, tražimo cijele brojeve kojih je umnožak –6.
Takvi su – 2 i 3, 2 i –3, 1 i – 6 te – 1 i 6. Od tih parova brojeva odabiremo onaj par brojeva zbroj kojih je – 1, a to su brojevi 2 i – 3. Sada srednji član zadanog trinoma (–x) možemo napisati kao 2x – 3x:
x2 – x – 6 = x2 + 2x – 3x – 6 = x(x + 2) – 3(x + 2) = (x + 2)(x – 3).
2.3.3. Kvadrat binoma
Formule za kvadrat binoma možemo napisati i ovako:
a ab b a b2 2 22+ + = +( ) ,
a ab b a b2 2 22− + = −( )
i primijeniti pri faktorizaciji.
¤¤ Primjer 19.Rastavimo na faktore: a) 4a2 – 4a + 1; b) ab + ac + b2 + 2bc + c2; c) 4x2 – 24x + 36 – ax + 3a.
Rješenje
a) 4a2 – 4a + 1 = (2a)2 – 2 · 2a · 1 + 12 = (2a – 1)2;b) Uočimo skupine od prvih dvaju članova i posljednjih triju članova. Iz prve
skupine izlučimo a, a u drugoj prepoznajemo kvadrat binoma: ab + ac + b2 + 2bc + c2 = a(b + c) + (b + c)2 = (b + c)(a +(b + c)) = (b + c)(a + b + c),
75
Potencije
c) 4x2 – 24x + 36 – ax + 3a = 4(x2 – 6x + 9) –a(x – 3) = 4(x – 3)2 – a(x – 3) =
= (x – 3)[4(x – 3) – a] = (x – 3)(4x – 12 – a).
2.3.4. Kub binoma
Pri faktoriziranju polinoma možemo rabiti formule za kub binoma: a a b ab b a b3 2 2 3 3
3 3� � � � �( ) ,
a a b ab b a b3 2 2 3 33 3� � � � �( ) .
¤¤ Primjer 20.Rastavimo na faktore: a) 8 + 12x3 + 6x6 + x9; b) x4 – 3x3 + 3x2 – x .
Rješenje
a) 8 + 12x3 + 6x6 + x9 = 23 + 3 · 22 · x3 + 3 · 2 · (x3)2 + (x3)2 = (2 + x3)3,b) x4 – 3x3 + 3x2 – x = x(x3 – 3x2 + 3x – 1) = x(x – 1)3.
2.3.5. Razlika kvadrata
Formula razlike kvadrata može se napisati u obliku a b a b a b2 2� � � �( )( )
i rabiti pri rastavu polinoma na faktore.
¤¤ Primjer 21.Rastavimo na faktore:
a) 25 – a2; b) 4 1– ;81
x c) (2 + 3x)2 – (3 – 2x)2.
Rješenje
a) 25 – a2 = 52– a2 = (5 – a)(5 + a);
b) 4 2 2 21 1 1 1 1 1– – – ;81 9 9 3 3 9
x x x x x x = + = + +
c) (2 + 3x)2 – (3 – 2x)2 = [(2 + 3x) – (3 – 2x)][(2 + 3x) + (3 – 2x)] = = (2 + 3x – 3 + 2x)(2 + 3x + 3 – 2x) = (5x – 1)(x + 5). Pazi! Ne možeš faktorizirati zbroj kvadrat a2 + b2.
76
Pot
enci
je 2.3.6. Razlika i zbroj kubova
U zadacima rastava polinoma na faktore, ponekad je potrebno rabiti i formule za razliku kubova ili za zbroj kubova:
a b a b a ab b3 3 2 2� � � � �( )( ),
a b a b a ab b3 3 2 2� � � � �( )( ).
¤¤ Primjer 22.Rastavimo na faktore: a) 27a3 + 8, b) x6 – 1.
Rješenje
a) 27a3 + 8 = (3a)3 + 23 = (3a + 2)(9a2 – 6a + 4);b) Valja uočiti razliku kvadrata i rastaviti je na faktore:
x6 – 1 = (x3)2 – 1 = (x3 – 1)(x3 + 1) = (x – 1)(x2 + x + 1)(x + 1)(x2 – x + 1).
Vježbaj!
1. Napiši u obliku kvadrata zbroja.
a) x2 + 2xy + y2 b) x4 + 2x2y3 + y6 c) 4 + 4x + x2
d) a2 + 10a + 25 e) 0,01a2 + 0,04ab + 0,04b2 f) 2 2
1 2 1xyx y
+ +
2. Napiši u obliku kvadrata zbroja.
a) a2 – 2ab + b2 b) a4 – 16a2 + 64 c) 4m2 – 12mn + 9n2
d) 2 21 2 1100 100 100x xy y− + e) 22 11 3 9a a− +
3. Napiši u obliku kuba zbroja. a) a3 + 3a2 + 3a + 1 b) 8 + 6a + 12a2 + a3
c) 27x3 + 54x2 + 36x + 8 d) 3 2 2 39 27 272 4 8+ + +a a b ab b
4. Napiši u obliku kuba razlike.
a) a3 – 3a2b2 + 3ab4 – b6 b) 8a3 – 24a2b + 24ab2 – 8b3
c) 2 31 3 38 4 2x x x− + − d) 6 4 21 3 12 6464 4x x x− + −
77
Potencije
5. Napiši u obliku umnoška. a) 100 – x2 b) 81a2 – 64b2 c) 0,01 – 4a2
d) a4 – b4 e) a2b2 – 1 f ) 225 1681 49a −
6. Izračunaj koristeći se razlikom kvadrata. a) 512 – 492 b) 1022 – 982 c) 0.72 – 0,32
7. Pojednostavi izraz.
a) (a + x)2 – (a – x)2 b) (x – y)2 – (x + y)2 c) 16 – (a + 2)4
8. Rastavi na faktore.
a) x3 – 8 b) 1 – x3y3 c) 3 31 18 27a b−
9. Rastavi na faktore.
a) a3 + x3 b) 0,001a3b3 + 1 c) 27a3 – 125b3
10. Rastavi na faktore. a) (a – 8)3 – (a + 8)3 b) (x – 2y)3 + (x + 2y)3
11. Izluči zajednički faktor.
a) 4a + 8b b) 2a + ab c) 10a + 8a2 – 12a3
d) 2(x + 1) + x(x + 1) e) 2a(a – b) – 3b(a – b)
12. Napiši u obliku umnoška.
a) ax2 + 2ax + a b) 25a4 – 20a3b + 16a2b2 c) a3 – ab2
d) 25a4 – 10a3b + a2b2 e) a4b – ab4 f ) 2x3 + 16a
13. Napiši u obliku umnoška.
a) a2 + au + 2a + 2u b) 6a – 9b + 4a2 – 6ab
c) a3 – 4a2 – 4a + 16 d) 21 1 2 24 4 3 3ax ay x xy+ − −
14. Napiši u obliku umnoška.
a) a2 + 6a + 8 b) x2 – 5x + 6 c) a2 + 2ab – 24b2
78
Pot
enci
je Odgovori!
1. Što treba napisati u kvadratić?
a) a2 + 6a + = (a + 3)2 b) a2 – 10ab + 25b2 = ( – 5b)2
c) x6 + 3x4y + 3x2y2 + y3 = (x2 + )3 d) – 75a + 15a2 – a3 = (5 – a)3
e) 100 – x6 = ( – x3)( + x3) f ) – x3 = (2 – x)(4 + 2x + x2)
g) a3 + 27 = (a + )(a2 – 3a + 9)
2. Koji je izraz kvadrat binoma 12a + ?
a) 2 14a + b) 2 1
4a a+ + c) 2 14a a− +
3. Ako je x3 – y3 = abc i x2 + xy + y2 = b, koliko je x – y?
a) a b) ab c) ac d) c
4. Ako je a2 – b2 = 72 i ako je a + b = 9, koliko je a – b?
a) 9 b) 8 c) 27
5. Kolika je površina kvadrata stranice a + 7?
6. Kolika je površina pravokutnika stranica a + 7 i a – 7?
7. Za koji x zadani izrazi nisu definirani?
a) 4x
b) 44x −
c) 24
7 12x x− +8. Zbroj dvaju brojeva je 70, a njihov je umnožak 600. Koliki je zbroj kvadrata
tih brojeva?9. Pojednostavi izraz 3a(a + 1) – (a + 3)(3a3 – 3a2 +2a – 1).
Procijeni!
1. Što je rezultat sređivanja izraza a(a – 1)(a – 2)?
a) a3 b) a3 – 3a2 c) a3 d) a3 + 3a2 +2a
2. Izrazu a + 8b doda se udvostručen izraz a − 4b . Što je rezultat nakon sređivanja?
a) 3a b) 3a2 c) 3a + b d) 16b
3. Odredi monom koji je prekrio kvadratić.
(x2 + 2x + 3)(x2 – 4x + 1) = x3 – 2x3 + – 10x + 3
79
Potencije
4. Koji je izraz za 4 manji od kvadrata binoma x – 2?
a) x2 – 4x + 4 b) x2 – 4x c) x2 – 4
5. Izračunaj.
a) 39 · 41 – 38 · 41 b) 1 002 · 998 – 1 004 · 996
6. Koji izraz nije faktoriziran?
a) (x + 1)(x + 1) b) (x + 1)2 c) x(x + 2) + 1
Modeliraj!
1. Stranice trokuta imaju duljne: x2 + 3x – 2, x2 + 2 i x2 + x + 1.
Koliki je opseg tog trokuta?
2. Cijena C nekog proizvoda snižena je za 5 %, pa je povećana za 2 %. Sada iznosi
(C – 0,05C) + 0,02 (C – 0,05C).
Uvjeri se da ove dvije promjene cijene nisu isto kao i sniženje za 3 %:
C – 0,03C.
3. Objasni grafičku interpretaciju kvadrata zbroja (a + b)2.
a
a
bb
80
Pot
enci
je 2.4. Algebarski razlomciRazlomak čiji je i brojnik i nazivnik polinom nazivamo algebarskim razlomkom. Treba voditi računa o tome da razlomak nije definiran ako mu je nazivnik jednak nuli.
Tako je, primjerice, razlomak 5ab definiran za svaki a, b R osim za a = 0 ili b = 0.
Razlomak aa��
11 definiran je za svaki realni broj, osim za a = –1, dok je
xx2
9− defi-
niran za svaki realni broj x, osim za x = 3 i x = –3 jer je u tim slučajevima x2 – 9 = 0, a dijeljenje s nulom nije definirano.Svojstva računskih operacija u skupu realnih brojeva prenose se i na algebarske razlomke.
2.4.1. Skraćivanje i proširivanje algebarskih razlomaka
Razlomak skraćujemo tako da mu brojnik i nazivnik dijelimo zajedničkim fakto-rom različitim od nule. Da bismo mogli skraćivati algebarske razlomke, potrebno je faktorizirati i brojnik i nazivnik.
¤¤ Primjer 23.Skratimo razlomke:
a) 2 ;–
aba a
b) 2
2
– 8 15 .–10 25
++
a aa a
Rješenje
a) 2 ;
– ( – ) –ab ab b
a ab a a b a b= =
b) 2 2
2 2 2 2
– 8 15 – 3 – 5 15 ( – 3) – 5( – 3) ( – 3)( – 5) – 3 .–10 25 ( – 5) ( – 5) ( – 5) – 5
a a a a a a a a a a aa a a a a a
+ += = = =
+
Algebarske razlomke proširujemo tako da brojnik i nazivnik pomnožimo istim brojem ili algebarskim izrazom različitim od nule.
¤¤ Primjer 24.
Proširimo razlomke 2
2 2 2 2
1, ,– –b a
a ab a ab a b+ tako da im nazivnici budu jednaki.
81
Potencije
Rješenje
Najprije ćemo zadane nazivnike rastaviti na faktore:a2 – ab = a(a – b), a2 + ab = a(a – b), a2 – b2 = (a – b)(a + b).
Uočimo da će najmanji zajednički nazivnik biti najmanji zajednički višekratnik dobivenih izraza, a to je a(a – b)(a + b). Zato prvi razlomak proširujemo s a + b, drugi s a – b, a treći s a:
2
( ) ,– ( – ) ( – )( )b b b a b
a ab a a b a a b a b+
= =+
2
1 1 – ,( ) ( – )( )
a ba ab a a b a a b a b
= =+ + +
2 2 3
2 2 .– ( – )( ) ( – )( )a a a
a b a b a b a a b a b= =
+ +
2.4.2. Zbrajanje algebarskih razlomaka
Algebarske razlomke zbrajamo (ili oduzimamo) tako da ih najprije svodimo na zajednički nazivnik, a onda brojnike zbrojimo (ili oduzimamo). Zajednički je na-zivnik dvaju ili više razlomaka najmanji zajednički višekratnik njihovih nazivnika.
¤¤ Primjer 25.Zbrojimo:
a) 4 1 2 3;1 1a a
a a+ −++ +
b) 3 2 ;2 –1x x
++
c) 2 2
2 2– ;– –
a b a ba b a b
+ + d) 2 3
2 22x x x+
++
.
Rješenje
a) 4 1 2 3 4 1 2 3 6 21 1 1 1
a a a a aa a a a+ − + + − −+ = =+ + + +
b) 3 2 3( –1) 2( 2) 3 – 3 2 4 5 1 ;2 –1 ( 2)( –1) ( 2)( –1) ( 2)( –1)
x x x x xx x x x x x x x
+ + + + ++ = = =
+ + + +
c) 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
( ) – ( ) 2 – – 2– ;– ( – )( ) ( – )( ) – –
a b a b a b a b a ab b a b aba b a b a b a b a b a b a b
+ + + + + += = =
+ +
d) 2 3
2 2
2
1
3
2 1
4 3
2 12x x x x x x
xx x+
++
=+
++
=+
+( ) ( ) ( ).
82
Pot
enci
je 2.4.3. Množenje algebarskih razlomaka
Algebarske razlomke množimo tako da množimo brojnik brojnikom, nazivnik na-zivnikom.
¤¤ Primjer 26.
Pomnožimo 2
2
– 4 3 – 9 .– 9 2
x xx x
⋅+
Rješenje
Najprije rastavimo na faktore sve polinome u oba razlomka, zatim skratimo i napo-kon pomnožimo razlomke.
2
2
– 4 3 – 9 ( – 2)( 2) 3( – 3) 3( – 2)– 9 2 ( – 3)( 3) 2 3
x x x x x xx x x x x x
+⋅ = ⋅ =
+ + + +
Pazi! Kratiti možeš tak kad je sve skraćeno.
2.4.4. Dijeljenje algebarskih razlomaka
Algebarske razlomke dijelimo tako da prvi razlomak množimo recipročnom vrijed-nošću drugog razlomka. Pritom se, kao kod racionalnih brojeva, recipročna vrijednost dobije zamjenom mjesta brojnika i nazivnika. Prije množenja, ako je moguće, razlomke treba kratiti.
¤¤ Primjer 27.
Podijelimo 2 2
2
– 9 20 – 4: .– 4 4 – 8
x x x xx x
+
Rješenje
2 2 2
2
– 9 20 – 4 – 5 – 4 20 4( – 2) ( – 5) – 4( – 5) 4:– 4 4 – 8 ( – 2)( 2) ( – 4) 2 ( – 4)
x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x
+ += ⋅ = ⋅ =
+ +
( – 5)( – 4) 4 – 5 4 4( – 5)2 ( – 4) 2 ( 2)
x x x xx x x x x x x
= ⋅ = ⋅ =+ + +
83
Potencije
Vježbaj!
1. Skrati razlomke.
a) 2
2xy y
xy+ b)
2 2 2
25 ( )5 ( )a b a bab a b
−+ c)
2 2
2 22a ab b
a b+ +
−
2. Izračunaj.
a) 2 2
2 247 2359 11
−−
b) 2 2
2 229 71
29 2 29 71 71−
+ ⋅ ⋅ +3. Skrati razlomke.
a) 3 2
33 3 1
1a a a
a− + −
− b)
3 2
24 3 12
4 4− + −
− +a a a
a a c) 2
26
6 9− −− +
x xx x
4. Zbroji razlomke.
a) 6 12 3
a aa a− ++ b) 2 2
2 1b aab a b− −+ c)
2
2 22a b b
a b a b a b+ −
− + −5. Pojednostavi izraz.
a) 2 21 1
x xy xy y+
+ + b) 2 2 2 2
2 1 1x y x xy xy y
+ −− + −
6. Pomnoži razlomke.
a) 22 10 10
20 5x x
x x− ⋅
− b) 2 2 3 3
6x y x y
x y− +⋅
−
c) 3 3
2 2 2 22 2
2 2 2x y x y
x xy y x y− +⋅
+ + − d)
3 2
2 26 5 2 4
2 9− + +⋅
− −x x x x
x x x7. Izračunaj vrijednost izraza za a = 0,25.
a) 23
3 3 9a a
a a a + ⋅ + − +
b) 2
212 3
4 312a a a
a aa+ + ⋅ + + −+
8. Podijeli.
a) 2
24 2: 2 69
x xxx
− −−−
b) 2 2
2 2 24 2:
4 4 2x y x y
x xy y x xy− +
− + −9. Pojednostavi.
a) 22 1 2 3:2 2 4
− + + − − a
a a a b) 2 1 4 1:a b a b a b a b + − + − − +
84
Pot
enci
je Odgovori!
1. Koji je rezultat sređivanja izraza:2
24
2 4aa a
−−
?
Za koji a taj izraz nije definiran?
2. Koji je rezultat oduzimanja razlomaka 22( 2)3
1 1a
a a+−
+ −?
Za koji a rezultat nije definiran? Za koji a zadani izraz nije definiran?
Procijeni!
1. Kolika je vrijednost izraza 11 1a b+
ako je a = 1x y− , b =
1x y+ ?
2. Napiši algebarski izraz koji možeš skratiti s:
a) 3 b) a c) 3a d) 3 + a
Modeliraj!
1. Racionalni izraz 114100
xC x=−
predstavlja cijenu preventivnih pregleda kako bi se
na vrijeme bolest počela liječiti. Ovdje je x postotak pregledanog stanovništva,
a cijena je izražena u milijunima kuna.
a) Koliko su stajali preventivni pregledi ako je pregledano 14 posto stanovništva?
b) Koliko su stajali preventivni pregledi ako je pregledano 94 posto stanovništva?
c) Za koji x ovaj izraz nije definiran? Što to u praksi znači?
PROPORCIONALNOST Omjeri
Upravna i obratna proporcionalnost
Postotni račun
3.
Pro
porc
ion
aln
ost
86
3.1. OmjeriAko Marko ima 16 kuna, a njegov brat Ivan 8, kažemo da Marko ima 2 puta više novca od Ivana. Dakle, uspoređujemo dvije veličine: količinu novca koju ima Mar-ko uspoređujemo s količinom novca što je ima Ivan. Pritom smo iznos koji ima Marko podijelili iznosom kojim raspolaže Ivan, to jest odnos navedenih dviju koli-čina novca slijedi kao rezultat dijeljenja 16 : 8, što možemo pisati i u obliku razlom-
ka 16
8. Uočimo da smo uspoređivali dvije istoimene veličine (novac).
Omjer je količnik dvaju brojeva a i b različitih od nule, pišemo a : b. Prvi je član omjera a, a drugi je b.Upravo iz činjenice da omjer predstavlja količnik dviju (istoimenih) veličina, slije-de sljedeća važna pravila:
1. Vrijednost se omjera ne mijenja ako se oba člana omjera pomnože ili podijele istim brojem različitim od nule. Ako članove omjera množimo istim brojem k ≠ 0, kažemo da smo omjer proširili (faktorom k), a ako smo ih podijelili istim brojem k ≠ 0, kažemo da smo omjer skratili (faktorom k).
2. Dva su omjera jednaka kad su im količnici jednaki.
¤¤ Primjer 1.Pojednostavimo sljedeće omjere: a) 25 : 55; b) 5,4 : 7,2; c)
4
5
16
25: ; d)
2
34: .
Rješenje
a) 25 : 55 = (5 · 5) : (5 · 11) = 5 : 11 jer smo članove omjera mogli skratiti s 5. Uočimo da smo do navedenog rezultata mogli doći i koristeći se pravilima koja vrijede za razlomke:
25 5525
55
5 5
5 11
5
115 11: : .� �
��
� �
b) 5,4 : 7,2 = 54 : 72 (omjer smo proširili za faktor 10) = 3 : 4 (omjer smo skratili s 18).
c) 4
5
16
25
4
5
25
4
16
25
25
45 4: : : ,� ��
��
��� ����
��� �
svaki član omjera proširili smo faktorom 25
4.
Proporcionalnost
87
d) 2
34
2
3
3
24
3
21 6: : :� ��
��
��� ����
��� � .
Ako je poznat drugi član omjera b i vrijednost k omjera a : b, možemo izračunati prvi član. Naime, iz a : b = k slijedi a = b · k.
¤¤ Primjer 2.Izračunajmo prvi član omjera ako je:
a) x : 5 = 10; b) x :2
3
5
6= ; c) x
aa:
1
11
2
−= − .
Rješenje
a) x : 5 = 10, to jest x5
10= pa je x = 10 · 5 = 50.
b) x x: , .2
3
5
6
5
6
2
3
5
9= = ⋅ = to jest
c) xa
a x aa
a aa
a: , .1
11 1
1
1
1 1
11
2 2
−= − = −( )⋅
−=
+( ) −( )−
= + to jest
Ako je poznat prvi član omjera a i vrijednost k omjera a : b, to jest ako je a : b = k,
možemo izračunati drugi član. Naime, iz a : b = k slijedi b ak
= .
¤¤ Primjer 3.Izračunajmo drugi član omjera ako je:
a) 4 : x = 0,25; b) 2
3
5
7: x = ; c) 2,3 : x = 1,15.
Rješenje
a) 4 0 254
0 254
0 25
4
1
4
16 : , ,,
.xx
x= ⇒ = ⇒ = = =
b) 2
3
5
7
2
3 5
7
2
35
7
2 7
3 5
14
15: .x
xx= ⇒ = ⇒ = =
⋅⋅
=
c) 2 3 1 15, : ,,
,,
,.x
xx= ⇒ = ⇒ = =
2 31 15
2 3
1 152
Pro
porc
ion
aln
ost
88
Vježbaj!
1. Pojednostavi omjere.
a) 5 7:3 12 b) 2 31 :15 4 c) 0,06 : 0,04
2. Napiši omjer tako da drugi član bude 1.
a) 7 : 2 b) 1 : 0,25 c) 9 : 23
3. Izračunaj vrijednost omjera.
a) 51 : 34 b) 16 km : 80 km c) 10,8 m2 : 144 dm2
Odgovori!
1. Na geografskoj karti piše: 1 : 200 000. Ako su točke A i B na karti udaljene 2 cm, kolika je stvana udaljenost mjesta A i B u kilometrima?
2. Veličine kutova trokuta odnose se kao 2 : 3 : 4. Koliki su ti kutovi?
Modeliraj!
1. Ivan i Marko dijele 120 kn u omjeru 2 : 3. Koliko će dobiti svaki?
2. Omjer širine i visine ekrana televizora jest 16 : 9. Ako je visina ekrana 0,5 m, kolika mu je širina?
3. Omjer svinjskog i junećeg mesa u kobasicama jest 4 : 3. Ako je nabavljeno 2,5 kg svinjetine za kobasice, koliko još treba kupitit junetine?
4. Trojica prijatelja kupila su lutriju tako da su platili 21 kn, 28, kn i 37 kn. Dobitak od 20 000 kn podijelili se proporcionalno ulogu. Koliko je svaki dobio?
Proporcionalnost
89
3.2. Upravna i obratna proporcionalnost Ako dvije veličine x i y ovise jedna o drugoj tako da povećanje (ili smanjenje) jedne od njih k puta povlači povećanje (odnosno smanjenje) druge veličine k puta, kaže-mo da su veličine x i y upravno proporcionalne. Pišemo
yx= k ili y = kx.
Dakle, količnik upravno proporcionalnih veličina uvijek je konstantan. Kon-stantni količnik zove se faktor proporcionalnosti.
¤¤ Primjer 4.Neka osoba u trgovini kupi 2 kg jabuka i za to plati 14 kn. Idući dan kupi 3 kg jabu-ka i za to plati 21 kn. Za nekoliko dana kupi 5 kg jabuka i plati 35 kn. Što možemo na temelju navedenih podataka zaključiti?
Rješenje
Cijena 1 kg jabuka pri prvoj kupnji iznosila je
14
2 kn = 7 kn.
Pri idućoj kupnji cijena 1 kg jabuka iznosila je21
3 kn = 7 kn,
a pri posljednje navedenoj35
5 kn = 7 kn.
