matematika za i razred srednje Škole

Click here to load reader

Post on 10-Oct-2015

1.047 views

Category:

Documents

89 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Matematika I razred srednje škole Abdulah Hodžić

TRANSCRIPT

  • 1 1 M ^ i ; : : - i ^; f ^ m H m l M v f

    .' jfl.. .. . .; '] .v ;

    JjV'^*^ '"I i & -.]' I

    B B B B i

  • JVaU ir o v ji uv/u a uiu.

    sktor: efik ZUPEVI

    izdavaa: Abduselam RUSTEMPAI

    dnik: Ante BANII

    :enzenti: Vesna PAVLOVI, Tuzla Safet ZULI, Biha

    :tor i korektor: Nada BUTIGAN

    ilovna strana: MiraGOGI

    P: Autor

    "P* ArkaPRESS. Sarajevo

    : 1000 primjcraka

    :IP - Katalogizacija u publikaciji lacionalna i univerzitetska biblioteka Josne i Hercegovine, Sarajevo

    1 (075.3)

    iODI, Abdulah Matematika 1 : udbenikza 1. razred gimnazije

    drugih srednjih Skola / Abdulah Hodi. -arajevo : Svjetiost, 2006. - 232 str.: graf irikazi; 24 cm

    SBN 9958-10-683-3 :OBISS.BH-ID 15077638

    deralno Ministarstvo obrazovanja, nauke, kultute i sporta, na osnovu odobrenja Vijea za abir udbenika od 12. 03. 2001. god. Rjeenjem broj UP-I-03-38-9-2517/1 odobrilo je ovaj benik za upotrebu.

    rogo je zabranjeno svako kopiranje, umnoavanje i pretampavanje udbenika bez odobrenja lavaa. Neovlateno kopiranje, umnoavanje i pretampavanje predstavlja krivino djelo.

    V i n v \ b r r v

    PREDGOVOR ..,.;.........,.,.....,,...;. 7

    UVOD 8

    OSNOVNIPOJMOVIMATEMATIKE LOGIKE 9 Osnovni poj movi , 9 Iskaz (sud) ....,,....,......;.......,..,,.......,...., 10 Sloeni iskazi ^

    SKUPOVI . 13 OSNOVNIPOJMOVIU MATEMATICI;. .....;................................. 17

    1.REALNI BROJEVI......... ...;............. .........................20

    ; 1.1. SKUP PRIRODNIH BROJEVA N . . . . . . . . . . . , , , 2 1 1.1.1. Operacije u skupuN 21

    1.2. SKUP CIJELIIIBROJEVA 23 1.2.1. Apsolutna vrijednost (modul) cijelog broja 24

    1.3. SKUP RACIONALNIIi BROJEVA ... s....... 27 1.3.1. Decimalni zapis racionalnog broja ;.... ,,..,,,,,..,.,.....,,,....,..,

    1.4. SKUP IRACIONA.LNIH BROJEVA 31 1.4.1. Apsolutna vrijednost realnogbroja.... ,..,.,..,..,........,....34 1.4.2. Interval 3 4

    1.4.3. Priblina vrijcdnost realnog broja ,.,....,,,.........,.. ........34

    2. ALGEBARSKIIZRAZI 40

    2.1.'STEPENI (POTENCIJE) S CJELOBROJNIMIZLOIOCEM (EKSPONENTOM) 41 2.1.1. Operacije sa stepenima ...,.......,,, 41 2.1.2. Stepenovanje nulom 43

    2.2. CIJELIBROJNIIZRAZI. PRAVILA FORMIRANJA 45 2.3. CIJELIALGEBARSKIIZRAZIPOJAMPROMJENLJIVE (VARIJABLE) . . . . . . . . . . . . . 46 2.4. MONOMIIOPERACIJE S MONOMIMA 47

    2.4.1. Sabiranje i oduzimanje monoma ,,,. 48 2.4.2. Mnoenje i dijeljenje monoma .50

    ; 2.5. POLINOMIJEDNE VARIJABLE.: 52 2.6. OPERACIJE SA POLINOMIMA 53 2.6.1. Sabiranje i oduzimanje polinoma ....,.,..,...:,,......,...;.,.;,...;.......... 53

    2.6.2. Mnoenje polinoma ,.;;.,.......,..,......;,..,.;...:.....;.... 55 2.6.3. Dijeljcnje polinoma 55 2.6.4. Stepenovanje (potenciranje) zbira i razlike ........,.,..,...,......60

    2.7. BINOMNE FORMULE ..........., 63 2.7.1. Razlikakvadrata...;.:,. .:...,,.;...:.,.,...,63 2.7.2. Razlika kubova 63 2.7.3. Zbir kubova 63

  • 2.9. RAZLOMLJENI (RACIONALNI) ALGEBARSKIIZRAZI 68 2.9.1. Proirivanje i skraivanje algebarskih razlomaka 70

    2.10. TRANSFORMACIJA RAZLOMLJENIH ALGEBARSKIHIZRAZA 73 2.10.1. Sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka 73 2.10.2. Mnoenje algebarskih razlomaka 74 2.10.3. Dijeljenje algebarskih razlomaka - -.75 2.10.4. Dvojni razlomak 76

    G E O M E T R I J A U R A V N I 8 6

    3.1.UVO D 87 3.2. OSNOVNIIIZVEDENIPOJMOVIU GEOMETRIJI 87 3.3. OSNOVNIIIZVEDENISTAVOVIU GEOMETRIJI 89

    3.3.1. Aksiome pripadanja ,.89 3.3.2. Aksiome rasporeda ..91 3.3.3. Aksioma paralelnosti 91

    3.4. GEOMETRIJSKE FIGURE .....92 3.4.1. Poluprava 92 3.4.2. Du . .93 3.4.3. Orijentirana prava... ........93 3.4.4. Poluravan............. ...93 3.4.5. Krunicai krug.. .........94 3.4.6. Ugao........... 94 3.4.7. Mnogougao (mnogokut, poligon) 96

    5.5. KONGRUENCIJA (PODUDARNOST, SUKLADNOST)DUIIUGLOVA .97 3.5.1. Aksiome kongruencij e 97 3.5.2.Izometrijsko preslikavanje 97 3.5.3. Mjerenje dui 98 3.5.4. Mjerenje uglova 99

    5.6. UGLOVIUZ TRANSVERZALU...... .101 5.7. UGLOVIS PARALELNIMIORTOGONALNIM KRACIMA 102

    3.7.1. Uglovi s paralelnim kracima 102 3.7.2. Uglovi s ortogonalnim (okomitim) kracima 103

    5.8. MNOGOUGAO (POLIGON, MNOGOKUTNIK).,.,.,............,.........!..............,.;............ 104 3.8.1. Zbir uglova mnogougla 105 3.8.2. Broj dijagonala mnogougla 106 3.8.3. Mnogougao i krunica 106

    5.9. TROUGAO (TROKUT) 108 3.9.1. Uglovi trougla 108 3.9.2. Odnosi meu stranicama trougla 109 3.9.3. Odnos stranica i uglova trougla 109 3.9.4. Srednja du trougla 110. 10, KONGRUENCIJA (PODUDARNOST, SUKLADNOST) TROUGLOVA 110

    5.11. SIMETRAI.A DUIISIMHTRALA UGLA ........113 . . . . . . . . -f . 3.11.1. Simetrala dui ,... .,...;:..........,...... 113 3.11.2. Simetrala ugla 113

    5.12; ZNAAJNE TAKE, DUIIPRAVE TROUGLA 114 3.12.1. Centar upisane krunice..... 114

    3.12.3. Ortocentar ,...,.......,... 3.12.4. Teite trougla 115

    3.13. ETVEROUGAO 117 3.13.1. Paralelogram 117 3.13.2. Pravougaonik ..,..,...,., ,....,.... 118 3.13.3. Romb 118 3.13.4. Kvadrat ....; ......................118 3.13.5. Romboid ,..................................: 119 3.13.6. Trapez .........119 3.13.7. Deltoid ..........; ..........:............................. 120

    3.14. KONSTRUKTIVNIZADACIO TROUGLUIETVEROUGLU 121 3.14.1. Primjeri konstruktivnih zadataka o trouglu 122 3.14.2. Primjeri konstruktivnih zadataka o etverouglu .. .., 124

    3.15. POVRINA PARALELOGRAMA, TROUGLAITRAPEZA 126 3.15.1. Povrina pravougaonika ;....,....., 127 3.15.2. Povrina paralelograma ....,. 127 3.15.3. Povrina trougla ,, ........ 128 3.15.4. Povrina trapeza ........ ... 129

    3.16. VEKTORIU RAVNI 131 3.16.1. Osnovni pojmovi o skalarima i vektorima.. 131 3.16.2. Sabiranje i oduzimanje vektora ,,...........,., ....... 133 3.16.3. Mnoenje vektora realnim brojem 134

    4 . K O O R D I N A T N I S I S T E M U R A V N I 1 4 0

    4.1. PRAVOUGLI (DEKARTOV) KOORDINATNISISTEM 141 4.2. UDALJENOST DVIJE TAKE 143

    4.2.1. Koordinate sredine dui. Koordinate teita trougla 144 4.2.2. Povrina trougla.. 145

    4.3. RAZMJERE (OMJERI) IPROPORCIJE .147 4.3.1. Razmjera (omjer).... 147 4.3.2. Proporcije 148

    4.4. FUNKCIJE DIREKTNE PROPORCIONALNOSTI 150 4.4.1. Tok i grafik tunkcije y = kx 152

    4.5. FUNKCIJA OBLIKA Y = KX + H 155 4.6. FUNKCIJA OBRNUTE PROPORCIONALNOSTI 158 4.7. PRIMJENA PROPORCIONALNIH VELIINA 162

    4.7.1. Direktna proporcionalnost 162 4.7.2. Obrnuta proporcionalnost 162 4.7.3. Procentni raun 163

    5 . I Z O M E T R I J S K A P R E S L I K A V A N J A R A V N I 1 6 8

    5.1. POJAMIZOMETRIJE 169 5.2. TRANSLACIJA RAVNIIOSOBINE TRANSLACIJE 169 5.3. ROTACIJA RAVNIIOSOBINE ROTACIJE 172 5.4. CENTRALNA SIMETRIJA 174

    5.4.1. OSOBINE CENTRALNE SIMETRIJE 174 5.5. OSNA SIMETRIJA. OSOBINE OSNE SIMETRIJE 175

  • 6.1. JF.DNAKOST, IDENTITETIJEDNACINA 181 6.2. RJEAVANJE LINEARNIH JEDNAINA SA JEDNOM NHPOZNATOM 182 6.3. DISKUSIJA RJEENJA LINEARNE JEDNAINE ..184 6.4. PROBLEMIS JEDNOM NEPOZNATOM 187 6.5. NEJEDNAKOSTINEJEDNAINE (NEJEDNADBE) 189

    6.5.1. Osobine nejednakosti ...,.190 6.5.2. Ekvivalentne nejednaine .,,...,.190

    6.6. RJEAVANJE LINEARNIH NEJEDNAINA .....191 6.7. SISTEMILINEARNIH NEJEDNAINA S JEDNOM NEPOZNATOM 193

    7 . S I S T E M I L I N E A R N I H J E D N A I N A ( J E D N A D B I ) . 2 0 2

    7.1. LINEARNA JEDNAINA (JEDNADBA) S DVIJE NEPOZNATE 203 7.1.1 i -Sisteinod -dvije -lineaimejednaine '(jednajdbe) -s- dvij n e p o z n a t e . . - . ' . . . . ; ; ; . . : . 2 0 4

    7.2. METODE RJEAVANJA SISTEMA JEDNAINA (JEDNADBI) 205 7.2.1. Metoda supstitneije (zamjene).. ...,;,...........,......... ..................205 7.2.2. Gausova metoda....,,..........,., ,..., 208

    7.3. POJAM DETERMINANTE DRUGOGITREEG REDA 212 7.3.1. Rjeavanje sistema jednaina pomou determinante .....;......................,.. ....213

    7.4. GRAFIKA METODAIDISKUSIJA RJEENJA SISTEMA OD DVIJE JEDNAINH SA DVIJI': NI'POZNATE 215

    DODACI 227

    PREDGOVOR

    l l i l /benikje raen prema najnovijem nastavnom planu i programu za girnnaziju i srednje kole. I'isan je jednostavnim i uenicima pristupanim jezikom, a prema zahtjevima i potrebama savre-nu'uc srednje kole. Nije optereen strogom matematikom simbolikom u dokazima teorema. To |c uinjeno namjerno, kako bi na udbenik matematike, po svojoj stiogosti u zahtjevima, sloe-ntiMi le u metodikom pristupu obrade sadraja, bio na nivou odgovarajuih udbenika zemalja l'vropc.

    Moo se primijetiti da udbenik, pored teoretskih izlaganja i uraenih primjera, koji ilustriraju uliiiidcne sadraje, sadri posebne zadatke za utvrivanje i vjebu, koji se mogu koristiti na frisnvima utvrdivanja, proirivanja znanja i uenicima za domau zadau. Nakon svake tematske i'ldine dat je vei broj zadataka za sistematizaciju gradiva i samostalan rad ucenika, Ima blagih pioiicnja gradiva, koji se mogu koristiti za rad sa nadarenim uenicima, posebno u dodatnoj nasliivi.

    Nii poetku svake tematske cjeline dati su likovi poznatih matematiara sa kraim biografskim i podacima o njihovom doprinosu matematikoj nauci, to predstavlja novinu u naoj matemati-kn| uclbenikoj literaturi.

    11 cilju postizanja odgojne komponente u nastavi matematike, veina tematskih cjelina, pa i nas-liivuih jedinica, zapoinje izrekom poznatih naunika ili poslovicom, to moe znaajno uticati ii.i liizvoj i fbrmiranje mlade linosti.

    Md/benik je namijenjen, prije svega, uenicima za praenje i usvajanje znanja u toku nastave, a l'iij'.odiin j e i za samostalan rad i vjebu;

    Niislavnici ovo tivo mogu koristiti kao orijentaciju u pripremanju, te planiranju i programiranju iiiislavu.

    11 svom odgovornom radu na udbeniku naiao sam na razumijevanje i doivio podrku i pomo. Ucccnzenti su poslije detaljnog pregleda rukopisa dali veoma korisnu sugestiju u vezi sa kvalite-lnin sadraja, a Iektor se svestrano zaloio da tekst bude pristupaan uenicima,

    Sn posebnim zadovoljstvom svima izraavam svoju zahvalnost.

    Autor

  • MAHMUD BAJRAKTAREVI (1909. -1985.) Bosanskohercegovaki matematiar.

    Roen je u Sarajevu, gdje je zavrio osnovno i gimnazijsko obrazovanje. Studij matematike zavrio je u Beogradu. Mahmud Bajraktarevi je prvi doktor matematikih nauka u Bosni i Hercegovini. Doktorsku disertaciju odbranio je na Sorboni u Parizu 1953. godine. Objavio je 56 naunih ra-dova u poznatim asopisima u zemlji i inozemstvu. Dao je izuzetno veliki doprinos razvoju analize, teorije nizova i teorijefunkcionalnihjednaina. Cijeli radni vijek proveo je kao profesor matematike u gimnaziji, Vioj pedagokoj koli, od osnivanja, na Odsjeku za matematiku na Prirodno-matematikom fakultetu u-Sara-jevu. : Bioje redovan lan Akademije nauka i umjetnosti Bosne i Hercegovine.

    OSNOVNI POJMOVI MATEMATICKE LOGIKE / M

    Nm poetku ovog udbenika dajemo samo osnovne pojmove matematike logike i teorije skupova. ( il| iiiim je da uenici savladaju samo osnovne sadraje ove danas vane matematike teorije, koje i'i- koristiti u nastavi matematike i neto vie u nastavi informatike.

    Osnovni pojmovi

    ti) Konstanta je veliina ija se vrijednost ne mijenja.

    I'i'liiijer: Konstante su: 3, 7, 71, ... I>) Promjenljive su veliine ija se vrijednost mijenja. Predstavljamo ih slovima.

