Matematika Teknik II ( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)

1

DERET FOURIER(Jean Baptiste Joseph Fourier ahli matematika dan fisika Prancis)

Fungsi dengan periode T = 2π (T = 2π /ω, ω = 1)

KoefisienderetFourier :

( )∑∞

=

++=1

0 sincos)(n

nn nxbnxaaxf

L

L

,2,1sin)(1

,2,1cos)(1

)(21

0

==

==

=

∫

∫

∫

−

−

−

nnxdxxfb

nnxdxxfa

dxxfa

n

n

π

π

π

π

π

π

π

π

π

Matematika Teknik II ( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)

2

Bentuk lain dalam penulisan deret Fourier

( )∑∞

=

++=1

0 sincos21)(

nnn nxbnxaaxf

L

L

,2,1sin)(1

,2,1cos)(1

)(10

==

==

=

∫

∫

∫

−

−

−

nnxdxxfb

nnxdxxfa

dxxfa

n

n

π

π

π

π

π

π

π

π

π

Koefisienderet Fourier :

Matematika Teknik II ( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)

3

Contoh :

)()2(0

0)( xfxfdan

xjikakxjikak

xf =+⎩⎨⎧

<<<<−−

= ππ

π

Matematika Teknik II ( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)

4

Penyelesaian :

00

021

)(21)(

21 0

00

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−== ∫ ∫∫

−−

πππ

ππ π

ππ

π

kxkx

kdxdxkdxxfa

00

sin0sin1

coscos)(1cos)(1 0

0

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−== ∫ ∫∫

−−

πππ

ππ π

ππ

π

nnxk

nnxk

nxdxknxdxknxdxxfan

Matematika Teknik II ( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)

5

Penyelesaian :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−== ∫ ∫∫

−−

0cos0cos1

sinsin)(1sin)(1 0

0

πππ

ππ π

ππ

π

nnxk

nnxk

nxdxknxdxknxdxxfbn

( ) ( )ππ

πππ

nn

knnnkbn cos120coscos)cos(0cos −=+−−−=

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++=

−=∑∞

=

Lxxxxkxf

nn

kxfn

7sin715sin

513sin

31sin4)(

cos12)(1

π

ππ

Matematika Teknik II ( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)

6

DERET FOURIER T = 2L

Fungsi dengan periode T = 2L ( T = 2π /ω, L= π /ω)

KoefisienderetFourier :

∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

10 sincos)(

nnn L

xnbL

xnaaxf ππ

L

L

,2,1sin)(1

,2,1cos)(1

)(21

0

==

==

=

∫

∫

∫

−

−

−

ndxL

xnxfL

b

ndxLxnxf

La

dxxfL

a

L

Ln

L

Ln

L

L

π

π

Matematika Teknik II ( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)

7

⎪⎩

⎪⎨

⎧===

<<<<−−<<−

= 2,4221011120

)( LLTxjikaxjikakxjika

xfContoh :

Matematika Teknik II ( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)

8

Penyelesaian :

211

41

41)(

41 1

1

2

20

kkxkdxdxxfa =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡== ∫∫

−−

LL ,11,7,3,2,9,5,1,2,0

2sin2

11

2sin

21

2cos

21

2cos)(

21 1

1

2

2

=−===

=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡== ∫∫

−−

njikan

kanjikan

ka

genapnjikaa

nn

kxnnk

dxxnkdxxnxfa

nn

n

n

ππ

ππ

π

ππ

Matematika Teknik II ( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)

9

Penyelesaian :

L,3,2,1,01

12

cos21

2sin

21

2sin)(

21 1

1

2

2

==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡== ∫∫

−−

nuntukxnnk

dxxnkdxxnxfbn

π

ππ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+−+=

+= ∑∞

=

Lxxxkkxf

xnaaxfn

n

25cos

51

23cos

31

2cos2

2)(

2cos)(

10

ππππ

π