Dakle, cijena 1 kg jabuka u navedenoj trgovini nije se mijenjala u razmatranom vremenskom razdoblju. U ovom su primjeru količina jabuka x (izražena u kg) i novčani iznos y (izražen u kunama), potreban za nabavku te količine, upravno raz-mjerne veličine. Uočimo da smo vrijednosti tih dviju veličina x i y mogli predočiti u koordinatnom sustavu xOy. Naime, vezu između njih opisuje funkcija y = 7x jer je riječ o upravno proporcionalnim veličinama s faktorom proporcionalnosti k = 7. To znači da točke (2, 14), (3, 21) i (5, 35) pripadaju jednom pravcu koji sadrži ishodište koordinatnog sustava (slika 1). Riječ je o 3 kolinearne točke.
Pro
porc
ion
aln
ost
90
40302010
0
y
1 2 3 4 5 xslika 1
¤¤ Primjer 5.Pokažimo da su, u slučaju jednolikog gibanja, put s i vrijeme t proporcionalne ve-ličine.
Rješenje
Budući da je, u slučaju jednolikog gibanja, brzina vst
= konstantna, faktor propor-cionalnosti jest upravo v. Vidimo da je s = v · t. Promatramo li prijeđeni put s kao funkciju vremena t, t ≥ 0, graf te funkcije jest polupravac s početkom u ishodištu koordinatnog sustava, koeficijenta smjera v (slika 2).
0
s
1
1
2
2
3
3
4
4
5 tslika 2
Proporcionalnost
91
¤¤ Primjer 6.Neka osoba želi za 1000 kn kupiti u mjenjačnici eure. Koliko će eura kupiti ako mjenjačnjica za 1 euro traži: a) 7,4 kn; b) 7,5 kn?
Rješenje
Očito, traženu količinu eura izračunat ćemo dijeleći 1000 kn (kunski iznos koji želi-mo pretvoriti u eure) tečajem (koji u ovom primjeru predstavlja količinu kuna koju valja izdvojiti za 1 €). To znači da je u razmatranim slučajevima
a) 1000
7 4135 14
,,≈ €; b)
1000
7 5133 33
,,≈ €.
Uočimo: ako se tečaj smanji, povećava se količina eura koju se za točno određenu (fiksnu) količinu kuna može u mjenjačnici kupiti i, obratno, smanji li se tečaj, po-većava se količina eura koju možemo za navedeni fiksni iznos kuna kupiti. Dakle, označimo li s x tečaj, s y traženu iznos u eurima, a s k (fiksni) iznos kuna koji želimo promijeniti u eure, to možemo pisati na sljedeći način:
kx
y= ili x · y = k.
Ako dvije veličine x i y ovise jedna o drugoj na način da, ako se jedna od njih po-veća (ili smanji) k puta, druga se veličina za toliko puta smanji (odnosno poveća), kažemo da su veličine x i y obratno proporcionalne. Pišemo
y kx
= ili x · y = k.
Dakle, umnožak obratno proporcionalnih veličina konstantan je.
¤¤ Primjer 7.Ako 8 radnika završi određeni posao za 6 sati, za koliko će sati taj posao obaviti 12 radnika uz pretpostavku da je učinkovitost svakog radnika podjednaka?
Rješenje
Što znači da je učinkovitost svakog radnika podjednaka? To znači da za 1 sat svaki radnik obavi jednaku količinu određenog posla. U ovom primjeru 8 radnika završi posao za 6 sati pa je ukupno potrebno k = 8 · 6 = 48 sati rada da bi se taj posao oba-
Pro
porc
ion
aln
ost
92
vio. Ta je veličina nepromjenljiva (fiksna). Označimo li broj radnika s x, a broj sati koliko će svaki od njih raditi određeni posao s y, onda je
x · y = 48, to jest yx
=48
ili, u našem primjeru,
yx
= = =48 48
124.
Prema tome, navedeni posao obavit će 12 radnika radeći po 4 sata. Navedeno smo mogli predočiti i grafički (slika 3).
0
s
5
5
10
10
15
15
20
20
x
Slika 3
¤¤ Primjer 8.Ukupni godišnji neto prihod neke tvrtke u iznosu 480 000 kn realiziran je proizvod-njom i prodajom 12 000 komada proizvoda P, koje je proizvelo i prodalo 6 uposle-nika. Ako se neto prihod dijeli na jednake iznose, koliko je dobio svaki uposlenik? Koliko bi svaki dobio da ih je bilo zaposleno a) 4; b) 8? Koliko je trebalo biti proizvedeno i prodano komada proizvoda P ako se željelo da svaki uposlenik (od njih 6) dobije po 100 000 kn, uz pretpostavku da troškovi po jedinici proizvoda i jedinična cijena ostaju nepromijenjeni?
Proporcionalnost
93
Rješenje
Svaki uposlenik dobit će jednak iznos 480000
680000= kn. Da ih je bilo 4, dobili
bi po 480000
4120000= kn, a da ih je bilo 8, dobili bi po 480000
860000= kn.
Dakle, ako je neto prihod fiksan, broj uposlenika i broj proizvedenih i prodanih
proizvoda obrnuto su razmjerne veličine. Neto prihod od 480 000 kn ostvaren je
proizvodnjom i prodajom 12 000 komada proizvoda P. Prema tome, neto prihod po
komadu proizvoda je 480000
1200040= kn. Da je svaki uposlenik dobio 100 000 kn,
to bi značilo da je ukupni neto prihod iznosio 6 · 100 000 kn = 600 000 kn pa, ako taj iznos podijelimo neto prihodom po komadu proizvoda P, dobivamo traženi broj proizvedenih i prodanih komada proizvoda P:
600000
4015000= kn.
Budući da je neto prihod po komadu proizvoda P nepromijenjen, to znači da su ukupni neto prihod i broj proizvedenih i prodanih komada proizvoda P upravno razmjerne veličine.
Vježbaj!1. Koja tablica prikazuje proporcionalne veličine?
a)
broj komada 3 5 7 9cijena (kn) 1,20 2,00 2,80 3,60
b)
prijedeni put (km) 35 56 98 112preostali dio puta (km) 97 74 32 18
c)
masa (kg) 1 1.5 3 4.5cijena (kn) 3,95 5,79 11,60 17,94
2. Tablica prikazuje odnos eura i hrvatske kune.EUR 1 2 5 10HRK 7,4 14,8 37,0 74,0
a) Prikaži podatke grafički. b) Pomoću grafa pročitaj koliko kuna vrijede 3 eura. c) Koliko eura se može dobiti za 3,7 kuna?
Pro
porc
ion
aln
ost
94
3. Nacrtaj graf obratno proporcionalnih veličina zapisanih u tablici.
duljina (cm) 5 8 10 16 20širina (cm) 16 10 8 5 4
a) Koja duljina odgovara širini od 10 cm?
b) Koja širina odgovara duljini od 12 cm?
Procijeni!
1. Što je povoljnije:
a) 3 kg detergenta koji stoji 61.20 kn ili 4,5 kg koji stoje 86.40 kn b) limenka 850 g graha koja stoji 12,40 kn ili limenka 560 g graha koja stoji
8,40 kn?
Modeliraj!
1. Kroz cijev proteče 18 L vode tijekom 6 min. Koliko će proteći vode tijekom 1 sata?
2. Ako 120 m platna stoji 360 kn, koliko se platna može dobiti za 80 kn?
3. Četiri ulaznice za utakmicu stoje 84 kune. Koliko novca mora za ulaznice imati blagajnik razrednog odjela od 26 učenika?
4. Pruga Rijeka – Zagreb dugačka je 229 km. Koliko će biti dugačka crta koja će predstavljati tu prugu na karti u mjerilu 1 : 1 250 000?
5. Automobil je vozeći brzinom 100 km/h put prevalio za 5 sati? Kojom brzinom treba voziti da isti put prevali za 4 sata?
6. Neki posao obavilo je troje radnika za 5 dana. Koliko će vremena taj posao raditi četvero radnika?
7. Marko će livadu pokositi za 6 sati, a Ivan za 5 sati. Za koliko će sati biti gotovi ako rade zajedno?
8. Proizvodi se izrađuju na 3 stroja. Zna se da za određenu količinu proizvoda stroj A treba 7 radnih dana, stroj B 4 radna dana, a stroj C 11 radnih dana. Za koliko će dana proizvesti istu količunu proizvoda ta tri stroja ako rade istovremeno?
Proporcionalnost
95
3.3. Postotni računPostotak je broj kojim se označava koliko jedinica neke veličine dolazi na sto jedinica iste veličine. Postotak se izračunava iz razmjera
dio : cjelina = postotak : 100.Prema tome, označimo li sa S temeljnu veličinu, s P postotni dio i s p postotak, koristeći se razmjerom
P : S = p : 100,možemo izračunati jednu od navedenih triju veličina (S, p ili p) ako su poznate ostale dvije.
1. Ako je poznata temeljna veličina S i postotni dio P, postotak p računamo formulom
p PS
=100
.
¤¤ Primjer 9.Cijena neke robe iznosila je prije poskupljenja 125 kn, a nakon poskupljenja, 130 kn. Za koliko se postotaka cijena povećala?
Rješenje
Ovdje je temeljna veličina početna cijena S = 125 kn, a postotni je dio povećanje cijene izraženo u kunama: P = 5 kn. Prema tome, traženi postotak povećanja iznosi
p = ⋅ =1005
1254.
Kažemo da se cijena razmatrane robe povećala za 4%.
¤¤ Primjer 10.Cijena neke robe iznosila je prije sniženja 125 kn, a nakon sniženja 100 kn. Za ko-liko se postotaka cijena smanjila?
Rješenje
Ponovno je temeljna veličina početna cijena S = 125 kn, a postotni je dio sniženje cijene izraženo u kunama: P = 25 kn. Prema tome, traženi je postotak smanjenja cijene
Pro
porc
ion
aln
ost
96
p = ⋅ =10025
12520.
Kažemo da se cijena razmatrane robe smanjila za 20%.
2. Ako je poznata temeljna veličina S i postotak p, postotni dio P računamo formulom
PpS
=100
.
¤¤ Primjer 11.Početna cijena neke robe iznosila je 125 kn. Kolika je cijena nakon povećanja za 8%?
Rješenje
Budući da je S = 125 kn, a postotak povećanja p = 8, to je cijena povećana zaP =
⋅=
8 125
10010.
Dakle, cijena je razmatrane robe nakon navedenog povećanja125 kn + 10 kn = 135 kn.
¤¤ Primjer 12.Početna cijena neke robe iznosila je 125 kn. Kolika je cijena nakon smanjenja za 8%?
Rješenje
Budući da je S = 125 kn, a postotak povećanja p = 8, to je cijena povećana zaP =
⋅=
8 125
10010.
Dakle, cijena je razmatrane robe nakon navedenog povećanja125 kn – 10 kn = 115 kn.
3. Ako je poznat postotni dio P i postotak p, temeljnu veličinu S izračunat ćemo formulom
S Pp
=100
.
¤¤ Primjer 13.Cijena neke robe povećala se za 25 kn, odnosno, za 20%. Izračunajmo cijenu te robe prije i poslije naznačene promjene.
Proporcionalnost
97
Rješenje
Zanima nas od kojega je iznosa 25 kn 20%. Dakle, trebamo izračunati vrijednost temeljne veličine. U razmatranom slučaju ona iznosi
S =⋅
=100 25
20125.
Prema tome, početna je cijena robe bila 125 kn, a nakon poskupljenja za 20%, ona iznosi
125 kn + 25 kn = 150 kn.
¤¤ Primjer 14.Cijena neke robe smanjila se za 7,50 kn, odnosno, za 6%. Izračunajmo cijenu te robe prije i poslije naznačene promjene.
Rješenje
Sada nas zanima od kojega je iznosa 7,50 kn 6%. Dakle, ponovno trebamo izraču-nati vrijednost temeljne veličine. U razmatranom slučaju ona iznosi
S =⋅
=100 7 5
6125
,.
Prema tome, početna je cijena robe bila 125 kn, a nakon smanjenja cijene za 6%, ona iznosi
125 kn – 7,50 kn = 117,50 kn. Promil je broj kojim se označuje koliko jedinica jedne veličine
dolazi na tisuću jedinica iste veličine. Dakle, promil se izračunava iz razmjera
dio : cjelina = promil : 1000.Prema tome, označimo li sa S temeljnu veličinu, s P promilni dio i s p promil, koristeći se razmjerom
P : S = p : 1000.možemo, analogno kao u postotnom računu, izračunati jednu od navedenih triju veličina (S, P ili p) ako su poznate ostale dvije. Skraćeni zapis za
p1000
je p‰ (či-tamo: p promila).
¤¤ Primjer 15.Za koji je iznos za proviziju od 1,5% i osiguranje od 2,5‰ plaćeno ukupno 3500 kn?
Pro
porc
ion
aln
ost
98
Rješenje
Budući da je 1,5% + 2,5‰ = 1,5% + 0,25% = 1,75%, potrebno je izračunati od kojeg iznosa 1,75% iznosi 3500 kn. Naravno, traženi iznos je
S =⋅
=3500 100
1 75200000
,.
Dakle, navedena provizija i osiguranje plaćeni su za iznos od 200 000 kn.
Vježbaj!
1. Zapiši u obliku postotka. a) 0,2 b) 0,02 c) 1,43 d) 0,35
2. Napiši kao racionalan broj. a) 32 % b) 12,44 % c) 0,5 % d) 3 %
3. Izračunaj.
9 000 % + 900 % + 90 % + 9 %
4. Izračunaj. a) 30 % + 40 % b) 30 % · 40 %
5. Izračunaj. a) 5 % od 17 b) 33 % od 500 c) 7,5 % od 0,5
6. a) Od koje broja 3 % iznosi 20?
b) Od koje broja 45 % iznosi 45?
7. Koliko je 3 % od 20 % od 300?
8. Koliko je posto 10 od 90?
Procijeni!
1. Ako 3 od 5 stomatologa preporučuju žvakaće gume bez šećera, koliki postotak to ne preporučuje?
2. Ako zarađuješ 4 500 kuna mjesečno i dobiješ povišicu od 7 %, koliko će biti povećanje plaće? Koliko će tada iznositi plaća?
Proporcionalnost
99
3. Nakon povišice cijena od 5 %, robna kuća dala je popust od 5% na svu robu. Ana je rekla: „Mogli su jednostavno ostaviti stare cijene.”
a) Ima li Ana pravo? Provjeri njezinu izjavu na jednom primjeru.
b) Koliko sada stoje hlače kojima je prije cijena iznosila 400 kn?
Modeliraj!
1. Od 350 učenika jedne škole, njih 302 ima pozitivnu ocjenu iz matematike. Koliko posto učenika je ocijenjeno negativnom ocjenom iz matematike?
2. Masa kruha iznosi 87,5%mase tijesta. Koliko treba kilograma tijesta da bi se dobilo 1 260 kg kruha?
3. Cijena čizama nakon sniženja od 20 % iznosi 617,80 kn. Kolika je bila cijena tih čizama prije sniženja?
4. Od kojeg broja 3 % iznosi 300?
5. Pšenica u zrnu sadrži u 0,0048 ‰ vitamina B1 i 0,0014 ‰ vitamina B2. Brašno tipa 405 sadrži 0,0006 ‰ vitamina B1 i 0,0003 ‰ vitamina B2.
a) Koliko se grama vitamina B1 odnosno B2 nalazi u 5 t pšenice?
b) Koliko se miligrama vitamina B1, odnosno B2 nalazi u 1 kg pšenice, odnosno u 1 kg brašna tipa 405? Usporedi.
c) Koliko grama brašna sadrži 7,5 mg vitamina B1?
Pro
porc
ion
aln
ost
100
LINEARNA FUNKCIJAKoordinatni sustav u ravnini
Linearna funkcija
4.
Lin
earn
a fu
nk
cija
102
4.1. Koordinatni sustav u ravniniU prvom smo poglavlju opisali koordinatni sustav na pravcu. Pridruživanjem isho-dištu O koordinate 0 i jediničnoj točki E koordinate 1 uspostavili smo vezu između točaka pravca i elemenata skupa realnih brojeva. Pravac na kojem je uveden ko-ordinatni sustav nazvali smo brojevnim pravcem. Svakoj točki brojevnog pravca pridružen je jedan broj pa kažemo da točka brojevnog pravca ima jednu koordinatukoju nazivamo apscisom točke.
slika 1
Na slici 1 nacrtana je mreža paralela i meridijana. Pomoću nje moguće je svakom mjestu (položaju) na površini Zemlje pridružiti uređeni par realnih brojeva: ge-ografsku širinu i geografsku duljinu koji u potpunosti određuju položaj točke na Zemlji.Neka je x brojevni pravac određen ishodištem O i jediničnom točkom E. Neka je y drugi brojevni pravac čije je ishodište ista točka O. Njegovu jediničnu točku označimo s F. Neka je pravac y okomit na pravac x i to tako da točka F bude iznad točke O. Uobičajeno je da su jedinične dužine na brojevnim pravcima sukladne, tj. da su im duljine jednake. Tako smo konstruirali pravokutni koordinatni sustav u ravnini koji ćemo označavati s xOy (slika 2). Kordinatni sustav definiran pomoću ishodišta O i jediničnih dužina OE i OF obilježavamo (O, OE , OF ).
Linearna funkcija
103
Brojevne pravce x i y nazivamo koordinatnim osima. Pravac x prva je koordinatna os, x-os ili os apscisa. Pravac y druga je koordinatna os, y-os ili os ordinata. Točku O nazivamo ishodištem koordinatnog sustava u ravnini.
y (os ordinata)
(os apscisa)x
F1
1
EO
y
x
T2(b)T
T1(a)1O
slika 2 slika 3
Točkom T koordinatne ravnine xOy povucimo pravce usporedne s koordinatnim osima. Sjecište T1(a) pravca usporednog s osi ordinata i osi apscisa predstavlja or-togonalnu projekciju točke T na os apscisa, a sjecište T2(b) pravca usporednog s osi apscisa i osi ordinata predstavlja ortogonalnu projekciju točke T na os ordinata. Ka-žemo da je a apscisa ili prva koordinata, a b ordinata ili druga koordinata točke T i pišemo T(a, b) ili T = (a, b). Uočimo da smo točki T koordinatne ravnine pridružili uređeni par realnih brojeva (a, b) (slika 3).
Uređenom paru realnih brojeva (a, b) možemo pridružiti točku T koordinatne rav-nine xOy. Naime, povučemo li okomicu na x-os točkom T1(a) i okomicu na y-os točkom T2(b), sjecište tih okomica upravo je točka T kojoj je a apscisa, a b ordinata. Brojeve a i b nazivamo koordinatama točke T.
Zaključimo:
1. Svakoj točki T koordinatne ravnine xOy pridružen je jedan i samo jedan uređeni par realnih brojeva (a, b).
2. Svakom uređenom paru realnih brojeva (a, b) pridružena je jedna i samo jedna točka koordinatne ravnine xOy.
¤¤ Primjer 1.Nacrtaj u koordinatnom sustavu u ravnini točke A(4, 0), B(3, 1), C(0, 2), D(– 1, 3), G(– 2, 0), H(– 3, – 2), I(0, – 4), J(3, – 3).
Lin
earn
a fu
nk
cija
104
Rješenje
slika 4 Koordinatne osi dijele koordinatnu ravninu na četiri dijela (kvadranta) (slika 5). Neka je T(x, y) točka u ravnini. Ako je:
x > 0 i y > 0, onda točka T pripada prvom kvadrantu,x < 0 i y > 0, onda točka T pripada drugom kvadrantu,x < 0 i y < 0, onda točka T pripada trećem kvadrantu,x > 0 i y < 0, onda točka T pripada četvrtom kvadrantu.
slika 5
Linearna funkcija
105
4.2. Linearna funkcija
¤¤ Primjer 2.Cijena vožnje taksijem sastoji se od dva dijela. Startnina je iznos koji se naplaćuje čim vožnja započne. Startnina iznosi 10 kn. Drugi dio cijene ovisi o prijeđenim kilometrima. Kilometar vožnje stoji 5 kn. Koji matematički izraz prikazuje cijenu vožnje taksijem?
Rješenje
Ako s x označimo broj prijeđenih kilometara, onda je5 · x
stoji vožnja na tom putu. Ako tome dodamo startninu, dobit ćemo ukupnu cijenu:5x + 10.
Budući da ovaj izraz ovisi o tome koliki je x, kažemo da je to funkcija od x i pišemo:f (x) = 5x + 10.
Neka su a i b realni brojevi. Funkciju f : zadanu formulomf (x) = ax + b
nazivamo linearnom funkcijom.
¤¤ Primjer 3.Pomoću izraza iz Primjera 1 izračunajmo cijenu vožnje na putu od 4 kilometra i od 12 kilometara.
Rješenje
f (4) = 5 · 4 + 10 = 20 + 10 = 30f (12) = 5 · 12 + 10 = 60 + 10 = 70
Vožnja na putu od 4 km stoji 30 kn, a ona na putu od 12 km stoji 70 kn.
U izrazu f (x) = ax + b za možemo uzeti bilo koji broj, pa kažemo da je x nezavisna varijabla. O izboru te varijable ovisi koliki će biti f (x), pa kažemo da je f (x) neza-visna varijabla. Često umjesto f (x) pišemo y.
Lin
earn
a fu
nk
cija
106
¤¤ Primjer 4.Pomoću izraza iz Primjera 1 odredimo kolika je bila duljina vožnje za koju je putnik platio 50 kune.
Rješenje
Sada nam nije poznata duljina puta x, ali znamo da je cijena vožnje f (x) = 50.Imamo
50 = 5x + 10.Odavde je 5x = 40, odnosno x = 8.Dakle, putnik koji je vožnju platio 50 kuna vozio se 8 km.
Graf linearne funkcije jest pravac. (Naziv funkcije temelji se na latinskoj riječi linea, čije je značenje crta, pravac.)
¤¤ Primjer 5.Zadana je linearna funkcija f x x( )= −
1
23 .
a) Izračunajmo f (–2), f (0) i f (4). b) Nacrtajmo graf funkcije. c) Za koliko se vrijednost funkcije promijenila ako je veličina x narasla s x1= 2 na
x2 = 10?
Rješenje
a) f −( )= −( )− = − − = −21
22 3 1 3 4, f 0
1
20 3 0 3 3( )= − = − = − ,
f 41
24 3 2 3 1( )= ⋅ − = − = − .
b) Prethodne podatke možemo zapisati tablicom:
x – 2 0 4
f (x) – 4 – 3 – 1
To znači da grafu funkcije pripadaju točke (– 2, – 4), (0, – 3), (4, –1). Nacrtajmo točke. Pravac koji ih sadrži jest graf zadane funkcije. Označimo ga G(f ).
Linearna funkcija
107
slika 6
c) Budući da je f 21
22 3 2( )= ⋅ − = − , a f 10
1
210 3 2( )= ⋅ − = , vrijednost funkcije
povećala se za 4.
Neka su (x1, y1) i (x1, y2) različite točke grafa linearne funkcije f (x) = ax + b. Za njihove koordinate vrijedi:
ax1 + b = y1
ax2 + b = y2.Oduzmimo prvu jednakost od druge:
ax2 + b – ax1 – b = y2 – y1
a(x2 – x1) = y2 – y1.Ako je x x1 2≠ , slijedi:
a y yx x
=−−
2 1
2 1
.
Dobiveni broj nazivamo koeficijentom smjera pravca određenog točkama (x1, y1) i (x2, y2). On govori o nagibu grafa linearne funkcije prema x-osi. Koeficijent smjera linearne funkcije omjer je prirasta vrijednosti funkcije i prirasta argumenta.
Lin
earn
a fu
nk
cija
108
¤¤ Primjer 6.Odredi koeficijent smjera pravca određenog točkama A(–2, 1) i B(4, 5).
Rješenje
Prema posljednjoj formuli dobivamo
a =−
− −( )=
5 1
4 2
2
3.
Uočimo: ako je x1 = x2, riječ je o pravcu okomitom na x-os koji siječe tu os u točki T(x1, 0) (slika 11).
slika 7
Budući da je koeficijent smjera realan broj, to može biti pozitivan ili negativan broj ili nula. Zato ćemo razmotriti sljedeća tri slučaja.1. Pogledajmo graf linearne funkcije f (x) = ax + b predočen na slici 8.
slika 8
Uočimo na grafu funkcije točku A(x1, y1). Pomičimo se po grafu funkcije f tako da apscise točaka budu sve veće dok ne dođemo u točku B(x2, y2). Pritom je vrijednost
Linearna funkcija
109
funkcije porasla za y2 – y1. Prema tome, promjena argumenta x za x2 – x1, dovela je do promjene vrijednosti funkcije za y2 – y1, pa broj y2 – y1 nazivamo promjenom ili prirastom funkcije f. Broj y2 – y1 brojnik je razlomka kojeg smo nazvali koefi-cijentom smjera. Što je graf strmiji, to je prirast funkcije veći i koeficijent smjera je veći. Što je graf položeniji, prirast funkcije je manji, pa je i koeficijent smjera manji.Vrijedi i obrat: što je koeficijent smjera funkcije veći, za isti nazivnik brojnik mu je veći, a to znači da je prirast funkcije veći, a to povlači da je graf funkcije strmiji.Za linearnu funkciju s ovim svojstvom kažemo da je (strogo) rastuća. Neka su (x1, y1) i (x2, y2) različite točke koje pripadaju grafu linearne funkcije takve da je x2 > x1. Ako je y2 > y1, linearna je funkcija (strogo) rastuća.2. Pogledajmo graf linearne funkcije na slici 9.
slika 9
Ako se iz točke A s apscisom x1 pomaknemo u točku B s apscisom x2 takvu da je x2 > x1, odnosno x2 – x1 > 0, vrijednost funkcije smanjuje se s y1 na y2 jer je y2 < y1. Zato je prirast funkcije y2 – y1 negativan pa je i njezin koeficijent smjera negativan.Obratno: ako je koeficijent smjera linearne funkcije negativan, uz pozitivan na-zivnik, brojnik će mu biti negativan, a to znači da je prirast funkcije negativan, tj. vrijednost funkcije nije porasla, nego se smanjila. Za linearnu funkciju s ovim svojstvom kažemo da je (strogo) padajuća. Neka su (x1, y1) i (x2, y2) različite točke grafa linearne funkcije takve da je x2 > x1. Ako je y2 < y1, linearna je funkcija (strogo) padajuća.3. Promatrajmo linearnu funkciju čiji je graf usporedan s x-osi kao na slici 10.