    ('i luijer: Promjenljive su: y, z, a, b,... i:) Konstante kojima zamjenjujemo promjenljive nazivaju se vrijednosti promjenljivih. I'rimjer: a = 5, jc = -7 su vrijednosti promjenljivih a i x, il) Sinibolima oznaavamo neke konkretne veliine. Ako se ukae prilika da koristimo iidbenik matematike na bilo kom jeziku, uoavamo da su matematiki simboli isti. Zato ka-nmo da matematiari "govore " istim jezikom. Objanjavajui konstante i promjenljive, mi smo ve koristili simbole.

    Primjeri simbola za: - skupove: A, B, C, ... - prirodne brojeve: 1, 2, 3,.. . / / - dui: a, b, c, ... j - operacije: +, -, ,:, . . . ) - re lac i je :< ,> ,< ,> ,= , 1 , . . . - simboli pripadnosti:

    e (x e N) znai pripada, g N) znai nc pripada.

    - simbol => znai slijedi, povlai, a simbol znai ekvivalentno, - simbol za kvantifikator V se ita za svaki, za sve, - simbol 3 znai postoji bar jedan, a simbol 3! postoji tano jedan ili postoji jedan i

    samo jedan. e) Izrazom nazivamo skup konstanti i promjenljivih veliina povezanih simbolima mate-matikih operacija. Najprostiji izrazi su same konstante i promjenljive. Sloeniji izrazi su, naprimjer:

    ).,3x-l,(a-5)-3,^-,a2+3a-l... 2x i r t <

    I) Vrijednost izraza je konstanta koju dobijemo kada se u njemu sve promjenljive zami-jene odgovarajuim vrijednostima, a zatim se, potujui red, obave raunske operacije u tom i/razu. .

    I'i inijer: Odredi vrijednost brojnog izraza: l( x ,y,z) = 3x - 5xy + (x - y)(x - z) /:i v 2, y = 3, z = -1. HjL'Senje: f(2,3,-l) = 3 - 2 - 5 - 2 - 3 +(2-3) (2 + l) = 6 - 3 0 - 3 = -27 . I'n/nai da j e -28 vrijednost datog izraza.

  • Svaka izjavna reenica koja ima smisla i koja moe biti istinita (tana) ili neistinita (netana) na-ziva se iskaz (sud). Svaki iskaz moemo obiljeiti nekim slovom (najee slovom latinice), brojem ili nekim dmgim simbolom. Takve simbole nazivamo iskazna slova. .

    Primjeri: 1) Broj 5 je manji od broja 9 = p 2) Broj 4 je paran broj = a 3) Rjeenje jednaine x + 5 = 2 je pozitivan broj = b.

    Svako iskazno slovo, u naem sluaju p, a, b, moe imati dvije istinitosne vrijednosti, tj. iskazna slova moemo smatiati promjenljivim veliinama koje mogu imati samo jednu od dvije vrijed-nosti: T (tano, istinito) ili (netano, neistinito). Ako neki iskaz ima tanu vrijednost, onda piemo \{p) = T, ili netanu vrijednost x(p) = _L. Zbog kratkoe pisanja, esto se ovaj nain pisanja zamjenjuje sa/? = T ili p = ..JL Taan iskaz naziva se stav. Primjer tanog iskaza: "Kvadrat broja dva je 4" = p, tj. x(p) = T, a netanog "Broj 8 je djeljiv sa 3 " S ? , t j . T ( 9 ) = l . U matcmatici su iskazi: stavovi, definicije, aksiome, teoreme, kao i neke relacije, o emu e biti rijei kasnije.

    Sloeniiskazi

    Od dva ili vie iskaza (tanih ili netanih) moemo obrazovati (sastaviti) novi iskaz. Tako sastav-ljeni iskazi nazivaju se sloeni iskazi.

    a) Konjunkcija Konjunkcija (konjunkcija = sastav) iskaza p sa iskazom q je iskaz "p i q " u oznaci p Aq (A itaj "i") koji je taan samo ako su oba iskaza tana. Konjunkciji odgovara tablica istinitosnih vrijednosti:

    Up) q (itaj "p impli-i u,i r/" ili " iz p slijedi q"), koji je taan u svim sluajevima osim ako je p ta-in, a q netaan i-,|.ii/, l lobiajeno je da se implikacija pie: "Ako je p, onda je q" ili "Iz p slijedi q". U implikaciji /< q, tj. T => T = T.

    c) Ekvivalencija I l.viv.ilencija iskaza p sa iskazom q je sloen iskaz "p ekvivalentno sa q", u oznaci p q, l-n|i |f lnan ako su iskazip i q tani ili nctani. l-.linilnsiui lablica ekvivalencije je:

    UP) q) T T T

    T .

    T .

    T

    ili T ? _L

    T T T

    Mii/t-iii iskaz (ekviva lenci ja )pOq itamo "p je ekvivalentno saq" ili "p je ako i samo ako q" ili "/' |i- potrcban i dovoljan uvjet za q" i sl.

    I'i linji'r: /) s "Ako je prirodan broj djeljiv sa 6, onda je on djeljiv sa 2 i 3", q = "Ako je prirodan liin| dieljiv sa 2 i 3, onda je on djeljiv sa 6". Mii/i'ii iskaz (ekvivalencija) je p O q: "Da bi prirodan broj bio djeljiv sa 6, potrebno je i dovolj-I I I I il:i htulc djeljiv sa 2 i 3", ili "Prirodan broj je djeljiv sa 6, ako i samo ako je djeljiv sa 2 i 3".

  • w*uv ffoBnw puiuuvu ,iw v jr, if, i, ... ivv/jv u^uuvuvaju lOI^a/it i dilllUUlV lUglVKIli U[JU(I^ IJ q) => (]p => \ j ) tautologija.

    r(p) . ~\q) x((p O q) => (lp => !(/)) T T 1 1 T T T T 1 1 T 1 1 T 1 T T 1 T T T 1 1 . T T T T T

    Dakle, formula (p => q) => (\p => \ ) je zaista tautologija.

    Zadaci za utvrivanje

    1. Odredi konjukciju izraza: p = "Broj 15 je djelilac broja 30" q = "Broj 12 je djelilac broja 48" Ispitaj istinitost p A q.

    2. Od kojih iskaza se sastoji konjukcija "Broj 12 jeparan i sloen"?

    3. Da li je za paran broj n istinita konjukcija: "5n je djeljiv sa 5" A "5n + 1 je djeljiv sa 5n sa ostatkom 1"?

    4. Ispitaj istinitost konjukcije:

    V3 2 47 V4 2 4 ) V4 2 2)

    b) f= 1 a T = 1 a T - = 1 . 15 3 10J \ 5 9 V L l 9 9)

    5. Od iskaza p i q napii disjunkciju pv q i ispitaj njenu istinitost: a) p = "Broj 15 je neparan" i q = "Broj 15 je paran"; b ) p s 3 + 5 < 4 i q = 5 :2>7; c ) p = "Broj 12 je djeljiv sa 4" i q = "Kvadrat broja 3 je 15".

    6. Ispitaj istinitost disjunkcija:

    I l> "Hroj 15 je sadrilac broja 6", i/ "Hioj 15 ima istu mjeru kao broj 20", / "Hinj 15 je sadrilac broja 10", Ispilaj istinitost iskaza: .i) \ > A q A r b) p v q v r c) p v q A r.

    li l'. nKo )',l;isi implikacijap => q od iskaza: /i "Uioj 27 je djeljiv sa brojem 3", i/ " Zhir cifara broja 27 je broj koji je djeljiv sa brojem 3".

    'i /iiiliili SII iskazi: /> 2 v + 1 11 i q = x = 5. Kako glase implikacije: ,\)/> >q; b) p.

    iu l',k.i>.i ii|cima sloen iskaz: (nli 0) : > [(a = 0) v (b = 0)], gdje su a i b realni brojevi. II I >ii li |i- lana ekvivalencija:

    |(x " 3) A (y = 2)] o (x - xy + y = -1)? I.' I)nka/iiti da je sljedea formula tautologija.

    a ) | (p i q) a l q ] => "lp; h)[u>=>q)=> P]=*P-(llputstvo: Tautologiju dokazati pomou tablica.)

    I i l',|iilati da li je formula tautologija: '(P v q ) o ( l p A lq)

    ( |p A lq) => lp !! I'iipuuiti slijedeu tablicu sa T ili _L.

    X -3 -2 -1 0 1 2 3 4 '

    >x 1)

    ;.x- i ) - o I "i (ilivdi istmitost slijedeih izraza:

    a) ! 11 (T v lT) => 1 ( U A T)] l ( l l => lT)} = b ) 1 { 1 [ 1 ( U A T ) O l ( l l v l T ) ] O ( i T A 1 ) } =

    C) { l l l l A1) => [1(T A l l ) o l ( l l v lT)]} = d) 1 { 1 [ 1 ( 1 I A T ) => 1 ( 1 T V 1 T ) ] o 1 [ 1 ( 1 I = > 1 I ) A 1 ( 1 TVU)]} = e) l { l [ l ( T v l l ) O 1(UA1T)] O l [ l ( T v l l ) v l ( l l v T ) ] } =

    SKUPOVI

    (i '.kupovima uenici su nauili u osnovnoj koli. Ovdje emo sistematizirati to znanje. 'i! upnvo nc ilcfiniramo. Pomou skupova definiramo druge pojmove. Primjer skupova: odjelje-11(1' nL'iiika, uenici kole, jato, stado itd. i Hiickli od koji se sastoji neki skup nazivaju se njegovi elementi. Skupove najee obiljeavamo vi-likiin slovima latinice: A, B, C, X, Z, ..., a elemente skupa malim slovima: a, b, c, x, z, ..., broje-x nii.i 1, 2, 3, ... ili nekim drugim simbolima. 'ikup A koji sc sastoji od elemenata a, b, c, obiljeavamo:

    i = \a.b.c\.

  • IM elemcnt ne pripada skupu A, oznaavamo sa .v e? A. Neke vanije skupove brojeva, o kojima e biti rijei kasnije, oznaavamo simbolima:

    N = {1,2,3,...} skup svih prirodnih brojeva,

    N0 = {0,1,2,3,...} skup cijelih nenegativnih brojeva (skup N proiren elementom 0),

    Z = {...,-2,-1,0,1,2,3,...} skup cijelihbrojeva,

    Q je skup racionalnih brojeva, / j e oznaka za skup svih iracionalnihbrojeva, R je skup svih realnih brojeva.

    Skup koji ne sadri nijedan element naziva se prazan skup, a oznaavamo ga sa: 0 ili {}. Za skup kaemo da je zadan ako je poznato od kojih je elemenata sastavljen.

    Primjeri: Dati skup A = {5, 7, 9, 11, 13} moemo iskazati na vie naina:

    A = {x{x je neparan broj i 4 < x < 14} ili A = {x| x je neparan broj i 5 < x < 13} ili A = {x]x = 2k+ 1, zak = 2, 3, 4, 5, 6} ili A = {x| x = 2k - 1, za k =3, 4, 5, 6, 7}. (Provjeri!)

    EIILER-VENNOV DIJAGRAM

    - " " ' Slika 1:

    Skupove grafiki predstavljamo pomou Euler-Vennovih dijagrama (vicarski matematiar Eulcr prvi je upotrebljavao krugove za oznaavanje skupova i relacija meu njima, a engleski logiai Venn proirio je tu ideju i na ostale figure). To mogu biti zatvorene figure u ravni (slika 1.) Grafiko predstavljanje omoguava nam da na oigledan nain pokazujemo skup sa njegoviin elementima i svojstva operacija sa skupovima.

    Primjer: Pomou Euler-Vennovog dijagrama predstaviti skupove: A={a,b, c} i B = {1,2 ,3}. (Slika 1.) Za skup B kae se da je sadran u skupu/1, tj. da je podskup ili dio skupa A, ako je svaki elemenl skupa B istovremeno i elcment skupa A,ij. V x c B slijedi da jcx e. A. injenicu da je B podskup skupa A zapisujemo: B c A ili A a B, gdje simbol cz ili nazivamo sadranost (inkluzija).

    Primjer: Skup B = {2, 3} je podskup skupa A = {1, 2, 3, 4} jer je B c. A (B je pravi podskup skupa A). Skupovi A i B su jednaki ako i samo ako su sastavljeni od istih elemenata, tj.

    A=B(\/x&Aoxe:B).

    Al.it |i- II > A '\ B, kaemo da je 5 pravi podskup skupa A i piemo: Bc.A.

    i ' i n i l l l i l M i i skup

    'il.ii|i 'V 11 poilslcupova skupa S naziva se partititivni skup skupa S i oznaavamo ga sa P(S). t'i liu|i'i l'nrdlitivni skup skupa S = {a,b,c} je skup: /'l.S I !'.\{a\,{b},{c},{a,b},{aic},{b,c},{a,b,c}}.

    ( I I I | H sUupova

    Slika 2.

    I m|ii -.Liipova .4 i B je skup A u B (itaj "A unija B") svih elemenata koji pripadaju skupu A ili "l-iii'ii H, l|.

    A u B = {x | x e A v x e B} .

    I'i hu|i'i l 'nija skupova A = {1,2,3,4} i B = {3,4,5,6,7} je skup: AuB = {1,2,3,4,5,6,7}. 'ii.iliiiiiii il i) na Euler-Vennovom dijagramu je unija skupova. (Slika 2.)

    I'i i's|i'U skupova

    Slika 3.

    I*i. k sKupova A i B je skup A n B (itaj "A presjek B") svih elemenata koji pripadaju skupu A l l-u|>ii /', l|.

    A N B = { x | x E A A X E B } .

    I'iliiiln l'u-sjck skupova A = {1,2,3,4} i B = {3,4,5,6,7} je skup: AnB = {3,4}. (Slika3 );

    |IIN|iinkini skupov i

    .' 1 iU 11 '.Uipa . / i B kaemo da su disjunktni ako je njihov presjek prazan skup, tj. I 11

    L'T I I I I | I 1 /1 skupove A = {1,2,3} i B = {4,5,6} presjek je A n B = 0 , pa su skupovi disjunktni.

  • Razlika skupova

    Slika 4.

    Razlika (diferencija) skupova A i B je skup A \ B (itaj "A razlika B" ili "A bez B" ili "A manje B") svih elemenata skupa A koji ne pripadaju skupu B, tj.

    A \ B = { x | x e A A X B } .

    Primjer: Za skupove A = { 1,2,3,4} i B= {3,4,5,6,7} razlikaje: A\B = {1,2}. (Slika 4.)

    Nije teko zakljuiti da je A \ B ^ B \A.

    Simctrina razlika Simetrina razlika skupovaA iBje skup AAB (itaj "A deltaB") je unija skupova A \B i B\A, t|.

    AAB = (A\B)v(B\A).

    Primjer: Za skupove A = {1,2,3,4} i B= {3,4,5,6,7} simetrina razlika je: AAB = {1,2,5,6}.

    Zadatak: Provjeri na primjerima da li vrijedi: a) AAB=BAA b) (AAB)AC= AA(BAQ c) AA0 = 0AA = A d) AAA = 0 .

    Dekartov (Descartes) ili direktan proizvod skupova Kaemo da je (a, b) ureen par (ureena dvojka) ako je element a strogo na prvom, a elemenl h na drugom mjestu u tom paru. Za dva uredenapara (a, b) i (a\, b\) kaemo da su jednaka ako je a = a\ i b = b\,i\. (a, b) = (fl|, b]) O (a = a\ A b = b\). U uredenom paru (a, b), a je prva koordinata (projekcija, komponenta), a b je druga koordinata (projekcija, komponenta). Dekartov ili direktni proizvod dva skupa A i B je skup ureenih parova A x B (itaj "A puta B") gdje je prva koordinata iz skupa A, a druga koordinata iz skupa B, tj.

    c \

    1 (a, 1) (b, 1) (c, 1)

    2 (a ,2) ( b , 2 ) (C, 2^1 B B

    i r i a l l A

    A x B = {(a,b) | a e A ^ b e B}.

    Slika 5.

    |

    lm|ri /.i .I.LipoveA = {a,b,c} i B = {1,2} Dekartov proizvod je:

    AxB = {(a,l),(a,2),(b,\),(b,2),(cMc,2)}.

    ilnihrl.i |inka/ Dekartovogproizvoda da t je naslici 5.