Lin
earn
a fu
nk
cija
110
slika 10
Krećemo li se grafom od točke s apscisom x1 prema točki s apscisom x2, vrijednost se funkcije ne mijenja, ona je konstantna. U tom je slučaju y1 = y2, odnosno y2 – y1= 0, pa je koeficijent smjera jednak 0. Obratno, ako je a = 0, brojnik a y y
x x=
−−
2 1
2 1
razlomka mora biti 0, a tada je y1 = y2, tj. funkcija niti raste niti pada.
Zaključimo:Graf linearne funkcije f (x) = ax + b, gdje su a, b , jest pravac.Ako je a > 0, funkcija raste.Ako je a = 0, graf funkcije je pravac usporedan s x-osi.Ako je a < 0, funkcija pada.
¤¤ Primjer 7.Zadane su funkcije f (x) = 2x + 3, g(x) = – 3x + 7, h(x) = – x, k x x( )= +
3
21 , 1
3( ) 12
k x x= − . Koja od njih ima najveći prirast? Koje su od zadanih funkcija rastuće? U kakvom su me-đusobnom položaju grafovo funkcija koje imaju jednake koeficijente smjera? Nacrtajmo grafove.
Rješenje
Funkcija najvećeg koeficijenta smjera ima najveći prirast, a to je funkcija f.Rastuće funkcije imaju pozitivan koeficijent smjera, a to su funkcije f i k.Da bismo mogli nacrtati graf linearne funkcije (pravac), potrebno je znati koordi-nate najmanje dviju točaka toga pravca. Prikladno je njihove koordinate zapisati tablično. Argument x odaberimo po volji, a vrijednosti funkcije izračunajmo po formuli kojom je funkcija zadana. Pokažimo to na primjeru funkcije f:
f (–2) = 2 · (–2) + 3 = –1, f (0) = 2 · 0 + 3 = 3, f (1) = 2 · 1 + 3 = 5.
Linearna funkcija
111
Stavimo ove rezultate u tablicu:
x –2 0 1
f (x) – 1 3 5
Iz tablice čitamo koordinate točaka grafa: (–2, –1), (0, 3), (1, 5). U koordinatnom sustavu nacrtajmo te točke i njima povucimo pravac (slika 11).
slika 11
Analogno postupamo kod crtanja grafova ostalih funkcija (slike 12, 13, 14):
x 1 2 3
g (x) 4 1 –2
slika 12
Lin
earn
a fu
nk
cija
112
x –2 0 2
h (x) 2 0 –2
slika 13
Nacrtajmo graf funkcija k i k1u istom koordinatnom sustavu.
x – 4 – 2 2
k (x) – 5 –2 4
x – 2 0 2
k1 (x) – 4 – 1 2
3( ) 12
k x x= +
13( ) 12
k x x= −
slika 14
Uočimo da su grafovi funkcija istog koeficijenta smjera međusobno usporedni.Napomena: Zbog izbjegavanja eventualnih grešaka preporuča se odrediti (barem) tri točke grafa i njih nacrtati u koordinatnom sustavu.
¤¤ Primjer 8.Zadana je linearna funkcija f (x) = – 2x + 6. U kojim točkama graf te funkcije siječe koordinatne osi.
Rješenje
Točka u kojoj graf funkcije siječe x-os ima ordinatu 0, pa vrijedi:0 = – 2x + 62x = 6x = 2
Linearna funkcija
113
Dakle, za x = 2 funkcija ima vrijednost 0, odnosno tražena je točka (2, 0).Točka u kojoj graf funkcije siječe y-os ima apscisu 0. Ta točka ima ordinatu:
y = f (0) = – 2 · 0 + 6 = 6Sjecište grafa s y-osi jest točka (0, 6). Općenito, za funkciju f (x) = ax + b sjecište grafa s y-osi dobivamo za x = 0:
y = b.
Kažemo da je b odsječak na y-osi. Realni broj za koji funkcija poprima vrijednost 0 nazivamo nultočkom te funkcije.
ax + b = 0 ⇒ x = ba
− .
Vježbaj!
1. Prikaži točke u koorfinatnom sustavu.
A(5, 7) B(– 5, 6) C(0, – 2) D(4, – 4)
2. Prikaži točke u koordinatnom sustavu ako imaju:
a) apscisu 2, ordinatu 3 b) apscisu – 3, ordinatu 4,
3. Prikaži u koordinatnom sustavu sve točke koje imaju:
a) apscisu 4 b) ordinatu – 1.
4. Prikaži u koordinatnom sustavu pravce:
a) x = –3 b) y = 2.
5. U istom koordinatnom sustavu nacrtaj grafove funkcija
f (x) = 3x + 2 i g(x) = 3x – 1.
6. Nacrtaj pravce.
a) y = x + 2 b) y = –2x + 2 c) y = 23 x + 2
7. Zadana je funkcija f (x) = x – 3. Izračunaj:
f (– 3), f (0), f (5).
8. Zadane su točke A(1, 2), B(2, 3), C(0, 1), D(– 1, 3). Koja od njih ne pripada grafu funkcije f (x) = x + 1?
Lin
earn
a fu
nk
cija
114
9. Zadana je funkcija f (x) = –3x + 2. Za koji x je
a) f (x) = – 1 b) f (x) = – 4?
10. Koji su pravci međusobno usporedni?
y = – 2x + 5 y = – 23 x + 5 y = 2
3 x + 5 y = – 23 x + 1
11. Koliki je odsječak na y-osi pravaca
a) 2x + y – 1 = 0 b) x – 2y – 4 = 0 c) 3x – 4y = 0?
Odgovori!
1. Što je graf linearne funkcije?
2. U kojoj točki graf linearne funkcije f (x) = ax + b siječe y-os?
3. O čemu govori koeficijent smjera linearne funkcije?
4. U kojem su slučaju grafovi dviju linearnih finkcija međusobno usporedni?
5. Koja linearna funkcija nema nultočku?
Procijeni!
1. Koji je pravac strmiji?
a) y = 3x + 3 b) y = 23 x + 3
2. Koja je funkcija rastuća?
a) f (x) = 2x – 1 b) f (x) = – 2x – 1
3. Koji broj treba pisati u kvadratiću da grafovi funkcija budu usporedni?
f (x) = 2x – 1 g (x) = x – 1
4. Koji broj treba pisati u kvadratiću da grafovi funkcija sijeku y-os u istoj točki?
f (x) = 2x – 4 g (x) = – x +
5. Imaju li zadane fukcije istu nultočku?
f (x) = 2x – 6 g (x) = – x + 3
6. Koja funkcija ima svojstvo da povećanjem argumenta x za 2 vrijednost funkcije padne za 4?
f (x) = x – 4 g (x) = – 2x + 3 h(x) = 12 x – 1
Linearna funkcija
115
Modeliraj!
1. Koliko puta u minuti cvrčak zacvrči, ovisi o temperaturi. Ako se od broja glasanja u minuti oduzme 40, pa se sve podijeli sa 7 te količniku doda 10, dobije se temperatura. Napiši tu funkciju.
2. U jednoj posudi temperatura vode svakih 10 minuta poveća se za 6 °C.
U drugoj posudu temperatura vode svakih 10 minuta poveća se za 4 °C.
Na slici su grafovi ovisnosti temperature vode o vremenu.
a) Kolika je početna temperatura vode u prvoj posudi?
b) Koliko se svakih 20 minuta smanji razlika temperatura voda u tim posudama?
c) Nakon koliko će se minuta temperature vode izjednačiti?
10
20
10 20 t / min
T / °C
30
slika 15
3. Cijena grijanja stana ovisi o površini stana. Dana je tablicom:
površina / m2 mjesečna naknada / kn20 110,4030 165,6040 220,8050 276,0060 331,2070 386,40
Lin
earn
a fu
nk
cija
116
a) Napiši izraz za linearnu funkciju koja prikazuje danu ovisnost.
b) Kolika će biti cijena grijanja stana od 80 m2?
c) Kolika je površina stana za kojeg mjesečna naknada za grijanje iznosi 248,40 kn?
4. Cijena brzojava sastoji se od fiksnog iznosa od 1,10 kn i dijela koji ovisi o broju riječi: za svaku riječ plaća se 0,24 kn.
a) Napiši izraz za linearnu funkciju koja prikazuje cijenu brzojava.
b) Kolika je cijena brzojava od 50 riječi?
c) Koliko je riječi u brzojavu koji je stajao 10,70 kn?
LINEARNE JEDNADŽBE I NEJEDNADŽBE
Linearne jednadžbe s jednom nepoznanicom
Linearne jednadžbe s jednom nepoznanicom – – problemski zadatci
Linearne nejednadžbe s jednom nepoznanicom
Linearne jednadžbe s apsolutnom vrijednošću
Linearne nejednadžbe s apsolutnom vrijednošću
Sustav dviju linearnih jednadžba s dvjema nepoznanicama
Sustav dviju linearnih jednadžba s dvjema nepoznanicama – problemski zadatci
Grafička interpretacija sustava dviju jednadžba s dvjema nepoznanicama 5.
Lin
earn
e je
dn
adž
be i
nej
edn
adž
be
118
5.1. Linearne jednadžbe s jednom nepoznanicom
Podsjetimo se rješavanja linearnih jednadžba iz osnovne škole.
¤¤ Primjer 1. Riješimo jednadžbu 3x – 2 = 6 – x.
Rješenje
Želimo odrediti vrijednost nepoznanice x tako da navedena jednakost bude istinita.Usporedimo rješavanje jednadžbe s prodavačicom na tržnici:Prodavačica na tržnici ima vagu. Prodavačici je cilj da vaga bude u ravnoteži kako bi odredila masu proizvoda na jednoj strani vage. To čini dodavanjem ili oduzima-njem utega ili proizvoda koje kupac uzima. Kad jednom postigne ravnotežu, jedini način da vaga ostane u ravnoteži jest da prodavačica istovremenu doda jednaku masu ili da ukloni jednaku masu s obje strane vage. Isti princip upotrebljavamo i kod rješavanja jednadžbe: da bi jednakost ostala istinita, na obje strane jednakosti moramo dodati ili ukloniti istu „količinu“.Primijenimo to na našem primjeru.
3x – 2 = 6 – x3x – 2 + 2 = 6 – x + 2
Primijeti da smo na obje strane jednadžbe dodali broj 2 kako bismo ga se „oslobo-dili“ s lijeve strane jednadžbe. Tada dobijemo:
3x = 8 – xSada se želimo riješiti nepoznanice s desne strane. Pribrojit ćemo objema stranama x.
3x + x = 8 – x + xTako smo dobili:
4x = 8.Podijelimo jednadžbu brojem 4: 4 8
4 4x =
Tako dobijemo rješenje:x = 2.
Linearne jednadžbe i nejednadžbe
119
Niz jednadžba koje smo u primjeru dobili nazivamo ekvivalentnim jednadžbama. To su jednadžbe koje dobijemo kad obje strane jednadžbe pomnožimo ili podije-limo nekim brojem različitim od nule (razmisli – zašto?), ili objema stranama jed-nadžbe dodamo ili oduzmemo neki broj ili izraz.
Kad završimo rješavati jednadžbu, uputno je provjeriti jesmo li zbilja dobili rješe-nje te jednadžbe. To provjerimo tako da rješenje uvrstimo u početnu jednadžbu i provjerimo jesu li lijeva i desna strana jednadžbe jednake.
Provjerimo to za zadani primjer. Umjesto x ćemo uvrstiti broj 2.
3 · 2 – 2 = 6 – 26 – 2 = 4
4 = 4
Budući da smo dobili 4 = 4, što je istina, zaključujemo da broj 2 jest rješenje jed-nadžbe.
Provjerimo je li x = 3 također rješenje zadane jednadžbe.
3 · 3 – 2 = 6 – 39 – 2 = 3
7 = 3
Budući da smo dobili da su lijeva i desna strana jednadžbe različite, zaključujemo da 3 nije rješenje zadane jednadžbe.
Što zapravo znači riješiti jednadžbu? Riješiti jednadžbu znači odrediti vrijednost nepoznanice tako da kad tu vrijednost uvrstimo u polaznu jednadžbu, dobijemo jednakost lijeve i desne strane.
Učenici obično gore predstavljeni postupak provode kraće, ne razmišljajući o poza-dini postupka, pa kažu: „kad broj (ili izraz) prelazi s druge strane znaka jednakost na drugu, on mijenja predznak“. (Objasni što se zapravo dogodilo.) Učenici tim pristupom na kraju dođu do (ekvivalente!) jednadžbe oblika ax = b. Tada kažu da će „podijeliti jednadžbu onime što stoji uz nepoznanicu“. (Objasni što je u pozadini ovog postupka.)
Lin
earn
e je
dn
adž
be i
nej
edn
adž
be
120
¤¤ Primjer 2. Riješimo jednadžbu 3x – 5 – 2 (x + 2) = x + 6 + 3 (x + 2).
Rješenje
Najprije se treba osloboditi zagrada primjenom svojstva distributivnosti:3x – 5 – 2x – 4 =x + 6 + 3x + 6
x – 9 = 4x + 12Dalje možemo kratko:
x – 4x =12 + 9– 3x = 21x = – 7
Samostalno provjeri rješenje.
Ponekad ćemo iskoristiti nešto što se u engleskom jeziku naziva fluency in solving, odnosno tečnost pri rješavanju. Tečnost pri rješavanju očituje se u tome da nam je puno lakše, odnosno tečnije, kad baratamo cijelim brojevima, nego kad baratamo razlomcima ili decimalnim brojevima. Već prije smo rekli da ako obje strane jednadž-be pomnožimo ili podijelimo istim brojem, dobit ćemo ekvivalentnu jednadžbu.
¤¤ Primjer 3. Riješimo jednadžbu 3 2 2 3
2 3 4 6x x x x+ −− = − .
Rješenje
Pri rješavanju ove jednadžbe možemo imati nekoliko strategija. Jedna je od njih zadržavanje razlomaka. Ipak, moramo biti svjesni da ćemo račun lakše i brže (teč-nije!) provesti ako baratamo cijelim brojevima, nego arazlomcima.Primijenimo strategiju da se riješimo razlomaka.Pomnožimo jednadžbu najmanjim zajedničkim višekratnikom nazivnika brojem 12.
Linearne jednadžbe i nejednadžbe
121
12( 3) 12(2 3 )12 2 122 3 4 6x xx x+ −⋅− = −
6 (x + 3) – 4 · 2x = 3x – 2 (2 – 3x)6x + 18 – 8x = 3x – 4 + 6x
– 2x + 18 = 9x – 4– 2x – 9x = – 4 – 18
– 11x = – 22x = 2
Možeš li obrazložiti svaki redak ovog postupka?Provjeri dobiveno rješenje.
Vježbaj!
1. Riješi jednadžbe i provjeri rješenja.
a) 4x + 1 + 3x = 15 b) 3 (2x – 1) – 4 = 3x – 7
c) 3(y – 6) + 8 = 4(y + 7) d) 5 (x − 1) − (x + 3) + 4 = 0
2. Riješi jednadžbe.
a) 2 1
2 3x x−
+ = b) 7 3 2 1
6 2 4x x+ −
+ = +
c) 3 2 1
2 2 1 2x x= −
− − d) 2
2 1 21 1 1
yy y y
− =+ − −
3. Riješi jednadžbe.
a) 1,8x + 2(x − 3) + 1,2 = 9 + 3x b) 0,3(x –2) = 5 – 2x c) 21 3
pp −− =
4. Riješi jednadžbe za zadanu nepozanicu.
a) A = a (b + c) za b b) 2 1 1 0a b c
− + = za a
Odgovori!
1. Zašto je broj 5 rješenje jednadžbe 2(x – 4) + 5x = 27, a broj 2 nije njezino rješenje? Dokaži.
Lin
earn
e je
dn
adž
be i
nej
edn
adž
be
122
2. Koja je razlika između rješavanja jednadžbe i pojednostavljivanja algebarskog izraza? Objasni to na primjeru jednadžbe 0,25(x + 2) – 0,75(x – 3) = 0,09, odnosno izraza 0,25(x + 2) – 0,75(x – 3).
3. Jednadžba 3x + 5 = 7 + 3(x – 1) nema rješenja. Zašto? Uvjeri se da brojevi 2 i – 3 nisu rješenja te jednadžbe.
4. Jednadžba 3x + 5 = 8 + 3(x – 1) ima beskonačno mnogo rješenja. Zašto? Uvjeri se da su brojevi 2 i – 3 rješenja te jednadžbe.
Procijeni!
1. Koja je tvrdnja točna?
a) Jednadžba – 7x = x nema rješenja.
b) Jednadžbe – x = – 4 i x = 4 ekvivalentne su.
c) Jednadžbe 3y – 1 = 11 i 3y – 7 = 5 ekvivalentne su.
d) Ako su a i b realni brojevi, tada jednadžba ax + b = 0 uvijek ima bar jedno rješenje.
Linearne jednadžbe i nejednadžbe
123
5.2. Linearne jednadžbe s jednom nepoznanicom – problemski zadatci
Problemski zadatak, odnosno problemska situacija jest svaka situacija koja se može predočiti, analizirati i po mogućnosti riješiti rabeći matematičke metode. To može biti problem iz svakodnevice, apstraktni problem ili čisto matematički problem.Jedan od načina rješavanja problemskog zadatka jest predočavanje problema li-nearnom jednadžbom s jednom nepoznanicom, a rješenje te jednadžbe ujedno je i rješenje postavljenog problema.Francuski matematičar René Descartes (1569. – 1650.) dao je metodu kako riješiti problemski zadatak. Sličnim se bavio i mađarski matematičar George Pólya (1887. – 1985.) u svom djelu Kako riješiti matematički zadatak? Proučimo metode koje su predstavili Descartes i Pólyja!Po njima, rješavač uvijek mora postaviti nekoliko pitanja: Što se traži? Što je poznato? Koja je poveznica između nepoznatog i poznatog?Potom rješavač treba tekst zadatka pretočiti u jednadžbu i riješiti je. Svakako treba utvrditi je li rješenje smisleno, i zadovoljava li jednadžbu.
¤¤ Primjer 4. Kolika je površina prvokutnika kojemu je opseg 30 cm, a jedna je stranica dvostru-ko dulja od druge stranice?
Rješenje
Poznato je da je površina pravokutnika jednaka umnošku duljina njegovih susjed-nih stranica. Označimo li stranice slovima a i b, površina je P = ab. Dakle, da bismo izračunali površinu pravokutnika(a to je zahtjev zadatka), moramo znati kolike su duljine stranica pravokutnika, što nam je nepoznato. Barem za sada.Poznato da je opseg pravokutnika jednak zbroju duljina svih njegovih stranica, od-nosno o = a + b + a + b, što kraže možemo zapisati o = 2 (a + b).
Lin
earn
e je
dn
adž
be i
nej
edn
adž
be
124
Iz teksta zadatka saznajemo da je jedna stranica dvostruko dulja od druge: a = 2b, te da je opseg jednak 30 cm. Stoga možemo napisati:
30 = 2 (a+b)30 = 2 (2b + b)
30 = 2 · 3b30 = 6bb = 5 cm
Budući da je a = 2b, dobivamo da jea = 2 · 5 = 10 cm.
Sada možemo izračunati i površinu: P = 5 · 10 = 50 cm2.
Razmisli: bi li rezultat bio drukčiji da smo stavili b = 2a? Obrazloži odgovor.
¤¤ Primjer 5. Na dvije se police ukupno nalaze 42 knjige. Ako s prve police na drugu premje-stimo 8 knjiga, na prvoj će polici biti dvostruko više knjiga nego na drugoj polici. Koliko je knjiga prije premještanja bilo na prvoj polici više nego na drugoj polici?
Rješenje
Ako s x označimo broj knjiga na prvoj polici, na drugoj će polici biti 42 – x knjiga. (Zašto?)Ako s prve police uzmemo 8 knjiga, na njoj će ostati x – 8 knjiga. Ako te knjige premjestimo na drugu policu, na drugoj će sada biti 42 – x + 8 knjiga. (Obrazloži!)Moramo još iskoristiti podatak da će nakon premještanja na prvoj polici biti dvo-struko više knjiga. To možemo napisati na sljedeći način:
broj knjiga na prvoj polici = 2 · broj knjiga na drugoj policiZapisano matematičkim izrazom, dobivamo:
x – 8 = 2 (42 – x + 8).Riješimo jednadžbu poznatim postupkom. Dobivamo:
x = 36Dakle, prije premještanja na prvoj su polici bile 36 knjige. To znači da je na drugoj polici bilo 6 knjiga.
Linearne jednadžbe i nejednadžbe
125
Provjerimo rezultat:Ako s prve police izmemo 8 knjiga, na njoj će ostati 28 knjige. Ako tih 8 knjiga dodamo na drugu policu, na njoj će biti 14 knjiga. Jasno je da nakon premještanja na prvoj polici ima dvostruko više knjiga nego na drugoj, a sveukupno i dalje ima 42 knjige.I za kraj odgovorimo na pitanje postavljeno u zadatku: prije prebacivanja na prvoj je polici bilo 30 knjiga više nego na drugoj polici.
Zadatke zadane tekstom koji se svode na rješavanje linearne jednadžbe nazivamo problemima prvog stupnja.
Modeliraj!
1. Tijekom 3 dana skupina je učenika posadila 360 sadnica. Prvog je dana svaki učenik posadio 12 sadnica, drugog je dana svaki učenik posadio 15 sadnica, a preostalih 20 sadnica sadili su trećeg dana. Koliko je učenika sadilo te sadnice?
2. Domaćinstvo je 1. prosinca nabavio 382 L loživog ulja. Planiraju u prosincu i siječnju trošiti 3,5 L dnevno, a kasnije po 2,7 L. Kada će se nabavljena zaliha ulja potrošiti?
3. Troškovi održavanja proizvodnog pogona iznose 370 kn po danu. Proizvedeni proizvodi prodaju se po 12,30 kn za komad. Proizvodnja je isplativa ako nakon 30 dana proizvodnje i prodaje svih izrađenih proizvoda te nakon odbijanja troškova održavanja pogona za tih 30 dana ostane barem 7 000 kn. Koliko najmanje proizvoda treba izraditi u tih 30 dana da bi proizvodnja bila isplativa?
4. Bazen ima dimenzije 25 m, 16 m, 2 m. Puni se vodom brzinom 1 000 L u minuti. (Napomena: 1 dm3 = 1 L.) Koliko je vremena potrebno da se bazen u potpunosti napuni?
5. Za kupnju 9 bilježnica nedostaje 8 kuna, a nakon kupnje 8 bilježnica ostalo je 4 kune. Kojom novčanicom kupac plaća bilježnice?
6. Duljina pravokutnika triput je veća od širine. Kolika je ta duljina ako je opseg pravokutnika 72 cm?
7. Marko vozi iz Zagreba prema Splitu prosječnom brzinom 80 km/h. Istodobno je iz Splita za Zagreb krenuo Ivan prosječnom brzinom 90 km/h. Na kojoj će se udaljenosti od Zagreba oni susresti? (Zagreb i Split udaljeni su 400 km.)