    /mliii-i za utvrivanje i vjebu

    I ll.ili '.u skupovi A = {1, 2}, B = {1, 2, 3}, C = {2, 3). Popuni tablicu istinitosnih vrijednosti I i I

    ( A B C b) cz {1,2 ,3} {3, 5 ,8} c) = {1,2} {2,3} l {1, 2} {2 , !} 2 {3} {2, 2, 3} < {3, 8} {1,2 ,3}

    It.iii MI -kupovi/f = {1, 2, 3} i 5 = {3,4, 5}. Odredi: II ) .*/ n B; b )AuB; c )A\B; il)/( A 11; e) A x B; f)AxA.

    I Ml |i- skup -I = {2, 3, 4}. Odredi P(A). I I Mli MI skupo\ i A = {1, 2, 3} i B = {2, 3, 4}. Odredi:

    .1) A \ B ; b ) B \ A ; c ) ( A \ B ) u ( B \ A ) ; d ) ( A \ B ) n ( B \ A ) . i I .ili MI skupovi A = {1,2 ,3} i B = {1, 4} . Odredi:

    ;i) A x B; b) A x A; c) B x B; il) (A u B) x (A n B); e) (A u B) x (A \ B).

    ti I i.ili MI 'kupovi A = {a, b, c} i B = {a, b}. Odredi: .i) A B; b)AAB c) (A A B) u (A \B) .

    11 >H II kupovi A = {3, 4, 5}, B = {1, 3, 7} i C= {2, 3, 4}. Provjeri da li vrijedi: : i ) A u ( B u G ) = ( A u B ) u C b) (A n B) u C (A u C) n (B u C) f ) (A i B) n C = (A n C) u (B n C) d) ( A \ B ) u C = (A u C) \ (B u C)

    UMNOVNI POJMOVI U MATEMATICI

    IHin i i ' i j a , A k s i o m a , T e o r e m a , D o k a z

    1 Najvei nkras ovjekov jest znanje. (Arapskaposlovica)

    t ' i l'i'iMin ncpoznate pojmove shvatili, potrebno ih je objasniti pompu poznatih pojmova. Poznate fi|MHi\v kojc pnhvatamo bez objanjenja> a pomou kojih opisujeifjp napia neppznate p.ojmove, itii/iviiiiu) osnovni pojmovi. Osnovne pojmove ne definiramo. Za osnovne pojmove u matematici tl.-ltlllllllll' fi'if|i. Inuj, taka, prava, ravan itd.

  • "ivcuciiiuo | i u 5R.UJJ icrairea; R , U J U I I I ac jcuaii pujam uvuui \uujasnjava^ upisujc/puiiiuuu usiiti vrnir

    ili ve izvedenih pojmova, naziva se definicija.

    Primjer:

    Definicija: Srednja linija tiougla je du koja spaja sredine dviju stranica trougla (du MN na slici >.).

    U definiciji treba upotrijebiti ni manje ni vie nego strogo odreen broj rijei. Loa defmicij.t jc ako se u njoj ponavljaju rijei.

    Primjer: Pravougli trougao je takav trougao u kome je jedan ugao prav. (Zato?)

    Definicija: Poetne ili osnovne stavove koje prihvatamo bez dokaza nazivamo aksiome.

    Primjer:

    Aksioma: Postoji jedna i samo jedna prava koja sadri dvije razne take A i B. (Slika 7.)

    Slika 8.

    Aksioma: Kroz taku A van prave p ravni a moe se provui samo jedna prava q paraleliui pravoj p. (Slika 8.)

    Definicija: Stavovi koji su posljedice aksioma i definicije nazivaju se teoreme.

    Svaka teorema ima pretpostavku (hipotezu) i tvrdnju (zakljuak). Teoremu kao taan stav pn-hvatamo tek kada je dokaemo.

    NI I I I IIV I I I I |Hitiii|u A A P I V I P U O I U V R U U I I V V / J U J ^ U V U I J V O* J . I J W J H W I > , . Ijltl >(mv'i lnip iii-ha dokazati. Teorema se uvijek moe izrei tako da njena tvrdnja poinje sa ri-{ R F F K " I I K I H " I I I "ona",

    fl>liiiiil|M I ivrdivanje tanosti tvrdnje teoreme naziva se dokaz.

    ilii|"i iiiu/i- luti direktan i indirektan.

    h i m i ' i i tmiini i i M ii ! neparan prirodan broj, onda je i n2 nparan prirodan broj.

    I'ii-lpostavka je: "Ako je n prirodan broj" i obino je obiljeavamo sa P. I vi iInja je: "Onda je i n neparan prirodan broj" i oznaavamo je sa T.

    (Miiif: I iikii/ cino obaviti na direktan nain (direktan dokaz). 1/pic postavke P da je n neparan moemo pisati: II .>/, + !, /c N,paje n2 =(2k + lf =4k2+4k + l = 4k(k+l) + l , t j : //'(i-iu-paran broj pa j e naa tvrdnja tana. I >.il u mo primjer jedne teoreme koja se dokazuje na indirektan nain:

    If-iiiniiii n 'neparanprirodanbroj, ondajeineparanprirodanbroj. Ilnltn/. I lnk.i/ |c lndircktan.

    I'u-lpostavimo suprotno, tj. pretpostavimo da je n paran, a n2 neparan prirodan broj. Ali, ukii |< ii p.iiiin, onda piemo:

    ii '/i,A -H/V , tj. ;

    ii (2k)2 = 4k2 = 2^2/2), to znai da je n2 paran broj.

    In |< iiii'iliilini suprotno pretpostavci da je n2 neparan prirodan broj, pa je time teorema dokazana.

    /mlnri n\ utvrivanje i vjebu

    I M I U I ili ilcliniciju: ,i) paialelograma, b) romba, i') piavougaonika, d) kvadrata.

    ' .i) Kada kaemo da je definicija dobro iskazana? b) K.oji mogu biti nedostaci definicije? i') Sla je definicija?

    1 a) Rta je teorema? b) 1/ ega se sastoji teorema? c) ia je dokaz?

    I I >i liiiu i|a i aksioma sc nc doka/.uju. Zato? I iuk,i/i da |e za svaki prirodan broj n, broj n(n + 1)(M + 2) d je l j ivsa6.

    II I inkii/i lcoicmu: Ako |c >r paran prirodan broj, onda je i n paran prirodan broj.

    ' 'li.i |c |)i clpostavka, a ta tvrdnja u sljedeim teoremama: a) Ako su kod trapeza dijagonale jednake, onda je trapez jednakokrak. b) Kod jednakokrakog trougla uglovi na osnovici su jednaki.

    (Kako bismo ovu teoremu mogli i drukije formulirati?) c) Ako broj nije prost, on se moe rastaviti na inioce (faktore).

  • 1 . R E A L N I B R O J E V I

    PIERRE DE FERMAT (1601. - 1665.)

    Francuski matematiar, po zanimanjupravnik. Matematiknm se bavio iz hobija. Jedan je od tvoraca Teorije brojeva i tenn/c vjerovatnoe, zajedno sa francuskim matematiarom, fiziumm ifilozofom Blaise Pascalom (1623. -1662.).

    . 1 SKUP PRIRODNIH BROJEVA N

    I Nije dovoljno sticati znanje vega treba upotrijebiti. (narodna izreka) fiiiitilin lif"|i'vi niistali su iz potrebe za prebrojavanjem, tj. utvrivanjem koliko ima lanova ifiin nl -I up Sknp pritoclnih brojeva oznaavamo simbolom N i piemo: * |l ' i. .//,...j

    |*in it il.np.i N. II novije vrijeme u praksi je u primjeni proireni skup prirodnih brojeva N0, koji iiiili -'i i I I I I I I I k.ni i-k-ment, tj. V., ln.l.M. ,/;,. }

    M-i l-n|i h iiu'iil skupa /Vnajee obiljeavamo oznakom n (n e N). Ako je taj broj paran, ozna-k>t 'n ili '/i (i to |e uvijek paranbroj), ali ako elimo da taj broj bude neparan, onda ga piemo n .il'titn '.. I ili 2n + 1.

    Ml imfi I I I I I nMihina prirodnih brojeva, istiemo slijedee (Peanove aksiome):

    I I |iiiinil.iii l'idj tj. 1 e N. i 'Un |i- //1 N, onda je njegov sljedbenik n + \ = n' (n' e N). ' '..il i n' / I, tj. 1 nije sljedbenik nijcdnogprirodnog broja. I Un |i' (/' /;', onda je a = b(a,b e N), tj. ako su sljedbenici dva prirodna broja jednaki, .imlii ' - 6

    I 2 - 5 + 1 ' = ( 5 + 1 ) ' 6 ' 7

    l'ii I I I . I iiimi', /bn n + m znai da se prirodnom broju n dodaje m jedinica, pa se tako dobije novi l.i>i| n i in \cN

    Miiii/fii|i' ii skupu N

    t t|I. (III I|.I niiio/cnj.I uvodi se pomou sabiranja na ovaj nain:

    ii ///' - n m + n

  • a) 1. n + (m + p) = (n + m) + p asocijativnost sabiranja 2, n + m = m + n komutativnost sabiranja

    b) 1. n(mp) = (nm)p asocijativnost mnoenja 2 :nm = mn komutativnost mnoenja 2.n-l=n broj 1 je neutralan element mnoenja

    c) n(m + p) = nm + np distributivnost mnoenja u odnosu na sabiranje,

    gdjc su n, m i p prirodni brojcvi. Relacija < u skupu prirodnih brojeva definira se na sljedei nain: kaemo da je x x, 2. x

  • Slika 1.3.

    Slika 1.4.

    racije, KOju oDiijezavamo sa (Z,+,-) i nazivamo je ])i si

  • b) zakon komutacije c) zakon distribucije mnoenja u odnosu na sabiranje slijeva i zdesna.

    5. Ispitaj da li je N grupa u odnosu na operacije: a) sabiranja b) mnoenja.

    6. Ispitaj da li je skup Z grupa u odnosu na operacije:

    a) sabiranja b) mnoenja.

    7. Dokai da je ureena trojka (Z, +, ) prsten.

    8. Dokai da skup Z u odnosu na operaciju mnoenja () nije gnipa. (Uputstvo: pokazati da u skupu Znema inverznog elementa u odnosu

    operaciju mnoenja, tj. ako je a e Z nije i e Z . ) a

    9. Ako za svaka dva prirodna broja a i b postoje brojevi q i r takvi da vrijedi brojeve q i r ako je dato:

    a) a =17, b=3, b) a=34, b=27, c) a=345, b=45 (R: a) q=5, r=2, b ) q = l , r = 7 , c) q=7, r=30

    10. Koliki je ostatak r dijeljenja brojeva a sa b ako je: a) a=47, b=3 b)a=155,b=14 c) a=3425, b=426 (R: a) r=2 b) r=l c)r=17)

    11. Odredi kriterij djeljivosti brojeva sa 3!

    12. Ispitaj koji su od brojeva a) 5460 b) 7230012 c) 1013313

    djeljivi sa 3. (R: a) da b) da c) da jer je zbir cifara djeljiv sa 3

    13. Odredi kriterij djeljivosti prirodnog broja sa 9.

    14. Ispitaj djeljivost slijedeih brojeva sa 9: a)902403 b)71901162 c)9007600 (R: a) nije b) da jer je zbir cifara c) nije jer zbir cifara nije

    d je l j ivsa9 d je l j ivsa9

    15. Dokai da je zbir cifara od 1 do 100 djeljiv sa 25!

    (R: S=l+2+.. .+100= = 5050, taj broj je djeljiv sa 25)

    16. Dokai da je zbir tii uzastopna prirodnabroja djeljiv sa 3! (R: n+n+l+n+2= 3n+3= 3(n.+l) je djeljiv sa 3)

    17. Dokai da je razlika kvadrata dva uzastopna prirodna broja 99! (R: Dokaz jednostavan)

    3 n -n 18. Ako je n e N tada je e N. Dokazati!

    tvti iiui\r |v |f v,F i ' ;j y j " . v v u vjv 11 * j' . r* I )l " i ; x 1-3+81-4 = .1 | | i | I (5-2) (2-6)]-[-l-(-2+3)]}| -.1)1 | l | l - (1-2)]} \ {-2-{-2-[-2-(2-3)]}| =

    i! |M|i Mll |> illl.lllU':

    I) | | | i 8 |7 c) | ,v-3| + 8 - 2 4

    ID X \\\ 5 d) 3 - | x - l | = 21

    (l( i l ' 9, v: ~ -'), b)x,=3,X2 = -3, c) = 19, = -13, d) nema ljeenja.)

    ? MM|. ' . I I I - T I I I . I O I I I I I sa apsolutuim vrijednostima: ,i)h -l| - ! 18 b) 51 |x-6: -21 c) 2|x|+4= |x|+16

    1 I SKUP RACIONALNIH BROJEVA

    I Ako neto preko volje radi, nita nije tako lahko da ne bi hilo teko. (Latinska izreka)

    n i U III

  • j.\wviunwmi (/lujc VI 3U. . 1 - 1 7 - 3 3 . . .

    b) 1 - 8 , ^ 1 = - 1 1 , ^ = 6 itd.

    , 12 , - 4 8 r - 3 2 . c) T = 3 ' ~ = 6 4 ltd-

    Skup racionalnih brojeva moemo predstaviti Vennovim dijagramom na slici 1.5.

    N

    Slika 1.5. a c

    Za racionalne brojeve i , vrijedi: b d

    Defmicija: Za dva racionalna broja i kaemo da su jednaka, tj. b d

    a c , . = ako I samo ako je ad = bc. b d J

    Primjeri: 2 3

    a) T = T J c j e 2 - 6 - 4 - 3 - 1 2 , 4 6

    b ) ^ = ^ | j e r j e - 1 2 - 1 4 = 28-(-6) = -168.

    Racionalne brojeve moemo proirivati, jer za Vm e Z V {0} vai i skraivati, |ci ..-Z

    a-m a b h m

    V m e Z \ { 0 } vai bm b

    Primjeri: 1. Proiriti razlomke:

    a) 3 _ 3 - 5 = 15 3 5 5-5 ~ 25 '

    2. Skratiti razlomke: 12 _ 1 2 : 4 3

    3 32 _ 3 2 : 4 ~~ "'

    b) 4 - 4 ' 3 1 2 7 ~ 7-3 ~ 21

    2 _ 2-4 C 3 ~ 3-4 12

    b) 64 _ 64 :4 _ 16 16:8 2 2 : 2 _ 1 128 128:4 ~ 32 ~ 32 :8 ~~4~ T T ~ ~2

    a . c t t l f i t Mt Ufi M I iij>,c,d * 0,c 0, d 5*0, tada se brojevi i :

    * - fe d

    I iiilniii|ii

    iiinu/r

    ! illC'lr.

    a c ad + bc T) ' ~d bd a c _ ac T) 7/ Ttd a c _ad h'Tl ~b

    ) M I I i i 3 (-4) 10 -12

    X.-

    >

    l '

    M 5

    (..) ^ . 2

    4 15 5

    \ 24 _ 4

    ; 30 " 5

    2_ 15

    $(< (m f*ti.ifnili bioicva (J u odnosu na operacije sabiranja (+) i mnoenja () obrazuje algebar-f)it> -fitiMiiii' ki.uV /apisanc u obliku: | ' 11 l-niiiiitiitiMui 111 Abclova aditivna grupa (Provjeri), I U ' | i ' | . ) kiimiitaliMia ili \bclova multiplikativna grupa (Provjeri). fcln (t iiiiio/i'iijc dislnbu(iMH) .slijcva i zdesna u odnosu na operaciju sabiranja, to se kae da je | n.i liu|k.i ((.J, -i-, ) pol|c

    ii 11 '.iii kn/c da jc O pol|c racionalnih brojeva. $ J M | I I 1 | I ' INI ' dcn skup u odno .MI na obinu relaciju poretka ii|ni (> vii/i pnncip (rihotomije tj. vai jedna i samo jedna relacija:

    ili v v. \li v v.