Lin
earn
e je
dn
adž
be i
nej
edn
adž
be
126
5.3. Linearne nejednadžbe s jednom nepoznanicom
5.3.1. Uređaj u skupu realnih brojeva
Elementima skupa pridružili smo točke brojevnog pravca. Točku koja je pridružena nuli nazvali smo ishodištem. Brojeve kojima su pridruže-ne točke lijevo od ishodišta nazivamo negativnim brojevima. Dakle, za realni broj a kažemo da je negativan i pišemo
a < 0ako mu je pridružena točka brojevnog pravca lijevo od ishodišta. (Znak < čitamo manji.) Za realni broj a kažemo da je pozitivan i pišemo
a > 0ako njemu pridružena točka leži desno od ishodišta na brojevnom pravcu. (Znak > čitamo veći.) Realne brojeve možemo međusobno uspoređivati. Za realni broj a kažemo da je manji od realnog broja b i pišemo
a < bako je razlika b – a pozitivan broj, tj. ako je
b – a > 0.Tvrdnju a < b možemo zapisati i ovako: b > a, i kažemo da je realni broj b veći od realnog broja a. Dva su realna broja a i b jednaka. Pišemo
a = b,ako je njihova razlika jednaka nuli:
b – a = 0.Ako za dva realna broja a i b vrijedi a < b, točka pridružena broju a leži na brojev-nom pravcu lijevo od točke pridružene broju b (slika 1).
slika 1
Osim znakova < i > u uporabi su znakovi ≤ (manji ili jednak) i ≥ (veći ili jednak). Ako za realne brojeve a i b vrijedi: a ≥ b, to znači da je a – b ≥ 0, što znači da je razlika a – b ili pozitivna ili jednaka nuli, tj. nenegativna.
Linearne jednadžbe i nejednadžbe
127
¤¤ Primjer 6.9 ≥ 7 jer je 9 – 7 ≥ 0, štoviše 9 – 7 > 0. 8 ≥ 8 jer je 8 – 8 ≥ 0, štoviše 8 – 8 = 0. Uočimo da vrijedi i 8 – 8 ≤ 0. Baš zbog toga što iz 8 ≥ 8 slijedi da je i 8 – 8 ≤ 0 i 8 – 8 ≥ 0, mogli smo zaključiti da je 8 – 8 = 0.
¤¤ Primjer 7.Skicirajmo na brojevnom pravcu skup svih realnih brojeva za koje vrijedi:a) x < – 1, b) x ≤ 3, c) x > 2, d) – 2 ≤ x < 4.
Rješenje
a) Na brojevnom pravcu tražimo sve točke koje leže lijevo od točke – 1.
slika 2
Uočimo da broj – 1 ne pripada navedenom skupu, što smo na slici 2 naznačili kori-steći se oznakom .
b) x ≤ 3 znači da je riječ o realnim brojevima koji se na brojevnom pravcu nalaze lijevo od broja 3 ili je riječ o broju 3 pa je riječ o skupu predočenom na slici 3.
slika 3
Ističemo da navedeni skup sadrži i desnu granicu, što smo naznačili koristeći se oznakom ].
c) Skupu realnih brojeva za koje vrijedi da je x > 2 pridružene su točke desno od točke s apscisom 2.
slika 4
d) Točke za koje vrijedi zadana nejednakost nalaze se desno od točke A(–2) i lijevo od točke B(4). Valja uočiti da točka B nije sadržana u skupu određenom lancem nejednakosti –2 ≤ x < 4, dok je točka A sadržana u tom skupu. Stoga je lijeva granica traženoga skupa označena oznakom [, a desna oznakom .
slika 5
Lin
earn
e je
dn
adž
be i
nej
edn
adž
be
128
Na ovaj smo način uveli uređaj u skup realnih brojeva, što znači da dva proizvoljna realna broja možemo uspoređivati:
za ma koje a, b vrijedi ili a ≥ b ili b ≤ a.
5.3.2. Intervali
Neka je S skup čiji su elementi a, b, c i d (slika 6). To zapisujemo:S = {a, b, c, d}.
ab
c d
S
Slika 6
Želimo li istaknuti da je a element skupa S, pišemo: a S. Za skup kojeg čiji su elementi (samo) a i b kažemo da je podskup skupa S i obilježavamo ga tako da u vitičastim zagradama navedemo sve njegove elemente: {a, b}. Pišemo:
{a, b} S i čitamo: skup {a, b} je podskup skupa S.Za ilustraciju podskupova navedimo nekoliko primjera:
{3, 19, 128} , {–2, –1, 0, 1, 2} , 11
2
1
3
1
4
1, , , ,... .
= ∈
⊂n
n N Q
¤¤ Primjer 8.Koji prirodni brojevi zadovoljavaju nejednakost 2x < 9?
Rješenje
Očito samo prirodni brojevi 1, 2, 3, 4 zadovoljavaju danu nejednakost, što znači da samo elementi skupa {1, 2, 3, 4} zadovoljavaju danu nejednakost Odgovorimo sada na pitanje: Koji realni brojevi zadovoljavaju relaciju x > 3? Odmah nailazimo na poteškoću pri pronalaženju prvog takvog realnog broja. Je li to 3,1 ili 3,01 ili možda 3,00001? A koji je sljedeći traženi realni broj? Kako navesti sve realne brojeve koji zadovoljavaju zadanu nejednakost? Koliko ih ima?Budući da je realnih brojeva s traženim svojstvom beskonačno mnogo, nemoguće ih je svakog posebno napisati jer između svaka dva realna broja koja bismo naveli
Linearne jednadžbe i nejednadžbe
129
postoji bar još jedan realan broj, također, s traženim svojstvima. Traženi podskup skupa zapisat ćemo 3, ∞. Uočimo da je
3, ∞ = {x : x > 3}. Intervali su podskupovi S skupa realnih brojeva koji imaju svojstvo da za sve a, b S i x takve da je a < x < b slijedi x S. Razlikujemo: otvorene, poluotvorene (ili poluzatvorene) i zatvorene intervale.
¤¤ Primjer 9.
a) 3, 7 je otvoreni interval koji sadrži sve realne brojeve veće od 3 (ne i broj 3), a manje od 7 (broj 7 ne pripada tom intervalu). Za svaki realni broj x koji pripada tom intervalu možemo pisati:
x 3, 7 ili 3 < x < 7.b) 4, ∞ ili 4, +∞ je otvoreni interval koji sadrži sve brojeve veće od 4 (ne i broj
4), što smo mogli pisati i ovako: 4, ∞ = {x : x > 4}.
c) –∞, 2 je otvoreni interval koji sadrži sve realne brojeve manje od broja 2. Za svaki x element ovog skupa vrijedi nejednakost: x < 2, što smo mogli pisati i na sljedeći način:
–∞, 2 = {x : x < 2}.d) –∞, 2] je lijevi poluotvoreni (desni poluzatvoreni) interval kojem pripadaju
svi realni brojevi manji od broja 2, ali i broj 2. Za svaki x –∞, 2] vrijedi nejednakost: x ≥ 2, što možemo pisati:
–∞, 2] = {x : x ≤ 2}.e) –5, –1] je lijevi poluotvoreni (desni poluzatvoreni) interval ili, jednostavno,
poluotvoreni interval, kojemu pripada njegova desna granica, dok lijeva ne. Za svaki x –5, –1] vrijedi: –5 < x ≤ –1, što možemo pisati kao skup:
{x : –5 < x ≤ –1}.f ) [0, 6 je lijevi poluzatvoreni (desni poluotvoreni) ili, jednostavno, poluotvoreni
interval. Za x [0, 6 vrijedi 0 ≤ x < 6. Ovaj interval možemo pisati i ovako:{x : 0 ≤ x < 6}.
g) [1, 101] primjer je zatvorenog intervala (segmenta), koji sadrži sve realne brojeve veće od 1 i manje od 101, ali i brojeve 1 i 101. Za svaki x [1, 101] vrijedi: 1 ≤ x ≤ 101 pa smo, umjesto [1, 101], mogli pisati
{x : 1 ≤ x ≤ 101}.
Lin
earn
e je
dn
adž
be i
nej
edn
adž
be
130
Neka su A i B skupovi. Skup koji sadrži sve elemente koji pripadaju bilo skupu A bilo skupu B nazivamo unijom skupova A i B i označavamo: A B. A B = {x : x A ili x B}.Neka je, primjerice, A = {a, b, c} i B = {b, c, d, e}. Tada je A B = {a, b, c, d, e}.
a
bc
de
BA
slika 7
¤¤ Primjer 10.Odredimo uniju intervala: a) –2, 1] i 0, 3; b) –1, 1 i [2, 4.
Rješenje
Prikažimo zadane intervale na brojevnom pravcu. a)
–2 –1 10 2 3 xslika 8
Uniju čine svi označeni brojevi bez obzira kojem od zadanih intervala pripadaju. Unija je, dakle, skup –2, 3, tj.
–2, 1] 0, 3 = –2, 3.b)
–2 –1 10 2 3 4 xslika 9
Brojeve označene na slici ne možemo zapisati kao elemente jednog intervala. Tra-ženu uniju zapisujemo jednostavno ovako:
–1, 1 [2, 4. Neka su A i B skupovi. Presjek skupova A i B, oznaka: A B, skup je svih eleme-nata koji pripadaju i skupu A i skupu B.
A B = {x : x A i x B}.Neka je, primjerice, A = {a, b, c} i B = {b, c, d, e}. Tada je A B = {b, c}.
Linearne jednadžbe i nejednadžbe
131
a
bc
de
BA
slika 10
¤¤ Primjer 11.Odredimo presjeke intervala:a) [–2, 1] i 0, 3; b) –4, –1] i [0, 3.
Rješenje
Prikažimo zadane intervale na brojevnom pravcu.a)
–2 –1 10 2 3 x slika 11
Presjek čine svi brojevi koji su dva puta označeni, što znači da pripadaju i segmen-tu [–2, 1] i intervalu 0, 3, dakle, skup 0, 1]. Broj 0 nije element presjeka jer ne pripada intervalu 0, 3, a broj 1 pripada i intervalu [–2, 1] i intervalu 0, 3 pa se nalazi i u njihovom presjeku. Pišemo:
[–2, 1] 0, 3 = 0, 1].b)
–4 –1 0 3 x slika 12
Iz slike 12 očito je da se zadani intervali ne sijeku. To znači da ne postoji niti jedan realni broj koji pripada i jednom i drugom intervalu. Presjek je zadanih intervala prazan skup, čija je oznaka . Kažemo da su ti skupovi disjunktni i zapisujemo:
–4, –1] [0, 3 = . Neka su A i B skupovi. Razlika skupova A i B, oznaka: A \ B je skup je
kojem pripadaju svi elementi skupa A koji ne pripadaju skupu B. A \ B = {x | x A i x B}.
Primjerice, razlika skupova A = {a, b, c} i B = {b, c, d, e} jest skup A \ B = {a}. Analogno je razlika skupova B i A skup B \ A = {d, e}.
Lin
earn
e je
dn
adž
be i
nej
edn
adž
be
132
aa
bbcc
ddee
BBAA
a
bc
de
BA
slika 13
¤¤ Primjer 12.Koristeći se razlikom skupova, zapišimo unije: a) –∞, –1] [3, ∞], b) 0, 1] 1, 4].
Rješenje
Prikažimo zadane intervale na brojevnom pravcu. a)
–1 0 3 xslika 14
Neosjenčani dio brojevnog pravca je skup brojeva između –1 i 3. Označeni skup možemo promatrati kao cijeli skup realnih brojeva bez intervala –1, 3:
–∞, –1] [3, ∞ = R \ –1, 3.b)
–1 0 1 4 x slika 15
Zadanu uniju možemo promatrati kao interval 0, 4] kojemu nedostaje broj 1:
0, 1 1, 4] = 0, 4] \ {1}.
5.3.3. Linearne nejednadžbe s jednom nepoznanicom
Nejednadžba je nejednakost u kojoj se pojavljuje nepoznanica. Rješenje nejed-nadžbe svaki je realni broj koji, uvršten umjesto nepoznanice, zadovoljava danu nejednakost.
¤¤ Primjer 13.Uvjerimo se da su brojevi 2 i –0,5 rješenja nejednadžbe 2x – 1 < 5, a da brojevi 3 i 5 nisu njezino rješenje.
Linearne jednadžbe i nejednadžbe
133
Rješenje
Uvrstimo ponuđene brojeve umjesto x u nejednadžbu: 2 · 2 – 1 < 5 2 · (–0,5) –1 < 5 4 – 1 < 5 –1 – 1 < 5 3 < 5, –2 < 5.U oba slučaja zaključujemo da ponuđeni brojevi zadovoljavaju danu nejednakost, naime, i 3 i –2 manji su od 5. Uvrstimo sada brojeve 3 i 5 u nejednadžbu 2x – 1<5. Nalazimo da je: 2 · 3 – 1 < 5 2 · 5 – 1 < 5 6 – 1 < 5 10 – 1 < 5 5 < 5 9 < 5.Budući da 5 nije manji od 5, niti je 9 manji od 5, ni broj 3 ni broj 5 ne zadovoljavaju zadanu nejednadžbu pa oni nisu njezina rješenja.
Pri rješavanju nejednadžbi koristimo se svojstvima uređaja u skupu realnih brojeva. Svojstvo 1:Za a, b, c vrijedi: ako je a ≥ b, onda je a + c ≥ b + c. Analogno, ako je a < b, onda je a + c < b + c.Nejednakost ≥ (odnosno <) ne mijenja se ako lijevoj i desnoj strani dodamo isti realni broj. Kažemo da nejednakost nije promijenila smjer.
¤¤ Primjer 14.Riješimo nejednadžbu: x – 4 < 2.
Rješenje
Pribrojimo svakoj strani ove nejednadžbe broj 4: x – 4 + 4 < 2 + 4.
Dobivamo x < 2 + 4.
Kažemo da smo nepoznanicu ostavili na lijevoj strani, a slobodne koeficijente pre-bacili na desnu stranu. Ako broj mijenja stranu, prelazi u suprotan broj (–4 u 4).
Lin
earn
e je
dn
adž
be i
nej
edn
adž
be
134
Dobivamo da su rješenja zadane nejednadžbe svi realni brojevi x za koje vrijedi: x < 6.
10 32 4 5 6 xslika 16
Rješenje zadane nejednadžbe je svaki element skupa –∞, 6. Svojstvo 2:Za a, b, c , c > 0 vrijedi: ako je a ≥ b, onda je a · c ≥ b · c. Analogno, ako je a < b i c > 0, onda je a · c < b · c.Nejednakost ≥ (odnosno <) ne mijenja se ako lijevu i desnu stranu pomnožimo istim pozitivnim brojem.Svojstvo 3:Za a, b, c , c < 0 vrijedi: ako je a ≥ b, onda je a · c ≤ b · c. Analogno, ako je a < b i c < 0, onda je a · c > b · c.Nejednakost ≥ (odnosno <) mijenja se ako lijevu i desnu stranu pomnožimo istim negativnim brojem.Pri rješavanju linearnih nejednadžbi u pravilu se koristimo ili svojstvom 2 ili svoj-stvom 3.
¤¤ Primjer 15.Riješimo nejednadžbe:
a) 1
22x > ; b) –0,4x ≤ 3.
Rješenje
a) Zadanu nejednadžbu valja pomnožiti brojem 2 da bismo se riješili razlomka:1
22 2x > ⋅/
x > 4.Rješenja nejednadžbe pripadaju skupu svih realnih brojeva R koji su veći od 4, tj. x 4, ∞.
b) Zadanu nejednadžbu podijelit ćemo brojem –0,4:–0,4x ≤ 3 / : (–0,4)
x ≥−
3
0 4,
x ≥ –7,5.
Linearne jednadžbe i nejednadžbe
135
Rješenja nejednadžbe pripadaju skupu svih realnih brojeva koji su veći ili jed-naki –7,5, tj.
x [–7,5, ∞.Rješenje sustava nejednadžbi su svi realni brojevi koji zadovoljavaju sve zadane nejednadžbe.
¤¤ Primjer 16.Odredimo rješenje sustava
3x – 1 < 8 3 – x < 1.
Rješenje
Riješiti navedeni sustav znači naći skup svih rješenja prve nejednadžbe (3x – 1 < 8) i skup svih rješenja druge nejednadžbe (3 – x < 1), a zatim naći presjek tih dvaju skupova. Dobiveni skup jest skup svih rješenja sustava nejednadžbi. Zašto tražimo presjek skupova rješenja? Zato jer riješiti sustav dviju nejednadžbi, znači riješiti i prvu i drugu nejednadžbu, a u presjeku dvaju skupova upravo su oni elementi koji pripadaju i prvom i drugom skupu.
Riješimo sada prvu nejednadžbu. Njezino rješenje zadovoljava uvjet x < 3 pa je skup rješenja te nejednadžbe interval S1 = –∞, 3. Budući da rješenja druge nejed-nadžbe moraju zadovoljiti relaciju x > 2, to znači da je x 2, ∞, tj. skup rješenja druge nejednadžbe je S2 = 2, ∞. Prikažimo dobivena rješenja na istom brojevnom pravcu:
10 32 x
S2S1
slika 17
Budući da rješenja sustava nejednadžbi S pripadaju i skupu S1 i skupu S2, to znači da su iz intervala označenog dvaput. Dakle, S = S1 S2 = 2, 3 pa je rješenje svaki broj
x 2, 3. Ako je umnožak (ili količnik) dvaju brojeva pozitivan, oba su broja istog predznaka (oba su broja ili pozitivna ili negativna). Zato, pri rješavanju nejednadžbi oblika
a b ab
b⋅ > > ≠0 0 0ili , ,
Lin
earn
e je
dn
adž
be i
nej
edn
adž
be
136
promatramo dva odvojena slučaja: I. a > 0 i b > 0, II. a < 0 i b < 0.Dakle, razmatramo kad je a > 0 i b > 0 ili a < 0 i b < 0. To znači da ćemo naći skup rješenja S1 koji zadovoljavaju slučaj a > 0 i b > 0 i skup rješenja S2 koji zadovolja-vaju slučaj a < 0 i b < 0, a zatim ćemo odrediti skup S = S1 S2 jer su u uniji dvaju skupova upravo oni elementi koji pripadaju prvom ili drugom skupu.S druge strane, umnožak (količnik) dvaju brojeva negativan je ako su brojevi razli-čitih predznaka. Stoga nejednadžbe oblika
a bab
b⋅ < < ≠0 0 0ili , ,
rješavamo razmatranjem sljedećih slučajeva: I. a > 0 i b < 0, II. a < 0 i b > 0.
¤¤ Primjer 17.Riješimo nejednadžbu (x – 2)(x + 1) < 0.
Rješenje
Ovdje je umnožak izraza (x – 2) i (x + 1) negativan. To je moguće ako je jedan od njih negativan, a drugi pozitivan pa imamo ove dvije mogućnosti: I. x – 2 > 0 II. x – 2 < 0 x + 1 < 0 x + 1 > 0 x > 2 x < 2 x < –1 x > –1
1 10 0–1 –13 32 2x x x x –1, 2Rješenje zadatka svi su realni brojevi koji su rješenja bilo prvog, bilo drugog sluča-ja. Tražimo, dakle, uniju dobivenih intervala. Ovaj put će to biti svi realni brojevi
x –1, 2. ¤¤ Primjer 18.
Riješimo nejednadžbu: xx
−+
≥2
30.
Linearne jednadžbe i nejednadžbe
137
Rješenje
Najprije uočimo da se dopušta da je xx
−+
2
3 = 0, a to će biti ako je brojnik jednak
nuli, tj. x – 2 = 0. Naravno, nazivnik ne može biti jednak nuli jer dijeljenje s nulom
u skupu nije definirano. Prema tome, navedeni će količnik biti nenegativan (pozi-tivan ili nula) ako mu je (1) brojnik nenegativan i nazivnik pozitivan ili (2) brojnik nepozitivan (negativan ili nula) i nazivnik negativan. I. x – 2 ≥ 0 II. x – 2 ≤ 0 x + 3 > 0 x + 3 < 0 x ≥ 2 x ≤ 2 x > –3 x < –3
1 10–3 –3 02 2x x
x [2, ∞ x –∞, –3Rješenje su zadatka svi realni brojevi koji su rješenja bilo prvog, bilo drugog slu-čaja, dakle,
x – ∞, –3 [2, ∞.
Vježbaj!
1. Prikaži na brojevnom pravcu.
a) – 6, – 3 b) – ∞, – 1] c) – 2, ∞ d) [4, 10
2. Pomoću znakova nejednakosti zapiši sljedeće skupove:
a) – ∞, 3] b) [– 2, 3] c) 0, 5 d) [2, ∞
3. Riješi nejednadžbe.
a) 1,8x + 2(x − 3) + 2,2 < 0 b) 23
(x –2) < 1 – 2x c) 11 3
−− ≤ xx4. Riješi nejednadžbe.
a) 2 3 1 3 16 8 4
x x− ++ < b) 3 5 3 522 3x x+ −+ >
5. Riješi nejedndžbe.
a) (x + 3)(x – 4) < 0 b) (x + 5)(x – 1) > 0 c) x2 – 3x + 2 ≤ 0
Lin
earn
e je
dn
adž
be i
nej
edn
adž
be
138
6. Riješi nejedndžbe.
a) 6 04
xx+ >− b)
3 6 02 4xx+ ≤− c)
2 6 11xx+ ≥−
Odgovori!
1. Koliko cijelih brojeva ima u danim intervalima?
a) – 5, 1] b) [0, 6 c) – 2, 2 d) 1, ∞
2. Koji je od danih skupova skup rješenja nejednadžbe 2x – (3 – x) ≥ 3(1 – x)?
a) – ∞, 1] b) [1, ∞ c) – ∞, 1 d) 1, ∞
3. Promotri nejednadžbe: 3x + 2 > 1 + 3(x + 1) i 3x + 2 < 1 + 3(x + 1).
Koja od njih nema rješenja, a kojoj je rješenje svaki realan broj? Objasni.
4. Kojoj nejednadžbi odgovara rješenje [1, 7?
a) 7 01xx− ≥− b) (x – 1)(x – 7) ≥ 0 c) 1 07
xx− ≤−
Procijeni!
1. Napiši linearnu nejednadžbu za čije rješenje vrijedi:
a) x – ∞, 2 b) 4, ∞
Modeliraj!
1. Maja ima 50 kuna. Želi kupiti šestar za 17 kuna i bilježnice po 3,5 kuna. Koliko bilježnica Maja može kupiti?
Linearne jednadžbe i nejednadžbe
139
5.4. Linearne jednadžbe s apsolutnom vrijednošću
Realnim smo brojevima pridruživali točke brojevnog pravca. Promatrajmo uda-ljenost pridružene točke od ishodišta koordinatnog sustava na brojevnom pravcu. Apsolutna vrijednost realnog broja jednaka je udaljenosti točke od ishodišta. Realnom broju x pridružena je na brojevnom pravcu točka T s koordinatom x. Uda-ljenost točke T(x) od ishodišta O(0) jest broj
d(O, T) = | x – 0 | = | x |.Promatrajmo jednadžbu
| x | = a, a .Njezino su rješenje, dakle, koordinate točaka brojevnog pravca koje su za a udalje-ne od ishodišta.Rješenja su brojevi
x1 = a i x2 = –a, što se kraće može pisati: x1,2 = ± a.
¤¤ Primjer 19.Riješimo jednadžbu:
| x – 3| = 2.Rješenje
Najprije se izraz x – 3 mora osloboditi apsolutne vrijednosti. I. Ako je x – 3 < 0 (tj. x < 3), apsolutna mu vrijednost mijenja predznak:
| x – 3| = –(x – 3). Dakle, za x < 3, jednadžba glasi:
–(x – 3) = 2. Njezino je rješenje x = 1. To rješenje zadovoljava uvjet x < 3.II. Ako je x – 3 > 0 (tj. za x > 3), apsolutna mu vrijednost ne mijenja predznak:
| x – 3| = x – 3. Dakle, za x > 3, polazna jednadžba prelazi u jednadžbu
x – 3 = 2, kojoj rješenje x = 5 zadovoljava postavljeni uvjet x > 3. Zadana jednadžba ima dva rješenja: x1 = 1 i x2 = 5.
Lin
earn
e je
dn
adž
be i
nej
edn
adž
be
140
Vježbaj!
1. a) | x | = 3 b) | x – 2 | = 3 c) | 3x – 2 | = 1 d) | 5 – x | = 0,25
2. a) | | x | + 1 | = 3 b) | | x | + 5 | = 3 c) | | x – 2 | – 1 | = 4
3. a) | x | = 3 + 2x b) | 2x – 2 | = x – 3 c) | 3 – x | = x – 1
4. a) 2 1
| 3 1|x=
+ b)
2 1| 3 6 | | 2 4 |
xx x
=+ + c)
2| 2 | | 2 |
xx x
=− −
5. a) | 2x – 2 | = | x – 3 | b) | 3x – 2 | = 2 | x – 2 | c) | 5 – x | = | x – 2 |
Linearne jednadžbe i nejednadžbe
141
5.5. Linearne nejednadžbe s apsolutnom vrijednošću
Neka su x, a . Rješenja nejednadžbe | x | < a
jesu koordinate onih točaka brojevnog pravca kojih je udaljenost od ishodišta ma-nja od a, dakle
–a < x < a, tj. x –a, a.