    4.1 I Unciirialni zapis racionalnog broja

    ^i |i i'.l.iknu.o da su clcmcnii skupa Q razlomci oblika

    is.ni. i iinii'ii sc pi ika/.ui na nniogo naina u obliku razlomka.

    f l l i l i | i i l

    " ' r ">r

    5 50 500 5000 10 100 1000 /fifooo h 60 600 6000 10 100 1000 10000

    5-v 500 5000 50000 1 100 1000 " 10000

    (p,q e Z,q 0 ) . Takvi raz-

    M.iui. i.i'.lomkc i cijclc bio|cvc moemo napisati u obliku razlomka iji je nazivnik 10, 100, iimn 10". 'l'akvc ra/lomkc. i|i su nazivnici dekadne jedinice, nazivamo decimalnim razlomcima.

  • piovuro w uutliVU. ~ " = Uil , 1 10 100 1000

    cimalnom zapisu i u sljedeim primjerima:

    10 15

    = U,UUI, ltd. Decimalne razlomke pisali smu u d r ^ l

    = 0,7,

    = 0,015, 1000 452 _ 400+50 + 2 100 ~

    6235 10000

    100

    = 0,6235.

    . 50 2 : 4 + - + = 4 + 0,5 + 0,02 = 4,52, 00 100

    llnii l'in| |ci l.'in -du svaka dva clcmcnta a. b

  • operactja K O J U mjc mogucc or)a\ ni u Konacnom nroju KoraKa, ij. nije mogucc oKoncati Koijono*^ vanje. Upotrebom depnih raunala, moete uoiti da neki, kao rezultat, pokazuju vrijednosl 1,4142135, a dmgi 1,414213562 itd. Rjeavanjem jednaine oblika:

    x2 - 2 = 0 , dobijamo rjecnjc

    , a to su iracionalni brojevi.

    Teorema: V I nije racionalan broj, tj. V I iiiii iln\iil|ii[i daleko. lanovi rastueg i opadajueg niza su racionalni, a broj V I , koji se

    Il-M I iii. 1I1111.111 iva nizova, nije racionalan. Broj ima beskonano mnogo decimala, a nije fenn.ti 1111 |n iiudiOaii decimalan broj. Svi beskonano decimalni neperiodini brojevi su iracio->,! l-.lvi iil....|rvi: V3,V,VI,V3,...,7r,...

    Wbt> *> il"l .1 MII d.i su i svi brojevi oblika r -!-V2 (r e Q) iracionalni. H'1 IIH'llK I l.lll)

    ftfi

  • Slika 1.7.

    1.4.1. Apsolutna vrijednost realnog broja

    Slino kao to smo definirali apsolutnu vrijednost cijelog broja, definiramo i apsolutnu vii]c.'Znai uvijek je |a| > 0 .

    Svi stavovi koji su vrijedili za apsolutnu vrijednost cijelog, vrijede i za apsolutnu vnjcdnosl IC.I! nogbroja.

    1.4.2. Interval

    Naka.su a i b dva realna broja. Tada se skup svih realnih brojeva x koji nisu manji od a ni va.i oil b naziva interval (razmak, segment) i obiljeava sa [a,b],

    Ovako defmiran interval brojeva nn/i va se zatvoreni interval, jer mu pripada i broj a i broj b, a moe se pisati u obliku relacije:

    a

  • 0 posljednja cifra ne mijenja se ako je parna 0 posljednja cifra uveava se za 1 ako je neparna.

    Primjeri: Primjenomprethodnih pravila, zaokruiti sljedee decimalne brojeve na tri decimaie:

    a) 0,03124 b) a = 2,4555 a 0 , 0 3 1 , a 2 , 4 6 c) a = 3,45500 a 3,455 (bezgreke)

    Operacije sa zaokruenim (priblinim) brojevima je lake i bre obavljati. To je razlog d.i sc u< i|iu' uvodi zaokruivanje deciinalnih brojeva sa veeg na manji broj decimala. Uostalom, ucb.i uiu'Ht da sa iracionalnim brojevima nije ni mogue obavljati operacije, u sluaju da ih piemo u I H ' K H I I I "velikom" broju decimaia. Zaokruivanjem iracionalnog broja sa veiikim brojem decimala, mi l.ihm broj piemo u priblinoj racionalnoj vrijednosti, a onda obavljamo operacije.

    Zadaci za utvrivanje, vjebu i samostalan rad

    1. Ako je n prirodan broj, kako e napisati proizvoljan paran i proizvoljan neparan pniinliiii broj?

    2. Pokai da je zbir dva uzastopna neparna prirodna broja djeljiv sa 4.

    3. Da li moe zbir etiri uzastopna prirodna broja biti prost broj?

    4. Obavi naznaene operacije:

    a) a [7 + 4(l 3 * 6 - 1 9 2)] = b) (41-3- 7)[6(l84-32 2)-2(501 - 1 7 23)] = c) 3+2{3[8(l9-21-36-l l)-23]} = d ) - { - 2 - [ - 2 - ( - 2 + 3 ) H - 3 - [ - 3 - ( - 3 + 4 ) ] H - [ - 4 - ( - 4 + 5)]}-6 (R: a) 334, b) 10000, c) 9, d) -6 )

    5. Izraunaj: a) xs-x3 + x2-1= zax = 2 b) xs +x4 +1= zax = - l c) 2( 1 /; ' 1) + 3( + b + 1)? - l(a + h \ 2)3 - za a - -1, h = -2 (R: a) 19, b) 3, c)-3 )

    6. Obavi naznaene operacije: a) (-15) - (-13) + 3(-16) +10(-2) =

    b) 2(-3 + 17) + 3(-4 + 3)(-4) =

    c) | -16 | + |5| + | - 7 | = d) | l 7 - l l | - | 3 + (-10)| =

    e) | l 2 - 1 0 | - | - 1 5 + 23|-2 =

    (R: a) -60, b) 40, c) 28, d) 42, e) 32, d) 35)

    7. Provjeri da li su razlomci jednaki:

    aV - = , . 3 _ 45 8 72 3 ~ 21 5 ~ 75 3 ~ 2 7

    i)l

    iiiiini. 111 >li. 111.1/loinke na jednake nazivnike:

    tili ..iiiiiiiiiif rli'KK'iilc /a sljedee elemente iz Q.

    1 2 1 2 b )

    c) -6

    4 I H I I I M I / I I R i'U'tucnlc u odnosu na mnoenje za slijedee brojeve:

    b ) ^ 0 - 1 ' 5 3 >ii (>

    I T I I I ' I I I . K ( I K ' c>]K'iucije:

    ,1 ' " [ = fi s l

    ( H . . , ; ; . h i . ' g )

    I H I A U ii.i.'inii^'iio i.iunatijc:

    ll I

    , [ ' M f L i L I J u 8 J

    b) 5 - -12

    7 2 b>

    e) f - i - ! - ' 7 21

    13 O ^ f : ~ =

    1 "'k' h)" 4' C) * 9' d ) T ' e ) I }

    Ijij^ i iiti 11 nliliku la/lomka decimalne zapise: .011 K b) 0,534 = c) 0,824 = ill f. U e) 22,256= d)-1,304 =

    MSi-i' 111.1,'ii.iCcne opciaci|e sarealnim brojevima u decimalnom zapisu: .I'MI 65 ! 3,29 b) 24,8761 -382,29 =

    % 11 tl tv0,2 - d) 3,4-53,82 = '% i l-I.Mi : 0.38 f) 5836:28,1 = > |-r,W,V3834 : 3S,45 = h) 0,236 : 3,4821 =

    ' ' ' ' --

    ''"iil mli 11 obliku ia/lomka periodine decimalne brojeve: 111 1 0,7373... b) a: = 8,536536... .)> 0,305305... d ) * = 3,5846758467...

    " ' i t IMe illli ua hiojnoj piavo| take koje odgovaraju brojevima:

    n/., 1,0,1. VI,-

    | j Hdll .11 pi ibli/ni biojcv 1: .1 M.573S25 b - 402,382235 i 0,025555 d = -3,3566432 /iiiikiui na: a) 2 decimale b) 5 decimala c) cijele brojeve

  • l y. v;uicui piiuiiz,nu viijcuiujai iaz*iuiiiiui na

    a) 1 decimalu b) dvije decimale c) 3 decimale

    20. Odredi priblinu vrijednost a) 4l b) V3 c) S d) na dvije decimale!

    21. Na brojnoj pravoj odrediti taku kojoj odgovara broj

    a) b) S c) V d) VlO

    22. Pokazati da za Va,beR,a (a < a + ^ < b

    23. Ispitati valjanost nejednakosti \a -b\

  • 2. ALGEBARSKI IZRA2I

    2 .1 . S T E P E N I S CJEL 2 .2 . C I J E L I B R . 2 . 3 . < I J E L I A L G 2 .4 . M O N O M I I 2 .5 . P O L I N O M I 2 .6 . O P E R A C 2.7

    I O J N I M

    >KI ERACIJE

    )LIR

    2 .9 .

    ;BINOI \

    MK

    / i . i v i

    M O N O M I M A I

    A N A F A K T O R E I A L G E B A R S K I I Z R A Z I ^

    L J E N I H A L G E B A R S K I H I Z R A Z A

    M P 0 H

    iwiiii Ij

    iiipii

    FRANC'OIS VIETE (1540. -1603.) Francuski matematiar. Prvije uveo u matematiku slova za oznaku brojeva huavtm jejednaine. Poznate su njegove formule za jedrnicinr divy,uj. i vieg reda, pomou kojih moemo napisatijednai imi kada joj znamo rjeenje.

    PPNI (POTENCIJE) S CJELOBROJNIM MtflOCCM (EKSPONENTOM)

    Kome se povea pohlepa, smanjuje se ovjenost.

    (Arapska poslovica)

    |F I ' M I . - U H I irdiiakihfaktorapiemo u obliku:

    a a a ..- a = a",{a e R,n e N) n

    jiit|i it i, 1,1/ a" na/iva stepen ili potencija broja a. )

    izloilac ili eksponent stepena baza ili osnova stepen ili potencija

    iil ,/ 'iiiiiiiu M' stcpenomijije izloilac jednak 1. ,(' lltlllil'illO .

    . |i ti.itt ilclinici|c l slijedeih izraza:

    HHgglf l i (.1 ' (I)

    (,/ ft, a / 0, e N) ii

    |,PI t,At iii /ii.iCi'iijc i/iuzd a" je definiran i za svaki cjelobrojni eksponent (a ne samo za prirod-

    i t i i i' ii ' 0,75 _ 0,0625

    I > ' 1 ( ' L

    t i \

    v 2 /

    r _ i v _ 2 7 = _ 3 i , 2 8 8

    II I ii|ioincljc sa stepenima ft(Miii| koli naudi snio kako se izvode operacije sa stepenima. Ovdje emo to ponoviti i ? >-ti /ii|t' i/lti/ili na ncto viemnivou. iil IIIII l 'iIII " od slcpcna jednakih baza jednak je stepenu ija je baza zajednika, a izloilac

    JFILN-IL , ' I H I I I i/lo/ilaca lliklora, tj. m n m + n a -a a

  • m m+n Vrijedi i obrnuto:

    a'" - a" , to je jednostavno dokazati. Nije teko zakljuiti da je: a'" a" ap... a = a m + n + p + ... + k ,(aeR, m, n, p, ..., k c ,V).

    Primjeri:

    2 3

    1. r 1 3

    2+3 ' 1

    3 2. (-3)3 (-3)2 = (.3)5 = -243

    3. 1 2) V 2j ( 2J [ sJ'U

    4 .X 3 -x 3 -X 4 -X 7 =X 5 + 3 + 4 + 7 = X19

    _1_ 32

    Teorema: Kolinik stepena jednakih baza jednak je stepenu zajednike baze iji 10 i/lo/ilm jednak raziici izloilaca djeljenika i djelioca, tj.

    a'": a" = a"'-",(a e R, at- 0, m.neN)

    Dokaz: Kako je dijeljenje inverzna operacija mnoenju, to iz a'": a" = a "'"" slijedi a"-"-a" = a'"-" + "=a'", pa je tvrdnja tana.

    Vrijedi i obrnuto:

    Primjeri: 1. (-0,5)5: (-0,5)3 = (-0,5)5"3 = (-0,5)2 = 0,25 2. x 5 : x2 = *3, a * 0

    Teorema: Proizvod stepena jednakih izloilaca je stepen, ija je baza jednaka pioi/vodu li.i/ii pojedinih faktora sa zajednikim izloiocem, tj.

    : ' a'" b"' = (a b)m, (a, b e R, m e N)

    Dokaz: Imamo: a'" b'" = a-a-a-...-ab-b-b-...-b = ab-ab ab-..,ab = (ab)'"

    m m m to je trebalo dokazati.

    Vrijedi i obrnuto: (a b)m = a'" bm, a to znai da:

    Proizvod stepenujemo tako da mu svaki faktor stepenujemo zajednikim eksponenlom, pa sc 1I11 bivene vrijednosti medusobno pomnoe.

    Primjeri: 1 .3 5 -2 5 = 105 = 100000 2. (3a)5 = 35 a5 = 243a5

    3. 203 = (2 10)3 = 23 103 = 8 1000 = 8000

    i'" h'" = (a: b)m = | ^ | ,(b * 0)(a,b eR,meN)

    h'" | " ./)j = a'" to je trebalo dokazati.

    ." h'"

    1 I ' l ' < t>" Kl

    HHHRp^' HM'

    'sA V J ^ h )

    3 27a3

    'ili |n 11 '.lcpi-na jc slc|)en sa istom bazom iji je izloilac jednak proizvodu izloilaca, tj.

    (a'")" = a'"", (a e R, m, n e N)

    (* tliiir*iiiv!in, jcr je: n uil

    t,.'"}' ./"' a'" = am" ,(a e R, m, n e N)

    tlltnillllll, l|.

    (,'")' [a")"

    4. [ ( 2 2 j J = 2 n

    1 i niiiiiiMiiivanje nulom

    t* oi.il m < N 1 /a svako a 0 vrijedi:

    .1" ,/'" (am) \(am)= 1 LI I I I I I I i|i sli-pcna kao proizvoda jednakih faktora izraz a nema konkretno znaenje jer ne

    i|i |n 1 . v i(l ud 0 faktora. Meutim, taj izraz moe se shvatiti kao rezultat dijeljenja jednakih

    t I ilid'".

  • Napomena. Stepen oblika 0 nije defmiran (nerna smisla) i mi ga ovdje neemo ra/maliiih to sadraj koji e se izuavati kasnije.

    Primjeri:

    1. a) (0,3) = 1 b) (0,256) = 1

    c) 100 = 1 ' ' 1 d) ( " l ^ j ' - l

    e) (4a) = 1 (a * 0) f) (a - bf = 1 (a * b)

    Zadaci za utvrivanje gradiva 1. Obavi naznaene operacije:

    a ) a 7 V = b)n7-n"-n'2 = c) 3X 32y 33 z= d) ax + ly + 2 ax~y a'~x = e) (a + b + c)" (a + b + cf (a + b + cf = (R: a)a ' , b)n30, c) 3x + 2y + 3z, d ) 1 " ' 3 , e) (a + b + f + h + c )

    2. Obavi naznaene operacije: a) (a + bf (a + bf (a + bf = b) 3a7 a8 + 5a10 a 5 =

    -1 - c) %x23 x77 + 2X3s x62 = d) 7(2n + l)13 (2n + l)8 + 15(2 + l)5 (2n + l f 6 = (R: a ) ( a + b f 2 , b) 8a15, c) 10a10, d) 22(2+l)2 1)

    3. Obavi naznaene operacije: a) 2X 3" 5X = b) .t'' >'' / - c) (2a7)8 = d) (a2 a7)3 = e) (x2 x3- X5)10 = f) ((a + b f f 5 = (R: a) 30x , b ) ( x y z f , c) 256a15, d) a27, e)*100, f)(a + b f )

    4. Obavi naznaene operacije:

    b) (22)1 i-(33)' +3/ / ' -

    c) [3(x+;02f+[2(.v + .v) 3 ] ! -

    d){[2(m-ff}6+{[2(W-W)2f}3 =

    (R: a) 10a120, b) 20/;", c)31(.v i .y)", d) 4l60(w-)1 2) 5. Obavi naznaene operacije:

    a) (-l)1998 f (-l)1999 + (-l)2000 + (-l)2001 + (-l)2002 + ( - l f 0 0 3 = b) (-1 + 2 - 3)2 + (- 2 + 1 - 3)2 + (-3 + 2 -1) 2 =

    oM2M(-2)3f = (R: a) 0, b) 24, c)-128 )

    6. Obavi operacije

    a ) (a 5 x ) 3 - (a 3 x ) 2 - b) (x2n)4 (x2)" = c) (y5k)7 (y5)3k =

    Uen je onaj ko odbaci grijehe, a uva se poroka. (Narodna izreka)

    I H I ' / ilcl uiogu predstavljati mjerne brojeve raznih veliina. Kada upotrijebi-III fn nm/i' lnii 10 kg eera, 10 ovaca, 10 uenika Ia razreda itd. Svi takvi i slini

    1 mi il'.l.ivlj.ili ncke stalne vrijednosti (povrinu, teinu, broj uenika itd.) koju nazfc . illlilui III si.iluiin vcliinama, ili jednostavno konstante.

    ti n>iiih n|n-i;ii ija, od konstanti obrazujemo izraz, onda se takav izraz naziva kon-1 iii inihiliii izraz. I i>n ii.iiiiuo)' i/raza je:

    i B H H H ^ ^ S l f e r ^ ' : - . , . . . , -^ v ); . - i'H: ..',; :.;,/,; 1 ' l ' ' l 1 5 -

    111 iiifil.iiiliiniii i/ia/u upotrijebimo operacije sabiranja, oduzimanja, mnoenja i ste-mnlii '11 I . I K . I V i/ia/naziva cijeli racionalan (brojni) izraz.