0 a–a x Slika 18
Ako je | x | > a,
za rješenja vrijedi: x < –a ili x > a, tj. x –∞, –a a, ∞. (slika 19)
0 a–ax
Slika 19
Jasno je da rješenje nejednadžbe | x | ≤ a pripada intervalu [–a, a], a rješenje nejed-nadžbe | x | ≥ a pripada skupu –∞, –a] [a, ∞. Zaključimo: | x | ≤ a x [–a, a], | x | ≥ a x –∞, –a] [a, ∞.
¤¤ Primjer 20.Riješimo nejednadžbu: |2x – 6| < x + 3.
Rješenje
Razlikujemo dva slučaja:
I. Ako je 2x – 6 < 0, tj. 2x < 6, onda je x < 3 pa rješavamo nejednadžbu na intervalu –∞, 3. Za takve brojeve vrijedi |2x – 6| = –(2x – 6) pa zadana nejednadžba poprima oblik:
–2x + 6 < x + 3–2x – x < 3 – 6
x > 1.
Lin
earn
e je
dn
adž
be i
nej
edn
adž
be
142
Tražimo elemente skupa –∞, 3 koji su veći od 1:
1 30 x Rješenje je svaki x 1, 3.
II. Ako je 2x – 6 ≥ 0, tj. 2x ≥ 6, onda je x ≥ 3 pa rješavamo nejednadžbu na intervalu [3, ∞. Za brojeve tog intervala vrijedi: |2x – 6| = 2x – 6 pa nejednadžba glasi:
2x – 6 < x + 32x – x < 3 + 6
x < 9. Pogledajmo za koje elemente intervala [3, ∞ vrijedi ova nejednakost.
3 9 x0Rješenje je svaki x [3, 9. Rješenje je zadane nejednadžbe unija dobivenih rješenja, tj. x 1, 3 [3, 9, tj. x 1, 9.
Vježbaj!
1. a) | x | < 3 b) | x + 2 | > 3 c) | 2x – 1 | ≥ 1 d) | 5 – x | ≤ 0
2. a) | | x | – 1 | > 3 b) | 5 – | x | | ≥ 3 c) | | x – 1 | – 1 | < 4
3. a) | x | > 3 + 2x b) | 2x – 1 | ≥ x – 3 c) | 3 – x | < x – 1
4. a) 2 1
| 3 1|x<
− b)
2 1| 3 6 | | 2 |
x xx x
+>
− − c)
2| 1| |1 |
xx x
≤− −
5. a) | x – 2 | ≥ | x – 1 | b) | x – 3 | ≤ 2 + | x – 1 | c) | 1 – x | > | x – 3 |
Linearne jednadžbe i nejednadžbe
143
5.6. Sustav dviju linearnih jednadžba s dvjema nepoznanicama
Sustav dviju linearnih jednadžba s dvjema nepoznanicama sustav je oblika
a x b y ca x b y c
1 1 1
2 2 2
+ =
+ =
,
gdje koeficijente a1, a2 nazivamo koeficijentima uz nepoznanicu x, koeficijente b1, b2 nazivamo koeficijentima uz nepoznanicu y, a koeficijente c1, c2 slobodnim koe-ficijentima.Riješiti sustav znači odrediti vrijednosti nepoznanica x i y koje zadovoljavaju obje jednadžbe. U konačnici rješenje najčešće pišemo kao uređeni par (x, y).
¤¤ Primjer 21. Provjerimo je li (3, 1) rješenje sustava 2 7
.2 1
x yx y
+ = − =Rješenje
Uređeni par (3, 1) zapravo znači da je x = 3, a y = 1. To ćemo uvrstiti u obje jednadž-be kako bismo ustvrdili točnost rješenja.Provjerimo za prvu jednadžbu:
2 · 3 + 1 = 76 + 1 = 7
7 = 7Dakle, uređeni par (3, 1) zadovoljava prvu jednadžbu. Moramo još provjeriti zado-voljava li taj uređeni par i drugu jednadžbu.
3 – 2 · 1 = 13 – 2 = 1
1 = 1Dakle, zadani uređeni par zadovoljava i drugu jednadžbu, pa možemo reći da zado-voljava sustav.
Postoji nekoliko metoda za rješavanje sustava jednadžba. Ovdje ćemo se podsjetiti dviju metoda poznatih iz osnovne škole. Pritom i dalje treba imati na umu tečnost pri rješavanju i odabir pogodne metode.
Lin
earn
e je
dn
adž
be i
nej
edn
adž
be
144
5.6.1. Metoda supstitucije
U metodi supstitucije koristimo se strategijom zamjene nepoznanice u jednoj jed-nadžbi izrazom dobivenim iz druge jednadžbe.
¤¤ Primjer 22.
Riješimo sustav 3 4 2
.5 11
x yx y
− = + =Rješenje
Ova je metoda najpogodnija kad uz neku nepoznanicu u bilo kojoj jednadžbi stoji koeficijent 1. Ako u ovom primjeru iz prve jednadžbe izlučimo nepoznanicu x ili y, u konačnici ćemo dijeliti s 3 ili 4, a time ćemo dobiti razlomak. Slično ćemo dobiti odlučimo li iz druge jednadžbe izlučiti nepoznanicu x.Ali, ako izlučimo nepoznanicu y iz druge jednadžbe, neće se pojaviti razlomci:
y = 11 – 5x.Sad ćem umjesto y u prvoj jednadžbi pisati 11 – 5x.
3x –4 (11 – 5x) = 23x – 44 + 20x = 2
23x = 2 + 4423x = 46
x = 2Vrijednost nepoznanice y dobijemo uvršavanjem upravo dobivene vrijednosti:
y = 11 – 5 · 2y = 11 – 10
y = 1Rješenje sustva jest uređeni par (2, 1). Provjeri rješenje.Naravno, mogli smo mi izlučiti bilo koju nepoznanicu, ali onda bismo računali s ra-zlomcima. I tim bismo postupkom također dobili dobar rezultat. Zapamti – tečnost pri rješavanju uvijek pomaže!
Linearne jednadžbe i nejednadžbe
145
5.6.2. Metoda suprotnih koeficijenata
Strategija metode suprotnih koeficijenata sastoji se u tome da uz istu nepoznani-cu dobijemo u jednadžbama suprotne brojeve, a onda jednadžbe zbrojimo. Na taj ćemo način sustav dviju linearnih jednadžbi s dvjema nepoznanicama svesti na jednu jednadžbu s jednom nepoznanicom.
¤¤ Primjer 23.
Riješimo sustav 3 2 13
.5 3 9
x yx y
+ = − =Rješenje
Primijetimo da u ovom zadatku metoda supstitucije nije pogodna jer što god izlu-čujemo, dobit ćemo razlomke. Svakako bismo i na taj način dobili točno rješenje! Pokušaj!Uz nepoznanicu x koeficijenti su 4 i 5, a uz nepoznanicu y koeficijenti su 2 i – 3. Budući da koeficijenti uz y imaju suprotne predznake, pokušajmo dobiti ispred y suprotne brojeve.Pomnožimo prvu jednadžbu s 3 (da uz y dobijemo koeficijent 6), a drugu jednadžbu pomnožimo s 2 (da uz y dobijemo koeficijent – 6).
9 6 39.
10 6 18x yx y
+ = − =
Zbrojimo jednadžbe. Izračunat ćemo vrijednost za x:19x = 57
x = 3Vrijednost nepoznanice y dobit ćemo uvrštavanjem broja 3 umjesto x u bilo koju jednadžbu.
3 · 3 + 2y = 139 + 2y = 132y = 13 – 9
2y = 4y = 2
Rješenje je sustava uređeni par (3, 2). Provjeri rješenje!
Lin
earn
e je
dn
adž
be i
nej
edn
adž
be
146
Vježbaj!
1. Riješi sustav linearnih jednadžbi.
a) 2 55 3 7
x yx y
+ = − = b) 2 5 17
4 1x yx y
+ = − = c)
2 4 125 8
x yx y
+ = − = −
2. Riješi sustav linearnih jednadžbi.
a) 2 3 55 3 2
x yx y
+ = − = b) 3 4 16
3x y
x y − = + =
c) 3 4 15 3 2
x yx y
+ = − + =
Odgovori!
1. Koji je uređeni par rješenje sustava 3 2
?5 6
x yx y
− = + = (1, 2) (2, 1) (1, 1)
2. Za koji je realni broj a rješenje sustava 3 4
16x y a
ax y − = + =
uređeni par (3, 1)?
Procijeni!
1. Napiši dva sustava linearnih jednadžba kojima je uređeni par (2, – 3) rješenje.
Linearne jednadžbe i nejednadžbe
147
5.7. Sustav dviju linearnih jednadžba s dvjema nepoznanicama – problemski
zadatciPodsjetimo se metoda matematičara Descartesa i Pólyje pomoću kojih nematema-tički problem možemo zapisati matematičkim jezikom i, koristeći se matematikom, nalazimo rješenje polaznog problema. Na isti način neke probleme možemo zapisa-ti u obliku sustava dviju linearnih jednadžbi s dvjema nepoznanicama.
¤¤ Primjer 24. Na nekoj se farmi nalaze ovce i kokoši. Ukupan broj glava na toj je farmi 20, a uku-pan broj nogu 64. Koliko je na toj frami ovaca, a koliko kokošiju?
Rješenje
Označimo broj ovaca slovom x, a broj kokošiju slovom y.Svaka ovca i svaka kokoš ima samo jednu glavu, pa vrijedi: x + y = 20.Jedna ovca ima četiri noge. Dvije ovce imaju dva puta po četiri noge. Tri ovce imaju tri puta četiri noge. Koliko nogu ima x ovaca? Imaju x puta četiri noge.Na sličan način dođemo do zaključka da y kokošiju ima y puta dvije noge.Tako dobijemo drugu linearnu jednadžbu 4x + 2y = 64.
Dakle, moramo riješiti sustav 2 12 3x x−
+ =
Odaberimo metodu rješavanja. Neka to bude metoda supstitucije.x = 20 – y 4 (20 – y) + 2y = 64 80 – 4y + 2y = 64 – 2y = – 16 y = 8x = 20 – 8x = 12
Dakle, na farmi se nalazi dvanaest ovaca i osam kokošiju.Obrazloži svaki korak pri rješavanju ovog zadatka. Provjeri rješenje!
Zadatke zadane riječima koji vode na sustav linearnih jednadžbi s dvjema nepozna-nicama nazivamo problemima prvog stupnja s dvjema nepoznanicama.
Lin
earn
e je
dn
adž
be i
nej
edn
adž
be
148
Modeliraj!
1. Zbroj dvaju brojeva je 16, a njihova razlika 64. Koji su to brojevi?
2. Zbroj dvaju brojeva je 15. Ako prvi broj utrostručimo, a drugi prepolovimo, zbroj se neće promijeniti. O kojim je brojevima riječ?
3. Trgovina Majetić prodaje maslinovo ulje koje se proizvodi na OPG-u „Tom-i-tom”. Prvi put su naručili 20 L ulja od buže i 25 L ulja od oblice. Račun je iznosio 2 575 kn. Sljedeći su put 15 L ulja od buže i 20 L ulja od oblice platili 2 000 kn. Kolika je cijena 1 L pojedine vrste ulja?
4. Opseg je pravokutnika 440 m. Dužina mu je 10 puta veća od širine. Koje su dimenzije toga pravokutnika?
5. Opseg je jednakokračnog trokuta 100 cm. Ako se osnovica smanji za 4 cm, a krakovi udvostruče, opseg će se povećati za 76 cm. Koje su duljine stranica tog trokuta?
6. Zbroj brojnika i nazivnika razlomka jest 10. Ako se brojnik poveća za 4, a nazivnik smanji za 4, dobije se recipročan razlomak. Koji je to razlomak?
7. Od luke A do luke B brod plovi nizvodno 6 sati, a od luke B do luke A uzvodno 7 sati. Koliko su udaljena te dvije luke ako je brzina toka rijeke 4 km/h?
8. Za zamjenu vodovodne infrastrukture na duljinu 450 m previđene su 84 cijevi. Koliko je potrebno cijevi duljine 5 m, a koliko cijevi duljine 8 m?
9. Poduzeće Kikić nudi prijevoz autobusima. Žele imati u svojem voznom parku 10 autobusa tako da u svakom trenutku na raspolaganju imaju 470 sjedala. Koliko će nabaviti autobusa od 35 sjedala, a koliko onih od 55 sjedala?
5.8. Grafička interpretacija sustava dviju jednadžba s dvjema nepoznanicama
U prethodnom smo poglavlju promatrali linearnu funkciju i njezin grafički prikaz u koordinatnoj rav-nini xOy. Točke grafa dobili smo tako da smo po volji odabrani x (apscisu točke) uvrstili u formulu linearne funkcije
f (x) = kx + l,i na taj način odredili ordinatu točke grafa ove funkcije. Možemo, dakle, ordinatu točke računati ovako:
y = kx + l.Graf linearne funkcije jest pravac. Izraz
y = kx + lpredstavlja jednadžbu pravca.
¤¤ Primjer 25.Nacrtajmo pravac kojemu je jednadžba: a) y = 2x – 1; b) y = – x + 5.
Rješenje
a) Pridružimo jednadžbi y = 2x – 1 tablicu:
x y = 2x – 10 –11 12 3
U koordinatnoj ravnini nacrtali smo točke (0, –1), (1, 1) i (2, 3) i pravac koji sadrži te točke (slika 20).b) Pridružimo jednadžbi y = –x + 5 tablicu:
x y = –x + 50 51 42 3
Zatim, dobivenim točkama nacrtajmo pravac (slika 20).
Lin
earn
e je
dn
adž
be i
nej
edn
adž
be
150
¤¤ Primjer 26.Odredimo grafički sjecište pravaca zadanih jednadžbama y = 2x – 1 i y = –x + 5.
Rješenje
Da bismo odredili sjecište pravaca, potrebno je nacrtati oba pravca u istoj koordi-natnoj ravnini i utvrditi koja im je točka zajednička, tj. koja točka pripada i jednom i drugom pravcu.
Slika 20
Sjecište je zadanih pravaca točka S čije koordinate je moguće pročitati iz koordi-natnog sustava:
S(2, 3). ¤¤ Primjer 27.
Nađimo rješenje sustava jednadžba: y xy x
= −= − +
2 1
5.
Rješenje
Primijenimo li metodu supstitucije, umjesto y u drugu jednadžbu možemo uvrstiti izraz iz prve jednadžbe:
2x – 1 = – x + 5.3x = 6x = 2.
Uvrstimo dobiveno rješenje u prvu jednadžbu. (Isto bismo dobili uvrštavanjem u drugu jednadžbu.)
y = 2 · 2 – 1y = 3
Rješenje promatranog sustava uređeni je par brojeva (2, 3), upravo onaj par brojeva pridružen točki S iz prethodnog primjera.
Linearne jednadžbe i nejednadžbe
151
Može se pokazati da vrijedi općenito:Sjecište pravaca koji predstavljaju grafove dviju linearnih funkcije jest točka kojoj su koordinate rješenje sustava linearnih jednadžba.
Vježbaj!
1. Riješi grafički sustav jednadžba.
a) 1
2 2x y
x y + = − + =
b) 2 4
3 2 4x yx y
+ = − = c)
3 72 0
x yx y
− = + =2. Riješi grafički sustav jednadžba.
a) 1
2 0x
x y = − + =
b) 7
4x yy
+ = = c)
03 2 6yx y
= + =
3. Napiši sustav jednadžbi čije je grafičko rješenje prikazano na slici.
a) b) c)
x
y
0 1 x
y
0 1x
y
01
Lin
earn
e je
dn
adž
be i
nej
edn
adž
be
152
6.
ODNOSI U RAVNINI
TrokutOpseg i površina trokuta
Sukladnost trokutaRazmjernost dužina
Sličnost trokuta
Od
nos
i u
rav
nin
i
154
6.1. TrokutNeka su A, B i C tri točke ravnine koje ne pripadaju istom pravcu. Trokut ABC (oznaka ∆ABC) jest lik omeđen dužinama AB , BC i CA .
A
B
c
Cγ
β
α
a
b
a
slika 1
Slika 1 pokazuje uobičajeni način obilježavanja trokuta. Vrhove trokuta A, B i C obilježavamo tako da obilazak trokuta bude suprotan kretanju kazaljke sata. Stra-nicu nasuprot nekom vrhu obilježavamo istom oznakom kao vrh, samo malim slo-vom. Kut s vrhom A obilježavamo a, kut s vrhom B obilježavamo b, a kut s vrhom C označavamo g.Neka su A, B, C vrhovi trokuta, a, b, c stranice (duljine stranica) trokuta, a, b, g (unutarnji) kutovi trokuta. Za duljine stranica vrijede nejednakosti trokuta:
a + b > c, a + c > b, b + c > a.Zbroj duljina bilo kojih dviju stranica trokuta veći je od duljine treće stranice.Za unutarnje kutove vrijedi:
α + β + γ = 180°.Zbroj unutarnjih kutova trokuta jednak je ispruženom kutu.Svakom kutu trokuta pridružen je vanjski kut. Zbroj unutarnjeg i vanjskog kuta iznosi 180°. Na slici 2 kutovi a, b i g su unutarnji, a a′, b′ i g′ vanjski kutovi trokuta. Očito je
a + a′ = 180°, b + b′ = 180°, g + g′ =180°.
γγ′C
b a
ββ′A
Bc
αα′
γγ′C
b a
β
β
A Bcα
α
a a
slika 2 slika 3
Odnosi u ravnini
155
Kako je a + a′ = 180° i a + b + g = 180°,
očito jeg′ = a + b.
Vanjski je kut trokuta jednak zbroju dvaju unutarnjih kutova koji mu nisu susjedni.Slika 3 to potvrđuje.
Prema duljini stranica razlikujemo raznostraničan, jednakokračan i jednakostra-ničan trokut. Raznostraničan trokut ima sve tri stranice različitih duljina (slika 4). Jednakokračan trokut ima dvije stranice (krakove) sukladne, a treća stranica (osnovica) je kraća ili duljina od krakova (slika 5). Jednakostraničan trokut ima sve tri stranice sukladne (slika 6).
a a a
b
b b
c a a
sika 4 slika 5 slika 6
Prema veličini kutova razlikujemo šiljastokutan, pravokutan i tupokutan trokut. Šiljastokutan trokut ima sva tri kuta manja od pravog kuta (slika 7). Pravokutan trokut ima jedan pravi kut, a dva kuta šiljasta (slika 8). Jedan kut tupokutnog tro-kuta veći je od pravog kuta, a ostala dva manja su od pravoga (slika 9).
α α αβ
β βγ
γ slika 7 slika 8 slika 9
Od
nos
i u
rav
nin
i
156
6.2. Opseg i površina trokuta
Zadan je trokut ABC. Označimo njegove stranice a, b i c (slika 10).
c
a
b
A
CB
slika 10
Opseg geometrijskog lika jest zbroj duljina stranica koje ga omeđuju, pa je opseg trokuta:
o = a + b + c.Uz opseg često se promatra i poluopseg s:
s o=
2, s
a b c=
+ +2
.
Nacrtajmo pravac koji sadrži točku C, a okomit je na pravac AB kojem pripada stranica. Dio te okomice između točke C i pravca AB nazivamo visinom na stranicu c, oznaka vc.Visina trokuta je dužina kojoj je jedna krajnja točka vrh trokuta, a druga je sjecište okomice tim vrhom na pravac kojemu pripada nasuprotna stranica i tog pravca. Na slici 10 nacrtana je visina va trokuta ABC. Sjecište stranice i odgovarajuće visine naziva se nožište visine. Na slici 10 to je točka N.
c
a
b
A
CB
va
N
c
a
b
A
CB N
E D
va
slika 11 slika 12
Na slici 11 trokut ABC dopunjen je do pravokutnika BCDE. Treba uočiti da trokut ABC ima upola manju površinu pd pravokutnika BCDE.
Odnosi u ravnini
157
Površina pravokutnika jednaka je umnošku njegove duljine i širine, pa je površina trokuta ABC jednaka polovini tog umnoška a · va. Naravno, ovo vrijedi za bilo koju stranicu trokuta i odgovarajuću visinu:
vc
vbva
A
CB
, ,b
1 1 12 2 2
= = =a cP av P bv P cv
slika 13
Ako su pozate duljine svh triju stranica trokuta, površinu trokuta računamo koriste-ći se Heronovom formulom:
P = s s a s b s c−( ) −( ) −( ) ().
¤¤ Primjer 1.Izračunajmo površinu trokuta stranica a = 15 cm, b = 13 cm, c = 4 cm te duljine njegovih visina.
Rješenje
s a b c=
+ +=
+ +=
2
15 13 14
216 cm,
P s s a s b s c= −( ) −( ) −( )= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =16 1 3 12 4 3 2 24 cm2.
P av v Paa a= ⇒ = =
⋅=
1
2
2 2 24
15
16
5 cm,
P bv v Pbb b= ⇒ = =
⋅=
1
2
2 2 24
13
48
13 cm,
P cv v Pcc c= ⇒ = =
⋅=
1
2
2 2 24
5
48
5 cm.
Od
nos
i u
rav
nin
i
158
6.2.1. Pravokutni trokut
Najdulja stranica pravokutnog trokuta (slika 13) jest hipotenuza. Kut nasuprot njoj je pravi. Preostale dvije stranice nazivamo katetama. Za stranice pravokutnog trokuta vrijedi Pitagorin poučak:Kvadrat duljine hipotenuze jednak je zbroju kvadrata duljina kateta:
c2 = a2 + b2.
a
b AC
B
ca
slika 14
Budući da je visina okomica na stranicu iz suprotnog vrha, to u slučaju pravokut-nog trokuta okomica na jednu katetu jest druga kateta, pa će formula za površinu pravokutnog trokuta biti:
P ab=12
ili P cvc= 12
.
6.2.2. Jednakokračni trokut
Jednakokračni trokut (slika 14) ima dvije stranice jednake duljine. Te stranice nazi-vamo krakovima. Preostala stranica jest osnovica jednakokračnog trokuta i ona je dulja ili kraća od krakova. Može se pokazati da nožište visine na osnovicu dijeli osnovicu na dvije dužine jednake duljine. To znači da visina na osnovicu dijeli jednakokračni trokut na dva pravokutna trokuta jednake površine.
2a
2a
av
A D
bb
C
B slika 15
Odnosi u ravnini
159
Prema Pitagorinu poučku vrijedi:
ba va
22
2
2= + ,
gdje je b duljina kraka, a duljina osnovice, a va duljina visine na osnovicu jednako-kračnog trokuta.
6.2.3. Jednakostranični trokut
Sve stranice jednakostraničnog trokuta imaju jednake duljine. Posljedica toga je jednakost unutarnjih kutova, pa svaki kut jednakostraničnog trokuta ima 60°.Visina na stranicu jednakostraničnog trokuta (slika 13) tu stranicu raspolavlja, pa za dobiveni pravokutni trokut vrijedi:
a a v22
2
2= +
iz čega slijedi formula za visinu jednakostraničnog trokuta:
v a=23 .
2a
2a
v
A D
a
C
B
aa a
Slika 16
Sada možemo formulu za površinu jednakostraničnog trokuta napisati u obliku:
P a=2
43 .
¤¤ Primjer 2.Izračunajmo površinu jednakokračnog trokuta kojemu su zadane duljine krakova 10 cm i duljina osnovice 12 cm.
Rješenje
Kada su zadane duljine svih stranica trokuta, površinu lako izračunamo koristeći Heronovu formulu:
P s s a s b s c= −( ) −( ) −( ) ,
Od
nos
i u
rav
nin
i
160
gdje je s poluopseg:
s a b c=
+ +2
.U našem je slučaju
s =+ +
=10 10 12
216 cm,
pa je površina trokuta:
P = −( ) −( ) −( )16 16 10 16 10 16 12 P = 48 cm2.
Do istog smo rezultata mogli doći određujući duljinu visine na osnovicu:
v b a= −
= −2
2
2 2
210 6 v = 8 cm,
pa je površina trokuta: P ava= = ⋅ ⋅1
2
1
212 8 = 48 cm2.
Vježbaj!
1. Poznat je jedan kut pravokutnog trokuta. Koliki je drugi šiljasti kut?
a) 54° b) 71,3° c) 25° 30' d) 44° 15' 30"
2. Odredi duljinu preostale stranice pravokutnog trokuta kojemu su a i b katete.
a) a = 12 cm, b = 16 cm b) a = 9 cm, c = 15 cm
3. Izračunaj opseg i površinu prvokutnog trokuta.
a) a = 12 cm, b = 5 cm b) b = 7 dm, c = 10 dm
4. Poznate su duljine dviju stranica raznostraničnog trokuta: a = 12 cm, b = 6 cm i duljina visine na treću stranicu vc = 5 cm. Kolika je površina trog trokuta?
5. Koliki je opseg jednakokračnog trokuta osnovice duljine 6 cm ako je duljina visine na osnovicu 4 cm?
6. Kolika je duljina stranice jednakostraničnog trokuta kojemu je površina 100 cm2?
7. Poznate su duljine stranica trokuta: a = 13 cm, b = 20 cm, c = 21 cm. Kolike su duljine visina trokuta?
Odgovori!1. Poznati su kutovi trokuta: α = 60°, β = 78°. Koja je stanica trokuta najdulja?2. Kutovi u trokutu se odnose kao 2 : 3: 5. Koliki je najmanji kut tog trokuta?
napisali ste mi da izbrišem
broj 6 (??)
Odnosi u ravnini
161
Procijeni!1. Može li se od štapića danih duljina napraviti trokut? a) 5 cm, 7 cm, 10 cm b) 8 cm, 6 cm, 2 cm2. Dvije stranice trokuta imaju duljine 8 cm i 9 cm. Koju najmanju duljinu može
imati treća stranica tog trokuta?3. Kolika je površina trokuta na slikama?
10
y
xA
C
B
1
0
y
x1
A
CB
0
y
x1
A
C
B
a) b) c)
4. Sportski klub želi izraditi navijačke zastavice u obliku jednakokračnog trokuta osnovice 20 cm, visine 40 cm. Kolika je površina tkanine koju trebaju nabaviti ako žele izraditi 500 zastavica? Moraju računati na 10% otpada.
Modeliraj!1. Izračunaj udaljenost točaka A i B sa slike.
2. Može li se ormar na slici uspraviti uz zid?
3. Kutovi u trokutu odnose se kao 2 : 3 : 4. Kolike su mjere tih kutova?
240 c
m
230 c
m
40 cm
17 km
35 km
A
B
Od
nos
i u
rav
nin
i
162
6.3. Sukladnost trokutaNeka su X i Y dva skupa u ravnini. Skupovi su sukladni ako se mogu pomoću nekog preslikavanja u ravnini dovesti te skupove do poklapanja.Dvije dužine su sukladne ako imaju jednake duljine. Kružnice jednakih polumjera međusobno su sukladne. Dva su mnogokuta sukladna ako imaju jednake duljine stranica i jednake odgova-rajuće kutove. Dva trokuta su sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice i sva tri kuta.
slika 20
Na slici 16 prikazani su sukladni trokuti. Za njih vrijedi:a = a′, b = b′, c = c′, a = a′, b = b′.
Pišemo: ABC A′B′C ′.Može se pokazati da je dovoljno ispuniti tri od ovih pet uvjeta pa da trokuti ABC i A′B′C ′ budu sukladni. O tome govore poučci o sukladnosti trokuta.
6.3.1. Poučci o sukladnosti trokuta
Što znači konstruirati neki lik u ravnini? Najopćenitije, to znači nacrtati taj lik po-moću nekog pribora. Koji je pribor potreban za konstriuranje, primjerice, trokuta? Može se pokazati da je dovoljno ravnalo i šestar. Pomoću tog pribora moguće je:
• nacrtati dužinu između dviju danih točaka
• dužina neograničeno produžiti
• oko svake tocke nacrtati kružnica danog polumjera.
Za ovakvu konstrukciju kažemo da je euklidska.
Koje je elemente trokuta potrebno poznavati da možemo konstruirati trokut? O tome govore poučci o sukladnosti trokuta.
Odnosi u ravnini
163
Prvi poučak o sukladnosti trokuta (K-S-K)Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i dva kuta uz tu stranicu.Na osnovi tog poučka možemo konstruirati trokut ako poznajemo duljinu jedne njegove stranice i dva kuta na čijem zajedničkom kraku leži ta stranica. Svi tako konstruirani trokuti bit će međusobno sukladni, a to znači da je trokut potpuno određen jednom stranicom i dvama kutovima uz nju.
¤¤ Primjer 3.Konstruirajmo trokut ako je poznata stranica a i kutovi b i g.
Rješenje
Zadani su elementi:
slika 21
Skica: Konstrukcija:
˝ slika 22 slika 23
Nakon zadavanja elemenata (slika 21) skiciramo traženi trokut ističući poznate ele-mente (slika 22). Najprije nacrtamo dužinu BC duljine a, zatim iz njezinih krajnjih točaka nanesemo kutove b i g. Sjecište krakova tih kutova jest vrh C (slika 23).
Drugi poučak o sukladnosti trokuta (S-S-K)Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvjema stranicama i kutu nasu-prot većoj od njih.To znači da je trokut potpuno određen ako su mu poznate dvije stranice i kut koji leži nasuprot dulje od zadanih stranica. (Može se pokazati da trokut nije jednoznač-no određen ako je poznat kut nasuprot kraćoj stranici.)
Od
nos
i u
rav
nin
i
164
¤¤ Primjer 4.Konstruirajmo trokut ako su poznate duljine stranica a i b, a > b i kut a.
Rješenje
Zadani su elementi:
slika 24
Skica: Konstrukcija:
slika 25 slika 26
Najprije nacrtamo dužinu CA duljine b, u točku A prenesimo kut a. Iz točke C opišimo kružnicu polumjera a. Sjecište kružnice i drugog kraka kuta a vrh je B traženoga trokuta (slika 26).
Treći poučak o sukladnosti trokuta (S-K-S)Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvjema stranicama i kutu među njima.To znači da je trokut jednoznačno određen ako su mu poznate duljine dviju stranica i kut što ga te dvije stranice zatvaraju.
¤¤ Primjer 5.Konstruirajmo trokut ako su poznate stranice b i c te kut a.
Rješenje
Zadani su elementi:
slika 27
Odnosi u ravnini
165
Skica: Konstrukcija:
slika 28 slika 29
Nacrtajmo dužinu AB duljine c, u točku A prenesimo kut a te na njegov drugi krak iz točke A nanesimo dužinu duljine b. Druga njezina krajnja točka vrh je C traženo-ga trokuta (slika 29).
Četvrti poučak o sukladnosti trokuta (S-S-S)Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u svim trima stranicama.Ako su poznate duljine stranica trokuta, možemo trokut konstruirati i svi tako dobi-veni trokuti bit će međusobno sukladni.
¤¤ Primjer 6.Konstruirajmo trokut kojemu su poznate duljine stranice a, b i c.
Rješenje
Zadani su elementi:
slika 30
Skica: Konstrukcija:
˝
slika 31 slika 32
Nacrtajmo stranicu AB duljine c pa oko točaka A i B opišimo kružnice polumjera b i a. Njihovo sjecište jest točka C (slika 32).
Od
nos
i u
rav
nin
i
166
Vježbaj!1. Nacrtan je paralelogram. Označi njegove stranice i kutove. Napiši što je sukladno.
2. Nacrtan je jednakokračni trapez. Označi njegove stranice i kutove. Napiši što je sukladno.
3. Zadani su elementi trokuta. Konstruiraj ga. a) a = 7 cm, b = 8 cm, c = 6 cm b) a = 5 cm, β = 40°, γ = 25° c) a = 6 cm, b = 7 cm, γ = 65° d) a = 8 cm, b = 4 cm, α = 70°
Odgovori!1. Nacrtaj dva kuta usporednih krakova. Što možeš reći o njihovoj sukladnosti?2. Nacrtaj dva kuta okomitih krakova. Što možeš reći o njihovoj sukladnosti?3. Dopuni rečenicu. Ako su dva trokuta sukladna, onda su im odgovarajuće stranice __________.4. Kakav je odnos između opsega sukladnih trokuta? A kakav je odnos između
njihovih površina?
6.3.2. Kružnica opisana trokutu
Neka je AB dužina i P njezino polovište. Pravac koji sadrži točku P i okomit je na AB simetrala je dužine AB (slika 33).
slika 33Poučak o simetrali dužineSvaka točka simetrale dužine jednako je udaljena od rubnih točaka te dužine.
Odnosi u ravnini
167
DokazNacrtajmo dužinu AB i njezinim polovište P povucimo okomicu. Uočimo na to dužini bilo koju točku T. Pogledajmo na slici 30 trokute APT i BPT.
Slika 34
Za njih vrijedi:1. Trokuti se podudaraju u pravom kutu.2. Stranica PT im je zajednička.3. |AP| = |PB|, jer je P polovište dužine AB . Prema poučku S-K-S promatrani su trokuti sukladni, a tada se podudaraju i u osta-lim elementima, pa vrijedi |AT| = |BT|, što je trebalo dokazati. Vrijedi i obrat netom dokazanog poučka:Skup svih točaka koje su jednako udaljene od rubnih točaka neke dužine si-metrala je te dužine.
DokazNacrtajmo dužinu AB i izvan nje točku T tako da vrijedi |AT| = |BT|. Spustimo iz točke T okomicu na dužinu, neka je točka N nožište te okomice. Promatrajmo ANT i BNT (slika 35).
slika 35Vrijedi:1. |AT| = |BT|.2. Trokuti su pravokutni, tj. podudaraju se u jednom kutu.3. Stranica TN im je zajednička.
Od
nos
i u
rav
nin
i
168
Prema poučku S-S-K trokuti su sukladni, pa se podudaraju i u ostalim elementima. Zaključujemo da vrijedi |AN| = |NB|, a to znači da je N polovište dužine NT , a tada je pravac kojemu pripada dužina NT simetrala dužine AB .
Neka je ABC trokut. Svakoj njegovoj stranici moguće je nacrtati simetralu (slika 36).
slika 36
Poučak o simetralama stranica trokutaSimetrale stranica trokuta sijeku se u jednoj točki jednako udaljenoj od sva tri vrha.
DokazNeka je sa simetrala stranice BC , a sb simetrala stranice AC trokuta ABC. Neka je njihovo sjecište točka S. Budući da je S sa, to je S jednako udaljena od točaka B i C. Budući da je S sb, to je S jednako udaljena od točaka A i C. Zaključujemo da je S jednako udaljena od svih vrhova trokuta. Iz toga slijedi S sc. Budući da se dva različita pravca sijeku u jednoj točki, postoji samo jedna točka koja je jednako udaljena od svih vrhova trokuta.
Iz prethodnog poučka slijedi da je sjecište simetrala stranica ujedno i središte tro-kutu opisane kružnice, a udaljenost r tog sjecišta od bilo kojeg vrha polumjer opisane kružnice (slika 37).
slika 37
Odnosi u ravnini
169
6.3.3. Kružnica upisana trokutu
Neka je aVb kut. Polupravci a i b su njegovi krakovi, a V vrh. Pravac koji raspo-lavlja kut nazivamo simetralom kuta (slika 38).
slika 38 slika 39
Udaljenost točke T od pravca p jednaka je udaljenosti točke T od njene ortogonal-ne projekcije T ′ na pravac p (slika 39), što pišemo:
d(T, p) = d(p, T) = d(T, T ′).Poučak o simetrali kutaSvaka točka simetrale kuta jednako je udaljena od krakova kuta.
DokazNeka je T bilo koja točka na simetrali kuta aVb. Spustimo okomice iz T na krakove. Obilježimo njihova nožišta oznakama A i B. Promatrajmo na slici 36 trokute ATV i BTV.
slika 40 slika 41
Za njih vrijedi:1. Trokuti su pravokutni, tj. podudaraju se u jednom kutu.2. Stranica im je zajednička.3. TVA = BVT.Prema poučku K-S-K promatrani su trokuti sukladni, pa se podudaraju u svim ele-mentima, a tada vrijedi: |TA| = |TB|, što znači da je točka T jednako udaljena od oba kraka kuta.
Od
nos
i u
rav
nin
i
170
Obrat poučkaSkup svih točaka koje su jednako udaljene od krakova nekog kuta jest sime-trala toga kuta.
DokazPromatrajmo kut aVb i točku T koja je jednako udaljena od krakova kuta, pa spusti-mo okomice iz točke T na krakove, označimo im nožišta oznakama A i B pa vrijedi |TA| = |TB|. Promatrajmo TAV i TBV (slika 37).Vrijedi:1. Prema pretpostavci |TA| = |TB|.2. Trokuti se podudaraju u pravom kutu.3. Stranica TV im je zajednička.Prema poučku S-S-K trokuti su sukladni, pa se podudaraju u svim kutovima. Vri-jedi, dakle, da je TVA = BVT, čime smo pokazali da točka T pripada simetrali kuta aVb.
Nacrtajmo trokut ABC i simetrale njegovih unutarnjih kutova (slika 42).
slika 42
Poučak o simetralama kutova trokutaSimetrale kutova trokuta sijeku se u jednoj točki koja je jednako udaljena od sve tri stranice trokuta.
DokazNeka je sa simetrala kuta a, a sb simetrala kuta b i neka je njihovo sjecište točka S. Budući da točka S pripada pravcu sa, jednako je udaljena od krakova kuta a, tj. od stranica b i c. Nadalje, točka S pripada pravcu sb, pa je jednako udaljena od krakova kuta b, tj. od stranica a i c. Dakle, točka S je jednako udaljena od svih triju stranica promatranog trokuta.
Iz prethodnog poučka slijedi da je točka S jednako udaljena od svih stranica trokuta,
Odnosi u ravnini
171
pa je ona središte trokutu upisane kružnice. Udaljenost r sjecišta simetrala kutova od stranica trokuta je polumjer upisane kružnice (slika 43).
slika 43
6.3.4. Visine i težišnice trokuta
Visina trokuta jest dužina kojoj je jedna krajnja točka vrh trokuta, a druga ortogo-nalna projekcija tog vrha na pravac kojemu pripada nasuprotna stranica.Poučak o visinama trokuta Pravci kojima pripadaju visine trokuta sijeku se u jednoj točki.Sjecište visina nazivamo ortocentrom. Na slici 44 ortocentar je točka O.
slika 44Težišnica je dužina čije su krjnje točke vrh trokuta i polovište nasuprotne stranice.Poučak o težišnicama trokutaTežišnice trokuta sijeku se u jednoj točki.Promatranu točku nazivamo težištem trokuta. Na slici 45 težište je točka T.
slika 45
Od
nos
i u
rav
nin
i
172
Poučak o težištu trokutaTežište trokuta dijeli svaku težišnicu na dva dijela kojih je omjer duljina 2 : 1 promatrajući od vrha.Prema tvrdnji posljednjeg poučka udaljenost od težišta trokuta do stranice a jed-
naka je 1
3ta , a udaljenost od težišta do vrha A iznosi 2
3ta , gdje smo oznakom ta
označili duljinu težišnice iz vrha A. Analogno vrijedi za ostale težišnice trokuta.
Središte trokutu opisane kružnice, središte trokutu upisane kružnice, ortocentar i težište nazivamo četirima karakterističnim točkama trokuta (slika 46).
središte upisane središte opisane ortocentar težište kružnice kružnice
slika 46
Ortocentar, težište i središte opisane kružnice bilo kojeg trokuta pripadaju jednom pravcu kojeg nazivamo Eulerovim pravcem (slika 47).
slika 47
¤¤ Primjer 7.Konstruirajmo četiri karakteristične točke tupokutnog trokuta.
Rješenje
Zbog preglednosti konstruirajmo svaku točku posebno.
Odnosi u ravnini
173
slika 48 slika 49
slika 50 slika 51
Težište i središte upisane kružnice uvijek su točke trokuta. Valja uočiti da ortocentar (slika 50) i središte opisane kružnice (slika 51) padaju izvan tupokutnog trokuta.
Vježbaj!1. Konstruiraj trokut ako su poznate duljine dviju stranica i polumjer opisane
kružnice a = 7 cm, b = 5 cm, ro = 4 cm.2. Konstruiraj trokut kojemu su duljine stranica 5 cm, 8 cm i 9 cm. Konstruiraj tom
trokutu: a) središte opisane kružnice b) središte upisane kružnice c) težište d) ortocentar. Nacrtaj Eulerov pravac za taj trokut.3. Konstruiraj jednakokračni trokut kojemu je duljina osnovice 6 cm, a duljina
kraka 8 cm. Konstruiraj tom trokutu opisanu i upisanu kružnicu.
Od
nos
i u
rav
nin
i
174
Odgovori!1. Spoji u parove. težište sjecište visina trokuta središte upisane kružnice sjecište simetrala stranica trokuta ortocentar sjecište simetrala kutova trokuta središte opisane kružnice sjecište težišnica trokuta
2. Jesu li sljedeće tvrdnje istinite? Kod tupokutnog trokuta težište je izvan trokuta. Središte trokutu opisane kružnice uvijek je unutar trokuta. Ortocentar pravokutnog trokuta nalazi se na hipotenuzi. Eulerov pravac sadrži središte trokutu upisane kružnice, ortocentar i težište.
Odnosi u ravnini
175
6.4. Razmjernost dužinaNeka su a, b, c, d, e, f pozitivni realni brojevi. Količnik
ab
ili a : b nazivamo omje-
rom brojeva a i b. Razmjer ili proporcija jednakost je dvaju omjera.Primjeri razmjera:
a) ab
=3
4, b) a : d = 5 : 1, c)
e f3 7
= .U razmjeru a : b = c : d brojevi a i d su vanjski, a brojevi b i c unutarnji članovi razmjera.U svakom je razmjeru umnožak vanjskih članova jednak umnošku njegovih unutar-njih članova. Ako je a : b = c : d, tada vrijedi:
a · d = b · c.U razmjeru a : b = b : c broj b je geometrijska sredina brojeva a i c i za nju vrijedi:
b2 = a ∙ c, b a c= ⋅ Dva razmjera a : b = c : d i b : e = d : f možemo zamijeniti produženim razmjerom
a : b : e = c : d : f.Iz produženog razmjera x : y : z = 1 : 3 : 5 možemo napisati sljedeća tri razmjera:
x : y = 1 : 3, x : z = 1 : 5 i y : z = 3 : 5.Omjer dviju dužina definiramo kao omjer njihovih duljina. Kažemo da su dvije dužine razmjerne ako su njihove duljine razmjerne.Dvije su dužine sumjerljive ako im je omjer pozitivan racionalni broj, a za dvije dužine kojima je omjer pozitivan iracionalni broj kažemo da su nesumjerljive.
¤¤ Primjer 8.Odredimo omjer dijagonale i stranice kvadrata.
slika 52
Od
nos
i u
rav
nin
i
176
Rješenje
Na slici 48 nacrtan je kvadrat stranice duljine a i dijagonale d. Kako je duljina dija-gonale kvadrata d a= 2 , traženi omjer iznosi
d : a = a 2 : a.Uočimo da članovi omjera na desnoj strani imaju zajednički faktor a, pa nakon kraćenja s a, nalazimo da je
d : a = 2 : 1.Dijagonala i stranica kvadrata nesumjerljive su dužine.
¤¤ Primjer 9.Izračunajmo duljine stranica trokuta opsega 30 cm ako se one odnose 3 : 5 : 7.
Rješenje
Iz uvjeta primjera slijedi sustav jednadžbi: a b ca b c
+ + ==
30
3 5 7: : : : .
Svaki član proširenog omjera na desnoj strani razmjera a : b : c = 3 : 5 : 7 možemo povećati k puta (k > 0), pa je tada a : b : c = 3k : 5k : 7k. Treba za k odabrati broj za koji vrijedi da je a = 3k, b = 5k, c = 7k. Uvrstimo li ove vrijednosti za duljine stra-nica a, b i c u prvu jednadžbu, dobivamo linearnu jednadžbu po k:
3k + 5k + 7k = 30, 15k = 30, k = 2.Prema tome,
a = 2 · 3 = 6 cm, b = 2 · 5 = 10 cm, c = 2 · 7 = 14 cm.
Broj k navedenog svojstva je faktor razmjernosti (proporcionalnosti).
Neka je dana dužina AB Podijelimo je, npr., na tri sukladna dijela.
slika 53
Odnosi u ravnini
177
Nacrtajmo pomoćni polupravac s početkom u točki A. Počevši s točkom A, nanesi-mo na njega 3 sukladne dužine ma koje duljine : AT1 , T T1 2 , T T2 3 . Posljednju nacr-tanu točku T3 spojimo s točkom B. Usporedne s dužinom kroz T1 i T2 sijeku dužinu u točkama P i Q. Tvrdimo da te točke dijele dužinu AB na tri jednaka dijela (slika 49). Dokažimo tu tvrdnju.DokazPovucimo točkama T1 i T2 paralele s dužinom AB . Uočimo na slici 53 trokute AT1P, T1T2M i T2T3N. Za njih vrijedi:1. T1AP = T2T1M = T3T2N jer su to kutovi s usporednim kracima.2. AT1P = T1T2M = T2T3N jer su to kutovi s usporednim kracima.3. |AT1| = |T1T2| = |T2T3|.Primjenom poučka K-S-K slijedi: ∆ ∆ ∆AT P TT M T T N1 1 2 2 3≅ ≅ , pa vrijedi jedna-kost |AP| = |T1M| = |T2N|, a tada vrijedi i jednakost |AP| = |PQ| = |QB|, što smo i trebali dokazati. Talesov poučak
slika 50
Na slici 50 nacrtan je x1Ox2 i međusobno usporedni pravci a i b koji sijeku kra-kove x1 i x2. Neka pravac a siječe krakove kuta u točkama A1 x1 i A2 x2, a neka pravac b siječe krakove kuta u točkama B1 x1 i B2 x2. Tvrdnje Talesova poučka:
|OA1| : |OB1| = |OA2| : |OB2| i |OA1| : |OB1| = |A1A2| : |B1B2|možemo izreći ovako:
Usporedni pravci na krakovima kuta odsijecaju razmjerne dužine. Može se dokazati da je sljedeći razmjer
|OA1| : |A1B1| = |OA2| : |A2B2|posljedica Talesovog poučka. Ponekad se upravo ova posljedica naziva Talesovim poučkom.
Od
nos
i u
rav
nin
i
178
¤¤ Primjer 10.Nađimo točku T koja zadanu dužinu AB dijeli u omjeru 3 : 2.
Rješenje
slika 51
Na slici 51 nacrtana je dužina AB , a zatim x1Ax2 kojemu je točka B na kraku x1. Na polupravcu x2 nacrtano je pet sukladnih dužina bilo koje duljine. (Zadani omjer 3 : 2 znači da dužinu treba podijeliti na 3 + 2 = 5 sukladnih dijelova.) : AC1 , C C1 2 , C C2 3 , C C3 4 , C C4 5 . Paralela točkom C3 s dužinom C B5 siječe zrake x1 u traženoj točki T. Prema Talesovu poučku imamo
|AT| : |TB| = |AC3| : |C3C5 | , tj. |AT| : |TB| = 3 : 2.
¤¤ Primjer 11.Konstrukcijom odredimo a iz razmjera 3 : a = 2 : 1.
Rješenje
slika 52
Odnosi u ravnini
179
¤¤ Primjer 12.Zadanu dužinu podijelimo u omjeru 1 : 3 : 5.
Rješenje
slika 53
Vježbaj!1. Podijeli dužinu duljine 10 cm u zadanom omjeru. Izračunaj duljine pojedinih
dijelova. a) 1 : 1 b) 2 : 5 c) 1 : 2 : 5
2. Krakove kuta α sijeku usporedni pravci (slika 54). Poznato je: |AB| + |BD| = 12 cm, |AC| = 8 cm, |AE| = 10 cm. Izračunaj |AB|.
α
E
BA
C
Dslika 54
3. Odredi u kojem omjeru sjecište dužine AB , A(–1, 1), B(5, 7), s osi ordinata dijeli tu dužinu ako traženi omjer gledamo od točke A.
Od
nos
i u
rav
nin
i
180
6.5. Sličnost trokutaSličnost je preslikavanje u ravnini sa svojstvom su udaljenost bilo kojih dviju toč-ke poveća (smanji) ovisno o zadanom koeficijentu k. Pozitivan realan broj k naziva-mo koeficijentom sličnosti.Dvije kružnice međusobno su slične. Dva su mnogokuta slična ako imaju jednake odgovarajuće kutove, a odgovarajuće stranice su im razmjerne. Dva su trokuta slična ako se podudaraju u sva tri kuta. Odgovarajuće stranice slič-nih trokuta su razmjerne.
slika 55
Za slične trokute, dakle, vrijedi:
a = a′, b = b′, g = g ′, aa
bb
cc
' ' '= =
Ako su trokuti ABC i A′B ′C ′ slični, pišemo : ABC ~ A′B ′C ′. Pozitivni realni broj k koji je jednak količniku duljina odgovarajućih stranica nazivamo koeficijentom sličnosti promatranih trokuta:
aa
k bb
k cc
k',
',
',= = = odnosno
aa
bb
cc
k' ' '.= = =
Jasno je da su sukladni trokuti i slični (s koeficijentima sličnosti 1).O uvjetima koji moraju biti ispunjeni da bi trokuti ABC i A′B ′C ′ bili slični govore poučci o sličnosti trokuta.
6.5.1. Poučci o sličnosti trokuta
Prvi poučak o sličnosti trokuta (K-K)Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta.Uočimo da, ako se dva trokuta podudaraju u dva kuta, onda se podudaraju u sva tri kuta. To je posljedica činjenice da je zbroj unutarnjih kutova trokuta 180°.
Odnosi u ravnini
181
¤¤ Primjer 13.Konstruirajmo trokut ABC ako su zadani kutovi a i b te sg, odsječak simetrale kuta g unutar trokuta.