    I I . I M | I I I / M / : I iipolrijebimo i operaciju dijeljenja, pa se za brojnu vrijednost dobije I . I I . I I I i.iK.iv i/,ia/ naziva razlomljeni racionalni konstantni izraz.

    I - I . I I ' I . 1 1 1 I 1 1 1 1 , cioualni izrazi su:

    1 1 1 l'

    H N K i l n -

    L0-2 - 2 0 6-9 + 3-2

    l-i i,i.-liiiiil]ciiili racionalnih izraza treba strogo voditi rauna da se u nazivniku (dje-111 lmi| II, |i'i iiulom, kao to je poznato, ne moemo dijeliti. Drugim rijeima, kaemo

    . I I H I H I I I IIIH'dcl i i i i iano ili dijeljenje nulom nema smisla.

    I ') !( ' ) ' - 6 - 1 6 - 2 2 v = , sto nne moguce. I t ' X 4 - 4 0

    l(lo| .l|l||llll|||'

    intt iiiiluiii iiciiia sniisla, dijeiiti nuiom nije mogue ili dijeljenje nulomnije definirano.

    it l 'f|ii"in 1 'i.i/ii obavimo sve naznaene operacije, dobijemo broj koji se naziva vrijednost

    ;i|'iMfn n|ii i.n'i|,'i u brojnom izrazu javlja se problem kako zapisati i kojim redom obaviti ii- ii|ii Uli l|i'

    Ut*m.iiii I ii| li'iniii i priksi dogovoreno je da se operacije rangiraju na sljedei nain:

    I ' ' i iIMIIIIIIC 1 oduzimanje operacije su ' Miiii/i'II|C 1 dijeljenje operacije su ' 'ih |'i iiuv.nije i korjenovanje operacije su

    1. stepena ili ranga 2. stepena ili ranga 3. stepena ili ranga,

  • !Na OSIIOVU OVOg [ J i m v a u c n o g u o g u v u i a , p i l u u a v i j a u j u u p v i a v i j a , v i v i m uiuu uu J..

    0 operacije istog ranga obavljaju onim redom kojim su naznaene, 0 operacije vieg ranga obavljaju se prije operacija nieg ranga (stepenovaiiii11

    korjenovanje, mnoenje i dijeljenje, a onda sabiranje i oduzimanje), 0 operacije koje treba obaviti prije nego treba da dou na red - stavljaju se u /.i|'im|jj

    Ako se u brojnom izrazu treba osloboditi i zagrada, prvo se obavljaju operacije u /agi.nli niillj zagrada. Ovo je posebno vano zbog toga to se u novije vrijeme umjesto malih, sredii|ili i M'flfc zagrada upotrebljavaju sve male zagrade. Ranije smo uili da se prvo oslobaamo nialili, su'iln|iU onda velikih zagrada. To treba i sada potovati kao pravilo koje vai.

    P r imjer i :

    1. Obavi operacije u sljedeim brojnim izrazima:

    1 ..1 2.-1 ' 8 8 + 8 ~ 8

    b) 2 5 + (-2)2 3 - (-2) 3 2 : 3 = 10 + 4 3 - ( -2 ) 9 : 3 = 1 0 + 1 2 - ( - 1 8 ) : 3 = 22 - (-6) = 22 + 6 = 28

    c ) -4 - {4 - [-10 - (8 - 1) - (1 - 12)]} = - 4 - {4 - [ - 1 0 - 7 - (-11)]} = - 4 - { 4 - [ - 1 7 + 11]} = 4 - {4 - [-6]} ' - 4 - {4 + 6} = - 4 - 1 0 = -14

    d) -2 - 2 (-2 (-2 (-2) -2)) = - 2 - 2 (-2 (4 - 2)) = -2 - 2 (-2 2) = - 2 - 2 (-4) = - 2 + 8 = 6

    U zadnjem primjeru upotrijebljena je vie puta samo mala zagrada.

    2. Obavi naznaenu operaciju:

    2 -3 + 2 2 : - 5 - 5 2 :5 6 + 4 - 5 - 2 5 : 5 6 + 2 0 - 5 2 6 - 5

    4 - 3 - 2 ' 3 + 4 - 1 1 2 - 2 - 9 + 1 6 - 1 1 2 - 1 8 + 1 6 - 1 - 6 + 15 =li=Z = 2I

    9 3 3

    2.3. CIJELI ALGEBARSKI IZRAZI POJAM PROMJENLJIVE (VARIJABLE)

    Bolje je zasluiti poasli, a >W (IDIU/IIII je nego dobijatije, a ne zii\lu.",li /

  • promjenljiVih. SvaKu konstantu moemo smatrati monomom. Monom moemo pisali il oblicima proizvoda:

    Sabx2 = 2ab 4x2 = 8a bx2 = ... Najee, monompiemo u obliku proizvoda jedne konstante, koju nazivamo kociiciji-ul i n| na jedne ili vie promjenljivih koje nazivamo glavna veliina. Za dva monoma koji imaju jednake glavne veliine (iste promjenljive i istc i/.lo/iocc), kn.'i'iim su slini ili istoimeni monomi. Slini (istoimeni) monomi su:

    a) 5x i lx b) | a 2 i a2 c) 4a2b3 i -3a2b)

    Nisu siini (raznoimeni) monomi: ... 2 2

    a) 5a i 5a2 b) -4x i 4xy c) ab i -a b

    Monom 3a je prvog stupnja ili ranga, jer je a = al . Monom3ab je drugog stupnja, jer je ab = alb] (1+1). Dok su monomi a2bc3 estog, odnosno 5xs je osmog stupnja (ranga).

    2.4.1. Sabiranje i oduzimanje monoma

    ( Sabirati i oduzimati moemo samo sline monome. / Istoimene monome sabiramo tako da im saberemo koeficijente, a glavnu veliinu piepicnm

    2x + 5x = (2 + 5)x = 7x 3a2 + 5a2 = 8a2

    Na isti nain sabiramo tri ili vie monoma (asocijativni zakon). 5x2 + 2x2 + 8x2 15x2

    Dakle, moemo zakljuiti:

    Zbir dva ili vie slinih monoma je monom, slian monomima koje sabiramo, iji jc ko.-ln i| jednak zbiru koeficijenata, a glavna veliina jednaka glavnim veliinama monoma kojc saliuiuiin

    Kakoje: 5x+3x=8x, to je: 8x-3x=5x, odnosno 8JC-5JC=3A-, jer je oduzimanje inverzna operacija sabiranju.

    Na isti nain moemo oduzeti i sljedee monome: \.7ab-3ab = 4ab 2. 8xy - 12xy =-4xy 3.6ab-6ab = 0ab = 0

    2 2 4. aa = 0a = 0

    7 7 Prema tome, sline monome oduzimamo tako da im oduzmeino koeficijente, a glavnu vclii' prepiemo ili, dragim rijeima:

    Razlika dva slina monoma je monom, slian monomima koje oduzimamo, i|i |c koelu i|i-jednak razlici koeficijenata, a glavna veliina jednaka glavnim veliinama 1110110111,1 kn|i oduzimamo.

    \ I 0 3 4 3 3 n'.i ,i \ l \a'x = -aJx = a x

    I I 1 4) 4

    2 (. 2 b)xy--xy = I I - -

    | 't (i 8x)\=5x-[-2x + 5x]=5x-3x = 2x

    #H I I ( M < L I \ A N J E G R A D I V A

    xy

    prii,(>YV, c) -4fl )

    |i -.1 -(i|ii.iiln, 11 /.ilimreduciraj i/.raz: ( 'M |'JI (ftr-2x)]} = - b) a - {[(3a - 8a) + (5a - 4a)] + (6a - 3a)}

    t i i ' H H H H M

    I 'i i 1 3 2 3 -y - -y +'-zy (1 O 3

    1 ,3 \

    - r =

    ftl .11 h\, I.).,/, c) - - / ) HHHH^MaBMMjl?:'---''' '6 ;.:

    j lt>t iitit 1 in npci.ii: jc: *S M '' II 1 K(2a3 + 1 \x)5 - 6(2 a3 + 1 \x)5 = M '(, i 1 5(x+yT+y + z-3(x + yT>y + * =

    , Y : ' .(2'- .vY- 5(25-x5)2 = .1 V-/ II - ) \ b)4(x+y)x+y + z, c) 0 )

    mtll 11 /i'iiifI11, a /alim reduciraj izraz: n( 111,1/n | \ilx - 10,2abc - (5,2abc - 2,3abc)] - 3,2abc} = I . 1 1 1 1 1 1 M . 1 |iMl33v'y -[0,333x2y - ( 3 , 3 3 3 ^ -2,333x2y)]} 11 \ '',' 14,02(1 A 1 [4,lla3x - (4,33a3x - 4,44a3*)]} =7 (t( -11 !.//'(, b) 0,703*V, c) -4,13a3*)

    t".i|t iii'i.id'' pa lcdiuiraj izraz:

    4 * Y Z 3 -5 c2 333 2333 5 x y z * yz

    5 5 .

    l'l *i ' t*'1 !(>--a\v' ' .

    . . n 11 l'' J - / - A - V -(I [ 6

    (II ,.) V v V . b) 6a5*3, c)8xSy2) ^^^^siilfe^aa.,-, , .-:^;.: .

    5a5*3 -(^4a5*3 -3a 5 * 3 4 4 4

    6 V 6 6 ,

    . 5 . 2 ^

  • i. iviuiioinc sino aenniraii Kao proizvod brojeva, a znamo da za mnoenje vriicdi komiU asoeijativni zakon. Zato kod mnoenja monoma moemo pisati:

    1. 3a "= 3 5 ax 15ax 2. 6ab 3xy - 6 3 ab xy~ 18 ahxy

    3. ~~a2b 3

    3 L?.) f 2 ) f 3 ) 2 , ,2 6 3, 3 1 3,3 ab = a b-ab = a'b3 = a*bJ 4 12 2 4 ) V 3 ,

    4. 2abx 3yz 4uv = 2 3 4 abx yz uv = 24 abxyzuv Iz prethodnih primjera zakljuuje se da monome mnoimo tako da im pomnoimo 1 -i hi|> nl koeficijentom, a glavnu veliinu sa glavnom veliinom. Dakle, Proizvod dva morioma je monom, iji je koeficijent jednak proizvodu koeficijenata, a i'liivmi liina proizvodu glavnih veliina.

    Primjeri: ' 1. 5 a 2 - 4 a 3 = 20a5

    2. 2 , 3 z V 4 , 2 x V = 9,66xsy5

    = ^ f l V = 3 a V 12

    2. Da bismo objasnili dijeljenje monoma, moramo primijeniti osobine kolinika: a) Proizvod j e djeljiv svakim svojim faktorom, tj:

    ab : a = b ab : b = a

    b) Kolinik ne mijenja svoju vrijednost kada mu djeljenik i djelilac podijelimo isi im lun|i razliitim od nule. To, zapravo, znai da kolinik, slino razlomku, moemo skiatili i-.nin l'i

    I jem razliitim od nule, tj: 2x : 2y = x : y, y ^ 0 ac:bc = a:b, b0,c0

    Na osnovu prethodnih osobina, dijelimo monome.

    Primjeri:

    1. 34 a3b2y : (-1 lab1) = ^i^Hlz. _ -2a2y V ' -\lab 2. ^ J l . i V ^ 2 ; A 2

    3 3 V3 3 / ;

    3. 0,04 abc : 0,02 abc = 2 4. Reducirati izraz:

    a2b2 :-a --a3b3 :-a2b + - a2b3 :-ab = 2ab2 -lab1 + 2ab2 3 . 3 5 i 5 : 4 8 ; -

    To znai da monome dijelimo tako da im podijelimo koeficijent sa koeficijentom, a glaviiu \'i'll inu sa glavnom veliinom. Drugim rijeima; \

    1 ab'

    Kolinik dva monoma je monom, i j i j e koeficijentjednakkoliniku koeficijenata, a glavnn \c liina koliniku glavnih veliina djeljenika i djelioca.

    Hl'Htli i. '' i .! i promjenljive a, b \ x. Formiraj tri razliita algebarska racionalna ifii iit l'i.ti'ii.itih- i promjenljive primijeni operacije: sabiranja (+), oduzimanja (-), mno-

    l|iti>tii|,Kl)ii)|i-iiv2), l 1 . ci + 2, za a

    *t 11 ') l. c) 2)

    I \1 i i ' - 1 - , za x 2 \fa\\ i ' i ti' i )x +1 =, zax = 7

    i ) h I n M i (M l)2 + ( + 1)3 = , z a = 5 J | t .i| " I.) )>, c)258)

    t ttji ilmi'ii t/t.i/.t: | i Hinnl Hnt < n l-1) + 3{m + - l)2 - 7(m + n - 2 ) 3 ,

    '4 IH I I H ?

    felfl'.ti (\ ' .'!' . ' =

    t ii.< ' 'ii 'i.i i />)3 = ili ,i| lHt,hr,l\ \ :. b).24x4y4z4, c) 8(a + bf )

    nf iit'itin'i iic opcictcije: 'tM' " " //l ' a,-x-t ' i i . i 1 />)' (n i />)J (a + b)1 = i l i . i i h i ,)" (a \ b + j' (a + b + c)c =

    b); - "" i > h |M . 1 ) . / " " b) (,/ + b)u, c) (a + b i c)" d) 3 f ' 2 v ' 3 2 )

  • 8. :*:,'. 9 / . c) 0,0036h ,i piiliiiniiiii jc polinom. Polinome moemo i dijeiiti, ali rezultat dijeljenja nije uvijek

    Mt > i mu dijclili samo polinome iji je rezultat dijeljenja polinom. Za operacije sa poli-r.l.i pi.ivila kao l za operacije sa brojevima.

    hAtili iinjo i oduzimanje polinoma

    i|> . il'ii.iii|,i i dii/inuii|.i objasnit emo na jednostavnimkonkretnim primjerima. :i ii'iiu iliim ilva polinom.r

    (d l t i ' 5\-2 i /'(I ' u ' .V ' 5 inid skupom R.

    ii ti il< ii pnliiHima |c: ll-l i IH\) (3 \ ' - 5 v - 2) + (5x2 - * + 5)

    - ( 3 V + (-5 - 1)* ' (-2 i 5) - 8 \ ' - (n + 3 - C(x)

    lni ilv.i poluioma i(.\) i B(x) jepolinom C(x), tj. 1(0 i H(\) C'(v)

  • biranja i oduzimanja.