Rješenje
Zadani su elementi:
slika 56
Nacrtat ćemo trokut A′B ′C ′ s kutovima a i b, ma koje duljine stranica i povući sime-tralu kuta g. Na tu ćemo simetralu iz vrha C ′ = C nanijeti zadanu duljinu odsječka simetrale unutar trokuta te nacrtati trokut ABC sličan polaznom trokutu.
slika 57 Drugi poučak o sličnosti trokuta (S-S-K)Dva su trokuta slična ako su dvije stranice jednoga trokuta razmjerne odgo-varajućim stranicama drugoga i ako su kutovi nasuprot duljih od tih stranica jednaki.
¤¤ Primjer 14.Konstruirajmo trokut ABC kojem je zadan kut a, omjer stranica a : b = 3 : 1 i duljina težišnice ta = 4 cm.
Rješenje
Zadani su elementi trokuta:
slika 58
Konstruirat ćemo trokut A′B ′C ′ stranica duljina a′ = 3, b′ = 1 te kutom a prema
Od
nos
i u
rav
nin
i
182
poučku S-S-K. Na težišnicu iz vrha A′ = A nanijet ćemo duljinu zadane težišnice te nacrtati traženi trokut ABC sličan trokutu A′B ′C ′ (slika 59).
slika 59 Treći poučak o sličnosti trokuta (S-K-S)Dva su trokuta slična ako su dvije stranice jednog trokuta razmjerne odgova-rajućim stranicama drugog i ako su kutovi između tih stranica jednaki.
¤¤ Primjer 15.Konstruirajmo pravokutni trokut ABC kojem je zadan omjer kateta a : b = 2 : 3 i duljina visine na hipotenuzu v = 4 cm.
Rješenje
Zadani elementi:
Slika 60
Nacrtajmo pravokutni trokut A′B ′C ′ s katetama duljina 2 i 3. Na pravcu kojem pri-pada visina izmjerimo duljinu zadane visine pa nacrtajmo trokut ABC sličan pola-znom trokutu (slika 61).
slika 61 Četvrti poučak o sličnosti trokuta (S-S-S)Dva su trokuta slična ako su im odgovarajuće stranice razmjerne.
Odnosi u ravnini
183
¤¤ Primjer 16.Konstruirajmo trokut ABC ako je omjer njegovih stranica a : b : c = 2 : 3 : 4, a poznata je duljina odsječka simetrale stranice AB unutar trokuta koja iznosi 2 cm.
Rješenje
Konstruirajmo trokut A′B ′C ′ sa stranicama duljina a′ = 2, b′ = 3, c′ = 4. Nacrtajmo si-metralu stranice A B' ' pa na nju nanesimo duljinu zadanog odsječka. Stranica AB trokuta ABC leži na pravcu kojem pripada i dužina A B' ' , a ostale dvije stranice traženog trokuta usporedne su s odgovarajućim stranicama trokuta A′B ′C ′.
slika 62
Neka su ABC i A′B ′C ′ slični trokuti s koeficijentom sličnosti k. Tada vrijedi:Omjer visina sličnih trokuta jednak je koeficijentu sličnosti tih trokuta:
vv
vv
vv
ka
a
b
b
c
c
' ' '= = = .
Omjer težišnica sličnih trokuta jednak je koeficijentu sličnosti tih trokuta:tt
tt
tt
ka
a
b
b
c
c
' ' '= = = .
Promatrajmo trokut ABC. Dužinu kojoj su krajnje točke polovišta dviju stranica trokuta nazivamo srednjicom trokuta.
slika 63
Od
nos
i u
rav
nin
i
184
Uočimo (slika 63) da vrijedi : ABC ~ B′A′C, ABC ~ AC ′B′, ABC ~ C ′BA′,
pri čemu su A′, B′, C ′ polovišta stranica trokuta. Dužine A B B C C A' ', ' ', ' ' su sred-
njice trokuta ABC.Poučak o srednjici trokutaSrednjica trokuta kojoj su rubne točke polovišta dviju stranica trokuta us-poredna je s trećom stranicom trokuta, a po duljini jednaka polovini duljine treće stranice.Za srednjice sa slike 62 vrijedi:
A B AB' ' || , B C BC' ' || , C A CA' ' || ,
A B AB' ' | |=1
2, B C BC' ' | |=
1
2, C A CA' ' | |=
1
2.
DokazDokažimo sličnost ABC i B′A′C.
Promatrani trokuti imaju zajednički kut s vrhom C. Budući da je | ' ' |
| |
B CAC
=1
2 i
| ' ' |
| |
A CBC
=1
2, zaključujemo da vrijedi razmjer:
| ' ' |
| |
| ' ' |
| |
B CAC
A CBC
= . Dakle, dva su
para odgovarajućih stranica razmjerna, a kutovi među njima jednaki, pa prema po-
učku S-K-S slijedi da su trokuti ABC i B′A′C slični. Tada su i ostali odgovarajući
kutovi jednaki, tj. CB′A′ = CAB i B′A′C = ABC, a tada su stranice A B' ' i
AB odnosno B C' ' i BC , tj. C A' ' i CA koje leže na krakovima promatranih ku-tova, usporedne.
Očito, koeficijent sličnosti ovih trokuta jest 1
2, pa za treći par stranica vrijedi:
| ' ' |
| |
B AAB
=1
2, što je trebalo dokazati.
Odnosi u ravnini
185
Vježbaj!1. Promotri sliku. Postavi razmjer. Koji poučak o tome govori?
x
3
68
slika 64
2. U trokutu ABC poznato je: a = 8 cm, b = 6 cm, c = 7 cm, a u sličnom trokutu A′B′C′ poznato je b′ = 3 cm. Izračunaj a′ i c′.
3. Promotri sliku. Izračunaj x i y ako je x + y = 30.
xy
14
21
slika 65
4. Stranice jednog trokuta imaju duljine 6 cm, 7 cm i 10 cm. Je li taj trokut sličan trokutu čije stranice imaju duljine 15 cm, 10,5 cm i 9 cm?
Odgovori!1. Dopuni rečenicu. Ako su dva trokuta slična, onda su im odgovarajuće stranice __________, a odgovarajući kutovi __________.2. Jesu li sljedeće tvrdnje istinite? Srednjica trokuta sadrži polovišta dviju stranice trokuta i usporedna je s trećom
stranicom. Težišnica trokuta okomita je na odgovarajuću stranicu trokuta. Težište trokuta dijeli težišnicu u omjeru 1 : 2.
Od
nos
i u
rav
nin
i
186
6.5.2. Opseg i površina sličnih trokuta
Nađimo odnose opsega sličnih trokuta te odnose površina sličnih trokuta.Na slici 63 nacrtani su slični trokuti ABC i A1B1C1.
ABC ~ A1B1C1
slika 66
Iz ABC ~ A1B1C1 slijedi:a1 : a = b1 : b = c1 : c = k,
odnosno a1 = k ∙ a, b1 = k ∙ b, c1 = k ∙ c.
Opseg trokuta ABC je O = a + b + c. Opseg trokuta A1B1C1 je O1 = a1 + b1 + c1 = ka + kb + kc = k (a + b + c)
O1 = k O.Omjer opsega je
OO
kOO
k1 = = ,
pa je O1 = k O.
Iz
OO
k aa
bb
cc
1 1 1 1= = = =
čitamo: omjer opsega sličnih trokuta jednak je omjeru odgovarajućih stranica tih trokuta. Za slične trokute vrijedi:
OO
k1 = , PP
k1 2= .
Omjer opsega sličnih trokuta jednak je koeficijentu sličnosti.Omjer površina sličnih trokuta jednak je kvadratu koeficijenta sličnosti.
Odnosi u ravnini
187
Euklidovi poučciSličnost trokuta primjenjujemo pri dobivanju nekih formula korisnih za rješavanje pravokutnog trokuta. Na slici 66 nacrtan je pravokutan trokut ABC, stranica a, b, c i kutova a, b i g. Nožište visine v iz vrha C na stranicu c je točka D. Točka D dijeli stranicu c na dva dijela: |DB| = p i |DA| = q. Očito je c = p + q.Kako je točka D ortogonalna projekcija točke C na stranicu AB , to je AD ortogo-nalna projekcija katete AC , a DB je ortogonalna projekcija katete na hipotenuzu.
slika 67
Visina v podijelila je pravokutni trokut ABC na dva slična pravokutna trokuta. Zbog jednakih kutova očito je
ABC ~ ACD ~ CBD,pa su odgovarajuće stranice ovih trokuta razmjerne. Pogledajmo trokut ABC i CBD. Iz CBD ~ ABC slijedi
|BD| : |CB| = |BC| : |AB|, tj. p : a = a : c,pa je
a2 = pc, odnosno a pc= .Analogno, jer je ACD ~ ABC, tada
|AD| : |AC| = |AC| : |AB|, tj. q : b = b : c,pa imamo
b2 = qc, odnosno b qc= .Čitamo: kateta pravokutnog trokuta je geometrijska sredina ortogonalne pro-jekcije te katete na hipotenuzu i hipotenuze.To su zaključci 1. Euklidovog poučka. Iz sličnosti ADC i CDB zaključujemo:
p : v = v : q, iz čega slijedi 2. Euklidovog poučak:
v2 = p q, odnosno v pq= .Čitamo: visina pravokutnog trokuta je geometrijska sredina ortogonalnih pro-jekcija kateta na hipotenuzu.
Od
nos
i u
rav
nin
i
188
¤¤ Primjer 17.
Pravokutni trokut ima katetu a = 6 cm i površinu P = 24 cm2. Izračunajmo njegove stranica i opseg te stranice, opseg i površinu njemu sličnog trokuta s koeficijentom
sličnosti k =3
2.
Rješenje
P ab=1
2 c2 = a2 + b2 O = a + b + c a a1
3
2
3
26 9= = ⋅ = cm,
241
26= ⋅ ⋅b c2 = 62 + 82 O = 6 + 8 + 1 b b1
3
2
3
28 12= = ⋅ = cm,
b = 8 cm, c = 10 cm, O = 24 cm, c c1
3
2
3
210 15= = ⋅ = cm,
O O1
3
2
3
224 36= = ⋅ = cm,
P P1
23
2
9
424 54=
= ⋅ = cm2.
¤¤ Primjer 18.
Izračunajmo koeficijent sličnosti trokuta površine P1 = 6 cm2 s njemu sličnim trokutom stranica a = 4 cm, b = 13 cm i c = 15 cm.
RješenjePovršinu zadanog trokuta izračunat ćemo Heronovom formulom.
s a b c
=+ +
2 P s s a s b s c= −( ) −( ) −( )
k PP
2
1
=
s =
+ +4 13 15
2 P = ⋅ ⋅ ⋅16 12 13 1 k 2 24
64= =
s = 16 cm, P = 24 cm2, k = 2.
¤¤ Primjer 19.
Izračunajmo opseg i površinu pravokutnog trokuta hipotenuze c = 25 cm i ortogonalne projekcije katete b na hipotenuzu q = 9 cm.
Odnosi u ravnini
189
Rješenje
slika 68
Prema slici 65 iz c = p + q dobivamo
p = c – q = 25 – 9 = 16 cm.
Iz p : v = v : q dobivamo v2 = p · q, tj.
v pq= = ⋅ = ⋅ =16 9 4 3 12 cm.
Površina trokuta:
P cv=1
2
P = ⋅ ⋅ =1
225 12 150 cm2.
Izračunajmo duljine katete a i b:
a2 = v2 + p2 = 122 + 162, b2 = v2 + q2 = 122 + 92,
a = 144 256 20+ = cm, b = 144 81 60+ = cm.
Opseg trokuta:
O = a + b + c = 15 + 20 + 25 = 60 cm.
Od
nos
i u
rav
nin
i
190
Vježbaj!
1. Jednakokračni trokut ima osnovicu duljine 6 cm i krak duljine 5 cm. Koliki je opseg tom trokutu sličnog trokuta, ako je površina sličnog trokuta 300 cm2?
2. Visina na hipotenuzu pravokutnog trokuta ima duljinu v = 6 cm, a kateta b = 10 cm. Izračunaj duljne stranica a i c tog trokuta.
3. Zadan je trokut kojemu su duljine stranica 9 cm, 12 cm i 15 cm. Kolika je površina sličnog trokuta ako je koeficijent sličnosti 2,5?
4. Trokut ABC podijeljen je srednjicom usporednom sa stranicom AB. Koji je omjer površina dobivenih likova?
5. Neka su p i q duljine ortogonalnih projekcija kateta na hipotenuzu trokuta. Kolika je površina trokuta ako je p : q = 1 : 3 i ako je c = 12 cm.
6. Izračunaj opseg pravokutnog trokuta ako je p = 25 cm, v = 60 cm.
7. Izračunaj duljinu x na slici.
6 m
2 m
x
OSNOVE TRIGONOMETRIJE Definicije trigonometrijskih funkcija
Vrijednosti trigonometrijskih funkcija šiljastoga kuta
Rješavanje pravokutnog trokuta
7.
Osn
ove
trig
onom
etri
je
192
7.1. Definicije trigonometrijskih funkcijaPromatrajmo pravokutni trokut (slika 1).
slika 1
Jedan njegov kut ima mjeru 90° i nazivamo ga pravim kutom. Ostala dva kuta su šiljasta. Obilježimo ih a i b. Budući da je zbroj kutova u trokutu 180°, to za ove kutove vrijedi:
ab = 90°.Pravi kut je najveći kut pravokutnog trokuta, pa je stranica nasuprot njemu najdulja stranica. Nazivamo je hipotenuzom. Preostale dvije stranice pripadaju krakovima pravoga kuta. Nazivamo ih katetama.Uočimo na slici 1 da se kateta a nalazi nasuprot kuta a, a da priliježe uz kut b. Ka-žemo da je a nasuprotna kateta za kut a, a priležeća kateta za kut b.Definirajmo omjere duljina stranica trokuta sa slike 1 i nazovimo ih sinus, kosinus, tangens, kotangens na sljedeći način:Sinus (sin) kuta u pravokutnom trokutu jest omjer duljine katete nasuprot tom kutu i duljine hipotenuze:
sina =ac .
Kosinus (cos) kuta u pravokutnom trokutu jest omjer duljine katete uz taj kut i duljine hipotenuze:
cosa =bc .
Tangens (tg ili tan) kuta u pravokutnom trokutu jest omjer duljina katete nasuprot kutu i duljine katete uz taj kut:
tga =ab .
Osnove trigonometrije
193
Kotangens (ctg ili cot) kuta u pravokutnom trokutu jest omjer duljina katete uz taj kut i duljine katete nasuprot tom kutu:
ctga =ba
.
Uočimo trokut ABC i njemu slični trokut AB1C1 na slici 2. Znamo da su duljine njihovih stranica razmjerne. To znači da postoji realni broj k > 0 takav da vrijedi:
| AB1 | = k | AB |, | B1C1 | = k | BC |, | C1A | = k | CA |.
slika 2
Uočimo da su odgovarajući kutovi u trokutima međusobno jednaki.Prema prethodnim definicijama slijedi:
sina = = =BCAB
k BCk AB
BCAB
1 1
1
, cos .a = = =ACAB
k ACk AB
ACAB
1
1
Slično dobivamo za tangens i kotangens. Iz ovog vidimo da je vrijednost ovih omje-ra realan broj koji ne ovisi o izboru trokuta već samo o veličini kuta a, ona je funk-cija kuta a.Funkcije sinus, kosinus, tangens i kotangens nazivamo trigonometrijskim funk-cijama.Budući da je duljina svake katete pravokutnog trokuta manja od duljine njegove hipotenuze, za svaki šiljasti kut vrijedi:
0 1< <sina i 0 1< <cos .a
Vrijednost omjera kateta pravokutnog trokuta ab
i ba
može biti bilo koji pozitivni
broj pa za funkcije tangens i kotangens šiljastog kuta u pravokutnom trokutu vrije-di:
0 < < ∞tga i 0 < < ∞ctgα .
Osn
ove
trig
onom
etri
je
194
¤¤ Primjer 1.Izračunajmo vrijednosti trigonometrijskih funkcija kuta a pravokutnog trokuta ABC s duljinama kateta a = 4 cm, b = 3 cm.
Rješenje
slika 3
Primjenom Pitagorina poučka na pravokutni trokut na slici 3, dobivamo:c2 = a2 + b2
c2 = 42 + 32
c2 = 25c = 5 cm.
Sada je
sin , , cos , ,
, ,
a a
a a
= = = = = =
= = ≈ = = =
ac
bc
ab
ba
4
50 8
3
50 6
4
31 3333
3
4tg ctg 00 75, .
¤¤ Primjer 2.Odredimo vrijednosti trigonometrijskih funkcija kutova u trokutima na slici 4.
slika 4
Osnove trigonometrije
195
Rješenje
sin cos ,
cos sin ,
,
,
a b
a b
a b
a b
= =
= =
= =
= =
mh
nh
mn
nm
tg ctg
ctg tg
sin cos ,
cos sin ,
,
.
γ δ
γ δ
γ δ
γ δ
= =
= =
= =
= =
xz
yz
xy
yx
tg ctg
ctg tg Uočimo da je zbroj šiljastih kutova u pravokutnom trokutu 90°. Takve kutove na-zivamo komplementarnim kutovima. Očito je sinus jednog od komplementnih kutova jednak kosinusu drugog, i obratno. Isto tako je tangens jednog od kom-plementnih kutova jednak kotangensu drugog, i obratno. Dakle, za kut a i njemu komplementarni kut 90° – a vrijedi:
sin a = cos (90° – a), cos a = sin (90° – a)tg a = ctg (90° – a), ctg a = tg (90° – a).
Osn
ove
trig
onom
etri
je
196
7.2. Vrijednosti trigonometrijskih funkcija šiljastoga kuta
Pri određivanju vrijednosti trigonometrijskih funkcija koristimo se i računalom. Pritom rabimo tipke s oznakama: sin, cos i tan kako bismo izračunali sinus, kosinus i tangens upisanog broja ili kuta te tipke sin–1, cos–1 i tan–1 i kako bismo iz vrijedno-sti trigonometrijske funkcije izračunali nepoznati broj, odnosno, kut. Govorimo li o kutovima čiju veličinu mjerimo stupnjevima, na zaslonu je potreb-na oznaka DEG, govorimo li o trigonometrijskim funkcijama realnih brojeva, na zaslonu mora stajati oznaka za radijane RAD. Računalo daje mogućnost mjerenja argumenta trigonometrijske funkcije u gradima (oznaka GRAD). Na nekim računa-lima kut moramo upisati u stupnjevima, a na nekim postoji tipka pritiskom koje se kut, zadan u stupnjevima, minutama i sekundama pretvara u stupnjeve.Trebamo li vrijednost jedne od trigonometrijskih funkcija nekog kuta, upišemo ve-ličinu kuta, pritisnemo tipku s oznakom tražene funkcije i na zaslonu dobivamo traženi broj.Trebamo li kotangens nekog kuta, potražimo njegov tangens, a zatim, pritiskom tipke za recipročnu vrijednost (1/x), dobijemo traženi kotangens.Trebamo li iz poznate vrijednosti kotangensa naći kut, tipkom 1/x nađemo tangens tog kuta, a potom tipkom tan–1 nađemo traženi kut.
¤¤ Primjer 3.Nađimo šiljasti kut a ako je ctg a = 2.
Rješenje
Nakon upisivanja broja 2 i pritiska na tipku 1/x dobivamo: tg a = 0,5. Stoji li na zaslonu oznaka DEG, pritiskom tipke tan–1, dobit ćemo veličinu traženog kuta u stupnjevima:a 26,565°. Stoji li na zaslonu oznaka RAD, istim ćemo postupkom dobiti rezultat u radijanima: a 0,464 (rad).
Osnove trigonometrije
197
7.3. Rješavanje pravokutnog trokutaDefiniranjem trigonometrijskih funkcija šiljastoga kuta u pravokutnom trokutu, dobili smo veze između duljina stranica pravokutnog trokuta i veličina njegovih kutova. Te veze omogućuju izračunavanje nepoznatih elemenata (kutova i duljina stranica) pravokutnog trokuta, ako su poznata dva elementa toga trokuta, od kojih je barem jedan duljina stranice (slika 5). Ponovimo,
sin , cos , , .a a a a= = = =ac
bc
ab
ba
tg ctg
U svakoj od ovih formula su tri elementa pravokutnog trokuta i koristimo se onom koja povezuje dva poznata s jednim nepoznatim elementom.
slika 5
Pri određivanju nepoznatih veličina u pravokutnom trokutu koristit ćemo se i Pita-gorinim poučkom:Kvadrat hipotenuze pravokutnog trokuta jednak je zbroju kvadrata njegovih kateta ili, simbolički,
c2 = a2 + b2.
¤¤ Primjer 4.Izračunajmo ostale elemente pravokutnog trokuta ABC kojemu je zadano a = 73,4 cm i a = 58°24′.
Rješenje
Najprije izračunajmo kut b:a + b = 90°,
b = 90° – a = 90° – 58°24 = 31°36
Osn
ove
trig
onom
etri
je
198
Iz sina =ac
nađimo duljinu hipotenuze c:
c a= = =
sin
,
sin '
,
,, .
a73 4
58 24
73 4
0 8517386 18� ª cm
Iz tga =ab
nađimo duljinu katete b:
b a= = =
tgcm
a73 4
58 24
73 4
1 62545 2
,
sin '
,
,, .� ª
¤¤ Primjer 5.Izračunajmo ostale elemente pravokutnog trokuta ABC kojemu je duljina hipotenu-ze c = 263 cm i kut b = 35°48′.
a = 90° – b = 90 – 35°48′ = 54°12′.
Rješenje
Najprije uočimo da jea = 90° – b = 90 – 35°48′ = 54°12′.
Iz cos b =ac
je:
a c= ⋅ = ⋅ = ⋅cos cos ' , , .b 263 263 0 81106 213 3135 48 cm� ª
Iz sin b =bc
je:
b c= ⋅ = ⋅ = ⋅sin cos ' , , .b 263 263 0 58496 153 8435 48 cm� ª
¤¤ Primjer 6.Izračunajmo ostale elemente pravokutnog trokuta ABC kojemu su duljine kateta a = 2,315 i b = 3,127.
Rješenje
Prema Pitagorinu poučku je
c a b
c
2 2 2 2 22 315 3 127 5 359 9 778 15 137
3 891
= + = + = + =
=
, , , , ,
, .
Iz jednakosti tga =ab
dobivamo tga = ≈2 315
3 1270 740
,
,, pa je a = 36°30′49′′.
Iz a+ b= 90°dobivamob = 90° – a = 90 – 36°30′49′′= 53°29′11′′.
Osnove trigonometrije
199
Vježbaj!1. Nacrtaj kut α ako je: a) tg α = 3 b) cos α = 0,62. Zrake sunca padaju na tlo pod kutom od 54°. Koliko je visoko stablo koje baca
sjenu duljine 6 m?3. Kolika je visina x zgrade sa slike ako je visina antene 7 m, a vrh zgrade i antene
vide se pod kutovima danih slikom?
22°40°
7 m
x
slika 6
4. Na kojoj se visini od tla nalazi kuglica na slici 7?
40 cm
1 m
53°
slika 7
5. Koliki je put kuglice od točke A do točke B na slici 8? A B
25 cm 15 cm65 cm78° 27°
slika 8
Osn
ove
trig
onom
etri
je
200
OBRADA PODATAKAMatematička statistika
Srednje vrijednosti skupa podataka
Mjere raspršenosti podataka
8.
Obr
ada
pod
atak
a
202
8.1. Matematička statistikaStatistika je znanstvena disciplina koja prikuplja, odabire i grupira podatke, anali-zira ih i donosi zaključke o svojstvima tih podataka.Mogu se izdvojiti tri glavna koraka koja vode do tog cilja:
1. odabir uzorka i provođenje ispitivanja2. obrada dobivenih podataka3. procjena i donošenje odluka.
Prvi korak nije u fokusu matematičke statistike, ali je veoma važan. Uzorak – slu-čajno izabran podskup na kojemu se provodi ispitivanje – mora biti reprezentativan. Drugi korak uključuje matematičke tehnike, njime se bavi matematička (deskriptiv-na) statistika. Tu je i dalje riječ o uzorku. U trećem se koraku, na osnovi svojstava uzorka, procjenjuju svojstva populacije. Za prijelaz od uzorka na populaciju presudna je uloga teorije vjerojatnosti. Naslući-vanje svojstava populacije iz svojstava uzorka u pravilu je subjektivno. No, teorije vjerojatnosti tu pomaže s egzaktnim znanstvenim metodama.
Uređenje podataka
Često su prikupljeni podatci ili podatci dobiveni mjerenjem nepregledni. Jedan od načina da uh učinimo preglednijim jest svrstavanje u rastući ili padajući niz.
¤¤ Primjer 1.Mjerenjem visine učenika jednog odjela prvog razreda srednje škole dobiveni su sljedeći podatci u centimetrima:165 170 172 175 175 177 178 179 182 184 185 185 187 170 172 166 182 184 170 178Poredajmo podatke od manjeg prema većem.
Rješenje
165 166 170 170 170 172 172 175 175 177 178 178 179 182 182 184 184 185 185 187 Sada lakše uočavamo neka svojstva podataka i odnosa među njima.Najmanji (minimalni) je podatak 165. Najveći (maksimalni) je podatak 187. Poda-
Obrada podataka
203
tak 170 pojavljuje se triput. Kažemo da mu je frekvencija 3. Frekvenciju 2 imaju podatci: 172, 175, 178, 182, 184 i 185. Ostali podatci imaju frekvnciju 1.Sada možemo oblikovati tablicu frekvencija u kojoj su u prvom retku različiti po-datci, a u drugom njihove frekvencije.
165 166 170 172 175 177 178 179 182 184 185 1871 1 3 2 2 1 2 1 2 2 2 1
Uočimo da se 20 dobivenih podataka svrstalo u 12 različitih.Uočimo nadalje da je zbroj frekvencija jednak ukupnom broju podataka:
1 + 1 + 3 + 2 + 2 + 1 + 2 + 1 + 2 + 2 + 2 + 1 = 20.I ovako uređeni podatci ponekad nisu dovoljno pregledni. Stoga ih grupiramo u razrede. Grupirajmo ove podatke u razrede duljine 5:
165-169 170-174 175-179 180-184 185-189Dobili smo 5 razreda. Predočit ćemo ih tablicom s četiri stupca. U prvom će stupcu biti redni brojevi razreda (1. – 5.). U drugom su stupcu granice razreda. Ovdje smo vodili računa o tome da nije moguće da jedan podatak upadne u dva razreda. U tre-ćem su stupcu frekvencije razreda, tj. broj podataka u pojedinom razredu. Tako je f1 = 2 jer u prvom razredu ima 2 podatka: 165 i 166.
redni broj razreda
granice razreda
frekvencija razreda fi
1. 165-169 22. 170-174 53. 175-179 64. 180-184 45. 185-189 3
Iako je tablica pregledna i jasnije pokazuje odnos među podatcima, neke su se in-formacije u njoj ipak izgubile. Tako, primjerice, znamo da su u prvom razredu 2 podataka, ali ne znamo koji su to podatci.Podatke iz tablice možemo prikazati grafički tako da na os apscisa nanosimo visinu u centimetrima, a na os ordinata frekvencije. Ako se iznad svakog razreda nacrta pravokutnik čija visina odgovara frekvenciji tog razreda, dobije se histogram fre-kvencija.
Obr
ada
pod
atak
a
204
165
1
2
3
4
5
6
f
170 175 180 185 190 visina (cm)slika 1
Svaki podatak u histogramu predstavljen je pravokutnikom visine 1. Dakle, naš se histogram sastoji od 20 takvih pravokutnika.
Općenito, svaki podatak u ukupnoj površini histograma sudjeluje s površinom 1n ,
a i-ti stupac s površinom ifn .
Odredimo površinske udjele pojedinog razreda u postotcima.
Za prvi je razred to: 2 100 10%20 ⋅ = . Kako tumačimo ovaj podatak?10 % učenika ovog razrednog odjela ima visinu do 165 cm.Naravno, postavlja se pitanje: s kojom sigurnošču možemo predvidjeti da se ova tvrdnja može prenijeti na sve učenike prvih razreda. To je jedan od najvažnijih za-dataka matematičke statistike. Navedimo neka svojstva histograma.Histogram ovisi o podjeli uzorka na razrede. Isti uzorak može imati različite prika-ze pomoću histograma.Ako je broj podataka malen, nije potrebno grupiranje u razrede pa je svaki podatak prikazan pravokutnikom.Ako je broj podataka velik ili ako je broj razreda velik, histogram se može aproksi-mirati površinom ispod kontinuirane krivulje (slika 2).
Obrada podataka
205
slika 2
Jedan od načina prikazivanja podataka jest stablo-list dijagram (ponekad kažemo peteljka-list dijagram).
¤¤ Primjer 2.Prikažimo dane podatke u stablo-list dijagramu.165 166 170 170 170 172 172 175 175 177 178 178 179 182 182 184 184 185 185 187
Rješenje
Uočimo da su podatci u uslaznom nizu. Uočimo nadalje da se znamenke stotica i znamenke desetica kod više brojeva po-navljaju. Te će znamenke biti peteljke, a listovi će biti znamenke jedinica.Grupirajmo brojeve po tom kriteriju. Neka u prvom retku budu podatci kojima su prve dvije znamenke 16. Neka su u drugom retku podatci kojima su prve dvije znamenke 17.U posljednji redak stavimo podatke kojima su prve dvije znamenke 18.165 166 170 170 170 172 172 175 175 177 178 178 179 182 182 184 184 185 185 187 Još preglednije:16 5617 0002255788918 2244557Svaki stablo-list dijagram mora imati legendu. U našem je slučaju:16 | 5 je 165
Obr
ada
pod
atak
a
206
Vježbaj!
1. Od 20 bodova na pismenoj provjeri znanja, učenici 1.a ostvarili su sljedeće bodove: 16, 12, 10, 8, 7, 14, 13, 19, 2, 9, 1, 15, 13, 11, 10, 18, 17, 7, 18, 20, 10, 11, 8, 8, 12, 14, 3, 5, 0, 14. Prikaži te podatke
a) stupčastim dijagramom b) histogramom c) stablo-list dijagramom.
2. Promotri dijagrame u 1. zadatku pa odgovori na pitanja navodeći dijagram iz kojeg se odgovor najbolje iščitava.
a) Koliko je učenika ostvarilo 8 bodova? b) Koliko je učenika ostvarilo 5, 6, 7 , 8 ili 9 bodova? c) Koliko bodova je najviše učenika ostvarilo?
d) Kojih učenika ima više: onih koji su ostvarili malo bodova ili onih koji su ostvarili velik broj bodova?
e) Ima li više učenika manje od 10 bodova ili više od 10 bodova?
3. Rezultati testiranja na vozačkom ispitu prikazani su dijagramom.
100
1
102 104 106 108 110 112 114 116 118 120
2
3
4
5broj kandidata
bodovi
a) Ispitu je pristupilo 65 kandidata. Oni s manje od 100 bodova nisu prikazani dijagramom. Ako je minimalno potrebno 108 bodova za prolaz, koliko je kandidata palo ispit?
b) Prikaži tablicom prikazane podatke tako da ih svrstaš u pet razreda. c) Prikaži podatke iz tablice histogramom.
Obrada podataka
207
4. Prikaži tablicom podatke prikazane histogramom.
18 20 22 24 26 28 30
2
4
6
8
10
12
broj stabala
visina (m)
Odgovori!
1. Komentiraj dijagram.
0 1
1
2 3 4 5 6 7
2
3
4
5
6
broj obitelji
broj djece
Obr
ada
pod
atak
a
208
2. Komentiraj histogram.
1
18 20 22 24 26 28 30 32 34 godine starosti
broj radnika
2345678
3. Komentiraj stablo-list dijagram.
Temperature u travnju0 8 8 9 9 91 2 2 2 3 4 7 7 7 7 8 8 8 9 92 0 0 2 2 3 3 3 3 3 4 5
Ključ: 3 | 8 znači 38 °C.
Obrada podataka
209
8.2. Srednje vrijednosti skupa podataka
8.2.1. Aritmetička sredina
Sjetimo se kako računamo aritmetičku sredinu (prosjek) danih brojeva.Primjerice, aritmetička sredina brojeva 4 i 10 jest broj 7. Dobili smo ga tako da smo zbroj zadanih brojeva podijelili s 2. Aritmetičku sredinu brojeva 1, 5, 7 i 11 dobit ćemo tako da zbroj 1 + 5 + 7 + 11 = 24 podijelimo sa 4 jer imamo toliko brojeva. Općenito, za brojeve x1, x2, ..., xn, (n ∈ ) aritmetičku sredinu računamo ovako:
1 2 ... nx x xx n+ + +
= .
¤¤ Primjer 3.Izračunajmo aritmetičku sredinu podataka iz primjera 1.
Rješenje
165 166 3 170 2 172 2 175 177 2 178 179 2 182 2 182 2 182 2 184 2 185 18720x + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +=
x = 176,8Uočimo da aritmetička sredina nije jednaka nijednom zadanom podatku.Kako interpretiramo aritmetičku sredinu? U našem je slučaju, kad bi 20 učenika imalo visinu 176,8 cm, zbroj njihovih visina bio jednak zbroju visina učenika iz uzorka. Aritmetička sredina predstavlja „težište” skupa podataka. Predočimo li svaki po-datak kuglicom mase m, sustav masa prikazan na slici 3 bit će u ravnoteži ako je oslonjen u aritmetičkoj sredini.
165 170 175 180 185 190
176,8
slika 3
Obr
ada
pod
atak
a
210
Intuitivno je jasno da proporcionalno povećanje ili smanjenje mase m neće poreme-titi ravnotežu na slici 3. Jednako tako, aritmetička se sredina neće promijeniti ako se proporcionalno povećaju ili smanje frekvencije uzorka.
8.2.2. Medijan
Aritmetička je sredina broj koji se nalazi između najmanjeg i najvećeg podatka. Očito je da ne mora biti jednak broj podataka koji su manji od aritmetičke sredine i broj podataka koji su veći od nje.U našem je primjeru 9 podataka manje od aritmetičke sredine, a 11 veće od nje.Zato je uvodi pojam medijana.Medijan uzorka jest srednji podatak u uređenom nizu podataka ako je broj poda-taka neparan ili je jednak aritmetičkoj sredini dvaju srednjih podataka ako je broj podataka paran.Primjerice, u skupu 1, 2, 8, 9, 10 medijan je 8.Medijan skupa 1, 2, 8, 9 izračunat ćemo kao aritmetičku sredinu brojeva 2 i 8. Me-dijan je, dakle broj 5.Napišimo formulom kako određujemo medijan.
1
1
ako je 2 1
ako je 22
k
k k
x n kM x x n k
+
+
= += +=
¤¤ Primjer 4.Odredimo medijan podataka iz primjera 1.
Rješenje
Radi se o 20 podataka pa je medijan aritmetička sredina 10. i 11. člana uređenog niza tih podataka:
177 178 177,52M += =
Medijan dijeli skup podataka na dva jednakobrojna skupa.Geometrijski gledano, medijan dijeli histogram na dva dijela otprilike jednakih po-vršina.
Obrada podataka
211
165
1
2
3
4
5
6
f
170 175177,5
180 185 190 visina (cm)
10 %
15 %30 %
20 %15 %
slika 4
8.2.3. Mod
Mod je najčešći podatak iz uzorka.U skupu podataka 2, 4, 4, 4, 7, 10 mod je, očito, 4.U skupu podataka 2, 2, 4, 4, 7, 10 dva su moda jer se brojevi 2 i 4 jednako često pojavljuju.U primjeru 1 najfrekventniji je podatak 170, pa je mod 170.
Obr
ada
pod
atak
a
212
Vježbaj!
1. Na kraju 1. polugodišta Marina je iz Biologije imala ocjene 4, 3, 5, 4, 3, 4, 4. Koliki je prosjek njezinih ocjena?
2. U jednom poduzeću je 25 zaposlenih. Izračunato je da njihov godišnji odmor prosječno traje 24 dana. Međutim, utvrđena je greška pri računanju prosjeka. Za jednog je radnika umjesto 20 dana upisano 30 dana godišnjeg odmora. Kad se ispravi greška, koliko će prosječno trajati godišnji odmor tih zaposlenika?
3. Izračunaj aritmetičku sredinu s brojeva a = 70 i b = 110. Zatim izračunaj aritmetičku sredinu s1 brojeva a i s i aritmetičku sredinu s2 brojeva s i b. Sve brojeve prikaži na brojevnom pravcu.
4. Na ispitu troje je učenika osvojilo po 25 bodova, jedna je učenica osvojila 24 boda, dva su učenika osvojila po 21 bod, dvoje po 19 bodova, četvero po 17, četvero po 16 bodova, jedan učenik 15 i petero učenika po 14 bodova.
a) Koliko učenika je polagalo ispit?
b) Izračunaj prosječan broj ostvarenih bodova po učeniku.
5. Zadan je niz:x 5 6 2 9 12 5
Izračunaj aritmetičku sredinu, mod i medijan.
6. Zadani su podatci:x 5 4 7 11 2 9f 112 105 110 115 102 114
Izračunaj aritmetičku sredinu, mod i medijan.
7. Izračunaj prosječnu najvišu dnevnu temperaturu prema podatcima u tablici.
Najviše dnevne temperature u srpnjuponedjeljak utorak srijeda četvrtak petak subota nedjelja
27 30 28 26 26 25 3028 32 26 27 28 32 3535 28 40 34 36 32 33
27 28 40 26 26 27 28
28 28 30
Obrada podataka
213
Odgovori!
1. Nađi tri realna broja koja se nalaze između 3
5 i 5
6.
Procijeni!
1. Procijeni kolika je aritmetička sredina danih nizova.
a) 2, 2, 3, 3
b) 8, 7, 8, 7, 8, 8, 7, 7
c) 9, 9, 8, 8, 9
d) 5, 3, 7, 5, 5
e) 7, 6, 6, 7, 8, 8
f) 9, 9, 9, 7
g) 4, 2, 2, 2, 2
Obr
ada
pod
atak
a
214
8.3. Mjere raspršenosti podatakaPromotrimo skup podataka 1, 2, 4, 4, 5. Njegova je aritmetička sredina 3,5, a me-dijan je 5. Razlika između aritmetičke sredine i medijana jest mala jer su podatci zbijeni oko aritmetičke sredine.Promatrajmo skup: 1, 2, 98, 99, 100. Aritmetička je sredina tih brojeva 60, a medi-jan je 98. Razlika je između ovih veličina velika jer su podatci raspršeni.Zato govorimo o mjerama raspršenosti.
8.3.1. Raspon ili rang
Ako su podatci x1, x2, ..., xn poredani od najmanjeg do najvećeg, onda je raspon ra-zlika između najvećeg i najmanjeg broja, tj.
xn – x1.Raspon za podatke iz primjera 1 iznosi 187 – 165 = 22.
165 170 175 180 185 190
slika 5
Raspon je duljina intervala određenog najmanjim i najvećim podatkom.
8.3.2. Kvartili
Promotrimo podatke prikazane kontinuiranim krivuljama na slici 6. Očigledno, za oba skupa podataka raspon je jednak, ali su površine ispod krivulja različitog oblika.
slika 6
Da bismo opisali razlike poput ovih na slici 6, definirat ćemo kvartile.Prvi (donji) kvartil (Q1) jest broj od kojeg je 25 % podataka manje ili je njemu jed-nako.
Obrada podataka
215
Drugi je kvartil medijan.Treći (gornji) kvartil (Q3) jest broj od kojeg je 75 % podataka manje ili je jednako njemu.
25 % 25 % 25 %25 %
I.kvartil
medijan III.kvartil
slika 7
To znači da postoji 75 % članova uređenog niza podataka koji su veći od donjeg kvartila i 75 % članova koji su manji od gornjeg kvartila.Uočimo da je donji kvartil medijan onih podataka koji su manji od medijana cijelog skupa, a gornji je kvartil medijan gornje polovine podataka.
¤¤ Primjer 5.Odredimo kvartile za skup od 15 podataka složenih od najmanjeg do najvećeg.
1,4 3,9 4,1 4,1 4,4 4,5 5,2 5,3 5,3 5,3 5,9 6,1 6,7 7,7 8,0
RješenjeOdredimo medijan. Skup ima neparan broj elemenata pa je srednji član uređenog niza medijan:
M = 5,3.Odredimo sada medijan podatka manjih od 5,3. Takvih je podataka neparan broj, a srednji od njih jest
Q1 = 4,1.Dobili smo donji kvartil.Odredimo gornji kvartil kao medijan gornje polovine podataka:
Q3 = 6,1.Uočimo te brojeve u datom nizu.
Obr
ada
pod
atak
a
216
1,4 3,9 4,1 4,1 4,4 4,5 5,2 5,3 5,3 5,3 5,9 6,1 6,7 7,7 8,0Q1 M Q2
¤¤ Primjer 6.Pomorac je u posljednjim putovanjima proveo sljedeći broj dana: 28 23 59 25 23 20 31 48 32Odredimo i interpretirajmo kvartile za taj skup podataka.
Rješenje
Najprije niz treba urediti:20 23 23 25 28 31 32 48 59Radi se o nizu od n = 9 elemenata. Medijan je srednji član: 28.
Donji je kvartil: 123 23 232Q += = .
To znači da je 25 % podataka manje ili jednako 23, tj. 25 % (četvrtina) posljednjih 9 putovanja našeg pomorca trajalo je 23 dana ili manje od toga.
Gornji je kvartil: 332 48 402Q += = .
To znači da je 25 % podataka veće ili jednako 40, što znači da je četvrtina pomor-čevih promatranih putovanja trajala 40 dana ili više od toga.
Treba napomenuti da se kvartili mogu odrediti i drugim postupcima. Dobiveni se rezultati mogu razlikovati.
8.3.3. Brkata kutija
Za svaki statistički uzorak možemo odrediti najmanji element (xmin), najveći ele-ment (xmax), medijan (M), donji kvartil (Q1) i gornji kvartil (Q2). Te podatke nazi-vamo karakteristična petorka i grafički prikazujemo kao dijagram pravokutnika, kutijasti dijagram ili brkatu kutiju.
¤¤ Primjer 7.Prikažimo podatke: 90, 205, 280, 350, 410, 120, 195, 95, 350, 45 pomoću brkate kutije.
Rješenje
Obrada podataka
217
Napišimo podatke u rastućem nizu:45, 90, 95, 120, 195, 205, 280, 350, 350, 410.
Sada se vidi da je xmin = 45, xmax = 410.Računamo mod:
195 205 2002M += = .
Sada je Q1 = 95, Q2 = 350.Dobili smo:
45 , 90, 95 , 120, 195, 205, 280, 350 , 350, 410xmin xmaxQ1 Q3M = 200
Prikažimo karakterističnu petorku na brojevnom pravcu.Nacrtajmo pravokutnik („kutiju”) s Q1, Q3 i M te „brkove” prema xmin i xmax.
50
50 410
100
95 200 350
150 200 250 300 350 400
slika 8
8.3.4. Interkvartil
Poznajemo li kvartile, možemo računati interkvartil – razliku gornjeg i donjeg kvartila.
IQ = Q3 – Q1
To je apsolutna mjera disperzije. Govori o rasponu središnjih 50 % zadanih poda-taka.Relativna mjera disperzije jest koeficijent interkvartilne devijacije:
3 1
1 3Q
Q QV Q Q−
=+ .
Obr
ada
pod
atak
a
218
Ovdje se u mjerenju odbacuje polovina podataka (podatci manji od donjeg kvartila i veći od gornjeg kvartila), čime se osigurava da na mjeru ne utječu izrazito male i izrazito velike vrijednosti.Za koeficijent kvartilne devijacije vrijedi:
0 ≤ VQ ≤ 1.
Disperzija je manja što je VQ bliže 0, a veća što je VQ bliže broju 1.
¤¤ Primjer 8.Odredimo interkvartil i koeficijent interkvartilne devijacije za sljedeći statistički uzorak:8 8 9 10 12 14 18 22 34 58
Rješenje
Ovdje je M = 13, Q1 = 9, Q3 = 22.U tom je slučaju interkvartil:
IQ = 22 – 9 = 13,a koeficijent interkvartilne devijacije:
22 9 13 0,429 22 31QV −= = =+ .
8.3.5. Varijanca i standardna varijacija
Kako brojem opisati variranje podataka?Odstupanje podatka xi od aritmetičke sredine x jest razlika xi – x . Ona može biti pozitivna, negativna ili 0.Zbroj svih odstupanja podataka danog skupa od njegove aritmetičke sredine jednak je nuli.
¤¤ Primjer 9.Dani su podatci: 7 9 14 20 20.Promotrimo aritmetičku sredinu podataka toga skupa i odstupanja od nje.
Obrada podataka
219
Rješenje
7 9 14 20 20 145x + + + += = xi xi – x7 – 79 – 4
14 020 620 6
ukupno 0Da se izbjegne negativno odstupanje od arimetičke sredine, odstupanja se mogu kvadrirati. Aritmetička sredina tih kvadrata odstupanja zove se varijanca. Uobičajen je ozna-ka σ2 (čitaj: sigma na kvadrat).
2 2 22 1 2( ) ( ) ... ( )nx x x x x x
nσ − + − + + −=
Varijanca opisuje variranje podataka. To je mjera rasipanja podataka oko aritmetič-ke sredine.
¤¤ Primjer 10.Za podatke iz primjera 7 nađimo varijancu.
Rješenjexi xi – x (xi – x)2
7 – 7 499 – 4 16
14 0 020 6 3620 6 36
ukupno 0 1372 137 27,55σ = =
Standardna devijacija jest prosječno odstupanje originalnih vrijednosti od aritme-tičke sredine, tj.pozitivni drugi korijen iz varijance:
2 2 21 2( ) ( ) ... ( )nx x x x x x
nσ − + − + + −= .
Obr
ada
pod
atak
a
220
¤¤ Primjer 11.Kolika je standardna devijacija za podatke iz primjera 7? Kako se taj podatak in-terpretira?
Rješenje
Prema primjeru 8 varijanca za dane podatke iznosi: σ2 = 17,5, pa je 17,5 4,2σ = = .
Standardna devijacija pokazuje kako se gusto rezultati nekog mjerenja grupiraju oko aritmetičke sredine.
Vježbaj!
1. Poznati su podatci o temperaturi mora:
Mjesto Temperatura (°C)Crikvenica 21,4Dubrovnik 22,2Hvar 24Komiža 22Krk 20Malinska 22,1Mali Lošinj 22,4Mljet – otvoreno more 21,3Mljet – Veliko jezero 24,4Mljet – Malo jezero 25,1Rab 21Rovinj 19,2Split 21Šibenik 22Zadar 20,5
a) Odredi medijan, kvartile, postavi brkatu kutiju. Interpretiraj.
b) Koliki je interkvartil i koeficijent interkvartilne devijacije?
¤¤ Primjer 11.Kolika je standardna devijacija za podatke iz primjera 7? Kako se taj podatak in-terpretira?
Rješenje
Prema primjeru 8 varijanca za dane podatke iznosi: σ2 = 17,5, pa je 17,5 4,2σ = = .
Standardna devijacija pokazuje kako se gusto rezultati nekog mjerenja grupiraju oko aritmetičke sredine.
Vježbaj!
1. Broj zastoja u radnoj smjeni bio je kako slijedi:Broj zastoja 1 2 3 4 5Broj smjena 10 60 75 35 20
a) Odredi kvartile, interkvartil i koeficijent kvartilne devijacije.
b) Koliki je raspon varijacije?
2. Anketirani su studenti Pomorskog fakulteta u Rijeci prema visini.Visina u cm Broj studenata
170 – 175 4175 – 180 3180 – 185 2185 – 190 4
a) Sastavi statističku tablicu. b) Izračunaj nepotpune i potpune mjere raspršenosti. c) Protumači izračunate vrijednosti.
3. Neka je pojava mjerena dvaput. Dobivena su dva niza od 10 rezultata. Rezultati su poredani po veličini.
1. mjerenje: 8 8,5 8,5 9 9 9 9 9,5 9,5 10
2. mjerenje: 1 2 3 5 9 9 13 15 16 17
Izračunaj aritmetičku sredinu i raspon varijacije za oba mjerenja. Interpretiraj rezultat.
Obrada podataka
221
2. Poznate su količine padalina po mjesecima mjerene u mm.
Mjesec Količina padalina (mm)
siječanj 90veljača 70ožujak 40travanj 65svibanj 105lipanj 115srpanj 55kolovoz 140rujan 205listopad 30studen 140prosinac 75
Izračunaj aritmetičku sredinu i standardnu devijciju. Interpretiraj rezultat.
3. Neka je pojava mjerena dvaput. Dobivena su dva niza od 10 rezultata. Rezultati su poredani po veličini: 7 8 8 9 9 9 9 10 10 11 1 2 3 4 4 5 9 15 20 27
Izračunaj aritmetičku sredinu i raspon varijacije za oba mjerenja. Interpretiraj rezultate.
4. Statistički skup čini 30 učenika jednog razreda, a promatrano obilježje jest uspjeh učenika. Dobiveni su ovi podaci:
4 3 4 3 1 3 4 3 3 3
2 4 1 5 3 4 1 3 3 1
3 5 4 3 1 4 5 4 1 3
a) Sastavi tablicu distribucije frekvencija. b) Nacrtaj histogram frekvencija. c) Izračunaj aritmetičku sredinu, varijancu, standardnu devijaciju i koeficijent
varijacije.
Obr
ada
pod
atak
a
222
Odgovori!
1. Što je raspršenost?
2. Što je raspon varijacije?
3. Kako određujemo kvartile i kako se tumače?
4. Kako se određuje interkvartil i koeficijent kvartilne devijacije?
5. Što je varijanca?
6. Što je standardna devijacija?