    Primjer: Obavimo operacije oduzimanja polinoma:

    P(,v) - 2.v3 + 5x2 -x 14 Q(x) = 3x2 - 4x + 7 . P(x) - Q(x) = (2x3 + 5x2 - x + 4) - (3x2 - 4x + 7)

    = 2x3 +, 5x2 r x + 4"- 3x2 + 4x - 7 = / 2 X 3 V 2 ? + 3 T T ^ \

    Kao to vidimo iz navedenih primjera, operacije sabiranja i oduzimanja polinoma u skupn noma ima iste osobine, kao to te operacije imaju u skupu cijelih brojeva Z. Nije teko provjeriti da za sabiranje polinoma vrijedi:

    a) P(x) + (Q(x) + R(x)) = (P(x) + Q(x)) + R(x) (osobina asocijativnosti sabiranja) b) P(x) i Q(x) - Q(x) + P(x) (osobina komutativnosti sabiranja) c) P(x) I 0 - P(x) j

    0 je nula polinom (neutralni element za sabiranje polinoma) d) P(x) + (-P(x)) ~ 0 P(x) ima suprotni element -P(x)

    Na osnovu ovih injenica zakljuujemo da skup polinoma P sa operacijom sabiranja ( i ) f i gebarsku strukturu komutativnu Abelovu aditivnu grupu, to krae zapisujemo (P, i ) .

    Zadaci za utvrivanje

    1. Za polinome: P(x) - 7x5 - 4x3 + 5x ! 3 i Q(x) = 3x5+ 7x3-2x-7 Odredi: a ) P(x) + Q(x)= b)P(x)-Q(x)= (R: a) 10x5 + 3x3 + 3x -4, b) 4x5 - 1 lx3 + 7x + 10)

    2. A(x) = 2x4 + 5x3 -x? i 3 , r -4 , B(x) = x4:- 2x3 - 3x2 - x - 6 C(x) = 3x4 + 3x3 + 2x2 + 2x - 5 Odredi: a) A(x) + B(x) - C(x)=

    b) A(x) - B(x) + C(x)= c) C(x) - (A(x) - B(x))=

    (R: a) - 6x2 - 5, b) 4x4 + 10x3 + 4x2 + 6x - 3, c) 2x4 - 4x3 - 2x - 7)

    3. Za polinome iz prethodnog zadatka provjeri da li su tane relacije: a) A(x) + B(x) = B(x) + A(x) b) A(x) + (B(x) + C(x)) = (A(x) + B(x)) + C(x) c) A(x) - (B(x) + C(x)) A(x)- B(x) - C(x) d) A(x) - (B(x) - C(x) = A(x) -B(x) + C(x) e) A(x) - B(x) = B(x) - A(x) f) A(x) - C(x) = C(x) - A(x) (R: a, b, c, d su tane relacije, e i f su netane relacije)

    4. Odredi suprotni polinom polinomu: a) P(x) = x3 + 5x2 + 6x + 1 b) Q(x) = 3x3 - 6x2 + 16x - 7 c)R(x)=x3-x2-x + 2 ' (R: a) -x3 - 5x2 - 6x - 1, b) -3x3 + 6x2 -16x + 7, c) -x3 + x2 + x - 2 )

    A 4 I U T I I I . . . . . / C I . | O polinoma, primijenit emo zakon distribucije mnoenja u odnosu Hii iniinnn lc Cinjcnice slijedi:

    |i|iiiniiii l\\) i Q(.\) mnoimo tako da svaki lan jedncig pc linomal HII tlni|'ii|> piilinoma i dobijene proizvode saberemp. j ) ) ' ; I

    po JSAF

    CiirtHni 'ni piilnii'iiK1: / t U . I i Q(x) = x + 3 j

    I I I . I ( , i . 1 ) ( x + 3 ) V

    lx' + x + 3x 2 -9x + 3 = i s ' r 3 : '

    tuil tl\ i |.iilniiiiiui je polinom. ' iiii |..i|iii'.in. iitii -. se obaviti primjenom sheme po kojoj parcijalne proizvode treba

    iitii! i ,|uiil isiuiiiK'iiih, a onda ih sabirati, i to na ovaj nain: tMii'.li |mii/vinl poltnoma:

    I V t ( t ' l- l) (x + 3) = 1 - 3x2 + x

    1.V2 - 9x + 3 - 8x + 3

    tr |tii. fi iiit (l.i vi i|cde osobine: 4 I F I . | 1 1 ' I ) ltl\)) ^(P(x)-Q(x))-R(x) n-iii I | . I I M . I I M iiino/enja polinoma ll'l'l 'iui ( (.\) P(x) I titiiiihiin iiir.l mno/enja polinoma i /'(I (x - 2 v1 - 5x2 + 7x - 2 = C(x) : ^- t i ii(ii ni. i|ii'ii, (li|cl|eiijempolinoma C(x) sa, naprimjer A(x), treba da dobijemo polinom ptit' |i iiiiin iii

  • Definicija: Polinom A(x) djeljiv je polinomom B(x) ako i samo ako postoji polinorn Q( \), Irt da je

    ; A(x)=B(x)Q(x)

    Primjer: Odrediti kolinik polinoma P(x):Q(x) ako je

    P(x) =x4 +4 i Q(x) = x2 + 2x + 2, pa utvrditi da je polinomP(jc).djeljiv polinomom Q(x). Rjeenje: (x4 + 4 ) : (x2 + 2x + 2) = x2 - 2x + 2

    -(x + 2x + 2x2) -2x3-2x2 + 4

    -(-2x3 - 4x2 - 4.v) ' 2x2 + 4x +4

    -(2x2 + 4x + 4) 0

    P(x): Q(x) = x2 - 2x + 2, a ostatak dijeljenja R(x) = 0. Dakle, polinom P(x) je djcljiv poluiiiiin Q(x). Provjera se moe izvriti mnoenjem, jer je:

    (x2-2x + 2)-(X2 + 2X + 2)=X4+ 4 (Provjeri!). Bezoutova teorema (itaj Bezuova teorema)

    Teorema: Ostatak dijeljenja polinoma P(x) sa (x - a) jednak je vrijednosti P,.(.\) 7i\ \ w f| ostatak je jednak P(a).

    Dokaz: Pri dijeljenju polinoma P(x) sa (x - a) imamo

    P(x) = (x- a) P.i(a) + R, gdje je ostatak R. A k o j e x=a imamo:

    P(a) = (a-a)PllA(x)+R, tj. Pn(a) = R , a time je teorema dokazana.

    Iz ove teoreme vidi se d a j e x = a nula polinoma P(x) ako i samo ako je P(x) djcljivo sn (\ >i)

    Primjer: Koristei Bezoutovu teoremu, izraunati ostatak dijeljenja polinoma

    (4x4 + 2x" + x2 + 2x + 1): (x - 1) Rjeenje:

    P(x) = (4x4 + 2x3 + x2 + 2x+\):(x-\) P(\) = (4 l 4 + 2 l 3 + l 2 + 2 1 + 1) P(\) = 10 tj. fl=10.

    Slino dijeijenju cijelih brojeva sa ostatkom, moemo govoriti i o dijeljenju polinoma sa oi.i.til>niM Pokaimo to na primjerima.

    Primjer: Dijeljenjembroja 9658 sa 38 dobili smo kolinik 254 i ostatak 6. To moemo pis.iti:

    9658 = 3 8 - 2 5 4 + 6. Analogno, dijeljenjem polinoma (15x2 - 33x -17 ) sa polinomom (5x+2) dobili smo koliink (3x - 7) i ostatak (-4x - 3), pa to moemo pisati:

    15x2 - 33x - 17 = (5x+2) (3x - 7) + (-4x - 3).

    * 11 Ifn i n'i : (jt + 3) = 2x2 -3x-7 B B I M ' v :; . l ( . t , ;?

    li Kn i a BBBB^'' ; ' "" B B B B i i f e . . B B B B B ^ : ' ' ' ; ; .' ' \ ; ;; '

    I i n jeostatak (hHliioui I H I I iljclpv sa (x + 3), mora ostatak biti:

    ( t \ ( I I K I I I I I S I I O it - 2 1 . . iii.lhn'iii'iiiil.i |)i.Vn>: ' i l , ' II,. I i nn ifi H-i LI' KM ) I i on j e djeljiv sa binomom (x + 3). (Provjeri!)

    fittiiiii! (V i ' l II l ) I x3y + x2y2+xy3+f "

    B K " ; ' : !.;);" ; vtnjis

    | t 1 | iV,') - H ; r.M.-Uta - . ^ r - , .:,: ; . .

    ( i V V ) B B B B B 8 t & r ' . . ' ' -

    o V ^ ! )

    iV-.v5) J B B B B f c ' - - - - 0 ' *>->>> iiid'i iilvuliti da ]e b ' t (' i')' (x4 rX3y+x2y2+xy3 +y4)

    i >-i4ltiii iii i/ ovc rclacije?)

    (/ii nl\rili\anje

    l'u.i u l / ' i i i )( v) polinoma ako je: /'i'l i' i 1 I b)P(x) = x2 + x+\

    t'i.i i i I Q(x) - x - 1 M'II) I I 2x+ 1 d)P(x)=x6-x4 + x3-x2 + x-1

    lN * i i ' .\' 1 2 v - 1 Q(x)=x+ 1 iH .1. I l'i v1 - 1, c ) / - l , d) x7 + x6 -x5 - 1)

    i (ii'liiiiuiii / ( i) i B( \). Odredi polinom A(x): B(x) pa mnoenjem provjeri rezultat. 1 I ' B(x) = lx + 2 i Iki . ' . i 2xJ_d) A(x) --'x3 + 2x' i 2.v ! 1

  • a; \f\x' + ix- + x' + ix + l ) : {x -1) b) (x4 +x3 - 5x2 + 6x - 2 ) : (x + 2) (R:a) 10, b) -26)

    4. U polinomu P(x) = x4 + kx2 + k2x - 10 odredi k tako da polinom bude djeljiv sa (v i .') (R: k = -\)

    HORNEROVASHEMA

    Wiliam George I-Iorner (1786.-1837. god.), engleski matematiar. Homerova shema je zapravo postupak (algoritam) dijeljenja polinoma P(x) sa lineaiiiiin l.il-u (x-a). Hornerovim postupkom se brzo i jednostavno izraunava vrijednost polinoin.i, /n posebno ostatka dijeljenja linearnimfaktorom (Bezouteova teorema). Ako je dat polinom:

    P(x) = citpc" + a\x"A + ... + an.tx + a, a00 Onda se dijeljenjem tog polinoma linearnim faktorom x-a dobije polinom:

    Q(x) = box"~[ + b\x"'2 + ... + bn.2x + bn.u b*0 i ostatak broj P(a) , tj. P(x) = (x-a)Q(x) + P(a)

    Polinom P(x) ima stepen "", polinom Q(x) ima stepen "- /" , a ostatak P(a) j e broj. Koeficijenti polinoma Q(x) se dobiju na slijedei nain:

    b0 = a0 !>i - at -t ab0 b2 = a2 + a b\

    bn-i = an_ i -l- abn_2, a ostatak P(a) = an + abn.\.

    PRIMJER 1. Primjenom Hornerovog postupka izraunati koeficijente polinonia Q(.v) i min P(a) ako polinom

    P(x) = 5x4 - x3 + x2 - 7x + 6 treba podijeliti sa x-3! Rjeenje:

    ba - - 5 bx = a\ + ab0 = -1 + 3-5 = 14 b2 = a2 + ab\ = 1 + 3 1 4 = 43 b3 = a3 + ab2 = -7 + 3-14 = 122 i P(a ) = P(3) = 6 + 3-122 = 372 I

    Prema tome koeficijenti polinoma Q(x) su: 5, 14, 43 i 122, a ostatak P(3) = 372 Polinom P(x) se moe pisati u obliku: s

    P(x)- (x 3 )Q(x) i P(3), odnosno 5x4 - + .v2 7.v i- 6 -(x - 3)(5.v3 + 14.v2 1 43x l 122) i 372.

    Izraunavanje koeficijenata polinoma Q(x) i ostatka broja P(3) se moe oba\ili bi/.e i |ciliin-.i nijc na slijedei nain:

    -1 5 -1 +3-5=14 1 +3-14=43 -7 + 3-43=122 6 + 3 - 1 2 2 - J 7 2

    '5 -1 1 -T"r~" 6 ' '" F f l 14 43 122 372 =>P(3) = 372,

    I finfiiiimm Q(x) su 5,14,43 i 122. iMnftimiv.tnia koeficijenata polinoma Q(x) i ostatka P(3) j e slijedei: 'tililiiliii Imije upisujemo sve koeficijente, od najvieg stepena do slobodnog lana datog t'l 11 II '.lufiiju da je neki od koeficijenata jednak 0, upisujemo i njegovu vrijednost. U 8|u =.II iii l.in'licijenti: 5 ,-1, 1,-7 i slobodni lan 6. itlii.ilni, .i lijevo od vertikalne linije upisujemo vrijednost a ( u naem sluaju j e to 3).

    nil i l nliii' linije upisujemo a0 = b0 = 5. Ostale vrijednosti koeficijenata i ostatak izrau-Iti.t i.'lii/ciiom postupku:

    I , ii, i . nti iui,iii)t obavljamo usmeno i upisujemo samo vrijednosti koeficijenata polinoma

    l l ' i n |r, il.t |i- ii sluaju P(a) = 0 (ostatka jednak 0), onda je x = a, nula polinom (rjeenje

    tiiljiii\iii.i|iu'e jednaine P(x) = 0). jftuiiii iiiw slteine mogue j e rijeiti jednainu vieg reda samo ako su rjeenja jednaine

    Hti|iiiiliui|> rl.tn.i, i in iiii |iiini|einna. flnim iiivi', ii|ei jednaine:

    l'(v) v2 + 5 x + 6 = 0 t|r h ii/ii Mi d|i'lioci slobodnog lana 6, tj. 6, 3, +2, +1. Jt'iln.ii uiii ilui|>og reda (kvadratna) od 8 brojeva, rjeenja mogu biti samo dvije vrijednosti.

    t >1111 [i n'ilno rjeenje jednaine x2 + 5 x + 6 = 0, x = -2. I _ 5 6 _

    1 I 3 0 => x\ = -2 j e rjeenje jednaine jer je P(-2) = 0.

    Ut.l t i l {|.| , 'i i I- 6 = 0 i i ' n l ( . 1 ) Q(x) + P(-2) (P(-2) = 0)

    i i. 1 2)(x + 3) = 0 tj. } f ' l d i l) 0

    fJMUi|. |i i \ (Zato?) l ^ M ^ ^ S : ! . . ' : ' " ' . ' " ' " ' ^ n ^ ' " ^ ^ ^ ^ K j g K l f ? : . . , , : ; ; ....,, J J .:!;;;

  • L Pomou Hornerovog algoritma izraeunaj ostatak dijeljenja polinoma sa

    a) b)

    d)

    pW ' 3a-4 + 12xJ - 6x' ~ 36x +27 P(x) = 6x4 - I3x3- 27x2 + 40x - 12 V{x)=xs-2x4 + x3+x2- 2x+\ P(*) = 2xs + 3x4 - x3 +x2~x + 2

    sa + 3) sa (x - 3) sa (x - 4) sa (x 1)

    2. Neka su dati polinomi P(,). Odredi koefieijen.e polinoma Q(,) i os.atak P(a, u , , 1 , , a x - a - x - 1

    -.4 o..3 , , . : a x - a = x + ^ :

    a) P(X)= X3 + 2X2-b) P(*) = c) P(x) =*'

    2x3 -x2 + 2x 3x + 2,

    3, -3x3 + 2x2-x + 5, x-a=x-2

    3. Pomou Hornerove sheme rijei jednaine: a) x2 3x + 2 = 0 b) 7x+ 12 = 0 c) x3 - 6x2 + 1 6 = 0

    Rjeenja:

    1.

    2.

    a )P( l ) = 0, b) P(3) = 0, a) Q(x) =x2 + 3x, b)Q(x)^2x2-5x+\2, c)Q(x)=x3~x2~l,

    c) P(4) = 585, d)i ' ( l ) (,. P(l) = 2 P(-2) = -27

    P(2) = 3 3. a ) , i = 1,

    b ) * ( = 3 , c) = 1,

    ,2 =2 X2 = 4 X2 = 2, X3 = 3

    2.6.4. Stepenovanje (potenciranje) zbira i razlike Ranije smo nauili da je:

  • a )[x+y)'= x y + 5xy' + 1 0 x J / + 1 OxY + 5 x ' / + x"y5 = = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5 xy4 + /

    b) (x - y)4 = x4y - 4x3yl + 6x2y2 - 4x'y3 + xy4 = = x4 - 4x3y + 6x2y2 - 4xy3 + y4

    c) (a + bf = a'b0 + la%x +2\a5b2 + 35a4b3 + 35a3b4 + 21 a2b5 + 7ab6 + a'b' = a + lab + 21 a5b2 + 35a4b3 + 3 5 a V + 2la2bs + labb + b1

    d) (x - 2)5 = x 5 2 - 5x4 21 + 10*3 22 - 10x2 23 + 5x' 2 4 - x 25 = = x5 - 10x4 + 40x3 - 80x2 -i- 80x - 32

    Napomena: Iz prethodnih primjera treba zakljuiti: 0 kako se raunaju koeficijenti u razvoju stepena binoma, 0 kako se raunaju izloioci sabiraka u razvoju, 0 kako se dobijaju predznaci pojedinih sabiraka, 0 koliko svaki razvoj ima sabiraka u odnosu na izloilac binoma.

    Zadaci za utvrivanje

    1. Obavi kvadriranje binoma: a) (2.x + l)2 = b) (1 + 3x)2 = c) (2x + 3 y ) 2 = c) (2abc+ l)2 =

    2. Obavi kvadriranje binoma: a) (a - 2)2 =, (a + 7y)2 = b) (2a - 3)2 =, (4x + 5)2 = c) (2ax - 3)2 =, (3a - l )2 = d) (abc - xyf = (6ax - 5bf

    3 __ 3. Kubiraj izraze pomou formule za kubiranje:

    a) (x + l)3 ~, (a + 2f ~- b) (xy t- 2f =, (1 -2x) c) (xy - 2)3 =, (3x - l)3 = d) (abc -1 )3 =, (2cix - 3 f

    (3a + 4bf = (a-2bcf =

    4. Obavi naznaene operacije: a) (x + 2 f + 3(x - 3 f - 4(x - 4)2 = b) (a - 2f + (2 + af + (a + l )3 = c) (2a -1)2 - (1 - 2 a f + (2a + l )3 = d)(a + b +1)2 = f) (3x + 2y- 4f = e) (2a -b + 3f = %)(a-3b + 3xf =

    5. Pomou Paskalovog trougla, stepenuj binome: a )(x + y f = b )(x-yf = c) (2a + \ f = d) (1 - 2 a f =

    6. Provjeri stepenovanje pomou Paskalovog trougla: a) 125 = 53 = (2 + 3)5 : b) 128 = 27 = (1 + l ) 7

    c) 243 = 3 =

    7. Stepenuj binom pomou Paskalovog trougla: a )(x + y)n= b )(a-bf2= c ) ( 2 a + l ) (Napomena: Rjeenja su ovdje namjerno izostavljena.)

    Ko nema domovine, nema potovanja (od drugih). (A rapska poslovica)

    F. I I I M | ( I C iil .i | > I nijenu u praksi, posebno za skraeno i bre mnoenje, jer im it |iiui vmlii t.kIi, moemo odmahpisati rjeenje naznaenog proizvoda.

    liitiitti ftif'iiiiiiiii Ibiinulama koje se pamte.

    hvnilinfii

    M H - ' I I I i i K , I lnnonia oblika:

    Iif /-! ii uh i ub-b1, p a j e ii /(i ii' h' na/.iva se razlika kvadrata. ' Ifn 11 >Mii.i vrliku nrimjenu. Treba samo uoiti o kakvom se proizvodu radi, pa

    MII |ii-nili itvi llal mnoenja binoma. Dakle, formula za pamenje je: . . . 7

  • {a + b)(a1-ab + b1) = ai + bi ili a1 + b3 = (a + b)(a\- ab - / r .

    Primjeri: 1. Primijeni prethodnu formulu:

    a )(x+y)(x2-xy + y2)=x3+y3

    b) (3 + 2)(9 - 3 2 + 4) = 33 + 23 = 27 + 8 = 35 c) (5 + 2a)(25 - 10a + 4a2) = 53 + 8a3 = 125 + 8a3

    d) , - + 2a 15 ,

    9 6 27 3 - - a + 4a 2 + 8a 25 5 , 125

    Zadaci za utvrivanje

    1. Obavi naznaene operaeije primjenom formule za razliku kvadrata: a) (3 ! 5fc)(3a - 5b) -b) (rt2 - b2)(a2 + b2) = c) (a* ( / / )(a r - bx) -(R: a) 9a2 - 25Z)2, b) a4 - b\ c) a 2 t -

    2. Primjenom formule, odrediti proizvod: a) (a - 5)(a2 + 5a + 25) = b)(x2-y2)(x4+x2y2+y4) = c)(xa-y)(x2a + xayb+y2b) = (R: a) a3 - 125, b ) x 6 - y 6 , c)x3" -y3b)

    3. Primjenom formule za zbir kubova, odrediti proizvod: a) ( , + 5)(x2 - 5x+ 25) = b) (a -1 )(a2 - a + 1) = c) (a2 + b2)(a4 - a2b2 + b2) = d) (x" +y'')(x2" - x"y1' +ylh) (R: a) a3 + 125, b) a3 + 1, c) a' + b6, A)x3" -yb)

    4. Napisati u obliku razlike kvadrata: a) (a2"' 1 - b3")(a2"' 1 + b3") b) (x - l)(x + l)(x2 + 1)(,4 + 1) = c)(x"-y")(^+y")(x2"+y2")^ d) (V" -y3")(x2" \ y3") -(R:a )a 4 " + 2 -b 6 " , b ) x 8 - 1,

    2.8. RASTAVLJANJE CIJELIH ALGEBARSKIH IZRAZA NA FAK'tO

    B N I I I " . T ! \ I ' I M . I proste taktore.

    i ' l "'(* i'l'A' i ;') ti * - i i im iv ljen na tri faktora 5, (x-y)i (x+y) i svaki je prost.

    I fia {uvi. i|> hii racionalnih (algebarskih) izraza ima vanu primjenu kod operacija (jrt'inn ilmli i/i i ' i (razlomaka).

    j i-it ni'iii iiini pn'.liipke rastavljanja cijelih algebarskih izraza. t- ali |n iiii (piiii ncije) na faktore oblika:

    ^ V . : ; r - % % u; (./) (a \ bj [a + b)j

    l ' i M v v)-(x-y)'-ix-y) j.

    Iifc- iiiiiiiiiiini n i i iktore je jednostavno, jer je monom samo naznaeni proizvod, i- 1 t i v ' j ' ^ '^ - . r? , 1.1 ' hi' } / a - b> (a+ ~b) (a+ b)

    Iiiiinliii l/i ii/i' ili polinome rastavljamo na faktore, zavisno od oblika i sloenosti. fiMftf I f t IMl I 'it I | ilj'i'barskim izrazom - polinomom, u kome se u svakom lanu nalazi

    J|filiii 11 imii '.lu.iju, zajedniki faktor se izvlai pred zagradu. To je obrnut postupak niiliini iiiim/cnia u odnosu na sabiranje. Ihi >/' //.'i i />l= : U', fnr' U.m ii l)(' i ab + b2)

    ('i* />' l.f f>)Uil \ a2b + ab2 + b3) * I./ !>)(a i a3b + a2b2 + ab3 + b4) itd.

    {.ntiiu ii.i .i-.l.iv janjo razlike pod c). Primijetimo sljedee: si J' 11 lil .i (

  • '.Ci - i.j\U T Z T t j ..,,.,,. b) 3*3 - 3 = 3(*3 - 1) = 3(*-l)(;c2 + x + 1) c) .v5-1 - 1 ) ( / + xi+x2+x+l)

    X1 - / {x -y)(x6 i a-V2 f- x 3 / -' x2y4 + xv5 + / ) itd

    6. Rastavljanje na faktore zbira stepena jednakili neparnih izloilaca slino |i> pitlhi samo to je prvi faktor zbir, a drugi faktor dobije se na isti nain, samo to su predznaci n:il/lljj pozitivni i negativni:+,-,+,-,.. .-,+. To su zbirovi oblika:

    a) a3 + b3 = (a + b)(a2 -ab + b2) c) as + b5=(a + b)(a4 - a3b + a2b2 - ab3 + bA) d) a1 + b1 = (a + b)(a6 - asb + a4b2 - a3b3 + a2b4 - ab5 + b6)

    Primjeri: a) 27a3 + 27 = 27(a3 +1) = 27(a + l ) ( a 2 - a + 1) b) 2a3 + 54 = 2(a3 + 27) = 2(a + 3)(a2 - 3a + 9)

    - c)a5 + l = (a + l)(a4-a3+a2~a+ l) ;

    7. Rastavljanje na faktore primjenom kvadrata i kuba binoma. To su izia/i oblik.i &)a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = (a + b)(a + b) b) a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 = (a - b)(a - b) c) a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b) d) a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3 = (a - b)(a - b)(a - b)

    Primjeri: a) A-2 + 10x + 25 ~ (x + 5)2 - (x + 5)(x + 5) b) 4x2 - 12xy + 9y2 = (2x - 3y)2 = (2x - 3y)(2x -3y) c)x3 + 6x2+12x + 8 = (x + 2)3 = (x + 2)(x + 2)(x + 2) d) x3 - 9x? -l 27.1- - 27 - (x - 3)3 - (x - 3)(x - 3)(x - 3)

    8. Rastavljanje na faktore kvadratnog trinoma. Mi emo se baviti rastavljanjcm kvmli.i trinoma jednostavnijih oblika. To je sluaj kada se linearni lan moe napisaii kao alyeli.tr.lil dva slina monoma, ali tako da je proizvod koeficijenata tih monoma jednak slobodiiinii 11 Napominjemo da se linearni lan trinoma moe napisati na beskonano mnogo naiiiii, iili tf dinstven nain da im i proizvod koeflcijenata bude jednak slobodnom lanu. I'ak.r ii.in .Imii kvadratni trinom rastavlja se metodom grupiranja i izdvajanja zajednikog fakloia pieil /iij'nn Primjeri:

    a) x2 - 5x + 6 = x2 - 3x - 2x + 6 (jer je -3x - 2x = -5x i (-3)(-2) = 6) = x(x- 3) - 2(x -3) = (x -3)(x - 2)

    b) x2 - x - 6 = x2 - 3x + 2x - 6 = x(x - 3) + 2(x - 3) - (x - 3)(x + 2) c) a2 - 9a + 20 = a1 - 5a - 4a + 20 = a(a - 5) - 4(a - 5) = (a - 5)(a - 4)

    Zadaci za utvrivanje

    1. Rastavi na faktore polinome: a) 2xy + 2xz - 2xu b ) ax + bx + cx + dx = c)ax-ay + az-au= d) axy + axz - a2x = (R: a) 2 x(y + z-u), b) x(a+b + c + d), c) a(x -y + z- u), d)ax(y -))

    V\ < h{\ i i') b) x(a + b) -y(b + a)= ' ~ l l ' l r *) d ) a ( x - y ) + b(x-y) = /') ' t(/ ,i) f ) x(a - b) - (b - a) -

    * ) ! / ' . . b) (a + b)(x-y), c)(x-y)(a- 1) t j |h .)(.! />), e) (a -b)(x -y), f) (a - b)(x + 1))

    i ' b) a2bx2 - a2b = < fi\ i "i h'v d) ax2 - 3bx2 + 3by2 - ay2 =

    V ii V l/'V i 4a2b2 = f 'l i g) a2 -(a- 2)2 = 41 it.i / ii.t 'n b) a 2 6(x- l ) (x +1), c)(a -Z>)(z + &)(x+iy) rtiln i ')(\+j/), e) (x - a)(x + a)(y - 2b)(y + 2b) f l l t ' i>)(% i ?--' >'). g)4(a -1))

    fitl.ii nr ij ' ' . M ' . ' b) ax2 - 2ax + a =

    fni'. i W' d) x2y2 - 14xy + 49y2 = ' t,'h ' 'hi'h' f)a6-10a5b + 25a4b2 =

    ' Hm' >>'!,' i Hl / h) as - 2a4 + 1 = i Ril.i < .)'. I.) ,i(x - l)2, c) 3a\x - a)2 d) (xy - 7yf

    . I . I ' I K I U>)'. I) a4(a - 5 f , g)(4a2-9b2f h ) ( a 4 - l ) 2 )

    |1M litl'lilll' i ' 1 /. b) a5 + 642 - c ) 1 2 8 a 3 - 2 = . . . . . . . .

    j f l i ' ' HltlDu'' e) - 125 b4 - f) 125 - 8a3 = | r . n ' / . ' ' 10 h ) 6 - L = |H "I /'(" 1 - 3a i- 9) b) a2(a + 4)(a2 - 4a + 1 6 ) c) 2 ( 4 a - l ) ( 1 6 a 2 + 4a+l )

    i l i . i . HI. H . ' - 10.vv + 100 / ) e) b(a -5b)(a2 F 5ab L- 25b2) I M ' , ( ) ( . " . ' 1 0 \- 4b2) g) 5(ab + 2)(a2b2 -2ab + 4 ) L I L L I I D I K ' I a < I ) ( + I ) ( a 2 - a I 1 ) )

    , h) v2 -Sy + 7 = fh

  • U raspravi se vidi ovjekova /iti-m (/lhlfi\iil

    Posmatrajmo izraze napisane anaiitiki u obliku:

    X2+X+2 , 2a2+a + 5 . ' X Z + 3y + 2 . , -,x * 1 , .. ,a & -3, ., ,x 2 , itd.

    a+3 x-2 Zapisi napisani pomou realnih brojeva (konstanti), promjenljivih i racionalnih op'-i.i. i|rt i nja, oduzimanja i dijeljenja kada je djelilac razliit od nule) nazivaju sc algcbaisltl iii^t

    x2-2y+~' (racionalni) izrazi. Tako u algebarskom razlomljenom izrazu - \ ^ ? iioOiUiiitftt

    x-2 uformiranju izraza upotrijebljene konstante 1, 2, 3, promjenljive x i y i simboli opcim i|n '*, Algebarske razlomljene izraze obiljeavamo velikim slovima latinice (A. B. C', /', (>, ), g gradi pored njega pisat emo promjenljive koje uestvuju u izrazu. Tako cmo ovnj nl(l raziomljeni izraz obiljeiti sa A(x,y). Algebarski racionalni izraz je, zapra\o, fuiiKi IJM ilnt mjenljivih koja preslikava R R.

    Deilnicija: Funkc i ja / : R -> R, iz sknpa R u skup R (realnih brojeva), data analitilvi -..i

    Q(x) pri emu su P(x) i Q(x) cijeli racionalni izrazi (polinomi) i Q(x)i= 0 naxi\a sc r:i/liiml|i un i nalna funkcija jedne promjenljive.

    Definiciono podruje (domena) D(f) ftmkcije/je skup svih vrijednosti i/ R / a ko c l.i (uiiU poprima konanu, odredenu i realnu vrijednost, tj.definirana je za sve vriicdno.sti pioiii|i'iiI|t? za kojc je cijeli racionalni i/.raz (polinom) Q(x) * 0.

    Primjeri: 2 ^^ j

    a) Funkcija f ( x ) = je prava razlomljena racionalna funkcija, jcr jc sk-pi-n ii;t x -5x +6x

    nika vei od stepena brojnika. Definirana je za sve vrijednosti promjenljn c /a kojc jc-x3 - 5X2 + 6x#0, tj. x(x2 - 5x + 6)^= 0, a onda je : x(x - 3)(x -2)s0

    Dakle, funkcija / definirana je za xeR, x^0,x&2 i x 3, tj. / ) ( / ) - - / A { 0 , 2, 3}.

    + x +1 b) Funkcija f(x)= je neprava razlomljena racionalna fiinkcija. icr jc stcpcn lmi|ii

    x + l ' " ' ' ! " * ' " vei od stepena nazivnika.

    Svaki razlomljeni racionalni nepravi izraz (fimkcija) moe se napis.iti u obliku /lunt jelog i razlomljenog pravog algebarskog izraza, tj.

    (2x -1) + JC + l

    1 I I I M nule, tj. j(x) = 0, za x2 - 1 = 0 i x2 + 5x+6# 0,.odnosno i i i (i

    - W I Kv I) = 0, a t o j e i I 0 -> . . x = 1, ili * J 0 -> =

    IJfr l|ii,i ilva razlomljena racionalna izraza

    B(x)*0 i g ( x ) = ^ l D(x)*0 B(x) D(x)

    i k n tiluilu'lvi |ci l-'i" pod b)

    , ,omjcnlj\e fonkcija nije definirana?

    >tl/lt | , i 1

    x+l

  • a) Funkcija nije definirana za x = -1 b) Funkcija nije definirana za x2 - 4 = 0 (odnosno * = -2 ili * = 2)

    3. Odredi nule funkcije:

    a)f(x) = 2x + \

    x2+l b)f(x) = 5X-\2

    x + \ Rjeenje:

    Iz f{x) = 0 => a) 2x + 1 = 0 1

    ti. x = J 2 4. Ispitaj da li su funkcije (identiki) jednake:

    . x + \ , . , . 10x2 a ) / ( * ) = 7, ^ l ' t , x -1 2x - 2x

    5x b)f(x) = x * \ i ( * ) = 10x ' 2X 2 -2X

    b) 3x - 12 = 0

    tj. x = 4

    , x 0, * 1

    , x ^ 0, x

    Rjeenje: a) ne b) da (Zato?)

    2.9.1. Proirivanje i skraivanje algebarskih razlomaka

    Teorema: Ako brojnik i nazivnik algebarskog razlomka podijclimo istim broien >l> racionalnim izrazom, razliitim od nule, vrijednost algebarskog razlomka nee se pion

    g(*) g(x): i'il', l| svesii na jednostavniji oblik:

    II' h' (

  • " " " " """ k + 2 0 + 2 2

    k2 - 2 ( -4) 2 - 2 14 Z a * = -4,mamo = _ _ - = = - 7

    a brojevi -1, -7 i -2 e Z. 4. Skrati razlomke:

    |,-2| a ) 2 , - 4

    b) a 2 - 1 a + 1

    Zadaci za utvrivanje i vjebu

    1. Za koje realne vrijednosti argumenta je razlomljena racionalna funkeija: l(x + \) 2 a - 3

    3 ) 1 2 . V U - 3 ) a 2 ( a 2 - 4 ) x2-2y 1N a 2 +5a + 6 .. . (.-> d) deiinirana

    J 5 x - 5 y / ( a - 3 ) ( a + 2) (R: a ) x * 0 i x * 3, b) a * 0 i a *2 , c ) x * y , d ) a * - 2 i a * 3 )

    2. Odredi definiciono podruje (domenu) funkcija: 2x2 - 8 4 a 2 - 1

    a ) - A*2 - 4 x + 4 8a3 - 4 a 2 - 2 a + 1 ' x-2 n ' c) d) .t2 - 8 x + 1 5 a - 3.v + 2.v

    1 1 . (R: a) VxeR\{-2, \, 2), b) V x e / ? \ { - - , - } ,

    c) V.ve/?\{3, 5}, d) Vae/?\{0, 1, 2}) 3. Odredi nule funkcije:

    , , , , 2 a + 6 , . , x2 - 9 a) f ( x ) = b) f ( x ) = -

    a + 3a + 2 , x2 +6x + l 2x-\ ^ r, ^ 3a+ 2 ,v + 5 a + 4

    1 2 (R: a) a -3, b ) * = 3, c)x = - , d ) a = - - )

    4. Skrati razlomke: . 2x + 4 v , , 5a2 -10a/>

    a) b) r ' !>x + 6y 7 a 3 - 1 4 a 2 / )

    (q + fe)2 +q + /> d) (a-b)2 -a+b C' a + b +1 3 (R:a) b) ,a* 0,b*-, c) a+b, a+b*-\, d) ,a*b)

    3 la 2 ->

    , .v" -I-3.V 10 , , . r - i 6.V - 2 7 a) - 5 b)

    x -5x +6 xA + 2.v - 63

    A X2+2X-35 ,. a2 + 3a - 4 0 c ) "1 d ) -13,v + 40 a 2 + 2a - 3 5

    x + 5 3 (R: a) - , x * 3, x * 2, b) ~,x*l,x-9,

    x - 3 , v -7 , -v + 3 a + 8

    c) -,x*8,x*5, d) r , a * - 7 , a * - 5 ) x o a + /

    fi I iiilc- ni/lomke svedi na zajedniki nazivnik: , 3 x JC + 5 x-l x + \ 3 + x, , a + l a - 1 3a

    J ) T> T ' ~T7~ > b ) . . c) , - , 4 3 24 x 2.v 8.v a 2a a - 1 ,, x 3 5 . 1 a: 2x

    d) 7' . , > "7' e) x-4 x2 - 1 6 x + 4 , v 2 ~ l ' .v2 + 2.v 1 ' x2 -2x + \ - 3 3 - 5 . a + b a-b a + 1

    0 r ~ T ' 7 ' ' s) x2-\' JC + I ' x ' a-b' a + b' a2-b2

    M Micditi cijele vrijednosti izraza:

    , x 2 - 3 a 2 - 5 , x 2 - 4 ,, x 2 + 3 , x . . a) b) c) d) , pn emu su x i a cijeli brojevi. x 2 a+2 x+2 x+1

    (Uputstvo: Vidi primjer 3 prethodnog izlaganja.)

    / 10 TRANSFORMACIJA RAZLOMLJENIH ALGEBARSKIH IZRAZA

    Ko jue bi u oblacima, danas ga vidimo pod zemljom.

    (Narodna izreka)

    \li-i l'.u ki racionalni razlomljeni izrazi mogu biti napisani i u sloenijem obliku: kao zbir, razli-li i pioi/vod ili kolinik dva ili vie, jednostavnijih izraza. Transformiranje takvih izraza obavlja -i |Hiiii|cnom operacija: sabiranja, oduzimanja, mnoenje i dijeljenja algebarskog razlomka.

    ^10.1. Sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka

    II i, B, C i X brojevi ili cijeli algebarski izrazi, onda zbir (razliku), kao to je poznato, jiiii'iiii)

    A B C A+B+C + + = , X*0 X X X X

    l'H'ina tome, algebarske razlomke jednakih nazivnika sabiramo tako da im saberemo brojnike, a i.imii ke prcpiemo.

  • -.,-:, - - ' __ V" "/ V."'*' -') -1 x2-l x2-\ x2-\

    3x-2-3 + 5x-6x + 3 2x-2 2(x-\) 2 , . v ^ = , x * 1 l x-A-\

    x2-\ x2-\ (x -\)(x + \) x + \

    Ako nazivnici razlomaka koje sabiramo nisu jednaki, prvo ih treba svesti na zajedniki nazivnik To obavljamo traenjem najmanjeg zajednikog sadrioca (NZS).

    Primjeri:

    Obavi naznaene operacije

    a) - + ?- + NZS(2b,6a,b,3a) = 6ab 2b 6a b 3a

    92 -h2 +6a2 +4b2 \5a?+3b2 3(5a2+b2) 5a2+b2 u n = : = , a, bsi) 6 ab 6 ab 6 ab 2 ab

    a + 2b a-2b (a + 2b)(a + b)-(a-2b)(a-b) _ b).

    a-b a + b (a-b)(a + b)

    a2 +3ab + 2b2 -a2 + 3ab-2b2 6ab (a-b)(a + b) a2-b2

    9/7 T. c)

    a & b i a -b

    2a 3a +2a + \ a + 1 + = a-1 a - 1 a + a +1

    _ 2a(a2 + a +1) - (3a2 + 2a +1) + (a + l)(a -1 )

    ( a - l ) ( a 2 + a + l)

    _ 2a3 + 2a 2 + 2 a - 3 a 2 - 2 a - l + a 2 - 1 _

    a 3 - 1

    a - 1 a - 1

    2.10.2. Mnoenje aigebarskih razlomaka

    Ako su A, B, C, D brojevi ili cijeli algebarski izrazi, pri emu su B * 0 i D * 0, onda proizvod razlomka definiramo formulom:

    A C A-C n , 5*0 , D*0 B D B-D

    Dakle, proizvod dva algebarska razlomka jednak je koliniku proizvoda njihovih brojnika i pro-izvoda njihovih nazivnika. U sluaju da su brojnici i nazivnici polinomi koje moemo rastaviti na faktore, to prvo uinimo, a onda se mnoenje svodi na skraivanje razlomaka, te tako svodimo izraz na jednostavniji oblik.

    I II II v I naziiatcnu nmoicnjc

    .,2 x" - 4 x + \ (x2 - 4)(x +1) a)x2 + x'x2-2x (x2+x)(x2-2x)

    (x-2)(x + 2)(x + \) x + 2 x(x + \)(x(x-2)

    B

    a 2 - 6 a + 8 3 V 2 - 3 y _ a 2 - 4 a - 2 a + 8 3 y ( y - l ) y-y3 ' 2 a 2 - 8 a y(\-y2) 2 a ( a - 4 )

    D a ( a - 4 ) - 2 ( a - 4 ) 3 v ( y - l ) _ ( a - 4 ) ( a - 2 ) D ~ l)0 + l) 2 a ( a - 4 ) -^Cv- I )Cv + l) 2a(a-4)

    ) = , za ,y*0 ,a*4 ,y*\iy*-\ 2a(y + \) ~

    a 3 + 27 a-3 C) a 3 - 2 7 a 2 - 3 a + 9

    (a + 3 ) ( a z - 3 a + 9 ) ( a - 3 ) a + 3

    ^ (a - 3)(a2 + 3a + 9)(a2 - 3a + 9)*S> + M + 9

    li.10.3. Dijeljenje algebarskih razlomaka

    , a*3

    Ako su A, B, C, D brojevi ili cijeli algebarski izrazi, pri emu su B * 0, C * 0 i D * 0, onda dije-l|ciije razlomka definiramo kao:

    = , B#0,C*0,D*0 B D B C

    I ){ikle, kolinik dva algebarska razlomka jednak je proizvodu djeljenika i reciprone vrijednosti

    ilielioca.

    hlinjeri: (lluivimo naznaeno dijeljenje:

    a) x + 2 x + 2 x + 3 (x + 2)(x+3)

    b) a-2 a + 2^ 8 a 2 - 1 6 a ( a - 2 ) 2 - ( a + 2)2 . 8 a ( a - 2 ) _ a + 2 a-2J a 2 + 4 a + 4 (a + 2 ) ( a - 2 ) (a + 2) '

    z2 - 4 a + 4 - a 2 - 4 a - 4 (a + 2)2 a + 2

    (a + 2 ) ( a - 2 ) 8a(a - 2) ( a - 2 ^ :, a * 0 , a * +2

  • isi- i i iucija: K.oncnik oblika

    A A C moemopisatikao X = , B D r C

    Z) -gdje saA,B*Q,C*0,D*Q brojevi ili cijeli algebarski izrazi, naziva se dvojni razlomak.

    Izrazi AiDsu spoljanji, a B i Cunutranji lanovi dvojnog ra/.lomka. Razlomak ima glaviu. i dvije sporedne razlomake crte.

    Teorema: nazivnik proizvodu unutranjih lanova dvojnog razlomka.

    Dokaz: A

    y _ B C _ A D AD c ~~B'~D~~B"C= ~BC 'st0Jetrebaldokazati-D

    Primjeri:

    b ) = 4 - u 7 4-1 4 4,

    1 4-5 20 ^ . u 1 6 /

    Ako u brojniku ili nazivniku dvojnog razlomka imamo date i operacije sabiranja, oduzimanja slino, onda prije rjeavanja dvojnog razlomka treba obaviti naznaene operacije.

    Primjeri:

    x + y 2x (x + y)(x-y)-2x2 x2 -y2 -2x2

    x x-y = x(x-y) x(x-y) ' 2 2 1 1 1 ~> ! x2 +y2 x2 +y2

    x-y x-y n v x-y

    (-x2-y2)(x-y) ^-(x2 +y2)(x-y) _ 1 x(x-y)(x2+y2) x(x-y)(x2 + y2) x ' x # y

    (a + b)-2ab 2

    t t ili..vi naznaene operacije:

    J \ + X L x f \ + x 2 l [ f * a" .y \ -X ; ll i; x j 1 - X2/

    b)Va-3b\ 2a+3b _ 8a2+m2

    2a+ 36 2a -3b 9b2-4a2

    ,a + b a-b a2+b2 c ) i - -

    a-b a + b a2-b2

    (R: a)-\+4x+x

    j,tt*\, b) 2(2a - 3b) a2 + 4 ab + b2

    \-x

    ' i lli.ivi naznaene operacije: h

    b, c) 7 2 ' a * b > 2a + 3b ' 2 a //

    a b ^ 2ab-c(a +b) a + b-c a-b + c a2-(b-c)2

    1 2 a + 1 3a + 5 a - l b) + -

    a - 1 a - 1 1 - a c)

    ( a - 1 ) 3 ( 1 - a ) 1 -a

    (R: a) a2 -b2

    a1 -(b-c)

    6a3 + 13a2 +9a +1 a 3 - 3 a 2 + a b ) ( a 2 - l ) ( a 2 + a + l) C ) ( 1 - a ) 3

    t iliavi naznaeno raunanje:

    a)

    c)

    e)

    ab' 2\3 (2ab )

    4 a2b3 =

    a a-b

    2a 3 (a + b)

    b(b - a)

    (a + b)2 '="

    l

    b) a + b

    d)

    (a + b) =

    ab-2b2

    a+3

    f)

    a2-4b2

    a-2b a + ab a + b 2a-4b

    2 u a b ( | t >\)-,(a,b*0), b)a,(a*-b), c)-ab, d)-

    2 (a + 2 b)(a + 3)

    e)a(a + b)(a *-b), j) -,(a * -b,a * 2b)) 3 2

    ,(a * +2b,a * -3 )

    t iliavi raunanje:

    a)

    c)

    ab a + b \a b

    - + - =

    2 ab

    1 1 a2b2

    a b) b2-a2 d)

    \a b) a2 -b2

    x3 +x2 + x x2 - x + \

    x3+\ xJ-\

    (R: a)l b) ? , a * J b c) - ^ - , a * b d ) - ^ - , * ? ^ ! ) a-b' a-b' x2-\

  • , 4 12 a) - :

    5 25 b ) f a =

    b c ) : 2(a + 3) =

    d) a2 -b2

    5a + 56 a2-ab + b2 e) -16

    5 a

    g 2 + 4 l + 2a + a 2 ' a 2 - 4 a + 4 a-2 a * -1 , 5 , , 1 b * 0 1 1 (R: a)- b)-, c) d),a * b e)

    3 b a* 0 10a 5 (a + l / / a + 2 / a * 2 )

    6. Obavi naznaene operacije dijeljenja:

    , (a 2 a + 2 a)

    V

    4 a 3 - 1 6 a

    c)

    a + 2 a - 2 ) a 2 + 4 a + 4

    XJ-X2-2X + 2 X3-2X + XZ

    b)- ~8 2X2+4X + 8

    Xj-2X2+4X X4+8X

    X3 + X2-3X-3 'X3-3X2 -3x + 9

    (R: a) - 4 a

    (a-2)2 b)- c ) (x-i)(x-3)

    (x + l)2

    7. Uprosti dvojne razlomke:

    a)

    d ) i

    1 1 +

    g fe a 2 - fr 2

    2a 1 1

    - + -

    a + 2a2 a2+b2

    b) a - 6

    1 x + l _

    1 e) 1 +

    a 2 + 6 2

    a - 6

    1

    c ) l + 2x + .y2

    a 4

    1 + 2 x 2 + X 4

    l-x x+l

    b(a-b) a

    2 + -1

    3 + -

    ,2 \1 (\+X2) 1 .10x + 3 (a + x)2(a2-b2) d ) x C) lx + 2 )

    8. Uprosti dvojne razlomke:

    a)

    m n ~2+ 2 m2 2 2 -mn + n

    o 2w n